Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru [PDF]

Zitiervorschau

Am intrat deja activ în mileniul III, în care facem alegeri şi trăim consecinţele lor. Schimbările cotidiene devin o realitate aproape inevitabilă, iar lucrul cel mai permanent în viaţa umană este continuitatea aproape neîntreruptă a

schimbării. Trebuie să fim conştienţi de faptul că totul se schimbă permanent şi să percepem „ rupturile” apărute ca normale sau mai puţin dureroase. Totul în activitatea umană evoluează. Această evoluţie se face prin schimbări repetate sau prin salturi. Noutatea este o regulă, o prezenţă constantă în felul de a percepe lumea. Fără inovare nimic nu ar exista, deoarece însăşi procesul viaţa este bazat pe inovare. Anume viaţa ne oferă cel mai bun serviciu atunci cînd ne pune piedici în cale. Anume datorită acestor obstacole de dezvoltăm permanent, acumulăm noi experienţe şi ne transformăm permanent în ceea ce dorim să fim. Puternic stabilită în realităţile contemporane şi cu implicaţii în toate domeniile, matematica zilelor noastre devine tot mai mult modelul spre care privesc cu încredere şi interes celelalte ştiinţe. Matematica a pătruns treptat din ce în ce mai mult în sfera conceptului de cultură generală şi de cultură de specialitate, lăsînd puţine sectoare lipsite de prezenţa ei. Trecerea sistematică de la învăţămîntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin rezolvarea unui număr optimal de probleme şi situaţii probleme, utilizînd diverse strategii în rezolvarea lor, prin însuşirea unor metode spicifice anumitor clase de probleme. Pentru însuşirea mai profundă a materiei de Curriculum la matematică sunt propuse probleme şi exerciţii ce prezintă un grad sporit de dificultate. Ele constituie subiecte pentru examenele de BAC, la olimpiade şi alte concursuri. În cursul contemporan de matematică din liceu un loc aparte îl ocupă parametrul. Parametrul este un puternic instrument de dezvoltare a gîndirii logice, lărgeşte cu mult clasa problemelor şi exerciţiilor rezolvabile în liceu. Pentru elevii claselor de liceu nu prezintă dificultăţi de a rezolva ecuaţii de tipul ax = b, ax 2 + bx + c = 0 în mulţimea numerelor întregi. Problema se complică, atunci cînd coeficienţii a,b,c depind de careva parametru. În cadrul rezolvării problemelor cu parametru nu se cere pur şi simplu de a rezolva ecuaţia propusă, ci şi să se discute după parametrul dat. Deci, la rezolvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie să manifeste intuiţie matematică, ingeniozitate, spirit inventativ, calităţi care trebuie noi profesorii să le dezvoltăm pe parcursul anilor de şcoală.

Voi începe cu rezolvarea ecuaţiilor liniare care conţin parametri. Nu prezintă nici o problemă rezolvarea în mulţimea numerelor reale a ecuaţiilor de forma ax = b, unde a, b depind de un parametru. Dacă a = 0 şi b = 0 atunci ecuaţia ia forma 0x = 0 Atunci S = R, adică ecuaţia admite o infinitate de soluţii. Dacă a = 0 şi b ≠ 0 atunci ecuaţia ia forma 0x = b. Atunci S=Ø b  a 

Dacă a ≠ 0 şi b oricare, atunci ecuaţia admite o singură soluţie S =  

Exemplul 1. Să se rezolve ecuatia şi să se discute după parametrul real m. m 1 1 + = mx + 1 mx − 1 1 − m 2 x 2 Rezolvare:

m 1 1 + = ⇔ mx + 1 mx − 1 1 − m 2 x 2

() () ()

m( mx − 1) + mx + 1+ 1 m x − m + mx + 2 m + m x + 2 − m  m + m x + 2 − m = 0  m + m x = m − 2 = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔ ⇔   22 22 22 22 22 m x − 1 m x − 1 m x − 1  m x − 1≠ 0  m x − 1≠ 0 2

2

2

liniară obtinută: ( m + m ) x = m − 2 ⇔ m( m + 1) = m − 2 Dacă m = 0, ecuatia ia forma 0x = −2 Deci, S=Ø Dacă m = −1, ecuatia ia forma 0x = −3 Deci, S=Ø

2

Rezolvăm ecuatia

2

Dacă

m ∈R −{−1;0} atunci ecuatia va admite o soluţie x =

Soluţia obtinută trebuie să satisfacă conditia ecuatia :

m 2 x 2 −1 ≠ 0 .

m −2 m( m + 1)

Să verificăm această conditie. Pentru aceasta rezolvăm

 m− 2 = −1 ( m − 2)  m − 2   m + 1 2 ( m − 2) m ⋅ 2 2 − 1= 0 ⇔ 2 = 1⇔   = 1⇔  ⇔ m − 2 m ( m + 1) ( m + 1)  m + 1   = 1  m + 1 2

2

2

 0m = 3  m− 2= − m− 1  1  m− 2= m+ 1 ⇔  1 ⇔ m = 2 m=   2

1 numitorul fractiei devine zero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu zero. 2 1  Răspuns : Dacă m ∈−1; 0;  S=Ø 2   m −2  1  Dacă m ∈ R − −1; 0; S =   2   m( m + 1) 

Deci, pentru m =

Rezolvati independent ecuatia: 3mx − 5 2m + 1 5 = − 2 ( m + 2) ( x − 9 ) ( m + 2)( x − 3) x + 3 2 2  Răspuns: Dacă m ∈− 3 ; − 2; −1,5; −1  3 3  2 2   Dacă m ∈ R − − 3 ; − 2; −1 ; −1,5 3 3  

S=Ø atunci

 38 + 21m  S =   6m + 9 

Să rezolvăm o ecuaţie cu parametru care se reduce la ecuaţie liniară. Exemplul 2 Determinaţi toate valorile reale ale parametrului m , pentru care ecuaţia 5 ⋅ 3 x +1 − m = 10 ⋅ ( 2 − m ⋅ 3 x ) nu are soluţii. Rezolvare:

(

)

5 ⋅ 3 x +1 − m = 10 ⋅ 2 − m ⋅ 3 x ⇔ 15 ⋅ 3 x − m = 20 − 10m ⋅ 3 x ⇔ 15 ⋅ 3 x + 10m ⋅ 3 x = 20 + m ⇔ (15 + 10m ) ⋅ 3 x = 20 + m

Aceasta este o ecuaţie liniară în raport cu 3x. Deci vom cerceta cazul cînd ecuaţia liniară nu are soluţii. Şi deoarece este o ecuaţie exponenţială, nu va avea soluţii atunci cînd

 15 + 10m = 0  20 + m ⇔  ≤0  15 + 10m

 m = − 1,5  m ∈ [ − 20; − 1,5) ⇔ m ∈ [ − 20; − 1,5] 

Răspuns: m ∈[− 20; −1,5] Rezolvaţi independent: Determinaţi valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaţia Determinaţi această soluţie.

4m − 3m ⋅ 2 x +1 − 8 = 4 ⋅ 2 x admite o singură soluţie reală.

x x 4m − 3m ⋅ 2 x +1 − 8 = 4 ⋅ 2 x ⇔ 4m − 6m ⋅ 2 x − 8 = 4 ⋅ 2 x ⇔ ( − 6m − 4 ) ⋅ 2 = 8 − 4m ⇔ ( 3m + 2 ) ⋅ 2 = 2m − 4

Ecuaţia dată va admite o singură soluţie atunci cînd

 2  3m + 2 ≠ 0  m −≠   3  2 ⇔ m∈  ∞− ; −  ∪ ( 2; + ∞ )  2m − 4 ⇔   3m + 2 > 0  m∈  ∞− ; − 2 ∪ ( 2; ∞+ )  3   3

Răspuns : Pe intervalul dat soluţia ecuaţiei va fi x = log 2

2m − 4 3m + 2

Exemplul 3. Pentru ce valori ale parametrului real a ecuaţia 3 ⋅ 4 x −2 + 6 − a = a ⋅ 4 x −2 va admite o soluţie negativă ?

Rezolvare :

3 ⋅ 4 x − 2 + 6 − a = a ⋅ 4 x − 2 ⇔ ( 3 − a ) ⋅ 4 x −2 = a − 6

Aceasta este o ecuaţie exponenţială în raport cu 4x-2 , care se reduce la o ecuaţie liniară şi va avea o soluţie atunci

cînd

 a− 6  > 0  a∈ ( 3;6)  3− a ⇔  ⇔ a∈ ( 3;6)  a ≠ 3  a ≠ 3

În acest interval ecuaţia va admite soluţia 4 x −2 =

a −6 a−6 a−6 16a − 96 ⇔ x − 2 = log 4 ⇔ x = 2 + log 4 ⇔ x = log 4 3−a 3−a 3−a 3−a

a ∈(3;6) a∈(3;6) a∈(3;6) a∈(3;6) a∈(3;6)      9  ⇔ 16a−9 16a−9 ⇔ 16−9 3+aa ⇔ 17a−9 ⇔  9 ⇔ a∈ ;6 log4 0  c 4. Ecuaţia pătrată admite două soluţii reale pozitive atunci cînd  > 0 a b  0  c  >0 a b  >0 a

 a ≠ 0  6.Ecuaţia pătrată admite două soluţiii reale de semne opuse atunci cînd ∆ > 0 c  0  c  0 a  a ≠ 0  10. Ecuaţia pătrată admite două soluţii dintre care una este zero, iar a doua este pozitivă atunci cînd c = 0 b  0  c  > 0 adică a b  + 0  1 1  m+ 2  m> −  m> −  > 0 ⇔  5 ⇔  5 ⇔ m∈ (1;+ ∞ )  m− 1  (m+ 2)( m 1) >− 0  m∈ (− ∞ ; 2) ∪− (1;+ ∞ )  − 2( m+ 3)    < 0  (m+ 3)(m 1) >− 0  m∈ (− ∞ ; 3) ∪− (1;+ ∞ )  m− 1

Deci, dacă m ∈(1;+∞) ecuaţia are două soluţii reale pozitive.

 11  ;+∞ pentru care soluţiile sunt reale şi negative 5  

6. Să calculăm valorile parametrului m din intervalul  −

adică

a ≠ 0 ∆ > 0  c  >0 a b  >0 a

 m≠ 1   m≠ 1  m≠ 1  1  m  −∈ ;+ ∞      5   m  −∈ 1 ;+ ∞   m  −∈ 1 ;+ ∞         1   m+ 2 ⇔   5  ⇔   5  ⇔ m  −∈ ;− 2  > 0  (m+ 2)(m 1) >− 0  m∈ (− ∞ ; 2)(∪− 1;+ ∞ )  5   m− 1    − 2(m+ 3)  (m+ 3)(m 1) 0  11  ;−2  ecuaţia are două soluţii reale negative.  5 

Deci, pentru m ∈ −

 11  ;+∞ pentru care ecuaţia admite soluţii reale de semne 5  

7. Să calculăm valorile parametrului m din intervalul  −

opuse

 a ≠ 0  ∆ > 0 adică c  0  m < 2  

6. Să calculăm valorile parametrului m din domeniul ( −∞;−2] ∪[1;+∞) pentru care ambele soluţii sunt reale şi negative.

 m∈ ( ∞− ;− 2] ∪ [1;+∞ )  m ∈ ( ∞− ;− 2] ∪ [1;+∞ )    − 2m > 0 ⇔  m < 0 ⇔  2− m > 0  m < 2  

m ∈( −∞;−2]

7. Să calculăm valorile parametrului m din domeniul ( −∞;−2] ∪[1;+∞) pentru care ambele soluţii sunt reale şi de semne diferite.

 m∈ ( − ; 2] ∪−∞ [1;+ ∞ )  m∈ ( − ; 2] ∪−∞ [1;+ ∞ )  ⇔  ⇔ m∈ ( 2;+ ∞ )  2− m < 0  m > 2

Răspuns: I: Dacă m ∈( − ∞;−2 ) ecuaţia are două soluţii negative Dacă m ∈( − 2;1) ecuaţia nu are soluţii reale Dacă m ∈[1;2 ) ecuaţia are două soluţii reale pozitive Dacă m = 2, ecuaţia are soluţiile x1 = 0, x2 = 4 Dacă m ∈( 2;+∞) ecuaţia are două soluţii de semne diferite II.

x12 + x 22 Să calculăm valorile parametrului m pentru care se satisface condiţia 1 ≤ 2 2 ≤ 3 x1 ⋅ x 2

x12 + x 22 ( x1 + x 2 ) − 2 x1 x2 Efectuăm careva transformări cu expresia 2 2 = În rezultat avem x1 ⋅ x 2 ( x1 ⋅ x2 ) 2 2

Conform relaţiilor lui Viete

 x1 + x2 = 2m   x1 ⋅ x2 = 2 − m

obţinem :

 ( x1 + x2 ) 2 − 2x1x2  2 ≤3 2 ( x1 + x2 ) − 2x1x2  ( x1x2 ) . 1≤ 2 ≤ 3 ⇔  2 ( x1x2 )  ( x1 + x2 ) − 2x1x2  (xx )2 ≥ 1  12

[ ]

 4m − 2( − m) 2  m 7−−∈ 65; 7+− 65  ≤ 3  2 m + 14m− 16≤ 0   ( 2− m)  2   3−− 3   3+− 3   3−− 3   3+− 3   2 ⇔  3m + 6m 8≥− 0 ⇔  m∈  − ∞ ;  ∪  ;+ ∞  ⇔ m  7−−∈ 5;6  ∪  ; 7+− 65  4m − 2( − m ) ≥ 1  m ≠ 2   3   3   3   3   ( 2 − m) 2   m ≠ 2   2



Răspuns II : Pentru m ∈ − 7 − 65 ; 

 − 3 − 33   − 3 + 33 ;−7 + 65  este  ∪ 3 3   

satisfăcută condiţia.

Exemplul 5. Să se determine toate valorile reale ale parametrului k pentru care ecuaţia x 2 − 2 2 x + k + 1 = 0 are soluţii reale şi diferite. Cîte soluţii a acestei ecuaţii sunt situate în intervalul (0; 2 ) în dependenţă de parametrul k ? Rezolvare : Pentru ca soluţiile ecuaţiei să fie reale şi distincte e necesar ca ∆ > 0 ⇒ 8 − 4( k + 1) > 0 ⇔ 4 − 4k > 0 ⇔ k < 1 Deci, pentru k < 1 ecuația va avea două soluţii reale distincte.

Conform relaţiilor lui Viete avem :

x1 + x2   x1 + x2 = 2 2  = 2  ⇔ 2  x1 ⋅ x2 = k + 1  x1 ⋅ x2 = k + 1

Deoarece semisuma soluţiilor ecuaţiei este 2 înseamnă, că una din soluţii este mai mare decît 2 , iar cealaltă mai mică ca 2 , adică x1 < 2 < x 2 . Deci, intervalului (0; 2 ) îi va aparţine numai o soluţie x1, fiind pozitivă. A doua soluţie x 2 > 2 > 0 , atunci rezultă , că ambele soluţii sunt pozitive, adică k + 1 > 0 ⇔ k > −1 . Deci, pentru k ∈( −1;1) în intervalul

(0;

2

)

2 2 − 4 − 4k = 2 − 1−k 2 2 este situată o singură soluţie x1 = 2 − 1 − k

este situată numai o soluţie, cea mai mică

Răspuns : Pentru k ∈( −1;1) în intervalul (0;

x1 =

)

Exemplul 6. Fie dată ecuaţia :

m ⋅ 4 x − ( 2m − 1) ⋅ 2 x + m − 2 = 0, m ∈

R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaţia are o soluţie unică?

Rezolvare : Pentru ca ecuaţia pătrată exponenţială să admită o soluţie unică e necesar să fie satisfăcute următoarele condiţii:

 1  m = −   ∆ = 0 2 2 2  4  (2m−1) 4m( − 2)= 0 4 − 4 +1 mmmm =+− 084   m≠ 0   m≠ 0 m  ≠ 0 m≠ 0  2m−1  1   > 0 m(2 −1)> 0 m(2 −1)> 0 m∈ (− ∞ ;0)∪  ;+∞   1  m    2  m= −  1 ⇔ ⇔ ⇔  ⇔ 4 ⇔ m∈ − ∪ (0;2)   2 4 2− 4 +1 2 mmmm >+− 084   4 (  2m−1) 4m( −2)>0   1 m∈(0;2)  ∆ > 0     m> −    m≠ 0   m≠ 0 4

 1  4

Răspuns: Pentru m ∈ −  ∪ ( 0;2) ecuaţia va admite o soluţie unică.

Inecuaţii cu o singură necunoscută cu parametru Fie date două funcţii numerice f(x) şi g(x) şi fie D mulţimea ce reprezintă intersecţia domeniilor de definiţie a acestor funcţii, adică D = D( f ) ∩ D( g ) . Dacă se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este justă inegalitatea numerică f ( x0 ) < g ( x0 ) , atunci se spune că este dată o inecuaţie cu o singură necunoscută f ( x ) < g ( x ) . Mulţimea D este numită domeniul valorilor admisibile al necunoscutei,( DVA ), iar x0 este soluţie a inecuaţiei. În mod analog trebuie formulate şi înţelese problemele : să se rezolve inecuaţiile f(x) > g(x), f(x) ≤ g(x), f(x) ≥ g (x). Mulţimea soluţiilor unei inecuaţii reprezintă , de regulă, o mulţime infinită de numere şi de aceea verificarea ei este dificilă. Unica metodă, care garantează justeţea răspunsului constă în faptul, că la rezolvarea inecuaţiilor trebuie efectuate astfel de transformări, încît să se păstreze echivalenţa inecuaţiilor. Două inecuaţii sunt echivalente dacă mulţimile soluţiilor lor coincid. Aducem afirmaţiile de bază cu privire la echivalenţa inecuaţiilor , care se formulează şi se demonstrează pe baza proprietăţilor inegalităţilor numerice.

1. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi f(x) – g(x) > 0 sunt echivalente 2. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi f(x) + a > g(x) + a sunt echivalente pentru orice a real. 3. Inecuaţiile f(x) > g(x) şi af(x) > ag(x) sunt echivalente pentru orice a pozitiv. 4. Inecuaţiile f(x) > g(x)

şi af(x) < ag(x) sunt echivelente pentru orice a negativ.

5. Inecuaţiile a f ( x ) > a g ( x ) şi f(x) > g(x) sunt echivalente pentru orice număr fixat a > 1 6. Inecuaţiile

a f ( x ) > a g ( x ) şi f(x )< g(x) sunt echivalente pentru orice număr fixat 0 < a < 1

7. Fie n un număr natural şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt nenegative. Atunci pe această mulime inecuaiile f(x) > g(x) şi [ f ( x ) ] n > [ g ( x ) ] n sunt echivalente. 8. Fie a un număr fixat din domeniul (1;+∞) şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe această mulţime sunt echivalente inecuaţiile log a f ( x ) > log a g ( x ) şi f(x ) > g (x). 9. Fie a un număr fixat din domeniul (0;1) şi pe mulţimea A funcţiile y = f(x) şi y = g(x) sunt pozitive. Atunci pe această mulţime sunt echivalente inecuaţiile log a f ( x ) > log a g ( x ) şi f(x) < g(x) . 10. Fie că pe mulţimea M , care se conţine în DVA al inecuaţiei f(x) > g(x), funcţia y = ϕ( x ) este pozitivă . Atunci pe această mulţime sînt echivalente inecuaţiile f ( x ) > g ( x ) şi f ( x ) ⋅ ϕ( x ) > g ( x ) ⋅ ϕ( x ) Fiecare dintre inecuaţiile de forma ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b , unde a şi b sunt numere reale sau funcţii de parametri, iar x este o necunoscută se numeşte inecuaţie liniară cu o necunoscută cu parametru. Considerăm inecuaţia ax > b , la rezolvarea căreia vom deosebi următoarele cazuri : b x> a

1). Dacă a > 0 atunci

2). Dacă a < 0

atunci x
b, care este verificată de orice valoare reală a necunoscutei x. 4). Dacă a = 0 şi b > 0, obţinem inecuaţia 0x > b, care nu are soluţii. Exemplul 1. Să se rezolve inecuaţia :

(a

2

)

+ a + 1 x − 3a > ( a + 2 ) x + 5a .

Rezolvare: Efectuînd unele transformări , inecuaţia dată ia forma

(a

2

− 1) x > 8a

8a a2 −1 8a Dacă a 8, care nu are soluţii Dacă a = − 1 , atunci inecuaţia devine 0x > −8 , care este verificată

Dacă

a >1 ,

atunci

x>

de orice x real. Exemplul 2. Pentru care valori ale parametrului k inecuaţia ( k −1) x + 2k + 1 > 0 este verificată de valorile necunoscutei Rezolvare: Vom considera funcţia f ( x ) = ( k −1) x + 2k +1 graficul căreia reprezintă o linie dreaptă pentru orice valoare a parametrului k.

x ≤3 ?

Se observă că

 f ( − 3) > 0 f ( x ) = ( k − 1) x + 2k + 1 > 0 pe segmentul [−3;3] , atunci şi numai atunci, cînd   f ( 3) > 0

Efectuînd careva transformări necesare , obţinem

 k< 4  f( ) 43 k>−=− 0  4 k>− 0   2   ⇔  ⇔  2 k∈⇔  ;4  f( ) k >−= 0253  k >− 025  k>  5  5

2  k ∈  ;4  inecuaţia este verificată de valorile necunoscutei 5  2  Răspuns: k ∈  ;4  5 

Deci, pentru

x ≤3

Fiecare dintre inecuaţiile de forma ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 , ax2 + bx + c ≤ 0 ,unde a ≠ 0 se numeşte inecuaţie de gradul doi sau inecuaţie pătrată cu o necunoscută, iar a, b, c sunt numere reale sau depind de parametru. Rezolvarea inecuaţiilor pătrate cu parametri necesită cunoaşterea profundă a proprietăţilor trinomului pătrat Exemplul 3. De rezolvat inecuaţia ( m −1) x 2 − 2( m − 2) x − 7m −1 ≤ 0

Rezolvare: Dacă m = 1 atunci inecuaţia ia forma 2 x − 7 −1 ≤ 0 ⇔ 2 x − 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ 4 ⇔ x ∈ ( − ∞;4] Dacă

m ∈ R \ {1} atunci soluţiile inecuaţiei vor depinde de valorile discriminantului şi de valorile lui

m–1.

Calculăm discriminantul : ∆ = 4( m − 2 ) − 4( m −1)( − 7 m −1) = 32m 2 − 40m + 12 = 4(8m 2 −10m + 3) Determinăm semnul discriminantului. 2

 x = 2 8m − 10m + 3 = 0 ⇔  x = 

1 2 . 3 4

Determinăm semnul expresiei m – 1 .

Depunem toate valorile obţinute pe o dreaptă:

Δ ++++++++++ m–1 - -- - - - - -

- - - - -- -

1 - - - - - - 2

3 4

++ + + ++ - - - - - - -

Calculăm rădăcinile trinomului asociat inecuaţiei: Răspuns :

 

1 2

1 3  m ∈ ;  2 4 

Dacă m = 1

+ + + ++ + + +

m − 2 + 8m 2 − 10m + 3 m −1

şi

x2 =

m − 2 − 8m 2 − 10m + 3 m −1

  m − 2 − 8m 2 −10m +3  m − 2 + 8m 2 −10m +3 S = −∞; ;+∞  ∪   m −1 m −1      

3  4 

Dacă m ∈  − ∞;  ∪  ;1

Dacă

x1 =

1

+ + + + + + + +

S=R S = ( −∞;4]

Dacă

m ∈(1;+∞)

 m − 2 − 8m 2 −10m + 3 m − 2 + 8m 2 −10m + 3  S = ;  m −1 m −1    

Exemplul 4 Determinaţi valorile reale ale parametrului a , pentru care funcţia f : R → R, f ( x ) =

1 2 ( a − 1) x 3 + ( a − 1) x 2 + 2 x + 1 este 3

crescătoare pe R. Rezolvare : O funcţie este crescătoare pe R atunci cînd f ' (x) ≥ 0. f ' (x ) = ( a 2 − 1) x 2 + 2( a − 1) x + 2 Să determinăm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaţia ( a 2 − 1) x 2 + 2( a − 1) x + 2 ≥ 0. Observăm, că este o inecuaţie pătrată cu parametru. Verificăm pentru început

a = 1 a2 − 1 = 0 ⇔ a2 = 1 ⇔  a = − 1

Dacă a=1 avem că f '(x) =2 > 0. Deci, este realizată condiţia problemei. Dacă a = −1 avem că f '(x) = − 4x + 2, care nu este nenegativă pentru orice x real. Prin urmare, nu este realizată condiţia problemei.

a −1> 0 a >1 a>1 a∈ (− ∞;1)∪ (;+∞ )  ⇔  2 2 ⇔  2 ⇔  ⇔ a∈ (− ∞;3]∪ (1;+∞ ) ∆ ≤ 0 4(a−1) 4a −1⋅2≤ 0  + 2aa −3≥ 0 a∈ (− ∞;3]∪ [1;+∞ ) 2 2

Dacă

a∈

R\ {−1, 1} obţinem că f '(x) ≥ 0

a =1

()

Am obţinut, că f '(x) ≥ 0 pentru a ∈( −∞;−3] ∪(1;+∞) ⇔a ∈( −∞;−3] ∪[1;+∞)  ( ] [ a ∈ − ∞ ; − 3 ∪ 1 ;+∞) Răspuns : Pentru f ' (x) ≥ 0 pentru orice valoarea reală a lui x , adică f (x) este crescătoare. Pentru lucrul independent: 1. 2. 3. 4. 5.

1 3

Determinaţi valoarea maximă a parametrului real a , pentru care funcţia f : R → R, f ( x ) = − x 3 + ax 2 − 3ax − 11 este monoton descrescătoare pe R. Pentru care valori reale ale parametrului real a , funcţia f : R → R, f ( x ) = ( 3 − 5a ) x − ax 3 admite puncte critice ? Fie funcţia f : R → R, f ( x ) = mx − ln ( x 2 + 1), m ∈ R. Determinaţi valorile lui m pentru care funcţia f este descrescătoare pe R. Fie funcţia f : D → R, f ( x ) = ln 2mx 2 + 2( 2m − 1) x + 2m , D ⊂ R. determinaţi parametrul real m pentru care D = R. Pentru care valori ale parametrului real a ecuaţia 25 x − ( a − 1) 5 x + 2a + 3 = 0 are o unică soluţie?

[

]

Ciuga Maria, profesor de matematică, Grad didactic întîi Liceul Teoretic “ M. Eminescu” or. Drochia e-mail [email protected] tel.mob. 069945020 tel. dom. 025224520