Elektrisitet og magnetisme 2 : Magnetostatikk og elektrodynamikk [2] 8251900344 [PDF]

Zitiervorschau

Lars Othar Svaasand

ELEKTRISITET OG MAGNETISME DEL II. MAGNETOSTATIKK OG ELEKTRODYNAMIKK

3. opplag

sentret - .a-A sA-iwcrr x__ _ V-D N!H BIS

TAPIR 1978

ISBN 82-519-0034-4

DEL II

Innhold

Kap^ 2r _LadningstransportJJdJcestrørn)____________________ 265

2.1.

265

Ledere

Kap. _3.___Magnetostat.ikk___________________________________2 88

3.1.

Innledning

288

3.2.

Magnetostatiske potensialer

303

3.3.

Magnetiske dipoler

315

3.4.

Magnetisk kraftvirkning

322

3.5.

Magnetiske materialer

337

3.6.

Enkle magnetiske kretser

367

3.7.

Resumée

374

Kap. 4.

4.1.

Tidsavhengige elektromagnetiske

felter

Oversikt

Kap. 5.

377

377

Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk

______________ 5.1.

Innledning

382

5.2.

Selvinduktivitet og gjensidiginduktivitet

396

5.3.

Energi

412

5.4.

Felt- og strømfortrengning

435

5.5.

Induksjon i bevegelige systemer

454

Kap. 6.

6.1. Kap.

Oppladning av kondensatorer; kvasistatisk behandling 475

Oversikt 7.

Elektromagnetisk teori

475

481

7.1.

Elektromagnetiske bølgeri vacuum

481

7.2.

Retarderte potensialer

489

7.3.

Bølgeforplantning i kabler

493

Appendix 1.

Maxwells spenningstensor

502

Appendix 2.

Den spesielle relativitetsteori

527

Appendix 3.

Målesystem

558

Index

562

Fremstillingen i denne del av boken er, med unntagelse av appendix 1 og 2, basert på den vektoranalyse som ble presentert

i del. I.

En forståelse av fremstillingen i appendix 1 og 2

krever litt kjennskap til tensoranalyse, og de nødvendige teorem i tensoranalyse er derfor presentert i appendixene. Analysen av det magnetiske felt er basert på

B

som den

primære felt-vektor.

I overensstemmelse med dette kalles

det magnetiske felt.

Det sekundære felt

H

B

for

kalles for H-felt.

Eldre litteratur er gjerne basert på

H

vektor, og i denne litteratur har

derfor ofte navnet magnetisk

H

som den primære felt-

felt. Videre er fremstillingen basert på det generelt gyldige

vektorpotensial for

B .

skalarpotensial for

B

Potensialer av begrenset gyldighet som og skalarpotensial for

H , er ikke dis­

kutert fordi de, efter forfatterens mening, hverken forenkler beregningene eller bidrar til forståelsen.

I tillegg til de medarbeidere som ble nevnt i forordet til del I, vil forfatteren også takke Marit Thorsrud for tegning av

figurer.

L.O. Svaasand

265

Kap.2. Ladningstransport(Likestrøm)

2.1. Ledere En del av ladningene i et ledende materiale er bevegelige,

og transporten av disse ladningene kan karakteriseres ved en strømtetthetsvektor

j .

Fig. 2.1.1.

Fig. 2.1.1. Den totale transport av ladning pr. tidsenhet gjennom flaten

dA

i fig. 2.1.1a er lik det totale kvantum av bevegelige ladninger innenfor volumet

vdA .

Dette kvantum er:

(2.1.1)

qNvdA = qNvndA = jndA

hvor

N

er antall frie ladninger pr. volumenhet,

v

av hver ladning, flatenormal og

Nqv

er strømtettheten

Dersom flatenormalen v

n

er den midlere hastighet,

n

q

er verdien

er positiv

j .

danner vinkelen

4>

med hastigheten

blir det transporterte kvantum av ladning pr. tidsenhet:

(Fig. 2.1.1b).

qNvdAcoscJ) = qNvndA = jndA.

(2.1.2)

Følgelig blir den totale utstrømning av ladning pr. tidsenhet

gjennom en vilkårlig lukket flate gitt ved: jndA

(2.1.3)

266

hvor

n

er den utadrettede flatenormal.

Fra prinsippet om

konservering av ladning vet vi at det totale kvantum av ladning

Q

innenfor flaten bare kan forandres ved transport av ladning

gjennom flaten.

Vi finner derfor:

ffjAdA = - $

(2.1.4)

Denne ligningen kalles kontinuitetsligningen for ladning.

Ved

hjelp av Gauss sats kan vi uttrykke ligningen på differensiell

form:

i

t , 9 divj dv = - rr OL

[[ f pdv ,

j

j

= -

9p , T7 dv O L.

[[ j j

eller (divj + -1^) dv = 0 0 u

Siden integrasjonsgrensen er vilkårlig valgt, kan denne ligning Dare være generelt tilfredsstilt når integranden er lik null.

Kontinuitetsligningen for ladning på differensiell form blir der­

for: divj +|f= 0

(2.1.5)

0t

hvor

p

er den totale ladningstetthet i mediet.

sjon av Maxwells ligning

divD = p

Ved substitu-

kan vi også uttrykke kon­

tinuitetsligningen på formen: div(] + -|-|) = 0

(2.1.6)

0 t

->■

4r har samme dimensjon som strømtettheten j . Vanligvis OL K kalles dette leddet for forskyvningsstrømtettheten, mens j

Leddet

kalles ladningsstrømtettheten.

ved et enkelt eksempel.

Vi skal illustrere disse ligninger

I fig. 2.1.2 antar vi at en plate-

kondensator lades opp ved å koble en spenningskilde

platene.

u

til

267

i den retning hvor de positive ladningbærere transporteres,og tallverdien av I er lik tallverdien av integralet av strømtettheten over tverrsnittet av lederne.

Dersom vi velger integrasjonsflaten

finner vi fra ligning (2.1.4):

f f->-> jndA = -1 + 1- 0- a

jndA +

=

B1

hvor

Q

3Q _

0A (2.1.7)

B2

er den totale ladning innenfor flaten

a -

Denne

ladningen er nu lik summen av ladningene på begge kondensatorplatene,og følgelig lik null. Dersom vi velger integrasjonsflaten

lUndA = [hfidA = - I - -12 J OL.

3

i

fig. 2.1.2,finner =

(2.1.8)

268

hvor A

cj

er overflateladningen på den ene kondensatorplaten og

er arealet av denne.

Transporten av ladninger til platen

gjennom lederen medfører at ladningen på platen øker (I =

81 Økningen i ladning pr. tidsenhet setter opp en total forskyvningsstrøm —A mellom platene. Når kondensatoren er fullt oppladet, er både strømmen I og forskyvningsstrømmen null.

22 A at

lik

Den totale ladning som er tilført den ene plate ved tidspunkt trblir iflg. lign. (2.1.8):

hvor innkoblingstidspunktet er satt til platene blir nu:

t — 0 .

Spenningen over

t U = | f Idt

(2.1.9)

t=o hvor vi har benyttet relasjonen

C = ^ .

Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom strømtettheten j og det elektriske felt é . Når en ladning q i vacuum utsettes

for et homogent elektrisk felt E , vil den påvirkes av en kraft ? = qÉ . Denne kraften forårsaker en akselerasjon a = ^2 m av ladningen. Hastigheten av ladningen blir nu: t v =

m

hvor

J t=o

adt =

t f

c? it- dt = t m m

(2.1.10) ' '

t=o

er massen av ladningen.

Ladningens hastighet

ikke en entydig funksjon av feltet hengig av hvor lang tid av feltet.

t

v

er

É , men hastigheten er av­

partikkelen har vært under påvirkning

Situasjonen for en ladningsbærer i en leder er imidlertid en ganske annen. tid

t

Ladningen vil nu bare

akselereres

en ganske kort

og kolliderer derefter med forurensninger, gitterfeil og

termiske eksitasjoner av gitterstrukturen i materialet.

Ladningen

selv har en termisk eksitert hastighet som er vesentlig større enn

det bidrag til hastigheten som kommer fra

akselerasjonen

i det

269

elektriske felt.

Den midlere tid

x

mellom to kollisjoner er

derfor hovedsakelig bestemt av den termiske hastighet, og x —t er derfor tilnærmet uavhengig av E . Den termiske hastighet er

imidlertid rettet i alle mulige retninger,, og den vil derfor ikke bidra til drifthastigheten

v

av ladningsbærerne.

(lign.

Strømtettheten i materialet kan nu uttrykkes: * j = Nqv = N

xE = uE

Vi har nu kommet frem til Onms lov.

(2.1.1)): (2.1.11)

Konstanten

a

kalles den

spesifikke ledningsevne eller konduktiviteten. I et krystallinsk materiale vil imidlertid tiden

x

være

forskjellig for ladningstransport i forskjellige retninger.

Vi

må derfor uttrykke Ohms lov på formen

(2.1.12)

j • = a ik • i Eik

hvor

a., Legg merke til at ik kalles konduktivitetstensoren. og E ikke nødvendigvis er parallelle selv om Ohms lov er tilfredsstilt .

-t-

J

For tilstrekkelig store elektriske felter kan drift-

hastigheten bli sammenlignbar med den termiske hastighet.

Tiden

x

blir derved en funksjon av feltet.

Videre kan høye

elektriske felt forårsake en forandring av antall ladningsbærere N , og N blir dermed også en funksjon av feltet. Den generelle sammenheng mellom j og É må derfor uttrykkes:

2

j = N(E)

Funksjonen

f(E)

x(E)É = f(E)

er nu ikke lenger en lineær funksjon.

(2.1.13)

Dersom

vi rekkeutvikler denne funksjon i en Taylor-rekke, har vi: = °ikEk + «IklVj + °iknmEkElEn> + ......

(2.1.14)

alle ikke-lineære ledd i denne rekken representerer nu avvik fra Onms lov. I fig. 2.1.3 har vi skissert en del aktuelle sammenhenger mellom j og É . * Se oppgave 2.1c.

270

Kurve

viser at ledningsevnen stiger sterkt når feltet økes

A

over en bestemt verdi.

Dette er typisk for elektrisk gjennom­

slag i materialet; når feltet blir tilstrekkelig stort, ioniseres mediet og antallet positive og negative ladningsbærere økes

sterkt.

Kurve

B

representerer den lineære sammenheng mellom

strømtetthet og felt; ledningsevnen er konstant og Ohms lov er

tilfredsstilt for alle verdier på

e

e

Kurve

C

felle hvor ledningsevnen synker når feltet stiger.

viser et til­ Dette kan

inntreffe når drifthastigheten blir sammenlignbar med den termiske

hastighet.

Den midlere tid

t

mellom to kollisjoner vil da avta,

og følgelig avtar det tidsintervall hvor ladningene akselereres av feltet.

Kurve

D

viser et forløp hvor ledningsevnen avtar

så sterkt at strømtettheten synker når feltet økes.

Vi har i

dette området negativ differensiell ledningevne

(adif£ - ii = neg)

.

Der finnes flere forskjellige fysikalske mekanismer som medfører

at antall ladningsbærere eller relaksasjonstiden forandres med feltet på en slik måte at karakteristikken blir som vist i kurve D .

271

Fra vår behandling av ledningsmekanismen ser vi at vi kan forvente avvik fra Ohms lov når: Drifthastigheten blir sammenlignbar med den termiske

a)

I metaller korresponderer

hastighet av ladningsbærerne.

dette med elektriske felter av størrelsesorden

1000 V/mm. *

b)

Det påtrykte felt varierer raskere enn den midlere tid t

I metaller er

mellom to kollisjoner.

t

av størrelses­

orden 10"14 sek.

Dimensjonene av lederen er sammenlignbar med den midlere

c)

fri veilengde

A

to kollisjoner. 10 - 1000 Å.

imidlertid

som ladningsbærerne beveges mellom

I metaller er

A

av størrelsesorden

I ioniserte gasser under lave trykk kan

A

være av størrelsesorden 0.1-1 cm.

Disse data indikerer at Ohms lov vil være godt tilfredsstilt i

I gasser er

metaller for de fleste eksperimentelle betingelser.

derimot Ohms lov en lite brukbar approximasjon **

.

Videre er Ohms

lov ikke tilfredsstilt i junction-området i halvlederkomponenter som dioder og transistorer; disse komponenter ville reduseres til

vanlige motstander dersom Ohms lov var tilfredsstilt.

Vi har nu sett at der bare finnes en entydig sammenheng

mellom strøm og spenning når kollisjoner finner sted.

Ved

kollisjonene mister ladningsbærerne sin driftshastighet,og den energien som er levert fra feltet ved

bærerne ,går over til termisk energi.

akselerasjon av ladnings­ Vi skal nu beregne denne

dissiperte energien.

* Den midlere termiske hastighet

er bestemt av:

v

mv^2 = kT hvor

k

er Boltzmanns konstant og

T

er den absolutte temperatur.

** Karakteristikken for en lysbue er typisk som kurve D i fig.

2.1.3.

272

Fig. 2.1.4a. Den ladning pr. tidsenhet som passerer gjennom flaten dA er ►> gitt ved jndA . Denne ladningen har passert et område med potensialforskjell

avgitt en effekt

dV = gradV«ds = - Eds .

Følgelig har feltet

dP :

dP = dVjndA = - (EdsJjndA = ÉjdsdA = Ejdv hvor

dv

er volumet av terningen i fig. 2.1.4a.

(2.1.15) Den dissiperte

effekt pr. volumenhet er derfor: F = 21 J dv

(2.1.16)

og den totale dissiperte effekt i hele lederen blir:

P

(2.1.17)

J J J

hvor integralet skal taes over hele volumet av lederen.

Dette

uttrykk for den dissiperte effekten er nu gyldig for enhver sammenheng mellom j og E .

For isotrope materialer og tilstrekkelig små felter kan vi uttrykke effekten på formen: P = jJjaE2dv = |jjpj2dv

hvor a er konduktiviteten motstand (E = | j = pj”) .

(j = aE)

(2.1.18)

og

p

er den spesifikke

273

Den totale ohmske motstand

U

forholdet mellom potensialfall

R

i en leder er definert som I

og strøm

langs lederen.

Vi

kan også uttrykke den totale dissiperte effekt ved motstanden R .

Fra lign.

(2.1.15)

P

(Fig. 2.1.4b).

finner vi:

f ->

jndA = U-I

(-Eds) jndA =

(2.1.19)

langs overtversnitt leder av leder n . „ U eller siden R = y :

P = RI2

U2 R

(2.1.20)

Fig. 2.1.4b. Den totale ohmske motstand av en leder av vilkårlig geometri er pr. definisjon:

R - V - V2-Vl _ . R I I jndA

Fra lign.

2 [-» -> Eds
Eds

1

’ *

(2.1.21)

jndA

(2.1.18) og (2.1.20) finner vi at vi også kan finne

motstanden fra relasjonen:

R = — I2

1

I2

pj2dv

(2.1.22)

274

hvor integralet skal taes over hele volumet av lederne.

Vi skal nu betrakte hvordan temperaturen vil innvirke på

I fig. 2.1.5 har vi skissert temperatur-

ledningsevnen.

avhengigheten av den spesifikke motstand for noen karakteristiske materialer.

Kurve A viser temperaturavhengigheten av den spesifikke mot­

stand

p

for et metall.

Ved en endelig temperatur deltar

praktisk talt alle tilgjengelige ladningsbærere i ladningstransporten.

N

Det totale antall ladningsbærere pr. volumenhet

er derfor lite avhengig av temperaturen.

Når temperaturen

øker, vil den termiske hastighet av ladningsbærerne stige og

den midlere tid

t

mellom to kollisjoner avtar.

Den

spesifikke motstand vil derfor stige. Kurve B viser temperaturavhengigheten av

med supraledende egenskaper.

p

for et metall

Under en bestemt temperatur

Tc

er den spesifikke motstand identisk lik null; materialet er

supraledende.

Når temperaturen er høyere enn

Tc

er leder­

egenskapene de samme som vi har diskutert for kurve A.

En rekke

av de vanlige metaller (f.eks. Ni, Pb, Nb) er supraledende for

temperatur lavere enn ca. 10 K.

Vår klassiske teori for

ledningsmekanismer er imidlertid ikke adekvat for beskrivelse

av den supraledende tilstand, og vi skal derfor ikke innlate oss på noen forklaring av fenomenet.

275

Kurve C viser sammenhengen mellom metallisk materiale.

og

p

Antall ladningsbærere

avhengig av temperaturen.

T N

for et ikkeer her sterkt

Ved lave temperaturer er det få

ladningsbærere som deltar i transporten, men når temperaturen øker, får vi termisk eksitasjon av nye ladningsbærere.

Økningen

av

N

med temperaturen er nu vesentlig større enn reduksjonen

av

t

med temperaturen.

Den spesifikke motstand kan derfor av­

ta sterkt med temperaturen.

Et forløp av denne typen er som

nevnt karakteristisk for ikke-metalliske ledere som glass, kull,

keramikk etc. Vi har hittil diskutert den transport av elektriske

ladninger som er forårsaket av det elektriske felt alene.

I

en rekke tilfeller spiller imidlertid andre transportmekanismer en fundamental rolle.

Dette er illustrert i fig. 2.1.6.

Fig• 2.1.6.

I fig. 2.1.6a er der vist en leder som danner en åpen sløyfe. Ladningstransporten i lederen forårsakes av det elektriske felt (E = pj)

inne i lederen.

Transporten av ladningene mellom

endepunktene av lederne skjer ved at en person henter en ladning ved det ene endepunkt og bringer den til det andre endepunkt.

Når det flyter en konstant strøm I i systemet, vil potensialdifferensen mellom endepunktene være

U = RI .

Siden

[ -> ->

ibEds = 0 må den transport av ladning som utføres av personen, utføres mot det elektriske felt

E .

Personen må påvirke ladningen med en

276

kraft

Fm = - qE , og han må utføre et arbeid

ladning for å opprettholde strømmen.

U

pr. enhets-

Personen leverer derved

P = Ul , og denne effekten konverteres til varme i

en effekt

den ohmske motstand

i lederen.

R

Den ladningstransport som

utføres av personen kan ikke beskrives ved Ohms lov; strømtett­ heten er ikke rettet langs feltet É ,men den er rettet mot

feltet.

Det arbeid

U

pr. enhetsladning som utføres av

personen, kalles den elektromotoriske kraft 2.1.6c).

e(e = U)

.

(Fig.

Dette eksempel illustrerer prinsippet for en Van-deGraaff generator.

Rent praktisk skjer ladningstransporten i denne

generatoren via et roterende belte laget av et isolerende materiale.

(Fig. 2.1.6b).

I fig. 2.1.7 har vi skissert et par andre alternativ for ikke-ohmsk ladningstransport.

Fig. 2.1.7. I fig. 2.1.7a har vi illustrert et termoelektrisk element; to metalliske ledere av forskjellige metaller er sveiset sammen slik at de danner en sløyfe.

Det vil flyte en konstant strøm I

i sløyfen dersom det ene sammenføyningspunktet holdes på en

høyere temperatur

enn resten av kretsen

.

Når en

strøm I flyter i sløyfen, vil det dissiperes en effekt

P = R-^II 2 + R2I2 i lederne.

Denne energi leveres fra det termiske reservoir som

holder temperaturen

konstant.

Den ikke-ohmske ladnings-

277

transport finner sted i grenseskiktene mellom de forskjellige

ledermaterialene, og selve transportmekanismen har sin årsak i den strukturelle forskjell i de to ledermaterialene.

I fig. 2.1.7b er der vist en prinsippskisse for et vanlig tørrelement; to elektroder av forskjellig ledermateriale og Z3^) er dyppet med i en elektrolytt (T) . Den strøm I som flyter i

kretsen,leverer en dissipert effekt kretsen.

P = R^I2 +

+ ^3^

Denne energi leveres fra den kjemiske reaksjon mellom de

ytre lederne (2) og uB) og elektrolytten, og den ikke-ohmske ladningstransport finner sted i grenseskiktet mellom elektrolytten og de ytre ledere.

Ladningstransporten er imidlertid bestemt av

Ohms lov både i de ytre lederne og i selve elektrolytten.

Eksempler 2.1.a)

Gitt en sylindrisk homogen leder av et isotropt materiale med tverrsnitt

£

A , lengde

Finn den totale motstand

R

og spesifikk ledningsevne

a .

når det flyter likestrøm i lederen.

Kan det finnes en romladningstetthet

p

inne i lederen?

Kan

det finnes overflateladningstetthet på grenseflaten mellom to

ledere? Løsning :

Med likestrøm forstår vi en stasjonær, tidsuavhengig strøm. Følgelig er

-0 og kontinuitetsligningen for likestrøm blir:

(lign.

divj =0

Siden ladningstransporten tilfredsstiller Ohms lov finner vi fra curlÉ = 0 :

curlj = curloÉ = ocurlÉ = 0

(2.1.5)) (2.1.23) j = aE ,

(2.1.24)

278

Fig. 2.1.8.

I fig. 2.1.8a har vi skissert strømfordelingen i lederen for det

tilfelle at tilledningene er meget tynne.

I stor avstand fra

tilkoblingspunktene vil strømtettheten være rettet i negativ zretning (fig. 2.1.8).

Fra lign.

(2.1.23)

finner vi da:

eller

f(z)

jz

Fra lign.

(2.1.24)

finner vi:

3jz t 3jz > -> + curl3 = 'sj”11 + -+■ Eds

R

er derimot alltid

curiE = 0 .

kan nu finnes fra lign.

(2.1.21):

1 £ a A

(2.1.27)

Vi har her antatt at strømmen er jevnt fordelt over lederen langs hele lengden. I nærheten av tilkoblingspunktene er imidlertid strømfordelingen avhengig av geometrien av ti Hedningene, og

vil derfor være avhengig av utformingen av til

motstanden

R

koblingen.

Dersom lengden

£

på tvers av lederen, vil lign.

er stor i forhold til dimensjonene (2.1.27) være en akseptabel

approximas j on. Den totale rumladningstetthet er bestemt av Maxwells ligning

divD = p .

Fra lign.

(2.1.23) finner vi:

0 = divj = divcrE = div —- D = —- divD o o

eller divD = P = 0 hvor

e

o

e

er dielektrisitetskonstanten i lederne,

280

inne i en leder med konstant ledningsevne elektrisitetskonstant

eq£

.

er lik null *

p

Vi ser hermed at rumladningstettheten

a

og konstant di-

De positive eller negative ladnings­

bærerne transporteres nu igjennom materialet som har en

ubevegelig ladningstetthet av nøyaktig samme tallverdi, men med

motsatt fortegn. På grenseflaten mellom to ledere med forskjellig lednings­ evne

og

o2

vil der generelt finnes en ladningstetthet

Fra lign.(2.1.25) og Maxwells ligning

odivD = o

a * . **

finner vi:

° = odlvS = S151 + K2D2 = S1eo£1E1 + S2%e2E2

j] -> j? £ E. £ = n.e — + n„e e — = (—° . _ ° 1 o 1 2 o 2 a2 a2

n nl^l

ro i ->o\ (2.1.28)

Denne ligning er illustrert i fig. 2.1.9.

Fig. 2.1.9.

Denne betingelsen er strengt tatt bare gyldig når

divj = 0 ;

når det flyter likestrøm i lederen.

**

Bemerk at vi benytter samme symbol

o

både for overflate-

ladningstetthet og for spesifikk ledningsevne.

281

På grenseflaten mellom en leder og en isolator er normalkomponenten av

j

alltid lik null (lign.

(2.1.25)).

Imidlertid vil

det generelt finnes en ladningstetthet på grenseflaten * .

Dette

forhold er vist i fig. 2.1.10.

i

x

men i rummet mellom lederne vil feltet også ha en komponent som er rettet normalt på lederoverflaten.

Denne normalkomponent vil

korrespondere med en overflateladningstetthet.

tettheten

(a = D^)

ligger fast på overflaten, og den deltar

derfor ikke i transporten av ladningen.

* I dette tilfelle finner vi fra lign. a

oo • 0

Denne ladnings-

(2.1.28) :

282

2.l. b) Gitt en kulekondensator bestående av to godt ledende konsen­

triske kuleskall og et dielektricum med dielektrisitetskonstant eoe

spesifikk motstand

Finn den totale motstand mellom

p .

kuleskallene for likestrøm når vi antar at ledningsevnen i dielektriket er mye mindre enn ledningsevnen i kuleskallene.

R

en relasjon mellom motstanden

og kapasiteten

Finn

C .

Løsning:

U

0= E»o 7*o

Fig. 2.1.11.

Vi antar at tilledningene for strømmen I er så tynne at de ikke vil innvirke nevneverdig på feltkonfigurasjonen.

evnen i kuleskallene er stor, vil feltet

E

Når lednings­

inne i skallene være

Hvert kuleskall vil derfor ligge på konstant

tilnærmet lik null.

potensial, og potensialdifferensen mellom skallene er lik (Fig. 2.1.11).

Den totale motstand

2

1 R - U _ _ I

er iflg. lign.

(2.1.21):

b

2 Eds

R

U .

P jds I

p 1 —— dr 1 4ur2 _ _ r=a_______ I

jndA

b-a 4irab (2.1.29)

283

På grenseflaten mellom de to ledere

(dielektricum og kuleskall)

vil der være en fri overflateladningstetthet

cr =

.

Kapasitetene mellom kuleskallene er: ~(>DndA

£j>EQeEndA

J J

C

(2.1.30)

U

-> -> Eds

Eds

hvor Q er den totale frie ladning på innerleder. Fra denne ligning, lign. (2.1.29) og ohms lov (É = pj) finner vi en sammenheng mellom

R

og

C :

2

Eds

£ EEndA o

EndA

2

Eds

'EndA

eller

(2.1.31)

RC = p e e o

Ekvivalentskjemaet for kondensatoren blir som vist i fig. 2.1.12.

U

Fig. 2.1.12.

284

c) 2.1. (2.1.11) ved statistisk analyse.

Utled lign.

Løsning:

I det stasjonære tilfelle må antall kollisjoner pr. tids­ Det totale antall kollisjoner pr. tids­

enhet være konstant.

enhet og pr. volumenhet i mediet er da:

T = aN = hvor

a

(2.1.32)

N

er den midlere kollisjonsfrekvensen og

midlere tid mellom to kollisjoner.

et bestemt tidspunkt

t

er den

En del av partiklene vil, ved

t , ha en drifthastighet mellom

v+dv ; dette antall kaller vi

n(v)

at partikler med lavere hastighet

.

v

og

Dette antall kan økes ved

akselereres

opp til denne

hastighet,og antallet kan reduseres ved at partikler akselereres ut av dette hastighetsområde.

Denne akselerasjon er forår­

saket av det elektriske felt; forandringen i antall partikler kan

dermed uttrykkes: ,

(v) 3t

felt

_ 3n (v) dv

3v _ 3n (v) 3t ~ 3v

3 ,qE at (m

3n(v) qE " ~3v“ m

(2.1.33)

hvor V

= a®

t

m

Videre vil antall partikler i dette hastighetsområde forandres

på grunn av kollisjoner.

Vi antar at drifthastigheten av par­

tiklene synker spontant til null ved kollisjonen.

Følgelig vil

ingen partikler retarderes inn i det aktuelle hastighetsområde, og forandringen pr. tidsenhet må være lik antall kollisjoner pr.

tidsenhet.

Fra lign.

(2.1.32) finner vi da:

,3n(v)x (~at— )koll. = an(v)

(2.1.34)

285

I det stasjonære tilfelle må forandringen i

n(v)

være lik null;

forandringen på grunn av feltet pluss forandringen på grunn av

kollisjoner må være lik null:

, 3n (v) 1 9t ’ felt

Når

n(v)

. 3n (v) . 1 3t ?koll.

3n (v) m 3v

bare betraktes som en funksjon av

+ an (v)

v

(2.1.35)

som uavhengig

variabel, kan vi skrive:

dv

n(v)

aE + an(v) = 0 m

= - 22 dv qE

Ved integrasjon finner vi: -1In n (v) r \ + In -i c = - eim — qE v

n(v) = -| £

hvor

c

am qE

er en integrasjonskonstant .

(2.1.36)

Alle partikler må nu ha

en eller annen hastighet mellom null og uendelig, og det totale antall partikler pr. volumenhet kan derfor uttrykkes:

(2.1.37)

Følgelig kan hastighetsfordelingen uttrykkes:

286

am qE

Nam qE ’

(2.1.38)

Den midlere hastighet av partiklene defineres som summen av

hastighetene av alle Vi har da:

partikler dividert på antall partikler.

N

00

= H n(v)vdv = i V=O

am 9E V.vdv

l

V=O

Ved partiell integrasjon finner vi:

am v

am L qE f

- aE / qE

,v

00

am o

JE (SE. 2 qE am

am

m

qE

T

_ am

00

r _ )

a)

Fig. 2.1.12

Kollisjonen for en bestemt partikkel inntreffer ikke regulært.

Noen ganger har partikkelen en levetid større enn

t

, andre

ganger har partikkelen en levetid mindre enn t

T

er den

midlere tid mellom to kollisjoner.

;

Strømtettheten i mediet

kan nu uttrykkes:

2 — tE = ■ j = °° i et uendelig tynt skikt ved grenseflaten. Se fig. 3.1.5.

curlH = t + 22 31 Denne ligningen inneholder den generelle kontinuitetsligning

* Den generelle form på lign.

(3.1.6) er:

div(j + 22) = 0 o

(lign.

(2.1.6)).

u

Se kap. om bølgeforplantning.

(kap. 7.1).

293

b)

a)

Fig. 3.1.5.

Den totale strøm i lederen fig. 3.1.5a blir:

tverrsnitt av leder

og den totale strøm i lederen fig. 3.1.5b blir:

I =

and£

periferien av tverrsnitt av leder

hvor

er den normal til lengdeelementet

n

d£

som ligger i

I ledere med endelig ledningsevne kan det

overflateplanet .

imidlertid ikke finnes en overflatestrømtatthet

elektriske felt

E

o

fordi det

da nødvendigvis må være uendelig stort.

Dette

innses lett fra Ohms lov: -> ->■ j = oo = oE

.*

♦ Imidlertid kan det ofte være hensiktsmessig å approximere en strøm som er fordelt i et endelig, men tynt skikt

flaten med en overflatestrømtetthet. evnen

a

BndA = Br2Krh = 0

eller

Br = 0

(3.1.15)

Velger vi å integrere langs en sirkel som er konsentrisk med lederen og ligger i planet normalt på lederen, finner vi fra lign. (3.1.10):

pHds = HQ2Kr = I ”

J

9

Inne i lederen

p I = o2o 9 27Tr

(r■ o mxr 4 TT r 3 p

(3.3.5)

Dette potensial er illustrert i fig. 3.3.1.

Vektoren

r

i lign.

(3.3.5) er nu avstanden mellom et eller

annet punkt i umiddelbar nærhet av strømsløyfen og et vilkårlig valgt punkt

(xyz)

.

fra sentrum i sløyfen.

I fig. 3.3.1 har vi valgt å måle

r

ut

317

Fig. 3.3.1.

Eksempler:

3.3.a) Finn feltet fra en magnetisk dipol.

Løsning: Vi oppnår de enkleste uttrykk for dipolsfeltet ved å bruke sfaeriske koordinater og velge koordinatsystemet slik at dipolen er plassert i origo med dipolmoment rettet langs aksen =o . Iflg,

fig. (3.3.1.) har vi nu : m = Med dette valg av koordinater finner vi fra lign. u A = 01 + — — sind)«i- + Ok, r 4tt 2 * J9

(3.3.5) :

318

Det magnetiske felt

B

er gitt ved:

B = curlÅ

eller B

B

r

i

l4Tir2 Sln 'f)

r

e

i _a_ (r-0) r 9r

4>

-

i

. 2

a

rsinø a *

1 90 r 9

* rsln

ao _ ^o1"003* ,

30

0

1 00 _ 1 9 , po . .. rsincj) 90 r 9r r . 2 sin m = IjjndA = INAn

hvor

n

er positiv flatenormal til tverrsnittet av solenoiden.

I stor avstand fra en solenoide blir feltet alltid et dipolsfelt som vist i fig.

lengden pa solenoiden.

3.3.5.

Dipolmomentet er uavhengig av

Imidlertid er selvfølgelig lengden av

indirekte betydning, fordi den er bestemmende for den avstand fra solenoiden hvor vi kan benytte dipolsfeltet som en brukbar

approximasjon til det eksakte felt.

321

Fig. 3.3.5.

322

3.4.

Magnetisk kraftvirkning

Den magnetiske kraftvirkning pa en ladning v

er, som vi fant eksperimentelt i kap.

q

med hastigheten

3.1, gitt av lign.

(3.1.1) :

->■ -> -> F = qvxB Vi skal nu omforme denne ligning til et eksplisitt uttrykk for kraften på ladningsbærerne i en leder.

dv

på ladningsbærerne i volumelement

Den kraft

som virker

dF

blir nu:

dF = qNvdvxB

Hvor

(3.4.1)

er antall ladningsbærere pr. volumenhet og

N

hastigheten av ladningsbærerne.

v

er drift-

Denne ligningen kan også

uttrykkes på formen:

(3.4.2)

dF = jdvxB

hvor

er strømtettheten.

j

Den totale kraft på alle ladnings­

bærerne i en leder blir derfor: F = ] J j jdvxB

(3.4.3)

hvor integralet skal taes over hele lederen. I mange problemstillinger er det hensiktsmessig å kjenne et eksplisitt uttrykk for kraften på ladningsbærerne i en tynn leder.

Med en "tynn" leder vil vi nu forstå at lederen er så tynn at vi kan neglisjere variasjonene i feltet

lederen.

Når

forutsetter at vi:

=

ds

dv = dsndA

É

É

over tverrsnittet av

substitueres i lign.

(3.4.3), og vi

er konstant over tverrsnittet på lederen, finner

jdvxÉ = I

[ j (dsndA)x

( jndA) xÉ = f + -> F = lédsxB

I(ods)xb = I0xB = 0

Den totale kraft på ledersløyfen er følgelig identisk lik null dersom feltet er konstant over hele sløyfen.

Vi skal nu finne den totale kraft på en magnetisk dipol

m

i et inhomogent felt.

Med begrepet dipol forstår vi nu at

sløyfen har så liten utstrekning i forhold til variasjonene i B

feltet

at vi bare behøver å ta hensyn til førsteordens

variasjoner i

B

over sløyfen.

Se fig. 3.4.1.

x

Fig. 3.4.1.

324

Fig. 3.4.1

325

f

Fig. 3.4.1

I fig. 3.4.1 har vi uttrykt det magnetiske moment

m

i

kartesiske koordinater: m = Idydz«T +

^ * Idxdz

+

Idydx« k

Den totale kraft kan nu finnes fra lign.

(3.4.4)

og fig. 3.4.1.

Vi får da: F

3B 3B = IB dy - I(B + -- - dz)dy + IB dz - I(B + —dy)dz x z 2 z 3z 2 y y 3y

3B 3B - IB dz + I(B + —dx)dz - IB dy + I(B + —±dx)dy y y 3x z 7 z 3x

3B 3B 3B 3B = (- -—- - —-^) Idydz + —Idxdz + --- Idxdy 3z 3y y 3x 3x 7

Fra Maxwells ligning

divB

0

finner vi:

326

Følgelig kan kraften i x-retning uttrykkes:

F

x

3B 3B _x 3x Id*dz +

3B _x m 3x x

Fy

3B Idxdz

3B —m 3x y

asr Idxdy

3B _z m 3x z

(3.4.6)

kan finnes direkte fra dette uttrykk ved permutasjon av indeksene. Generelt kan vi derfor uttrykke kraften på formen:

Kraften

og

Fz

F = (mV)B + mxcurlB

(3.4.7)

Det overlates til leseren å vise at dette uttrykk er i overens­

(3.4.6).

stemmelse med lign.

Dersom dipolen befinner seg i vacuum, har vi fra Maxwells ligning:

curlB = p^curlH =

og lign.

(3.4.8)

= 0

(3.4.7) kan skrives:

(3.4.9)

F = (inV)B Legg merke til at

j

er lik null i lign.

(3.4.8)

fordi

det felt som er satt opp av andre kilder enn strømmen I.

B

er Den

totale strømtetthet i den uendelig tynne leder er selvfølgelig uendelig stor.

Vi har nu sett at den totale kraft på en leder i et homogent magnetisk felt er identisk lik null.

Imidlertid vil

sløyfen være utsatt for et kraftpar som vil sette opp et dreie­ moment. Fig. 3.4.2.

{

I

327

a)

b)

Fig. 3.4.2.

Kraftparet

på sidekantene

a

blir fra lign.

(3.4.4).

Fx = IaB

Dette kraftparet vil utsette sløyfen for et dreiemoment

M :

M = F^bsincfi = IabsinB

eller M = mxÉ

hvor

in

kantene

er sløyfens dipolmoment.

b

dreiemoment.

(3.4.10)

Kraftparet

F^

på side-

vil, som fremgår av fig. 3.4.2, ikke resultere i noe Det er lett å innse at lign.

(3.4.10)

vil gjelde

for en sløyfe av vilkårlig geometri i et homogent felt.

Fig. 3.4.3.

328

Fig. 3.4.3. Vi tenker oss at et areal som er begrenset av sløyfen

S, deles

opp i et uendelig antall sløyfer av samme geometri som sløyfen i fig. 3.4.2. et

dipolmoment

Hver av de infinitesimalt små sløyfer har nu dm :

dm = nldA

Det totale dreiemoment blir nu fra lign.

-+■ ff -> + dmxB M = JJ

nldA)xB

hvor

m

(3.4.10):

nldAxB

mxB

q. e . d.

er det totale dipolmoment for sløyfen

S

329

Eksempler:

3.4.a) Anta at en ladning q kommer inn i et homogent magnetisk Beskriv partikkelens bevegelse i felt § med hastigheten v . feltet.

Løsning:

v -q *—

♦B

v q •-----

b)

Fig. 3.4.4.

330

I fig.

3.4.4a har vi skissert det tilfelle hvor en negativ

ladet partikkel

(-q)

kommer inn i feltet med en hastighet

rettet normalt på feltet. kraft

vei

v

Partikkelen blir da utsatt for en

F = - qvxB . Denne kraften er alltid rettet normalt på den ds som partikkelen går: ds, (v = dt>

Følgelig kan det statiske magnetiske felt ikke tilføre partikkelen

energi, og tallverdien av hastigheten

v

må derfor være konstant.

Imidlertid vil hastighetens retning forandres, og partikkelen vil

tvinges inn i en sirkulær bane hvor den maanetiske kraft virker som sentripetalkraft.

Radien

r

på banen er nu bestemt ved:

F = qvB = m

hvor

m

er partikkelens masse.

Dersom vi substituerer

v = wr

i dette uttrykk, finner vi: n = m — v = m — ær qB = mw r r

Vi ser nu at omløpsfrekvensen, eller cyklotronfrekvensen, \)

=

co 2

-------

tt

=

qB 2 irm

-a-------

blir uavhengig av partikkelens hastighet.

For et gitt magnetisk

felt er omløpsfrekvensen et tall som bare er bestemt av forholdet

mellom partikkelens ladning og masse. uavhengig av fortegnet på ladningen;

Cyklotronfrekvensen er ladningens fortegn vil bare

innvirke på omløpsretningen i forhold til positiv retning på B-feltet. (Fig. 3.4.4a og b).

En partikkel som kommer inn i magnetfeltet med en hastighet

langs B-feltetf vil ikke innflueres av det magnetiske felt i det

hele tatt fordi kraften

F = qvxB

da er identisk lik null.

Følgelig vil en partikkel som kommer inn i feltet med en vilkårlig retning i forhold til §-feltet utføre en helix-bevegelse langs

feltet.

I fig. 3.4.5 har vi illustrert banen for ladede partikler

som kommer inn i jordens magnetiske felt.

331

Fig• 3.4.5. De partikler som kommer inn i ekvatorplanet blir avbøyet i stor avstand fra jorden.

Men de partikler som kommer inn mot jordens

magnetiske poler,vil beveges i en helix-bane,og de vil trenge inn til jordens ytre atmosfære.

Årsaken til nordlys

(og sydlys)

er nettopp ladede partikler som trenger inn gjennom jordens magnetiske felt ved polene.

b) 3.4. Gitt to tynne parallelle ledere som begge fører strømmen I

i motsatt retning. lederne.

Finn magnetisk kraft pr. lengdeenhet av

332

Løsning:

Fig. 3.4.6. Den kraft som virker på ladningsbærerne i lengdeelement

den ene leder er:

(lign.

ds

av

(3.4.5))

dF = IdsxB hvor

leder:

B

er det magnetiske felt som er satt opp av den andre

(lign.

(3.1.16))

|B| B - 2ird

hvor d er avstanden mellom lederne. blir derfor:

2ird

Kraften

F

pr. lengdeenhet

2ird

Kraften vil prøve å skyve lederne fra hverandre. Dersom strømmen går i samme retning i begge lederne, vil kraften virke tiltrekkende.

333

C) 3.4. Gitt en magnetisk dipol

til en tynn sirkulær sløyfe.

m

som befinner seg på midtnormalen

Dipolmomentet er rettet langs

sløyfenormalen som vist i fig. 3.4.7.

Finn kraft og dreie­

moment på dipolen.

Fig. 3.4.7.

I oppgave 3.2b) fant vi følgende uttrykk for feltet på midt­ normalen: Bx = 0 ?

By = 0 ;

uoIa2

Bz = --- 2---2(z2+a2) /2

Kraften på dipolen kan nu finnes direkte fra lign. F - (inv)5

eller

F

x

= 0 ; ’

F

y

- 0:

(3.4.9):

334

og F

z

= (0 -|— + 0 -|— + m -|-)B 3x 3y 3z z p Ia2

3 m

3

' 5--------- rr z

3

2 (z 2 + a2)

Vi skal nu finne kraften på dipolen uten å benytte lign.

(3.4.9)

6 B, ----- 6r

dr

b)

Fig. 3.4.8. I fig. har vi tegnet dipolen

radius

og strøm

dr

m

som en liten sirkulær sløyfe med

(in = 7rdr2I201< z )

I2

Den totale kraft

pa dipolen er,som vi ser fra fig. 3.4.8, forårsaket av 3B (B

ar

dr)

og ikke av (Bz

9Bz dr) ar

.

Vi trenger derfor å kjenne r-komponenten av S-feltet langs peri-

ferien på dipolen.

Denne komponenten er imidlertid bestemt av z-komponenten på grunn av Maxwells ligning div§ = 0 eller

335

Vi betrakter derfor utstrømning av B-felt fra en

BndA = 0 .

JJ liten sylinderflate som vist i fig. 3.4.9.

Fig. 3.4.9

Siden

0

B

0

nar

finner vi:

3B 3r

(B

* 2irdrdz dr

3B + -z—- dz) -ndr2 z 3z

B rdr2 = 0 z

eller

3B 3r

3B 1 _z 2 3z

(lign

Den totale kraft på dipolen blir nu:

(3.4.4))

3B

£ = ()I dsxS = - (I22irdr

i

3B

m

2I2'dr!

curl(B

u M)dv = 0 Ho

(3.5.10)

Siden flaten er vilkårlig valgt må integranden være lik null.

Vi

har derfor:

(3.5.11)

curl(B - pQM) = 0

Dersom vi også antar at det totale B-felt kan ha et bidrag fra en (lign. (3.5.1)) makroskopisk strømtetthet j , har vi: curl(B - pQM) = pQj

eller curl(— - M) = j Po

(3.5.12)

Vi definerer nu den magnetostatiske vektor

curl er lik strømtettheten curlH = j Denne definisjon på

B

og

H :

H

som den vektor hvis

j . (3.5.13)

H

impliserer da følgende sammenheng mellom

346

B %

H

M

(3.5.14)

Denne ligningen uttrykker den generelle sammenheng mellom og H . til:

B

I vacuum og umagnetiske media reduseres denne relasjonen

Legg merke til at

er en avledet størrelse som er introdusert

H

i den hensikt a bringe Maxwells ligninger på samme form i

magnetiske og umagnetiske materialer.

Det er ikke nødvendig å

introdusere denne størrelsen; det er bare hensiktsmessig.

Vi kan,

som vi har sett, beskrive de magnetiske fenomener fullstendig med vektorene

B

og

M

alene.

Grunnen for å introdusere

ff

i

magnetostatikken er nu den samme som grunnen for å introdusere i elektrostatikken.

6

Vi kan nu skrive Maxwells ligninger i det

magnetiserte medium på samme form som (lign. (3.5.2))

ligningen i vacuum:

curlH B > ■* H = ---M -> 11

(3.5.15)

divB =

Vi skal utlede det generelle uttrykk for det magnetostatiske vektorpotensial

A .

Vi skriver da lign.

(3.5.15) på formen:

curlff = j § = curlÅ

ff = ---- M yo

(3.5.16)

Når vi opererer med curl på begge sider av likhetstegnet i den siste ligning, får vi: curlB = curlcurlA = graddivA - V2a

347

Ved substitusjon av de to andre ligninger i lign.

finner

(3.5.16)

vi: curlB = curlpQ(H+M) = uQ(j+curlM)

= graddivA-V1 2A

(3.5.17) Vi velger nu, på samme måte som i det umagnetiske tilfelle, at

—t A

skal være divergensfri:

divA = 0

Ved dette valg blir lign.

(3.5.17) på formen:

V2A = - po(j+curlM)

Fra denne ligningen ser vi at strømtetthet.

(3.5.18)

curlM

opptrer som en ekvivalent

Dette er ingen tilfeldighet:

curlM

er fysikalsk

den makroskopiske middelverdi av den mikroskopiske strøm som settes opp av de ladninger som er bundet til baner rundt atomene. Vektoren

størrelse

-divP

curlM

-divP

er på denne måte analog til den skalare

i elektrostatikken.

Den skalare størrelse

er nettopp den makroskopiske middelverdi av tettheten av de

bundne ladninger.

Den bundne strømtetthet

= curlM

represen­

terer ingen transport av ladning over makroskopiske avstander.

Denne transporten beskrives av strømtettheten ladningsbærerne. lign.

av de fri

Vi har nu full fysikalsk bakgrunn for å skrive

(3.5.18) på formen:

V2A =-Po(j+jb) hvor

j

jfc

- (3.5.19)

er gitt ved:

j = curlM Jb

(3.5.20)

1 grenseområdet mellom to media vil magnetiseringen, rent fysikalsk

forandres kontinuerlig i et grenseskikt.

Tykkelsen av dette

grenseskiktet vil vanligvis være sammenlignbar med atomære dimensjoner.

I mange problemstillinger er det derfor hensikts­

messig å anta at magnetiseringen forandres diskontinuerlig i

348

grenseflaten.

Den bundne strømtettheten

uendelig ved grenseflaten.

i, vil dermed bli Jb Vi introduserer derfor en overflate-

strømtetthet av de bundne ladninger. med lign. (3.5.20) har vi derfor:

I overensstemmelse

(3.5.21)

= ocurlM = n^xM^ + n^M,,

På samme måte som den bundne strømtetthet tettheten av de fri ladningsbærerne

flatestrømtettheten

er analog med strøm­

j , blir nu den bundne over-

analog med en overflatestrømtetthet

av de fri ladningsbærere.

I fig. 3.5.5 har vi vist en sylindrisk,

uniformt magnetisert,permanent magnet.

Magneten befinner seg i

Fig. 3.5.5.

Strømtetthetene av de frie ladningsbærerne identisk med null overalt i rummet.

(^

og

a)

er nu

Siden magnetiseringen

M

er

uniform inne i magneten og lik null utenfor magneten, vil den

bundne strømtettheten og innenfor magneten.

være lik null overalt i rummet utenfor b Ved den sylindriske grenseflaten har vi j

nu en diskontinuitet i tangensialkomponenten av

M

og dette

349

korresponderer med en bundet overflatestrømtetthet

.

I fig.

3.5.5b har vi vist hvordan vi kan oppfatte denne overflatestrømtetthet som resultanten av ladningenes bevegelse rundt atomkjernene (Ib)

. Den generelle løsning av Poissons ligning for vektor-

potensialet (lign.

(3.5.18)) kan nu uttrykkes : *

Å = ^2 4 7T

^b ---- dv

% 4 7T

4tt

a+a, --- 6 dA

a+(n,xM.+n? xM?) ---- ±-- i-- --- — dA

(3.5.22)

Vi har tidligere påvist at der ikke kan finnes overflatestrøm-

tettheter

cr

i materialer med endelig ledningsevne.

I behandlingen

av ikke-magnetiske materialer er derfor overflateintegralet i lign. (3.5.22)lik null.i behandlingen av magnetiske materialer er derimot

overflateintregralet av stor betydning; i de fleste problemstillinger kommer det dominante bidrag til vektorpotensialet nettopp fra >

dette leddet ** .

>

I vår behandling av magnetostatiske og elektrostatiske felter er det magnetiske felt B og det elektriske felt É begge definert

*

ut fra kraftlover.

Den fullstendige lov for kraftvirkningen på en

ladet partikkel er nu:

(lign.

(1.2.24) og (3.1.1))

F = qÉ + qvxB

hvor

q

er ladning og

* Sm. lign.

(3.5.23)

v

er hastigheten av partikkelen.

(3.2.9) .

**I den problemstillingen som er vist i fig. 3.5.5 får vektor­

potensialet bare bidrag fra dette overflateintegralet .

350

Denne ligningen kan betraktes som en definisjon på hva vi skal forstå med vektorfeltene B og É . Disse vektorfeltene kan

* felter.

derfor betraktes som analoge

Den elektriske induksjon D og feltet H er begge av­ ledede størrelser som introduseres for å få Maxwells ligninger

på en hensiktsmessig form. Dette valg impliserer følgende uttrykk for D og H : (lign. (1.14.17) og (3.5.14))

D = e E + o

p

(3.5.24) H = — B - M

Vektorfeltene

D

H

og

kan

også

betraktes som analoge felter.

Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom det magnetiske felt

B

og den magnetisering

sammenhengen mellom

B

M

og

som dette felt setter opp. M

Vi uttrykker

i en Taylor-rekke:

M = f (B)

Mi = “i + aik3k + “ik£BkBl + .............

(3.5.25)

Koeffisientene i denne rekken er parametre som karakteriserer

materialets egenskaper.

Når

B-feltene er tilstrekkelig små, behøver vi bare å ta

hensyn til ledd opptil første orden i denne rekken.

I magnetiske

isotrope materialer er den permanente magnetisering

a.

og

M

og

B

lik null,

er alltid enten parallelle eller antiparallelle.

* I kapittelet om bevegelige system skal vi vise at denne analogien har fysikalsk bakgrunn: forskjellen på B og É er bare et spørsmål om valg av referansesystem.

351

Vi har da:

aB .

M. = a .. B r ik k

eller

(3.5.26)

M = aB

Sammenhengen mellom

H

H

— - M %

og

(lign.

B

B %

aB

(3.5.14)) kan da uttrykkes:

1_ %

->■ 1 -> p a) B = --- B O UOU

eller B = popH

Konstanten

(3.5.27)

kalles den absolutte permeabilitet og

u

kalles den relative permeabilitet. Verdien av U er avhengig av den magnetiseringsmekanisme

som dominerer i materialet.

0>l

ferromagnetisk

Vi skal nu se litt detaljert på magnetiseringen i ferromagnetiske materialer.

352

b) Fig. 3.5.6.

353

I fig. 3.5.6a har vi skissert et typisk B-H diagram for et ferromagnetisk materiale. * I punkt 1 er den totale magnetisering

i materialet lik null.

(Se fig. 3.5.3a).

Når B-feltet økes, vil

de domener som har et magnetisk moment parallell med (Fig. 3.5.3b).

I punkt

av denne type.

En ytterligere økning av

2

B

vokse.

består materialet bare av en domene

B

kan derfor ikke

medføre noen forandring av magnetiseringen.

Når B-feltet nu

reduseres til null, vil materialet delvis beholde magnetiseringen.

(punkt

3

Dersom vi øker B-feltet i negativ retning, kommer

).

vi til punkt

4

hvor materialet igjen består av en domene.

Når B-feltet igjen reduseres til null, kommer vi til punkt

5

hvor magnetiseringen er like stor som magnetiseringen i punkt Men magnetiseringen i punkt

3

og

En slik sammenheng mellom

B

5

og

3

er rettet i motsatt retning. kalles for en hysterese-

H

sløyfe, og den kan selvfølgelig ikke beskrives av den lineære

relasjon B = UquH .

Vi kan imidlertid heller ikke uttrykke sammen-

[

hengen i en Taylor-rekke fordi én verdi på

1

med én bestemt verdi på

B

ikke korresponderer

For å finne den verdi på

H .

korresponderer med én bestemt verdi på

B

H

som

må vi kjenne materialets

magnetiske "historie". I mange praktiske anvendelser av ferromagnetiske materialer

fi

er man ikke interessert i deres egenskaper som permanente magneter. Man benytter materialet fordi det har en høy permeabilitet.

4

I

slike problemstillinger neglisjerer vi derfor bredden på hysteresesløyfen.

I fig. 3.5.6b har vi vist hvordan vi kan approximere

2

sammenhengen mellom

a a

B = uonH .

t

3.5.a)

B

og

H

med den lineære relasjon

Eksempler:

Gitt en kule av et lineært isotropt materiale med magnetisk

q

permeabilitet

5

felt

3

I

V

8

371

Eksempler: 3.6.a)

Finn den magnetiske flux i den krets som er vist i fig. 3.6.5

Løsning:

b) Fig. 3.6.5.

Dersom I fig. 3.6.5 har vi vist en jernkrets med en luftspalte 6 . 6 er liten i forhold til sidekantene i tverrsnittet av jernkjernen er det rimelig å anta at feltet i luftspalten B^ 0 har vi nu: Fra Maxwells ligning B nl, + B n2„

B6

B. 3

Videre har vi:

oHds

Siden

B. = p uH. 3 0 3

H .£ . + H.6 = NI o 3 3

og

6 =

B. B . 6 = NI —. +

uoH6

finner vi nu:

er uniformt

372

og

= B .A

NI £ ■

x

—L + _Å_ VA %A

Den magnetiske motstand i jernet

magnetiske motstand i luftspalten

NI R . + R r mj mo

Rmj.

kommer her i serie med den

R r mG Denne ligning kan nu betraktes som den generelle definisjon på

Leddet:

-H H-feltet.

aS at 5?( kalles forskyvningsstrømtettheten . Dersom vi opererer med divergensoperatoren på begge sider av

pb denne ligningen, får vi: div(curlH)

0 = div (j + ^) ov

380

Denne ligningen kjenner vi godt fra før: det er kontinuitetsligningen for ladning (lign.

(2.1.6)).

Vi ser således at

kontinuitetsligningen for ladning kan utledes fra Maxwells

ligninger; Maxwells ligninger inneholder informasjon om kon­ tinuitet av ladning. Eksperimentene viser også at B-feltet fortsatt tilfreds­ stiller ligningen: *

«^BndA =0

(4.1.7)

div§ = 0

(4.1.8)

eller

Eksperimentelt har vi således funnet at den fullstendige form på Maxwells ligninger på integralform for tidsavhengige felter

kan uttrykkes:

9 4> 9t

Eds

Q

D

o

+ P (4.1.9)

Hds

9 9t

I

DndA

H

B %

M

0

Denne ligning kan,på nær en tidsuavhengig konstant, utledes fra lign. (4.1.2).Siden divcujl E =o har vi: o= divcurl E^= div( -|| ) = --i div §

eller: div B = konst.m.h. p.tiden Siden denne konstant er lik null i det statiske tilfelle så må

konstanten ogsa ha samme verdi i det tidsavhengige tilfelle fordi

den er tidsuavhengig.

381

På differensiell form:

curlE

3B at

£ É + P

divD = p

O

(4.1.10) curlH = j + -— O U

divB = 0

H = — - M %

382

Kap. 5.

5.1.

Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk behandling

Innledning I de fleste praktiske problemstillinger vil den eksakte

løsning av Maxwells ligninger på den generelle form (lign.

medføre et meget omfattende matematisk arbeid.

(4.1.10))

I mange tilfeller

kan man imidlertid finne en meget god beskrivelse av de

fysikalske fenomen ved approximative løsninger.

Ligningssettet (5.1.1) er basis for en kvasistatisk approximasjon av magnetostatisk karakter: Integralform:

Eds = -

$

ot

D

£ E + P O

(5.1.1) Hds

3 at

I

DndA = I

H

B %

M

0

Differensiell form: curlE

3B 3t

divD = p

(5.1.2)

curlH = j +

divB = 0

J

383

Vi neglisjerer bidraget til curlH fra forskyvningsstrømtett3D . heten — De magnetiske feltene er nu bestemt av nøyaktig de samme ou ligninger som vi benyttet i det magnetostatiske tilfelle. Det elektriske felt

E

er derimot ikke bestemt av de statiske

ligninger; vi tar hensyn til induksjonsleddet; 3B at ‘

La oss nu betrakte strømfordelingen i en leder med konstant £

ledningsevne; vi skal finne ut hvilken strømfordeling som kan

d

beskrives av disse ligninger.

Fig. 5.1.1.

384

divj - 0 curlj: 0

Likestrøm

Åpen

krets

d)

Fig. 5.1.1.

I fig. 5.1.1a har vi vist strømfordelingen i en leder i det Der finnes kapasitet mellom ethvert lite

generelle tilfelle.

element av ledersløyfen og alle andre elementer av sløyfen.

En

del av strømmen i lederen flyter mot overflaten, og vi får en tidsavhengig overflateladning

—- .

Denne tidsavhengige overflate-

ladning må, ifølge kontinuitetsligningen, tilsvare at

divj / 0 .

Grensebetingelsen for strøm blir i overenstemmelse med lign.( 2.1.5 );

9t 9a 9t

(5.1.3)

385

eller ,siden j=0 på vacuumsiden: (5.1.4)

9t

er flatenormalen rettet inn i lederen.

n

hvor

Denne akkumulasjon av ladning på overflaten medfører derfor at strømmen ikke er den samme overalt i lederen på et bestemt tids­

punkt; strømmen variérer langs lederen. Dersom vi antar at Ohms lov er tilfredsstilt , finner vi fra

Maxwells ligninger (lign.

(5.1.2))

curlÉ = curlp j = O L.

eller ,q 1 nX (5.1.5)

. "t 13B curlj = - — yt hvor

P

er den spesifikke motstand.

Strømtettheten vil nu også variere over tverrsnittet av lederen fordi det tidsavhengige B-felt gir et bidrag til

Dette

curlj .

generelle tilfelle er illustrert i fig. 5.1.1a). I det kvasistatiske tilfelle neglisjerer vi leddet

i Maxwells ligninger.

3d —

Kontinuitetsligningen for ladning blir da:

(lign. (2.1.6)

divj = - div

O L-

= 0

og ved overflaten får vi betingelsen (lign.

(5.1.6)

(5.1.3))

odivj^ =0 eller

jn = 0

Strømtettheten

(5.1.7)

er nu divergensfri, og normalkomponenten ved

overflaten av lederen er lik null.

Vi neglisjerer således

akkumulasjonen av ladning,og strømmen er den samme overalt i lederen

på et bestemt tidspunkt.

Fig. 5.1.1b.

vi neglisjerer imidlertid ikke induksjons leddet

- — , og ot

386

dette medfører at lign.

(5.1.5)

fortsatt er gyldig i den kvasi-

statiske approximasjon. I det kvasistatiske tilfelle kan vi derfor konkludere:

Strømmen

varierer ikke langs lederen, men strømtettheten

I

vil variere over tverrsnittet av lederen.

j

Dette forhold er

illustrert i fig. 5.1.1b.

I likestrømstilfellet er både leddet

_ ___ at at Strømtettheten er derfor både curl- og divergensfri

lik null.

(lign.

(5.1.5) og (5.1.6)).

lederen og strømtettheten

Strømmen "j

I

varierer ikke langs

er jevnt fordelt over tverrsnittet av

en rett leder med konstant tverrsnitt . *

Fig. 5.1.1c.

Vi har sett at en av konsekvensene av den kvasistatiske app­

roximas jon er at strømmen

I

ikke varierer langs lederen.

Følgelig

strømmen alltid ga i lukkede ledersløyfer. Når ledersløyfen er åpen, må strømmen I nødvendigvis være identisk med null langs

Dette betyr at vår kvasistatiske approximasjon

hele sløyfen.

ikke kan beskrive et fenomen som oppladning av en kondensator. Fig. 5.1.Id.

Vi skal nu se litt på hvilke potensialer det er mulig å inn­

føre for

B

og

E .

Fra lign.

(5.1.2) ser vi at de magnetiske

feltene er bestemt av de samme ligninger som i det magnetostatiske

tilfelle.

Vi kan derfor benytte alle de uttrykk som vi utviklet

for de magnetiske felter i kap. 4. vektorpotensial & f hvor:

Vi introduserer fortsatt et

B = curlA

(5.1.8)

divÅ =0

(5.1.9)

Imidlertid er curlE / 0 , og vi kan derfor ikke uttrykke 5 som gradienten til et skalart potensial. Dette problem kan, som vi nu skal se, løses på en meget enkel måte. (5.1.2) har vi:

Fra lign.

(5.1.8) og

* Strømtettheten er selvfølgelig ikke konstant over tverrsnittet av en irregulær leder; strømtettheten tilfredsstiller Laplaces ligning

divgradj = V2j = 0 .

387

+ 9B a curlE = - T-r = VT curlA OL OL

curl(E + -|£) = 0

(5.1.10)

O L

Vi har konstruert en ny vektor curlfri.

(E + —)

, og denne vektoren er

Følgelig kan vi uttrykke denne vektoren som gradienten

Vi setter derfor:

til et skalart potensial.

E +

= - gradV O L

eller É = - gradV -

(5.1.11) O L.

Dersom vi nu multipliserer med divergensoperatoren på begge sider

(lign.

av denne ligning, får vi:

divE = - divgradV -

OL

(5.1.9) og (5.1.2)) divÅ

V2V = - P~di-XP e o

(5.1.12)

Vi ser her at det er meget gunstig fortsatt å velge med dette valg oppnår vi ikke bare at

A

divA = 0 ;

selv tilfredsstiller den

samme differensialligning som i det magnetostatiske tilfelle, men også at

V

tilfredsstiller den samme differensialligning som i

det elektrostatiske tilfelle (lign.

(5.1.10) og (5.1.12)).

Vi skal nu se litt nærmere på sammenhengen mellom

E ,

V

A . Linjeintegralet av

É

langs en lukket sløyfe som vist i

fig. 5.1.2a blir:

-gradVds -

ds

(5.1.13)

og

388

a)

b)

Fig. 5.1.2.

vi har bare regnet oss

Resultatet er ikke særlig overraskende;

tilbake til Maxwells ligning på integralform (lign. Legg merke

til at linjeintegralet av vektoren

(5.1.1)).

- gradV

langs en

lukket sløyfe nødvendigvis må være lik null fordi en vektor som kan uttrykkes curlfri.

fordi

som gradienten til et skalart potensial alltid er

Linjeintegralet av

E

er derimot forskjellig fra null

/ 0 ; i det tidsavhengige tilfelle kan derfor

curlE = -

lukkede sløyfer.

E-feltlinjene danne

La oss nu se på linjeintegralet av er lukket: (Fig. 5.1.2b) 2

2

gds =

E

langs en kurve som ikke

2f 3A + -gradVds at ds

2

= V1"V2 -

3 A ds - = ft

+

E

(5.1.14)

389

Vi innfører nu følgende definisjoner:

a)

Elektrisk spenning mellom punktene 1 og 2 defineres som for­

skjellen i skalart potensial mellom punktene b)

Indusert elektromotorisk kraft

e

’

mellom punktene 1 og 2

defineres som minus linjeintegralet av den tidsderiverte av vektorpotensialet mellom punktene. Den kvasistatiske approximasjon kan, som vi har vist i fig. 5.1.Id, ikke beskrive oppladningen av en kondensator.

Vi kan bare

benytte denne approximasjon i områder av rummet hvor forskyvnings-

strømtettheten

- -rot

er vesentlig mindre enn strømtettheten

j .

I en elektrisk krets, som vanligvis består av både spoler og

kondensatorer, kan vi derfor bare benytte denne approximasjonen i områder som bare inneholder spoler.

(området

a

i fig. 5.1.3).

Fig. 5.1.3.

390

I området

0 , hvor induksjonsleddet

—

er neglisjerbart, kan

vi beskrive forholdene med en annen approximasjon: kvasistatisk approximasjon av elektrostatisk karakter.

skal

vi behandle i kap. 6.

Denne approximasjon

I

391

Eksempler: 5.1.a)

Gitt en elektrisk ladning som befinner seg i feltet fra en tidsavhengig magnetisk dipol.

Den relative hastighet mellom

dipolen og ladningen er null.

Finn kraften på ladningen.

Løsning:

Vektorpotensialet

A

dipolen er gitt ved lign.(3.3.5):

+ Ho mxr A = — --4ir _ 3

v

b)

Fig. 5.1.4.

392

Når vi velger koordinatsystem som vist i fig. 5.1.4a, får vi: Uomsin(t)

A

4-rrr 2 Det elektriske felt blir nu:

# = - gradV - — 9A E 0 u

p sind) , o y dm 4irr2 dt

hvor gradV=o fordi der ikke finnes områder med ladning, Den kraft som virker på ladningen er gitt av:

F = qE + qJxB = - q

v

hvor

p sind> , --- I * 5 J 4irrz dt

(5.1.15)

er den relative hastighet mellom sløyfen og ladning.

(Gitt lik null i oppgaven).

Se fig. 5.1.4c.

5. l.b) Gitt en sirkulær ledersløyfe.

På midtnormalen av sløyfen

en tidsavhengig magnetisk dipol. langs midtnormalen.

Dipolmomentet er rettet

Finn indusert elektromotorisk kraft i sløyfen.

Løsning:

Indusert elektromotorisk kraft i den lukkede sløyfe er gitt ved: (lign. (5.1.1))

e =

Uds

i sløyfen kan finnes enten ved å integrere §-feltet

over en flate som er begrenset av sløyfen, eller ved å integrere vektorpotensialet Å langs sløyfen. Vi skal løse foreliggende

oppgave ved begge metoder.

393

a)

Fig. 5.1.5.

Vi velger å integrere §-feltet over den kuleflaten som er vist i fig. 5.1.5a. Dette .er et fordelaktig valg fordi nu bidrar bare r-komponenten av §-feltet til fluxen, og denne komponenten er også

parallell med flatenormalen

Men vær klar over at vi kan

n .

integrere over enhver flate som er begrenset av sløyfen. å-feltet er gitt ved: (lign. (3.3.6))

B dA

ø

u m _o a

2my cosø -------ø=o 4ira3

1 2 sin2 ø

Vi

Pomsin201

2a

o

2-n-asinøadø

394

Vi har derfor:

a u msin2 o / o_____ _ 9t 1 2a ’

o

p sin2^ , 1 dm 2a 3t

Var definisjon av positiv flatenormal

positiv

regnet langs

e

i fig. 5.1.5a.

ds

Langs periferien på sløyfen er

A

p mxa o 4ira3

korresponderer med

n

p msind), o Y1

4ira2

gitt ved

A

je

Uomsin21 4>

2TTasin(j>, A

Ads

1

2a

u

og p^in2^ £

E

at

dm dt

2a

regnes nu positiv langs

ds

i fig. 5.1.5b.

Denne induserte elektromotoriske kraft vil nu sette opp en strøm i sløyfen.

Den fysikalske mekanisme for dette fenomen

ligger i at den tidsavhengige magnetiske dipol setter opp et

elektrisk felt

E .

Dette feltet påvirker ladningene i lederne og

strømmen etableres av de frie ladningsbærerne.

Dette elektriske

felt regnet vi ut i oppgave 5.1a.

5.l. c)

Gitt en sirkulær spole med

N

tørn.

et uniformt tidsavhengig magnetisk felt e.m.k. i spolen.

Spolen befinner seg i B .

Finn indusert

395

Løsning:

Bit)

Fig. 5.1.6.

Den totale flux i spolen er

N

ganger fluxen i én tørn.

da: e = - du hvor

A

- -r-r d u NAcosB(t) = - NAcoscf) -g-f ot B(t)

er tverrsnittsarealet av spolen.

Vi får

396 5.2.

Selvinduktivitet og gjensidig induktivitet

Vi skal nu behandle det magnetiske bidrag til linjeintegralet av E langs en ledersløyfe. Det magnetiske bidrag er gitt av Maxwells ligning: (lign. (5.1.1)) = - 5

fcdS = -

J

o

U

HKdA = -

hds

(5.2.1)

0L j

dUj

igjennom sløyfen er, under forutsetning av at

Den totale flux

det i rummet ikke finnes materialer med en ikke-lineær sammenheng mellom

B

og

H , proporsjonal med strømmen i sløyfen.

Vi kan derfor skrive:

BndA

-> -> oAds

LI

hvor proporsjonalitetskonstanten tivitet.

(5.2.2) L

kalles sløyfens selvinduk­

Fig. 5.2.1.

397

I fig. 5.2.1a har vi vist en strømførende ledersløyfe.

Dersom

sløyfen har sirkulært tverrsnitt og diameteren på lederen er mye mindre enn diameteren i ledersløyfen, vil de lukkede S-feltlinjene gå enten bare utenfor eller bare innenfor lederen.

Vi kan derfor

og en indre flux

dele fluxen opp i en ytre flux

.

Størrelsen av den indre fluxen vil avhenge av strømfordelingen over ledertverrsnittet.

Strømfordelingen er igjen avhengig av

frekvensen; for høye frekvenser *

vil strømmen være fordelt i et

tynt skikt ved overflaten av lederen,

(fig. 5.2.1b), mens strømmen

vil være jevnt fordelt over lederen for lave frekvenser * 5.2.1c).

.

(Fig.

I høyfrekvenstilfellet vil derfor den indre fluxen være

neglisjerbar.

Men i lavfrekvenstilfellet er i alminnelighet denne

fluxen ikke neglisjerbar; dersom lederen er laget av et ferromagnetisk materiale, kan den indre fluxen endog blir større enn den

ytre. Den ytre fluxen . *** ingen

$

er derimot uavhengig av strømfordel-

Vi kan derfor finne denne fluxen ved å anta at den

totale strømmen

går langs lederens midtnormal.

I

(Se fig. 5.2.Id).

I første omgang skal vi nu neglisjere den indre fluxen, og vi skriver derfor: $ = $

Y

= ©Ads J r

Vektorpotensialet

A

kan, som vi har diskutert, tenkes å være satt

opp av den totale strøm lign.

(5.2.3)

I

plassert i lederens sentrum.

Fra

(3.2.16) har vi da: ds,1 _ y o I Ir __ 4 ir J r

(5.2.4)

l-----------------------------------------------------------------------* I kapitlet om strømfortregning vil vi presisere hva vi skal fore

stå med "høye frekvenser".

*

** Dette er strengt tatt bare gyldig for likestrøm.

*** Dette er selvfølgelig bare riktig dersom strømfordelingen er

rotasjonssymmetrisk over tverrsnittet av leder. Denne betingelse er tilfredsstilt når lederen har sirkulært tverrsnitt, og diameteren

på ledersløyfen er mye større enn diameteren på lederen.

Dersom

lederen har et irregulært tverrsnitt, er det heller ikke mulig å

skille mellom en ytre og indre flux.

398

hvor

er lengdeelementet langs senterlinjen i lederen.

ds^

Den totale flux gjennom en ledersløyfe er nu lik fluxen

igjennom en matematisk sløyfe T på overflaten av lederen. (Se fig 5.2.1). Dersom vi kaller lengdeelementet langs F for d^ , finner vi:

(lign.

4>

(5.2.3) og (5.2.4))

V

4>

4 TT

y

dsl

o

2

ds2

V 4 TT

f 12

V1 4tt

j>A1ds2

J

2

2

f dsl o r ) ds2

4tt

dslds2

o

(5.2.7)

21 hvor

er avstanden mellom

ds^

På samme måte finner vi for

-Fds =

F' ds=

+

2

f

-qEds = q -gradVds

1

;’

:>

2

r

= q(V1-V2) = qU

Vi kan skrive

a :

(5.3.2)

É = - gradV

i området mellom endepunktene av

lederne fordi vi har forutsatt at der ikke finnes tidsavhengige magnetiske felter i denne delen av rummet. I løpet av tidsintervallet

ladninger lik

arbeid Idt

dt

er den totale transport av

dQ = Idt , og den ytre mekanisme har utført et

dA = IUdt .

Dersom vi multipliserer lign.

(5.3.1) med

på begge sider av likhetstegnet, får vi:

Uldt = Rlldt + Leddet

Uldt

dt

Idt = RI2dt + Id(LI)

(5.3.3)

er det arbeid som er utført av den ytre mekanisme;

leddet representerer den energi som er tilført vår magnetiske krets.

Leddet

RI2dt

som i løpet av tiden

representerer den del av den tilførte energi

dt

er omdannet til varme i den ohmske

414

motstand i lederen.

Dersom

ledd i lign.

lik null; lign.

(5.3.3)

L

er konstante, er det siste

I

og

(5.3.3)

forteller da at all

tilført energi går over i varme.

Dersom

L

konstante, vil imidlertid leddet

Id(LI)

være forskjellig fra

eller

I

ikke er

null; dette leddet representerer da den del av den tilførte energi Økningen i den mag­

som er blitt lagret i det magnetiske felt. netiske energi i løpet av tidsintervallet

dt

er derfor:

dW = Id(LI)

(5.3.4)

Legg merke til at denne økningen i den magnetiske energi bare er

avhengig av forandringen i

L

og

I

L

og

I ; for en gitt forandring i

får vi den samme økning i magnetisk energi enten for­

andringen har foregått raskt eller langsomt.

Selvinduktiviteten

L

i en sløyfe kan i mange tilfelle være

en funksjon av strømmen, og årsaken kan være at de magnetiske

krefter deformerer sløyfen eller at det er et magnetisk materiale med en ikke-lineær sammenheng mellom sløyfen. Dersom

L

B

og

H

i nærheten av

er konstant, kan vi uttrykke lign.

(5.3.4) som:

dW = Id(LI) = Lidi

(5.3.5)

og den totale lagrede magnetiske energi i sløyfen er da: I

W

3 Lidi =

LI2

(5.3.6)

1=0

Vi skal nu se litt på energibalansen i koblede magnetiske kretser. Dersom vi multipliserer lign. I2dt får vi:

(5.2.11) med henholdsvis

U1I1dt = R1I12dt + L1I dlx + MIidI2

U2I2dt = R2I22dt + L2I2dI2 + Ml2dlx

I^t

og

415

U I dt og U I dt representerer nu den energi som er XX X zt tilført henholdsvis krets 1 og krets 2. Forandringen i den lagrede

J Leddene

m magnetiske energi er nu:

dW = L.I.dl + L I dl XXX

(5.3.7)

+ MI dl + MI dl X X

V Vi kan finne den totale magnetiske energi ved å integrere opp >b denne ligning.

IiI2 f

Mdd1i2)

I IL’0

- I L1I12 + i L2T22 + MI1T2

(5’3-8)

9dLegg merke til at de to siste ledd i lign. jesom et totalt differensial

(5.3.7) må uttrykkes

(d(I1I2)= I2dl^ + I1C^I2^

>(iikke integreres opp hver for seg ved å betrakte D?(konstant under integrasjonen fordi

1^

og

I2

1^

’

Leddene kan og

I2

som

ikke er uavhengige

3estørrelser. Legg også merke til at den totale energi i systemet ikke er ik lik summen av energien

LI2 i hver enkelt sløyfe; den totale

ne energien er bare lik summen av energiene i hver spole under den od forutsetning at den magnetiske kobling mellom sløyfene er identisk

xllik null. Vi skal nu uttrykke den magnetiske energi ved

B- og

H-

©1 feltene. I fig. 5.3.2 har vi vist en leder som er avsluttet med to

j[© ekvipotensialflater V1 og V? . Vi multipliserer uttrykket for I FE med 5 og integrerer over volumet av lederen. Vi får da: I)(lign. (5.1.11))

416

Fig. 5.3.2.

(5.3.9)

I overensstemmelse med interpretasjonen av leddene i lign.

(5.3.3),

kan vi nu med en gang tolke leddet på venstre side av lign.

(3-3.9) som den energi pr. tidsenhet som dissiperes i varme i lederen.

Høyre side av ligningen representerer da differensen mellom tilført effekt og den effekt som lagres i det magnetiske system. Vi har derfor: dW _ f ff dÅ dt - JJJ at Jdv

hvor

W

(5.3.10)

er den lagrede magnetiske energi.

Vi skal, for ordens

skyld, vise at denne interpretasjon er riktig. av Ohms lov É = finner vi:

lll^dv ■ III

P j jdv

P j 2dv

Ved substitusjon

417

hvor

pj2

er dissipert effekt pr. volumenhet i lederen (lign. Videre finner vi ved bruk av Gauss sats:

(2.1.18)).

fff

- gradVjdv

Vdivjdv -

div(Vj)dv

J.

(5.3.11)

Vdivjdv - CTpVjndA

hvor overflateintegralet skal taes over overflaten og endeflatene av lederen og

n

er den utadrettede flatenormal.

I vårt kvasistatiske tilfelle er forutsetningsvis

divergensfri og normalkomponenten av av lederen (lign.

(5.1.6)

V1 .

er lik null på overflaten

oq (5.1.7)).

1 er potensialet forutsetningsvis konstant

Ved endeflate no.

og lik

j

j

(Se fig. 5.3.2)

Vi har da:

jndA

V1

■

A1

flate no.l og tilsvarende ff

flate no.2

V2j jndA = + V^I 2

Vi kan derfor skrive lign. [[

(5.3.11) på formen:

■+ - gradVjdv = (V^ - ^3)!

(5.3.12)

O Og vi ser at dette leddet representerer den energi pr. tidsenhet IE som er tilført fra ytre kilder.

Følgelig må lign.

a representere den magnetiske effekt.

fb dW

(5.3.10)

Økningen i magnetisk energi

er derfor:

f ff (curlHdA)dv -> +

418

HcurldAdv

HdBdv

|div (dAxH) dv

(dAxH)ndA

(5.3.13)

Overflateintegralet skal nu taes over en flate som omslutter det

magnetiske system. vil I dA |

— „2 r

Dersom vi lar denne flaten bli uendelig stor

og

|h| æ — r3

, mens

dA a r2 .

Integralet vil derfor konvergere mot null. Forandringen i den lagrede magnetiske energi i rummet kan derfor uttrykkes: dW =

(([+ -+ HdBdv

(5.3.14)

hele rummet Dersom der overalt i rummet bare er media hvor sammenhengen mellom

B

H

og

er lineær, kan vi integrere ligningen:

(5.3.15)

hvor

W

er den totale lagrede magnetiske energi.

forutsetninger kan vi også skrive lign. w = fil i 5a konst.).

Vi skal nu demonstrere

at vi vil finne den samme kraft på sløyfene ved å spesifisere: ( L1,LO,U1 og U„ => konst.)

under den virtuelle forskyvning.

Siden vi har forlangt at den ohmske motstanden skal være null i begge sløyfene, er derfor ui = uo = konstant ~ 0 under for­ skyvningen. Spenningskildene leverer nu ingen energi, og energibalansen blir derfor:

j

423

= 0 = dW + dA

dW eller

(5.3.28)

dA = Fds = - dW

Legg merke til at et positivt arbeid nu medfører en reduksjon av den magnetiske energi:

Fra lign.

(5.3.8)

finner vi denne for­

andringen i den magnetiske energi:

dW = d(-y L I 2 + | LI 2 + MI.I ) -L -L. “ £ = L I dl + L I dl J- -L -L

+ MI dl _L_

+ MI dl m ~L

+ I I dM J-

(5.3.29) Fra lign.

(5.2.10) finner vi forandringen av strømmene

0 = at hb + at MI2 = at '¥i+

1^

og

mi2>

(5.3.30)

0" at

l2L

+ at

mii

' at (L2I2 + MIi>

eller:

L dl

+ I dM + Mdl? = 0

(5.3.31)

L2dl2 + IxdM + MdIT = 0

V

Ved å multiplisere disse to ligninger med henholdsvis

o

og derefter substituere uttrykkene i lign.

dW = - IxI2dM

1^

og

I2 f

(5.3.29), finner vi:

(5.3.32)

424

Fra lign.

(5.3.28)

finner vi nu:

Fds = + I I2dM = - dW

Kraften

F

(5.3.33)

er derved bestemt av det samme uttrykk i I-^,I2 og dM som

i lign. (5.3. 25).

Vi kan derfor uttrykke kraften generelt som:

F. = - (—) 1 9xi U hvor indeks

U

(5.3.34)

betyr at alle spenninger skal holdes konstante

under derivasjonen.

Oppgave 5.3a)

Finn den totale selvinduktivitet pr. lengdeenhet av en

koaxialkabel.

Anta at veggtykkelsen i ytterlederen er neglisjerbar

og at strømmen er jevnt fordelt over tverrsnittet av innerleder.

Løsning:

Fig. 5.3.3

425

Selvinduktiviteten

(5.3.18):

gitt av lign.

L = L.

[ ** 1 fff 1 BHdv + — BHdv I2 . 1 J 12 i inner­ me11omleder rum

y

Når strømmen er jevnt fordelt over innerleder har I

2irrH

irr2

Tia2

I

H

2ira2

a

og B = y y

2ira2

Utenfor innerleder har

2irrH = I

I 2irr

H

a

og B

I 2ur

%

Vi har nu:

a 2 . I u y (---- r2 2irrdr 2ira2

1

y

I2

b 1

I2

o

HdB = + skravert areal i fig. 5.3.6b.

W" = -

B" Ved g jennomløpning av halve hysteresesløyfen har vi derfor tapt

energien: W - W" = halve arealet av hysteresesløyfen.

Hver gang hysteresesløyfen gjennomløpes taper vi derfor en energi som er lik arealet av hysteresesløyfen.

Tapet oppstår fordi domenegrensene i det ferromagnetiske materiale ikke kan flyttes "friksjonsløst".

Den tapte energi har

derfor gått med til oppvarmning av materialet.

Hysteresetapet

i materialet er proporsjonalt med det antall ganger hysterese­ sløyfen er gjennomløpt; den effekt som dissiperes er proporsjonal med frekvensen.

Ved konstruksjon av transformatorer og generatorer ønsker man derfor materialer med så smal hysteresesløyfe som mulig; ved kon­ struksjon av permanente magnetet ønsker man derimot materialer med så bred hysteresesløyfe som mulig.

5.3. d) Finn kraftvirkningen mellom to uendelig lange, tynne

parallelle ledere.

to lederne.

Strømmen

I

går i motsatte retninger i de

429

Løsning:

I

Fig. 5.3.7

lign.

Den magnetiske energi pr. lengdeenhet

(5.3.8) og

(5.3.6): 1 -( — 2M it

W = -i(L. + L ) I2 2

hvor

y

1

y

er avstanden mellom lederne

Fra lign

(5.3.26)

^o In ^)I2 cl

TT

(Fig. 5.3.7) .

finner vi nu:

Fx

3W 3x\

0

F

F) sy j

i 2

7T

V2

— (In 3y

2 TT

1 y y=d

V2 2ird

Fz

3W 3z

0

Lederne er derfor utsatt for en kraft

F pr. lengdeenhet. hverandre.

P o I2 2nd

Denne kraften vil prøve

(Sml. oppgave 3.4.b).

a

skyve lederne fra

430

5.3. e) Gitt en lang rett solenoide med lengde

Strømmen i solenoiden er Sløyfenormalen ligger i

y-aksen.

a .

z-y

og

N

tørn.

Inne i solenoiden plasseres en tynn

.

sirkulær sløyfe med radius

£

Strømmen i sløyfen er

planet og danner vinkelen

I2 •

med

Finn kraft og dreiemoment på sløyfen.

Løsning:

I ’’

Fig. 5.3.8

Den lagrede magnetiske energi i systemet er:

1 o 1 o W = 2 L1L2 + 2 L2X22 + MI1I2 hvor y NTra2cos M = —-- ------

Fra lign.

(lign.

(5.2.14))

(5.3.27) finner vi:

M = M = 0 y z

X

3aW

I INra2(-sina) _ 3 _ -r t 1 2_________ IlI23a-Uo £

Z1N yQ —— I2^a2 (-sin) = Bm(-sin)

431

B

hvor

er det magnetiske felt i solenoiden og

er dipolmomentet

m

av sløyfen. Dette resultat følger også direkte fra lign.

(M = inxB)

(3.4.10)

.

Kraften på sløyfen finnes fra lign.

F

= F = F =0 xyz

(5.3.26):

.

Dette resultat følger også direkte fra lign.

(3.4.4)

(F = I2|dsx§ = 0)

eller lign.

(3.4.9)

(F = (inV)B = 0)

5.3.f)

Gitt en magnetisk krets som består av to deler adskilt med en liten luftspalte

6 .

Anta at permeabiliteten i kjernedelene er

høy, og at viklingen har

N

tørn og fører strømmen

I .

Finn den

magnetiske energi, og bestem kraftvirkningen mellom kjerne-delene.

(Fig. 5.3.9). Løsning:

Fig. 5.3.9

432

B^ + B^

Fra Maxwells ligninger

og

0

oHds = 0

får vi:

(Sml. oppg. 3.6.a)

B

6

NI

B. 3

+ 26 p

o

p

p

o

Den magnetiske energi er nu iflg. lign.

W =

(5.3.15):

B .H ,A£ . + B H A26 j j j 2 6 6

2

2

A 2

___ NI___

(_J_

26

+ 26

V

Mo

V p A

2

£

po

Z . (NI) 2 (-^ + 26)"1

(5.3.37)

p

Legg merke til at hele den magnetiske energi blir lagret i luftspalten dersom Kraften

p =» 00 . kan finnes fra lign. .

FxX = +(^ ’ dX

-h da

fp A

(5.3.26):

SL .

i

-=Hni)V + 2x)“}

[

4

p

Jj

x=6

I

n

H

433

^oA 2

-

2

(5.3.38)

B.H.2A od

Kraftvirkningen er tiltrekkende, og kraften pr. flateenhet i luftspalten er lik

-x BH., z 0 6

Denne kraften kan også beregnes fra lign.

spesifiserte betingelse at spenningen

U

(5.3.34) .

Den

skal være konstant (og

lik null fordi vi ikke betrakter ohmske tap) kan uttrykkes:

(lign.

(5.2.10))

0 ’ 0 = Zt *

d (NB.A) dt 3

eller

B . = konstant 3 Følgelig er betingelsen

U

0

ekvivalent med at alle feltene

skal være konstante under den virtuelle for(B . , H . ' B6 og H6) 3 3 skyvning. Fra lign. (5.3.34) og (5.3.37) finner vi:

8W. 9x y

Fx

= - i B H 2A Z O 0

(I . + B H A2x) 9x v2 B,H,A£ 3 3 3 2 6 6 u x=6 q.e.d.

hvor alle feltene er holdt konstant under derivasjonen. Energibetraktninger er, som nevnt tidligere, et effektivt

hjelpemiddel for å bestemme kraftpåvirkningen på et legeme.

Men

metoden har den mangel at den i liten grad illustrerer den fysikalske kraftmekanisme►

Kraften på et magnetisert legeme oppstår når de

induserte magnetiske dipoler befinner seg i et inhomogent magnetisk felt. I foregående eksempel er É-feltet inhomogent i overflate-

skiktet av materialet (tangensialkomponenten av

É

er diskon­

tinuerlig) og i hjørnene av den magnetiske krets (É-feltet skifter

her retning).

434

Kraften

dF , som virker på volumelementet

dv

i et magneti­

sert, ikke strømførende medium, kan uttrykkes fra lign.

ved substitusjon av

(3.4.7)

m = Mdv :

dF = {(MV)B + MxcurlB}dv

Dersom mediet også er strømførende har vi:

(5.3.39)

(lign.

(3.4.7) og

(3.4.2)) dF = {(MV)B + MxcurlB + jx§}dv

(5.3.40)

Den totale kraft på et legeme kan nu finnes ved å integrere over volumet av legemet.

dF

435

5.4.

Felt- og strømfortrengning I kap. 5.1 diskuterte vi at den totale strøm i en leder ikke

kan variere langs lederen fordi

divj = 0 .

Men vi fant imidlertid

ut at strømtettheten måtte variere over tverrsnittet av lederen fordi

curlj / 0 .

(Fig. 5.1.1.)

Vi skal nu se litt i detalj på

La oss imidlertid først gi et lite resumée av

dette fenomen.

den kvasistatiske approximasjon av magnetostatisk karakter.

har da (lign.

Vi

(5.1.2))

”1

curlE = d L.

D = e E + P o

divD = p

r curlH = 5 +

J

dt

“ j

J

-+ F = qvxB .

v

q

q

som er

F = qE , og

som er i bevegelse

i forhold til ham selv, utsettes for en kraft

Vi skal nu se på forholdene når to forskjellige observatører

observerer det samme fysikalske fenomen.

Vi skal anta at obser­

vatørene beveger seg i forhold til hverandre med en hastighet

v

.*

Fig. 5.5.1.

I fig. 5.5.1 er det vist to observatører som er i ro i forhold til henholdsvis referansesystemene

hastigheten

vg

k

og

k'

B

Systemet

målt av observatøren i system

er det en tidsuavhengig magnetisk dipol. magnetfeltet

.

målt av observatøren i

♦ I dette kapittel antar vi at

vg

k .

k'

har

I system

k

Denne dipolen setter opp

k .

Denne observatør

er mye mindre enn lyshastigheten.

Transformasjon av tid og stedskoordinater er da bestemt av Galileitransformasjonen. ( Se også Appendix 2. )

455

i

holder en elektrisk ladning

5

det ikke er andre elektriske ladninger eller tidsavhengige magnet-

i

felter i dette system, måler denne observatøren ingen kraft på

L

ladningen.

i ro i forhold til seg selv.

q

Siden

Vi har: F = qÉ = 0 ->■

E = - gradV -l£=0+0=0

(5.5.1)

O L.

□ Denne observatør vil da si:

m måler jeg

Ifølge definisjonen på elektrisk felt,

E = 0 .

q

Dersom han beveger ladningen

med hastighet

v

i forhold

J- til seg selv, vil han måle kraften F = qvxB >o og han vil si:

(5.5.2)

Ifølge definisjonen på magnetisk felt, måler jeg

B / 0 .

feltet

Observatøren i systemet

p q

k'

i ro i forhold til seg selv.

p F' = qvsxB »f ladning

holder også en elektrisk ladning

Denne observatør vil måle kraften

på ladningen, og han vil si:

q

Jeg måler en kraft på en

som er i ro i forhold til meg.

Le elektrisk felt, måler jeg et elektrisk felt

Ifølge definisjonen på E' / 0 .

E- = £’ = v xB q s

Lxi hvor

B

£8 systemet

Vi har da:

(5.5.3)

er det magnetiske felt som er målt av observatøren i

k .

Observatøren i k-systemet måler derfor det elektriske felt SÉ = o , mens observatøren i k'-systemet måler det elektriske felt ->■ -

->•

.

|EE'=vxB/0. s La oss nu anta at der finnes ladninger et

P

i k-systemet, og at

de magnetiske felter i dette system fortsatt er tidsuavhengige.

dO Observatøren i k-systemet måler da kraften

F :

F = qE Vri hvor

E = - gradV -

= - gradV

(5.5.4)

456

V

og

A

er nu henholdsvis det skalare potensial og det vektor-

potensial som er målt av denne observatøren.

Observatøren i systemet

k'

vil imidlertid måle en kraft

F' = qE' = q(E + VgxB)

F'

(5.5.5)

hvor

E' = - gradV - -|^ + v^É = - gradV + v^ x5

Vi erstatter nu observatøren i systemet

k'

med en annen observa­

tør; en kortsluttet ledersløyfe.

Fig. 5.5.2. I fig. 5.5.2 viser vi nøyaktig de samme forhold som i fig. 5.5.1.

Ladningene i den bevegelige sløyfen utsettes for et elektrisk felt

E'

.

De frie ladningsbærerne setter nu opp en strøm i sløyfen;

ladningsbærerne er frie i forhold til gitterstrukturen i lederen og

de setter opp strømmen

j

som defineres som transport av ladning

pr. tidsenhet igjennom en enhetsflate i forhold til lederen. Strømmen måles dermed av en observatør i k'-systemet.

457

Når

La oss plassere oss selv som observatør i k-systemet:

r

vi sier at der flyter en strøm

3

er en transport av ladning i forhold til den bevegede

1

Vi definerer en strøm i sløyfen

3

observatør i k'-systemet; dersom de frie ladningsbærere

t

i ro i forhold til gitterstrukturen i lederen, så vil både en

5

observatør i k'—systemet og en observatør i k—systemet si at strømmen

s

er null.

S

har vi:

ri

1

I i sløyfen, så mener på nøyaktig samme måte

leder. som en

i lederen er

Dersom Ohms lov gjelder for ladningstransporten i lederen,

J = aÉ’

hvor

vi at der

(5.5.6)

a er ledningsevnen i materialet. La oss nu tilslutt anta at dipolen i systemet

tidsavhengig.

k

(Fig. 5.5.3).

Fig. 5.5.3.

også er

458

I fig.

5.5.3 måles

og

A^

av en observatør i k-systemet.

Disse feltene vil gi opphav til et elektrisk felt sløyfen: (lign. (5.5.5))

i leder-

_ 9^1 Ei” jF + VS1

(5.5.7)

Disse feltene induserer således en elektromotorisk kraft

i elementet

ds

i sløyfen.

e = É^ds

Denne elektromotoriske kraft kan

spaltes opp i to deler: 9A £transformatorisk - " 3t

(5.5.8)

£ translatorisk

(5.5.9)

og (Vgxépds

Den transformatoriske delen er forskjellig fra null når en ob­ servatør i k-systemet måler et tidsavhengig vektorpotensial, og den

translatoriske delen er forskjellig fra null når den samme

observatør maler et magnetisk felt og at sløyfen beveges med hastighet

v

i forhold til k-systemet.

Den induserte elektromotoriske kraft i hele sløyfen er nu: (lign. (5.5.7))

e

E^ds

f 9A, f 1 ->■ -> o -rr— ds + i>(v xBn)ds t r s i

(5.5.10)

hvor linjeintegralet skal taes langs sløyfen hvor den enn måtte

befinne seg i rummet.

Vi skal nu uttrykke den induserte e.m.k. ved den flux som dipolen setter opp i sløyfen.

459

Fig. 5.5.4. I I fig. 5.5.4a har vi vist sløyfen i to tidspunkter

C Dipolen setter opp fluxen

t

og

t + dt .

4>i sløyfen.

Den transformatorisk induserte e.m.k. i sløyfen ved et tidsrq punkt t er :

460

3A1 Hit" ds

hvor

3$

[ -> -> 9 bA^ds at

12 3t

(5.5.11)

r=konst.

34>

12 at

r=konst.

betyr den forandring pr. tidsenhet i fluxen som vil måles dersom

sløyfen var i ro.

(r = konst.).

Den translatoriske del av den induserte e.m.k. ved et tids­

t

punkt

kan finnes ved å anta at magnetfeltet er tidsuavhengig

i dette tidspunktet.

o(v xB )ds s 1

Vi har da:

(Fig. 5.5.4b)

o (dsxv ) B-,

J

s

o(v xds)B

J

!

s

1 (5.5.12)

= -P^åi)S1

. hvor

*■ v

d£ = -r— . s dt

(dixds)

Vektorproduktet

er lik det skraverte flateelement

i fig. 5.5.4b med utadrettet flatenormal.

Lign.

(5.5.12) er der­

med lik den negative tidsderiverte av fluxen ut gjennom den

sylinderflate som dannes ved translasjonen av sløyfen.

Siden den

totale utstrømning av flux fra en lukket flate er null (^BndA = 0) , må den flux pr. tidsenhet som strømmer ut gjennom

sylinderflaten være lik: a$i2

(-aFJ-B=konst. (Fig. 5.5.4c).

Indeks

(B=konst.)

konstant under derivasjonen.

(v s xB.Jds 1

betyr at

Vi har derfor:

3* 12 , 3t 'i , B=konst

B

skal betraktes som

(lign.

(5.5.12))

(5.5.13)

461

1

Den induserte e.m.k. i sløyfen kan nu skrives:

)

(5.5.11) og (5.5.13))

s

l9t'_ •L

(5.5.10) ,

(5.5.14)

8t + D

eller

r + + + 3A -> + o(v^b derfor:

(5.5.15).

(lign.

(5.5.7))

aX. aÅ' + £•=- — + ^xgi - —

I rj Linjeintegralet av l) (5.5.13))

j)E'ds = -

34>12

at \

É'

tatt langs sløyfen blir nu:

9A1 F at" ds

o(vxÉ)ds -

34>2

3* 12 .

3t

§

*3A ds at-

(lign.

(5.5.11),

462

{’t("12Il>,r ' lt Vektorpotensialet for dette feltet er gitt av:

f-> ->

->

BndA

Innenfor solenoiden finner vi: A2irr = B ( sinu. t) u r2 o 1 |Å| = Bq(sinw^t)^

hvor r er avstanden fra lengdeaksen i solenoiden. noiden har vi:

A2irr = Bq (sinæ^t) uh2 ■ ->, |a|

hvor

b

h2

= Bo (sina>1t)-^

er radius på solenoiden.

Fig. 5.5.6a.

Utenfor sole­

467

c) Fig. 5.5.6. 9')en induserte e.m.k. kan finnes fra lign.

5 (5.5.15). x ign.

Vi antar at

(5.5.14) har vi:

ø = 0

ved

(5.5.14) eller lign.

t = 0 .

Fig. 5.5.6b.

Fra

468

e

~ ~ dt Bo

- -

Tra2cos

= “ dt ^BO (sina)1t) va2 (c°sw2t)}

(sincdt) ira" a>2 ( siriw^t(cosco^t) ira2 (cosii^ t

= +

Etransformatorisk

translatorisk

Fra lign.

(5.5.15) har vi:

e = " i

(Fig. 5.5.6c)

ds + (C(vxB)ds

(•|t- curlX)ndA + o(vxB)ds av sløyfen i posisjon ø

f

o),B (cosu^t) (coso>2 t) dA areal 3 av at curlA sløyfen

2u r j ^asina, vBq (sinaijtJ (sinu^t) sina ada, a=o

v

^B '

ds

469

2 ir

w.B (cosæ.t) (cosoj t) lo

1

2

sin2 ada

dA + oj^a2B (sina)n t) (sinæ t) 2 o 1 2 J

ujnB (cosoj, t) (cosæ„t) iraz lo 1

o

„a2B (sinw. t) (sinco-t)

2

O

1

2

it

Den induserte e.m.k. er nu regnet positiv i samme retning som

ds

i fig. 5.5.6b.

5.5b) Gitt en plan sirkulær metallskive som roterer med konstant

vinkelhastighet i et uniformt tidsuavhengig magnetisk felt. Rotasjonsaksen er som vist i fig. 5.5.7.

Finn den induserte e.m.k.

i den målekrets som er vist i fig. 5.5.7.

Løsning:

Fig. 5.5.7.

470

Den observatør som måler at skiven rokerer i forhold til ham med , måler også at

vinkelhastighet

(lign.

er derfor:

Ou

= 0 .

Den induserte e.m.k

(5.5.14) og (5.5.15))

e

o(vxB)ds

finner vi:

Fra fig. 5.5.7b

a [ ->•

->•

E = © (VXB ds = J J 1

f

æ. rB dr = uj,B o 1 o 2

2

—

r=o Vi kan også benytte uttrykket

direkte.

-(|^)

I dette tilfelle

må vi anta at sløyfen er "last fast"3til skiven som vist i fig.

5.5.7c.

Vi finner da:

E

3 3t

(-B

2

d)

-y- ira2) O 2 7T

o z

3 (W

t)

2

33t O 5--- 5- 1 o 2

Den induserte e.m.k. er regnet positiv langs ds i fig. 5.5.7c. La oss tilslutt se litt pa det fysikalske hendelsesforløp.

Fig. 5.5.8.

471

Når skiven begynner å rotere, vil alle ladninger i materialet

fijutsettes for et elektrisk felt

E' =

vxBq

De frie positive

■

får en tilførsel

radielt utover,og vi

51ladningsbærere beveges nu

feav positive ladninger til periferien av skiven. (Fig. 5.5.8). Denne transporten foregår inntil skiven er akselerert opp b~7.il sin endelige vinkelhastighet w . Vi har da fått en positiv

voverflateladningstetthet langs periferien av skiven, og en negativ

Disse ladnings-

voverflateladningstetthet ved sentret av skiven.

nnnsamlingene setter opp et skalarpotensial

V

slik at det totale

il elektriske felt inne i skiven er lik null. I akselerasjonsperioden er det totale elektriske felt inne i

rfeskiven gitt av lign.

(5.5.5):

É' = - gradV H

øt

+ vxB

o

/ 0

o Nar akselerasjonen er avsluttet, er både

sX —

og

-± E'

lik null.

Vi

eraar da:

É' = - gradV + vxB^ = 0

Xs eller

gradV =

vxBq

måler nettopp spenningsdifferensen mellom

;o\Zoltmeteret i fig. 5.5.7a

[9c eeriferien og sentret i skiven:

a -> f U = V - V = gradVds = (vxB ) ds r=a r=o Jo r=o r=o a

vHvilken spenning ville voltmeteret vise dersom det var festet til

kiven?

472

5.5c) Gitt en transformatorkjerne med en tidsuavhengig flux.

Vi

har koblet et voltmeter til sekundærviklingen med én fast kontakt

og én glidekontakt.

Hva vil voltmeteret vise når glidekontakten

føres langs sekundærviklingen med hastighet

v .

Løsning:

Fig. 5.5.9. —y

En fast observatør vil måle

□u

= 0 .

Den induserte e.m.k. i måle-

kretsen er da: e = -

(S =

>e som sluttes igjennom magneten,beveges med hastighet v. Begge ledd

li lign. (5.5.15) kan derfor gi bidrag til den induserte e.m.k.:

e = -

I

I 0 L.

ds + 6(vxB)ds

( 5.5.25)

474

Vektorpotensialet inne i magneten er gitt ved:

(Fig.5.5.lo b)

curlA1 = B k' o

Denne ligningen tilfredsstilles av: Å* = B x' i ' o J

Alle parametre er her målt i det bevegede system.Vektor­ potensialet i det faste system er,siden x'= x-vt : A(t) = BQ(x-vt)^

Følgelig har vi:

9A(t) 3t

B v o

-t

Langs den del av sløyfen som sluttes igjennom magneten,har vi :

vx§ = - v3 i oJ

Den induserte e.m.k. e = |(Bqvj

igjennom ma^net

erdermed: (lign. (5.5.25) ) -BQvj)ds

+

J

5

utenfor magnet

ds

=0

475

Kap. 6.

,36.1.

Oppladning av kondensatorer; Kvasistatisk behandling

Oversikt I den kvasistatiske approximasjon av elektrostatisk karakter

arneglisjerer vi induksjonsleddet i Maxwells ligninger.

Bfia Maxwells ligninger (lign.

Vi uttrykker

(4.1.9) og (4.1.10)) på formen:

Integralform: = 0

oEds = -

DndA

Q

(6.1.1) Hds

9 3t

I

^BndA

DndA

0

Differensialform: curlE

3B 3t

0

divD = p

(6.1.2)

curlH = j + dt

divB = 0

Det magnetiske felt

B- og

H-felt

ligger nu utenfor vårt

3T ateresseområde; den eneste interesse vi har av de magnetiske piigninger, er at den ene ligningen inneholder kontinuitetsligningen

Vi erstatter derfor de generelle Maxwells ligninger fjeed følgende sett:

icjr ladning.

476

curlE = 0 -+ ->-> D = E E + P o

divD = p

(6.1.3)

j = f (E)

= PE

dlv? = - lt

Siden E-feltet er curlfritt i denne approximasjon, kan vi skrive:

E = - gradV

(6.1.4)

Det tidsavhengige potensial

V

vil nu tilfredsstille de samme ligninger som i det elektrostatiske tilfelle: V2V = - £~di-VP E

(6.1.5)

O

Vi skal nu betrakte oppladningen av en kondensator.

u1 Fig. 6.1.1 Dersom vi integrerer divj i fig. 6.1.1, finner vi

Hpivjdv - -

hvor Q får vi:

over volumet innenfor den lukkede flate

(lign.

(6.1.3)) dv - - |S

er den totale ladning innenfor flaten.

Fra Gauss sats

477

jndA = - I=- SQ

divjdv

at

T = 9Q at 1 7

(6.1.6)

hvor I er den totale strøm som flyter inn til kondensatorplaten. Ved substitusjon av C = ^ , finner vi:

3CU = dCU = at dt Q

Dersom kapasiteten

C

er tidsuavhengig, har vi:

t

U = |

ri hvor

U

Idt

(6.1.7)

t=0 er spenningen over kondensatoren.

I beregningen av kondensatoren i det tidsavhengige tilfelle

in neglisjerer vi således det magnetiske bidrag til det elektriske felt. ►Q Det magnetiske bidrag er imidlertid

(- -r? a " wB) d l.

avhengig av frekvensen

,

og en slik approximasjon er derfor bare gyldig for tilstrekkelig

lave frekvenser. I enhver kondensator vil det være induktivitet både i tiHedningene og i selve kondensatorplatene.

Disse induktivitetene

vil forårsake et ytterligere spenningsfall over kondensatoren og størrelsen av dette spenningsfall vil øke med frekvensen.

I

fig. 6.1.2 har vi skissert ekvivalentskjemaet for en platekondensator for lave, middels lave og middels høye frekvenser. *

* Høyfrekvenstilfellet vil bli behandlet i kapitlet om elektroøi

magnetiske bølger.

478

lave frekvenser

a)

middels lave frekvenser

b)

middels hdye frekvenser

c)

Fig. 6.1.2.

I behandlingen av et elektrisk nettverk som består av både

spoler og kondensator, opererer vi med begrepet: approximasjon.

Kvasistatisk

Med dette begrep mener vi at vi bruker den kvasi-

statiske approximasjon av elektrostatisk karakter i behandlingen

av alle kondensatorer og den kvasistatiske approximasjon av magneto-

statisk karakter i behandlingen av alle spoler.

f

Fig. 6.1.3.

Vi skal nu sette opp kretsligningen for den krets som er vist

i fig. 6.1.3.

Vi betrakter da linjeintegralet av det elektriske

479

felt

E

fra punkt 1 til punkt 2:

(5.1.12))

(lign.

2 2 2 U + f 9A - gradVds ~ ds Eds = 1

1

1

9A t

V2

c - d

a - b ,

B^angs linjestykkene e>

(6.1.8)

e - f

og

li kan uttrykke venstre

adningstransporten bestemt av ohms lov.

±nide av lign.

-> Eds = R' Ids + Eds + R 1Ids + R' Ids J « 6a C b a 2

c b

iv vor

R

(6.1.9)

- gradVds = RI +

= RI +

t=0

Spenningsfallet over

er den totale motstand i lederen.

[O ondensatoren er gitt av lign.

(6.1.7).

Høyre side av lign.

(6.1.8) kan uttrykkes:

2 V1 - V2 - H

= V1 - V2 ■ f H dS

f

-

1

= V1 - V2 - H = V1 - V2 -

Vi betrakter her spolen som en nesten lukket krets; vi antar

d t den magnetiske flux i systemet utenfor spolen er neglisjerbar.

ra lign.

(6.1.9) og (6.1.10) finner vi derfor:

480

t RI ♦i Idt = V1 - V2 - L dl dt t==0

t * Idt + L —

+

Hl

50

U = V1 - V2

ii

eller

(6.1.11)

t=0 hvor

U

er spenningen over terminalene 1 og 2.

Dersom man nu stiller spørsmålet om denne ligningen er en full­

stendig beskrivelse av de fysikalske fenomen, så må man svare definitivt nei.

Denne ligningen er bare gyldig for tilstrekkelig

lave frekvenser; vi har riktignok tatt hensyn til både leddet 8D ~

d L

og

i 4. leddet

i Maxwells ligninger.

- -r93 — d t

Men vi har ikke tatt hensyn til begge leddenes

på samme sted i rummet.

Dersom vi tar hensyn begge leddene simul­

tant, så vil vi oppdage at de elektriske og magnetiske felter for­ plantes langs lederne i en bølgebevegelse. studere i neste kapittel.

Dette fenomen skal vi

481

Kap. 7. 7.1.

Elektromagnetisk teori,

Elektromagnetiske bølger i vacuum Vi skal nu undersøke en eksakt løsning av Maxwells ligninger

i vacuum.

Den generelle form på Maxwells ligninger er:

(lign.

(4.1.10))

3B at

curlE

£ É + P

D

divD = p

3D at

curlH = j

O

- M

H %

divB = 0

I I vacuum, hvor

M ,

P

j

og

alle er lik null,

3B at

curlE

divD

p

D

0

e

o

E

(7.1.2)

ap at

curlH

H

B

divB = 0

qFra dette settet av førsteordens differensialligninger kan vi utlede

et sett av annenordens differensialligninger: curlcurlÉ = curlf- -77) du

graddivE - V2É = - ~ curlB = " Uo grad(div —) - V2É = - u

% V2É - p E

° ° at2

---

° at2 = 0

curlH

(e E)

° (7.1.3)

482

og videre: 3D

->

curlcurlH = curl(~) ot graddivH - V2H = -|— £ curlE 81 o n d grad (div —) - V2 — = - e

2

J— °

b

^4-2

(7.1.4)

Alle feltvektorene tilfredsstiller nu en bølgeligning .

Legg merke

til at vi kommer frem til bølgeligningen fordi vi tar hensyn til leddene

simultant.

I de kvasistatiske approximasjoner, hvor vi tar hensyn

til enten det ene eller det andre leddet, vil feltvektorene til­ fredsstille en differensialligning av annen orden i stedskoordinateneoi

og av første orden i tiden.

(Sml. lign.

(5.4.6)).

Vi skal nu se litt nærmere på løsningene av bølgeligningen, og

vi skal for enkelthets skyld bare betrakte plane bølger. Vi for­ langer derfor at feltvektorene ikke skal variere i x eller y retning; alle deriverte m.h. på x eller y settes lik null. Lign.

(7.1.3) kan da skrives på formen:

3 2S a2É “kl £ --- = 0 az2 ° ° at2

(7.1.5)

Vi skal nu vise at feltvektoren E ikke kan ha noen komponent i z-retning. Fra (7.1.2) har vi:

divD

dive É = 0 o

eller 3Ev (X 3x

8E 8y

3E _z 3z

0

(7.1.6)

483

Ifølge vår forutsetning om plane bølger er nu

3E -r— dX

3E

—= o 3y

Vi ser da at; _z 3z å må være lik null dersom

sstilt.

lign.

(7.1.6) skal være tilfreds-

I den videre behandling skal vi også begrense oss til å

coetrakte lineær-polariserte bølger; vi antar at E-vektor alltid er Denne retningen kan være en hvilken som

rettet i samme retning.

r.aelst retning i

planet, men vi velger å orientere vårt

xy

^koordinatsystem slik at

E

? < an da skrives på formen:

32E

x

3 z2

32E U

O

E

O

x

(7.1.7)

0

3t2

generelle løsning av denne ligning kan skrives som: E

x

,Ved substitusjon av denne løsningen i lign. tilfredsstiller bølgeligningen.

f

3Z

(7.1.7)

____ 3f2

3 (t+/U £ o

o o 3t

3 (t+/p E z) -1 o o 3t I

3£2

3£1 ■ 3 (t-/p E~z) o o

ser vi lett at

Vi finner da:

3(t-/p e z) o o 3z

3fl

3 Uoeo 3t

(7.1.8)

■%eo2) + f2(t + /%%z)

= f. (t 1

3t o o

0

P g:

('/|ioEo) 2 uo (ff J(^'t ■ A(xyz,t) = 4^ ----- r------ dv

1

V(xyz,t)

4tte

• t “ f)

ff[ p

o

jdv

dv

r

JJ

Bidragene til potensialene på stedet et strømelement

(7.2.8)

og en ladning

xyz

pdv

(7.2.9)

til et tidspunkt på stedet

t

f

er ikke

avhengig av verdien på strøm og ladning på det samme tidspunkt.

Potensialene er avhengig av kildenes tilstand i det tidspunkt hvor den elektromagnetiske bølge som kommer til punktet

xyz

i tids­

punkt t ble emittert fra kilden; potensialene er bestemt av 2? 2? kildenes tilstand i tidspunktet t - — . Tidsintervallet — er c c nettopp lik den tiden som det tar for elektromagnetiske bølger å tilbakelegge avstanden

xyz .

r

mellom kildepunktet

ChC

og feltpunktet

Potensialene forplantes i rummet i form av bølger med

hastighet;

1 c = ---/p ~ o o

I iG

I vacuum tilfredsstiller potensialene ikke lenger Laplaces ligning. De tilfredsstiller den samme bølgeligning som feltvektoren É og

fl B ; fra lign.

(7.2.6) og (7.2.7)

ser vi at potensialene tilfreds-

re stiller ligningene: *

21 - p e_ — = 0 ° ° at2

(7.2.10)

a 2v 7 V " %% —2 = 0 ° at2

(7.2.11)

v2A

I

kil La oss anskueliggjøre disse egenskaper ved et kjent eksempel.

Når

rv vi hører torden, så vet vi at lynutladningen fant sted så langt

id tilbake i tiden som den tid det tar for lydbølgen å forplantes fra jr utladningsstedet og til vår posisjon xyz . Dersom vi ønsker lå å uttrykke trykket i lydbølgen i tidspunktet t ved et potensial, £>e så vil dette potensial være bestemt av lynutladningen; potensialet

ke er avhengig av kildens tilstand i tidspunktet:

►G Denne ligning skrives ofte : w. kalles d'Alemberts operator.

□ X = 0 , hvor □

= v

- e u -__ oMo 2

492

hvor

v

er forplantningshastigheten av lydbølgen.

Når vi ser lynet, så vet vi at lynutladningen fant sted så langt tilbake i tiden som den tid det tar for lyset å forplantes fra utladningsstedet og til vår posisjon.

Våre potensialer er

- . c 7.2.1 har vi illustrert en kilde som stråler ut

derfor forsinket eller retardert med tidsintervallet I fig.

elektromagnetiske bølger.

Fig. 7.2.1. Senderen består av en generator og to ledere.

driver en tidsavhengig strøm

I

Generatoren

i lederen, og denne strømmen trans­

porterer ladning mellom endepunktene av lederen.

En kilde som bare består av en rumladningstetthet p,vil emittere

elektromagnetiske bølger dersom strømtettheten j=pv

dersom ladningene akselereres.

er tidsavhengig

Generelt kan vi utrykke:

fen efefef A.omagneff4 fee Atsiåt-ing eÆ ^oA.åA.4 aket av ak4 efeA.a4/on av fadnZngeÆ.

493

7.3.

Bølgeforplantning i kabler

Vi skal nu beregne den eksakte feltfordeling i en typisk kabel; vi skal betrakte forholdene i en rett og uendelig lang

koaksialkabel. I den hensikt å forenkle beregningen litt, skal vi

anta at ledningsevnen i kabelen er uendelig stor. anta at der er vacuum mellom inner- og ytterleder.

Videre skal vi

I området

mellom inner- og ytterleder gjelder da Maxwells ligninger på

formen:

(lign.

(7.1.2))

D = e É o

divD = 0

(7.3.1) 1 TI = 8— D curlH d L.

divB = 0 Inne i den ideelle leder er alle felter identisk lik null:

(fig. 5.4.4 når

6=0)

= 0

(7.3.2)

På grenseflaten mellom leder og vacuum, kan Maxwells ligninger der­ for skrives på formen: ocurlÉ = 0 =>

= 0

odiv?) = a

= o

=>

(7.3.3) ->■

->

->

ocurlH = o => nxH = a

odivB = 0 hvor

a

n

=0

er overflateladningstettheten og

tettheten.

vacuum.

=> B

Flatenormalen

n

ø

er overflatestrøm-

er rettet fra lederen og inn i

En kvasistatisk behandling av strømfordelingen langs en kabel

vil forlange at strømtettheten ikke varierer langs kabelen, og en kvasistatisk behandling av ladningsfordelingen medfører at over— flateladningstettheten er konstant langs kabelen,

(kap. 5 og 6).

I det generelle tilfelle vil både ladnings- og strømtettheten

variere langs kabelen i overensstemmelse med kontinuitetsligningen for ladning. I fig.

7.3.1 har vi skissert variasjonen i ladningstetthet og

strømtetthet langs kabelen.

Vi antar fortsatt at ladning og strøm

er jevnt fordelt langs periferien av lederen.

495

Vi antar at E-feltet er radielt rettet, og at det er rota* Fra Maxwells ligninger finner vi da: sjonssymmetri rundt lederen.

(Fig. 7.3.1b) i

3B

i;

sT = ' sT

curlE = ' åt

E

= 0 =» tilfredsstilt rettet felt

ved antagelsen av radielt (7.3.4)

divD

D

n

0 => D

= 0 => D r

D

V k

r

= 0

når

r = a

= -a

når

r = b

r

Videre antar vi at H-feltet er rettet i Ø-retning, og at det er rotasjonssymmetri rundt lederen. Vi ** finner da: (Fig. 7.3.1c)

curlH

3D

9Hø 3z

3D at

nxÉ = a => H

y

= a

z

HQ = - o U z

div§ = 0

r

at

når

når

r = a

r = b

=> tilfredsstilt

B

[3 » ,J5

n

= 0

(7.3.5)

=>

ved antagelsen

av konstant felt i Ø-retning

En nødvendig betingelse for gyldigheten av vår antatte løsning er * dermed:

Utrykket for curl i sylinderkoord. er gitt i lign.(1.7.2o) Den rotasjonssymmetriske feltkonfigurasjon er ikke den eneste

mulige;der kan også forplantes ikke-rotasjonssymmetriske høyere

ordens modi langs kabelen.

496

3E

3Be

3z

3t

3He % 3t (7.3.6)

og

3He

3D

3z

3t

3E

e

o 3t

Disse to første ordens differensialligningene kan omformes til

bølgeligninger.Ved derivasjon av lign.(7.3.6)m.h.p. t Og z,har vi: 3 2E

9Ho

%

3z2

3z3t

3 2E

y oe o

3t2

eller:

32E

32E

U oe o

3z2

0

(7.3.7)

o

(7.3.8)

at2

og 92hO

32He

u e o o

3z2

at2

Vi skal nu konsentrere oss om den løsning som representerer en

elektromagnetisk bølge med forplantning i positiv z-retning: Er = fl(r't

-

/%%z)

(7.3.9)

(7.3.4) kan vi finne r-avhengigheten av denne løsning: D

— a

eller E

hvor

ø(t

ø

e„

■ 'S7ZZ)

a = q (z , t) eor

a(t - A^z)

a =

(7.3.10)

o

er overflateladningstettheten på innerlederen.

497

Det tilhørende H-felt finnes fra lign.

3He 3z

3_ f a eo 3t }Eor o (t

(7.3.6):

/p e z) o o

= - - a'(t - /p e z) r o o eller

(7.3.11)

Hø = —= °(t - /%%2)

a

Den tilhørende overflatestrømtetthet fra lign.

på innerlederen finnes

z

(7.3.5) : g(t

- Aioeqz)

(7.3.12)

x , x -» x' , y' ■* y og 4> =» - i denne ligningen

uttrykt scm funksjon av

x!

Vi finner da:

x = x'cos - y'sin (A.2.4)

y = x*sin

+ y'cos

eller

x.

ax. — , x’, axi 3

(A.2.5)

530

hvor ax^

3x^

ax^

3x = cos * ax'

,

ax_ __ 2 ax^

3y_ = sin * 3x'

,

a x„ 2 3x2

= cos *

3x .

i

_

1

ds

I fig. A.2.lb er i xy-planet.

den vektorielle avstand mellom to nabopunkter

Komponentene av

k’-systemet

komponentene i

med lign.

3x^

(A.2.3) finner vi:*

Ved sammenligning med lign.

3 x!

3x = - sin * ay'

er

(A.2.1) og (A.2.7)

i k-systemet er

ds

(dx'

, dy')

(dx, dy)

, og

I overensstemmelse

.

finner vi transformasjonen av koordinat

differensialene:

3x! 3x . dx! = -—- dx . = ——} dx . i 3x. i 3x! i 3 1 J

(A. 2.7)

Transformasjonen av komponentene av en vektor (fig. A.2.1c og lign. 1

_

3x . *

_

,

1

/,

La oss verifisere at komponentene av

«* B

B = grad *

n

nx

transformeres i

(A.2.8):

overensstemmelse med lign.

§ = grad *

kan uttrykkes:

(A.2.7))

3x! n I

Å

= OA , 1

-L

„

x

B' = = __ 1 i 3x?1 3x! 1 3x . j

3x . = __ 1 b 3x!1 jJ

(A.2.9)

q.e.d.

* Denne relasjon er bare gyldig for de transformasjoner hvor det kartesiske koordinatsystem

system

k'

k

transformeres til et nytt kartesisk

med samme målestokk langs aksene.

Relasjonen er ikke

gyldig ved f.eks. transformasjon fra et kartesisk system til et

sfærisk koordinatsystem.

531

Vi ser nu at komponentene av en vektor transformeres på samme måte Denne sammenheng uttrykker den

som koordinatdifferensialene.

en vektor er en størrelse

matematiske definisjon av en vektor:

hvis komponenter transformeres på samme måte som koordinat­ dif ferensialene .

Vi skal nu betrakte transformasjonen av størrelsen

gradA :

3A. gradA =» —19Xk 3A! 3x. 3A! 3x. . 9x __ i = __ 1 1 = ___ 1 -1- ( É A ) 3x,' 3x.' 3x . 3x' 3x. 3x! f k k 3 k 3 i

.

1 £ £ + 1 a ____ — 3x? 3x! 3x. 3x' f 3x 3x! k 1 j k 3 r

3x . 3xr 3A£ 3x . . __ 1 f É + __ 1 3x3 3x! 3x. 3x3 k i j k

3 2

(A. 2.43)

552

Fra disse uttrykk ser vi at dersom =» 0 ,

v =» -c

og dersom

v =» c

=» °°

går

E'

går og

b;

0

og

-

En observatør som er i bevegelse bort fra lyskilden, vil følgelig måle en redusert lysintensitet, og intensiteten går mot null når v

c . Dersom observatøren er i bevegelse mot lyskilden, øker inten­

siteten med hastigheten, og intensiteten går mot uendelig når

hastigheten går mot lyshastigheten.

Legg merke til at det siste

resultat er vesentlig forskjellig fra det resultat som følger av

Galilei-transformasjonen :

iflg. lign.

(A.2.41) vil feltene da bare

øke til det dobbelte, og intensiteten dermed bare til det fire­

dobbelte .

Tilslutt skal vi se litt på de frekvensforandringer som vil En plan elektromagnetisk bølge som forplantes i retning

observeres.

n , kan uttrykkes: tl)

j(æt - — nr) Eæe C

hvor

r

nx ,

ny ,

har komponentene

nz *

(A.2.44)

x ,

y ,

z , og

n

har komponentene

Det er imidlertid vanlig å skrive dette uttrykk

på formen:

j (u)t - kr)

(A.2.45)

Eæe

hvor

k

= — n . c

Vektoren

k

kalles bølgevektoren.

Uttrykket i eksponenten i

denne ligning er en skalar, og vi kan uttrykke det som et skalar-

produkt av en firedimensjonal bølgevektor dimensjonale posisjonsvektor

(lign.

k.

og den fire-

(A.2.11))

- k.x. = (ojt - kr) = ojt - (kx + ky + kz) x z i i

= - [k^ + k2x2 + k_x_ + k t] 3 3 y

(A.2.46)

Ved å sammenligne ledd for ledd i dette uttrykk finner vi:

553

w n , kl = k x = c x

i k2 = k

U) n , k3 = k z = — c z

k4

Siden

=

y

-

er en skalar, så må

w n = — c y wt — = T

/AT (A. 2.47)

. (i) -)— J C

være en korrekt firedimensjonal

vektor, og komponentene av vektoren i k'-systemet er da: (lign.

(A.2.8) og (A.2.39)) 3x!

k! = k. i 3x . i

(A.2.48)

J

J

k2 = 0 '

k3 = 0 '

ole

(k (K1 = C '

l i

Ved substitusjon av

O

CJ-

4- (-) 2 c

I I

NJ-

1 k’ = ^ 1 c

o

finner vi: = 0 ,

1 - k! = j - ■ .... — 4 J c i----A-(-) 2 c

(A.2.49)

Det elektriske felt som måles av observatøren i k'-systemet, kan

dermed uttrykkes: E'ae

= e

hvor

jk!x! -j(k'x' + k'xl + k'x! + k'x' 1 1 = e 11 22 33 44

“j (y-^x'-ywt' ) C

j (co * t' - ^-x*)

j (yæt' - Y—X')

= e

e

554

k'- systemet måler dermed frekvensen

Observatøren i

w' =

u

Dersom observatøren er i bevegelse fra lyskilden, avtar frekvensen ved øket hastighet, og dersom han er i bevegelse mot lyskilden, øker frekvensen med øket hastighet.

Dette fenomen kalles Doppler-effekt.

Legg merke til at

v =» -c .

æ' =»

00 når

Dette resultat er ikke

i overensstemmelse med det Dopplerskift som kan beregnes ut fra

Galilei-transformasjonen.

tilsvarer

de to

Det ikke-relativistiske Dopplerskift

laveste ordens ledd i rekkeutviklingen av det

relativistiske Dopplerskift: 0)

,

=

/ c - v v ----- ;---- 0) — CO ( ± - — + C + V c

(A.2.50)

V

Det maksimale Dopplerskift som vi kan utlede fra ikke-relativistiske

argumenter tilsvarer, som vi ser fra lign.

(A.2.50), en dobling

av frekvensen. Vi har nu vist at Maxwells ligninger er relativistisk invariante

Maxwells ligninger uttrykker de fysikalske lover for elektro­ magnetisk fenomen i alle inertialsystemer. Dersom man hadde postulert at den korrekte tids-steds-transformasjon var den transformasjon hvor formen på Maxwells ligninger

forble invariant, så ville svaret ha vært at Lorentz-transformasjonen

var den korrekte transformasjon.

Det mest bemerkelsesverdige ved

dette resultat, er at Maxwells ligninger ble formulert mange år før

man hadde noen anelse om at Galilei-transformasjonen ikke var en korrekt tids-steds-transformasjon.

Den fysikalske årsak til denne

egenskap ved Maxwells ligninger må tydeligvis være at kilden for de elektromagnetiske felter, den elektriske ladning, er av relativistisk

invariant størrelse. Vi skal nu vise at denne påstand er korrekt:

555

Vi antar at observatøren i k—systernet bare måler en tidsuavhengig

rumladningstetthet p . Den totale ladning i volumelementet dv = dxdydz er da: (fig. A.2.6)

q = pdv = pdxdydz

(A.2.51)

Den firedimensjonale strømtetthetsvektor komponentene: (lign. (A.2.27))

h = ix = 0

'

j2 = jy = 0

'

i. Ji

i k-systemet har da

j3 = 3Z = 0

,

j4 = jcp

(A.2.52)

En observatør i k1 systemet måler da strømtettheten (lign. (A.2.38) og (A.2.39))

ji =

>

I

j

3x! X jk k

, hvor:

(A.2.53)

eller:

ji = * 7=

'

'

33 = 0 , /l- (2) 2

□ X

Denne observatør måler derved både en strømtetthet ladningstetthet p* , hvor: -vp

3y = 0 '

32 = 0 ,

p’

J’

og en

-P

(A.2.54)

Ladningstettheten observeres innenfor volumelementet hvor: (lign. (A.2.22))

dv1 = dx'dy'dz

556

dx' = /l-(~)2dx ,

dy' = dy ,

dz' = dz

(A.2.55)

Dette volumelementet er underkastet Lorentz-kontraksjon i

bevegelsesretningen for observatøren (x) er inneholdt i et bestemt volumelement

q' = p'dv' = --- P

.

Den totale ladning som

dv , observeres derved som:

/l-(-)2dxdydz = pdv = q

(A.2.56)

q.e.d.

Legg merke til at ladningstettheten

p

ikke er relativistisk

invariant fordi volumelementet underkastes Lorentz—kontraksjonen.

I fig. A.2.7 har vi illustrert sammenhengen mellom den tredimen­

sjonale og den firedimensjonale formalisme.

Legg merke til at hvert

par av ligninger i den tredimensjonale formalisme uttrykkes som én ligning i den firedimensjonale formalisme. Vi har nu presentert en fremstilling av den klassiske teori for de elektromagnetiske felter.

Denne teori beskriver hvordan den

elektriske ladning oppfattes av observatøren som befinner seg i "stor" avstand fra selve ladningen; teorien inneholder ingen full­ stendig informasjon om de krefter som virker mellom negative og

positive partikler i et atom.

kvantemekaniske teori.

Disse fenomen beskrives av den

Videre mangler vi ogsa informasjon om kraft-

virkningene mellom masser i universet; dette er interesseområdet

for den generelle relativitetsteori. For å danne en fullstendig beskrivelse av naturen, må vi, så­

vidt vi tror i dag, ta hensyn til samspillet mellom tre forskjellige

felter:

løsning av Maxwells ligninger i elektrodynamikken, løsning

av Schr&dingers ligninger i kvantemekanikken og løsning av

Einsteins ligninger i den generelle relativitetsteori.

Elektromagnetiske felter

fra ladninger

557

§

3 O aJ >

•H

CN

•H

cn

fe

558

Appendix 3

Målesystem Definisjoner av grunnenhetene

meter meter

1 m

er en lengde lik 1 650 763,73 bølgelengder i tomt

rum av den utstråling fra kryptonatomet 86Kr som svarer til over­ gangen mellom nivåene ?-Pjq og 5d^.

kilogram

Et kilogram - 1 kg - er massen av den internasjonale kilogram-

prototyp som oppbevares i Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) i Sevres ved Paris.

sekund Et sekund - 1 s - er 9 192 631 770 perioder av den stråling som

motsvarer overgangen mellom de to hyperfin-nivåer i grunntilstanden for cesiumatomet 133Cs.

ampere En ampere - 1 A - er den konstante elektriske strøm som frembringer

en gjensidig kraft på 2-10 newton per meter leder når strømmen går gjennom hver av to rettlinjede, parallelle, uendelig lange ledere med sirkulært og neglisjerbart lite tverrsnitt, og lederne er anbrakt i én meters innbyrdes avstand i tomt rum.

kelvin

kelvin er enheten for temperatur i den termodynamiske temperatur­ skala.

En kelvin - 1 K - er brøkdelen 1/273,16 av den termo­

dynamiske temperatur for vannets trippelpunkt.

candela En candela - 1 cd - er lysstyrken vinkelrett på en overflate med areal 1/600 000 kvadratmeter av et svart legeme med samme

temperatur som størknende platina under et trykk på 101 325 newton per kvadratmeter.

559

Uttrykt i avledede enheter

Uttrykt i grunnenheter

Navn

Symbol

hertz

Hz

s“1

newton

N

* kg m * s-2

pascal

Pa

N/m2

m~ 1•kg * s-2

joule

J

N•m

m2•kg * s“2

watt

W

J/s

m2•kg•s"3

coulomb

C

volt

V

J/C=W/A

m2•kg•s“3•A"1

farad

F

C/V

m-2•kg-1•s4•A2

ohm

Q

1/S=V/A

m2 «kg * s~3•A-2

Siemens

S

1/Q=A/V

m-2•kg“1•s 3•A2

weber

Wb

V- S

m2 * kg

tesla

T

Wb/m 2

* s-2* kg A ”1

henry

H

V- s/A

m2 • kg * s-2•A-2

lumen

lm

lux

lx

* s A

s-2•A"1

* sr cd ln/m2

m-2•cd * sr

560

Enheter for elektromagnetiske parametre

Tredimensjonale parametre

E

Enhet

elektrisk felt

V/m

B

magnetisk felt

T

V

elektrisk potensial

V

A

magnetisk potensial

Wb/m

P

ladningstetthet

C/m3

-► j

strømtetthet

A/m2

elektrisk forskyvning

C/m2

H

H-felt

A/m

P

elektrisk polarisasjon

C/m2

magnetisering

A/m

D

M

Firedimensjonale parametre

F.,

C

Kapasitet

(F)

L

Selvinduktivitet

(H)

M

Gjensidig induktivitet

(H)

R

Ohmsk motstand

(fl)

T

A^

elektromagnetisk potensial

Wb/m

j^

strømtetthet

A/m2

H., 1

Enheter for kretsparametre

elektromagnetisk felttensor

Enhet

elektromagnetisk H-felttensor

A/m

561

Naturkonstanter

Dielektrisitetskonstant i vacuum:

= 8.85419 10“ 12 F/m

Permeabilitet i vacuum:

= 4tt • 10 7 H/m

c =-- = 2.997925-108 m/s

Lyshastighet i vacuum:

y

Bølgeimpedans i vacuum:

Elektronets ladning (-e)

Elektronets masse:

o

:

Z

e— = 376.731 « o

e = 1.6019-10"19 C

m = 9.1066-10 -31 kg

562

INDEX side 151

Appollonius sats

Biot-Savarts Bølgelengde

lov

308,

309

487

Bølgevektor

552

Coulombs lov

5

122

Curl overflatecurl. def.

84, 120

kartesiske koordinater

90

sfæriske koordinater

96

sylinderkoordinater

94

def-

Cyklotronfrekvens

330

Delkapasiteter

165

D-felt, def.

208

Diamagnetisme

339

Dielektrica

199

Dielektrisitetskonstant absolutt i vacuum

6

relativ

212

Dipol

elektrisk dipol felt

184

elektrisk dipol

moment

178

elektrisk dipol

potensial

178

elektrisk linjedipol

186

magnetisk dipol

felt

318

magnetisk dipol

moment

316

magnetisk dipol

potensial

316

114

563

side

Divergens def.

51

overflatedivergens,def.

118

kartesiske koordinater

52

sfæriske koordinater

57

sylinderkoordinater

56

554

Doppleref fekt

Dreiemoment

elektrisk dipol

248

magnetisk dipol

327

strømførende sløyfer

422

Driftskapasiteter

168

Effekt, dissipert i leder

272

Energi

elektrisk

153

koblede kretser

415

kondensator

156

magnetisk

412

selvinduktivitet

414

Elektrisk ladning

2

konservasjon av elektrisk ladning

2

relativistisk invarians av elektrisk ladning tetthet, fri

556 54

tetthet, bunden

211

Elektrisk felt def.

7

dielektrisk kule

244

dipol

184

flateladning

30

linjeladning

26

polarisert kule

229

tidsavhengig magnetisk dipol

391 16, 208

Elektrisk forskyvning Elektrisk kraft

se Kraft

564

side

Elektrisk potensial elektrostatikk differensialform

39, 122

elektrostatikk integralform

35, 122

Elektromagnetiske bølger

481

kabler

493

monokromatiske

486

plane

482

Elektromagnetisk felttensor

545

Elektromagnetisk potensial

544

Elektron

3

Elektromotorisk kraft

de f.

276

trans formatorisk

458

translatorisk

458

Feltfortrengning

435

Ferromagnetisme

341

Flux, magnetisk Forskyvningsstrømtetthet

310 266

F-tensor

545

Galilei-transformasjon

454, 539

Gauss sats

53

Gjensidig induktivitet

400, 401

Gradient def.

38, 144

kartesiske koordinater

40

sfæriske koordinater

43

sylinderkoordinater

42

Gravitasjonsfelt

16

Gravitasjonskonstant

16

Grensebetingelser

elektrisk felt

117, 120 122, 210

magnetisk felt

294, 444

565

side H-felt

def.

345

tensor

547

Hvirvelstrømstap

449

Hydrostatisk trykk

261, 524

Hysteresesløyfe

353

Hysteresetap

427

Induktivitet

se Selvinduktivitet eller Gjensidig induktivitet

Inertialsystem

537

Karakteristisk impedans kabel

498

vacuum

485

Kapasitetskoeffisienter

165

Kondensator

kapasitet

141

kule

133, 213 282

oppladning

477

platekondensator

141

tap

282

Konduktivitet

269

Konservasjon av ladning

2

Kontinuitetsligning for ladning

266

Kraft, på anker

431

elektrisk dipol

247

elektrisk ladning

237, 349

kondensatorplater

241, 242

magnetisk dipol

326

strømførende sløyfer

322, 323

420 Kroneckers tensor

507

566

side

Kvasistatisk approximasjon

elektrostatisk karakter

475

magnetostatisk karakter

382

Ladning, elektrisk

se Elektrisk ladning

Ladningsbærere

265, 284

termisk hastighet av ladningsbærere Laplace's ligning

271

65, 122

entydighet

131 265

Ledere

system av ledere

123

Ledningsevne

161

differensiell

270

spesifikk

269

Levi-Civitas tensor

507

Lineær polarisert bølge

482

Lorentzbetingelse

470, 545

kontraksjon

543

transformasjon

537

Lyshastighet

484

Magnet

372

Magnetisering

338

Magnetisk energi

se Energi

Magnetisk kraft

se Kraft

Magnetisk krets

367

Magnetisk felt

def.

288

dipol

318

magnetiserbar kule

353

magnetisert kule

359

sirkulær sløyfe

313

solenoide

403

toroide

367

567

side se Dipol

Magnetisk moment

Magnetisk motstand

370

Magnetisk permeabilitet

absolutt i vacuum

289, 351 351

relativ Magnetisk potensial

304, 349

Magnetomotorisk kraft

370

Maxwells ligninger elektrostatikk differensialform firedimensjonal form

54,

380 91, 122, 209 557

elektrostatikk integralform

10, 15, 122

kvasistatisk

382, 475

magnetostatisk differensialform

291, 292, 375

magnetostatisk integralform

291, 375

Maxwells spenningstensor

for det elektrisk felt

510

for det magnetiske felt

517

Moment

se Dreiemoment el. Dipolmoment

Monokromatisk bølge

486

Monopol, elektrisk

181

Motstand ohmsk

273, 274

spesifikk

273

Multipoler

176

Octupol, moment

181

Ohms lov

269, 284

Paramagnetisme

341

Permeabilitet

se Magnetisk permeabilitet

Poisson's ligning

elektrostatikk

65, 122, 210

magnetostatikk

305, 349

568

side

Polarisasjon

atomær

200

elektrisk

201,

mekanismer

200

208

Potensial

elektromagnetisk

544

elektrostatisk

35, 39,122

koeffisienter

163

magnetisk

304

retardert

489

skalar

35

vektor

304

Qudrupol, moment

181

Reluktans

370

Retarderte potensialer

489

Selvinduktivitet def.

419

koaksialkabel

406, 425

solenoide

403

totrådslinje

405,

ytre selvinduktivitet

398

Solenoide

300

Speiling ladning/dielektrisk medium

233

ladning/ledende plan

144

ladning/kule

150

leder/ ledende plan

446

leder/magnetiserbart medium

364

linjeladning/ledende plan

173

Stokes sats

88

Strømfortrengning

435

426

569

side Strømtetthet

fri

265

firedimensjonal

545

bunden

347

Susceptibilitetstensor

202

Tensor

def.

531

Termoelektrisk element

276

Tidsdilatasjon

542

Toroide

367

Vektor

def.

Vektorpotensial

531

304,309