38 5 268KB
at e. ro
http://matematica.noads.biz Exerciţii rezolvate cu legi de compoziţie Enunţuri
ria nt e
-m
Ex.1. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x y xy 4 x 4 y 12 , oricare ar fi x, y . a)Verificaţi identitatea x y ( x 4)( y 4) 4 , oricare ar fi x, y . b)Demonstraţi că x (4) 4 , oricare ar fi x, y . c)Arătaţi că legea de compoziţie este asociativă. d)Calculaţi (2009) (2008) ... 2009 . e)Rezolvaţi in ecuaţia x x x x 12 . Variante M2 bac 2009 Ex.2.
Ex.3.
va
Ex.4.
Variante M2 bac 2009
Variante M2 bac 2009
Variante M2 bac 2009
ht
tp
://
Ex.5. Pentru a,b din mulţimea M 0, se defineşte operaţia a b ln(ea eb 1) .
Variante M1 bac 2009
http://matematica.noads.biz
at e. ro
Rezolvări: Ex.1. a) ( x 4)( y 4) 4 xy 4 x 4 y 16 4 xy 4 x 4 y 12 x y şi identitatea din cerinţă este demonstrată. b) x (4) ( x 4)(4 4) 4 4, x . c)Legea de compoziţie este asociativă dacă ( x y ) z x ( y z ), x, y, z . ( x y ) z ( x 4)( y 4) 4 z a z (a 4)( z 4) 4 ( x 4)( y 4)( z 4) 4, x, y, z a
x ( y z ) x ( y 4)( z 4) 4 x b ( x 4)(b 4) 4 ( x 4)( y 4)( z 4) 4, x, y, z b
Din cele două relaţii de mai sus rezultă că legea este asociativă. d) (2009) ( 2008) ... 2009 ( 2009) ( 2008) ... ( 5) ( 4) ( 3) ... 2008 2009 x ( 4) y 4 conform punctului b). e) x x ( x 4)( x 4) 4 ( x 4)2 4 x x x ( x 4)3 4 x x x x ( x 4)4 4
y
-m
x
ria nt e
Ecuaţia dată devine ( x 4)4 4 12 ( x 4) 4 16 0 ( x 4) 2 4 ( x 4) 2 4 0 . 0
x 2 Cum x rezultă că ( x 4)2 4 0 ( x 4)2 4 x 4 2 1 . x2 6
Ex.2.
2.a) 2( x 3)( y 3) 3 2( xy 3x 3 y 9) 3 2 xy 6 x 6 y 21 x y, x, y b) x x 11 2 x 2 12 x 10 0 x 2 6 x 5 0 care are soluţiile x1 1 şi x2 5 . c)Observăm că x 3 3 x 3, x 1 2 3 ... 9 ... 2009 1 2 3 ... 8 3 10 ... 2009 3. x
Ex.3.
c.c.t.d.
y
://
va
2.a) ( x 2)( y 2) 2 xy 2 x 2 y 4 2 xy 2 x 2 y 6 xy 2( x y) 6 x y, x, y c.c.t.d. b) x 2 ( x 2)(2 2) 2 2, x . c)Să mai observăm că şi 2 x (2 2)( x 2) 2 2, x . Observaţi in acea compunere rolul important al lui 2! Utilizand proprietatea de asociativitate a operaţiei precum şi faptul că x 2 2, x şi 2 x 2, x se obţine că E=2. E (2009) ( 2008) ... 0 1 2 3 ... 2009 2. x
y
Ex.4.
tp
a)e este element neutru dacă x e e x x, x . x e ( x 4)(e 4) 4 x, x
( x 4)(e 4) ( x 4) 0, x ( x 4)(e 4 1) 0, x
ht
e 5 0 e 5. b) x x ( x 4)2 4
x x x ( x 4)2 4 x ( x 4)2 ( x 4) 4 ( x 4)3 4
http://matematica.noads.biz
at e. ro
Ecuaţia dată devine: ( x 4)3 4 x ( x 4)3 ( x 4) 0 ( x 4) ( x 4) 2 1 0
( x 4)( x 4 1)( x 4 1) 0 (am folosit formula a 2 b2 ( a b)(a b) . x1 3 Obţinem ecuaţia ( x 4)( x 5)( x 3) 0 care are soluţiile x2 4 . x 5 3
c) a b (a 4)(b 4) 4 .
3 5 şi b 4 vom obţine a b 1 4 5 5 3 3 3 23 5 5 17 Din a 4 obţinem a 4 iar din b 4 obţinem b 4 . 5 5 5 3 3 3 Evident a şi b sunt numere raţionale a, b \ . Observăm că dacă luăm a 4
-m
Ex.5.
a)Fie a, b M [0, ) ea 1
ea eb 1 1 ln(ea eb 1) 0 ln(ea eb 1) M a b M
e 1 b)Legea de compoziţie * este asociativă dacă ( x y ) z x ( y z ), x, y, z M b
ria nt e
x ( y z ) x ln(e y e z 1) ln e x e y e z 2
( x y ) z ln(e x e y 1) z ln e x e y e z 2 c) a a ln(2e a 1) a a a ln(3ea 2)
deci legea este asociativă.
Demonstrăm prin inducţie că P(n) : a a ... a ln nea (n 1) , n 1 este adevărată. de n ori a
Etapa verificării: Pentru n=1 avem P(1) : a a este adevărată. Etapa demonstraţiei: Presupunem P(k) adevărată şi demonstrăm că P(k+1) este adevărată. P(k ) : a a ... a ln ke a (k 1) este adevărată.
va
de k ori a
P(k 1) : a a ... a ln (k 1)ea k trebuie demonstrată. de k 1 ori a
a a ... a ln kea (k 1) a ln kea (k 1) e a 1 ln (k 1)e a k c.c.t.d. de k 1 ori a
://
Egalitatea a a ... a 2a devine ln nea (n 1) 2a de n ori a
ne (n 1) e 2 a e 2 a ne a n 1 0 .Notăm ea x şi obţinem ecuaţia de gradul doi x 2 nx n 1 0 care are soluţiile x1 1 şi x2 n 1 . Revenind la notaţie , obţinem a 0 sau a ln(n 1)
ht
tp
a