Matematica e cultura 2005 (Italian Edition) [1 ed.] 8847003148, 9788847003606, 9788847003149 [PDF]

Zitiervorschau

Armando Pizzinato, Autoritratto

a Armando Pizzinato

matematica e cultura 2005 a cura di Michele Emmer

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MICHELE EMMER Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Università degli Studi “La Sapienza”, Roma

ISBN 88-470-0314-8 Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.it © Springer-Verlag Italia, Milano 2005 Stampato in Italia Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La riproduzione di quest’opera, anche se parziale, è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’autore ed è soggetta all’autorizzazione dell’editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti.

Traduzioni: Catia Peduto, Roma; Fausto Saleri per l’articolo di Jean-Marc Castera; Marco Rizza per l’articolo di Marcela Villarreal Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Redazione: Paola Testi Saltini, Milano Fotocomposizione e impaginazione: Signum Srl, Bollate, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate, Milano In copertina: incisione di Matteo Emmer tratta da “La Venezia perfetta”, Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993 Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, op. cit. Il congresso è stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Università di Ca’ Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo”, Università di Roma “La Sapienza”; Dipartimento di Matematica “F. Enriques”, Università di Milano; Liceo Marco Polo di Venezia; Dipartimento di Scienze per l’Architettura dell’Università di Genova; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Progetto Europeo “Mathematics in Europe”; IBM Italia; Sissa - Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati, Trieste; Galleria Venezia Viva, Venezia

Introduzione

– Su, signorina, – cominciò il vecchio, chinandosi sul quaderno accanto alla figlia... La principessina guardava con spavento gli occhi del padre luccicanti vicino a lei... Il vecchio perdeva la pazienza; muoveva in su e in giù con fracasso la poltrona sulla quale era seduto e faceva degli sforzi su se stesso per non andare sulle furie e quasi ogni volta s’infuriava, sbuffava, e a volte buttava il quaderno. La principessina sbagliò la risposta. – E poi non saresti una sciocca! – gridò il principe, respingendo il quaderno e voltandosi rapidamente in là. – È impossibile, principessina, è impossibile – disse, quando la principessina, preso e chiuso il quaderno con le lezioni assegnate, già si preparava ad andarsene – la matematica è una gran cosa, signora mia. E io non voglio che tu sia come le nostre stupide ragazze. Persevera e finirai per amarla… E le diede un colpetto con la mano sulla guancia. – La grullaggine ti andrà via di capo. Chi pronuncia queste frasi è il principe Andrei Bolkonskij, e si rivolge alla principessa Marja Bolokonskaja, sua figlia. Sono due dei protagonisti di Guerra e pace di Lev Tolstoj terminato di scrivere nel 1869. Quasi le stesse frasi si sono udite nel dicembre 2004 all’Auditorio della musica di Roma, quello ideato da Renzo Piano durante la messa in scena della prima parte di “Guerra e Pace” da parte del talentuoso regista Russo Pëtr Fomenko con la sua compagnia de “I Fomenki” di Mosca. Una delle scene scelte da Fomenko per la riduzione teatrale è appunto quella della “lezione di geometria”. E mentre il padre rimprovera la figlia, una amica della figlia gioca a fare le bolle di sapone! Dell’acustica dell’auditorio di Renzo Piano parla il fisico Andrea Frova in questo volume. E di bolle di sapone si parla, sempre a Venezia! In attesa che, dopo il grande successo a teatro, arrivi sugli schermi il film tratto dalla commedia di David Auburn Proof. Protagonista Anthony Hopkins, regia di John Madden, sceneggiatura di Rebecca Miller. Scelto per essere un grande attore, non per essere stato il famoso Hannibal the Cannibal, padre di tutti i “pazzi da legare” del cinema. Curioso quello che Hopkins ha dichiarato in una intervista: “In verità a scuola andavo malissimo, non ho una vera educazione, non ho mai fatto l’università. E nella vita non avrei mai potuto fare il professore, sono troppo stupido.”

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Introduzione

Ma evidentemente ha il fisico e lo sguardo del rôle, del genio della matematica, come si esige per il protagonista di Proof, commedia anch’essa liberamente ispirata alla vita di Nash. Ci sarà spazio anche per la protagonista femminile, nel film Gwyneth Paltrow, anch’essa matematica, figlia del personaggio interpretato da Hopkins. Il titolo rimanda al doppio significato di “dimostrazione” e di “prova”. Viene solo accennato di quale dimostrazione si tratta: sembra che sia l’ipotesi di Riemann. Il dramma della follia: il grande matematico era divenuto pazzo, la figlia teme di diventarlo, non è chiaro se la dimostrazione del teorema sia stata fatta dal padre o dalla figlia, il cui talento non è mai stato riconosciuto, offuscato da quello del padre. E da gennaio 2005 è finalmente in scena, in forma completa con scene e costumi, il Galois di Luca Viganò, produzione del Teatro di Genova. Cultura e matematica, non se ne può fare a meno! MICHELE EMMER

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Indice

omaggio a Coxeter H.S.M. Coxeter: un breve omaggio di Michele Emmer.......................................................................................... Donald nel paese delle meraviglie: le varie sfaccettature della vita di H.S.M. Coxeter* di Siobhan Roberts, Asia Ivi´c Weiss ...............................................................

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matematica e immagini Visioni e realtà. Empiria e geometria di Franco Ghione ........................................................................................... Stelle di Gian Marco Todesco..................................................................................

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matematica e Venezia Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi di Giovanni Sarpellon ...................................................................................

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matematica e applicazioni Modelli matematici per la meteorologia di Elisabetta Cordero..................................................................................... La matematica in difesa dell’ambiente di Germana Peggion ..................................................................................... matematica e architettura La cupola a mouqarnas della sala delle due sorelle dell’Alhambra di Granada di Jean Marc Castera ..................................................................................... MATHLAND. Dalla topologia all’architettura virtuale di Michele Emmer.......................................................................................... Architettura come topologia della trasformazione di Giuseppa Di Cristina ................................................................................ Nuovo Auditorium di S. Cecilia, anatomia di una megaopera di Andrea Frova.............................................................................................

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Indice

matematica e educazione Matematica a… Un format per mostre di matematica di Simonetta Di Sieno, Cristina Turrini ...................................................... Imparare la matematica attraverso l’arte di Angela Elster, Peggy Ward........................................................................ matematica e medicina La matematica nel sangue di Chiara Bertini, Luigi Preziosi .................................................................. L’HIV/AIDS, l’agricoltura e la sicurezza alimentare in Africa di Marcela Villarreal ..................................................................................... L’uso di modelli matematici per la diffusione dell’AIDS nell’Africa sub-Sahariana di Gianpaolo Scalia Tomba........................................................................... matematica e moda Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza di Donatella Sartorio ....................................................................................

X

matematica e arte Verso un’estetica matematica di Martin Bálek, Jaroslav Nesˇetrˇil............................................................... Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry di Richard P. Taylor ....................................................................................... Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà di Sam Hunter................................................................................................ Armando Pizzinato di Michele Emmer.......................................................................................... Armando Pizzinato, una avventura espressiva del XX secolo di Enzo Di Martino ....................................................................................... matematica e teatro Bustric raccontato da Bustric di Sergio Bini/Bustric ....................................................................................

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omaggio a Coxeter

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio MICHELE EMMER

Preliminari Il progetto “Matematica e arte” è iniziato nel 1976. Vi erano diverse ragioni per le quali ho iniziato a pensare al progetto. La prima ragione era che in quell’anno mi trovavo all’università di Trento e lavoravo nel settore del “Calcolo delle variazioni” e in particolare sulle superfici minime e sui problemi di capillarità. Sempre nel 1976 Jean Taylor aveva dimostrato un famoso risultato che chiudeva una congettura che era stata posta sperimentalmente dal fisico belga Plateau più di cento anni prima [1]: le proprietà delle singolarità, degli spigoli, che generano le lamine di acqua saponata quando si incontrano. Plateau aveva osservato sperimentalmente che malgrado la apparente enorme complessità, i tipi di angoli che si producevano erano solo di due tipi. Jean Taylor utilizzando la Geometric Measure Theory introdotta da Federer e poi da Allard e Almgren, fu in grado di dimostrare che le ipotesi di Plateau erano corrette. La rivista Scientific American chiese nel 1976 a Jean Taylor e Fred Almgren di scrivere un articolo sui risultati più recenti sulla teoria delle Superfici Minime e lamine di sapone [2]. Ad un fotografo professionale fu chiesto di realizzare delle suggestive immagini dei diversi tipi di lamine saponate. Sempre nel 1976 Taylor e Almgren furono invitati all’università di Trento come visiting professors. Le immagini dell’articolo pubblicato sul Scientific American erano veramente splendide. Guardando quelle foto mi venne l’idea di fare un film sulle lamine di sapone per mostrarle in maggior dettaglio: introdussi la possibilità di osservare l’evoluzione delle loro forme e geometrie e dei loro colori nel tempo, utilizzando anche la tecnica della slowmotion camera. Sia Almgren che Taylor erano molto interessati all’idea. In quello stesso anno avevo scoperto le superfici “topologiche” di uno dei grandi artisti del Ventesimo secolo: Max Bill. Le sue sculture furono per me una vera rivelazione. L’impressione di Endless Ribbon, quell’enorme nastro di Moebius in pietra, fu molto forte [3]. Una forma matematica viva. In un certo senso questa era l’idea che mancava al progetto: i matematici, la matematica in tutti i periodi storici ed in ogni civilità hanno creato immagini, forme, relazioni. Il progetto si stava chiarendo: fare dei film per mettere a confronto su singoli temi il punto di vista matematico e quello artistico; non per filmare delle “tavole rotonde” di discussione tra artisti e matematici, ma “To make visible the invisibile”, come ha detto l’artista David Brisson nel film Dimensions realizzato nel

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1984 con Thomas Banchoff [4]. L’idea era quindi di realizzare dei film sulle relazioni, ovviamente, “visive” tra matematica ed arte. Gli argomenti dei primi due film erano le bolle di sapone e la topologia, il nastro di Moebius. Per una descrizione completa del progetto “Art and Mathematics” si veda [5-7]. Nell’articolo [5] è contenuta la lista completa dei film, libri, esposizioni inclusi nel progetto.

Il film con Coxeter

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Alla fine degli anni Settanta avevo già scoperto le opere dell’artista grafico olandese Maurits Cornelis Escher. In particolare leggendo il libro, curato da Escher stesso, The Graphic Work of M.C. Escher [8] avevo letto nell’introduzione che cosa l’artista grafico olandese scriveva dei suoi rapporti con la matematica. Sin dal primo momento, guardando le sue opere, mi venne l’idea di realizzare un film animando alcune delle più famose incisioni. Escher stesso aveva partecipato alla realizzazione di due piccoli film di animazione poco prima della morte avvenuta nel 1972. Dopo aver realizzato i primi quattro film della serie agli inizi degli anni Ottanta cominciai a pensare alla realizzazione del film su Escher. Pensai ad un film diviso in due parti della durata di 27 minuti ognuna. Il film sarebbe diventato poi un video unico di 50 minuti nella versione per gli USA e per il Giappone alla metà degli anni Novanta. Dopo aver letto i libri che erano stati pubblicati sull’opera di Escher mi resi presto conto che, per realizzare il mio film, dovevo entrare in contatto con H.S. Coxeter e con Roger Penrose. Oltre che con la cristallografa Caroline MacGillavry e Bruno Ernst. Tutti sono stati molto cooperativi e di alcuni come Ernst e Coxeter sono divenuto amico. Negli anni Sessanta i film che fossero di carattere “scientifico” o divulgativo” (non ho mai considerato i miei film di questi due tipi) erano distribuiti negli USA e nel Canada dall’International Film Board con sede a Chicago. I film erano in formato 16 mm che allora era molto diffuso. Meno costoso del 35 mm, lo standard utilizzato per i film in uscita nelle sale cinematografiche. Tra l’altro il 16 mm aveva il grande vantaggio che poteva essere proiettato in tutto il mondo, lo standard era unico, non come oggi per cassette e DVD. Coxeter aveva partecipato a due film brevi sulla geometria. Essendo anche quelli distribuiti dall’International Film Board ho avuto occasione di vederli anche prima di conoscere Coxeter di persona. Il primo si intitola Dihedral Kaleidoscopes [7] e ha una durata di circa 13 minuti, il secondo Symmetries of the Cube dura invece 14 minuti [10]. Dei due mi è subito piaciuto molto il primo. Visivamente attraente l’utilizzo degli specchi e geniale la parte finale girata “fuori scena” che mostra come sono state realizzate le riprese. Il piccolo teatrino degli specchi tra pareti scure, illuminato da tre parti. Coxeter stesso muove gli oggetti che formano le diverse simmetrie all’interno del piccolo teatro di specchi. Tra l’altro Coxeter come personaggio era molto fotogenico. Coxeter negli anni Settanta era un famoso matematico (lo era già da molti anni prima), io mi ero invece laureato da poco. Ero insomma molto preoccupato di entrare in contatto con lui. Ho sempre pensato che in ogni situazione la cosa migliore sia un approccio diretto cercando di far-

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio

si capire. Ovviamente prima di contattare Coxeter e Penrose dovevo avere un’idea precisa di quello che volevo fare con loro e che tipo di film volevo realizzare insieme a loro. Insomma che tipo di film volevo realizzare sull’opera di Escher, su quelle opere che Escher chiamava le sue “visioni interiori”. D’altra parte Escher aveva scritto che: Le idee che per loro sono fondamentali (le visioni interiori) spesso testimoniano, con mio grande stupore e meraviglia, le leggi della natura che opera nel mondo intorno noi. Colui che si stupisce, scopre che il suo stupirsi non è altro che uno stupore esso stesso. Confrontando nel dettaglio gli enigmi che ci circondano, e considerando ed analizzando le osservazioni che io stesso avevo fatto, ho finito per ritrovarmi nel campo della matematica. Sebbene sia assolutamente fuori allenamento e non abbia alcuna conoscenza delle scienze esatte, mi sembra spesso di avere più cose in comune con i matematici che con i miei colleghi artisti ([8], p. 8). Inoltre Escher (che non a caso chiamerà il primo libro che contiene molte delle sue opere The World of M.C. Escher [11]) aveva un approccio “visivo”, “cinematografico” in molte delle opere. Era un artista meticoloso, preciso, oltre che immaginativo e realistico a suo modo. Come nel caso di quasi tutti gli artisti, l’utilizzo della macchina da presa permette di “restare all’interno” dell’opera, senza mostrare il mondo che la circonda. Quando si va a visitare una mostra le opere dell’artista sono appese alle pareti, vi è una cornice, un supporto, la parete, un ambiente, le altre persone. Tutto questo in qualche modo disturba. Anche nel caso del mondo di Escher. Si rischia di essere distratti. Utilizzando la macchina da presa, chi osserva è invece costretto a cogliere i dettagli, a seguire la “storia” che le immagini raccontano. Non si esce dal “mondo dell’artista”. Inoltre i racconti che sono presenti nelle opere di Escher acquistano quella dimensione temporale che le opere suggeriscono. In qualche modo è possibile filmare le opere di Escher restando nell’ambito del modo di operare dell’artista grafico olandese. Ecco quindi che in un certo modo era “ovvio” pensare al cinema, alle tecniche cinematografiche dello zoom, del rallenti, dell’animazione, del fish eye, per realizzare un film su Escher. Era stato Escher stesso a suggerire di leggere “cinematograficamente” le sue opere, o almeno alcune. Nel suo libro The Regular Division of the Plane [12] scrisse: In questo libro sono le immagini e non le parole a venire per prime ... Per me rimane una questione aperta se il gioco di figure bianche e nere mostrate nelle sei xilografie di questo libro appartenga al regno della matematica o a quello dell’arte. ... La prima xilografia ... mostra chiaramente che una successione di figure, che gradualmente si trasformano, può avere come risultato la creazione di una storia per immagini. Similmente, gli artisti del medioevo raffiguravano le vite dei santi in una serie di tavole statiche ... L’osservatore doveva guardare le scene seguendo un certo ordine. La serie di rappresentazioni statiche acquisiva un carattere dinamico a causa dell’intervallo di tempo necessario per seguire l’intera storia. Una proiezione cinematografica è in contrasto

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con tutto ciò. Le immagini appaiono, una dopo l’altra, su uno schermo immobile e l’occhio dell’osservatore rimane fisso e non si muove. In entrambi i casi, per la storia medievale illustrata sulle tavole e per il motivo che si sviluppa come divisione regolare del piano, le immagini sono fianco a fianco e il tempo scorre seguendo il movimento dell’occhio dell’osservatore, che segue la sequenza da un’immagine all’altra. Avendo abbastanza chiarito quali erano le mie idee sul film, era giunto il momento di contattare Coxeter. Prima di scrivere a Coxeter e Penrose ho iniziato a leggere i loro libri e i loro lavori scientifici.Volevo avere un’idea più precisa del loro lavoro. Inoltre in quanto matematico ero molto interessato a settori che erano al di fuori della mia attività di ricerca. Ho letto in particolare Introduction to Geometry e Regular Polytopes [13, 14]. Nella prima pagina di Introduction to Geometry, pubblicato nel 1961, è scritto: Negli ultimi trenta o quarant’anni, la maggior parte degli americani ha perso in qualche modo l’interesse per la Geometria. Questo libro vuole essere un tentativo per dare nuova vita a questa materia tristemente trascurata.

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Coxeter era interessato alla Geometria che può essere chiamata “Geometria classica”. Egli era interessato alle raffigurazioni mentali, all’intuizione, ma come scriveva in Regular Polytopes (pubblicato nel 1947): Soltanto una o due persone hanno avuto la capacità di visualizzare gli ipersolidi in maniera semplice e naturale come noi comuni mortali riusciamo a visualizzare i solidi. Ma una certa facilità in questa direzione può essere acquisita riflettendo sull’analogia tra la prima e la seconda dimensione, poi tra la seconda e la terza, e così tra la terza e la quarta. Quest’approccio intuitivo è molto utile per suggerire quale risultato ci si debba aspettare. Ad ogni modo, sussiste il pericolo di venire fuorviati, a meno che non si controllino i propri risultati con l’aiuto di una o dell’altra delle ulteriori due procedure, la procedura assiomatica e quella algebrica. Così, egli parla di intuizione, di raffigurare mentalmente, ma non solo di ciò. Serve anche il rigore per essere precisi e corretti. La prima grande mostra di Escher verrà organizzata al congresso mondiale di matematica di Amsterdam nel 1954. Sarà l’occasione per Coxeter di conoscere le opere di Escher. Qualche anno dopo, nel 1958, Escher scrisse una lettera a Coxeter: L’ho mai ringraziata per avermi inviato “Una conferenza sulla simmetria” [“A symposium on Symmetry”]? Sono stato così contento di questo libretto ed orgoglioso delle due riproduzioni dei miei disegni piani! Nonostante il testo del suo articolo sulla “simmetria dei cristalli e le sue generalizzazioni” [“Crystal Symmetry and its generalization”] sia troppo indirizzato a persone più erudite di uno come me – un semplice uomo che da sé ha imparato a fare disegni

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio

Fig. 1. Modello di geometria iperbolica

piani – alcune delle illustrazioni e soprattutto la figura 7 a pagina 11 mi hanno provocato una forte emozione. [Il modello di Geometria iperbolica di Poincaré, Fig. 1]. Da tanto tempo nutro un certo interesse per i disegni con dei motivi che diventano sempre più piccoli finché raggiungono il limite dell’infinitamente piccolo. La questione è relativamente semplice se il limite è un punto al centro del disegno. Anche il limite assiale per me non è una novità, ma non sono mai stato capace a fare un disegno in cui ogni macchia diventa gradualmente più piccola partendo dal centro di un cerchio e andando verso il suo limite esterno, come mostrato nella sua figura 7. Ho cercato di capire come questa figura sia stata costruita geometricamente, ma sono riuscito soltanto a trovare i centri ed i raggi del cerchio interno più grande. Le sarei immensamente grato e riconoscente, se mi potesse dare una spiegazione semplice di come costruire gli altri cerchi i cui centri si avvicinano gradualmente partendo dall’esterno fino a raggiungere il limite! Ciononostante ho utilizzato il suo disegno per fare una grande xilografia (di cui ho fatto soltanto un settore di 120° che ho stampato tre volte). Gliene sto inviando una copia. Si tratta del Circle Limit One. Seguirono delle osservazioni di Coxeter e alla fine il Circle Limit III. Coxeter disse: L’opera di Escher, basata sulla sua intuizione, senza effettuare alcun tipo di calcolo, è perfetta, anche se la descrizione poetica che ne dà (Loodrecht uit de limiet, perpendicolare dal limite) era solo approssimativa (Fig. 2). Avevo letto tutto questo materiale e non avevo dubbi che uno degli argomenti che dovevo trattare con Coxeter nel film doveva essere il modello di Geometria iperbolica di Poincaré e la serie di incisioni Circle Limit. In questo modo invece di parlare in astratto dei rapporti tra Escher e il mondo matematico, con

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Fig. 2. M. C. Escher, Circle Limit III, incisione, 1959. M.C. Escher’s works © Cordon Art B.V., Baarn, The Netherlands. All rights reserved

Coxeter sarebbe stato possibile parlare di un fatto molto concreto, di una collaborazione esplicita che aveva portato alla realizzazione di alcune opere tra le più interessanti da parte di Escher. Il 18 maggio del 1978 inviai la mia lettera al dipartimento di matematica dell’Università di Toronto. Non sapevo che in quel periodo Coxeter fosse professore visitatore dell’Università di Bologna, abbastanza vicino all’università dove mi trovavo io, Trento. Non ho le copie delle mie lettere (non esisteva l’e-mail allora!): ecco la risposta di Coxeter, datata 18 June 1978: Caro Dott. Emmer, molte grazie per la sua lettera del 18 maggio che mi attendeva al mio ritorno dalle cinque settimane a Bologna. Se solo qualcuno le avesse detto che ero lì avremmo potuto incontrarci in Italia. Per coincidenza, giusto tre giorni prima che lei mi scrivesse, stavo tenendo una conferenza sugli aspetti matematici delle opere di Escher a Siena [è la conferenza pubblica-

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio

ta in Leonardo [15]] su specifico invito dei matematici senesi. Sin da allora ho aggiornato la conferenza, concentrandomi particolarmente sulle quattro immagini di Circle Limit che avevano tratto ispirazione da un mio vecchio disegno. La sua idea di fare un film su Escher mi interessa molto. Credo che un film del genere sia già stato fatto mentre egli era ancora in vita. Qualcuno ha detto che comprendeva alcune versioni animate dei suoi disegni che si ripetono. Mi sono sempre rammaricato di averlo perso quando veniva mostrato in TV. Sì, sarei veramente interessato ad aiutarla a fare il suo film. Penso di rimanere a Toronto quest’estate. Dunque teniamoci in contatto. Cordiali saluti. Suo, H. S. M. Coxeter. Inoltre Coxeter mi segnalava un artista italiano, Lucio Saffaro, che aveva sempre dipinto poliedri nella sua vita. Lo aveva conosciuto a Bologna. Sarà grazie a Coxeter che entrerò in contatto con Saffaro con il quale realizzeremo due film e diverse mostre e libri. Durante il convegno dedicato a Coxeter all’università di Toronto, nel maggio 2004, a Bologna era in corso una grande mostra dedicata a Saffaro [16]. Qualche tempo dopo Coxeter mi inviò alcune idee su che cosa si poteva realizzare nel film su Escher. Donald stava già pensando a come si poteva realizzare la parte del film in cui sarebbe stato coinvolto. La sua mente visiva era la lavoro. Il progetto del film procedette. Normalmente non scrivo una sceneggiatura dettagliata dei miei film ma soltanto una traccia, anche se abbastanza estesa, riservandomi di cambiare i piani in dipendenza dell’interesse delle immagini che vengono filmate. Il che permette un grande margine di libertà per l’invenzione e la creatività. Con Coxeter decidemmo di realizzare tre diverse parti per tre diversi film: Solidi Platonici, M.C. Escher, symmetry and space e M.C. Escher: geometries and impossible worlds. Per le riprese cinematografiche fissiamo il gennaio del 1979. Le riprese verranno effettuate all’università di Roma “La Sapienza”, non nel mio studio, troppo piccolo, ma nello studio di un amico nel dipartimento di genetica. Coxeter resterà a Roma qualche giorno. Le riprese vanno molto bene, noi diventiamo amici. Viene a cena a casa e conosce Valeria di cui diverrà pure molto amico. Avendo deciso di dividere il film in due parti, in due film indipendenti, nella prima M.C. Escher: Symmetry and Space in cui si parla della simmetria e dei solidi nell’opera di Escher, faccio intervenire la cristallografa Caroline MacGillavry e Bruno Ernst. Nel secondo film M.C. Escher: Geometries and Impossible Worlds intervengono Coxeter e Penrose. Al ritorno a Toronto Coxeter scrive le sue prime impressioni. Questa volta, per la prima volta, mi scrive “Dear Michele”. La lettera è del 4 febbraio 1979. È stato un grande piacere esserti venuto a trovare e aver visto qualcuna delle tue attività. È stata un’esperienza interessante ritrovarsi in un film. Spero che taglierai le parti del film dove ho esitato troppo a lungo o ho parlato in modo confuso. Mi ha fatto anche molto piacere conoscere tuo padre [Luciano Emmer, regista e produttore] e vedere un po’ del tuo lavoro. Tanti saluti, Donald.

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Qualche anno dopo prende forma l’idea di un congresso e di una mostra su Escher. Il convegno si tiene all’Università di Roma alla fine di marzo del 1985. La mostra all’Istituto Olandese resterà aperta per due mesi con grande successo. Sarà inaugurata dalla Regina Beatrice d’Olanda. Quella mostra ed il suo successo salveranno l’Istituto Olandese dalla chiusura che allora era prevista. Il catalogo in cui è pubblicato anche un articolo di Coxeter sarà stampato in 6000 copie che andranno esaurite in pochi giorni. Nel catalogo, stampato a cura dell’Istituto Olandese di Roma, erano inclusi i seguenti articoli (alcuni testi erano in italiano, alcuni in inglese): “Introduzione” di M. Emmer,“Escher e l’Italia”, di J. Offerhaus, allora direttore dell’Istituto Olandese di Roma, “Roman Memories” di George Escher, figlio di Maurits,“La fantasia dell’enigma e l’enigma della fantasia” di M. Emmer, “M.C. Escher, the Man and his Work”, di C. H. MacGillavry, “Escher’s Fondness for Animals”, di H.S.M. Coxeter [17] (Fig. 3). Molti anni dopo, nel 1998, un altro convegno su Escher sempre all’università di Roma e al centro Europeo di Ravello, con due mostre delle opere di Escher, una all’università di Roma, presso il laboratorio di Arte Contemporanea e l’altra a Ravello, città molto amata da Escher. Per ragioni di salute Coxeter non poté ve-

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Fig. 3. Copertina del catalogo della mostra all’istituto Olandese di Roma, 1985

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio

nire al nuovo convegno. Inviò però due articoli che sono stati pubblicati nel volume degli atti nel 2003 [18]. Ho incontrato per l’ultima volta Coxeter ad un convegno sulla simmetria “Symmetry 2000” a Stoccolma nel 2000. Sono molto lieto di aver potuto realizzare con lui il film su Escher. Sono stato molto contento di essere stato invitato al convegno in onore di Coxeter organizzato a Toronto dal Fields Institute nel maggio 2004. Un ampio articolo con la pubblicazione di alcune lettere di Donald, dei testi dei film che abbiamo realizzato insieme comparirà negli atti del convegno [19]. Sono commosso ad aver contribuito con i film a mantenere un ricordo “visivo” di una persona dalla eccezionale “mente visiva”. Oltre che di un grande amico.

Bibliografia [1] J. Plateau (1873) Statique expèrimentale et Thèorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires, Gauthier-Villars, Paris [2] F. Almgren, J. Taylor (1976) The Geometry of Soap films and Soap Bubbles, Scientific American, July, pp. 82-93 [3] M. Bill (1993) “The Mathematical Way of Thinking in the Visual Art of Our Time”, in: M. Emmer (ed.) The Visual Mind, Cambridge, Mass, pp. 5-9 [4] M. Emmer (1986) Dimensions, film and video, series Art and Mathematics, 27 minutes [5] M. Emmer (2002) Mathematics and Art: the Film Series, Mathematics and Visualization series, Bruter, P.C. (ed), Mathematics and Art, Springer-Verlag, Berlin, pp. 119-133 [6] M. Emmer (2003) Films: a Communicating Tool for Mathematics, Mathematics and Visualization Series, vol. 3, C. Hege, K. Polthier (eds) Mathematics and Visualization, Springer-Verlag, Berlin, pp. 393-405 [7] M. Emmer (2004) The ‘Mathematics and Culture’ Project, J. Wang, B. Xu (eds.) Trends and Challenges in Mathematics Education, East China Normal Univer. Press, Shanghai, pp. 85-103 [8] M.C. Escher (1961) The Graphic Work of M.C. Escher, MacDonald, London [9] J. Hines, G. Wright, registi, Dihedral Kaleidoscopes; matematici: H.S.M. Coxeter e W. O.J. Moser, modelli di J. Runyon, College Geometry Project, University of Minnesota [10] A. Landy, regista, Symmetries of the Cube; matematico: H.S.M. Coxeter, College Geometry Project, University of Minnesota [11] M.C. Escher (1971) The world of M.C. Escher, H.N. Abrams, New York [12] M.C. Escher The regular Division of the Plane; ristampato in: F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, F. Wierda (eds.) (1982) M.C. Escher: his Life and Complete Graphic Work, H.N. Abrams, New York [13] H S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, J. Wiley & Sons, New York, p. VII [14] H.S.M. Coxeter (1973) Regular Polytopes, Dover Publ., New York, p. 119 [15] H.S.M. Coxeter (1979) “The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s ‘Circle Limit III’”, Leonardo, 12, p. 19 [16] L. Saffaro (2004) Le forme del pensiero, catalogue of the exhibition, G.M. Accame (a cura di) Edizioni Aspasia, Bologna [17] M. Emmer, C. van Vlanderen (eds.) (1985) M.C. Escher, catalogue of the exhibition, Ist. Olandese, Roma [18] M. Emmer, D. Schattschneider (eds.) (2003) M.C. Escher’s Legacy, Springer-Verlag, Berlin [19] M. Emmer (2005),“The Visual mind: art, mathematics, cinema”, in: Proceedings of the Toronto University meeting, Fields/AMS Communications, in corso di stampa

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Donald nel paese delle meraviglie: le varie sfaccettature della vita di H.S.M. Coxeter* SIOBHAN ROBERTS, ASIA IVIC´ WEISS

C’è un che di soddisfacente per un mistico in un tale mondo di specchi. Poiché un mistico è una persona che ritiene che due mondi sono meglio di uno solo. In effetti, il significato più alto di tutto ciò, è che ogni pensiero è una riflessione.

Con questa citazione dal libro Man Alive di G.K. Chesterton, Donald Coxeter invitava molti nel suo reame di geometria e, una volta portati lì, felicemente divagava sui ricordi del suo passato.

Un’infanzia precoce Una delle prime fotografie di Donald Coxeter lo ritrae da bambino a circa tre anni. Era tutto ben agghindato, portava una camicia con un colletto ornato e dei calzoni alla zuava, con ciocche di ricci biondi fin sulle spalle ed era seduto su una panca davanti ad un pianoforte a coda, con i piedi a penzoloni. Secondo l’analisi fatta dallo stesso Coxeter, le sue mani facevano finta di suonare il pianoforte: egli posava per sua madre, e il ritratto di suo figlio in questa esatta posa si trova ora presso l’università che frequentò, il Trinity College di Cambridge (il pianoforte si trova all’Istituto Fields). In quel periodo Donald aveva tredici anni e non era solo diventato un discreto pianista per la sua età, avendo imparato a suonare da uno degli amici musicisti del padre che frequentava il loro grottesco salotto (in cui si trovavano non uno, ma ben due pianoforti a coda), ma componeva anche. Egli intitolò uno dei suoi arrangiamenti Autumn ed un altro Devil, parte di un’opera chiamata Magic. Più tardi compose un quartetto d’archi in Fa minore, come pure alcune canzoni. Coxeter si ricordava spesso che sua madre lo portava da Gustav Holst per una valutazione delle sue opere. Holst era un compositore che risiedeva presso una scuola femminile poco fuori Londra.“Non so come mia madre arrivò a lui,” disse Coxeter,“ma mi ci ha portato per un lungo periodo e io gli mostravo alcune parti della musica che avevo scritto e suonavo un po’ al pianoforte. Nel complesso deve aver pensato che si trattava di ben poca roba”. Ricevettero pressoché la stessa risposta da un compositore irlandese, C.V. Standford, che consigliò: “Educatelo dapprima”. Da quel momento in poi – così continua la storia – i genitori tentarono di pro-

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Traduzione dell’articolo Donald in Wonderland: The Many-Faceted Life of H.S.M. Coxeter, apparso sulla rivista The Mathematical Intelligencer, vol. 26, n.ro 3 © Springer-Verlag New York, 2004.

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Un ritratto di Coxeter da bambino dipinto da sua madre (Tutte le illustrazioni sono usate per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)

teggere Donald dal dispiacere del loro divorzio, mandandolo al collegio San George a Harpenden, poco fuori Londra. Il dodicenne Donald, tuttavia, trovò una via di scampo migliore per i suoi pensieri. Creò una lingua personale e la chiamò Amellaibian, un incrocio tra latino e francese. Riempì un libro di 126 pagine, in cui raccontava nel dettaglio il mondo immaginario dove veniva parlato l’Amellaibian, un posto mitico di cui incluse anche delle cartine (anticipando Tolkien di vari decenni). Scritto in maniera impeccabile a caratteri maiuscoli, degni di un disegnatore, il libro contiene anche un elenco di vocaboli, storie, genealogie, racconti e una parte intitolata “Compleanni delle fate e altri eventi”. Gradualmente, il testo diventa molto numerico, con pagine e pagine di calcoli dedicati a pesi e misure, formule, equazioni e numeri magici Amellaibiani (questi erano i numeri della fattorizzazione del numero preferito di Donald in quel periodo, il 250). Del suo periodo al collegio, Coxeter ricorderà: “Mi sentivo in carcere”. Si sentiva un miserabile, ma ha ammesso che il suo incontro formativo con la geome-

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tria era avvenuto a San George. Convalescente nell’infermeria scolastica a causa della varicella, Donald si trovò nel letto accanto a quello di John Flinders Petrie, figlio dell’egittologo ed avventuriero Sir William Matthew Flinders Petrie. Fu l’inizio di una lunga amicizia e collaborazione. I due cominciarono a discutere sul perché esistevano soltanto cinque solidi platonici e passarono il loro tempo a cercarne altri di dimensioni più grandi. Uno o due anni dopo, Donald vinse un premio scolastico per un tema su come creare forme in più dimensioni. Lo chiamò Dimensional Analogy. Il padre di Donald decise quindi che suo figlio meritava un ambiente educativo più stimolante. Portò Donald e il suo tema da Bertrand Russell. I padri di Russell e Donald erano entrambi dei pacifisti e si erano conosciuti a Londra in un raduno di obiettori di coscienza durante la prima Guerra Mondiale. Russell convenne che Donald aveva un grande potenziale matematico e suggerì di mettersi in contatto con E.H. Neville, il matematico che ha aiutato a portare Ramanujan dall’India a Cambridge. Fra le carte di Coxeter c’è una lettera datata 11 settembre 1923, inviata a Neville da un’amica di famiglia, la professoressa Edith Morley. Così scriveva: Caro E. H., Mi sono presa una libertà che spero mi perdonerà! Un certo Donald Coxeter, un ragazzo di 15 anni, che deve essere un matematico ed un musicista piuttosto insolito per la sua età, ha passato le sue vacanze estive scrivendo ciò che mi dicono essere un trattato molto originale sulla quarta dimensione. Il ragazzo è amico di una mia amica, la signora McKillop: non lo conosco di persona, ma ho sentito parlare molto di lui e so che a scuola non riceve adeguata comprensione per i suoi risultati in matematica. Penso che lei mi perdonerà se lo inciterò a scriverle e a chiederle di aiutarlo. Sembra che abbia letto il suo piccolo libro (penso proprio di aver ragione): in ogni caso, ne ha sentito parlare e sente che lei è la persona giusta per aiutarlo. Se il suo lavoro non promette nulla di buono, può scoraggiarlo senza problemi: se così fosse, il suo consiglio sarebbe inestimabile per lui. In seguito andrà a Cambridge. Le scriverà non appena troverà il coraggio per farlo e spero tanto che lei non penserà che siamo troppo presuntuosi. Con i miei migliori saluti, Edith Morley Esattamente lo stesso giorno, l’11 settembre del 1923, il prodigio in questione, all’età di 16 anni, prese la penna e scrisse: Caro Prof. Neville, La professoressa Edith Morley mi ha suggerito di scriverle a suo nome. Sto per andare a comprami il suo libro sulla quarta dimensione, dato che sono tremendamente appassionato di queste tematiche. Sto scrivendo anch’io un libro sull’analogia dimensionale, di cui Le allego una bozza… Vostro fiduciosamente, Donald Coxeter

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Donald aveva già quasi rinunciato a ricevere aiuto da Neville, quando un mese dopo arrivò la sua risposta. Fu fissato un incontro a San George. Neville fece a Donald la domanda: “Cosa ha un limite?” Come ricordava lo stesso Coxeter, quando non rispose “Una successione”, Neville gli consigliò di lasciare la sua attuale educazione scolastica (non si sa se la motivazione di Neville di toglierlo dalla scuola fosse dettata dal fatto che era rimasto impressionato di non avere ricevuto una risposta ingenua alla sua domanda o costernato da una insufficiente; Donald, da ciò che ricordava di questa scena, optava con modestia per l’ultima delle due). Neville suggerì a Coxeter di lasciar perdere tutte le materie a parte matematica e tedesco e di fare una carrellata veloce delle altre in ripetizioni private per Cambridge. Un tutor adatto fu trovato in Alan Robson del Marlborough College. Donald affittò una stanza da una famiglia della città e andava in bicicletta all’università, dove Robson gli dava quotidianamente lezioni private durante il suo tempo libero (l’università non avrebbe accettato un nuovo studente di soli sedici anni). Per quanto si sa, sembra che inizialmente egli fu classificato in fondo tra gli studenti di Robson: era ossessionato dalla quarta dimensione, ma tristemente indietro in alcuni fondamentali. Gradualmente salì dal fondo della classifica fino ad essere il primo della classe, cosa resa possibile non solo per il fatto che trascurava le altre materie, ma anche perché gli era stato espressamente vietato di

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Coxeter insieme a suo padre

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sognare a occhi aperti sui politopi, finché non aveva finito di fare tutti i compiti del giorno. Ovviamente Coxeter non era riuscito ad astenersi del tutto dal farlo, come raccontò pochi anni dopo: Ho passato tuttavia una grande parte del mio tempo libero scrivendo ulteriori volumi di Dimensional Analogy. Ricorderò per sempre il fremito, l’eccitazione che ho sentito, mentre sedendo sotto un albero nella vicina foresta di Savernake ho riscoperto i politopi puri di Archimede in dimensione sei, sette ed otto. Più di quarant’anni dopo, il tema che aveva vinto un premio raggiunse il suo compimento, quando Coxeter pubblicò il suo libro Regular Polytopes. Il suo extutor Alan Robson gli inviò una lettera di congratulazioni: Sono contento di vedere i tuoi politopi finalmente stampati e il libro mi piace molto. Le immagini e le tabelle sono molto piacevoli. Quanto tempo è passato da quando, mentre studiavi per l’esame del Trinity, hai fatto quel proposito (te lo ricordi?) di non lavorare alla quarta dimensione eccetto che di domenica. Donald fu mandato via da Marlborough con un regalo d’addio del suo tutor. Robson suggerì che Coxeter presentasse la sua opera al Mathematical Gazette. I suoi tentativi di valutare il volume di un tetraedro sferico portavano ad alcuni integrali definiti che, ammetteva, lo lasciavano perplesso. Nel volume 13 della Gazzetta pubblicata nel 1926, Coxeter propose: Può qualche lettore dare una dimostrazione elementare dei risultati che sono stati suggeriti da considerazioni geometriche e verificate graficamente?

Cambridge, Princeton ed oltre Per la festa di San Michele del 1926, Coxeter era partito alla volta di Cambridge, sostenuto da una borsa di studio di entrata e da una considerevole provvista di marzapane fatto in casa da sua madre. Si sistemò nella stanza G9 della Whewell’s Court. Cosa ci potrebbe essere di meglio nei sogni più selvaggi di un fresco studente di matematica del Trinity, che ricevere a novembre una risposta alla sua domanda pubblicata nel Mathematical Gazette. Arrivò una lettera raccomandata nientemeno che da parte del grande G.H. Hardy, e poi da un professore di geometria di Oxford.“Ho tentato in tutti i modi di non passare tutto il mio tempo a risolvere i suoi integrali”, annotò Hardy al margine delle sue pagine di calcoli, “ma per me la sfida di un integrale definito è irresistibile”. Questo fu un rituale di passaggio: Coxeter era entrato nel reame della dialettica matematica. A Cambridge, Coxeter si teneva in disparte studiando con molto rigore. La prima e unica menzione del suo nome nell’annuario del Trinity ci fu nel 1928 quando il circolo di discussione “Magpie e Stump” (circolo di chiacchiere e comizi) riportava:

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Abbiamo due nuovi membri veterani, il Sig. J.A. Todd, che è troppo strano per essere descritto a parole, ed il Sig. H.S.M. Coxeter, che è sempre molto buono ed inintelligibile, ma terribilmente conciso. Con J.E. Littlewood come suo consigliere di studi universitari, Coxeter completò l’esame Tripos con la posizione B Wrangler. Il suo consigliere di dottorato fu H.F. Baker, che pure si era laureato a Cambridge nel 1888. Baker era rimasto a Cambridge come studioso ed insegnante, e gli era stata assegnata la cattedra di Astronomia e Geometria nel 1914. Ogni sabato mattina Coxeter faceva dalla sua residenza (che ormai si trovava nel Great Court) una passeggiata in bicicletta di dieci minuti, attraversando il fiume Cam, fino alla casa di Baker sulla Storey’s Way, dove riferiva i suoi progressi. I sabato pomeriggio erano riservati ai famosi “ricevimenti pomeridiani” di geometria di Baker. Coxeter vi partecipava insieme a P. Du Val, G. de B. Robinson, J.A. Todd, D.W. Babbage, J.G. Semple, T.G. Room, W.J. Welchman e William Hodge. Come annotato in uno degli articoli commemorativi di Baker del 1956, [Egli] radunava intorno a sé un gruppo di giovani, contagiati dal suo entusiasmo e dalla sua potenza evocativa … qui si riuniva l’ispirazione che ha fatto della geometria la grande materia che è oggi in molte nostre università ed oltre oceano. 18

I discepoli di Baker erano tutti molto appassionati, nonostante alcuni abbiano trovato queste riunioni – inevitabilmente di sabato – piuttosto stancanti. Baker dal canto suo non si stancava mai, perlomeno in apparenza, e teneva vive le riunioni. Ogni studente aveva un pomeriggio a disposizione per presentare la sua ricerca più recente, alla quale seguiva poi una discussione. Durante un pomeriggio del 1929 in cui toccava a Coxeter, come ha annotato nel suo Personal Record Book of Fellows della Royal Society, Ho descritto la successione di politopi “puri archimedei” nelle dimensioni 3, 4, 5, 6, 7, 8 (chiamate dopo (–1)21, 021, 121, 221, 321, 421) con il loro numero di vertici: 6, 10, 16, 27, 56, 240. Continuando, Coxeter si spiega più nel dettaglio: Uno dei geometri algebrici ha espresso subito il suo interesse, perché 6, 10, 16, 27 sono i numeri delle rette sulla superficie di Del Pezzo nelle dimensioni 6, 5, 4, 3. Du Val andò un passo più in avanti dichiarando che 2x28 erano il numero di rette della “superficie di Del Pezzo” nella dimensione 2, superficie che è costituita da due copie di un piano collegate lungo una quartica di genere 3; le rette corrispondono a coppie alle bitangenti alla quartica. Queste considerazioni mi hanno condotto a scrivere il mio articolo sui politopi archimedei puri. Un giorno, durante una delle mie passeggiate solitarie in bicicletta sui “Gogs”, vidi come questi e altri politopi potevano essere dimostrati essere membri di una sola famiglia per mezzo dei simboli npq (per una fi-

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gura nella dimensione n+q+1). Questa riflessione portò al mio lungo articolo nel Philosophical Transactions di questa società. In un’altra occasione, quando era di nuovo il turno di Coxeter al ricevimento pomeridiano, egli invitò “zia Alice”, come la chiamava, a tenere una conferenza congiunta, usando i suoi famosi modelli come sostegno. Era più nota con il nome di Alicia Boole Stott, una casalinga amante della geometria, cui Coxeter attribuiva l’introduzione della parola “politopo” nella lingua inglese intorno al 1902. La Stott era la figlia intermedia delle cinque di George Boole. Suo padre, che era diventato famoso per l’algebra della logica pubblicata nel libro The Laws of Thought 150 anni prima, era morto quando lei aveva quattro anni. Secondo le valutazioni di Coxeter, ciò significava che le sue capacità matematiche erano puramente ereditarie. Attribuendo elogi, come sempre, solo dove era veramente doveroso farli, Coxeter scrisse un esteso profilo biografico della Stott (come fece per molti altri predecessori in quel campo della matematica), includendolo nel suo libro Regular Polytopes. L’influenza della Stott sul lavoro di Coxeter è evidente dalla prefazione della sua dissertazione di dottorato. Egli scrisse: Nei capitoli 7, 9 e 13 si trova un tentativo di esprimere in forma più generale alcune delle scoperte della sig.ra A. BOOLE STOTT e del prof. P. H. SCHOUTE. Nel capitolo 10, per la sua conclusione logica, ho eseguito un suggerimento fattomi dalla sig.ra STOTT. SCHOUTE sembra invece non aver colto l’importanza delle “operazioni parziali” della STOTT, e conseguentemente si è perso una famiglia infinita di politopi uniformi… Anche Ludwig Wittgenstein aveva simpatia per Coxeter e lo scelse tra i sei studenti per il suo seminario sulla filosofia della matematica. “Ho preso un tè con Wittgenstein ieri” disse in una lettera alla sua famiglia dei suoi ultimi anni al Trinity.“Parlò in maniera molto interessante della cecità e della sordità, e perché su un cammello si soffre di mal di mare mentre su un cavallo no.” Aggiungendo alla fine: “Non sembra essere più anormale come prima.” Wittgenstein ha fatto su Coxeter un’impressione simile a quella che Coxeter fece sui partecipanti alle discussioni da Baker: era inintelligibile. Wittgenstein si rifiutava di tenere lezioni di cinquanta minuti, come era usanza, ma richiedeva centocinquanta minuti, in parte perché gli ci voleva un’ora per entrare nel vivo della questione ed in parte perché aveva l’abitudine di fermarsi a metà frase e tenere il suo pubblico in attesa mentre elaborava il prossimo punto o cercava la parola successiva. Una volta Coxeter cronometrò una di queste pause che durò per più di venti minuti, dopo i quali Wittgenstein continuò esattamente laddove aveva lasciato il discorso, come se tutto fosse normale, e con nessuna scusa o spiegazione. In un’altra occasione, Wittgenstein lamentò che l’aula delle lezioni era troppo formale, e disse che preferiva un salotto privato. Coxeter offrì il suo nella scala I della Great Court. Wittgenstein lo utilizzò a parecchie riprese, anche dopo che Coxeter aveva abbandonato la classe per passare più tempo nella sua ricerca matematica.

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Non riuscivo a capire quel tipo di filosofia, ricordava Coxeter, ho pensato che fossero sciocchezze. Dopo tutto, non mi interessava. La sola cosa che ricordo delle sue opere è che il suo libro Tractatus Logico-Philosophicus iniziava con le parole: “Il mondo è tutto ciò che è il caso”, e che finiva con la famosa frase, “Di ciò di cui non si può parlare occorre tacere”.

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Dopo aver ottenuto il suo dottorato a Cambridge, Coxeter alternò periodi di lavoro tra Princeton e Cambridge (1932-33 Princeton, 1933-34 Cambridge, 1934-35 Princeton, 1935-36 Cambridge). In ogni campus si portava una collezione di specchi che aveva fatto tagliare appositamente per i suoi scopi (ora si trovano all’Università di York). Sugli specchi erano fissati dei cardini, di modo che senza molto sforzo potevano essere montati in maniera tale da diventare una versione grezza di un caleidoscopio. Era un uomo quasi per niente vanitoso, ma amava i suoi specchi. Nella documentazione del Progetto di Geometria del 1960, prodotta nell’Università del Minnesota, Coxeter e i suoi colleghi costruirono un gran numero di caleidoscopi giganteschi. In uno egli collocò un triangolo su cui aveva stampato a chiare lettere la parola NONSENSE. In un altro posizionò l’amato bassotto di sua moglie, Nico, il quale, immancabilmente ringhiò contro Donald (come è ovvio che fosse). Coxeter portava i suoi specchi in giro in sacchetti cuciti appositamente per lui da sua madre. Di tanto in tanto nei suoi diari avrebbe annotato: “Riparazione degli specchi.” I cardini che incollavano uno specchio al prossimo, si erano forse scardinati a causa della sua passione per una guida sfrenata. “Mi hanno beccato a guidare troppo velocemente (65 miglia all’ora),” annotò un giorno, e un altro, “Ho portato Pat [Du Val] ad estrarre un dente dal dentista (ho sbandato e ammaccato il parafango di un’altra automobile mentre andavo lì)”. In età avanzata, Coxeter descrisse i suoi anni a Princeton, dove aveva studiato con Oswald Veblen, Hermann Weyl, George Pólya, J.W. Alexander, L.P. Eisenhart, J.H.M. Wedderbum, Eugene Wigner e Solomon Lefschetz, come i tempi più felici della sua vita. Faceva avanti e indietro da New York, andando appresso alle donne, ma mai quanto alla matematica. I suoi corteggiamenti, tuttavia, erano condannati a fallire a causa della loro predominante natura metafisica. Dopo una delle delusioni, scrisse una lunga lettera in cui si confidò con suo padre, riferendo nel dettaglio il disastro romantico che gli era accaduto e poi chiudendo con le parole: Sto scrivendo tutto ciò a letto nel bel mezzo della notte. Sono troppo stravolto da questi fatti per dormire. Adesso tenterò di trovare una consolazione nelle Lectures on the Icosahedron di Klein. Non molto dopo la sua seconda visita a Princeton, durante il suo ritorno a Cambridge nell’agosto del 1935, Coxeter conobbe “la ragazza attraente olandese” che divenne sua moglie: Rien Brouwer. Si incontrarono nel marzo del 1936 e, do-

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po un semplice corteggiamento di due mesi, in un cimitero, egli si dichiarò. Si sposarono in tragiche circostanze in agosto nella chiesa Round Church di Cambridge, subito dopo la morte improvvisa del padre di Donald, che era annegato per un attacco di cuore mentre nuotava nel Canale della Manica. All’inizio del 1936, Coxeter rifiutò l’offerta di un posto universitario da assistente all’Università di Toronto. Baker stava andando in pensione e suggerì Coxeter come candidato per la sua cattedra da Lowdean di geometria. Era una posizione privilegiata, ma quell’estate seppe di aver perso la cattedra contro William Hodge, che aveva vinto il Premio Adams per la geometria nel 1934. Consultandosi con Baker, Coxeter realizzò che aveva poche opzioni. Si persuase a riconsiderare l’offerta di Toronto.“Molti uomini buoni hanno iniziato lontano dall’Inghilterra.” gli consigliò Baker, aggiungendo, “L’Europa di oggi sembra essere diventata matta. E comunque Toronto è un posto stimolante.” Il 6 giugno Coxeter telegrafò a Samuel Beatty, poi al direttore del dipartimento di matematica a Toronto, chiedendo se, dopo tutto, era ancora possibile accettare l’offerta. Un “sì” via telegramma arrivò due giorni dopo. Il 3 settembre, la coppia di sposi novelli salpò per il Canada. Coxeter passò quasi tutta la sua vita da matematico all’Università di Toronto, a parte numerosi posti da visiting professor in giro per il mondo. Poco prima di lasciare Cambridge, Littlewood chiese a Coxeter di scrivere l’undicesima edizione dei Mathematical Recreations & Essays di W.W. Rouse Ball. Gli appunti lasciati a Littlewood da Ball (che era stato il tutor di Littlewood

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a Cambridge dal 1903 al 1906) passarono a Coxeter. Nel 1938 egli completò la revisione, che includeva un nuovo capitolo sui poliedri. Questo capitolo fu scritto nello stesso stile con cui più tardi scrisse il suo Regular Polytopes. Vi aggiunse anche un capitolo sulla crittografia, scritto soprattutto da A. Sinkov, con cui Coxeter ebbe una lunga corrispondenza per tutta la vita (si conobbero, probabilmente, durante la seconda visita di Coxeter a Princeton). Fu grazie ai Mathematical Recreations che Coxeter incontrò per la prima volta John Horton Conway. Anche se Conway non studiò mai insieme a Coxeter, si considerava comunque uno studente d’onore, a causa della natura “coxeteriana” di alcune delle sue opere. L’unione dei loro geni avvenne nel marzo del 1957, quando, mentre era studente al Caius College a Cambridge, un Conway adolescente scrisse una lettera a Coxeter, che iniziava così: Caro Signore, Nell’ultimo anno la mia copia della sua edizione del Mathematical Recreations di Ball ha accumulato un numero sorprendente di note al margine ed alcune correzioni. Della maggior parte di queste non si può dire che siano adatte per essere pubblicate nelle successive ristampe, ma una o due mi sembrano importanti …

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La lettera continuava per cinque pagine. I piccoli scarabocchi erano interrotti soltanto da una selezione di pochi grafici, inclusa una versione molto ben fatta di un quadrato magico. Conway concluse la lettera dicendo: L’ultimissima mia osservazione è una domanda. Dove posso trovare le informazioni necessarie per disegnare un {5, 3, 3}, oppure devo elaborare i dettagli da solo? Le sarei molto grato se potesse fornirmi alcune informazioni accessibili. Vostro fiduciosamente, J. H. Conway

Contributi matematici Nei diari che Coxeter ha scritto per quasi tre quarti della sua vita, una parte dei quali oggi si trova in archivio all’Università di Toronto, egli parlava soprattutto degli impegni sociali, di seminari occasionali, di libri e concerti. Molto raramente prendeva nota dei manoscritti che stava ultimando e di teoremi che aveva dimostrato o stava per dimostrare. Il 22 febbraio del 1933, per esempio, scrisse: “Ho dimostrato (mentre mi stavo alzando) che tutti i prodotti continui di generatori sono coniugati”. Questo prodotto di generatori è stato chiamato elemento di Coxeter ed il suo ordine numero di Coxeter. Sarà per il suo lavoro sui politopi regolari, sulla riflessione dei gruppi e settori collegati a questi, che Coxeter sarà ricordato. Un gruppo generato da involuzioni e definito da relazioni che specificano il periodo dei prodotti di tutte le coppie di generatori, è noto come gruppo di Coxeter. Ispirato da un suo commi-

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litone, J.A. Todd, con cui più tardi fece una relazione su quest’argomento, Coxeter investigò i gruppi di simmetrie dei politopi regolari. Infine, questo lo portò a studiare sistematicamente i gruppi di riflessione. In una serie di articoli, finita nel 1933 [1,2,3], Coxeter diede una classificazione completa dei gruppi discreti generati da riflessioni (finite ed infinite) in spazi sferici ed euclidei. Il nome di Coxeter viene anche associato ad un grafo, corrispondente al gruppo di Coxeter, dove i vertici del grafo rappresentano i generatori involutivi. Quando i generatori commutano, i vertici corrispondenti non sono collegati. Altrimenti, i vertici sono collegati ed i lati del grafo sono etichettati con numeri interi ≥ 3 o con il simbolo ∞. L’etichetta sotto il lato che collega due vertici del grafo indica l’ordine del prodotto dei generatori corrispondenti. Sebbene Coxeter scrisse che aveva cominciato ad usare i grafi per rappresentare le riflessioni durante la sua visita a Princeton nel 1932, il primo riferimento all’uso di un grafo può essere trovato in un articolo che pubblicò nel Journal of the London Mathematical Society [1], che presentò il giorno del suo compleanno, il 9 febbraio del 1931. La prima apparizione dei grafi pubblicata si trova negli Annals of Mathematics del 1934 [2]. Aveva completato questo articolo durante la sua prima visita a Princeton nel febbraio del 1933. E.B. Dynkin ha essenzialmente riscoperto la stessa notazione indipendentemente alcuni anni dopo. Coxeter salutò questa notizia cordialmente e non in termini di competizione e fu particolarmente soddisfatto della comunicazione che ne risultò con Dynkin. Coxeter amava raccontare i dettagli di una lettera di Dynkin, datata 3 aprile 1984, in cui Dynkin osservava, “Colpisce che la mia notazione risultò essere così simile alla sua. Questo mostra, probabilmente, come queste notazioni siano naturali”. Mentre si trovava a Princeton nel 1933, Coxeter aveva iniziato ad enumerare le stellazioni di un icosaedro (è stato certamente il primo a completare l’enumerazione). Tornato in Inghilterra, egli collaborò con Petrie e Du Val, che eseguirono dei disegni al tratto, e anche con Flather, che fece dei modelli di questi poliedri (Coxeter ricordava che, dato che Flather era piccolo quasi come un nano, era più facile per lui produrre modelli così intricati). Flather completò ventiquattro di questi modelli e, per metterli al sicuro, li spedì a Coxeter prima della seconda Guerra Mondiale, temendo che potessero essere distrutti se fossero rimasti in Inghilterra (uno fu danneggiato durante il trasporto, ma i ventitré restanti sono conservati oggi all’Università di York). Dopo la guerra, Flather fece un’altra serie di modelli, questa volta completa, delle cinquantanove stellazioni (conservato al Trinity College a Cambridge). Il manoscritto sui cinquantanove icosaedri è stato completato da Coxeter una volta tornato a Toronto e fu presentato nel 1938. G. de B. Robinson era stato di valido aiuto nel portare Coxeter a Toronto (i due si erano conosciuti ai ricevimenti pomeridiani di Baker nel 1928). Coxeter, Robinson e Richard Brauer fondarono il Canadian Journal of Mathematics, con Coxeter che aveva l’incarico di primo redattore capo. Era anche grazie a Robinson che Coxeter si era imbattuto nella costruzione di Wythoffs, argomento di molte lezioni universitarie successive. Secondo Coxeter, Wythoff nel 1918 aveva ricavato dei politopi dal gruppo {3,3,5} e osservava che “un’investigazione simile … può essere intrapresa … per ciò che riguarda le altre famiglie di politopi …”. Nel 1930, Robinson fornì una dimostrazione del risultato. Questa costru-

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zione formava il quattordicesimo capitolo della dissertazione di dottorato di Coxeter ed è stata anche utilizzata nel capitolo quindici, in un tentativo di classificare i politopi convessi uniformi. Indipendentemente, M.S. Longuet-Higgins e J.C.P. Miller lavorarono sulle costruzioni di politopi uniformi. Dopo parecchi vani tentativi di provare la completezza della loro enumerazione dei poliedri uniformi, Coxeter, Longuet-Higgins e Miller scrissero un articolo [8] contenente la classificazione completa (come fu dimostrata più tardi). Per un resoconto piacevole dell’importanza di questo lavoro, si faccia riferimento al contributo del Grünbaum in [7]. Il capolavoro di Coxeter è stato il famoso libro Regular Polytopes. Con la sua pubblicazione nel 1947, conseguì la fama di grande espositore, unificando con eleganza e con chiarezza la sua ricerca sui politopi come pure le scoperte dei suoi predecessori (che ha incluso nel suo trattato con meravigliosi schizzi storici). Regular Polytopes ha influenzato profondamente un gran numero di matematici. Nell’articolo commemorativo nei Notices of the AMS, Grünbaum dichiara che si tratta “possibilmente di uno dei testi di geometria più citati del secolo,” e Peter McMullen riconosce l’“influenza profonda” di quest’opera sulla sua carriera. Altri lo chiamano la loro Bibbia, o l’addendum dei giorni moderni degli Elementi di Euclide. Certo, qualcuno sostiene che il capolavoro di Coxeter è invece Introduction to Geometry, pubblicato nel 1961. È stato tradotto in molte lingue, viene ancora ristampato e al momento si trova ancora nel syllabus dei corsi di matematica dell’Università McGill. Towit, un bibliotecario dell’Università di To24

Coxeter con i suoi specchi

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ronto, una volta dimostrò che Introduction to Geometry era il libro più frequentemente rubato dalla biblioteca di matematica. Coxeter stesso, tuttavia, considerava il testo Regular Complex Polytopes (RCP) come il suo capolavoro. Era stato ispirato, fino ad un certo punto, dalla sua collaborazione di vecchia data con G.C. Shephard, collaborazione che cominciò nel 1951 mentre Coxeter era uno degli esaminatori esterni quando Shephard presentò la sua dissertazione intitolata Complex Polytopes. Venti anni dopo, questo seme germogliò nella mente di Coxeter con la pubblicazione di RCP. Paragonando quest’opera alla precedente, Regular Polytopes, Coxeter osservò: “Il seguito è più profondo. L’esposizione è bella, includendo vari disegni notevoli di McMullen”. È anche con RCP che Coxeter fornì la spiegazione più esplicita e viva di come compiva il suo lavoro di matematico. Riferendosi alla pubblicazione della seconda edizione attesa da tempo, egli commentò ai giornalisti: Ho fatto il tentativo di costruire un libro simile ad una sinfonia di Bruckner, con crescendi e punti culminanti, piccoli assaggi di un piacere che verrà e abbondanti riferimenti trasversali. Gli aspetti geometrici, algebrici e della teoria dei gruppi dell’argomento in questione si intrecciano come le diverse parti di un’orchestra. Le opere menzionate sono solo alcuni dei contributi che Coxeter ha dato alla matematica e alla geometria. Altri aspetti importanti del suo lavoro dovrebbero perlomeno essere passati in rassegna. Ha dato molti contributi alla geometria delle inversioni, esplorandone il collegamento alla geometria iperbolica. Era fra i primi a muoversi dalla geometria “reale” a quella combinatoria. Il suo articolo del 1937 sui poliedri regolari sghembi [4], cui seguirono discussioni con Petrie, ha esteso la nozione di poliedro regolare, includendo poliedri infiniti con vertici adiacenti a qualsiasi dato vertice che appartiene ad un poligono sghembo (come il poligono formato dai lati di un antiprisma). Coxeter ha lavorato sugli sphere packing e le forme quadratiche estreme. Il suo interesse per la geometria proiettiva ha dato indicazioni a parecchie dissertazioni di dottorato e ha trovato un risultato in due dei suoi libri: The Real Projective Plane nel 1949, seguito da Projective Geometry nel 1957. L’interesse di Coxeter per i gruppi discreti generati da involuzioni, lo ha condotto naturalmente ad investigare le geometrie noneuclidee. Nel 1950 scrisse un articolo insieme a Witrow [6], elencando tutte le quindici strutture a nido d’ape del 3-spazio iperbolico. Come conseguenza, al Congresso Internazionale di Matematica svoltosi ad Amsterdam nel 1954, Coxeter tenne una conferenza sulla classificazione completa delle tassellazioni nello spazio iperbolico n-dimensionale [5]. Un accenno particolare deve essere fatto per William Moser, insieme a cui Coxeter fu autore di Generators and Relations for Discrete Groups, pubblicato nel 1957. In molte occasioni, come alla conferenza tenuta in onore del settantesimo compleanno di Coxeter – che attirò centinaia di matematici da tutto il mondo e che ebbe come conseguenza la produzione del libro The Geometric Vein, The Coxeter Festschrift – Moser ha condiviso storie che mostrano l’apprezzamento ed il rispetto che aveva per Coxeter, e soprattutto l’ammirazione per lui di un in-

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segnante che dissemina la propria passione per la geometria e la gioia per la bellezza di questa materia, sia in un’aula universitaria che nei seminari settimanali di geometria. In una di queste occasioni Moser ha tessuto le sue lodi: Il professore Coxeter è un insegnante nel senso ampio della parola … Sedici studenti hanno completato le loro tesi di dottorato (il PhD) sotto la sua direzione. Ha insegnato a gruppi selezionati di studenti di liceo particolarmente dotati, fatto respirare la vita di un matematico ad insegnanti di liceo ed ispirato generazioni intere di studenti durante i suoi anni all’Università di Toronto. Alla festa dell’ottantesimo compleanno di Coxeter, Moser raccontò la seguente storia sul suo mentore:

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Nel 1955 Donald Coxeter ed io abbiamo ballato insieme, non uno nelle braccia dell’altro, ma tenendoci per mano a una distanza rispettabile. Non si trattava di una richiesta di un dottorando dell’Università di Toronto. Quell’estate eravamo a Stillwater, Oklahoma, dove Donald insegnava in un corso estivo della National Science Foundation ed io ero il suo assistente. Come diversivo dall’intenso lavoro – lui stava preparando le lezioni ed io gli appunti delle sue lezioni, e stavamo anche completando il nostro libro –Donald decise di imparare il ballo da sala e il corso richiedeva la partecipazione in coppia… Avrete notato che lo chiamo Donald, come probabilmente fate voi tutti. Ma io lo faccio perché sono stato espressamente invitato a fare così! Alla fine di quell’estate, egli mi disse: “‘William, ci conosciamo da sei anni, sei stato mio studente per quattro anni, abbiamo lavorato insieme da vicino e abbiamo scritto un libro insieme. Penso che sia arrivata l’ora di chiamarmi ‘Donald’.” Io risposi: “Va bene, professor Coxeter.” E il mio modo di rivolgermi a lui rimase tale per un paio di anni.

Come qualunque altro artista Nel suo penultimo viaggio Donald Coxeter andò a Banff, in Alberta, con sua figlia Susan, che dalla morte di Rien nel 1999 lo sorvegliava con devozione, per una conferenza su alcuni aspetti della simmetria. Introducendo il suo articolo, diede un colpetto alla lavagna luminosa e vi fece scivolare il suo primo lucido. In quel momento, Coxeter fu immerso in una gigantesca proiezione colorata del Circle Limit III di M.C. Escher. “L’argomento del mio articolo,” iniziò a parlare Coxeter, “è qualcosa che mi ha intrigato e fatto pensare per quasi cinque decenni. Riguarda ciò che io chiamo ‘la geometria intuitiva’ del mio amico M.C. Escher.” Dopo essersi conosciuti al Congresso Internazionale nel 1954, Coxeter ed Escher avevano incominciato una collaborazione sui generis, soprattutto per corrispondenza. Coxeter chiese ad Escher se poteva usare una delle sue tassellazioni in un articolo che stava pubblicando. Escher acconsentì e quando ricevette la sua copia gratuita, altri grafici che vi si trovarono fatti da Coxeter serviro-

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no ad Escher per rimuovere un blocco creativo di lunga data. Escher non capiva ciò che chiamava “il testo hocus pocus” di Coxeter. Ma in una lettera di ringraziamento a Coxeter, egli esclamò: Nonostante il testo del suo articolo “Crystal Symmetry and its generalization” sia troppo indirizzato a persone più erudite di uno come me – un semplice uomo che da sé ha imparato a fare disegni piani – alcune delle illustrazioni e soprattutto la figura 7 a pagina 11 mi hanno provocato una forte emozione. Da tanto tempo nutro un certo interesse per i disegni con dei” motivi” che diventano sempre più piccoli finché raggiungono il limite dell’infinitamente piccolo. La questione è relativamente semplice se il limite è un punto al centro del disegno. Anche il limite assiale per me non è una novità, ma non sono mai stato capace di fare un disegno in cui ogni macchia diventa gradualmente più piccola partendo dal centro di un cerchio e andando verso il suo limite esterno, come mostrato nella sua figura 7. Successivamente, Escher attribuì a Coxeter l’ispirazione dei sui disegni Circle Limit. Mentre lavorava ai suoi Circle Limit, Escher dirà “Oggi sto ‘coxetereggiando’.” E in una lettera a suo figlio George, Escher scrisse con effusione: La mia xilografia ispirata dal sistema di Coxeter è finita, e per me è la più bella che io abbia mai fatto del tipo “più piccolo e sempre più piccolo”. Non posso smettere di guardare quel limite circolare che circonda tutto di forme infinitamente piccole, tutto così logico ed ordinato. Quest’opera si avvicina alla bellezza e semplicità assoluta. Sono ansioso di sentire la reazione di Mr. “Cokeseater” (“mangiatore di coca-cola”), cui ho inviato una copia. Coxeter, per sua parte, si considerava allo stesso tempo un matematico ed un artista. “Sono come qualunque altro artista,” disse una volta al Globe and Mail. “È solo che ciò che riempie la mia mente sono le forme ed i numeri”. Nonostante Coxeter lavorasse alla geometria solamente per la sua bellezza artistica, e non per qualunque scopo pratico, il suo lavoro trovò spesso applicazione in vari altri campi. L’architetto Buckminster Fuller, detto anche da Coxeter “Bucky”, una persona di una cultura enciclopedica, si imbatté nel lavoro di Coxeter mentre costruiva le sue cupole geodetiche. Più tardi Fuller conferì a Coxeter grandiose lodi, dedicandogli il libro Synergetics, sulla geometria del pensiero: In virtù dell’opera straordinaria di matematica cui dedicò tutta la sua vita, il dott. Coxeter è il matematico “geometrico” che ha mosso il ventesimo secolo. [Egli è] il direttore terrestre, acclamato spontaneamente, di un inventario storico di una nuova scienza, quella dell’analisi delle forme. Nonostante fosse stato adulato, per Coxeter questa dedica e il fatto che Bucky vi buttasse dentro un po’ di nomi, era soltanto un modo per attrarre un pubblico matematico per il suo libro. Donald ne lesse dei frammenti e ritenne che Fuller avrebbe fatto meglio a consultare un matematico per scriverlo.

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Coxeter a Toronto con uno dei suoi pronipoti

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Coxeter dovrebbe essere ricordato anche per il suo intenso senso di giustizia sociale. Pacifista come suo padre, rifiutò l’opportunità di lavorare come decrittatore durante la seconda Guerra Mondiale. In parecchie occasioni parlò del trattamento ingiusto che il fisico teorico Leopold Infeld, un suo collega all’Università di Toronto, ricevette dal Canada. Ad Infeld era stato vietato di lasciare il Paese per passare la sua licenza sabbatica in Polonia, il suo Paese di nascita, perché la Polonia in quel periodo era “dietro la cortina di ferro.” Infeld fu denunciato da alcuni conservatori nel parlamento come potenziale traditore del popolo canadese, che avrebbe fornito dei segreti atomici ai comunisti. Dopo aver dato le dimissioni dalla sua posizione universitaria ed essere rimasto in Polonia con la famiglia, sia Infeld che la moglie e i loro bambini nati in Canada furono privati della cittadinanza canadese. Infeld fu molto grato a Coxeter per il sostegno che gli diede per pubblicare la sua opera Why I left Canada. Helen Infeld, dopo la morte di Leopold, rimase in contatto con Coxeter e gli scrisse le seguenti gentili parole in una lettera datata 6 gennaio 1976: Sai, la mia vita è stata tale che ho imparato a valutare con attenzione alcune qualità umane e trovo che sia una cosa giusta comunicarlo alle persone che ce le hanno.Vorrei dirti che ti ammiro come una persona di sani principi, non vacillante di fronte a pregiudizi generici, cecità emozionale o isteria temporanea come altri in questioni importanti. Se l’intera umanità avesse una tale comprensione razionale, ovunque! Infine, ritorniamo all’acuto senso dell’umorismo di Coxeter. Amava il nonsense ed in particolare il libro Alice nel paese delle meraviglie di Lewis Carroll. La

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sua richiesta più comune era per il passaggio di “Jabberwocky”. Diceva quella parola – “JabberrwOckAy” – con un tale gusto. Reciterebbe ancora oggi, se fosse vivo, a memoria e con la stessa drammatica intonazione, alzando il volume della voce, che in altre occasioni era sempre così posata: One, two! One. Two! And through and through The vorpal blade went snicker-snack! He left it dead, and with its head He went gulumphing back. “And, hast thou slain the Jabberwock? Come to my arms, my beamish boy! O frabjous day! Callooh! Callay! He chortled in his joy.1 Una volta, quando gli fu chiesto perché non si era mai stancato di Alice nel paese delle meraviglie, rispose, È come la lettura di una parte di matematica di cui si sa che è bella, ma che non si capisce abbastanza bene. Come la teoria delle stringhe. È altrettanto un mistero per me che per ciascun altro che non viene a capo della sedicesima dimensione. Durante le settimane prima della sua morte, Donald Coxeter perseverò nel voler fare dei ritocchi finali ad un articolo che aveva consegnato a Budapest l’estate prima. Non poteva credere che nessuno trovasse più degli errori o ulteriori refusi – gli faceva sempre un grande piacere, nei suoi articoli e nei suoi libri, cercare errori (che erano sempre molti) che sarebbero stati corretti nelle ristampe successive. Con l’articolo finalmente finito, Coxeter morì due giorni dopo.

Bibliografia [1] H.S.M. Coxeter (1931) Groups whose fundamental regions are simplexes, J. London Math Soc., 6, pp. 132-136 [2] H.S.M. Coxeter (1934) Discrete groups generated by reflections, Ann. of Math., 35, pp. 588-621 [3] H.S.M. Coxeter (1935) The complete enumeration of finite groups of the form Ri2 = (RRj)kij = 1, J. London Math. Soc., 10, pp. 21-25 [4] H.S.M. Coxeter (1937) Regular skew polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proc. London Math. Soc., pp. 43, 33-62

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Uno, due, uno, due! E affondò la vorpale lama zucando e zacando fino alla morte. Poi con la sua testa galonfappando ritornò. “Hai ucciso il mascellodonte? Vieni fra le mie braccia, mio radioso fanciullo O giorno fravoloso! Evviva! Evviva!” E cordeggiò un inno per la gioia.

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[5] H.S.M. Coxeter (1956) Regular honeycombs in hyperbolic space, Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam (1954), North-Holland, Amsterdam, pp. 155-169 [6] H.S.M. Coxeter, G.J. Whitrow (1950) World structure and non-Euclidean honeycombs, Proc. Roy. Soc., London Ser. A, 201, pp. 417-437 [7] E.W. Ellers, B. Grunbaum, P. McMullen, A.I. Weiss, H.S.M. Coxeter (2003) Notices of the AMS, 50, pp. 1234-1240 [8] M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, H.S.M. Coxeter (1954) Uniform Polyhedra, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 246, pp. 401-450 [9] J.A. Todd, H.S.M. Coxeter (1936) A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group, Proc. Edinburgh Math. Soc., 5(2), pp. 26-34 [10] J.A. Todd (1931) The groups of symmetries of regular polytopes, Proc. Camb. Phil. Soc., 27, pp. 212-231

Letture consigliate

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H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto Studies, Toronto W.W. Rouse Ball’s (1938) Mathematical Recreations and Essays (XI edizione), Macmillan, London H.S.M. Coxeter (1948) Regular Polytopes, Methuen, London H.S.M. Coxeter (1949) The Real Projective Plane, McGraw-Hill, New York H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser (1957) Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, Berlin H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, Wiley, New York H.S.M. Coxeter (1964) Projective Geometry, Blaisdell, New York H.S.M. Coxeter (1974) Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, London, New York (II ed. ristampata con correzioni e un nuovo XIV capitolo)

matematica e immagini

Visioni e realtà. Empiria e geometria FRANCO GHIONE

I fenomeni della produzione mentale di immagini sono molto poco studiati. Resto fermo nella mia convinzione circa la loro importanza. Sostengo infatti che certe leggi, proprie di questi fenomeni, sono essenziali e inoltre dotate di una straordinaria generalità; e che le variazioni delle immagini, le restrizioni imposte a queste variazioni, le produzioni spontanee di immaginirisposta o di immagini complementari, consentano di raggiungere mondi assolutamente distinti come quelli del sogno, degli stati di estasi, della deduzione per analogia. P. Valery

La geometria della visione, che trova una sua prima sistemazione coerente, per quello che ci è dato sapere, nell’Ottica di Euclide, col passare dei secoli ha subito quel processo di fossilizzazione ben descritto nel saggio di Lucio Russo sulla teoria delle maree [1], comune a tante altre teorie “antiche”. Questo processo è stato agevolato, da un lato, dallo sviluppo dell’ottica fisica tesa a descrivere i fenomeni quali la diffrazione, la rifrazione, la teoria del colore ecc. e dall’altro dalla riscoperta della prospettiva avvenuta nel Rinascimento in modo indipendente dalla matematica ellenista. Questi sviluppi essenzialmente estranei all’opera di Euclide e apparentemente più avanzati di quelli presenti nel vecchio testo ne rendevano il contenuto di scarso interesse: un elenco di affermazioni banali, importanti, semmai, solo in vista di una ricostruzione storica delle idee. La stessa concezione di una geometria della visione, una geometria dell’apparire, contrapposta a una geometria dell’essere si andava via via perdendo man mano che una ideologia della scienza monolitica e in grado di spiegare univocamente ogni fenomeno si faceva strada. La geometria della visione infatti si pone il problema di studiare il rapporto tra come le cose ci appaiono e come le cose sono. Che i sensi, e la vista prima di tutto, possano ingannare suggerendo idee sbagliate o lontanissime dalla realtà e che possa essere logicamente sostenibile l’esistenza di un mondo completamente diverso da quello che percepiamo era ed è cosa grandemente dibattuta fin dai primordi della filosofia presocratica. L’idea, ad esempio, che la Luna appaia cambiare forma pur essendo sempre la stessa sembra aver suggerito a Parmenide l’ipotesi che la molteplicità sia apparenza. La geometria della visione fornisce uno strumento di indagine razionale per studiare proprio il rapporto tra il modo in cui gli oggetti sono e il modo in cui appaiono e come questo venga a

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dipendere dalla posizione dell’osservatore. Se, ad esempio, guardiamo la grandezza del Sole e quella della Luna esse ci appaiono uguali mentre il Sole è molto più grande della Luna.

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Ciò significa che il cono visivo che si forma guardando la Luna ha la stessa apertura del cono visivo che si forma guardando il Sole. Questa evidenza visiva si traduce ora in una proprietà geometrica basata sull’idea astratta di raggio visivo e cono visivo, concetti introdotti nelle premesse dell’Ottica. Il vantaggio è che ora non solo abbiamo, della banale visione del Sole e della Luna, una immagine geometrica, un modello astratto sul quale ragionare, ma possiamo anche stabilire, usando il teorema di Talete, che esiste un medesimo rapporto tra le distanza dei due corpi celesti e il loro raggio. Questa immagine ci suggerisce anche l’idea che la parte della Luna illuminata dal Sole, quella cioè colpita dai raggi solari, è la parte di Luna interna al cono visivo rivolta verso il Sole e, di conseguenza, la linea che divide la zona illuminata da quella in ombra è la circonferenza lungo la quale la Luna è tangente al cono; da questo si ricava pure che la retta che unisce i due centri, quello del Sole e quello della Luna, cioè l’asse del cono, è perpendicolare a questa circonferenza. Questi fatti non sono patrimonio comune. Conosco molte persone che pur sapendo di big-bang e buchi neri ignorano completamente questa geometria. Se si domanda di disegnare un quarto di Luna nel modo più realistico possibile troviamo dei disegni di questo tipo che

contraddicono un importante e difficile teorema dell’Ottica, il teorema 36, che stabilisce come viene vista una circonferenza a seconda della posizione dell’occhio. Sulla base di quel teorema dovremmo disegnare la linea che separa la zona d’ombra da quella illuminata non con un arco di circonferenza ma con una ellisse tangente in due punti diametralmente opposti al bordo lunare.

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Accade anche, quando la Luna è in quadratura, che il cerchio che divide la parte illuminata da quella in ombra appaia come un segmento. Questo, secondo il teorema 22 dell’Ottica, accade se e solo se l’occhio è posto sullo stesso piano del cerchio, e poiché, come abbiamo visto, la retta che congiunge il centro della Luna con quello del Sole è sempre perpendicolare a quel piano, si forma in cielo un triangolo rettangolo nel punto L corrispondente al centro della Luna.

Dato che la Luna in quadratura appare di prima mattina è possibile vedere in cielo contemporaneamente Luna e Sole e quindi misurare l’angolo L o S, la “distanza apparente” tra la Luna e il Sole. Questa misura permetterà di calcolare il reale rapporto tra la distanza della Luna (il cateto minore) e quella del Sole (l’ipotenusa del triangolo rettangolo). Esso è ciò che oggi chiamiamo il seno dell’angolo µ. Tutto ciò, come è noto, fa parte di una importante opera di Aristarco di Samo di poco posteriore a Euclide, dove si illustra un metodo geometrico per calcolare grandezze e distanza del Sole e della Luna conoscendo la grandezza del raggio terrestre. Aristarco è noto come il Copernico dell’antichità perché ipotizzò un sistema solare eliocentrico e coi pianeti disposti su orbite circolari centrate nel Sole. Tale ipotesi permetteva di spiegare facilmente il moto apparentemente irregolare dei pianeti. Essi infatti appaiono muoversi in una direzione poi fermarsi e tornare indietro formando in cielo una strana S. Non era facile immaginare che i pianeti si muovessero su un’orbita tanto irregolare anche se questo era quello che appariva alla vista. L’ipotesi di Aristarco rendeva ragione di queste stranezze se solo si teneva conto che il moto apparente dei pianeti è il risultato del moto composto dell’osservatore e del pianeta. Se questi due moti si svolgono

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su cerchi concentrici a velocità angolari diverse il fenomeno che si osserva viene pienamente spiegato. Sul sito www.mat.uniroma2.it/mep abbiamo realizzato una animazione dove si vede la Terra che ruota su un’orbita circolare intorno al Sole e Marte che ruota su un cerchio concentrico a quello orbitale terrestre a una velocità angolare quasi doppia. Il vettore Terra-Marte è, nella figura accanto, applicato a un punto fisso e in tale figura risulta riprodotto, sulla base di questo modello, esattamente ciò che appare: il moto retrogrado del pianeta.

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La conoscenza delle leggi che regolano la visione e di come questa modifichi le caratteristiche geometriche delle figure è di estrema importanza se si vuole rappresentare su un particolare supporto (ad esempio, su una parete, una tela o una scenografia teatrale) una scena reale. Il problema diventa non banale se si vuole rappresentare in modo realista su un supporto bidimensionale, come la tela di un quadro, la profondità tridimensionale dell’oggetto reale. L’effetto che si desidera raggiungere sarà pienamente realizzato se la visione del quadro risulterà equivalente alla visione della realtà che il quadro rappresenta. Se, ad esempio, sappiamo che, dati due oggetti uguali a diverse distanze dall’osservatore, quello più lontano viene visto più piccolo, allora sarà necessario seguire questa regola anche nella rappresentazione di questi oggetti su un quadro. Può sembrare che regole di questo tipo siano così semplici da apparire evidenti senza bisogno di una particolare teoria assiomatica deduttiva come la geometria della visione. In realtà le cose non sono così chiare e spesso un metodo empirico basato sull’occhio di un buon pittore non è sufficiente. Un importante teorema della geometria della visione afferma che segmenti paralleli vengono visti come se convergessero a un punto. La dimostrazione di questo teorema è indicata nell’Ottica euclidea (teorema 6) ed è sviluppata in tutte le sue implicazioni nel libro Le Geometrie della visione [2]. Il risultato appare poco intuitivo essendo completamente disatteso fino alla riscoperta della prospettiva nel Rinascimento. Se analizziamo, ad esempio, l’Ultima Cena di Duccio da Buoninsegna il tavolo non appare orizzontale e gli oggetti che vi sono appoggiati sembra debbano cadere.

Duccio da Boninsegna, Ultima cena

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Anche la trabeazione del soffitto non restituisce pienamente la profondità della stanza. È naturale pensare che, nella scena reale che il quadro rappresenta, i lati del tavolo (che si allontano in profondità) e quelli del soffitto siano paralleli. Essi vengono dunque visti, stante il teorema 6 come se convergessero in un unico punto. La stessa cosa non accade guardando il quadro: le 6 linee che abbiamo evidenziano non appaiono convergere verso un punto, ma appaiono disordinatamente divergenti. Alcune volte la regola è rispettata localmente a dimostrazione del fatto di come sia spesso difficile da un punto di vista empirico integrare dei dati solo lo-

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calmente coerenti tra loro per arrivare a un modello globale: questo processo è possibile solo se possediamo una teoria astratta che ci permetta di sviluppare coerentemente delle leggi globali relative agli enti astratti della teoria e applicabili singolarmente ai vari casi che la realtà ci presenta. Il seguente dipinto di Daddi realizzato intorno al 1300 presenta un soffitto sulla sinistra del quadro co-

Bernardo Daddi, Il martirio di S. Stefano

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erente col teorema sulle parallele mentre il resto delle pareti è disegnato in modo molto approssimativo. Un ulteriore esempio è questa Annunciazione di Lorenzetti.

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Le linee del pavimento concorrono correttamente ad un unico punto, tuttavia i punti diagonali che nella realtà dovrebbero essere allineati non risultano allineati sul dipinto. Questo non è coerente con un importante teorema della geometria della visione che afferma che punti allineati nella realtà vengono anche visti come allineati: cioè i raggi visivi coi quali questi punti sono visti appartengono a uno stesso piano. È ovvio che se si vuole creare con la pittura un effetto realista si dovranno disegnare sul quadro allineati i punti che corrispondono a punti realmente allineati in modo che i raggi visivi con i quali li vedo sul quadro siano come quelli con i quali li vedrei nella realtà: cioè su uno stesso piano. La costruzione di una teoria geometrica completa che permetta di riprodurre una scena reale come fosse fotografata non è né banale, né intuitiva. Noi pensiamo che l’Ottica di Euclide, tra le altre cose, offra tutti gli elementi per poter delineare questa teoria ben prima del Rinascimento. Sul libro precedentemente citato [2] questa tesi è sviluppata pienamente tenendo anche conto di recenti ritrovamenti archeologici che dimostrano, anche sul piano fattuale, la piena dimestichezza dei pittori greco-romani coi teoremi base delle geometria della visione. La possibilità di “fotografare” oggetti reali apriva anche le porte verso un’altra fantastica direzione: quella di “fotografare” oggetti solo immaginati. Questa nuova possibilità fu pienamente compresa dai pittori-scienziati del Rinascimento. Le città ideali, ad esempio, trovarono la loro prima espressione in pitture così ben fatte da dare l’impressione che esistessero davvero. Il rapporto tra essere e apparire poteva anche essere invertito: ora l’apparire poteva trasformarsi in essere, il rapporto tra l’oggetto rappresentato e quello reale era così puntuale da permettere la completa ricostruzione dell’oggetto rappresentato. Questa nuova possibilità fu pienamente compresa solo alla fine del XVIII secolo e, nelle nuove scuole politecniche istituite con la Rivoluzione francese, la geometria descrittiva, che così venne chiamata, divenne materia fonda-

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Scuola di Piero della Francesca, La città ideale

mentale di insegnamento e terreno fertile di ricerca. Nel contempo però si cominciò col realizzare quella cesura che andava separando i vari aspetti dell’attività creativa: prima di tutto tra arte e scienza e poi tra scienza e tecnologia. La geometria descrittiva divenne così un argomento tecnico ad uso di ingegneri e architetti mentre la geometria proiettiva, artificialmente slegata da quella, assumerà, nella ricerca matematica un’importanza sempre più grande. Lo stesso Desargues, matematico, architetto, ingegnere del XVII secolo, ignorato dai contemporanei abbagliati dagli impetuosi sviluppi della nascente geometria analitica e dall’analisi infinitesimale, fu parzialmente riconosciuto solo nel XIX secolo per lo meno come fondatore della geometria proiettiva mentre restava in ombra la sua versatilità nelle varie attività pratiche e la sua propensione didattica1. Le geometrie della visione possono aiutarci a recuperare a livello didattico e teorico quella unità del pensiero in grado di provocare emozioni, di suscitare reciproci legami e connessioni tra campi apparentemente lontani come la matematica e l’arte. L’opera di Piero della Francesca, il De prospectiva pingendi, dove l’Ottica euclidea più volte citata, viene sviluppata nella direzione della rappresentazione prospettica della profondità su una superficie piana, rappresenta un ottimo controesempio a questa separazione tra geometria e arte e tra tecnologia e scienza. Il percorso che segue Piero ci sembra emblematico. Si parte da una enunciazione di alcuni risultati sulla visione diretta per arrivare, nel primo libro, alla costruzione della trasformazione proiettiva, oggi detta omologia, che per-

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Per maggiori approfondimenti sull’opera di Desargues e per una nuova interpretazione del suo inusuale vocabolario si vedano [3] e [4].

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mette di individuare l’immagine, tramite una proiezione centrale, di un punto posto su un piano orizzontale (il piano reale) nel piano del quadro (il piano degradato) che si immagina verticale. La costruzione è descritta in modo geometrico molto semplice senza bisogno di uscire dal piano del quadro e dipende in modo essenziale dalla posizione dell’occhio. La sua correttezza è dimostrata servendosi di semplici prerequisiti di geometria elementare ed essa può essere realizzata in astratto (ma concretamente sul foglio) comunque si decida debba essere la posizione dell’occhio. Non serve insomma uno strumento empirico come un prospettografo dove fissare realmente l’occhio per vedere l’esito della pittura: questo esito è calcolato geometricamente e saranno solo il gusto e le esigenze artistiche e comunicative del pittore a decidere il punto di vista. Nel celebre dipinto la Flagellazione il punto di vista è posto all’altezza delle ginocchia, in una posizione cioè del tutto inna-

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Piero della Francesca, La Flagellazione

turale come se la scena fosse artificialmente un poco sollevata e vista dal basso. L’effetto che si ottiene è vagamente inquietante e riesce a dare all’insieme quella indefinibile sospensione tra una perfetta ricostruzione prospettica e una qualche invisibile anomalia strutturale che dà forza al contrasto tra il dramma della flagellazione che si svolge in profondità e la serafica, borghese discussione in primo piano. È questo un buon esempio di come sia l’impianto teorico a dare nuovi strumenti espressivi rendendo possibile la raffigurazione di una realtà solo immaginata. Nel secondo libro Piero affronta il problema delle alzate, cioè di come, una volta rappresentata la pianta, si debba procedere per realizzare le altezze nel loro geometrico degradare man mano che si allontanano in profondità. Gli esempi che vengono dettagliatamente sviluppati non sono solo di oggetti geometrici come cubi o prismi, ma si illustrano anche colonne, altari e pozzi. Il ben delineato confine tra geometria e arte così come è stato tracciato dalla nostra cultura comincia a vacillare e ci pare che ciò che leggiamo non sia né l’una né l’altra. Infine nel terzo libro la ricerca di Piero si rivolge con incredibile energia e grande passione verso un obiettivo grandioso che appare tuttoggi indomabile anche con

Visioni e realtà. Empiria e geometria

le più sofisticate tecniche informatiche: la descrizione del viso umano, un viso simbolico, astratto, né maschile né femminile, né adulto né bambino. Questo viso viene descritto con centinaia e centinaia di punti di ancoraggio ottenuti sezionando il volto con piani paralleli, che ne permettono varie visioni prospettiche, ognuna analizzata in dettaglio teoricamente, sulla base della iniziale scansione, una specie di Tac del volto col quale Piero riesce a “fotografare” teoricamente l’oggetto più complesso e più affascinante della visione: un volto umano.

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Riportiamo una delle pagine del manoscritto, che si ritiene autografo, dove Piero inizia la sua ricerca per dare un’idea della complessità del lavoro che si intende affrontare.

Piero della Francesca, Leggenda dlla vera croce

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Abbiamo provato a sovrapporre questo volto “geometrico” ad alcuni volti, a mio avviso, di straordinaria bellezza tratti dalla Leggenda della vera croce ad Arezzo. Lo studio di Piero ci ha permesso di realizzare con le recenti tecniche di computer grafica basate sulle triangolazione di superfici di Bezier una animazione 3D che è stata pubblicata sul CD allegato al libro Le Geometrie della visione [2]. In questa animazione il viso si forma in una ambiente virtuale, ricavato dai disegni di Piero che ruotando si presenta in prospettiva dalle diverse angolazioni. Ne riportiamo qui un frame per dare un’idea di questa animazione.

Bibliografia [1] L. Russo (2002) Flussi e riflussi, Feltrinelli, Milano [2] L. Catastini, F. Ghione (2004) Le Geometrie della visione, Springer-Verlag Italia, Milano [3] L. Catastini (2004) Il giardino di Desargues, BUMI, serie VIII,Vol.VII-A, pag. 321-346 [4] L. Catastini, F. Ghione Nella mente di Desargues, in corso di stampa sul BUMI, sez. A

Stelle GIAN MARCO TODESCO

Ho appena finito un piccolo origami. L’origami è l’arte che permette di ottenere un’impressionante varietà di figure piegando dei fogli di carta. Io sono partito da 12 fogli quadrati. Li ho piegati e incastrati fra loro in modo da ottenere un ottaedro: una piccola stella di carta colorata. I poliedri, ovvero il vastissimo insieme delle figure solide delimitate da facce piane, a cui la mia piccola stella appartiene, sono oggetti in qualche senso universali. La loro bellezza ce li fa ritrovare spesso anche fuori dai libri di matematica: ad esempio nella storia dell’arte o nella forma di molti oggetti di uso comune. Nelle pagine seguenti esploreremo una piccola parte della sterminata tassonomia dei poliedri: ci occuperemo infatti di quelli a forma di stella. Invece della carta piegata utilizzeremo il computer e con l’aiuto delle immagini digitali sperimenteremo il procedimento matematico chiamato stellazione. Passeremo in rassegna alcuni poliedri stellati cercando di comprenderne le parentele. Infine faremo una breve tappa nel mondo più esotico delle figure quadridimensionali. Quello è un firmamento ancor più ricco di stelle anche se sarà necessario qualche sforzo in più per riuscire a crearsene un’immagine mentale.

Le stellazioni dei solidi platonici Cominciamo la nostra esplorazione partendo dai poliedri più semplici: i poliedri regolari (Fig. 1), ovvero i poliedri convessi delimitati da poligoni regolari uguali e che presentano lo stesso numero di facce attorno ad ogni vertice1. Questi poliedri sono descritti da Platone nel Timeo e per questo motivo vengono in genere chiamati solidi platonici. Essi sono il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, l’icosaedro e il dodecaedro. Platone associava i primi quattro agli elementi naturali che si riteneva costituissero il mondo: rispettivamente fuoco, terra, aria e acqua. Il dodecaedro rappresentava l’intero universo. È abbastanza facile (e piuttosto divertente) costruire dei modelli di cartoncino dei 5 solidi. Si tratta di ritagliare tutte le facce e poi unirle lungo i bordi con colla o nastro adesivo. Per la nostra esplorazione bisogna invece costruire un

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Le definizioni matematiche sono spesso più complicate del previsto nello sforzo di escludere le entità estranee. Ad esempio, in questa definizione di solido regolare, l’ultima richiesta proibisce oggetti come il poliedro delimitato da sei triangoli equilateri formato da due piramidi a base triangolare incollate fra loro. Vedremo in seguito quali bellissimi poliedri vengano esclusi dalla richiesta che la superficie non si autointersechi.

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Fig. 1. I cinque solidi platonici: tetraedro, ottaedro, cubo, dodecadro e icosaedro 44

modello “pieno”. Sfruttando il fatto che i solidi platonici sono convessi (i piani che passano per le facce lasciano il solido tutto dalla stessa parte) posso pensare di “affettare” il modello a partire da una massa di materiale idoneo. Una patata si presta particolarmente bene. Con un coltello affilato posso fare un certo numero di tagli e ricavare dalla patata qualunque poliedro convesso. Ovviamente per ottenere un solido regolare devo calcolare con la massima esattezza gli angoli fra un taglio e l’altro, ma andando ad occhio è senz’altro possibile ottenere, ad esempio, un poliedro delimitato da 12 facce pentagonali. Un opportuno programma permette di simulare su un computer il procedimento sopra descritto, mantenendo un controllo preciso sugli angoli. Molte figure in queste pagine sono realizzate per l’appunto con questo programma2. Se immaginiamo di rimettere a posto i pezzi dopo ogni taglio (oppure di effettuare tutti i tagli contemporaneamente) ci rendiamo conto che alla fine i tagli avranno generato un gran numero di pezzi dalla forme più strane attorno al solido centrale (Fig. 2). Fra i pezzi prodotti, alcuni, i più esterni, arrivano fino alla buccia della patata, mentre altri, fra cui il pezzo centrale, sono interamente delimitati dai tagli del coltello. Se la patata iniziale è abbastanza grande rispetto alla distanza fra i tagli allora il fatto che un pezzo arrivi alla buccia non dipende dalle dimensioni della patata, ma solo dalla posizione del pezzo rispetto ai vari tagli. Supponiamo che la patata sia molto grande e decidiamo di buttare via tutti i pezzi con la buccia. 2

Per gli amanti della programmazione: le animazioni interattive presentate durante la conferenza sono generate da un programma scritto in C++/OpenGL. Per creare le immagini presenti in questo articolo (statiche, ma di qualità superiore) è stato utilizzato il ray-tracer PovRay. Tutti i programmi sono stati realizzati dall’autore.

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Fig. 2. I “frammenti” ricavati dal taglio del dodecaedro

Facendo i tagli per ottenere il tetraedro o il cubo, e buttando via i pezzi con la buccia, rimane il solo pezzo centrale: per l’appunto il tetraedro o il cubo. L’ottaedro invece lascia otto tetraedri attorno a sè. Incollando questi tetraedri all’ottaedro otteniamo un bel poliedro stellato. Si tratta della stella octangula (Fig. 3), un solido citato da Luca Pacioli (1445-1514) nel suo famoso libro De Divina Proportione. Come vedremo anche in seguito, è caratteristico di questi solidi permettere più di un’interpretazione geometrica. Ad esempio è possibile immaginare la stella octangula come composizione di due grandi tetraedri incastrati fra loro. Gli otto vertici dei due tetraedri coincidono con i vertici del cubo circoscritto alla stella. Con il dodecaedro la situazione si complica. Fatti i tagli ed eliminate le “bucce” rimangono 62 frammenti attorno al nucleo centrale. Se li incollo tutti il solido risultante è una bella stella con 20 aguzze piramidi a base triangolare che si uniscono lungo la superficie di un icosaedro.

Fig. 3. La stella octangula

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Questo solido si chiama grande dodecaedro stellato. Il nome racconta diverse cose interessanti. Il termine “dodecaedro stellato” fa pensare a 12 facce stellate, e in effetti questo poliedro, delimitato da 60 triangoli, può essere pensato come delimitato da 12 facce ognuna delle quali a forma di stella a cinque punte. Val la pena osservare che, se nelle nostre definizioni di poligono e di poliedro regolare non imponiamo che la curva o la superficie sia semplice (ovvero che non si autointersechi), allora il grande dodecaedro stellato diventa a pieno titolo un solido regolare e il numero di solidi regolari passa da 5 a 9. I quattro nuovi solidi, di cui il grande dodecaedro stellato fa parte, si chiamano poliedri di Keplero-Poinsot (Fig. 4). Nonostante la loro grande bellezza, erano sconosciuti al mondo antico e sono stati scoperti soltanto a partire dal quindicesimo secolo. Rimane da interpretare l’aggettivo “grande”, che fa – ovviamente – pensare ad un piccolo dodecaedro stellato. In effetti anche quest’ultimo esiste ed è un altro dei poliedri di Keplero-Poinsot. C’è una stretta parentela fra il piccolo e il grande dodecaedro stellato, formati dallo stesso numero di facce dalla stessa forma, ma incollate in due modi diversi. Fra i frammenti che orbitano attorno al dodecaedro ci sono 12 piramidi a base pentagonale. Incollando queste piramidi sulle 12 facce del dodecaedro otteniamo proprio il piccolo dodecaedro stellato. Sul pavimento della basilica di San Marco a Venezia c’è un intarsio marmoreo, attribuito a Paolo Uccello (1397-1475), che raffigura questo solido. Le 12 piramidi formano una specie di guscio che nasconde completamente il dodecaedro. Anche gli altri frammenti possono essere raggruppati in gusci, ognuno dei quali ricopre completamente il precedente. I frammenti del dodecaedro formano tre gusci, mentre l’icosaedro, assai più ricco, ne conta sette. Ovviamente possiamo raggruppare i frammenti in molti altri modi ottenendo una grande varietà di poliedri. Un raggruppamento che non lasci pezzi isolati e che mantenga la stessa simmetria del solido di partenza si chiama stellazione. L’icosaedro vanta ben 59 stellazioni differenti. Vediamone un paio.

Fig. 4. I poliedri di Keplero-Poinsot: grande dodecaedro stellato, piccolo dodecaedro stellato, grande dodecaedro, grande icosaedro. Nella riga in basso è esposta una faccia

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Fig. 5. Poliedro composto formato da cinque tetraedri. Questa figura è una delle 59 stellazioni dell’icosaedro

Il grande icosaedro è un altro dei poliedri di Keplero-Poinsot. È strettamente imparentato con l’icosaedro. Oltre ad esserne una stellazione, ha lo stesso numero di vertici, nelle stesse posizioni, ed è formato, come l’icosaedro, da 20 facce a forma di triangolo equilatero. Le facce però sono più grandi e si intersecano fra loro. Il solido è formato dai pezzi che stanno nel penultimo “guscio” dell’icosaedro. L’ultimo poliedro che prendiamo in considerazione è composto da pezzi provenienti da diversi gusci. Come la stella octangula, questa bellissima stellazione è composta da tetraedri, in questo caso cinque. I venti vertici dei cinque tetraedri coincidono con i vertici di un dodecaedro circoscritto (Fig. 5).

La quarta dimensione Abbiamo visto come la stella a cinque punte, o pentagramma3, possa essere considerata la forma delle facce di alcuni poliedri stellati. Questa figura piana è essa stessa il risultato di una stellazione in due dimensioni: facendo cinque lunghi tagli per ricavare un pentagono da un foglio di carta si formano, fra gli altri, 5 frammenti triangolari che, uniti al pentagono, formano la stella a cinque punte4. Il procedimento di stellazione è applicabile quindi in due come in tre dimensioni. I matematici adorano le generalizzazioni e tendono a pensare che non ci possa essere tre senza quattro. Con l’aiuto del computer (e della nostra fantasia) possiamo provare ad esplorare le stellazioni in quattro dimensioni. La quarta dimensione, in questo contesto, è una pura dimensione spaziale, perfettamente analoga alle tre che ben conosciamo. Non ci riferiamo, quindi, allo spazio tempo, in cui la quarta dimensione ha caratteristiche differenti dalle prime tre.

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Il termine pentagramma è più frequentemente usato per indicare il rigo musicale, anch’esso composto da 5 linee. La stella a cinque punte veniva chiamata pentagramma o anche pentalfa. Questo simbolo contiene il rapporto aureo come rapporto fra la lunghezza dei vari segmenti che lo compongono e, anche per questo, era particolarmente caro ai pitagorici. Ma la sua storia è molto più antica: pentagrammi compaiono in iscrizioni risalenti a 5000 anni fa.

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Ovviamente il nostro cervello tridimensionale può solo intuire, ma non immaginare una quarta dimensione spaziale. D’altro canto una quarta direzione perpendicolare alle prime tre non crea alcuna contraddizione logica e quindi la geometria quadridimensionale è un argomento di studio (e di gioco) perfettamente legittimo. In effetti fin dal diciannovesimo secolo i matematici studiano la geometria oltre la terza dimensione. Pensiamo alla sequenza punto, segmento, quadrato e cubo. Come il segmento è delimitato da due punti, il quadrato da quattro segmenti e il cubo da sei quadrati (Fig. 6), così esiste una figura quadridimensionale delimitata da otto cubi. Questa figura viene chiamata tesseratto, dalle parole greche che significano quattro assi (Fig. 7). Le figure quadridimensionali delimitate da poliedri hanno ricevuto molti nomi, nessuno dei quali si è universalmente affermato. Uno dei più diffusi è policoro5, per analogia con poliedro. Cho¯ra¯ significa spazio, e il policoro è delimitato da iperfacce tridimensionali, cioè spaziali. Queste iperfacce vengono chiamate in genere celle. Un tesseratto è quindi un policoro delimitato da otto celle cubiche. I policora regolari, ovvero i policora le cui celle sono poliedri regolari uguali, disposti sempre nello stesso modo attorno ad ogni vertice, sono ben sei: i corrispondenti dei 5 solidi platonici più una figura completamente nuova delimitata da 24 ottaedri. I sei policora regolari vengono chiamati (in maniera piuttosto pedissequa) 5celle, 8-celle, 16-celle, 24-celle, 120-celle e 600-celle. L’8-celle, essendo il più famoso, ha diritto a qualche nome in più, ad esempio tesseratto oppure, in maniera un po’ impropria, ipercubo. Per tutti è sempre possibile usare i nomi di derivazione greca, ad esempio esacosicoro per il 600-celle. Per visualizzare questi enti geometrici abbiamo più o meno gli stessi strumenti che utilizziamo per rappresentare i poliedri: possiamo costruirne gli sviluppi, generarne delle immagini in prospettiva o possiamo studiarne le sezioni. L’ultimo sistema si usa in genere per ottenere precise rappresentazioni analitiche di una forma tridimensionale. La risonanza magnetica, ad esempio, permette di ottenere delle accurate immagini degli organi interni sotto forma di tante fette parallele. Un altro esempio è rappresentato dalle carte geografiche: le curve di livello corrispondenti ad una certa quota rappresentano il contorno di una fetta orizzontale del profilo montuoso; l’insieme di tutte le linee di livello, a diverse quote, permette di cogliere l’aspetto tridimensionale della regione raffigurata. Il sistema delle sezioni richiede uno sforzo di visualizzazione superiore rispetto alla rappresentazione prospettica, ma questa può essere utilizzata con efficacia solo in pochi casi. Ad esempio quando siamo interessati alla sola superficie esterna di un oggetto opaco e quando la forma generale dell’oggetto è sufficientemente chiara da permettere al nostro cervello di ricostruire le parti “nascoste” del disegno. Le sezioni invece sono uno strumento molto versatile che funziona anche in condizioni difficili. Noi lo utilizzeremo per rappresentare oggetti a quattro dimensioni. Prima di cominciare a sezionare (nella nostra mente) le figure a quattro dimensioni è utile familiarizzarsi con le sezioni di semplici figure geometriche tri-

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Il termine politopo, molto più diffuso, indica il generico “poliedro” a N dimensioni. Un poligono è quindi un politopo 2-dimensionale, mentre un policoro è un politopo 4-dimensionale.

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Fig. 6. Il cubo: sviluppo e rappresentazione prospettica

Fig. 7. Il tesseratto: sviluppo e rappresentazione prospettica

dimensionali. Ad esempio è facile convincersi che le sezioni di una sfera sono dei cerchi di varie dimensioni. Delle immaginarie creature bidimensionali, abitanti di un universo piatto, che si trovassero di fronte ad una sfera tridimensionale che attraversa il loro universo vedrebbero dapprima comparire un singolo punto. Il punto si trasformerebbe poi in un piccolo cerchio, sempre più grande fino ad arrivare ad una dimensione massima. Il cerchio comincerebbe poi a rimpicciolire fino a ridursi ad un punto e poi sparire del tutto. Questa scena immaginaria parafrasa uno degli episodi salienti di Flatlandia, un romanzo scritto da Edwin A. Abbot (1838-1926) nel 1882. Il protagonista, una creatura bidimensionale a forma di quadrato, incontra una sfera che lo ispira a riflettere sulle dimensioni del suo spazio, ipotizzando una terza dimensione e dopo di questa una quarta, una quinta, eccetera. Riflettere sui problemi che una mente bidimensionale (in senso geometrico) incontrerebbe cercando di crearsi delle immagini mentali dei poliedri rappresenta un eccellente strumento per aiutarci a visualizzare gli oggetti quadridimensionali. Della sfera che attraversa il loro mondo gli abitanti di Flatlandia vedono solo le sezioni: tanti cerchi di differenti dimensioni. Un cubo può generare sezioni differenti a seconda di come è orientato. Se ha una faccia parallela al piano di Flatlandia, allora le sezioni saranno quadrati tutti uguali. Con altre inclinazioni ci saranno triangoli, quadrilateri, pentagoni ed anche esagoni (Fig. 8).

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Fig. 8. Sezioni del cubo rispetto a dei piani perpendicolari ad una diagonale

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Fig. 9. Sezioni del tesseratto

Una sequenza ancora più complessa si ottiene sezionando un poliedro concavo, ad esempio il grande icosaedro. Il primo contatto con il piano potrebbe avvenire in più di un punto. Ad esempio tre delle 20 punte aguzze che adornano il solido potrebbero formare tre sezioni distinte, ognuna a forma di stella a cinque punte. Con il progredire del passaggio le tre stelle diventerebbero sempre più grandi fino a fondersi in una grande figura complicata ricca di punte. E le sezioni di oggetti quadridimensionali? Se le sezioni dei poliedri sono poligoni allora le sezioni dei policora saranno dei poliedri. Se per esempio un tesseratto scivolasse attraverso la nostra Spacelandia (lo spazio tridimensionale in cui viviamo), noi vedremmo comparire all’improvviso un cubo, che rimarrebbe immobile per qualche tempo per poi sparire in maniera altrettanto improvvisa. Ho supposto che una cella del tesseratto sia parallela al nostro spazio. Con una diversa inclinazione potremmo veder comparire un tetraedro che si trasformerebbe in un solido limitato da esagoni e triangoli che subirebbe altre trasformazioni fino a tornare un tetraedro, rimpicciolirsi e sparire (Fig. 9). Il programma che genera le sezioni può “affettare” qualunque policoro. Val la pena di metterlo alla prova con un modello più complicato del tesseratto. Un

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modello ambizioso è l’equivalente quadridimensionale del grande icosaedro. Partiamo dal 600-celle: con le sue 600 celle a forma di tetraedro regolare questo policoro corrisponde all’icosaedro (che è limitato da 20 facce a forma di triangolo equilatero). Il grande icosaedro, come abbiamo visto prima, è un poliedro non convesso con gli stessi vertici dell’icosaedro. Le facce sono sempre 20 triangoli, ma collegati in modo diverso e intrecciati fra loro. In maniera perfettamente analoga è possibile realizzare un policoro non convesso delimitato da 600 tetraedri intrecciati. Questa figura si chiama granesacosicoro (o gax secondo l’accattivante notazione stenografica inventata da Jonathan Bowers 6). L’unico modo che abbiamo per apprezzare la forma di questa figura è ricavarne delle sezioni. Diamo quindi il modello in pasto al programma. Muovendo il mouse possiamo simulare il passaggio del granesacosicoro attraverso il nostro spazio: dal nulla compare un grande icosaedro, affiancato quasi subito da 12 piccole repliche che si fondono al corpo centrale formando una struttura estremamente complessa, ma gradevolmente simmetrica. In queste pagine sono riportate alcune immagini estratte dalla sequenza (Fig. 10).

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Fig. 10. Sezioni del granesacosicoro

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George Olshevsky, Jonathan Bowers, Bruce Chilton sono i principali artefici dell’Uniform Polychora Project nell’ambito del quale sono stati classificati più di 8000 policora.

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Sullo schermo del computer il movimento è particolarmente efficace nel rappresentare l’inaccessibile quarta dimensione e le evoluzioni del modello danno vita ad un caleidoscopio tridimensionale in cui è piacevole smarrirsi.

Letture consigliate E.A. Abbott (1996) Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni, ed. italiana a cura di M. d’Amico, Milano, Adelphi, (il testo in lingua inglese è disponibile in http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/) A.K. Dewdney (1984) The planiverse: computer contact with a two-dimensional world, New York, Poseidon Books T.F. Banchoff (1993) Oltre la terza dimensione. Geometria, computer graphics e spazi multidimensionali, Bologna, Zanichelli H.S.M. Coxeter (1973) Regular Polytopes, 3° ed., New York, Dover W.W.R. Ball, H.S.M. Coxeter (1987) Mathematical Recreations and Essays, 13° ed., New York, Dover

Siti web consigliati

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R. Webb Stellated Polyhedra http://web.aanet.com.au/robertw/Stellations.html V. Bulatov Polyhedra Stellation http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/stellation/index.html D.A. Fontaine Polyhedra Pages Index http://davidf.faricy.net/polyhedra/ G. Hart Virtual Polyhedra http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Polychoron, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Polychoron Bowers, Jonathan, Uniform polychora http://hometown.aol.com/hedrondude/polychora.html G. Olshevsky Uniform Polytopes in Four Dimensions http://hometown.aol.com/Polycell/uniform.html M. Newbold Hyperspace Star Polytope Slicer http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html R. Towle Russel Towleís 4D Star Polytope Animations http://dogfeathers.com/towle/star.html POV-RAY, The persistence of Vision Raytracer http://www.povray.com

matematica e Venezia

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Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi GIOVANNI SARPELLON

Mai dire mai… Mai avrei pensato di dover un giorno parlare a un convegno di matematici. Non ho nulla contro i matematici, sia chiaro. È con la matematica, piuttosto, che non ho mai avuto buoni rapporti, soprattutto da quando, partendo con quel poco che avevo imparato al liceo classico, ho dovuto, all’università, affrontare l’analisi, la matematica finanziaria e infine anche quella attuariale. Mi brucia ancora quel dodici (allora si usava ancora…) che presi al primo tentativo. Una cosa, comunque, non ho mai digerito e, precisamente, un paio di espressioni che tanto spesso si usano in quel gergo: nella dimostrazione di un teorema, prima o poi, salta sempre fuori un epsilon che diventa piccolo a piacere, così come, nei momenti più incomprensibili, il testo arriva al punto successivo per facili passaggi. Non ho mai provato alcun piacere a rimpicciolire un epsilon, né ho mai trovato facili i passaggi non spiegati che conducono alla dimostrazione finale! Questa è l’occasione della mia rivincita e posso mostrare ai matematici il mio epsilon che, per facili passaggi, diventa davvero piccolo a piacere: le murrine.

Come si fa una murrina Le murrine, in senso molto generale, sono dei dischetti di vetro che al loro interno contengono un qualsiasi disegno. Questi dischetti si ottengono tagliando a fettine una bacchetta di vetro la quale, in tutta la sua lunghezza, contiene il medesimo disegno. Per meglio far comprendere come questo disegno possa essere sia una semplice ruota dentata, sia un dettagliatissimo ritratto di una persona, è opportuno illustrare anzi tutto modalità e fasi della costruzione di una bacchetta di vetro (per la quale, a Murano come in questo testo, si usa il termine “canna”). Il lavoro comincia scaldando sulla bocca del forno di fusione la parte terminale di un’asta di ferro lunga circa un metro e mezzo e di spessore variabile secondo la grossezza della canna che si deve preparare; con questa asta il servente (assistente del maestro) raccoglie dalla paela (crogiolo) la quantità necessaria di vetro e, rotolandola sopra il bronzino (una spessa lastra di ferro), la riduce a un cilindro (questa operazione è detta marmorizzare, facendoci ritenere che un tempo al posto della lastra di ferro si usasse un marmo ben levigato); ciò fatto, la pas-

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sa al maestro (detto scagnèr) che perfeziona il cilindro, lo riscalda di nuovo portandolo alla temperatura necessaria e vi attacca all’altra estremità la conzaura, che è un’altra asta di ferro, più corta della precedente, a una estremità della quale è stata preparata una corona di vetro incandescente. Le due aste passano quindi nelle mani dei due tiradori che, camminando (o correndo) in direzione opposta, stirano il cilindro riducendolo a una canna della grossezza voluta. La lunghezza della canna può arrivare anche oltre cento metri e naturalmente varia in ragione del diametro voluto a lavoro finito. Via via che viene tirata, la canna si raffredda e finisce per essere appoggiata al suolo, dove sono state preparate delle assicelle di legno che ne impediscono il contatto con il terreno. La canna viene infine tagliata in pezzi, di solito lunghi un metro, raccolta in fasci e accantonata per le successive lavorazioni. La preparazione di una canna a più colori è molto simile. Dopo aver formato il primo cilindro, si ritorna al forno per immergere il vetro in una seconda paela e successivamente in altre, dopo aver provveduto a marmorizzare il cilindro sul bronzino a ogni aggiunta di colore. In questo modo si ottiene una canna a fasce concentriche di vario colore. È inoltre possibile arricchire ulteriormente la canna a più colori facendo uso di appositi stampi aperti superiormente che hanno all’interno delle costolature verticali: dopo ogni levada (aggiunta) di colore, si infila il cilindro nello stampo che trasmette così la propria forma al vetro ancora molle; con l’ultima levada la massa di vetro assume di nuovo la forma a sezione circolare, permettendo così di ottenere poi una canna circolare. È necessario a questo punto fare due osservazioni che risulteranno utili in seguito. Anzitutto si deve notare che, facendo uso di stampi adeguati, si possono tirare canne con sezioni di qualsiasi forma, anche se l’operazione risulta molto più delicata. In secondo luogo, bisogna fermare l’attenzione sul fatto che il cilindro a fasce concentriche (e quindi poi la canna) ripete in ogni sua sezione lo stesso disegno per cui, tagliando la canna in qualsiasi punto, apparirà sempre un cerchio centrale circondato da tante corone circolari quante erano le successive fasce di colore che avevano formato il cilindro di partenza (Fig. 1). Avendo a disposizione un certo numero di canne semplici del tipo appena decritto, è poi possibile costruire una canna complessa. Con un filo di rame si legano assieme alcune canne semplici, formando il disegno voluto, e poi si riscaldano molto lentamente fino a che il vetro si rammollisce al punto da poter essere nuovamente stirato. Ripetendo più volte l’operazione con canne sempre più complesse, si può costruire una canna composta da decine di canne semplici: Giovanni Franchini, come vedremo, è arrivato a comporne una di oltre 150 elementi. Caratteristica comune di questo tipo di canne (anche delle più complesse) è di essere di norma a disegni concentrici, perché tutto si raccoglie attorno a un cilindro centrale. La massa di vetro da sottoporre alla tiratura può tuttavia essere formata anche in maniera diversa. Particolarmente belle (e famose) sono le canne la cui sezione contiene una spirale a più colori, che già in epoca romana venivano usate per imitare la forma dell’agata-calcedonio e che saranno di nuovo usate da Vincenzo Moretti nel XIX secolo. Per fare questo tipo di canna si prepara anzitutto una striscia rettangolare di un dato colore, alla quale si sov-

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Fig. 1. Preparazione di una canna. Figura in alto: a Immersione di uno stampo a stella; b Canna a forma di stella; c Aggiunta di vetro in stampo cilindrico; d Immersione nello stampo silindrico; e Canna cilindrica con stella al centro. Figura in basso: a Preparazione di una canna a stella; b Assemblaggio delle singole canne; c Fusione a caldo in un’unica canna

rappone subito un’altra striscia di un altro colore; si provvede poi ad arrotolare il vetro e ad attaccare il cilindro così formato a due conzaure e a tirare la canna. Questo procedimento, che richiede una maggiore abilità dei precedenti, nasconde una terribile insidia per il vetraio: le bolle d’aria. È infatti facile che sia nella sovrapposizione dei due strati di vetro, sia nell’arrotolamento della pasta vitrea si insinuino delle bolle d’aria che, una volta tirata la canna, si allungheranno in altrettanti lunghissimi fori che risulteranno evidenti ad ogni sezione della bacchetta. Le canne complesse (formate dall’unione di più canne), oltre alle bolle d’aria, temono poi un altro pericolo. È infatti necessario che l’intera massa di vetro sia riscaldata alla medesima temperatura in modo da avere ovunque la stessa pastosità e poter quindi assottigliarsi uniformemente per effetto della successiva ti-

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ratura. In caso contrario, alcune canne termineranno prima di altre e, oltre a risultare più grosse del previsto (essendosi allungate meno delle altre), faranno sì che il disegno della canna finale, a partire da un certo punto, risulti incompleto. Esiste poi un altro modo, ancora più difficile, di preparare una canna a disegno non concentrico, come ad esempio un fiore, un animale, un volto. Prelevata con l’asta di ferro la quantità necessaria del primo colore, dopo averla marmorizzata sul bronzino e quindi raffreddata un po’, si provvede a ridurla uniformemente nella forma desiderata per tutta la sua lunghezza, facendo bene attenzione che la sezione della canna così ottenuta rimanga sempre uguale. Volendo, per esempio, costruire un fiore a tre petali, si potrebbe preparare anzitutto una canna la cui sezione abbia la forma del primo petalo. Presa poi con un’altra asta di ferro una seconda quantità di vetro, le si fa assumere allo stesso modo la forma del secondo petalo e, accostandolo al primo - mantenuto caldo - li si salda assieme. L’operazione viene infine ripetuta per la terza volta, ottenendo così i tre petali uniti. A questo punto si può preparare un paio di canne a forma di foglie, una a forma di gambo e saldare progressivamente tutto assieme. Con del vetro di uno stesso colore si riempiono poi un po’ alla volta gli spazi vuoti, fino a formare il solito cilindro che, attaccato a una seconda conzaura, verrà tirato e ridotto al diametro voluto. Le difficoltà di questa procedura sono molto evidenti. Bisogna lavorare con vetro caldo (e quindi tenero) che non può essere lasciato penzolare né può essere appoggiato su un supporto senza pericolo di venir deformato; gli strati di vetro che via via vengono aggiunti si sovrappongono ai precedenti, nascondendo il disegno che si sta formando; la massa vetrosa in lavorazione va mantenuta costantemente alla stessa temperatura; a ogni accostamento di una nuova porzione di colore c’è il rischio di inglobare anche dell’aria. Per superare, almeno in parte, alcune di queste difficoltà si possono adottare alcuni accorgimenti. Supponendo di dover costruire il fiore dell’esempio precedente, si possono preparare degli stampi aperti superiormente fatti in modo che le loro sezioni abbiano la forma dei vari elementi del fiore: un petalo, una foglia, il gambo. Colando entro lo stampo del vetro liquido, con una conzaura se ne possono estrarre, una dopo l’altra, le tre canne a forma di petalo e attaccarle insieme; similmente, da un altro stampo, si ricaveranno, perfettamente sagomate, le due lingue a forma di foglia e infine quella del gambo. Il fiore così formato verrà infine contornato con del vetro di riempimento, formando la canna. Dopo aver tirato la canna e averla tagliata in tante fettine, si otterranno altrettante murrine raffiguranti il fiore a tre petali. Il rametto di rosa di Giacomo Franchini, di cui parleremo più avanti (Fig. 2), è stato sostanzialmente costruito in questo modo. Se la murrina che si vuole costruire è più complessa, il numero degli stampi potrebbe diventare troppo elevato. In ogni stampo, inoltre, si versa normalmente vetro di un solo colore e quindi l’uso degli stampi è conveniente nei casi in cui il disegno sia composto da poche sezioni di colore diverso. Quando il disegno da comporre è più complesso, conviene procedere per stadi successivi, preparando secondo uno dei sistemi precedenti varie canne contenenti ciascuna una parte del disegno finale. Quando tutto il lavoro preparatorio è terminato, attorno a un nucleo centrale si saldano via via i vari elementi pre-

Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi

Fig. 2. Giacomo Franchini, 1843-1845, murrina della rosa: bocciolo (L 10 mm), stelo (L 8 mm), rosa (∅ 5-8 mm)

parati (dopo averli gradatamente riportati alla temperatura del vetro tenero), aggiungendo dove necessario vetro preso direttamente dal forno. Questa tecnica, che si potrebbe definire mista, è una sintesi delle tecniche precedenti, richiedendo l’uso di canne precedentemente preparate, di stampi e di vetro prelevato direttamente dal forno. In questo modo è stata realizzata la murrina finora forse più famosa: il pavone di Giuseppe Barovier (Fig. 3). Il riferimento alla possibilità di utilizzare canne precedentemente sagomate facendo uso di stampi introduce la spiegazione del modo di realizzare un altro tipo di canna: la canna – mosaico. Questo metodo, infatti, è in qualche modo derivato dalla tecnica dei mosaicisti. Facendo uso di piccoli cubi o parallelepipedi di varia forma, i mosaicisti compongono i loro disegni, che vengono poi cementati su supporti di varia natura. Se al posto dei piccoli pezzi di mosaico si adoperano sottili canne di vetro della forma e del colore necessario, si possono preparare dei “mosaici” che hanno uno spessore non di uno, ma di 15-20 centimetri. Questo “mosaico”, tenuto assieme da opportuni legacci di rame, può essere riscaldato molto lentamente, fino a che il vetro riacquista plasticità. Aumentandone progressivamente la temperatura, il vetro arriva al punto in cui può essere stirato, dando vita a una lunga canna. Questa tecnica richiede un grande lavoro di preparazione: più sottili sono le canne di partenza, più accurato sarà il disegno finale, risultando meno evidenti i confini fra una canna e l’altra. Molta attenzione richiede inoltre il progressivo riscaldamento del mosaico che, non so-

Fig. 3. Giuseppe Barovier, 1913, pavone, ∅ 28 mm

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lo deve essere lento, ma anche uniforme, per non dar luogo agli inconvenienti precedentemente ricordati. I ritratti preparati da Luigi Moretti sono stati eseguiti secondo questa tecnica (Figg. 4-8).

Fig. 4. Luigi Moretti, 1888, ritratto di V. Moretti, ∅ 20 mm

Fig. 5. Luigi Moretti, 1888, Vittorio Emanuele II, ∅ 27 mm

Fig. 6. Luigi Moretti, 1888, Umberto I, ∅ 20 mm

Fig. 7. Luigi Moretti, 1888, Garibaldi, ∅ 17 mm

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Fig. 8. Luigi Moretti, 1892, Cristoforo Colombo, ∅ 24 mm

Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi

Giovanni Battista e Giacomo Franchini L’abilità di fare murrine è molto antica: gli scavi archeologici hanno riportato alla luce un bicchiere prodotto tremila anni fa nel nord-ovest dell’Iran, sulla superficie del quale appare cinque volte una figura umana composta con l’accostamento e rifusione di murrine. Il periodo di maggior splendore di quest’arte si situa nel Quarto e Terzo secolo avanti Cristo, si prolunga fino al Primo secolo e ha come luogo di maggiore e migliore produzione le fornaci di Alessandria d’Egitto e quelle romane. L’invenzione della canna da soffio (che ha luogo nel secolo attorno all’inizio dell’era cristiana) fece andare in disuso questa tecnica complicata e costosa che, dopo una breve riapparizione a Murano verso la fine del XV secolo, conobbe un nuovo periodo di splendore verso la metà dell’Ottocento quando due perlai veneziani, Giovanni Battista Franchini e suo figlio Giacomo, vollero sfidare gli antichi e dettero vita ad una incredibile serie di vere miniature di vetro fra le quali si possono ammirare alcuni ritratti tanto minuti quanto perfetti. Giovanni Battista Franchini (1804-1873) non fu un semplice artigiano, ma un imprenditore molto capace, sempre pronto a cercare la strada dell’eccellenza attraverso l’innovazione: le sue perle furono fra le più belle di quelle prodotte nella metà dell’Ottocento. Ma la ragione per la quale egli deve ora essere ricordato è la sua idea di produrre, usando gli strumenti del perlaio, delle nuove canne millefiori allo scopo di utilizzarle per farne delle spille di nuovo tipo. L’intuizione che, tuttavia, portò Giovanni Battista Franchini, e poi suo figlio Giacomo, a raggiungere un risultato eccezionale fu quella di fare delle canne che, invece dei semplici disegni geometrici dei millefiori, avrebbero potuto avere altri disegni, come animali, rose, gondole e, alla fine, dei veri e propri ritratti. Lo sviluppo tecnico è, in astratto, molto semplice. Per costruire una canna con al centro una stella basta avere a disposizione uno stampo a forma di stella nel quale inserire la massa morbida del vetro caldo. Per costruire una canna con otto stelle basta unire una all’altra otto canne con una stella, amalgamare bene la nuova canna sotto l’azione del fuoco e poi tirarla fino a raggiungere il diametro desiderato. Con questa tecnica Franchini ottenne risultati mai prima raggiunti, riuscendo a produrre una lunga serie di canne millefiori molto belle e molto complesse (Fig. 9). Dopo questo primo risultato, il fascino delle murrine toccò anche il giovane Giacomo (1827- 1897) che si dedicò anima e corpo a questa entusiasmante impresa. L’idea geniale dei Franchini (semplice, come tutte le cose geniali) fu di preparare, dopo quelli a forme geometriche, altri stampi delle forme più varie (come un cane, un’anatra, un cavallo…) e di preparare quindi delle canne che contenevano al loro interno varie figure semplici. Allo stesso modo essi prepararono l’intera serie delle lettere dell’alfabeto e dei numeri e furono così in grado di fare delle nuove canne con nomi, date, sigle (Fig. 10). La strada era aperta per nuove esperienze e in esse si lanciò Giacomo al quale il padre lasciò volentieri il campo. Per comporre disegni più complessi, Giacomo procedette per fasi successive. Dopo aver scomposta la figura da realizzare nei suoi particolari elementari, costruiva le cannelle corrispondenti. Queste venivano poi assemblate progressiva-

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Fig. 9. Giovanni B. Franchini, 18401843, millefiori, ∅ 7-9 mm

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mente, saldandole assieme sotto l’azione della fiamma, finendo così per ricomporre il disegno, contenuto tutto in un’unica canna. In questo modo Giacomo compose delle murrine di rara bellezza, fra le quali spiccano dei ramoscelli di rosa (Fig. 2), un quarto di luna contornata da bianche stelline, un sole raggiante (Fig. 11). A queste fece poi seguito una parata di gondole (Fig. 12) che, pur misurando da 6 a 8 millimetri, sono perfette anche nei particolari più minuti, come il ferro di prua e le forcole. Le murrine di Giacomo Franchini sono infatti tutte incredibilmente piccole e solo raramente hanno il diametro superiore a un centimetro. Le murrine millefiori furono prodotte negli anni 1840-1843, mentre le prime murrine figurate appaiono fra il 1843 e il 1845.

Fig. 10. Giacomo Franchini, 1843-1845, sigle e date, ∅ 7-12 mm

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Fig. 11. Giacomo Franchini, 1843- 1845, murrina della luna: quarto di luna (L 12 mm), occhio della luna (L 8 mm), luna (∅ 5-8 mm); sole (∅ 6-8 mm) 63

Fig. 12. Giacomo Franchini, 1843-1846, gondole, ∅ 7-15 mm

Un bellissimo esempio di questo genere di produzione è la murrina con il ponte di Rialto (realizzata fra il 1847 e il 1848), che ha richiesto per la sua realizzazione la preparazione di un grande numero di canne elementari, che sono state poi progressivamente accostate per formare il disegno intero (Fig. 13). La precisione del disegno è totale: sull’arcata del ponte si distinguono, da una parte e dall’altra, le due file di archi che ospitano le botteghe, separate dal grande arco centrale. Ai lati del ponte sono due palazzi dei quali si può contare il numero delle finestre, mentre sullo sfondo, in perfetta prospettiva, si vedono il Fontego dei Tedeschi e il palazzo dei Camerlenghi; sotto il ponte scorre lentamente l’acqua del Canal Grande, increspata da un leggero vento che confonde i colori di ciò che vi

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Fig. 13. Giacomo Franchini, 1847-1848, Rialto, ∅ 11 mm

64 Fig. 14. Giacomo Franchini, 1845-1846, Angelina, ∅ 7 mm

si riflette. Il sole al tramonto, infine, colora il cielo di rosa e azzurro. Tutto questo nello spazio di pochi millimetri! La canna con il ponte di Rialto poteva già essere considerata un capolavoro; ma Giacomo volle andar oltre, tentando l’incredibile. Fra il 1845 e il 1846 egli aveva realizzato due murrine con il volto di una ragazza (di cui era probabilmente innamorato): Angelina (Fig. 14). Nel 1847 fece la canna con il volto di Pio IX, il papa che nei primi anni del suo regno aveva tanto entusiasmato i patrioti italiani. L’obiettivo successivo fu la costruzione di un vero e proprio ritratto. Per fare un ritratto in una murrina bisogna superare due particolari difficoltà, oltre alle consuete: ottenere la somiglianza con il soggetto e utilizzare vetro di diverse tonalità per dare il senso del volume al disegno. E questo Giacomo si impegnò a fare con il ritratto del re d’Italia, Vittorio Emanuele II. Era questo un lavoro estremamente complesso, che richiedeva la preparazione di un gran numero di canne semplici. Egli lavorò per quattro anni e alla fine, nel 1860, ottenne uno splendido risultato (Fig. 15). Dopo il Re, venne il suo generale, Garibaldi, ritratto in uniforme, fiocchi e alamari compresi. Anche di questo ritratto esistono diverse versioni (Fig. 16). E per

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Fig. 15. Giacomo Franchini, 1860, Vittorio Emanuele II, ∅ 5-7 mm

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Fig. 16. Giacomo Franchini, 1862, Garibaldi, ∅ 5-7 mm

completare questa piccola serie patriottica venne infine il ritratto del primo ministro della nuova Italia: Cavour (Fig. 17). A questo punto Giacomo Franchini volle dare una prova dei risultati estremi cui egli poteva arrivare con la sua nuova tecnica e riunì i tre protagonisti della nuova Italia in un’unica canna, ridotta al diametro assolutamente incredibile di 3 millimetri, senza che con questo venisse compromessa la nitidezza del disegno (Fig. 18). Dopo i tre italiani, Giacomo fece il ritratto di Napoleone III (Fig. 19), anch’esso preciso e dettagliato come i precedenti. L’incredibile galleria dei ritratti di Franchini si concluse, nel 1863, con quello dell’imperatore d’Austria Francesco Giuseppe (Fig. 20). La carriera di Giacomo Franchini fu interrotta da una malattia mentale ed egli finì i suoi giorni nel manicomio dell’isola di San Servolo a Venezia. L’opera sua (e quella di suo padre) va ricordata nella storia del vetro non solo

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Fig. 17. Giacomo Franchini, 1862, Cavour, ∅ 6 mm

Fig. 18. Giacomo Franchini, 1862, Vittorio Emanuele II, Garibaldi, Cavour, ∅ 3 mm

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Fig. 19. Giacomo Franchini, 1862, Napoleone III, ∅ 5-7 mm

Fig. 20. Giacomo Franchini, 1863, Francesco Giuseppe, ∅ 8 mm

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perché raggiunse una perfezione mai più uguagliata (in particolare i ritratti di Giacomo restano ancor oggi dei capolavori insuperati), ma anche perché i Franchini compirono queste meraviglie non in una fornace di Murano, ma nel loro laboratorio da perlaio, usando la piccola fiamma della lampada a olio ravvivata da un getto d’aria.

Vincenzo e Luigi Moretti Dopo la pionieristica opera dei Franchini, la lavorazione delle murrine raggiunse a Murano nuovo splendore con Vincenzo Moretti (1835-1901). Egli lavorava nella Venice and Murano Glass Company fondata da Salviati nel 1867 e ben presto si propose l’obiettivo di riprodurre le murrine di epoca romana che gli scavi archeologici di quel tempo stavano riportando alla luce. Il suo primo risultato venne nel 1873, con una serie di “canne mosaico” composte da un gran numero di canne semplici (Fig. 21). Queste canne furono fabbricate per essere utilizzare nella preparazione di spille, medaglioni e altri oggetti simili che fino a quel momento erano invece prodotti con la laboriosissima tecnica dell’intarsio. Questa esperienza permise al Moretti di fare i primi progressi in quella che diverrà poi la sua principale specialità: la composizione di una grande quantità di vetri di diversi colori e fra loro compatibili. La “compatibilità” fra vetri diversi è infatti sempre stato il grande problema dei vetrai, perché vetri di composizione diversa possono avere coefficienti di dilatazione diversi e, se uniti in uno stesso oggetto, possono provocarne la rottura al momento del raffreddamento. Vincenzo Moretti, che non era un maestro vetraio ma piuttosto un tecnico compositore, alla fine di una serie di ricerche ed esperimenti risolse brillantemente il problema e si preparò una coloratissima “tavolozza” che gli permise di affrontare con grande libertà la riproduzione di quei vetri che, nei due secoli attorno alla nascita di Cristo, venivano fatti accostando murrine e segmenti di canne, senza l’intervento della soffiatura. Le prime riproduzioni dei vetri romani vennero presentate nel 1878 all’esposizione internazionale di Parigi.

Fig. 21. Vincenzo Moretti, 1873, murrine a mosaico, ∅ 18-20 mm

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Fig. 22. Vincenzo Moretti, ca. 1880, fiori e farfalle, L 12-25 mm

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Moretti compose una gran numero di murrine di raffinata eleganza, che costituiscono ciascuna un piccolo gioiello. Esse sono fiori di vario tipo, tulipani, margherite, pansé, fiore di loto, ma anche due farfalle e un uccellino (Fig. 22). L’amore per il vetro a Murano si trasmette da padre in figlio da secoli: fu così che anche il figlio di Vincenzo, Luigi Moretti (1867-1946), volle cimentarsi in una difficile impresa. Egli aveva di fronte a sé l’esempio di Giacomo Franchini e decise così di dar vita a una nuova serie di ritratti. La tecnica del giovane Moretti era diversa da quella di Franchini. Luigi infatti non operava con il vetro caldo e fluido, ma faceva intervenire l’azione del fuoco solo dopo aver composto a freddo l’intero disegno. Facendo uso di tante sottili canne monocromatiche di vario colore e sfumature e accostandole le une alle altre, quasi come un mosaicista, egli preparava un cilindro di circa 10 cm di diametro e 20 cm di altezza. Il cilindro, ben legato con filo di rame, veniva poi riscaldato un po’ alla volta e, quando il vetro diventava morbido, veniva tirato in una lunga canna. In questo modo Luigi Moretti, fra il 1888 e il 1894, realizzò una originale serie di ritratti, cominciando con quello del padre Vincenzo (Fig. 4) e continuando poi con quelli di Vittorio Emanuele II (Fig. 5), Umberto I, nuovo re d’Italia (Fig. 6), il principe Vittorio Emanuele, Garibaldi (Fig. 8), Papa Leone XIII, l’imperatore Guglielmo di Germania e anche un volto di Madonna. Particolarmente bella, infine, è la murrina di Cristoforo Colombo (Fig. 25). Essa fu fatta nel 1892, in occasione del quarto centenario della scoperta dell’America. Quando, nell’anno successivo, la Venice and Murano Glass Company aprì una propria fornace a Chicago, il 18 maggio 1893, a tutti i quattrocento invitati fu regalato uno di questi piccoli ma preziosi ritratti.

Giuseppe Barovier e le murrine liberty Nella già ricordata fornace di Salviati, oltre a Vincenzo Moretti, prestavano la loro opera anche alcuni membri dell’antica famiglia dei Barovier. Colui che ci ha

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Fig. 23. Giovanni Barovier, 1881, piatto con murrine floreali su fondo nero, ∅ 225 mm

lasciato una bellissima serie di murrine è Giuseppe (1853-1942), che inizia la sua attività di vetraio a 14 anni, seguendo soprattutto l’insegnamento dello zio Giovanni. Costui aveva senza dubbio partecipato al lavoro di riproduzione degli antichi vetri murrini, tanto che a buona ragione gli si può attribuire un bel piatto attualmente conservato nel museo di Murano e databile attorno al 1881 (Fig. 23). Il giovane Giuseppe collaborò certamente con lo zio anche per queste prime

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Fig. 24. Giuseppe Barovier, ca. 1915, fiori, L 3-29 mm

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Fig. 25. Giuseppe Barovier, ca. 1915, Garibaldi, ∅ 19 mm

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murrine; le sue opere più belle, tuttavia, vennero molto più tardi, con il nuovo stile floreale dei primi anni del XX secolo. Sicuramente importante nello stimolare questa affascinante attività fu l’incontro con due artisti del tempo, Teodoro Wolf Ferrari e Vittorio Zecchin, che nella vetreria dei Barovier eseguirono alcune innovative opere in vetro. Giuseppe Barovier era un maestro vetraio di altissimo livello e fu quindi per lui ovvio adottare nella fabbricazione delle murrine la tecnica più confacente alla sua arte. Egli non seguì cioè l’esempio di Luigi Moretti (che componeva il disegno a freddo, accostando le une alle altre sottili canne di vari colori), ma formava la canna stendendo progressivamente strisce di vetro prelevate direttamente dal crogiolo e modellandole finché erano ancora calde: un lavoro di grande maestria, che immediatamente si apprezza osservando la complessità e la bellezza delle murrine realizzate. La maggior parte delle murrine di Barovier è costituita da fiori che, sia nella concezione, sia nella resa cromatica, ripetono l’affascinante stile di quegli anni (Fig. 24). Egli si cimentò tuttavia anche nell’esecuzione di figure umane, come quella in cui, in maniera spiritosa e quasi impressionistica , è ritratto un personaggio che potrebbe ricordare (ancora una volta!) Garibaldi (Fig. 25). L’indiscusso capolavoro di Giuseppe Barovier è comunque una murrina che rappresenta in se stessa un’opera completa e che, anche se misura solo pochi centimetri, è più preziosa di un quadro: il pavone (Fig. 3). Essa fu presentata a Venezia nel 1913 alla esposizione dell’Opera Bevilacqua La Masa (che raccoglieva artisti “dissidenti”) e valse al suo esecutore l’appellativo di “mago dell’arte vetraria”. Con le murrine liberty di Giuseppe Barovier si conclude un ciclo nella storia di questi minuscoli capolavori: negli anni successivi le murrine cessano di essere oggetti in sé compiuti e vengono sempre più concepite e utilizzate come elementi decorativi di oggetti di vetro soffiato: così le utilizzarono gli stessi Giuseppe e Benvenuto Barovier e, successivamente, Ercole (figlio di Benvenuto); così le utilizzarono i Fratelli Toso nella loro infinita produzione di vetri millefiori

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Fig. 26. Fratelli Toso, ca. 1920, lampada da soffitto, vetro soffiato, murrine floreali, H 900 mm

(Fig. 26) e tanti altri ancora, che non si possono qui ricordare, fino ai giorni nostri. Un’eccezione, tuttavia, deve essere fatta per Mario Dei Rossi (Murano, 1926), un maestro vetraio che, dopo aver abbandonato il lavoro in fornace, ha ripreso ancora una volta l’antica arte. Dal 1989, utilizzando la tecnica di Luigi Moretti, egli ha dato vita a una non interrotta serie di murrine di grande bellezza, che comprende ritratti, fiori, animali e altri soggetti estremamente complessi (Fig. 27).

Fig. 27. Mario Dei Rossi, 1998-1999, murrine figurate, ∅ 19-21 mm

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Modelli matematici per la meteorologia ELISABETTA CORDERO

Il tempo meteorologico ha grande influenza su molti aspetti della vita umana, come ad esempio l’agricoltura, il traffico aereo, navale, stradale e molte altre attività, soprattutto (ma non solo) quelle che si svolgono all’aria aperta. Talvolta esso può avere conseguenze devastanti, come nel caso delle calamità naturali (inondazioni, uragani, temporali, siccità), che possono provocare vittime ed ingenti danni economici. È quindi estremamente importante saper prevedere il tempo in modo accurato ed in tempo utile, per non farsi cogliere impreparati, soprattutto in previsione di eventi meteorologici estremi. Il tempo meteorologico è determinato dai moti dell’atmosfera, che è l’involucro gassoso che circonda la Terra. Tali moti sono descritti da un sistema di equazioni non lineari alle derivate parziali (tipo Navier-Stokes). Tali equazioni non possono essere risolte esattamente, ma devono essere approssimate mediante schemi numerici. L’approssimazione numerica delle suddette equazioni è alla base dei modelli matematici dell’atmosfera utilizzati per le previsioni meteorologiche e gli studi climatici, le cui altre componenti fondamentali sono le condizioni iniziali e la rappresentazione dei processi fisici che avvengono nell’atmosfera. In questo articolo introdurremo le equazioni matematiche che descrivono i moti dell’atmosfera, discuteremo come tali equazioni vengano approssimate all’interno dei modelli numerici dell’atmosfera, descriveremo le componenti dei modelli numerici e come questi vengano utilizzate per calcolare le previsioni meteorologiche.

Equazioni continue I moti atmosferici sono descritti da un sistema di equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali che comprende la seconda legge della dinamica, che esprime la conservazione del momento, quella di continuità, che esprime la conservazione della massa, l’equazione termodinamica, che corrisponde al principio di conservazione dell’energia e l’equazione di stato, con la quale si assume che l’atmosfera sia un gas perfetto. Per una rappresentazione realistica dell’atmosfera, è inoltre necessario considerare l’umidità che è presente nell’atmosfera sotto forma di vapor acqueo ed acqua e ghiaccio contenuti nelle nuvole. Per ciascuna di queste sostanze viene introdotta un’equazione che ne esprime la conservazione.

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matematica e cultura 2005

Forma vettoriale Generalmente le equazioni che governano i moti atmosferici si scrivono rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro della Terra e solidale con essa, ovvero in rotazione attorno all’asse terrestre con la velocità angolare della Terra, Ω. In tale sistema di riferimento le equazioni assumono la seguente forma vettoriale [1]: dV 1 = –2Ω × V – ∇p – gk + F , dt ρ

cp

(2.1)

dρ + ρ ∇ ⋅ V = 0, dt

(2.2)

dT 1 dp – = Q, dt ρ dt

(2.3)

p = ρ RT.

(2.4)

∂ d ≡ + V ⋅ ∇, V = (u, v, w) è il vettore velocità; –2Ω × V è la dt ∂ t forza di Coriolis, ove Ω è la velocità angolare di rotazione della Terra attorno al suo asse polare; ρ è la densità; p è la pressione; gk è la gravità apparente; F è il termine forzante che comprende gli effetti dovuti ai processi fisici che avvengono nell’atmosfera; cpè il calore specifico a pressione costante; T è la temperatura; Q è la variazione di calore nel tempo per unità di massa; R è la costante universale dei gas. GM r La gravità apparente gk è la somma della gravità newtoniana g * r ≡ – 2 a r (ove G è la costante di gravitazione universale, M la massa della terra, a il raggio medio terrestre, r il vettore posizione relativo al centro della terra) e della forza centrifuga Ω × (Ω × R) = Ω2R, ove R è il vettore posizione dall’asse di rotazione terrestre. 1 Nell’equazione del momento (2.1), accanto alle forze reali g * r, ∇p, F com-

In (2.1)-(2.4),

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ρ paiono le forze apparenti –2Ω × V e Ω2R. La presenza delle forze apparenti è dovuta all’applicazione della seconda legge della dinamica (a = F / m) per derivare (2.1) nel sistema di riferimento in esame, che è non inerziale a causa della rotazione terrestre. Le equazioni (2.1)-(2.4) sono scritte ignorando, per semplicità, la presenza dell’umidità nell’atmosfera: esse vengono indicate come equazioni per l’atmosfera ‘secca’. Per includere l’effetto dell’umidità, a (2.1)-(2.4) viene aggiunta un’equazione di conservazione per ciascuna delle sostanze che la compongono: vapor acqueo, acqua contenuta nelle nuvole e ghiaccio contenuto nelle nuvole. Il prototipo di equazione di conservazione per ciascuna di queste sostanze prende la forma: dm x (2.5) = Sx , dt ove l’indice x identifica una delle sostanze in esame; il ‘mixing ratio’ mx = ρx / ρs

Modelli matematici per la meteorologia

rappresenta il contenuto di sostanza umida di tipo x per unità di massa di aria secca, indicata dall’indice s; Sx rappresenta il termine sorgente per l’equazione di conservazione della specie x. Oltre a manifestarsi nelle equazioni di conservazione (2.5), la presenza dell’umidità influisce anche sulle equazioni (2.1)-(2.4), nelle quali la densità ρ dovrebbe essere sostituita dalla densità dell’aria umida, che si ottiene sommando a quella dell’aria secca quella di ciascuna sostanza umida. La trattazione dettagliata delle equazioni in presenza dell’umidità esula dagli scopi di questo articolo, nel quale si preferisce limitarsi alle più semplici equazioni per l’atmosfera secca (2.1)-(2.4). Una derivazione e discussione delle equazioni in presenza dell’umidità è riportata ad esempio in [2]. Forma scalare in coordinate sferiche È conveniente riscrivere l’equazione del momento che appare in forma vettoriale in (2.1) nelle sue componenti scalari, utilizzando le coordinate polari sferiche: longitudine λ, latitudine φ e distanza radiale r. Le componenti scalari di (2.1) in coordinate polari sferiche sono [1]: du uv tan φ uw ∂p 1 – + =– + 2Ωv sinφ – 2Ωw cos φ + Fλ , r ρ r cos φ ∂λ dt r

(2.6)

dv u 2 tan φ vw 1 ∂p + + =– – 2Ωu sin φ + Fφ , dt r r ρr ∂φ

(2.7)

dw u 2 + v 2 1 ∂p – =– – g + 2Ωu cos φ + Fr . dt r ρ ∂r

(2.8)

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I termini che compaiono alla sinistra delle uguaglianze in (2.6)-(2.8) accanto alle componenti di dV/dt sono chiamati termini ‘metrici’ e sono dovuti al fatto che i versori (i, j, k) nelle direzioni (λ, φ, r) dipendono dalla longitudine e dalla latitudine e devono quindi essere differenziati nel calcolo di dV/dt come segue: dV/dt ≡ i du/dt + j dv/dt+k dw/dt + udi/dt+vdj/dt+wdk/dt.

(2.9)

Riscrivendo udi/dt + vdj/dt + wdk/dt componente per componente, si ottengono i termini metrici di (2.6)-(2.8). Le equazioni (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4) costituiscono il sistema più completo e più generale utilizzato in meteorologia per descrivere i moti atmosferici; esso viene indicato con il nome di sistema di Navier-Stokes. Tale sistema non contiene semplificazioni, a parte quella di rappresentare la Terra come una sfera. Esso descrive tutti i tipi di moti atmosferici su tutte le scale spaziali e temporali, da poche ore a centinaia di anni, per cui è alla base dei modelli matematici che vengono utilizzati sia per le previsioni meteorologiche che per gli studi climatici, come ad esempio [2] e [3]. Una importante proprietà delle equazioni di Navier-Stokes è che esse implicano i seguenti principi di conservazione [4]: 1. dell’energia totale, somma dell’energia cinetica, potenziale ed interna del sistema, E = 1/2V2 + Φ + cvT (ove Φ è la funzione potenziale associata alla gravità apparente, gk ≡ ∇Φ e cv è il calore specifico a volume costante);

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2. della componente assiale del momento angolare, (Ωr cos φ + u)r cos φ; (∇ × V + 2Ω) ⋅ ∇ϑ R/ , ove ϑ ≡ T ( p0 / p) cv si defini3. della vorticità potenziale ρ sce temperatura potenziale e po è la pressione atmosferica al livello del mare. Introducendo opportune approssimazioni nel sistema di Navier-Stokes, se ne possono derivare sottosistemi che, pur essendo di validità meno generale rispetto al sistema originale, sono più semplici da trattare dal punto di vista numerico e per questo motivo vengono utilizzati, o lo sono stati in passato, per le previsioni meteorologiche e gli studi climatici. È desiderabile che i sistemi semplificati derivati dalle equazioni di Navier-Stokes mantengano gli stessi principi di conservazione 1.-3. soddisfatti dal sistema originale. Questa proprietà è soddisfatta dai sottosistemi che verranno discussi più avanti.

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Semplificazioni: sottosistemi Equazioni quasi idrostatiche (QHEs) Una delle difficoltà nella soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes è rappresentata dalla sua non idrostaticità, o più precisamente dalla presenza dell’accelerazione verticale (dw/dt) nella componente radiale dell’equazione del momento (2.8), che comporta la presenza delle onde acustiche tra le soluzioni del sistema, accanto a quelle gravitazionali e a quelle di Rossby [5]. Tra le onde descritte da (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4), quelle più rilevanti dal punto di vista meteorologico sono quelle di Rossby, che governano i moti atmosferici su scala sinottica (cioè globale) ed hanno velocità di fase dell’ordine di quella di avvezione. Le restanti onde gravitazionali ed acustiche hanno alta frequenza e velocità di fase molto superiore a quella delle onde di Rossby: quelle gravitazionali hanno velocità da tre a sei volte superiore a quella delle onde di Rossby e quelle acustiche hanno velocità ancora superiore. La presenza di onde ad alta frequenza può imporre restrizioni sul passo temporale che è possibile utilizzare nella soluzione numerica (con schemi espliciti) delle equazioni [6], per garantire la stabilità della soluzione [7], [8]. Per evitare la restrizione sul passo temporale dovuta alla presenza delle onde acustiche, è possibile filtrarle dal sistema, omettendo l’accelerazione verticale in (2.8). Tale approssimazione è accurata per i moti per i quali l’accelerazione verticale è trascurabile rispetto agli altri termini che compaiono in (2.8). Le equazioni (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4), ma con dw/dt omesso in (2.8) prendono il nome di equazioni quasi idrostatiche (QHEs) [4]. Atmosfera ‘shallow’ ed equazioni primitive idrostatiche e non idrostatiche Un’approssimazione comunemente utilizzata in meteorologia è quella di atmosfera ‘shallow’, cioè ‘poco profonda’. Il 90% della massa dell’atmosfera è concentrata in uno strato dello spessore di 17 km che avvolge la superficie terrestre e che è molto sottile rispetto alle dimensioni della Terra, il cui raggio medio è 6360 km. Considerando una particella di atmosfera P (Fig. 1), la sua distanza r dal centro ∼ 6360km e dall’aldella Terra è data dalla somma del raggio medio terrestre, a = tezza del punto P sulla superficie terrestre, z < 17 km. Poiché z