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Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

CHAPITRE 1 Lignes d’influence 1.1. Introduction Les structures en exploitation sont généralement soumises à des surcharges mobiles et il faut tenir compte de cette mobilité dans le calcul des réactions, des efforts internes et des déplacements. C'est le cas notamment des ponts sollicités par la circulation automobile ou ferroviaire. Les poutres qui supportent les ponts roulants dans les bâtiments industriels sont un autre exemple de structures sollicitées par des charges mobiles. Il est alors nécessaire de déterminer les effets maximums qui vont servir au dimensionnement. La fonction d'influence d'un effet élastique dans une section fixe d'un élément de structure est celle qui donne la valeur de cet effet pour toute position d'une charge concentrée mobile égale à l'unité. Le graphique qui représente cette fonction est appelé ligne d'influence. Connaissant la fonction d'influence d'un effet dans une section, on peut déterminer la valeur de cet effet dans cette section provoqué par un système de charge donnée. L’effet E dans une section quelconque produit par une charge concentrée P a pour valeur :

E  P y

(1.1)

y étant la valeur du coefficient d'influence d'un effet quelconque dans la section C. Puisque nous supposons être dans le domaine élastique, le principe de superposition des états d'équilibre nous permet de calculer la valeur de l'effet E pour un système de charge Pi placées au droit des ordonnées yi (figure 1.1) à partir de l'expression : n

E  P1 y1  P2 y 2  .....Pn y n   Pi y i

(1.2)

1

Fig. 1.1. Ligne d'influence du moment fléchissant dans une section courante de la travée de rive d'une poutre continue à trois travées

1

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Pour une charge q(x) répartie sur un intervalle BE, l’effet vaut : E

E   q( x ) ydx

(1.4)

B

Pour une charge uniformément repartie, l’expression de E peut s’écrire sous la forme : E

E  q  ydx

(1.5)

B

L'intégrale de cette l'équation représente l'aire sous la ligne d'influence comprise entre B et E. 1.2. Poutres sur deux appuis simples 1.2.1. Ligne d’influence des réactions d’appui Considérons une charge unité mobile P se déplaçant sur une poutre de longueur L entre appuis (figure 1.2a). Nous désignerons par x l'abscisse de cette charge, et par a l'abscisse d'une section quelconque de la poutre. Pour une position quelconque de la charge P, on peut calculer les réactions en A et B.

(b)

Fig. 1.2. Lignes d’influence des réactions d’appui L'équation des moments par rapport à B donne : R A LL x  0

d'où

RA 

Lx L 2

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L'équation des moments par rapport à A donne :

RB 

x L

1.2.2. Ligne d’influence des moments fléchissants Pour une position quelconque de la force unité, située entre A et C, le moment fléchissant en C a pour expression : (a)

M C  RB b 

x b L

Pour une position quelconque de la force unitée, située entre C et D, le moment fléchissant en C a pour expression :

M C  Ra a 

Lx a L

La ligne d'influence du moment fléchissant dans une section quelconque C de la poutre a la forme indiquée sur la figure 1.2b.

Fig. 1.3. Ligne d’influence du moment fléchissant Exemple 1.1 En utilisant la ligne d'influence des moments fléchissants au point C, déterminer le moment fléchissant en C lorsque la poutre est soumise à deux charges localisées (figure 1.4a) et une charge repartie (figure 1.4b). Le moment fléchissant en C produit par les charges localisées P1 et P2 a pour valeur :

MC  10 1.67  20  2.33  63.3 kN.m 3

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Le moment fléchissant en C produit par la charge uniforme q a pour valeur : 3.33  2.33   1.67  3.33 M C  15   2.5   3  221 kN.m 2 2  

Fig. 1.4. Exemple 1.2 Une poutre droite repose sur deux appuis simples placés à ses deux extrémités (figure 1.5a). Elle supporte une charge repartie suivant la loi p = qx . En utilisant la ligne d'influence (figure 1.5b), déterminer le moment fléchissant dans la section médiane de la poutre. En se référant à l'équation 1.3, le moment au point C a pour valeur : L

M C  Q( x) yx dx 0

qx L x y x   si 0  x  a 2 Lx y( x )  si a  x  L 2

Q( x ) 

On trouve finalement : L/2

MC 

 0

qL2  qx  x   qx  L  x     dx      dx  L  2  16  L  2  L/2 L

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Une autre méthode consiste à calculer chacune des intégrales précédantes de la manière suivante : 1° calculer la charge supportée par la poutre sur chacun des tronçons AC et CB. 2° déterminer le centre de gravité des aires représentant ces charges appliquées sur la poutre. Pour faciliter les calculs des aires représentant les charges et les positions de leurs centres de gravite, nous décomposons le trapèze MM'BB' en un rectangle MM'BB'' et un triangle M'B'B'' (fig. 2.3b). g1 , g2 et g3 sont les centres de gravité des aires. 3° mesurer l'ordonnée de la ligne d'influence correspondant aux centres de gravité g1 , g2 et g3. Les valeurs des charges, des aires et les ordonnées des lignes d'influences aux centres de gravité des aires sont données par le tableau 1.1. Par suite, le moment fléchissant au milieu de la poutre a pour valeur :

MC 

qL L qL L qL L q L2       8 6 4 8 8 12 16

Fig. 1.5. La méthode, exposée ci-dessus, est générale mais ne peut s'appliquer que si la ligne d'influence soit constituée par des segments de droite et si on décompose les calculs en autant d'éléments qu'il y a de segments de droite constituant la ligne d'influence. Charge

Triangle AMM' Rectangle M M' B''B Triangle M' B''B'

qL / 8 qL / 4 qL / 8

Centre de gravité g1 g2 g3

Tableau 1.1

5

ordonnée correspondante de la ligne d'influence L/6 L/8 L / 12

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1.2.3. Ligne d'influence des efforts tranchants Déterminons à présent l'équation de la ligne d'influence de l’effort tranchant en un point C d'abscisse a pour une poutre de portée L appuyée à ses deux extrémités sur des appuis simples (figure 1.6a). Pour une position quelconque de P, située entre A et C, l'effort tranchant a pour valeur :

TC  RA  1  

x L

Les valeurs particulières sont : x0

TC  0

xa

TC  

a L

Fig. 1.6. Pour une position quelconque de P, située entre C et B, l'effort tranchant a pour expression :

TC  R A 

Lx L

Les valeurs particulières sont :

x a x L

La b  L L TC  0

TC 

On peut remarquer que l'effort tranchant a deux valeurs dans la section C. d'influence de l'effort tranchant au point C a l'allure indiquée sur la figure 1.7b.

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La ligne

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Exemple 2.3 En utilisant la ligne d'influence de l'effort tranchant (figure 1.7c), déterminer l'effort tranchant au point C de la poutre considérée dans l'exemple 1.2. L'effort tranchant au point C produit par les charges concentrées P1 et P2 a pour valeur :

1 7 TC  10   20   7.67 kN 6 15 L'effort tranchant au point C produit par la charge uniforme q a pour valeur :

  1 1  2.5  2 7  3  TC               15   6 3  2  3 15  2   16.125 kN

Fig. 1.7. 1.2.4. Moment fléchissant maximum dans une section donnée Soit une poutre droite reposant sur deux appuis simples de portée L soumise à un convoi de charges localisées wi, comme il est montré sur la figure 1.9a. Un convoi est un système de charges concentrées pouvant se déplacer dans leur ensemble, les distances entre les lignes d’action des différentes charges demeurent invariables. Le problème consiste à trouver la position du convoi qui provoque le moment fléchissant maximum dans la section C.

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Fig. 1.8. Poutre soumise à un convoi de charges Appelons : wL : la résultante des charges appliquées à gauche de la section C; wR : la résultante des charges appliquées à droite de la section C. Le moment de flexion au point C s’obtient à partir de la formule : n

Mc 

w y i

1

 wL 

i

 L  y  c  h yh  wR  a b

Si les dispositions des charges sont conformes à celles représentées sur la figure 1.9a, les charges wL et wR ont pour valeur : w L  w1  w 2 w R  w3  w 4  w5

dM c h h  wL   wR   0 dy a b d’où

wL wR  a b

(1.5)

On constate immédiatement que cette condition est indépendante de y. Par suite, pour déterminer la position du convoi qui produit le moment maximum on procède par itération. Supposons, en premier lieu, que pour la disposition du convoi indiquée sur la figure 3.1a, 8

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nous avons :

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wL wR , en d’autres termes :  a b dM c 0 dy

En considérant que le convoi se déplace vers la droite, la valeur du moment fléchissant en C va croître tant que :

dMc 0 dy Le moment au point C commence à décroître lorsque l’une des charges appliquées à gauche de la section C se déplace à droite de C et conduit à l’inégalité suivante :

wL wR dMc ou  0 a b dy On peut donc conclure que pour obtenir le moment fléchissant maximum dans une section donnée, on doit appliquer l’une des charges localisées au droit de cette section. L’équation 1.5 peut être écrite d’une manière plus simple. L’équation 3.1 peut être réécrite de la façon suivante : wL wR w wa    wL  a b L L

w étant la résultante des charges appliquées sur la poutre. En pratique, pour obtenir le moment fléchissant maximum dans une section donnée, on applique une des charges concentrées dans la section considérée et on calcule les quantités suivantes : w a - le rapport ; L - wL1 : somme des charges situées à gauche de la section C et de la charge appliquée au point C; - wL2 : somme des charges situées à gauche de la section C. Cette disposition produit le moment fléchissant maximum lorsque les deux inégalités suivantes sont satisfaites :

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wa   L   wa   L 

w L1  w L2

(1.6)

Dans le cas où les inégalités précédentes sont satisfaites pour plusieurs positions du convoi, on doit calculer les moments produits pour ces positions et adopter le moment maximum. Nous avons jusqu’à présent considéré des charges concentrées mobiles, mais les lignes d’influence sont également utiles pour des charges reparties. Considérons une poutre sur deux appuis simples soumise à une charge mobile répartie sur une longueur d (figure 1.10).

Fig. 1.9. Poutre soumise à une charge répartie mobile Soient : R1 : résultante des charges appliquées à gauche de C; R2 : résultante des charges appliquées à droite de C. Pour obtenir le moment fléchissant maximum en C on doit avoir, par application de la formule 3.1 :

R1 R 2  a b soit

 dq 1    dq  a b a On obtient finalement :   L

(1.7)

Pour cette position de la charge, les ordonnées de la ligne d’influence sous les deux extrémités de la charge sont égales. Exemple 1.4 Déterminer le moment fléchissant maximum dans la section C d’une poutre de portée 9 m 10

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appuyée à ses deux extrémités sur des appuis simples et soumise à un convoi de charges composé de six charges localisées (figure 1.11a.).

Fig. 1.10. Exemple de poutre soumise Poutre soumise un convoi de charges localisées Les calculs relatifs à la détermination de la position du convoi de charges qui produit le moment fléchissant maximum dans la section C sont résumés dans le tableau 1.2. Les inégalités (1.6) sont vérifiées lorsque la charge H du convoi est appliquée en C. Le moment de flexion maximum à la section C a donc pour valeur :

5 4 2 M c  50  2   50   20   20  223.33 kN m 3 3 3 Force en C

w

D E F G H

200 200 170 140 140

wa L 66.67 66.67 56.7 46.7 46.7

wL1

1ère inégalité vérifiée

wL2

2ème inégalité vérifiée

30 60 50 40 90

Non Non Non Non Oui

40

Oui

11

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J

120

40

M.R. Soltani

120

Oui

70

Non

Tableau 1.2 Détermination de la position la plus défavorable du convoi 1.2.5. Moment fléchissant maximum dans une poutre Déterminons à présent le moment fléchissant maximum dans une poutre droite appuyée à ses extrémités sur des appuis simples lorsqu’elle est soumise à l’action d’un convoi de charges localisées w1, w2,....wn. Nous avons déjà établi que le moment fléchissant maximum dans une section quelconque se produit lorsqu‘une des charges localisées se trouve dans cette section. Il faut donc déterminer la position de chaque charge sous laquelle on obtient le plus grand moment fléchissant. Pour fixer les idées, cherchons la position de la charge w2, d’abscisse x, sous laquelle le moment fléchissant est maximum (figure 1.12). L’équation des moments par rapport au point B donne :

RA 

w ( L  x  a) L

L’équation du moment fléchissant au droit de la charge w2 s’écrit :

M2  R A  w1b 

w ( L  x  a) x  w1b L

Fig. 1.11. Le moment M2 est maximum dans la section d’abscisse x qui annule w  L  2x  a  0 L

12

dM 2 , soit : dx

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d’où

x

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L a 2

L a , w2 et w sont symétriques par rapport au milieu de la poutre. 2 Le moment fléchissant maximum dans une section située sous une des charges concentrées d’un convoi se produit lorsque cette charge et la résultante w sont équidistantes des appuis sur la poutre. Cette règle est générale et connue dans la littérature française sous le nom du théorème de Barré. Une fois le moment fléchissant maximum produit par chacune des charges appliquées a été déterminés, on retient le plus grand moment fléchissant. Cependant, en général, la section où se produit le plus grand moment fléchissant est produit par la charge la plus près de la résultante. En pratique, on peut se limiter à calculer le moment fléchissant maximum dans la section médiane de la poutre. Si x 

Exemple 1.5 Déterminer le moment critique de la poutre représentée sur la figure 1.13..

Fig. 1.12. Soit x, la distance entre la résultante des charges et la charge 1. L’équilibre des moments par rapport au point d’application de la résultante des charges donne : 20 x  506  x   309  x   0

d’où l’on tire :

x  5.7 m La résultante des charges est située à 5.7 m de la charge 1. Le plus grand moment fléchissant sous la charge 1 se produit dans la section d’abscisse : x1 

20  5.7  7.15 m 2

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Le moment fléchissant maximum à la section d’abscisse x1 peut être déterminé à partir de la relation :

M1  wy 100  2.55  255 kN.m y étant l’ordonnée de la ligne d’influence sous la résultante des charges w .

Fig. 1.13. Calcul du moment maximum sous la charge 1 La résultante des charges est située à 0.3 m de la charge 2. Le plus grand moment fléchissant sous la charge 2 se produit dans la section d’abscisse :

x2 

20  0.3  9.85m 2

Dans ce cas, l’abscisse x2 est la distance entre la charge 2 et l’appui B, étant donné que la charge 2 est positionnée à droite de la résultante w . Le moment fléchissant maximum dans la section d’abscisse x2 a pour valeur :

M2  20  2.04  50  5  30  3.48  395kN. m

Fig. 1.15. Calcul du moment maximum sous la charge 2

14

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La résultante des charges est située à 3.3 m de la charge 3. Le plus grand moment fléchissant sous la charge 3 se produit dans la section d’abscisse :

x3 

20  3.3  8.35 m 2

Fig. 1.14. Calcul du moment maximum sous la charge 2 Le moment fléchissant maximum dans la section d’abscisse x3 a pour valeur :

M3 100  3.49  349kN. m La section critique, celle où se produit le plus grand moment fléchissant, est donc située à 10.15 m de l’appui A. C’est donc effectivement sous la charge 2, charge la plus prés de la résultante, que le moment fléchissant est maximum.

Exemple 1.7. Soit une poutre faisant partie d’un tablier de pont de portée L = 35m. Déterminer : - les moments fléchissants longitudinaux maximums dans la section C produits par les surcharges réglementaires suivantes du fascicule 61, titre II : Bc, Mc80, convoi D; - le moment critique dû au système Bc. 1) Système Bc Sur une longueur de 35 m, on peut disposer au maximum deux camions du système Bc. Pour obtenir la disposition la plus défavorable, on dispose l’un des essieux arrières du premier camion sur la section C. - Essieu 2 en C

w a 600  10   171 kN L 35 wa w L1  180 kN   171 kN Condition vérifiée L 15

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w L2  60 

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wa  171 kN Condition vérifiée L

Le moment fléchissant produit par cette disposition vaut :

MC  60  3.93  120  7.14  120  6.71  60  5.43  120  4.14  120  3.71  3165.6 kN.m

Fig. 1.15. Moment maximum dû au système Bc - Essieu 3 en C

wa  171 kN Condition vérifiée L wa  180 kN   171 kN Condition non vérifiée L

w L1  300 kN  w L2

Le moment maximum en C se produit donc lorsque l’essieu 2 est placée sur la section C. On pourra facilement vérifier que le moment fléchissant maximum, lorsque les camions se déplacent vers l’appui de droite, est inférieur à 6331.2 kN.m. 2) Système Militaire Mc80 Sur le tablier d’un pont de longueur 35 m, on peut disposer un seul Char. Le poids d’un char au mètre linéaire vaut :

72000  14694 daN / m 4.9 La position de la charge qui produit le moment maximum est déterminée à partir de la formule (3.3) : q Mc80 

16

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 d’où

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10  0.2857 35

d  0.2857  4.9  1.4 m

Le moment fléchissant maximum est alors déterminé à partir de l’expression :  6.14  7.14  M c  14694   4.9  478084 daN.m 2  

Fig. 1.16. Moment maximum produit par le système Mc80 3) Convoi D La charge du convoi D au mètre linéaire vaut :

q

140000  12727 daN / m 11

Pour obtenir la position du convoi qui produit le moment de flexion maximum en C on doit résoudre, par application de la formule 1.5 et conformément à la disposition du convoi représentée sur la figure 1.20, l’équation suivante :

10  x   12727  x  11  10  11 12727 10

25

soit

x  3.71m Le moment maximum à la section C a pour valeur : 7.14  5.79 3.51  0.37   2.65  7.14 M C  12727 6.29  4.71  11 1050991 daN .m 2 2 2  

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Fig. 1.17. Moment maximum produit par le convoi D 4) Moment critique produit par le système Bc La position de la résultante des charges supportées supportées par chacun des essieux est montrée sur la figure 1.21. Pour obtenir la position du convoi qui produit le moment de flexion maximum au point C, on doit résoudre, par application de la formule 1.5 et conformément à la disposition du convoi réprésenté sur la figure 1.21, l’équation suivante :

10  x   12727   x  11  10  11  12727 10

soit

25

x  3.71m

Le moment maximum dans la section C a pour valeur : 7.14  5.79 3.51  0.37   2.65  7.14 M C  12727  6.29  4.71  11  1050991 daN.m 2 2 2  

Fig. 1.18. Position de la résultantes des charges L’essieu 4 est le plus près du point d’application de la résultante des charges. Cependant, il se peut que la position des charges qui produit le plus grand moment fléchissant soit obtenue lorsque l’essieu 3 et la résultante w sont disposés symétriquement par rapport au milieu de la

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poutre, à cause de la masse de ce dernier qui est le double de celle de l’essieu 4. Deux dispositions doivent être considérées pour déterminer le moment critique. 1er cas : l’essieu 4 et la résultanre w sont disposés symétriquement par rapport au milieu de la poutre (figure 1.22)

Fig. 1.19. 1er cas de chargement Le moment fléchissant maximum dans la section située sous l’essieu 4 a pour valeur : M4 =3678.6 kN.m 2ème cas : l’essieu 3 et w sont disposés symétriquement par rapport au milieu de la poutre (figure 1.23).

Fig. 1.20. 2ème Cas de chargement Le moment fléchissant maximum dans la section située sous l’essieu 3 a pour valeur : M3 =3722.4 kN.m Par suite, le moment fléchissant critique se produit sous l’essieu 3 placé dans la section située à 15.775 m de l’appui de gauche. Ce n’est donc pas toujours le cas que le moment critique se produit sous la charge la plus près de la résultante. 1.3. Lignes d’influence des poutres en treillis Une poutre en treillis ou ferme est une structure construite à partir d'une série de barres rectilignes articulées entre elles à leurs extrémités, les joints d'articulation communs à plusieurs barres sont les nœuds de la structure. En pratique les éléments du treillis peuvent être boulonnés, rivetés ou soudés entre elles. Dans ce chapitre nous considérons les structures isostatiques planes avec les nœuds et les 19

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forces extérieures dans un même plan. Il existe principalement trois méthodes pour la détermination de ces efforts : méthode des nœuds, méthode graphique de Crémona et méthode des sections. Cette dernière est la plus utilisée pour construire les lignes d'influences des efforts dans les barres. Considérons la poutre en treillis de la figure 1.24a soumise à un système de charges extérieures w1, w2, et w3 appliquées aux nœuds de la membrure inférieure. La structure étant isostatique extérieurement, les réactions d'appuis sont déterminées à l'aide des équations de la statique. Divisons la structure au moyen d'une section rencontrant un certain nombre de barres. Pour que la partie gauche de la structure reste en équilibre on doit appliquer à celle-ci un système de forces remplaçant l'action de la partie droite (figure 1.24b). Ces actions peuvent seulement être transmises aux barres coupées X, Y, et Z et sont supposées agir sur la ligne moyenne de ces barres. Le système de forces P,Q et R de la partie gauche doit équilibrer la réaction d’appui RA et et la force w1 (figure 1.24b).

(a)

(b) Fig. 1. 21. Principe de la méthode des sections De la même manière le système de forces de la partie droite doit équilibrer la réaction RB, et les forces w2 et w3. Les équations d'équilibre permettent de déterminer facilement les efforts dans les barres coupées. Si la direction des efforts P, Q et R est celle indiquée sur la figure 1.24 b, les barres X et Y seront comprimées, tandis que la barre Z sera tendue. Jusqu'à présent nous avons seulement considéré le cas où les efforts extérieurs sont concentrés aux nœuds. Lorsqu'une charge wi se trouve entre deux nœuds A et B (figure 1.25), on considère que celle-ci est répartie entre les nœuds A et B par l'intermédiaire d'une poutre fictive AB simplement appuyée en A et B. La charge wi est donc équivalente à deux charges wAet wB appliquées aux nœuds A et B tel que :

wA  w 1  

wB  w

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wAet wB représentent respectivement les réactions d’appui aux nœuds A et B de la poutre fictive AB.

Fig. 1.22. Transmission d’une force concentrée entre deux noeuds Exemple 1.9 Considérons la poutre Pratt sur appuis simples représentée sur la figure 1.26. On demande de construire les lignes d'influence des efforts normaux dans les barres CD, EF, CE, DE, et EF dans les deux cas suivants : - force unité appliquée sur la membrure inférieure ; - force unité appliquée sur la membrure supérieure. a) Membrure inférieure CD L'effort normal dans la barre CD est déterminé en considérant l’équilibre des moments par rapport à E des efforts appliqués à gauche de la section x-x. Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds A et C, l’équation d’équilibre s’écrit :

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Fig. 1.23. Lignes d’influence des efforts normaux dans une poutre à triangulation de Pratt

Pcd  3  R A 10  (10  x)  0 d’où

Pcd  3 

30  x  10  (10  x) 30

soit

Pcd 

2 x (Traction) 9

20 pour x = 10 m 9 Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les noeuds C et B, l’équation d’équilibre s’écrit : Pcd 

Pcd  3  R A 10  0 d’où

30  x (Traction) 9 20 pour x = 10 m Pcd  9 Lorsque la force unité se trouve sur la membrure supérieure, les équations précédentes de l’effort normal PCD restent valables. Le tracé de la ligne d'influence de l’effort normal PCD est représenté sur la figure 1.26b. Nous constatons que l’allure de la ligne d’influence de l’effort normal dans la membrure inférieure est similaire à celle du moment fléchissant dans la section E d’une poutre à âme pleine. Par ailleurs, la membrure inférieure est sollicité en traction quel que soit la position de la charge. Pcd 

b) Membrure supérieure EF L'effort normal dans la barre EF est déterminé en considérant l’équilibre des moments par rapport à D des efforts appliqués à gauche de la section x-x,. Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds A et D, l’équation d’équilibre s’écrit :

PEF  3  R A 15  (15  x)  0

23

Matière : Dimensionnement des ponts 1

d’où

PEF  3 

M.R. Soltani

30  x  15  (15  x) 30

soit

x (Compression) 6 5 pour x = 15 m PEF  2 PEF 

Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds D et B, l’équation d’équilibre s’écrit :

PEF  3  R A 15  0 d’où

PEF  3  soit

30  x  15 30

PEF 

30  x (Compression) 6

PEF 

5 pour x = 15 m 2

Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure supérieure, les équations précédentes de l’effort normal PEF restent valables. Le tracé de la ligne d'influence de l’effort normal PEF est représenté sur la figure 1.26c. Nous constatons que l’allure de la ligne d’influence de l’effort normal dans la membrure supérieure est similaire à celle du moment fléchissant dans la section D d’une poutre à âme pleine. Par ailleurs, la membrure supérieure est sollicité en compression quel que soit la position de la charge. c) Diagonale ED L'effort normal dans la diagonale ED est déterminé en considérant l'équilibre des charges verticales appliquées à gauche de la section x-x. Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds A et C, l’équation d’équilibre s’écrit :

PED  sin   R A  1  0  3   tan 1    310  5

d’où

PED  0.515 1 

30  x 30 24

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

soit

PED 

x (Compression) 15.45

PED  0.647 pour x = 10 m Lorsque la force unité se trouve entre les nœuds C et D, on appliquera la règle de la transmission des charges entre les nœuds. L'expression de l’effort normal PED devient alors :

PED sin  310   1     RA  1      étant

30  x 30

la distance entre le nœud C et la force unité.

PED  0.647 pour x = 10 m ( = 0) PED   0.971 pour x = 15 m ( = 1) Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds D et B, l’équation d’équilibre s’écrit :

PED sin  310    RA  

30  x (Traction) 30

Les équations précédentes de l’effort normal PED restent valables lorsque la force unité est appliquée sur la membrure supérieure. Le tracé de la ligne d'influence de l’effort normal PED est représenté sur la figure 1.26d. Nous constatons que la ligne d’influence de l’effort normal dans la diagonale DE est construite à partir des fonctions d’influence de l’effort tranchant dans les sections C et D d’une poutre à âme pleine. Le rôle des diagonales et des montants étant de reprendre l’effort tranchant. Par ailleurs, la membrure inférieure est sollicitée en traction ou en compression selon la position de la charge. d) Montant CE L’effort normal dans le montant CE est déterminé en considérant l'équilibre des efforts verticaux appliqués à gauche de la section y-y. Lorsque la force unité est appliquée sur la membrure inférieure entre les nœuds A et C, l'expression d’équilibre s’écrit :

PCE  1  R A  0 d’où

PCE  R A  1   R B   PCE  

x (Traction) 30

1 pour x = 10 m 3

25

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Lorsque la force unité est appliquée entre les nœuds D et B, l'expression de l’effort normal PCE devient :

30  x (Compression) 30  0.5 pour x = 15 m

PCE  R A 

PCE

Lorsque la force unité se trouve entre les nœuds C et D, on peut appliquer la règle de transmission des charges entre les nœuds (voir § 1.3). Cependant, lorsque la charge unité est située entre deux nœuds séparés par une coupe, comme c’est le cas des nœuds C et D de cet exemple, la ligne d’influence est construite en reliant par un segment de droite l’ordonnée de la ligne d’influence correspondant au nœud qui précède la coupe (nœud C) à l’ordonnée correspondant au nœud qui suit la coupe (nœud D). De la même façon, on peut construire la ligne d'influence de l'effort normal dans la barre CE, lorsque la force unité est appliquée sur la membrure supérieure. Lorsque la force unité est appliquée au nœud E', l'effort normal de traction dans la barre CE a pour valeur :

PCE 

5 30

Lorsque la force unité est appliquée au nœud E, l'effort normal de compression dans la barre CE a pour valeur :

PCE 

2 3

Lorsque la force unité se trouve entre les nœuds E’ et E, nœuds situés de part et d’autre de la coupure, il suffit de relier par un segment de droite les ordonnées de la ligne d’influence aux nœuds E’et E. Les tracés des lignes d'influence de l’effort normal dans la barre CE dans les deux cas de chargement sont représentés dans les figures 1.26e et f. Exemple 1 .9 Considérons la poutre Warren représentée sur la figure 1.27a. On demande de construire les lignes d'influence des efforts normaux dans les barres 1, 2 et 3. Dans le cas des poutres Warren, les charges sont transmises par le platelage à travers les membrures inférieures. C’est le cas des ponts à poutres latérales triangulées à tablier inferieur. Pour déterminer les efforts normaux dans les barres 1, 2 et 3, on considère la section x-x représentée sur la figure 1.27e.

26

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Fig. 1.24. Lignes d’influence des efforts normaux dans des barres d’une poutre Warren a) Barre 1 L'effort normal dans la barre 1 est déterminé en considérant l’équilibre des moments par rapport à D des efforts appliqués à gauche de la section x-x. Lorsque la force unité se trouve entre les nœuds A et D, l’équation d’équilibre s’écrit :

27

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

 P1  2 3  RA  8  8  x    P1  2 3 

3x 0 5

d’où

P1 

3x (Compression) 10 3

P1 

12 5 3

pour x = 8 m

Lorsque la force unité se trouve sur l’appui B, la valeur de l’effort normal P1 est nulle. Le tracé de la ligne d'influence de l’effort normal P1 est représenté sur la figure 1.27b. b) Barre 2 L'effort normal dans la barre 2 est déterminé en considérant l'équilibre des efforts verticaux appliqués à gauche de la section x-x. Lorsque la force unité se trouve entre A et C, l’équation d’équilibre s'écrit : 3 3 x P2  R A  1  P2  0 2 2 20 d’où x (Compression) P2  10 3 2 pour x = 4 m P2  5 3 Lorsque la force unité se trouve entre D et B l'expression de l’effort normal P2 s'écrit :

P2 

RA 20  x  sin 60 10 3

(Traction)

Le signe (-) indique que la barre 2 est tendue.

P2 

6 5 3

pour x = 8 m

Entre les nœuds C et D, la ligne d’influence est construite en joignant par un segment de droite les ordonnées obtenues pour x = 4 m et x = 8 m. Le tracé de la ligne d'influence de P2 est représenté sur la figure 1.27c. c) Barre 3 L'effort normal dans la barre 3 est déterminé en considérant l’équilibre des moments par rapport à E des efforts appliqués à gauche ou à droite de la section x-x. Lorsque la force unité

28

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

se trouve entre A et C, l’équation d’équilibre s'écrit :

 P3  2 3  RA  6   6  x    P3  2 3 

7x 0 10

d’où

7x (Traction) 20 3 7 pour x = 4 m P3  5 3

P3 

Lorsque la force unité se trouve entre D et B, l'expression de l’effort normal P3 devient :

P3 

P3 

RA  6 3  20  x   2 3 20 3 9 5 3

(Traction)

pour x = 8 m

Entre les nœuds C et D, la ligne d’influence est construite en joignant par un segment de droite les ordonnées obtenues pour x = 4 m et x = 8 m. Le tracé de la ligne d'influence de l’effort normal P3 est représenté sur la figure 1.27d. 1.4. Lignes d’influence des poutres continues par la méthode des foyers 1.4.1. Définition On considère une poutre droite continue à plan moyen chargé dans son plan par des efforts qui lui sont normaux. Elle comporte n travées et repose donc sur (n +1) appuis A0, A1,……An, comme il est illustré sur la figure 1.29.

1 n

l1

2

i

l2

x li

ln

Fig. 1.25. Poutre continue à n travées Cette poutre est hyperstatique de degré n-1 et il est d’usage de considérer les (n-1) inconnues sur appuis intermédiares (notés M1, M2, ………Mn) comme étant les inconnues hyperstatiques du problème. Car si l’on connait ces moments sur appui, le moment fléchissant Mi(x) et l’effort tranchant Ti(x), dans une section X quelconque appartenant à la ième travée Ai-1Ai ont pour expression :

29

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

 x x M i  x   M iso (x)  M i 1  1    M i li  li  dM i (x) dM iso (x) M i  M i1 Ti  x     dx dx li

Miso est le moment fléchissant dans la travée de portée li supposé simplement appuyée sous l’effet des charges extérieures. Une section de la travée Ai-1Ai de portée li sera définie par une abscisse comptée à partir de l’appui de gauche Ai-1 de cette travée. 1.4.2. Rappels sur la méthode des trois moments La mise en équation du problème conduit à un système linéaire de (n-1) équations à (n-1) inconnues que l’on met sous la forme :

 c1  a 2  M1  b2 M 2  2  1  ...............................................   bi M i1   ci  a i 1  M i  bi 1M i 1  i 1  i ...............................................   b n 1M n 2   c n 1  a n  M n 1  n  n 1  ai, bi et ci, fonction des caractéristiques géométriques, sont appelés fonction de souplesse et sont calculés par les formules suivantes : 2

li

 x  dx a i  1    li  EI i (x) 0



li

li

2

 x  dx x  x  dx bi  ci    1   l i  l i  EI i (x)  l i  EI i (x) 0 0





Dans le cas particulier d’une poutre d’inertie constante, nous aurons : a i  ci 

li 3EI i

bi 

li 6EI i

i et i sont les angles de rotation à l’origine et à l’extrémité de la ième travée supposée simplement appuyée sous l’effet des charges extérieures.

li

 x  dx i  M iso  x   1    li  EI i (x) 0



li



i  M iso  x  0

30

x dx li EI i (x)

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

1.4.3. Méthode des foyers 1.4.3.1. Méthode générale La méthode consiste à charger successivement chaque travée, puis on superpose les effets du chargement de chaque travée. Cette méthode est donc très pratique pour construire les lignes d’influence. En supposant la ième travée seule chargée, l’application de la formule des trois moments donne :

M0  0    c1  a 2  M1  b2 M 2  0  (A)  b2 M1   c 2  a 3  M 2  b3M 3  0 ................................................   bi2 M i3   ci 2  a i 1  M i 2  bi 1M i 1  0  bi1M i2  ci1  a i  M i1  bi M i  i (B)   bi M i1   ci  a i 1  M i  bi 1M i1   i  bi 1M i   ci 1  a i  2  M i 1  bi  2 M i  2  0  ................................................................ (C)   b n 1M n 2   c n 1  a n  M n 1  0 M  0  n Seules les équations (B) possèdent un second membre non nul. Les équations (A) montrent que les rapports : M1 M 2 M ; ;............... i 2 M2 M3 M i 1

restent constant quelque soit le chargement de la travée n°i. De même les équations (c) montrent que sont également constants les rapports : M n 1 M n 2 M ; ;............... i 1 M n  2 M n 3 Mi

Fig. 1.26. Diagramme des moments dans le cas ou la travée Ai-1Ai seule chargée 31

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

On définit alors les rapports focaux par les grandeurs : k 

M k 1 Mk

k 

Mk M k 1

Les rapports focaux sont calculés par les relations de récurence suivantes : Rapports focaux de gauche

Rapports focaux de droite

1  0

n  0

b2  c1  a 2 2

b n 1  c n 1  a n n 1

.................................... bi  ci 1  a i  bi 1 i 1 i

............................... bi  ci  a i 1  bi 1 i' 1 i

................................

...............................

bn  c n 1  a n  b n 1 n 1 n

b1  c1  a 2  b2 '2 1

Tableau 1.3 Rapports focaux Les équations (B) peuvent s’écrire sous la forme : 1 i   M i1  M i  b  i i   M  1 M   i  i 1 i i bi

La solution des équations (B) conduit à :

M i 1 

i  i  i

1 bi  1      1  i i 

i  i 1 i Mi   bi  1       1  i i 

Pour une poutre d’inertie I constante, on établi facilement que : 1 l  2  i  2   i  à partir de i = 0  i 1 li 1

32

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

1 l  2  i 1  2   i 1  à partir de n = 0  i li

1.4.3.2. Lignes d’influence Supposons que la charge unité P = 1 se trouve dans une section d’abscisse  sur l’une des travées contigües à l’appui Ai, la solution des équations (B) donne : i     i    1 i Mi    bi  1      1  i i 

lorsque P est sur Ai-1Ai

i 1     i 1    1  i 1 Mi   lorsque P est sur AiAi+1 bi 1   1     1  i 1 i 1 

Dans le cas où la travée n°1 est chargée, le moment à l’appui 1 se calcule par la formule : M1     

1 1 b1

Dans le cas où la travée n est chargée, le moment à l’appui n-1 se calcule par la formule : M n 1    

n n bn

Supposons maintenant que la charge unité P ne se trouve pas sur une travée contigües à l’appui Ai. Nous avons lorsque P est appliquée à une travée Ar-1Ar(r < i) : M i      1  i i 1............ r 1M r    ir

Et lorsque P est appliquée à la travée As-1As (s > i+1) : M i      1

s i 1

 i 1 i 2 ............ s1M s1   

Les rotations à l’origine et au bord d’une poutre sur deux appuis simples sous l’effet d’une charge unité appliquée à l’abscisse l :

33

Matière : Dimensionnement des ponts 1

  

M.R. Soltani

l      1    2   6EI  l  l

 2  l    1   6EI  l 2 

P

i’



l-

i

l Fig. 1.27. Rotations des extremités d’une poutre sur deux appuis simples A la figure 1.32 est montré l’allure de la ligne d’influence du moment fléchissant sur l’appui Ai.

Fig. 1.28. Ligne d’influence du moment fléchissant sur appui Ai La fonction d’influence Mi (,x) du moment fléchissant dans dans la section X d’abscisse x de la ième travée Ai-1Ai a pour expression :  x  x M i  , x   M iso  , x   M i1    1    M i       li   li  La forme de la ligne d’influence dépend de la position de la section X par rapport aux foyers Fi et de la travée, comme il est illustré sur la figure 1.33. Miso(,x) étant nul lorsque la charge unité se trouve sur une travée autre que la travée Ai-1Ai. La fonction d’influence Ti (,x) de l’effort tranchant dans la section X d’abscisse x de la ième travée Ai-1Ai a pour expression : Ti  , x  

dM iso  , x  1   M i     M i1     dx li

34

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Fig. 1.29. Lignes d’influence des moments dans la travée Ai-1Ai A la figure 1.34 est montré l’allure de la ligne d’influence de l’effort tranchant dans la section X de la travée Ai-1Ai.

Fig. 1.30. Lignes d’influence de l’effort tranchant dans une section X de la travée Ai-1Ai La fonction d’influence (,x) de la rotation dans la section X d’abscisse x de la ième travée Ai-1Ai a pour expression :

  , x  

li

 0

M iso  , x  2l 2  6li x  3x 2 l 2  3x 2  M i1    i  Mi  i EI 6EI ili 6EI ili

A la figure 1.35 est montré l’allure de la ligne d’influence de la rotation dans la section X de la travée Ai-1Ai.

Fig. 1.31. Ligne d’influence de la rotation dans une section X de la travée Ai-1Ai

35

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

La fonction d’influence v(,x) de la flèche dans la section X d’abscisse x de la ième travée Ai1Ai a pour expression :   , x  



M iso  , x    li    2l i      l i    l i     M i1     Mi  EI 6EI ili 6EI ili

A la figure 1.36 est montré l’allure de la ligne d’influence de la flèche dans la section X de la travée Ai-1Ai.

Fig. 1.32. Ligne d’influence de la flèche dans une section X de la travée Ai-1Ai

Exemple 2.1 Soit une poutre continue à quatre travées de sections transversales identiques (EI = const). a) Ecrire les fonctions d’influence du moment de flexion à l’appui 2. b) En déduire les fonctions d’influence du moment de flexion dans la section d’abscisse X = 8m de la travée 3.

0

➀

X

➁

2

3

EI= Const 24 m

30 m

➂

4

➃

5

8

24 m

24 m

Fig. 1.33. Toutes les travées des poutres sont de rigidité constante, on peut écrire pour simplifier les résultats : EI = 1. 1) Coefficients de souplesse 24 a1  a 3  a 4  c1  c3  c 4  8 3 24 b1  b3  b 4  4 6 36

Matière : Dimensionnement des ponts 1

a 2  c2  b2 

M.R. Soltani

30  10 3

30 5 6

2) Rapports focaux 1  0

 4  0

5  0.28 8  10 4 3   0.24 10  10  5  0.28 4 4   0.27 8  8  4  0.24

 3 

4  0.25 88 5  2   0.29 10  8  4  0.25 4 1   0.24 8  10  5  0.28

2 

3) Rotations angulaires sur appui 1  3  4  

2  

24           1    2    4   1    2   6  24   24  24   24  

30           1    2    5  1    2   6  30   30  30   30  

 2  1  3  4  4  1  2   24   2  2  5  1  2   30 

3) Fonctions d’influence sur l’appui 2 a) Force unité se trouve sur la travée n°1

0

1

2

3

4

Fig. 1.34. Diagramme des moments fléchissants lorque la force unité se trouve sur la travée n°1

37

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

 4  0.24  2  2  1    0.24  1    2  2  4  24   24 

M1     

  2  2  M 2      0.24  1  2   0.29  0.0696  1  2   24   24   [m] M2()

0 0

2.4 0.165

4.8 0.321

7.2 0.456

9,6 0,561

12 0.626

14.4 0.641

16.8 0.596

19.2 0.481

24 0

b) Force unité se trouve sur la travée n°2

M2  



1 5

5  2      1   5 1    2    2  0.28  30  30   30   1    1   0.28  0.29 

  2       1  2   1    2   3.17  30  11.31  30   30 



0

1

2

3

4

Fig. 1.35. Diagramme des moments fléchissants lorque la force unité se trouve sur la travée n°2  M2()

0 0

3 6 9 12 15 18 21 24 -0,483 -1,053 -1,445 -2,161 -2,554 -2,743 -2,654 -2,216

c) Force unité se trouve sur la travée n°3  4     2   1  2   4  1      2  24  1 0.25  24   24  M2     1 4    1   0.24  0.25         2   1  2   1       3.92  24  24  15.67  242  38

30 0,000

Matière : Dimensionnement des ponts 1

0

1

M.R. Soltani

2

3

4

Fig. 1.36. Diagramme des moments fléchissants lorque la force unité se trouve sur la travée n°3  M2()

0 0

2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 -0.895 -1.469 -1.768 -1.836 -1.722 -1.469 -1.125 -0.734

24 0

d) Force unité se trouve sur la travée n°4

0

1

2

3

4

Fig. 1.37. Diagramme des moments fléchissants lorque la force unité se trouve sur la travée n°4 4     M 3       1    2    0.27 4  24   24       0.27 1    2   24   24  

    M 2     0.27 1    2    0.24 24   24        0.0648 1    2   24   24  

 M2()

0 0,000

2.4 0,266

4.8 0,448

6 0,555

7.2 0,597

39

12 0,583

14.4 0,523

16.8 0,425

19.2 0,299

24 0,000

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M.R. Soltani

La ligne d’influence du moment fléchissant sur l’appui 2 est représentée sur la figure 1.38.

0

+

1

2

3

+

4

-

-

Fig. 1.38. Ligne d’influence du moment fléchissant sur l’appui 2 4) Fonctions d’influence du moment de flexion dans la section X de la travée 3 a) Force unité se trouve sur la travée n°1 Miso= 0 M 3  ,8 

2M 2 M 3  3 3

M3     0.25M2    M3  ,8 

2M 2 0.25M 2   0.583M 2 3 3



M2

Miso

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.0 14.4 16.8 19.2 21.6 24.0

0.000 0.165 0.321 0.456 0.561 0.626 0.641 0.596 0.481 0.286 0.000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

40

M2(, 8) = 0.583M2 0.000 0.096 0.187 0.266 0.327 0.365 0.374 0.348 0.281 0.167 0.000

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b) Force unité se trouve dans la travée 2 M3  ,8  0.583M2 

M2

Miso

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

0.000 -0.483 -1.053 -1.637 -2.161 -2.554 -2.743 -2.654 -2.216 -1.356 0.000

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

M2(, 8) = 0.583M2 0.000 -0.282 -0,614 -0,842 -1,260 -1,489 -1,599 -1,548 -1,292 -0,790 0.000

c) Force unité se trouve sur la travée n°3 M3  ,8  Miso  ,8  

2M 2 M3  3 3

0    8m  2 M iso      16  24 3 8m    24 24   24   M iso     8  24 3  0.0 2.4 4.8 7.2 8 9.6 12.0 14.4 16.8 19.2 21.6 24

2M2/3 0 -0,597 -0,979 -1,178 -1,209 -1,224 -1,148 -0,979 -0,750 -0,490 -0,229 0

2M2/3 0 -0,123 -0,261 -0,398 -0,441 -0,519 -0,606 -0,645 -0,620 -0,515 -0,313 0

41

Miso 0 1,6 3,2 4,8 5,33 4,8 4 3,2 2,4 1,6 0,8 0

M2(, 8) 0 0,88 1,96 3,224 3,683 3,057 2,246 1,576 1,03 0,595 0,258 0

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M3    

1 4





M.R. Soltani

 4     2  1    2    4 1  2  0.24  24   24   24  1    1   0.24  0.25 

  2       1    1    2   2  3.76  24  15.66  24   24 

d) Force unité se trouve sur la travée n°4 Miso= 0 2M 2 M 3  3 3     M 2     0.0648 1   2   24   24      M 3     0.27 1   2   24   24      M3  ,8    0.0468 1   2   24   24  M 3  ,8 

 0 2.4 4.8 7.2 8 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24

M2(, 8) 0 0.192 0.323 0.401 0.416 0.431 0.421 0.377 0.307 0.216 0.111 0

42 

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La ligne d’influence du moment fléchissant dans la section X de la travée 3 est représentée sur la figure 1.39.

Fig. 1.39. ligne d’influence du moment fléchissant dans la section X de la travée 3

43

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CHAPITRE 2 Méthode des entretoises rigides 2.1. Introduction Les tabliers des ponts à poutres sont des structures tridimensionnelles qu'il convient donc de les étudier comme des structures spatiales composées de plaques et de poutres. Les efforts internes sont alors être déterminés à l'aide de méthodes numériques telle que la méthode des éléments finis. Ces méthode sont couteuses car elles nécessitent l'emploi de logiciels. Avant le développement de la méthode des éléments finis, des méthodes d’analyse simplifiées ont été développées pour l’analyse structurale des tabliers des ponts à poutres. Une famille de ces méthodes consiste à dégénérer le problème spatial en sous problèmes de moindre dimension en considérant les étapes de calcul suivantes. On commence par étudier la dalle en flexion locale, comme une plaque fléchie appuyée sur les poutres et des entretoises éventuelles. Ce problème a été étudié au chapitre 2. Ensuite les poutres seront justifiées en flexion générale, en procédant comme suit : - isoler les poutres principales en affectant à chacune d'elle une largeur du hourdis participante; - répartir transversalement les charges entre les poutres principales (figure 3.1); - calculer les sollicitations extrêmes dans les poutres dans le sens longitudinal en utilisant les méthodes, fondées sur les lignes d’influences, exposées dans le chapitre 1.

P

Fig. 2.1. Modèle simplifié pour le calcul des poutres principales La largeur de la dalle qui collabore efficacement à l'action composite n'est pas égale à l'espacement transversal des poutres dans le cas où l'espacement entre celles-ci est très grand. Il faut en effet tenir compte du décalage par cisaillement dont l'effet est de diminuer les contraintes normales de flexion dans les zones éloignées de la jonction dalle-poutre. On définit la largeur dite effective comme étant la largeur sur laquelle on admet une contrainte uniforme égale à la contrainte maximale max, de sorte que :

beff



 y x

 max

44

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Fig. 2.2. Concept de la largeur effective ou efficace permettant donc de travailler avec la théorie des poutres. Les largeurs de la table de compression, à attribuer aux poutres, sont prescris par les normes. Selon les normes BAEL 99 et BPEL 99, les largeurs effectives des tables de compression sont résumées dans les dessins ci-après :

Fig. 2.3. Largeur de la dalle à prendre en compte pour le calcul d'une section en Té selon le BAEL99 et le BPEL 99 L'Eurocode 4 (version EN 1994-1-1) propose le calcul de la largeur participante par les formules suivantes : beff  be1  be 2

avec L  bei  min  e , bi   8 

Dans le cas d’une poutre sur deux appuis, la longueur Le est prise égale à la portée L de la poutre.

45

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Dans le cas d’une poutre continue, Le peut être choisie selon les indications données sur la figure 4.3.

Fig. 2.4. Travées équivalentes, pour la détermination de la largeur participante de la dalle Il existe plusieures méthodes pour répartir les charges entre les poutres. Le choix de la méthode dépend de la déformée transversale du tablier. On distingue deux familles de méthodes : - les méthodes applicables aux tabliers à section droite indéformable ; - les méthodes applicables aux tabliers à section déformable ou indéformable.

(a) entretoisement rigide triangulée

(b) entretoisement souple

Fig. 2.5. Tabliers des ponts à poutres munies d’entretoises intermédiaires On distingue deux types de tabliers des ponts. Les tabliers dotés d’entretoises intermédiaires rigides ou souples, c’est généralement le cas des tabliers métalliques ou mixtes (figure 3.5). Les tabliers sans entretoises intermédiaires, c’est généralement le cas des tabliers en béton armé ou précontraint. Les entretoises rigides assurent une certaine indéformabilité de la section transversale du tablier. Les charges exercées sur le tablier provoquent un déplacement en bloc de l’ensemble 46

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des poutres; il y’a conservation des angles de la section transversale (figure 9.2). Il est alors possible d’appliquer les méthodes classiques de la résistance des matériaux.

Fig. 2.6. Déplacement des poutres d’un tablier dotées d’entretoises rigides Les tabliers des ponts ne comportant pas d’entretoises intermédiaires ou comportant des entretoises souples ou en nombre insuffisant sont considérées comme déformables transversalement. La figure 3.7. montre que l’allure de la déformée transversale du tablier dépend de la position transversale de la charge appliquée. Des méthodes plus laborieuses que celles issues de la théorie de la résistance matériaux doivent être utilisées pour calculer les sollicitations dans les poutres et entretoises.

Fig. 2.7. Flèches des poutres dans un tablier à section transversale déformable Dans le cas des tabliers à section droite indéformable on peut utiliser l’une des méthodes suivantes : - l’une des variantes de la méthode des entretoises rigides; dans le présent document, la méthode de Courbon est exposée en détail; - la méthode basée sur la théorie de la torsion gênée de Vlassov; elle est mieux adaptée que la méthode de Courbon pour les tabliers à ossature métallique ou mixte.

47

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Dans le cas des tabliers à section transversale déformable de nombreuses méthodes sont proposées dans la littérature. On se contente de citer la méthode de Guyon-Massonnet-Bares. Le principe de cette méthode consiste à remplacer la structure discontinue composée de la dalle et de la poutraison par une plaque anisotrope continue ayant pour rigidités les valeurs moyennes de la structure réelle. Cette méthode sera exposée en détail dans le chapitre 5 . 2.2. Méthode de Courbon 2.2.1. Hypothèses de base La méthode dite des entretoises rigide, applicable aux tabliers des ponts à section droite indéformable due à Courbon consiste à considérer la dalle comme infiniment raide transversalement et reposant sur des appuis ponctuels ne transmettant aucun effort de torsion. La méthode des entretoises rigides est valable lorsque : - les entretoises ne sont pas trop espacées ; - la rigidité des entretoises est du même ordre que celle des poutres. - la largeur du pont est nettement inférieure à sa longueur :

L  2l l : distance transversale entre les poutres extérieures ; L : portée des poutres.

Fig. 2.8. Réactions de l’entretoise sur les poutres 2.2.2. Moments fléchissants Dans un cas général, nous avons n poutres inégales et inégalement espacées numérotées de 1 à n. Prenons 0 comme origine sur l’entretoise. Soient : yi : l’abscisse de la poutre i ; Ii : son moment d’inertie ;

48

Matière : Dimensionnement des ponts 1

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e : l’abscisse d’une charge P appliquée à l’entretoise ; Ri : la réaction de l’entretoise sur la poutre i. Dans la mesure où on néglige l’inertie de torsion des poutres :

Ri  I i (a  byi ) Exprimons que l’entretoise chargée est en équilibre sous l’effet de P et des réactions Ri. L’équilibre des efforts verticaux donne :

R

i

 P  a  I i  b  yi I i  P

L’équilibre des moments autour de l’axe z donne :

R y i

i

 Pe  a I i yi  b I i yi2  Pe

Choisissons le repère oyz de manière à ce que :

I y i

i

0

alors

a

P  Ii

P.e  Ii yi2

b

et

On peut alors écrire : Ri 

P Ii   Ii i

avec

i  1 

I I y i

i

2 i

y ie

i : coefficient d'excentricité relatif à la poutre n°i et à l'excentricité de la charge. Dans le cas où la structure se compose de n poutres égales de même espacement bp, l'axe oz est l'axe de symétrie de la section et on montre que :

n  1  2i e  bp n2  1 A condition que les poutres soient numérotées de 1 à n à partir du côté où y est positif. Si la charge n'est pas sur une entretoise, amis si les entretoises sont suffisamment rapprochées, on admet que l'on ne commet qu'une erreur minime sur les moments fléchissants en supposant qu'ils sont proportionnels aux mêmes quantités Ri, comme si le tablier était doté d'une infinité d'entretoises rigides très rapprochées. Les moments Mi(x) dans les différentes poutres sont calculés à partir de la formule : i  1  6

M i ( x )  M( x ) 

Ii

I

i i

49

Matière : Dimensionnement des ponts 1

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M(x) étant le moment total calculé comme si le tablier était une poutre. Si toutes les poutres sont identiques l'expression de Mi(x) devient :

M i (x) 

M(x) i n

n étant le nombre de poutres. 2.2.3. Efforts tranchants En ce qui concerne l'effort tranchant, l'effet répartiteur des entretoises disparaît prés des appuis parce que les flèches des poutres y deviennent petites par rapport aux flèches de courbure des entretoises. En zone courante, l'effort tranchant se répartit entre les poutres selon la même loi que le moment fléchissant et se calcule à l'aide de la formule :

Ti (x )  T(x) 

Ii

I

i i

T(x) étant l'effort tranchant total. Dans les zones comprises entre les appuis et la première entretoise intermédiaire, on considère qu'il n'y a pas de répartition sur appui et que la répartition est complète au droit de la première entretoise. On convient alors de faire une interpolation linéaire entre ces deux sections.

Fig. 2.9. Charge comprise entre l’appui et la première entretoise intermédiaire

50

Matière : Dimensionnement des ponts 1

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Appelons Ti'' l'effort tranchant calculé dans l'hypothèse de répartition totale à l'aide de la formule :

Ti'' ( x )  T(x ) 

Ii

I

i i

Appelons Ti' l'effort tranchant calculé dans l'hypothèse d'indépendance des poutres. Pour déterminer Ti' , on suppose la dalle articulée sur les poutres et formé d'une infinité de poutres transversales infiniment rapprochées.

Ti' (x)  T(x)  1   Dans la cas d'une poutre soumise à une charge concentrée se trouvant sur appui Ti' est calculée par la formule :

Ti' (x)  Q 1   yi où yi est l'ordonnée de la ligne d'influence de l'effort tranchant sous la charge Q. L'effort tranchant Ti dans la poutre n°i au point d'abscisse x est alors égal à :

Ti (x)  1   Ti'  Ti''

Fig. 2.10. Répartition de l’effort tranchant selon la position de la charge Dans le cas d'une charge répartie sur une longueur D1  D, on doit procéder comme suit : Appelons : qdx : la résultante des charges q réparties sur le segment dx; x: la distance de qdx à l'appui le plus proche; dTi' : l'effort tranchant dans la poutre i produit par la charge qdx calculé dans l'hypothèse d'indépendance des poutres :

dTi' ( x )  q i dx  y i  q 1   dx y i

51

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Fig. 2.11. Poutre soumise à une charge répartie

dTi'' l'effort tranchant dans la poutre i produit par la charge qdx calculé dans l'hypothèse de la répartition totale :  I dTi''  qdx  y i  i i  Ii Dans le cas où la charge qdx se trouve entre l'appui et la première entretoise intermédiaire l'effort tranchant se calcule à l'aide de la formule d'interpolation linéaire. I x x x q   dTi  1  dTi'  dTi''  q i 1   y i dx   i i x y i ( x ) dx D D D D  Ii  

d'où x q  Ti  q i  1  i  y i ( x ) dx  D D a  b

Ii

b

x y ( x ) dx I  i

i a

Dans le cas d'une charge uniformément répartie entre l'appui et la première entretoise intermédiaire sur une longueur D, la réaction d'appui se calcule par l'expression :  Ti  q i  1  0 1  qiD   2 D

I x  l  x q l  x   dx   i i  x   dx D  l  D  Ii 0  l  D  q  i Ii D  1 D      6L   I i  2 3L  D

Exemple 2.1 Déterminer, à l'aide de la méthode des entretoises, pour le tablier représenté à la figure cidessous supporté par 5 poutres principales et 6 entretoises : - les moments de flexion maximums à la section médiane des poutres 1 et 3 dus aux systèmes de charges A et Bc; - les réactions d'appui maximums des poutres 1 et 3 dus aux systèmes A et B.

52

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M.R. Soltani

1.5

1

1.5

2

2

1

2

2

2 4

3

5

1

Entretoises intermédiaires

4m

4m

4m

4m

4m

Largeur roulable = 7m  c'est un pont de première classe Largeur chargeable = 7m, il n' y ' a pas de dispositifs de retenus Nombre de voies = 7/3 = 2 voies Largeur d'une voie = 7/2 = 3.5 m 1. Moments fléchissants 1.1. Système Bc 12t

6t

1m

4.5m

4.5m

12t 12t 1.5

10 m

0.5

6t 4.5m

4m

10 m

2.75

5

4.25

2

Pour une file de camion considérée :

MT ot  (12  0.5  6  2.75  12 5  12  4.25  6  2 )  1000  145500 daN.m Pour deux files de camion considérées :

MT ot  145500  2  291000 daN.m

53

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

1.1.1. Poutre 1 1er cas : une file de camion considérée Résultante 2.25m 1.5m 0.25

z

2m

y

1

2m

2m

1

2

2m

2m 4

3

1 5

1

1  1  6

5  1  2 2.25   2.125 2 52  1

bc = 1.2 pour un pont de première classe et une voie considérée

M1 

145500  2.125  1.2  B  74205 B 5

2ème cas : deux files de camions considérées

1  1  6

51 2 1   1.5 2 52  1

bc = 1.1 pour un pont de première classe et deux voies considérées

M1 

291000  1.5  1.1   B  96030  B 5

54

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Le moment maximum sera obtenu lorsqu'on considère deux files de camions Bc. 1.1.2. Poutre 3 Quel que soit la disposition des camions dans le sens transversal nous aurons :  3  1 , car y3 = 0. Le moment maximum est donc obtenu lorsqu'on considère deux voies chargées, d'où

M3 

291000  1  1.1   B  64020  B 5

1.2. Système A Pour obtenir le moment fléchissant maximum, on charge toute la longueur de la poutre.

A(20)  230 

36000  1355 daN / m 2 20  12

Pour une voie considérée, la charge au mètre linéaire vaut :

q  1355  3.5  4742 daN / m Le moment total vaut :

M Tot 

4772  20 2  237100 daN.m 8

Pour deux voies considérées, le moment total devient :

M T ot  237100  2  474200 daN.m 1.2.1. Poutre 1 1er cas : une voie considérée

55

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

5  1  2 1.75   1.875 2 52  1 Pour un pont de de première classe et une voie considérée : a1 = 1. 1  1  6

a2 

3.5  1 largeur d'une voie = 3.5 m. 3.5

M1 

237100  1.875  1  1  88912 daN.m 5

2ème cas : deux voies considérées.

1  1

Pour un pont de de première classe et deux voies considérées : a1 = 1.

M1 

474200  1 1  1  94840 daN.m 5

1.2.2. Poutre 3 1  1  M 3  94840 daN.m

2. Efforts tranchants 2.1 Système Bc On ne considère que le cas de deux voies chargées - File de roues 1 Les roues de la première file se trouvent sur appui.

T1  T1'  (1  0.375 )  60  1  37.5 kN

56

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

- File de roues 2 Les roues de la deuxième file se trouvent entre l'appui et la première entretoise intermédiare.

T1'  (1  0.375 )  60  0.925  34.687 kN 1.5   0.375 4 T1  (1  0.375)  34.687  0.375  66.6  46.654 kN - Files de roues 3,4, et 5 240 1.5  0.925  66.6 kN 5 Les roues des files 3,4 et 5 se trouvent entre les entretoises intermédiares : T1'' 

T1 

120 240 240  1.5  0.7   1.5  0.475   1.5  0.4  88.2 kN 5 5 5

2.1.1 Poutre 1

57

Matière : Dimensionnement des ponts 1



M.R. Soltani

0.75  0.375 2

- File de roues 1 Les roues de la première file se trouvent sur appui.

T1  T1'  (1  0.375 )  60  1  37.5 kN - File de roues 2 Les roues de la deuxième file se trouvent entre l'appui et la première entretoise intermédiare.

T1'  (1  0.375 )  60  0.925  34.687 kN 240 T1''  1.5  0.925  66.6 kN 5 

1.5  0.375 4 T1  (1  0.375)  34.687  0.375  66.6  46.654 kN T1'' 

240 1.5  0.925  66.6 kN 5

- Files de roues 3,4, et 5 Les roues des files 3,4 et 5 se trouvent entre les entretoises intermédiares :

T1 

120 240 240  1.5  0.7   1.5  0.475   1.5  0.4  88.2 kN 5 5 5

- Files de roues 6 Les roues se trouvent entre l l'appui et la première entretoise intermédiaire.

T1'  (1  0.375 )  30  0.175  3.28 kN 120 T1''   1.5  0.175  6.3 kN 5 3.5   0.875 4 T1  (1  0.875)  3.28  0.875  6.3  5.92 kN T1'' 

240 1.5  0.925  66.6 kN 5

58

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

L'effort tranchant résultant vaut : T1  ( 37.5  46.654  88.2  5.92 )  1.1  B  196  B kN

2.1.2 Poutre 3

1  0 .5 2 1.25 1   0.625 2 1 

- File de roues 1

T3'  (1  0.5)  120  1  (1  0.625)  60  1  82.5 kN - File de roues 2

T3'  (1  0.5)  120  1  (1  0.625)  60  1  0.925  76.312 kN 240 T3''   1  0.925  44.4 kN 5 1.5   0.375 4 T3  (1  0.375)  76.312  0.375  44.4  64.345 kN - Files de roues 3,4, et 5 Les roues des files 3,4 et 5 se trouvent entre les entretoises intermédiares :

T3 

120 240 240  1  0.7   1  0.475   1  0.4  58.8 kN 5 5 5

- Files de roues 6 59

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

Les roues se trouvent entre l l'appui et la première entretoise intermédiaire.

T3'  (1  0.5)  60  1  (1  0.625)  30  1  0.175  7.22 kN 120 T3''   1.0  0.175  4.2 kN 5 3.5   0.875 4 T3  (1  0.875)  7.22  0.875  4.2  4.577 kN L'effort tranchant résultant vaut :

T3  ( 82.5  64.345  58.8  4.577 )  1.1  B  231.244  B kN 2.2 Système A 2.2.1 Poutre 1 On considère deux voies chargées. 0  x  4m, la charge est appliquée longitudinalement entre l'appui et la première entretoise intermédiaire. 1.25   0.625 2 q i  1355  1.5 ( 1  0.625)  762 daN / m

q  9485 daN/m

60

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

9485 4  1  20  x  x x  20  x   T1  762   1   dx  0  20   4 dx 20   4 5 0  4

4

1 4  9485 4  1   T1  762  4   2 6  20 5  

1 4      4710 daN 2 3  20  

4m  x 16 m La charge est appliquée entre les entretoises intermédiaires.

T1  16m  x  20m

9485 0.8  0.2 12   1  11382 daN 5 2

La charge est appliquée entre l'appui et la première entretoise intermédiaire. Cependant, étant donné que sous l'effet de cette charge, la valeur de l'effort tranchant est faible, on peut admettre l'hypothèse de la répartition totale.

T1 

9485 0.2  4   1  759 daN 5 2

L'effort tranchant résultant vaut : T1  4710  11382  759  16851 daN

2.2.2 Poutre 3

61

Matière : Dimensionnement des ponts 1

M.R. Soltani

0  x  4m, la charge est appliquée longitudinalement entre l'appui et la première entretoise intermédiaire. 1.0   0.50 2 q i  2  1355  2 ( 1  0.5)  2710 daN / m

1 4  9485 4  1  T3  2710  4   6  20  5 2

4m  x 20 m

T3 

9485 0.8  16  1  12141 daN 5 2

L'effort tranchant résultant vaut :

T3  8346  12141  20487 daN

62

1 4      8346 daN  2 3  20 