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23) A un tanque cilíndrico recto se le superpone una tapa cónica en la forma que se ilustra en la FIGURA. El radio del tanque es de 3 m y su área superficial total corresponde a 81 πm² . Encuentre las alturas x y y de manera que el volumen del cilindro sea un máximo. Sugerencia el área superficial del cono es: 3 π √ 9+ y ² .
queremos maximizar : V ( x , y )=9 πx +3 πy sujeto a : S ( x , y )=9 π +6 πx+ 3 π √ 9+ y ²−81 π ahora calculamoslas derivadas parciales V x =9 π
V y =3 π
s x =6 π
sy=
3 πy √ 9+ y ²
ahora necesitamos resolver : 9 π=6 πλ
ecuación 1
3 π=
3 πλy √ 9+ y ²
ecuación 2
9 π +6 πx+3 π √ 9+ y ²−81 π=0 para x >0 y y > 0 ecuacion3 de la ecuacion1 obtenemos : λ=
9π 3 = 6π 2
ahora sustituyendo λ en la ecuacion 2 obtenemos 3π 3 π=
( 32 ) y
√ 9+ y ²
3 π ( √ 9+ y 2 )=3 π
( 32 ) y
( 32 ) y )²
( √9+ y 2) ²=( 9+ y2 =
9 y² 4
36+ 4 y 2=9 y ² 36=5 y ² 36 5
y=
√
y=
6 √5
ahora sustituimos y en la ecuacion3 para obtener el valor de x
√
9 π +6 πx+3 π 9+(
6 ) ²−81 π=0 √5
36 =81 π −9 π 5
√ ( √ ) √
6 πx+3 π 9+ π 6 x +3 9+ 6 x +3 9+ 6 x+
36 =72 π 5
36 =72 5
27 √ 5 =72 5
6 x=72− 6 x=
27 √ 5 5
360−27 √ 5 5
x=
360−27 √ 5 5(6)
x=
360−27 √ 5 30
x=12−
9 9 √5 o x=12− 10 2 √5
entonces el volumen es maximo cuando : x=12−
9 2 √5
m y=
6 m √5