Elektrisitet og magnetisme 1 : Elektrostatikk [1] 8251900247 [PDF]

Zitiervorschau

Lars Othar Svaasand

ELEKTRISITET OG MAGNETISME DEL I. ELEKTROSTATIKK

3. opplag

TAPIR 1977

Nh Hans

ISBN 8251900247

Denne bok skal være en innføring i de

fysikalske

prinsipper og matematiske metoder som danner basis elektromagnetisk feltteori.

I

for

fremstillingen er der

lagt vekt på at den nødvendige matematiske formulering utvikles parallelt med presentasjonen av de

prinsipper.

fysikalske

Presentasjon av de matematiske metoder i

vektoranalyse har derfor fått en bred plass.

Disse

metoder er presentert på en billedlig og intuitiv mate,

og boken bør derfor kunne leses uten at man har vesent­ lige forkunnskaper i matematikk.

Fremstillingen er basert på SI systemet

hvor de seks primære enheter er:

temet)

masse - kilogram ampere

(A),

(kg),

tid - sekund

temperatur - kelvin

(K)

(MKSA-sys-

lengde - meter

(s),

(m),

elektrisk strøm -

og lysstyrke

candela (cd). Boken omfatter det stoff som presenteres i "Grunnlag for elektroteknikken" ved NTH.

faget

Dette fag er

et to-semesters kurs som gis for elektrostudentene i annet årskurs. Boken er kopiert efter forelesningsmanuskriptet,

og de rent redigeringsmessige og trykningstekniske mangler må sees på bakgrunn av dette.

Forfatteren vil gjerne få takke siv.ing.

Morten

Eriksrud for kritikk og kommentarer til manuskriptet,

Eva Boye Kverneland for maskinskrivning og Randi Storø for tegning av figurene.

En spesiell takk rettes til

alle de studenter som har bidratt med såvel kritikk som

korrekturlesning av manuskriptet.

L.O.

Svaasand

DEL I

Innhold

.

Elektrostatikk

_ —

1.1.

Innledning

2

1.2.

Maxwells ligninger

7

1.3.

Elektrisk

1.4.

Gradient

38

1.5.

Divergens

51

1.6.

Laplace og Poissons ligninger

63

1.7.

Curl

1.8.

Grensebetingelser

116

1.9.

Ledere

123

1.10.

Speiling

143

1. 11.

Energi

1. 12.

System av flere ledere

161

1. 13.

Multipol-rekkeutviklinger

176

1. 14.

Dielektrica

199

1.15.

Elektrostatisk kraftvirkning

237

Index

skalarpotensial

34

78

153

2

ELEKTROSTATIKK.

KAP. 1;

Elektrostatikken beskriver kraf tvirljning n^llom elektriske ladninger som er i ro.

Det er eksperimentelt påvist at følgende egenskaper gjelder for elektriske ladninger og kraftvirkninger mellom disse:

De elektriske ladninger kan karakteriseres ved et tall (en

1)

skalar) q som kan være positivt eller negativt. Den totale ladning Q i et isolert system (Q = £q) kan

2)

ikke forandres.

3)

De elektriske ladninger er kvantisert.

elektriske kvant

har

Det positive

eksakt samme tallverdi som det

negative elektriske kvant

4)

Kraftvirkningen mellom to ladninger er proporsjonal med produktet av ladningene.

5)

Kraftvirkningen mellom to ladninger er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom ladningene.

6)

Den kraft som et sett av elektriske ladninger påvirker en bestemt ladning med, er lik summen av kreftene som hver

av ladningene isolert ville påvirke den bestemte

ladning med. Vi skal nu kommentere disse punkter og formulere matematisk konsekvensen av disse egenskaper.

Ad pkt. 1. Den elektriske ladning har ingen indre struktur som kan forår­

sake at kraftvirkningen mellom to ladninger forandres dersom den ene dreies i rummet.

Kraftvirkningen mellom to ladninger er bare

avhengig av ladningenes størrelse og deres posisjon i rummet.

fysiske egenskaper som kan karakteriseres ved en skalar er f.eks. masse og temperatur.

Blant egenskaper som også må

karakteriseres med en retning er f.eks. kraft og hastighet

(vektor).

Andre

3

Kraftvirkningen mellom to ladninger er alltid enten direkte til­ trekkende eller frastøtende.

ladningene kan karakteriseres

Dette er en verifisering av at ved en skalar.

Vi skal nu vise dette ved et reduktio ad absurdum bevis: Anta at vi har to ladninger og at kraften som virker på ladningen

er

* (fig

*). 1

Fig

1.1.1

Siden nu rummet er isotropt (samme egenskaper i alle retninger),

er det like sannsynlig at kraften er lik F?.

av F

Tallverdien

må videre være like stor som tallverdien av

F1.

Følgelig

kan den totale kraft på ladningen qy bare ha komponenter langs forbindelses linjen mellom q og qp ): enten være direkte tiltrekkende eller fra­ støtende .

Eksperimenter viser videre

at kraften mellom to ladninger kan

enten være tiltrekkende eller frastøtende.

de elektriske ladninger i to grupper;

Vi kan derfor dele opp

to elementer fra samme

gruppe vil alltid frastøte hverandre, mens to elementer fra for­

skjellige grupper alltid vil tiltrekke hverandre. Ladningen kan derfor karakteriseres ved et fortegn - pluss eller minus - som indikerer hvilken gruppe de tilhører.

defineres elektronets ladning som negativt.

Videre

Følgelig er alle

ladninger som frastøtes av elektronet negative og alle ladninger som

tiltrekkes av elektronet positive. Legg merke til at ladningens spesifikke fortegn er en definisjons-

sak; det er ikke noe intrinsikt negativt ved et elektrons ladning.

- 4 -

Ad pkt. 2.

Dersom den totale ladning innenfor en avgrenset del av

rummet er gitt, kan denne ladning bare forandrejs ved at ny ladning^, transporteres over grensene til dette området.

Dersom ladning ikke transporteres over grensene (isolert

system) ma den totale ladning konserveres.

Det totale antall negative og det totale antall positive ladninger i et isolert system kan imidlertid forandres.

Dette kan

f.eks. gjøres ved a bestråle området med energirik elektromagnetisk stråling (y-straling eller lys).

Denne strålingen medfører ingen

ladningstransport og systemet er fortsatt isolert.

Strålingen

kan imidlertid generere positiv og negativ ladning ved ionisasjon,

den genererte negative ladning vil være eksakt lik den genererte positive ladning,slik at den totale ladning ikke forandres.

Ad pkt■ 3. Eksperimenter viser at det finnes et minste kvantum av

elektrisk

ladning, og at en hvilken som helst ladning bare kan ut­

trykkes som et helt tall ganger dette ladningskvant ladning).

Det

(elementær-

positive ladningskvant er eksakt lik det negative

ladningskvants tallverdi.

Dette følger fra prinsippet om konservasjon

av ladning; dersom f.eks. y-strålen genererer et kvant av negativ

ladning må der samtidig genereres et kvant av positiv ladning. I klassisk elektrostatikk betrakter man imidlertid bare

dimensjoner som er store i forhold til utstrekningen av en elementærladning

(10

m ) og ladningsansamlinger som består

av et stort antall elementærladninger.

Vi kan derfor betrakte en

ladningsansamling som en punktladning hvor ladningen tenkes konsentrert i et matematisk punkt, og hvor verdien av ladningen kan

være et hvilket som helst positivt eller negativt tall.

Dog gjelder

denne beskrivelse bare for fenomener som finner sted i

avstander fra ladningsansamlingen som er store i forhold til dimensjonen av ladningsansamlingen.

Elektrostatikken gir følgelig

5

ingen beskrivelse av elementærladningens intrinsikke natur, men

beskjeftiger seg med hvilken kraftvirkning ladningen vil ha pa andre ladninger som befinner seg i "stor" avstand.

Ad. pkt. 4.

Kraften som virker på en ladning qT som befinner seg i naboskapet av en annen ladning q, er proporsjonal med produktet q^q.

Dette

gjelder dog under forutsetning av at avstanden mellom ladningene er

stor i forhold til utstrekningen av ladningene.

Ad. pkt. 5. Kraftvirkningen mellom to ladninger som befinner seg i

stor

avstand fra hverandre, er omvendt proporsjonal med kvadratet av av standen mellom ladningene.

Med avstanden forstår vi nu avstanden

mellom de matematiske punkter som definerer beliggenheten av punkt-

ladningene.

Denne avstanden kan selvfølgelig ikke defineres med

større nøyaktighet enn ± utstrekningen av ladningen.

Men siden

teorien bare har gyldighet for avstander som er store i forhold til utstrekningen av ladningene, vil denne unøyaktighet være negl isjerbar.

Kraften på en punktladning q^ som befinner seg i avstanden r fra punktladning q, kan nu skrives:

- _ 1___ F " 4ire o

hvor r

q‘ql . r 2 r r

er rettet fra ladningen q mot ladningen q^, fig. 1.1.2.

Fig 1.1.2

(1.1.1)

- 6

Denne loven kalles Coulombs lov. Proporsjonalitetskonstanten skrives på formen -___ 4 ire i MKSA-systemet og eQ kalles dielektrisitetskonstanten fgr vacuum.

Ad pkt. 6.

Dersom vi har N punktladninger i rummet kan kraften på ladning q skrives:

N

F

1__ qlqn rin 4ire 2 n=2 o rin

(1.1.2)

hvor r, er avstanden mellom ladning q og q og r. In i n In fra ladning % og mot ladning qp

I fig. 1.1.3 er der vist et eksempel med 3 ladninger.

er rettet

Den totale

kraft på en ladning finnes således ved å addere vektorielt

kraftvirkningen fra alle andre ladninger.

Legg merke til at

dette prinsipp, superposisjonsprinsippet, ikke er en matematisk selv­

følge, men et eksperimentelt faktum.

7

1 • Z•

Maxwell s_ligninger_L

Dersom vi har gitt et sett av punktladninger i rummet, kan vi nu regne ut hvilken kraft som vil virke på en ny ladning vi bringer inn i naboskapet av de andre.

Den informasjon vi trenger

er beliggenheten av alle ladninger og deres størrelse.

Imidlertid

er det hensiktsmessig å regne ut en gang for alle hvilken kraft

ladningene vil forårsake på en ladning av størrelse lik enhetsladningen i målesystemet (i MKSA-system 1 Coulomb) når denne ladning

er plassert på et vilkårlig sted i rummet.

Til ethvert punkt i

rummet får vi nu tillagt en vektor E som angir størrelse og retning Denne vektoren E kalles den

av kraften på denne enhetsladning.

elektriske feltvektor og det vektorfelt vi har definert i runmet, kalles det elektriske felt.

Fører vi nu en ladning q1 være gitt ved F = q1’E,

inn i rummet vil kraften på q^

dog under forutsetning av at innføringen av

ladningen qT ikke forårsaker en forskyvning av de ladninger som allerede befinner seg i rummet. Vi skal nu vise at egenskapene til de elektriske ladninger og kraftvirkningen mellom disse medfører at det elektriske felt vil tilfredsstille to integralligninger.

Vi skal først utlede

den integralligning som er en konsekvens av at kraften mellom to

ladninger alltid er direkte tiltrekkende eller frastøtende. Vi har i forrige avsnitt påpekt at dette er en konsekvens av at ladningene er skalare størrelser og at rummet er isotropt. Feltet fra en punktladning q kan uttrykkes (lign. (1.1.1))

F = q:E

•* hvor E =

q

1

o

r * 7

(1.2.1)

r

hvor r er radien rettet fra "kildeladningen" q og til det punkt hvor vi betrakter feltet.

Vi er nu bare interessert i retningen av

feltet og ikke den funksjonelle avhengighet av avstanden. skriver derfor lign. (1.2.1) pa formen:

Vi

- 8 -

E = f(r)

(1.2.2)

Arbeidet som feltet må utføre for å forflytte en enhetsladning

-

(q=l) et stykke ds i rummet er (kraft x vei): dA = E«ds = |E I | ds| coscj) = Eds cos

.

Langs den felles side for Fn ^og F^^ vil ds være motsatt rettet i

de to integraler A E ds *

og

rn

o E ds *

(se fig. 1.2.2).

Fn+1

Når vi summerer bidragene fra alle integraler F^ vil følgelig alle bidrag fra de felles sidekanter være lik 0, og summen av alle

integralene vil bare være bestemt av de integraler som er tatt langs en kurve som tangerer Fo.

Vi får derfor:

10

•

f - -> ” I Eds = l

p 2

oo

-> A-ds = r3 (f (r)

d f ( r) + —dr +

(f(r)

r)dr-d9 *

+

Funksjonen

f(r)

f (r)

+

. . . . ) (r+dr)d9 - f(r)r dø =

+ høyere ordens ledd i differensialene.

må derfor tilfredsstille differensialligningen:

r = 0

dr

(1.2.29)

df(r) f(r)

dr r

_

Integrasjon av denne ligning gir:

In f (r)

+ C = - In r

Dersom konstanten konstant

skrives på formen

C

C =

~ In k

hvor

k er

får vi:

In f (r)

- In k + In r = 0

(1.2.30)

in (11^) = 0 f(r)«r k

f (r)

=

= * r

q. e. d.

La oss nå betrakte en vilkårlig ikke-plan kurve

z-aksen.

Fig.

1.2.12.

(1.2.31)

r

som omslutter

23

Fig.

Linjeintegralet

ds * ^A

1.2.12

kan nå skrives som en sum av to integraler;

—>■ —>■ *■ ' A«ds + $ A«ds. ri

I*

r2

er nå en lukket kurve som ikke omslutter origo,

ganger rundt origo med forskjellig omløpsretning) sirkulær sløyfe i planet normalt pa z-aksen.

konsentrisk med

tatt rundt

z-aksen.

Fra fig.

1.2.13

(eller:

går to

og Ier en

Videre velge

vi

I

innser vi at integralet

ikke kan skrives som en sum av integraler tatt

rundt kurver av samme geometri som

Fig.

Dersom integralet tatt rundt

T_

i

fig.

1.2.13.

1.2.13

skulle være lik integralet rundt

T^^åtte nødvendigvis integralet langs innersirkelen i

F

gå mot

24 -

på denne sirkelen går mot null.

null når radien

tilfelle i vart eksempel

og integralet vil gå

= — => 00

f(r)

fordi

Dette er ikke

mot 0 °°. *

Dog viser oppspaltningen:

= j> A«ds +

ds * $A

F1

r

at integralet rundt

ds * A

= 0 + $ A« ds

ikke er avhengig av geometrien av

bare bestemt av at den omslutter j-aksen én T

slutter z-aksen.

Dette bidrag blir:

Generelt har vi når

^A«ds = F

hvor

n

F

2tt = J — *r»d(|> =o r

x

= — r

dersom

f(r)

k. = —,

forlanger at

F, men

Følgelig må

F

om­

= 2Kk

(1.2.33)

- n )«27ik 2

omslutter z-aksen i positiv

F

høyrehånds-regelen og

omslutter z-aksen i negativ omløpsretning. A

32)

:

er det antall ganger

er derfor at

vi

f(r)

(n

omløpsretning iflg,

gang.

få et konstant bidrag for hver gang

integralet rundt

2lT j> A«ds = d(i> r * Jf(r) r2 4>=o

’

r2

r2

F

(1

er det antall ganger Svaret på oppgaven

kan være et elektrisk felt lokalt utenfor z-aksen -> men at A ikke kan være et elektrisk felt dersom A

skal definere feltet i hele rommet.

er det vist hvordan vi lokalt kan sette opp feltet

A = É

I fig.

1.2.14

ved å

påtrykke spenning mellom to metalliske plater.

Feltbilledet som er vist i snitt

fra kantene av metallplatene.

i sektorene

a

og

2u-a.

A

vil bare gjelde i stor avstand

Legg merke til retningen på feltet

-

25

-

Felt

Fig.

1.2.14

i snitt A

26

d) 1.2.

Finn

E feltet fra

ansamling av ladninger som ligger jevnt

fordelt langs en uendelig larg rett linje.

enhet er lik

Ladning pr.

lengde­

q.

Løsning:

Alt.

1.

Coulombs lov. (q’dl)

Ladningen

dE

til det totale

felt

på linjeelementet É:

(fig.

dl

vil gi et bidrag

1.2.15)

aE _ ^ndl

(1.2.34) 4tte

o

og det totale felt

'" E

l=4-oo E = / -3-2

finnes ved å integrere over alle kilder

dl

(1.2.35)

1=t°° 4tte r

Fig.

1.2.15

27 -

Betrakter vi nå bidrag fra elementer plassert om

innser vi fra fig.

1=0

E = E

=

r

1.2.35 skrives

(r-retning)

r

—a‘ 4tte r2 -i

4

linjen.

E

l = 4-æ

l = +oo 1 = 4-00 f dE = / dE-cos 4 = i=-oo r i=-oo

Dersom vi velger

som er symmetrisk

at det totale felt

1.2.14

bare vil ha en komponent langs en normal til Følgelig kan lign.

dl

„

cos 4

’ dl

(1.2.36)

o

som integrasjonsvariabel får vi

4-^ q______ . , h x 2 4 = -r| q7Eo cos 4 ’

E = E

hvor

—

h cos 4

og

* d h ---- 2 cos

_h’d di=----2“" cos 4

Siden integranden er en symmetrisk ir 2 E = E

cos 4 •

= * 2 v?—u’ r 4^e h o 4=0

cos

♦

funksjon om

4=0

har vi 7T

•

d4 = ——

f sin

2 4]

=

4=0

2 ne h o

2ireQh

(1.2.37)

Alt.

2.

Maxwells

ligninger.

Geometrien av ladningsansamlingen og relasjonen ds=O * $É

vil

fortelle oss hvilken retning feltet må ha.

først anta at feltet i et vilkårlig punkt

i alle retninger.

(fig.

(r,

0,

z)

La oss

har komponenter

1.2.16).

Siden ladningen er jevnt fordelt langs den uendelig lange

rette linje kan ikke +z-retning og -z-retning skille seg ut fysikalsk fra hverandre.

Følgelig må E? være lik null.

vi rotasjonssymmetri om linjen og funksjon av

0.

Videre har

E^ kan følgelig ikke være en

Dersom vi nå integrerer E langs en sirkel

konsentrisk om z-aksen får vi:

28

Fig.

ds * $E

1.2.16

• 2irr = 0

=E

8 Følgelig må også EQ

være

være forskjellig fra null er

E^

vi har translasjonssymmetri langs linjen,

Den eneste komponent som kan

lik null.

bare være en funksjon av

og denne komponenten må,

siden

linjen og rotasjonssymmetri om

r.

Vi vet nå retningen av feltet

og hvilken koordinater det må være en funksjon av.

For å finne

verdien av feltet må vi nå benytte relasjonen £^D«n *

For å

dA=Q.

kunne løse denne integralligningen direkte velger vi en Integra-

sjonsflate hvor

D«n

enten er konstant eller lik null.

Vi

integrerer derfor over en lukket sylinder konsentrisk om z-aksen. (fig.

1.2.17)

29

På endeflatene av sylinderen er D«n=|D|=D.

n=O * D

og på sideflaten er

Vi får derfor

dA * £^D«n

= * 27rr D Z

= q Z *

(1.2.38)

(1.2.39)

hvor

r=h

i alt.

1.

30

1.2. e) Finn E-feltet fra en ansamling av ladninger som ligger

jevnt fordelt over et uendelig otort plan. er lik

Ladning pr.

flat^nhet

a.

Løsning: Alt.

dÉ

1.

Coulombs lov.

Ladningen (fig. 1.2.18):

a•dA

dE =

£ 47T£or

blir:

00

___

a . 2 1 4tt£ r 0 =0,R== 0

dA (1.2.41)

r

i i

op

£ .

Fig.

1.2.18

Ved å betrakte bidrag fra elementer dA

(0+tt,R)

innser vi at det totale felt

z-retning.

vil gi et bidrag

(1.2.40)

.

I I

W4

2k

dA

r

2

og det totale : Eelt

på flateelementet

Vi har derfor

med koordinater

E

(6,R)

og

bare kan være rettet i

31

2tt

E = E

2 7T f f dE cos * @=0,R=0

2 tt 00 = f / dE Z 6 = 0,R=0 Z

f —--- -jcos 4> dA *

(f)

47T£or

6=0,R=0

(1.2.42)

Dersom vi velger positive

og

4>

z:

f o -------------7“ *

= z

Vi

r=-- og cos

* dA=R

for

2 sin 4> ja.ja z-----3~ d * e. cosJ

7T

får derfor

2

2 ir

E = E

.

cos

4lT£(------ r)

J

6=0,

-

4,teo

0

6 ==0,4>=0

27T [el • sin ’d== 0

IT

57

2 [- cos D

,dA= A a

fig. 1.2.19.

får nå:

^^.n«dA = 2 D«A = a«A

(1.2.44)

o 2

og

g

2e

(1.2.45)

o

- 33 -

Legg merke til at det er enkelt a beregne

i lign.(1.2.44)

flateintegralet

fordi feltet har så høy symmetri at vi kan velge

en integrasjonsflate hvor integranden enten er konstant eller lik null.Dette ville ikke ha vært mulig hvis

f.eks.

ladningsansamlingen

hadde vært av endelig utstrekning eller dersom ladningstettheten hadde vært ujevnt fordelt over planet.

34

1.3.

Elektrisk skalar potensial Arbeidet

(q 1)

dA

som utføres av feltet når en enhetsladning

forflyttes et infinitesima1t lite stykke, ds,

er gitt a^,

kraft x vei eller

dA = E

• ds

(1.3.1)

Dersom enhetsladningen forflyttes mellom punktene 1 og 2 i en endelig avstand er det utførte arbeid

A =

J E

A:

• ds

(1.3,2)

Vi skal nå vise at dette integralet har den samme verdi uavhengig av hvilken vei som følges,

og at verdien bare er avhengig av

beliggenheten av punktene 1 og 2.

Anta nå at enhetsladningen forflyttes kurver

og

F?

som vist i fig.

langs to forskjellige

1.3.1.

Fig.

Fig.

1.3.1

1.3.2

35

Fra fig,

1.3.1 og 1.3.2 ser vi at veien

opp i en lukket kurve

med

Fi•

14

som er ekvivalent

Følgelig har vi:

2 A = /

Siden nå

pluss en kurve

13

kan tenkes delt

_ 2 ds + / E

'

og kurven

^E«ds=0

2 A = J

ds = j> E

•

E

É

2 ds = /

•

1

•

er ekvivalent med

F4

É •

(1.3.3)

ds

•

+ ds

har vi

(1.3.4)

1

(r2)

(rp

Istedet for å karakterisere kraftvirkningen fra en kildeladning på

en enhetsladning ved det elektriske

felt,

kan vi na karakterisere

kraftvirkningen ved det arbeid som feltet utfører ved å forflytte en enhetsladning

fra et gitt referansepunkt og til ethvert annet

Når nå referansepunktet er gitt vil arbeidet være

punkt i rommet.

en entydig funksjon av beliggenheten av alle andre punkter i rommet; eller en entydig funksjon av koordinatene.

arbeidet ikke ville være entydig dersom

Legg merke til at

ds^Q. * $E

Forskjellen i potensiell energi i punkt 2 og 1

er

nå lik det arbeid som vi må utføre for a forflytte enhetsladningen fra punkt 1 til punkt 2 eller minus det arbeid som feltet utfører

Vi har derfor:

ved forflytningen.

v2 * v i = - A =

eller

2f -> ■> ds * E (1.3.5)

2

- V

V 1

= / É«ds 2 1

Differensen i potensiell energi potensialdifferens og

For nå å en punktladning

gitt av:

V

V^^V^

kalles den elektriske

kalles det elektriske (skalare)

potensial.

få litt oversikt over begrepene kan vi betrakte

q.

(Fig. 1.3.3) .

Feltet fra punktladningen er

36

Fig.1.3.3

(1.3.6)

4tte r o Potensialdifferensen

V1

V -V 1 2

2

2-> = jE ds * 1

V

av lign.(1.3.5):

___ 2__ . 2 4 tie r o

=

ds

(1.3.7)

Vi vet nå at integralet bare er bestemt av beliggenheten av punktene 1 og 2 og vi velger derfor a integrere langs en kurve som gir et enkelt integral f.eks. *1

f

fig. 1.3.3.

Vi

får da:

2

2__

V -V 1 2 4>=0

_g__ 41TE

cos

2 4tte o 1

r2=°°

1

2

_2__ 4tte

o

°9

’

T

2

__ g 47TE r2 o

d

dr

1

1

Vanligvis velger man å sette vi inn

7T

V2=0

i

o

1

1 1

(1.3.8)

2

potensialet for

lign.

(1.3.8)

får

lik 0.

Setter

37

v =

q

(1.3.9)

4tte r o

hvor vi har utelatt indeks

1.

Alle punkter som ligger i samme avstand

ningen vil ligge på samme potensial. punkter ligger på samme potensial,

Tegner vi

r

fra punktlad-

flater hvor alle

ekvipotensial-flater,

følgelig være konsentriske kuleskall om punktladningen.

følger det fra lign.

vil dette For øvrig

(1.3.5)at feltlinjene alltid ma være rettet

normalt på ekvipotenåialflåtene .

N

Dersom vi har

potensial være

lik summen av potensialene fra hver ladning.

(Superposisjonsprinsippet ).

v =

punktladninger i rommet vil det totale

N V n=l

Vi

får da:

q _(1.3.10) o n

er avstanden fra det punkt hvor vi betrakter potensialet og n til ladning q . Legg merke til at det totale potensial finnes ved hvor

r

å addere sammen tall

(skalare størrelser),

finnes ved å addere vektorielle størrelser.

mens det totale

felt

38

Gradient

1.4.

Vi har i forrige avsnitt betraktet sammenhengen mellom det elektriske felt og potensialdifferensen -mellom to punkter 1

en vilkårlig avstand fra hverandre.

- V

V

2 i

Vi fant da relasjonen:

2 = f E-ds

(1.4.1)

1

La oss nå anta at punktene ligger i en infinitesimal liten avstand ds

fra hverandre.

Potensialet i nabopunktet kalles

Substituerer vi disse uttrykk i

V -

(V+dV)

lign.

(1.4.1)

V+dV.

får vi:

= * ds E

(1.4.2)

eller dV = - É-ds

Integralet er erstattet med integranden

infinitesimalt nær hverandre,

og

ds

fordi punktene ligger

er den vektorielle avstand

mellom punktene rettet fra punktet 1 og til punktet 2.

Fig.

1.4.1.

2

Fig.

I

et generelt

forandringen pr.

potensialfelt

(skalarfelt)

1.4.1

vil

potensial-

lengdeenhet i rommet være forskjellig i

retninger fra et gitt punkt.

forskjellige

I vektoranalysen innfører man derfor

en vektoriell størrelse som uttrykker den maksimale forandring i potensial pr.

lengdeenhet.

Man lar vektorens lengde være lik den

maksimale potensialforandring pr.

lengdeenhet og definerer at

vektoren er rettet i den retning hvor potensialet stiger raskest.

Denne vektoren kalles grad V.

Man sløyfer vektorpil over denne vektor

misforståelse om den vektorielle karakter.

fordi der ikke kan oppstå

39

Med matematisk formulering har vi nå:

dV = grad V •

ds

(1.4.3)

Fra denne definisjonen fremgår det videre at grad V er rettet normalt på den ekvipotensial-flate

som gar gjennom det punkt som

Langs ekvipotensialflaten er

vi betrakter.

dV=0

og lign.

(1.4.3)

blir derfor av form:

dV = 0 = grad V •

Siden nå

|ds|

f 0

ds

(1.4.4)

må derfor grad V være normalt på

ds

dersom

(1.4.3)

får vi:

skal være tilfredsstilt.

(1.4.4)

Dersom vi sammenligner

lign.

(1.4.2)

og

É = - grad V

(1.4.5)

At gradienten er rettet i motsatt retning av feltvektoren kan lett

Vi må utføre det største arbeid pr.

innses direkte:

(vei-enhet)

lengdeenhet

når en ladning føres direkte mot det elektriske felt,

og følgelig vil den raskeste

stigning i potensial pr.

lengdeenhet

være i denne retning.

Fra den generelle definisjon av gradienten

vi

(lign.1.4.3)

kan

finne eksplisitte uttrykk for denne vektoren i de forskjellige

koordinatsystemer.

La oss

(fig.

1.4.2).

først betrakte det kartesiske koordinatsystem

Vektoren

potensial V(x,y,z) V(x+dx,

y+dy,

* Dersom

V

er rettet fra punktet

ds

og mot punktet

z+dz)=V+dV.

Vektoren

9V -— 9x

ds

ytdy,

z+dz)

er forandring i

og lign.

med potensial

kan nå skrives på

er en funksjon av en variabel

den deriverte av funksjonen, , hvor

(x+dx,

(x,y,z) med

formen:

x , blir gradienten lik 8 V 1.4.3 kan skrives: dV= dx

potensial pr.

lengdeenhet.

40

og forandringen i potensial

ax’d

dv

.

nvor

av

av

gx>

i henholdsvis

°9

x,

settes inn i lign.

av

kan skrives

+ JTdz

+

yy

dV

(1.4.7)

er forandring i potensial pr.

y og z-retning.

(1.4.3)

Dersom lign.

lengdeenhet

(1.4.6)

og

(1.4.7)

får vi:

9V SV SV yydx + -—dy + yydz = grad^V dx + grad^V dy + grad^V dz

(1.4.8)

hvor grad V, grad V og grad V er komponentene av gradienten i x yz x, y og z-retning.

Sammenligner vi koeffisientene til koordinatdifferensialene

dx,dyogdz

finner vi følgende uttrykk for gradien tvektoren:

41

SV + + — 9V.3+ + — 3V-k k

er enhetsvektorer i henholdsvis

z

(1.4.13),

, „ av grad V = —-i 3r r

I sfæriske koordinater

ds = dr i

1.4.3

1 r

(fig.

(1.4.14)

9V -t ae‘^9

3z

1.4.4)

r•sin ø•dø•

(1.4.3)

og

r,

0

og

finner vi:

(1.4.15)

z

finner vi:

jg + r.d É,

(1.4.16)

og

dV = |¥.dr + 9V 4- 3V A 7é’dø + * 3 ’d* 3r hvor

- Øe og %

enhetsvektorer

(1.4.17)

r,

0 og ^-retning.

43

Fra lign.

9ra

, „ _

(1.4.16),

(1.4.17)

av -> M i 3r 1r sin * r

og

. _av.->39 ^9

(1.4.3)

,

finner vi nå:

i av + r 3 4>

(1.4.18)

- 44

Eksempler:

1.4.a) : Gitt et potensial V=V(r).

Finn det elektriske felt E.

Løsning:

Det gitte potensial er bare en funksjon av avstanden r fra et gitt punkt og ekvipotensialflåtene vil derfor være konsentriske kuleflater om

Gradienten, som alltid er rettet normalt på ekvipotensialflåtene,

dette punkt.

vil derfor være rettet i r-retning.

dV=grad V ds *

Følgelig kan vi skrive relasjonen

på formen:

(1.4.19)

dV = grad^Vdr

hvor grad^V er den eneste komponent av grad V som er forskjellig fra null. Vi har derfor:

± av r E = - grad V = - — •3r r

(1.4.20)

Dette resultat kan selvfølgelig finnes direkte fra en av de formler vi har

funnet for gradienten i et gitt koordinatsystem. La oss betrakte det kartesiske

system hvor gradienten kan

skrives (lign. 1.4.9):

grad V =

av -t 3x 1

av 3y

-t J

av 3z

k

(1.4.21)

Velger vi origo i punktet r=0 har vi:

x* i + yj + z*k

(1.4.22)

og

L 2 2 + y + z Setter vi lign. 1.4.22 og 1.4.23 inn i lign. 1.4.21» får vi:

(1.4.23)

45

3V _ 8r ar az

av 3r -t av 3r -t grad v=37-'57-1 + a7,a7,J 3V 3r

fl 2x -t 2 ’ r ’ 1

1 2y 2r

-t 1 2z J . 2 r

+1

= 3V. £ 3rr

l

og følgelig blir E:

-> 3V E = - graa V = -

r -

q.e.d.

-— Og er derfor et Potensialet fra en punktladning q er gitt av V = — 4tte r Feltet San finnes fra lign. 1.4.20: eksempel på denne type potensial-fordeling.

E

3V £ =____ q f_ 1_J £ = q . £ 3r ' r ' * 4re0 r2 r ’ ^2 r

(1.4.24)

Gradienten, som er rettet mot maksimalt stigende potensial pr. er derfor rettet i radiell retning mot punktladningen.

Fig. 1.4.5

lengdeenhet,

(Se fig. 1.4.5)

- 46 -

Gitt et felt A - * i o

b): 1.4.

+ kz"j + * k o

hvor k er en konstant.

Kan

dette felt skrives på formen A = - grad -4>) = øgrad ip + lp grad

er to skalare funksjoner.

Løsning:

Fra definisjonen på gradienten (Lign. 1.4.3) har vi

dtp = grad tp • ds

(1.4.34) og

dtp = grad

A4>2

lim

q 2, * —In 4 ire o a

~2~ O

o

A2

tg (2

1-^21 2 '

2

1 A^!

A, 1\ 2 }

. , tg 2 In-----

_q_ 2tte

A(j)1

21T£

T "T ” q__in —

o

A* 2

T"

~2~

h2

A

q 2tte

ln o

A 4^

-Æ— In 2tte o

4 a

a

^2 v = T3— ln TT 2tte hl o

(1.6.32)

Dette uttrykket kalles det logaritmiske potensial. spalter man det opp i

V =

2-tte

In

Ofte

logaritmisk delpotensial:

J____ 3__ hn 1

2tte

o

ln ih2

2^— In som potensialbio nl og 2~3 ~ In K“ draget fra den ene ladningsansamling (+q) h2 Lo Man betrakter da uttrykket

som bidrag fra den andre ladningsansamling

(-q).

77

Legg merke til at delpotensialet

betraktet

h

2^£

o alene mangler både fysikalsk og matematisk mening.

Fysikalsk

er det umulig å fremskaffe en uendelig stor positiv ladning

dersom ikke en like stor negativ ladning finnes et annet sted i den endelig del av rummet,

og matematisk er det meningsløst

å ta logaritmen til et tall med dimensjon

(In ^).

Når begge ladningene betraktes sammen,

har imidlertid

oppgaven både fysikalsk og matematisk relevans;

den totale

ladning er null^ og vi skal ta logaritmen til et forhold

(In

.

78

1.7.Curl

I

de foregående avsnitt har vi betraktet linjeintegralet

av et vektorfelt tatt langs en lukket kurve av endelig

Vi skal nu betrakte linjeintegralet tatt langs'-'

størrelse.

en infinitesimalt liten kurve.

Vi forlanger at dimensjonene

av kurven er så små at vi bare behøver å ta hensyn til variasjoner i feltkomponentene som er proporsjonale med koordinatdifferensialene.

vi skai nu vise at linjeintegralet

tatt langs en infinitesimalt liten kurve har egenskaper som gjør det mulig å representere integralets verdi og sløyfens

orientering i rummet med en vektor.

Vi skal betrakte hvordan

integralet

forandrer verdi når sløyfen dreies

et punkt.

For oversiktens

i rummet omkring

skyld skal vi anta at vektorfeltet

har følgende enkle form:

Ax = fl(x,y)

Ay = f2(x,y)

Az = 0

(1.7.1)

Verdien av feltkomponentene i en omegn av punktet

(xyz)

blir da:

(x+dx,y+dy,z+dz)

= Ax(xyz)

3A 3A x , , x , + 7-- dx + --- dy + 3x 3y 7

Ay(x+dx,y+dy,z+dz)

= Ay(xyz)

3A 3A + —y dx + —ydy + 3X ay 1

A^(x+dx,y+dy,z+dz)

=0

A

I

X

fig.

.............

(172)

1.7.1a ligger den infinitesimalt lille sløyfen i et

Den positive sløyfenormal

plan parallelt xy planet.

er rettet i z-retning.

høyrehåndsregelen)

sløyfen dreiet en vinkel

dreiet en vinkel

en vinkel

...........

y

B

a

om z-aksen,

om y-aksen og i fig.

om x-aksen.

I

fig.

i fig.

(efter

1.7.1b er

1.7.1c er

1.7.Id er sløyfen dreiet

-

79 -

Fig.

1.7.1

80

d) Fig.

1.7.1

81

Verdien av linjeintegralet i de forskjellige orienteringer

av sløyfen blir: ’

,