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Taux de croissance
Exercice 1. Au cours des quatre dernières années, le chiffre d’affaires d’une entreprise a connu des taux de croissance respectifs de r1, r2, r3, r4.
1. Exprimer le taux de croissance global du chiffre d’affaires (R), sur l’ensemble de la 2. 3.
4.
période en fonction de r1, r2, r3, r4. Exprimer le taux de croissance annuel moyen du chiffre d’affaires (r), en fonction de (R) et de r1, r2, r3, r4. Quelle devrait être la valeur du taux de croissance annuel moyen du chiffre d’affaires relatif à la période comprenant la troisième et la quatrième année, que l’on notera , r’3.4, pour que le chiffre d’affaires de la quatrième année soit égal à celui de la première. Le prix de vente des produits vendus par l’entreprise a connu des taux de croissance annuels respectifs de p1, p2, p3, p4, au cours des quatre années considérées. Exprimer q, le taux de croissance annuel moyen des quantités vendues en fonction de r1, r2, r3, r4 et de p1, p2, p3, p4.
Corrigé
1. Le multiplicateur (facteur de croissance) sur l’ensemble de la période est égal au produit des multiplicateur annuels :
2. Le multiplicateur annuel moyen est la moyenne géométrique des multiplicateurs annuels.
Le taux de croissance annuel moyen peut également s’exprimer en fonction du taux de croissance global
. 3. Il est tout d’abord possible de calculer le taux de croissance r3.4 afférent aux deux dernières années, qui annule R le taux de croissance quadriennal.
L’hypothèse est R = 0, d’où
On en déduit r’3.4
4. Le chiffre d’affaires = prix * quantité, ce qui donne :
Graphique semi-log Exercice 2. La valeur des ventes annuelles d’un bien par une entreprise commerciale est notée
t (en francs)
log10
, où t désigne les années.
1
2
3
4
5
10000
9000
11000
15000
20000
3,78
3,95
4,04
4,18
4,30
1. Rappelez l’intérêt analytique d’un graphique semi-logarithmique pour la représentation d’une série chronologique, puis représentez la série de la valeur des ventes par un tel graphique. 2. Présentez deux méthodes possibles permettant d’obtenir le taux de croissance annuel moyen de la valeur des ventes sur la période (aucun calcul n’est demandé). 3. On appelle volume des ventes pour l’année t, le produit des quantités vendues l’année t par le prix du bien de l’année 1. Ce volume est noté s’accroît de 10% chaque année.
. On suppose qu’il
Exprimez en fonction de t et représentez son évolution sur le même graphique semi-logarithmique que la valeur des ventes (explicitez comment vous la tracez). 4. On appelle A le point représentatif de la valeur des ventes pour une année donnée t et B le point représentatif du volume des ventes de la même année. La longueur AB sur le papier semi-logarithmique représente alors le logarithme décimal d’une variable Zt. Montrez ce qu’est exactement la variable Zt. Déterminez par une méthode graphique clairement explicitée (en utilisant les graduations de l’échelle logarithmique et sans calcul numérique) la valeur (approchée) de Zt pour l’année 5. Commentez ce résultat.
Corrigé
1. L’intérêt analytique d’une représentation semi-logarithmique est qu’elle met en valeur le taux d’accroissement relatif de la variable. Des points alignés en semi-log traduisent une croissance de la variable à taux (relatif) constant. Pour la représentation graphique, l’utilisation la plus simple et la plus naturelle du papier fourni consiste à fixer la cote de l’origine à 1000 (premier 1, origine de l’axe des ordonnées), le 2 à 2000, le 1 suivant à 10000… Il n’est pas exclu cependant de choisir d’autres valeurs pour la cote d’origine. Par exemple : 5000 (cotes : 5000, 10000, 15000.…) ou 6000 (cotes : 6000, 12000, 18000…). La représentation obtenue est identique dans tous les cas, sauf qu’elle subit une translation verticale.
2. Le facteur de croissance (ou multiplicateur) annuel moyen (1+rm) est la moyenne géométrique des facteurs de croissance annuels de la période considérée : (1+rm) = ((1+r1) (1+r2) (1+r3) (1+r4))1/4 et rm = ((1+r1) (1+r2) (1+r3) (1+r4))1/4-1 Chacun des facteurs annuels étant égal au rapport des valeurs des ventes de l’année courante et de l’année précédente : Yt/Yt-1 . Le facteur de croissance (ou multiplicateur) annuel moyen (1+rm) est aussi égal à la racine énième du facteur de croissance relatif à l’ensemble de la période (1+R). Dans notre exemple : (1+rm) = (1+R)1/4 = (Y5/Y1)1/4 . La relation entre les deux méthodes apparaît très simplement : (1+rm)4 = (Y2/Y1) (Y3/Y2) (Y4/Y3) (Y5/Y4) = (Y5/Y1)
3. Par hypothèse, le facteur de croissance (1+r) pour Yt est constant et égal à 1,1. De plus, X1 = Y1 = 6000, car valeur et volume sont égaux en 1. On peut donc considérer que : Yt = 6000 * 1,1t-1 . Cette exponentielle est représentée par une droite dans un graphique semi-logarithmique. Cette droite passe par (1, 6000). Il suffit de calculer une autre valeur pour pouvoir tracer la droite. Le calcul complet des 5 valeurs (non nécessaire) donne : t
1
2
3
4
5
Yt
6000
6600
7260
7986
8785
4. Posons : pt : prix du bien au cours de l’année t,
qt : quantité du bien vendue au cours de l’année t.
Zt représente le facteur de croissance du prix du bien par rapport à l’année 1. Pour donner une estimation de Z5, il suffit d’utiliser en sens contraire la propriété de l’échelle logarithmique, et de retrouver un nombre à partir de son logarithme décimal. Pour ce faire, il suffit de reporter la longueur AB à l’origine du graphique. La longueur A’B’ correspond à la cote 2,3 qui est la valeur de Z5 (2,3 et pas 2300 car A’B’ doit être reporté à la vraie origine de l’échelle logarithmique qui est le point de cote 1 (log1=0)). On a donc p5/p1 = 2,3 ou (p5-p1)/p1 = 130%. Au cours de la période considérée, le prix du bien a plus que doublé, il a augmenté de 130%. Remarque : la détermination par le calcul de Zt donne 2,28.
Moyenne géométrique Exercice 2. Le chef du bureau d’achat de poudre d’or de la compagnie Goldfout possède une balance Roberval dont les bras n’ont pas exactement la même longueur (on notera a la longueur d’un bras et b la longueur de l’autre bras). Il s’en suit que les masses marquées placées dans l’un des plateaux équilibrent une masse différente placée dans l’autre plateau. Pour effectuer une pesée, le chef du bureau décide d’opérer deux mesures successives. La première est réalisée une en plaçant les masses marquées à gauche donne : M1 = 1040 grammes. La seconde pesée opérée en plaçant les masses marquées à droite donne : M2 = 1160 g. Le chef de bureau annonce au mineur un poids de 1100 g. Le poids annoncé est-il exact ? N.B. : le gramme d’or est évalué à 1000 francs. Corrigé
Désignons par M la masse inconnue, les deux pesées se traduisent par : 1040 a = M b et 1160 b = M a Si l’on multiplie membre à membre : 1040 a 1160 b = M a M b M² = 1040 * 1160 d’où M = (1040 * 1160)1/2 = 1098,36g Le poids annoncé par le Chef de bureau est faux. L’acceptation de ce poids se traduirait par un gain de (1100 – 1098,36)*1000 = 1640 francs pour le mineur de fond.
Droites de régression Exercice 1. (ne pas utiliser de calculatrice) On a procédé à l’ajustement affine d’un nuage de points (X,Y). Les équations obtenues sont les suivantes : Droite d’ajustement de y en x, D : y = x + 30 Droite d’ajustement de x en y, D’ : x = 1/4 y + 60 1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire. 2. Calculer les moyennes arithmétiques de x et de y. 3. Calculer la covariance entre x et y et la variance de x, sachant que la variance de y est égale à 40.
Corrigé
1. Calcul du coefficient de corrélation linéaire : Nous savons que le coefficient de détermination r² est égal au produit des coefficients directeurs de D et de D’ :
le signe de r est celui des coefficients directeurs de D et D’ donné par la covariance. Dans l’exercice ce signe est positif, donc :
2. Calcul des moyennes arithmétiques de x et de y :
Nous avons démontré en cours que la relation qui lie les variables lie également leurs moyennes arithmétiques. On peut alors écrire :
en substituant :
et
3. a) Calcul de la covariance : Considérons le coefficient directeur a’ de la droite D’ :
b) Calcul de la variance de x : Considérons le coefficient directeur a de la droite D :
Indices élémentaires Exercice 1. L’évolution des indices élémentaires des quantités produites par l’entreprise PubTennis est retracée dans le tableau suivant :
Année de base ->
1994
1995
1996
100
50
1997
Année courante 1994
100
1995
80
1996
100
40
1997
100
Compléter le tableau en ayant bien soin de faire apparaître la logique d’obtention des divers indices.
Corrigé
Pour compléter le tableau il suffit d’appliquer correctement les propriétés des indices élémentaires. a. La propriété de réversibilité : It/0 = 1/I0/t car Gt/G0 = 1/G0/Gt
b. La propriété de circularité :
c. La propriété de réversibilité :
Au total, on obtient le tableau suivant :
Année de base ->
1994
1995
1996
1997
1994
100
125
62,5
25
1995
80
100
50
20
1996
160
200
100
40
1997
400
500
250
100
Année courante
Indices synthétiques Exercice 2. Le tableau suivant fournit les prix (Pi) et les quantités (Qi) de trois biens Bi (avec i = 1,2,3) en 1990, les indices élémentaires des prix (Ip) et des quantités (Iq) de ces trois biens en 1997 (base 100 en 1990). Biens
Pj en 1990
Qj en 1990
Ip 1997/1990
Iq 1997/1990
B1
4
5
200
25
B2
10
4
120
125
B3
8
5
75
100
1. Calculer les coefficients budgétaires ai0 (relatifs à la période de base). 2. A partir des résultats précédents calculer la valeur de l’indice de Laspeyres des prix de 1997 base 100 en 1990. 3. Calculer les coefficients budgétaires ait relatifs à la période courante.
4. Donner l’expression générale de l’indice de Paasche des quantités comme moyenne des indices élémentaires, puis montrer le passage à la formule développée dudit indice. 5. Trouver la valeur de l’indice de Paasche des quantités pour 1997 base 100 en 1990 sans utiliser les deux expressions précédentes (signalées à la question 4).
Corrigé
1. Les coefficients budgétaires sont les rapports des dépenses relatives à un bien ( P * Q) sur la période considérée, à la dépense totale effectuée au cours de la même période.
ce qui donne pour chaque bien :
2. L’indice de Laspeyres est la moyenne arithmétique des indices élémentaires :
3. Le calcul est similaire à celui de la question 1., il suffit de prendre en considération les dépenses relatives à la période courante.
, il nous faut calculer
et
ce qui donne :
, il vient :
d’où,
4. L’indice de Paasche est la moyenne harmonique des indices élémentaires des prix, des quantités ou des valeurs pondérée par les coefficients budgétaires.
L’indice de Paasche des quantités s’exprime ainsi (P et I base 1):
or
d’où
5. Il convient ici d’utiliser la propriété suivante (base 1) :
d’où
ou 84,7 base 100.
Indices synthétiques
Exercice : (Exercice a effectuer sans machine) Le tableau suivant fournit le prix du ticket de restaurant universitaire (RU) et du loyer mensuel d’une chambre en cité universitaire (chambre U) en 1990 et en 1998.
prix en 1990
prix en 1998
Ticket de RU
10
12,5
Chambre U
300
360
1. Calculer les indices élémentaires des prix du ticket de RU et de la chambre U en 1998 base 100 en 1990. En utilisant une propriété des indices élémentaires qu’il conviendra d’énoncer, calculer la valeur de ces mêmes indices en 1990 base 1998. 2. On considère que le ticket de RU et la chambre U constituent l’ensemble de la dépense d’un étudiant type. Pour cet étudiant type, le nombre de repas pris au RU est de 20 par mois tout au long de l’année et la chambre est louée toute l’année. Calculer les coefficients de pondération (budgétaires) relatifs à l'année 1990. 3. A partir des résultats obtenus à la question 2), calculer l'indice de Laspeyres des prix afférent à l'année 1998 base 100 en 1990. 4. Calculer l'indice de Paasche des prix relatif à l'année 1990 base 100 en 1998. 5. On considère maintenant que le nombre moyen de repas pris au RU est de 30 par mois sauf pour les mois de juillet et août pour lesquels ce nombre est nul. Par ailleurs, on considère que la chambre U est libérée au cours des mois de juillet et août. Calculer sur la base de ces nouvelles hypothèses les coefficients budgétaires relatifs à 1990.
Corrigé
1. L’indice élémentaire est le rapport des valeurs de la grandeur étudiée de la période courante (1998) à la période de base (1990) : I98/90 (RU) = 12,5/10 (base 1) ou 1,25*100 = 125 (base 100)
I98/90 (U) = 360/300 (base 1) ou 1,2*100 = 120 (base 100). Pour répondre à la deuxième partie de la question, il convient de faire appel à la propriété de réversibilité : I90/98 (RU) = 1/ I98/90 (RU) (base 1) ou 0,8*100 = 80 (base 100) I90/98 (U) = 1/ I98/90 (U) (base 1) ou 0,83*100 = 83 (base 100). 2. Il faut calculer les quantités consommées en 1990 : RU : 20*12 = 240 repas U : 12 loyers mensuels Calculons ensuite la dépense en 1990 pour chaque poste : RU : 240*10 = 2400 U : 300*12 = 3600 Soit une dépense totale de 6000. Les coefficients budgétaires de 1990 sont donnés par : aru90 = 2400/6000 = 0,4 au90 =3600/6000 = 0,6. 3. L’indice de Laspeyres est la moyenne arithmétique des indices élémentaires pondérés par les coefficients budgétaires afférents à la période de base (1990) : L98/90 (p) = [0,4*1,125 + 0,6*1,2]*100 = 122 4. Il est possible d’appliquer la relation suivante : P0/t = 1/Lt/0 (base 1) d’où P98/90 (p) = 1/1,22 = 0,82 base 1 ou 82 base 100. 5. Calcul des quantités consommées avec les nouvelles hypothèses : RU : 30*10 = 300 repas U : 10 loyers mensuels Calcul de la dépense en 1990 pour chaque poste :
RU : 300*10 = 2400 U : 300*10 = 3000 Soit une dépense totale de 6000. Les coefficients budgétaires de 1990 sont donnés par : a’ru90 = 3000/6000 = 0,5 a’u90 =3000/6000 = 0,5.