Ecuații liniare cu derivate parțiale [PDF]

Zitiervorschau

Traducere de TITUS LUPESCU

S. G. MIHLIN

Ecuaţii liniare cu derivate parţiale 9

C. r .

MHXJIHH

JlHHeflHMe ypaBHeHna B >iaCTHMX npOIWBOJţHWX HSH. BbicuiaH timona, Mocnea, 1977

Editura ştiinţifică şi enciclopedică Bucureşti, 1983

Coperta de CONSTANTIN GHEORGHIU-ENESCU

CUVÎKT Î N A I N T E

T' J >l

lij

I l}J II \\) 'fţ

Cartea a fost scrisă pe baza cursului ţinut de autor, pe parcursul mai multor ani studenţilor de la Facultatea de matematică a Uni­ versităţii din Leningrad; prin conţinut cartea este însă oarecum mai dezvoltată deeît cursul. Ideea de bază a autorului, care a determinat conţinutul şi struc­ tura cărţii, constă în faptul că un curs universitar de ecuaţii cu derivate parţiale, pe de o parte trebuie să fie strîns legat de ecuaţiile şi problemele clasice ale fizicii matematice iar pe de alta, într-un asemenea curs trebuie larg utilizate ideile şi metodele analizei func­ ţionale. în vederea realizării acestui dublu deziderat expunerea se face pentru ecuaţii cu un. număr arbitrar de variabile independente şi se acordă o mare atenţie studiului operatorilor generaţi de probleme specifice teoriei ecuaţiilor cu derivate parţiale. în acelaşi timp obiectul principal ai studiului îl constituie cele trei tipuri clasice de ecuaţii ale fizicii matematice; ecuaţii de tip eliptic, parabolic şi hiperbolic; totodată se acordă o atenţie deosebită celor mai semni­ ficative ecuaţii din tipurile amintite : ecuaţia lui Laplace, ecuaţia de propagare a căldurii şi ecuaţia de propagare a undelor. Cartea se compune din introducere, 24 capitole şi o scurtă bibliografie cuprinzînd lucrări din domeniul ecuaţiilor cu derivate par­ ţiale şi probleme apropiate de analiză. î n introducere se formulează obiectivele cărţii şi se dau unele indicaţii privind noţiunile şi nota­ ţiile utilizate în carte. Materialul de bază al cărţii se împarte în esenţă în patru părţi. Prima, parte (capitolele 1—7) conţine date suplimentare necesare de analiză; partea a doua (capitolele 8—10) se ocupă de teoria gene­ rală a ecuaţiilor cu derivate parţiale. Partea a treia (capitolele 11 —19) este consacrată ecuaţiilor eliptice; partea a patra (capitolele 20—24) — ecuaţiilor nestaţionare : ecuaţia de propagare a căldurii şi ecuaţia de propagare a undelor. Din această enumerare se vede că autorul se îndepărtează de la tradiţia conform căreia se obişnuieşte să se înceapă cu ecuaţiile hiperbolice. Aceasta se explică prin faptul că ecuaţiile parabolice şi hiperbolice pot fi considerate, cel puţin local, ca ecuaţii diferenţiale ordinare abstracte, care conţin funcţia necu5

noscută şi sub semnul operatorului eliptic. După opinia,'autorului de aici rezultă că este indicat să se înceapă cu studierea ecuaţiilor diferenţiale eliptice şi a operatorilor eliptici, După cit se pare, anumite probleme sînt incluse pentru prima dată în acest curs universitar de ecuaţii cu derivate parţiale. Printre acestea se numără elemente de teoria ecuaţiilor în spaţii Banacli, elemente de teoria integralelor singulare şi a ecuaţiilor integrale singulare, legătura intre soluţiile slabe şi soluţiile tari ale ecuaţiilor eliptice şi altele. Volumul strict limitat al cărţii 1-a obligat pe autor să renunţe la prezentarea unor probleme care i s-ar fi părut impor­ tante. î n cursul elaborării cărţii de faţă autorul a folosit parţial cartea sa anterioară Curs de fizică matematică (Nauka, Moscova, 1968). Leningrad august, 1976

S. MIHLIN

ISTBODTJCEBE

§1. OBIECTUL CUESULUI Teoria* ^ecuaţiilor cu derivate parţiale s-a dezvoltat' timp înde­ lungat, în principal în direcţi» studierii ecuaţiilor şi problemelor fizicii matematice, care de fapt reprezintă o parte a teoriei amintite. Deşi în. ultimele decenii s-au obţinut mari succese în studierea ecua­ ţiilor generale cu derivaţi- parţiale, fizica matematică ocupă si va ocupa probabil încă,_ multă, vreme un loc deosebit de important în această, disciplină. însăşi denumirea de „fizică matematică" este legată, de faptul că această parte a teoriei ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale a apărut din studierea cîtorva probleme simple, dar importante, ale fizicii. Să amintim cîteva dintre ele. 1. Problema coardei vibrante. Să presupunem că poziţia iniţială a coardei coincide cu axa Ox şi că oscilaţiile ei se produc în planul vertical.'Să'admitem că dintr-o cauză sau alta coarda este scoasă din starea de echilibru. O astfel de cauză poate fi, de exemplu, lovirea coardei. Prin aceasta coarda îşi schimbă forma; fiecare punct al coardei suferă o anumită deplasare. Pentru simplificare, să admitem că- deplasarea este perpendiculară pe axa Ox şi se produce tot timpul în planul (,*, u), unde u indică deviaţia coardei de la poziţia de echi­ libru. Evident, u este funcţie de două variabile u = u(x, t). Dacă admitem o coardă omogenă cu grosimea constantă si că, în momentul care urmează după cel iniţial, asupra coardei nu acţionează nici un fel de forţe exterioare, precum şi, în sfîrşit, că această coardă este inextensibilă, dar perfect flexibilă, atunci se poate demonstra că funcţia u satisface ecuaţia liniară cu derivate parţiale dhi dx2

1 8"u a2 OP

•

• •'•

ri.

unde a este o mărime constantă care depinde de proprietăţile fizice ale coardei. Ecuaţia (1), deşi aproximativă, este valabilă în cazul aşa-numitelor vibraţii mici ale coardei. Această ecuaţie se numeşte ecuaţia undelor cu două variabile independente sau ecuaţia coardei vibrante. Probleme mai complexe ale fizicii conduc la ecuaţii cu derivate parţiale similare cu ecuaţia (1), dar mai complicate. Astfel, vibraţiile 7

transversale ale unei membrane subţiri, care în poziţia de echilibru m află în planul (x, y), sînt descrise de ecuaţia cu derivaite parţiale de ordinul al doilea dhi d2u 1 d2u h = , a = const. dx2 dy2 a2 dP

cu derivate parţiale de ordinul ăl doilea. Această ecuaţie era cunos­ cută încă' de' Euler, dar adesea este legată de numele lui Fourier. 3. Problema cîmpului de temperatură staţionară. Să presupunem că cîmpul de temperatură u este constant în timp. Atunci u este doar funcţie de coordonatele spaţiale,

(2)

u = u(x, y, z). Eeua/ţia (4) devine:

Ecuaţia (2) se numeşte ecuaţia vibraţiei membranelor sâu ecuaţia undelor cu trei variabile independente. Ca şi ecuaţia coardei vibrante, ea descrie suficient de precis numai micile oscilaţii ale membranei. Ecuaţia undelor cu patru variabile independente are forma

_£!?i + i^ + i!!L = o 2

d"-u , d2u , d2u doc2 dy2 dz2

dx

1 d2u a2 dt2.

(3)

d2u , dhi , d2u du 7 H 1 = k , k = const. dx2 dy2 dz2 dt -

-ii--

•

lîemarcam ca de obicei expresia

92u

, dhi

\-

dy

,

... (4)

d2u

A

se numeşte dx2 dy2 dz2 operatorul lui Laplace pentru funcţia u şi se notează cu simbolul A: . d2u dhi, dhi Au = 4 1dx2 dy2 dz2 du Ecuaţia (4) se poate scrie deci sub forma Au = k ——. Ecuaţia (4) dt se numeşte ecuaţia propagării căldurii; ea este o ecuaţie liniară

(5>

2

dz

sau Au = 0.

Această ecuaţie defineşte, de exemplu, cîmpul vitezelor unui gaz oscilant, dacă aceste viteze sînt mici şi derivă dintr-un potenţial, adică dacă există o funcţie u\ astfel încît v = grad u, unde v este vectorul viteză al particulei de gaz. 2. Problema cîmpului nestaţionar de temperatură. Dacă presu­ punem că se supune încălzirii o porţiune a suprafeţei unui corp omo­ gen, atunci în acest corp apare un eîmp de temperatură; temperatura, evident, se schimbă de la un punct la altul al corpului şi de la un moment de timp îa altul. Notînd temperatura cu u, se observă că u este funcţie de variabilele independente x, y, z, t: u = u(x, y, z, t). Se poate demonstra că această funcţie satisface ecuaţia cu derivate parţiale

T,

2

(5')

Ecuaţia (5) (sau (5')) se numeşte ecuaţia lui Laplace; este o ecuaţie liniară cu derivate parţiale de ordinul al doilea; î n exemplele prezentate am fost conduşi de fiecare dată la o ecuaţie liniară cu derivate parţiale de ordinul al doilea. Acest tip de ecuaţii se întîlneşte frecvent în aplicaţiile fizicii matematice. Ecuaţiile examinate — ecuaţia undelor, ecuaţia propagării căl­ durii şi ecuaţia lui Laplace — corespund unor probleme distincte ale fizicii, dar ele sînt distincte şi din punct de vedere matematic. Ele reprezintă trei tipuri importante de ecuaţii cu derivate parţiale : hiperbolic, parabolic şi eliptic. Pentru aplicaţiile fizicii prezintă interes şi multe ecuaţii liniare de ordin superior. Unele probleme din geometrie şi fizică conduc atît la ecuaţii neliniare cu derivate parţiale, cît şi la sisteme de ecuaţii diferenţiale. Astfel, sînt bine cunoscute sistemele de ecuaţii diferen­ ţiale din teoria elasticităţii, hidrodinamicii şi electrodinamicii. î n capitolul 8 vom prezenta pe scurt şi alte tipuri de ecuaţii eu derivate parţiale. . î n exemplele (1)—(5), prezentate mai sus, numărul variabilelor independente, în concordanţă cu sensul fizic al problemelor, este cel mult egal cu p a t r u ; în cele ce vor urma vom studia ecuaţii cu deri­ vate parţiale cu u n număr arbitrar de variabile independente. Să mai dăm cîteva exemple de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale. 1) Ecuaţia biarmonică. # A2u = A(Aw) = /(*).

(6) 9

8

Pentru unele aplicaţii (de exemplu, în teoria elasticităţii) un rol deo­ sebit de important îl are ecuaţia biarmonică cu două variabile inde­ pendente. Această ecuaţie are următoarea formă explicită —— 4- 2

-f âx2dy2

doc*

[

f(x, y). dy*

Un rol important îl joacă în aplicaţii ecuaţia poliarmonică A«u = A A . . . AM, = 0.

(7)

2) Oscilaţiile unui corp elastic tridimensional, omogen şi izotrop sînt descrise de ecuaţia, vectorială din teoria elasticităţii dinamice 2 p 9 u _ JJLAU _|_ (x • |- pi) g r a d div u -> t(x, t), dt2

= iJ-A% + ( x + ^ -?-

2

dt

+ Mx> *),

Yl d%

du du d2u

/ 5« \ 2

f ^ O , oy*

(10)

V cty / J d*2 ^^ % ds? % L V ox ) u nde ^ este cota punctului de pe suprafaţă de abscisă x şi ordonată ?/. Ecuaţia neliniară (10) este liniară în raport cu derivatele sale de ordin superior. Astfel de ecuaţii se numesc cvasiliniare. 4) Ecuaţiile lui Navier-Stolees • -•

s dv d\ 1 -—- - vAv + Yi »*—— + —grad p = i(x, t),

ot

k=i

dxk

p

p

~ - + div (Pv) = 0 descriu mişcarea unui lichid sau gaz. Aici v este vectorul viteză al particulei de lichid care la momentul t se găseşte în punctul x(xv xz, °°s) j Vu %i vs — componentele vectorului v ; p — presiunea; p — den­ sitatea lichidului; v — coeficientul de vîscozitate; f — vectorul for­ ţelor masice care acţionează asupra mediului. Ecuaţiile lui NavierStokes- sînt cvasiliniare. 5) Ecuaţiile problemei plane pentru medii perfect plastice v®xz , daxy ,^_ ^ dx dy

echivalentă cu sistemul de trei ecuaţii scalare j = 1, 2, 3.

dom _ dy '

. (12)

. , ( °yy — °zxY + ±GÎy = 4 Z a ,

Daca u nu depinde de t, se obţine ecuaţia vectorială din teoria elasticităţii statice [xAu + (>- + n) grad div u + î(x) = 0,

' daxy dx '

du* du3 — -4 dx2 dx3

d% (iAtt, + ( \ + [x) — - + f,(x) = 0 ,

I"

) = h 2, 3,

unde s-a introdus notaţia du dx^

ou

dt

oXj

0 = div u — — t -{

1 | /

(11)

(8)

unde u este vectorul deplasărilor elastice, f — vectorul forţelor de volum, p — densitatea mediului elastic, X şi JJL — constantele lui Lame. Dacă se notează cu uh respectiv / „ j — 1, 2, 3, componentele vectorilor u şi f, iar cu #,, x3, xz — coordonatele carteziene ale punc­ tului x, atunci ecuaţia vectorială (8) se poate scrie ca un sistem de trei ecuaţii scalare 9 -~r

Toate ecuaţiile şi sistemele scrise mai sus sînt liniare. Vom da acum exemple de ecuaţii şi sisteme neliniare. 3) Ecuaţia suprafeţei minime

(9)

unde axx, axy, ayy sînt componentele tensorului tensiunilor, iar K — o constantă. •. Dacă se introduc noi funcţii necunoscute conform formulelor uxx =r K(a — cos • ... x^1. De asemenea se scrie a! = a x ! a2!. . . . am ! Vom folosi adesea şi notaţia gM u TJP-U = •—z dxV-dafr . . . dx^1 Pentru a sublinia că diferenţierea se face după coordonatele punctului x, vom scrie uneori Dl u. î n lucrare am adoptat numerotarea consecutivă a capitolelor, numerotarea paragrafelor fiind însă proprie fiecărui capitol. î n cazul trimiterilor la formulele din cuprinsul aceluiaşi paragraf se indică numai numărul formulei. Pentru trimiteri la formule din alte para­ grafe ale aceluiaşi capitol se trece în paranteze mai întîi numărul paragrafului, iar apoi cel al formulei. Eeferirile la formule din alt capitol se fac scriind în paranteze numărul paragrafului şi cel al formulei, iar în afara parantezei numărul capitolului. La sfîrşitul volumului s-a anexat o scurtă bibliografie cu princi­ palele manuale şi monografii (mai rar articole din reviste), care se referă la subiectul tratat în lucrare. Uneori se întîlnesc în text tri­ miteri la această bibliografie. î n astfel de cazuri s-a trecut în paran­ teze drepte numărul de ordine al publicaţiei menţionate.

Capitolul 1 INTEGBALE CABE DEPIKD DE VIS PABAMETBU

§1. ÎNTE GEALE UittFOBM CONVEBGEîîTE Fie D c jg n şi 6 c Bn două mulţimi mărginite măsurabile. Vom spune că integrala \f(x,y)dy,

xzD,

(1)

este uniform convergentă în D, dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii: a) pentru orice x fixat în D, funcţia _/(,-£, y) este integrabilă în raport cu y în 6 ; b) pentru orice s > 0 există ă > 0, astfel încît oricare ar fi g 0. Integrala (1) fiind uniform convergentă n D, există 75 > 0 astfel încît '

f

' I

' e

'

>-••..

V f(x, y)ăy < — .

iii) derivata

esfe integrabilă în D XG. Atunci există dXj " dx} aproape peste tot în D şi este adevărată fonmila (de derivare sub semnul integrală)

_d^_[dFix2y)ăy_ dx}

Fie 7) > 0 fixat pentru care are loc inegalitatea de mai sus. Avem

}

(g)

dx}

G

Demonstraţie. Notăm u{x) — u(x0) =

l

[f(x, y) — f(x0, y)]dy +

x = ( a ^ , . . . , Xj-xi Xj ~r.il Xj+ii...,

xm)f

x = (x -— a^,. . . , ar^_j, aTj, a^ +1 ,.. ., a?m). Din (4) rezultă

lf{x,y)

-f(xmy)'\ăy.

(2)

Funcţia de sub integrală fiind continuă în x0 uniform cu y e G\g(x0) vj), există .j5( e) > 0 astfel încît, pentru orice a; e D eu | a; — »o I < avem \f(x, y) - f(x0, y) \ < ~—

, y e G\g(x0, ij),

•3[J.tr

Z7(as*) -

U(xh) x e D,

unde D este un domeniu finit închis în Em, G este o mulţime mărginită măsurabilă în JE„ şi pentru orice x e B funcţia y eff, y -=• .F(ar, y) este integrabilă în G. Presupunem că dF i) există f(x, y) = (x,y), 1 < j 0 oricare ar fi x e D, cu excepţia cel mult a unei mulţimi de măsură nulă în D şi această limită este egală cu

\f(x, y)dy.

(*)

0 Ucservaţie.

Dacă hi x0eD

funcţia x -*• V f(x,y)ăy

este continuă, atunci

G

(x 0 ) există şi poate fi calculată după formula (5). în particular, dacă / satisface dxj condiţiile teoremei 1.1.1, atunci dVjdxj există şi este continuă in orice punct din D şi poate fi calculată conform formulei (5).

. . , a;,,,, y ) ==

= U(*i, • • •, %-n «i + *i ati+H • • •, »„, 2/)d*. o

h

U(x)

(3)

G

• ^ ( • " n - • -5 ®i-\i

y W U ^ ' »)d*l d».

în virtutea ipotezelor teoremei f(x, y) este integrabilă în D x f f . Conform teoremei lui Fubini această funcţie este integrabilă pe mul­ ţimea O, as*] x6?.pentru orice a? e D, cu excepţia cel mult a unei mul­ ţimi de măsură nulă în D. Pentru x cu această proprietate, după aceeaşi teoremă a Iui Fubini, se poate schimba ordinea de integrare :

de unde |w(a?) — w(ar0) [ < e. Teorema 1.1.2. -Fie ET(a;) = (_F(ar, y)dy,

E7(a?)

Să considerăm un caz particular. Fie w(x) = \u{yMx,

(4)

y)ăy,

(6)

G

19

18 16

unde u este integrabilă în O şi pentru orice multiindice a = (al7 a 2 ,.. ., xm) cu a = £ jdx'{1 ... d%f™ sînt contmue în D xG. In aceste condiţii este adevărată următoarea teoremă. Teorema 1.1.3. Funcţia w definită de formula (6) este de l ori continuu diferenfiabilă în D. Integrala (8) şi, chiar mai mult, orice integrală de tipul

Evident, r = !?/— * | ; unghiurile S-j, -8- 2 ,..., 9-,„,_2 variază in intervalul [0, -K], iar unghiul d-m_1 — în intervalul [0, 2TT]. Să găsim expresiile elementului de volum dy şi a elementului de suprafaţă d/S,, al sferei de rază r în coordonate sferice. Aceasta se poate face destul de simplu în modul următor. Calculăm jacobianul I>(yv y2, • • •, Vr,

T

a

f u{y)D Moc, y)dy, \*\)). Conform teoremei 1.1.1 funcţiile definite de integralele (6) şi (7) sînt continue în D. Punînd F(x, y) = u{y)(x, y) se observă că toate condiţiile teoremei 1.1.2 sînt îndeplinite şi prin urmare funcţia w(x) are deri­ vatele de ordinul întîi dw/dx} continue în D şi —• = l u(y) ctey J

W

^ - dy, j = 1, 2 , . . . , m. oXj

G

=

D{r, &!,...,

K-i)

cos frx —r sinî:>1 sinO-t cos&o r cos&j cos'cK,

0 ... 0 — r sinS-j sin&, . . . 0

Ocoa&m-x r ctg^cos&m-! r®ctg&2 cos9-, m _ x ... —rOsinOm_i sinOm-! rO ctgS-x sinO-m_x r ctg# 2 sin & m _ x ... r O cos &„_! (2)

unde în ultimele două linii ale determinantului s-a notat $ = sin &1 sin -9-2...sin S m - 2 . Se arată uşor că dJmjdQ-m^1== 0 şi pentru calculul determinantului J m s e poate pune &m_1= 0. Aceasta conduce la formula de recurenţă Jm= r sin 9-x.. .sin &m_2Jm_x.înlocuind succesiv » c u m — 1, m — 2, . . ., obţinem : ,/m = r m-i s i u »-a a-iSin™-3 9- 2 ... sin 0-m_2.

în mod analog, pentru orice multiindice a cu | a | < ?, derivatele Daw(a?) există şi sînt continue în D. în plus,

(3)

Acum putem scrie elementul de volum în coordonate sferice : a

Z> iv{x) = ^ u{y) Z>*co(.c, y)dy.

(8)

§2. COORDONATE SFERICE

d?/ = r ™-i s in m - 2 Oxsinm-3 V . .sin&m_2 drd&j. . .d9-m_x. (4) Să deducem formula pentru elementul de suprafaţă pe sfera 8r de rază r şi cu centrul în centrul sistemului de coordonate sferice. După cum se ştie din geometria diferenţială, pentru orice suprafaţă T, dT =

Fie a; fixat şi y un punct variabil în Em. Coordonatele sfer ice cu centrul în punctul x se definesc prin formulele : Vi =

^i

-f Î'COS &x,

'' |cos(v, ym)\

, unde v este normala la T. Pentru sfera

Sr avem |cos(v, ym) | = |cos(r, ym) \ = — ^

! m— 1

— = j fl

sin

Vz = ®z + rsin ^cos &2, (1) ym-y = «,„_! + rsin % sin a 2 .. .sin &m_2 cos #„_,, y» = ocm + rsin ^ sin «•„.. .sin S-m_2 sin »1B_1. 20

Pe această sferă coordonata r este constantă, deci dy1dy2, ... dt/m_x =

p(yi,y2,---,ym-i) jaa !)(»!, » a , . . . , » » - i ) i

d&2_

_ _d&m_ 21

Jacobianul din ultima formulă se poate obţine eliminînd în determi­ nantul (2) prima coloană şi ultima linie. î n determinantul astfel obţi­ nut toate elementele din dreapta diagonalei principale sînt egale cu zero şi acest determinant este egal cu produsul elementelor de pe diagonală. De aici rezultă uşor relaţia căutată 1

w 2

3 s

dSr = f»- sin - Vin'"- ' 2 • • • sin a ^ d ^ d ^ . . . d&m_x.

(5)

Din formulele (4) şi (5) se deduc relaţiile

de unde se obţine uşor formula căutată 1^1=—

\BR | = [ ăy = (K r^-W l ăst = J^îi^.

[dSr = rm~1ăS1

(6)

1

(7)

ăy = dr dSr = r™- ăr ăSj. Integrînd relaţia (6) obţinem încă o formulă frecvent utilizată 1^1=^-1^1,

(8)

unde 8} reprezintă sfera de rază unitate. Să găsim aria 1^ | a. acestei sfere. Avem 7l2lt

1^1 =y

. .

">

(9)

Aici ,B- şi F sînt integrale euleriene de speţa întîi, respectiv1 a doua. Se deduce uşor volumul bilei de rază E. îfotăm această bilă cu BR si avem

r 2 .

\l/2

ISTotînd I 5J ^i 1 ==«•', avem cos &, = - ^ .

(15)

Eezultă că 'fy, j > 2, nu depinde de y^..., găsim, ca mai sus,

yi-v

i grad 9 «!2-

(18)

Operatorii de tipul

Să calculăm ceilalţi coeficienţi din suma (14). Din formula (1) găsim m

r

2

§3. OPEBATOEX XNTEGBALI CU SKSTGULAEITATB SLABĂ

(KP)(x) = u(x) = [ 9(y) - -

£ Vi —

1 H

Din formula (15)

(

^

dy ; r = |y - ar [ ; a? e 0,

(1)

unde 0

yv)

-7aY

..

s(l

,

8a examinam mai m t u cazul» < q< g0. T1 P u n e m a = —j 2" \V q« 'fYt

9

evident că a > 0. Atunci X = —rH p' (x) | < N\A?SE)1 \u(x

— 2a. estimăm integrala (1) :• 2a. Să Să estimăm

.// < m este satisfăcută. î n acest caz, i! P\\P — II pil» = sup ess Jp(rfi)! Acum h; totodată pentru r = h toate deri­ vatele sînt egale cu zero. Este suficient deci să stabilim că funcţia (1) are pentru r = Ji derivatele de orice ordin în raport cu r egale cu zero şi că derivatele calculate pentru r < h tind la zero cu r -=• h. ^ Noţiunea de nucleu de mediere şi sirius legată de ea noţiunea de funcţie de medie (vezi mai jos) au fost introduse pentru prima oară de V. A. Steklov. Dezvoltarea ulterioară a acestor noţiuni aparţine lui S. L. Sobolev ale cărui idei le şi expunem aici. S.L. Sobolev a introdus şi studiat de asemenea noţiunea de derivată generalizată, care va li expusă în paragrafele 3 şi 8 ale acestui capitol.

37

Să dăm demonstraţia pentru derivata de ordinul întîi; pentru derivatele de ordin superior raţionamentele desfăşurîndu-se în mod analog. a) Funcţia h{h -f 0) = 0 = «A(A), iar a>h(h — 0) = lim ch e ^ _ r = 0, r-*h-0

H„{X) =-- { oik(r) u(y) dy ;

întrucît 7t2 _

(la)

-> — oo.

fi

r->h-0

b) Derivata coA(/t) există şi este egală cu zero. într- adevăr lim — ^

unde coft(r) este un nucleu de mediere care are proprietăţile 1—3 § 1. Funcţia uh se numeşte funcţie de medie în raport cu u; numărul h ,se numeşte raza de medie. Funcţia de medie se poate prezenta încă în trei forme : 1) avînd în vedere că u(y) = 0, y $ O, se poate extinde integrala (1) la întreg spaţiul şi atunci

^ - i = lim 0 = 0.

2) în baza proprietăţii 2) nucleul de mediere se poate integra nu pe tot spaţiul, ci numai pe bila de rază Ji cu centrul în x: wb{x) = i w;,(r) u(y) dy ;

(lb)

Totodată, aplicînd regula lui L'Hospital, avem 3) se poate, în sfîrşit, integra numai după intersecţia O n (r < fe), întrucît în afara ei sau unul, sau celălalt factor de sub integrală este egal cu zero. în acest context avem

H*

hm - ^

5i—i- = hm

= 0.

Prin urmare limitati

uh(x) = m

lim *£> ~ *W =

Cele mai simple proprietăţi ale funcţiilor de medie

2r7i2 lim «;(»•) = lim o» — - ^ — — e r->h-0

(Ic)

m ;w,

există şi este egală cu zero. c) Are loc relaţia r-*k-0

[ ah(r)u(y)dy.

(/i

2

2

— r )

ft! rS

= 0,

2

care se verifică uşor pe baza aceleiaşi reguli a lui L'Hospital. î n acest fel derivata de ordinul întîi o)'h(r) există şi este continuă pentru orice r. Exact la fel se demonstrează existenţa şi continuitatea celorlalte derivate. Proprietatea 1) a fost stabilită.

1. O funcţie de medie este indefinit derivabilă în tot spaţiul; derivatele sale de orice ordin se pot obţine prin derivarea sub semnul integralei în oricare din formulele (1)—(Ic). Această proprietate rezultă direct din teorema 1.1.3. Derivatele funcţiilor de medie se pot deci calcula după formula D*un(x) = t u(y) mh{r)u{y)dy,

38

(1)

unde a. este un multiindice arbitrar de ordin m; domeniul Q. din formula (2) se poate înlocui cu oricare din domeniile Em, r < Ji, Q n (r < li). 2. Funcţia de medie este nulă în toate punctele a căror distanţă pînă la domeniul O este mai mare sau egală cu li. într-adevăr, în acest caz bila r < h se află în întregime în exteriorul lui O şi sub semnul integralei (lb) u(y) = 0. 39

Prin urmare, funcţiile de medie pot fi diferite de funcţia identic nulă numai în domeniul pe care-1 notăm O'"' şi care poate fi con­ struit astfel: din fiecare punct i e d , ca centru, descriem o bilă cu raza Ti; reuniunea acestor bile este O". Este clar că 0(ft) => O; dacă, de exemplu, O este bila de rază B, atunci 0 (/i) este o bilă concen­ trică cu O de rază B + îi.

deoarece conform proprietăţii 2) a nucleului de mediere \ »(*") dy =

[

wa(r) dy < l «A(r) dy = 1.

Integrînd inegalitatea (4) pe domeniul Q, obţinem Convergenţa funcţiilor

de medie

Teorema 2.2.1. Dacă u e G(il), atunci uh{x) —> u(x) este uni­ form pe închiderea oricărui subdomeniu interior al domeniului 12. Fie O' un subdomeniu interior al domeniului Q. Să construim 12" astfel încît O" să fie subdomeniu interior al lui O, iar D.' să fie subdomeniu interior al lui O". Să notăm cu V şi T" frontierele domeniilor O' şi respectiv 12". Fie h0 cea mai mică distanţă dintre punctele frontierelor I" şi V". Luăm ii < h0. Conform formulei (lb) şi proprietăţii 3) a nucleului de mediere (§1) avem uh(x) - u(x) = \ [u(y) — u(x)] / uniform în orice subdomeniu interior închis £1,, în particular, în O. Dar din convergenţa uniformă pe un domeniu închis rezultă convergenţa m medie ţjj, pentru n suficient de mic, ||/ — f^i^o.)

p

(r) 0 (proprietatea 2), din formula (3) obţinem

= \\u\\>.

< — s , de

unde rezultă uşor afirmaţia teoremei. Teorema 2.2A. Mulţimea, funcţiilor, finite în domeniul O, este densă în spaţiul LV(Q), Kp 0 şi

orice funcţie u e LP(Q.) poate fi aproximată' o funcţie finită. măsura benzii D,s să fie suficient de mică, alegem S astfel încît

\\u(x)\pdx ns

[ F M.

xeQ\ns,

J

= [\u(x)\"dx

d

[ _A_ {PQ) dx-ig

dxk

J dxk

J

£i

fi

~- dx,

3a;t

unde P Q e C (D). înlocuind prima integrală din dreapta conform formulei lui Ostrogradski, obţinem formula de integrare prin părţi


o 9ajjx. . . 9a?; 49

în metrica lui Lx; prima relaţie rezultă din teorema 2.2.3, a doua din teoremele 2.2.3 şi 2.4.1. Trecînd la limită sub semnul integralei, ceea ce evident este admisibil, obţinem formula

s

uţ, - , — 5 — r — : ax oxu oxu • • • (>Xi.

Din această formulă, conform definiţiei, rezultă că derivata generali­ zată dx^dx^...

• • • dXi,

(2)

=

y *J

_ _J^ Qx

_ _ _ QX

v.

X

_ _ _ Qx

u(x) — \v(t) ăt + const, x e [a,b]. § 5. PEOPEIETĂŢI DE CONVEBGENŢĂ ALE DEEIVATELOE GENEBALIZATE Teorema 2.5.1. Fie funcţiile un(x), n = 1, 2,. . ., care aw derivate generalizate de acelaşi tip vn(x) —Dxua(x) in domeniul mărginit Q. e Em . Dacă ambele şiruri {un} şi {•«„} converg în metrica lui Lj(Q.) la u(x), respectiv av(x), atunci funcţia v(x) este derivata generalizată a tui u(x), v(x) = D u(x) în domeniul O. Conform definiţiei derivatei generalizate,

Din cunoscutele teoreme ale lui Lebesgue rezultă că funcţia u(x) are derivata în sens clasic egală cu v(x) aproape peste tot în [a, &]. Teorema 2.6.1 Fie u, « e LP(a, b), 1