Electrotehnica Si Masini Electrica PT Ing Ind 2013 CD [PDF]

Zitiervorschau

Ilie SUĂRĂŞAN

ELECTROTEHNICĂ ŞI

MAŞINI ELECTRICE PENTRU INGINERIE INDUSTRIALĂ

Editura RISOPRINT Cluj-Napoca 2013

© 2013 RISOPRINT Toate drepturile rezervate autorului & Editurii Risoprint.

e – f Editura RISOPRINT este recunoscută de C.N.C.S. (Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice). Pagina web a CNCS: www.cncs-uefiscdi.ro

e – f Toate drepturile rezervate. Tipărit în România. Nicio parte din această lucrare nu poate fi reprodusă sub nicio formă, prin niciun mijloc mecanic sau electronic, sau stocată într-o bază de date fără acordul prealabil, în scris, al autorului. All rights reserved. Printed in Romania. No part of this publication may be reproduced or distributed in any form or by any means, or stored in a data base or retrieval system, without the prior written permission of the author.

e – f Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României SUĂRĂŞAN, ILIE Electrotehnică şi maşini electrice pentru Inginerie Industrială / Ilie Suărăşan. - Cluj-Napoca : Risoprint, 2013 Bibliogr. ISBN 978-973-53-1080-6 621.38 Editor: GHEORGHE POP Consilier editorial: MIRCEA DRĂGAN Design copertă: PETRU DRĂGAN

Referenţi ştiinţifici Prof. dr. ing. Roman MORAR Prof. dr. ing. Vasile IANCU

Tiparul executat la: S.C. ROPRINT S.R.L. e – f 400 188 Cluj-Napoca • Str. Cernavodă nr. 5-9 Tel./Fax: 0264-590651 • [email protected] e – f 430 315 Baia Mare • Piaţa Revoluţiei nr. 5/1 Tel./Fax: 0262-212290

PREFAŢĂ Omenirea datorează dezvoltarea actuală, fără precedent, ştiinţei şi tehnicii, care prin punerea la temelia lor a cunoştinţelor din domeniul electric, în care gradul de dublare a informaţiilor a avut una dintre cele mai mari rate, a transformat vastul domeniu electric în forţa motrice a dezvoltării, din secolele trecute şi noul început de mileniu. Cursul de „Electrotehnică şi Maşini Electrice pentru Inginerie Industrială” se adresează studenţilor din facultăţile cu profil mecanic – licenţă ale universităţilor tehnice şi institutelor politehnice. Lucrarea a fost elaborată pe baza experienţei autorului în predarea unor cursuri de acest gen, la colegii, în specializările: Exploatarea Maşinilor şi Utilajelor, Tehnologia Prelucrărilor Metalurgice, Autovehicule Rutiere, Tehnologia Mecanicii Fine, Managementul Întreprinderilor Mici şi Mijlocii din facultăţile de Mecanică, Ştiinţa şi Ingineria Materialelor, experienţă perfecţionată în predarea cursurilor la Inginerie Industrială, Mecanică, sau Ştiinţa Materialelor licenţă, la secţiile din Satu Mare, Alba Iulia şi Zalău a Universităţii Tehnice din Cluj-Napoca. „Electrotehnică şi Maşini Electrice pentru Inginerie Industrială” poate fi utilă specialiştilor din domeniul Ingineriei Electrice, prin pragmatismul impregnat lucrării, pragmatism izvorât dintr-o îndelungată practică a autorului, ca proiectant şi cercetător în domeniul electric. Lucrarea, extrem de condensată, corespunde noilor programe analitice aprobate pentru facultăţile cu profil Inginerie Industrială, Mecanică, sau Ştiinţa Materialelor şi, în care timpul alocat studierii disciplinelor tehnice adiacente pregătirii viitorilor ingineri licenţiaţi în specializările mecanice, a fost substanţial redus.

3

Autorul aduce călduroase mulţumiri domnilor Prof. Dr. ing. Roman Morar şi Prof. Dr. ing. Vasile Iancu, care prin observaţiile şi sugestiile efectuate cu ocazia recenziei lucrării, au contribuit la îmbunătăţirea fondului şi formei lucrării. Gânduri alese şi mulţumiri depline se cuvin editurii RISOPRINT pentru profesionalismul şi promptitudinea de care au dat dovadă în multiplicarea lucrării. Aceleaşi sentimente de mulţumire şi recunoştinţă se aduc sponsorului S. C. ENERGY CONSULTING S. R. L., Alba Iulia, cu activitate în domeniul consultanţei energetice, pentru generozitatea şi interesul arătat faţă de lucrare. Autorul

4

CUPRINS

A. 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.5.1. 1.5.2. 1.5.3. 1.5.4 1.6. 1.6.1. 1.6.2. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.5. 3.6. 3.7. 4. 4.1. 4.2.

ELECTROTEHNICA ................................................................................. ELECTROSTATICA .................................................................................. Sarcina şi câmpul electric .............................................................................. Potenţialul electric şi tensiunea electrică ....................................................... Caracterizarea dielectricilor ........................................................................... Legea fluxului electric ................................................................................... Condensatorul şi capacitatea electrică ........................................................... Condensatorul plan ........................................................................................ Condensatorul cilindric .................................................................................. Condensatorul sferic ...................................................................................... Capacităţile de serviciu ale liniilor şi cablurilor electrice .............................. Capacitatea echivalentă a condensatoarelor ................................................... Conectarea în serie a condensatoarelor .......................................................... Conectarea în paralel a condensatoarelor ....................................................... Energia şi forţele câmpului electrostatic ........................................................ Aplicaţii ale electrostaticii ............................................................................. Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... ELECTROCINETICA ................................................................................ Curentul şi tensiunea electromotoare ............................................................. Legea conducţiei electrice .............................................................................. Transformarea energiei în procesul de conducţie .......................................... Pile şi acumulatoare electrice ......................................................................... Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU ............................ Convenţii şi definiţii ....................................................................................... Teoremele lui Kirchhoff ................................................................................. Alte teoreme utilizate în rezolvarea circuitelor electrice ............................... Teorema conservării puterilor ........................................................................ Teorema rezistenţelor echivalente .................................................................. Teorema superpoziţiei .................................................................................... Teoremele generatoarelor echivalente ........................................................... Teoremele de transfigurare ............................................................................ Metode sistemice pentru rezolvarea reţelelor electrice .................................. Metoda curenţilor ciclici ................................................................................ Metoda potenţialelor de noduri ...................................................................... Circuite electrice neliniare ............................................................................. Probleme rezolvate .................................................................................... ..... Probleme propuse ........................................................................................... ELECTRODINAMICA ............................................................................... Câmpul magnetic ........................................................................................... Materiale magnetice .......................................................................................

5

9 13 13 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 22 22 24 25 25 26 28 29 30 32 33 33 33 35 35 35 37 37 37 39 39 39 40 41 42 43 43 44

4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 5. 5.1. 5.2. 5.2.1. 5.2.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.4. 5.5. 5.5.1. 5.5.2. 5.5.3. 5.5.4. 5.5.5. 5.5.6. 5.5.7. 5.6. 5.6.1. 5.6.2. 5.6.3. 5.7. 5.7.1. 5.7.2. 5.7.3. 5.7.4. 5.7.5. 5.7.6. 5.7.7. 5.8. 5.9. 6. 6.1. 6.2. 6.2.1. 6.2.2. 6.3. 6.3.1. 6.3.2. 6.3.3. 6.3.4. 6.4. 6.5.

Fluxul şi tensiunea magnetică ........................................................................ Circuite magnetice ......................................................................................... Legea inducţiei electromagnetice ................................................................... Inductivităţi .................................................................................................... Energia şi forţele câmpului magnetic ............................................................. Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV ....................... Elemente ideale de circuit în regim variabil .................................................. Circuite simple în regim tranzitoriu ............................................................... Regimul de stabilire a curentului într-o bobină ............................................. Regimul tranzitoriu de încărcare a unui condensator .................................... Regimul permanent sinusoidal ....................................................................... Mărimi periodice şi sinusoidale ..................................................................... Caracterizarea circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal .................. Puteri în regim permanent sinusoidal ............................................................. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal ............................... Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale ....................................... Caracterizarea în complex a circuitelor liniare .............................................. Impedanţa şi admitanţa complexă .................................................................. Puterea complexă ........................................................................................... Caracterizarea în complex a elementelor electrice ideale de circuit .............. Formele complexe ale Legii lui Ohm; Teorema lui Joubert .......................... Teoremele impedanţelor echivalente ............................................................. Rezonanţa în circuitele electrice de curent alternativ .................................... Linia monofazată scurtă de curent alternativ şi compensarea factorului de putere .............................................................................................................. Teoremele lui Kirchhoff pentru reţelele de curent alternativ ......................... Elemente de topologia reţelelor de curent alternativ ...................................... Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff .................................................. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în complex ............................................. Alte teoreme şi metode utilizate în studiul reţelelor de curent alternativ ...... Teorema conservării puterilor ........................................................................ Teorema transferului maxim de putere .......................................................... Metode de transfigurare ................................................................................. Teorema generatorului de tensiune echivalent ............................................... Teorema generatorului echivalent de curent .................................................. Teorema superpoziţiei .................................................................................... Metode sistemice pentru rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... CIRCUITE TRIFAZATE ........................................................................... Generalităţi, definiţii şi convenţii asupra mărimilor trifazate ........................ Conexiuni trifazate ......................................................................................... Conexiunea stea ............................................................................................. Conexiunea triunghi ....................................................................................... Calculul circuitelor trifazate ........................................................................... Introducere ..................................................................................................... Circuite trifazate echilibrate ........................................................................... Circuite trifazate dezechilibrate ..................................................................... Îmbunătăţirea factorului de putere ................................................................. Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ...........................................................................................

6

46 47 50 51 52 54 56 57 57 59 59 60 62 62 65 67 68 74 77 77 79 79 82 83 85 86 88 88 89 90 90 90 91 93 94 94 95 95 96 98 99 99 101 102 104 106 106 106 106 107 107 108

B. 7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.3.1. 7.3.2. 7.3.3. 7.4. 7.4.1. 7.4.2. 7.4.3. 7.5. 7.6. 7.6.1. 7.6.2. 7.7. 7.7.1. 7.7.2. 7.8. 7.8.1. 7.8.2. 7.8.3. 7.9. 7.10. 8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.7.1. 8.7.2 8.7.3 8.7.4. 8.7.5. 8.8. 8.9. 8.9.1. 8.9.2. 8.9.3. 8.10. 8.10.1. 8.10.2. 8.10.3. 8.11. 8.12. 8.13. 7.14.

MAŞINI ELECTRICE ................................................................................ TRANSFORMATORUL ELECTRIC ....................................................... Rolul transformatorului electric; definiţii, convenţii şi mărimi nominale ..... Construcţia transformatorului ........................................................................ Funcţionarea transformatorului monofazat în gol .......................................... Fluxurile magnetice şi tensiunile electromotoare induse la funcţionarea în gol .............................................................................................................. Diagrama fazorială a transformatorului la funcţionarea în gol ...................... Schema echivalentă a transformatorului la funcţionarea în gol ..................... Funcţionarea transformatorului monofazat în sarcină .................................... Ecuaţiile transformatorului monofazat în sarcină .......................................... Raportarea mărimilor secundare .................................................................... Diagrame fazoriale ale transformatorului monofazat în sarcină .................... Determinarea prin încercări a parametrilor transformatorului monofazat ..... Caracteristicile transformatorului .................................................................. Caracteristica externă şi variaţia de tensiune ................................................. Bilanţul puterilor şi randamentul transformatorului monofazat ..................... Transformatorul trifazat ................................................................................. Principiul transformatorului trifazat ............................................................... Conexiunile transformatoarelor trifazate ....................................................... Transformatoare speciale ............................................................................... Autotransformatorul ....................................................................................... Transformatorul de sudură ............................................................................. Transformatoare de măsură ............................................................................ Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... MAŞINA ASINCRONĂ .............................................................................. Elemente constructive ale maşinii asincrone ................................................. Mărimi nominale ale maşinii asincrone ......................................................... Funcţionarea maşinii asincrone ca motor electric .......................................... Diagrama energetică a motorului asincron .................................................... Ecuaţiile de funcţionare ale maşinii asincrone trifazate şi caracteristica cuplului electromagnetic ................................................................................ Caracteristicile motorului asincron ................................................................ Pornirea maşinii asincrone trifazate ............................................................... Pornirea directă a motorului asincron trifazat ................................................ Pornirea stea - triunghi a motorului asincron trifazat ..................................... Pornirea cu impedanţe statorice ..................................................................... Pornirea cu autotransformator ........................................................................ Pornirea cu reostat rotoric de pornire ............................................................. Inversarea sensului de rotaţie ......................................................................... Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate .................................................. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea alunecării ...... Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea numărului de perechi de poli ................................................................................................ Reglarea turaţiei prin modificarea frecvenţei.................................................. Frânarea motorului asincron trifazat .............................................................. Frânarea în contracurent, sau prin contraconectare ........................................ Frânarea dinamică a maşinii asincrone trifazate ............................................ Frânarea prin inversarea sensului de rotaţie a rotorului ................................. Regimuri speciale ale maşinii asincrone trifazate .......................................... Motorul asincron monofazat .......................................................................... Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ...........................................................................................

7

109 111 111 112 114 114 116 117 117 118 119 119 121 123 123 124 126 126 126 128 128 129 130 131 132 133 133 135 136 137 139 142 144 145 146 147 147 147 149 149 149 151 151 153 153 154 154 155 155 158 160

9. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. 9.11.1. 9.11.2. 9.11.3. 9.11.4. 9.12. 9.13. 9.13.1. 9.13.2. 9.13.3. 9.13.4. 9.14. 9.15. 9.16. 10. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12.

MAŞINA DE CURENT CONTINUU ........................................................ Generalităţi şi definiţii ................................................................................... Mărimi nominale ............................................................................................ Elemente constructive ale maşinii de curent continuu ................................... Principiul de funcţionare a maşinii de curent continuu .................................. Înfăşurările indusului maşinii de curent continuu .......................................... Tensiunea electromotoare a maşinii de curent continuu ................................ Reacţia indusului maşinii de curent continuu ................................................ Comutaţia maşinii de curent continuu ........................................................... Cuplul electromagnetic al maşinii de curent continuu ................................... Funcţionarea maşinii de curent continuu ca generator ................................... Caracteristicile generatorului de curent continuu .......................................... Generatorul cu excitaţie separată ................................................................... Generatorul de curent continuu cu excitaţie în derivaţie ............................... Generatorul de curent continuu cu excitaţie în serie ...................................... Generatorul de curent continuu cu excitaţie mixtă ........................................ Funcţionarea maşinii de curent continuu ca motor electric ........................... Caracteristicile motoarelor de curent continuu .............................................. Pornirea, reversarea şi reglarea turaţiei motorului de curent continuu .......... Motorul de curent continuu cu excitaţie în derivaţie şi separată .................... Motorul de curent continuu cu excitaţie serie ................................................ Motorul de curent continuu cu excitaţie mixtă .............................................. Funcţionarea maşinii de curent continuu ca frână electrică............................ Probleme rezolvate ......................................................................................... Probleme propuse ........................................................................................... MAŞINA SINCRONĂ ................................................................................. Construcţia maşinii sincrone .......................................................................... Mărimi nominale ale maşinii sincrone ........................................................... Principiul de funcţionare şi diagrama energetică a generatorului sincron ..... Tensiunea electromotoare a maşinii sincrone ................................................ Reacţia indusului maşinii sincrone. Câmpul de reacţie a indusului ............... Ecuaţiile şi diagrama tensiunilor generatorului sincron ................................. Caracteristicile generatorului sincron ............................................................ Cuplul şi puterea electromagnetică ................................................................ Funcţionarea maşinii sincrone ca motor electric ............................................ Caracteristicile motorului sincron .................................................................. Problemă rezolvată ......................................................................................... Problemă propusă ........................................................................................... BIBLIOGRAFIE ..........................................................................................

Anexa 1. MOTOARE ELECTRICE TRIFAZATE (Catalog condensat) Anexa 2. MAŞINI DE CURENT CONTINUU Anexa 3. UTILIZAREA MOTOARELOR ASINCRONE TRIFAZATE ÎN SCHEME MONOFAZATE CU CONDENSATOARE

8

161 161 162 162 165 165 167 168 170 171 171 173 173 175 176 177 177 179 179 180 183 184 186 187 190 191 191 193 193 194 196 199 201 202 204 206 207 207 209

A. ELECTROTEHNICA INTRODUCERE ÎN INGINERIA ELECTRICĂ, PENTRU INGINERIA INDUSTRIALĂ La începutul mileniului al III-lea, în toate sectoarele activităţii umane, ingineria electrică î-şi face simţită prezenţa din plin, iar viaţa nu mai poate fi concepută fără aportul ei nemijlocit. Mare parte din starea de confort al fiecăruia dintre noi este datorată rezultatelor descoperirilor şi invenţiilor din cadrul ingineriei electrice, dar şi interacţiunii dintre diverse discipline, cum ar fi: matematica fundamentală prin teoria reţelelor, a logicii, sau a sistemelor şi fizica fundamentală prin electromagnetism, fizica solidului, optica, etc. Rezultatele benefice ale ingineriei electrice au fost posibile printro deplină corelare între diversele discipline care o compun: analiza circuitelor, electromagnetism, energetica, maşini şi generatoare electrice, electronica de putere, analogică, digitală şi electro-optică, sisteme de comandă, de instrumentaţie, comunicaţii, sisteme computerizate . Scopul principal al lucrării este de a introduce studenţii ingineriei industriale, mecanice şi ştiinţa materialelor în problematica electrică, energetică, acţionărilor electrice şi în acele aspecte ale ingineriei electrice, care li se par cele mai relevante carierei lor profesionale. Soluţionarea antrenărilor şi acţionărilor electrice complexe şi reglabile ale maşinilor, utilajelor şi echipamentelor mecanice, a fost realizată prin ofertele generoase ale automaticii, maşinilor electrice, electronicii şi software-ului. Sisteme electrice în automobile. Un exemplu familiar ilustrează cum aparent diverse specialităţi disparate ale ingineriei electrice interacţionează în scopul permiterii operării unui sistem ingineresc, cum este automobilul modern. Sistemele ingineriei electrice actuale din automobil prevăd pe lângă echipamentele electrice clasice, referitoare la pornirea, aprinderea, iluminarea, încărcarea bateriei de acumulatoare, etc. şi echipamente computerizate prin microprocesoare specializate pentru confort, (închidere centralizată, climatizare, navigare, internet, audio/video, ergonomicitatea scaunelor, a volanului şi a oglinzilor), propulsie, (transmisie/frânare, pornire integrată/alternator, eventual tracţiune electrică cu sistem de 42 V, cu gestionarea stării bateriilor de acumulare şi comanda tracţiunii), siguranţă, (air bag-uri şi restricţii, avertizare coliziuni, sisteme de securizare), rulare şi conducere, (suspensii active/semiactive, servo-direcţie electrică – eventual pe toate roţile, presiune în pneuri, comandă a stabilităţii, antifurt, etc.). Ingineria electrică – fundamentul sistemelor mecatronice. Multitudinea proceselor şi maşinilor actuale din oricare sferă de activitate solicită tipuri distincte de calculatoare de proces pentru operaţiile aferente. Calculatoarele de proces ale maşinilor şi proceselor sunt comune automobilelor, unităţilor chimice, navelor aero-spaţiale, producţiei de mărfuri, testării şi instrumentaţiei, consumatorilor şi electronicii industriale. Utilizarea extensivă a microelectronicii în sistemele de producţie şi în tehnică, va conduce la reconsiderarea sistemelor inginereşti. Termenul de proiectare mecatronică, (pentru prima dată utilizat de Japonia, apoi adoptat în Europa), a impus o nouă filozofie asupra proiectării, care se

9

bazează pe integrarea disciplinelor primare: inginerie mecanică, electrică, electronică şi software. Cunoaşterea de către viitorii specialişti şi utilizatori a maşinilor electrice – ca elemente de conversie a energiei, poate conduce la proiectarea, alegerea, dar şi utilizarea acelor elemente electronice cu comutaţie statică, comandate de unităţi şi calculatoare de proces, care să conducă la sistemele moderne, fiabile, care urmăresc optimizarea proceselor antrenate. Scurt istoric al electrotehnicii ca fundament al ingineriei electrice Evoluţia istorică a ingineriei electrice poate fi atribuită în parte, muncii individuale sau colective şi descoperirilor efectuate de diverşi cercetători şi oameni de ştiinţă, din domeniul matematicii şi fizicii, cum sunt: William Gilbert (1540-1603), fizician englez, este considerat fondatorul ştiinţei magnetismului. A publicat tratatul ştiinţific asupra magnetismului, „De Magnete” în 1600; Charles A. Coulomb (1736-1806), fizician şi inginer francez a publicat legile electrostaticii în şapte memorii la Academia Franceză de Ştiinţe, între 1785 şi 1791. Numele lui Coulomb este asociat unităţii de sarcină electrică; James Watt (1736-1819), inventator englez, a dezvoltat motorul cu aburi. Numele său (Watt) este utilizat ca unitate de putere; Alessandro Volta (1745-1827), fizician italian, a inventat pila electrică. Unitatea de potenţial electric (Voltul) a fost denumit în cinstea sa; Hans Christian Oersted (1777-1851), fizician danez, a descoperit interconexiunea între electricitate şi magnetism în 1821. Unitatea de intensitate a câmpului magnetic este dată în cinstea lui; André Marie Ampère (1775-1836), matematician, chimist şi fizician francez a determinat pe cale experimentală, relaţia dintre curentul electric şi câmpul magnetic. Activitatea sa ştiinţifică a fost rezumată în tratatul publicat în 1827. Unitatea de curent electric (Amperul) este denumită după numele lui; Georg Simon Ohm (1789-1854), matematician german, a investigat relaţia tensiune – curent şi cuantifică fenomenul rezistenţei. Primele rezultate au fost publicate în 1827, iar numele său (Ohm) este utilizat ca unitate de măsură a rezistenţei; Michael Faraday (1791-1867), experimentator englez, a demonstrat în 1831, legea inducţiei electromagnetice. Generatoarele electromagnetice şi transformatoarele de putere au marcat începutul surselor de putere. Numele său (Faraday) este asociat unităţii de capacitate electrică; Joseph Henry (1797-1878), fizician american, a descoperit autoinducţia în 1831 şi numele său (Henry) a fost destinat să reprezinte unitatea de inductanţă. Un aport esenţial l-a avut în structurarea telegrafului, care a fost perfecţionat mai târziu de către Samuel F. B. Morse; Carl Friedrich Gauss (1797-1855), matematician german şi Wilhelm Eduard Weber (1804-1891), fizician german a publicat un tratat ştiinţific în 1833, descriind măsurătorile câmpului magnetic terestru, Gauss este unitatea de intensitate a campului magnetic, în timp ce Weber este unitatea de flux magnetic; James Clerk Maxwell (1831-1879), fizician scoţian, a inventat teoria şi legile electrodinamicii. Teoria modernă a electromagnetismului este în întregime regăsită în ecuaţiile lui Maxwell;

10

Ernst Werner Siemens (1816-1892) şi Wilhelm Siemens (1823-1883), inventatori şi ingineri germani, au contribuit la dezvoltarea maşinilor electrice şi la perfecţionarea ştiinţelor electrice. Unitatea de conductanţă este denumită după ei (Siemens); Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894), experimentator şi cercetător ştiinţific german, a descoperit natura undelor electromagnetice şi a publicat rezultatele în 1888. Numele său este asociat cu untatea de frecvenţă, (Hertz); Nikola Tesla (1857-1943), inventator croat, emigrat în SUA în 1884, a inventat sistemele electrice polifazate şi motorul cu inducţie, a pus bazele curentului alternativ. Numele său (Tesla) este asociat unităţii de flux magnetic. Sistemul de unităţi de măsură Sistemul Internaţional de unităţi de măsură (SI) determină o comunicare facilă între diverse comunităţi şi societăţi inginereşti profesionale. Sistemul Internaţional de unităţi are la bază şase unităţi fundamentale, (tabelul 1.1), definite pe baza unor anumite procese fizice existente în natură: Metrul – este distanţa parcursă de lumină prin vid într-un interval de timp de 1 / 299.792.458 dintr-o secundă; Kilogramul – este definit ca fiind egal cu masa prototipului internaţional; Secunda – a fost iniţial legată de perioada de rotaţie a Pământului în jurul propriei axe, prin împărţirea unei zile solare medii în 24 de ore, a fiecărei ore în 60 de minute şi a fiecărui minut în 60 de secunde; începând cu 1968, printr-o rezoluţie a Conferinţei Generale de Măsuri şi Greutăţi, secunda a fost definită în raport cu proprietăţile atomului de cesiu: Secunda este durata a exact 9.192.631.779 de perioade ale radiaţiei ce corespunde tranziţiei dintre cele două niveluri hiperfine ale stării fundamentale ale atomului de cesiu 133 în repaus la temperatura de 0 K; Amperul – este intensitatea unui curent electric constant, care se stabileşte prin două conductoare rectilinii, paralele, foarte lungi, aşezate în vid la distanţa de 1 m unul de altul, între care se exercită o forţă de 2x10 -7 N pe fiecare metru de lungime; Grad Kelvin – se numeşte Kelvin 1/273,16 din temperatura stării triple a apei (solidă – lichidă - gazoasă), căreia i se atribuie prin convenţie temperatura termodinamică de 273,16 K; Candela – iniţial a fost definită ca fiind puterea emisă de o sursă luminoasă într-o anumită direcţie, cu lungimea de undă obţinută de o funcţie luminoasă şi la o standardizare a modelului de sensibilitate a ochiului uman. La a 16’zecea Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi din 1979, candela – a fost definită că este intensitatea luminoasă obţinută într-o anumită direcţie, de la o sursă care emite o radiaţie monocromatică de frecvenţa 540x1012 herţi şi are intensitatea radiantă pe o anumită direcţie, de 1/ 683 W per steradian. Mărimea Lungimea Masa Timpul Curentul electric Temperatura Intensitatea luminoasă

Tabelul 1.1. Unităţi fundamentale de măsură în SI. Unitatea de măsură Simbol Metrul m Kilogramul kg Secunda s Amperul A Grad Kelvin K Candela Cd

11

Deoarece în practică se întâlnesc frecvent situaţii în care unităţile uzuale sunt fie prea mari, fie prea mici, se impune utilizarea multiplilor şi submultiplilor, care de regulă se exprimă ca puteri a lui 10, conform tabelului 1.2.

Prefix Tera Giga Mega Kilo Deca Deci Centi Mili Micro Nano Pico Fento Atto

Tabelul 1.2. Multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură. Simbol Ordin de multiplicare T 1012 G 109 M 106 k 103 da 10 d 10-1 c 10-2 m 10-3 10-6  10-9 n 10-12 p 10-15 f 10-18 a

În funcţie de specializările urmate, cursul de „Electrotehnică şi Maşini Electrice pentru Inginerie Industrială” va fi continuat cu alte discipline specifice ingineriei electrice, legate de antrenarea şi acţionarea electrică sau electronica de putere.

12

1. ELECTROSTATICA Electrostatica este disciplina din cadrul electrotehnicii care studiază stările invariabile în timp, neînsoţite de transformări energetice. 1.1. Sarcina şi câmpul electric Menţiuni asupra electricităţii au fost consemnate încă de acum 2500 ani, când bucăţi de chihlimbar încărcate static au fost capabile să atragă diverse obiecte. Originea cuvântului electricitate datează mult mai târziu (la circa 600 d. C.) şi derivă din electron, care în greaca veche însemna, chihlimbar. Natura electricităţii a fost înţeleasă şi explicată mult mai târziu, când şi prin operele lui Coulomb şi Volta au fost puse bazele structurii atomice a materiei, care constă în nuclee – neutroni şi protoni – înconjuraţi de electroni, care gravitează pe orbite. Electronul este încărcat cu sarcina elementară negativă, egală cu: qe  1,602 1019 C (Coulomb). Cu aceeaşi sarcină elementară, dar pozitivă, se consideră că este încărcat protonul: q p  1,602  1019 C . Prin frecare, anumite corpuri sunt aduse într-o stare de electrizare, stare manifestată prin forţele electrice apărute între aceste corpuri, prin intermediul câmpului electric. Câmpul electric şi câmpul magnetic sunt aspecte particulare ale câmpului electromagnetic, câmp ce este o formă de manifestare a materiei, diferită de substanţa corpurilor, care posedă energie, există în interiorul corpurilor şi în afara lor şi constituie suportul fizic al interacţiunilor electromagnetice. Starea de electrizare mai poate fi obţinută şi prin alte procedee: - atingere de corpurile electrizate (prin influenţă); - încălzire sau iradiere, când energia primită de corpuri, determină electronii de valenţă, aflaţi pe orbitele extreme, să le părăsească; - tensionare mecanică, prin efect piezoelectric etc. După modul în care transmit starea de electrizare la atingerea directă, materialele se împart în: - materiale conductoare (conductori electrici) – starea de electrizare este transmisă în întreaga masă a conductorului; - materiale izolatoare (dielectrici) – starea de electrizare este transmisă local şi nu în toată masa izolatorului. Din categoria conductoarelor fac parte metalele împreună cu aliajele lor, anumite soluţii acide sau bazice, apa cu diverse impurităţi minerale şi nu numai, iar dielectricii pot fi întâlniţi sub toate stările de agregare ale materiei: ceramica, mica, hârtia, uleiurile şi lacurile electroizolante, aerul, sulfura de carbon etc. Forţa care acţionează asupra unui corp de probă, punctiform, încărcat cu sarcina electrică q şi care explorează câmpul electric de intensitate

F  qEv

Ev este: (1.1)

13

Ev este intensitatea câmpului electric în vid şi reprezintă o mărime vectorială, funcţie de punct, care caracterizează local câmpul electric, iar q – sarcina electrică a corpului de probă, reprezintă o mărime scalară, care caracterizează local starea de electrizare a corpului dat, cu unităţile de măsură în SI: [Ev]SI: 1 V / 1 m, respectiv [q]SI: 1 C = 1A x 1s, sau Ah (1 Ah = 3600 As =3600 C). Liniile de câmp (figura 1.1.) constituie reprezentarea intuitivă a formei câmpului electric. Acestea încep pe corpurile încărcate cu sarcină pozitivă şi se termină pe cele negative. Intrarea, respectiv ieşirea liniilor prin suprafaţele corpurilor încărcate se va realiza perpendicular pe suprafaţă, în zona de contact. Figura 1.1. Liniile de câmp între două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini diferite. Între două corpuri punctiforme M1 şi M2, electrizate, aflate la distanţa r12 între ele (figura 1.2.), încărcate cu sarcinile electrice q1 şi q2, se exercită forţa coulombiană:

F12 

q1q2 r12 , 4r122 r12

(1.2)

unde ε este constanta dielectrică sau permitivitatea mediului, considerat omogen, în care se află cele două corpuri. În tehnică se lucrează cu permitivitatea relativă, ca fiind:

r 

 , 0

(1.3)

Figura 1.2. Forţele de interacţiune între 2   1 C F   două corpuri punctiforme încărcate cu în care,   este , 0 , 4 9 109  m 2 N   m  sarcini electrice. permitivitatea vidului. Din relaţiile (1.1) şi (1.2) rezultă expresia intensităţii câmpului electric produs de un corp punctiform, încărcat cu sarcina q, aflat într-un mediu omogen, de permitivitate ε: q r . (1.4) E 4 r 3 Pentru câmpuri complexe, produse de mai multe corpuri punctiforme electrizate, intensitatea câmpului electric rezultat va fi egală cu suma vectorilor intensităţilor pe care l-ar produce fiecare corp în parte: r 1 (1.5) E  qi ri3 . 4 i i Câmpul electric produs de o distribuţie de sarcini electrice se numeşte câmp electric coulombian. Pentru sarcini nemişcate şi invariabile în timp, câmpul este electrostatic.

14

1.2. Potenţialul electric şi tensiunea electrică Câmpul electrostatic este un câmp potenţial, ce se poate defini ca o funcţie scalară de punct V(r), a cărei pantă de scădere locală după direcţia vectorului s să fie egală cu proiecţia pe acea direcţie a intensităţii câmpului electric:



s V  E  , sau: E   gradV , s s

(1.6)

unde, V(r) este potenţialul electric. Potenţialul unui corp punctiform, încărcat cu sarcina electrică q este: 1 q (1.7) V  V0 . 4 r Generalizând, pentru un sistem de corpuri încărcate cu sarcinile qI, repartizate într-un volum V , potenţialul electric compus este:

1  qi dq  (1.8)   .  4  i ri V r  Potenţialul se poate pune în evidenţă prin lucrul mecanic al forţelor electrostatice. Fie M şi N două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile q şi q0 (figura 1.3.). Corpul N este nemişcat, iar M se deplasează pe curba (c), între punctele A şi B, efectuând lucrul mecanic: (1.9) dL  Fds  Fds cos   Fdr ,  F  qE  . r q0 q q0 q  1 1       L  F d s  Fdr  dr    q V  V A B   4r 2  AB  4  rA rB  c c r  V

B

AB

VA  VB 

AB

A

 E ds V

B

  E ds

c AB

(1.10)

cBA

Pentru rA  rB , lucrul mecanic efectuat este nul, LAB=0 şi deoarece ,

 E ds  0 ,

(1.11)

reprezintă teorema potenţialului electrostatic: circulaţia intensităţii câmpului electric coulombian este nulă pe orice curbă închisă. Tensiunea electrică se defineşte ca fiind:

U AB 

 E ds ,

(1.12)

c AB Figura 1.3. Lucrul mecanic efectuat de o iar prin compararea cu relaţia (1.11), particulă încărcată, aflată în mişcare. aceasta este diferenţa de potenţial măsurată între două puncte ale curbei respective: U AB  VA  VB , (1.13)

15

a cărui unitate de măsură în SI este voltul, fiind definit ca lucrul mecanic de 1 J, cheltuit pentru transportarea unei sarcini de 1 C.

1.3. Caracterizarea dielectricilor Câmpul electric în interiorul corpurilor dielectrice este caracterizat de inducţia electrică ( D ) şi intensitatea câmpului electric ( E ). Pentru dielectrici liniari şi izotropi există relaţia:

D  E   0 r E .

(1.14)

Materialele la care dependenţa inducţiei de intensitatea câmpului electric este neliniară se numesc materiale feroelectrice (exemplu: titanatul de bariu, care prezintă o curbă de electrizare asemănătoare cu caracteristica de primă magnetizare a materialelor feromagnetice). Materialele electroizolante mai sunt caracterizate şi prin rigiditatea dielectrică, Ed. Rigiditatea dielectrică depinde de natura materialului electroizolant, forma electrozilor, distanţa dintre electrozi, condiţii atmosferice etc.

1.4. Legea fluxului electric Fluxul electric se defineşte ca fiind:

   D dA ,

(1.15)

S

în care dA este elementul orientat, de arie, aparţinând suprafeţei S, sprijinită pe curba  (figura 1.4.). Legea fluxului electric, determinată experimental, arată că fluxul electric , prin orice suprafaţă închisă , este egal cu sarcina electrică q:

   D dA  q .

Figura 1.4. Explicativă la legea fluxului electric.

(1.16)



1.5. Condensatorul electric şi capacitatea electrică Două conductoare separate de un dielectric, încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q, reprezintă un condensator şi este caracterizat de capacitatea sa:

C

q 1C , cu unitatea de măsură în SI: 1F  . U 1V

(1.17)

În tehnică sunt utilizaţi frecvent submultiplii faradului: micro-, nano-, respectiv picofaradul, cu următoarele ordine de mărime: 1 F = 106 F = 109 nF = 1012 pF. Pentru unele dintre cele mai utilizate tipuri de condensatoare sunt date relaţiile de calcul ale capacităţilor respective.

16

1.5.1. Condensatorul plan Două suprafeţe metalice, plane (1 şi 2), de arie A, aflate la distanţa a, într-un mediu cu permitivitatea , încărcate cu sarcinile q, reprezintă un condensator plan (figura 1.5). Figura 1.5. Condensatorul plan. Valoarea inducţiei electrice, respectiv a intensităţii câmpului electric între armături este:

D  

q , A

E

D





q , A

în care  este densitatea de sarcină pe suprafaţa A. Tensiunea aplicată armăturilor 1 şi 2 poate fi exprimată sub forma: 2

U   E ds  Ea  1

qa , A

iar capacitatea condensatorului plan (după înlocuirea valorii tensiunii în relaţia 1.17), va fi:

C

A

(1.18)

a

şi depinde de caracteristicile dielectricului, de suprafaţa armăturilor şi interstiţiul dintre acestea. Pentru un condensator plan, compus din n straturi cu permitivităţi εrk, de suprafaţă A şi grosimi ak:

C

o A

n

ak

 k 1

.

(1.19)

rk

1.5.2. Condensatorul cilindric O mare parte din condensatoarele industriale (cu hârtie, stiroflex etc.), sunt construite sub forma unor cilindri, multiplu roluiţi, iar între cele două armături metalice sunt introduse materialele dielectrice specifice tipului respectiv de condensator. Capacitatea condensatorului cilindric depinde de tipul dielectricului, mărimea armăturilor conductoare aflate faţă în faţă, precum şi de grosimea straturilor dielectrice:

C

2 o l 1  n   rk   r  k   ln    k 1  rk 1    

.

17

(1.20)

1.5.3. Condensatorul sferic Capacitatea unui condensator sferic cu n straturi de material dielectric, de permitivităţi εrk, cu raze rk şi două armături metalice, este:

C

4 o . 1  1 1     rk  k 1  rk  rk 1

(1.21)

n

1.5.4. Capacităţile de serviciu ale liniilor şi cablurilor electrice Capacitatea unei linii bifilare, de lungime l, formate din conductoare cilindrice, de rază r, aflate întru-un mediu de permitivitate ε, la distanţa a între ele, este:

C

 o r l a ln r

,

(1.22)

iar capacitatea de serviciu, faţă de pământ, a fiecăruia dintre conductoare:

Cs 

2 o r l , d ln r

(1.23)

în care d reprezintă distanţa dintre conductorul considerat şi pământ. Capacitatea dintre conductoarele unui cablu bifilar:

C

 o r l

 2a R 2  a 2  ln  2 2  r R a 

,

(1.24)

în care: l – lungimea cablului; r – raza firelor conductoare; R – raza exterioară a cablului; 2a – distanţa axială dintre cele două conductoare; εr – permitivitatea relativă a izolaţiei cablului considerat. Capacitatea de serviciu, faţă de pământ, a fiecăruia dintre conductoarele cablului bifilar:

Cs 

2 o r l .  2a R 2  a 2  ln  2 2  r R a 

(1.25)

Capacitatea de serviciu, faţă de pământ, a fiecăruia dintre conductoarele cablului simetric trifilar:

Cs 

4 o r l





 3a 2 R 2  a 2 3  ln  2 6 6   r R  a 

,

(1.26)

în care 2a are semnificaţia diametrului pe care sunt aşezate axele celor trei conducte ale cablului respectiv.

18

1.6. Capacitatea echivalentă a condensatoarelor Condensatoarele pot fi conectate în serie, paralel, sau mixt, în funcţie de necesităţi şi disponibilităţi. 1.6.1. Conectarea în serie a condensatoarelor Un grup de n condensatori conectaţi în serie, alimentaţi la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un condensator, a cărui capacitate echivalentă este Ce (figura 1.6), acumulează sarcinile q, atunci când este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 1.6. Schema electrică de legare în serie a condensatoarelor. Prin aplicarea pe conturul  a legii conservării sarcinii (contur format din armătura negativă a condensatorului C1 şi armătura pozitivă a condensatorului C2), cele două cantităţi de sarcini acumulate vor fi egale:

 q1   q2  q , iar tensiunea aplicată la bornele de intrare se va distribui pe fiecare condensator în parte: U AB  U1  U 2 ,...,U n , care cu ajutorul relaţiei (1.17), va deveni:

q q q q   ,..., , Ce C1 C2 Cn iar după simplificare:

1 1 1 1   ,..., , Ce C1 C2 Cn n 1 1  . Ce k 1 Ck

(1.27)

Observaţii: - pentru două condensatoare oarecare, legate în serie, capacitatea echivalentă se va obţine ca produs / sumă a capacităţilor individuale, iar tensiunea pe fiecare condensator se distribuie invers proporţional cu capacitatea sa; - două condensatoare egale ca valoare, conectate în serie, îşi vor înjumătăţi capacitatea echivalentă şi tensiunea va fi dublă faţă de cea de la bornele fiecărui condensator în parte.

19

1.6.2. Conectarea în paralel a condensatoarelor Un grup de n condensatori conectaţi în paralel, alimentaţi la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un condensator, a cărui capacitate echivalentă este Ce (figura 1.7), acumulează sarcinile q, atunci când este alimentat cu tensiunea U AB.

Figura 1.7. Schema electrică de legare în paralel a condensatoarelor. La conectarea în paralel (în conformitate cu legea conservării sarcinii), suma sarcinilor acumulate pe armăturile pozitive ale condensatoarelor va fi egală cu sarcina acumulată pe armătura pozitivă a condensatorului echivalent: q  q1  q2 ,...,qn , care cu ajutorul relaţiei (1.17), va deveni:

CeU AB  C1U AB  C2U AB ,...,CnU AB , iar după simplificare:

Ce  C1  C2 ,...,Cn , n

Ce   Ck .

(1.28)

k 1

Observaţii: - pentru două condensatoare oarecare, legate în paralel, capacitatea echivalentă se va obţine ca sumă a capacităţilor individuale, iar tensiunea pe fiecare condensator este chiar tensiunea de alimentare; - două condensatoare egale ca valoare, conectate în paralel, îşi vor dubla capacitatea echivalentă. 1.7. Energia şi forţele câmpului electrostatic Stării de electrizare îi corespunde o anumită energie numită energia câmpului electrostatic. Considerăm câmpul electrostatic creat de n conductoare încărcate cu sarcinile electrice q1, q2, …, qn şi aflate la potenţialele V1, V2, …, Vn. Pentru simplificare presupunem că starea finală a fost obţinută printr-o creştere proporţională a tuturor sarcinilor electrice. Fie  - parametrul subunitar, care indică proporţia stării intermediare din starea finală, caracterizată de sarcinile  qk şi potenţialele  Vk ale conductoarelor. Lucrul mecanic cheltuit pentru creşterea elementară qk  qk a sarcinii conductorului k este:

1 2

Lk  Vkqk  Vk qk  Vk qk (2 ) , iar pentru toate conductoarele din domeniu:

20

(1.29)

1 n  Vk qk  (2 ) .   2 k 1 

n

L   Lk   k 1

(1.30)

Atingerea stării finale, corespunzătoare valorii  = 1, pornind de la starea  = 0, implică cheltuirea unui lucru mecanic, egal cu energia electrostatică, We:  1

We 

1 n  1 n 2 V q    Wk qk .   k k   2 k  1  2 k 1 0 1

 L  

 0

 

(1.31)

În particular, un condensator cu capacitatea C, alimentat la tensiunea U = V1 – V2, armăturile se vor încărca cu sarcinile q = q1 = q2, va acumula energia:

We 

1 1 1 1 q2 . qV1  V2   qU  CU 2  2 2 2 2C

(1.32)

Pentru determinarea forţelor electrostatice, se consideră forţa f, după direcţia deplasării, care va efectua lucrul mecanic (figura 1.8): L = f . Figura 1.8. Deplasarea  a corpului M, sub influenţa forţei electrostatice f. Energia primită de la sursele exterioare se poate exprima sub forma: n

dWext  Vk dqk , k 1

iar conform legii conservării energiei: n

fd  dWe  Vk dqk . k 1

Pentru sisteme de corpuri izolate de surse (dqk = 0), efectuarea lucrului mecanic se efectuează în contul energiei sistemului:

 We   f   ,   q k  ct

(1.33)

relaţie care reprezintă prima teoremă a forţelor generalizate în câmp electrostatic. Pentru sisteme de corpuri conectate la surse care menţin constante potenţialele Vk, energia şi forţele electrostatice vor fi:

1 Vk qk 2 k dWe Vk ct  1 Vk dqk  1 dWext 2 k 2  We   f   .   Vk  ct

We 

Relaţia (1.28) reprezintă a doua teoremă a forţelor electrostatice.

21

(1.34)

1.8. Aplicaţii ale electrostaticii Prin forţele relativ mici ale câmpului, aplicate în diverse structuri şi configuraţii, electrostatica şi-a găsit aplicaţii extrem de utile, fără de care viaţa cotidiană ar fi mult diferită, dintre care pot fi amintite: vopsirea / pudrarea electrostatică, filtrarea / desprăfuirea electrostatică, electrosepararea, xerocopierea şi imprimarea laser etc. Particulele de vopsea atomizate sunt încărcate cu sarcini electrice şi conduse în câmpuri electrice intense, unde sunt accelerate spre suprafeţele de vopsit. La atingerea respectivelor suprafeţe, de către particulele de vopsea, sarcinile se vor anihila, după o prealabilă micro-explozie locală. Avantajele vopsirii electrostatice constă în creşterea calităţii suprafeţelor vopsite, a gradului de acoperire şi aderare, prin aceste microexplozii, precum şi în recuperarea a circa (90 – 95) % din vopseaua care se risipeşte la o vopsire clasică, prin pulverizare. Rilsanizarea (acoperirea pieselor metalice cu pudră din masă plastică), se poate realiza în condiţii de calitate superioară, în câmp electrostatic, câmp creat între piesa aflată la un potenţial ridicat şi carcasa cuvei, conectată la pământ. Pudra, sub formă de fulgi, este agitată de un jet de aer comprimat, se încarcă electrostatic şi va fi atrasă de forţele câmpului electric intens, spre piesa metalică aflată la potenţial înalt şi la temperatura de topire a rilsanului. Filtrarea şi desprăfuirea electrostatică este una din aplicaţiile de anvergură şi constă în reţinerea particulelor micronice de ciment, fum, sau zgură din emanaţiile gazelor din coşuri şi furnale, în câmp electric intens. Microparticulele încărcate cu sarcini electrice sunt atrase şi reţinute de electrozii activi, care periodic sunt neutralizaţi în scopul colectării produselor reţinute. Electrosepararea este un procedeu industrial de separare a unor materiale granulare, care prezintă proprietăţi dielectrice diferite. Amestecul granular, aflat în mişcare, este dispus într-un strat uniform, unde este încărcat cu sarcini electrice, prin diverse procedee şi introdus într-un câmp electrostatic. Asupra particulelor neconductoare se va manifesta o forţă imagine, de lipire şi reţinere pe electrodul conectat la pământ, în timp ce particulele conductoare îşi vor pierde sarcina electrică acumulată, vor decola în câmpul electrostatic şi vor avea traiectorii diferite faţă de cele izolatoare. Imaginile xerocopiate sau transmise către imprimantele laser sunt transferate sub formă luminoasă către electrodul semiconductor, care le transformă în imagini prin electrizarea diversă a suportului de hârtie. Hârtia ajunge într-un câmp electric intens în care tonerul aderă la contururile electrizate, după care acesta este fixat prin încălzire.

1.9. Probleme rezolvate 1o. Ce masă au fiecare dintre cele două mici sfere conductoare încărcată fiecare cu sarcina q = 1 μC, dacă fiind suspendate în aer din acelaşi punct, la extremitatea a două fire izolatoare, de lungime l = 20 cm (figura 1.9), se îndepărtează una de alta la distanţa r = 20 cm ? Figura 1.9.

22

Rezolvare: Deoarece l = r = 20 cm, triunghiul M1OM2 este echilateral, iar unghiul α = π / 6 (format de greutatea şi forţa totală care acţionează asupra celor două corpuri M1 şi M2). La echilibru, între greutatea G şi forţa electrostatică există relaţia:

Fe  Gtg / 6  mg / 3 , forţa electrostatică fiind de natură Coulombiană:

Fe 

q2 4 o r 2

.

Prin egalizarea celor două relaţii anterioare, rezultă masa sferelor:

m

3q 2  4 o r 2 g 4

3q 2 3x1x1012 x9 x109   0,397kg 2 1 0 , 2 x 9 , 81 2 r g 4 9 x109

2o. Să se determine tensiunea electrică la capetele laturilor triunghiului dreptunghic din figura 1.10, triunghi aflat în câmpul electric omogen E = 2 kV / cm şi a cărui date sunt:

AC  50 / 2 cm şi α = π / 4. Figura 1.10.



Rezolvare: U AB  E ds  E  AB  E  AC cos  / 4  2  50 / 2  2 / 2  50 kV

U BC   E ds  E  BC  E  AC sin  / 4  cos   2  50 / 2  2 / 2  0  0 U CA   E ds   E  CA   E  AC cos  / 4  2  50 / 2  2 / 2  50 kV 3o. Pentru reţeaua de condensatoare din figura 1.11, întrerupătorul Q trece de pe poziţia 1 pe 2. Să se calculeze distribuţia sarcinilor electrice, tensiunile la bornele fiecărui condensator în parte şi energia sistemului în cele două cazuri distincte, dacă: U= 100 V; C1=10 μF; C2 = 20 μF; C3 = C4 = 10 μF. Condensatoarele sunt iniţial descărcate. Figura 1.11.

Rezolvare: Cu întrerupătorul Q pe poziţia 1, condensatorul C1 se va încărca cu tensiunea U1-1 = U = 100 V şi sarcina q1-1 (indicele „-1”, sau „-2” codifică starea întrerupătorului Q): q11  UC1  100 x10  1000C . Energia We1-1, înmagazinată de C1 va fi:

23

1 1 We11  C1U121  1000 x1002  5 J . 2 2 Pentru restul condensatoarelor, care nu sunt racordate la sursă, sarcinile iniţiale fiind nule, energia şi sarcinile acumulate (pentru Q pe poziţia 1), vor fi nule. Cu întrerupătorul Q pe poziţia 2, condensatorul C1 se va considera ca o sursă care alimentează ansamblul condensatorilor C2, C3, C4, deci relaţia între tensiuni va fi: (*) U1 2  U 2 2  U 3 2 , cu menţiunea că la bornele lui C4 este aceeaşi tensiune U3-2, condensatorii C3 şi C4 fiind conectaţi în paralel şi care au capacitatea echivalentă C34: C34 = C3 + C4 = 10 + 10 = 20 μF. Deoarece condensatorii C2 şi ansamblul C34 sunt conectaţi în serie, fiecare se va încărca cu sarcina q2-2, iar prin înlocuirea tensiunilor din relaţia (*), cu valorile corespunzătoare:

U

q , care împreună cu relaţia existentă între sarcini (sarcina dobândită de C1-1 se va C

repartiza ansamblului format din toţi condensatorii, după ce Q se comută pe poziţia 2), se va obţine sistemul:

q1 2 q 2 2 q 2 2   C1 C 2 C 34 q11  q1 2  q2 2 , q1 1000 care după rezolvare, indică soluţiile: q1 2  q 2 2  1   500C . 2 2 Tensiunile pe condensatori vor fi: U1-2 = q1-2 / C1 = 500 / 10 = 50 V U2-2 = q2-2 / C2 = 500 / 20 = 25 V U3-2 = q2-2 / C34 = 500 / 20 = 25 V, relaţia (*) referitoare la repartizarea tensiunilor fiind verificată. Energia We-2, înmagazinată de ansamblul condensatorilor va fi:

We  2 









1 1 C1U12 2  C 2U 22 2  C 2U 32 2  10 x502  20 x252  20 x252  25mJ . 2 2 1.10. Probleme propuse

1o. Un corp punctiform, aflat în aer, încărcat cu sarcina electrică q, este plasat în centrul unui pătrat de latură a. Să se determine tensiunea electrică de-a lungul laturilor pătratului, între două vârfuri opuse ale acestuia. Să se verifice rezultatul comparând valorile calculate cu diferenţa de potenţial respectivă. 2o. Calculaţi capacitatea echivalentă, sarcinile acumulate şi tensiunile la bornele fiecărui condensator pentru o configuraţie complexă de tip Γ şi Γ invers, de ordinul III, la care fiecare condensator are capacitatea C = 10 μF şi ansamblul este racordat la U = 100 V. 3o. Care este forţa de atracţie dintre armăturile unui condensator plan cu aer, alimentat la 1 kV, cu distanţa dintre armături a = 3mm şi o suprafaţă a armăturilor A = 1000 cm2 ?

24

2. ELECTROCINETICA Electrocinetica este disciplina din cadrul electrotehnicii care studiază stările electrice ale conductoarelor parcurse de curenţi electrici de conducţie. 2.1. Curentul electric şi tensiunea electromotoare Existenţa unui câmp electric în conductoare determină o stare specifică, numită stare electrocinetică. În această stare, conductoarele electrice sunt sediul unor transformări energetice, semnalate prin efecte mecanice, termice, magnetice sau chimice. Starea electrocinetică este caracterizată de cantitatea de sarcini electrice (dqS), care străbate o suprafaţă S, în unitatea de timp, mărime numită intensitatea curentului electric:

iS 

dq S . dt

(2.1)

Local, starea electrocinetică se caracterizează prin densitatea curentului electric, mărime vectorială, funcţie de punct, a cărei componentă după direcţia unui vector n este:

J   n J  lim

A 0

în care:

i , A

(2.2)

A - elementul de suprafaţă, perpendicular pe vectorul n , i - curentul prin elementul de suprafaţă A (figura 2.1). Figura 2.1. Explicativă la densitatea curentului printr-o suprafaţă dată. Curentul mai poate fi denumit ca fiind fluxul densităţii curentului prin suprafaţa dată, S:

iS   JdA .

(2.3)

S

Liniile câmpului de vectori ale densităţii de curent se numesc linii de curent. Unitatea de măsură în SI, pentru curentul electric, este amperul (A), iar pentru densitatea de curent, A/m2. Alături de m, kg, s, grad K, şi Cd în SI de unităţi, amperul este o unitate fundamentală şi este definit ca acel curent electric care, menţinut în două conductoare paralele şi rectilinii, de lungime infinită şi secţiune circulară neglijabilă, aflate în vid la distanţa de 1 m, produce o forţă între cele două conductoare de 2 x 10-7 N pe unitatea de lungime.

25

Pentru întreţinerea unei stări electrocinetice staţionare este necesară existenţa unor câmpuri electrice imprimate. Fie Fi - forţa imprimată, de natură neelectrică, care acţionează asupra particulelor elementare, purtătoare de sarcini electrice q o, intensitatea câmpului electric imprimat va fi:

1 Fi . qo

Ei 

(2.4)

Diferenţa între câmpul electric imprimat şi câmpul coulombian este faptul că circulaţia lui pe anumite curbe închise , poate fi nenulă. Forţa electromotoare, sau tensiunea electromotoare (t. e. m.) reprezintă lucrul mecanic al forţelor neelectrice pentru a transporta un purtător cu sarcina electrică unitate pe curba :

1

1

 E ds  q  F ds  q i

i



o 

L  e .

(2.5)

o

În mod asemănător, pentru un regim electrocinetic staţionar se defineşte, t. e. m. corespunzătoare unei porţiuni de curbă c12:

ei   Ei ds .

(2.6)

c12

Unitatea de măsură pentru t. e. m., în SI este voltul, [V]. Acele porţiuni ale circuitelor electrice în care apar câmpuri electrice imprimate şi care produc t. e. m. se numesc surse şi au simbolurile din figura 2.2. Figura 2.2. Simbolizarea surselor electrice. Prin generalizarea relaţiei (2.1) se ajunge la conservarea sarcinii electrice:

i  

dq . dt

(2.7)

În regim electrocinetic staţionar, curentul este nul prin orice suprafaţă închisă:

i   JdA .

(2.8)



Teorema potenţialului electric staţionar: mai poate fi scrisă şi sub forma:

 E ds  0 , u

k

0.

(2.9) (2.10)

k

2.2. Legea conducţiei electrice Experimental se constată că în orice punct al unui conductor:

E  Ei  J , 26

(2.11)

în care  - rezistivitatea conductorului; relaţia reprezintă legea conducţiei electrice în formă locală. Rezistivitatea materialelor conductoare variază cu temperatura după o lege de forma: (2.12) t2  t1 1   t1 t2  t1  ,





în care: t2, t1 sunt rezistivităţile la temperatura finală t2, respectiv iniţială t1; t1 reprezintă coeficientul de temperatură, la temperatura t1. Inversul rezistivităţii se numeşte conductivitate:



1



.

(2.13)

Unităţile de măsură ale rezistivităţii şi conductivităţii în SI sunt [] SI =  m, respectiv [] SI = S / m, iar în tehnică, datorită în special a caracterului filiform a conductoarelor, adesea se utilizează  mm2/m, sau S m / mm2. Principalele materiale conductoare au la temperatura de 20 oC, conductivităţile: Cu(20oC) = 56, …, 59 S m / mm2, Al(20oC) = 33,3, …, 35,7 S m / mm2. Legea conducţiei electrice admite o justificare microscopică simplă şi anume: asupra purtătorilor de sarcină, acţionează sistemul de forţe: - electrice: Fe  qo E ; - imprimate: Fi  qo Ei ; - de frecare:

Ff  k f v (kf – coeficient de frecare, v – viteza purtătorului),

iar fiecare purtător este încărcat cu sarcina qo. În regim staţionar suma acestor forţe este nulă:

qo E  Ei   k f v  0 .

(2.14)

Presupunem că în unitatea de volum există N purtători de sarcină, iar densitatea curentului electric va fi:

J  qo Nv .

(2.15)

Din ultimele două relaţii (2.14) şi (2.15), rezultă:

J

qo2 N E  Ei  . kf

(2.16)

Pentru conductoare filiforme, care se definesc ca având lungimile l mult mai mari, comparativ cu secţiunea lor A (figura 2.3), densitatea de curent va fi:

i ; A i Jds  Jds  ds . A J

Figura 2.3. Porţiune de circuit filiform. Prin integrarea ecuaţiei (2.11) se obţine, după înmulţirea şi împărţirea cu secţiunea conductorului în

27

penultima relaţie:

 E  E ds   E ds   E ds    A J ds  i  A

i

c12

cu semnificaţiile:

ds

i

c12

c12

c12

c12

A

,

(2.17)

u f   E ds , căderea de tensiune în lungul firului; c12

ei   Ei ds , tensiunea electromotoare indusă; c12

R



ds

c12

A

, rezistenţa porţiunii de circuit.

Cu aceste notaţii se obţine:

u f  ei  Ri

(2.18)

şi după înlocuirea uf cu căderea de tensiune la borne, ub: ub  ei  Ri .

(2.19)

Pentru circuite închise, la care tensiunea la borne este nulă (ub=0), rezultă că: eI = Ri, iar pentru circuite fără surse, se obţine Legea lui Ohm: ub = Ri. (2.20) Elementul de circuit caracterizat prin rezistenţa R se numeşte rezistor, a cărui valoare depinde de material () şi de caracteristicile dimensionale (l, A) ale conductorului, se simbolizează conform figurii 2.4 şi are valoarea: Figura 2.4. Simbolizarea rezistenţelor (se recomandă primul simbol).

R

l l  . A A

Inversul rezistenţei se numeşte conductanţă:

G

(2.21)

1 . Unităţile de măsură în SI pentru R

rezistenţă şi conductanţă sunt: [R]SI = 1  (Ohm), respectiv, [G]SI = 1 S (Siemens). 2.3. Transformarea energiei în procesul de conducţie Legea transformării energiei în conductoare:

p j  EJ ,

(2.22)

comportă o explicaţie microscopică simplă. Asupra particulelor conductoare din unitatea de volum (N), încărcate fiecare cu sarcina qo, va acţiona forţa electrică: Fe  qo E şi va determina o densitate de curent: J  Nqo v . Puterea cheltuită pentru deplasarea cu viteza

v a particulelor în unitatea de volum va fi: p j  NFe v  Nqo Eo v  E J

şi dacă se ţine seama de legea conducţiei electrice (2.11), se obţine:

28

(2.23)

p j  J  Ei J  J 2  Ei J ,

(2.24)

în care primul termen reprezintă transformarea energiei în căldură prin efect electrocaloric, sau Joule Lentz: sau cedată de sursă:

pR  J 2  0 , iar ultimul se referă la energia primită

p g  Ei J . În cazul surselor care cedează energie, pg > 0, iar cele

care primesc energie, pg < 0, situaţie similară încărcării acumulatoarelor. Pentru conductoare filiforme puterea disipată va fi:

PJ   p j dV   ( JE ) A ds   ( E ds )( A J )  iu f , V

V

(2.25)

c12

iar prin înlocuirea tensiunii uf, din relaţia (2.18):

PJ  i( Ri  ei )  Ri 2  iei  PR  Pg .

(2.26)

Sensurile de referinţă ale i şi ei sunt omniparalele sau antiparalele dacă sursa cedă, respectiv primeşte energie. 2.4. Pile şi acumulatoare electrice O sursă de curent continuu constă din doi electrozi diferiţi, de metal sau grafit, cufundaţi într-o soluţie de electrolit şi se numeşte pilă sau acumulator electric. La suprafaţa de separaţie dintre electrod şi electrolit apare un câmp electric imprimat, determinat de diferenţa dintre presiunea osmotică a ionilor din soluţie şi presiunea de dizolvare electrolitică a electrodului. În cazul pilelor electrice, reacţiile chimice prin care are loc transformarea energiei în energie electrică nu sunt reversibile, la schimbarea sensului curentului electric prin electrolit. Electrodul negativ este din zinc, iar prin funcţionare trece în soluţie. Ionii de hidrogen din soluţie se depun pe electrodul pozitiv de cupru sau de cărbune, care nu ia parte la reacţie, provocând fenomenul de polarizare prin schimbarea tensiunii de electrod. Pentru a preîntâmpina acest fenomen, se adaugă un depolarizant în jurul electrodului pozitiv. Acumulatoarele sau elementele sunt caracterizate prin reacţii chimice reversibile la schimbarea sensului curentului electric prin electrolit. Ele permit transformarea energiei chimice în energie electrică, dar şi transformarea inversă în scopul stocării temporare de energie. În funcţie de electrolit, acumulatoarele pot fi acide, sau alcaline de tip Fe –Ni, sau Cd – Ni. Starea încărcată a acumulatorului cu acid, presupune faptul că electrodul pozitiv este acoperit cu bioxid de plumb, iar cel negativ cu plumb pur; soluţia apoasă electrolitică este de acid sulfuric. Pe durata descărcării se consumă acid sulfuric şi se produce apă, deci concentraţia electrolitului scade. La încărcare au loc reacţii inverse. Concentraţia electrolitului variază cu starea de încărcare a acumulatorului. Concentraţia nominală a electrolitului, definită pentru acumulatorul complet încărcat este de 20 % (densitate 1,15), pentru acumulatoarele staţionare şi de 37 % (densitate de 1,28), pentru acumulatoarele autovehiculelor. Tensiunea maximă admisă pe acumulatori depinde de tehnologia de fabricaţie adoptată şi, de regulă, este cuprinsă între 13,8 şi 14,4 V. În general se consideră că fiecare element al acumulatorului cu plumb dă o 5%

tensiune de 2V10% . Acumulatorul este caracterizat prin capacitatea sa, egală cu cantitatea de electricitate pe care o poate livra într-un regim prestatibilit, de regulă la descărcarea în 20

29

ore. Curentul de încărcare al acumulatorului influenţează sensibil durata lui de viaţă. Se admite un curent care încarcă acumulatorul în decurs de 10 ore, deci iinc  0,1C , [A], în care C este capacitatea acumulatorului în [Ah] amperore. La acumulatoare se defineşte randamentul energetic ( Wh = 0,65 ÷ 0,83), ca raportul dintre energia cedată pe durata descărcării şi cea primită la încărcarea acumulatorului şi randamentul cantităţii de electricitate (  Ah = 0,8 ÷ 0,9), ca raportul dintre sarcina electrică obţinută la descărcarea şi cea furnizată acumulatorului la încărcare. Acumulatoarele alcaline au electrolitul bazic, format din soluţie de hidrat de potasiu. Prin faptul că la încărcare / descărcare, nichelul trece din stările bi– în trivalent sau invers, prin cedare / primire de electroni, concentraţia electrolitului (aproximativ 0,27 kg / l) nu se modifică pe durată încărcării sau a descărcării acumulatorului. Acumulatoarele alcaline au o capacitate mai mică, o rezistenţă internă mai mare, fapt ce conduce la randamente mai scăzute decât cele cu acizi ( Wh = 0,5 ÷ 0,6 (  Ah = 0,7 ÷ 0,8), dar sunt mai robuste, mai puţin pretenţioase în exploatare şi nu emană vapori toxici de acid sulfuric.

2.5. Probleme rezolvate 1o. Un receptor trebuie alimentat de la reţeaua de U = 220 V, cu un curent de I = 20 A şi este amplasat la 1 km de sursă. Ce diametru trebuie să aibă conductoarele liniei, pentru ca tensiunea la bornele receptorului să nu difere cu mai mult de 5 % de tensiunea reţelei? Se va rezolva problema pentru un conductor de aluminiu (a) şi pentru un conductor de cupru (b). Care este densitatea curentului electric în cele două cazuri? Care este puterea pierdută în linie ? (ρAl = 0,03 Ω mm2 / m; ρCu = 0,017 Ω mm2 / m). Rezolvare: Căderea maximă de tensiune pe conductoarele de alimentare va fi: U max  rI  0,05U , în care r reprezintă rezistenţa celor două fire de alimentare; fiecare având lungimea de 1 km. Rezistenţa firelor se poate scrie ca fiind: l d 2 . r   , iar secţiunea A  A 4 Din ultimele trei relaţii se determină diametrul firelor de alimentare:

d  4

lI . 0,05U

a) Pentru conductoarele de aluminiu:

d Al  4  Al

lI 2 x1000 x20  4 x0,03  138,97  11,78 mm. 0,05U 0,05 220

Densitatea curentului va fi:

30

J Al 

2 I I 20    0,183 A/mm . 2 2 AAl d Al  11,78 4 4

b) Pentru conductoarele de cupru:

d Cu  4  Cu

lI 2 x1000 x20  4 x0,017  78,74  8,84 mm. 0,05U 0,05 220

Densitatea curentului va fi: 2 I I 20 J Cu     0,326 A/mm . 2 2 ACu d Cu  8,84 4 4 2. Un acumulator cu E = 12 V şi r = 0,1 Ω are la borne U = 11 V. Se cere intensitatea curentului electric pentru cele două sensuri posibile ale tensiunii şi puterea la borne. Rezolvare: Considerăm cazul a) – tensiunea la borne este cea caracteristică generatorului care cedă energie la borne, iar b) – tensiunea la borne este de semn contrar. Pentru aceste două situaţii, curenţii şi puterile la borne vor fi: a) I  E  U  12  11  10 A; Pb  UI  11x10  110 W; r 0,1 b) I 

E  U 12  11 23    230 A; r 0,1 0,1

Pb  E  U I  23x230  5290 W.

3o. Dintr-un conductor de constantan (σ = 2,04 S x m / mm2), cu diametrul d = 0,25 mm, se realizează un rezistor de rezistenţă R = 20 kΩ. Conductorul fiind înfăşurat pe o carcasă de diametrul D = 10 mm, să se determine numărul corespunzător de spire (conductorul se înfăşoară într-un singur strat).

Rezolvare: Se exprimă valoarea rezistenţei:

R

l l  , din care rezultă lungimea firului rezistiv, iar lungimea poate fi A A

exprimată în funcţie de numărul de spire n şi diametrul de spiralare D:

l  RA  R

d 2 4

 nD ; n 

d2 0,25 2 2,04 x 20 x10 4 4  4  637,5 spire. D 10

R

S-a considerat că factorul de umplere este egal cu 1. 4o. Ce diametru are un conductor din cupru, de rezistenţă electrică R = 5,6 Ω şi de lungime l = 1 km. Conductivitatea cuprului este σ = 57 m / Ω mm2.

31

Rezolvare: Din relaţia de definiţie a rezistenţei

R

R

l , se înlocuieşte ρ = 1 / σ şi se obţine A

1 l l , din care rezultă: A  .  A R

Pentru conductorul cu diametru d, secţiunea A, va fi:

A

d 2 4

. Din ultimele două

relaţii rezultă diametrul:

d

4A





4

1000 l 4 5,6 x57 R   2 mm.





2.6. Probleme propuse 1o. Ce rezistenţă electrică trebuie să aibă un fierbător electric, cu tensiunea nominală 220 V, care, la un randament de 75 %, face să fiarbă 0,5 l de apă în 5 min. Se consideră temperatura iniţială a apei de 18 oC. 2o. Se consideră un conductor din aluminiu, de lungime l = 500 mm, rezistivitate ρo = 0,0278 Ω mm2 / m, coeficient termic α = 0,00423 1 / oC şi diametru d = 4 mm. Să se determine rezistenţa conductorului dacă acesta se încălzeşte de la Θo = 20 oC la Θ = 100 oC. 30. Un acumulator cedează la borne puterea P = 6 W, are t.e.m. E = 12 V şi rezistenţa internă r = 0,2 Ω. Să se calculeze: a. tensiunea la borne; b. curentul debitat; c. randamentul sursei. 4o. Care este procentul de creştere a rezistenţei unei bobine din cupru, atunci când temperatura ei creşte de la 20 oC, la 100 oC ?

32

3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

În general, în cadrul circuitelor electrice, problema care se pune este aceea a determinării curentului electric, atunci când sunt cunoscute tensiunile, rezistenţele şi/sau puterile absorbite, pentru a determina, alege sau dimensiona elementele de circuit, inclusiv conductele şi cablurile de alimentare cu energie electrică. 3.1. Convenţii şi definiţii Acel sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se numeşte circuit electric. Ansamblul de circuite electrice formează o reţea electrică. Din punct de vedere topologic, orice reţea electrică este alcătuită din laturi, noduri şi ochiuri. Latura este porţiunea de circuit formată din elementele de circuit conectate în serie, care sunt cuprinse între două noduri. Nodul este punctul reţelei în care se întâlnesc cel puţin trei laturi. Ochiul este orice circuit închis, format dintr-o succesiune de laturi. Ochiul independent poate fi considerat acel ochi al sistemului, care diferă de celelalte prin cel puţin o latură. Numărul de ochiuri independente dintr-un circuit electric este: O = L – N + 1. (3.1) În strânsă corelaţie cu tipul elementului de circuit, se aplică convenţia de la receptor (figura 3.1. a), sau generator (figura 3.1. b). Pot fi redate următoarele relaţii între tensiuni, pentru receptor: ub + er = Ri, (3.2) sau generator: - ub + eg = ri, (3.3) şi expresia puterii: pb = ubi, (3.4) cu menţiunea că pb > 0, când puterea este primită de receptor, sau este cedată de sursă. a. b. Figura 3.1. Convenţia de la receptor (a), sau generator (b). Observaţie: În continuare mărimile de curent continuu vor fi reprezentate prin majuscule: E – tensiune electromotoare; U – tensiune; I – curent; P – putere etc.

3.2. Teoremele lui Kirchhoff Teoremele lui Kirchhoff se utilizează pentru rezolvarea circuitelor electrice, când în general se cunosc valorile tensiunilor de alimentare şi ale rezistenţelor şi se solicită a fi determinate valorile curenţilor din fiecare latură în parte. a. Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă la curenţii care converg spre un nod şi respectă legea conservării sarcinii electrice: suma curenţilor care intră este egal

33

cu suma curenţilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenţilor care converg spre un nod este nulă:

I

K N 

K

 0.

(3.5)

La aplicarea efectivă a teoremei, curenţii care intră în nod se iau cu semnul “+” (plus), iar cei care ies din nod se iau cu semnul “-” (minus). Cu prima teoremă a lui Kirchhoff pot fi scrise (N-1) ecuaţii de circuit. b. A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă la tensiunile existente de-a lungul ochiurilor independente de circuit şi respectă legea conservării potenţialelor electrice: suma căderilor de tensiune pe laturile ochiului independent este egală cu suma tensiunilor electromotoare existente în aceleaşi laturi, sau suma tensiunilor existente în laturile ochiului respectiv este nulă:

U

K

0,

E

K



K O

sau

K O

(3.5.1)

R

K O

I .

K K

(3.5.2)

La aplicarea efectivă a teoremei a doua a lui Kirchhoff, se alege un sens aleatoriu de parcurgere a conturului  a ochiului independent, se aplică una din relaţiile (3.5), în care căderile de tensiune se iau cu semnul „2+” (plus) dacă sensul de parcurgere este identic cu cel al curentului din latura respectivă, sau dacă este acelaşi cu sensul tensiunii electromotoare întâlnită în laturile ochiului respectiv şi cu semnul „-” (minus) dacă sensul de parcurgere este invers faţă de curentul din latura respectivă, sau dacă este invers sensului tensiunii electromotoare întâlnită în laturile ochiului respectiv. Cu a doua teoremă a lui Kirchhoff pot fi scrise (O = L – N + 1) ecuaţii de circuit; cu ambele teoreme pot fi scrise (L) ecuaţii, cu (L) necunoscute, din care vor rezulta curenţii din laturile respective. Dacă după rezolvarea sistemului respectiv de ecuaţii, vor rezulta curenţi negativi, pe schema finală, sensul acestora se vor inversa. Exemplu de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff. Fie circuitul din figura 3.2 (o punte Wheastone), în care sunt cunoscute valorile tensiunilor surselor şi valorile rezistenţelor din laturile respective. Se cere a se determina valorile curenţilor din laturile respective. Pentru început se stabilesc numărul de noduri şi ochiuri independente, funcţie de care se vor determina numărul de ecuaţii scrise cu teorema I, sau II a lui Kirchhoff. Circuitul are patru noduri (A, B, C, D), deci cu prima teoremă se vor putea scrie trei ecuaţii distincte (după alegerea sensurilor aleatorii ale curenţilor): Figura 3.2. Circuit electric. A: I6 = I 1 + I 4 B: I1 + I 2 + I 3 = 0 C: I3 + I5 = I6. Numărul ochiurilor este mult mai mare decât al celor independente; iată de exemplu, câteva dintre ele, delimitate de laturile a căror poligoane închise, sunt: ABD, BCD, ACEF, ABC, ADBCEF, ABDCEF. Dintre acestea numai trei sunt ochiuri independente, deci cu teorema a II a lui Kirchhoff vor putea fi scrise numai trei ecuaţii (după alegerea contururilor  şi a sensurilor de parcurgere):

34

ABD: R1I1 + R2I2 – R4I4 = 0 BCD: R3I3 – R2I2 – R5I5 = 0 ACEF: R4I4 + R5I5 + R6I6 – E6 = 0. Rezolvarea sistemului de şase ecuaţii cu şase necunoscute conduce la determinarea curenţilor din laturile circuitului. Pentru acei curenţi care rezultă, după rezolvarea sistemului, cu semnul – (minus), se va inversa sensul de referinţă de pe schiţă.

3.3. Alte teoreme utilizate în rezolvarea circuitelor electrice 3.3.1. Teorema conservării puterilor Pentru orice circuit electric, conform legii conservării energiei, suma puterilor debitate de surse este egală cu suma puterilor dezvoltate de elementele circuitului respectiv (c):

E

K c

I   RK I K .

K K

(3.6)

K c

În general, teorema conservării puterilor este utilizată pentru verificarea energetică a sistemului. 3.3.2. Teorema rezistenţelor echivalente Rezistoarele pot fi conectate în serie, paralel, sau mixt, în funcţie de necesităţi şi disponibilităţi. a. Conectarea în serie a rezistoarelor Un grup de n rezistoare conectate în serie, alimentat la borne cu tensiunea U AB, poate fi înlocuit cu un rezitor, a cărui rezistenţă echivalentă este Re (figura 3.3), şi va fi străbătut de acelaşi curent I, atunci când este alimentat cu tensiunea UAB.

Figura 3.3. Schema electrică de legare în serie a rezistoarelor. Prin aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff pe conturul rezistenţelor legate în serie se va obţine: U AB  U1  U 2  ...  U n , iar prin utilizarea legii lui Ohm:

Re I  R1I  R2 I  ...  Rn I şi după simplificările de rigoare, va deveni:

Re  R1  R2  ...  Rn , sau în caz general:

35

Re   RK .

(3.7)

K

Observaţii: - pentru două rezistoare oarecare, legate în serie, rezistenţa echivalentă se va obţine ca sumă a rezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor se distribuie proporţional cu rezistenţa sa; - două rezistoare egale ca valoare, conectate în serie, îşi vor dubla rezistenţa echivalentă, dar tensiunea se va înjumătăţi la bornele fiecăruia în parte.

b. Conectarea în paralel a rezistoarelor Un grup de n rezistoare conectate în paralel, alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un rezistor, a cărui rezistenţă echivalentă este Re (figura 3.4), dacă absoarbe acelaşi curent I, atunci când este alimentat cu o aceeaşi tensiune UAB.

Figura 3.4. Schema electrică de legare în paralel a rezistoarelor. La conectarea în paralel a rezistoarelor, în conformitate cu legea conservării sarcinii, sau cu prima teoremă a lui Kirchhoff, suma curenţilor absorbiţi de fiecare rezistor în parte va fi egală cu curentul total absorbit de ansamblu, deci de rezistorul echivalent: I  I1  I 2  ...  I n , care cu ajutorul legii lui Ohm, va deveni:

U AB U AB U AB U    ...  AB , Re R1 R2 Rn iar după simplificare:

1 1 1 1 ,    ...  Re R1 R2 Rn 1 , Re  1  K RK sau prin utilizarea conductanţelor:

Ge   GK .

(3.8)

K

Observaţii: - pentru două rezistoare oarecare, legate în paralel, rezistenţa echivalentă se va obţine ca produs / sumă a rezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecare rezistor este chiar tensiunea de alimentare; - două rezistoare egale ca valoare, conectate în paralel, îşi vor înjumătăţi rezistenţa echivalentă.

36

3.3.3. Teorema superpoziţiei Curentul care se stabileşte într-o latură a unei reţele este egal cu suma curenţilor pe care i-ar stabili în acea latură, fiecare sursă a reţelei, dacă s-ar găsi singură, iar celelalte surse s-ar înlocui cu rezistenţele lor interne.

3.3.4. Teoremele generatoarelor echivalente stabilesc circuite echivalente simple pentru dipolii activi, la bornele cărora se conectează o rezistenţă externă R (figura 3.5), şi pot fi studiate cu teorema generatorului echivalent de tensiune, sau cu teorema generatorului echivalent de curent. Figura 3.5. Rezistenţa externă R, cuplată la un dipol activ. a. Teorema generatorului de tensiune echivalent, denumită şi teorema lui Thévenin, permite exprimarea curentului, după schema generatorului echivalent de tensiune (figura 3.6):

I

U AB 0 , R  RAB

(3.9)

în care UAB0 este tensiunea la bornele AB ale dipolului activ, fără sarcină, adică în gol (I = 0). Figura 3.6. Schema generatorului echivalent de tensiune. Demonstrarea teoremei se bazează pe principiul suprapunerii efectelor. b. Teorema generatorului de curent echivalent poartă denumirea de teorema lui Norton, stabileşte tensiunea la borne, după schema generatorului echivalent de curent (figura 3.7):

U AB 

I scAB , G  GAB

(3.10)

în care: IscAB – curentul de scurtcircuit la bornele AB; GAB – conductanţa echivalentă a dipolului pasivizat; G – conductanţa externă, conectată la bornele AB. Figura 3.7. Schema generatorului echivalent de curent.

3.3.5. Teoremele de transfigurare Pentru anumite situaţii concrete, ivite în rezolvarea circuitelor, se impune utilizarea transfigurării stea în triunghi şi invers. În cazul transfigurării, pentru ca tensiunile nodale şi curenţii absorbiţi să fie aceeaşi, trebuie ca între rezistenţele, sau conductanţele determinate şi cele iniţiale să existe echivalenţe. Astfel, la transfigurarea

37

din triunghi în stea, rezistenţele „văzute” între nodurile 1 – 2; 2 – 3; 3 –1, trebuie să fie identice (figura 3.8):

Figura 3.8. Configuraţii stea şi triunghi.

R12 ( R23  R31) R12  R23  R31 R ( R  R12 ) . R2  R3  23 31 R12  R23  R31 R ( R  R23 ) R3  R1  31 12 R12  R23  R31 R1  R2 

(3.11)

După rezolvarea sistemului se obţin pentru transfigurarea triunghi – stea, valorile:

R12R31 R12  R23  R31 R23R12 R2  . R12  R23  R31 R12R31 R3  R12  R23  R31 R1 

(3.12)

Pentru transfigurarea inversă, stea în triunghi, este convenabil a exprima relaţiile între conductanţe:

G2 (G1  G3 ) G1  G2  G3 G (G  G1 ) , G23  G31  3 2 G1  G2  G3 G (G  G2 ) G31  G12  1 3 G1  G2  G3 G12  G23 

(3.13)

cu soluţiile:

G1G2 G1  G2  G3 G2G3 G23  . G1  G2  G3

G12 

38

(3.14)

G31 

G3G1 G1  G2  G3

3.4. Metode sistemice pentru rezolvarea reţelelor electrice Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la rezolvarea reţelelor electrice, conduce (de multe ori), la sisteme de ecuaţii extrem de laborioase, dificil de soluţionat. Prin alegerea convenabilă a unor variabile auxiliare, se poate reduce ordinul ecuaţiilor, obţinând metode sistematice pentru rezolvarea acestor reţele, dintre care se amintesc metoda curenţilor ciclici şi metoda potenţialelor de noduri. 3.4.1. În metoda curenţilor ciclici se utilizează ca variabile auxiliare un număr de O curenţi fictivi, care se închid ciclic în fiecare ochi al sistemului de ochiuri independente şi se numesc curenţi ciclici. Curentul din fiecare latură este egal cu suma curenţilor ciclici din acea latură, în sensul de referinţă ales. În general, ecuaţia corespunzătoare unui ochi are forma:

ECj   Rkj I Ck ,

(3.15)

k

în care: ECj – suma tensiunilor electromotoare din ochiul j, în sensul de referinţă al curentului ciclic ICj; Rkj – suma rezistenţelor laturilor comune ochiurilor k şi j; ICk – curentul ciclic al ochiului k. Tensiunea reprezentată de termenul RkjICk se consideră pozitivă sau negativă, după cum sensurile curenţilor ICj şi ICk din latura comună coincid sau nu. În caz particular, pentru j = k, Rjj, reprezintă suma rezistenţelor laturilor ochiului, parcurse de curentul ICj. După rezolvarea respectivului sistem de ecuaţii, curenţii reali din laturi se obţin ca sume ale curenţilor ciclici din laturi, ţinând seama de sensurile adoptate. Metoda curenţilor ciclici prezintă avantaj în cazul reţelelor cu un număr mic de ochiuri independente. 3.4.2. La aplicarea metodei potenţialelor de noduri se aleg ca variabile – potenţialele nodurilor în raport cu un nod de referinţă al reţelei. Pentru latura cuprinsă între nodurile j şi k (figura 3.9), tensiunea exprimată în funcţie de diferenţa potenţialelor nodurilor respective: U jk  V j  Vk , (3.16) iar curentul prin latură:

I jk  G jk (U jk  E jk )  G jk (V j  Vk  E jk ) . Figura 3.9. Latură a reţelei electrice. Prin aplicarea teoremei întâi a lui Kirchhoff asupra nodului j, rezultă:

39

(3.17)

G

jk

(V j  Vk  E jk )  0 ,

k

iar după aranjarea termenilor:

V j  G jk  Vk G jk   E jk G jk  0 . k

k

(3.18)

k

Metoda potenţialelor de noduri este avantajoasă de aplicat în cazul reţelelor cu un număr redus de noduri şi prezintă ca dezavantaj, faptul că nu se obţin direct curenţii din laturi, la care se adaugă precauţiile suplimentare, legate de laturile cu surse, de rezistenţă nulă, deci conductanţă infinită.

3.5. Circuite electrice neliniare de curent continuu Legea conducţiei electrice are valabilitate redusă şi nu poate fi aplicată mediilor neconductoare aduse în stare de conducţie, cum ar fi: vidul, anumite gaze, semiconductoarele etc. Rezistoarele care funcţionează în regim de temperatură variabilă, îşi modifică rezistenţa, ca urmare a căldurii dezvoltate prin efect Joule-Lentz. Acele elemente pasive de circuit, care prezintă în curent continuu o caracteristică voltampermetrică neliniară, se numesc elemente de circuit neliniare sau rezistenţe neliniare, iar circuitele care le conţin, circuite electrice neliniare. Elementele neliniare se definesc prin caracteristicile voltampermetrice (figura 3.10),

a. Lămpi cu incandescenţă; b. Diodă semiconductoare; a1. Filament de cărbune; a2. Filament de wolfram;

c. Varistor; d. Termistor; Figura 3.10. Caracteristici voltampermetrice ale unor elemente neliniare. Calculul circuitelor neliniare este mai complex decât al circuitelor liniare; acesta se poate face grafic sau numeric, prin liniarizarea pe porţiuni a graficelor.

40

3.6. Probleme rezolvate 1o. Un fir rezistiv, de lungime l, rezistivitate ρ, secţiune A şi rezistenţă R, se îndoaie în două şi apoi în patru părţi egale. Să se afle rezistenţele echivalente după fiecare îndoire, prin două metode; se consideră că îndoirile sunt ideale. Rezolvare: Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilite schemele echivalente, rezultate după cele două îndoiri (figura 3.11): Prima metodă apelează la teoremele rezistenţelor echivalente, după ce a fost stabilită configuraţia rezistenţei înainte de îndoiri, cât şi după fiecare din cele două îndoiri consecutive. După prima îndoire, configuraţia va fi formată din două rezistenţe, de valori egale (R/2), conectate în paralel, iar după cea de-a doua îndoire, configuraţia va fi cea dată de cele patru rezistenţe egale (R/4), conectate în paralel:

1 1 1   ; Re1 R R 2 2

Figura 3.11.

1 1 1 1 1     , Re 2 R R R R 4 4 4 4

din care rezultă: Re1 = R/4 şi Re2 = R/16. Pentru a doua metodă, se apelează la definirea rezistenţei, atunci când sunt cunoscute datele referitoare la aceasta, şi anume: R   l , A

cu precizarea că după prima îndoire, secţiunea se dublează, iar lungimea firului se înjumătăţeşte; la cea de-a doua îndoire, noua secţiune se va multiplica cu 4, faţă de cea iniţială, iar lungimea va fi o pătrime din lungimea iniţială. Cu acestea, valorile rezistenţelor echivalente vor fi:

Re1  

l/2 1 l R ;    2A 4 A 4

Re 2  

l/4 1 l R    . 4 A 16 A 16

2o. Un bec cu incandescenţă de 220 V şi 100 W, are rezistenţa în stare „rece” (măsurată cu ohmetrul), de 48 Ω. Calculaţi în starea iniţială curentul şi puterea absorbită la conectarea la reţea, precum şi curentul şi rezistenţa electrică a becului, după atingerea temperaturii de culoare. Comentarii. Rezolvare: Deoarece valoarea rezistenţei depinde în mare măsură de temperatură, procesul urmat cuplării la reţea este unul puternic neliniar, din care interesează numai starea din’naintea cuplării (a- când se vor utiliza indicii i - iniţial) şi cea în care presupunem că temperatura s-a stabilizat, după cuplare (b - când se vor utiliza indicii f - final). Pentru aceste două cazuri distincte se poate scrie: U2 220 2 a) I  U  220  4,58 A; Pi   UI i  Ri I i2   1008,33 W; i Ri 48 Ri 48 b) I f 

Pf U



100  0,45 A; 220

Rf 

U U 2 Pf 220 2   2   484 Ω. If Pf 100 If 41

Deoarece la trecerea din starea rece în cea caldă, rezistenţa electrică creşte de peste 10 ori, curentul şi puterea absorbită iniţial de becul cu incandescenţă, vor fi cu peste 10 ori mai mari, decât valorile stabilite după atingerea temperaturii de culoare, deci becul va fi suprasolicitat întotdeauna la cuplare, motiv pentru care, aproape în exclusivitate becurile cu incandescenţă se vor deteriora la cuplarea la reţea. 3o. Considerăm montajul din figura alăturată (figura 3.12), alimentat de la o sursă de curent continuu. Să se determine R3 în funcţie de R1 şi R2, astfel ca Re = R3 / 2. Care este valoarea corespunzătoare lui R3 pentru cazul în care R1 = R2. Rezolvare: Pentru a rezolva circuitul, trebuie transfigurat circuitul Y (format de rezistenţele R2/3), în Δ, a cărei valoare a rezistenţei laturii va fi: 3 3 1 , R 2 R2  3 3 3 R12   R2 R2 R2 Figura 3.12. în care s-a notat cu R12 – valoarea rezistenţei laturii cuprinse între vârfurile 1 - 2 ale triunghiului Δ, care devine egală cu R2. R1R 2   R 2 R3   R2 R 2  R 3 R 1  R 2  , iar prin impunerea Rezistenţa echivalentă devine: Re   R 2 R3 R1R 2   R2 R 2  R3 R1  R 2 condiţiilor Re = R3 / 2, se va obţine: R3 

2R1R2  R2   2R1R2  R2  2

2 2

 8R1R 22 3R1  2 R 2 , din care se ia numai

23R1  2 R 2 valoarea cu + şi pentru R1 = R2, se va obţine R3 = R1 = R2.

3.7. Probleme propuse 1o. Calculaţi rezistenţa echivalentă pentru o configuraţie complexă de tip Γ şi Γ invers, de ordinul III, la care fiecare rezistenţă are valoarea R. 2o. Muchiile unui cub au rezistenţele electrice egale R = 16 Ω. Determinaţi rezistenţa echivalentă în raport cu două vârfuri diametral opuse ale cubului. 3o. Considerăm circuitul din figura alăturată, în care r1 = r2 = 1 Ω, R1 = 3 Ω, E1 = 16 V, E2 = 62 V. Puterea disipată în R1 este PR1 = 27 W (figura 3.13). Se cer: a. valoarea rezistenţei R2; b. valorile rezistenţei R1 pentru ca puterea disipată în ea să fie maximă, respectiv minimă; c. pentru R2 de la punctul a, cu restul datelor neschimbate, care sunt valorile minime şi maxime ale puterii disipate pe rezistorul R3. Figura 3.13.

42

4. ELECTRODINAMICA Electrodinamica studiază stările electrice şi magnetice variabile în timp; în continuare se va studia cu precădere câmpul magnetic.

4.1. Câmpul magnetic Starea fizică în care între anumite corpuri, sau minereuri, se exercită forţe şi cupluri, se numeşte stare de magnetizare; corpurile se numesc magnetizate, iar sistemul fizic din vecinătatea corpurilor magnetizate se numeşte câmp magnetic. Câmpul magnetic mai poate fi produs şi de către corpurile parcurse de curent electric de conducţie, de mişcarea corpurilor electrizate şi de variaţia în timp a câmpului electric. Câmpul magnetic exercită asupra corpurilor magnetizate sau parcurse de curent, ori asupra corpurilor electrizate, aflate în mişcare, forţe şi cupluri magnetice. Forţa Lorentz ce acţionează asupra unui corp încărcat cu sarcina q, care se mişcă în vid cu viteza v în câmpul magnetic

Bv :

F  qv  Bv ,

(4.1)

Bv este vectorul inducţiei magnetice în vid, care în SI are unitatea de măsură 1N Tesla: 1T  . 1A  1m Cuplul exercitat asupra unui corp aflat în vid, în câmpul magnetic Bv , depinde de momentul magnetic permanent m p : în care

C  mp  Bv .

(4.2)

Forţa Laplace care deviază un conductor filiform, parcurs de curentul i şi aflat în câmpul magnetic

Bv este:

F  il  Bv ,

(4.3)

în care lungimea orientată l are sensul curentului electric. Momentul magnetic permanent

m p al unei bucle mici, cu suprafaţa dată, A ,

orientată după direcţia indicată de regula burghiului drept şi parcursă de curentul i este:

m p  iA .

(4.4)

În interiorul corpurilor omogene şi izotrope, fără magnetizaţie permanentă, inducţia magnetică este:

B  H  0 r H , în care:

  0  r

este permeabilitatea mediului respectiv;

43

(4.5)

0  4 107 , [H/m], permeabilitatea vidului; H – intensitatea câmpului magnetic, cu unitatea de măsură în SI: [H] SI = 1A/1m. În medii omogene şi izotrope, câmpul magnetic al conductoarelor filiforme parcurse de curent continuu este dat de legea lui Biot–Savart–Laplace:

dH 

i ds  r . 4r 3

(4.6)

Sensul câmpului magnetic se asociază cu sensul curentului din conductor după regula burghiului drept.

4.2. Materiale magnetice Starea locală de magnetizare este caracterizată de magnetizaţia fiind:

M  lim V  0

în care:

M , definită ca

m , V

(4.7)

m - momentul magnetic; V - volumul elementar din corpul magnetizat. În orice punct al corpului, între inducţia

magnetizaţia

B , intensitatea câmpului H şi

M , există relaţia: B  0 ( H  M ) ,

(4.8)

care reprezintă legea legăturii între

B , H şi M . M a unui corp poate avea două componente, una permanentă M p iar alta temporară M t : Magnetizaţia

M  M p  Mt .

(4.9)

Magnetizaţia permanentă este independentă de intensitatea câmpului magnetic, iar magnetizaţia temporară depinde de câmpul magnetic conform relaţiei:

M t   m Ht ,

(4.10)

numită şi legea magnetizaţiei temporare, relaţie în care

m

este susceptivitatea

magnetică. Prin înlocuirea relaţiilor (4.9) şi (4.10) în (4.8) se obţine:

B  0 ( H  M p   m H )  0 (1   m ) H  0 M p  H  0 M p . Mărimea

  0  r

(4.11)

1   m  r reprezintă permeabilitatea magnetică relativă şi

- permeabilitatea magnetică a mediului respectiv. Pentru situaţiile în care

M p  0 , se regăseşte relaţia (4.5). După modalitatea în care corpurile se magnetizează, acestea se împart în: diamagnetice, paramagnetice, feromagnetice şi ferimagnetice.

44

Corpurile diamagnetice se caracterizează prin susceptivitate magnetică constantă, foarte mică, negativă  m  0 şi r  1 . Exemple: argint, cupru, bismut. Corpurile paramagnetice sunt caracterizate prin susceptivitate magnetică foarte mică, pozitivă, care scade cu temperatura,  m  0 şi r  1 . Exemple: oxigen, platină, aluminiu, mangan. Corpurile feromagnetice se caracterizează prin permeabilităţi relative şi susceptivităţi magnetice pozitive, de valori foarte mari (10 2 ÷105), dependente de intensitatea câmpului magnetic, iar depăşirea unei anumite temperaturi critice, numită temperatură Curie, determină pierderea proprietăţilor feromagnetice. La temperaturi mai mici decât pragul Curie, corpurile feromagnetice sunt împărţite în domenii Weiss, cu dimensiuni micronice, fiind considerate uniform şi total magnetizate (toate momentele magnetice moleculare şi ale particulelor elementare sunt omoparalele). În absenţa unui câmp magnetic extern, direcţiile de magnetizare ale domeniilor elementare sunt orientate haotic şi dau o magnetizaţie macroscopică nulă. În prezenţa unui câmp magnetic extern, domeniile se orientează, rezultând o magnetizaţie a cărei intensitate creşte o dată cu

H , până la obţinerea fenomenului de saturaţie. Dependenţa inducţiei magnetice B de intensitatea câmpului magnetic H

pentru un material feromagnetic este redată în figura 4.1. Presupunem că iniţial corpul este demagnetizat şi treptat intensitatea câmpului magnetic creşte; inducţia magnetică va avea şi ea o creştere după caracteristica 0 – 1, numită şi curba de primă magnetizare. Prin varierea câmpului magnetic între Hm şi –Hm, se obţine parcurgerea completă a ciclului histerezis, cuprins între punctele specifice: - 1 şi 4 - corespunzătoare inducţiei ±Bm maxime sau câmpului ±Hm maxim, de sens direct sau invers; - 2 şi 5 - corespunzătoare inducţiei ±Br remanente, Figura 4.1. Curba de primă când câmpul H este nul; magnetizare şi ciclul histerezis - 3 şi 6 - corespunzătoare inducţiei nule, B = 0, al materialelor feromagnetice. când câmpul Hc, coercitiv este unul. Suprafaţa închisă de conturul format de punctele 1 –2 – 3 – 4 – 5 – 6 –1 corespunde energiei înmagazinate sub formă de câmp magnetic. În funcţie de mărimea ariei cuprinse, materialele magnetice se împart în: - materiale magnetice moi, caracterizate printr-un ciclu histerezis îngust şi un câmp coercitiv mic, utilizate pentru realizarea circuitelor magnetice ale maşinilor şi aparatelor electrice. Exemple: oţelul electrotehnic, cu un conţinut ridicat de siliciu, cuprins între (2 şi 4)% Si, permalloy-ul, dynamax-ul, fonta şi altele; - materiale magnetice dure, caracterizate printr-un ciclu histerezis larg şi un câmp coercitiv mare, utilizate pentru realizarea magneţilor permanenţi ai excitaţiilor unor maşini electrice, sau a circuitelor magnetice din unele aparate electrice. Exemple: oţelul carbon călit, oţeluri AlNi, AlNiCo şi altele; - materiale ferimagnetice, denumite şi ferite, care prezintă o structură asemănătoare cu materialele feromagnetice moi sau dure, dar care sunt materiale semiconductoare caracterizate prin rezistivitate mare şi care prezintă caracteristici asemănătoare materialelor magnetice moi sau dure, cu utilizări multiple în informatică, transformatoare de înaltă frecvenţă, micromotoare, relee, microgeneratoare etc.

45

4.3. Fluxul şi tensiunea magnetică Pe o suprafaţă dată S, se numeşte flux magnetic, integrala de suprafaţă a inducţiei magnetice prin suprafaţa dată, S (figura 4.2):

 S   B dA ,

(4.12)

S

iar pentru o suprafaţă închisă  se obţine legea fluxului magnetic:

    B dA  0 .

(4.13)



Toate suprafeţele care se sprijină pe acelaşi contur  au acelaşi flux magnetic, iar liniile de câmp ale inducţiei magnetice sunt închise şi un fascicol de linii de câmp ale inducţiei sprijinite pe un contur închis formează un “tub de flux” în care fluxul magnetic are aceeaşi valoare. Se defineşte tensiune magnetică integrala de linie a intensităţii câmpului magnetic, de-a lungul segmentului de curbă cMN (figura 4.3): Figura 4.2. Explicativă la calculul fluxului magnetic.

Um 

 Hds .

(4.14)

c MN

Tensiunea magnetică exprimată de-a lungul unei curbe închise se numeşte tensiune magnetomotoare: Figura 4.3. Explicativă la calculul tensiunii magnetice.

U mm   Hds .

(4.15)



Unităţile de măsură în SI ale fluxului magnetic şi ale tensiunii magnetice, respectiv, magnetomotoare sunt: [] SI: 1 Wb (Weber); [Um; Umm] SI: 1 A, sau 1 Asp. (Amper sau Amperspiră). Experimental s-a constat că tensiunea electromotoare prin orice curbă închisă  este egală cu curentul electric prin suprafaţa deschisă S sprijinită pe curba  (figura 4.4):

U mm   Hds  iS    JdA , 

(4.16)

S

relaţie care reprezintă teorema lui Ampere, valabilă în regim staţionar. Integrala pe suprafaţa S din teorema lui Ampere se Figura 4.4. Explicativă la legea circuitului magnetic.

numeşte şi solenaţie:

   JdA .

(4.17)

S

Teorema lui Ampere este un caz particular a legii circuitului magnetic, exprimată sub forma:

46

 Hds  







în care: Figura 4.6. Porţiune dintr-un circuit magnetic.

d D dA , dt S

(4.18)

D este vectorul inducţiei magnetice; d D dA reprezintă curentul de dt S

deplasare la frecvenţe mari. În regim cvasistaţionar legea circuitului magnetic se poate exprima prin intermediul teoremei lui Ampere, după convenirea ca suprafaţa de calcul a solenaţiei S  să nu treacă prin dielectricul condensatoarelor.

4.4. Circuite magnetice Pentru maşini, echipamente şi aparate electrice se utilizează miezuri fero-, sau ferimagnetice. Aceste miezuri, împreună cu eventualele întrefieruri (discontinuităţi cu aer sau alte materiale dia- sau paramagnetice), formează circuite magnetice. Între rezolvarea circuitelor magnetice este o anumită similitudine cu rezolvarea circuitelor electrice. De exemplu, fie circuitul magnetic din figura 4.5, a unui aparat electric care posedă o bobină cu solenaţia Ni, n porţiuni feromagnetice cu lungimi medii lk şi secţiuni transversale Ak, precum şi un întrefier de mărime , cu secţiune transversală A. Pentru fiecare secţiune în parte, conform legii fluxului magnetic, fluxul fascicular va fi:  f  B A  Bk Ak , cu k = 1, 2, …, n. (4.19) Prin aplicarea teoremei lui Ampere pe linia medie de câmp, reprezentată prin linia întreruptă, rezultă: n

  Ni   H k lk  H  .

(4.20)

k 1

Figura 4.5. Exemplu de calcul a unui circuit magnetic. câmpului magnetic Hk. Dar cum

Pentru un flux util dat, cu relaţia (4.19) se determină inducţiile Bk pe diferitele porţiuni ale circuitului magnetic, iar din caracteristicile de magnetizare Bk(Hk) ale porţiunilor de circuit se determină intensităţile corespunzătoare ale

H 

1

B , cu relaţia (4.20) se determină solenaţia

0    Ni , fluxul fascicular util se determină prin

. Iar în situaţia în care se dă solenaţia încercări sau prin elaborarea caracteristicii f(). Pentru porţiunile din circuitul magnetic, caracterizate prin permeabilităţi magnetice constante k, se obţine solenaţia: n   l    f   k  0 A k 1  k Ak

  . 

(4.21)

Între circuitele magnetice şi cele electrice există o analogie deplină (Tabelul 4.1.). Astfel, fie o porţiune de circuit magnetic, străbătută de fluxul magnetic , uniform repartizat pe secţiunea transversală A (figura 4.6):

47

   B dA  BA  HA .

(4.22)

S

Tensiunea magnetică de-a lungul axei curbei cMN, a porţiunii de circuit magnetic (figura 4.6), va fi:

U MN 



Hds 

c MN

în care

 c MN

ds  RMN A



Hds  

c MN

 c MN

ds  RMN , A

(4.23)

reprezintă reluctanţa magnetică, similară rezistenţei electrice

din cadrul circuitelor electrice, iar relaţia obţinută: U MN  RMN constituie legea lui Ohm aferentă circuitelor magnetice. Unitatea de măsură în SI a reluctanţei magnetice este A / Wb (Amper / Weber), sau H-1 (1 / Henry). Inversul reluctanţei magnetice se numeşte permeanţă magnetică, notată cu P sau  şi are unitatea de măsură în SI - H (Henry). Legea fluxului magnetic aplicată suprafeţelor închise , care conţin orice nod a unui circuit magnetic:



k

0,

(4.24)

se mai numeşte şi teorema I a lui Kirchhoff, iar teorema lui Ampere:

U

Mk

  Rk  k   k .

(4.25)

aplicată ochiurilor independente ale circuitelor magnetice este cunoscută ca teorema a II-a a lui Kirchhoff. Pentru exemplificare se va lua în considerare circuitul magnetic al unui transformator monofazat în manta (figura 4.7. a), căruia i se stabileşte circuitul electric echivalent (figura 4.7. b), iar pentru simplificare se consideră că există numai o singură

înfăşurare. Circuitului magnetic i se pot scrie ecuaţiile: a. b. Figura 4.7. Circuitul magnetic al unui transformator şi circuitul electric echivalent.

R1 

l1 , 1 A1

l2 ,  2 A2 2  N 2i2 R2 

48

R3 

l3 , 3 A3

1   2   3  0  1R1   2 R2   2  R   R   3 3 2  2 2

.

După rezolvarea ultimului sistem de ecuaţii se vor obţine fluxurile:

2 

2 ; R1R3 R2  R1  R3

1  

R3 2 ; R1  R3

R1 2 . R1  R3

3  

Tabelul 4.1. Analogia între circuitele electrice şi magnetice (cu unităţile de măsură, în SI). Circuite electrice Tensiunea electrică:

Circuite magnetice Tensiunea magnetică:

u f   E ds , [V]

Um 

c12

 Hds , [A], [A sp.] c MN

Tensiunea electromotoare:

Tensiunea magnetomotoare:

ei   Ei ds , [V]

U mm   Hds , [A], [A sp.] 

c12

Curentul electric:

Fluxul magnetic:

is   JdA , [A]

 s   B dA , [Wb]

Rezistenţa electrică:

Reluctanţa magnetică:



R

ds A

c12



s

l , [] A

RMN 

 c MN

ds l , [H-1]  A A

Conductanţa electrică:

Permeanţa magnetică:

1 G  , [S] R



Legea lui Ohm:

Teorema lui Ampere:

ub  Ri

U m  RMN   

Prima teoremă a lui Kirchhoff:

Legea fluxului magnetic:

I

k N 

k



0

k N 

A doua teoremă a lui Kirchhoff:

U

k O

k

1 , [H] RMN



0

Teorema lui Ampere:

E

k O

k

R

k

k O

MNk

k 



k O

k

Observaţiile legate de aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în cazul circuitelor electrice, rămân valabile şi în cazul celor magnetice.

49

4.5. Legea inducţiei electromagnetice Fenomenul de producere a unui câmp electric prin variaţia câmpului magnetic se numeşte inducţie electromagnetică; a fost pus în evidenţă în mod experimental, de către Faraday în 1831 şi a constat în obţinerea de tensiuni electromotoare prin variaţia fluxului magnetic care înlănţuie un circuit electric. Aceste tensiuni electromotoare pot fi induse într-o buclă de circuit electric prin apropierea / depărtarea longitudinală sau transversală a unui magnet permanent, ori a altui circuit străbătut de curent continuu, sau de curent variabil - situaţie în care respectivul circuit este imobil. În baza acestor experimente s-a stabilit legea inducţiei electromagnetice, exprimată prin relaţia:

d  , dt

(4.26)

d  d    B dA . dt dt S

(4.27)

e  

tensiunea electromotoare e , indusă într-un circuit electric de contur închis , este dată de viteza de scădere a fluxului magnetic  prin conturul respectiv. Tensiunea electromotoare poate fi obţinută prin variaţia fluxului electric sau magnetic, care poate fi exprimată în funcţie de intensitatea câmpului magnetic:

e   E ds   

Sensul curentului electric indus se determină cu regula lui Lentz: întotdeauna curentul indus se opune cauzei care îl produce. Faptul trebuie interpretat prin aceea că acest curent indus, produce un câmp magnetic de sens opus câmpului magnetic care l-a generat. Pentru o bobină cu N spire apropiate, fiecare spiră este străbătută de fluxul fascicular f, fluxul total va fi:    N f , iar legea inducţiei electromagnetice va dobândi forma:

e   N

d f

.

(4.28)

dt

Variaţia fluxului magnetic care străbate circuitul electric poate fi obţinută prin variaţia inducţiei magnetice ( 

B ), sau prin variaţia deplasării (deformării), t

circuitului, considerând inducţia constantă:



d d B dA B  const.    B ds  v dt  B  const.   v  B ds .  dt S  dt  

(4.29)

Cu acestea, legea inducţiei electromagnetice devine:

B dA   v  B ds ,  t S 

e   E ds    

în care termenul -

B

 t dA

reprezintă t. e. m. de pulsaţie sau de transformare, iar

S

termenul

(4.30)

 v  B ds poate fi considerat ca fiind t. e. m. de deplasare. 

50

Aplicaţiile fundamentale ale legii inducţiei electromagnetice, prin prisma celor doi termeni obţinuţi, se referă la transformatoare şi maşini electrice. Aplicaţie. Pentru producerea tensiunii sinusoidale alternative, considerăm o bobină formată dintr-un mănunchi de N spire, compactate într-un contur dreptunghiular, care se roteşte cu o viteză unghiulară , într-un câmp magnetic uniform şi constant (figura 4.8). Fluxul fascicular va fi:  f  AB sin  , iar unghiul  depinde de viteza unghiulară:

  t  0 ;

0 fiind

poziţia unghiulară iniţială a bobinei. Fluxul total depinde de numărul de spire a bobinei şi de fluxul fascicular:   N f  NAB sint  0   m sint  0  , Figura 4.8. Aplicaţie la generarea t. e. m. alternative.

e

în care  m  NAB . T. e. m. sinusoidală indusă prin rotirea bobinei va fi:

d  m cost   0  , de amplitudine Em  m şi pulsaţie    . dt 4.6. Inductivităţi

Se numeşte inductivitate proprie L11, raportul dintre fluxul magnetic 11 generat de un circuit 1, compus dintr-o bobină care are N1 spire şi curentul i1 pe care îl străbate acest circuit:

L11 

11 N1 f 11 ,  i1 i1

(4.31)

în care 11 poartă denumirea de flux magnetic propriu, iar f11 - flux magnetic fascicular propriu al bobinei. Dacă în vecinătatea circuitului 1 se află un alt circuit 2, format din bobina 2, câmpul magnetic al primei bobine va determina prin bobina a 2-a un flux magnetic mutual 21 (figura 4.9), cu inductivitatea mutuală:

L21 

 21 N 2 f 21  , i1 i1

(4.32)

unde f21 – fluxul magnetic fascicular mutual dat de câmpul magnetic al circuitului 1, prin spira medie a bobinei 2, care are N2 spire. Dacă ambele circuite sunt parcurse de curenţi, fluxul magnetic al fiecărui circuit va fi suma fluxurilor proprii şi mutuale:

1  11  12 2  22  21 .

(4.33) În general există relaţia de reciprocitate: L12 = L21. Figura 4.9. Circuite cuplate magnetic.

51

Pentru o bobină cu N spire, străbătută de curentul i, dintr-un circuit magnetic închis, care are reluctanţa magnetică Rm, fluxul magnetic fascicular va fi:

f 

 Ni ,  Rm Rm

iar inductivitatea proprie a bobinei:

L

N f



i

N2 . Rm

Similar, inductivităţile mutuale a două înfăşurări cu N1 şi N2 spire, dispuse pe acelaşi circuit magnetic şi parcurse de acelaşi flux magnetic fascicular:

L12  L21 

N1 N 2 . Rm

În SI unitatea de măsură a inductivităţilor este Henry, [H]. Întotdeauna inductivităţile proprii sunt pozitive, dar inductivităţile mutuale pot fi pozitive sau negative, în funcţie de sensurile de parcurgere ale circuitelor. Raportul:

k

L12 L1L 2

(4.34)

se numeşte factor de cuplaj magnetic al circuitelor şi are valoarea cuprinsă între 0 şi 1. Pentru k = 0 circuitele nu sunt cuplate magnetic, iar pentru k = 1 circuitele sunt perfect cuplate, deci nu există dispersie magnetică. Prin exprimarea tensiunilor electromotoare induse în circuite, utilizând inductivităţile proprii şi mutuale, pentru două circuite cuplate magnetic, se obţine:

e1  

d1 d di dL di dL   L11i1  L12i2    L11 1  i1 11  L12 2  i2 12 , (4.35) dt dt dt dt dt dt

cu semnificaţiile:

di1 este tensiunea electromotoare de autoinducţie; dt dL dL  i1 11 şi  i2 12 sunt tensiunile electromotoare de mişcare; dt dt di  L12 2 este tensiunea electromotoare de transformare, sau de inducţie mutuală. dt

 L11

4.7. Energia şi forţele câmpului magnetic O bobină, de rezistenţa R şi inductivitate L, alimentată cu tensiunea la borne ub, va produce un flux , datorat curentului i. Prin aplicarea legii inducţiei electromagnetice respectivului circuit (figura 4.10), se va obţine:

 E ds  u

f

 ub  e  



d , dt

care după aplicarea legii conducţiei electrice uf = R i şi ei = 0, devine:

52

(4.36)

ub  u f  e  Ri 

d . dt

(4.37)

În conformitate cu legea conservării energiei, energia primită de sistem din exterior dW = ub i dt va fi egală cu energia cheltuită: (4.38) dW  Q  L  dWm , Figura 4.10. Explicativă la legea inducţiei 2 în care: Q  Ri dt - energia transformată în căldură; electromagnetice. L - lucrul mecanic efectuat de sistem; dWm – variaţia energiei magnetice a sistemului, relaţia (4.38) devine:

ubidt  Ri 2dt  L  dWm . Relaţia (4.37) se înmulţeşte cu idt, se compară cu (4.39) şi rezultă: L  dWm  id .

(4.39) (4.40)

Pentru determinarea energiei magnetice, se consideră sistemul imobil (fără efectuare de lucru mecanic L  0 ): 

Wm   id .

(4.41)

0

În cazul particular al bobinei de inductivitate L, energia magnetică va fi:

Wm 

1 2 1 1 2 . Li  i  2 2 2 L

(4.42)

Energia magnetică a circuitelor cuplate magnetic va fi: n

k

n

k 1

0

k 1

Wm  

 id k , sau dWm   ik d k ,

(4.43)

în care k este fluxul magnetic total al circuitului străbătut de curentul ik. Densitatea de volum wm0 a energiei câmpului magnetic, localizată în tot domeniul de câmp al unui tor, de lungime l şi secţiune A, este:

dwm0 

dWm Ni     d   HdB , Al l  NA 

sau sub formă integrală: B

wm 0   HdB ,

(4.44)

0

iar pentru medii liniare: B  H şi wm 0 

1 1 1 2 HB  H 2  B . 2 2 2

Energia magnetică poate fi determinată ca fiind integrala de volum a densităţii de volum wm0, extinsă la volumul V ocupat de câmp:

Wm   wm 0 dW . V

53

(4.45)

Lucrul mecanic dL efectuat de forţa generalizată f, pentru deplasarea generalizată d în sistem este: L  fd , iar relaţia de bilanţ energetic devine:

fd  dWm  id .

(4.46)

Pentru variaţii nule ale fluxurilor (d = 0) pe durata deplasării, se obţine prima teoremă a forţelor generalizate în câmp magnetic:

 W  . f   m      const.

(4.47)

A doua teoremă a forţelor generalizate în câmp magnetic se obţine pornind de la relaţia (4.41), în care nu are loc nici o variaţie a curentului electric (di = 0):

1 dWm i  const.  id , sau id  2dWm i  const. , 2 iar cumulat cu (4.45) se obţine:

 W  f   m  .   i  const.

(4.48)

Forţele calculate cu cele două teoreme sunt egale.

4.8. Probleme rezolvate 1o. Se consideră circuitul magnetic toroidal cu aria secţiunii transversale A = 25 cm2 şi raza medie R = 20 cm, cu întrefierul δ = 2 mm. Pe porţiunea feromagnetică, cu μr=2000 este amplasată o bobină cu N = 2000 spire, parcurse de un curent I = 2 A. Se neglijează dispersia şi se consideră câmpul magnetic constant pe secţiunea transversală, să se calculeze fluxul magnetic fascicular prin secţiunea torului, intensitatea şi inducţia câmpului magnetic din întrefier (se va neglija deformarea liniilor câmpului în întrefier) şi din porţiunea feromagnetică. Figura 4.11. Circuit toroidal. Rezolvare: Fluxul Φ, care se poate considera că străbate linia mediană a torului, se determină astfel:  0 NIA NI NIA 4 10 7 x 2000 x 2 x 25 x10 4   BA  HA   A     2R   2R   l 2 20 x10 2  2 x10 3 3   2 x10   0  ra 0 r r 2000 4,781x10-3 Wb, pentru care s-a considerat că permeabilitatea relativă a aerului este egală cu a vidului μra = μrv = 1. Inducţia în miez, egală cu cea din vid, va fi: B  B    4,781  1,912 T, iar Fe

intensităţile câmpului magnetic în miez şi în întrefier: B B 1,912 H Fe  Fe  Fe   760,9 A / m;  Fe 0 r 4 10 7 x2000

54



A

25 x10 4

H 

B

a



BFe

 0  ra



1,912  1,522 x10 6 A / m. 4 10 7

2o. O bobină cu N = 200 spire este realizată pe un miez feromagnetic din oţel electrotehnic (μr=5000), ale cărei dimensiuni sunt exprimate în cm (figura 4.12). Să se determine: a. intensitatea curentului prin bobină în cazul unui flux magnetic de 0,004 Wb; b. inducţiile magnetice în diferitele porţiuni ale circuitului magnetic, când curentul prin bobină este I = 2,05 A. Figura 4.12. Bobină cu miez feromagnetic. Rezolvare: a. Se dezvoltă expresia fluxului creat de bobină, pe configuraţiile existente ale miezului:   BA  

A A   6 x4 x10 4 NIA 4 x4 x10 4     0  r NI  1  2   4 10 7 x5000 x200 I   l l2  2(4  2  3)   10  4  l1

0,004  32,656 x105 I , din care rezultă valoarea curentului I = 12,25 A; b. Expresia Φ = BA se aplică pentru cele două porţiuni de circuit de secţiuni constante, din care rezultă inducţiile pe secţiunile respective: 2 2  0,004  0,004 B1    1,66 Wb / m ; B2    2,5 Wb / m . 4 4 A1 6 x 4 x10 A2 4 x 4 x10

3o. Se dă circuitul magnetic din figura 4.13, în care lungimea medie a liniilor de câmp în miez este lm = 80 mm, iar în armătură la = 20 mm. Lungimea fiecărui întrefier este δ = 0,04 mm. Miezul, armătura şi tubul de flux în întrefier au aceeaşi secţiune A = 25 mm2. Permeabilitatea magnetică a miezului este μ = 600 μ0. Să se determine: a. reluctanţa miezului; b. tensiunea magnetomotoare a bobinei pentru care inducţia magnetică în miez este B = 5000 Gs. Figura 4.13. Electromagnet. Rezolvare: a. Reluctanţa magnetică se poate scrie ca sumă a reluctanţelor porţiunilor de circuit magnetic: R  R  R  2R  lm  la  2   1 (l  l )  2   7,85x106 A / Wb. m a  A A 0 A 0  r A m a 0 A b. Tensiunea magnetomotoare a bobinei corespunzătoare unei inducţii magnetice în miez date, va fi: U mm  R  RBA  185 A.

55

4.9. Probleme propuse 1o. Considerăm solenoidul din figura 4.14, de lungime l, bobinat spiră lângă spiră cu N spire cu diametrul d, parcurse de curentul constant în timp I. Să se determine inducţia produsă de solenoid într-un punct P situat pe axa solenoidului, considerând că mediul din interiorul solenoidului este aerul (μ = μ0). Figura 4.14. Solenoid cu mediu aer. 2o. O bobină cu N = 300 spire, parcursă de un curent I = 1 A, este uniform înfăşurată pe un miez feromagnetic de formă toroidală (figura 4.15). Dimensiunile miezului sunt R1 = 70 mm; R2 = 80 mm; h = 15 mm şi permeabilitatea magnetică μ = 500 μ0, să se determine: a. valoarea aproximativă a inducţiei magnetice, a fluxului magnetic fascicular şi a inductivităţii bobinei, considerând lungimea medie a liniilor de câmp magnetic şi o valoare constantă a inducţiei magnetice în miez; b. valorile exacte ale mărimilor calculate la punctul precedent, ţinând seama de lungimile diferite ale liniilor de câmp magnetic.

Figura 4.15. Bobină toroidală.

3o. Se dă circuitul magnetic din figura 4.16 (cu dimensiunile în mm), format din material feromagnetic cu μ = 600 μ0. Grosimea circuitului magnetic este d = 20 mm. Să se determine tensiunea magnetomotoare a bobinei necesară stabilirii unui flux magnetic Φ = 6x10-4 Wb, în coloana din partea dreaptă. Figura 4.16. Miez în manta.

56

5. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV În regimul cvasistaţionar al circuitelor electrice filiforme sunt valabile toate legile electromagnetismului enunţate în capitolele anterioare.

5.1. Elemente ideale de circuit în regim variabil Fie un dipol pasiv alimentat la borne cu tensiunea ub. Acesta va absorbi curentul i, dependent de tipul şi caracterul sarcinii. a. Rezistorul ideal. Elementului ideal de circuit, caracterizat de rezistenţa R şi care nu posedă capacitate sau inductivitate (figura 5.1), în conformitate cu legile inducţiei electrice şi electromagnetice, i se poate scrie ecuaţia:

e   E ds  u f  ub   

d   0. dt

(5.1)

În cazul rezistorului, fiind-că tensiunea electromotoare imprimată este nulă, ei = 0, se va obţine succesiv:

u f  Ri ; ub  Ri ; uR  Ri ; i  GuR ,

Figura 5.1. Rezistorul ideal.

(5.2)

iar puterea absorbită va fi:

p  u R i  Ri 2  GuR2 

u R2 . R

(5.3)

b. Bobina ideală. Elementului ideal de circuit, caracterizat de inductivitatea L şi care nu posedă rezistenţă sau capacitate (figura 5.2), în conformitate cu legile inducţiei electrice şi electromagnetice, i se poate scrie ecuaţia:

e   E ds  u f  ub   

d   0. dt

(5.4)

În cazul bobinei ideale, fiind-că rezistenţa este nulă, R = 0, se va obţine succesiv: Figura 5.2. Bobina ideală.

u f  Ri  0 ; ub  e   S   Li ; uL  L

di , dt

d S  dt

; (5.5)

iar prin înmulţirea ambilor termeni ai ultimei expresii din relaţia (5.5) cu i, puterea absorbită va fi:

57

di d  1 2  dWm . (5.6)   Li   dt dt  2 dt  di Interpretarea fizică a relaţiei u L  L , rezidă în faptul că printr-o bobină, dt p  uLi  Li

curentul nu poate avea variaţii, sau salturi bruşte, deci bobina se va utiliza în circuitele electrice ca şi filtru de curent. Bobina reală are o anumită rezistenţă a firului conductor, R  0 şi căreia i se poate scrie relaţia:

ub  u f 

d S  dt

 Ri  L

di  uR  uL , dt

(5.7)

din care rezultă schemă echivalentă (figura 5.3). Figura 5.3. Bobina reală. c. Condensatorul ideal. Elementului ideal de circuit, caracterizat de capacitatea C (fără sarcini electrice) şi care nu posedă rezistenţă sau inductivitate (figura 5.4), în conformitate cu legile inducţiei electrice şi electromagnetice, i se poate scrie ecuaţia:

e   E ds  u f  uC  ub   

d  0. dt

(5.8)

În cazul condensatorului ideal, fiind-că rezistenţa este nulă, R = 0, se va obţine succesiv: Figura 5.4. Condensatorul ideal.

i

u f  Ri  0 ; ub  uC 

d (q) dq du   C C  0, dt dt dt

q ; C

(5.9) (5.10)

iar tensiunea la bornele condensatorului va fi: t

uC  uC0 

1 idt , C 0

(5.11)

a cărei semnificaţie fizică rezidă în faptul că tensiunea la bornele unui condensator nu poate varia brusc, prin salturi, deci condensatoarele vor fi utilizate în circuitele electrice, ca şi filtre de tensiune. Prin înmulţirea ambilor termeni ai relaţiei (5.11) cu i, puterea absorbită va fi:

p  uC i  CuC

duC d  1 2  dWe .   CuC   dt dt  2 dt 

(5.12)

d. Sursele ideale de tensiune şi de curent sunt caracterizate de rezistenţe interne nule (figura 5.5). Acestor surse li se poate scrie setul de relaţii:

58

e   E  Ei ds  eg , 

u f  ei  Ri  0 ,

(5.13)

eg  ub , pentru că R = 0, iar puterea debitată de sursă, sau absorbită de consumator: p  ubi  eg i .

a. de tensiune; b. de curent; Figura 5.5. Surse electrice ideale.

Teoremele lui Kirchhoff generalizate pentru regim variabil cvasistaţionar se aplică în mod similar, ca în cazul circuitelor de curent continuu: - prima teoremă:

i

K N 

- a doua teoremă:

0

K

 E ds  0 , sau  u

bK

0,

(5.14)



în care N - este nodul căruia i se aplică legea conservării sarcinii;  - este ochiul de reţea luat în considerare. Condiţiile de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff şi numărul de ecuaţii care se pot scrie (stabilite la circuite de curent continuu), rămân valabile şi în cazul regimului variabil.

5.2. Circuite simple în regim tranzitoriu Se va lua în considerare regimul tranzitoriu de stabilire a curentului într-o bobină şi a variaţiei tensiunii la bornele unui condensator, la închiderea / deschiderea întrerupătorului de alimentare. 5.2.1. Regimul de stabilire a curentului printr-o bobină Considerăm circuitul real, format din elementele R - L serie, alimentat cu tensiunea continuă U0, la momentul t = 0, corespunzător închiderii întrerupătorului Q (figura 5.6). Aplicăm teorema a II-a a lui Kirchhoff, imediat după momentul închiderii întrerupătorului, se obţine: uR  uL  U 0  0 , (5.15) iar după înlocuire se diferenţială de gradul I: Figura 5.6. Circuitul RL serie la semnal dreptunghiular, dat de închiderea / deschiderea întrerupătorului general.

Ri  L

di  U0 , dt

ecuaţia

(5.16)

a cărei soluţie generală este:

i(t )  Ae 59

obţine

R  t L



U0 . R

(5.17)

Pentru determinarea constantei A, se consideră că valorile curentului înaintea şi imediat după închiderea întrerupătorului sunt egale: i(0   )  i(0   ) , (5.18) unde  este o mărime pozitivă ( > 0), arbitrar aleasă, infinitezimal mică ( 0.

 t  T     t    2 , T

2



din care rezultă expresiile perioadei T şi a pulsaţiei :



;

2  2f , T

(5.35)

care în SI se măsoară în radiani / secundă, [rad/s]. Faza iniţială este faza mărimii sinusoidale corespunzătoare momentului t = 0 şi se exprimă prin unghiuri cuprinse între - şi . Pe o perioadă, cele două semialternanţe (pozitivă şi negativă), sunt egale, deci valoarea medie a mărimii sinusoidale este nulă: Imed = 0. Valoarea efectivă a mărimii sinusoidale este cea indicată de aparatele de măsură (de regulă): T

1 2 I max sin 2 (t   )dt   T0

2 I max 2T

T

T

2 I max I dt  max . (5.36)  2T 0 2 0 De regulă, în electrotehnică, mărimile sinusoidale se exprimă cu ajutorul valorii efective, denumită şi forma normală în sinus a mărimii respective:

I

 1  cos 2(t   )dt 

i  I max sin(t   )  I 2 sin(t   ) ,

(5.37)

formă în care valoarea efectivă şi pulsaţia sunt întotdeauna pozitive. Fiind date două mărimi sinusoidale i1 şi i2, de aceeaşi pulsaţie :

i1  I1 2 sin(t   1 ) i2  I 2 2 sin(t   2 ) ,

(5.38) diferenţa fazelor celor două mărimi se numeşte defazajul mărimilor. Diferenţa de fază 1 - 2 poate fi pozitivă (situaţie în care mărimea i1 este în faţa mărimii i2), sau negativă (când mărimea i1 este urma mărimii i2). Între cele două mărimi sinusoidale, se definesc următoarele tipuri de defazaje:  1 - 2 = 0, mărimile sunt în fază;  1 - 2 = ± , mărimi în opoziţie;  1 - 2 = ± /2, mărimi în cuadratură.

63

Observaţii: 1. Orice mărime sinusoidală este complet caracterizată, atunci când i se cunosc: valoarea efectivă, frecvenţa şi faza iniţială. Pentru o reţea în care toate mărimile posedă aceeaşi frecvenţă (de exemplu frecvenţa industrială), mărimile sinusoidale sunt caracterizate de valoarea efectivă şi faza iniţială. 2. Alegerea originii fazei iniţiale este de regulă arbitrară, iar mărimea care posedă faza iniţială nulă, se numeşte origine de fază. 3. La reprezentarea grafică a mărimilor sinusoidale de aceeaşi frecvenţă se utilizează ca abscisă, unghiul t. Operaţii cu mărimi sinusoidale. Suma a două mărimi sinusoidale de aceeaşi pulsaţie (5.38), este tot o mărime sinusoidală de pulsaţie , a cărei valoare efectivă este:

I  I12  I 22  2I1I 2 cos( 1   2 ) ,

(5.39)

iar defazajul se determină din relaţiile:

1 sin   ( I1 sin  1  I 2 sin  2 ) I 1 cos   ( I1 cos  1  I 2 cos  2 ) . I

(5.40)

Multiplicarea cu o constantă  a unei mărimi sinusoidale, conduce tot la o mărime sinusoidală de aceeaşi pulsaţie şi fază iniţială, dar a cărei valoare efectivă va fi multiplicată cu :

i '  I 2 sin(t   ) .

(5.41) Derivarea în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale, conduce tot la o mărime sinusoidală, de aceeaşi pulsaţie, defazată în faţă cu /2 şi care are o valoare efectivă, multiplicată cu :

di    I 2 cos(t   )  I 2 sint     . dt 2 

(5.42)

Integrarea în raport cu timpul a unei mărimi sinusoidale, conduce tot la o mărime sinusoidală, de aceeaşi pulsaţie, defazată în urmă cu /2 şi care are o valoare efectivă, împărţită cu :

 idt  

2

I



cos(t   )  2

  sint     .   2 I

(5.43)

Produsul a două mărimi sinusoidale de aceeaşi pulsaţie, de forma:

i  I 2 sin(t   ) u  U 2 sin(t   ) ,

(5.44)

conduce la mărimi de altă pulsaţie:

ui  2UI sin(t   ) sin(t   )  UI[cos(   )  cos(2t     )] . (5.45)

Produsul mărimilor sinusoidale de aceeaşi pulsaţie conţine un termen constant şi un altul, a cărui pulsaţie este dublă.

64

5.3.2. Caracterizarea circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal Fie dipolul liniar pasiv din figura 5.11, alimentat la borne cu tensiunea dată de relaţia (5.44). Curentul absorbit de dipol va fi unul sinusoidal, de aceeaşi frecvenţă:

i  I 2 sin(t   ) .

(5.46)

În general   , fapt ce determină ca circuitul să nu mai poată fi caracterizat prin raportul u(t)/i(t)  constant, ci de alte două mărimi, independente de tensiune sau curent, care sunt: impedanţa Z şi defazajul . Impedanţa circuitului este raportul dintre valorile efective ale tensiunii aplicate la borne şi a curentului absorbit: Figura 5.11. Dipol liniar pasiv în regim permanent sinusoidal.

Z

U  Z ( , R, L, C ,...)  0 , I

(5.47)

care este în permanenţă pozitiv, depinde de frecvenţă, de parametrii circuitului şi în SI se măsoară în ohmi. Defazajul circuitului este diferenţa fazelor iniţiale ale tensiunii aplicate la borne şi a curentului absorbit:

 

       ( , R, L, C ,...) 0

(5.48)

depinde de frecvenţă, de parametrii circuitului şi în SI se măsoară în radiani. Dacă sunt cunoscute Z şi , curentul poate fi determinat, pentru că I = U / Z şi  =  - :

i

U 2 sin(t     ) . Z

(5.49)

Pentru circuitele pasive care nu conţin surse şi absorb o putere medie pozitivă, factorul de putere este pozitiv: cos   0, (5.50) iar defazajul este cuprins între:





2

 



2

,

(5.51)

fiind determinat prin tangenta unghiului respectiv (tg ). Rezistenţa circuitului se defineşte ca fiind:

R

U cos   Z cos   0 , I

(5.52)

U sin    Z sin  0 , I 

(5.53)

în care se notează cu UR = U cos  şi poartă denumirea de componentă activă a tensiunii aplicate. Reactanţa circuitului se defineşte ca fiind:

X

în care se notează cu UL = U sin  şi poartă denumirea de componentă reactivă a tensiunii aplicate.

65

Din triunghiul impedanţelor (figura 5.12, a), pot fi uşor determinate şi reţinute următoarele relaţii:

tg 

X ; R

cos  

R ; Z

sin  

X ; Z

Z  R2  X 2 .

(5.54)

Dacă sunt cunoscute R şi X, valoarea instantanee a curentului absorbit va fi:

i

U R2  X 2

X  2 sint    arctg  . R 

(5.55)

Admitanţa circuitului se defineşte ca fiind inversul impedanţei:

Y

1 I   0, Z U

(5.56)

cu unitatea de măsură în SI: Siemens-ul (1 S = 1 -1), iar împreună cu defazajul  caracterizează complet circuitul respectiv. Din triunghiul admitanţelor (figura 5.12, b), pot fi uşor determinate şi reţinute următoarele relaţii:

Y

I = Y U;

1 R2  X 2

R

;

cos  ; Y

X

sin  , Y

(5.57)

iar valoarea curentului se poate exprima sub forma:

i  UY 2 sin(t     ) . Se defineşte circuitului ca fiind:

(5.58) conductanţa

I cos  (5.59)  Y cos   0 , U în care IG = I cos  se numeşte G

a. b. Figura 5.12. Triunghiul impedanţelor (a) şi triunghiul admitanţelor

componenta activă a curentului. Susceptanţa circuitului este definită prin raportul:

B

I sin    Y sin  0 , U 

(5.60)

iar valoarea IB = I sin  se numeşte componenta reactivă a curentului. În SI, conductanţa şi susceptanţa se măsoară în Siemens. Tot din triunghiul admitanţelor se pot observa şi reţine relaţiile:

tg 

B ; G G

cos   R ; Z2

G ; Y B

sin   X ; Z2

B ; Y R

Y  G2  B2 ,

G ; Y2

X

B . Y2

(5.61) (5.62)

Atunci când sunt cunoscute G şi B, valoarea instantanee a curentului va fi:

B  i  U G 2  B 2 2 sint    arctg  . G 

66

(5.63)

În funcţie de parametrii pe care îi posedă, circuitele de curent alternativ sinusoidal sunt de mai multe tipuri: - circuite pur rezistive, caracterizate prin:  = 0; X = 0; B = 0; Z = R; Y = G; (5.64) - circuite reactive:   0; X  0; B  0; (5.65) - circuite reactive sau nedisipative:  R = 0; G = 0; (5.66) Y  B; Z X;   ; 2

- circuite inductive:

 > 0; X > 0; B > 0; - circuite pur inductive:  R = 0; G = 0; ZX;  ;

(5.67)

Y  B;

(5.68)

2

- circuite capacitive:  < 0; X < 0; B < 0; - circuite pur capacitive:  R = 0; G = 0; Z  X ;   ;

(5.69)

Y  B .

(5.70)

2

În cazul circuitelor inductive, curentul este în urma tensiunii, defazajele sunt pozitive şi se numesc defazaje inductive. Pentru circuitele capacitive, curentul este în faţa tensiunii, defazajele sunt negative şi se numesc defazaje capacitive.

5.3.3. Puteri în regim permanent sinusoidal Puterea instantanee la bornele unui dipol este: p = ui (5.71) şi poate fi pozitivă, atunci când este primită de dipol, sau negativă, când este cedată de dipol, căruia i se asociază regula de la receptoare, respectiv de la generatoare. În regim permanent sinusoidal, tensiunea de alimentare u, aleasă ca origine de fază şi curentul i, sunt de forma:

u  U 2 sin t , i  I 2 sin(t   ) ,

(5.72) (5.73)

iar puterea instantanee:

p  2UI sin t  sin(t   )  UI cos   UI cos(2t   ) . (5.74) Puterea instantanee are două componente, una constantă şi o alta cu frecvenţă dublă în raport cu frecvenţa tensiunii de alimentare. Practic interesează doar media energiei absorbite pe un număr întreg de perioade. Puterea activă este valoarea medie a puterii instantanee absorbite pe o perioadă: T

1 P ~ p   pdt  UI cos  . T0

(5.75)

În SI, puterea activă se măsoară în watt (W), cu multiplii: 1 kW = 103 W; 1 MW = 106 W; 1 GW = 109 W, 1 TW = 1012 W.

67

Puterea activă absorbită de un dipol pasiv poate fi determinată cu ajutorul rezistenţei şi a conductanţei:

P  UI cos   RI 2  GU 2  0 .

(5.76) Această expresie este pozitivă pentru circuitele disipative (care conţin rezistenţe nenule) şi este nulă pentru circuitele nedisipative, sau pur reactive. Puterea reactivă a unui dipol electric este mărimea definită prin relaţia:  (5.77) Q  UI sin  0 .  În SI, puterea reactivă se măsoară în voltamperreactiv (VAR), cu multiplii: 1 kVAR = 103 VAR; 1 MVAR = 106 VAR; 1 GVAR = 109 VAR, 1 TVAR = 1012 VAR. Puterea reactivă absorbită de un dipol pasiv poate fi determinată cu ajutorul reactanţei sau a susceptanţei:

Q  UI sin   XI 2  BU 2

 0. 

(5.78)

Această expresie este pozitivă pentru circuitele inductive (X > 0), negativă pentru circuitele capacitive (X < 0), şi este nulă pentru circuitele pur rezistive (X = 0). Puterea aparentă a unui dipol electric este mărimea definită prin relaţia: (5.79) S  UI  0 şi în SI, puterea aparentă se măsoară în voltamper (VA), cu multiplii: 1 kVA = 103 VA; 1 MVA = 106 VA; 1 GVA = 109 VA, 1 TVA = 1012 VA. Puterea aparentă a unui dipol pasiv poate fi determinată cu ajutorul impedanţei sau a admitanţei:

S  UI  ZI 2  YU 2  0 .

(5.80) Pentru valori constante ale tensiunii şi curentului, dar la defazaje variabile, puterea aparentă reprezintă valoarea maximă a puterii active. Între puterea activă, reactivă şi aparentă există relaţiile:

P 2  Q2  S 2 ; Q  Ptg  ; P  S cos  ; Q  S sin  ,

(5.81) care sunt uşor reţinute cu ajutorul „triunghiului puterilor” (figura 5.13). Factorul de putere al unui dipol electric în regim permanent sinusoidal este: P (5.82) 1  k p  cos    0. S Figura 5.13. Triunghiul puterilor. O instalaţie electroenergetică cu o putere aparentă dată, funcţionează cu o putere activă, cu atât mai mare, cu cât factorul de putere este mai mare, adică cu cât defazajul este mai mic. Pentru funcţionarea cu eficienţă maximă a instalaţiei este necesară utilizarea unor echipamente de îmbunătăţire a factorului de putere prin reducerea puterii reactive, precum şi a costurilor energiei electrice. 5.3.4. Circuite electrice simple în regim permanent sinusoidal Se vor considera circuite electrice liniare, pasive şi ideale, de tip R, sau L, sau C, la bornele cărora se vor aplica tensiuni sinusoidale, considerate ca origine de fază, de forma:

68

(5.83) u  U 2 sin t . Curenţii absorbiţi vor fi tot sinusoidali, datorită faptului că aceste circuite pasive acţionează ca factori de multiplicare cu o constantă, sau elemente de derivare ori integrare şi vor avea forma:

i  I 2 sin(t   ) .

(5.84) a. Rezistorul ideal. Ecuaţia circuitului format dintr-un rezistor ideal R (figura 5.14), este:

u  Ri  U 2 sin t , din care se obţine valoarea curentului absorbit:

i

u U  sin t , R R

(5.85)

deci rezultă:

a. b. Figura 5.14. Rezistorul ideal (a), formele tensiunii sinusoidale aplicate şi a curentului absorbit (b).

U ;   0; Z  R; X  0; B  0; R 1 U2 2 Y  G  ; P  RI  ; Q  0; R R (5.86) S  P. I

Curentul absorbit de un rezistor este în fază cu tensiunea aplicată la borne şi nu depinde de frecvenţă, ci de valorile U şi R. b. Bobina ideală. Ecuaţia circuitului format dintr-o bobină ideală L (figura 5.15), este:

uL

di , dt

în care se înlocuiesc relaţiile (5.83) (5.84) şi se obţine:

a.

b.

Figura 5.15. Bobina ideală (a), formele tensiunii sinusoidale aplicate şi a curentului absorbit (b).

  U 2 sin t  LI 2 cos(t   )  LI 2 sint     , 2  deci rezultă:

I

(5.87)

U  ; , L 2

(5.88)

U   2 sin t   , L 2 

(5.89)

precum şi expresia curentului:

i

69

sau a mărimilor:

Z  X L  L ;

R  0;

Y B

1 ; L

G 0;

U2 Q  S  LI   0. L 2

P  0; (5.90)

Curentul absorbit de o bobină este defazat în urma tensiunii aplicate la borne cu

/2, depinde de frecvenţă şi de valorile U şi L. O bobină împiedică curentul la frecvenţe înalte, iar la frecvenţe joase se comportă ca un scurtcircuit. c. Condensatorul ideal. Ecuaţia circuitului format dintr-un condensator ideal C (figura 5.16), este:

iC

du , dt

în care se înlocuiesc relaţiile (5.83) (5.84) şi se obţine:

a. b.

Figura 5.16. Condensatorul ideal (a), formele tensiunii sinusoidale aplicate şi a curentului absorbit (b).

b.

  I 2 sin(t   )  CU 2 cos t  CU 2 sint   , 2  deci rezultă:

I  CU ;   

 2

,

(5.91)

(5.92)

precum şi expresia curentului:

  i  CU 2 sint   , 2 

(5.93)

sau a mărimilor:

1 1 X  ; ; R  0; C C I Q  CU 2  0 ; S  Q . C

Y   B  C ;

Z

G 0;

P  0; (5.94)

Curentul absorbit de un condensator este defazat în faţa tensiunii de la borne, cu

/2, depinde de frecvenţă şi de valorile U şi C. Un condensator împiedică curentul la frecvenţe joase, iar la frecvenţe înalte se comportă ca un scurtcircuit. d. Circuitul RL serie. O bobină reală, care posedă o anumită rezistenţă a firului conductor, are o schemă echivalentă, formată dintr-o inductivitate ideală L, conectată în serie cu rezistenţa ideală R, prezentată în figura 5.17. Pentru circuitul RL serie se poate scrie ecuaţia: u  uR  uL ,

70

în care, după explicitarea căderilor de tensiune la bornele rezistenţei şi a inductivităţii, rezultă:

u  Ri  L

di , dt

(5.95)

iar după înlocuirea relaţiilor (5.83) (5.84), se va obţine:

U 2 sin t  RI 2 sin(t   )  LI 2 cos(t   ) .

(5.96)

Figura 5.17. Circuitul RL serie (a); variaţiile tensiunii de alimentare şi a curentului absorbit (b). a.

b.

În vederea determinării valorilor I şi  se consideră două momente oarecare t, de exemplu, acelea în care:

t    0

şi

t   



2

,

(5.97)

se înlocuiesc în relaţia (5.96), obţinându-se:

U sin   LI U cos   RI ,

(5.98) (5.99)

iar după ridicare la pătrat şi adunare, respectiv după împărţire, rezultă:

U

I

R 2  L2 2

;

tg 

L  0. R

(5.100)

Din relaţiile anterioare (5.98 – 5.100) se observă că:

sin  

L

R  L 2

2

2

 0 şi cos  

iar defazajul este pozitiv:

0    arctg

R R  L2 2 2

 0,

L   . R 2

(5.101)

(5.102)

Valoarea instantanee a curentului se poate exprima sub forma:

i

U R 2  L2 2

L   2 sint  arctg . R  

(5.103)

Pentru circuitul RL serie se obţin relaţiile:

Z  R 2  L2 2 ;

P  RI 2 

X  X L  L  0 ;

G

R ; Z2

R 2 L U ; Q  LI 2  2 U 2  0 ; S  P 2  Q 2 . 2 Z Z

B

L ; Z2

(5.104)

Curentul absorbit de circuitul serie RL este defazat în urma tensiunii aplicate la borne, iar valoarea efectivă depinde de tensiune şi scade cu creşterea frecvenţei.

71

e. Circuitul RC serie. Un condensator real, care posedă o anumită rezistenţă de pierderi, poate avea o schemă echivalentă, formată dintr-o capacitate ideală C, conectată în serie cu rezistenţa ideală R, prezentată în figura 5.18. Pentru circuitul RC serie se poate scrie ecuaţia: u  uR  uC , în care după explicitarea căderilor de tensiune la bornele rezistenţei şi a capacităţii, rezultă:

u  Ri 

1 idt , C

(5.105)

iar după înlocuirea relaţiilor (5.83) (5.84), se va obţine:

U 2 sin t  RI 2 sin(t   ) 

1 I 2 cos(t   ) . C

(5.106)

Figura 5.18. Circuitul RC serie (a); variaţiile tensiunii de alimentare şi a curentului absorbit (b). a.

b.

În vederea determinării valorilor I şi  se consideră două momente oarecare t, de exemplu acelea în care:

t    0

şi

t   



,

2

(5.97)

se înlocuiesc în relaţia (5.105), obţinându-se:

1 I, C U cos   RI , U sin   

(5.106) (5.107)

iar după ridicare la pătrat şi adunare, respectiv după împărţire, rezultă:

U

I

R  2

1

;

tg  

1  0. RC

(5.108)

C 2 2

Din relaţiile anterioare (5.106 – 5.108) se observă că:

sin   

1 C R 

1

2

R

 0 şi cos  

R 

1

2

C 2 2

iar defazajul este negativ:

0    arctg

0,

C 2 2

1   . RC 2

Valoarea instantanee a curentului se poate exprima sub forma:

72

(5.109)

(5.110)

1   2 sin t  arctg . RC  

U

i

R  2

1

(5.111)

C 2 2

Pentru circuitul RC serie se obţin relaţiile:

1

1 R 1 ;  0; G 2; B C C Z CZ 2 R 1 2 1 P  RI 2  2 U 2 ; Q   I  U 2  0 ; S  P 2  Q 2 . (5.112) 2 Z C CZ

Z  R2 

2

2

X  XC  

;

Curentul absorbit de circuitul serie RC este defazat în faţa tensiunii aplicate la borne, iar valoarea efectivă depinde de tensiune şi creşte cu frecvenţa. f. Circuitul RLC serie. Ecuaţia de tensiuni a circuitului RLC serie, prezentat în figura 5.19, este: u  uR  uL  uC , în care, după explicitarea căderilor de tensiune la bornele rezistenţei, inductivităţii şi a capacităţii, rezultă:

u  Ri  L

di 1  idt , dt C 

(5.113)

iar după înlocuirea relaţiilor (5.83) (5.84), se va obţine:

U 2 sin t  RI 2 sin(t   )  LI 2 cos(t   ) 

1 I 2 cos(t   ) . (5.114) C

Figura 5.19. Circuitul RLC serie. În vederea determinării valorilor I şi  se consideră două momente oarecare t, de exemplu acelea în care:

t    0

şi

t   



2

,

(5.97)

se înlocuiesc în relaţia (5.113), obţinându-se:

1   U sin    L  I , C   U cos   RI ,

(5.115) (5.116)

iar după ridicare la pătrat şi adunare, respectiv după împărţire, rezultă:

I

U 1   R   L   C  

2

;

tg 

2

L  R

1 C .

Din relaţiile anterioare (5.115 – 5.117) se observă valoarea defazajului:

73

(5.117)



 2

   arctg

1 C   . R 2

L 

(5.118)

Valoarea instantanee a curentului se poate exprima sub forma:

i

1  L   C 2 sin  t  arctg R   

U 1   R 2   L   C  

2

  .   

(5.119)

Pentru circuitul RLC serie se obţin relaţiile:

1  1   Z  R 2   L  0;  ; X  X L  X C  L  C  C   1 L  R C ; P  RI 2  R U 2 ; G 2 ; B 2 Z Z Z2 2

1  2  Q   L  I  C  

1 C U 2  0 ; S  P 2  Q 2 . 2 Z 

L 

(5.120)

Curentul absorbit de circuitul serie RLC poate fi defazat în faţa, sau în urma tensiunii aplicate la borne, iar valoarea efectivă depinde atât de tensiune, cât şi de parametrii R, L, C, . 5.4. Reprezentarea în complex a mărimilor sinusoidale Pentru a uşura rezolvarea circuitelor de curent alternativ, alimentate cu mărimi sinusoidale, a apărut necesitatea reprezentării simbolice a acestor mărimi. Corespondenţa care se stabileşte între mărimile sinusoidale, denumite - funcţii originale şi simbolurile lor, numite imagini, trebuie să fie biunivocă. Suplimentar faţă de biunivocitate, operaţiile cu ajutorul imaginilor funcţiilor sinusoidale trebuie să fie mult mai simple şi intuitive. Metoda cea mai uzitată este cea a reprezentării în complex a mărimilor sinusoidale, care stabileşte o corespondenţă biunivocă între mărimea sinusoidală de timp:

i(t )  I 2 sin(t   )

(5.121)

şi imaginea ei în complex:

i  I 2e j (t  ) ,

(5.122) în care unitatea imaginară complexă nu se va nota în continuare cu i, spre a se evita confuzia cu valoarea instantanee a curentului, ci se va nota cu:

j  1 .

Corespondenţa biunivocă a mărimii sinusoidale i, cu imaginea sa de regulă cu: i i,

74

i se va nota, (5.123)

în care sensul săgeţii va indica sensul transformării operate, iar imaginea în complex definită mai sus se numeşte imaginea în complex nesimplificată a mărimii sinusoidale. Operaţiile liniare care se transmit mărimilor complexe, sinusoidale, derivate din mărimile sinusoidale (dacă mărimilor i1  i1 şi i2  i2 le corespund biunivoc mărimile complexe), sunt cele corespunzătoare relaţiilor: - de adunare (sau scădere):

i1  i2  i1  i2 ;

(5.124)

- multiplicarea cu o constantă:

ki  k i ;

(5.125)

- derivarea în raport cu timpul:

di di   j i , dt dt

(5.126)

deoarece,

di  jI 2e j (t  )  j i ; dt - integrarea în raport cu timpul:

 idt   idt 

i , j

(5.127)

deoarece,

 idt 

1 i . I 2e j (t  )  j j

Din relaţiile (5.126) şi (5.127) se observă că operaţiile de derivare sau integrare, aplicate mărimilor complexe se reduc la multiplicarea, respectiv împărţirea cu factorul j. Pe această proprietate se poate afirma că ecuaţiile algebrice diferenţiale sau integrale ale mărimilor sinusoidale se reduc la ecuaţii algebrice ale imaginilor în complex ale respectivelor mărimi, situaţie care simplifică radical rezolvarea acestor ecuaţii algebrice. Imaginile în complex nesimplificate ale mărimilor sinusoidale se reprezintă grafic în planul complex, printr-un vector care are modulul egal cu I 2 , a mărimii sinusoidale şi argumentul ( t + ) fazei iniţiale (figura 5.20), care se roteşte cu viteza unghiulară . În rezolvarea circuitelor electrice cu ajutorul imaginilor complexe, factorul 2e jt apare la fiecare termen, ceea ce conduce la complicarea scrierii. Acesta poate fi extras ca factor comun şi lăsat la o parte, el fiind subînţeles pentru fiecare mărime sinusoidală. În acest mod se poate obţine imaginea în complex simplificată a mărimii sinusoidale, notată de regulă, prin valoarea efectivă a mărimii sinusoidale:

I  Ie j .

(5.128)

Figura 5.20. Reprezentarea în complex a imaginilor nesimplificate ale mărimilor sinusoidale.

75

Corespondenţa dintre imaginea în complex simplificată şi cea nesimplificată a unei mărimi sinusoidale este dată de relaţia:

i  I 2e jt ,

(5.129) iar trecerea de la imaginea în complex simplificată la valoarea instantanee se face cu relaţia:





i(t )  Im I 2e jt . Observaţie: Utilizarea imaginilor în complex simplificate este posibilă numai când toate mărimile sinusoidale care intervin într-o relaţie au aceeaşi pulsaţie ; pentru imaginile în complex nesimplificate, restricţia nu mai este valabilă. Operaţiile algebrice liniare se vor transmite şi asupra imaginilor în complex simplificate: - pentru adunarea (sau scăderea), dacă există relaţii de biunivocitate între i1  I1 şi i2  I 2 , atunci:

i1  i2  I1  I 2 ;

(5.130)

- multiplicarea cu o constantă:

ki  k I ;

(5.131)

- derivarea în raport cu timpul:

di  j I ; dt

(5.132)

- integrarea în raport cu timpul:

I

 idt  j .

(5.133)

Imaginile în complex simplificate se reprezintă în planul complex, prin vectori reprezentativi ficşi, de modul egal cu valoarea efectivă a mărimii sinusoidale şi cu argumentul egal cu faza a mărimii iniţiale (figura 5.21); axa Op reprezintă axa de proiecţie, iar Ot – axa timpului. Prin utilizarea reprezentării în complex, ecuaţiile integro – diferenţiale ale circuitelor electrice se transformă în ecuaţii algebrice, de gradul întâi, satisfăcute de imaginile în complex ale tensiunilor şi curenţilor. Calculul cu imaginile în complex ale mărimilor sinusoidale este însoţit de construcţii grafice în planul complex, numite diagrame vectoriale, sau fazoriale, care fac legătura intuitivă între mărimile complexe şi mărimile sinusoidale pe care le reprezintă. Diagramele fazoriale se construiesc ţinând seama de faptul că la reprezentarea grafică, adunarea, sau scăderea numerelor Figura 5.21. Reprezentarea grafică a complexe corespunde adunării, sau scăderii imaginilor în complex simplificate. vectorilor reprezentativi; înmulţirea unui număr complex cu o constantă reală,

76

corespunde amplificării vectorului reprezentativ cu acel factor; înmulţirea unui număr complex cu un factor complex de modul unitar ej, numit operator de rotaţie, corespunde rotirii vectorului reprezentativ cu argumentul  al acelui operator (înmulţirea cu 

înseamnă rotirea cu  în sens trigonometric direct, iar împărţirea cu j, 2  j 1 reprezintă înmulţirea cu   j  e 2 , înseamnă rotire cu  în sens invers). Pe aceeaşi 2 j diagramă pot fi reprezentaţi vectori diferiţi, cum ar fi tensiuni, curenţi etc., dar vor fi utilizate scări diferite, iar specii diverse nu pot fi adunate. Defazajul între două mărimi sinusoidale este reprezentat în diagrama fazorială prin unghiul format de fazorii respectivi.

je

j

2

5.5. Caracterizarea în complex a circuitelor liniare Fie dipolul liniar şi pasiv din figura 5.22, ale cărui laturi nu sunt cuplate inductiv cu alte circuite externe, tensiunea sinusoidală aplicată şi curentul absorbit, vor fi: Figura 5.22. Dipol liniar pasiv în regim permanent sinusoidal.

u  U 2 sin(t   ) 

U  Ue j ,

(5.134)

j

i  I 2 sin(t   )

 I  Ie . (5.135) Caracterizarea în complex a dipolilor liniari şi pasivi se face cu ajutorul parametrilor complecşi, de tip impedanţă, admitanţă, sau putere complexă, din care vor fi extraşi parametrii şi puterile reale. 5.5.1. Impedanţa şi admitanţa complexă a. Impedanţa complexă. Impedanţa complexă a unui dipol liniar şi pasiv se defineşte prin raportul imaginilor în complex ale tensiunii aplicate la borne şi a curentului absorbit de dipol:

Z

U  Z ( , R, L, C ,..., ) I

(5.136)

şi depinde de frecvenţă sau de parametrii dipolului, iar prin înlocuirea relaţiilor (5.134) şi (5.135) în (5.136), se va obţine:

Z 

U I



Ue j Ie j



U I

e

j (   )

Deoarece impedanţa reală este



U

cos(   )  j

I

Z

U I

sin(   ) . (5.137)

U , iar defazajul      , rezultă: I

77

Z  Ze j  R  jX .

(5.138)

Impedanţa complexă a unui circuit are modulul egal cu impedanţa circuitului, argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală, sau imaginară este egală cu rezistenţa, respectiv reactanţa circuitului:

Z  Z ;   arg{Z} ; R  Re{Z} ; X  Im{Z} .

(5.139)

Impedanţa complexă caracterizează complet dipolul considerat, la frecvenţa dată, pentru că din ea pot fi deduşi toţi parametrii reali ai circuitului, obţinându-se triunghiul impedanţelor (figura 5.23). Figura 5.23. Planul Z al impedanţelor. b. Admitanţa complexă a unui dipol liniar şi pasiv se defineşte ca inversul impedanţei, deci ca fiind raportul dintre imaginea în complex a curentului absorbit şi tensiunea aplicată la bornele dipolului:

Y

1 I   Y ( , R, L, C ,..., ) Z U

(5.140)

şi depinde de frecvenţă sau de parametrii dipolului, iar prin înlocuirea relaţiilor (5.134) şi (5.135) în (5.140), se va obţine:

I Ie j I I I (5.141) Y   e  j (   )  cos(   )  j sin(   ) . j U Ue U U U I Deoarece admitanţa reală este Y  , iar defazajul:      , rezultă: U (5.142) Y  Ye  j  G  jB . Admitanţa complexă a unui circuit are modulul egal cu admitanţa circuitului, argumentul egal cu defazajul circuitului, partea reală, sau imaginară este egală cu conductanţa, respectiv susceptanţa circuitului:

Y  Y ;   arg{Y } ; G  Re{Y } ; B  Im{Y } .

(5.143)

Admitanţa complexă caracterizează complet dipolul considerat, la frecvenţa dată, pentru că din ea pot fi deduşi toţi parametrii reali ai circuitului, obţinându-se triunghiul admitanţelor (figura 5.24). Figura 5.24. Planul Y al admitanţelor. Impedanţa şi admitanţa complexă sunt parametri complecşi, deci caracteristici ai circuitului, care acţionează în ecuaţii ca şi operatori de înmulţire.

78

5.5.2. Puterea complexă Puterea instantanee p la bornele de intrare ale dipolului, nefiind o mărime sinusoidală, nu poate fi reprezentată în complex, după regula adoptată mărimilor sinusoidale. Pentru a caracteriza dipolul din punct de vedere al puterilor se utilizează puterile activă, reactivă şi aparentă, care pot fi cuprinse într-o singură mărime complexă. Puterea complexă (puterea aparentă complexă) se defineşte ca fiind produsul imaginii complexe a tensiunii aplicate la borne şi conjugata imaginii în complex a curentului absorbit: (5.144) S U I *. Prin înlocuirea imaginilor în complex a tensiunii aplicate şi a curentului absorbit, se va obţine:

S  U I *  UIe j (  )  UI cos(   )  jUI sin(   ) , iar prin utilizarea relaţiilor de definiţie a puterilor active (5.75), reactive (5.77) sau aparente (5.79), rezultă:

S  Se j  UIe j  UI cos   jUI sin   P  jQ .

(5.145) Puterea complexă are modulul egal cu puterea aparentă, iar argumentul egal cu defazajul introdus de circuit, partea reală egală cu puterea activă, partea imaginară egală cu puterea reactivă:

S  S  UI ,   argS ,

P  UI cos   ReS , Q  UI sin   ImS.

(5.146)

Puterea complexă poate fi primită sau cedată de circuit, o dată cu puterea activă sau reactivă, după cum sensurile tensiunii U şi a curentului I sunt asociate după regula de la receptoare, respectiv de la generatoare şi se poate reprezenta în planul complex “S” al puterilor (figura 5.25). Figura 5.25. Triunghiul puterilor, planul complex S. Puterea complexă nu este imaginea în complex a oricărei puteri instantanee.

5.5.3. Caracterizarea în complex a elementelor electrice ideale de circuit Similar cu cele prezentate în paragraful 5.3.4, se vor prezenta în continuare comportarea circuitelor electrice simple, pasive, de tip R, sau L, sau C, la bornele cărora se va aplica o tensiune sinusoidală, sau complexă de forma (5.134), iar circuitele vor absorbi curentul (5.135). Pentru fiecare caz în parte se vor determina parametrii complecşi şi caracterul puterii, din care se vor putea extrage valorile instantanee, parametrii şi puterile reale, care de fapt au fost determinate în paragraful 5.3.4.

79

a. Rezistorul ideal din figura 5.26, cu ajutorul ecuaţiei (5.85), va prezenta în complex relaţia: (5.147) u  Ri  u R  U  R I  U R , din care rezultă:

U2 U I 1 . (5.148) Z  R;  Y  ; U I *  S  RI 2  R I U R Figura 5.26. Rezistor ideal şi diagrama complexă corespunzătoare. b. Bobina ideală din figura 5.27, cu ajutorul ecuaţiei (5.87), va prezenta în complex relaţia:

uL

di  u L  U  jL I  U L , dt

(5.149)

din care rezultă:

U I 1 1 ;  Z  jL ; Y  j I U jL L U2 U I *  S  jLI  j . L 2

(5.150)

Figura 5.27. Bobina ideală şi diagrama complexă corespunzătoare. c. Condensatorul ideal din figura 5.28, cu ajutorul ecuaţiei (5.91), va prezenta în complex relaţia:

u

1 I idt  uC  U  U C ,  C jC

(5.151)

din care rezultă:

I U 1 1 ; Z  j  Y  jC ; I jC C U 1 S  U I*    jCU 2 . jC

(5.152)

Figura 5.28. Condensatorul ideal şi diagrama complexă corespunzătoare. d. Circuitul RL serie din figura 5.29, cu ajutorul ecuaţiei (5.95), va prezenta în complex relaţia:

u  Ri  L

di  U  R I  jL I , dt

din care rezultă:

80

(5.153)

U I 1 R  jL ,  Z  R  jL , Y   2 I U R  jL R   2 L2 S  U I *  RI 2  jLI 2 .

(5.154)

Figura 5.29. Circuitul RL serie şi diagrama complexă corespunzătoare. e. Circuitul RC serie din figura 5.30, cu ajutorul ecuaţiei (5.105), va prezenta în complex relaţia:

u  Ri 

1 I , idt  U  R I   C jC

(5.155)

din care rezultă:

1 I 1 U 1 C , , Y    Z  R 1 1 I jC U 2 R j R  2 2 C  C 1 S  U I *  RI 2  I2. C R j

(5.156)

Figura 5.30. Circuitul RC serie şi diagrama complexă corespunzătoare. e. Circuitul RLC serie din figura 5.31, cu ajutorul ecuaţiei (5.113), va prezenta în complex impedanţa, admitanţa şi puterea complexă:

U 1    Z  R  jL  , I C   1   R  j  L   I 1 C   Y   , 2 1  U  1   2 R  j  L   R   L   C   C  

81

(5.157)

1  2  S  U I *  RI 2  jL  I . C  

Figura 5.31. Circuitul RLC serie şi diagrama complexă corespunzătoare.

5.5.4. Formele complexe ale Legii lui Ohm; Teorema lui Joubert În regim nestaţionar, deci şi în curent alternativ, relaţiile (2.19) şi (2.20) aferente circuitelor de curent continuu, nu mai sunt valabile în valori instantanee, datorită existenţei tensiunilor electromotoare induse şi a condensatoarelor. Relaţii analoage pot fi deduse cu ajutorul imaginilor complexe ale tensiunilor şi curenţilor. Astfel, pentru dipolii liniari şi pasivi, necuplaţi magnetic, relaţia corespunzătoare la (2.20), este: (5.158) U  ZI , care reprezintă forma complexă a Legii lui Ohm. Analog relaţiei (2.19) este Teorema lui Joubert, care se mai numeşte şi forma complexă generalizată a legii lui Ohm. Fie cazul general, când pe o latură oarecare k a unei reţele electrice sunt conectate în serie, un rezistor, o bobină – cuplată cu mediul extern prin fluxul k ext, un condensator şi un generator de tensiune electromotoare sinusoidală (figura 5.32). Pe conturul închis  se alege sensul de parcurgere, sau de integrare (identic cu sensul curentului), iar sensul fluxului va fi cel dat de regula burghiului drept. Prin aplicarea legii inducţiei electromagnetice asupra conturului ales, se va obţine:

Figura 5.32. Latură activă de circuit electric, cuplată magnetic.

 E ds  e

gk



 Lk

dik d kext .  dt k dt

(5.159)

Integrala trebuie să fie (conform teoremei a doua a lui Kirchhoff), egală cu suma căderilor de tensiune, de-a lungul firului urk: (5.160)  E ds  u Rk  uCk  ubk 

Prin explicitarea tensiunilor uRk şi uCk, rezultă ecuaţia :

egK  ubk 

d kext di 1  Rk ik  Lk k  ik dt , dt dt Ck 

82

(5.161)

iar prin trecerea ei în complex simplificat, ecuaţia devine: E gk  U bk  j  kext  Z k I k , în care cu

(5.162)

Z k s-a notat impedanţa complexă a laturii: Z k  Rk  j (Lk 

1

C k

).

(5.163)

Termenii din membrul stâng al ecuaţiei (5.162) reprezintă tensiunea aplicată laturii:

(5.164) U ak  E gk  U bk  j  kex , din care rezultă ecuaţia analoagă legii lui Ohm din curent continuu: (5.165) U ak  Z k I k , numită şi teorema lui Joubert. Prin însumarea tuturor tensiunilor electromotoare, se obţine o tensiune rezultantă a laturii care va fi: (5.166) E k  E gk  j  ext , iar teorema lui Joubert:

E k  U bk  Z k I k .

(5.167)

Exprimarea fluxului magnetic exterior ca o sumă de fluxuri magnetice mutuale, produse de laturi conduce la: (5.168)  kext   Lks I s , s

iar prin inserarea în (5.162) se va obţine o nouă formă a teoremei lui Joubert:

E gk  U bk  Z k I k   Z ks I s ,

(5.169)

s

Z kr – reprezintă impedanţa mutuală (de cuplaj) a laturilor k şi s: Z ks  jLks  jX ks . (1.170) Termenul U ks  Z ks I s  jX ks I s reprezintă căderea de tensiune indusă mutual de curentul I s în latura k: în care

5.5.5. Teoremele impedanţelor echivalente a. Conectarea în serie a impedanţelor Cei n dipoli pasivi, necuplaţi, inductiv între ei, sau cu exteriorul, conectaţi în serie (figura 5.33) cu impedanţele Z 1 , Z 2 ..., Z n , alimentaţi cu tensiunea U b , vor absorbi curentul

I.

Figura 5.33. Dipoli pasivi, necuplaţi inductiv, conectaţi în serie.

83

Tensiunea aplicată la borne se va distribui fiecărui dipol:

U k  Z k I , iar cu a

doua teoremă a lui Kirchoff se va obţine:

U b  U 1  U 2  ...  U n Z e I  Z 1 I  Z 2 I  ...  Z n I , care după simplificare rezultă impedanţă echivalentă: n

Z e  Z 1  Z 2  ...  Z k   Z k , k 1

iar dupa explicitarea părţilor reale şi imaginare: n

Re   Rk ; X e   X k k 1

k 1

Pe baza relaţiilor deduse dipolii pasivi, conectaţi în serie, pot fi reprezentaţi ca o conexiune serie între o rezistenţă serie şi un element reactiv (figura 5.34). Figura 5.34. Circuitul echivalent serie a unui dipol pasiv şi diagrama lui fazorială. Căderile de tensiune pe componenta activă, respectiv reactivă a dipolului considerat, sunt:

U a  Re I U r  jX e I . b. Conectarea în paralel a impedanţelor Pentru n dipoli pasivi, necuplaţi, inductiv între ei, sau cu exteriorul şi cuplaţi în paralel cu admitanţe complexe Y 1 , Y 2 ,..., Y n , alimentaţi cu tensiunea U b , vor absorbi curentul

I (figura 5.35). Figura 5.35. Dipoli pasivi necuplaţi inductiv, conectaţi în paralel. Curentul prin fiecare dipol poate fi exprimat ca fiind: I k  Y kU b ,

iar cu prima teoremă a lui Kirchhoff:

I  I 1  I 2  ...  I n Y eU b  Y 1U b  Y 2U b  ...  Y n U b . După simplificare rezultă:

84

n

Y e  Y 1  Y 2  ...  Y n   Y k , k 1

iar prin explicitarea părţilor reale şi imaginare se ajunge la: n

n

k 1

k 1

Ge   Gk ; Be   Bk Pe baza relaţiilor deduse, dipolii pasivi, conectaţi în paralel, pot fi reprezentaţi ca o conexiune paralel între o rezistenţă şi un element reactiv (figura 5.36) Figura 5.36. Circuitul echivalent paralel a unui dipol pasiv şi diagrama lui fazorială. Curenţii prin componenta activă, respectiv reactivă a dipolului considerat, sunt:

I a  Ge U b I r   jBe U b 5.5.6. Rezonanţa în circuitele electrice de curent alternativ Dipolul electric în curent alternativ sinusoidal poate fi caracterizat complet prin impedanţa / admitanţa complexă, sau prin componentele acestora. Dacă circuitul conţine elemente reactive de tip inductiv şi capacitiv, iar reactanţa Xe sau susceptanţa Be echivalentă este nulă, iar circuitul se află la rezonanţă. Caracterul rezonanţei depinde de felul circuitului: serie, paralel, mixt. Pentru circuitul R, L, C serie (figura 5.37) se aplica teorema a doua a lui Kirchhoff:

Figura 5.37. Circuitul R, L, C serie şi diagramele fazoriale posibile.

U b  U R  U L  U c  R I  jI  j

I C

(5.171)

şi se obţine una din diagramele fazoriale: - reactanţa inductivă este mai mare decât cea capacitivă X L > XC (figura 5.37, b); - reactanţa capacitivă este mai mare decât cea inductivă XC > XL (figura 5.37, c); - reactanţa inductivă este egală cu cea capacitivă (figura 5.37, d), prin urmare Xe = XL - XC = 0, caz în care Z e  Re  R , deci U b  U R .

85

Rezonanţa serie este denumită şi rezonanţa tensiunilor, datorită faptului că U C

 UL .

Pentru această situaţie curentul absorbit depinde numai de rezistenţa echivalentă a dipolului, deci va lua valoarea maximă. La bornele elementelor reactive pot apărea tensiuni mult mai mari ca şi tensiunea de alimentare. Pentru evaluarea nivelului tensiunilor pe elementele reactive, la rezonanţă se utilizează factorul de calitate:

q

UL X LI X L .   UR RI R

(5.172)

Rezonanţa în circuitele energetice, de curenţi tari nu este de dorit; pentru aceste cazuri factorul de calitate are valori de ordinul zecilor sau unităţilor. În circuitele electronice, la frecvenţe mari, rezonanţa este utilă, iar factorul de calitate poate avea valori de ordinul sutelor. În cazul rezonanţei circuitelor formate din elemente pasive conectate în paralel, denumită şi rezonanţă paralel (figura 5.38), sau rezonanţa curenţilor, fenomenul apare la compensarea reciprocă a curenţilor reactivi ( I L  I C  0 ). Curentul absorbit de la reţea prezintă valori minime şi este determinat de valoarea rezistenţei din circuit. Figura 5.38. Rezonanţa în circuitul RLC paralel (a) şi diagrama fazorială (b). Pentru oricare dintre rezonanţe, curentul absorbit este în fază cu tensiunea aplicată la borne, iar puterea reactivă necesară elementelor inductive este furnizată de condensatoare, astfel încât puterea reactivă primită de circuit este nulă. Pentru un circuit dat, rezonanţa poate să fie provocată, fie prin varierea frecvenţei, fie prin modificarea parametrilor elementelor reactive. La circuitele paralel prin modificarea capacităţilor, astfel încât curentul absorbit să fie minim, se ajunge la compensarea factorului de putere. Provocarea unei rezonanţe serie pentru compensarea factorului de putere nu este de dorit, deoarece metoda conduce la creşterea excesivă a tensiunii la bornele elementelor reactive. Rezonanţa poate avea aplicaţii benefice în circuitele de filtrare, când pot fi favorizate trecerea unor semnale de o anumită frecvenţă. 5.5.7. Linia monofazată scurtă de curent alternativ şi compensarea factorului de putere Producerea energiei electrice se realizează centralizat în centrale electrice, iar transportul ei către consumator se materializează prin linii electrice. Fie o linie electrică monofazată de transport a energiei electrice, care leagă generatorul de consumator şi a cărei schemă echivalentă este prezentată în figura 5.39. Pentru o astfel de linie, se poate considera că impedanţa ei este formată din rezistenţa Rl, serie cu reactanţa inductivă Xl: Z l  Rl  jX l . (5.173)

86

Figura 5.39. Linie monofazată de transport a energiei electrice.

determina dependenţa tensiunilor

U g şi U

Pentru receptor se consideră cunoscute: U, P, Q sau I şi cos , sau cos  şi caracterul sarcinii, dar se va , în funcţie de sarcină şi se vor determina

pierderile de putere pe linia de transport. Pierderea de tensiune sau variaţia de tensiune pe linia de transport se defineşte ca fiind diferenţa dintre valorile efective de tensiune de la începutul, respectiv sfârşitul liniei: (5.174) U  U g  U , care în complex, devine:

U  U g  U  Rl I  jX l I  Z l I

(5.175)

şi se numeşte cădere geometrică de tensiune pe linie, cu diagrama fazorială prezentată în figura 5.40. Figura 5.40. Diagrama fazorială a liniei monofazate. Căderea de tensiune geometrică prezintă două componente, dintre care componenta în fază cu tensiunea receptorului este denumită căderea longitudinală de tensiune, iar componenta în cuadratură, numită cădere transversală de tensiune: AD  U l  Rl I cos   X l I sin  (5.176)

DC  Ut   Rl I sin   X l I cos  .

(5.177)

Căderea de tensiune pe linia de transport poate fi scrisă sub forma:

U  U g  U 

U  Ul 2  Ut 2  U ,

(5.178)

iar prin neglijarea căderii transversale de tensiune, se obţine forma simplificată:

U  Rl I cos   X l I sin 

(5.179)

şi după înlocuirea componentelor curentului în expresiile puterilor active şi reactive: P  UI cos  şi Q  UI sin  , se obţine o nouă expresie a căderii de tensiune:

U 

Rl P  X l Q , U

(5.180)

relaţie care evidenţiază clar influenţa puterilor transmise pe linia de transport asupra căderii de tensiune. Căderea de tensiune este pozitivă dacă sarcina are caracter rezistiv sau inductiv şi este proporţională cu puterea transmisă; pentru sarcini capacitive, căderea de tensiune poate deveni negativă, deci tensiunea la bornele sarcinii va creşte. Pierderile de putere pe linia de transport a energiei electrice vor fi dependente de puterile active, respectiv reactive, care sunt vehiculate pe respectiva linie:

87

P  Rl I 2  Rl

P2  Q2 P2  Q2 2 , Q  X l I  X l . U U

(5.181)

În vederea micşorării căderii de tensiune şi a pierderilor de putere pe linia de transport, trebuie micşorată puterea reactivă transmisă pe această linie, prin îmbunătăţirea factorului de putere al receptorului inductiv, conectând în paralel cu acesta un receptor reactiv complementar, de regulă un condensator (figura 5.41). Figura 5.41. Compensarea factorului de putere la consumatori inductivi şi diagrama fazorială. La o aceeaşi putere activă transmisă pe linia de transport, puterea reactivă a receptorului scade la valoarea Q'  Q  QC , în care QC reprezintă puterea reactivă complementară, furnizată de receptorul capacitiv, iar între puteri există relaţiile: (5.182) QC  Q  Q' ; Q  Ptg  ; Q'  Ptg  ' , cu puterea reactivă a condensatorului:

QC  CU 2 ,

(5.183)

din care rezultă capacitatea bateriei de condensatoare:

C

QC Q  Q' P tg  tg ' .   2 2 U U U 2

(5.184)

Compensarea completă a puterii reactive a receptorului deservit are loc la Q’=0, sau la ’=0, când curentul I’ şi pierderile de putere pe linia de transport sunt minime. Valoarea minimă a factorului de putere pentru care nu se percep penalităţi de către firmele furnizoare de energie electrică este cos φ ≥ 0,92. 5.6. Teoremele lui Kirchhoff pentru reţelele de curent alternativ Reţelele de curent alternativ pot fi studiate cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, dar cu particularităţi distincte, cauzate în principal de influenţele cuplajelor magnetice ale anumitor laturi. 5.6.1. Elemente de topologia reţelelor de curent alternativ Topologic, orice reţea electrică de curent alternativ se poate defini prin laturi, noduri, ochiuri şi cuplaje inductive. Latura este acea parte a reţelei electrice, formată din elemente înseriate, mărginită de două noduri. Nodul reprezintă punctul de concurenţa a minimum trei laturi, sau punctul în care se unesc extremităţile unei laturi închise în ea însăşi. Prin ochi se înţelege orice succesiune de laturi ale reţelei care formează un contur închis şi care poate fi parcurs trecând o singură data prin fiecare nod al ei. Se numeşte ochi independent, acel ochi care prezintă cel puţin o latură necomună în sistemul considerat. Sistemul fundamental de ochiuri independente are alegerea ochiurilor astfel efectuată, încât

88

fiecare ochi al sistemului este independent faţă de celelalte şi oricare ochi al reţelei care nu aparţine sistemului nu este independent faţă de acesta. Reţeaua este conexă dacă oricare două noduri ale reţelei pot fi unite printr-o curbă care trece numai prin laturi ale reţelei. În curent alternativ şi în regim variabil prezintă interes şi reţelele neconexe, ale căror părţi conexe, numite şi subreţele, izolate galvanic unele de altele, pot interacţiona prin inducţie electromagnetică. Pentru exemplificarea noţiunilor adoptate, în figura 5.42, a este prezentată o reţea electrică cu 2 subreţele, 4 laturi, 3 noduri şi 3 ochiuri independente, iar în figura 5.42, b a fost reprezentată schema topologică a reţelei, pe care s-au ales sensurile curenţilor şi ale sensurilor de parcurgere ale ochiurilor independente.

Figura 5.42. Reţea electrică cu două subreţele (a) şi schema ei topologică (b). Numărul ochiurilor independente, O este dat de relaţia: O = L – N + S, (5.185) în care: L – numărul de laturi neconexe; N – numărul de noduri; S – numărul de subreţele conexe a reţelei de curent alternativ. Pentru exemplul prezentat în figura 5.42, rezultă: L = 4; N = 3; S = 2 şi O =3. 5.6.2. Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff Forma generală a teoremelor lui Kirchhoff, valabile pentru oricare regim cvasistaţionar este similară cu cele obţinute în curent continuu: - prima teoremă

i

kN

- a doua teoremă

 0,

k

u

kO

bk

(5.186)

0,

(5.187)

în care: Nα - mulţimea laturilor concurente în nodul α, Oλ – mulţimea laturilor care compun ochiul λ. Pentru mărimi sinusoidale, forma complexă simplificată a teoremelor lui Kirchhoff, pot fi scrise astfel: - prima teoremă

I

k

 0,

(5.188)

kN

- a doua teoremă

U

bk

 0.

(5.189)

kO

În anumite cazuri se preferă alte forme ale teoremei a doua a lui Kirhhoff, în special cele derivate din teorema lui Joubert:

89

E Z k

kO

k

Ik .

(5.190)

kO

Pentru reţelele care prezintă cuplaje magnetice între laturi, tensiunile electromotoare ale surselor trebuie să compenseze căderile de tensiune proprii şi induse mutual între laturile ochiului:

E

kO

gk

Zk Ik  kO

 Z

kO

ks

Ik ,

(5.191)

sL sk

toate tensiunile electromotoare şi căderile de tensiune se consideră a fi calculate în sensul de parcurgere al ochiului luat în considerare. Pe baza analogiei dintre curentul continuu şi mărimile complexe: E  E ; U  Y ; V  V , (5.192) U ; I   I ; R   Z ; G  legea lui Ohm, teoremele lui Kirchhoff şi metodele derivate din teoremele lui Kirchhoff, aplicate în curent continuu, pot fi transpuse şi în curent alternativ numai dacă nu există cuplaje electromagnetice între laturile reţelei.

5.6.3. Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în complex Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff în complex presupune parcurgerea următoarelor etape: - alegerea sensurilor de referinţă pentru curenţii laturilor, alegerea ochiurilor independente şi a sensului lor de parcurgere; - caracterizarea în complex a surselor, prin imaginile complexe ale tensiunilor electromotoare, iar a elementelor pasive prin impedanţele lor complexe proprii sau mutuale; - se scriu cu prima teoremă, cele N-S ecuaţii independente, pentru nodurile reţelei; - se scriu cu a doua teoremă, cele O ecuaţii, pentru ochiurile independente ale reţelei; - se rezolvă cele L = N - S + O, ecuaţii liniare şi independente, din care rezultă curenţii prin laturile reţelei. Verificarea aplicării corecte a metodei ecuaţiilor lui Kirchhoff se poate face fie prin aplicarea teoremei a doua altor ochiuri considerate ca fiind independente, sau prin efectuarea bilanţului puterilor complexe. 5.7. Alte teoreme şi metode utilizate în studiul reţelelor de curent alternativ 5.7.1. Teorema conservării puterilor Teorema conservării puterilor, aplicată în curent continuu, îşi găseşte aplicabilitate şi în oricare reţea electrică în regim variabil cvasistaţionar: suma dintre puterea instantanee pb primită la bornele reţelei şi puterea instantanee pg generată de sursele din reţea este egală cu suma dintre puterile instantanee pr disipate în elementele rezistive ale reţelei şi viteza de variere a energiei electromagnetice we + wm acumulată în câmpul electric al condensatoarelor şi în câmpul magnetic al bobinelor:

90

pb  pg  pr  în care:

d we  wm  , dt

(5.193)

pb   ubkik ; pg   egkik ; pr   Rk ik2 ; kB

we 

kL

kL

2 k

q 1 1 1 2 ; wm   Lk ik   Lks ik is .  2 kL Ck 2 kL 2 kL sL

(5.194)

sk

Pentru reţelele electrice de curent alternativ şi prin utilizarea reprezentării în complex a mărimilor sinusoidale, se obţine teorema conservării puterii complexe: suma puterilor complexe primite la borne S b şi puterea complexă S g dată de sursele reţelei este egală cu puterea complexă circuit, de tip rezistiv sau reactiv

S Z  PR  jQX primită de elementele pasive de

S b  S g  S Z  PR  jQX , în care:

(5.195)

S b  Pb  jQb  U bk I k ; *

kB

S g  Pg  jQg   E gk I k ; *

(5.196)

kL

S Z  PR  jQ X   Z b I k   2

kL

kL

Z

*

ks

IsIk .

sL s k

Teoremele conservării puterilor se poate aplica şi componentelor puterii complexe, rezultând teoremele conservării puterilor active şi reactive: Pb  Pg  PR şi Qb  Qg  QX . (5.197) Teorema conservării puterilor se aplică mai ales pentru verificarea bilanţului puterilor efectuat pentru întreaga reţea sau pentru porţiuni din reţea, separate prin borne fictive introduse, cu tensiuni la borne rezultate din calcul.

5.7.2. Teorema transferului maxim de putere Pentru circuitul simplu de curent alternativ din figura 5.43, compus dintr-o sursă reală cu tensiunea electromotoare E g şi impedanţa internă Z g  Rg  jX g , care debitează pe o sarcină cu impedanţa

Z s  Rs  jX s . Problema impusă este de a

afla care este valoarea impedanţei de sarcină pentru care puterea activă transferată de la sursă spre consumator să fie maximă. Puterea activă transferată sarcinii are expresia:

P  Rs I 2  Rs

Eg2 Zg  Zs

2

 Eg2

R

g

91

 Rs 

2

Rs . 2  X g  X s 

(5.198)

Considerând cunoscute datele sursei (Eg, Rg, Xg), condiţiile de extrem se obţin prin anularea derivatelor parţiale ale puterii active, P(Rs, Xs):

R  Rs   X g  X s   2Rg  Rs Rs  0 , P  Eg2 g Rs Rg  Rs 2  X g  X s 2 2 2

2



 2X g  X s Rs P  Eg2 X s Rg  Rs 2  X g  X s 2







2

 0.

(5.199)

(5.200)

Figura 5.43. Sursă şi receptor. Maximul căutat se obţine pentru valorile: Xs  X g ,

(5.201)

Rs  Rg ,

(5.202)

Z s  Z g* .

(5.203)

care sunt echivalente cu relaţia: Puterea maximă transmisă de sursă către o sarcină se obţine atunci când impedanţa sarcinii este egală cu conjugata complexă a impedanţei interne a sursei; fenomenul se numeşte adaptarea sarcinii la sursă, din punctul de vedere al transferului maxim de putere activă. Pentru cazul considerat, puterea maximă debitată de sursă este:

Pmax 

E g2

,

(5.204)

4 Rg

ca un randament al transferului de putere activă, corespunzător Rs  Rg şi X s   X g :

E g2



E g2

Pmax 4 Rg 4 Rg   2  0,5 . Eg P Eg I

(5.205)

2 Rg În electroenergetică acest randament nu poate fi acceptat, motiv pentru care se lucrează cu condiţia Rg  Rs , departe de condiţia de adaptare, dar la valori mari ale randamentului. Din relaţia (5.204) se observă că atunci când impedanţa internă a sursei tinde către zero, puterea debitată de sursă va tinde spre infinit. În această situaţie, tensiunea la borne va fi practic egală cu tensiunea electromotoare a sursei, U  E g  Z g I  E g . O astfel de sursă, capabilă să menţină tensiunea la borne constantă, se numeşte sursă de putere infinită. Condiţia de adaptare a sarcinii la sursă (5.203) se utilizează în electronică, unde aspectul randamentului este unul secundar şi prezintă interes transferul maxim de putere activă.

92

5.7.3. Metode de transfigurare Pentru circuitele necuplate inductiv cu exteriorul, teoremele de transfigurare deduse în curent continuu îşi păstrează valabilitatea; reţelele se numesc triunghiuri, respectiv stele de impedanţe sau admitanţe (figura 5.44). Figura 5.44. Impedanţe conectate în triunghi (a) sau stea (b). a) Teorema transfigurării triunghi–stea. La transfigurarea unui triunghi de impedanţe Z 12 , Z 23 , Z 31, se va obţine o stea echivalentă unică, cu impedanţele Z 1 ,

Z 2, Z 3 : Z 12 Z 31 Z 12 Z 23 Z 23 Z 31 ; Z2  , Z3  (5.206) Z1  Z 12  Z 23  Z 31 Z 12  Z 23  Z 31 Z 12  Z 23  Z 31 şi admitanţele Y 1 , Y 2 , Y 3 : 1 Y 12Y 23  Y 23Y 31  Y 31Y 12 1 Y 12Y 23  Y 23Y 31  Y 31Y 12 ; Y2  ; Y1    Z1 Y 23 Z2 Y 31 1 Y 12Y 23  Y 23Y 31  Y 31Y 12 . (5.207) Y3   Z3 Y 12 b) Teorema transfigurării stea - triunghi. La transfigurarea unei stele de

1 1 1 , Y2  , Y3  se va obţine un triunghi echivalent unic, cu Z1 Z2 Z3 admitanţele laturilor Y 12 , Y 23 , Y 31 : Y 1Y 2 Y 2Y 3 Y 3Y 1 ; Y 23  ; Y 31  (5.208) Y 12  Y1  Y 2  Y 3 Y1  Y 2  Y 3 Y1  Y 2  Y 3 admitanţe

Y1 

şi impedanţele:

1 Z Z  Z 2 Z 3  Z 3 Z1 ;  1 2 Y 12 Z3 1 Z Z  Z 2 Z 3  Z 3 Z1 Z 31   1 2 . Y 31 Z2 Z 12 

Z 23 

1 Z Z  Z 2 Z 3  Z 3 Z1 ;  1 2 Y 23 Z1 (5.209)

Cu metodele de transfigurare se poate uşor demonstra faptul că la aceleaşi impedanţe identice, conectate în stea şi apoi trecute în triunghi, conexiunea prezintă o impedanţă echivalentă de trei ori mai mare, ceea ce implicit va determina şi un curent mai mic la pornirea în stea, faţă de triunghi a maşinii asincrone trifazate.

93

5.7.4. Teorema generatorului de tensiune echivalent (Thévenin - Helmholtz) Curentul absorbit de impedanţa ( Z ), conectată la bornele dipolului activ, care nu are cuplaje inductive cu exteriorul, din figura 5.45 a, este: Figura 5.45. Dipol liniar activ în sarcină (a) şi schema generatorului de tensiune echivalent (b). a.

b.

U ABo , Z  Z ABo

I AB 

(5.210)

unde: U ABo - reprezintă tensiunea de mers în gol a dipolului (sarcina Z nu este conectată la bornele A şi B); Z ABo - impedanţa echivalentă a dipolului pasivizat, obţinut prin anularea tensiunilor electromotoare ale surselor dipolului, fără a se modifica impedanţele lor interne. Dipolul liniar activ poate fi înlocuit cu un generator echivalent de tensiune, care va avea tensiunea electromotoare E g  U ABo şi impedanţa internă Z ABo conectată în serie cu impedanţa de sarcină

Z.

5.7.5. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton) Tensiunea aplicată admitanţei Y  1 / Z care este conectată la bornele dipolului activ, fără cuplaje inductive cu exteriorul, din figura 5.46 a, este: Figura 5.46. Dipol liniar activ în sarcină (a) şi schema generatorului de curent echivalent (b). a.

b.

U AB 

I ABsc , Y  Y ABo

(5.211)

unde: I ABsc - reprezintă curentul de scurtcircuit la bornele dipolului (sarcina - conectată la bornele A şi B este nulă);

Y ABo - admitanţa internă a dipolului pasivizat, Y ABo 

94

1 Z ABo

.

Z 0

Dipolul liniar activ poate fi înlocuit cu un generator echivalent de curent, care va debita un curent constant I g  I ABsc şi prezintă o admitanţă internă Y ABo conectată în paralel cu impedanţa de sarcină Z . Modul de demonstrare a teoremelor generatoarelor echivalente de tensiune sau de curent este analog teoremelor aplicate în curent continuu. 5.7.6. Teorema superpoziţiei Curentul din oricare latură a unei reţele liniare de curent alternativ, care posedă mai multe surse, este suma algebrică a curenţilor produşi de fiecare tensiune electromotoare în parte, dacă ar acţiona singură în reţea; restul surselor se presupune că prezintă tensiunile electromotoare nule, dar care posedă aceleaşi impedanţe interne. Teorema superpoziţiei se utilizează în special pentru demonstrarea unor metode de rezolvare a unor circuite electrice liniare, cum ar fi, de exemplu, teorema generatorului echivalent de curent (Norton).

5.7.7. Metode sistemice pentru rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ În baza analogiei dintre circuitele de curent continuu şi reţelele de curent alternativ, fără cuplaje electromagnetice între laturile reţelei (5.192), metodele sistemice de rezolvare prezentate în capitolul 3.4 a. Metoda curenţilor ciclici. Pentru fiecare ochi independent se poate scrie câte o relaţie de forma: (5.212) E  Z I , cj



kj

ck

k

în care:

E cj – suma tensiunilor electromotoare din ochiul j, în sensul de referinţă al

curentului ciclic

I cj ;

Z kj – suma impedanţelor laturilor comune ochiurilor k şi j;

I ck – curentul ciclic al ochiului k. Numărul total al ecuaţiilor care pot fi scrise este egal cu al ochiurilor independente: O = L – N + 1. Extinderea metodei curenţilor ciclici la reţelele de curent alternativ care posedă cuplaje inductive, necesită înlocuirea impedanţei comune a laturilor ochiurilor k şi j ( Z kj ), din relaţia (5.212), cu suma dintre impedanţa comună a laturilor ochiurilor k şi j cu impedanţa complexă mutuală dintre ochiurile respective. b. Metoda potenţialelor de noduri. Pentru fiecare nod al reţelei se poate scrie câte o relaţie de forma:

95

V j  Y jk  V k Y jk   E jk Y jk  0 , k

în care:

k

(5.213)

k

E jk – suma tensiunilor electromotoare din laturile j şi k;

Y jk – suma admitanţelor laturilor comune ochiurilor j şi k; V j , V k – potenţialele nodurilor j şi k. Numărul total al ecuaţiilor care pot fi scrise este mai mic decât cel al nodurilor: N - 1. Extinderea metodei potenţialelor de noduri la reţelele de curent alternativ care posedă cuplaje inductive, prezintă particularităţi care depăşesc cadrul cursului.

5.8. Probleme rezolvate 1o. Să se calculeze impedanţele complexe, valorile instantanee şi complexe ale tensiunilor la bornele unor elemente ideale de circuit, de tip: a) rezistiv, cu R = 20 ; b) inductiv, cu L = 10 H; c) capacitiv cu C = 10 F, dacă fiecare absoarbe curentul   i  210 sin 2 50t   , mA. Reprezentaţi diagramele fazoriale. 

3

Rezolvare: a) Cu legea lui Ohm se determină valoarea tensiunii la bornele rezistenţei:     u  Ri  20 2 x10 x103 sin 2 50t    0,2 2 sin 314t   , V R



j



j

3





j

3



j



I  Ie 3  0,01e 3 , A; U R  Ue 3  0,2e 3 , V; Z R  R  20 , ; b) Determinăm valoarea impedanţei complexe Z L  jL  j314 x10  3140 j , ; după care, cu legea lui Ohm, se determină valoarea tensiunii la borne: j



U L  Z L I  3140e 2 x0,01e

j

 3

 31,4e

   j   2 3

 31,4e

j

5 6

,V

  5  5  , V;    uL  LI 2 sin 2 50t     10 x314 x0,01 2 sin 314t    31,4 2 sin 314t   3 2 6  6    

c) Determinăm valoarea impedanţei complexe Z   j   C C

j  318,5 j , ; 314 x10 x10 6

după care, cu legea lui Ohm, se determină valoarea tensiunii la borne: U C  Z C I  318,5e

j

 2

j



x0,01e 3  318,5e   1

   j     2 3

 31,4e

j

 6

,V

1      uC  I 2 sin 2 50t     0,01 2 sin 314t    3,185 2 sin 314t   , V; C 3 2  10 x10 6 x314 6 6   

Pentru reprezentarea în complex a mărimilor determinate, se consideră curentul impus ca origine de fază (figura 5.47). Figura 5.47. Diagrama fazorială aferentă problemei 1 o.

96

2o. Unei bobine i se aplică tensiunea u  220 2 sin100t , V. Pentru determinarea rezistenţei R şi a inductivităţii L a bobinei, se utilizează montajul din figura 5.48. Se cer parametrii R, L ai bobinei, dacă ampermetrul indică I = 16 A şi wattmetrul P = 640 W. Figura 5.48. Determinarea parametrilor unei bobine reale. Rezolvare: Din legea lui Ohm, se determină valoarea impedanţei echivalente a bobinei reale: Z  U  220  55 , Ω, iar din expresia puterii I

16

4

active monofazate: P  UI cos  , rezultă factorul de putere, cos   P  640  2 . Cu UI

220 x16

11

aceste valori se va determina rezistenţa: R  Z cos   55 2  5  2,5 , Ω şi reactanţa 4 11

2

inductivă: 2

2

 55   5  X  Z sin   Z 2  R 2        14 , Ω.  4  2

Reactanţa unei bobine este: X  L , expresie din care rezultă inductivitatea bobinei: X 14 0,014 , H. L    100  3o. Într-un atelier mecanic se află motoarele: P1 = 1 kW; cos φ1 = 0,6; P2 = 4 kW; cos φ2 = 0,7; P3 = 5 kW; cos φ3 = 0,76; P4 = 10 kW; cos φ4 = 0,8. Motoarele sunt alimentate în paralel de la o tensiune sinusoidală U = 220 V, f = 50 Hz. Se cer: a. I1 = ?; I2 = ?; I3 = ?; I4 = ? b. Factorul de putere total cos φt = ? c. Valoarea capacităţii bateriei de condensatoare, pentru a avea un cos φ = 0,9. d. Valoarea efectivă a curentului absorbit după introducerea bateriei de condensatoare. Rezolvare: a. Din expresia puterii active monofazate: P  UI cos  , rezultă curenţii absorbiţi de fiecare motor în parte, I  P ; I1 = 7,58 A; I2 = 26 A; I3 = 30 A; I4 = 56,8 A; U cos 

b. Valoarea efectivă a curentului total absorbit de cele patru motoare va fi: It = I1 + I2 + I3 + I4 = 120,38 A, iar componenta activă a curentului total absorbit: Ita = I1 cos φ1 + I2 cos φ2 + I3 cos φ3 + I4 cos φ4 = 91 A. Relaţia existentă între cei doi curenţi absorbiţi de motoare este: Ita = It cos φt, din care rezultă cos φt = Ita / It = 0,75. Factorul de putere total mai poate fi determinat din relaţia: cos φt = Pt / St = (P1 + P2 + P3 + P4) / UIt =0,75; c. Puterea aparentă absorbită de cele patru motoare, pentru un cos φ = 0,9 va fi: S = Pt / cos φ = 20000 / 0,9 = 22222 VA, căreia îi va corespunde o putere reactivă: Q  S 2  Pt 2  22222 2  20000 2  9686 , VAR, iar unui cos φt =0,75: 2 Qt  St2  Pt 2  220 x120,38  20000 2  17360 VAR. Valoarea capacităţii bateriei de condensatoare va fi: C  Qt  Q  17360  9686  505 μF;

U 2

97

314 x2202

d. Cu noul factor de putere compensat, puterea activă totală va putea fi exprimată sub forma: Pt = UI cos φ, din care rezultă noua valoare efectivă a curentului: Pt 20000 A. I   101 U cos 

220 x0,9

5.9. Probleme propuse 1o. O bobină reală, cu rezistenţa Rs = 3 [] şi inductivitatea Ls = 40/π [mH], este conectată în paralel cu un condensator C = 1 / 200π [F]. Dacă circuitul absoarbe curentul i(t )  5 2 sin(100t   / 6) , [A], se cere: a. impedanţa Z a bobinei; b. impedanţa Z e echivalentă a conexiunii paralel; c. tensiunea de alimentare a circuitului u(t );U ; d. curentul complex prin condensator şi prin bobină; e. reprezentaţi schema circuitului; f. reprezentaţi diagrama fazorială a tensiunii aplicate şi a curenţilor absorbiţi. 2o. Care dintre consumatorii caracterizaţi de impedanţele:

Z 1  10  10 j , [Ω];

Z 2  10  10 j , [Ω]; Z 3  10 , [Ω]; Z 4  10 j , [Ω]; Z 5  10 j , [Ω] absoarbe numai putere reactivă ? Caracterizaţi consumatorii, justificaţi şi comentaţi răspunsul. 3o. Calculaţi valoarea efectivă şi complexă a curentului ( I ) absorbit de impedanţele Z 1  10  10 j , [Ω] şi Z 2  1  j , [Ω], înseriate, alimentate din reţeaua monofazată, cu tensiunea de 220 V, 50 Hz. 4o. Un ventilator electric monofazat, tip dipol inductiv, are datele nominale: U = 100 V; I = 1,11 A; P = 9 W şi f = 50 Hz, se cere: a. reactanţa şi impedanţa dipolului; b. rezistenţa şi inductivitatea ventilatorului; c. diagrama fazorială, considerând curentul ca origine de fază. Pentru alimentarea ventilatorului de la reţeaua monofazică de 220 V / 50 Hz, acesta se înseriază cu un condensator. Se cere: d. capacitatea şi tensiunea la bornele condensatorului; e. reprezentaţi noua diagramă fazorială. 5o. La reţeaua monofazată 220 V / 50 Hz se conectează o bobină reală cu inductivitatea Ls = 0,47 H şi rezistenţa Rs = 10 Ω. Determinaţi: reactanţa bobinei; curentul prin bobină; puterile active şi reactive absorbite. 6o. Impedanţa Z 1  10  10 j [Ω] se leagă în paralel cu Z 2  15  15 j [Ω], iar ansamblul lor în serie cu Z 3  20  5 j [Ω]. Determinaţi impedanţa echivalentă. 7o. Două surse cu t. e. m. e1  220 2 sin t [V] şi e2  110 2 sin(t   / 3 [V] sunt conectate în serie. Să se determine t. e. m. totală şi pulsaţia sursei echivalente, dacă f = 50 Hz.

98

6. CIRCUITE TRIFAZATE Prin avantajele oferite de circuitele trifazate, legate de oportunitatea apariţiei şi dezvoltării câmpurilor magnetice învârtitoare în configuraţii specifice, care stau la baza maşinii asincrone trifazate, dar şi economiei de materiale conductoare, circuitele trifazate stau la baza alimentării cu energie electrică a celor mai multe sfere ale activităţii umane. 6.1. Generalităţi, definiţii şi convenţii asupra mărimilor trifazate Un generator de curent alternativ trifazat are în componenţă trei înfăşurări identice, decalate în spaţiu între ele cu un unghi   2 şi care se rotesc cu 3 viteza constantă , într-un câmp uniform, de inducţie B (figura 6.1). Figura 6.1. Principiul de funcţionare a generatorului trifazat de curent alternativ (poziţia bobinelor în momentul t = 0). În fiecare din cele trei bobine identice, conform legii inducţiei electromagnetice, se induc tensiunile electromotoare sinusoidale:

  d1  NBA sin t  2 E sin t e1    dt    d 2 2  2     NBA sin  t    2 E sin  t   , e2   dt 3  3      d 3 4  4      NBA sin  t    2 E sin  t   e3   dt 3  3    

(6.1)

A – aria fiecărei bobine; N – numărul de spire al bobinei; E – valoarea efectivă a tensiunii electromotoare. Construcţia practică a unui generator presupune simplificarea constructivă, prin inversarea amplasării câmpului magnetic B pe rotorul generatorului, care se va roti cu viteza constantă , în timp ce înfăşurările sunt amplasate pe stator. Variaţia în timp şi diagrama fazorială a celor trei tensiuni electromotoare este prezentată în figura 6.2. în care s-a notat cu:

99

Figura 6.2. Variaţia în timp a tensiunilor electromotoare trifazate (a) şi diagrama lor fazorială (b) Orice sistem trifazat de mărimi sinusoidale, de aceeaşi frecvenţă, poate fi exprimat sub forma: a.

b.

 x1  2 X 1 sin t   1       x  2 X sin  t    2 2 2 ,    x3  2 X 3 sin t   3  

(6.2)

în care: 1, 2, 3 sunt fazele iniţiale ale celor trei mărimi sinusoidale. Se numeşte sistem trifazat simetric, dacă: - valorile efective ale celor trei mărimi trifazate sunt egale (X1 = X2 = X3); - defazajele dintre oricare două mărimi consecutive sunt egale (1 - 2 = 2 3 = 3 - 1). Sistemele simetrice pot fi de succesiune directă, inversă şi omopolară. Sistemul trifazat de succesiune directă se caracterizează prin:

 1  2   2  3   3  1 

2 , 3

sau în complex, sistemul se reprezintă conform diagramei fazoriale din figura 6.2, b, sau sub forma:

X 1 ; X 2  X 1e şi în care X 1  X 2  X 3  0 .

j

2 3

;

X 3  X 1e

j

4 3

 X 1e

j

2 3

(6.3)

Sistemul trifazat de succesiune inversă se caracterizează prin:

 1  2   2  3   3  1  

2 , 3

sau în complex, sistemul se reprezintă sub forma: j

2

X 1 ; X 2  X 1e 3 ; X 3  X 1e cu conservarea condiţiei X 1  X 2  X 3  0 .

j

2 3

,

(6.4)

Sistemul trifazat omopolar se caracterizează prin defazaje nule între mărimile sinusoidale:  1  2   2  3   3  1  0 .

100

6.2. Conexiuni trifazate Sistemele de circuite în care acţionează sistemele trifazate de tensiuni electromotoare se numesc sisteme trifazate de circuite. Oricare circuit component în care acţionează o tensiune electromotoare se numeşte fază. Ansamblul de circuite este format din bobinele generatorului, receptoarele şi conductoarele de legătură care realizează conexiunile dintre generator şi receptor. Dacă fiecare dintre bobine este conectată la câte un receptor separat prin două conductoare separate, sistemul trifazat se numeşte sistem de circuite nelegat. Prin sisteme trifazate legate, sau conexiuni trifazate, numărul de conductoare se reduce de la şase la patru sau trei, prin conexiuni de tipul stea (figura 6.3) sau triunghi (figura 6.4).

Figura 6.3. Ansamblu generator – receptor trifazat în conexiuni stea. Modul de conectică al generatoarelor nu influenţează modul de conectare al receptoarelor. Conectarea stea dintre generatorul şi receptorul trifazat s-a realizat prin patru conductoare, dintre care conductoarele notate cu 1, 2, 3 sunt denumite linii, iar conductorul care uneşte punctele neutre 0 şi N se numeşte neutru.

Figura 6.4. Ansamblu generator – receptor trifazat în conexiuni triunghi. La conexiunea triunghi legătura dintre generatorul şi receptorul trifazat se realizează numai cu trei conductoare de linie. Toate mărimile corespunzătoare fazelor conexiunii trifazate se numesc tensiuni, respectiv curenţi de fază (notate cu indicele „f”), iar mărimile referitoare liniilor se numesc tensiuni şi curenţi de linie (notate cu indicele „l”). În continuare, prezintă interes conexiunile receptoarelor, pentru care se vor analiza determinările şi calculele specifice fiecărui tip de conexiune trifazată în parte.

101

6.2.1. Conexiunea stea Pentru conexiunea stea a receptoarelor se consideră porţiunea de circuit cuprinsă între bornele 1, 2, 3, 0 şi impedanţele Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z N , din figura 6.3, pentru care relaţiile dintre tensiuni şi curenţi, deduse cu legea lui Ohm, sunt:

I1 

U 1N U U  U 1N Y 1 ; I 2  2 N  U 2 N Y 2 ; I 3  3 N  U 3 N Y 3 ; Z1 Z2 Z3 U I N  N 0  U N 0Y N ZN

(6.5)

Cu teorema a doua a lui Kirchhoff, aplicată celor trei ochiuri independente, se vor obţine relaţiile între tensiuni: (6.6) U 1N  U 10  U N 0 ; U 2 N  U 20  U N 0 ; U 3 N  U 30  U N 0 şi cu prima teoremă a lui Kirchhoff, aplicată nodului N al reţelei, va rezulta: (6.7) I1  I 2  I 3  I N , iar valoarea tensiunii între cele două puncte neutre va fi:

U N0 

U 10Y 1  U 20Y 2  U 30Y 3 . Y1  Y 2  Y 3  Y N

(6.8)

Pentru valorile cunoscute ale tensiunilor de fază

U 10 , U 20 , U 30 şi ale impedanţelor Z 1 , Z 2 , Z 3 Z N se vor obţine curenţii I 1 , I 2 , I 3 I N , prin intermediul calculului derivei tensiunii de nul U N 0 . Tensiunile de linie vor fi: (6.9) U 12  U 10  U 20 ; U 23  U 20  U 30 ; U 31  U 30  U 10 . Întotdeauna suma tensiunilor de linie a unui sistem trifazat simetric este nulă: (6.10) U 12  U 23  U 31  0 . Puterea complexă a receptorului conectat în stea este dată de suma puterilor complexe a celor patru impedanţe aflate în circuit:

S  U 1N I 1  U 2 N I 2  U 3 N I 3  U N 0 I N  *

*

*

*

U 10  U N 0 I 1*  U 20  U N 0 I *2  U 30  U N 0 I *3  U N 0 I *N

.

Relaţia (6.7) conduce la:

I1  I 2  I 3  I N *

*

*

*

şi se va obţine:

S  U 10 I 1  U 20 I 2  U 30 I 3 . *

*

*

(6.11) Pentru cazul particular al unui circuit trifazat echilibrat, alimentat cu un sistem simetric de tensiuni de succesiune directă (figura 6.5), rezultă relaţiile:

U 10  U f ; U 20  U f e

j

2 3

;

U 30  U f e

care cumulate cu valorile impedanţelor:

Z 1  Z 2  Z 3  Ze j , 102

j

4 3

,

(6.12)

Figura 6.5. Receptor echilibrat în stea (a) şi diagramele fazoriale corespunzătoare (b). se vor obţine ecuaţiile:

 U 10 U f  j  j I 1  Z  Z e  I f e 1  2  2    2   j   j U 20 U f  j    3  3   (6.13)  e  Ife  I 1e 3 , I 2  Z Z 2  4 4   4   j   j U  j      I 3  U 30  f e  3   I f e  3   I 1e 3  Z3 Z care vor forma sistemele simetrice de curenţi: I 1  I 2  I 3  0 , şi de tensiuni de linie:   j  3 1    j   Ule 6 U 12  U 10  U 20  U f 3  2 2    2  j j  3 2 , (6.14) U  U  U  U e  U e  23 20 30 12 l  5 4 j j U 31  U 30  U 10  U e 6  U 12e 3 l   Ul  3 şi diagrama fazorială cu raportul dintre tensiunile de linie pe cele de fază: Uf

prezentată în figura 6.5, b. Receptorul echilibrat alimentat cu un sistem trifazat simetric de tensiuni, absoarbe un ansamblu de curenţi simetrici, iar conductorul de nul nu este parcurs de curent, motiv pentru care conductorul de nul nu este necesar şi reţeaua poate fi alimentată numai cu trei conductoare. Pentru sisteme trifazate uşor dezechilibrate, conectate în stea, conductorul de nul are rolul de a echilibra tensiunile pe faze şi de a prelua diferenţa curenţilor fazelor, deci el poate fi ales de secţiune mai mică decât conductoarele fazelor. Puterea aparentă exprimată în complex cu ajutorul relaţiilor (6.11) (6.12) şi (6.13) devine:

S  U 10 I 1  U 20 I 2  U 30 I 3  3U f I f e j  P  jQ , *

*

*

103

cu puterile active şi reactive componente:

 P  3U f I f cos   3U l I l cos  .  Q  3 U I sin   3 U I sin   f f l l 

Il  I f

(6.15)

Pentru receptoarele conectate în stea curentul de linie este identic cu cel de fază .

6.2.2. Conexiunea triunghi Pentru conexiunea triunghi a receptoarelor se consideră circuitul cuprinsă între bornele 1, 2, 3 şi impedanţele Z 1 , Z 2 , Z 3 , din figura 6.6, a, pentru care relaţiile dintre curenţi, deduse cu teorema a doua a lui Kirchhoff, sunt: (6.16) I 1  I 12  I 31 ; I 2  I 23  I 12 ; I 3  I 31  I 23 , cu valabilitatea permanentă a relaţiei: I1  I 2  I 3  0 .

Figura 6.6. Receptor echilibrat în stea (a) şi diagramele fazoriale corespunzătoare (b). Curenţii de fază se vor obţine din expresiile:

I 12 

U 12 U U ; I 23  23 ; I 31  31 Z 12 Z 31 Z 23

Puterea complexă a receptorului conectat în triunghi este dată de suma puterilor complexe a celor trei faze:

S  U 12 I 12  U 23 I 23  U 31 I 31  *



*





*



U 12 I 1  I 31  U 23 I 31  I 3  U 31 I 31  , *

*

*

*

*

U 12  U 23  U 31 I *31  U 23 I *3 relaţie în care s-a ţinut seama de ecuaţia (6.16). Pentru cazul particular al unui receptor echilibrat, alimentat cu un sistem trifazat simetric de tensiuni, în conformitate cu figura 6.6, a, ce are tensiunile de linie, respectiv impedanţele fazelor:

104

j

2

U 12  U l ; U 23  U l e 3 ; U 31  U l e Z 12  Z 23  Z 31  Ze j ,

j

4 3

; (6.17)

rezultă curenţii de fază, care formează un sistem simetric:

 U 12 U l  j  j  I 12  Z  Z e  I f e 12  2  2    2   j   j U 23 U l  j    3  3    e  Ife  I 12e 3 .  I 23  Z Z 23  4  4     4  j   j    j  I 31  U 31  U l e  3   I f e  3   I 12e 3  Z 31 Z

(6.18)

De asemenea, sistemul format de curenţii de linie este unul simetric:  3 1     j   j   j    I 1  I 12  I 31  3I f e  2 2   I l e  6    2   2   j    j 6 3   ,  I 1e 3  I 2  I 23  I 12  I l e   4    4  I  I  I  I e  j    6  3   I e  j 3 31 23 l 1  3 

(6.19)

cu diagrama fazorială prezentată în figura 6.6, b. Puterea aparentă complexă, prin utilizarea relaţiilor (6.17) şi (6.19) devine:

S  U I  U I  U l Il e * 12 1

3U l I l e

  j   6 

în care s-a notat cu:

* 32 3

  j   6 

 U l Il e

 2  4   j     6 3 3  

 3 1 j    2  j 2   3U l I l e  P  jQ  

U 32  U 23  U l e

j

2 3

 ,

,

iar puterile active şi reactive componente vor fi:

  P  3U l I l cos  .   Q  3 U I sin  l l 

(6.20)

Pentru receptoarele conectate în triunghi tensiunea de linie este identică cu cea de fază

Ul  U f .

105

6.3. Calculul circuitelor trifazate 6.3.1. Introducere Datorită avantajelor pe care le prezintă, sistemele trifazate s-au impus într-un interval de timp extrem de scurt: a. economicitate sporită în cazul transmiterii la distanţă a energiei. În cazul sistemelor monofazate cu două conductoare, pe un conductor, la un cos φ = 1, puterea activă transmisă este: (1) Pcond . 

UI , 2

iar pentru sistemele trifazate simetrice cu trei conductoare, pentru o aceeaşi putere totală transmisă în condiţii identice, va fi: ( 3) Pcond . 

3UI UI (1)   Pcond .; 3 3

b. Motoare asincrone trifazate şi transformatoarele trifazate sunt cele mai economice maşini electrice, atât din punct de vedere constructiv, cât şi al exploatării; c. în regim trifazat simetric, puterea instantanee totală este constantă, spre deosebire de regimul monofazat. Calculul circuitelor trifazate poate fi efectuat cu metodele obişnuite de la reţelele de curent alternativ, dar pentru a se evita rezolvarea unor sisteme de ecuaţii, se apelează la metodele şi particularităţile existente în cazul conexiunilor trifazate.

6.3.2. Circuite trifazate echilibrate Cazurile cele mai simple sunt cele care posedă consumatori trifazaţi echilibraţi, alimentaţi cu sisteme trifazate simetrice de tensiuni. Pentru aceste situaţii este suficient a se realiza calculul curenţilor pe o singură fază, cunoscându-se faptul că pe celelalte două faze, valorile efective se păstrează, defazajul celorlalţi doi curenţi fiind de  2 3 (dependenţi de succesiunea fazelor). Puterile active sau reactive pot fi exprimate utilizând mărimile pe o fază, fără a mai fi nevoie de prezenţa celorlalte mărimi ale restului de două faze. Pentru receptoare trifazate conectate la bornele unei reţele în stea şi în triunghi, se apelează la metodele de transfigurare pentru a obţine un receptor echivalent în stea, cu impedanţa de fază rezultată din conectarea în paralel a impedanţelor de fază a tuturor conexiunilor stea componente. Dacă circuitele prezintă cuplaje inductive, calculele se vor realiza pe baza schemelor echivalente fără cuplaje

6.3.3. Circuite trifazate dezechilibrate Pentru receptoarele trifazate dezechilibrate, conectate în stea, fără conductor de nul, se utilizează metoda deplasării punctului neutru. Sistemul format de tensiunile trifazate de alimentare U 10 , U 20 , U 30 este simetric, iar sistemul simetric al tensiunilor

106

de linie formează un triunghi echilateral (figura 6.5, b). Punctul de concurenţă al tensiunilor U 1N , U 2 N , U 3 N nu mai coincide cu centrul triunghiului, ci va fi deplasat cu tensiunea U N 0 , denumită derivă a nulului. Locul ocupat de potenţialul nodului N este stabilit de principiul „faza mai puţin încărcată se va supravolta”. Prezenţa nulului preia acest dezechilibru şi determină ca tensiunile de fază ale receptorului să fie egale. 6.3.4. Îmbunătăţirea factorului de putere Îmbunătăţirea factorului de putere, pentru consumatorii de mică sau medie putere se realizează prin baterii de condensatoare identice pe fiecare fază, conectate în stea sau în triunghi. Între puterea reactivă absorbită de receptor înainte Q, respectiv după compensare Q’ şi cea a bateriei de condensatoare, există relaţia: Q'  Q  QC . (6.21) Puterea reactivă a condensatoarelor conectate în stea, cu capacitatea CS pe fiecare fază, va fi:

QC  3CSU 2f

(6.22)

iar pentru triunghi, cu capacitatea CT pe fiecare fază:

QC  3CTU l2 .

(6.23)

Din relaţiile (6.22) şi (6.23) rezultă:

CS 

Q  Q' Q  Q'   3CT . 3U 2f U l2

(6.24)

Pentru compensarea aceleaşi puteri reactive, la conexiunea triunghi, capacitatea fazei este mai mică decât la stea, dar condensatoarele vor trebui să suporte o tensiune mai mare.

6.4. Probleme rezolvate 1o. Care sunt tensiunile de linie la bornele unui receptor trifazat stea simetric, având impedanţele fazelor Z  8  j 6 Ω, când curenţii de linie sunt 22 A ? Să se reprezinte diagrama fazorială, alegând ca origine de fază, tensiunea

U 12 .

Rezolvare: La conexiunea stea, Il = If, impedanţa complexă are cele două componente: Z  R  jX  8  j 6 , cu modulul:

Z  R 2  X 2  82  62  10 Ω şi valorile efective ale tensiunilor de fază: U f  ZI f  10 x22  220 V, iar tensiunile de linie: U l  3U f  3x220  380 V. Defazajul dintre tensiunea de fază şi curentul prin faza respectivă, poate fi exprimat din triunghiul impedanţelor unei faze:

107

cos  

R 8   0,8 , ca fiind φ = arccos 0,8, după care se trece la construcţia diagramei Z 10

fazoriale, cunoscut fiind faptul că tensiunea U 12 este considerată ca origine de fază. 2o. Să se stabilească conexiunea unui receptor trifazat cu impedanţele fazelor Z  10 Ω, dacă curenţii de linie au valorile 65,8 A, când este alimentat de la reţeaua 220 / 380 V. Rezolvare: Receptorul poate fi conectat în stea sau triunghi. Pentru stea, curenţii de linie sunt identici cu cei de fază, iar pentru conexiunea triunghi, Il / If = 3 . Se aplică legea lui Ohm U = ZI, se compară valori date prin enunţul problemei şi va găsi egalitatea 380 = 10 x 65,8 / 3 , deci conexiunea va fi în triunghi a receptorului echilibrat, cu impedanţa fazei Z  10 Ω.

6.5. Probleme propuse 1o. Un receptor trifazat simetric cu conexiunea stea, având impedanţele fazelor Z  6  j8 Ω, este alimentat de la reţeaua trifazată de 380 V şi 50 Hz. Se cer: a. curenţii de fază şi de linie a receptorului; b. diagrama fazorială; c. bilanţul puterilor; d. diagrama puterilor; e. aceleaşi cerinţe pentru conexiunea triunghi a impedanţelor. 2o. Un receptor trifazat, alcătuit dintr-un rezistor, o bobină şi un condensator, legate în stea, este alimentat de la reţeaua de 220 / 380 V. Ştiind că R = ωL = 1 / ωC = 10 Ω, să se calculeze curenţii de linie, puterile şi să se reprezinte diagrama fazorială pentru succesiunea directă, respectiv inversă a fazelor. 3o. Un circuit trifazat stea, cu impedanţele fazelor Z 1  5 Ω, Z 2  4  j3 Ω,

Z 3  4  j3 Ω, este alimentat de la reţeaua de 220 / 380 V, de succesiune directă. Neutrul receptorului este conectat la neutrul reţelei printr-un fir de impedanţă neglijabilă. Se cer: a. curenţii de linie; b. diagrama fazorială; c. puterea activă şi reactivă.

108

B. MAŞINI ELECTRICE În conformitate cu legea inducţiei electromagnetice, tensiunea electromotoare, (t. e. m.) indusă de-a lungul unei curbe închise Γ, este dată de viteza de scădere în timp a fluxului magnetic ΦSΓ, care străbate suprafaţa SΓ, sprijinită pe conturul Γ, antrenată de corpuri în mişcare:

d S . dt

eS  

Pe de altă parte, t. e. m. se defineşte ca fiind integrala de-a lungul conturului Γ, a produsului scalar dintre intensitatea câmpului electric

E şi elementul de lungime ds :

eS   E ds . 

Prin egalarea celor două relaţii şi explicitarea fluxului, se va obţine:

d

 E ds   dt  B dA , 

S

iar sensul de referinţă a t. e. m. se asociază cu sensul inducţiei burghiului drept.

B , după regula

La dezvoltarea termenului din partea dreaptă a relaţiei anterioare şi dacă se ia în considerare legea fluxului magnetic ( divB

 0 ), se va obţine:

B

 E ds    t dA   v  B ds , 

în care

S



v este viteza mediului în care are loc inducţia electromagnetică. Termenul

B dA este denumit t. e. m. de transformare, sau de t S

eet   

pulsaţie în curent alternativ şi depinde de viteza de variaţie în timp a inducţiei magnetice

B , iar componenta eem   (v  B )ds este denumită t. e. m. de mişcare (sau de t  rotaţie în cazul maşinilor electrice rotative), depinde de inducţia magnetică B şi de viteza locală de deplasare a conturului considerat. Prin aplicarea teoremei lui Stokes se obţine forma locală a legii inducţiei electromagnetice:

rotE  

B  rot v  B  . t 109

În medii staţionare se va induce numai componenta:

rotE  

B , iar în mediile t

aflate în mişcare (dar în care câmpul magnetic este constant), intensitatea câmpului electric rotaţional devine: E  v  B . Cei doi termeni ai legii inducţiei electromagnetice stau la baza construcţiei şi funcţionării transformatoarelor şi a maşinilor electrice. Din categoria maşinilor electrice vor fi studiate cele mai semnificative şi utilizate tipuri: maşinile de curent continuu şi cele de curent alternativ, dintre care un loc aparte îl au maşinile asincrone şi cele sincrone.

110

7. TRANSFORMATORUL ELECTRIC Echipamentul electromagnetic static, cu două sau mai multe înfăşurări cuplate electromagnetic, prin care se realizează transformarea unor parametri ai energiei electrice de curent alternativ, cum ar fi: tensiunea / intensitatea curentului sau numărul de faze, fără a modifica frecvenţa mărimilor alternative, se numeşte transformator electric. În vederea asigurării unui cuplaj magnetic cât mai strâns, înfăşurările se dispun pe un miez feromagnetic. La frecvenţe mari se utilizează feritele sau aerul. Principiul de funcţionare a transformatorului a fost enunţat de Faraday în 1831, când a construit primul transformator cu miez de fier şi două înfăşurări – pentru a demonstra experimental – fenomenul inducţiei electromagnetice. 7.1. Rolul transformatorului electric; definiţii, convenţii şi mărimi nominale Pentru diferitele faze ale producerii, transportului, distribuţiei şi consumului energiei electrice sunt utilizate nivele optime ale tensiunii, din punct de vedere tehnic şi economic. Astfel, la producerea energiei electrice şi la distribuţia ei se utilizează tensiuni medii, la transport – tensiuni înalte, iar la utilizator – tensiuni joase. Dispozitivul electromagnetic care asigură transformarea parametrilor energiei de curent alternativ (tensiuni, curenţi şi număr de faze), trebuie să prezinte pierderi energetice minime şi costuri scăzute; acest echipament este transformatorul electric. Transformatorul are cel puţin două înfăşurări (figura 7.1): înfăşurarea primară (1), prin care se primeşte energia electrică de curent alternativ şi înfăşurarea secundară (2), care cedează energia electrică transformată. Figura 7.1. Transformator monofazat cu două înfăşurări; 1 – înfăşurarea primară; 2 – înfăşurarea secundară; 3 – miez feromagnetic; e – sursă, sau generator electric; Zs – sarcină. Toate mărimile referitoare la înfăşurările primare se numesc primare şi poartă indicele 1, iar cele referitoare la înfăşurările secundare se numesc mărimi secundare şi poartă indicele 2. Oricare transformator poate fi: - ridicător de tensiune, când U2 > U1; - separator (galvanic), când U2 = U1; - coborâtor de tensiune, când U2 < U1. În funcţie de mărimile relative ale tensiunilor, înfăşurările transformatoarelor mai pot fi denumite de înaltă sau de joasă tensiune. Începuturile înfăşurărilor se marchează cu litere de la începutul alfabetului (A, B, C etc. – pentru înfăşurări de înaltă tensiune, sau a, b, c etc. – pentru înfăşurări de joasă tensiune), iar sfârşiturile înfăşurărilor, cu litere de la finele alfabetului.

111

Sensurile de referinţă ale curenţilor şi tensiunilor la bornele transformatorului vor fi cele alocate după regula de la receptoare pentru înfăşurările primare şi după regula de la surse pentru înfăşurările secundare. În procesele de transport şi distribuţie ale energiei electrice, transformatoarele se numesc de putere, iar pentru utilizări diverse, se numesc transformatoare speciale. Dependent de numărul de faze, transformatoarele pot fi monofazate, sau polifazate, dintre care cele mai răspândite sunt cele trifazate. De regulă transformatoarele au câte două înfăşurări, mai rar sunt întâlnite cu trei sau mai multe înfăşurări. Regimul de funcţionare pentru care a fost proiectat şi realizat oricare transformator şi în care nu sunt depăşite limitele admisibile de încălzire ale transformatorului se numeşte regim nominal de funcţionare şi este caracterizat prin mărimile nominale, înscrise de producător pe eticheta sau plăcuţa indicatoare a transformatorului şi se referă la: - puterea nominală, reprezintă puterea aparentă la bornele primare ale transformatorului, în regim nominal, exprimată în VA, sau multiplii săi; - tensiunile nominale de linie, exprimate în V, sau multiplii săi; - curenţii nominali de linie, exprimaţi în A, sau multiplii săi; - frecvenţa nominală, exprimată în Hz; - numărul de faze; - grupa şi schema de conexiuni; - tensiunea nominală de scurtcircuit, în unităţi relative; - curentul de mers în gol, la tensiunea nominală în unităţi relative; - pierderi de putere la mers în gol, cu tensiunea nominală; - pierderile în scurtcircuit la curentul nominal; - regimul de funcţionare, de tip continuu sau intermitent; - felul răcirii; - masa transformatorului; - date referitoare la fabricant etc. 7.2. Construcţia transformatorului În construcţia transformatorului, părţile principale pot fi grupate în elemente active şi elemente constructive. Elementele active asigură desfăşurarea fenomenelor electromagnetice şi constau în miezul feromagnetic şi înfăşurări, iar elementele constructive asigură rigidizarea şi protecţia elementelor active. Pentru puteri mari, transformatorul poate fi introdus într-o carcasă sau cuvă, umplută cu ulei de transformator, care are atât rolul de izolator electric, cât şi rol de mediu de răcire. Miezul feromagnetic serveşte ca circuit magnetic al fluxului util al transformatorului şi se realizează prin stratificarea realizată cu tole de oţel electrotehnic, sărac în carbon, dar înalt aliat cu siliciu (2 ÷ 5) % Si, cu grosimi de 0,3; 0,35; 0,5 mm, izolate între ele cu hârtie, lac, oxizi sau straturi sticlo - ceramice. Pentru transformatoarele cu puteri mici, tolele sunt ştanţate din una sau două bucăţi (figura 7.2. a, b, c), iar pentru transformatoarele de mare putere, miezul se compune din fâşii dreptunghiulare întreţesute (figura 7.2. d). Prin întreţeserea alternativă a tolelor se urmăreşte reducerea întrefierului, în scopul reducerii reluctanţei circuitului magnetic. Pentru eficientizarea transferului energetic între cele două înfăşurări, primare şi secundare, direcţia de laminare trebuie să coincidă cu direcţia fluxurilor utile.

112

Oricare miez feromagnetic are în componenţă coloane şi juguri; coloanele sunt acele porţiuni de miez pe care se amplasează înfăşurările, iar jugurile reprezintă acele porţiuni de miez care închid circuitul magnetic al coloanelor. Miezul feromagnetic poate fi construit cu coloane sau în manta. Pe fiecare coloană a transformatorului se poate monta una sau mai multe înfăşurări. La aceste tipuri de transformatoare, fluxul prin coloane şi juguri sunt egale; în practică se adoptă ca aria secţiunii jugului să fie de 1,05 ÷ 1,15 ori mai mare decât aria secţiunii coloanei. Coloanele laterale ale transformatoarelor cu miezuri în manta îndeplinesc rolul de juguri; secţiunea jugului, sau a coloanei laterale trebuie să fie cu ceva mai mare decât jumătate din aria secţiunii coloanei purtătoare a înfăşurărilor. Soluţia transformatorului în manta este regăsită la transformatoarele de mică putere, monofazate.

a. b. c. d. Figura 7.2. Tipuri constructive de miezuri feromagnetice; a – U + I; b – manta E = I; c – manta dintr-o singură tolă /strat; d – cu coloane întreţesute, trifazat. Secţiunea miezurilor feromagnetice ale coloanelor transformatoarelor de mică putere este dreptunghiulară sau pătrată, iar la cele de puteri mari, se realizează cu două sau mai multe trepte, cu scopul sporirii factorului de umplere a secţiunii transversale a bobinei; jugurile sunt realizate tot în trepte, pentru a se evita apariţia unor pierderi suplimentare în zonele de îmbinare ale jugurilor cu coloanele transformatorului. Înfăşurările transformatoarelor se confecţionează din conductoare de cupru sau aluminiu, izolate cu bumbac, email sau hârtie şi sunt dispuse ca înfăşurări cilindrice concentrice sau în galeţi alternaţi, pentru puteri mari, respectiv ca înfăşurări dreptunghiulare, la puteri mici. La înfăşurările cilindrice concentrice, înfăşurarea primară şi secundară sunt dispuse suprapus pe aceeaşi coloană; de regulă, înfăşurarea exterioară fiind cea de înaltă tensiune. În cazul înfăşurărilor în galeţi alternaţi, o porţiune de înfăşurare de joasă tensiune, alternează de-a lungul coloanei cu o porţiune a înfăşurării de înaltă tensiune. Bobinajele din cupru admit densităţi ale curentului cuprinse între 1 şi 2,5 A / mm2, pentru transformatoarele uscate, iar pentru transformatoarele imersate în ulei, sunt admise densităţi de 2 ÷ 4,5 A / mm2. Pentru transformatoarele cu puteri mici, înfăşurările sunt bobinate pe carcase electroizolante, confecţionate din mase plastice, preşpan, pertinax, textolit, sau sticlotextolit; pentru puteri mari, înfăşurările sunt bobinate pe cilindri izolanţi, confecţionaţi din preşpan, pertinax, textolit, sau sticlotextolit. Diversele înfăşurări sunt izolate între ele şi faţă de miez, prin interstiţii de aer sau straturi izolante din diverse materiale electroizolante. Pierderile de putere care au loc într-un transformator, datorate fenomenului histerezis, curenţilor turbionari sau efectului Joule – Lentz, se transformă în căldură. Răcirea transformatorului urmăreşte evacuarea acestor pierderi, care se realizează prin: - convecţie liberă, în cazul transformatoarelor de puteri mici, asigurând o circulaţie liberă a aerului;

113

- convecţie forţată, pentru transformatoare de puteri mici şi medii, utilizând jeturi de aer, date de ventilatoare; - imersarea transformatorului în ulei, într-o cuvă prevăzută cu radiatoare cu ţevi de răcire, care pot fi echipate cu schimbătoare de căldură. Uleiul de transformator are dublul rol, de răcire, dar şi de material electroizolant, prevăzut cu bune proprietăţi dielectrice. Elementele constructive asigură asamblarea întregului transformator, ca un tot unitar, la care accesul energetic se realizează prin bornele de conexiune. 7.3. Funcţionarea transformatorului monofazat în gol Funcţionarea transformatorului în gol presupune alimentarea transformatorului în primar cu tensiunea nominală U1n, iar circuitul secundar este întrerupt, deci I20 = 0. Corespunzător acestui regim de funcţionare, transformatorul absoarbe de la reţeaua de alimentare un curent mic (0,5 ÷ 8) % din curentul primar nominal, denumit curent de mers în gol, I10. 7.3.1. Fluxurile magnetice şi tensiunile electromotoare induse la funcţionarea în gol Curentul de mers în gol i10 (în valori instantanee), parcurge înfăşurarea primară care are w1 spire, produce solenaţia 10  w1i10 şi dă naştere fluxurilor magnetice (figura 7.3): - fluxul fascicular util Φ, care străbate ambele înfăşurări, simbolizat prin linia mediană a miezului feromagnetic; - fluxul fascicular de dispersie Φσ10, care se închide local, numai în jurul înfăşurării primare. Se poate considera că fluxul de dispersie este proporţional cu curentul primar de mers în gol, datorită traseului lung parcurs prin aer:  10   1i10 , (7.1) în care Λσ1 este permeanţa medie a fluxului de dispersie Φσ10. Figura 7.3. Transformator monofazat la funcţionarea în gol. Fluxurile totale create de cele două înfăşurări w1 şi w2 vor fi:

10  w1    10   w1  w1 1i10

20  w2 . Aceste fluxuri variabile în timp induc în înfăşurările primare şi secundare, tensiunile electromotoare:

e1  w1

d di d ; e 10   w1 1 10 ; e2  w2 . dt dt dt 114

(7.2)

Prin aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff, înfăşurării primare a transformatorului (care are rezistenţa internă, R1) şi a celei secundare, se vor obţine ecuaţiile de tensiuni:

u1  e1  e 10  R1i10 u20  e2  0 . Aranjarea termenilor şi explicitarea tensiunilor electromotoare, va conduce la ecuaţiile:

u1  R1i10  w1 1 u20  w2

d . dt

di10 d  w1 dt dt

(7.3) (7.4)

La funcţionarea în gol curentul i10 este mic, ceea ce presupune că termenii R1i10 şi

w1 1

di10 , pot fi neglijaţi, în comparaţie cu tensiunea de alimentare a primarului dt

transformatorului, deci:

u1  w1

d . dt

(7.5)

Prin împărţirea relaţiei (7.5) la (7.4), rezultă:

U1 w1  k, U 2 w2

(7.6)

în care k reprezintă raportul de transformare. La alimentarea primarului transformatorului cu tensiunea sinusoidală, de forma:

u1  U1 2 sin t

(7.7)

şi fluxul magnetic va avea o variaţie sinusoidală:



1 U 2 U 2   u1dt  1  sin tdt  1 sin t   ,  w1 w1 w1 2 

(7.8)

fiind defazat în cuadratură, în urma tensiunii u1 şi are amplitudinea:

m 

U1 2 . w1

(7.9)

La funcţionarea în gol, pierderile totale în miez sunt reprezentate de pierderile specifice prin histerezis şi prin curenţi turbionari, sau Foucault: PFe  PH  PF . Datorită acestor pierderi din miez, curentul de mers în gol va fi defazat în faţa fluxului util cu unghiul α0, dat de relaţia:

sin  0 

PFe . U1I10

115

(7.10)

Deoarece α0 reprezintă practic complementul până la dintre U 1 şi I 10 , rezultă că

 2

a defazajului φ10

sin  0  cos 10 şi are valori cuprinse între 0,1 şi 0,3.

7.3.2. Diagrama fazorială a transformatorului la funcţionarea în gol Reprezentarea grafică a relaţiilor anterioare, dar şi a ecuaţiile complexe (7.11) şi (7.12), conduce la diagrama fazorială a transformatorului la funcţionarea în gol (figura 7.4). Alegerea fluxului util ca origine de fază devine avantajoasă; defazarea tensiunii de alimentare a primarului transformatorului va fi în faţă, în cuadratură, raportată la fluxul util. Curentul de mers în gol I 10 va fi defazat în faţa fluxului util  cu unghiul α0 şi va avea componentele

I 1 - curent de magnetizare, în fază, respectiv I 0 a - curent de pierderi, în cuadratură, în faţă, raportat la fluxul  . Solenaţia produsă de înfăşurarea primară este în fază cu curentul primar de mers în gol şi are valoarea 0  w1 I 10 . În înfăşurarea primară, fluxul util induce t. e. m.,

 , iar în înfăşurarea secundară, 2  E 2 , defazată în faţă cu . 2

E1 , defazată în urmă cu t. e. m.

Prin trecerea relaţiilor (7.2 ÷ 7.4) în complex simplificat, rezultă:

U 1  R1 I 10  jX  1 I 10  E1 , unde E1   j

U 20  E 2 ,

unde E 2  j

în care s-a notat cu

w2 2

,

w1 2

 (7.11) (7.12)

X  1  w1 1 , ca fiind reactanţa de

dispersie a înfăşurării primare. Figura 7.4. Diagrama fazorială monofazat la funcţionarea în gol.

a

transformatorului

Căderile de tensiune activă ( R1 I 10 ) şi reactivă (

jX  1 I 10 ) sunt foarte mici în comparaţie cu tensiunea primară; (pentru claritate şi

înţelegerea fenomenului, în figura 7.4, aceste căderi de tensiune s-au reprezentat exagerat de mari). Prin neglijarea acestor căderi de tensiune, se va obţine U 1   E1 . Bazat pe aceste considerente, puterile absorbite de transformator la funcţionarea în gol, vor fi:

116

P0  E1I 0a  R1I102  U1I 0a  PFe ,

(7.13)

Q0  E1I1  X  1I102  U1I1  Q ,

(7.14)

adică, puterea activă reprezintă pierderile în fier, iar puterea reactivă – puterea de magnetizare a miezului. 7.3.3. Schema echivalentă a transformatorului la funcţionarea în gol Pe baza ecuaţiei (7.11) şi a diagramei fazoriale din figura 7.4 s-a constituit schema echivalentă a transformatorului, la funcţionarea în gol, prezentată în figura 7.5. Figura 7.5. Schema echivalentă a transformatorului la funcţionarea în gol.

GFe – pentru componenta activă I 0 a

Celor două componente ale curentului de mers în gol I 10 , le vor corespunde rezistorul de conductanţă şi o bobină de susceptanţă Bμ – pentru componenta

reactivă

I 1 a curentului. Valorile acestor reactanţe şi susceptanţe vor fi: I I P Q (7.15) GFe  0 a  02 şi B  1  02 , E1 U1 E1 U1 iar la bornele lor se regăseşte tensiunea  E1 şi cele două elemente formează ramura de magnetizare a schemei echivalente, care poate fi caracterizată prin admitanţa de pierderi şi de magnetizare:

Y Fe  GFe  jB 

I 10 .  E1

Admitanţa Y Fe se confundă cu admitanţa echivalentă a transformatorului la funcţionarea în gol Y 0 :

Y0 

I 10  Y Fe . U1

Ramura de magnetizare mai poate fi reprezentată şi prin cele două elemente componente, conectate în serie. 7.4. Funcţionarea transformatorului monofazat în sarcină Funcţionarea în sarcină a transformatorului monofazat presupune faptul că ambele înfăşurări sunt parcurse de curenţi, a căror sensuri de referinţă sunt cele date în figura 7.6, iar în miez apare fluxul magnetic fascicular Φ. Aplicarea legii circuitului magnetic de-a lungul liniei mediane a câmpului din miez, deci pe conturul Γ, conduce la relaţia:

117

 Hd s  w i  w i 11

2 2

.

(7.16)



Figura 7.6. Transformator monofazat la funcţionarea în sarcină. Solenaţia magnetomotoare

Θ0,

egală

cu

tensiunea

 H d s , este produsă de curentul din 

înfăşurarea primară, i10:

0  w1i10   H d s .

(7.17)



Din compararea relaţiilor (7.16) şi (7.17) rezultă relaţia solenaţiilor din transformator: (7.18) w1i1  w2i2  w1i10 ; la funcţionarea în sarcină, curenţii din cele două înfăşurări variază astfel, încât diferenţa solenaţiilor instantanee, să fie egală cu solenaţia de magnetizare a miezului feromagnetic.

7.4.1. Ecuaţiile transformatorului monofazat în sarcină Pe lângă fluxul magnetic util Φ, la funcţionarea în sarcină, apar şi fluxurile de dispersie, Φσ1, Φσ2, conform figurii 7.6, care sunt proporţionale cu curenţii care le generează:  1   1i1 şi  2   2i2 . Aceste fluxuri de dispersie induc tensiunile electromotoare în înfăşurările primare şi secundare:

e 1   w1 1

di1 di şi e 2   w2  2 2 , dt dt

care în complex, devin:

E 1   jX  1 I 1 şi E 2   jX  2 I 2 ,

(7.19)

în care reactanţele de dispersie sunt:

X  1  w1 1 şi X  2  w2 2 .

Aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff, celor două înfăşurări primare şi secundare, conduce la: U 1  E1  E 1  R1 I 1 şi  U 2  E 2  E 2  R2 I 2 , în care R1 şi R2 sunt rezistenţele înfăşurărilor. Prin aranjarea termenilor, se va obţine: U 1  R1 I 1  jX  1 I 1  E1 (7.20)

U 2   R2 I 2  jX  2 I 2  E 2 .

118

(7.21)

Relaţiile dintre cele două tensiuni electromotoare E 1 şi E 2 , stabilite la funcţionarea în gol a transformatorului, sunt:

E1  

w1 w I E 2   j 1    10 . w2 Y Fe 2

(7.22)

7.4.2. Raportarea mărimilor secundare Raportarea mărimilor secundare la numărul de spire a înfăşurării primare conduce la o formă mai convenabilă a ecuaţiilor de funcţionare. Relaţiile de raportare sunt: 2

w  w w w ' ' ' U  1 U 2 ; E 2  1 E 2   E1 ; I 2  2 I 2 ; R 2   1  R 2 ; w2 w2 w1  w2  ' 2

2

w  X  2   1  X  2 , (7.23)  w2  U I w sau prin utilizarea raportului de transformare, k  1  2  1 , relaţiile de U 2 I1 w2 '

raportare devin:

U 2  kU 2 ; E 2  k E 2   E1 ; I 2  '

'

'

I2 ' ' 2 2 ; R2  k R2 ; X  2  k X  2 . k

(7.24)

Sistemul complet al ecuaţiilor raportate ale transformatorului în sarcină sunt: U 1  R1  jX  1 I 1  E1 , (7.25)





U 2   R2'  jX ' 2 I 2  E1 ,

(7.26)

I 1  I 2  I 10  Y Fe E1 .

(7.27)

'

'

'

7.4.3. Diagrame fazoriale ale transformatorului monofazat în sarcină Diagrama fazorială a transformatorului monofazat în sarcină, din figura 7.7 şi schema echivalentă, din figura 7.9, a fost elaborată pe baza relaţiilor (7.25) ÷ (7.27). Figura 7.7. Diagrama fazorială a transformatorului monofazat în sarcină. Prin neglijarea curentului de mers în gol, care este mic în raport cu curentul nominal, fiind de (0,5 ÷ 8)% I1n, se obţine I 2  I 1 şi diagrama fazorială simplificată, Kapp a transformatorului monofazat, din figura 7.8. '

119

Figura 7.8. Diagrama fazorială simplificată a transformatorului (Kapp).

În această situaţie, căderile de tensiune vor fi:







U 1  U 2  R1  R2'  j X  1  X ' 2 I 1  U 2  Z sc I 1 . '

'

(7.28)

Diagrama simplificată este denumită şi diagrama Kapp, iar impedanţa Z sc este denumită – impedanţa Kapp sau de scurtcircuit:





Z sc  R1  R2'  j X  1  X ' 2  Rsc  jX sc , cu componentele sale: Rsc  R1  R2 ; X sc  X  1  X  2 ; '

'

(7.29)

Zsc  Rsc2  X sc2 , de

tip rezistiv, reactiv de scurtcircuit. Triunghiul ABC din figura 7.8 este denumit triunghiul de scurtcircuit Kapp, deoarece la scurtcircuit, tensiunea U2 devine nulă, iar tensiunea U1 se va confunda cu ipotenuza AC a respectivului triunghi dreptunghic. Prima parte a schemei echivalente a transformatorului monofazat în sarcină este identic cu schema transformatorului la funcţionarea în gol şi se continuă cu latura corespunzătoare circuitului secundar raportat.

Figura 7.9. Schema echivalentă completă a transformatorului monofazat. O dată cu neglijarea curentului de mers în gol, secţiunea transversală, parcursă de acest curent, din figura 7.9, se va anula, schema echivalentă de-venind cea simplificată, de tip Kapp (din figura 7.10). Schema echivalentă simplificată nu este corectă la funcţionarea în gol, sau la sarcini reduse, atunci când curentul absorbit este mic, motiv pentru care se adoptă schema în Γ a transformatorului (figura 7.11), în care

Y0 

practic este egală cu Y Fe .

120

I 10 este admitanţa de mers în gol, care U1

Figura 7.10. Schema echivalentă simplificată tip Kapp, a transformatorului monofazat, în sarcină.

Figura 7.11. Schema echivalentă în Γ a transformatorului monofazat.

7.5. Determinarea prin încercări a parametrilor transformatorului monofazat Parametrii elementelor cuprinse în schemele echivalente ale transformatorului pot fi determinaţi analitic, dar şi experimental, prin încercările de funcţionare în gol sau în scurtcircuit. Încercarea la funcţionarea în gol presupune alimentarea transformatorului cu tensiunea nominală, iar secundarul nu este conectat la nicio sarcină (figura 7.12); vor fi măsuraţi parametrii: U1n, U20, I10, P0 şi vor fi determinaţi: Figura 7.12. Încercarea de mers în gol a transformatorului monofazat. - raportul de transformare

k

U1 w  1; U 20 w2

(7.30)

- parametrii laturii derivaţie a schemei echivalente, sau admitanţa în gol 2

I  P G0  02 şi B0   10   G02 . U1  U1 

(7.31)

Pentru micşorarea erorilor se recomandă ca tensiunile din raportul de transformare să fie măsurate direct pe bornele transformatorului, iar la măsurarea puterii P0, să fie deconectat voltmetrul din secundarul transformatorului. Încercarea de funcţionare în scurtcircuit a transformatorului monofazat, presupune alimentarea cu o tensiune redusă Usc, astfel încât înfăşurarea primară să absoarbă curentul nominal, atunci când secundarul este legat în scurtcircuit (figura 7.13). Parametrii măsuraţi sunt: U1sc, Psc, I1sc, I2sc, iar pe baza valorilor măsurate se determină componentele impedanţei de scurtcircuit şi se verifică raportul de transformare: Figura 7.13. Încercarea de mers în scurtcircuit a transformatorului monofazat.

121

I 2 sc  kI1sc

(7.32) 2

U  P Rsc  2sc şi X   1sc   Rsc2 . I1sc  I1sc 

(7.33)

Pentru micşorarea erorilor se recomandă ca la măsurarea tensiunii U1sc şi Psc, ampermetrul din secundarul transformatorului să fie scurtcircuitat. Se numeşte tensiune nominală de scurtcircuit a transformatorului, produsul impedanţei de scurtcircuit cu curentul nominal:

I1n , I1sc

U scn  Z sc I1n  U1sc

(7.34)

iar componentele în fază, respectiv în cuadratură cu curentul, se numesc tensiune activă, sau reactivă de scurtcircuit:

U ascn  Rsc I1n  Psc

I1n , I12sc

2 2 U rscn  X sc I1n U scn  U ascn .

(7.35) (7.36)

Tensiunile de scurtcircuit se exprimă în unităţi relative şi se raportează la tensiunea nominală primară:

U scn  100 U1n U uasc  ascn  100 U1n U ursc  rscn  100 U1n

usc 

[%]

(7.37)

[%]

(7.38)

[%].

(7.39)

În cazul funcţionării transformatorului la parametrii nominali (curent nominal), tensiunea activă de scurtcircuit în unităţi relative, exprimă şi proporţia pierderilor de scurtcircuit din puterea nominală:

uasc 

Rsc I1n R I2 P 100  sc 1n 100  scn 100 , U1n U1n I1n Sn

(7.40)

iar inversul tensiunii relative de scurtcircuit indică de câte ori creşte curentul de scurtcircuit, faţă de cel nominal:

100 U I  1n  sc . usc Z1n I1n I1n

(7.41)

Plăcuţa indicatoare a unui transformator redă mărimile: - curentul de mers în gol i0 

I0 100 In

- pierderile în gol P0, - pierderile în scurtcircuit nominal Pscn,

122

[%],

- tensiunea relativă de scurtcircuit usc 

U scn 100 [%], Un

pe baza cărora pot fi calculaţi parametrii schemei echivalente.

7.6. Caracteristicile transformatorului 7.6.1. Caracteristica externă şi variaţia de tensiune Variaţia tensiunii secundare, U2 în funcţie de curentul de sarcină secundar, I2, la un factor de putere secundar cos φ2 constant şi la tensiunea nominala, U1n – constantă, reprezintă caracteristica externă a transformatorului. Scăderea tensiunii secundare în sarcină, U2, faţă de valoarea acesteia la funcţionarea în gol, U20, este variaţia de tensiune secundară δU2: (7.42) U 2  U 20  U 2 , care, adesea, se exprimă în valori relative:

u 

U 2 U 20

100 

U 20  U 2 U  U 2' 100  1 100 . U 20 U1

(7.43)

Determinarea variaţiei de tensiune se poate efectua prin utilizarea diagramei fazoriale simplificate a transformatorului (figura 7.14), în care, defazajul între U 1 şi

U 2 este mic, se poate aproxima că tensiunea U 1 este egală cu proiecţia sa pe direcţia lui U 2 , sau că OC  OD şi deci: u



U1  U 2' OD  OA AD 100  100  100 . U1 OD OD Figura 7.14. Explicativă la variaţia tensiunii în sarcină. Segmentul AD poate fi exprimat ca fiind:

AD  Rsc I 2' cos 2  X sc I 2' sin 2 şi deoarece OD  U1 , se va obţine:

Rsc I 2' X sc I 2' u  cos 2  sin 2   uasc cos 2  ursc sin 2  , (7.44) U1 U1 în care s-a notat cu β – factorul de încărcare:

I 2' I  '  2 . I 2n I 2n

(7.45)

În figura 7.15 sunt redate trei caracteristici externe ale unui transformator, deduse din relaţia:

123

u   U 2  U 20 1  ,  100 

(7.46)

corespunzătoare la trei valori diferite ale defazajului φ2, dintre tensiunea şi curentul secundar. Pentru sarcini capacitive, când curentul este defazat în faţa tensiunii, tensiunea secundară poate creşte o dată cu încărcarea transformatorului, dacă: uasc cos 2  ursc sin 2  0 , sau

2  arctg

uasc . ursc

(7.47)

Figura 7.15. Caracteristicile externe ale transformatorului monofazat. În cazul căderilor mari de tensiune şi când nu se poate considera că

OC  OD , atunci variaţia de tensiune se determină cu relaţia: 2 2    u cos 2  uasc sin 2 2  ... OD   CD        1   uasc cos 2  ursc sin 2    2 rsc 200   OC   OC  

 u  100 

(7.48)

Termenul pătratic este de obicei foarte mic, se va lua în considerare numai la transformatoare cu tensiuni de scurtcircuit mari, la sarcini mari, când β → 1 şi în cazul sarcinilor capacitive (când primul termen este mic). 7.6.2. Bilanţul puterilor şi randamentul transformatorului monofazat Randamentul transformatorului este raportul dintre puterea activă secundară transmisă receptorului, P2  U 2 I 2 cos 2 şi puterea activă absorbită de primar, din reţeaua de alimentare P1  U1I1 cos 1 :



P2 . P1

(7.49)

P1  U1I1 cos 1 , o parte se 2 2 transformă în căldură (sau pierderi în cupru), PJ 1  R1I1 şi PJ 2  R2 I 2 , prin efect Din puterea absorbită de transformator,

Joule Lentz în înfăşurarea primară, respectiv secundară, o altă parte, acoperă pierderile pentru magnetizarea miezului (pierderi prin histerezis şi curenţi turbionari),

PFe  GFe E12 , conform figurii 7.16. Puterea

debitată pe sarcină de către P2  U 2 I 2 cos 2 , mai poate fi determinată ca fiind:

P2  P1  PJ 1  PFe  PJ 2  .

124

secundarul

transformatorului,

Figura 7.16. Bilanţul puterilor transformatorului monofazat. Pierderile

totale

în

active

cupru

ale

sunt

PCu  PJ 1  PJ 2 ; cu această notaţie, rezultă relaţia: P1  P2  PFe  PCu .

(7.50)

Pierderile la funcţionarea în gol sunt aproximativ egale cu pierderile în fier: P0  PFe , iar pierderile în cupru sunt:

PCu  R1I12  R2 I 22  R1I12  R2' I 2'2  Rsc I12   2 Pscn .

(7.51)

Cu acestea, randamentul transformatorului este:



U 2 I 2 cos 2 . U 2 I 2 cos 2  P0   2 Pscn

(7.52)

Prin neglijarea variaţiei tensiunii secundare, se va obţine o simplificare semnificativă:

U 2 I 2  U 20I 2  U 20I 2 n

I2  Sn  , I 2n

în care Sn reprezintă puterea aparentă nominală a transformatorului şi în final se va obţine caracteristica randamentului (figura 7.17):



Sn cos 2 Sn cos 2  P0   2 Pscn

.

(7.53)

Figura 7.17. Caracteristica randamentului transformatorului monofazat. Cu excepţia sarcinilor reduse conectate în secundar, randamentul transformatorului are valori ridicate, iar la o încărcare optimă, β0, se obţine o valoare maximă:

P0  02 Pscn  0 , sau  0 

Po . (7.54) Pscn Încărcarea optimă este independentă de factorul de putere a sarcinii; la această încărcare, pierderile în cupru sunt egale cu pierderile în fier. Transformatoarele sunt dimensionate să posede un optim al factorului de încărcare, 0  0,4  0,7 , astfel încât ele să funcţioneze cu randament maxim în regimul de funcţionare cel mai frecvent. Randamentele transformatoarelor depind de puterile lor nominale şi sunt cuprinse între 0,7 şi 0,99, pentru puteri nominale care variază de la câţiva zeci de Waţi, până la zeci de MW.

125

Pentru calcule mai exacte, trebuie să se ţină seama de variaţia tensiunii secundare cu sarcina: (7.55) U 2  U 20 1    , în care s-a notat cu



un 100

uasc cos 2  ursc sin 2 , 100



(7.56)

iar pentru încărcarea optimă, rezultă:

0 





P0 P 1 2  0 , Psc Psc

(7.57)

o valoare sensibil mai mică.

7.7. Transformatorul trifazat 7.7.1. Principiul transformatorului trifazat În reţelele de transport şi distribuţie a energiei electrice se utilizează transformatoare trifazate. Un transformator trifazat poate fi realizat prin conectarea în Υ sau Δ a înfăşurărilor primare sau secundare a trei transformatoare monofazate. De obicei, transformatorul trifazat este realizat ca o construcţie cu miez unic, cu trei coloane distincte (figura 7.18). Figura 7.18. Transformator trifazat cu trei coloane. La alimentarea simetrică a celor trei faze, fluxurile fasciculare din coloanele transformatorului Φ1, Φ2, Φ3, vor forma un sistem trifazat simetric, a căror sumă este nulă în orice moment, ceea ce presupune că nu mai sunt necesare coloane suplimentare de întoarcere a fluxurilor magnetice. Transformatorul trifazat cu trei coloane identice, la care, pe fiecare dintre coloane sunt dispuse înfăşurarea primară şi secundară, aferente fiecărei faze, interacţionează numai între ele şi se comportă ca trei transformatoare monofazate identice, cu condiţia ca schema de conexiuni a înfăşurărilor primare şi secundare să permită curculaţia curenţilor care iau astfel naştere. Cu aceste considerente, teoria funcţionării transformatorului trifazat se reduce la cea a transformatorului monofazat aplicată fiecărei perechi de înfăşurări primară / secundară, dispuse pe o aceeaşi coloană. Succesiunea fazelor se consideră în ordinea alfabetică a înfăşurărilor. 7.7.2. Conexiunile transformatoarelor trifazate Conexiunile transformatoarelor trifazate se referă la modalităţile de conectare ale înfăşurărilor primare sau secundare, care pot fi în stea Y, y, sau triunghi D, d, sau Z, z zig-zag şi se codifică sub una din formele Yy0-n, Dy0-n, Yd-n, Yz-n, cu semnificaţiile:

126

- Y sau D - înfăşurarea de înaltă tensiune; - d sau y - înfăşurarea de joasă tensiune; - 0 – acces la nulul stelei; - n – grupa de conexiuni, adică defazajul dintre tensiunea înaltă de linie între bornele AB şi tensiunea joasă de linie, între bornele ab, măsurate în sens orar şi se exprimă în multiplii de 30o. Cele mai utilizate conexiuni ale transformatoarelor trifazate sunt prezentate în tabelul 7.1.

Simbol

Tabelul 7.1. Conexiunile uzuale ale transformatoarelor trifazate. Schema de conexiuni Diagrame fazoriale Domeniul de ÎT JT ÎT JT utilizare

Yy0-0 Transformatoare de forţă, coborâtoare sau ridicătoare de tensiune Transformatoare coborâtoare de tensiune pentru iluminat. Neutrul se poate supraîncărca cu 100 %

Dy0-5

Yd-5 Transformatoare ridicătoare pentru centrale şi staţii electrice Yz0-5

Transformatoare coborâtoare de tensiune pentru iluminat. Neutrul se poate supraîncărca cu 100 %, până la 160 kVA

Determinarea defazajului corespunzătoare grupei de conexiuni se realizează prin aşezarea fazorilor tensiunilor de pe aceeaşi coloană, cu vârfurile A şi a ale diagramelor fazoriale, puse cap la cap, pentru determinarea defazajului între tensiunile de linie AB şi ab, conform figurii 7.19, aferentă grupei de conexiuni Yd-5. În cazul transformatoarelor trifazate, raportul de transformare, definit ca raportul tensiunilor bornelor omoloage, poate fi considerat ca fiind un număr complex, a cărui argument este dependent de schema de conexiuni. De exemplu, pentru

127

transformatorul considerat în cazul conexiunii anterioare, Yd-5, dacă numărul de spire primare şi secundare sunt w1 şi w2, raportul de transformare complex va fi: 5

k

U AB w1 3 j 6  e . U ab w2

(7.58)

Figura 7.19. Defazajul tensiunilor transformatorului cu conexiunea Yd-5. Numai transformatoarele care prezintă acelaşi raport de transformare complex pot fi conectate în paralel. Conectarea în paralel a transformatoarelor trifazate, ca urmare a creşterii necesarului de putere solicitată de utilizatori, presupune: - aceleaşi tensiuni primare, respectiv secundare, ceea ce conduce la un acelaşi raport de transformare; - aceeaşi grupă de conexiuni; - raportul puterilor nu trebuie să fie mai mare de 1/3, deoarece la raporturi mai mari, transformatoarele cu puteri mai mari, având impedanţe de scurtcircuit mult mai mici, în caz de suprasarcină, acestea vor fi suprasolicitate în exces. 7.8. Transformatoare speciale 7.8.1. Autotransformatorul Înfăşurările primare şi secundare ale autotransformatorului au o porţiune comună, fiind conectate galvanic. Autotransformatoarele pot fi ridicătoare tensiune, U 2  U1 , sau coborâtoare de tensiune, U 2  U1 (figura 7.20). Figura 7.20. Autotransformator ridicător de tensiune. Se notează cu:

k

U1 E w  1  1, U 20 E2 w2

(7.59)

relaţie care defineşte raportul de transformare, ca fiind raportul tensiunilor, respectiv al numărului de spire din primar / secundar. Relaţia complexă a solenaţiilor, neglijând curentul de magnetizare, devine: (7.60) w1 I 12  w2  w1 I 2  w1 I 10  0 , iar dacă se ţine seama de relaţia evidentă dintre curenţi: (7.61) I 12  I 1  I 2 , se va obţine:

I1 w2  . I 2 w1

128

(7.62)

În ipoteza neglijării pierderilor din autotransformator, puterea transferată din primar, către secundar se conservă:

S  U1I1  U 2 I 2 . *

*

(7.63) Numai o parte din puterea totală U1I1=U2I2=St este transferată secundarului pe cale electromagnetică: (7.64) Si  U1I12  U 2  U1 I 2 , denumită şi putere interioară sau de calcul a transformatorului. Restul puterii este transmisă secundarului prin conducţie: St-Si=U1(I1-I12)=U1I2. Puterea electromagnetică este chiar puterea nominală a transformatorului, din care a rezultat autotransformatorul, prin înserierea celor două înfăşurări. Raportul dintre puterea interioară şi puterea transferată secundarului autotransformatorului este:

Si U1I12 U 2  U1 I 2 U    1  1  1  k , (pentru U2 > U1). S t U 1 I1 U 2 I1 U2

(7.65)

Acest raport al puterilor este cu atât mai mic, cu cât raportul de transformare este mai apropiat de unitate, situaţie în care utilizarea autotransformatorului conduce la economii însemnate de materiale active din construcţia sa. În mod obişnuit, autotransformatoarele de putere sunt utilizate la rapoarte de transformare cuprinse între 0,5 şi 2, situaţii care conduc la economii de cel puţin 50 % din puterea de transfer. O largă aplicaţie a autotransformatoarelor este cel al reglajului de tensiune. Un astfel de autotransformator reglabil posedă o bornă secundară care se deplasează prin intermediul unei perii colectoare care alunecă pe o porţiune dezizolată a spirelor înfăşurărilor toroidale a autotransformatorului. Deplasarea cursorului poate fi realizată circular sau liniar, funcţie de varianta constructivă a autotransformatorului. 7.8.2. Transformatorul de sudură Pentru sudura cu arc electric, care este extrem de utilizată în mediul industrial, se utilizează adesea, transformatoare de sudură. Acestea vor poseda o caracteristică adecvată, care trebuie să asigure o tensiune secundară de mers în gol de 60, ..., 85 V (necesară amorsării arcului electric) şi o tensiune de sudare de 20, ..., 35 V (practic o funcţionare foarte apropiată de mersul în scurtcircuit a transformatorului), iar variaţia curentului de sudură trebuie să fie minimă, la variaţia lungimii arcului, respectiv a impedanţei lui. De asemenea, transformatorul de sudură trebuie să posede o bună comportare la regimuri intermitente, adică la trecerea bruscă de la funcţionarea în gol, la cea de scurtcircuit şi inversă, dar şi un reglaj al curentului de sudură, funcţie de diametrele diferite ale electrozilor de sudură. Aceste condiţii pot fi îndeplinite de un transformator care posedă caracteristici externe foarte căzătoare şi reglabile; respectivele caracteristici pot fi obţinute prin creşterea reactanţei de dispersie, care asigură înclinarea caracteristicii externe, respectiv reglarea curentului de scurtcircuit a transformatorului. Pentru înclinarea caracteristicii externe a transformatorului de sudură pot fi adoptate două variante constructive: a. cu şunt magnetic intern reglabil (figura 7.21); b. cu bobină externă de reactanţă reglabilă (figura 7.22).

129

Figura 7.21. Transformator de sudură prevăzut cu reglaj prin şunt magnetic intern. Pentru creşterea reactanţei de dispersie, cele două înfăşurări ale transformatorului sunt amplasate pe extremităţile coloanelor miezului feromagnetic M, iar între înfăşurări este amplasat un şunt magnetic S, care creează un drum de reluctanţă mică şi reglabilă a fluxului de dispersie pentru cele două înfăşurări. Şuntul magnetic se realizează de regulă din două jumătăţi, care se apropie sau se depărtează prin intermediul unui şurub dublu (amplasat perpendicular pe planul figurii), care permite modificarea lungimii drumului de închidere prin aer, a fluxului de dispersie, prin şunt. Tensiunea de mers în gol rămâne practic constantă pentru oricare poziţie a şuntului, iar curentul de scurtcircuit este cu atât mai mare, cu cât interstiţiul creat de şunt este mai mare, deci miezul şuntului este extras. Transformatoarele de sudură cu şunt magnetic reglabil, intern sunt ieftine şi permit un reglaj continuu al curentului de sudură, motive pentru care sunt intens utilizate. Dezavantajul major al acestor aparate de sudură este datorat faptului că sunt zgomotoase, datorită vibraţiilor produse de şunt. Figura 7.22. Transformator de sudură cu bobină externă de reactanţă reglabilă. Transformatorul T de sudură are o construcţie simplă şi în circuitul de sudare se intercalează o bobină B externă de reactanţă reglabilă, realizat prin întrefier variabil, întrefier care asigură un reglaj continuu al curentului de scurtcircuit, practic al curentului de lucru. Această variantă constructivă prezintă avantajul major că în cazul echipamentelor de sudare cu posturi multiple, alimentate simultan de la un singur transformator, de regulă trifazat, fiecare post este prevăzut cu bobină proprie de sudură, care va permite reglajul independent al curentului de lucru al fiecărui post. 7.8.3. Transformatoare de măsură Pentru măsurarea parametrilor înaltei tensiuni (tensiuni, curenţi, puteri şi energie), dar şi a curenţilor extrem de mari, se utilizează reductoare sau transformatoare de tensiune sau de curent; respectivele reductoare mai pot deservi protecţiile prin relee a reţelelor electrice. Valorile standardizate sunt 100 V, respectiv 5 A sau, uneori 1 A. Utilizarea reductoarelor de tensiune sau curent va conduce, pe lângă extinderea domeniilor de măsură a aparatelor, dar şi la micşorarea gabaritelor, sau a pericolelor de electrocutare. Transformatoarele de tensiune sunt transformatoare coborâtoare de tensiune, prevăzute ca secundarul să funcţioneze practic în gol (pe impedanţa foarte mare a unui voltmetru sau a bobinei de tensiune a watmetrelor sau contoarelor de energie). Se interzice punerea în scurtcircuit a acestor reductoare tensiune, ceea ce ar conduce la distrugerea termică a acestor echipamente. Transformatoarele de curent sunt transformatoare ridicătoare de tensiune; în primar se montează pe barele de distribuţie, bare care reprezintă şi înfăşurarea primară,

130

iar înfăşurarea secundară posedă spire mai multe, este dimensionată să lucreze practic în scurtcircuit, la bornele cărora se conectează ampermetre sau înfăşurările de curent a watmetrelor sau contoarelor de energie. În mod obligatoriu, din punct de vedere a protecţiei muncii, se impune ca la deconectarea respectivelor aparate, reductoarele de curent se vor scurtcircuita, iar în mod obligatoriu una din bornele secundare va fi conectată la pământ.

7.9. Probleme rezolvate 1o. Un autotransformator alimentat la 220 V, 50 Hz posedă o priză intermediară de 100 V, priză realizată la o tensiune de 100 V şi debitează un curent de 10 A pe o impedanţă de sarcină. Pentru un număr total de spire w1 = 330 spire, să se determine numărul de spire aferente secundarului, dar şi curentul absorbit de la reţea; (se va considera că autotransformatorul este ideal, deci cu un curent nul de mers în gol şi fără căderi de tensiune pe înfăşurări). Rezolvare: Din raportul de transformare k 

U1 w1 I 2 se va   U 2 w2 I1

determina numărul de spire a secundarului autotrans-

U 2 w1 100  330  150 U1 220 U I 100 dar şi curentul: I1  2 2  10  4,54 A. U1 220 w2 

formatorului:

spire,

Figura 7. 23. Autotransformator ridicător de tensiune. 2o. Un transformator trifazat de 10/0,4 kV are conexiunea D/y. Care este raportul numărului de spire şi raportul de transformare (al tensiunilor de linie) în cazul conexiunilor Y/y, Y/d, D/d ? Rezolvare: Pentru a determina raportul numărului de spire, trebuie să ţinem seama de faptul că între tensiunile de linie şi de fază, la conexiunea Y este raportul

Ul  3, Uf

dar că înfăşurările secundare sunt dimensionate şi realizate la Uf = 230 V. Cu acestea, raportul numărului de spire este:

10 x103 w1  400  43,48 , iar raportul de w2 3

transformare (al tensiunilor de linie), pentru diversele conexiuni sunt:

131

Y/y: k 

U1 10 x103   25 U2 400

Y/d: k  U1

3U 2



10 x103  14,45 400 3 3

D/d: k  U1  10 x10  25 .

U2

400

3o. Pe jugul magnetic al unui transformator de 10 / 0,4 kV este amplasată o înfăşurare cu w = 20 spire, la bornele cărora se măsoară o tensiune U = 100 V. Să se determine numărul de spire din primarul şi secundarul transformatorului. Rezolvare:

U1 w1  , rezultă că U1w2  U 2 w1 , iar U 2 w2 U w U1 w1 U 10 x103 din 1  1 , va rezulta w1  1 w   , 20  2000 spire; din relaţia U 2 w2 U w U 100 Din raportul de transformare:

va rezulta w2 

k

U2 400 w1  2000  80 spire. U1 10 x103

7.10. Probleme propuse 1o. Pentru măsurarea curentului debitat şi a tensiunii la bornele unui generator trifazat, având puterea aparentă nominală Sn = 25 MVA şi tensiunea de linie de 10 kV, se utilizează un ampermetru de 10 A şi un voltmetru de 100 V. Să se determine rapoartele de transformare pe care trebuie să le posede cele două reductoare de măsură, prin intermediul cărora se conectează aparatele de măsură. (Notă: transformatoarele de măsură vor fi conectate între fiecare fază şi pământ). 2o. Pentru alimentarea unei zone de locuinţe se utilizează un transformator trifazat cu conexiunea D/y de 10 / 04 kV. Consumatorii individuali pot fi echivalaţi cu o sarcină rezistivă de 500 kW. Se cer curenţii de linie din primar şi secundar dacă randamentul transformatorului este de 95 %. 3o. Alimentarea unui receptor cu conexiunea triunghi echilibrat, având pe fiecare fază impedanţa Z  40  j30 , Ω, se face prin intermediul a trei transformatoare monofazate ale căror secundare sunt conectate în stea, sistemul de tensiuni fiind caracterizat de tensiunea de linie 380 V. Să se determine curenţii de fază şi de linie.

132

8. MAŞINA ASINCRONĂ Puterea electrică absorbită din reţeaua de alimentare, de către înfăşurările statorice ale maşinii asincrone, este transmisă rotorului, prin inducţie electromagnetică, de unde şi denumirea de maşină de inducţie. Alimentată de la o reţea de curent alternativ de frecvenţă constantă, maşina asincronă prezintă o caracteristică rigidă, dependentă de regimul de funcţionare şi gradul de încărcare. Maşina asincronă poate fi utilizată în unul din cele trei regimuri de funcţionare: motor, generator şi frână, dar este utilizată cu precădere ca şi motor asincron trifazat, datorită avantajelor pe care le prezintă: - simplitate constructivă (în special cele cu rotorul în scurtcircuit); - fiabilitate mărită; - prezintă un cuplu de pornire mărit; - pot fi adaptate diverse metode de reducere a curentului de pornire şi de reglare a turaţiei. Motoarele asincrone cu rotoarele în scurtcircuit, alimentate prin convertoare statice de frecvenţă, comandate prin semnale numerice, din calculatoare de proces, reprezintă acţionările moderne, actuale şi de perspectivă. Maşina asincronă poate funcţiona ca generator, însă cu performanţe inferioare generatorului sincron, datorită în special, faptului că, în calitate de generator, maşina asincronă absoarbe energie reactivă din reţea. Totuşi, în cazul unor generatoare eoliene sau hidro, de mică putere, la care funcţionarea este permisă şi la turaţii variabile, generatorul asincron poate fi întâlnit. Primele propuneri de motoare asincrone au fost realizate la sfârşitul secolului al XIX – lea, de către G. Ferraris, urmate de perfecţionările aduse de Tesla şi Dobrowolski. Momentan motorul asincron se realizează mono-, bi- şi trifazat, cu rotorul în scurtcircuit, sau bobinat, într-o gamă largă de puteri (de la câţiva zeci de waţi, până la zeci de megawaţi), cu tensiuni de până la 10 kV şi turaţii de la zeci, până la zeci de mii de rotaţii pe minut. 8.1. Elemente constructive ale maşinii asincrone Maşina asincronă se utilizează cu precădere în regim de motor asincron trifazat şi sunt cele mai utilizate acţionări industriale, datorită în principal fiabilităţii, dar şi metodelor facile de pornire, inversare de sens, reglare a turaţiei şi frânare. Motorul asincron trifazat are ca elemente constructive principale (figura 8.1): Figura 8.1. Motor asincron trifazat cu rotorul în scurtcircuit: 1 – arbore; 2 – scuturi laterale cu lagăre sau rulmenţi; 3 – bobinaj rotoric şi ventilator interior; 4 – miez rotoric; 5 – carcasă; 6 – miez statoric; 7 – bobinaj statoric; 8 – cutie de borne; 9 – elemente de asamblare (şuruburi, prezoane, şaibe, piuliţe); 10 – capac; 11- ventilator exterior.

133

- statorul, format dintr-o carcasă în care sunt amplasate miezul statoric şi înfăşurările trifazate, iar la capete – scuturile portlagăr; - rotorul, format din axul maşinii introdus într-un miez rotoric, în care se află înfăşurările rotorice, care pot fi de două tipuri: bobinate, sau turnate, aşa–numtele „colivie de veveriţă”. La unul din capetele axului se află ventilatorul, care asigură evacuarea căldurii disipate în motor. Miezul feromagnetic statoric este realizat din tole cu grosimea de 0,5 mm, ştanţate din tablă silicioasă, laminată la rece, izolate între ele cu vopsea, lac, sau oxizi sticlo-ceramici, pentru reducerea pierderilor prin curenţi turbionari. De-a lungul generatoarei interioare a pachetului statoric de tole asamblate, se află amplasate echidistant, un număr de crestături identice, în care se vor distribui înfăşurările statorice. Aceste înfăşurări se realizează din cupru izolat, conform cerinţelor legate de nivelul tensiunii şi de cerinţele clasei termice a motorului. Pentru motoarele trifazate, înfăşurările sunt identice, se amplasează simetric în crestăturile statorice şi constituie cele trei faze ale maşinii, a căror capete sunt amplasate în cutia de borne (figura 8.2.a). Înfăşurările statorice sunt trifazate, de regulă, pentru puteri medii şi mari, iar la puteri mici se întâlnesc înfăşurări bi-, sau monofazate.

Figura 8.2. Amplasarea şi notarea capetelor bobinelor statorice trifazate în cutia de borne (a); realizarea conexiunii Y (b1 şi b2) sau Δ (c1 şi c2). Miezul feromagnetic rotoric este realizat din tole cu grosimea de 0,5 mm, ştanţate din tablă silicioasă, laminată la rece, izolate între ele cu vopsea, lac, sau oxizi sticlo-ceramici, pentru reducerea pierderilor prin curenţi turbionari. De-a lungul generatoarei exterioare a pachetului rotoric de tole asamblate, se află amplasate echidistant, un număr de crestături identice, în care se vor distribui înfăşurările rotorice (figura 8.3). La puteri mici, rotorul poate fi realizat şi din oţel masiv. Figura 8.3. Rotorul în scurtcircuit al motorului asincron trifazat: 1 – arbore; 2 – inele de scurtcircuitare; 3 – miez rotoric; 4 – înfăşurări rotorice în scurtcircuit; 5 – ventilator. Înfăşurările rotorice sunt trifazate şi prezintă acelaşi număr de perechi de poli ca şi înfăşurările statorice.

134

La maşinile cu rotorul bobinat, capetele înfăşurării rotorice sunt amplasate pe trei inele de contact, pe care calcă trei perii colectoare, conectate la o cutie de borne; conexiunea înfăşurărilor rotorice este în stea. Anumite motoare sunt prevăzute cu dispozitive care permit scurcircuitarea în mers a inelelor de contact, precum şi ridicarea periilor, pentru micşorarea uzurii lor în exploatare. Pentru puteri mici ale maşinilor asincrone trifazate, înfăşurarea rotorică poate fi realizată în scurtcircuit, direct prin turnare centrifugală, sub presiune a aluminiului; astfel se obţine aşanumita, „colivie de veveriţă”, care cuprinde bare neizolate, introduse în crestăturile rotorice şi inele frontale, care scurtcircuitează capetele barelor. Între miezul rotoric şi cel statoric al maşinilor asincrone se dispune un întrefier îngust, pe rază, cuprins între 0,25 şi 2 mm, de regulă la limita minimă impusă de siguranţa în funcţionare a maşinii şi de toleranţele posibil de realizat. 8.2. Mărimi nominale ale maşinii asincrone Regimul de funcţionare pentru care a fost proiectată şi realizată maşina asincronă, astfel încât temperatura de regim să nu o depăşească pe cea admisă, este caracterizat de mărimile nominale, înscrise pe plăcuţa indicatoare (a motorului electric) şi se referă la: - puterea nominală, reprezintă puterea mecanică utilă la arbore, exprimată în kW; - tensiunea nominală de linie, în V; - curentul nominal de linie, în A; - frecvenţa nominală a tensiunii de alimentare, în Hz; - schema de conexiuni a înfăşurărilor statorice, Y sau Δ; - randamentul nominal; - factorul de putere nominal; - turaţia nominală la arborele maşinii, în rot / min; - serviciul nominal şi gradul de protecţie contra pătrunderii corpurilor străine şi a apei în motor; - alte date referitoare la gabaritul şi masa maşinii, varianta constructivă, seria şi numărul de fabricaţie etc. Pentru motoarele asincrone cu rotorul bobinat, plăcuţa indicatoare mai poate prevedea în mod suplimentar: - curentul rotoric nominal de linie, în A; - tensiunea electromotoare de linie a rotorului imobil, deschis, în V. De regulă, motoarele asincrone trifazate de uz general au scoase toate cele şase capete ale înfăşurărilor statorice trifazate (conform figurii 8.2), ceea ce permite conectarea motorului în stea sau în triunghi. Prin conectarea diferită se obţin două tensiuni nominale distincte, ceea ce permite pornirea prin conectarea stea / triunghi a motorului trifazat. Pe plăcuţa indicatoare a motorului se vor inscripţiona două tensiuni nominale, doi curenţi nominali şi două scheme de conexiune, în ordinea stea / triunghi. Motoarele asincrone de înaltă tensiune şi putere mare se realizează, de regulă, cu o singură conexiune, care de obicei este cea în stea.

135

8.3. Funcţionarea maşinii asincrone ca motor electric Înfăşurarea simetrică trifazată, aflată în miezul statoric, alimentată cu un sistem simetric de tensiuni, va fi parcursă de curenţii trifazaţi, echilibraţi, de pulsaţie 1. Sistemul echilibrat de curenţi generează un câmp magnetic învârtitor, care are viteza unghiulară:

1 

1 , p

(8.1)

în succesiunea fazelor, unde: 1 - viteza unghiulară a câmpului magnetic învârtitor; 1 = 2f1 - pulsaţia tensiunilor trifazate; f1 – frecvenţa tensiunilor trifazate de alimentare; p – numărul perechilor de poli. Turaţia câmpului magnetic învârtitor, sau de sincronism este:

n1  60

1 60 f1  . 2 p

(8.2)

Dacă n este turaţia rotorului, viteza sa unghiulară va fi:



2n . 60

(8.3)

Câmpul magnetic statoric va avea faţă de rotor, viteza relativă:

 2  1   .

(8.4)

Alunecarea rotorului, faţă de câmpul magnetic învârtitor este:

s

 2 1   2n1  2n n1  n    1 1 2n1 n1

(8.5)

 2  s1 . Câmpul magnetic învârtitor induce în înfăşurările rotorice un sistem trifazat de t.e.m., cu pulsaţia: deci,

 2  p 2  ps1  ps

1 p

 s1 .

(8.6)

Înfăşurările rotorice fiind conectate în scurtcircuit, sau conectate pe un reostat trifazat echilibrat, în ele apar curenţi trifazaţi, echilibraţi, de pulsaţie 2, care, la rândul lor produc un câmp rotoric învârtitor, care se roteşte cu viteza 2, faţă de rotor, respectiv cu viteza , faţă de stator:

2 

2

 s1 p . 1     2

(8.7)

Câmpul magnetic generat de curenţii rotorici are aceeaşi viteză ca şi câmpul magnetic al curenţilor statorici, cu care se compune într-un câmp rezultant, care se roteşte cu viteza unghiulară 1. Prin interacţiunea dintre câmpul rezultant şi curenţii din înfăşurări, ia naştere cuplul electromagnetic, care solicită în sensuri opuse armăturile rotorice şi statorice; prin urmare, apare mişcarea rotorului.

136

Turaţia rotorului şi frecvenţele curenţilor rotorici şi statorici sunt:

n

60 f   1  s n1 2

2  sf1 2  f1  1 2

,

f2 

(8.8)

dependente de frecvenţa reţelei de alimentare, numărul de perechi de poli şi de alunecarea maşinii; sensul de rotire al câmpului magnetic învârtitor şi al rotorului este dat de succesiunea sistemului trifazat de tensiuni, care alimentează înfăşurările statorice ale motorului. Dacă Φ este fluxul pe pol al câmpului magnetic învârtitor rezultant, în întrefierul maşinii asincrone, tensiunea electromotoare indusă în fiecare din fazele statorice va fi:

1

E1 

2

1kw   4,44 f1w1 , 1

(8.9)

în care: w1 - reprezintă numărul de spire, iar kw1 - factorul de înfăşurare a fiecărei înfăşurări statorice. Tensiunea electromotoare indusă în înfăşurările rotorice:

E2 s 

2

2

2 kw2  4,44 f 2 w2 ,

(8.10)

unde: w2- reprezintă numărul de spire, iar kw2- factorul de înfăşurare a fiecărei înfăşurări rotorice. Prin notarea cu E2 – a tensiunii electromotoare de fază a rotorului, corespunzătoare alunecării unitate, s = 1, ceea ce înseamnă că rotorul este imobil: E2 s  4,44 f 2 w2, (8.11)

E2 s  sE2 ,

deci,

(8.12)

iar prin raportarea tensiunilor la rotor imobil, rezultă raportul de transformare a tensiunilor statorice şi rotorice:

kE 

E1 w1kw1  , E2 w2 kw2

(8.13)

situaţie similară transformatoarelor. 8.4. Diagrama energetică a motorului asincron Puterea electromagnetică Pem, transmisă de stator, spre rotor, este: Pem = M1, (8.14) unde, M – cuplul dezvoltat de motor, iar puterea mecanică dezvoltată de forţele electromagnetice, prin învârtirea indusului este: P2’ = M, (8.15)

137

deoarece Ω < Ω1, va apărea o diferenţă de putere Pem –P2’, care va fi disipată prin efect Joule – Lentz, în înfăşurările indusului: Pem – P2’ = Pe2 = 2R2I22, (8.16) în care: R2 – rezistenţa de fază rotorică trifazată, iar I2 – curentul rotoric de fază. O parte din puterea electromagnetică (Pem), se transformă în căldură (Pe2), iar cealaltă ajunge la arbore (P2’); dacă se ţine seama de expresia vitezei unghiulare rotorice: Pe2 = sPem (8.17) P2’ = (1-s)Pem. (8.18) Puterea electromagnetică, denumită şi puterea câmpului magnetic învârtitor nu depinde de viteza rotorului, sau de alunecare. La o putere absorbită de înfăşurările statorice din reţeaua trifazată de: P1 = U1 I1 cos φ1 (în care U1, respectiv I1 sunt valorile efective ale tensiunilor, respectiv curenţilor de fază), pierderile prin efect Joule – Lentz în înfăşurările statorice: P1 = R1 I12, iar pierderile în miezul magnetic statoric PFe, rezultă bilanţul puterilor: P1-Pe1-PFe= Pem. (8.19) Puterea mecanică utilă la arborele maşinii asincrone P2 este mai mică decât puterea mecanică P2’, cu pierderile determinate de frecare şi ventilaţie Pmv şi pierderile suplimentare Ps, cauzate de cuplurile de frânare rotorice: P2 = P2’ - Pmv - Ps. (8.20) Prin reunirea relaţiilor (8.18) şi (8.19), rezultă diagrama energetică a motorului asincron, prezentată în figura 8.4. O parte din puterea electromagnetică se transformă în căldură în înfăşurările rotorice (Pe2 = sPem), iar cealaltă parte se transformă în putere mecanică la arbore [P2’ = (1-s)Pem]. Pentru ca motorul asincron să posede un randament cât mai bun este necesară o alunecare nominală cât mai mică. La puteri cuprinse între 1 şi 1.000 kW, alunecarea nominală va fi cuprinsă între 6 şi 1 %, iar la puteri mai mari scade sub 1 %.

Figura 8.4. Diagrama energetică a motorului asincron. Turaţia nominală la arborele motorului asincron va fi: nn = (1 - sn) n1. (8.21) La frecvenţa industrială f1 = 50 Hz, turaţiile de sincronism sunt dependente de numărul de perechi de poli (tabelul 8.1), iar turaţia nominală la arbore va fi mai mică decât cea de sincronism, cu valoarea alunecării.

138

Tabelul 8.1. Dependenţa turaţiei de sincronism cu numărul de perechi de poli, la motorul asincron trifazat. p 1 2 3 4 5 6 7 8 12 24 n1, [rot / min] 3000 1500 1000 750 600 500 428 375 250 125 La funcţionarea la parametrii nominali, frecvenţa curenţilor rotorici f2 = sn f1 este mică f2 = (0,5 ÷ 3) Hz. Corespunzător acestor frecvenţe mici, pierderile în fierul rotoric sunt neglijabile, fapt de care s-a ţinut seama la construcţia diagramei energetice din figura 8.4. Randamentul motorului asincron poate fi scris sub forma:



P2 P2  P1 P2  Pe1  PFe  Pe 2  Pmv  Ps

(8.22)

şi este cuprins între (85 ÷ 92) %, pentru puteri medii de (10 ÷ 100) kW şi poate scădea sub 75 %, la puteri mai mici de 1 kW. 8.5. Ecuaţiile de funcţionare ale maşinii asincrone trifazate şi caracteristica cuplului electromagnetic Ecuaţiile de funcţionare ale maşinii trifazate pot fi deduse din schema echivalentă monofazată a statorului, respectiv a rotorului (figura 8.5):

u1  e1  e 1  R1i1 ,  e  e  R i 2 s  2 s 2 2 

(8.23)

Figura 8.5. Schema electrică echivalentă (monofazată) a motorului asincron trifazat, cu rotorul în scurtcircuit. unde: rotorică;

u1 – tensiunea de alimentare a fazei statorice a motorului asincron; e1, e2s – t. e. m. induse de câmpul principal în înfăşurarea statorică, respectiv

e1, e2 – t. e. m. datorate fluxurilor de dispersie; R1, R2 – rezistenţa înfăşurărilor de fază statorice şi rotorice; i1, i2 – curentul de fază statoric, respectiv rotoric. În complex, ecuaţiile (8.22) devin: U1  R1  jX  1 I1  E1  . (8.24)   R2  0   jX I  E   2 2 2     s După raportarea mărimilor secundare şi relaţia solenaţiilor, ecuaţiile maşinii asincrone pot fi exprimate sub forma:

139

U 1  R1  jX  1 I1  E1    R2 '   jX  2  I 2 '  E1 , 0   s     I1  I 2 '  I 0  Ym E1 

(8.25)

pe baza cărora se poate întocmi diagrama fazorială (figura 8.6), respectiv schema echivalentă a maşinii (figura 8.7).

Figura 8.6. Diagrama fazorială a motorului asincron.

Figura 8.7. Schema echivalentă a motorului asincron trifazat. Puterea electromagnetică transmisă rotorului poate fi redată şi sub forma: P R (8.26) Pem  e 2  3 2 I 22  1M ; Pe2= sPem s s pe baza căreia, cuplul electromagnetic va fi: 3R I 2 3R ' I ' 2 (8.27) M 2 2  2 2 . s1 s1 Din schema echivalentă se deduce expresia curentului rotoric I 2' :

I 2' 

U1  R  R1  c1 s 

' 2

unde:

2

,

   X  1  c1 X ' 2 





2

c1  C 1  1  Z 1Ym = 1,03, …, 1,07. Expresia cuplului electromagnetic devine:

140

(8.28)

R2' s

2 1

. (8.29) 3U 2 1  2 R'   R1  c1 2   X  1  c1 X ' 2 s   Curba cuplului prezintă două extreme, corespunzătoare valorilor simetrice ale alunecării, numită alunecare critică, a cărei valoare este (figura 8.8): c1 R2' . (8.30) s  M 



m





R12  X  1  c1 X ' 2



2

Figura 8.8. Caracteristica cuplului electromagnetic a maşinii asincrone trifazate şi regimurile de funcţionare. Valorile extreme ale cuplului sunt: 3U 2 1 , (8.31) M m, g  1 1 2c  R  R 2  X  c X ' 2  1 1 1 1 1 2   unde Mm, respectiv Mg sunt cuplurile maxime ale maşinii în regim de motor, respectiv generator. Valoarea maximă a cuplului maşinii nu depinde de R2’ şi este determinat de reactanţa totală de dispersie, R1 fiind mică în raport cu reactanţele: X  1  c1 X ' 2 .





Raportând cuplul motorului la cuplul maxim şi ţinând seama că în acţionări q = 0, se obţine formula lui Kloss: M 2(1  q) , (8.32)  s s Mm  m  2q sm s unde: q 



R1

R  X  1  c1 X  2 2 1

'



.

(8.33)

2

141

În acţionări electrice se consideră q ≈ 0 , obţinându-se formula lui Kloss: M 2  s sm Mm  sm s

(8.34) Din caracteristica cuplului electromagnetic a maşinii asincrone trifazate se observă că: - la alunecări mici, s > sm, variaţia cuplului este una de tip hiperbolic; - cele trei regimuri distincte de funcţionare, cel de generator - corespunzător valorilor negative ale alunecării, s < 0 şi la turaţii suprasincrone, n > 0 (M < 0); motor - pentru alunecări pozitive subunitare, 0 ≥ s ≤ 1; respectiv la turaţii subsincrone, n > 0 (M > 0) şi frână – pentru alunecări supraunitare, s > 1, respectiv la rotirea în sens invers a rotorului, faţă de câmpul magnetic învârtitor, deci la turaţii negative, n < 0 (M < 0). În regim de motor electric, fiecărui cuplu de sarcină Ms îi corespunde (de regulă), câte două puncte de funcţionare posibile, A şi B (conform caracteristicii din figura 8.8), dar numai zona cuprinsă între punctele 0-A-D este stabilă. Pentru funcţionarea motorului asincron trifazat, într-un punct situat pe zona 0-A-D a caracteristicii cuplului electromagnetic, orice creştere a cuplului rezistent (situată sub valoarea cuplului maxim al motorului), conduce la o creştere a alunecării, căreia îi corespunde un cuplu util dezvoltat de motor, mai mare, care să egalizeze noua cerinţă impusă de sarcină, pe când la funcţionarea pe zona D – B a caracteristicii, orice creştere a cuplului rezistent (peste valoarea cuplului maxim a maşinii), conduce la creşterea alunecării, dar mai ales la scăderea noului cuplu dezvoltat de motor, ceea ce conduce la aşa numitul „efect de calare a rotorului”, deci la oprirea sa. Maşina asincronă suportă o bună capacitate de supraîncărcare: M (8.35)   K M  m  1,6;...;3,5 . Mn La pornirea motorului asincron, corespunzător alunecării unitare (np = 0 şi s = 1), acesta va prezenta un coeficient de multiplicare a cuplului de pornire kp = Mm / Mp = 1,6; ...; 2,2. Maşina asincronă trifazată se utilizează, de regulă ca şi motor electric. În instalaţiile de ridicat sau tracţiune, maşina se utilizează şi ca frână, sau generator (pentru recuperarea energiei electrice), la coborârea sarcinii.

8.6. Caracteristicile motorului asincron Caracteristicile principale ale motorului asincron trifazat (figura 8.9 şi 8.10), se referă la: - caracteristica mecanică, n = f (M2); - caracteristica factorului de putere, cos φ1 = f (P2); - caracteristica randamentului, η = f (P2). În afara acestora, mai pot fi definite şi studiate caracteristicile curentului, I1 = f (P2); sau a alunecării, s = f (P2) (prezentată în subcap. 8.5, la studiul caracteristicii cuplului electromagnetic în funcţie de alunecare), de mai mică importanţă, dar specifice. Factorul de putere a motorului este totdeauna subunitar, ceea ce subliniază caracterul puternic inductiv al maşinii şi depinde în mare măsură de încărcarea acesteia. La sarcină nominală, în cazul motoarelor asincrone trifazate de puteri medii, factorul de

142

putere este cuprins între 0,83 şi 0,9, iar la puteri mici, acest factor este mult mai mic. Funcţionarea în gol, sau cu sarcini reduse, presupune un factor de putere mult redus, care poate ajunge la valorile 0,15, ..., 0,3, fapt care constituie principalul dezavantaj al acestor tipuri de motoare asincrone, motiv pentru care maşina se recomandă a funcţiona la o încărcare nominală. Compensarea factorului de putere poate fi realizată centralizat, cu baterii de condensatoare, în cazul puterilor absorbite mici, sau medii şi prin generatoare sincrone supraexcitate pentru puteri absorbite foarte mari.

Figura 8.10. Caracteristica mecanică a motorului asincron.

Figura 8.9. Caracteristicile motorului asincron.

Alura caracteristicii randamentului motorului asincron este determinată de modul de variaţie cu încărcarea maşinii, a pierderilor: - pierderile electrice în înfăşurările statorice,

Pe1  3R1I12 , rotorice,

Pe 2  3R2 I 22 şi suplimentare Ps pot fi considerate ca fiind proporţionale cu pătratul curenţilor din înfăşurări, deci sunt dependente de sarcină; - pierderile mecanice şi cu ventilaţia Pmv, dar şi pierderile în fier PFe, pot fi considerate ca fiind practic independente de sarcina motorului. Dependent de aceste pierderi, randamentul maxim a maşinii se obţine la încărcări mai mici, decât cele nominale, corespunzătoare la (0,5; ...; 0,75) Pn. Dacă sunt cunoscute caracteristicile randamentului şi a factorului de putere, uşor poate fi determinat curentul absorbit de la reţea:

I1 

P2 . 3U1 cos 1

(8.36)

La maşina asincronă curentul de mers în gol reprezintă circa (25, ..., 50) % din valoarea nominală a curentului absorbit de la reţea. Dependenţa turaţiei de cuplul mecanic, la arbore, dezvoltat de către motor, se numeşte caracteristica mecanică a maşinii asincrone, n = f (M2), atunci când restul parametrilor, cum ar fi: U1, R, p, f1 sunt menţinuţi constanţi. Ecuaţia caracteristicii n = f (M2) se obţine, pornind de la relaţia (8.28), în care se înlocuieşte valoarea alunecării cu (8.20), relaţie în care se substituie valorile nominale, cu cele oarecare ale turaţiei sau alunecării, iar viteza unghiulară cu (8.3). Pentru parametrii nominali ai frecvenţei şi tensiunii de alimentare, dar fără rezistenţă

143

suplimentară rotorică, caracteristica mecanică este cea naturală. Caracteristicile mecanice artificiale se obţin atunci când cel puţin unul dintre parametrii amintiţi mai sus nu sunt menţinuţi cei nominali, sau când există o rezistenţă rotorică suplimentară; se obţin astfel caracteristici artificiale prin varierea tensiunii de alimentare, sau prin modificarea rezistenţelor rotorice externe. La modificarea rezistenţelor rotorice, cuplul maxim rămâne practic constant, pe când alunecarea critică variază proporţional cu rezistenţa circuitului rotoric. Caracteristica mecanică naturală a motorului asincron este considerată ca fiind rigidă, deoarece de la funcţionarea în gol, la sarcină nominală, prezintă o variaţie mică, de (1, ..., 6) %, egală cu alunecarea nominală şi o recomandă în aplicaţii specifice, cum ar fi: maşini unelte, compresoare, pompe etc. Punctele importante care se disting de pe caracteristica mecanică a maşinii asincrone, se referă la: - A0 – punctul de mers în gol, caracterizat prin cuplu dezvoltat la arbore – nul şi turaţia de mers în gol, n0, practic egală cu turaţia de sincronism, n1; - An – punctul nominal, caracterizat de cuplul nominal la arbore, Mn şi turaţia nominală, nn = n1 (1 - sn); - Ac – punctul critic, caracterizat de cuplul maxim, Mm şi turaţia, nc = n1 (1 - sm); - Ap – punctul de pornire, caracterizat de cuplul de pornire, Mp şi turaţie nulă. Caracteristica mecanică a maşinii asincrone prezintă două zone distincte: - zona stabilă, cuprinsă între funcţionarea în gol, A0 şi cea la cuplul maxim, Ac; - zona instabilă, cuprinsă între Ac – corespunzătoare cuplului maxim, respectiv a celui de pornire, Ap. 8.7. Pornirea maşinii asincrone trifazate La pornirea motorului asincron trifazat trebuie avute în vedere condiţiile impuse de reţeaua electrică de alimentare şi de cerinţele mecanismului acţionat. Pornirea motorului asincron trifazat se soluţionează în funcţie de varianta constructivă a acestuia, respectiv dacă este cu rotorul bobinat sau în scurtcircuit (colivie de veveriţă). Cuplul dezvoltat de motor la pornire trebuie să fie mai mare decât cuplul rezistent al arborelui antrenat, pentru asigurarea accelerării mecanismului antrenat, iar supracurentul de pornire trebuie să fie în parametrii obişnuiţi, care să nu determine supraîncălzirea înfăşurărilor motorului, dar nici căderi locale de tensiune. Condiţiile de pornire pot fi urmărite prin durata pornirii, raporturile Ip / In, Mp / Mn, care sunt standardizate. Prin conectarea directă a înfăşurărilor statorice ale motorului la reţeaua trifazată de alimentare, atunci când la pornire, rotorul este imobil iar înfăşurările rotorice sunt în scurtcircuit, curentul de pornire poate lua valori cuprinse între 5 şi 8 ori curentul nominal. Pe de altă parte, cuplul dezvoltat de motor la pornire este mic, datorită defazajului mare dintre tensiunea electromotoare rotorică E2 şi curentul rotoric I 2 , cauzat de fatul că reactanţa rotorică Xσ2 este mult mai mare decât rezistenţa rotorică R2. Alunecarea nominală a motoarelor asincrone trifazate este cuprinsă între 1 şi 6 % (valoarea mai mare corespunde motoarelor de puteri mici), iar alunecarea

144

corespunzătoare cuplului maxim este de 5, până la 20 %, motiv pentru care cuplul de pornire (corespunzător alunecării unitare, sp = 1), este mic, comparativ cu cuplul maxim. Din formula lui Kloss (8.), datorită faptului că

sm2  s p  1 , rezultă:

M p  2M m sm ,

(8.37)

prin urmare, cuplul de pornire ar reprezenta (10, ..., 40) % din cuplul maxim şi (25, ..., 65) % din cuplul nominal (valorile mai mici le corespunde motoarelor cu puteri nominale mai mari). Curenţii de pornire mari şi de durată, determină solicitări termice nocive înfăşurărilor motorului, dar şi căderi de tensiune ale reţelei de alimentare, care pot provoca perturbaţii ale altor consumatori, racordaţi la aceeaşi reţea electrică. Acest curent este dependent de nivelul tensiunii aplicate, valoarea impedanţei pe fiecare faza în parte, dar şi de mărimea şi caracterul sarcinii la pornire. Pentru fiecare metodă de pornire aplicată în scopul reducerii curentului de pornire, trebuie determinat şi cuplul de pornire, spre a se evita situaţiile în care cuplul de pornire a motorului este mai mic, decât cuplul rezistent de pornire. Ca metode de pornire, cunoscute şi posibil de aplicat maşinii asincrone trifazate, sunt: - pornirea prin conectarea directă la reţeaua de alimentare; - pornirea stea – triunghi, în care curentul şi cuplul de pornire scad de circa 3 ori; - pornirea cu impedanţe conectate în serie cu infăşurările motorului (din care un caz particular este pornirea cu autotransformator); curentul, ca de altfel şi cuplul de pornire sunt dependente de raportul impedanţelor totale, comparativ cu cele ale motorului; - pornirea cu reostate de pornire, conectate în circuitul rotoric (numai la motoarele cu rotorul bobinat); - pornirea cu tensiuni şi frecvenţe reduse (U / f = ct.), reprezintă metode moderne, realizabile cu convertoare statice de frecvenţă; - maşini de construcţie specială, cu rotoare prevăzute cu bobinaje de tip bare înalte sau în dublă colivie. La motoarele cu bare înalte, se utilizează faptul că la pornire, când frecvenţa curenţilor rotorici este aproximativ egală cu frecvenţa reţelei de alimentare, rezistenţa înfăşurării rotorice este mare, iar reactanţa de dispersie din crestătură, scade. La funcţionarea în sarcină, frecvenţa curenţilor rotorici este mică, iar înfăşurarea rotorică prezintă o rezistenţă şi o reactanţă de dispersie corespunzătoare unei distribuţii uniforme a curentului în barele înfăşurării. Motoarele cu dublă colivie prezintă în rotor două colivii, dintre care una de lucru, de secţiune mai mare, deci cu o rezistenţă electrică mai mică, aşezată la baza crestăturii şi o alta de pornire, de secţiune mai mică, deci cu o rezistenţă electrică mai mare, dispusă la deschiderea crestăturii. Amplasarea dublelor colivii poate fi făcută în crestături comune sau separate. La pornire, când frecvenţa curenţilor rotorici este practic egală cu a reţelei de alimentare a motorului, impedanţa coliviei de lucru este mai mare decât a coliviei de pornire, deci curentul de pornire se va închide în cea mai mare parte prin colivia de pornire, care este caracterizată de o rezistenţă mare pe fază şi o reactanţă de dispersie redusă. 8.7.1. Pornirea directă a motorului asincron trifazat Pornirea prin conectarea directă la reţeaua de alimentare este cea mai sigură şi simplă metodă de pornire a motorului asincron trifazat cu rotorul în scurcircuit şi constă în conectarea statorului la o reţea trifazată a cărei tensiune de linie este identică

145

cu tensiunea nominală a fazelor maşinii. Pornirea este sigură, rapidă, dar cu cele mai mari şocuri ale curenţilor de pornire şi cele mai mari căderi de tensiune ale reţelei electrice de alimentare, motiv pentru care metoda se aplică motoarelor cu puteri mai mici de 10 kW, sau a celor cu colivii speciale, de tip dublă colivie, sau bare înalte, la care se exploatează efectul pelicular al curentului rotoric, la pornire, când frecvenţa este cea a reţelei, iar rezistenţa echivalentă a rotorului este mare şi care asigură un cuplu de pornire ridicat, iar pe durata accelerării, această frecvenţă scade, până la câţiva Hz, situaţie care corespunde unor rezistenţe rotorice mici, ceea ce asigură un randament ridicat a motorului. 8.7.2. Pornirea stea – triunghi a motorului asincron trifazat Pornirea stea – triunghi constă în pornirea motorului în stea, după care, atunci când turaţia se apropie de cea nominală (la circa 0,9 nn), se trece în triunghi şi poate fi realizată cu comutatoare speciale de tip stea – triunghi sau cu contactoare (figura 8.11). Metoda de pornire poate fi aplicată numai motoarelor care au tensiunile nominale a bobinajele fazelor identice cu tensiunile de linie ale reţelei electrice de alimentare. La conectarea în stea, curentul de pornire ia valoarea:

I pY  I fY  I lY 

U fY Zf



U lY , 3Z f

(8.38)

în care UlY, reprezintă tensiunea nominală, egală cu tensiunea de linie, iar Zf - impedanţa unei faze statorice, la pornire (scurtcircuit, corespunzătoare la s = 1 şi n = 0) şi motorul începe a se roti. La stabilizarea turaţiei, înfăşurarea statorică se comută în

3 ori, iar motorul se triunghi, situaţie în care tensiunea unei faze va creşte de accelerează până la o turaţie corespunzătoare sarcinii la arbore. Dacă pornirea s-ar fi efectuat direct cu conexiunea triunghi, la pornire motorul ar fi absorbit curentul: I p  I l  3I f  3 în care

U f Zf

 3

U l , Zf

(8.39)

U l , reprezintă tensiunea nominală, egală cu tensiunea de linie, iar

Zf - impedanţa unei faze statorice, la pornire (scurtcircuit, corespunzătoare la s = 1 şi n = 0) şi motorul începe operaţia de pornire. Figura 8.11. Schema de principiu a pornirii stea – triunghi. Prin compararea celor doi curenţi de pornire, în stea şi triunghi, rezultă un curent de pornire de 3 ori mai mic la pornirea stea, faţă de cea în triunghi, dar şi un cuplu de pornire, tot de 3 ori mai mic, ceea ce constituie o limitare a acestei metode de pornire la situaţiile în care motoarele pornesc cu sarcini reduse la arbore, sau chiar în gol. Cu toate acestea, pornirea stea – triunghi este cea mai răspândită metodă de limitare a curentului de pornire şi se aplică motoarelor cu puteri nominale sub 200 kW şi tensiuni de linie până la 3 kV.

146

8.7.3. Pornirea cu impedanţe statorice Pe durata procesului de pornire se intercalează trei rezistoare sau bobine egale, între înfăşurările statorice ale motorului trifazat şi reţeau de alimentare. Scăderea curentului de pornire conduce la cupluri de pornire mai mici cu pătratul curentului absorbit, dar şi la pierderi mari de energie, motiv pentru care metoda se aplică extrem de rar şi numai la pornirea în gol, sau în combinaţie cu pornirea cu autotransformatoare. 8.7.4. Pornirea cu autotransformator trifazat constă în intercalarea între reţea şi motor a unui autotransformator, din care se modifică tensiunea aplicată motorului, cu până la (0,7 ÷ 05) Un, funcţie de curentul, respectiv cuplul de pornire (figura 8.12). Cuplul şi curentul de pornire variază pătratic cu tensiunea aplicată motorului.

Figura 8.12. Schema de principiu a pornirii cu autotransformator reglabil a motorului asincron trifazat. Metoda se aplică pentru orice puteri ale motoarelor, iar autotransformatorul poate fi prevăzut cu trepte de tensiune şi este dimensionat pentru funcţionarea de scurtă durată. 8.7.5. Pornirea cu reostat rotoric de pornire se aplică numai motoarelor cu rotorul bobinat şi inele de contact. Pentru micşorarea curentului şi creşterea cuplului dezvoltat de motor la pornire, se introduce în circuitul rotoric un reostat trifazat de pornire. Fiecărei trepte a reostatului rotoric, Rp, de pornire, îi corespunde câte o caracteristică a cuplului electromagnetic (figura 8.13, b), respectiv câte o caracteristică mecanică. Pentru rezistenţa Rp = 0, rezultă caracteristica naturală, căreia îi corespunde un cuplu mic de pornire, dar şi un curent mare la pornirea motorului. Prin creşterea rezistenţei rotorice se obţine o creştere a alunecării critice, deci şi a cuplului de pornire, iar pentru sm = 1, se va obţine cuplul maxim la pornire, corespunzător rezistenţei de pornire optime, Rp opt. Cu rezistenţe rotorice mai mari, Rp2 > Rp opt, alunecarea critică devine supraunitară, iar pornirea se realizează la curenţi mici, dar cu cupluri mari. În calculul rezistenţei de pornire, se ţine seama de faptul că, pentru un cuplu electromagnetic dat, alunecarea este proporţională cu rezistenţa circuitului rotoric. În acest sens, dacă s1 este alunecarea la cuplul dat, corespunzător funcţionării normale, (Rp = 0) şi s2 este alunecarea la funcţionarea cu reostatul rotoric, de rezistenţă Rp, rezultă:

R2 R2  R p  , s2 s2 iar rezistenţa reostatului va fi:

147

(8.40)

s  R popt.  R2  2  1 .  s1 

(8.41)

În situaţiile în care se urmăreşte ca la pornire (s2 = 1), să se obţină cuplul nominal (s1 = sn), valoarea rezistenţei reostatului de pornire va fi:

1  R pnom.  R2   1 ,  sn 

(8.42)

iar pornirea să se realizeze la un curent nominal. La alimentarea motorului prin contactorul K, rezistenţa rotorică de pornire va fi Rp opt, corespunzătoare alunecării unitare, sp = sm = 1 şi unui cuplu Mp = Mm (punctul A de pe caracteristica din figura 8.13, b). O dată cu creşterea turaţiei, cuplul dezvoltat de către motor se micşorează, până la atingerea valorii minim impuse (corespunzătoare punctului B), când se reduce rezistenţa de pornire la valoarea Rp2, prin acţionarea contactorului K1, dar căreia îi va corespunde un nou cuplu maxim de pe caracteristica artificială (C). Motorul continuă să se accelereze, cuplul dezvoltat se va micşora şi va ajunge în punctul D – corespunzător valorii minime impuse, când contactorul K2 va scurtcircuita o parte din reostatul de pornire, în circuit va rămâne Rp1, punctul de funcţionare va trece pe noua caracteristică artificială (E), căreia îi va corespunde, din nou, un cuplu maxim dezvoltat de către motor. Motorul continuă să se accelereze, iar cuplul la arbore continuă să scadă, până la valoarea minim impusă (F), când prin cuplarea contactorului K3, punctul de funcţionare sare pe caracteristica naturală, în punctul G, corespunzător valorii maxime a cuplului dezvoltat de motor. În noua situaţie, motorul continuă să se accelereze, punctul de funcţionare se va stabiliza în punctul H, când cuplul dezvoltat de către motor devine egal cu cuplul rezistent la arbore.

a. b. Figura 8.13. Schema de pornire a motorului asincron cu rotorul bobinat şi reostat rotoric (a); caracteristicile cuplului electromagnetic corespunzătoare diferitelor rezistenţe rotorice de pornire (b).

148

Scurtcircuitarea treptelor de rezistenţe se va realiza prin contactoarele K1, K2, K3, comandate de relee de timp sau de curent. Pe toată durata pornirii cu reostat rotoric a motorului asincron trifazat cu rotorul bobinat, cuplul dezvoltat de motor poate fi menţinut la valori ridicate, cu valori moderate ale curenţilor de pornire. Cu toate că motoarele cu rotorul bobinat sunt mai scumpe, necesită o întreţinere mai pretenţioasă, acestea se utilizează în mediul industrial, acolo unde sunt porniri grele, la cupluri mari, dar totuşi cu curenţi moderaţi. 8.8. Inversarea sensului de rotaţie a maşinii asincrone trifazate se realizează prin inversarea sensului câmpului magnetic invârtitor, deci prin schimbarea succesiunii sistemului trifazat de tensiuni, lucru realizabil prin inversarea a două faze între ele, prin intermediul a două contactoare tripolare. 8.9. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate Caracteristica mecanică, [n = f(M)], a motorului asincron trifazat este una rigidă, ceea ce presupune o scăderea mică a turaţiei rotorice, comparativ cu creşterea sarcinii la arbore, iar utilizarea motorului se pretează acţionărilor cu turaţie relativ constantă. Aplicaţiile practice actuale solicită reglarea turaţiei motorului asincron trifazat, la cuplu constant. Reglarea turaţiei motorului asincron trifazat este posibilă, conform relaţiilor (8.2) şi (8.8), prin: - modificarea alunecării maşinii:

n  60

f1 1  s  ; p

- modificarea numărului de perechi de poli (metodă posibilă numai pentru motoarele cu bobinaje speciale, de tip Dahlander); - modificarea frecvenţei tensiunii de alimentare. 8.9.1. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea alunecării poate fi realizată numai între limite restrânse, de regulă sub nivelul turaţiei nominale, prin: - micşorarea tensiunii de alimentare; - introducerea unor rezistenţe suplimentare în circuitul rotoric a motorului (numai la motoarele cu rotorul bobinat); - modificarea puterii rotorice. Reglarea turaţiei prin modificarea tensiunii de alimentare între limitele U1 < Un < U2, mai mică sau mai mare decât tensiunea nominală statorică, se bazează pe modificarea caracteristicii mecanice, la diverse valori ale tensiunii (figura 8.14). Figura 8.14. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea tensiunii de alimentare.

149

La motorul asincron trifazat, alunecarea critică (sc, sau sm), nu depinde de tensiunea de alimentare, conform (8.29), dar cuplul critic, sau maxim depinde cu pătratul tensiunii de alimentare (8.30). Pentru cupluri rezistente la arborele maşinii, comparabile cu cuplul nominal, punctul de funcţionare se mută din An – corespunzător caracteristicii naturale, în unul din punctele A1 sau A2, dacă tensiunea este mai mică, respectiv mai mare decât cea nominală, obţinându-se turaţii sensibil diferite. O dată cu creşterea tensiunii de alimentare, creşte şi curentul de magnetizare, deci vor creşte pierderile în miezul feromagnetic, pe când scăderea tensiunii de alimentare, determină creşterea alunecării, iar la o aceeaşi putere electromagnetică trasferată rotorului, vor creşte pierderile în circuitul rotoric, motorul putându-se încălzi exagerat de mult. Pe lângă toate aceste dezavantaje, la cupluri rezistente la arbore, de valori reduse, reglarea practică a turaţiei este aproape insesizabilă. Reglarea turaţiei prin modificarea rezistenţelor rotorice se poate realiza la motoarele cu rotor bobinat, când din relaţia dintre puterea electromagnetică şi pierderile în înfăşurările rotorice (8.25), Pe2= sPem, în colaborare cu faptul că, pentru valori variabile ale rezistenţei rotorului, se obţin cupluri maxime constante, deci turaţia poate fi modificată numai sub valoarea nominală, conform figurii 8.15, iar valoarea teoretică a turaţiei poate fi scăzută până la zero, pentru un cuplu rezistent Mr = Mn. Figura 8.15. Reglarea turaţiei motorului asincron trifazat prin reostat rotoric. Pentru turaţii reduse drastic, realizate pe baza creşterii alunecării maşinii, apar puteri disipate mari în reostatul rotoric, ceea ce presupune un randament extrem de scăzut a motorului, care sunt dublate de neajunsul ventilării insuficiente, la turaţii reduse. La cupluri reduse, reglajul turaţiei este extrem de redus. Datorită incovenientelor prezentate, metoda este aplicabilă numai pentru puteri mici şi medii, dar la care reglajul turaţiei se efectuează numai între limitele (15, ..., 20) %, sub turaţia nominală. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea puterii rotorice poate fi aplicată numai motoarelor cu rotorul bobinat, sau în costrucţie specială şi se efectuează prin: - conectarea rotorului bobinat la un sistem trifazat, simetric de tensiuni cu frecvenţă variabilă; motorul va poseda dublă alimentare; - cuplarea în cascadă a două motoare asincrone trifazate, prin alimentarea motorului cu rotorul în scurtcircuit de la înfăşurările rotorice ale primului motor, cu care este cuplat mecanic; - folosirea unor motoare de construcţie specială, prevăzute cu două rotoare. Între statorul şi rotorul obişnuit al unei maşini asincrone se realizează un alt rotor de construcţie diferită, care prezintă atât pe circumferinţa interioară, cât şi pe cea exterioară, înfăşurări polifazate. În acest mod pot fi obţinute turaţii de peste 3000 rot. / min., chiar la o alimentare trifazată cu frecvenţa de 50 Hz.

150

8.9.2. Reglarea turaţiei maşinii asincrone trifazate prin modificarea numărului de perechi de poli poate fi realizată la motoarele asincrone trifazate cu rotorul în scurtcircuit (la care numărul de poli rotorici se adaptează automat la numărul polilor statorici), dar care sunt prevăzute cu bobinaje speciale, care prin diferite tipuri de conexiuni, pot să-şi modifice numărul de poli statorici. De regulă modificarea numărului de poli se realizează în raportul 2:1, prin modificarea tipului de conexiune, de la Δ, la YY (figura 8.16); conexiunile motorului fiind de tip Dahlander. Trecerea de la turaţia mare nYY, la turaţia mică nΔ, corespunzătoare unui cuplu rezistent identic, Mr, se va efectua întotdeauna printr-o frânare în regim de generator, indiferent de valoarea cuplului rezistent, pe când accelerarea de la turaţia mică nΔ, la turaţia dublă nYY se va putea realiza numai la cupluri reduse la arborele maşinii. Presupunând că randamentul şi factorul de putere rămân constante pentru cele două tipuri de conexiuni, se constată că puterea mecanică, electrică, dar şi curentul absorbit sunt cu 15 % mai mari la conexiunea YY, faţă de Δ.

Figura 8.16. Conexiunile dublă stea (a), triunghi (b) şi caracteristicile mecanice corespunzătoare reglării turaţiei prin modificarea numărului de perechi de poli (c). Reglajul turaţiei prin modificarea numărului de perechi de poli asigură o putere practic constantă la arborele motorului. 8.9.3. Reglarea turaţiei prin modificarea frecvenţei f1 a tensiunilor de alimentare ale motorului asincron, poate fi efectuată în mod continuu, atât la valori superioare, cât şi inferioare şi poate fi explicată cu ajutorul caracteristicilor mecanice artificiale (figura 8.17). Corespunzător aceluiaşi cuplu rezistent Mr = Mn = const. se obţin turaţii diferite, la arbore n” > nn > n’, corespunzătoare frecvenţelor tensiunilor statorice: f1’ > fn >f1”. Reducerea frecvenţei sub valoarea nominală (menţinând tensiunile statorice constante), conduce la creşterea fluxului magnetic, deci la fenomenul de saturaţie magnetică şi implicit la creşterea pierderilor în miezul feromagnetic al maşinii. În scopul evitării saturaţiei magnetice, care implicit pot conduce la reducerea stabilităţii în funcţionare, întotdeauna, modificarea frecvenţei va fi însoţită şi de varierea tensiunii de alimentare, astfel încât raportul U1 / f1 = const. Astfel, reglarea turaţiei prin variaţia frecvenţei, concomitent cu a tensiunii de alimentare, practic se realizează la flux constant, fără a fi influenţate unele caracteristici de funcţionare, cum ar fi: randamentul, factorul de putere, capacitatea de supraîncărcare etc.

151

Figura 8.17. Reglarea turaţiei motorului asincron trifazat prin variaţia frecvenţei, la cuplu constant, U1 / f1 = const. Odată cu dezvoltarea electronicii de putere, cu dispozitivele sale prevăzute cu comutaţie statică, dar şi cu apariţia, dezvoltarea şi diversificarea microprocesoarelor specializate, au condus la echipamentele moderne de acţionare cu maşini asincrone, numite convertoare statice de frecvenţă, care, pe lângă funcţia principală de reglare a turaţiei prin varierea frecvenţei, la U1 / f1 = const., mai asigură: - pornirea lină prin alegerea unor pante adecvate de creştere a frecvenţei; - frânarea cu cupluri diferite de frânare, prin alegerea unor pante de descreştere a frecvenţei; - frânarea recuperativă, aplicabilă marilor consumatori, care acumulează o cantitate imensă de energie într-o masă inerţială mare, care se recuperează şi este reintrodusă în sistemul energetic; motorul se transformă în generator asincron, iar convertorul static de frecvenţă, asigură parametrii standard (nivel şi formă de tensiune, frecvenţă etc.), compatibili cu reţeaua de alimentare; - reversarea (inversarea sensului de rotaţie), maşinii, prin prescrierea din blocul de comandă a unui sistem trifazat, simetric de tensiuni, de succesiuni directe sau inverse. Pentru acţionările cu servomotoare monofazate sau trifazate, de puteri mici, o soluţie facilă este utilizarea variatoarelor statice de frecvenţă, monofazate. Pentru motoare de puteri mari, sau grupe de motoare a căror reglare este simultană, se utilizează variatoare statice de frecvenţă trifazate. Convertorul sau variatorul static de frecvenţă este un echipament de joasă tensiune, cu comutaţie statică (figura 8.18), constituit în principal, pe partea de forţă, dintr-o punte Graetz mono-, sau trifazată, necomandată, semicomandată, sau comandată, utilizată pentru obţinerea tensiunii continue constante sau reglabile şi a unui alt echipament cu semiconductoare, prin care se reface tensiunea alternativă, mono, sau trifazată, de frecvenţă şi tensiuni variabile, pentru alimentarea maşinilor asincrone. Partea de comandă, care centralizează comenzile şi prelucrează semnalele, este realizată sub forma unor blocuri electronice şi cuprind microprocesoarele sau coprocesoarele matematice, regulatoarele de tensiune, de curent, oscilatoarele variabile, comandate în tensiune, sursele de tensiune (± 5 V, ± 15 V, + 24 V, ~ 52 V) etc. Figura 8.18. Schema bloc de reglare a turaţiei prin convertor static de frecvenţă. Aplicarea convertoarelor statice de frecvenţă în acţionarea electrică, face ca antrenarea cu maşina asincronă să devină una modernă, competitivă, atât din punctul de vedere al

152

performanţelor tehnice, al fiabilităţii, dar şi din punct de vedere economic. Pentru puteri relativ mici, sub 1,5 kW se construiesc convertoare statice de frecvenţă, cu alimentare monofazată şi ieşire trifazată către motor.

8.10. Frânarea motorului asincron trifazat Regimul de frână electromagnetică este caracterizat printr-o alunecare supraunitară (s > 1), iar maşina primeşte energie, atât din reţeaua electrică, dar şi pe la arbore, pe care le transformă în căldură, prin efect Joule-Lentz. Frânarea maşinii asincrone trifazate poate fi realizată în regim de frână propriu zisă sau în regim de generator. Ca metode de frânare a maşinii asincrone trifazate sunt cunoscute: - contracurent (sau contraconectare) – foarte fermă, dar poate fi aplicată numai prin introducerea unor rezistenţe suplimentare pe fazele inversate, care să atenueze şocul de curent extrem de mare, de la contraconectare; - frânarea dinamică (sau frânarea în regim de generator) – decuplarea statorului de la reţea, concomitent cu injectarea unui curent continuu pe două din fazele motorului (derivate din conexiunea Y); - prin inversarea sensului de rotaţie a rotorului – metodă specifică macaralelor electrice şi dispozitivelor de ridicat; - frânarea în regim de generator, cu recuperarea energiei şi reintroducerea ei în reţeaua trifazată poate fi economică numai pentru acţionări de anvergură cu mase inerţiale mari, antrenate.

8.10.1. Frânarea în contracurent, sau prin contraconectare este cea mai simplă şi eficientă metodă de frânare; constă în decuplarea motorului de la reţea şi recuplarea cu două faze inversate (prin inversarea succesiunii fazelor), dublată de introducerea unor rezistenţe pe fazele inversate, care să limiteze curentul de contraconectare (figura 8.19). Fără aceste rezistenţe, curentul la contraconectare ar avea valori extrem de mari, periculoase pentru funcţionarea ulterioară a motorului, dar şi a instalaţiei de alimentare cu energie electrică.

Figura 8.19. Schema de principiu a frânării în contracurent a maşinii asincrone trifazate, cu rotorul în scurtcircuit (a) şi explicativă a frânării pe caracteristicile mecanice (b). Prin modificarea rezistenţelor R1 şi R2, se modifică valoarea curentului de contraconectare, deci şi cuplul, respectiv timpul de frânare. Traductorul de turaţie nulă B1 (denumit şi releu de frânare), asigură decuplarea motorului şi deci, evitarea rotirii în sens invers a acestuia.

153

8.10.2. Frânarea dinamică a maşinii asincrone trifazate – constă în decuplarea statorului de la reţea, concomitent cu injectarea unui curent continuu pe două din fazele motorului (derivate din conexiunea Y, conform figurii 8.20, a), care va genera la nivelul întrefierului, un câmp magnetic statoric constant, dar alternant de-a lungul întrefierului, în care circuitul rotoric, continuă a se roti, din inerţie şi în care se induc tensiuni electromotoare, dependente de valoarea câmpului inductor, dar şi de turaţia remanentă.

Figura 8.20. Frânarea dinamică a motorului asincron trifazat, cu rotorul în scurtcircuit. Energia electrică generată va fi disipată sub formă de căldură în înfăşurările rotorice, la motorul cu rotorul în colivie şi în reostatul rotoric, la motoarele cu rotorul bobinat. Reglarea timpului sau a cuplului de frânare se va realiza din reostatul R1, prin care se modifică valoarea curentului continuu injectat (figura 8.20, b), sau la motoarele cu rotorul bobinat şi prin ajustarea reostatului rotoric, trifazat. 8.10.3. Frânarea prin inversarea sensului de rotaţie a rotorului este posibilă în cazul existenţei cuplurilor potenţiale, adică în cazul dispozitivelor de ridicat, când cuplul rezistent al motorului poate inversa sensul de rotaţie al motorului. Metoda poate fi aplicată motoarelor asincrone cu rotorul bobinat şi constă în introducerea unor rezistenţe trifazate, rotorice, rezultând turaţii diferite, care corespund intersecţiei caracteristicilor mecanice artificiale, cu dreapta de sarcină, reprezentând un cuplu constant (figura 8.21), M = Mr = const. Figura 8.21. Frânarea prin inversarea sensului de rotaţie a rotorului. Introducând rezistenţa rotorică de frânare Rf1, turaţia va scădea de la valoarea de regim nr (de pe caracteristica naturală), la valoarea nf1 < nr, de pe caracteristica artificială corespunzătoare rezistenţei Rf1. Prin introducerea altor rezistenţe de frânare, pot fi obţinute chiar şi turaţii nule (nf3 = 0), corespunzătoare lui Rf3, iar maşina dezvoltă un cuplu egal cu cel rezistent, Mr, sau turaţii negative, cum ar fi nf4 < 0, corespunzătoare rezistenţei de frânare Rf4.

154

8.11. Regimuri speciale ale maşinii asincrone trifazate Maşina asincronă trifazată cu rotorul bobinat mai poate fi utilizată ca şi convertizor rotativ de frecvenţă sau arbore electric. Convertizorul rotativ de frecvenţă este format dintr-o maşină asincronă cu rotorul bobinat, a cări stator este alimentat din reţeaua trifazată, dar a cărui arbore este cuplat cu cu un alt motor reglabil (figura 8.22). Figura 8.22. Schema de principiu a convertizorului rotativ de frecvenţă. În funcţie de sensul şi viteza de rotaţie a rotorului bobinat, la bornele lui pot fi obţinute tensiuni a căror frecvenţă pot fi mai mici sau mai mari ca a reţelei trifazate. Arborele electric constă dintr-un ansamblu de două motoare asincrone trifazate cu rotoarele bobinate, cuplate în paralel, pe un acelaşi reostat reglabil şi se utilizează la poziţionări de precizie, care necesită turaţii riguros egale, indiferent de cuplurile rezistente existente la arborii acestora, cum ar fi podurile rulante sau macaralele portal etc. (figura 8.23). Figura 8.23. Schema de principiu a arborelui electric. Motoarele de antrenare fiind identice, iar cuplarea împreună a înfăşurărilor rotorice conduce la egalizarea frecvenţelor curenţilor rotorici şi implicit la egalizarea turaţiilor rotoarelor, chiar dacă cuplurile la arbori nu sunt egale. Legătura electrică rotorică dintre cele două motoare conduce la transferarea electrică a cuplului, de la maşina mai puţin încărcată, către cea mai încărcată, de unde derivă şi denumirea de arbore electric. Prezenţa reostatului reglabil rotoric asigură pe lângă creşterea cuplului de pornire şi reglajul turaţiei arborelui electric. 8.12. Motorul asincron monofazat Maşina asincronă monofazată se regăseşte ca motor cu puteri mici, de până la 1,5 kW şi are avantaje din punct de vedere constructiv şi a alimentării de la surse monofazate; prezintă similitudini cu maşina asincronă trifazată, singura deosebire constând în faptul că înfăşurarea statorică se realizează mono-, sau bifazată. Câmpul magnetic a unei înfăşurări monofazate statorice, alimentate cu o tensiune sinusoidală, de pulsaţie ω, dintr-o maşină de inducţie, prezintă o variaţie în timp şi spaţiu, de forma:

b( x, t )  Bmsintcos

x , 

(8.43)

în care: τ – pasul polar al maşinii, iar x – o coordonată periferică în întrefier, cu originea în axa înfăşurării, câmp care poate fi descompus în două câmpuri magnetice învârtitoare: 1 x 1 x (8.44) b  Bmsin(t  )  Bmsin(t  ), 2  2 

155

cu amplitudinea 0,5 Bm şi care se rotesc cu o aceeaşi viteză unghiulară     2n1 , 1 p 60 dar de sensuri opuse. Pentru o turaţie n a rotorului, alunecările lui faţă de cele două câmpuri magnetice învârtitoare, de sens direct sau invers, vor fi:

n1  n  sd  n  s  1  1  s   n1  n  n1  n  n1  n  (n1  n)  2  s  2  s  1. d  i  n1 n1 n1

(8.45)

Aceste două câmpuri magnetice învârtitoare produc cupluri electromagnetice de tip asincron, conform relaţiei (8.28): R2' 2 U s M  Md  Mi  1  2 1  2 R2'  '  R1  c1   X  1  c1 X  2  s   2 1

R2' 2  s 

U . (8.46) 2 ' 1   2 R  R1  c1 2   X  1  c1 X ' 2 2s  Dependenţa cuplurilor M, Md şi Mi faţă de alunecarea sd = s = 1 = 2 – s este prezentată în figura 8.24, ceea ce presupune faptul că la pornire cuplul rezultant este nul, Mp = 0, deci motorul monofazat nu poate porni singur, nu are sens de rotaţie bine definit şi nici regim de frână. 





Figura 8.24. Caracteristica cuplului maşinii asincrone monofazate. Existenţa simultană a doi curenţi rotorici de frecvenţe diferite, sf1 şi (2-s)f1, induşi de cele două câmpuri magnetice învârtitoare, determină pierderi suplimentare, deci randamente inferioare ale motorului asincron monofazat, comparativ cu cel trifazat, de o aceeaşi putere, respectiv turaţie. Suplimentar faţă de acestea, rezultă din caracteristicile din figura 8.24 că motorul monofazat dezvoltă un cuplu maxim mai mic decât cel trifazat (Mc < Mdc), ceea ce presupune o capacitate inferioară de supraîncărcare, dar şi o alunecare mai mare, deci o turaţie echivalentă mai mică. Comparativ cu motorul asincron trifazat, motorul asincron monofazat prezintă un randament inferior, un factor de putere mai mic, un gabarit mai mare şi un preţ de cost mai mare. Dezavantajul major al motorului monofazat rezidă în faptul ca acesta nu prezintă cuplu de pornire. Dispozitivele de pornire trebuie să asigure un cuplu de pornire suficient de mare, care să învingă frecările şi pierderile proprii, la care se vor adăuga şi

156

eventualele cupluri rezistente la arborele motorului, sub forma unui câmp magnetic învârtitor şi nu unul pulsatoriu. Pornirea maşinii asincrone trifazate poate fi realizată prin: - aducerea rotorului la o turaţie apropiată de cea nominală prin diverse modalităţi, urmată de cuplarea la reţeaua electrică a înfăşurării motorului (exemplul tipic al maşinii asincrone trifazate, alimentată monofazat); - utilizarea unei faze auxiliare, de regulă înseriată cu condensatoare de sarcină, sau de pornire; - ecranarea polilor. Motorul monofazat cu fază auxiliară se utilizează în special ca şi servomotor şi are pe lângă înfăşurarea principală şi o înfăşurare auxiliară, decalată cu un unghi geometric de π / 2p, [radiani], faţă de înfăşurarea principală şi este înseriată cu un condensator de sarcină, Cs; ambele înfăşurări fiind alimentate de la o aceeaşi sursă. Presupunând că cele două înfăşurări (principală şi auxiliară), prezintă acelaşi număr de spire şi sunt parcurse de curenţi de o aceeaşi valoare efectivă, dar defazaţi în timp, datorită condensatorului Cs cu π / 2p, [radiani], câmpurile magnetice învârtitoare create de înfăşurările principale şi auxiliare vor fi: bp ( , t )  Bm sin tsp ;

  (8.47) bp ( , t )  Bm sin t (t  ) cos(  ). 2 2p Prin compunerea celor două câmpuri se va obţine un câmp magnetic rezultant de tip învârtitor, de forma: (8.48) b( , t )  bp  ba  Bm cos(t  p ) , care asigură cuplul de pornire a motorului monofazat cu fază auxiliară. La solicitarea unor cupluri de pornire mai mari şi a unor parametri de funcţionare superiori, se poate apela la utilizarea unui montaj cu două condensatoare, dintre care unul este strict de pornire, iar celălalt de funcţionare în sarcină, conform figurii 8.25.

Figura 8.25. Schema electrică a motorului asincron monofazat cu fază auxiliară şi condensatoare de sarcină şi de pornire (a); caracteristicile cuplului (b). Condensatorul de sarcină Cs este dimensionat pentru a asigura, la sarcină nominală, o simetrie a curenţilor prin cele două înfăşurări şi un factor de putere ridicat. Condensatorul Cp se cuplează numai la pornirea motorului, pentru a asigura un cuplu de pornire mărit. Caracteristicile cuplului din figura 8.25 reprezintă:

157

a – cuplul produs numai de înfăşurarea principală (Fp), care la momentul pornirii motorului este nul (s = 1); b – cuplul produs de cele două înfăşurări, principală şi auxiliară - înseriată cu condensatorul de sarcină, reprezintă caracteristica de funcţionare în regim permanent, dar motorul dezvoltă un cuplu redus la pornire; c – caracteristica cuplului maxim la pornire, obţinut pentru un anumit condensator de pornire Cp, care să asigure Mp = Mm (a motorului monofazat cu o singură înfăşurare), dar la care Mp > Mr = Mn. La pornirea motorului cu două înfăşurări şi condensatoare de sarcină şi de pornire, atunci când s = 1, punctul de funcţionare se află în A (ceea ce corespunde unui Mp > Mr, motorul se accelerează, alunecarea scade), după care se deplasează pe caracteristica c, până în punctul B, când întrerupătorul Q decuplează condensatorul de pornire, Cp, stare în care punctul de funcţionare se deplasează în punctul C, pe caracteristica de funcţionare (b), a motorului cu două înfăşurări şi condensator de sarcină, situaţie în care motorul se accelerează, alunecarea s scade, până la sarcina, respectiv alunecarea nominală (Mn =Mr şi sn). Pentru inversarea sensului de rotaţie a motorului monofazat, prevăzut cu înfăşurare auxiliară, plus condensatoare de sarcină şi de pornire, este suficientă inversarea sensului curentului prin una din înfăşurări, deci inversarea legăturilor la bornele sale. Motoarele asincrone trifazate pot fi utilizate şi în regim monofazat, prin înserierea a două faze, care vor constitui înfăşurarea principală, iar cea de-a treia - va fi utilizată ca fază auxiliară, conectată în serie cu condensatoarele de sarcină, respectiv de pornire. Motorul monofazat cu poli ecranaţi se realizează numai pentru puteri mici (până la câţiva zeci de waţi), are statorul realizat sub forma unor poli aparenţi, pe care sunt amplasate bobine concentrate; bobina auxiliară este constituită dintr-o spiră în scurtcircuit, care ecranează o parte din suprafaţa polului aparent (figura 8.26). Figura 8.26. Motorul asincron trifazat cu poli aparenţi; 1 – miez statoric; 2 – înfăşurări statorice; 3 – poli statorici aparenţi; 4 – spiră în scurtcircuit; 5 – miez rotoric; 6 – înfăşurare rotorică în colivie. Fluxul magnetic al porţiunii ecranate a polului statoric este defazat în urma fluxului porţiunii neecranate şi ca rezultat, iau naştere câmpuri magnetice învârtitoare în sens direct şi invers, neegale; predominant va fi cel care se roteşte de la partea neecranată, către cea ecranată a polului. Cuplul de pornire este mic, dar suficient în numeroase aplicaţii, care utilizează simplitatea debordantă a construcţiei. Reversarea sensului de rotaţie este posibilă numai prin modificări constructive, adică ecranarea celorlalte porţiuni ale polului. 8.13. Probleme rezolvate 1o. Un motor asincron trifazat cu rotorul în scurtcircuit, conectat la o reţea cu frecvenţa f1 = 60 Hz are turaţia rotorului n2 = 3492 rot / min. Să se calculeze: a. alunecarea s; b. numărul de perechi de poli p;

158

c. frecvenţa curenţilor rotorici f2; d. viteza de rotaţie a câmpului magnetic învârtitor faţă de rotor ΔΩ2 sau Δn2. Rezolvare:

a. Deoarece alunecarea se poate defini ca: s  n1  n2  3600  3492  0,03; n1 3600 s-a adoptat turaţia de sincronism (corespunzătoare unei alunecări cuprinse între 1 şi 6 %), ca fiind 3600 rot / min, mai mare decât turaţia arborelui maşinii, cu această alunecare. b. Numărul de perechi de poli se determină din relaţia: n  60 f1 ; deci 1 p 60 f1 60 x60 p   1; n1 3600 c. Frecvenţa curenţilor rotorici: f 2  sf1  0,03x60  1,8 Hz; d. Pentru determinarea vitezei relative de rotaţie a câmpului magnetic învârtitor faţă de rotor ΔΩ2 sau Δn2 se face apel la relaţiile lor de definiţie:

2n1 2n2     (n1  n2 )  (3600  3492)  3,6 rad / sec 60 60 30 30 n2  n1  n2  3600  3492  108 rot / min.

 2  1  2 

2°. Între ce limite se modifică turaţia unui motor cu o pereche de poli (p = 1), de la funcţionarea în gol, când s0 = 0,3 % la funcţionarea în sarcină, când s1 = 3 %, dacă frecvenţa reţelei este f1 = 50 Hz sau

f1`  60 Hz.

Rezolvare: La funcţionarea în gol, la o frecvenţă a reţelei f1 = 50 Hz şi p = 1, turaţia de sincronism este n1  60 f1  60 50  3000 rot / min, iar pentru o alunecare s0 = 0,3 %, p 1 turaţia de mers în gol va fi: n0  n1 (1  s0 )  3000(1  0,003)  2991 rot / min. La funcţionarea în sarcină, turaţia la arbore va fi: n2  n1 (1  s1 )  3000(1  0,03)  2910 rot / min. De la funcţionarea în gol, la funcţionarea în sarcină, turaţia la arbore va varia de la 2991 rot / min, la 2910 rot / min. La funcţionarea în gol, la o frecvenţă a reţelei f1’ = 60 Hz şi p = 1, turaţia de ` sincronism este n`  60 f1  60 60  3600 rot / min, iar pentru o alunecare s0 = 0,3 %, 1

p

1

turaţia de mers în gol va fi: n  n1` (1  s0 )  3600(1  0,003)  3589,2 rot / min. La ` 0

funcţionarea în sarcină, turaţia la arbore va fi: n2`  n1` (1  s1 )  3600(1  0,03)  3492 rot / min. De la funcţionarea în gol, la funcţionarea în sarcină, turaţia la arbore va varia de la 3589,2 rot / min, la 3492 rot / min.

159

3°. Pentru un motor asincron trifazat cu puterea nominală Pn = 7,6 kW, turaţia nominală nn = 720 rot / min şi capacitatea de supraîncărcare   M max  2,4, să se calculeze: Mn cuplul nominal, maxim, alunecarea nominală şi critică. Rezolvare: Cuplul nominal se determină din relaţia: Pn P 30 Pn 30 x7600 Nm. Din   M max  2,4, va rezulta Mn   n    100,85 Mn n 2nn nn  720 60 Alunecarea nominală va fi: M m  2,4M n  2,4 x100,85  242,04 Nm.

n1  nn 750  720   0,04  4% . Pentru determinarea alunecării critice se n1 750 2 100,85 2 apeleaza la formula lui Kloss: M n  ,  . M m sn  s m 242,04 0,04  sm s m sn sm 0,04 sn 

După rezolvarea ecuaţiei de gradul II, rezultă alunecările critice: sm1 = 0,576 şi sm2 = - 0,184; se adoptă sm1, deoarece sm2 nu este acceptată, deoarece are valoare negativă. 8.14. Probleme propuse 1°. Un motor asincron trifazat cu rotorul în scurtcircuit de 7,5 kW; 220 V; In = 19,3 A; nn = 905 rot / min, are un curent de pornire Ip = In, factorul de putere la pornire cos φp = 0,76 şi momentul cuplului de pornire Mp = 3 Mn. Să se calculeze: a. valoarea rezistenţelor de pornire montate în serie cu fiecare fază statorică a maşinii, pentru a micşora curentul de pornire de două ori; b. de câte ori se va modifica valoarea cuplului de pornire ? 2°. Un motor asincron trifazat posedă caracteristicile nominale: Unf = 380 V; Pn = 5 kW; ηn = 0,85; cos φn = 0,9; f1 = 50 Hz; n2 = 2862 rot / min. Pierderile de putere în fier, obţinute prin încercarea de mers în gol au valorile ΔPFe = 200 W, iar rezistenţa unei faze statorice este R1 = 1,8 Ω. Să se calculeze: a. puterea activă absorbită de la reţeaua de alimentare; b. valoarea efectivă a curentului nominal a unei faze; c. puterea electromagnetică Pem transmisă de stator, rotorului; d. pierderile de putere ΔP2Cu în circuitul rotorului; e. pierderile mecanice ΔPm. 3°. Un motor asincron trifazat cu Pn = 10 kW; Unf = 220 V; nn = 2920 rot min; cos φn = 0,913; ηn = 0,897, absoarbe la funcţionarea în gol P0 = 325 W, cu I0 = 5 A. Pierderile mecanice sunt ΔPmec = 130 W, iar rezistenţa unei faze a statorului, măsurată la temperatura de 15 oC este R1 = 0,326 Ω. Să se calculeze: a. valoarea nominală a curentului unei faze statorice, la conectarea lor în stea; b. pierderile de putere în fier ΔPFe, în înfăşurări ΔPCu şi pierderile de putere suplimentare la funcţionarea cu sarcină nominală.

160

9. MAŞINA DE CURENT CONTINUU 9.1. Generalităţi şi definiţii În sistemele de acţionare electrică, maşina de curent continuu prezintă o largă utilizare, în special datorită caracteristicilor sale, dar şi avantajelor rezultate din reglarea turaţiei. Principala utilizare este aceea de motor electric, dar maşina poate fi utilizată ca şi generator sau frână electromagnetică. În construcţie normalizată, câmpul inductor al maşinii de curent continuu, denumit şi excitaţie, este fix în raport cu armăturile inductoare şi se realizează sub forma unor poli aparenţi, care susţin înfăşurările (bobinele), alimentate în curent continuu. Bobinele sunt conectate în serie, astfel încât la periferia armăturii, polii să alterneze (N – S – N – S etc.), pentru a se obţine un inductor heteropolar. La maşinile de curent continuu de puteri mici, sunt răspândite variantele cu excitaţia sub formă de magneţi permanenţi. Extrem de rar poate fi întâlnită varianta constructivă inversată, când excitaţia este amplasată pe partea mobilă a maşinii de curent continuu. La maşinile cu puteri mijlocii şi mari, între polii inductori se amplasează polii de comutaţie, denumiţi şi poli auxiliari. Polii auxiliari au grosimea mai mică decât polii inductorului şi se realizează din oţel masiv, sau din tole, bobinaţi cu conductoare din cupru, izolate între ele şi respectivele bobine sunt conectate în serie, astfel încât polii de comutaţie să formeze un sistem heteropolar. Maşinile de puteri mari şi foarte mari, precum şi maşinile destinate acţionărilor electrice rapide, se echipează suplimentar cu înfăşurări de compensaţie, amplasate în crestături speciale prevăzute în piesele polare ale polilor principali; axa magnetică a acestor înfăşurări coincide cu axa periilor, iar respectivele înfăşurări sunt conectate în serie cu indusul şi au rolul de a compensa reacţia indusului. După modul de conectare a înfăşurării inductoare, denumită şi de excitaţie, în raport cu indusul maşinii de curent continuu, se deosebesc următoarele variante constructive (figura 9.1):

Figura 9.1. Conexiunile maşinii de curent continuu; a. excitaţie separată; b. excitaţie derivaţie; c. excitaţie serie; d. excitaţie mixtă.

161

- cu excitaţie separată – excitaţia şi indusul sunt alimentate de la surse diferite de energie electrică; - cu excitaţie paralel; - cu excitaţie serie; - cu excitaţie mixtă. 9.2. Mărimi nominale Regimul pentru care a fost proiectat şi realizat, la care maşina de curent continuu ar urma să funcţioneze, reprezintă regimul nominal, regim care constituie principalele caracteristici sau date de catalog, este menţionat pe plăcuţa sau eticheta maşinii şi cuprinde: - regimul de funcţionare (generator sau motor); - puterea nominală (la generatoare – puterea debitată la bornele indusului, în kW; la motoare – puterea mecanică furnizată la arbore, în kW); - curenţii şi tensiunile la bornele indusului sau excitaţiei, în A, respectiv în V; - turaţia nominală, în rot/min; - gradul de protecţie şi serviciul nominal; - masa maşinii sau a rotorului (pentru cele de puteri foarte mari); - date despre fabricantul maşinii etc. Valorile normalizate ale tensiunilor maşinilor de curent continuu sunt numeroase, dar cele mai uzuale valori se referă punctual la cele solicitate de aplicaţia respectivă. Turaţiile nominale ale maşinilor de curent continuu de uz general pot fi alese apropiate sau egale cu turaţiile maşinilor asincrone, sau sincrone. Pentru aplicaţii specifice, turaţiile maşinilor de curent continuu pot fi adaptate solicitărilor diverse. Maşina de curent continuu poate funcţiona ca generator, motor, sau frână electromagnetică. Ca generator are aplicaţii restrânse şi se referă la surse de încărcare a bateriilor de acumulatoare, sau la generatoare de sudură. Motoarele de curent continuu au aplicaţii largi în diverse sisteme de acţionare electrică cu turaţie variabilă, sau în tracţiune electrică, cum ar fi: laminoare reversibile, tramvaie, troleibuze, autoturisme electrice, electrocare, locomotive electrice sau diesel-electrice, excavatoare, dragatoare, excitatoare pentru generatoarele sincrone etc. Dezvoltarea electronicii de putere cu dispozitivele lor semiconductoare, comandate digital, fac ca acest sector să devină competitiv ca soluţii tehnice şi din punct de vedere economic, determină renunţarea la maşina de curent continuu şi înlocuirea cu maşina asincronă, cu fiabilitate crescută.

9.3. Elemente constructive ale maşinii de curent continuu Maşina de curent continuu are în compunere două părţi principale, statorul şi rotorul. Construcţia normalizată a maşinii de curent prevede că statorul este realizat ca inductor (excitaţie), iar rotorul ca indus – în care se induc tensiuni electromotoare de mişcare (figura 9.2).

162

Statorul maşinii de curent continuu este format din carcasă, polii magnetici principali şi de comutaţie, cu pieselor lor polare şi bobinele de excitaţie, scuturile port lagăr şi portperiile cu dispozitivele lor de poziţionare. Jugul inductorului se realizează din oţel turnat sau din produse laminate din oţel de tip tablă sau ţeavă, îndeplineşte atât rolul de carcasă (protejând mecanic părţile frontale ale înfăşurărilor statorice), cât şi pe acela de cale de închidere a liniilor de câmp inductoare şi este prevăzută cu elemente constructive auxiliare, de tip talpă sau flanşă de fixare, cutie de borne, plăcuţă indicatoare, dispozitiv de ridicare etc. La maşinile de construcţie specială, jugul este realizat din tole de tablă silicioasă, izolate între ele, ştanţate împreună cu polii inductori. Protecţia mecanică a acestor tipuri de maşini este realizată de scuturile frontale. Pe părţile laterale ale statorului sunt montate scuturile port – lagăr, cu rolul principal de susţinere şi centrare a rotorului. Polii principali sunt realizaţi dintr-un miez feromagnetic din tole sau oţel masiv, peste care se amplasează bobinele de excitaţie. Talpa polară a miezului feromagnetic are rolul de uniformizare a câmpului magnetic la nivelul întrefierului. Între polii principali inductori pot fi amplasaţi poli auxiliari (întâlniţi numai la maşinile de medie şi mare putere), de lăţime redusă, care ajută procesul de comutaţie şi sunt realizaţi din oţel electrotehnic; înfăşurările acestora sunt alimentate în serie cu indusul maşinii şi creează poli alternaţi, (N-S-N-S-...). La maşinile de putere mare în piesele polare ale polilor principali de excitaţie sunt practicate crestături în care se amplasează înfăşurările de compensaţie, conectate în serie cu indusul maşinii. Pentru puteri mici maşinile de curent continuu locul excitaţiei poate fi luat de către magneţi permanenţi, montaţi pe carcasa statorică, în locul polilor inductori bobinaţi (poziţia 2 din figura 9.2).

Figura 9.2. Maşina de curent continuu; 1 – carcasa motorului de curent continuu; 2 – excitaţie sub forma magneţilor permanenţi; 3 - rotor; 4 – scuturi portlagăr; 5 – elemente de asamblare; 6 – portperii şi perii colectoare. Axele polare reprezintă axele de simetrie ale polilor inductori, iar axele neutre sunt date de bisectoarele unghiurilor formate de două axe polare consecutive. Polii auxiliari sunt dispuşi pe axele interpolare. Rotorul maşinii cuprinde arborele pe care sunt amplasate indusul, colectorul şi ventilatorul (figura 9.3).

163

Figura 9.3. Rotorul maşinii de curent continuu; 1 – ax; 2 – bobinaj; 3 – miez feromagnetic; 4 – bandaje de oţel pentru rigidizarea bobinajului; 5 – colector. Indusul maşinilor de curent continuu este amplasat de regulă, în varianta normalizată, pe partea mobilă şi se realizează sub forma unor înfăşurări speciale de curent continuu, de tip închis, înfăşurări amplasate, pe două straturi, în crestăturile practicate longitudinal, la periferia miezului feromagnetic al rotorului. Miezul rotoric feromagnetic se realizează din tole ştanţate din tablă silicioasă, normal aliată, cu grosime de 0,5 mm, izolate între ele – pentru reducerea pierderilor prin curenţi turbionari; de-a lungul generatoarelor externe ale pachetului rotoric sunt practicate crestături în care se amplasează bobinajul indusului, de tip închis, realizat în general în două straturi, cu conductoare de cupru şi este format din secţii, a căror capete sunt conectate la lamelele colectorulului maşinii, prin lipire sau presare la rece. Colectorul face legătura indusului cu reţeaua de curent continuu, prin periile colectoare. Rolul colectorului este acela de redresor în cazul generatorului de curent continuu, sau de comutator al căilor de curent ale indusului motorului. Colectorul se realizează dintr-un pachet de lamele trapezoidale din cupru, izolate între ele, fixate şi ridigizate printr-un dispozitiv în formă de coadă de rândunică, pe un butuc amplasat pe rotorul maşinii, figura 9.4. Sistemul periilor colectoare este amplasat în unul din scuturile frontale şi se compune din colierul periilor colectoare, de care se fixează tijele portperiilor, portperiile şi periile. Figura 9.4. Colectorul maşinii de curent continuu; 1 – locaşul de îmbinare sau lipire a capetelor bobinelor rotorice; 2 – lamelele colectorului; 3 – izolaţie între lamelele colectorului; 4 – butucul de asamblare a colectorului. Lamelele colectorului sunt izolate între ele şi în raport cu butucul cilindric. Rolul colectorului este acela de redresor / invertor al curentului alternativ în curent continuu sau vicerversa. Distanţa măsurată la periferia rotorului între două axe neutre consecutive se numeşte pas polar şi se notează cu τ.

164

9.4. Principiul de funcţionare a maşinii de curent continuu Prin compararea principiilor de funcţionare a generatorului de curent continuu cu cel de curent alternativ (figura 9.5), se poate ajunge la concluzia că maşina de curent continuu poate fi asimilată unei maşini de curent alternativ, prevăzută cu un redresor mecanic, numit colector, poziţionat între indusul maşinii şi circuitele externe.

Figura 9.5. Principiul de funcţionare a generatorului de curent alternativ (a), cu a maşinii de curent continuu (b). La funcţionarea ca generator de curent continuu, când energia mecanică necesară rotirii indusului este transformată în energie electrică şi transferată rezistenţei de sarcină R, iar comutatorul Q este fixat pe poziţia 1, tensiunea electromotoare indusă în spira conectată la lamelele colectorului este pulsatorie, ea variind între zero şi un maxim, la o jumătate de rotaţie a spirei. Pentru obţinerea unei tensiuni continui cu ondulaţii reduse, maşina de curent continuu este prevăzută cu o înfăşurare specială, numită tip indus de curent continuu, simetrică, închisă şi conectată la colectorul prevăzut cu lamele multiple. Amplasarea periilor colectoare este realizată pe axa neutră, astfel încât tensiunile electromotoare, respectiv curenţii să prezinte valori minime, care tind spre zero, pe durata procesului de comutare (când fiecare perie calcă simultan pe două lamele învecinate ale colectorului), ceea ce implică minimizarea scânteilor la colector şi creşterea fiabilităţii maşinii de curent continuu. La trecerea comutatorului Q pe poziţia 2, când înfăşurarea indusului este alimentată de la o sursă externă, cu tensiunea E, asupra secţiunilor active ale conductoarelor înfăşurărilor indusului, parcurse de curentul debitat de această sursă, va acţiona un ansamblu de forţe Laplace: dF  l (dl x B) , care va conduce la apariţia unui cuplu la arbore. În acest mod, maşina primeşte energie electrică la borne şi o transformă în putere mecanică, devenind motor electric. Din punct de vedere energetic, maşina de curent continuu este reversibilă, conversia electromagnetică a energiei putându-se efectua în ambele sensuri, cu o aceeaşi maşină. 9.5. Înfăşurările indusului maşinii de curent continuu Înfăşurările indusului maşinilor de curent continuu sunt mult diferite faţă de bobinajele maşinilor de curent alternativ.

165

O înfăşurare a indusului maşinii de curent continuu este compusă din conductoarele active amplasate în crestături, conectate între ele prin legături frontale, astfel încât tensiunile electromotoare induse în diversele conductoare ale unei căi de curent să se adune, înfăşurarea astfel realizată să fie simetrică, închisă şi să cuprindă toate conductoarele active ale indusului. Conform acestor principii, înfăşurările maşinii de curent continuu pot fi buclate sau ondulate (figura 9.6, unde sunt reprezentate porţiuni ale acestor tipuri de înfăşurări).

Figura 9.6. Înfăşurările buclate (a) sau ondulate (b) ale indusului maşinii de curent continuu. În cazul ambelor tipuri de înfăşurări, legăturile frontale se realizează cu un anumit pas polar (τ), între conductoarele aflate sub polii de polaritate opusă. La înfăşurarea buclată pasul în faţă x2 (pe partea dinspre colector a rotorului), se realizează în sens opus pasului în spate x1 (pe partea opusă colectorului), astfel încât, după doi paşi consecutivi (un pas în faţă şi altul în spate), se revine sub polul de plecare, cu o distanţare x  x1  x2 , care poartă denumirea de pas rezultant, iar pasul colector este de o lamelă (dintre două conexiuni succesive la colector). La înfăşurarea ondulată pasul în faţă x2 se realizează în acelaşi sens ca pasul în spate, astfel încât, după doi paşi consecutivi se va avansa cu aproximativ doi paşi polari x  x1  x2  2 , iar pasul la colector ( xk  2 ) va fi dublul pasului polar. La colector, între două legături consecutive, se pot înseria mai mult de două conductoare, amplasate în aceleaşi crestături; astfel se formează o secţie sau o bobină, care posedă o aceeaşi deschidere x1; tipul înfăşurării va fi dat de modul de conectare dintre bobine, sau secţii. Laturile secţiilor înfăşurărilor se amplasează în crestături, de obicei în două straturi; fiecare strat aparţine unor bobine diferite. Secţiile care compun o înfăşurare tip indus de curent continuu sunt identice şi au un pas aproximativ egal cu pasul polar (de obicei mai mic decât pasul polar). Înfăşurările buclate pot fi realizate pentru orice număr al crestăturilor indusului, pe când înfăşurările ondulate – numai pentru un anumit număr distinct de crestături.

166

9.6. Tensiunea electromotoare a maşinii de curent continuu La rotirea indusului în câmpul magnetic al polilor inductori, sau de excitaţie, în fiecare spiră a indusului maşinii de curent continuu se va induce o tensiune electromotoare; prin însumarea tensiunilor electromotoare ale spirelor dintr-o aceeaşi cale de curent se va obţine tensiunea electromotoare a maşinii. Pentru obţinerea tensiunilor electromotoare se va considera pentru început cazul unei spire amplasate în crestăturile longitudinale ale indusului, cu un pas diametral τ, care se deplasează cu viteza v în câmpul magnetic inductor, figura 9.7 (A1 şi A2 reprezintă periile colectoare ale indusului). Figura 9.7. Explicativă la tensiunea electromotoare indusă într-o spiră a indusului maşinii de curent continuu.

Dacă l este lungimea activă a spirei indusului, fluxul magnetic al spirei va fi:

sp  

a 

a

B( x)ldx  l[ F (a   )  F (a)] ,

(9.1)

în care B(x) este componenta radială a inducţiei magnetice în întrefierul maşinii de curent continuu, iar F(x) reprezintă integrala nedefinită:

F ( x)   B( x)dx . Tensiunea

esp  

electromotoare

indusă

(9.2) într-o

spiră

d sp

a

indusului

 dF (a   ) dF (a)  da  l    l[ B(a)  B(a   )] , dt da  dt  da

este: (9.3)

în care, τ – pasul diametral al spirei; a; a + τ – limitele de integrare pe axa x; v – viteza de deplasare a spirei; B(a); B(a + τ) – valorile inducţiei magnetice, corespunzătoare limitelor de integrare a şi a + τ.

că:

Deoarece curba inducţiei magnetice este alternantă simetric, ceea ce presupune B(a + τ) = - B(a), valoarea tensiunii electromotoare induse va fi:

esp  2lB(a) .

(9.4)

Fiecare cale de curent, cuprinsă între periile colectoare, este compusă din mai multe spire ( ), distribuite în mod uniform în crestăturile de la periferia indusului. Tensiunea electromotoare a spirelor aflate pe porţiunea de lungime elementară da, din periferia indusului, este:

dE  espdwa  esp

wa



da  2lB(a) 167

wa



da.

(9.5)

Tensiunea electromotoare indusă în toate spirele aferente unei căi de curent este: a 

E   dE  2 a 0

wa







0

B(a)lda 

2wa



,

(9.6)

în care Φ este fluxul magnetic inductor al unui pol a maşinii de curent continuu. Prin exprimarea vitezei periferice v, în funcţie de turaţia n, pasul polar τ, numărul de poli 2p şi diametrul d al rotorului,

  d

n n ,  2 p 60 60

(9.7)

iar numărul de spire wa, în funcţie de numărul total de spire N ale indusului şi de numărul 2m al căilor de curent,

wa 

1 N , 2 2m

E

pn N   ke n , 60 m

(9.8)

tensiunea electromotoare va fi: (9.9)

în care ke este o constantă constructivă, proprie fiecărei maşini. Expresia tensiunii electromotoare poate fi utilizată cu aproximaţie şi în cazul înfăşurărilor care nu au pasul egal cu pasul polar τ. 9.7. Reacţia indusului maşinii de curent continuu La funcţionarea în gol, ceea ce presupune un curent nul prin circuitul indusului, la nivelul întrefierului există numai un flux de excitaţie (sau a inductorului), generat de înfăşurările polilor principali (figura 9.8, a), care parcurge radial întrefierul maşinii şi se va închide prin jugul maşinii. Valoarea inducţiei este constantă sub tălpile polare şi va scădea drastic după muchiile tălpilor polare, din cauza creşterii întrefierului şi va deveni nulă în axa neutră (figura 9.9). Câmpul este simetric în raport cu axa polilor N – S formaţi, axa periilor A1 – A2 se află într-o zonă în care componenta radială a câmpului inductor trece prin zero, axa se numeşte neutră, iar câmpul – longitudinal. În sarcină, în regim de generator, înfăşurarea indusului maşinii de curent continuu, parcursă de curentul de sarcină, creează un câmp magnetic suplimentar, denumit câmp de reacţie a indusului (figura 9.8, b). Spectrul liniilor câmpului de reacţie a indusului Φr, în lipsa câmpului de excitaţie (Ie = 0) este prezentat în figura 9.9. Câmpul indusului prezintă simetrie în raport cu axa periilor, A1 – A2 şi formează o pereche de poli Na – Sa ai câmpului de reacţie, amplasat în axa periilor. Prin suprapunerea câmpurilor inductorului şi a indusului se va obţine la nivelul întrefierului maşinii de curent continuu un câmp magnetic rezultant, deformat (figurile 9.8, c şi 9.9), care nu mai prezintă nicio axă de simetrie.

168

Figura 9.8. Spectrul liniilor câmpului magnetic a maşinii de curent continuu; a – câmpul inductor, sau de excitaţie; b – câmpul de reacţie a indusului; c – câmpul rezultant, în sarcină a generatorului. Asimetria câmpului magnetic rezultant, generată de reacţia indusului, poate conduce la apariţia unor saturaţii locale, corespunzătoare inducţiilor mari şi la scăderea fluxului magnetic util al maşinii, deci la micşorarea tensiunii electromotoare induse în înfăşurare. Acest efect poate fi evaluat printr-o expresie de forma ΔE = - α Ia, în care Ia este curentul prin indus, iar α reprezintă o constantă, dependentă de starea de saturaţie a maşinii. În cazul maşinilor nesaturate, efectul reacţiei indusului asupra tensiunii electromotoare este neglijabil, iar α ≈ 0.

Figura 9.9. Curbele câmpurilor magnetice în întrefierul maşinii de curent continuu. În concluzie, câmpul generat de indus, în situaţia în care periile se află poziţionate în axa transversală, este simetric în raport cu această axă şi va genera un flux magnetic longitudinal nul; pentru regimul nesaturat, prin suprapunerea efectelor, va rezulta o contribuţie nulă a câmpului indusului, în procesul de inducere a tensiunii electromotoare. Reacţia indusului va influenţa repartiţia tensiunii pe colector şi prin aceasta va afecta condiţiile de comutaţie a maşinii, îngreunând acest proces.

169

9.8. Comutaţia maşinii de curent continuu Prin rotirea indusului maşinii de curent continuu, fiecare secţie a înfăşurării indusului va trece succesiv dintr-o cale de curent în alta, iar curentul prin secţie îşi schimbă sensul. Perioada de repetiţie a fenomenului apare după un timp egal cu:

T

60 np

(9.10)

şi poartă denumirea de perioadă de magnetizare a indusului. Trecerea unei secţii dintr-o cale de curent în alta se realizează după o perioadă Tk, pe durata căreia se produce scurtcircuitarea temporară a secţiei prin peria colectoare care calcă simultan pe cele două lamele alăturate (figurile 9.10 şi 9.11). Figura 9.10. Variaţia în timp a curentului unei secţii a indusului. Totalitatea fenomenelor care au loc în intervalul de timp de la scurtcircuitarea secţiei de către perie, până la eliminarea scurtcircuitului şi inversarea sensului curentului se numeşte comutaţie. Durata procesului de comutaţie este dat de viteza periferică a colectorului (vk) şi lăţimea periei (bp):

Tk 

bp

k

.

(9.11)

Procesul de comutaţie nesatisfăcător poate fi cauzat de o presiune insuficientă a periilor pe colector, vibraţia suportului periei, colector ovalizat sau cu lamele ieşite din suport, sau de unele fenomene electromagnetice. O comutaţie defectuoasă se poate manifesta prin apariţia unor scântei sub perii sau la marginile lor, uneori prin apariţia unui „cerc de foc la colector”, care conduce implicit la distrugerea colectorului. În secţia care comută, poziţionată în axa neutră, sunt induse tensiuni electromotoare datorate câmpului magnetic rezultant şi a tensiunilor autoinduse, cauzate de variaţia curentului prin respectiva secţie, de la + Ia, la – Ia. Pentru anularea acestor tensiuni, care determină curentul de scurtcircuitare i a secţiei care comută şi în scopul îmbunătăţirii procesului de comutaţie, sunt utilizate diverse metode, cum ar fi: deplasarea periilor din axa neutră, sau utilizarea polilor auxiliari de comutaţie. Prin decalarea colectorului (a se consulta şi figura 9.9), se poate crea tensiunea necesară grăbirii comutaţiei, dar care prezintă dezavantajele: decalajul variază cu sarcina şi metoda determină o reacţie longitudinală, care conduce la diminuarea fluxului util.

170

Figura 9.11. Schimbarea sensului curentului prin secţia care comută. La maşinile cu puteri mari, utilizarea polilor auxiliari (de comutaţie), amplasaţi în axa neutră, cu înfăşurările parcurse de curentul indusului, este soluţia convenabilă pentru optimizarea procesului de comutaţie. Polaritatea polului auxiliar este aceeaşi cu a polului inductor, în sensul rotaţiei - la funcţionarea în regim de generator şi a polului inductor precedent – la funcţionarea în regim de motor. Pentru a optimiza procesul de comutaţie, conexiunea indus – poli de comutaţie trebuie să ţină seama de sensul de rotaţie şi de regimul de funcţionare a maşinii de curent continuu. 9.9. Cuplul electromagnetic al maşinii de curent continuu Puterea electromagnetică transmisă rotorului poate fi exprimată sub forma:

Pem  EI a  M  M 2

n , 60

(9.12)

în care Ia este curentul prin indusul maşinii de curent continuu. Prin explicitarea tensiunii electromotoare, se va obţine relaţia:

M

pN I a  kM I a , 2m

(9.13)

în care kM – este o constantă proprie fiecărei maşini şi depinde numai de construcţia mecanică a maşinii. Cuplul electromagnetic frânează indusul – în cazul generatorului, iar în cazul motorului – antrenează indusul. 9.10. Funcţionarea maşinii de curent continuu ca generator Dependent de modul de alimentare al excitaţiei generatorului, pot fi distinse următoarele tipuri (figura 9.1): - generator cu excitaţie separată – excitaţia este alimentată de la o sursă diferită de energie electrică; - generator cu excitaţie derivaţie sau paralel cu indusul;

171

- generator cu excitaţie serie cu indusul; - generator cu excitaţie mixtă; generatorul are două înfăşurări, dintre care una este în serie, iar cealaltă în paralel cu indusul. În cazul generatoarelor de mică putere, excitaţia se poate realiza şi sub forma unor magneţi permanenţi; aceste generatoare prezintă caracteristici identice cu generatoarele cu excitaţie separată. Diversele tipuri de conectări ale excitaţiei cu indusul, determină caracteristici diferite pentru fiecare generator în parte. Fenomenele electromagnetice care au loc în generatoare sunt aceleaşi. Astfel: - tensiunea electromotoare indusă:

E  ke n ,

(9.14)

- cuplul electromagnetic:

M  kM I a ,

(9.15)

- tensiunea la bornele generatorului, dedusă cu teorema a doua a lui Kirchhoff, aplicată indusului:

U  E  Ra I a .

(9.16)

Semnificaţiile mărimilor care au intervenit în ecuaţiile de mai sus sunt: ke şi kM - constante constructive, specifice generatorului de curent continuu; Φ- fluxul magnetic pe pol, produs de înfăşurările de excitaţie; Ra, Ia - rezistenţa, respectiv curentul indusului. Transformările energetice care au loc în generatorul de curent continuu sunt sistematizate în diagrama energetică din figura 9.12, cu semnificaţiile:

Figura 9.12. Diagrama energetică a generatorului de curent continuu. - puterea mecanică primită la arbore:

P1  M 1 ,

- pierderile mecanice şi cu ventilaţia: Pmv, - pierderile pentru magnetizarea indusului: PFe, - puterea electromagnetică constă din transferul, conversia puterii mecanice în putere electrică, în circuitul indusului:

Pem  P1  Pmv  PFe  M  EI a ; 172

- pierderile prin efect Joule – Lentz în înfăşurările indusului:

Pe  Ra I a2 ;

- puterea necesară excitaţiei (dacă aceasta este preluată din cea oferită de generator – în cazul excitaţiilor derivaţie, serie sau mixte),

Pex` ;

- puterea de excitaţie care poate fi primită dintr-o excitaţie separată şi care, oricum se va transforma în căldură:

Pex`` .

Prin luarea în considerare a acestor pierderi, randamentul generatorului de curent continuu, poate fi exprimat sub forma:



P2 P2  , `` `` ` P1  Pex P2  Pex  Pex  Pe  PFe  Pmv

(9.17)

şi este cuprins între 0,75 şi 0,95, pentru puteri nominale între 1 şi 10.000 kW; pentru puteri mai mici, randamentul poate fi inferior acestor valori.

9.11. Caracteristicile generatorului de curent continuu Mărimile care caracterizează funcţionarea maşinii de curent continuu se referă la: curentul Ia, respectiv tensiunea U, la bornele indusului, curentul de excitaţie Ie şi turaţia la arbore, n. Dependenţa unei mărimi de o alta, dar la care celelalte rămân constante, se numesc caracteristici ale maşinii respective. În cazul generatoarelor de curent continuu, caracteristicile sunt puternic influenţate de modul de conectare a excitaţiei în raport cu indusul, motiv pentru care vor fi prezentate separat, fiecărui tip de generator. 9.11.1. Generatorul cu excitaţie separată Funcţionarea generatorului de curent continuu cu excitaţie separată se consideră ca fiind regim de referinţă şi ridicarea principalelor caracteristici poate fi efectuată pe montajul prezentat în figura 9.13.

Figura 9.13. Stand pentru ridicarea caracteristicilor generatorului de curent continuu cu excitaţie separată. Caracteristica de funcţionare în gol reprezintă dependenţa tensiunii de ieşire a generatorului, de excitaţia sa, corespunzătoare unui curent nul debitat,

U  f ( I e ) Ia 0

(figura 9.14); aceasta reprezintă cu bune aproximări, caracteristica magnetică a maşinii, care se obţine cu întrerupătorul Q2 deschis.

173

Datorită fenomenului de histerezis, la o valoare nulă a curentului de excitaţie, generatorul debitează la borne o tensiune remanentă, Ur, redusă. În anumite situaţii se preferă a se lucra cu o caracteristică medie. Tensiunea nominală a generatorului se situează în zona cotului (de saturare), caracteristicii de mers în gol. Figura 9.14. Caracteristica de mers în gol a generatorului de curent continuu cu excitaţie separată. Caracteristica externă reprezintă dependenţa tensiunii la borne, de încărcarea generatorului, corespunzătoare unei anumite excitaţii,

menţinută

constant

U  f ( I a ) Ie 0

(figura 9.15).

Figura 9.15. Caracteristica externă a generatorului de curent continuu cu excitaţie separată. Ridicarea experimentală a caracteristicii externe este posibilă cu montajul din figura 9.13, iar varierea curentului indusului este fezabilă prin reglarea rezistorului de sarcină R2, cu întrerupătorul Q2 închis. Alura caracteristicii externe poate fi stabilită şi analitic, cu ajutorul relaţiei (9.16). Presupunând tensiunea electromotoare constantă, rezultă caracteristica trasată cu linie continuă, uşor căzătoare. În cazul maşinilor saturate apare în sarcină o scădere a fluxului de excitaţie şi a tensiunii electromotoare, datorate reacţiei indusului, caracteristica externă devine mai căzătoare, reprezentată în figura 9.15 cu linie întreruptă. Variaţia relativă de tensiune de la funcţionarea în gol, la cea în sarcină se defineşte la acea excitaţie care asigură tensiunea nominală în sarcină nominală:

U n U 0  U n  . Un Un

(9.18)

În cazul generatoarelor cu puteri mari şi medii, variaţia relativă a tensiunii este cuprinsă între 5 şi 15 % şi creşte, o dată cu micşorarea puterilor nominale. Curentul de scurtcircuit al generatorului de curent continuu cu excitaţie separată este extrem de mare

174

şi poate avea un caracter distructiv asupra colectorului, motiv pentru care se protejează cu siguranţe fuzibile. Caracteristica reglajului reprezintă variaţia curentului de excitaţie cu încărcarea generatorului,

I e  f ( I a ) U U n

(figura 9.16). Figura 9.16. Caracteristica reglajului generatorului de curent continuu cu excitaţie separată. Această caracteristică este uşor crescătoare, astfel încât variaţia curentului de excitaţie este cuprinsă între 10 şi 20 %, atunci când variaţia sarcinii are loc între funcţionarea în gol şi cea în sarcină nominală.

9.11.2. Generatorul de curent continuu cu excitaţie în derivaţie Ridicarea principalelor caracteristici ale generatorului de curent continuu cu excitaţia în derivaţie poate fi efectuată pe montajul prezentat în figura 9.17. Înfăşurarea de excitaţie este alimentată de la bornele indusului, funcţionarea fiind posibilă prin fenomenul autoexcitării generatorului, pornindu-se de la remanenţa circuitului magnetic. Figura 9.17. Stand pentru ridicarea caracteristicilor generatorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie. Caracteristica de funcţionare în gol a generatorului cu excitaţie în derivaţie este asemănătoare cu a celui cu excitaţie separată (figura 9.14). Caracteristica externă a generatorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie reprezintă variaţia tensiunii la bornele indusului, în funcţie de curentul debitat, cu menţinerea constantă a rezistenţei excitaţiei, adică

U  f ( I ) Rce ct . , în care Rce = R1 +

Re (figura 9.18). Caracteristica externă poate fi ridicată experimental cu montajul din figura 9.17, sau poate fi dedusă analitic, dacă se va ţine seama de relaţiile:

U  E  Ra I a ;

Ie 

U ; Re  R1

175

Ia  I  Ie .

(9.19)

Căderea de tensiune nominală ΔUn este mai mare decât în cazul generatorului cu excitaţie separată şi este cauzată de scăderea curentului de excitaţie, odată cu tensiunea la bornele indusului. Caracteristica pune în evidenţă existenţa unui curent de sarcină maxim (sau critic, Icr), la care se produce dezexcitarea maşinii. Curentul de scurtcircuit al generatorului Isc este mic şi va fi determinat numai de tensiunea remanentă, Ur. Figura 9.18. Caracteristica externă a generatorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie. În primele momente, curentul de scurtcircuit brusc al generatorului cu excitaţie derivaţie devine comparabil cu al generatorului cu excitaţie separată, deoarece curentul de excitaţie şi tensiunea electromotoare indusă nu se modifică, din cauza inerţiei magnetice a înfăşurării de excitaţie. Generatoarele se protejează împotriva scurtcircuitelor prin siguranţe fuzibile. Caracteristica reglajului prezintă o aceeaşi semnificaţie şi alură ca a generatorului cu excitaţie separată; curentul de excitaţie reprezintă câteva procente din curentul nominal al generatorului. 9.11.3. Generatorul de curent continuu cu excitaţie în serie La generatorul cu excitaţia în serie nu se poate pune problema caracteristicii în gol, deoarece fluxul de excitaţie este produs de curentul indusului, iar cum generatorul nu are sarcină la borne, Ia = 0 şi tensiunea generatorului este egală cu tensiunea remanentă, Ur. Practic, se poate ridica o caracteristică a dependenţei tensiunii electromotoare, de curentul indusului Ia, prin alimentarea excitaţiei de la o sursă separată; caracteristica astfel obţinută este similară cu cea a generatorului cu excitaţie separată. Caracteristica externă a generatorului cu excitaţie serie se deosebeşte în mod radical, faţă de ale altor tipuri de generatoare, prin aceea că este crescătoare la curenţi mici şi se limitează rapid, datorită fenomenului de saturaţie a miezului magnetic, urmată de o scădere a tensiunii şi a reacţiei indusului, la curenţi mari de sarcină (figura 9.19). Figura 9.19. Caracteristica externă generatorului cu excitaţie serie.

a

Generatorul de curent continuu cu

176

excitaţie serie poate fi utilizat în aplicaţii specifice, care prezintă rezistenţe de sarcină relativ constante; aceasta din cauza caracteristicii sale externe neobişnuite. 9.11.4. Generatorul de curent continuu cu excitaţie mixtă Utilizarea combinată a două tipuri de înfăşurări de excitaţie, conectate în serie sau în paralel, poate fi condusă către obţinerea unor caracteristici externe adecvate a generatorului. Astfel, dacă se porneşte de la caracteristica externă a generatorului de curent continuu cu excitaţie în derivaţie, curba a din figura 9.20 şi se utilizează o înfăşurare suplimentară de excitaţie conectată în serie cu indusul, în scopul creşterii tensiunii la borne, odată cu creşterea curentului de sarcină, deci o compensare parţială, sau completă a căderii de tensiune, la sarcină nominală (curba b), sau se poate obţine o caracteristică externă crescătoare (curba c), în scopul compensării şi a altor căderi de tensiune, cum ar fi pe linia de transport a energiei electrice. Figura 9.20. Caracteristici externe ale generatoarelor cu excitaţii mixte.

În anumite aplicaţii speciale, cum ar fi generatoarele de sudură cu arc electric, excitaţia serie poate fi conectată diferenţial, astfel încât, pe măsura creşterii sarcinii, să se obţină o caracteristică extrem de căzătoare (curba d). Pentru evitarea fenomenului de dezexcitare a generatorului de sudură cu arc electric, va trebui ca înfăşurarea de excitaţie principală să fie alimentată de la o sursă separată. Caracteristica reglajului nu mai are nici un sens în cazul generatorului de curent continuu cu excitaţie mixtă. 9.12. Funcţionarea maşinii de curent continuu ca motor electric Maşina de curent continuu poate funcţiona în regim de generator sau de motor electric. Ca generator electric, maşina primeşte energie mecanică la arbore, pe care o transformă în energie electrică la bornele indusului iar ca motor electric, maşina primeşte energie electrică la bornele sale şi furnizează putere mecanică la arbore. Trecerea de la un regim la altul este posibilă în mod continuu, fără schimbare de conexiuni. Fie generatorul de curent continuu cu excitaţie separată, conectat la reţeaua a cărei tensiune este U. Dacă E este tensiunea electromotoare furnizată de generator, curentul furnizat de indus este:

I

E U . R 177

(9.20)

Prin micşorarea treptată a tensiunii electromotoare E, în raport cu tensiunea reţelei U, pe care generatorul debitează (fie prin micşorarea turaţiei generatorului, sau a excitaţiei, fie prin creşterea tensiunii U), curentul va scădea treptat, până la zero, după care acesta îşi va schimba semnul; prin aceasta generatorul va trece în regim de motor electric, se va schimba semnul şi sensul puterii electrice, dar şi semnul cuplului electromagnetic al maşinii. În regim de motor electric sensul curentului electric este invers sensului tensiunii electromotoare. Pentru ca puterea absorbită la borne să fie pozitivă şi în regimul de motor electric, se va adopta convenţia de la receptoare, iar pentru comoditate se vor menţine notaţiile de la generator (figura 9.21). Pentru motor, ecuaţiile de tensiuni devin: (9.21) U  E  RI , iar expresiile cuplului şi a tensiunii electromotoare rămân identice, ca şi în cazul generatorului de curent continuu:

M  kmI ,

(9.22)

E  ke n .

(9.23)

Figura 9.21. Asocierea sensurilor de referinţă pentru regimul de motor de curent continuu cu excitaţie separată. Modurile de conectare ale excitaţiei cu indusul motoarelor de curent continuu (rămân identice cu cele de la generatorul de curent continuu) şi determină caracteristicile proprii de funcţionare. Transformările energetice din motorul de curent continuu conduc la diagrama energetică, prezentată în figura 9.22. Figura 9.22. Diagrama energetică a motorului de curent continuu. Din puterea absorbită de motor din reţeaua electrică:

Pex  U e I e , o altă parte se pierde prin

efect Joule – Lentz în înfăşurările indusului:

Pe  RI 2 , iar restul reprezintă puterea electromagnetică, putere care se transferă în circuitul rotoric al indusului, la început ca putere electrică, iar la urmă ca o putere mecanică:

Pem  P1  Pex  Pe  EI  M . Din puterea electromagnetică se acoperă

pierderile cu magnetizarea indusului

PFe , pierderile mecanice şi cu ventilaţia motorului

Pmv , restul se transferă la arbore, ca putere mecanică utilă : P2  M 2 . Ca urmare a acestor pierderi, randamentul motorului de curent continuu va fi:

178



P2 P1  Pex  Pe  PFe  Pmv  P1 P2

(9.24)

şi este cuprins între 0,75 şi 0,95, pentru puteri nominale între 1 şi 10.000 kW.

9.13. Caracteristicile motoarelor de curent continuu Caracteristicile motoarelor de curent continuu depind de schema de conexiuni a înfăşurării de excitaţie. Mărimile care caracterizează funcţionarea motorului de curent continuu se referă la: - tensiunea la borne, U; - curentul absorbit de indus, I; - curentul de excitaţie, Ie; - turaţia, n; - cuplul mecanic la arbore, M2; - cuplul electromagnetic, M. Pentru motorul de curent continuu, o problemă aparte constă în pornirea, reversarea şi reglarea turaţiei maşinii. 9.13.1. Pornirea, reversarea şi reglarea turaţiei motorului de curent continuu Curentul absorbit de indusul oricărui motor de curent continuu se poate obţine din relaţia (9.21):

I

U E . R

(9.25)

La pornirea motorului de curent continuu, cu rotorul aflat în repaus, deci n = 0, tensiunea electromotoare este nulă, E = 0, conform relaţiei (9.23), iar curentul de pornire (la aplicarea unei tensiuni nominale la bornele indusului), ar lua valori de până la 20 In, fapt de neconceput pentru fiabilitatea colectorului şi a periilor colectoare:

I

U R

(9.26)

Din relaţia anterioară (9.26), limitarea curentului de pornire a motorului de curent continuu poate fi efectuată prin una dintre modalităţile: - pornirea cu o tensiune redusă, tensiune care va creşte în mod progresiv, odată cu turarea maşinii; alimentarea se va realiza de la o sursă reglabilă de curent continuu; - pornirea cu un reostat de pornire, reglabil în trepte şi care va fi conectat în serie cu indusul maşinii. Pornirile cu tensiuni reduse pot fi realizate cu ajutorul unor transformatoare reglabile, pentru puteri mici ale motoarelor, iar pentru puteri medii şi mari se utilizează redresoare comandate sau semicomandate, care la pornire li se adaptează un integrator de creştere progresivă în timp a tensiunii reglate.

179

Valoarea curentului maxim (Imax), la pornirea cu reostat, cu ploturi, va fi:

I

U , R  Rp

(9.27)

cu o rezistenţă maximă a reostatului, care să asigure un curent cuprins între 1,5 şi 1,8 In (figura 9.23). Valoarea minimă a curentului indusului (Imin), la care trebuie efectuată comutarea ploturilor reostatului de pornire este corelată cu sarcina şi condiţiile concrete, specifice fiecărei aplicaţii. Odată cu creşterea turaţiei, va creşte şi tensiunea electromotoare, fapt care va conduce la reducerea valorii rezistenţei reostatului de pornire, iar la apropierea de turaţia nominală, să fie scurtcircuitat acest reostat (Rp = 0). Figura 9.23. Caracteristica de pornire a motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie. Din relaţiile (9.21) şi (9.23) rezultă expresia turaţiei motorului de curent continuu:

n

U  RI , ke

(9.28)

din care se pot întrevedea modalităţile de reversare a sensului de rotaţie, care constau în inversarea polarităţii tensiunii, fie la bornele indusului, fie ale excitaţiei. La funcţionarea normală, curentul de sarcină a indusului este determinat de cuplul de sarcină (aproximativ egal cu cuplul electromagnetic) şi de fluxul de excitaţie:

I

M . km

(9.29)

Prin înlocuirea curentului din relaţia (9.29) în (9.28) se va obţine expresia turaţiei motorului de curent continuu:

U n

RM km

ke



U RM ,  ke ke km 2

(9.30)

respectiv a factorilor de care depinde.

9.13.2. Motorul de curent continuu cu excitaţie în derivaţie şi separată Studiul motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie şi ridicarea caracteristicilor lui pot fi efectuate pe standul prezentat în figura 9.24. La pornirea motorului de curent continuu, reostatul de excitaţie Rc se scurtcircuitează, iar reostatul de pornire se reglează la valoarea maximă; după cuplarea la reţea, prin închiderea întrerupătorului general Q, se reglează reostatul de pornire, până la scurtcircuitarea lui, urmărindu-se ca intensitatea curentului absorbit de indus să nu depăşească valoarea maxim admisă.

180

Figura 9.24. Stand pentru ridicarea caracteristicilor motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie. Caracteristica de funcţionare în gol, reprezintă dependenţa turaţiei de curentul de excitaţie (fără sarcină la arborele motorului): n  f ( I e ) U U n , care va prezenta o variaţie hiperbolică, în conformitate cu relaţia (9.30), care este reprezentată în figura 9.25. Caracteristica turaţiei la funcţionarea în gol poate fi determinată experimental numai pe un domeniu limitat de turaţia maxim admisă, nmax, corespunzătoare solicitărilor centrifugale aplicate îmbinărilor de la colector şi curentul maxim de excitaţie Iem; prezenta caracteristică pune în evidenţă faptul că întreruperea circuitului de excitaţie, la funcţionarea în gol, poate conduce la supraturarea maşinii, până la turaţii periculoase pentru integritatea maşinii de curent continuu cu excitaţie în derivaţie, sau separată. Caracteristica mecanică reprezintă dependenţa turaţiei de încărcarea maşinii, la tensiunea nominală egală cu a excitaţiei: n  f ( M ) U U , se obţine din relaţia (9.30) n

I e ct .

e

şi are alura din figura 9.26.

Figura 9.25. Caracteristica turaţiei la funcţionarea în gol a motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie.

Figura 9.26. Caracteristica mecanică a motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie.

În situaţia în care fluxul inductor nu este influenţat de sarcină, caracteristica mecanică variază liniar cu sarcina motorului (caracteristica cu linie plină din figura 9.26); pentru o maşină saturată în care reacţia indusului micşorează fluxul de excitaţie, odată cu creşterea sarcinii, caracteristica mecanică va lua o uşoară curbură pozitivă, prezentată cu linie întreruptă. Se poate considera că motorul de curent continuu cu excitaţie derivaţie prezintă o caracteristică mecanică „rigidă”, fapt care recomandă motorul în acţionări cu viteză practic constantă, independent de sarcina de la arborele maşinii. Motorul de curent continuu cu excitaţie separată prezintă aceleaşi caracteristici ca şi motorul cu excitaţie derivaţie. Din analiza relaţiei (9.30) rezultă modalităţile de reglare a turaţiei motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie:

181

- modificând tensiunea aplicată indusului, la un curent constant al indusului,

n  f ( M ) U var.. , conform figurii 9.27, a; I e ct

- variind curentul de excitaţie, aşa numita slăbire de câmp sau dezexcitare, la o tensiune constantă aplicată indusului, n  f ( M ) U ct . , conform figurii 9.27, b; I e  var.

- prin reglaj reostatic, care păstrează turaţia de mers în gol şi modifică panta caracteristicii mecanice a motorului, conform figurii 9.28 (deoarece schema reglajului rotoric este similară celei de pornire cu un reostat de pornire, Rp, semnificaţia reostatului rămâne cu a unuia de reglaj, Rr = Rp, cu precizarea că valorile lui sunt uşor diferite, dar mai ales este dimensionat pentru funcţionare îndelungată).

b. Modificarea curentului de excitaţie; a. Modificarea tensiunii indusului; Figura 9.27. Caracteristici mecanice obţinute la reglarea turaţiei motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie sau separată. Figura 9.28. Caracteristici mecanice obţinute la reglajul turaţiei prin reostat rotoric. Prin reglajul reostatului rotoric se poate modifica turaţia numai în sens descrescător. Acest reglaj devine instabil la sarcini reduse şi are o eficienţă redusă prin faptul că, turaţia motorului variază relativ puţin în cazul acestor sarcini. Suplimentar faţă de acestea, randamentul sistemului scade, cu creşterea rezistenţei reostatului rotoric, datorită pierderilor din acest reostat. Bune caracteristici de reglare a turaţiei motorului de curent continuu sunt obţinute prin variaţia tensiunii la bornele indusului, excitaţia fiind alimentată de la o sursă externă. Acţionările moderne actuale, reglabile în curent continuu utilizează redresoare mono- sau trifazate, comandate sau semicomandate cu tiristoare de putere. La alimentarea cu tensiune constantă a indusului, reglarea turaţiei prin variaţia curentului de excitaţie dă rezultate satisfăcătoare numai pentru reglaje limitate ale turaţiei; pentru reglarea în limite largi se vor combina cele două metode de reglare, prin variaţia tensiunii aplicate indusului, împreună cu variaţia curentului inductor.

182

La un cuplu rezistent constant la arbore, curentul absorbit de indusul maşinii rămâne practic constant, deci pierderile în înfăşurările indusului sunt aceleaşi, la scăderea turaţiei. Pentru evacuarea căldurii dezvoltate în înfăşurarea rotorică, spre exterior, este nevoie de o ventilaţie suplimentară, ceea ce presupune existenţa unei ventilaţii externe, realizată de un motor electric suplimentar, fapt care conduce la complicarea construcţiei maşinii. Metoda devine economică în cazurile în care turaţia maşinii scade sub 50 % din turaţia nominală (n < 0,5 nn), dar pentru durate relativ scurte de timp. 9.13.3. Motorul de curent continuu cu excitaţie serie Pentru obţinerea unei caracteristici mecanice mai suple, adecvate tracţiunii electrice, se va utiliza motorul de curent continuu cu excitaţie serie, folosind standul pentru pornirea şi ridicarea experimentală a caracteristicilor motorului de curent continuu cu excitaţie serie, prezentat în figura 9.29. Curentul prin indus este acelaşi cu cel de excitaţie; pentru sarcini reduse, când circuitul magnetic este nesaturat, fluxul de excitaţie este proporţional cu curentul indusului, iar cuplul electromagnetic variază proporţional cu pătratul curentului. În cazul sarcinilor mari, rezultă curenţi mari, care conduc la saturarea circuitului magnetic şi a fluxului de excitaţie, iar cuplul electromagnetic tinde să varieze proporţional cu curentul absorbit. Caracteristica mecanică a motorului de curent continuu cu excitaţie serie are o alură hiperbolică, precum cea prezentată în figura 9.30 şi se obţine din relaţia (9.30); deoarece oglinda cuplului la arbore, dezvoltat de motor, este curentul absorbit, caracteristica turaţiei în funcţie de curent este aproximativ copia caracteristicii mecanice, la altă scară. O astfel de caracteristică mecanică extrem de moale este potrivită tracţiunii electrice (cum ar fi cazul troleibuzelor sau a tramvaielor), când la pornire este nevoie de un cuplu mare, corespunzător unor turaţii mici şi de o variaţie mare a turaţiei, corespunzătoare unor cupluri reduse, când în procesul de transport la viteze relativ mari, participă şi inerţia vehicolului antrenat. În tracţiunea electrică se utilizează de regulă două sau mai multe motoare identice, conectate în serie sau paralel, funcţie de turaţia dorită. Motoarele serie mai sunt utilizate şi la acţionarea maşinilor de ridicat, sau de extracţie.

Figura 9.29. Standul pentru ridicarea caracteristicilor motorului de curent continuu cu excitaţie serie.

Figura 9.30. Caracteristica mecanică a motorului de curent continuu cu excitaţie serie.

183

Dezavantajul major al motorului de curent continuu cu excitaţie serie rezidă în faptul că acesta nu poate funcţiona în gol, datorită creşterii exagerate a turaţiei, cu repercursiuni negative asupra integrităţii motorului. Pornirea motorului serie poate fi realizată cu: - un reostat pentru limitarea curentului de pornire şi reglajul cuplului, în aşa fel, încât să fie asigurată o pornire lină, fără şocuri; - o tensiune reglabilă, liniar crescătoare, aplicată motorului, prin diverse regulatoare, la puteri mici sau prin redresoare mono- sau trifazate comandate sau semicomandate, la puteri mari ale motoarelor. Odată cu scăderea curentului absorbit de motor, se va micşora şi cuplul de pornire a motorului. În anumite aplicaţii, se poate practica pornirea motoarelor prin cuplarea lor în serie, în aşa fel încât valorile curenţilor de pornire să se încadreze în limite acceptate de motoare, dar şi de către reţeaua electrică de alimentare. Reglarea turaţiei motorului serie poate fi realizată prin reostate reglabile serie (figura 9.31, a), sau modificarea tensiunii la bornele motorului (figura 9.31, b), utilizând redresoare mono- sau trifazate, comandate sau semicomandate cu tiristoare de putere; la motoarele cu puteri mici, reglarea turaţiei este posibilă prin autotransformatoare reglabile sau diverse regulatoare de tensiune; pentru turaţii mari, metodele se combină cu şuntarea parţială a excitaţiei, cu ajutorul unor reostate.

a. Prin reostat serie cu motorul. b. Prin reglajul tensiunii de alimentare. Figura 9.31. Caracteristici mecanice obţinute la reglarea turaţiei motorului de curent continuu cu excitaţie serie. Metodele de reglare a turaţiei motorului de curent continuu cu excitaţie serie, prin reostate serie sau prin modificarea tensiunii la bornele sale, sunt mai eficiente la cupluri mai mici, la arbore. 9.13.4. Motorul de curent continuu cu excitaţie mixtă Motorul de curent continuu cu excitaţie mixtă, denumit şi compound este prevăzut cu două înfăşurări de excitaţie, dintre care una este conectată în serie, iar cealaltă în paralel cu indusul, conform figurii 9.32, a şi b.

184

a. b. Figura 9.32. Scheme de conexiuni ale motorului compound. Înfăşurările de excitaţie pot fi conectate în mod adiţional sau diferenţial. În conexiunea adiţională înfăşurarea de excitaţie serie este principală şi magnetizează maşina în acelaşi sens cu înfăşurarea derivaţie. Simultan cu creşterea curentului de sarcină, va creşte şi fluxul de excitaţie, ceea ce va determina scăderea turaţiei motorului. Caracteristica mecanică a motorului compound este moale, specifică excitaţiei serie, cu deosebirea că dispare pericolul supraturării la funcţionarea în gol. Caracteristica mecanică a motorului compound, cu înfăşurările conectate pentru a crea un flux de excitaţie de tip adiţional, poate fi ridicată în mod similar motorului cu excitaţie serie, dacă se face analogia între cuplul electromagnetic şi solenaţia de excitaţie, după care se deplasează axa ordonatelor spre dreapta, cu solenaţia înfăşurării derivaţie şi se obţine această caracteristică mecanică, figura 9.33. Figura 9.33. Caracteristica mecanică a motorului compound de tip adiţional. În conexiunea diferenţială a motorului compound înfăşurarea derivaţie este principală şi de sens opus celei serie. Simultan cu creşterea curentului de sarcină, va scădea şi fluxul de excitaţie, ceea ce va determina creşterea turaţiei motorului şi chiar ambalarea acestuia în sarcină, figura 9.34. Figura 9.34. Caracteristica mecanică a motorului compound de tip diferenţial. Motoarele compound de tip diferenţial se utilizează în acele acţionări electrice în care sarcina are o durată scurtă, iar turaţia trebuie menţinută cât mai constantă, de la funcţionarea în gol, la cea în plină sarcină. Exemple tipice a astfel de acţionări sunt amintite la acţionarea laminoarelor de ţevi, unde este necesară menţinerea constantă a turaţiei pe toată durata tragerii unei ţevi.

185

9.14. Funcţionarea maşinii de curent continuu ca frână electrică Maşina de curent continuu poate funcţiona şi pentru frânarea sistemelor acţionate. În acest sens maşina poate funcţiona fie în regim de generator, care debitează pe o reţea proprie, fiind vorba de frânarea dinamică, sau pe o reţea de tensiune constantă, denumită frânare recuperativă, fie în regim de frână propriu-zisă, care este cunoscută sub denumirea de frânare în contracurent. Frânarea dinamică a maşinii de curent continuu constă în decuplarea indusului de la reţeaua de alimentare şi recuplarea acestuia pe o rezistenţă de sarcină; în tot acest timp excitaţia derivaţie rămâne sub tensiune, figura 9.36. În cazul funcţionării maşinii de curent continuu în regim de motor electric, care dezvoltă un cuplu nominal, corespunzător unei turaţii nominale, punct situat în cadranul I a caracteristicii mecanice, se deschide întrerupătorul Q1 (figura 9.36) şi simultan se comută pe poziţia 2, situaţie în care punctul de funcţionare a maşinii se deplasează pe caracteristica mecanică a generatorului din cadranul II. În cazul generatorului conectat pe o rezistenţă de sarcină constantă, cuplul electromagnetic scade proporţional cu turaţia; generatorul, după decuplare, mai este antrenat numai de inerţia pieselor cuplate cu arborele maşinii.

Figura 9.35. Caracteristicile mecanice la frânarea dinamică a maşinii de curent continuu. Pentru maşina cu excitaţie serie, după decuplarea de la reţea, se va inversa mai întâi legăturile la bornele de excitaţie serie, după care se conectează rezistenţa de sarcină; inversarea conexiunilor la excitaţia serie este necesară pentru a asigura autoexcitaţia maşinii. Frânarea recuperativă este tipică tracţiunii electrice a vehiculelor şi de regulă este obţinută pe durata coborârii unei pante, când cuplul rezistent, dar şi curentul prin indus scad, conform relaţiei (9.29), ceea ce presupune că la un flux constant, turaţia va începe să crească până într-un punct oarecare B (figura 9.36), maşina devine generator şi astfel energia necesară frânării este transformă în energie electrică şi care este introdusă în reţeaua de alimentare (la depăşirea turaţiei n0, curentul îşi schimbă semnul şi se transformă din Im, în Ig).

186

Figura 9.36. Caracteristica mecanică la frânarea recuperativă a maşinii de curent continuu.

Pentru motoarele cu excitaţie serie, frânarea recuperativă este posibilă numai după transformarea excitaţiei serie - în paralel. Frânarea în contracurent este tipică acţionărilor reversibile, este denumită şi frânarea propriuzisă a maşinii de curent continuu şi constă în decuplarea indusului de la reţea şi recuplarea acestuia cu polaritate inversată. Schimbarea polarităţii indusului conduce la inversarea şi creşterea exagerată a curentului, motiv pentru care este necesară introducerea unui reostat reglabil în serie cu indusul şi a unui traductor de turaţie nulă, care să nu permită rotirea în sens invers a maşinii (figura 9.37). Reglarea curentului de contraconectare conduce la ajustarea timpilor de frânare. Pe durata frânării, excitaţia derivaţie sau separată rămâne în permanenţă alimentată. Figura 9.37. Caracteristici mecanice la funcţionarea în regim de frână a motorului de curent continuu cu excitaţie derivaţie. În momentul decuplării motorului de la reţea, punctul static de funcţionare este A, care se află pe caracteristica 1, acesta se deplasează în punctul B, pe caracteristica 2, moment în care începe procesul de frânare, prin inversarea polarităţii tensiunii de alimentare a indusului, a curentului şi a noului cuplu dezvoltat de maşină. Dacă nu se iau măsuri de decuplare a indusului maşinii de la reţea, în momentul atingerii turaţiei nule (corespunzător punctului C), maşina va începe rotirea în sens invers, situaţia se va stabiliza în momentul în care cuplul rezistent este egalizat de cuplul dezvoltat de maşină, în punctul A’, de pe caracteristica 1’. Frânarea în contracurent poate fi aplicată şi motoarelor cu excitaţie serie.

9.15. Probleme rezolvate 1o. Un motor de curent continuu cu excitaţie serie, care posedă o caracteristică magnetică liniară, are datele nominale: Mn = 480 Nm; Un = 500 V; nn = 1800 rot/min.

187

Rezistenţa totală a indusului şi excitaţiei este R = 0,2 Ω. Să se determine ecuaţia caracteristicii mecanice a motorului.

Rezolvare: Expresia cuplului electromagnetic rezultă din caracteristica magnetică liniară a maşinii:

ke 2 I şi expresia t. e. m. E = kenI. Din ecuaţia de tensiuni a maşinii: 2 kenI = Un – RI se obţine expresia curentului: I  U n . Prin înlocuirea valorii ke n  R M

curentului în expresia caracteristicii mecanice: M 

ke U n2 . Deoarece se 2 (ke n  R)2

cunoaşte valoarea cuplului nominal, în continuare se va determina constanta ke:

ke 5002 , din care rezultă ke = 0,0778. Cu acestea, ecuaţia 2 (k 1800  0,2)2 e 60 3090 caracteristicii mecanice a maşinii, devine: M  . (0,0778n  0,2)2 480 

2o.Un motor de curent continuu cu excitaţie separată are caracteristicile nominale: Pn = 8,5 kW; Un = 220 V; ηn = 0,85 şi nn = 1440 rot / min. Motorul funcţionează la sarcină nominală. Să se determine cuplul electromagnetic în regimul de frânare dinamică a maşinii în care este pusă să funcţioneze, după deconectarea de la reţea şi conectarea pe o rezistenţă de sarcină, având valoarea R = 5 Ω. Rezistenţa indusului este Ri = 0,4 Ω; se neglijează căderea de tensiune pe perii. Rezolvare: Curentul nominal al indusului este: I n 

Pn 8500   45,5 A. nU n 0,85 x220

Tensiunea electromotoare la bornele indusului va fi: E 

p Nn  U bn  Ri I n , relaţie a

din

ipoteza

ke 

care

se

obţine

constanta

de

excitaţie,

U bn  Ri I n 220  0,4 x 45,5   8,42 . 1440 n 60

188

în

fluxului

constant:

În

cazul

fluxului

constant,

expresia

P din care rezultă  kI  km I ,  M P 1 8500 1 Nm km  n  n   1,24 1440 In  n I n 2 45,5 A 60 M

cuplului valoarea

motorului

este:

constantei

k m:

Pentru a introduce motorul în regim de frână dinamică, indusul trebuie deconectat de la reţea, iar la bornele acestuia se conectează o rezistenţă de sarcină, menţinându-se fluxul neschimbat. Ecuaţii de funcţionare ale maşinii în regim de frânare dinamică sunt:

E  ke`n  ken  ( R  Ri ) I M  km` I  km I  km

ke n . R  Ri

Dependenţa cuplului de turaţie este liniară. Valoarea maximă a cuplului de

1440 nn frânare este: M f  km ke  8,42 x1,24 60  46,4 Nm. R  Ri 5  0,4 3o. Un motor de curent continuu cu excitaţie serie cu Pn = 60 kW; Un = 440 V; ηn = 0,9 şi rezistenţa totală, serie Rs = 0,4 Ω. Să se determine rezistenţa reostatului de pornire pentru ca maşina să dezvolte la pornire un cuplu Mp = 1,5 Mn. Se presupune că maşine este nesaturată.

Rezolvare: Curentul nominal absorbit de motor este: I n  Cuplul electromagnetic al maşinii este: M 

Pn 60 x103   151,5 A. nU n 0,9 x 440

1 p NI . 2 a

În cazul motorului cu excitaţie serie, fluxul este produs de curentul I, iar pentru maşina nesaturată, se va putea scrie:

  k1I , iar expresia cuplului este: M

1 p Nk1I 2  k2 I 2 . 2 a

189

La pornire motorul va absorbi curentul: I p 

Un , în care Rp este valoarea Rp  Rp

reostatului de pornire. Din condiţia impusă la pornirea maşinii: Mp = 1,5 Mn va rezulta ecuaţia:

k2 I p2  1,5k2 I n2 , sau ( U n

Rp  Rs

Rp 

) 2  1,5I n2 , cu soluţia:

U n  1,5Rs I n 440  1,5 x0,4 x151,5   1,97 Ω. 1,5I n 1,5 x151,5

9.16. Probleme propuse 1o. Un motor de curent continuu cu excitaţie derivaţie, cu datele nominale: Pn = 9,6 kW; Un = 220 V; In = 51 A; Ien = 1 A; nn = 500 rot / min, are rezistenţa indusului egală cu 5 % din rezistenţa echivalentă nominală. Să se determine: a. Rezistenţa indusului şi tensiunea electromotoare nominală; b. Cuplul nominal util al motorului; c. Cuplul electromagnetic nominal (transmis rotorului) şi cuplul de pierderi la mersul în gol. 2o. Pentru motorul de curent continuu cu excitaţie derivaţie din problema anterioară, să se determine numărul treptelor de pornire şi valoarea rezistenţelor de pornire, atunci când la pornire se vor admite limitele curenţilor: Imax = 2,5 In şi Imin = 1,15 In. 3o. Un generator de curent continuu cu excitaţie separată are: Pn = 1,44 kW; Un = 120 V. Să se calculeze: a. Curentul nominal In şi rezistenţa echivalentă sarcinii nominale Rn; b. Rezistenţa internă echivalentă ri, dacă valoarea curentului de scurtcircuit este Isc = 156 A, iar tensiunea de mers în gol are valoarea E = 130 V; c. Puterea mecanică absorbită şi randamentul generatorului, dacă pierderile de mers în gol ΔP0 reprezintă 7 % din puterea nominală; d. Rezistenţa de sarcină pentru care puterea utilă P este maximă. Valoarea curentului, a tensiunii la borne şi a randamentului în acest caz.

190

10. MAŞINA SINCRONĂ

10.1. Construcţia maşinii sincrone Principala utilizare a maşinii sincrone este cea de generator trifazat în centralele electrice; maşina mai poate fi utilizată ca şi motor electric de mare putere, cu turaţii riguros constante şi care nu necesită porniri dese, dar şi compensator sincron pentru îmbunătăţirea factorului de putere. În funcţie de poziţia axului de rotaţie a maşinii, generatoarele pot avea o construcţie verticală, în cazul alternatoarelor hidroelectrice şi orizontală, pentru acţionări cu turbine cu aburi, denumite şi turbogeneratoare. În funcţie de nivelul căderilor de apă, hidrogeneratoarele sunt antrenate cu turbine de tip Pelton – pentru înălţimi mai mari de 500 m, sau turbine Francis – în cazul înălţimilor medii ~ 350 m şi turbine Kaplan – aferente căderilor mici, dar cu debite mari. Turbogeneratoarele sunt antrenate cu turbine cu gaz, abur sau motoare Diesel, dar cu turaţii mari de 1000, 1500, 3000 rot./min. Motoarele sincrone sunt fabricate pentru funcţionare orizontală sau verticală, dependent de solicitarea mecanismului antrenat. În construcţia actuală, realizată pentru a funcţiona la frecvenţa industrială, se compune din stator şi rotor, amplasat concentric cu statorul. Statorul maşinii sincrone, în construcţie normală, reprezintă indusul maşinii şi cuprinde carcasa, miezul statoric, înfăşurările şi scuturile portlagăr (figura 10.1). Carcasa maşinii, executată din oţel turnat (la maşinile cu putere mică), sau din tablă din oţel, sudată (la maşinile cu putere mare şi foarte mare), are rolul de consolidare, rigidizare şi fixare pe postament, prin tălpi sau flanşe. Pe carcasă mai sunt dispuse şi dispozitivele de ridicat, cutia de borne, plăcuţa indicatoare, respectiv scuturile frontale. Miezul feromagnetic statoric se confecţionează din tole sau segmente de tole, ştanţate din tablă silicioasă, laminată, cu grosimi de 0,5 mm, izolate printr-un strat de lac de bachelită sau oxizi de tip sticlo-ceramici. Pe partea dinspre întrefier a miezului statoric, sunt practicate crestături longitudinale în care se amplasează bobinajul statoric. Tolele se grupează în pachete de aproximativ 5 cm grosime; între aceste pachete se prevăd canale radiale de răcire. Întregul pachet statoric se consolidează cu tole marginale de grosimi mai mari, de până la 3 mm şi se rigidizează cu două plăci frontale din oţel masiv, în scopul evitării ca vibraţiile care apar pe durata funcţionării maşinii, să nu producă distrugerea izolaţiei înfăşurărilor, sau a miezului.

191

a. b. Figura 10.1. Maşina sincronă cu poli aparenţi (a) şi cu poli înecaţi (b); 1 – carcasă; 2 – crestături longitudinale cu înfăşurările statorice; 3 – tălpi polare rotorice; 4 – înfăşurări concentrate rotorice de excitaţie; 5 – jugul rotoric de fixare şi rigidizare; 6 – crestături longitudinale cu înfăşurările rotorice de excitaţie; 7 – miez rotoric cu poli înecaţi. Înfăşurarea statorică, uniform repartizată în crestăturile indusului, realizată din conductoare de cupru, izolate între ele cu materiale dielectrice specifice clasei de izolaţie a maşinii şi tensiunii nominale, se conectează la reţeaua de curent alternativ în conexiune Y; prin această conexiune se evită închiderea armonicilor de gradul 3 şi multiplu de 3, dar şi pentru evitarea unor armonici de acelaşi fel în curba tensiunilor de fază. Scuturile laterale ale maşinii reprezintă un rol de protecţie, dar îndeplinesc şi funcţia de fixare şi centrare a rotorului, prin lagăre. Unul dintre scuturi susţine portperiile şi periile colectoare, prin care se face legătura cu sursa externă de excitaţie a maşinii. Rotorul constituie excitaţia sau inductorul maşinii sincrone şi se realizează în două variante constructive, cu poli aparenţi şi cu poli înecaţi. La maşina sincronă bipolară, sau cu poli înecaţi, miezul feromagnetic se construieşte dintr-un cilindru masiv de oţel, care formează corp comun cu axul rotorului şi în care se practică crestături longitudinale repartizate pe circa 2/3 din periferia rotorului în care se fixează înfăşurările inductorului. Prin neglijarea deschiderii crestăturilor rotorice se poate considera că întrefierul dintre stator şi rotor este constant. La maşina sincronă multipolară (p ≥ 2) rotorul are poli aparenţi, iar miezul este format dintr-un jug masiv de oţel. Pentru maşinile cu turaţii mici, deci cu un număr mare de poli, miezul polilor inductori formează corp comun cu piesa polară şi sunt fixaţi de jugul inductor. În cazul maşinilor cu turaţii mari, deci cu un număr mic de poli, miezul polilor inductori formează corp comun cu piesa polară şi sunt fixaţi de jugul inductor. Miezul polilor inductori sunt confecţionaţi din oţel masiv sau din tole. Pentru motoarele sincrone cu puteri mari, piesele polare se realizează din oţel masiv. La maşina cu poli aparenţi întrefierul dintre stator şi rotor nu mai este constant. Înfăşurarea de excitaţie este realizată sub forma unor bobine concentrice amplasate pe polii inductori; bobinele polare sunt astfel conectate, încât să se obţină un câmp heteropolar, adică un câmp alternant (N – S – N - ...), la periferia întrefierului. În piesele polare ale polilor aparenţi, executate din tole, sunt prevăzute crestături în care se amplasează o înfăşurare tip colivie, care serveşte la pornirea în

192

asincron a motorului, sau la amortizarea pendulaţiilor rotorului, denumită şi înfăşurare de amortizare. Pe axul rotorului sunt amplasate două inele colectoare la care se conectează capetele înfăşurărilor inductorului şi pe care calcă periile colectoare, care vor face conexiunea cu sursa externă de alimentare a excitaţiei maşinii. Sursa de curent continuu utilizată pentru alimentarea înfăşurărilor de excitaţie poate fi o maşină excitatoare, sau un convertor cu comutaţie statică, care are rolul menţinerii constante a tensiunii de excitaţie, pe întreaga gamă de sarcină şi variază rapid curentul de excitaţie la modificările bruşte ale sarcinii. Între stator şi rotor rămâne un interstiţiu tehnologic din aer, denumit întrefier. Pentru puteri mici (sub 100 kVA), maşina sincronă se realizează uneori în construcţie inversată, cu indusul amplasat pe rotor şi excitaţia pe stator. 10.2. Mărimi nominale ale maşinii sincrone Regimul de funcţionare pentru care a fost proiectată şi realizată maşina asincronă, astfel încât temperatura de regim să nu o depăşească pe cea admisă, este caracterizat de mărimile nominale, înscrise pe plăcuţa indicatoare (a maşinii electrice) şi se referă la: - puterea nominală, reprezintă puterea mecanică utilă la arbore – pentru motoare şi puterea electrică la borne în regim nominal – pentru generatoare şi se exprimă în kW; - tensiunea nominală de linie, în V; - curentul nominal de linie, în A; - frecvenţa nominală, în Hz; - schema de conexiuni a înfăşurărilor indusului, Y sau Δ; - randamentul nominal; - factorul de putere nominal; - turaţia nominală la arborele maşinii, în rot / min; - tensiunea şi curentul de excitaţie la sarcina nominală; - serviciul nominal şi gradul de protecţie contra pătrunderii corpurilor străine şi a apei în maşină; De asemenea, pe plăcuţa indicatoare mai pot fi inscripţionate şi alte date referitoare la gabaritul şi masa maşinii sau a anumitor subansamble, varianta constructivă, seria şi numărul de fabricaţie, date referitoare la transport etc. 10.3. Principiul de funcţionare şi diagrama energetică a generatorului sincron Inductorul maşinii sincrone, prevăzut cu o înfăşurare de excitaţie, alimentată în curent continuu, generează la periferia sa un câmp magnetic cu poli care alternează, (N – S – N - ...) şi în care sunt dispuse bobinele indusului. Inductorul este rotit de o maşină primară cu turaţia n1, menţinută riguros constantă. Fluxul magnetic care înlănţuie bobinele indusului depinde de poziţia unghiulară relativă a inductorului faţă de indus şi variază alternativ, odată cu rotirea inductorului, indusul fiind amplasat pe statorul maşinii, va rămâne fix. În acest mod, în bobinele indusului se induc tensiuni electromotoare de inducţie electromagnetică. Bobinajele indusului fiind simetrice, în ele se vor induce tensiuni electromotoare simetrice, iar în cazul în care sunt închise pe

193

sarcini echilibrate, bobinele vor fi parcurse de curenţi trifazaţi simetrici şi echilibraţi, curenţi care vor interacţiona cu câmpul magnetic inductor, dând naştere la un cuplu electromagnetic, M. Acest cuplu acţionează atât asupra inductorului, în sensul frânării lui, în regim de generator, cât şi asupra indusului, în sensul rotirii inductorului. Puterea mecanică primită la arbore de către generator P1=MΩ (în care Ω reprezintă viteza unghiulară rotorică), se transformă în putere electromagnetică a generatorului, Pem. O parte din această putere primită la arbore se consumă pentru învingerea frecărilor în lagăre, cu aerul şi pentru ventilaţie, Pmv, iar în situaţia existenţei excitatoarei, deci a unui generator auxiliar pentru excitaţie, trebuie acoperită şi această putere Pex. Puterea rămasă reprezintă puterea electromagnetică, putere care va trece sub formă de câmp electromagnetic, în înfăşurările indusului, Pem: P1  Pmv  Pex  Pem . (10.1) Puterea electromagnetică trebuie să acopere pierderile în fier PFe şi cele în înfăşurări prin efect Joule – Lentz (care includ şi pierderile prin efect pelicular, sau alte efecte), PJ, restul transferându-se la borne, P2 = 3 UI cos φ, iar în final rezultă bilanţul energetic: Pem  P2  PFe  PJ . (10.2) Pe baza relaţiile stabilite anterior se poate construi diagrama energetică a generatorului sincron (figura 10.2).

Figura 10.2. Diagrama generatorului sincron.

energetică

a

Pentru anumite generatoare autoexcitate, energia necesară excitaţiei se va colecta de la bornele de ieşire ale generatorului. Randamentul generatorului sincron este:



P2 P2 .  P1 P2  PJ  PFe  Pmv  Pex

(10.3)

În general, randamentul generatoarelor sincrone este ridicat şi depinde de puterea nominală; astfel pentru puteri nominale cuprinse între 10 şi 1000 kW, randamentul ia valori cuprinse între 0,9 şi 0,95, iar dacă puterea creşte peste 250 kW, randamentul ajunge la 0,985. 10.4. Tensiunea electromotoare a maşinii sincrone Distribuţia înfăşurării de excitaţie la periferia rotorului (în cazul maşinii cu poli înecaţi), respectiv forma constructivă a pieselor polare, la maşina cu poli aparenţi este

194

de aşa natură realizată, încât câmpul magnetic are o repartiţie practic sinusoidală, de-a lungul întrefierului. Dacă se consideră axa de referinţă ca fiind axa câmpului inductor (care va trece printr-unul din polii aparenţi, conform figurii 10.3, a), cu pasul polar τ, egal cu distanţa dintre axele polilor aparenţi consecutivi, N - S, măsurată în întrefier, expresia inducţiei într-un punct al întrefierului, este:

b ( )  Bm sin

x 

,

(10.4)

în care x reprezintă ordonata amplasată la mijlocul întrefierului dintre stator şi rotor, cu maşina liniarizată, adică se presupune că raza întrefierului tinde la infinit. Figura 10.3. Explicativă la calculul tensiunii electromotoare induse într-o spiră. Curba câmpului magnetic învârtitor, în corelaţie cu secţiunea prin maşină, este prezentată în figura 10.3, b. Pe indusul maşinii, cu lungimea l, se consideră o spiră (sau înfăşurare de fază statorică), cu deschiderea egală cu pasul polar τ, căreia i se asociază o axă a spirei. Prin notarea cu a a distanţei de la axa spirei, până la axa câmpului magnetic inductor, fluxul spirei este:

 sp  

a 

a 

 2



bldx 

2

2Bml



cos

a . 

(10.5)

Conform legii inducţiei electromagnetice tensiunea electromotoare indusă în fiecare spiră, va fi:

e0 sp  

d sp

 a  da  2 Bm  sin   2b (a)lv , dt   dt 

(10.6)

în care s-a notat cu v viteza de deplasare a inductorului în raport cu indusul

v

da . dt

(10.7)

Între viteza periferică v, frecvenţa f, pasul polar τ şi turaţia maşinii există relaţiile:

2 pn 2    2f  şi a = vt, respectiv 60 T  pn 2pn f  , [rot / min] şi   , 60 60

v

(10.8)

unde: ω este pulsaţia mărimilor alternative, iar p reprezintă numărul de perechi de poli a maşinii. Dacă se ţine seama de următoarea relaţie:

a vt   t ,  

tensiunea electromotoare indusă într-o spiră se poate exprima cu relaţia:

195

esp   m sin t ,

(10.9)

în care s-a notat cu Φm – amplitudinea fluxului magnetic al spirei:

m 

2



lBm

(10.10)

Dacă toate spirele înfăşurării unei faze ar fi amplasate pe fiecare pereche de poli, în câte o pereche de crestături, distanţate între ele cu câte un pas polar, tensiunea electromotoare da fază ar fi de w ori mai mare, decât a unei spire (w – numărul total de spire înseriate ale înfăşurării de fază); situaţie întâlnită numai la înfăşurările realizate cu o crestătură pe pol şi fază, adică q = 1. Aproape în exclusivitate, conductoarele unei înfăşurări de fază sunt distribuite în mai multe crestături pe pol, iar tensiunile electromotoare induse în ele au faze iniţiale diferite. Tensiunea electromotoare a tuturor înfăşurărilor de fază va rezulta ca sumă geometrică a fazorilor diferitelor tensiuni electromotoare ale diverselor bobine înseriate pe faza respectivă: e f  kwwesp  kwwm sin t , (10.11) în care s-a notat cu factorul de înfăşurare, subunitar, care ţine seama de scurtarea pasului, faţă de pasul diametral, dar şi de influenţa repartizării în crestături a înfăşurării, pentru care a fost calculată tensiunea electromotoare, din relaţiile (10.6) şi (10.9). Factorul de înfăşurare ia valori cuprinse între 0,92 şi 1, după tipul înfăşurării; astfel pentru q = 1, factorul de înfăşurare va fi kw = 1 şi poate fi determinat, fie din diagramele fazoriale, prin însumarea diverşilor fazori ale tensiunilor electromotoare din diferitele conductoare, fie poate fi determinat prin expresii analitica compacte. În concluzie, un câmp magnetic învârtitor, distribuit sinusoidal în întrefier, cu un flux pe pol Φ0, induce în fiecare înfăşurare de fază cu w spire şi un factor de înfăşurare kw o tensiune electromotoare de frecvenţă f, a cărei valoare efectivă va fi:

E0 m kw w0 m   4,44 fk w w0 , 2 2 pn . f  60 E0 

de frecvenţă:

(10.12)

Fluxul magnetic pe pol Φ0 este dependent de amplitudinea câmpului magnetic de tip sinusoidal din întrefier, cu lungimea l a maşinii şi pasul polar τ, care se exprimă cu relaţia:

0 

2



lBm .

(10.13)

Tensiunea electromotoare de fază este maximă, atunci când axa câmpului inductor este decalată, în sensul rotirii acestuia, cu o jumătate de pas polar, în raport cu axa înfăşurării fazei. 10.5. Reacţia indusului maşinii sincrone. Câmpul de reacţie a indusului La funcţionarea în gol, câmpul magnetic din întrefierul maşinii sincrone este generat numai de solenaţia de excitaţie. În schimb, la funcţionarea în sarcină, curenţii din indus vor produce o solenţie suplimentară, care va modifica spectrul câmpului din întrefier; fenomenul poartă denumirea de reacţie a indusului şi se referă la contribuţia solenaţiei indusului la generarea câmpului magnetic rezultant, al maşinii în sarcină.

196

Solenaţia generată de curenţii indusului poartă denumirea de solenaţie de reacţie a indusului, iar câmpul magnetic pe care în creează, în absenţa solenaţiei inductorului (excitaţiei), se numeşte câmp de reacţie a indusului. Câmpul de reacţie al indusului este un câmp magnetic învârtitor, generat de înfăşurările trifazate, parcurse de curenţii trifazaţi simetrici (se presupune că motorul are înfăşurări identice, sau generatorul debitează pe o sarcină echilibrată). În funcţie de numărul de perechi de poli ai înfăşurării, se determină viteza unghiulară a câmpului magnetic învârtitor:



2 2f    pT p p

(10.14)

şi turaţia cu care se roteşte câmpul indusului, respectiv rotorul maşinii, numită şi turaţie de sincronism, în rot / min, va fi:

n1 

60 60 f ,  2 p

(10.15)

Din cele analizate, rezultă că viteza câmpului de reacţie a indusului este aceeaşi cu a câmpului inductor, deci cele două câmpuri au o poziţie relativ fixă (la un defazaj constant al curenţilor, faţă de tensiunile electromotoare induse) şi se compun într-un câmp magnetic rezultant. În vederea stabilirii relaţiilor cantitative ale efectului reacţiei indusului se va considera o spiră cu pasul diametral τ, parcursă de curentul i, amplasată în întrefierul uniform δ, al unei maşini electrice, conform figurii 10.4, sau un grup de bobine (figura 10.5).

Figura 10.4. Câmpul magnetic al unei spire a indusului.

Figura 10.5. Câmpul magnetic al unui ansamblu de bobine.

În raport cu tensiunea magnetică a întrefierului, tensiunea magnetică a fierului poate fi neglijată, inducţia magnetică a unei spire din întrefier, va avea valoarea:

i    , corespunzătoare lui x   ,  , 2  2 2 i  3  bsp ( x)   0 , corespunzătoare lui x   , . 2 2 2  bsp ( x)  0

(10.16)

Câmpul magnetic al spirei, cu perioada 2τ, se poate descompune în serie Fourier:

4 0i  (1) x cos(2k  1) ,  k 0  2 2k  1  k

bsp ( x) 

(10.17)

din care, primul termen al seriei poartă denumirea de fundamentala spaţială a câmpului magnetic:

197

b1sp  20

i



cos

x . 

(10.18)

Pentru o bobină cu wb spire, câmpul magnetic produs de aceasta va fi de wb ori mai mare. Bobinele fiecărui pol sunt grupate şi conectate între ele, formând o înfăşurare cu w spire. Câmpul generat de această înfăşurare de fază, va fi suma câmpurilor parţiale ale diverselor spire sau bobine (figura 10.5), dintre care fundamentala câmpului magnetic va fi:

b1 ( x)   b1sp  4wkw 0 inf .

i x cos ,  2 p 

(10.19)

în care s-a notat cu kw – factorul de înfăşurare, care ţine seama de influenţa repartizării în crestături şi de scurtarea pasului bobinelor înfăşurării. Tensiunea magnetică din întrefierul maşinii, corespunzătoare acestui câmp magnetic, va fi:

Um 

b1

0

 4wkw

i x cos 2p 

(10.20)

şi va avea o repartiţie sinusoidală, având ca origine – axa înfăşurării considerate. Pentru un curent sinusoidal în timp, cu pulsaţia ω, de forma: (10.21) i  I sint    , în întrefierul maşinii, va rezulta tensiunea magnetică:   4 wk w x 2wk w x x    Um  I 2 sin t    cos  I 2 sin t      sin t     . (10.22)  2p  2p        În ultima expresie au apărut două unde învârtitoare ale tensiunii magnetice, cu repartiţie spaţială sinusoidală şi cu pasul polar τ. Sensul şi viteza fiecărei unde învârtitoare se determină din condiţia menţinerii constante a fazei:

t 

x    const. , 

respectiv

t 

x    const. 

Prima undă se va roti cu viteza:

v

dx    2f , dt 

(10.23)

în sensul pozitiv al axei x; turaţia va fi cea sincronă:

60 60v 60v 60 f     n1 . 2 2R 2 p p

(10.24)

A doua undă, cu o aceeaşi amplitudine, se roteşte cu aceeaşi viteză, dar în sens contrar. Pentru o înfăşurare trifazată, alcătuită din trei înfăşurări identice, de fază, dar cu axele decalate una în raport cu alta, cu câte 2τ/3 şi alimentate cu un sistem simetric şi echilibrat de curenţi trifazaţi, tensiunea magnetică rezultantă va fi: 4wk w 2  x 2    I 2[sin t   cos      sin  t  2 p 3  3    4 x    x 4  3 4 wk w    sin  t     cos  I 2 sin  t     ]  3 3  2  2p       .

U mr  U mA  U mB  U mC 

198

(10.25)

Cu ajutorul curenţilor trifazaţi simetrici s-a obţinut o tensiune magnetică şi un câmp magnetic învârtitor,

b  0

U mr



, a cărui axă coincide cu axa înfăşurării unei

faze, în momentul în care curentul fazei respective trece prin valoarea maximă.

10.6. Ecuaţiile şi diagrama tensiunilor generatorului sincron Pentru simplificarea calculelor şi a situaţiilor, se vor lua în considerare funcţionarea maşinii sincrone numai în regimuri simetrice şi echilibrate, motiv pentru care vom analiza numai relaţiile corespunzătoare fazei A, de referinţă. La funcţionarea în gol, inductorul, denumit şi excitaţie, va produce în întrefier un câmp magnetic, care va induce în înfăşurările indusului un ansamblu de tensiuni electromotoare, pe când la funcţionarea în sarcină, câmpul magnetic din întrefier este rezultatul acţiunii simultane a inductorului şi indusului. Aplicând suprapunerea efectelor, se poate admite că la funcţionarea în sarcină ar exista în întrefier două câmpuri magnetice: unul inductor (proporţional cu solenaţia de excitaţie Өe) şi unul de reacţie a indusului (proporţional cu amplitudinea solenţiei, sau a tensiunii de reacţie a indusului), a căror proporţionalitate depinde de starea de saturaţie a maşinii, adică de fluxul magnetic rezultant. În înfăşurările fazei A de referinţă, câmpul de excitaţie va induce o tensiune electromotoare e0, sau E0, iar câmpul de reacţie al indusului, o tensiune electromotoare ea, sau Ea. Se defineşte inductivitatea ciclică de reacţie a indusului La, ca fiind:

La 

a  . 3i

(10.26)

Tensiunea electromotoare indusă de fluxul de reacţie al indusului este defazată cu π/2 în urma curentului:

di sau în complex, E a   jX a I , dt în care s-a notat cu X a  La , reactanţa de reacţie a indusului. ea   La

(10.27)

În mod similar se poate defini şi reactanţa mutuală X m  E0 , pentru Ie determinarea tensiunii electromotoare E0, dependentă de starea de saturaţie a maşinii şi de curentul de excitaţie Ie. Saturaţia maşinii este determinată de fluxul magnetic principal al câmpului magnetic din întrefier, care este proporţional cu modulul tensiunii electromotoare rezultante E 0  E a . De asemenea se observă că raportul X m este Xa practic independent de starea de saturaţie a maşinii. În maşina sincronă există anumite linii ale câmpului magnetic care nu se închid radial prin întrefier, ci prin imediata apropiere a înfăşurărilor, prin aer, care formează fluxul magnetic de dispersie a înfăşurării:   L i . (10.28) Inductivitatea de dispersie Lσ este aproximativ cu un ordin de mărime mai mic decât inductivitatea de reacţie a indusului La şi are o valoare independentă de starea de

199

saturaţie a maşinii. Fluxul de dispersie induce în înfăşurarea indusului o tensiune electromotoare:

di sau în complex, E   jX  I , dt în care s-a notat cu X   L , reactanţa de dispersie. e   L

(10.29)

Prin urmare, în faza de referinţă a maşinii se induc tensiunile electromotoare E0, Ea şi Eσ. Fie R rezistenţa înfăşurării fazei de referinţă, I curentul şi U tensiunea la bornele sale (figura 10.6), conform legii lui Ohm şi teoremei a II a lui Kirckhhoff, rezultă relaţia: E0 + Ea + Eσ = U + R I. (10.30) Pentru construirea diagramei fazoriale a maşinii sincrone în regim de generator, prezentată în figura 10.7, se va lua ca origine de fază, tensiunea la borne U. Defazajul φ dintre tensiunea la bornele fazei U şi curentul debitat I este dat de sarcina cuplată la bornele fazei de referinţă.

Figura 10.6. Circuitul unei faze a indusului generatorului sincron.

Figura 10.7. Diagrama tensiunilor electromotoare a generatorului sincron.

Diagrama fazorială (figura 10.8) şi schema echivalentă (figura 10.9) a generatorului sincron trifazat pot fi prezentate cu ajutorul reactanţelor de reacţie şi dispersie: E0 = U + (R + j Xa + j Xσ) I, (10.31) în care suma celor două reactanţe se numeşte reactanţa sincronă a generatorului sincron: Xs = X a + X σ . (10.32)

Figura 10.8. Diagrama fazorială a generatorului sincron.

Figura 10.9. Schema echivalentă a generatorului sincron în regim permanent simetric.

Unghiul δ, dintre tensiunea la borne U şi tensiunea electromotoare E0 se numeşte unghi intern al maşinii sincrone. Căderea de tensiune pe rezistenţa internă este foarte mică, motiv pentru care nu se ia în considerare şi se obţine diagrama şi schema echivalentă simplificată.

200

10.7. Caracteristicile generatorului sincron Performanţele unei maşini electrice pot fi analizate în mod facil cu ajutorul unor curbe numite caracteristicile maşinii, care reprezintă relaţia de dependenţă între două mărimi funcţionale de bază, când restul mărimilor rămân neschimbate. În acest sens vor fi analizate cele mai reprezentative caracteristici, care servesc performanţele generatorului sincron. Caracteristica de funcţionare în gol reprezintă dependenţa tensiunii electromotoare E0 de curentul de excitaţie Ie, la turaţia nominală n = n0 şi curent de sarcină nul I = 0 (figura 10.10). Deoarece tensiunea electromotoare E0 este variabilă în mod proporţional cu fluxul magnetic inductor Φ0, iar solenaţia Ө0 este dependentă de curentul de excitaţie Ie, va rezulta proporţionalitatea caracteristicii de mers în gol cu caracteristica magnetică a generatorului sincron. De regulă, în cazul generatorului sincron, tensiunea nominală este situată în zona cotului saturaţiei caracteristicii de mers în gol. Histerezisul determină existenţa unei tensiuni remanente de circa 4 ÷ 8 % din tensiunea nominală. Caracteristica externă reprezintă dependenţa tensiunii (U) la bornele generatorului, de curentul de sarcină (I), menţinând constante: curentul de excitaţie, turaţia la arbore şi factorul de putere al sarcinii (figura 10.11).

Figura 10.10. Caracteristica de mers în gol a generatorului sincron.

Figura 10.11. Caracteristicile externe ale generatorului sincron; a – concurente la funcţionarea în gol; b – concurente la curentul nominal

Caracteristicile externe pot fi ridicate în două ipoteze: - în prima ipoteză se presupune că la funcţionarea în gol, generatorul funcţionează la tensiunea nominală Un = E0, la Ie = constant şi E0 = constantă; dependent de caracterul sarcinii (capacitiv, activ sau inductiv), caracteristica externă poate fi crescătoare sau căzătoare, conform figurii 10.11, a; - a doua ipoteză corespunde la situaţia în care la curentul In nominal debitat, generatorul va funcţiona la tensiunea nominală Un, iar la sarcini reduse, tensiunea la borne va creşte sau va scădea, după caracterul sarcinii (inductiv, activ sau capacitiv), conform figurii 10.11, b. Caracteristicile externe corespunzătoare unor sarcini inductive sau capacitive sunt întotdeauna căzătoare, pe când cele capacitive pot fi şi urcătoare. Caracteristica reglajului reprezintă dependenţa curentului de excitaţie Ie, de curentul de sarcină, corespunzătoare unei tensiuni la borne egală cu tensiunea nominală U = Un şi la un factor de putere constant, figura 10.12.

201

Figura 10.12. Caracteristicile reglajului generatorului sincron. Pe măsura creşterii sarcinii, la sarcini inductive sau active şi pentru menţinerea constantă a tensiunii la bornele generatorului, va trebui mărit curentul de excitaţie, iar la sarcini capacitive acelaşi curent de excitaţie va trebui micşorat. Caracteristicile de reglaj ale generatorului sincron pot fi ridicate în ipoteze similare caracteristicilor externe. 10.8. Cuplul şi puterea electromagnetică Mărimea şi sensul câmpului electromagnetic, creat de interacţiunea dintre curentul indusului şi câmpul magnetic inductor, pot fi determinate pornind de la puterea electromagnetică a maşinii, iar pe baza diagramei fazoriale simplificate a generatorului sincron (figura 10.13, a), se poate scrie următoarea relaţie, obţinută prin proiecţia pe direcţia fazorului I şi multiplicarea cu 3 I: Figura 10.13. Diagrama fazorială simplificată a generatorului sincron; a – cu rezistenţa R a fazei; b – prin neglijarea rezistenţei R a fazei.

3E0 I cos     3UI cos   3RI 2 ,

(10.33)

în care, cu uşurinţă pot fi recunoscute pierderile Joule în înfăşurări:

PJ  RI 2

(10.34)

şi puterea activă la borne, debitată de generator: (10.35) P  3UI cos  . În procesul conversiei electromecanice, dacă se face abstracţie de pierderile în miezul feromagnetic a indusului, cele două puteri (mai înainte amintite), reprezintă însăşi puterea electromagnetică: Pem  3E0 I cos    . (10.36) Prin neglijarea în continuare a pierderilor Joule din înfăşurări, considerând rezistenţa lor R = 0, se va obţine diagrama fazorială simplificată din figura 10.13, b, din care va rezulta: Pem  3E0 I cos     3UI cos  . Relativ facil pot fi stabilite relaţiile:

X s I cos   E0 sin 

X s I cos     U sin  .

şi

Cu acestea, puterea electromagnetică devine:

202

Pem  3

E0U sin  , Xs

(10.37)

căreia îi corespunde un cuplu electromagnetic, dezvoltat de generator:

M

Pem P  p em ,  

(10.38)

în care: Ω reprezintă viteza unghiulară sincronă a rotorului; ω – pulsaţia tensiunilor induse; p – numărul perechilor de poli ai generatorului. Dependenţa cuplului şi a puterii electromagnetice (reprezentate la scări diferite), de unghiul intern δ al generatorului sincron, menţinând constante, tensiunea la borne U şi tensiunea electromotoare E0, sunt redate în figura 10.14. Cuplul electromagnetic creşte o dată cu creşterea unghiului intern δ, fiind pozitiv, situaţie care corespunde regimului de generator a maşinii sincrone. Pentru unghiuri δ > π / 2 puterea începe să scadă, cu creşterea unghiului intern a maşinii, ceea ce corespunde unei funcţionări instabile în regim permanent. Unui cuplu extern oarecare Mext, care va antrena rotorul generatorului, îi va corespunde pe caracteristica cuplului M(δ), două puncte posibile de funcţionare, A şi B, dintre care numai A va fi stabil. Dacă din varii motive, unghiul intern va lua valori diferite faţă de cele corespunzătoare cuplului Mext, de exemplu o valoare corespunzătoare punctului A”, cuplul extern va rămâne mai mare decât cuplul electromagnetic Mext > M, iar rotorul va fi accelerat şi va tinde către punctul A. Similar, dacă funcţionarea ajunge în punctul A’, rotorul va fi frânat, deoarece Mext < M şi unghiul intern va scădea. Ca o concluzie, punctul A reprezintă o funcţionare stabilă deoarece forţele care determină scoaterea rotorului din această poziţie, tind să restabilească poziţia iniţială. Figura 10.14. Variaţia cuplului electromagnetic şi a puterii electromagnetice cu unghiul intern a maşinii sincrone. Bazându-ne pe un raţionament similar, se ajunge la concluzia că punctul B este unul instabil. Astfel, corespunzător punctului B’ rotorul va fi frânat, deoarece Mext < M şi unghiul intern scade, ceea ce corespunde faptului că rotorul se depărtează de punctul B, iar în punctul B”, rotorul va fi accelerat pentru că Mext > M, iar unghiul intern va creşte, axa rotorului se va îndepărta de poziţia corespunzătoare punctului B. Corespunzător unor valori negative ale unghiului intern, - π < δ < 0, cuplul electromagnetic este negativ, ceea ce corespunde funcţionării în regim de motor a maşinii sincrone. La depăşirea valorii de – π / 2 a unghiului intern, se va intra în zona instabilă a funcţionării motorului. Maşina sincronă va funcţiona stabil ca generator sau motor, numai pentru unghiuri interne cuprinse între π / 2 şi – π / 2, pe porţiunea DOC a caracteristicii din figura 10.14.

203

Cuplul maxim dezvoltat de maşina sincronă se numeşte cuplu maxim sau de răsturnare; pentru generatorul sincron, acesta este:

Mm  3p unde: U – tensiunea la borne, iar

E0 X s

,

(10.39)

E0 - curentul de scurtcircuit al generatorului. Xs

10.9. Funcţionarea maşinii sincrone ca motor electric Generatorul sincron conectat la o reţea electrică, reţea alimentată şi de la alte surse de energie electrică, poate funcţiona şi în regim de motor electric, prin modificarea semnului cuplului mecanic extern, aplicat arborelui rotorului maşinii. Motorul sincron este utilizat în acţionări electrice de mare putere şi care necesită menţinerea constantă a turaţiei, la un factor de putere ridicat. Prin trecerea de la regimul de generator, la regimul de motor, unghiul intern δ al maşinii îşi schimbă semnul, componenta activă a curentului I devine negativă în convenţia de la generator (figura 10.15).

Figura 10.15. Diagrama fazorială a maşinii sincrone; a – convenţia de la generator; b – convenţia de la receptor. Dintre cele două convenţii, în cazul motorului sincron, se va utiliza convenţia a doua, cea de de la receptoare; corespondenţa dintre cele două seturi de mărimi este: I’ = - I şi φ’ = - π + φ. (10.40) Dacă motorului sincron i se solicită un cuplu extern Mext’, dar care nu depăşeşte cuplul maxim a maşinii Mm, se modifică unghiul intern a maşinii, δ, valoarea curentului I şi factorul de putere cos φ, pe când viteza sa se va menţine constantă şi egală cu cea de sincronism:

n  n1 

 60 f , [rot / min].  60 p 2 p

Motorul sincron dezvoltă cuplu mediu, nenul, numai la viteza de sincronism. Din această cauză se întâmpină anumite dificultăţi la pornirea motorului sincron. Acesta va putea fi pornit fie cu un motor auxiliar de pornire, fie în asincron (când înfăşurările rotorice vor fi conectate în scurtcircuit), până la o turaţie apropiată de viteza de sincronism, după care el va trece în motor sincron, prin alimentarea circuitelor rotorice în curent continuu. La motorul sincron, prin modificarea curentului de excitaţie, Ie (deci a tensiunii electromotoare E0), se poate modifica şi valoarea curentului indusului I’, dar şi factorul de putere, cos φ’. Diagramele fazoriale ale motorului sincron, corespunzătoare unei puteri active date, P’, la diverse tensiuni electromotoare E0, sunt prezentate în figura 10.16. Deoarece la o tensiune constantă, U = const., condiţia unei puteri constante

204

P’ = 3 U I’ cosφ’ = const. este asigurată de constanţa componentei active a curentului I’ cosφ’ = const., iar vârful fazorului curentului I’ se va afla pe dreapta D1, care este perpendiculară pe U.

Figura 10.16. Diagramele fazoriale ale motorului sincron la o putere activă constantă, cu excitaţie variabilă. Similar, începutul fazorului jXsI’ cu vârful în punctul B se va deplasa pe o dreaptă D2 paralelă cu U, iar vârful fazorului E0 va trebui să fie poziţionat pe aceeaşi dreaptă. Din diagramele fazoriale anterioare se observă faptul că la diferite tensiuni electromotoare E01, E02, E03, corespunzătoare unor diverşi curenţi de excitaţie, Ie1, Ie2, Ie3, vor rezulta curenţii indusului, care vor avea defazaj de tip: inductiv (I3’ - defazat în urma tensiunii U), rezistiv (I2’ - în fază cu tensiunea U, când curentul absorbit este minim, iar cos φ’ = 1), sau capacitiv (I1’ - defazat în faţa tensiunii U). Concluzia semnificativă a acestei observaţii constă în faptul că motorul sincron poate fi utilizat ca şi compensator sincron supraexcitat, când se va comporta ca o sarcină capacitivă, corespunzătoare unor curenţi mari de excitaţie şi va debita energie reactivă (pe baza energiei active absorbite), în reţeaua electrică, a cărui factor de putere este puternic inductiv; această îmbunătăţire a factorului de putere se aplică unor mari consumatori de tip inductiv. La utilizarea ca şi motor electric se va alege acel curent de excitaţie căruia îi va corespunde o funcţionare cu un factor de putere unitar, invariabil. Observaţii. 1o. Valoarea inferioară a curentului de excitaţie este dată de limita de stabilitate a funcţionării maşinii. 2o. Reprezentarea variaţiei factorului de putere cos φ’, în funcţie de valoarea curentului de excitaţie (la putere activă P’), constantă, poate fi realizată din curbele în V ale curentului şi au alura unor curbe în V întoarse, tangente la dreapta cos φ’=1 (figura 10.17). La varierea excitaţiei se va modifica şi capacitatea de supraîncărcare a motorului sincron, Mm / Mn; acest factor de supraîncărcare va creşte / scădea o dată cu creşterea / scăderea curentului de excitaţie. Uzual, unghiul intern al motoarelor sincrone nu depăşeşte π / 3 în regim nominal, căruia îi corespunde o capacitate de supraîncărcare 2   1,15 . 3

205

Figura 10. 17. Curbele în V ale motorului sincron. Şocurile de sarcină mari, care depăşesc capacitatea de supraîncărcare, pot determina ieşirea din sincronism a motorului sincron. În anumite cazuri speciale, motorul sincron se utilizează numai ca şi compensator sincron supraexcitat, fără a putea livra şi putere mecanică, situaţie în care se realizează într-o construcţie specială, fără capete de arbore, accesibile.

10.10. Caracteristicile motorului sincron În general, caracteristicile motorului sincron reprezintă variaţia în funcţie de puterea utilă P2’ a: curentului absorbit I’, a puterii absorbite P1’, a cuplului M2’, a factorului de putere cos φ’ şi a randamentului η, la menţinerea constantă a tensiunii la borne, a curentului de excitaţie Ie şi a frecvenţei f (figura 10.18). Figura 10.18. Caracteristicile motorului sincron. O analiză comparativă cu motorul asincron – cel mai utilizat motor la puteri mici şi mijlocii, motorul sincron prezintă o serie de avantaje: a. poate funcţiona cu un factor de putere unitar sau chiar poate furniza energie reactivă instalaţiei respective; b. deoarece cuplul dezvoltat la arbore depinde liniar de tensiunea de la borne ( M m  3 p

E0U ), pe când Xs

cel al maşinii asincrone depinde cu pătratul tensiunii de alimentare, cuplul este mai puţin influenţat de variaţiile tensiunii; c. prezintă un randament mai mare, datorită pierderilor mai reduse; d. cu toate că are o capacitate de supraîncărcare mare, aceasta poate fi mărită prin creşterea curentului de excitaţie, ceea ce recomandă motorul sincron pentru acţionări dificile, cum ar fi laminoare etc.; e. condiţii de ventilaţie îmbunătăţite, datorate în special autoventilaţiei polilor aparenţi rotorici; f. construcţia inductorului este mai simplă ca şi rotorul bobinat al maşinii asincrone. Principalele dezavantaje ale motorului sincron se referă la: - necesită în permanenţă două surse de alimentare; una trifazată şi una de curent continuu; - pornire dificilă, care se poate asigura, fie cu o maşină suplimentară, fie se asigură pornirea în asincron, iar după ce turaţia a atins valori apropiate de cea de sincronism, se va trece în sincron.

206

10.11. Problemă rezolvată În regim nominal, un motor sincron trifazat are caracteristicile: Pn = 2500 kW; Un = 6 kV; cos φn = 0,9 capacitiv; fn = 50 Hz; nn = 1500 rot / min, conexiunea Y, cu reactanţa unei faze Xs = 15,6 Ω şi pierderile: PJ = 16,5 kW, PFe = 24 kW şi Pmv = 25 kW. Să se determine: puterea absorbită de motor, randamentul maşinii, tensiunea electromotoare a fazelor, puterea reactivă transferată în reţea la nominal, puterea electromagnetică transferată rotorului, cuplul maxim şi nominal dezvoltat, unghiul intern al maşinii, puterea reactivă transferată în reţea şi pierderile totale din maşină la funcţionarea în gol. Rezolvare: Tensiunea nominală a fazelor motorului (la conexiunea Y), este U nf  6 3  3,47 kV. Puterea nominală absorbită de motor P1 = 2500 + 16,5 + 28,5 + 24 + 25 = 2594 kW; Randamentul motorului ηn = Pn / P1 = 2500 / 2594 = 0,9638; Curentul absorbit In = P1 /

3 Un cos φn = 2594 / 3 x 6 x 0,9 = 277 A;

Puterea reactivă, la nominal Q = =

3 Un In sin φn =

3 Un I n

1 cos 2 n =

3 x 6 x 277 x 1 0,92 = 1260 kVAR;

Tensiunea electromotoare la nominal, pe fiecare fază (conform figurii 10.15, a):

E0 

U n  X s I n sin n 2   X s I n cos n 2  6,63 kV;

La excitaţia nominală, cuplul maxim dezvoltat de motor:

M max 

3E0U n 3  6,63  3,47 6  10  28,2 kNm; X s 15,9 15,5

Puterea electromagnetică, în regim nominal: Pem = Pn + Pex + Pmv = 2549 kW; Cuplul electromagnetic nominal: Mn = Pem / Ω = 16,25 kNm; Unghiul intern nominal al maşinii: δn = arcsin Mm / Mn 35o; La funcţionarea în gol, la o aceeaşi excitaţie, puterea electromagnetică transferată este: Pem0 = Pmv +Pex = 49 kW, unghiul intern în această situaţie va fi: δ0 = 38’ ≈ 0, curentul de mers în gol este pur capacitiv: I0 = (E0 - Un) / Xs = (6,63 – 3,47) / 15,6 = 193 A, pur capacitiv (φ0 ≈ π / 2), maşina furnizează puterea reactivă: Q0 = 3 x 3,47 x 193 = 2010 kVAR şi are pierderile totale: 2

I   P  PJ  I 0   PFe  Pex  Pmv kW.  n 10.12. Problemă propusă Un motor sincron cu caracteristicile nominale: Pn = 27 kW; Un = 380 V; cos φn = 0,8 capacitiv; ηn = 0,9; conexiunea Y, cu reactanţa sincronă Xd = 0,75 Zn = 75 % Zn. Să se determine: a. tensiunea electromotoare nominală; b. valoarea coeficientului de suprasarcină λ = Pmax / Pn; c. care va fi valoarea coeficientului de suprasarcină, dacă motorul funcţionează la parametrii nominali, dar la un cos φ = 0,8 inductiv. Care va fi în acest caz puterea reactivă absorbită ?

207

BIBLIOGRAFIE

1. Antoniu, S. I. Bazele electrotehnicii. Vol. I şi II. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1974. 2. Bălă, C. Maşini electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. 3. Bichir, N., ş. a. Maşini electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979. 4. Boldea, I., ş.a. Analiza unitară a maşinilor electrice. Editura Academiei, Bucureşti, 1983. 5. Ciupa, R., ş. a. The Theory of Electric Circuits. Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 1998. 6. Cîmpeanu, A. Maşini electrice. Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1977. 7. Dordea, T. Maşini electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977. 8. Dumitrescu, I., ş. a. Electrotehnică, Măsurări şi Maşini Electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 9. Fransua, A. S., ş. a. Maşini şi Acţionări Electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 10. Gavrilă, H. Electrotehnică şi Maşini Electrice. Vol. I. Câmpul electromagnetic. Litografia Institutului Politehnic din Bucureşti, 1981. 11. Gavrilă, G. Bazele electrotehnicii. Teoria circuitelor electrice. Probleme rezolvate. Editura Tehnică, 2003. 12. Gheorghiu, I. S., ş. a. Tratat de maşini electrice. Vol. I – IV. Editura Academiei, Bucureşti, 1969 – 1972. 13. Iuga, A., ş. a. Scheme electrice. Principii de întocmire. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1987. 14. Lăzăroiu, D. F. Maşini electrice de mică putere. Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. 15. Manea, F., ş. a. Electrotehnică şi Maşini Electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976. 16. Măgureanu, R. Maşini electrice speciale pentru sisteme automate. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 17. Mândru, G., ş. a. Bazele electrotehnicii. Probleme. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1972. 18. Mândru, G. Electrotehnică şi Maşini Electrice. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1976. 19. Mândru, G., ş. a. Analiza numerică a câmpului electromagnetic. Editura Dacia din Cluj-Napoca, 1986. 20. Mândru, G. Teoria circuitelor electrice. Editura UT Pres din Cluj-Napoca, 2004. 21. Micu, D., ş. a. Bazele electrotehnicii. Probleme de circuite electrice. Probleme rezolvate. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1983. 22. Micu, D., ş. a. Elemente de sinteza câmpului electromagnetic. Editura Dacia din Cluj-Napoca, 2006. 23. Micu, D., ş. a. Electrostatica. Editura MEDIAMIRA, Cluj-Napoca, 1997. 24. Micu, D. D., ş. a. Aplicaţii ale metodelor numerice în electrotehnică. Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2002. 25. Micu, D. D., ş. a. Culegere de probleme de electrotehnică. Editura UT Pres din Cluj-Napoca, 2005.

209

26. Micu, D. D., ş. a. Metode numerice. Aplicaţii în Ingineria Electrică. Programare şi algoritmi Mathcad. Editura MEDIAMIRA, Cluj-Napoca, 2007. 27. Mocanu, C. I. Teoria circuitelor electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 28. Mocanu, C. I. Teoria câmpului electromagnetic. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. 29. Morar, R., ş. a. Electrotehnică şi Maşini Electrice. Probleme. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1987. 30. Morar, R., ş. a. Electrotehnică şi Maşini Electrice. Litografia Institutului Politehnic din Cluj-Napoca, 1991. 31. Moraru, A., ş. a. Electrotehnică, Măsurări şi Maşini Electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1976. 32. Moraru, A. Maşini electrice. Teorie, încercări şi exploatare. Litografia Institutului Politehnic din Bucureşti, 1972. 33. Munteanu, C. Metode numerice în analiza câmpului electromagnetic. Metoda elementelor de frontieră. Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 1997. 34. Novac, I., ş. a. Maşini şi acţionări electrice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973. 35. Preda, M., ş. a. Bazele electrotehnicii. Vol. I şi II. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978. 36. Preda, M., ş. a. Bazele electrotehnicii. Probleme. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980. 37. Răduleţ, R. Bazele electrotehnicii. Vol. I – IV. Tipografia Ministerului Învăţământului, Bucureşti, 1953 - 1956. 38. Răduleţ, R. Bazele electrotehnicii. Probleme. Vol. I. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 39. Răduleţ, R. Bazele electrotehnicii. Probleme. Vol. II. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975. 40. Simion, E., ş. a. Electrotehnică. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. 41. Şora, C. Bazele electrotehnicii. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982. 42. Suărăşan, I. Electrotehnica pentru Inginerie Industrială. Editura MEDIAMIRA, Cluj-Napoca, 2007. 43. Tănăsescu, F., ş. a. Electrostatica în tehnică. Editura Tehnică, Bucureşti, 1977. 44. Teodorescu, D. Maşini electrice. Editura Facla, Timişoara, 1981. 45. Timotin, A., ş. a. Lecţii de bazele electrotehnicii. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970. 46. *** Maşini electrice rotative; culegere de standarde. Editura Tehnică, Bucureşti, 1976. 47. *** Cataloage de maşini electrice. Electromotor Timişoara, IAEAME Sfântul Gheorghe, IME Bucureşti, ITME Filiaşi, IME Piteşti etc.

210

ANEXE

Anexa 1.

MOTOARE ELECTRICE TRIFAZATE (Catalog condensat)

GENERALITĂŢI FORME CONSTRUCTIVE ŞI MODURI DE MONTAJ Formele constructive şi modurile de montaj ale motoarelor sunt simbolizate conform STAS 3998/1-74 şi 3998/2-74. Informativ se indică în tabel simbolul conform DIN 42950 şi IEC 34-7/1972 pentru cazurile uzuale. STAS 3998/1-74 DIN 42950 IEC 34-7/1972 IM B3 B3 IM 1001 IM B6 B6 IM 1051 IM B7 B7 IM 1061 IM B8 B7 IM 1071 IM V5 V5 IM 1011 IM V6 V6 IM 1031 IM B5 B5 IM 3001 IM V1 V1 IM 3011 IM V3 V3 IM 3031 IM B14 B14 IM 3601 IM V18 V18 IM 3611 IM V19 V19 IM 3631 IM B30 B30 IM 9201 IM B35 B3/B5 IM 2001 IM B34 B3/B14 IM 2101

MAŞINI ELECTRICE ROTATIVE. SERVICII TIP (STAS 1893-78) a. Serviciul continuu tip S1. Este serviciul tip caracterizat prin funcţionarea în regim constant pe o durată suficientă pentru atingerea echilibrului termic.

213

Pag. 2/10 b. Serviciul continuu tip S2. Este serviciul tip caracterizat prin funcţionarea în regim constant pe o durată de timp determinată, mai mică decât cea necesară pentru echilibrului termic, urmată de o perioadă de repaus de durată suficientă pentru restabilirea egalităţii de temperatură cu mediul de răcire. c. Serviciul intermitent periodic tip S3. Este serviciul de tip caracterizat printr-o succesiune de cicluri identice, fiecare incluzând o perioada de funcţionare în regim constant şi o perioadă de repaus, de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu şi în care curentul de pornire nu are influenţă sensibilă asupra încălzirii. d. Serviciul intermitent periodic cu perioadă de pornire tip S4. Este serviciul de tip caracterizat printr-o succesiune de cicluri identice, fiecare incluzând o perioadă de pornire, o perioadă de funcţionare în regim constant şi o perioadă de repaus, de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu şi în care curentul de pornire are o influenţă sensibilă asupra încălzirii. e. Serviciul intermitent periodic cu perioadă de pornire şi frânare electrică tip S5. Este serviciul tip caracterizat printr-o succesiune de cicluri identice, fiecare incluzând o perioada de pornire, o perioadă de funcţionare în regim constant, o perioadă de frânare electrică rapidă şi o perioadă de repaus, de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu. f. Serviciul neîntrerupt periodic cu sarcină intermitentă tip S6. Este serviciul tip caracterizat printro succesiune de cicluri, fiecare incluzând o perioadă de funcţionare în regim constant şi o perioadă de funcţionare în gol, de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu. g. Serviciul neîntrerupt periodic cu perioade de pornire şi frânare tip S7. Este serviciul tip caracterizat printr-o succesiune de cicluri identice, fiecare incluzând o perioadă de pornire, o perioada de funcţionare în regim constant şi o perioadă de frânare electrică, de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu. h. Serviciul neîntrerupt periodic cu modificări de viteză tip S8. Este serviciul tip caracterizat printro succesiune de cicluri identice, fiecare incluzând o perioada de pornire, o perioadă de funcţionare în regim constant corespunzătoare unei viteze predeterminate, urmată de una sau mai multe perioade de funcţionare în alte regimuri constante corespunzătoare la viteze de rotaţie, perioade de durate insuficiente pentru atingerea echilibrului termic în cursul unui ciclu. Dacă nu se precizează altfel, maşinile electrice mai jos prezentate, sunt construite pentru serviciul tip continuu S1, în conformitate cu STAS 1893–78.

CONDIŢII DE FUNCŢIONARE Dacă nu se precizează altfel, motoarele electrice mai jos prezentate, respectă condiţiile prevăzute în continuare, care constituie condiţii uzuale, specifice climatului temperat, conform STAS 6535–62, pentru locul de montare şi condiţiile uzuale de funcţionare pentru motoarele electrice corespund specificaţiei din catalog: - altitudinea locului de montare va fi de max. 1000 m; - temperatura limită a mediului ambient va fi de max. + 40 oC; - umiditatea relativă a aerului va fi de max. 80% la + 20 oC. La cerere specială motoarele se pot executa cu protecţii climatice corespunzând altor condiţii de funcţionare. De asemenea, dacă nu se precizează altfel, maşinile electrice din prezentul catalog pot funcţiona numai în medii care nu conţin practic vapor acizi sau corozivi, praf metalic sau abraziv, în medii neinflamabile si fără pericol de explozie (vezi STAS 1983–78 pct. 4.2.1.).

PRODUSE ELECTROTEHNICE. GRADE NORMALE DE PROTECŢIE ASIGURATE PRIN CARCASE (STAS 5325-79) Gradele normale de protecţie asigură: a) protecţia persoanelor împotriva atingerii pieselor în mişcare din interiorul carcasei, precum şi protecţia produselor electrotehnice contra pătrunderii corpurilor străine solide; b) protecţia produselor electrotehnice contra pătrunderii apei. Gradele normale de protecţie se simbolizează prin literele caracteristice IP (protecţie internaţională), urmate de două cifre caracteristice, prima cifră caracteristică indicând protecţia persoanelor, iar a doua cifră caracteristică indicând protecţia echipamentului contra pătrunderii apei. Se mai utilizează, în cazul unor condiţii suplimentare, literele W, S şi M astfel:

214

Pag. 3/10 W - în cazul unor măsuri de protecţie suplimentare pentru utilizarea produsului în condiţii atmosferice specificate; S – în cazul verificării protecţiei când produsul nu funcţionează; M – în cazul când verificarea contra pătrunderii apei se face asupra produsului în timpul funcţionării sale mecanice. Denumirea cifrelor caracteristice este următoarea: Prima cifră Denumire A doua cifră Denumire caracteristică caracteristică 0 Neprotejat 0 Neprotejat 1 Protejat contra picăturilor verticale de apă 1

2

3

4

5 6

Protejat contra pătrunderii corpurilor solide străine mai mari de 50 mm Protejat contra pătrunderii corpurilor solide străine de 12 mm sau mai mari Protejat contra pătrunderii corpurilor solide străine de 2,5 mm sau mai mari Protejat contra pătrunderii corpurilor solide străine de 1 mm, sau mai mari Protejat parţial contra pătrunderii prafului Protejat total contra pătrunderii prafului

2 3

Protejat contra picăturilor de apă care cad sub un unghi de max. 15o faţă de verticală Protejat contra apei căzând ca ploaia

4

Protejat contra stropirii cu apă

5

Protejat contra jeturilor de apă

6

Protejat contra condiţiilor de pe puntea navelor

7

Protejat contra efectelor imersării în apă Protejat contra imersării prelungite în apă

8

CAPETE DE ARBORE Capetele de arbore sunt executate în conformitate cu STAS 3432-74, respectiv DIN 42946. Motoarele până la gabaritul 250 inclusiv, se pot executa, la cerere specială, cu două capete de arbore inegale. Motoarele se pot executa la cerere şi cu gaură filetată în capătul de arbore, conform STAS 8198-78, respectiv DIN 332. Diametrul capătului de arbore, [mm] Gabaritul motorului Mărimea găurii de centrare filetate 14 71 M5 19 80 M6 24 90 M8 28 100 M 10 28 112 M 10 38 132 M 12 42 160 M 16 48 180 M 16 55 200 M 20 55 225 la 2 poli M 20 60 225 la 4, 6, 8 poli M 20 60 250 la 2 poli M 20 65 250 la 4, 6, 8 poli M 20

215

Pag. 4/10 Toleranţe la capătul de arbore şi umărul flanşei. Diametrul capătului de arbore Toleranţa ISO Până la 28 mm j6 de la 38 - 48 mm k6 de la 55 – 65 mm m6

Diametrul umărului flanşei

Toleranţa ISO

De la 110 – 450 mm

j6

CUPLUL ADMISIBIL Cuplul admisibil la puterea nominală în regim continuu este dat în tabel, pentru diametrul capătului de arbore.

NIVELURI ADMISIBILE DE VIBRAŢII Rotoarele motoarelor sunt echilibrate dinamic pentru încadrarea motoarelor în clasa de vibraţie N conform STAS 8681-78. La cerere se pot executa motoare care să se încadreze în clasele de vibraţii R şi S sau pentru condiţii speciale. Beneficiarul va realiza montarea motorului pe placa de bază, fundaţie etc., astfel încât să asigure nivelul de vibraţii garantat de producător. Nivelurile admisibile de vibraţii, caracterizate prin viteza de vibraţie efectivă, în mm/s, sunt conform tabelului. Clasa de vibraţie Denumire Normală

Simbol N

Redusă

R

Specială

S

Turaţia nominală, min-1 600 - 3600 600 - 1800

Valori efective maxime ale vitezei de vibraţie, în mm / s, pentru înălţimea axului H în mm 80≤H≤132 132≤H≤225 225≤H≤400 1,8 2,8 4,5 0,71 1,12 1,8

1800 - 3600

1,12

1,8

2,8

600 - 1800 1800 - 3600

0,45 0,71

0,71 1,12

1,12 1,8

Timpul de pornire. Pornire grea. Este dat de relaţia:

tp 

GD2 n 375M n

, [secunde]

GD2 – este momentul de giraţie al acţionării în daNm2; Ma – este valoarea medie a momentului de acceleraţie în daNm; n - este turaţia în min -1. Dacă nu se precizează altfel, se admit 6 porniri pe oră. Timpul de pornire nu trebuie să depăşească - cca. 2 – 3 secunde la conectarea directă; - cca. 3 – 4 secunde la conectarea stea – triunghi. În comandă se vor specifica condiţiile de punere în funcţiune pentru pornire grea: frecvenţa conectărilor, mase inerţiale mari, momente rezistente importante etc. unde:

TENSIUNI ŞI FRECVENŢE Tensiunile nominale de alimentare ale motoarelor sunt de 220 / 380 V, 380 V, şi 500 V, la frecvenţa de 50 Hz. Motoarele funcţionează la puterea nominală şi în cazul variaţiei tensiunii cu ±5% faţă de valoarea nominală, la frecvenţa de 50 Hz. La comandă specială motoarele se pot executa şi pentru alte valori ale tensiunii de alimentare, la frecvenţe de 50 Hz sau 60 Hz, precum şi în condiţii tehnice corespunzătoare altor norme impuse la locul de utilizare. Înfăşurarea statorică poate fi conectată la placa de borne în stea sau în triunghi, astfel încât motorul este utilizabil la două tensiuni care se află în raportul 1/1,73 (triunghi / stea). Pornirea în stea – triunghi este posibilă numai la tensiunea ce corespunde conexiunii în triunghi. În cazul pornirii în stea – triunghi, pentru conexiunea în stea, momentul şi curentul de pornire se reduc cu 1 / 3 din valorile corespunzând conexiunii în triunghi.

216

Pag. 5/10 TENSIUNI DE EXPLOATARE Conexiunea de alimentare Tensiunea reţelei 220 V 220 V, Δ / 380 V, Y 380 V 380 V, Y 380 V 380 V, Δ 380 V 500 V, Y 500 V 500 V, Δ 500 V

Pornirea directă 220 V, Δ 380 V, Y 380 V, Y 380 V, Δ 500 V, Y 500 V, Δ

Pornire în stea - triunghi 220 V, Δ 380 V, Δ 500 V, Δ

Motoarele executate pentru frecvenţa de 50 Hz pot fi utilizate şi la o frecvenţă de 60 Hz. În acest caz trebuie să se ţină cont, în mod deosebit, de următoarele modificări ale parametrilor: turaţia motorului creşte cu 20%; la menţinerea tensiunii de alimentare la valoarea nominală, Mp / Mn, Mm / Mn şi Ip / In se păstrează la valorile nominale.

PUTERI Puterea nominală este corespunzătoare unui serviciu nominal continuu S1, la frecvenţa de 50 Hz, la o altitudine a locului de montare de max. 1000 m şi o temperatură maximă a mediului ambiant de + 40 0C. Pentru altitudini şi temperaturi diferite de cele menţionate, puterea nominală se consideră ca în tabel. Temperatura maximă a mediului ambiant 0C 30 35 40 45 50 55 60 Puterea în % din puterea nominală 107 104 100 96 92 87 82 104 101 97 93 89 84 79 101 98 94 90 86 81 76 97 94 90 86 82 77 72 93 90 86 82 78 73 68 89 86 82 78 74 69 64 84 81 77 73 69 64 59

Altitudinea, [m] Până la 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

RANDAMENT. FACTOR DE PUTERE La putere, tensiune şi frecvenţă nominală, randamentul şi factorul de putere corespund tabelelor de caracteristici tehnice. Pentru folosirea motoarelor la valori fracţionare ale puterii nominale, randamentul şi factorul de putere sunt date în tabel. Factorul de putere la valori fracţionare ale puterii nominale: 5/4 0,91 0,90 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81

4/4 0,91 0,90 0,89 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,79

3/4 0,88 0,87 0,86 0,85 0,84 0,83 0,82 0,81 0,80 0,78 0,76 0,75 0,73

2/4 0,82 0,80 0,79 0,78 0,77 0,75 0,73 0,72 0,71 0,67 0,66 0,65 0,63

1/4 0,64 0,62 0,60 0,58 0,57 0,55 0,53 0,51 0,50 0,47 0,45 0,43 0,42

5/4 0,80 0,79 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69

217

4/4 0,78 0,77 0,76 0,75 0,74 0,73 0,72 0,71 0,70 0,69 0,68 0,67

3/4 0,73 0,72 0,70 0,69 0,67 0,66 0,65 0,64 0,63 0,62 0,61 0,58

2/4 0,61 0,59 0,58 0,56 0,54 0,52 0,51 0,50 0,48 0,47 0,45 0,45

1/4 0,41 0,40 0,38 0,36 0,36 0,35 0,34 0,34 0,33 0,33 0,32 0,32

Pag. 6/10 Randamentul la valori fracţionare ale puterii nominale: 5/4 96 95 94 93 92 91 90 89 88 86 85 84 83 82 81 80 78 77

4/4 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79

3/4 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79

2/4 94 93 92 91 90 89 87,5 86,5 85,5 85 84 83 82 81 80 79 78 77

1/4 89 88 86 85 84 82 81 80 79 78 77,5 77 76 74 73 72 70 69

5/4 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 59

4/4 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62

3/4 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62

2/4 76 75 74 73 72 71 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59

1/4 68 67 66 65 64 63 61 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50

TOLERANŢE Toleranţele la unele caracteristici tehnice, conform STAS 1893-78, respectiv VDE 0530, faţă de valoarea garantată, sunt următoarele: Randament, η*

Pn ≤ 50 kW Pn > 50 kW

Factor de putere, cos φ*

- 0,15 (1 - η) - 0,1 (1 - η) 1  cos  dar minim 0,02  6 maxim 0,07 + 20% -15% la +25% -10% dar nu mai puţin de 1,6Mn

Curent de pornire** Cuplu de pornire*** Cuplu maxim* * Caracteristicile nu se limitează superior. ** Curentul de pornire nu se limitează inferior. *** Toleranţa superioară (+255) se garantează numai la cererea specială a beneficiarului.

MOTOARE ELECTRICE ASINCRONE TRIFAZATE CU COLIVIE, TIP AT Sunt motoare închise, cu ventilaţie exterioară. Se execută cu dimensiuni de montaj conform STAS 2755/1 (DIN 42673) pentru construcţia cu talpă şi DIN 42677 pentru construcţia cu flanşă. Puteri, tensiuni şi turaţii nominale conform STAS 881-71. Destinaţie: Motoarele sunt destinate acţionărilor generale. Motoarele se pot executa şi în atestare navală, conform RNR, în care caz, din cauza temperaturii maxime admise a mediului ambiant de +45 oC, puterea utilă nominală se reduce cu 96%, conform tabelului de la PUTERI. Grade de protecţie: IP 44, IP 54, IP 55. Forme constructive şi moduri de montaj: IM B3, IM B6, IM B7, IM B8, IM V5, IMV6, IM B5, IM V1, IM V3, IM B35 de la gabaritul 71 la gabaritul 259. Până la gabaritul 112 inclusiv, se execută şi în IM B14, IM V18, IM V19, IM B34. Tensiuni şi frecvenţe: Tensiunile normale de alimentare ale motoarelor sunt de 220/380 V; 500 V la frecvenţa de 50 Hz.

218

Pag. 7/10 Motoarele funcţionează la puterea nominală şi în cazul variaţiei tensiunii cu ±5% faţă de valoarea nominală, la frecvenţa de 50 Hz. La comandă specială motoarele se por executa şi pentru alte valori ale tensiunii de alimentare, la frecvenţele de 50 Hz şi 60 Hz, precum şi în condiţii tehnice corespunzând altor norme impuse la locul de utilizare. Condiţii de funcţionare: conform subcap. CONDIŢII DE FUNCŢIONARE. Clasa de izolaţie: B. Caracteristici tehnice: 3000 rot/min; 2p = 2 poli P, n, I, A Tip kW min-1 220 V 380 V AT 71-14A-2 AT 71-14B-2 AT 80-19A-2 AT 80-19B-2 AT 90S-2 AT 90

24-2

AT 100L 28-2 AT 112M 28-2 AT 132S 38A-2 AT 132S 38B-2 AT 160M 42A-2 AT 160M 42B-2 AT 160L 42-2 AT 180M 48-2 AT 200L 55A-2 AT 200L 55B-2 AT 225M 55-2 AT 250M 60-2

0,37 0,55 0,75 1,1 1,5 2,2 3 4 5,5 7,5 11 15 18,5 22 30 37 45 55

2700 2700 2750 2750 2820 2850 2850 2880 2890 2890 2930 2910 2930 2920 2920 2920 2920 2920

1,85 2,5 3,3 4,65 6 8,55 11,5 14,9 20,2 26,7 38,7 52,1 63,2 74,3 99,7 120,2 147,5 178

1,1 1,4 1,9 2,7 3,5 5 6,6 8,6 11,7 15,4 22,4 30,2 36,5 43 57,6 70,9 85,5 103,5

1500 rot/min; 2p = 4 poli P, n, I, A Tip 380 V kW min-1 220 V AT 71-14B-4 AT 71-14B-4 AT 80-19A-4 AT 80-19B-4 AT 90S 24-4 AT 90L 24-4 AT 100L 28A-4 AT 100L 28B-4 AT 112M 28-4 AT 132S 38-4 AT 132M 38-4 AT 160M 42-4 AT 160L 42-4 AT 180M 48-4 AT 180L 48-4 AT 200L 55-4 AT 225S 60-4 AT 225M 60-4 AT 250M 65-4

0,25 0,37 0,55 0,75 1,1 1,5 2,2 3 4 5,5 7,5 11 15 18,5 22 30 37 45 55

1350 1350 1350 1350 1390 1390 1425 1425 1425 1440 1435 1440 1440 1460 1460 1460 1460 1460 1460

1,5 2 2,75 3,6 5,1 6,6 9,2 12,1 15,6 20,7 27,5 39,6 53,1 64,3 76,1 102,6 126,3 151,2 184

0,85 1,2 1,6 2,1 2,9 3,8 5,3 7 9 12 15,9 22,9 30,7 37,2 44 59,3 73,2 87,5 106,5

η, %

cos φ

Mp

66 71 73 74 77 79 80 82 83 85 86 87 87,5 88 89 89,5 90 90

0,79 0,81 0,82 0,84 0,85 0,855 0,86 0,865 0,865 0,87 0,87 0,87 0,88 0,885 0,89 0,89 0,89 0,90

η, % 62 65 70 72 73 76 79 80,5 82 84 85,5 87 88 89 89,5 90 90 91 91

219

GD2, daNm2

G, kg

5,5 5,5 6 6 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0,00165 0,00234 0,00342 0,00481 0,00825 0,0105 0,01665 0,0235 0,0457 0,0611 0,164 0,196 0,222 0,360 0,830 0,865 1,07 1,34

6,3 7,6 11,6 13,1 16,4 19,3 25,4 32,6 52 60 100 114 126 156 206 230 275 320

Ip

Mn

Mm Mn

GD2, daNm2

G, kg

1,6 1,6 1,8 2 2 2 2,2 2,2 2,2 2 2 2 2 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7

2 2 2 2,2 2,2 2,2 2,4 2,4 2,4 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2

4,5 4,5 5,5 5,5 6 6 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7 7 7

0,00303 0,00380 0,00567 0,00569 0,01242 0,0163 0,0240 0,0340 0,0468 0,0805 0,0965 0,265 0,336 0,400 0,502 0,860 1,34 1,6 2

6,3 7,5 12,1 13,3 16,5 20,6 24,8 29,3 38 54 64 103 120 137 156 216 250 280 325

Ip

Mn

Mm Mn

1,9 1,9 1,9 2 2 2 2,2 2,2 2 2 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8

2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,4 2,4 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2 2,2

cos φ

Mp

0,72 0,74 0,75 0,76 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,84 0,845 0,85 0,85 0,855 0,855 0,87 0,86

In

In

Pag. 8/10

1000 rot/min; 2p = 6 poli P, n, I, A Tip 380 kW min-1 220 V

η, %

cos φ

AT 80-19B-6 AT 90S 24-6 AT 90L 24-6 AT 100L 28-6 AT 112L 28-6 AT 132S 38-6 AT 132M 38A-6 AT 132M 38B-6 AT 160M 42-6 AT 160L 42-6 AT 180L 48-6 AT 200L 55A-6 AT 200L 55B-6 AT 225M 60-6 AT 250M 65-6

0,37 0,55 0,75 1,1 1,5 2,2 3 4 5,5 7,5 11 15 18,5 22 30 37

890 900 940 940 940 945 955 960 960 960 960 960 970 970 970 970

2,2 3,1 4 5,6 7,3 10,2 13,3 17,1 22,6 30,1 42,8 56,7 68,2 79,3 105,4 128,4

1,3 1,8 2,3 3,2 4,2 5,9 7,7 9,9 13,1 17,4 24,8 32,8 39,4 45,8 61,2 74,4

66 69 71 73 75 77 79 81 83 84 85 86 87 88 89 90

750 rot/min; 2p = 8 poli P, n, I, A Tip 220 380 kW min-1 AT 100L 28A-8 AT 100L 28B-8 AT 112M 28-8 AT 132S 38-8 AT 132M 38-8 AT 160M 42A-8 AT 160M 42B-8 AT 160L 42-8 AT 180L 48-8 AT 200L 55-8 AT 225S 60-8 AT 225M 60-8 AT 250M 65-8

0,75 1,1 1,5 2,2 3 4 5,5 7,5 11 15 18,5 22 30

705 705 705 710 710 720 708 708 720 720 720 720 720

V

V

4,7 6,5 8,2 11,6 14,4 18,3 24,2 31,7 45,1 59,6 71,5 83,2 110

2,7 3,7 4,7 6,5 8,4 10,6 14 18,3 26,1 34,5 41,5 48,2 63,8

G, kg

4 4,5 4,5 4,5 5,5 5,5 6 6 5 6 6 6 6,5 6,5 7 7

0,00665 0,00886 0,0164 0,0202 0,0390 0,0585 0,107 0,147 0,206 0,343 0,460 0,549 0,910 0,966 1,25 1,56

12,1 17,7 16,7 19,1 26,2 35 53 64 74 110 115 144 169 186 240 320

Ip

Mn

Mm Mn

GD2, daNm2

G, kg

1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4,5 4,5 4,5 5 5 5,5 5,5 5,5 5,5 6 6 6

0,031 0,042 0,063 0,114 0,141 0,299 0,368 0,549 0,569 0,966 1,2 1,28 1,6

23 26,9 37,5 52 63 89 97 121 146 184 220 240 300

Ip

Mn

Mm Mn

0,67 0,685 0,7 0,71 0,72 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,795 0,81 0,82 0,83 0,84 0,84

1,6 1,7 1,8 2 2 2 1,8 1,8 1,8 1,8 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6

2 2 2 2,2 2,2 2,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

η, %

cos φ

Mp

66 69 72 75 78 80 81,5 83 84,5 86 87 88 89

0,63 0,65 0,67 0,69 0,7 0,72 0,735 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80

V AT 80-19A-6

GD2, daNm2

Mp

220

In

In

Pag. 9/10

* Cotele de montaj sunt obligatorii. Tip 71 Tip 71

A* 112

AA 30 L 239

AB 142

AC 193

IPE* 13,5

AD 122

LA 9

B* 90 M* 130

BA 31,5

BB 110

N* 110

C* 45 P* 160

D* 14

E* 30

nxs* 4x10

F 5

G 11

T* 3

M1* 85

F 6 8 8 8 8 10

G 15,5 20 20 24 24 33

GA 16

GD 5 N1* 70

H* 71

HA 8

P1* 105

HB 180

K* 7

nxs1* 4xM4

T1 2,5

HA 10 10 10 12 14 26

HD 204 223 223 244 256 286

* Cotele de montaj sunt obligatorii. Tip 80 90S 90L 100L 112M 132S

A* 125 140 140 160 190 216

AA 32 34 34 37 37 50

AB 151 166 166 190 220 256

AC 157 178 178 198,5 198,5 258

B* 100 100 125 140 140 140

BB 133 133 158 182,5 189,5 180

C* 50 56 56 63 70 89

D* 19 24 24 28 28 38

221

E* 40 50 50 60 60 80

GA 21,5 27 27 31 31 41

GD 6 7 7 7 7 8

H* 80 90 90 100 112 132

Pag. 10/10 132M 216 Tip 80 90S 90L 100L 112M 132S 132M

50

K* 10 10 10 12 12 12 12

256

L 290 320 340 375 427 450 500

258

IPE* 13,5 13,5 13,5 13,5 13,5 21 21

178

LA 10 10 10 11 11 12 12

218

M* 165 165 165 215 215 265 265

89 N* 130 130 130 180 180 230 230

38 P* 200 200 200 250 250 300 300

80

10

nxs* 4x11 4x11 4x11 4x14 4x14 4x14 4x14

33 T* 3,5 3,5 3,5 4 4 4 4

41 M1* 40 50 50 60 60

8

132

N1* 80 95 95 110 110

P1* 120 140 140 1660 160

26

286

nxs1* 4xM6 4xM8 4xM8 4xM8 4xM8

T1* 3 3 3 3,5 3,5

GA 45 45 51,5 51,5 59 64 59 64 64 69

GD 8 8 9 9 10 11 10 11 11 11

* Cotele de montaj sunt obligatorii. Tip 160M 160L 180M 180L 200L 225S 225M2 225M4,6,8 250M2 250M4,6,8 Tip 160M 160L 180M 180L 200L 225S 225M2 225M4,6,8 250M2 250M4,6,8

A* 254 254 279 279 318 356 356 356 406 406 H* 160 160 180 180 200 225 225 225 250 250

AA 70 70 70 70 75 85 85 85 95 95 HA 24,5 24,5 25 25 30 33,5 33,5 33,5 37 37

AB 324 324 349 349 393 436 436 436 501 501 HB 319,5 319,5 354 354 397 420,5 420,5 420,5 453 453

AC 417 417 456,5 456,5 480,5 495 495 495 528 528 HC 372 372 403 403 457 482 482 482 515 515

AD 255 255 282 282 284 277 277 277 277 277 K* 14 14 14 14 18 19 19 19 24 24

B* 210 254 241 279 305 286 311 311 349 349 L 613 645 652 690 770 802 810 840 935 935

BA 75 75 75 75 75 82 82 82 94 94 IPE* 21 21 29 29 36 36 36 36 36 36

222

BB 260 304 300 338 360 341 366 366 444 444

C* 108 108 121 121 133 149 149 149 168 168 LA 13 13 13 13 15 16 16 16 20 20

D* 42 42 43 48 55 60 55 60 60 65 M* 300 300 300 300 350 400 400 400 500 500

E* 110 110 110 110 110 140 140 140 140 140 N* 250 250 250 250 300 350 350 350 450 450

F* 12 12 14 14 16 18 16 18 18 18

G 37 37 42,5 42,5 49 53 49 53 53 58

P* 350 350 350 350 400 450 450 450 550 550

nxs* 4x18 4x18 4x18 4x18 4x18 8x19 8x19 8x19 8x19 8x19

T* 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Anexa 2.

223

Pag. 2/8

224

Pag. 3/8

225

Pag. 4/8

226

Pag. 5/8

227

Pag. 6/8

228

Pag. 7/8

229

Pag. 8/8

230

Anexa 3.

UTILIZAREA MOTOARELOR ASINCRONE TRIFAZATE ÎN SCHEME MONOFAZATE CU CONDENSATOARE

Nr. borne accesibile Conexiunea

Şase borne accesibile

Trei borne accesibile Y

Δ

Cs = 12,7 In

Cs = 21,8 In

Cu fază auxiliară

Varianta de conectare monofazată

Cs = 12,4 In Cp = (1,5 ÷ 2)Cs

Condensatoare Uc ≥ 250 V

Notă:

Cs = 7,3 In Uc ≥ 500 V

Cs – condensator de sarcină; Cp – condensator de pornire; Q1 – comutator de pornire; L1 – faza reţelei electrice monofazate; NL – nulul reţelei electrice monofazate; In – curentul nominal al motorului; Uc – tensiunea nominală a condensatorului; Y – conexiunea stea de provenienţă a motorului asincron trifazat; Δ - conexiunea triunghi de provenienţă a motorului asincron trifazat; u1, v1, w1 – începutul înfăşurărilor fazelor motorului asincron trifazat; u2, v2, w2 – sfârşitul înfăşurărilor fazelor motorului asincron trifazat.

231