Guide Péda J'apprends Les Maths Ce1 [PDF]

Zitiervorschau

POUR

OMPREND LES

MATHÉMATIQUES

1 E C

le 2 c y C

Guide pédagogique N PROOUVEAU GRA MMEX S

N. Bramand Professeur des écoles P. Bramand Professeur agrégé É. Lafont Professeur des écoles C. Maurin Formateur en mathématiques D. Peynichou Maître formateur A. Vargas Directeur d’école

Et moi Mathix !

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Création de la maquette de couverture : Pierre PATRAULT Exécution de la maquette de couverture : Illustration de la couverture : Alain BOYER Création de la maquette intérieure : Mise en pages : Dessins techniques : Gilles POING Dessins intérieurs : Manon PAUMARD Fabrication : Patricia ZALEWSKI Édition : Julie BERTHET-AMARA

ISBN : 978-2-01-238772-0

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© Hachette Livre 2016, 58 rue Jean Bleuzen, CS 70007, 92178 Vanves Cedex. www.hachette-education.com

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple ou d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite ». Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.

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AVANT-PROPOS Ce guide est conçu comme l’outil permettant la mise en œuvre la plus efficace et la plus complète du fichier de l’élève, conformément aux programmes officiels de novembre 2015. Ces programmes fixent la liste des compétences et des connaissances associées que les enfants doivent avoir acquises à l’issue du cycle 2, dans le cadre du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. Nos objectifs principaux sont les suivants : – permettre à tous les enseignants de créer des situations d’apprentissage efficaces adaptées au niveau des enfants tout en respectant les contenus des programmes ; – alléger la tâche des enseignants qui ont la charge d’enseigner toutes les disciplines, en facilitant le travail de préparation des séances ; – faciliter la gestion de la classe et celle des temps d’enseignement. Nos choix ont pris appui tout à la fois sur : – les apports des neurosciences dans les processus de mémorisation ; – les théories de l’apprentissage développées aussi bien par J. Piaget et ses continuateurs que par L. S. Vygotsky ; – des travaux des didacticiens des mathématiques, notamment ceux de G. Brousseau et de ses élèves ou d’Yves Chevallard ; – l’expérience, enfin, et la culture pédagogique des enseignants. C’est en concevant des outils simples de maniement pour l’enseignant, des outils structurés et clairs d’accès pour l’enfant que l’on conduit celui-ci à aimer et à comprendre les mathématiques. Ce guide comporte successivement : – un court exposé de nos choix pédagogiques explicités par domaines mathématiques ; – pour chacune des séances du fichier de l’élève, des propositions de situations préalables aux activités du fichier, de mises en œuvre des activités collectives ou individuelles du fichier, les commentaires des exercices et, éventuellement, des compléments pédagogiques ou des éléments d’informations mathématiques ; – des outils d’évaluation des compétences réparties dans l’année scolaire, des conseils pour analyser les évaluations et mettre en œuvre la différenciation en classe en utilisant soit les photofiches de soutien et/ou d’approfondissement, soit les solutions numériques proposées dans notre collection aux éditions Hachette Éducation ; – trois annexes portant sur des questions importantes ou délicates du travail pédagogique : « La classification des problèmes du champ additif d’après G. Vergnaud », « Le pliage comme support des activités géométriques au cycle 2 » et « Calcul mental : calcul automatisé et calcul réfléchi au CE1 ». Les auteurs

Nouvelle orthographe Les rectifications orthographiques ont été proposées par le Conseil supérieur de la langue française, puis approuvées en 1990 par l’Académie française. Sans pour autant être une réforme, elles veulent notamment lever l’ambiguïté de l’orthographe de certains mots. Ainsi, les numéraux composés sont systématiquement unis par des traits d’union. Exemples : 21 ➝ vingt-et-un ; 99 ➝ quatre-vingt-dix-neuf...

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SOMMAIRE Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

28 Lire, écrire les nombres jusqu’à 99 . . . . . . . . . . 45

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

29 Décomposer les nombres jusqu’à 79 . . . . . . . . 46

Domaines mathématiques et Socle commun . . . . .

9

1. Nombres et calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2. Grandeurs et mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3. Espace et géométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Repères de progressivité au cycle 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

16

30 Trouver, compléter un alignement . . . . . . . . . . . . 47 31 Calcul réfléchi : Additionner 2 nombres de 2 chiffres (1) . . . . . 49 32 Problèmes : Situations additives ou soustractives (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 33 Maths Aventures (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Période 1 Leçons

51

34 J’ai compris et je retiens (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Pages

8-9 Bienvenue au CE1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

35 Je fais le point (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Lire, écrire, comparer les nombres jusqu’à 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11 Décomposer, comparer, ordonner les nombres jusqu’à 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Période 2

12 Calcul réfléchi : Ajouter un petit nombre (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Leçons

Pages

13 Calcul réfléchi : Retrancher un petit nombre (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

36 Décomposer les nombres jusqu’à 99 . . . . . . . . 58

14 Lire, écrire les nombres jusqu’à 59 . . . . . . . . . . . 24

38 Identifier des figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

15 Dizaines et unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

39 Construire des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

16 Décomposer les nombres jusqu’à 59 . . . . . . . . 28

40 Calcul réfléchi : Additionner 2 nombres de 2 chiffres (2) . . . . 66

37 Comparer les nombres jusqu’à 99 . . . . . . . . . . . .

17 Passage de la dizaine : ajouter 1, retrancher 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

61

41 Calculer le double d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . 67

18 Problèmes : Jeu du chapeau (1) . . . . . . . . . . . . . . 30

42 Le nombre 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

19 Problèmes : Situations additives ou soustractives (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 Échanger « dix dizaines contre une centaine » (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

31

20 J’ai compris et je retiens (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

44 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

21 Je fais le point (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

45 Mesurer une longueur par report de l’unité

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

73

46 Problèmes : Jeu du chapeau (2) . . . . . . . . . . . . . . 74

22 Comparer les nombres jusqu’à 59 . . . . . . . . . . . . 38

47 Problèmes : Situations additives ou soustractives (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

23 Trouver le complément à la dizaine supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

48 J’ai compris et je retiens (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

24 Tracer et prolonger un segment . . . . . . . . . . . . . . . 40

49 Je fais le point (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

25 Reproduire une figure sur quadrillage (1) . . .

41

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

26 Calcul réfléchi : Ajouter un petit nombre (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

50 Échanger « dix dizaines contre une centaine » (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 Calcul réfléchi : Retrancher un petit nombre (2) . . . . . . . . . . . . . . . 44

81

51 Construire la droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4

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52 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

77 Je fais le point (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

53 S’orienter dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

54 L’addition posée sans retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

78 Lire l’heure (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

55 L’addition posée avec retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

79 Reproduire une figure sur quadrillage (2) . . . 124

56 Construire et utiliser une règle graduée . . . . . 88

80 Mesurer une longueur avec la règle graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

57 Calcul réfléchi : Passage de la centaine (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 58 Identifier un angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 Lire l’heure (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

91

82 Multiplication et tableau rectangulaire . . . . . . . 128

59 Tracer un angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

83 Calculer un petit produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

60 Problèmes : Situations additives ou soustractives (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

84 Tracer un segment de longueur donnée . . . . . 132 85 Payer avec la monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

61 Maths Aventures (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 62 J’ai compris et je retiens (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

86 Calcul réfléchi : Passage de la centaine (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

63 Je fais le point (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

87 Rendre la monnaie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

88 Problèmes : Situations additives ou soustractives (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 89 Maths Aventures (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Période 3 Leçons

90 J’ai compris et je retiens (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Pages

91 Je fais le point (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

64 Comparer, ordonner, intercaler les nombres jusqu’à 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

65 Trouver le complément à un nombre . . . . . . . . . 103

Période 4

66 L’addition posée de nombres de 3 chiffres . . . 104 Leçons

67 Calcul réfléchi : Retrancher des dizaines à un nombre de 2 chiffres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Pages

92 Identifier un axe de symétrie par pliage . . . . . 147

68 Identifier un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

93 Mesurer et ajouter des longueurs . . . . . . . . . . . . 148

69 Reproduire un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . 108

94 Se repérer autour d’un objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

70 Calcul réfléchi : Retrancher un nombre de 2 chiffres (1) . . . . . 110

95 La semaine, le jour, l’heure, la minute . . . . . . . 150 96 Calcul réfléchi : Multiplier 2 petits nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

71 Calcul réfléchi : Retrancher un nombre de 2 chiffres (2) . . . . . 111

97 Comparer, ordonner, intercaler les nombres jusqu’à 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

72 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

98 Compléter une figure par symétrie . . . . . . . . . . . 155

73 Identifier les rectangles et les carrés . . . . . . . . 114 74 Problèmes : Se repérer sur un plan . . . . . . . . . . 116

99 Tracer un carré ou un rectangle à l’aide d’un gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

75 Extraire des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

100 Multiplication : la table de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

76 J’ai compris et je retiens (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

101 Reconnaître une situation multiplicative . . . . . 160 5

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SOMMAIRE (suite) 102 Problèmes : Jeu du chapeau (3) . . . . . . . . . . . . . . 161

125 La multiplication : distributivité (2) . . . . . . . . . . . . 197

103 Problèmes : Situations additives ou soustractives (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

126 Calcul réfléchi : Calculer la moitié d’un nombre de dizaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

104 J’ai compris et je retiens (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

127 Multiplier par un nombre entier de dizaines, de centaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

105 Je fais le point (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

128 Décoder et coder un déplacement (1) . . . . . . . . . 201

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

129 Problèmes : Utiliser la décomposition des nombres (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

106 Multiplication : la table de 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

130 J’ai compris et je retiens (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 131 Je fais le point (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

107 Calcul réfléchi : Multiplier par 10 . . . . . . . . . . . . . 170 108 Calculer la moitié d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

109 La soustraction posée sans retenue . . . . . . . . . 172

132 La multiplication en ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

110 Calcul instrumenté : la calculatrice (1) . . . . . . 173

133 La soustraction posée avec retenue . . . . . . . . . . 209 134 Mesurer des contenances : le litre. . . . . . . . . . . . . 211

111 Calcul instrumenté : la calculatrice (2) . . . . . 175

135 Estimer un résultat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

112 Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

136 Décoder et coder un déplacement (2) . . . . . . . . 214

113 Cubes et pavés droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

137 Interpréter un graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

114 Le mètre, le décimètre, le centimètre . . . . . . . . 179

138 Tracer des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

115 Le mètre, le kilomètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

139 Problèmes : Utiliser la décomposition des nombres (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

116 Problèmes : Situations multiplicatives . . . . . . 182

140 Problèmes : Situations additives, soustractives, multiplicatives ou de division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

117 Maths Aventures (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 118 J’ai compris et je retiens (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

141 Maths Aventures (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

119 Je fais le point (8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

142 J’ai compris et je retiens (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

143 Je fais le point (10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Évaluation de demi-période par compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Période 5 Leçons

Annexes

Pages

La classification des problèmes du champ additif d’après G. Vergnaud . . . . . . . 226

120 Multiplication : les tables de 3 et de 4. . . . . . . . . 189 121 Apprentissage des tables de multiplication . . 191

Le pliage comme support des activités géométriques au cycle 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

122 Mesurer des masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 123 Problèmes : Pour apprendre à chercher . . . . . 195

Calcul mental : calcul automatisé et calcul réfléchi au CE1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

124 La multiplication : distributivité (1). . . . . . . . . . . . . 196

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INTRODUCTION « Au cycle 2, la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. […] L’introduction et l’utilisation des symboles mathématiques sont réalisées au fur et à mesure qu’ils prennent sens dans des situations d’action, en relation avec le vocabulaire utilisé. Les élèves consolident leur compréhension des nombres entiers, déjà rencontrés au cycle 1. Ils étudient différentes manières de désigner les nombres, notamment leurs écritures en chiffres, leurs noms à l’oral, les compositionsdécompositions fondées sur les propriétés numériques, ainsi que les décompositions en unités de numération. […] La pratique quotidienne du calcul mental conforte la maîtrise des nombres et des opérations. En lien avec le travail mené dans «  Questionner le monde  », les élèves rencontrent des grandeurs qu’ils apprennent à mesurer ; ils construisent des connaissances de l’espace essentielles et abordent l’étude de quelques relations géométriques et de quelques objets (solides et figures planes) en étant confrontés à des problèmes dans lesquels ces connaissances sont en jeu. »1

aux élèves le temps de construire les concepts et les outils fondamentaux du programme (droit à l’erreur, tâtonnement expérimental…). Il faut donc prévoir un dosage équilibré entre les activités de découverte, les manipulations, les phases de conceptualisation, les exercices d’entraînement, les exercices de soutien et les prolongements dans des activités pluridisciplinaires. Pratiquer des « retours en arrière » renforce l’acquisition des procédures et permet de réactualiser les connaissances anciennes pour éviter qu’elles ne s’usent, faute d’être utilisées. C’est, en particulier, le rôle dévolu aux exercices indépendants de la leçon, entourés d’un filet bleu ou d’un filet vert : – Les premiers, entourés d’un filet bleu, reprennent, dans les différents domaines, des notions vues quelques jours auparavant et permettent de consolider les acquis des élèves (exercices de réinvestissement). – Les seconds, entourés d’un filet vert, accompagnent les sauts de « Rainette » sur la bande ou la droite numérique (exercices de calcul réfléchi). À partir de la deuxième période, leur présentation plus dépouillée ne permet plus que le calcul.

Nos intentions

La pratique quotidienne du calcul mental (sans appui de l’écrit) et du calcul réfléchi ou en ligne

Deuxième niveau du cycle 2, le fichier de l’élève CE1 de la collection Pour comprendre les mathématiques a été conçu dans une optique constructiviste. C’est par son activité sur son environnement physique et social, c’est en transformant le milieu qui l’entoure, que l’élève remet en question ses schèmes cognitifs et images mentales et en construit de nouveaux. Mais ce travail n’est pas spontané. C’est une activité sociale dont le langage est le médiateur principal. L’échange avec les pairs, d’une part, le rôle de l’adulte, d’autre part, prennent une part déterminante dans le processus d’apprentissage. Les théories de l’apprentissage qui sous-tendent notre travail prennent leur source dans les idées développées par Gaston Bachelard au cours du siècle dernier2 : « Les connaissances nouvelles s’élaborent contre les connaissances anciennes qui font obstacle à celles-là. » Faire des mathématiques, c’est résoudre des problèmes, c’est-à-dire réussir à anticiper, par son activité intellectuelle et ses connaissances personnelles, le résultat de certaines expériences matérielles. La validation de ces prévisions se fera à travers la réalisation effective de l’expérience qui permettra à l’élève de constater par luimême sa réussite ou son échec. La découverte de sa capacité à prévoir le résultat de certaines expériences matérielles (augmentation ou diminution de collection…) est, pour le jeune élève, une véritable prise de pouvoir sur le monde qui l’entoure. Cette prise de conscience ne peut que l’encourager à avancer avec plus d’ardeur dans ses apprentissages mathématiques.

Nous en proposons la mise en place dès la première semaine de la rentrée. L’acquisition et le renforcement des mécanismes de calcul, l’entraînement de la mémoire, la familiarité avec les nombres, la reconnaissance de la multiplicité des procédures applicables à un même calcul conduisent progressivement au calcul pensé et maîtrisé, socle du calcul mental. Le calcul mental favorise « l’agilité numérique » et rend les nombres plus familiers. Il permet aux élèves qui le maîtrisent de ne pas « perdre » de temps dans le calcul des opérations et donc d’en consacrer plus au travail sur le sens que nécessite la résolution de problèmes. Une classe qui maîtrise le calcul mental permet à l’enseignant de transférer une grande partie du temps habituellement consacré aux leçons portant sur l’apprentissage des mécanismes de calcul aux leçons « Problèmes ». Chaque leçon prévoit un emplacement destiné à recevoir les réponses aux cinq premiers items de la séquence de calcul mental « automatisé ». Chaque procédure en calcul mental a fait, au préalable, l’objet d’un travail détaillé en calcul réfléchi. Lors de ce travail, les propriétés des opérations et les règles de la numération décimale de position interviennent comme des outils facilitateurs du calcul.

La manipulation Manipuler est une phase indispensable. Nous présentons donc de nombreuses situations manipulatoires dans le guide pédagogique comme activités préliminaires au travail sur le fichier. Chaque phase de manipulation est finalisée (on ne manipule pas pour manipuler, mais pour répondre à une question ou résoudre un problème) et débouche sur une phase orale suivie d’une phase d’institutionnalisation qui clôture le travail de la partie « Découvrons ensemble » du fichier.

La gestion du temps « Laisser du temps au temps » de l’apprentissage est l’une de nos préoccupations permanentes. Il faut laisser 1. Programmes officiels – novembre 2015. 2. G. Bachelard, La Formation de l’esprit scientifique, Vrin.

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aux élèves de se confronter à des problèmes de manière ludique et non conventionnelle. En outre, de nombreuses leçons comportent un « Problème » signalé comme tel. La structure du champ additif mise en évidence par G. Vergnaud nous a guidés dans la progression des problèmes proposés. Les énoncés prennent souvent appui sur des schémas ou des illustrations porteurs de l’information utile à la résolution du problème afin que des difficultés de lecture ne viennent pas empêcher l’accès au problème. L’écriture en gras met en relief la question du problème ; la phrase-réponse à compléter est écrite en cursive.

La conquête de l’autonomie Comme le conseille le guide pédagogique, la phase de recherche collective proposée au début de chaque leçon prend souvent appui sur une situation de jeu ou d’expérimentation effective. Il s’agit d’une « Activité préliminaire » que l’enseignant peut mettre en place dans la classe avant de proposer aux élèves d’aborder l’activité de recherche collective du fichier. Cette mise en œuvre préalable leur permet de mieux s’approprier la question ou le problème soulevés ; ils peuvent ainsi valider leurs propositions de façon effective et découvrir par eux-mêmes leur réussite ou leur erreur. Cela permet de donner plus rapidement du sens aux illustrations et aux représentations proposées dans le fichier, puisque la situation qui y est évoquée est devenue familière. Cela va aussi permettre à l’enseignant de gérer plus efficacement et plus rapidement la phase de recherche collective « Découvrons ensemble » qui vient souvent jouer le rôle de trace écrite de l’activité précédente. Cette phase collective est suivie d’une phase de travail individuel, pour laquelle nous proposons des exercices d’application simples. Les consignes sont rédigées de telle sorte que, très vite, les élèves puissent les lire et les comprendre seuls. Après quelques jours d’entraînement, les élèves peuvent ainsi travailler en complète autonomie sur les exercices d’application. Nous avons aussi souhaité que chaque leçon soit suivie d’une institutionnalisation locale qui permette aux élèves de formuler ce qui vient d’être appris. Le guide pédagogique propose, pour chaque leçon, une conclusion possible de la séance. L’enseignant et les élèves trouveront, dans les pages « J’ai compris et je retiens », l’essentiel des leçons de chaque demi-période. Pendant que la plupart des élèves travaillent seuls, l’enseignant peut éventuellement s’occuper d’un groupe d’élèves qui rencontrent des difficultés à acquérir les savoirs du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture.

La différenciation L’observation quotidienne des élèves permet à l’enseignant de proposer des parcours adaptés aux difficultés rencontrées par certains d’entre eux. Dans la partie « Je m’entraîne », nous avons donc prévu des exercices de difficulté progressive : les plus difficiles sont repérés par un numéro de couleur violette. Pour permettre la gestion de la différenciation pédagogique, des photofiches sont associées aux leçons. Elles sont les outils des séances de différenciation : celles pour le soutien reprennent les exercices portant sur la compétence dans ce qu’elle a de simple, celles d’approfondissement vont plus loin dans l’étude de cette compétence. Des outils numériques viennent également compléter l’offre de la collection Pour comprendre les mathématiques : – une banque d’exercices numériques proposés sur deux niveaux de difficulté dans laquelle l’enseignant guidera l’élève en fonction des besoins qu’il aura repérés ; – une solution adaptative learning où le travail proposé à l’élève est directement adapté à ses propres capacités d’apprentissage.

Les domaines mathématiques Si la progression dans le domaine des nombres constitue la charpente de l’année de CE1, nous n’avons cependant pas pour autant négligé l’approche des autres domaines. Nous avons consacré une place importante à l’apprentissage de l’espace et de la géométrie, au repérage dans le temps, à l’utilisation de la monnaie et des outils de mesure...

La pratique des jeux mathématiques Elle contribue au développement de la pensée logique et de la capacité à anticiper. Élément très motivant, prolongé par le questionnement individuel ou collectif, le jeu devient un outil pédagogique efficace. Le « Coin du chercheur » propose régulièrement des situations ludiques sous forme de problèmes ouverts ou des situations de recherche exploitables en classe dans le cadre de la résolution de problèmes pour apprendre à chercher. Elles peuvent permettre, selon le cas, de proposer un travail d’approfondissement à certains élèves ou un travail de type méthodologique à l’ensemble de la classe.

Les évaluations L’enseignant doit procéder régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un par demipériode (page « Je fais le point »). Ce bilan permet d’évaluer l’acquisition des notions contenues dans le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages évaluations du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

L’initiation à la résolution de problèmes De nombreuses situations de résolution de problèmes (additifs, soustractifs, multiplicatifs ou de division) sont proposées de façon progressive aux élèves tout au long du fichier. Plusieurs leçons « Problèmes » figurent à chaque période. Les pages « Jeu du chapeau » (qui peut être facilement joué) et « Maths Aventures » permettent 8

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DOMAINES MATHÉMATIQUES ET SOCLE COMMUN 1. Nombres et calculs • Conduire les élèves à choisir les méthodes de calcul les plus appropriées aux circonstances : calcul mental sans appui de l’écrit, calcul réfléchi ou en ligne, avec appui de l’écrit, utilisation d’une table, calcul posé. • Pratiquer un entraînement systématique du calcul réfléchi pour réactualiser des connaissances anciennes et éviter que les élèves ne les oublient faute de les utiliser et pour en acquérir de nouvelles par analogie. C’est en particulier le rôle dévolu aux exercices, entourés d’un filet bleu, placés en fin de certaines pages du fichier. • La connaissance des nombres, des techniques opératoires, des unités de longueurs ne sont pas des fins en soi. C’est en résolvant des problèmes que les élèves peuvent prendre conscience de l’utilité de ces apprentissages. La résolution de problèmes est au cœur de l’ouvrage.

Plusieurs principes nous ont guidés : • S’appuyer sur les connaissances des élèves acquises au CP ou dans la vie sociale extérieure à l’école, en matière de comptage. Cependant le comptage est loin de suffire pour maîtriser le fonctionnement de notre système de numération et ne doit pas s’ériger en obstacle dans l’accès au calcul. • Dépasser le comptage, puis le surcomptage, pour arriver au calcul implique une bonne compréhension des groupements en dizaines puis en centaines, ce qui nous a conduits à accorder une attention extrême à la construction des concepts et des notions nouvelles et à les introduire dans la mesure du possible comme réponses et outils pertinents de résolution de problèmes. C’est le cas notamment des écritures additives, des groupements par dix et de la notion de dizaine en matière de numération.

Attendus de fin de cycle

Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer.

Connaissances et compétences des programmes

Leçons du fichier

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, . ➝ Égalité traduisant l’équivalence de deux désignations du même nombre. ➝ Ordre. ➝ Sens des symboles =, ≠, .

11 Décomposer, comparer, ordonner les nombres jusqu’à 29 22 Comparer les nombres jusqu’à 59 37 Comparer les nombres jusqu’à 99 64 Comparer, ordonner, intercaler les nombres jusqu’à 499 97 Comparer, ordonner, intercaler les nombres jusqu’à 999

Utiliser diverses représentations des nombres. Passer d’une représentation à une autre, en particulier associer les noms des nombres à leurs écritures chiffrées.

10 14 28 42 44 52 72

Lire, écrire les nombres jusqu’à 29 Lire, écrire les nombres jusqu’à 59 Lire, écrire les nombres jusqu’à 99 Le nombre 100 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 199 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 499 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 999

15 16 29 36 43 50

Dizaines et unités Décomposer les nombres jusqu’à 59 Décomposer les nombres jusqu’à 79 Décomposer les nombres jusqu’à 99 Échanger « dix dizaines contre une centaine » (1) Échanger « dix dizaines contre une centaine » (2)

Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Nommer, lire, écrire, ➝ Unités de numération (unités représenter des nombres simples, dizaines, centaines, milliers) entiers. et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres). ➝ Valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre (principe de position). ➝ Noms des nombres. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine.

51 Construire la droite graduée

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Attendus de fin de cycle

Connaissances et compétences des programmes

Leçons du fichier

Associer un nombre ou un encadrement à une grandeur en mesurant celle-ci à l’aide d’une unité. ➝ La demi-droite graduée comme Nommer, lire, écrire, représenter des nombres mode de représentation des nombres grâce au lien entre nombres et entiers (suite). longueurs. ➝ Lien entre nombre et mesure de grandeurs, une unité étant choisie.

Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul.

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée, conduisant à utiliser les quatre opérations. ➝ Sens des opérations. ➝ Problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction). ➝ Problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division). ➝ Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques. ➝ Sens des symboles +, −, ×, :.

123 Pour apprendre à chercher

18 19 32 46 47 60 88 101 102 103 116 129 139 140

Jeu du chapeau (1) Situations additives ou soustractives (1) Situations additives ou soustractives (2) Jeu du chapeau (2) Situations additives ou soustractives (3) Situations additives ou soustractives (4) Situations additives ou soustractives (5) Reconnaître une situation multiplicative Jeu du chapeau (3) Situations additives ou soustractives (6) Situations multiplicatives Utiliser la décomposition des nombres (1) Utiliser la décomposition des nombres (2) Situations additives, soustractives, multiplicatives ou de division

Organisation et gestion de données ➝ Exploiter des données numériques pour répondre à des questions. ➝ Présenter et organiser des mesures sous forme de tableaux. ➝ Modes de représentation de données numériques : tableaux, graphiques simples, etc.

75 Extraire des données 137 Interpréter un graphique

Mémoriser des faits numériques et des procédures ➝ Tables de l’addition et de la multiplication. ➝ Décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure, multiplication par une puissance de 10, doubles et moitiés de nombres d’usage courant, etc.

23 41 65 100 106 108 120 121 126

Trouver le complément à la dizaine supérieure Calculer le double d’un nombre Trouver le complément à un nombre Multiplication : la table de 2 Multiplication : la table de 5 Calculer la moitié d’un nombre Multiplication : les tables de 3 et de 4 Apprentissage des tables de multiplication Calculer la moitié d’un nombre de dizaines

12 13 17 26 27 57 67 82 86 107 124 125 127

Ajouter un petit nombre (1) Retrancher un petit nombre (1) Passage de la dizaine : ajouter 1, retrancher 1 Ajouter un petit nombre (2) Retrancher un petit nombre (2) Passage de la centaine (1) Retrancher des dizaines à un nombre de 2 chiffres Multiplication et tableau rectangulaire Passage de la centaine (2) Multiplier par 10 La multiplication : distributivité (1) La multiplication : distributivité (2) Multiplier par un nombre entier de dizaines, de centaines

Calculer avec des nombres entiers.

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

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Connaissances et compétences des programmes

Attendus de fin de cycle

Leçons du fichier

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. ➝ Addition, soustraction, multiplication, division. ➝ Propriétés implicites des opérations : • 2 + 9, c’est pareil que 9 + 2 • 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10. ➝ Propriétés de la numération : • 50 + 80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 13 dizaines, c’est 130 • 4 × 60, c’est 4 × 6 dizaines, c’est 24 dizaines, c’est 240. Calculer avec des nombres entiers (suite).

110 Calcul instrumenté : la calculatrice (1) 111 Calcul instrumenté : la calculatrice (2) 135 Estimer un résultat

Calcul mental ➝ Calculer mentalement pour obtenir Calcul mental quotidien (cf. tableau suivant) un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.

Calcul en ligne ➝ Calculer en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes.

31 40 70 71 83 9 132

Additionner 2 nombres de 2 chiffres (1) Additionner 2 nombres de 2 chiffres (2) Retrancher un nombre de 2 chiffres (1) Retrancher un nombre de 2 chiffres (2) Calculer un petit produit Multiplier 2 petits nombres La multiplication en ligne

Calcul posé ➝ Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication.

54 55 66 109 133

L’addition posée sans retenue L’addition posée avec retenue L’addition posée de nombres de 3 chiffres La soustraction posée sans retenue La soustraction posée avec retenue

Calcul mental quotidien CONNAISSANCES ET COMPÉTENCES

Leçons du fichier (par période) P1

P2

P3

P4

P5

Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1000

18-25 29

50-51-53-59

65-78

116

127-138

Écrire ou dire des suites de nombres

10-12

40

69-71-80

Comparer, ranger encadrer ces nombres

24-28

41-52-54

108

42-47-56-57

109

121-135-139 140 123

Connaître les doubles et moitiés des nombres d’usage courant Trouver le complément à un nombre Mémoriser les tables d’addition

26-27-30

55

67-68

92-94-97

31

60

75-88

103

Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences ou des produits

11-13-14-15 16-17-19-22 23-32

36-37-38-39 43-44-45-46 58

64-66-70-72 73-74-79-81 82-85-86

102

120-122-125 126-132-133 134-136

93-95-96-98 99-100-101 106-107-110 111-112-113 114-115

124-128-129 137

83-84-87

Lire l’heure

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PROGRESSION DU CALCUL MENTAL 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

Période 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Écrire le suivant Ajouter 1 écrire le précédent Retrancher 1 Ajouter 2 Retrancher 2 Calculer de petites sommes Calculer de petites différences Dictée de nombres (inférieurs à 60) Calculer de petites différences Ajouter un petit nombre Retrancher un petit nombre Écrire le plus grand de trois nombres (inférieurs à 20) Dictée de nombres (inférieurs à 60) Trouver le complément à 10 Complément à la dizaine supérieure (inférieurs à 40). Écrire le plus petit de trois nombres (inférieurs à 50) Dictée de nombres (inférieurs à 60) Complément à la dizaine supérieure Tables d’addition Ajouter 10 (à un nombre de deux chiffres)

36 37 38 39 50 51 52 53 50 51 52 53 54 55 50 51 52 53 54 55 56 57 58

Somme de dizaines entières (somme < 80) Ajouter 20 (somme < 80) Ajouter des unités à des multiples de 10 Ajouter des unités à des multiples de 10 Compter de 10 en 10 (nombres < 80) Écrire le plus grand de trois nombres de deux chiffres Double d’un nombre Calculer avec les doubles Ajouter un petit nombre sans passage de la dizaine Ajouter un petit nombre avec passage de la dizaine Ajouter un multiple de 10 (somme < 100) Double de dizaines entières Dictée de nombres (nombres < 100) Dictée de nombres (nombres < 100) Écrire le plus grand de deux nombres (nombres < 200) Écrire le précédent (nombres < 200) Écrire le plus petit de trois nombres (nombres < 200) Complément à 100 (dizaines entières) Double d’un nombre (inférieur à 20) Double d’un nombre (inférieur à 20) Somme de dizaines entières Dictée de nombres (nombres < 500) Tables d’addition

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

Passage de la dizaine (nombres < 100) Dictée de nombres (nombres < 500) Ajouter des dizaines entières (nombres < 500) Complément à la dizaine supérieure Complément à la centaine Écrire le suivant Ajouter des dizaines Compter de 10 en 10 Ajouter 5 à un multiple de 5 (nombres de trois chiffres) Retrancher un petit nombre à un nombre < 500 Retrancher des dizaines entières à un nombre < 100 Tables d’addition Dictée de nombres de trois chiffres

Ajouter un petit nombre en deux temps Écrire le précédent Différence de nombres proches Retrancher 100 Lire l’heure du matin Lire l’heure du soir Retrancher un petit nombre en deux temps Retrancher des dizaines à un nombre de 2 chiffres Lire l’heure du soir Tables d’addition

Période 4

113 114 115 116

Complément de nombres proches Ajouter 10 avec passage de la centaine Complément à la dizaine supérieure Passage de la centaine (ajouter un petit nombre) Passage de la centaine (ajouter des multiples de 10) Complément à une centaine Retrancher un petit nombre (à un nombre de trois chiffres) Ajouter deux multiples de 5 Ajouter deux multiples de 5 (avec passage de la centaine) Différence de deux nombres proches Table de multiplication de 5 Tables d’addition Somme de dizaines entières Somme de dizaines entières (avec passage de la centaine) Trouver le plus grand nombre (nombres de trois chiffres) Prendre le double du double Ajouter un petit nombre (à un nombre de 3 chiffres) Retrancher des dizaines à un nombre de 2 chiffres (sans franchir la centaine) Retrancher des dizaines à un nombre de 3 chiffres (sans franchir la centaine) Additionner 100 Additionner 200 Multiplier par 10 Dictée de nombres (de trois chiffres)

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 132 133 134 135 136 137 138 139 140

Table de multiplication de 2 Double d’un nombre (inférieur à 20) Table de multiplication de 5 Complément à la dizaine supérieure Ajouter un nombre de dizaines Table de multiplication de 2 Table de multiplication de 5 Dictée de nombres Retrancher deux nombres proches Différence de dizaines Table de multiplication de 3 Table de multiplication de 4 Tables de multiplication de 3 et de 4 Moitié de dizaines Tables de multiplication de 3 et de 4 Ajouter un multiple de 10 (à un nombre de trois chiffres) Trouver la dizaine la plus proche (d’un nombre de deux chiffres) Moitié d’une dizaine « paire » Moitié d’un multiple de 10 (nombre de dizaines impair)

92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 106 107 108 109 110 111

Période 2

112

Période 5

Période 3

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2. Grandeurs et mesures Les activités proposées dans le fichier visent à construire le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure. Au CE1, deux domaines sont approfondis : les mesures de longueur et la structuration du temps. Au moins cinq leçons sont consacrées à chacun d’eux. En ce qui concerne les longueurs, la construction et l’utilisation d’outils de mesures, l’observation de l’environnement et la résolution de problèmes de la vie courante sont privilégiés. Les acquis du CP sont consolidés en CE1 et les unités de mesure sont abordées : centimètre, décimètre, mètre et kilomètre.

Attendus de fin de cycle

La structuration du temps se poursuit tout au long de l’année en référence à la vie de tous les jours. Cependant, il est nécessaire de mettre l’accent sur la lecture du cadran de l’horloge et du calendrier pour repérer des dates et comparer des durées exprimées en heures, en semaines, en mois, en années. Les notions de masse et de contenance sont abordées essentiellement en référence à leur environnement social. Les unités les plus usuelles sont introduites : gramme et kilogramme, litre.

Connaissances et compétences des programmes

Leçons du fichier

Mesurer des longueurs avec un instrument adapté, notamment en reportant une unité. Mesurer des masses et des contenances avec des instruments adaptés.

Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques à ces grandeurs

Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix

45 Mesurer une longueur par report de l’unité. 56 Construire et utiliser une règle graduée 80 Mesurer une longueur avec la règle graduée 122 Mesurer des masses 134 Mesurer des contenances : le litre

Exprimer une mesure dans une ou plusieurs unités choisies ou imposées. ➝ Unités de mesures usuelles : 114 Le mètre, le décimètre, le centimètre • longueur : m, dm, cm, mm, km ; 115 Le mètre, le kilomètre • masse : g, kg, tonne ; 122 Mesurer des masses • contenance : L, dL, cL. 134 Mesurer des contenances : le litre ➝ Relations entre les unités de longueur, entre les unités de masses, entre les unités de contenance. Comparer, estimer, mesurer des durées. ➝ Unités de mesure usuelles de durées : jour, semaine, heure, minutes, semaine, mois, année, siècle, millénaire. ➝ Relations entre ces unités.

78 Lire l’heure (1) 81 Lire l’heure (2) 95 La semaine, le jour, l’heure, la minute

Dans des cas simples, représenter une grandeur par une longueur, notamment sur une demi-droite graduée. ➝ Des objets de grandeurs égales sont représentés par des segments de longueurs égales. ➝ La règle graduée en cm comme cas particulier d’une demi-droite graduée.

84 Tracer un segment de longueur donnée

Résoudre des problèmes, notamment de mesurage et de comparaison, en utilisant les opérations sur les grandeurs ou sur les nombres. ➝ Quatre opérations sur les mesures des grandeurs. ➝ Principes d’utilisation de la monnaie (en euros et centimes d’euros). ➝ Lexique lié aux pratiques économiques.

85 Payer avec la monnaie 87 Rendre la monnaie 93 Mesurer et ajouter des longueurs

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3. Espace et géométrie Les mathématiques ne se réduisent pas aux activités numériques. Elles impliquent aussi « une éducation de l’œil et de la main », tout spécialement au cycle 2. Nous avons consacré une place importante à l’apprentissage de l’espace (observation guidée d’objets de l’espace et de formes planes, manipulations, constructions) et de la géométrie (tracés de droites, repérage d’alignements, découverte de quelques propriétés des formes simples, reproduction sur papier quadrillé). L’alignement est une notion qui ne va pas de soi : l’idée de droite est une construction abstraite de l’esprit humain qui semble naturelle à un adulte, mais que les enfants du cycle 2 doivent prendre le temps de construire grâce aux activités que leur propose l’enseignant. Le guide pédagogique fait des propositions dans ce sens que le fichier illustre et prolonge. La notion d’angle droit reste très difficile à percevoir et à identifier par les élèves, bien au-delà du cycle 2.

Attendus de fin de cycle

(Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères

Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides

Avec la découverte des propriétés géométriques fondamentales du carré et du rectangle, la reconnaissance de ces figures ne sera plus perceptive mais fondée sur la vérification de ces propriétés. Le travail sur les axes de symétrie, d’abord associé au pliage, est repris à travers le quadrillage qui va jouer un rôle important pour aider les élèves à identifier les propriétés de cette transformation. Le cube et le pavé ne sont qu’approchés par des activités simples permettant d’identifier les notions de face, d’arête et de sommet. Les nombreuses pages de matériel prédécoupé du fichier permettent de mettre en œuvre les manipulations sans perte de temps et sans imposer un travail de préparation trop lourd aux enseignants.

Connaissances et compétences des programmes Se repérer dans son environnement proche. Situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux autres ou par rapport à d’autres repères. ➝ Vocabulaire permettant de définir des positions (gauche, droite, au-dessus, en dessous, sur, sous, devant, derrière, près, loin, premier plan, second plan, nord, sud, est, ouest…). ➝ Vocabulaire permettant de définir des déplacements (avancer, reculer, tourner à droite/à gauche, monter, descendre…).

Leçons du fichier

53 S’orienter dans l’espace 94 Se repérer autour d’un objet

S’orienter et se déplacer en utilisant des repères. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements dans des espaces familiers, sur un quadrillage, sur un écran. ➝ Repères spatiaux. ➝ Relations entre l’espace dans lequel on se déplace et ses représentations.

74 Se repérer sur un plan 128 Décoder et coder un déplacement (1) 136 Décoder et coder un déplacement (2)

Reconnaître et trier les solides usuels parmi des solides variés. Décrire et comparer des solides en utilisant le vocabulaire approprié. ➝ Vocabulaire approprié pour : • nommer des solides (boule, cylindre, cône, cube, pavé droit, pyramide) ; • décrire des polyèdres (face, sommet, arête). ➝ Les faces d’un cube sont des carrés. ➝ Les faces d’un pavé droit sont des rectangles (qui peuvent être des carrés).

112 Les solides 113 Cubes et pavés droits

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Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques Reconnaître et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie

Décrire, reproduire des figures ou des assemblages de figures planes sur papier quadrillé ou uni.

25 Reproduire une figure sur quadrillage (1) 69 Reproduire un triangle rectangle 79 Reproduire une figure sur quadrillage (2)

Utiliser la règle, le compas ou l’équerre comme instruments de tracé.

24 Tracer et prolonger un segment

Reconnaître, nommer les figures usuelles. Reconnaître et décrire à partir des côtés et des angles droits, un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Les construire sur un support uni connaissant la longueur des côtés. Vocabulaire approprié pour décrire les figures planes usuelles : • carré, rectangle, triangle, triangle rectangle, polygone, côté, sommet, angle droit ; • cercle, disque, rayon, centre ; • segment, milieu d’un segment, droite. ➝ Propriété des angles et égalités de longueur des côtés pour les carrés et les rectangles. Construire un cercle connaissant son centre et un point, ou son centre et son rayon.

38 39 68 73 99

Identifier des figures planes Construire des triangles Identifier un triangle rectangle Identifier les rectangles et les carrés Tracer un carré ou un rectangle à l’aide d’un gabarit

138 Tracer des cercles

Utiliser la règle (non graduée) pour repérer et produire des alignements. ➝ Alignement de points et de segments.

30 Trouver, compléter un alignement

Repérer et produire des angles droits à l’aide d’un gabarit, d’une équerre. ➝ Angle droit.

58 Identifier un angle droit 59 Tracer un angle droit

Reconnaître si une figure présente un axe de symétrie. ➝ Symétrie axiale. ➝ Une figure décalquée puis retournée qui coïncide avec la figure initiale est symétrique : elle a un axe de symétrie (à trouver). ➝ Une figure symétrique pliée sur son axe de symétrie, se partage en deux parties qui coïncident exactement.

92 Identifier un axe de symétrie par pliage

Compléter une figure pour qu’elle soit symétrique par rapport à un axe donné.

98 Compléter une figure par symétrie

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REPÈRES DE PROGRESSIVITÉ AU CYCLE 2 Nous vous proposons, sous forme de tableau, une synthèse des repères de progressivité pour chaque domaine mathématique et plus précisément pour chaque attendu de fin de cycle tels qu’ils sont indiqués dans les programmes officiels. Attendus de fin de cycle Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer

Nombres et calculs

Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers

Grandeurs et mesures

CE1

– Étude des relations numériques entre des nombres inférieurs à 20 – Étude de la numération décimale écrite en chiffres et celle de la désignation orale pour les nombres jusqu’à 100 – Prise en compte de la complexité de la numération orale pour les nombres supérieurs à 69

– Reprise de l’étude des nombres jusqu’à 100 – Étude de la numération décimale écrite jusqu’à 1 000

Résoudre des problèmes en – Résolution de problèmes utilisant des nombres entiers additifs et soustractifs et le calcul

Calculer avec des nombres entiers

Espace et géométrie

CP

– Mémorisation de faits numériques (décompositions, recompositions additives, tables d’addition) et de procédures de calculs élémentaires (additions) – Additions en colonnes avec des nombres de deux chiffres

Comparer, estimer, mesurer des longueurs, des masses, des contenances, des durées

– Résolution de problèmes additifs, soustractifs et multiplicatifs – Résolution de situations simples de partage ou de groupement – Mémorisation de faits numériques (tables d’addition et de multiplication) et de procédures de calculs élémentaires (soustractions et multiplications) – Maîtrise de l’addition avec des nombres plus grands et de tailles différentes – Apprentissage d’une technique de calcul posé pour la soustraction

CE2

– Reprise de l’étude des nombres jusqu’à 1 000 – Étude de la numération décimale écrite jusqu’à 10 000

– Résolution de problèmes plus complexes, à deux étapes

– Mémorisation de faits numériques (tables de multiplication) et de procédures de calculs élémentaires (quotient et reste d’une division euclidienne) – Maîtrise de la soustraction – Apprentissage d’une technique de calcul posé pour la multiplication

– Longueur (cm, dm et m, en relation ; m et km, comme unités indépendantes) – Masse (g et kg, comme unités indépendantes) – Contenance (en litres) – Durée (jour et semaine, j et h, h et min, et leurs relations) – Prix (euros et centimes d’euro, en relation)

– Longueur (km, m, dm, cm, mm) – Masse (g, kg et tonne, en relation) – Contenance (L, dL et cL) – Durée (j, mois, année et leurs relations, année, siècle millénaire et leurs relations, min, s et leur relation)

– Représentation des lieux et (Se) repérer et (se) déplacer codage des déplacements en utilisant des repères se situant dans la classe ou dans l’école

– Représentation des lieux et codage des déplacements se situant dans le quartier proche – Codage des déplacements à l’aide d’un logiciel de programmation adapté

– Représentation des lieux et codage des déplacements se situant dans un quartier étendu ou le village – Compréhension et production d’algorithmes simples

– Reconnaissance de solides Reconnaître, nommer, variés décrire, reproduire quelques – Vocabulaire (face, sommet, solides arête) pour les décrire

– Construction d’un cube avec – Approche de la notion des carrés ou avec des tiges de « patron du cube » que l’on peut assembler

– Propriétés géométriques engagées progressivement dans la reproduction et la description de figures (alignement, report de longueur sur une droite et Reconnaître et utiliser les notions d’alignement, d’angle égalités de longueur) droit, d’égalité de longueurs, – Règle non graduée, bande de papier de milieu, de symétrie

– Construction d’un cercle sans contraintes ; puis à partir du centre et d’un point, de son rayon et son centre – Angle droit – Règle graduée, gabarit d’angle droit, compas pour tracer des cercles

Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques à ces grandeurs Résoudre des problèmes impliquant des longueurs, des masses, des contenances, des durées, des prix

– Longueur (comparaison, double et moitié) – Durée (jour et semaine, et leur relation) – Prix (¤)

Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques

– Construction d’un cercle à partir de son diamètre

– Équerre, compas pour tracer des cercles

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8-9 Bienvenue au CE1 Compétences – Lire silencieusement un énoncé, une consigne, et comprendre ce qui est attendu. – Participer à un échange : questionner, apporter des réponses, écouter et donner un point de vue en respectant les règles de la communication. Présenter à la classe un travail individuel ou collectif.

Observations préalables La présentation et les objectifs de cette première leçon sont différents de ceux des leçons qui suivent. Cette double page comporte des activités attrayantes sur le thème du zoo qui ont pour but de permettre aux élèves d’aborder agréablement l’année scolaire en général et les mathématiques en particulier. Elle n’est ni une révision, ni un bilan, ni un apprentissage, mais une remise en route qui permet à l’enseignant d’observer le comportement des élèves. Comprennent-ils les consignes ? Réclamentils une aide ? Participent-ils à la discussion collective ?... En début d’année, connaître le comportement des élèves est aussi important que connaître leur niveau scolaire, qu’il serait hasardeux de vouloir évaluer dès les premiers jours de classe.

Activités collectives

 Activité préliminaire

 Description et commentaires collectifs

Les élèves découvrent le fichier. Ils le feuillettent et font part de leurs observations. Il est important que, dès leur premier contact, ils prennent conscience qu’ils vont y trouver des activités motivantes et parfois ludiques, des illustrations agréables, des pages différentes dont ils découvriront l’utilité au cours des semaines suivantes… L’enseignant leur fait rappeler ce qu’est un sommaire et son utilité. Il attire leur attention sur les « Coins du chercheur ». Il précise qu’ils peuvent essayer de les résoudre quand ils le souhaitent, puisque ces coins sont indépendants de chaque leçon. Un moment de concertation collective pourra être organisé, une fois par semaine par exemple, pour confronter les réponses des élèves à ces énigmes.

La réalisation des exercices de la double page « Bienvenue au CE1 » peut être répartie sur une ou deux séances. L’enseignant invite les élèves à se reporter à la page 8. Il leur demande d’observer individuellement les quatre premiers exercices, de décrire les situations et de réfléchir au travail à accomplir. Une discussion collective permet de vérifier si les élèves interprètent correctement les dessins et les consignes : « Quel est le thème de cette double page ? » 1. « Quels sont les personnages qui constituent cette famille ? Où trouve-t-on le prix des billets d’entrée ? » 2. « Les couleurs de la barrière sont-elles placées au hasard ou suivent-elles un ordre précis ? » 3. « Avant d’entourer le mot « plus » ou le mot « moins », que doit-on faire ? » Etc.

Activités individuelles 5 Il s’agit d’un exercice de numération qui permet de vérifier si les élèves savent compter de 10 en 10 et écrire en chiffres les dizaines. Les affichages de la classe ou une bande numérique reproduite au tableau sont autant de moyens de remédiation que l’enseignant peut mettre en œuvre. 6 Les élèves doivent entourer l’ourson à gauche du buisson (objet non orienté). Lors de la correction collective ou pendant d’autres exercices similaires, l’enseignant repère les élèves en difficulté, pour lesquels les notions de « droite » et de « gauche » ne sont pas acquises sur leur propre corps. 7 Les élèves reproduisent la cabane avec la règle et le crayon. L’enseignant exige un travail propre et précis et, pour cela, demande d’utiliser un crayon gris bien taillé. Les élèves les plus habiles et les plus rapides peuvent être invités à reproduire le même dessin sur une feuille quadrillée séparée afin de laisser le temps à leurs camarades plus lents de terminer leur dessin. 8 L’enseignant demande à quelques élèves volontaires d’expliciter la consigne. L’explication du codage doit permettre de lever toute ambiguïté. À chaque élève de trouver la technique qui va lui permettre de calculer la couleur à utiliser : surcomptage, dessin… Comme pour l’exercice précédent, l’enseignant exige un travail propre et précis. Leur dessin terminé, les élèves peuvent comparer leur résultat avec celui de leurs camarades, tant du point de vue du respect de la consigne que de celui de la qualité du coloriage.

Les élèves travaillent seuls, mais peuvent demander des explications à l’enseignant en cas de difficulté. Pendant l’activité, celui-ci observe leur comportement et leur démarche. Il questionne, encourage et aide éventuellement ceux qui semblent éprouver des difficultés importantes, par exemple en lisant la consigne avec eux. 1 Cet exercice propose un problème additif avec une prise d’information sur des supports différents. La famille se compose d’un père et de deux enfants. 5 ¤ + 5 ¤ + 9 ¤ = 19 ¤. Cette famille va payer 19 ¤. 2 Les élèves doivent d’abord analyser la frise. L’algorithme de cette frise est une suite de quatre couleurs qui se répètent (jaune, rouge, vert, bleu). Théo cache la couleur qui vient après le vert ; c’est donc la couleur bleue qu’il faut entourer dans la réponse. 3 Il s’agit d’un exercice de comparaison de collections. Le dénombrement n’est pas nécessaire. Il est possible de répondre à la question par une correspondance terme à terme entre les koalas et les perroquets. Il y a moins de koalas (7) que d’oiseaux (8). 4 Cet exercice permet de repérer les élèves qui ont oublié les noms des figures géométriques élémentaires. La discussion collective consistera essentiellement à rappeler les propriétés de chaque figure (carré, rectangle, triangle) pour que les élèves en difficulté puissent nommer, sans se tromper, les figures du chariot. Le triangle représente la vitre du véhicule et n’est pas à colorier.

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10 Lire, écrire les nombres jusqu’à 29 Compétences

Calcul mental

Lire et écrire les nombres inférieurs à 30. Connaître l’ordre des nombres dans la file numérique.

Écrire le suivant. L’enseignant dit : « 5 » ; l’élève écrit 6. Items : 5 ; 3 ; 9 ; 12 ; 16 ; 24 ; 25 ; 9 ; 19 ; 10.

Observations préalables Depuis le début du cycle 2, les élèves ont acquis des compétences dans l’utilisation des nombres jusqu’à 30. Celles-ci doivent être renforcées : maîtrise de la comptine orale, utilisation du dénombrement, association des écritures chiffrée et littérale… Les difficultés de lecture des nombres de 11 à 16 sont connues. La lecture de l’écriture chiffrée de cette tranche de nombres doit être mémorisée. Leur écriture littérale doit être connue depuis le CP, mais elle pourra être renforcée en apportant aux élèves les aides nécessaires pour les difficultés orthographiques. L’approche de cette tranche de nombres prenant appui sur la décomposition en sommes de 10 est abordée à la leçon suivante.

Activités collectives chiffres des pages du fichier. L’enseignant demande enfin de compléter les cases de la bande numérique restées vierges.

Découvrons ensemble

•••••••••••••

Matériel : Une bande graduée vierge comportant 29 cases, dessinée au tableau  ; des étiquettes (autant d’étiquettes que d’élèves) où sont écrits des nombres en chiffres et en lettres (cf. matériel photocopiable ci-après).

L’enseignant demande aux élèves d’observer le dragon et les étiquettes en dessous du dragon. Ceux-ci lisent la première consigne silencieusement, puis l’un d’entre eux la lit oralement. On doit compléter les cases en pointillé du dragon. La correction est collective et immédiate. Il est souhaitable que le dragon ait été préalablement reproduit au tableau. L’enseignant procède de la même façon pour la seconde consigne. Il peut être nécessaire de rappeler ce que signifie « Relie ». Les élèves exécutent la consigne selon le modèle. Pour l’écriture des nombres en lettres, ils peuvent se référer, comme le propose Mathix, aux pages du fichier qui sont numérotées en chiffres et en lettres. L’enseignant pose enfin la question : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à lire et à écrire les nombres jusqu’à 29. »

 Activité préliminaire

L’enseignant dessine, au tableau, une bande graduée vierge de 29 cases, puis distribue une étiquette-nombre (en lettres ou en chiffres) à chaque élève. Il demande à un élève qui a l’étiquette « 1 » de la placer sous la première case de la bande graduée et d’écrire 1 dans cette case. Il procède de la même façon pour les élèves qui ont les étiquettes « 10 » et « 20 ». Il désigne ensuite, de façon aléatoire, les autres élèves qui viennent placer leur étiquette et inscrire en chiffres le nombre correspondant sur la bande numérique. Les élèves qui ont des étiquettes avec des nombres écrits en lettres peuvent s’aider de la numérotation en lettres et en

Activités individuelles assume le rôle de Rainette : il se positionne sur la case « 6 » et se déplace de 3 cases. Il fait ainsi 3 petits sauts de case en case et énonce le numéro de la case d’arrivée. Plusieurs élèves éprouveront le besoin de cocher les cases au fur et à mesure de la progression de Rainette avant d’entourer la case d’arrivée (« 9 ») ; mais, progressivement, ces exercices de surcomptage devront laisser place au calcul additif.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 C’est l’application de la première partie du « Découvrons ensemble  ». Les élèves doivent compléter des morceaux de bandes numériques. 2 Il s’agit de retrouver l’écriture chiffrée d’un nombre à partir de son écriture littérale et inversement. Les élèves qui en éprouvent le besoin peuvent se reporter aux numéros des pages de leur fichier. 3 Cet exercice est plus difficile, car le support visuel a disparu. En demandant d’écrire le précédent et le suivant des nombres proposés, on traite les mêmes compétences que l’exercice 1. 4 Calcul réfléchi  : Dans cet exercice indépendant de la leçon, Rainette fait sa première apparition. Il sera intéressant de faire réaliser réellement la tâche de Rainette par les élèves sur une bande numérique placée au sol. Un élève

➤ Prolongement ➢ Photofiche S1 Elle comporte deux exercices. Le premier permet de retravailler la connaissance de la suite numérique. Dans le second, l’élève doit retrouver l’écriture chiffrée d’un nombre à partir de son écriture littérale et inversement.

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Leçon

10

– Lire, écrire les nombres jusqu’à 29

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Matériel photocopiable

1

10

20

3

4

5

7

8

9

11

13

15

17

21

25

29

deux

six

douze

quatorze

seize

dix-huit

dix-neuf

vingt-deux

vingt-six

vingt-sept

vingt-trois vingt-quatre 19

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11

Décomposer, comparer, ordonner les nombres jusqu’à 29

Compétences

Calcul mental

Décomposer, comparer et ordonner les nombres inférieurs à 30.

Ajouter 1. L’enseignant dit : « 5 + 1 » ; l’élève écrit 6. Items : 5 + 1 ; 3 + 1  ;  9 + 1  ;  11 + 1  ;  14 + 1  ;   17 + 1  ;  19 + 1  ;  22 + 1  ;  24 + 1 ; 28 + 1.

Observations préalables Il s’agit, dans cette leçon, d’approfondir la connaissance des nombres jusqu’à 29 et d’approcher leur décomposition canonique, afin de pouvoir comparer et ordonner les nombres plus facilement. Ces notions ont été travaillées en CP et seront renforcées dans les différentes leçons portant sur la numération. La décomposition en sommes de 10 semble plus accessible aux élèves en début d’année que la décomposition en dizaines et unités abordée en leçon 15.

Activités collectives décomposition des nombres en paquets de dix et justifie les noms « dix-sept », « dix-huit », « dix-neuf ». Les élèves lisent la première consigne silencieusement, puis l’un d’entre eux la lit oralement. On doit compléter les cases en pointillé, puis relier les écritures additives des nombres à leur place sur la bande numérique. La correction est collective et immédiate. Il est souhaitable que la bande numérique ait été préalablement reproduite au tableau. L’enseignant procède de la même façon pour la consigne suivante. Il demande d’utiliser les décompositions de ces nombres pour les comparer : « 17 c’est 10 et encore 7, 15 c’est 10 et encore 5. Comme 7 est plus grand que 5, alors 17 est plus grand que 15. De même, 22 est plus grand que 17 car 22 = 10 + 10 + 2 et possède 2 paquets de dix alors que 17 = 10 + 7 ne possède qu’un paquet de dix. » Les élèves constatent que le rangement des nombres par ordre croissant est celui de la bande numérique. L’enseignant pose enfin la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer, à comparer et à ordonner les nombres jusqu’à 29. Nous avons aussi appris qu’un nombre possède plusieurs écritures. »

Matériel : Une planche de cartes à découper avec différentes écritures des nombres (cf. matériel photocopiable ci-après).

 Activité préliminaire

L’enseignant propose à la classe un jeu de type «  jeu des 4 familles  ». Une famille est un ensemble de 4 cartes qui correspondent au même nombre. Les élèves sont groupés par quatre. L’enseignant distribue à chaque groupe les 16 cartes correspondant aux familles du 26, du 24, du 18 et du 12. Chaque élève dispose donc de 4 cartes. Le jeu commence : un élève pioche une carte dans le jeu de son voisin de gauche sans la montrer aux autres. Si cette carte lui permet de réunir une famille, il dépose la famille sur la table.

•••••••••••••

Découvrons ensemble

L’enseignant demande ce que représentent les sacs comportant le nombre 10. Il attire l’attention des élèves sur la

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S2

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 C’est l’application de la première partie du « Découvrons ensemble ». Les élèves doivent écrire le nombre correspondant à sa décomposition. 2 Cet exercice est plus difficile car le support visuel a disparu : les élèves ne doivent plus retrouver un nombre mais le décomposer en une somme de dizaines entières et d’unités. 3 Comme dans le «  Découvrons ensemble  », les élèves doivent comparer des nombres afin de les ranger dans l’ordre décroissant.

Elle comporte deux exercices. Chacun d’eux contient une aide visuelle forte sur la décomposition canonique des nombres et sur leur comparaison.

Coin du chercheur La difficulté pour les élèves va être de placer le signe égal (=). Ils vont devoir écrire l’égalité du type « 5 = 2 + 3 ». En effet, mettre le signe = avant le signe + peut bloquer certains élèves qui le conçoivent comme le résultat d’une opération et non comme une égalité entre deux termes.

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Leçon

11

– Décomposer, comparer, ordonner les nombres jusqu’à 29

Matériel photocopiable

26

24

18

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

20 + 6 20 + 4 10 + 8 10

10

10

10

10

12 10 + 2 10

21

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Calcul réfléchi : Ajouter un petit nombre (1)

Compétence

Calcul mental

Ajouter un petit nombre à un nombre inférieur à 30.

Écrire le précédent. L’enseignant dit : « 5 » ; l’élève écrit 4. Items : 5 ; 9 ; 10 ; 20 ; 15 ; 29 ; 17 ; 25 ; 24 ; 21.

Observations préalables Dans cette leçon, on démontre aux élèves que constituer (ou dessiner) deux collections d’objets et recompter le tout devient lourd et coûteux en temps ; seul le surcomptage reste efficace, à condition d’utiliser la commutativité de l’addition pour le commencer à partir du plus grand des deux nombres. Cette technique évoluera ensuite vers un véritable calcul en cherchant le complément à 10 du plus grand des deux nombres.

Activités collectives 8 + 3 ? », puis il demande : « Pour quelle raison le calcul 3 + 8 paraît-il plus difficile ? » La discussion permet de faire ressortir qu’il est plus facile de surcompter un petit nombre qu’un grand nombre. L’enseignant conclut en disant qu’on peut toujours commencer par le plus grand des deux nombres quand on doit calculer une addition.

 Activité préliminaire

L’enseignant affiche, au tableau, une grande bande numérique allant jusqu’à 29 et organise le «  jeu du chapeau  ». Il place 8 jetons sous le chapeau après les avoir montrés et dénombrés devant la classe, puis il glisse 3 jetons supplémentaires sous le chapeau. Il pose la question : « Combien vais-je trouver de jetons sous le chapeau quand je vais le soulever ? » Il demande aux élèves d’écrire leur réponse sur leur ardoise, puis il valide, par dénombrement, le nombre de jetons cachés sous le chapeau. Il les interroge sur la méthode qu’ils ont utilisée. Il demande à un élève qui a compté sur ses doigts de décompter devant toute la classe, puis il demande à un autre élève qui a utilisé un déplacement sur la bande numérique de venir montrer sa démarche sur celle affichée au tableau. Il valide ces deux méthodes, puis pose un nouveau problème avec le chapeau. Il place 3 jetons sous le chapeau, puis en ajoute 8. Il pose la question  : «  Combien vais-je trouver de jetons sous le chapeau quand je vais le soulever ? » Il laisse les élèves réfléchir, puis écrire leur réponse sur leur ardoise. Il valide, par dénombrement, le nombre de jetons cachés sous le chapeau. Il est probable que la plupart des élèves ne verront pas qu’il s’agit du même calcul. Après avoir fait constater que le résultat obtenu (11) est le même pour chaque calcul, l’enseignant demande à la classe : « Quel est le calcul le plus facile à effectuer : 3 + 8 ou

Découvrons ensemble

•••••••••••••

Matériel : Une bande numérique affichable ; un chapeau ; des jetons.

L’enseignant demande aux élèves d’observer les dessins et pose la question  : «  Quelle opération effectuent Théo, Léa et Mélissa  ?  » Ils répondent  : «  Ils effectuent la même opération  : 18 + 4. » Théo utilise des jetons de couleurs différentes (18 bleus et 4 rouges) et les compte tous. Mélissa calcule plus rapidement, car elle n’a pas besoin de matériel et surcompte à partir de 18. L’enseignant fait remarquer qu’elle aurait pu mettre 4 dans sa tête et surcompter de 18, car 18 + 4 = 4 + 18. Mais ce calcul est moins aisé : lorsqu’on surcompte, il vaut mieux partir du plus grand nombre. Léa procède comme Mélissa, mais elle utilise la bande numérique : elle part de la case « 18 » et avance de 4 cases. Après avoir fait compléter les phrases-réponses par les élèves, l’enseignant leur pose la question rituelle : « Qu’avonsnous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Pour calculer l’addition de deux nombres, on peut utiliser des jetons, surcompter ou utiliser la bande numérique. Il est plus simple de commencer par le plus grand des deux, car le résultat ne change pas. »

Activités individuelles en case en comptant. Il reste immobile à la fin du comptage et énonce le numéro de la case d’arrivée. À partir de la case « 11 », Rainette réalise un bond de 5 cases égal au nombre correspondant à la constellation du dé. Les élèves peuvent cocher les cases au fur et à mesure de l’énoncé de la comptine avant d’entourer la case d’arrivée (« 16 »).

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

La bande numérique peut être utilisée pour les deux exercices, mais il faut laisser le libre choix aux élèves. 1 L’élève est invité à effectuer six additions. Le second nombre est toujours inférieur ou égal à 5. Ce petit nombre va permettre aux élèves d’utiliser facilement soit le surcomptage en s’aidant de leurs doigts, soit la bande numérique qui est dessinée au-dessus de l’exercice. 2 Problème : C’est un problème additif. L’élève doit calculer 9 + 6 avec la méthode de son choix. 3 Calcul réfléchi : On retrouve Rainette avec la bande numérique et un dé. Il sera intéressant de faire réaliser réellement la tâche de Rainette par les élèves sur une bande numérique placée au sol (avec lancement de dé). Un élève assume le rôle de Rainette : il se positionne au départ et se déplace de case

➤ Prolongement ➢ Photofiche A1 Sur cette fiche, l’élève compte de 2 en 2 à partir de 16, de 3 en 3 à partir de 7, de 4 en 4 à partir de 13 et de 5 en 5 à partir de 11. Il réalise ainsi, de façon répétée, de nombreuses additions de petits nombres, ce qui favorise leur automatisation et leur mémorisation.

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Calcul réfléchi : Retrancher un petit nombre (1)

Compétence

Calcul mental

Retrancher un petit nombre à un nombre inférieur à 30.

Retrancher 1. L’enseignant dit : « 5 – 1 » ; l’élève écrit 4. Items : 5 – 1 ; 9 – 1 ; 12 – 1 ; 27 – 1 ; 15 – 1 ; 29 – 1 ; 15 –1 ; 25 – 1 ; 24 – 1 ; 21 – 1.

Observations préalables Les techniques étudiées dans cette leçon sont les mêmes que celles de la leçon précédente. Le dessin sur lequel on barre des éléments avant de recompter les éléments restants est une technique qui n’est plus viable quand la taille des nombres augmente. Les méthodes utilisant le décomptage avec les doigts ou les déplacements sur une bande numérique sont des techniques performantes tant qu’elles ne sont pas remplacées par le calcul.

Activités collectives Activité 3

Matériel : Pour la classe : une boîte  ; une vingtaine de jetons. Par élève (ou par groupe de 2 élèves) : une vingtaine de jetons.

Enfin, l’enseignant dessine une bande numérique au tableau et demande  : « Comment calculer 12 – 4 en utilisant la bande numérique  ?  » Un élève vient expliquer sa méthode, qui est discutée par les autres élèves.

Découvrons ensemble

Activité 1

•••••••••••••

 Activités préliminaires

L’enseignant demande aux élèves d’observer les dessins et pose la question  : «  Quelle opération effectuent Théo, Léa et Mélissa  ?  » Ils répondent  : «  Ils effectuent la même opération  : 12 – 5. » Théo utilise 12 jetons. Il en barre 5 et compte ceux qui restent : 7. Mélissa calcule plus rapidement car elle n’a pas besoin de matériel et décompte à partir de 12. L’enseignant fait remarquer que Mélissa doit toujours mettre le plus grand nombre dans sa tête. Léa procède comme Mélissa, mais elle utilise la bande numérique : elle part de la case « 12 » et recule de 5 cases. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse du type : « Nous avons appris à soustraire un petit nombre. »

L’enseignant place 8 jetons dans la boîte. Il en reprend 3 et demande : «  Combien en reste-t-il ?  » Les élèves utilisent leurs jetons et écrivent le résultat sur l’ardoise. La vérification s’effectue en comptant les jetons restés dans la boîte. L’enseignant demande aux élèves d’écrire l’égalité 8 – 3 = 5 et de la commenter. Le jeu continue avec les opérations : 12 – 4 ; 16 – 3 ; etc. Les élèves utilisent leurs jetons pour trouver le résultat.

Activité 2 L’utilisation des jetons est maintenant interdite aux élèves. L’enseignant demande : « Comment calculer 9 – 5 en mettant 9 dans sa tête et en utilisant les doigts comme l’avait fait Mélissa pour l’addition ? » Un élève vient expliquer sa méthode, qui est discutée par les autres élèves. Elle consiste à mettre le grand nombre de départ (9) en mémoire, compter à reculons de 5 et écrire le dernier nombre prononcé.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche A2

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Je m’entraîne

La bande numérique peut être utilisée pour les deux premiers exercices. Il ne faut surtout pas imposer une méthode, mais laisser plutôt le libre choix aux élèves. La bande numérique pourra servir de vérification. 1 L’élève est invité à effectuer six soustractions. Le nombre à retrancher est toujours plus petit ou égal à 5 afin de favoriser le décomptage en utilisant les doigts. 2 Problème : C’est un problème soustractif avec, pour support, la monnaie. L’élève doit calculer 22 – 5. 3 Réinvestissement  : Exercice de réinvestissement de la leçon 11 qui consiste à ranger les nombres par ordre décroissant. La bande numérique sera un bon outil pour la remédiation.

Cette photofiche comporte quatre exercices. Dans les deux premiers, les élèves comptent « à reculons » de 2 en 2 à partir de 38, puis de 3 en 3 à partir de 48. Dans les deux derniers, ils retranchent des petits nombres avec l’aide de la droite numérique dans l’exercice 3 et sans l’aide de la droite dans l’exercice 4. Ils réalisent ainsi, de façon répétée, de nombreuses soustractions de petits nombres, ce qui favorise leur automatisation et leur mémorisation.

Coin du chercheur La pochette contient 4 feutres.

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Lire, écrire les nombres jusqu’à 59

Compétences

Calcul mental

Lire et écrire les nombres inférieurs à 60.

Ajouter 2. L’enseignant dit : « 5 + 2 » ; l’élève écrit 7. Items : 5 + 2 ; 7 + 2 ; 10 + 2 ; 12 + 2 ; 11 + 2 ; 15 + 2 ; 18 + 2 ; 14 + 2 ; 16 + 2.

Observations préalables Il s’agit, dans cette leçon, d’approfondir la connaissance des nombres jusqu’à 59. Ces notions ont été travaillées au CP et seront renforcées au CE1 dans les différentes leçons portant sur la numération. Les élèves retrouvent un outil déjà utilisé au CP : le tableau des nombres. Ce type de tableau favorise le repérage des régularités de l’écriture chiffrée : sur une même ligne, les nombres commencent tous par le même chiffre ; dans une même colonne, les nombres finissent tous par le même chiffre.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Deux tableaux des nombres : un tableau des nombres jusqu’à 59 et un tableau vierge à agrandir ; des bandes numériques (cf. matériel photocopiable ci-après).

Les élèves observent la situation et reconnaissent le tableau des nombres de l’activité qu’ils viennent de réaliser précédemment. Ils lisent silencieusement la consigne. L’enseignant leur demande de la formuler en l’explicitant. Il faut, tout d’abord, compléter le tableau en écrivant les nombres manquants en chiffres, puis compléter les étiquettes en écrivant les dizaines en lettres. Les élèves exécutent la consigne. La correction est collective et immédiate. L’enseignant les invite ensuite à prendre connaissance de la dernière consigne. L’un d’eux la lit ; un autre l’explicite. Les élèves colorient les deux cases du tableau. Après la correction, l’enseignant peut choisir d’autres nombres du tableau et, à tour de rôle, des élèves viennent au tableau montrer le nombre précédent ou le nombre suivant. En fin de séance, l’enseignant pose la question  rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à écrire les nombres jusqu’à 59 dans un tableau où, sur chaque ligne, les nombres de la même famille commencent par le même chiffre, ainsi qu’à nous déplacer dans ce tableau. »

 Activité préliminaire

Le tableau vierge et les bandes numériques sont affichés. L’enseignant demande à un élève d’écrire les nombres de l’une des bandes numériques sur ce tableau vierge. La classe commente les résultats, corrige le travail de l’élève si nécessaire. Un autre vient ensuite faire le même travail avec une autre bande ; etc. Lorsque toutes les bandes ont été recopiées sur le tableau, des élèves viennent, à tour de rôle, compléter les cases vides. Ce tableau est ensuite comparé au tableau des nombres. Il peut être exploité de différentes manières : – L’enseignant demande à un élève de montrer la ligne des 10, puis à un autre élève celle des 20… – Il demande de montrer la colonne des nombres dont le chiffre des unités est 9… – Il demande ensuite d’écrire le nombre qui se trouve à la fois sur la ligne des 20 et dans la colonne des 8. L’élève écrit 28. L’exercice est répété plusieurs fois.

Activités individuelles soit il s’appuiera sur le tableau des nombres du « Découvrons ensemble ». 4 Calcul réfléchi : Dans cet exercice de calcul réfléchi indépendant de la leçon, Rainette se déplace sur la bande numérique. Elle se trouve sur la case « 18 » et doit faire un bond de 4 cases. Elle arrivera sur la case « 22 », qu’il faut entourer.

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent compléter une bande numérique. Si la production des suites orales ou écrites de nombres de 1 en 1 ne pose, en général, pas de problème, le passage à la dizaine supérieure reste encore délicat pour certains élèves. Ceux-ci pourront se référer au tableau de l’activité « Découvrons ensemble ». 2 Il s’agit, ici, d’écrire des nombres en lettres ou en chiffres. L’enseignant pourra rappeler que les dizaines sont écrites en lettres dans l’activité «  Découvrons ensemble  ». Les élèves peuvent aussi se référer aux numéros des pages de leur fichier. 3 Cet exercice peut être exécuté de différentes manières. Soit l’élève maîtrise la suite des nombres et, alors, il complétera les précédents et suivants des nombres sans support ;

➤ Prolongement ➢ Photofiche S3 Cette fiche permet de retravailler, dans un premier temps, la connaissance de la suite numérique, puis, dans un second temps, la lecture des nombres écrits en lettres et leur écriture en chiffres.

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Leçon

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– Lire, écrire les nombres jusqu’à 59

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Matériel photocopiable

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Dizaines et unités

Compétences

Calcul mental

Composer et décomposer un nombre de 2 chiffres en dizaines et unités.

Retrancher 2. L’enseignant dit : « 5 – 2 » ; l’élève écrit 3. Items : 5 – 2 ; 7 – 2 ; 10 – 2 ; 13 – 2 ; 12 – 2 ; 11 – 2 ; 15 – 2 ; 18 – 2 ; 14 – 2 ; 16 – 2.

Observations préalables En réalisant des paquets de 10 et en les échangeant contre des dizaines, les élèves se rendent compte que ce nouvel « objet » est comptabilisé comme une nouvelle « unité » bien qu’il soit formé de dix unités initiales. Ils réalisent aussi que c’est la place de chaque chiffre dans l’écriture d’un nombre de deux chiffres qui va permettre de savoir s’il indique un nombre de dizaines ou un nombre d’unités isolées. Le chiffre de gauche est le chiffre des dizaines : il indique le nombre de paquets de 10. Le chiffre de droite est le chiffre des unités : il représente les unités isolées. En accolant dans l’ordre les tableaux « dizaines » et « unités », on écrit en chiffres le nombre correspondant, même si on ne sait pas encore en dire le nom (par exemple, « soixante-dix-huit »).

Activités collectives Il est essentiel que les élèves prennent conscience de l’importance de la place de chaque chiffre dans l’écriture d’un nombre. Par exemple : 51 ≠ 15, et pourtant ces deux nombres s’écrivent avec les mêmes chiffres. L’enseignant propose d’autres situations en plaçant les jetons tantôt à droite, tantôt à gauche des barres, pour montrer aux élèves que, dans l’écriture des nombres, la position des chiffres reste toujours la même : les dizaines à gauche et les unités à droite. Il montre aussi 4 barres sans aucun jeton isolé pour vérifier que les élèves écrivent bien le 0 pour les unités. Il est essentiel que ceux-ci comprennent l’équivalence entre 4 dizaines et l’écriture en chiffres du nombre 40 ; ils doivent réaliser que sans le chiffre 0, il est impossible de savoir que 4 représente 4 dizaines.

 Activités préliminaires

Activité 1 : Jeu de dénombrement n° 1  L’enseignant distribue à chaque groupe un « tas » de jetons (entre 10 et 30) et une ardoise. Il demande aux élèves de dénombrer les jetons de chaque tas et d’écrire ce nombre en chiffres sur leur ardoise. Il leur demande ensuite de réaliser des groupements de 10 jetons et d’indiquer leurs résultats dans des tableaux disposés comme ceux de Théo dans le « Découvrons ensemble ». Par exemple, si un groupe a dénombré 25 jetons, il obtiendra 2 paquets de 10, soit 2 dizaines et 5 unités restantes. Il note donc 2 dans la colonne des dizaines et 5 dans celle des unités. Lorsque tous les groupes ont noté leurs résultats, les chiffres du nombre de deux chiffres (25) sont comparés avec ceux écrits dans les tableaux. Les élèves constatent que le premier chiffre (2) du nombre 25 correspond au nombre de dizaines (paquets de 10) et que le second chiffre (5) correspond au nombre d’unités isolées. Le premier chiffre est appelé «  chiffre des dizaines  » et le second « chiffre des unités ».

Découvrons ensemble

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Matériel : Chaque groupe de 6 élèves dispose  de 10 à 30 jetons  et de 5 barres symbolisant la dizaine (page matériel A du fichier).

La partie de Théo correspond au premier jeu de dénombrement réalisé lors des « Activités préliminaires ». Les élèves savent que Théo possède 25 jetons ; ils peuvent d’ailleurs le vérifier en les dénombrant. Ils groupent ensuite les jetons par 10. Ils obtiennent 2 paquets de 10 (2 dizaines) et 5 jetons isolés. En complétant le tableau, ils retrouvent l’écriture du nombre 25. Les élèves lisent ensuite la bulle de Léa et constatent que ce qu’ils doivent faire correspond au second jeu de dénombrement. Ils réinvestissent immédiatement leurs connaissances en complétant la première phrase. Puis ils découvrent, en complétant le tableau, l’écriture en chiffres du nombre 32 qui leur permet de compléter la seconde phrase. Lors de la correction collective, l’enseignant rappelle l’importance de la position des chiffres dizaines et unités dans un nombre. Il souligne aussi l’importance de la règle d’échange rappelée dans le cadre jaune. Il conclut par la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris que la valeur de chaque chiffre dépend de sa place dans l’écriture d’un nombre. Dans un nombre de 2 chiffres, le premier chiffre correspond au nombre de dizaines et le second au nombre d’unités isolées. »

Activité 2 : Jeu de dénombrement n° 2  L’enseignant distribue à chaque groupe des barres vertes (entre 1 et 5) et des jetons (entre 1 et 8). Le but est d’écrire le nombre qui correspond à chaque distribution. Le groupe qui a reçu 2 jetons et 4 barres vertes écrira le nombre 42. La vérification s’effectue entre groupes, l’enseignant n’intervenant qu’en cas de litige. Chaque barre verte peut être échangée contre 10 jetons pour permettre un dénombrement 1 à 1 en cas de désaccord.

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Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiche S4

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Je m’entraîne

La règle d’échange affichée dans le « Découvrons ensemble » peut être utilisée pour les deux premiers exercices.

Elle comporte deux exercices sur les notions de « dizaines » et « unités ». Dans le premier, l’élève compte des jetons dispersés en faisant des groupements de 10, puis complète chaque colonne d’un tableau numérique avec d et u et doit en déduire l’écriture en chiffres du nombre de jetons. Dans le second, l’élève doit compter le nombre de barres (dizaines) et de jetons isolés (unités) et en déduire le nombre représenté. Ces deux exercices visent à convaincre l’élève que le dénombrement séparé des dizaines et des unités isolées permet d’obtenir l’écriture en chiffres du nombre, à condition de respecter l’ordre des chiffres.

1 Cet exercice est une évaluation du «  Découvrons ensemble  ». On compte 27 jetons. Ils sont suffisamment espacés pour être entourés correctement par paquets de 10. Certains élèves auront sans doute dénombré les jetons un à un pour compléter la première phrase  ; l’enseignant leur montrera que le comptage un à un comporte un grand risque d’erreurs. 2 L’énoncé donne d’abord le nombre de jetons isolés, puis le nombre de dizaines. Il faudra reprendre la manipulation des barres et jetons pour les élèves qui auront répondu « 32 » au lieu de « 23 ». 3 L’élève doit choisir, dans chaque cas, entre deux étiquettes. Lors de la correction collective, l’enseignant rappelle : – que la barre verte représente une dizaine ; – que, dans l’écriture d’un nombre, le chiffre de gauche représente les dizaines (barre verte) et celui de droite les unités (jeton jaune) ; – l’importance du zéro qui conserve la place des unités quand elles sont absentes.

➢ Photofiche A3 Elle comporte trois exercices. Le premier exercice met l’accent sur l’importance de l’ordre des chiffres dans notre système de numération. Les colonnes du tableau doivent être remplies en respectant leur dénomination et non l’ordre d’énonciation. Le deuxième propose deux devinettes sur les nombres faisant intervenir les notions de « double » ou de « moitié » pour déterminer le second chiffre du nombre. Le troisième nécessite de convertir 4 paquets de 5 en 2 paquets de 10 afin de pouvoir remplir le tableau de numération et voir ainsi apparaître l’écriture en chiffres du nombre 23. L’espace de travail du carnet permet aux élèves de dessiner les paquets de 5 billes et de réaliser que 2 paquets de 5 billes permettent de former une dizaine.

Coin du chercheur On compte 5 triangles dans cette figure.

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Décomposer les nombres jusqu’à 59

Compétence

Calcul mental

Connaître des décompositions additives des nombres inférieurs à 60.

Calculer de petites sommes. L’enseignant dit ou montre : « 3 + 2 » ; l’élève écrit 5. Items :  3 + 2  ;  4 + 1  ;  5 + 2  ;  8 + 2  ;  4 + 4  ; 5 + 3  ;  3 + 4  ;  2 + 3  ;  4 +  5 ;  7 + 3.

Observations préalables Il s’agit, dans cette leçon, d’un approfondissement de la connaissance des nombres jusqu’à 59. Cette leçon est un prolongement de la leçon 11, dans laquelle étaient abordées les décompositions canoniques des nombres inférieurs ou égaux à 29. Ici, la suite des nombres s’étend jusqu’à 59. Les élèves commencent à constater que la taille des nombres ne modifie pas les principes de la numération de position.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Pour l’enseignant : des étiquettes avec les nombres inférieurs à 60. Pour l’élève : une ardoise, le matériel de numération.

La première partie du «  Découvrons ensemble  » reprend le travail réalisé dans l’activité collective : Théo a 42 jetons. En complétant le tableau de numération, les élèves vont décomposer 42 en 4 dizaines et 2 unités : 42 = 10 + 10 + 10 + 10 + 2 ; 42 = 40 + 2. Les élèves doivent ensuite entourer les barres de dizaines et les jetons correspondant à 42 : 4 barres vertes et 2 jetons jaunes. Ce travail met en exergue une autre façon de décomposer le nombre 42 sans utiliser le tableau. La seconde partie du « Découvrons ensemble » part du matériel de numération. Léa doit trouver à quel nombre correspondent les dizaines et les unités dont elle dispose. Léa possède donc 3 dizaines et 5 unités de jetons. Elle possède en tout 35 jetons : 35 = 30 + 5. L’enseignant pose enfin la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer les nombres jusqu’à 59. Un nombre possède plusieurs écritures. »

 Activité préliminaire

L’enseignant note des nombres inférieurs à 60 sur des étiquettes qu’il dispose dans une boîte. Il trace, au tableau de la classe, le tableau de numération où sont représentés les barres-dizaines vertes et les jetons-unités jaunes. Un élève pioche une étiquette-nombre, nomme le nombre, puis l’écrit dans le tableau de numération. L’enseignant demande aux élèves d’écrire sa décomposition sur leur ardoise, en dizaines et unités, puis en paquets de 10. Ils peuvent s’aider du matériel de numération. Par exemple : 36 c’est 3 dizaines et 6 unités (3 barres vertes et 6 jetons jaunes) : 36 = 10 + 10 + 10 + 6 ; donc 36 =  30 +  6. Un élève vient exposer sa décomposition au tableau. La classe valide. L’activité se poursuit avec d’autres tirages d’étiquettes.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S5

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Je m’entraîne

1 C’est l’application de la première partie du « Découvrons ensemble ». Les élèves doivent décomposer trois nombres en sommes de 10 unités et d’unités, puis en une dizaine entière et des unités. 2 Ce travail reprend la décomposition des nombres en dizaines et unités proposée par Léa dans la seconde partie du « Découvrons ensemble ». 3 Problème  : Ce problème est une recomposition d’un nombre à partir de paquets de dix. Mélissa a obtenu 10 + 10 + 10 + 10 + 10 points, soit 50 points.

Cette photofiche comporte 3 exercices de soutien. Dans le premier exercice, l’élève doit écrire les décompositions canoniques de quatre nombres. La représentation de ces nombres à partir de paquets de dix est une aide forte. Dans le deuxième exercice, l’élève doit relier les décompositions de nombres à des nombres écrits sur une bande numérique. Dans le troisième exercice l’élève doit écrire des décompositions canoniques sans support visuel.

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Passage de la dizaine : ajouter 1, retrancher 1

Compétence

Calcul mental

Passer la dizaine en ajoutant ou en retranchant 1.

Calculer de petites différences. L’enseignant dit ou montre : « 7 – 2 » ; l’élève écrit 5. Items : 7 – 2 ; 4 – 3 ; 6 – 4 ; 7 – 5 ; 8 – 4 ; 9 – 3 ; 8 – 6 ; 7 – 4 ; 9 – 6 ; 8 – 5.

Observations préalables Les élèves ont pratiqué, depuis le début de l’année, « le passage de la dizaine », notamment lors d’activités du type « jeu du furet » : compter de 1 en 1 ou décompter de 1 en 1. Il s’agit maintenant d’une approche plus théorique.

Activité collective Les élèves complètent alors l’égalité 39 + 1 = 40 et la phraseréponse. Lors de la correction collective, l’enseignant rappelle que 4 dizaines, c’est le même nombre que 40, et il fait constater que 40 est le nombre qui suit 39 sur la bande numérique. Les élèves observent ensuite le calcul de Léa. À 5 dizaines, elle enlève 1 unité. L’enseignant demande : « Pourquoi n’y a-t-il plus que 4 dizaines (4 barres vertes) quand on enlève 1 unité ? Que devient la barre verte à qui on enlève 1 unité ? » Les élèves expliquent qu’il faut «  casser  » 1 dizaine pour pouvoir enlever 1 unité. La barre verte « cassée » se change en 10 unités auxquelles on peut enlever 1 unité. Il reste 4 barres vertes et 9 unités. Les élèves complètent alors l’égalité 50 – 1 = 49. Lors de la correction collective, ils vérifient, sur la bande numérique, que 49 est le nombre qui précède 50. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : «  Nous avons appris à passer à la dizaine supérieure ou inférieure en ajoutant ou en retranchant 1. »

Matériel  : Barres-dizaines vertes et jetons-unités jaunes de la page matériel A du fichier de l’élève ; la bande numérique de la classe.

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Découvrons ensemble

Les élèves observent les situations du « Découvrons ensemble ». Théo doit ajouter 1 à 39 et Léa doit retrancher 1 à 50. On rappelle que 1 barre verte correspond à 10 jetons jaunes et qu’elle représente une dizaine. Dans le calcul de Théo figurent 3 dizaines et 9 unités auxquelles on ajoute 1 unité. L’enseignant demande d’expliquer pourquoi les 3 barres vertes et les 9 jetons jaunes laissent la place à 4 barres vertes quand on ajoute 1 jeton jaune aux 9 autres. Les élèves rappellent la règle de l’échange qui peut encore être lue sur la page précédente du fichier. Quand on ajoute 1 unité à 9 unités, on obtient 1 dizaine car 10 unités = 1 dizaine.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S6

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Je m’entraîne

1 Cet exercice est une application du « Découvrons ensemble ». Il comporte un support visuel. Les nombres sont représentés par des barres vertes (les dizaines) et des jetons jaunes isolés (les unités). La vérification collective s’appuie sur l’utilisation de la bande numérique. 2 Cet exercice est plus difficile, car le support visuel a disparu. En demandant d’écrire le précédent et le suivant des nombres proposés, on traite les mêmes compétences que l’exercice 1. La correction s’appuie sur les équivalences « prendre le suivant, c’est ajouter 1 », « prendre le précédent, c’est enlever 1  » qui ont été travaillées en calcul mental  ; la bande numérique peut servir pour la vérification. 3 Réinvestissement : L’élève doit ranger cinq nombres inférieurs à 60 du plus petit au plus grand.

Cette fiche comporte trois exercices. Le premier exercice traite le passage à la dizaine supérieure lorsqu’on ajoute 1. Il s’appuie sur le support visuel des barres et des jetons ainsi que sur la décomposition des nombres en dizaines et unités. Le deuxième exercice porte sur le passage de la dizaine quand on retranche 1 à un nombre entier de dizaines : le support visuel est la bande numérique. Le troisième exercice ne s’appuie sur aucun support visuel. Les élèves doivent trouver le signe de l’égalité. Pour traiter les erreurs lors de la correction, on pourra revenir à l’emploi de la bande numérique.

Coin du chercheur La fillette obtiendra 11 morceaux. Les élèves peuvent vérifier en faisant l’expérience eux-mêmes.

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Problèmes : Jeu du chapeau (1)

Compétence

Calcul mental

Résoudre des situations additives ou soustractives : recherche de l’état final.

Dictée de nombres (nombres < 60). L’enseignant dit : « 26 » ; l’élève écrit 26. Items : 26 ; 38 ; 14 ; 59 ; 28 ; 16 ; 57 ; 41 ; 13 ; 42 .

Observations préalables Sous un aspect ludique de devinette, facile à jouer en classe, le « jeu du chapeau » cache un véritable problème mathématique. Il s’agit d’un problème additif de transformation d’état dans lequel on cherche la valeur de l’état final. La simplicité du matériel requis permet à l’enseignant de jouer effectivement les situations décrites et donc de rendre chaque situation autovalidante car, quand on soulève le chapeau, il est facile de confronter sa réponse à la réalité en dénombrant ici les jetons verts et jaunes. Un jeton vert vaut 10 points, un jeton jaune vaut 1 point, comme le rappelle la règle en haut à droite de la page du fichier. Cette activité permet à l’enseignant d’évaluer rapidement le niveau de sa classe et de choisir de prolonger ce type de situation sur d’autres séances, s’il le juge utile, en lieu et place des séances de calcul mental proposées dans le fichier. Le cap de l’échange dix contre un n’est pas franchi ici car le nombre de jetons-unités ne dépasse jamais 10. Il appartient à l’enseignant de franchir éventuellement ce cap avec un groupe d’élèves en approfondissement.

Activités collectives L’enseignant soulève légèrement le chapeau et y retire 1 jeton vert et 1 jeton jaune. Il pose alors la question : « Quand je vais soulever le chapeau, combien de jetons verts et de jetons jaunes vais-je trouver ? » Puis : « À combien de points cela correspondil ? » Il demande aux élèves de répondre à cette question sur leur fichier après qu’ils ont reconnu que la première situation du fichier est celle que l’enseignant vient de jouer. Pour savoir si les élèves ont correctement répondu, l’enseignant demande à un volontaire de venir soulever le chapeau et de compter les jetons qui s’y trouvent  : 1 jeton vert et 2 jetons jaunes. L’enseignant demande à combien de points cela correspond ; il écrit au tableau l’égalité 10 + 2 = 12. 3 Cette situation peut être conduite sur le même modèle que les précédentes en laissant un temps suffisant à la classe pour répondre aux questions du fichier. La validation de la réponse se fait par dénombrement des jetons verts et jaunes et leur traduction en termes de points. Au départ : 4. À l’arrivée : 4 + 12 = 16.

Matériel : Un chapeau et quelques jetons jaunes et verts. 1 L’enseignant indique que deux types de jetons vont être utilisés dans le jeu du chapeau : des jetons verts qui valent 10 points, et des jetons jaunes qui valent 1 point. Il fait le rapprochement avec les plaques vertes du fichier qui représentent les dizaines et les jetons jaunes qui représentent les unités. Il incite les élèves à lire la règle sur le fichier. Il pose le chapeau sur son bureau et y dissimule 1 jeton vert et 3 jetons jaunes après les avoir ostensiblement montrés à la classe. Il demande à combien de points correspondent les jetons placés sous le chapeau (réponse : 13 points). Il écrit au tableau : 10 + 3 = 13. L’enseignant soulève légèrement le chapeau et y glisse 1 nouveau jeton vert. Il pose alors la question : « Quand je vais soulever le chapeau, combien de jetons verts et de jetons jaunes vais-je trouver ? » Puis : « À combien de points cela correspondil ? » L’enseignant s’assure que les élèves reconnaissent que la première situation du fichier est celle qu’ils viennent de jouer. Il leur demande alors de répondre à cette question sur leur fichier. Pour savoir si les élèves ont correctement répondu, l’enseignant demande à un volontaire de venir soulever le chapeau et de compter les jetons qui s’y trouvent  : 2 jetons verts et 3 jetons jaunes. L’enseignant demande à combien de points cela correspond ; il écrit au tableau l’égalité 10 + 10 = 20, puis 20 + 3 = 23. 2 L’enseignant dissimule 2 jetons verts et 3 jetons jaunes après les avoir ostensiblement montrés à la classe. Il demande à combien de points correspondent les jetons placés sous le chapeau (réponse : 23 points). Il écrit au tableau : 10 + 10 + 3 = 23.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P1 Elle présente trois exercices avec uniquement des situations d’ajout. Dans le premier, les élèves doivent uniquement ajouter des dizaines. Dans le deuxième exercice, les élèves doivent uniquement ajouter des unités. Dans le troisième exercice, les élèves doivent ajouter des dizaines et des unités, sans passage à la dizaine supérieure.

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Problèmes : Situations additives ou soustractives (1)

Compétence

Calcul mental

Calculer la valeur de l’état final dans une transformation additive ou soustractive.

Calculer de petites différences. L’enseignant dit : « 9 – 3 » ; l’élève écrit 6. Items : 9 – 3 ; 5 – 4 ; 7 – 2 ; 8 – 4 ; 13 – 3 ; 15 – 4 ; 17 – 2 ; 16 – 2 ; 18 – 4 ; 11 – 2 ; 20 – 1.

Observations préalables Dans cette première leçon consacrée à la résolution de problèmes additifs ou soustractifs, nous souhaitons que les élèves prennent conscience de leur capacité d’anticiper le résultat d’une manipulation ou d’une situation simple portant sur l’augmentation ou la diminution d’une collection de jetons. En ce début d’année, les élèves ont la possibilité d’utiliser tous les moyens en leur possession pour parvenir au résultat. S’ils manipulent des jetons, ils dénombreront, mais ne calculeront pas. La dimension abstraite du calcul est absente. Toutefois, pour un élève qui ne saurait pas faire autrement, il sera sans doute préférable de lui permettre de manipuler des jetons afin que, à terme, il puisse imaginer cette manipulation et, peu à peu, la modéliser par des calculs. Un élève qui dessinera les jetons au lieu de les manipuler aura fait un pas vers l’abstraction. Mais, en dénombrant les collections qu’il aura dessinées, il sera, dans son rapport au nombre, au même stade que l’élève précédent. Un élève qui mémorise le nombre initial de la collection et utilise ses doigts pour en représenter l’augmentation ou la diminution se livre à un surcomptage en cas d’augmentation de la collection ou à un décomptage en cas de diminution. Un tel élève n’est pas encore entré dans le calcul : il se situe entre le dénombrement et le calcul. Cette phase intermédiaire semble incontournable dans le développement cognitif des élèves. On doit donc accepter qu’il procède ainsi, sachant qu’il devra progressivement aller vers le calcul. Cette procédure de surcomptage peut s’appuyer sur la bande numérique individuelle. La case de départ correspondant au nombre initial, on avance d’autant de cases qu’on ajoute de jetons ou bien on recule d’autant de cases qu’on retire de jetons. L’enseignant devra veiller à ce que la case de départ ne soit pas comptée dans le déplacement en avant ; cette erreur bien identifiée dans les pratiques de surcomptage aboutit à un écart de 1 unité avec le résultat exact. Alors que l’élève qui compte sur ses doigts utilise la comptine numérique orale (qu’il récite dans sa tête) et s’appuie donc sur une suite orale irrégulière jusqu’à 16, celui qui utilise la bande numérique s’appuie sur l’écriture chiffrée des nombres figurant dans les cases. Cette dernière façon de faire facilite la prise de conscience des régularités de la numération écrite et favorise l’accès au calcul. L’enseignant a donc intérêt à fournir une bande numérique individuelle aux élèves qui comptent sur leurs doigts. L’objectif de cette leçon est de conduire tous les élèves vers le calcul. Un élève ne peut pas calculer s’il ne mémorise pas un répertoire minimum de résultats. Pour les mémoriser de façon fiable, il est souhaitable qu’il ait eu l’occasion de les construire. Pour calculer 15 + 8, un élève aura à décomposer ce calcul en plusieurs étapes simples, comme par exemple : 8 = 5 + 3 ; 15 + 5 = 20 ; 20 + 3 = 23. Le choix de la décomposition de 8 en 5 + 3 est dû à la recherche du complément à 20 parce que cette décomposition facilite le calcul en permettant l’addition 20 + 3 = 23. Il est donc indispensable de travailler ces compétences de calcul réfléchi pour permettre aux élèves d’accéder au calcul. Ces derniers se mobiliseront d’autant plus pour acquérir ces connaissances qu’elles auront été perçues comme nécessaires pour résoudre les problèmes additifs. Dans les situations-problèmes, il faut que l’élève établisse le lien entre la situation proposée par l’énoncé du problème et le calcul qu’il doit mobiliser pour répondre à la question que pose cet énoncé. Nous pouvons nous référer, ici, au travail de Gérard Vergnaud (voir « Annexe 1 ») à la fin de cet ouvrage. Celui-ci a montré que le champ conceptuel additif englobait l’addition et la soustraction, la diversité des problèmes se résolvant par une addition ou par une soustraction pouvant s’organiser au niveau de la structure relationnelle de leur énoncé. Cela permet, entre autres, de hiérarchiser ces problèmes en fonction de leur difficulté de résolution. Nous proposons, ici, des problèmes de transformations d’état avec recherche de l’état final, catégorie de problèmes que les élèves de CP associent spontanément à l’addition quand la transformation correspond à une augmentation et à la soustraction quand la transformation correspond à une diminution. Les élèves de début de CE1 devraient donc établir facilement la correspondance entre la situation décrite et l’écriture du calcul.

Activité collective Les élèves font des propositions ; l’enseignant vide la boîte, dénombre les jetons avec eux et félicite celui qui aura annoncé « douze » en disant : « Bravo ! Tu as deviné combien de jetons contenait la boîte. » Après quoi, l’enseignant remet les 12 jetons dans la boîte, montre une poignée de 7 jetons aux élèves et les ajoute aux 12 autres se trouvant dans la boîte, en évitant de les laisser tomber 1 à 1. Il dit alors : « Qui peut dire combien il y a de jetons dans la boîte maintenant ? Attention : ce n’est plus une devinette ! Cette fois, c’est un problème, et tout le monde peut trouver la réponse. »

Matériel : Une boîte opaque ; des jetons.

 Activité préliminaire

Pour familiariser les élèves avec les situations illustrées dans le fichier, l’enseignant leur fait vivre des situations analogues. Il met, par exemple, 12 jetons dans la boîte et leur précise qu’il va leur poser une devinette : « Qui peut dire combien de jetons contient la boîte ? »

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Les élèves font leurs propositions ; l’enseignant les écrit au tableau en se gardant de dire quelle est la réponse correcte. Il vide ensuite la boîte, et un élève vient compter les jetons. Quand il a trouvé que la boîte en contenait 19, l’enseignant dit : « Ceux qui ont répondu 19 ont correctement résolu le problème. Grâce à leur ingéniosité, ils sont arrivés à trouver le résultat avant qu’on vérifie qu’il y avait bien 19 jetons dans la boîte. » Cette étape est essentielle pour que les élèves prennent conscience qu’ils ont la possibilité d’anticiper sur le résultat d’une certaine expérience et qu’ils ne confondent pas la résolution d’un problème avec la découverte d’une devinette qui ne tient qu’à la chance et au hasard. Après cette première étape, l’enseignant recommence une nouvelle expérimentation en se livrant à une transformation soustractive. Il place des jetons dans la boîte sous le regard

des élèves et en indique le nombre : 15 ; puis il annonce qu’il en retire 8 et les place sur le couvercle de la boîte. Il demande : «  Combien de jetons la boîte contient-elle maintenant ?  » Les élèves font leurs propositions, puis l’un d’eux vient vérifier le nombre de jetons que contient la boîte. Ceux qui en ont trouvé 7 ont correctement résolu le problème. Ces situations vécues peuvent être déterminantes pour de nombreux élèves qui découvrent que ce qui fait la différence entre une réponse juste et une réponse fausse, ce n’est pas le bon vouloir de l’enseignant, mais la conformité avec le résultat de l’expérience. Il est important que les élèves découvrent que les calculs permettent d’anticiper un résultat pour leur donner envie de les maîtriser.

Activités individuelles 1 Dans un premier temps, l’enseignant s’assure que tous les élèves ont bien compris le sens des illustrations. Le nombre qui est écrit sur la boîte indique le nombre de jetons qu’elle contenait avant qu’on y ajoute d’autres jetons. Le nombre figurant dans les sacs au-dessus des flèches indique, selon le sens de la flèche, le nombre de jetons qui vont être ajoutés dans la boîte ou retirés de la boîte. La question porte sur le nombre de jetons qu’il y aura dans la boîte après qu’on aura ajouté le nombre indiqué. La référence à la situation vécue précédente facilite cette compréhension. Si l’enseignant dispose du matériel, il peut l’utiliser pour jouer la situation décrite dans le fichier et valider les propositions des élèves en procédant au dénombrement des jetons de la boîte, après augmentation de la collection. Cette première situation permet à l’enseignant de faire l’inventaire des procédures utilisées. Il valorise les procédures fondées sur le calcul : 9 + 5 = 14, que ce calcul ait été effectué mentalement ou à l’écrit. Il valide aussi tout type de procédure faisant appel à un dessin, à l’utilisation des doigts ou de la bande numérique du fichier (comme le précise Mathix). L’enseignant a intérêt à détailler l’utilisation de cette dernière afin que, parmi les élèves n’ayant pas encore accédé au calcul, ceux qui n’avaient pas su s’en servir puissent utiliser ces techniques comme outils transitoires de résolution. La procédure de surcomptage ne doit pas être minorée, car elle est un passage obligé pour aller vers le calcul. L’enseignant précise qu’il est plus facile de surcompter à partir de 9 qu’à partir de 5  : c’est le plus grand des deux nombres que l’on « met » dans la tête ou qui est choisi comme case de départ. 2 Les élèves observent cette deuxième situation. Il y a déjà 7 jetons dans la boîte ; la flèche indique qu’il s’agit d’une diminution : on en retire 4. L’enseignant valorise la procédure fondée sur le calcul : 7 – 4 = 3. Toute autre procédure précitée est acceptée (dessin, utilisation des doigts ou de la bande numérique pour décompter). 3 Reprendre la même démarche que pour le premier problème. 4 Cet exercice fait intervenir deux transformations successives. On ajoute 5, puis 6 au nombre 10. Les élèves calculent

le résultat intermédiaire de la première transformation qu’ils mémorisent, avant de prendre en compte la seconde transformation. C’est une tâche qui demande de bonnes capacités de calcul et une bonne organisation mentale : elle est donc plus complexe. L’adulte ou l’expert agit différemment. Il calcule la composée des deux transformations, puis calcule le résultat final. Certains élèves de CE1 sont capables de procéder ainsi, mais la plupart ne possèdent pas encore la maturité suffisante pour pouvoir se détacher de la chronologie des actions et oublier momentanément de se soucier de l’évolution du nombre de jetons contenus dans la boîte. L’enseignant ne doit donc pas centrer sa correction sur le calcul de la transformation composée : «  Ajouter 5 puis ajouter 6, c’est comme ajouter 11 d’un seul coup.  » Cette option pourra être réservée aux «  malins  » qui ont su s’économiser de la peine en s’organisant ainsi. Tous ceux qui auront fait le calcul en deux étapes peuvent être félicités pour avoir correctement résolu le problème. La conclusion de l’enseignant portera sur la capacité d’anticiper, par le recours aux nombres et au calcul, le résultat d’une augmentation ou d’une diminution appliquée à une collection d’objets. Après avoir vérifié l’exactitude des réponses proposées, l’enseignant demande à la classe  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à distinguer des situations additives et soustractives et à les résoudre. »

➤ Prolongement ➢ Photofiche P2 Cette photofiche de problèmes réinvestit, sous forme dialoguée, des situations de même type que celles vues dans le fichier : deux situations d’ajout et une troisième de retrait. Les difficultés résident dans la compréhension des dialogues des exercices 2 et 3. Pour chacun de ces exercices, il faut fournir deux réponses.

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20 J’ai compris et je retiens (1) Observations préalables Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les notions acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. L’activité concrète de cette page consiste, pour les élèves, à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• J’écris le précédent et le suivant. « Quel est le précédent de 19 ? de 30 ? de 46 ?... » « Quel est le suivant de 19 ? de 30 ? de 46 ?… »

Observation et description de la page L’enseignant demande aux élèves d’observer cette page et de la décrire. Quelques volontaires s’expriment librement, puis l’enseignant demande : «  En quoi cette page est-elle différente des autres ? » Les élèves répondront probablement : « Il n’y a pas “Découvrons ensemble” ni “Je m’entraîne” » ; « Il n’y a pas de numéro » ; « Il n’y a rien à faire : les réponses sont données ». L’enseignant pose alors la question suivante : « Quelle est donc l’utilité de cette page ? » Mathix donne la réponse : « Cette page t’aide à retenir ce qui est essentiel. »

• Je range des nombres. « Comment procède Théo pour ranger les nombres 12, 9, 17 et 21 ? » « Comment ces nombres sont-ils rangés ? » • J’ajoute un petit nombre. « Que fait Mélissa ? Comment compte-t-elle ? » « Qui peut calculer 16 + 5 ? » • Je retranche un petit nombre. « Que fait Mélissa ? Comment compte-t-elle ? » « Qui peut calculer 13 – 4 ? »

Commentaire de chaque partie Chaque partie est observée et discutée :

• Je compte jusqu’à 59. « À quoi correspondent les cases rouges ? Quel nombre y a-t-il après 40 ? avant 40 ? » L’enseignant complète éventuellement les observations des élèves, en montre l’importance, et fait constater qu’ils ont appris beaucoup de choses depuis la rentrée, que ces connaissances et savoir-faire leur seront très utiles, car ils vont les réutiliser et les enrichir tout au long de l’année. Il leur annonce que, pour vérifier s’ils les maîtrisent parfaitement, ils devront répondre du mieux possible à l’évaluation qui va suivre.

• Je décompose un nombre. « Observez les étiquettes rattachées au nombre 24. Qui peut les justifier ? » Si l’enseignant s’aperçoit que certains élèves ont des difficultés à établir le lien entre ces différentes écritures, il peut écrire, au tableau, un autre nombre et demander à quelques élèves de venir écrire les étiquettes correspondantes.

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Je fais le point (1)

Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un, inspiré de la grille de référence du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés ci-après dans ce guide pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide décisive. Les élèves travaillent individuellement. L’enseignant leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse, puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible, la correction doit avoir lieu le jour même.

Connaissances et compétences 1. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine.

Commentaires

Propositions de remédiation

Les deux difficultés sont les deux passages à la dizaine supérieure (40 et 50). Un échec à cet exercice montre que la maîtrise de la numération écrite des 60 premiers nombres n’est pas acquise.

Regrouper les élèves en difficulté et demander à l’un d’eux de dire oralement la suite des nombres. L’enseignant demande rapidement à un autre de continuer, puis à un troisième, et ainsi de suite. Procéder de même à rebours, puis passer à l’écrit. ➢ Photofiches S1 et S3

C’est généralement le passage à la dizaine supérieure ou inférieure qui provoque des erreurs.

Demander aux enfants de lire les trois nombres de chaque étiquette complétée : ils doivent être consécutifs. Avec les élèves les plus faibles, revenir à la comptine. ➢ Photofiche S6

Si ajouter ou retrancher 1 ne présente guère de difficulté pour la majorité des enfants du CE1, il n’en est pas de même quand cette opération entraîne un changement de dizaine.

Un matériel structuré (cubes emboîtables) est une aide forte pour maîtriser le changement de dizaine. On peut aussi demander d’énoncer la suite des nombres au voisinage d’une dizaine. ➢ Photofiche S6

Vérifier les techniques de calcul utilisées. Vérifier d’où proviennent les erreurs : – maîtrise insuffisante des signes « + » et « – » ; – erreur de calcul.

Reprendre ce travail en petits groupes avec de tout petits nombres, oralement d’abord, puis par écrit. Ensuite, augmenter la taille des nombres

 Connaître la suite numérique.

2. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine.  Connaître le précédent, le suivant.

3. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.  Ajouter 1, retrancher 1.

4. Calcul en ligne.  Ajouter ou retrancher un petit nombre.

Il faut ordonner quatre nombres possédant 5. Comparer, ranger, ou pas le même nombre de dizaines. encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, .  Ordonner des nombres.

On peut avoir recours : – à la comptine ou à la bande numérique ; – à l’utilisation de barres et de jetons pour décomposer les nombres en dizaines et unités. ➢ Photofiche S2

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Connaissances et compétences 6. Utiliser diverses représentations des nombres.  Passer de l’écriture en lettres à l’écriture en chiffres.

7. Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques.  Décomposer un nombre en dizaines et unités.

8. Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques.  Décomposer un nombre en dizaines et unités.

Commentaires Comparer les résultats à ceux d’une dictée de nombres. Si un élève écrit correctement des nombres en chiffres au cours d’une dictée de nombres et ne réussit pas cet exercice, c’est la lecture qui est en cause.

Propositions de remédiation Selon le cas, procéder à des dictées de nombres ou à un travail de lecture. ➢ Photofiches S1 et S3

S’assurer que les élèves comprennent bien Reprendre ce travail en atelier avec ce qu’ils doivent écrire dans chaque colonne. du matériel structuré, oralement d’abord, Des erreurs dans la deuxième colonne puis par écrit. montrent que l’élève n’a pas compris le sens ➢ Photofiches S4 et S5 des mots « dizaine » et « unité ».

S’assurer que les élèves comprennent bien ce qu’ils doivent écrire sur chaque ligne. Des erreurs sur la seconde ligne montrent que l’élève n’a pas compris le sens des mots « dizaine » et « unité ».

Reprendre ce travail en atelier avec du matériel structuré, oralement d’abord, puis par écrit. ➢ Photofiches S4 et S5

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Évaluation (1) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

Nombres et calculs

a. b. c.

Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine. Compléter une suite numérique dans l’ordre croissant. Compléter une suite numérique dans l’ordre décroissant. Connaître le précédent, le suivant.

2.

Utiliser diverses représentations des nombres. Passer de l’écriture en lettres à l’écriture en chiffres.

3.

Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Décomposer un nombre en dizaines et unités.

4. a. b.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, . Comparer deux nombres. Ordonner quatre nombres.

5. a. b.

Calcul en ligne. Ajouter un petit nombre. Retrancher un petit nombre.

6.

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne conduisant à utiliser les quatre opérations. Résoudre une situation additive.

1 a. Observe et complète. 26 27 28

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

......

b. Observe et complète. 27 26 25

......

c. Écris le nombre qui précède et celui qui suit. ......

19

......

......

......

40

......

29

......

......

56

......

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques Guide pédagogique CE1 – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

1.

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

2 Écris en chiffres.

3 Observe et complète.

quarante-sept : ..........

34

3d4u

30 + 4

49

.....................

.....................

..........

2d8u

.....................

..........

.....................

50 + 6

seize : .......... dix-neuf : .......... cinquante-trois : ..........

4 a. Entoure le plus grand nombre

b. Range ces nombres du plus grand

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

de chaque encadré.

au plus petit. 20

19

21

12

18

26

25 23 ..........  > ..........  > ..........  > ..........

5 Calcule. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 13 14 15 16 17 18 19 20

a. 6 + 3 = .........

8 + 4 = .........

12 + 5 = .........

15 + 5 = .........

b. 9 – 2 = .........

8 – 3 = .........

11 – 5 = .........

11 – 3 = .........

6

Au départ, cette boîte contient 9 jetons. Marc ajoute 5 jetons et moi 3.

5

3 9

À la fin, combien de jetons contiendra la boîte ? ................................. = .........

M¥aintenant, $cette $boÎte $coNtient ......... jetoN∑.

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22 Comparer les nombres jusqu’à 59 Compétences

Calcul mental

Comparer, ordonner et intercaler les nombres inférieurs à 60.

Ajouter un petit nombre. L’enseignant dit ou montre : « 15 + 2 » ; l’élève écrit 17. Items : 15 + 2 ; 13 + 5 ; 18 + 2 ; 17 + 3 ; 14 + 5 ; 11 + 7 ; 16 + 3 ; 22 + 4 ; 21 + 9 ; 18 + 3.

Observations préalables Les élèves ont déjà comparé deux nombres entiers en visualisant concrètement ou mentalement la quantité qu’ils représentent ou en utilisant la bande numérique. Ceci n’est possible que lorsque les nombres sont « petits » (inférieurs à 30 en leçon 11). Dans cette leçon, pour comparer 2 nombres, nous allons utiliser leurs décompositions canoniques. Si, dans un premier temps, on utilise encore le matériel de numération, on doit amener petit à petit les élèves à comparer, à ordonner et à intercaler les nombres à partir de leur seule écriture chiffrée en utilisant les propriétés du système de numération de position.

Activités collectives L’enseignant écrit, au tableau, 52, 57 et 38 et demande de ranger ces nombres du plus petit au plus grand. Un élève vient exposer sa méthode au tableau. Il écrit d’abord le plus petit nombre, le barre de la liste précédente, écrit ensuite le plus petit nombre de ceux qui restent, etc. L’enseignant peut poursuivre cette activité avec 4 nombres.

 Activité préliminaire

L’enseignant écrit, au tableau, deux nombres de deux chiffres inférieurs à 60 (ex.  : 38 et 57) et demande aux élèves de représenter ces nombres avec le matériel de numération. Il pose ensuite la question : « Quel est le plus grand de ces deux nombres ? » La discussion fait ressortir que, pour comparer ces deux nombres, il suffit de comparer les nombres de barres vertes, donc les chiffres des dizaines. L’activité se poursuit avec des nombres possédant des nombres de dizaines différents. L’enseignant écrit alors 57 et 52 au tableau et demande aux élèves de représenter ces nombres avec le matériel de numération. Il pose ensuite la question : « Quel est le plus grand de ces deux nombres ? » La discussion fait ressortir que la règle précédente est insuffisante car 57 et 52 ont le même chiffre des dizaines. Ils en déduisent que, dans ce cas, pour comparer les deux nombres, il suffit de comparer les nombres de jetons jaunes, donc les chiffres des unités.

Découvrons ensemble

•••••••••••••

Matériel : – Pour l’activité 1 : barres-dizaines vertes et jetons-unités jaunes de la page matériel A du fichier de l’élève. – Pour l’activité 2  : une ficelle de 3 mètres  ; 8 pinces à linge ; 12 étiquettes-nombres.

Théo doit comparer les nombres 34 et 42. Il utilise la décomposition canonique des nombres à partir des barres vertes de 10 unités et des jetons isolés. Si l’activité préliminaire a été conduite, les élèves n’auront pas de difficulté pour ranger ces nombres d’après le nombre de dizaines. Léa doit, à son tour, comparer les nombres 36 et 32. Les élèves reconnaissent le second cas proposé en activité préliminaire : les deux nombres ont le même nombre de dizaines. Pour les comparer, il suffit de comparer leurs nombres d’unités. Les élèves en difficulté se réfèrent aux règles énoncées par Théo et Léa. À la fin de la leçon, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à comparer, à ordonner et à intercaler des nombres de 2 chiffres. »

Activités individuelles 3 On demande de ranger quatre nombres par ordre décroissant. La vérification s’effectue à partir de la bande numérique ou avec le matériel de numération. 4 Les élèves doivent intercaler les nombres à leur place. La vérification peut s’effectuer à partir de la bande numérique.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Les élèves doivent, dans un premier temps, écrire le nombre de jetons de chacune des quatre collections représentées par des barres-dizaines et des jetons-unités. Ils doivent ensuite ranger ces 4 nombres par ordre croissant. Le support du matériel est ici une aide forte. L’enseignant conseille aux élèves d’utiliser la méthode exposée à la fin de l’activité préliminaire : commencer par chercher le plus petit nombre, l’écrire sur les premiers pointillés et le barrer sur la ligne du dessus, puis réitérer le procédé sur les nombres restants. 2 Les élèves comparent deux nombres. Il n’y a plus le support du matériel. L’enseignant demande de relire les bulles de Théo et de Léa pour aider les élèves en difficulté.

➤ Prolongement  ➢ Photofiche S7 Elle comporte deux exercices qui utilisent l’aide du matériel de numération pour comparer des nombres. Comme dans le fichier, Théo et Léa rappellent les règles pour comparer deux nombres.

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23 Trouver le complément à la dizaine supérieure Compétence

Calcul mental

Trouver le complément à la dizaine supérieure.

Retrancher un petit nombre. L’enseignant dit ou écrit 15 – 2 ; l’élève écrit 13. Items : 15 – 2 ; 26 – 3 ; 39 – 5 ; 17 – 4 ; 48 – 6 ; 19 – 2 ; 44 – 1 ; 13 – 2 ; 48 – 3 ; 22 – 1.

Activités collectives camarades (par exemple  : 28). Il choisit ensuite, parmi les 9 ardoises, celle qui lui permet de compléter le nombre tiré à la dizaine immédiatement supérieure (ici : 30). L’enseignant n’emploie pas l’expression «  dizaine immédiatement supérieure », mais parle de « nombre terminé par zéro » et demande à l’élève de nommer ce nombre avant de calculer le complément. Les élèves valident le calcul et l’un d’entre eux vient écrire l’égalité au tableau (ici : 28 + 2 = 30). L’opération est recommencée plusieurs fois avec des nombres différents. Il apparaît donc que, lorsqu’on sait compléter à 10, on sait compléter à la dizaine supérieure. Pour appuyer cette conclusion, l’enseignant écrit des égalités au tableau ; par exemple : 8 + … = 10  6 + … = 10  5 + … = 10 18 + … = 20  26 + … = 30  35 + … = 40 38 + … = 40  46 + … = 50  45 + … = 50 Les élèves doivent les compléter rapidement. L’enseignant peut reprendre un travail semblable en le contextualisant avec les pièces de monnaie : « Sarah a 34 ¤. Combien lui manque-t-il pour acheter une paire de chaussures qui coûte 40 ¤ ? »

 Activités préliminaires

Activité 1 : Trouver le complément à 10 Avant d’aborder cette leçon, l’enseignant doit vérifier que les élèves connaissent parfaitement les compléments à 10. Il peut le vérifier par une courte séance de calcul mental ou proposer l’activité qui suit. Il écrit les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 sur 10 ardoises qu’il place retournées sur son bureau. Il désigne 10 élèves qui en prennent une chacun, au hasard, et la montrent à leurs camarades. Parmi ces 10 élèves, l’enseignant en choisit 5 (en veillant qu’aucune paire ne soit formée de deux compléments à 10) et demande à ceux qui restent de se placer chacun à côté du partenaire qui possède le complément à 10. Dès qu’une paire est formée, les deux élèves placés côte à côte montrent leurs deux ardoises à la classe qui valide. L’enseignant écrit des égalités à trou au tableau (par exemple : 8 + … = 10 ; 6 + … = 10 ; 5 + … = 10) et demande à un élève de venir les compléter. Il rappelle que, lorsqu’on montre 8 doigts avec ses deux mains, le complément à 10 du nombre 8 est le nombre de doigts que l’on a pliés.

Découvrons ensemble

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Matériel : Ardoises ; jetons ; pièces de 1 ¤ et billets de 10 ¤ des pages matériel E et F du fichier de l’élève.

Les élèves lisent la première consigne et complètent les calculs de Mélissa. Ils retrouvent les additions à trou présentées comme dans l’activité préliminaire 2. La remarque de Mélissa confirme bien que, si l’on connaît les compléments à 10, on connaît les compléments aux autres dizaines. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à trouver le complément à la dizaine supérieure. »

Activité 2 : Trouver le complément à la dizaine supérieure L’enseignant place, devant le tableau, visibles par tous, les ardoises numérotées de 1 à 9 et, sur sa table, une série de 5 à 6 ardoises sur lesquelles il a écrit un nombre de deux chiffres non terminé par 0 (par exemple : 28, 46, 37, 42…). Un élève vient tirer l’une de ces ardoises et la montre à ses

Activités individuelles Je m’entraîne

Coin du chercheur Si on ajoute les points de deux faces opposées d’un dé, on trouve toujours 7, car la somme des nombres de 1 à 6 est égale à 21, et la répartition équitable de cette somme selon les 3 axes du dé impose une distribution de 7 points sur chaque axe. La face opposée à 5 est donc 2.

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1 Cet exercice vérifie que les élèves connaissent les compléments à 10. Le recours aux doigts levés et pliés ou le surcomptage seront de bons moyens pour aider les élèves qui feraient encore des erreurs. 2 L’enseignant demande aux élèves d’effectuer les calculs colonne par colonne. La correction est collective. Elle est effectuée par les élèves en difficulté qui peuvent s’aider de la piste numérique (cf. photofiche S8, exercice 2). 3 Problème : Ce problème de la vie courante propose une situation concrète de complément à la dizaine supérieure en manipulant la monnaie. L’échange de 10 pièces de 1 ¤ contre 1 billet de 10  ¤ pour atteindre la dizaine supérieure peut s’avérer utile pour certains élèves. 4 Réinvestissement  : Cet exercice réinvestit la connaissance de la structure des nombres  dans notre système de numération : écrire un nombre de dizaines et d’unités en un nombre de 2 chiffres.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S8 Elle propose un premier exercice de soutien réservé aux élèves qui n’auraient pas réussi l’exercice 2 du fichier. Le second exercice traite le calcul du complément à la dizaine supérieure en utilisant la bande numérique.

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24 Tracer et prolonger un segment Compétence

Calcul mental

Utiliser la règle pour tracer et prolonger un segment.

Écrire le plus grands de 3 nombres. L’enseignant dit : « 15, 18, 13 » ; l’élève écrit 18. Items : (15, 18, 13) ; (39, 22, 42) ; (53, 13, 47) ; (39, 59, 49) ; (45, 43, 48) ; (15, 24, 33) ; (37, 36, 28) ; (57, 29, 48) ; (40, 29, 50) ; (55, 35, 25).

Observations préalables L’objectif de cette leçon vise la maîtrise de techniques indispensables pour travailler en géométrie. Tracer un segment dont les extrémités sont données requiert une technique dont les éléments peuvent être clairement identifiés : – bien placer le bord de sa règle en prenant appui sur la mine du crayon qu’on a placée sur la première extrémité du segment, puis en faisant pivoter la règle jusqu’à ce que son bord soit en contact avec la seconde extrémité du segment. L’aide de la mine du crayon comme point d’appui peut être déterminante pour certains élèves encore malhabiles ; – bien placer ses doigts sur la règle afin de l’immobiliser sans faire obstacle au passage du crayon sur le bord de celle-ci ; – bien tenir son crayon pour que le bout de la mine soit en contact avec la feuille à l’endroit précis où le bord de la règle la touche. Cela nécessite d’incliner légèrement le crayon vers l’avant. La maîtrise simultanée de ces trois gestes n’est pas encore assurée chez tous les élèves de début de CE1 ; l’enseignant doit donc s’attacher à leur apprentissage. Le prolongement d’un segment nécessite de placer la règle suffisamment en amont de l’extrémité à partir de laquelle on souhaite prolonger le segment pour conserver son alignement. Certains élèves ne perçoivent pas cette contrainte. Ce procédé permet aussi de savoir si certains points sont ou non alignés avec un segment.

Activité collective L’enseignant suscite le commentaire de ce tracé  : «  Quelles précautions Léa a-t-elles prises pour prolonger le segment  ?  » Les élèves disent : « Elle respecte l’alignement du segment déjà tracé ; elle a placé sa règle sur tout le segment rouge avant de le prolonger. » On passe alors à la réalisation de l’exercice, situé en regard, dans lequel il faut tracer les segments pour terminer le dessin de la maison. Cet exercice nécessite une bonne maîtrise du geste, puisqu’il faut aussi savoir arrêter le tracé sur le dernier point sans le dépasser et déplacer obliquement ou verticalement la règle pour tracer les segments. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : «  Nous avons appris à bien tenir notre règle et notre crayon pour joindre deux points ou pour prolonger un segment. »

Matériel : Une règle ; un crayon à papier bien taillé.

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Découvrons ensemble

En haut et à gauche, on voit une illustration montrant comment Théo utilise sa règle et son crayon pour tracer un segment. L’enseignant incite les élèves à énoncer les trois éléments cités ci-dessus : – positionnement de la règle ; – positionnement des doigts sur la règle ; – positionnement du crayon. Dans la seconde partie de l’illustration, Léa montre comment prolonger un segment.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S9

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Je m’entraîne

1 Cette activité plutôt récréative (terminer la queue en panache de l’écureuil) permet de vérifier si les élèves utilisent leur règle de manière fine, car la difficulté vient de ce que les points à relier sont relativement proches. Il faut signaler que ce sont les points noirs qui doivent être reliés et non les nombres qui les désignent. 2 Cet exercice vérifie que les élèves savent correctement prolonger un segment. Le tracé se fera une fois de droite à gauche (pour les moustaches à gauche de l’image), puis de gauche à droite (pour les autres). Le tracé qui posera le plus de difficulté aux élèves droitiers sera de prolonger les segments de droite à gauche et, inversement, pour les gauchers, ce sera de prolonger les segments de gauche à droite.

Cette fiche de soutien propose deux exercices. Le premier reprend une situation ludique similaire à celle du fichier. Il faut relier, dans l’ordre, des points à l’aide de la règle. L’enseignant fera les mêmes mises en garde que pour l’exercice 1 du fichier : il faut relier, dans l’ordre, les points noirs et non les chiffres qui les désignent. Le second exercice consiste à compléter le dessin d’une enveloppe. Cet exercice est mixte  : les élèves doivent relier des points par des segments de droite et prolonger des segments déjà tracés en partie.

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25 Reproduire une figure sur quadrillage (1) Compétence

Calcul mental

Reproduire un dessin sur quadrillage.

Dictée de nombres (nombres < 40). L’enseignant dit : « 29 » ; l’élève écrit 29. Items : 29 ; 16 ; 35 ; 14 ; 28 ; 15 ; 37 ; 26 ; 39 ; 19.

Observations préalables Nous savons que les élèves de cycle 2 ont une tendance naturelle à reproduire des dessins par imitation de leur forme globale, surtout quand ceux-ci sont figuratifs. Le quadrillage est un outil qui permet de transformer la reproduction de figure en un exercice de repérage de points placés sur les nœuds du quadrillage. Mais, pour que cette substitution ait lieu, il faut que le regard de l’élève passe d’une perception globale du modèle à une perception plus analytique, prenant en compte les différents éléments de la figure formée ici de segments de droite. Or, il n’est pas encore évident, pour tous les élèves de CE1, que, pour reproduire un segment, il suffit de s’intéresser à la position de ses deux extrémités, puis de les joindre par un trait continu. Pour favoriser ce changement de regard de l’élève, il faudrait lui permettre de n’observer que certaines parties réduites de la figure afin qu’il en oublie l’aspect global. Cela serait possible en déplaçant, sur le modèle, un cache percé d’un trou rectangulaire assez petit, ne laissant voir qu’un élément après l’autre de la figure, l’élève ayant la possibilité de déplacer le cache à sa guise sur le modèle mais sans pouvoir l’ôter entièrement. Cette façon de procéder peut éventuellement être employée lors de séances de remédiation spécifiques avec certains élèves. Ici, pour favoriser le changement de regard de l’élève, nous avons fait apparaître, sur le fond du quadrillage, un découpage de zones de couleurs différentes qui fournissent des repères supplémentaires et peuvent l’aider à ne prendre en compte que certaines parties de la figure à reproduire. Distinguer les côtés qui suivent une ligne du quadrillage de ceux qui n’en suivent pas est la complexité de la tâche de reproduction sur quadrillage d’une figure polygonale. La reproduction du côté qui suit une ligne du quadrillage est facilement réussie : l’élève repère la direction du côté (verticale ou horizontale) et dénombre correctement le nombre de côtés de carreaux du quadrillage qu’occupe ce côté de la figure. En revanche, la reproduction du côté (oblique) qui ne suit pas de lignes du quadrillage pose problème, surtout si ces lignes sont longues. Pour lui donner la bonne inclinaison, il faut s’intéresser à la position qu’occupent les deux extrémités du segment l’une par rapport à l’autre, en s’aidant des carreaux du quadrillage. Apprendre à repérer les deux extrémités est essentiel : si ce repérage est réussi, le problème de la longueur du segment se trouve aussi résolu. Le degré de complexité du modèle dépend donc fortement du nombre de segments obliques ne suivant pas les lignes du quadrillage et de leurs longueurs. Dans cette leçon, nous avons choisi de faire reproduire de courtes obliques. Quand les élèves ont des difficultés à réussir les reproductions sur quadrillage, il est souhaitable de leur permettre de vérifier eux-mêmes, par superposition d’un modèle reproduit sur transparent ou sur papier calque, quelles sont les parties de leur dessin qui ne sont pas conformes au modèle. Ce premier constat peut leur permettre, avec l’aide de l’enseignant, de remettre en cause leur procédure erronée.

Activités collectives L’enseignant propose ensuite d’autres points à placer. Il demande quel est l’intérêt des zones colorées pour le repérage des points. Les élèves constatent qu’il est plus facile de compter les carreaux sur une petite zone (la zone colorée) que sur l’ensemble du quadrillage. L’enseignant sera attentif à travailler de façon progressive sur le tracé des obliques.

 Activité préliminaire

Découvrons ensemble

Avant toute reproduction d’une figure sur quadrillage, l’élève doit savoir repérer un point précis sur ce quadrillage. Comme cela a déjà été fait au CP, l’enseignant rappelle, si nécessaire, comment repérer un point sur un quadrillage. Pour cela, il dessine ou projette, au tableau, un quadrillage qui comporte 4 zones colorées. Les élèves comptent le nombre de lignes et de colonnes de ce quadrillage. L’enseignant dessine, à côté de ce premier quadrillage, un quadrillage identique (même nombre de lignes et de colonnes et mêmes zones colorées). Sur le premier quadrillage, il place un point rouge sur un nœud, puis questionne la classe : « Comment placer le même point sur le second quadrillage ? » La réponse est : « Il faut compter les lignes et les colonnes. » Un élève place le point rouge sur le second quadrillage.

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Matériel : Pour le travail au tableau  : des craies de couleurs. Pour le travail individuel, par élève : des crayons de couleur ; une règle.

Les élèves observent le dessin du chien et lisent la consigne. L’enseignant leur demande par quel point commencer le dessin. Ils voient vite que c’est à partir du point rouge. La consigne rappelle qu’il faut s’aider des zones de couleur. Du point rouge, les élèves comptent les carreaux jusqu’au prochain changement de direction (2 carreaux à droite à partir du point rouge). Les élèves abordent ensuite le tracé à la règle (« Je trace un trait de 2 carreaux vers la droite »). Ce dernier demande beaucoup de soin et de précision, car les segments sont courts. Le tracé à la règle des obliques est une source de difficultés  : il pourra être tracé en dernier. L’enseignant apporte son aide aux élèves les moins habiles dans le maniement de la règle. Pour les élèves en difficulté lors du repérage des points, il est nécessaire de leur demander de

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marquer, au fur et à mesure, les points importants sur le modèle, de les reporter sur le quadrillage, puis de les relier tour à tour. Chacun fait valider sa production par son voisin de table.

En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : «  Nous avons appris à reproduire une figure sur quadrillage. »

Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiche S10

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Je m’entraîne

1 Pour reproduire le tracé du tee-shirt, les élèves débutent leur dessin à partir du point rouge. Ce quadrillage est divisé en 6 zones colorées qui facilitent le comptage des carreaux. Les obliques suivent les diagonales du quadrillage. Si l’utilisation de la règle rend la tâche trop compliquée pour certains, l’enseignant peut leur permettre de dessiner à main levée. Les erreurs proviennent d’un mauvais comptage des carreaux. 2 Réinvestissement : Cet exercice réinvestit le passage à la dizaine (ajouter 1, retrancher 1). L’enseignant rappelle les notions étudiées en leçon 17 aux élèves qui n’ont pas réussi l’exercice.

Le premier dessin est un polygone quelconque. La reproduction de ce polygone sur quadrillage ne comporte que des tracés de segments qui suivent les lignes du quadrillage sans tracés de lignes obliques. Il est donc simple et ne demande aux élèves qu’un repérage des points importants (points où s’effectue un changement de direction) par un comptage de carreaux. Demander aux élèves en difficulté de s’aider des zones de couleur pour compter plus facilement les carreaux. Le second dessin représente une tour dessinée sur un quadrillage coloré de 6 zones différentes. Les bords du dessin suivent, en grande partie, les traits du quadrillage.

Coin du chercheur 1 et 4 doivent être placés sur la même colonne ou ligne et 2 et 3 sur la même colonne ou ligne.

➢ Photofiche A4 Sur cette fiche, deux dessins différents sont proposés. Ces modèles de forme polygonale possèdent de nombreuses obliques d’inclinaisons différentes ; on peut donc s’attendre à quelques erreurs. Le zonage sera une aide précieuse pour pouvoir repérer les points importants. Une approche collective orale pour tracer ces obliques peut précéder le temps de travail individuel, ce qui réduira sans doute le nombre d’erreurs commises.

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26 Calcul réfléchi : Ajouter un petit nombre (2) Compétence

Calcul mental

Calculer une somme de deux termes en utilisant le complément à la dizaine supérieure.

Trouver le complément à 10. L’enseignant dit : « 8 » ; l’élève écrit 2. Items : Complément à dix de : 8 ; 7 ; 9 ; 6 ; 5 ; 2 ; 3 ; 1 ; 4 ; 0.

Observations préalables Ajouter un petit nombre à un nombre de deux chiffres est une technique complexe qui se décompose en plusieurs étapes. Une première étape préparatoire consiste à identifier le complément à la dizaine supérieure du nombre de deux chiffres, la deuxième étape à décomposer mentalement le « petit nombre » en une somme dont le premier terme est égal au complément précédent, et la troisième à effectuer le calcul. Ces différentes étapes sont quasi simultanées pour un adulte aguerri, mais sont difficiles pour les élèves de CE1 qui n’ont pas encore automatisé les techniques composant ce calcul. Il faut donc s’assurer que ceux-ci maîtrisent chacune des étapes précédentes. L’enseignant montrera aux élèves l’intérêt de l’écriture mathématique des différentes étapes du calcul. Elle est une aide précieuse pour comprendre l’organisation du calcul et un point d’appui pour sa réalisation.

Activités collectives 2 noix pour remplir la troisième boîte. Avec 7 noix, on a rempli la troisième boîte de 10 et il est resté 5 noix. Au total, on obtient 3 boîtes de 10 et il reste 5 noix : ce qui fait 35 noix. » Il traduit ces actions par une écriture mathématique : 28 + 7 = 28 + 2 + 5 28 + 7 = 30 + 5 28 + 7 = 35 Le même type de situation est repris deux ou trois fois de suite, suivi de sa traduction mathématique.

 Activité préliminaire

L’enseignant écrit, au tableau, la somme d’un nombre de deux chiffres et d’un nombre inférieur à 10 avec franchissement de la dizaine supérieure, comme 28 + 7. Il propose d’associer cette somme à la réunion de deux collections de noix. Il demande à un élève de constituer une collection de 28 noix, en précisant, par avance, combien de boîtes de 10 œufs il peut remplir avec cette collection avant de valider sa prévision en rangeant les 28 noix dans des boîtes d’œufs contenant 10 alvéoles chacune. L’élève remplit 2 boîtes  ; la troisième boîte ne contient que 8 noix. L’enseignant constitue lui-même la seconde collection de 7 noix et interroge la classe pour savoir si cette collection va permettre de compléter la troisième boîte. La réponse « oui » est unanime  ; il demande alors combien de noix resteront hors de la boîte. L’élève effectue la manipulation qui valide les réponses de la classe. L’enseignant récapitule : « On a rempli 3 boîtes de 10 et il reste 5 noix. Qui peut dire à quel nombre est égale la somme 28 + 7 ? » Il reprend : « Avec 28 noix, on a rempli 2 boîtes de 10 ; il manquait

Découvrons ensemble

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Matériel : 4 ou 5 boîtes d’œufs contenant 10 alvéoles ; une réserve d’une cinquantaine de noix (ou de marrons) qui joueront le rôle des œufs.

L’enseignant dirige les élèves vers les illustrations du fichier. Théo veut calculer 17 + 5. Les élèves commentent l’illustration en s’appuyant sur le contexte de l’activité préliminaire : Théo complète la seconde dizaine avec 3 unités ; il reste 2 unités. On obtient 17 + 5 = 20 + 2 = 22. Les élèves complètent l’égalité du fichier. L’enseignant attire leur attention sur l’arbre à calcul de Léa. Il le commente et leur demande de compléter les nombres manquant dans la décomposition du nombre 5, puis dans la suite de l’arbre, avant d’aboutir à la même égalité que Théo. À l’issue de ce travail, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide les élèves à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à additionner un petit nombre à un nombre de deux chiffres en complétant ce nombre à la dizaine supérieure. »

Activités individuelles 3 Calcul réfléchi : Rainette vient d’arriver sur la case « 10 » ; le dé indique « 4 ». Les élèves doivent entourer la case « 6 » d’où elle est partie.

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Je m’entraîne

1 Les deux étapes du schéma sont représentées ; seuls la traduction mathématique des schémas et les calculs de 18 + 4 et de 29 + 8 sont demandés aux élèves. 2 Dans cet exercice, les élèves doivent compléter deux arbres à calcul, comparables à celui utilisé par Léa, pour illustrer les étapes des calculs de 15 + 8 et de 26 + 5. Dans le second arbre à calcul, les élèves doivent assumer la décomposition du nombre 5 en 4 + 1 ; le conseil de Mathix les aide à trouver la décomposition qui convient.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S11 Dans le premier exercice, l’élève a comme support visuel les barres de 10 et les unités. Il peut aussi utiliser la bande numérique pour vérifier ses calculs. Dans le second exercice, l’élève doit compléter un arbre à calcul, la décomposition du petit nombre étant déjà amorcée.

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27 Calcul réfléchi : Retrancher un petit nombre (2) Compétence

Calcul mental

Retrancher un petit nombre en franchissant la dizaine.

Trouver le complément à la dizaine supérieure (nombres < 40). L’enseignant dit : « De 27 pour aller à 30 » ou écrit 27 + … = 30 ; l’élève écrit 3. Items : de 27 pour aller à 30 ; de 17 pour aller à 20 ; de 18 pour aller à 20 ; de 15 pour aller à 20 ; de 16 pour aller à 20 ; de 14 pour aller à 20 ; de 25 pour aller à 30 ; de 19 pour aller à 20 ; de 26 pour aller à 30 ; de 22 pour aller à 30.

Observations préalables Dans cette leçon, les élèves vont apprendre une méthode pour soustraire un petit nombre à un nombre de deux chiffres avec passage de la dizaine. Le passage de la dizaine est conduit en deux étapes : d’abord, retrancher le nombre d’unités du nombre de deux chiffres pour obtenir un nombre entier de dizaines ; ensuite, retrancher le nombre d’unités restant dans le petit nombre à soustraire pour retrancher totalement ce petit nombre.

Activités collectives Activité 2 : Utilisation d’une bande numérique

Matériel : Des boîtes d’œufs comportant 10 alvéoles utilisées dans la leçon précédente ; une réserve d’une cinquantaine de noix (ou de marrons) qui joueront le rôle des œufs.

L’enseignant dessine, au tableau, une bande numérique et propose de l’utiliser pour effectuer les mêmes calculs qu’avec les boîtes à 10 alvéoles, mais en associant chaque soustraction à un bond en arrière. Pour effectuer 24 – 6, l’enseignant part de la case « 24 » et recule de 4 cases pour atteindre la case « 20 », puis il recule encore de 2 cases et atteint la case « 18 ». On retrouve 24 – 6 = 18. Il associe chaque déplacement à une flèche surmontée du nombre de cases sautées et établit le lien avec les manipulations précédentes. Il dessine de nouvelles bandes numériques et procède de la même manière pour les autres calculs de l’activité 1.

Activité 1 : Utilisation des boîtes à 10 alvéoles L’enseignant demande à un élève de sortir 24 noix de la réserve, puis de prévoir combien de boîtes à 10 alvéoles il va pouvoir remplir avec ces noix. Il valide sa proposition en plaçant les 24 noix dans des boîtes d’œufs à 10 alvéoles : il en remplit 2 et place les 4 dernières noix dans la troisième boîte. L’enseignant souligne que ces informations étaient fournies par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités du nombre 24. Puis il écrit, au tableau, la soustraction : 24 – 4 = … et demande à la classe de trouver le résultat. Un élève vient au tableau retirer 4 noix de la collection précédente ; on constate qu’il reste 2 boîtes pleines, soit 20 noix : 24 – 4 = 20. L’enseignant reconstitue la collection de 24 noix, écrit, au tableau, la soustraction 24 – 6 = … et demande à la classe de trouver le résultat. Un élève vient au tableau retirer 6 noix. Il retire d’abord les 4 noix de la troisième boîte, puis encore 2 noix dans la deuxième boîte ; on constate qu’il reste 1 boîte pleine et 8 noix dans la deuxième boîte, soit 18 noix. L’enseignant traduit cette manipulation en deux temps par deux soustractions successives : 24 – 4 = 20 et 20 – 2 = 18, en justifiant la seconde soustraction par le fait que 6 = 4 + 2. Il propose ensuite d’autres situations analogues : 23 – 7 = … ; 32 – 5 = … ; etc. Dans chaque cas, il traduit la double manipulation par deux soustractions successives,  avec passage de la dizaine : 23 – 3 = 20 ; 20 – 4 = 16 ; 32 – 2 = 30 ; 30 – 3 = 27.

Découvrons ensemble

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 Activités préliminaires

Les élèves reconnaissent l’activité manipulatoire précédente ; les barres-dizaines ont remplacé les boîtes à 10 alvéoles.  Cette fois, il faut calculer 34 – 4. L’enseignant lit la consigne, et les élèves complètent l’égalité de Théo. Ensuite, ils observent les calculs de Léa qui doit calculer 34 – 7. Ils doivent remarquer qu’elle utilise le résultat de Théo pour calculer sa soustraction. Il suffit donc de soustraire 4 puis encore 3, car 7 = 4 + 3. Les élèves complètent le fichier. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à soustraire un petit nombre à un nombre de deux chiffres en passant par un nombre entier de dizaines. »

Activités individuelles Coin du chercheur Il s’agit de compter de 10 en 10 : il manque le nombre 45.

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Je m’entraîne

1 Ces premiers calculs sont une aide pour préparer le mécanisme de la technique développée dans les exercices 2 et 3. 2 et 3 Les quatre items reprennent la méthode utilisée par Léa dans le « Découvrons ensemble ». La différenciation entre ces deux exercices se fait par la taille des nombres à soustraire : deux nombres inférieurs à 5 pour l’exercice 2, deux nombres supérieurs à 5 pour l’exercice 3. 4 Réinvestissement : Exercice de réinvestissement de la leçon 24. Il faut utiliser la règle pour relier trois points.

➤ Prolongement  ➢ Photofiche S12 Cette photofiche de soutien propose des soustractions en ligne à résoudre avec l’aide des représentations des nombres en dizaines et unités.

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28 Lire, écrire les nombres jusqu’à 99 Compétences

Calcul mental

Lire et écrire les nombres inférieurs à 100.

Écrire le plus petit de trois nombres (nombres ⩽ 59). L’enseignant écrit (35, 28, 43) ; l’élève écrit 28. Items : (35, 28, 43) ; (39, 22, 42) ; (53, 13, 47) ; (39, 59, 49) ; (45, 43, 48) ; (15, 24, 33) ; (37, 36, 28) ; (57, 29, 48) ; (40, 29, 50) ; (55, 35, 25).

Observations préalables Malgré l’inconvénient du passage à la ligne, le tableau des nombres rangés par dizaines propose une présentation qui favorise la prise de conscience des régularités des écritures chiffrées : dans chaque colonne, le chiffre de droite reste le même ; sur chaque ligne, le chiffre de gauche reste le même. La mise en évidence de la régularité dans la suite des nombres est une aide pour la compréhension de la numération décimale ; elle souligne le rôle de chaque chiffre et l’importance de leur position dans le nombre. Le nom de chaque dizaine est associé à un étage du tableau et à une famille de nombres. Avec les nombres de 70 à 99, les élèves vont être confrontés aux irrégularités de la numération orale, mais aussi retrouver les mêmes régularités d’écriture chiffrée qu’avec les nombres de 20 à 69. L’enjeu est de faire comprendre le lien entre les numérations orale et chiffrée de cette tranche de nombres. Il faudra du temps pour que tous les élèves l’acquièrent. Lectures et dictées de nombres fréquentes seront les meilleurs moyens pour y parvenir.

Activités collectives sur les nombres de ce tableau.

Découvrons ensemble

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Matériel : Une bande numérique de 50 à 99 du format d’une affiche ; une paire de ciseaux ; un rouleau de papier adhésif.

L’enseignant fait observer aux élèves l’illustration du fichier ; ils y reconnaissent le tableau que l’enseignant a affiché lors de l’activité préliminaire. Il leur demande ensuite de lire les bulles de Léa, Mélissa et Théo. Après discussion, c’est le moment de rappeler qu’avant d’écrire un nombre en chiffres commençant par « soixante » ou « quatre-vingts », il faut attendre que ce nombre dicté soit complètement énoncé. Les élèves complètent ensuite les étiquettes colorées et les cases du tableau, en s’aidant des bulles de Mélissa, Léa et Théo. Une fois le tableau complété, l’enseignant demande quelle particularité possèdent les écritures des nombres de la première colonne, de la deuxième colonne, etc. Il renouvelle ses questions à propos des différentes lignes.

 Activité préliminaire

L’enseignant se munit d’une longue bande numérique de 50 à 99 (format d’une affiche) et la présente à la classe en l’affichant sur une large partie du tableau. Il demande aux élèves de lire quelques nombres, puis annonce qu’il va organiser ces nombres d’une tout autre façon. Pour cela, il découpe la bande en « tranches » après chaque nombre se terminant par 9, puis il range ces « tranches » les unes au-dessous des autres, en prenant soin de respecter l’alignement des chiffres des unités dans les colonnes du tableau qui apparaît progressivement. Il demande à un élève de venir montrer le chemin à suivre pour retrouver l’ordre de la bande numérique  : arrivé à l’extrémité droite d’une ligne, on passe à la ligne au-dessous en recommençant à partir de la gauche. L’enseignant indique que ce tableau prend le nom de « tableau des nombres » et demande aux élèves de faire des remarques

Il pose alors la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de  : «  Dans le tableau des nombres, les nombres de la même ligne commencent par le même chiffre, les nombres de la même colonne finissent par le même chiffre. »

Activités individuelles 4 Calcul réfléchi : C’est une situation soustractive. Rainette arrive sur la case « 15 » après avoir fait un bond de 5 cases. Elle est donc partie de la case « 10 » (15 – 5).

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, l’élève complète une bande numérique. Le tableau des nombres étudié précédemment servira à la correction. 2 et 3 L’élève doit relier les écritures en chiffres et les écritures littérales des nombres pris dans la tranche délicate des nombres de 70 à 99. L’enseignant s’assure que la lecture des étiquettes n’est pas un obstacle ; sinon il lira chaque étiquette aux élèves en difficulté. Il laisse ensuite chaque élève procéder à ses mises en relation. Pendant la correction collective, l’enseignant revient sur les irrégularités langagières entre « soixante » et « soixante-dix » et entre « quatre-vingts » et « quatre-vingt-dix ».

➤ Prolongement ➢ Photofiche A5 Elle propose un tableau de nombres partiellement rempli et des morceaux de tableau qu’il faut recoller à leur place et compléter. Lors de la correction, on peut utiliser le tableau des nombres du « Découvrons ensemble » pour retrouver la place des pièces du puzzle.

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29 Décomposer les nombres jusqu’à 79 Compétence

Calcul mental

Connaître des décompositions additives des nombres inférieurs à 80.

Dictée de nombres (nombres < 60). L’enseignant dit : « 43 » ; l’élève écrit 43. Items : 43 ;  53 ; 42 ;  34 ;  59 ;  28 ;  48 ;  57  ;  31  ; 49.

Observations préalables Il s’agit, dans cette leçon, d’un approfondissement de la connaissance des nombres jusqu’à 79. Cette leçon est un prolongement de la leçon 16, dans laquelle étaient abordées les décompositions canoniques des nombres inférieurs ou égaux à 59. Ici, la suite des nombres s’étend jusqu’à 79. L’enseignant souligne la permanence des règles de numération écrites malgré les irrégularités de la numération orale de cette dernière tranche de nombres.

Activités collectives L’activité se poursuit en proposant d’autres décompositions au tableau.

Découvrons ensemble

 Activité préliminaire

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Matériel : Pour l’enseignant : le matériel de numération (7 barres vertes et 9 jetons jaunes). Pour l’élève : une ardoise, le matériel de numération.

La première partie du «  Découvrons ensemble  » reprend la décomposition en dizaines déjà travaillée. Théo a 73 jetons ; en complétant le tableau de numération, les élèves vont décomposer 73 en 7 dizaines et 3 unités : 73 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 3 ; 73 = 70 + 3. Les élèves doivent ensuite entourer les barres et les jetons correspondant à 73 : 7 barres vertes et 3 jetons jaunes. La seconde partie du « Découvrons ensemble » part du matériel de numération. Léa doit trouver à quel nombre correspondent les dizaines et les unités dont elle dispose. Elle possède 6 barres vertes et 5 jetons jaunes. Elle possède donc 6 dizaines et 5 unités. Elle possède en tout 65 jetons : 65 = 60 + 5. L’enseignant pose enfin la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer, à comparer et à ordonner les nombres jusqu’à 79.  Un nombre possède plusieurs écritures. »

L’enseignant dispose, au tableau, des barres-dizaines et des jetons-unités (mélangés). Il trace, au tableau de la classe, le tableau de numération où sont représentés les barresdizaines vertes et les jetons-unités jaunes. Il demande à un élève d’écrire le nombre représenté dans le tableau de numération, puis de nommer le nombre. L’enseignant demande aux élèves d’écrire sa décomposition sur leur ardoise, en dizaines et unités, puis en paquets de 10. Ils peuvent s’aider du matériel de numération. Par exemple, l’enseignant dispose, au tableau, 8 barres vertes et 3 jetons jaunes. Un élève note 8 dans la colonne des dizaines et 3 dans celle des unités. Il lit ensuite « 83 ». Sur l’ardoise, les élèves notent les décompositions de 83. 83 = 8 dizaines et 3 unités. 83 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 3. 83 = 80 + 3.

Activités individuelles 3 Problème  : Ce problème reprend le travail de la leçon  : pour calculer le nombre de points de Léa, il faut additionner des dizaines.

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Je m’entraîne

1 C’est l’application de la première partie du « Découvrons ensemble ». Les élèves doivent décomposer deux nombres en sommes de 10 et d’unités, puis en dizaines et unités. 2 Ce travail reprend la décomposition des nombres proposée par Léa en dizaines et unités.

Coin du chercheur 8 triangles se cachent dans la figure.

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30 Trouver, compléter un alignement Compétences

Calcul mental

Identifier des points alignés ; compléter un alignement.

Trouver le complément à la dizaine supérieure (nombres ⩽ 60). L’enseignant dit : «  De 36 pour aller à 40 » ou écrit 36 + … = 40 ; l’élève écrit 4. Items : de 36 pour aller à 40 ; de 47 pour aller à 50 ; de 38 pour aller à 40 ; de 35 pour aller à 40 ; de 48 pour aller à 50 ; de 44 pour aller à 50 ; de 37 pour aller à 40 ; de 24 pour aller à 30 ; de 46 pour aller à 50 ; de 42 pour aller à 50.

Observations préalables Pour un élève de CE1, l’alignement des points n’est pas une propriété évidente. Il faut qu’il comprenne que des points alignés doivent tous appartenir à une même ligne droite, qui doit souvent être imaginée car non tracée. Parce que par 2 points quelconques passe toujours une seule droite, 2 points sont toujours alignés. Être « alignés », pour une série de points, ne devient donc une propriété intéressante que lorsque le nombre de points est supérieur à 2. L’alignement ne se perçoit pas avec les mêmes « outils » dans un espace comme celui de la cour de récréation (« mésoespace ») et dans un espace comme celui de la feuille de papier (« micro-espace »). Dans le premier cas, c’est la visée ou un fil tendu qui sera le meilleur moyen de contrôle ; dans le second cas, ce sera l’utilisation du bord de la règle. Il est donc souhaitable de travailler sur l’alignement dans la cour de récréation, en utilisant des enfants ou des objets de grande taille, avant de travailler sur la feuille de papier. Sur celle-ci, les alignements qui suivent des horizontales ou des verticales sont évidemment plus facilement perçus que ceux qui suivent des obliques.

Activités collectives Activité 2

Matériel : – Pour l’activité 1 : 2 fanions verticaux et leur support. – Pour l’activité 2  : 2 fanions verticaux et leur support  ; une vingtaine de plots coniques (ou, à défaut, des pots de yaourt vides qui seront placés à l’envers sur le sol) ; une corde de 20 m de long ; du papier adhésif ou des barres de bois pour délimiter les zones au sol. – Pour l’activité 3, pour chacun des 6 groupes d’élèves : une plaque de polystyrène d’environ 40 cm × 60 cm  ; deux clous ; une dizaine d’épingles à tête ronde.

La classe est partagée en deux équipes ; deux fanions sont placés à 10 ou 15 m l’un de l’autre ; une douzaine de bandes parallèles qui déterminent des zones de 1 ou 2 m de largeur sont tracées au sol (leur orientation est perpendiculaire à la droite définie par les deux fanions). Ces zones à bords parallèles découpent l’espace entre les deux fanions et se prolongent au-delà du segment ayant pour extrémités les deux fanions. (Cf. schéma ci-dessous.)

 Activités préliminaires Activité 1 

fanions

Devant la classe rassemblée dans la cour ou sur un terrain de sport, l’enseignant dispose deux fanions fixés sur deux poteaux verticaux à 4 ou 5 m l’un de l’autre et demande à l’un des élèves de la classe de venir s’aligner avec ces deux fanions. Lorsque ce premier élève a choisi sa position, un second élève est chargé de contrôler son alignement avec les deux fanions. Un débat s’engage sur le meilleur moyen de procéder à ce contrôle. Si la visée n’est pas proposée par la classe, l’enseignant la présentera, en précisant que, dans le cas où l’alignement est réussi, le premier objet doit cacher tous les autres ou se superposer à eux. Pour réussir sa visée, l’élève « vérificateur » doit donc se placer à l’extérieur du segment ayant pour extrémités les deux fanions. C’est aussi ce qu’aurait dû faire le premier élève, qui tente généralement de se placer entre les deux fanions, perdant tout moyen de contrôle visuel sur son propre alignement. Une fois l’alignement contrôlé et éventuellement corrigé, l’enseignant demande à un deuxième, puis un troisième élève de venir s’aligner avec les deux fanions en s’écartant de quelques mètres entre eux. D’autres élèves peuvent encore venir s’aligner, ceux déjà alignés pouvant les diriger. Les deux fanions peuvent alors être retirés : la ligne formée par les élèves alignés garde la mémoire de la ligne droite sur laquelle s’est construit l’alignement.

La première équipe reçoit une douzaine de petits plots coniques ; elle doit placer un plot par zone de façon à ce que tous les plots soient alignés avec les deux fanions. La seconde équipe vérifie les alignements en tendant une longue corde de 20 m environ qui prend appui sur les deux fanions. Quand un plot est mal aligné, l’équipe « vérificatrice » marque 1 point. Le rôle des deux équipes est ensuite inversé, mais la seconde équipe reçoit 5 ou 6 plots supplémentaires, car elle bénéficie de l’expérience de l’équipe précédente. Les scores sont comparés et analysés. Dans la conclusion de la séance, l’enseignant attire l’attention des élèves sur la pertinence, pour chaque équipe, de placer un élève « vérificateur » en dehors des fanions pour contrôler l’alignement des plots.

Activité 3 La classe est divisée en six groupes. Chaque groupe reçoit une plaque de polystyrène de 60 cm de long et 40 cm de large, sur laquelle deux clous sont déjà plantés à 20 cm l’un de l’autre, laissant voir la moitié de leur hauteur au-dessus de la plaque, ainsi qu’une collection de 10 épingles à tête ronde. L’enjeu est d’aligner les 10 épingles avec les deux clous, en laissant au moins 3 cm entre deux épingles successives.

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demande d’entourer ce groupe d’enfants sur le fichier. Il laisse ensuite les élèves chercher, avec leur règle, un groupe de 3 autres points alignés, comme le montre Mélissa avec les 3 points bleus. Il souligne, à cette occasion, que 2 points sont toujours alignés et que l’alignement ne devient intéressant qu’à partir de 3 points alignés. Une fois ces points découverts à l’aide de la règle, les élèves les colorient en vert, puis choisissent un quatrième point vert aligné avec les 3 points précédents. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à placer des points alignés et à contrôler des alignements. »

Les productions des différents groupes sont affichées au tableau et analysées. La conclusion fait apparaître qu’en l’absence d’un fil tendu entre les deux clous, l’idée de tracer une droite avec une longue règle en prenant appui sur les deux clous permet de contrôler l’alignement de toutes les épingles. L’enseignant en apporte la preuve en effectuant le tracé et en disposant 10 épingles espacées sur la droite.

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Découvrons ensemble

Les élèves découvrent les illustrations du fichier. Un rapide échange oral permet de conclure que le groupe d’enfants alignés est celui où les enfants tirent sur une corde ; l’enseignant

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche A6

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent distinguer les perles alignées de celles qui ne le sont pas. Ils doivent colorier les perles alignées entre elles. La tension du fil est le critère visuel de l’alignement des perles, mais il peut aussi être contrôlé par la règle. 2 Ici, 9 pions sont disposés sur les 4 sommets d’un carré, sur les 4 milieux de ses côtés, ainsi qu’au centre du carré ; les médianes et les diagonales sont tracées. Deux pions sont coloriés en vert ; les élèves doivent trouver un troisième pion aligné avec les deux autres et le colorier en vert. Les segments qui sont tracés servent de support visuel aux alignements. Dans chaque cas, une seule réponse est possible. Cet exercice ne devrait pas soulever de difficulté. 3 Aucune droite n’est tracée ; les élèves doivent trouver, à l’aide de leur règle, 4 étoiles alignées parmi un groupe de 8 étoiles. Ils les relient à l’aide de leur règle. Il existe un alignement de 3 étoiles qui ne convient pas, car il faut trouver 4 étoiles alignées (violette, rouge, bleue, rose). 4 La figure de cet exercice est tracée sur un support quadrillé de cahier d’élève ; les points sont placés sur les nœuds du quadrillage. Un des alignements est porté par les lignes principales du quadrillage  ; le second alignement est porté par une diagonale du quadrillage. Le recours à la règle peut s’avérer utile pour ce dernier alignement. Les élèves doivent enrichir la figure de deux nouveaux points pour chaque alignement  ; les nœuds du quadrillage sont implicitement privilégiés. À l’occasion de cet exercice, l’enseignant souligne que, grâce au quadrillage, il est possible de se passer de la règle.

Cette fiche comporte trois exercices. Le premier demande aux élèves de trouver, parmi un nuage de points blancs, des points alignés avec deux points noirs et de les colorier. Le deuxième est la recherche d’un double alignement sur un nouveau nuage de points blancs, soit le point d’intersection de deux droites, chacune étant définie par deux points donnés. Le recours à la règle n’est pas indispensable, car les deux alignements sont bien visibles. Le troisième exercice est plus délicat : il faut trouver des nœuds du quadrillage alignés avec deux nœuds donnés, mais la droite qu’ils définissent est une oblique qui n’est pas une diagonale du quadrillage. Le recours à la règle peut s’avérer nécessaire avant de découvrir, souvent au cycle 3, que le «  nez  » des marches d’un «  escalier régulier  » dessiné sur un quadrillage à mailles rectangulaires ou carrées permet de s’en passer. (Cf. schéma ci-dessous.)

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Calcul réfléchi : Additionner 2 nombres de 2 chiffres (1)

Compétence

Calcul mental

Ajouter des dizaines à un nombre de 2 chiffres.

Tables d’addition. L’enseignant dit : « 7 + 4 » ; l’élève écrit 11. Items : 7 + 4 ; 3 + 2 ; 7 + 5 ; 9 + 4 ; 8 + 9 ; 3 + 8 ; 5 + 6 ; 6 + 7 ; 7 + 8 ; 2 + 9.

Observations préalables Il est important, au cycle 2, de développer la maîtrise de l’addition « naturelle » de deux nombres de deux chiffres (en ligne). Cette « addition naturelle », qui commence par le calcul de la somme des dizaines (partie la plus significative), se poursuit par le calcul de la somme des unités et se termine par la somme de ces deux résultats, même si le second dépasse 10. Ex. : 26 + 37 = 20 + 30 + 6 + 7 = 50 + 13 = 63. Cette technique permet d’entraîner les élèves au calcul mental avec les nombres inférieurs à 100. Elle ne doit pas être confondue avec l’addition posée non écrite qui commence par la somme des unités afin de prendre en compte d’éventuelle retenues et qui ne se prête pas facilement au calcul mental. En revanche, il est évident que les élèves doivent aussi maîtriser l’algorithme écrit de l’addition posée en colonnes pour calculer des sommes de trois termes et plus ou des sommes de nombres de trois chiffres.

Activités collectives Découvrons ensemble

L’enseignant écrit l’énoncé d’un problème au tableau : « Julien a 16 cartes  ; Lucie lui en donne 20. Combien de cartes Julien possède-t-il maintenant ?  » Les élèves le lisent et le reformulent. Au cours de la discussion, l’enseignant insiste sur la chronologie de l’action et interroge les élèves : « Julien en aura-t-il plus ou moins qu’au début ? » Ces derniers découvrent que le problème est une situation additive qui se résout par le calcul de 16 + 20. L’enseignant les laisse résoudre ce calcul avec la procédure de leur choix : dessin, utilisation de matériel structuré, calcul. La mise en commun des résolutions permet d’examiner toutes les propositions et de retenir la résolution la plus rapide : 16 + 20 = 20 + 10 + 6 ; 20 + 10 = 2 d + 1 d = 3 d ; 3 d + 6 = 36.

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 Activité préliminaire

Après la lecture de la consigne, les élèves observent le calcul de Théo. Celui-ci a écrit son addition en ligne. Sa remarque sous-entend qu’on peut facilement additionner des dizaines : 30 + 20 = 3 d + 2 d = 5 d = 50. Les élèves observent ensuite comment Léa calcule 30 + 26. Elle utilise le matériel et la décomposition des nombres en dizaines et unités. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse du type : « Nous avons appris à ajouter des dizaines à un nombre de deux chiffres. »

Activités individuelles Coin du chercheur Il s’agit de trouver tous les couples de deux nombres à 1 chiffre dont la somme est égale à 10. Il manque (6 ; 4). La proposition (10 ; 0) sera acceptée également.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice vérifie que les élèves savent ajouter des dizaines entre elles. L’enseignant revient sur l’écriture à deux chiffres des dizaines et sur l’importance du 0 dans l’écriture des nombres (cf. leçon 15). 2 C’est la reprise du calcul de Léa, activité traitée dans le « Découvrons ensemble ». Il permet de vérifier la maîtrise de la technique de l’addition naturelle. Les élèves qui le désirent peuvent utiliser leur ardoise ou leur cahier de brouillon pour avoir plus de place et de liberté dans leur calcul. Pour aider les élèves en difficulté, l’enseignant permet l’utilisation du matériel structuré ou de schémas symbolisant les dizaines et les unités. 3 Problème : Ce problème se résout par une addition semblable à celles qui viennent d’être étudiées. L’espace de travail est utile aux élèves qui ont besoin de l’appui de l’écrit pour calculer. Cela renseigne ainsi l’enseignant sur l’aide à apporter. 4 Réinvestissement : Cet exercice réinvestit la technique qui consiste à prolonger un segment jusqu’à un point donné. Les élèves qui n’auront pas réussi l’exercice devront se reporter aux conseils donnés lors de la leçon 24.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S13 Elle comporte deux exercices qui s’appuient sur la représentation du matériel de numération. Dans le premier exercice, l’élève ajoute des dizaines entre elles. Dans le second exercice, l’élève ajoute des dizaines à un nombre de deux chiffres.

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32 Problèmes : Situations additives ou soustractives (2) Compétence

Calcul mental

Calculer la valeur de l’état final dans une transformation additive ou soustractive.

Ajouter 10. L’enseignant dit : « 34 + 10 » ; l’élève écrit 44. Items : 34 + 10 ; 57 + 10 ; 60 + 10 ; 38 + 10 ; 21 + 10 ; 69 + 10 ; 89 + 10 ; 71 + 10 ; 43 + 10 ; 80 + 10.

Observations préalables Cette deuxième page de « Problèmes » est la suite de la leçon 19 qui était basée sur le « jeu de la boîte », avec des nombres qui permettaient aux élèves d’utiliser une grande variété de procédures, y compris celles s’appuyant sur le dénombrement et ne mobilisant donc pas encore le calcul. Ici, les quatre problèmes proposés sont, comme dans la leçon 19, des problèmes de transformation d’état (en référence à la catégorisation de G. Vergnaud) avec recherche de la valeur de l’état final, la transformation étant tantôt additive, tantôt soustractive. Ce type de situation est intuitivement associé à l’addition ou à la soustraction dès la classe de CP, bien que les compétences en calcul des élèves ne soient pas encore très développées. L’interprétation de ces énoncés ne devrait donc pas poser de problème aux élèves en début de CE1. En outre, les contextes proposés sont familiers : élèves qui montent ou qui descendent d’un bus, poissons que l’on retire d’un aquarium… Si les difficultés de lecture et de compréhension de l’énoncé ont été aplanies, les élèves devraient pouvoir se représenter correctement les situations. La taille des nombres risque d’être un obstacle pour les élèves utilisant le dénombrement. Dessiner les éléments correspondant à la situation est fastidieux, souvent source d’erreurs, et ne garantit donc pas toujours l’exactitude du résultat.

Activités collectives 1 Après s’être assuré de la bonne compréhension de l’énoncé par tous les élèves, et notamment de l’aspect chronologique des différentes illustrations, l’enseignant leur laisse un temps suffisant pour organiser leurs calculs. Durant ce temps, il circule parmi eux et repère ceux qui rencontrent des difficultés pour traduire l’énoncé par un calcul ou pour effectuer un calcul. Lors de la correction, l’enseignant montre que l’apport de 8 unités supplémentaires aux 15 unités initiales permet de former un nouveau «  paquet de dix  ». Il détaille alors, au tableau, les étapes du passage à la dizaine supérieure : 15 + 8 = 15 + 5 + 3 ; 15 + 8 = 20 + 3 ; 15 + 8 = 23. Il fait remarquer que ce calcul a été vu en leçon 26. 2 Le deuxième problème est construit sur le même modèle que le premier, mais, cette fois, 6 élèves descendent du car. L’enseignant souligne qu’il s’agit d’un autre problème, et donc d’un autre car, car les élèves pourraient enchaîner cette deuxième situation avec le résultat de la première. Lors de la correction, l’enseignant écrit, au tableau, 18 – 6 = 12 et fait remarquer que, le nombre 18 étant formé de 1 « paquet de 10 » et de 8 unités, quand on retire 6 unités, on ne modifie pas la composition du « paquet de 10 ».

3 Le dernier problème est construit sur le même modèle que le deuxième. La flèche montre un retrait de poissons, ce qui correspond aussi à une situation soustractive. L’enseignant détaille, au tableau, les étapes du calcul comme les élèves l’ont déjà vu à la leçon 27. Il dessine une bande numérique et met en évidence le passage par 20. Pour retrancher 5 à 24, on retranche d’abord 4 pour arriver à 20, puis on retranche 1, car 5 = 4 + 1. Il écrit ensuite 24 – 5 = 19.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P3 Elle propose, sous forme dialoguée, des situations de même type que celles vues dans le fichier : une situation d’ajout et deux situations de retrait.

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(1) La course à la voile

Observations préalables Les pages « Maths Aventures » concluent chacune des cinq périodes. Le contexte de ces pages, bien que plus ludique, est plus complexe que celui d’un problème classique. Répondre aux six questions nécessite une recherche d’informations et l’utilisation des notions et des techniques étudiées durant la période. Les cinq pages « Maths Aventures » sont traitées de la même façon, le jour même : – lecture et explications de l’enseignant ; – travail individuel ; – confrontation en petits groupes ; – correction collective des exercices. Lors de la correction, l’élève colorie le dessin d’un objet accolé à l’exercice lorsqu’il a réussi celui-ci. Dans le cas de la page « La course à la voile », il colorie une bouée. L’activité terminée, l’élève compte les exercices réussis, c’est-à-dire son nombre de bouées : s’il n’a pas commis d’erreur ou n’en a commis qu’une, il colorie la médaille d’or sur le podium en bas de page ; s’il a commis deux ou trois erreurs, il colorie la médaille d’argent ; et s’il a commis plus de trois erreurs, il colorie la médaille de bronze. Ainsi, tous les élèves colorient une médaille. Pour recenser et comparer les résultats obtenus pour toutes les périodes de l’année, l’enseignant peut photocopier, pour chaque élève, la fiche récapitulative sur laquelle l’élève note son score en coloriant les objets et la médaille correspondante (cf. matériel photocopiable ci-après). Ces informations guideront l’enseignant pour d’éventuelles séances de remédiation qu’il organisera avant les évaluations de fin de période.

Activité collective ➝ « Combien de bateaux voyez-vous ? Qu’est-ce qu’une voile ?

Pendant quelques minutes, les élèves observent le dessin, puis communiquent leurs observations à la classe. L’enseignant pose alors quelques questions pour attirer leur attention sur les points qu’ils n’ont pas relevés et sur les éléments indispensables pour répondre aux questions. Chaque bulle est ensuite lue à voix haute par l’enseignant ou par un élève. Elle est commentée, surtout si le texte, ou le contexte, n’est pas compris par certains. ➝ « Vous devez prolonger les rayons du soleil jusqu’au nuage. De quels instruments avez-vous besoin ? »

À quoi sert-elle ? Sur quel bateau est écrit l’exemple ? »

➝ « Quelle est la couleur des flotteurs ? Combien devez-vous en colorier ? »

➝ « Que fait Léa ? Où sont les informations qui vont vous permettre de calculer combien il lui manque ? »

➝ « Que devez-vous faire sur le quadrillage ? Quelle est l’utilité des points rouges ? Avec quel instrument allez-vous travailler ? »

➝ « Que font les photographes ? Où sont placés leurs dossards ? Que faudra-t-il faire ? »

Activités individuelles 5 Les élèves doivent reproduire un bateau sur quadrillage. Le point rouge indique le début de la reproduction.

Les élèves travaillent individuellement. En cas de difficulté de compréhension de l’énoncé, ils demandent l’aide de l’enseignant. Quand tous ont complété les réponses aux questions, ils peuvent comparer leurs résultats par groupes de 2, 3 ou 4, sans corriger leurs réponses. Les groupes s’entendent sur une solution qui sera présentée lors de la mise en commun. Cette dernière permet de confronter les réponses données, de les justifier ou, éventuellement, de les corriger.

6 Il faut compléter la suite numérique. La difficulté réside dans le changement de dizaine.

Pour terminer, l’enseignant demande aux élèves de lire la bulle de Mathix, puis de colorier les bouées correspondant aux exercices réussis. Ensuite, les élèves qui ont gagné 5 ou 6 bouées colorient la médaille d’or ; ceux qui ont gagné 4 ou 3 bouées colorient la médaille d’argent ; les autres colorient la médaille de bronze. Ce type d’évaluation à la fois ludique et rapide informe l’enseignant sur le degré de réussite de sa classe. Son information sera complétée par les résultats à l’évaluation qui suivra dans laquelle les élèves feront le point sur la période écoulée.

1 Les élèves qui ont prolongé correctement au moins trois des quatre rayons du soleil peuvent colorier la bouée. 2 Les sommes à compléter font intervenir des dizaines. 3 L’enseignant observe l’utilisation, par les élèves, de la règle ou de la bande de papier pour vérifier l’alignement des flotteurs. 4 C’est une recherche du complément à 10, présentée sous la forme d’un petit problème.

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Leçon

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(1) – La course à la voile

Matériel photocopiable Prénom : .....................

Exercice

1

2

3

4

5

6

Médaille

Période 1 Période 2 Période 3 Période 4

✄

Prénom : .....................

Exercice

1

2

3

4

5

6

Médaille

Période 1 Période 2 Période 3 Période 4 Période 5

✄

Prénom : .....................

Exercice

1

2

3

4

Période 1 Période 2 Période 3 Période 4 Période 5

5

6

Médaille

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Période 5

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34 J’ai compris et je retiens (2) Observations préalables Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les notions acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. L’activité concrète de cette page consiste, pour les élèves, à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• Je retranche un petit nombre. « Que représente ce schéma ? » « Pourquoi enlève-t-on d’abord 4 ? » « Pourquoi enlève-t-on ensuite 3 ? » « Pour calculer 32 – 7 quel nombre aurait-on enlevé d’abord ? » « Qu’aurait-on enlevé ensuite ? »

Commentaire de chaque partie

Chaque partie est observée et discutée :

• Je compte jusqu’à 99. « Que voyez-vous ? » « Que représentent les cases rouges ? » « Quel nombre y a-t-il après 90 ? avant 90 ? »

• J’utilise la règle pour vérifier l’alignement des points rouges. « Comment vérifier si des points sont alignés ? » « Peut-on utiliser un autre instrument ? »

• J’écris le précédent et le suivant. « Quel est le précédent de 70 ? de 80 ? de 90 ? » « Quel est le suivant de 70 ? de 80 ? de 90 ? »

• Je prolonge un segment. « Que signifie “prolonger” ? » « Pourquoi le premier dessin est-il barré ? » « Quelle est l’erreur commise ? » «  Qui veut prolonger le segment que je viens de tracer au tableau ? » « À quoi faut-il faire attention quand on prolonge un segment ? »

• Je compare 2 nombres de 2 chiffres. « Qui peut dire deux nombres qui n’ont pas le même chiffre des dizaines ? » « Quel est le plus grand de ces deux nombres ? Pourquoi ? » «  Qui peut dire deux nombres qui ont le même chiffre des dizaines ? » « Quel est le plus grand de ces deux nombres ? Pourquoi ? »

L’enseignant complète éventuellement les observations des élèves, montre l’importance de certaines d’entre elles. Il leur fait constater qu’ils ont appris beaucoup de choses qui leur seront très utiles, car ils vont les réinvestir et les enrichir tout au long de l’année. Il leur annonce que, pour vérifier qu’ils maîtrisent ces connaissances, ils devront répondre du mieux possible à l’évaluation qui va suivre.

• J’additionne des dizaines. « Que représente la lettre d écrite en vert ? » « Comment additionne-t-on 30 + 20 ? » « Qui peut expliquer comment on additionne 40 + 30 ? » « Comment additionne-t-on 30 et 26 ? » « Qui peut expliquer comment on additionne 40 et 35 ? »

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35 Je fais le point (2) Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un, inspiré de la grille de référence du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide décisive. Les élèves travaillent individuellement. L’enseignant leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse, puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible, la correction doit avoir lieu le jour même.

Connaissances et compétences

Commentaires

Propositions de remédiation

1. Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine.

C’est généralement le passage à la dizaine supérieure ou inférieure qui provoque des erreurs. Vérifier si le même problème existe dans l’énoncé oral de la comptine.

Avec les élèves les plus faibles, revenir à la comptine de la suite numérique à l’endroit et à l’envers. Sinon, utiliser le matériel des barres-dizaines, qu’il faudra éventuellement casser, et jetons-unités, qu’il faudra éventuellement regrouper pour former une dizaine.

2. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

 Ajouter, retrancher un petit nombre.

Vérifier d’abord d’où proviennent les erreurs : – erreur de calcul dans l’ajout des dizaines entre elles ; – non-décomposition du nombre de deux chiffres.

Reprendre ce travail en petits groupes. Demander à chacun d’expliquer oralement sa technique afin que tous puissent enrichir leur répertoire. Utiliser le matériel (barres et jetons). ➢ Photofiches S11 et S12

3. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

Observer comment procèdent les élèves pour trouver le complément à la dizaine supérieure.

Demander aux élèves en difficulté de surcompter ou d’utiliser la bande numérique. ➢ Photofiche S8

4. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

L’exercice est guidé puisqu’on demande d’abord de trouver le complément à la dizaine supérieure, puis d’utiliser ce complément pour effectuer l’opération.

Insister sur le fait que, si l’on connaît les compléments à dix, on connaît les compléments aux autres dizaines. Procéder par étapes : par exemple, 37 + 3 = 40 ; 37 + 4 = 41 ; 37 + 5 = 42. ➢ Photofiches S8

5. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, .

Le premier item ne présente pas de difficulté, car les nombres possèdent des nombres de dizaines différents. Ce n’est pas le cas du second item.

On peut avoir recours : – à la comptine ou à la bande numérique ; – à l’utilisation de barres et de jetons pour décomposer les nombres en dizaines et unités. ➢ Photofiche S7

 Connaître le précédent, le suivant.

 Connaître les compléments à la dizaine supérieure.

 Calculer en utilisant les compléments à la dizaine supérieure.

 Comparer des nombres.

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Connaissances et compétences

Commentaires

Propositions de remédiation

L’intercalation est toujours difficile, d’autant 6. Comparer, ranger, plus que 30 ne figure pas dans les étoiles. encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, .

Dans un premier temps, utiliser la bande numérique, puis éventuellement le matériel. ➢ Photofiche S7

7. Utiliser diverses représentations des nombres.

La lecture joue, ici, un grand rôle. Cet exercice est difficile car il porte sur la lecture littérale des nombres de la tranche 70-99. Recouper les résultats obtenus avec ceux des dictées de nombres.

La difficulté de l’écriture de ces nombres se rencontre encore au CE2. Procéder régulièrement à des dictées de nombres. Il faut reprendre cet apprentissage rapidement.

8. Utiliser la règle, le compas ou l’équerre comme instruments de tracé.

Vérifier si les enfants sont bien munis d’une règle et d’un crayon bien taillé. Observer leur attitude et déceler les principales causes d’erreurs au moment du tracé.

C’est par la pratique que les enfants parviendront à surmonter les difficultés motrices. Toujours exiger un travail soigné. ➢ Photofiche S9

9. Décrire, reproduire des figures planes sur papier uni ou quadrillé.

Le point de départ du tracé (point rouge) est donné. Le dessin ne comporte qu’une seule oblique.

Demander aux élèves de bien compter les carreaux. Si l’oblique pose problème, faire reproduire le dessin en commençant par le bas. ➢ Photofiche S10

 Intercaler un nombre.

 Passer de l’écriture en lettres à l’écriture en chiffres.

 Tracer et prolonger un segment.

 Reproduire une figure sur quadrillage.

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Évaluation (2) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

1.

Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Décomposer un nombre en dizaines et unités.

2.

Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine. Connaître le précédent, le suivant.

3. a. b.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, . Comparer deux nombres. Ordonner quatre nombres.

4. a. b.

Calcul en ligne. Ajouter ou retrancher un petit nombre. Ajouter un nombre de 2 chiffres à des dizaines entières.

1 Complète.

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cinquante-quatre

50 + .......

.......

d ....... u

..........

soixante-deux

..........

+2

.......

d ....... u

..........

soixante-dix-huit

70 + .......

7 d ....... u

2 Écris le nombre qui précède et celui qui suit. ......

79

......

......

......

70

90

......

......

......

89

......

3 a. Entoure le plus grand nombre de chaque nuage. 43 57

48

53

31

55

b. Écris ces nombres du plus petit au plus grand. 39

48

29

......... < ......... < ......... < .........

43

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Nombres et calculs

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

4 a. Complète. 57 + 4 = .........

68 + 5 = .........

43 – 4 = .........

50 + 27 = .........

40 + 32 = .........

51 – 3 = .........

b. Complète. 30 + 40 = .........

Compétences et connaissances

Évaluation

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Espace et géométrie 5. a. b.

Utiliser la règle, le compas ou l’équerre comme instruments de tracé. Tracer un segment. Prolonger un segment.

6.

Décrire, reproduire des figures planes sur papier uni ou quadrillé. Reproduire une figure sur quadrillage.

5 a. Relie les deux points avec ta règle.

b. Prolonge le trait jusqu’au bord du cadre.

6 Reproduis cette figure.

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36 Décomposer les nombres jusqu’à 99 Compétence

Calcul mental

Connaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 100.

Somme de dizaines entières ( 74 et 90 > 87. 3 La correction rappelle la méthode de rangement : écrire en premier le plus grand de tous les nombres, puis le plus grand de ceux qui restent, et ainsi de suite jusqu’à épuisement des nombres. 91 > 85 > 80 > 70. 4 C’est un exercice d’intercalation. Il est plus difficile qu’un exercice de rangement, puisqu’il faut trouver le nombre qui se place entre deux bornes données. La correction rappelle la méthode d’intercalation : « Parmi les trois nombres proposés, quel est celui qui est plus grand que 75 et plus petit que 85 ? C’est 80. Quel est celui qui est plus grand que 85 et plus petit que 95 ? C’est 92. Le nombre 96 vient après 95. »

Coin du chercheur Il existe deux solutions pour cette énigme : 3 = 3 ou 2 = 2, en déplaçant la dernière allumette verticale en bas.

➤ Prolongement ➢ Photofiche A7 Elle propose deux exercices d’intercalation de nombres.

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38 Identifier les figures planes Compétence

Calcul mental

Identifier des triangles et des quadrilatères parmi d’autres polygones.

Ajouter des unités à des multiples de 10 (nombres < 70). L’enseignant dit : « 40 + 6 » ; l’enseignant écrit 46. Items : 40 + 6 ; 50 + 7 ; 30 + 4 ; 50 + 3 ; 20 + 8 ; 10 + 5 ; 30 + 8 ; 20 + 4 ; 30 + 6 ; 50 + 9.

Observations préalables Jusqu’à présent, les élèves ont essentiellement perçu les formes géométriques de façon globale. Dans cette leçon, ils vont devoir porter un autre regard sur les formes planes en analysant plus finement la façon dont elles sont constituées, notamment en identifiant leurs sommets, leurs côtés et en les classant selon le nombre de leurs côtés ou de leurs sommets. Il n’est pas inutile de leur faire remarquer que le nombre de sommets d’un polygone est toujours égal au nombre de ses côtés et d’en expliquer la cause : la ligne brisée qui en délimite le contour est une ligne fermée. Si la ligne était ouverte, le nombre de sommets serait égal au nombre de côtés + 1.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Des polygones (1 feuille par groupe de 4 élèves) : ils devront les coller sur du bristol avant de les découper (cf. matériel photocopiable ci-après).

L’enseignant dirige les élèves vers les illustrations du fichier. Il leur demande d’observer les figures coloriées en jaune par Léa et de trouver pourquoi elles sont coloriées de la même couleur. Les élèves établissent le lien avec l’activité préliminaire et identifient la famille des triangles. L’enseignant leur demande de compléter la première phrase se trouvant en dessous des figures : « Les figures jaunes sont des triangles : elles ont 3 côtés et 3 sommets. » La même question est posée pour Théo qui a colorié certaines figures en bleu. Les élèves identifient les quadrilatères ou figures à 4 côtés ; ils complètent la seconde phrase : « Les figures bleues sont des quadrilatères : elles ont 4 côtés et 4 sommets. » L’enseignant demande alors à chaque élève d’achever le coloriage en coloriant tous les triangles en jaune et tous les quadrilatères en bleu (le répertoire comporte cinq triangles et cinq quadrilatères au total) en veillant à contrôler le nombre de côtés. Car, comme le fait remarquer Mélissa, certaines figures (deux) ne doivent être coloriées ni en jaune, ni en bleu ; il s’agit de deux pentagones. À l’issue de ce travail, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide la classe à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à distinguer les triangles et les quadrilatères en comptant le nombre de leurs côtés ou de leurs sommets. »

 Activité préliminaire

L’enseignant distribue à chaque groupe de 4 élèves une collection de polygones cartonnés (matériel photocopiable à coller sur du bristol et à découper) et leur demande de les classer en mettant ensemble ceux qui ont quelque chose en commun. Après un temps de recherche suffisant, chaque groupe annonce son classement en indiquant les numéros des figures qui ont été mises ensemble. Chaque classement est justifié. Un débat s’installe pour aboutir à un classement commun à tous les groupes. Les termes de « côtés » et de « sommets » sont éventuellement apportés par l’enseignant quand ils deviennent utiles dans les échanges. On pourra accepter un classement entre figures convexes (14) et non convexes (2) mais on proposera, s’il ne s’impose pas, de classer les figures selon le nombre de leurs côtés. Apparaîtront alors quatre familles de polygones : les triangles (cinq), les quadrilatères (cinq), les pentagones (quatre) et les hexagones (deux). Ces derniers termes ne seront cités qu’à titre indicatif.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S15

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Cet exercice est une reprise de l’activité du « Découvrons ensemble ». Les élèves doivent colorier les triangles (deux) en jaune et les quadrilatères (deux) en bleu ; les deux pentagones ne doivent pas être coloriés. 2 Dans cet exercice, les élèves doivent repérer l’intrus en le barrant. Toutes les figures sont des triangles sauf une, qui, malgré sa ressemblance avec les triangles, est un quadrilatère. 3 Dans cet exercice, il faut analyser la structure d’une figure de couleur orange assez irrégulière en indiquant le nombre de ses côtés et de ses sommets avant d’en conclure qu’il s’agit d’un quadrilatère.

Cette fiche comporte trois exercices. Dans le premier, les élèves doivent repérer les sommets et les côtés de deux figures, les dénombrer pour en déduire que la figure est un quadrilatère ou un triangle. Dans le deuxième, les triangles (quatre) doivent être coloriés en jaune et les quadrilatères (quatre) en bleu parmi un répertoire de onze polygones. Dans le troisième, les élèves doivent identifier l’intrus dans une collection de quadrilatères et dans une collection de triangles.

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Leçon

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38 – Identifier les figures planes

Matériel photocopiable

1 2

5

9

12 3

6

10

13

15 4

7 8

11

14

16

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39 Construire des triangles Compétence

Calcul mental

Construire des triangles à partir des sommets ou des côtés.

Ajouter des unités à des multiples de 10. L’enseignant dit : « 70 + 5 » ; l’élève écrit 75. Items : 70 + 5 ; 80 + 7 ; 90 + 4 ; 70 + 3 ; 70 + 8 ; 80 + 5 ; 90 + 8 ; 70 + 4 ; 80 + 4 ; 90 + 9.

Observations préalables Pour réussir à construire un triangle, il faut avoir une idée précise de la figure que l’on souhaite obtenir et donc avoir associé une image mentale au mot « triangle ». La technique la plus efficace semble être celle qui consiste à fixer la position des trois sommets (non alignés), puis à les joindre, deux à deux, à la règle. Toutefois, la plupart des élèves commencent par ce qui est le plus visible, c’est-à-dire par tracer un côté, puis un deuxième côté sans très bien savoir quelle forme va avoir leur triangle. Dans cette leçon, ils vont apprendre à tracer un triangle à partir de l’un de ses côtés, mais aussi à partir de ses sommets. Ils découvriront sans doute que, lorsque les trois sommets sont fixés, le triangle, bien que non encore dessiné, est déjà défini avec précision.

Activités collectives Activité 2

Matériel : Par groupe de 2 élèves : 1 géoplan (planche à clous) ; une collection d’élastiques de couleur ; 1 feuille de papier pointé (cf. matériel photocopiable ci-après).

L’enseignant remet à chaque groupe une feuille de papier pointé sur laquelle un segment est déjà tracé ainsi que deux points épaissis en gris (matériel photocopiable). Il demande aux élèves d’utiliser leur règle pour tracer deux triangles. Le segment est un de leurs côtés, un point gris est un de leurs sommets.

Découvrons ensemble

Activité 1

•••••••••••••

 Activités préliminaires

L’enseignant demande aux élèves d’observer la première illustration du fichier : un triangle a été déchiré sur ses trois sommets ; il faut le terminer en prolongeant ses trois côtés, puis en marquant un point rouge sur chaque sommet. La seconde illustration montre quatre points rouges ; il faut tracer deux triangles dont les sommets sont trois des quatre points rouges. Quatre possibilités s’offrent aux élèves pour tracer leurs deux triangles puisqu’il suffit d’éliminer un des quatre points pour obtenir les trois sommets du triangle qu’on souhaite tracer. Les deux triangles auront nécessairement deux sommets en commun, donc un côté en commun. Au terme de ce travail, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide les élèves à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à tracer des triangles à partir d’un de leurs côtés ou à partir de leurs sommets. »

Chaque groupe de deux élèves reçoit un géoplan (petite planche à clous) et une collection d’élastiques de couleur. L’enseignant leur demande de dessiner un triangle en accrochant un élastique aux points du géoplan. La figure ne doit avoir que trois sommets ! L’enseignant demande à chaque groupe de dessiner un deuxième triangle avec un deuxième élastique, de telle sorte que ce nouveau triangle ait deux sommets en commun avec le premier triangle (et donc un côté commun). Chaque groupe montre sa construction. Une grande variété de figures apparaît. L’enseignant demande de dessiner un troisième puis un quatrième triangle à partir des deux mêmes sommets communs. L’exercice est repris avec des triangles ayant un seul sommet en commun.

Activités individuelles 4 Pour réussir le partage demandé, les élèves doivent joindre un sommet du quadrilatère à l’un des points d’un côté non adjacent à ce sommet. Il existe, là encore, un grand ombre de solutions. 5 Calcul réfléchi : Rainette part de la case « 40 » et avance de 30 cases ; elle arrive donc sur la case « 70 ».

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 L’élève doit terminer la construction d’un triangle auquel il manque un sommet. Il doit, pour cela, réinvestir les techniques employées dans la première partie du «  Découvrons ensemble ». L’important est de faire apparaître le point d’intersection du prolongement des deux côtés. Si les prolongements sont trop longs, cela ne doit pas être considéré comme une erreur, au contraire. 2 Cette figure évoque la position d’un élastique accroché aux points d’un géoplan. Les élèves peuvent constater que 3 des points ne sont pas alignés ou dénombrer les 4 sommets de la figure pour affirmer que Théo n’a pas réussi. Leur correction s’effectue à la règle. 3 Les élèves disposent d’un grand degré de liberté pour terminer le tracé de ce triangle. L’enseignant encourage les initiatives, souligne les différences et les points communs entre les différentes productions.

Coin du chercheur 21 ; 25 ; 29 ; 33 ; 37 ; 41.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S16 Cette fiche comporte deux exercices. Dans chacun de ces exercices, les élèves doivent tracer deux triangles avec des contraintes différentes.

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Leçon

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39 – Construire des triangles

Matériel photocopiable

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40 Calcul réfléchi : Additionner 2 nombres de 2 chiffres (2) Compétence

Calcul mental

Additionner en ligne 2 nombres de 2 chiffres.

Compter de 10 en 10 (nombres < 80). L’enseignant dit : « 43 ; 53 ; 63 » ; l’élève écrit 73. Items : (43 ; 53 ; 63) ; (12 ; 22 ; 32) ; (35 ; 45 ; 55) ; (28 ; 38 ; 48) ; (41 ; 51 ; 61) ; (24 ; 44 ; 54) ; (17 ; 27 ; 37) ; (30 ; 40 ; 50) ; (36 ; 46 ; 56).

Observations préalables La technique pour effectuer une addition écrite en ligne, déjà utilisée dans la leçon 31, est pédagogiquement intéressante car elle fait appel à la compréhension de la numération en utilisant la décomposition canonique des nombres ainsi qu’à la gymnastique opératoire dite « de l’addition naturelle ». Celle-ci débute par le calcul du nombre de dizaines et se termine par sa rectification après le calcul du nombre d’unités. C’est une excellente préparation au calcul rapide. Prévoir deux journées pour asseoir cette technique essentielle du calcul additif : – une première journée pour les calculs comme celui de Théo dans lesquels la somme des unités ne dépasse pas 10 (première colonne des exercices 1 et 2) ; – une seconde journée pour les calculs comme celui de Léa dans lesquels la somme des unités dépasse 10 (seconde colonne des exercices 1 et 2).

Activité collective complètent la suite du calcul de Léa. L’enseignant leur fait remarquer que le nombre final de dizaines n’est pas 3 mais 4. Les élèves expliquent qu’il faut ajouter la dizaine du nombre 11. Ils écrivent : 24 + 17 = 20 + 10 + 4 + 7 24 + 17 = 30 + 11 = 41. L’enseignant renvoie à la leçon 31 les élèves qui ne se souviennent plus comment ajouter un nombre de deux chiffres à des dizaines entières. Pour les entraîner, il propose de nouveaux calculs à effectuer sous son contrôle : 23 + 14 ; 32 + 13 ; 36 + 27 ; 28 + 16... Cet entraînement va permettre aux élèves de s’approprier progressivement ces méthodes. Le recours au matériel de numération est laissé à l’appréciation de l’enseignant. L’enseignant pose enfin la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à effectuer en ligne une addition de deux nombres inférieurs à 100 en utilisant la décomposition des nombres. »

•••••••••••••

Découvrons ensemble

Premièrement, les élèves lisent le calcul que Théo doit effectuer : 24 + 35. Ils observent, puis commentent le calcul et la bulle de Théo. Celui-ci a écrit un calcul en ligne et a décomposé les nombres 24 en 20 + 4 et 35 en 30 + 5. L’enseignant utilise la schématisation du calcul qui fait apparaître concrètement les dizaines et les unités. Théo additionne d’abord les nombres entiers de dizaines : 20 + 30 = 50, puis il additionne les unités : 4 + 5 = 9. Les élèves complètent et terminent le calcul de Théo. Pour les entraîner, l’enseignant propose de nouveaux calculs à effectuer. Deuxièmement, les élèves lisent le calcul que Léa doit effectuer : 24 + 17. Ils observent et commentent le calcul et la bulle de Léa. Comme Théo, elle a écrit un calcul en ligne et a décomposé les nombres 24 en 20 + 4 et 17 en 10 + 7. L’enseignant utilise la schématisation du calcul qui fait apparaître concrètement les dizaines et les unités. Les élèves

Activités individuelles 2 Les calculs sont maintenant proposés de façon linéaire, plus condensée. Un exemple et un premier calcul présentant un début de décomposition sont là pour aider les élèves. Si ce passage à une seule ligne est trop brutal pour certains d’entre eux, l’enseignant leur conseillera d’effectuer d’abord les calculs sur leur cahier de brouillon puis de copier les résultats sur le fichier. 3 Problème : C’est un problème additif. Le calcul est semblable à celui effectué par Théo.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 C’est une application directe de la rubrique « Découvrons ensemble » : les décompositions sont données ; les couleurs des chiffres reprennent les couleurs du matériel de numération. Si l’enseignant le juge nécessaire, certains élèves peuvent utiliser les plaques vertes et les jetons jaunes du matériel. Pour la seconde colonne, Mathix conseille aux élèves de se référer à la leçon 31 pour revoir comment ajouter un nombre de deux chiffres à des dizaines entières.

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Calculer le double d’un nombre

Compétence

Calcul mental

Connaître les doubles des nombres d’usage courant.

Écrire le plus grand de trois nombres de 2 chiffres. L’enseignant dit : « 89, 98, 78 » ; l’élève écrit 98. Items : (89, 98, 78) ; (67, 77, 81) ; (82, 85, 49) ; (59, 61, 75) ; (58, 84, 79) ; (86, 90, 76) ; (83, 91, 74) ; (90, 92, 80) ; (64, 74, 71) ; (43, 83, 73).

Observations préalables La connaissance des doubles est un point d’appui très utile pour développer des procédures additives de calcul réfléchi. Les sommes de « presque doubles » comme 12 + 13 peuvent se calculer avec 12 + 1 2 + 1 ou bien 13 + 13 – 1 ; les élèves adoptent assez spontanément ce type de procédure quand ils connaissent bien les doubles des premiers nombres. D’autre part, cette connaissance permet aussi de calculer des doubles de nombres plus importants : si on connaît le double de 7, on trouve facilement le double de 70…

Activités collectives

 Activité préliminaire

Pour calculer le nombre de cartes de Léa, il faut calculer le double de 9. Donc 9 + 9. Les élèves complètent l’égalité : 9 + 9 = 18. L’enseignant leur demande d’expliquer leur calcul. Il y a ceux qui auront difficilement compté sur leurs doigts, ceux qui auront calculé en utilisant le complément à 10 : 9 + 9 = 9 + 1 + 8 = 10 + 8 = 18, et les plus nombreux auront utilisé leur connaissance des doubles. L’enseignant s’assure que les petits doubles inférieurs à 10 sont connus puis fait bâtir par les élèves le tableau des doubles supérieurs ou égaux à 10 et inférieurs ou égaux à 20 : 5 + 5 = ... ; 6 + 6 = ... ; 7 + 7 = ... ; 8 + 8 = ... ; 9 + 9 = ... ; 10 + 10 = ... . Il montre l’intérêt de la décomposition des nombres 6, 7, 8 et 9 en : 5 + 1 ; 5 + 2 ; 5 + 3 ; 5 + 4 pour faire apparaître leur double. Les élèves observent ensuite la situation suivante : Mélissa possède un nombre de cartes qui est le double de 30 cartes. Ceux qui ont appris à ajouter des dizaines entières lors de la leçon 31 n’auront aucun mal à calculer la somme 30 + 30 = 60. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à calculer des doubles de nombres. »

L’enseignant écrit la série suivante de phrases au tableau : «  5 est le double de 3  »  ; «  5 est le double de 10  »  ; «  10 est le double de 3 » ; « 6 est le double de 3 » ; « 30 est le double de 15 » ; « 60 est le double de 30 ». Il signale à la classe que certaines sont fausses et propose aux élèves qui ont découvert une phrase fausse de venir indiquer pour quelle raison elle leur paraît fausse. Si la classe approuve sa justification, il est proposé à l’élève de corriger la phrase pour la rendre vraie. À l’issue de ce travail, l’enseignant confirme que, pour calculer le double d’un nombre, il faut additionner ce nombre à lui-même. L’enseignant propose alors aux élèves de calculer, sur leur ardoise, quelques doubles de nombres compris entre 10 et 20, par exemple : le double de 13, le double de 17, etc. Les élèves, qui ont appris, lors de la leçon 40, à calculer en ligne des sommes de deux chiffres, devraient réussir à calculer ces doubles.

•••••••••••••

Découvrons ensemble

Les élèves observent la première situation et lisent les bulles de Théo et de Léa.

Activités individuelles d’additionner en ligne des dizaines entières entre elles ou à un nombre de deux chiffres.

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Je m’entraîne

1 Comme dans la première partie du « Découvrons ensemble », il faut calculer les doubles de nombres inférieurs à 20. Les doubles des nombres 5, 6 et 8 devraient être connus. Le calcul des doubles des nombres 12 et 15 se fera sur l’ardoise ou le cahier d’essai. 2 Comme dans la seconde partie du « Découvrons ensemble », il s’agit de calculer les doubles de nombres de dizaines entières. L’enseignant rappellera que, lorsqu’on sait calculer 3 + 3 = 6, 2 + 2 = 4 et 4 + 4 = 8, on sait calculer 30 + 30 = 60, 20 + 20 = 40 et 40 + 40 = 80. 3 Problème : Ce problème demande de calculer le double de 16. 4 Réinvestissement : Cet exercice réinvestit la leçon 31 : additionner deux nombres de deux chiffres (1). Il s’agit

Coin du chercheur Le ballon à colorier est le dernier ballon en bas à droite.

➤ Prolongement ➢ Photofiche A8 C’est une fiche d’approfondissement qui réclame la connaissance de l’ensemble des doubles inférieurs à 20, l’utilisation du calcul analogique pour calculer des doubles de dizaines entières, et la maîtrise du calcul en ligne pour calculer des doubles de nombres de deux chiffres.

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42 Le nombre 100 Compétence

Calcul mental

Connaître le nombre 100 et ses écritures additives.

Double d’un nombre. L’enseignant dit : « 6 » ; l’élève écrit 12. Items : 6 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 8 ; 3 ; 10 ; 15 ; 11.

Observations préalables Le nombre 100 occupe une place importante dans notre numération : c’est le premier nombre s’écrivant avec trois chiffres, mais c’est aussi le premier nombre pour lequel les élèves vont réinvestir l’idée de « groupement par dix » appliquée à des dizaines. Quand les dizaines deviennent à leur tour trop nombreuses, on en fait des paquets de dix et on fabrique un nouvel objet appelé « centaine ». On parle de « récursivité des groupements par dix » ce qui n’est pas facile à comprendre pour des élèves du CE1. Pour cette raison, on utilisera le matériel de numération aussi longtemps que nécessaire pour expliquer la formation du nombre 100 et ses écritures additives.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Chaque groupe de 4 élèves dispose d’une dizaine de jetons et de 10 barres-dizaines.

Sur leur fichier, les élèves retrouvent l’activité préliminaire qui vient d’être conduite. Ils complètent les réponses des deux premières parties. C’est l’occasion, lors de la correction, de reprendre les groupements avec ceux qui ont commis quelques erreurs. La dernière partie du « Découvrons ensemble » traite les décompositions du nombre 100 en 10 dizaines. L’enseignant demande à la classe de réfléchir au premier item en s’aidant, si nécessaire, du matériel (7 barres de dix). « Combien de dizaines manque-t-il pour avoir 10 dizaines ? » (3) « Cela représente combien d’unités ? » (30) Les élèves résolvent ensuite le second item et justifient leur réponse. L’enseignant propose alors de trouver des compléments à 100 qui ne soient pas des dizaines entières. Il écrit, au tableau, quelques égalités à compléter : 95 + … = 100 ; 96 + … = 100 ; 97 + … = 100 ; 92 + … = 100 ; etc. Pour aider les élèves, il leur propose d’utiliser leur matériel ou il dessine la bande numérique ci-dessous. 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

 Activité préliminaire

L’enseignant demande aux élèves de composer le nombre 99 à l’aide des barres-dizaines et des jetons-unités, puis d’écrire ce nombre sous la forme : … d et … u. Lorsque tous les élèves ont composé le nombre 99, il leur demande d’ajouter une unité. « Quel nombre obtient-on ? Écrivez ce nombre sous la forme : … d et … u. » L’enseignant ouvre la discussion : certains élèves écriront sûrement 10 d et 0 u ou 9 d et 10 u. « A-t-on le droit de laisser 10 jetons sans les grouper ? Contre quoi doit-on les échanger ? » Après divers échanges, on arrivera à l’écriture suivante : 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10. Certains élèves trouveront que l’on peut grouper ces 10 dizaines pour faire un groupement nouveau : 1 centaine, c’est aussi 10 dizaines ou 100 unités. L’enseignant rappelle comment a été obtenu ce nouveau nombre 100 : il correspond au nombre 99 auquel on a ajouté 1. L’enseignant note au tableau : 1 centaine = 10 dizaines 1 centaine = 100 unités Il fait remarquer que comme dans « dizaine » on entendait le mot « dix », dans « centaine », on entend le mot « cent ».

En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Aujourd’hui, nous avons découvert le nombre 100 et ses écritures additives. »

Activités individuelles 3 Problème : Ce problème permet de vérifier que les élèves savent réinvestir les acquis de la leçon pour résoudre un problème de la vie courante : manipuler la monnaie. Il faut trouver le complément à 100 ¤ de 80 ¤. L’enseignant fait remarquer, lors de la correction, l’analogie avec les compléments à 10. 8 d + 2 d = 10 d, donc 80 + 20 = 100. Si nécessaire, il se sert de la bande numérique ou utilise des billets factices. 4 Calcul réfléchi : Dans ce calcul, on connaît le nombre de départ et le nombre d’arrivée, il faut trouver la transformation : 69 + 3 = 72. Pour les élèves qui n’ont pas réussi, décomposer le saut en trois sauts-unités est une bonne remédiation.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice reprend l’activité 1 du « Découvrons ensemble ». Les élèves voient 9 pochettes sur lesquelles est écrit le nombre « 10 » et, à part, 9 crayons. Il y a donc 99 crayons. Le crayon que rajoute Mélissa complète la dernière dizaine, ce qui permet d’atteindre la centaine. 2 Les élèves doivent trouver les différentes écritures additives du nombre 100 parmi toutes celles qui leur sont proposées. Lors de la correction collective, ils justifient leurs choix et expliquent pourquoi le mouton 90 + 20 reste hors de la bergerie du 100.

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43 Échanger « dix dizaines contre une centaine » Compétence

Calcul mental

Utiliser les notions de « centaines », « dizaines » et « unités » pour écrire des nombres.

Calculer avec les doubles d’un nombre. L’enseignant dit : « 6 + 6 », puis « 6 + 7 » ; l’élève dit : « 12 », puis écrit 13. Items : 8 + 8, 8 + 9 ; 6 + 6, 6 + 7 ; 3 + 3, 3 + 4 ; 5 + 5, 5 + 6 ; 7 + 7, 7 + 8 ; 2 + 2, 2 + 3 ; 4 + 4, 4 + 5.

Observations préalables Les élèves vont pouvoir dénombrer de très grandes collections en faisant des groupements de dix dizaines appelés « centaines ». Ils seront alors capables d’écrire en chiffres le nombre d’éléments de la grande collection, même s’ils ne savent pas le lire. La lecture des nombres de trois chiffres fera l’objet de la leçon suivante.

Activités collectives

 Activité préliminaire Jeu de « l’échange »

Au bout du cinquième tirage, chaque groupe écrit le nombre de jetons qu’il possède dans un tableau semblable à celui du fichier que l’enseignant a reproduit au tableau de la classe, afin d’y traiter quelques exemples. Les groupes comparent les nombres de plaques de cent qu’ils ont obtenues et désignent le groupe qui en a le plus gagné. En cas d’égalité, le nombre de barres-dizaines permet de désigner le vainqueur.

L’enseignant rappelle la règle de l’échange : « Quand on a 10 jetons, on les échange contre 1 barre-dizaine. Quand on a 10 barres-dizaines, on les échange contre 1 plaque de cent. » Il demande aux élèves de reformuler cette règle d’échange en utilisant les mots « unité », « dizaine » et « centaine » : « Quand on a 10 unités, on les échange contre 1 dizaine. Quand on a 10 dizaines, on les échange contre 1 centaine. » Il fait remarquer que, dans notre système de numération, on ne conserve jamais plus de 9 unités dans les règles d’échange : dès que nous avons 10 unités, nous les échangeons contre 1 dizaine. De même, dès que nous avons 10 dizaines, nous les échangeons contre 1 centaine. L’enseignant note dans un coin du tableau : 1 centaine = 10 dizaines 1 centaine = 100 unités Les élèves sont ensuite groupés par 5. Un élève de chaque groupe est le secrétaire ; il dispose de 30 jetons, de 20 barresdizaines, de 3 plaques de cent et d’un jeu de cartes-nombres. Chaque élève du groupe, à tour de rôle, tire une carte-nombre et le secrétaire donne au groupe le nombre de jetons ou de barres-dizaines correspondant. Dès que le groupe a 10 jetons, un élève dit : « Échange 10 ! » et le secrétaire donne au groupe une barre-dizaine contre ses 10 jetons. Quand le groupe obtient 10 barres-dizaines, un élève dit « Échange 100 ! » et le secrétaire lui donne une plaque de cent contre 10 barres-dizaines.

Les élèves observent la règle de l’échange figurant dans l’encadré jaune. Ils effectuent, ensuite, individuellement, la première partie du travail sur le fichier. Le travail est assez directif, ce qui leur permet de compléter aisément le tableau. L’enseignant fait remarquer que l’on écrit un seul chiffre dans chaque colonne du tableau. On obtient 1 centaine, 9 dizaines et il reste 3 unités. On retrouve les mêmes chiffres dans le même ordre lorsqu’on écrit le nombre en dehors du tableau : 193. Les élèves passent ensuite au problème de Léa. En écrivant le nombre 104 dans le tableau, on constate que 1 est le chiffre des centaines, 0 le chiffre des dizaines et 4 le chiffre des unités. L’enseignant insiste sur le fait que, bien qu’il n’y ait pas de barres vertes, il est absolument indispensable que l’écriture du nombre en chiffres comporte un 0 entre les chiffres 1 et 4. En effet, 14 est différent de 104 ! Dans 104, 1 est le chiffre des centaines alors que, dans 14, 1 est le chiffre des dizaines. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à échanger des paquets de dix dizaines contre une centaine et à écrire des nombres plus grands que 100. »

Découvrons ensemble

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Matériel : Chaque groupe de 5 élèves dispose de 30 jetons, de 20 barres-dizaines, de 3 plaques de cent, d’un jeu de cartes nombres et d’un tableau de résultats (cf. matériel photocopiable ci-après).

Activités individuelles 2 Les élèves doivent écrire le nombre 150 dans le tableau, comme ils l’ont fait avec les jetons de Léa, dans la partie « Découvrons ensemble ». L’erreur à ne pas commettre est d’oublier d’écrire le zéro des unités.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice est une application directe de la règle d’échange que les élèves ont utilisée précédemment. Les barres de dix étant encore présentées par colonnes de cinq, ils ne devraient pas avoir de difficulté à les grouper par dix.

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sont présentées par colonnes de cinq ce qui doit faciliter le groupement en paquets de 10 (1 centaine). Les élèves en difficulté utilisent à nouveau le matériel pour pratiquer l’échange. Théo possède 146 jetons.

Coin du chercheur Il y a deux coureurs.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S17

L’exercice 2 est semblable à l’exercice 1. Léa possède 132 jetons Dans l’exercice 3, le nombre 190 doit être écrit correctement dans le tableau. L’erreur à ne pas commettre est d’oublier d’écrire le zéro des unités.

L’exercice 1 reprend l’activité du « Découvrons ensemble » et sert de soutien aux élèves qui n’auraient pas réussi l’exercice 1 du fichier. Les barres-dizaines

✄ Leçon

43

– Échanger « dix dizaines contre une centaine »

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35

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25

25

20

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60

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9

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c

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.....…

.....…

.....…

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Matériel photocopiable

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© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Leçon

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43 – Échanger « dix dizaines contre une centaine »

Matériel photocopiable

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44 Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 199 Compétences

Calcul mental

Dénombrer des collections organisées. Lire, écrire et décomposer les nombres inférieurs à 200.

Ajouter un petit nombre sans passage à la dizaine. L’enseignant dit : « 24 + 5 » ; l’élève écrit 29. Items : 24 + 5 ; 36 + 3 ; 80 + 9 ; 62 + 7 ; 71 + 6 ; 45 + 4 ; 12 + 5 ; 13 + 6 ; 11 + 8 ; 34 + 2.

Observations préalables L’objectif des leçons 44, 52 et 72 est d’étendre les règles de la numération de position aux nombres de 3 chiffres, de les lire, les écrire et les décomposer. Comme le préconisent les programmes, nous avons partagé ces nombres en 3 tranches : nombres jusqu’à 199 (leçon 44), nombres jusqu’à 499 (leçon 52) et nombres jusqu’à 999 (leçon 72). En effet, l’assimilation des nombres de 3 chiffres par les élèves demande un temps d’appropriation qui justifie ces différentes étapes afin qu’ils ne se sentent pas submergés par cette nouvelle famille de nombres. Tout au long de ces leçons, l’enseignant s’assure que la règle d’échange vue en leçon 43 est bien acquise.

Activités collectives Activité 2

Matériel : Collectif : 1 boîte de 100 crayons ; 9 boîtes de 10 crayons ; 9 crayons. Chaque groupe de 2 élèves reçoit  : 1 plaque de 100 ; 9 barres de 10 ; une dizaine de jetons.

L’enseignant écrit 178 au tableau. Les élèves déposent devant eux les plaques et jetons correspondants. La correction est immédiate. Un élève énonce  : «  178, c’est 1 plaque de 100, 7 barres de 10 et 8 jetons. » L’enseignant propose d’écrire, sur l’ardoise, les différentes façons d’écrire ou de décomposer ce nombre. Il attend 178 =  100 + 70 + 8 et 1 c 7 d 8 u (cette dernière écriture peut être présentée dans un tableau), ou encore « cent soixante-dix-huit ». L’enseignant réitère l’opération avec d’autres nombres. Il est important de proposer des nombres dans lesquels figurent des 0 à la fin ou intercalés, tels que 100, 150 ou 105.

Activité 1

L’enseignant pose, sur la table, 1 boîte de 100 crayons, 4 boîtes de 10 crayons et 5 crayons. Il dessine, sur le tableau de la classe, un tableau de numération. Il demande à un élève de venir y écrire le nombre de crayons. Le nombre 145 est écrit dans ce tableau  ; sa lecture est expliquée par l’enseignant. Celui-ci enlève alors les 5 crayons-unités et demande aux élèves d’écrire le nouveau total de crayons (140) sur leur ardoise ; la correction est collective. Le nombre est lu par un élève. L’enseignant replace les crayons préalablement enlevés mais retire, cette fois, les 4 boîtes de 10 crayons. Les élèves écrivent en chiffres le nouveau nombre (105), le nombre est lu et la correction est faite au tableau. L’enseignant replace les dizaines de crayons mais en retire une centaine, les élèves écrivent le nouveau nombre : 45. La correction se fait collectivement. Le nombre est lu par un élève. L’enseignant poursuit l’activité en faisant varier les nombres de dizaines, d’unités. Il utilise le tableau de numération pour expliquer la lecture des nombres à trois chiffres.

Découvrons ensemble

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 Activités préliminaires

Les élèves observent le dessin. Ils justifient les nombres écrits par Mélissa dans le tableau de numération. Ils lisent la bulle de Mélissa qui explique la lecture du nombre de trois chiffres. Ils complètent ensuite la décomposition du nombre de crayons, 142, en centaine, dizaines et unités  : 142, c’est 1 c 4 d 2 u ; c’est donc 100 + 40 + 2. Dans la seconde partie du «  Découvrons ensemble  », les élèves doivent colorier de la même couleur écriture littérale et écriture en chiffres d’un même nombre. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à lire, à écrire et à décomposer les nombres de trois chiffres. »

Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiches S18 et A19

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Je m’entraîne

1 Il s’agit de reconnaître le nombre symbolisé par les plaques et les jetons parmi les écritures proposées. Toutes les écritures chiffrées utilisent les chiffres 1, 3, 5. 2 Le deuxième exercice met l’accent sur le codage par zéro de l’absence de dizaine ou d’unité. 3 Les élèves doivent trouver les décompositions canoniques de 3 nombres. L’enseignant sera attentif à ce qu’ils n’oublient pas les zéros aux nombres des deux derniers items.

Cette fiche de soutien et cette fiche d’approfondissement comportent des exercices basés sur la lecture et l’écriture en chiffres, la décomposition canonique et l’écriture littérale des nombres.

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45 Mesurer une longueur par report de l’unité Compétences

Calcul mental

Mesurer une longueur avec une unité arbitraire. Découvrir que la mesure dépend de l’unité choisie.

Ajouter un petit nombre avec passage de la dizaine. L’enseignant dit : « 18 + 3 » ; l’élève écrit 21. Items : 18 + 3 ; 17 + 5 ; 16 + 8 ; 19 + 4 ; 14 + 7 ; 25 + 7 ; 28 + 3 ; 27 + 5 ; 29 + 4 ; 24 + 7.

Observations préalables L’action de mesurer (ou mesurage), implique le choix d’un étalon qui représente une unité. Implicitement, en mettant bout à bout les diverses unités ou en reportant l’étalon plusieurs fois de suite le long du segment dont on mesure la longueur, on effectue une somme de longueurs. Par exemple : L = u + u + u + u = 4 u. Dans ces conditions, on dit que le nombre 4 est « la mesure de la longueur L avec l’unité u ». Donc, la mesure obtenue dépend de l’unité choisie. Cette leçon poursuit comme objectifs d’exercer les élèves au report d’un étalon d’une part, de les aider à prendre conscience que la mesure obtenue dépend de l’unité choisie d’autre part.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : L’enseignant fabrique 3 bandes cartonnées de couleurs différentes dont les longueurs sont des diviseurs différents de la longueur de son bureau (ex. : 10 cm, 15 cm, 25 cm pour 150 cm).

L’enseignant dirige les élèves vers le fichier. Sur la droite de la page, il leur fait remarquer le tampon « MATÉRIEL B ». Les élèves se rendent à la page matériel B en fin de fichier ; ils y découvrent des exemplaires détachables des unités u (longueur du pied de Théo) et v (longueur du pied de Léa). Ils en prélèvent un de chaque. L’enseignant lit le début de la description de la situation, puis demande aux élèves de mesurer la longueur du segment violet avec l’unité u. Ils complètent la phrase : « Théo trouve 6 u. » L’enseignant leur demande ensuite de mesurer la longueur du même segment violet avec l’unité v. Ils complètent la phrase : « Léa trouve 9 v. » L’enseignant lit la question du fichier : « Pourquoi ne trouventils pas la même mesure ? » Enrichis de l’expérience de l’activité préliminaire, les élèves répondent : « Parce que les unités ne sont pas les mêmes ; la plus grande unité a donné la plus petite mesure. » L’enseignant demande ensuite aux élèves de tracer un segment vert de longueur 3 u et un segment rouge de longueur 4 v. L’enseignant pose enfin la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide les élèves à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à mesurer une longueur en reportant une unité et nous avons découvert que plus l’unité était grande, plus la mesure était petite. »

 Activité préliminaire

L’enseignant demande à trois élèves de venir à son bureau. Il distribue à chacun des bandes cartonnées de couleurs différentes : u de couleur bleue, v de couleur rouge, w de couleur verte. Il demande au premier élève de mesurer la longueur du bord du bureau au moyen de la bande de longueur u qui lui a été remise. L’enseignant l’aide à marquer avec une craie les reports de chaque bande ; la classe assure oralement le décompte des reports de l’unité. L’enseignant aide ensuite l’élève à formuler sa conclusion : « La longueur du bureau mesure 15 avec l’unité u. » L’enseignant écrit au tableau : Longueur bureau = 15 u. Les deux autres élèves procèdent de même ; l’enseignant écrit au tableau : longueur bureau = 10 v ; longueur bureau = 6 w. Il demande à la classe pourquoi ils n’ont pas trouvé la même mesure pour la longueur du bureau. Les élèves mettent en cause les unités utilisées. On les compare. Les élèves constatent que l’unité la plus courte a produit la mesure la plus grande et que l’unité la plus longue a produit la mesure la plus petite. L’enseignant aide à justifier ces observations.

Activités individuelles élèves, l’enseignant les encourage à dessiner les deux sauts de Rainette dans leur cahier de brouillon.

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Je m’entraîne

1 Les élèves doivent mesurer la longueur du même segment avec l’unité u d’une part et avec l’unité v d’autre part. Pour cela, ils utilisent les mêmes unités que celles utilisées dans le « Découvrons ensemble ». 2 Les élèves tracent, sur deux supports parallèles, un segment de longueur 5 u et un segment de longueur 5 v. Ont-ils la même longueur ? Les élèves cochent la réponse « non ». L’enseignant peut ajouter : « Et pourtant ils ont la même mesure, mais pas avec la même unité ! » 3 Problème : Rainette fait un saut de longueur 8 u et un autre de longueur 8 v. Ils doivent déterminer quel est le saut le plus long. Si l’absence de support visuel gêne certains

Coin du chercheur On voit six petits triangles, mais aussi deux grands triangles formés par l’assemblage de quatre petits triangles. Il y a donc en tout huit triangles différents.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S19 Cette fiche propose trois exercices de mesurage avec la même unité de longueur u à découper sur la fiche.

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46 Problèmes : Jeu du chapeau (2) Compétences

Calcul mental

Résoudre des situations additives ou soustractives : recherche de l’état initial. Renforcer la compréhension de la numération décimale de position.

Ajouter un multiple de 10. L’enseignant dit ou montre : « 54 + 20 » ; l’élève écrit 74 (nombre < 100). Items :  54 + 20 ; 26 + 10 ; 38 + 30 ; 14 + 50 ; 59 + 10 ; 28 + 20 ; 16 + 30 ; 57 + 20 ; 41 + 30 ; 13 + 40.

Observations préalables Sous un aspect ludique de devinette, facile à jouer en classe, le « jeu du chapeau » cache un véritable problème mathématique. Il s’agit, ici, d’un problème de transformation d’état dans lequel on cherche la valeur de l’état initial, la transformation pouvant être additive ou soustractive. La simplicité du matériel requis permet à l’enseignant de jouer effectivement les situations décrites et de rendre chaque situation autovalidante car, quand on soulève le chapeau, il est facile de confronter sa réponse à la réalité en dénombrant les jetons verts et jaunes. Un jeton vert vaut 10 points, un jeton jaune vaut 1 point, comme le rappelle la règle en haut à droite de la page du fichier. Cette activité permet à l’enseignant d’évaluer rapidement le niveau de sa classe et de choisir de prolonger ce type de situation sur d’autres séances, s’il le juge utile, en lieu et place des séances de calcul mental proposées dans le fichier. Le cap de l’échange dix contre un n’est pas franchi ici car le nombre de jetons-unités ne dépasse jamais 10. Il appartient à l’enseignant de franchir éventuellement ce cap avec un groupe d’élèves en approfondissement.

Activités collectives 2 L’enseignant dissimule 3 jetons verts et 4 jetons jaunes sous le chapeau. Il indique qu’il va en retirer 1 jeton vert et 1 jeton jaune. Après le retrait des 2 jetons, il soulève le chapeau. Les élèves observent les jetons restants  : 2  jetons verts et 3 jetons jaunes. Il pose alors les questions : « Combien de jetons verts et de jetons jaunes y avait-il au départ sous le chapeau ? À combien de points cela correspond-il ? » Les élèves en déduisent qu’il y avait 3 jetons verts et 4 jetons jaunes. La validation s’effectue en replaçant les jetons vert et jaune retirés auparavant par l’enseignant. Un élève vient écrire au tableau : 3 d + 4 u = 30 + 4 = 34. L’enseignant demande alors de compléter les phrasesréponses du deuxième problème. 3 L’activité peut être conduite sur le même modèle en laissant un temps suffisant à la classe pour répondre aux questions du fichier. La validation des réponses se fait par la manipulation des jetons.

Matériel : Un chapeau et quelques jetons jaunes et verts. 1 L’enseignant indique que deux types de jetons vont être utilisés dans le « jeu du chapeau » : des jetons verts qui valent 10 points, et des jetons jaunes qui valent 1 point. Il fait le rapprochement avec les barres vertes du fichier qui représentent les dizaines et les jetons jaunes qui représentent les unités. Il incite les élèves à lire la règle sur le fichier. Il pose un chapeau sur son bureau et y dissimule 1 jeton vert et 3 jetons jaunes. L’enseignant soulève ensuite légèrement le chapeau et montre à la classe qu’il glisse 1 jeton vert dessous. Il soulève alors le chapeau. Les élèves observent 2 jetons verts et 3 jetons jaunes. Il demande alors : « Combien de jetons verts et de jetons jaunes y avait-il au départ sous le chapeau ?  À combien de points cela correspond-il ? » Les élèves en déduisent qu’il y avait 1 jeton vert et 3 jetons jaunes. La validation s’effectue en retirant le jeton vert ajouté. Un élève vient écrire, au tableau, 1 d + 3 u = 10 + 3 = 13. L’enseignant demande alors de compléter les phrasesréponses du premier problème.

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47 Problèmes : Situations additives ou soustractives (3) Compétence

Calcul mental

Trouver la valeur de l’état initial dans une situation de transformation d’état.

Double de dizaines entières. L’enseignant dit : « double de 3 », puis « double de 30 » ; l’élève dit « 6 », puis écrit 60. Items : double de 3, double de 30 ; double de 1, double de 10 ; double de 4, double de 40 ; double de 2, double de 20 ; double de 5, double de 50.

Observations préalables Cette troisième fiche « Problèmes : Situations additives et soustractives » est la suite de la leçon 32 qui proposait trois problèmes de transformation d’état (en référence à la catégorisation de Gérard Vergnaud) avec recherche de la valeur de l’état final, la transformation étant tantôt additive, tantôt soustractive. Avec cette leçon, il s’agit de rechercher la valeur de l’état initial. L’interprétation des énoncés est donc plus difficile que celle de la fiche 32, dans laquelle, pour trouver l’état final, le raisonnement suit l’ordre chronologique de l’énoncé. Dans cette fiche, pour trouver l’état initial, il faut raisonner en inversant l’ordre chronologique de l’énoncé. Cela oblige à partir de la fin et à faire la transformation « à l’envers » pour revenir à l’état initial (si des élèves sont descendus du bus, on imagine qu’ils remontent dans le bus). Les contextes proposés sont ceux de la leçon 32. Cela favorisera la familiarisation des élèves avec ces contextes et limitera les difficultés de compréhension de l’énoncé. Nous avons choisi de petits nombres facilement maîtrisés par les élèves afin qu’ils ne soient pas un obstacle à la résolution de ces problèmes.

Activités collectives circule parmi eux, repère ceux qui rencontrent des difficultés, soit pour traduire l’énoncé par un calcul, soit pour effectuer ce calcul, et leur apporte son soutien. Les élèves complètent la fiche individuellement. Lors de la correction, la situation est jouée avec des jetons représentant les enfants du bus ; le calcul de l’addition 17 + 5 reprend la technique étudiée en leçon 26. Les élèves qui ont surcompté comme en leçon 12 et trouvé 22, auront réussi leur exercice. 2 Le deuxième problème est construit sur le même modèle que le premier, mais, cette fois, 6 enfants montent dans le car. L’enseignant souligne qu’il s’agit d’un autre problème, et donc d’un autre car, car les élèves pourraient enchaîner cette deuxième situation avec le résultat de la première. L’exploration de l’énoncé est menée de la même façon que dans le problème précédent. L’enseignant demande si, quand le car repart, le nombre d’enfants est supérieur à celui du départ. Les élèves justifient leurs réponses. Pour écrire l’opération qui permet de retrouver l’état initial alors que 6 enfants sont montés, portant le nombre final d’enfants à 19, il faut se servir de l’aide de Mathix, c’est-à-dire imaginer que, sur les 19 enfants, les 6 qui sont montés dans le bus en redescendent. On retrouvera alors l’état initial. Après un temps de réflexion personnelle, les élèves écrivent l’opération, la calculent et complètent la phrase-réponse. Lors de la correction, la situation est jouée avec des jetons représentant les enfants du bus ; le calcul de la soustraction 19 – 6 reprend la technique étudiée en leçon 27. Les élèves qui ont compté à reculons comme en leçon 13 et trouvé 13 auront réussi leur exercice. 3 Les élèves lisent et commentent le troisième problème. L’enseignant pose la question  :  «  À quel problème précédent ressemble-t-il ? » Il ressemble au deuxième problème. Dans la situation de départ, le nombre de poissons de l’aquarium n’est pas connu. Après avoir ajouté 4 poissons, leur nombre total est 24. Les élèves justifient leurs réponses, puis ils résolvent individuellement le problème : ils écrivent et calculent l’opération 24 – 4. Le choix des nombres permet de calculer mentalement cette soustraction. Lors de la correction, la situation est jouée avec des jetons représentant les poissons.

Matériel : 24 jetons. 1 Les élèves observent et commentent l’énoncé. Il est composé de trois images d’un bus et de phrases écrites sous chaque image. Après la lecture des phrases, les élèves comprennent que les images représentent un même bus scolaire qui transporte des enfants. La première image comporte un point d’interrogation bleu. L’enseignant en demande la signification. Il fait remarquer que le nombre d’élèves transportés n’est pas indiqué dans la phrase qui accompagne cette première image. La deuxième image est explicite  : c’est l’arrêt du bus et l’on voit 5 enfants qui en descendent. Le sens de la flèche rouge souligne l’action énoncée par la phrase écrite sous l’image. La troisième image représente le bus qui repart après l’arrêt  ; la phrase écrite sous l’image lève l’ambiguïté qui aurait pu exister. Les élèves lisent la question du problème et doivent faire le lien entre le point d’interrogation de la question et celui présent sur la première image. L’enseignant demande à quelques élèves de raconter l’énoncé avec l’aide des illustrations, puis sans l’aide des illustrations afin qu’ils s’approprient la situation. Après s’être assuré de la compréhension de l’énoncé par tous les élèves, et notamment de l’aspect chronologique de celui-ci, l’enseignant demande comment retrouver le nombre d’élèves présents au départ du bus. Il demande si, quand il repart après l’arrêt et la descente des 5 enfants, le bus transporte plus d’enfants qu’avant. Les élèves justifient leur réponse. Avant l’arrêt, il y avait 5 enfants en plus de ceux qui étaient restés dans le bus. Il invite ensuite les élèves à lire la bulle de Mathix. Pour trouver la solution, il faut « rembobiner » l’histoire en partant de la fin, c’est-à-dire imaginer que les 5 enfants remontent dans le bus. Cela permet de retrouver la situation initiale : avant l’arrêt du bus, il y avait : 17 enfants + 5 enfants = 22 enfants. Pour éviter que des élèves se contentent de compter les enfants visibles aux fenêtres du bus, l’enseignant précise que, sur les dessins du bus, on ne voit pas tous les enfants transportés. Il laisse un temps suffisant aux élèves pour leur permettre de réfléchir et d’organiser leurs calculs. Pendant ce temps, il

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48 J’ai compris et je retiens (3) Observations préalables Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les notions acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. L’activité concrète de cette page consiste, pour les élèves, à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• Je reconnais un quadrilatère et un triangle. « Qu’est-ce qu’un quadrilatère ? » « Quel est le nombre de sommets d’un quadrilatère ? Combien de côtés possède-t-il ? » « Un carré est-il un quadrilatère ? Un rectangle est-il un quadrilatère ? » « Un triangle est-il un quadrilatère ? » « Quel est le nombre de sommets d’un triangle ? Combien de côtés possède-t-il ? »

Commentaire de chaque partie Chaque partie est observée et discutée.

• Je décompose les nombres jusqu’à 99. « Que voyez-vous ? » (On attend : « une piste » ou « une bande numérique ».) « Pourquoi certaines cases sont-elles roses ? » « Pourquoi certaines cases sont-elles reliées à deux étiquettes ? »

• Je mesure une longueur. « Qui peut expliquer comment on mesure la longueur du segment bleu ? »

• J’encadre un nombre entre 2 dizaines. « Que représentent les nombres dans les ronds roses ? » « Que signifie le mot “intercaler” ? » « Pourquoi 75 se met-il à cette place ? »

L’enseignant complète éventuellement les observations des élèves. Il leur fait remarquer qu’ils peuvent maintenant résoudre des problèmes avec des nombres de trois chiffres, ce qu’ils ne pouvaient pas faire au CP. Ces connaissances et savoir-faire leur seront très utiles car ils vont les réutiliser et les enrichir tout au long de l’année et même au cours des années suivantes. L’enseignant annonce aux élèves que, pour vérifier s’ils les maîtrisent parfaitement, ils devront répondre du mieux possible à l’évaluation qui va suivre.

• Je décompose le nombre 100. « Vérifiez si toutes les étiquettes reliées à 100 sont exactes. » « Quelles autres étiquettes pourrait-on ajouter ? » • Je calcule. « Pourquoi décompose-t-on les nombres que l’on ajoute ? » « Pourquoi le second calcul est-il plus difficile ? » « Quel est l’intérêt de connaître par cœur la table d’addition des petits nombres ? »

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49 Je fais le point (3) Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un qui contribue à l’acquisition des notions contenues dans le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide décisive. Les élèves travaillent individuellement. L’enseignant leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse, puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible, la correction doit avoir lieu le jour même.

Connaissances et compétences 1. Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques.  Décomposer un nombre en dizaines et unités.

Commentaires S’assurer que les élèves comprennent bien la consigne à partir de l’exemple. Des erreurs dans la deuxième colonne montrent que l’élève n’a sans doute pas compris les sens des mots « dizaines » et « unités ».

Il n’y a pas de difficulté numérique dans 2. Interpréter les noms la mesure où l’un des deux nombres à des nombres à l’aide des unités de numération et additionner est toujours une dizaine entière. des écritures arithmétiques.  Connaître la décomposition des nombres. Les items ne présentent pas de difficulté 3. Comparer, ranger, car les nombres possèdent des nombres encadrer, intercaler de dizaines différents. des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, .

Propositions de remédiation Reprendre ce travail en atelier avec du matériel structuré, oralement d’abord, puis par écrit. ➢ Photofiche S14

Après un travail de remédiation en petits groupes consistant à décomposer des nombres supérieurs à 50, l’enseignant peut organiser un loto numérique. ➢ Photofiche S14 On peut avoir recours : – à la comptine ou à la bande numérique ; – à l’utilisation de barres et de jetons pour décomposer les nombres en dizaines et unités.

 Comparer des nombres.

4. Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, .  Ordonner des nombres.

5. Mémoriser des faits numériques et des procédures.  Connaître les doubles.

Cet exercice nécessite de connaître la notion d’« ordre », la valeur des nombres et d’élaborer une méthodologie d’exploration sans omission ni répétition. C’est l’examen des réponses qui permettra de déceler les causes d’erreurs et de proposer des remédiations adaptées.

En cas d’erreur : – vérifier si les élèves savent comparer les nombres deux à deux ; – vérifier s’ils mettent en place une méthodologie pour ranger les nombres (barrer les nombres ou les entourer une fois utilisés).

Seul le double de 15 peut poser problème. Proposer aux élèves en difficulté de décomposer 15 en 10 + 5 pour calculer son double.

Les doubles des premiers nombres doivent être connus par cœur. Le travail sur les calculs des doubles de dizaines entières ou sur la décomposition des nombres sera repris au cours des séances de calcul mental.

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Connaissances et compétences

Commentaires

6. Utiliser diverses représentations des nombres.

Propositions de remédiation

Cet exercice vérifie si les élèves savent associer les écritures en lettres et en chiffres d’un nombre de trois chiffres. L’observation des réponses permet à  Connaître l’écriture en lettres l’enseignant de repérer les principales d’un nombre de 3 chiffres. causes d’erreurs, notamment celles dues aux différentes positions des zéros.

Demander à l’élève de lire à haute voix les nombres écrits en lettres. Reprendre le « Découvrons ensemble » de la leçon 44. Revenir à la manipulation avec le matériel : plaques bleues, barres vertes, jetons. ➢ Photofiche S18

7. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

Les calculs proposés ne présentent pas de grosses difficultés. Les élèves en échec devront donc être aidés immédiatement pour surmonter ces difficultés.

Avant toute remédiation, vérifier si les élèves en difficulté ont compris que 100, c’est 10 dizaines. Dans le cas contraire, il sera utile d’utiliser du matériel structuré pour les amener à comprendre les différentes décompositions proposées. 100 = 90 + 10, car 10 d = 9 d + 1 d.

Une erreur à cet exercice montre que l’élève n’a pas associé « quadrilatère » et « quatre côtés ».

On peut proposer aux élèves de venir commander les pailles nécessaires à la réalisation de quadrilatères tels que carrés, rectangles… ➢ Photofiche S15

Vérifier si les élèves sont munis d’une règle et d’un crayon bien taillé. Observer leur attitude et déceler les principales causes d’erreurs au moment du tracé.

C’est par la pratique que les élèves parviendront à surmonter les difficultés motrices. Toujours exiger un travail soigné. ➢ Photofiche S16

 Connaître les compléments à 100.

8. Reconnaître, nommer les figures usuelles.  Identifier des quadrilatères parmi d’autres polygones.

9. Reconnaître et décrire, à partir des côtés et des angles droits, un carré, un rectangle, un triangle rectangle. Les construire sur un support uni, connaissant la longueur des côtés.  Tracer des triangles.

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Évaluation (3) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Nombres et calculs 1.

Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. Connaître la décomposition des nombres.

2.

Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine. Connaître le précédent, le suivant.

3. a. b. c.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, . Comparer deux nombres. Ordonner quatre nombres. Intercaler un nombre.

4. a. b.

Mémoriser des faits numériques et des procédures. Calculer le double d’un nombre. Trouver les compléments à 100.

5.

Calcul en ligne. Effectuer une addition en ligne.

1 Complète.

74

soixante-quatorze

70 + .......

.......

d ....... u

..........

quatre-vingt-dix-huit

..........

+8

.......

d ....... u

..........

quatre-vingt-deux

..........

+2

8 d ....... u

2 Écris le nombre qui précède et celui qui suit. ......

79

......

......

70

......

......

90

......

......

89

......

3 a. Entoure le plus grand nombre de chaque nuage. 90 69

82

81

86

85

b. Écris ces nombres du plus petit au plus grand. 79

90

87

......... < ......... < ......... < .........

94

c. La boule du 83 est jaune. Colorie-la. 70

80

90

79

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

4 a. Complète. Double de 5 = .........

Double de 20 = .........

Double de 25 = .........

99 + ......... = 100

50 + ......... = 100

b. Complète. 90 + ......... = 100

5 Complète.

Compétences et connaissances

Évaluation

Espace et géométrie 6.

Reconnaître, nommer les figures usuelles. Reconnaître un quadrilatère.

7.

Utiliser la règle, le compas ou l’équerre comme instruments de tracé. Tracer un triangle et un quadrilatère.

6 Trace une croix dans les quadrilatères.

7 En joignant ces points, trace un triangle en bleu et un quadrilatère en vert.

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

46 + 25 = .........

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50 Échanger « dix dizaines contre une centaine » (2) Compétence

Calcul mental

Échanger dix dizaines contre une centaine pour les nombres inférieurs à 500.

Dictée de nombres (nombre < 100). L’enseignant dit : « 74 » ; l’élève écrit 74. Items : 74 ; 64 ; 68 ; 78 ; 89 ; 99 ; 86 ; 94 ; 82 ; 92.

Observations préalables Les élèves vont pouvoir dénombrer de très grandes collections en faisant des groupements de dix dizaines appelés « centaines ». Ils seront alors capables d’écrire en chiffres le nombre d’éléments de la grande collection, même s’ils ne savent pas encore le lire. Cette leçon prolonge la leçon 43 en l’étendant aux nombres jusqu’à 499. La lecture des nombres de cette tranche sera l’objet de la leçon 52.

Activités collectives est écrit au tableau de la classe dans le tableau de numération dessiné par l’enseignant. La classe valide les écritures, le nombre est alors écrit hors du tableau : 315. L’activité d’échange se poursuit avec d’autres nombres : 324 ; 241... L’activité se termine avec des nombres dont les écritures nécessitent des zéros : 200 ; 230 ; 204.

 Activité préliminaire

« Jeu de l’échange » Les élèves sont regroupés par 5. Chacun d’eux est muni de l’ensemble de son matériel de la page matériel A. Ils écrivent leur initiale derrière chaque pièce de leur matériel pour pouvoir le récupérer en fin de séance. L’enseignant rappelle la règle de l’échange étudiée en leçon 43 : « 10 jetons s’échangent contre 1 dizaine (barre verte). 10 barres-dizaines s’échangent contre 1 centaine (plaque bleue). » Il demande aux élèves de reformuler cette règle d’échange en utilisant les mots « unité », « dizaine » et « centaine ». L’enseignant note dans un coin du tableau  : 1 centaine =  10 dizaines ; 1 centaine = 100 unités. L’enseignant demande à chaque groupe de mettre 31 barresdizaines et 5 jetons sur leur bureau. Il leur demande ensuite d’effectuer l’échange en utilisant les plaques-centaines et d’écrire le nombre de jetons. Le nombre de chaque groupe

Découvrons ensemble

•••••••••••••

Matériel : Pour chaque élève : l’ensemble du matériel de numération de la page matériel A.

Les élèves observent la règle de l’échange figurant dans l’encadré jaune. Ils effectuent, ensuite, individuellement, la première partie du travail sur le fichier. Cette activité directive leur permet de compléter le tableau. L’enseignant fait remarquer que l’on écrit un seul chiffre dans chaque colonne du tableau. On obtient 3 centaines, 4 dizaines et il reste 8 unités. Les mêmes chiffres se retrouvent dans le même ordre lorsqu’on écrit le nombre en dehors du tableau : 348. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de  : «  Nous avons appris à échanger des paquets de 10 dizaines contre 1 centaine et à écrire des nombres contenant plusieurs centaines. »

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S20

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Cet exercice est une application directe de la règle d’échange que les élèves ont utilisée précédemment. Les barres de 10 sont remplacées par des boîtes de 10 crayons présentées par colonnes de 5 dans des cartons représentant les centaines, il reste 3 dizaines isolées et 2 crayons. Les élèves qui sont conduits pas à pas par le questionnement ne devraient pas avoir de difficulté à compléter les phrases et le tableau de numération avant d’écrire le nombre de crayons dans la phrase-réponse. L’enseignant sera attentif à ce qu’ils prennent en compte les 3 dizaines isolées pour répondre à la première question : « Combien y a-t-il de dizaines de crayons ? » 2 Problème : Ce problème demande l’écriture d’un nombre entier de dizaines qu’il faut transformer en nombre entier de centaines sans l’aide du tableau de numération  : 30 d =  3 c =  300. C’est le rôle du chiffre 0 dans la numération qui est visé.

Cette photofiche de soutien comporte trois exercices. Le premier exercice reprend l’activité du « Découvrons ensemble » et le même type d’exercice que l’exercice 1 du « Je m’entraîne ». Il sert de soutien aux élèves qui n’auraient pas réussi cet exercice. Les barres-dizaines sont présentées par colonnes de 5 ce qui doit faciliter le groupement en paquets de 10 (1 centaine). Les élèves en difficulté utilisent à nouveau le matériel pour pratiquer l’échange. Théo possède 346 jetons. Le deuxième exercice met l’accent sur l’importance de l’écriture du chiffre 0 dans la numération de position : pour écrire correctement le nombre (400) dans le tableau, il ne faut pas oublier d’écrire le chiffre 0 dans les colonnes « dizaines » et « unités ». Le troisième exercice vise la connaissance de la position des chiffres dans la numération décimale. Le nombre 250 doit être écrit dans le tableau sans oublier le 0, chiffre des unités.

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Construire la droite graduée

Compétence

Calcul mental

Passer de la bande numérique à la droite graduée.

Dictée de nombres (nombres < 100). L’enseignant dit : « 86 » ; l’élève écrit 86. Items : 86 ; 78 ; 95 ; 63 ; 83 ; 90 ; 86 ; 99 ; 65 ; 75.

Observations préalables Le passage de la bande numérique, dans laquelle chaque nombre occupe une case, à la droite graduée, dans laquelle chaque nombre correspond à un trait de la graduation, ne se limite pas à une question de position des nombres. Il s’agit, en fait, d’un changement total de concept : on passe d’un univers discret, où entre deux cases consécutives il n’y a rien, à un univers continu, où entre deux graduations, il peut y avoir de nombreuses graduations intermédiaires correspondant à des nombres que les élèves découvriront au cycle 3. C’est en passant par la notion de « longueur » que les élèves peuvent le mieux comprendre ce changement, c’est ce que nous proposons.

Activités collectives craie qu’il gradue en marquant un petit trait en face de l’extrémité droite de chacune des bandes. Il interroge la classe pour savoir quel nombre indique la mesure, avec l’unité u, de la longueur du segment dont les extrémités sont, à gauche, l’origine du segment et, à droite, un trait de la graduation. Les élèves conviennent que, face au premier trait de la graduation, il faut écrire 1 comme le rappelle la case 1 u, 2 face au second et ainsi jusqu’au nombre 10 à droite de la case 10 u. Pour achever la graduation, l’enseignant demande aux élèves quel nombre peut être écrit à l’extrémité gauche du segment. S’ils ne le proposent pas, l’enseignant écrit le nombre 0 et montre la cohérence de ce choix.

 Activité préliminaire

Découvrons ensemble

L’enseignant présente la première bande de 100 cm de longueur et la colle horizontalement sur le tableau. Il fait compter aux élèves les cases de longueur u pour qu’ils constatent qu’il y en a 10. La dernière case indique donc la longueur de la bande. Il colle en dessous la bande de 90 cm de longueur et procède de la même façon. Puis, en cherchant à gagner de la place sur le tableau pour y coller d’autres bandes, il superpose la bande de longueur 9 u à la bande de longueur 10 u en faisant coïncider leurs extrémités par la gauche. Les élèves ne voient plus alors que la case 10 u de la première bande qui dépasse de la bande de longueur 9 u. L’enseignant présente ensuite de la même manière la bande de longueur 8 u. u u u u u u u u u 10 u u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

8u

•••••••••••••

Matériel : 10 bandes de papier de même largeur (par exemple, 5 cm), mais de couleurs différentes. La première a une longueur de 100 cm, elle est découpée en 10 cases de 10 cm de longueur, 9 sont marquées de la lettre u, dans la dernière case est écrit 10 u ; la deuxième mesure 90 cm, elle est découpée en 9 cases de 10 cm de longueur, 8 sont marquées de la lettre u, dans la dernière case est écrit 9 u (voir ci-dessous) ; et ainsi de suite jusqu’à la dernière bande marquée 1 u.

En observant l’illustration du fichier, les élèves reconnaissent la façon dont la droite numérique de l’activité préliminaire a été graduée. Ils complètent rapidement les nombres 4, 5 et 6 sur cette droite graduée. Les remarques de Léa et de Théo rappellent les différences entre bande numérique et droite graduée. Le travail le plus important, dans la suite de l’activité, consiste à prolonger ces graduations bien au-delà de 6 en reliant les étiquettes des nombres 3, 6, 12, 18 et 22 au trait de la graduation qui leur correspond, puis en complétant les étiquettes vides reliées à leur trait. On trouve dans l’ordre : 7, 11, 19, 21. Mathix précise que, sur la droite graduée, les nombres sont rangés du plus petit au plus grand, ce qui rejoint l’interprétation donnée pendant l’activité préliminaire avec la notion d’« éloignement » par rapport à l’origine. À l’issue de ce travail, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide les élèves à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à graduer une droite en plaçant les nombres au-dessus de chaque trait de la graduation. »

9u

Il continue de la même manière jusqu’à la dernière bande de longueur 1 u. Au-dessus des bandes superposées, il trace un segment à la

Activités individuelles Coin du chercheur Il suffit de transformer le signe + en signe –.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Cet exercice propose de relier six nombres à une droite graduée entre 35 et 67, puis de ranger ces nombres entre eux du plus petit au plus grand : 42 ; 48 ; 51 ; 57 ; 64 ; 67. 2 Problème : Après avoir repéré la graduation du nombre 69, l’élève doit repérer celles des nombres 69 + 10 et 69 – 10.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S21 Cette fiche propose trois exercices graduels sur la droite graduée.

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Lire, écrire, décomposer les nombres jusqu’à 499

Compétences

Calcul mental

Dénombrer des collections organisées. Lire, écrire et décomposer les nombres inférieurs à 500.

Écrire le plus grand de 2 nombres (nombres .........

765

c. Relie chaque nombre à sa place. 797 750 .......

778 .......

840

804

800 ....... ....... 850

2 a. Calcule. 5 × 2 = ……….

3 × 2 = ………. 

b. Calcule. 4 × 5 = ……………….……….……….……….……….… = …….……….………. 3 × 6 = ……………….……….……….……….……….… = …….……….……….

47 × 2 = ……….

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Nombres et calcul

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3 Nadia possède une collection de 28 chouchous. Elle en échange avec sa copine Lilou. Elle possède maintenant 23 chouchous. Maintenant, Nadia a-t-elle plus ou moins de chouchous ? Combien ? ...........................................................................................................................................................

Compétences et connaissances

Évaluation

Grandeurs et mesures 4.

Résoudre des problèmes, notamment de mesurage et de comparaison, en utilisant les opérations sur les grandeurs ou sur les nombres. Mesurer et additionner des longueurs.

5.

Comparer, estimer, mesurer des durées. Connaître les relations entre semaine, jour, heure, minute.

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4 Mesure le tour de ce rectangle. ………. + ……….……….……….……….……….…… = ………..

L*e $toUr du rectangle mesure ……….. cm. 5 Dans chaque nuage, entoure la plus grande durée. 1 jour

3 jours 1 semaine

25 heures

Compétences et connaissances

1 heure 55 minutes

Évaluation

Espace et géométrie 6.

Reconnaître si une figure présente un axe de symétrie. Identifier un axe de symétrie.

6 Dessine les axes de symétrie du cerf-volant et du losange.

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106 Multiplication : la table de 5 Compétences

Calcul mental

Construire et apprendre la table de 5 de la multiplication.

Somme de dizaines entières (sans passage de la centaine). L’enseignant écrit : 150 + 20 ; l’élève écrit 170. Items : 150 + 20 ; 120 + 70 ; 240 + 30 ; 260 + 20 ; 310 + 50 ; 340 + 40 ; 420 + 30 ; 520 + 50 ; 640 + 20 ; 830 + 50.

Activités collectives L’enseignant insiste sur le fait que l’on peut écrire le suivant en se servant du précédent. Il suffit de lui ajouter 5. À partir de 7 × 5, les élèves qui ont compris le fonctionnement de la table peuvent écrire le résultat directement sans passer par l’écriture additive. Quand toutes les égalités sont écrites et corrigées, l’enseignant pose la question : « Que venons-nous de construire ? » Il attend la réponse : « La table de multiplication par 5. » Il invite ensuite les élèves à observer la table. Ceux-ci constatent que les produits par 5 se terminent par 5 ou 0. C’est une table facile à apprendre si le comptage par 5 est connu. L’enseignant prolonge l’étude de la table. Il fait remarquer que, lorsqu’on connaît le produit 4 × 5 = 20, il est facile de trouver le suivant : 5 × 5 = 25. Il leur demande de chercher s’il n’y a pas un autre produit que l’on peut trouver aussi facilement grâce à la connaissance de 4 × 5 = 20. Il attend 8 × 5 = 40. Si les élèves ne le trouvent pas, il le dévoile et en fait la démonstration avec deux quadrillages de 4 × 5 placés côte à côte. Les élèves constatent que 8 × 5 = (4 × 5) + (4 × 5) : c’est deux fois 4 × 5 ; c’est le double de 20 ; c’est 40. Ils sont invités à chercher d’autres produits qui sont le double d’un autre : 4 × 5 est le double de 2 × 5 ; 10 × 5 est le double de 5 × 5 ; 6 × 5 est le double de 3 × 5 ; mais les produits 3 × 5, 7 × 5 et 9 × 5 ne sont trouvés que si le précédent ou le suivant sont connus. Il suffit alors d’ajouter ou de retrancher 5. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à construire la table de multiplication par 5. » L’enseignant distribue une table de 5 à chaque élève pour son apprentissage.

Matériel  : Par élève : des rectangles quadrillés représentant les produits de la table de 5 (cf. matériel photocopiable ci-après).

 Activité préliminaire

L’enseignant distribue les 10 quadrillages (matériel photocopiable) à chaque groupe de 4 élèves. Sur chaque quadrillage, les élèves se répartissent la tâche d’écrire le produit représenté (5 × 1, 5 × 2, 5 × 3, 5 × 4, 5 × 5...). L’enseignant leur demande de les ranger en les empilant dans l’ordre décroissant, de telle façon que chaque quadrillage inférieur laisse dépasser une rangée de 5 carreaux du quadrillage supérieur qui est dessous. Les élèves prennent conscience que les produits par 5 grandissent de 5 en 5.

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Découvrons ensemble

Les élèves ouvrent leur fichier, puis lisent la consigne et observent les quadrillages illustrant les produits. Les produits sont rangés dans l’ordre croissant : 1 × 5 ; 2 × 5 ; 3 × 5 ; 4 × 5 ; 5 × 5. Ils lisent la bulle de Mélissa. L’enseignant leur demande d’expliquer ce que Mélissa a compris : on passe d’un quadrillage au suivant en ajoutant une colonne de 5 carreaux. Les élèves observent ensuite le début de la table et le commentent. Si nécessaire, les calculs sont validés par un retour sur les quadrillages. L’enseignant leur demande de continuer en complétant les égalités. La première est complétée collectivement : 5 × 5 = 20 + 5 = 25. Les autres calculs sont complétés individuellement. La correction se fait après chaque ligne.

Activités individuelles 3 Problème  : Les élèves ont toujours des difficultés pour résoudre les problèmes faisant intervenir la notion abstraite d’« âge ». L’enseignant s’assure de la compréhension de l’énoncé. Pour concrétiser la notion d’« âge », il se servira de bougies représentant les années. 4 Calcul réfléchi  : C’est un réinvestissement du calcul réfléchi de la leçon 86 « Passage de la centaine (2) ». La correction revient, avec l’aide de la droite graduée, sur la technique des deux bonds : le premier arrive à la centaine entière et le second au résultat final. Les élèves revoient comment décomposer le nombre à retrancher.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice montre une autre façon d’écrire ou de mémoriser la table de 5 : on commence toujours par le chiffre 5. L’enseignant montre que, si on utilise la commutativité de la multiplication, il est facile de compléter cette table à partir de celle du «  Découvrons ensemble  ». Par exemple  : 5 × 3 = 3 × 5 = 5 + 5 + 5 = 15. 2 Les élèves doivent avoir retenu que les nombres de la table de 5 se terminent par 0 ou par 5. Cet exercice le vérifie. Les nombres 10, 15, 20, 25, 35, 40 sont donc à entourer.

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© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Leçon

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106 – Multiplication : la table de 5

Matériel photocopiable

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107 Calcul réfléchi : Multiplier par 10 Compétence

Calcul mental

Multiplier un nombre entier par 10.

Somme de dizaines entières avec passage de la centaine. L’enseignant écrit : 180 + 40 ; l’élève écrit 220. Items : 180 + 40 ; 350 + 50 ; 170 + 50 ; 490 + 30 ; 290 + 40 ; 160 + 50 ; 390 + 30 ; 280 + 20 ; 490 + 40 ; 250 + 60.

Observations préalables La multiplication par 10 s’apparente au comptage des dizaines. Nous proposons donc, dans l’activité préliminaire, de faire écrire un nombre de dizaines sous la forme d’un produit et inversement : traduire des produits par 10 en nombre de dizaines. Nous utiliserons, pour cela, le matériel de numération structuré.

Activités collectives 30. L’enseignant propose d’autres calculs aux élèves : 4 × 10 ; 6 × 10... Ce type de calcul est facile à résoudre avec des petits nombres, mais calculer 12 × 10 avec la méthode de Théo est long et le risque d’erreurs important. L’enseignant propose alors aux élèves de lire la seconde consigne et de commenter la méthode de Léa, illustrée par le dessin des barres représentant les dizaines : 12 × 10, c’est 12 dizaines, c’est-à-dire 10 dizaines + 2 dizaines = 1 centaine + 2 dizaines, c’est 120. L’enseignant propose d’autres calculs et les note ainsi que leur résultat. Il peut reprendre le calcul de Théo avec la méthode de Léa. Il fait remarquer que cette méthode est moins coûteuse en temps que la précédente. Les élèves lisent ensuite la bulle de Mélissa. En reprenant les résultats des calculs précédents, l’enseignant justifie cette affirmation : c’est la conséquence du déplacement des chiffres d’une colonne vers la gauche dans le tableau de numération. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à multiplier un nombre par dix. »

Matériel : Des barres-dizaines.

 Activité préliminaire

L’enseignant affiche 4 barres-dizaines au tableau. Il demande aux élèves d’écrire le nombre correspondant (40). Il écrit ensuite au tableau : 40 = 4 d = 4 × … . Un élève complète avec 10. Il inverse ensuite le processus. Il écrit : 5 × 10 = … d = … . Un élève complète avec 5 d et 50. L’enseignant propose d’autres exemples qu’il écrit au tableau. Il vérifie que les élèves savent que 12 dizaines s’écrivent 120, que 24 dizaines s’écrivent 240, etc. en utilisant les barres-dizaines et, éventuellement, les plaques-centaines et le tableau de numération. En compilant les résultats écrits au tableau, il fait remarquer que, lorsqu’on multiplie un nombre par 10, le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines, ce qui oblige à écrire un zéro à droite de ce nombre.

•••••••••••••

Découvrons ensemble

Les élèves ouvrent leur fichier et lisent la consigne. Ils observent le calcul de Théo : 3 × 10, c’est 10 + 10 + 10, c’est-à-dire

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S43

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent compléter la table de 10 de la multiplication. 2 Cet exercice permet de mettre en application la démarche présentée par Léa dans le « Découvrons ensemble ». 3 Problème  : Ce problème utilise l’expression «  10 fois plus ». Cette expression peut être source d’erreurs car le mot « plus » peut induire une addition. L’enseignant peut reprendre cette expression dans d’autres situations : par exemple, « Noémie a 5 bonbons et Karine en a 2 fois plus… » Ceci afin de permette d’associer l’expression « a fois plus » à une multiplication par le nombre a. 4 Réinvestissement  : Exercice sur l’heure du matin et l’heure du soir à partir d’une horloge affichant « 3 h 30 ».

Elle comporte trois exercices. Dans l’exercice 1, l’élève doit multiplier des nombres de un chiffre par 10. Dans l’exercice 2, il doit multiplier des nombres de deux chiffres par 10. L’enseignant sera attentif aux trois premiers items : les nombres obtenus comportent deux zéros. Dans l’exercice 3, l’élève doit colorier de la même couleur les étiquettes multiplicatives et les résultats de leurs calculs. Le choix des couleurs est libre  ; toutefois, l’enseignant peut les imposer aux élèves les plus hésitants en leur faisant colorier en premier toutes les étiquettes multiplicatives.

Coin du chercheur Les deux pavages identiques sont le premier et le dernier.

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108 Calculer la moitié d’un nombre Compétences

Calcul mental

Connaître les moitiés des nombres d’usage courant. Distinguer les nombres pairs des nombres impairs.

Trouver le plus grand nombre (nombres de 3 chiffres). L’enseignant écrit : 214, 423, 358. L’élève écrit 423. Items : (214, 423, 358) ; (243, 432,298) ; (267, 367, 169) ; (809, 909, 888) ; (247, 285, 300) ; (368, 371, 290) ; (403, 399, 400) ; (541, 478, 399) ; (648, 638, 700) ; (567, 549, 602).

Observations préalables La notion de moitié est la notion réciproque de la notion de double : 10 est le double de 5 équivaut à dire que 5 est la moitié de 10. Il semble donc facile pour un adulte d’établir un lien entre ces deux notions. Il n’en est rien pour les élèves qui confondent souvent double et moitié et qui éprouvent plus de difficultés à prendre la moitié d’un nombre qu’à calculer son double. Prendre la moitié de 12, c’est se demander de quel nombre 12 est le double ; cette recherche inversée n’est pas facile à mener à bien et les élèves se lancent plus naturellement vers une activité de partage de 12 en deux parts égales. La notion de moitié reste donc une notion délicate au CE1.

Activités collectives – ils colorient les balles une à une : une jaune, une verte, une jaune, une verte... ; – ils les colorient par groupe de deux ou trois ; – ils utilisent leur connaissance de la table d’addition pour partager 16 en deux, puis colorient directement huit balles de chaque couleur. Ils répondent « oui » à la première question et complètent les phrases réponses. Ils lisent ensuite la deuxième question. Les élèves choisiront sûrement de dessiner les 15 balles et appliqueront la technique du coloriage. Les plus malins pourront se servir du partage antérieur en supprimant une balle ; ils constateront que le partage est alors inégal et répondront « non » à la question. L’enseignant les invite à lire la bulle de Mathix. Les nombres impairs n’ont pas de moitiés. L’enseignant demande alors aux élèves de donner quelques nombres pairs et quelques nombres impairs qui seront écrits au tableau dans deux colonnes différentes, « pairs » et « impairs ». Il fait trouver les chiffres terminaux des nombres impairs : 1, 3, 5, 7, 9. Les élèves répondent à la dernière consigne en entourant en rouge les nombres pairs et en bleu les impairs. Les erreurs peuvent provenir de la confusion entre les deux mots « pair » et « impair » ; elles disparaîtront avec leur emploi fréquent et l’association du mot « pair » à la notion de « paire » : un nombre pair est formé de la paire de ses deux moitiés. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à partager en deux moitiés des nombres pairs. »

Matériel : Par élève : une vingtaine de jetons ; deux crayons de couleur : jaune et vert ; une feuille photocopiée avec 14 jetons dessinés.

 Activité préliminaire

L’enseignant demande aux élèves de faire un tas de 18 jetons puis de partager ce tas en deux tas identiques comportant le même nombre de jetons. « Quel est le nombre de jetons de chaque tas ? » Chaque tas comporte 9 jetons. Il écrit au tableau : 9 + 9 = 18 ; 9 est la moitié de 18. L’enseignant dessine au tableau 14 jetons et demande quelle est la moitié de 14. Les élèves ne peuvent pas bouger les jetons pour en prendre la moitié. Comment faire ? Les diverses propositions des élèves sont débattues. Si aucune proposition n’est satisfaisante, l’enseignant propose d’utiliser deux couleurs pour partager la collection en deux moitiés.

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Découvrons ensemble

Les élèves observent la situation et lisent silencieusement la consigne. Après l’explication du mot « équitablement », l’enseignant leur demande de préciser le travail qu’ils doivent effectuer : partager 16 balles en deux parts égales. Il ajoute que chaque enfant aura ainsi la moitié des balles. La consigne précise que les balles de Léa sont jaunes et celles de Théo vertes. Les élèves adoptent différentes stratégies :

Activités individuelles pairs mais l’enseignant peut aider les élèves en signalant qu’un nombre entier qui n’est pas pair est un nombre impair. 4 Problème : L’enseignant, après la lecture de l’énoncé, s’assure de sa bonne compréhension. Le mime de la situation peut s’avérer utile.

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Je m’entraîne

1 Il faut partager 12 billes en deux parts égales qui doivent être coloriées en jaune et en vert. L’enseignant incite les élèves à utiliser le tableau de Mathix pour vérification. 2 Il faut écrire, dans un tableau, des moitiés de nombres donnés. Les élèves sont à nouveau invités à se servir du conseil de Mathix. L’enseignant sera cependant attentif car, bien souvent, les élèves confondent la signification des termes « double » et « moitié ». 3 Cet exercice permet de vérifier la connaissance des nombres impairs. Ils sont plus difficiles à identifier que les nombres

➤ Prolongement ➢ Photofiche S44 Les élèves continuent de s’entraîner à trouver les moitiés des nombres.

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109 La soustraction posée sans retenue Compétence

Calcul mental

Calculer une différence par la soustraction en colonnes.

Prendre le double du double. L’enseignant dit : « Quel est le double du double de 3 ? » ; l’élève écrit 12. Items : 3 ; 1 ; 4 ; 2 ; 5 ; 7 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10.

Observations préalables Un apprentissage trop précoce de la soustraction posée peut pousser les élèves à utiliser systématiquement cette technique, même pour des calculs qu’ils pourraient aisément résoudre par le calcul mental ou le calcul réfléchi. D’autre part, cette technique nécessite une bonne connaissance des différences entre petits nombres et ces résultats se construisent à l’aide du calcul réfléchi. C’est pourquoi nous avons repoussé cet apprentissage en milieu d’année afin que les élèves aient tout le temps de s’exercer au calcul mental ou réfléchi de différences faciles à calculer. Une autre leçon, la 133, sera consacrée à la soustraction posée avec retenue. Ces leçons doivent être présentées comme un outil supplémentaire, et non pas unique, pour calculer une différence. Elles nécessitent de nombreuses manipulations pour asseoir la compréhension de la technique opératoire qui pourra faire l’objet de plusieurs séances.

Activités collectives L’enseignant écrit alors, au tableau, l’opération du fichier et demande à un élève de venir l’effectuer. Le résultat est comparé à celui trouvé par Théo lorsqu’il utilise les jetons et les barres-dizaines. L’enseignant insiste sur l’équivalence entre ces deux modes de calcul. Il demande ensuite : « Comment Léa vérifie-t-elle son opération ? » Un schéma peut s’avérer nécessaire :

Matériel : Pour les élèves : jetons (ou bûchettes) ; boîtes ou sachets de 10 jetons. Pour l’enseignant : barresdizaines et jetons-unités de la page matériel A.

 Activité préliminaire

L’enseignant écrit, au tableau, le problème suivant : « Jasmine possède 38 timbres ; elle en donne 15 à Lucas. Combien lui en reste-t-il ? » Puis il pose la question suivante : « Comment répondre à cette question ?  » Les élèves proposent leur méthode et la justifient. Si aucun d’entre eux n’a proposé la soustraction comme solution, l’enseignant l’impose et la justifie. Il demande aux élèves de prendre 38 jetons en utilisant les boîtes (ou sachets) de 10 jetons. Les élèves doivent avoir devant eux 3 boîtes de 10 jetons et 8 jetons libres (3 dizaines et 8 unités). « Retirez 15 jetons ; combien va-t-il en rester ? » Un élève vient au tableau expliquer et détailler sa méthode. On constate qu’il reste 23 jetons. L’enseignant propose la même manipulation à l’aide du matériel « barres-dizaines et jetons-unités ». Il est donc possible d’effectuer une soustraction en retirant séparément les dizaines et les unités du nombre de départ. Ceci rappelle la méthode employée dans le calcul de l’addition en colonnes.

35

23

Si 58 – 23 = 35, alors 35 + 23 = 58. Pour souligner cette équivalence, l’enseignant peut montrer que, dans l’écriture de la somme 58 = 35 + 23, si on cache l’un des deux termes (si on enlève 23 à 58), il reste 35, ce qui peut se traduire par 58 – 23 = 35. Les élèves sont invités à calculer individuellement d’autres soustractions sans retenue. Comme pour l’addition, avant qu’ils n’aient posé les opérations dans le cahier, l’enseignant précise l’importance d’aligner correctement les nombres dans les colonnes correspondantes : les unités dans les unités, les dizaines sous les dizaines. À l’issue de cette leçon, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à calculer une soustraction en la posant en colonnes comme une addition. »

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Découvrons ensemble

58

L’enseignant lit la présentation de la situation. Pour cet exercice, les élèves peuvent reprendre les manipulations antérieures à l’aide des sachets de 10 jetons.

Activités individuelles 3 Problème : L’élève doit reconnaître une situation soustractive et la résoudre en posant la soustraction : 36 – 25 = 11.

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Je m’entraîne

1 Les trois soustractions sont déjà posées ainsi que les additions de vérification. Les erreurs proviennent généralement de la méconnaissance des tables ou du décomptage mal utilisé. 2 Les élèves doivent poser toutes les opérations. Pour les soustractions, il est important qu’ils acquièrent, dès le début, une technique efficace : écrire le plus petit nombre sous le plus grand ; placer les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines ; et ne mettre qu’un chiffre par carreau.

Coin du chercheur Dans la figure, on compte 6 triangles : 4 triangles distincts et 2 triangles formés par l’assemblage de 2 des triangles précédents.

172

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110 Calcul instrumenté : la calculatrice (1) Compétence 

Calcul mental 

Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

Ajouter un petit nombre à un nombre de 3 chiffres. L’enseignant dit : « 154 + 4 » ; l’élève écrit 158. Items : 154 + 4 ; 132 + 5 ; 115 + 3 ; 253 + 4 ; 218 + 2 ; 235 + 5 ; 314 + 4 ; 351 + 5 ; 354 + 6 ; 415 + 7.

Observations préalables Dès le début de l’école élémentaire, les élèves utilisent une calculatrice : lorsque son usage est pertinent, en particulier dans le cadre de la résolution de problèmes ou lorsque les calculs ne peuvent pas être effectués mentalement ou alourdiraient la charge de travail des élèves. Les calculatrices peuvent également être utilisées comme support de questions portant sur les nombres. Par exemple : « Comment passer, en un minimum d’opérations, de l’affichage 38 à l’affichage 48, sans effacer le premier affichage ? » Les compétences sollicitées pour répondre relèvent alors de la numération ou du calcul mental.

Activités collectives L’enseignant peut faire remarquer que les élèves connaissent trois signes opératoires : +, –, × ; en revanche, le symbole ÷ ne sera étudié qu’au CE2.

 Activité préliminaire

Découvrons ensemble

Les élèves sont munis d’une calculatrice. Ils découvrent l’outil, aidés par l’enseignant et par ceux d’entre eux qui le connaissent déjà. Ils nomment d’abord les deux parties principales d’une calculatrice : l’écran et les touches. L’enseignant fait ensuite découvrir la batterie (piles ou photopiles) qui assure le fonctionnement de l’outil. Après les inévitables manipulations « sauvages », il invite les élèves à la découverte des touches du clavier de la calculatrice en posant des questions. Le poster (matériel photocopiable) est une aide précieuse pour conduire collectivement cette tâche. – « Comment la mettre en marche ? » – « Comment l’arrêter ? » – « Que se passe-t-il lorsqu’on appuie sur les touches numériques ? » – « Combien de chiffres à la suite peut-on afficher sur l’écran ? » – « Comment peut-on effacer le nombre affiché ? » – «  Quelles touches servent à indiquer les opérations que l’on peut effectuer ? », etc.

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Matériel  : Une calculatrice par élève (il est souhaitable que chaque élève ait le même modèle de calculatrice) ; un poster de calculatrice sur une grande feuille (cf. matériel photocopiable ci-après).

Les élèves sont invités à colorier les touches de la calculatrice du fichier selon le code de couleurs fourni dans l’énoncé. L’enseignant leur propose ensuite de renseigner chaque question concernant l’utilisation de la calculatrice. Lors de la mise en commun, des élèves énoncent leurs réponses et la classe les valide ou non : – «  Il faut appuyer sur les touches 8, 4 et 3 pour afficher le nombre 843. » – « 73 + 52 = 125. » – « Il faut appuyer sur les touches 6, 3, –, 2, 8 et = pour calculer 63 – 28. 63 – 28 = 35. » L’enseignant peut ensuite proposer aux élèves de dessiner, sur leur ardoise, les touches qu’ils utilisent pour calculer  : 18 + 49 ; 159 + 27 + 68 ; 18 × 34… En fin de séance, l’enseignant pose la question  rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de  : « Nous avons appris à utiliser la calculatrice pour calculer des additions, des soustractions ou des multiplications. »

Activités individuelles doivent observer les nombres de l’opération et le résultat. Au CE1, un résultat plus grand que le premier nombre de l’opération fait penser à une addition, voire à une multiplication ; un résultat plus petit fait penser à une soustraction. Il ne reste alors plus qu’à vérifier cette hypothèse avec la calculatrice. 4 Problème  : La compétence sollicitée dans ce problème relève de la numération, du calcul mental et de l’imagination de chacun. La calculatrice est utilisée ici comme support de réflexion. Pour afficher 10 sans taper sur les touches 1 et 0, les élèves peuvent penser aux compléments à 10 : 2 + 8 ; 3 + 7 ; 4 + 6 ; 5 + 5… ; ou à un écart d’une dizaine entre deux nombres : 32 – 22 ; 73 – 63… ; mais aussi à la somme de petits nombres : 4 + 4 + 2… ; ou encore à la multiplication : 2 × 5… L’enseignant montre aux élèves quelques-unes des combinaisons qu’ils n’ont pas utilisées.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Cet exercice est une reprise de la dernière activité du «  Découvrons ensemble  ». L’enseignant rappelle aux élèves qu’ils ne doivent pas oublier de dessiner le signe = qui permet à la calculatrice d’afficher le résultat de l’opération. 2 Cet exercice permet de vérifier la bonne utilisation des touches «  chiffres  » et surtout «  signes  » de la calculatrice. Les erreurs les plus fréquentes sont des erreurs de frappe. L’enseignant conseille aux élèves de vérifier le résultat affiché par la calculatrice en effectuant deux fois le calcul. 3 Cet exercice peut être réalisé de deux façons : par tâtonnements, ce qui offre peu d’intérêt mathématique ; par observation, formulation d’hypothèses et vérification. C’est cette dernière méthode que l’enseignant privilégiera  : les élèves

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© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Leçon

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– Calcul instrumenté : la calculatrice (1)

Matériel photocopiable

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Calcul instrumenté : la calculatrice (2)

Compétence 

Calcul mental 

Utiliser la calculatrice à bon escient.

Retrancher des dizaines à un nombre de 2 chiffres (sans franchir la centaine). L’enseignant dit : « 56 – 20 » ; l’élève écrit 36. Items : 56 – 20 ; 35 – 10 ; 64 – 30 ; 75 – 20 ; 26 – 10 ; 89 – 40 ; 71 – 10 ; 59 – 50 ; 78 – 20 ; 91 – 10.

Observations préalables Le calcul instrumenté est largement répandu dans la vie courante. Il est donc essentiel que l’école soit en prise avec cette réalité de notre temps. L’utilisation de la calculatrice n’est pas contradictoire avec l’apprentissage des techniques opératoires traditionnelles. Au contraire, c’est une occasion de faire fonctionner le calcul mental. Dans cette leçon, les élèves devront reconnaître que, dans certains cas, la calculatrice n’est pas un outil efficace. Même si la machine calcule souvent très vite, il existe des opérations pour lesquelles le calcul mental est plus rapide que la calculatrice. Les élèves prennent ainsi conscience que la calculatrice n’est qu’un outil qu’il faut maîtriser et utiliser à bon escient.

Activités collectives calculs favorisant le calcul mental afin que tous constatent bien que celui qui a calculé mentalement 25 + 10 dit son résultat alors que son camarade est encore en train de taper sur les touches.

 Activité préliminaire

Découvrons ensemble

L’enseignant accroche les étiquettes au centre du tableau. Il donne comme consigne de lire tous les calculs et de trouver ceux que l’on peut effectuer mentalement. Chacun se lance dans la recherche. Les élèves constatent qu’ils ne savent pas calculer mentalement certaines opérations. Quelques-uns viennent au tableau expliquer leurs choix et entourer les étiquettes sélectionnées. Ils écrivent les réponses à ces calculs sur leur ardoise. La correction est collective. Chaque élève utilise ensuite sa calculatrice pour effectuer les opérations difficiles qui ont été écartées auparavant. Chacun vérifie, avec son voisin, le résultat obtenu. L’enseignant propose alors un concours entre deux élèves (ou deux groupes d’élèves). Le premier doit calculer mentalement le résultat d’un calcul et l’énoncer. Le second effectue simultanément le calcul avec la calculatrice et montre le résultat sur l’écran. L’enseignant choisit d’abord quelques

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Matériel  : Une calculatrice par élève  ; de grandes étiquettes sur lesquelles des opérations sont écrites  : 15 × 27 ; 10 + 10 ; 128 – 28 ; 5 × 5 ; 364 – 247.

Les élèves découvrent la première activité du fichier et reconnaissent l’activité préliminaire. Ils réalisent seuls le travail demandé. Dans la seconde activité, les élèves sont confrontés à un problème. Les étapes intermédiaires de sa résolution sont indiquées clairement. L’enseignant peut tout de même leur demander de citer les opérations qu’ils vont effectuer avant qu’ils ne se lancent individuellement dans le calcul avec l’aide de leur calculatrice. L’enseignant conseille de vérifier les résultats en effectuant une seconde fois chaque calcul. La correction est collective. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à utiliser la calculatrice pour calculer des opérations difficiles. »

Activités individuelles nombres. Dans ce cas, c’est un outil plus performant que le calcul mental.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice permet de montrer que, pour certains calculs (173 – 1 ; 5 × 4 ; 300 + 100), l’usage de la calculatrice n’est pas pertinent. Il permet aussi d’utiliser la calculatrice pour les calculs difficiles. Attention aux erreurs de frappe ! L’enseignant conseille une nouvelle fois aux élèves de vérifier le résultat affiché en effectuant deux fois le calcul. 2 Cet exercice permet de vérifier la bonne utilisation des touches «  chiffres  » et surtout «  signes  » de la calculatrice. Les erreurs les plus fréquentes sont des erreurs de frappe. Grâce aux réponses données dans les étiquettes colorées, les élèves refont un calcul jusqu’à ce qu’ils trouvent la bonne réponse. L’enseignant leur demande alors de noter le nombre de fois qu’ils ont effectué chaque calcul. 3 Problème  : Il propose une situation de la vie courante. L’utilisation de la calculatrice est justifiée par la taille des

Coin du chercheur L’observation du dessin est primordiale. Il manque 10 carrés sur la tablette, mais la souris tient un carré de chocolat entre ses pattes et ne l’a pas encore mangé. Elle a donc mangé 9 carrés de chocolat.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S45 Cette fiche présente deux exercices qui permettent de consolider la maîtrise du fonctionnement de la calculatrice sur des calculs simples, ainsi que deux problèmes où la calculatrice sert d’outil pour des calculs plus complexes.

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Les solides

Compétences 

Calcul mental 

Distinguer polyèdres et autres solides. Nommer quelques solides.

Retrancher des dizaines à un nombre de 3 chiffres (sans franchir la centaine). L’enseignant écrit 348 – 20 = … ; l’élève écrit 328. Items : 348 – 20 ; 152 – 10 ; 132 – 30 : 260 – 30 ; 654 – 50 ; 436 – 10 ; 365 – 40 ; 678 – 70 ; 195 – 30 ; 256 – 30.

Observations préalables Il est nécessaire que les élèves manipulent les objets, verbalisent leurs observations, construisent un vocabulaire permettant de décrire ce qu’ils observent, classent les objets selon des critères géométriques. Il est donc souhaitable de commencer et de prolonger les activités de cette leçon par des séances de jeux collectifs (voir « Activités préliminaires »).

Activités collectives met la main dans le sac, y choisit l’un des solides et le décrit en le touchant sans le sortir du sac. La classe doit découvrir quel est ce solide. La vérification s’effectue en sortant le solide du sac.

Matériel : Des solides géométriques (en bois, plastique ou carton : boule, cube, pavé droit, pyramide, cône, cylindre, prisme).

 Activités préliminaires

Activité 3 : Jeu de Kim L’enseignant dispose les solides sur un bureau face à la classe. Un élève sort momentanément de la salle de classe. Pendant ce temps, un autre élève soustrait un solide et le cache. Lorsque le premier élève revient, il doit nommer l’objet manquant. La vérification s’effectue en montrant l’objet.

Découvrons ensemble

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Activité 1 Les solides sont disposés sur une table ou par terre devant le tableau. Les élèves les regardent, les touchent et se mettent d’accord entre eux et avec l’enseignant sur la façon de les nommer. Le vocabulaire de la géométrie est privilégié, du moins pour les solides du programme. L’enseignant demande ensuite de mettre ensemble les objets « qui se ressemblent ». La classe discute les critères de classement, et l’enseignant met en évidence les plus pertinents du point de vue géométrique.

Les élèves travaillent par deux et se corrigent mutuellement. L’enseignant ou un élève lit la consigne. Il faut trier les solides en deux familles. Les familles sont initiées. Toutes les faces des solides de la famille A sont des polygones. Ces solides sont appelés des « polyèdres ». L’enseignant demande ensuite de compléter cette partie du fichier. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à distinguer les polyèdres des autres solides et à nommer certains solides. »

Activité 2 : Jeu du portrait Un élève sort momentanément de la salle de classe. Pendant son absence, ses camarades choisissent un solide géométrique. L’élève revient et doit découvrir le solide en posant des questions auxquelles la classe ne répond que par « oui » ou « non ». Lorsque les élèves sont suffisamment familiarisés avec les solides, ces derniers sont enfermés dans un sac. Un élève

Activités individuelles 3 Cet exercice réinvestit la seconde partie du « Découvrons ensemble  ». Il faut trouver les deux mots  : «  pyramide  » et « cylindre » : Parmi les 7 solides dessinés, l’élève doit identifier colorier 4 polyèdres : 3 pavés et une pyramide, qui se trouvent sur les bordures gauche et droite du dessin. Les autres solides peuvent être nommés  : cylindre, boule, cône. L’enseignant utilise le matériel des activités préliminaires pour exhiber un exemplaire de chaque type de solide et faire constater aux élèves que chacun des trois solides laissés de côté possède une partie arrondie, contrairement aux quatre polyèdres coloriés.

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Je m’entraîne

1 L’élève doit remarquer que, parmi les solides de ce jeu de construction, l’intrus est le cylindre car ce n’est pas un polyèdre. Il ne fait pas partie de la famille A du « Découvrons ensemble ». 2 Parmi les 7 solides dessinés, l’élève doit colorier 4 polyèdres : 3 pavés et 1 pyramide qui se trouvent sur les bordures gauche et droite du dessin. Les autres solides peuvent être nommés : cylindre, boule, cône. L’enseignant utiliser le matériel des activités préliminaires pour montrer un exemplaire de chaque type de solide et faire constater aux élèves que chacun des trois solides laissés de côté possède une partie arrondie, contrairement aux quatre polyèdres coloriés.

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Cubes et pavés droits

Compétences

Calcul mental 

Différencier cube et pavé droit. Identifier faces, sommets et arêtes.

Ajouter 100. L’enseignant dit : « 268 + 100 » ; l’élève écrit 368. Items : 268 + 100 ; 64 + 100 ; 290 + 100 ; 399 + 100 ; 480 + 100 ; 778 + 100 ; 897 + 100 ; 491 + 100 ; 380 + 100 ; 11 + 100.

Observations préalables Les élèves doivent connaître le vocabulaire permettant de décrire un cube ou un pavé droit. Avec cette leçon, ils vont découvrir les notions de face, de sommet et d’arête. Ils pourront ainsi distinguer le cube du pavé par la forme de leurs faces. Comme dans la plupart des leçons concernant les solides, une phase de manipulation préalable est indispensable à la bonne compréhension des illustrations du fichier ; c’est pourquoi, dans l’activité préliminaire, l’identification des arêtes et des sommets est réalisée sur des solides réels.

Activités collectives organise le décompte des arêtes utilisées grâce à la carte d’achats. Certains élèves découvrent que les arêtes du pavé forment trois groupes de quatre arêtes de même longueur, mais on retient que le pavé droit possède aussi douze arêtes comme le cube. Toutefois, contrairement aux arêtes du cube, ses douze arêtes ne sont pas toutes de la même longueur. Il est possible de prolonger cette situation en plaçant une petite boule de Patafix sur chaque sommet du cube ou du pavé droit. Pour économiser du temps et du matériel, cette dernière étape peut être effectuée par l’enseignant sous le contrôle de la classe qui constate que le cube et le pavé possèdent chacun huit sommets. À l’issue de ce travail, l’enseignant demande à la classe : « Qu’est-ce qui différencie le cube du pavé puisqu’ils ont chacun douze arêtes, huit sommets et six faces ? » Les élèves seront conduits à rappeler que c’est la forme des faces qui les différencie : toutes les faces du cube sont des carrés alors qu’un pavé droit possède des faces rectangulaires.

 Activité préliminaire

Chaque groupe de quatre élèves reçoit le cube et le pavé droit qui ont été utilisés lors de la leçon précédente. L’enseignant montre à l’ensemble de la classe un cube identique dont chaque arête a été recouverte d’une bande de papier pliée.

Pli sur la longueur

Découvrons ensemble

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Matériel  : Un aquarium vide en forme de pavé droit ; un cube et un pavé droit par groupe de 4 élèves ; des bandes de 1 cm de large pliées dans le sens de la longueur et dont la longueur correspond aux longueurs des arêtes des cubes et pavés distribués ; un tube de colle par groupe ; une boule de Patafix.

Avant de s’engager dans la leçon du fichier, l’enseignant utilise un aquarium vide pour montrer aux élèves les arêtes et les sommets d’un pavé. Il leur fait dénombrer les sommets, les arêtes et les faces. Ils constatent que l’aquarium est un pavé « ouvert » dans lequel il manque une face. Les élèves observent ensuite l’illustration du fichier pour repérer les sommets, les arêtes et les faces visibles. L’enseignant partage sa classe en groupes. Chaque groupe reçoit un cube et un pavé droit. Il demande de tracer le contour de chaque face de ces solides sur une feuille de papier. Après avoir découpé les contours, les élèves comparent les faces. Ils constatent que toutes les faces d’un cube sont des carrés. Le pavé droit a des faces rectangulaires. Dans certains cas particuliers, il peut avoir 2 faces carrées. À l’issue de ce travail, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il aide les élèves à formuler une réponse proche de : « Nous avons appris à reconnaître et à compter les arêtes, les sommets et les faces d’un cube et d’un pavé droit. »

Chaque groupe doit venir « commander » au bureau de l’enseignant (le marchand) les bandes de papier dont il a besoin pour obtenir le même résultat avec son cube. Il reçoit, à cette fin, une «  carte d’achats  » (carte comportant une colonne « Achats » et une colonne « Retours ») destinée à faciliter le décompte final des bandes utilisées. Lorsque chaque groupe a réussi à recouvrir chaque arête de son cube en collant une bande de papier pliée, l’enseignant propose d’effectuer le bilan des achats et des retours sur la carte d’achats pour déterminer le nombre d’arêtes utilisées. On constate que, dans chaque groupe, on obtient le même résultat : le cube possède douze arêtes. La même situation est proposée sur le pavé droit avec la difficulté supplémentaire de choisir la bonne longueur pour chaque arête. Les essais, toujours possibles, permettent de trouver la bonne arête, et la carte d’achats permet de gérer les échanges et les retours au marchand. Quand chaque groupe a recouvert toutes les arêtes de son pavé, l’enseignant

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Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiche S46

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Je m’entraîne

1 Le travail réalisé au cours de l’activité préliminaire est une aide forte pour réussir cet exercice. Les objets perçus sur l’illustration sont des baguettes de bois, mais le terme d’« arêtes » est le concept géométrique que les élèves doivent leur associer. Les boules de pâte à modeler ont déjà été associées au concept de « sommets » dans l’activité préliminaire.

Dans cette fiche, les élèves peuvent s’entraîner avec trois exercices. Le premier est un exercice dans lequel ils doivent colorier les cubes en bleu et les pavés en vert à partir de vues en perspective de solides opaques. Quand la face frontale est un rectangle, les élèves ont l’assurance d’avoir affaire à un pavé droit. Dans le deuxième exercice, les élèves doivent colorier une face, une arête et un sommet sur un cube opaque vu en perspective cavalière. Dans le troisième, les élèves doivent dénombrer les arêtes et les sommets d’un pavé transparent.

2 Les élèves doivent commander le nombre de carrés nécessaire pour habiller un cube. Ils doivent donc connaître le nombre de faces d’un cube et ne pas se fier au dessin en perspective qui représente le cube comme le fait Léa. Il est souhaitable que, lors de la correction de l’exercice, l’enseignant se livre lui-même, devant la classe, à « l’habillage » d’un cube. Pour cela, il colle, grâce à une boule de Patafix, un carré de carton sur chaque face d’un cube. Les élèves constatent que l’enseignant a bien utilisé six carrés de carton pour habiller toutes les faces du cube.

➢ Photofiche S47 Cette photofiche de soutien propose 3 exercices. L’élève doit distinguer la forme des faces d’après la nature du solide.

Coin du chercheur Avec 4 petits cubes, on ne peut pas former un grand cube (il en faudrait 8).

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Le mètre, le décimètre, le centimètre

Compétences

Calcul mental 

Connaître le centimètre, le décimètre, le mètre et leurs relations. Choisir l’unité qui convient.

Additionner 200. L’enseignant dit : « 154 + 200 = … » ; l’élève écrit 354. Items : 154 + 200 ; 159 + 200 ; 281 + 200 ; 328 + 200 ; 416 + 200 ; 548 + 200 ; 109 + 200 ; 715 + 200 ; 803 + 200 ; 964 + 200.

Observations préalables Dans cette leçon sur les mesures de longueur, nous limitons le travail au mètre et à deux de ses sous-multiples : le décimètre et le centimètre. L’étude des multiples du mètre fera l’objet de la leçon 115. Pour que les élèves maîtrisent correctement les relations entre ces unités, il est indispensable de les inciter à réaliser des exercices pratiques de mesurage aussi souvent que l’occasion s’en présente : par exemple, au cours des leçons de géométrie (tracer des segments ou des figures dont les dimensions sont données…), mais aussi lors des séances d’arts plastiques (réaliser une maquette...), de biologie (mesurer la croissance d’un végétal), d’éducation physique (mesurer la hauteur et la longueur d’un saut), etc.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble Matériel  : Bandelettes de papier de 20 cm et de 10 cm (page matériel G) ; Scotch ; règle de 1 m.

Les élèves utilisent le résultat de l’activité préliminaire pour compléter l’égalité : 1 m = 100 cm. Puis, par groupes de trois ou quatre, ils détachent l’une des bandes rouges du fichier (page matériel G). L’enseignant affirme que la longueur de cette bande est de 1 décimètre et écrit 1 dm. Il demande de reporter cette bande sur un mètre pliant ou sur le mètre de la classe. Les élèves trouvent que cette bande est reportée 10 fois. Les élèves complètent la phrase du fichier : la règle de la classe mesure 10 décimètres (10 dm)  ; 1  m  = 10 dm. L’enseignant demande alors de mesurer la longueur de cette bande rouge avec la règle graduée en cm. Les élèves trouvent que 1 dm = 10 cm. L’enseignant en profite pour faire remarquer que ces unités « vont » de 10 en 10 : 1 m = 10 dm ; 1 dm = 10 cm. Il écrit au tableau 248 cm qu’il demande de convertir en m et cm. Dans leur cahier d’essai, les élèves décomposent ce nombre : 248 cm = 100 cm + 100 cm + 48 cm = 1 m + 1 m + 48 cm 248 cm = 2 m 48 cm. L’enseignant demande ensuite de compléter les égalités du fichier. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de  : «  Nous avons appris à fabriquer, puis à utiliser le mètre, le décimètre et le centimètre pour mesurer une longueur. »

 Activité préliminaire

Fabriquer « un mètre » L’enseignant demande aux élèves de découper, sur la page matériel G du fichier, la bande cartonnée de couleur orange. Les élèves vérifient que cette bande mesure 20 cm (ils peuvent utiliser la règle graduée comme ils l’ont appris en leçon 80). « Comment, avec cette bande, mesurer la longueur de la règle graduée de la classe  ?  » Les élèves constatent qu’il faut 5 bandes. L’enseignant affirme que la règle graduée de la classe mesure 1 mètre et écrit 1 m. On a donc l’égalité : 1 m = 20 cm + 20 cm + 20 cm + 20 cm + 20 cm = 100 cm. L’enseignant raconte brièvement l’histoire du système métrique et signale qu’en dehors des pays anglo-saxons, le mètre est l’unité de longueur utilisée dans le monde entier. Les élèves comparent « le mètre » de la règle de la classe avec ceux du commerce. Tous les instruments de mesure nommés « mètres » ont bien la même longueur. L’enseignant fait aussi remarquer qu’un « grand pas » a une longueur proche de un mètre, ce qui permet aux élèves de mesurer rapidement certaines longueurs, comme la largeur de la classe ou du couloir afin d’avoir une idée approximative de leur mesure en mètres avant de les mesurer avec plus de précision.

Activités individuelles 2 Cet exercice renforce les conversions. Les égalités : 1 m =  100 cm et 1 dm =  10 cm doivent être acquises, elles permettent de compléter 4 dm = 40 cm et 3 m = 300 cm. Si les élèves procèdent comme ils l’ont déjà fait en décomposant 150 cm = 100 cm + 50 cm = 1 m 50 cm, ils doivent réussir cette dernière conversion. 3 Cet exercice rappelle les propriétés du matériel de la page G utilisé dans les activités précédentes : la bande orange mesure 2 dm ou 20 cm.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice porte sur le choix de l’unité. En cas de divergence, l’enseignant propose le recours à l’expérimentation, quand c’est possible. Il est important que chaque élève ait ses propres références : les mesures de 2 m pour l’épaisseur d’un livre ou de 2 cm pour le saut d’un garçon doivent lui apparaître absurdes.

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➤ Prolongements ➢ Photofiche S48

4 Les élèves décomposent 1 m 37 cm : 1 m 37 cm = 100 cm + 37 cm = 137 cm. Nina mesure 137 cm.

Cette photofiche propose 4 exercices : le premier est axé sur le choix de l’unité ; le deuxième sur les conversions m, dm et cm ; le troisième et le quatrième sur le prolongement d’un segment dont la mesure est donnée en cm pour le premier, en dm et en cm pour le second.

À l’issue de ces exercices, l’enseignant peut proposer aux élèves de mesurer, en dm ou en cm, les longueurs de divers objets de leur environnement immédiat : longueur et largeur de leur bureau, longueur et largeur d’un livre, du fichier, longueur de leur trousse… Ces mesurages enrichissent leur capital personnel d’expériences sur les longueurs et leurs mesures ; ils peuvent aussi leur donner envie de mesurer les longueurs d’autres objets de leur quotidien, ce qui les aidera par exemple, à affirmer qu’un livre ne peut pas mesurer 2 m de long !

➢ Photofiche A25 Elle comporte deux exercices présentés sous forme ludique. Dans le premier exercice, l’élève doit convertir la taille des enfants pour pouvoir les comparer. Dans le second, l’élève doit utiliser des conversions pour indiquer la hauteur des sapins dans les étiquettes.

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Le mètre, le kilomètre

Compétences 

Calcul mental 

Connaître les unités mètre et kilomètre comme unités indépendantes. Choisir l’unité qui convient.

Multiplier par 10. L’enseignant dit : « 15 × 10 » ; l’élève écrit 150. Items : 15 × 10 ; 18 × 10 ; 55 × 10 ; 37 × 10 ; 21 × 10 ; 86 × 10 ; 11 × 10 ; 68 × 10 ; 77 × 10 ; 91 × 10.

Observations préalables Dans cette leçon, sur les mesures de longueur nous limitons le travail au mètre et à un multiple, le kilomètre. Pour que les élèves maîtrisent correctement les relations entre ces deux unités, il est indispensable de les inciter à réaliser des exercices de mesurage en grandeur réelle, aussi souvent que l’occasion s’en présente, par exemple au cours d’un voyage scolaire, lors des séances d’éducation physique, en géographie etc. Les nouveaux programmes recommandent au CE1 de traiter ces unités comme unités indépendantes, ce qui induit qu’au cycle 2, pour ajouter des mesures de longueurs données en m et km on ne va pas convertir ces longueurs dans la même unité mais qu’on va les ajouter séparément : km avec km, m avec m. Ce n’est qu’à partir du CE2, quand le nombre 1 000 sera étudié, que ces unités de longueur seront mises en relation.

Activités collectives écrivent « mètre » ou « m » d’un côté de l’ardoise et « kilomètre » ou « km » de l’autre. L’enseignant leur demande ensuite de compléter des phrases. Par exemple : « La classe mesure 6 ... », etc. Les élèves montrent l’unité qui convient à l’aide de l’ardoise. Chaque réponse est ensuite commentée collectivement. Puis l’enseignant demande de préciser les critères qui permettent de choisir entre ces deux unités.

 Activités préliminaires Activité 1 : En plein air

Sur le stade, l’enseignant répartit les élèves en groupes. Chaque groupe dispose d’un décamètre ou d’une ficelle de 10 m afin de matérialiser une distance de 100 m. Un pot est placé tous les 10 m. Au fur et à mesure que les repères sont placés, les élèves annoncent les mesures, qu’ils écrivent sur un carton placé sous ou contre le plot : 0 m, 10 m, ..., 100 m. Lorsque les élèves ont visualisé une longueur de 100 m, l’enseignant leur fait parcourir 100 m. Il leur indique que s’ils parcourent 10 fois cette distance, ils parcourront un kilomètre. Il demande à quelques élèves de marcher sur un kilomètre. Les élèves découvrent qu’il leur faudra longtemps pour y parvenir (de 15 à 20 min). Conclusion : le kilomètre est une longue distance et une très grande unité de longueur. L’enseignant précise que les distances figurant sur les panneaux routiers sont exprimées en km.

Découvrons ensemble

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Matériel  : Un décamètre ou plusieurs ficelles mesurant 10 m ; des plots (10) ou tout autre objet pour matérialiser un repère ; 10 feuilles en carton.

La première partie du « Découvrons ensemble » ne doit pas poser de problèmes si l’activité préliminaire 2 a été traitée. Les élèves observent ensuite le dessin qui illustre la deuxième partie du « Découvrons ensemble ». Ils lisent les panneaux indiquant les distances pour atteindre le refuge et le lac. L’enseignant demande : « Sur ces panneaux, les nombres sont suivis par des unités ; de quelles unités s’agit-il  ?  » puis « Comment connaître la longueur totale du parcours ? » Mathix précise que, pour ajouter ces mesures de longueur, celles-ci doivent être ajoutées séparément, comme des unités indépendantes. Les élèves complètent individuellement les calculs et la phrase réponse : 4 km + 500 m + 2 km 300 m = 4 km + 2 km + 500 m + 300 m = 6 km 800 m. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à utiliser les unités de longueur : mètre et kilomètre et à les ajouter comme des unités indépendantes. »

Activité 2 : En classe L’enseignant propose des mesures de longueur sans exprimer l’unité. D’après le procédé «  La Martinière  », les élèves

Activités individuelles Coin du chercheur 6 cubes composent cet assemblage.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice porte sur le choix de l’unité : m ou km. En cas de divergence, l’enseignant demande aux élèves de justifier leur choix. 2 L’enseignant précise : « On doit ajouter ces longueurs en les additionnant séparément (km avec les km et m avec les m) » : 2 km 100 m + 1 km 600 m = 2 km + 1 km + 100 m + 600 m = 3 km 700 m. 3 Réinvestissement  : Il s’agit de multiplier un même nombre par 10, puis par 5. On amène les élèves à constater que le produit par 10 est le double du produit par 5.

➤ Prolongement ➢ Photofiche A26 Le premier exercice permet de retrouver les unités de longueur parmi les autres unités de mesure. Le deuxième exercice reprend de manière ludique le choix de la bonne unité : cm, m ou km. Le troisième exercice est un problème d’ajout de longueur.

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Problèmes : Situations multiplicatives

Compétences

Calcul mental

Identifier et résoudre des situations multiplicatives.

Dictée de nombres. L’enseignant dit : « 804 » ; l’élève écrit 804. Items : 804 ; 182 ; 325 ; 298 ; 742 ; 536 ; 372 ; 495 ; 887 ; 910.

Observations préalables Les situations proposées dans cette leçon ont un rapport direct avec ce qu’un élève de CE1 peut rencontrer en accompagnant ses parents chez un commerçant ou au supermarché. Elles évoquent des achats par lots réguliers (œufs, compotes), des calculs de prix dépendant d’un prix unitaire commun (salades) ou des calculs d’une quantité présentée sous la forme d’un tableau rectangulaire (chocolat). La multiplication permet de traduire chacune de ces situations. Cependant, la plupart des élèves préféreront les résoudre par des additions réitérées qu’ils contrôlent mieux, la multiplication n’étant, pour l’instant, qu’une abréviation commode de calculs additifs répétitifs, conception dominante chez les élèves de CE1. Cette conception évoluera au cycle 3 quand les compétences en calcul multiplicatif se seront renforcées. La démarche de l’élève pour résoudre une situation-problème peut être décomposée en trois temps : – élaborer une représentation efficace de l’énoncé qui débouche sur ce que l’on pourrait appeler pompeusement « la mise en équation du problème ». Cela représente un vrai travail de mathématisation et d’abstraction pour un jeune élève ; – s’organiser pour effectuer les calculs de la façon la plus simple grâce à des écritures équivalentes (traitement algébrique de l’équation) dans lesquelles on oublie l’histoire que raconte l’énoncé pour se consacrer à la réalisation du calcul ; – réinterpréter le résultat dans le cadre de l’énoncé initial en rédigeant une phrase-réponse. C’est sans doute parce qu’ils ne parviennent pas à bien distinguer ces différents aspects de la résolution de problèmes que de nombreux élèves restent incapables d’entrer dans la seconde partie du travail. Il appartient donc à l’enseignant d’aménager temporellement chacune de ces phases en luttant contre l’idée qu’une réponse immédiate doit faire suite à la question de l’énoncé.

Activités collectives 1 Les élèves observent attentivement l’énoncé et son illustration, l’enseignant propose une verbalisation collective autour de cet énoncé. Les élèves doivent calculer le prix de trois salades à 2 ¤ l’une. Ils doivent comprendre que 2 ¤ est le prix d’une seule salade et non le prix de l’ensemble des trois salades. Il faut donc s’assurer que la situation est correctement comprise. Il est probable que plusieurs élèves effectueront le calcul : 2 ¤ + 2 ¤ + 2 ¤ car cette traduction leur est naturelle. D’autres élèves adopteront le calcul du produit 3 × 2 ou 2 × 3 en vertu de la commutativité de la multiplication. L’enseignant montrera que ces derniers ont répondu plus rapidement et se sont économisés du travail, à condition de savoir que 3 × 2 = 2 × 3 = 6 ce qui renvoie à la nécessité de connaître les tables de multiplication. 2 Les élèves dénombrent les œufs contenus dans une boîte. Il faut comprendre que chaque boîte contient six œufs. Une discussion collective autour de l’énoncé est à nouveau souhaitable. L’enseignant précise que, sur l’illustration, une seule boîte est ouverte, mais les autres, bien que fermées, contiennent aussi six œufs. La résolution fera certainement apparaître l’écriture : 6 + 6 + 6 + 6 (4 fois 6) qui sera majoritairement préférée à l’écriture du produit 4 × 6 ou 6 × 4. On peut évidemment formuler les mêmes remarques que pour le problème précédent. À ce stade, pour inciter les élèves à entrer dans le calcul de produits, l’enseignant peut choisir de les encourager à consulter les tables de multiplication figurant sur le plat II de couverture du fichier dès qu’ils auront identifié un produit à calculer. Il peut aussi leur confier une calculatrice pour privilégier les écritures multiplicatives dans leur démarche de résolution. L’intervention de la calculatrice reste une variable déterminante dans les situations de résolution de problèmes dont l’enseignant est seul juge, sachant que, lorsqu’il la fait

intervenir, il abandonne provisoirement l’objectif d’apprentissage du calcul, au bénéfice de l’apprentissage du sens des opérations, l’apprentissage du calcul faisant l’objet d’autres types de séances. 3 Les élèves seront tentés de dénombrer les chocolats contenus dans la boîte, mais le couvercle en cache quelquesuns. Si aucun élève ne le remarque, l’enseignant leur rappellera que la forme rectangulaire de la disposition des chocolats de cette boîte est une aide pour le calcul du nombre de chocolats. En comptant le nombre de lignes et de colonnes de ce tableau rectangulaire, on aboutit au calcul : 5 × 5. La connaissance des tables de multiplication ou l’utilisation de la calculatrice conduit encore rapidement au résultat. La boîte contient 25 chocolats. 4 Dans ce dernier problème, les élèves retrouvent une situation analogue à celle du problème n° 2. Il n’est plus possible de dénombrer les objets contenus dans l’emballage : ce renseignement est maintenant écrit. La solution est apportée par le calcul 12 × 2 ou 2 × 12, mais aussi par le calcul du double de 12. À la fin de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à résoudre des situations multiplicatives et qu’il est plus rapide de faire des multiplications qu’une suite d’additions avec le même nombre. »

➤ Prolongement ➢ Photofiche P11 Cette photofiche comporte trois problèmes multiplicatifs reposant sur la même situation illustrée  : des enfants possèdent des cartes qui valent 2, 3 ou 5 points. Il faut calculer le nombre de points détenus par chaque enfant.

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(4) Plongée en mer

Observations préalables Les pages « Maths Aventures » concluent chacune des cinq périodes. Le contexte de ces pages, bien que plus ludique, est plus complexe que celui d’un problème classique. Répondre aux six questions nécessite une recherche d’informations et l’utilisation des notions et des techniques étudiées durant la période. Les cinq « Maths Aventures » sont traitées de la même façon, le jour même : – lecture et explications de l’enseignant ; – travail individuel ; – confrontation en petits groupes ; – correction collective des exercices. Lors de la correction, l’élève colorie le dessin d’un objet accolé à l’exercice lorsqu’il a réussi celui-ci. Dans le cas de la page « Plongée en mer », il colorie un coquillage. L’activité terminée, l’élève compte les exercices réussis, c’est-à-dire le nombre de coquillages coloriés : si l’élève n’a pas commis d’erreur ou n’en a commis qu’une, il colorie la médaille d’or sur le podium en bas de page. S’il a commis deux ou trois erreurs, il colorie la médaille d’argent, et s’il a commis plus de trois erreurs, il colorie la médaille de bronze. Tous les élèves colorient ainsi une médaille. Pour recenser et comparer les résultats obtenus pour toutes les périodes de l’année, l’enseignant peut photocopier, pour chaque élève, la fiche récapitulative sur laquelle l’élève note son score en coloriant les objets et la médaille correspondante (cf. matériel photocopiable p. 54). Ces informations guideront l’enseignant pour des séances de remédiation qu’il organisera avant les évaluations de fin de période.

Activités collectives ➝ «  Vous devrez compléter l’étoile de mer par symétrie. Que

Pendant quelques minutes, les élèves observent le dessin, puis communiquent leurs observations à la classe. L’enseignant pose alors quelques questions pour attirer leur attention sur les points qu’ils n’ont pas relevés et sur les éléments indispensables pour répondre aux questions. Chaque bulle est ensuite lue à voix haute par l’enseignant ou par un élève. Elle est commentée surtout si le texte ou le contexte n’est pas compris par certains. ➝ « Comment convertir 1 h 30 min en minutes ? » ➝ « Comment faire pour connaître le nombre de poissons clowns représentés ? »

représente le trait rouge ? Comment allez-vous travailler ? »

➝ « Quelles sont les ressemblances et les différences entre les cubes et les pavés droits ? »

➝ « Quelle est la longueur de la rame de la barque ? Quel est le nombre de centimètres dans un mètre ? »

➝ « Combien y a-t-il de pièces en tout dans les deux coffres ?

Combien y a-t-il de pièces dans le coffre marron ? Peut-on lire le nombre de pièces sur le coffre jaune ? Comment le calculer ? »

Activités individuelles 4 Cet exercice permet de discriminer de manière perceptive un cube et un pavé droit. 5 Pour réaliser cet exercice, les élèves doivent connaître la relation entre le mètre et le centimètre puis convertir une mesure exprimée en mètres et centimètres en centimètres. 6 Les données sont à la fois dans l’énoncé et dans le dessin. Il faut effectuer une addition à trou : 500 + … = 800, c’est-àdire calculer le complément de 500 à 800. Lors de la correction, montrer qu’il est plus simple de raisonner en centaines.

Les élèves travaillent individuellement. En cas de difficulté de compréhension de l’énoncé, ils demandent l’aide de l’enseignant. Quand tous ont complété les réponses aux questions, ils peuvent comparer leurs résultats par groupes de 2, 3 ou 4, sans corriger leurs réponses. Les groupes s’entendent sur une solution qui sera présentée lors de la mise en commun. Cette dernière permet de confronter les réponses données, de les justifier ou, éventuellement, de les corriger. 1 L’élève doit convertir 1 h 30 min en minutes et donc utiliser la relation 1 h = 60 min. Le plongeur est sous l’eau depuis  : 60 min + 30  min = 90 min. 2 On admettra les deux réponses 4 × 5 ou 5 × 4. Laisser à l’élève la possibilité d’écrire, sur son ardoise, une addition réitérée pour calculer le résultat. 3 Les élèves doivent compléter l’étoile de mer par symétrie axiale. Ils vont utiliser le papier calque. Pour leur simplifier la tâche, nous avons choisi une figure qui possède un seul axe de symétrie. Avec ce type de figure, la manipulation du papier calque est réduite à un unique retournement. En effet, le gabarit d’une figure qui possède un axe de symétrie peut se retourner dans sa trace.

Pour terminer, l’enseignant demande aux élèves de lire la bulle de Mathix, puis de colorier les coquillages correspondant aux exercices réussis. Ensuite, les élèves qui ont gagné 5 ou 6 coquillages colorient la médaille d’or ; ceux qui ont gagné 4 ou 3 coquillages colorient la médaille d’argent ; les autres colorient la médaille de bronze. Ce type d’évaluation, à la fois ludique et rapide, informe l’enseignant sur le degré de réussite de sa classe. Cette information sera complétée par les résultats de l’évaluation qui suivra, dans laquelle les élèves feront le point sur la période écoulée.

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J’ai compris et je retiens (8)

Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les notions acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. L’activité concrète de cette page consiste, pour les élèves, à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• Je nomme les solides. « Observez les dessins des solides. Quels sont les deux solides qui possèdent des faces arrondies ? » « Quelle est la forme des faces d’un cube ? » • Je reconnais un cube et un pavé droit. « Qu’ont en commun le cube et le pavé droit ? » « Quelle est la différence entre un cube et un pavé droit ? »

Commentaire de chaque partie

Chaque partie est observée et discutée.

• Je multiplie un nombre par 10. « Quel est le nombre égal à 3 dizaines ? à 12 dizaines ? « Qui veut expliquer la bulle de Mélissa ? » « Qui peut alors calculer 13 × 10 ? » • Je connais les unités de mesure de longueur. « Que signifie cm ? m ? dm ? km ? » « La distance entre deux villages s’exprime-t-elle en mètres ou en kilomètres ? Qui peut donner un exemple ? » «  La longueur de la cour s’exprime-t-elle en mètres ou en kilomètres ? » «  Qui peut donner un exemple de longueur mesurée en centimètres ? »

L’enseignant complète éventuellement les observations des élèves. Il insiste sur la nécessité de connaître parfaitement les tables de multiplication, de savoir ce que sont un mètre, un kilomètre... Il précise dans quelles situations on peut avoir besoin de toutes ces connaissances. Il leur demande encore si, parmi les thèmes abordés dans cette page, ils pensent avoir tout compris. Cette mise au point est précieuse pour les élèves. Elle leur permet de recevoir les dernières explications avant l’évaluation qui va suivre.

• Je connais la table de multiplication de 5. « Comment peut-on vérifier que 4 × 5 = 20 ? » « Par quels chiffres se terminent les résultats de la table de multiplication par 5 ? » • Je connais les moitiés des nombres pairs. « Que signifie “prendre la moitié de 4 pommes” ? » « Qu’est-ce qu’un nombre pair ? » « Si j’écris 6 = 3 + 3, que peut-on dire de 3 ? » « Comment vérifier si on a bien trouvé la moitié d’un nombre ? »

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Je fais le point (8)

Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un, inspiré de la grille de référence du Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide. Les élèves travaillent individuellement. Il leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible la correction doit avoir lieu le jour même.

Socle commun

Commentaires

Propositions de remédiation

1. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

Cet exercice ne présente guère de difficulté. L’élève doit multiplier un nombre d’un ou de deux chiffres par dix.

Attention à l’abus de langage : dire « On écrit un zéro à droite du nombre » et non « On ajoute un zéro à ce nombre » (ajouter zéro ne modifie pas le nombre). ➢ Photofiche S43

2. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

Observer si les élèves trouvent le résultat spontanément ou s’ils sont obligés d’effectuer des additions ou de tracer des rectangles pour le trouver.

Demander aux élèves de construire la table de multiplication de 5 comme dans le « Découvrons ensemble » de la leçon 106.

3. Reconnaître et trier les solides usuels parmi des solides variés.

Cet exercice ne devrait pas poser de diffiPasser du solide géométrique au solide culté, les solides présentés étant connus des de la vie quotidienne : boîte de conserve, élèves. boîte de jeu de cubes, etc.

4. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

Exercice classique d’utilisation de la calculatrice.

Les erreurs ne peuvent provenir que d’une faute de frappe. Demander aux élèves de taper deux fois l’opération pour vérifier leur résultat. ➢ Photofiche S45

5. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

Laisser suffisamment de temps de travail car certains élèves auront besoin de représenter des collections. Leur donner la possibilité d’écrire sur l’ardoise.

Faire remarquer l’avantage de connaître les moitiés des premiers nombres par cœur. Passer par la représentation des nombres en collections. ➢ Photofiche S44

 Multiplier un nombre par dix.

 Connaître la table de multiplication de 5.

 Nommer quelques solides.

 Utiliser une calculatrice.

 Connaître la moitié d’un nombre.

Il faut exprimer une mesure en utilisant 6. Exprimer une mesure dans une ou plusieurs unités la bonne unité. Mettre en évidence les réponses aberrantes. choisies ou imposées.  Utiliser les unités de longueur : m, cm, km.

La remédiation n’est pas le fruit d’une seule leçon, mais d’un travail de chaque jour en référence à des situations habituelles. ➢ Photofiche S48

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Socle commun

Commentaires

Exercice de conversion entre m et cm, 7. Exprimer une mesure dans une ou plusieurs unités puis dm et cm, et enfin m et dm. La principale difficulté est l’utilisation du choisies ou imposées

Propositions de remédiation Vérifier si l’élève connaît les conversions de base : 1 m = 100 cm ; 1 m = 10 dm ; 1 dm = 10 cm. Procéder ensuite par décomposition : 2 m 50 cm = 2 m + 50 cm = 200 cm + 50 cm = 250 cm. ➢ Photofiche S48

 Connaître les relations entre m, cm, dm.

décimètre-unité peu employée dans la vie quotidienne.

8. Décrire et comparer des solides en utilisant le vocabulaire approprié.

L’élève doit connaître le nombre de sommets et de faces d’un pavé droit, comptabiliser les sommets et les faces qu’il voit et en déduire ceux qui manquent.

9. Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne conduisant à utiliser les quatre opérations.  Résoudre une situation multiplicative.

S’assurer de la bonne compréhension de Faire jouer la situation. l’énoncé. Si nécessaire, l’enseignant le lit. Passer par l’addition réitérée : Les deux écritures 3 × 6 et 6 × 3 sont accep- 6 + 6 + 6 = 18. tables. Sarah achète 18 yaourts.

 Décrire un pavé droit.

La remédiation passe par la manipulation d’un pavé droit. Demander de comptabiliser les faces et les sommets. Puis passer au pavé droit dessiné. ➢ Photofiches S46 et S47

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Évaluation (8) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

Nombres et calcul 1. a. b. c.

Mémoriser des faits et des procédures. Multiplier un nombre par 10. Connaître la table de multiplication par 5. Connaître la moitié d’un nombre pair.

2.

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Utiliser une calculatrice.

3.

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne conduisant à utiliser les quatre opérations. Résoudre une situation multiplicative.

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

1 a. Complète. 3 × 10

5 × 10

9 × 10

10 × 10

15 × 10

67 × 10

......

......

......

......

......

......

3×5

4×5

5×5

6×5

7×5

8×5

......

......

......

......

......

......

b. Complète.

c. Complète. Nombre

8

10

4

14

20

Moitié

......

......

......

......

......

2 Utilise ta calculatrice pour calculer : 613 – 295 = ............

549 + 478 = ............

15 × 28 = ............

3 Au semi-marathon des Monts-Dorés, les concurrents doivent parcourir 3 fois une boucle de 7 km. Quelle distance parcourent-ils ? ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 187

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

Grandeurs et mesures 4. a. b.

Exprimer une mesure dans une ou plusieurs unités choisies ou imposées. Utiliser les unités de longueur. Connaître les relations entre m, dm et cm.

4 a. Complète avec m, km ou cm.

Un arbRe a une $hauteur de 6 ............ . L*a loNgueur d’un $stylo est 15 ............ . L*a distance P*aris-L*yoN est égale à 450 ............ . b. Complète. 3 m = …….. cm

2 dm =  ……… cm

100 cm = ……. m

2 m 54 cm = ……….. cm

1 km 50 m + 2 km 300 m = ……. km ……….. m

Compétences et connaissances

Évaluation

Espace et géométrie 5.

Reconnaître et trier les solides usuels parmi des solides variés. Identifier un solide.

6.

Décrire et comparer des solides en utilisant le vocabulaire approprié. Identifier les sommets d’un pavé droit.

5 Parmi ces solides, entoure en vert

6 Sur ce dessin de pavé, combien

le pavé droit et en bleu la pyramide.

vois-tu de sommets ? ……… Combien de sommets sont cachés ? ………

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

L*e matin, $poUr $se rendre à $l’écoLe, M*ario a $parcoUru 900 ............ .

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120 Multiplication : les tables de 3 et de 4 Compétences 

Calcul mental

Construire et apprendre les tables de 3 et de 4 de la multiplication.

Table de multiplication de 2. L’enseignant dit : « 3 × 2 » ; l’élève écrit 6. Items : 3 × 2 ; 4 × 2 ; 1 × 2 ; 8 × 2 ; 7 × 2 ; 5 × 2 ; 6 × 2 ; 10 × 2 ; 2 × 2 ; 9 × 2.

Observations préalables Les tables de multiplication doivent être connues des élèves car elles constituent une base pour toute l’arithmétique. Cet apprentissage commence au CE1 et continue pendant toute la scolarité primaire ; il faut donc accepter de l’étaler dans la durée et d’y revenir fréquemment. Bien que cet apprentissage repose sur la mémorisation, il a été montré qu’un élève capable de construire ou de reconstruire ses tables de multiplication réussit mieux à les mémoriser. Il est donc souhaitable d’aider les élèves à construire ces tables avant de les inciter à les mémoriser.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Un jeu de 10 ou 12 cartes comportant chacune 3 points ; un jeu de 10 ou 12 cartes comportant chacune 4 points (cf. matériel photocopiable ci-après).

L’enseignant dirige les élèves vers les premières illustrations du fichier. Théo est en train de construire la table de 3 de la multiplication. Il a déjà écrit les quatre premiers résultats, en ajoutant chaque fois 3 au résultat qui précède. Cette démarche rappelle les remarques faites lors de l’activité préliminaire. Les élèves complètent la table de 3 jusqu’à 10 × 3 en vérifiant que leurs calculs correspondent bien aux résultats écrits au tableau lors de l’activité préliminaire. Une récapitulation orale des dix résultats est dirigée par l’enseignant, puis la classe se penche sur les calculs de Léa. Elle est en train de construire la table de 4 de la multiplication. L’analogie avec le travail précédent et celui de l’activité préliminaire n’échappera pas aux élèves qui complètent la table de 4 jusqu’à 10 × 4. Une récapitulation orale des dix résultats est dirigée par l’enseignant qui signale que ces résultats devront progressivement être sus par cœur. Lors de la prochaine séance, il interrogera oralement les élèves sur les cinq premiers résultats de chaque table. Un affichage mural peut favoriser la familiarisation avec ces tables. Il sera masqué lors des interrogations orales. L’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de  : «  Nous avons appris à construire la table de 3 et la table de 4 de la multiplication. »

 Activité préliminaire

L’enseignant est le meneur de jeu. Il demande à un élève de venir tirer deux cartes du jeu de cartes à 3 points. L’élève montre ses cartes à ses camarades ; l’enseignant demande à la classe d’écrire, sur l’ardoise, le nombre de points tirés. L’élève qui a tiré les cartes valide en dénombrant. L’enseignant écrit au tableau : 2 × 3 = 3 + 3 = 6. Un autre élève vient tirer quatre cartes du même jeu et la même démarche est appliquée. L’enseignant écrit  : 4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Un arbre à calcul peut être dessiné sous la somme de quatre termes qui fait apparaître 6 + 6  ; on peut aussi faire remarquer que 4 × 3 est le double de 2 × 3. Les tirages se poursuivent avec : 5 × 3 ; 6 × 3 ; 8 × 3 ; 10 × 3. Chaque produit est écrit au tableau sous forme de somme, et l’enseignant sollicite les remarques des élèves sur certaines « astuces » de calcul prenant en compte les résultats précédents. Le même travail est repris avec le jeu de cartes à 4 points et donne lieu au même type d’écritures et de remarques. Les produits et les sommes restent écrits au tableau.

Activités individuelles 2 Cet exercice reprend la démarche de l’exercice 1 avec la table de 4. 3 Les élèves doivent compléter des produits par 3 ou par 4 en s’aidant des tables construites précédemment. Cette appropriation des tables favorise leur mémorisation.

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent barrer les nombres qui ne sont pas dans la table de 3. Ils vérifient leurs résultats à partir de la table de 3 qu’ils viennent de construire dans le « Découvrons ensemble ».

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© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Leçon

120

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– Multiplication : les tables de 3 et de 4

Matériel photocopiable

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Apprentissage des tables de multiplication

Compétences

Calcul mental

Apprendre les tables. Utiliser la commutativité de la multiplication.

Double d’un nombre inférieur à 20. L’enseignant dit : « Double de 13 » ; l’élève écrit 26. Items : double de 13 ; double de 12 ; double de 8 ; double de 10 ; double de 7 ; double de 15 ; double de 16 ; double de 9 ; double de 14 ; double de 17. 

Observations préalables Avec cette leçon, nous souhaitons, premièrement, montrer aux élèves qu’à partir d’un résultat connu dans une table, il est possible de trouver les autres ; deuxièmement, que le nombre de résultats à connaître peut être divisé par deux grâce à la commutativité. En outre, connaître les tables de multiplication des nombres inférieurs ou égaux à 5, c’est connaître les trois quarts de l’ensemble des tables. Il ne reste plus qu’à apprendre les produits dont les deux facteurs sont supérieurs à 5.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Un cache cartonné que l’enseignant déplacera sur certains résultats de la table qu’il va écrire au tableau ; un tableau à double entrée contenant les tables de 1 à 10 (cf. matériel photocopiable ci-après).

Les élèves observent les illustrations du fichier et reconnaissent la situation de l’activité préliminaire. Un élève lit la bulle de Léa, et l’enseignant demande à la classe de compléter les produits se trouvant sous le produit 5 × 5. Un autre élève lit la bulle de Théo, et l’enseignant demande à la classe de compléter les produits se trouvant au-dessus de 9 × 5. Un autre élève encore lit la bulle de Mélissa, et la classe complète les produits 7 × 5 et 5 × 7. L’enseignant prolonge ce travail en interrogeant oralement les élèves sur la valeur de 3 × 7 qui se trouve dans la table de 7 qu’ils n’ont pas encore étudiée, mais aussi dans la table de 3 car 3 × 7 = 7 × 3 ; de même pour 4 × 9 ; 5 × 8 ; 3 × 6… L’enseignant affiche alors le tableau à double entrée des tables de 1 à 10 (matériel photocopiable). Il contient déjà les résultats que les élèves connaissent. L’enseignant rappelle comment lire ce tableau, puis il complète avec eux, par commutativité, la partie correspondant au début des tables de 6, de 7, de 8, de 9 et de 10. Il souligne que les élèves connaissent déjà la plus grosse partie de ce qu’ils devront mémoriser au cours des semaines à venir. À la fin de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à retrouver des résultats dans une table de multiplication et à renverser des multiplications pour les rendre plus faciles. »

 Activité préliminaire

Après avoir travaillé lors de la leçon précédente sur la construction des tables de 3 et de 4, l’enseignant propose de construire la table de multiplication de 5. Il écrit, au tableau, la liste des dix produits de la table de 5 et demande aux élèves quels sont les produits dont ils connaissent la valeur. Il recueille de façon immédiate les résultats de 1 × 5, 2 × 5, 10 × 5 et peut-être 5 × 5. Il les valide et les note. Puis il demande aux élèves de procéder de la même façon que pour les tables de 3 et de 4 pour calculer les produits manquants. En progressant de proche en proche, la classe complète la liste des dix résultats. L’enseignant se munit d’un cache vertical et commence par masquer les résultats à partir de 3 × 5. Il demande à un élève de retrouver la valeur de 3 × 5, puis celle de 4 × 5 ; au fur et à mesure des propositions, il descend le cache vers le bas. Puis il le place verticalement sur les neuf premiers produits, ne laissant voir que le produit 10 × 5 = 50, et demande à un élève de retrouver les produits 9 × 5, puis 8 × 5… Il peut conclure en leur disant que, quand, dans la table de 5, on connaît un résultat, on peut trouver les résultats proches. Il suffit d’ajouter 5 ou de retrancher 5, selon que l’on descende ou que l’on monte dans la table.

Activités individuelles 4 Réinvestissement : Les élèves doivent tracer un carré et un rectangle sur un quadrillage. C’est un exercice ouvert car un grand nombre de possibilités est offert.

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent retrouver la valeur de 5 × 2, puis les deux produits qui suivent en « descendant » dans la table de 2. Ils doivent faire le même travail à partir de 5 × 3 en « descendant » dans la table de 3. 2 Dans cet exercice, les élèves doivent retrouver la valeur de 10 × 4, puis les deux produits qui précèdent en « remontant  » dans la table de 4. Ils doivent faire le même travail à partir de 10 × 3 en « remontant » dans la table de 3. 3 Dans cet exercice, les élèves doivent utiliser la commutativité de la multiplication pour retrouver les valeurs de quelques produits qui font partie des tables de 2, de 3, de 4 ou de 5.

Coin du chercheur Les élèves peuvent écrire la liste des nombres de 55 à 65 et sélectionner ceux dont le chiffre des unités est inférieur au chiffre des dizaines : 60, 61, 62, 63, 64, 65. Il y a donc 6 nombres ayant cette propriété.

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Leçon

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– Apprentissage des tables de multiplication

Matériel photocopiable (À agrandir)

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Mesurer des masses

Compétence

Calcul mental

Mesurer des masses en kg et g, comme unités indépendantes.

Table de multiplication de 5. L’enseignant dit : « 4 × 5 » ; l’élève écrit 20. Items : 4 × 5 ;  2 × 5 ; 8 × 5 ; 1 × 5 ; 3 × 5 ; 5 × 5 ; 7 × 5 ; 9 × 5 ; 6 × 5 ; 10 × 5.

Observations préalables Une masse est une quantité de matière que l’on exprime en g ou en kg. La masse est la même que l’on soit sur la Terre, sur la Lune, dans une station spatiale… Elle est souvent confondue avec le poids qui est une force exercée par la Terre et due à la gravitation. L’emploi du verbe « peser » pour mesurer une masse est une conséquence de cette confusion. Le poids se mesure en newtons et la masse en grammes. On pèse 6 fois moins sur la Lune que sur Terre. Cette subtilité est, bien sûr, hors programme à l’école primaire ! Au cours de cette leçon, le travail sur le fichier doit être précédé de manipulations. L’étude et l’utilisation d’une boîte de masses marquées nous semblent indispensables. L’ordre de grandeur est abordé. On vérifie d’abord en soupesant les objets, puis en les pesant à l’aide d’une balance de Roberval.

Activités collectives groupe (livre, trousse, ballon, etc.). Il fait remarquer que les plateaux sont en équilibre lorsque la masse de l’objet à peser est égale à la somme des masses marquées que l’on place sur l’autre plateau. À tour de rôle, dans chaque groupe, les élèves soupèsent un objet pour en évaluer la masse, puis ils vérifient leur évaluation en effectuant la pesée. L’enseignant intervient pour corriger les erreurs.

 Activités préliminaires

Découvrons ensemble

Activité 1 – L’ordre de grandeur : gramme – kilogramme

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Matériel : Balances de Roberval avec leurs masses marquées ; photos d’objets ou de sujets ainsi que des étiquettesmasses (cf. matériel photocopiable ci-après)  ; différents objets pour la pesée : punaises, trombones, fruits (pomme, banane, ananas, pastèque), dictionnaire, cartable ; ardoise ou cahier de brouillon pour réaliser les calculs.

L’enseignant demande aux élèves d’observer les dessins et les différentes balances (première partie). La punaise est posée sur le plateau d’une balance de ménage : sa masse est de 1 g. La masse de la bouteille est mesurée sur une balance de Roberval et vaut 1 kg. Mélissa se pèse avec un pèsepersonne : sa masse est de 29 kg. L’enseignant demande ensuite : « Comment connaître la masse de chaque livre ? » (seconde partie). «  Pour connaître leur masse, il faut additionner les différentes masses marquées posées sur le plateau.  » L’enseignant sera attentif à ce que les élèves additionnent indépendamment g et kg. L’enseignant pose alors la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à choisir une unité de masse  : gramme ou kilogramme. Nous avons appris à mesurer la masse d’un objet avec une balance. »

L’enseignant fait découvrir aux élèves une boîte de masses marquées. Il montre la masse de 1 g et celle de 1 kg. Il indique que le gramme qui a pour symbole « g » et le kilogramme qui a pour symbole « kg » sont des unités de mesure de masse. Il fait remarquer que la masse des objets « légers » s’exprime en grammes et celle des objets « lourds » en kilogrammes. Il fait vérifier les masses de quelques objets de l’environnement immédiat des élèves avec la balance. Il affiche, au tableau, des photos de sujets et d’objets (matériel photocopiable). Il demande ensuite aux élèves de les classer en deux colonnes : ceux dont la masse s’exprime en gramme et ceux dont la masse s’exprime en kilogramme.

Activité 2 – La pesée L’enseignant répartit ensuite les élèves en autant de groupes qu’il a de balances à sa disposition. Il distribue un objet à chaque

Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiche S49

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Je m’entraîne

1 Il fait référence à la première activité préliminaire. Un chat pèse 4 kg, un livre 300 g, une vis 25 g, un enfant 30 kg. 2 Cet exercice se réfère au premier item de la partie 2 du «  Découvrons ensemble  ». Le melon  : 700 g ; la poire  : 155 g ; la grappe de raisin : 205 g. 3 Cet exercice se réfère au second item de la partie 2 du « Découvrons ensemble ». L’enseignant sera attentif à ce que les élèves additionnent indépendamment g et kg.

Dans le premier exercice, l’élève doit préciser l’unité. Dans le second, l’élève doit ajouter des masses marquées. Le gramme et le kilogramme sont considérés, au CE1, comme des unités indépendantes.

➢ Photofiche A27 Dans le premier exercice, on demande d’identifier des unités de masse parmi d’autres unités de mesure. Dans le deuxième exercice, l’élève doit trouver la masse à ajouter pour réaliser l’équilibre d’une balance. Les deux derniers exercices concernent des pesées de fruits identiques.

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Leçon

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– Mesurer des masses

Matériel photocopiable

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123 Problèmes : Pour apprendre à chercher Compétence

Calcul mental

Prévoir des résultats d’actions sur des quantités, des déplacements sur une graduation, conduisant à des additions, des soustractions.

Complément à la dizaine supérieure. L’enseignant dit : « De 127 pour aller à 130 » ; l’élève écrit 3. Items : de 127 pour aller à 130 ; de 136 pour aller à 140 ; de 125 pour aller à 130 ; de 118 pour aller à 120 ; de 149 pour aller à 150 ; de 116 pour aller à 120 ; de 155 pour aller à 160 ; de 188 pour aller à 190 ; de 176 pour aller à 180 ; de 197 pour aller à 200.

Observations préalables Cette leçon s’appuie sur le déplacement d’une bande de longueur connue le long d’une droite graduée. Les questions posées sont inhabituelles mais assez simples pour être comprises par tous les élèves, qui peuvent faire des propositions avant de les vérifier par une expérimentation réelle. Cette démarche, assortie d’un esprit ludique, contient tous les ingrédients de la résolution de problèmes « pour apprendre à chercher » et se situe dans l’esprit des programmes de 2015.

Activités collectives L’enseignant propose plusieurs jeux avec la règle graduée jusqu’à 20. Il place l’extrémité finale de la bande orange sur les graduations 18, 16, 12 et cache les graduations de la règle à partir de 5 jusqu’à 13 avec la bande bleue. Pour chaque graduation correspondant à la fin de la bande orange, les élèves calculent les chiffres des graduations correspondant au début de la bande orange. 4 Les élèves lisent et commentent le problème. L’enseignant demande pourquoi la bande orange comporte un trait noir vertical. Ce trait noir marque le milieu de la bande orange, comme le précise l’énoncé. L’enseignant demande  : « Y a-til des graduations de chaque côté du trait noir  ?  » Les élèves doivent les imaginer. Il y en a 3 de chaque côté car le trait noir est au milieu des 6 graduations. Ils résolvent individuellement l’exercice. La correction se fait avec un élève qui a trouvé les deux réponses. La méthode est expliquée : « À partir de 10, j’ajoute 3 à droite, 10 + 3 = 13, c’est la graduation 13 qui correspond à la fin de la bande orange. À partir de 10, je recule de 3, 10 – 3 = 7, c’est la graduation 7 qui correspond au début de la bande orange.  » Si nécessaire, recourir au matériel collectif pour confirmer les résultats. L’enseignant propose aux élèves d’autres jeux en changeant la position du trait noir sur les graduations de la règle.

Matériel : Une bande de papier graduée jusqu’à 20 u ; une bande de papier orange de longueur 6 u. 4 bandes de papier bleu pour servir de cache. 1 Un élève explique le problème du fichier : Théo mesure une bande orange avec une règle. Cet exercice ne présente pas de difficulté, c’est une simple lecture de mesure. Les élèves répondent à la question en complétant la phrase réponse. La fin de la bande orange se trouve sur la graduation 6. Il faut que les élèves gardent ce nombre en mémoire car il est nécessaire pour résoudre les trois exercices suivants. 2 Les élèves lisent la consigne et observent le dessin. La consigne affirme que la bande orange est celle de Théo. Un élève rappelle la mesure de la longueur de la bande orange. Léa a placé le début de la bande orange à la graduation 7 de la règle, mais une bande bleue cache la fin de la règle, donc le chiffre de la graduation qui se trouve à l’extrémité de la bande orange. Les élèves résolvent individuellement le problème. Ils retrouvent la situation de la leçon 93 sur l’ajout des longueurs. Un élève qui a trouvé la réponse explique sa méthode. Il faut ajouter les 6 unités de la bande orange aux 7 unités de la règle pour trouver le chiffre de la graduation correspondant à l’extrémité de la bande orange. 7 + 6 = 13, la fin de la bande orange se trouve sur la graduation 13. 3 Mélissa déplace la bande orange de telle façon que l’extrémité finale de la bande corresponde à la graduation 14. Il faut trouver le chiffre de la graduation qui correspond au début de la bande. La recherche de solution est soumise à discussion. Les élèves écoutent, débattent, puis résolvent individuellement le problème. Le comptage à rebours sera la préférence de beaucoup. Pour convaincre ceux qui n’ont pas trouvé la réponse, l’enseignant procède comme dans la correction du deuxième problème. Il place l’extrémité finale de la bande orange sur la graduation 14 et cache les graduations de la règle à partir de la graduation 13. Si les 6 graduations sont marquées sur la bande orange, la réponse est évidente, si comme sur le fichier, les 6 graduations ne sont pas visibles (la bande orange étant retournée), un élève qui a trouvé la réponse vient expliquer sa méthode. La correction collective soulignera le rôle du calcul soustractif 14 – 6 = 8 pour trouver rapidement la réponse.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P12 Cette photofiche propose 4 problèmes pour apprendre à chercher. Dans le premier, les élèves doivent trouver deux façons de faire 11 avec des pions verts qui valent 2 points et des pions bleus qui valent 3 points. Dans le deuxième, les élèves doivent trouver le nombre de points obtenus par le dé rouge et ceux obtenus par le dé vert, sachant qu’avec le dé bleu Louis a fait 3 et qu’il a obtenu 10 points en tout. Le troisième est un problème de division : il s’agit de trouver combien la fermière peut remplir de boîtes de 6 œufs avec les 42 œufs qu’elle a ramassés. Le quatrième problème est un problème de logique portant sur la relation d’ordre.

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La multiplication : distributivité (1)

Compétence

Calcul mental

Utiliser la distributivité pour calculer un produit.

Ajouter un nombre de dizaines. L’enseignant écrit : « 210 + 20 » ; l’élève écrit 230. Items : 210 + 20 ; 150 + 30 ; 220 + 20 ; 310 + 30 ; 500 + 50 ; 540 + 30 ; 400 + 20 ; 240 + 40 ; 30 + 120 ; 750 + 40.

Observations préalables Au cycle 2, les élèves sont confrontés à des calculs multiplicatifs mais ne connaissent pas les tables de multiplication audelà de celle de 5. Ils vont découvrir que ces calculs peuvent être traités par des procédures de calcul réfléchi en utilisant la distributivité par rapport à l’addition.

Activités collectives 7×9=7×5+7×4 7 × 9 = 35 + 28 7 × 9 = 63 Théo, quant à lui, décompose 7 en 4 + 3 et partage le rectangle horizontalement. Le codage en couleurs permet une bonne visualisation de ce partage : la partie jaune correspond au produit 9 × 4 ; la partie bleue correspond au produit 9 × 3. Il calcule d’abord 9 × 4 ; ensuite, il calcule 9 × 3. Les élèves complètent les calculs de Théo : 9×7=9×4+9×3 9 × 7 = 36 + 27 9 × 7 = 63 L’enseignant demande : « Pourrait-on trouver un autre découpage qui permette de calculer le produit 9 × 7 ? » Toute réponse permettant de parvenir au résultat sera acceptée : par exemple, 9 × 7 = 9 × 2 + 9 × 5. À l’issue de cette activité, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer un grand produit en produits plus petits que l’on sait calculer. »

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Découvrons ensemble

Les élèves ouvrent leur fichier et observent les grands rectangles quadrillés. L’enseignant demande : – « Comment peut-on écrire le nombre de carreaux sous la forme d’un produit ? » Les réponses attendues sont 9 × 7 ou 7 × 9. – « Connaissez-vous la valeur de ce produit ? » Les élèves ne connaissent pas encore ce produit. – « Comment peut-on faire pour la calculer ? » – « Observez les calculs de Léa et de Théo et expliquez ce qu’ils font. » Puisque Léa ne sait pas calculer immédiatement 7 × 9, elle partage le rectangle en deux parties. Elle décompose 9 en 5 + 4 et partage le rectangle verticalement. Le codage en couleurs permet une bonne visualisation de ce partage. Elle utilise cette méthode car elle connaît les tables de 4 et de 5 et sait calculer les produits 7 × 5 et 7 × 4. Elle peut donc calculer le produit 7 × 9. Elle calcule d’abord 7 × 5 carreaux (la partie rose du quadrillage) ; ensuite, elle calcule 7 × 4 (la partie verte du quadrillage). Les élèves terminent les calculs de Léa, puis confrontent leurs résultats :

Activités individuelles ➤ Prolongements ➢ Photofiche S50

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Je m’entraîne

1 C’est un exercice d’application de la première partie du «  Découvrons ensemble  ». Sur le dessin, c’est le découpage vertical du quadrillage par la décomposition de 7 en 5 + 2 qui est privilégié. Ce découpage impose l’égalité  : 6 × 7 = 6 × 5 + 6 × 2. Le codage en couleurs est, ici, une aide précieuse. Toute autre démarche aboutissant au bon résultat sera acceptée et développée. 2 C’est un exercice d’application de la seconde partie du « Découvrons ensemble ». Sur le dessin, c’est le découpage horizontal du quadrillage par la décomposition de 8 en 4 + 4 qui est privilégié. Il impose l’égalité : 9 × 8 = 9 × 4 + 9 × 4. Le codage en couleurs est, ici aussi, une aide précieuse. Toute autre démarche aboutissant au bon résultat sera acceptée.

Cette fiche est un outil de remédiation pour les élèves qui ne maîtrisent pas le calcul du produit en utilisant la distributivité. Elle présente deux exercices dans le même esprit que ceux du fichier où la décomposition imposée d’un des termes du produit ne laisse pas le choix de la distributivité.

➢ Photofiche A28 Cette fiche d’approfondissement propose deux exercices sans décomposition préalable d’un des termes des produits, laissant ainsi à chaque élève le choix de la distributivité.

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125 La multiplication : distributivité (2) Compétence

Calcul mental

Calculer un produit en utilisant la multiplication par 10 et la distributivité.

Table de multiplication de 2. L’enseignant dit : « 7 × 2 » ; l’élève écrit 14. Items : 7 × 2 ; 3 × 2 ; 5 × 2 ; 4 × 2 ; 8 × 2 ; 2 × 2 ; 10 × 2 ; 9 × 2 ; 6 × 2 ; 1 × 2.

Observations préalables Après avoir étudié la distributivité pour calculer un produit dont les termes étaient inférieurs à 10, nous allons aborder, dans cette leçon, le cas où l’un des termes du produit est supérieur à 10 en utilisant sa décomposition additive sur le nombre 10.

Activités collectives multiplier par 10 (compétence acquise lors de la leçon 107) et d’ajouter un petit produit.

Découvrons ensemble

 Activité préliminaire

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Matériel : Une photocopie agrandie de l’immeuble (cf. matériel photocopiable ci-après) par groupe de 2 ou 4 élèves.

Les élèves lisent silencieusement la consigne. Ils observent le dessin de l’immeuble et complètent les calculs de Mélissa. La réponse attendue est : 14 × 6 = 10 × 6 + 4 × 6 = 60 + 24 = 84. Les élèves constatent, une nouvelle fois, que la décomposition de 14 en 10 + 4 permet de calculer facilement le produit. La mise en commun permet de vérifier si la démarche proposée est bien comprise et bien appliquée. L’enseignant prend en atelier les élèves encore en difficulté et les fait travailler à partir de quadrillages. Par exemple : « Combien de carreaux compte-t-on dans un rectangle de 13 carreaux de long et 5 de large ? » Les décompositions 10 × 5 + 3 × 5 et 6 × 5 + 7 × 5 sont utilisées et comparées ; chacune donnant un résultat exact, c’est à chacun de choisir la démarche qui lui paraît la plus efficace. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer un grand produit en produits plus petits en utilisant la multiplication par 10. »

Les élèves observent le dessin de l’immeuble photocopié  : « Quel est le nombre de fenêtres de cet immeuble  ?  » L’arbre devant l’immeuble cachant des fenêtres, le nombre total ne pourra être trouvé que par un calcul réfléchi. Les élèves cherchent d’abord individuellement, puis confrontent leurs résultats par petits groupes. L’enseignant observe les différentes procédures mises en place et conseille les élèves en difficulté. Lors de la mise en commun, quelques élèves notent leur réponse au tableau et expliquent leur démarche. La classe valide ou non en argumentant. Toutes les propositions de décompositions sont examinées avec attention. Parmi les propositions, l’enseignant retient : – 13 × 4 = 13 × 2 + 13 × 2 = 26 + 26 = 52 – 13 × 4 = 10 × 4 + 3 × 4 = 40 + 12 = 52 Il fait constater aux élèves que ces deux calculs sont les plus simples à effectuer : le premier parce qu’il s’agit de calculer des doubles et de les ajouter ; le second parce qu’il s’agit de

Activités individuelles Coin du chercheur Les élèves ne doivent pas associer toutes les formes arrondies (ellipses) à un cercle ; seuls 6 cercles se cachent dans cette figure.

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Je m’entraîne

1 C’est un exercice d’application similaire à celui de l’activité du « Découvrons ensemble ». Mathix donne un conseil : il propose de décomposer 13 en 10 + 13 pour calculer 10 × 5 + 3 × 5. 2 et 3 Les élèves qui le peuvent effectuent les calculs mentalement. Les élèves en difficulté ou ceux qui le souhaitent peuvent tracer, dans leur cahier d’essai, des rectangles avec quadrillage en s’aidant des carreaux de leur cahier. Ils décomposent alors les nombres en utilisant ce support visuel. 4 Réinvestissement  : Vérifier que les élèves disposent du matériel nécessaire : gabarit d’angle droit et crayon bien taillé. Vérifier le placement du gabarit d’angle droit. Les causes d’erreurs : le gabarit d’angle droit est mal placé ; le gabarit d’angle droit a bougé pendant le tracé... Cet exercice est difficile car l’élève, après avoir placé le gabarit d’angle droit pour tracer l’angle droit sur le segment de gauche, doit le retourner pour tracer l’angle droit à partir du point bleu du segment de droite.

➤ Prolongements ➢ Photofiche S51 Cette fiche de soutien est un outil de remédiation pour les élèves qui ne maîtrisent pas le calcul du produit en utilisant la distributivité. Elle propose trois exercices pour lesquels la décomposition des nombres supérieurs à 10 est imposée sous la forme 10 + ... comme dans les exercices du fichier.

➢ Photofiche A29 Cette fiche d’approfondissement propose trois exercices pour lesquels aucune décomposition des nombres n’est proposée.

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Leçon

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– La multiplication : distributivité (2)

Matériel photocopiable

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Calcul réfléchi : Calculer la moitié d’un nombre de dizaines

Compétence 

Calcul mental 

Calculer la moitié d’un nombre entier de dizaines.

Table de multiplication de 5. L’enseignant dit : « 6 × 5 » ; l’élève écrit 30. Items : 1 × 5 ; 2 × 5 ; 4 × 5 ; 8 × 5 ; 3 × 5 ; 6 × 5 ; 7 × 5 ; 9 × 5 ; 5 × 5 ; 10 × 5.

Activités collectives de 40 ¤, soit 20 ¤, puis prendre la moitié de 10 ¤, ce qui nécessite l’échange de 10 ¤ en deux billets de 5 ¤ pour que le partage puisse se faire. La moitié de 50 ¤, c’est donc 25 ¤. La correction au tableau permet de vérifier : 25 + 25 = 50. L’enseignant renouvelle les manipulations avec d’autres sommes.

 Activités préliminaires Activité 1

Découvrons ensemble

Les nombres entiers de dizaines sont représentés par les barres-dizaines du matériel de numération. L’enseignant demande de calculer la moitié de 40 en utilisant les barresdizaines. Les élèves prennent quatre barres qu’ils partagent en deux paquets de deux barres. La moitié de 40 est donc 20. Ils vérifient en effectuant une addition : 20 + 20 = 40. L’enseignant demande de calculer la moitié de 30. Les élèves prennent trois barres-dizaines et se rendent compte que, pour prendre la moitié de trois dizaines, il faut prendre la moitié de deux dizaines et la moitié d’une dizaine entière. Il faut donc échanger une barre-dizaine contre 10 jetons-unités pour pouvoir les partager en 2 paquets de 5 jetons. La moitié de 30 est donc 15. La correction au tableau permet d’écrire 15 + 15 = 30.

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Matériel : Par élève : le matériel de numération structuré en dizaines et unités  de la page matériel A  ; la monnaie factice des pages matériel G et H du fichier.

Les élèves observent comment Théo calcule la moitié de 60. L’enseignant leur demande de prendre leur matériel de numération et de réaliser le partage : 6 d = 3 d + 3 d. Ils observent et complètent le schéma du fichier qui concrétise la manipulation effectuée. La moitié de 6 d, c’est 3 d ; la moitié de 60, c’est donc 30. On vérifie  : 30 + 30 = 60. L’enseignant fait remarquer que, si on connaît la moitié de 6, on sait calculer la moitié de 60 (6 dizaines). Les élèves observent ensuite comment Léa calcule la moitié de 70. Munis de leurs 7 dizaines, certains élèves proposeront sans doute la démarche abordée lors des activités préliminaires en échangeant une dizaine contre 10 jetons-unités. La moitié de 60, c’est 30 ; la moitié de 10, c’est 5. La moitié de 70, c’est 35. On vérifie : 35 + 35 = 70. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de  : «  Nous avons appris à calculer la moitié d’un nombre entier de dizaines. »

Activité 2 L’enseignant propose de prendre la moitié d’une somme d’argent. Il demande de calculer la moitié de 50 ¤. Les élèves prennent 5 billets de 10 ¤. Ils se rendent compte que, pour prendre la moitié de 50 ¤, il faut prendre d’abord la moitié

Activités individuelles 5 Problème : C’est un problème de réinvestissement du calcul de la moitié d’un nombre. Le livre a 110 pages : c’est un nombre impair de dizaines. La résolution de ce problème ne devrait pas engendrer de difficultés particulières. Les élèves peuvent avoir recours au matériel de numération ou à la monnaie factice s’ils en éprouvent le besoin. On peut poser aussi la question. « Combien de pages reste-t-il à lire à Lucas ? »

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Je m’entraîne

1 Dans ce premier exercice, les élèves calculent la moitié d’un nombre pair de dizaines. Ils peuvent s’appuyer sur un support visuel analogue à celui de la situation proposée dans le « Découvrons ensemble ». 2 Les élèves calculent la moitié d’un nombre pair de dizaines, mais l’exercice est plus difficile car le support visuel a disparu. 3 et 4 Dans ces deux exercices, les élèves calculent la moitié de nombres impairs de dizaines. L’exercice 4 est plus difficile car le support visuel a disparu.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S52 Cette photofiche propose quatre exercices de consolidation des acquis de la leçon similaires aux premiers items des exercices 1 et 2 avec l’appui systématique d’un schéma à compléter.

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Multiplier par un nombre entier de dizaines, de centaines

Compétence

Calcul mental

Multiplier par un nombre entier de dizaines ou de centaines.

Dictée de nombre. L’enseignant dit : « 704 » ; l’élève écrit 704. Items : 704 ; 678 ; 580 ; 377 ; 199 ; 390 ; 451 ; 607 ; 884 ; 999.

Activité collective Les élèves lisent la bulle de Théo qui explique comment calculer le nombre de crayons. L’enseignant reprend cette explication au tableau : 300, c’est 3 c ; 2 × 300, c’est 2 × 3 c, c’est-à-dire 6 c, donc 600. Les élèves lisent la règle de multiplication des centaines énoncée par Mathix. Ils calculent ensuite, seuls, le nombre de feuilles contenues dans quatre paquets et complètent le tableau. Quelques élèves viennent expliquer comment ils ont procédé. L’enseignant peut ainsi vérifier si chacun a bien compris la technique étudiée. Comme dans la première partie de l’activité, la mise en commun insiste sur les deux étapes du calcul : 2 × 300

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Découvrons ensemble

Les élèves observent le tableau des articles. L’enseignant leur demande ensuite de reconnaître les objets représentés sur les dessins et de trouver leurs noms. Il explique ce qu’est une facture, la signification des mots « articles », « quantité », « total » et vérifie la lecture du tableau en posant les questions : – « Combien de paquets de règles a-t-on commandés ? » – « Quel est le nombre total de règles commandées ? »... Il attire l’attention des élèves sur les calculs : « Regardez comment Léa a calculé.  » Ils lisent les explications écrites dans la bulle de Léa que l’enseignant reprend au tableau sous le contrôle de la classe : 30, c’est 3 d ; 7 × 30, c’est 7 × 3 d, c’està-dire 21 d, donc 210. Les élèves lisent la bulle de Mathix qui donne la règle de multiplication des dizaines. Ils calculent ensuite, sur leur ardoise, le nombre de stylos. L’enseignant vérifie que chacun a bien compris quelle opération il doit effectuer : 6 × 50. Les élèves peuvent consulter la table de Pythagore en deuxième de couverture. Quand tout le monde a calculé et complété le tableau, l’enseignant demande à quelques élèves d’expliquer comment ils ont procédé. La mise en commun insiste sur les deux étapes du calcul : la première est la multiplication des dizaines ; la seconde est l’écriture du 0 à droite du nombre obtenu par la multiplication. Ces deux étapes sont reprises au tableau sous la forme : 6 × 50

6 00 Pour consolider les techniques de multiplication des dizaines et des centaines, l’enseignant propose quelques calculs que les élèves effectuent sur leur ardoise : 2 × 300 ; 4 × 200 ; 4 × 60 ; 50 × 3 ; 4 × 50... Il propose aussi quelques multiplications faisant apparaître les analogies de calcul : 3 × 2 ; 3 × 20 ; 3 × 200... À la fin de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à multiplier des dizaines ou des centaines par un petit nombre. »

30 0

Activités individuelles La seconde explique que, pour multiplier par 10, on écrit 0 à droite du nombre ; pour multiplier par 100, on écrit 00 à droite du nombre. 4 Réinvestissement de la leçon 112 « Les solides ».

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Je m’entraîne

1 Cet exercice montre le lien analogique entre multiplier des unités et multiplier des dizaines entières. Il met en pratique la première règle énoncée par Mathix. Pour calculer les premiers produits, les élèves peuvent disposer des tables de multiplication ; l’essentiel est qu’ils aient compris la règle énoncée par Mathix. 2 Cet exercice montre le lien analogique entre multiplier des unités et multiplier des centaines entières. Il met en pratique la seconde règle énoncée par Mathix. Comme pour l’exercice 1, pour calculer les premiers produits, les élèves peuvent disposer des tables de multiplication ; l’essentiel est qu’ils aient compris la règle énoncée par Mathix. 3 Cet exercice vérifie l’ensemble des deux techniques apprises lors de la leçon. L’enseignant rappelle aux élèves qu’ils doivent décomposer les produits en deux étapes. La première trouve sa réponse dans les tables de multiplication.

Coin du chercheur Il faut mettre la masse marquée « 500 g » sur un des plateaux et toutes celles qui restent.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S53 Cette photofiche de soutien revient sur les règles de multiplication des dizaines et des centaines et propose trois exercices simples de mise en application.

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128 Décoder et coder un déplacement (1) Compétences

Calcul mental 

Coder et décoder pour représenter et réaliser des déplacements sur les cases d’un quadrillage.

Retrancher deux nombres proches. L’enseignant écrit 72 – 68 = … ; l’élève écrit 4. Items : 72 – 68 ; 51 – 49 ; 34 – 28 ; 42 – 39 ; 81 – 79 ; 64 – 58 ; 75 – 69 ; 83 – 76 ; 92 – 85 ; 84 – 79.

Observations préalables Dans cette leçon, les élèves vont découvrir une façon de coder les déplacements sur quadrillage différente des classiques flèches dont la succession pose souvent des problèmes d’interprétation. Le codage proposé s’appuie sur les couleurs des bords du quadrillage : une pastille verte signifie qu’on doit se déplacer d’une case en direction du bord de couleur verte, tout changement de couleur sous-entend donc un changement de direction. Ce type de codage est rapidement compris par les élèves, surtout s’ils l’ont expérimenté en grandeur réelle. Il a l’avantage de préfigurer le futur repérage par les quatre points cardinaux qui s’impose comme référence quand la taille de l’espace augmente. Les élèves découvriront ce repérage au cycle 3.

Activités collectives gobelet, il découvre un « trésor » qui lui confirme qu’il a suivi le bon trajet. Un autre élève s’engage sur le même trajet en passant sur les cases ne contenant aucun gobelet et nomme la couleur vers laquelle il se dirige et le nombre de cases qu’il parcourt dans cette direction. Les autres élèves vérifient, sur la carte du codage, qu’il respecte bien le codage précédent.

Matériel : Un quadrillage carré de 12 × 12 peint ou dessiné sur le sol de la cour avec des cases de 30 cm de côté ; 4 panneaux cartonnés de couleur verte, bleue, jaune et rouge  ; des fiches-bristols contenant des codages de déplacement ; 1 gobelet opaque par case de quadrillage ; des cartes vierges et des feutres de couleur pour les élèves.

Activité 2 Les gobelets sont tous replacés sur les cases du quadrillage ; l’enseignant improvise un trajet zigzaguant pour traverser une partie du quadrillage en retirant, à chaque pas, le gobelet de la case qu’il traverse. Il demande ensuite à chaque groupe de deux élèves d’établir le codage de son déplacement sur une carte vierge. Les codages sont confrontés et validés. La situation est reprise jusqu’à réussite de tous les groupes.

Activité 1

Hors de la présence des élèves, l’enseignant dispose, sur chaque bord du quadrillage, un panneau de couleur et place un gobelet opaque retourné au centre de chaque case du quadrillage. Il place aussi un petit objet (trésor) sous le dernier gobelet du trajet qu’il va expérimenter. L’enseignant présente à la classe une carte représentant une succession de pastilles de couleur comportant un nombre et indique qu’il s’agit du codage d’un déplacement sur le quadrillage. Il sollicite les élèves pour l’interprétation de ce codage. Après échange avec la classe, l’enseignant explicite le codage et demande à un élève de l’illustrer. L’élève se place devant une case du quadrillage et, pour chaque pastille de couleur, avance d’autant de cases qu’indique le nombre. La couleur de la pastille signale à l’élève la direction dans laquelle il doit se déplacer. Chaque fois que celui-ci passe sur une case, il récupère le gobelet qui en occupait le centre. Quand il soulève le dernier

Découvrons ensemble

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 Activités préliminaires

L’enseignant précise la signification des consignes de l’activité du « Découvrons ensemble », puis propose aux élèves de se lancer dans le coloriage du trajet du papillon. Chaque élève colorie le cœur des fleurs que butine le papillon de la couleur de son choix. Les coloriages sont comparés ; ils doivent tous aboutir à la fleur rose. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à coder un déplacement sur quadrillage avec des pastilles de couleur. »

Activité individuelle ➤ Prolongement ➢ Photofiche S54

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Je m’entraîne

Dans la partie « Je m’entraîne », les élèves doivent coder le déplacement du papillon jusqu’à la fleur rose. Le début du codage est indiqué ; ils doivent le terminer. La validation de leur codage s’opère en le faisant décoder par le voisin de table.

Dans cette fiche, les couleurs sont remplacées par les initiales G, H, D, B des mots « Gauche », « Haut », « Droite » et « Bas » figurant sur les bords du quadrillage. Dans le premier exercice, les élèves doivent terminer le codage du déplacement d’une chenille jusqu’à une feuille. Le chemin est matérialisé par des pommes grisées. Dans le second exercice, les élèves doivent décoder un déplacement en coloriant les pommes de chaque case qui matérialisent ce déplacement.

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129 Problèmes : Utiliser la décomposition des nombres (1) Compétence 

Calcul mental 

Résoudre un problème en s’appuyant sur la connaissance de la décomposition des nombres.

Différence de dizaines. L’enseignant écrit 80 – 30 = … ; l’élève écrit 50. Items : 80 – 30 ; 60 – 40 ; 70 – 20 ; 50 – 30 ; 60 – 30 ; 70 – 50 ; 90 – 30 ; 80 – 10 ; 60 – 20 ; 90 – 60.

Observations préalables Dans cette leçon, les élèves vont découvrir que la décomposition des nombres de deux chiffres en somme de 10 ou la décomposition des nombres de trois chiffres en somme de 100, peuvent permettre de résoudre des problèmes de partage par boîte de 10 ou de 100. Les deux premiers problèmes concernent un multiple de 10 et un multiple de 100, les deux suivants traitent des nombres qui ne sont ni multiples de 10, ni multiples de 100. Le scénario de cette leçon se déroule suivant le schéma suivant : – lecture et compréhension de l’énoncé ; – résolution individuelle ; – correction.

Activités collectives Avant de laisser les élèves répondre individuellement au problème, il rappelle qu’ils doivent prévoir, après l’écriture de la décomposition, combien de pochettes seront pleines puis combien de crayons contiendra la pochette incomplète. Les élèves décomposent 68 et recherchent le nombre de pochettes complètes. Quand ils ont terminé, un élève vient écrire la décomposition au tableau, et l’enseignant remplit des pochettes en pointant chaque nombre 10. Les élèves constatent que 6 pochettes peuvent être remplies et qu’il reste 8 crayons, que l’enseignant glisse dans une pochette. Cette dernière qui ne contient pas 10 crayons n’est donc pas complètement remplie. Les élèves confrontent leur réponse à la correction écrite au tableau et corrigent leurs erreurs. 4 Les élèves lisent le problème. L’enseignant s’assure que l’énoncé est compris. Antonio range 570 cartes dans des boîtes de 100. L’enseignant rappelle la décomposition du nombre 500 qui a été utilisée dans le problème 2. Les élèves complètent la décomposition de 570 en somme de 100  : 570 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 70, ainsi que les deux phrases-réponses. La correction montre le lien entre la décomposition et le nombre de boîtes. L’enseignant souligne que 6 boîtes seront utilisées mais que la sixième ne sera pas pleine car elle ne contiendra que 70 cartes au lieu de 100. Les élèves confrontent leur réponse à la correction écrite au tableau et corrigent leurs erreurs.

Matériel : Une collection de jetons et quelques boîtes vides (boîtes d’allumettes par exemple) destinées à contenir 10 jetons. 1 Les élèves lisent le problème. L’enseignant s’assure que l’énoncé est compris. Emmanuel range 40 petites voitures dans des boîtes de 10. Combien de boîtes seront complètes ? La simplicité des nombres en jeu devrait permettre aux élèves de compléter facilement la décomposition 40 = 10 + 10 + 10 + 10 et d’en déduire que 4 boîtes seront complètes. Toutefois, quelques élèves peuvent encore avoir besoin d’utiliser du matériel pour se représenter la situation. Pour la correction, l’enseignant compte donc 40 jetons devant les élèves et présente plusieurs boîtes vides (d’allumettes, par exemple) marquées du nombre 10, en leur indiquant qu’ils doivent prévoir, en utilisant la décomposition de 40, combien de boîtes de 10 vont être remplies. Quand tous les élèves ont proposé une réponse, l’enseignant ou un élève procède au remplissage des boîtes. Les élèves constatent qu’exactement 4 boîtes sont remplies. L’enseignant demande à un élève de venir décomposer 40 en somme de 10 au tableau, puis il établit le lien entre cette décomposition et les 4 boîtes remplies. Les élèves dont la réponse est erronée la corrigent. 2 Les élèves lisent le problème. L’enseignant s’assure que l’énoncé est compris. Les nombres sont plus importants. Il faut ranger 500 timbres dans des pochettes de 100. Les élèves complètent la décomposition en somme de 100 : 500 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100. Ils doivent en déduire que 5 pochettes seront complètes. Pour la correction, l’enseignant affecte une pochette sur laquelle est écrit 100 à chaque terme de la somme. Les élèves qui n’ont pas répondu convenablement corrigent leur réponse. 3 Les élèves lisent le problème. L’enseignant s’assure que l’énoncé est compris. Il fait remarquer que ce problème comporte deux questions.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P13 Cette fiche comporte 4 problèmes. Les deux premiers concernent des multiples de dix (50 et 80), le troisième un multiple de 100 (600) et le dernier le nombre 540. Dans chaque cas, les élèves doivent compléter une somme de 10 ou une somme de 100 pour en déduire le nombre de paquets de 10 ou de 100 qui pourront être formés. Dans le dernier cas, ils doivent trouver le nombre de cartes restantes.

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130 J’ai compris et je retiens (9) Observations préalables Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les notions acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. Pour les élèves, l’activité concrète de cette page consiste à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• Je multiplie par un nombre entier de centaines. « Qui peut expliquer comment on calcule 2 × 300 ? » « Qui peut calculer 2 × 400 ? »

Commentaire de chaque partie Chaque partie est observée et discutée.

• Je connais la table de multiplication de 3. « Combien font 4 × 3 ? 6 × 3 ? 8 × 3 ? » « Pourquoi, si on connaît 7 × 3, on connaît aussi 3 × 7 ? »

• Je calcule 7 × 9. « Qui peut expliquer comment calculer 7 × 9 si on ne connaît ni la table de 7 ni celle de 9 ? » « Pourrait-on choisir une autre décomposition que 9 = 5 + 4 ? »

• Je connais la table de multiplication de 4. « Combien font 3 × 4 ? 7 × 4 ? 5 × 4 ? » « Pourquoi, si on connaît 9 × 4, on connaît aussi 4 × 9 ? »

• Je calcule 16 × 4. « Qui peut expliquer comment on calcule ce produit ? » « Comment faites-vous pour calculer 12 × 5 ? » • Je mesure une masse en grammes. « Comment appelle-t-on l’instrument qui permet de mesurer des masses ? » « Quelle est la position de l’aiguille de la balance à l’équilibre ? Quelle est la position des plateaux ? » « Quelle est l’unité de masse utilisée dans cette pesée ? » « Comment détermine-t-on la masse du livre ? »

L’enseignant complète, éventuellement, les observations des élèves. Il fait observer qu’ils ont appris beaucoup de choses au cours de cette demi-période : multiplier en ligne avec un nombre de deux chiffres, comparer des masses et peser des objets, construire les tables de multiplication de 3 et de 4. Il leur fait remarquer qu’ils ont aussi appris à coder et décoder un déplacement sur quadrillage. Il leur demande encore si, parmi les thèmes abordés dans cette page ou dans cette demi-période, ils pensent avoir tout compris. Cette mise au point est précieuse pour les élèves. Elle leur permet de recevoir les dernières explications avant l’évaluation qui va suivre.

• Je mesure une masse en kilogrammes. « 1 kilogramme, c’est combien de grammes ? » « Comment note-t-on “kilogramme” en abrégé ? » « Pourquoi peut-on dire que le dictionnaire pèse 1 kg 250 g ? » • Je multiplie par un nombre entier de dizaines. « Qui peut expliquer comment on multiplie 7 par 30 ? » « Qui peut calculer de la même façon 4 × 60 ? »

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Je fais le point (9)

Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un qui contribue à l’acquisition des notions contenues dans le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide. Les élèves travaillent individuellement. Il leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible la correction doit avoir lieu le jour même.

Socle commun 1. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.  Effectuer une multiplication en utilisant la distributivité.

2. Mesurer des masses et des contenances avec des instruments adaptés.  Mesurer une masse en g et kg.

3. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements sur un quadrillage.

Commentaires Ces opérations bénéficient de la présence du quadrillage, mais, le découpage n’étant pas imposé, plusieurs démarches sont possibles et seront acceptées si elles sont exactes.

Bien différencier les erreurs de raisonnement et les erreurs de calcul. Pour les premières, il sera sans doute nécessaire de revenir sur le travail réalisé lors des leçons 124 et 125. Insister sur les découpages sous forme canonique de 14 et de 12. ➢ Photofiches S50 et S51

De nos jours, la balance de Roberval est rarement utilisée dans la vie courante, mais elle est irremplaçable en classe pour l’étude des masses car elle permet d’effectuer des comparaisons sans passer nécessairement par la mesure, ce qui n’est pas le cas avec les balances automatiques.

Ici encore, le meilleur moyen de remédiation consiste à organiser des ateliers pratiques de pesées, toujours plus efficaces que le travail sur papier. ➢ Photofiche S49

L’élève doit décoder un déplacement sur les cases d’un quadrillage. Le code est le même que celui de la leçon 128.

Revenir sur le décodage étudié en leçon 128. Signaler qu’un rond bleu avec 4 écrit à l’intérieur signifie un déplacement de 4 cases vers le bord bleu. Demander de décoder les autres ronds. ➢ Photofiche S54

Observer si les élèves effectuent les calculs spontanément ou s’ils sont obligés d’effectuer des additions ou de tracer des rectangles pour trouver le résultat.

Les élèves reconstruisent les tables comme dans la leçon 120. Il est important de faire réciter ces tables le plus souvent possible.

 Décoder un déplacement sur les cases d’un quadrillage.

4. Mémoriser des faits numériques et des procédures.  Connaître les tables de multiplication de 3 et de 4.

5. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.  Multiplier par un nombre entier de dizaines ou de centaines.

Propositions de remédiation

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent : La remédiation portera sur chacune – connaître les tables de multiplication ; des lacunes constatées : – savoir multiplier par 10 et par 100. – l’apprentissage des tables ; – la quantité de zéro à écrire après le nombre. ➢ Photofiche S53

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Évaluation (9) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

Nombres et calculs 1. a. b.

Mémoriser des faits numériques et des procédures. Mémoriser la table de multiplication de 3. Mémoriser la table de multiplication de 4

2. a. b.

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Multiplier un nombre de un chiffre par un nombre entier de dizaines. Multiplier un nombre de un chiffre par un nombre entier de centaines.

3.

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit. Calculer mentalement en utilisant la multiplication.

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

1 Complète ces tableaux. a. 3×3

5×3

7×3

8×3

9×3

............

............

............

............

............

2×4

4×4

5×4

7×4

8×4

............

............

............

............

............

b.

2 Calcule en ligne. a. 5 × 50 = ............

7 × 30 = ............

b. 4 × 200 = ............

3 × 300 = ............

3 Calcule. a. 16 × 4 = 10 × 4 + ............ × 4 16 × 4 = ............ + ............ 16 × 4 = ............

b. 13 × 5 = ............ × ............ + ............ × ............ 13 × 5 = ............ + ............ 13 × 5 = ............ 205

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

Espace et géométrie 4.

Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements sur un quadrillage. Coder un déplacement sur quadrillage.

4 Le ver traverse les pommes. Continue le codage de son déplacement jusqu’à la feuille. Haut

Code G2 → se déplacer de 2 cases vers la gauche

D2 → se déplacer de 2 cases vers la droite B1 → se déplacer de 1 case vers le bas

Bas

G1

H3

D2

........

........

........

........

........

........

Compétences et connaissances

Évaluation

Grandeurs et mesures 5.

Mesurer des masses et des contenances avec des instruments adaptés. Mesurer une masse.

5 Écris la masse de chaque fruit. 100 g

50 g

1 kg 20 g

L*e $citroN $pèse ………… .

200 g

50 g

L‘$anana∑ $pèse ………… .

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Droite

Gauche

H3 → se déplacer de 3 cases vers le haut

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132 La multiplication en ligne Compétence 

Calcul mental 

Calculer un produit en décomposant un des deux facteurs de façon canonique.

Table de multiplication de 3. L’enseignant dit : « 5 × 3 » ; l’élève écrit 15. Items : 5 × 3 ; 10 × 3 ; 1 × 3 ; 2 × 3 ; 4 × 3 ; 8 × 3 ; 3 × 3 ; 6 × 3 ; 7 × 3.

Observations préalables Dans cette leçon, les élèves vont appliquer la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, qu’ils ont découverte dans les leçons 124 et 125, à des nombres de deux chiffres. La traduction mathématique des calculs par des enchaînements d’égalités reste encore une difficulté, mais l’aide visuelle qu’apportent les rectangles colorés permet de soutenir la démarche. Tous les élèves ne vont pas devenir capables d’effectuer ce genre de calcul réfléchi au terme de cette leçon, mais ils devraient en avoir perçu le mécanisme. C’est un apprentissage important car c’est sur ce mécanisme que reposera la technique opératoire de la multiplication étudiée au CE2.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel  : Une série de rectangles quadrillés représentant divers produits, certains ayant un facteur commun (cf. matériel photocopiable ci-après).

Les élèves lisent la bulle de Théo et celle de Mathix qui leur indique comment effectuer le calcul de 26 × 5. Ils reconnaissent la même démarche que celle utilisée lors de l’activité préliminaire et complètent le calcul de Théo. Si des difficultés apparaissent pour calculer 20 × 5 et 6 × 5, l’enseignant revient sur la leçon 127 ou bien à l’affichage des tables pour le résultat de 6 × 5. Le calcul de 26 × 5 = 100 + 30 = 130 est corrigé collectivement. Puis l’enseignant demande aux élèves d’effectuer le calcul de 37 × 4 en complétant les calculs du fichier : 37 × 4 = 30 × 4 + 7 × 4 ; 37 × 4 = 120 + 28 = 148. Il aide les élèves ayant des difficultés à trouver les valeurs de 30 × 4 et de 7 × 4 en rappelant les procédures employées dans les leçons 127 et 124, puis il insiste sur la méthode utilisée pour décomposer le calcul de 37 × 4 en deux calculs plus simples. À la fin de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décomposer une multiplication difficile en deux multiplications plus faciles. »

 Activité préliminaire

L’enseignant affiche une série de quadrillages rectangulaires correspondant à différents produits (matériel photocopiable) et demande à la classe s’il est possible de faire apparaître le quadrillage associé à 27 × 4 en utilisant deux des quadrillages affichés. Si les propositions des élèves ne sont pas concluantes, l’enseignant montre qu’en juxtaposant le rectangle de 20 × 4 avec celui de 7 × 4, on obtient celui de 27 × 4, soit 80 + 28 = 108. La même question est posée pour 25 × 4 qui s’obtient en juxtaposant 20 × 4 avec 5 × 4, soit 80 + 20 = 100. Puis l’enseignant demande comment faire apparaître les quadrillages de 36 × 5 et de 38 × 5, chacun s’obtenant en assemblant deux des quadrillages affichés. Enfin, il demande à la classe comment découper 23 × 5 en deux calculs plus simples. Il attend 20 × 5 et 3 × 5. L’enseignant effectue matériellement le découpage et propose aux élèves d’achever le calcul. Même question pour le quadrillage associé à 32 × 6.

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S55

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves doivent calculer le produit 25 × 3 en utilisant la décomposition de 25 en 20 + 5 et en s’aidant des rectangles colorés représentant les deux sous-produits. 2 Même démarche que dans l’exercice 1 pour le produit 32 × 4. 3 Calcul réfléchi  : L’élève doit compléter une suite de nombres après avoir découvert, grâce aux quatre premiers termes de la suite, qu’il s’agit d’une suite arithmétique croissante de 4 en 4.

Dans cette fiche, l’élève doit calculer trois produits  : 15 × 6, 23 × 4 et 34 × 6, en utilisant la décomposition canonique du premier facteur et la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Les deux premiers produits s’appuient sur le découpage d’un quadrillage qui peut permettre le dénombrement éventuel des carreaux ; en revanche, le dernier s’appuie sur un rectangle sans quadrillage. Le calcul doit prendre le relais du dénombrement.

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Leçon

132

– La multiplication en ligne

Matériel photocopiable (À agrandir pour affichage)

7 × 4 = 28

8 × 5 = 40

5 × 4 = 20

6 × 5 = 30

30 × 5 = 150

32 × 6 = ......

23 × 5 = ......

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

20 × 4 = 80

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133 La soustraction posée avec retenue Compétence

Calcul mental

Calculer une différence par la soustraction posée avec une retenue.

Table de multiplication de 4. L’enseignant dit : « 5 × 4 » ; l’élève écrit 20. Items : 5 × 4 ; 10 × 4 ; 1 × 4 ; 2 × 4 ; 4 × 4 ; 8 × 4 ; 3 × 4 ; 9 × 4 ; 6 × 4 ; 7 × 4.

Observations préalables Pour des élèves de CE1, la soustraction posée avec retenue est une technique difficile à acquérir. C’est pourquoi nous avons fait le choix d’introduire la technique par « démolition » de la dizaine. Cette technique a l’inconvénient de faire apparaître de façon transitoire une écriture particulière des nombres, en ce sens qu’elle passe par une étape où un nombre de deux chiffres est écrit dans la colonne des unités ou des dizaines, mais elle a l’avantage d’être bien comprise par les élèves quand on lui associe la manipulation et les échanges associés au matériel de numération ce qui leur permet aussi de retravailler et de mieux comprendre les règles de la numération décimale. La technique par compensation, qui fait apparaître elle aussi, mais plus subrepticement, deux chiffres dans la même colonne quand la retenue apparaît sur les chiffres du haut, prend appui sur la propriété de conservation de l’écart par translation : « Une différence ne change pas si on ajoute (ou si on retranche) un même nombre à ses deux termes », que les élèves de CE1 ont beaucoup de peine à comprendre. Elle ne sera abordée qu’en CE2. Cette technique permet notamment de gérer avec plus de facilité le calcul de différences dans lesquelles le premier terme comporte un ou plusieurs zéros successifs dans son écriture chiffrée. L’essentiel est, pour l’instant, de donner aux élèves de CE1 une technique simple et efficace pour calculer des soustractions avec retenue.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel : Barres-dizaines, jetons-unités.

Les élèves ouvrent leur fichier et l’enseignant leur demande : « Que doivent calculer Théo, Léa et Mélissa ? » Il écrit, au tableau, l’opération de Théo et demande à un élève de venir l’effectuer. La difficulté apparaît aussitôt : on ne peut pas soustraire 6 à 2. Cela est confirmé par la bulle de Théo qui résiste à l’erreur tentante d’enlever 2 à 6, comme le font de nombreux élèves de CE1 dans une situation analogue. Les élèves sont invités ensuite à observer le travail de Léa. Comment procède Léa ? « Elle casse un dizaine. » L’enseignant fait le lien avec l’activité préliminaire. 4 d 2 u, c’est aussi 3 d 12 u. On peut alors soustraire 6 u à 12 u. Les élèves observent ensuite comment Mélissa effectue la soustraction. L’enseignant montre comment le codage de Mélissa traduit l’échange auquel s’est livrée Léa. Les élèves complètent l’opération de Mélissa sur leur fichier. Comme lors de la leçon 109, pour vérifier le résultat, on effectue une addition. Un schéma peut s’avérer nécessaire :

 Activité préliminaire

L’enseignant propose le problème suivant au tableau : « Il y a 53 passagers dans le tramway ; 37 descendent au premier arrêt. Combien reste-t-il de passagers dans ce tramway ? » Les élèves lisent l’énoncé du problème, et l’enseignant s’assure qu’ils ont bien découvert qu’il s’agit d’une situation soustractive. Il fait préciser : – l’état initial (nombre de passagers au départ : 53) ; – la transformation (nombre de passagers qui descendent : 37) ; – l’état final (nombre de passagers qui restent : à découvrir). L’enseignant écrit, sur la proposition des élèves, la soustraction en ligne : 53 – 37. Il propose aux élèves d’effectuer cette soustraction en manipulant le matériel de numération. Par groupes de deux, les élèves disposent 5 dizaines et 3 unités auxquelles il faut enlever 3 dizaines et 7 unités. Ils sont confrontés à l’impossibilité d’enlever 7 unités à 3 unités. Si aucun d’eux ne propose de procéder à l’échange d’une dizaine contre 10 unités, l’enseignant demande de rappeler à quoi correspond une dizaine. Il propose alors de « casser » ou de « démolir » une dizaine du nombre 53 afin d’obtenir un nombre d’unités suffisant pour en retirer 7. En « cassant une dizaine », on obtient 4 dizaines et 13 unités pour le nombre 53, ce qui permet d’en retirer 3 dizaines et 7 unités. Il reste 1 dizaine et 6 unités. Il pose ensuite la soustraction en colonnes au tableau et traduit les échanges qui viennent d’être effectués par la technique de « démolition » de la soustraction en colonnes avec retenue en la traitant pas à pas. Il demande ensuite aux élèves de vérifier la soustraction en effectuant une addition et il écrit, au tableau, la phraseréponse du problème : « Il reste 16 passagers dans le tramway. »

42

16

26

Si 42 – 16 = 26 alors 26 + 16 = 42. Comme nous l’avons vu dans la leçon 109, en cachant un des deux termes de la somme 26 + 16, on peut considérer qu’on soustrait ce terme au résultat de la somme : 42, ce qui laisse voir le terme restant comme résultat de la soustraction. Les élèves sont invités à calculer d’autres soustractions individuellement. Exemples : 72 – 35 ; 95 – 48 ; 70 – 24 ; etc.

209

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Comme pour l’addition, avant qu’ils posent les opérations dans leur cahier d’essai, l’enseignant précise l’importance d’aligner correctement les nombres dans les colonnes correspondantes : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines. La correction de ces opérations se fait collectivement. L’enseignant insistera encore sur la place des chiffres dans la soustraction posée, en séparant les colonnes des dizaines et des unités.

À l’issue de cette leçon, l’enseignant pose la question rituelle : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ?  » Il attend une réponse proche de : «  Nous avons appris à calculer une soustraction posée en colonnes avec une nouvelle méthode pour tenir compte de la retenue. »

Activités individuelles 4 Réinvestissement : C’est un exercice dans lequel les élèves doivent reconnaître les heures du soir. Il faut renvoyer les élèves en difficulté à la leçon 81.

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Je m’entraîne

1 Cet exercice est une évaluation de l’activité précédente. Les quatre soustractions sont déjà posées. Les erreurs proviennent généralement de la méconnaissance des tables de soustraction ou d’un décomptage mal utilisé : par exemple, l’élève comptabilise le dernier doigt qu’il vient de décompter ; il trouve ainsi une différence supérieure d’une unité au résultat correct. On peut aider les élèves à retrouver les résultats des tables de soustraction en les faisant travailler sur les décompositions additives du plus grand terme de la différence et en cachant un des deux termes de leur décomposition. Exemple : 9 = 5 + 4 donc 9 – 5 = 4. 2 Cet exercice est plus délicat ; les élèves doivent poser les deux opérations. Il est important qu’ils acquièrent, dès le début, une technique efficace : écrire le plus petit nombre sous le plus grand, placer les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines et ne mettre qu’un chiffre par carreau. Les erreurs proviennent généralement de l’oubli de la retenue. Il ne faut pas hésiter à verbaliser les échanges d’une dizaine contre dix unités, voire à les effectuer avec le matériel de numération, avant de les traduire par la modification du chiffre des dizaines du terme du haut et l’apparition de 10 unités supplémentaires sur son chiffre des unités. 3 Problème : L’élève doit reconnaître une situation soustractive et la résoudre en posant une soustraction. La difficulté est que le premier nombre comporte un 0 pour chiffre des unités. Il devra donc transformer 50 en 4 dizaines et 10 unités pour pouvoir soustraire 16. Cette transformation est facile à réaliser avec de la monnaie fictive.

Coin du chercheur

➤ Prolongement ➢ Photofiche S56 Elle propose trois exercices. Dans le premier exercice, les soustractions sont posées et les colonnes unités, dizaines sont visibles ainsi que la place des retenues. Une opération résolue sert d’exemple. Le deuxième exercice propose trois soustractions posées sur un quadrillage. Dans le troisième exercice, l’élève doit poser lui-même, puis effectuer trois soustractions avec retenues.

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Mesurer des contenances : le litre

Compétences

Calcul mental

Comparer des contenances. Introduire le litre.

Tables de multiplication de 3 et de 4. L’enseignant dit « 5 × 3 » ; l’élève écrit 15. Items : 5 × 3 ; 7 × 4 ; 6 × 4 ; 5 × 4 ; 8 × 4 ; 4 × 3 ; 7 × 3 ; 8 × 3 ; 9 × 3 ; 6 × 3.

Activités collectives « Rangez ces récipients d’après leur contenance. » Les élèves proposent un rangement en ordre croissant ou décroissant. L’enseignant fait constater que le rangement a été réussi grâce à la mesure de chaque contenance avec la même unité, bien que l’unité choisie (la contenance du verre) soit arbitraire. Elle permet cependant d’exprimer les contenances de différents récipients, puis de les comparer au sein de la classe. L’enseignant propose de réfléchir à la deuxième partie du « Découvrons ensemble » : « Que signifie 1 L sur la bouteille D ? » Il précise que 1 L (un litre) représente l’unité légale qui sert à exprimer les contenances. L’enseignant demande : «  Combien de verres a-t-il fallu pour remplir la bouteille D de 1  L  ?  »  (quatre verres.) Les élèves doivent déduire que, s’il a fallu quatre verres pour obtenir 1 L, pour remplir la casserole, il faut 2 fois quatre verres (huit verres) soit 2 L. La dernière partie de l’activité « Découvrons ensemble » est consacrée à estimer une contenance en litres des récipients A, B, C et D pour indiquer quels sont ceux qui contiennent plus d’un litre. Pour compléter l’exercice, l’enseignant propose aux élèves de chercher, dans leur environnement, des récipients ou des objets dont la contenance peut s’exprimer en litres. Cet exercice se fait sous une forme ludique : un groupe d’élèves cherche des noms de récipients, l’autre groupe en donne la contenance approximative en litre, et inversement. Il serait intéressant que l’enseignant puisse montrer certains récipients et en vérifier la contenance en y versant le contenu d’une bouteille de 1 L. Une récapitulation collective conclut la discussion. À l’issue de cette séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à comparer et à évaluer des contenances en L. »

Matériel : Bouteilles en plastique vides de 1 L ; récipients divers : boîtes, casseroles, verres en plastique, etc. (pas d’objets en verre) ; seaux.

 Activité préliminaire

L’enseignant répartit les élèves en quatre ou cinq groupes qui disposent chacun de trois ou quatre récipients de formes différentes : un seau, un verre, une boîte, une bouteille. Il indique que la contenance d’un récipient est la quantité de liquide qu’il peut contenir et pose le problème suivant : « Comment pouvons-nous comparer les contenances de ces récipients ? » Il est prudent de conduire cette activité à l’extérieur ou dans un lieu adapté pour éviter de transformer la classe en pataugeoire. Les transvasements peuvent aussi s’envisager avec du sable, plus facile à nettoyer que de l’eau. L’enseignant laisse les élèves expérimenter ; il confirme que, si le contenu de l’un des récipients peut être entièrement transvasé dans un autre récipient, c’est que le premier a une contenance inférieure à celle du second. En organisant les transvasements avec méthode, cela permet de ranger les récipients selon leur contenance. Puis il attire l’attention des élèves sur le groupe qui a eu l’idée d’étalonner les contenus avec le même récipient : par exemple, le contenu d’un verre qui devient l’unité.

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Découvrons ensemble

Les élèves découvrent, en ouvrant leur fichier, que Mélissa a pratiqué la même activité qu’eux et a exprimé les contenances de 4 récipients de la façon suivante : « Le récipient A a une contenance de 12 verres. Le récipient B a une contenance de 2 verres. Le récipient C a une contenance de 8 verres. Le récipient D a une contenance de 4 verres. »

Activités individuelles ➤ Prolongement ➢ Photofiche S57

1 Cet exercice constitue une évaluation de la dernière activité du « Découvrons ensemble » : estimer la contenance d’un récipient en litre. En cas de divergences, l’enseignant demande aux élèves de justifier leur choix. Il est important que les élèves aient le litre comme référence : ils trouveront alors absurde qu’un biberon pour enfant contienne 1 L. 2 Cet exercice sur les contenances fait appel à la logique. Puisque six verres bleus ont la même contenance que les cinq verres violets, les verres bleus sont plus petits – ont une plus faible contenance – que les verres violets. 3 Problème sur la mesure d’une contenance : il faut identifier une situation multiplicative. 10 × 5 L = 50 L. Lucile a déjà versé 50 L d’eau dans sa petite piscine.

Elle propose deux exercices de soutien illustrés. Le premier exercice peut être proposé aux élèves qui n’ont pas réussi l’exercice 1. Avant de commencer, il faut d’abord s’assurer qu’ils ont bien reconnu les objets représentés. Le second exercice vérifie si l’élève est capable d’utiliser à bon escient les unités de mesure qu’il connaît (de contenance, de longueur, de masse). La correction collective permettra de rappeler les différentes unités étudiées et de corriger les erreurs.

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135 Estimer un résultat Compétence 

Calcul mental 

Arrondir un nombre à la dizaine la plus proche pour estimer l’ordre de grandeur d’un résultat.

Moitiés de dizaines. L’enseignant dit : « moitié de 8 », puis écrit moitié de 80 ; l’élève dit : « 4 », puis écrit 40. Items : moitié de 8, moitié de 80 ; moitié de 6, moitié de 60 ; moitié de 4, moitié de 40 ; moitié de 10, moitié de 100 ; moitié de 2, moitié de 20 ; moitié de 12, moitié de 120 ; moitié de 16, moitié de 160 ; moitié de 20, moitié de 200 ; moitié de 18, moitié de 180 ; moitié de 14, moitié de 140.

Observations préalables Cette leçon fait découvrir aux élèves l’intérêt d’arrondir les nombres à la dizaine la plus proche pour calculer une somme de façon rapide et approximative, mais assez fidèle pour conserver des informations utiles sur son montant, bien que, mathématiquement, la somme des arrondis ne soit pas toujours égale à l’arrondi de la somme. La notion de « valeur approchée » est difficile à admettre pour les élèves qui ont toujours recherché l’exactitude dans leurs dénombrements ou leurs calculs. Quand ils sont interrogés sur la valeur de 17 + 12, s’ils répondent 30, l’enseignant leur dit qu’ils ont commis une erreur. Or, ici, après avoir arrondi à la dizaine la plus proche, 17 à 20 et 12 à 10, 30 sera la valeur approchée du résultat de 17 + 12. Ce changement d’état d’esprit ne va pas de soi et demande un peu de temps. Ce n’est qu’au cycle 3 que les élèves commencent vraiment à prendre conscience de l’intérêt du calcul approché pour contrôler la valeur de calculs complexes ; cette leçon n’est donc qu’une initiation à une démarche qui se prolongera au cours des années suivantes.

Activités collectives L’enseignant propose d’additionner ces deux nombres  : on obtient 50 qui indique le nombre de boîtes de 10 qui seront remplies. L’enseignant désigne les nombres 30 et 20 par l’expression « dizaine la plus proche » de 28 et 24 et souligne leur intérêt pour obtenir rapidement la valeur approximative d’une somme sans poser l’opération. La situation est reprise avec 34 œufs et 17 œufs, puis 19 œufs et 43 œufs.

 Activité préliminaire

L’enseignant pose deux groupes « d’œufs » sur son bureau, l’un contient 28 « œufs », l’autre en contient 24. Il demande à la classe de prévoir le nombre de boîtes de 10 œufs qui seront remplies si on emballe les deux paquets ensemble, sans calculer de façon exacte la somme 28 + 24. L’enseignant peut rappeler la démarche utilisée dans la leçon 129 : 28 = 10 + 10 + 8 2 boîtes de 10 pleines 24 = 10 + 10 + 4 2 boîtes de 10 pleines Il procède au remplissage des 4 boîtes, et les élèves constatent qu’une cinquième boîte peut être encore remplie avec les 12 œufs restants, certains élèves peuvent évoquer à juste titre, l’idée de retenue de l’addition. L’enseignant dessine, au tableau, une droite graduée de 5 en 5, sur laquelle les multiples de 10 sont écrits en rouge. Il demande à un élève de venir y placer les nombres 28 et 24, puis demande à la classe quels sont les nombres rouges (multiples de 10) les plus proches de ces deux nombres. Les élèves trouvent que 30 est le plus proche de 28 et que 20 est le plus proche de 24.

Découvrons ensemble

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Matériel : Une réserve de marrons ou de noix qui jouent le rôle des œufs, une dizaine de boîtes de 10 œufs vides.

L’enseignant aide les élèves à découvrir le contexte de la situation, puis il demande à la classe de positionner les nombres 34 et 58 sur la droite graduée, il souligne l’importance de les placer du bon côté de la graduation correspondant au 5 qui marque le milieu entre deux dizaines qui se suivent. Les élèves entourent en vert la dizaine la plus proche de chaque nombre  : 30 pour 34 et 60 pour 58. Puis ils complètent le calcul : 30 billes + 60 billes = 90 billes ; et concluent : ensemble les enfants ont moins de 100 billes. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui  ?  » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris qu’en utilisant la dizaine la plus proche d’un nombre on pouvait faire des calculs rapides pour trouver combien vaut environ leur somme. »

Activités individuelles 3 Problème : Mélissa possède 70 ¤ : « Peut-elle acheter deux livres : l’un coûtant 18 ¤ ? l’autre 31 ¤ ? ». Mathix conseille d’utiliser la droite graduée du « Découvrons ensemble ». Chaque étape du raisonnement attendu correspond à une phrase à compléter avant de conclure.

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Je m’entraîne

1 Dans cet exercice, les élèves s’aident d’une droite graduée pour trouver la dizaine la plus proche de 19, de 43 et de 87. Ils prennent conscience du rôle déterminant que joue la graduation médiane entre deux dizaines. 2 Les élèves doivent arbitrer, sans droite graduée, pour savoir quelle est la meilleure réponse : « Un DVD à 17 ¤ coûtet-il environ 10 ¤ ou environ 20 ¤ ? »

Coin du chercheur Je suis le nombre 20.

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➢ Photofiche A30

➤ Prolongements ➢ Photofiche S58

Cette fiche comporte deux problèmes. Dans le premier, les élèves doivent estimer la valeur d’une somme de deux termes après avoir calculé la dizaine la plus proche de chacun des deux termes. Dans le second, la question concerne une somme de trois termes. Dans chaque cas, les élèves doivent prendre l’initiative d’additionner les valeurs approchées pour se prononcer.

Cette fiche comporte deux exercices. Dans le premier, les élèves doivent déterminer la dizaine la plus proche d’une série de nombres déjà positionnés sur une droite graduée enrichie du « cône d’influence » de chaque dizaine dessiné en grisé. Dans le second, les élèves doivent relier chaque nombre à la dizaine la plus proche à choisir entre les deux dizaines qui encadrent le nombre. La droite graduée n’est pas présente ; la terminaison du nombre doit suffire à l’élève pour faire son choix.

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30/06/2016 16:48

136

Décoder et coder un déplacement (2)

Compétences

Calcul mental

Décoder et coder un déplacement en utilisant les nœuds du quadrillage.

Tables de multiplication de 3 et de 4. L’enseignant dit : « 6 × 3 » ; l’élève écrit 18. Items : 6 × 3 ; 8 × 4 ; 5 × 3 ; 7 × 4 ; 4 × 3 ; 9 × 3 ; 5 × 4 ; 6 × 4 ; 8 × 3 ; 7 × 3.

Observations préalables Dans cette leçon, les élèves vont réinvestir les principes de codage découverts dans la leçon 128, mais au lieu de se déplacer de case en case sur le quadrillage, ils vont se déplacer de nœud en nœud sur les lignes du quadrillage. Ce détail apparent change profondément la structure du quadrillage aux yeux des élèves. Le quadrillage ne leur apparaît plus comme une surface pavée de carrés, mais comme un réseau de chemins entrelacés sur lesquels ils se déplacent. Les règles du codage restant les mêmes, ils devraient rapidement pouvoir s’adapter à ce nouvel environnement.

Activités collectives Chaque fois qu’il passe sur un nœud, il récupère le gobelet qui le cachait. Quand il soulève le dernier gobelet, il découvre un « trésor » qui lui confirme qu’il a suivi le bon trajet. Dans le cas contraire, la classe recherche son erreur en confrontant le codage à la trace laissée par le retrait des gobelets. Si le déplacement sur les nœuds du quadrillage n’est pas bien assimilé, la situation est reprise avec d’autres codages.

 Activité préliminaire

Découvrons ensemble

Hors de la présence des élèves, l’enseignant dispose, sur chaque bord du quadrillage, un panneau de couleur et place un gobelet opaque retourné sur chaque nœud du quadrillage. Il place aussi un petit objet (trésor) sous le dernier gobelet du trajet qu’il va expérimenter. L’enseignant présente à la classe une carte comportant le codage d’un déplacement. Il en rappelle les principes, qui sont les mêmes que ceux de la leçon 128, et précise que, cette fois, les élèves vont se déplacer de nœud en nœud en marchant sur les lignes du quadrillage. L’enseignant demande à un élève de venir expérimenter ce premier codage. L’élève se place sur un nœud du quadrillage laissé sans gobelet, et, pour chaque pastille de couleur, avance d’autant de nœuds que l’indique le nombre. La couleur de la pastille lui signale dans quelle direction il doit se déplacer.

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Matériel : Un quadrillage carré de 12 × 12 dessiné sur le sol de la cour avec des cases de 30 cm de côté ; 4 panneaux cartonnés de couleur verte, bleue, jaune et rouge  ; des fiches-bristols contenant des codages de déplacement  ; un gobelet opaque par nœud du quadrillage.

Les élèves découvrent le quadrillage sur lequel ils doivent se déplacer jusqu’à l’île au trésor. L’enseignant demande à un élève de rappeler les principes du codage du chemin, puis les élèves se munissent d’un crayon gris et repassent sur les lignes du quadrillage qui forment le chemin suivi par le bateau. Chaque changement de couleur des pastilles provoque un changement de direction. L’île au trésor se trouve en bas à droite du quadrillage, l’enseignant vérifie que chaque élève a terminé son trajet sur cette île et qu’il l’a entourée comme le demande la consigne. L’enseignant pose la question rituelle  : «  Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à décoder un déplacement sur les nœuds d’un quadrillage. »

Activité individuelle ➤ Prolongement ➢ Photofiche S59

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Je m’entraîne

Dans la partie « Je m’entraîne », les élèves doivent coder le déplacement du bateau pirate jusqu’à l’île au trésor. Le début du codage est indiqué, les élèves doivent le terminer. La validation de leur codage s’effectue en le faisant décoder par le voisin de table. L’enseignant confirme que le codage (3 bleu, 2 jaune, 1 rouge, 2 jaune, 3 bleu, 1 vert, 1 bleu) est bien celui qui correspond au chemin suivi par le bateau.

Dans cette fiche, les couleurs sont remplacées par les initiales G, H, D, B des mots « Gauche », « Haut », « Droite » et « Bas » qui figurent sur les bords du quadrillage. Une étiquette en rappelle les principes. Dans le premier exercice, les élèves doivent terminer le codage du déplacement de Benjamin du fanion D (Départ) au fanion A (Arrivée) en se déplaçant sur les nœuds du quadrillage. Le chemin est matérialisé par des flèches. Les quatre premières cases du codage sont données ; les élèves doivent compléter les 6 cases suivantes. Dans le second exercice, les élèves doivent décoder le déplacement du bateau pirate en matérialisant par des flèches chaque partie de son trajet jusqu’à l’île au trésor.

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137 Interpréter un graphique Compétences

Calcul mental

Lire et interpréter un graphique.

Ajouter un multiple de 10. L’enseignant écrit 528 + 20 ; l’élève écrit 548. Items : 528 + 20 ; 264 + 30 ; 307 + 50 ; 151 + 40 ; 486 + 10 ; 119 + 60 ; 404 + 90 ; 813 + 10 ; 448 + 50 ; 222 + 70.

Observations préalables Les graphiques permettent de percevoir rapidement les variations d’un paramètre ou d’une donnée. Déterminer la plus grande valeur ou les deux valeurs les plus petites sur un intervalle donné sont des questions auxquelles il est facile de répondre quand on sait lire un graphique. Les élèves vont donc apprendre à lire et interpréter les graphiques les plus simples : les graphiques en bâtons.

Activité collective L’enseignant lit ensuite aux élèves les trois autres questions concernant les élèves de CE1. Les élèves réfléchissent individuellement durant une ou deux minutes puis il leur propose de se mettre d’accord avec leur voisin sur une réponse commune. Après un temps de concertation de quelques minutes, il organise une mise en commun des propositions. Il doit en ressortir que : – Le nombre de filles du CE1 est représenté par le rectangle jaune au-dessus de l’inscription « CE1 ». Ce rectangle a une hauteur de 12 graduations, ce qui correspond à 12 filles. – Le nombre de garçons du CE1 est représenté par le rectangle bleu. Ce rectangle a une hauteur de 11 graduations, ce qui correspond à 11 garçons. – Le nombre d’élèves du CE1 est donc égal à 12 + 11 = 23. L’enseignant poursuit son questionnement en demandant le nombre de filles et de garçons au CP, puis au CE2. En fin de séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons- nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à lire un graphique et à l’utiliser pour répondre à des questions. »

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Découvrons ensemble

L’enseignant demande aux élèves de lire silencieusement les deux lignes précédant la consigne et la bulle de Mélissa : ce graphique représente la répartition des filles et des garçons dans l’école de Mélissa et non dans notre école ; puis il les questionne : « Quel titre donneriez-vous à ce graphique ? Que signifient les nombres écrits sur l’axe vertical ? Que représentent les inscriptions placées sous l’axe horizontal  ? Que représentent les bandes bleues  ? les bandes jaunes  ? Pourquoi certaines sont plus hautes que d’autres ? » Après ces premiers échanges, les élèves lisent la première question. L’enseignant demande : « Pourquoi n’est-il pas nécessaire de connaître précisément le nombre de filles et de garçons de chaque classe pour répondre à cette question ? » Les élèves constatent alors l’intérêt du graphique. Il suffit de comparer les hauteurs des rectangles jaunes et bleus. En CE2, le rectangle jaune associé aux filles est moins haut que le rectangle bleu associé aux garçons. C’est dans cette classe que les filles sont moins nombreuses que les garçons.

Activités individuelles Coin du chercheur Le segment épais partage le carré en 6 régions.

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Je m’entraîne

1 Après la lecture de l’énoncé, l’enseignant demande d’observer le graphique : « Que signifient les nombres écrits sur l’axe vertical ? Que représentent les différents rectangles de couleur ? Comment peut-on en connaître la hauteur ?   » L’enseignant s’assure que chaque élève est capable de lire, sur le graphique, les indications fournies sur les moyens de transport utilisés. Il fait remarquer qu’entre deux lignes horizontales successives l’écart correspondant est de 1 élève. Après ces premières indications, l’enseignant demande aux élèves de répondre individuellement aux questions. La correction est collective et orale. 2 Après la lecture de l’énoncé, un questionnement sur la signification du graphique comparable au précédent est conduit par l’enseignant : « Que représentent les différents rectangles de couleur ? Comment peut-on connaître leur hauteur ? Que signifient les nombres inscrits sur l’axe vertical ? Comment peut-on trouver le nombre d’élèves de cette classe de CE1 ? Etc. » Lorsque l’enseignant estime que les élèves ont compris, il leur demande de répondre individuellement aux questions. La correction est collective et orale.

➤ Prolongement ➢ Photofiche S60 Elle comporte deux exercices de relevés de température. Exercice 1 : Par une lecture de graphique, l’élève doit donner la température de chaque jour de la semaine. L’enseignant s’assurera que les élèves savent lire les graduations qui figurent sur l’axe vertical. Exercice 2 : Les élèves doivent comparer les températures données par le graphique et les interpréter.

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138

Tracer des cercles

Compétences

Calcul mental 

Reconnaître des cercles en fonction de leur rayon. Tracer des cercles.

Trouver la dizaine la plus proche. L’enseignant dit : « Quelle est la dizaine la plus proche de 28 ? » ; l’élève écrit 30. Items : Quelle est la dizaine la plus proche de 28 ? de 23 ? de 26 ? de 16 ? de 17 ? de 13 ? de 34 ? de 36 ? de 42 ? de 57 ?

Observations préalables Si les élèves connaissent le « rond » depuis l’école maternelle et l’ont reproduit à l’aide d’un gabarit, ils n’ont jamais tracé de cercle avec un compas. Le maniement de celui-ci est délicat : il faut conserver une pression suffisante sur la pointe pour qu’elle reste fixe, sans pour autant resserrer l’écart entre les deux branches. Pour faciliter le tracé, il faut incliner légèrement le compas pour qu’il ne soit plus vertical et accompagner cette inclinaison d’un mouvement du poignet. Il est difficile d’effectuer une rotation de 360° en une seule fois : deux étapes sont souvent nécessaires, et il n’est pas rare que les deux tracés ne se referment pas ! Cette leçon a pour but d’initier les élèves au maniement du compas sans pour autant prétendre définir le cercle comme un ensemble de points équidistants d’un point fixe appelé « centre ». Cette définition restant encore difficile à assimiler par les élèves du cycle 2.

Activités collectives •••••••••••••

Découvrons ensemble

Matériel  : Un compas par élève  ; le cahier d’essai  ; des crayons ou des feutres de couleur.

Les élèves lisent les consignes de la première partie du «  Découvrons ensemble  ». Ils découpent les gabarits de la page matériel H et les superposent aux cerceaux tracés sur le fichier pour colorier chacun d’eux de la couleur de leur gabarit. Colorier les cerceaux est un travail délicat. Ils devront de plus être attentifs à la position des cerceaux qui se chevauchent. Les élèves lisent les consignes de la seconde partie de l’activité et la réalisent. L’enseignant clarifie les mots  : rond, disque, cercle. Le cercle est une ligne alors que le disque est une surface. À l’issue de la séance, l’enseignant pose la question rituelle : « Qu’avons-nous appris aujourd’hui ? » Il attend une réponse proche de : « Nous avons appris à tracer un cercle avec un compas en plaçant la pointe du compas sur un point. »

 Activité préliminaire

L’enseignant propose aux élèves de tracer librement plusieurs cercles « bien ronds et bien fermés » dans leur cahier d’essai. Tout en donnant des conseils sur la tenue et l’utilisation de l’outil, l’enseignant s’assure, en circulant dans la classe, que chaque élève réussit correctement le tracé des cercles.

Activités individuelles 2 Les élèves utilisent le compas pour terminer la couronne de Théo. Ils se rendent compte que les deux cercles qui bordent la couronne ont un même centre et que leur « taille » dépend seulement de l’écartement du compas (qui deviendra le rayon du cercle ultérieurement).

•••••••••••••••••••••

Je m’entraîne

1 Les élèves se servent des gabarits creux de la page matériel H pour tracer deux cercles qui se coupent. S’il n’est pas aussi difficile que celui du compas, le maniement du gabarit n’est pas aisé pour les élèves du CE1 car il nécessite une fixité parfaite du gabarit pour réussir le traçage des cercles.

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139 Problèmes : Utiliser la décomposition des nombres (2) Compétence 

Calcul mental 

Résoudre un problème en s’appuyant sur la connaissance des unités de numération et leurs relations.

Calculer la moitié d’un multiple de 10 (nombre pair de dizaines). L’enseignant dit : « moitié de 4 », puis écrit : moitié de 40. L’élève dit : « 2 », puis écrit 20. Items : moitié de 4 puis moitié de 40 ; moitié de 6 puis moitié de 60 ; moitié de 2 puis moitié de 20 ; moitié de 10 puis moitié de 100 ; moitié de 8 puis moitié de 80 ; moitié de 12 puis moitié de 120 ; moitié de 16 puis moitié de 160 ; moitié de 14 puis moitié de 140 ; moitié de 18 puis moitié de 180 ; moitié de 20 puis moitié de 200.

Observations préalables Cette leçon fait suite à la leçon 129 dans laquelle les élèves ont utilisé les décompositions des nombres en sommes de 10 ou de 100 pour résoudre un problème de partage en paquets de 10 ou en paquets de 100. Ici, les dizaines et les centaines prennent la place des nombres 10 et 100. Plutôt que le calcul, ce sont donc les connaissances sur la numération qui vont être sollicitées. L’identification du nombre 10 à la notion des « dizaines », ou du nombre 100 à la notion de « centaine » n’est pas encore réalisée chez tous les élèves. Cette leçon a pour but de leur faire prendre conscience des facilités que nous offre la numération décimale de position pour résoudre des problèmes de partage en paquets de 10 ou de 100 à qui sait décoder l’écriture chiffrée des nombres. Le scénario de cette leçon se déroule suivant le schéma : – lecture et compréhension de l’énoncé ; – résolution individuelle ; – correction.

Activités collectives 1 Marion a représenté le nombre de perles qu’elle possède à l’aide du matériel de numération : 1 plaque-centaine, 2 barres-dizaines et 5 jetons-unités. Les élèves doivent écrire le nombre de perles : 125. Pour savoir combien de sachets de 10 perles Marion peut remplir, il faut échanger 1 centaine contre 10 dizaines. Cet échange est aidé par le schéma. À partir de l’égalité 125 = 12 dizaines 5 unités, les élèves doivent compléter la phrase-réponse indiquant le nombre de sachets complets et le nombre de perles restantes. Ce passage est essentiel et ne va pas de soi, il mérite toute l’attention de l’enseignant. Les élèves qui rencontrent encore des difficultés dans le maniement des concepts de « dizaine » et de « centaine », échangent concrètement une plaque centaine contre 10 barres-dizaines ou une barre-dizaine contre une collection de 10 perles et se livrent au décompte final. 2 Le matériel de numération a disparu des illustrations ; les élèves doivent décoder l’écriture chiffrée du nombre 210 en centaines et dizaines, puis seulement en dizaines pour trouver le nombre de boîtes de 10 petites voitures qu’Emmanuel peut compléter avec ses 210 voitures. Lors de la correction, l’enseignant utilise le matériel de numération pour faire apparaître le nombre de dizaines du nombre 210. Il demande à un élève de représenter ce nombre à l’aide du matériel de numération, puis propose d’échanger chaque plaque-centaine contre 10 barres-dizaines. Les élèves constatent que 210 est formé de 21 dizaines. L’enseignant rappelle que chaque dizaine est associée à une boîte complète de 10 voitures.

3 Kate range 900 trombones dans des boîtes de 100 trombones. Pour savoir combien de boîtes seront complètes, les élèves expriment le nombre de centaines contenues dans le nombre 900. L’enseignant montre que, malgré la taille du nombre 900, la réponse à la question posée peut être rapidement obtenue. Il utilise le matériel de numération pour convaincre les élèves qui ont compté de 100 en 100 pour résoudre ce problème : le décodage de l’écriture du nombre 900 leur épargne ce travail.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P14 Cette fiche propose 4 problèmes comportant les nombres 160, 320, 850 et 580. Les élèves doivent trouver le nombre de dizaines de chaque nombre afin de résoudre un problème de partage en paquets de 10. Dans chaque problème, les décompositions sont accompagnées par une bulle de Mathix qui rappelle, dans le contexte, qu’une dizaine correspond à un paquet de 10.

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Problèmes : Situations additives, soustractives, multiplicatives ou de division

Compétences

Calcul mental

Identifier et résoudre des situations additives, soustractives, multiplicatives ou de partage.

Calculer la moitié d’un multiple de 10 (nombre de dizaines pair ou impair). L’enseignant dit : « Quelle est la moitié de 30 ? » ; l’élève écrit 15. Items : moitié de 30 ; moitié de 20 ; moitié de 40 ; moitié de 80 ; moitié de 50 ; moitié de 60 ; moitié de 70 ; moitié de 10 ; moitié de 90 ; moitié de 100.

Observations préalables Les situations variées proposées dans cette leçon obligent les élèves à mobiliser l’ensemble des connaissances apprises au cours de l’année. L’enseignant peut choisir la gestion de classe qui lui semble la mieux adaptée à ses élèves ; plusieurs possibilités s’offrent à lui : – Corriger après la résolution de l’ensemble des problèmes ou corriger après la résolution de chacun des problèmes. – Donner aux élèves, après qu’ils ont lu collectivement les quatre énoncés, la possibilité de résoudre les problèmes dans l’ordre de leur préférence. Ce rangement renseigne l’enseignant sur les appréhensions des élèves, qu’il n’aurait pas forcément perçues dans un autre contexte. – Laisser les élèves travailler seuls ou en groupes de deux. C’est une variable intéressante dans ce type de leçon.

Activités collectives 1 Il s’agit d’un problème de comparaison d’états qui présente des difficultés qui persistent souvent au-delà du CE1. Les élèves ont du mal à comprendre ce que signifie l’expression « Suzie en a 18 de moins » (que Margot qui en a 50), car la comparaison du nombre de billes que possède Suzie et du nombre de billes que possède Margot est une opération mentale difficile. En effet, cela revient à penser que, pour avoir autant de billes que Suzie, Margot devrait en avoir 18 de moins. Or, ces deux collections ne sont pas appelées à être modifiées : elles sont statiques. Cela ne signifie pas que l’enseignant doive se résigner à ne pas aborder ce type de problèmes, mais il doit savoir que ses élèves risquent d’avoir besoin de son aide pour les surmonter. Lors de la correction, un dessin des deux collections (avec un découpage de celle de Margot en deux parties faisant apparaître une partie équipotente à la collection de Suzie contenant 32 billes et une partie supplémentaire contenant 18 billes) aidera les élèves en difficulté. L’enseignant pourra d’ailleurs montrer que cette situation peut se traduire par des formulations différentes ; on peut dire : « Suzie en a 18 de moins que Margot », ou bien « Margot en a 18 de plus que Suzie », ou bien « Il faudrait donner 18 billes à Suzie pour qu’elle ait autant de billes que Margot ». Le jeu sur les formulations associé à un schéma sera aussi une aide pour les élèves. 2 Une lecture explicitée de l’énoncé reste souhaitable, mais les élèves parviendront plus rapidement à s’orienter vers une démarche de calcul additif. Toutefois, la taille des nombres et le nombre de termes de la somme à calculer peuvent causer quelques difficultés aux élèves ne maîtrisant pas encore très bien la technique opératoire de l’addition avec retenues. 3 Après une lecture clarifiée de l’énoncé, ce problème permet à l’enseignant de voir si les élèves optent pour le calcul d’une somme de 25 termes égaux à 3, traduction spontanée dans le champ additif et difficile à réussir, même avec une calculatrice, ou bien s’ils choisissent d’effectuer la multiplication 25 × 3 à l’aide de leur calculatrice. L’enseignant leur fera remarquer que 25 × 3 est égal à 3 × 25, soit 25 + 25 + 25, opération facile à effectuer et que quelques élèves sauront calculer mentalement. Le quadrillage dessiné sous l’énoncé peut être une aide utile pour calculer le produit 3 × 25 en utilisant le dénombrement par paquets de 10 ou bien en utilisant la distributivité qui permet d’écrite : 3 × 25 = 3 × 20 + 3 × 5 (cf. leçon 32).

4 L’énoncé de ce problème de partage laisse dans l’implicite le fait que c’est un partage équitable en trois parts égales. Il faut le préciser aux élèves qui n’ont pas encore l’habitude de ce genre de situation. Un dessin des trois parts peut favoriser la résolution par essais successifs d’additions de trois termes identiques jusqu’à obtenir le total de 18. Les élèves perçoivent assez vite que : 6 + 6 + 6 = 18. Quelques-uns interpréteront le problème par une multiplication à trou : 3 × ? = 18, dont ils peuvent trouver la solution s’ils connaissent leurs tables de multiplication. Il faut montrer que la seconde interprétation est plus efficace que la première. La calculatrice n’est d’aucun secours pour résoudre une multiplication à trou. L’utilisation de la touche « ÷ » permettrait de résoudre ce problème de façon spectaculaire, mais il n’est pas souhaitable d’introduire ce symbole subrepticement lors d’une des dernières leçons de l’année, car cette touche est celle de la division rationnelle (dont le résultat est une fraction) et non de la division euclidienne que les élèves vont étudier au cycle 3 ; elle demanderait bien d’autres précisions pour ne pas prêter à confusion et n’est pas pertinente au CE1.

➤ Prolongement ➢ Photofiche P15 Cette photofiche comporte quatre problèmes. La difficulté du premier problème réside dans l’expression « de plus » qui incite à l’addition alors qu’il faut effectuer une soustraction. Le dessin peut être une aide car il montre que la petite sœur ne peut pas être plus âgée que Selim. La soustraction se fait mentalement. Le problème 2 est une situation multiplicative. Les élèves doivent trouver un complément d’énoncé dans le dessin. Le problème 3 est une situation additive. Il est complexe car cette situation additive est masquée par l’expression « trompeuse » « Il lui reste » qui est habituellement associée à une soustraction. Dans ce problème, il s’agit de trouver l’état initial et non l’état final. L’enseignant peut aider les élèves en leur demandant si la somme que l’on doit trouver doit être supérieure ou inférieure au prix du livre acheté (24 ¤). Le problème 4 est une situation de partage semblable à celle de l’exercice 4 du fichier.

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(5) Randonnée en montagne

Observations préalables Les pages « Maths Aventures » concluent chacune des cinq périodes. Le contexte de ces pages, bien que plus ludique, est plus complexe que celui d’un problème classique. Répondre aux cinq questions nécessite une recherche d’informations et l’utilisation des notions et des techniques étudiées durant la période. Les cinq « Maths Aventures » sont traitées de la même façon, le jour même : – lecture et explications de l’enseignant ; – travail individuel ; – confrontation en petits groupes ; – correction collective des exercices. Lors de la correction, l’élève colorie le dessin d’un objet accolé à l’exercice lorsqu’il a réussi celui-ci. Dans le cas de la page « Randonnée en montagne », il colorie un piolet. L’activité terminée, l’élève compte les exercices réussis, c’est-à-dire le nombre de piolets coloriés : si l’élève n’a pas commis d’erreur ou n’en a commis qu’une, il colorie la médaille d’or sur le podium en bas de page. S’il a commis deux ou trois erreurs, il colorie la médaille d’argent ; et s’il a commis plus de trois erreurs, il colorie la médaille de bronze. Tous les élèves colorient ainsi une médaille. Pour recenser et comparer les résultats obtenus pour toutes les périodes de l’année, l’enseignant peut photocopier pour chaque élève, la fiche récapitulative sur laquelle l’élève note son score en coloriant les objets et la médaille correspondante (cf. matériel photocopiable page 54). Ces informations guideront l’enseignant pour des séances de remédiation qu’il organisera avant les évaluations de fin de période.

Activités collectives ➝ « Comment calculer la moitié de 30 ? » ➝ « Dans quel dessin se trouvent les longueurs des parcours

Pendant quelques minutes, les élèves observent le dessin, puis communiquent leurs observations à la classe. L’enseignant pose alors quelques questions pour attirer leur attention sur les points qu’ils n’ont pas relevés et sur les éléments indispensables pour répondre aux questions. Chaque bulle est ensuite lue à voix haute par l’enseignant ou par un élève. Elle est commentée surtout si le texte ou le contexte n’est pas compris par certains. ➝ « Quelle précaution doit-on prendre pour calculer cette opération ? Pour trouver la masse du sac, quelle opération doit-on poser ? »

pour résoudre ce problème ? Comment calculer cette distance ? »

➝ « Observez le graphique des températures. Qu’indiquent

les nombres placés sur l’axe vertical  ? sur l’axe horizontal  ? À combien de degrés correspond une graduation bleue ? » ➝ « Ce problème est-il une situation additive  ? soustractive  ? multiplicative ? ou de partage ? »

Activités individuelles 5 Les élèves qui n’ont pas encore assimilé la multiplication résoudront ce problème en utilisant l’addition réitérée  : 5 kg + 5 kg + 5 kg + 5 kg + 5 kg + 5 kg + 5 kg = 35 kg. L’enseignant, en s’appuyant sur les calculs : 5 × 7 ou 7 × 5 = 35 proposés par les élèves, explique l’importance de la connaissance de la table de multiplication par 5. Cette dernière permet un calcul plus rapide que celui de l’addition réitérée.

Les élèves travaillent individuellement. En cas de difficulté de compréhension de l’énoncé, ils demandent l’aide de l’enseignant. Quand tous ont complété les réponses aux questions, ils peuvent comparer leurs résultats par groupes de 2, 3 ou 4, sans corriger leurs réponses. Les groupes s’entendent sur une solution qui sera présentée lors de la mise en commun. Cette dernière permet de confronter les réponses données, de les justifier ou, éventuellement, de les corriger. 1 Pour compléter les réponses, les élèves doivent d’abord trouver qu’il faut ajouter les différentes masses. Il faut ajouter séparément les kilogrammes et les grammes. Le sac plein pèse : 1 kg + 2 kg + 400 g + 1 kg + 500 g = 4 kg + 900 g = 4 kg 900 g. 2 Il faut calculer la moitié d’un nombre impair de dizaines, ce qui est une difficulté. Certains élèves auront besoin d’une aide pour la décomposition de 30 en 20 + 10. 3 Comme pour le problème 1, c’est une situation additive. Il faut ajouter séparément les kilomètres et les mètres. La distance est égale à : 1 km + 300 m + 600 m = 1 km + 900 m = 1 km 900 m. 4 L’enseignant s’assure que les élèves savent lire les températures sur l’axe vertical. Chaque graduation bleue correspond à 1 degré. À 12 h, il faisait 10 degrés ; à 10 h, il faisait 6 degrés.

Pour terminer, l’enseignant demande aux élèves de lire la bulle de Mathix, puis de colorier les piolets correspondant aux exercices réussis. Ensuite, les élèves qui ont gagné 4 ou 5 piolets colorient la médaille d’or ; ceux qui ont gagné 3 ou 4 piolets colorient la médaille d’argent ; les autres colorient la médaille de bronze. Ce type d’évaluation, à la fois ludique et rapide, informe l’enseignant sur le degré de réussite de sa classe. Cette information sera complétée par les résultats de l’évaluation qui suivra dans laquelle les élèves feront le point sur la période écoulée.

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J’ai compris et je retiens (10)

Observations préalables Cette page est un « mémo » que l’élève peut consulter librement après que toutes les leçons de la demi-période auront été étudiées. Elle récapitule les compétences acquises au cours de la demi-période et permet à chacun de mesurer le chemin parcouru dans ses apprentissages. L’activité concrète de cette page consiste, pour les élèves, à observer les situations proposées et à s’exprimer oralement sur chacune d’entre elles. Il est important que chacun mette ses propres mots sur chacune de ces situations.

 Conduite de la séance

• J’arrondis un nombre à la dizaine la plus proche. « Pourquoi dit-on que 60 est la dizaine la plus proche de 58 ? » « Pourquoi dit-on que 60 est la dizaine la plus proche de 63 ? » « Quelle est la dizaine la plus proche de 67 ? »

Commentaire de chaque partie Chaque activité est observée et discutée.

• Je lis un graphique. « Que représentent les rectangles jaunes ? les rectangles bleus ? » « À quoi voit-on qu’il y a moins de filles que de garçons au CE2 ? » « Quel est le nombre de filles au CE2 ? le nombre de garçons ? » « Dans quelle classe y a-t-il autant de filles que de garçons ? »

• Je calcule une multiplication en ligne. « Qui peut expliquer comment on calcule ce produit ? » « Comment feriez-vous pour calculer 37 × 5 ? » • Je pose et j’effectue une soustraction. « Que signifie le 1 en rouge écrit devant le 2 dans la colonne des unités ? Qui peut le justifier ? » « Pourquoi a-t-on effectué une addition après la soustraction ? »

L’enseignant complète éventuellement les observations des élèves. Il leur fait remarquer qu’ils ont appris beaucoup de choses au cours de l’année. « Que savez-vous maintenant que vous ignoriez au début de l’année : • en calcul ? • en numération ? • en géométrie ? • pour la mesure ? » Il est important de remettre en mémoire tous les progrès réalisés. Même les élèves qui ont éprouvé des difficultés ont progressé ; ils peuvent s’en apercevoir en se reportant aux premières pages de leur fichier. C’est en recensant les problèmes qu’ils savent résoudre qu’ils constateront leur progression ; ceux de la page 19, par exemple, doivent leur paraître bien faciles maintenant.

• J’utilise la décomposition des nombres pour résoudre un problème. « Pour connaître le nombre de boîtes de 10 voitures, pourquoi faut-il décomposer le nombre 45 en dizaines et unités ? » • Je connais le litre comme unité de contenance. « Que signifie 1 L ? » « Qui peut donner le nom d’un récipient de contenance voisine d’un litre ? » « Un verre a-t-il une contenance plus grande ou plus petite qu’un litre ? et un arrosoir ? »

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143 Je fais le point (10) Observations préalables L’enseignant procède régulièrement au bilan des compétences des élèves. Nous en proposons un qui contribue à l’acquisition des notions contenues dans le Socle commun de connaissances, de compétences et de culture. L’élève fait le point sur ses connaissances. Les résultats permettent aussi à l’enseignant de repérer les notions maîtrisées par la majorité des élèves et celles qui doivent donner lieu à un travail de remédiation en atelier. Comme les items des pages « Je fais le point » peuvent être anticipés à la maison, l’enseignant peut leur préférer ceux proposés dans le guide pédagogique pour réaliser les évaluations finales des demi-périodes. Il utilisera alors les pages d’évaluation du fichier comme activités préparatoires aux évaluations finales.

Consignes de passation Pour chaque exercice, l’enseignant lit une fois la consigne à haute voix et s’assure que chacun a compris, sans apporter d’aide. Les élèves travaillent individuellement. Il leur laisse un temps raisonnable pour réfléchir, calculer et rédiger la réponse puis il passe à l’exercice suivant. L’ensemble des exercices de la page peut être traité en deux séances. Autant que possible la correction doit avoir lieu le jour même.

Socle commun

Commentaires

Propositions de remédiation

1. Calcul en ligne.

Ces exercices sont difficiles car il n’y a pas de support visuel. Les erreurs peuvent provenir : – d’une mauvaise décomposition du grand nombre ; – de la méconnaissance des tables de multiplication.

Proposer un support visuel en dessinant des rectangles et en insistant sur la décomposition canonique du nombre à multiplier. ➢ Photofiche S55

2. Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements sur un quadrillage.

S’assurer que les élèves ont bien compris le codage. La coccinelle se déplace sur les lignes du quadrillage et non sur les cases.

Insister sur le codage en reprenant le « Découvrons ensemble » de la leçon 136. ➢ Photofiche S59

3. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

Cet exercice est difficile et nécessite un support visuel.

Faire colorier en vert la partie 35-45 de la droite numérique, en orange la partie 45-55, en bleu la partie 55-65, etc. Demander de placer un nombre (47, par exemple) et la couleur de partie où il va se trouver et d’en déduire la dizaine la plus proche… Procéder de même pour les autres nombres. ➢ Photofiche S58

4. Calcul posé.

L’enseignant observe le travail des élèves pour repérer les erreurs les plus fréquentes : – oubli de la retenue ; – erreur de comptage.

La remédiation portera surtout sur l’oubli de la retenue. Reprendre le « Découvrons ensemble » de la leçon 133. ➢ Photofiche S56

5. Organisation et gestion de données.

S’assurer que les élèves ont compris ce qu’ils doivent faire. Ne pas apporter d’aide quant à l’interprétation du graphique qui constitue la difficulté essentielle du problème.

Adapter la remédiation aux causes d’erreurs observées : – compréhension du problème ; – lecture des données figurant en abscisses et en ordonnées ; – interprétation du graphique. ➢ Photofiche S60

 Effectuer une multiplication en ligne.

 Décoder un déplacement sur les nœuds d’un quadrillage.

 Arrondir un nombre à la dizaine la plus proche.

 Effectuer une soustraction entre 2 nombres de 2 chiffres avec ou sans retenue.

 Lire et interpréter un graphique en bâtons.

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Évaluation (10) Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

Compétences et connaissances

Évaluation

1.

Calcul en ligne. Effectuer une multiplication en ligne.

2. a. b.

Calcul posé. Effectuer une soustraction entre 2 nombres de 2 chiffres. Poser et effectuer une soustraction entre 2 nombres de 2 chiffres.

3.

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Arrondir un nombre à la dizaine la plus proche.

4.

Organisation et gestion de données. Lire et interpréter un graphique en bâtons.

1 Calcule. 35

35 × 4 = 30 × ......... + 5 × ......... 4

35 × 4 = ......... + ......... 35 × 4 = .........

30

2 a. Effectue.

b. Pose et effectue.

42 – 16

–

5

4

2

1

6

65 – 23

92 – 68

=

3 Arrondis à la dizaine la plus proche. 0

5

10

15

20

38 → ..................

25

30

35

40

45

50

55

60

42 → ..................

65

70

75

80

85

90

95

100

83 → ..................

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

Nombres et calculs

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Nom : …………………………………………………………..….… Prénom : ……………..…………………………..………………… Date : …………………..……………………

4 Le graphique indique l’animal préféré de chaque élève du CE1. a. Combien d’élèves préfèrent :

Nombre d’élèves 9

– le chien ? ............

8

– le cheval ? ............ 7 6

b. Quel est l’animal préféré par le plus grand

5

nombre d’élèves ?

4

.....................................................................................

3 2

c. Quel est l’animal préféré par quatre élèves ?

0

Oiseau

Chien

Chat

Cheval

......................................................................................

Compétences et connaissances

Évaluation

Espace et géométrie 5.

Coder et décoder pour prévoir, représenter et réaliser des déplacements sur un quadrillage. Décoder un déplacement sur les nœuds d’un quadrillage.

5 Trace le chemin du bateau jusqu’à l’île au trésor. Haut Code G2 → se déplacer de 2 cases vers la gauche

Gauche

H3 → se déplacer de 3 cases vers le haut Droite

© Hachette Livre 2016 – Pour comprendre les mathématiques CE1 – Guide pédagogique – Reproduction autorisée pour une classe seulement. 

1

D2 → se déplacer de 2 cases vers la droite B1 → se déplacer de 1 case vers le bas

Bas

B2

D3

B2

D3

H2

G4

H1

223

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Annexes

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ANNEXE 1 La classification des problèmes du champ additif d’après Gérard Vergnaud Gérard Vergnaud, élève de Jean Piaget, ancien directeur de recherche au CNRS, s’est engagé dans la recherche en didactique des mathématiques avec un point de vue de psychologue qui le conduit à s’intéresser particulièrement aux différents cheminements des enfants au cours de leur apprentissage. Il cherche également à analyser la variété des opérations de pensée qu’ils sont amenés à mettre en œuvre pour résoudre des problèmes d’arithmétique élémentaire. Les problèmes élémentaires du champ conceptuel additif font en général intervenir trois nombres, on les appelle des problèmes ternaires, contrairement aux problèmes du champ multiplicatif qui font généralement intervenir quatre nombres, l’un de ces quatre nombres étant souvent l’unité qui intervient de manière implicite. Pour les situations qui concernent l’école primaire, Gérard Vergnaud distingue trois fonctions différentes pour les nombres intervenant dans un énoncé de problème additif ou soustractif : – les nombres indiquant un état (mesure, position) ; – les nombres indiquant une transformation d’état positive (gain, avancée) ou négative (perte, recul) ; – les nombres indiquant une comparaison entre deux états (associés aux expressions « de plus que… » ou « de moins que… »). À partir de ces distinctions, il identifie quatre catégories de problèmes additifs ou soustractifs : – les problèmes de transformation d’états où intervient une chronologie ; – les problèmes de composition d’états ou de réunion de deux parties disjointes formant un tout ; – les problèmes de comparaison d’états ; – les problèmes de composition de transformations. Une même catégorie de problèmes peut fournir des énoncés de difficultés très différentes selon sur quel nombre porte la question de l’énoncé. Analysons chacune des quatre catégories précédentes. • Dans la catégorie des problèmes de transformation d’états, si la question porte sur la valeur de l’état final, pourvu que les valeurs des nombres soient bien choisies, les élèves parviennent à résoudre ces problèmes dès la classe de GS ou de CP, que la transformation soit additive ou qu’elle soit soustractive. Exemples : « Théo possède 5 images, il en gagne 3 ; combien en a-t-il maintenant ? » « Théo possède 8 images, il en perd 3 ; combien en possède-t-il maintenant ? » – Si la question porte sur la valeur de l’état initial, les élèves ont besoin d’une maturité plus grande pour parvenir à inverser la chronologie de l’énoncé ; ils commencent à y parvenir à partir du CE1. Exemple : « Léa possède des images, sa maman lui offre un paquet qui contient 6 images, maintenant elle a 15 images. Combien d’images avait-elle avant ? »

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– Si la question porte sur la valeur de la transformation, les élèves ont plus de difficulté à l’identifier. Selon le contexte et la taille des nombres, certains élèves y parviennent au cours du CE1, la plupart n’y réussiront qu’à partir du CE2. Exemple : « Ce matin, Théo avait 14 billes dans sa poche ; au cours de la journée, il a joué aux billes avec ses camarades. Quand il rentre chez lui, il a 9 billes dans sa poche. Que s’est-il passé dans la journée ? » • Dans la catégorie des problèmes de composition d’états n’interviennent que des états. Si la question porte sur la valeur du tout, les élèves réussissent à répondre correctement dès le CP. Exemple : « Théo a 5 billes jaunes et 3 billes rouges ; combien a-t-il de billes en tout ? » – Par contre si la question porte sur la valeur de l’une des deux parties connaissant le tout, on doit attendre la classe de CE1 pour voir la plupart des élèves réussir à résoudre le problème. Exemple : « 23 élèves sont inscrits dans la classe parmi lesquels il y a 14 filles. Combien de garçons sont inscrits dans cette classe ? »

Remarque : Dans un problème de transformation d’état où la transformation est additive et où l’on recherche la valeur de l’état final, les élèves mobilisent une addition pour le résoudre. Dans un problème de composition d’états dans lequel on cherche la valeur du tout, les élèves mobilisent aussi une addition pour le résoudre, mais ils percevront plus facilement l’addition comme une opération commutative dans le second cas que dans le premier qu’ils associeront plus naturellement à un surcomptage. Les problèmes au travers desquels les élèves perçoivent le sens des opérations ne sont donc pas sans incidence sur leur conception de l’opération. • Dans la catégorie des problèmes de comparaison d’états, les élèves de cycle 2 ont des difficultés pour concevoir ce qu’est une comparaison et comment elle opère entre deux états. La comparaison est une opération mentale qui pourrait se traduire par une question du type : « Que faudrait-il donner à celui qui en a le moins pour qu’il en ait autant que celui qui en a le plus ? » L’expérience montre que les élèves ont du mal à imaginer cette égalisation fictive complexe de deux états. Quand une comparaison positive ou négative s’établit entre deux états, l’un des deux états joue le rôle de référent et l’autre joue le rôle de préféré. Si on énonce : « Paul a 5 images de plus que Tony », le nombre d’images de Tony est le référent, Paul est le référé. Si on énonce : « Tony a 5 images de moins que Paul », le nombre d’images de Paul est le référent et le nombre d’images de Tony est le référé. – Quand la question porte sur la valeur de l’état référé, le problème est plus simple que lorsque la question porte sur la valeur de l’état référent. Quand la question porte sur la transformation, les élèves sont souvent dans l’embarras à cause des difficultés de conception associées à la notion de comparaison. Il faudra attendre le cycle 3 pour que ces situations soient mieux comprises par la plupart des élèves. Exemples : « Paul a 8 images, Tony a 5 images de plus que Paul. Combien d’images Tony a-t-il ? » Cet énoncé, qui paraît très simple à un adulte (on cherche la valeur de l’état référé), est généralement mal réussi dans une classe de CE1. « Tony a 5 images de plus que Paul, Tony a 12 images. Combien d’images possède Paul ? » Cet énoncé est plus délicat (on cherche la valeur de l’état référent) ; il est difficilement réussi en CE2.

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« Tony a 17 images, Paul en a 14. Combien d’images Tony a-t-il en plus ? » Cet énoncé paraît lui aussi très simple à un adulte, mais les élèves peinent à le résoudre du fait de la présence d’une comparaison. • Dans la catégorie des problèmes de compositions de transformations, aucune indication n’est donnée sur la valeur des états. On donne, par exemple, la valeur de deux transformations qui s’enchaînent (qui se composent) et on cherche la transformation résultant de leur composition. Ou bien, on donne la valeur d’une des deux transformations composantes et celle de la transformation résultante et on cherche la valeur de la deuxième composante. Ces problèmes se modélisent par la somme ou la différence de nombres relatifs, ils correspondent donc davantage aux classes du collège. Toutefois, dans certains cas très simples, les élèves de cycle 2 peuvent réussir à les résoudre : Exemple 1  : «  Jean-Paul joue aux billes à l’école. À la récréation du matin, il gagne 5 billes, à la récréation du soir, il gagne 3 billes. À la fin de la journée, a-t-il gagné ou perdu des billes et combien ? » Le fait de ne pas savoir combien de billes possède JeanPaul au départ gêne beaucoup les élèves mais certains d’entre eux réussissent à résoudre un problème de ce type au CE1. Exemple 2 : « Jean-Paul joue au billes. À la récréation du matin, il gagne 10 billes. Il rejoue aux billes à la récréation de l’après-midi. Quand il rentre chez lui, il découvre que, sur la journée, il a perdu en tout 5 billes. Que s’est-il passé à la récréation de l’après-midi ? » Ce dernier problème est difficilement réussi en classe de 5e au collège !

Conclusion Dans son article de Grand N, n° 38, Gérard Vergnaud1 débute sa conclusion par ces mots : « L’analyse précise des contenus conceptuels des problèmes d’addition et de soustraction conduit à distinguer plusieurs relations très différentes les unes des autres et une grande diversité de problèmes, de procédures, de représentations symboliques. Le développement des conceptions et des compétences de l’enfant consiste en un cheminement complexe à travers cet ensemble. Pour saisir ce cheminement, il faut analyser dans le détail les conduites des élèves en situation, leurs formulations, leurs procédures, les écarts entre les exigences de l’enseignant et les démarches des élèves  ». Il est souhaitable que les enseignants de cycle 2 prennent conscience de cette complexité et acceptent l’idée que les élèves ont besoin de temps pour avancer, tout au long de leur scolarité primaire et même secondaire, dans le maquis des structures additives et soustractives.

1. Synthèse simplifiée d’après un article de Gérard Vergnaud paru dans la revue Grand N, n° 38, 1986, intitulé : « Psychologie du développement cognitif et didactique des mathématiques : un exemple, les structures additives » et son livre : Apprentissages et didactiques, où en est-on ?, Hachette, 1995.

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ANNEXE 2 Le pliage comme support des activités géométriques au cycle 2 Le pliage est un excellent support des activités géométriques. En effet : – le pli est une image de la droite de grande qualité, bien plus précise que le tracé lorsque les élèves n’ont pas encore acquis une maîtrise suffisante de la motricité manuelle. L’intersection de deux plis donne de même une bonne image du point ; – la règle obtenue par pliage facilite la construction du concept de ligne droite ; – le pliage est l’activité quasi fondatrice de la symétrie axiale. Il permet aussi bien de mettre en évidence les axes de symétrie d’une figure que de construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite ou de construire directement deux figures symétriques par rapport à une droite ; – l’équerre obtenue par pliage est une méthode féconde de construction du concept d’angle droit. La liste qui précède, loin d’être exhaustive, suffit cependant à justifier notre première affirmation. Du point de vue de la gestion du temps, les activités de pliage peuvent se partager entre les temps consacrés aux arts plastiques, aux travaux manuels et aux mathématiques. Ce sont des activités transversales, où chacune des disciplines mentionnées trouvent leur compte. Par ailleurs, l’éducation de la motricité fine, de la rigueur, du goût pour le travail bien fait, de l’organisation sont des objectifs généraux que le pliage peut aider à atteindre.

Un préalable : apprendre à plier Si les élèves se sont familiarisés avec les techniques du pliage en grande section de maternelle, on peut d’emblée mettre en œuvre cette activité. Sinon, il faut consacrer une ou plusieurs séances à l’apprentissage des techniques élémentaires. – Faire un pli : utiliser le plan de la table comme support (ne pas plier « en l’air »). – Distinguer « pli vallée » et « pli montagne » (l’envers d’un pli vallée est un pli montagne et réciproquement).

pli vallée

pli montagne

– Plier « bord sur bord », c’est-à-dire en appliquant un des bords de la feuille sur un autre bord. – Plier « pli sur pli » (technique qui permet notamment de construire un angle droit, une équerre).

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Activité 1 ♦ Construire la droite (projective), fabriquer une règle Le travail peut être précédé d’activités motrices et d’exercices de visée et d’alignement. – Marquer au crayon des points sur un pli : ces points sont alignés. – Repasser le pli au crayon (c’est facile dans le pli vallée ; sur le pli montagne, on peut repasser le bord avec la pointe d’un feutre). La figure dessinée est une ligne droite. – Marquer au crayon deux points, puis faire le pli qui passe par ces deux points. – Marquer trois points sur une feuille, puis faire tous les plis contenant au moins deux de ces points. Chaque fois, faire repasser les plis au crayon. Ainsi, c’est une propriété pour trois points d’être alignés, mais deux points déterminent une droite unique qui les contient. – Construire une règle en pliant une feuille de papier. Si c’est possible, utiliser des morceaux de papier déchirés, ainsi les élèves ne confondent pas le pli et les bords de la feuille. Utiliser cette règle pour vérifier l’alignement de points et pour tracer droites et segments.

Activité 2 ♦ Introduction du quadrillage par pliage – Partir d’un carré de papier, sans avoir plié selon une diagonale. – Plier bord sur bord et marquer le pli au crayon : «  Qu’a-t-on obtenu  ?  » Replier dans le pli et plier une seconde fois petit bord sur petit bord. Déplier, marquer le nouveau pli : «  Qu’a-t-on obtenu  ?  » Continuer de la sorte jusqu’à obtention d’un quadrillage à 16 carreaux. Introduire le vocabulaire, cases ou mailles et nœuds du quadrillage.

Activité 3 ♦ Figures admettant un axe de symétrie

– Faire un pli, le marquer au crayon, replier la feuille suivant ce pli, puis effectuer une découpe comportant le pli. Utiliser alors la feuille trouée comme gabarit en creux (ou pochoir) et reproduire la forme sur une autre feuille. Chaque élève dispose alors d’un dessin représentant une forme arbitraire, mais admettant un axe de symétrie. – L’enseignant aura préparé deux dessins du même genre, mais sans axe de symétrie ; par exemple :

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– L’enseignant demande aux élèves de poser leurs dessins. Il mêle subrepticement ses dessins aux autres. On observe ; puis, l’enseignant dit : « Quelqu’un n’a pas respecté les consignes ; certains dessins n’ont pas été obtenus comme je l’ai demandé. » Et l’on cherche. Si un élève désigne la production de l’un de ses camarades, on vérifie à l’aide du gabarit en creux que la pièce est correcte. L’objectif est de découvrir pourquoi les formes intruses (celles de l’enseignant) n’ont pu être fabriquées suivant la consigne.

Activité 4 ♦ Carré-rectangle – Préparer une douzaine de feuilles rectangulaires dont trois carrées, trois presque carrées et les autres franchement non carrées. On les mélange et on les dispose sur le sol. Demander aux élèves s’ils savent ce qu’est un carré et un rectangle. Tous répondent : « Oui ». Demander à un élève de faire un tas avec les carrés, un autre avec les rectangles. Se montrer dubitatif. Un enfant viendra « corriger », puis un autre. On a créé le problème : « Comment être sûr que ces formes sont carrées ? » Les enfants indiquent toujours que les côtés sont pareils et, pour le vérifier, proposent de plier suivant les médiatrices des côtés. Le faire pour un rectangle. On aboutira alors à plier suivant une diagonale. On obtient finalement : – carré : quatre axes de symétrie ; – rectangle : deux axes de symétrie seulement. – Construire un carré à partir d’un rectangle. Il faut prévoir un carré et deux rectangles de papier par élève. Commencer par faire reconnaître et comparer les carrés et les rectangles : «  Qu’est-ce qui distingue les carrés des rectangles ? » Les élèves ne manquent pas de dire que, chez les carrés, les quatre côtés sont « pareils » (isométriques). Travailler avec un rectangle et le carré de papier. Réserver l’autre rectangle. Faire plier chaque rectangle bord à bord selon les médiatrices des côtés. Observer  : cela montre l’isométrie des côtés opposés. Effectuer le même travail avec les carrés.

Faire plier le rectangle et le carré suivant la diagonale. Faire observer.

Poser alors le problème de l’obtention d’un carré à partir d’un rectangle. Le faire réaliser avec le rectangle restant.

Activité 5 ♦ Figures symétriques – Effectuer deux ou plusieurs plis successifs (chaque fois plier, déplier, marquer le pli, replier…), puis une découpe comportant le pli (voir Activité 3). On observe et on compare les trous.

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– On compte le nombre de trous obtenus en pliant, pli sur pli, une ou plusieurs fois, puis en faisant un trou sur le dernier pli : – 1 pli → 1 trou (constat) – 2 plis → 2 trous (constat) – 3 plis : « Combien de trous ? » – On cherche à anticiper. On vérifie en dépliant : quatre trous (et non trois).

1 pli

2 plis

3 plis

– 4 plis → même chose → 8 trous – Les élèves ne peuvent pas aller au-delà en pliant, car la découpe devient difficile. Mais l’enseignant le peut. On cherche à prévoir la réponse. Pour cela, on regarde ce qui se passe : 1 pli → 1 trou ; 2 plis → le trou initial donne naissance à deux trous lorsqu’on déplie… L’objectif est de découvrir la loi :

Nombre de plis

Nombre de trous

1

1

2

1×2=2

3

2×2=4

4

4×2=8

L’enseignant réalise alors 5 plis et une découpe. On obtient bien 8 × 2 = 16 trous.

Activité 6 ♦ Construire un gabarit d’angle droit par pliage Le concept de secteur angulaire droit (abusivement  : angle droit, dans le langage courant) est difficile, car il désigne une partie non limitée du plan. Les enseignants connaissent les difficultés que les enfants rencontrent encore au cycle 3 quand ils doivent utiliser une équerre : – trouver l’angle droit de l’équerre, ce triangle évidé ; – positionner l’outil pour vérifier qu’un angle est ou n’est pas droit ; – placer l’équerre pour construire une perpendiculaire à une droite donnée. Une façon efficace de permettre aux élèves de ne pas confondre l’angle droit avec les autres angles de l’équerre et de donner du sens à ce concept difficile est de leur faire construire leur gabarit d’angle droit par pliage d’une feuille aux bords irréguliers.

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La construction s’effectue suivant le « film » ci-dessous :

Activité 7 ♦ Algorithmes de pliages C’est une des activités les plus riches et les plus motivantes. L’objectif pour les élèves est de réaliser un objet attrayant, esthétique ou amusant. Ce faisant, ils découvrent certaines propriétés des figures simples – carré, rectangle –, ils apprennent à chercher et à ordonner l’information, ils améliorent leurs performances motrices, ils apprennent à s’organiser en vue de réaliser une tâche complexe et ils développent leur imaginaire. On propose de fabriquer une salière, un chapeau, un bateau ou une boîte… Il s’agit d’effectuer la suite des opérations, puis de nommer les formes intermédiaires, d’observer les symétries. On peut ensuite utiliser les productions pour réaliser, suivant le cas, des mosaïques ou des pavages et mettre en œuvre la translation et la symétrie. La donnée de l’algorithme peut se faire de différentes façons. – L’enseignant exécute le pliage pas à pas avec les élèves. C’est le plus facile et le plus lent, le moins constructif aussi pour les élèves. – Il peut proposer la bande dessinée de l’algorithme (comme dans les ouvrages d’Origami). Mais, c’est difficile et hors de la portée de beaucoup d’élèves du cycle 2. – L’enseignant peut aussi proposer la banque de données du pliage. Il dispose dans la classe (sur le tableau ou sur une table) les pliages intermédiaires, numérotés dans l’ordre de la fabrication. Les élèves vont chercher l’information par observation ; ils peuvent déplier les éléments de la banque à condition de replier ensuite et de remettre dans la position initiale. Les allers-retours sont autorisés, l’aide mutuelle entre les élèves également. Le nombre d’étapes intermédiaires est décidé par l’enseignant en fonction des capacités des élèves. Il faut prévoir le plus souvent une banque pour quatre ou cinq élèves. Cette méthode est, de très loin, la plus riche et la plus efficace pour l’apprentissage au cycle 2. À titre d’illustration, voici l’algorithme de construction du « chapeau » (voir page suivante). On en trouvera plus encore dans les ouvrages d’Origami. Prendre une feuille rectangulaire : la largeur est en fonction du tour de tête, la longueur dépend de la hauteur à donner au chapeau.

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1 2 3

4

5

6

Retourner 7

8

9

Ouvrir l’orifice du chapeau

Activité 8 ♦ Confection de ribambelles, napperons, rosaces • Les ribambelles permettent d’observer et de mettre en acte les translations : c’està-dire la reproduction à l’identique d’un même motif. Pour obtenir une ribambelle, on plie une feuille en accordéon puis on découpe sur les plis ce qui doit être évidé. Par exemple : on plie bord sur bord trois fois de suite une feuille de papier en choisissant chaque fois comme bord le pli précédent, puis on découpe un motif. Chaque élève est invité ensuite à produire sa propre ribambelle. Elle est ensuite affichée et l’enseignant demande à chaque élève d’expliquer ce qu’il a fait.

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• Les napperons sont obtenus en pliant une feuille carrée ou rectangulaire trois ou quatre fois bord sur bord, les plis successifs étant perpendiculaires, puis en découpant une ou plusieurs formes dans la feuille pliée. (Voir le déroulement de l’activité ci-dessous.)

L’enseignant peut indiquer comment plier, dessiner les différentes étapes du pliage au tableau ou afficher une banque de données unique pour toute la classe. La partie pliage est ici extrêmement simple et les élèves ont déjà une bonne pratique de cet art. Lorsque chaque élève a fabriqué son napperon, l’enseignant demande ce qu’on peut remarquer. Par exemple, les mêmes trous apparaissent plusieurs fois de façon régulière. • Pour les rosaces, les procédures sont les mêmes à ceci près que le matériel initial est une feuille de papier ronde (c’est l’idéal mais c’est rarement possible dans la classe) ou carrée et que l’on effectue des plis concourant au centre de la feuille. Avec un carré, on pliera suivant les médiatrices des côtés et suivant les diagonales, avec un disque selon des diamètres en appliquant le bord du disque sur lui-même à chaque étape. Si les conditions sont propices à la visite d’un monument doté d’une rosace (gare, café Belle Époque ou plus souvent église), l’enseignant incite les élève à faire le rapprochement entre la rosace qu’ils ont fabriquée et celle qu’ils ont observée.

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ANNEXE 3 Calcul mental : calcul automatisé et calcul réfléchi (ou en ligne) au CE1 Pourquoi pratiquer quotidiennement le « calcul mental » ou « calcul rapide » ? Le but essentiel de l’enseignement du calcul mental, avec ou sans appui de l’écrit, est de familiariser l’élève avec l’univers numérique des nombres entiers, de rendre ces derniers « concrets », c’est-à-dire de leur donner du sens indépendamment de contextes extérieurs. Il s’agit, en somme, de permettre à l’élève de penser à l’intérieur des mathématiques. De façon plus détaillée, voici les objectifs que l’on fixe au calcul mental : – Renforcer les images mentales des nombres, rendre ces derniers familiers. – Entraîner au calcul abstrait : les nombres pour les nombres. – Établir un répertoire, base du calcul pensé. – Enrichir mémoire déclarative et mémoire procédurale. – Renforcer les mécanismes de calcul. – Entraîner la vitesse de calcul. – Gagner du temps... pour en consacrer plus à la construction des concepts. On peut distinguer deux types d’activités en calcul mental : 1. Celui qui vise à construire ou à découvrir des procédures de calcul : il s’agit du calcul réfléchi qui débouche sur le calcul en ligne quand on explicite les procédures de calcul à l’écrit. Par exemple, comment ajouter des dizaines entières à un nombre, comment calculer le produit d’un nombre par 4, comment retrancher un très petit nombre d’un autre. 2. Celui qui a pour but d’entraîner la mémorisation, l’automatisation des calculs, leur rapidité. Par exemple, connaître les tables d’addition et de multiplication.

1. Construction des procédures de calcul Elles relèvent du calcul réfléchi. Par exemple : Comment soustraire 9 à un nombre de deux chiffres ? Le travail peut s’effectuer à l’occasion d’un calcul dans un problème, d’une recherche dans d’autres domaines disciplinaires ou lors d’une séance de travail sur le sujet. Dans tous les cas, il n’y a aucune raison de se passer de l’écrit pour fixer les données ou décomposer une procédure. On entraînera les élèves au calcul mental en posant de nombreuses questions sur des exemples faisant fonctionner la procédure. Mais il n’y a pas lieu de la rendre obligatoire (soustraire 9, c’est soustraire 10, puis ajouter 1) car pour effectuer 79 – 9, il n’est pas nécessaire de la convoquer ! Par ailleurs, et de façon constante, les procédures de calcul doivent faire l’objet d’un travail de construction où l’écrit tient une place importante. Ainsi, la technique de « l’addition naturelle » (on effectue l’addition en sens inverse du calcul posé : pour deux nombres de deux chiffres, on calcule d’abord la somme des dizaines, avant de calculer la somme des unités et d’ajuster le résultat final) s’élabore progressivement sur une longue période : somme de deux dizaines entières, ajouter des dizaines entières à un nombre, décomposition d’une somme par l’arbre à calcul, pour arriver enfin à la règle « ajouter les dizaines ; ajouter les unités ; ajouter les deux nombres obtenus ». Plusieurs méthodes sont en général utilisables. Les comparer, laisser les élèves choisir celle qui leur convient le mieux à un moment donné, les amener à utiliser les plus efficaces sont des moments essentiels du travail. Exemple : 46 + 27 peut être obtenu par (40 + 20) + (6 + 7) mais aussi (46 + 20) + 7 ou (40 + 27) + 6 ou (46 + 30) – 3 ou... 236

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2. Les activités d’entraînement systématique a) Le procédé la Martinière : calcul mental automatisé C’est la méthode de base. Bien qu’elle puisse sembler « rétro », elle présente de nombreux avantages. Elle a été mise au point au début du XXe siècle par les instituteurs de l’école de la Martinière, à Lyon. Elle relève, avant la lettre, du comportementalisme de Wilson et de l’enseignement programmé de Skinner, à ceci près que chaque procédure a fait l’objet d’une élaboration « constructionniste ». Chaque élève dispose d’une ardoise. L’enseignant donne la consigne « 8 + 7 ». Les élèves mémorisent les données et calculent dans leur tête. Au signal de l’enseignant, ils écrivent le résultat sur leur ardoise. Au signal suivant de l’enseignant, ils présentent leur résultat en levant immédiatement leur ardoise. L’enseignant peut alors contrôler d’un coup d’œil les réponses. L’enseignant doit imposer un rythme et un découpage du temps très précis : – temps d’écoute des données ; – temps de calcul dans sa tête ; – temps de restitution (écriture) du résultat ; – temps de validation (ardoise levée). Les consignes peuvent être données par voie visuelle (présentation d’étiquettes), orale (l’enseignant énonce les données) ou auditive (l’enseignant frappe un tambourin...). La méthode, comportementaliste, met en œuvre le renforcement positif et la loi de récence. Renforcement positif : Les neuf dixièmes des élèves de la classe doivent donner une réponse juste aux différents items. C’est à l’enseignant d’ajuster la difficulté de la tâche au niveau des élèves. La réussite motive, encourage, a un effet bénéfique sur la mémorisation. L’emploi quotidien de la méthode permet d’élever progressivement le niveau d’exigence. Loi de récence  : La confrontation immédiate de la réponse de l’élève, presque toujours juste, avec la réponse exacte renforce la conviction de l’élève. Il n’est pas recommandé d’apporter en cours de séance des explications sur les façons de calculer, car cela casse le rythme. Le travail sur les procédures de calcul doit prendre place à un autre moment. Enfin, le plus souvent, il est inutile d’écrire les données au tableau, car l’exercice consiste à mémoriser les données, à effectuer le calcul puis à restituer le résultat. On entraîne tout à la fois la mémoire à court terme et la mémoire à long terme. Cependant, lorsque l’on aborde une difficulté nouvelle (par exemple : addition de deux nombres de deux chiffres), les données peuvent être écrites au tableau, les calculs s’effectuant dans la tête, le résultat seul s’écrivant sur l’ardoise. Remarques : Nous pensons qu’il est souhaitable de pratiquer cette forme de calcul pendant dix à quinze minutes, quotidiennement, au début de chaque leçon, dès la première semaine de classe du CE1 et jusqu’à la fin de la classe de troisième au collège. En ce qui concerne les calculs de sommes, dire « plus » et non « et ». b) Les séquences de travail écrit, en temps limité, sur des batteries de calculs « en ligne » Les cahiers Pour comprendre le calcul réfléchi dans la collection Pour comprendre les mathématiques proposent de telles batteries. L’enseignant peut en construire d’autres selon les besoins du moment.

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3. Les jeux numériques Ils peuvent se substituer de temps en temps aux séances la Martinière ou faire l’objet de séances spécifiques. Il en existe toute une série : dés, cartes, dominos, marelles ou damiers… Voici, à titre d’exemple, quelques jeux à pratiquer en classe entière. Les enseignants trouveront dans les Photofiches CE1 le matériel nécessaire pour la pratique de ces jeux.

a) Le Loto Prévoir des cartons 3 × 4 avec un « noir » par ligne. Les autres cases portent des nombres écrits dans le système de numération ordinaire. Au CE1, il faut prévoir un jeu avec des petits nombres inférieurs à 100, un autre comportant les nombres de 100 à 999 et un troisième avec des nombres 63 66 69 arbitraires (de préférence dans la tranche 70-100 qui, comme chacun sait, pose quelques 72 74 80 problèmes à beaucoup d’élèves). Le travail de l’enseignant consiste à écrire des étiquettes 85 90 95 adaptées aux objectifs de la séance qui seront tirées d’une boîte les unes après les autres. Exemple : 30 + 20  ; soixante-dix-sept   ; 100 + 60 + 3   ; etc. Fabriquer chaque fois les cartons est beaucoup trop coûteux et, de plus, rend la tâche trop difficile. C’est pour cette raison que cartons et étiquettes à photocopier figurent dans le recueil de Photofiches de la collection Pour comprendre les mathématiques.

b) Les lectures cachées L’enseignant écrit au tableau une suite de nombres. Il demande à un élève d’énoncer à haute voix les suivants, les précédents, les suivants des suivants, les précédents des précédents des nombres écrits. Exemple : « Le nombre précédent » L’enseignant écrit : 48 ; 60 ; 120 ; 200 ; 658. L’élève énonce : 47 ; 59 ; 119 ; 199 ; 657. c) Le jeu du portrait L’enseignant ou un élève choisit un nombre. La classe doit le deviner en posant des questions auxquelles il ne sera répondu que par « oui » ou par « non ». d) Le triolo ou la pyramide Les élèves doivent compléter les cases vides par addition ou soustraction… (voir Photofiches CE1) La liste de ces jeux est loin d’être exhaustive. L’enseignant peut en bâtir d’autres en fonction des besoins de sa classe.

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