Element Finis [PDF]

Zitiervorschau

Ecole hassania des travaux public Departement ponts chaussees et tranports Calcul des structures en element finis

Annee academique : 2015/2016 Le 29/10/2015

Devoir libre en Calcul des structures en element finis Prepare par : AL ABDALI Abdelhamid - EL FATHI Izdin Classe : 2GC1

EXERCICE 1 : Soit le treillis de la figure suivante:

Figure 1: Sh´ema du treillis L’objectif de cet exercice est de : • Calculer les d´eplacements aux noeuds. • Calculer les r´eactions aux noeuds 1 et 3. • Calculer les forces int´erieurs dans les barres du treillis . ´sistance des mate ´riaux . • Et enfin,calculer tous ´el´ements avec la Re

1

1. M´ ethode des d´ eplacements : El´ement 1-2: La matrice de rigidit´e correspond a` cet ´el´ement est :     ES u1 1 −1 ke1 = , sur −1 1 u2 l1 El´ement 1-3 : La matrice de rigidit´e correspond a` cet ´el´ement est :     ES 1 −1 v1 , sur ke2 = −1 1 v3 l2 El´ement 2-3 : La matrice de rigidit´e correspond a` cet ´el´ement est :

ke3

  u2    v2  ES [A] −[A]  = , sur  u3  −[A] [A] l3 v3

Avec :

 [A] =

cos2 φ cos φ sin φ cos φ sin φ sin2 φ

 et φ =

3π 4

Puisque les barres ont une section circulaire : ES = E

30.109 .π.0.0362 πd2 = = 2.1375.108 N 4 4

Tout calculs fait ,on trouve : 

0.250 −0.250 −0.250 0.250



0.200 −0.200 −0.200 0.200

ke1 = ES ke2 = ES 

ke3

0.061 −0.076 −0.061  −0.076 0.095 0.076 = ES   −0.061 0.076 0.061 0.076 −0.095 −0.076

  u1 , sur u2    v1 , sur v3  0.076 −0.095   , sur −0.076  0.095



  u2  v2    u 3  v3

En tenant compte les conditions aux limites, les vecteurs d´eplacement nodal et force nodal sont respectivement :         u1 0 Fx1 X1  v1   0  Fy1   Y1          u2  u2  Fx2   Fx2  → →        δ=   v2  =  v2  et F = Fy2  = −Fy2          u 3   0  Fx3   X3  v3 v3 Fy3 0

2

→

→

En assemblant les trois matrices ke1 , ke2 et ke3 ,puis ´ecrivons le syst`eme total [K] δ =F :     ES    

0.250 0 −0.250 0 0.200 0 −0.250 0 0.250 + 0.061 0 0 0.076 0 0 0.061 0 −0.200 0.076

0 0 0.076 0.095 0.076 0.095

0 0 0 −0.200 0.061 0.076 0.076 0.095 0.061 0.076 0.076 0.20 + 0.095

    u1 Fx1   v1  Fy1       u2  Fx2    =     v2  Fy2       u3  Fx3  v3 Fy3

ou:     ES    

      0.250 0 −0.250 0 0 0 0 X1 X1       0 0.200 0 0 0 −0.200    0   Y1   Y1        −0.250 0 0.311 0.076 0.061 0.076  u2   Fx2   180    v2  = −Fy2  = −240 0 0 0.076 0.095 0.076 0.095        0 0 0.061 0.076 0.061 0.076   0   X3   X3  v3 0 0 0 −0.200 0.076 0.095 0.076 0.295

Le syst`eme r´eduit s’´ecrit : 

    0.311 0.076 0.076 u2 180 ES  0.076 0.095 0.095   v2  = −240 0.076 0.095 0.295 v3 0 Les r´eactions inconnues sont donn´es par le syst`eme :      −0.250 0 0 u2 X1    Y1  = ES  0 0 −0.200 v2  0.061 0.076 0.076 v3 X3

Donc :   u2 = v =  2 v3 =

−50×103 = −0.0234 cm ES −3807.681×103 = −1.78 cm ES −1247.507×103 = −0.58 cm ES

  X1 = 12.5 kN Y1 = 240.5 kN et  X3 = −387.24 kN

L’´effort inetrne de chaque barre est donn´e par la formule : Nij =

ES [(uj − ui ) cos φ + (vj − vi ) sin φ] le

Soit : • Pour la barre 1-2: N12 =

ES (u2 l1

− u1 ) =

ES u l1 2

• Pour la barre 1-3: N13 =

ES (v3 l2

− v1 ) =

ES v l2 3

• Pour la barre 2-3: N23 = ,avec φ = 128◦ .65

ES [(u3 l3

= −12.5 kN = −240.5 kN

− u2 ) cos φ + (v3 − v2 ) sin φ] = 307.350kN

3

2. Calcul avec la rdm :

Figure 2: Equilibre des noeuds Equilibre du noeud 2 : −→ −→ → − − − N21 + N23 + 180→ ex − 240→ ey = 0 Soit apr`es la projection on trouve :  −N21 − N23 cos θ + 180 = 0 N23 sin θ − 240 = 0 Ce qui donne ,apr`es le calcul: 

240 N23 = sin = 307.350kN θ N21 = 12kN

Equilibre du noeud 2 : −→ −→ → − − − N12 + N13 + X1 → ex + Y1 → ey = 0 Soit apr`es la projection on trouve : 

X1 + N12 = 0 Y1 + N13 = 0



X1 = 12kN Y1 = 240kN

Ce qui donne ,apr`es le calcul:

Equilibre du noeud 3 : −→ −→ → − − N32 + N31 + X3 → ex = 0 Soit apr`es la projection on trouve : 

X3 + N32 cos θ = 0 N31 + N32 sin θ = 0

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Ce qui donne ,apr`es le calcul:  En r´esum´e :

X3 = 192kN Y1 = 240kN

  X1 = 12 kN Y1 = 240 kN  X3 = 192 kN

  N12 = −12 kN N13 = −240 kN et  N23 = 307.350 kN

Calculs des d´ eplacements u2 , v2 et v3 : On d’apr`es la formule de Bresse en cas de la traction/compression: Z x1 −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ N (x) → − u(x1 ) = u(x0 ) + ω(x0 ) ∧ G0 G1 + ex dx ES x0 Apr`es la projection ,on trouve : (v(x1 ) − v(x0 )) sin φ + (u(x1 ) − u(x0 )) cos φ =

NL ES

Tout calculs fait , on trouve :   u2 = −0.0234 cm v2 = −1.78 cm  v3 = −0.58 cm 3. V´ erification avec le logiciel

Robot :

On lance le logiciel Robot ,on choisit comme envirenement de travail : Les treillis plans,puis on introduit notre treillis qui est compos´e de trois barre d’acier de diam`etre d = 36 mm et de module de Young E = 210 GP a,on trouve des r´esultats tr`es proche de ce qu’on calcul´e pr´ecedement soit avec la Mef ou la Rdm ,les figures suivantes illustrent les r´esultats obtenus avec le mˆeme logiciel:

Figure 3: Diagramme de l’effort normal

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Ainsi le d´eplacement aux nœuds,les efforts normaux et les r´eactions inconnus: R´ eactions inconnus : N oeud 1 3

Xi (kN ) 12 −192

Yi (kN ) 240 0

D´ eplacement inconnus : N oeud 1 2 3

ui vi 0 0 −0.02 −1.8 0 −0.6

Efforts normaux : Barre Nij 1−→ 2 12 2−→ 3 −307.35 1−→ 3 240 Conclusion: D’apr`es ce qui pr´ec`ede,on trouve que les r´esultas sont identiques ,cela due `a la mod´elisation simple par la m´ethode des ´el´ements finis .En effet ,le champs d´eplacement approch´e par la Mef est identique au champs d´eplacement r´eel(R´esultats confirm´e aussi par le logiciel Robot ). EXERCICE 2 : Soit la poutre continue de la figure suivante:

Figure 4: Sch´ema de la poutre continue

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1. Mod´ elisation par la Mef :Mod` ele ` a deux ´ el´ ement El´ement 1-2 :  12 6l1 −12 6l1  ES 6l1 4l12 −6l1 2l12 ke1 = 3  l1  −12 −6l1 12 −6l1 6l1 2l12 −6l1 4l12 El´ement 2-3 :  12 6l2 −12 6l2  ES 6l2 4l22 −6l2 2l22 ke2 = 3  l2  −12 −6l2 12 −6l2 6l2 2l22 −6l2 4l22





   0.188 0.375 −0.188 0.375 v1   0.375    1 −0.375 0.5   = ES  θ1  , sur   −0.188 −0.375 0.188 −0.375  v2  0.375 0.5 −0.375 1 θ2





   0.444 0.667 −0.444 0.667 v2   0.667    1.333 −0.667 0.667   = ES  θ2  , sur   −0.444 −0.667 0.444 −0.667  v3  0.667 0.667 −0.667 1.333 θ3

Le vecteur d´eplacement est donn´e par(En utilisant les conditions aux limites) : →

δ=

T

v1 θ1 v2 θ2 v3 θ3




=

T

0 0 0 θ2 0 θ3




Le vecteur force nodal connu et le vecteur force inconnu sont donn´es respactivement par :  
− → 2 2 FC = T − ql21 − ql121 − ql21 − F2 ql121 − F8l2 − F2 F8l2 = T −120 80 −200 20 −80 60 et

− → FI =

T

Y1 Z1 Y2 0 Y3 0




→ − → − → En assemblant les deux matrices ke1 et ke2 ,puis ´ecrivons le syst`eme total [K] δ = FC + FI :        0.188 0.375 −0.188 0.375 0 0 0 −120 Y1  0.375        1 −0.375 0.5 0 0    0   −80  Z1   −0.188 −0.375 0.632       0.292 −0.444 0.667    0  = −200 +  Y2  ES   0.375       0.5 0.292 2.333 −0.667 0.667  θ2   20    0  0 0 −0.444 −0.667 0.444 −0.667   0   −80   Y3  0 0 0.667 0.667 −0.667 1.333 θ3 60 0

Le syst`eme r´eduit s’´ecrit :  ES

2.333 0.667 0.667 1.333

    θ2 20 = θ3 60

Les r´eactions inconnues et les moments sont donn´es par le syst`eme :     Y1 − 120 0.375 0    Z1 − 80    θ2 0   = ES  0.5  Y2 − 200  0.292 0.667  θ3 Y3 − 80 −0.667 −0.667 Donc : 

θ2 = θ3 =

−5.013×103 ES 47.520×103 ES

 Y1    Z1 et Y2    Y3

Diagramme du moment fl´ eshissant :

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= = = =

118.120 kN 77.500 kN.m 230.231 kN 51.648 kN

Un calcul de Rdm rapide donne l’expression du moment fl´eshissant :   −77.5 − 118.31x + 30.02x2 , si 0 ≤ x ≤ 4 P outre1 −85.10 − 108.76x , si 0 ≤ x ≤ 1.5 P outre2 M (x) =  77.54 + 51.74x , si 1.5 ≤ x ≤ 3 P outre2 L’effort tranchant est donn´e par la formule V (x) = − ∂M∂x(x) ,soit   118.31 − 60.08x , si 0 ≤ x ≤ 4 108.76 , si 0 ≤ x ≤ 1.5 V (x) =  −51.74 , si 1.5 ≤ x ≤ 4

: P outre1 P outre2 P outre2

2. Mod´ elisation par le logiciel Robot : En choisit comme envirennement de travail dans le logiciel Robot ,´etude d’une portique plane ,on trouve les r´esultats suivants:

Figure 5: Diagramme du moment fl´eshissant obtenu par Robot

Figure 6: Diagramme de l’effort tranchant obtenu par Robot R´ eaction : valeur N oeud 1 2 3

Yi ( kN ) Mi ( kN.m) 118.29 −77.61 230.52 0 51.75 0

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Figure 7: Diagramme de la d´eform´e obtenu par Robot

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