149 57 94MB
Norwegian Pages 313 Year 1978
Lars Othar Svaasand
ELEKTRISITET OG MAGNETISME DEL II. MAGNETOSTATIKK OG ELEKTRODYNAMIKK
3. opplag
sentret - .a-A sA-iwcrr x__ _ V-D N!H BIS
TAPIR 1978
ISBN 82-519-0034-4
DEL II
Innhold
Kap^ 2r _LadningstransportJJdJcestrørn)____________________ 265
2.1.
265
Ledere
Kap. _3.___Magnetostat.ikk___________________________________2 88
3.1.
Innledning
288
3.2.
Magnetostatiske potensialer
303
3.3.
Magnetiske dipoler
315
3.4.
Magnetisk kraftvirkning
322
3.5.
Magnetiske materialer
337
3.6.
Enkle magnetiske kretser
367
3.7.
Resumée
374
Kap. 4.
4.1.
Tidsavhengige elektromagnetiske
felter
Oversikt
Kap. 5.
377
377
Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk
______________ 5.1.
Innledning
382
5.2.
Selvinduktivitet og gjensidiginduktivitet
396
5.3.
Energi
412
5.4.
Felt- og strømfortrengning
435
5.5.
Induksjon i bevegelige systemer
454
Kap. 6.
6.1. Kap.
Oppladning av kondensatorer; kvasistatisk behandling 475
Oversikt 7.
Elektromagnetisk teori
475
481
7.1.
Elektromagnetiske bølgeri vacuum
481
7.2.
Retarderte potensialer
489
7.3.
Bølgeforplantning i kabler
493
Appendix 1.
Maxwells spenningstensor
502
Appendix 2.
Den spesielle relativitetsteori
527
Appendix 3.
Målesystem
558
Index
562
Fremstillingen i denne del av boken er, med unntagelse av appendix 1 og 2, basert på den vektoranalyse som ble presentert
i del. I.
En forståelse av fremstillingen i appendix 1 og 2
krever litt kjennskap til tensoranalyse, og de nødvendige teorem i tensoranalyse er derfor presentert i appendixene. Analysen av det magnetiske felt er basert på
B
som den
primære felt-vektor.
I overensstemmelse med dette kalles
det magnetiske felt.
Det sekundære felt
H
B
for
kalles for H-felt.
Eldre litteratur er gjerne basert på
H
vektor, og i denne litteratur har
derfor ofte navnet magnetisk
H
som den primære felt-
felt. Videre er fremstillingen basert på det generelt gyldige
vektorpotensial for
B .
skalarpotensial for
B
Potensialer av begrenset gyldighet som og skalarpotensial for
H , er ikke dis
kutert fordi de, efter forfatterens mening, hverken forenkler beregningene eller bidrar til forståelsen.
I tillegg til de medarbeidere som ble nevnt i forordet til del I, vil forfatteren også takke Marit Thorsrud for tegning av
figurer.
L.O. Svaasand
265
Kap.2. Ladningstransport(Likestrøm)
2.1. Ledere En del av ladningene i et ledende materiale er bevegelige,
og transporten av disse ladningene kan karakteriseres ved en strømtetthetsvektor
j .
Fig. 2.1.1.
Fig. 2.1.1. Den totale transport av ladning pr. tidsenhet gjennom flaten
dA
i fig. 2.1.1a er lik det totale kvantum av bevegelige ladninger innenfor volumet
vdA .
Dette kvantum er:
(2.1.1)
qNvdA = qNvndA = jndA
hvor
N
er antall frie ladninger pr. volumenhet,
v
av hver ladning, flatenormal og
Nqv
er strømtettheten
Dersom flatenormalen v
n
er den midlere hastighet,
n
q
er verdien
er positiv
j .
danner vinkelen
4>
med hastigheten
blir det transporterte kvantum av ladning pr. tidsenhet:
(Fig. 2.1.1b).
qNvdAcoscJ) = qNvndA = jndA.
(2.1.2)
Følgelig blir den totale utstrømning av ladning pr. tidsenhet
gjennom en vilkårlig lukket flate gitt ved: jndA
(2.1.3)
266
hvor
n
er den utadrettede flatenormal.
Fra prinsippet om
konservering av ladning vet vi at det totale kvantum av ladning
Q
innenfor flaten bare kan forandres ved transport av ladning
gjennom flaten.
Vi finner derfor:
ffjAdA = - $
(2.1.4)
Denne ligningen kalles kontinuitetsligningen for ladning.
Ved
hjelp av Gauss sats kan vi uttrykke ligningen på differensiell
form:
i
t , 9 divj dv = - rr OL
[[ f pdv ,
j
j
= -
9p , T7 dv O L.
[[ j j
eller (divj + -1^) dv = 0 0 u
Siden integrasjonsgrensen er vilkårlig valgt, kan denne ligning Dare være generelt tilfredsstilt når integranden er lik null.
Kontinuitetsligningen for ladning på differensiell form blir der
for: divj +|f= 0
(2.1.5)
0t
hvor
p
er den totale ladningstetthet i mediet.
sjon av Maxwells ligning
divD = p
Ved substitu-
kan vi også uttrykke kon
tinuitetsligningen på formen: div(] + -|-|) = 0
(2.1.6)
0 t
->■
4r har samme dimensjon som strømtettheten j . Vanligvis OL K kalles dette leddet for forskyvningsstrømtettheten, mens j
Leddet
kalles ladningsstrømtettheten.
ved et enkelt eksempel.
Vi skal illustrere disse ligninger
I fig. 2.1.2 antar vi at en plate-
kondensator lades opp ved å koble en spenningskilde
platene.
u
til
267
i den retning hvor de positive ladningbærere transporteres,og tallverdien av I er lik tallverdien av integralet av strømtettheten over tverrsnittet av lederne.
Dersom vi velger integrasjonsflaten
finner vi fra ligning (2.1.4):
f f->-> jndA = -1 + 1- 0- a
jndA +
=
B1
hvor
Q
3Q _
0A (2.1.7)
B2
er den totale ladning innenfor flaten
a -
Denne
ladningen er nu lik summen av ladningene på begge kondensatorplatene,og følgelig lik null. Dersom vi velger integrasjonsflaten
lUndA = [hfidA = - I - -12 J OL.
3
i
fig. 2.1.2,finner =
(2.1.8)
268
hvor A
cj
er overflateladningen på den ene kondensatorplaten og
er arealet av denne.
Transporten av ladninger til platen
gjennom lederen medfører at ladningen på platen øker (I =
81 Økningen i ladning pr. tidsenhet setter opp en total forskyvningsstrøm —A mellom platene. Når kondensatoren er fullt oppladet, er både strømmen I og forskyvningsstrømmen null.
22 A at
lik
Den totale ladning som er tilført den ene plate ved tidspunkt trblir iflg. lign. (2.1.8):
hvor innkoblingstidspunktet er satt til platene blir nu:
t — 0 .
Spenningen over
t U = | f Idt
(2.1.9)
t=o hvor vi har benyttet relasjonen
C = ^ .
Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom strømtettheten j og det elektriske felt é . Når en ladning q i vacuum utsettes
for et homogent elektrisk felt E , vil den påvirkes av en kraft ? = qÉ . Denne kraften forårsaker en akselerasjon a = ^2 m av ladningen. Hastigheten av ladningen blir nu: t v =
m
hvor
J t=o
adt =
t f
c? it- dt = t m m
(2.1.10) ' '
t=o
er massen av ladningen.
Ladningens hastighet
ikke en entydig funksjon av feltet hengig av hvor lang tid av feltet.
t
v
er
É , men hastigheten er av
partikkelen har vært under påvirkning
Situasjonen for en ladningsbærer i en leder er imidlertid en ganske annen. tid
t
Ladningen vil nu bare
akselereres
en ganske kort
og kolliderer derefter med forurensninger, gitterfeil og
termiske eksitasjoner av gitterstrukturen i materialet.
Ladningen
selv har en termisk eksitert hastighet som er vesentlig større enn
det bidrag til hastigheten som kommer fra
akselerasjonen
i det
269
elektriske felt.
Den midlere tid
x
mellom to kollisjoner er
derfor hovedsakelig bestemt av den termiske hastighet, og x —t er derfor tilnærmet uavhengig av E . Den termiske hastighet er
imidlertid rettet i alle mulige retninger,, og den vil derfor ikke bidra til drifthastigheten
v
av ladningsbærerne.
(lign.
Strømtettheten i materialet kan nu uttrykkes: * j = Nqv = N
xE = uE
Vi har nu kommet frem til Onms lov.
(2.1.1)): (2.1.11)
Konstanten
a
kalles den
spesifikke ledningsevne eller konduktiviteten. I et krystallinsk materiale vil imidlertid tiden
x
være
forskjellig for ladningstransport i forskjellige retninger.
Vi
må derfor uttrykke Ohms lov på formen
(2.1.12)
j • = a ik • i Eik
hvor
a., Legg merke til at ik kalles konduktivitetstensoren. og E ikke nødvendigvis er parallelle selv om Ohms lov er tilfredsstilt .
-t-
J
For tilstrekkelig store elektriske felter kan drift-
hastigheten bli sammenlignbar med den termiske hastighet.
Tiden
x
blir derved en funksjon av feltet.
Videre kan høye
elektriske felt forårsake en forandring av antall ladningsbærere N , og N blir dermed også en funksjon av feltet. Den generelle sammenheng mellom j og É må derfor uttrykkes:
2
j = N(E)
Funksjonen
f(E)
x(E)É = f(E)
er nu ikke lenger en lineær funksjon.
(2.1.13)
Dersom
vi rekkeutvikler denne funksjon i en Taylor-rekke, har vi: = °ikEk + «IklVj + °iknmEkElEn> + ......
(2.1.14)
alle ikke-lineære ledd i denne rekken representerer nu avvik fra Onms lov. I fig. 2.1.3 har vi skissert en del aktuelle sammenhenger mellom j og É . * Se oppgave 2.1c.
270
Kurve
viser at ledningsevnen stiger sterkt når feltet økes
A
over en bestemt verdi.
Dette er typisk for elektrisk gjennom
slag i materialet; når feltet blir tilstrekkelig stort, ioniseres mediet og antallet positive og negative ladningsbærere økes
sterkt.
Kurve
B
representerer den lineære sammenheng mellom
strømtetthet og felt; ledningsevnen er konstant og Ohms lov er
tilfredsstilt for alle verdier på
e
e
Kurve
C
felle hvor ledningsevnen synker når feltet stiger.
viser et til Dette kan
inntreffe når drifthastigheten blir sammenlignbar med den termiske
hastighet.
Den midlere tid
t
mellom to kollisjoner vil da avta,
og følgelig avtar det tidsintervall hvor ladningene akselereres av feltet.
Kurve
D
viser et forløp hvor ledningsevnen avtar
så sterkt at strømtettheten synker når feltet økes.
Vi har i
dette området negativ differensiell ledningevne
(adif£ - ii = neg)
.
Der finnes flere forskjellige fysikalske mekanismer som medfører
at antall ladningsbærere eller relaksasjonstiden forandres med feltet på en slik måte at karakteristikken blir som vist i kurve D .
271
Fra vår behandling av ledningsmekanismen ser vi at vi kan forvente avvik fra Ohms lov når: Drifthastigheten blir sammenlignbar med den termiske
a)
I metaller korresponderer
hastighet av ladningsbærerne.
dette med elektriske felter av størrelsesorden
1000 V/mm. *
b)
Det påtrykte felt varierer raskere enn den midlere tid t
I metaller er
mellom to kollisjoner.
t
av størrelses
orden 10"14 sek.
Dimensjonene av lederen er sammenlignbar med den midlere
c)
fri veilengde
A
to kollisjoner. 10 - 1000 Å.
imidlertid
som ladningsbærerne beveges mellom
I metaller er
A
av størrelsesorden
I ioniserte gasser under lave trykk kan
A
være av størrelsesorden 0.1-1 cm.
Disse data indikerer at Ohms lov vil være godt tilfredsstilt i
I gasser er
metaller for de fleste eksperimentelle betingelser.
derimot Ohms lov en lite brukbar approximasjon **
.
Videre er Ohms
lov ikke tilfredsstilt i junction-området i halvlederkomponenter som dioder og transistorer; disse komponenter ville reduseres til
vanlige motstander dersom Ohms lov var tilfredsstilt.
Vi har nu sett at der bare finnes en entydig sammenheng
mellom strøm og spenning når kollisjoner finner sted.
Ved
kollisjonene mister ladningsbærerne sin driftshastighet,og den energien som er levert fra feltet ved
bærerne ,går over til termisk energi.
akselerasjon av ladnings Vi skal nu beregne denne
dissiperte energien.
* Den midlere termiske hastighet
er bestemt av:
v
mv^2 = kT hvor
k
er Boltzmanns konstant og
T
er den absolutte temperatur.
** Karakteristikken for en lysbue er typisk som kurve D i fig.
2.1.3.
272
Fig. 2.1.4a. Den ladning pr. tidsenhet som passerer gjennom flaten dA er ►> gitt ved jndA . Denne ladningen har passert et område med potensialforskjell
avgitt en effekt
dV = gradV«ds = - Eds .
Følgelig har feltet
dP :
dP = dVjndA = - (EdsJjndA = ÉjdsdA = Ejdv hvor
dv
er volumet av terningen i fig. 2.1.4a.
(2.1.15) Den dissiperte
effekt pr. volumenhet er derfor: F = 21 J dv
(2.1.16)
og den totale dissiperte effekt i hele lederen blir:
P
(2.1.17)
J J J
hvor integralet skal taes over hele volumet av lederen.
Dette
uttrykk for den dissiperte effekten er nu gyldig for enhver sammenheng mellom j og E .
For isotrope materialer og tilstrekkelig små felter kan vi uttrykke effekten på formen: P = jJjaE2dv = |jjpj2dv
hvor a er konduktiviteten motstand (E = | j = pj”) .
(j = aE)
(2.1.18)
og
p
er den spesifikke
273
Den totale ohmske motstand
U
forholdet mellom potensialfall
R
i en leder er definert som I
og strøm
langs lederen.
Vi
kan også uttrykke den totale dissiperte effekt ved motstanden R .
Fra lign.
(2.1.15)
P
(Fig. 2.1.4b).
finner vi:
f ->
jndA = U-I
(-Eds) jndA =
(2.1.19)
langs overtversnitt leder av leder n . „ U eller siden R = y :
P = RI2
U2 R
(2.1.20)
Fig. 2.1.4b. Den totale ohmske motstand av en leder av vilkårlig geometri er pr. definisjon:
R - V - V2-Vl _ . R I I jndA
Fra lign.
2 [-» -> Eds
Eds
1
’ *
(2.1.21)
jndA
(2.1.18) og (2.1.20) finner vi at vi også kan finne
motstanden fra relasjonen:
R = — I2
1
I2
pj2dv
(2.1.22)
274
hvor integralet skal taes over hele volumet av lederne.
Vi skal nu betrakte hvordan temperaturen vil innvirke på
I fig. 2.1.5 har vi skissert temperatur-
ledningsevnen.
avhengigheten av den spesifikke motstand for noen karakteristiske materialer.
Kurve A viser temperaturavhengigheten av den spesifikke mot
stand
p
for et metall.
Ved en endelig temperatur deltar
praktisk talt alle tilgjengelige ladningsbærere i ladningstransporten.
N
Det totale antall ladningsbærere pr. volumenhet
er derfor lite avhengig av temperaturen.
Når temperaturen
øker, vil den termiske hastighet av ladningsbærerne stige og
den midlere tid
t
mellom to kollisjoner avtar.
Den
spesifikke motstand vil derfor stige. Kurve B viser temperaturavhengigheten av
med supraledende egenskaper.
p
for et metall
Under en bestemt temperatur
Tc
er den spesifikke motstand identisk lik null; materialet er
supraledende.
Når temperaturen er høyere enn
Tc
er leder
egenskapene de samme som vi har diskutert for kurve A.
En rekke
av de vanlige metaller (f.eks. Ni, Pb, Nb) er supraledende for
temperatur lavere enn ca. 10 K.
Vår klassiske teori for
ledningsmekanismer er imidlertid ikke adekvat for beskrivelse
av den supraledende tilstand, og vi skal derfor ikke innlate oss på noen forklaring av fenomenet.
275
Kurve C viser sammenhengen mellom metallisk materiale.
og
p
Antall ladningsbærere
avhengig av temperaturen.
T N
for et ikkeer her sterkt
Ved lave temperaturer er det få
ladningsbærere som deltar i transporten, men når temperaturen øker, får vi termisk eksitasjon av nye ladningsbærere.
Økningen
av
N
med temperaturen er nu vesentlig større enn reduksjonen
av
t
med temperaturen.
Den spesifikke motstand kan derfor av
ta sterkt med temperaturen.
Et forløp av denne typen er som
nevnt karakteristisk for ikke-metalliske ledere som glass, kull,
keramikk etc. Vi har hittil diskutert den transport av elektriske
ladninger som er forårsaket av det elektriske felt alene.
I
en rekke tilfeller spiller imidlertid andre transportmekanismer en fundamental rolle.
Dette er illustrert i fig. 2.1.6.
Fig• 2.1.6.
I fig. 2.1.6a er der vist en leder som danner en åpen sløyfe. Ladningstransporten i lederen forårsakes av det elektriske felt (E = pj)
inne i lederen.
Transporten av ladningene mellom
endepunktene av lederne skjer ved at en person henter en ladning ved det ene endepunkt og bringer den til det andre endepunkt.
Når det flyter en konstant strøm I i systemet, vil potensialdifferensen mellom endepunktene være
U = RI .
Siden
[ -> ->
ibEds = 0 må den transport av ladning som utføres av personen, utføres mot det elektriske felt
E .
Personen må påvirke ladningen med en
276
kraft
Fm = - qE , og han må utføre et arbeid
ladning for å opprettholde strømmen.
U
pr. enhets-
Personen leverer derved
P = Ul , og denne effekten konverteres til varme i
en effekt
den ohmske motstand
i lederen.
R
Den ladningstransport som
utføres av personen kan ikke beskrives ved Ohms lov; strømtett heten er ikke rettet langs feltet É ,men den er rettet mot
feltet.
Det arbeid
U
pr. enhetsladning som utføres av
personen, kalles den elektromotoriske kraft 2.1.6c).
e(e = U)
.
(Fig.
Dette eksempel illustrerer prinsippet for en Van-deGraaff generator.
Rent praktisk skjer ladningstransporten i denne
generatoren via et roterende belte laget av et isolerende materiale.
(Fig. 2.1.6b).
I fig. 2.1.7 har vi skissert et par andre alternativ for ikke-ohmsk ladningstransport.
Fig. 2.1.7. I fig. 2.1.7a har vi illustrert et termoelektrisk element; to metalliske ledere av forskjellige metaller er sveiset sammen slik at de danner en sløyfe.
Det vil flyte en konstant strøm I
i sløyfen dersom det ene sammenføyningspunktet holdes på en
høyere temperatur
enn resten av kretsen
.
Når en
strøm I flyter i sløyfen, vil det dissiperes en effekt
P = R-^II 2 + R2I2 i lederne.
Denne energi leveres fra det termiske reservoir som
holder temperaturen
konstant.
Den ikke-ohmske ladnings-
277
transport finner sted i grenseskiktene mellom de forskjellige
ledermaterialene, og selve transportmekanismen har sin årsak i den strukturelle forskjell i de to ledermaterialene.
I fig. 2.1.7b er der vist en prinsippskisse for et vanlig tørrelement; to elektroder av forskjellig ledermateriale og Z3^) er dyppet med i en elektrolytt (T) . Den strøm I som flyter i
kretsen,leverer en dissipert effekt kretsen.
P = R^I2 +
+ ^3^
Denne energi leveres fra den kjemiske reaksjon mellom de
ytre lederne (2) og uB) og elektrolytten, og den ikke-ohmske ladningstransport finner sted i grenseskiktet mellom elektrolytten og de ytre ledere.
Ladningstransporten er imidlertid bestemt av
Ohms lov både i de ytre lederne og i selve elektrolytten.
Eksempler 2.1.a)
Gitt en sylindrisk homogen leder av et isotropt materiale med tverrsnitt
£
A , lengde
Finn den totale motstand
R
og spesifikk ledningsevne
a .
når det flyter likestrøm i lederen.
Kan det finnes en romladningstetthet
p
inne i lederen?
Kan
det finnes overflateladningstetthet på grenseflaten mellom to
ledere? Løsning :
Med likestrøm forstår vi en stasjonær, tidsuavhengig strøm. Følgelig er
-0 og kontinuitetsligningen for likestrøm blir:
(lign.
divj =0
Siden ladningstransporten tilfredsstiller Ohms lov finner vi fra curlÉ = 0 :
curlj = curloÉ = ocurlÉ = 0
(2.1.5)) (2.1.23) j = aE ,
(2.1.24)
278
Fig. 2.1.8.
I fig. 2.1.8a har vi skissert strømfordelingen i lederen for det
tilfelle at tilledningene er meget tynne.
I stor avstand fra
tilkoblingspunktene vil strømtettheten være rettet i negativ zretning (fig. 2.1.8).
Fra lign.
(2.1.23)
finner vi da:
eller
f(z)
jz
Fra lign.
(2.1.24)
finner vi:
3jz t 3jz > -> + curl3 = 'sj”11 + -+■ Eds
R
er derimot alltid
curiE = 0 .
kan nu finnes fra lign.
(2.1.21):
1 £ a A
(2.1.27)
Vi har her antatt at strømmen er jevnt fordelt over lederen langs hele lengden. I nærheten av tilkoblingspunktene er imidlertid strømfordelingen avhengig av geometrien av ti Hedningene, og
vil derfor være avhengig av utformingen av til
motstanden
R
koblingen.
Dersom lengden
£
på tvers av lederen, vil lign.
er stor i forhold til dimensjonene (2.1.27) være en akseptabel
approximas j on. Den totale rumladningstetthet er bestemt av Maxwells ligning
divD = p .
Fra lign.
(2.1.23) finner vi:
0 = divj = divcrE = div —- D = —- divD o o
eller divD = P = 0 hvor
e
o
e
er dielektrisitetskonstanten i lederne,
280
inne i en leder med konstant ledningsevne elektrisitetskonstant
eq£
.
er lik null *
p
Vi ser hermed at rumladningstettheten
a
og konstant di-
De positive eller negative ladnings
bærerne transporteres nu igjennom materialet som har en
ubevegelig ladningstetthet av nøyaktig samme tallverdi, men med
motsatt fortegn. På grenseflaten mellom to ledere med forskjellig lednings evne
og
o2
vil der generelt finnes en ladningstetthet
Fra lign.(2.1.25) og Maxwells ligning
odivD = o
a * . **
finner vi:
° = odlvS = S151 + K2D2 = S1eo£1E1 + S2%e2E2
j] -> j? £ E. £ = n.e — + n„e e — = (—° . _ ° 1 o 1 2 o 2 a2 a2
n nl^l
ro i ->o\ (2.1.28)
Denne ligning er illustrert i fig. 2.1.9.
Fig. 2.1.9.
Denne betingelsen er strengt tatt bare gyldig når
divj = 0 ;
når det flyter likestrøm i lederen.
**
Bemerk at vi benytter samme symbol
o
både for overflate-
ladningstetthet og for spesifikk ledningsevne.
281
På grenseflaten mellom en leder og en isolator er normalkomponenten av
j
alltid lik null (lign.
(2.1.25)).
Imidlertid vil
det generelt finnes en ladningstetthet på grenseflaten * .
Dette
forhold er vist i fig. 2.1.10.
i
x
men i rummet mellom lederne vil feltet også ha en komponent som er rettet normalt på lederoverflaten.
Denne normalkomponent vil
korrespondere med en overflateladningstetthet.
tettheten
(a = D^)
ligger fast på overflaten, og den deltar
derfor ikke i transporten av ladningen.
* I dette tilfelle finner vi fra lign. a
oo • 0
Denne ladnings-
(2.1.28) :
282
2.l. b) Gitt en kulekondensator bestående av to godt ledende konsen
triske kuleskall og et dielektricum med dielektrisitetskonstant eoe
spesifikk motstand
Finn den totale motstand mellom
p .
kuleskallene for likestrøm når vi antar at ledningsevnen i dielektriket er mye mindre enn ledningsevnen i kuleskallene.
R
en relasjon mellom motstanden
og kapasiteten
Finn
C .
Løsning:
U
0= E»o 7*o
Fig. 2.1.11.
Vi antar at tilledningene for strømmen I er så tynne at de ikke vil innvirke nevneverdig på feltkonfigurasjonen.
evnen i kuleskallene er stor, vil feltet
E
Når lednings
inne i skallene være
Hvert kuleskall vil derfor ligge på konstant
tilnærmet lik null.
potensial, og potensialdifferensen mellom skallene er lik (Fig. 2.1.11).
Den totale motstand
2
1 R - U _ _ I
er iflg. lign.
(2.1.21):
b
2 Eds
R
U .
P jds I
p 1 —— dr 1 4ur2 _ _ r=a_______ I
jndA
b-a 4irab (2.1.29)
283
På grenseflaten mellom de to ledere
(dielektricum og kuleskall)
vil der være en fri overflateladningstetthet
cr =
.
Kapasitetene mellom kuleskallene er: ~(>DndA
£j>EQeEndA
J J
C
(2.1.30)
U
-> -> Eds
Eds
hvor Q er den totale frie ladning på innerleder. Fra denne ligning, lign. (2.1.29) og ohms lov (É = pj) finner vi en sammenheng mellom
R
og
C :
2
Eds
£ EEndA o
EndA
2
Eds
'EndA
eller
(2.1.31)
RC = p e e o
Ekvivalentskjemaet for kondensatoren blir som vist i fig. 2.1.12.
U
Fig. 2.1.12.
284
c) 2.1. (2.1.11) ved statistisk analyse.
Utled lign.
Løsning:
I det stasjonære tilfelle må antall kollisjoner pr. tids Det totale antall kollisjoner pr. tids
enhet være konstant.
enhet og pr. volumenhet i mediet er da:
T = aN = hvor
a
(2.1.32)
N
er den midlere kollisjonsfrekvensen og
midlere tid mellom to kollisjoner.
et bestemt tidspunkt
t
er den
En del av partiklene vil, ved
t , ha en drifthastighet mellom
v+dv ; dette antall kaller vi
n(v)
at partikler med lavere hastighet
.
v
og
Dette antall kan økes ved
akselereres
opp til denne
hastighet,og antallet kan reduseres ved at partikler akselereres ut av dette hastighetsområde.
Denne akselerasjon er forår
saket av det elektriske felt; forandringen i antall partikler kan
dermed uttrykkes: ,
(v) 3t
felt
_ 3n (v) dv
3v _ 3n (v) 3t ~ 3v
3 ,qE at (m
3n(v) qE " ~3v“ m
(2.1.33)
hvor V
= a®
t
m
Videre vil antall partikler i dette hastighetsområde forandres
på grunn av kollisjoner.
Vi antar at drifthastigheten av par
tiklene synker spontant til null ved kollisjonen.
Følgelig vil
ingen partikler retarderes inn i det aktuelle hastighetsområde, og forandringen pr. tidsenhet må være lik antall kollisjoner pr.
tidsenhet.
Fra lign.
(2.1.32) finner vi da:
,3n(v)x (~at— )koll. = an(v)
(2.1.34)
285
I det stasjonære tilfelle må forandringen i
n(v)
være lik null;
forandringen på grunn av feltet pluss forandringen på grunn av
kollisjoner må være lik null:
, 3n (v) 1 9t ’ felt
Når
n(v)
. 3n (v) . 1 3t ?koll.
3n (v) m 3v
bare betraktes som en funksjon av
+ an (v)
v
(2.1.35)
som uavhengig
variabel, kan vi skrive:
dv
n(v)
aE + an(v) = 0 m
= - 22 dv qE
Ved integrasjon finner vi: -1In n (v) r \ + In -i c = - eim — qE v
n(v) = -| £
hvor
c
am qE
er en integrasjonskonstant .
(2.1.36)
Alle partikler må nu ha
en eller annen hastighet mellom null og uendelig, og det totale antall partikler pr. volumenhet kan derfor uttrykkes:
(2.1.37)
Følgelig kan hastighetsfordelingen uttrykkes:
286
am qE
Nam qE ’
(2.1.38)
Den midlere hastighet av partiklene defineres som summen av
hastighetene av alle Vi har da:
partikler dividert på antall partikler.
N
00
= H n(v)vdv = i V=O
am 9E V.vdv
l
V=O
Ved partiell integrasjon finner vi:
am v
am L qE f
- aE / qE
,v
00
am o
JE (SE. 2 qE am
am
m
qE
T
_ am
00
r _ )
a)
Fig. 2.1.12
Kollisjonen for en bestemt partikkel inntreffer ikke regulært.
Noen ganger har partikkelen en levetid større enn
t
, andre
ganger har partikkelen en levetid mindre enn t
T
er den
midlere tid mellom to kollisjoner.
;
Strømtettheten i mediet
kan nu uttrykkes:
2 — tE = ■ j = °° i et uendelig tynt skikt ved grenseflaten. Se fig. 3.1.5.
curlH = t + 22 31 Denne ligningen inneholder den generelle kontinuitetsligning
* Den generelle form på lign.
(3.1.6) er:
div(j + 22) = 0 o
(lign.
(2.1.6)).
u
Se kap. om bølgeforplantning.
(kap. 7.1).
293
b)
a)
Fig. 3.1.5.
Den totale strøm i lederen fig. 3.1.5a blir:
tverrsnitt av leder
og den totale strøm i lederen fig. 3.1.5b blir:
I =
and£
periferien av tverrsnitt av leder
hvor
er den normal til lengdeelementet
n
d£
som ligger i
I ledere med endelig ledningsevne kan det
overflateplanet .
imidlertid ikke finnes en overflatestrømtatthet
elektriske felt
E
o
fordi det
da nødvendigvis må være uendelig stort.
Dette
innses lett fra Ohms lov: -> ->■ j = oo = oE
.*
♦ Imidlertid kan det ofte være hensiktsmessig å approximere en strøm som er fordelt i et endelig, men tynt skikt
flaten med en overflatestrømtetthet. evnen
a
BndA = Br2Krh = 0
eller
Br = 0
(3.1.15)
Velger vi å integrere langs en sirkel som er konsentrisk med lederen og ligger i planet normalt på lederen, finner vi fra lign. (3.1.10):
pHds = HQ2Kr = I ”
J
9
Inne i lederen
p I = o2o 9 27Tr
(r■ o mxr 4 TT r 3 p
(3.3.5)
Dette potensial er illustrert i fig. 3.3.1.
Vektoren
r
i lign.
(3.3.5) er nu avstanden mellom et eller
annet punkt i umiddelbar nærhet av strømsløyfen og et vilkårlig valgt punkt
(xyz)
.
fra sentrum i sløyfen.
I fig. 3.3.1 har vi valgt å måle
r
ut
317
Fig. 3.3.1.
Eksempler:
3.3.a) Finn feltet fra en magnetisk dipol.
Løsning: Vi oppnår de enkleste uttrykk for dipolsfeltet ved å bruke sfaeriske koordinater og velge koordinatsystemet slik at dipolen er plassert i origo med dipolmoment rettet langs aksen =o . Iflg,
fig. (3.3.1.) har vi nu : m = Med dette valg av koordinater finner vi fra lign. u A = 01 + — — sind)«i- + Ok, r 4tt 2 * J9
(3.3.5) :
318
Det magnetiske felt
B
er gitt ved:
B = curlÅ
eller B
B
r
i
l4Tir2 Sln 'f)
r
e
i _a_ (r-0) r 9r
4>
-
i
. 2
a
rsinø a *
1 90 r 9
* rsln
ao _ ^o1"003* ,
30
0
1 00 _ 1 9 , po . .. rsincj) 90 r 9r r . 2 sin m = IjjndA = INAn
hvor
n
er positiv flatenormal til tverrsnittet av solenoiden.
I stor avstand fra en solenoide blir feltet alltid et dipolsfelt som vist i fig.
lengden pa solenoiden.
3.3.5.
Dipolmomentet er uavhengig av
Imidlertid er selvfølgelig lengden av
indirekte betydning, fordi den er bestemmende for den avstand fra solenoiden hvor vi kan benytte dipolsfeltet som en brukbar
approximasjon til det eksakte felt.
321
Fig. 3.3.5.
322
3.4.
Magnetisk kraftvirkning
Den magnetiske kraftvirkning pa en ladning v
er, som vi fant eksperimentelt i kap.
q
med hastigheten
3.1, gitt av lign.
(3.1.1) :
->■ -> -> F = qvxB Vi skal nu omforme denne ligning til et eksplisitt uttrykk for kraften på ladningsbærerne i en leder.
dv
på ladningsbærerne i volumelement
Den kraft
som virker
dF
blir nu:
dF = qNvdvxB
Hvor
(3.4.1)
er antall ladningsbærere pr. volumenhet og
N
hastigheten av ladningsbærerne.
v
er drift-
Denne ligningen kan også
uttrykkes på formen:
(3.4.2)
dF = jdvxB
hvor
er strømtettheten.
j
Den totale kraft på alle ladnings
bærerne i en leder blir derfor: F = ] J j jdvxB
(3.4.3)
hvor integralet skal taes over hele lederen. I mange problemstillinger er det hensiktsmessig å kjenne et eksplisitt uttrykk for kraften på ladningsbærerne i en tynn leder.
Med en "tynn" leder vil vi nu forstå at lederen er så tynn at vi kan neglisjere variasjonene i feltet
lederen.
Når
forutsetter at vi:
=
ds
dv = dsndA
É
É
over tverrsnittet av
substitueres i lign.
(3.4.3), og vi
er konstant over tverrsnittet på lederen, finner
jdvxÉ = I
[ j (dsndA)x
( jndA) xÉ = f + -> F = lédsxB
I(ods)xb = I0xB = 0
Den totale kraft på ledersløyfen er følgelig identisk lik null dersom feltet er konstant over hele sløyfen.
Vi skal nu finne den totale kraft på en magnetisk dipol
m
i et inhomogent felt.
Med begrepet dipol forstår vi nu at
sløyfen har så liten utstrekning i forhold til variasjonene i B
feltet
at vi bare behøver å ta hensyn til førsteordens
variasjoner i
B
over sløyfen.
Se fig. 3.4.1.
x
Fig. 3.4.1.
324
Fig. 3.4.1
325
f
Fig. 3.4.1
I fig. 3.4.1 har vi uttrykt det magnetiske moment
m
i
kartesiske koordinater: m = Idydz«T +
^ * Idxdz
+
Idydx« k
Den totale kraft kan nu finnes fra lign.
(3.4.4)
og fig. 3.4.1.
Vi får da: F
3B 3B = IB dy - I(B + -- - dz)dy + IB dz - I(B + —dy)dz x z 2 z 3z 2 y y 3y
3B 3B - IB dz + I(B + —dx)dz - IB dy + I(B + —±dx)dy y y 3x z 7 z 3x
3B 3B 3B 3B = (- -—- - —-^) Idydz + —Idxdz + --- Idxdy 3z 3y y 3x 3x 7
Fra Maxwells ligning
divB
0
finner vi:
326
Følgelig kan kraften i x-retning uttrykkes:
F
x
3B 3B _x 3x Id*dz +
3B _x m 3x x
Fy
3B Idxdz
3B —m 3x y
asr Idxdy
3B _z m 3x z
(3.4.6)
kan finnes direkte fra dette uttrykk ved permutasjon av indeksene. Generelt kan vi derfor uttrykke kraften på formen:
Kraften
og
Fz
F = (mV)B + mxcurlB
(3.4.7)
Det overlates til leseren å vise at dette uttrykk er i overens
(3.4.6).
stemmelse med lign.
Dersom dipolen befinner seg i vacuum, har vi fra Maxwells ligning:
curlB = p^curlH =
og lign.
(3.4.8)
= 0
(3.4.7) kan skrives:
(3.4.9)
F = (inV)B Legg merke til at
j
er lik null i lign.
(3.4.8)
fordi
det felt som er satt opp av andre kilder enn strømmen I.
B
er Den
totale strømtetthet i den uendelig tynne leder er selvfølgelig uendelig stor.
Vi har nu sett at den totale kraft på en leder i et homogent magnetisk felt er identisk lik null.
Imidlertid vil
sløyfen være utsatt for et kraftpar som vil sette opp et dreie moment. Fig. 3.4.2.
{
I
327
a)
b)
Fig. 3.4.2.
Kraftparet
på sidekantene
a
blir fra lign.
(3.4.4).
Fx = IaB
Dette kraftparet vil utsette sløyfen for et dreiemoment
M :
M = F^bsincfi = IabsinB
eller M = mxÉ
hvor
in
kantene
er sløyfens dipolmoment.
b
dreiemoment.
(3.4.10)
Kraftparet
F^
på side-
vil, som fremgår av fig. 3.4.2, ikke resultere i noe Det er lett å innse at lign.
(3.4.10)
vil gjelde
for en sløyfe av vilkårlig geometri i et homogent felt.
Fig. 3.4.3.
328
Fig. 3.4.3. Vi tenker oss at et areal som er begrenset av sløyfen
S, deles
opp i et uendelig antall sløyfer av samme geometri som sløyfen i fig. 3.4.2. et
dipolmoment
Hver av de infinitesimalt små sløyfer har nu dm :
dm = nldA
Det totale dreiemoment blir nu fra lign.
-+■ ff -> + dmxB M = JJ
nldA)xB
hvor
m
(3.4.10):
nldAxB
mxB
q. e . d.
er det totale dipolmoment for sløyfen
S
329
Eksempler:
3.4.a) Anta at en ladning q kommer inn i et homogent magnetisk Beskriv partikkelens bevegelse i felt § med hastigheten v . feltet.
Løsning:
v -q *—
♦B
v q •-----
b)
Fig. 3.4.4.
330
I fig.
3.4.4a har vi skissert det tilfelle hvor en negativ
ladet partikkel
(-q)
kommer inn i feltet med en hastighet
rettet normalt på feltet. kraft
vei
v
Partikkelen blir da utsatt for en
F = - qvxB . Denne kraften er alltid rettet normalt på den ds som partikkelen går: ds, (v = dt>
Følgelig kan det statiske magnetiske felt ikke tilføre partikkelen
energi, og tallverdien av hastigheten
v
må derfor være konstant.
Imidlertid vil hastighetens retning forandres, og partikkelen vil
tvinges inn i en sirkulær bane hvor den maanetiske kraft virker som sentripetalkraft.
Radien
r
på banen er nu bestemt ved:
F = qvB = m
hvor
m
er partikkelens masse.
Dersom vi substituerer
v = wr
i dette uttrykk, finner vi: n = m — v = m — ær qB = mw r r
Vi ser nu at omløpsfrekvensen, eller cyklotronfrekvensen, \)
=
co 2
-------
tt
=
qB 2 irm
-a-------
blir uavhengig av partikkelens hastighet.
For et gitt magnetisk
felt er omløpsfrekvensen et tall som bare er bestemt av forholdet
mellom partikkelens ladning og masse. uavhengig av fortegnet på ladningen;
Cyklotronfrekvensen er ladningens fortegn vil bare
innvirke på omløpsretningen i forhold til positiv retning på B-feltet. (Fig. 3.4.4a og b).
En partikkel som kommer inn i magnetfeltet med en hastighet
langs B-feltetf vil ikke innflueres av det magnetiske felt i det
hele tatt fordi kraften
F = qvxB
da er identisk lik null.
Følgelig vil en partikkel som kommer inn i feltet med en vilkårlig retning i forhold til §-feltet utføre en helix-bevegelse langs
feltet.
I fig. 3.4.5 har vi illustrert banen for ladede partikler
som kommer inn i jordens magnetiske felt.
331
Fig• 3.4.5. De partikler som kommer inn i ekvatorplanet blir avbøyet i stor avstand fra jorden.
Men de partikler som kommer inn mot jordens
magnetiske poler,vil beveges i en helix-bane,og de vil trenge inn til jordens ytre atmosfære.
Årsaken til nordlys
(og sydlys)
er nettopp ladede partikler som trenger inn gjennom jordens magnetiske felt ved polene.
b) 3.4. Gitt to tynne parallelle ledere som begge fører strømmen I
i motsatt retning. lederne.
Finn magnetisk kraft pr. lengdeenhet av
332
Løsning:
Fig. 3.4.6. Den kraft som virker på ladningsbærerne i lengdeelement
den ene leder er:
(lign.
ds
av
(3.4.5))
dF = IdsxB hvor
leder:
B
er det magnetiske felt som er satt opp av den andre
(lign.
(3.1.16))
|B| B - 2ird
hvor d er avstanden mellom lederne. blir derfor:
2ird
Kraften
F
pr. lengdeenhet
2ird
Kraften vil prøve å skyve lederne fra hverandre. Dersom strømmen går i samme retning i begge lederne, vil kraften virke tiltrekkende.
333
C) 3.4. Gitt en magnetisk dipol
til en tynn sirkulær sløyfe.
m
som befinner seg på midtnormalen
Dipolmomentet er rettet langs
sløyfenormalen som vist i fig. 3.4.7.
Finn kraft og dreie
moment på dipolen.
Fig. 3.4.7.
I oppgave 3.2b) fant vi følgende uttrykk for feltet på midt normalen: Bx = 0 ?
By = 0 ;
uoIa2
Bz = --- 2---2(z2+a2) /2
Kraften på dipolen kan nu finnes direkte fra lign. F - (inv)5
eller
F
x
= 0 ; ’
F
y
- 0:
(3.4.9):
334
og F
z
= (0 -|— + 0 -|— + m -|-)B 3x 3y 3z z p Ia2
3 m
3
' 5--------- rr z
3
2 (z 2 + a2)
Vi skal nu finne kraften på dipolen uten å benytte lign.
(3.4.9)
6 B, ----- 6r
dr
b)
Fig. 3.4.8. I fig. har vi tegnet dipolen
radius
og strøm
dr
m
som en liten sirkulær sløyfe med
(in = 7rdr2I201< z )
I2
Den totale kraft
pa dipolen er,som vi ser fra fig. 3.4.8, forårsaket av 3B (B
ar
dr)
og ikke av (Bz
9Bz dr) ar
.
Vi trenger derfor å kjenne r-komponenten av S-feltet langs peri-
ferien på dipolen.
Denne komponenten er imidlertid bestemt av z-komponenten på grunn av Maxwells ligning div§ = 0 eller
335
Vi betrakter derfor utstrømning av B-felt fra en
BndA = 0 .
JJ liten sylinderflate som vist i fig. 3.4.9.
Fig. 3.4.9
Siden
0
B
0
nar
finner vi:
3B 3r
(B
* 2irdrdz dr
3B + -z—- dz) -ndr2 z 3z
B rdr2 = 0 z
eller
3B 3r
3B 1 _z 2 3z
(lign
Den totale kraft på dipolen blir nu:
(3.4.4))
3B
£ = ()I dsxS = - (I22irdr
i
3B
m
2I2'dr!
curl(B
u M)dv = 0 Ho
(3.5.10)
Siden flaten er vilkårlig valgt må integranden være lik null.
Vi
har derfor:
(3.5.11)
curl(B - pQM) = 0
Dersom vi også antar at det totale B-felt kan ha et bidrag fra en (lign. (3.5.1)) makroskopisk strømtetthet j , har vi: curl(B - pQM) = pQj
eller curl(— - M) = j Po
(3.5.12)
Vi definerer nu den magnetostatiske vektor
curl er lik strømtettheten curlH = j Denne definisjon på
B
og
H :
H
som den vektor hvis
j . (3.5.13)
H
impliserer da følgende sammenheng mellom
346
B %
H
M
(3.5.14)
Denne ligningen uttrykker den generelle sammenheng mellom og H . til:
B
I vacuum og umagnetiske media reduseres denne relasjonen
Legg merke til at
er en avledet størrelse som er introdusert
H
i den hensikt a bringe Maxwells ligninger på samme form i
magnetiske og umagnetiske materialer.
Det er ikke nødvendig å
introdusere denne størrelsen; det er bare hensiktsmessig.
Vi kan,
som vi har sett, beskrive de magnetiske fenomener fullstendig med vektorene
B
og
M
alene.
Grunnen for å introdusere
ff
i
magnetostatikken er nu den samme som grunnen for å introdusere i elektrostatikken.
6
Vi kan nu skrive Maxwells ligninger i det
magnetiserte medium på samme form som (lign. (3.5.2))
ligningen i vacuum:
curlH B > ■* H = ---M -> 11
(3.5.15)
divB =
Vi skal utlede det generelle uttrykk for det magnetostatiske vektorpotensial
A .
Vi skriver da lign.
(3.5.15) på formen:
curlff = j § = curlÅ
ff = ---- M yo
(3.5.16)
Når vi opererer med curl på begge sider av likhetstegnet i den siste ligning, får vi: curlB = curlcurlA = graddivA - V2a
347
Ved substitusjon av de to andre ligninger i lign.
finner
(3.5.16)
vi: curlB = curlpQ(H+M) = uQ(j+curlM)
= graddivA-V1 2A
(3.5.17) Vi velger nu, på samme måte som i det umagnetiske tilfelle, at
—t A
skal være divergensfri:
divA = 0
Ved dette valg blir lign.
(3.5.17) på formen:
V2A = - po(j+curlM)
Fra denne ligningen ser vi at strømtetthet.
(3.5.18)
curlM
opptrer som en ekvivalent
Dette er ingen tilfeldighet:
curlM
er fysikalsk
den makroskopiske middelverdi av den mikroskopiske strøm som settes opp av de ladninger som er bundet til baner rundt atomene. Vektoren
størrelse
-divP
curlM
-divP
er på denne måte analog til den skalare
i elektrostatikken.
Den skalare størrelse
er nettopp den makroskopiske middelverdi av tettheten av de
bundne ladninger.
Den bundne strømtetthet
= curlM
represen
terer ingen transport av ladning over makroskopiske avstander.
Denne transporten beskrives av strømtettheten ladningsbærerne. lign.
av de fri
Vi har nu full fysikalsk bakgrunn for å skrive
(3.5.18) på formen:
V2A =-Po(j+jb) hvor
j
jfc
- (3.5.19)
er gitt ved:
j = curlM Jb
(3.5.20)
1 grenseområdet mellom to media vil magnetiseringen, rent fysikalsk
forandres kontinuerlig i et grenseskikt.
Tykkelsen av dette
grenseskiktet vil vanligvis være sammenlignbar med atomære dimensjoner.
I mange problemstillinger er det derfor hensikts
messig å anta at magnetiseringen forandres diskontinuerlig i
348
grenseflaten.
Den bundne strømtettheten
uendelig ved grenseflaten.
i, vil dermed bli Jb Vi introduserer derfor en overflate-
strømtetthet av de bundne ladninger. med lign. (3.5.20) har vi derfor:
I overensstemmelse
(3.5.21)
= ocurlM = n^xM^ + n^M,,
På samme måte som den bundne strømtetthet tettheten av de fri ladningsbærerne
flatestrømtettheten
er analog med strøm
j , blir nu den bundne over-
analog med en overflatestrømtetthet
av de fri ladningsbærere.
I fig. 3.5.5 har vi vist en sylindrisk,
uniformt magnetisert,permanent magnet.
Magneten befinner seg i
Fig. 3.5.5.
Strømtetthetene av de frie ladningsbærerne identisk med null overalt i rummet.
(^
og
a)
er nu
Siden magnetiseringen
M
er
uniform inne i magneten og lik null utenfor magneten, vil den
bundne strømtettheten og innenfor magneten.
være lik null overalt i rummet utenfor b Ved den sylindriske grenseflaten har vi j
nu en diskontinuitet i tangensialkomponenten av
M
og dette
349
korresponderer med en bundet overflatestrømtetthet
.
I fig.
3.5.5b har vi vist hvordan vi kan oppfatte denne overflatestrømtetthet som resultanten av ladningenes bevegelse rundt atomkjernene (Ib)
. Den generelle løsning av Poissons ligning for vektor-
potensialet (lign.
(3.5.18)) kan nu uttrykkes : *
Å = ^2 4 7T
^b ---- dv
% 4 7T
4tt
a+a, --- 6 dA
a+(n,xM.+n? xM?) ---- ±-- i-- --- — dA
(3.5.22)
Vi har tidligere påvist at der ikke kan finnes overflatestrøm-
tettheter
cr
i materialer med endelig ledningsevne.
I behandlingen
av ikke-magnetiske materialer er derfor overflateintegralet i lign. (3.5.22)lik null.i behandlingen av magnetiske materialer er derimot
overflateintregralet av stor betydning; i de fleste problemstillinger kommer det dominante bidrag til vektorpotensialet nettopp fra >
dette leddet ** .
>
I vår behandling av magnetostatiske og elektrostatiske felter er det magnetiske felt B og det elektriske felt É begge definert
*
ut fra kraftlover.
Den fullstendige lov for kraftvirkningen på en
ladet partikkel er nu:
(lign.
(1.2.24) og (3.1.1))
F = qÉ + qvxB
hvor
q
er ladning og
* Sm. lign.
(3.5.23)
v
er hastigheten av partikkelen.
(3.2.9) .
**I den problemstillingen som er vist i fig. 3.5.5 får vektor
potensialet bare bidrag fra dette overflateintegralet .
350
Denne ligningen kan betraktes som en definisjon på hva vi skal forstå med vektorfeltene B og É . Disse vektorfeltene kan
* felter.
derfor betraktes som analoge
Den elektriske induksjon D og feltet H er begge av ledede størrelser som introduseres for å få Maxwells ligninger
på en hensiktsmessig form. Dette valg impliserer følgende uttrykk for D og H : (lign. (1.14.17) og (3.5.14))
D = e E + o
p
(3.5.24) H = — B - M
Vektorfeltene
D
H
og
kan
også
betraktes som analoge felter.
Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom det magnetiske felt
B
og den magnetisering
sammenhengen mellom
B
M
og
som dette felt setter opp. M
Vi uttrykker
i en Taylor-rekke:
M = f (B)
Mi = “i + aik3k + “ik£BkBl + .............
(3.5.25)
Koeffisientene i denne rekken er parametre som karakteriserer
materialets egenskaper.
Når
B-feltene er tilstrekkelig små, behøver vi bare å ta
hensyn til ledd opptil første orden i denne rekken.
I magnetiske
isotrope materialer er den permanente magnetisering
a.
og
M
og
B
lik null,
er alltid enten parallelle eller antiparallelle.
* I kapittelet om bevegelige system skal vi vise at denne analogien har fysikalsk bakgrunn: forskjellen på B og É er bare et spørsmål om valg av referansesystem.
351
Vi har da:
aB .
M. = a .. B r ik k
eller
(3.5.26)
M = aB
Sammenhengen mellom
H
H
— - M %
og
(lign.
B
B %
aB
(3.5.14)) kan da uttrykkes:
1_ %
->■ 1 -> p a) B = --- B O UOU
eller B = popH
Konstanten
(3.5.27)
kalles den absolutte permeabilitet og
u
kalles den relative permeabilitet. Verdien av U er avhengig av den magnetiseringsmekanisme
som dominerer i materialet.
0>l
ferromagnetisk
Vi skal nu se litt detaljert på magnetiseringen i ferromagnetiske materialer.
352
b) Fig. 3.5.6.
353
I fig. 3.5.6a har vi skissert et typisk B-H diagram for et ferromagnetisk materiale. * I punkt 1 er den totale magnetisering
i materialet lik null.
(Se fig. 3.5.3a).
Når B-feltet økes, vil
de domener som har et magnetisk moment parallell med (Fig. 3.5.3b).
I punkt
av denne type.
En ytterligere økning av
2
B
vokse.
består materialet bare av en domene
B
kan derfor ikke
medføre noen forandring av magnetiseringen.
Når B-feltet nu
reduseres til null, vil materialet delvis beholde magnetiseringen.
(punkt
3
Dersom vi øker B-feltet i negativ retning, kommer
).
vi til punkt
4
hvor materialet igjen består av en domene.
Når B-feltet igjen reduseres til null, kommer vi til punkt
5
hvor magnetiseringen er like stor som magnetiseringen i punkt Men magnetiseringen i punkt
3
og
En slik sammenheng mellom
B
5
og
3
er rettet i motsatt retning. kalles for en hysterese-
H
sløyfe, og den kan selvfølgelig ikke beskrives av den lineære
relasjon B = UquH .
Vi kan imidlertid heller ikke uttrykke sammen-
[
hengen i en Taylor-rekke fordi én verdi på
1
med én bestemt verdi på
B
ikke korresponderer
For å finne den verdi på
H .
korresponderer med én bestemt verdi på
B
H
som
må vi kjenne materialets
magnetiske "historie". I mange praktiske anvendelser av ferromagnetiske materialer
fi
er man ikke interessert i deres egenskaper som permanente magneter. Man benytter materialet fordi det har en høy permeabilitet.
4
I
slike problemstillinger neglisjerer vi derfor bredden på hysteresesløyfen.
I fig. 3.5.6b har vi vist hvordan vi kan approximere
2
sammenhengen mellom
a a
B = uonH .
t
3.5.a)
B
og
H
med den lineære relasjon
Eksempler:
Gitt en kule av et lineært isotropt materiale med magnetisk
q
permeabilitet
5
felt
3
I
V
8
371
Eksempler: 3.6.a)
Finn den magnetiske flux i den krets som er vist i fig. 3.6.5
Løsning:
b) Fig. 3.6.5.
Dersom I fig. 3.6.5 har vi vist en jernkrets med en luftspalte 6 . 6 er liten i forhold til sidekantene i tverrsnittet av jernkjernen er det rimelig å anta at feltet i luftspalten B^ 0 har vi nu: Fra Maxwells ligning B nl, + B n2„
B6
B. 3
Videre har vi:
oHds
Siden
B. = p uH. 3 0 3
H .£ . + H.6 = NI o 3 3
og
6 =
B. B . 6 = NI —. +
uoH6
finner vi nu:
er uniformt
372
og
= B .A
NI £ ■
x
—L + _Å_ VA %A
Den magnetiske motstand i jernet
magnetiske motstand i luftspalten
NI R . + R r mj mo
Rmj.
kommer her i serie med den
R r mG Denne ligning kan nu betraktes som den generelle definisjon på
Leddet:
-H H-feltet.
aS at 5?( kalles forskyvningsstrømtettheten . Dersom vi opererer med divergensoperatoren på begge sider av
pb denne ligningen, får vi: div(curlH)
0 = div (j + ^) ov
380
Denne ligningen kjenner vi godt fra før: det er kontinuitetsligningen for ladning (lign.
(2.1.6)).
Vi ser således at
kontinuitetsligningen for ladning kan utledes fra Maxwells
ligninger; Maxwells ligninger inneholder informasjon om kon tinuitet av ladning. Eksperimentene viser også at B-feltet fortsatt tilfreds stiller ligningen: *
«^BndA =0
(4.1.7)
div§ = 0
(4.1.8)
eller
Eksperimentelt har vi således funnet at den fullstendige form på Maxwells ligninger på integralform for tidsavhengige felter
kan uttrykkes:
9 4> 9t
Eds
Q
D
o
+ P (4.1.9)
Hds
9 9t
I
DndA
H
B %
M
0
Denne ligning kan,på nær en tidsuavhengig konstant, utledes fra lign. (4.1.2).Siden divcujl E =o har vi: o= divcurl E^= div( -|| ) = --i div §
eller: div B = konst.m.h. p.tiden Siden denne konstant er lik null i det statiske tilfelle så må
konstanten ogsa ha samme verdi i det tidsavhengige tilfelle fordi
den er tidsuavhengig.
381
På differensiell form:
curlE
3B at
£ É + P
divD = p
O
(4.1.10) curlH = j + -— O U
divB = 0
H = — - M %
382
Kap. 5.
5.1.
Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk behandling
Innledning I de fleste praktiske problemstillinger vil den eksakte
løsning av Maxwells ligninger på den generelle form (lign.
medføre et meget omfattende matematisk arbeid.
(4.1.10))
I mange tilfeller
kan man imidlertid finne en meget god beskrivelse av de
fysikalske fenomen ved approximative løsninger.
Ligningssettet (5.1.1) er basis for en kvasistatisk approximasjon av magnetostatisk karakter: Integralform:
Eds = -
$
ot
D
£ E + P O
(5.1.1) Hds
3 at
I
DndA = I
H
B %
M
0
Differensiell form: curlE
3B 3t
divD = p
(5.1.2)
curlH = j +
divB = 0
J
383
Vi neglisjerer bidraget til curlH fra forskyvningsstrømtett3D . heten — De magnetiske feltene er nu bestemt av nøyaktig de samme ou ligninger som vi benyttet i det magnetostatiske tilfelle. Det elektriske felt
E
er derimot ikke bestemt av de statiske
ligninger; vi tar hensyn til induksjonsleddet; 3B at ‘
La oss nu betrakte strømfordelingen i en leder med konstant £
ledningsevne; vi skal finne ut hvilken strømfordeling som kan
d
beskrives av disse ligninger.
Fig. 5.1.1.
384
divj - 0 curlj: 0
Likestrøm
Åpen
krets
d)
Fig. 5.1.1.
I fig. 5.1.1a har vi vist strømfordelingen i en leder i det Der finnes kapasitet mellom ethvert lite
generelle tilfelle.
element av ledersløyfen og alle andre elementer av sløyfen.
En
del av strømmen i lederen flyter mot overflaten, og vi får en tidsavhengig overflateladning
—- .
Denne tidsavhengige overflate-
ladning må, ifølge kontinuitetsligningen, tilsvare at
divj / 0 .
Grensebetingelsen for strøm blir i overenstemmelse med lign.( 2.1.5 );
9t 9a 9t
(5.1.3)
385
eller ,siden j=0 på vacuumsiden: (5.1.4)
9t
er flatenormalen rettet inn i lederen.
n
hvor
Denne akkumulasjon av ladning på overflaten medfører derfor at strømmen ikke er den samme overalt i lederen på et bestemt tids
punkt; strømmen variérer langs lederen. Dersom vi antar at Ohms lov er tilfredsstilt , finner vi fra
Maxwells ligninger (lign.
(5.1.2))
curlÉ = curlp j = O L.
eller ,q 1 nX (5.1.5)
. "t 13B curlj = - — yt hvor
P
er den spesifikke motstand.
Strømtettheten vil nu også variere over tverrsnittet av lederen fordi det tidsavhengige B-felt gir et bidrag til
Dette
curlj .
generelle tilfelle er illustrert i fig. 5.1.1a). I det kvasistatiske tilfelle neglisjerer vi leddet
i Maxwells ligninger.
3d —
Kontinuitetsligningen for ladning blir da:
(lign. (2.1.6)
divj = - div
O L-
= 0
og ved overflaten får vi betingelsen (lign.
(5.1.6)
(5.1.3))
odivj^ =0 eller
jn = 0
Strømtettheten
(5.1.7)
er nu divergensfri, og normalkomponenten ved
overflaten av lederen er lik null.
Vi neglisjerer således
akkumulasjonen av ladning,og strømmen er den samme overalt i lederen
på et bestemt tidspunkt.
Fig. 5.1.1b.
vi neglisjerer imidlertid ikke induksjons leddet
- — , og ot
386
dette medfører at lign.
(5.1.5)
fortsatt er gyldig i den kvasi-
statiske approximasjon. I det kvasistatiske tilfelle kan vi derfor konkludere:
Strømmen
varierer ikke langs lederen, men strømtettheten
I
vil variere over tverrsnittet av lederen.
j
Dette forhold er
illustrert i fig. 5.1.1b.
I likestrømstilfellet er både leddet
_ ___ at at Strømtettheten er derfor både curl- og divergensfri
lik null.
(lign.
(5.1.5) og (5.1.6)).
lederen og strømtettheten
Strømmen "j
I
varierer ikke langs
er jevnt fordelt over tverrsnittet av
en rett leder med konstant tverrsnitt . *
Fig. 5.1.1c.
Vi har sett at en av konsekvensene av den kvasistatiske app
roximas jon er at strømmen
I
ikke varierer langs lederen.
Følgelig
strømmen alltid ga i lukkede ledersløyfer. Når ledersløyfen er åpen, må strømmen I nødvendigvis være identisk med null langs
Dette betyr at vår kvasistatiske approximasjon
hele sløyfen.
ikke kan beskrive et fenomen som oppladning av en kondensator. Fig. 5.1.Id.
Vi skal nu se litt på hvilke potensialer det er mulig å inn
føre for
B
og
E .
Fra lign.
(5.1.2) ser vi at de magnetiske
feltene er bestemt av de samme ligninger som i det magnetostatiske
tilfelle.
Vi kan derfor benytte alle de uttrykk som vi utviklet
for de magnetiske felter i kap. 4. vektorpotensial & f hvor:
Vi introduserer fortsatt et
B = curlA
(5.1.8)
divÅ =0
(5.1.9)
Imidlertid er curlE / 0 , og vi kan derfor ikke uttrykke 5 som gradienten til et skalart potensial. Dette problem kan, som vi nu skal se, løses på en meget enkel måte. (5.1.2) har vi:
Fra lign.
(5.1.8) og
* Strømtettheten er selvfølgelig ikke konstant over tverrsnittet av en irregulær leder; strømtettheten tilfredsstiller Laplaces ligning
divgradj = V2j = 0 .
387
+ 9B a curlE = - T-r = VT curlA OL OL
curl(E + -|£) = 0
(5.1.10)
O L
Vi har konstruert en ny vektor curlfri.
(E + —)
, og denne vektoren er
Følgelig kan vi uttrykke denne vektoren som gradienten
Vi setter derfor:
til et skalart potensial.
E +
= - gradV O L
eller É = - gradV -
(5.1.11) O L.
Dersom vi nu multipliserer med divergensoperatoren på begge sider
(lign.
av denne ligning, får vi:
divE = - divgradV -
OL
(5.1.9) og (5.1.2)) divÅ
V2V = - P~di-XP e o
(5.1.12)
Vi ser her at det er meget gunstig fortsatt å velge med dette valg oppnår vi ikke bare at
A
divA = 0 ;
selv tilfredsstiller den
samme differensialligning som i det magnetostatiske tilfelle, men også at
V
tilfredsstiller den samme differensialligning som i
det elektrostatiske tilfelle (lign.
(5.1.10) og (5.1.12)).
Vi skal nu se litt nærmere på sammenhengen mellom
E ,
V
A . Linjeintegralet av
É
langs en lukket sløyfe som vist i
fig. 5.1.2a blir:
-gradVds -
ds
(5.1.13)
og
388
a)
b)
Fig. 5.1.2.
vi har bare regnet oss
Resultatet er ikke særlig overraskende;
tilbake til Maxwells ligning på integralform (lign. Legg merke
til at linjeintegralet av vektoren
(5.1.1)).
- gradV
langs en
lukket sløyfe nødvendigvis må være lik null fordi en vektor som kan uttrykkes curlfri.
fordi
som gradienten til et skalart potensial alltid er
Linjeintegralet av
E
er derimot forskjellig fra null
/ 0 ; i det tidsavhengige tilfelle kan derfor
curlE = -
lukkede sløyfer.
E-feltlinjene danne
La oss nu se på linjeintegralet av er lukket: (Fig. 5.1.2b) 2
2
gds =
E
langs en kurve som ikke
2f 3A + -gradVds at ds
2
= V1"V2 -
3 A ds - = ft
+
E
(5.1.14)
389
Vi innfører nu følgende definisjoner:
a)
Elektrisk spenning mellom punktene 1 og 2 defineres som for
skjellen i skalart potensial mellom punktene b)
Indusert elektromotorisk kraft
e
’
mellom punktene 1 og 2
defineres som minus linjeintegralet av den tidsderiverte av vektorpotensialet mellom punktene. Den kvasistatiske approximasjon kan, som vi har vist i fig. 5.1.Id, ikke beskrive oppladningen av en kondensator.
Vi kan bare
benytte denne approximasjon i områder av rummet hvor forskyvnings-
strømtettheten
- -rot
er vesentlig mindre enn strømtettheten
j .
I en elektrisk krets, som vanligvis består av både spoler og
kondensatorer, kan vi derfor bare benytte denne approximasjonen i områder som bare inneholder spoler.
(området
a
i fig. 5.1.3).
Fig. 5.1.3.
390
I området
0 , hvor induksjonsleddet
—
er neglisjerbart, kan
vi beskrive forholdene med en annen approximasjon: kvasistatisk approximasjon av elektrostatisk karakter.
skal
vi behandle i kap. 6.
Denne approximasjon
I
391
Eksempler: 5.1.a)
Gitt en elektrisk ladning som befinner seg i feltet fra en tidsavhengig magnetisk dipol.
Den relative hastighet mellom
dipolen og ladningen er null.
Finn kraften på ladningen.
Løsning:
Vektorpotensialet
A
dipolen er gitt ved lign.(3.3.5):
+ Ho mxr A = — --4ir _ 3
v
b)
Fig. 5.1.4.
392
Når vi velger koordinatsystem som vist i fig. 5.1.4a, får vi: Uomsin(t)
A
4-rrr 2 Det elektriske felt blir nu:
# = - gradV - — 9A E 0 u
p sind) , o y dm 4irr2 dt
hvor gradV=o fordi der ikke finnes områder med ladning, Den kraft som virker på ladningen er gitt av:
F = qE + qJxB = - q
v
hvor
p sind> , --- I * 5 J 4irrz dt
(5.1.15)
er den relative hastighet mellom sløyfen og ladning.
(Gitt lik null i oppgaven).
Se fig. 5.1.4c.
5. l.b) Gitt en sirkulær ledersløyfe.
På midtnormalen av sløyfen
en tidsavhengig magnetisk dipol. langs midtnormalen.
Dipolmomentet er rettet
Finn indusert elektromotorisk kraft i sløyfen.
Løsning:
Indusert elektromotorisk kraft i den lukkede sløyfe er gitt ved: (lign. (5.1.1))
e =
Uds
i sløyfen kan finnes enten ved å integrere §-feltet
over en flate som er begrenset av sløyfen, eller ved å integrere vektorpotensialet Å langs sløyfen. Vi skal løse foreliggende
oppgave ved begge metoder.
393
a)
Fig. 5.1.5.
Vi velger å integrere §-feltet over den kuleflaten som er vist i fig. 5.1.5a. Dette .er et fordelaktig valg fordi nu bidrar bare r-komponenten av §-feltet til fluxen, og denne komponenten er også
parallell med flatenormalen
Men vær klar over at vi kan
n .
integrere over enhver flate som er begrenset av sløyfen. å-feltet er gitt ved: (lign. (3.3.6))
B dA
ø
u m _o a
2my cosø -------ø=o 4ira3
1 2 sin2 ø
Vi
Pomsin201
2a
o
2-n-asinøadø
394
Vi har derfor:
a u msin2 o / o_____ _ 9t 1 2a ’
o
p sin2^ , 1 dm 2a 3t
Var definisjon av positiv flatenormal
positiv
regnet langs
e
i fig. 5.1.5a.
ds
Langs periferien på sløyfen er
A
p mxa o 4ira3
korresponderer med
n
p msind), o Y1
4ira2
gitt ved
A
je
Uomsin21 4>
2TTasin(j>, A
Ads
1
2a
u
og p^in2^ £
E
at
dm dt
2a
regnes nu positiv langs
ds
i fig. 5.1.5b.
Denne induserte elektromotoriske kraft vil nu sette opp en strøm i sløyfen.
Den fysikalske mekanisme for dette fenomen
ligger i at den tidsavhengige magnetiske dipol setter opp et
elektrisk felt
E .
Dette feltet påvirker ladningene i lederne og
strømmen etableres av de frie ladningsbærerne.
Dette elektriske
felt regnet vi ut i oppgave 5.1a.
5.l. c)
Gitt en sirkulær spole med
N
tørn.
et uniformt tidsavhengig magnetisk felt e.m.k. i spolen.
Spolen befinner seg i B .
Finn indusert
395
Løsning:
Bit)
Fig. 5.1.6.
Den totale flux i spolen er
N
ganger fluxen i én tørn.
da: e = - du hvor
A
- -r-r d u NAcosB(t) = - NAcoscf) -g-f ot B(t)
er tverrsnittsarealet av spolen.
Vi får
396 5.2.
Selvinduktivitet og gjensidig induktivitet
Vi skal nu behandle det magnetiske bidrag til linjeintegralet av E langs en ledersløyfe. Det magnetiske bidrag er gitt av Maxwells ligning: (lign. (5.1.1)) = - 5
fcdS = -
J
o
U
HKdA = -
hds
(5.2.1)
0L j
dUj
igjennom sløyfen er, under forutsetning av at
Den totale flux
det i rummet ikke finnes materialer med en ikke-lineær sammenheng mellom
B
og
H , proporsjonal med strømmen i sløyfen.
Vi kan derfor skrive:
BndA
-> -> oAds
LI
hvor proporsjonalitetskonstanten tivitet.
(5.2.2) L
kalles sløyfens selvinduk
Fig. 5.2.1.
397
I fig. 5.2.1a har vi vist en strømførende ledersløyfe.
Dersom
sløyfen har sirkulært tverrsnitt og diameteren på lederen er mye mindre enn diameteren i ledersløyfen, vil de lukkede S-feltlinjene gå enten bare utenfor eller bare innenfor lederen.
Vi kan derfor
og en indre flux
dele fluxen opp i en ytre flux
.
Størrelsen av den indre fluxen vil avhenge av strømfordelingen over ledertverrsnittet.
Strømfordelingen er igjen avhengig av
frekvensen; for høye frekvenser *
vil strømmen være fordelt i et
tynt skikt ved overflaten av lederen,
(fig. 5.2.1b), mens strømmen
vil være jevnt fordelt over lederen for lave frekvenser * 5.2.1c).
.
(Fig.
I høyfrekvenstilfellet vil derfor den indre fluxen være
neglisjerbar.
Men i lavfrekvenstilfellet er i alminnelighet denne
fluxen ikke neglisjerbar; dersom lederen er laget av et ferromagnetisk materiale, kan den indre fluxen endog blir større enn den
ytre. Den ytre fluxen . *** ingen
$
er derimot uavhengig av strømfordel-
Vi kan derfor finne denne fluxen ved å anta at den
totale strømmen
går langs lederens midtnormal.
I
(Se fig. 5.2.Id).
I første omgang skal vi nu neglisjere den indre fluxen, og vi skriver derfor: $ = $
Y
= ©Ads J r
Vektorpotensialet
A
kan, som vi har diskutert, tenkes å være satt
opp av den totale strøm lign.
(5.2.3)
I
plassert i lederens sentrum.
Fra
(3.2.16) har vi da: ds,1 _ y o I Ir __ 4 ir J r
(5.2.4)
l-----------------------------------------------------------------------* I kapitlet om strømfortregning vil vi presisere hva vi skal fore
stå med "høye frekvenser".
*
** Dette er strengt tatt bare gyldig for likestrøm.
*** Dette er selvfølgelig bare riktig dersom strømfordelingen er
rotasjonssymmetrisk over tverrsnittet av leder. Denne betingelse er tilfredsstilt når lederen har sirkulært tverrsnitt, og diameteren
på ledersløyfen er mye større enn diameteren på lederen.
Dersom
lederen har et irregulært tverrsnitt, er det heller ikke mulig å
skille mellom en ytre og indre flux.
398
hvor
er lengdeelementet langs senterlinjen i lederen.
ds^
Den totale flux gjennom en ledersløyfe er nu lik fluxen
igjennom en matematisk sløyfe T på overflaten av lederen. (Se fig 5.2.1). Dersom vi kaller lengdeelementet langs F for d^ , finner vi:
(lign.
4>
(5.2.3) og (5.2.4))
V
4>
4 TT
y
dsl
o
2
ds2
V 4 TT
f 12
V1 4tt
j>A1ds2
J
2
2
f dsl o r ) ds2
4tt
dslds2
o
(5.2.7)
21 hvor
er avstanden mellom
ds^
På samme måte finner vi for
-Fds =
F' ds=
+
2
f
-qEds = q -gradVds
1
;’
:>
2
r
= q(V1-V2) = qU
Vi kan skrive
a :
(5.3.2)
É = - gradV
i området mellom endepunktene av
lederne fordi vi har forutsatt at der ikke finnes tidsavhengige magnetiske felter i denne delen av rummet. I løpet av tidsintervallet
ladninger lik
arbeid Idt
dt
er den totale transport av
dQ = Idt , og den ytre mekanisme har utført et
dA = IUdt .
Dersom vi multipliserer lign.
(5.3.1) med
på begge sider av likhetstegnet, får vi:
Uldt = Rlldt + Leddet
Uldt
dt
Idt = RI2dt + Id(LI)
(5.3.3)
er det arbeid som er utført av den ytre mekanisme;
leddet representerer den energi som er tilført vår magnetiske krets.
Leddet
RI2dt
som i løpet av tiden
representerer den del av den tilførte energi
dt
er omdannet til varme i den ohmske
414
motstand i lederen.
Dersom
ledd i lign.
lik null; lign.
(5.3.3)
L
er konstante, er det siste
I
og
(5.3.3)
forteller da at all
tilført energi går over i varme.
Dersom
L
konstante, vil imidlertid leddet
Id(LI)
være forskjellig fra
eller
I
ikke er
null; dette leddet representerer da den del av den tilførte energi Økningen i den mag
som er blitt lagret i det magnetiske felt. netiske energi i løpet av tidsintervallet
dt
er derfor:
dW = Id(LI)
(5.3.4)
Legg merke til at denne økningen i den magnetiske energi bare er
avhengig av forandringen i
L
og
I
L
og
I ; for en gitt forandring i
får vi den samme økning i magnetisk energi enten for
andringen har foregått raskt eller langsomt.
Selvinduktiviteten
L
i en sløyfe kan i mange tilfelle være
en funksjon av strømmen, og årsaken kan være at de magnetiske
krefter deformerer sløyfen eller at det er et magnetisk materiale med en ikke-lineær sammenheng mellom sløyfen. Dersom
L
B
og
H
i nærheten av
er konstant, kan vi uttrykke lign.
(5.3.4) som:
dW = Id(LI) = Lidi
(5.3.5)
og den totale lagrede magnetiske energi i sløyfen er da: I
W
3 Lidi =
LI2
(5.3.6)
1=0
Vi skal nu se litt på energibalansen i koblede magnetiske kretser. Dersom vi multipliserer lign. I2dt får vi:
(5.2.11) med henholdsvis
U1I1dt = R1I12dt + L1I dlx + MIidI2
U2I2dt = R2I22dt + L2I2dI2 + Ml2dlx
I^t
og
415
U I dt og U I dt representerer nu den energi som er XX X zt tilført henholdsvis krets 1 og krets 2. Forandringen i den lagrede
J Leddene
m magnetiske energi er nu:
dW = L.I.dl + L I dl XXX
(5.3.7)
+ MI dl + MI dl X X
V Vi kan finne den totale magnetiske energi ved å integrere opp >b denne ligning.
IiI2 f
Mdd1i2)
I IL’0
- I L1I12 + i L2T22 + MI1T2
(5’3-8)
9dLegg merke til at de to siste ledd i lign. jesom et totalt differensial
(5.3.7) må uttrykkes
(d(I1I2)= I2dl^ + I1C^I2^
>(iikke integreres opp hver for seg ved å betrakte D?(konstant under integrasjonen fordi
1^
og
I2
1^
’
Leddene kan og
I2
som
ikke er uavhengige
3estørrelser. Legg også merke til at den totale energi i systemet ikke er ik lik summen av energien
LI2 i hver enkelt sløyfe; den totale
ne energien er bare lik summen av energiene i hver spole under den od forutsetning at den magnetiske kobling mellom sløyfene er identisk
xllik null. Vi skal nu uttrykke den magnetiske energi ved
B- og
H-
©1 feltene. I fig. 5.3.2 har vi vist en leder som er avsluttet med to
j[© ekvipotensialflater V1 og V? . Vi multipliserer uttrykket for I FE med 5 og integrerer over volumet av lederen. Vi får da: I)(lign. (5.1.11))
416
Fig. 5.3.2.
(5.3.9)
I overensstemmelse med interpretasjonen av leddene i lign.
(5.3.3),
kan vi nu med en gang tolke leddet på venstre side av lign.
(3-3.9) som den energi pr. tidsenhet som dissiperes i varme i lederen.
Høyre side av ligningen representerer da differensen mellom tilført effekt og den effekt som lagres i det magnetiske system. Vi har derfor: dW _ f ff dÅ dt - JJJ at Jdv
hvor
W
(5.3.10)
er den lagrede magnetiske energi.
Vi skal, for ordens
skyld, vise at denne interpretasjon er riktig. av Ohms lov É = finner vi:
lll^dv ■ III
P j jdv
P j 2dv
Ved substitusjon
417
hvor
pj2
er dissipert effekt pr. volumenhet i lederen (lign. Videre finner vi ved bruk av Gauss sats:
(2.1.18)).
fff
- gradVjdv
Vdivjdv -
div(Vj)dv
J.
(5.3.11)
Vdivjdv - CTpVjndA
hvor overflateintegralet skal taes over overflaten og endeflatene av lederen og
n
er den utadrettede flatenormal.
I vårt kvasistatiske tilfelle er forutsetningsvis
divergensfri og normalkomponenten av av lederen (lign.
(5.1.6)
V1 .
er lik null på overflaten
oq (5.1.7)).
1 er potensialet forutsetningsvis konstant
Ved endeflate no.
og lik
j
j
(Se fig. 5.3.2)
Vi har da:
jndA
V1
■
A1
flate no.l og tilsvarende ff
flate no.2
V2j jndA = + V^I 2
Vi kan derfor skrive lign. [[
(5.3.11) på formen:
■+ - gradVjdv = (V^ - ^3)!
(5.3.12)
O Og vi ser at dette leddet representerer den energi pr. tidsenhet IE som er tilført fra ytre kilder.
Følgelig må lign.
a representere den magnetiske effekt.
fb dW
(5.3.10)
Økningen i magnetisk energi
er derfor:
f ff (curlHdA)dv -> +
418
HcurldAdv
HdBdv
|div (dAxH) dv
(dAxH)ndA
(5.3.13)
Overflateintegralet skal nu taes over en flate som omslutter det
magnetiske system. vil I dA |
— „2 r
Dersom vi lar denne flaten bli uendelig stor
og
|h| æ — r3
, mens
dA a r2 .
Integralet vil derfor konvergere mot null. Forandringen i den lagrede magnetiske energi i rummet kan derfor uttrykkes: dW =
(([+ -+ HdBdv
(5.3.14)
hele rummet Dersom der overalt i rummet bare er media hvor sammenhengen mellom
B
H
og
er lineær, kan vi integrere ligningen:
(5.3.15)
hvor
W
er den totale lagrede magnetiske energi.
forutsetninger kan vi også skrive lign. w = fil i 5a konst.).
Vi skal nu demonstrere
at vi vil finne den samme kraft på sløyfene ved å spesifisere: ( L1,LO,U1 og U„ => konst.)
under den virtuelle forskyvning.
Siden vi har forlangt at den ohmske motstanden skal være null i begge sløyfene, er derfor ui = uo = konstant ~ 0 under for skyvningen. Spenningskildene leverer nu ingen energi, og energibalansen blir derfor:
j
423
= 0 = dW + dA
dW eller
(5.3.28)
dA = Fds = - dW
Legg merke til at et positivt arbeid nu medfører en reduksjon av den magnetiske energi:
Fra lign.
(5.3.8)
finner vi denne for
andringen i den magnetiske energi:
dW = d(-y L I 2 + | LI 2 + MI.I ) -L -L. “ £ = L I dl + L I dl J- -L -L
+ MI dl _L_
+ MI dl m ~L
+ I I dM J-
(5.3.29) Fra lign.
(5.2.10) finner vi forandringen av strømmene
0 = at hb + at MI2 = at '¥i+
1^
og
mi2>
(5.3.30)
0" at
l2L
+ at
mii
' at (L2I2 + MIi>
eller:
L dl
+ I dM + Mdl? = 0
(5.3.31)
L2dl2 + IxdM + MdIT = 0
V
Ved å multiplisere disse to ligninger med henholdsvis
o
og derefter substituere uttrykkene i lign.
dW = - IxI2dM
1^
og
I2 f
(5.3.29), finner vi:
(5.3.32)
424
Fra lign.
(5.3.28)
finner vi nu:
Fds = + I I2dM = - dW
Kraften
F
(5.3.33)
er derved bestemt av det samme uttrykk i I-^,I2 og dM som
i lign. (5.3. 25).
Vi kan derfor uttrykke kraften generelt som:
F. = - (—) 1 9xi U hvor indeks
U
(5.3.34)
betyr at alle spenninger skal holdes konstante
under derivasjonen.
Oppgave 5.3a)
Finn den totale selvinduktivitet pr. lengdeenhet av en
koaxialkabel.
Anta at veggtykkelsen i ytterlederen er neglisjerbar
og at strømmen er jevnt fordelt over tverrsnittet av innerleder.
Løsning:
Fig. 5.3.3
425
Selvinduktiviteten
(5.3.18):
gitt av lign.
L = L.
[ ** 1 fff 1 BHdv + — BHdv I2 . 1 J 12 i inner me11omleder rum
y
Når strømmen er jevnt fordelt over innerleder har I
2irrH
irr2
Tia2
I
H
2ira2
a
og B = y y
2ira2
Utenfor innerleder har
2irrH = I
I 2irr
H
a
og B
I 2ur
%
Vi har nu:
a 2 . I u y (---- r2 2irrdr 2ira2
1
y
I2
b 1
I2
o
HdB = + skravert areal i fig. 5.3.6b.
W" = -
B" Ved g jennomløpning av halve hysteresesløyfen har vi derfor tapt
energien: W - W" = halve arealet av hysteresesløyfen.
Hver gang hysteresesløyfen gjennomløpes taper vi derfor en energi som er lik arealet av hysteresesløyfen.
Tapet oppstår fordi domenegrensene i det ferromagnetiske materiale ikke kan flyttes "friksjonsløst".
Den tapte energi har
derfor gått med til oppvarmning av materialet.
Hysteresetapet
i materialet er proporsjonalt med det antall ganger hysterese sløyfen er gjennomløpt; den effekt som dissiperes er proporsjonal med frekvensen.
Ved konstruksjon av transformatorer og generatorer ønsker man derfor materialer med så smal hysteresesløyfe som mulig; ved kon struksjon av permanente magnetet ønsker man derimot materialer med så bred hysteresesløyfe som mulig.
5.3. d) Finn kraftvirkningen mellom to uendelig lange, tynne
parallelle ledere.
to lederne.
Strømmen
I
går i motsatte retninger i de
429
Løsning:
I
Fig. 5.3.7
lign.
Den magnetiske energi pr. lengdeenhet
(5.3.8) og
(5.3.6): 1 -( — 2M it
W = -i(L. + L ) I2 2
hvor
y
1
y
er avstanden mellom lederne
Fra lign
(5.3.26)
^o In ^)I2 cl
TT
(Fig. 5.3.7) .
finner vi nu:
Fx
3W 3x\
0
F
F) sy j
i 2
7T
V2
— (In 3y
2 TT
1 y y=d
V2 2ird
Fz
3W 3z
0
Lederne er derfor utsatt for en kraft
F pr. lengdeenhet. hverandre.
P o I2 2nd
Denne kraften vil prøve
(Sml. oppgave 3.4.b).
a
skyve lederne fra
430
5.3. e) Gitt en lang rett solenoide med lengde
Strømmen i solenoiden er Sløyfenormalen ligger i
y-aksen.
a .
z-y
og
N
tørn.
Inne i solenoiden plasseres en tynn
.
sirkulær sløyfe med radius
£
Strømmen i sløyfen er
planet og danner vinkelen
I2 •
med
Finn kraft og dreiemoment på sløyfen.
Løsning:
I ’’
Fig. 5.3.8
Den lagrede magnetiske energi i systemet er:
1 o 1 o W = 2 L1L2 + 2 L2X22 + MI1I2 hvor y NTra2cos M = —-- ------
Fra lign.
(lign.
(5.2.14))
(5.3.27) finner vi:
M = M = 0 y z
X
3aW
I INra2(-sina) _ 3 _ -r t 1 2_________ IlI23a-Uo £
Z1N yQ —— I2^a2 (-sin) = Bm(-sin)
431
B
hvor
er det magnetiske felt i solenoiden og
er dipolmomentet
m
av sløyfen. Dette resultat følger også direkte fra lign.
(M = inxB)
(3.4.10)
.
Kraften på sløyfen finnes fra lign.
F
= F = F =0 xyz
(5.3.26):
.
Dette resultat følger også direkte fra lign.
(3.4.4)
(F = I2|dsx§ = 0)
eller lign.
(3.4.9)
(F = (inV)B = 0)
5.3.f)
Gitt en magnetisk krets som består av to deler adskilt med en liten luftspalte
6 .
Anta at permeabiliteten i kjernedelene er
høy, og at viklingen har
N
tørn og fører strømmen
I .
Finn den
magnetiske energi, og bestem kraftvirkningen mellom kjerne-delene.
(Fig. 5.3.9). Løsning:
Fig. 5.3.9
432
B^ + B^
Fra Maxwells ligninger
og
0
oHds = 0
får vi:
(Sml. oppg. 3.6.a)
B
6
NI
B. 3
+ 26 p
o
p
p
o
Den magnetiske energi er nu iflg. lign.
W =
(5.3.15):
B .H ,A£ . + B H A26 j j j 2 6 6
2
2
A 2
___ NI___
(_J_
26
+ 26
V
Mo
V p A
2
£
po
Z . (NI) 2 (-^ + 26)"1
(5.3.37)
p
Legg merke til at hele den magnetiske energi blir lagret i luftspalten dersom Kraften
p =» 00 . kan finnes fra lign. .
FxX = +(^ ’ dX
-h da
fp A
(5.3.26):
SL .
i
-=Hni)V + 2x)“}
[
4
p
Jj
x=6
I
n
H
433
^oA 2
-
2
(5.3.38)
B.H.2A od
Kraftvirkningen er tiltrekkende, og kraften pr. flateenhet i luftspalten er lik
-x BH., z 0 6
Denne kraften kan også beregnes fra lign.
spesifiserte betingelse at spenningen
U
(5.3.34) .
Den
skal være konstant (og
lik null fordi vi ikke betrakter ohmske tap) kan uttrykkes:
(lign.
(5.2.10))
0 ’ 0 = Zt *
d (NB.A) dt 3
eller
B . = konstant 3 Følgelig er betingelsen
U
0
ekvivalent med at alle feltene
skal være konstante under den virtuelle for(B . , H . ' B6 og H6) 3 3 skyvning. Fra lign. (5.3.34) og (5.3.37) finner vi:
8W. 9x y
Fx
= - i B H 2A Z O 0
(I . + B H A2x) 9x v2 B,H,A£ 3 3 3 2 6 6 u x=6 q.e.d.
hvor alle feltene er holdt konstant under derivasjonen. Energibetraktninger er, som nevnt tidligere, et effektivt
hjelpemiddel for å bestemme kraftpåvirkningen på et legeme.
Men
metoden har den mangel at den i liten grad illustrerer den fysikalske kraftmekanisme►
Kraften på et magnetisert legeme oppstår når de
induserte magnetiske dipoler befinner seg i et inhomogent magnetisk felt. I foregående eksempel er É-feltet inhomogent i overflate-
skiktet av materialet (tangensialkomponenten av
É
er diskon
tinuerlig) og i hjørnene av den magnetiske krets (É-feltet skifter
her retning).
434
Kraften
dF , som virker på volumelementet
dv
i et magneti
sert, ikke strømførende medium, kan uttrykkes fra lign.
ved substitusjon av
(3.4.7)
m = Mdv :
dF = {(MV)B + MxcurlB}dv
Dersom mediet også er strømførende har vi:
(5.3.39)
(lign.
(3.4.7) og
(3.4.2)) dF = {(MV)B + MxcurlB + jx§}dv
(5.3.40)
Den totale kraft på et legeme kan nu finnes ved å integrere over volumet av legemet.
dF
435
5.4.
Felt- og strømfortrengning I kap. 5.1 diskuterte vi at den totale strøm i en leder ikke
kan variere langs lederen fordi
divj = 0 .
Men vi fant imidlertid
ut at strømtettheten måtte variere over tverrsnittet av lederen fordi
curlj / 0 .
(Fig. 5.1.1.)
Vi skal nu se litt i detalj på
La oss imidlertid først gi et lite resumée av
dette fenomen.
den kvasistatiske approximasjon av magnetostatisk karakter.
har da (lign.
Vi
(5.1.2))
”1
curlE = d L.
D = e E + P o
divD = p
r curlH = 5 +
J
dt
“ j
J
-+ F = qvxB .
v
q
q
som er
F = qE , og
som er i bevegelse
i forhold til ham selv, utsettes for en kraft
Vi skal nu se på forholdene når to forskjellige observatører
observerer det samme fysikalske fenomen.
Vi skal anta at obser
vatørene beveger seg i forhold til hverandre med en hastighet
v
.*
Fig. 5.5.1.
I fig. 5.5.1 er det vist to observatører som er i ro i forhold til henholdsvis referansesystemene
hastigheten
vg
k
og
k'
B
Systemet
målt av observatøren i system
er det en tidsuavhengig magnetisk dipol. magnetfeltet
.
målt av observatøren i
♦ I dette kapittel antar vi at
vg
k .
k'
har
I system
k
Denne dipolen setter opp
k .
Denne observatør
er mye mindre enn lyshastigheten.
Transformasjon av tid og stedskoordinater er da bestemt av Galileitransformasjonen. ( Se også Appendix 2. )
455
i
holder en elektrisk ladning
5
det ikke er andre elektriske ladninger eller tidsavhengige magnet-
i
felter i dette system, måler denne observatøren ingen kraft på
L
ladningen.
i ro i forhold til seg selv.
q
Siden
Vi har: F = qÉ = 0 ->■
E = - gradV -l£=0+0=0
(5.5.1)
O L.
□ Denne observatør vil da si:
m måler jeg
Ifølge definisjonen på elektrisk felt,
E = 0 .
q
Dersom han beveger ladningen
med hastighet
v
i forhold
J- til seg selv, vil han måle kraften F = qvxB >o og han vil si:
(5.5.2)
Ifølge definisjonen på magnetisk felt, måler jeg
B / 0 .
feltet
Observatøren i systemet
p q
k'
i ro i forhold til seg selv.
p F' = qvsxB »f ladning
holder også en elektrisk ladning
Denne observatør vil måle kraften
på ladningen, og han vil si:
q
Jeg måler en kraft på en
som er i ro i forhold til meg.
Le elektrisk felt, måler jeg et elektrisk felt
Ifølge definisjonen på E' / 0 .
E- = £’ = v xB q s
Lxi hvor
B
£8 systemet
Vi har da:
(5.5.3)
er det magnetiske felt som er målt av observatøren i
k .
Observatøren i k-systemet måler derfor det elektriske felt SÉ = o , mens observatøren i k'-systemet måler det elektriske felt ->■ -
->•
.
|EE'=vxB/0. s La oss nu anta at der finnes ladninger et
P
i k-systemet, og at
de magnetiske felter i dette system fortsatt er tidsuavhengige.
dO Observatøren i k-systemet måler da kraften
F :
F = qE Vri hvor
E = - gradV -
= - gradV
(5.5.4)
456
V
og
A
er nu henholdsvis det skalare potensial og det vektor-
potensial som er målt av denne observatøren.
Observatøren i systemet
k'
vil imidlertid måle en kraft
F' = qE' = q(E + VgxB)
F'
(5.5.5)
hvor
E' = - gradV - -|^ + v^É = - gradV + v^ x5
Vi erstatter nu observatøren i systemet
k'
med en annen observa
tør; en kortsluttet ledersløyfe.
Fig. 5.5.2. I fig. 5.5.2 viser vi nøyaktig de samme forhold som i fig. 5.5.1.
Ladningene i den bevegelige sløyfen utsettes for et elektrisk felt
E'
.
De frie ladningsbærerne setter nu opp en strøm i sløyfen;
ladningsbærerne er frie i forhold til gitterstrukturen i lederen og
de setter opp strømmen
j
som defineres som transport av ladning
pr. tidsenhet igjennom en enhetsflate i forhold til lederen. Strømmen måles dermed av en observatør i k'-systemet.
457
Når
La oss plassere oss selv som observatør i k-systemet:
r
vi sier at der flyter en strøm
3
er en transport av ladning i forhold til den bevegede
1
Vi definerer en strøm i sløyfen
3
observatør i k'-systemet; dersom de frie ladningsbærere
t
i ro i forhold til gitterstrukturen i lederen, så vil både en
5
observatør i k'—systemet og en observatør i k—systemet si at strømmen
s
er null.
S
har vi:
ri
1
I i sløyfen, så mener på nøyaktig samme måte
leder. som en
i lederen er
Dersom Ohms lov gjelder for ladningstransporten i lederen,
J = aÉ’
hvor
vi at der
(5.5.6)
a er ledningsevnen i materialet. La oss nu tilslutt anta at dipolen i systemet
tidsavhengig.
k
(Fig. 5.5.3).
Fig. 5.5.3.
også er
458
I fig.
5.5.3 måles
og
A^
av en observatør i k-systemet.
Disse feltene vil gi opphav til et elektrisk felt sløyfen: (lign. (5.5.5))
i leder-
_ 9^1 Ei” jF + VS1
(5.5.7)
Disse feltene induserer således en elektromotorisk kraft
i elementet
ds
i sløyfen.
e = É^ds
Denne elektromotoriske kraft kan
spaltes opp i to deler: 9A £transformatorisk - " 3t
(5.5.8)
£ translatorisk
(5.5.9)
og (Vgxépds
Den transformatoriske delen er forskjellig fra null når en ob servatør i k-systemet måler et tidsavhengig vektorpotensial, og den
translatoriske delen er forskjellig fra null når den samme
observatør maler et magnetisk felt og at sløyfen beveges med hastighet
v
i forhold til k-systemet.
Den induserte elektromotoriske kraft i hele sløyfen er nu: (lign. (5.5.7))
e
E^ds
f 9A, f 1 ->■ -> o -rr— ds + i>(v xBn)ds t r s i
(5.5.10)
hvor linjeintegralet skal taes langs sløyfen hvor den enn måtte
befinne seg i rummet.
Vi skal nu uttrykke den induserte e.m.k. ved den flux som dipolen setter opp i sløyfen.
459
Fig. 5.5.4. I I fig. 5.5.4a har vi vist sløyfen i to tidspunkter
C Dipolen setter opp fluxen
t
og
t + dt .
4>i sløyfen.
Den transformatorisk induserte e.m.k. i sløyfen ved et tidsrq punkt t er :
460
3A1 Hit" ds
hvor
3$
[ -> -> 9 bA^ds at
12 3t
(5.5.11)
r=konst.
34>
12 at
r=konst.
betyr den forandring pr. tidsenhet i fluxen som vil måles dersom
sløyfen var i ro.
(r = konst.).
Den translatoriske del av den induserte e.m.k. ved et tids
t
punkt
kan finnes ved å anta at magnetfeltet er tidsuavhengig
i dette tidspunktet.
o(v xB )ds s 1
Vi har da:
(Fig. 5.5.4b)
o (dsxv ) B-,
J
s
o(v xds)B
J
!
s
1 (5.5.12)
= -P^åi)S1
. hvor
*■ v
d£ = -r— . s dt
(dixds)
Vektorproduktet
er lik det skraverte flateelement
i fig. 5.5.4b med utadrettet flatenormal.
Lign.
(5.5.12) er der
med lik den negative tidsderiverte av fluxen ut gjennom den
sylinderflate som dannes ved translasjonen av sløyfen.
Siden den
totale utstrømning av flux fra en lukket flate er null (^BndA = 0) , må den flux pr. tidsenhet som strømmer ut gjennom
sylinderflaten være lik: a$i2
(-aFJ-B=konst. (Fig. 5.5.4c).
Indeks
(B=konst.)
konstant under derivasjonen.
(v s xB.Jds 1
betyr at
Vi har derfor:
3* 12 , 3t 'i , B=konst
B
skal betraktes som
(lign.
(5.5.12))
(5.5.13)
461
1
Den induserte e.m.k. i sløyfen kan nu skrives:
)
(5.5.11) og (5.5.13))
s
l9t'_ •L
(5.5.10) ,
(5.5.14)
8t + D
eller
r + + + 3A -> + o(v^b derfor:
(5.5.15).
(lign.
(5.5.7))
aX. aÅ' + £•=- — + ^xgi - —
I rj Linjeintegralet av l) (5.5.13))
j)E'ds = -
34>12
at \
É'
tatt langs sløyfen blir nu:
9A1 F at" ds
o(vxÉ)ds -
34>2
3* 12 .
3t
§
*3A ds at-
(lign.
(5.5.11),
462
{’t("12Il>,r ' lt Vektorpotensialet for dette feltet er gitt av:
f-> ->
->
BndA
Innenfor solenoiden finner vi: A2irr = B ( sinu. t) u r2 o 1 |Å| = Bq(sinw^t)^
hvor r er avstanden fra lengdeaksen i solenoiden. noiden har vi:
A2irr = Bq (sinæ^t) uh2 ■ ->, |a|
hvor
b
h2
= Bo (sina>1t)-^
er radius på solenoiden.
Fig. 5.5.6a.
Utenfor sole
467
c) Fig. 5.5.6. 9')en induserte e.m.k. kan finnes fra lign.
5 (5.5.15). x ign.
Vi antar at
(5.5.14) har vi:
ø = 0
ved
(5.5.14) eller lign.
t = 0 .
Fig. 5.5.6b.
Fra
468
e
~ ~ dt Bo
- -
Tra2cos
= “ dt ^BO (sina)1t) va2 (c°sw2t)}
(sincdt) ira" a>2 ( siriw^t(cosco^t) ira2 (cosii^ t
= +
Etransformatorisk
translatorisk
Fra lign.
(5.5.15) har vi:
e = " i
(Fig. 5.5.6c)
ds + (C(vxB)ds
(•|t- curlX)ndA + o(vxB)ds av sløyfen i posisjon ø
f
o),B (cosu^t) (coso>2 t) dA areal 3 av at curlA sløyfen
2u r j ^asina, vBq (sinaijtJ (sinu^t) sina ada, a=o
v
^B '
ds
469
2 ir
w.B (cosæ.t) (cosoj t) lo
1
2
sin2 ada
dA + oj^a2B (sina)n t) (sinæ t) 2 o 1 2 J
ujnB (cosoj, t) (cosæ„t) iraz lo 1
o
„a2B (sinw. t) (sinco-t)
2
O
1
2
it
Den induserte e.m.k. er nu regnet positiv i samme retning som
ds
i fig. 5.5.6b.
5.5b) Gitt en plan sirkulær metallskive som roterer med konstant
vinkelhastighet i et uniformt tidsuavhengig magnetisk felt. Rotasjonsaksen er som vist i fig. 5.5.7.
Finn den induserte e.m.k.
i den målekrets som er vist i fig. 5.5.7.
Løsning:
Fig. 5.5.7.
470
Den observatør som måler at skiven rokerer i forhold til ham med , måler også at
vinkelhastighet
(lign.
er derfor:
Ou
= 0 .
Den induserte e.m.k
(5.5.14) og (5.5.15))
e
o(vxB)ds
finner vi:
Fra fig. 5.5.7b
a [ ->•
->•
E = © (VXB ds = J J 1
f
æ. rB dr = uj,B o 1 o 2
2
—
r=o Vi kan også benytte uttrykket
direkte.
-(|^)
I dette tilfelle
må vi anta at sløyfen er "last fast"3til skiven som vist i fig.
5.5.7c.
Vi finner da:
E
3 3t
(-B
2
d)
-y- ira2) O 2 7T
o z
3 (W
t)
2
33t O 5--- 5- 1 o 2
Den induserte e.m.k. er regnet positiv langs ds i fig. 5.5.7c. La oss tilslutt se litt pa det fysikalske hendelsesforløp.
Fig. 5.5.8.
471
Når skiven begynner å rotere, vil alle ladninger i materialet
fijutsettes for et elektrisk felt
E' =
vxBq
De frie positive
■
får en tilførsel
radielt utover,og vi
51ladningsbærere beveges nu
feav positive ladninger til periferien av skiven. (Fig. 5.5.8). Denne transporten foregår inntil skiven er akselerert opp b~7.il sin endelige vinkelhastighet w . Vi har da fått en positiv
voverflateladningstetthet langs periferien av skiven, og en negativ
Disse ladnings-
voverflateladningstetthet ved sentret av skiven.
nnnsamlingene setter opp et skalarpotensial
V
slik at det totale
il elektriske felt inne i skiven er lik null. I akselerasjonsperioden er det totale elektriske felt inne i
rfeskiven gitt av lign.
(5.5.5):
É' = - gradV H
øt
+ vxB
o
/ 0
o Nar akselerasjonen er avsluttet, er både
sX —
og
-± E'
lik null.
Vi
eraar da:
É' = - gradV + vxB^ = 0
Xs eller
gradV =
vxBq
måler nettopp spenningsdifferensen mellom
;o\Zoltmeteret i fig. 5.5.7a
[9c eeriferien og sentret i skiven:
a -> f U = V - V = gradVds = (vxB ) ds r=a r=o Jo r=o r=o a
vHvilken spenning ville voltmeteret vise dersom det var festet til
kiven?
472
5.5c) Gitt en transformatorkjerne med en tidsuavhengig flux.
Vi
har koblet et voltmeter til sekundærviklingen med én fast kontakt
og én glidekontakt.
Hva vil voltmeteret vise når glidekontakten
føres langs sekundærviklingen med hastighet
v .
Løsning:
Fig. 5.5.9. —y
En fast observatør vil måle
□u
= 0 .
Den induserte e.m.k. i måle-
kretsen er da: e = -
(S =
>e som sluttes igjennom magneten,beveges med hastighet v. Begge ledd
li lign. (5.5.15) kan derfor gi bidrag til den induserte e.m.k.:
e = -
I
I 0 L.
ds + 6(vxB)ds
( 5.5.25)
474
Vektorpotensialet inne i magneten er gitt ved:
(Fig.5.5.lo b)
curlA1 = B k' o
Denne ligningen tilfredsstilles av: Å* = B x' i ' o J
Alle parametre er her målt i det bevegede system.Vektor potensialet i det faste system er,siden x'= x-vt : A(t) = BQ(x-vt)^
Følgelig har vi:
9A(t) 3t
B v o
-t
Langs den del av sløyfen som sluttes igjennom magneten,har vi :
vx§ = - v3 i oJ
Den induserte e.m.k. e = |(Bqvj
igjennom ma^net
erdermed: (lign. (5.5.25) ) -BQvj)ds
+
J
5
utenfor magnet
ds
=0
475
Kap. 6.
,36.1.
Oppladning av kondensatorer; Kvasistatisk behandling
Oversikt I den kvasistatiske approximasjon av elektrostatisk karakter
arneglisjerer vi induksjonsleddet i Maxwells ligninger.
Bfia Maxwells ligninger (lign.
Vi uttrykker
(4.1.9) og (4.1.10)) på formen:
Integralform: = 0
oEds = -
DndA
Q
(6.1.1) Hds
9 3t
I
^BndA
DndA
0
Differensialform: curlE
3B 3t
0
divD = p
(6.1.2)
curlH = j + dt
divB = 0
Det magnetiske felt
B- og
H-felt
ligger nu utenfor vårt
3T ateresseområde; den eneste interesse vi har av de magnetiske piigninger, er at den ene ligningen inneholder kontinuitetsligningen
Vi erstatter derfor de generelle Maxwells ligninger fjeed følgende sett:
icjr ladning.
476
curlE = 0 -+ ->-> D = E E + P o
divD = p
(6.1.3)
j = f (E)
= PE
dlv? = - lt
Siden E-feltet er curlfritt i denne approximasjon, kan vi skrive:
E = - gradV
(6.1.4)
Det tidsavhengige potensial
V
vil nu tilfredsstille de samme ligninger som i det elektrostatiske tilfelle: V2V = - £~di-VP E
(6.1.5)
O
Vi skal nu betrakte oppladningen av en kondensator.
u1 Fig. 6.1.1 Dersom vi integrerer divj i fig. 6.1.1, finner vi
Hpivjdv - -
hvor Q får vi:
over volumet innenfor den lukkede flate
(lign.
(6.1.3)) dv - - |S
er den totale ladning innenfor flaten.
Fra Gauss sats
477
jndA = - I=- SQ
divjdv
at
T = 9Q at 1 7
(6.1.6)
hvor I er den totale strøm som flyter inn til kondensatorplaten. Ved substitusjon av C = ^ , finner vi:
3CU = dCU = at dt Q
Dersom kapasiteten
C
er tidsuavhengig, har vi:
t
U = |
ri hvor
U
Idt
(6.1.7)
t=0 er spenningen over kondensatoren.
I beregningen av kondensatoren i det tidsavhengige tilfelle
in neglisjerer vi således det magnetiske bidrag til det elektriske felt. ►Q Det magnetiske bidrag er imidlertid
(- -r? a " wB) d l.
avhengig av frekvensen
,
og en slik approximasjon er derfor bare gyldig for tilstrekkelig
lave frekvenser. I enhver kondensator vil det være induktivitet både i tiHedningene og i selve kondensatorplatene.
Disse induktivitetene
vil forårsake et ytterligere spenningsfall over kondensatoren og størrelsen av dette spenningsfall vil øke med frekvensen.
I
fig. 6.1.2 har vi skissert ekvivalentskjemaet for en platekondensator for lave, middels lave og middels høye frekvenser. *
* Høyfrekvenstilfellet vil bli behandlet i kapitlet om elektroøi
magnetiske bølger.
478
lave frekvenser
a)
middels lave frekvenser
b)
middels hdye frekvenser
c)
Fig. 6.1.2.
I behandlingen av et elektrisk nettverk som består av både
spoler og kondensator, opererer vi med begrepet: approximasjon.
Kvasistatisk
Med dette begrep mener vi at vi bruker den kvasi-
statiske approximasjon av elektrostatisk karakter i behandlingen
av alle kondensatorer og den kvasistatiske approximasjon av magneto-
statisk karakter i behandlingen av alle spoler.
f
Fig. 6.1.3.
Vi skal nu sette opp kretsligningen for den krets som er vist
i fig. 6.1.3.
Vi betrakter da linjeintegralet av det elektriske
479
felt
E
fra punkt 1 til punkt 2:
(5.1.12))
(lign.
2 2 2 U + f 9A - gradVds ~ ds Eds = 1
1
1
9A t
V2
c - d
a - b ,
B^angs linjestykkene e>
(6.1.8)
e - f
og
li kan uttrykke venstre
adningstransporten bestemt av ohms lov.
±nide av lign.
-> Eds = R' Ids + Eds + R 1Ids + R' Ids J « 6a C b a 2
c b
iv vor
R
(6.1.9)
- gradVds = RI +
= RI +
t=0
Spenningsfallet over
er den totale motstand i lederen.
[O ondensatoren er gitt av lign.
(6.1.7).
Høyre side av lign.
(6.1.8) kan uttrykkes:
2 V1 - V2 - H
= V1 - V2 ■ f H dS
f
-
1
= V1 - V2 - H = V1 - V2 -
Vi betrakter her spolen som en nesten lukket krets; vi antar
d t den magnetiske flux i systemet utenfor spolen er neglisjerbar.
ra lign.
(6.1.9) og (6.1.10) finner vi derfor:
480
t RI ♦i Idt = V1 - V2 - L dl dt t==0
t * Idt + L —
+
Hl
50
U = V1 - V2
ii
eller
(6.1.11)
t=0 hvor
U
er spenningen over terminalene 1 og 2.
Dersom man nu stiller spørsmålet om denne ligningen er en full
stendig beskrivelse av de fysikalske fenomen, så må man svare definitivt nei.
Denne ligningen er bare gyldig for tilstrekkelig
lave frekvenser; vi har riktignok tatt hensyn til både leddet 8D ~
d L
og
i 4. leddet
i Maxwells ligninger.
- -r93 — d t
Men vi har ikke tatt hensyn til begge leddenes
på samme sted i rummet.
Dersom vi tar hensyn begge leddene simul
tant, så vil vi oppdage at de elektriske og magnetiske felter for plantes langs lederne i en bølgebevegelse. studere i neste kapittel.
Dette fenomen skal vi
481
Kap. 7. 7.1.
Elektromagnetisk teori,
Elektromagnetiske bølger i vacuum Vi skal nu undersøke en eksakt løsning av Maxwells ligninger
i vacuum.
Den generelle form på Maxwells ligninger er:
(lign.
(4.1.10))
3B at
curlE
£ É + P
D
divD = p
3D at
curlH = j
O
- M
H %
divB = 0
I I vacuum, hvor
M ,
P
j
og
alle er lik null,
3B at
curlE
divD
p
D
0
e
o
E
(7.1.2)
ap at
curlH
H
B
divB = 0
qFra dette settet av førsteordens differensialligninger kan vi utlede
et sett av annenordens differensialligninger: curlcurlÉ = curlf- -77) du
graddivE - V2É = - ~ curlB = " Uo grad(div —) - V2É = - u
% V2É - p E
° ° at2
---
° at2 = 0
curlH
(e E)
° (7.1.3)
482
og videre: 3D
->
curlcurlH = curl(~) ot graddivH - V2H = -|— £ curlE 81 o n d grad (div —) - V2 — = - e
2
J— °
b
^4-2
(7.1.4)
Alle feltvektorene tilfredsstiller nu en bølgeligning .
Legg merke
til at vi kommer frem til bølgeligningen fordi vi tar hensyn til leddene
simultant.
I de kvasistatiske approximasjoner, hvor vi tar hensyn
til enten det ene eller det andre leddet, vil feltvektorene til fredsstille en differensialligning av annen orden i stedskoordinateneoi
og av første orden i tiden.
(Sml. lign.
(5.4.6)).
Vi skal nu se litt nærmere på løsningene av bølgeligningen, og
vi skal for enkelthets skyld bare betrakte plane bølger. Vi for langer derfor at feltvektorene ikke skal variere i x eller y retning; alle deriverte m.h. på x eller y settes lik null. Lign.
(7.1.3) kan da skrives på formen:
3 2S a2É “kl £ --- = 0 az2 ° ° at2
(7.1.5)
Vi skal nu vise at feltvektoren E ikke kan ha noen komponent i z-retning. Fra (7.1.2) har vi:
divD
dive É = 0 o
eller 3Ev (X 3x
8E 8y
3E _z 3z
0
(7.1.6)
483
Ifølge vår forutsetning om plane bølger er nu
3E -r— dX
3E
—= o 3y
Vi ser da at; _z 3z å må være lik null dersom
sstilt.
lign.
(7.1.6) skal være tilfreds-
I den videre behandling skal vi også begrense oss til å
coetrakte lineær-polariserte bølger; vi antar at E-vektor alltid er Denne retningen kan være en hvilken som
rettet i samme retning.
r.aelst retning i
planet, men vi velger å orientere vårt
xy
^koordinatsystem slik at
E
? < an da skrives på formen:
32E
x
3 z2
32E U
O
E
O
x
(7.1.7)
0
3t2
generelle løsning av denne ligning kan skrives som: E
x
,Ved substitusjon av denne løsningen i lign. tilfredsstiller bølgeligningen.
f
3Z
(7.1.7)
____ 3f2
3 (t+/U £ o
o o 3t
3 (t+/p E z) -1 o o 3t I
3£2
3£1 ■ 3 (t-/p E~z) o o
ser vi lett at
Vi finner da:
3(t-/p e z) o o 3z
3fl
3 Uoeo 3t
(7.1.8)
■%eo2) + f2(t + /%%z)
= f. (t 1
3t o o
0
P g:
('/|ioEo) 2 uo (ff J(^'t ■ A(xyz,t) = 4^ ----- r------ dv
1
V(xyz,t)
4tte
• t “ f)
ff[ p
o
jdv
dv
r
JJ
Bidragene til potensialene på stedet et strømelement
(7.2.8)
og en ladning
xyz
pdv
(7.2.9)
til et tidspunkt på stedet
t
f
er ikke
avhengig av verdien på strøm og ladning på det samme tidspunkt.
Potensialene er avhengig av kildenes tilstand i det tidspunkt hvor den elektromagnetiske bølge som kommer til punktet
xyz
i tids
punkt t ble emittert fra kilden; potensialene er bestemt av 2? 2? kildenes tilstand i tidspunktet t - — . Tidsintervallet — er c c nettopp lik den tiden som det tar for elektromagnetiske bølger å tilbakelegge avstanden
xyz .
r
mellom kildepunktet
ChC
og feltpunktet
Potensialene forplantes i rummet i form av bølger med
hastighet;
1 c = ---/p ~ o o
I iG
I vacuum tilfredsstiller potensialene ikke lenger Laplaces ligning. De tilfredsstiller den samme bølgeligning som feltvektoren É og
fl B ; fra lign.
(7.2.6) og (7.2.7)
ser vi at potensialene tilfreds-
re stiller ligningene: *
21 - p e_ — = 0 ° ° at2
(7.2.10)
a 2v 7 V " %% —2 = 0 ° at2
(7.2.11)
v2A
I
kil La oss anskueliggjøre disse egenskaper ved et kjent eksempel.
Når
rv vi hører torden, så vet vi at lynutladningen fant sted så langt
id tilbake i tiden som den tid det tar for lydbølgen å forplantes fra jr utladningsstedet og til vår posisjon xyz . Dersom vi ønsker lå å uttrykke trykket i lydbølgen i tidspunktet t ved et potensial, £>e så vil dette potensial være bestemt av lynutladningen; potensialet
ke er avhengig av kildens tilstand i tidspunktet:
►G Denne ligning skrives ofte : w. kalles d'Alemberts operator.
□ X = 0 , hvor □
= v
- e u -__ oMo 2
492
hvor
v
er forplantningshastigheten av lydbølgen.
Når vi ser lynet, så vet vi at lynutladningen fant sted så langt tilbake i tiden som den tid det tar for lyset å forplantes fra utladningsstedet og til vår posisjon.
Våre potensialer er
- . c 7.2.1 har vi illustrert en kilde som stråler ut
derfor forsinket eller retardert med tidsintervallet I fig.
elektromagnetiske bølger.
Fig. 7.2.1. Senderen består av en generator og to ledere.
driver en tidsavhengig strøm
I
Generatoren
i lederen, og denne strømmen trans
porterer ladning mellom endepunktene av lederen.
En kilde som bare består av en rumladningstetthet p,vil emittere
elektromagnetiske bølger dersom strømtettheten j=pv
dersom ladningene akselereres.
er tidsavhengig
Generelt kan vi utrykke:
fen efefef A.omagneff4 fee Atsiåt-ing eÆ ^oA.åA.4 aket av ak4 efeA.a4/on av fadnZngeÆ.
493
7.3.
Bølgeforplantning i kabler
Vi skal nu beregne den eksakte feltfordeling i en typisk kabel; vi skal betrakte forholdene i en rett og uendelig lang
koaksialkabel. I den hensikt å forenkle beregningen litt, skal vi
anta at ledningsevnen i kabelen er uendelig stor. anta at der er vacuum mellom inner- og ytterleder.
Videre skal vi
I området
mellom inner- og ytterleder gjelder da Maxwells ligninger på
formen:
(lign.
(7.1.2))
D = e É o
divD = 0
(7.3.1) 1 TI = 8— D curlH d L.
divB = 0 Inne i den ideelle leder er alle felter identisk lik null:
(fig. 5.4.4 når
6=0)
= 0
(7.3.2)
På grenseflaten mellom leder og vacuum, kan Maxwells ligninger der for skrives på formen: ocurlÉ = 0 =>
= 0
odiv?) = a
= o
=>
(7.3.3) ->■
->
->
ocurlH = o => nxH = a
odivB = 0 hvor
a
n
=0
er overflateladningstettheten og
tettheten.
vacuum.
=> B
Flatenormalen
n
ø
er overflatestrøm-
er rettet fra lederen og inn i
En kvasistatisk behandling av strømfordelingen langs en kabel
vil forlange at strømtettheten ikke varierer langs kabelen, og en kvasistatisk behandling av ladningsfordelingen medfører at over— flateladningstettheten er konstant langs kabelen,
(kap. 5 og 6).
I det generelle tilfelle vil både ladnings- og strømtettheten
variere langs kabelen i overensstemmelse med kontinuitetsligningen for ladning. I fig.
7.3.1 har vi skissert variasjonen i ladningstetthet og
strømtetthet langs kabelen.
Vi antar fortsatt at ladning og strøm
er jevnt fordelt langs periferien av lederen.
495
Vi antar at E-feltet er radielt rettet, og at det er rota* Fra Maxwells ligninger finner vi da: sjonssymmetri rundt lederen.
(Fig. 7.3.1b) i
3B
i;
sT = ' sT
curlE = ' åt
E
= 0 =» tilfredsstilt rettet felt
ved antagelsen av radielt (7.3.4)
divD
D
n
0 => D
= 0 => D r
D
V k
r
= 0
når
r = a
= -a
når
r = b
r
Videre antar vi at H-feltet er rettet i Ø-retning, og at det er rotasjonssymmetri rundt lederen. Vi ** finner da: (Fig. 7.3.1c)
curlH
3D
9Hø 3z
3D at
nxÉ = a => H
y
= a
z
HQ = - o U z
div§ = 0
r
at
når
når
r = a
r = b
=> tilfredsstilt
B
[3 » ,J5
n
= 0
(7.3.5)
=>
ved antagelsen
av konstant felt i Ø-retning
En nødvendig betingelse for gyldigheten av vår antatte løsning er * dermed:
Utrykket for curl i sylinderkoord. er gitt i lign.(1.7.2o) Den rotasjonssymmetriske feltkonfigurasjon er ikke den eneste
mulige;der kan også forplantes ikke-rotasjonssymmetriske høyere
ordens modi langs kabelen.
496
3E
3Be
3z
3t
3He % 3t (7.3.6)
og
3He
3D
3z
3t
3E
e
o 3t
Disse to første ordens differensialligningene kan omformes til
bølgeligninger.Ved derivasjon av lign.(7.3.6)m.h.p. t Og z,har vi: 3 2E
9Ho
%
3z2
3z3t
3 2E
y oe o
3t2
eller:
32E
32E
U oe o
3z2
0
(7.3.7)
o
(7.3.8)
at2
og 92hO
32He
u e o o
3z2
at2
Vi skal nu konsentrere oss om den løsning som representerer en
elektromagnetisk bølge med forplantning i positiv z-retning: Er = fl(r't
-
/%%z)
(7.3.9)
(7.3.4) kan vi finne r-avhengigheten av denne løsning: D
— a
eller E
hvor
ø(t
ø
e„
■ 'S7ZZ)
a = q (z , t) eor
a(t - A^z)
a =
(7.3.10)
o
er overflateladningstettheten på innerlederen.
497
Det tilhørende H-felt finnes fra lign.
3He 3z
3_ f a eo 3t }Eor o (t
(7.3.6):
/p e z) o o
= - - a'(t - /p e z) r o o eller
(7.3.11)
Hø = —= °(t - /%%2)
a
Den tilhørende overflatestrømtetthet fra lign.
på innerlederen finnes
z
(7.3.5) : g(t
- Aioeqz)
(7.3.12)
x , x -» x' , y' ■* y og 4> =» - i denne ligningen
uttrykt scm funksjon av
x!
Vi finner da:
x = x'cos - y'sin (A.2.4)
y = x*sin
+ y'cos
eller
x.
ax. — , x’, axi 3
(A.2.5)
530
hvor ax^
3x^
ax^
3x = cos * ax'
,
ax_ __ 2 ax^
3y_ = sin * 3x'
,
a x„ 2 3x2
= cos *
3x .
i
_
1
ds
I fig. A.2.lb er i xy-planet.
den vektorielle avstand mellom to nabopunkter
Komponentene av
k’-systemet
komponentene i
med lign.
3x^
(A.2.3) finner vi:*
Ved sammenligning med lign.
3 x!
3x = - sin * ay'
er
(A.2.1) og (A.2.7)
i k-systemet er
ds
(dx'
, dy')
(dx, dy)
, og
I overensstemmelse
.
finner vi transformasjonen av koordinat
differensialene:
3x! 3x . dx! = -—- dx . = ——} dx . i 3x. i 3x! i 3 1 J
(A. 2.7)
Transformasjonen av komponentene av en vektor (fig. A.2.1c og lign. 1
_
3x . *
_
,
1
/,
La oss verifisere at komponentene av
«* B
B = grad *
n
nx
transformeres i
(A.2.8):
overensstemmelse med lign.
§ = grad *
kan uttrykkes:
(A.2.7))
3x! n I
Å
= OA , 1
-L
„
x
B' = = __ 1 i 3x?1 3x! 1 3x . j
3x . = __ 1 b 3x!1 jJ
(A.2.9)
q.e.d.
* Denne relasjon er bare gyldig for de transformasjoner hvor det kartesiske koordinatsystem
system
k'
k
transformeres til et nytt kartesisk
med samme målestokk langs aksene.
Relasjonen er ikke
gyldig ved f.eks. transformasjon fra et kartesisk system til et
sfærisk koordinatsystem.
531
Vi ser nu at komponentene av en vektor transformeres på samme måte Denne sammenheng uttrykker den
som koordinatdifferensialene.
en vektor er en størrelse
matematiske definisjon av en vektor:
hvis komponenter transformeres på samme måte som koordinat dif ferensialene .
Vi skal nu betrakte transformasjonen av størrelsen
gradA :
3A. gradA =» —19Xk 3A! 3x. 3A! 3x. . 9x __ i = __ 1 1 = ___ 1 -1- ( É A ) 3x,' 3x.' 3x . 3x' 3x. 3x! f k k 3 k 3 i
.
1 £ £ + 1 a ____ — 3x? 3x! 3x. 3x' f 3x 3x! k 1 j k 3 r
3x . 3xr 3A£ 3x . . __ 1 f É + __ 1 3x3 3x! 3x. 3x3 k i j k
3 2
(A. 2.43)
552
Fra disse uttrykk ser vi at dersom =» 0 ,
v =» -c
og dersom
v =» c
=» °°
går
E'
går og
b;
0
og
-
En observatør som er i bevegelse bort fra lyskilden, vil følgelig måle en redusert lysintensitet, og intensiteten går mot null når v
c . Dersom observatøren er i bevegelse mot lyskilden, øker inten
siteten med hastigheten, og intensiteten går mot uendelig når
hastigheten går mot lyshastigheten.
Legg merke til at det siste
resultat er vesentlig forskjellig fra det resultat som følger av
Galilei-transformasjonen :
iflg. lign.
(A.2.41) vil feltene da bare
øke til det dobbelte, og intensiteten dermed bare til det fire
dobbelte .
Tilslutt skal vi se litt på de frekvensforandringer som vil En plan elektromagnetisk bølge som forplantes i retning
observeres.
n , kan uttrykkes: tl)
j(æt - — nr) Eæe C
hvor
r
nx ,
ny ,
har komponentene
nz *
(A.2.44)
x ,
y ,
z , og
n
har komponentene
Det er imidlertid vanlig å skrive dette uttrykk
på formen:
j (u)t - kr)
(A.2.45)
Eæe
hvor
k
= — n . c
Vektoren
k
kalles bølgevektoren.
Uttrykket i eksponenten i
denne ligning er en skalar, og vi kan uttrykke det som et skalar-
produkt av en firedimensjonal bølgevektor dimensjonale posisjonsvektor
(lign.
k.
og den fire-
(A.2.11))
- k.x. = (ojt - kr) = ojt - (kx + ky + kz) x z i i
= - [k^ + k2x2 + k_x_ + k t] 3 3 y
(A.2.46)
Ved å sammenligne ledd for ledd i dette uttrykk finner vi:
553
w n , kl = k x = c x
i k2 = k
U) n , k3 = k z = — c z
k4
Siden
=
y
-
er en skalar, så må
w n = — c y wt — = T
/AT (A. 2.47)
. (i) -)— J C
være en korrekt firedimensjonal
vektor, og komponentene av vektoren i k'-systemet er da: (lign.
(A.2.8) og (A.2.39)) 3x!
k! = k. i 3x . i
(A.2.48)
J
J
k2 = 0 '
k3 = 0 '
ole
(k (K1 = C '
l i
Ved substitusjon av
O
CJ-
4- (-) 2 c
I I
NJ-
1 k’ = ^ 1 c
o
finner vi: = 0 ,
1 - k! = j - ■ .... — 4 J c i----A-(-) 2 c
(A.2.49)
Det elektriske felt som måles av observatøren i k'-systemet, kan
dermed uttrykkes: E'ae
= e
hvor
jk!x! -j(k'x' + k'xl + k'x! + k'x' 1 1 = e 11 22 33 44
“j (y-^x'-ywt' ) C
j (co * t' - ^-x*)
j (yæt' - Y—X')
= e
e
554
k'- systemet måler dermed frekvensen
Observatøren i
w' =
u
Dersom observatøren er i bevegelse fra lyskilden, avtar frekvensen ved øket hastighet, og dersom han er i bevegelse mot lyskilden, øker frekvensen med øket hastighet.
Dette fenomen kalles Doppler-effekt.
Legg merke til at
v =» -c .
æ' =»
00 når
Dette resultat er ikke
i overensstemmelse med det Dopplerskift som kan beregnes ut fra
Galilei-transformasjonen.
tilsvarer
de to
Det ikke-relativistiske Dopplerskift
laveste ordens ledd i rekkeutviklingen av det
relativistiske Dopplerskift: 0)
,
=
/ c - v v ----- ;---- 0) — CO ( ± - — + C + V c
(A.2.50)
V
Det maksimale Dopplerskift som vi kan utlede fra ikke-relativistiske
argumenter tilsvarer, som vi ser fra lign.
(A.2.50), en dobling
av frekvensen. Vi har nu vist at Maxwells ligninger er relativistisk invariante
Maxwells ligninger uttrykker de fysikalske lover for elektro magnetisk fenomen i alle inertialsystemer. Dersom man hadde postulert at den korrekte tids-steds-transformasjon var den transformasjon hvor formen på Maxwells ligninger
forble invariant, så ville svaret ha vært at Lorentz-transformasjonen
var den korrekte transformasjon.
Det mest bemerkelsesverdige ved
dette resultat, er at Maxwells ligninger ble formulert mange år før
man hadde noen anelse om at Galilei-transformasjonen ikke var en korrekt tids-steds-transformasjon.
Den fysikalske årsak til denne
egenskap ved Maxwells ligninger må tydeligvis være at kilden for de elektromagnetiske felter, den elektriske ladning, er av relativistisk
invariant størrelse. Vi skal nu vise at denne påstand er korrekt:
555
Vi antar at observatøren i k—systernet bare måler en tidsuavhengig
rumladningstetthet p . Den totale ladning i volumelementet dv = dxdydz er da: (fig. A.2.6)
q = pdv = pdxdydz
(A.2.51)
Den firedimensjonale strømtetthetsvektor komponentene: (lign. (A.2.27))
h = ix = 0
'
j2 = jy = 0
'
i. Ji
i k-systemet har da
j3 = 3Z = 0
,
j4 = jcp
(A.2.52)
En observatør i k1 systemet måler da strømtettheten (lign. (A.2.38) og (A.2.39))
ji =
>
I
j
3x! X jk k
, hvor:
(A.2.53)
eller:
ji = * 7=
'
'
33 = 0 , /l- (2) 2
□ X
Denne observatør måler derved både en strømtetthet ladningstetthet p* , hvor: -vp
3y = 0 '
32 = 0 ,
p’
J’
og en
-P
(A.2.54)
Ladningstettheten observeres innenfor volumelementet hvor: (lign. (A.2.22))
dv1 = dx'dy'dz
556
dx' = /l-(~)2dx ,
dy' = dy ,
dz' = dz
(A.2.55)
Dette volumelementet er underkastet Lorentz-kontraksjon i
bevegelsesretningen for observatøren (x) er inneholdt i et bestemt volumelement
q' = p'dv' = --- P
.
Den totale ladning som
dv , observeres derved som:
/l-(-)2dxdydz = pdv = q
(A.2.56)
q.e.d.
Legg merke til at ladningstettheten
p
ikke er relativistisk
invariant fordi volumelementet underkastes Lorentz—kontraksjonen.
I fig. A.2.7 har vi illustrert sammenhengen mellom den tredimen
sjonale og den firedimensjonale formalisme.
Legg merke til at hvert
par av ligninger i den tredimensjonale formalisme uttrykkes som én ligning i den firedimensjonale formalisme. Vi har nu presentert en fremstilling av den klassiske teori for de elektromagnetiske felter.
Denne teori beskriver hvordan den
elektriske ladning oppfattes av observatøren som befinner seg i "stor" avstand fra selve ladningen; teorien inneholder ingen full stendig informasjon om de krefter som virker mellom negative og
positive partikler i et atom.
kvantemekaniske teori.
Disse fenomen beskrives av den
Videre mangler vi ogsa informasjon om kraft-
virkningene mellom masser i universet; dette er interesseområdet
for den generelle relativitetsteori. For å danne en fullstendig beskrivelse av naturen, må vi, så
vidt vi tror i dag, ta hensyn til samspillet mellom tre forskjellige
felter:
løsning av Maxwells ligninger i elektrodynamikken, løsning
av Schr&dingers ligninger i kvantemekanikken og løsning av
Einsteins ligninger i den generelle relativitetsteori.
Elektromagnetiske felter
fra ladninger
557
§
3 O aJ >
•H
CN
•H
cn
fe
558
Appendix 3
Målesystem Definisjoner av grunnenhetene
meter meter
1 m
er en lengde lik 1 650 763,73 bølgelengder i tomt
rum av den utstråling fra kryptonatomet 86Kr som svarer til over gangen mellom nivåene ?-Pjq og 5d^.
kilogram
Et kilogram - 1 kg - er massen av den internasjonale kilogram-
prototyp som oppbevares i Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) i Sevres ved Paris.
sekund Et sekund - 1 s - er 9 192 631 770 perioder av den stråling som
motsvarer overgangen mellom de to hyperfin-nivåer i grunntilstanden for cesiumatomet 133Cs.
ampere En ampere - 1 A - er den konstante elektriske strøm som frembringer
en gjensidig kraft på 2-10 newton per meter leder når strømmen går gjennom hver av to rettlinjede, parallelle, uendelig lange ledere med sirkulært og neglisjerbart lite tverrsnitt, og lederne er anbrakt i én meters innbyrdes avstand i tomt rum.
kelvin
kelvin er enheten for temperatur i den termodynamiske temperatur skala.
En kelvin - 1 K - er brøkdelen 1/273,16 av den termo
dynamiske temperatur for vannets trippelpunkt.
candela En candela - 1 cd - er lysstyrken vinkelrett på en overflate med areal 1/600 000 kvadratmeter av et svart legeme med samme
temperatur som størknende platina under et trykk på 101 325 newton per kvadratmeter.
559
Uttrykt i avledede enheter
Uttrykt i grunnenheter
Navn
Symbol
hertz
Hz
s“1
newton
N
* kg m * s-2
pascal
Pa
N/m2
m~ 1•kg * s-2
joule
J
N•m
m2•kg * s“2
watt
W
J/s
m2•kg•s"3
coulomb
C
volt
V
J/C=W/A
m2•kg•s“3•A"1
farad
F
C/V
m-2•kg-1•s4•A2
ohm
Q
1/S=V/A
m2 «kg * s~3•A-2
Siemens
S
1/Q=A/V
m-2•kg“1•s 3•A2
weber
Wb
V- S
m2 * kg
tesla
T
Wb/m 2
* s-2* kg A ”1
henry
H
V- s/A
m2 • kg * s-2•A-2
lumen
lm
lux
lx
* s A
s-2•A"1
* sr cd ln/m2
m-2•cd * sr
560
Enheter for elektromagnetiske parametre
Tredimensjonale parametre
E
Enhet
elektrisk felt
V/m
B
magnetisk felt
T
V
elektrisk potensial
V
A
magnetisk potensial
Wb/m
P
ladningstetthet
C/m3
-► j
strømtetthet
A/m2
elektrisk forskyvning
C/m2
H
H-felt
A/m
P
elektrisk polarisasjon
C/m2
magnetisering
A/m
D
M
Firedimensjonale parametre
F.,
C
Kapasitet
(F)
L
Selvinduktivitet
(H)
M
Gjensidig induktivitet
(H)
R
Ohmsk motstand
(fl)
T
A^
elektromagnetisk potensial
Wb/m
j^
strømtetthet
A/m2
H., 1
Enheter for kretsparametre
elektromagnetisk felttensor
Enhet
elektromagnetisk H-felttensor
A/m
561
Naturkonstanter
Dielektrisitetskonstant i vacuum:
= 8.85419 10“ 12 F/m
Permeabilitet i vacuum:
= 4tt • 10 7 H/m
c =-- = 2.997925-108 m/s
Lyshastighet i vacuum:
y
Bølgeimpedans i vacuum:
Elektronets ladning (-e)
Elektronets masse:
o
:
Z
e— = 376.731 « o
e = 1.6019-10"19 C
m = 9.1066-10 -31 kg
562
INDEX side 151
Appollonius sats
Biot-Savarts Bølgelengde
lov
308,
309
487
Bølgevektor
552
Coulombs lov
5
122
Curl overflatecurl. def.
84, 120
kartesiske koordinater
90
sfæriske koordinater
96
sylinderkoordinater
94
def-
Cyklotronfrekvens
330
Delkapasiteter
165
D-felt, def.
208
Diamagnetisme
339
Dielektrica
199
Dielektrisitetskonstant absolutt i vacuum
6
relativ
212
Dipol
elektrisk dipol felt
184
elektrisk dipol
moment
178
elektrisk dipol
potensial
178
elektrisk linjedipol
186
magnetisk dipol
felt
318
magnetisk dipol
moment
316
magnetisk dipol
potensial
316
114
563
side
Divergens def.
51
overflatedivergens,def.
118
kartesiske koordinater
52
sfæriske koordinater
57
sylinderkoordinater
56
554
Doppleref fekt
Dreiemoment
elektrisk dipol
248
magnetisk dipol
327
strømførende sløyfer
422
Driftskapasiteter
168
Effekt, dissipert i leder
272
Energi
elektrisk
153
koblede kretser
415
kondensator
156
magnetisk
412
selvinduktivitet
414
Elektrisk ladning
2
konservasjon av elektrisk ladning
2
relativistisk invarians av elektrisk ladning tetthet, fri
556 54
tetthet, bunden
211
Elektrisk felt def.
7
dielektrisk kule
244
dipol
184
flateladning
30
linjeladning
26
polarisert kule
229
tidsavhengig magnetisk dipol
391 16, 208
Elektrisk forskyvning Elektrisk kraft
se Kraft
564
side
Elektrisk potensial elektrostatikk differensialform
39, 122
elektrostatikk integralform
35, 122
Elektromagnetiske bølger
481
kabler
493
monokromatiske
486
plane
482
Elektromagnetisk felttensor
545
Elektromagnetisk potensial
544
Elektron
3
Elektromotorisk kraft
de f.
276
trans formatorisk
458
translatorisk
458
Feltfortrengning
435
Ferromagnetisme
341
Flux, magnetisk Forskyvningsstrømtetthet
310 266
F-tensor
545
Galilei-transformasjon
454, 539
Gauss sats
53
Gjensidig induktivitet
400, 401
Gradient def.
38, 144
kartesiske koordinater
40
sfæriske koordinater
43
sylinderkoordinater
42
Gravitasjonsfelt
16
Gravitasjonskonstant
16
Grensebetingelser
elektrisk felt
117, 120 122, 210
magnetisk felt
294, 444
565
side H-felt
def.
345
tensor
547
Hvirvelstrømstap
449
Hydrostatisk trykk
261, 524
Hysteresesløyfe
353
Hysteresetap
427
Induktivitet
se Selvinduktivitet eller Gjensidig induktivitet
Inertialsystem
537
Karakteristisk impedans kabel
498
vacuum
485
Kapasitetskoeffisienter
165
Kondensator
kapasitet
141
kule
133, 213 282
oppladning
477
platekondensator
141
tap
282
Konduktivitet
269
Konservasjon av ladning
2
Kontinuitetsligning for ladning
266
Kraft, på anker
431
elektrisk dipol
247
elektrisk ladning
237, 349
kondensatorplater
241, 242
magnetisk dipol
326
strømførende sløyfer
322, 323
420 Kroneckers tensor
507
566
side
Kvasistatisk approximasjon
elektrostatisk karakter
475
magnetostatisk karakter
382
Ladning, elektrisk
se Elektrisk ladning
Ladningsbærere
265, 284
termisk hastighet av ladningsbærere Laplace's ligning
271
65, 122
entydighet
131 265
Ledere
system av ledere
123
Ledningsevne
161
differensiell
270
spesifikk
269
Levi-Civitas tensor
507
Lineær polarisert bølge
482
Lorentzbetingelse
470, 545
kontraksjon
543
transformasjon
537
Lyshastighet
484
Magnet
372
Magnetisering
338
Magnetisk energi
se Energi
Magnetisk kraft
se Kraft
Magnetisk krets
367
Magnetisk felt
def.
288
dipol
318
magnetiserbar kule
353
magnetisert kule
359
sirkulær sløyfe
313
solenoide
403
toroide
367
567
side se Dipol
Magnetisk moment
Magnetisk motstand
370
Magnetisk permeabilitet
absolutt i vacuum
289, 351 351
relativ Magnetisk potensial
304, 349
Magnetomotorisk kraft
370
Maxwells ligninger elektrostatikk differensialform firedimensjonal form
54,
380 91, 122, 209 557
elektrostatikk integralform
10, 15, 122
kvasistatisk
382, 475
magnetostatisk differensialform
291, 292, 375
magnetostatisk integralform
291, 375
Maxwells spenningstensor
for det elektrisk felt
510
for det magnetiske felt
517
Moment
se Dreiemoment el. Dipolmoment
Monokromatisk bølge
486
Monopol, elektrisk
181
Motstand ohmsk
273, 274
spesifikk
273
Multipoler
176
Octupol, moment
181
Ohms lov
269, 284
Paramagnetisme
341
Permeabilitet
se Magnetisk permeabilitet
Poisson's ligning
elektrostatikk
65, 122, 210
magnetostatikk
305, 349
568
side
Polarisasjon
atomær
200
elektrisk
201,
mekanismer
200
208
Potensial
elektromagnetisk
544
elektrostatisk
35, 39,122
koeffisienter
163
magnetisk
304
retardert
489
skalar
35
vektor
304
Qudrupol, moment
181
Reluktans
370
Retarderte potensialer
489
Selvinduktivitet def.
419
koaksialkabel
406, 425
solenoide
403
totrådslinje
405,
ytre selvinduktivitet
398
Solenoide
300
Speiling ladning/dielektrisk medium
233
ladning/ledende plan
144
ladning/kule
150
leder/ ledende plan
446
leder/magnetiserbart medium
364
linjeladning/ledende plan
173
Stokes sats
88
Strømfortrengning
435
426
569
side Strømtetthet
fri
265
firedimensjonal
545
bunden
347
Susceptibilitetstensor
202
Tensor
def.
531
Termoelektrisk element
276
Tidsdilatasjon
542
Toroide
367
Vektor
def.
Vektorpotensial
531
304,309