Estimation Et Maîtrise Des Incertitudes de Mesure Rev 01 [PDF]

Zitiervorschau

Estimation et maîtrise des incertitudes de mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

INTRODUCTION, PRESENTATION DU CONCEPT D’INCERTITUDE

1ére Etape: LE CALCUL DU RESULTAT DE MESURE 2ème Etape: LE CALCUL DE L’INCERTITUDE – TYPES 3ème Etape: DETERMINATION DE L’INCERTITUDE COMPOSEE 4ème Etape: EXPRIMER LE RESULTAT ET SON INCERTITUDE FORMULAIRE PRATIQUE, DOCUMENTS TRAVAUX DIRIGES

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Objectifs de la formation ✓ Etre capable d’une manière autonome, d’estimer l’incertitude d’un résultat de mesure ou d’essai dans son contexte professionnel. ✓ En mettant en œuvre le GUM. ✓ ou en utilisant le norme ISO 5725 « Exactitude des résultats et méthodes de mesure »

CONNAÎTRE ET SAVOIR APPLIQUER UNE METHODE

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Textes de référence (les documents normatifs) Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure (GUM), NF X ENV 13005 Aide à la démarche pour l’estimation et l’utilisation des résultats de mesure et d'essai, FD X 07- 021 Lignes directrices relatives à l’utilisation d’estimations de la répétabilité, de la reproductibilité et de la justesse dans l’évaluation de l’incertitude de mesure ISO/TS 21748 Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie NF X 07- 001 4

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Textes de référence (les recommandations) EA-4/02 Expression of uncertainty of measurement in calibration EA-4/16 Guideline on the expression of uncertainty in quantitative testing (version en français disponible sur le site www.lne.fr services en ligne/documents téléchargeables Eurolab report "Measurement uncertainty revisited : Alternative approaches to uncertainty evaluation" Le Technical Report No. 1/2007 peut être téléchargé sur le site www.eurolab.org 5

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi faut-il estimer l’incertitude d’un résultat de mesure ou d’essai?

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi est-il nécessaire d’indiquer une incertitude avec un résultat de mesure ou d’essai? (1) ✓ De nombreuses décisions sont prises en se fondant sur des résultats de mesure ✓ Il faut obligatoirement donner une indication quantitative sur la qualité du résultat pour que ceux qui utiliseront puisse estimer sa fiabilité.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi est-il nécessaire d’indiquer une incertitude avec un résultat de mesure ou d’essai? (2) • Sans incertitude, les résultats de mesure ne peuvent plus êtres comparés : ✓ Sois entre eux. ✓ Soit par rapport à une valeur indiqués dans une spécification ou une norme.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Comparaison de deux résultats de mesure Résultats

Laboratoire A

Laboratoire B

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Comparaison de deux résultats de mesure Estimation du mesurande  incertitudes élargies Résultats

Laboratoire A

Laboratoire B 10

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Des décisions se fondent sur des résultats La réalité est malheureusement plus complexe ! On souhaiterait une situation de ce type

NonOK

OK

Seuil de décision

Seuil de décision

Paramètre

Paramètre Paramètre 11

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Comparaison d'un résultat de mesure avec une spécification Limite de spécification inférieure (LSL)

Limite de spécification supérieure (USL)

Résultats Zone de spécification

de mesure

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La conformité peut être déclarée

Limite de spécification inférieure (LSL)

Limite de incertitude-type (1 ) spécification supérieure (USL) résultat de mesure

Zone de spécification 13

Calculs d’incertitudes, complément GUM

La conformité ou la non-conformité ne peuvent pas être déclarées Limite de spécification inférieure (LSL)

incertitude-type (1 )

Limite de spécification supérieure (USL)

résultat de mesure

Zone de spécification

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Règles COFRAC LAB REF 02 Exigences du client Exigences du référentiel

Le client demande de prendre en compte l’incertitude

Le client demande de ne pas prendre en compte l’incertitude ou ne précise rien

Les limites de spécification ont été fixées sans tenir compte de l’incertitude

Cas 1 Décision = f(résultat, incertitude, limites)

Les limites de spécification ont été fixées en tenant compte de l’incertitude

Cas 2 Décision = comparaison du résultat aux limites

Le référentiel ne mentionne rien quant à la prise en compte de l’incertitude

Cas 1

Cas 2 15

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Critères d’acceptation Etendue d’erreur tolérée

Décision Acceptation

X X

Acceptation ou refus avec risques partagés

X

Refus avec risques de refuser un appareil bon Refus

X X

X X X X X

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Le concept d’incertitude : ses évolutions • Avant 1984 : "erreur probable" • VIM 1984 : "intervalle qui contient la valeur vraie"

• VIM 1993 : "Paramètre associé au résultat d’un mesurage qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande"

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi une nouvelle définition ✓ On s’intéresse à des informations observables : les résultats de mesure.

✓ Et non a des quantités inconnues : erreur, valeur vraie.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le concept d’incertitude Le résultat de mesure n'est pas une valeur unique, mais une distribution de valeurs Probabilité Incertitude

résultat 1

résultat 2

résultat 3

Résultats attribuables

au mesurande 19

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Concepts et terminologie Valeur référence

v.v

r.b.

Résultat brut obtenu par un ensemble de mesures Erreur composée d'une multitude d'erreurs inconnues et de quelques erreurs "présumées" par exemple erreur de justesse

erreur

Correction

correction

Résultat corrigé r.c.

v.v.

r.b.

Incertitude l'association du résultat corrigé et de l'incertitude constitue le résultat de la mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Méthodes d’évaluation des incertitudes des résultats de mesure et d’analyse

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Méthodes d’évaluation ▪ Le GUM propose des concepts et les bases pour l’évaluation des incertitudes de mesure. Trop longtemps, on a réduit le GUM à la méthode analytique décrite dans son chapitre 8.

▪ L’application de cette méthode analytique requiert de l’utilisateur : ✓ La connaissance des concepts ✓ L’établissement d’un modèle mathématique décrivant le processus de mesure ✓ L’évaluation des incertitudes de différentes grandeurs d’entrée du modèle, ce qui mobilise souvent des ressources importantes …Mais dans de nombreux domaines cette pratique n’est pas mise en œuvre pour des raisons techniques (modélisation du processus impossible) culturelles ou économiques 22

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Des méthodes complémentaires au GUM ? ▪La norme ISO/CEI 17025 Exigences générales concernant la compétence des laboratoires d’étalonnage et d’essais ouvre des pistes : […] Dans certains cas, la nature de la méthode d’essai exclut un calcul rigoureux, métrologiquement et statistiquement valable, de l’incertitude de mesure. Dans de tels cas, le laboratoire doit au moins tenter d’identifier toutes les composantes de l’incertitude et faire une estimation raisonnable, tout en

assurant que la manière de rendre compte ne donne pas une impression erronée de l’incertitude. Une estimation raisonnable doit se baser sur une connaissance de la performance de la méthode et sur le domaine de mesure et faire appel à l’expérience acquise et aux données de validation antérieures. […] 23

Calculs d’incertitudes, complément GUM ETAPE D’ANALYSE Définition du Mesurande + Liste des composantes d’incertitude

Intra-laboratoire

Interlaboratoire

Modélisation du processus

Modèle statistique

Évaluation des incertitudes-types et Covariances

Validation de méthode

Propagation des incertitudes ou des distributions

Caractéristiques quantifiée + incertitude due à la justesse

Méthode analytique Chap. 8 du GUM ou S1

Méthode de référence

Caractérisation de méthode

Exactitude (Justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure (NF ISO 5725 )

Essais d’aptitude par intercomparai son (Guide 43 + NF ISO 13528)

Ecart-type de reproductibilité (SR) + incertitude due à la justesse

Variabilité multiméthodes + incertitude due à la justesse

Performance de méthode

Méthodes alternatives

Essai d’aptitude 24

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi utiliser les comparaisons interlaboratoires ? •

Les comparaisons interlaboratoires (essais d’aptitude) se généralisent (Eptis, Imep…)

•

Dans le domaine de la biologie de nombreuses associations en organisent : CTCB, Ascosud, Asqualab, Probioqual, Biologie Prospective…

•

Le COFRAC accrédite les organisateurs d’essais d’aptitude (Lab CIL Ref 2)

•

La normalisation se développe ✓ Transformation du guide 43 en norme internationale ISO 17043 (Casco WG 28) ✓ Publication de NF ISO 13528 : Méthodes statistiques utilisées dans les essais d’aptitude par comparaisons interlaboratoires 25

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Une démarche structurée en 4 étapes ✓ 1ére Etape: LE CALCUL DU RESULTAT DE MESURE - Définition du mesurande - L’analyse du processus de mesure - Le modèle mathématique du processus de mesure ✓ 2ème Etape: LE CALCUL DE L’INCERTITUDE – TYPES - Les méthodes d’évaluation de type A et de type B 3ème Etape: DETERMINATION DE L’INCERTITUDE COMPOSEE - Loi de propagation des incertitudes 4ème Etape: EXPRIMER LE RESULTAT ET SON INCERTITUDE - Exprimer le résultat et son incertitude

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

ETAPE 1 Le calcul du résultat de mesure La définition du mesurande L’analyses du processus de mesure Le modèle mathématique du processus de mesure

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Incertitude et mesures Notions générales Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure Étape 1

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ETAPE D’ANALYSE Définition du Mesurande + Liste des composantes d’incertitude

▪ Une définition claire, non ambiguë du mesurande

▪ Une analyse du processus de mesure pour identifier toutes (les plus importantes) composantes d’incertitudes

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Mesurande (1/2) • Grandeur, – Propriété d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance, à laquelle on peut assigner un nombre par rapport à une référence • Mesurande – Grandeur que l’on veut mesurer • Note 1 La spécification d’un mesurande nécessite la description de l’état du phénomène, du corps ou de la substance dont la grandeur est une propriété, incluant tout constituant pertinent et les entités chimiques en jeu.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Mesurande (2/2)

• La définition du mesurande

• Nécessite de préciser les conditions d’observation de la grandeur (température, pression, position …) • De réfléchir à savoir si l’information que l’on recherche est propre à l’échantillon où au lot d’ou est extrait l’échantillon ?

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le mesurande • Comment définir la mesurande ❖ Les documents de référence - Normes - Spécifications - Contrat ❖ la reproductibilité de la mesure 32

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Définir le mesurande avec précision est une opération indispensable

Attention à l’échantillonnage ! (cf. ISOCEI 17025 § 5.7)

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EXEMPLES DES MESURANDES 1) Distance entre le centre de la face supérieure de la cale et le plan sur lequel elle est adhérée, à 20 °C et en position verticale. 2) Distance entre les deux centres des faces de la cale, à 20 °C, la cale étant en position horizontale. 3) Distance entre deux plans parallèles, à 20 °C, la cale étant en position horizontale. 34

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLES DE MESURANDES - Température dans une veine d’air • Au centre de la veine • Moyenne sur une section - Température d’une enceinte climatique - Température de surface • Ces définitions sont elle suffisamment explicites?

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MESURES /ESSAIS Vocabulaire des mesures

Vocabulaire des essais

Mesurande (VIM 2.6) Grandeur particulière soumise à mesurage

Caractéristiques (ISO 9000 3.5.1) Trait distinctif

EXEMPLE : Pression de vapeur d’un échantillon donné d’eau à 20°C.

Caractéristique qualité (ISO 9000 3.5.2) Caractéristiques intrinsèque d’un produit, d’un processus ou d’un système relative à une exigence

NOTE : la définition du mesurande peut nécessaire des indications relatives à des grandeurs telles que le temps, la température et la pression.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

MESURES /ESSAIS Vocabulaire des mesures

Vocabulaire des essais

Mesurage (VIM 2.1)

Essais (ISO/CEI guide 2§13.1)

Ensemble d’opérations ayant pour but de déterminer Une valeur d’une grandeur.

Opération technique qui consiste à déterminer une ou plusieurs caractéristiques d’un produit, processus ou service donné, selon un mode opératoire spécifié.

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MESURES /ESSAIS • Processus de mesure - Conduit à un résultat de mesure qui, en principe, est indépendant de la méthode et du processus. - Le mesurande a un sens indépendant de la méthode mise en œuvre pour le déterminer

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

MESURES /ESSAIS • Processus d’essai - Processus d’essai nécessite la définition de très nombreux conditions d’essais. - Le résultat d’essai dépend totalement de la méthode.

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En résumé : définir avec suffisamment de détails le mesurande c’est : ❖ Eviter de perdre du temps avec l’utilisateur du résultat de mesure à cause de mauvaise compréhension ❖ Ne pas introduire des causes d’incertitude liées à une définition « flou » de ce que l’on souhaite mesurer ❖ Choisir un processus de mesure adapté au mesurande 40

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Mesure = comparaison

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Raccordement aux étalons nationaux ou internationaux Chaînes d’étalonnage Etalon de référence de l’entreprise Etalon de travail Etalon de transfert Etalon de travail Moyen de mesure

Etalon de travail

Moyen de mesure

Moyen de mesure

Moyen de mesure

Maillons de la chaîne d’étalonnage dans l’entreprise 43

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Etalon(VIM § 6.1) Définition Mesure matérialisée, appareil de mesure, matériau de référence ou système de mesure destiné à définir, réaliser, conserver ou reproduire une unité ou une plusieurs valeurs d’une grandeur pour servir de référence.

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Etalonnage (VIM § 6.11) Définition Ensemble des opérations établissant, dans des conditions spécifiées, la relation entre les valeurs de la grandeur indiquées par un appareil de mesure ou un système de mesure, ou les valeurs représentées par une mesure matérialisés ou par un matériau de référence, et les valeurs correspondantes de la grandeur réalisées par des étalons.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Vérification (NF 07 010 § 3.6) Définition Confirmation par examen et établissement des preuves que les exigences spécifiées ont été satisfaites. Note Dans le cadre de la gestion d’un parc d’instrument de mesure, le vérification permet de s’assurer que les écart entre les valeurs indiquées par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes d’une grandeur mesurées sont tous inférieurs aux erreurs maximales tolérées, définies par une norme, par une réglementation ou une prescription propre au gestionnaire du parc d’instruments de mesure. 46

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Etalonnage et vérification Etalonnage Etalon

Y

instrument

X

erreur : (X-Y) correction : -(X-Y)

Vérification (X-Y) < spécification

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Erreurs (1) ▪ Un mesurage, présente, en général, des imperfections qui occasionnent une erreur pour le résultat de mesure.

▪ Les erreurs proviennent : – de l'instrumentation (étalons, instrument, environnement ...) – de l'objet mesuré (mesurande)

▪ Résultat d’un mesurage moins une valeur vraie du mesurande Note : l’erreur de mesure est la somme de différentes erreurs, caractéristiques du processus de mesure. 48

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Erreurs (2) Définition :

➢ Erreur (VIM § 3.10) Résultat d’un mesurage moins une valeur vraie du mesurande.

➢ Erreur Aléatoire (VIM § 3.13) Résultat d’un mesurage moins la moyenne d’un nombre infini de mesurage du même mesurande, effectués dans les conditions de répétabilité.

➢ Erreur Systématique (VIM § 3.14) Moyenne qui résulterait d’un nombre infini de mesurages du même mesurande, moins une valeur vraie du mesurande. 49

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Erreurs (3)

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Comment pouvons-nous réduire les erreurs ? (1)

Résultat

=

valeur vraie

+

erreur

Résultat = valeur vraie + erreur systématique + erreur aléatoire • L'objectif de tout métrologue est de fournir un résultat proche de la valeur vraie (à jamais inconnue) d'où la nécessité de diminuer les erreurs.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Comment pouvons-nous réduire les erreurs ? (2) • On diminue généralement les erreurs aléatoires en augmentant le

nombre d'observations indépendantes et en prenant la moyenne de ces valeurs. • On diminue les erreurs systématiques en appliquant des corrections.

Ces deux règles constituent la base de la démarche du métrologue qui cherche à donner la meilleure estimation possible du mesurande.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le bilan des causes d’erreur • L'analyse du processus de mesure conduit à établir un bilan des

causes d'erreurs. Réduction des erreurs

Répétition des mesures

Application des corrections

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Réduction des erreurs aléatoires par répétition des mesures • La diminution espérée de l'erreur aléatoire repose sur l'hypothèse que les grandeurs que l'on ne sait pas maintenir constantes auront pu prendre des valeurs très différentes et donc avoir peut-être des effets de sens opposé qui en moyenne vont se compenser jusqu'à un certain point. • Pour cela, le métrologue doit rendre indépendantes autant qu'il le peut les valeurs successives. • E (erreur aléatoire) = 0

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Réduction des erreurs systématiques par application de corrections (1) • Cette opération est indéniablement la plus difficile pour le métrologue, elle va requérir de sa part un sens aigu de l'analyse, une grande connaissance du procédé de mesure et des principes physiques. Le processus de mesure sera étudié de façon à identifier le maximum de causes d'erreurs, puis on estimera les corrections nécessaires qui permettront de compenser ces erreurs présumées.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Réduction des erreurs systématiques par application de corrections (2) • Correction (VIM § 2.53) • Compensation d’un effet systématique connu – VIM 1994 : Valeur ajoutée algébriquement au résultat brut d'un mesurage pour compenser une erreur systématique.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

ERREURS ET CORRECTIONS • Définition : - Correction : Valeur ajoutée algébriquement au résultat de mesurage pour compenser une erreur systématique. - Résultat corrigé = Résultat brut + correction

• Notes : Les erreurs systématiques qui peuvent être quantifiée l’objet d’une correction.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Les 3 étapes d’un processus de mesure

Echantillonnage

Analyse Traitement exploitation des résultats

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le processus de mesure - Ne pas focaliser son attention sur l’instrument, mais s’intéresser au processus qui conduit à l’obtention d’un résultat de mesure.

- L’incertitude caractérise le résultat et non l’instrument. - Dans le processus vont intervenir: Les opérateurs Les instruments, les étalons La méthode de mesure et le mode opératoire L’environnement de la mesure L’objet à mesurer 59

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Pourquoi faut – il analyser le processus de mesure? • Identifier les facteurs qui influencent le résultat de mesure (cause d’erreur) en dresser une liste aussi exhaustive que possible. - Pour les maîtriser. - Pour en diminuer les effets : On pourra diminuer l’effet des erreurs aléatoires en répétant les mesures et en conservant la moyenne des résultats. On utilisera un instrument étalonné pour réduire une des erreurs systématique, appelée erreur de justesse.

• Question : Dans une mesure de température, l’utilisation thermomètre étalonné élimine-t-elle l’ensemble des erreurs systématique ? Même question ce qui concerne les erreurs aléatoires. 60

Calculs d’incertitudes, complément GUM

La démarche du métrologue Analyse du processus de mesure

Identification des causes d'erreur Réduction des erreurs par répétition

Réduction des erreurs par application

des mesures

de corrections

Meilleure estimation possible du mesurande et évaluation de l’incertitude 61

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Produit

Milieu

Main-d’oeuvre

La méthode des 5 M Méthode

Moyen 62

Calculs d’incertitudes, complément GUM

La méthode des 5 M • L’objectif

d’un mesurage consiste à déterminer la valeur du mesurande […] • En conséquence, un mesurage commence par une

définition

appropriée du mesurande une définition appropriée de la méthode de mesure et une définition appropriée de la procédure de mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

La méthode des 5 M Une définition appropriée du mesurande [VIM 2.3] grandeur que l’on veut mesurer Une définition appropriée de la méthode de mesure [VIM 2.5] description générique de l’organisation logique des opérations mises en œuvre dans un mesurage Une définition appropriée de la procédure de mesure (procédure opératoire) [VIM 2.6] description détaillée d’un mesurage conformément à un ou plusieurs principes de mesure et à une méthode de mesure donnée, fondée sur un modèle de mesure et incluant tout calcul destiné à obtenir un résultat de mesure Principe de mesure : phénomène servant de base à un mesurage (VIM 2.4)

Modèle de mesure : relation mathématique entre toutes les grandeurs qui interviennent dans un mesurage (VIM 2.48)

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

La méthode des 5 M

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Exemple de processus de mesure Mesure de la température d’un liquide à l’aide d’un thermomètre

T

Op4 Op2

Op1

Op3

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Apport de la planification d’expérience à l’analyse du processus de mesure - Approche classique : La méthode des 5M conduit grâce à l’expérience des opérateurs, à l’identification des différents facteurs d’influence pouvant affecter le résultat de mesure ou d’essai. - Approche pour cas complexes : La méthode des plans d’expérience peut apporter des solutions aux questions suivantes: Identification de facteurs influents (parmi un grand nombre), Estimation de l’influence des facteurs - Robustesse de la méthode (insensibilité aux facteurs « mal contrôlés »

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

La planification d’expérience ? - Trois stratégies possibles pour l’expérimentateur ➢ L’expérimentateur peut faire varier d’une façon volontaire en fonction de son intuition les différents causes et on observer les effets. ➢ Il peut aussi faire varier les facteurs un par un. ➢ Il peut également faire varier simultanément les facteurs de facon organisée.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

La planification d’expérience ? ➢ Faire varier les facteurs un par un ne permet pas de prendre en

compte l’effet simultané de différents facteurs ➢ Faire varier les facteurs simultanément de facon structurée permet

dans certains conditions d’estimer les interactions et de réduire l’incertitude des résultats en raisonnant sur des moyennes.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

La planification d’expérience ?

La méthode des plans d’expérience est destinée à optimiser la conduite et l’expérimentation en faisant varier simultanément les différents et en fournissant des outils d’exploitation des résultats.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Quels intérêt pour le laboratoire ? ➢ Les essais ont un coût, parfois important, d’où la nécessité de les

optimiser ➢ la méthode des plans d’expériences : • Méthode rationnelle. • Optimisation des essais en fonction de la précision recherchée. • Compatible avec les contraintes de coûts et délais.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le modèle de mesure ou modèle mathématique Le modèle mathématique traduit la manière d’utiliser toutes les informations à notre disposition pour calculer le résultat de mesure.

Il doit refléter : la définition du mesurande la méthode de mesure le mode opératoire ...

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Modélisation du mesurage (1) Grandeur fonction de plusieurs paramètres

Dans de nombreux cas, un mesurande Y n'est pas mesuré directement mais il est déterminé à partir de N autres grandeurs X1, X2, … XN à travers une relation fonctionnelle f :

Y = f ( X1, X2, ….., Xn ) résultat annoncé

grandeurs d’entrée

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Modélisation du mesurage (2) • Les grandeurs d'entrée X1, … XN représentent toutes les

informations que nous avons à notre disposition pour calculer le résultat . • Les grandeurs d'entrée X1, … XN dont dépend la grandeur de sortie Y peuvent elles-mêmes être envisagée comme mesurandes et peuvent elles-mêmes dépendre d'autres grandeurs, y compris les corrections pour les effets systématiques. • La fonction f n'exprime pas simplement une loi physique, mais le processus de mesure, et en particulier, la fonction doit contenir toutes les grandeurs qui contribuent significativement à l'incertitude du résultat final. 74

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Ecrire le modèle d’un processus de mesure • Méthode de mesure : mesure de la température de l’eau (t) contenu dans un bécher à l’aide d’un thermomètre à dilatation de liquide. • Mode opératoire : placer le thermomètre et l’immerger jusqu’au trait repère, attendre 2 minutes puis faire la lecture (l), appliquer la correction d’étalonnage indiquée dans le certificat (+c), recommencer deux fois de suite l’opération, le résultat de mesure annoncé est la moyenne des deux valeurs obtenues. • Ecrire le modèle mathématique ?

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Le modèle mathématique

l1 + C + l2 + C l1 + l2 t= = +C 2 2 t : température annoncée l1 : première lecture C : Correction d’étalonnage

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Modèle mathématique d’une mesure de pression atmosphérique avec un baromètre • Information utilisées dans le modèle mathématique du processus.

- Grandeurs mesurées : h, t - Grandeurs « importées » : g, A, α, ρ - Grandeurs « Estimées par expérience » : δ

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Modèle mathématique d’une mesure de pression atmosphérique avec un baromètre

P = g  h1 +  (t − 20) (cos  ) 

 20

1 + A(t − 20)

Terme correctif Accélération de la

dilatation de la règle

pesanteur Lecture de la règle Terme correctif verticalité du baromètre Masse volumique du mercure à la température de mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Modèle mathématique Préparation d’une solution étalon de cadmium • Objectif

• Processus de mesure • Analyse du processus de mesure • Modèle mathématique du processus de mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Préparation d’une solution étalon de cadmium Objectif : déterminer une concentration • Préparer une solution étalon avec une concentration de cadmium de 1000 mg.L-1 • La solution sera préparée à partir d’un métal de haute pureté.

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Préparation d’une solution étalon de cadmium Processus • Préparer une solution étalon avec

Nettoyage de la surface du métal

une concentration de cadmium de 1000 mg.L-1 • La solution sera préparée à partir d’un métal de haute pureté.

Pesée du métal

Dissolution et dilution

Résultat 81

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Préparation d’une solution étalon de cadmium Analyse du processus de mesure V

Pureté

Température

Etalonnage Répétabilité

m (tare)

C (Cd) Lecture

Lecture

Linéarité

Etalonnage

Linéarité m

Répétabilité

Etalonnage 82

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Préparation d’une solution étalon de cadmium Modèle mathématique : calcul de résultat de mesure

Ccd



1000  m  P −1 = mg.L V



Ccd : concentration de la solution étalon

1000 : Facteur de conversation de [mL] en [L] m : masse de métal pur [mg] P : puretés de métal V : Volume de liquide de la solution étalon 83

Calculs d’incertitudes, complément GUM

En résumé, étape 1 • Définir

le mesurande avec précision

• Analyser le processus de mesure, identifier les facteurs d’influence, pour les maîtriser, pour en corriger ou réduire leurs Effets • Modéliser le processus de mesure

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

ETAPE 2 Le calcul des incertitudes-types Les méthodes d’évaluation de type A et de type B

Le calcul des covariances

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure Étape 2

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Chacune des grandeurs d’entrées du modèle contribue à l’incertitude du résultat Le modèle : Y = f(X1,…,Xn) Question : Comment évaluer les incertitudes sur les différentes grandeurs d’entrées?

Introduction des outils statistiques (Probabilité et expérimentation) 87

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (1) Un résultat est une distribution de valeurs possibles notion d’aléatoire Une expérience ou un événement est aléatoire quand on ne peut pas en prévoir exactement le résultat, en raison du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. Une valeur a une certaine fréquence d ’apparition notion de probabilité

Nombre réel dans l’intervalle de 0 à 1, associé à un événement aléatoire. On définit donc chaque grandeur d’entrée comme étant une variable aléatoire 88

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (2) • VARIABLES ALEATOIRES [ ISO 3534-1,1.2] variable pouvant prendre n’importe quelle valeur d ’un ensemble déterminé de valeurs, et à laquelle est associée une loi de probabilité – note 1 : une v.a. qui ne peut prendre que des valeurs isolées est dite «discrète ». Une v.a. qui peut prendre toutes valeurs à l’intérieur d ’un intervalle fini ou infini est dite « continue » – note 2 : la probabilité d’un événement A est noté Pr(A) ou P(A) • Exemples : – le résultat d’un lancé de dé – la taille d’un individu prélevé au hasard dans une population – le résultat d’une mesure 89

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (3) VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

90

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (4) VARIABLES ALEATOIRES CONTINUES f (x) est la densité de probabilité pour X = x

91

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (5) – Voici quelques exemples de lois de distribution utilisées en métrologie

normale « tronquée »

uniforme

dérivée arc sinus

92

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (6) • Espérance mathématique de la variable X – Variable discrète : c’est la moyenne des valeurs de la variable pondérées par leurs probabilités – Variable continue : de manière analogue • Variance de la variable X – variable discrète – variable continue 93

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (7) Chacune a une moyenne nulle et une étendue d = 2a

94

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LOIS DE PROBABILITE (8) EVALUATION DE TYPE B DE L’INCERTITUDE-TYPE • On peut utiliser les lois de probabilité pour estimer la dispersion liée à une composante d’incertitude : en utilisant le vocabulaire du GUM, on parle d ’évaluation de type B de l’incertitude-type.

95

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXPERIMENTATION •Une autre façon d’estimer les composantes d’incertitude consiste à utiliser des résultats de mesures, des observations répétées.

• Avec le vocabulaire du GUM : On parle d’évaluation de type A de l’incertitude-type

Les deux types d’évaluation sont fondées sur des lois de probabilité.

96

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EVALUATION DE TYPE A : OBSERVATIONS RÉPÉTÉES

97

Calculs d’incertitudes, complément GUM

OBSERVATIONS RÉPÉTÉES - PARAMÈTRES POUR RÉSUMER LA DISTRIBUTION •paramètre de position, de tendance centrale exemple : moyenne, médiane

• paramètre de dispersion exemple : variance, écart-type, étendue, intervalle

98

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (1) LES DONNÉES

99

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (2) LA MOYENNE

100

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE D’ESTIMATION DE PARAMÈTRES (3) L’ECART-TYPE

101

Calculs d’incertitudes, complément GUM

ESTIMATION

102

Calculs d’incertitudes, complément GUM

ESTIMATEUR DE VARIANCE ET DEGRÉS DE LIBERTÉ

103

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Comparaison des méthodes de type A et de type B

104

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Exemple de choix entre une méthode de type A et de type B • Température d’un local • Méthode de type B : Connaissance des températures externes du local (17°C et 23°C) et choix d’une forme de distribution (uniforme) t=

23C + 17C = 20C 2

u (t ) =

3C = 1,7C 3

• Méthode de type A : on enregistre la température pendant un an puis on traite les données n t + t + ... + t 1 1 2 n Moyenne : t = =  ti n n i =1 −

− 1 n Incertitude – type : u(t ) = (ti − t )2  n − 1 i =1

105

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Méthodes du type B •

Par expérience, un opérateur connaît la température de son laboratoire, ce laboratoire est climatisé avec une consigne à 20°C et une amplitude de variations de ± 1.

•

on lui demande : la température moyenne et l'incertitude-type sur cette température

19°C

t=

19C + 21C = 20C 2

21°C

u (t ) =

température

1C = 0,7C 2 106

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Méthodes de type B •

Reprenons l'exemple précédent, mais en ayant comme information, que la probabilité de trouver une température proche de 20 °C est élevée,

•

le domaine de variation étant toujours de ± 1°C

T

t=

19 + 21 C 2

Probabilité

u (t ) =

1 6

Température

= 0,4 C 107

Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi uniforme pour la classe d ’un appareil a2 Classe ( étendue associée 2a)  u (classe ) = 3 2

u(classe ) =

a 3

« le rapport de vérification atteste de la conformité de la cale par rapport à une classe de précision- par exemple classe 2- ce qui signifie que pour une cale de 100 mm l’écart maximal entre la longueur en un des cinq points et la valeur nominale est inférieur à 1,6 µm » 100 mm

100 mm - 1,6 µm

(1,6)2 u (classe ) = ( µm)2 3 2

100 mm + 1,6 µm

u(classe ) =

1,6 µm 3 108

Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi uniforme pour la résolution d ’un appareil

VIM 5.12 : Résolution : la plus petite différence d’indication d’un dispositif afficheur qui peut être perçue de manière significative. 2 q   q2 q 2  2 Résolution : q  u (résolution) = = u (résolution) = 3 12 12 Si la résolution (pas de quantification) est q, on admet qu’à chaque lecture on peut avoir une erreur limite de  q/2 q u

-q / 2

q/2

Un manomètre a une résolution de 0,001 bar. 2 ( 0 , 001 ) u 2 (résolution ) = (bar )2 12

u (résolution ) =

0,001 bar 12

109

Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi dérivée arc sinus pour une température régulée 2  2 u (température ) = Température régulée à    u (température ) = 2

T (°C)

2

Soit un laboratoire climatisé à  2 °C,

22°C 20°C

temps (min)

18°C

Plus de points

18°C

22°C

Pente = dérivé faible 2 ( 2 ) 2 u 2 (température) = (C )2 u (température) = C 2 2

110

Calculs d’incertitudes, complément GUM EXEMPLE : Utilisation de la loi triangle rectangle quand on transvase une solution

Solution transvasée. Perte maximale de liquide : p

1 p C = −  p et u(Vol cor ) = Correction : sol 3 18

Versement d’une solution d’un bécher dans une fiole jaugée. On peut considérer que lors de cette opération seule 1 goutte peut être perdue (et pas gagnée) soit environ 0,05 ml. On applique une loi asymétrique ayant la forme d’un triangle rectangle et d’étendue d = 0,05 ml. Vi 1 gouttes ➔ 0,05 mL

Vf Vi – 1goutte

Vi

Vi – 1goutte

Vi

On doit alors effectuer une correction systématique sur le volume égale à : Vi – 1goutte < Vf < Vi ➔ Vf = V corrigé = Vi -1/3 d’une goutte

d = 1goutte 0,05 u (Volcor ) = = mL 18 18

111

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE ET COEFFICIENT DE CORRELATION

112

Calculs d’incertitudes, complément GUM

RECAPITULATIF Y = f ( X1, X2, ….., Xn ) Estimation des incertitudes-types associées à chacune des composantes du modèle (doute sur la réalisation de la variable aléatoire)

u (x1), u (x 2) ,…. , u (x n)

113

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE - CORRELATION

114

Calculs d’incertitudes, complément GUM

ESPERANCE D’UNE SOMME

115

Calculs d’incertitudes, complément GUM

VARIANCE D’UNE SOMME (1)

116

Calculs d’incertitudes, complément GUM

VARIANCE D’UNE SOMME (2)

117

Calculs d’incertitudes, complément GUM

VARIANCE D’UNE MOYENNE

118

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE Elle mesure la liaison entre les variations des variables

119

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE (1) Estimation de la covariance à partir de n paires indépendantes d’observations simultanées :

120

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE (2)

121

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE (2) Exemple d’application : Soit x1, x2, x3 et x4 : quatre grandeurs d’entrées non corrélées. y = x1+x2+x3 z = x4+x2+x3 cov(y,z)=u(y,z)=u(x1+x2+x3,x4+x2+x3) u(y,z)=u(x1,x2)+u(x1,x3)+u(x1,x4)+u(x2,x2)+u(x2,x3)+u(x2,x4)+u(x3,x2)+u(x3,x3)+u(x3,x4) u(y,z)=u(x2,x2)+u(x3,x3) u(y,z)=u2(x2)+u2(x3)

122

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Deux cales étalons C1 et C2 sont usinées et envoyées pour étalonnage au service de métrologie de l ’entreprise Pour les étalonner, le service de métrologie a besoin de trois cales étalons (E1, E2 et E3) dont les certificats d ’étalonnage indiquent : Cale étalon

Longueur

u2

u (µm)

E1

10,000 00

0,0016

0,04

E2

30,000 00

0,0036

0,06

E3

100,000 00

0,0100

0,10

123

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Supposons que les seules sources d ’incertitude sont les incertitudes liées à la connaissance des étalons. Le service émet ce certificat d ’étalonnage : Cale étalon

Longueur

u2

u (µm)

C1

110,000 00

0,0116

0,11

C2

130,000 00

0,0136

0,12

124

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Quelles sont les applications numériques que le service de métrologie a appliqué pour obtenir ces résultats? Pour C1 : I1 = e1 + e3

u2(l1) = u2(e1) + u2(e3)

Pour C2 : l2 = e2 + e3

u2(l2) = u2(e2) + u2(e3)

125

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS L ’atelier voudrait connaître l ’incertitude sur la différence de longueur d entre les deux étalons : d = I1 – l2 =130 – 110 = 20mm Pour calculer l’incertitude sur cette différence, le service de métrologie applique la formule suivante : u2(d) = u2(l1) + u2(l2) = 0,0136 + 0,0116 = 0,0252 Il en déduit l ’incertitude-type sur cette différence qui est la suivante : u(d) = 0,16 µm

126

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Or, si on analyse les composantes de l’incertitude, on remarque qu'une même cale (E3) a été utilisée pour étalonner à la fois C1 et C2. Par conséquent, il y a un doute commun sur les valeurs des étalons d’atelier et il faut prendre en compte les covariances. 2

2

 d  2  d  2  d  d  2 2  u (l1 , l2 ) u (d ) = u (l2 − l1 ) =   u (l1 ) +   u (l2 ) + 2  l1   l2   l1  l2  2

2

 d  2  d  2  d  d  u (d ) = u (l2 − l1 ) =   u (l1 ) +   u (l2 ) + 2   cov( l1 , l2 )  l1   l2   l1  l2  2

2

127

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS

u (d ) = u (l2 − l1) = − 1 u (l1) + 1 u (l2 ) + 2(1)(− 1)u(e1 + e3 , e2 + e3 ) 2

2 2

2

2 2

u (d ) = u (l2 − l1 ) = u (l1 ) + u (l2 ) − 2r (e3 , e3 )u (e3 )u (e3 ) 2

2

2

2

u 2 (d ) = u 2 (l2 − l1 ) = u 2 (l1 ) + u 2 (l2 ) − 2u 2 (e3 )

128

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLE PRATIQUE : CALCUL D ’INCERTITUDE SUR CALES ETALONS Le service de métrologie aurait dû indiquer : Etalon

Longueur

u2

u (µm)

C1

110,000 00

0,0116

0,11

u (C1, C2)

0,0100 C2

130,000 00

0,0136

0,12

u 2 (d ) = u 2 (l2 − l1 ) = u 2 (l1 ) + u 2 (l2 ) − 2 cov(l1 , l2 )

u 2 (d ) = 0,0136 + 0,0116 − 2  0,0100 = 0,0052 u (d ) = 0,072 µm

129

Calculs d’incertitudes, complément GUM

COVARIANCE (3) A la place de la covariance, on emploie en général un coefficient sans dimension appelé coefficient de corrélation ou coefficient de corrélation linéaire. Il indique l’intensité de la relation pour autant qu’elle soit linéaire, entre les deux variables.

Afin de ne pas s’engager dans de longs calculs, il est intéressant de simuler sur la valeur de r. Variation de cette valeur entre -1 et +1

La contribution de cette expression dans l ’incertitude peut être positive ou négative. A la fin des simulations : - Intégrer à la formule globale de propagation des incertitudes - Et juger de la pertinence pour votre calcul d’incertitude de cette information

130

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Etape 3 Détermination de l’incertitude composée La loi de propagation des incertitudes

131

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Schéma de l’évaluation de l’incertitude de mesure

132

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Loi de propagation des incertitudes • La loi de propagation des incertitudes exprime la variance

composée du résultat de mesure Y (mesurande) • Elle gère la contribution des variances de chaque grandeur d’entrée, leurs covariances lorsqu’elles existent, au travers du modèle mathématique issu du processus de mesure.

133

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Loi de propagation des incertitudes ➢ Rappel de la notion de dérivée ➢ Fonction à une variable : dérivée simple ➢ Fonction à plusieurs variables : dérivées partielles ➢ Loi des propagation des erreurs ➢ Loi de propagation des incertitudes

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Loi de propagation des variances Soit Y = f (X1,X2,X3,……,Xn)

Deux hypothèses: 1) Touts les écarts types des grandeurs d’entrée sont petits, on peut limiter à l’ordre 1 le développement de Taylor 2) toutes les dérivées partielles sont des constantes au voisinage du point En appliquant la formule de variance d’une somme, on obtient :

135

Calculs d’incertitudes, complément GUM

136

Calculs d’incertitudes, complément GUM

LES DIFFERENTES PRESENTATIONS DE LA FORMULE DE PROPAGATION DES INCERTITUDES

137

Calculs d’incertitudes, complément GUM

EXEMPLES D’APPLICATION DE LA FORMULE DE PROPAGATION DES INCERTITUDES

138

Calculs d’incertitudes, complément GUM

ETAPE 4 Détermination de l’incertitude élargie & Expression du résultat final

139

Calculs d’incertitudes, complément GUM

DEFINITION (GUM) Incertitude-type (GUM 2.3.1) incertitude du résultat d’un mesurage exprimée sous la forme d’un écart-type

u(y)

k : facteur d’élargissement

Incertitude élargie (Gum 2.3.5) Grandeur définissant un intervalle , autour du résultat d’un mesurage, dont on puisse s’attendre à ce qu’il comprenne une fraction élevée de la distribution des valeurs qui pourraient être attribuées raisonnablement au mesurande

U = k u(y) 140

Calculs d’incertitudes, complément GUM

INCERTITUDE ELARGIE

141

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Résultat annoncé On exprime le résultat du mesurage de la façon suivante : y ± U (unité) en donnant la valeur numérique de k Important pour pouvoir : • retrouver uc(y) • l’élever au carré • le propager Exemple : 10,692 ± 0,023 m ( k = 2 )

142

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Expression finale du résultat y ±U unité (valeur de k) Un résultat de mesure, pour qu’il ait une signification physique, doit être arrondi en fonction de l’incertitude liée à ce résultat.

Par exemple, il est inutile d’annoncer une mesure de longueur au micron si l’incertitude liée à la mesure au pied à coulisse est égale au dixième de millimètre. L’arrondissage ne doit pas être réalisé en plusieurs étapes mais en une seule fois.

143

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Règle d’arrondissage

144

Calculs d’incertitudes, complément GUM

Résumé

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Calculs d’incertitudes, complément GUM

Résume du processus de traitement d’une mesure • Définition mesurande • Choix instrumentation • Mesures ( n déterminations, calcul moyenne et écart type ) • Inventaire causes d’erreurs • Application corrections • Pour chaque erreurs résiduelle, choix à chacune des erreurs • Calcul écarts type s, ui correspondant à chacune des erreurs • Incertitude type uc = racine carrée ( s2 + somme ( ui2 ) ) • Incertitude élargie = ± k * u

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