Équations de Navier Stokes [PDF]

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LISTE DES FIGURES

Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6

: particule de fluide situé à un point M de l’espace ..................................................... 3 : schéma d’un écoulement de Couette Plan ................................................................. 5 : schéma d’un écoulement de Poiseuille ...................................................................... 6 : schéma d’un écoulement sur un plan incliné ............................................................. 7 : schéma de l’écoulement d’un fluide dans une conduite ............................................ 8 : interprétation graphique de l’équation de Bernoulli .................................................. 9

Rédigé par : Watsop Piankeu Noel

09 décembre 2021

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TABLE DE MATIERES LISTE DES FIGURES ............................................................................................................... 1 1.

Méthodes de mise en équation des équations de Navier Stokes ......................................... 3

2.

Application de la théorie de Navier Stokes ......................................................................... 5

3.

2.1.

L’écoulement de Couette Plan ..................................................................................... 5

2.2.

L’écoulement visqueux dans une conduite cylindrique : écoulement de Poiseuille ... 5

2.3.

L’écoulement à surface libre sur un plan incliné ......................................................... 6

Expression des pertes de charges ........................................................................................ 7 3.1.

Théorème de Bernoulli généralisé ............................................................................... 7

3.2.

Pertes de charges singulières𝐽𝑠 .................................................................................. 10

3.3.

Pertes de charges linéaires (𝐽𝑙) .................................................................................. 10

3.4.

Pertes de charges dans un système fluidiques constitué d’une pompe centrifuge ..... 11

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1. Méthodes de mise en équation des équations de Navier Stokes Soit une particule de fluide situé en M à l’instant t de volume 𝑑𝜏, et de masse 𝑑𝑚 = 𝜇(𝑀, 𝑡) 𝑑𝜏. 𝜇 la masse volumique de la particule.

Figure 1 : particule de fluide situé à un point M de l’espace Bilan de forces :  Forces volumiques extérieures : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 La force volumique extérieure dépend des efforts appliqués à la particule, on a : La pesanteur : pour une particule (fluide) plongée dans un champ de pesanteur, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 = 𝜇𝑔 La force électromagnétique : pour une particule (plasma) baignant dans un champ électromagnétique, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 = 𝜌𝑒 (𝐸⃗ + 𝑣 ∧ 𝐵 ⃗ le champ Où 𝜌𝑒 est la densité volumique de charges, 𝐸⃗ le champ électrique et 𝐵 magnétique de la particule. La force d’inertie : pour un référentiel qui n’est pas Galiléen, il faut tenir compte des forces d’inerties. Pour une masse 𝑑𝑚 de fluide subissant une force d’inertie, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∧ 𝑣) 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 = −𝜇(𝑎 ⃗⃗⃗⃗𝑒 + 2Ω  Forces volumiques associés aux efforts internes (efforts de pressions) : ⃗⃗⃗ 𝑓𝑝 ⃗⃗⃗ ⃗ 𝑝(𝑀, 𝑡) 𝑓𝑝 = −∇ Principe fondamentale de la dynamique (PFD) D’après le PFD, on a : 𝑑𝐹 = 𝑑𝑚 𝑎

or 𝑎 = ⟹

Où

𝐷𝑣⃗ 𝐷𝑡

=

𝜕𝑣⃗ 𝜕𝑡

𝐷 𝑣⃗ 𝐷𝑡

𝑑𝐹 = 𝑑𝑚

𝐷 𝑣⃗ 𝐷𝑡

⃗ )𝑣 représente la dérivée particulaire + (𝑣. ∇

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⟹

𝜕𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ )𝑣] 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 . 𝑑𝜏 + ⃗⃗⃗ 𝑓𝑝 . 𝑑𝜏 = 𝜇(𝑀, 𝑡) 𝑑𝜏 [ + (𝑣. ∇ 𝜕𝑡

⟹

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 + ⃗⃗⃗ 𝑓𝑝 = 𝜇(𝑀, 𝑡) [

⟹

𝝁(𝑴, 𝒕) [

𝜕𝑣 ⃗ )𝑣] + (𝑣 . ∇ 𝜕𝑡

𝝏𝒗 ⃗ ⃗ )𝒗 ⃗ 𝒑(𝑴, 𝒕) + (𝒗 ⃗ . ⃗𝛁 ⃗ ] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇𝒗,𝒆𝒙𝒕 − ⃗𝛁 𝝏𝒕

(𝐸)

(𝐸) représente l’équation d’Euler : deuxième loi de Newton A partir de l’équation de la seconde loi de Newton appliqué à un fluide, on a : ⃗⃗⃗ 𝜕𝑣 𝑑𝐹 ⃗ )𝑣] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑝(𝑀, 𝑡) + 𝑛 𝜇(𝑀, 𝑡) [ + (𝑣. ∇ 𝑓𝑣,𝑒𝑥𝑡 − ∇ 𝜕𝑡 𝑑𝜏

(𝐸1)

⃗⃗⃗𝑛 = 𝜂∆𝑣 𝑑𝜏 représente la résultante des forces visqueuses Où 𝑑𝐹 En le remplaçant dans (𝐸1), on obtient l’équation de Navier Stokes. 𝝏𝒗 ⃗ ⃗⃗ )𝒗 ⃗⃗ 𝒑(𝑴, 𝒕) + 𝜼∆𝒗 𝝁(𝑴, 𝒕) [ + (𝒗 ⃗ .𝛁 ⃗ ] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇𝒗,𝒆𝒙𝒕 − 𝛁 ⃗ 𝝏𝒕

(𝐸2)

L’équation de Navier Stokes peut être formulée de plusieurs manières en fonction du fluide qu’on étudie.  Fluide compressible : 𝝏𝒗 ⃗ ⃗ )𝒗 ⃗ 𝒑(𝑴, 𝒕) + 𝜼∆𝒗 𝝁 (𝑴, 𝒕) [ + (𝒗 ⃗ . ⃗𝛁 ⃗ ] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇𝒗,𝒆𝒙𝒕 − ⃗𝛁 ⃗ 𝝏𝒕 𝝏𝝁 𝒅𝒊𝒗(𝝁𝒗 ⃗ )+ = 𝟎 ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐢𝐭é 𝝏𝒕 𝝏(𝝁𝑬) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ { 𝝏𝒕 + 𝛁. (𝝁𝑬𝛁) = 𝛁. (𝒑. 𝛁 ) ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥′é𝐧𝐞𝐫𝐠𝐢𝐞 A ce système d’équation, s’ajoute l’équation d’état du fluide 𝝁(𝑷, 𝑻)  Fluide incompressible : 𝝏𝒗 ⃗ ⃗ )𝒗 ⃗ 𝒑(𝑴, 𝒕) + 𝜼∆𝒗 𝝁(𝑴, 𝒕) [ + (𝒗 ⃗ . ⃗𝛁 ⃗ ] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇𝒗,𝒆𝒙𝒕 − ⃗𝛁 ⃗ { 𝝏𝒕 𝒅𝒊𝒗(𝒗 ⃗ ) = 𝟎 ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐞  Fluide parfait : 𝝏𝒗 ⃗ ⃗⃗ )𝒗 ⃗⃗ 𝒑(𝑴, 𝒕) 𝝁(𝑴, 𝒕) [ + (𝒗 ⃗ .𝛁 ⃗ ] = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇𝒗,𝒆𝒙𝒕 − 𝛁 𝝏𝒕 A cette équation, s’ajoute des conditions aux limites pour faciliter sa résolution : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ o Condition sur 𝑣(𝑀, 𝑡) : continuité de la vitesse à la traversée d’une interface o Condition sur 𝑝(𝑀, 𝑡) : continuité de la contrainte normale et donc de la pression Rédigé par : Watsop Piankeu Noel

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2. Application de la théorie de Navier Stokes Les de Navier Stokes ont plusieurs applications, on peut citer : 2.1. L’écoulement de Couette Plan Cette situation correspond à l’écoulement d’un fluide incompressible visqueux confiné entre deux parois solides planes très proches susceptibles d’être en mouvement relatif à la vitesse U0. Ces deux parois délimitent un domaine d’épaisseur H très petite devant l’échelle de longueur 𝑳 caractéristique des parois. Une telle configuration d’écoulement peut être rencontrée à titre d’exemple dans les systèmes de lubrification. L’écoulement est supposé permanent, parallèle aux deux parois et bidimensionnel dans le plan vertical. Par commodité des calculs, on suppose que les deux parois soient horizontales et on choisit un système d’axes (𝑂, 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ) où la direction 𝒙𝟏 est la verticale ascendante.

Figure 2 : schéma d’un écoulement de Couette Plan Cette situation d’écoulement est intéressante dans la mesure où le moteur de l’écoulement peut être un cisaillement dans le cas où les parois sont en mouvement relatif, un gradient de pression longitudinal ou une superposition des deux. La particule étant soumis à un effort extérieur qui est son poids propre, on peut écrire les équations de Navier Stokes comme suit : 𝟏 𝝏𝒑 +𝒈=𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟏 𝟏 𝝏𝒑 − =𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟐 𝟏 𝝏𝒑 𝝏𝟐 𝒗𝟑 − +𝜼 𝟐 = 𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟑 𝝏 𝒙𝟏 𝝏𝒗𝟑 = 𝟎 ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐞 {𝝏𝒙𝟑 −

A ce système, on ajoute des conditions aux limites telles que la condition de non glissement des parois.

2.2. L’écoulement visqueux dans une conduite cylindrique : écoulement de Poiseuille Elle correspond à l’écoulement d’un fluide réel incompressible dans une conduite cylindrique. Cet écoulement est permanent, axisymétrique, parallèle et établi : le profil transversal de la vitesse du fluide devient invariant par déplacement longitudinal comme le

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montre la figure suivante. C’est un écoulement en charge dont le moteur est le gradient de pression longitudinal. Dans cet écoulement, le moteur de l’écoulement n’est plus un cisaillement (donc la force visqueuse), mais un gradient de pression entre l’entrée et la sortie de la conduite. On peut par exemple imposer une surpression `a l’entrée avec une pompe ou un château d’eau, ou une d´expression `a la sortie par une aspiration.

Figure 3 : schéma d’un écoulement de Poiseuille Le cas que nous traitons est un tuyau cylindrique d’axe 𝑧 avec des directions radiale (𝑟) et orthoradiale (𝜃). Le champ de vitesse est dirigée uniquement suivant 𝑧, donc 𝑣𝜃 = 0 et 𝑣𝑟 = 0, d’où 𝑣 = [0, 0, 𝑣𝑧 (𝑟, 𝜃, 𝑧) ]. De plus, cet écoulement a une symétrie de révolution et est équivalent à l’écoulement de Couette lorsqu’il est vu en coordonnées cylindriques, donc 𝑣𝑧 ne ⃗ )𝑣 = 0. En négligeant les efforts extérieurs (efforts de dépend que de 𝑟 et le terme (𝑣. ∇ pesanteur), les équations de Navier Stokes pour un écoulement de Poiseuille est donné par : 𝝏𝒑 =𝟎 𝝏𝒓 𝝏𝒑 − =𝟎 𝝏𝜽 𝝏𝒑 𝟏 𝒅 𝒅𝒗 − +𝜼 (𝒓 𝒛 ) = 𝟎 𝝏𝒛 𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝝏𝒗𝒛 { 𝝏𝒛 = 𝟎 ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐞 −

2.3. L’écoulement à surface libre sur un plan incliné On considère l’écoulement d’un fluide visqueux sur un plan incliné qui fait un angle α avec horizontale comme le montre la figure suivante. Cet écoulement est supposé laminaire, permanent et bidimensionnel dans le plan (𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 ). Il garde une profondeur constante h.

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Figure 4 : schéma d’un écoulement sur un plan incliné C’est une situation basique d’un écoulement gravitaire à surface libre. Il diffère par rapport au cas de l’écoulement de couette au niveau de la condition aux limites vérifiée à la surface libre qui correspond à une condition de cisaillement nul (et non plus de vitesse nulle) et de pression égale à la pression atmosphérique. En considérant comme force extérieure le poids du fluide, le système d’équations de Navier-Stokes s’écrit comme suit : 𝟏 𝝏𝒑 =𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟏 𝟏 𝝏𝒑 − − 𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟐 𝟏 𝝏𝒑 𝝏𝟐 𝒗 𝟑 − + 𝜼 𝟐 + 𝒈 𝒔𝒊𝒏𝜶 = 𝟎 𝝆 𝝏𝒙𝟑 𝝏 𝒙𝟐 𝝏𝒗𝟑 = 𝟎 ∶ é𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐚𝐬𝐬𝐞 {𝝏𝒙𝟑 −

3. Expression des pertes de charges Nous allons ici calculer la variation de la charge entre la section d’entrée d’un tube de courant et sa section de sortie dans un cas très général.

3.1. Théorème de Bernoulli généralisé Considérons un écoulement entre deux points (1) et (2) d’un fluide réel dans une conduite, tel qu’entre les points (1) et (2) il n’y ait pas de machine hydraulique. Soit les hypothèses suivantes: 



Le fluide est réel et incompressible : cela suppose l’existence de forces élémentaire de frottement visqueux 𝑑𝜏 qui contribue dans l’équation de bilan par un travail négatif et donner naissance à des pertes de charges. L’écoulement est permanent.

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Figure 5 : schéma de l’écoulement d’un fluide dans une conduite On considère un axe 𝑍 vertical dirigé vers le haut. On désigne par 𝑍1 , 𝑍2 et 𝑍 respectivement les altitudes des centres de gravité des masses 𝑑𝑚 1 , 𝑑𝑚 2 et M. On désigne par 𝐹1 et 𝐹2 respectivement les normes des forces de pression du fluide agissant au niveau des sections 𝑆1 et 𝑆2 . A l’instant 𝑡, le fluide de masse (𝑑𝑚 1 + 𝑀) est compris entre 𝑆1 et 𝑆2 . Son énergie mécanique est : 𝑆2

𝐸𝑚𝑒𝑐 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 + 𝐸𝑐𝑖𝑛

1 𝑑𝑚. 𝑉 2 2 = (𝑑𝑚1. 𝑔. 𝑍1 + 𝑀𝑔𝑍) + 𝑑𝑚 1 . 𝑉 1 + ∫ 2 2 𝑆’1

A l’instant 𝑡’ = (𝑡 + 𝑑𝑡) le fluide de masse (𝑀 + 𝑑𝑚 2 ) est compris entre 𝑆′1 et 𝑆′2 . Son énergie mécanique est : 𝑆2

𝐸′𝑚𝑒𝑐 = 𝐸′𝑝𝑜𝑡 + 𝐸′𝑐𝑖𝑛

1 𝑑𝑚. 𝑉 2 = (𝑑𝑚 2 . 𝑔. 𝑍2 + 𝑀𝑔𝑍) + 𝑑𝑚 2 . 𝑉 2 2 + ∫ 2 2 𝑆’1

On applique le théorème de l’énergie mécanique au fluide entre 𝑡 et 𝑡’ : « La variation de l’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces extérieures ». On prendra en considération cette fois ci le travail des forces de frottement visqueux 𝑑𝜏. En simplifiant on obtient : ∆𝐸𝑚𝑒𝑐 = 𝑊𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 + ∑ 𝑊 𝑑𝜏 = 𝐹1 . 𝑑𝑥 1 − 𝐹2 . 𝑑𝑥 2 + ∑ 𝑊𝑑𝜏 𝐸′𝑚𝑒𝑐 − 𝐸𝑚𝑒𝑐 = 𝑃1 . 𝑆1 . 𝑑𝑥 1 − 𝑃2 . 𝑆2 . 𝑑𝑥 2 + ∑ 𝑊 𝑑𝜏

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= 𝑃1 . 𝑑𝑉1 − 𝑃2 . 𝑑𝑉2 + ∑ 𝑊𝑑𝜏 En simplifiant, on obtient : 1 1 𝑑𝑚 1 𝑑𝑚 2 𝑑𝑚 2 . 𝑔. 𝑍2 + 𝑑𝑚 2 . 𝑉 2 2 − 𝑑𝑚1. 𝑔. 𝑍1 − 𝑑𝑚 1 . 𝑉 2 1 = 𝑃1 . − 𝑃2 . + ∑ 𝑊 𝑑𝜏 2 2 𝜌1 𝜌2 Par conservation de la masse : 𝑑𝑚 1 = 𝑑𝑚 2 = 𝑑𝑚 et comme le fluide est incompressible, 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌 ; on a donc : 1 1 1 1 ∑ 𝑊𝑑𝜏 𝑔. 𝑍2 + 𝑉 2 2 − 𝑔. 𝑍1 − 𝑉 2 1 = 𝑃1 . − 𝑃2 . + 2 2 𝜌 𝜌 𝑑𝑚 De cette équation, on a l’équation généralisé de Bernoulli donné par : ∑ 𝑾 𝒅𝝉 𝑽𝟐 𝟐 − 𝑽𝟐 𝟏 𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 + + 𝒈(𝒁𝟐 − 𝒁𝟏 ) = 𝟐 𝝆 𝒅𝒎 La perte de charge entre (1) et (2) est défini par : 𝐽12 =

∑ 𝑊 𝑑𝜏 𝑑𝑚

et représente la perte

d’énergie par frottement visqueux par unité de masse. L’équation de Bernoulli peut encore se mettre sous la forme suivante : ∑ 𝑾 𝒅𝝉 𝑽𝟐 𝟐 𝑷𝟐 𝑽𝟐 𝟏 𝑷𝟏 + + 𝒁𝟐 = + 𝒁𝟏 + 𝟐𝒈 𝝆𝒈 𝟐𝒈 𝝆𝒈 𝒅𝒎 Cette équation peut être interpréter graphiquement comme suit :

Figure 6 : interprétation graphique de l’équation de Bernoulli Portons sur la verticale, à partir du centre de gravité 𝐺1 de la section 𝑆1 une distance 𝑷 égale à 𝝆𝒈𝟏 .Le lieu de toutes les extrémités de ces segments s’appelle ligne piézométrique.

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Portons sur la verticale au-dessus de la ligne piézométrique la quantité

𝑽𝟐 𝟏 𝟐𝒈

. Le lieu

de toutes les extrémités de ces segments représente la ligne de charge. En l’absence de pertes de charge, la ligne de charge est confondue avec le plan de charge. Ce plan de charge donne une représentation graphique de la constance tirée de l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait. La perte de charge totale exprimée en hauteur de liquide depuis le début de l’écoulement, est égale à la distance entre la ligne de charge et le plan de charge, mesurée sur la verticale passant par le point 𝐺1 . La perte de charge entre deux points 𝐺1 et 𝐺2 de l’écoulement est donnée par la différence de cote de la ligne de charge sur les verticales passant par les points précédents. La perte de charge 𝐽12 peut être due à une perte de charge linéaire et une perte de charge singulière : 𝐽12 = 𝐽𝑠 + 𝐽𝑙

3.2. Pertes de charges singulières(𝐽𝑠 ) Quand la conduite subit de brusque variation de section ou de direction, il se produit des pertes de charges dites singulières, elles sont généralement mesurable et font partie des caractéristiques de l’installation. Ces accidents sont ponctuels sur la tuyauterie et peuvent être : élargissements ou rétrécissements brusques, coudes, Us, vannes, robinets, clapets, tés. Ces pertes de charge s’expriment également à partir d’un coefficient de perte de charge adimensionnel 𝑒𝑣 : 𝑱𝒔 = 𝒆𝒗

𝒗𝟐 𝟐𝒈

Le facteur 𝑒𝑣 peut être calculé explicitement dans quelques cas peu nombreux, mais on a généralement recours à des formules empiriques ou à des abaques. On a entre autres : 𝑆

 Elargissement brusque : 𝑒𝑣 = (1 − 𝑆1 )

2

2

𝑆

 Rétrécissement brusque : 𝑒𝑣 = 0.45 (1 − 𝑆2 )  Tube plongeant dans un bac : 𝑒𝑣 = 1  Coude : 𝑒𝑣 = 0.8  Vanne ouverte : 𝑒𝑣 = 1.2

2

1

3.3. Pertes de charges linéaires (𝐽𝑙 ) Les pertes de charges linéaires, sont des pertes de charge réparties régulièrement le long des conduites. En chaque point d’un écoulement permanent, les caractéristiques de l’écoulement sont bien définies et ne dépendent pas du temps. Appelées aussi pertes de charge linéiques, elles sont liées aux gradients de vitesse occasionnés par l’adhérence du fluide sur les parois de la tuyauterie. Par un raisonnement dimensionnel, on montre que la perte de charge peut s’exprimer en fonction d’un facteur adimensionnel 𝑓 appelé coefficient de frottement : 𝑳 𝒗𝟐 𝑱𝒍 = 𝒇 𝑫 𝟐𝒈

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Où 𝐿 est la longueur entre la section d’entrée et de sortie, et de diamètre 𝐷 du tube. Dans le cas d’un tube de section non circulaire, on remplace 𝐷 par le diamètre 𝟒𝑨 hydraulique 𝑱𝒍 = où A est la section du tube et P son périmètre. 𝑷

3.4. Pertes de charges dans un système fluidiques constitué d’une pompe centrifuge Les pompes augmentent l’énergie mécanique d’un écoulement de liquide (dans le cas des gaz, on parle de compresseurs. Lorsqu’on place la pompe entre deux tuyauteries de même section, le fluide circulant avec un débit volumique 𝑄 = 𝑆. 𝑉. Les pertes de charges sont donnée par : 𝐽12 = ℎ𝑢 > 0.

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