L'intégrale Par Méthode Des Trapèzes Et Simpson: TP Simulation [PDF]

Zitiervorschau

Université Saad Dahleb de Blida06/03/2018 Département des énergies renouvelables « L3 »

TP Simulation

L’intégrale par méthode des trapèzes et Simpson

Préparé par :

groupe 36

Zouache Kamel

INTRODUCTION Nous développons ci-après quelques méthodes qui permettent de calculer, sur un b

intervalle fini [a,b], l’intégrale définie

∫a f ( x)dx

d’une fonction f continue donnée.

Ces méthodes sont particulièrement utiles dans le cas où les primitives de f ne sont pas des fonctions élémentaires ou sont trop difficiles à calculer. Nous distinguerons deux optiques :

 La fonction à intégrer est remplacée par une fonction interpolant ou par une fonction d’approximation ;  L’intégrale est approchée par une somme pondérée de valeurs prises par la fonction en des points situés dans un voisinage de [a,b].

Partie théorique 1- FORMULE DES TRAPÈZES On subdivise l’intervalle [a,b] en sous- intervalles {[xi-1,xi] , i = 1,2,…, n; x0 = a; xn = b} sur lesquels la fonction f est remplacée par le segment de droite qui joint les points ( xi-1 , f(xi-1)) et (xi , f(xi)). Cette procédure revient à remplacer, sur [a,b], f par une fonction d’interpolation linéaire par morceaux. D’un point de vue géométrique, on assimile l’aire comprise entre le graphe de f et l’axe des x à la somme des aires de n trapèzes. Considérons que la division en sous-intervalle est uniforme et posons :

h= xi = a + ih où

b−a n   et f(xi) = fi  ; i = 0, 1, 2, …, n.

x i+1

Sur l’intervalle [xi , xi+1] l’aire trapèze correspondant.

∫x

f ( x )dx

i

est remplacée par h( fi + fi+1 )/2 , aire du

En additionnant les aires des n trapèzes, on obtient la formule des trapèzes : b

h

∫a f ( x )dx≈ 2 ( f 0+2 f 1+2 f 2+⋯+2 f n−1+f n ) On peut montrer que l’erreur commise est proportionnelle à h2 (si la fonction f est deux fois continûment dérivable). On dit que la méthode des trapèzes est d’ordre 2. La formule est « exacte » pour les fonctions f de degré  1. 2 FORMULE DE SIMPSON Développons à présent une méthode d’ordre 4 qui équivaut à remplacer la fonction à intégrer par des paraboles définies sur des sous-intervalles comprenant trois abscisses d’intégration successives. Approximation parabolique par morceaux

On suppose que l’intervalle [a,b] est partagé en n sous-intervalles égaux : [xi-1, xi] ,tels que xi = a + ih , avec h = (b-a)/n . On groupe les points par trois, n doit donc être pair a = x0, x1, x2 | x2, x3, x4 | … |xn-2, xn-1 xn = b. Et on remplace, sur chaque intervalle [xi-1, xi+1], la fonction f par une parabole. Pour l’intervalle [x0, x2], la courbe représentée par f(x) est approchée par la parabole d’équation :

( x−x 1 )( x−x 2 ) ( x−x 0 )(x− x2 ) ( x−x 0 )( x−x 1 ) +f 1 +f 2 ( x 0 −x 1 )( x 0 −x 2 ) ( x1 −x 0 )( x1 −x 2 ) ( x 2−x 0 )( x 2 −x1 ) ( x−x 1 )( x−x 2 ) ( x−x 0 )( x−x 2 ) ( x−x 0 )( x−x 1 ) =f 0 2 +f 1 2 +f 2 2 2h −h 2h

p( x ) =f 0

x2 h f ( x )dx ¿ ∫ x p (x )dx = [ f 0 +4 f 1 +f 2 ] 0 0 3

x2

et l’intégrale est alors approchée par :

∫x

En répétant ce procédé pour les n (pair !) sous-intervalles, on a finalement la formule b

de

h

∫a f ( x )dx≈ 3 [ f 0+4 f 1+2 f 2+4 f 3+. . .+2 f n−2+4 f n−1+f n ] La méthode de Simpson est donc d’ordre 4 et son erreur est donnée par :

h4 (4) E(h )=− (b−a)f (ξ ) , 180

  [a,b].

Simpson  :

Partie pratique

LA fonction F(x)=x e− x cos(2x)

Méthode des trapèzes Algorithme Variables :

i et n entiers ; a , b , y , k2  , s , E , I et h réels. f fonction .

Entrées et initialisation :

lire a,b , n et k2.

b−a =¿ h n 0 =>> s Traitement Pour i de 1 à n-1 faire i+1=>> i a+i*h=>> y s+f(y)=>> s

Fin h*(s+0.5(f(a)+f(b))) =>> I (k2.*(b-a)3) / 12n2 =>> E Sorties

I et E

Le code

La recharche de k2 F(x)(2) =

4 x sin ( 2 x )−3 x cos ( 2 x )−4 sin ( 2 x )+2 cos ⁡(2 x) =>> k2=2 ex

Calcule de I et E Pour n= 30

Pour n=100

Pour n= 300

Méthode de Simpson Algorithme Variables :

i et n entiers ; a , b , y , z, k4  , s ,w, E , I et h réels. f fonction .

Entrees et initialisation :

lire a,b , n et k4.

b−a =¿ h n 0 =>> s Traitement Pour i de 1 à n-1 faire i+1=>> i a+i*h=>> y

et

a+(1+i)*h=>> z

s+f(y)=>> s

et

w+f(z)=>> w

Fin (h/6)*(2s+4w+(f(a)+f(b))) =>> I

(k4.*(b-a)5) / 180n3 =>> E Sorties

I et E

Le code

La recharche de k4

F(x)(4)=

−24 x sin ( 2 x )−7 x cos ( 2 x ) +24 sin ( 2 x ) +32 cos ⁡(2 x) e

x

Calcule de I et E Pour n= 30

=>> k4=32.15

Pour n= 100

Pour n= 300

Tableau des results

Conclusion Vitesse de convergence : la méthode de Simpson converge bien plus vite que la méthode des trapèzes, Avec 30 itérations, la méthode de Simpson approche la valeur exacte à 10 −3, tandis que la méthode des trapèzes atteint cette précision avec 100 itérations.