Formulaire MMC PDF [PDF]

Zitiervorschau

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ε : Exprime la déformation (en µm/m) σ : Exprime la contrainte

Formule changement de base (TD) : Rosette 60°/45° (45°=

ε θ = ε 11 =

ε11 + ε 22 2

Exemple rosette à 45° : , ε θ 1 ⇒ θ = 0°

ε11 − ε 22

+

2

π 4

, 60°=

π 3

, 120° =

2π ) 3

cos 2θ + ε 12 sin 2θ

ε θ 2 ⇒ θ = 45° ,

ε θ 3 ⇒ 2θ = 90°

Déformations principales (TD) :

εi =

ε11 + ε 22 2

ε 12 = 0 = −

+

ε11 − ε 22

ε 11 − ε 22 2

2

cos 2θ + ε12 sin 2θ

sin 2θ + ε 12 cos 2θ

Changement de base

ε (Cours):

Changement de base

2

2

2

2

Directions principales

θ=

(Cours):

σ '11 = σ 11 cos θ + σ 22 sin 2 θ + σ 12 sin 2θ σ '22 = σ 11 sin 2 θ + σ 22 cos 2 θ − σ 12 sin 2θ σ − σ 22 σ '12 = − 11 sin 2θ + σ 12 cos 2θ

ε '11 = ε 11 cos θ + ε 22 sin θ + ε12 sin 2θ ε '22 = ε 11 sin 2 θ + ε 22 cos 2 θ − ε 12 sin 2θ ε −ε ε '12 = − 11 22 sin 2θ + ε 12 cos 2θ 2

σ

1 2ε12 Arctg 2 ε11 + ε 22

Equations statiques de l'équilibre :

∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13 + + + F1 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23 + + + F2 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33 + F3 = 0 + + ∂x3 ∂x2 ∂x1

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FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS RELATION DEFORMATIONS > CONTRAINTES :

1 [σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 )] E 1 ε 22 = [σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 )] E 1 ε 33 = [σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 )] E 1 +ν 1 ε 12 = σ 12 = σ 12 2G E 1 +ν 1 ε 13 = σ 13 = σ 13 2G E 1 +ν 1 ε 23 = σ 23 = σ 23 E 2G

ε 11 =

Avec : G =

E 2(1 + ν )

ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0)

E : Module d'Young (Pa)

RELATION CONTRAINTES > DEFORMATIONS : Loi de Hooke généralisée :

σ ij = λε kkδ ij + 2Gε ij

avec

λ=

Eν (1 + ν )(1 − 2ν )

E [(1 + ν )ε11 + ν (ε 22 + ε 33 )] (1 + ν )(1 − 2ν ) E [(1 + ν )ε 22 + ν (ε11 + ε 33 )] σ 22 = (1 + ν )(1 − 2ν ) E [(1 + ν )ε 33 + ν (ε11 + ε 22 )] σ 33 = (1 + ν )(1 − 2ν ) E σ 12 = ε12 = 2Gε12 1 +ν E σ 13 = ε13 = 2Gε 13 1 +ν E σ 23 = ε 23 = 2Gε 23 1 +ν

σ 11 =

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et

ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33

E G = Avec : 2(1 + ν ) Module de cisaillement (Pa)

ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0)

E : Module d'Young (Pa)

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Déformations en fonction du déplacement :

1 ∂u1 ∂u 2 ) + 2 ∂x2 ∂x1

ε 11 =

∂u1 ∂x1

ε 12 = ε 21 = (

ε 22 =

∂u 2 ∂x2

ε 13 = ε 31 = (

ε 33 =

∂u 3 ∂x3

ε 23 = ε 32 = (

1 ∂u1 ∂u 3 ) + 2 ∂x3 ∂x1

Tenseur des déformations de cauchy

1 ∂u 2 ∂u3 ) + 2 ∂x3 ∂x2

Vecteur contrainte :

[ ]

Tn = σij • n TENSEURS DES DEFORMATIONS : Green - Lagrange (description matérielle) :

Eij =

1  ∂ui ∂u j ∂uk ∂uk  + + ×   ∂a j ∂ai  2  ∂a j ∂ai

Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations Terme du second ordre négligé en

Application (pour k allant de 1 à 2 donc ε 33 = 0 ) : 1  ∂u ∂u  ∂u   ∂u =  1 + 1 +  1  ×  2 2  ∂a1 ∂a1  ∂a1   ∂a1  2

ε 11

ε 22 =

1  ∂u 2 ∂u 2  ∂u1  + + 2  ∂a 2 ∂a 2  ∂a 2 

ε 12 =

1  ∂u1 ∂u 2  ∂u1 × ∂u1 + +  2  ∂a 2 ∂a1  ∂a1 × ∂a 2

  

2

  ∂u 2  ×    ∂a 2

2

  

  

2

  

  ∂u 2 × ∂u 2  ×    ∂a1 × ∂a 2

  

Euler (description spatiale) :

Eij =

1  ∂u i ∂u j ∂uk ∂uk  + − ×   2  ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi 

Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations

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FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS FORMULATION EN COORDONNEES CYLINDRIQUES : Lorsque le problème est indépendant de la variable z : on formule en (r , θ )

Fonction d'Airy :  ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2   ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ  =0  2 + ⋅ + 2 ⋅ 2  ×  2 + ⋅ ⋅ r ∂r r ∂θ   ∂r r ∂r r 2 ∂θ 2   ∂r

Relations des contraintes : 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + ⋅ σ rr = ⋅ r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂ 2Φ σ θθ = 2 ∂r ∂  1 ∂Φ  σ rr = − ⋅  ⋅  ∂r  r ∂θ  Exemples de solutions pour Φ : 1

2

anneau en traction et 1 anneau en flexion : 4

D   Φ =  A1r ln r + B1r 3 + C1r + 1  cos θ r   Plaque trouée en traction :

(

)

B   Φ = A0 r ln r + B0 r 2 ln r + C0 r 2 + D0 +  A2 r 2 + 22 + C2 r 4 + D2  cos 2θ r  

FORMULATION EN COORDONNEES POLAIRES : Fonction d'Airy : ∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ =0 + + ∂x14 ∂x12 ∂x22 ∂x24

Relations des contraintes : σ 11 =

∂ 2Φ ∂x22

σ 22 =

∂ 2Φ ∂x12

σ rr = −

∂ 2Φ ∂x1∂x2

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