Logica si adevar [PDF]

Zitiervorschau

Prefaţă

Logica modernă

i se înfăţişează celui ncini ţ i at

ca. un

lung

lanţ de formule. Pentru e l această aparentă - lan ţul de for mule" - este însăşi esenţa logicii moderne. Dar nu numai celui neinitiat lu cruri le i se par a sta astfel. E xis tă un s o i de sp ec ia ­ list, certat în mare m ăsu ră cu limbajul obişnuit, "algOl'iimistul", "

­

pentru care formula nu are al t sen s decî t acela operatio nal . Dacă

lucrurile ar corespunde acestei viziuni de neiniţiat sau de spe.

fi în acest caz decît "scolas. li că în simboluri". Şi totuşi, f ormula ca lculul, a lgoritm ul nu re p r ezi ntă altceva decît mijloace adecvate şi eficiente, iar mijloa­ ce le fie ele practice sau te oret ice sînt destinate să rezolve proble­ mele care apar în activitatea noastră. Desigur că omul a re ace astă cialis t mărginit logica modernă n-ar

,

capacitate extraordinară de a se sustrage în cercetare nevoilor imediate. Pe de altă p arte însă nu putem uita de interesele sociale practice, nu putem lucra numai pen tru "s atisfacţi a intelectuală". O idee este sterilă dacă ea nu-mi p oate răspunde în nici un fel

la i ntrebare a "ce pot să construiesc cu această idee?". Se poate spune că logica modernă sub anum ite asp ecte cores­ punde ide ii de constructivitate, dar nu pe măsura posibilităţilor ei. Ea a găs it legături cu p racti ca (tehnic a calculatoarelor şi în genere cibernetica industrială), cu educa ţia (Prin dezvoltarea învăţării programate), cu ştiinţele speciale (mai ales cu matema­ tica). Construcţia socialismului cere folosirea celor mai înaintate m ijlo ace d e organizare şi co nducere a economiei naţionale. Un rol deos e bit de i mpo rtant îl au calculatoarele e lec tro ni ce şi automa­ tizarea. "Rezultate superioare, arată tovarăşul Nicolae Ceauşescu,

o b ţin în pr oduc ţ ie pe baza mijloacelor tehnice moderne de şi automatizare, a ins/rumentelor de analiză oferite de c ele mai noi dom eni i ale matematicii, ciberneticii şi informaticii

se

calcul

economice"l. ar c ons trucţia şi utilizarea calculatoarelor elect ro ­ nice este impos i b i l ă fără u ti lizare a aparatului logico-matema tic , în spe ţă a algebrei logice. In ciuda fap tu ltti că logica matematică II.,.

1 N i c ol a e

�1-Z3

Ce il U şes c u.

1I."".b, ••

1966,

Editura

Cuvintare la. plenaTa C.C. a.l P.C.R. politică,

p.

40.

5

este o disciPlină e x trem de abstractă ea îşi găseşte largi ap li c aţii în produc ţia modernă, în o rganizarea şi co nducerea activ ităţii eco­ nomice. O anumită atitudine dogmatică a ţ inut- o ani de-a rîndul departe de filozofia materialis t dialectică şi chiar de... logicieni. La noi lucrările cu titlul "Logica tehnică", "Logica în pr ocesul de în văţămînt " , "Analiza logică în construcţia teoriilor fizicii , chimiei, biologiei e tc ." se lasă a şte ptate . Marile pro bleme f i lo ::0 f ice pe care le- a adus în scenă logica modernă au fos t mai mult l:nv ocate decît analizate. Filozofia materialist d i a lec t i că este () ş t ii n ţă. Ea îşi trag e seva din analiza marilol' probleme care apar în dezv ol tarea ştiin­ ţelor p a r ti culare, a so cie tăţii , a artei, a culturii în genere. Există însă naivi car e cred că este suficien t să iei cunoştinţă de cîteva texte clasice pentru a putea face fi lozo f ie . Se porneşte pr o babi l de la ideea că concluziile filozofi e i fiind simPle, în cazul că chiar nu confundă filozo fia cu truismele la îndemîna oricui, drumul care duce la aceste concluzii es te la fe l de s implu . Se uită pe ce JVlont-Blanc de fap te s-au sprijinit Aristotel, Descartes, Leibniz, Kan t , Hegel, Marx, E ngels , Lenin pentm a aju nge la aceste conclwlii simPle. D.1J' nu t re b u i e să se co nfunde p rocesu l de popularizare a şt i in ţei Ct� acela de creare a ei. Sîntem cu toţii de acord că o ştiinţă îşi îndeplineşte cu atît mai bine ros­ turile cu cît răspunde la mai multe probleme import ante pe care i le pune epoca. Pentru acea.sta ea tre buie să facă uz de toate m ijloace le prac tice şi teo retice care îi stau la îndemînă la un mo­ ment dat. Din punct de vedere teoretic cele mai eficiente mijloace pe care le avem la dispoziţie astăzi sînt mijloacele matematice şi cele logice (în speţă logica ma tematică) . Mij loace le logice sînt nec esare o ric ărei ş t iinţe pltr şi simPlu pentru că nu po ate exista ştiinţă fără argumentare, fără demons traţie . Se p o ate oare filozofia dispensa de argumentare ? In acest caz ea ar înceta să mai fie ş ti inţă . Poate ea să se lipsească de analiza marilor pr o bleme care se pun în faţa dezvoltării ştii n ţei ? In caz că da , ea ar pie rde calitatea de metodă generală de g îndi re. Cu toate că nu sîntem ­

de acord cu o asemenea situaţie în princiPiu, prac tic am acceptat- o

multă vreme. 6

Disputele filozofice

din fundamentele mate-

maticii, care au influenţat atîta dezvoltarea acestei ştiinţe ne-au rămas multă vreme străine. De ce ? Poate, în parte, pentru că nu ne-am încumetat să reanalizăm din punctul nostru de vedere faptele supuse discuţiei. Convingerea mea este că nu poţi parti­ ciPa cu competenţă la discuţia filozofică asupra faptelor ştiinjei dacă nu eşti în stare să reanalizezi faptele pe care le invocă inter· locutorul, precum şi altele de acest fel. Oricît de greu ar fi acest lucru noi trebuie să ne străduim să-l facem, dacă vrem ca filo­ zo fia să-şi îndePlinească rolul ei de căIă'lfză a dezvoltări i ,

ştiinţelor.

Am încercat în această carte să aduc în faţa cititorului o parte din acele probleme care preocupă de mai bine de şaptezeci dl' ani mintea unora dintre cei mai de seamă oameni de ştiinţă. M-am străduit să argumentez punctele de vedere, să repun în dis· cuţie faptele acolo unde n-am fost satisfăcut de analiza deja datii Ştitt că în asemenea discuţii avem puţine dreptur i şi multe oMi· gaţii. Măcar o parte din aceste obligaţii sper să le fi îndeplinit. Voi fi bucuros de orice observaţie argumentată. Dr.

GH. ENESCe

Capitolul

1

Logicism sau matematism?

1.

NUMĂRUL ESTE UN ATOM D:EMOCRITIC?

De mii de

ani matematica joacă un rol uriaş

în dezvo ltarea

cunoaşterii, tehnicii şi producţiei. Influenţa ei asupra tu turor

laturilor activităţii o me neşti a devenit pe zi ce trece mai mare . Fără matematică, o istorie a cunoaşter i i , a teh n ici i , a producţiei este de neconceput. Stirnind mereu interesul şi uimi­ rea, ea a interve nit din cele mai vechi tim puri în toate între­ bările permanente ale spiritului o me nesc: care este natura existenţe i? , ce este cunoaşterea şi cum este ea pos ibi lă? Model de cu n oaştere precisă şi evidentă, matematica a stîrnit entuzias­ mul .. mistic" al pitagoricilor şi uimirea luc idă a modernilor. Pentru pitagorici, lumea era nu măr şi armon ie . Certitudinea şi evidenţa adevărurilor matematice s i nt exemplare p entr u i ntreaga cunoaş tere . Cunoaşterea ar progresa mult mai rep ede dacă am gindi p retut i nde n i în mod matematic (Descartes) şi d ispu tele s-ar incheia cu mai mult succes dacă în loc să vorbim am ca lcul a (Leibniz). Veacur ile XVI-XIX aduc succese peste succese. Descartes i ntro duce mişcarea în m atema t ic ă prin extensiunea pe care o dă utilizării variabilelor (Engels), Newton şi Leibniz aduc in faţa cunoaşter ii mate matice proble mele infinitului prin întemeierea calculului integral şi dife­ renţial , Lobacevski, Bolyai, RiemanD se a v intă pe căile geo­ metrie i .. absolute", iar Georg Cantor ne introduce in .. raiul" (Hilbert) mu lţimilor transfinite. U n iversu l matematic creşte enorm, depăşind posibilităţile de comprehensiune ale unui singur om. Insă acest univers in expansiune suferea de o lipsă acută de unitate. Iatil. deci o no uă prob lemă in faţa matema­ ­

ticienilor: matematica

nu trebuie doar să descopere ordinea din trebuie descopet'ită sau, dacă nu, introdusă în lumea ideilor matematice . Aparatul fnsă, superbul aparat cu care omul dobindise atitea succese în d escrierea cantitativă a rfilalului, se dovedi incapabil să-şi de zvălu ie unitatea şi teme-

luct'uri, ci ot'dinea

9

Ha, să creeze in tegritatea şi sistem ul abs tracţ iilor mai:emadce. Privirile se tntoars eră tn altă parte. Graţie unor sp iri te ilustre ca George Boole şi Augustus de Morgan , matematicienii des­ coperiră pe Aris tote l . Ei luară de la Aristotel logica, oferind In schimb limbajul gIndirii matematice. Reechipată cu ajutorul limbajului simbo lic, logica nu nu mai că deveni un instrument eficace de ordonare şi de fundamentare a cunoştinţelor mate­ matice , dar, reintinerită, luă ea însăş i un nou avint in dezvo l­ tare, în aşa fel că, dacă in 1787 I mmanuel Kant putea să aibă într-o anumită măsură dreptate scriind .. dass sie auch bis j e tzt ke inen Schritt vorwărts hat thun konnen" (că ea de asemenea pînă acum n-a putut să facă nici un pas inainte)l, in secolul al XIX-lea această afirmaţie ar fi devenit anac ron ică . Dacă lăsăm la o parte geometria, care este de fapt prima aplicare a matematic i i la ..formele sensibile" (ad ică o aPlicare la formele spaţiale pure), aproape int reaga matematică a fost supusă unei aritmetizări (unei reduceri logice la aritmet ică ) . Succesul cel mai important pe această linie a fost aritmetiza_ rea anali zei matem at ice . T rebuie amin tit ă aci con tr ibu ţia unor matematicieni de v az ă , cum au fost Weiersstras (1815-1897), Dedekind (1831-1916), Meray (1835-1911) şi Cantor (18451918) . Peano (1858-1932) a impins atit de departe analiza, incit a redus toată teoria numerelor natu rale la trei con cepte pri­ mitive ("număr natural", " zer o", " s u c cesor " ) şi cinc i axio me . Deoarece l a baza analizei matematice fusese pus continuul numerelor reale, re du cerea analizei matematice la aritmetică a inse mnat in ultimă instanţă reducerea numerelor reale la cele na turale . Faptul avea nu nu mai o deosebită i mp ortanţ ă matematică , ci şi una gn oseol ogic ă . "încrederea intr- un fel de intuiţie geometrică obscură - scrie matematicianul american S. C. Kleene - fu înlocuită cu defin irea numerelor reale ca fiind nişte obiecte construite din numere na.turale, intregi însuşirile numerelor reale erau sau raţ iona le. Prin aceasta, 1 I m ma p. 22.

1884, 10

nu e

1

K

a n t.

Krilik du rei"." V.,,, .. ,,!t, Heldelberg,

reduse in ultimă instanţă la insuşirile numerelor naturale"l . Se ştie că, mai mult ca oricare alt matematician, Descartes aşezase la baza cunoaşterii matematice intuiţia. Acum însă procedeele logice (definiţia, reducţia deductivă) fncepură să aibă prioritate, iar concepţia carteziană asupra cunoaşterii matematice să plllească. Matematicienii păreau să fie deosebit de satisfăcuţi de rezultatele obţinute. într-un opuscul din 1900, Poincar� scria: "Astăzi, in analiză rămîn numai numere întregi, precum şi sisteme finite şi infinite de numere intregi, legate tntre ele de reţeaua relaţiilor de egalitate şi inegalitate", iar Kronecker tşi permitea să afirme că "die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" (numerele intregi le-a făcut bunul dumnezeu, restu l este opera omului) . Progresele făcute în analiza matematică (şi aici tre­ buie amintită tn primul rînd teoria numerelor transfinite a lui Cantor) insemnau indeosebi o mai adincă pătrundere în cunoaş­ terea infinitului. Hilbert scria că "analiza matematică poate fi numită Intr-un anumit sens, simfonia unică a infinitu lui"B. însă infinitul aducea cu sine ne liniştea metafizică". Procesu l cunoaşterii este o nelinişte continuă şi iubitorii de certitudini absolute sint primii dezamăgiţi . O minunată epigramă engleză redă exact situaţia psihologică In care ne aflăm adesea in ştiinţă: ,

"

"Natura şi legile ei erau ascunse in beznă, Dar dumD.ezeu a spus «Să fie Newton!. şi s-a făcut lumină. Veni

peste puţin diavolul şi exclamă.: «Să fie Einstein! .) şi

to tu l reintrl!. in beznă".

Matematica fusese unificată pe baza numărului natural,

părind astfel să dea justificare une i străvechi concepţii după care esenţa matematicii este numărul luat in accepţia sa cea mai uzuală. Un fel de atom democritic (analog cu cel din fizică ) 1 S. C. K 1 e e ne. lnlroduclion 10 Melamatem"tics. New York·To­ ronto, D. van NOltrand Company, lne., 1952, p. 30. I D a vid H i 1 b e r t. Baule ,eometriei, ed. rusă, Moscova, 19'8, p_ US.

11

părea să-şi fi făcut loc in matematică. Gottlob Frege a fost printre primi i care au pus la îndoială caracterul absolut inana­ lizabil al numărului natural: nu, numărul natural nu este nici pe departe o entitate atU de simplă pe cît se crede! Folosind o terminologie logică-aritmetică nu îndeajuns de clară, Frege a izbutit totuşi să dea una dintre cele mai ciudate definiţii din cîte cunoaşte istoria ş tiinţei : definiţia numărului cardinal. Dacă p înă la Frege logica jucase în cercetările matematice un rol mai mult indirect. o dată cu acesta ea devine în mod direct şi deschis instrumentul o ric ărui se preocupă de fundamenta­ rea matematicii·. în concepţia lui Frege. dincolo de numărul natural nu se mai puteau afla decît raporturi de natură lo gică . Tocmai de aceea a dizolva numărul natural in rtlporturi mai simPle este 101 una cu a-l defini in termenii logicii, itlr Intr-un Plan mai larg a reduce matematica la logică. I deea reducerii matematicii la logică a dat naştere unui întreg program de lucru. cunoscut astăzi sub denumirea de .. programul lui Frege". Teza care afirmă că matematica este red u c tibi lă (deductiv) la logică. cu alte cuvinte că prima nu est e decît o ramură a celei de-a doua. poartă numele de ..teza logicistă". iar concep­ ţia care porneşte de la această teză se numeşte logicism. Aşa dar . Frege este întemeietorul unuia dintre c urentele care s- a u dezvoltat in proce sul de fundamentare a matematicii, curentul lo gicist. Berlrand Russell, care a continuat şi a desă­ v îrşit opera lui Frege. atribu ie paternitatea tezei logiciste lui Leibn iz . La fel Kleene şi alţii. O incursiune cit de cU atentă in concepţia lui Leibniz st trneşte indoială cu priv ire la aceast ă afinnaţi e a lui Russell. Leibniz împărţea adevărurile in două categorii: adevăruri ale raţiunii, bazate pe principiul noncon­

trad icţie i (a ltfel spus, propoziţii identice ale căror opuse implică o contradicţie logică), şi adevăruri de

fapt,

bazate pe legea ra­

ţiunii suficiente. Toate adevărurile sint j udecăţi de forma

.. predicatul este cuprins în subiect", Insă unele au in mod

evi­

dent aceastl forml, altele pot fi aduse (printr-un şir de operaţii) • Expresia de "fundamentare a matematicii" este foarte des utili· zatA, şi ea desemneazii procesul de construire a matematicii ca un sistem simplu, unitar ti necontradlctorlu pe baza anumitor criterii logice.

12

la aceast! formă. bacă omul este pe deplin capabil să dezv1i.luie subiectul in predicat in cazul adevărurilor raţiunii, pentru adevărurile de fapt care ar cere in acest caz o analiză infinită Leibniz a acceptat ipoteza divinităţii, căci, spun ea el , singu r dumnezeu este capabil de o analiz ă infinită * . Particularizind ideile sale despre adevărurile raţ iunii, Leib­ niz arată că din această catego rie fac part e propoz iţ i ile l og ic i i şi matematicii. Cu alte cuvinte, Leibniz operează o grupare a propoz iţ i i lor log ic ii şi matematicii in virtutea une i propriet ăţi comune: a fi adevăruri ale raţiun i i . Aceasta însemnează deocam­ dată o si mplă cosubordonare a ce lor două mulţimi de adevăruri (O sub ordonare a lor unei a treia mulţimi). Leibniz n-a afirmat nicăieri in mod expres că mulţimea propoziţiilor matematice poate fi redusă prin deducţie la propoziţii log ice . Căci, aşa cum s-a mai arătat, termenul de "adevăruri ale raţiunii" nu este riguros definit pentru a putea să-i dezvăluim implicaţiile . Şi, in u lt i mă instanţă, acest termen pa re a desemna o proprie­ tate formală a propoziţiilor, prop rietate care in v i rtute a carac­ terului ei formal es te independentă de conţinutul "logic" sau "m atematic " al propoziţiilor. De altfe l , Bertrand Russell tnsuşi observă că "toate propoziţiile logicii au o caracteristică care se exprima in sensul că sint ana l itic e , şi prop oziţ i ile opuse lor ar fi in sine contradictorii. Această afirmaţie nu este satis­ făcătoare. Legea contradicţiei nu este decit o singură propoz iţie logică; ea nu posedă nici o prioritate; dovada că inversa unei propoziţii este contradictorie cere, in afară de legea contradic­ ţiei, interven ţ ia alt or pr incipii de deducţie"l. Des igur prin aceasta Russell nu neagă ex iste nţa concepţiei logiciste la Leib­ niz, ci insuficienţa acestei concepţi i. Ceea ce este c la r este fapt u 1 că Leibniz a fost preo cu pat de unificarea logi c ii şi matematicii, însă nu este sigur că el a văzut l ucrur i le din acelaş i punct de vedere ca Frege şi Russell. Trebuie să distingem in principiu intre dezvăluirea uni tăţii ştiinţelor şi reductibilitatell 101'. Vom • De.pirţită de aspectele ei religioase, ipoteza poate cll.păta o formil accep tabilă in do meniu l previzlunli evenimentelor aşa-zise H1nt!mpli· toare": dacă am fi capabili să descriem totalitatea condiţiilor care prece d l un fenomen tntimplător. atunci noi l-am p ut ea prevedea. I B e r t r a n d Rus s elI. 1 ItlfOdwc"olt a la PlJilosop"ie mldema­ ,jq ... , Paris, 1928, p. 241.

13

vedea insă că nici Frege, nici Russell sau

aiţi

iogiciştî

nu

s-au

exprimat deschis in

favoare a unei asemenea nuanţări. Revenind la "programul lui Frege ", p recizăm că el cuprinde realizarea tezei logic iste in trei etape: 1) definirea noţ iunilor matematice c u aj utoru l noţiunilor log ic i i; 2) exprimarea p rop oziţiilor matematice in termeni logici ; 3) demonstrarea teoremelor matematice din axiome log ice cu aj utoru l reguli lor logice . Logiciştii afirmă că acest program a fost indeplinit graţie efortur il or dep use de Frege, Dedekind şi Peano (acesta m a i ales in ce p riveşte p unctul doi din pro­ gram), Whitehead şi Russell. Frege dă o c onstrucţie in lucrarea sa Grundlagen der A rithmetik, iarWhitehead ş i Russell in monu­ mentala operă PrinciPia Mathematica. Vom vedea in continuare cum şi c ît s-a realizat din programul am intit . Frege s-a străduit in pr imul rind să dea o nouă definiţie numărului. El consideră că numerele naturale sint in fapt numere cardinale ale unor noţ iuni . Expresia "număr card ina l al unei n oţiuni", spune Frege , este doar o simplă prescurtare pentru expresia "sfera noţiun ii care este egală numeric cu n oţiu ­ nea P" . La rindul ei, expres ia "noţiunea G ega lă numeric cu no­ ţiunea P" este pre z entată tot ca o prescurtare pentru următoa­ rea exp resie : "există o corespondenţă biunivocă intre obiectele care cad sub noţiunea P şi obiectele care cad sub noţiunea G" . Această ultimă expresie poate fi uşor redată în termeni logic i . Poate să ne pară destul de ciudat faptul că Frege vorbeşte de "numărul cardinal al unei noţiuni". într-adevăr, termino­ logia nu este prea fericit aleasă (asupra acestui lucru am atras deja atenţ ia) , insă cu p uţin efort intenţia expresiei poate fi p usă in evidenţă. Sfera noţiunii este tocmai mulţimea obiec­ telor la care se aplică notele noţiunii, iar un număr cardinal este numărul de obiecte pe care le conţine o mulţime. Folos ind un simbo lism extrem de greoi !, Frege a incercat să dea o con­ s trucţie efectivă ideilor sale, construind pentru prima dată

un sistem axiomatic log ic-ar itm et ic . Prezentarea acestui s i stem 1

Vezi lucrarea

1965, p.

14

198-199.

noastră

[Iltroducere

,"

logica

matematică,

Bucureşti,

nu este importantă pentru l uc ra re a de f aţă şi

dec i nu o vom face . Urmează in mod f ir es c intrebarea: a reuşit Frege să ducă la b u n sfirşit programu l propus? Un răspuns concis la această intre­ bare ni-l dau Fr aenkel şi B ar- H illel in lucrarea Foundations of set theory (Fundamentele teori ei mulţimilor): "Chiar dacă Frege ar fi dob ind it un succes deplin in reducerea aritmeticii la logi­ că - ceea ce totuşi nu s-a intimplat din cauza ap ariţiei antino­ miilor in sistemul său -, aceasta nu ar fi insemnat că intreaga an aliz ă ar fi fost red u să la logică, deşi aritmetizarea analizei fusese efectuată. Acest lucru nu este nici p ină astăzi pe d ep li n in ţe les şi nici Frege nu l-a inţeles indeajuns. Problema constă in a ceea că ar itmetizarea in seamnă, după expresi a lui Poincare, reducerea la «numere intregi şi sisteme finite sau infin ite de numere intregi &, adică nu numai la n um ere in tre gi , ci şi la ceea ce acum numim in mod ob işnu it mulţimi de numere întregi" 1. Cu a l te cuvinte, Frege n-a izbutit să reducă la logic ă şi teoria mulţimilor, sarcină pe care se afirmă că au indep linit- o White­ head şi Russell. Cu toate acestea, d in construcţia lui Frege rămin cel puţin trei re aliz ări importante : o def iniţ i e originală a nu m ăru lui , primu l calcul axiomatic al log icii (ca lc ulul pro­ poz iţii lor) şi un sistem logic-aritmetic ( chiar dacă imperfect)· Perfecţionind definiţ ia dată de Frege, reconstruind logi ca prin pr ism a teoriei ti pu rilor (în scop u l eliberării ei de antinomii), reanalizind teor ia m ulţ imi lor şi folosindu-se de un simbolis m mult mai comod, R u sse ll imp re un ă cu Whit ehead au realizat una dintre cele mai impres ionante constru cţii ştiinţifice ale secolului nostru, P'Yincipia Mathematica. Principiile care au stat la baza acestei opere, concepţia fi lo zofic ă (logicistă) pe care autorii i-o asoc ia z ă , s int expuse in lucrarea lui Russell Introducere în filozofia matematicii, p re cum şi î ntr- o altă s er ie de lucrări u lte rioare . în scopul de a da cititorului o imagine clară despre momentu l ce l mai interesant al con cepţ ie i logi­ ciste - definirea conc eptu lu i de număr -, vom u rmăr i pe scurt prezentarea făcută de Russell în Introducere în filozofia matematicii.

.. ..

, A. A. F r a e n k e 1 şi Y. B a r·H i 1 1 e 1. Fo n� eions Theor;y, Amsterdam, North·Holland Publishing Company, 1958, p. 163.

of Sol 16215

Incepind

expu

n erea cu privire la cercetarea definiţiei . numă­

rului, Russell atr age atenţi a asupra unei confuzii care se face

ei intre număr şi pluralitate . . . Un număr - spune el caracteris tica numerelor aşa cum un om (concep­ tul de om . - G .E.) t rebu ie să fie caracteristica oamenilor. O pluralitate nu este un exemplu de număr, ci ţine de un număr determinat"l. Astfel, o pluralitate de trei oameni este un caz particular a l numărului 3 şi doar număr u l 3 este un caz particular al numărului (in general) ...Numărul 3 carac teri zeaz ă ceva ce au cei trei (oameni . - G .E.) în comun, ceva ce-i distinge de toate celelalte mulţimi. Un număr este ceva ce caracteri­ zează anumite mulţimi ..."2. O .. mulţime" este în accepţia lui Russell acelaşi lucru cu ..clasa" sau .. grupul" . Există două mo­ d u ri de a defini clasele (mulţimile): prin enumerarea compo­ nentelor (de exe mplu spunînd : .. gru pu l pe care l-am văzut con­ stă din Ion, Gheorghe, Vasile") şi prin evocarea unei proprietăţi (de exemplu "locuitor al Bucureştiului"). "Definiţia prin enu­ merare se numeşte «extensi vă $, iar aceea care am inteşte o proprietate «(comprehensivă »"3. U ltim a, spune Russell este fun­ damentală din două considerente: .. 1) Def iniţ i a extens ivă poate totdeauna să fie transformată intr-una comprehensivă, 2) defi­ n iţia comprehensivă nu poate, nici măcar te oret ic , să fie redusă la una extensivă"4. Astfel, grupu l definit mai sus in mod exten­ siv poate fi definit comprehensiv prin . . X este sau Ion, sau Gheor ­ ghe' sau Vasile". De finiţ i ile extensive pot să nu fie necesare, iar in cazul cind avem de-a face cu mulţimi infinite ele sînt chiar imposibile, astfel că nu ne mai put em sprijini decît pe defin iţii le comprehensive. Din cele de mai sus, Russell reţine trei idei importante pen tru cercetarea definiţie i numărului: a) numerele inseşi formează o mulţime infinită şi, prin urmare, nu pot fi definite extensiv, b) nu este exclus ca mu lţimi le care au un număr dat de elemente să se d ovedească (u lt er ior) a fi infinite, c) trebu ie să definim numerele in aşa fel ca infinitatea lor să fie pos ibilă . O clasă are o singură caracteristică numerică de

ob ic

trebuie să fie

1 B e 1 b • 1 b • 1 b

16

t

d

raD d Rus s elI, Op. C.'.,

e m, de m. de m.

p.

24.

p.

24.

şi un număr mare de alte diferite caracteristici.

Ce înseamnă a

concepe numărul unei clase? " . . . A concepe numărul unei clase

a

este un mod de

grupa anumite mu lţimi, adică pe acelea care

au un număr de termeni dat. Putem presupune toate cuplurile (diadele .

- G . E.) la

un loc, toate triadele etc ."l. "Fiecare

grup este o clasă ai cărui membri s înt mu lţimi, adică clase; de asemenea fiecare este o

clasă de clase"2.

De exemplu, din

clasa diadelor vor face parte: clasa miinilor unui om. clasa

picioarelor unui om, clasa aripilor unei păsări etc., fiecare

doi

dintre aceste clase constînd exact din

membri. Numărul

unei clase nu poate fi definit prin numărătoare, deoarece numă­ rătoarea presupune la rindul ei număru l şi în acest fel definiţia ar fi un cerc vicios. Trebuie, conchide Russell. să găsim altă

metodă .

Această metodă constă în stabilirea corespondenţei

biunivoce intre clase (operaţie care nu presupune că ştim să numărăm).

Două clase

fiecărui

X

mem bru

şi Y se află în corespondenţă biunivocă dacă

al clasei

x

X îi punem

în corespondenţă

un şi

numai un membru y al clasei Y şi, invers, dacă fiecărui membru y al clasei Y îi punem in corespondenţă un şi numai un mem bru x

al clasei X. De exemplu, clasa mîinilor poate fi pu să in cores­

pondenţă biunivocă cu c lasa picioarelor, astfel ca mina dreaptă

să corespundă cu piciorul drept şi mîna stingă cu piciorul stîng. Două c lase aflate in raport de

core spondenţă

mesc e chipo len te . Dacă vom nota clasele cu

0(,

ţia de ech ipolenţă cu - , atunci expresia

va însemna "clasa Astfel.

O(

biunivocă se nu­

�.

y, . .. , iar rela­

de forma

următoarele clase de (O()

{I.

2.

(�)

{2,

4.

3,

6,

4,

8,

.

numere "înt echipolente:

.. , n, . . . ,

. . .•

}

2n, ... }

O clas ă fără nici un element poartă numele de Astfel "clasa oamenilor cu aripi" este un om nu are aripi. Vom nota

clasa

o

v idă cu simbolul 1\.

a

z

Cu­

construi definiţia

numărului cardinal . Numărul cardinal al unei clase 1 1 b I d e m, m.

clasă vidă.

clasă vidă. intrucît nici

noştinţele de mai sus sint suficiente pentru

• 1 b j de

,,1X"'f3"

este echiPolentă cu clasa W' .

O(

est, clasa

p. 26.

17

tuturor claselor echipolente cu CI. Din această definiţie decurge că toate clasele care se află intre ele in raport de echipolenţă au a ce la şi număr (de obiecte). Pe baza definiţiei de mai sus se introduc apoi toate numerele şirului natural. Zero (O) este clasa tuturor claselor echipolente cu clasa vidă (A); altfel spus, zero este numărul cardinal al clasei vide . Unu (1) este clasa tuturor claselor echipolente cu clasa {O}, adică echipolente cu clasa care are ca unic element pe zero. Doi (2) este clasa tuturor claselor echipolente cu clasa {O, 1}, adică echipolente cu clasa care este formată din ele­ mentele O şi 1. tntr-un mod asemănător se definesc toate cele­ lalte numere naturale. Schema generală a unei asemenea defi­ niţii este următoarea: un număr n este clasa tutu ror claselor echipolente cu clasa formată din {O, ... , n - l }, ad ică din numerele naturale de la zero la n - 1. Pe baz a numărului cardinal se defineşte şi ideea de număr natural în genere. Nu­ mărul natural (sau numărul cardinal finit) este numărul car­ dinal pentru care are loc inducţia matematică. Conform cu definiţiile de mai sus, numărul unei diade va fi clasa tuturor diadelor. "tn fapt, clasa tuturor cuplurilor (diadelor. - G. E.) va fi numărul 2 după definiţia noastră. Graţie utilizării unei mici bizarerii, această definiţie oferă ceva determinat şi indubitabil; nu este dificil să verificăm că numerele astfel definite sînt în z estrate cu toate propr i etăţile pe care noi ne aşte ptăm să le gă sim la numere"l. Am văzut că aritmetica fusese redusă de Peano la trei noţiuni prim iti ve (ne­ definite) - număr natural, zero şi su cce sor -, precum şi la

cinci axiome. Pentru ca reductibilitatea la logică să fie com­ pletă, era necesar să se definească în termeni logici şi noţiunea de

" succesor".

termeni ai clasei cx adăugarea terme­ x nu este un termen al clasei

"Succesorul numărului de

esle "fIU/mărul de termeni ai clasei formate prin

nu lu i x la

Ilt,

prevăzut

fii14d că

primitive"2. După cite se observă, şi aici noţiunea de număr

este fundamentală. ' B. Russ eII. • 1 b i d e m, p.

18

Op. cit.,p. 3 1. 37.

Definiţia numărului dată pînă aici se bazează pe teoria claselor (sau teoria mulţimilor). O "logicizare" este posibilă şi pe baza calculului predicatelor. Vom apela în acest sens la lucrarea lui Hilbert şi Ackermann Bazele logicii teoretice. După cum scriu aceşti autori, "numerele apar ca însuşiri ale predica­ telor, şi pentru calculul nostru un număr determinat reprezintă un predicat de predicate ... Ca urmare a acestui fapt, devine posibil să includem în logică teoria numerelor". Iată defini­ ţiile numerelor O, 1 şi 2: O (F) df3xFx ("nu există x pentru care să aibă loc proprie­ tatea F"); 1 (F) df:lx[Fx&Vy(Fy-+ (x== y)] ("există x pentru care are loc Fx şi orice y care satisface pe Fy este identic cu acest x"); 2 (F) df:lx:ly {(x =4= y) & Fx & Fy& VZ [Fz-+ «x == z) V V (y == z))]}. Hilbert şi Ackermann numesc aceasta "tratarea logică a noţiunii de cantitate". în acest fel, ei înşişi ader! tn fapt la punctul de vedere logicist. O dată cu definiţiile de mai sus, punctul numărul 1 din programul lui Frege pare să fi fost indeplinit. Prezentarea modului în c ar e s-a realizat punctul doi din programul (transcrierea propoziţiilor aritmetice în termeni logici) nu prezintă un interes deosebit, de aceea vom da un sim­ plu exemplu (cu titlu informativ), transcrierea expresiei =

=

=

,,1 + 1

=

2";

VxVy [«xe1) & (yel))==«xUy)e2)] (unde x=l=Y şi sînt nev id e) (in teoria clase lor); VFVG {(Inc (F, G) & l(F) &l(G)] -+2(F V

G)}

,,1nc" este predicatul "incompatibil") (in teoria predicatelor). în Principia Mathematica s-a efectuat deducţia propoziţiilor aritmetice, in primul rind a axiomelor lui Peano. Iată ce scrie Russell in concluzie: "Admiţind că numărul de indivizi din uni­ vers nu este finit, noi am reuşit nu numai să definim cele (unde

19

trei idei primitive ale lui Peano, dar chiar să demonstrlm cete cinci propoziţii pr imitive cu ajutorul ideilor, primitive şi ale p ropoziţ ii lor care aparţin logicii. Rezultă că intreaga matematică pură, intrucit poate să fie dedusă din teoria numerelor naturale, nu este decît o extindere a logicii"l. Iată deci punctul de vedere logicist, afirmat cu toată claritatea. Acest punct de ve­ dere a fost împărtăşit, printre alţii, de A. Church, W.O . Quine, Wang Rao ş.a. Rilbert, Tarski preiau pur şi simplu teza logi­ cistă, fără a se declara în genere în favoarea curentului logicist, Cu alte cuvinte, ei nu încearcă să dezvolte această concepţie. Cel care a încercat să re lanseze logicismul a fost Quine în lucra­ rea sa Mathematical Logic. Quine încearcă să evite dificultăţile legate de teoria tipurilor prin introducerea principiului "stra­ tificării" (principiu nelogic, care poate fi considerat ca prag­ matic). în lucrarea sa Introducere in logică şi me todo logia ş tiin­ ţelor, A. Tarski recunoaşte că "noţiunea numărului însuşi şi in acelaşi mod toate celelalte noţiuni aritmetice se pot defini fără a ieşi din limitele logicii". La simpozionul organizat de redacţia r evistei "Erkentnis" (septembrie , 1930) la Konigsberg (oraşul in care a trăit şi a activat 1. Kant), Rudolf Carnap a prezentat şi a susţinut punctul de vedere logicist. El a pornit insă pe alte căi decît Russell. împreună cu Tarski, Carnap este creator u l semanticii logice. Acum ciţiva ani, Alonzo Church a incercat un fel de relansare atenuată a tezei logiciste în comu­ nica re a Mathematics and logic, prezentată la Congresul de logică, metodologie şi filozofie a ştiinţei de la Stanford din 1960. A. Church înglobează teza logicistă în afirmaţia mai generală că "logica are prioritate faţă de matematică . Această afirmaţie, arată Church, are două sensuri: a) sensul tare, "matematica poate fi pe deplin obţinută din logica pură fără introducerea unor noţiuni de bază suplimentare sau a unor presupuneri su­ plimentare"2, ş i se nsu l atenuat, "logica este in orice caz o pre misă necesară pentru matematică, întrucît raţionamentul deductiv "

1 I sophy limba 196R,

20

1 b I d e m, p, 38. A. C hur c h. iIf"them"ticsand Logic, în Logic, ilfelhodology".. dPhylo­ 01 Sei ce, Stanford Univ. Press, 1982, p. 181; vezi şi traducerea In română In volumul LOf'c4 şi i o o i Bucureşti, Editura p o litic ă, p, 405-414,

...

l l . l o,

joacă in matematică un rol atit de

'important"l. Church inşiră

favoarea

obiecţi ile şi încearcă să aducă argumente in

tezei

atenuate a "priorităţii logicii". Asu pra acestora vom reveni

in tr- u n pa ragraf următor. Cu aceast a

încheiem § 1,

c u răspunsul;

nu, numărul nu este un atom democritic. Numărul nu ab stracţie ireductibilă, nu este o entitate absolută.

este o

2. MATEMATICA ESTE Problema aceasta este

O

RAMURĂ A

LOGICII?

o problemă specia l ă , ca re ţine de

c o mpet enţa logicii ap lica te ; tocmai de aceea, inainte de a incerca s-o

abordăm

din

punct de

vedere

filozofic, vom vedea

ce

argumente concrete se pot aduce i mp otriva construcţiilor ..logi­

ciste", considerate din pu nctu l de vedere al

Sintem intru totu.1 de acord cu următoarea

tezei logiciste. idee exprimat ă

de Komer cu privire la mod ul in care trebuie ju de cat e sistemele

,;Iogiciste"; .. Dacă sistemul este deficient

qua ma tematica,

con­

fruntarea lui cu tezele şi programele filozofice po ate fi uneor i

fără valoare. Dar numai perfecţiunea mate matică a sistemului lui nu este suficientă. pentru a face validă o filozofie logicistă

a matematicii"2. O analiză cît de c it atentă a principalei con­

strucţii .. lo g ici ste " ei

(Russel l

PrinciPia Mathematica

ne arată că autorii

in pri mul rînd) adoptă. următoarele supoziţii tacite

(sau nu i ndeaj uns

de explic ite):

a) categoria "clasă" şi relaţia de

. . apartenenţă"

ţin de do­

meniul logicii; b) teoria logică a claselor este i den tică cu teoria matema­

tică a mulţimilor;

c) orice propoziţie a matematicii aritmetizate (după cum

s-a mai arătat, nu vom include a ici geometria) se poate deduce

in sistemul

Principia Mathematica

sau într-o construcţie asemă­

nătoare perfecţionată. Dificultăţile se ivesc atunci cînd păşim 1 1 b i d e m, p. 183. S . K o r n e r. I,,',otl .. c.,. 1965, p. 66.

•

Editura Ştiillţificll,

,,,

[.10'0['" ",,,,,.,,,Hi.",

Bucureştf,

21

in domen iu l mulţimilor transfin ite . Spre o mai mare eficienţă

a comparaţiei , vom pune

in faţă două construcţii efective : sistemul axiomatizat al teoriei mulţi­ m i lor ZF (Zermelo-Fraenkel) . Acest sistem foloseşte o serie de def in iţ i i şi nouă axiome . Un deosebit interes prez intă axioma aleger ii şi axioma inf in itului . Formularea axiomei alegerii este următoarea. Pentru orice mulţime formată din mulţimi (nevide) care se exclud reciproc există cel puţin o mulţime care are un membru comun cu fiecare dintre mulţimile date . A xioma infi ­ ni tului . Dacă n este un număr cardinal inductiv oarecare, există cel puţin o clasă d e indivizi avind n termeni (formu larea lui Russell) . Deşi aceste axiome sint exprimabi le in termeni "logici axioma alegerii şi axioma infinitului s-au doved it a nu fi deduc­ tibile din axiome log ice Pe de altă parte, neavind caracter lo­ gic (nu sint tautologii sau propoziţii analitice) , ci mai degrabă unul empir ic, ele nici nu pot fi anexate pur şi simplu la axiomele logicii . Iată ce scria A . Church in 1960 despre acest lucru : " tn­ tr-adevăr, axioma infin itu lui poate fi socotită semilogică pr in caracterul său , deoarece ea poate fi formulată in d icţionarul folosit pentru formularea legi lor logic ii pure , dar DU este ana­ litică !n raport cu vreo teorie cunoscută a raţ ionamentu lu i deductiv, care poate , după părerea mea , să reprezinte In mod adecv at şi firesc o pract ică standard ex istentă a raţionamentu lu i matematic" l . Dar o dată cu " izgonirea" lor d in logică rămîn pe d inafară şi toate teoremele a căror demonstraţ ie se sprij ină pe aceste axiome . S-a constatat in schimb a ltceva, anume că se pot deduce impl icaţ ii le de forma Ax_T adică implicaţiile care au ca a 1f tecedenl una dintre cele două axiome , iar drept consecvent o consecinţă (teoremă) care decurge din ele . Se deduce de a ic i că in orice caz ele trebuie acceptate ca axiome, ceea ce, după expresia lui Fraenkel, autorii sistemului Prin­ ciPia Mathematica nu erau "prea bucuroşi" să facă, avînd în vedere caracterul nelogic (neanalitic, netautologic) al acestor

P,inciP;'(J

Malkemglica ş i

" ,

.

1

22

A.

C II

u r c h.

O/> . eit . , p. 1 8 4 - 1 85.

axiome. Camap a btcercat 511. ev ite dificu ltăţile legate de axioma. infinitului prin construirea aşa-num it elor " l imbaj e coordonate" , în care obiectele nu sînt numite (ca în limbajele nominale) , ci sint reprezentate prin coordonatele lor in sistem (exemplu poz i­ ţia spaţio-temporaIă) . In loc să scriem " ob iectu l a este Albas­ tru" vom scrie : Albastru (Xl ' Xa , Xs , Xc) ceea ce înseamnă că poziţia cu coordonatele Xl ' X2 , Xs , Xc este albastră . Axioma infinitului ar fi reprezentată în s istem de o teoremă (deci se deduce) , care afirmi că " nu există u ltimul element în succesiune" .

Carnap şi alţi logicieni (de exemplu logicianul sovietic D . A . Bocivar) cer excluderea din logică a oricărei presupuneri existenţiale, cu alte cuvinte "logica este liberă de ontologie" (contrar binecunoscutei poziţii a lui Aristotel) . După cum arată Fraenkel, inovaţia lui Carnap n-a prea fost luată în conside­ raţie de spec i al işt i şi nu se poate face o apreciere calificată asupra ei , mai ales că ea n-a fost probată în vreo construcţie . O lov itură a primit l og ic ismu l şi din partea renumitei teoreme al lu i GOdel despre incompletitudinea de pr incip iu a sistemelor de tip u l Principia Mathematiea . Această teoremă arată că există propoziţii aritmetice adevărate care nu pot fi deduse în sistem, deşi pot fi demonstrate cu mij loace din afara sistemului . în acest fel se dovedeşte că nu toată aritmetica poate fi inglobată intr-un s istem de tip " log ic ist" . Am en u merat pînă acu m două obiecţi i . "Conform cu cea

de-a treia ob iecţie - scrie A.

Church

-

pentru matematică

este necesară nu logica în sensul teoriei raţionamentu lu i deduc­ tiv , ci doar numai anumite cazuri concrete de raţionament de du ctiv "l. Această obiecţie este adusă mai ales de reprezen­ tanţ ii intuiţionismu lui matematic . în concepţia intuiţionişt i ­

lor, trebuie

să conchidem că "programul logicist este . . . pur şi

simplu imposibil" 2 . In orice caz , ob iec ţii le de mai s u s arată eşecul construc­ ţiilor logiciste

pe

linia încercării reducerii (deductive)

ticii la logică , cu • 1 b i d e m, 1 b I d e m.

alte cuvinte eşecul practic al

p.

a

matema­

p,ogramului lui

185.

I

23

Nu exist/i pinii tn momentu l de faţA. constructiv care s/i susţin/i teza logicistA. · .

Frege .

nici un atgumeni Dar este aceasta

o dovadă definitivă impotriva tezei log iciste?

3.

O OMI SIUNE

FUNDAMENTALĂ

S-a petrecut ceva asemănător cu "oul lui Columb" , s-a u itat un lucru foarte s imp l u : inainte

de

a reduce

" m atematica"

la

î nseam nă "matematică" , dar m ai a les ce înseamnă "log ică" ! Cu a lte cuvinte, este necesar să ştim ce trebuie să reducem la ce . Cîtă vreme nu am so l uţionat această problemă - so lu ţ ie care nu este de loc uşor de obţinut - . toată d isc uţ ia cu privire la "reducere" atirnă in v id . Ne-am propus să redu cem mulţimea M a propoziJiilor matematice la mulţimea L a propoziţiilor logice , dar nu ştim încă să delimităm exact în ce constă proprietatea " logic" prin care se defineşte această ultimă mulţime. Nu este pr ima dată in istor ia cunoaş­ terii cind ne aflăm într-o asemenea s ituaţie curioasă , c înd oamen ii "irosesc" timpul cu lucruri complicate pentru a se " logică" , ar trebu i să ştim ce

trezi apoi că au omis cîteva chestiuni simple , de principiu .

" In legătură cu majoritatea termen ilor

care

intră. în formularea

dată a tezei logiciste , nu există n ici un fel de convenţie general acceptată ; aceasta se referă in particular la termeni ca gică �,

log ic

ca şi

«ax io me

».

logice

»,

« regulă de deducţie * şi

$lo­

«dicţionar

In funcţie de interpretările concrete ale acestor termen i ,

în

funcţie de precizarea

termenului

« matematică .) (de

exemplu se consideră sau nu că geo metr ia intră tn matematică

ş i , dacă da, ce s e inţelege prin

«geometrie » ) , teza 10g ic istă cu­

pr inde o gamă extrem de largă : de la

truisme care nu prezintă

nici un interes pînă la speranţe respectabile ,

dar neclare

tn

fun-

• Ar trebui 81 mai spunem el in tre logicismul lui Frege şi cel al lui R u s s e l l e x is t i o deosebire, c are - ş i ar e o r i g i n e a In conce p ţ i a despre defi­ n iţ i i . R ussell cre de a ci defin i ţ i i l e slnt s i m p le abrevier i , definiţ i i n o m i n a l e . F r e g e , d i m p o tr i v A , nu r e d u c e a defin i ţ i i l e la c e l e m n a l e . I n particular, def i n i ţ i a n u m A r u l u i este p e n tru R u •• e l l o definiţie nomin a l A , iar pen tru Frege O defin i ţ i e r e a l A . Vom d i e deci Intre loglcis m u l . r e a l lst" a l l u i Frege ş i l o g i c is m u l " n o m in a l i s tU a l lu i R u s s e l l .

no i

ist ng

24

damentul

aproape evident

lor, şi afirmaţii

Discuţia

fa l se" l .

in legll.turll. cu caracteristica mulţimii propoz iţi ilor log ic ii s-a

concentrat in j urul aşa-numitulu i caracter

ţ ii lor

analitic al propoz i­ log ici i . Ne-am intilnit cu aceastll. problemă la Leibniz ,

care distingea intre "adevărurile raţ iu n ii" şi "adevărurile de fapt" ; ea apărea însă şi la alţi g in d itor i , d e e xe mp lu la Des­

cartes

( îna inte

de Le ibn i z )

şi

la Kant (după Leibniz) . Astfe l ,

Descartes imparte re laţii le (sau "contingente" ,

necesar

f iin d

ceea

conj uncţiile) in

ce este " intim

ceptul celu ilalt" , iar contin gent ceea

ce

"necesare" şi

imp licat in

nu este legat

con­

"printr-o

relaţie inseparabilll." . Kant vorbea despre legături analitice ş i

sintetice

intre

subiect

şi

pred icat .

A nali tic : "predicatul

aparţ ine subiectului A in aşa fel că el este conţ inu t int im )

în

acest concep t A " ;

B

(in mod

se află cu totu l

sintetic: " B

in afara lui A, dar el se află într-adev ăr în re l aţ ie cu aceasta" .

Deş i de f in iţia definiţia

necesarului , d at ă de analiticului , d ată de Kant ,

acestor concepte . este pentru

Astfel,

Descartes , core spu nde cu ei dau ap l i c aţ ii

propoz iţ ia aritmetică

Kant sintetică, î n

7

+

diferite

5

=

12

t imp c e pentru Descartes este

necesară (an a l it ică) . Kant insă subordonează propoziţ iile log ic i i

şi matemat ic i i unei însuşiri comune , care îl apropie de c o ncepţia lu i Leibniz , anume aceea de a fi p ropo z iţ i i

apriori (adevărate

inainte şi independe nt de experienţă) .

"Frege înlocu ieşte noţ iunea leibniziană de propo z iţ ie iden ­

tică - una in care incluziunea subiectulu i în p redicat este evi­

dentă sau p oate fi făcutll. evidentă intr-un număr finit de - prin propria s a

este analitică

noţ iu ne

de propoz iţ ie

dacă s e p oate arăta

că ea.

paş i

analitică : o prop oz iţie decu rge pur şi simplu

din leg i genera le de logică , p lus definiţii formulate in confor­

înlo cu ieşte de asemenea reducţia identice prin procedura. sa. proprie de a demonstra că o propoz iţie analitică este analitică . Aceasta o face enumerind cu toată c laritatea p o s ib ilă nu numai toate leg i le logice fundamentale admisibile ca premise, ci şi toate mitate cu aceste legi . Frege

leibniziană

la propo z iţ ii

metod e le de inferenţă pe care avem dreptu l să le folosim" 2 . 1 A. • S.

A. F r a e n k e l fi Y . B a r- H i 1 1 e 1 . K ă r n e r , Op . cii . , p . 4 5 - 4 6 .

Op . cii. ,

p.

20 1 .

25

Se observă insă că F'rege Se tndepărtează şi mai mult de ex� căci el pune in dependenţă ideea de analitic d e ideea de lege logică , cind de fapt ceea ce trebuie exp l icat in ultimă instanţă este tocmai termenu l .. log ic " . Ludwig Wittgenste in , in al său Trac tatus logico-Philosophi­ cus i , incearcă o re lansare a ideii de ana l itic p r i n legarea ei de ideea de tau tologie · . W ittgenste in scrie : ,,6. 1 . Propoziţiile log ic ii sint tauto logi i " . .. 1 1 . Propoziţ ii le logici i , pr in urmare , nu sp un nimic (ele sint propo ziţii ana l it i ce)" · · . în speranţa salvării logicismului, B . Russell reia această idee a lui Wittgenstein, pentru ca, exact p e aceeaşi pagină , să termine în fapt prin a renunţa la ea . De altfel , intreaga viaţă a lui Bertrand Russell dovedeşte de minune adevărul prover­ bului eng le ze sc "A wise man changes his mind , a fool never does" (înţe leptu l işi schimbă g indul , nebunul n iciodată) . Iată ce scrie Russell : "Este clar că definiţia «logicii .) sau a «matema­ t ic i i » trebuie să fie cercetată, incercind să dăm o nouă d efin iţie plicaţia necesară,

1

1 955 . •

L.

W i t t g e n s t e i n.

T raclal"s

10g.co·P h i losop hicw;,

Londra,

De

a l tfel , W i t tgenstein a d e r ă el însuşi la c on ce p ţ i a 10gicis t ă . L o g i · c i s m u l l u i W it tgenstein nu e s t e î n s ă identic cu logicis m u l l u i Russe l l . I a tă

a fo r is m e le corespunzătoare : ,,6 . 2 . M at e m ati c a este m e t o d ă l o g ic ă . P r o p o z i ţ i i l e mate maticii s i n t e g a l i t ă ţ i ş i d e c i ps e u d o p ro poz i ţii" . , , 6 . 2 1 1 . In v i a ţ ă doar nu e x i s t i!. a s t fe l de prop o z i ţ i i m a t e m a t ice In c are n e - a m p u t e a p un e s p e r an ţ a , c i p r op o z i ţ i i l e m at e m a t i c i i le fo l os i m ".",ai p e n t r u ca d i n p ro p o z i ţ i i , c a r e nu a p a r ţ i n m a t e m a t i c i i , să d e d u c e m a lt e l e c are de a s e m e n e a n u a p a r ţ i n m a t e m a t i c i ii/ . ,, 6 . 2 3 4 1 . E s e nţ a m e todei m a t e m a t i c e : a l u c r a CU e g a l i t ă ţ i " . ,, 6 . 2 4 . M e to d a cu aj u t orul c ă r e i a m a t e m a t i c a aj unge l a egalităţile

s ale e s t e m e t o d a s u b s t ituţiei" .

Cu a l t e c u v i n t e , pentru W i t tgenotein m a t e m a t i c a este o m e l o a a de a deduce unele pro p o z i ţ i i din altele ( d e c i o m e t o d ă 10gic6.) . L o g i c is m u l l u i W ittgenstein e s t e in acest fe l u n logi c i s m ",elodolol'C , s p r e deoseb ire de log i c i s m ul l u i R usse l l , care este pur logic (propoziţiile m a t e m a t i c i i se deduc din p r opo z i ţ i i l e logici i ) . D ar R ussell ş i W i ttgenatein s i n t de acord că propoz i ţ i i l e ce l or d o uă ştiinţe nu au n i c i UD contin u t . F i i n d v o r b a de propoz iţii v i d e de conţinut , R us.e l l n u trage d i n re d u cţi a logică n i c i o concluzie o n t o l o g i c ă cu p r i v i r e la m at e m a t i c ă şi la l o g i c ă . D i mpotr i v ă , Fr e g e c o n c h i d e d i n r e d u c ţ i a p r o p o z i ţ i i l o r m a t e m a t i c i i l a propozi ţ i i l e 1 0 · g l ci i că o b iectele m a t e m a tic. (ex istente independe n t de p r o p o z i ţ i i , i pe care prop oe i ţ i i l e d o a r l e recunosc) se reduc l a o bi" t. log .... Prin u r m are, t r e i t i p u r i d e l o g i c i s m ( pe l i n g i!. alte v a r i ante) : a) o nt o l o g i c ( F r e ge ) , b ) l o gi c

( Ruoaell) ,

, i c) m e t o d o l o g i e ( W i ttgenste i n ) . Refer i n d u - s e la princip i u l n o n c o n t r a d ic ţ i e i , H e g e l s c r i a că " acest in e x pres i a l u i pozitiv� A = A nu este m a i Intii nimic altceva decit expresia u n e i lauto logii g o a l e . D e aceea, s-a observat j us t că această lege a gindirii este fără c o nţin u t şi n u duce m a i dep arte" ( G . W. F. H e g e l . Ş Ii."ţa 10f',ii , B u c u r eşt i , E d itura A c a de m iei , 1 96 5 , p . 398) . • •

p r i nc i pi u

26

v ech i i noţiun i de propoziţie (.ana lit ică ». Deşi nu ne m a i pute m mulţumi să definim propo z iţ i i le log ice ca re zu ltate ale legii noncontradicţiei, noi putem şi trebuie sii admitem că ele for­ mează o c lasă in intregime diferită de aceea a propoziţiilor l a care aj ungem prin emp'.•-ism . E le au toate caracteristica pe care noi to cm ai am co nvenit s-o numim tautologie . Aceasta, com b inată cu faptu l că e le pot să fie e xprim ate cu aj utoru l variabilelor şi constantelor logice, va furniza de fin iţ ia logicii sau a matem at ic i i p u re (ream i nt i m că o con st antă logică este ceva care rămine co nstant într-o propo z iţ ie chiar dnd toate comp onentele ei sint schimbate) . Pentru un moment eu nu ştiu de loc (sic !) cum trebuie să d ef inim «tautologia � . S-ar pu te a uşor oferi o definiţie care să pară satisfăcătoare pentru un timp, d ar eu n-am formu l at nici una care să mă sati sfacă comple t, deşi s imt net caracteristica pe care trebuie s-o posede această definiţie" l. Urmează imed iat un fe l de repliere : " Deci, aju nşi la acest p u nct , noi at i ngem l im ita actu a lă a c u noş t inţe lor noastre după ce am urcat p înă la bazele log ic e ale matematicii" 2 De problema ana l it ic ităţ i i in m atem atică a fos t preocupat •

şi

Poincare .

In cartea sa Ştiinţa şi ipoteza, H. Poincare, dis­ natura raţionamentului matematic, Işi punea

cudnd despre

întrebarea dacă. nu cumva întreaga matematică nu este o "imensă t auto log ie " , adică "moduri mai complic ate de a spune A es te A " . Dacă axiomele matematice la ca re se reduce totul nu dep ind de "fapte experimentale" , avem un m ot iv să le clasificiim printre j udecăţile sintetice apriori (vezi Kant) . Dar, constată Po inc are , "aceasta nu î nseam nă a rezolva dificu ltatea, ci doar a o bo teza (subl . n . - Gh . E . ) 3 . "Dacă toată şt iinţ a numărului a r f i ana litică sau a r rezu lta analitic d intr-un mic număr de j udecăţi sintet ice , s-ar părea că un spirit destul de puternic ar pu tea dintr-o singură privire

să-i surprindă toate adevărurile"'. Dacă l ucru r ile nu stau astfel,

at unc i trebuie să existe un raţionament matematic deosebit b i d e m, " I b i d e m.

1 I

p.

2 43 .

P o i n e a r e . La SC'IlHCIl

p.

• H. 1 0 (.ub l . • I b i d

ns . ) . e m,

p_

el l 'h"polhese, P aris.

e d . F l a m m arioD,

11.

27

de s ilogism (silogism care nu aduce n i mic nou in conc luzie) ,

raţionament cu "virtute creatoare" . Silogismul obişnuit (aristo­ telic) , fiind pur analitic, nu este apt decit să dea verificări nu şi demonstraJii . " Verificarea d iferă exact faţă de demonstra­ ţ ie , pentru că. ea este pur analitică. ş i pentru că. ea e sterilă . Ea . este sterilă deoarece concluzia nu este decit traducerea premiselor in alt l imbaj . De monstraţia , dimpotrivă, este fe­ c undă , deoarece concluzia este luată într-un: sens mai genera l decît premisele" ! . Cînd Leibniz pretinde să de monstreze că. 2+2 4, el nu face decît să verifice . In consecinţă , dacă. matematica nu este o imensă tautologie (şi Poincare nu crede că. e a este astfel) , ea trebuie să d ispună de un instrument mai fecund decît raţionamentul analitic (silogismul) . "Acest pro­ c edeu este demonstraţia prin recurenţă . Se stab ileşte mai int ii o teoremă pentru n 1 ; se aratâ apoi că , dacă este adevărată p entr u n - I , este adevăratâ şi pentru n şi deci pentru toate numerele întregi"2 (cu alte cuvinte , raţionamentul prin induc ţ ia matematică.) . Raţionamentul prin recurenţă reprezintâ, după. părerea lu i Poincare, o infinitate de s i log isme ipotet ice . Teorema este adevllrată despre numărul 1 . Or, dacă. este adevărată despre 1, este şi despre 2. Deci este adevărată despre 2. Or , dacă. este adevărată despre 2, este şi despre 3 . Deci este adevăratâ despre 3 etc. Premisele m aj ore ale ace stui s ilogism se reduc toate la o formulă unică : . . Dacă. teorema este adevărată despre n - 1 , atunci e a este adevărată şi despre n"3. Raţionamentul prin re curenţă este .. instrumentul care ne perm ite să trecem de la finit la infinit"' ; e l este .. ireductibil la principiu l noncontra­ dicţiei" . "A ceastă regulă, inaccesibilă demonstraţiei analitice şi experienţei, este tipul veritabil de j udecată sintetică apri­ ori"6. Pentru Poincare , ea insemna totodată .. 0 proprietate a spiritului nostru" şi nu ceva ce se întemeiază pe vreo o rd ine exterioară . î n r id icarea lor de Ia partic u lar Ia genera l , mate=

=

­

1 I

1 b 1 b

I 1 b 1 b • 1 b

,

28

d d el d d

m, m, m, m, e m,

e e e e

p. p.

13. 19. 20 . p . 22. p . 23.

p.

matidenii se

sprij ină pe indu cţ ia matematică (raţionamentu l trept ată sp re genera l este e a insăş i

recurent) . Această ridicare

un "mers pur analitic" , d ifer it insă de c e l d in s i lo g ism u l aristo­ telic , este un mers p ri n compl icare . "Matematicienii deci pro­ cedează (, pr in c on stru cţ i e » , ei constru iesc co mb in aţ ii din ce in ce mai complicate . Revenind apo i p r i n ana l iza acestor com­ b i naţii, a ac estor mulţim i (de elemente) , c a să spunem aşa , la e l emente le lor primitive , e i observă raportu ri l e acestor ele­ m ente şi deduc raporturile d intre mu lţimile îns e ş i" l . Iată pe scurt concepţia lui Poincare d e spre r aţ io namentu l matemat ic , despre caracterul anal itic al acestu i raţ io nament , analiticitate deosebită de aceea a s i log i smu l u i aristotelic . Dacă în s i l og is m u l ar istote l i c c on c l u z ia dec u rg e d in analiza p rem i ­ selor, în raţionamentu l matemat ic ea dec u rge din analiza mu l­ ţimii de elemente . Raţionamentul m atem at ic este constructiv şi creator , cel s i lo g ist ic este steril şi s lujeşte doar verificării . Poincare ne îndeamnă să spunem că trebu ie să d ist ingem

o analiticitate s ilogistică şi una inductivă .

Ni

se pare că

această

afirm aţ ie rezumă fidel cele spuse mai sus . Raţionamentul mate­

m atic este el însuş i an al it ic , însă reg u l a pe care se sp r ij in ă este sintetică apriori , i red u ct ib i l ă la regu l i le logicii form a le . în acest fe l . Po i ncare relativizează ideea de analitic , proce­ dind in u ltimă in stanţă nu n u ma i la separarea netă a matema­ ticii de l ogică (contrar logicismului) , dar , mai mult chiar , la s eparare a instrumentului logic al matemat icii de instru m e nt u l (aristotelic) . Matematica are

logic

logic . Cum

deci propriUl ei princiPiu

logicismu l n-a luat in co ns ideraţie posibilitatea rela­

t iv izării n oţi u n i i de analitic , a f ace din analitic un criteriu de deosebire a propoziţiilor logice d ev ine extrem de discuta­ bil. Pe s c u rt , Poincare complică existenţa unei concepţii logi­

ciste .

In lucrarea sa Semnifica ţie şi necesita te ( u ltimu l tom din opera Introduce,'e în semantică) , Rudolf Carnap reia conceptul de " adevăr necesar" (Leibniz) sau "adevăr ana l it ic" (Kant) , ori " adevăr logic" (formal) , pe care- l pre c i ze az ă cu aj u toru l concep1

1

b i

d

e m.

p.

26.

79

tului de L-Adevăr, L-Adevăr fiind in acest fel un exPlwnt pentru acest concept . Camap consideră că orice explicant al conceptu lu i de adevăr analitic trebuie să satisfacă următoarea convenţie : . .Propo ziţia Si este L-adevărată în sistemul semantic S dacă ş i numai dacă Si este adevărată in S, in aşa fel că adevărul ei poate fi stabilit numai pe baza regu lilor semantice ale sistemului S fără vreun apel la fapte (extralingvistice)" l . Aceasta însă nu este încă definiţia noţiunii L-A devăr . Ca şi Tarski, Camap consideră că noţiunea de adevăr se defineşte în funcţ ie de sis­ temul semantic considerat . .. Procedeul de definire al acestu i concept ne este sugerat de concepţia lui Leibniz conform cu care adevărul necesar trebuie să se îndeplinească in toate lumile posibile" 2 . Carnap pretinde să dea un echivalent noţiunii leib­ niziene de .. lume posibilă" în noţiunea sa de . . descriere de situa­ ţie" (state description) . Definiţia pe care o dă el se referă la sistemul semantic S1 ' care constă d in constante descriptive , variabile individuale , conectorii .. nu" , . . sau " , .. şi" , .. imp lică" , .. echivalent" , cuantorii universal , existenţial şi operatorii descrip­ ţiei şi abstracţiei . Descrierea de situaţie este .. clasa tuturor pro­ poziţiilor in S1 ' care conţine pentru fiecare propoziţie atomară (adică propoziţie de forma .. Pa" , unde a este o constantă care desemnează un individ , iar P este o constantă pentru un pre­ dicat) sau această propoziţie , sau negaţia ei, dar nu ambele deodată, şi nu conţine nici un fel de altă propoziţie" 3 . De aic i Carnap trece la definirea L-adevârului : .. 2 - 2 . Definiţie . Pro­ poziţia Si este L-adevărată (în S1) = df Si are loc în toate descrierile de situaţii (în S1)"'. Acest concept L-adevăr redă exact conţinutul noţiunii de adevăr analitic ( log ic , necesar) . Totuşi, Camap , urmîndu-l pe Qu ine , nu identifică analitiâ­ tatea cu adevărul analitic ( logic) . Considerînd următoarele două propoziţii : 1 . ..Fido este negru sau nu este negru" . 1 R. C a r n a p. 1959 , p . 40. I 1 b i d e m, p. p. • 1 b i d e m, • 1 b i d e m , p.

30

Semnificaţie şi ,,,eeesitate , 41. 38. 41 .

trad.

rusă,

Moscov a ,

este celibatar, atunc i el nu este căsătorit" , acord cu Quine că ambele sint propoziţii ana­ litice, dar numai prima este logic adevărată . în acest fel , clasa propoziţiilor anali tice este mai largă decît clasa propoziţiilor logic adevărate . Totodată , d in cele de mai sus nu rez�lltă că propoziJiile logicii sint tot una cu propoziţiile anali tice sau cu propoziţiile logic adtJvărate . Concepţ ia lui Quine şi Camap aduc încă o complicaţie in existenţa logicismului : este logicul un caz par ticular al analiticului sau analiticul un caz par ticular al logicului , sau analiticul şi logicul au acelaşi conţinu t? După părerea noastră, nici Carnap nu dă răspuns la această întrebare . în 1 958, Kazimierz Ajd uk iew ic z a pu b lic at în " S t u d ia logica" (VI II) un studiu care , din punctul de vedere al ideii cercetate , ne atrage atenţia : Proble� jundamentului propoziţiilor ana li ­ 2.

"Dacă Jack

Camap este de

tice . Ajdukiewicz consfinţeşte şi prec izează d iviziunea an a l iti­ care au operat-o Po inc are , Q uine , Camap . Toate d ifi­ cultăţile în definirea analiticului, spune Ajdukiewicz , prov in

culu i , pe

de acolo că s-a căutat o "noţiune absolută" , c ind de fapt ea

trebu ie

înţe l easă intr-u n mod re lativ .

"Nici o propoz iţie nu este pur şi s impl u analit ică sau nu ,

d up ă cum nici un om nu po ate să fie p ur şi simplu amic sau

tată sau fiu , deş i e l poate să fie u na s au a lta p r in rap ort cu

cineva" l . Relativizarea a ceste i noţiuni trebuie înţeleasă " prin raport cu anumite conve nţ ii terminologice" , iar " convenţiile terminologice pot să fie de ordin semantic sau s intact ic "2 , O c onvenţ ie terminologică

este

o

declaraţie

asu pra modulu i

î n c are n e decidem s ă folos im anumiţi termeni . Astfe l , urmă­ toarea declaraţie : tru

»

"Eu mă decid să folosesc cuvîntul «cent ime­

cu a suta parte (ea se referă la

ca un nume pe ntru lun g imea egală

metru" este o convenţ ie semantică

d i ntr- un

rap ortu l

dintre un cuvînt , " ce ntimet ru" , ş i obiectu l pe c a re- l desem­

nează) . Dimpotrivă, să fo losesc cuvîntul

d es

arată Ajdukiewicz , convenţia : "Eu mă decid

.centimetru » în

1 K a z i e ro i e r z A j d u k i propositio ns an alytiqu.s i n S t u dia • 1 b id e m.

acelaşi

sens ca

şi expresia

e w i c z. L. p,obltme du logica 1 9 5 8 , V I I I , p . 2 5 9 .

!onde metl/

31

·a

suta ,parte dintr-un metru

»

"

este o convenţie sintactică

vizează. raportul dintre două expres i i) .

scopul de

'(ea

propoziţie semantic-anali­ auxiliar de postulat. Df 1 . Propoziţia P este un postula t al limbii L dacă există o convenţie terminologicii valabilă pentru limba L care prevede că un anumit termen  conţinut în propoziţia P trebuie să desem­ neze un obiect care , tn locul termenu lui A, satisface propozi ţia P. Df 2 . O propoziţie P a limbii L es te analitică in sens semantic dacă ea este un postulat sau o consecinţă logică a unuia sau mai multor pos tulate ale acestei limbi . Pentru a defini noţiunea de propoziţie sintactic analitică , Ajdukiewicz se fo loseşte de noţiunea auxiliară de adevăr logic . Df 3 . O propozi Jie P a limbii L este adevărată logic dacă P este o tautologie logică sau dacă rezultă dintr-o tautologie prin subs tiluirea umi constante descriptive a aceleiaşi lim bi in locul umi variabile . ExemPle : 1) .. Orice A care nu e B nu e B" (tautologie) ; 2) .. Orice om care nu este căsătorit nu este căsătorit" (rezul­ tatu l substituţiei) . Df 4 . Propoziţia P es te o propoziţie sintactic analitică dacă ea 6ste un ad6Văr logic al acestei limbi sau poate fi redusă la un adevăr logic cu ajutorul convenţii lor terminologice de ordin sintac­ tic valabile pentru această limbă . De exemp lu , propo z iţ ia : "Orice ce libatar nu este căsătorit" este un adevăr logic, deoarece ea poate f i redusă cu ajutorul unei convenţii la un adevăr logic, anume la exemplul 2) de mai sus . Convenţia respectivă este aceea care arată că .. celiba­ tar" şi .. om care nu este căsătorit" pot fi puse una în lOCU l alteia. Iată dec i o concepţie destul de clară asupra noţiunii de analitic . Ea se raportează la noţiunea de logic prin defini­ ţia 3) , dar sintem mai departe ca oricind de a da explicantul noţiunii de logic . Concep tu l de propoziţie logică e ste impins mereu in sfera nede fi n itu lu i . Aşadar, în mod efectiv nu s-a găsit un criteriu so lid de analiticitate şi deci nu putem lua analiti. tn

a defini noţiunea de

tică, se introduce termenul

32

citatea d rept proprietate intrinsecă a propoziţiilor logice. I n

concluzie, nici teza logicistă nu se poate sprijini pe aşa ceva . Ar fi n ecesar să încheiem această expunere despre prop oziţ i i le analitice cu o p re zentare a poziţiei materialismului dialectlc .

Din păcate, timp de mulţi ani , această temă a fost neglijată, ca şi cind s-ar fi înţeles de la s ine că ea nu p rez intă nici o va­

l oare . Ne vom asuma riscul u ne i exp licaţi i . Fără să intrăm in

aborda

s tu d iul exhaustiv al p ro po z iţiilor aşa-zis analitice , vom

nu ma i problemele a căr or ex plic aţ ie aruncă o rază de lumină

asupra chestiunii în d iscuţ ie . Să considerăm şi noi o se r ie de e xem p l e s i m p l e .

1)

2) 3)

Omul este o m . I n fiecare zi s a u p l ouă sau nu p lo u ă . D ac ă Gheorghe este

tată ,

el are

coPil .

Fiecare dintre aceste p ro poz iţii este acc eptată c a adevărată;

ca un lucru " d e la s ine i nţe les " . Marea dificu ltate ap are atunci c ind ne propunem să r ăsp u nd em la întrebarea : ce inseamnă acest "de la s ine înţeles" . Omu l obişnuit (neinstru i t sub aspect

filozofic) ar apela la intuiţie (observaţie) , ar face apel la repe­ tiţia cazurilor în experienţă , ar sp u n e

că,

in de fin it iv , altfel

nu se poate . Log ic ian u l ar spune că cele tre i propoziţii sînt

adevărate " exclus iv în virtutea formei lor l ogice" . Răsp uns pretenţios , dar care nu ne-ar duce cu un pas mai departe . De la

inceput e ste de p referat s ă p ornim pe căile cele mai obişnu ite : să încercăm

"de

la

să

refacem drumul p rin care s-a aj uns la acest stradă , în autobuz , acasă , la s erv ic iu

sine inţeles" . Pe

ne inti ln i m zilnic cu o mulţime de

cunoscuţi, colegi ,

p rieteni ,

rude etc . "L-am văzut din nou p e Vasile" , "Mă întîlnesc zilnic cu

Vas i le " , " I l recunoşti , e l este Vasile" , iată

pot fi auzite la tot pasul . Ce vor să spună

ele?

e x pres i i care Cînd afirm :

" L-am văz ut d in nou pe Vasile" , pr in inţelesul său " d in nou"

înseamnă că "este cel puţi n a doua oară

văd" . Trebuie deci

să

presupun că

este

adevărat

expresia c i nd il

că

" ieri

(sau cîndva în trecut) l-am văzut pe Vasile" .

Mai m u lt , se presupune că Vasile pe care l-am văzut ie r i cu Vas i l e pe care l-am văzut az i . " A ce laşi" înseamnă

este

acelaşi

3 -

LogicA şi

aci do u ă lucruri :

adevAr

Vasile

de ieri şi

Vasile de azi se află Într-o 33

continuitate spaţio-temporală ş i există o mulţime de proprie­ tăţi care aparţin in exclusivitate lui Vasile de ieri şi Vasile de azi . Pe această bază putem afirma : "Vasi le (de azi) este Vasile (de ieri) şi nu altcineva" sau , mai general , "Vasile este Vasile şi nu altcineva" . In anumite contexte, această propozi­ ţie poate să aibă şi o utilitate. l nsă identitatea dintre Vasile şi Vasile apare cel mai adesea in formulări de acest gen "din nou Vasile" , "tot Vasile" , "chiar Vasile" etc . Important este aici că noi identificăm pe Vasile cu Vasile pe baza unei identităji reale relative . Este posibil ca Vasile de ieri şi Vasile de azi să difere sub multe aspecte , însă noi facem abstracţie de aceste diferen/e în aşa fel, înclt între Vasile de ieri şi Vasile de azi apare un fel de identitate totală. Făcind abstrac­ ţie de aceste diferenţe , ajungem uneori să operăm o identifi­ care totală Intre Vasile de ieri şi cel de azi , ceea ce revine, în ultimă instanţă, la a spune că "Vasile este Vasile" . Această identificare este ceea ce se numeşte în termeni moderni o idea­ lizare. Cum se explică posibilitatea de a face abstracţie de diferenţe? ExPlicaţia trebuie căutată în practică (căci gîndirea modelează practica) . Practic, la un moment dat, nu avem nevoie de mai mult, practic putem neglija diferenţele care s-au ivit. Ei bine, tocmai aceas tă posibilitate de neglijare a anumitor trăsături noi ale obiectului în relaţiile practice stă la baza a ceea ce se numeşte "fac abstracţie de . . ... . Pentru gîndirea noastră este o necesitate să facă abstracţ ie de datele care nu inf luenţează rezo lvarea prob leme i . De exemplu , dacă vrem să măsurăm dis­ tanţa d intre Bucureşti şi Ploieşti, cele două oraşe pot fi tra­ tate ca două puncte (fără dimensiuni) , căci dimensiunile lor (suprafaţa) nu influenţează în nici un fel rezolvarea problemei puse . Analog de forma

stau lucrur i le şi

în cazul j udecăţilor de identitate ,

A este A .

Anumite procedee logice ne perm it să construim pe această bază un raţionament simplu : "Dacă are loc A , atunci are loc A " , ceea ce poate fi schematizat astfel p � p , unde .. P" poate să insemne "are loc A " . Putem de asemenea accepta ş i o sche­ mă mai abstractă, p-.p , unde "p" poate să însemne "o propo34

ziţie adevărată" . intr-un anumit fei , pj-p este cei mai banai raţionament , ca şi j udecata "A este A " . Sursa lo r practică este incontestabilă . A este A , P't-P, P-+P sint nişte scheme care s-au format spontan in nemij 10cită legătură cu practica ; ele au fost doar abstrase şi prezentate intr-o formă ideală, dar nu inventate . Tot atît de firească este ş i j udecata : " în fiecare zi plouă sau nu plouă" . Cu j udecăţi de acest fel ne întîlnim la tot pasu l ; ele au forma " p sau non-p" . î n ce priveşte j udecata : "Dacă Gheorghe este tată, el are copil" , ea este o urmare a afirmaţiei că, "dacă cineva este tată, el are copil" . Cu alte cuvinte , prin definiţie "a fi tată" înseamnă "a avea copil" . Putem consi­ dera şi un alt caz de propoziţie : 4. Dacă Socrate nu este om, el nu este filozof. Adevărul acestei propoziţii decurge din aceea că numai oamenii pot fi filozofi . Ce ne relevă cele patru propoziţii ana­ lizate mai sus? a) Fiecare dintre ele aparţine unei mulţimi de propoziţii

de un caracter foarte trivial (propoziţii cu care te întîlneşti la tot pasu l) ; astfel, propoziţia 1) face parte din clasa propo­ ziţiilor de identitate ; propoziţia 2) face parte d in clasa propo­ ziţiilor care se exclud ; propoziţia 3) face parte din clasa propo­ ziţiilor-definiţii ; şi, în fine , propoziţia 4) face parte d in clasa pe care am s-o numesc de cond iţ ie sine qua non. b) Constatarea de nenumărate ori a faptului că o propoziţie de forma indicată este adevărată a dus la generalizarea : Orice propoziţie de forma respectivă este adevărată" . c) Este de ajuns să găsim forma anumitor propoz iţii pentru a putea decide dacă sînt adevărate sau nu . "

Cu alte cuvinte, dacă o propoziţie face parte din mulţimea cu forma cutare, ea este adevărată . Reţinem deocamdată constatarea importantă că aceste idei au la bază o practică foarte îndelungată ; mai exact, această practică este intreaga practică social-istorică . Este cazul aici să amintim cuv intele lui Lenin : "Activi tatea practică a omului a trebuit să pună de miliarde de ori conştiinţa umană în situaţia de a repeta diferite figuri logice pentrtt ca ele s ti p o a t ti

propoziţiilor

35

tJpăta semnijicaţia unor a x i o m e" i . Astfei de j udecăţ i rectI. formei lor pot fi numite "analitice" . Vor fi numite "analitice" ş i propo z iţ ii le care redau aceste forme . De exemplu : "Pentru orice X, X 5 X" ; "Pentru orice X, X V X" ; " D acă X Y, atunc i ori de cîte ori este X este Y" ; "D acă Y este o condiţie sine qua non pentru X, atunci ori de cite ori este X este şi Y" etc . Am p u tea să ne punem întrebarea ce anume este comun tuturor acestor pro­ poziţii care redau formele analitice? Care es te cu alte cuvint8 cri­ noscute ca adevărate exclusiv in virtutea

=

teriul abstract de analiticita te ? I n lucrarea noastră Teoria carteziană a cunoaşterii In " Re­ guli"2, am adoptat ca explicant al te rmenu lu i "analitic" expresia "dat prin definiţie" . Vom conveni în continuare să aplicăm termenul de

la acele relaţii între concepte (sau termeni) care pot

an a li ti c

fi

date

prin definiţie . Că două concepte sint legate intre e le în mod analitic, aceasta va însemna că ele sînt date împreună printr-o defin iţ ie . Astfel, conceptele " om" , "animal" , "raţional" sînt legate între ele prin următoarea d ef in iţie : "Omu l este animal raţional" . Datorită aceste i definiţii, vom spune că propoziţia : "Dacă Hercule este om, atunci el este anima l raţional" , este adevărată prin definiţie .

Modul in care înţelegem raporturile analitice concordă , în

esenţă , cu înţelesul acordat de către Descartes "conj uncţiilor

" adevăruri lor raţiunii" şi de către Kant "adevărurilor analitice" . Putem impinge şi mai departe stu d iu l j udecăţilor anal itice pînă la singurul nivel posibil ,

necesare " , de către Leibniz

anume la nivelul categoriilor . S e poate afirma c ă

toate cate­

goriile polare s î nt legate între ele în mod analitic. Fiecare d intre formele analitice de mai sus ascunde o legătură între categorii polare . Fiecare d intre aceste categorii este definită pr in raport cu c ore lata sa : identitatea prin raport cu d iferenţa , prezenţa pr in raport cu absenţa, cond iţ ia prin raport cu condiţionatu l , 1 v. 1. L e n i n. Opere complete, voI . 29, Bucur e şt i , Editura politică, ' 1966 , ed . a doua, p . 1 6 1 . • D e s c a r t e s. Reguli u lii. şi dare pe"l,u ,,,d,uma,... "" "1" l i , " cercelarea de.a,u u . Gh . E nescu , S t lldiu ' " t , o du c l i . , B u c u r eş t i , E d i­ tura ş t i i n t i fi c ă , 1 9 6 4 .

..

36

ind ividul prin raport

cu genul , finitul pr in raport cu

infinitu l

In orice judecată concre tă , dacă vom regăs i raportul dintre două categorii polare , orici t de particularizat ar fi aces t raport, putem spune că ea este anali tic adevăra tă . De exe mp lu , dacă x etc .

este fenomenul esenţei y , atunc i x este determinat de y . Nicăieri nu vom găsi separate categoriile pol are (A şi contrariu l său) şi tocmai de a cee a ele nu pot fi gîndite separat unele de altele . De aic i decurge că raporturile adevărate ana litic se află î ntre conceptele (categoriile) care nu pot fi gînd ite unu l fără a ltu l .

Orice j udecată al cărei adevăr decurge dintr-o de f iniţ ie (se bazeaJă pe o definiţie) es te o judecată analitic adevărată . J udecata : "Omul este om" decurge d in raportul d intre identi­ tate şi d iferenţă , respectiv din af ir m aţ ia (IX) "x == y" dacă şi numai dacă x =1= y . Oricît de s ăracă în conţ inut ar fi această propoz iţ ie , ea este extrem de importantă . Sărăcia ei de conţinut merge pînă acolo că propoziţia de m ai sus ne apare ca o simplă "tauto logie" , adică o propoziţie in care se spune a c e laşi lucru cu alte cuvinte : "a fi i de ntic ( x == y) este s inonim cu "a nu fi d ifer it" ( x =1= y) . Aceasta se e xp lică prin faptu l că expres ia Ha fi identic" nu poate fi definită altfel decît prin expresia "a fi diferit" . Aceasta nu înseamnă însă că în sp atele expres ii lor ' "a fi ident ic " şi H a nu fi diferite de . . . " nu există ° dife renţă prec isă . La acest n ivel categorial , conţinutu l determinat dis­ p are, posibilitatea de a exp l ica d iferenţa d intre cele două ex­ pre s i i dispare şi ea, d ar no i ştim

că diferenţa reapare prin apli­ caţiile schemei la conţ inutu l determinat . Astfel, faptu l că

"Vasile este Vasile" implică faptul că "Vas ile nu este diferit

de Vasile" (şi reciproc) , dar în mod concret aceasta înseamnă " Vasi le de azi este d intr-un anumit punct de vedere Vasile de ieri" şi, respect iv , "p utem neglij a proprietăţile prin care Vasile de azi diferă de Vasile de ieri" . Ma i departe , dacă presupunem că în sche m a (IX) x == "om" şi y == "om" , se obţine evident schema "om == om" prin simp la presup unere a adevărului definiensului "om =1= om" .

37

tn legătură cu raportul dintre categoriile polare, este intere­ sant să amintim unele lucruri scrise de Engels in A nti-Dtlkring : .. Intregul este mai mare decit partea . Aceastâ propoziţie este o pură tautologie , intrucit reprezentarea cantitativă de .parte � se raportează de la bun inceput intr-un mod determinat la reprezentarea de «intreg . , in sensul că .partea . implică nemij ­ locit că .intregul . cantitativ constă din mai multe «părţi � cantitative . Prin faptul că aşa-numita axiomă constatâ aceasta in mod expres nu am făcut nici un pas inainte . Această tau­ tologie poate Într-o anumită măsură să fie chiar demonstra tă , atunci cînd se spune : un intreg este ceea ce constă din mai multe părţi (tautologia la nivelul categoriilor logice. - Gh .E.) ; o parte este ceea ce împreună cu alte părţi formează un întreg ; prin urmare , partea este mai mică decit intregul (tautologia la nivel matematic. - Gh .E.) - o deducţie in care sterilita­ tea repetârii scoate şi mai mult in evidenţă lipsa de conţinut" l . A doua propoziţie datâ c a exemplu : . . I n fiecare z i plouă sau nu plouă" se intemeiază pe raportul analitic dintre prezenţă şi absenţă : "X este prezent dacă şi numai dacă X nu e$te absent" . De aici decurge : a) dacă X este prezent, X nu este absent ; b) dacă X este absent. X nu este prezent ; c) numai una din două. : sau X este prezent. sau X este absent . Toate aceste propoziţii sint pure tautologii "derivate" într-un anumit fel din raportul analitic considerat . Propoziţia a treia : "Dacă Gheorghe este tată . el are coPil". se reduce. de exemplu. la afirmaţia tautologică. : .. Ceva este condiţie dacă şi numai dacă are condiţionat" . Cum prin definiţie .. tată"

s

"ceea ce are copil" . propoziţia

de mai sus este şi ea o pură repet iţ ie .

cu

referinţă la un caz

particular. o relaţie datâ prin definiţie. care la rindul ei este un caz particular de raport analitic. •d

. ..

38

I

F. EDg e I V · a , p . •3 .

l

s.

A ",i· Da",;",.

Bucureşti.

E d i tura pol i t i c ă ,

1 966 •

Să

ne referim , in f ine , la u ltim a propoz iţie considerată :

"Dacă Socrate nu este om , el nu este filozof" .

este

Această propoziţie

în definitiv expres ia u rmătoare i tautolog i i : "Dacă individul

nu este subordonat genului , el nu este subordonat spe c iei aces­ tui gen" , căci "genu l este ceea ce constă din specii" . Reţinem deci d in cele de mai sus următoarele :

1 ) orice raport între categori i le po lare va fi numit raport

analitic ; 2) orice

definiţie nominală

cons truieşte un

raport analitic

intre termeni ;

3)

orice propoziţie care decurge d intr-o def in iţ ie este o pro­

poziţie analitică sau o

ea

4)

"tautologie" ;

propoziţie care decurge d in p ropo z iţ ii ana l i tice e ste î nsăş i anal it ică Am e xp l icat ce inţe legem prin analitic şi am arătat că sursa or ice

.

propoziţiilor ana l itice este in experienţă, contrar afirmaţ ie i lui

Kant că originea lor ar fi aprior i . Vide de continut în sensul că nu au nici un conţinut determinat, tautologiile (categoriale) sînt infini t de bogate în continut , întrucît se aPlică la o infinitate de cazuri determinate . Din ce le de mai sus rezultă că respingem or i ce afirmaţie care v rea să r upă tautolog i i le de conţinu t şi de experienţă (vezi Wittgenstein, Russell, Carnap) sau care vrea să reducă propoziţiile anal itice la

s imp le convenţ i i terminologice, deş i pot constitu i un caz particular de

convenţiile terminologice

raporturi analitice (vezi Aj duk iewicz) . Se fac adesea afirmaţii că propoziţiile analitice nu pot f i

verificate

în experienţă ş i că in genere adevăr u l lor n u dep inde

de experienţă . Toate acestea sint numai in parte adevărate . Este adevărat că nu ne putem propune să verificăm aceste pro­ poziţii experimenta l şi

că

ele nu cer să fie

cercetate (precizate)

în funcţie de evo luţia experimentului (a practicii în genere ) ,

dar este tot atit de adevărat c ă : a) ele s-au format o

dată cu g înd ire a in decursul unei prac­

tici milenare ;

�9

b) ele sint generalizări care pornesc de la experienţ1 (expe­ rienţă foarte generală la rindu l e i) ; c) însăş i ideea independenţei adevărului lor faţ1 de cazurile particulare ne este s ugerată de experienţă, in sensul că, o dată ce am încercat să le aPlicăm la cazuri noi , ele au dat rezultatul scontat . Logica modernă ne-a adus ş i o altă surpriză . Abia a m găsit că tautolog iile p�p , p V p: p� p s int "absolut" independente de cazurile concrete , cind a şi apărut reacţia impotr iva aces te i

Tau tolog i i le noastre dep ind concret ; ele nu sint absolute , ci relative, ele dePind de sistemul . de propoziţii la care se aPlică (propoziţii absurde , propoziţ i i asupra numere lor iraţ iona le , propoziţ ii asupra infinitulu i , propoz iţ i i asupra gradu l u i de decidabili.

abso lu t i zări :

l og ica po l iva lentă .

de un conţinu t

tate , propoziţ i i

aproximative etc . ) . Dacă

vrem

să re facem

"absolutul" . va trebui să ţinem seama de sistemul de referinţă (sistemu l de propo z iţ i i) ş i cine ştie dacă în continuare nu vom

Aşadar, o resPingere pe toate fron­ concepfiei neopozi tivis te .

fi obligaţ i la noi revizu iri .

turile

a

După această

incursiune relat iv de durată

in problema pro­

poziţiilor analitice să revenim la chestiunea iniţială : ce este

logica ,

ce este

matematica?

D in cel puţin trei motive n u putem

·să luăm aici ca punct de plecare ideea de anal itic : a) caracteru 1 re lativ al acestei noţ iun i , b) posib il itatea e x iste nţei unui analitic convenţiona l ,

c)

ideea de analitic s e defineşte ea î nsăş i

prin ideea de log ic . Pentru a răspunde la această întrebare va treb u i să

să dezvăluim conţ inu t ul termenu l u i " logică"

încercăm

pe căile bătă­

torite dej a , căci cercetarea defin iţ ie i unui concept nu poate face abstracţ ie de De pe acum

istoria dezvoltării lui .

însă putem

face o rezervă . Considerind de f in iţ ia :

"Zeu este ceea ce este nemuritor" , este adevărată imp l icaţ ia :

Adevărul acestei însă asemenea pro­ nu se ocupă de defi

"Dacă ceva este zeu , atunci este nemuritor" . impl icaţi i d ep inde de definiţia

de mai

sus ,

poziţii nu interesează logica , căci log ica

n iţ i i 40

part iculare .

­

4 . CE ESTE LOGiCA? în Burghezul gentilom, profesor u l de filozofie îi arată lui J ourd ai n că logica se ocupă de trei operaţii : M Jourdain . - Que sont-elles ces trois operations de 1 'esprit? Le maître de plli losoPh ie. - La prem ie re , la seconde et la trois ieme . La premiere est de bien concevoir par le moyen des universaux, la seconde de b ien j uger par le moyen de categor ies ; et la troisieme de b ie n t irer conseque nce par le ' moyen des figu­ re s B:ubara, Celarent , Darii , Ferio , B.ualipton etc . . . M . Jourdain . - Voila des mots qui sont rebarbatifs . Cehe logique- Ia ne me revient point . Apprennons autre chose qui . soit plus jo i i· " . Concepţia aceasta poate să nu fie întru totul ex ac tă , dar ea redă f ide l un m od istoric de a vedea log ic a fo rm a lă . Cu privire la d ef i n iţia logicii, A . Church scrie : Pres up unînd că noţiunea de r aţioname nt deductiv este cunoscută dej a . d in exper ie nţa care se referă la cazurile sale particu lare, noi putem spune , mai degrabă ca o desc r iere decît ca d ef iniţie , că logica este teor ia raţionamentu lui d ed u ct iv plus tot ce se cere in limba-obiect sau în metalimbă pentru adecvarea, generali­ tat ea şi s impl itatea teoriei" l . Există încă zec i de de f in i ţ i i ale -log ic i i . Este inutil să ne ocu­ păm de ele . Presupunem că cititorul va în ţe lege mai bine ce . este log ica dacă vom pomi de la u n exemplu simp l u . M.

"

.

"

Fie propoziţiile : ,,2 + 2 4" şi ,, 3 + 1 4" . Este uşor de văzut că , pornind de la aceste propoziJii , putem construi o a treia , şi anume 2 + 2 3 + 1 " . Cum am trecut de la propoziţii le ,,2 + 2 4 " şi ,,3 + 1 4 " la propoziţia . ,,2 + 2 3 + l " ? Iată o problemă care nu este de loc uşoară. Să co ns id e răm şi un alt e xe mp l u . Fie p ro poz i ţ i i le' : "Toţi o ame n ii sint muritori" şi "Socrate e om" . De aici pu te m construi =

,,

=

=

=

=

=

M. j o urdain . - C are s i n t a c e s t e t r e i o p e r a t i i a.le s p i r i t u l u i ? • P,ofeso,ul de f' lo:of'e . - Pri m a , a do u a şi a tre i a . Pr i m a constă I n a c o n c e p e b i n e e u aj u t o r u l u n iversalelor ; a d o u a l n a j u d e c a b i n e c u aj u � t o c u l c a t e g o r i i l o r ş i a t r e i a tn a t r a g e consecinţe cu aj u to r u l fig u r i lor B ar­ bara.

Celaren t , D a r i i ) Ferio , B ar a l i p ton e t c . ]ou,dain . - l ată c u v in t e r e b a r b a t i v • . A c e a s t ă logică n u m i s e

M.

p o t r i ,,:eşte ; s ă I A.

lnvăţăm

C h u r c b.

a l tce :, a

Op . nI.,

m a i fru mos. p. 1 8 1 .

.,\ 1

propoziţia : "Socrate este muritor" . Din nou se pune problema ! cum am ajuns la cea de-a treia propoziţie ? Se poate b1l.nui că trecerea spre a treia propoziţie (construirea celei de-a treia pro­ poziţii in funcţie de primele două) nu e la fel tn cele două exem­ ple . Intr-adevăr, este o mare deosebire intre propoziţiile :,,2 + + 2 4" şi ,,3 + 1 4", pe de o parte, şi propoziţiile : "Toţi oamenii sint muritori" şi "Socrate este om" , pe de altă parte . Putem deci formula in general problema de mai sus in felu l următor : cum pute m trece de la unele propoziţii la altele sau cum putem construi unele propoziţii In funcţie de altele de un anu­ mit tip . Pentru a rezolva această problemă se observă că va tre­ bui in prealabil să ne ocupăm de tiPul de propoziţii, avînd in vedere că de aceasta depinde modul de construire a celei de-a treia propoziţii . Ce este, aşadar, tipul propoziţiilor de care de­ pinde construirea unei a treia propoziţii? Vom considera urmă­ toarele trei propoziţii : a) "Soarele este luminos" ; b) "Clasa plante lor este cuprinsă in clasa vieţuitoarelor" ; c) .,Craiova se află intre Bucureşti şi Timişoara" . Deosebirea dintre aceste trei propoziţii este evidentă : fiecare dintre ele ne comunică o anumită informaţie (ne spune ce­ va) despre anumite lucruri . Să comparăm aceste trei propoziţii cu ",.Itele trei : a) ' "Becul electric este lum inos" ; b) ' .,Clasa mamiferelor este cuprinsă In clasa animalelor" ; c) ' "Constanţa se află intre Mamaia şi Eforie" . Nu este greu de observat că propoziţia "Soarele este luminos" este mai apropiată de propoziţia .,Becul electric este luminos" decit de propoziţia .. Clasa mamiferelor este cuprinsă in clasa animalelor" , deşi, evident, intre propoziţia .,Soarele este lumi­ nos " şi Becul electric este luminos" este o deosebire de informa­ ţie (una ne comunică o informaţie despre Soare, alta despre be­ cul electric) . In general, asociaţiile care ne vin in minte pot fi următoarele : a) cu a) ', b) cu b) ' şi c) cu c) ' . Ceea ce ne impinge la aceste asociaţii este faptul că , deşi propoziţiile respective cuprind informaţii asupra unor obiecte diferite, ele transmit totuşi ace laş i tip de informaţie. =

=

..

42

Astfel propoziţiile aL a) ' ne aratâ că " u n obiect are o pro­ prietate" (respectiv obiectul Soarele are proprietatea luminos şi obiectul becul electric are proprietatea de a fi luminos) ; pro­ poziţiile b) şi b) ' ne aratâ că "o clas1\. de lucruri este cuprins1\. in alta" , iar propoziţiile c) şi c) ' că "un lucru se afl1\. într-o anu­ mitâ relaţie cu altele" (respectiv într-un anumit raport spaţial) . Vom spune că propoziţiile a) , a) ' ne dau informaţii despre ra­ portul dintre obiecte şi proprietăţi , propoz iţ i ile b) , b) ' ne dau informaţii despre raporturi le dintre clasele de obiecte, iar pro­ poziţiile c) , c) ' ne informeaz1l. despre raporturile d intre obiecte . T ip u l de propoziţie este , aşadar, determinat de tipul de infor­ maţie pe care propoziţia o comunic1\. . A spune că "propoziţia este adecvată pentru a comunica o anumită informaţie" este tot una cu a spune că " propoziţia are o anumită structură 10gic1\." . Structura logică a propoziţiei este determinată de felul raportului real pe care propoziţia îl ex­ primă . Corespunz1l.tor celor trei tipuri d e raportu r i , vom avea propoz iţ i i predicative, extensive şi de relaţie . A m arătat mai sus o prim1\. problemă care s e pune în legătură cu raporturi le d intre propoziţii : cum putem trece de la unele propoziţii la altele . Această problemă presupune analiza tipu­ lui de propoziţie sau , cum se spune în mod curent, a "structurii logice" a propoz iţiilor . Trecerea însă de la unele propoziţii la altele mai poate fi condiţ ionată şi de a lte determinări ale pro­ poz iţ ie i decît structura logică (tipul de propoziţie) . Considerăm din nou unele exemple . Fie propoziţiile ,,2 + 2 4" şi ,,2 + 3 4 " . Pentru orice om care înţelege aceste propoziţii şi cunoaşte aritmetica elementară , aceste propoziţii vor stirni o apreciere d iferită . Vom spune că propoziţ ia ,,2 + 2 4" este adevărată, 4" este fa lsă . Propo ziţia , 2 + 2 4" iar propozi ţ i a ,,2 + 3 este adevărată deoarece I n realitate ori de c î te o r i adu năm dou1\. obiecte cu altele două (de acelaşi fel) obţinem patru obiecte . Propoziţia ,,2 + 3 4" este falsă d eoare ce in reali­ tate nu se întîmp lă niciodată ca două obiecte adunate cu trei obiecte să dea patru ob iecte , ci cinci . Ce este , aşadar, ade­ vărul şi ce este falsu l unei propoziţii? =

=

=

=

=

,

=

=

43

Informaţia unei propoziţii (şi deci propozitia) este adevăf'IJtă dacă şi numai dacă lucrurile (stările de lucruri) despre care vor­ beşte propoziţia s tau întocmai aşa cum arată propoziţia ; dacă lucruri le (stările de lucruri) nu s tau as tfel, vom spune că infor­ maţia propozifiei (propoziţia) este falsă . Aprecierile de "adevă­ rat" şi "fals" se referă , aşadar, la propoziţii şi nu la lucrurile despre care vorbesc propoziţiile . Este un principiu fundamental

al gîndirii : a vorbi despre propoziţie nu este tot una cu a vorbi despre acelaşi lucru ca şi propoziţia . De exemplu , cînd spunem "Socrate este muritor" , noi vorbim despre Socrate (ceva deose­ bit de propoziţie) şi nu despre propoziţia "Socrate este muritor" . Trebuie să avem un procedeu pentru a distinge între aceste două n ivele ale vorbirii (ş i , respectiv , ale gîndirii) . Pentru a vorbi despre obiect, folosim propoziţiile limbii pur şi simplu fără vreun indiciu special ; pentru

a

vorbi despre o propoziţie , vom

introduce expresia respectivă (propoziţia) în ghi l imele , aşa cum am făcut mai sus . Vrem acum să exprimăm faptu l că propoz iţia este adevărată în dependenţă de starea de lucruri la care se re­

4" este propoziţie ade­ ,,2 + 2 vărată dacă şi numai dacă 2 + 2 4 . A ltfel : dacă şi numai dacă 2 + 2 4 , propoz iţia ,,2 + 2 = 4" este adevărată. Sau : dacă feră . Vom scriţ , de exemplu ,

=

=

=

şi

numai

.,2 + 2

=

dacă

4"

are loc faptu l este adevărată. î n

,,2 + 3 2 + că pe noi

falsă , de exemplu

=

că

2 + 2

cazu l

că

=

4,

propoziţia

avem propoziţia

4 " , vom scrie : dacă şi numai dacă 4, propoziţia ,,2 + 3

nu are loc faptul că

3

falsă . Se înţelege

ne interesează în primu l

=

=

4"

rînd

este

pro­

poziţiile adevărate . Ne interesează deci ca, pornind de la anumite propoziţii, să ajungem la propoziţii adevărate. Cum

putem ajunge la propoziţii adevărate pornind de la alt� propo­ ziţii ? Iată o altă (a doua) problemă fundamentală care este implicată în trecerea de la unele propoziţii la altele . Calitatea propoziţie i de a fi adevărată sau falsă poartă nu­ mele de "valoare logică" sau "valoare de adevăr" . Dacă noi vrem să ajungem la propoziţii adevărate pornind de la alte propoziţii , trebuie să cunoaştem valoarea propoziţii­ lor iniţiale . Astfe l , de la propoziţiile adevărate

44

,,2 + 2

=

4"

şi ,,3 + 1 4" aj ungem 1a propoz Îţ ia adevărata ,,2 + 2 3 + + 1 " . Din cele spuse mai sus deosebim deci problemele : a) a =

=

trece de la unele propoziţii la altele (a construi unele propoziţii in funcţie de altele) , b) a trece de la propoziţii cu o anumi tă valoare la propoziţii de asemenea cu o anumită valoare (de pre­ ferinţă adevăr) . Aşa cum vom vedea, problema a) este subordo­ nată problemei b) şi se rezolvă în dependenţă de aceasta . P utem presupune însă că avem o mulţime de propoziţii ş i vrem să ştim : c) se poate construi propoz iţ ia în funcţie de propoziţiile cutare ? d ) s e poate determina valoarea unei propoz iţii î n funcţie de valoarea altor propoziţii? Acestea sînt, în fond, două probleme noi . Procesul de rezol­ vare a acestor probleme poartă numele în logică de "deducere" ş i , respectiv , "demonstrare" . Diferenţa dintre "a deduce" şi "a demonstra" constă în fap­ tul că. "a demonstra" înseamnă "a deduce d i n propoziţii cu valoarea dată." sau "a determina valoarea u nei propoziţii pe baza a ltora" în timp ce a deduce nu presupune valoarea pro­ poz iţiilor . Am văzut însă. că trecerea de la unele propoz iţii la altele depinde de t ip u l şi de valoarea propoziţiilor date . Ex istă mu l­ te moduri de a efectua această trecere . Ca în mu lte cazuri, în cunoaştere ne interesează acele moduri ( a le pro ceselo r) cu v alo area generală (universală) . A găsi aces te moduri în care se efectuează deducţia (şi în speţă demonstraţia) este principala sarcină a logicii , ,

es te finalitatea logicii .

Modurile acestea sînt guvernate de " legi

de deducţie" sau (metodologie) "regu li de deducţie" . Vorbim de asemenea de " legi de raţi onare" , "scheme d e raţionare" , "pro" de raţionare" . Orice lege (sau regulă de raţionare) trebuie satisfacă urmă.toarea condiţie : dacă propoziţii le de la car� po r n im (ipotezele , premisele) sîn t adevăra te , a tunci rezultatul (conc luzi a) trebuie să fie adevărat în urma aP licării legii (reguliî) respec tive . Putem defini dec i logica în fe l u l următor : logica este ştiinţa car6 s tudiază legile care tie permit să trecem de la propoziţii cedee

să

45

atlev&l'ale JaJe ta :/»,opozJJ1,i de

asemenea

adevJl'ale. . beoareee

aceste legi se mai numesc şi /arme logice (in virtutea independen­ ţei lor de un anumit conţinut) , logica, la rindul ei, se mai nu­ meşte şi logică /01'mală, in scopul de a se deosebi de alte utilizări ale termenului logică . Logica formală s-a dezvoltat în două etape : etapa logicii generale (aristotelice) şi etapa logicii mate­ matice (simbolice) . Logica generală descrie modurile de raţio­ nare aşa cum funcţionează e le in gindirea obişnuită . Ea satis­ face in mod evident definiţia de mai sus . De exemplu , ea stu­ diază moduri de raţionare cum sint Barbara, Celarent, Darii , Ferio etc . Iată modul Barbara : .. Dacă B este C şi A este B, atunci A este C" . Nici logica matematică nu studiază altceva decît logi­ ca generală, numai că ea diferă in unele puncte de vedere , de exemplu ea introduce principii de ierarhizare a conceptelor, foloseşte procedee de calcul şi face într-un grad mai mare abs­ tracţie de conţinut . De asemenea intensifică şi perfecţionează aplicaţiile metodei deductive şi ale formalizării in construirea ştiinţei logice ca teorie . Să considerăm , de exemplu , următoa­ rele legi logice : (A & B) -+ (B & A ) , (A & B) -+ (A V B) . Ţinînd seama de posibilităţile de interpretare în domeniu l gindirii, aceste scheme exprimă ur mătoarele moduri de deduc­ ţie : ..Dacă este adevărată conjuncţia de premise A şi B, atunci este adevărată şi conjuncţia de premise B şi A " şi "Dacă nu este adevărată conjuncţia de premise A şi B, atunci cel puţin una dintre cele două premise este falsă" . Este important să obser­ văm că mulţimea de propoziţii (A , B, C, . . . ) de la care pleacă logica matematică este inţeleasA strict ca mulţime de premise . De ce ca mulţime de premise? Această. mulţime formează o conjuncţie . Or, conj uncţia logică-matematică are proprieta­ tea comutativităţii, care nu este satisfăcută de orice conjuncţie concretă intre propoziţii . Dimpotrivă, conjuncţia premise lor trebuie să satisfacă totdeauna o astfel de proprietate . Trebuie să răspundem acum la intrebarea ce este matematica . tn lucrarea sa A nti-Duhring, F. Engels dă următoarea defini• Fo r m a u n i versalil la care p o a t e fi redu s orice r a ţ i o n a m e n t ( i n cl usiv c e l i n d u c t i v ) este raţion a m e n t u l i p o t e t i c · categoric (cu cele doull forme ale s a l e : ", odus po,..ns şi m odw loll.,.s) .

46

ţie matematicii : "Matematica pură are drept obiect lormele spaţiale ş i raporturile cantitative ale lumii reale , adică un ma­ terial foarte real u l . Este destul d e uşor s ă ne conv ingem că această definiţie corespunde concepţie i lui Frege şi Russell, intemeietorul logi­ cismului , ş i în general ea corespunde concepţ ie i despre mate­ matică a tuturor matematicienilor vrem i i , care vedeau in numă­ ru l natural atomu l matematicii . Această matematică , care se sprij inea pe număr, pentru care a lfa şi omega era n umărul , urma să fie redusă la l og ică . Trebuia redusă matematica, ştiinţă al cărei scop este să rezo lve probleme de natură cantitativă , la logică , ştiinţă a cărei f in a l itate este să rezolve probleme d, adevăr. Nu este vorba de legătura strînsă care există între logică şi matematică. Asupra acestui lucru a atras atenţia chiar En­ gels în A nti-Diihring : " Ax iome l e matematice sint expresii le conţinutului de idei extrem de sărac pe care matemat ica trebuie să-I împrumute de la logică . Ele pot fi reduse la u rmătoarele două : 1 . întregul este mai mare decit p artea . . . 2 . Do u ă mărimi ega le cu o a tre ia s înt ega le între ele . Această prop oz iţ ie este, cum a demonstrat Hegel , un silogism a cărui exactitate o garantează log ic a , o propoziţie care este deci d e mons­ trată , deş i în afara matematicii pure . Celelalte axio m e d e sp re egalitate şi inega litate nu sînt decît dezvoltări logice ale aces ­ tui silogismu 2 .

î nţelesul mai adînc a l acestui text, care

pare s ă dea d rep ­

tate logicismu l u i , va fi dezvăluit u lterior. Deocamdată revenim

la la

problema

noastră principală : este mate m at ica reductibilă

l ogic ă?

Nici o soluţ ie nu poate să facă abstracţ ie de faptele deja stab i lite ( definiţia numărului şi celelalte) . în definitiv, răspun­

su l la problemă va insemna tocmai găsire a unei interpretăr i

adecvate (şi - de ce nu? - conven ab i le) F. E n g e l a l b) d e Ill , 1

s. p.

Op . cii . , p. 43 - 4 4 .

a acestor fapte .

42.

47

Orice soluţie ar fi adoptată . ea trebuie să stabilească dacă cele două ştiinţe au sau nu intre ele vreo limită demnă de a fi luată în consideraţie . De la inceput rezolvarea atrage după sine importante consideraţ ii metodologice ş i un aparat conceptual cit de cît prec is . Trebuie să excludem în primu l rind punctu l de vedere metafizic conform căru ia

intre ştiinţe ar putea exista

.. limite absolute" . De asemenea nu cred că este bine să pornim de la ideea că . . limitele sint absolut convenţionale" . In fond ,

totu l depinde de ceea ce numim .. elementar" sau .. obiect e le­ mentar " al ştiinţei date . Dacă vom considera , de exemplu , că obiectul elementar a l matematic ii este .. număru l" , atunci mu l­ ţimile în genere vor constitui obiectul unei teorii mai simple , .. teoria mulţimilor" . sau .. teoria claselor" . D istincţia între .. teoria mulţimilor" şi .. teoria numerelor" nu este nici absolută , nici pur convenţională . Frege ş i Russell au construit .. număru l" d in obiecte şi raporturi mai simple care stau la baza teor iei mulţimilor . Nu văd nici un motiv pentru a respinge defin iţia dată mai sus . Ea stabileşte faptu l că obiectul .. elementar" al matematicii nu este un .. atom" în sensu l lui Democrit, ci poate fi . . redus" la obiecte mai simple .

simple .

El este o intersecţie a unor raporturi mai

Caracterul insuşi a l definiţiei ( .. definiţie contextuală " )

mă face să mă gîndesc la acest lucru . Diferenţa dintre .. mulţimile de obiecte concrete" această .. reducere" .

ş i .. numere" nu

Această

se anu lează

insă prin

diferenţă este esenţială în urmă­

toarele puncte : a) dacă numărul este tratat ca .. clasă a tuturor claselor echi­ po lente cu c lasa dată". atunci el se deosebeşte de orice clasă (finită după cum s-a stabilit) exact prin aceea că numărul este totdeauna o clasă infinită (căci numărul claselor care pot fi puse în corespondenţă biunivocă cu clasa dată este nelimitat) ; b) dacă numărul este tratat ca o proprietate. atunci intre e l şi clasă există d iferenţa exactă pe care o facem între obiect ş i oricare proprietate

48

a

lui i n parte ;

c) dacă ne asociem unu i punct de vedere anter ior log ic is m u l u i '

( ve z i

Kronecker, Dedekind , Pean6) , atunc i

numărul

este un

o biec t , dar în i nţe lesu l restrîns de obiect abs trac t .

Dacă dec i noi ne vom opri l a număr c a l a o p i atră d e hotar mu l ţ imi lo r şi aritmet ică , atunc i această alegere' nu este chiar arbitrară, căc i avem temeiuri necesare de distinc­ ţie ; d e os e b irile e s en ţiale d i ntre mu lţ im i le de obiecte concrete şi o m u l ţ i m e de ob iecte abstracte , dintre finit şi inf in it , d intre m u lţ i m e ş i proprietate , dintre mu lţ ime în genere şi mulţimile d eterm i nate - numere le . Aşadar , in n ici un caz nu putem con­ f und a teoria mu lţimi lor in genere cu teor ia u nor mu l ţ im i spe­ c ia l e : teoria mu lţimilor-numere . Este dre p t că număru l ap are in mod constructiv ca o intersecţie de noţ iuni şi relaţ i i mai elemen­ t are ( " mu lţ ime " . . toţ i" , "echipolenţă" ) , dar întregul d ob îndeşte proprietăţi care nu sint reductibile la elementele din care este construit , de e xemplu , caracteru l nelim itat al mulţimii-număr . Să adm item totuş i pentru un moment "red u cţia completă" a t eorie i numerelor la teoria gene rală a mu l ţ im i l or . Pentru a da un răs pu ns problemei rid icate de logic işt i , va tre bu i să rez o l văm c he s t iunea dacă teoria c laselor face parte d in l og ică sau nu . D ac ă teoria claselor va fi incl usă în log ică , atunc i vom ad­ m ite că m atemat ic a este reduct ibilă la l ogică . Dacă teoria c la­ selor va fi inc lusă în matemat ică , atunc i matematica nu este re d uct ib i lă la logică . Totu l dep inde deci de cadru l in care p l asăm "teoria c laselor" . Am văzut că in inţe le s u l cel mai des u z it at intre teoria

,

­

al termenul u i de .. logică" , nu avem n ic i un motiv să includem'

ca scop

al

logic ii s tudiul s tructurii propoziţiilor, dar acesta este

necesar întrucî t vrem să cons truim scheme de raţionare , D in acest p u nct de vedere , noţ iuni le de .. mu l ţ ime " (clasă) şi .. apartenenţă"

s înt p e n tr u log ică un punct de plecare de care ea se interesează in mod d irect exclusiv in măsura in care aceasta duce la punc­

ei de sosire (descoperirea procedee l or de raţionare ) . Mai m ult , incă de pe acu m se vădeşte necesitatea unei term ino logi i s pe c ia le , adecvată necesităţilor log ic i i , deosebită de termino­ log ia matematică ; astfel se vorbeşte de logica c l aselor ( teor ia tu l

cl ase lor) ş i de te oria

m u lţ i m i lor (în

m atem atică) . Am văzut că

un savant ca Frae n k el pune chiar la îndo ială faptu l dacă tre-

.*

49

bu ie să

identificăm teoria

devăr, scopul logici i fiind

de

ce ar trebui să

se

mai

claseloY cu teoria mulţimi lor . tntr-a­ acela de a descoperi legi de raţionare,

intereseze de asemenea raporturi cum

sint cele numerice , care nu aduc nimic pentru acest scop . Dacă ea,

totuşi , ar face-o , ar face-o in măsura in care observarea gin­

dirii concrete este necesară pentru aflarea schemelor ei generale . Pe de altă parte, este evident că există o teorie cu o finalitate

bine definită , deosebită de finalitatea logicii : teoria care vizează studiul raporturilor cantitative (numerice) . Faptul

că

această

teorie este numită "aritmetică" , "teoria numerelor" sau "mate­ matică" nu mai este in definitiv decit o chest iune terminologică . Dacă noi facem din teoria mulţimilor şi teoria predicatelor ra­ muri

ale matematicii,

atunci ajungem la concluzia că logica este

construită in funcţie de anumite raporturi matematice şi deci posibilitatea de a trece de la o extremă la alta :

logica este o ra­

mură a matematicii !

Totuşi, veţi fi de acord

că

este o deosebire esenţială intre " a

. gindi cantităţi" ş i "a gindi despre gindire" .

Care mai poate fi in acest caz soluţia? Pentru a nu pune la

un loc elemente eterogene, schemele

de raţionare

şi

numerele

(ra­

porturile numerice) , eu cred că nu există decit o s ingură soluţie :

a admite că există "regiuni ale n imănui" sau "zone neutre" ,

CMe constituie puncte de plecare şi de intersecţie a dQuă ştiinţe,

cu

domenii, de altfel, clar delimitate . Aşadar, soluţia noastră con­

stă în admiterea "zonelor intermediare" între cele dou ă Matematica

studiază

raporturile dintre mu lţimi

ştiinţe .

cu

scopul şi raporturile sale fundamentale (respectiv numărul şi relaţ ii le < , » Logica studiază ace­ leaşi raporturi cu scopul de a construi unele scheme originale de raţionare . In delimitarea ştiinţelor nu se pune problema "sau . . . de a-şi construi conceptele

=

,

.

sau" , ci există, cum am spus , "regiuni ale nimănui" , "zone neu­ tre" , "zone intermediare" sau "zone de trecere" (cum le putem

denumi) . Păstrlndu-şi independenţa lor relativă , ştiinţele se între­ pătrund şi îşi împrumută reciProc procedeele de cercetare şi de rezolvare . Nu trebuie s1l. pierdem din vedere şi posibilitatea ca unele ştiinţe să se afle in raport de

50

analit ici ta te cu altele (adică concep-

tete ior fundamentale să tie definite din concepteie ahor ştiinţe) . Această "reducere" prin definiţie (analitic) nu trebuie să consti­ tuie un motiv pentru "a desfiinţa" o ştiinţă in favoarea alteia. Să considerăm mai indeaproape acest caz . O asemenea "reducere" se bazează pe faptul că un obiect elementar poate fi , in fond , o intersecţie de obiecte mai simple , dar această intersecţie este ceva su i-generis şi deci în totalitatea ei ireductibi1ă la ceva mai simplu . Dar, indiferent cît de departe ar merge reducţia , pentru logică este adevărat că ea nu se ocupă de concepte şi de relaţii particulare (număr, succesor, biunivocitate etc .) chiar dacă acestea ar putea fi construite din elemente logice . Problema poate fi pusă însă şi sub un aspect obişnuit : schemele logice fiind mai simple, este firesc ca ele să se regăsească în raporturile mai concrete . In acest sens, ştiinţele particulare sînt, după ex­ presia lui Lenin , " logică aplicată" . In acelaşi mod înţelegem şi reflecţiile lui Engels citate mai sus . Pentru ca cititoru l să aibă o imagine mai exactă asupra adevărului acestor reflecţii , î l vom trimite l a lucrarea lu i P . S . Novikov Elemente de logică matematică , capitolu l al III-lea , § 8, .. Axiomele şirului numerelor naturale" (p . 14S) . Aceste axiome sint expresia particulară (aplicarea la concepte şi relaţii particulare : numere naturale, relaţiile < , = , » a unor propoziţii formulate in logică. Astfel, " axioma 1. 1 .. x x este doar un caz particular al identităţii A == A aplicată la numere (egalitatea fiind o identitate numerică) . Ax .I .2. este un caz particular al definiţiei identităţii (definiţie dată de Leibniz) . A x . I I . 1 . este un caz part icu lar al expresiei A =4= A (A nu poate fi diferit de A ) , Ax . II . 2 . este un caz particu­ Iar al legii tranz it ivităţii ; la fe l Ax . I I . 3 . In ce priveşte Ax. III (regu la inducţiei matematice) , ea nu reprezintă , aşa cum a ară­ tat Poincare, decît un caz particular de raţionament ipotetic­ categoric . Adevărul axiome lor de mai sus este imprumutat de la tau­ tologiile logice corespunzătoare . In ce sens .. axiomele matema­ tice sint expresiile conţinutului de idei extrem de sărac pe care matematica trebuie să-I imprumute de la logică" (Engels) ? In sensul că ele nu spun nimic altceva decit tautologiile logicii, in afară doar de faptu l că aceste tautologii sînt adevărate şi =

51

pentru un caz particular (şi se indică. anume care caz) . tntr-a­ devăr, din moment ce egalitatea este' un soi de identitate , decurge automat că x = x. Expresia x x împrumută conţinutul "extrem de sărac" al tautologiei A == A . Aşa cum am mai spus , dacă o relaţie particulară este subordonabilă unei tautologii , ea este adevărată prin însăşi acest fapt . Pe de altă parte însă, oricît de săracă în conţinut ar fi relaţia particulară, ea este totuş i mult mai bogată în conţinut decit orice re laţie universală că­ reia i se subordonează. Eşecul logicismului este încă o dovadă in acest sens . Pornind de la ideea de a deduce matematica (ştiinţa despre numere , cum era înţeleasă în acel timp ) din logică ( logică ce ayea pentru ei mai degrabă sensul de ontologie a claselor) , logiciştii au încălcat de la început un şir de reguli metodo­ logice : a) particularul este prin definiţie ireductibil la general ; b) în definiţia unei ştiinţe nu intră numai puncte le ei teo­ retice de plecare (concepte, termeni primitivi) , ci şi punctul de sosire (finalitatea ei) , asta cu atît mai mult cu cît în punctele lor de plecare ştiinţele se întîlnesc, formează " interferenţe" , "zone neutre" , "regiuni ale nimănui" ; c) între ştiinţe nu există graniţe absolute, aşa cum între do­ meniile , laturile realului nu există asemenea graniţe, dar nici nu d ispare orice diferenţă esenţială , cu alte cuvinte de li­ mitările n ici nu sînt pur convenţionale ; d) punctele de contact , de continu itate ale ştiinţelor sînt expresia unităţii lor, unitate care nu anulează diversitatea, aşa cum in realitate unitatea există num3.i in d iversitate ; e) stabilirea terminologiei trebuie să se facă. pr in rap ort cu conţ inut u l , cu obiectul ştiinţei, nu pur şi simplu convenţional sau în virtutea unor aparenţe . Cu t oate aceste erori de drept alături de o s e r i e de erori de fapt, m işcarea log ic istă nu trebuie subest imată . In şt i inţă se întîmplă adesea ceea ce i s-a întîmplat lui Columb : se c aută India şi se descoperă America . Nu ne declara oare Einstein că relativismul lui Mach i-a atras atenţia asupra relativ ităţii d in lumea fizică? Chiar dacă nu confirmă teza logicistă , rezu ltatele obţinute de către Frege , Whitehead, Russe l l , Quine şi alţi repre· =

zentanţi ai logicismulu i sînt de o Insemnătate excepţională pentru dezvoltarea logicii şi a matematicii . Oricine parcurge lucrările Grundlagen der A rithme tik (Frege) , Pri ncipia Ma­ thematica (Whitehead şi Russell) , Math ematical Logic (Quine) îşi dă seama de importanţa lor capitală pentru istoria logicii şi a matematicii. Semnificaţiile filozofice ale rezultatelor pozi­ tive şi ale eşecului sînt de asemenea incontestabile . Ele arată în p rimul rînd îmPingerea filozofiei matematice din interior de pe poziţiile metafizicii Platonice spre poziţiile materialismului dia lec tic De la obiectul abstract absolut elementar atomu l .

-

numeric - la numărul infinit de complex al lui Frege şi Rus­ sell , iată cum am putea rezuma o întreagă etapă din evoluţia matematicii , dar numai o etapă, căci . . .

5 . DE LA O EXTREMĂ LA ALTA

Am văzut că teza logicistă a fost combătută cu febrilitate ; construcţiile care pretindeau să justifice această teză au fost asaltate . Unele d intre ace ste atacuri împotriva logicismului au început să fie purtate sub o lozincă nouă . Să dăm cu­ vintul lui Arend Heyt ing , unul dintre întemeietorii intu iţio­ nismu lu i logic-matematic .. După Brouwer, matematica este identică cu partea exactă a g îndiri i noastre . . . N ici o altă ştiinţă - în particular nici fi­ .

lozofia, nici logica - nu poate sluj i drept premisă pentru ma­

tematică. Ar fi un cerc vicios să aplicăm în calitate de m ij loace de demonstraţie vreun principiu filozofic sau logic, deoarece în formularea acestor principii se presupun deja noţiunile mate­ maticii" l . La acestea Heyting adaugă : .. Pe de o parte matematica este independentă de logică. iar pe de altă parte logica face parte din aplicaţiile matematicii" � . In ce priveşte logica matematică în special , el afirmă : .. Există reguli generale după care se poate intr-un mod general, intuitiv clar, forma noi teoreme plecînd 1 A. H e y t i n g. Les jonda m e n /s des ma/hJmaliqll b şi

nu are soluţii dacă

a�b. Aic i apare o contradicţie, o negare a operaţie i de scădere . 1-40

Pentru a tnittuia această impos lb îtîtate a scMerli s-a aj uns ta soluţia de a lărgi mulţimea numerelor naturale prin introducerea unor simboluri noi O. -1 . -2 numite , primul, zero, iar celela lte numere Intregi negative . Aceste numere. adâugate mulţimii nu­ merelor naturale, alcâtuiesc mulţimea numerelor Intregi . In a­ a are intotdeauna soluţ ie . . . ceastâ mulţ ime , ecuaţ ia x + b în mulţimea numerelor intregi oarecare, impărţirea nu este totdeauna posibilă. adică ecuaţia bx a nu are totdeauna so­ luţie. Se iveşte astfel o contradicţie, o negare a împărţirii . In această s ituaţ ie sint necesare simboluri noi. şi acestea se obţin prin negarea impos ibil itâţii impârţirii, ajungindu-se la noţiu• . . . •

=

=

nea de număr fracţ ionar � . b

Mulţimea formatâ de aceste numere noi, impreunâ cu nu­ merele întregi oarecare, alcătuieşte mulţimea numerelor raţio­ nale, în care ecuaţia bx a poate fi întotdeau na rezolvatâ . . . Procesu l de extens iune (prelung ire ) a mulţimii nu merelor a fost dus mai departe şi pe aceeaşi cale dialectică au fost introduse numere iraţionale" (ş .a.m.d . ) l . U n proces analog a avut loc şi i n dezvoltarea noţ iu nii "va­ loare logicâ" (şi , corespunzător , de " propoz iţie" ) . Faptul că ter­ ţul exc lus nu are loc in domeniul propoziţ iilor de pos ib ilit ate l-a dus pe Lukasiewicz la ideea de a introduce valoarea "pos i­ bil" , faptu l c;l legea identităţii şi a terţului exclus nu au loc in domeniul propoziţ iilor absurde l-a fâcut pe Bocivar să in­ troduc;l valoarea "absurd" etc . în general , constatarea că. o lege oarecare dată nu se aplică la o anumită expresie (de forma =

afirmativă sau negativă) a dus la ideea că această expresie are o altă valoare log icli. , aşa dupli. cum faptu l că o operaţie (sau ecua­ ţie) nu are so luţ ie într-un domeniu de numere a dus la ideea in­ troducerii u nor noi numere . Vom nu m i acest proces procesul for­ mal de introducere a noi obiecte .

In cele ce urmează voi expune cu titlu de logic i po l iva lente . • c. tehn icii.,

B o r , 1 982. p .

şi

D. 8 - 7.

B o r

ş,

informativ o serie

Nu ....,. Ca ",pl.""

B ucure,t i , E d i t u r a

141

b) Logiul

lui LukasiewUz

Lukasiewicz ia ca punct de plecare va lorile "adevăr" , " fa ls , pe care le notează respectiv cu 1 , 0 , 1 /• . El introduce de asemenea un simbolism logic nou : Np (negaţie de P) , Kpq (conjuncţie de p , q) , Apq ( d isj uncţ ie de p, q) , Cpq (implicaţie de p, q) şi Epq (echivalenţă de p , q) . Vom reda definiţiile operaţii­ lor N, K, A , C : "

"posibil" ,

p 1 O

1/

.

I

A pq

Kpq

NP Np O 1

1/

.

XI

1 O

XI

l/ s

1 O 1 /. O O O 1 / 2 O 1 /2

1

O

1/.

1 1

1

O

1/

1

O

1/ .

1 1 O 1 /2

1 1 / . 1 /2

.

Cpq

XI 1 O

1/

a

1

O

1 O 1 1

l/a l/

S

1

1 1 /. 1

Log ica lui Lukasiewicz pune, pr intre a ltele u rmătoarele probleme : în virtutea căru i fapt operaţii le aşa cum le-am defi­ nit mai poartă nu mele de negaţ ie" , "conjuncţie" , "disjuncţie" , imp l icaţ ie" , deşi diferă d e operaţ ii le cu acelaşi nume din logica b iva lentă ? ce legătură au aceste operaţii cu g înd irea intuitivă? care este legătura acestei logici cu ontologia? Vom considera prima problemă . Dacă luăm tn cercetare ma­ tricele funcţi i lor trivalente, observăm că ele conţin ca subma,

"

"

1 42

trlu

fU1lCţiilM bivtJlenl8, ceea observi in tabelele de mai jos :

mtl"'�l"

cum se

� B0 1 I 1

1

O

O·

1/

1 /.

.

1 /2 1/

.

O

O

O

1/

ce

poate fi indicat aşa

�I 1

O

.

1/ .

I

I

1

O

1/2

1

O

1

1

1/.

1 1/.

1 1

Cpq

Kpq

(analog pentru celelalte tabele) . Cu a lte cuvinte, regulile de ade­ văr ale funcţiilor lukasiewieziene nu sujwimă regu li le de adevăr ale funcţiilor clasice , ci le includ . Aceste regu l i , deş i nu sint suficiente pentru definirea no i lor fu ncţi i , sint totuşi necesare . Tocmai aceste idei j ustifică păstrarea denumirilor despre care am vorb it Ideile de mai sus au insă legătură. şi cu o a lt a : mul­ ţimea jwopoziţiilor bivalente este cuprinsă In mulţimea propozi­ ţiilor n-valente, ceea ce exP lică In ultimă instanţă raportul dintre matricele de mai sus . După cum am mai văzut insă, aceste rapor­ turi nu se transferă automat şi asupra mulţimii leg i lor log ice căci in logicile n-valente nu toate legile log ic ii bivalente işi .

,

păstrează valabilitatea . Rlspunsu l la prima

intrebare ne-a dat

o

anumită relaţie

intre log ica bivalentă şi logica trivalentă (considerată) . Am văz ut tnsă că funcţiile bivalente sint abstrase pe baza studiu lui pro­

ceselor deduct ive (cu anumite propoziţii) . Găsim noi un cores­ pondent intuit iv şi pentru logica trivalentă dată? Noi credem că da . Iată citeva exemple simple care satisfac noile reg ul i de adevăr . Exemp l ificăm conj uncţia şi implicaţia. a) K ( 1 , 1/.) == 1/: : In 1 965 Bucureştiul avea 1 382 239 de locu itori şi in 1968 va avea 1 500 000" . Propoziţia In 1965 Bucureştiu l avea 1 382 239 de locuitori" este adevă­ rată, in timp ce propoz iţ ia .. In 1968 Bucureştiul va avea 1 500 000 ..

..

1 43

de

locuitori"

este

probabilA (posibilă) . cu alte cuvinte nu există a o considera adevărată sau pentru a o con­

vreun temei pentru

sidera falsA. . Conjuncţia dintre un fapt real ş i unu l posibil este ea

1nslşi b) K

posibilă.

(O. 1/.)

O : .. Azi 12 octombrie 1966 autorul acestei

=

13 octombrie 1966 va este falsă şi deci con­ propoziţia a doua) este

lucrări a călătOrit cu avionul. iar miine

cAlAtori cu autobuzul" . Prima propoziţie juncţia (indiferent cum falsă . c) K

(II •• 1 /9 )

I I. :

...

se

va decide

..Vtnătorul

X va

împuşca. azi iepuri ş i

vom minca friptură de iepure" . Ambele evenimente sint doar posibile şi deci legătura (conjuncţia) lor este de asemenea posi­ bilă .

C ( 1 . I I.)

d)

=

II. :

.

. Azi am cumpărat bilet la loterie şi deci

voi ciştiga" . Eu pot cu exactitate

să arăt

că propoziţia .. Azi am

cumpărat bilet la loterie" este adevărată.

dar consecventu l

acestei implicaţii este doar posibil . Tocmai de aceea nici nu

putem să. afirmăm

vreo

legătură necesară intre el şi antecedent .

este doar posibilA . C (1/9 ' 1 1.) 1 : .. Dacă in aprilie

Implicaţia e)

=

1975 voi ajunge în Lună,

atunci voi ocupa altă poziţie in sistemul solar decit cea Este doar pos ib il (nu este exc lus ) ca în 1975 să

de azi"

.

fiu în Lună

şi este posibil ca in 1 975 să ocup în s istemu l solar a ltă po ziţ ie

decit cea

pe care o ocup in 1966. dar "a mă deplasa de pe Pă­ necesar .. a-mi schimba p oziţia

mint in Lună" imp lică în mod

in s istemu l solar" şi deci implicaţia este adevărată (consecven­

tu l

este analitic cuprins in

antecedent) . După cite se observă ,

in sfera logici i discutate intră operaţii cu propoz iţii asupra "

viitoru lu i contingent" . S-ar putea obiecta că no i nu spunem

"voi face m iine cutare şi cutare lucru" (de

miine

la

exemplu

"voi merge

cinematograf") , ci "este pos ib il ca m t ine să fac cu tare

şi cutare lucru" (de exemplu "este posibil ca miine să merg la anum ită constanţă

cinematograf") . In realitate, noi, bazaţi pe o

a indeplinirii deciziilor noastre, ne exprimâm de ob ice i

cu toată

siguranţa : "Voi merge miine la c ine matograf" , şi numa i rareori indicăm posibilitatea

(de exemplu

atunci cind

cizăm enunţul faţil. de o eventuală obiecţie) .

i44

vrem

. să ne pre ­

Se obser vă de litatea valorii"

aici că

şi

există o anumită corelaţie

" modalitate

Între "moda­ a propoziţiei" . Dacă modali ta tea

este aPlicată valorii, atunci propoziţia corespunzătoare este aser­

torică (nemodală) şi, invers, dacă modalitatea se aPlică propozi­ valoarea este ntJmodală. Iată u n exemplu . Fie propo­ ziţia : ) n 1967 vo i călători la P aris" . Dacă punem intrebarea � este adevărată sau nu această propoz iţ ie ? vom răspunde că "este

ţiei, atunci

pos ib i l să fie adevărată" . Pro poz iţ ia este asertorică, dar valoarea ei este problematică . Dacă vom s pune : "Este posibil ca in 1967 să că lătores c la Par is " , atunci modalitatea a trecut in jorff14 p ropoziţiei , iar ace astă p ropoziţie este pur şi simplu adevăra tă . t ncă o observaţie care s e poate face es te că, i n timp c e logica bivalentă se ap l ică unui fel de " prezent etern" sau , altfel spus, In limitele necesarului , logica trivaknIă ing/obeam viitorul şi.

In

particular viitorul întîmplător. Am cercetat

pinII. acum relaţ ii le

logic i i lui Lukasiewicz cu

pune însă

prob le ma mai adinc, anu­

g ind ire a intu it ivă ; p utem

me are ea vreo bază

ontologică?

Nu intră in preocu păr ile noastre directe ana l iza valorii de

ibi l" (respectiv a acestei categori i) , totuş i nu putem trece a analiz a cît . de ctt semnificaţiile termenului "posibil" . Are sau nu acest termen vre un sens o ntolog ic şi, dacă d a , care anume? Pentru a rezolva această prob lemă. vom adopta următoarea metodă . Fie x u n eveniment v iitor . Vom reprezenta axa timpu lui cu o dreaptă pe care momentele temporale vor fi ind icate cu tl , ti' . . . , tn " pos

mai departe fără

..

Momentul tl va fi actual ( momentu l in care exprim propozi­

ţia despre evenimentu l

x) ; momentul tn va fi momentu l in care se va produce evenimentul x. Presupunem că diferenţa de timp tn-tl s-a scurs şi că evenimentul x s-a realizat . Presupu nem "prin absurd" că, in timp ce no i contempUl.m even imentu l in momen­ tul In, un individ oarecare Y formu lează o propoz iţ ie asupra evenimentului x, afUndu-se in momentul '1 ' iar noi , afUndu-ne in momentu l tn , formu lăm de asemenea o propo z iţie asupra ace. lui eveniment . Fie aceste propoz iţii următoarele : 10

145

( 1 ) .,In

evenimentul x" (propoz iţ ia in momentul '1) ; (2) "In momentul In are loc evenimentul x " (propoziţie for­ mulată in momentul tn) . Ce deosebire există intre cele două propoziţii? Propoziţia (2) este adev!rată şi ştim că. este adevărată. Propoziţia ( 1 ) este adevărată, dar Y nu ştie acest lucru . Dar Y ştie că propoziţia ( 1 ) este posibilă. Ce inseamnA faptu l că " Y ştie că propoziţia (1) este posibilă" ? Aceasta înseamnă că Y are vreun procedeu de a decide că ( 1 ) nu este absurdă (contradictorie) . Aşadar, aici "posibil" inseamnă "nu este- absurd" , "nu este contradictoriu" (definiţie dată de Leibniz) . Insă noi nu ne mulţumim cu posi­ b ilitatea logică a evenimentului , deşi aceasta este o condiţie sine qU4 non pentru afirmarea posibilităţii lui . în realitate , noi ne bizuim totdeauna pe ceva mai mult decit această posibilitate logică . Ce anume repre z intă acest ceva? De ce anume mai ţi­ nem seama atunci cind spunem "x este posibil" ? Ce înseamnă in acest caz "x este posibil" ? Eu cred că aceasta poate să insem­ ne că "există o sumă de cond iţ i i (deşi nu toate) compatibile (şi chiar necesare) cu existenţa lu i x" . Aşadar, "a fi posibil" in sens ontologic inseamnă "a exista o parte din condiţiile nece­ sare existenţei lui x sa u cel puţin compatibile cu existenţa lui x" . Voi mai numi o astfel de posibilitate /actuală , spre a deose­ bi-o de cea logică . Această posibilitate este , evident , abstractă . Principalul este insă că no i putem acorda un sens precis "pos ib i l ităţ ii ontologice" . Mai departe , deoarece o parte din condiţii nu sînt reale , aceasta va însemna "este posibil să nu fie". In acest fel reuşim să a tri­ buim posibilităţii un sens ontologic şi să evităm reducerea ei la simpla "incertitudine" . Aceasta nu înseamnă , desigur, că în anumite cazuri posibilul nu este reductibil la simpla incerti­ tudine. SA. explicăm şi acest caz . Fie faptul y. Presupunem că acest fapt y are loc in momentul formulării propoziţiei "faptu l y are loc" , dar că noi n u putem determina dacă. are loc sau nu . tn acest caz de asemenea vom spune că "este posibil ca faptu l y să aibă loc" , deşi faptul n u mai este (ontologic vorbind) in sfera posibilului doar, ci în sfera realului . Din cele spuse mai formulata.

1 46

momentul In va avea loc

sus rezultă că o ontologie a logicii trivalente a lui Lukasiewicz este pe deplin posibilă . Spiritu l lui Aristotel se păstrează in­ discutabil : orice logică formală are un temei ontologic, ceea ce şi constitu ise baza posibilităţii de a obţine aplicaţii tehnice. c) Logica lui Bocivar

Pornind de la ideea de a anal iza propo z iţ i i le paradoxa le care au apărut in teoria mu lţimilor, logicianu l sovietic D . A . Bocivar construieşte o logică cu valorile "adevăr" , . . fals" , .. absurd" . Bocivar scrie că .. dezvoltarea (calculului său Gh . E.) porneşte de la formalizarea a o serie de corelaţii fundamentale şi evidente în gindirea intuitivă intre predicatele adevăr , fals şi absurd ale propoziţiilor, in v irtute a căru i fapt sistemul admite o inter­ pretare cu caracter propriu-zis logic" 1 . Bocivar imparte enun­ ţurile în două : enunţuri clasice (interioare) , de forma .. A " , . .Ă" , .. A şi B" , . . A sau B " etc . , şi enunţuri neclasice (exterioare) , d e forma A este adevărat" , " A este fals" , "A este adevărat şi B este adevărat" etc . Fiecărui enunţ interior i i corespunde un enunţ exterior (de exemplu lu i .. AH ii corespunde .. A este ade­ vărat" , lui .. ĂH , .. A este fals" etc . ) , dar nu fiecăru i enunţ exterior îi corespunde unul interior ; astfel este enunţu l . .A este absurd" . In această categorie intră enunţurile paradoxale . Ele sint, cum se exprimă Bocivar, enunţuri ..fără conţinut" . Deşi enunţurile paradoxale sint o realitate a gîndirii, fiind logic contradictorii, orice obiect descris cu ajutorul lor este pur şi simplu imposibil . Cu alte cuvinte, un paradox este expresia imposibilităţi i lo­ gice (şi nu doar de fapt) a obiectu lu i . Adrebui , desigur, să cerce­ tăm dacă formalismu l lui Bocivar n-ar putea fi interpretat in sfera imposibilitălii {actuale (imposibilitatea factuală nu pre­ supune pe cea logică ·) . Se comportă oare un enunţ tactual im­ posibil după prescripţiile logici i lui Bocivar? Acest lucru ar trebu i cercetat . Logica lui Bocivar, după cîte vedem , ne "

1 D . A. B o e i v a r . Ob adn a ", t,llunocinom iscisleft.ii i eUD p,.,. •. anali�u p.,atloksov k l asiteskovo rasşirt:nnovo !"."Ii-an.'novo is,isle. M a t.", . s b . , 4 ( 46) : 2, 193 8 , p. 28 7 . • I m pos i b i l l o g i c - con tr a d i ctori u . I m po s i b i l fac t u a l .. i m p o s ib i l de re a l i z a t la u n m o m e n t dat ( i n r a p o r t c u a n u m i t e c o n d iţ i i ) .

nenii k nia , In

1 "7

tmp�e de la probleme le posibilu iui

(tukasiewicz) ia ceie ale ceea ce inseamnă. tot o modal itate a adevA.ru l u i ( ..este impos ib i l să fie adevllrat" ) . Desigur , apare problema dac1l pos ib i l u l logic şi/actual, ca şi imposibilu l logic şi/actual, se c om­ port1l dupll aceeaşi logică? Nu vom da deoc amdatll nici un răs­ puns la această intrebare . imposibilului ,

d) Logica

lui Kleene

Kleene construieşte o logică a .. cunoştinţei" . Ne-am int i lnit deja cu această problemă într-un paragraf anterior . Legătura logicii lui Kleene cu gindirea intuitivă nu st îrneşt e nici o în­ doială. El porneşte de la următoarele semn ificaţ i i : "cunoscut ca adevărat" , .. cunoscut ca fals" şi .. necunoscu t" (s imbo l ic , respec­ t iv, 1 , 2, 3) . El introduce doull tipuri de funcţii : "slabe"şi ..tari" . A treia valoare poate fi precizată in diferite ch ip u r i . Ea , de exem­ plu , poate fi identificată cu ceea ce Ar istote l numeşte .. nu putem spune precis" . Funcţiile "slabe" se constru iesc din cele bivalente pe calea completării matricelor biva lente cu a treia valoare . Funcţii le "tari" diferă de funcţ i ile lui Lukasiewicz doar intr-u n singur p unct : în cazul imp l icaţ iei (3, 3, 3) , în rest ele s înt iden­ tice . DupA. p1lrerea noastră, putem construi aceste funcţii "tari" cu următorul procedeu : considerllm valoarea 3 ca f i ind ..nedecis" . Fie funcţia negaţiei . Dac1l p 1 , NP O . Dac1l p O , NP 1. Aceasta inseamnă că, dacă este decisă afirmaţ ia ca fiind 1 , nega.ţia de aseme nea este decisll, ea va avea O . Dacă p 3 (nedecis) , atunci Np va depinde de modul în care se va decide p . Deoarece număru l d e decizii este mic, două, noi p ute m face pe rînd presupunerile : a) dacll p se va decide ca f i ind 1 , atu nc i , conform prime i decizii, Np O ; b) dac1l p se va decide ca fiind O, atunci, conform ce le i de-a doua decizii, Np 1 . tn ace st fel , dacll p nu este decis ( = poate lua încă p e oricare dintre cele doull valori) , Np de asemenea nu este decis (poate lua pe or icare d intre cele doull v alori) . Matricea trivalentă se poate constru i deci direct pe baza matr ice i bivalente. Considerăm imp l icaţia . Pentru comod itate şi chiar din considerente ma i adinci, putem nota a treia valoare cu x (s imbo lu l necunoscutei) , iar pr ime le =

=

=

=

=

=

=

148

cu 1

şi O.

Ne intereseazll. Indeosebi următoarele situaţii d in ma­

tricea imp licaţie i :

1 x x l O x x O

x

x x

x

x

x nu se poate decide decit in doull. feluri, atunc i noi putem face pe rind presupunerile respective : 1 1 şi q se va decide ca f iind 1 , atunci C p q - dacă p (căci C ( 1 , 1 ) 1) ; O 1 şi q se va decide ca fiind O, atunci C p q - dacă p (căci C ( 1 , O) 1) ; - dacă p se va decide ca fiind 1 , q 1, C P q 1 (C(l , l) Deoarece

=

=

=

=

=

=

=

=

1) ;

=

1) .

- dacă p se va decide ca f i ind

O, q

Asemănător pentru cazurile trei

=

=

1, C P q

=

=

1 (C (0, 1 )

=

şi patru . Cazu l cinci cuprinde patru situa­

patru situaţii (respectiv vom avea una dintre cele ţi i d in

matricea bivalentă) : - dacă p 1, q 1 , atunci Cpq - -dacă p 1, q O , atu nci Cpq =

=

=

=

=

=

1; O;

D upă cit se vede, logica lui Kleene, asemenea algebrei nu­

( 1 .0) şi valori necunoscu te (x) . Am insistat asupra acestei interpretări (in­ trodusll. de noi) , deoarece ea relevll. un fapt foarte important : merice. introduce pe lingă valorile determinate

logica matematică ap lică procedeele algebrei numerice . Din

acest motiv ele nu trebu ie să se confunde, căci o "algebră lo­ gică" este totuşi interpretabilă pe semnificaţii de o natură dife­

rită de "algebra numerică" .

e) Logica lui Hans Reichenbach (1893-1953) construieşte

o

Reic"e�bach

logică triva­

lentă cu scopul de a rez olva din punct de vedere logic dificultă­ ţ i le mecanicii cuantice . Conform cu aceasta se introduce pe IIn, 1 49

valorile de adevăr ( 1 ) şi fals (2) valoarea "nedeterminabil" (3) . Acest ..nedeterminabil" nu este . . nedecisu l" (nerezolvatul)

gi

lui Kleene, ci .. indeterminabilul" lui Heisenberg din mecanica cuantică . După explicaţiile lui Reichenbach , este vorba de .. in­ decidabil" , adică enunţ ce nu poate fi nici verificat şi nici in­ firmat. Inainte de a prezenta logica intuiţ io n istă , reamintim citeva lucruri cu privire la raportul dintre logicile n-valente şi log ic a bivalentă1 • Reţinem faptu l că unele legi din logica b ivalentă (şi in primul r ind legea terţului exclus) nu mai apar ca leg i In logicile n-valente. Mai mult, nici negaţiile lor nu sint legi aici. In acest fel , legea noncontradicţiei acţionează la nivelu l mulţimii sistemelor log ice : nici o logică n-valentă (n >2) nu poate veni in contradicţie cu logica bivalentă ; logica bivalentă intervine totdeau na in consideraţiile metateoretice asupra sis­ temelor n-valente. Despre aceste aspecte am mai d iscu tat însă atunci cind am abordat prob lema leg i lor log ice . f) Logica intuiţionistă o discuţie exhaustivă merită logica intuiţionistă şi concepţia filozofică a intuiţioniştilor . Pentru a î nţelege natura logicii intuiţioniste, vom face o incursiune la izvoarele acestei logici : d iscuţ i i le asupra infinitului matematic (concepţ ia l u i Bro uwer) * . Intuiţionismu l matematic este rezultatul criticii conceptul u i de .. infinit" efectuată de Brouwer şi de şcoala sa , dar sub d iferite aspecte el tşi are rădăcinile in opere foarte vechi, cum ar fi, d e exemplu , opera lui Aristotel . Deoarece ideea de .. intuiţionism matematic" cupr inde 1) o filozofie a matematicii, 2) o logică şi 3) o matematică reconstru ită pe baza unor principii noi, va trebu i să avem grijă de a nu confunda cele trei p lanuri , ele avind valori diferite . 1 A. A. Z i n o v i e v. Filosof.k'. p,obl.... , "' .. ogu.. a.. ..o. logll'ki, Moscov a , 1960. • E xpunere a intu i t i o n is m u l u i o facem qupli lucrările lui Heytillg ş i K leene, citate tII text.

150

I nainte de a trata diferite proble me speciale , voi expune principiile generale care caracter izeazi intu iţ ion ismu l mate­ matic :

1 ) matemat ic a nu are un conţ inu t .. independent de gindire" (Brouwer) ; 2) conţ inu tu l matematicii constă in însuşi procesul de cons­ trucţie a obiecte lor matematice, proces efectuat de matematician ; 3) .. obiectele matematice sint sesizate imediat de spiritu l ginditor . Cunoaşterea matematică este. prin urmare. indepen­ dentă de experienţă" (Heyting) ; 4) obiectul matematic (de exemplu numărul) este admis dacă este dat u n procedeu c are poate să ne ducă în principiu (abstrac­ ţie făcînd d e limitele practice care se referă la lungimea proce­ sul u i e fectu at) la construcţia efectivă (intuibilă) a acestu i o­ b iect . A ceste patru idei sint suficiente pentru a caracteriza în prin­ cipiu intu iţion ismu l matematic . deşi d iferiţi autori se opresc l a o parte dintre e le . Primu l pr inc ip iu , care mai este formulat cu predilecţie astfe l : obiectele matemat ice nu au ex istenţă independentă de gindire (Brouwer) , este ev ident un princip iu idealist. El arată clar că d in pu nct de vedere filozofic intuiţionismul matematic este un idealism deschis , s incer. Al doilea princip iu face din .. activitatea gindirii" însăşi realitatea şi esenţa obiectelor mate­ mat ice . El arată că intu iţionismu l matematic este din punct de vedere filozofic un idealism subiectiv . Al tre i lea principiu .. rezolvă" problema din punct de vedere gnoseologic : cunoaşterea este constructiv-intuitivă. El defi­ neşte însuşi specificul filozofic al concepţ ie i , este deci princi­ p iu l .. intuiţionismului" ca atare . Al p atru lea principiu stabileşte criteriul .. exis tenţe i mate­ matice" (adevărul) . El poate fi numit .. pr incip iu l construc­ t iv ist" . De fapt eu cred că acesta e ste s inguru l pr inc ipiu care are consec inţe logice (şi nu doar p resupune) asupra matematicii şi lo g ic ii . De a ltfe l , in u ltima vreme, o anumită ramuri. a intuiţionismulu i s-a dezvo ltat prin recu noaştere a doar a ultimu­ lui pr inc ip iu şi negarea celorlalte trei ; aceasta este ..constructi151

vismul" , dezvoltat

tn U .R . S . S . sub

direcţia

lui A . A . Markov

(Leningrad ) . Acest u ltim principiu nu are nimic idealist şi

criticile ce i se pot aduce pot fi făcute doar in sensul că reprezintă o

exigenţă greu realizabild .

considera că pro­

Personal nu voi

blemele mai concrete (logice şi matematice) au vreo legătură cu principiile idealiste ale intuiţionismului . Se poate ca in formu­ lările mai concrete

nuanţă

să

se strecoare ş i unele expresii confuze de

idealist-intuiţionistă,

dar aceasta nu schimbă esenţa

observaţiilor particulare foarte profunde făcute de către Brou­ wer şi şcoala sa . Problemele concrete în legatură cu care Brouwer şi şcoala sa

an

dezvoltat noua concepţie logică-matematică sint următoa­

rele : a.) problema infinitu lui, b) problema existenţei matemati­ c) problema principiilor logice,

ce,

d)

logica " intuiţionistă..

şi e) reconstrucţia matematicii pe baze constructiviste. Ches­

incit prefer să presnpun

tiunile sint atit de legate intre ele,

de

la inceput o tratare comună şi nu distinctă . Aristotel, Kant, Gauss ş . a . au făcut o distincţie netă intre

ideea de "infinit actual" şi " infinit potenţial" . Kant scria in Critica

raţiunii pure

că "agregatu l infinit al lucrurilor reale nu

poate fi priv it ca un intreg dat şi că deci el nu poate fi privit ca

dat simultan"l,

iar Gauss scria: "Eu protestez . . . impotriva folo­

sirii mărimii infinite

ca

fiind ceva incheiat, şi aceasta niciodată

nu este permis in matematică.. •. Nici unul dintre aceşti g indi­

tori n-au tras concluzii importante din această distincţie şi n-au folosit-o in mod constructiv.

Iată

ce scrie Weyl : "Conform cu concepţiile sale şi cu inţe­

legerea Sa asupra istoriei a · fost

sică

abstrasl

din

(ale

lui Brouwer.

-

G.

E) , logica

cla­

matematica mulţimilor şi submulţimi­

lor finite . . . Uittnd de această origine limitată, u lterior această logică a fost considerată drept ceva superior şi primordial in

raport cu intreaga matematică şi, la urma urmelor, au inceput 8-0 aplice

fărll.

vreo justificare şi la matematica mulţimilor

in­

finite"· . Există principii ale matematicii mllr imilor finite care

1 1 b • d e m, p. 882 . · V.a. S. C. K 1 . e n Ved S . C . K l e . n

• •

152

•• ..

Op . cii . , Op . cii . ,

p. 48. p . 48 .

nu sint aplicate la mulţ imile infinite. Astfel "banalul" principiu

tntregul este mai mare decît partea. Incă Gal i leu arăta că acest princip iu este infirmat de posib ilitatea de a stabili o corespon­

denţă b iun ivocă ( 1-1) intre şirul numerelor naturale impare:

şirul

numerelor naturale pare şi

{I,3, . . . , n, ... } {2, 6, ... , 2 n}

Un

alt principiu sp une

că

" ori c

e mulţime a numerelor na­ al acestei mulţimi". Para­

turale conţine cel mai mare număr

doxul lui Burali - Forti a dus la infirmarea acestui principiu.

lit

definitiv el este

va labi l doar pentru mulţimile finite. Aceste

fapte şi a lte le l-au dus pe Brouwer la revizu irea bazelorfilozofiee

a le matematicii. "Brouwer - scrie Heyting - a fost pr imu l care a descoperit obiectul care într-adevăr cere o altă formă a logicii. Acest obie ct este constru cţ ia matematică intelectuală (Bf'OUw6r. 1908). Cauza constă in a ceea că în matematică noi avem de la tnce­ put de a face cu infinitul, tn timp ce logi ca obişnu it§. este fleută

pentru raţionamente despre totalit1iţi finite"l. Primul prinei­

�iu care este pus in discuţie de către Brouwer este princ ipiu l terţulu i exclus, pe care- l vom simboliza astfel: liP A (P, fi) ( ..pentru orice p, disjuncţie de p şip,,). Fie p enu nţu l 3x (xr.D) P (x) ("existI un x care aparţine mulţimiîD astfe l că el are proprietatea P"). Negarea acestu i enunţ (non-p) va fi V x (xt.D)p (n) ( .. orice x care-aparţine lui D are însuşirea non-P"). Conform cu terţulexclus, vom avea enunţul: există un element al lui D

care posedă fnsuşirea P sau posedă fnsuşirea non-P. Dacă D este o mulţime finită, putem practic (sau mll.car in principiu) cerceta fiecare element şi decide care d intre părţ ile acestei alternative orice element al lui

D

este adevll.rată. Tocm ai

rea fiecli.rui

această posibilitate' de

a

efectua cerceta­

element, aşa cum ne asigură Brouwer şi Heyting.

formead baza terţuluiexc1us pentru mulţim i le finite. Or, aceastA.

posibilitate este exclusA.

pentru mulţimile infinite.

procedeele matematice care ne-ar duce uneori la

1 A. H e y

11165.

p.lI.

tin

g.

["''''''O'''$1ft. ["',otl.. c.,,,

tud.

Chiar şi

succes nu tUSl,

pot

Moscova,

tn general

fi

luate

drept garanţie

pentru aceasta, cu

atit mai

mult cu cit existA cazuri in care ele nu sint de nici un folos, cum ar

fi cazul teoremei

lui Fermat (care afirml el ecuaţia

.ţin + yn zn nu are rezolvarea in numere intregi şi pozitive x, y, z, n, pentru n>2). Aşadar, principiul terţului exclus a apA.­ rut pe baz a mu l ţ im ilor finite. Extinderea lui la mulţimi le infi­ nite transformă aceste mulţimi infinite in " actual infinit" =

(actualul este o proprietate a finitului), de unde rezultă parado­

xele mulţimilor. tn concepţia infinitului actual (incheiat , in­

tins, ex isten ţ ial), .. mulţimea infinită este considerată

ca exis­

tind sub fonna totalităţii inchise, care precede şi este i ndepen­

denU. de orice proces de producere sau de construire a ei de eltre

om,

ca şi cum ea ar sta in faţa noastră in totalitatea ei pentru a o Acestui infinit, Brouwer ii opune concepţia sa des­ pre infinitu l poteaţial (in devenire, constructiv), adiel despre seria ..care poate fi continuată la infinit". Prob lem a infinitului actual şi potenţial este extrem de com plexă şi se poate spune că, in esenţă, ea nu este rezolvată . Se prea poate să ne af lăm in faţa unei ..dualităţi" de tipul aceleia din fizică (du ali tatea "cor. puscu l-undă" ) . In orice caz, noi trebuie să rezolvăm dificul­ tat e a următoare: dacă admitem in finitul actual, a dmi tem de la inceput un concep t contradictoriu (infinit negarea ori. cărui finit , actual = finit temporal, cleei infinit actual = in­ finit finii) iaU se pare că, dacă noi nu admitem infinitul actual, atunc i trebuie să negăm or ice enunţ care consideră infin i tul percepe"l.

=

ca ce

un ..tot" sau .. ansamblu" în

nu

inţelesul obişnuit (ceva inchis o

mai este supus devenirii). Brouwer, reducind totul la

viziune metodologică (= din punctul de vedere al metode lor

de rezolvare), crede a cum

elimina

asemenea probleme "metafizice"

este problema ontologică a infinitului. tusă ne

se pune intre­

putem noi mullumi cu un punct de vede,e metodologie (eonst,ucliv) asupra lucrurilor; Absolutizarea duce şi a dus în

barea.:

mod efectiv la idealism . .Iată această concepţie cit se poate

c1ac

exprimată de eltre Heyting: " Trebu ie să inţelege ţ i

constat programul lui Brouwer (B,ouwer, 1907). El

1 S. C. 154

K 1 e _ D e.

OI>. cii.,

p.

'8.

in

de a

ce

a constat

tn ceccetarea construcţi i lQc matematice intelectuale ca atare, fără vreo legătură cu asemenea probleme ca natuca obiectelor construite sau dacă ex istă sau nu aceste obiecte independent de cunOştinţele noastre despre ele"l. Mai mult. in stud iecea cons­ trucţiilor matematice i nte lectuale .. a exista" trebuie să insemne acelaşi lucru cu a f i construit"2. Despre o realitate obiectivă independentă de gîndirea matematică către care această. gîn­ ..

dire trebuie

să

tindă, nu mai poate fi vorba, căci "din

punctul

de vedere al intuiţionismului matematica este studiul anumi­

f uncţii ale raţiunii omeneşti"s. Obiectul este. aşadar.

tor

in idealismu l

să

ca

clasic german (Kant. Hegel), nu ceva ce trebuie

fie .. reprodus" (Marx) de raţiunea noastră. ci. dimpotrivă.

el este pe de-a- ntregu I pcodusul acestei raţiuni. In planul teo­

riei cunoaşterii. concepţia lui Brouwer revine la o problemă discutată de noi anterior: trebuie să admitem că există adevăr independent de verificare şi deci de conştiinţa adevărului. deci trebuie să admitem

nu?

conchide . asemenea

este

distincţia

Dacă. ne v om limita

o

dintre adevăr şi cunoştinţă sau

la unghiul de vedere metodo logie vom pragmat ic il or (şi int u iţion ismu l discutat .

vacian tă de pragmatism).

că

lumea există Intrucit este

cu privire la obiectele matematice Repet, n-am de gind să neg legitimitatea unghiu­ lui de vedere metodologie (in speţă constructivist); ceea ce neg este substituirea unghiului de vedere ontologic cu acesta sau identificarea lor (prin reducere). In concluzie, ceţ inem construc­

construită, ceea ce şi

afirmă Brouwer

.

tivitatea ca un unghi de vedere deosebit de interesant, dar

nu

filozofia constructivistă.

O problemă foarte impor tan tă pentru intu iţionişti este aceea a enunţurilor matematice universale şi ex ist enţiale Un enunţ universal despre numere. adică un enunţ de forma fin P (n) in lumina concepţie i lui Brouwer. trebuie inţeles astfel: .

dacă este dat

n.

atunci putem decide că. P (n),

iar

un

enunţ

existenţial adică de forma 'fin P (n), conţine informaţie par,

• H e y tin g. lnt"iţionism p . Il. I I b I de m , I 1 b i d � 1Il, p. 1 9.

(ed. cit.),

p.

9.

155

ţiall despre un alt enunţ care dă un astfel de numlir n sau dli. me­ tod:a care ne permite s1 găsim un astfel de număr. Cu alte cuvinte, orice enun ţ matematic se refem la un obiect construit fiau, cel puţin ', la metoda care ne permite să-I constfuim. In particular, enunţul ,,2 + 2 = 3 + 1" trebu ie inţeles ca o pres c urtare a afirmaţiei "eu am îndeplinit constru cţiile desemnate prin � 2. + 2. şi � 3 + 1. şi am găsi t că ele duc la unul ş i acelaşi rezultat" . Se inţelege că din c impul de cercetare al intuiţioniş­ tilor este exclusâ "totalitatea infinită a numerelor naturale". Ca exemplti clas ic de metodă intuiţion istă este dată metoda. inducţiei matematice. Dintre metodele intuiţion ist e t rebuie res­ pinsâ metoda reducerii la absurd, care se bazează. pe legea ter­ ţului exclus şi a dublei negaţii. Această metodă nu e s te construc­ tivă., deoarece prin trecerea de la 'fi la p nu dă nici un exemplu .. şi nici procedeul de a construi un asemenea exemplu.

Limitările intuiţioniste asupra inţelesului enunţurilor mate�'

matice şi-au găsit expresia in logica intuiţionistă (infinitistă)

a lui Heyting . Se afir mă uneori că aceasta este o logică trivalentă (vezi Goodstein ) ;

de valori.

in realitate ea este o log ică cu o infinitate

Să începem cu introducerea "funcţiilor intuiţioniste". Orice

"enunţ intuiţionist"

(elementar)

satisface sau nu satisface posi­

bilitatea de rezolvare intuiţionistă (adicA. dispunem de exemplele

care s1 le conf irme sau. cel puţin. metoda de a construi aceste

exemple). In conformitate cu acea!rta avem următoarea inter­

pretare a

funcţiilor compuse:

1) "p sau q" înseamnă: p este satisfăcut în mod intuiţionist

sau q este satisfăcut in mod intuiţionist;

2) "p

şi

q"

intuiţionist;

inseamnă: atîtp. cit şi

q s int

satisfăcute in

mod

3) "din p se deduce q" înseamnă: q se deduce din p prin ra­ ţionamente intuiţioniste; 4) " non-p " (ceea ce intuiţioniştii scriu astfell ..P") înseamnă.: din p se ded uce prin metode intu iţion iste q şi non-q. Heyting adoptă următorul sistem de simboluri: P. q. r ... . variabile propoziţionale. fi (şi). V (sau) , .. (implică), l (nega156

tie).

Sistemul formai al propozlţHlor lntu lţloniste

mătoarele unsprezece axiome:

1) P-+(P"P), 2) (PM)-+(q"P), 3 ) (p-+q)-+[ (pf\'l'J-+(qf\'l'J), 4) [(p-.q) " (q-+r)]-+ (p-+r) , 5) q-+(p-.q),

c1.ipdnde ut.

7) P-'(PVq),

8) (PVq)':"(qVP), 9) [(P-+�)" (q-+r}J-. -. [(PVq)-.�], ( 10) 1 P-+ p-.q) , 11) UP-+·q)" (P-+ 1 q)]

6) [P" (p-+q)]-+q,

Printre teoremele intuiţioniste nu

vom

găsi

-lp. terţul exclus şi

dubla negaţie, de asemenea nici pe acelea care reduc un functor

la

10)

independenţi). Prin eliminarea axiomei minimal" (1936). că prin adăugarea teI ţu lu i exclus sau a unei formule de

alţii (functorii sint Johanson

Evident

a

construit aşa-numitul "calcul

aceeaşi putere cu ţerţul exclus se poate trece la calculul clasic al propoziţiilor. Extinderea logicii intuiţioniste la calculul predi­

catelor se face prin anexarea la sistemul de axiome dat mai sus

a axiome lor date de

Hilbert şi

Ackermann. Logica lui

Heyting a

primit o interpretare dată de Kolmogorov. Această interpretare

tratează

fiecare enunţ

elementar ca pe o problemă care poate fi

rezolvată sau nerezolvată. La rindul ei, noţiunea de problemă

a fost precizată in chip diferit .

Putem

aprecia in urma celor de

mai sus cit de greu sint de satisfăcut exigenţele intuiţioniste. Avem de-a face cu

un fel de

"purgatoriu" al ideilor.

Intuiţioniştii au construit pe

matematică. In flexibilă

a

lingă

Uniunea. Sovietică.

intuiţionismului

lui

o filozofie şi o

logică,

o

s-a dezvoltat o ramură mai

Brouwer şi Heyt ing ,

anume cu­

rentul constructivist, in frunte cu A.A. Markov (şcoala de la Le­

citeva tomuri d e matematică constructi­ "V.A. Stek­ Iov". Primele volume conţin şi o expunere a concepţiei filozofice

ningrad).

Există deja

vistă publicate de către Institutul de matematică a

constructivismului. Astfel, in al doilea volum, A.A.

Markov Despre matematica constructivă. De asemenea con­ cepţia constructivistâ este expus! (in primul şi în al doilea vo­ lum ) în lucrările lui N.A. Şanin. In 1965 a fost tradusă. la Mos­ cova lucrarea lui A. H ey ting Intuilionism. Aceast! lucrare este scrie articolul

1�7

concepută in forma d ial ogurilor (platonice) între petsonaj u l Form (formalist), Int (intuiţionist) , Pragm (pragmatist), Sign (significist) şi Letter (nu e prea clar ce poziţie reprezintă). A.A. Markov se a lătură discuţiei sub numele de Con (constructivist). Iată prima intervenţ ie in discuţie a personajului Con: "Bună ziua, dragi colegi! Aud că domnul Int îşi expune aici credoul său. El are perfectă dreptate cînd afirmă că construcţiile mate­ matice cer o logică specială. Totuş i eu nu pot fi de acord cu aceea cii. matematica are de la î1U:eput de a face cu _infinitul *. «I n fi­ nituI» se introduce in matematicii. prin abstracţie. Se aplică ab­ stracţia rea lizării potenţiale şi abstracţ ia infinitului actual. Natura ultimei mie nu-mi este cl ară, d ar prima c ons tă în a face abstracţie de graniţele pract ice ale posibilitil.ţii noastre de con­ strucţie, determinate de limitele spaţiului, timpului şi mate­ rialelor pe care le avem la dispoziţie. Construcţiile inleleetuale, despre care a vorbit domnul Int, sint potenţial realizabile. Ele au ca prototip procesele materiale practic realizabile. Consi­ derarea construcţiilor potenţia l realizabile cere o logică specialA.: logica matematică constructivă"!. Constructiviştii leagă inceputul acestei orientări de introdu­ cerea noţiunii de algoritm (cu alte cuvinte a procedeului de re­ zolvare in matematică). In ce priveşte existenţa obiectelor ma­ tematice , A.A. Markov scrie: "In matematica constructivă, existenţa obiectului cu proprietăţile date numai atunci se consi­ deră demonstrată cind este indicat procedeul de construcţie po­ tenţial realizabilil. a obiectul u i cu aceste insuşiri"·. In ce priveşte conceptul de adevăr, A.A. Markov il reduce la "verificat ca ade­ vărat"l. Spre deosebire de intu iţionişti . constructiviştii acceptă in u n e le cazuri raţionamentul prin absurd (deşi nu acceptă terţul exclus). Nu s-ar putea spune că din punct de vedere filozofic constructiv iştii s-au eliberat total de idealism. deşi A.A. Markov acuzA. pe intuiţionişti de. . . subiectivism. El scri!l: "Nu sint de loc de acord cu considerarea« clarităţii intuitive » drept criteriu 1

A. H e y tin g.

A. A.

1 .. ' .. i/io ...... . In ell. eil. (ane1a). p. 161. O kODstruktivDOI matematlke. T,.. ", mII'"

Mar k o v.

"1111,,,11010 ,,,slil"'11 'men' ,rad, p. 9. I 1 b i de m, p. 9. I

158

V.A . S,dloVII, LXVII. Moscova, 1962. Lenin·

al adevlrului tn matematică, deoarece acest criteriu Inseamn1

triumful deplin al sub iect ivismu lui şi se află în discordanţă cu inţelegerea ştiinţei ca formă a activităţii sociale" (sic !)1. Rezultă că nici constructiviştii nu vor să depăşeasci concep­ ţia după care obiectul matematic ar fi pur şi simplu rezultatul unei activitiţi. Existenţa obiectului matematic este pur şi sim­ plu "construcţie potenţial realizabili"·. Este drept că Markov caută o legătură Intre constru cţi ile matematice şi construcţiile ma­ teriale (datorită asemănării d intre ele, "proiectele" care sint con­ strucţii ale inte lectului pot fi ap licate in construcţii le materiale ) , insă nidl.ieri el nu vede în construcţiile matemat ic e un proces de reproducere (Marx) a unor raporturi reale. Din nou se relevă i mportanţa definiri i ştiinţei jwin obiect (printr-o realitate inde­ pendentă de construcţiile intelectuale) şi nu .. . obiectul prin activitatea constructivă a i nt electu lui . Nu cerceta rea din punct de vedere constructiv a proceselor intelectuale este v ic iul acestor concepţii filozofice, c i considerarea acestor procese ca gener ind o existenţă fără a reflecta vreo existenţă. Analogia cu procesul de construcţie materială nu trebuie să ne inducă in eroare. Obiec­ tu l material poate fi pur şi simplu un produs (fără reproducere), de exemplu construcţia unei maşini, Insă procesele de construc­ ţie intelectuală nu pot fi considerate in nici un caz de acelaşi tip şi ele nu pot fi pur şi simplu o "formă a activităţi i sociale ca "

"

"

oricare alta.

In consecinţă, aş vrea să spun

că

atit intuiţionismul, cit şi

de pătrundere adincă viziunii dialectice in ştiinţă.; din păcate, această. dialectic!. pentru mulţi merge spre Hegel şi nu spre Marx. Ei au asociat orientarea lor cu o atitudine antimetafizică (mai precis antispe­ culativă) şi antidogmatică (aic i mai ales in V.R.S.S.). Aceasta arată că chiar şi o concepţie justă cum este mater ia lismu l dia­ lectic nu-şi poate juca rolul de călăuză a şti inţe i cînd îşi foloseşte în mod dogmatic principiile. Nu este suficient să ştii pe dinafară princiPii juste; mai trebuie să ai şi dejwindere - şi aceast a esU lucrul cel mai greu - de a le minui cum se cuvine. constructivismul demonstrează procesul

a

1 1 b I d e m, I 1 b i de m,

p. II. p. 9.

159

g) Analiza izvoarelor şi

Bam

geMf'tlld a logicilor polivalente din punel de vedere filozofic

a conţinutu lui

logicilor n-valente ne-a

arlLtat că apariţ ia logici i n-valente, departe de a fi un act "arbi­

trar", este fundamentată din punctul de vedere al logic ii dezvol­ tării cunoaşterii. Care este fundamentul ontologic al acestei lo­ gici? Are ea rădăcini in realitatea obiect ivă ? D upă părerea noas­ tră, logica polivalentă se bazează pe următoarea caracteristică a proceselor. In real itate , nu totdeauna putem incadra p rocesele

in dihotomia "da-nu" (despre aceasta vezi Engels) şi t rebu ie să admitem gradaţia fenomenelor. tn natură şi in viaţa socială, di­ hotomia da n u este pur şi simplu rezultatul final (cazul-limită) care se obţine după o luptă indelungată a forţelor opus e . Mai mult, in numeroase cazuri, dihotomia "da-nu" reprezintă p u r şi simplu o idealizare O situaţie analogă are loc şi in gindire, care, intrucit este proces şi int r uc it trebuie să reflecte realitatea, se supune legilor generale ale orid!.rui proces şi legilor speciale ale "reprod ucer ii realului. Scopul ş tiinţei este reproducerea adev ărată a realităţii. A­ ceastă reproduce re departe de a fi un proces liniar, este un pro­ ces foarte comp l icat cu multe zigzaguri. Prelucr ind informaţiile v enite de la s imţuri cu aj ut orul limbii, noi formăm tot felul de propo ziţii despre care nu putem spune din p rima clipă că au "

-

"

.

"

,

,

sens sau

nu (sint absurde), s int integral

adevărate sa u aproxi­

mativ adevărate, sint adevărate sau false. "Adevărul - scria Lenin

-

este un proces. De la

ideea subiectivă, omul merge spre

adevărulobiectivpriu tpractică

_

(şi tehnică)"l. Nu mai in ultimă

instariţă, prin intermediul practicii, omul obţine răspuns la in­

trebarea: cum

cu

realitatea? Procesu l rea­ litatea, de probare in practică de confruntare a ideilor intre ele, ' de excludere a unora, de corectare a altora, de selecţionare şi apreciere. Fiecare moment este tnscris intr-un rezu lt at . Fiecare este ideea dată prin rap01't

verificării este un proces complicat de confruntare a id eii cu ,

tic!,

160

I

V. 1. Le ni n. Opere 'ampleI., voi. 29, Bucureşti, Editura Poli· 1968, ed. a doua, p. 1 70.

rezultat presup une o compl ic ată analimlogică. Procesul de apro­ pier� de realitate se reflectă în primul rînd în varietatea propoziJii­ lor cu care operea8ă gIndirea noastră. Primul model al formalis­ m e lor pol ivalente este gind irea noastră vie, luată in complexi­ t atea raportur ilor e i cu re al itat ea. Tocmai aceasta este sarcina logi cilor poliva lente: a ana liza varietatea propoziţiilor din gin­ direa noastră. Nici o logic ă luată in parte nu este capabilă să fie instrument universal de ana l iză a tuturor formelor de propoziţi i existente in gindire. Apariţia logicil or pol ivalente e xpr imă toc­ mai necesitatea de a ne ap ro pia mai mult de fluxul real al gin­ d iri i, faţA. de care logica bivalentă este doar expresia cazurilor extreme şi a rezultatului final. O Int rebare de un deosebit interes filozofic este următoarea: în fond, termenii de " adevăr" şi de "fals" care apar in in terpre tarea formal ismelo r po l i vale nte mai sînt ei identici cu termenii de adevăr" şi "fals" din logica bivalentă? După părerea noastră, nu. Avem o c las ificare a valorilo r după anumite criterii. Ceea ce ­

"

numim noi aici "adevăr" şi "fals"

nu

reprezintă in realitate d ecit

două concepte înmlădiate (după anumite criterii sau, in oric e caz, p articularizate) Astfe l, in lo gica lui Lukasiewicz avem "adevă­ rat cu certitudine", " fals cu certitud ine" şi " p os ib il adevărat" ; in logica lui H eyt ing gama varietăţi10r este indefinit de mare (in particular avem "rezolvat ca adevărat", "rezolvat ca fals" etc.); in log ica lui Bocivar avem "adevărat simplu", "fals sim­ plu "fals contrad ictoriu" ( absurd ) ; în log ic a lui Kleene avem "adevărat cunoscut", "fals cunoscut" şi î ncă necunoscut"; in logica lui Reichenbach avem " adevăr verif icabil" "infirmabil" (fals dovedibil ca atare) şi "imposibil de dovedit ca adevărat sau ca fals , iar in logica intuiţ ion istă adevărul este "efectiv demon­ strabil". Această situaţie este firească, deoarece orice nou crite­ riu introdus se intersectea ză cu vechiul c riteriu dind astfe l o nouă d iviziune (respectiv clasificare) a conceptelor. Prof. Gr. C. Moisilserie: "Este insă clar că împărţirea in două cla se a m ulţi­ .

,

",

"

,

"

,

mii propoziţiilor nu este singura posibilă. Pe de o parte, putem ţine seam a de modul cum este o propoziţie adevărată sau falsă:

este ea necesar adevărată, respectiv falsă, sau este adevărată,

•t

-

Loliel

..

adevAr

ţ61

respectiv falsi, in mod contingent?"l Astfel

se

obţine o logică

tetravalentă. In cazu l nostru dividem mulţimea propoziţiilor in adevărate şi false. La rindul lor cele adevărate se divid in verificate ş i neverificate, la fel cele false: sint verificat false sau never if icat false . In concluzie, in sistemele n-valente (n>2) nu mai ave m con­ ceptul "pur" de adevă r aşa cum este dat de definiţia sa generală, ci un concept afectat de o inmlădiere, particularizat, derivat. Acest fapt deosebit de important care n-a fost luat indeaj uns in consideraţie sub aspect epistemologie pledează in favoarea men­ ţinerii definiţiei generale a adevărului ca o condiţie a unităţii tuturor conceptelor derivate de adevăr şi deci pentru menţinerea logici i bivalente ca o bază generală pentru orice alt sistem de ,

,

logică. Sintem de acord cu concluzia lui A.A. Zinoviev: "Meta­

l imba logicii trivalente aparţine logicii bivalente"2, cu condiţia că ea poate fi generalizată: metalimba oricărei logici n-valente aparţine logicii bivalente·. Cu aceasta incheiem consideraţiile noastre cu privire la conceptul de adevăr in logicile poliva­ lente.

3. SENS ŞI ADEVĂR Pînă la apariţia logicii matematice, şi in speţă pină la apari­

ţia paradoxe lor logice-matematice, problema adevărului pro­ poziţiilor se trata intr-un mod foarle simplist: fiind dată o pro­

poziţie a cărei formă gramaticală este corectă şi care, cel puţin, 1 G r. • 1 b i •

C.

Moi si 1.

pectiv urmă.toarele 1)

Incercări vechi şi "oi . . . ,

orice valoare

este identică atunci

2) este im posibil ca In acelaşi

k. 3)

11.

forme metateoretice!

propoziţie are o valoare Al,

p"*

p.

d e m. p. 42 . Principiile identităţii, Doncontradicţiei şi terţului exclus

p

sine, -

timp

altfel

spus:

dacă

k; şi sub acela,i raport

şi sub acelaşi raport, p (vezi ,i Şestakov).

in acelaşi timp

posibilitate nu există

cu

=

k

sau p"*

p

p

k;

iau res­ =

..."

a

k (o

k

,i

treia

creează

bpiesia d. trariSmlte o

informaţie,

să

se

sptuiă daCĂ

ea

e ste adevărată sau falsă. Paradoxele logice-matematice au ară� tat că există o problemă mai elementară dec it prob lem a adevă­

rului şi care, prin urmare, trebuie abordată inaintea acesteia: problema sensului propoziţiilor. Abordarea acestei chestiuni con­ stituie punctul de plecare al unei noi ramuri a log ici i : semantica logică. Fie, de exemp lu, propoziţia : ((X) « propoziţ ia scrisă in ghilimele ascuţite pe această pagină este falsă 1). I na i nte de a pune intrebarea dacă este adevărată sau falsă nu t rebuie oare s4 ne asigurăm dacă are rost sau nu să vorbim de adevărul acestei

expresia respectivă cade di nco lo de sfera expre­ s au false, atunci este inutil să mai aşteptăm vreo verificare a ei in această direcţie şi o exc ludem de la inceput din atenţia noastră . Va trebui deci să determinăm criteriile de sens, să ne asigurăm de la inceput că problema poate fi pusă inainte de a incerca s-o rezolvăm. că obiectu l cade în sfera cercetării care ne interesează. A stab i l i criteriile de sens nu este de loc uşor. Problema sensului'nu poate fi rezolvată nu­ mai în funcţie de regulile gr amatic ale . Din punct de vedere gra­ matical, expresia ((X) dată mai sus este o expresie corectă a limb ii române şi totuşi ea nu are sens din punct de vedere logic. Propo­ ziţia ((X) este o anomalie, intrucit nu vorbeşte despre un obiect diferi t de sine, c i ch iar despre sine. Problema sensului este in pri­ 'IIl1tl r-ind o problemă logică. Semantica logică studiază limbajul ( ra porturiie dintre ex­ presie şi ob iect) d in pu nc tul de vedere al gindirii logice. Cu a lte cuvinte, ea trebuie să descrie acele condiţii generale pe care tre ­ buie să le î ndep l inească un limbaj pentru a as ig ura o g ind i re "precisă" şi " corectă". Acestea sînt condiţiile a) de semnificaţie, b) de sens şi c) de adevăr. Pentru a asigura aceste condiţii, logica şi matematica formulează reguli riguroas e semantice şi sintac ­ tice. Regulile de formare sintactice sint reguli de sens. Conform cu regulile de formare din l ogic a propoziţiilor. putem spune că combinaţia ..A& B" a re sens, in ti mp ce comb inaţia .. A &" nu

expresii?

Dacă

siilor care pot fi adevărate

11·

-163

Ue �.

�l1imba ohişnuit! nu

c:are le oferi

UD

se

bueufl de posibilitâtile pe

limbaj formalizat (deductiv) In ce priveşte regle­ mentarea operlrii cu expresiile. condiţiile ei pot fi mult imbu­ Ditl.jite. Pentru aceasta este necesar să supunem limbile unei &D&lize logice-semantice riguroase. Dintre teoriile care au supus li mbaj u l unei ana liz e logic e. amintim aici teoria semantică a lu i Gottlob Frege şi teoria se­ mantică a lui Rudolf Carnap. Frege dezvoltă teoria sa semantică In lucririle Grundlagen fier Arithmetik (Bazele aritmeticii). Be­ griffsschrift (Calcu lu l noţiunilor). Funktion und Begriff (Fu ncţiune şi noţiune) . şi mai ales In Ober Sinn und Bedeutung (Sens şi sem nificaţ ie ) . iar Camap îşi expune teoria în lucrarea sa in 3 volume Introduction 10 Semanlics (Introducere in semantică) . Ultimul v olu m reprezintă o sinteză a semanticii logice şi este intitulat Mean i ng and Necessity (Semnificaţie şi necesi­ tate).

In sfera semanticii ţogice intră următoarele probleme: 1. Antinomiile semantice. 2. Definiţiile nominale. 3. Problemele terminol ogie i. 4. Teoria s-ensului şi semnificaţiei in limbajele naturale şi speciale (considerate sub raportul corectitudinii şi preciziei gîndirii) . 5. Teoria adevărului. 6. Teoria structurii lim­ bajelor deductive. 7. Sisteme formale şi interpretare. Vom da unele informaţii sumare cu privire la teoria seman­ tică a lui Frege şi teoria sem antică a lui Carnap. a) Teoria lui Frege Frege analizează expresii le care se află în relatie de denumire anumitor obiecte. Astfel de expresii sînt "nume" a ceva (ele denumesc ceva). Din categoria numelor fac parte următoarele expresii: 1) numele proprii (simple şi compuse). 2) nume func­ ţionale (In particular nume noţionale), 3) nume propoziţionale

a

(directe. indirecte). 164

Fieclrui nume

i

se

tabelul de mai jos:

,

Nume r

Nume l'roprii simple Nume proprii compuse Nume funcţionale

Propoziţii directe

asociazll

o semnificaţie şi un sens. ca tn

S e m nificaţ i e

obiect ul desem nat

,

as ci

def in iţia

o ată

obiectul desemnat

informaţia (modul de

f uncţ i a

?

a reda obiectul)

valoarea de adevăr

gindul

(v, f)

sensul direct

Propoziţii in direct e

S e n s

sensul expresiei "sensul numelui A"

Iată şi un tabel cu exemple

,

Nume

"Aristotel" "Elevul lui Platon"

"sin

,,2+2=4" "N.N. înţelege ce este acela centru de greutate al sistemului solar" a

I

Se n s

in divi dul

Aristo te l das că l ul lu i A lexandr u

indi vid u l

Ar istot el

cel Mare

informaţia el acest individ a fost elevul lui Platon

,:f"

Frege nu

S e mnificaţie

s in O

?

adevăr

gindul pe care-l comunică

informaţia pe care o sensul expresiei sensu I transmite expresia numelui $ cent�ul de "centru l de greutate greutate al sistemu-

al sistemului solar"

lui solar�"

arătat ce inţelege prin sensul nu melor

funcţionale.

Numele fără semnificaţie {de exemplu "centaur") sint, după pA.­ rerea lui Frege, "ficţiuni" şi trebuie

eliminate din limbA..

Teoria

165

1ui Frege conţine o serie de

teoreme

importante privitoare

portul dintre nume , şi in special privitoare la raporturile

la ra­

dintre

numele compuse şi cotn ponentele lor. b) TelYl'ia lui Carnap Carnap se ocupă de trei tipuri de expresii: 1) expresii indi­ viduale (nume proprii sau descripţii), 2) predicator (expresii ge­ nerale) şi 3) propoziţ ii declarative. Spre deosebire de Frege, Carnap tratează expresii le ca fiind

ceva ce au extensiune şi in tensiune . Definind expresiile tn raport cu extensiunea şi intensiunea,

ce

rezultatele dorite în

el

speră să atingă

pe această

cale

priveşte operarea cu ex presiile . Iată în

tabelu l de mai jos extensiunea şi intensiunea diferitelor feluri de expresii: E xpr p. �ii

---------

1

E �te nsiune

I

,

Inte nsiu n e

.-

Expresii individuale ind ividu l desemnat conce ptu l individual Predicator "om")

(ex.

I

_._._---_ ..

însuş irea e x pri mată

valoarea de adevăr (adevăr , fals)

junecata pe care o comunică

desemnaţi

Propoz iţie declarativ ă

clasa indivizilor

I

Toate cele trei tipu ri de expresii sînt unificate prin aceea că

noţiunile de extensiune şi in tensiune sînt definite în raport cu noţiunea de adevăr. Carnap studiază problema limbajelor exten­ sionale ( în care se folosesc numai expresii care vizează extensi­ unea) , intensionale (folo sesc numai ex presii intensionale) şi " neutre" (nu fac referire directă nici la extens iu ne , nici la in­ tensiu ne) . El consideră că una şi aceeaşi ju decată poate fi expri­ m at ă în trei feluri:. a) extensional, b) intensional, cl neutru. Astfel, următoarele trei ex presii sînt din acest punct de vedere

echipolente: a) "omul face parte din clasa animalelor" (exten­ sional) . b) " omu l are însuşirea animal" (intensiQual), c) .. omu;l

este animar' (neutral).

Deosebirea dintre extensiune şi intensiune (de exemplu şi dintre clase şi insuşir i), scrie Camap, "nu presupune două· feluri de obiecte, ci numai deosebirea dintre două feluri de exprimare"l. Tocmai de aceea el propune construirea unei limbi "neutrale", care elimină dedublarea obiectelor (in extensionale şi intensio­ nale) şi vede in aceasta satisfacerea principiului "economiei de gindire". Desigur că in anumite contexte, aşa cum a dovedit

logica matematică, se poate renunţa

la un mod sau altul de expri­

mare. "Cu toate acestea - scrie prof. S.A. Ianovskaia --, de aici nu decurge cum că deosebirea dintre clasă şi însuşire nu poate să apară extrem de importantă. Tocmai pe baza deosebirii sensu­ lui expresiei $xEP» ((X este element al clasei definite de pro­ prietatea P ») şi «P (x)) (