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FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS ε : Exprime la déformation (en µm/m) σ : Exprime la contrainte
Formule changement de base (TD) : Rosette 60°/45° (45°=
ε θ = ε 11 =
ε11 + ε 22 2
Exemple rosette à 45° : , ε θ 1 ⇒ θ = 0°
ε11 − ε 22
+
2
π 4
, 60°=
π 3
, 120° =
2π ) 3
cos 2θ + ε 12 sin 2θ
ε θ 2 ⇒ θ = 45° ,
ε θ 3 ⇒ 2θ = 90°
Déformations principales (TD) :
εi =
ε11 + ε 22 2
ε 12 = 0 = −
+
ε11 − ε 22
ε 11 − ε 22 2
2
cos 2θ + ε12 sin 2θ
sin 2θ + ε 12 cos 2θ
Changement de base
ε (Cours):
Changement de base
2
2
2
2
Directions principales
θ=
(Cours):
σ '11 = σ 11 cos θ + σ 22 sin 2 θ + σ 12 sin 2θ σ '22 = σ 11 sin 2 θ + σ 22 cos 2 θ − σ 12 sin 2θ σ − σ 22 σ '12 = − 11 sin 2θ + σ 12 cos 2θ
ε '11 = ε 11 cos θ + ε 22 sin θ + ε12 sin 2θ ε '22 = ε 11 sin 2 θ + ε 22 cos 2 θ − ε 12 sin 2θ ε −ε ε '12 = − 11 22 sin 2θ + ε 12 cos 2θ 2
σ
1 2ε12 Arctg 2 ε11 + ε 22
Equations statiques de l'équilibre :
∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13 + + + F1 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂σ 21 ∂σ 22 ∂σ 23 + + + F2 = 0 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33 + F3 = 0 + + ∂x3 ∂x2 ∂x1
-1-
FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS RELATION DEFORMATIONS > CONTRAINTES :
1 [σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 )] E 1 ε 22 = [σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 )] E 1 ε 33 = [σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 )] E 1 +ν 1 ε 12 = σ 12 = σ 12 2G E 1 +ν 1 ε 13 = σ 13 = σ 13 2G E 1 +ν 1 ε 23 = σ 23 = σ 23 E 2G
ε 11 =
Avec : G =
E 2(1 + ν )
ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0)
E : Module d'Young (Pa)
RELATION CONTRAINTES > DEFORMATIONS : Loi de Hooke généralisée :
σ ij = λε kkδ ij + 2Gε ij
avec
λ=
Eν (1 + ν )(1 − 2ν )
E [(1 + ν )ε11 + ν (ε 22 + ε 33 )] (1 + ν )(1 − 2ν ) E [(1 + ν )ε 22 + ν (ε11 + ε 33 )] σ 22 = (1 + ν )(1 − 2ν ) E [(1 + ν )ε 33 + ν (ε11 + ε 22 )] σ 33 = (1 + ν )(1 − 2ν ) E σ 12 = ε12 = 2Gε12 1 +ν E σ 13 = ε13 = 2Gε 13 1 +ν E σ 23 = ε 23 = 2Gε 23 1 +ν
σ 11 =
-2-
et
ε kk = ε11 + ε 22 + ε 33
E G = Avec : 2(1 + ν ) Module de cisaillement (Pa)
ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0)
E : Module d'Young (Pa)
FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Déformations en fonction du déplacement :
1 ∂u1 ∂u 2 ) + 2 ∂x2 ∂x1
ε 11 =
∂u1 ∂x1
ε 12 = ε 21 = (
ε 22 =
∂u 2 ∂x2
ε 13 = ε 31 = (
ε 33 =
∂u 3 ∂x3
ε 23 = ε 32 = (
1 ∂u1 ∂u 3 ) + 2 ∂x3 ∂x1
Tenseur des déformations de cauchy
1 ∂u 2 ∂u3 ) + 2 ∂x3 ∂x2
Vecteur contrainte :
[ ]
Tn = σij • n TENSEURS DES DEFORMATIONS : Green - Lagrange (description matérielle) :
Eij =
1 ∂ui ∂u j ∂uk ∂uk + + × ∂a j ∂ai 2 ∂a j ∂ai
Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations Terme du second ordre négligé en
Application (pour k allant de 1 à 2 donc ε 33 = 0 ) : 1 ∂u ∂u ∂u ∂u = 1 + 1 + 1 × 2 2 ∂a1 ∂a1 ∂a1 ∂a1 2
ε 11
ε 22 =
1 ∂u 2 ∂u 2 ∂u1 + + 2 ∂a 2 ∂a 2 ∂a 2
ε 12 =
1 ∂u1 ∂u 2 ∂u1 × ∂u1 + + 2 ∂a 2 ∂a1 ∂a1 × ∂a 2
2
∂u 2 × ∂a 2
2
2
∂u 2 × ∂u 2 × ∂a1 × ∂a 2
Euler (description spatiale) :
Eij =
1 ∂u i ∂u j ∂uk ∂uk + − × 2 ∂x j ∂xi ∂x j ∂xi
Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations
-3-
FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS FORMULATION EN COORDONNEES CYLINDRIQUES : Lorsque le problème est indépendant de la variable z : on formule en (r , θ )
Fonction d'Airy : ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ∂ 2 Φ 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ =0 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 × 2 + ⋅ ⋅ r ∂r r ∂θ ∂r r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂r
Relations des contraintes : 1 ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + ⋅ σ rr = ⋅ r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂ 2Φ σ θθ = 2 ∂r ∂ 1 ∂Φ σ rr = − ⋅ ⋅ ∂r r ∂θ Exemples de solutions pour Φ : 1
2
anneau en traction et 1 anneau en flexion : 4
D Φ = A1r ln r + B1r 3 + C1r + 1 cos θ r Plaque trouée en traction :
(
)
B Φ = A0 r ln r + B0 r 2 ln r + C0 r 2 + D0 + A2 r 2 + 22 + C2 r 4 + D2 cos 2θ r
FORMULATION EN COORDONNEES POLAIRES : Fonction d'Airy : ∂ 4Φ ∂ 4Φ ∂ 4Φ =0 + + ∂x14 ∂x12 ∂x22 ∂x24
Relations des contraintes : σ 11 =
∂ 2Φ ∂x22
σ 22 =
∂ 2Φ ∂x12
σ rr = −
∂ 2Φ ∂x1∂x2
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