Legi-De-Compozitie-Exercitii Rezolvate PDF [PDF]

Zitiervorschau

at e. ro

http://matematica.noads.biz Exerciţii rezolvate cu legi de compoziţie Enunţuri

ria nt e

-m

Ex.1. Pe mulţimea numerelor reale  definim operaţia x  y  xy  4 x  4 y  12 , oricare ar fi x, y  . a)Verificaţi identitatea x  y  ( x  4)( y  4)  4 , oricare ar fi x, y  . b)Demonstraţi că x  (4)  4 , oricare ar fi x, y  . c)Arătaţi că legea de compoziţie  este asociativă. d)Calculaţi (2009)  (2008)  ...  2009 . e)Rezolvaţi in  ecuaţia x  x  x  x  12 . Variante M2 bac 2009 Ex.2.

Ex.3.

va

Ex.4.

Variante M2 bac 2009

Variante M2 bac 2009

Variante M2 bac 2009

ht

tp

://

Ex.5. Pentru a,b din mulţimea M  0,  se defineşte operaţia a  b  ln(ea  eb  1) .

Variante M1 bac 2009

http://matematica.noads.biz

at e. ro

Rezolvări: Ex.1. a) ( x  4)( y  4)  4  xy  4 x  4 y  16  4  xy  4 x  4 y  12  x  y şi identitatea din cerinţă este demonstrată. b) x  (4)  ( x  4)(4  4)  4  4, x   . c)Legea de compoziţie  este asociativă dacă ( x  y )  z  x  ( y  z ), x, y, z   . ( x  y )  z  ( x  4)( y  4)  4  z  a  z  (a  4)( z  4)  4  ( x  4)( y  4)( z  4)  4, x, y, z      a

x  ( y  z )  x  ( y  4)( z  4)  4  x  b  ( x  4)(b  4)  4  ( x  4)( y  4)( z  4)  4, x, y, z      b

Din cele două relaţii de mai sus rezultă că legea  este asociativă. d) (2009)  ( 2008)  ...  2009  ( 2009)  ( 2008)  ...  ( 5)  ( 4)  ( 3)  ...  2008  2009  x  ( 4)  y  4    conform punctului b). e) x  x  ( x  4)( x  4)  4  ( x  4)2  4 x  x  x  ( x  4)3  4 x  x  x  x  ( x  4)4  4

y

-m

x

ria nt e

Ecuaţia dată devine ( x  4)4  4  12  ( x  4) 4  16  0  ( x  4) 2  4  ( x  4) 2  4   0 .    0

 x  2 Cum x  rezultă că ( x  4)2  4  0  ( x  4)2  4  x  4  2   1 .  x2  6

Ex.2.

2.a) 2( x  3)( y  3)  3  2( xy  3x  3 y  9)  3  2 xy  6 x  6 y  21  x  y, x, y   b) x  x  11  2 x 2  12 x  10  0  x 2  6 x  5  0 care are soluţiile x1  1 şi x2  5 . c)Observăm că x  3  3  x  3, x   1  2  3  ...  9  ...  2009  1  2  3  ...   8  3   10  ...  2009   3. x

Ex.3.

c.c.t.d.

y

://

va

2.a) ( x  2)( y  2)  2  xy  2 x  2 y  4  2  xy  2 x  2 y  6  xy  2( x  y)  6  x  y, x, y   c.c.t.d. b) x  2  ( x  2)(2  2)  2  2, x   . c)Să mai observăm că şi 2  x  (2  2)( x  2)  2  2, x   . Observaţi in acea compunere rolul important al lui 2! Utilizand proprietatea de asociativitate a operaţiei precum şi faptul că x  2  2, x   şi 2  x  2, x   se obţine că E=2. E  (2009)  ( 2008)  ...  0  1  2  3  ...  2009 2.  x

y

Ex.4.

tp

a)e este element neutru dacă x  e  e  x  x, x   . x  e  ( x  4)(e  4)  4  x, x  

 ( x  4)(e  4)  ( x  4)  0, x    ( x  4)(e  4  1)  0, x  

ht

 e  5  0  e  5. b) x  x  ( x  4)2  4

x  x  x  ( x  4)2  4  x  ( x  4)2 ( x  4)  4  ( x  4)3  4

http://matematica.noads.biz

at e. ro

Ecuaţia dată devine: ( x  4)3  4  x  ( x  4)3  ( x  4)  0  ( x  4) ( x  4) 2  1  0

( x  4)( x  4  1)( x  4  1)  0 (am folosit formula a 2  b2  ( a  b)(a  b) .  x1  3  Obţinem ecuaţia ( x  4)( x  5)( x  3)  0 care are soluţiile  x2  4 . x  5  3

c) a  b  (a  4)(b  4)  4   .

3 5 şi b  4  vom obţine a  b  1  4  5   5 3 3 3 23 5 5 17 Din a  4  obţinem a   4  iar din b  4  obţinem b   4  . 5 5 5 3 3 3 Evident a şi b sunt numere raţionale a, b  \  . Observăm că dacă luăm a  4 

-m

Ex.5.

a)Fie a, b  M  [0, )  ea  1

 ea  eb  1  1  ln(ea  eb  1)  0  ln(ea  eb  1)  M  a  b  M

e 1 b)Legea de compoziţie * este asociativă dacă ( x  y )  z  x  ( y  z ), x, y, z  M b

ria nt e

x  ( y  z )  x   ln(e y  e z  1)   ln  e x  e y  e z  2 

( x  y )  z   ln(e x  e y  1)   z  ln  e x  e y  e z  2  c) a  a  ln(2e a  1) a  a  a  ln(3ea  2)

deci legea este asociativă.

Demonstrăm prin inducţie că P(n) : a  a  ...  a  ln  nea  (n  1)  , n  1 este adevărată. de n ori a

Etapa verificării: Pentru n=1 avem P(1) : a  a este adevărată. Etapa demonstraţiei: Presupunem P(k) adevărată şi demonstrăm că P(k+1) este adevărată. P(k ) : a  a  ...  a  ln  ke a  (k  1)  este adevărată.

va

de k ori a

P(k  1) : a  a  ...  a  ln  (k  1)ea  k  trebuie demonstrată. de k 1 ori a





a  a  ...  a  ln  kea  (k  1)   a  ln  kea  (k  1)  e a  1  ln  (k  1)e a  k  c.c.t.d. de k 1 ori a

://

Egalitatea a  a  ...  a  2a devine ln  nea  (n  1)   2a de n ori a

ne  (n  1)  e 2 a  e 2 a  ne a  n  1  0 .Notăm ea  x şi obţinem ecuaţia de gradul doi x 2  nx  n  1  0 care are soluţiile x1  1 şi x2  n  1 . Revenind la notaţie , obţinem a  0 sau a  ln(n  1)

ht

tp

a