Ecuații diferențiale și cu derivate parțiale [II] [PDF]

Zitiervorschau

Acad. Nicolae Teodorescu Prof. dr.Valter Olariu

Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale Volumul II

Ecuaţii cu derivate parţiale

(fit Editura tehnică Bucureşti —1979

Cuprins

Volumul II continuă prezentarea, începută în volumul I, a teoriei ecuaţiilor diferenţiale şi cu derivate parţiale ; sînt tratate problemereferitoare la teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întîi, cîteva aspecte esenţiale din calculul variaţiilor şi este început studiul sistematic al ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordin superior, i a r ultimul capitol conţine o introducere în teoria derivatei areolare, o creaţie în esenţă românească. O parte a acestei problematici va fî continuată în volumul I I I . Lucrarea se adresează inginerilor, matematicienilor, fizicienilor» studenţilor, tuturor acelora care în activitatea lor studia/^ şi aplică teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale.

1. Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întîi 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

Sisteme diferenţiale autonome Spaţiul fazelor. Traiectorii Ecuaţii cu derivate parţiale liniare de ordinul întîi Teoria geometrică a ecuaţiilor cu derivate parţiale de ordinul întii . . . . Ecuaţia neliniară cu derivate parţiale de ordinul întii şi cu două variabile independente 1.6. Ecuaţia generală neliniară cu derivate parţiale de ordinul întîi Exerciţii 2. Ecuaţia lui Bellman şi ecuaţia Hamilton-jacobi 2.1. Problema controlului 2.2. Principiul maximului şi calculul variaţiilor 2.3. Ecuaţia Hamilton-jacobi Exerciţii 3. Calculul variaţiilor

Redactor: Valentina Crcţu Tehnoredactor: Elena Gcru Coperta: Theodora Doxan

Bun de t i p a r : 07. 11. 1979. Coli de tipar: 23,25. Tiraj: 6 900 + 85 exemplare legate. C.Z. 517.9

14 - I. P . ,,INFORMAŢIA' Str. Brezoianu Nr. 23 - 25 BUCUREŞTI

7 7 13 14 34 39 55 60 61 61 79 97 117 120

3.1. Introducere 3.2. Condiţii necesare de extrem 3.3. Lemele fundamentale ale calculului variaţiilor 3.4. Ecuaţia Euler-Ostrogradski 3.5. Ecuaţia lui Euler 3.6. Sistemul Euler-Lagrange 3.7. Variaţia sincronă şi variaţia asincronă 3.8. Probleme variaţionale cu condiţii suplimentare 3.9. Probleme variaţionale cu frontieră variabilă 3.10 Calculul variaţiilor şi distanţa geodezică 3.11. Metode directe in calculul variaţional Exerciţii

120 121 127 129 146 155 157 166 180 188 190 204

4. Funcţii şi valori proprii pentru operatori diferenţiali

207

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Generalităţi Probleme la limită pentru operatori diferenţiali Metoda separării variabilelor Serii trigonometrice şi aplicaţii

207 225 230 238

5

4. 5. 4. 6. 4. 7. 4. 8. 4. 9. 4.10. 4.11. 4.12.

Seriile trigonometrice şi integrarea ecuaţiilor Funcţiile proprii şi teoria polinoamelor ortonormale Funcţiile Bessel ca funcţii proprii Existenţa funcţiilor şi valorilor proprii pentru operatori diferenţiali . . . Probleme la limită Sturm-Liouville Probleme la limită pentru ecuaţii diferenţiale liniare de ordin n Funcţii şi valori proprii pentru operatorul lui Laplace Problemele la limită şi calculul variaţiilor

259 281 296 299 313 327 334 338

5 Derivata areolară şi aplicaţii

341

5. 1. Condiţiile Cauchy-Riemann 5. 2. Operatorii diferenţiali dz şi d 5. 3. Operatorul d şi integrarea unor sisteme de ecuaţii 5. 4. Derivata areolară Bibliografie

341 347 354 357 372

CAPITOLUL 1

Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întîi 1.1.

Sisteme diferenţiale

autonome

Un sistem diferenţial de forma ®1 = f)(«!11 X2,

••> 00n),

3 = 1, 2, . . . , « ,

(1.1)

în care w} =—--, j =1, 2, ..., n, se numeşte sistem diferenţial di autonom (de ordinul întîi) scris sub forma normală; cu alte cuvinte, caracteristic pentru un sistem diferenţial autonom este faptul că funcţiile f}, j —1, 2, . . . , « , nu depind (explicit) de variabila inde­ pendentă t. Funcţiile fv / 2 , • • . , / „ se presupun reale şi definite într-un domeniu (înţelegînd prin domeniu o mulţime deschisă şi conexă) JDn din spaţiul euclidian \Rn şi astfel încît condiţiile teo­ remei de existenţă şi unicitate pentru problema Cauchy să fie verificate în Dn; pentru aceasta, este suficient să se presupună fu fi: •••>/» funcţii de clasă C1 în Dn. Astfel, dacă (£1} £2, . . . , E,n) e Dn, sistemul (2.1) va admite o singură soluţie 5.)» 9 = (