Ejercicios IOP [PDF]

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Modelo de Colas de Poisson Generalizado Ejercicio 1 BK Groceries opera con tres cajas. El gerente usa el siguiente programa para determinar la cantidad de cajeras en operación, en función de la cantidad de clientes en la tienda.

CTD. DE CLIENTES EN LA TIENDA 1A3 4A6 MAS DE 6

CTD. DE CAJEROS FUNCIONANDO 1 2 3

Los clientes llegan a las cajas siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia media de 10 por hora. El tiempo promedio de atención a un cliente es exponencial, con 12 minutos de promedio. Calcular la probabilidad p de estado estable de que haya n clientes en las cajas.

De la información del problema se tiene que:

𝜆𝑛 = 𝜆 = 10 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎

60

µ𝑛 =

12

= 5 clientes por hora,

{2𝑥5 = 10 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎 3𝑥5 = 15 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 ℎ𝑜𝑟𝑎

n = 1,2,3 𝑛 = 4,5,6 𝑛 = 7,8 …

Entonces, utilizando la formula general para determinar las probabilidades 10

P1= 5 Po=2Po 10

P2=( 5 )2 𝑃𝑜 = 4𝑃𝑜

15 3

P3=( 5 ) 𝑃𝑜 = 8𝑃𝑜 10

10

P4=( 5 )3 10Po=8Po 10

10 2

P5= ( 5 )3 (10) 𝑃𝑜 = 8𝑃𝑜 10

10

10

10

P6= ( 5 )3 (10)3 𝑃𝑜 = 8𝑃𝑜 10

2

Pn= ( 5 )3 (10)3 (15)𝑛−6 =8(3)𝑛−6 Po, n=7,8… El valor de Po se determina con la ecuación 2

2

Po ( 31+8(1+(3)+(3)2 + ⋯ = 1 Se aplica la fórmula de la suma de una serie geométrica para obtener Po(31 + 8(

1 1−

2 3

))=1

En consecuencia Po=1/55 Conocida Po, ya se puede determinar cualquiera de las probabilidades del problema. Por ejemplo, la probabilidad de que solo haya una caja abierta se calcula como la de que haya entre 1 y 3 clientes en el sistema, esto es P1+p2 +p3=0.255

Ejercicio 2

Ejercicio 3 Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora, se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Solución: La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto, La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto. Con la frecuencia efectiva de llegada y la tasa nominal de llegada podemos identificar nuestras medidas de desempeño sustituyendo en las formulas:

Wq  3 min 1

1  3   4 min  1 Ls  Ws  0.75  4  3 clientes Ws  Wq 

Lq  Wq  0.75  3  2.25 clientes

MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES Ejercicio 1 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: a. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)? Solución: Se conoce la siguiente información: λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto a) Por tanto 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 1/6 1/4 = 2 3 = 66.67% factor de utilización del sistema. Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33%. b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? 𝑳𝒒 = 𝝀 𝝁(𝝁−𝝀) = 𝟏/𝟔 𝟏/𝟒( 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟔 ) = 𝟒 𝟑 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑 Puede haber 2 autos en la cola. c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws. 𝑊𝑆 = 1 𝜇 − 𝜆 = 1 1 4 − 1/6 = 1 1/12 = 12 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎.

Ejercicio 2

Ejercicio 3: MODELO DE SERVIDORES MULTIPLES (M/M/c) : (GD/N/∞) En un pequeño taller de ajuste de motores ocupa a tres mecánicos. Cuando los clientes que llegan ven que el piso del taller está cubierto de trabajos en espera, van a otra parte. El piso del taller puede dar cabida cuando mucho a 15 segadoras o podadoras, además de las que reciben el servicio. Los clientes llegan al taller cada 15 minutos en promedio, y un mecánico tarda un promedio de 30 minutos en terminar cada trabajo. El tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio tienen distribución exponencial. Solución: (M/M/3):(GD/18/∞)

a) Cantidad promedio de mecánicos sin trabajo = c-(Ls-Lq)

Ls = 0.8774 + 0.9997 = 1.8771 # de mecánicos no trabajando = 3 – (1.8771-0.8774) = 2.0003 b) Porción del trabajo que va a la competencia en un día de 10 horas, por la capacidad limitada del taller. λperdido = λ − λef = 4 − 3. 9986 = 0. 0014 trabajos por hora En un día de 10 horas se pierden: 10x0.0014=0.014 trabajos. c) La probabilidad de que el siguiente cliente que llegue reciba servicio.

d) La probabilidad de que al menos un mecánico este sin trabajo.

e) La cantidad promedio de segadoras o podadoras que esperan servicio.

Lq = 0. 8774 esperan servicio 0.8774 segadoras o podadoras f) Productividad del taller=

𝑙𝑠 −𝐿𝑞 𝑐

La productividad es de 33.32%

=

1.8771−0.8774 3

= 0.3332

Modelo de servicio de máquinas. Ejercicio 1

Ejercicio 2 Después de esperar mucho, el matrimonio Campos-peraza fue recompensado con quintillizos, dos niños, tres niñas, gracias a las maravillas del progreso de la medicina. Durante los primeros cinco meses, la vida de los bebes transcurría en dos estados: despiertos y dormidos. según la familia las actividades "despierto-dormido" nunca coinciden, parecen ser aleatorias. La señora peraza quien es experta en estadística, cree que el tiempo de que llora cada bebe es exponencial, con 30 min de promedio. El tiempo durante el cual duerme cada bebe es exponencial, con una media de 2 horas determine: a) La cantidad de ebes despiertos en cualquier momento b) La probabilidad de que todos los bebes estén dormidos c) Probabilidad de que hayan mas bebes despiertos que dormidos

a) Numero de bebes despiertos: 5-ls= 1 bebe b) Probabilidad de que estén dormidos= 0.32768 c) Probabilidad de que hayan mas bebes despiertos que dormidos:

Ejercicio 3

Kleen All es una compañía de servicios que realiza varios trabajos peculiares, como jardinería, poda de árboles y pintura de casas. Los 4 empleados de la compañía salen de la oficina con la primera asignación del día. Después de completar una asignación, el empleado llama a la oficina para pedir instrucciones para el siguiente trabajo que se va a realizar. El tiempo para completar una asignación es exponencial con una media de 45 minutos. El tiempo de viaje entre los trabajos también es exponencial con una media de 20 minutos.

a) Determine el promedio de empleados que viajan entre los trabajos.

Ls= 1.23076 b) Calcule la probabilidad de que ningún empleado ande en camino. Po= 0.229222