Maffucci Dinamico-Ver2 1-2007 Completo [PDF]

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A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale

Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in evoluzione dinamica

Antonio Maffucci [email protected]

ver. 2.1 – ottobre 2007 2

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

1. Circuiti dinamici del primo ordine. ES. 1.2 Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione sul condensatore per ogni istante.

ES. 1.1 Nel seguente circuito è assegnata la corrente nell’induttore all’istante t  0 . Ricavare la corrente sull’induttore per t  0 , graficarne l’andamento e stimare la durata del transitorio.

E

+

L

R2

E1

E  220 V per t  0,

iL

R1

R

vL

A

 v (t ) 

+

i L (0)  0.4 A,

t0 +

C

E2

E1  8 V , E 2  2 V R  10 k, C  2 mF

L  0.1 H , R1  1 k, R2  200 .

Valutando l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore: RR Req  1 2  166.67  , I CC R1  R2 E I cc   0.22 A , R1 si ottiene la rete equivalente in figura, descritta dalle equazioni: v iL  L  I cc , R

Per t  0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto. Per tale ragione si ha: v(t )  E 2  2 V .

iL L

Req

Per t  0 , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v(t )

vL

Ri  v  E1 ,



1 0  

v (0  )  v (0  )

3

da cui

dove i LP (t ) rappresenta il termine di regime stazionario. In tale condizione l’induttore è equivalente ad un corto-circuito, per cui:

della variabile di stato i L (t ) all’istante t  0 : iL (0 )  0.4  iL (0 )  K  0.22

 K  0.18

3

da cui iL (t )  0.18e 1.6710 t  0.22 A per t  0, il cui andamento nel tempo è graficato a lato. La durata del transitorio è stimata in 4  2.40 ms .

dove

  RC .

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo la continuità della variabile di stato v(t )

possiamo esprimere la soluzione generale nella forma: i L (t )  Ke 1.6710 t  i LP (t ) ,

La costante K si ottiene imponendo la continuità

dv v E1   dt  

dove v P (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime. Poiché per t   si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto ai capi del quale ci sarà v P (t )  E1  8 V .

L  0.60 ms Req

  1 /   1.67  103 s 1 ,

i LP (t )  I CC  0.22 A .



v(t )  Ke 0.05t  v P (t ) ,

Risolvendo l’equazione caratteristica dell’omogenea associata



dv , dt

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a   1 /   0.05 s 1 , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

di vL  L L , dt

dalle quali si ricava facilmente l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )

diL i L I cc   , dove dt  

iC

v(t )  8  6e

0.05t



2  K 8

 K  6 ,

t  0.

ES. 1.3 Dato il seguente circuito, valutare la tensione v (t ) per t  0 .

0.5 [A] 0.45 0.4

R1

0.35 0.3

e(t )

0.25

+

R2

0.2

C



e(t )  50 V

t0

v 

v (t  0)  10 V , C  1 mF R1  20 , R 2  24 .

0.15 0.1

Risultato: v(t )  27.3  17.3e 91.7 t V .

0.05 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t/tau

10

3

4

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e(t )

R1

R2

+

iL (t )

i y (t )

10 V e( t )    10 V

R1

R1  10 

t 0

t0 t0

Per t  0 il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito. Per tale ragione, posto Ra  R1 //R2 si ha: Ra 1  0.2 A Ra  R1 R2

Req

e

t  0.

dv c vc V0   . dt   La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a   1 /   85.5 s 1 , quindi la soluzione generale si esprime nella forma:

Alternativamente si possono ovviamente applicare le leggi di Kirchhoff alla rete di partenza: di L , dt

i x  i y  i L , da cui

di L 1 e .  iL  dt  2L

vc (t )  A exp(85.5t )  v cp (t ) , dove vcp (t ) è la soluzione di regime sinusoidale, valutabile attraverso il metodo fasoriale. Posto:

La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è   1 /   12.5  10 3 s 1 , quindi la soluzione generale si esprime nella [A] forma: 0.25 3

0.15

dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario: i LP (t )  0.2 A .

i L (t )  0.2  0.4e

x

t  0.

-0.1

2

c

vc (0  )  0  A  2.17 cos(0.86) 

-0.15 -0.2 -0.25 -1

1

Z1  R1  20,

1.5

da cui: v cp(t)  2.17 cos(100t  0.86) V Dalla condizione iniziale si ha:

-0.05

i L (0  )  i L (0  )  0.2  K  0.2  K  0.4 ,

da cui:

0.1 0.05 0

Imponendo la continuità della corrente i L (t ) :

12.5103 t

j Z 2  R2   5  10 j , Z 3  R3  10, C e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha, posto Z x  Z 2 // Z 3 : Z x V Z 2.5 [V] V2  E  Vc  2 c  2.17e  j 0.86 2 Z  Z R  Z E  10,

0.2

i L (t )  Ke 12.510 t  i LP (t ) ,

1 0.5

A  -1.41

Quindi in definitiva si ottiene la tensione 0

R3  10 , C  1 mF

e(t ) R3 . R1  R3 Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita vc :

L diL i L I cc , dove τ     80 s. dt   Req

R1i y  R2 i L  L

R1  20 , R2  5 

V0 (t ) 

e( t ) , I cc (t )  R1  2 R2

e quindi ricavare l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )

R1i x  R1i y  e ,

C

  100rad / s

R3

a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore: 35 Req  ( R1 // R3 )  R2    τ  Req C  11.7 ms 3 b) Per t  0 il circuito è a riposo, quindi vc (0  )  vc (0  )  0. Per t  0 , ricavando la tensione a vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:

Per valutare la soluzione per t  0 si può procedere come nell’esercizio 1.1, valutando dapprima l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore:

R  R2  1 2

e(t )  10 cos(t )

R2

 v (t ) 

+

e(t)

L  2 mH

i L (t )  e(t )

R1

A

R2  20 

L

ver2.1-2007

ES. 1.5 Il seguente circuito è a riposo fino a t  0 , istante in cui si chiude l'interruttore A. Calcolare: a) la costante di tempo  del circuito; b) la tensione ai capi del condensatore per t  0 (tracciarne anche il grafico).

ES. 1.4 Considerato il seguente circuito, che fino all’istante t = 0 lavora in regime stazionario, calcolare la corrente nell'induttore per ogni istante, graficare l’andamento e stimare la durata del transitorio. i x (t )

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

1

2

3

4

5

t/tau

6

Il transitorio si estinguerà in circa 4τ  0.32 ms. 5

vc (t )  1.41 exp(85.5t )  2.17 cos(100t  0.86) V il cui andamento è tracciato nella figura a lato.

0 -0.5 -1 -1.5

t0 -2

-2.5 0

0.05

0.1

0.15

[s]

0.2

6

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ES. 1.6 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t  0 , istante in cui si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione ai capi dell’induttore in ogni istante e tracciarne il grafico.

R1

+

E

R2 t 0

R3

iL

vL

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica di L i L I cc ,   dt  

i LP (t )  J Risultato: v L (t )  0 per t  0; v L (t )  88.5e 1.510 t V per t  0.

i L ( 0  )  i L (0  )  0 da cui

C

vC

v(t )  R2 i L (t )  480(1  e

R1

R2

V per t  0.

24(1-e 1 )  He 1

150

L’andamento della soluzione è tracciato nel grafico a lato.

R1  30 , R2  20  L  50 mH

T

I cc (t ) 

200

100

J  40 A, T  1 ms

J

e

H  41.24

v(t )  R2 i L (t )  825e 1000t V per t  T .

50 0

0

1

2

3

4

[ms]

5

Per calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo [0, t fin ] con t fin  5 ms , basta integrare la potenza istantanea assorbita:

t

Essendo v(t )  R2 i L (t ) è opportune risolvere il problema nell’incognita i L (t ) , variabile di stato. Per t  0 il circuito è a riposo, quindi i L (t )  0 . Per 0  t  T , valutando l’equivalente di Norton ai capi di L si ottiene:

Req  R1  R2



[V] 300 250



da cui

j (t )

0

350

dove H è una costante arbitraria, determinata imponendo la condizione iniziale per t  T 

ES. 1.8 La seguente rete dinamica è a riposo per t  0 . a) Tracciare l’andamento della tensione ai capi di R2 per t  0 . b) Calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo 0  t  5 ms . i L (t )

 K  24 ,

per 0  t  T .

i L (t )  He 1000t ,  4103 t

0  K  24

e quindi tutta la soluzione coincide con la soluzione dell’omogenea

i L (T  )  i L (T  )

j (t )



di L i L   0, dt 

R1  R3  1 k, R2  500 .

Risultato: vC (t )  73.33 V per t  0; vC (t )  54.59  18.74e

 v(t ) -

)

E  220 V , C  1 F ,

R3



L

1000t

Per t  T l'equazione differenziale sarà

t 0

R2

R1  24 A. R1  R2

Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale:

ES. 1.7 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t  0 , istante in cui si chiude l'interruttore. Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante e tracciarne l’andamento.

+

L  1 ms . Req

dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario, quindi assumendo L come corto circuito:

R1  1 k, R2  R3  500 .





i L (t )  Ke 1000t  i LP (t ) ,

4

R1

con

L’omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice   1 /   10 3 s 1 . La soluzione assume quindi la forma:

E  220 V , L  0.1 H ,

L

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t fin

WR2 (0, t fin )  

0

R1 J, R1  R2

t

t

T 2 T fin fin v 2 (t ) v (t ) v 2 (t ) 480 2 (1  e 1000t ) 2 825 2 e 2000t dt   dt   dt   dt   dt R2 20 20 0 R2 T R2 0 T

WR2 (0, t fin )  25.48 J

da cui l’equazione differenziale nell’incognita i L (t ) :

7

8

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ES. 1.9 La seguente rete rappresenta un semplice circuito di carica e scarica di un condensatore. La carica avviene tra l'istante t  0 e l'istante t  T , intervallo in cui l'interruttore A resta chiuso. Per t  T , invece, il condensatore C viene collegato al resto della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponendo la rete a riposo per t  0 , valutare: a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0  t  T ; b) l'energia massima Wmax erogabile da C per t  T ;

R1

A

 v (t ) 

t  0, T e(t )

B

+

R2

C

e(t )

T

e(t )

C

+

Per t  0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione: v(t )  e(t )

Ri  L

e(t )  sin(100t ) V R1  15 , R2  10 ,

dt 2

v dv C . R dt

dv i v .   dt C CR

R  dv 2 e  1 .     v LC  RC L  dt LC

L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è la seguente:

2  2  10 6   2  1012  0 , e fornisce le radici 1,2    j  10 6 (1  j ) . La soluzione dell’omogenea associata può quindi essere espressa nella forma:

R2

E

i

L’equazioni differenziale nell’incognita v(t ) sarà quindi

b) la corrente che circola nell’induttore per t > 0.

+

di v  e, dt

di e  v Ri   dt L L

ES. 1.11 Nella seguente rete l’interruttore si chiude all’istante t  0 , istante in cui la corrente circolante in L è nota. Calcolare: a) il circuito equivalente di Thevenin ai capi di L per t > 0;

R1

e(t ) 1 A. 2R

Da tali equazioni si perviene al sistema delle equazioni di stato:

d 2v

L

i (t ) 

L’evoluzione dinamico del circuito per t  0 sarà descritta dalle seguenti equazioni derivate imponendo le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli:

Risultato: i (t )  0.08e  t / 0.006  0.03 sin(100t  0.54) A

t 0

R  1V , 2R

Per la continuità delle variabili di stato si avrà: v(0  )  v(0  )  1 V e i (0  )  i (0  )  1 A .

C  1 mF, v(0  )  1 V .

iL (t )

R

v (t ) 

t

R2

t0

v(t )

C

C  10 mF

ES. 1.10 Nella seguente rete è nota la tensione ai capi del condensatore all’istante di chiusura dell’interruttore t  0 . Valutare la corrente i(t) nel resistore R1 per t  0

i (t )

+

2 V per t  0 e(t )    2 V per t  0 R  1, L  1 H , C  1 F



L

R

a) v(t )  40e 10t  44.7 sin(20t  1.11) V per 0  t  T ; b) Wmax  8.64 J ;

R1

i R (t )

i (t )

T 2s

aperto

aperto 0

Risultato:

ES. 2.1 La seguente rete è in regime stazionario fino all’istante t  0 . Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante, graficarne l’andamento e stimare la durata del transitorio.

R1  10 

chiuso

ver2.1-2007

2. Circuiti dinamici del secondo ordine.

e(t )  100sin(20t ) V

A

t T

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

v0 (t )  e t [k1 cos( t )  k 2 sin( t )] .

E  10 V, i L (0)  2 A

A tale soluzione va aggiunta la soluzione di regime stazionario che, per effetto delle considerazioni svolte precedentemente, sarà banalmente pari a: v p (t )  1 V . La soluzione

R1  5 , R2  4 , L  1 mH.

generale per t  0 assume quindi la forma: Risultato:

a) Req  2.22 , E 0  5.55 V

v(t )  e t [ k1 cos( t )  k 2 sin( t )]  1 .

b) i L (t )  2.5  4.5e t /  A, con   0.45 ms. 9

10

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

Le costanti arbitrarie si determinano imponendo la continuità delle variabili di stato nell’istante t  0 . Tale proprietà impone le seguenti condizioni iniziali su v(t ) e su v(t ) : v(0  )  1  k1  1  k1  2

dv 1 v (0  )   i (0  )    0  k1   k 2 dt 0 C  R 

 k2  

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

ES. 2.3 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t  0 . Calcolare: a) il valore delle grandezze di stato all'istante t  0  b) la corrente iL (t ) per t > 0

k1  2. 

R

La soluzione è, quindi:

iL (t )

C

j( t )

R

L

v(t )  1  2e

106 t

6

1.5

La costante di tempo della rete è pari a   1 /   1 s , mentre il periodo delle delle oscillazioni naturali è pari a T  2 /   6.28 s. Durante il transitorio, quindi, è visibile meno di una oscillazione naturale completa.

0.5

C  5 F a) Per t  0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:

[V] 1

i L (t )  j (t ) / 2  10 A , vC (t )  j (t ) R / 2  20 V 

b) Per t  0 il circuito è in evoluzione libera. Per ottenere le equazioni di stato si possono imporre le equazioni di Kirchhoff e le caratteristiche, come fatto nell’esercizio 1.1. Un metodo più efficace consiste nella risoluzione preliminare del circuito resistivo associato. Questo circuito può essere studiato applicando, ad esempio, il metodo dei potenziali nodali modificato. Considerando c come nodo di riferimento e osservando che il potenziale del nodo a è pari a vc mentre quello del nodo b è pari a v L si ha:

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

t [us]

6

vC  v L  iL , R

iL 

ES. 2.2 Nella seguente rete sono assegnati i valori delle grandezze di stato all’istante t  0 . Calcolare la tensione sul condensatore per t  0 .

L

e(t )

+

C

 v (t ) 

v L  vC  Ri L ,

a

vC  iC  j  0 . R

Le variabili non di stato saranno esprimibili come:

R

t  0.



Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 )  v c (0 )  20 V e i L (0  )  i L (0  )  10 A .

0

-1.5 -1

t0

L  10 H

6

[cos(10 t )  sin(10 t )] V .

L’andamento della tensione in ogni istante di tempo è riportato nel grafico a lato.

t0

20 A j (t )   0 A R2

iC j

vC

+ _

vC  j. R

iC  i L 

R b

R

vL

iL c

Ricordando le caratteristiche dei bipoli dinamici, da queste equazioni si ottengono immediatamente le equazioni di stato della rete:

v0   1 V, i0  0 A

di L vC  Ri L  , dt L

E  1 V per t  0 R  1, L  1H , C  1F

dvC  i L  j vC .   dt C RC

Ricavando vC dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale: d 2iL dt 2

5

Risultato: vC (t )  e 510 t [cos(8.7  10 5 t )  0.57 sin(8.7  10 5 t )] V per t  0 .

R  di 2  1    L  iL  0 ,  RC L  dt LC

la cui equazione caratteristica fornisce 1, 2    j  10 5 ( 1.5  1.3 j ) . La soluzione è, quindi: i L (t )  exp(t )[k1 cos( t )  k 2 sin(t )] ,

dove le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt : i L (0  )  10  k1 ,

di L dt

 0



vC (0  )  Ri L (0  )  0  k1   k 2 L

 k2  

k1  11.5 . 

Pertanto la soluzione sarà: i L (t )  exp(1.5  10 5 t )[10 cos(1.3  10 5 t )  11.5sin(1.3  10 5 t )] 11

t  0. 12

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

ES. 2.4 Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t  0 , istante in cui il generatore si spegne. Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.

R

10 cos(100t ) A j (t )   0 A

R

t0

R

t0



20 V e(t )    20 V R 1

L

L  5 H

C

Z1 IL  J  2.07  3.66 j  4.21exp(1.06 j )  Z1  Z 2

i L (t )  e(t ) / 2 R  10 A , vC (t )  e(t ) / 2  10 V



i L (t )  4.21cos(100t  1.06) A.

Per t  0 il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate precedentemente. Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:

vC (t )  1.74 cos(100t  1.14) V .

iC 

Per la continuità delle variabili di stato: vc (0  )  v c (0  )  0.73 V , i L (0  )  i L (0  )  2.07 A .

d iL dt

2



dvC v i e   C  L , dt RC RC C

di L  0. dt

d 2 vc dt

la cui equazione caratteristica ammette le radici  1  72.4 e  1  27.6 . La soluzione si può esprimere, quindi, nella forma:

dove le costanti k1 , k 2 sono determinate dalle condizioni iniziali su i L e su di L / dt : i L (0  )  2.07  k1  k 2 ,

v (0 )  2 Ri L (0 )  C  280  1k1   2 k 2 . L

Risolvendo tale sistema si ottengono: k1  4.98 , k 2  2.91 quindi per t  0 la soluzione è data da:

i L (t )  4.98 exp(72.4t )  2.91 exp(27.6t ) A.

+

di L vC Ri L .   dt L L

 vC -

iC R

 vL

+ iL

-

2

R  dv 2 1 de e  1 .    c  vc   LC RC dt LC  RC L  dt

L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: 1, 2    j  2  10 5 (1  j ) , quindi la soluzione si può esprimere nella forma:

4 [A]

vC (t )  e t [k1 cos( t )  k 2 sin( t )]  vCP (t ) ,

3

dove vCP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il circuito tende per t   (regime stazionario):

2 1

vCP (t )  e(t ) / 2  10 V .

0



R

Ricavando i L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:

2 R di L 1  iL  0 , L dt LC

iL (t )  k1 exp(1t )  k2 exp( 2t ) ,

v L  v C  Ri L e(t )

Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale 2

e  vC  iL , R

si ottengono le equazioni di stato:

Per t  0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene: vC  2 Ri L  L

t  0.



Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 )  vc (0 )  10 V e i L (0  )  i L (0  )  10 A . Osserviamo che, essendo ic (t )  0 , si ha banalmente pc (t )  vc (t )ic (t )  0 .

Applicando la LKC si ricava: I C  J  I L  7.93  3.66 j , da cui la tensione:

VC  Z C I C  1.74 exp(1.14 j )

t0

C  5 F





t0

Per t  0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:

Per il partitore di corrente, la corrente dell'induttore sarà

0

R

C  50 mF

J  10, Z1  Z C  Z R  0.5  0.2 j , Z 2  Z L  Z R  0.5  j.

di L dt

vC (t ) -

Per t  0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo:



+

e(t )

L  10 mH

L

C

ver2.1-2007

ES. 2.5 Con riferimento al seguente circuito, in regime stazionario per t  0 , calcolare la tensione vC (t ) e la potenza pC (t ) assorbita dal condensatore in ogni istante

R  0.5 

iL (t )

j( t )

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

-1

Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su vC e su dvC / dt :

-2

vC (0  )  10  k1  10

-3 -4 -0.2

-0.1

0

0.1

0.2

[s]

0.3

Andamento della soluzione in ogni istante.

dvc dt

0



k1  20;

v (0  )  e (0  )  1 6   i L (0  )  C   8  10  k1   k 2  k 2  20. C  R 

La tensione sul condensatore per t  0 è, quindi: 13

14

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

ver2.1-2007

5

5

vC (t )  20e 210 t [cos( 2  10 5 t )  sin( 2  10 5 t )]  10  28.3e 210 t [cos( 2  10 5 t  0.79)]  10 V .

La potenza assorbita per t  0 si può valutare in due modi: possiamo calcolare preliminarmente la corrente che circola nel condensatore: 5 dv (t ) iC (t )  C C  40e 210 t sin(2  10 5 t  1.57) A , da cui: dt 5

5

pC (t )  vC (t )iC (t )  565e 410 t [sin( 4  10 5 t  2.36)  0.71]  400e 210 t sin( 2  10 5 t  1.57) W

Allo stesso risultato si perviene ricordando l’espressione dell’energia di un condensatore: C 2

p C (t ) 

dvC2 (t ) dt

 2.5  10 6

+

RS

RU C

eS (t )

d 2iL dt 2

R S  RU  50 

E T

v (t )  320e  4.4510 t  4.6  10 9 e  22.5510

9

t

9

+

C

di L dt

0



1 vC (0  )  1000  1000k1  500 k 2 , L

per t  T .

t0

E

i L (t )  k1e 1000t  k 2 e 500t  i LP (t ) ,

da cui: k1  1, k 2  4 , e quindi la soluzione per t  0 è i L (t )  e 1000t  4e 500t  6 A .

ES. 2.7 La rete in figura è in regime stazionario fino t  0 , istante in cui si chiude l'interruttore. Calcolare la corrente iL (t ) per t  0 .

ES. 2.8 La rete in figura è in regime stazionario per t  0 . Determinare: a) le grandezze di stato all’istante t  0  b) la corrente nel condensatore e la tensione nell’induttore all’istante t  0  c) la tensione sul condensatore per t  0 d) la tensione sull’induttore per t  0

E  2V iL (t )

R

1 di L 1 E  iL  . RC dt LC RLC

Le radici dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata sono: 1  1000,  2  500 , quindi la soluzione si può esprimere nella forma:

i L (0  )  3  k1  k 2  6;

t

Risultato: v(t )  0 V per t  0 ; v (t )  3.74e 4.4510 t  0.74e 22.5510 t  3 V per 0  t  T ; 9



Le costanti k1, k2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :

L  2 nH , C  10 pF

9

iL (t )

dove i LP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il circuito tende per t   (regime stazionario): i LP (t )  E / R  6 A. .

eS (t )

E  6 V , T  1ns

0

R

Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0  )  vc (0  )  1 V e i L (0  )  i L (0  )  3 A . Il circuito da analizzare per t  0 è disegnato a lato. i(t ) Dal circuito resistivo associato si ricavano le equazioni: E  vC i L  iC  , vC  v L ,  R R + v C E C (t ) L da cui è semplice ottenere le equazioni di stato della rete:  dvC v i di L vC E   C - L,  , dt RC RC C dt L

5 d [28.3e 210 t cos(2  10 5 t  0.79)  10] 2 . dt

 v(t ) 

ver2.1-2007

Ricavando vC dalla seconda e sostituendola nella prima si ottiene l'equazione differenziale:

ES. 2.6 Il seguente circuito rappresenta un semplice sistema trasmettitore-canale-ricevitore. Calcolare la tensione sul ricevitore ( RU ) in ogni istante e tracciarne l’andamento. L

A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica

R

R  1/ 3  L  1 mH

L

j (t )

C  2 mF

R

vC (t )

iC (t ) C

iL (t ) L

v L (t )

t0 2 j (t )   2 sin(  t ) t 0    106 rad/s, R  1 L  1 H, C  1 F

Il circuito da analizzare per t  0 è disegnato a lato. Essendo in regime stazionario, il condensatore si comporta come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito: E i L (t )  E / 2 R  3 A , vC (t )  E / 2  1 V

(t  0) .

+

R

 R vC (t )

Risultato: a) vC (0  )  1 V, i L (0  )  1 A iL (t )

b) iC (0  )  2 A, v L (0  )  0 V 6

c) vC (t )  2.28e 10 t cos(10 6 t  0.90)  1.26 cos(10 6 t  0.32) V per t  0



6

d) vL (t )  3.22 cos(106 t  0.52)  e 10 t [3.23 sin(106 t  0.13)] V per t  0 . 15

16