Exercice Element Barre Thermique [PDF]

Zitiervorschau

Etude d’une barre thermique par différents éléments finis On propose d’étudier le problème de la barre du cours en adoptant les valeurs numériques suivantes : L=12cm; section circulaire de diamètre : D=4mm K=60W/mx⁰C; h=60W/m2x⁰C T0=200⁰C; Tf=40⁰C

Cette barre de longueur L=12cm, comme on vient de le voir, sera modélisée par éléments finis en prenant les quatre modèles suivants : 1- La barre est décomposée en trois éléments linéaires, c’est à dire chacun est un segment à deux nœuds ; 2- La barre est décomposée en six éléments linéaires, c’est à dire chacun est un segment à deux nœuds ; 3- La barre est décomposée en trois éléments quadratiques ; c’est-à-dire chacun est un segment à trois nœuds régulièrement espacés sur le segment ; 4- La barre est décomposée en deux éléments cubiques c’est à dire chacun est un segment à quatre nœuds régulièrement espacés sur le segment ;

1

2

4

3

4cm

2

1

3

5

4

2cm

12cm

1

6

7

Conditions aux limites essentielles : T1=T0=200⁰C Questions 1- Calculer la solution exacte, le champ de température exact et le champ du flux thermique exact de ce problème, en déterminant la solution de la forme forte du modèle mathématique de ce problème ; 2- Pour chaque modèle éléments finis du quatre modèles ci-dessus : on demande de calculer les températures aux nœuds, les flux thermiques aux points de super convergence de ces éléments ; plus particulièrement, il faut : A- Calculer la matrice globale B- Calculer le vecteur global ; C- Introduire la condition T1=200⁰C et calculer les températures aux autres nœuds ; D- Calculer les flux thermiques aux points de super convergence des flux dans les éléments.

Fonctions d’interpolation de l’élément cubique On procède à un mapping de l’élément réel à quatre nœuds sur le segment [-1, +1] ; ce dernier se dit élément père ou élément de référence paramétré par la coordonnée ξ et possède le même nombre de nœuds que l’élément réel du maillage

x1

x2

x3

1

2

3

ξ=-1

ξ=-1/3

ξ=1/3

x4 4

ξ=1

h1= (1/16) (-9ξ3+9ξ2+ξ-1) h2= (9/16) (3ξ3-ξ2-3ξ+1) h3= (9/16) (-3ξ3-ξ2+3ξ+1) h4= (1/16) (9ξ3+9ξ2-ξ-1) Il faut se rappeler qu’aux nœuds 1,2,3,4 de l’élément, la coordonnée ξ prend respectivement les valeurs -1, -1/3, 1/3, +1

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