Fondamenti di matematica 9788843046874, 884304687X [PDF]

Zitiervorschau

i a edizione, settembre 2008 © copyright 2008 by Carocci editore S.p.A., Roma Finito di stampare nel settembre 2008 da Eurolit, Roma ISBN

978-88-430-4687-4

Riproduzione vietata ai sensi dì legge (art. 171 della legge 22 aprile 1941, n. 633) Senza regolare autorizzazione, è vietato riprodurre questo volume anche parzialmente e con qualsiasi mezzo, compresa la fotocopia, anche per uso interno 0 didattico. 1 lettori che desiderano informazioni sui volumi pubblicati dalla casa editrice possono rivolgersi direttamente a: Carocci editore Via Sardegna 50 00187 Roma. T E L 06 42 81 84 1 7 F A X 06 42 7 4 7 9 3 1 Visitateci sul nostro sito Internet: http://www.carocci.it

Fabio Bellissima

Fondamenti di matematica

Carocci editore

Indice 1.

Gli insiemi numerici

7

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

I numeri naturali 7 Dai numeri naturali ai numeri interi 11 Dai numeri interi ai numeri razionali 14 Incompletezza dell'insieme dei numeri razionali Dai numeri razionali ai numeri reali 23 Un modello riassuntivo 30

2.

Teoria degli insiemi

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Infinito attuale e infinito potenziale 33 Primi elementi della teoria degli insiemi 37 Espressioni insiemistiche e formule logiche 45 Prodotto cartesiano 50 Relazioni 51 Funzioni 57 Operazioni 61 Cardinalità di insiemi infiniti 63

3.

Strutture algebriche

3.1. 3.2.

Gruppi 78 Algebre di Boole

4.

Ritorno agli insiemi numerici

4.1. 4.2.

La costruzione insiemistica dei numeri 111 Le classi numeriche come strutture algebriche

20

33

77

102

Indice analitico e dei nomi

111

123

117

l. Gli insiemi numerici Questo primo capitolo è dedicato ad una rapida riorganizzazione di quei ricordi che ciascuno di noi ha intorno ai vari tipi di numero, ricordi in base ai quali riesce ad impiegare con successo i numeri stessi. In questa fase iniziale, la maggiore attenzione sarà riservata ai passaggi da un insieme numerico all'altro (dai numeri naturali agli interi, poi ai razionali, infine ai reali), approfittando della concisione per avere uno sguardo complessivo della materia. Nel capitolo finale ritorneremo sulle classi numeriche in modo più rigoroso, potendo impiegare i concetti insiemistici e algebrici incontrati nel frattempo. Che tanta parte di un testo di fondamenti di matematica sia dedicata ai numeri non deve stupire. Gli insiemi numerici non solo rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata ma anche, considerati singolarmente, le tappe di uno dei più importanti cammini della conoscenza sia collettiva sia individuale. Il processo storico attraverso il quale i vari tipi di numero sono stati definiti e il percorso didattico tramite il quale ciascuno di noi li ha appresi differiscono però in modo significativo. Nel primo, che come tutti i processi storici non è lineare, l'introduzione dei numeri negativi è di due millenni successiva alla trattazione dei rapporti razionali e irrazionali. Nel secondo, frutto di una sistemazione effettuata a posteriori, si procede invece in modo ordinato, dalle classi più piccole a quelle più grandi, e quindi la presentazione dei numeri interi negativi precede quella dei numeri razionali, che a sua volta precede quella dei numeri irrazionali. Naturalmente, dato il carattere introduttivo del testo, seguiremo questa seconda strada, ma cercheremo, per quanto possibile, di presentare i concetti principali anche da un punto di vista storico. Il punto di partenza è comunque, in ogni caso, costituito dall'insieme dei numeri naturali. 1.1. I numeri naturali L'insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, 4,...} presiede all'operazione del contare. Contare gli elementi di un insieme (finito) A significa infatti porre tali elementi in corri-

spondenza con un segmento iniziale dell'insieme N, descritto ordinatamente dalla filastrocca uno-due-tre-quattro... . Il numero degli elementi di A, che corrisponde all'ultimo numero pronunciato, viene indicato con Card(A) e definito cardinalità di A. L'espressione n < m indica che il numero naturale n è minore del numero naturale m, mentre l'espressione n < m indica che n è minore o uguale a m. Per converso, i simboli > e > indicano le relazioni di maggiore e maggiore o uguale. Il numero 0, di solito, non è considerato un elemento di N . L'insieme dei numeri naturali comprendente anche lo 0 è indicato con N 0 . Tra i numeri naturali si stabiliscono le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, il cui studio costituisce la base dell'aritmetica. Tali operazioni differiscono tra di loro riguardo all'eseguibilità e, come vedremo, sarà proprio questa una delle ragioni del passaggio a nuove classi numeriche. l.l.l. Le anomalie della sottrazione e della divisione Le operazioni di addizione e di moltiplicazione associano ad ogni coppia di numeri naturali uno e un solo numero naturale. Ad esempio, alla coppia (5,3) l'addizione (o somma) associa il numero 8, la moltiplicazione (o prodotto) il numero 15. ( 5 , 3 ) — ^ 8 ; ( 5 , 3 ) - * - * 15. Anche l'operazione di sottrazione associa a coppie di numeri naturali uno e un solo numero naturale, ma non a tutte le coppie, come invece accade per la somma e il prodotto. Ad esempio, alla coppia (5,3) la sottrazione associa il numero 2, ma alla coppia (3,5) non associa alcun numero, non essendo eseguibile, all'interno dei numeri naturali, l'operazione 3 - 5 . Infatti, affinché la sottrazione sia eseguibile relativamente alla coppia (x,y) deve v a l e r e x > y . (5,3) ^ - > 2

;

(3,5)-^->?

Passando all'operazione di divisione, si riscontrano ben due anomalie. La prima è che, come la sottrazione, essa non è applicabile a tutte le coppie di numeri naturali, ma solo ad alcune, e precisamente a

quelle in cui il secondo numero è diverso da 0. La seconda è che la divisione dà come risultato due numeri naturali e non uno solo come accaduto finora. Infatti, ai due numeri della coppia di partenza, il dividendo e il divisore, vengono associati due numeri: il quoziente e il resto. Ad esempio, alla coppia (7,3) la divisione associa la coppia (2,1), essendo "7 diviso 3 uguale a 2 con il resto di 1". Q u a n d o il resto, cioè il secondo numero della coppia di arrivo, è 0 allora si dice che il dividendo è divisibile per il divisore (o, equivalentemente, che il dividendo è multiplo del divisore). (7,3) — ^ (2,1) ; (6,3) — ( 2 , 0 )

; (3,6)

(0,3) ; (7,0) ^

?

La disomogeneità nel comportamento delle quattro operazioni aritmetiche non segnala un difetto della classe dei numeri naturali. Come già detto, il loro ruolo consiste nel contare gli elementi di un insieme. Il fatto che la sottrazione tra numeri naturali non sempre sia eseguibile è una conseguenza dell'impossibilità, altrettanto naturale, di prendere 10 mele da un canestro che ne contiene 8. Allo stesso modo, il fatto che il risultato di una divisione lasci talvolta un resto è una conseguenza dell'impossibilità di formare con 15 giocatori due squadre equinumerose, a meno di tagliare un giocatore in due. In contesti come questi, in cui non ha senso scendere al di sotto dello 0 oppure suddividere una unità, le operazioni di sottrazione e divisione sono intrinsecamente diverse da quelle di addizione e moltiplicazione, e le anomalie descritte si limitano a segnalare questo fatto. Vi sono tuttavia dei contesti in cui tali differenze possono essere superate; bisogna però, come insegna la storiella seguente, non sbagliare contesto. 1.1.2. La storia del vecchio fienile Un contadino, proprietario di un vecchio fienile sperduto nella campagna, racconta ad un fisico, ad un biologo e ad un matematico di aver visto una volta entrare nel suo fienile due individui e di averne, dopo un po' di tempo, visti uscire tre. Il contadino inoltre afferma con sicurezza che il fienile era vuoto prima dell'ingresso dei due e che nessuno è entrato nel frattempo. Al che il fisico, scrutando il colore del naso del contadino, asserisce debba trattarsi di una rilevazione sperimentale errata.

Il biologo, che conosce le cose della vita, non rinuncia all'ipotesi che i due possano aver procreato. Invece il matematico, senza scomporsi, sentenzia: "Caro contadino, aspetta che una persona entri nel tuo fienile. A quel punto esso sarà di nuovo vuoto". Come ha ragionato il matematico? Supponiamo, nella storiella, di avere al posto del fienile un conto bancario e, al posto di ciascuna delle persone che entrano ed escono, una certa somma di denaro, ad esempio un milione. Se in un conto, vuoto, entrano due milioni e ne escono tre allora, affinché sia di nuovo a zero, bisognerà farne entrare uno. Proprio come suggerito dal matematico al contadino. E ancora. Se stiamo galleggiando in mare ( = livello 0), poi saliamo su un trampolino alto 2 metri e, nel tuffo successivo, scendiamo di 3 metri (entrando un metro sott'acqua) allora, per tornare a livello 0, dobbiamo salire di un metro: proprio come suggerito dal matematico. Ciò che rende assurda, e forse divertente, la storiella del fienile è che il matematico fa intervenire nuovi numeri (i negativi) in un contesto che invece è di pertinenza dei numeri naturali. Ma gli altri esempi che abbiamo proposto (crediti e debiti, altitudine e profondità) mostrano come possano esistere situazioni in cui l'intervento di nuovi tipi di numero si rivela utile. 1.1.3. Verso nuovi numeri (e nuovi nomi) Il processo che ha portato ad estendere l'insieme dei numeri naturali per ottenere, di volta in volta, i numeri interi, quelli razionali, quelli reali, e anche quelli complessi (che non tratteremo), può essere interpretato come il superamento di limiti preesistenti, al fine di affrontare situazioni in

cui tali limiti non hanno più ragion d'essere. Sulle difficoltà concettuali che tale superamento ha comportato ci limitiamo ad un'osservazione che riguarda il linguaggio. Ad ogni ingresso di nuovi numeri si rende necessario non solo un nome per definirli, ma anche un altro nome per definire quelli vecchi (che prima, rappresentando la totalità, non avevano bisogno di essere definiti). I nuovi numeri della prima ondata sono stati chiamati negativi, e i vecchi numeri (prima semplicemente "numeri") sono stati chiamati naturali o positivi. Con la seconda ondata, detta dei frazionari, i numeri preesistenti (cioè i naturali e i negativi) sono stati chiamati interi. Con l'arrivo dei numeri irrazionali, quelli già sul posto (gli interi e i frazionari) sono stati chiamati razionali; con l'ultima ondata, quella degli immaginari, gli stanziali (cioè i razionali e gli irrazionali) sono stati chiamati reali. Abbiamo dunque oggetti definiti naturali, interi, razionali, reali a cui sono stati contrapposti oggetti definiti negativi, frazionari, irrazionali, immaginari. Senza eccezione, i nomi dei numeri preesistenti esprimono positività, quelli dei nuovi arrivi negatività. N o n è difficile scorgere in questo un segno dello sforzo concettuale che questi allargamenti di campo hanno comportato. 1.2. Dai numeri naturali ai numeri interi II passaggio dall'insieme N dei numeri naturali all'insieme Z dei numeri interi elimina le anomalie della sottrazione. Il nuovo insieme è ottenibile " raddoppiando" il vecchio. L'insieme originale viene denotato, oltre che con N, anche con Z + , e i suoi elementi sono chiamati, oltre che numeri naturali, anche numeri interi positivi. La copia è denotata con Z", i

FIGURA 2

L'insieme Z dei numeri interi positivi

negativi -3

- 2 - 1 0

1

2

3

Z + (-N) Z

suoi elementi sono chiamati numeri interi negativi e sono distinti dagli originali anteponendo loro il segno "—". L'insieme Z si ottiene dall'unione di Z + e Z~ disponendoli, separati dallo 0, come in figura 2. Ogni elemento è maggiore di tutti gli elementi alla sua sinistra ed è minore di quelli alla sua destra (• • • - 2 < - 1 < 0 < 1 < 2 • • • )• Una volta costruito l'insieme numerico Z, bisogna ridefinire su di esso l'addizione, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione, facendo in modo che le nuove operazioni, se applicate a coppie di interi positivi (cioè di numeri naturali), diano gli stessi risultati di quelle vecchie. È pertanto lecito parlare delle nuove operazioni come di "estensioni" delle vecchie sul nuovo dominio. Per poter fare ciò è opportuno disporre di due funzioni: la funzione di passaggio all'opposto e la funzione valore assoluto. La funzione di passaggio all'opposto (o funzione opposto) viene indicata con il simbolo - ed è definita come segue: - ( » ) = —n (cioè: l'opposto di « è -ri) e - ( - « ) = n (cioè: l'opposto di —n è ri). Ad esempio, - ( 5 ) = - 5 e - ( - 5 ) = 5. (Osserviamo che il segno " - " è stato fin qui usato con tre significati distinti: per indicare la sottrazione su N, per contrassegnare gli elementi di Z~ e per indicare la funzione di passaggio all'opposto.) 11 valore assoluto di x è indicato con 1x1, ed è x stesso se x è positivo, il suo opposto se x è negativo (ad esempio, 151 = 5 e 1-51 = 5). Inoltre, 101 = 0. Possiamo ora definire le operazioni su Z. Momentaneamente, per indicare le operazioni nuove, impieghiamo simboli in grassetto, in modo da poterle distinguere dalle vecchie operazioni su N , di cui già disponiamo. 1.2.1. Addizione Un modo intuitivo ed efficace di presentare la somma su Z consiste nell'interpretarla come la composizione di due movimenti. Dati x,y e Z, la procedura per eseguire x + y può essere descritta nel modo seguente: partendo dallo 0 si compiono Ixl passi verso destra se x > 0, verso sinistra se x < 0; dopodiché, partendo da dove si è giunti, si compiono \y\ passi, verso destra se y> 0, verso sinistra se y < 0. Il punto di arrivo è proprio x + y. In figura 3 è rappresentata la somma ( - 3 ) + 5 = 2. Per procedere in modo più formale distinguiamo tre casi.

FIGURA 3

La somma - 3 + 5 come composizione di movimenti 5 passi a destra r ...

*

* * * * - 3 - 2 - 1 0

»t.

* 1

* 2

* 3

^

3 passi a sinistra

1. Se x ey sono entrambi maggiori o uguali a 0, cioè sono entrambi numeri naturali, allora x + y = x + y. (Si osservi come l'operazione a destra dell'uguaglianza sia la vecchia addizione). 2. Se x e y sono entrambi minori di 0 allora x + y = -(Ixl + l_yl). (Per i numeri naturali, quali sono Ixl e \y,\ già disponiamo, oltre che della somma, anche del valore assoluto e del passaggio all'opposto.) 3. Se x e y sono di segno opposto, ad esempio x > 0 e y < 0, allora bisogna distinguere due sottocasi: se Ixl > \y\ allora x + y = Ixl - \y\, mentre se Ixl < \y\ allora x + y = ~(\y\ - Ixl). (Nelle scritture Ixl \y\ e lyl — W il segno — indica la sottrazione tra numeri naturali, di cui già disponiamo.) Un esempio riepilogativo: (NUOVA OPERAZIONE)

3 + 5 (-3) + (-5) (-3) + 5 (-5) + 3

(VECCHIE OPERAZIONI)

= = = =

3 + 5 - ( 3 + 5) 5-3 -(5-3)

Il punto 1 ci assicura che la nuova somma tra numeri interi, quando applicata ai vecchi elementi (gli interi positivi, cioè i numeri naturali) coincide con la vecchia somma. Il fatto che un'operazione nuova, quando applicata agli elementi vecchi, si comporti come l'operazione vecchia è, come vedremo, un dato costante di ogni estensione della classe dei numeri e ha, ovviamente, un'importanza fondamentale; ci permette, qualunque sia il contesto numerico a cui ci

si riferisce, di parlare in modo unitario di somma, di prodotto ecc., e di usare gli stessi simboli, senza rischi di ambiguità. Dalle definizioni precedenti si ricava la proprietà che lega la somma tra interi con la funzione opposto: - ( x + y) = (-x) + (-jy). 1.2.2. Sottrazione La sottrazione tra numeri interi è definita in questo modo: x— y = x + (—y). Poiché disponiamo sia della funzione opposto che, a questo punto, della somma tra interi, la nuova operazione è ben definita. Inoltre, non essendo stato posto alcun vincolo alla sua esecuzione, la sottrazione tra interi ha superato l'anomalia che caratterizzava la sottrazione tra naturali. 1.2.3. Moltiplicazione Bisogna distinguere due casi. 1. Se x e y sono di segno concorde (cioè entrambi positivi o entrambi negativi) allora x X y = Ixl X \y\. 2. Se x ey sono di segno discorde allora xX. y = — (Ixl X L_yl). (L'operazione è ben definita; infatti, essendo Ixl e \y\ numeri naturali, tra di essi può applicarsi il vecchio prodotto.) Il prodotto soddisfa le seguenti regole: (-x) X (-y) = x X y (a parole: il prodotto degli opposti di due numeri coincide con il prodotto dei numeri stessi) (-x) X j/ = x X (-y) = - ( x X y) (a parole: il prodotto di un numero con l'opposto dell'altro coincide con l'opposto del prodotto dei numeri stessi). Per terminare il compito di estendere le quattro operazioni da N a Z bisognerebbe ancora definire la divisione. Ma quello dei numeri interi non è l'ambiente idoneo per tentare di superare le anomalie della divisione. Per farlo, bisogna invece ampliare ulteriormente l'insieme dei numeri, passando dall'insieme Z dei numeri interi all'insieme Q d e i numeri razionali, di cui Z è un sottoinsieme. A quel punto la divisione tra due interi diverrà un caso particolare di divisione tra razionali. 1.3. Dai numeri interi ai numeri razionali I numeri razionali, il cui insieme è indicato con Q, possono essere rappresentati in due modi differenti: in modo decimale (i cosiddetti numeri con la

virgola), e in modo frazionario, come rapporto tra numeri interi di cui il secondo diverso da 0 (ad esempio, 3/2, - 5 / 8 ) . 1.3.1. La forma decimale Come abbiamo visto, la divisione tra numeri naturali, che d'ora in poi chiameremo divisione euclidea, fornisce come risposta una coppia di numeri (quoziente e resto) e non un numero singolo. La presenza del resto indica una sorta di incompiutezza dell'operazione. Con la divisione con la virgola si supera tale incompiutezza, in questo modo. Quando la divisione euclidea termina, se c'è un resto non nullo (cioè diverso da 0) allora si mette una virgola (un punto nella scrittura anglosassone) al fondo del quoziente e, dopo aver moltiplicato per 10 tale resto, si procede ancora con l'algoritmo della divisione euclidea, ogni volta moltiplicando per 10 i resti non nulli e arrestandosi solo quando (e se) si incontra un resto uguale a 0. Possono verificarsi tre situazioni diverse. 1. Il resto della divisione euclidea è 0 (il che accade quando il dividendo è multiplo del divisore). In tal caso il risultato è un numero naturale e la divisione con la virgola coincide con quella euclidea (FIG. 4A). 2. Il resto della divisione euclidea non è 0, ma il processo si arresta dopo un numero finito di cifre dopo la virgola (dette cifre decimali), con l'incontro di un resto uguale a 0. In tale caso il quoziente è un numero (positivo) decimale finito (FIG. 4B). 3. Il resto della divisione euclidea non è 0 e il processo non si arresta (FIG. 4C). Il terzo caso rappresenta quello in cui più ci si allontana dai numeri naturali. Tuttavia, non è possibile che il quoziente contenga infinite cifre decimali disposte in modo "imprevedibile". Infatti, o subito

FIGURA 4

Dalla divisione euclidea alla divisione con la virgola 14

0

L_7

14 |_8_ 6

N

-

•

14

li601175 40

= =

®

®

14

I IL

3 n~

14

IL

30T2727... 80 30 80

-,

©

dopo la virgola oppure dopo un numero finito di cifre decimali, le ulteriori cifre devono ripetersi seguendo un ciclo. La sequenza di cifre che compone il ciclo si chiama periodo, l'eventuale sequenza di cifre tra la virgola e l'inizio del periodo si chiama antiperiodo, e il numero complessivo che otteniamo come quoziente si chiama numero (positivo) decimale periodico. Le cifre appartenenti al periodo sono identificate mediante una soprallineatura, oppure racchiudendole tra parentesi tonde (il risultato dell'esempio in figura 4 C si scrive dunque 1,27 oppure 1,(27)). Il fatto che le cifre decimali, se sono infinite, debbano comunque ripetersi in modo ciclico è cruciale in quanto, come vedremo, rappresenta l'elemento che distingue i numeri razionali da quelli irrazionali. Dall'unione dei numeri naturali con i numeri decimali finiti e con i numeri decimali periodici (che insieme costituiscono tutti i possibili risultati delle divisioni tra numeri naturali) si ottiene l'insieme dei numeri razionali positivi, indicato con Q + . L'ordinamento tra due numeri razionali positivi a e b espressi in forma decimale si stabilisce in modo simile a quello tra due parole: si confrontano dapprima le due parti intere Int(tf) e Int(£), cioè i numeri a e b privati della parte decimale. Se Int(^) < Int(£) allora a < b (ad esempio, 3,82 < 5,1 in quanto 3 < 5);selnt(tf) > Int(^) allora a > b\ se invece Int(a) = Int(^) allora si confrontano le prime cifre decimali. Se sono diverse allora quella maggiore renderà maggiore il numero a cui appartiene, se sono uguali si passa alle seconde cifre e così via, fino a trovare la prima coppia di cifre diverse: esse determineranno quale tra a e b è il maggiore. Ad esempio, 32,861 > 32,8549, in quanto 6 > 5; e ancora, 22,63 > 22,6; in questo caso 22,6 e considerato come 22,60 e 3 è maggiore di 0. Le modalità per ottenere Q d a Q + sono analoghe a quelle per ottenere Z da N (cfr. FIG. 2): (a) si crea una copia di Q + , indicata con Q~, i cui elementi sono detti numeri razionali negativi e sono contrassegnati con il segno —; (b) si ordina Q~ in modo inverso rispetto a Q + ; (r) si allineano le due copie separandole con il numero 0. I.3.2. La forma frazionaria I numeri razionali, oltre che in forma decimale (cioè come risultato di una divisione tra numeri interi) possono essere rappresentati anche a divisione non avvenuta, indicando

semplicemente il dividendo e il divisore. Ad esempio il numero 1,27, risultato della divisione con virgola tra 14 e 11, può essere espresso dalla coppia ordinata (14, 11), scritta come 14/1 l o - | f . Tale forma si chiama frazionaria; la linea che separa i due numeri si chiama linea di frazione e indica appunto un'operazione di divisione; i vecchi dividendo e divisore prendono ora il nome di numeratore e denominatore. Se ci limitiamo a considerare coppie di numeri naturali, allora otteniamo i numeri razionali positivi; se invece, più in generale, consideriamo coppie di numeri interi, allora otteniamo tutti i numeri razionali. Il denominatore, cioè il secondo numero della coppia, deve comunque essere diverso da 0. Uno stesso numero razionale può essere rappresentato da infinite frazioni. Infatti, presa una qualunque frazione, se si moltiplicano numeratore e denominatore per uno stesso numero allora il risultato della divisione non cambia (a!b = kalkb). Due frazioni albe, dd, con a,b,c,d& Z, b ^ 0 e d ^ 0, rappresentano lo stesso numero razionale quando axd = bxc. E consuetudine scegliere, come rappresentante di un numero razionale, la frazione ridotta ai minimi termini, cioè quella in cui il numeratore e il denominatore non hanno divisori comuni e sono primi tra loro. In tal modo i numeri interi corrispondono a quei numeri frazionari che, ridotti ai minimi termini, hanno il denominatore uguale ad 1. 1.3.3. Corrispondenza tra la forma frazionaria e quella decimale Dal momento che i numeri razionali possono essere rappresentati in due forme differenti, è necessario disporre di algoritmi per passare da una forma all'altra. Il passaggio dalla forma frazionaria a quella decimale si realizza semplicemente eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. Il passaggio inverso, dalla forma decimale a quella frazionaria, si ottiene seguendo questa regola. Sia x un numero razionale espresso in forma decimale. Se x non è periodico allora il numero frazionario corrispondente ha come numeratore il numero x stesso privato della virgola e come denominatore 10", dove « è il numero di cifre di x dopo la virgola. Ad esempio, al numero decimale x = 32,71 corrisponde il numero frazionario 3271/IO 2 , cioè 3271/100. Se invece x è periodico allora il numero frazionario corrispondente ha come numeratore a - b, dove a è il

numero x senza la virgola e b è il numero x senza la virgola e senza le cifre del periodo, e come denominatore il numero costituito da tante cifre 9 quante sono le cifre del periodo di x seguite da tante cifre 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo. Ad esempio, al numero x = 3,01(423) corrisponde il numero frazionario 301122/99900, dove 301122 è 301423 - 301. 1.3.4. Operazioni tra numeri razionali Nel paragrafo 1.3.1 abbiamo definito l'ordinamento tra i numeri razionali riferendoci alla forma decimale; la corrispondente definizione in termini di frazioni (-j- < - j se ay.d < bxc) è meno intuitiva. Per definire le quattro operazioni è invece conveniente riferirsi direttamente alla forma frazionaria. Addizione: "f" + "7 = "^Id' ("cordiamo che b e d devono essere diversi da 0; il simbolo • è equivalente al simbolo X, e spesso viene addirittura omesso) e • a c a-d — b-c =

sottrazione: Moltiplicazione: Divisione:

~b ' / -7 =

—Yd— =

(con c ^ 0).

Alcune osservazioni. • Essendo a,b,c,d numeri interi, le operazioni di somma, differenza e prodotto che compaiono a destra dei segni di uguaglianza sono le vecchie operazioni tra interi. Così come in precedenza erano state impiegate le operazioni su N per definire le operazioni su Z, ora sono state impiegate le operazioni su Z per definire le operazioni su Q . • Nella definizione delle operazioni non viene fatto cenno a possibili semplificazioni. Pertanto è possibile che -j- e ~7 s ' a n o c dotti ai minimi termini e, ad esempio, " non lo sia. Quello della semplificazione è infatti un problema a parte, dal m o m e n t o che una frazione, anche se non ridotta ai minimi termini, identifica comunque un unico numero razionale; inoltre, nonostante che ciascun numero razionale possa essere espresso da infinite frazioni, il risultato delle operazioni non dipende dalla scelta effettuata.

• Le nuove operazioni di somma, sottrazione e prodotto (non la divisione), se applicate ai numeri interi, equivalgono alle vecchie operazioni. Infatti, i numeri interi corrispondono a frazioni che, semplificate, hanno denominatore 1. Pertanto, considerando frazioni ridotte ai minimi termini e ponendo b = 1 e d = 1 otteniamo, mostra a nell'espressione della somma, -y- + T = ~T~' ^ l coincidenza della nuova operazione con la vecchia. Lo stesso vale per le operazioni di sottrazione e prodotto. • La sottrazione coincide con la somma con l'opposto: -j- — = (—j)- Per la divisione, si ha -j-l-j = H numero è detto reciproco di (affinché esista, anche c, oltre a d, deve essere diverso da 0) ed è l'unico numero razionale q tale che -^-q = 1. Tramite i concetti di opposto e reciproco, le operazioni di differenza e quoziente sono dunque, in Q, riconducibili a quelle di somma e prodotto. Il rapporto tra la funzione opposto e le operazioni di somma e prodotto è quello già visto nel caso dei numeri interi (cfr. PAR. 1.2.1). Per il quoziente abbiamo: (-d)lb = al(-b) = ~{alb). • È scomparsa la principale anomalia che, nei numeri naturali, distingueva la divisione dalle altre operazioni. Anch'essa ora dà come risultato un singolo numero (razionale) e non più una coppia di numeri. La vecchia divisione euclidea e la divisione con la virgola non sono dunque una l'estensione dell'altra (come è accaduto per addizione, sottrazione e moltiplicazione, in cui la nuova operazione, se applicata ai vecchi numeri, coincideva con la vecchia operazione), ma sono due operazioni che differiscono anche quando sono applicate entrambe a numeri naturali (coincidono solo nel caso in cui il divisore sia un multiplo del dividendo). Sussiste ancora un vincolo che distingue la divisione dalle altre tre operazioni, ed è che il secondo elemento della coppia su cui si opera deve essere diverso da 0. Questa limitazione permarrà e non verrà superata dalle successive estensioni numeriche. Semmai, con il concetto matematico di limite, si potrà "analizzare" il comportamento della divisione quando il dividendo approssima lo 0; tuttavia, in questo caso non saremo più in aritmetica ma, appunto, in analisi. Per quanto riguarda l'eseguibilità delle quattro operazioni, l'insieme Q d e i numeri razionali è dunque un punto di arrivo.

1.4- Incompletezza dell'insieme dei numeri razionali

Ol-

tre al compito di contare, i numeri assolvono anche la funzione di misurare. Classi numeriche come N o Z si prestano male a tale compito. Il loro ordinamento è caratterizzato dal fatto che, per ogni elemento x, esiste sempre un altro elemento y senza terzi elementi frapposti tra di essi (ad esempio, non vi è alcun intero tra - 3 e - 2 , oppure tra 3 e 4). I tipi d'ordine aventi tale caratteristica vengono definiti discreti e, per il loro procedere a salti, non sono certamente adatti alla misura. Questo inconveniente è superato dall'insieme Q d e i numeri razionali. Il suo tipo d'ordine non è discreto ma denso, cioè per ogni x,y e Q tali che x < y esiste comunque un elemento z e Q t a l e che x