Ejercicios 6 - 9 Cauchy-Euler Resueltos [PDF]

Zitiervorschau

Resolver x 3 y ´ ´ ´ + 4 x 2 y ´ ´−4 xy ´ =0 Solución P1. Establecemos y=x r → x> 0

y ´ =r x r−1 y ´ ´ =r ( r−1 ) x r−2 P2. Derivamos y ´ ´ ´ =r ( r−1 ) ( r−2 ) x r−3

{

P3. Sustituimos en la ecuación diferencial

x 3 y ´ ´ ´ + 4 x 2 y ´ ´−4 xy ´ =0 x 3 r ( r −1 )( r −2 ) x r −3 + 4 x 2 r ( r−1 ) x r−2−4 x r x r−1=0 P4. Operamos

r ( r−1 ) ( r−2 ) x r + 4 r ( r−1 ) x r−4 r xr =0 r ( r 2−2 r −r +2 ) xr + ( 4 r 2−4 r ) xr −4 r x r =0

( r 3 −3 r 2+ 2r ) x r + ( 4 r 2−4 r ) x r−4 r x r=0 ( r 3 −3 r 2+ 2r + 4 r 2−4 r −4 r ) x r =0 r 3 +r 2−6 r=0 P5. Resolvemos r ( r 2 +r −6 ) =0 r ( r−2 )( r +3 ) =0 r =0 r−2=0 r +3=0 r =0 r=2 r=−3 P6. Sustituimos eso valores en la solución general

Y h=C 1 X 0 +C2 X 2 +C 3 X−3

Resolver x 3 y ´ ´ ´ +2 x 2 y ´ ´ + xy ´ − y =0 Solución P1. Establecemos y=x r → x> 0

y ´ =r x r−1 y ´ ´ =r ( r−1 ) x r−2 P2. Derivamos y ´ ´ ´ =r ( r−1 ) ( r−2 ) x r−3

{

P3. Sustituimos en la ecuación diferencial

x 3 y ´ ´ ´ +2 x 2 y ´ ´ + xy ´ − y =0 x 3 r ( r −1 )( r −2 ) x r −3 +2 x 2 r ( r−1 ) x r−2 + x r x r−1−x r =0 P4. Operamos

r ( r−1 ) ( r−2 ) x r +2 r ( r−1 ) x r +r x r −x r=0 r ( r 2−2 r −r +2 ) xr + ( 2 r 2−2 r ) x r + ( r−1 ) xr =0

( r 3 −3 r 2+ 2r ) x r + ( 2 r 2−2 r ) x r + ( r −1 ) x r =0 ( r 3 −3 r 2+ 2r +2 r 2−2 r +r −1 ) xr =0 ( r 3 −3 r 2+ 2r +2 r 2−2 r +r −1 )=0 r 3−r 2+ r−1=0 P5. Resolvemos

( r 3 −r 2 ) + ( r−1 ) =0 r 2 ( r−1 ) + ( r −1 )=0

( r −1 ) ( r 2+1 ) =0 r −1=0 r 2 +1=0 r =1r =± √−1=±i P6. Sustituimos eso valores en la solución general

Y h=C 1 X 1+ C2 X i +C 3 X −i

Con valor inicial - Resolver x 2 y ´ ´ + x y ´ −9 y=0 ; y ( 1 )=1 ; y ´ ( 1 ) =0 Solución P1. Establecemos y=x r → x> 0

y=x r P2. Derivamos y ´ =r x r−1 y ´ ´ =r ( r−1 ) x r−2

{

P3. Sustituimos en la ecuación diferencial

x 2 y ´ ´ + x y ´ −9 y=0 x 2 r ( r −1 ) x r−2 + x r x r−1−9 x r =0 P4. Operamos

r ( r−1 ) x r +r x r−9 x r =0

( r 2 −r ) xr + r x r −9 x r=0 ( r 2 −r +r−9 ) xr =0 r 2−9=0 P5. Resolvemos

( r +3 ) ( r−3 )=0 r +3=0 r−3=0 r =−3 r=3

P6. Sustituyendo los valores Y h=C 1 X−3 +C 2 X 3 Para Y h ( 1 )=1

1=C 1 ( 1 )−3+C 2 (1 )3

1=C 1 +C2 C 1=1−C 2 Para Y ´ h ( 1 )=0

Y h=C 1 X−3 +C 2 X 3 Y ´ h=−3C 1 X−4 +3 C 2 X 2 0=−3 C1 +3 C 2 Reemplazamos C 1=1−C 2 0=−3 ( 1−C 2 ) +3 C2 0=−3+3 C 2+3 C 2 3=C2 ( 3+3 ) C 2=

1 2

Reemplazamos C 2=

C 1=1−

1 en C 1=1−C 2 2

1 2

C 1=

2−1 2

C 1=

1 2

P7. Sustituyendo los valores se obtiene la solución general 1 1 Y h= X−3 + X 3 2 2

Con valor inicial - Resolver x 2 y ´ ´ + x y ´ + y=0 ; y (1 ) =2; y ´ ( 1 )=5 Solución P1. Establecemos y=x r → x> 0 r

y=x P2. Derivamos y ´ =r x r−1 y ´ ´ =r ( r−1 ) x r−2

{

P3. Sustituimos en la ecuación diferencial

x 2 y ´ ´ + x y ´ + y=0 x 2 r ( r −1 ) x r−2 + x r x r−1 + x r=0 P4. Operamos

r ( r−1 ) x r +r x r + x r=0

( r 2 −r ) xr + r x r + x r =0 ( r 2 −r +r +1 ) x r=0 ( r 2 +1 ) =0 P5. Resolvemos

( r 2 +1 ) =0 r =± √−1=± i P6. Sustituyendo los valores Y h=C 1 X i +C2 X −i

Para Y h ( 1 )=2 i

i

2=C 1 (2 ) +C 2 ( 2 ) →C 1=

2−C 2 ( 2 )i

( 2 )i

Para Y ´ h ( 1 )=5

Y h=C 1 X i +C2 X −i Y ´ h=i C1 X i−1−i C2 X i 5=iC 1 ( 5 )i−1−iC 2 (5 )i El ejercicio no tiene solución