Fondamenti di fisica con Mastering Physics [5. ed.] 9788865189283, 8865189282 [PDF]

Zitiervorschau

James S. Walker

FONDAMENTI DI FISICA con Mastering Quinta edizione

hysics®

\

Indice CAPITOLO

Tutti i d iri tti ris rvali © 2015, Pea rson Italia, Milano-Torino Authoril'cd lranslation from the English language edition, entitled Physics, 4th Edition by James Walkcr, publishcd by Pearson Education, lnc, publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2010 by PcMson Educalion, lnc. or its affiliates. Ali rights rcserved. No part of this book may be reproduced or trans mitted in any form or by any mcans, elcctronic or mechanical, including p hotocopying, recording or by an y information storage rclricval system, without p ermission from Pearson Education, lnc. Italian language edition published by Pearson Italia, Milano-Torino. Copyrig ht © 2015.

Tradu zione, revisione e scrittura delle appendici /llnte111atiche: Cla udio Massa, Tiziana Vandelli, Andrea Migliori Impaginazione e adattam ento d ei disegni da edizione originale: EsseGi, Torino; Alberto Portal upi, Milano Disegni appendici edizione italian a: Giuseppe Maserati, Monza Copertina: Maurizio Garofa lo Stampato per conto dell a casa editrice presso: Centro Poligrafi co Milano S.p.A., Casarile (Mi)

1 Introduzione alla fisica

1. La fisica e le leggi d e lla natura 2. Unità di lunghezza, massa e tempo Lunghezza Massa Tempo Altri sistemi di unità e prefissi 3. Analisi dim e nsio na le 4. Cifre significative Notazione scientifica Errore di arrotondamento 5. Conversione di unità di m is ura 6 . Calcolo dell'ordine di grandezza 7. Errori di misura e ope razioni di media Come si presenta il risultato d ella misura di una grandezza 8 . Distribuzione di frequenze e curva di Ga uss 9. Errori relativi ed errori percentuali Gli e rrori nelle misure indi rette 10. Scalari e vettori 11. La risoluzione dei proble mi in fisica La risoluzione dei problemi nel testo SINTES I DEL CAPITO LO

Per i passi antologici, per le citazioni, per le riproduzioni gra fi che, cartografiche e fotografiche ap partenenti alla proprie tà di terzi, inseriti in quest'opera, l'editore è a disposizione d egli aventi diritto non potuti reperire nonché per eventuali non volute omissionj e/o errori di attribuzione nei riferimenti .

Tutti i marchi citati nel testo sono di proprie tà dei loro de tentori.

978-88-6518-928-3

Ristampa 00 01 02

03 04

19

11 13 14 17 17 18

19 20 21

FOCUS SU Un grillo per misurare lo temperatura

(Online)

2 Cinematica unidimensionale

1. Posizione, distanza e sp ostame nto 23 2. Ve locità scalare m edia e velocità media 24 Interpretazione grafica de lla ve locità media 27 3. Ve locità istantanea 28 Interpretazione grafica de lla velocità media e istantanea 30 4. Accelerazion e 30 Interpretazione grafica dell'accelerazione 31 5. Moto con accelerazione costante 34 6. Applicazioni delle equazioni del moto 40 7. Oggetti in caduta libera 43 Oggetto lanciato verso l'a lto 46 SINTESI DEL CA PITOLO ESERCIZ I E PROB LEMI

CAPITOLO

Anno 15 16 17 18

10

(Online)

FOCUS SU L'allunaggio de/l'Apollo 15

Printed in ltaly l a edizione: gennaio 2015

2 2 3 3 4 4 5 6 8 8 9

ESERCIZ I E PROBLEM I

CAPITOLO

Le fotocopie p er u so personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/ fascicolo di periodico die tro pagamento alla SIAE del compenso previs to dall'art. 68, commi 4 e 5, d ella legge 22 aprile 1941 n. 633 Le fotocopie effettu ate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale p ossono essere effettuate a seguito di specifica a utorizzaz ione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e A utori zzazioni per le Riprodu zioni Edi toriali, Corso di Porta Romana 108, 20122 Milano, e-mai l a [email protected] e sito web www.clearedi.org.

·

49 {Onlin e) (Onlin e )

3 I vettori in fisica

1. Scalari e vettori 2. Componenti di un vettore

52 52

3. Somma e sottrazione di vettori Somma di vettori con il metodo grafico Somma di vettori mediante le loro componenti Sottrazione di due vettori 4. Vettori unitari Moltip licazione di vettori unitari per scalari 5. I vettori p o sizione , spostamento, velocità e accelerazione Vettore posizione Vettore spostamento Vettore ve locità Vettore accele razione 6 . Moto relativo

56 56 58 59 60 60 6l 61 62 62 63

65

S INTESI DEL CAP ITOLO

68

ESERCIZ I E PROBLEMI

(Onl ine)

FOCUS SU Il moto mimetizzato delle libellule

(Online )

CAPITOLO

4 Cinematica bidimensionale

1. Moto in due d ime n sioni Moto con velocità costante Moto con accelerazio ne costante 2. Moto di un proiettile: e qu azio ni di b ase

71 71 72

3. Lancio ad a ngolo zero Equazioni del moto Traiettoria parabolica Punto di atterraggio

76 76 78 78

4 . Caso generale: la ncio con un a n golo qualsiasi

80

5. Moto di un proiettile: parametri caratteristici Gittata Simmetria nel moto di un proiettile Altezza massima

84 84

74

85 87

SINTES I DEL CAP ITOLO ESERCIZ I E PROB LEM I

(Onlin e)

FOCUS SU L'atterraggio dei robot su Morte

(Onl in e)

CAPITOLO

88

5 Le leggi del moto di Newton

1. Forza e massa 2. Prima legge del moto di Newton 3. Se conda legge del moto di Newton Schema del corpo libe ro Sistemi non inerziali e forze apparenti 4 . Terza legge del moto di Newton 5. La natura vettoriale delle forze : forze in due dimensioni 6. Forza peso Peso apparente

90 90 92

95 100 l 01

104 107

109

lii In d 1e•

7

Ind ice

112

orze normali

116

SINTESI DEL CAP ITOLO ESERCIZI E PROBLEMI FOCUS SU Ridurre gli effetti degli incidenti automobilistici

CAPITOLO

(Onl in e) (On li ne)

FOCUS SU Il volo d ella libellula

Attrito dinamico Attrit o statico 2. Corde e molte Tensione nelle corde Molle e legge di Hooke 3. Equilibrio ri spetto alla traslazione

131

4. Oggetti collegati

135

5. Moto circo lare Forza e accelerazione centripeta

139 139 14 6

SINTESI DEL CA PITOLO ESERC I ZI E PROBLEMI

(Onlin e)

FOCUS SU Le strisce nasali

(O n l in e)

4 . Conservazione d ella quantità di moto Forze interne ed esterne S. Urti anelastici Urti anelastici in una dimensione Urti anelastici in due dimensioni 6. Urti elastici Urti elastici in una dimensione Urti elastici in due dimension i 7. Centro d i massa Posizione del centro di massa Moto del cent ro di massa

7 Lavoro ed energia cinetica

1. Lavoro di una forza costante Forza nella direzione dello spostamento Forza che forma un angolo con lo spostamento Lavoro negativo e lavoro totale 2. Energia cinetica e teorema d ell'energia cinetica

SI NTESI DEL CAPI TO LO ESERC IZI E PROBLEMI FOCUS SU Il dinosauro biplano

CAPITOLO

151 151 15 3 15 5 157

ESERC IZI E PROBLEM I

(Onli ne)

FOCUS SU La f ionda gravitazionale

(O nline)

162 166 169 (O nlin e)

3. 4.

S. 6. 7.

(Onl ine)

e conservazione dell'energia 171

2. Energia poten ziale e lavoro di forze conservative 175 Definizione di energia potenziale 175 Energia potenziale gravitazionale 176 Energia potenziale elastica 177 3. Conservazione dell'en ergia m eccanica

179

4. Lavoro di forze non conservative

188

S. Curve d ell'energia potenziale

232 232

233 235 Cinematica rotazionale 236 Relazioni fra grandezze lineari e rotazionali 239 Sistemi di riferimento rotanti 244 Forza cent rifuga 244 Forza di Coriolis 24 5 Moto di rotolamento 246 Energia cinetica di rotazione e momento d 'inerzia 248 Conservazione dell'energia 252 256

SINTESI DE L CAPIT OLO ESERCIZI E PROBLEMI

(O nlin e)

FOCUS SU La centrifuga a motore umano

(Online)

CAPITOLO

11 Dinamica rotazionale ed equilibrio statico

1. Momento torcente

La quantità di moto: una grandezza che si conserva CAPITOLO CAPITOLO

e moto armonico semplice Posizione Velocità Accelerazione 4. Periodo di una m assa collegata a una molla Caso della molla verticale

6 . li p endolo Il pendolo semplice 7. Oscillazioni smorzate 8. Oscillazioni forzate e risonanza SINTESI DEL CAPI TOLO ESERCIZ I E PROB LEMI FO CUS SU Un grillo per termometro CAPITOLO

(On l ine)

290 (Onlin e)

294 295 298 299 300 300 304 307 309 312 312 315 316 318 (Onlin e) (O n lin e)

14 I fluidi

2. Pressione Press ione atmosferica e pressione relativa

322

S.

3. Momento torcente nullo ed equilibrio statico Forze con componenti verticale e orizzontale 4 . Centro di m assa e d e quilibrio

272

6.

S. Applicazioni dinamiche d el moment o torcente

275

7.

SINTES I DEL CAP ITOLO

196

6. Momento angol are o momento d ella quantità di moto

9. Vi scosit à e tensione superficiale Viscosità Tensione superficiale

351

SIN TESI DEL CAP ITOLO ESERC IZ I E PROBLEMI

(Online)

FOCUS SU Friggere un bombolone

(Online)

CAPITOLO

15 Temperatura e calore

1. Temperatura e principio zero

324

326 327 328 330 Principio di Archimede e galleggiament o 331 Applicazioni del principio di Archimede 333 Immersione completa 333 Galleggiamento 335 Volume della parte immersa di un solido che galleggia 337 Fl usso di un fluido e continuità 339 Equazione di Bernoulli 340 Velocità variabile 340 Altezza variabile 34 2 Caso generale 343

354 354 355 355 355 357 359 359 359 362 363 364 365 367 367 368 368 370 370 374 375

2. Scale termometriche La scala Celsius La scala Fahrenheit Lo zero assoluto La scala Kelvi n 3. Dilatazione termica La dilatazione lineare La dilatazione superficiale La dilatazione volumica Il comportamento dell'acqua 4. Calore e lavoro meccanico 5. Calore specifico Capacità t ermica Calore specifico Calorimetria 6. Conduzione, convezione e irraggiam ento Conduzione Convezione Irraggiamento

378

SINTESI DEL CA PITOLO ESERC IZ I E PROBLEMI

(Onl i ne)

FOCUS SU Più veloce di un proiettile!

(Onlin e)

CAPITOLO

322

3. Equilibrio statico ne i fluidi : pressione e profondità Misura della pressione atmosferica I liquidi tendono a livellarsi Principio di Pascal

344 344 346 347 347 350

8. Applicazioni dell'equazione di Bernoulli Pressione e velocità Legge di Torricelli

d ella termodinamica Il principio zero della termodinamica

1. Densità

4.

278

(On l i n e)

13 Oscillazioni intorno all'equilibrio

2. Moto armonico semplice

193 (On li n e)

289

3. Relazioni fra moto circo lare uniforme

e curve equipotenziali

ESERCIZI E PROBLEM I

12 La gravitazione

1. Moto p eriodico

259 262 266 27 0

2. Momento torcente e accelerazione an gol are

281 284 286 286

VI STA PANORAMICA

S. Conservazione d ell'energia nel moto oscillatorio

10 Moti rotazionali

Posizione angolare, () Velocità angolare, w Accelerazione angolare, a 2.

ESERCIZ I E PROBLEM I FOC US SU Correggere i denti storti

229

1. Posizion e, velocità e accelerazione angolari

8 Energia potenziale

1. Forze conse rvative e non conservative

223 226

SINTES I DEL CAP ITO LO

CAPITOLO

4. Potenza

223

148

Forza, accelerazione e mot o

3. Lavoro di una forza variabile

201 203 20 4 208 209 213 214 216 218 218 221

3. Impulso

VISTA PANORAMICA

SINTES I DEL CAP ITO LO

9 Quantità di moto e urti

2. Quantità di moto e seconda legge di Newton

1. Forze di attrito

CAPITOLO

9. La natura vettoriale del moto rotazionale

198

L'energia: una conquista della fis ica

1. Quantità di moto 118 11 8 12 2 126 126 129

7. Conservazione del momento angolare Urti rotazionali 8. Lavoro rotazionale e poten za

VISTA PANORAMICA

CAPITOLO

6 Applicazioni delle leggi di Newton

(Onl in e)

V

16 Fasi e cambiamenti di fase

1. Gas ideali Equazione di stato dei gas ideali La mole e il numero di Avogadro Temperatura costante: legge di Boyle Pressione costante e volume costante: leggi di Gay-Lussac 2. Teoria cinetica L'origine della pressione Distribuzione delle velocità delle molecole Energia cinetica e temperatura L'energia interna di un gas ideale 3. I sol idi e la deformazione elastica Variazione della lunghezza di un solido Variazione della forma di un solido Variazione d el volume di un solido Sforzo e deformazione 4. Equilibrio di fase ed evaporazione Evaporazione L'evaporazione atmosferica

381 381 383 385 386 387 388 388 390 392 393 393 396 397 398 398 4 02 403

In d I e e

VI lndlc t

s e 6.

e

404 m biamenti di fase e conservazione dell'energia 407

lorc latente

SINTES I DEL CAPI TOLO CSCRCIZI E PROBLEM I

409 (Onl i ne)

8. Onde stazionarie Onde in una corda Colonna d'aria vibrante

(Online)

9. Battimenti

FOCUS SU

Un n a turalista coraggioso CAPITOLO

7. Sovrapposizione e interferenza Sovrapposizione Interferenza

17 Le leggi della termodinamica

SINTESI DEL CAPITOLO ESERC IZ I E PROBLEMI

1. Il principio zero della termodinamica

413

FOCUS S U

2. Il primo principio della termodinamica

413

La voce d ei dinosauri

3. Trasformazioni termodinamiche Pressione costante/Volume costante Trasformazioni isoterme Trasformazioni adiabatiche

415 416 419 421

4. Calori specifici in un gas ideale: a pressione costante, a volume costante Trasformazioni adiabatiche

423 4 25

427 6. M acchine termiche e teorema di Carnot 427 Il teorema di Carnot e il massimo rendimento 430 Equivalenza dei postulati di Clausius e Kelvin 432 7. Frigoriferi, condizionatori d'aria e pompe di calore 434 8. Entropia 437 5. Il secondo principio della termodinamica

9. Ordine, disordine ed entropia Macrostati e microstati La morte termica I sistemi viventi

10. Il terzo principio della termodinamica SINTES I DEL CAP ITO LO ESERCIZI E PRO BLEMI

441 44 2

443 443 444 445 (Online)

FOCUS SU

Energia dall'o ceano

CAPITOLO

2.

3. 4. S.

6.

473 476 476 479 4 83

Onde e particelle: un tema della fisica moderna

486

448

451 Onde trasversali 451 Onde longitudinali 452 Onde nell'acqua 4 52 4 53 Lunghezza d'onda, frequenza e velocità Onde su una corda 4 53 La velocità di propagazione di un'onda lungo una corda 4 53 Riness1one 4 56 Funzio n e d 'onda armonica 456 Onde sonore 457 La fr quenza d1 un'onda sonora 4 59 Inten sità d el suono 461 Intensila 461 La percezione umana del suono 464 Livello d1 intensità e decibel 464 L'effetto Do ppler 466 Osservatore in movimento 466 Sorgente in movimento 468 Caso generale 470

22 Relatività

CAPITOLO

23 Cariche elettriche, forze e campi

490 490 490

(On line)

La separazione delle cariche La polarizzazione 3. La legge d i Coulomb Sovrapposizione delle forze La distribuzione delle cariche elettriche su una sfera

4. Il campo elettrico

2. Costruzione delle immagini formate da uno specchio piano

492 495

3. Specchi sferici

4. Costruzione delle immagini ed equazione degli specchi Tracciamento dei raggi principali L'equazione degli specchi

497 497 499 503 507 509 512 514

5. La rifrazione della luce La riflessione totale 6. Costruzione delle immagini con le lenti 7. Equazione delle lenti sottili 8. La dispersione e l 'arcobaleno SINTESI DEL CAP ITOLO

Il campo elettrico di una carica puntiforme Sovrapposizione dei campi 5. Le linee del campo elettrico Condensatori a facce piane parallele 6. La schermatura e la carica p er i nduzione La schermatura elettrostatica La carica per induzione 7. Il flusso del campo elettrico e la legge di Gauss Il flusso del campo elettrico La legge di Gauss Calcolo del flusso del campo elettrico nel caso generale

ESERCIZI E PROBLEMI

(O nline)

548 54 9 551 552 553 556 559 560 561 562 565 567 568 569 571 57 1 57 1 572

575 575

SINTESI DEL CAPITOLO

517

(Onl ine)

FOCUS S U

FOC U S S U

Le api e /'adesione elettrostatica

(On li ne)

(Online)

CAPITOLO

20 Strumenti ottici

CAPITOLO

21 Ottica fisica: interferenza e diffrazione

(Online)

l . Sovrapposizione e interferenza 2. L'esperimento della doppia fenditura di Young

CAPITOLO

24 Il potenziale elettrico e

l'energia potenziale elettrica 1. L'energia potènziale elettr ica

521 523 526 526 527 528 529 532

e il potenziale elettrico Il campo elettrico e la rapidità di variazione del potenziale elettrico

578

2. La conservazione dell'energia 3.

Il potenziale elettrico di una car ica puntiforme La sovrapposizione del potenziale elettrico

4. Le superfici equipotenziali e il cam p o elettrico Conduttori ideali Il potenziale elettrico e il corpo umano

579 58 2 584 585 588

5. Ri soluzione

536

S. Condensatori e d ielettrici Condensatore a facce piane parallele Dielettrici La rottura del dielettrico

6. Reticoli di diffrazione Diffrazione dei raggi X Spettroscopi a reticolo Reticoli a riflessione

539

6. Immagazzinare l'energia elettr ica

59 0 591 592 593 596 598 598

7. Re lazione fra campo elettrico e potenziale elettrico: caso gen erale

601

SI NTES I DEL CA PI TOLO ESERC IZI E PROBLEMI

533 533

541 541 542

543 (O nl i n e)

ESERCIZ I E PROBLEM I

602 (Onl i ne)

FOCUS SU

FOCUS SU

Le linee d1nsoluz1one su una HDTV

SINTESI DEL CAPITOLO

(O nlin e)

L'anguilla elettrica

25 La corrente elettrica e

i circuiti in corrente continua 544

2. Isolanti e conduttori

Fronti d'onda e raggi La legge della riflessione

3. Interferenza di onde riflesse Cambiamento di fase dovuto alla riflessione Cuneo d'aria Gli anelli di Newton Pellicole sottili Interferenza nei CD 4. Diffrazione Diffrazione da una singola fenditura

CAPITOLO

1. La carica elettrica (Online)

1. La riflessione della luce

ESERC IZ I E PROBLEMI

CAPITOLO

(O nline)

(Onl i ne)

18 Onde e suono

1. Tipi di onde

VISTA PANORAMICA

19 Ottica geometrica

La distanza focale d elle lenti

VISTA PANORAMICA Entropia e termodinamica

CAPITOLO

472 472

VII

(On l i ne)

1. La corrente elettrica Batterie e forza elettromotrice 2. Resistenza e legge d i Ohm Resistività Dipendenza dalla temperatura e supercondut tivi tà 3. Energia e potenza nei circuiti elettrici Il consumo di energia

4 . Resistenze in serie e in parallelo Resistenze in serie Resistenze in parallelo Circuiti combinati S. Le leggi d i Ki rchhoff La legge dei nodi La legge delle maglie Appl icazioni 6. Circuiti contenenti condensatori Condensatori in parallelo Condensatori in serie 7. Circuiti RC 8. Amperometri e voltmetr i SINTESI DEL CAPITOLO ESERCIZI E PROBLEMI

605 606 608 609 610 611 614 61 4 61 4 616 619 620 620 621 622 624 624 625 627 630 631

(O nline)

FO C U S SU

Calzature antinfortunistiche CAPITOLO

(On l ine)

26 Il magnetismo

1. Il campo magnetico Magneti permanenti Linee del campo magnetico Il geomagnet ismo 2. La forza magnetica esercitata su una carica in movimento Intensità della forza magnetica Forza magnetica e regole della mano destra

634 634 634 635 636 636 638

3. Il m o to delle particelle carich e in un campo magnetico Forze elettriche e forze magnetiche Moto rettil ineo uniforme Mo to circolare Mo to elicoidale

64 0 64 0 642 642 6 44

4. La forza m agnetica esercitat a su un filo p ercorso d a corrent e

64 5

S. Spire di co r rent e e m omento torcente magnetico Spira rettangolare Spire generiche Applicazioni del moment o torcente

647 647 648 6 49

6. Co r renti elettr iche, campi magnet ici e l egge di Ampère Corrente in un lungo filo rettilineo La legge di Ampère Forze tra f ili percorsi da corrente 7. Spire e solenoid i Il campo magnet ico di una spira Il campo magnetico di un solenoide

649 6 49 650 653 653

653 654

I

IA

• 1

I

1

li

656 657 657

fil

f rrNn 1gn tlsmo P ramagnetismo e diamagnet ismo SINTESI DEL CAP ITO LO

6. La risonanza nei circuiti elettrici Circuiti LC Risonanza

659

713 713 715

SINTESI DEL CA PITO LO

718

ESERC IZI E PROB LEM I

(O n l ine)

ESERCIZI E PROBLEMI

(Online)

FOCUS SU La magnetoencefalogra fia

{Onlin e)

FOCUS SU Suoniamo il theremin

{O nline)

CAPITOLO

27 Il flusso del campo

CAPITOLO

magnetico e la legge di Faraday dell'induzione elettromagnetica

1. La produzione delle onde elettromagnetiche 2. La propagazione delle onde elettromagnetich e La velocità della luce L'effetto Doppler

1. La forza elettromotrice indotta

662

2. Il flusso del campo magnetico

663

3. La legge dell' induzione di Faraday 4. La legge di Len z

665 668 669

Forza elettromotrice: analisi qualitativa

5. La sintesi dell'elettromagnetismo: le equazioni di Maxwell 6. Lavoro meccanico ed energia elettrica Forza elettromotrice: analisi quantit ativa Lavoro meccanico/ Energia elettrica 7. Generatori e motori Generatori elettrici I motori elettrici 8. L'induzione

671 673 673 674 676 677 678

3. Lo spettro elettromagnetico Onde radio M icroonde Radiazione infrarossa Luce visibile Luce ultravioletta Raggi X Raggi gamma

ESERC I ZI E PROBLEMI

721 724 72 4 726 728 729 729 730 730 731 731 731

4. Energia e quantità di moto nelle onde elettromagnetiche 5. La polarizzazione Passaggio della luce attraverso i polarizzatori Polarizzazione per diffusione e riflessione Polarizzazione totale

679

732 73 6 737 741 743

SINTESI DEL CA PI TOLO

9. I circuiti RL 682 10. L'energia immagazzinata in un campo magnetico 683 11. I trasformatori 685 SINTESI DEL CAP ITOLO

29 Le onde elettromagnetiche

688

74 4

ESERC I ZI E PROBLEM I

{Onlin e)

FOCUS SU Curare i denti con la luce

{Online)

(Online)

CAPITOLO

30 La fisica dei quanti

{On li n e)

FOCUS SU I rivelatori a spira induttiva per il controllo del traffico (On Iin e)

CAPITOLO

31 Fisica atomica

(Onlin e)

CAPITOLO

32 Il nucleo e la radiazione nucleare {Online)

VISTA PANORAMICA L'elettricità e il magnetismo CAPITOLO

690

28 Circuiti in corrente alternata

1. Tensioni e correnti alternate I fasori Valori quadratici medi Misure di sicurezza nei ci rcuiti elettrici domestici 2. I conden satori nei circuiti CA Reattanza capacitiva Diagramma dei fasori : i circuiti capacitivi Potenza

3. I circuiti RC Impedenza Angolo di sfasamento e fattore di potenza

4. Le induttanze nei c ircuiti in corrente alternata Reattanza induttiva Diagramm i dei fasori: i circuiti induttivi Circuiti RL

5. I circuiti RLC Diagramma dei fasori Alte e basse frequenze

693 693 694 696 698 698 699 701

APPENDICI A . Algebra vettoriale e rappresentazione di vettori B. Le derivate e gli integrali in fisica C. Operatori vettoriali e operatori scalari D. Campi conservativi

E. Applicazioni del calcolo differenziale: cinematica

F. Applicazioni del calcolo differenziale: dinamica

701 701 704

G. Il corpo rigido

I.

Valori tipici

706 706 70 6 707

J.

Componenti dei circuiti elettrici

709 709 712

{Onli n e)

H. Il calcolo differenziale nella termodinamica

K. Tavola periodica degli elementi

L. Proprietà di isotopi selezionati Soluzioni Cred~

~9

Indice analitico

752

':'

L'Autore '

JAME S S . WALKER

James Walke r ha o ttenuto il Ph.D. in fis ica teorica pre so l'Universi ty of Washing to n nel 1978. ln seguito ha lavora to com e ricerca to re post-doc .-ill'Uni vers ity of Pennsylvania, a l Massachusetts Ins ti tu te of Techn o logy, l' all'Univers ity of California a t Sa n Diego prima di entrare alla facol tà di fis ica d ella Washing to n Sta te Uni vers ity nel 1983. Gli interessi d i ricerca del Professor Walker comprendono m eccanica s tatis ti ca, fenom eni critici e caos. I s uoi m olti scritti d edi cati all'applicazione della ren o rm aliza ti ongroup th eory a s is temi che spaz iano da i monos trati assorbi ti a lle miscele d i flui di bina ri son o apparsi in Pliysicnl Review, Physicnl Review Letters, Pliysicn l' in a ltre pub blicazioni. Ha anche p artecipa to come osser vatore a l s ummit di Maun a Kea, alla ricerca di prove d ell'esistenza d i piane ti al di fuori d e l sistema solare. jim Walker a ma lavora re con studenti di lutti i li velli, da componente dt>lla g iuria in concors i tra cuole ele mentari alla tesura di d ocumenti di ricerca con s tudenti la ureati, e ha insegnato principi di fis ica per m olti anni. li piacere che g li danno questi corsi e il rapporto empa tico con gli s rudenti gli ha nno fa tto g uad agna re la reputazione d i insegnante innova tivo, l'nlusiasta ed efficace. I testi d idattici di Jim comprendono "Reappearing Phases" (Scientific Al/lericn11, maggio 1987) e articoli pu bblicati da Al/lericnn /011rnnl of Physics e da Tlie Pl1ysics Tenclier. Come ri conoscim ento dei s uoi contributi all' insegnamento della fis ica presso la Washing ton State University, Jim è s tato eletto Boeing Dis ting uished Professor of Science .md Math ema tics Ed ucation per il 2001-2003. Oggi insegna ,\Ila Wes tern Washing to n Univers ity. Q uando non scrive, conduce ricerche, insegna o sviluppa nuove dimos trazioni e m a teriale pedagogico da usa re in classe, J1m si diletta con l'astronomia amatoriale, il ricorrere deUe l'Clissi, l'o servazione di uccelli e libellule, la fotografia, i giochi di destrezza, la bicicletta monoruota, boogie boarding e kayak. Jim è anche un .tppassionato pianista jazz e organista. Ha anche fatto da o rganis ta per g li s tad i di molte squadre di basebaUdelle categorie minori, compresi i Belling ham Mariners, una squad ra affiliata a i Sea ttle Mariners, e i SaJem-Keizer Volcanoes, ,\ffiliata ai San Francisco G ian ts. È in g rad o dj s uonare "Take Me O ut to the Ba ll Game" mentre dorme.

Pr e fa zione p e r i l d ocen t e Xl llU M P I SVOLTI CON SOLUZIONE IN DOPPIA COLONNA

Prefazione per il docente

Questi esempi illus trano il m etodo pitt completo e dettaglia to di risolvere un p.ulicola re tipo di pro blem a. Cli esempi in qu esto testo sono presentati in un forma lo che è centra to s ulle stra tegie di base e sul processo di pen siero coinvolto ne lla soluz io ne d el proble ma. Questo focus s ull' intima relazione tra i.ntuizion concettuale e tecniche di soluzione dei pro blemi incoraggia gli studenti a vedere la capacità di risolvere i problemi come un logico svilup po de Lia comprensione concettuale piuttosto che com e una specie di " trucco da salo tto". Ciasetm esempio ha la medesima s truttura di base. •

Insegnare principi della fisica basata s ull 'algebra può rappresentare una sfid a molto impegna tiva e appaga nte. Gli s tudenti i affaccia no a questo corso con un'ampia va rie tà di background, interessi e cap acità e noi docenti ci sforziamo no n solo di tras mettere i concetti base e le leggi fondamentali della fi ica, ma anche di far loro apprezzare la s ua impo rtan za e il suo fascino. Ho scritto questo testo perché si raggiunga questo scopo. Esso incorpora numerose cara tte ris tiche ped agogiche uniche e innova tive, che si sono evolute con g li anni di esperienza di insegna mento. I m a teriali sono s ta ti testa ti in modo intensivo, s ia in classe sia con g nippi dedi cati, e affina ti in base a i commenti di s tudenti e in egnanti che ha nno usa to le ediz ioni p reced enti de l libro. La risp osta entusias ta che ho ricevuto dagli utilizza to ri delle prime tre edizioni dcl libro è sta ta s ia lus ing hiera s i)

ESEMPIO SVOLTO Il>

7 . ESEMPI O SVOLTO

Modello per la risoluzione di un particolare tipo d1 problema

Cli H•rtl di 11nu p.tl1ono d• ftrrml a un e.po d ella pit LI t • ««lerotno, ~r r.gglungtre I• velorit~ di dtt0llo p rima d i •trlvve •ll'altro c11po dell• plttJ. a) L'•ertoA h• u n'•ttt le rn k>nt •• un" ..,elodt) dl d«0llo 1'1- &rivi L. rtlulont che n prlme I.ti ml nlnu lunghnu "'"" dt l· la pllt.a nttttUria per Il decollo. b) l .'•t~ B h• I• tlf'M..il a«tft'f Ulone dell' H l'ff A, ma rkh lede un.1 \·tlOC'ltl di de-collo doppia. S v4 • +95..0 m/1. STAATIGIA

a. \doc.1~ d1 dt>rollo, m funnanto dt-U'A«'t'lt'tat.M)l'W • t' dtllli \fk>cill dl d«"Ollo r.s Oobbklmo qu1nJ.I utJ.lu..urt" 1"f'(1u.t.tiofw 1121 cht- ITlt'th• m R"luaorw la

O.U• fìgur• n~utLt chlMO dw \·ogliamo etpntnffl" 11.r, t. dJ'lot.tNA 1,:ht l 'arrro pn'C'Oftt ptr r•ggiun~ d1.stiU\7JI

con LII \f'k>a~

tOLUl.IO NC

a) IWoMamo l"equar.1oot ( 12) rUpfito 1 .U .UA. pon.i"'mo ~ • 0 t V• t\t

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•> Pt'TdttmntNR" d.r1 N.st1tot1.atwrtt'4con2v4 nitu. ttU.zJont ottrnuu ntU.t rutto•)

Gli esempi si chiudono con un problema pratico correlato (Prova tu).

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Ci ton0 molu vant.tgga ntllo K'IWf'tt 1 rt~ltAti totto fotn\a dJ 1tluaont fra~ IV.udf'U.4! rt\IN d1 ~lull'C' 1 Solo \'4llori m.amena In qUMO Oto, ~ t'lfmpfo, et.Ila ~ poeeJ.amo OIMf'\ lù tf>U.lo ili d«otlo t propor'.aon.W • rii I' qulnc.h dtdu~ 1m• mtdl.I.......,,. dio, ,. M rllddopplo r.., AJ dmni. U q...truplo

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Le sp1egaz1on1 in blu guidano gli 5tudent1 attraverso 1d1agramm1

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~fMUl'WlUJ.W'1dlJ.

s-J ... d1 , ...... tQt

La Htco ncb tegge pone l'entropia in termi ni termodinamici .....

"'''41 unerltre 1111glin 111 kilomelri e vicei.•ersn. Perché i /niton di co11ver~ 1on e sembrano diversi per le differenti destinazioni?

Scrive re il fa tto re d i conversione in que to par ticola re modo, come 1 m divi o 3,281 ft, con e nte di e mplificare l' unità ft e di ottenere il risultato finale nell' unità d esid e rata, cioè in m e tri. Na tura lmente, possia m o altrettanto facilmente eseguire la conversione da metri a piedi utili zza ndo il reciproco dcl fattore di conversione, ch e è ancora uguale a l: 1 =

3,281 ft lm

Per es mpio, una d i ta n za di 26,4 m è convertita in piedi come egue: 3,281 ft (26,4 m) · l m

-= 86,6 ft

Q uindi, po sia mo dire che convertire le unità è faci le come moltiplicare per l , perché in realtà è p ro prio qu ello che faccia m o.

ESERCIZI O ~

Spesso è neces a rio e egu ire tma conversione da un in ieme di unità d i misura a un altro. Ad e e mpio, s upponiamo di aver scaricato dalla rete un a rti colo in inglese che riporta dati mis ura ti in piedi ( im bolo ft) e di voler convertire 316 ft nel suo equivalente in m e tri. Dalle tabelle ch e riportano i fattori di convers ione leggia m o che:

3 kg2

Ana loga m ente, e vogliam o calcola re iJ rapporto fra le d u e grandezze c ri v ia mo: M 11

Conversione d1 unità d i m i s ur a 9

Stabilisci quante cifre significative ci sono nei seguenti nume ri: n) 21,00 11) 21 e) 21 · 10 2 d) 2,10 · 10 3 e) 0,00120 In) 4, b) 2, e) 2, d) 3, e) 3)

Errore di arrotondamento egli e e rcizi e ne i problemi propo ti n el testo p u ò su cced e re che, p ur effe ttua ndo tutti i calcoli con lo s te o numero di cifre igni ficative date d a l te to, i o tte nga in qualch e caso un ri ulta to ch e diffe risce nella ua ultima ci fra da quella fo rnita d al libro. C iò in gen e re n on è dovuto a p assaggi sbaglia ti; ne lla maggiora nza dei casi è sempli cem ente ca u ato d a un e rrore di arrotondamento. C li e rrori di a rrotondamento intervengo no q ua ndo i ris ultati nume rici o no a rrotondati in m o me nti diversi n e l cor o d el calcolo. Per ved ere c he cosa ucced e, cons id e ria m o un e mplice e e m p io. Suppo ni a m o d i vo le r acquis tare deg li adesivi d a m e tte re s ull o za ino. e compriamo uno in un neg oz io al prezzo di € 2,21, p iù 1'8% di IVA; il co to totale è€ 2,3 68 o, a rrotondand o a l centesimo,€ 2,39. Più ta rdi n e compriamo un altro per € 1,35 che, con le ta sse, di venta € 1,458 e, arroto nd a ndo a l centesimo, € 1,46. La spesa total e p e r i due ad esiv i è € 2,39 + € 1,46 = € 3,85. Ora e ffe ttuia mo l'operazione di a rrotondam ento in un alh·o m od o. Su ppo niamo d i aver compra to g li adesivi ne llo tesso negozio per un prezzo to tale di € 2,21 + € 1,35 = € 3,56. Aggiungendo 1'8% di IVA o tte nia mo € 3,8448 che, a r rotonda to a l cente imo, dà € 3,84 cioè un centesimo in me n o rispetto al calcolo precedente. Lo s tesso tipo di e rro re s i p uò presenta re ne i p roble mi di fis ica . In g ene ra le un buon s ugge rime nto pe r ridurre questo errore è di mantenere se poss ibile una cifra d ecim a le in più qu a ndo si e ffe ttuano i ca lcoli inte rmedi , a rro tondand o solta nto il ri ulta to fina le.

2 . ESEMPIO SVOLTO

Il volume di un magazzino

Un magazz ino è lungo 20,0 yd, largo 10,0 yd e alto 15,0 ft. Qual è il uo vol ume in unità SI? (fa ttore d i conversione yard (yd}-pied i: 1 yd = 3 ft). DESCRIZIONE DEL PROBLEMA

Di egnia mo il magaui no e indichiamo le lunghezze di ognuna delle sue dimensioni. STRATE GIA

Convertiamo la lunghezza, la larghezza e l'altezza dcl magazzi no in metri. li volume iJ1 unità SI è il prodotto delle tre dimensioni.

SOLUZIONE

3 ft

= (20,0 yd ) · l yd

1m fl 31281

= 18,3 m

Convertiamo la IUJ1ghezza L del magazzin o in m etri:

L

Convertiamo la larghezza W in metri:

W = (10,0 yd ) ·

Convert iamo l'altezza H in metri:

11 = (15,0 ft) ·

Calcoliamo il volume V del m agazzino:

V = L · W · H = (18,3 m ) · (9,14m) · (4,57 m ) = 764m3

·

3 ft yd ·

1

1m ft = 9,14 m 31281

lm ft = 4,57 m 31281

OSSERVAZIONI

U magaaino ha un volume di 764 m 3. PROVA TU

Qual è il volume del magazzino se la sua lunghezza è di un centesimo di miglio e le altre dimensioni restano invariate? (V Problemn simile: 23.

10 C A P I T O L O 1 I n t

r o d u z 1 o n e a 11 a f 1 s 1 e a

7 . Errori d1 misura e ope ra zioni di media 11

La s tessa procedura può essere applica ta per conve rsioni che coinvolgono W1 num e ro qualsias i di unità. Ad esempi o, se ca mminia mo a 3,00 mi / h , qual è la nostra velocità in rn / s? Ln questo caso dobbi a mo usare i segu enti fa tto ri di conversion e: 1 mi - 5280 ft

e

1h

L4.

ESEMPIO SVOLTO

Stima quante gocce cadono durante un temporale

Durante un tempora le, u Roma cade 1 cm di pioggia; apendo che la superficie d i Roma è circa 109 m 2, fai un a lima del numero d i gocce di pioggia cadute s ulla città.

3600 DIS ClllllONI DIL .. llOBUMA

e te ne re presente che d obbiamo convertire le mi glia in piedi e quindi in m e tri e le o re in secondi :

La figura mostra un'area A = 109 m 2 cope rta da un o stra to di p ioggia di spessore d = 0,01 m. Cons ideriamo ogni goccia di pioggia come una piccola sfe ra di diametro 4 mm.

5280 ,ff 1m 1 .-K ( 3 ,00 ...illl/ .-K) . 1...iTfi . 3,281,.ff. 3600s - l ,34 m / s

I TllATIG IA

.A I maggiori vasi sa11g11ig11i ricevono sa11g11e dall'aorta, l'arteria e/re riceve direllame11/e rl sa11g11e dal cuore d11ra11te la co11traz1011e del ventricolo sinistro.

Sotto lineiamo che in ogni fa tto re di con versione il nume ra to re è ug ual e al den omina tore. Ino ltre ogni fattore è scritto in m odo ch e s i ca ncellino le unità inde ide rate, lasciando n e l ris ultato solo le unità che si vog lio no o tte nere.

l. ESEMPIO GUIDATO

Per calcola re il numero delle gocce, prima calcoliamo il volu me d i acqua necessario per coprire un'area di 109 m2 con uJ10 spessore di 0,01 m, poi calcoliamo il volume di una si11gola goccia di pioggia, ricordand o che il volume di una sfera di raggio r è V 47Tr3 /3. Infine, dividendo il volume di acqua caduto dtuante il temporale per il volume di una goccia, otteniamo il numero d elle gocce.

La velocità del sangue

Il angue ne ll'aorta di un uomo può raggiunge re una velocità di 35,0 cmls. Calcola que ta velocità in: n) ftls b) kmlh so Lu I 1o N I

I OLUIIONI

Vacqua = Ad = (109 m 2 )

Calcoliamo l'ordine di grandezza del volume di acqua caduta durante il temporale:

{Per verrfìcar e se hai caprto esegw 1calco/1 mdrcatr m ogni passo)

a) Converti i centimetri in metri e quindi in piedi:

1,15 ft/ s

Calcoliamo l'ordin e di grandezza d el volume di una goccia d'acqua (il d iametro di una goccia 4 mm, quindi il suo raggio è r = 2 mm = 0,002 m):

b) Prima, converti i centime tri in ki lometri:

Poi conve rti i secondi in ore: 1,26 km / h

3

numero di gocce :::::

V goccia

:::::

m ) ::::: 107 m 3

3

m ) 3 ::::: 10 8 m 3

107 1n 3 LO -s m 3

= 10ts

U numero di gocce in questo breve temporale è appro imativamente un milione di volte più grande dell'a ttua le popolazione d ella Terra .

Ovviamente le conversioni possono essere effettua te in un unico passaggio. .. llOVA TU

.. llOVA TU

f0,783 rni / h]

Durante un temporale cadono su Roma 1016 gocce di pioggia. Quanti centimetri di pioggia cadono sulla città? Problemi s11111/1: 28 e 29.

6. Calcolo dell'ordine di grandezza

.A Cnnco f ermi (1 90 1-1954) era 110/0 per la s11a abilita 11el proporrt' 111taessmrt1 problemi s11/l'ord111e d1 gm11dt'z::.a. Vi11c1/ore del premio Nobel per la fisica 11el 1938, Fem11 cluedtw ai s1101s/11de111l dr dare 1111a slmra dell'ord111e dr gra11dezw di grandezze relative alla vita q1101idia11a co11 domande del tipo: "Q11a11/i accorda/on tir piano ci sono a Clricago?" oppure "01 q11a11to si co11s11111a 1111 gomma de/l'a11/omobile d11ra11/e 1111a giro com11leto?". Do111mult> come queste sono oggi co11osc111te clm fis ici come "problemi dr fermi".

V acqua

2

OSSlll VAIIONI

OSSlllVAIIONI

Qual è la velocità del sangue in rni/ h?

(10

4 4 V goccia= 37Tr3 ::::: 7T · (2 · 10

3,5 · 10 4 km /s

Dividiamo il vo lume dell'acqua per il volume de lla goccia, per trovare l'ordine di grandezza dcl numero d i gocce cadu te d urante il temporale:

·

L' ordine di gra nd ezza di un numero è la p o tenza di 10 che meglio a ppro sima il numero. li ca lcolo dell 'ordine d i g randezza di uJ1 nume ro è quind i una s tima appros ima ta d e l nume ro co n un'accuratezza di un fa tto re 10. Lo scopo di ta le calcolo è que llo d i dare rap id a m e nte l' idea di qua le o rdine di g ra nd ezza ci s i po sa aspettare da un calcolo co mp le to e d e ttaglia to. Ad e e mp io, se il calcolo d e ll'ordine di g ra ndeaa indica che una dis tanza d ovrebbe essere d e ll'o rdine d i 104 m e il calcolo e ·a tto fornisce un ri ulta to dell'ordine di 107 m, d eve neces a riamente esse rci d a qualche parte un e rrore c he va corre tto. Suppo ni amo, ad ese mpio, di vole r s tima re la velocità di una per o na, che si tuffa da una scogliera, ne l m om e nto in cui e ntra in acqua. lnnan7itutto limiamo che la scoglie ra possa avere un'a llezza di una d ecina di m e tri; perciò in unità S I diremo che l'ordiJie di g ra nd ezza dell' altezza d e lla scogliera è 10 m (certa m e nte non 1 m né 100 m). Possia mo rite n e re che il tuffa to re raggiunga l'acqu a più o me n o in 1 s (certa me nte n o n in 0,1 s né in 10 s). Quindi Wla ragionevole s tima dell'o rd ine di g ra ndeua della velocità d e l tuffa to re è 10 m / 1 10 m / s. Se, e egue ndo il ca lcolo n e l dellaglio, s i ot ti en e un a rispo ta d ell'ordine d i 104 m / s, prob ab ilmen te si sono utilizza ti numeri erra li oppure si è commesso q u alche errore ne i calcoli . Un a ltTo m o ti vo pe r cui è utile effettuare il ca lcolo de ll 'o rd ine d i g ra ndezza è ch e esso p e rm ette di a vere un ' idea d e lla grandezza d ci numeri con i qua li s tia mo trattando in una s ilua ~ionc ne lla qua le non è possibile e ffettua re un conto esa tto . Una situa z ione di questo tipo è presenta ta ne l segue nte esempio svolto.

7. Errori di misura e operazioni di media N e i p a ragra fi p reced e nti a bbia m o vis to c he og ni vo lta che eseguiamo la misura di un a g rand eaa fisica d obbia m o tener presen te ch e il ris u lta to ri c ntirà di una certa imprecis ione. Infatti, a n ch e e ripe tiamo la s tcs a mi ura molte volte, difficilmente trovere mo lo te so risulta to; pe r qua nto possiamo fare a tte nzion e ne ll'e ffe ttua re i nostri esperime nti ci arà sempre una diffe renza ne lle mis ure trovate. t necessa rio qu indi cerca re di dare Wla valu tazio ne del l'a ttend ibilità d e lle misure effettuate dura nte un es pe rime nto. Suppone nd o, com 'è logico, ch e esis ta un vnlore vero d e lla g randezza d a mis urare, è e v id n te c he i va lo ri otte nuti con l'opera ~ione di mi ura diffe rì cono in vario m odo da l va lo re vero. Possia m o d ire ch e:

I

La diffe ren za tra il valore misura to e il valore vero vien e chia m a ta errore.

Da l momento che è impossibile no n co mmette re e rrori , q ua nd o esegu ia m o una misura dobbiamo a lm e no cerca re di o tte ne re il va lore che ra ppresenta m egl io la m is ura vera d ella g ra ndezza presa in esame e che indic here m o come valore più probabile.

[circa 10 cm]

12 CAPITOLO 1 I nt r oduzione alla f1s1ca

------

Piccola oscillaLione del pendolo

A FIGURA 1 Periodo di oscillazione di un pendolo

li periodo di oscillazione di un pe1ulolo è il le111po necessario per ejfell uare

un'oscillazione, cioè un 111ovi111enlo complelo dr andata e nlomo. LA 111isura del 1ienodo di 1111 pendolo può es~re critica, sopra/lui/o se effelluala 111anua/111enle co11 u11 cro110111elro, a causa di pos~ibili i11vo/011lari ritardi o anticipi dell'operatore 11el premere il pulsante.

'

...

Ind ice dello strumento

Valore corretto

I I I I I

\\\\\ '

Errore di parallasse

parallasse Scala dello strumento

A FIGURA 2 Errore di parallasse

L'errore di parallasse è dovuto a/l'errala posizione dello sperimenlalore nella lellum delle scale analogiclre di uno sln1111enlo; irifalli, osseroa11do la scala da a11golazio11i differenti, si ollengo110 le/Iure dit>erse. Per 111i11i111izzare questo errore gli si rumeni i di precisione sono dotali di specchi che rijlellono /'i111111agi11e della tacca: l'operatore si deve spostare fino a che la lacca e la sua i111111agi11e riflessa non coincidono.

7 . Er r ori d1 mi s ura e oper11 l on l d i m e d11

Pe r com prendere in ch e modo s i può o tte nere ta le risulta to, a nalizzia mo i d a ti ottenuti eseguend o una semp lice esp erien za: la mis ura d el tempo di oscillaz ione di un pendolo, come que llo mo tra to nella figura 1. Per effe ttu a re que ta misura u tilizzia mo un cronometro in g rad o di apprezzare il centesimo di econdo. Dopo aver me so in mo to il pe ndolo, assicurand oci che le o cillazioni sia no di piccola a mpiezza (ved re mo più avanti il m o tivo per cui imponja mo ques ta co ndizion e) eseguiamo la prima rru ura: otte niamo il va lore 2,30 s. Anch e se abbia mo opera to con la mass ima a ttenzione, non possiamo afferma re ch e la g randezza mi ura ta abbia realme nte il va lore 2,30 ; ten end o con to della sen ibi lità di le ttura d e l cronometro e, a mme so di aver o pe ra to corre tta mente, p ossia mo o ltanto dire che essa ha un valo re comp reso fra 2,29 e 2,31 secondi. lnfatti l' ultima cifra è incerta e l'incertezza è almeno uguale alla s nsibil ità dello s trumento. el dare il ri ulta to d ella mi ura, teniamo conto dell'incertezza e scri v ia mo: (2,30 ± 0,01 ) s e e eguiamo più vo lte la ste a mis ura, però, ottenia m o in gene re ris ulta ti diversi. Ad esemp io, e ffe ttuando 75 mis urazion i a bbia mo o tte nuto dei dati che sono distribuiti in LUì inte rva llo d i valori che varia da 2,30 a 2,50 secon di. A che co a pos ' ia mo attribuire l'errore commesso in que to tipo di rru ura? Fond amen tal men te ~ono due le p o ibili ca u e. La prima è lega ta al funz io na me nto e rrato d ello s trume nto di rru ura o alla posizio ne e rra ta de llo sperimenta tore ne l m ome nto d e ll a lettura (errore d i para llas e, illu tra to in fig u ra 2) e dà luogo ai co idde tti errori sis temati ci. L'a llTa ca usa d i e rrore è dovuta a l ca o, co me s ucced e ad esempi o al cron o me trista che, pur cercando di effe ttua re la misura con la m asima preci ione, chiaccia il tasto del c ro n o metro un po' in a nticipo o un po' in rita rdo, e dà luogo ai cosiddetti errori casuali o accidenta li. G li errori si te ma tici p ossono es e re elimina ti o rido tti, rimu ove ndo la lo ro ca usa: e è lo strume nto c he non fun zion a ben e, è sufficiente so tituirlo, e è lo spe rime n ta to re che s i trova in una p o izion e e rrata, basta c he la corregga. Più difficile è invece elimina re g li e rrori accide nta li p erc hé, e send o d ovuti a l caso, o no de l tutto imprevedibili . Tuttav ia, proprio p erch é casu a li, ta li e rrori o no u g ua lme nte proba bili p er dife tto o p er eccesso; q u esta ca ra tter isti ca fo rni ce lo strumento pe r a tte nu a rne l'effetto, operand o nel modo segue nte. u pponiam o di aver effettua to un certo numero 11 di volte la misura di una g randezza, il cui va lo re vero è xv, e di ave re o tte nuto come ri ulta to d elle misure i valo ri x 1, x 2, X3, ... , x,,. e la misu ra x 1 è a ffe tta da ll'errore 6x 1, p ossia mo scri ve re: X1

= Xv+ .lx1

zion i, ma co munqu e leci to rite n ere che, con un nume ro finito a bbastanza grande di prove, la somma degli errori diventi lmscumbile rispetto alle altre q11n11titii in g ioco. La relazione precedente diventa qu indi:

X1 + X2 + X3 + ... + X11

=

Il Xv

e si può scri vere n ella fo rma:

xv=

X1

+ X2 + X3 + ... +

X 11

Il

Q uind i po sia mo concludere che:

I

Un a buon a appro imazione d el valo re ver o d ella rrusura di una grandezza da ta d a lla media ari tm e ti ca dei va lori o ttenuti ne lle n m is urazioni di que lla gra ndena.

Come si presenta il risultato della misura di una grandezza La m edia aritme tica d ei va lori o ttenu ti dalle mi u raLioni, ch e ch iameremo va lore medio, costi tu i ce la migliore stima dcl va lo re vero della rrusura di una grandez7a. Tuttav ia e i te a n co ra un marg ine di incertezza su lla mi u ra effettu ata; b i ogna q uindi in fo rmare g li altri sp erime nta tori ch e, qu a lo ra effe ttu assero lo s tes o tipo d i mis urazione nelle med esime cond iz ioni, gene ra lmen te potrebbero trova re d ei risulta ti leggerme nte d iversi d ai n os tri. Ch e co a ignifica " leggerme nte diver o"? In altre parole, quando un ri sulta to di,·er o è ta lme nte dive r o da poter afferm are c he le d u e mi urazio ni sono in disaccordo? Una rispo ta d e ttaglia ta a q uesta doma nd a è fo rn ita d alla teoria d egli e rrori . Jn g ue to testo, tu ttavia, ci limite remo a d a re alcune ind icazioni che potranno es e re u tili p e r le nostre attiv ità d i laboratori o. Per p rima co a d obbia mo distinguere tra una media calcola ta su poche mi uraz ioni (11 < 20) e una med ia calcola ta s u mo lte misurazioni (11 > 30) . Nel primo caso n on si può afferma re di avere un ca m p ione s ta ti ticamente rappresenta tivo e quindi no n po s iamo a pplica re le regole dell a sta ti tica . L' unica co a che po ia mo fa re pe r infom1are eventua li a ltri speri menta tori s ul risulta to della n os tra misura è dich iara re, o ltre al va lo re medio o ttenuto, l'inte rva llo entro il quale s on o d i tribuite le misure, d and o co ì w1 ' informaz ione su ll'acc ura tezza con la qua le a bbia mo lavo rato (pi ù am p io è l' inte rva llo e me no affid a bile è la mi u ra). Un indice che si può util izza re è la semidispersion e che s i otti ene di videndo per 2 l' intervallo tra il v-a lo re massimo e il va lore minimo otte nuti:

o tto lineiamo che ~" 1 è p ositivo se la mi ura è e rra ta per ccces o rispetto a l valore vero, n ega ti vo se è e rrata per difetto. Analogamente, per le a ltre m i ure avre mo: X2

X3

= Xv + = XV+

LU2

l.Ì..\'3

x,, = xv + ù x,,

ommando memb ro a me mbro le relazioni precedenti o tte nia m o:

x 1 + x2 + x 3 + . .. + x 11 = nxv + (6..r1 + 6 x2 + ili3 + ... + ili,,) L'e pre sio ne fra parente i ra ppre e nta la om ma di tutti g li e rrori. Es e ndo g li errori casua li u gua lmente proba bili p e r eccesso e per difetto, è pres umibil ch e, u molte rrusure, il numero e l'e ntità d egli e rrori positivi sia no paragonabili a l numero e a ll'en tità di quelli negativi . Po siamo perta n to supporre che, maggiore è il numero d elle mi ure, ta nto più la quantità tra parente i tenderà a ridur i a zero a cau a della compe n azione sempre più marca ta tra g li erro ri per difetto e quelli p er eccesso. Potremmo quindi raggiungere la precis ion e effe ttu a ndo infinite mi ura-

[3]

(4]

Q ua n d o in vece il nume ro di mis urazioni è a lto, possiamo uti li zza re un indice s tati tico c he tien e co nto di tutte le mis ure: la scarto q11admtico medio o deviazio11e standard. Pe r com pre n dere co me i p uò calcola re lo ca rto qu adratico med io di una e rie di misure dobbi a mo prima definire che cosa si intende pe r sca rto d i una mis ura da lla med ia. Lo scarto di un a m is u ra x, da lla med ia è la differen za tra q uesta mi ura e il va lo re medio x, cioè: S

= X1

[5]

X

A ogn i m isura è associa to il proprio sca rto d alla medi a, q u ind i: S 1 = Xi S2

X

= X2 - i

s,, = x,, -

x

n

8 . D istribuzione di frequenze e curvo di Gauss 1S

14 C A P I T O L O 1 I n t r o d u z i o n e a 11 a f i s i e a

Poiché le mis ure sono sia superiori alla m edia, sia inferiori, gli scarti po sono essere p ositivi o nega ti vi; si può facilmente dim ostrare che la som111n degli scnrti è sempre nul/n. Anche la m ed ia aritmetica degli scar ti è q uindi nulla e no n è pertan to un indicatore significativo. Al contra rio, h a un significa to s tatistico importa nte lo scarto quadra tico m edio o deviazione tandard, definito nel modo seguente: Definizio ne d i scarto qua dratico med io o deviazio ne standard , 2

x,.

\bbiamo vi to come co tr ufre un si te ma d i coord ina te; us ia mo lo ora per esa minan• la situ azio ne m ostra ta in fig ura 2. C1~a

dcl tuo amico

~ FIGURA 2

Coordinate unidimensionali

La 11osizio11c de/In t11n cnsn, di q11el/n tlt'i 1110 a1111co e della droglterin i11 1111 s1ste111n c/1 coord111nte 11111di11u•11s1011n/1.

niziamo lo studio della fìsica con la meccanica, la parte della fìsica con cui abbiamo più a che fare nella vita d1 tutti i giorni. Ogni volta che solleviamo un braccio, che ci alziamo o ci sediamo, che lanciamo una palla o che apriamo una porta, le nostre azioni sono governate dalle leggi della meccanica. Fondamentalmente, la meccanica studia come si muovono gli oggetti, come essi rispondono alle forze esterne e come altri fattori, ad esempio le dimensioni, la massa e la distribu zione di massa, influiscono sul loro moto. È evidente che dobbiamo capire molte cose e c he non cercheremo di affrontarle tutte in un capitolo. In questo capitolo ci limiteremo allo studio della cinematica del moto unid1mens1onale. Che cosa significa? Tanto per cominciare, la cinematica (dal greco kinema - moto) è lo studio del moto e si propone di descriverlo, senza

occuparsi di ciò che lo ha causato. Inoltre, con l'espressione moto unidimensionale intendiamo il mo to che avviene lungo una linea retta: da destra verso sinistra, verso l'alto o verso il basso o da est a ovest e così via. Non solo , ma in questo capitolo tratteremo tutti gli oggetti fìsici come punti materiali; in altre paro le, supporremo che tutta la massa dell'oggetto sia concentrata in un si ngolo punto. Questa è una pratica piuttosto comune in fìsica. Ad esempio, se si è interessati a calcolare 11 tempo che la Terra impiega a comple tare una rivoluzione intorno al Sole, è ragio nevole considerare la Terra e 11 Sole come semplici particelle. Nei ca pitoli seguenti estenderemo lo studio a sit uazioni sempre più realistiche, considerando il moto in più di una dimensione e gli oggetti fìsici con forma e dimensioni non trascurabili.

Contenuti 1. Posizione, dista nza

e spostame nto

23

2. Velocità scalare media

e velocità media

24

3. Velocità istantanea

28

4. Accele razione

30

5. Moto con accelerazione

co stante

34

6. Applicazioni de lle equazioni

d el moto 7. Oggetti in caduta libera

Supponi d i u cire da ca a tu a, d i anda re in droghe ri a e quindi di to rna re a casa. La d is tanza che h ai p e rco r o ne l tuo tragi tto è d i 8,6 km . ln gen e rale la d i tanza d efinita come egue:

I

Definizione di distanza

distanza =. lungh ezza c~mple siva d el tragi tto el Sl i mis ura in m etn (m). 1

Usa nd o le unità del SI la dis tanza perco rsa in fig ura 2 è 8,6 km = 8,6 · 10 m . In un'auto mobile la dis tanza p e rcorsa è ind ica ta d a l conta kilome t:i. ~sscrv_ia m o che la di ta n za è sempre positivn e, p o iché no n h a a sociata alcuna d1rez 1one, e una g randezza scala re.

40 43

Un altro modo utile per d e cri ve re il mo to di una p a rticella cons is te ne~l 'e~p.ri:ner­ lo in ter mini di s pos ta me nto, t.x, che ra ppresenta il ca m b ia men to d 1 p os1z10ne. Definizione di spostam ento, Ax

spo tamento

Ax =

X( -

= cambiamento cli po

izione

posizione finale - posizione iniziale

Xi

l 1J

el SI si misura in me tri (m). Abbiamo usa to la no tazione fil' per indica re in fo rma abbrevia ta la q ua ntità Xf

Xi·

ATTlNZIONl

Notazione

t:u

La nota7ionc .ì.r, che si legge "delta di x", indica la vanaz1onc della grandezza x, ooè l;i d iffere1v.a fra il va lore final e di x e 11 valore mit.iale di r: ..Ì\

=\ t

'"·

La nota7ionc si utili7...l x 1), n ega tivo ( e la posizione fina le è a lla sini tra d ella po izione iniziale, Xf < x;) o nu llo ( e la po izione finale e quella iniz iale coincidono, Xf = xi). In effetti lo po ta me nto un vetto re unidime n ionale e il s uo ver o (de tra o s inis tra) è indica to dal uo egno (po iti vo o n egativo, ri pe tti va me nte). e l Sl lo spo ta me nto i mi ura in metri, com e la di tan za, ma spostnmento e distn11zn sono grn11dezze ftsiclle diverse. Ad esempio, n el tragitto da ca a tua alla drogh e ria e ritorno, la di tanza pcrcor a è 8,6 km, m entre lo po ta m e nto è ze ro d a l mo m en to che Xf = 2,1 km = x;. Supponi, iJwece, di andare d a ca a tua alla d roghe ria e qu indi a casa de l tu o a mico. ln que to caso la dis ta nza p ercorsa è 10,7 km , m a lo sposta me n to è: LU = Xf - X; = 0

( 2. ESEMPIO SVOLTO

Il tuffo del martin pescatore

Il marti n pescatore è un uccello che caccia il pesce tuffand o i nell'acqua da u n'altezza di par~cch~ me tri. Se ~n m arti~ p e catore s i tuffa d a un' altezza di 7,0 m con una veloci tà cala re media di 4,00 ml , quan to tempo 1mp1ega a raggiunge re I acqu a? DIS CR I I ION E D EL P ROBLEMA

Come mostrato in figura, il martin pescatore si muove lungo una linea retta verticale percorrendo una distanza di 7,0 m . La velocità scalare media dell' ucce llo è 4,00 m I s. ST RATEGIA

7,0m

Possiamo utilizza re l'equazione [2], risolvendola risp etto al tempo impiega to.

2,1 km '"" - 2,1 km

d ove il segno m eno indica che il tu o s pos tam e nto è avvenuto ne l ver o nega tivo, cioè verso sinist ra.

1. ESEMPIO GUIDATO

Calcola la distanza e lo spostamento

Partendo d alla casa del tu o amico, vai in drogh eria e poi tomi a ca a tu a; calco la: la distanza perco r a; lo po tame nto.

n) b)

S OLUIIONE

Risolviamo l' equazione [2] rispetto al tempo impiegato:

distanza tempo impiegato = velocità scalare media

Sostituiamo i valori numerici per de te rminar il tempo:

tempo impiega to =

7,0 m 4100

m /s =

7,0 4100

s = 1,8 S

so Lu z I o N I {Per venficare se h01 capito esegui i calcoli md1cat1 1n ogm passo) O SSERVAZI ONI

a) Calcola la di tanza sommando le distanze percorse nelle varie parti dcl tragi tto: 2,1 km

+ 4,3 km + 4,3 km

L'equazione [2] non è soltanto una formula per calcolare la velocità scalare. m edia. Essa mett~ ~ relazion la velocità scalare media, il tempo e la distanza; date d ue qualsiasi di queste grand ezze, l'equazione può essere u til izzata per calcolare la terza.

--= 10,7 km

b) Utilizzando la figu ra 2 determù1a la p osizione iniziale: X; =

P RO VA TU

0

Utilizzand o la figura 2 determina la posizione finale: Xf

.

Problemi s11111/i: 10 e 12.

= 2,1 km

Calcola la spostamento come differenza fra

Xf

ex;:

Calcolia mo ora la ve loci tà scala re m edi a p e r un trag itto div iso in d ue parti di ugu ale lung heu.a, ciasctma delle quali pe rcorsa con veloci tà scala re diversa.

Llx = 2,1 km PROVA TU

Supponj di aver scelto come orig ine del sistema ca a tua anziché la ca a d el tuo amico. Calcola a) la distanza e b) lo spo tamento nel caso in cw , partendo da lla casa d el tuo amico, tu vada aJJa drogheria e poi torru a casa tua. [n) 10,7 km, b) 2,1 km; il risuJtato è indipendente dalla scelta dell'o rig in e d cl si tema]

1. VERIFICA DEI CONCETTI

Velocit à scala re media

Con un'a utomobile percorri prima 4,00 km a 30,0 km / h e poi altri 4,00 km a 50 km/ h . La tu a velocità scalare media per il tragi tto totale di 8,00 km è: .Al maggio re di 40,0 km/ h . B] ug uale a 40,0 km / h. cJ minore di 40,0 km / h.

2. Velocità scalare media e velocità media

30,0 km / h

50,0 km/ h

li passo s ucces ivo ne lla d e cr izione d el m o to consi te ne l va luta r qua nto rapidame nte s i mu ove un oggetto. Ad e empio, quanto te mpo impiega un pallone calciato da tm g ioca to re a raggiungere la porta? Di quanto s i pos ta in tm' ora una navicella pazia le che o rbita into rno alla Te rra? Quanto rapid a m ente s i muovono le tue palpebre in tm ba ttito di cig lia? Que ti sono e e mpi di d o m a n de ele me ntari sul moto, a lle quali imparere m o a ri p onde re in que to paragrafo. 11 m o do più semplice p er cara tte rizza re la " rapidità" di un moto è a ttrave r o la velocità scala re m ed ia: velocità sca lare m edia

?

Un martin pescatore si tuffa con una veloci tà scalare media di 4,6 m/s e tocca l'acq ua ~op~ 1,4 s. Da quale altez.za si è tuffa to . [distanza = (veloci tà scal ar e media)· (tempo tmp1egato) = (4,6 m/s) · (1,4 s) = 6,4 m]

di tanza mpo impiega to

(2)

La veloci tà sca la re m edia h a dimen sioni di w1a lw1ghezza di v iso un te mpo e nel Sl si mi ura in m e tri al econ do (m /s). Sia la di ta nza s ia il te mpo impiega to so no gr andezze pos iti ve, p e rciò la velocità scala re media è semp re positivn.

4,00 km- - - - -

4,00 l...m

RAGIONAMENTO I DISCUSSIONI

A prima vis ta potrebbe sembra re che la velocità scalare media ~ia e f~etti va m~nte 40,0 km / h, cioè la med ia aritmetica tra le due velocità. RiOettcndo meglio, tuttavia, è evide nte che occorre più tempo per percorrere 4,00 km viaggiando a 30,0 km / h ch e non viaggia ndo a 50,0 km / h . Quindi hai viaggiato pc~ un te~po maggiore alla ~clo­ ci là minore e, di conseguenza, la velocità scalare media d cli mtero percorso è m111ore di 40,0 km / h, cioè è più vicina a 30,0 km / h hc non a 50,0 km / h. RISl"OSTA

La risposta corretta è la C: la velocità scala re media è minore d i 40,0 km / h.

26 CAP ITO LO 2 C 1ne m a t 1c a u n 1di me n s 10 n a I e 2 . Ve l ocità sca l a r e m edia e velocità media 27

P.ossian:o veri.fica re il ri ulta to o tte nuto con il ragio nam en to a ppJjcand o la d efini.:1one d1 velo~1tà calare m edia. Sappia m o ch e la dista n za to ta le 8,00 km; d obbiam o. cal~ol.a re il te mpo impiega to pe r l'intero tragi tto. e1 pnrn1 4,00 km il te mpo i mpiega to è: 4,00 krn 4,00 30,0 km / h - 30,0 h

t2 =

50,0 km / h

=

4,00 50,0

h

+

I

2

4,00 h 30,0

=

+ 4,00 h _ 20,0 + 12,0 50,0

-

32,0 16,0 h = 150,0 h = 75,0 h

150,0

75 o l 16,0 h

= (8 00 krn ) . - ' I

Vm -

f1) Applichiam o l'equazione [3] alla cammina ta. ln questo caso Xf = O, x, = 50,0 m, tr = 48,0 set; = 8,00 s:

Vm - - - = - - -

X; =

O, cioè ti.x = O; quindi la

-

ti. I

tr - t,

X( -

X;

lf -

t,

4

m

8,00 s - 0

-

50,0 _ I m /s - 6,25 m s 8,00

0 - 50,0 m 50,0 -- = m /s = - 1,25 m /s ,os - 8,00 s 40,0

O

ti.x

V

-

=-= --= O ti.f 48,0 s

OIS I RVAZIONI

Notiam o che il segno dcUe velocità in a) e in b) indica il verso de l moto: po iti vo verso d estra, negativo ver o sinistra. inoltre po .1amo osservare che la velocità scalare med ia per l'intero percorso (100 m) è 100,0 m/48,0 s - 2,08 m/s cd diversa da O, al contrario della velocità media, ch e invece si annulJa.

La velocità sca lare m edia d ell' inte ro pe rco rso è, guindi : 8,00 krn . ve locità ca la re m edia = - 16,0 75,0 h

_ ti.x _ xr - x; _ 50,0 m - O

.i) Applichiamo l'equazione [3] a Uo sprint, con Xf = 50,0 m, x; = O, tr = 8,00 se t; - Os:

e) Per l' intero percorso, xr = velocità m edia è:

D un gue il te mpo impiega to pe r percorrere l' inte ro trag itto è: ti

~tutte le domande d el proble ma si può ris ponde re applicando direttamente l'equazione [3]. Le uniche quantità d a determinare ;ono, nei tre casi, /lx = xr - x; e ti.t = tr - t,.

IOL U ZIONE

Pe r p e rco rre re gli altri 4,00 km il te m po in1piega to è: 4,00 km

ITR AT EOIA

= 37,5 km / h

P'll O VA TU

'>t! la velocit, media durante la camminata è - 1,50 m /s, pe r quanto tempo dovrà camminare l'a tleta per ritornare alla linea di par tenza? [ti.I = ti.x/vm = - 50,0 m /-1,50 m /s = 33,3 s]

Tale velocità, com e aveva mo d ed o tto con il ragion a m e nto, è minore di 40 km / h .

robtemi s11111/i: 6 e 17.

,1

ln m olte ituazioni pe r d escri vere il m o to anziché la ve locità scala re m edia si utilizza un 'altra ~andez~a : I~ ve locità m edia, Vm, d e finita come il ra ppo rto fra lo sp osta m e nto e il te mpo 1m p1egato a co mpie rl o.

Inte rpretazione grafica della velocità media

Definizione di velocità media, vm

velocità m edia _

Vm-

"

~X

~t

=

po lame nto te mpo impiega to

Xf - Xi ----

[3)

tr - ti

el SI i mi llra in m e tri al econdo {m / ).

o t t~~~ia m o I~ diffe re nza fra i te rmini velocità scalare e velocità ch e, non os tante s iano 11nil1, d escrivono g ra ndezze fis id1e d ive rse. La velocità m edi a no n ci info rma ~lta~to u gua nto ra pida m e nte l'oggetto i ta m ove ndo, m a ci dice anche in che direzione e ver o es o s i muove.

'->pesso è utile v i uaLizza re il moto d i w1a pa rti cella rappresenta nd o la s ua po izione m funzion e d e l te m po. l onside ria m o ad esempio una pa rticella ch e si m u ove ava nti e ind ie tro llll1go l'as.e ,, com e m ostra to in fig ura 3n ne lla qua le è ripo rta ta la p o izion e della pa rticella m vari istan ti . Q uesto mod o di indica re la posiz ione d i una p a rti cella e il te mpo rnrrisponde nte è p e rò un po' d i o rd ina to; provia mo p e rciò a ra ppresenta re la s tesl mform azio ne con un di verso tipo d i gra fico. In fig ura 3b ra ppresentia mo lo stesso mo to, m a questa volta su un p iano ca rte iano, rip o rta ndo sull'a e o ri zzon tale il tempo t e su ll 'a se vertica le la posiz io ne x. lon ttn grafi co spazio-te mpo di gucs to tipo è mo lto più facile v i ua lizza re il mo to della pa rticella.

Pe r e e~pio, Se w1 og~etto si mu ove in direzione p o i ti va, xr > x, e vm > O. A l contra ri o, se I oggetto s1 mu ove in direzio ne nega tiva, xr < x, e guindi Vm < o. o n: e I ~ sp o ta me nto, la velocità m edia è un vettore un id im e n io na le e il s u o verso è tndKa to d al s uo se~o. La.:'~loc~t~ m ed ia fornisce più informazioni ris pe tto a lla velocità cala re m ed ia, p e rc10 111 f1s1ca è u sa ta piti spesso.

5

......

1

3 . ESEMPIO SVOLTO

/ ,lSSt." \

.·

IÀ1 p.uttu•tl,1 ,.,, mun\l' tll'I \ ndi

50,0m

~x

v

= ffi

òt

2m - 1m

- --

3S

-

o

= + 0 3 m /s I

.il FIG U RA l Due m o di pe r visua lizzare un moto unidime nsionale

Sebbe11e in a) il percorso della par/ice/In sia mostralo come 1111n U per cliinrezzn, i11 realtà In particella s i muove i11 li11ea retta, lungo l'asse x.

3 . Veloc i tà lstentanea 19 l i CAPI TO LO 2 C 1nemat1ca un1dimen s 1onale

.h :it

l'l·mh n/,1 x(m)

\

5

,. O, I.i ~ndt•1vA1 :ix I :it

3

ri petto a I, cioè a

l' po~.ih'_•I

i ,:

B

2

Ax > O

-1

a) Velocità media tra t = O et = 3 s

X

Per mette re in re laz ione que ta d efinizione con il g rafico spazio-te mpo, disegniamo nel g rafico il egmento che uni ce la posizione de lla particella a l te mpo t = O (punto A ) con la pos izione al tempo t = 3 s (punto B), come mostrato in fig ura 4n. La pendenza della retta ch e congiunge i punti A e B ugua le all' incremento di x

(m)

5

La penderu:.1 :i 1 I :it i.• nl'~.1t i \',1 yu.indo :i l,.. O, O< Q) e o

v2 - vo2

') Per determinare 6.xa basta sostiruire vd con 2vd nelJa relazione ottenuta nella parte a):

Problema simile: 37.

40

(~

Lo spazio d i d ecollo d i un aereo

Dll CRI ZIONE DEL PROBLEMA

= ~( 7,40 m/s2 )(3,00 s)2 = 33,3 m = 9(3,70 m )

:[

FISICA INTORNO A NOI

cloci tà, tempo, acceleraz ione

v = v0 + nt

'osizione, tempo, velocità

x = xo

'osizione, tempo, accelerazione

x = x0 + v0t + ! at 2

l'iocità, posizione, accelerazione

v2 =

+ 2

[7] [10)

!(va + v) t

v0 + 2n (x - x0 )

[11] =

2

v0 + 2aLlx

[12)

40 CAP ITOLO 2 Ci nematica unid ime n sio nal e

6 . A pplicazioni d elle equ a zioni de l moto 4 1

6. Applicazioni delle equazioni del moto FISICA INTORNO A NOI

Spazio di fre nata di un veicolo

9. ESEMPIO SVOLTO

(~

1i!IYERIFICA DEI CONCETTI

Vedia mo o ra alcuni e e m pi che illus trano in che modo i applicano le e qua z ioni d e l moto uni fo rm e me nte accelera to. el primo e e mpio d e te rminia mo la di tanz.1 e il te mpo nece a ri pe r fermare comple tam ente un veicolo.

La velocità in frenata

I l g uard ia d ell 'esem p io precedente frena per 17,l m, prima di fermar si. Dopo aver frl!na to per la metà di questa distanza, cio per ~(17,1 m) = 8,55 m, la velocità della uardia è: uguale a vo/2. maggio re di t•o/2. 1 minore di v0 / 2.

Frena!

AQIO NAMINTO I DISCUSSIONI

Una g uardia fore tale, gu id ando lungo una tradina di campagna, vede all'improvvi o un ce rvo che s ta attraver ando la s trada e che s i blocca abbagl iato dai fari del veicolo. La g uardia, che ta viaggiando a 11,4 m/s, frena immediatame nte e rallenta con un ' accel eraz ione di 3,80 m/s 2• Se, quando la g uard ia az iona i freni, il cervo s i trova a 20,0 m da l veico lo: a) a quale dis tanz a dal cervo si. ferma il veicolo? b) quanto tempo è necessario perché il vei colo s i fem1i? DISCltlZIONE DE:l PltOIUMA

Scegli a mo come verso pos iti vo quello de l mo to; pe rtanto vo - + 11,4 m / . Inoltre, poiché il veicolo sta rallentando, l'accelera zione ha ve rso opposto a quello d e lla ve locità, per cui a = -3,80 m /s 2. Infine, quando il veicolo si fe rma, la s ua veloci tà è 0, cioè V 0.

(. omc abbiamo precisato nelle osservazioni d ell'esempio svol to, il fatto che lo spazio d1 fre na ta ù.x di penda da v02 significa che questa distanza cresce di un fattore 4 quando la velocità raddoppia. Quindi lo spazio di frenata con una veloci tà iniziale v 0 è 4 volte lo s pa zio di fre nata quando la velocità iniziale è v0 /2. Nel caso u1 esame, se supponiam o che lo spazio di frenata con una velocità iniziaJe v0 .1,1 .lx, lo spazio d i frenata per la velocità iruzialc v0 /2, à.x/4 . Questo significa che, ljUJndo il veicolo della g uardia raJlenta da v0 a O, pe rcorrerà una d is tanza .lx/4 pe r r.11lcntare da v0 / 2 a O e la d istanza rimanente, 31U/ 4, per rallentare da v0 a v0 / 2. l't•rciò a metà strada la g uardia non ha ancora una velocità pari alla metà della velout.i ini ziale, cioè la velocità in questo punto è maggiore di v0 / 2. SPOSTA

I

l

risposta corre tta

la B: la velocità d ella guardia è maggio re di Vo/2.

5TltATEGIA

L'accelerazio ne è co tante, quindi po sia mo u are le equazioni ria s unte nella tabella 4. ella parte a) vogliamo determinare la dis tanza conoscendo la velocità e l'accelerazione, perciò utili zziamo l'equazione (12]. e ll a parte b) vogliamo d eterminare il tempo cono cencio la velocità e l'accelerazione, perciò utilizziamo l'equa zio ne [7].

t l'\ idcnte che v non diminu isce uniformeme nte con la di tanL-a. li diagramma che illustra la va riazio ne di v in funzione di x per l'e empio vo lto 9 è mostrato in figur.1 15. Com e pos iamo vedere d a l grafico, v varia di più nella seconda metà d ello p.uio d i fre nata che no n nella prima.

SOLUZIONE

a) Risolviamo l'equaz ione (12] ris petto a à.x:

ÙX

Poniamo v = Oe sos titui amo i valori munerici:

à.x

=

8

I

........

Sottraiamo iU da 20,0 m, per determinare a qua le distanza da l cervo si ferma il veicolo:

20,0 m - 17,l m

b) Portiamo v = O nell'equazio ne [7] e risolviamo rispetto a I; quindi sosti tuiamo i va lori nume rici p e r d e terminare in q uanto tempo il veicolo si ferma:

v = vo + al = O

=

1111'accelemzio11e costa11te e q11i11di la sua velocità di111i1111isce u11ifor111e111ente in funzione del tempo. La velocità 11011 diminuisce però u11ifor111eme11te con la distanza; i11 particolare, dal grafico possiamo osservare e/te la velocità di111i11uisce co11 maggior mpidilà nell'ultimo quarto della distanza di frenata.

10

2,9 m

.§. 6

"' O - v0 + al vo 11,4 m /s I = -- = - 3,00 s a - 3, O m /s2 ~

4

2

I I

--------------~------

'I I

~ della

: ~ della distanza 1 di.:;tanza 1Distanza di frenata... : di frena~~ : di frenati!.

...

..

5

OSSEltVAZIONI

10

..

.

15

. otia mo la di v.crsa d ipe~denza cli I. e à.x dal la vel o~ità iniziale: se si r addoppia la velocità ini zia le, od esempio, il te mpo n ecessario per fe~n:ar~~ ra.dd opp1a, '.11a la d!s tailZa necessa ria pe r fe rmarsi cresce di un fa tto re 4. Ques to è uno dei moti vi per il q uale il rispetto dei lim1b dr velocità, in particola re s ulJ e au tos trade, è molto impo rtante per Ja sicurezza d egli automobilisti. ATTENZIONI PltOVA TU

Risoluzione dei problemi: definire una strategia

Verifica che, sostituendo il tempo t = 3,00 s nell 'equazione (11], si o ttiene lo s tesso valore per la distanza necessaria per fe rmarsi. [x = Xo

Problemi s11111/1: 42 e 43.

+ voi + ~ at2

O + (11,4 m /s}(3,00 s)

+ ~(-3, O m /s2)(3,00 s) 2

= 17,1 m]

e ll'e e mpio preceden te abbiamo calcola to la dista nza necessa ria affinché un veicolo i fe rmi co mp le ta m ente. M a come varia la velocità in fun.òonc d e lla dis tanza, man m a no che il veicolo ra lle nta? Questa q ue tione è tTa ttata n e lla segu e nte verifica d e i conce tti .

( h1ud iamo ques to parag rafo con un e empio lega to alla no tra v ita quotid iana: un'a uto d e lla polizia che accelera per raggiungere un automobili ta troppo ve loce. \•r la prima vol ta nella ri ol u z ione di un p roblema utili zzeremo due equazio ni del 1oto per due di versi ogge tti. l'rob lc mi di ques to tipo o no pes o più inte re an ti d c i proble mi che coinvolgono m ~o lo ogge tto e o n o legati a molte situazioni de lla vita di tutti i giorni.

Prima di cercare di risolvere un problema è una buona idea formulare una sorta di piano o strategia che stabilisca come procedere. La strategia può eSl>Cre una semplice considerazione del tipo: "il problema mi chiede di mettere m rela.t1one la velocità e il tempo, qumdi utih.u:o l'equa.tione (7]" oppure può essere più complessa. Costn1ire strategie efficaci è uno degli aspetti pit1 stimolanti e creativi della nsoluzione dei problemi.

7

Oggett i 1n caduta liber a 4l

42 CAPITOLO 2 C inematica un1dimen s 1o nale

medesima distanza (144 m) nello ste so tempo (8,00 s), perciò hanno la stessa veloci tà media. Poiché la veloci tà i;nedia dell'a~~o­ 1 mobilista è va e la velocità media dell'auto della polizia è ~(vo + v), abbiamo 2(vo + v) =va. Essendo Vo =O per I auto da polizia,

l 'automobilista indisciplinato

10. ESEMPIO SVOLTO

Un automobili la indisciplinato, che viaggia a 65,0 km/h (circa 18,0 m/s) in una zona dove il limite di velocità è 4.0,0 km/h, trans ita davanti a un 'auto dell a polizia ferma lu ngo la strada. Nell' istante in cui l'automobilista passa, l'a uto della polizia inizia la s ua rincorsa. Se l'automobilista manti ene una velocità costante e l'au to della polizia accelera co n un' acce lerazione costante di 4,50 ml 2 : n) quan to tem po occorre all'auto d ella po li zia per raggiungere I' automobili ta? b) qual e d istanza hann o percor o le due auto in questo tempo? e) qual è la velocità dell'au to della polizia quando raggiunge l'automobil ista?

ne consegue che v - 2va· . . .. · d ·1 Notiamo che questo risultato è indipendente daJl'accelerazione dell'auto della polizia, come s1 può venficarc nso 1ven o 1 seguente problema propos to. P ROVA TU

. .

2

Risolvi lo stesso problema nel caso in cui l'accelerazione dell' auto della polizia è a = 3,20 m /s · [n) I = 11,2 s; b) Xp =

Xa

= 200 m; e) Vp = 35,8 m /s]

Proble1111si111ili: 40 e 47.

DESCRIZIONE DEL PROBUMA

Rappresentiamo schematicamente l'istante in cui l'automobilista passa da vanti all'auto d ella polizia ferma sulla strada; in tale istante, che indichiamo con I O, entrambi i veicoli sono nell'origine d cl sistema, quindi a x - O. Scegliamo come verso positivo quello della d irezione del moto; con questa scelta la velocità iniziaJe dell'automobilista + 1 ,O m/s, mentre quella dell'auto della polizia è uguale a O. Jnoltre, l'accelerazione dell'automobilista è uguale a Oe q uella dell'auto della P'" tizia è + 4,50 m/s2. Disegniamo infine il diagramma x-t, che è un retta per l'automobilista e un ramo di parabola per l'auto della polizia. v0 =18,0 m/s

• 1

Il =

·~

175

o

FIGURA INTERATTIVA

150

g12s ~ 100

e

]

75

~

50

Auto della polizia xp

25

o

2

4

6

8

Tempo I (s) STRATEGIA

Per ri olvere il problema, per prima cosa scri viamo separatamente le due equazioni che esprimono la relazione fra la posizione, dell'auto della polizia e Xa dell'automobilista, e il tempo. Quindi d eterminiamo il tempo che occorre all'auto della polizia per raggiungere l'automobilista, ponendo xp Xa e risolvendo l'equazione risultante rispetto al tempo. Una volta d eterminato il tempo, si possono calcolare la d istanza percorsa dalle due auto e la velocità dell'auto della polizia.

Xp

Xp

=

Xa

e risolviamo l'equazione rispetto al tempo:

(~at - Va)I = O 2va due soluzioni: t = O o I (I

2va

La soluzione I O corrisponde alle condizioni iniziali, perché entrambi i veicoli partono dal punto x = Oin tale istante. Il tempo che ci interessa si ottiene sostituendo nell'altra soluzione i valori numerici: b) So tituiamo I - 8,00 s nell'equazione del moto per Xp e Xa·

Osserviamo che Xp

-

Xa,

come ci aspettavamo:

e) Per determinare la velocità dell'auto d ella polizia utilizziamo l'equazione [7] che mette in relazione la velocità con il tempo:

n

Xp ...

=

2(18,0 m/s) 4,50 m/s2

= 8,00 s

~nt2 = ~{4,50 m/s2 ){8,00 s)2

Il più famo o esempio di mo to uniformemente accelerato è la caduta li~ ~ra, ci~ il moto di un oggetto ch e cad e libera men te sotto l'infl uenza d e lla gravi ta. Galileo (I S64- l 642) mostrò per primo che gli oggetti che cad ono i muovono con accelera11one costan te. Le ue conclu ioni i basavano su due esperimenti eseguiti con sferL' che ro to lava no lungo piani inclinati di varia altezza; utiliu.ando il piano incl inato, Galileo ri uscì a ridurre l'accelerazione d elle sfere, o ttenendo un moto abbastanza lento da poter esse re misu rato, anche con gli strumenti disponibili a quel tempo. Calileo, ino ltre, dimo trò che oggetti di differen te peso cadono con la stessa accelerat; ione co stante, purché la resis tenLa d ell'aria sia tanto piccola da poter essere ignora ta. Se, come dice la s toria, per dimostrare questo fat to egli abbia lasciato ca~ de re gli oggetti dalla torre pendente di Pisa, probabilm~nte non lo. sapremo ma i con certezza, ma sa ppi amo he, per conferma re le p rop rie affermazioni, condusse

molti esperimenti. .. . Oggi è facile ve rifica re le a fferma zio ni d i Galile.o face~d o cader~ oggetti in ,un. recipiente in cui è s ta to fatto il vuoto e nel qu ale g li effeth d ella res1ste~La dcli ~ naso­ no praticamente nu lli. In una classica dimostrazione in laborato rio, una piuma e una mone ta vengono la eia te cad ere nel vuo to cd entrambe cadono con I.a tessa velocità. e l 1971 una rinnovata vcr ione di q u sto e perimento fu eseguita s u lla Luna d a ll'astronauta David Scott; nel vuoto qua i perfetto attorno a lla uperficie lunare egli lasciò cadere una p ium a e un martello e m o trò a l m ondo intero che essi raggiungono il s uolo nello s tesso is tan te. Pe r illu tra re in modo emplice l'effetto della re::.istenza dell'aria, consideriamo la caduta d i un foglio d i ca rta e di una palla di gomma (fig ..16): la ca rta cende lenta_menle al suolo, impiegand o molto più tempo a cad ere rispetto a lla palla. Se pero accartocciam o il foglio di ca rta fino a fa rlo diventare un a palla e ripetia'.110 l 'esp~­ ri me nto possia mo ved e re che la palla di ca rta e quella di gomma raggiungono il suo lo piG o meno nello stes o istante. C he co.' cambiato nei due esperi menti? O~­ 1 v ia mcnte, quand o il foglio di carta è stato nd o tto a una p~ll a'. I effet~o de lla re~1-­ stenl:a dell'a ria è notevolmen te diminu ito, cosl che entramb i g li oggetti cad ono p1u o meno come se fosse ro nel vuoto.

SOLUZIONI

a) Scri viamo le eq uazioni d el moto dei due veicoli tenendo conto che vo - Oe a = 4,50 m/s2 per l'auto della poliz ia, v0 = l 8,0 m/s e n Oper l'automobilista:

Poniamo

7. Oggetti in caduta libera

.&. 111 nssrnzn delln resisle11zn delf'nrin 1111/i gli oggelli cndo110 con In stessn nccelernzio11e, i11d ipe11de11te111e11le dnlln loro 111nssa.

144 m

x0 = Vat = {18,0 m/s){8,00 s) = 144 m Vp

= v 0 + nl

O+ {4,50 m/s2 ){8,00 s) = 36,0 m/s

OSSERVAZIONI

Quando l'auto d ella polizia raggiunge l'automobilista, la sua velocità è 36,0 m /s, esattamente il doppio della velocità dell'automobilista. È una coincid enza? on del tutto. Quando l'auto d ella polizia raggi unge l'automobilista, entrambe hanno percorso la

a) La caduta di un foglio d1 carta e d i una pa lla d1 gomma

b) La cadu ta d1 un foglio accartocciato e di una palla d1 gomma

~ FIGURA 16 Effetto della resistenza dell'aria sulla caduta libera di un oggetto

44 CAP ITO LO 2 Ci n e m atica un idim e n si o n al e

7. Ogge t ti i n e ad u t a I i be r a 4 5

Prima d i cons id era re a ltri e empi, esaminia mo meglio ch e cosa inte ndiamo esa tta m e nte per "caduta libera". Per cominciare, osserviamo che l'agge ttivo libera significa "libera d a q ualsiasi altro e ffetto che non sia la gravità". Ad esempio, n e lla caduta Libera assum iamo che il m o to di un oggetto no n sia influenzato d a a lcuna fo rma di a ttrito o di resistenza de ll'a ria.

I

La caduta libera

v2

= v02 + 2ntlx = O + 2gtlx v = ~ = V 2(9,81 m / s2 )(3,00 m )

Possiamo calcolare la velocità anche senza conoscere il tempo, utilizzando l'equazione [12), con 6.x = 3,00 m :

= 7,67 m /s

OS SIRVAIIONI

Esp rimendo la velocità in un' unità di mis ura che ci è più familiare, possiam o dire che, se ci lasciamo cadere da un trampolino aJto 3 m, entriamo nell'acqua con una velocità d i 27,6 km / h .

il m o to di un oggetto sottop osto solo all ' influenza d ella grav ità.

PROVA TU

Sebbene la caduta libera sia una idealizzazione, che non i può applica re a molte situaz ioni de l m o ndo real e, è tuttavia un'approssimazione utile in mo lti casi. egli e empi eguenti assumerem o che il m o to po sa e ere considera to com e una caduta libera. In econdo lu ogo è n ecessario precisare che la p arola cnd11tn non s ignifica n ecessariam e nte che l'oggetto i s tia muovend o v er o il bas o. Con l'e pressio n e cad u ta libera, intendiamo q ua lsiasi mo to sotto l' influen za d ella sola g ravità: se la cia m o cad e re una pa lla, questa è in caduta l ibera, e lan ciamo una p a lla verso l'a lto o verso il b a o e sa comunq ue in caduta libera n on a ppena lascia la mano.

• Sia quando si sta muovendo verso l'alto per raggiungere il p1111/o più alto del s110 volo sia quando sin n11dn11do verso il basso, questo ragazzo è in caduta libera e sin accelerando verso il basso con l'nccelerazio11e di gravità. Solo quando è n contatto con il telo In sua accelerazione cambia.

TABELLA 5 Valori d i g (m/s 2) in alcune località della Terra

Localit à Quito (Ecuador) Ho n.k Kong Oslo ( orvegia) Polo ord

g

Latitudine

oo 30° 60° 90°

9,780 9,793 9,819 9,832

I

Un oggetto è in caduta libera n on a ppen a è lascia to, sia ch e cad a da fe rmo, sia che ven ga lancia to ver so il basso, sia ch e ven ga la nc ia to verso l'alto.

L'accele razion e pro d o tta d a lla g ra vità s ull a s uperfi cie te rrestre è ind ica ta con il simbolo g ed è d e tta acce lerazione di grav ità . Com e vedrem o ne l capi to lo 12, il valo re d i g va ria a l va ria re de lla posizion e s ulla s upe rficie della Terra e a l var iare d e ll'altitudine. La ta be lla 5 riporta i valori di g in a lcune località situa te a diversa lati tud ine. Jn tu tti i calco li in ques to tes to n on te rrem o p e rò qu asi mai con to d i questa vari az io ne e utilizze re m o pe r l'accele raz io ne di g ravità il valo reg = 9,81 m / s 2 . So tto lineia mo, in p a rti cola re, ch eg indica sempre il va lo re +9,81 m / s 2 , ma i il va lore - 9,81 m / s 2 . A d esempio, se sceglia m o un siste m a di coordina te con direzio ne p ositiva verso l'alto, l'accele razione d e lla cadu ta li be ra è n = - g; se sceglia m o un s is te m a con direzione positiva verso il basso, alJ ora l'accele razio n e ne ll a caduta libera è n = g. Tenendo presenti queste osser vazio ni, s ia mo pronti a esplo rare esempi di versi di caduta libera .

Qual è la tua velocità quando entri in acqua, se ti lasci cadere da un trampo Lino alto 10,0 m? [v = V2(9,81 m / s 2 )(10,0 m)

Il caso pa rticola re d ella cadu ta libera con pa rte n za d a fe rmo, cioè con vo = O, è co-

ATTENZIONI

ì ta n ti contesti ch e m e rita una s pecia le a ttenz io ne. ~ poniamo x0 = Oe con sid e ria m o il verso p ositi vo in basso, la p osizio ne in fun zione del te mpo è:

Risoluzio ne d e i pro b lemi: verificare la soluzion e

'iÌ freq uente e si in contra in co

I

Il trampolino

Un a p ersona si lascia cadere d all'estremità di un trampolino alto 3,00 a) Do po q uan to tem po raggi unge l'acqua? b) Q ua l è la s ua ve loci tà qua11do entra in acqua?

01

2

X = Xo + Vot + igt

=

o+

Q

1

+ 2gt

2

cioè: X =

~gt 2

[13 ]

Ana logam e n te, la velocità in funzion e d e l te mpo è: V =

t•

gt

[14]

la velocità in fun z ion e d e lla d is tanza p e rcor a è:

v= ~

[15] I=0

I)

to in figu ra 17.

I= I s

v 11 negati va se vr uguale a zero se vr v,.

Xj

l r - I,

PllOVA TU

MasteringPhysiCSecon Ne lla piatt~forma ~ast.eringPhysics sono dispo nibili gli eserc izi e i pro b le mi di fine capito lo le re lat ive soluz1on1.

a

a

lirn ~ V ~r -o ~t

L'accelerazione istantanea p uò essere positi va, negati va o nulla a seconda che la velocità cresca positivamente, negati vamente o rimanga ug uale. La conoscen.la del segno del l'accelerazione 11011 è s11fficie11le per sa pere se un oggetto sta accelerando o ra llentando e 110 11 d à indicazione sulla direzio ne del mo to. Accelerazione costante

Quand o l'accelera zio ne è costa nte, l'accelerazione istantanea ugua le all'accelerazione media. -1

SO C APITO L O 2 Ci nemat ica uni dimen s i on al e

Decelerazione

7. Oggetti in caduta libera

Se la velocità di un oggetto diminuisce si dice che l'oggetto decelera. Si ha una d ecelerazione h ttte le volte in cui la velocità e l'accelerazione hanno verso opposto. Interpretazione grafica dell'accelerazione istantanea

In un diagramma v-t l'accelerazione in un de terminato istante è la pendenza della retta tangente alla curva nel punto corrispondente a tale istante. Pt·ndt'n/.l dt-ll.1 t.1n~l'lllt' .wtt•l0 FIGURA S Un vettore le cui componenti x e y sono posit ive

.À.

'\ella fig ura 6 son o rip o rta ti a lc uni ~!>empi di vettori le cui componenti h~nno evni diversi. Ad esempio, il vetto re A disegnato in fi g ura 6n ha componenh A, > O l' A < O, com e indica to in fig ura. In m odo analogo sono dati i segni d i A x e A 11 per 11 I Vettori d e lle fig ure 6b, C, d. Verifica atte nta m ente ciascuno di questi ca i applica nd o la regola d escritta. el n o... tro s tudio della fi ica sarà mol to importante essere ca paci di determinare le componenti d i un ve ttore e di a!:>segna re loro il corretto segno. y

I/

A , >0 Av< O

y

y

A,> O Av> O

A, < 0

A, O, 111e11tre la co111po11e11te y p1111ta nel verso 11egntiuo, perciò A 11 < O.

Somm a e sottratlone d i vettor i

n

S6 C A P I T O LO 3 I v e tt o r i i n f 1 s 1 e a

y

4 li vettore Bha componenti Bx = - 2,10 m e Bv = - 1,70 m. Determina l'angolo Ofor· mato dal vettore con l'asse x. 1 1 [tg- [(-1,70 m)/ (-2,10 m)] tg- (1,70/ 2,10) = 39,0°; O= 39,0° + 1 0° = 219°] 4 '--'-------1fare 5 passi verso nord (A)- ·e poi_ 3 verso _ est (8). Lo spostamento totale dall'albero al tesoro è C = A + B.

ln questo ca

a) l'angolo rispetto all 'asse x; b) l'angolo rispetto all'asse y. [a) A ,

.1dJ ~"''~~

À

À

(5,2 m) cos 35° = 4,3 m; A v = (5,2 m) sen 35° = 3,0 m; (5,2 m) sen 55° = 4,3 m; Ay = (5,2 m) cos 55° = 3,0 m)

3. Somma e sottrazione di vettori Una delle ragioni pe r cui importan te determina re le componenti di tm vettore è che esse vengono utilizza te q uando si devono omma re o ottra rre d ci vettori . ln que!>to paragrafo introd uciamo da pprima il metod o grafico per determinare la omma di ve ttori e poi mo triamo come lo stes o risu lta to può essere ottenuto in modo più rap id o e accura to utilizza ndo le componenti de l ve ttore.

Somma di vettori con il metodo grafico Curiosando in una vecchia cassa in soffitta trovi la mappa d i un te oro. La ma ppa d ice che, per localizzare il tesoro, d evi partire d a ll'albero di sicomoro che si trova in cortile, fa re 5 passi verso nord e poi 3 verso est. Se gue ti d ue spo tamenti ono ra ppresenta ti d ai vettori A° e Bin figura 8, lo spo tam ento totale da ll'albero a l tesoDiciamo che è il ve ttore omma di A e Be scrivia mo: ro è dato da l ve ttore

c.

e

O,

lo sposta mento totale

I

eè la somma d ei tre vettori A, Be C, cio

d =fi +8 +c e egue che, pe r ommare tra loro più d i d ue vettori basta disporre tutti i vetto~i secondo il metodo punta-coda e poi d isegnare il vettore che va dalla coda del pnmo a lla punta d ell' ultimo, come mostrato in fig u ra 9. Per di porre una coppia di cttori punta-coda, a volte è necc sario spo ta re le free~ ce che li ra ppresentan o. Questa operat.ione non com~orta_alcun problema se n?n. s1 modifica la loro lunghezza e la loro d irezione. lnfath, poiché ~n vetto re, è defin ito dalla sua lunghezza (modulo) e ?alla sua d~rezione (angolo rispetto al\ asse x), se queste non cambiano, non cambia neanche ti vettore.

I

Un vettore è ~ e.finito dal uo mod ulo e dalla sua direzione, indipendente mente da lla sua po 1z1one.

Ad e empio, nella figu ra 10 tutte le frecce han no la stessa lunghezza _e ~a s_te~ a d irezione e qui ndi rappre enlano lo stesso ve ttor , anche se hanno pos1z10111 d ivcr e . . . . nel i tema di riferimento. Per ved ere in che mod o si possono s po ta re dei vettori, consideriamo 1d ue vettori A e Be il loro ve ttore somma riportati in figura lln:

y

I I I I À

o À

FIGURA 10 Lo st esso vettore À in

posizioni d iverse

Un vettore è definito dalla sua direzione e dalla sua /ungltezzn; In sua posizione è ini11flue11te.

c - :A + i3 Se postiamo la freccia che rappres~nta 8 in modo che la !>ua cod~ c?incida con l'ori gine e la freccia che ra pp resenta A in mo?o ~he la sua coda comcid a con la p unta di B, ottenia mo la costruzione mo trata m figura llb. y

y

P.cr S_2mm~re i vettori A. e B, i d ispone la c~da Bdi ulla p~nta d i A·: la omma C A + 8 il vettor che a da lla coda di A a lla p unta d i B.

Se le istru zion i pe r trova re il te oro fos ero sta te un po' p iù complica te, ad e empio 5 pa!> i ve r o nord, 3 pas i ver o est, 4 pa i verso ud-e t, il cammino d all'a lbero d i sicomoro a l te oro sarebbe stato quelJo mostrato in fi gu ra 9.

_

e,

c =fi+8 ln gene ra le i vettori si sommano graficamente econdo la seguente regola:

FIGURA 9 Somma di più vettori

Alla ricerca del tesoro elle si troi>n 5 passi n nord (A), 3 pnssi n est ( B) e 4 passi a sud-est (C) delf'nlfJ!.ro di_sico1poro. Lo ~postn111ento totale dnl/'nlbero al tesoro è D A + 8 + C.

a)

b)

~ FIGURA 11 À + B=B + À 111,ettore e è uguale ad A+ 8 (a> e a B+ A (b).Ne/fa figura (b) possiamo n11clte notare c/1e C è In diagonale del • parallelogra111111n formato dai v~t ~ori A e B; per questa ragione il metodo uttl1ZZ1Jlo pt•1 sommare due vettori è dello regola dr/ pnrn llelogrn1n111n.

51 CAP ITOLO 3 I vettori i n fisica

3 . S o m m a e s o t t r a z 1 o n e d i v e t t o r I S9

y

Da cuiesto, g rafi co possiamo osserva re che é, che è ug ua le ad A. + -8 è anche le a B + A: , e ug ua

o

C=A+B=BIA Quindi pos ia mo conclude re che:

I 4 FIGURA 12 M etod o grafico p er sommare due vettori

li vellore

A~tn 111od11/o A = 5,00 m e fo r111q

1111 angolo d1 60,0° co11 l'asse;.; il ve/ tare B li~ mod;ilo B = 4,00 m e fom1a 1111 a11golo d120,0 co11 l'.asse_F li 111od11/o e /a d1rezio11e di C = A + 8 posso110 essere 111is 11rali dirella111e11te s11/ grafico co11 111 1 ngliello e 1111 go11io111et ro.

La o rnma di vetto ri è indipendente dall'ordine in cui i vettori vengono sommati.

O ra, s uppo niam o ~l~e A ab?ia modulo~ _ 5,00 m e fo rmi un an golo di 60,oo rif · s petto a l ver o po 1ti vo dell a ex e che 8 abbia modulo 8 = 4 00 J d · 20 oo · , m e orm1 un ango