Il rumore elettrico: Dalla fisica alla progettazione [1st Edition.] 8847019850, 9788847019850, 9788847019867 [PDF]

Zitiervorschau

Collana di Fisica e Astronomia

A cura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guida Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Giovanni Vittorio Pallottino

Il rumore elettrico Dalla fisica alla progettazione

G IOVANNI V ITTORIO PALLOTTINO Dipartimento di Fisica Universit`a di Roma La Sapienza

Contenuti integrativi al presente volume possono essere consultati su http://extras.springer.com, password 978-88-470-1985-0 UNITEXT ISSN

Collana di Fisica e Astronomia

print edition: 2038-5730

ISBN 978-88-470-1985-0 DOI 10.1007/978-88-1986-7

ISSN

electronic edition: 2038-5765

e-ISBN 978-88-470-1986-7

Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com. Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York c 

Springer-Verlag Italia 2011

Quest’opera e` protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione e` ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art.68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, e-mail [email protected] e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica)rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Configni (RI) Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (www.springer.com)

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1

Introduzione al rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

La caratterizzazione matematica del rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Densit`a di probabilit`a, valor medio e valore efficace . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Le funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Spettri di potenza e spettri di ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3

Il filtraggio del rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Il filtraggio nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 La banda equivalente di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Il tempo d’integrazione equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 20

4

Il rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Introduzione al rumore termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La formula di Johnson. L’origine del rumore termico elettrico . . . . . 4.3 La generalizzazione della formula di Johnson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 28 31

5

Il rumore shot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6

Il rumore 1/ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7

Il rumore di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8

La rappresentazione del rumore nelle reti elettriche . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1 Il rumore nei bipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.2 Il rumore nelle reti a due porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1

vi

Indice

9

Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 Il fattore di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 La temperatura di rumore e il numero di rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 La carica equivalente d’ingresso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 La potenza equivalente di rumore (NEP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 60 63 65

10

Il rumore dei dispositivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Componenti passivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 I diodi a giunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Transistori bipolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Transistori a effetto di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Il rumore negli amplificatori operazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Cenni sul rumore dei DC SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 70 71 74 78 82

11

Generalit`a sulla progettazione a basso rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Introduzione alla progettazione a basso rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le misure del rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Le tecniche di adattamento al rumore (noise matching) . . . . . . . . . . . 11.4 La controreazione e il rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Un esempio di progetto di preamplificatore a basso rumore . . . . . . . .

87 87 90 92 95 97

12

Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 12.1 Segnali costanti (o lentamente variabili) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 12.2 Segnali sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 12.3 Segnali con spettro di forma nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12.4 Segnali con forma d’onda nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 12.5 Alcune tecniche particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5.1 Modulazione del segnale e impiego di un amplificatore lock-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5.2 La tecnica di correlazione a due canali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.5.3 La tecnica delle medie correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.5.4 Il campionamento doppio correlato (correlated double sampling) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

13

Impieghi utili del rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 13.1 La misura di costanti fondamentali e di grandezze fisiche . . . . . . . . . 113 13.2 L’impiego del rumore come segnale casuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 13.3 Il raffreddamento del rumore mediante la controreazione . . . . . . . . . 118 13.4 Il rumore come strumento concettuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A

Richiami sui sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 A.1 Classificazione dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 A.2 I sistemi lineari dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 A.3 Il rumore nei sistemi lineari dinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.4 Il rumore nei sistemi nonlineari statici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Indice

vii

B

I processi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C

Funzioni di autocorrelazione e spettri unilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

D

L’analogia di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Prefazione

Ho molto apprezzato la chiarezza dello stile pedagogico della trattazione, che ritengo conveniente sia per uno studente che affronta per la prima volta lo studio dei fenomeni del rumore sia per chi gi`a dispone di conoscenze al riguardo, ma vorrebbe approfondirle e renderle pi`u sistematiche. In questo senso il presente libro si colloca in una posizione intermedia ben definita fra le trattazioni matematiche riguardanti la teoria del rumore e i libri di natura tecnica contenenti dettagli sul rumore dei dispositivi e dei circuiti elettronici. Considero questo lavoro come un assai valido contributo alla formazione culturale generale di un fisico o di un ingegnere elettronico, anche se non destinato ad operare professionalmente nel settore specifico della strumentazione a basso rumore. Mosca, febbraio 2011

Valentin Nikolaevich Rudenko Istituto Astronomico Sternberg, Universit`a Lomonosov

Premessa

Il rumore e` un argomento considerato generalmente difficile, oscuro e specialistico. Cio`e qualcosa da affrontare affidandolo possibilmente a qualcun altro. Sono certamente disponibili diverse buone trattazioni del rumore, ma che spesso ne affrontano la problematica in termini effettivamente piuttosto specialistici. Lo scopo di questo libretto e` di proporre una trattazione del rumore elettrico auspicabilmente agile perch´e senza eccessivi approfondimenti, ben leggibile e di impiego pratico, coprendo gli aspetti essenziali della matematica e della fisica del rumore e la sua rappresentazione nei circuiti. Ma anche con qualche cenno ai criteri di progettazione a basso rumore e al problema dell’estrazione del segnale dal rumore, senza trascurare l’argomento degli impieghi utili del rumore e circoscrivendo la trattazione alla motivazione fondamentale, riguardante la strumentazione fisica a bassa frequenza. La trattazione e` fortemente didattica: attenta a evitare ambiguit`a, con forti riferimenti al significato fisico delle grandezze in gioco, con numerosi esempi svolti e con parecchi esercizi da svolgere, le soluzioni dei quali sono disponibili on line su http://extras.springer.com (password: 978-88-470-1985-0). Pi`u volte, negli anni passati, avevo avviato un lavoro a questo fine, anche in collaborazione con valentissimi colleghi, senza per`o, per varie evenienze, riuscire a portarlo a compimento. Poi raccolsi del materiale sull’argomento organizzandolo nella forma di un capitolo delle dispense del mio corso di Elettronica alla Sapienza. Che in seguito ho deciso di estendere per farne un libretto, sperando che questa fosse la volta buona. Arrivando cos`ı a questo scritto, che voglio dedicare alla memoria del carissimo collega e amico Franco Bordoni, scomparso prematuramente nel 2002, assieme al quale a suo tempo avviai una di queste imprese. Esprimo infine il mio pi`u vivo ringraziamento sia agli studenti, per i loro stimolanti quesiti e le discussioni nel corso delle mie lezioni sul rumore, sia ai colleghi, Massimo Bassan, Carlo Bernardini, Carlo Cosmelli, Sergio Frasca, Andrej Gusev, Massimo Visco e Valentin Rudenko, le cui osservazioni hanno contribuito grandemente a migliorare il manoscritto. Ferma restando la mia piena responsabilit`a per gli errori e le imprecisioni che fossero sfuggiti, e la mia gratitudine a quanti vorranno darne segnalazione. Roma, gennaio 2011

Giovanni Vittorio Pallottino

1

Introduzione al rumore

Il rumore (noise) viene cos`ı definito nel Dizionario IEEE [1]: “disturbo indesiderato sovrapposto a un segnale utile, che tende a oscurarne il contenuto informativo”. Di questo effetto di “oscuramento”, concetto peraltro assai intuitivo, ci si pu`o rendere conto considerando un campione, cio`e il valore assunto a un dato istante, di un segnale, cui possiamo associare la quantit`a d’informazione H = log2 n, dove n e` il numero dei diversi valori che il campione pu`o assumere1 . E` infatti evidente che sovrapponendo rumore al segnale si crea incertezza: il numero di valori effettivamente distinguibili viene ridotto e con esso la quantit`a d’informazione del segnale. Ci`o spiega l’importanza di tener conto del rumore nei problemi di comunicazione, e in generale di elaborazione dell’informazione. Un problema del tutto analogo sorge nel caso delle misure fisiche, la cui accuratezza trova un limite negli errori di misura, pi`u precisamente negli errori casuali. I quali non sono altro che una manifestazione del rumore, cui contribuiscono anche gli effetti di deriva (drift) nel tempo dovuti alle componenti del rumore a bassissima frequenza. Sicch´e il rumore gioca un ruolo fondamentale nella fisica sperimentale e in tutte le sue applicazioni pratiche. Ma come si “sovrappone” il rumore al segnale? Nella quasi totalit`a dei casi di interesse pratico il rumore si combina linearmente con il segnale (rumore additivo), e quindi vale il principio di sovrapposizione degli effetti (Appendice A). Non mancano per`o casi in cui il rumore interviene attraverso fluttuazioni dei parametri del sistema considerato, che introducono quindi effetti nonlineari di modulazione del segnale e si parla allora di rumore moltiplicativo. Questo si verifica, ad esempio, a proposito dell’evanescenza (fading) nella ricezione dei segnali radio, che e` dovuta a fluttuazioni della costante di propagazione. Tornando alla definizione di rumore data all’inizio, notiamo che essa e` assai generale. Fra i segnali indesiderati che si possono sovrapporre ai segnali utili rientrano infatti sia le fluttuazioni spontanee, fra cui il rumore termico, dovute a propriet`a fon1 La formula H = log n, introdotta da Ralph V. L. Hartley nel 1928, rappresenta la quantit` a d’informa2 zione di un singolo campione di un segnale quando gli n valori che esso pu`o assumere hanno tutti la stessa probabilit`a. La generalizzazione al caso di valori non equiprobabili, dovuta a Claude E. Shannon, e` la seguente: H = ∑i pi log2 (1/pi ), dove pi e` la probabilit`a del generico valore.

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

2

1 Introduzione al rumore

damentali della materia, sia i disturbi provenienti dall’ambiente esterno, sia anche i rumori di processo, come il rumore di quantizzazione o le distorsioni, che derivano dall’elaborazione di segnali utili. Per la sua importanza centrale - concettuale e pratica - in elettronica e in tutta la fisica sperimentale, nel seguito ci occuperemo principalmente del rumore dovuto alle fluttuazioni spontanee, che sono riconducibili essenzialmente all’agitazione termica (rumore termico) oppure a flussi casuali di grandezze quantizzate (rumore shot). In quanto dovuto a propriet`a fondamentali della materia, questo rumore e` di origine “interna” ed e` quindi ineliminabile in linea di principio, sebbene possa venire ridotto con opportuni accorgimenti. L’osservazione di questo rumore a livello macroscopico, d’altra parte, costituisce una finestra aperta sul mondo microscopico in quanto derivante da fluttuazioni di grandezze microscopiche. Esso si manifesta nella forma di segnali casuali, il cui andamento nel tempo non e` descrivibile analiticamente ma soltanto in termini statistici e il cui spettro non e` costituito da righe ma e` di tipo continuo, cio`e si estende su regioni di frequenza pi`u o meno vaste. Queste ultime propriet`a distinguono il rumore propriamente detto dai disturbi, cio`e dai segnali indesiderati di origine “esterna”, una categoria vastissima alla quale contribuiscono fenomeni di origine sia naturale sia artificiale: le interferenze radio e radar, la rete elettrica e le sue armoniche, i fenomeni atmosferici, le vibrazioni meccaniche che producono il cosiddetto rumore “microfonico”, il rumore sismico e via dicendo. Questi disturbi, infatti, si possono considerare come eliminabili, almeno in linea di principio, con opportune tecniche di filtraggio o di schermaggio e generalmente il loro spettro non e` di tipo continuo, ma e` costituito da righe. Ma della lotta ai disturbi esterni non ci occuperemo, rimandando alle trattazioni specifiche su tale argomento [F, 2-4]. Nei sistemi telefonici e radiofonici il rumore elettrico si manifesta acusticamente con un caratteristico soffio o fruscio, da cui deriv`o appunto, all’inizio del secolo scorso, la denominazione2 di “rumore”. E fu proprio nei laboratori di ricerca della Bell Telephone, mirando a obiettivi di natura pratica nel campo delle telecomunicazioni, che negli anni ’20 del secolo scorso J.B. Johnson [5] e H. Nyquist [6] svolsero studi essenziali sul rumore elettrico prodotto dalle fluttuazioni termiche (rumore termico). Ricordiamo tuttavia che lo studio delle fluttuazioni di grandezze fisiche non elettriche, basato sugli sviluppi della meccanica statistica, ha preceduto lo studio del rumore elettrico. Si deve infatti a un fondamentale lavoro di A. Einstein del 1905 la spiegazione in termini di agitazione termica del fenomeno del moto browniano che era stato osservato dal botanico Robert Brown nel 1827. Ma ancora ad Einstein si deve il primo calcolo del rumore di un condensatore [7]. Una storia dettagliata degli studi sul rumore fino al 1980 si trova in un lavoro di A. Van der Ziel [8]. Tornando a quanto detto all’inizio, si capisce che, spesso, pi`u del valore del rumore in termini assoluti ha interesse la sua entit`a rispetto al segnale utile, che e` rappresentata dal rapporto segnale/rumore (signal-to-noise ratio), indicato con 2 Ricordiamo altre denominazioni del rumore in altri contesti: “erba” (grass) nei ricevitori radar, per la forma caratteristica con cui il rumore si manifesta sugli schermi indicatori, e “neve” (snow) nei ricevitori per televisione del tipo analogico.

1 Introduzione al rumore

3

Fig. 1.1 Le tre figure rappresentano la somma x(t) di una sinusoide s(t) e di rumore gaussiano a larga banda n(t) per tre diversi valori del rapporto segnale/rumore dato dalla (1.1): 100 in alto a sinistra, 10 in alto a destra, 1 in basso

l’abbreviazione SNR (oppure S/N), un concetto analogo a quello di errore relativo nelle misure fisiche. Di questa grandezza esistono varie definizioni: la pi`u comune e` il rapporto fra il valore quadratico medio del segnale s(t) e quello del rumore n(t) SNR = s2 /n2 .

(1.1)

Il rapporto segnale/rumore pu`o naturalmente essere definito anche come rapporto di ampiezze, cio`e come radice quadrata del precedente. Si noti che, esprimendo queste grandezze in unit`a di decibel3 , il rapporto segnale/rumore assume lo stesso valore numerico considerando sia i rapporti di “energia” che i corrispondenti rapporti di ampiezza (valori efficaci o root mean square (rms) nel caso di segnali a media nulla). Deve essere chiaro che la banda di frequenza di osservazione gioca un ruolo assai importante, perch´e le distribuzioni spettrali del segnale e del rumore sono generalmente assai diverse4 . Sicch´e, modificando la banda, il rapporto SNR definito dalla (1.1) pu`o cambiare a sua volta, anche assai radicalmente. La Fig. 1.2 mostra in particolare come si modifica il segnale rumoroso rappresentato nell’ultima delle figure precedenti (SNR=1) quando la banda viene ridotta sottoponendolo a un filtraggio passabasso (nel caso in figura si ottiene SNR ≈ 14). Quesiti. 1) Cosa succederebbe impiegando un filtraggio passabasso assai pi`u robusto? 2) Si pu`o immaginare una scelta di filtraggio che sia pi`u efficace al fine di migliorare ulteriormente il rapporto SNR? 3 Un rapporto R fra ampiezze si esprime in decibel come 20 log R; un rapporto R2 fra grandezze 10 quadratiche, come 10 log10 R2 . E quindi nei due casi i valori numerici coincidono. 4 Nel caso particolare considerato nelle figure precedenti, lo spettro del segnale sinusoidale e ` concentrato in una riga mentre quello del rumore copre tutta la banda (nel limite della rappresentazione discreta utilizzata).

4

1 Introduzione al rumore

Fig. 1.2 Effetto del filtraggio passabasso sulla somma di una sinusoide e di rumore bianco con SNR = 1, rappresentata nel grafico in basso di Fig. 1.1

Notiamo poi che nel caso di segnali impulsivi, o comunque di natura transitoria, la definizione (1.1) e` scarsamente applicabile. Conviene allora utilizzare una definizione in cui entri in gioco il valor massimo sM del segnale impulsivo: SNR = s2M /n2 .

(1.2)

Concludiamo questa introduzione osservando che, sebbene il rumore, per quanto detto sopra, costituisca normalmente un fattore indesiderato, non mancano tuttavia esempi di suoi impieghi utili [9]. Citiamo fra questi, perch´e di particolare rilievo in fisica, la misura di costanti fondamentali quali la costante di Boltzmann e la carica dell’elettrone, e di determinate grandezze fisiche, in particolare la temperatura. E menzioniamo anche l’impiego del rumore come segnale a larga banda per misurare le risposte caratteristiche di circuiti e sistemi. Di questi argomenti ci occuperemo pi`u diffusamente nel Capitolo 13, notando per`o subito che in questi ambiti le nozioni di “disturbo indesiderato” e “segnale utile”, utilizzate nella definizione del rumore data all’inizio, possono venire ribaltate rispetto all’usuale. E del resto si tratta di nozioni largamente soggettive. Per esempio, una sinusoide a 50 hertz (dovuta alla rete elettrica), che si sovrappone al rumore che rappresenta il “segnale utile” in un termometro a rumore, costituisce evidentemente un “disturbo indesiderato”, che si cercher`a di eliminare o quantomeno di attenuare.

2

La caratterizzazione matematica del rumore1

A differenza dei segnali deterministici usuali, e` evidentemente impossibile descrivere analiticamente l’andamento temporale del rumore, per la sua natura casuale, mediante funzioni del tempo. Il rumore, tuttavia, possiede certamente delle propriet`a statistiche, ed e` su queste che si basa la sua descrizione matematica, utilizzando la teoria dei processi stocastici. Ricordiamo che per processo stocastico (stochastic process) s’intende in generale una famiglia di funzioni del tempo, dette realizzazioni del processo, alle quali sono associate delle distribuzioni di probabilit`a2 . I valori che le realizzazioni del processo assumono a un dato istante di tempo costituiscono poi una variabile casuale (random variable) o variabile aleatoria. Evitando di perdersi nella estrema generalit`a di questa problematica, assumiamo nel seguito, salvo diversa indicazione, che il rumore sia rappresentato da un processo stazionario, cio`e con propriet`a statistiche invarianti rispetto a traslazione temporale, ed ergodico, cio`e tale che tutte le propriet`a del processo, le propriet`a d’insieme, siano ricavabili dall’osservazione di una singola realizzazione. Queste ipotesi sono del resto utilizzate comunemente nello studio del rumore, perch´e ben verificate sperimentalmente nella maggior parte dei casi di interesse. Per esempio, e` un fatto che misurando oggi il rumore di un resistore da 1000 Ω alla temperatura T in una banda B si ottiene lo stesso valore, entro le incertezze di misura, di quello che, nelle stesse condizioni, avremmo misurato la settimana scorsa, o di quello che potremmo misurare nella prossima settimana come pure in qualsiasi altro momento; e in questo senso diciamo che il rumore di un resistore e` un processo stazionario. Ed e` anche un fatto che, misurando per un tempo sufficientemente lungo il rumore di un qualsiasi resistore da 1000 Ω , scelto comunque purch´e fra dispositivi “onesti”3 , avremo tutta l’informazione necessaria a caratterizzare statisticamente in 1

[10-13]. Un esempio semplicissimo di processo stocastico e` quello costituito da due funzioni del tempo, f1 (t) e f2 (t), la prima con probabilit`a P, la seconda con probabilit`a (1 − P). 3 Per “resistore onesto” s’intende qui un dispositivo che segua la legge di Ohm e che alle frequenze d’interesse manifesti un comportamento resistivo dominante rispetto a quello reattivo.

2

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

6

2 La caratterizzazione matematica del rumore

generale il rumore dell’intera famiglia degli infiniti resistori (onesti) da 1000 Ω ; e in questo senso diciamo che il rumore di un resistore e` un processo ergodico. Ora e` certamente vero, come si legge negli appositi trattati, che la caratterizzazione completa di un processo stocastico, nel caso pi`u generale, richiede di conoscere un insieme infinito di funzioni di distribuzione o di densit`a di probabilit`a. Ma se tuttavia, come assai spesso avviene, il rumore e` “gaussiano” allora il processo stocastico x(t) che lo rappresenta e` completamente caratterizzato qualora se ne conosca una funzione statistica del primo ordine4 , per esempio la funzione densit`a di probabilit`a, e una funzione statistica del secondo ordine, per esempio la funzione di autocorrelazione (§2.2). E ci`o semplifica enormemente le cose.

2.1 Densit`a di probabilit`a, valor medio e valore efficace Ricordiamo qui che la funzione densit`a di probabilit`a (probability density function) fx (x;t) descrive come sono distribuiti al tempo t i valori di un processo x(t) (pi`u precisamente i valori assunti dalle sue realizzazioni xi (t)). Tale funzione ha la propriet`a che il suo integrale fra a e b rappresenta la probabilit`a che a quell’istante il processo assuma valori compresi fra a e b (per a ≤ x ≤ b): P (a ≤ x ≤ b;t) =

b

fx (x; t) dx

(2.1)

a

e conseguentemente e` non negativa ( fx (x;t) ≥ 0) e normalizzata all’unit`a ∞ fx (x; t) dx = 1). ( −∞ L’integrale da −∞ a x della funzione densit`a, che rappresenta la probabilit`a che il processo assuma valori minori o uguali a x, prende il nome di funzione di distribuzione o funzione cumulativa: Fx (x; t) =

x

fx (x; t) dx = P(x(t) ≤ x).

(2.1a)

−∞

Si definiscono poi le funzioni densit`a e di distribuzione di ordine superiore al primo, ponendo in relazione i valori assunti dal processo a due o pi`u istanti diversi. Per esempio, la funzione di distribuzione del secondo ordine ha il seguente significato: F (x1 , x2 ; t1 ,t2 ) = P [x(t1 ) ≤ x1 , x(t2 ) ≤ x2 ] . Ma se il processo e` stazionario cade la dipendenza dal tempo per le funzioni statistiche del primo ordine e quindi fx (x;t) = fx (x) per qualsiasi t. Se poi il processo e` anche ergodico la funzione densit`a fx (x) pu`o essere ottenuta osservandone una 4 Per ordine di una funzione statistica s’intende il numero di diversi istanti di tempo ai quali e ` necessario considerare il processo per poterla calcolare.

2.1 Densit`a di probabilit`a, valor medio e valore efficace

7

realizzazione, idealmente su tempo infinito; in pratica istogrammandone i valori su un opportuno tempo di osservazione. Dalla funzione densit`a di un processo stocastico stazionario x(t) si ricavano come segue il valor medio +∞

x fx (x) dx

η = E [x] =

(2.2)

−∞

e la varianza



σ = E (x − η) 2

2



+∞

(x − η)2 fx (x) dx

=

(2.3)

−∞

del processo, dove E[.] e` l’operatore di aspettazione, che realizza appunto medie sull’insieme delle realizzazioni. La radice quadrata σ della varianza, chiamata deviazione standard, rappresenta la dispersione dei valori del processo attorno al valor medio. Le stesse grandezze η e σ , quando il processo e` anche ergodico, si possono ottenere eseguendo medie temporali su una qualsiasi realizzazione xi (t) del processo: 1 η = lim T →∞ 2T 1 T →∞ 2T

σ 2 = lim

+T

xi (t) dt

(2.2a)

(xi (t) − η)2 dt

(2.3a)

−T

+T −T

e questo e` il procedimento usato normalmente in pratica per la determinazione sperimentale di η e σ . Con risultati esatti soltanto operando, idealmente, su tempo infinito; con un residuo di fluttuazione statistica operando su un tempo finito, in tal caso ottenendo comunque stime delle grandezze η e σ . Il valore quadratico medio del processo, a volte chiamato “potenza”5 , si ricava dalla (2.3) esprimendolo come segue in termini di η e σ : x2 = E[x2 ] = η 2 + σ 2 .

(2.4)

Il valore quadratico medio del processo e` dato pertanto dalla somma del quadrato del valor medio (potenza in continua) e di quello della deviazione standard (potenza in alternata, pi`u precisamente potenza della componente variabile). Qui notiamo che il rumore e` generalmente rappresentato da processi a valor medio nullo, nel qual caso i termini varianza e valore quadratico medio possono essere usati indifferentemente perch´e tali grandezze coincidono. E allora la deviazione standard coincide con il valore efficace o root mean square (rms). 5 Si tratta effettivamente di potenza (con le dimensioni che tornano) quando il processo rappresenta una tensione ai capi di un resistore di valore unitario, oppure rappresenta una corrente che scorre in un resistore unitario.

8

2 La caratterizzazione matematica del rumore

Fig. 2.1 Andamento nel tempo e densit`a di probabilit`a di rumore gaussiano con valor medio nullo e varianza unitaria

Notiamo anche che quando si considera la somma di due processi casuali statisticamente indipendenti i valori istantanei si sommano, come e` ovvio, linearmente, ma i valori efficaci si sommano invece quadraticamente. Ci`o non significa soltanto che 2 + 2 non fa 4, ma anche che il contributo pi`u debole pu`o essere spesso trascurato. Sommando infatti due processi indipendenti x(t) e  y(t), rispettivamente con devia

zioni standard σx e σy , si ha σ = σx2 + σy2 = σx 1 + σy2 /σx2 ≈ σx se σx  σy . Per esempio, se il rapporto fra le due deviazioni standard vale 10, l’errore relativo che si commette trascurando il contributo pi`u debole e` dell’1%; se il rapporto vale 3, l’errore relativo e` del 5%. Tali approssimazioni possono risultare ben accettabili a fronte dell’incertezza sui valori delle grandezze in gioco, come avviene spesso nei calcoli riguardanti il rumore. Nel caso di un processo gaussiano (o normale) la densit`a di probabilit`a e` :   1 − (x − η)2 . (2.5) fx (x) = √ exp 2σ 2 σ 2π Una caratteristica importantissima di questa distribuzione e` la presenza di “code” con probabilit`a vivacemente decrescenti man mano che ci si allontana dal valor medio, ma mai nulle, come suggerisce la (2.5) e come mostra la Tabella 2.1. Tabella 2.1 Probabilit`a delle “code” di una distribuzione gaussiana con valor medio nullo k P(|x| ≥ kσ ) k P(|x| ≥ kσ )

1 0.317 5 5.73 · 10−7

2 0.0455 6 1.97 · 10−9

3 2.70 · 10−3 7 2.56 · 10−12

4 6.33 · 10−5 8 1.33 · 10−15

Ma perch´e, fra le numerosissime distribuzioni possibili, abbiamo menzionato proprio quella gaussiana? Il fatto e` che nella gran maggioranza dei casi il rumore segue proprio questa legge, in quanto dovuto alla somma di un numero straordinariamente

2.1 Densit`a di probabilit`a, valor medio e valore efficace

9

grande di contributi elementari. Il teorema del limite centrale stabilisce appunto che una variabile causale costituita dalla combinazione lineare di un gran numero di variabili casuali comunque distribuite, sotto condizioni usualmente ben verificate, ha distribuzione asintoticamente gaussiana con valor medio somma dei valori medi e varianza somma delle varianze, cio`e: η = ∑i ηi

;

σ 2 = ∑i σi2 .

Condizione essenziale perch´e le varianze si sommino e` , naturalmente, che i diversi contributi siano fra loro indipendenti. Condizione essenziale perch´e la distribuzione finale sia normale e` che nessun contributo sia dominante, altrimenti esso imporrebbe alla somma la sua particolare distribuzione. Il teorema del limite centrale si dimostra tenendo presente che la densit`a di probabilit`a della somma z di due variabili casuali indipendenti x e y e` data dalla convoluzione delle densit`a delle due variabili: fz (z) =

 ∞ −∞

fx (x) fy (z − x) dx.

(2.6)

Esempio 2.1 Calcoliamo la densit`a di probabilit`a della somma di due variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme fra 0 e 1, determinandone valor medio e varianza. Chiamiamo x e y le due variabili casuali, la cui densit`a di probabilit`a e` : fx (x) = u(x) − u(x − 1) 6 e fy (x) = u(y) − u(y − 1). Da questa si  ricavano il loro valor medio η applicando la (2.2): η = 01 x dx = 0.5, e la varian 1 za σ 2 applicando la (2.3): σ 2 = 01 (x − 0.5)2 dx = 12 = 0, 0833... Il valor medio e la varianza della somma delle due variabili z = x + y valgono quindi ηz = 1 e σz2 = 1/6 = 0,166 . . . Per ricavare la densit`a di probabilit`a fz (z) della somma useremo tre metodi diversi, rendendoci conto preliminarmente che la somma di due numeri compresi fra 0 e 1 e` necessariamente compresa fra 0 e 2 e quindi la densit`a della somma sar`a nulla al di fuori di questo intervallo. Un metodo intuitivo, applicabile peraltro solo in casi semplici come quello in esame, si basa sul fatto che il valore pi`u probabile della somma e` evidentemente 1, mentre i valori meno probabili sono 0 e 2 (che si verificano soltanto quando entrambe le variabili valgono 0 oppure 1). L’andamento e` poi linearmente crescente fra 0 e 1, decrescente fra 1 e 2, cio`e complessivamente triangolare (analogamente a quanto avviene nel discreto quando si lanciano due dadi e si considera la somma dei risultati). La condizione di normalizzazione, infine, impone che l’area del triangolo sia unitaria: essendo 2 la base, l’altezza deve essere 1, cio`e f (1) = 1. E quindi si ottiene quanto mostrato nella parte in basso della Fig. 2.2. Il secondo metodo utilizza il teorema secondo cui la trasformata di Fourier della convoluzione fra due funzioni e` data dal prodotto delle trasformate delle due funzioni. E qui utilizziamo la trasformata di Laplace data la natura delle funzioni in gioco. 6 Con la notazione u(·) indichiamo la funzione gradino unitario (step function), che e ` nulla per argomento negativo, altrimenti unitaria.

10

2 La caratterizzazione matematica del rumore

Fig. 2.2 Densit`a di probabilit`a di una variabile casuale con distribuzione uniforme fra 0 e 1 (in alto), e della somma di due variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme fra 0 e1 (in basso)

Ora dato che la trasformata di fx (x) = fy (y) e` F(s) = (1 − exp(−s))/s, il problema si riduce al calcolo dell’antitrasformata di (F(s))2 . Questa, espressa in termini della variabile z che rappresenta la somma delle due variabili casuali, e` : fz (z) = u(z)z − 2u(z − 1)z + 2u(z − 1) + u(z − 2)z − 2u(z − 2). Il terzo metodo consiste nell’impiego diretto dell’integrale di convoluzione, cosa che richiede attenzione anche in casi semplici come questo. Posto fx (x) = u(x) − −u(x − 1) e fy (y) = u(y) − u(y − 1), si ha: fy (z − x) = u(z − x) − u(z − x − 1). Sostituendo nella (2.6), si trova che il primo fattore dell’integrando (la funzione fx (x)) e` una costante unitaria fra 0 e 1 ed e` nulla altrove, sicch´e la si elimina fissando nel  contempo a 0 e 1 i limiti d’integrazione: fz (z) = 01 [u(z − x) − u(z − x − 1)] dx. Distinguiamo ora i due casi per cui z e` minore oppure maggiore dell’unit`a: nel primo (z1) il risultato e` 2-z. E quindi per la densit`a fz (z) vale l’espressione di sopra, trovata con il secondo metodo. Esercizio 2.1 Calcolare la densit`a di probabilit`a della somma di tre variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme fra 0 e 1, valutandone valor medio e varianza.

Esercizio 2.2 Esaminare la densit`a della somma delle tre variabili ottenuta nell’esercizio precedente e discuterne le differenze essenziali, se ve ne sono, rispetto a una densit`a normale avente lo stesso valor medio e la stessa varianza.

2.2 Le funzioni di correlazione

11

2.2 Le funzioni di correlazione La funzione di autocorrelazione (autocorrelation function) di un processo stocastico x(t) e` definita in generale come Rxx (t1 ,t2 ) = E[x(t1 )x(t2 )]

(2.7)

dove E[.] e` l’operatore di aspettazione, rappresentando cos`ı la relazione statistica, pi`u precisamente la correlazione, fra i valori assunti dal processo ai due istanti di tempo t1 e t2 7 . Qui la stazionariet`a del processo si traduce nel ridurre la dipendenza dai tempi alla differenza fra i due istanti, il ritardo (lag): τ = t1 − t2 ; mentre l’ergodicit`a permette di passare da medie sull’insieme delle realizzazioni del processo a medie temporali su una singola realizzazione. E quindi per un processo stazionario ed ergodico la funzione di autocorrelazione pu`o essere scritta nella forma seguente: 1 T →∞ 2T

Rxx (τ) = E[x (t + τ) x (t)] = lim

 T −T

x (t + τ)x (t) dt.

(2.8)

L’autocorrelazione viene talvolta anche espressa in forma normalizzata (nell’intervallo −1, 1), dividendola per il suo valore a ritardo zero: ρxx (τ) = Rxx (τ)/Rxx (0). La funzione di autocorrelazione, come mostra la (2.8), rappresenta la correlazione fra due campioni di una qualsiasi realizzazione del processo, presi comunque sull’asse dei tempi purch´e a distanza τ fra loro. Che si pu`o interpretare come il grado di prevedibilit`a del valore che la realizzazione assume al tempo t + τ (o t − τ) quando se ne conosca il valore assunto al tempo t. Fra le propriet`a notevoli, osserviamo che l’autocorrelazione e` una funzione pari essendo Rxx (τ) = Rxx (−τ), come si deduce dalla (2.8). Notiamo anche che l’autocorrelazione di un processo casuale ha evidentemente sempre il massimo8 per ritardo zero (τ = 0), dove viene a coincidere con il valore quadratico medio espresso dalla (2.4), con la varianza nel caso di un processo a media nulla: Rxx (0) = E[x2 ]. Un processo stocastico e` totalmente prevedibile quando l’autocorrelazione e` una costante, indipendente da τ: in tal caso il processo deve a sua volta presentare valore costante nel tempo (e qui l’attributo stocastico appare quantomeno forzato). La massima imprevedibilit`a si ha invece quando l’autocorrelazione e` rappresentata da una delta di Dirac nell’origine, con Rxx (τ) = Aδ (τ)

(2.9)

dove la costante A dipende dallo spettro del processo (§2.3).

7 Si definisce autocovarianza la funzione C (t ,t ) = E[(x(t ) − η(t ))(x(t ) − η(t ))], che nel caso di xx 1 2 1 1 2 2 un processo a media nulla coincide con l’autocorrelazione. E` per questo che nella letteratura riguardante il rumore le due denominazioni (autocovarianza e autocorrelazione) sono spesso usate indifferentemente. 8 Diverso e ` il caso dei segnali deterministici periodici con periodo T, per i quali si ha evidentemente Rxx (kT ) = Rxx (0) per qualsiasi k intero.

12

2 La caratterizzazione matematica del rumore

In tal caso la conoscenza del valore del processo a un dato istante non consente alcuna previsione sui valori assunti agli altri istanti perch´e l’autocorrelazione e` nulla per qualsiasi τ = 0. Un esempio di caso intermedio e` dato da un processo con autocorrelazione esponenziale Rxx (τ) = Rxx (0) exp(−α|τ|) (2.10) dove 1/α, che ha le dimensioni fisiche di un tempo, ha il significato di “tempo di memoria” o di “tempo di correlazione” del processo. Vedremo fra breve che un processo siffatto si pu`o interpretare come il risultato del filtraggio di un processo totalmente imprevedibile attraverso un sistema del primo ordine (per esempio un filtro RC) con pulsazione di taglio α, la cui costante di tempo 1/α determina il valore del tempo di memoria del processo cos`ı filtrato. Nelle misure fisiche ha spesso importanza determinare la variazione di un segnale in un dato intervallo di tempo Δt, in presenza della variazione del rumore nello stesso intervallo. Quest’ultima grandezza, come e` intuitivo, dipende assai fortemente dal grado di prevedibilit`a del processo x(t) che rappresenta il rumore: il valore quadratico medio della variazione del rumore si ottiene utilizzando la definizione (2.8) e ponendo τ = Δt   2 E[xΔt ] = E (x(t + Δt) − x(t))2 = 2 (Rxx (0) − Rxx (Δt)) . (2.11) Questo si annulla per un processo totalmente prevedibile, e` pari al doppio della varianza per un processo totalmente imprevedibile, mentre per un processo con autocorrelazione esponenziale a media nulla, cio`e con Rxx (0) = σx2 , dalla (2.10) e dalla (2.11) si ha 2 ] = 2σx2 (1 − exp(−αΔt)) ≈ 2σx2 αΔt (2.12) E[xΔt dove l’approssimazione vale per Δt 1/α. Le propriet`a di correlazione fra due processi stocastici x(t) e y(t) sono descritte dalle funzioni di correlazione incrociata (crosscorrelation functions), cos`ı definite nel caso di processi stazionari ed ergodici: 1 T →∞ 2T

Rxy (τ) = E[x (t + τ) y (t)] = lim

1 T →∞ 2T

Ryx (τ) = E[y (t + τ) x (t)] = lim

 T −T

 T −T

x (t + τ)y (t) d y (t + τ)x (t) dt.

(2.13)

(2.13a)

Utilizzando tali espressioni si trova l’uguaglianza Rxy (τ) = Ryx (−τ) sicch´e conoscendo una delle due funzioni di correlazione incrociata anche l’altra e` determinata. Notiamo inoltre che, a differenza delle autocorrelazioni, le correlazioni incrociate non sono funzioni pari. Quando i processi sono indipendenti, essi sono anche scorrelati e in tal caso la correlazione incrociata si riduce al prodotto dei

2.3 Spettri di potenza e spettri di ampiezza

13

valori medi: Rxy (τ) = ηx ηy . Quando poi la correlazione incrociata di due processi si annulla per qualsiasi τ i processi si dicono ortogonali. Normalizzando come segue la funzione di correlazione incrociata fra le variazioni di due processi (cio`e la loro funzione di covarianza7 incrociata), dalla (2.13) per τ = 0 si ottiene il cosiddetto coefficiente di correlazione9 (in realt`a di covarianza) fra i due processi E [(x(t) − ηx ) (y(t) − ηy )] . (2.14) cxy = σx σy Consideriamo ora la combinazione lineare di due processi stocastici: z(t) = ax(t) + by(t). L’autocorrelazione di tale processo e` in generale Rzz (τ) = a2 Rxx (τ) + abRxy (τ) + abRyx (τ) + b2 Ryy (τ)

(2.15)

dove i termini incrociati si riducono al contributo dei valori medi se i processi sono indipendenti e si annullano se i processi sono ortogonali. Il calcolo dell’autocorrelazione del prodotto di due processi, w(t) = x(t)y(t), richiede in generale di conoscere funzioni statistiche di ordine superiore. Quando per`o i due processi sono indipendenti si ha Rww (τ) = Rxx (τ) Ryy (τ)

(2.16)

grazie all’uguaglianza E[x(t + τ)y(t + τ)x(t)y(t)] = E[x(t + τ)x(t)] E[y(t + τ)y(t)].

2.3 Spettri di potenza e spettri di ampiezza Di grandissima importanza, concettuale e pratica, e` la caratterizzazione del rumore in termini delle sue propriet`a spettrali, cio`e con riferimento alla distribuzione della sua energia alle diverse frequenze. Questa distribuzione e` rappresentata dallo spettro di potenza10 o densit`a spettrale (power spectrum, power spectral density o PSD) del processo stocastico che rappresenta il rumore. Si pu`o immaginare di ottenere questa funzione, in forma approssimata, applicando il rumore all’ingresso di un filtro passabanda ideale con banda passante unitaria e frequenza centrale variabile, misurando il valore efficace all’uscita del filtro in funzione della frequenza e calcolandone il quadrato. A questo stesso risultato si perviene oggi assai pi`u efficacemente utilizzando un analizzatore di spettro (spectrum analyzer) o analizzatore di Fourier. Tale strumento opera infatti contemporaneamente a una molteplicit`a di 9 Dato che il coefficiente di correlazione e ` usato spesso nell’analisi dei dati e` opportuno ricordare come tale grandezza rappresenti semplicemente il grado di similarit`a delle variazioni nel tempo di due processi. Senza tuttavia in alcun modo implicare relazioni causali di dipendenza dell’uno dall’altro. Un esempio di possibile fraintendimento a tale proposito riguarda l’interpretazione della fortissima correlazione fra la diffusione dei calcolatori personali e quella dell’AIDS (R. Vacca, Anche tu matematico, Garzanti, 1989). 10 La descrizione spettrale del rumore non utilizza la trasformata di Fourier per il semplice motivo che tale operazione non e` definita per i processi casuali, che non sono rappresentabili analiticamente nel dominio del tempo.

14

2 La caratterizzazione matematica del rumore

frequenze discrete, fornendo quindi direttamente una rappresentazione dello spettro (di necessit`a approssimata a causa della anzidetta discretizzazione e del tempo finito di osservazione) in funzione della frequenza nella regione di frequenza prescelta per l’analisi. B (ω), di un processo In termini formali lo spettro di potenza, indicato qui con Sxx x(t) e` definito come trasformata di Fourier della sua autocorrelazione Rxx (τ): B (ω) = Sxx

 ∞ −∞

Rxx (τ) exp (− jωτ) dτ

(2.17)

E conseguentemente l’autocorrelazione pu`o essere espressa come antitrasformata dello spettro:  1 ∞ B Rxx (τ) = S (ω) exp ( jωτ) dω. (2.18) 2π −∞ xx Le relazioni precedenti, dette di Wiener-Khintchin, mostrano che le due rappresentazioni, spettro di potenza e autocorrelazione, sono formalmente equivalenti nel senso che quando se ne conosce una anche l’altra e` determinata. Dato che l’autocorrelazione e` una funzione reale pari del suo argomento τ, lo spettro di potenza e` reale e a sua volta pari nel suo argomento ω: esso ha dunque lo stesso valore a ω e a -ω, per qualsiasi ω fra −∞ e +∞. In particolare, ponendo τ = 0 nella (2.18) si ottiene l’autocorrelazione a ritardo zero, cio`e il valore quadratico medio o “potenza media” del processo  1 ∞ B S (ω)dω = E[x2 ] (2.19) Rxx (0) = 2π −∞ xx mostrando cos`ı che l’area totale sottesa dal grafico dello spettro e` sempre non negativa. Ma lo spettro stesso e` non negativo per qualsiasi valore di ω. Ci`o si dimostra per assurdo immaginando di utilizzare un filtro che estraesse le componenti dello spettro alle frequenze dove fosse S(ω) < 0. Lo spettro costante di un processo stocastico totalmente imprevedibile, rappresentato nella parte in alto della Fig. 2.3 viene usualmente chiamato spettro bianco ricorrendo a un’analogia, corretta solo qualitativamente, con la luce bianca. E qui notiamo che il concetto di rumore bianco, in particolare senza limiti ad alta frequenza, ha senso solo idealmente, dato che ad esso corrisponderebbe, in base alla (2.19), valore quadratico medio complessivo infinito. Ma spesso si dice che un rumore e` bianco in un dato intervallo di frequenze se ivi il suo spettro e` costante. Allo stesso modo si parla anche di spettri rosa, violetti o di altri colori, a seconda della forma del loro andamento in funzione della frequenza. Lo spettro di potenza, che nelle formule precedenti abbiamo indicato con SB (ω), per come lo abbiamo definito si estende da −∞ a +∞, cio`e per frequenze sia positive sia negative. Si tratta dunque di uno spettro bilatero), che sappiamo assume gli stessi valori per ω e −ω. Sicch´e la parte dello spettro relativa alla frequenze negative non fornisce informazione addizionale rispetto al resto. Nel seguito, come del resto si fa usualmente, considereremo invece quasi sempre spettri di potenza unilateri (one-sided spectra), cio`e definiti soltanto per frequenze

2.3 Spettri di potenza e spettri di ampiezza

15

Fig. 2.3 Autocorrelazione e spettro di potenza bilatero di tre esempi di processi stocastici. Gli spettri unilateri usati pi`u spesso sono nulli per frequenze negative e hanno valore doppio per frequenze positive

non negative. E allora le relazioni di Wiener-Khintchin assumono la forma seguente: Sxx (ω) = 2 u (ω) Rxx (τ) =

1 2π

 ∞ −∞

 ∞ 0

Rxx (τ) exp (− jωτ) dτ

Sxx (ω) exp ( jωτ) dω

(2.20) (2.21)

dove Sxx (ω) e` uno spettro unilatero e u(·) indica la funzione gradino unitario (che e` nulla per argomento negativo, altrimenti unitaria). Per quanto detto sopra, il valore quadratico medio di un processo x(t) in una banda di frequenza Δ f , che in questo caso coincide con la varianza, si ottiene come segue dalla (2.21):  E[xΔ2 f ] =

Sxx ( f ) d f = Sxx Δ f

(2.22)

Δf

dove l’ultima uguaglianza vale solo se lo spettro e` costante in Δ f con valore Sxx . Bilateri o unilateri che siano, l’unit`a di misura degli spettri di potenza di una data grandezza fisica, espressi in funzione della frequenza f , e` quella della grandezza elevata al quadrato e divisa per hertz. Perci`o lo spettro di potenza di una tensione si misura in V2 /Hz, quello di una corrente in A2 /Hz. E quello di una frequenza?

16

2 La caratterizzazione matematica del rumore

Assai spesso, nella pratica, sono usati gli spettri di ampiezza dei segnali casuali, per esempio nei fogli tecnici dei dispositivi e degli strumenti. Lo spettro di ampiezza e` definito come la radice quadrata dello spettro di potenza unilatero del segnale. Ne consegue che lo spettro di√ ampiezza di una tensione, che indichiamo con Vn ( f ) = √ √ Svv ( f ), si misura in V/ Hz; quello di una corrente in A/ Hz. Per calcolare il valore efficace in una banda Δ f utilizzando uno spettro di ampiezza (supposto costante nella banda, con valore Vn (Δ f )) si deve, in base alla (2.22), moltiplicarne il valore per la radice quadrata della banda: √ Vne f f = Vn (Δ f ) Δ f (2.23) √ dove Vne f f e` misurato in volt, Vn (Δ f ) in V/ Hz e Δ f in hertz. Nel caso di due processi stocastici stazionari ed ergodici x(t) e y(t), la descrizione completa delle loro propriet`a spettrali richiede, oltre agli spettri Sxx (ω) e Syy (ω), anche gli spettri incrociati, definiti dalle trasformate di Fourier delle corrispondenti funzioni di correlazione incrociata (2.13), che in generale sono funzioni complesse della frequenza:  ∞

B Sxy (ω) =

B (ω) = Syx

Rxy (τ) exp (− jωτ) dτ

(2.24)

Ryx (τ) exp (− jωτ) dτ.

(2.24a)

−∞

 ∞ −∞

Dal momento che Rxy (τ) = Ryx (−τ), tali funzioni sono legate dalla relazione Sxy (ω) = Syx (−ω)∗ , dove il simbolo ∗ indica l’operazione di coniugazione. Consideriamo infine la combinazione lineare di due processi: z(t) = ax(t) + by(t), la cui autocorrelazione e` data dalla (2.15). Da quanto sopra consegue che lo spettro di potenza del processo z(t) e` : Szz (ω) = a2 Sxx (ω) + 2abRe [Sxy (ω)] + b2 Syy (ω) .

(2.25)

Qui il termine incrociato si annulla per qualsiasi ω se i processi sono ortogonali, cio`e con correlazione incrociata nulla per qualsiasi τ. Notiamo infine che a volte si commette l’errore di assumere S(ω)Δ ω = S( f )Δ f , concludendo pertanto che S(ω) = S( f )/2π. Sicch´e nel caso del rumore termico, per cui S( f ) = 4kT R, si avrebbe S(ω) = 2kT R/π. Ma non e` cos`ı, perch´e, quando lo spettro viene espresso in funzione della frequenza f anzich´e della pulsazione ω, la (2.21), per definizione di antitrasformata di Fourier, va scritta nella forma Rxx (τ) =

 ∞ 0

Sxx ( f ) exp ( j2π f τ) d f

da cui si deduce: S(ω)Δ ω = 2πS( f )Δ f . E quindi l’interpretazione fisica degli spettri S(ω) e S( f ) e` esattamente la stessa: densit`a di energia per unit`a di frequenza (in hertz).

3

Il filtraggio del rumore1

3.1 Il filtraggio nel dominio della frequenza Come si modifica lo spettro di potenza di un segnale stocastico quando viene filtrato? Caratterizziamo il filtro come un sistema lineare e stazionario, con funzione di trasferimento H( jω). In tal caso si dimostra (Appendice A) l’utilissimo teorema Syy (ω) = Sxx (ω) |H( jω)|2

(3.1)

che fornisce l’espressione dello spettro d’uscita in termini di quello d’ingresso e della funzione di trasferimento del sistema. Meno immediato, invece, e` il calcolo dell’autocorrelazione dell’uscita Ryy (τ) di un sistema per una data autocorrelazione d’ingresso Rxx (τ), quando si conosca la funzione di trasferimento o la risposta impulsiva h(t) del sistema. Questa strada, tuttavia, pu`o essere percorsa utilmente nel caso di un sistema nonlineare statico, al quale la (3.1) non e` applicabile, per ricavare con altre considerazioni l’autocorrelazione dell’uscita e poi da questa lo spettro corrispondente [10]. Tornando alla (3.1), se lo spettro d’ingresso Sxx e` costante con la frequenza, il calcolo della varianza all’uscita del sistema (per processi a media nulla) σy2 =

Sxx 2π

 ∞ 0

|H ( jω)|2 dω

(3.2)

Fig. 3.1 Rappresentazione schematica di un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento H( jω) e risposta impulsiva h(t) 1

[10-13].

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

18

3 Il filtraggio del rumore

si riduce a quello dell’integrale del modulo quadro della funzione di trasferimento del filtro. Notando tuttavia che questo integrale converge soltanto per i filtri (passabasso e passabanda) il cui modulo si annulla quando ω tende all’infinito, cio`e con funzioni di trasferimento con numero di poli maggiore di quello degli zeri. Questo calcolo e` immediato per un filtro passabasso del primo ordine, con funzione di trasferimento H( jω) = A/(1 + jω/ωo ), guadagno in continua A e pulsazione di taglio ω0 , eccitato da rumore bianco con spettro Sxx . Dalla (3.2) , ponendo u = ω/ω0 , si ha infatti σy2 = =

Sxx A2 2π

 ∞ 0

S A2 ω0 dω

= xx 2 2 2π 1 + ω /ω0



 ∞ 0

du (1 + u2 )

Sxx A2 ω0 π Sxx A2 ω0 π [arctan (u)]∞ = Sxx A2 f0 = 0 2π 2π 2 2

dove nell’ultimo passaggio abbiamo introdotto la frequenza di taglio del filtro f0 = ω0 /2π. Per funzioni di trasferimento di ordine superiore al primo il calcolo dell’integrale che figura nella (3.2) non e` altrettanto agevole. Ma il compito e` assai facilitato da apposite tabelle [14]. Per esempio, nel caso della funzione H ( jω) =

jω c1 + c0 ( jω)2 d2 + jω d1 + d0

(3.3)

che copre vari casi di interesse pratico, si ha: 1 2π

 ∞ 0

|H ( jω)|2 dω =

c21 d0 + c20 d2 . 4d0 d1 d2

(3.4)

Fig. 3.2 Il prodotto della banda equivalente di rumore BN per il massimo A2 del modulo quadro della funzione di trasferimento (cio`e l’area del rettangolo in figura) e` uguale all’integrale del modulo quadro della funzione fra 0 e ∞

3.2 La banda equivalente di rumore

19

3.2 La banda equivalente di rumore Il calcolo svolto nel paragrafo precedente mostra che la varianza all’uscita di un filtro passabasso del primo ordine eccitato da rumore bianco pu`o essere espressa dal prodotto fra lo spettro d’ingresso Sxx , il quadrato del guadagno in continua A del filtro e una frequenza caratteristica BN , chiamata banda equivalente di rumore del sistema considerato: π σy2 = Sxx A2 f0 = Sxx A2 BN . (3.5) 2 Questa grandezza, nel caso particolare dei filtri del primo ordine, e` π/2 volte maggiore della frequenza di taglio f0 (BN = π f0 /2). Il risultato espresso dalla (3.5) pu`o essere generalizzato al caso di altre funzioni di trasferimento di interesse pratico, caratterizzandole con un valore opportuno della banda equivalente di rumore. Tale cio`e che l’area del rettangolo di altezza pari al massimo del modulo quadro della funzione e larghezza BN sia uguale all’area sottesa dal grafico del modulo quadro della funzione, come mostrato in Fig. 3.2 nel caso di un filtro del primo ordine. Per qualsiasi funzione H( jω) tale da assicurare la convergenza dell’integrale che figura nella (3.2) possiamo infatti scrivere la seguente espressione, analoga alla (3.5) σy2 = Sxx |HM |2 BN

(3.6)

che esprime la varianza all’uscita del sistema in termini del modulo del valore massimo HM della funzione di trasferimento e della banda equivalente di rumore BN del sistema considerato. Quest’ultima si ricava uguagliando la (3.2) e la (3.6): BN =

1

 ∞

2π |HM |2

0

|H ( jω)|2 dω

(3.7)

e si interpreta come banda passante di un filtro ideale rettangolare, con guadagno |HM |, che e` equivalente al sistema considerato in termini di varianza d’uscita per ingresso bianco. Notiamo che il sistema H( jω) pu`o presentare il massimo guadagno in continua oppure a qualsiasi altra frequenza, ma ci`o non interviene nella definizione precedente, che resta comunque valida2 . Nel caso di sistemi passabasso con n poli reali coincidenti, cio`e con funzioni del tipo H( jω) = 1/(1 + jω/ω0 )n , si trova che il rapporto fra la banda equivalente di usuale B, definita dalla frequenza di taglio a −3 dB (in questo rumore BN e la banda  caso data da B = ω2π0 21/n − 1), al crescere di n tende a un valore appena poco maggiore dell’unit`a, come rappresentato nella Tabella 3.1. Dato che la condizione BN /B ≈ 1 al crescere di n si verifica spesso anche nel caso di sistemi con poli distinti, a volte in pratica si approssima la banda di rumore con la banda a −3 dB. Nel caso infine di un filtro risonante passabanda del secondo ordine, caratterizzato da pulsazione di risonanza ω0 e fattore di merito Q, e quindi con banda pas2 In effetti la scelta del valore massimo |H | come riferimento e ` arbitraria. Si pu`o infatti considerare a M tal fine qualsiasi altro valore di guadagno, introducendolo nella (3.7) per calcolare una corrispondente banda di rumore, ma poi evidentemente utilizzandolo nella (3.6) per calcolare la varianza dell’uscita.

20

3 Il filtraggio del rumore

Tabella 3.1 Rapporto BN /B per le funzioni 1/(1 + jω/ω0 )n n 1 2 3 5 10 ∞

BN /B 1.571 1.220 1.155 1.114 1.087 1.064

sante B = f0 /Q, si trova che la banda equivalente di rumore BN , come per i filtri passabasso del primo ordine, e` π/2 volte maggiore di B: BN =

π f0 . 2Q

(3.8)

Esempio 3.1 La banda equivalente di rumore di un sistema passabasso con due costanti di tempo. Consideriamo la funzione H( jω) = 1/(1 + jωτ1 )(1 + jωτ2 ), che riconduciamo alla (3.3) con c0 = 1, c1 = 0, d0 = 1, d1 = (τ1 + τ2 ), d2 = τ1 τ2 . Per tale funzione, utilizzando la (3.7) e tenendo presente che HM = 1, otteniamo: BN = 1/4(τ1 + τ2 ). Esercizio 3.1 Dimostrare che la banda equivalente di rumore BN per la funzione di trasferimento risonante: H( jω) = ( jω/ω0 Q)/(1 + jω/ω0 Q + ( jω)2 /ω02 ) e` data dalla (3.8). Esercizio 3.2 Calcolare la banda equivalente di rumore BN per un filtro con taglio alle basse e alle alte frequenze con funzione di trasferimento H( jω) = jωτ1 /(1 + jωτ1 )(1 + jωτ2 ).

3.3 Il tempo d’integrazione equivalente La grandezza nel dominio del tempo corrispondente a ci`o che la banda equivalente di rumore rappresenta nel dominio della frequenza e` il tempo d’integrazione equivalente di rumore TN . L’interesse per tale grandezza deriva dal fatto che assai spesso, per ridurre il contributo del rumore, si eseguono delle medie nel tempo. Prendiamo come riferimento un filtro ideale a media mobile (moving average, running average) o a finestra mobile, con risposta impulsiva rettangolare, causale (cio`e fisicamente realizzabile), normalizzata (cio`e con area unitaria) e con tempo d’integrazione T : 1 (3.9) h (t) = (u (t) − u (t − T )) T

3.3 Il tempo d’integrazione equivalente

21

dove u(·) rappresenta la funzione gradino unitario. La corrispondente funzione di trasferimento, di tipo trascendente, e` :

sin ωT 2 1 (3.10) (1 − exp (− jωT )) = exp − jωT 2 H ( jω) = jωT ωT 2 con andamento del modulo mostrato in Fig. 3.3 (per T = 1 s). La banda equivalente di rumore di tale funzione, ricavata dalla (3.7) e` : BN =

1 . 2T

(3.11)

In questo caso, uguagliando il tempo d’integrazione effettivo al tempo d’integrazione equivalente (TN = T ), si ottiene la relazione BN TN = 1/2.

(3.12)

In generale, utilizzando la (3.2) e il teorema di Parseval 1 2π

 +∞ −∞

|H( jω)|2 dω =

 ∞ −∞

h2 (t) dt

(3.13)

la varianza del rumore all’uscita di un filtro con spettro bianco Sxx al suo ingresso si pu`o porre nella forma:  Sxx ∞ 2 σy2 = h (t) dt. (3.14) 2 −∞ Nel caso del filtro a media mobile normalizzato (3.9) si ha in particolare σy2 =Sxx 2T ∞ e quindi per lo stesso filtro con area generica A = −∞ h (t) dt σy2 =

Sxx A2 2TN

(3.15)

avendo utilizzato anche qui l’uguaglianza T = TN .

Fig. 3.3 Modulo della funzione di trasferimento (3.10) di un filtro a media mobile con T = 1 s

22

3 Il filtraggio del rumore

Uguagliando la (3.14) e la (3.15) si ottiene la relazione A2 2 −∞ h (t) dt

TN =  ∞

(3.16)

che si pu`o generalizzare al caso di un filtro qualsiasi con risposta impulsiva h(t) con area A. Spesso nel filtraggio del rumore si utilizza un filtro passabasso del primo ordine, con costante di tempo τ, banda B = 1/2πτ e banda equivalente di rumore BN = 1/4τ. Il tempo d’integrazione equivalente di questo filtro, ottenuto dalla (3.12), e` : TN = 2τ.

(3.17)

Ci`o porta a concludere che dal punto di vista del filtraggio del rumore un filtro passabasso con costante di tempo τ equivale a un filtro a media mobile con tempo d’integrazione T = 2τ. I due filtri, tuttavia, offrono prestazioni differenti quando l’obiettivo di ridurre il rumore e` associato all’intento di evidenziare un segnale variabile, al quale il rumore e` sovrapposto. In tal caso, infatti, ha importanza anche la prontezza di risposta del filtro, cio`e il suo tempo di salita. La risposta al gradino di un filtro a media mobile e` una rampa e quindi il tempo di salita (fra il 10% e il 90% del valore finale) e` pari a 0.8 T . La risposta al gradino di un filtro del primo ordine ha invece l’andamento esponenziale (1 − exp(−t/τ))u(t) con tempo di salita 2.2 τ, ossia 1.1 T . Tale filtro e` dunque pi`u lento, e il confronto risulta ancora pi`u svantaggioso se fatto in termini di tempo di assestamento (Appendice A). In generale, si trova che dal punto di vista della velocit`a di risposta, a parit`a di tempo d’integrazione equivalente o di banda di rumore, le prestazioni migliori sono date dal filtro a media mobile (3.9). Esercizio 3.3 Calcolare il tempo d’integrazione equivalente e la banda di rumore equivalente per un filtro con risposta impulsiva a dente di sega h(t) = (2 − 2t)[u(t) − u(t − 1)] e verificare la validit`a della relazione (3.12).

4

Il rumore termico

4.1 Introduzione al rumore termico Il rumore termico (thermal noise) e` dovuto al fenomeno dell’agitazione termica, costituendo la sorgente di rumore pi`u comune, dato che si manifesta in qualsiasi sistema fisico che si trovi a temperatura diversa dallo zero assoluto. Diciamo subito che la distribuzione di ampiezza del rumore termico segue la legge di Gauss, come si comprende facilmente alla luce del teorema del limite centrale dato che questo rumore proviene dalla sovrapposizione di un numero enorme di contributi elementari indipendenti, con valor medio nullo (perch´e se cos`ı non fosse da un resistore si potrebbe estrarre energia in continua, violando il II principio della termodinamica). E diciamo anche che lo spettro di questo rumore, all’origine, e` bianco, sia pure nei limiti che saranno discussi e precisati nel seguito. In particolare il rumore termico elettrico, chiamato anche rumore Johnson, rappresenta la manifestazione a livello macroscopico del moto casuale dei portatori di carica in un conduttore elettrico. Ai terminali di un resistore a circuito aperto, nel quale dunque non scorre corrente, si osserva infatti una tensione vn (t) variabile nel tempo con andamento irregolare1 . Cortocircuitando i terminali del resistore, in assenza dunque di una tensione esterna, si osserva analogamente una corrente di intensit`a in (t) = vn (t)/R, dove R e` la resistenza dell’elemento. Questo effetto fu messo in evidenza sperimentalmente da J. B. Johnson e spiegato teoricamente da H. Nyquist in due lavori paralleli pubblicati nel 1928 [5, 6]. Consideriamo ora la tensione di rumore vn (t) di un resistore a circuito aperto. Il suo valore quadratico medio (quadrato del valore efficace Vne f f , essendo nullo il valor medio) per unit`a di frequenza e` direttamente proporzionale alla temperatura assoluta T a cui si trova il resistore e alla resistenza R del resistore. Pi`u precisamente,

1 Spiegazione intuitiva di ordine zero: la differenza di potenziale agli estremi di un conduttore metallico dipende dalla distribuzione spaziale degli elettroni liberi al suo interno, il cui moto termico casuale pu`o evidentemente provocare “addensamenti” di cariche, di entit`a variabile nel tempo, in corrispondenza dell’uno o dell’altro estremo.

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

24

4 Il rumore termico

come fu trovato sperimentalmente da Johnson2 e interpretato da Nyquist in base a considerazioni termodinamiche, in una banda di osservazione Δ f si ha: 2 Vne f f = 4kT RΔ f

(4.1)

dove k = 1.38 · 10−23 J/K e` la costante di Boltzmann. E quindi lo spettro di potenza (unilatero) del rumore di tensione vn (t) e` dato dall’espressione Svv (ω) = 4kT R.

(4.2)

Corrispondentemente, lo spettro di potenza della corrente di rumore in (t) di un resistore di resistenza R collegato in cortocircuito e` : Sii (ω) = 4kT /R.

(4.3)

In generale, la tensione agli estremi di un resistore di resistenza R percorso da una corrente esterna i(t) e` data dalla somma della caduta ohmica Ri(t) e della tensione di rumore vn (t). Il circuito equivalente del resistore rumoroso si ottiene quindi, come mostrato nella Fig. 4.1, disponendo un generatore di tensione vn (t) in serie al resistore. O anche, grazie al teorema di Norton, disponendo un generatore di corrente in (t) in parallelo al resistore. A tali generatori sono associati, rispettivamente, gli spettri dati dalla (4.2) e dalla (4.3). Una importante conseguenza della (4.2) e` che la potenza di rumore massima che un resistore pu`o erogare a un carico adattato (chiamata potenza disponibile) non dipende dal valore della resistenza ma soltanto dalla temperatura. In una banda Δ f , per qualsiasi valore di R, si ha infatti: Pdisp =

2 Vne ff

4R

= kT Δ f .

(4.4)

In particolare a temperatura ambiente (290 K) nella banda di 1 Hz si ha: Pdisp = 4.00 · 10−21 W. Notiamo qui che il rumore termico di un resistore pu`o certamente venire ridotto raffreddando il resistore, ma l’effetto e` rilevante solo per forti ridu-

Fig. 4.1 Circuiti equivalenti usati per rappresentare il rumore termico di un resistore 2 Johnson dimostr` o in particolare che la (4.1) non dipende n´e dal tipo di resistore (utilizzando resistori realizzati con i pi`u vari materiali) n´e dal valore della frequenza su un esteso intervallo di frequenze.

4.1 Introduzione al rumore termico

25

zioni della temperatura. Per esempio, alla temperatura dell’azoto liquido (78 K a pressione ordinaria), la potenza di rumore diminuisce soltanto del fattore 78/290 = 0.27, cio`e si riduce a circa un quarto di quella a temperatura ambiente. Ben pi`u rilevante, invece, e` la riduzione del rumore, due ordini di grandezza, che si ottiene alla temperatura dell’elio liquido (4.2 K), dove Pdisp = 5.80 · 10−23 W. La formula (4.1) indica che la varianza del rumore termico tende all’infinito al crescere della banda di osservazione, e ad analoga conclusione conduce la (4.2), quando la si utilizza per calcolare l’autocorrelazione a ritardo zero che rappresenta appunto la varianza del processo. Ma chiaramente questa divergenza non ha senso fisico. L’incongruenza si risolve a due livelli. In termini classici, considerando che in parallelo a qualsiasi resistore reale si trova inevitabilmente una capacit`a parassita, che esercita un filtraggio limitando quindi la banda passante. In termini quantistici, tenendo presente che gli stati di energia non sono continui ma quantizzati sicch´e la formula (4.2) non e` esatta, ma costituisce un’approssimazione dell’espressione pi`u generale 1 4hωR hω

Svv (ω) = (4.5) 2π exp 2πkT −1 dove h = 6.63 · 10−34 J/s e` la costante di Planck (la stessa considerazione, naturalmente, riguarda anche la (4.3)). Ma tuttavia la (4.2) costituisce un’ottima approssimazione dell’espressione esatta (4.5) quando sia verificata la condizione h f kT

(4.6)

cio`e per T / f  h/k ∼ 5 · 10−11 K/Hz, ossia per frequenze non troppo alte e temperature non troppo basse, come d’altronde si verifica nella maggior parte dei casi

√ √ Fig. 4.2 Spettri di ampiezza del rumore termico (in unit`a di V/ Hz e A/ Hz) a temperatura ambiente (T= 290 K) in funzione della resistenza

26

4 Il rumore termico

d’interesse pratico. A temperatura ambiente, in particolare, e` perfettamente ragionevole utilizzare la (4.2) fino a frequenze di 1012 Hz; ma con oggetti raffreddati a 0.1 K la correzione quantistica e` gi`a necessaria a 1 GHz. La Tabella 4.1 rappresenta il rumore termico, a temperatura ambiente e alla temperatura di ebollizione dell’elio a pressione ordinaria, espresso nelle unit`a usate comunemente, per alcuni valori di resistenza. Il valore efficace del rumore in una banda Δ f si ottiene, come gi`a detto, moltiplicando il valore dello spettro d’ampiezza per la radice quadrata della banda. Pu`o essere utile ricordare che il rumore √ di tensione di un resistore da 1 kΩ a temperatura ambiente (290 K) e` di 4.00 nV / Hz. E allora √ il rumore di un√resistore R, esprimendone la resistenza in unit`a di kΩ , e` Vn = 4 R in unit`a di nV / Hz. Esempio 4.1 Il rumore di due resistori disposti in serie. Vogliamo calcolare il rumore termico a circuito aperto di due resistori R1 e R2 disposti in serie. Rappresentiamo il rumore degli elementi con un generatore di tensione (vn1 (t) e vn2 (t)) in serie a ciascuno di essi. La tensione di rumore totale e` dunque: vn (t) = vn1 (t) + vn2 (t). Per ottenere il valore quadratico medio della tensione di rumore totale, i due contributi, trattandosi di segnali indipendenti, vanno sommati in energia cio`e qua2 2 2 draticamente. Si ottiene cos`ı: Vn e f f = Vn1 e f f +Vn2 e f f . Sostituendo nella precedente le espressioni del valore quadratico medio del rumore dei due resistori date dalla (4.1), si ricava: 2

Vn e f f = 4kT1 R1 Δ f + 4kT2 R2 Δ f = 4kΔ f (T1 R1 + T2 R2 ) . Questa, quando i due resistori si trovano a una stessa temperatura T, si riduce al2 l’espressione Vn e f f = 4kT (R1 + R2 ) Δ f , che si sarebbe potuta ottenere immediatamente considerando l’insieme dei due resistori come un unico resistore di resistenza R1 + R2 . A questi stessi risultati, naturalmente, si pu`o arrivare utilizzando nei calcoli gli spettri di potenza dati dalla (4.2). Esempio 4.2 Il rumore di due resistori disposti in parallelo. Vogliamo calcolare il rumore termico a circuito aperto di due resistori R1 e R2 disposti in parallelo.

Tabella 4.1 Spettri di ampiezza del rumore termico Resistenza T = 290 K T = 4.2 K Resistenza T = 290 K T = 4.2 K

√ Spettro di ampiezza della tensione di rumore termico in unit`a di nV/ Hz 1Ω 10 Ω 100 Ω 1 kΩ 10 kΩ 100 kΩ 0.127 0.400 1.27 4.00 12.7 40.0 0.015 0.0482 0.152 0.482 1.52 4.82 √ Spettro di ampiezza della corrente di rumore termico in unit`a di fA/ Hz 10 MΩ 100 MΩ 1 GΩ 10 GΩ 100 GΩ 1 TΩ 40.0 12.7 4.00 1.27 0.400 0.127 4.82 1.52 0.482 0.152 0.0482 0.0152

4.1 Introduzione al rumore termico

27

Rappresentiamo il rumore degli elementi con un generatore di tensione (vn1 (t) e vn2 (t)) in serie a ciascuno di essi. La tensione di rumore totale fra i terminali del circuito e` dunque: vn (t) = vn1 (t)R2 /(R1 + R2 ) + vn2 (t)R1 /(R1 + R2 ). Per ottenere il valore quadratico medio di questa tensione, i due contributi, trattandosi di segnali indipendenti, vanno sommati in energia cio`e quadraticamente. Si ottiene cos`ı: 2 2 Vn1 e f f R22 +Vn2 e f f R21 2 Vn e f f = . (R1 + R2 )2 Sostituendo nella precedente le espressioni del valore quadratico medio del rumore dei due resistori date dalla (4.1) si ricava:

Δ f 4kT1 R1 R22 + 4kT2 R2 R21 2 R1 R2 (T1 R2 + T2 R1 ) Vn e f f = = 4kΔ f . 2 (R1 + R2 ) (R1 + R2 )2 Questa, quando i due resistori si trovano a una stessa temperatura T, si riduce al2 R2 l’espressione Vn e f f = 4kT Δ f RR11+R che si sarebbe potuta ottenere immediatamente 2 considerando il bipolo costituito dai due resistori come un unico resistore di resistenza R1 //R2 . A questi stessi risultati, naturalmente, si pu`o arrivare utilizzando nei calcoli gli spettri di potenza dati dalla (4.2). Utilizzando i risultati dell’Esempio 4.2 precedente, riguardante il rumore di due resistori in parallelo, si pu`o ricavare la potenza di rumore P12 che il resistore R1 eroga al resistore R2 e la potenza P21 che il resistore R2 eroga al resistore R1 . Essendo Vne f f la tensione efficace del rumore ai terminali dei due resistori in parallelo 2

2

Vn e f f =

2

Vn1 e f f R22 +Vn2 e f f R21 (R1 + R2 )2

(4.7)

le potenze P12 e P21 sono evidentemente 2

P12 =

Vn1 e f f R2

; (R1 + R2 )2

2

P21 =

Vn2 e f f R1 (R1 + R2 )2

(4.8)

Fig. 4.3 Potenze scambiate fra due resistori in parallelo che si trovano a temperature diverse

28

4 Il rumore termico

che possiamo esplicitare, utilizzando la (4.1), nella forma P12 = 4kT1 Δ f

R 1 R2 (R1 + R2 )

2

;

P21 = 4kT2 Δ f

R1 R2 (R1 + R2 )2

.

(4.9)

E allora, se i due resistori si trovano a una stessa temperatura T , queste potenze sono uguali, come deve essere (altrimenti uno di essi si riscalderebbe e l’altro si raffredderebbe, violando cos`ı il II principio della termodinamica). Si noti che nel caso T1 = T2 dalla uguaglianza fra le potenze P21 e P12 date dalla (4.8) deriva la necessit`a che il valore quadratico medio della tensione di rumore (e quindi lo spettro di potenza del rumore termico) di un resistore sia direttamente proporzionale alla sua resistenza. Quando invece i due resistori si trovano a temperature diverse, le potenze scambiate saranno diverse, in modo che il pi`u caldo dei due ceda energia all’altro.

4.2 La formula di Johnson. L’origine del rumore termico elettrico Supponiamo ore di non conoscere la formula di Johnson (4.1) e quanto si ricava da essa. Cosa possiamo dedurre dai risultati esposti al termine del paragrafo precedente? Consideriamo prima il caso di due resistori in parallelo che si trovano alla stessa temperatura (T1 = T2 ) e hanno la stessa resistenza (R1 = R2 ). Il fatto che le potenze scambiate fra essi, date dalla (4.8), debbano essere uguali (P12 = P21 ), altrimenti uno si riscalderebbe raffreddando l’altro, impone l’uguaglianza dei valori quadratici medi del rumore dei due resistori, cio`e che il rumore non dipenda dalla loro natura. Perch´e poi le due potenze scambiate siano uguali anche quando le due resistenze sono diverse (R1 = R2 ) occorre che il valore quadratico medio del rumore di un resistore, come e` stato gi`a rilevato, sia direttamente proporzionale al valore della sua resistenza. Il rumore, d’altra parte, deve dipendere dalla temperatura, perch´e nel caso di resistori a temperature diverse collegati assieme il pi`u caldo possa cedere energia agli altri. Ma non deve dipendere dalla frequenza. Le potenze scambiate fra due resistori posti alla stessa temperatura devono infatti essere uguali in qualsiasi intervallo di frequenza, perch´e se cos`ı non fosse basterebbe inserire fra i due resistori un filtro non dissipativo (alle frequenze dove non fosse verificata l’indipendenza del rumore dalla frequenza) per riscaldarne uno raffreddando l’altro. Si conclude perci`o che l’espressione del rumore termico per unit`a di frequenza, cio`e il suo spettro di potenza, deve essere una funzione universale di R e T , indipendente dalla frequenza: S(R, T ). La formula di Johnson (4.1) e` stata dimostrata in vari modi da vari Autori [A, 15, 16]. La dimostrazione pi`u semplice si ottiene considerando il collegamento in parallelo di un resistore e un condensatore. Rappresentando il resistore con il suo circuito equivalente, si ottiene il circuito in Fig. 4.4, che mostra come la tensione

4.2 La formula di Johnson. L’origine del rumore termico elettrico

29

Fig. 4.4 Il condensatore in parallelo filtra il rumore termico del resistore

vC (t) ai capi del condensatore, il cui spettro S(R, T )3 vogliamo determinare, sia il risultato del filtraggio del rumore vn (t) del resistore da parte del circuito RC. Tale circuito costituisce un filtro del primo ordine, con guadagno massimo unitario (HM = 1) e banda equivalente di rumore BN = π fo /2 = 1/4RC. Il valore quadratico medio della tensione del condensatore in funzione dello spettro S(R, T ) si ricava pertanto come segue dalla (3.6) VC2e f f = S(R, T ) |HM |2 BN =

S(R, T ) . 4RC

(4.10)

Ora secondo il principio di equipartizione della meccanica statistica a ciascun grado di libert`a4 di un sistema fisico in equilibrio termodinamico compete un’energia di fluttuazione media E = 1/2kT . Dato che il nostro sistema ha un solo grado di libert`a, associato al condensatore, si conclude che l’energia media di fluttuazione della tensione del condensatore, come aveva trovato A. Einstein [7], deve essere 1 2 1 CVC e f f = kT. 2 2

(4.11)

Dalla (4.10) e dalla (4.11) si ricava allora che deve essere S(R, T ) = 4kT R, come espresso dalla (4.2). Riportiamo ora la classica dimostrazione di Nyquist, basata anch’essa sul principio di equipartizione, nella quale si considerano due resistori R1 ed R2 della stessa resistenza R, collegati attraverso un linea di trasmissione ideale (non dissipativa e non dispersiva) con impedenza caratteristica Z0 = R. Tale linea ha lunghezza L, velocit`a di propagazione v e tempo di propagazione τ = L/v da un estremo all’altro. Quando il sistema si trova in equilibrio, elettrico e termodinamico, alla temperatura T , la potenza che il primo resistore, attraverso la linea adattata, eroga al secondo deve essere uguale, come sappiamo, a quella che il secondo fornisce al primo. In un intervallo di frequenza Δ f tale potenza, indicando ancora con S(R,T) lo spettro incognito del rumore termico, e` : Δ P12 = Δ P21 = 3

S(R, T )Δ f . 4R

(4.12)

Spettro che supponiamo bianco per quanto detto precedentemente. Il numero di gradi di libert`a di un circuito elettrico e` dato dalla somma del numero dei condensatori e di quello degli induttori, per`o dopo aver semplificato il circuito rappresentando con un solo elemento gli eventuali collegamenti in serie o in parallelo di condensatori o di induttori. 4

30

4 Il rumore termico

E quindi l’energia di rumore media immagazzinata nella linea nella banda Δ f , prodotto della potenza totale (Δ P12 + Δ P21 ) in banda per il tempo di propagazione τ, e` : τS(R, T )Δ f . (4.13) Δ E = τ (Δ P12 + Δ P21 ) = 2R Supponiamo ora di cortocircuitare istantaneamente gli estremi della linea, mantenendovi cos`ı l’energia immagazzinata. La linea costituir`a un sistema risonante, sede di onde stazionarie, con la prima risonanza alla frequenza f0 = v/2L = 1/2τ e le altre ai multipli di f0 . Ne consegue che la differenza di frequenza fra due modi adiacenti e` δ f = v/2L = 1/2τ e che il numero di modi in un intervallo di frequenza Δ f (ammettendo che, per una linea sufficientemente lunga, essi costituiscano un continuo) e` Δ f /Δ f = 2τΔ f . Poich´e a ciascun modo di oscillazione della linea corrispondono due gradi di libert`a, uno riguardante l’immagazzinamento di energia elettrica (nella capacit`a della linea), l’altro di energia magnetica (nell’induttanza della linea), ad esso compete, sempre in base al principio di equipartizione, l’energia media di fluttuazione kT . E quindi l’energia media di fluttuazione statistica immagazzinata nella linea nell’intervallo di frequenza Δ f e` Δ E = 2τΔ f kT.

(4.14)

Imponendo l’uguaglianza fra Δ E e Δ E si ricava infine l’espressione dello spettro S(R, T ) = 4kT R.

(4.15)

Alla formula di Johnson si arriva anche con dimostrazioni di tipo “corpuscolare”, sempre basate sulla meccanica statistica, che fanno riferimento diretto al moto di agitazione termica dei portatori di carica in un conduttore elettrico [15,16]. Tralasciamo di riportarle per motivi di spazio, limitandoci a un modello ultra semplificato. Consideriamo cio`e il moto browniano di una particella in un fluido viscoso come equivalente al moto di un portatore di carica in un conduttore, per ricavare, quando il sistema si trova in equilibrio termodinamico, lo spettro della forza casuale, chiamata forza di Langevin, che agisce su di essa e che in base all’analogia di Maxwell (Appendice D) corrisponde alla tensione di rumore. La particella si muove perch´e continuamente soggetta a urti con le molecole del fluido, che sono statisticamente indipendenti fra loro e che si susseguono a un ritmo che eccede la risoluzione del tempo di misura. Si assume quindi che la forza casuale fn (t) che agisce sulla particella sia gaussiana (per il gran numero di urti casuali indipendenti), abbia spettro di potenza bianco (per l’assenza, in pratica, di memoria nel processo costituito dalle rapidissime collisioni) e abbia valor medio nullo (altrimenti . . . ). Nel caso unidimensionale, l’equazione del moto della particella, che segue la II legge di Newton, si scrive nella forma m

du(t) + β u(t) = fn (t) dt

(4.16)

4.3 La generalizzazione della formula di Johnson

31

dove u(t) e` la velocit`a della particella, m la sua massa e β rappresenta la resistenza del mezzo. Trasformando l’equazione precedente si ottiene la funzione di trasferimento fra forza e velocit`a H( jω) =

U( jω) 1 1 = F( jω) β 1 + jωm β

(4.17)

con guadagno massimo HM = 1/β e banda equivalente di rumore BN = β /4m. Utilizzando la (3.6) per calcolare la varianza, cio`e il valore quadratico medio, della velocit`a, si ottiene: 1 . (4.18) σu2 = S f f 4mβ Ma il valore di tale grandezza e` imposto dal principio di equipartizione dell’energia. Per il grado di libert`a corrispondente al moto considerato deve essere infatti kT mσu2 = . 2 2

(4.19)

Uguagliando le due relazioni precedenti si ricava quindi lo spettro della forza stocastica S f f = 4kT β (4.20) la cui espressione corrisponde esattamente a quello dello spettro della tensione di rumore termico. Tale risultato evidenzia un punto essenziale su cui torneremo a breve. Cio`e lo stretto legame fra fluttuazioni e dissipazione, indicato dalla presenza del termine di attrito, che secondo l’analogia elettromeccanica di Maxwell (Appendice D) corrisponde a una resistenza elettrica, nello spettro di eccitazione della particella.

4.3 La generalizzazione della formula di Johnson Tornando a considerare il circuito RC parallelo, cerchiamo una relazione fra lo spettro del rumore di tensione Svv (ω) ai suoi terminali e la sua impedenza. Lo spettro si ottiene dal teorema (3.1): Svv (ω) =

4kT R . 1 + ω 2 R2C2

(4.21)

L’impedenza del circuito e` Z( jω) = R/(1 + jωRC), con parte reale Re[Z( jω)] =

R . 1 + ω 2 R2C2

Il fatto che lo spettro del rumore corrisponda al prodotto di 4kT per la parte reale dell’impedenza non e` una coincidenza, ma una conseguenza di un teorema, dovuto a Nyquist, che attribuisce la manifestazione del rumore alla parte reale dell’impedenza

32

4 Il rumore termico

(che ne rappresenta le dissipazioni). Tale teorema, pi`u precisamente, stabilisce che lo spettro del rumore di tensione ai terminali di un circuito passivo che si trova in equilibrio termodinamico alla temperatura T e` dato in generale dall’espressione Svv (ω) = 4kT Re[Z( jω)].

(4.22)

Per lo spettro di potenza della corrente di rumore in cortocircuito si ha analogamente: Sii (ω) = 4kT Re[Y ( jω)]. (4.23) Precisiamo che le relazioni precedenti sono valide per un bipolo (o una porta di una rete elettrica) qualsiasi purch´e “strettamente passivo”, cio`e costituito esclusivamente da elementi passivi (R, L e C, induttori accoppiati e trasformatori), e soltanto se gli elementi dissipativi si trovano tutti alla stessa temperatura5 . Esempio 4.3 Lo spettro del rumore di un circuito RC parallelo. Sappiamo 2 dalla (4.11) che il valore quadratico medio Vne f f del rumore ai terminali di un circuito RC parallelo non dipende dal valore della resistenza R. Da R dipende per`o, come mostrato nel grafico a fianco, la distribuzione spettrale del rumore, espressa dalla (4.21). Al crescere di R, in particolare, aumenta il valore dello spettro a bassa frequenza, ma si restringe corrispondentemente la regione in cui esso e` approssimativamente costante, perch´e si riduce la banda passante. La funzione di autocorrelazione, che si ottiene antitrasformando lo spettro, segue la legge esponenziale: Rvv (τ) = (kT /C) exp(−|τ|/RC), con costante di decadimento pari alla costante di tempo RC, che qui assume il significato di tempo di correlazione o di memoria. Per

Fig. 4.5 Spettro di potenza del rumore termico ai terminali di un circuito RC parallelo. Al crescere della resistenza aumenta l’intensit`a dello spettro a bassa frequenza mentre si riduce la frequenza di taglio 5

Altrimenti si dovranno considerare separatamente gli elementi dissipativi che costituiscono il bipolo, assegnare a ciascuno di essi un generatore di rumore con spettro appropriato alla sua temperatura, determinare la funzione di trasferimento fra ciascun generatore e i terminali del bipolo, applicare il teorema (3.1) per calcolarne il contributo allo spettro d’uscita e poi sommare i singoli contributi.

4.3 La generalizzazione della formula di Johnson

33

grandi valori di R, il rumore e` fortemente correlato, quindi con andamento pressoch´e costante su un tempo di osservazione piccolo rispetto a RC; per piccoli valori di R, in un tempo di osservazione grande rispetto a RC, il rumore fluttua invece vistosamente, manifestandosi come bianco. Esempio 4.4 Il rumore totale ai capi di un condensatore e di un resistore. Qual e` il rumore di un condensatore, preso isolatamente? A prima vista, trattandosi di un componente reattivo, sembrerebbe che il rumore dovrebbe essere assente. Ma tuttavia non e` cos`ı, perch´e se ammettiamo che il condensatore abbia in parallelo una resistenza di valore estremamente grande (infinito nel caso limite) ricadiamo nel caso dell’Esempio 4.3, e quindi il rumore c’`e, con varianza kT /C, ma evidentemente con un tempo di correlazione elevatissimo (infinito nel caso limite) e quindi con un andamento nel tempo praticamente costante. Ricordiamo d’altra parte che qualsiasi condensatore reale presenta dissipazioni, che sono modellabili con una resistenza in parallelo. E il rumore di un resistore? Anche qui, tenendo conto del’inevitabile presenza di una capacit`a parassita C in parallelo, ricadiamo nel caso del circuito RC parallelo trattato precedentemente. E quindi, come si e` visto, lo spettro del rumore e` dato dalla (4.21) e la varianza del rumore totale e` kT /C, risultando quindi funzione soltanto della temperatura e delle capacit`a parassita, indipendentemente dal valore della resistenza, cosa che appare indubbiamente controintuitiva. Il teorema di Nyquist (4.22) rappresenta una relazione fra il rumore a una porta di un circuito passivo e qualsiasi forma di dissipazione che si manifesti nel circuito. Dissipazioni non dovute soltanto alla presenza di dissipazioni elettriche vere e proprie, cio`e relative a resistori o a perdite di elementi reattivi, ma anche a scambi di energia dovuti a fenomeni elettromagnetici, come nel caso di una resistenza di radiazione (dove la sorgente del rumore e` costituita dalla radiazione di corpo nero dell’ambiente), oppure elettroacustici, come avviene nel caso di un altoparlante (dove la sorgente di rumore viene associata ai moti termici delle molecole dell’aria). La relazione fondamentale che esiste fra rumore termico, dissipazioni e temperatura, non riguarda soltanto i circuiti elettrici. In effetti il teorema di Nyquist e` stato esteso da Callen e Welton, utilizzando i metodi della meccanica statistica, al teorema fluttuazione-dissipazione [17], che si applica a qualsiasi sistema fisico dissipativo in equilibrio termodinamico purch´e lineare e stazionario, cio`e descritto da equazioni lineari a coefficienti costanti, e purch´e passivo. E in tal caso si pu`o definire una “impedenza” che lega l’eccitazione alla risposta. Considerando il generico sistema fisico descritto dall’equazione differenziale del secondo ordine dx(t) d 2 x(t) + γx(t) = f (t) (4.24) +β α dt 2 dt dove f (t) rappresenta la forza generalizzata di eccitazione (forza di Langevin) e x(t) il conseguente spostamento generalizzato, ricaviamo l’impedenza generalizzata Z( jω) fra l’eccitazione e la velocit`a generalizzata u(t) = dx dt . Questa si ottiene,

34

4 Il rumore termico

trasformando la (4.24), nella forma Z( jω) = jωα + β + γ/ jω

(4.25)

Lo spettro della forza generalizzata di rumore si ottiene infine applicando il teorema fluttuazione-dissipazione, cio`e moltiplicando per 4kT la parte reale dell’impedenza generalizzata, che rappresenta le dissipazioni del sistema: S f f (ω) = 4kT Re[Z( jω] = 4kT β .

(4.26)

Ritroviamo cos`ı il risultato espresso dalla (4.20), che era stato ottenuto applicando il principio di equipartizione dell’energia. Esempio 4.5 Il rumore termico di un oscillatore armonico meccanico smorzato. L’oscillatore armonico smorzato meccanico e` governato dall’equazione (4.24) dove α = m rappresenta la massa e γ la costante elastica. Pertanto l’impedenza meccanica e` : ZM ( jω) = jωm + β + γ/ jω. Lo spettro della forza casuale di eccitazione, applicando il teorema fluttuazione-dissipazione, e` dato dalla (4.26): S f f (ω) = 4kT β . La funzione di trasferimento H( jω) fra forza e spostamento si ottiene trasformando l’equazione differenziale: 1 1 1 X( jω) = H( jω) = = F( jω) γ + jωβ − ω 2 m m ω02 + jωω0 Q − ω 2  dove ω0 = γ m e` la pulsazione di risonanza e Q = mω0 /β e` il fattore di merito. Lo spettro del rumore di spostamento, che si ottiene applicando il teorema (3.1) Sxx (ω) = S f f (ω) |H( jω)|2 =

4kT ω0 2 2 2 mQ (ω0 − ω ) + ω 2 ω02 Q2

(4.27)

presenta il massimo alla risonanza ω0 con larghezza di banda Δ f = ω0 /2πQ. La varianza dello spostamento si ottiene moltiplicando il massimo dello spettro per la banda equivalente di rumore BN = πΔ f /2 = ω0 /4Q σx2 = Sxx (ω0 )BN =

kT 4kT Q ω0 = . 3 mω0 4Q mω02

Tale risultato e` in accordo con quanto si ottiene dal principio di equipartizione dell’energia: mω02 σx2 mσu2 kT = = . 2 2 2

Notiamo qui che i risultati dell’esempio precedente sono validi per il rumore termico di qualsiasi sistema risonante del secondo ordine, inclusi i circuiti RLC.

4.3 La generalizzazione della formula di Johnson

35

Fig. 4.6 Rumore bianco filtrato passabanda con Q = 100, osservato su due diverse scale temporali

Ma e` utile sottolineare come la forma del rumore d’uscita, nel caso Q  1, risulti assai simile, in particolare su un tempo di osservazione limitato, a quello di una sinusoide pura (Fig. 4.6). Ci`o e` intuitivo a fronte della forma dello spettro (4.27), ma e` ancora pi`u chiaro considerando l’autocorrelazione corrispondente che, a parte una costante moltiplicativa, ha la forma exp(-ω0 |τ|/2Q) cos ω0 τ. Che e` assai simile, per Q  1, all’autocorrelazione (cos ω0 τ) di una sinusoide di pulsazione ω0 (§12.2). L’impiego del teorema fluttuazione-dissipazione e dell’analogia di Maxwell (Appendice D) consente di trattare agevolmente e significativamente molti problemi relativi ai sistemi meccanici a basso rumore che sono utilizzati nella strumentazione fisica ad alta sensibilit`a [18]. In particolare permettendo di affrontare il caso di dissipazioni con particolari dipendenze dalla frequenza, che a volte s’incontrano in pratica. E qui si deve notare che i risultati dell’Esempio 4.5 precedente sono validi per i sistemi a costanti concentrate, non necessariamente per altri: nel caso meccanico, per una massa puntiforme ma non per una massa di dimensioni tali da dover considerare anche l’effetto dei suoi attriti interni [19]. Perch´e in tal caso il fattore di merito pu`o dipendere dalla frequenza e allora lo spettro (4.27) risulta certamente valido nei pressi della risonanza, ma richiede correzioni allontanandosi da tale frequenza. Il teorema fluttuazione-dissipazione permette anche di calcolare il rumore di temperatura6 , cio`e le fluttuazioni spontanee della temperatura di piccoli sistemi, dovute alla quantizzazione dell’energia termica [20]. Fissiamo le idee considerando un corpo di capacit`a termica CT , che si trova in equilibrio termodinamico con un sistema a temperatura fissa T , al quale e` collegato attraverso una resistenza termica RT . Tale sistema e` governato dall’equazione differenziale CT

dQ θ dS dθ = + =T dt RT dt dt

(4.28)

nell’approssimazione θ T , dove θ rappresenta la differenza fra la temperatura istantanea del corpo e la temperatura fissa T , dQ/dt la potenza termica che il corpo scambia con l’esterno, S l’entropia complessiva del sistema. Interpretando l’entropia come spostamento generalizzato e la differenza di temperatura θ come eccitazione

6

Da non confondersi con le varie temperatura di rumore, discusse nel seguito.

36

4 Il rumore termico

generalizzata, l’impedenza generalizzata e` in questo caso Z( jω) =

RT T 1 + jωτ

(4.29)

dove τ = RT CT . Lo spettro di potenza delle fluttuazioni di temperatura e` quindi Sθ θ (ω) = 4kT Re [Z ( jω)] =

4kT 2 RT 1 + ω 2τ 2

(4.30)

kT 2 CT

(4.31)

e da esso si ottiene la varianza σθ2

1 = 2π

 ∞ 0

Sθ θ (ω)dω =

ritrovando un risultato pubblicato da Einstein nel 1904, citato in [20].

5

Il rumore shot

Il primo studio sul rumore shot fu svolto da W. Schottky nel 1918 [21] esaminando le fluttuazioni elementari della corrente nei tubi elettronici a vuoto (diodi, triodi, ecc.). Questo tipo di rumore si manifesta infatti quando una corrente elettrica, cio`e un flusso di portatori di carica, attraversa una barriera di potenziale, come avviene nei tubi a vuoto o nelle giunzioni p-n. Esso deriva dalla natura discreta della carica elettrica e dall’indipendenza statistica dei singoli eventi di attraversamento da parte di ciascuna carica elementare e per questo e` chiamato anche rumore granulare. Se gli eventi di attraversamento, ciascuno con trasporto di una carica elementare qe , sono distribuiti nel tempo casualmente, e vale quindi la statistica di Poisson (Appendice B), e se la frequenza media di attraversamento della barriera e` λ , la carica totale che mediamente passa in un tempo t e` direttamente proporzionale a t (E[Q(t)] = λ qet) e la varianza che ne rappresenta le fluttuazioni, anch‘essa direttamente proporzionale a t, e` 2 σQ(t) = λ q2e t.

(5.1)

Assumendo per ora che ogni singolo evento sia rappresentato da una delta di Dirac qe δ (t), la corrente i(t) sar`a rappresentata dal processo stocastico impulsivo di Poisson (5.2) i(t) = ∑ qe δ (t − ti ) i

con valor medio I = λ qe . La funzione di autocorrelazione di questa corrente e` data dall’espressione (Appendice B): (5.3) Rii (τ) = λ q2e δ (τ) + λ 2 q2e dove il primo termine rappresenta le fluttuazioni, il secondo il quadrato della corrente media (la corrente continua I = λ qe ). Lo spettro di potenza (unilatero) del rumore shot si ottiene dalla precedente considerando soltanto le fluttuazioni e utilizzando la relazione di Wiener-Kintchin (2.20): Sii (ω) = 2λ q2e = 2Iqe . Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

(5.4)

38

5 Il rumore shot

√ Tabella 5.1 Spettro di ampiezza della corrente di rumore shot in unit`a di f A/ Hz per alcuni valori di corrente continua 1 pA 0.566

10 pA 1.79

100 pA 5.66

1 nA 17.9

10 nA 56.6

Tale espressione, come del resto anche la precedente, indica chiaramente il ruolo della quantizzazione della carica elettrica, mostrando in particolare che se il quanto di carica tendesse a zero il rumore shot si annullerebbe sua volta. Misurando lo spettro in una banda prefissata e l’intensit`a I della corrente continua e` possibile ricavare dalla (5.4) la carica dell’elettrone (§13.1). Esercizio 5.1 Calcoliamo i parametri λ e qe di un rumore shot misurandone la risposta con un circuito RC Una corrente di rumore shot i(t), descritta dalla (5.2), viene applicata a un circuito RC parallelo, osservandone la tensione v(t) ai suoi terminali. Calcolare i parametri λ e qe in termini del valor medio ηv e della varianza σv2 della tensione v(t) supponendo che il resistore sia abbastanza freddo da poterne trascurare il rumore termico. E` importante notare che quando il flusso della corrente viene regolarizzato in qualche modo (per esempio, nei tubi a vuoto, da effetti di carica spaziale) allora il rumore shot diventa inferiore a quello calcolato sopra, detto full shot noise, mentre la corrente continua resta evidentemente costante. Deboli effetti di regolarizzazione sono frequenti; un caso estremo e` quello del passaggio della corrente attraverso un conduttore metallico, dove non si considera il rumore shot perch´e non si manifesta apprezzabilmente; il motivo e` che il moto degli elettroni e` soggetto a correlazioni a distanza che lo regolarizzano fortemente. Lo spettro del rumore shot (5.4) e` bianco perch´e e` stato ricavato nell’ipotesi che la corrente sia costituita da una sequenza di funzioni delta di Dirac, ciascuna corrispondente al passaggio istantaneo di una carica elementare. Ma se si tiene conto del tempo di transito delle cariche attraverso la barriera di potenziale, rappresentandone il passaggio con un impulsetto di durata e forma opportuna, e la formula (5.3) viene modificata corrispondentemente, si trova che lo spettro tende a zero al crescere della frequenza oltre l’inverso del tempo di transito. In particolare, se rappresentiamo con h(t) l’andamento temporale di questi impulsi (con il vincolo di normalizzazione 0∞ h(t)dt = 1), la corrente avr`a la forma i (t) = ∑ qe h(t − ti ).

(5.5)

i

Assumendo poi h(t) come risposta impulsiva di un sistema che, eccitato dalla sequenza (5.2), produca in uscita la corrente (5.5), lo spettro del rumore i (t) si ottiene allora applicando il teorema (3.1): Sii (ω) = Sii |H( jω)|2 dove H( jω) e` la trasformata di Fourier di h(t).

(5.6)

5 Il rumore shot

39

Esempio 5.1 Calcoliamo lo spettro del rumore shot nel caso di impulsi rettangolari. Consideriamo impulsi di corrente di forma rettangolare, rappresentati dalla funzione h(t) = T1 (u(t + T /2) − u(t − T /2)), la cui trasformata e` H( jω) = sin(ωT /2) (ωT /2) . Concludiamo pertanto dalla (5.4) che in questo caso lo spettro del rumore

 /2) 2 , che e` costante con la shot ha la forma Sii (ω) = Sii |H( jω|2 = 2Iqe sin(ωT (ωT /2) frequenza entro il 10% fino a f ≈ 0.18/T e si annulla quando ω tende all’infinito. Quando si impiegano le formule precedenti per calcolare il rumore shot nei dispositivi elettronici occorre attenzione nell’attribuire il corretto valore all’intensit`a della corrente a cui e` associato il rumore, che ne determina lo spettro in base alla (5.4). Consideriamo per esempio un diodo a giunzione, governato idealmente dalla legge di Shockley I = Io (exp(V /VT − 1)), dove VT = kT /qe . Cortocircuitando il diodo (V = 0), dalla precedente si ottiene I = 0 e pertanto si potrebbe concludere pedissequamente che non si ha rumore. E invece si deve notare che la corrente totale e` nulla perch´e consiste nella differenza fra due correnti che hanno uguale intensit`a Io ma sono dirette in versi opposti. Dato che a ciascuna di queste correnti e` associato 1 rumore shot, ne consegue√che lo spettro √ totale e` Sii (ω) = 4Io qe e il corrisponden` (ω) = 2 (I q ). te spettro di ampiezza e S ii o e Per esempio, con Io = 10 pA si ha √ √ Sii (ω) = 2.53 f A/ Hz. Esempio 5.2 Il rapporto segnale/rumore nella misura di una debole corrente. Vogliamo calcolare il rapporto segnale/rumore nella misura di una debole corrente continua di intensit`a I in presenza di rumore shot. Eseguendo la misura di I in una banda Δ f , la varianza del rumore shot e` σi2 = 2Iqe Δ f . Dalla (1.1) si ha pertanto SNR = 2qeIΔ f , che mostra come il rapporto segnale/rumore sia direttamente proporzionale a I e inversamente proporzionale a Δ f . Ci`o suggerisce di restringere la banda di osservazione, come del resto e` sempre buona norma, tenendo tuttavia presente che in tal caso aumenta corrispondentemente il tempo di misura2 . In alternativa, e` possibile misurare la corrente I integrando i(t) su un tempo T . In tal caso nel rapporto segnale/rumore figureranno il quadrato della carica totale q = IT e la varianza della carica data dalla (5.1): SNR = IΔt qe . E quindi anche in questo caso, sostanzialmente identico al precedente, il miglioramento di SNR richiede un tempo di misura opportunamente lungo. Fluttuazioni casuali del numero di cariche elettriche sono alla base di altri tipi di rumore, fra cui menzioniamo il rumore di partizione, che si verifica nei tubi a vuoto con pi`u di tre elettrodi quando il flusso di elettroni proveniente dal catodo si suddivide per raggiungere due diversi elettrodi di raccolta, e il rumore di generazione e ricombinazione, che si verifica nei semiconduttori a seguito della creazione di 1

Allo stesso risultato si arriva considerando il rumore termico associato alla resistenza differenziale del diodo, che in condizioni di polarizzazione nulla vale rd = VT /Io . Dalla (4.3) si ha infatti: Sii (ω) = 4kT /rd = 4Io qe . 2 In generale il tempo di misura T di un segnale attraverso un filtro e ` inversamente proporzionale alla banda B (§3.3) e in pratica deve essere maggiore del tempo di salita del filtro, pi`u precisamente deve essere maggiore del suo tempo di assestamento (Appendice A).

40

5 Il rumore shot

coppie elettrone libero-lacuna (generazione per ionizzazione di un donatore) e della cattura di elettroni liberi da parte di ioni del reticolo (ricombinazione). Gli eventi elementari alla base di questo rumore sono caratterizzati dalla vita media θ dei portatori, per cui qualsiasi fluttuazione del loro numero N e` soggetta a decadimento con legge exp(−t/θ ). Svolgendo i calcoli [A, E] si trova che l’autocorrelazione di N e` a sua volta esponenziale: (5.7) RNN (τ) = σN2 exp(−|τ| θ ) e lo spettro segue conseguentemente la legge SNN (ω) = 4σN2

θ . 1 + ω 2θ 2

(5.8)

Leggi analoghe governano anche il rumore associato ai fenomeni di cattura e liberazione di elettroni in corrispondenza delle “trappole” (imperfezioni localizzate) presenti in un isolante. Notiamo infine che il rumore shot, in sostanza, rappresenta un effetto di “fluttuazione di numero”, come avviene nel conteggio di eventi casuali, di qualsiasi natura, che seguono la statistica di Poisson. Esso perci`o e` generalizzabile a sistemi fisici diversi da quelli elettrici. Consideriamo in particolare un esempio [22] riguardante il rumore shot meccanico3 che accompagna l’allungamento sotto carico di un filo metallico a causa di fenomeni di cedimento (deformazione permanente). La legge di crescita della lunghezza L(t) del filo viene cos`ı espressa: τ1 L¨ = −L˙ + ns (t) dove τl e` la costante di rilassamento del filo e ns (t) e` un rumore shot, costituito da una sequenza di impulsi di forma esponenziale (con costante τs ) con valore integrato qs (glitch size) che occorrono a istanti casuali ti con distribuzione di Poisson e frequenza media λ . Lo spettro di questo rumore ha una delta all’origine, che rappresenta l’allungamento medio nel tempo e di cui non ci occupiamo, e un andamento Ss (ω) = q2s λ /(1 + ω 2 τs2 ), che rappresenta la parte variabile. Dall’equazione differenziale precedente si ricava come segue lo spettro delle fluttuazioni della lunghezza del filo: Sl (ω) = Ss (ω)/ω 2 (1 + ω 2 τl2 ). Lo spettro del rumore di spostamento di una massa sospesa al filo si calcola infine rappresentando il sistema come un oscillatore armonico smorzato (dove intervengono l’elasticit`a del filo e la massa sospesa) eccitato dalle anzidette variazioni di lunghezza. Nei fili considerati, utilizzati nell’interferometro VIRGO, si stima: qs ≈ 10−10 m, λ ≈ qualche unit`a al giorno.

3

Qui l’interesse riguarda le sospensioni di parti di rivelatori gravitazionali, dove la componente continua dello spostamento (una lenta deriva) viene compensata da un sistema di controllo, mentre la parte variabile pu`o produrre effetti indesiderati sul segnale osservato, simulando la risposta a determinati eventi astrofisici.

6

Il rumore 1/ f

Fra i diversi tipi di rumore il cosiddetto rumore 1/ f occupa un posto a parte, perch´e si osserva in una sconcertante pluralit`a di ambiti senza che tuttavia ne sia stata trovata una interpretazione fisica comune [23, 24, 25, 26, 27]. Il rumore 1/f, che e` chiamato anche rumore flicker1 (tremolio) oppure rumore di eccesso (excess noise), deve il suo nome al fatto che si manifesta con uno spettro di potenza che segue, su un’estesa gamma di frequenze, una legge del tipo S( f ) ∝

1 fα

(6.1)

dove α e` un parametro prossimo all’unit`a (generalmente compreso fra 0.8 e 1.2), e quindi si tratta di un rumore “rosa”. A tale legge si possono ricondurre anche certi effetti di instabilit`a che si manifestano su tempi lunghi, in particolare le derive, di tensione e di corrente, che si osservano nei dispositivi attivi. Fluttuazioni con andamento spettrale di questo tipo, oltre che nei dispositivi elettronici attivi e nei resistori percorsi da corrente (cio`e in condizioni di non equilibrio), si osservano anche, come si e` accennato, in una estesissima variet`a di fenomeni naturali (biologici, geofisici, astrofisici) e artificiali [28]. Fra questi, il rumore nelle membrane biologiche, il rumore sismico e le fluttuazioni delle piene del fiume Nilo, dell’attivit`a solare, dell’intensit`a dei suoni di un brano musicale [29], dell’intensit`a del traffico stradale. Mentre non si dispone di una teoria fisica generale del rumore 1/ f , che ne giustifichi la presenza in ambiti tanto diversi, sono state proposte varie ipotesi matematiche per la generazione di questo tipo di spettro; per esempio che il rumore 1/ f costituisca la risposta a una eccitazione bianca e gaussiana da parte di sistemi caratterizzati dalla presenza di un gran numero di costanti di tempo con opportune caratteristiche. Un buon modello per la generazione di rumore 1/ f , dovuto a V . Radeka [26], e` costituito da una linea di trasmissione RC, che costituisce l’equivalente elettrico di processi di diffusione inclusa la trasmissione del calore per conduzione.

1

Questa denominazione risale alle prime osservazioni del rumore 1/f nei tubi elettronici a vuoto.

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

42

6 Il rumore 1/ f

Fig. 6.1 Il grafico in alto rappresenta rumore bianco, quello in basso rumore 1/ f , entrambi di varianza unitaria e valor medio nullo nell’intervallo di tempo considerato. Si nota chiaramente come il rumore 1/ f , a differenza di quello bianco, presenti “memoria” e conseguentemente tenda pi`u vistosamente ad allontanarsi dal suo valor medio

La linea RC presenta impedenza caratteristica Z0 ( jω) = (R/ jωC)1/2

(6.2)

dove R e C sono la resistenza e la capacit`a per unit`a di lunghezza. Se una linea siffatta e` alimentata da rumore di corrente con spettro bianco, lo spettro della tensione lungo la linea seguir`a evidentemente la legge 1/ f . In termini formali, la generazione di rumore 1/ f a partire da rumore termico (cio`e con spettro bianco) richiede una funzione di trasferimento di ordine frazionario, quindi di tipo trascendente, come appunto nel caso della linea RC appena menzionata. Come ha mostrato ancora Radeka, la risposta impulsiva di tale sistema deve seguire la legge 1 h(t) = u(t) √ (6.3) t quindi con un considerevole effetto di memoria a lungo termine, intuitivamente, oltre che formalmente, coerente con la divergenza dello spettro 1/ f a bassa frequenza, di cui ci occupiamo pi`u avanti. Un esempio di generazione di rumore termico con spettro 1/ f , che come nel modello precedente fa riferimento a un sistema di natura distribuita, peraltro estremamente semplice, riguarda il fattore di perdita dei condensatori tan δ = 1/Q (§10.1). Se questa grandezza e` costante in un certo intervallo di frequenza, come del resto si osserva spesso sperimentalmente, allora la resistenza serie equivalente, che rappresenta le dissipazioni del condensatore, e` data da Rs = tan δ /ωC. E quindi lo spettro

6 Il rumore 1/ f

43

del rumore termico in tale intervallo e` : Svv (ω) =

4kT tan δ . ωC

(6.4)

I numerosi studi, sperimentali e teorici, svolti sulla problematica del rumore 1/ f nei dispositivi e nei componenti elettronici si possono ricondurre a due diversi modelli fisici: fenomeni di generazione-ricombinazione o di assorbimento e rilascio di portatori di carica da parte di “trappole”, fluttuazioni di resistenza elettrica causate da fluttuazioni del numero dei portatori. Nella interpretazione introdotta da McWorther [30] si considera una struttura nella quale si verificano fenomeni di cattura e liberazione di cariche, per esempio in un semiconduttore in prossimit`a di una superficie ricoperta da un ossido dove sono presenti contaminanti di qualche tipo. Si ammette che il rumore provenga dalla sovrapposizione di processi elementari di rilassamento (Capitolo 5) con autocorrelazione proporzionale a exp(−|t|/θ ) e quindi con spettro S (ω) avente andamento θ /(1 + ω 2 θ 2 ). Se la densit`a di probabilit`a delle costanti di tempo θ del processo segue la legge2 1 1

(6.5) f (θ ) = θ ln θ2 θ1 in un intervallo θ1 , θ2 ed e` nulla altrove, allora lo spettro complessivo si ottiene integrando lo spettro elementare S (ω) pesato secondo la densit`a di probabilit`a. Cos`ı procedendo si trova  θ2



θ2 A 1 dωθ ln(θ2 /θ1 )ω θ1 1 + ω 2 θ 2 θ1 arctan(ωθ2 ) − arctan(ωθ1 ) A = ln(θ2 /θ1 ) ω

S(ω) = A

S (ω) f (θ )dθ =

con A costante, che per 1/θ2 ω 1/θ1 vale approssimativamente S(ω) ≈

A 1 π . 2 ln (θ2 /θ1 ) ω

(6.6)

Una diversa interpretazione del rumore 1/ f , dovuta a Hooge [31], e` basata sulle fluttuazioni del numero di portatori di carica, e quindi della conducibilit`a elettrica, in un conduttore, che si manifestano con una tensione di rumore ai suoi estremi quando questo e` attraversato da una corrente continua I. Ricordiamo che la resistenza elettrica di un conduttore di lunghezza L, sezione costante S e conducibilit`a g e` R = L/gS. Considerando un materiale con n elettroni liberi per unit`a di volume e mobilit`a μ, la conducibilit`a e` g = qe μn. E quindi la

2 Per esempio, se le impurit` a sono distribuite uniformemente nello strato di ossido, la probabilit`a di tunneling e` esponenziale nella distanza dalle trappole e con essa la costante di tempo, conducendo di conseguenza alla legge di distribuzione (6.5).

44

6 Il rumore 1/ f

resistenza e` : R=

L2 L = qe μnS qe μN

dove N = nSL e` il numero degli elettroni liberi nel volume del conduttore. Tale espressione mostra che una variazione di N provoca una corrispondente variazione di R: Δ R/R = −Δ N/N, sicch`e la varianza delle fluttuazioni della resistenza si pu`o esprimere come segue in funzione di quella di N: σ2 σR2 = N2 . 2 R N

(6.7)

Ammettendo poi che la varianza del numero N sia direttamente proporzionale a N, cio`e σN2 = AN, si ottiene: A A σR2 = = (6.8) 2 R N nV dove V e` il volume del conduttore. Tale espressione mostra in particolare che le fluttuazioni di resistenza sono tanto maggiori quanto minore e` il volume, come avviene in materiali granulari o comunque fortemente disomogenei, e quanto minore e` la densit`a dei portatori, come avviene nei semiconduttori poco drogati. Come risultato di numerosi studi sperimentali su un’ampia variet`a di materiali, Hooge ha ricavato la seguente relazione empirica per le fluttuazioni di resistenza di un conduttore in una banda Δ f attorno alla frequenza f : 2 σR,Δ f

R2

=

αH Δ f N f

(6.9)

dove N e` il numero dei portatori di carica nel volume del conduttore e αH e` la costante di Hooge, con valore numerico 2 · 10−3 in unit`a SI (notiamo per`o che altri esperimenti indicano che la formula di Hooge non e` universalmente valida). Quando la resistenza viene attraversata da una corrente continua, ai suoi estremi si osserva un rumore di tensione dato dal prodotto dell’intensit`a I della corrente per le fluttuazioni di resistenza, cio`e con spettro di potenza direttamente proporzionale a I 2 e inversamente proporzionale a f Svv ( f ) =

1 αH V 2 1 αH I 2 R2 = f N f N

(6.10)

dove V e` la tensione continua ai terminali della resistenza. In pratica, nei resistori percorsi da una corrente continua I, si manifesta sempre rumore di tipo 1/ f , in eccesso (da cui la denominazione excess noise) rispetto a quello termico, con spettro pi`u o meno esattamente proporzionale al quadrato della caduta di tensione V = IR, come suggerito dalla legge empirica (6.10). Ma l’entit`a di questo rumore dipende grandemente dal materiale e dalla tecnologia costruttiva. I valori pi`u bassi, con eccesso 1/ f trascurabile rispetto al rumore termico, si hanno per i resistori a filo e a strato metallico; i valori pi`u elevati si hanno per i resistori a impasto, la cui struttura presenta un forte grado di disuniformit`a.

6 Il rumore 1/ f

45

La Fig. 6.2 rappresenta lo spettro del rumore di tensione di un resistore in unit`a di decibel rispetto al rumore termico. Si nota che il contributo 1/ f prevale fino alla cosiddetta frequenza d’incrocio (corner frequency) oltre la quale domina invece il rumore termico. Lo spettro di potenza del rumore totale di tensione si rappresenta pertanto nella forma: Svv ( f ) = 4kT R(1 + fc / f ) (6.11) dove fc indica la frequenza d’incrocio. Andamento analogo presenta generalmente anche il rumore di tensione e di corrente dei transistori, e quindi anche degli amplificatori, il cui spettro di potenza viene perci`o spesso espresso nella forma: S( f ) = Sbianco (1 + fc / f ).

(6.12)

I valori della frequenza d’incrocio sono generalmente compresi fra 1 Hz e 1 MHz, a seconda del tipo di dispositivo; i valori pi`u alti si hanno nei transistori MOS di dimensioni pi`u piccole, in accordo con la (6.8). Esercizio 6.1 Il foglio tecnico dell’amplificatore AD8510 fornisce √ i seguenti valori √ tipici del rumore di tensione (spettri di ampiezza): 34 nV/ Hz a 10 Hz, 12 √ √ nV/ Hz a 100 Hz, 8 nV/ Hz a 1 kHz, 7.6 nV/ Hz a 10 kHz. Ricavare il valore della frequenza d’incrocio fc . Caratteristica matematica importantissima del rumore 1/ f e` la sua divergenza sia a bassa che alta frequenza, che come ora vedremo presenta conseguenze assai rilevanti per le misure in presenza di questo tipo di rumore. Cio`e, alle basse frequenze, praticamente sempre.

Fig. 6.2 Spettro di potenza del rumore di un resistore soggetto a rumore 1/ f . A bassa frequenza domina il rumore 1/ f , ad alta frequenza il rumore termico. Le due regioni sono separate dalla frequenza d’incrocio, alla quale i due contributi al rumore si eguagliano

46

6 Il rumore 1/ f

Calcolando la varianza di un rumore con spettro con andamento proporzionale a 1/ f α in una banda compresa fra una frequenza limite inferiore f1 e una superiore f2 , si trova infatti, a meno di una costante moltiplicativa,   ⎫ ⎧ f2 ⎪ ⎪  f2 ⎬ ⎨ ln per α = 1 1 2 f 1 . (6.13) d f = σ ( f1 , f2 ) = α ⎪ f1 f ⎭ ⎩ 1 ( f 1−α − f 1−α ) per α = 1⎪ 1 1−α 2 Nel caso α = 1 la varianza tende dunque all’infinito, seppure logaritmicamente, sia quando la frequenza inferiore tende a zero sia quando quella superiore tende all’infinito. E in questo stesso caso la varianza assume il medesimo valore in ogni decade di frequenza. La divergenza a bassa frequenza sarebbe evitata se lo spettro tendesse a un valore finito quando la frequenza tende a zero, cosa tuttavia difficilmente osservabile sperimentalmente perch´e, nelle misure, il limite inferiore della banda di frequenza e` dato sostanzialmente dall’inverso del tempo di osservazione. E quindi misurare il comportamento del rumore 1/f a frequenza zero richiederebbe un tempo infinito3 . D’altra parte, nelle misure eseguite alle frequenze pi`u basse citate in letteratura, dell’ordine di 10−6 Hz, si e` trovato che lo spettro del rumore di dispositivi a semiconduttori (amplificatori operazionali e transistori MOSFET) mantiene l’andamento 1/ f anche in quella regione [32, 33]. Per quanto detto, si capisce che il rumore 1/ f , praticamente onnipresente, costituisce un limite invalicabile alla sensibilit`a delle misure alle frequenze pi`u basse. E per questo, quando e` possibile, si cerca di spostare i segnali utili dalla continua a frequenze dove il contributo 1/ f della strumentazione di misura sia minore, per esempio usando tecniche di modulazione (§12.5.1). Il fatto e` che i metodi per ridurre le fluttuazioni basati su medie temporali, i quali sono efficaci nel caso di rumore con andamento spettrale bianco o approssimativamente tale, non sono per`o di giovamento nel caso del rumore 1/ f . Questo si dimostra immediatamente considerando l’errore di fluttuazione ottenuto integrando questo rumore in un intervallo di tempo T , che e` dato dalla (6.13) nel caso α = 1 ponendo la frequenza inferiore f1 approssimativamente pari a 1/T . Si trova cos`ı che la deviazione standard  (6.14) σ ( f1 , f2 ) ∝ ln( f2 T ) aumenta addirittura con il tempo di misura, seppure con dipendenza logaritmica. Non manca tuttavia chi addirittura afferma di amare il rumore 1/ f [34].

3 E ` dunque chiaro che ai mortali e` preclusa la possibilit`a di osservare la divergenza del rumore 1/ f a bassa frequenza. Ma se appare poco accettabile l’idea della divergenza (energia infinita!) a frequenza zero, risulta meno sorprendente che occorra l’eternit`a per poterla osservare.

7

Il rumore di quantizzazione

Ci occupiamo qui del rumore di quantizzazione [35, 36], che rientra nella categoria dei disturbi di processo, introdotti nel normale funzionamento dei sistemi elettronici di elaborazione dei segnali. Questo particolare rumore, che in pratica presenta natura statistica, rappresenta l’incertezza introdotta dalla quantizzazione in ampiezza di un segnale, per esempio quando esso viene convertito dalla forma analogica a quella digitale, in tale rappresentazione utilizzando, di necessit`a, un numero finito di bit. Consideriamo un convertitore analogico digitale o ADC (analog to digital converter) ideale con segnale analogico d’ingresso v e segnale quantizzato d’uscita V . La Fig. 7.1 rappresenta la relazione ingresso-uscita della parte che costituisce il quantizzatore dell’ADC. Chiamando ΔV la dinamica d’ingresso del circuito, se l’uscita quantizzata V e` rappresentata da un codice binario costituito da n bit, quindi con valor massimo 2n − 1, la risoluzione dell’ADC e` determinata dal quanto di conversione (7.1) q = ΔV /(2n − 1) che rappresenta la differenza fra i valori analogici corrispondenti a qualsiasi coppia di codici binari successivi.

Fig. 7.1 Caratteristica ingresso-uscita di un quantizzatore ideale Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

48

7 Il rumore di quantizzazione

Osserviamo allora che il codice d’uscita che rappresenta un determinato valore discreto V ∗ costituisce il risultato della conversione di un campione analogico v∗ avente qualsiasi valore nell’intervallo V ∗ − q/2,V ∗ + q/2, avendo supposto che la quantizzazione avvenga per arrotondamento anzich´e per troncamento (caso che tuttavia pu`o essere ricondotto al precedente). L’effetto della quantizzazione, pertanto, introduce una incertezza sul valore effettivo dell’ingresso, cio`e un errore x = V ∗ −v∗ con valore sempre compreso fra −q/2 e +q/2. Ammettendo, come e` ragionevole, che il segnale d’ingresso possa assumere casualmente qualsiasi valore nell’intervallino anzidetto, si conclude che l’effetto della quantizzazione si manifesta come un rumore casuale con valore massimo q/2. Se poi, come e` ancora ragionevole supporre, i valori che l’ingresso pu`o assumere sono equiprobabili nell’intervallino, allora il rumore di quantizzazione ha densit`a di probabilit`a uniforme f (x) = 1/q nell’intervallo anzidetto. E quindi esso ha media nulla e, utilizzando la (2.3), varianza σx2

1 = q

+q/2 

x2 dx =

−q/2

q2 12

(7.2)

√ e conseguentemente deviazione standard (valore efficace) σ = q/ 12 = 0.289q. Lo spettro Sxx di questo rumore, sotto ipotesi spesso verificate almeno approssimativamente, viene assunto come bianco [36]. In tal caso l’integrale dello spettro su tutta la banda del convertitore deve uguagliare la varianza (7.2). Dato che la banda passante B e` data dalla frequenza di Nyquist, pari a met`a della frequenza di campionamento fc del convertitore, si ha: Sxx ( f ) =

q2 σx2 = . B 6 fc

(7.3)

Un esempio di discussione del rumore di quantizzazione in un esperimento di fisica che richiede una grande dinamica e` riportato nel rapporto [37]. Come si pu`o combattere il rumore di quantizzazione? Sommando del rumore al segnale, campionando a velocit`a opportunamente elevata e poi mediando nel tempo i campioni digitali d’uscita, qui utilizzando un numero di bit maggiore di quello (n) usato nel quantizzatore dell’ADC. Ma perch´e questa tecnica funziona? Lo discuteremo nel §13.2. Esercizio 7.1 Il rapporto segnale/rumore di un convertitore ADC. Ricavate una espressione per il rapporto segnale/rumore, espresso in unit`a di decibel, di un convertitore analogico-digitale in funzione del numero n di bit, considerando il rapporto fra il valore efficace della sinusoide di massima ampiezza che rientra nella dinamica del convertitore e il valore efficace del rumore di quantizzazione.

8

La rappresentazione del rumore nelle reti elettriche

8.1 Il rumore nei bipoli Consideriamo la tensione v(t) ai terminali di un bipolo o, in generale, di una porta di una rete elettrica, dove vi siano sorgenti di rumore. Questa tensione, in condizioni di linearit`a, e` data dalla somma della tensione v (t) che si avrebbe in assenza di rumore e di quella di un opportuno generatore di tensione vn (t) che rappresenta complessivamente il rumore del circuito: v(t) = v (t) + vn (t).

(8.1)

Ne consegue che un bipolo rumoroso pu`o essere rappresentato disponendo un generatore di rumore di tensione vn (t) in serie al bipolo privo di rumore, come del resto si era gi`a visto trattando il rumore termico. In alternativa, utilizzando il teorema di Norton, si pu`o disporre un generatore di rumore di corrente in (t) in parallelo al bipolo non rumoroso. I generatori di rumore vn (t) e in (t), come sappiamo, sono specificati mediante i relativi spettri di potenza Svv (ω) e Sii (ω). Nel seguito utilizzeremo spesso spettri di ampiezza. Che rappresenteremo con simboli maiuscoli, come in Fig. 8.1, con-

Fig. 8.1 Due possibili circuiti equivalenti, alla Th´evenin e alla Norton, di un bipolo rumoroso, dove Y ( jω) = 1/Z( jω) e In (ω) = Vn (ω)/Z( jω)

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. Italia 2011

c Springer-Verlag 

50

8 La rappresentazione del rumore nelle reti elettriche

siderandoli, per comodit`a, come se si trattasse di nel do grandezze sinusoidali √ minio della frequenza. Porremo quindi V (ω) = S (ω) (in unit` a di V/ Hz) e n vv  √ In (ω) = Sii (ω) (in unit`a di A/ Hz). Poich´e le due anzidette rappresentazioni del rumore di un bipolo sono del tutto equivalenti (se il bipolo presenta impedenza Z( jω) i due spettri di rumore sono legati dalla relazione Svv (ω) = |Z( jω)|2 Sii (ω)), la scelta fra l’una o l’altra dipender`a da considerazioni di convenienza pratica. Nel caso del rumore termico, ad esempio, per un circuito RLC serie converr`a utilizzare la rappresentazione alla Th`evenin, assumendo come rumore di tensione del bipolo quello del resistore, mentre per un circuito RLC parallelo converr`a la rappresentazione alla Norton, assumendo come rumore di corrente del bipolo quello del resistore. Se il bipolo e` costituito da elementi passivi, che si trovano tutti a una stessa temperatura e che non manifestano eccessi di rumore rispetto al termico, il calcolo del rumore pu`o farsi in modo immediato, come gi`a detto, impiegando il teorema di Nyquist (4.22). Consideriamo, per esempio, il circuito risonante rappresentato in Fig. 8.2, con impedenza Z( jω) =

R R+ jωL con parte reale Re [Z( jω)] = . 1+ jωRC−ω 2 LC (1−ω 2 LC)2 +(ωRC)2

Lo spettro del rumore di tensione di questo bipolo e` pertanto: 4kT R . (8.2) (1 − ω 2 LC)2 + (ωRC)2 √ Il massimo dello spettro si ha alla risonanza, per ω = ω0 = 1 LC, dove vale  4kT L C. A frequenze sufficientemente basse lo spettro si approssima con quello Svv (ω) = 4kT Re [Z( jω)] =

ω4

del resistore (4kT R), a frequenze sufficientemente alte con 4kT R ω04 . Esercizio 8.1 Calcolare il valore quadratico medio del rumore del circuito risonante in Fig. 8.2 per R = 100 Ω , L = 1 mH, C = 1 nF.

Fig. 8.2 Circuito risonante parallelo con resistenza in serie all’induttanza

8.1 Il rumore nei bipoli

51

Per calcolare il rumore ai terminali di un bipolo nel caso pi`u generale, cio`e quando si tratta di un circuito attivo e/o i suoi elementi si trovano a temperature diverse e/o contiene sorgenti di rumore diverso dal termico, occorre considerare separatamente i contributi di tutte le n sorgenti di rumore presenti nel circuito. Cos`ı procedendo, si assegna a ciascuna sorgente il generatore di rumore che le compete, con spettro di potenza Sk (ω), si individuano le funzioni di trasferimento Hk ( jω)1 fra ciascun generatore e i terminali del bipolo e si calcola infine lo spettro totale, utilizzando il teorema (3.1), con l’espressione Svv (ω) =

n

∑ Sk (ω) |Hk ( jω)|2 .

(8.3)

k=1

Questa tuttavia e` stata ottenuta ammettendo che ciascuna sorgente agisca indipendentemente, cio`e in assenza di correlazioni fra le sorgenti di rumore presenti nel circuito. Quando ci`o non e` verificato, occorre tener conto di queste correlazioni, aggiungendo i contributi degli spettri incrociati Si j (ω) fra i generatori correlati n

n

Svv (ω) = ∑ ∑ Si j (ω)Hi ( jω)H ∗j ( jω).

(8.4)

i=1 j=1

Fra gli altri parametri impiegati per caratterizzare il rumore di un bipolo menzioniamo la resistenza equivalente di rumore2 , cio`e il valore della resistenza che, posta a una temperatura prefissata (di norma 290 K), produrrebbe lo spettro che si ha ai terminali del bipolo. Menzioniamo infine la temperatura equivalente, che e` definita come la temperatura a cui dovrebbe trovarsi la rete per avere rumore Johnson pari a quello che si calcola o si osserva ai suoi terminali3 . Se questo rumore ha spettro Svv (ω) e la parte reale dell’impedenza alla porta e` Re[Z( jω)], la temperatura equivalente e` cos`ı definita: TEQ (ω) =

Svv (ω) . 4k Re [Z( jω)]

(8.5)

In generale, la temperatura equivalente e` una grandezza dipendente dalla frequenza. Non e` cos`ı, tuttavia, quando le grandezze al secondo membro della (8.5) sono costanti nella banda di frequenza di interesse. Nel caso particolare di resistori che si trovano a temperature diverse, la temperatura equivalente e` una media, opportunamente pesata, di queste temperature. Per esempio, nel caso di due resistori R1 ed R2 rispettivamente alle temperature T1 e T2 ,

1 Pi` u precisamente: funzioni di trasferimento adimensionali per i generatori di tensione; impedenze di trasferimento per i generatori di corrente. 2 Si tratta, evidentemente, di una resistenza fittizia, che non si misura certamente con l’ohmetro. Tale resistenza non va confusa con la resistenza di rumore che sar`a introdotta nel prossimo capitolo. 3 E quindi coincide con la temperatura effettiva nel caso di un circuito passivo in equilibrio termodinamico.

52

8 La rappresentazione del rumore nelle reti elettriche

si ottiene TEQs =

T1 R1 + T2 R2 R1 + R2

(8.6)

T1 R2 + T2 R1 R1 + R2

(8.7)

quando essi sono disposti in serie e TEQp =

quando sono disposti in parallelo. E` importante osservare che la temperatura equivalente a una porta di una rete attiva pu`o essere minore, anche parecchio, della temperatura termodinamica a cui questa si trova effettivamente. Ci`o pu`o verificarsi, come nell’Esempio 8.1 seguente, in presenza di reazione negativa. Esempio 8.1 Un resistore “freddo” ottenuto mediante la controreazione [38]. Consideriamo il rumore alla porta d’ingresso della rete attiva in Fig. 8.3, costituita da un amplificatore invertente di guadagno A controreazionato con un resistore RF . Qui la resistenza, applicando il teorema di Miller e assumendo infinita l’impedenza d’ingresso dell’amplificatore, e` : R = RF /(1 + A). Lo spettro del rumore alla porta si ottiene considerando separatamente, e poi sommandoli, i contributi dei tre generatori di rumore in Fig. 8.3: Svv = 4kT RF /(1 + A)2 + A2Vn2 /(1 + A)2 + R2F In2 /(1 + A)2 . La temperatura equivalente della rete, applicando la (8.5), e` : TEQ = Svv /4kR = T /(1 + A) + (A2Vn2 /RF + RF In2 )/(4k(1 + A)). Esercizio 8.2 Analizzare il circuito in Fig. 8.3 per ricavarne l’espressione dello spettro Svv alla porta d’ingresso. Esercizio 8.3 Ricavare una espressione per il valore del resistore di reazione che rende minima la temperatura equivalente alla porta d’ingresso del circuito considerato nell’Esempio 8.1.

Fig. 8.3 Amplificatore invertente con resistore di reazione. Nello schema sono rappresentati i tre generatori di rumore che contribuiscono al rumore totale

8.2 Il rumore nelle reti a due porte

53

8.2 Il rumore nelle reti a due porte Abbiamo visto che la rappresentazione del rumore in un bipolo, elemento descritto da una sola equazione, richiede un solo generatore di rumore. Nel caso delle reti a due porte, descritte da due equazioni, e` necessario rappresentare il rumore in entrambe, utilizzando quindi due generatori di rumore, dei quali vanno specificati i due spettri e, nel caso di correlazione fra essi, anche gli spettri incrociati. Ricordando i legami fra i due spettri incrociati (§ 2.3), ci`o richiede in generale di specificare quattro funzioni della frequenza: due spettri reali e la parte reale e quella immaginaria di uno spettro incrociato. Come disporre i due generatori di rumore? Appare naturale collegarli in corrispondenza delle due porte, cos`ı come e` stato fatto nel caso dei bipoli: un generatore di tensione in serie oppure uno di corrente in parallelo a ciascuna porta. Ma si dimostra che e` possibile anche disporli entrambi (in tal caso uno di tensione e uno di corrente) in corrispondenza di una sola delle due porte, ottenendo cos`ı piena rappresentazione del rumore della rete. In effetti la rappresentazione usuale del rumore di una rete due porte rumorosa, in particolare di un amplificatore, sfrutta proprio quest’ultima possibilit`a. Si segue infatti il criterio di riportare il rumore in ingresso, disponendo appunto entrambi i generatori alla porta d’ingresso della rete, come mostrato in Fig. 8.4: un generatore di tensione in serie alla porta (rumore serie) e un generatore di corrente in parallelo (rumore parallelo). Questa scelta presenta il vantaggio di svincolare la rappresentazione del rumore dal guadagno fra le due porte del circuito e di rendere immediato il calcolo del rapporto fra il segnale fornito da una sorgente e il rumore della rete, con riferimento alla Fig. 8.5. Ma veniamo al calcolo dello spettro del rumore totale St (ω) all’ingresso della rete non rumorosa. Se la porta d’ingresso della rete e` terminata su un’impedenza di sorgente Zs = Rs + jXs , che manifesta esclusivamente rumore termico alla tem-

Fig. 8.4 Il rumore di una rete a due porte si rappresenta di solito con due generatori (uno di tensione e uno di corrente) collegati alla porta d’ingresso

Fig. 8.5 Schema per il calcolo del rumore totale all’ingresso della rete non rumorosa

54

8 La rappresentazione del rumore nelle reti elettriche

peratura T , trascurando la correlazione fra i due generatori di rumore si ottiene lo spettro St (ω) = 4kT Rs +Vn2 (ω) + In2 (ω) |Zs ( jω)|2 (8.8) che si presta bene a un confronto immediato con l’eventuale segnale della sorgente. Conoscendo la funzione di trasferimento fra la porta d’ingresso e quella d’uscita, si potr`a poi calcolare lo spettro del rumore all’uscita della rete. Nel caso di correlazione fra i generatori Vn e In , con spettri incrociati Svi (ω) e Siv (ω), l’espressione dello spettro totale, ottenuto dalla (8.4), assume la forma St (ω)=4kT Rs+Vn2 (ω)+Svi ( jω)Zs∗ ( jω)+Siv (ω)Zs ( jω)+In2 (ω) |Zs ( jω)|2 . (8.9) E quindi, utilizzando la (2.25), si ha St (ω) = 4kT Rs +Vn2 (ω) + 2 Re [Svi ( jω)Zs∗ ( jω)] + In2 (ω) |Zs ( jω)|2 .

(8.10)

Notiamo tuttavia che il contributo di correlazione e` trascurabile quando nelle precedenti espressioni uno dei termini Vn2 (ω) e In2 (ω) |Zs ( jω)|2 sia dominante rispetto all’altro. La forma della (8.8) mostra che si possono generalmente distinguere tre diverse regioni di funzionamento al crescere del modulo dell’impedenza della sorgente. Per bassi valori di |Zs | domina il rumore di tensione, poi interviene il rumore termico della sorgente e infine domina l’effetto del rumore di corrente. In particolare, quando l’impedenza della sorgente si annulla il rumore totale e` minimo, e con esso e` massimo il rapporto SNR in presenza di un segnale. Nei calcoli svolti per ricavare lo spettro del rumore totale l’impedenza Zin ( jω) della porta d’ingresso della rete e` stata assunta infinita per semplicit`a.  La sua presenza, in realt`a, introduce il fattore di attenuazione spettrale |Zin ( jω)|2 |Zs ( jω)+ Zin ( jω)|2 , che e` il medesimo, a ogni frequenza, per i contributi al rumore come per un segnale proveniente dalla sorgente. E quindi il rapporto segnale/rumore non dipende da Zin ( jω). Il rumore associato all’impedenza d’ingresso? Del suo contributo si tiene conto nella specificazione del rumore di corrente In . Osserviamo infine che il rumore di corrente In della rete rumorosa attraversa effettivamente la sorgente, pertanto “riscaldandola”. Questo effetto e` particolarmente vistoso nel caso di una sorgente di alta impedenza, in particolare per una sorgente risonante ad alto Q, soprattutto quando essa si trova a bassa temperatura. Esempio 8.2 L’effetto di “riscaldamento” di una sorgente ad alto Q da parte del rumore di corrente di un amplificatore. Consideriamo un circuito risonante RLC parallelo, rappresentandone il rumore termico con un generatore di corrente con spettro Sii = 4kT /R disposto in parallelo. Lo spettro della tensione ai capi del circuito sar`a evidentemente Svv (ω) = Sii |Z( jω)|2 , con andamento risonante e valor massimo, alla frequenza di risonanza: Svv (ω0 ) = 4kT R. Quando il circuito, per osservarne il rumore e stabilirne quindi la temperatura, viene collegato a un amplificatore, esso sar`a attraversato dalla corrente di rumore con spettro In2 , che supponiamo bianco, almeno localmente. Sicch´e ora lo spettro del rumore totale, in base

8.2 Il rumore nelle reti a due porte

55

alla (8.8) sar`a la somma di un contributo bianco (Vn2 ) e di uno risonante, quest’ultimo con valore massimo 4kT R + In2 R2 . Ne consegue che la temperatura equivalente del circuito in questo caso ottenuta dall’uguaglianza 4kT R + In2 R2 = 4kTEQ R, e` : TEQ = T + In2 R/4k. Nel caso, per esempio, in cui il circuito si trovi a T = 4.2 K √ (la temperatura di ebollizione dell’elio a pressione ordinaria) e si abbia In = 50 fA/ Hz e R = 100 kΩ, si avr`a TEQ = 4.2 + 4.5 = 8.7 K.

9

Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

9.1 Il fattore di rumore Le prestazioni di rumore delle reti a due porte, in particolare degli amplificatori, vengono usualmente caratterizzate specificando il rapporto F fra lo spettro del rumore totale e quello del rumore termico della sorgente, misurati entrambi all’ingresso della rete non rumorosa, che e` chiamato fattore di rumore (noise factor). Nella definizione di questa grandezza, naturalmente, occorre assegnare alla sorgente una temperatura di riferimento, che per convenzione1 si sceglie pari a T0 = 290 K. Si noti inoltre che la definizione del fattore di rumore perde significato nel caso di una sorgente con impedenza zero oppure puramente reattiva. Dalla (8.8), trascurando gli effetti di correlazione, si ha: F=

V 2 (ω) In2 (ω) |Zs ( jω)|2 St (ω) = 1+ n + 4kT0 Rs 4kT0 Rs 4kT0 Rs

(9.1)

che per una sorgente resistiva assume la forma F=

St (ω) V 2 (ω) In2 (ω)Rs = 1+ n + . 4kT0 Rs 4kT0 Rs 4kT0

(9.2)

Il fattore di rumore ha dunque valore unitario per un amplificatore privo di rumore e valori crescenti all’aumentare della sua rumorosit`a. Esso inoltre dipende generalmente dalla frequenza. Nella pratica, si utilizza spesso il fattore di rumore espresso in decibel, chiamato allora figura di rumore2 (noise figure) NF, o anche cifra di rumore: NF = 10 log10 F. (9.3) 1 Ovvia, e indesiderabile, conseguenza di questa scelta e ` che il fattore di rumore perde significato quando la sorgente in realt`a si trova a temperatura diversa da 290 K. Si definisce anche un “fattore di rumore operativo” nel quale come temperatura di riferimento si considera quella effettiva della sorgente; ma in tal caso un dato amplificatore, con date caratteristiche di rumore, presenter`a valori diversi di questo fattore a seconda della temperatura della sorgente. 2 La terminologia qui adottata e ` quella generalmente pi`u diffusa, ma molti Autori seguono scelte diverse, sicch´e vi e` una certa confusione.

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

58

9 Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

Oltre che come misura dell’incremento del rumore introdotto dalla rete, rispetto al rumore termico della sorgente, il fattore di rumore, in presenza di un segnale con spettro dato, si pu`o anche interpretare come rapporto fra il rapporto SNR alla sorgente, dove interviene soltanto il suo rumore termico, e quello all’uscita della rete rumorosa. Naturalmente si tratta di rapporti spettrali, a differenza di quello definito dalla (1.1). La formula (9.1) mostra che per bassi valori dell’impedenza di sorgente il fattore di rumore e` dominato dall’effetto del rumore di tensione Vn , per alti valori di Zs da quello del rumore di corrente, e che in una regione intermedia si ha un minimo. Ricercando il minimo rispetto all’impedenza della sorgente, cio`e uguagliando a zero le derivate del fattore di rumore rispetto a Rs e a Xs , si trovano le seguenti condizioni:  Vn2 (ω) Rs0 = ; Xs0 = 0. (9.4) In2 (ω) Queste esprimono una particolare condizione di adattamento (noise matching), che non e` sempre facile realizzare in pratica3 . La resistenza ottimale Rs0 , che presenta evidente importanza nella progettazione dei sistemi a basso rumore, viene chiamata resistenza di rumore e indicata con il simbolo Rn  Vn2 (ω) Rn = Rs0 = . (9.5) In2 (ω) Il fattore di rumore minimo si ottiene sostituendo le condizioni (9.4) nella (9.1):  Vn2 (ω)In2 (ω) Fmin = 1 + . (9.6) 2kT0 Non discutiamo, per motivi di spazio, l’adattamento al rumore nel caso di correlazione fra i due generatori di rumore. Osserviamo soltanto che in tale caso si trova Xs0 = 0 e il valore del fattore di rumore minimo pu`o risultare inferiore a quello dato semplicemente dalla (9.6). Tornando al caso di assenza di correlazione fra i generatori di rumore, la Fig. 9.1 rappresenta il fattore di rumore in funzione della resistenza di sorgente, per due diversi valori del fattore di rumore minimo (9.6). Essa mostra, in particolare, che quando il valore del fattore di rumore minimo e` relativamente alto, cio`e alquanto maggiore dell’unit`a, il minimo rispetto a Rs e` piuttosto pronunciato, mentre quando e` relativamente basso, cio`e poco maggiore dell’unit`a, il fattore di rumore mantiene approssimativamente il valore minimo per un esteso intervallo dei valori della resistenza di sorgente. Per esempio, nel caso rappresentato dalla curva in basso in Fig. 9.1, questo intervallo si estende da poco meno di 10 kΩ fino oltre 100 MΩ, avendo assunto 3 dB 3

Sia i trasformatori sia i componenti reattivi reali impiegabili per realizzare l’adattamento presentano infatti dissipazioni che costituiscono ulteriori sorgenti di rumore termico. A radiofrequenza, d’altra parte, l’adattamento pu`o essere realizzato con uno spezzone di linea di trasmissione, ma soltanto a banda stretta.

9.1 Il fattore di rumore

59

Fig. 9.1 Grafico della figura di rumore, in √ unit`a di decibel, in funzione della resistenza di sor√ 10 nV/ Hz e In = 10 fA/ Hz (Tn = 3.6 K). In alto per gente, in ohm.√In basso per Vn =√ Vn = 100 nV/ Hz e In = 100 fA/ Hz (Tn = 360 K). In entrambi i casi la resistenza ottima e` Rs0 = Rn = 1 MΩ

come valore massimo accettabile per la figura di rumore. Una situazione di questo tipo e` certamente vantaggiosa nel caso di uno strumento di impiego generale. Per caratterizzare efficacemente il rumore di questi strumenti, tenendo presente che il fattore di rumore dipende in generale dalla frequenza, si utilizzano spesso i cosiddetti contorni di rumore (noise contours). Questi grafici rappresentano nel piano frequenza, resistenza di sorgente i luoghi dei punti dove la figura di rumore assume valori costanti. Esercizio 9.1 Utilizzare la Fig. 9.2 per determinare il valore di In del preamplificatore 5113 alla frequenza di 1 kHz. Ma si possono tracciare contorni di rumore anche in funzione di altre grandezze, per esempio quelle relative al punto di lavoro di un transistore come in Fig. 9.3. Esempio 9.1 Calcolare Vn e In conoscendo la figura di rumore. Consideriamo il caso di una sorgente resistiva. Quando la resistenza Rs assume valori sufficientemente bassi rispetto alla resistenza di rumore Rn , l’espressione (9.2) pu`o essere cos`ı Vn2 . E` allora immediato ricavare Vn dalla conoscenza del approssimata: F = 1 + 4kT 0 Rs valore del fattore di rumore F o della figura di rumore NF per un dato valore della resistenza di sorgente a una data frequenza. In quest’ultimo caso, utilizzando la (9.3), si ricava infatti: 

Vn = 2 kT0 Rs 10NF/10 − 1 . Nel caso di valori sufficientemente elevati della resistenza Rs , un analogo ragionamento conduce alla seguente determinazione di In : 

kT0 NF/10 10 −1 . In = 2 Rs

60

9 Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

4 Fig. 9.2 √ Contorni di rumore del preamplificatore 5113 prodotto da Signal Recovery , con Vn = 4 nV/ Hz a 10 kHz

Esercizio 9.2 Determinare i valori di Vn e In per il transistore rappresentato in Fig. 9.3 in alto quando e` polarizzato con IC = 1 mA.

9.2 La temperatura di rumore e il numero di rumore Come svincolare la caratterizzazione del rumore di una rete due porte dalle propriet`a della sorgente (impedenza e temperatura), superando cos`ı i problemi che sorgono quando si utilizza il fattore di rumore? Un passo in questa direzione consiste nel caratterizzare la rete con una temperatura equivalente di rumore (Tn ) che ne rappresenti il rumore quando la porta d’ingresso e` terminata sulla sorgente: Tn = 4

Vn2 (ω) + In2 (ω) |Zs ( jω)|2 4kRs

http://www.signalrecovery.com/index.html

(9.7)

9.2 La temperatura di rumore e il numero di rumore

61

Fig. 9.3 Contorni di rumore a 1 kHz nel piano corrente di collettore, resistenza di sorgente per il transistore 2SC3329, prodotto da Toshiba. Tale dispositivo e` caratterizzato da un valore particolarmente basso (2 Ω ) della resistenza rbb (§ 10.3)

trascurando anche qui gli effetti di correlazione. Questa grandezza, come mostra l’espressione precedente, si pu`o interpretare come la temperatura a cui va portata la sorgente perch´e produca rumore termico pari a quello totale all’ingresso della rete quando la sorgente si trova a temperatura assoluta nulla. E quindi, ricordando la (8.8), si trova che il rumore totale, somma dei contributi della sorgente e della rete, e` uguale a quello che produrrebbe la sorgente portata alla temperatura data dalla somma di quella a cui essa si trova effettivamente (Ts ) e della temperatura equivalente del circuito (Tn ) data dalla (9.7): St (ω) = 4 kRs (Ts + Tn ). Infine, la caratterizzazione del rumore della rete viene totalmente svincolata dalle propriet`a della sorgente quando si considera il valore minimo della temperatura equivalente anzidetta, che si ottiene nel caso di adattamento al rumore, discusso nel paragrafo precedente, cio`e quando l’impedenza della sorgente assume il valore ottimale Rs = Rs0 = Rn . Notando che questa grandezza, data dalla (9.5), dipende dalle propriet`a di rumore della rete ma non dalla sorgente. Sostituendo Rn nella (9.7) si

62

9 Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

ottiene cos`ı la temperatura di rumore  Vn2 In2 Tn = 2k

(9.8)

che, esprimendo gli spettri di ampiezza nelle unit`a pratiche usuali (nV/Hz e fA/Hz), si pu`o porre nella forma seguente, espressa in unit`a di millikelvin: Tn = 36.2 Vn In [mK].

(9.8a)

La temperatura di rumore pu`o essere interpretata come la temperatura a cui va portata la sorgente, quando siano verificate le condizioni di adattamento (9.4), perch´e lo spettro del rumore totale si raddoppi rispetto a quando la sorgente si trova allo zero assoluto. Un’altra interpretazione, fisicamente assai significativa, e` quella di energia di fluttuazione all’ingresso del circuito, in particolare all’ingresso di un dispositivo o di un amplificatore. Sostituendo la (9.8) nell’espressione del fattore di rumore minimo (9.6), si ricava la relazione: Fmin = 1 + Tn /T0 (9.9) dove ricordiamo che T0 = 290 K e` la temperatura di riferimento usata nella definizione del fattore di rumore. Ci si pu`o chiedere ora se sia possibile realizzare un amplificatore con temperatura di rumore piccola a piacere, al limite nulla. La risposta al quesito e` negativa per gli amplificatori lineari perch´e condurrebbe a violare il principio di indeterminazione di W. Heisenberg. Ammettiamo infatti che si possa realizzare un amplificatore privo di rumore con guadagno di potenza G, cio`e tale che a un fotone ricevuto in ingresso ne corrispondano G in uscita, e sfasamento costante θ . Cos`ı, n1 fotoni in ingresso produrrebbero n2 = Gn1 fotoni in uscita, con fase spostata di θ rispetto a quella d’ingresso. Ora sappiamo dalla meccanica quantistica che un rivelatore ideale consente di misurare il numero dei fotoni e la loro fase con incertezze Δ n e Δ ϕ, il cui prodotto non pu`o essere inferiore al limite posto dal principio di indeterminazione Δ nΔ ϕ ≥ 1/2.

(9.10)

Misurando i fotoni d’ingresso, si avrebbe quindi l’incertezza Δ n1 ≥ 1/2Δ ϕ1 sul loro numero. Lo stesso rivelatore collegato all’uscita dell’amplificatore misurerebbe gli n2 fotoni e la loro fase con la condizione Δ n2 Δ ϕ2 ≥ 1/2, cio`e GΔ n1 Δ ϕ1 ≥ 1/2 essendo Δ ϕ2 = Δ ϕ1 grazie allo sfasamento costante θ . Da tale misura si potrebbe quindi risalire al numero dei fotoni d’ingresso con incertezza minima Δ n1 = 1/2GΔ ϕ1 , che sarebbe G volte inferiore a quella stabilita prima. Cosa evidentemente impossibile. L’amplificatore deve dunque necessariamente introdurre rumore. E quindi la sua temperatura di rumore non pu`o annullarsi. Sulla base di analoghi ragionamenti, H. Heffner [39] ha dimostrato che il limite inferiore per la temperatura di rumore di un amplificatore alla frequenza f e` dato

9.3 La carica equivalente d’ingresso

63

dall’espressione hf . (9.11) k ln 2 Si noter`a che il limite di Heffner, chiamato anche limite quantistico (quantum limit) corrisponde sostanzialmente all’energia di un fotone, riflettendo cos`ı la natura quantizzata dell’energia. Esso e` quindi direttamente proporzionale alla frequenza: in particolare a 1 kHz si ha Tn min = 6.92 · 10−8 K. Tale valore e` molto inferiore a quanto e` effettivamente ottenibile anche con i migliori dispositivi a semiconduttore, ma non lontano dalle prestazioni fornite dai pi`u sensibili dispositivi superconduttori (§ 10.6). La dipendenza dalla frequenza del limite quantistico suggerisce di incorporarla nella caratterizzazione del rumore dei dispositivi e degli amplificatori, introducendo il cosiddetto numero di rumore (noise number), che rappresenta appunto il numero di quanti di energia a cui l’amplificatore e` sensibile, indicandone quindi direttamente la distanza dal limite quantistico. Notiamo tuttavia che quanto detto finora riguarda gli amplificatori lineari, ma non altri schemi, i quali consentono di ottenere amplificazione con rumore inferiore al limite quantistico. Amplificazione idealmente senza rumore e` fornita dagli amplificatori parametrici [40, 41], in particolare dagli up converters nei quali la frequenza del segnale viene convertita, in uscita, in una pi`u elevata, grazie all’interazione con un’onda di alimentazione (segnale di “pompa”) a frequenza fissa in un elemento non lineare (e non dissipativo, per evitare fluttuazioni addizionali). Qui, ragionando in termini di fotoni, il loro numero resta invariato, ma aumenta la loro energia grazie alla conversione a una frequenza pi`u alta, senza violare quindi la condizione (9.10). Altri schemi di amplificazione, chiamati ad evasione quantistica (quantum evading), aggirano i vincoli posti dal principio d’indeterminazione consentendo di eseguire misure estremamente precise di un grandezza a spese di una maggiore incertezza sulla grandezza coniugata (per esempio, l’energia e il tempo) [42, 43]. Tn min =

9.3 La carica equivalente d’ingresso La caratterizzazione del rumore dei circuiti pu`o essere orientata alla misura di una particolare grandezza fisica. Un caso importante, che ora discutiamo in qualche dettaglio, e` quello della misura della quantit`a di carica elettrica rilasciata da un rivelatore (tipicamente capacitivo) attraverso un breve impulso di corrente, usando un amplificatore di carica5 (charge amplifier), cio`e un amplificatore con reazione negativa capacitiva funzionante in regime impulsivo6 [44, 45]. In questi strumenti il 5 La denominazione di questi strumenti, di origine storica, e ` sicuramente impropria dal momento che essi non amplificano affatto la carica. Si tratta piuttosto di convertitori carica-tensione. 6 Non lavorano in regime impulsivo gli amplificatori di carica utilizzati nella misura delle vibrazioni meccaniche, perch´e la loro funzione e` quella di convertire in una tensione la carica elettrica, funzione del tempo, generata da un trasduttore piezoelettrico in risposta alle vibrazioni a cui e` soggetto.

64

9 Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

Fig. 9.4 Il generatore di rumore In rappresenta tutto il rumore di corrente nel nodo d’ingresso (rumore shot del rivelatore, rumore dell’amplificatore)

rumore viene infatti caratterizzato in termini della carica di segnale per cui si ha rapporto SNR unitario. Chiamata carica equivalente di rumore ENC (equivalent noise charge), questa grandezza rappresenta il rumore totale dello strumento riportato in ingresso come carica elettrica. Un impiego tipico degli amplificatori di carica consiste nel misurare la carica generata da un rivelatore a giunzione, che e` direttamente proporzionale all’energia persa da una particella ionizzante quando essa attraversa la regione sensibile del rivelatore. In queste misure l’amplificatore di carica ha il compito di integrare l’impulso di corrente d’ingresso, che rappresentiamo con i(t) = Qδ (t) in quanto tipicamente molto breve (alcuni nanosecondi), producendo un gradino di tensione proporzionale alla carica totale, che viene poi applicato a un circuito formatore (shaper). Quest’ultimo provvede a trasformare il fronte del gradino in un impulso di tensione, di ampiezza proporzionale alla carica Q e durata di solito dell’ordine del microsecondo (allo scopo di evitare la sovrapposizione fra le risposte prodotte da impulsi d’ingresso che si susseguono a breve distanza e quindi poter misurare correttamente la carica associata a ciascun evento), che viene poi acquisito. Chiamiamo ora Ct la somma della capacit`a del rivelatore, della capacit`a d’ingresso dell’amplificatore e di tutte le capacit`a parassite (incluse quelle del cavo di collegamento fra rivelatore e amplificatore), CF la capacit`a di reazione e C la capacit`a totale del nodo d’ingresso (C = Ct + CF ). Se il guadagno A dell’amplificatore e` molto maggiore dell’unit`a e la capacit`a Miller (ACF ) e` molto maggiore di Ct , allora la carica rilasciata dal rivelatore si ritrova quasi integralmente nel condensatore CF . E quindi all’uscita dell’amplificatore di carica la risposta al segnale e` un gradino di tensione di ampiezza Q/CF . Se il formatore ha funzione di trasferimento H(s) = τs/(1 + τs)2 , alla sua uscita si trova un impulso di ampiezza Q/eCF (dove e = 2.718). Lo spettro di potenza del rumore di tensione all’uscita dell’amplificatore (conglobando in In2 tutti i contributi al rumore di corrente nel nodo d’ingresso, incluso il rumore shot del rivelatore) e` S(ω) = In2 /ω 2CF2 +Vn2C2 /CF2 . Nell’ipotesi semplificativa che gli spettri di rumore siano bianchi, la varianza σo2 del rumore di tensione all’uscita del formatore si pu`o calcolare utilizzando la (3.2) e integrando direttamente, oppure usando il metodo della banda equivalente di rumo-

9.4 La potenza equivalente di rumore (NEP)

65

re trattato nel § 3.2. E in quest’ultimo caso vanno considerati separatamente i due termini dello spettro S(ω), che presentano due diverse dipendenze dalla frequenza. Si ottiene cos`ı:   1 C2Vn2 σo2 = 2 τIn2 + τ 8CF che per τ = CVn /In assume il valore minimo σo2 min = (C/4CF2 )Vn In . Imponendo la condizione SNR = 1, cio`e l’uguaglianza della deviazione standard del rumore e dell’ampiezza Q/eCF del segnale all’uscita del formatore, si ricava la seguente espressione per la carica equivalente di rumore in ingresso:  e C k Tn CVn In = e ENC = (9.12) 2 2 che ne evidenza la dipendenza dalle capacit`a del circuito e dal rumore del sistema (non del solo amplificatore ma anche del rivelatore). Ma si possono usare formatori pi`u efficienti, “adattati” alla forma effettiva degli impulsi, con una conseguente, seppur moderata, riduzione del valore di ENC. Notiamo infine che la carica ENC pu`o essere espressa in numero di cariche elementari, dividendola per qe , oppure riportata in energia, ricordando che la rottura di un legame covalente nel silicio richiede circa 3.6 eV. Esercizio 9.3 Calcolare √ l’energia minima√rivelabile da un rivelatore al silicio con C = 20 pF, Vn = 5 nV/ Hz e In = 20 fA/ Hz.

9.4 La potenza equivalente di rumore (NEP) Un altro caso, che ci limitiamo a menzionare assai brevemente, e` quello in cui la misura riguarda la potenza di radiazione elettromagnetica (a microonde, nell’ottico o in qualsiasi altra banda dello spettro). Si considera, pi`u precisamente, la potenza incidente su un rivelatore (un fotodiodo, un fotoconduttore, un bolometro), che da questo viene convertita in una corrente o in una tensione. In questo caso si usa riportare il rumore di tutto il sistema di misura al rivelatore, esprimendolo in termini di potenza, utilizzando la cosiddetta potenza equivalente di rumore o NEP (noise equivalent power). Tale grandezza e` definita come la potenza che all’uscita del sistema produce un segnale pari al valore efficace del rumore nella banda di 1 Hz [20]. Come esempio consideriamo un fotodiodo, per cui la corrente di segnale e` proporzionale alla potenza radiativa incidente PEM secondo la legge: I(λ ) = R(λ )PEM

66

9 Fattore di rumore, temperatura di rumore, . . .

dove R(λ ) rappresenta la responsivit`a del rivelatore, generalmente dipendente dalla lunghezza d’onda della radiazione, in unit`a di A/W. Se In e` lo spettro d’ampiezza del rumore di corrente del fotodiodo e dell’amplificatore (pi`u precisamente, del rumore totale del sistema riportato in ingresso come rumore di corrente), allora dall’uguaglianza fra In e I In = R (λ ) NEP (λ ) si ricava la potenza equivalente di rumore NEP (λ ) = √ che risulta espressa in unit`a di W/ Hz.

In R (λ )

(9.13)

10

Il rumore dei dispositivi

10.1 Componenti passivi Il rumore termico dei resistori e` stato discusso nel Capitolo 4. Qui ci limitiamo ad aggiungere che la resistenza di questi componenti non e` in generale costante con la frequenza, sicch´e il rumore termico varia corrispondentemente. Nei conduttori metallici si manifesta l’effetto pelle, addensando la corrente nella loro periferia in misura crescente al crescere della frequenza: a questa riduzione della sezione utile si accompagna naturalmente un aumento della resistenza, che segue la legge approssimata    f (10.1) R( f ) ≈ R0 1 + f0 dove R0 e` la resistenza in continua e f0 una frequenza caratteristica che dipende sia dal metallo che dalla geometria del conduttore. Nei resistori a composizione e a carbone si manifesta l’effetto Boella [46], che provoca invece una riduzione della resistenza al crescere della frequenza, di entit`a apprezzabile anche a frequenze relativamente basse (kHz) per resistori di valore particolarmente alto (GΩ). Il rumore 1/ f e` stato introdotto nel Capitolo 6. Sappiamo dunque che nei resistori percorsi da una corrente continua I, si manifesta generalmente rumore di tipo 1/ f , in eccesso rispetto a quello termico, che si pu`o interpretare in termini di fluttuazioni della resistenza. Lo spettro di ampiezza di tensione e` descritto pi`u o meno esattamente dalla seguente legge empirica, derivata dalla (6.10) 

m IR Svv ( f ) = √ f

(10.2)

dove il parametro m dipende dal materiale e dalla tecnologia costruttiva. I valori pi`u bassi di m, per cui e` pi`u bassa anche la frequenza d’incrocio rispetto al rumore termico, si hanno per i resistori a filo metallico; valori pi`u consistenti si hanno, in ordine crescente, per i resistori a strato metallico, per quelli a carbone e per quelli Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

68

10 Il rumore dei dispositivi

a impasto o a composizione (m ∼ 10−6 ÷ 10−7 ), coerentemente con l’ipotesi della dipendenza del rumore 1/ f dal grado di disuniformit`a del materiale. In alternativa, il rumore dei resistori si rappresenta con l’indice di rumore (noise index) in termini di μVe f f di rumore in una decade di frequenza per volt in continua ai capi del resistore: per un resistore a impasto questa grandezza ha valori tipicamente compresi fra 0.1 e 3 μVe f f /IR; fra 0.01 e 0.02 μVe f f /IR per un resistore a filo metallico. Ma in ogni caso e` importante la caratterizzazione sperimentale del rumore a bassa frequenza, che risulta particolarmente delicata per i resistori di alto valore [47]. Esempio 10.1 Il rumore 1/f di un resistore con valore dato dell’indice di rumore. Vogliamo calcolare il valore efficace del rumore 1/ f fra 1 e 100 Hz per un resistore di resistenza R = 1000 Ω con indice di rumore NI = 1/IR μVe f f /decade, quando e` attraversato da una corrente di intensit`a I = 1 mA. In una decade di frequenza si ha per definizione: Ve f√f = NI · IR = 10−6 × (10−3 × 3 10 ) = 10−6 V. Nelle due decadi considerate, Ve f f = 2 × 10−6 V. Esercizio 10.1 Calcolare come varia il rumore 1/ f quando un resistore di resistenza R viene sostituito con n resistori di resistenza R/n disposti in serie, se il rumore 1/ f dei resistori segue la legge (10.2). Esercizio 10.2 Calcolare la frequenza d’incrocio fc per il resistore considerato nell’Esempio 10.1. Ricordiamo che la varianza del rumore di tensione di un condensatore di capacit`a C e` data dalla (4.11), ottenuta applicando il principio di equipartizione dell’energia, che qui ripetiamo: kT σv2 = . (10.3) C Con analogo ragionamento si trova la varianza del rumore di corrente associato a un induttore di induttanza L: kT . (10.3a) σi2 = L Ma in entrambi i casi la forma degli spettri del rumore dipende dalle dissipazioni, che sono sempre presenti nei componenti reattivi reali, e dalla loro dipendenza dalla frequenza. Questi fenomeni dissipativi vengono usualmente caratterizzati globalmente in termini di un fattore di merito, definito1 come rapporto fra il modulo delle parte immaginaria e la parte reale dell’impedenza del bipolo: Q=

|Im[Z( jω)]| |X(ω)| = . Re[Z( jω)] R(ω)

(10.4)

Ricordiamo che nel caso dei circuiti risonanti il fattore di merito e` definito diversamente: Q = ω0 L/R nel circuito RLC serie, Q = R/ω0 L nel circuito RLC parallelo, dove ω0 e` la pulsazione di risonanza ed R rappresenta nel primo la resistenza disposta in serie e nel secondo quella in parallelo. 1

10.1 Componenti passivi

69

Fig. 10.1 Circuiti equivalenti semplificati di un condensatore e di un induttore reale. Le dissipazioni sono qui rappresentate con una resistenza R in serie, tipicamente dipendente dalla frequenza, alla quale e` associata la generazione di rumore termico. In alternativa, e` possibile rappresentare le dissipazioni con resistenze disposte in parallelo

Il fattore di merito e` dunque una grandezza generalmente dipendente dalla frequenza, con valori generalmente pi`u elevati nei condensatori che negli induttori, a parte il caso molto particolare degli induttori superconduttori. Le dissipazioni dei condensatori, che sono dovute sia alle perdite nel dielettrico che alla resistenza dei conduttori, sono usualmente caratterizzate specificando il reciproco del fattore di merito, chiamato fattore di perdita e indicato come tan δ . In alcuni tipi di dielettrici usati nei condensatori si trova che il fattore di perdita dipende relativamente poco dalla frequenza, e pu`o risultare addirittura costante in un certo intervallo. In tale caso (6.4) lo spettro del rumore di tensione ha un andamento del tipo 1/ f . Esercizio 10.3 Confrontare graficamente gli spettri del rumore termico, nella regione fra 10 Hz e 10 kHz, di due condensatori da 10 nF. Uno con dissipazioni caratterizzate da tan δ = 10−3 ; l’altro, da un resistore (30 Ω ) in serie e uno (0.5 GΩ ) in parallelo all’elemento ideale. Negli induttori e nei trasformatori le dissipazioni, e il rumore ad esse associate, hanno origine sia nella resistenza ohmica dei conduttori sia nel nucleo magnetico, se presente, come perdite dovute all’isteresi, sia anche negli effetti dovuti alla presenza di conduttori esterni soggetti al campo disperso di questi componenti (effetto prossimit`a). Nel nucleo magnetico, inoltre pu`o manifestarsi il rumore magnetico chiamato rumore di Barkhausen, che e` dovuto a variazioni delle dimensioni e dell’orientamento dei domini magnetici. Citiamo anche il caso estremo dei trasformatori senza nucleo magnetico con avvolgimenti superconduttori, in cui si possono manifestare dissipazioni dovute alle perdite del dielettrico che costituisce il rivestimento isolante dei conduttori. Ricordiamo infine che i componenti induttivi sono in generale sensibili alle variazioni dei campi magnetici esterni, introducendo quindi disturbi, a causa di questi accoppiamenti, dalla frequenza di rete alle radiofrequenze, se non ben schermati.

70

10 Il rumore dei dispositivi

10.2 I diodi a giunzione La corrente che attraversa una giunzione p-n ideale e` descritta dall’equazione di Shockley I = I0 (exp(V /VT − 1), dove I0 e` la corrente di saturazione inversa e VT = kT /qe la cosiddetta “tensione termica”, cio`e l’equivalente in tensione della temperatura. Quest’ultima grandezza, a temperatura ambiente (290 K), vale 25 mV. Per tener conto del contributo dei fenomeni di generazione e ricombinazione nella zona di svuotamento (particolarmente vistosi nei dispositivi al silicio), l’equazione di Shockley viene di solito modificata nella forma     V I = I0 exp −1 (10.5) mVT dove m e` un parametro compreso fra 1 e 2. Tale espressione pu`o essere ulteriormente modificata per tener conto della resistenza ohmica

Ri intrinseca

 delsemiconduttore, V −Ri I exp −1 . che introduce una caduta di tensione IRi : I = I0 mVT Derivando la (10.5) rispetto a V si ottiene la conduttanza differenziale del diodo:   V I0 dI I + I0 = exp . (10.6) g= = dV mVT mVT mVT I due addendi che figurano nella (10.5) rappresentano rispettivamente la corrente diretta I0 (exp(V /mVT )), dovuta ai portatori maggioritari e la corrente di saturazione −I0 , dovuta ai portatori minoritari. Si tratta di due correnti dirette in versi opposti, che generano indipendentemente rumore per effetto shot, producendo complessivamente lo spettro   V 2 Sii = In = 2qe I0 + 2qe I0 exp (10.7) = 2qe (2I0 + I) . mVT In polarizzazione diretta, cio`e per V > 0, la corrente diretta e` generalmente largamente dominante sicch´e lo spettro del rumore si semplifica nella forma In2 = 2qe I. In polarizzazione inversa, cio`e per V < 0, che e` la tipica condizione di lavoro dei fotodiodi e dei rivelatori a giunzione di radiazioni ionizzanti, lo spettro si riduce a In2 = 2qe I0 . E qui ricordiamo la dipendenza esponenziale di I0 dalla temperatura, che suggerisce di raffreddare i dispositivi per ridurne il rumore. In polarizzazione nulla (V = 0) la corrente totale I si annulla, perch´e si equilibrano due correnti di intensit`a I0 e −I0 , ma non si annulla il rumore ad esse associato e quindi si ha: In2 = 4qe I0 , come gi`a osservato nel Capitolo 5. Tutto ci`o, naturalmente, nel caso di full shot noise, cio`e in assenza di fenomeni di regolarizzazione del flusso dei portatori, e fino alle frequenze dove intervengono le capacit`a del diodo, cio`e la capacit`a di transizione della giunzione e la capacit`a di diffusione dovuta all’immagazzinamento dei portatori maggioritari, e gli effetti del tempo di transito attraverso la giunzione, discussi nel Capitolo 5. Mentre alle frequenze pi`u basse pu`o manifestarsi rumore 1/ f , la cui entit`a dipende dalle specifiche

10.3 Transistori bipolari

71

Fig. 10.2 Circuito equivalente per piccoli segnali di un diodo, che evidenzia il generatore di rumore shot In e il generatore di rumore termico Vn associato alla resistenza ohmica Ri

tecnologie realizzative, come d’altronde avviene per tutti i dispositivi elettronici a semiconduttori. In conclusione, trascurando gli effetti ad alta frequenza, il rumore di un diodo pu`o essere caratterizzato, con riferimento allo schema equivalente in Fig. 10.2, da un generatore di corrente con spettro   2π fc Sii (ω) = In2 (ω) = 2qe (2I0 + I) 1 + (10.8) ω dove fc indica la frequenza d’incrocio del rumore 1/ f rispetto al rumore shot, e da uno di tensione, spesso trascurabile, che rappresenta il rumore termico della resistenza serie Ri , con spettro Svv (ω) = Vn2 (ω) = 4kT Ri .

(10.9)

10.3 Transistori bipolari Per rappresentare il rumore dei transistori bipolari a giunzione (BJT, bipolar junction transistors) sono stati sviluppati vari modelli, alcuni dei quali descritti in [A, D, E, F]. In quanto segue ci limitiamo a una trattazione molto semplificata, considerando soltanto i fenomeni essenziali. Notiamo comunque che, in generale, il rumore riportato all’ingresso dei dispositivi subisce un aumento rispetto alle frequenze intermedie, sia alle frequenze pi`u basse, a causa di contributi 1/ f , sia ad alta frequenza, perch´e il loro guadagno diminuisce al crescere della frequenza. In un transistore bipolare vi sono due giunzioni p-n. Nel funzionamento normale in zona attiva, una di queste, polarizzata direttamente, e` attraversata dalla corrente di emettitore IE ; l’altra, polarizzata inversamente, dalla corrente di collettore IC . Parrebbe ragionevole associare alle due correnti il corrispondente effetto shot, ma cos`ı facendo si troverebbe una fortissima correlazione fra i due spettri di rumore per il semplice motivo che la corrente di emettitore e` la somma di quella di base e

72

10 Il rumore dei dispositivi

Fig. 10.3 I tre generatori all’origine del rumore di un transistore bipolare (rappresentato in figura come privo di rumore)

quella di collettore2 . Per ottenere spettri di rumore fra loro non correlati e` invece conveniente associare il rumore shot alla corrente di collettore e a quella di base. Cos`ı procedendo, si ha un generatore di corrente di rumore disposto in parallelo alla giunzione base-emettitore, determinato dalla corrente continua di base IB , con 2 = 2q I , e un generatore di corrente di rumore in parallelo fra collettore spettro InB e B 2 = ed emettitore, determinato dalla corrente continua di collettore IC , con spettro InC 2qe IC . Vi e` poi il rumore termico delle resistenze del semiconduttore in serie agli elettrodi del dispositivo. Di queste si considera di solito soltanto quella in serie alla base3 , indicata con il simbolo rbb . Disponiamo pertanto in serie alla base un generatore di tensione di rumore con spettro Vn2rbb = 4kTrbb . Volendo per`o rappresentare il rumore nella forma standard introdotta nel §8.2, cio`e con un generatore di tensione Vn in serie all’ingresso (base) e uno di corrente In in parallelo all’ingresso (fra base ed emettitore), occorre riportare in ingresso il rumore di corrente shot d’uscita. Il suo contributo al generatore Vn si ottiene dividendo InC per la transconduttanza gm del transistore, ricordando che tale grandezza si pu`o esprimere come gm = IC /VT = qe IC /kT . E quindi il contributo del rumore InC allo spettro del rumore di tensione d’ingresso e` :

2 InC g2m

Vn2 = 4kTrbb +

=

2k2 T 2 qe IC .

Sicch´e lo spettro totale e` :

2k2 T 2 qe IC

che per quanto sopra si pu`o riscrivere nella seguente forma alternativa   1 2 Vn = 4kT rbb + . 2gm

(10.10)

(10.10a)

2 Senza farsi trarre in inganno dalla nota relazione I = I + I che proviene dalla convenzione usuale di E B C assegnare segno positivo alle correnti entranti negli elettrodi. 3 Il valore di tale resistenza, che a rigore dipende dal punto di lavoro del transistore, e ` generalmente compreso fra qualche ohm e un centinaio di ohm: decisamente pi`u elevato, anche per motivi geometrici, di quello delle resistenze parassite in serie al collettore e all’emettitore. Il simbolo rbb deriva dal fatto che questa resistenza collega il terminale esterno di base (B) con la regione interna della base (B ) che controlla effettivamente il flusso delle correnti nel dispositivo.

10.3 Transistori bipolari

73

Fig. 10.4 Circuito equivalente semplificato per piccoli segnali di un transistore bipolare, con il rumore rappresentato da due generatori in ingresso con spettri dati dalle (10.10) e (10.11). La dipendenza dalla frequenza della risposta del transistore pu`o essere rappresentata disponendo in parallelo alla resistenza rπ una capacit`a di valore Cπ = β0 /ωT rπ

Ma il generatore InC contribuisce anche al rumore di corrente In , il quale deve rappresentare il rumore del dispositivo anche quando l’ingresso e` aperto e conseguentemente il generatore Vn non agisce. Tale contributo si ottiene dividendo InC per il guadagno di corrente. Ricordando che il guadagno di corrente e` dato dall’espressione β0 β ( jω) = 1 + jωβ0 ωT dove β0 e` il guadagno di corrente in continua e ωT = 2π fT e` la pulsazione di guadagno unitario, si conclude che il contributo di InC a In e` :

2 InC . |β ( jω)|2

Sicch´e lo spettro

totale del rumore di corrente d’ingresso e` : In2 (ω) = 2qe IB +

2qe IC |β ( jω)|2

 = 2qe IB 1 +

β0

 (10.11)

|β ( jω)|2

manifestando cos`ı un effetto di crescita ad alta frequenza, con un contributo proporzionale a f 2 , che interviene quando si oltrepassa la frequenza critica ω√T . 2π

β0

Dato che il generatore InC contribuisce a entrambi gli spettri di rumore d’ingresso, questi presentano correlazione. Tale correlazione e` tuttavia trascurabile a bassa frequenza perch´e in tali condizioni il contributo di InC allo spettro (10.11) e` β0 volte inferiore a quello di InB . Esaminando la (10.10), si osserva che il contributo termico di rbb allo spettro di tensione e` dominante per alte correnti di collettore mentre a correnti pi`u basse (IC < kT /2qe rbb = VT /2rbb ) prevale il contributo shot, inversamente proporzionale a IC . Dato che il rumore di corrente e` direttamente proporzionale a IC , si conclude che e` possibile modificare il rapporto fra i due spettri con opportune scelte della corrente di polarizzazione. La forte dipendenza dalla temperatura dell’espressione dello spettro di tensione potrebbe suggerire di raffreddare i dispositivi per ridurne il rumore, ma questa soluzione e` scarsamente efficace perch´e quando la temperatura diminuisce apprezzabilmente rispetto a quella ambiente le prestazioni dei transistori bipolari peggiorano, in particolare si riduce il guadagno β .

74

10 Il rumore dei dispositivi

Esercizio 10.4 Calcolare il valore della corrente di collettore a cui i due contributi al rumore di tensione d’ingresso si eguagliano per un transistore con rbb = 20 ohm. Notiamo infine che le espressioni date sopra forniscono soltanto dei limiti inferiori per gli spettri del rumore, anche a causa delle presenza di contributi di tipo 1/ f , soprattutto per quanto riguarda il rumore di corrente, che sono rappresentabili modificando la (10.11) nella forma   2π fc 2qe IC 2 In (ω) = 2qe IB 1 + . (10.11a) + ω |β ( jω)|2

10.4 Transistori a effetto di campo Il funzionamento dei transistori a effetto di campo a giunzione (JFET) e` basato sul controllo della corrente ID che scorre in uno strato di semiconduttore, detto canale, fra gli elettrodi drain e source posti a suoi estremi, attraverso la tensione VGS applicata fra l’elettrodo porta, o gate, e il source. Il controllo agisce attraverso la giunzione p-n, polarizzata inversamente, costituita dal canale stesso e da uno straterello semiconduttore fortemente drogato con polarit`a opposta a quella del canale, al quale e` applicata la tensione di gate. La tensione VGS , assieme alla tensione VDS agli estremi del canale, determina infatti lo spessore della zona di svuotamento di questa giunzione, che si estende soprattutto nel canale, modulandone lo spessore residuo utile e quindi la resistenza fra source e drain. Quando poi la tensione VGS assume il valore VP , detto di strozzamento o di pinchoff, il canale resta strozzato e la corrente ID si annulla. Il controllo sulla corrente del canale da parte della tensione applicata fra porta e source si esercita anche quando |VDS | > |VP | e il canale si riduce a uno strato molto sottile, che e` la condizione di funzionamento usuale di questi dispositivi. Tale condizione e` chiamata di saturazione perch´e quando e` verificata la corrente di drain non dipende apprezzabilmente dalla tensione VDS agli estremi del canale ma soltanto dalla tensione di controllo VGS . Questa dipendenza e` espressa con buona

Fig. 10.5 Schema semplificato di un JFET a canale N. Il tratteggio racchiude la zona di svuotamento della giunzione, che in generale dipende sia da VGS che da VDS , indicando l’effetto di riduzione dello spessore del canale utile al passaggio della corrente ID

10.4 Transistori a effetto di campo

75

approssimazione dalla legge  ID = IDSS

VGS 1− VP

2 (10.12)

dove IDSS e` la corrente di saturazione corrispondente a VGS = 0, e VP e` la tensione di pinchoff. La transconduttanza del dispositivo si ottiene dalla precedente derivando ID rispetto a VGS :   ∂ ID 2IDSS VGS 2 gm = =− IDSS ID . (10.13) 1− =− ∂VGS VP VP VP La principale sorgente di rumore nei JFET e` il canale, il cui rumore viene considerato generalmente come rumore termico sebbene sia effettivamente tale soltanto quando non si verifica la condizione di saturazione. Perch´e in saturazione, che e` il caso che interessa in pratica, i portatori che attraversano il canale (elettroni per un FET a canale N) non sono in equilibrio termodinamico, ma sono “caldi” e soggetti a collisioni con il reticolo (in tali condizioni la mobilit`a dei portatori non e` pi`u costante, ma inversamente proporzionale all’intensit`a del campo elettrico). L’espressione comunemente accettata per lo spettro del rumore di corrente del canale, del resto in buon accordo con i dati sperimentali, e` 2 Sdd = 4kT gm 3

(10.14)

che corrisponde al rumore termico di una conduttanza pari a 2/3 della transconduttanza. Il rumore del canale si manifesta tuttavia anche direttamente all’ingresso del FET, sul gate, a causa dell’accoppiamento capacitivo dovuto alla capacit`a Cgc fra gate e canale, data in prima approssimazione dalla somma delle capacit`a interelettrodiche Cgs (gate-source) e Cgd (gate-drain). Lo spettro di questo rumore di corrente indotto in ingresso dipende dalla frequenza secondo la legge4 [A] Sgg (ω) =

2 ω 2Cgc 16 4kT 135 gm

(10.15)

e presenta, come e` intuitivo, correlazione con il rumore di corrente del canale. Lo spettro incrociato, trattandosi di un accoppiamento capacitivo, e` immaginario: 1 Sdg ( jω) = 4kT jωCgc 9 con coefficiente di correlazione spettrale immaginario: c = √

(10.16) Sdg ( jω) Sdgg (ω)Sdd (ω)

= 0.395 j.

4 I coefficienti numerici che appaiono in questa formula e nelle successive sono il frutto di calcoli analitici, svolti tuttavia con notevoli approssimazioni.

76

10 Il rumore dei dispositivi

Dato che il rumore di corrente del canale, con spettro (10.14), si manifesta in uscita, fra drain e source, conviene riportarlo in ingresso, dividendolo per la transconduttanza. Si ottiene cos`ı lo spettro di tensione: Svv =

2 4kT . 3 gm

(10.17)

Al rumore di corrente in ingresso, oltre al rumore indotto, contribuisce principalmente il rumore shot associato alla corrente di gate IG , che e` assai minore della corrente che scorre nella base di un transistore bipolare, trattandosi di una giunzione polarizzata inversamente. E quindi il rumore shot d’ingresso Sshot = 2qe IG

(10.18)

e` sua volta assai minore che nei transistori bipolari: tre ordini di grandezza, assumendo valori tipici quali IB ∼ 10 μA e IG ∼ 10 pA. In conclusione, gli spettri di rumore dei due generatori equivalenti d’ingresso sono rispettivamente   2 4kT 2π fc 2 Vn (ω) = 1+ (10.19) 3 gm ω dove si e` rappresentato il contributo 1/ f , con frequenza d’incrocio fc (tipicamente compresa fra 1 e 100 Hz), ma si e` trascurato il rumore termico della resistenza parassita in serie all‘elettrodo source che talvolta si manifesta apprezzabilmente, e In2 (ω) = Sshot + Sgg (ω) = 2qe IG +

2 ω 2Cgc 16 4kT 135 gm

(10.20)

dove fortunatamente, di solito, non intervengono contributi apprezzabili di tipo 1/ f . Il rumore indotto, in pratica, si manifesta tipicamente a frequenze oltre 1 ÷ 10 kHz. Notiamo qui che mentre il rumore di tensione dei dispositivi viene usualmente specificato nei fogli tecnici, questo avviene solo di rado per il rumore di corrente. Si pu`o ricorre allora a stime basate sulla misura della corrente di gate IG e sull’impiego della formula (10.18), ma in tal caso occorre cautela, dato che la corrente totale misurata potrebbe risultare dalla somma di contributi di segno opposto, ciascuno separatamente soggetto a rumore shot.

Fig. 10.6 Rappresentazione del rumore di un transistore JFET a canale N

10.4 Transistori a effetto di campo

77

Per minimizzare il rumore conviene polarizzare i dispositivi a correnti di drain elevate (per esempio con ID = IDSS ), dato che lo spettro di tensione e` inversamente proporzionale alla transconduttanza, che a sua volta e` direttamente proporzionale √ a ID . Le prestazioni di rumore dei FET a giunzione possono venire notevolmente migliorate raffreddandoli. In tal modo il rumore del canale diminuisce, sia per la riduzione della temperatura sia per l’aumento della transconduttanza dovuto alla crescita della mobilit`a dei portatori. E cos`ı facendo si riduce anche il rumore shot, ricordando che la corrente inversa di una giunzione p-n dipende assai vivacemente dalla temperatura. Per questi dispositivi si ha spesso una condizione di ottimo attorno a 120-150 K. Notiamo tuttavia che proprio in questa regione di temperatura il rumore a bassa frequenza presenta talvolta dei picchi, dovuti a effetti di generazione-ricombinazione [48]. Il funzionamento dei transistori a effetto di campo a porta isolata o MOS (metal oxide semiconductor) e` anch’esso basato sul controllo della corrente di un canale semiconduttore attraverso la tensione applicata fra porta e source. Ma nei MOS la porta e` isolata dal canale grazie a un sottile straterello di ossido di silicio (o di altro isolante) di capacit`a Cox . Il canale esiste effettivamente per costruzione nei dispositivi detti a svuotamento, mentre in quelli ad accrescimento viene creato dalla tensione VGS per inversione, cio`e inducendo cariche minoritarie sulla superficie del semiconduttore sottostante l’ossido. La dipendenza della corrente del canale dalla tensione di controllo e` sostanzialmente la stessa che per i JFET. Considerando sempre la regione di saturazione, l’equivalente della (10.12) pu`o essere scritta con riferimento alla geometria usuale dei MOSFET nella forma seguente: ID =

μCox W (VGS −VT )2 2 L

(10.21)

dove VT e` la tensione di soglia per la conduzione, μ e` la mobilit`a dei portatori nel canale, L e` la lunghezza del canale e W la sua larghezza. Anche il rumore e` dato da espressioni analoghe a quelle dei JFET, ma con due importanti differenze. La prima riguarda l’assenza del rumore shot di gate, dato che

Fig. 10.7 Spaccato di un transistore MOS a canale N ad accrescimento, nel quale la conduzione fra source (S) e drain (D) e` assicurata dagli elettroni indotti nel substrato da una tensione di gate (G) sufficientemente positiva

78

10 Il rumore dei dispositivi

questi dispositivi la porta e` isolata dal canale. E quindi al rumore di corrente contribuisce l’effetto termico della resistenza di perdita Rgc fra gate e canale attraverso l’ossido (peraltro di valore assai elevato), sommandosi al contributo del rumore indotto dato dalla (10.15) : In2 (ω) =

2 ω 2Cgc 4kT 16 + . 4kT Rgc 135 gm

(10.22)

La seconda riguarda il rumore 1/ f , il quale e` tipicamente assai maggiore che nei dispositivi a giunzione. Perch´e vale ancora la (10.19), ma con frequenze d’incrocio relativamente alte, da 1 kHz a 1 MHz, sconsigliando pertanto l’impiego di questi dispositivi nella strumentazione a basso rumore. Le cause del rumore 1/ f nei MOS [49] sono attribuite alle fluttuazioni relative ai fenomeni d’intrappolamento e liberazione di cariche sia nello straterello isolante di ossido, riguardando cos`ı la superficie del canale sottostante, sia nelle imperfezioni presenti all’interno del semiconduttore che costituisce il canale. Il rumore dovuto a queste fluttuazioni e` tanto maggiore quanto minore e` il numero dei portatori nel canale e quanto minori sono le dimensioni del dispositivo. In particolare, a fronte dei vari modelli proposti vi e` accordo sul fatto che il contributo 1/ f al rumore del canale sia inversamente proporzionale al prodotto fra la lunghezza L e la larghezza W del canale [50].

10.5 Il rumore negli amplificatori operazionali Con il termine amplificatore operazionale s’intende comunemente sia un circuito integrato ad altissimo guadagno di tensione sia un circuito completo che impiega questo dispositivo per realizzare opportune funzioni. Il circuito integrato e` costituito da un amplificatore differenziale con un ingresso invertente (V − ) e uno non invertente (V + ), e normalmente con singola uscita Vo = A(V + − V − ), dove A e` il guadagno a ciclo aperto, che e` molto elevato in continua (105 − 107 ) ma presenta tagli a frequenze anche relativamente basse (fino a ∼ 10 Hz). Negli impieghi come amplificatore, l’operazionale e` di norma fortemente controreazionato, presentando di conseguenza guadagno a ciclo chiuso estremamente stabile, perch´e definito dai valori dei resistori impiegati nel circuito e perci`o pressoch´e indipendente dal valore del guadagno a ciclo aperto. La descrizione del rumore del modulo integrato pu`o esser fatta considerando separatamente i due ingressi, e quindi assegnando a ciascuno di essi un generatore di tensione di rumore e uno di corrente, come nella parte a) della Fig. 10.8. Tuttavia, pi`u spesso, dato che i dispositivi usati nello stadio differenziale d’ingresso sono praticamente identici (per scelta di progetto e perch´e realizzati in forma integrata) e quindi presentano lo stesso rumore, si utilizza un solo generatore di tensione, come nella parte b). Se√poi, con riferimento ai simboli in figura, si ha Vn− = Vn+ = Vn , ne consegue: Vn = 2Vn , sommando quadraticamente i due contributi dato che questi

10.5 Il rumore negli amplificatori operazionali

79

Fig. 10.8 Rappresentazioni del rumore di un amplificatore operazionale

due generatori, di pressoch´e identico valore, sono fisicamente diversi e quindi fra loro indipendenti. La rappresentazione completa del rumore richiederebbe inoltre di specificare anche gli spettri di correlazione fra i generatori di corrente e di tensione, il cui effetto tuttavia e` in pratica generalmente trascurabile. Notiamo inoltre che il rumore rappresentato dai due generatori di corrente e` effettivamente quello dei dispositivi d’ingresso, mentre a quello rappresentato dal generatore (o dai generatori) di tensione contribuisce sia il rumore dei dispositivi d’ingresso che anche (auspicabilmente poco) il rumore generato dagli altri componenti del circuito interno dell’operazionale, riportato in ingresso. Per quanto detto, il rumore d’ingresso e` sostanzialmente quello caratteristico dei dispositivi d’ingresso (transistori bipolari, JFET o MOSFET), le cui caratteristiche sono state discusse nei paragrafi precedenti. Vanno poi considerati i contributi al rumore dovuti ai componenti esterni che completano il circuito, tipicamente il rumore termico dei resistori. Come esempio, consideriamo l’amplificatore differenziale mostrato nella Fig. 10.9, calcolando separatamente il contributo di ciascun generatore di rumore, avendo assegnato a ciascun resistore R un corrispondente generatore di rumore termico con spettro 4kTR (per semplicit`a non rappresentato in figura). E qui ricordiamo che quando e` verificata la condizione R3 /R4 = R1 /R2 si ha Vo = −(Vs1 −Vs2 )R2 /R1 . Per facilitare i calcoli, il circuito che alimenta l’ingresso non invertente e` stato semplificato nella parte b) della figura, introducendo la resistenza R34 = R3 //R4 e modificando corrispondentemente il segnale d’ingresso: Vs2 = Vs2 R4 /(R3 + R4 ). I calcoli

Fig. 10.9 Amplificatore differenziale realizzato con un operazionale

80

10 Il rumore dei dispositivi

che seguono sono svolti nella approssimazione di guadagno infinito, che implica l’uguaglianza fra i valori delle tensioni ai due ingressi del circuito integrato. I risultati sono quindi validi con ottima approssimazione dalla continua su tutta la banda di frequenza dove il guadagno a ciclo aperto dell’operazionale e` molto maggiore di quello a ciclo chiuso. Del rumore 1/ f dell’amplificatore operazionale si potr`a poi tener conto, come sappiamo, moltiplicandone gli spettri per opportuni fattori della forma (1 + fc / f ), dove fc e` la frequenza d’incrocio che si deduce dai fogli tecnici forniti dai costruttori. 2 lo spettro di potenza della tensione d’uscita, ponendo I Indicando con Vno n− = In+ = In , e ammettendo che tutti i resistori si trovino a una stessa temperatura T, si ha: 2 (Vn ) =Vn2 (1+R2 /R1 )2 dove il fattore (1+ R2 /R1 ) e` talvolta chiamato noise gain Vno 2 Vno (In− ) = In2 R22 2 Vno (In+ ) = In2 R234 (1 + R2 /R1 )2 2 Vno (R1 ) = 4kT R22 /R1 2 Vno (R2 ) = 4kT R2 2 Vno (R34 ) = 4kT (R3 //R4 )(1 + R2 /R1 )2 .

E quindi lo spettro del rumore d’uscita e` la somma dei sei termini ricavati sopra. Il calcolo del rapporto SNR pu`o farsi in uscita. Oppure in ingresso, in tal caso riportando lo spettro d’uscita all’uno o all’altro dei due ingressi, tenendo presente che il guadagno dall’ingresso 1 all’uscita e` A1 = Vo /Vs1 = −R2 /R1

(10.23)

e quello dall’ingresso 2 all’uscita e` A2 = Vo /Vs2 = (1 + R2 /R1 )/(1 + R3 /R4 ) .

(10.24)

Esercizio 10.5 Calcolare lo spettro del rumore d’uscita di un inseguitore di tensione (voltage follower). Nel caso particolare dell’amplificatore invertente l’ingresso non invertente viene collegato direttamente a massa. Lo spettro del rumore d’uscita si ottiene utilizzando i risultati precedenti:     R2 2 2 2 R2 2 Vno = Vn2 1 + + In R2 + 4kT R2 1 + . R1 R1

(10.25)

Considerando ora R1 come resistenza di sorgente, con rumore termico 4kT R1 che in uscita produce lo spettro 4kT R22 /R1 , si pu`o ricavare il fattore di rumore del circuito procedendo come nel § 9.1, ma eseguendo il calcolo all’uscita del circuito invece

10.5 Il rumore negli amplificatori operazionali

81

che all’ingresso: F=

2 Vn2 (1 + R2 /R1 )2 In2 R1 R1 Vno + . = 1 + + 4kT R2 4kT R22 /R1 4kT R22 /R1

(10.26)

Tale espressione, nel caso di elevato guadagno a ciclo chiuso (R2  R1 ), pu`o essere V2 I2 R approssimata nella forma F ∼ = 1 + n + n 1 , da cui si ottiene il prevedibile risul4kT R1

4kT

tato che il fattore di rumore risulta minimo quando la resistenza di sorgente (R1 ) e`  uguale alla resistenza di rumore dell’operazionale Rn = Vn2 /In2 . La configurazione invertente presenta tuttavia lo svantaggio di inserire la sorgente in un ramo che definisce il guadagno del circuito. Questo inconveniente viene superato utilizzando la configurazione non invertente, cio`e applicando il segnale all’ingresso non invertente dell’operazionale tramite la sua impedenza Zs . In tal caso, riportando il rumore in ingresso con la (10.24) si ottiene lo spettro totale d’ingresso: Stt = Vn2 + In2 (R1 //R2 )2 + 4kT (R1 //R2 ) + 4kT Rs + In2 |Zs |2 .

(10.27)

Esercizio 10.6 Dimostrare la (10.27) e determinare il valore della resistenza di sorgente che minimizza il fattore di rumore. Un altro caso importante riguarda gli amplificatori a transresistenza o a transimpedenza (transimpedance amplifiers) usati tipicamente per convertire un segnale di corrente, per esempio proveniente da un fotodiodo, in uno di tensione. Questi circuiti sfruttano la controreazione in parallelo per ottenere una impedenza d’ingresso particolarmente bassa, grazie all’effetto Miller del resistore di reazione, consentendo cos`ı una buona misura del segnale di corrente anche in presenza di capacit`a, o altre impedenze, in parallelo all’ingresso. Qui conviene rapportare il rumore totale non al rumore termico della sorgente ma a un segnale di corrente con spettro Is2 . Indicando con Zs l’impedenza della sorgente e con R2 la resistenza di reazione, possiamo considerare il rapporto SNR spettrale in uscita: SNRo =

Is2 4kT Rs |Zs |2

2 |1+R 2 R22

+ In2 + Vn

/Zs |2 + 4kT R2

.

(10.28)

Ricordiamo infine che, oltre agli operazionali, sono disponibili moduli integrati che realizzano vari tipi di amplificatori, alcuni dei quali specificati come amplificatori a basso rumore. Anche per questi valgono le considerazioni fatte sopra e cio`e che il rumore d’ingresso e` essenzialmente quello dei dispositivi impiegati nello stadio d’ingresso. E quindi, in generale, dato che per i transistori bipolari e per i JFET le tensioni di rumore sono dello stesso ordine di grandezza, ma nei JFET le correnti di rumore sono assai minori, ne consegue che questi ultimi presentano le temperature di rumore pi`u basse e le resistenze di sorgente ottimali pi`u alte, come mostrato nella Tab. 10.1, che presenta dati relativi sia a transistori discreti sia a operazionali e amplificatori integrati.

82

10 Il rumore dei dispositivi

Tabella 10.1 Valori indicativi approssimati del rumore a 1 kHz di alcuni dispositivi elettronici Dispositivo

BJT, IC = 1 mA

Spettro d’ampiezza del rumore di tensione Vn √ [nV/ Hz] 1.8

Spettro Temperatura Resistenza d’ampiezza di rumore di rumore Rn del rumore Tn di corrente In √ [fA/ Hz] [K] [Ω] 1000 65 1.8 k

BJT, IC = 1 μA

14

50

25

300 k

2.5

160

15

15 k

4

10

1.5

400 k

0.6

2

0.043

300 k

320

100 k

LM394, IC = 50 μA BJT superbeta JFET 2SK162, ID = IDSS JFET basso rumore IF3601, ID = 5 mA JFET basso rumore

0.3

ampl. op. 741

30

300

ampl. op. OP27

3

300

33

10 k

ampl. op. OPA124

7

0.5

0.13

14 M

0.83

2400

72

350

ampl. EL2125

Per ottenere prestazioni di rumore decisamente migliori rispetto a quelle dei dispositivi considerati sinora occorre fare ricorso ai dispositivi elettronici superconduttori basati sull’effetto Josephson. Gli SQUID a radiofrequenza (RF SQUID), in particolare, hanno temperature di rumore attorno a 10−3 K, mentre gli SQUID in continua (DC SQUID), dei quali ci occupiamo brevemente nel prossimo paragrafo, consentono di arrivare fino a 10−5 K.

10.6 Cenni sul rumore dei DC SQUID I dispositivi chiamati SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) [51, 52] sono dei rivelatori di flusso magnetico estremamente sensibili, usati generalmente per convertire in una tensione un campo magnetico o una corrente che scorre in una bobina generando un campo. Il funzionamento di questi dispositivi e` basato: a) sulla quantizzazione del flusso magnetico, per cui il flusso magnetico racchiuso da una spira di superconduttore e` quantizzato in multipli interi del quanto elementare di flusso Φ0 = h/2qe = 2.068 · 10−15 Wb ; (10.29)

10.6 Cenni sul rumore dei DC SQUID

83

b) sull’effetto tunnel attraverso una (o pi`u) giunzioni Josephson, costituite da due superconduttori separati da un sottile straterello di isolante, abbastanza sottile perch´e possano attraversarlo le coppie di elettroni che costituiscono i portatori di carica nei superconduttori. La supercorrente I che attraversa una giunzione Josephson segue la legge I = I0 sen θ

(10.30)

dove I0 e` la corrente critica (cio`e la massima supercorrente che la giunzione pu`o sostenere prima di tornare allo stato normale) e θ rappresenta la differenza fra le fasi delle funzioni d’onda macroscopiche degli insiemi dei portatori nei due superconduttori. Trascurando le fluttuazioni termiche, la tensione V ai capi della barriera e` nulla per I < I0 ; mentre per I > I0 si sviluppa una tensione continua, la differenza di fase evolve nel tempo seguendo la legge5 2πV dθ = dt Φ0

(10.31)

e si ha una oscillazione alla frequenza, detta di Josephson, fJ = V /Φ0 , tipicamente dell’ordine di 10 GHz. Le giunzioni Josephson presentano isteresi, che in molte applicazioni viene eliminata disponendovi in parallelo una resistenza di shunt RS di valore opportuno. Esse sono realizzate generalmente usando niobio o alluminio come materiale superconduttore e ossido di alluminio come isolante, e vengono fatte funzionare alla temperatura di 4.2 K o a temperature inferiori. Esistono due tipi di SQUID: quelli a radiofrequenza (RF SQUID), meno usati oggi e di cui non ci occupiamo per brevit`a, e quelli con polarizzazione in continua o DC SQUID. Questi ultimi sono costituiti da due giunzioni Josephson disposte in parallelo a costituire un anello di induttanza LSQ , che vengono polarizzate con una corrente continua I, come mostrato nella parte a) della Fig. 10.10. La tensione ai capi del dispositivo e` nulla quando I < 2I0 . Quando invece I > 2I0 , la tensione V che si stabilisce ai capi dello SQUID viene a dipendere dal flusso magnetico attraverso l’anello, con la caratteristica periodica nel flusso esterno Φ rappresentata nella parte b) della figura. Questo andamento e` dovuto al fatto che il flusso totale Φtot nell’anello di induttanza LSQ deve essere esattamente quantizzato a un multiplo intero di Φ0 e quindi in esso circola una corrente J tale da creare un flusso (LSQ J) che, sommato al flusso esterno Φ, soddisfi sempre la condizione anzidetta (Φtot = Φ + LSQ J = nΦ0 ). La corrente J si somma a quella che scorre in una giunzione e si sottrae a quella che scorre nell’altra. Ne consegue che a una variazione Δ Φ del flusso esterno (naturalmente per |Δ Φ| < Φ0 /2) viene a corrispondere una variazione ΔV della tensione ai capi dello SQUID. Per una scelta opportuna del punto di lavoro sulla caratte-

5

La (10.30) e la (10.31) sono le equazioni alla base dell’effetto Josephson, introdotte nel 1962 da Brian Josephson, premio Nobel per la Fisica 1973.

84

10 Il rumore dei dispositivi

Fig. 10.10 a) il DC SQUID e` costituito da un anello superconduttore nel quale sono inserite due giunzioni Josephson (indicate con ×); b) la tensione V ai capi dello SQUID e` una funzione periodica del flusso esterno Φ attraverso l’anello

ristica V /Φ la risposta ΔV /Δ Φ e` approssimativamente lineare, con un massimo dell’ordine di RS /LSQ (tipicamente circa 100 μV /Φ0 ). Nell’impiego come amplificatore di un segnale elettrico, lo SQUID deve essere dotato di una bobina d’ingresso, alla quale e` applicato il segnale, opportunamente accoppiata all’anello superconduttore, di un preamplificatore a basso rumore per misurare le variazioni della tensione V e di un sistema che provveda a mantenere il punto di lavoro. Data la bassissima impedenza d’uscita dello SQUID, definita dalla sua resistenza dinamica rSQ ≈ RS nel punto di lavoro prescelto, si pone il problema dell’adattamento con il preamplificatore (§11.3), che viene affrontato utilizzando un circuito LC serie ad alto Q oppure un trasformatore con adeguato valore del rapporto spire. La tecnica standard usata per mantenere il punto di lavoro dello SQUID, tipicamente laddove il rapporto ΔV /Δ Φ e` massimo, utilizza generalmente un sistema a controreazione. Si impiega a tale fine un circuito ausiliario che accoppia all’anello

Fig. 10.11 Il segnale d’ingresso Vs , applicato allo SQUID tramite una bobina, viene modulato, amplificato e infine demodulato. Il sistema di modulazione e demodulazione alla frequenza fm serve a mantenere costante il punto di lavoro dello SQUID sulla caratteristica V /Φ, utilizzando la controreazione in continua attraverso il resistore RF

10.6 Cenni sul rumore dei DC SQUID

85

dello SQUID un flusso sinusoidale a una frequenza di modulazione fm ben pi`u alta di quella dei segnali che s’intende amplificare. La corrispondente tensione ai capi dello SQUID viene demodulata da un amplificatore lock-in (§12.5.1) producendo in uscita un segnale in continua. Questo segnale viene applicato, tramite un resistore di reazione RF , a una bobina accoppiata anch’essa all’anello dello SQUID, stabilizzandone cos`ı il punto di lavoro. Utilizzando questo schema, il segnale d’ingresso Vs modula a sua volta nello SQUID la sinusoide alla frequenza fm e quindi viene demodulato dal lock-in, all’uscita del quale viene infine reso disponibile, amplificato e riportato alla sua frequenza originale. La principale sorgente di rumore e` costituita dal rumore termico dei resistori di shunt. Questi sono disposti in parallelo rispetto ai terminali dello SQUID e quindi il rumore da essi prodotto ha un duplice effetto: a) un rumore di tensione ai capi dello SQUID con spettro di potenza Svv proporzionale6 a 4kT RS , che si manifesta in uscita senza ripercuotersi sul circuito d’ingresso, b) un rumore di corrente che circola nell’anello con spettro di potenza Sii proporzionale a 4kT /RS , che induce fluttuazioni nella bobina d’ingresso e dunque nel circuito al quale e` applicato il segnale. Queste due componenti del rumore sono parzialmente correlate fra loro, come e` intuitivo. Si considera spesso il rumore in termini di rumore di flusso nell’anello dello SQUID: Svv SΦΦ = 2 (10.32) ΔV ΔΦ

√ con valori tipici di ampiezza dell’ordine di 10−6 Φ0 / Hz, dal quale si pu`o ricavare il corrispondente spettro di energia per il dispositivo isolato: SΦΦ /2LSQ . Anche gli SQUID sono soggetti a rumore 1/ f , che tipicamente si manifesta a frequenze inferiori a 1 Hz. Fra le cause di questo rumore menzioniamo le fluttuazioni della corrente critica delle giunzioni, dovute all’intrappolamento e al rilascio di elettroni da parte di difetti della barriera isolante nel processo di tunneling. La temperatura di rumore di un DC SQUID e` determinata dal prodotto del rumore di tensione Svv riportato (attraverso il rumore di flusso (10.32)) alla bobina d’ingresso e del rumore indotto in tale bobina dalle fluttuazioni della corrente che circola nell’anello. In generale, le prestazioni di rumore degli amplificatori per basse frequenze impieganti questi dispositivi sono rappresentate da temperature di rumore inferiori al millikelvin. Con dispositivi raffreddati attorno a 50 mK si e` ottenuta una temperatura di rumore di 15 μK a 12 kHz, che corrisponde a un numero di rumore di 27 [53].

6 I coefficienti di proporzionalit` a, calcolati numericamente per valori tipici dei parametri di un DC SQUID, valgono ≈ 4 per lo spettro del rumore di tensione, ≈ 11/3 per lo spettro del rumore di corrente e ≈ 3 per lo spettro incrociato.

11

Generalit`a sulla progettazione a basso rumore1

11.1 Introduzione alla progettazione a basso rumore La prima considerazione riguardante la progettazione di amplificatori a basso rumore, tanto elementare quanto essenziale, e` che le prestazioni di rumore del circuito sono determinate fondamentalmente dalla scelta del dispositivo attivo impiegato nello stadio d’ingresso. Le sue caratteristiche di rumore stabiliscono infatti un limite inferiore al rumore complessivo del circuito. Ma questa scelta e` spesso vincolata a una specifica applicazione, che e` definita sia dalla regione di frequenza di interesse che, soprattutto, dalle caratteristiche della sorgente del segnale, in particolare dalla sua impedenza. Quest’ultima gioca infatti un ruolo essenziale per quanto riguarda l’adattamento al rumore (noise matching) fra la sorgente e il circuito amplificatore, di cui ci occupiamo nel §11.3. Una volta scelto il dispositivo d’ingresso, e ottimizzato il suo punto di lavoro, l’attenzione si rivolge verso l’adozione di soluzioni circuitali mirate a degradarne il meno possibile le prestazioni di rumore. Un indice assai efficace della qualit`a di un progetto e` infatti il rapporto fra la temperatura di rumore del dispositivo e quella complessiva del circuito, oppure fra la tensione di rumore del dispositivo e quella totale del circuito quando l’impedenza di sorgente e` particolarmente bassa, ma non s’intenda minimizzare il rumore ricorrendo all’adattamento. Per conseguire l’obiettivo detto sopra occorre in primo luogo assegnare allo stadio d’ingresso un guadagno tale da poter trascurare il rumore degli stadi successivi. Ma e` anche necessario curare con estrema attenzione il circuito d’ingresso, nella scelta dei valori e dei tipi dei componenti passivi, analizzando il contributo di ciascuno di essi al rumore totale. In particolare, vi sono evidenti vincoli per i valori dei resistori che debbano essere inseriti nel circuito d’ingresso per esigenze relative alla polarizzazione, alla controreazione o ad altro. Per esempio, se le prestazioni di rumore del dispositivo prescelto sono caratterizzate dai valori dei parametri Vn e In , e s’intenda porre un limite del 10% al loro aumento, ne consegue che il valore di un eventuale resistore disposto in serie 1

[54-56].

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

88

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

all’ingresso dell’elemento attivo deve essere R √ < 0.05 Vn2 /kT , cio`e a temperatura ambiente (T = 290 K) ed esprimendo Vn in nV/ Hz: R < 12.5 Vn2 ohm e che il valore di un eventuale resistore disposto in parallelo all’ingresso deve essere R > 20kT /In2 , √ cio`e a temperatura ambiente (T = 290 K) ed esprimendo In in fA/ Hz: R > 80/In2 gigaohm. Ma a questo riguardo anche la scelta dei condensatori pu`o risultare insidiosa se non si verifica il contributo del loro rumore termico. Esercizio 11.1 Il contributo di rumore di un √ condensatore. All’ingresso di un amplificatore con rumore di tensione di 1 nV/ Hz viene disposto in serie un condensatore da 10 nF con tan δ = 10−3 . Calcolate il rumore di tensione complessivo Vn del circuito alla frequenza di 100 Hz. Nel caso di sorgenti di impedenza relativamente bassa (approssimativamente fino a circa 100 kΩ), nel circuito si potranno utilizzare transistori bipolari. Questi andranno scelti, come suggeriscono le formule (10.10) e (10.11), fra i dispositivi che presentano basso valore di rbb e alto valore del guadagno in corrente β , sebbene queste caratteristiche siano spesso in contrasto. In particolare i transistori ad altissimo guadagno (i cosiddetti superbeta con β0 ∼ 103 ) presentano generalmente valori di rbb di qualche centinaio di ohm. E qui notiamo che, come risulta dalla (10.10), la tensione di rumore Vn diminuisce al crescere della corrente di polarizzazione, ma poi assume un valore costante, determinato dal rumore termico della resistenza rbb come mostrato nella Fig. 11.2.

Fig. 11.1 Guida indicativa alla scelta del dispositivo attivo d’ingresso in relazione alla resistenza della sorgente

11.1 Introduzione alla progettazione a basso rumore

89

Fig. 11.2 Andamento ideale del rumore di tensione Vn di un transistore BJT in funzione della corrente di collettore IC , per alcuni valori della resistenza rbb

La corrente di polarizzazione del transistore pu`o essere ottimizzata in relazione alla resistenza della sorgente. A tal fine si uguaglia a zero

la derivata rispetto a IC dello spettro totale in ingresso Stt = Vn2 + In2 R2s + 4kT Rs , ottenendo il seguente valore approssimato della corrente ottima:  kT β0 IC opt = (11.1) qe Rs cio`e, a temperatura ambiente (T = 290 K) ed esprimendo ICopt in mA,  β0 IC opt = 25 . Rs

(11.1a)

Per esempio, nel caso di un transistore con β0 = 400, se la resistenza di sorgente e` Rs = 1000 Ω √, si ha: ICopt = 0.4 mA. Con rbb = 100 Ω , il rumore totale in ingresso e` 4.43 nV/ Hz, cio`e appena poco maggiore del rumore termico di Rs . Notiamo comunque che la dipendenza dalla corrente di polarizzazione, nell’intorno di ICopt , e` alquanto debole. Nel caso di impedenze di sorgente pi`u elevate conviene utilizzare un transistore a effetto di campo a giunzione. I valori pi`u bassi del rumore di tensione si ottengono usando dispositivi con elevato valore di transconduttanza, come indica la (10.17). Dato poi che la transconduttanza aumenta, seppure debolmente, al crescere della corrente di polarizzazione (10.13), conviene polarizzare i FET con VGS = 0, cio`e a ID = IDSS . Questa scelta, tuttavia, pu`o condurre a una dissipazione di potenza (VDS ID ) tale da innalzare apprezzabilmente la temperatura del semiconduttore, di

90

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

conseguenza peggiorandone il rumore. Per questo e` comunque consigliabile scegliere un punto di lavoro con basso valore di VDS , purch´e naturalmente in condizioni di saturazione. Tale scelta presenta l’ulteriore vantaggio di ridurre la corrente di perdita della giunzione porta-canale, che contribuisce alla corrente IG . Per ottenere un basso valore del rumore di corrente si sceglier`a un FET con basso valore di IG , ma occorrer`a attenzione al resistore di polarizzazione della porta, che dovr`a presentare un elevato valore di resistenza effettiva alle frequenze di interesse anche tenendo conto dell’effetto Boella ricordato nel § 10.1. Ma occorre anche considerare il rumore dovuto all’accoppiamento capacitivo fra canale e gate, che pu`o cominciare a manifestarsi anche a frequenze dell’ordine di 1-10 kHz, soprattutto nei dispositivi di grande geometria oppure costituiti dalla disposizione in parallelo di un gran numero di celle elementari, che presentano d’altra parte rumore di tensione pi`u basso grazie alla elevata transconduttanza. E quindi pu`o essere necessario trovare un compromesso fra le opposte esigenze. Un’utile figura di merito a questo proposito e` data dal rapporto fra la transconduttanza e la capacit`a d’ingresso del dispositivo. Per quanto riguarda le frequenze pi`u basse, ricordiamo che il rumore 1/f interviene assai diversamente nei BJT e nei FET. Nei primi si manifesta soprattutto nel rumore di corrente, nei secondi nel rumore di tensione. Ne consegue che a bassa frequenza la resistenza ottimale di sorgente si abbassa nei BJT rispetto alle frequenze intermedie, mentre s’innalza nei FET. Ricordiamo poi che il rumore 1/f dipende fortemente dalle specifiche tecnologie realizzative, che possono essere diverse anche per dispositivi con la stessa sigla, ma che provengono da costruttori diversi, con evidenti conseguenze per l’entit`a di questo contributo. Un aspetto importante della progettazione a basso rumore riguarda lo schermaggio e l’alimentazione, per ridurre al minimo la presenza di disturbi addizionali. E` opportuno, in particolare, alimentare a batteria, altrimenti utilizzando opportuni condensatori di filtro. Pu`o essere conveniente, su ogni linea di alimentazione, disporne pi`u di uno in parallelo con valori diversi, affidando a ciascuno di essi il filtraggio in una determinata regione di frequenza. Notiamo infine che e` buona regola disporre il circuito amplificatore in stretta prossimit`a alla sorgente del segnale, allo scopo di minimizzare l’effetto dei disturbi esterni sui collegamenti ed evitare altri inconvenienti. Questa scelta risulta poi assai utile quando la sorgente opera a bassa temperatura e si intende raffreddare anche l’amplificatore al fine di ridurne il rumore.

11.2 Le misure del rumore Le grandezze essenziali al fine della caratterizzazione del rumore di un dispositivo, di un circuito o di un amplificatore sono, come sappiamo, i due spettri di rumore in ingresso: Vn2 e In2 . La misura di questi spettri nel caso di assenza di correlazione e` relativamente semplice, almeno in linea di principio.

11.2 Le misure del rumore

91

Quando il circuito e` terminato in ingresso su una impedenza Zs ( jω) lo spettro del rumore totale in ingresso e` dato dalla (8.8) che riportiamo qui per convenienza St (ω) = 4kT Rs +Vn2 (ω) + In2 (ω) |Zs ( jω)|2 .

(11.2)

Lo spettro del rumore di tensione d’ingresso si ottiene cortocircuitando l’ingresso, misurando lo spettro d’uscita So (ω) con un analizzatore di spettro e dividendo lo spettro per il quadrato del modulo del guadagno A( jω) del circuito: Vn2 (ω) =

So (ω) |A ( jω)|2

.

(11.3)

Lo spettro del rumore di corrente si determina scegliendo una impedenza di sorgente di valore sufficientemente alto perch´e nella (11.2) il termine In2 (ω) |Zs ( jω)|2 risulti dominante rispetto agli altri e misurando lo spettro d’uscita So (ω). In tal caso lo spettro di corrente e` So (ω) In2 (ω) = . (11.4) |A( jω)|2 |Zs ( jω)|2 La misura del rumore di corrente risulta assai delicata quando la sua intensit`a e` particolarmente debole [57, √ 58]. Consideriamo, √ per esempio, il caso di un dispositivo con Vn ∼ 1 nV/ Hz e In ∼ 1fA/ Hz. Perch´e il contributo del rumore di corrente sia dominante rispetto a quello del rumore di tensione occorre che sia |Zs ( jω)|  Vn /In ∼ 106 Ω , e quindi si potrebbe scegliere |Zs ( jω)| = 107 Ω . Un √ resistore di tale valore, tuttavia, genera un rumore termico ben maggiore di 1fA/ Hz. Conviene allora ricorrere a un condensatore, ponendo per`o attenzione al valore del suo fattore di perdita e tenendo conto nei calcoli della presenza della capacit`a d’ingresso del dispositivo in prova, che si somma a quella del condensatore di misura. E` chiaro comunque che occorre un condensatore di alta qualit`a; una buona scelta, per valori di capacit`a fino al centinaio di pF, e` costituita da uno spezzone di cavo coassiale. Esercizio 11.2 Determinare le caratteristiche (capacit`a e fattore di perdita) di un condensatore che consenta di misurare √ fra 10 e 100 Hz la corrente di rumore di un √ JFET con Vn ∼ 1nV/ Hz e In ∼ 1 fA/ Hz. In presenza di correlazione fra i generatori di rumore Vn e In , lo spettro totale in ingresso e` dato dalla (8.10), nella quale e` rappresentato il contributo aggiuntivo dello spettro incrociato Δ St (ω) = 2Re [Svi ( jω)Zs∗ ( jω)] = 2Re [Svi ( jω)] Rs + 2Im [Svi ( jω)] Xs

(11.5)

dove Rs e Xs sono la parte reale e quella immaginaria di Zs ( jω). La (11.5) mostra che la scelta dell’impedenza di sorgente consente di evidenziare l’effetto della parte reale o di quella immaginaria dello spettro incrociato, tenendo tuttavia presente che nell’impedenza di sorgente va incluso il contributo dell’impedenza d’ingresso, in particolare della capacit`a, del dispositivo in prova.

92

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

11.3 Le tecniche di adattamento al rumore (noise matching) Le condizioni di adattamento al rumore2 fra sorgente e amplificatore, mirate a minimizzare il rumore totale, sono state discusse nel § 9.1. Quando esse non sono verificate, per esempio perch´e la resistenza della sorgente ha un valore apprezzabilmente diverso da quello corrispondente alla resistenza di rumore (Rn =  Vn2 /In2 ) o perch´e la sorgente e` di tipo reattivo, le prestazioni di rumore non sono ottimali. Consideriamo per esempio un amplificatore con spettri di rumore Vn e In in una banda Δ f , alimentato da una sorgente resistiva Rs con segnale sinusoidale di ampiezza Vs . In tal caso il rapporto SNR in funzione della resistenza di sorgente risulta massimo quando Rs Rn e si ha in particolare SNR = Vs2 /(2Vn2 Δ f ) perch´e il rumore totale si riduce al contributo di Vn . Ma questa ottimizzazione e` solo apparente. Ricorrendo alle tecniche di adattamento che ora esaminiamo diventa infatti possibile ottenere valori di SNR pi`u alti di SNR . Fra le soluzioni utilizzabili [59] per ottenere l’adattamento al rumore (noise matching) vi e` l’impiego di un trasformatore, disposto fra la sorgente e l’ingresso dell’amplificatore. Tale tecnica, adottata anche in alcuni strumenti commerciali, e` generalmente utilizzata quando la resistenza della sorgente e` inferiore a quella di rumore e allora il trasformatore provvede a innalzarla (ma e` impiegabile, in linea di principio, anche nel caso opposto). Sappiamo infatti che un trasformatore con n1 spire al primario e n2 spire al secondario, cio`e con rapporto spire n = n2 /n1 , presenta al secondario una impedenza n2 Z se Z e` l’impedenza collegata al primario. E quindi, se n > 1, la resistenza di sorgente, come mostrato in Fig. 11.3, viene vista dall’amplificatore come se il suo valore fosse n2 volte pi`u grande. Conoscendo i valori della resistenza di sorgente (Rs ) e della resistenza di rumore dell’amplificatore (Rn ), il valore ottimale del rapporto spire del trasformatore (n = n2 /n1 ) e`   Rn Vn = (11.6) n= Rs In Rs

Fig. 11.3 Impiego di un trasformatore per realizzare l’adattamento al rumore fra sorgente e amplificatore

2 Queste condizioni non hanno nulla a che vedere con le condizioni di adattamento usuali, riguardanti il massimo trasferimento di energia fra una sorgente e un carico in regime sinusoidale.

11.3 Le tecniche di adattamento al rumore (noise matching)

93

notando tuttavia che una scelta esatta di n non e` critica perch´e il rumore totale e` una funzione relativamente lenta di n. Cambiando punto di vista, si pu`o immaginare di inglobare il trasformatore nell’amplificatore. Applicando le leggi del trasformatore per riportare il rumore dell’amplificatore al primario del trasformatore, si trova che Vn viene trasformato in Vn /n e In in nIn , mentre la temperatura di rumore resta invariata. In particolare, se n > 1, il rumore di tensione viene ridotto di quanto viene aumentato il rumore di corrente, mentre la resistenza di rumore viene ridotta del fattore n2 . Tornando all’esempio di prima, riguardante il caso Rs Rn , si comprende facilmente che l’adattamento, ottenuto grazie all’inserimento del trasformatore (11.6), conduce a una forte diminuzione del rumore dell’amplificatore visto dalla sorgente, che si riduce da Vn2 + In2 R2s ≈ Vn2 a Vn2 /n2 + n2 In2 R2s = 2Vn2 /n2 diminuendo pertanto del fattore n2 /2 = Rn /2Rs . L’impiego dei trasformatori, oltre a offrire grande flessibilit`a nell’adattamento, presenta anche il vantaggio di disaccoppiare galvanicamente la sorgente dall’amplificatore, condizione che risulta vantaggiosa, a volte addirittura necessaria, negli apparati sperimentali soggetti a disturbi esterni. Ma in pratica occorre tener conto del comportamento reale di questi componenti, ricordando in particolare che in continua essi evidentemente non funzionano. I trasformatori infatti limitano la banda passante, con frequenza di taglio inferiore determinata dalla induttanza L1 del primario, f1 = Rs /2πL1 , e con tagli ad alta frequenza determinati delle induttanze disperse e dalle capacit`a parassite. Inoltre la resistenza degli avvolgimenti introduce rumore termico (§10.1). Chiamando R1 la resistenza del primario e R2 quella del secondario, la resistenza totale vista dalla sorgente e` Rs + R1 + R2 /n2 , sicch´e e` opportuno garantire che sia R1 + R2 /n2 Rs . Occorre poi attenzione ai disturbi che i trasformatori possono introdurre, se non ben schermati, funzionando come captatori di campi magnetici dispersi, in particolare alla frequenza di rete e alle sue armoniche. Un’altra tecnica di noise matching, in qualche modo analoga all’impiego di un trasformatore, utilizza il collegamento in parallelo di pi`u dispositivi amplificatori (tecnica di Faulkner). Essa e` certamente meno flessibile, ma ha il vantaggio di evitare l’introduzione di rumore addizionale e disturbi indesiderati. Per comprenderne il funzionamento consideriamo N transistori JFET identici, ciascuno dei quali caratterizzato da rumore Vn e In e da transconduttanza gm , i quali sono collegati in parallelo e alimentano un carico comune R, come mostrato nella Fig. 11.4. Si capisce che il guadagno complessivo fra l’ingresso e l’uscita e` N volte quello di un singolo dispositivo, cio`e −Ngm R. Per quanto riguarda il rumore di tensione, osserviamo che ciascun FET contribuisce allo spettro d’uscita con un termine g2m R2Vn2 , sicch´e in totale si ha So (Vn ) = Ng2m R2Vn2 . Riportando in ingresso questo spettro, cio`e dividendo per il quadrato del

94

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

Fig. 11.4 Impiego di FET in parallelo per realizzare l’adattamento al rumore fra sorgente e amplificatore

guadagno (Ngm R)2 , si conclude che il rumore di tensione del sistema e` Svv = Vn2 /N

(11.7)

cio`e N volte minore di quello del singolo dispositivo. Poich´e poi tutti i FET contribuiscono alla corrente di rumore che attraversa la resistenza di sorgente, l’effetto totale e` NIn2 R2s , corrispondente a un rumore di corrente complessivo Sii = NIn2 R2s (11.8) che e` N volte maggiore di quello del singolo dispositivo. Anche in questo caso la temperatura di rumore resta invariata, mentre la resistenza di rumore viene ridotta del fattore N R n = Rn /N . (11.9) Concludiamo che N, il numero dei dispositivi utilizzati in parallelo, gioca nell’adattamento al rumore lo stesso ruolo di n2 , il quadrato del rapporto spire di un trasformatore, notando tuttavia che N non pu`o essere minore dell’unit`a e che il suo valore massimo e` soggetto a evidenti limiti pratici. C’`e un prezzo da pagare: la riduzione dell’impedenza d’ingresso, in particolare l’aumento della capacit`a d’ingresso che diventa N volte maggiore di quella del singolo dispositivo. Ma questo stesso inconveniente si verifica anche nel caso dell’impiego di un trasformatore in salita. Consideriamo infine brevemente il caso dell’accoppiamento di una sorgente reattiva a un amplificatore con impedenza di rumore reale, cio`e in assenza di correlazione fra i due generatori di rumore d’ingresso. In questo caso, supponendo assicurato l’adattamento fra la parte reale di Zs e la resistenza di rumore, occorre provvedere a cancellare, o almeno a minimizzare, la parte immaginaria. E` chiaro tuttavia che ci`o pu`o essere ottenuto esattamente a una sola frequenza, approssimativamente in un suo intorno (analogamente a quanto avviene nel caso dell’adattamento rivolto a massimizzare il trasferimento di potenza fra una sorgente e un carico). Una sorgente induttiva potr`a essere adattata, nei limiti anzidetti, disponendo una capacit`a in serie o in parallelo; una capacitiva, mediante una induttanza; cio`e creando una condizione di risonanza. Ma va tenuto ben presente che si tratta di considerazioni di principio, che occorre tener conto del rumore introdotto dai componenti reattivi cos`ı introdotti

11.4 La controreazione e il rumore

95

e che questo tipo di soluzioni distorce inevitabilmente lo spettro del segnale, sicch´e esse presentano utilit`a pratica soprattutto nel caso di segnali a banda stretta.

11.4 La controreazione e il rumore La controreazione, che trova utile impiego per definire accuratamente il guadagno degli amplificatori, estenderne la banda passante, linearizzarne la risposta e modificarne opportunamente le impedenze d’ingresso e d’uscita, e` tuttavia, in linea di principio, neutrale rispetto al rumore (non cos`ı rispetto alla distorsione). Notando tuttavia che i componenti introdotti per stabilire la controreazione introducono comunque rumore addizionale rispetto all’amplificatore non reazionato. Un esempio immediato e` il circuito rappresentato nella Fig. 11.5, dove e` evidente che il rumore termico del resistore R1 va pericolosamente a sommarsi al rumore di tensione Vn2 dell’amplificatore non reazionato. E quindi il valore di tale resistenza deve essere R1 Vn2 /4kT . A livello di sistema, l’effetto della controreazione sul rumore, considerando qui anche le distorsioni e i disturbi esterni, pu`o essere discusso con riferimento allo schema a blocchi in Fig. 11.6. Qui il sistema reazionato e` rappresentato con i due blocchi costituiti dall’amplificatore e dal circuito di reazione, caratterizzati per semplicit`a dalle costanti reali A e β , e con il rumore che va a sommarsi al segnale utile nelle varie parti del sistema. Nello specifico, Vni indica il rumore d’ingresso dell’amplificatore, Vno i disturbi agenti in uscita (incluse le distorsioni qui generate da eventuali nonlinearit`a) e Vnβ i disturbi agenti sul circuito di reazione (incluso il rumore qui generato), ammettendo di rappresentare tali grandezze, supposte prive di correlazioni fra loro, in termini di spettri di ampiezza. Il rumore termico generato dai resistori usati per definire la controreazione non e` indicato esplicitamente nello schema, ma pu`o essere rappresentato da opportuni contributi ai generatori Vni e Vnβ .

Fig. 11.5 Il rumore del resistore R1 (4kT R1 ) va a sommarsi al rumore di tensione dell’amplificatore (Vn2 )

96

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

Fig. 11.6 Schema a blocchi di un sistema reazionato con indicazione delle diverse sorgenti di rumore

Indicando con Ve il segnale all’ingresso del blocco diretto A, con Vo la tensione d’uscita e con V f il segnale di reazione, possiamo scrivere le seguenti relazioni: Ve = Vs −V f +Vni V f = β (Vo +Vnβ ) Vo = AVe +Vno .

(11.10) (11.11) (11.12)

Da queste si ricava lo spettro dell’uscita  So = Vs2

A 1+βA



2 +Vni2

A 1+βA



2 2 +Vno

1 1+βA



2 2 +Vnβ

Aβ 1+βA

2 (11.13)

che nel caso β A  1 si approssima nella forma So ≈

2 Vs2 Vni2 Vno 2 + + +Vnβ . β 2 β 2 β 2 A2

(11.13a)

Esaminando queste espressioni si conclude quanto segue: a) la controreazione non ha alcun effetto sul rumore d’ingresso dell’amplificatore, nel senso che esso viene trattato allo stesso modo del segnale; b) la controreazione pu`o ridurre il contributo relativo dei disturbi agenti sull’uscita, qualora si scelga un valore opportunamente elevato del prodotto β A; c) la controreazione introduce rumore addizionale, quello agente sul circuito di reazione, con risposta approssimativamente unitaria. E` facile convincersi che il disturbo Vnβ e` particolarmente insidioso in quanto altera l’informazione che viene riportata in ingresso, minando cos`ı il meccanismo stesso della controreazione. Dalla (11.13) si ricava la seguente espressione per lo spettro Si del rumore totale riportato in ingresso V2 2 2 Si = Vni2 + no +Vnβ β (11.14) A2 che indica come la soluzione pi`u efficace per eliminare il contributo di Vnβ consisterebbe nel rinunciare alla controreazione.

11.5 Un esempio di progetto di preamplificatore a basso rumore

97

L’impiego della controreazione, d’altra parte, offre anche interessanti possibilit`a, che discuteremo nel § 13.3.

11.5 Un esempio di progetto di preamplificatore a basso rumore La Fig. 11.7 rappresenta un preamplificatore [60] utilizzato per misurare i deboli segnali di una antenna gravitazionale risonante (un cilindro di alluminio), in un intervallo di frequenza attorno a 900 Hz. Pi`u precisamente, il segnale utile proviene da un trasduttore capacitivo3 (C = 5.25 nF) collegato tramite 10 GΩ a una tensione di polarizzazione (10-100 volt). Questo strumento serve a misurare le vibrazioni dell’antenna, nelle quali si manifestano in particolare due risonanze meccaniche a 908 Hz e a 924 Hz (l’antenna e il trasduttore costituiscono due oscillatori smorzati accoppiati), caratterizzate da valori di Q molto elevati (fino a 107 ). Il preamplificatore e` progettato in modo da minimizzare il rumore bianco nella regione di interesse, quindi rispetto a una impedenza di sorgente di circa 30 kΩ, ma

Fig. 11.7 Preamplificatore a basso rumore con 4 JFET disposti in parallelo nello stadio d’ingresso 3 Il trasduttore, montato su una faccia dell’antenna, e ` costituito da un condensatore nel quale e` immagazzinata una carica elettrica. Le vibrazioni dell’antenna provocano corrispondenti variazioni della distanza fra le armature del trasduttore, che si traducono in una tensione di segnale direttamente proporzionale alle vibrazioni anzidette. La costante di proporzionalit`a e` determinata dal campo elettrico statico fra le armature.

98

11 Generalit`a sulla progettazione a basso rumore

anche con l’obiettivo di presentare alla sorgente una conduttanza d’ingresso molto bassa, allo scopo di non alterare il fattore di merito delle risonanze meccaniche che si manifestano nella sorgente stessa. Per ridurre il rumore di tensione complessivo, realizzando un adattamento al rumore almeno parziale, lo stadio d’ingresso utilizza in parallelo quattro FET del tipo 2SK162, che presentano caratteristiche piuttosto uniformi con bassa corrente di gate (≈ 3 pA a temperatura ambiente), elevata transconduttanza (gm = 65 mS a VGS = 0), basso rumore (Tab. 11.1) e in particolare rumore 1/ f accettabile perch´e con frequenza d’incrocio di 180 Hz per il rumore di tensione. Per minimizzare l’effetto Miller sull’ingresso si e` scelta la configurazione cascode: le uscite dei FET alimentano l’emettitore di un transistore bipolare, che presenta impedenza molto bassa. La corrente di segnale viene poi applicata all’ingresso di un amplificatore operazionale a basso rumore controreazionato con RF = 27 kΩ, che il transistore BJT a base comune disaccoppia dal circuito d’ingresso evitando gli effetti che sarebbero provocati dalla componente induttiva dell’impedenza d’ingresso dell’operazionale. Il guadagno a ciclo aperto e` approssimativamente 4gm RF ≈ 6 · 103 . L’amplificatore e` moderatamente controreazionato (reazione di tensione in serie) per definirne il guadagno complessivo: A = 1000. I transistori d’ingresso sono polarizzati a una corrente appena inferiore a IDSS (e dunque con VGS appena negativa), per avere elevata transconduttanza, e a bassa tensione VDS (2 volt) per minimizzare l’aumento della temperatura (e quindi del rumore) dovuto alla dissipazione di potenza. I componenti dello stadio d’ingresso sono stati scelti in modo da minimizzarne i contributi al rumore. Per quanto riguarda il rumore di tensione, nel partitore di reazione si e` impiegato un resistore da 0.5 Ω , e il condensatore d’ingresso, che garantisce il disaccoppiamento rispetto alla tensione del trasduttore, e` stato scelto scelto di alta qualit`a (polistirolo: 220 nF, tan δ ∼ 10−4 ); si e` inoltre verificato che i condensatori elettrolitici non introducessero rumore addizionale alle frequenze d’interesse. Per quanto riguarda il rumore di corrente, si e` impiegato un resistore di polarizzazione con resistenza di 5 GΩ , che garantisse una buona stabilit`a in continua. La resistenza effettiva di questo elemento, misurata a √ 900 Hz, e` di 4 GΩ (effetto Boella), e il rumore corrispondente e` di 2 fA/ Hz. Tabella 11.1 Dati sperimentali relativi alle caratteristiche di rumore del FET usato nello stadio d’ingresso, del preamplificatore e del sistema collegato al trasduttore √ √ Vn [nV/ Hz] In [fA/ Hz] Tn [mK] Rn [kΩ] Rumore del singolo FET 0.63 2.0 46 315 Rumore dell’amplificatore 0.44 4.3 69 102 Rumore del sistema 0.49 6.9 122 71

12

Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

Come suggerisce Horowitz [C, pag. 428], il rumore tipicamente si combatte con tecniche di signal averaging e di bandwidth narrowing, cio`e eseguendo medie e restringendo la banda passante: due metodologie che sono sostanzialmente equivalenti a fronte di quanto esposto nei paragrafi 3.1 e 3.3. Pi`u in generale, per estrarre al meglio un segnale s(t) da una osservazione x(t) costituita dalla somma del segnale e del rumore n(t) x(t) = s(t) + n(t)

(12.1)

si utilizza una variet`a di tecniche, che dipendono dalle propriet`a del rumore, da quelle del segnale (spettro, forma d’onda) e dalle particolari caratteristiche del sistema sperimentale.

12.1 Segnali costanti (o lentamente variabili) Nel caso di segnali costanti in presenza di rumore la soluzione pi`u efficace consiste nell’eseguire medie nel tempo (§3.3). La deviazione standard residua σn associata all’operazione di media si ottiene immediatamente dalla (3.15) nel caso di rumore con spettro bianco Sn nella banda di osservazione, quando si impieghi un filtro normalizzato con tempo d’integrazione equivalente TN  Sn . (12.2) σn = 2TN Quando il segnale costante proviene da una sorgente di resistenza Rs , il rumore termico stabilisce un limite inferiore per l’ampiezza del segnale (per SNR = 1) in funzione di Rs . Questo limite, usando l’espressione precedente, e` rappresentato in Fig. 12.1 per TN = 10 s, assumendo la sorgente a temperatura ambiente e l’impiego di un amplificatore ideale, privo di rumore. Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

100

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

Fig. 12.1 Diagramma di rivelabilit`a di un segnale costante con un filtro di media (T = 10 s) in funzione della resistenza della sorgente (a temperatura ambiente), il cui valore stabilisce il livello del rumore termico

E` chiaro tuttavia che in pratica la riduzione della deviazione standard residua a valori accettabili pu`o richiedere tempi d’integrazione non realistici. I filtri di media possono essere utilizzati per migliorare il rapporto segnale/rumore anche nel caso di segnali variabili nel tempo, qualora non si intenda ricorrere ai pi`u efficaci metodi specifici discussi nel seguito. L’esempio illustrato in Fig. 12.2 mostra come, al crescere del tempo d’integrazione, alla riduzione del rumore si accompagni una deformazione del segnale, che e` dovuta alla risposta del filtro. Qui va ricordato che alle frequenze pi`u basse interviene inevitabilmente il rumore di tipo 1/ f , le cui propriet`a di correlazione limitano pesantemente le prestazioni del filtraggio, come discusso nel Capitolo 6, perch´e a un aumento del tempo d’integrazione non corrisponde pi`u una riduzione della varianza residua. Pu`o darsi inoltre che la misura sia soggetta anche a rumore di tipo impulsivo, nel qual caso conviene utilizzare algoritmi nonlineari. Per esempio eliminando (cio`e non utilizzando nella media) i dati con valori estremi, come quelli corrispondenti al 5% superiore e al 5% inferiore della distribuzione. Oppure, pi`u semplicemente, sostituendo la media con la mediana, la grandezza statistica che rappresenta il valore centrale di una distribuzione1 , il valore xM per cui la funzione di distribuzione vale 21 , cio`e  xM 1 x f (x) dx = . 2 −∞ L’efficacia dell’impiego di un filtro a mediana e` illustrata in Fig. 12.3. 1

Nel caso discreto di n campioni ordinati secondo il loro valore, la mediana e` il valore centrale se n e` dispari, la media dei due centrali se n e` pari.

12.2 Segnali sinusoidali

101

Fig. 12.2 Dall’alto: a) un segnale a onda quadra con periodo di 100 campioni; b) il segnale in presenza di rumore bianco; c) il segnale b) dopo un filtro di media

Un esempio estremo di tecnica nonlineare, usato a volte nei radioricevitori (noise blanker), consiste nella cancellazione del rumore, e con esso anche del segnale, quando il livello supera una soglia prefissata.

12.2 Segnali sinusoidali Consideriamo ora il caso di un segnale di forma sinusoidale. Se la sua frequenza f0 e` nota (e stabile), si pu`o estrarlo dal rumore eseguendo un filtraggio a banda stretta attorno a f0 . Usando un filtro risonante del secondo ordine normalizzato con fattore di merito Q, e quindi con banda equivalente di rumore ((3.8) BN = π2 Qf0 , la deviazione standard residua si ricava dalla (3.6) nella forma  π f0 (12.3) σ n = Sn 2Q avendo indicato con Sn lo spettro del rumore di osservazione nella regione attorno a f0 . E` noto tuttavia che i valori del fattore di merito dei circuiti elettronici presentano limiti pratici, tipicamente dell’ordine di 102 a bassa frequenza e poco pi`u elevati (∼ 103 ) a radiofrequenza.

102

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

Fig. 12.3 Dall’alto: a) un segnale a onda quadra con periodo di 100 campioni; b) il segnale in presenza di rumore bianco e di rumore impulsivo; c) il segnale dopo un filtro di media operante su 7 campioni; d) il segnale dopo un filtro a mediana operante su 7 campioni

Pi`u in generale, un segnale sinusoidale pu`o essere evidenziato rispetto al rumore con metodi spettrali, cio`e utilizzando un analizzatore di spettro, eseguendo la trasformata di Fourier dei dati, o anche misurandone la componente di Fourier alla frequenza f0 usando un amplificatore lock-in (§12.5.1). Quando invece la frequenza del segnale non e` nota, una tecnica assai efficace consiste nel misurare su un opportuno intervallo di tempo T l’autocorrelazione dell’osservazione x(t) = A cos(ωt + ϕ) + n(t) (12.4) dove A, ω e ϕ sono rispettivamente l’ampiezza, la pulsazione e la fase incognite del segnale. Data l’indipendenza fra il segnale e il rumore, l’autocorrelazione di x(t) e` la somma dell’autocorrelazione del rumore e di quella del segnale Rxx (τ) = Rnn (τ) + Rss (τ).

(12.5)

Quest’ultima, che non dipende dalla fase, ha la seguente forma cosinusoidale Rss (τ) = lim =

T →∞ A2

2

A2 2T

 T −T

cos ωτ =

cos (ωt + φ + ωτ) cos (ωt + φ ) dt (12.6) σs2 cos ωτ

12.3 Segnali con spettro di forma nota3

103

Fig. 12.4 Autocorrelazione della somma di un segnale sinusoidale con varianza unitaria e di rumore a banda limitata con varianza σn2 = 10 e costante di tempo di 10 s (SNR = 0.1)

dove abbiamo indicato con σs2 = A2 /2 la varianza del segnale. Supponendo poi che il rumore abbia autocorrelazione esponenziale (2.10), per esempio provenendo da rumore bianco filtrato da un passabasso del primo ordine Rnn (τ) = σn2 exp (−α |τ|)

(12.7)

si conclude che l’autocorrelazione dell’osservazione ha l’espressione Rxx (τ) = Rss (τ) + Rnn (τ) = σs2 cos ωτ + σn2 exp (−α |τ|)

(12.8)

che per τ  1/α tende a quella del segnale. Ci`o consente dunque, anche per SNR < 1, di stimare la varianza e la frequenza del segnale. Ma con questa tecnica occorre tener conto degli errori che sono associati alle stime, inevitabilmente eseguite su intervalli di tempo finiti [12, cap. 8].

12.3 Segnali con spettro di forma nota2 Consideriamo ora il filtraggio lineare di un segnale s(t) del quale si conosce lo spettro Sss (ω), segnale rappresentato dunque come un processo stocastico, in presenza di un rumore n(t) con spettro anch’esso noto Snn (ω). Si capisce immediatamente che il filtraggio dovr`a essere indirizzato a fornire guadagno elevato alle frequenze dove il rapporto spettrale Sss (ω)/Snn (ω) e` maggiore e guadagno pi`u basso altrove.

2

[10, 11, 13].

104

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

Fig. 12.5 Il filtro ottimo fornisce in uscita una stima s(t) ˆ del segnale s(t) presente in ingresso assieme al rumore

La funzione di trasferimento ottima, definita come quella che minimizza lo scarto quadratico medio fra il segnale s(t) e la sua stima s(t), ˆ e` fornita dalla teoria del filtraggio ottimo (optimum filtering) di Wiener-Kolmogorov: H( jω) =

Ssx ( jω) Sxx (ω)

(12.9)

dove Ssx ( jω) e` lo spettro incrociato fra il segnale s(t) e l’osservazione x(t). Ma spesso il segnale e il rumore non sono correlati e allora Ssx (jω) si riduce a Sss (ω), Sxx (ω) alla somma di Sss (ω) e di Snn (ω). In tal caso la funzione di trasferimento ottima assume la forma H( jω) =

Sss (ω) . Sss (ω) + Snn (ω)

(12.10)

Si ha in particolare, in ottimo accordo con l’intuizione: H( jω) = 1 dove Sss (ω) = 0 e Snn (ω) = 0; H( jω) = 0 dove Sss (ω) = 0 e Snn (ω) = 0. Lo spettro dell’errore di stima e` dato dalla differenza fra lo spettro del segnale Sss (ω) e quello del segnale stimato Ssˆsˆ(ω), cio`e lo spettro d’uscita del filtro. La varianza dell’errore si ottiene pertanto antitrasformando questo spettro differenza: σ2 =

1 2π

 ∞ Sss (ω)Snn (ω) 0

Sss (ω) + Snn (ω)

dω .

(12.11)

Esempio 12.1 Filtraggio ottimo di un segnale casuale in presenza di rumore. Consideriamo il filtraggio di un segnale con spettro 1/(1 + (10ω)2 ) in presenza di rumore con spettro 1/(1 + (ω)2 ). La funzione di trasferimento ottima, ottenuta dalla

Fig. 12.6 Risposta in frequenza del filtro ottimo per il segnale e il rumore dell’Esempio 12.1

12.4 Segnali con forma d’onda nota5

105

2

1+ω ` rappresentato nel grafico di (12.10), e` H( jω) = 12 1+101ω 2 /2 , il cui andamento e Fig. 12.6. Si trova che, grazie al filtraggio, il rapporto SNR aumenta del fattore 6.5.

12.4 Segnali con forma d’onda nota4 Consideriamo l’estrazione dal rumore di un segnale di forma nota s(t), problema inizialmente affrontato [62] per lo studio degli echi radar provenienti da bersagli distanti, cio`e di repliche ritardate e attenuate dell’impulso emesso dal radar. In questo caso l’osservazione e` dunque x(t) = xs (t) + n(t) = As(t − t0 ) + n(t)

(12.12)

utilizzando la quale si vuole stimare l’ampiezza A e il tempo di occorrenza t0 del segnale ricevuto. Tale problema e` risolto dalla teoria del filtro adattato (matched filter), secondo la quale, quando il rumore e` bianco, la risposta impulsiva ottima, e` data semplicemente dalla forma d’onda del segnale invertita nel tempo: h(t) = s(−t). A questa conclusione si arriva imponendo al filtro di massimizzare il rapporto segnale/rumore al tempo di occorrenza t0 del segnale. Chiamando S( jω) la trasformata della forma d’onda del segnale s(t), che si assume nota, e H( jω) la funzione di trasferimento del filtro, per ora incognita, la sua uscita y(t) sar`a la somma: a) della risposta ys (t) al segnale, con trasformata Ys ( jω) = Xs ( jω)H( jω) = AS( jω) exp(− jωt0 )H( jω)

(12.13)

dove Xs ( jω) e` la trasformata del segnale xs (t), e b) della risposta yn (t) al rumore, con varianza  Sn ∞ 2 |H( jω)|2 dω = (12.14) σyn 2π 0 se il rumore e` bianco con spettro costante Sn . Il rapporto SNR al tempo t0 si esprime utilizzando le precedenti

SNR =

|ys (t0 )|2 = 2 σyn

 ∞ 2      −∞ Xs ( jω)H( jω) exp( jωt0 )dω  2πSn

∞ 0

|H( jω)|2 dω

.

(12.15)

Dato che il numeratore e` reale, utilizzando la disuguaglianza di Schwartz per le funzioni Xs ( jω) exp( jωt0 ) e H( jω), si ha  ∞ 2  ∞  ∞   2   |X |H( jω)|2 dω. X ( jω)H( jω) exp( jωt )dω ≤ ( jω) exp( jωt )| dω s 0 0  −∞ s  −∞ −∞ 4

[11, 13, 61].

106

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

L’uguaglianza, che massimizza SNR, richiede che sia verificata la condizione di coniugazione H( jω) = a (Xs ( jω) exp( jωt0 ))∗ = aAS∗ ( jω) dove a e` una costante reale arbitraria. Da questa, ponendo a = 1/A, si ricava infine H( jω) = S∗ ( jω)

(12.16)

e la corrispondente risposta impulsiva h(t) = s(−t)

(12.17)

che e` chiaramente una funzione non causale (essendo h(t) = 0 per t < 0), cio`e realizzabile fisicamente solo con un ritardo pari almeno alla durata del segnale s(t). Cosa che tuttavia non pone problemi quando l’analisi dei dati viene svolta in tempo differito (off line). Per quanto sopra il rapporto SNR (12.15) pu`o essere posto nella forma SNR =

|ys (t0 )|2 A2 = 2 σyn πSn

 ∞ 0

|S( jω)|2 dω

(12.18)

che per A = 1 rappresenta il rapporto fra la cosiddetta “energia” del segnale s(t) 1 2π

 ∞ −∞

|S( jω)|2 dω =

 ∞ −∞

|s(t)|2 dt

e lo spettro bilatero del rumore SnB = Sn /2. E se il rumore e` colorato? In tal caso esso va “sbiancato” precedendo il filtro adattato con una sezione la cui funzione di trasferimento sia tale da rendere costante lo spettro del rumore, ma realizzando poi il filtro in modo da tener conto dell’effetto di questa operazione sul segnale. Assegnando alla parte “sbiancante” del filtro la  funzione 1/ Sn (ω) e svolgendo i calcoli, si trova che la funzione di trasferimento complessiva del filtro adattato diventa: H( jω) =

S∗ ( jω) . Sn (ω)

(12.19)

Un punto essenziale da tener presente e` che il filtro adattato non ricostruisce il segnale di riferimento s(t), riproducendone la forma d’onda, ma indica, istante per istante, quanto di esso e` presente nell’osservazione x(t), con il massimo all’istante di occorrenza. Ci`o e` illustrato chiaramente in Fig. 12.7, dove il segnale all’uscita nel filtro adattato non e` una stima del segnale originale, ma ne indica appunto il tempo di occorrenza e ne fornisce la stima dell’ampiezza. Notiamo infine che l’operazione di convoluzione svolta da un filtro adattato pu`o essere interpretata, e attuata, come una operazione di correlazione fra l’osservazione x(t) e la forma d’onda nota del segnale s(t).

12.5 Alcune tecniche particolari

107

Fig. 12.7 Impiego del filtro adattato nel caso di un impulso sinusoidale smorzato a) in presenza di rumore b) con SNR = 0.6. La risposta del filtro adattato c) consente di stimare sia l’istante di occorrenza del segnale (t = 200) che la sua ampiezza, come risulta dal confronto con la risposta d) dello stesso filtro in assenza di rumore

12.5 Alcune tecniche particolari La tecniche particolari di estrazione del segnale dal rumore sono numerose, anche in relazione alla grande diversit`a delle situazioni sperimentali che devono essere affrontate. Qui ci limiteremo solo ad alcune, particolarmente significative.

12.5.1 Modulazione del segnale e impiego di un amplificatore lock-in Nelle misure di deboli segnali in continua o a frequenze molto basse il rapporto segnale/rumore, come sappiamo, e` pesantemente influenzato dall’onnipresente rumore 1/ f . Una soluzione spesso adottata per affrontare questo problema consiste nel modulare il segnale, spostandone cio`e lo spettro dalla continua a una frequenza (frequenza di modulazione) alla quale il rumore 1/ f dell’amplificatore risulti accettabile. E poi nell’utilizzare qualche tipo di demodulatore, che riporti il segnale in continua. Generalmente, a questo scopo, si usa uno strumento dedicato alla misura del segnale nell’intorno della frequenza di modulazione, cio`e l’amplificatore lock-in (amplificatore ad agganciamento di fase), che discuteremo poco pi`u avanti. Tecniche di modulazione e demodulazione, in realt`a, sono usate da tempo negli amplificatori in continua del tipo a chopper per contrastare gli effetti delle derive nel tempo, che sono una manifestazione del rumore 1/ f a frequenze bassissime, come pure delle derive termiche.

108

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

Un importante esempio d’impiego della tecnica di modulazione riguarda le misure di deboli segnali nella banda ottica o in quella dell’infrarosso, dove il fascio della radiazione incidente sul sensore pu`o essere facilmente deflesso da un sistema di specchi azionati periodicamente o interrotto mediante un otturatore rotante. Tali dispositivi sono dunque azionati a una frequenza rigorosamente nota allo sperimentatore, la cui conoscenza risulta poi essenziale nella successiva operazione di demodulazione del segnale. L’amplificatore lock-in, in generale, provvede a misurare la componente di Fourier del segnale d’ingresso alla frequenza ωR /2π stabilita da un segnale esterno cos(ωRt) impiegato come riferimento, pi`u esattamente in una stretta banda attorno a tale frequenza. Il cuore di questo strumento e` il rivelatore sensibile alla fase (phase sensitive detector) o rivelatore sincrono, che in linea di principio possiamo considerare come un semplice circuito moltiplicatore, che esegue il prodotto fra il segnale e l’onda sinusoidale di riferimento. Ad esso segue poi un filtro integratore, che evidenzia la componente continua del prodotto, completando cos`ı l’operazione di demodulazione. In quanto segue consideriamo il segnale e il rumore riportati al livello d’ingresso, trascurando quindi il guadagno dello strumento. Rappresentando il segnale d’ingresso come x(t) = Vs cos(ωst + ϕ) + n(t) (12.20) l’operazione svolta dal rivelatore sincrono produce alla sua uscita vo (t) = Vs cos(ωst + ϕ) cos(ωRt) + von (t)

(12.21)

dove von (t) rappresenta il rumore, del quale ci occupiamo in seguito. Se la frequenza del riferimento coincide con quella del segnale (ωR = ωs ) il contributo del segnale all’uscita e` vso (t) = Vs [cos ϕ + cos(2ωRt + ϕ)]/2 (12.22) indicandone la demodulazione da ωR a zero. La componente continua e` dunque Vs cos ϕ, mentre la riga a 2ωR e` destinata a scomparire grazie alla successiva integrazione. Vedremo poi che il contributo del rumore e` idealmente nullo se l’integrazione ha durata infinita. Perch´e il segnale sia integralmente recuperato, indipendentemente dalla sua fase rispetto a quella del riferimento, si utilizza anche un secondo circuito rivelatore di fase, che questa volta moltiplica il segnale per sin(ωRt). E quindi la componente continua alla sua uscita e` Vs sin ϕ. I due rivelatori forniscono dunque le due componenti in fase e in quadratura del segnale rispetto al riferimento. L’ampiezza del segnale si ottiene allora, dopo l’integrazione, sommando i quadrati delle due componenti ed estraendo la radice quadrata. La Fig. 12.8 rappresenta lo schema di principio di un amplificatore lock-in che realizza le operazioni anzidette. E` chiaro che la trasposizione da ωR a zero riguarda sia il segnale che il rumore. Ma per stabilire quanto rumore va effettivamente a contribuire all’uscita dello strumento occorre prima discuterne la banda passante. Il compito di definirla e` affidato

12.5 Alcune tecniche particolari

109

Fig. 12.8 Schema a blocchi di un amplificatore lock-in, usato per misurare l’ampiezza Vs di un segnale sinusoidale con frequenza angolare ωR contenuto nell’ingresso x(t) applicato allo strumento

agli integratori, realizzati di solito con un filtro RC del primo ordine con frequenza di taglio a −3 dB f0 = 1/(2πRC). L’azione della trasposizione di frequenza e` illustrata nel grafico in Fig. 12.9 per un generico segnale (per esempio il rumore d’ingresso), supponendo che il suo spettro copra una banda Δ f attorno a fR (a) in Fig. 12.9). Questo spettro subisce una traslazione rigida di − fR , andando cos`ı a occupare la banda −Δ f /2, Δ f /2 attorno a frequenza zero (b). Ma le componenti a frequenze negative (rappresentate nella par-

Fig. 12.9 Il contenuto del segnale d’ingresso nella banda Δ f attorno a fR viene trasposto in continua. La banda viene poi limitata dall’azione degli integratori

110

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

te ombreggiata dello spettro) si ribaltano in quelle positive corrispondenti (tenendo presente che cos(−ωt) = cos(ωt) e sin(−ωt) = − sin(ωt)), come rappresentato in (c). Sicch´e lo spettro iniziale va a occupare la banda fra 0 e Δ f /2 (d). Occorre per`o tener presente l’azione esercitata dal filtro integratore. Si conclude allora che la banda delle frequenze d’ingresso, attorno alla frequenza di riferimento, che viene effettivamente accettata dallo strumento e` Δ f = 2 f0 , dove f0 e` la frequenza di taglio del filtro e BN la sua banda equivalente di rumore. E quindi, chiamando Sn lo spettro del rumore in ingresso, ragionevolmente supposto costante nella regio2 del rumore all’uscita del lock-in, contribuita dai due ne attorno a fR , la varianza σno canali ciascuno per met`a, sar`a: 2 = 2BN Sn = σon

Sn 2RC

(12.23)

dove l’ultima uguaglianza vale per filtri del primo ordine, per cui BN = π f0 /2. Esempio 12.2 Calcoliamo il miglioramento del rapporto SNR fornito da un lock-in nella misura di un segnale sinusoidale. Consideriamo un segnale sinusoidale con√valore efficace Vs = 1 μV in presenza di rumore con spettro costante di 100nV / Hz nella banda 0-10 kHz, osservato attraverso √ un lock-in con RC = 1 s. La varianza del rumore d’ingresso e` σni2 = (100nV/ Hz)2 × 104 = 10−10 V2 . E quindi in ingresso si ha: SNRi = Vs2 /σni2√= 10−2 . La varianza del rumore in uscita 2 = (100nV/ Hz)2 /(2RC) = 5 · 10−15 V2 . E quindi in si ottiene dalla (12.23): σon 2 2 = 10−12 /5 · 10−15 = 200. Il rapporto segnale/rumore uscita si ha: SNRo = Vs /σno viene dunque migliorato di un fattore 2·104 corrispondente a 43 dB. Come mostra la formula (12.23), il miglioramento del rapporto SNR e` dovuto alla riduzione della banda passante introdotta dagli integratori. Si potrebbe dunque pensare, in alternativa al lock-in, di utilizzare un filtro ad alto Q. Ma i valori pi`u elevati del fattore di merito, realizzabili con adeguata stabilit`a di guadagno e soprattutto di frequenza, non superano in pratica il centinaio, mentre il “Q equivalente” ottenibile usando un lock-in pu`o essere assai maggiore. Il lock-in presenta inoltre il vantaggio di poter stabilire la frequenza di riferimento con grande accuratezza, offrendo anzi, nei sistemi di misura a modulazione, la possibilit`a di inseguire efficacemente qualsiasi variazione della frequenza usata per modulare il segnale.

12.5.2 La tecnica di correlazione a due canali Questa tecnica, che ha le sue origini in un lavoro di ottica [63], e` utilizzata quando si dispone di due sensori che consentono di misurare indipendentemente un medesimo segnale. In tal caso si possono sommare le uscite dei due sensori, aumentando di un fattore 2 il rapporto SNR grazie all’indipendenza del rumore nei due canali di misura. Ma si pu`o anche, e di questo qui ci occupiamo, eseguire il prodotto delle due uscite. In questo caso si rinuncia a determinare l’andamento temporale dettagliato

12.5 Alcune tecniche particolari

111

del segnale per misurarne la varianza, ed eventualmente l’andamento medio di tale grandezza durante determinati intervalli di tempo. Indichiamo come segue i segnali osservati all’uscita dei due canali di misura: x(t) = s(t) + n(t); y(t) = s(t) + m(t)

(12.24)

con varianza, rispettivamente, σs2 , σn2 e σm2 . In linea di principio, data l’assenza di correlazione fra i due rumori n(t) e m(t), la correlazione incrociata a ritardo zero fra le due osservazioni, cio`e il valor medio del loro prodotto, si riduce alla varianza del segnale 1 T →∞ 2T

Rxy (0) = lim

 T −T

x (t)y (t) dt = lim

T →∞

1 2T

 T −T

s2 (t)dt = σs2

(12.25)

dato che tutti i termini incrociati dove figura il rumore si annullano. Non e` nulla, tuttavia, la varianza residua della stima quando l’integrazione e` fatta su un tempo finito T , utilizzando cio`e lo stimatore 2 = σs,T

1 T

 T 0

x (t)y (t) dt.

(12.26)

Se il tempo d’integrazione e` molto maggiore del tempo di correlazione che caratterizza la funzione Rxy (τ), la fluttuazione residua associata allo stimatore (12.26) pu`o essere rappresentata approssimativamente dalla deviazione standard normalizzata [12, cap.8]:    σ 2 σ 2 σ 2σ 2 2+ n + m + n m  σs2 σs2 σs4 σT ≈ (12.27) 2BT avendo assunto gaussiani e bianchi nella banda di frequenza B i tre processi s(t), n(t) e m(t). La tecnica di correlazione a due canali ha trovato numerose applicazioni, dalla radioastronomia alle misure del campo magnetico interplanetario e alla termometria. Uno schema utilizzato in quest’ultimo caso utilizza un unico sensore, la resistenza nota che si trova alla temperatura incognita, ma e` collegato a due amplificatori disposti in parallelo, le cui uscite vanno poi sottoposte a correlazione incrociata. Esercizio 12.1 Discutere le prestazioni e le limitazioni dello schema di misura appena menzionato.

12.5.3 La tecnica delle medie correlate Questa tecnica riguarda l’estrazione dal rumore di segnali transitori quando sia possibile riprodurli pi`u volte, in condizioni di indipendenza statistica del rumore asso-

112

12 Cenni sull’estrazione del segnale dal rumore

ciato, e sia disponibile un segnale di trigger che ne segna l’inizio, o che rappresenta lo stimolo di cui il segnale osservato costituisce la risposta. Tali condizioni sono verificate, per esempio, nella misura della risposta impulsiva di un sistema oppure nella misura di potenziali evocati in elettrofisiologia, dove lo stimolo pu`o essere applicato un gran numero di volte. La procedura e` assai semplice, sebbene delicata: si esegue un numero elevato n di misure, che poi si riportano a un tempo d’inizio comune e si mediano assieme, istante per istante. Grazie all’indipendenza statistica del rumore nelle diverse prove, se il rumore associato alla generica misura ha varianza σ 2 , quello associato alla media finale avr`a varianza σ 2 /n. E anche qui l’esigenza di ridurre il rumore potrebbe richiedere valori di n non realistici.

12.5.4 Il campionamento doppio correlato (correlated double sampling) Questa tecnica trova impiego nelle misure della tensione di condensatori di piccola capacit`a prodotta dall’acquisizione di una carica elettrica, quando la capacit`a si trova a circuito aperto o collegata a una resistenza di valore assai elevato. Un tipico esempio riguarda i sensori d’immagine impieganti dispositivi ad accoppiamento di carica o CCD (charge coupled devices), dove la carica elettrica, direttamente proporzionale alla luce incidente sull’elemento sensibile in un (breve) tempo prefissato, viene raccolta sulla capacit`a dell’elemento. In queste misure interviene il cosiddetto rumore kT/C, anche di notevole entit`a, che si somma al segnale utile. Ma lo spettro di questo rumore (si tratta di rumore termico, vedi Esempio 4.4) ha ampiezza considerevole soltanto a frequenze molto basse, in quanto fortemente correlato, con tempo di correlazione dato dal prodotto fra la capacit`a e la resistenza ad essa in parallelo. La tecnica del campionamento doppio correlato consiste nell’eseguire un campionamento prima dell’esposizione del sensore alla luce, o comunque prima dell’arrivo sul condensatore della carica che si vuole misurare, e un secondo campionamento appena il condensatore e` stato caricato. Cos`ı facendo, il contributo del rumore alla misura viene fortemente ridotto, come indica la formula (2.12).

13

Impieghi utili del rumore

Studi riguardanti il rumore hanno condotto inaspettatamente a risultati scientifici di straordinaria importanza, che hanno esteso grandemente le nostre conoscenze. A tal proposito si ricorda che la nascita della radioastronomia si deve agli studi sperimentali svolti nel 1933 da Karl Janski sul rumore nelle radiocomunicazioni. E si ricordano anche le misure di Arno Penzias e Robert Wilson sul rumore di sistemi a microonde, che condussero nel 1964 alla scoperta della radiazione di fondo cosmico, aprendo la porta a sviluppi di eccezionale importanza nel campo della cosmologia. Queste misure e le loro straordinarie conseguenze sono ampiamente descritte in [64]. Ma i risultati imprevisti a cui si e` arrivati studiando il rumore, nei suoi vari aspetti, sono numerosi. Per esempio, alla scoperta dell’effetto Gunn (la resistenza negativa che in certe condizioni si manifesta a microonde in un semiconduttore) J. B. Gunn arriv`o inaspettatamente, mentre studiava il rumore associato agli elettroni “caldi” presenti nel materiale. Qui per`o vogliamo piuttosto occuparci degli impieghi utili del rumore, che sono generalmente poco noti, o comunque poco evidenziati, ma che sono piuttosto numerosi in ambiti assai diversificati e presentano indubbio interesse, anche per la natura non invasiva delle misure basate sul rumore spontaneo. Una rassegna molto estesa, seppure non recente, si trova in [9].

13.1 La misura di costanti fondamentali e di grandezze fisiche Misurando in una banda Δ f la varianza del rumore termico di un resistore di resistenza R che si trova alla temperatura T , dalla (4.1) si ricava il valore della costante di Boltzmann: σv2 . (13.1) k= 4T RΔ f La prima misura di questo tipo fu svolta dallo stesso Johnson, che determin`o la costante k con uno scarto del 10%. Sebbene tale metodo di misura non sia il pi`u accurato, esso presenta notevole interesse concettuale e didattico [65, 66, 67]. E Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

114

13 Impieghi utili del rumore

infatti viene proposto nei corsi universitari di laboratorio, dove pu`o essere realizzato con strumentazione di tipo corrente con accuratezza fra il 5 e il 10%. Considerazioni analoghe valgono per quanto riguarda la misura della carica dell’elettrone utilizzando il rumore shot. Misurando in una banda Δ f la varianza del rumore di corrente associato a una corrente di intensit`a I che scorre in un diodo, dalla (5.4) si ricava: σ2 (13.2) qe = i . 2IΔ f Come nel caso precedente, la prime misure, basate su un suggerimento di Schottky, risalgono agli anni ’20 del secolo scorso. Anche qui l’interesse e` sopratutto concettuale e didattico, sicch´e anche questa misura viene proposta nei corsi di laboratorio [65, 66, 67], rimarcando l’opportunit`a di utilizzare un diodo o un fotodiodo a vuoto. Vale la pena di notare che la (13.2) e` generalizzabile alla stima della carica media Q di un pacchetto di carica quando la corrente e` costituita da una sequenza casuale di pacchetti. Tornando al rumore termico, la formula di Johnson Svv = 4kT R e` evidentemente utilizzabile anche per misurare una resistenza oppure una temperatura. L’interesse per le misure di resistenza basate sul rumore termico sta nel fatto che esse non richiedono segnali di prova, come avviene impiegando qualsiasi tipo di ohmetro o di ponte, e quindi questo metodo e` utilizzabile anche quando si tratti di una resistenza influenzabile da un segnale ad essa applicato, come nel caso della resistenza di base rbb dei transistori bipolari [9]. Fra le altre misure di questo tipo ricordiamo quelle riguardanti il fattore di perdita dei condensatori [68] e la sua dipendenza dalla frequenza (6.4): 4kT . (13.3) tan δ (ω) = Svv (ω) ωC Assai pi`u diffuso e` l’impiego del rumore per misurare la temperatura, con una variet`a di tecniche sviluppate nell’ambito della cosiddetta termometria di rumore (noise thermometry) [69]. Rispetto all’impiego dei sensori usuali, queste tecniche presentano il duplice vantaggio di coprire una gamma di temperature molto estesa, dalle pi`u basse, prossime allo zero assoluto, fino alle pi`u alte, e di non richiedere l’applicazione di segnali di prova, che potrebbero “riscaldare” il sensore. Un elemento che limita l’accuratezza della termometria di rumore, in particolare per quanto riguarda le misure di basse temperature, e` il rumore dell’amplificatore, con il quale si confronta il rumore termico generato dal resistore. Fra le strade seguite per affrontare tale problema menzioniamo il ricorso ad amplificatori superconduttori a bassissimo rumore impieganti SQUID [70] e l’impiego della tecnica di correlazione a due canali (§12.5.2). Il teorema di Nyquist (4.22) consente di estendere le misure di resistenza a quelle di impedenza di componenti di vario tipo, come pure di trasduttori, anche qui traendo vantaggio dall’assenza di segnali di prova rispetto alle misure usuali. La parte reale R(ω) dell’impedenza si determina misurando il rumore di tensione, mentre la

13.2 L’impiego del rumore come segnale casuale

115

misura della corrente di rumore in cortocircuito fornisce In2 (ω) =

4k T R(ω) R2 (ω) + X 2 (ω)

(13.4)

da cui, nota R(ω), si pu`o determinare la parte immaginaria X(ω) dell’impedenza. Misurando il rumore di componenti elettronici si possono ottenere informazioni utili a valutarne la qualit`a e l’affidabilit`a (cio`e la probabilit`a di buon funzionamento nel tempo in condizioni prefissate) [71]. Difetti di fabbricazione non altrimenti individuabili, che potrebbero condurre al guasto, possono essere infatti evidenziati da anomalie riguardanti il rumore, senza ricorrere a prove distruttive o alle classiche prove di funzionamento a lungo termine impiegate nelle qualifiche affidabilistiche. Si e` trovato per esempio che i dispositivi attivi con rumore 1/ f pi`u basso presentano generalmente durata maggiore. Mentre l’osservazione nei dispositivi a semiconduttori di rumore con densit`a non gaussiana, a volte addirittura nella forma di un’onda con commutazione casuale fra due o pi`u livelli, e` un chiaro indice della presenza di disuniformit`a strutturali che possono condurre a guasti prematuri: fenomeno che in passato era relativamente frequente nei circuiti integrati. Pi`u in generale, l’osservazione del rumore generato spontaneamente nel corso del funzionamento dei sistemi, individuandone anomalie o comunque variazioni nel tempo, costituisce una utile diagnostica del loro comportamento, che trova largo impiego in molti ambiti: studio di vibrazioni meccaniche, individuazione di fenomeni di ebollizione di liquidi, . . . compresi i viaggi in automobile.

13.2 L’impiego del rumore come segnale casuale Molti impieghi del rumore, fra cui quelli come segnale di prova, sono basati sulla sua natura di segnale casuale a larga banda. Per questo troviamo il rumore come elemento essenziale in ambiti diversissimi, fra i quali citiamo le prove meccaniche con vibrazioni casuali (random testing), a cui vengono sottoposti gli apparati spaziali che debbono essere qualificati per il lancio; le contromisure elettroniche mirate a ridurre la funzionalit`a dei sistemi di comunicazione e di rivelazione (radio, radar, sonar) dell’avversario, il cui primo impiego risale alla guerra russo-giapponese del 1904; le tecniche di comunicazione a spread spectrum (spettro diffuso), nelle quali il segnale utile viene trasmesso su una banda di frequenze molto pi`u estesa del necessario criptandolo con una codificazione basata su sequenze prestabilite di rumore pseudocasuale allo scopo di ridurre le interferenze, consentire l’utilizzo contemporaneo delle stesse frequenze da parte di altri utenti e/o impedire la ricezione a chi non dispone della chiave di decifrazione; le analisi dei sistemi con i metodi Montecarlo, in tal caso svolte generalmente utilizzando numeri casuali generati dal calcolatore con opportuni algoritmi (ma il rumore generato artificialmente non e` mai, per definizione, perfettamente e rigorosamente casuale, sicch´e a volte si e` fatto ricorso alla digitalizzazione di rumore causale di origine fisica). Ricordiamo poi gli

116

13 Impieghi utili del rumore

Fig. 13.1 Impiego di rumore bianco per misurare, mediante un correlatore, la risposta impulsiva h(t) di un sistema

impieghi del rumore acustico in ambito sanitario, in particolare come analgesico, e anche per conciliare il sonno. Fra gli impieghi del rumore come segnale di prova a larga banda, il pi`u comune riguarda la misura della funzione di trasferimento di un circuito o di un sistema usando un analizzatore di spettro; questa caratterizzazione e` infatti assai pi`u rapida ed efficace rispetto alle tradizionali misure impieganti segnali di prova sinusoidali. Cos`ı pure, applicando rumore bianco all’ingresso di un circuito e misurando la varianza dell’uscita, si pu`o determinarne la larghezza di banda, pi`u precisamente la banda equivalente di rumore (§3.2). La misura della risposta impulsiva h(t) di un circuito o di un sistema nel dominio del tempo, che richiede idealmente l’applicazione in ingresso di un impulso di Dirac, viene attuata in pratica utilizzando un segnale di grande ampiezza e durata finita, purch´e breve rispetto alle costanti di tempo del sistema. Anche cos`ı procedendo, tuttavia, l’energia fornita in ingresso e` pericolosamente concentrata in un tempo relativamente breve, potendo portare il sistema fuori dalla linearit`a, mentre il prodotto ampiezza-durata pu`o risultare insufficiente a garantire una misura accurata della risposta impulsiva, a causa dell’inevitabile presenza del rumore. Ma proprio il rumore consente di risolvere il problema. Applicando infatti rumore bianco all’ingresso del sistema, la risposta impulsiva si determina calcolando la correlazione incrociata fra l’uscita e l’ingresso, secondo lo schema in Fig. 13.1. La funzione Ryx (τ) (vedi (A.9)) e` data infatti dalla convoluzione fra l’autocorrelazione Rxx (τ) del rumore applicato in ingresso e la risposta impulsiva h(t) del sistema. E allora, siccome l’autocorrelazione dell’ingresso e` una funzione delta all’origine, la correlazione incrociata, a meno di una costante moltiplicativa, coincide con la risposta impulsiva (13.5) Ryx (τ) ∝ h(τ) . E` importante osservare che con questa tecnica l’energia del segnale d’ingresso non e` concentrata ma distribuita nel tempo, sicch´e anche rumore di ampiezza relativamente modesta risulta largamente sufficiente a una accurata determinazione della risposta impulsiva. Proprio per tale motivo si pu`o usare questa tecnica anche durante il normale funzionamento di un sistema, in tal caso sommando rumore bianco al segnale d’ingres-

13.2 L’impiego del rumore come segnale casuale

117

so e crosscorrelando l’uscita con questo rumore, la cui ampiezza pu`o essere scelta in modo da introdurre una perturbazione trascurabile. Si ottiene cos`ı una caratterizzazione continua del sistema, che consente di evidenziare l’insorgere di eventuali deviazioni nel suo comportamento. Esercizio 13.1 Proporre una tecnica per misurare la velocit`a di un liquido in un condotto di lunghezza nota. Menzioniamo infine la tecnica del dithering, nella quale il rumore svolge un ruolo assolutamente controintuitivo perch´e, sommato al segnale, migliora le prestazioni del sistema, consentendo di aumentarne la risoluzione [36, 72]. Un esempio immediato riguarda la spia luminosa che si accende quando il serbatoio di un’auto e` in riserva. Se l’auto e` in quiete la spia e` permanentemente accesa oppure spenta; ma quando e` in moto pu`o darsi che la spia si accenda e spenga continuamente. In quest’ultimo caso, integrando a occhio, si pu`o stabilire se siamo prossimi a entrare in riserva (poco accesa e molto spenta), oppure se siamo gi`a in riserva, ma c’`e ancora carburante (molto accesa e poco spenta). Ecco allora che il moto irregolare del carburante nel serbatoio ha trasformato un’informazione binaria in una analogica. La tecnica del dithering trova numerosi impieghi utili nell’elaborazione di immagini, di suoni e in generale di informazioni analogiche che sono state sottoposte a quantizzazione. Per discutere questa tecnica consideriamo un convertitore analogico-digitale (ADC) che sul segnale analogico d’ingresso, dopo il campionamento, esegue una operazione di quantizzazione. Da ci`o risulta, come sappiamo (Capitolo 7), una perdita d’informazione che si manifesta in termini di rumore di quantizzazione. Supponiamo in particolare che la quantizzazione segua la legge V (v) = int(v + 0.5)

(13.6)

dove v e` un campione del segnale analogico e V il corrispondente valore quantizzato, entrambi assunti adimensionali, in tal modo arrotondando v al valore intero pi`u vicino. Esaminiamo ora cosa avviene quando a un campione del segnale v sommiamo intenzionalmente un rumore n con distribuzione uniforme nell’intervallo − 21 , + 12 . Esprimendo il segnale nella forma v = int(v) + Δ v, con Δ v nell’intervallo [0, 1), ed essendo v + n il segnale sottoposto a quantizzazione, dalla (13.6) si ha: V (v + n) = int(v + n + 0.5) = int(v) + int(Δ v + n + 0.5)

(13.7)

sicch´e il dato quantizzato V (v+n) sar`a int(v) oppure int(v+1) a seconda che Δ v+n sia minore o maggiore di 0.5. Dato che la densit`a di probabilit`a di Δ v + n e` costante nell’intervallo Δ v − 12 , Δ v + 12 , la probabilit`a di superare la soglia e` P+ = Δ v, quella di non superarla e` P− = 1 − P+ = 1 − Δ v. Se ora ripetiamo pi`u volte le operazioni di somma del rumore, campionamento e quantizzazione, il valor medio dei dati quantizzati, supponendo costante il segnale v, avr`a valore aspettato E[V (v, n)] = P− int(v) + P+ (int(v) + 1) = int(v) + Δ v = v

(13.8)

118

13 Impieghi utili del rumore

coincidente con il segnale d’ingresso, con varianza residua dipendente soltanto dal numero di dati utilizzati nella media. Si noter`a che l’operazione di media e` pienamente efficace dato che le fluttuazioni dei campioni che vi intervengono sono statisticamente indipendenti fra loro grazie alla presenza del rumore. E` poi chiaro che nel caso di un segnale analogico variabile nel tempo le operazioni anzidette (somma del rumore, campionamento, quantizzazione, media dei risultati) vanno svolte ad alta velocit`a, tale cio`e da poter considerare il segnale approssimativamente costante nel tempo necessario a svolgerle.

13.3 Il raffreddamento del rumore mediante la controreazione Trattiamo ora l’argomento del “raffreddamento” di oggetti fisici (pi`u precisamente, di modi normali di tali oggetti) mediante la controreazione (feedback cooling) [73] nonostante rientri piuttosto fra gli impieghi utili della controreazione che del rumore. Ma qui il rumore ha un ruolo essenziale, anche perch´e l’obiettivo del “raffreddamento” e` spesso proprio quello di ridurre il rumore. Un caso particolare di questa tecnica lo abbiamo gi`a visto nell’Esempio 8.1, mostrando la possibilit`a di ottenere un resistore “freddo” [38, 74], cio`e con rumore inferiore al termico associato alla sua temperatura termodinamica, utilizzando un circuito a controreazione: un circuito attivo, quindi in condizioni di non equilibrio termodinamico. Un altro esempio riguarda l’impiego di un transistore JFET, compattamente controreazionato collegandone assieme gate e drain, per ottenerne un resistore “freddo” con resistenza pari a 1/gm , nella regione dei GHz [75]. Una analisi dell’impiego di questa tecnica per ridurre il rumore termico di un oscillatore meccanico smorzato, svolta considerando in particolare un galvanometro [76], mostra che una controreazione senza rumore consentirebbe di ridurne a piacimento la temperatura che ne caratterizza le vibrazioni spontanee. Con un limite pratico posto esclusivamente dall’aumento del tempo di smorzamento dello strumento, cio`e dalla diminuzione della prontezza di risposta a un segnale utile, e quindi della banda passante. Discutiamo ora lo stesso effetto di riduzione del rumore con aumento dello smorzamento nel caso di un circuito risonante, utilizzando allo scopo un resistore freddo, non importa qui se ottenuto raffreddandolo effettivamente o sfruttando, come si e` visto, la reazione negativa. Consideriamo in particolare un circuito RLC parallelo. Se il resistore ha resistenza R1 il fattore di merito del circuito e` Q1 = R1 /ω0 L e la sua temperatura equivalente, data dalla (8.5), coincide con la temperatura a cui si trova il resistore, che indichiamo con T1 . Il rapporto T /Q e` dunque T1 /Q1 . Sostituendo R1 con un resistore di resistenza R2 che si trova alla temperatura T2 si ha evidentemente Q2 = R2 /ω0 L e la temperatura equivalente del circuito diventa T2 , con rapporto T /Q dato da T2 /Q2 . Se ora colleghiamo entrambi i resistori in

13.3 Il raffreddamento del rumore mediante la controreazione

119

parallelo al circuito, il fattore di merito diventa 1 1 1 = + Q Q1 Q2

(13.9)

e la temperatura equivalente e` data dalla (8.7) TEQ =

T1 R2 + T2 R1 . R1 + R2

Calcolando il rapporto T /Q, dalle precedenti si ottiene l’importante risultato TEQ T1 T2 = + . Q Q1 Q2

(13.10)

Da quanto sopra si conclude che l’aggiunta di un resistore “freddo” (T2 < T1 ) conduce a ridurre sia il fattore di merito che il rumore del circuito. In particolare, se vale la condizione R2 R1 , ricavando dalla (13.10) la temperatura equivalente del circuito si ottiene Q TEQ ≈ T1 + T2 . (13.11) Q1 Notiamo qui che il raffreddamento a controreazione trova un limite nel rumore dell’amplificatore utilizzato a tale scopo. La temperatura “fredda” T2 , in altre parole, non pu`o essere resa piccola a piacere. E infatti nell’Esempio 8.1 si e` visto che, controreazionando un amplificatore di guadagno A con una resistenza RF che si trova alla temperatura T , si ottiene al suo ingresso una resistenza R = RF /(1 + A) con temperatura equivalente [38, 74] TEQ =

T A2Vn2 /RF + RF In2 + . 1+A 4k(1 + A)

(13.12)

Il minimo di questa espressione, per A  1 e per una scelta opportuna di RF , e` dato dalla temperatura di rumore Tn dell’amplificatore, che costituisce dunque il limite inferiore per la temperatura fredda della resistenza R. Le formule (13.9) e (13.10) possono essere estese al caso dell’accoppiamento fra un sistema meccanico risonante e una resistenza elettrica. Rappresentando con β il coefficiente di accoppiamento energetico elettromeccanico, esse restano valide qualora in entrambe si sostituisca Q2 con Q2 /β . Ci`o e` stato dimostrato sperimentalmente, raffreddando un modo normale di oscillazione di corpi di massa relativamente grande (∼ 103 kg), grazie al collegamento con un resistore freddo o con uno raffreddato mediante la reazione negativa [77]. Pi`u in generale, tecniche di raffreddamento a controreazione trovano oggi impiego in vari esperimenti di fisica. Fra questi ci limitiamo a ricordare il feedback cooling di un modo di oscillazione (m = 2.7 kg) del pendolo costituito da un insieme di specchi dell’interferometro LIGO, che e` stato portato di recente alla temperatura di 1,4 μK, corrispondente a un numero di rumore di 234 [78].

120

13 Impieghi utili del rumore

13.4 Il rumore come strumento concettuale Le metodologie sviluppate nel quadro degli studi sul rumore - metodi matematici, concetti e idee guida - trovano utile e largo impiego nella modellizzazione come sistemi stocastici di una estesa variet`a di sistemi fisici e tecnologici: sistemi di comunicazione, sistemi elettrici di potenza, sistemi meccanici, sistemi di trasporto, reattori nucleari. Gli studi sul rumore, come gi`a accennato in precedenza, hanno inoltre condotto a stabilire collegamenti fra discipline generalmente considerate lontane fra loro, come la teoria dei circuiti e la termodinamica. Un esempio particolarmente eloquente e` il lavoro riassunto dal teorema fluttuazione-dissipazione (Capitolo 4). A questo proposito vogliamo qui ricordare due problemi assai stimolanti: il paradosso di Penfield e le scatole nere di Slepian. Il paradosso di Penfield [79] riguarda il circuito costituito da un resistore collegato a un motore elettrico universale, cio`e un motore in continua con la bobina di campo disposta in serie alla bobina del rotore. Il rumore del resistore dovrebbe azionare il motore, la cui coppia e` proporzionale al quadrato della corrente che lo attraversa, ma ci`o e` evidentemente in contrasto con il II principio della termodinamica. Tale problema e` stato oggetto di ampia discussione, arrivando a concludere sulla necessit`a, per evitare il paradosso, di impiegare modelli circuitali pi`u raffinati. Il problema delle scatole nere di Slepian riguarda i circuiti rappresentati in Fig. 13.2, ponendo il quesito se sia possibile distinguere le due scatole senza avere accesso al loro interno, eseguendo esclusivamente misure elettriche ai loro terminali. A prima vista, dato che l’impedenza dei due circuiti e` esattamente la stessa, parrebbe di poter concludere che le scatole siano indistinguibili. I due circuiti potrebbero presentare differenze per quanto riguarda il rumore, non certamente per`o se in equilibrio a una stessa temperatura T , perch´e in tal caso gli spettri del rumore sarebbero identici, in particolare indipendenti dalla frequenza con Svv = 4kT R. E` per`o possibile alterare questo equilibrio collegando una batteria ai terminali delle scatole. Nella scatola B, in tal caso, si riscalder`a soltanto il resistore in parallelo al condensatore, ma non l’altro perch´e cortocircuitato in continua dall’induttore. Il primo si porter`a quindi a una temperatura maggiore di quella dell’altro con la conseguenza che lo spettro del rumore non sar`a pi`u bianco. E quindi le due scatole risulteranno distinguibili.

Fig. 13.2 Le scatole nere di Slepian

13.4 Il rumore come strumento concettuale

121

Esercizio 13.2 Ricavare un’espressione per lo spettro di tensione ai terminali della scatola B dopo il riscaldamento da parte della batteria. Tracciare il grafico dello spettro in funzione della frequenza, per R = 1 ohm, supponendo che il resistore riscaldato si porti a 600 K e l’altro si mantenga a 300 K. Menzioniamo infine, seppur brevemente, il paradigma della risonanza stocastica, che presenta assieme un forte interesse concettuale e un grande potere interpretativo. La risonanza stocastica pu`o essere considerata in generale come un effetto nonlineare cooperativo per cui uno stimolo periodico, in presenza di rumore, viene fortemente amplificato. Questa idea venne introdotta inizialmente nel 1981 da R. Benzi, A. Sutera e A. Vulpiani [80] per spiegare le periodicit`a delle ere glaciali, attribuendone la causa alle deboli variazioni periodiche dell’insolazione terrestre dovute alle variazioni dell’orbita. Ma ha trovato poi grandi sviluppi teorici, ampie verifiche sperimentali, in particolare impiegando circuiti elettronici, e soprattutto un gran numero di applicazioni interpretative negli ambiti pi`u vari della scienza. L’essenza del fenomeno della risonanza stocastica pu`o essere introdotta assai semplicemente considerando una particella molto smorzata che si trova in un potenziale bistabile e che e` soggetta sia a rumore sia a una debole forza periodica. In assenza della forzante periodica, il rumore e` appena sufficiente a provocare, di tanto in tanto, il passaggio della particella fra gli stati A e B in Fig. 13.3, con tempi di residenza nei due stati mediamente uguali, data la simmetria del sistema. Quando e` presente anche la forza periodica, che per la sua debolezza sarebbe da sola del tutto insufficiente a provocare transizioni, la simmetria si rompe e di conseguenza la probabilit`a che la particella si trovi nello stato favorito dal verso della forza aumenta a spese dell’altra. In tal caso lo spettro dello spostamento della particella presenta un picco alla frequenza della forzante, manifestando cos`ı una forma di sincronizzazione fra la risposta del sistema e l’eccitazione periodica. Senza entrare nei dettagli, per i quali si rimanda alla bibliografia [81, 82, 83], si capisce facilmente che il rapporto SNR, che pu`o essere inteso come rapporto fra lo spettro dello spostamento nell’intorno della frequenza di eccitazione e lo spettro del rumore in assenza di eccitazione armonica, dipende dall’ampiezza sia della forza periodica sia del rumore. Con un massimo che dipende dall’altezza della barriera di potenziale che si trova fra i due stati.

Fig. 13.3 Potenziale a doppia buca dove si muove la particella

A

Richiami sui sistemi

A.1 Classificazione dei sistemi Con il termine sistema intendiamo qui sia oggetti fisici, che ci interessano in quanto scambiano informazioni con l’ambiente esterno attraverso segnali rappresentati da grandezze fisiche, sia modelli matematici, cio`e relazioni fra segnali, espresse in termini formali nel dominio del tempo o della frequenza. Il caso pi`u semplice riguarda i sistemi a un solo ingresso x(t) e a una sola uscita y(t), che possono essere descritti dalla relazione y(t) = Γ {x(t)} (A.1) dove Γ { · } e` un opportuno operatore. Una prima classificazione e` basata sulla distinzione fra sistemi continui o analogici, che elaborano appunto segnali analogici, cio`e con ampiezza reale definita su un asse dei tempi anch’esso reale, e sistemi discreti, che elaborano segnali quantizzati in ampiezza definiti su un asse dei tempi discreto. Un’altra distinzione riguarda le propriet`a di memoria. Un sistema si dice statico, cio`e privo di memoria (memoryless), oppure dinamico, cio`e dotato di memoria, a seconda che la sua uscita a un dato istante dipenda soltanto dall’ingresso a quello stesso istante o no. Nel primo caso le equazioni che compaiono nel modello matematico sono di natura algebrica, nel secondo di natura integrodifferenziale e il sistema deve comprendere elementi in grado di immagazzinare energia. Un sistema dinamico fisico e` sempre causale, cio`e ha memoria del passato ma non del futuro, dal momento che nessun effetto pu`o anticipare la sua causa (principio di causalit`a). Ma un sistema che elabora segnali in tempo differito, in particolare su dati registrati, pu`o essere realizzato in forma acausale. Un esempio e` un filtro di media a sfasamento nullo che realizza la funzione y (t) =

1 T

 t+T /2 t−T /2

x(t )dt .

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

124

A Richiami sui sistemi

Una ulteriore distinzione riguarda l’invarianza del comportamento di un sistema rispetto al tempo. Quando questa propriet`a e` verificata, il sistema si dice tempoinvariante (time invariant) o stazionario e allora l’operatore Γ { · } e` tale da aversi y(t + T ) = Γ {x(t + T )}

(A.2)

per qualsiasi T . In tal caso il sistema e` descritto da equazioni a coefficienti costanti. Altrimenti il sistema si dice tempo-variante (time-varying) o non stazionario. Un’ultima, importantissima, distinzione riguarda la linearit`a. Un sistema si dice lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti, cio`e se per qualsiasi coppia di costanti α e β e per qualsiasi coppia di funzioni d’ingresso x1 (t) e x2 (t) vale l’uguaglianza: Γ {αx1 (t) + β x2 (t)} = αΓ {x1 (t)} + βΓ {x2 (t)}

(A.3)

(dove le risposte vanno considerate al netto dei contributi di eventuali condizioni iniziali). In tal caso il sistema e` descritto da equazioni lineari. Altrimenti il sistema si dice nonlineare. Si noti che la proporzionalit`a fra ingresso e uscita (omogeneit`a) e` condizione necessaria, ma non sufficiente, per assicurare la linearit`a. Ricordiamo qui che in elettronica si utilizza spesso l’approssimazione per piccoli segnali, descrivendo come lineari dispositivi o circuiti che sicuramente non lo sono, in tal caso linearizzandone la caratteristica statica attraverso uno sviluppo in serie di Taylor, cio`e considerandone la risposta a piccole variazioni dell’eccitazione.

A.2 I sistemi lineari dinamici Un sistema lineare dinamico e` completamente caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t), cio`e dalla risposta a una eccitazione costituita da una funzione delta. Cio`e all’ingresso x(t) = δ (t) corrisponde l’uscita y(t) = h(t)

(A.4)

che nei sistemi causali e` identicamente nulla per qualsiasi t < 0. Una caratterizzazione alternativa, anch’essa completa, e` costituita dalla risposta in frequenza, cio`e dalla risposta H( jω) a una eccitazione sinusoidale: una funzione complessa della frequenza che di questa risposta rappresenta il modulo e la fase. Tale funzione prende il nome di funzione di trasferimento per la sua portata generale: essa esprime infatti il rapporto fra le trasformate di Fourier (o di Laplace, sostituendo jω con la variabile complessa s) dell’uscita e dell’ingresso per i segnali che ammettono tali rappresentazioni Y ( jω) H ( jω) = . (A.5) X( jω)

A.2 I sistemi lineari dinamici

125

L’importanza delle funzioni h(t) e H( jω), legate fra loro dalla trasformazione di Fourier H ( jω) =

 ∞ −∞

h (t) exp (− jωt) dt

1 2π

h (t) =

 ∞ −∞

H ( jω) exp ( jωt) dω

(A.6)

sta nel fatto che entrambe consentono di calcolare la risposta di un sistema a una eccitazione x(t) di forma qualsiasi. Nel caso della funzione di trasferimento utilizzando la (A.5). Nel caso della risposta impulsiva impiegando l’integrale di convoluzione y (t) =

 ∞ −∞

x(t − α)h (α) dα =

 ∞

x (α) h(t − α) dα

(A.7)

x (α) h(t − α) dα.

(A.8)

−∞

che per un sistema causale assume la forma y (t) =

 ∞ 0

x(t − α)h (α) dα =

 t −∞

L’equivalenza fra i due procedimenti anzidetti si dimostra trasformando la (A.7) e utilizzando il teorema di convoluzione, per cui Y ( jω) = X( jω)H( jω), ritrovando cos`ı la (A.5). Una caratterizzazione impiegata assai spesso, grazie alle indicazioni pratiche che fornisce, consiste nella risposta a un gradino unitario u(t), chiamata risposta al gradino (step response) o risposta indiciale hu (t). Questa risposta, poich´e la funzione u(t) e` l’integrale nel tempo della funzione delta, e` data a sua volta dall’integrale nel tempo della risposta impulsiva. Per un sistema causale si ha in particolare: hu (t) =

 t 0

h (α) dα.

Dalla risposta al gradino si ricavano vari parametri di interesse pratico, in particolare per le funzioni che presentano risposta asintotica non nulla. Fra questi: • il tempo di ritardo (delay time) tr , cio`e il tempo necessario perch´e la risposta, a partire dall’istante di eccitazione, si porti al 50% del suo valore finale; • il tempo di salita (rise time) ts , cio`e il tempo necessario perch´e la risposta si porti dal 10% al 90% del suo valore finale; • il tempo di assestamento (settling time) ta , cio`e il tempo necessario perch´e la risposta si porti al suo valore finale entro un prefissato scarto Δ 1 . Nel caso di un filtro del primo ordine con costante di tempo τ e risposta al gradino hu (t) = u(t)(1 − exp(−t/τ)), il ritardo e il tempo di salita assumono le seguenti espressioni: td = 0.693τ, tr = 2.197τ. Ricordiamo poi che, nel caso di pi`u sistemi in cascata, i ritardi si compongono linearmente, i tempi di salita quadraticamente.

1

Il tempo di assestamento presenta particolare interesse quando il segnale viene applicato all’ingresso di un convertitore analogico-digitale, in relazione all’entit`a del quanto di conversione.

126

A Richiami sui sistemi

A.3 Il rumore nei sistemi lineari dinamici Consideriamo un sistema lineare dinamico con risposta impulsiva h(t) e funzione di trasferimento H( jω) all’ingresso del quale e` applicato un segnale casuale stazionario x(t) a valor medio nullo con autocorrelazione Rxx (τ) e spettro di potenza Sxx (ω). Calcoliamo la correlazione incrociata Ryx (τ) (⇒ 2.13a) fra l’uscita y(t) e l’ingresso x(t) del sistema, moltiplicando per x(t − τ) ambo i membri dell’espressione (A.7) y (t) x (t − τ) =

 ∞ −∞

x(t − α)x (t − τ) h (α) dα

e poi prendendone il valore aspettato E [y (t) x (t − τ)] =

 ∞

E [x(t − α)x (t − τ)] h (α) dα.

−∞

Si conclude pertanto che la correlazione incrociata uscita-ingresso e` data dalla convoluzione fra l’autocorrelazione dell’ingresso e la risposta impulsiva Ryx (τ) =

 ∞ −∞

Rxx (τ − α)h (α) dα.

(A.9)

E qui notiamo che se l’ingresso e` bianco, quindi con autocorrelazione costituita da una funzione delta, allora la correlazione incrociata Ryx (τ) e` direttamente proporzionale alla risposta impulsiva del sistema, giustificando il metodo menzionato nel § 13.2. Calcoliamo ora l’autocorrelazione dell’uscita y(t) del sistema, moltiplicando per y(t + τ) ambo i membri della (A.7) y (t + τ) y (t) =

 ∞ −∞

y (t + τ) x(t − α)h (α) dα

e poi prendendone il valore aspettato E [y (t + τ) y (t)] =

 ∞ −∞

E [y(t + τ)x (t − α)] h (α) dα.

Si ottiene cos`ı Ryy (τ) =

 ∞ −∞

Ryx (τ + α)h (α) dα =

 ∞ −∞

Ryx (τ − β )h (−β ) dβ

(A.10)

con β = −α, concludendo che l’autocorrelazione dell’uscita e` data dalla convoluzione fra la correlazione incrociata uscita-ingresso e la risposta impulsiva invertita nel tempo. Prendendo la trasformata di Fourier delle (A.9) e (A.10), e applicando il teorema di convoluzione, si trova rispettivamente Syx (ω) = Sxx (ω)H( jω)

Syy (ω) = Syx (ω)H ∗ ( jω).

A.4 Il rumore nei sistemi nonlineari statici

127

Combinando tali espressioni si conclude la dimostrazione del teorema (3.1) Syy (ω) = Sxx (ω) |H( jω)|2

(A.11)

grazie al quale il calcolo dello spettro d’uscita risulta molto pi`u agevole di quello dell’autocorrelazione.

A.4 Il rumore nei sistemi nonlineari statici Quando il rumore attraversa un sistema lineare statico la densit`a di probabilit`a non viene deformata, subendo soltanto un cambiamento di scala e una traslazione rigida. Se la variabile d’ingresso x ha densit`a fx (x) e il sistema e` descritto dalla legge y = g(x) = ax + b

(A.12)

allora la densit`a dell’uscita y e` : 1 fx fy (y) = |a|



 y−b . a

(A.13)

Nel caso di un sistema nonlineare statico, invece, la forma della densit`a dell’uscita e` diversa da quella dell’ingresso e si determina in base a quanto segue. Consideriamo il sistema descritto della legge y = g(x).

(A.14)

Alla densit`a fy (y) dell’uscita y contribuisce, per ogni valore di y, la densit`a fx (x) dell’ingresso relativa a tutti i valori di x che sono soluzioni reali della y = g(x). Pi`u precisamente, indicando con xi le n radici reali della equazione y = g(x) corrispondenti a un dato valore di y, si ha: n fx (xi ) fy (y) = ∑ (A.15) 1 |g (xi )| avendo indicato con g (x) la derivata di g(x). La (A.13) si ricava immediatamente dalla precedente nel caso del sistema lineare (A.12). La validit`a del teorema (A.15) si pu`o verificare considerando il semplice caso particolare rappresentato in Fig. A.1. Qui vi sono valori di y per cui la y = g(x) non ha soluzioni reali, e quindi si ha fy (y) = 0, e valori di y per cui vi sono due soluzioni reali x1 e x2 . In quest’ultimo caso si ha: fy (y)dy=P{y ≤ y ≤ y+dy}=P{x1 ≤ x ≤ x1 +dx1 }+P{x2 −dx2 ≤ x ≤ x2 } (A.16) dove P{x1 ≤ x ≤ x1 + dx1 } = fx (x1 )dx1 ;

P{x2 − dx2 ≤ x ≤ x2 } = fx (x2 )|dx2 |.

128

A Richiami sui sistemi

Fig. A.1 Schema per il calcolo della densit`a di probabilit`a della variabile d’uscita y del sistema non lineare statico y = g(x) in funzione della densit`a fx (x) della variabile d’ingresso x

Essendo poi

dy = g (x1 )dx1 = g (x2 )dx2

si ritrova quanto espresso dalla (A.15). Il teorema (A.15) vale evidentemente solo se la funzione g(x) possiede un numero n finito (o nullo) di radici reali per qualsiasi valore di y, cio`e non presenta tratti con valori costanti. Il verificarsi di quest’ultimo caso si affronta sommando alla (A.15) una o pi`u funzioni delta che rappresentino i contributi di questi tratti. In particolare, se g(x) = y0 per x compreso nell’intervallo xa , xb , il corrispondente termine aggiuntivo sar`a  xb

xa

fx (x)dx δ (y − y0 ).

(A.17)

Esercizio A.1 Calcolare la densit`a di probabilit`a all’uscita di un limitatore simmetrico con ingresso casuale a distribuzione normale. L’ingresso e` normale a media nulla e deviazione standard unitaria. La caratteristica del rivelatore e` la seguente: y = x nell’intervallo −1, +1, y = sign(x) altrove. Esaminiamo ora due casi particolari: un rivelatore lineare e un rivelatore quadratico. Consideriamo un rivelatore lineare descritto dalla legge y = g(x) = |x|. Questa per y < 0 non ha soluzioni reali e quindi in tale regione f y (y) = 0; per y > 0 ha due soluzioni, in corrispondenza delle quali |g (x)| = 1. Si conclude, utilizzando la (A.15), che se se l’ingresso ha densit`a fx (x), la densit`a dell’uscita e` fy (y) = [ fx (y) + fx (−y)]u(y).

A.4 Il rumore nei sistemi nonlineari statici

129

Consideriamo un rivelatore quadratico descritto dalla legge y = g(x) = x2 . Anche questa funzione per y < 0 non ha soluzioni reali e quindi in tale regione sar`a fy (y) = 0, mentre per y > 0 si hanno due soluzioni, in corrispondenza delle quali √ |g (x)| = 2 y. Pertanto, utilizzando ancora la (A.15), la densit`a d’uscita e` 1 √ √ fy (y) = √ [ fx ( y) + fx (− y)] u(y). 2 y In particolare, se l’ingresso e` normale a media nulla con  2 −x 1 fx (x) = √ exp 2σx2 σx 2π in uscita si ha

  −y 1 fy (y) = √ . exp 2σx2 σx 2πy

Considerando ora l’ingresso del rivelatore quadratico come un processo stocastico x(t), il valor medio del processo d’uscita y(t) sar`a dato dal valore quadratico medio di x(t). Tale grandezza nel caso di ingresso a media nulla coincide con la varianza di x(t) e quindi con il valore della sua autocorrelazione a ritardo zero: E[y(t)] = E[x2 (t)] = Rxx (0). Nel caso di ingresso normale a media nulla l’autocorrelazione Ryy (τ) dell’uscita si ricava utilizzando l’identit`a E[u2 v2 ] = E[u2 ]E[v2 ] + 2E 2 [uv] che vale per due processi u(t) e v(t) congiuntamente normali [10, pag. 306]. Dalla precedente si ha: Ryy (τ) = E[x2 (t + τ)x2 (t)] = E[x2 (t + τ)]E[x2 (t)] + 2E 2 [x(t + τ)x(t)] e quindi Ryy (τ) = R2xx (0) + 2R2xx (τ).

B

I processi di Poisson

Disponiamo n punti a caso sull’asse dei tempi nell’intervallo 0,T. La probabilit`a di trovarne k in un intervallo Δ t e` data dalla formula di Bernoulli, con p = Δt/T :   n! (B.1) P(k, Δt) = pk (1 − p)n−k . k! (n − k)! Se n  1 e Δt T , la (B.1) e` ben approssimata dalla formula di Poisson che segue (la quale vale esattamente quando n → ∞, T → ∞), avendo posto λ = n/T P(k, Δt) =

exp(−λ Δt) (λ Δt)k . k!

(B.2)

In tali condizioni, per λ Δt 1, si ha in particolare P(1, Δt) ≈ λ Δt. Indichiamo ora con x(t) il processo stocastico, chiamato processo di Poisson, definito dal conteggio del numero di punti casuali nell’intervallo 0, t, assumendo x(0) = 0. Si tratta evidentemente di un processo non stazionario, che presenta andamento non decrescente nella forma di una gradinata casuale, come mostrato in Fig. B.1. Il valor medio e il valore quadratico medio di x(t) si ricavano dalla (B.2) ∞

E[x(t)] = ∑ x P(x,t) = λt

(B.3)

0

∞

E[x2 (t)] = ∑ x2 P(x,t) = (λt)2 + λt.

(B.4)

0

Quest’ultima espressione, nella quale s’individuano il quadrato del valor medio (λt)2 e la varianza λt, rappresenta l’aspetto essenziale della statistica di Poisson, per cui la varianza coincide con il valor medio. Per t2 > t1 si trova inoltre, utilizzando la (B.4): (B.5) E[x2 (t2 − t1 )] = λ 2 (t2 − t1 )2 + λ (t2 − t1 ). Il valore di aspettazione del prodotto del processo x(t) su due intervalli di tempo che non si sovrappongono e` , grazie all’indipendenza degli eventi in tali intervalli, dato Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

132

B I processi di Poisson

Fig. B.1 Il grafico in alto rappresenta un processo di Poisson, il cui valore si incrementa dell’unit`a a ciascuno degli istanti casuali ti . Il grafico in basso rappresenta il corrispondente processo impulsivo di Poisson, costituito da una sequenza casuale di impulsi di Dirac

dal prodotto delle due aspettazioni: E[x(Δt1 )x(Δt2 ))] = λ 2 Δt1 Δt2 .

(B.6)

Quando invece vi e` sovrapposizione, per esempio con Δt1 = td − tc e Δt2 = tb − ta nel caso td > tb > tc > ta mostrato in Fig. B.2, dalle precedenti si ha E[(x(td − tc )(x(tb − ta ))] = λ 2 (td − tc )(tb − ta ) + λ (tb − tc ) = λ 2 Δt1 Δt2 + λ (tb − tc ) (B.7) dove (tb − tc ) e` la lunghezza dell’intervallo di sovrapposizione al quale e` associato il termine λ (tb − tc ).

Fig. B.2 Individuazione dei tempi iniziali e finali di due intervalli parzialmente sovrapposti

B I processi di Poisson

133

L’autocorrelazione1 del processo x(t) si ricava dalla (B.7) nella forma seguente  λ 2t1t2 + λt2 t1 ≥ t 2 . (B.8) Rxx (t1 ,t2 ) = E[x(t1 )x(t2 )] = 2 λ t1t2 + λt1 t2 ≥ t 1 Derivando rispetto al tempo il processo x(t) si ottiene una sequenza casuale di funzioni delta, come mostrato nella Fig. B.1: y(t) =

dx = δ (t − ti ). dt ∑ i

(B.9)

Tale processo, chiamato processo impulsivo di Poisson, e` stazionario con valor medio E[y] = λ (B.10) autocorrelazione [10] Ryy (τ) = λ 2 + λ δ (τ)

(B.11)

Syy (ω) = 2πλ 2 δ (ω) + 2λ

(B.12)

e spettro di potenza unilatero

ottenuto trasformando la precedente.

1

Qui l’autocorrelazione e` funzione di due tempi perch´e il processo non e` stazionario.

C

Funzioni di autocorrelazione e spettri unilateri

costante A

Funzione di autocorrelazione R(τ) = A2

sinusoide di ampiezza A e fase arbitraria

R(τ) =

rumore bianco ideale

R(τ) = Aδ (τ)

rumore bianco a banda limitata (0 ≤ f ≤ B)

R(τ) = AB

rumore esponenziale

R(τ) = A exp (−α |τ|)

A2 cos (ω0 τ) 2



sin(2πBτ) 2πBτ



Spettro di potenza unilatero S(ω) = 2πA2 δ (ω) S(ω) = πA2 δ (ω − ω0 )  2A per ω ≥ 0 S(ω) = 0 per ω < 0  A per 0 ≤ ω ≤ 2πB S(ω) = 0 altrove S(ω) =

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

4Aα α2 + ω2

D

L’analogia di Maxwell

Consideriamo brevemente un’analogia elettromeccanica, introdotta da James Clerk Maxwell, che trova utile impiego nei campi pi`u vari della fisica e delle sue applicazioni. Riconosciamo innanzitutto la stretta analogia esistente fra il comportamento di un oscillatore elettrico (circuito risonante RLC serie) e quello di un oscillatore meccanico, che sono descritti rispettivamente dalle equazioni: ! " ! "   d d 1 L +R+ dt i (t) = v (t) ; m + β + k dt u (t) = f (t) . dt C dt Confrontando fra loro tali equazioni, si osserva che la massa m corrisponde all’induttanza L, l’attrito β alla resistenza elettrica R, la costante elastica k all’inverso della capacit`a C, la forza f (t) applicata all’oscillatore meccanico alla tensione v(t) applicata al circuito elettrico, la velocit`a u(t) = dx(t)/dt (dove x(t) e` lo spostamento) all’intensit`a della corrente elettrica i(t). Si capisce poi, prescindendo qui dalle dimensioni fisiche delle grandezze in gioco, che se m = L, β = R e k = 1/C, e se le eccitazioni coincidono, con f (t) = v(t), le due soluzioni sono identiche a loro volta, cio`e u(t) = i(t). Quanto sopra esprime una analogia elettromeccanica fra circuiti elettrici e sistemi meccanici a costanti concentrate, cio`e descritti da equazioni differenziali ordinarie. Ci`o permette, in particolare, di analizzare un sistema meccanico in ter-

Fig. D.1 Schema di un oscillatore meccanico, nel quale si individuano una massa, una molla e uno smorzatore, e corrispondente circuito elettrico equivalente ottenuto con l’analogia di Maxwell

Pallottino G.V.: Il rumore elettrico. Dalla fisica alla progettazione. c Springer-Verlag Italia 2011 

138

D L’analogia di Maxwell

mini di un corrispondente circuito elettrico equivalente, potendo allora applicare vantaggiosamente l’insieme delle metodologie note a tale proposito. Riassumendo, l’analogia stabilisce le corrispondenze elencate nella tabella seguente. Segnali forza velocit`a spostamento

tensione corrente elettrica carica elettrica

Parametri massa induttanza attrito resistenza elettrica inverso della costante elastica capacit`a elettrica

Ricordiamo infine che si pu`o stabilire anche una seconda analogia elettromeccanica, duale della precedente, che si ottiene mediante le corrispondenze fra le grandezze meccaniche e le grandezze elettriche duali di quelle qui considerate. Esercizio D1. Determinare le equazioni differenziali del sistema meccanico descritto in Fig. D.2, costituito da due oscillatori meccanici accoppiati, con una forza esterna f (t) applicata alla massa M. Ricavare e disegnare il circuito elettrico equivalente.

Fig. D.2 Schema di due oscillatori meccanici accoppiati, con la forza esterna f (t) applicata alla massa M

Bibliografia

[A] A. Ambrozy, Electronic Noise, McGraw-Hill, 1982 [B] M.S. Gupta (a cura di), Electrical Noise: Fundamentals & Sources, IEEE Press, 1977 [C] P. Horowitz, W. Hill, The Art of Electronics, Cambridge University Press, 1989 [D] C.D. Motchenbacher, J.A. Connelly, Low-Noise Electronic System Design, J. Wiley & Sons, 1993 [E] A. Van der Ziel, Noise in Solid State Devices and Circuits, Wiley, 1986; A. Van der Ziel, Noise. Sources, Characterization, Measurement, Prentice Hall, 1970 [F] G. Vasilescu, Electronic Noise and Interfering Signals, Springer, 2005 [G] N. Wax (a cura di), Selected papers on noise and stochastic processes, Dover, 1954 [H] W. Li, A Bibliography on 1/f Noise, http://www.nslij-genetics.org/wli/1fnoise/index.html IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronic Terms, Wiley, 1997 C.R. Paul, Introduction to Electromagnetic Compatibility, Wiley, 2006 H.W. Ott, Noise Reduction Techniques in Electronic Systems, Wiley, 1988 R. Morrison, Grounding and Shielding. Circuits and Interference, Wiley, 2007 J.B. Johnson, Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Rev., vol. 32, pp. 97-109, 1928 [6] H. Nyquist, Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys. Rev., vol. 32, pp. 110-113, 1928 ¨ [7] A. Einstein, Uber die G¨ultigkeitgrenze des Satzes vom thermodynamischen Gleichgewicht und u¨ ber die M¨oglichkeit einer neuen Bestimming der Elementarquanta (On the Limit of Validity of the Law of Thermodynamic Equilibrium and on the Possibility of a New Determination of the Elementary Quanta), Annalen der Physik, vol. 22, pp. 569-562, 1907 [8] A. Van der Ziel, History of Noise Research, pp. 351-409, in Advances in Electronics and Electron Physics, a cura di L. Marton, vol. 50, Academic Press, 1980 [1] [2] [3] [4] [5]

140

Bibliografia

[9] M.S. Gupta, Applications of Electrical Noise, Proc. IEEE, vol. 63, pp. 996-1010, luglio 1975, riprodotto in [B], pp. 101-115 [10] A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes, McGrawHill, 1991 [11] W.B. Davenport, W.L. Root, An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise, IEEE Press, 1987 [12] J.S. Bendat, A.G. Piersol, Random Data. Analysis and Measurement Procedures, Wiley, 1986 [13] S. Frasca, Appunti dalle lezioni di Analisi dei Segnali, 2010, http://grwavsf.roma1.infn.it/sp/sp.pdf [14] G.C. Newton, L.A. Gould, J.F. Kaiser, Design of Linear Feedback Controls, Wiley, 1961 [15] A. Van der Ziel, Noise, Prentice Hall, 1954 [16] R.A. King, Electrical Noise, Chapman and Hall, 1967 [17] H.B. Callen, T.A. Welton, Irreversibility and generalized noise, Phys. Rev., vol. 83, pp. 34-30, 1 luglio 1951 [18] P.R. Saulson, Thermal noise in mechanical experiments, Phys. Rev. D, vol. 42, pp. 2437-2445, 15 ottobre 1990 [19] E. Majorana, Y. Ogawa, Mechanical thermal noise in coupled oscillators, Phys. Lett. A, vol. 233, pp. 162-168, 25 agosto 1997 [20] R. Clark Jones, Performances of Detectors for Visible and Infrared Radiation, pp. 1-96, in Advances in Electronics a cura di L. Marton, vol. 5, Academic Press, 1953 ¨ [21] W. Schottky, Uber spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elekrizit¨atsleitern (Sulle fluttuazioni spontanee di corrente in vari conduttori elettrici), Annalen der Physik, vol. 57, n. 23, pp. 541-567, 20 dicembre 1918 [22] G. Cagnoli et al., Mechanical shot noise induced by creep in suspension devices, Phys. Lett. A, vol. 237, pp. 21-27, 29 dicembre 1997 [23] W.H. Press, Flicker Noises in Astronomy and Elsewhere, Comments Astrophys., vol. 7, n. 4, pp. 103-119, 1978; http://www.nr.com/whp/Flicker Noise 1978.pdf [24] P. Dutta, P.M. Horn, Low-frequency fluctuations in solids: 1/f noise, Rev. Mod. Phys., vol. 53, pp. 497-516, luglio 1981 [25] E. Milotti, 1/f noise: a pedagogical review, 2002, http://arxiv.org/ftp/physics/papers/0204/0204033.pdf [26] V. Radeka, 1/f Noise in Physical Measurements, IEEE Trans. Nucl. Sci., vol. NS16, pp. 17-35, ottobre 1969 [27] M.B. Weissman, 1/f noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter, Rev. Mod. Phys., vol. 60, pp. 537-571, aprile 1988 [28] E. Milotti, Il rumore 1/f, Le Scienze, n. 334, pp. 74-79, giugno 1996 [29] M. Gardner, Musica bianca, musica scura, curve fratte e fluttuazioni uno-su-effe, Le Scienze, n. 120, pag. 20, agosto 1978 [30] A.L. McWorther, 1/f noise and related surface properties in germanium, MIT Lincoln Lab. Tech. Rep. 80, maggio 1955

Bibliografia

141

[31] F.N. Hooge, 1/f Noise Sources, IEEE Trans. Electr. Dev., vol. ED-41, n. 11, pp. 1926-1935, novembre 1994 [32] M.A. Caloyannides, Microcycle spectral estimates of 1/f noise in semiconductors, J. Appl. Phys., vol. 45, pp. 307-316, gennaio 1975 [33] S. Mandal, S.K. Arfin, R. Sarpeshkar, Sub-μHz MOSFET 1/f noise measurements, Electronics Letters, vol. 45, pp. 81-82, 1 gennaio 2009 [34] H. Schmid, Aaargh! I Just Love Flicker Noise, IEEE Circuits and Systems Magazine, pp. 32-35, primo trimestre 2007 [35] W.R. Bennett, Spectra of quantized signals, Bell Syst. Tech. J., vol. 27, pp. 446472, luglio 1948 [36] B. Widrow, I. Koll´ar, Quantization noise, Cambridge University Press, 2008 [37] B. Allen, P. Brady Quantization Noise in Ligo Interferometers, pp. 1-10, 10 settembre 1997 http://www.ligo.caltech.edu/docs/T/T970128-02.pdf [38] M.J. Buckingham, E.A. Faulkner, The principles of pulse signal recovery from gravitational antennas, Radio Electronic Engineer, vol. 42, pp. 163-171, aprile 1972 [39] H. Heffner, The fundamental noise limit of linear amplifier, Proc. IRE, vol. 50, pp. 1604-1608, luglio 1962 [40] J.M. Manley, H.E. Rowe, Some General Properties of Nonlinear Elements – Part I. General Energy Relations, Proc. IRE, vol. 44, pp. 904-913, luglio 1956 [41] J.R. Biard, Low-frequency Reactance Amplifier, Proc. IEEE, vol. 51, pp. 298303, febbraio 1963 [42] C.M. Caves, Quantum-Mechanical Noise in an Interferometer, Phys. Rev. D, vol. 23, pp. 1693-1708, 15 aprile 1981 [43] V.B. Braginsky, Y.I. Vorontsov, K.S. Thorne, Quantum Nondemolition Measurements, Science, vol. 209, pp. 547-557, 1 agosto 1980 [44] H. Spieler, Radiation Detectors and Signal Processing, Lecture Notes, Heidelberg, ottobre 2001, http://www-physics.lbl.gov/∼spieler/Heidelberg Notes/ [45] E. Gatti, P.F. Manfredi, Processing the signals from solid-state detectors in elementary-particle physics, Rivista Nuovo Cimento, vol. 9, pp. 1-146, gennaio 1986 [46] M. Boella, Sul comportamento alle alte frequenze di alcuni tipi di resistenze elevate in uso nei radiocircuiti, Alta Frequenza, vol. 3, pp. 132-148, aprile 1934 [47] C. Arnaboldi et al., Low Frequency Noise Characterization of Very Large Value Resistors, IEEE Trans. Nucl. Sci., vol. NS-49, pp. 1808-1813, agosto 2002 [48] C. Arnaboldi et al., JFET Transistors for Low-Noise Applications at Low Frequency, IEEE Trans. Nucl. Sci., vol. NS-51, pp. 2975-2982, dicembre 2004 [49] K.H. Lundberg, Noise Sources in Bulk CMOS, 2002, http://web.mit.edu/klund/www/papers/UNP noise.pdf [50] K.K Hung, P.K. Ko, C. Hu, Y.C. Cheng, A Physics-Based MOSFET Noise Model for Circuit Simulators, IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-37, pp. 13231333, maggio 1990 [51] J. Clarke, SQUID concepts and systems, pp. 87-148 in Superconducting Electronics, a cura di H. Weinstock e M. Nisenoff, Springer, 1989

142

Bibliografia

[52] R. Kleiner, D. Koelle, F. Ludwig, J. Clarke, Superconducting Quantum Interference Devices: State of the Art and Applications, Proc. IEEE, vol. 92, pp. 1534-1548, ottobre 2004 [53] P. Falferi et al., 27h/SQUID ¯ amplifier operating with high-Q resonant input load, Appl. Phys. Lett., vol. 88, 062505, 6 febbraio 2006 [54] Y. Netzer, The Design of Low-Noise Amplifiers, Proc. IEEE, vol. 69, pp. 728-741, giugno 1981 [55] W.M. Leach, Fundamentals of low-noise analog circuit design, Proc. IEEE, vol. 82, pp. 1515-1538, ottobre 1994 [56] Low Level Measurements Handbook, 6a Ed., Keithley Instruments Inc., 2004 [57] G.V. Pallottino, A.E. Zirizzotti, Noise measurements on junction field effect transistors, Rev. Sci. Instr., vol. 65, pp. 212-220, gennaio 1994 [58] A. Fascilla, G. Pessina, A very simple method to measure the input capacitance and the input current of transistors, Nucl. Instr. Meth. A, vol. 469, pp. 116-126, 1 agosto 2001 [59] E.A. Faulkner, The principles of impedance optimization and noise matching, Scientific Instruments, vol. 8, pp. 533-540, 1975 [60] G.V. Pallottino, G. Vannaroni, A Low-Noise Low-Input Conductance Preamplifier for Gravitational Research, IEEE Trans. Instr. Meas., vol. IM-34, pp. 676680, dicembre 1985 [61] A.D. Whalen, Detection of signals in noise, Academic Press, 1971 [62] B.M. Dwork, Detection of a Pulse Superimposed on Fluctuation Noise, Proc. IRE, vol. 38, pp. 771-774, luglio 1950 [63] R. Hanbury Brown, R.Q. Twiss, Correlation between photons in two coherent beams of light, Nature, vol. 177, pp. 27-29, 7 gennaio 1956 [64] P. de Bernardis, Osservare l’universo, Il Mulino, 2010 [65] Y. Kraftmakher, Two students experiments on electrical fluctuations, Am. J. Phys., vol. 63, pp. 932-935, ottobre 1995 [66] S. Engelberg, Y. Bendelac, Measurement of Physical Constants Using Noise, IEEE Instrumentation & Measurement Magazine, pp. 49-52, dicembre 2003 [67] MIT, Dipartimento di Fisica, Johnson Noise and Shot Noise: The Determination of the Boltzmann Constant, Absolute Zero Temperature and the Charge of the Electron, agosto 2007; http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-13-14-experimental-physics-i-ii-junior-labfall-2007-spring-2008/labs/jlexp43.pdf [68] P. Astone, G.V. Pallottino, Un metodo basato sul rumore termico per la misura delle caratteristiche di dissipazione dei condensatori, L’energia elettrica, vol. 62, n. 1, pp. 1-3, 1985 [69] P. Kittel, W.R. Hackleman, R.J. Donnelly, Undergraduate experiment on noise termometry, Am. J. Phys., vol. 46, pp. 94-100, gennaio 1978 [70] C.P. Lusher et al., Current sensing noise thermometry using a low T c DC SQUID preamplifier, Meas. Sci. Technol., vol. 12, pp. 1-15, gennaio 2001 [71] B.K. Jones, Electrical Noise as a Measure of Quality and Reliability in Electronic Devices, pp. 201-257 in Advances in Electronics and Electron Physics, a cura di P.W. Hawkes, vol. 87, Academic Press, 1993

Bibliografia

143

[72] R. Etchenique, J. Aliaga, Resolution enhancement by dithering, Am. J. Phys., vol. 72, pp. 159-163, febbraio 2004 [73] K. Tsubono, Cold damping, pp. 236-239, in The detection of gravitational waves, a cura di D.G. Blair, Cambridge University Press, 1991 [74] K. Oide, Y. Ogawa, H. Hirakawa, Artificial Cold Resistors, Japanese Journal of Applied Physics, vol. 17, pp. 429-432, febbraio 1978 [75] R.L. Forward, T.C. Cisco, Electronically Cold Microwave Artificial Resistors, IEEE Trans. Microw. Theor. Techn., vol. MTT-31, pp. 45-50, gennaio 1983 [76] R.C. Ritter, G.T. Gillies, Classical limit of mechanical thermal noise reduction by feedback, Phys. Rev. A, vol. 31, pp. 995-1000, febbraio 1985 [77] A. Vinante et al., Feedback Cooling of the Normal Modes of a Massive Electromechanical System to Submillikelvin Temperature, Phys. Rev. Lett., vol. 101, 033601, 14 luglio 2008 [78] B. Abbott et al., Observation of a kilogram-scale oscillator near its quantum ground state, New Journal of Physics, vol. 11, 073032, luglio 2009 [79] P. Penfield Jr., Unresolved paradox in circuit theory, Proc. IEEE, vol. 54, pp. 12001201, settembre 1966. Discussioni: pp. 474-477, marzo 1967; pp. 2047-2048, novembre 1967; pp. 2173-2174, dicembre 1967; pag. 328, marzo 1968; pag. 1145, giugno 1968; pag. 1225, luglio 1968; pp. 2073-2076, novembre 1968; pag. 711, aprile 1968 [80] R. Benzi, A. Sutera, A. Vulpiani, The mechanism of stochastic resonance, J. Phys A, vol. 14, pp. L453-L457, 1981 [81] K. Wiesenfeld, F. Moss, Stochastic resonance and the benefits of noise: from ice ages to crayfish and SQUIDs, Nature, vol. 373, pp. 33-36, 5 gennaio 1995 [82] L. Gammaitoni, P. H¨anggi, P. Jung, F. Marchesoni, Stochastic resonance, Rev. Mod. Phys., vol. 70, pp. 223-287, gennaio 1998 [83] V. Galdi, V. Pierro, I.M. Pinto, Evaluation of stochastic-resonance-based detectors of weak harmonic signals in additive white Gaussian noise, Phys. Rev. E, vol. 57E, pp. 6470-6479, giugno 1998 Note tecniche Low Noise Amplifier Selection Guide for Optimal Noise Performance, AN-940, Analog Devices, 2009, http://www.analog.com/static/imported-files/application notes/AN 940.pdf Noise Analysis in Operational Amplifier Circuits, Application Report, Texas Instruments, 2007, http://focus.ti.com/lit/an/slva043b/slva043b.pdf

Indice analitico

adattamento al rumore (noise matching), 58, 62, 84, 87, 92–94, 98 affidabilit`a, 115 amplificatori di carica, 63, 64 integrati a basso rumore, 81 lock-in, 85, 102, 107, 108 parametrici, 63 analizzatore di spettro, 13, 91, 102, 116 analogia di Maxwell, 30, 31, 35, 137 autocorrelazione, 6, 11–14, 16, 35, 37, 102, 103, 126, 127, 129, 133, 135 esponenziale, 12, 40, 103, 135 autocovarianza, 11 banda equivalente di rumore, 19–21, 110, 116 di filtri passabasso, 19 di un filtro risonante, 19 Benzi, R., 121 Brown, R., 2 campionamento doppio correlato, 112 carica equivalente di rumore (ENC), 64, 65 coefficiente di correlazione, 13, 75 contorni di rumore, 59 controreazione, 52, 84, 95, 96, 118 convertitore analogico digitale (ADC), 47, 48, 117 correlazione a due canali, 110, 111, 114 correlazione incrociata, 12, 13, 16, 111, 116, 126 densit`a di probabilit`a, 6, 8–10, 43, 48, 117, 127, 128 densit`a spettrale, 13 deriva, 1, 41, 72, 107 deviazione standard, 7

disturbi, 2, 47, 69, 90, 93, 95, 96 dithering, 117 divergenza della varianza del rumore 1/ f , 45 del rumore 1/f, 46 del rumore termico, 25 effetto Boella, 67, 90, 98 effetto Gunn, 113 effetto Josephson, 82, 83 effetto pelle, 67 Einstein, A., 2, 29, 36 erba, 2 estrazione dal rumore di segnali con spettro di forma nota, 103 costanti, 99 di forma nota, 105 sinusoidali, 101, 102 fattore di merito, 19, 35, 68, 69, 101, 110, 119 fattore di perdita, 42, 69, 91, 114 fattore di rumore, 57–59 minimo, 58, 62 Faulkner, E.A., 93 figura di rumore, 57, 59 filtro a media mobile, 21, 22 a mediana, 100 adattato, 105–107 ottimo di Wiener-Kolmogorov, 104 fluttuazioni di numero, 40 fluttuazione-dissipazione teorema di, 37-39, 120 funzione di distribuzione, 6, 100 giunzioni Josephson, 83 Gunn, J.B., 113

146

Indice analitico

Hartley, R.V., 1 Heffner, H., 62, 63 Heisenberg, W., 62 indice di rumore, 68 Janski, K., 113 Johnson, J.B., 2, 23, 24, 28, 30, 31, 113 Josephson, B., 83 limite centrale (teorema del), 9, 23 limite quantistico, 63 linee di trasmissione, 29, 41, 58 lock-in (vedi amplificatori lock-in) medie correlate, 111 Miller (teorema di), 52, 81 misura del rumore di corrente, 91 del rumore di tensione, 91 della risposta impulsiva, 112, 116 di costanti fondamentali, 113 moto browniano, 2, 30 neve, 2 Norton (teorema di), 24, 49, 50 numero di rumore, 63, 85 Nyquist, H., 2, 23, 24, 29, 48, 50, 114 teorema di, 31, 33

nei bipoli, 24, 49–51 nei componenti passivi, 67 nei diodi, 70 nei transistori bipolari, 71 nei transistori JFET, 74 nei transistori MOS, 77 nelle reti a due porte, 53 resistenza di rumore, 51, 58, 81, 92–94 resistore freddo, 52, 118, 119 risonanza stocastica, 121 rivelatore lineare, 128 quadratico, 128, 129 rivelatori gravitazionali, 40, 97 rumore, 1, 2 1/ f , 45 1/f, 41, 43, 46, 68, 70, 78, 80, 85 bianco, 14, 42, 97, 101–103, 105, 116, 135 colorato, 14, 106 di alcuni dispositivi elettronici (tabella), 82 di generazione e ricombinazione, 39 di partizione, 39 di quantizzazione, 2, 47, 48, 117 di temperatura, 35 flicker, 41 impieghi utili del, 4, 113 indotto (nei FET), 75, 76 moltiplicativo, 1 shot, 2, 37–40, 72, 76, 77, 114 meccanico, 40 termico, 23, 28, 33, 34, 42, 114, 118

ordine (di una funzione statistica), 6 paradosso di Penfield, 120 Penzias, A., 113 potenza disponibile, 24 potenza equivalente di rumore (NEP), 65 principio di equipartizione, 29–31, 34, 68 processo stocastico, 5, 11, 14 ergodico, 6, 11 gaussiano, 8 stazionario, 5, 6, 11 progettazione a basso rumore, 87 quantizzatore, 47, 48 Radeka, V., 41, 42 raffreddamento del rumore, 118 rapporto segnale/rumore (SNR), 2, 3, 39, 48, 54, 100, 105, 107, 110 rappresentazione del rumore negli amplificatori a controreazione, 95 negli amplificatori operazionali, 78 negli SQUID, 82

scatole nere di Slepian, 120 Schottky, W., 37, 114 Shannon, C.E., 1 Shockley (legge di), 39, 70 spettro bianco, 14, 21, 42, 99 di ampiezza, 16, 49 del rumore termico (tabella), 26 di ampiezza del rumore shot (tabella), 38 di potenza, 13 incrociato, 16 unilatero, 15 SQUID, 82–85, 114 Sutera, A., 121 temperatura di rumore, 57, 60, 62, 85, 93, 94, 119 equivalente, 51, 52, 55, 60, 61, 118, 119 tempo d’integrazione equivalente di rumore, 20–22, 99 termometria di rumore, 111, 114

Indice analitico Th`evenin (rappresentazione di), 50 trasformatore, 84, 92–94 Vacca, R., 13 valor medio, 7 valore efficace, 7 Van der Ziel, A., 2

variabile casuale, 5 varianza, 7 Vulpiani, A., 121 Wiener-Khintchin (relazioni di), 14, 15 Wilson, R., 113

147