Exercice 03 [PDF]

Zitiervorschau

ZORKANI Mohammed

Département d’HYDRAULIQUE

Calcule des efforts exercés sur un coude Exercice 03 : Soit un tube de section circulaire de diamètre 0,20 m, coudé à un angle droit et posé sur un plan horizontal. Il contient de l’eau à la pression moyenne Po de 6 bars. • 1°) Quelle est, en projection horizontale, la résultante des forces s’exerçant sur le coude quand la vitesse d’écoulement est négligeable ? • 2°) Que devient cette résultante quand la vitesse d’écoulement n’est plus négligeable et correspond à un débit de 0,16 m3/s ? • 3°) Calculer la résultante des forces s’exerçant sur le coude ? C

D D

A

B Solution :

INVENTAIRE des FORCES ier

On a vu que le 1 théorème global d’Euler en régime permanent s’écrit: ⇒ r r r r r r r ∑ Fext = ∫∫ ρ v (v • n)dS = ∫∫∫ ρ f dτ − ∫∫ p n dS + ∫∫ τ • n dS SC

VC

r r F1 + F2

SC

r F1

SC

S2 C D

r F2

r R

D

r x1 S1 B

r F2

r x2 Force de pression

Action de BC et de AD sur le fluide (Contacte)

rA F1

Centre de courbure Force de pression

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Ainsi d’après cet inventaire des forces s’exerçants par l’extérieur sur le fluide on peut écrire : r r r r r ∑ Fext = F1 + F2 + R + P r où P = le poids du fluide contenue dans le volume de contrôle ABCD. On sait que : ⎛ πD2 ⎞ π D2 ⎟ car S1 = S 2 = F1 = F2 = Po ⎜⎜ ⎟ 4 4 ⎝ ⎠

r r r r 1°) v ≈ 0 : on a équilibre (pas de mouvement) → ∑ Fext = 0 ⇒ r r r r r F1 + F2 + R + P = 0 Projetons sur l’horizontale (plan sur lequel est posé le coude) : r r r r π D2 r (x 1 − x 2 ) = − R F1 + F2 = Po 4 Ainsi sur le coude s’exerce par le fluide une force centrifuge portée par la diagonale dont le module est : π D2 2 2 2 ⋅ 2 R = F1 + F2 = 2 F1 = F1 2 = Po ⋅ 4 Application numérique : 2 3,14 × (0,2) 5 × 2 ≈ 26657 N R = 6 ⋅ 10 × 4 r r 2°) maintenant on suppose qu’il y écoulement v ≠ 0 : Dans ce cas on a un flux entrant et sortant de quantité de mouvement, calculons les :r r r r r ∫∫ ρ v (v • n) dS = − ∫∫ ρ1 v 1 x 1 v 1 dS1 + ∫∫ ρ 2 v 2 x 2 v 2 dS 2 SC

S1

S2

si vitesse uniforme (cas d’écoulement turbulent) alors : r r r ∫∫ ρ1 v 1 x 1 v 1 dS1 = ρ1 v 1 x 1 ∫∫ v 1 dS1 = ρ1 v 1 x 1 Q v S1

S1

r r r ∫∫ ρ 2 v 2 x 2 v 2 dS 2 = ρ 2 v 2 x 2 ∫∫ v 2 dS 2 = ρ 2 v 2 x 2Q v

S2

S2

ainsi

r r r r r ∫∫ ρ v (v • n) dS = −ρ1 v 1 x 1 Q v + ρ 2 v 2 x 2Q v SC

mais S1 = S 2 ⇒ v 1 = v 2 = v car conservation du débit ( Q v = S ⋅ v ). Incompressible : ρ1 = ρ 2 = ρ Alors r r r r r r r 2 ∫∫ ρ v (v • n) dS = ρ v Q v (x 2 − x 1 ) = ρ v S (x 2 − x 1 ) SC

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ainsi en projection sur horizontale on obtient : r r r r r F1 + F2 + R = ρ v 2S (x 2 − x 1 ) r r r r r 3°) De [ F1 + F2 + R = ρ v 2S (x 2 − x 1 ) ] résulte que :

R − ρv S 2 = 2

F12

+ F22

R = Po

=

2 F12

πD2 = F1 2 = Po ⋅ ⋅ 2⇒ 4

πD2 2 + ρ v 2S 2 4

r r r En effet posons : R = R x x 2 + R y x 1 : r r r r r r r r r r r F1 + F2 + R = ρ v 2S (x 2 − x 1 ) ⇒ F1 + F2 + R x x 2 + R y x 1 = ρ v 2S (x 2 − x 1 ) ⇒ r r r r − Fo x 1 + Fo x 2 = R x − ρ v 2S x 2 + R y + ρ v 2S x 1 ⇒

(

)

(

)

⎧⎪R x − ρ v 2S = Fo ⎧⎪R x = Fo + ρ v 2S π D2 ⇒ où ≡ ⋅ F P ⎨ ⎨ o o 2 2 4 ⎪⎩R y + ρ v S = −Fo ⎪⎩R y = −Fo − ρ v S

(

) + (F + ρ v S) R = (F + ρ v S) 2

R 2 = R 2x + R 2y = Fo + ρ v 2S

2

2

o

2

o

2

(

)

2

= 2 Fo + ρ v 2S ⇒ cqfd

Qv Q 2v Q 2v 2 comme : v = ⇒ ρv S = ρ = 4ρ S S π D2 ainsi Q 2v π D2 2 R = Po 2 + 4ρ 4 πD2 Application numérique : R = 26657 + 4 × 10

3

(160 ⋅ 10 ) ×

−3 2

3,14 × (0,2)

2

2 = 26657 + 1152 = 27809 N

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