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Estimation et maîtrise des incertitudes de mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
INTRODUCTION, PRESENTATION DU CONCEPT D’INCERTITUDE
1ére Etape: LE CALCUL DU RESULTAT DE MESURE 2ème Etape: LE CALCUL DE L’INCERTITUDE – TYPES 3ème Etape: DETERMINATION DE L’INCERTITUDE COMPOSEE 4ème Etape: EXPRIMER LE RESULTAT ET SON INCERTITUDE FORMULAIRE PRATIQUE, DOCUMENTS TRAVAUX DIRIGES
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Objectifs de la formation ✓ Etre capable d’une manière autonome, d’estimer l’incertitude d’un résultat de mesure ou d’essai dans son contexte professionnel. ✓ En mettant en œuvre le GUM. ✓ ou en utilisant le norme ISO 5725 « Exactitude des résultats et méthodes de mesure »
CONNAÎTRE ET SAVOIR APPLIQUER UNE METHODE
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Textes de référence (les documents normatifs) Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure (GUM), NF X ENV 13005 Aide à la démarche pour l’estimation et l’utilisation des résultats de mesure et d'essai, FD X 07- 021 Lignes directrices relatives à l’utilisation d’estimations de la répétabilité, de la reproductibilité et de la justesse dans l’évaluation de l’incertitude de mesure ISO/TS 21748 Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie NF X 07- 001 4
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Textes de référence (les recommandations) EA-4/02 Expression of uncertainty of measurement in calibration EA-4/16 Guideline on the expression of uncertainty in quantitative testing (version en français disponible sur le site www.lne.fr services en ligne/documents téléchargeables Eurolab report "Measurement uncertainty revisited : Alternative approaches to uncertainty evaluation" Le Technical Report No. 1/2007 peut être téléchargé sur le site www.eurolab.org 5
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Pourquoi faut-il estimer l’incertitude d’un résultat de mesure ou d’essai?
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Pourquoi est-il nécessaire d’indiquer une incertitude avec un résultat de mesure ou d’essai? (1) ✓ De nombreuses décisions sont prises en se fondant sur des résultats de mesure ✓ Il faut obligatoirement donner une indication quantitative sur la qualité du résultat pour que ceux qui utiliseront puisse estimer sa fiabilité.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Pourquoi est-il nécessaire d’indiquer une incertitude avec un résultat de mesure ou d’essai? (2) • Sans incertitude, les résultats de mesure ne peuvent plus êtres comparés : ✓ Sois entre eux. ✓ Soit par rapport à une valeur indiqués dans une spécification ou une norme.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Comparaison de deux résultats de mesure Résultats
Laboratoire A
Laboratoire B
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Comparaison de deux résultats de mesure Estimation du mesurande incertitudes élargies Résultats
Laboratoire A
Laboratoire B 10
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Des décisions se fondent sur des résultats La réalité est malheureusement plus complexe ! On souhaiterait une situation de ce type
NonOK
OK
Seuil de décision
Seuil de décision
Paramètre
Paramètre Paramètre 11
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Comparaison d'un résultat de mesure avec une spécification Limite de spécification inférieure (LSL)
Limite de spécification supérieure (USL)
Résultats Zone de spécification
de mesure
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La conformité peut être déclarée
Limite de spécification inférieure (LSL)
Limite de incertitude-type (1 ) spécification supérieure (USL) résultat de mesure
Zone de spécification 13
Calculs d’incertitudes, complément GUM
La conformité ou la non-conformité ne peuvent pas être déclarées Limite de spécification inférieure (LSL)
incertitude-type (1 )
Limite de spécification supérieure (USL)
résultat de mesure
Zone de spécification
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Règles COFRAC LAB REF 02 Exigences du client Exigences du référentiel
Le client demande de prendre en compte l’incertitude
Le client demande de ne pas prendre en compte l’incertitude ou ne précise rien
Les limites de spécification ont été fixées sans tenir compte de l’incertitude
Cas 1 Décision = f(résultat, incertitude, limites)
Les limites de spécification ont été fixées en tenant compte de l’incertitude
Cas 2 Décision = comparaison du résultat aux limites
Le référentiel ne mentionne rien quant à la prise en compte de l’incertitude
Cas 1
Cas 2 15
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Critères d’acceptation Etendue d’erreur tolérée
Décision Acceptation
X X
Acceptation ou refus avec risques partagés
X
Refus avec risques de refuser un appareil bon Refus
X X
X X X X X
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le concept d’incertitude : ses évolutions • Avant 1984 : "erreur probable" • VIM 1984 : "intervalle qui contient la valeur vraie"
• VIM 1993 : "Paramètre associé au résultat d’un mesurage qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande"
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Pourquoi une nouvelle définition ✓ On s’intéresse à des informations observables : les résultats de mesure.
✓ Et non a des quantités inconnues : erreur, valeur vraie.
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Le concept d’incertitude Le résultat de mesure n'est pas une valeur unique, mais une distribution de valeurs Probabilité Incertitude
résultat 1
résultat 2
résultat 3
Résultats attribuables
au mesurande 19
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Concepts et terminologie Valeur référence
v.v
r.b.
Résultat brut obtenu par un ensemble de mesures Erreur composée d'une multitude d'erreurs inconnues et de quelques erreurs "présumées" par exemple erreur de justesse
erreur
Correction
correction
Résultat corrigé r.c.
v.v.
r.b.
Incertitude l'association du résultat corrigé et de l'incertitude constitue le résultat de la mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Méthodes d’évaluation des incertitudes des résultats de mesure et d’analyse
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Méthodes d’évaluation ▪ Le GUM propose des concepts et les bases pour l’évaluation des incertitudes de mesure. Trop longtemps, on a réduit le GUM à la méthode analytique décrite dans son chapitre 8.
▪ L’application de cette méthode analytique requiert de l’utilisateur : ✓ La connaissance des concepts ✓ L’établissement d’un modèle mathématique décrivant le processus de mesure ✓ L’évaluation des incertitudes de différentes grandeurs d’entrée du modèle, ce qui mobilise souvent des ressources importantes …Mais dans de nombreux domaines cette pratique n’est pas mise en œuvre pour des raisons techniques (modélisation du processus impossible) culturelles ou économiques 22
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Des méthodes complémentaires au GUM ? ▪La norme ISO/CEI 17025 Exigences générales concernant la compétence des laboratoires d’étalonnage et d’essais ouvre des pistes : […] Dans certains cas, la nature de la méthode d’essai exclut un calcul rigoureux, métrologiquement et statistiquement valable, de l’incertitude de mesure. Dans de tels cas, le laboratoire doit au moins tenter d’identifier toutes les composantes de l’incertitude et faire une estimation raisonnable, tout en
assurant que la manière de rendre compte ne donne pas une impression erronée de l’incertitude. Une estimation raisonnable doit se baser sur une connaissance de la performance de la méthode et sur le domaine de mesure et faire appel à l’expérience acquise et aux données de validation antérieures. […] 23
Calculs d’incertitudes, complément GUM ETAPE D’ANALYSE Définition du Mesurande + Liste des composantes d’incertitude
Intra-laboratoire
Interlaboratoire
Modélisation du processus
Modèle statistique
Évaluation des incertitudes-types et Covariances
Validation de méthode
Propagation des incertitudes ou des distributions
Caractéristiques quantifiée + incertitude due à la justesse
Méthode analytique Chap. 8 du GUM ou S1
Méthode de référence
Caractérisation de méthode
Exactitude (Justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure (NF ISO 5725 )
Essais d’aptitude par intercomparai son (Guide 43 + NF ISO 13528)
Ecart-type de reproductibilité (SR) + incertitude due à la justesse
Variabilité multiméthodes + incertitude due à la justesse
Performance de méthode
Méthodes alternatives
Essai d’aptitude 24
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Pourquoi utiliser les comparaisons interlaboratoires ? •
Les comparaisons interlaboratoires (essais d’aptitude) se généralisent (Eptis, Imep…)
•
Dans le domaine de la biologie de nombreuses associations en organisent : CTCB, Ascosud, Asqualab, Probioqual, Biologie Prospective…
•
Le COFRAC accrédite les organisateurs d’essais d’aptitude (Lab CIL Ref 2)
•
La normalisation se développe ✓ Transformation du guide 43 en norme internationale ISO 17043 (Casco WG 28) ✓ Publication de NF ISO 13528 : Méthodes statistiques utilisées dans les essais d’aptitude par comparaisons interlaboratoires 25
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Une démarche structurée en 4 étapes ✓ 1ére Etape: LE CALCUL DU RESULTAT DE MESURE - Définition du mesurande - L’analyse du processus de mesure - Le modèle mathématique du processus de mesure ✓ 2ème Etape: LE CALCUL DE L’INCERTITUDE – TYPES - Les méthodes d’évaluation de type A et de type B 3ème Etape: DETERMINATION DE L’INCERTITUDE COMPOSEE - Loi de propagation des incertitudes 4ème Etape: EXPRIMER LE RESULTAT ET SON INCERTITUDE - Exprimer le résultat et son incertitude
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
ETAPE 1 Le calcul du résultat de mesure La définition du mesurande L’analyses du processus de mesure Le modèle mathématique du processus de mesure
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Incertitude et mesures Notions générales Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure Étape 1
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
ETAPE D’ANALYSE Définition du Mesurande + Liste des composantes d’incertitude
▪ Une définition claire, non ambiguë du mesurande
▪ Une analyse du processus de mesure pour identifier toutes (les plus importantes) composantes d’incertitudes
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Mesurande (1/2) • Grandeur, – Propriété d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, à laquelle on peut assigner un nombre par rapport à une référence • Mesurande – Grandeur que l’on veut mesurer • Note 1 La spécification d’un mesurande nécessite la description de l’état du phénomène, du corps ou de la substance dont la grandeur est une propriété, incluant tout constituant pertinent et les entités chimiques en jeu.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Mesurande (2/2)
• La définition du mesurande
• Nécessite de préciser les conditions d’observation de la grandeur (température, pression, position …) • De réfléchir à savoir si l’information que l’on recherche est propre à l’échantillon où au lot d’ou est extrait l’échantillon ?
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le mesurande • Comment définir la mesurande ❖ Les documents de référence - Normes - Spécifications - Contrat ❖ la reproductibilité de la mesure 32
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Définir le mesurande avec précision est une opération indispensable
Attention à l’échantillonnage ! (cf. ISOCEI 17025 § 5.7)
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLES DES MESURANDES 1) Distance entre le centre de la face supérieure de la cale et le plan sur lequel elle est adhérée, à 20 °C et en position verticale. 2) Distance entre les deux centres des faces de la cale, à 20 °C, la cale étant en position horizontale. 3) Distance entre deux plans parallèles, à 20 °C, la cale étant en position horizontale. 34
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLES DE MESURANDES - Température dans une veine d’air • Au centre de la veine • Moyenne sur une section - Température d’une enceinte climatique - Température de surface • Ces définitions sont elle suffisamment explicites?
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MESURES /ESSAIS Vocabulaire des mesures
Vocabulaire des essais
Mesurande (VIM 2.6) Grandeur particulière soumise à mesurage
Caractéristiques (ISO 9000 3.5.1) Trait distinctif
EXEMPLE : Pression de vapeur d’un échantillon donné d’eau à 20°C.
Caractéristique qualité (ISO 9000 3.5.2) Caractéristiques intrinsèque d’un produit, d’un processus ou d’un système relative à une exigence
NOTE : la définition du mesurande peut nécessaire des indications relatives à des grandeurs telles que le temps, la température et la pression.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
MESURES /ESSAIS Vocabulaire des mesures
Vocabulaire des essais
Mesurage (VIM 2.1)
Essais (ISO/CEI guide 2§13.1)
Ensemble d’opérations ayant pour but de déterminer Une valeur d’une grandeur.
Opération technique qui consiste à déterminer une ou plusieurs caractéristiques d’un produit, processus ou service donné, selon un mode opératoire spécifié.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
MESURES /ESSAIS • Processus de mesure - Conduit à un résultat de mesure qui, en principe, est indépendant de la méthode et du processus. - Le mesurande a un sens indépendant de la méthode mise en œuvre pour le déterminer
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
MESURES /ESSAIS • Processus d’essai - Processus d’essai nécessite la définition de très nombreux conditions d’essais. - Le résultat d’essai dépend totalement de la méthode.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
En résumé : définir avec suffisamment de détails le mesurande c’est : ❖ Eviter de perdre du temps avec l’utilisateur du résultat de mesure à cause de mauvaise compréhension ❖ Ne pas introduire des causes d’incertitude liées à une définition « flou » de ce que l’on souhaite mesurer ❖ Choisir un processus de mesure adapté au mesurande 40
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Mesure = comparaison
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Raccordement aux étalons nationaux ou internationaux Chaînes d’étalonnage Etalon de référence de l’entreprise Etalon de travail Etalon de transfert Etalon de travail Moyen de mesure
Etalon de travail
Moyen de mesure
Moyen de mesure
Moyen de mesure
Maillons de la chaîne d’étalonnage dans l’entreprise 43
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Etalon(VIM § 6.1) Définition Mesure matérialisée, appareil de mesure, matériau de référence ou système de mesure destiné à définir, réaliser, conserver ou reproduire une unité ou une plusieurs valeurs d’une grandeur pour servir de référence.
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Etalonnage (VIM § 6.11) Définition Ensemble des opérations établissant, dans des conditions spécifiées, la relation entre les valeurs de la grandeur indiquées par un appareil de mesure ou un système de mesure, ou les valeurs représentées par une mesure matérialisés ou par un matériau de référence, et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisées par des étalons.
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Vérification (NF 07 010 § 3.6) Définition Confirmation par examen et établissement des preuves que les exigences spécifiées ont été satisfaites. Note Dans le cadre de la gestion d’un parc d’instrument de mesure, le vérification permet de s’assurer que les écart entre les valeurs indiquées par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes d’une grandeur mesurées sont tous inférieurs aux erreurs maximales tolérées, définies par une norme, par une réglementation ou une prescription propre au gestionnaire du parc d’instruments de mesure. 46
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Etalonnage et vérification Etalonnage Etalon
Y
instrument
X
erreur : (X-Y) correction : -(X-Y)
Vérification (X-Y) < spécification
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Erreurs (1) ▪ Un mesurage, présente, en général, des imperfections qui occasionnent une erreur pour le résultat de mesure.
▪ Les erreurs proviennent : – de l'instrumentation (étalons, instrument, environnement ...) – de l'objet mesuré (mesurande)
▪ Résultat d’un mesurage moins une valeur vraie du mesurande Note : l’erreur de mesure est la somme de différentes erreurs, caractéristiques du processus de mesure. 48
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Erreurs (2) Définition :
➢ Erreur (VIM § 3.10) Résultat d’un mesurage moins une valeur vraie du mesurande.
➢ Erreur Aléatoire (VIM § 3.13) Résultat d’un mesurage moins la moyenne d’un nombre infini de mesurage du même mesurande, effectués dans les conditions de répétabilité.
➢ Erreur Systématique (VIM § 3.14) Moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages du même mesurande, moins une valeur vraie du mesurande. 49
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Erreurs (3)
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Comment pouvons-nous réduire les erreurs ? (1)
Résultat
=
valeur vraie
+
erreur
Résultat = valeur vraie + erreur systématique + erreur aléatoire • L'objectif de tout métrologue est de fournir un résultat proche de la valeur vraie (à jamais inconnue) d'où la nécessité de diminuer les erreurs.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Comment pouvons-nous réduire les erreurs ? (2) • On diminue généralement les erreurs aléatoires en augmentant le
nombre d'observations indépendantes et en prenant la moyenne de ces valeurs. • On diminue les erreurs systématiques en appliquant des corrections.
Ces deux règles constituent la base de la démarche du métrologue qui cherche à donner la meilleure estimation possible du mesurande.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le bilan des causes d’erreur • L'analyse du processus de mesure conduit à établir un bilan des
causes d'erreurs. Réduction des erreurs
Répétition des mesures
Application des corrections
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Réduction des erreurs aléatoires par répétition des mesures • La diminution espérée de l'erreur aléatoire repose sur l'hypothèse que les grandeurs que l'on ne sait pas maintenir constantes auront pu prendre des valeurs très différentes et donc avoir peut-être des effets de sens opposé qui en moyenne vont se compenser jusqu'à un certain point. • Pour cela, le métrologue doit rendre indépendantes autant qu'il le peut les valeurs successives. • E (erreur aléatoire) = 0
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Réduction des erreurs systématiques par application de corrections (1) • Cette opération est indéniablement la plus difficile pour le métrologue, elle va requérir de sa part un sens aigu de l'analyse, une grande connaissance du procédé de mesure et des principes physiques. Le processus de mesure sera étudié de façon à identifier le maximum de causes d'erreurs, puis on estimera les corrections nécessaires qui permettront de compenser ces erreurs présumées.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Réduction des erreurs systématiques par application de corrections (2) • Correction (VIM § 2.53) • Compensation d’un effet systématique connu – VIM 1994 : Valeur ajoutée algébriquement au résultat brut d'un mesurage pour compenser une erreur systématique.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
ERREURS ET CORRECTIONS • Définition : - Correction : Valeur ajoutée algébriquement au résultat de mesurage pour compenser une erreur systématique. - Résultat corrigé = Résultat brut + correction
• Notes : Les erreurs systématiques qui peuvent être quantifiée l’objet d’une correction.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Les 3 étapes d’un processus de mesure
Echantillonnage
Analyse Traitement exploitation des résultats
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le processus de mesure - Ne pas focaliser son attention sur l’instrument, mais s’intéresser au processus qui conduit à l’obtention d’un résultat de mesure.
- L’incertitude caractérise le résultat et non l’instrument. - Dans le processus vont intervenir: Les opérateurs Les instruments, les étalons La méthode de mesure et le mode opératoire L’environnement de la mesure L’objet à mesurer 59
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Pourquoi faut – il analyser le processus de mesure? • Identifier les facteurs qui influencent le résultat de mesure (cause d’erreur) en dresser une liste aussi exhaustive que possible. - Pour les maîtriser. - Pour en diminuer les effets : On pourra diminuer l’effet des erreurs aléatoires en répétant les mesures et en conservant la moyenne des résultats. On utilisera un instrument étalonné pour réduire une des erreurs systématique, appelée erreur de justesse.
• Question : Dans une mesure de température, l’utilisation thermomètre étalonné élimine-t-elle l’ensemble des erreurs systématique ? Même question ce qui concerne les erreurs aléatoires. 60
Calculs d’incertitudes, complément GUM
La démarche du métrologue Analyse du processus de mesure
Identification des causes d'erreur Réduction des erreurs par répétition
Réduction des erreurs par application
des mesures
de corrections
Meilleure estimation possible du mesurande et évaluation de l’incertitude 61
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Produit
Milieu
Main-d’oeuvre
La méthode des 5 M Méthode
Moyen 62
Calculs d’incertitudes, complément GUM
La méthode des 5 M • L’objectif
d’un mesurage consiste à déterminer la valeur du mesurande […] • En conséquence, un mesurage commence par une
définition
appropriée du mesurande une définition appropriée de la méthode de mesure et une définition appropriée de la procédure de mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
La méthode des 5 M Une définition appropriée du mesurande [VIM 2.3] grandeur que l’on veut mesurer Une définition appropriée de la méthode de mesure [VIM 2.5] description générique de l’organisation logique des opérations mises en œuvre dans un mesurage Une définition appropriée de la procédure de mesure (procédure opératoire) [VIM 2.6] description détaillée d’un mesurage conformément à un ou plusieurs principes de mesure et à une méthode de mesure donnée, fondée sur un modèle de mesure et incluant tout calcul destiné à obtenir un résultat de mesure Principe de mesure : phénomène servant de base à un mesurage (VIM 2.4)
Modèle de mesure : relation mathématique entre toutes les grandeurs qui interviennent dans un mesurage (VIM 2.48)
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
La méthode des 5 M
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Exemple de processus de mesure Mesure de la température d’un liquide à l’aide d’un thermomètre
T
Op4 Op2
Op1
Op3
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Apport de la planification d’expérience à l’analyse du processus de mesure - Approche classique : La méthode des 5M conduit grâce à l’expérience des opérateurs, à l’identification des différents facteurs d’influence pouvant affecter le résultat de mesure ou d’essai. - Approche pour cas complexes : La méthode des plans d’expérience peut apporter des solutions aux questions suivantes: Identification de facteurs influents (parmi un grand nombre), Estimation de l’influence des facteurs - Robustesse de la méthode (insensibilité aux facteurs « mal contrôlés »
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
La planification d’expérience ? - Trois stratégies possibles pour l’expérimentateur ➢ L’expérimentateur peut faire varier d’une façon volontaire en fonction de son intuition les différents causes et on observer les effets. ➢ Il peut aussi faire varier les facteurs un par un. ➢ Il peut également faire varier simultanément les facteurs de facon organisée.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
La planification d’expérience ? ➢ Faire varier les facteurs un par un ne permet pas de prendre en
compte l’effet simultané de différents facteurs ➢ Faire varier les facteurs simultanément de facon structurée permet
dans certains conditions d’estimer les interactions et de réduire l’incertitude des résultats en raisonnant sur des moyennes.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
La planification d’expérience ?
La méthode des plans d’expérience est destinée à optimiser la conduite et l’expérimentation en faisant varier simultanément les différents et en fournissant des outils d’exploitation des résultats.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Quels intérêt pour le laboratoire ? ➢ Les essais ont un coût, parfois important, d’où la nécessité de les
optimiser ➢ la méthode des plans d’expériences : • Méthode rationnelle. • Optimisation des essais en fonction de la précision recherchée. • Compatible avec les contraintes de coûts et délais.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le modèle de mesure ou modèle mathématique Le modèle mathématique traduit la manière d’utiliser toutes les informations à notre disposition pour calculer le résultat de mesure.
Il doit refléter : la définition du mesurande la méthode de mesure le mode opératoire ...
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Modélisation du mesurage (1) Grandeur fonction de plusieurs paramètres
Dans de nombreux cas, un mesurande Y n'est pas mesuré directement mais il est déterminé à partir de N autres grandeurs X1, X2, … XN à travers une relation fonctionnelle f :
Y = f ( X1, X2, ….., Xn ) résultat annoncé
grandeurs d’entrée
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Modélisation du mesurage (2) • Les grandeurs d'entrée X1, … XN représentent toutes les
informations que nous avons à notre disposition pour calculer le résultat . • Les grandeurs d'entrée X1, … XN dont dépend la grandeur de sortie Y peuvent elles-mêmes être envisagée comme mesurandes et peuvent elles-mêmes dépendre d'autres grandeurs, y compris les corrections pour les effets systématiques. • La fonction f n'exprime pas simplement une loi physique, mais le processus de mesure, et en particulier, la fonction doit contenir toutes les grandeurs qui contribuent significativement à l'incertitude du résultat final. 74
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Ecrire le modèle d’un processus de mesure • Méthode de mesure : mesure de la température de l’eau (t) contenu dans un bécher à l’aide d’un thermomètre à dilatation de liquide. • Mode opératoire : placer le thermomètre et l’immerger jusqu’au trait repère, attendre 2 minutes puis faire la lecture (l), appliquer la correction d’étalonnage indiquée dans le certificat (+c), recommencer deux fois de suite l’opération, le résultat de mesure annoncé est la moyenne des deux valeurs obtenues. • Ecrire le modèle mathématique ?
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Le modèle mathématique
l1 + C + l2 + C l1 + l2 t= = +C 2 2 t : température annoncée l1 : première lecture C : Correction d’étalonnage
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Modèle mathématique d’une mesure de pression atmosphérique avec un baromètre • Information utilisées dans le modèle mathématique du processus.
- Grandeurs mesurées : h, t - Grandeurs « importées » : g, A, α, ρ - Grandeurs « Estimées par expérience » : δ
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Modèle mathématique d’une mesure de pression atmosphérique avec un baromètre
P = g h1 + (t − 20) (cos )
20
1 + A(t − 20)
Terme correctif Accélération de la
dilatation de la règle
pesanteur Lecture de la règle Terme correctif verticalité du baromètre Masse volumique du mercure à la température de mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Modèle mathématique Préparation d’une solution étalon de cadmium • Objectif
• Processus de mesure • Analyse du processus de mesure • Modèle mathématique du processus de mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Préparation d’une solution étalon de cadmium Objectif : déterminer une concentration • Préparer une solution étalon avec une concentration de cadmium de 1000 mg.L-1 • La solution sera préparée à partir d’un métal de haute pureté.
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Préparation d’une solution étalon de cadmium Processus • Préparer une solution étalon avec
Nettoyage de la surface du métal
une concentration de cadmium de 1000 mg.L-1 • La solution sera préparée à partir d’un métal de haute pureté.
Pesée du métal
Dissolution et dilution
Résultat 81
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Préparation d’une solution étalon de cadmium Analyse du processus de mesure V
Pureté
Température
Etalonnage Répétabilité
m (tare)
C (Cd) Lecture
Lecture
Linéarité
Etalonnage
Linéarité m
Répétabilité
Etalonnage 82
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Préparation d’une solution étalon de cadmium Modèle mathématique : calcul de résultat de mesure
Ccd
1000 m P −1 = mg.L V
Ccd : concentration de la solution étalon
1000 : Facteur de conversation de [mL] en [L] m : masse de métal pur [mg] P : puretés de métal V : Volume de liquide de la solution étalon 83
Calculs d’incertitudes, complément GUM
En résumé, étape 1 • Définir
le mesurande avec précision
• Analyser le processus de mesure, identifier les facteurs d’influence, pour les maîtriser, pour en corriger ou réduire leurs Effets • Modéliser le processus de mesure
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
ETAPE 2 Le calcul des incertitudes-types Les méthodes d’évaluation de type A et de type B
Le calcul des covariances
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure Étape 2
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Chacune des grandeurs d’entrées du modèle contribue à l’incertitude du résultat Le modèle : Y = f(X1,…,Xn) Question : Comment évaluer les incertitudes sur les différentes grandeurs d’entrées?
Introduction des outils statistiques (Probabilité et expérimentation) 87
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (1) Un résultat est une distribution de valeurs possibles notion d’aléatoire Une expérience ou un événement est aléatoire quand on ne peut pas en prévoir exactement le résultat, en raison du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. Une valeur a une certaine fréquence d ’apparition notion de probabilité
Nombre réel dans l’intervalle de 0 à 1, associé à un événement aléatoire. On définit donc chaque grandeur d’entrée comme étant une variable aléatoire 88
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (2) • VARIABLES ALEATOIRES [ ISO 3534-1,1.2] variable pouvant prendre n’importe quelle valeur d ’un ensemble déterminé de valeurs, et à laquelle est associée une loi de probabilité – note 1 : une v.a. qui ne peut prendre que des valeurs isolées est dite «discrète ». Une v.a. qui peut prendre toutes valeurs à l’intérieur d ’un intervalle fini ou infini est dite « continue » – note 2 : la probabilité d’un événement A est noté Pr(A) ou P(A) • Exemples : – le résultat d’un lancé de dé – la taille d’un individu prélevé au hasard dans une population – le résultat d’une mesure 89
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (3) VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES
90
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (4) VARIABLES ALEATOIRES CONTINUES f (x) est la densité de probabilité pour X = x
91
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (5) – Voici quelques exemples de lois de distribution utilisées en métrologie
normale « tronquée »
uniforme
dérivée arc sinus
92
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (6) • Espérance mathématique de la variable X – Variable discrète : c’est la moyenne des valeurs de la variable pondérées par leurs probabilités – Variable continue : de manière analogue • Variance de la variable X – variable discrète – variable continue 93
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (7) Chacune a une moyenne nulle et une étendue d = 2a
94
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LOIS DE PROBABILITE (8) EVALUATION DE TYPE B DE L’INCERTITUDE-TYPE • On peut utiliser les lois de probabilité pour estimer la dispersion liée à une composante d’incertitude : en utilisant le vocabulaire du GUM, on parle d ’évaluation de type B de l’incertitude-type.
95
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXPERIMENTATION •Une autre façon d’estimer les composantes d’incertitude consiste à utiliser des résultats de mesures, des observations répétées.
• Avec le vocabulaire du GUM : On parle d’évaluation de type A de l’incertitude-type
Les deux types d’évaluation sont fondées sur des lois de probabilité.
96
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EVALUATION DE TYPE A : OBSERVATIONS RÉPÉTÉES
97
Calculs d’incertitudes, complément GUM
OBSERVATIONS RÉPÉTÉES - PARAMÈTRES POUR RÉSUMER LA DISTRIBUTION •paramètre de position, de tendance centrale exemple : moyenne, médiane
• paramètre de dispersion exemple : variance, écart-type, étendue, intervalle
98
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (1) LES DONNÉES
99
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (2) LA MOYENNE
100
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (3) L’ECART-TYPE
101
Calculs d’incertitudes, complément GUM
ESTIMATION
102
Calculs d’incertitudes, complément GUM
ESTIMATEUR DE VARIANCE ET DEGRÉS DE LIBERTÉ
103
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Comparaison des méthodes de type A et de type B
104
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Exemple de choix entre une méthode de type A et de type B • Température d’un local • Méthode de type B : Connaissance des températures externes du local (17°C et 23°C) et choix d’une forme de distribution (uniforme) t=
23C + 17C = 20C 2
u (t ) =
3C = 1,7C 3
• Méthode de type A : on enregistre la température pendant un an puis on traite les données n t + t + ... + t 1 1 2 n Moyenne : t = = ti n n i =1 −
− 1 n Incertitude – type : u(t ) = (ti − t )2 n − 1 i =1
105
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Méthodes du type B •
Par expérience, un opérateur connaît la température de son laboratoire, ce laboratoire est climatisé avec une consigne à 20°C et une amplitude de variations de ± 1.
•
on lui demande : la température moyenne et l'incertitude-type sur cette température
19°C
t=
19C + 21C = 20C 2
21°C
u (t ) =
température
1C = 0,7C 2 106
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Méthodes de type B •
Reprenons l'exemple précédent, mais en ayant comme information, que la probabilité de trouver une température proche de 20 °C est élevée,
•
le domaine de variation étant toujours de ± 1°C
T
t=
19 + 21 C 2
Probabilité
u (t ) =
1 6
Température
= 0,4 C 107
Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi uniforme pour la classe d ’un appareil a2 Classe ( étendue associée 2a) u (classe ) = 3 2
u(classe ) =
a 3
« le rapport de vérification atteste de la conformité de la cale par rapport à une classe de précision- par exemple classe 2- ce qui signifie que pour une cale de 100 mm l’écart maximal entre la longueur en un des cinq points et la valeur nominale est inférieur à 1,6 µm » 100 mm
100 mm - 1,6 µm
(1,6)2 u (classe ) = ( µm)2 3 2
100 mm + 1,6 µm
u(classe ) =
1,6 µm 3 108
Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi uniforme pour la résolution d ’un appareil
VIM 5.12 : Résolution : la plus petite différence d’indication d’un dispositif afficheur qui peut être perçue de manière significative. 2 q q2 q 2 2 Résolution : q u (résolution) = = u (résolution) = 3 12 12 Si la résolution (pas de quantification) est q, on admet qu’à chaque lecture on peut avoir une erreur limite de q/2 q u
-q / 2
q/2
Un manomètre a une résolution de 0,001 bar. 2 ( 0 , 001 ) u 2 (résolution ) = (bar )2 12
u (résolution ) =
0,001 bar 12
109
Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi dérivée arc sinus pour une température régulée 2 2 u (température ) = Température régulée à u (température ) = 2
T (°C)
2
Soit un laboratoire climatisé à 2 °C,
22°C 20°C
temps (min)
18°C
Plus de points
18°C
22°C
Pente = dérivé faible 2 ( 2 ) 2 u 2 (température) = (C )2 u (température) = C 2 2
110
Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi triangle rectangle quand on transvase une solution
Solution transvasée. Perte maximale de liquide : p
1 p C = − p et u(Vol cor ) = Correction : sol 3 18
Versement d’une solution d’un bécher dans une fiole jaugée. On peut considérer que lors de cette opération seule 1 goutte peut être perdue (et pas gagnée) soit environ 0,05 ml. On applique une loi asymétrique ayant la forme d’un triangle rectangle et d’étendue d = 0,05 ml. Vi 1 gouttes ➔ 0,05 mL
Vf Vi – 1goutte
Vi
Vi – 1goutte
Vi
On doit alors effectuer une correction systématique sur le volume égale à : Vi – 1goutte < Vf < Vi ➔ Vf = V corrigé = Vi -1/3 d’une goutte
d = 1goutte 0,05 u (Volcor ) = = mL 18 18
111
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE ET COEFFICIENT DE CORRELATION
112
Calculs d’incertitudes, complément GUM
RECAPITULATIF Y = f ( X1, X2, ….., Xn ) Estimation des incertitudes-types associées à chacune des composantes du modèle (doute sur la réalisation de la variable aléatoire)
u (x1), u (x 2) ,…. , u (x n)
113
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE - CORRELATION
114
Calculs d’incertitudes, complément GUM
ESPERANCE D’UNE SOMME
115
Calculs d’incertitudes, complément GUM
VARIANCE D’UNE SOMME (1)
116
Calculs d’incertitudes, complément GUM
VARIANCE D’UNE SOMME (2)
117
Calculs d’incertitudes, complément GUM
VARIANCE D’UNE MOYENNE
118
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE Elle mesure la liaison entre les variations des variables
119
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE (1) Estimation de la covariance à partir de n paires indépendantes d’observations simultanées :
120
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE (2)
121
Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE (2) Exemple d’application : Soit x1, x2, x3 et x4 : quatre grandeurs d’entrées non corrélées. y = x1+x2+x3 z = x4+x2+x3 cov(y,z)=u(y,z)=u(x1+x2+x3,x4+x2+x3) u(y,z)=u(x1,x2)+u(x1,x3)+u(x1,x4)+u(x2,x2)+u(x2,x3)+u(x2,x4)+u(x3,x2)+u(x3,x3)+u(x3,x4) u(y,z)=u(x2,x2)+u(x3,x3) u(y,z)=u2(x2)+u2(x3)
122
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Deux cales étalons C1 et C2 sont usinées et envoyées pour étalonnage au service de métrologie de l ’entreprise Pour les étalonner, le service de métrologie a besoin de trois cales étalons (E1, E2 et E3) dont les certificats d ’étalonnage indiquent : Cale étalon
Longueur
u2
u (µm)
E1
10,000 00
0,0016
0,04
E2
30,000 00
0,0036
0,06
E3
100,000 00
0,0100
0,10
123
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Supposons que les seules sources d ’incertitude sont les incertitudes liées à la connaissance des étalons. Le service émet ce certificat d ’étalonnage : Cale étalon
Longueur
u2
u (µm)
C1
110,000 00
0,0116
0,11
C2
130,000 00
0,0136
0,12
124
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Quelles sont les applications numériques que le service de métrologie a appliqué pour obtenir ces résultats? Pour C1 : I1 = e1 + e3
u2(l1) = u2(e1) + u2(e3)
Pour C2 : l2 = e2 + e3
u2(l2) = u2(e2) + u2(e3)
125
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS L ’atelier voudrait connaître l ’incertitude sur la différence de longueur d entre les deux étalons : d = I1 – l2 =130 – 110 = 20mm Pour calculer l’incertitude sur cette différence, le service de métrologie applique la formule suivante : u2(d) = u2(l1) + u2(l2) = 0,0136 + 0,0116 = 0,0252 Il en déduit l ’incertitude-type sur cette différence qui est la suivante : u(d) = 0,16 µm
126
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Or, si on analyse les composantes de l’incertitude, on remarque qu'une même cale (E3) a été utilisée pour étalonner à la fois C1 et C2. Par conséquent, il y a un doute commun sur les valeurs des étalons d’atelier et il faut prendre en compte les covariances. 2
2
d 2 d 2 d d 2 2 u (l1 , l2 ) u (d ) = u (l2 − l1 ) = u (l1 ) + u (l2 ) + 2 l1 l2 l1 l2 2
2
d 2 d 2 d d u (d ) = u (l2 − l1 ) = u (l1 ) + u (l2 ) + 2 cov( l1 , l2 ) l1 l2 l1 l2 2
2
127
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS
u (d ) = u (l2 − l1) = − 1 u (l1) + 1 u (l2 ) + 2(1)(− 1)u(e1 + e3 , e2 + e3 ) 2
2 2
2
2 2
u (d ) = u (l2 − l1 ) = u (l1 ) + u (l2 ) − 2r (e3 , e3 )u (e3 )u (e3 ) 2
2
2
2
u 2 (d ) = u 2 (l2 − l1 ) = u 2 (l1 ) + u 2 (l2 ) − 2u 2 (e3 )
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Le service de métrologie aurait dû indiquer : Etalon
Longueur
u2
u (µm)
C1
110,000 00
0,0116
0,11
u (C1, C2)
0,0100 C2
130,000 00
0,0136
0,12
u 2 (d ) = u 2 (l2 − l1 ) = u 2 (l1 ) + u 2 (l2 ) − 2 cov(l1 , l2 )
u 2 (d ) = 0,0136 + 0,0116 − 2 0,0100 = 0,0052 u (d ) = 0,072 µm
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
COVARIANCE (3) A la place de la covariance, on emploie en général un coefficient sans dimension appelé coefficient de corrélation ou coefficient de corrélation linéaire. Il indique l’intensité de la relation pour autant qu’elle soit linéaire, entre les deux variables.
Afin de ne pas s’engager dans de longs calculs, il est intéressant de simuler sur la valeur de r. Variation de cette valeur entre -1 et +1
La contribution de cette expression dans l ’incertitude peut être positive ou négative. A la fin des simulations : - Intégrer à la formule globale de propagation des incertitudes - Et juger de la pertinence pour votre calcul d’incertitude de cette information
130
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Etape 3 Détermination de l’incertitude composée La loi de propagation des incertitudes
131
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure
132
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Loi de propagation des incertitudes • La loi de propagation des incertitudes exprime la variance
composée du résultat de mesure Y (mesurande) • Elle gère la contribution des variances de chaque grandeur d’entrée, leurs covariances lorsqu’elles existent, au travers du modèle mathématique issu du processus de mesure.
133
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Loi de propagation des incertitudes ➢ Rappel de la notion de dérivée ➢ Fonction à une variable : dérivée simple ➢ Fonction à plusieurs variables : dérivées partielles ➢ Loi des propagation des erreurs ➢ Loi de propagation des incertitudes
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Loi de propagation des variances Soit Y = f (X1,X2,X3,……,Xn)
Deux hypothèses: 1) Touts les écarts types des grandeurs d’entrée sont petits, on peut limiter à l’ordre 1 le développement de Taylor 2) toutes les dérivées partielles sont des constantes au voisinage du point En appliquant la formule de variance d’une somme, on obtient :
135
Calculs d’incertitudes, complément GUM
136
Calculs d’incertitudes, complément GUM
LES DIFFERENTES PRESENTATIONS DE LA FORMULE DE PROPAGATION DES INCERTITUDES
137
Calculs d’incertitudes, complément GUM
EXEMPLES D’APPLICATION DE LA FORMULE DE PROPAGATION DES INCERTITUDES
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
ETAPE 4 Détermination de l’incertitude élargie & Expression du résultat final
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
DEFINITION (GUM) Incertitude-type (GUM 2.3.1) incertitude du résultat d’un mesurage exprimée sous la forme d’un écart-type
u(y)
k : facteur d’élargissement
Incertitude élargie (Gum 2.3.5) Grandeur définissant un intervalle , autour du résultat d’un mesurage, dont on puisse s’attendre à ce qu’il comprenne une fraction élevée de la distribution des valeurs qui pourraient être attribuées raisonnablement au mesurande
U = k u(y) 140
Calculs d’incertitudes, complément GUM
INCERTITUDE ELARGIE
141
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Résultat annoncé On exprime le résultat du mesurage de la façon suivante : y ± U (unité) en donnant la valeur numérique de k Important pour pouvoir : • retrouver uc(y) • l’élever au carré • le propager Exemple : 10,692 ± 0,023 m ( k = 2 )
142
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Expression finale du résultat y ±U unité (valeur de k) Un résultat de mesure, pour qu’il ait une signification physique, doit être arrondi en fonction de l’incertitude liée à ce résultat.
Par exemple, il est inutile d’annoncer une mesure de longueur au micron si l’incertitude liée à la mesure au pied à coulisse est égale au dixième de millimètre. L’arrondissage ne doit pas être réalisé en plusieurs étapes mais en une seule fois.
143
Calculs d’incertitudes, complément GUM
Règle d’arrondissage
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Résumé
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Calculs d’incertitudes, complément GUM
Résume du processus de traitement d’une mesure • Définition mesurande • Choix instrumentation • Mesures ( n déterminations, calcul moyenne et écart type ) • Inventaire causes d’erreurs • Application corrections • Pour chaque erreurs résiduelle, choix à chacune des erreurs • Calcul écarts type s, ui correspondant à chacune des erreurs • Incertitude type uc = racine carrée ( s2 + somme ( ui2 ) ) • Incertitude élargie = ± k * u
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