79 Ecuatii Exponentiale Cu Parametru [PDF]

Zitiervorschau

Exemplul 2 Determinaţi toate valorile reale ale parametrului m , pentru care ecuaţia 5  3 x 1  m  10  2  m  3 x nu are soluţii. Rezolvare: 5  3 x1  m  10  2  m  3 x  15  3 x  m  20  10m  3 x  15  3 x  10m  3 x  20  m  15  10m  3 x  20  m Aceasta este o ecuaţie liniară în raport cu 3x. Deci vom cerceta cazul cînd ecuaţia liniară nu are soluţii. Şi deoarece este o ecuaţie exponenţială, nu va avea soluţii atunci cînd 15  10m  0 m  1,5  20  m   m   20;  1,5  0 m   20;  1,5 15  10m Răspuns: m   20;  1,5









Rezolvaţi independent: Determinaţi valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaţia 4m  3m  2 x 1  8  4  2 x admite o singură soluţie reală. Determinaţi această soluţie. 4m  3m  2 x 1  8  4  2 x  4m  6m  2 x  8  4  2 x   6m  4  2 x  8  4m  3m  2  2 x  2m  4 Ecuaţia dată va admite o singură soluţie atunci cînd 2  m 3m  2  0  3 2      m    ;    2;     2m  4 3   3m  2  0 m    ;  2   2;     3  2m  4 Răspuns : Pe intervalul dat soluţia ecuaţiei va fi x  log 2 3m  2 Exemplul 3. Pentru ce valori ale parametrului real a ecuaţia 3  4 x  2  6  a  a  4 x  2 va admite o soluţie negativă ? Rezolvare : 3  4 x2  6  a  a  4 x 2  3  a   4 x 2  a  6 Aceasta este o ecuaţie exponenţială în raport cu 4x-2 , care se reduce la o ecuaţie liniară şi va avea o a  6 0 a  3;6     a  3;6  soluţie atunci cînd  3  a a  3  a  3 a6 În acest interval ecuaţia va admite soluţia 4 x  2  3 a a6 a6 16a  96  x  2  log 4  x  2  log 4  x  log 4 3 a 3a 3a

Să determinăm valorile parametrului real a pentru care soluţia obţinută este negativă. Rezolvăm a  3;6 a  3;6 a  3;6 a  3;6      16a  96  16a  96  3  a  17a  99  16a  96  0 0 log 4 3  a  0  3  a  1   3 a  3 a sistemul: a  3;6   99    99   a   ;6   17  a   ;3   17 ;      99  Răspuns : pentru a   ;6  ecuaţia va avea o soluţie negativă.  17  Fie dată ecuaţia : m  4 x  2m  1  2 x  m  2  0, m  R. Pentru ce valori reale ale lui m ecuaţia are o soluţie unică? Rezolvare : Pentru ca ecuaţia pătrată exponenţială să admită o soluţie unică e necesar să fie satisfăcute următoarele condiţii:  1   m      0 4   2m  12  4mm  2   0   4 m 2  4 m  1  4 m 2  8m  0  m  0  m  0    m  0 m  0   2m  1    m   ;0    1 ;   0 m2m  1  0 m2m  1  0   m  2        2 2 2    4 m  4 m  1  4 m  8m  0 1   2m  1  4mm  2   0  m   0     m  0 4  m  0   m  0     m  0  mm  2   0 mm  2   0  m  0;2   m  2  0   m 

1  m    1  4  m     0;2    4 m  0;2  Răspuns: Pentru

 1 m     0;2 ecuaţia va admite o soluţie unică.  4