Transformari Liniare [PDF]

Zitiervorschau

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Transformari 1

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

2

˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari ˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

3

Valori s¸ i vectori proprii ˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘

Fie V s¸ i W spa¸tii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe Γ = C. Defini¸tie Se nume¸ste transformare (operator) liniara˘ func¸tia f : V → W daca˘ satisface 1

f (u + v ) = f (u) + f (v ),

2

f (α · u) = α · f (u),

∀u, v ∈ V

∀u ∈ V , α ∈ Γ.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

˘ ti Proprieta¸

Propozi¸tie ˘ atunci au loc Daca˘ f este o transformare liniara, 1. f (0V ) = 0W 2. f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V . Demonstra¸tie. 1. f (0V ) = f (0 · 0V ) = 0 · f (0V ) = 0W . 2. Din u + (−u) = 0V deducem f (u) + f (−u) = 0W , adica˘ f (−u) = −f (u).

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

˘ Spa¸tiul transformarilor liniare Fie V s¸ i W spa¸tii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe ˘ Γ = C. Notam ˘ L(V , W ) = {f : V → W , f transformare liniara}. Teorema˘ L(V , W ) este spa¸tiu liniar peste Γ. Demonstra¸tie. Definim opera¸tiile f , g ∈ L(V , W )

(f + g)(u) = f (u) + g(u),

f ∈ L(V , W ), α ∈ Γ,

∀u ∈ V .

(α · f )(u) = α · f (u). ˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

˘ Alte opera¸tii cu transformari

Teorema˘ Fie U, V , W spa¸tii liniare peste Γ s¸ i f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ). Atunci g ◦ f ∈ L(U, W ) Teorema˘ ˘ Atunci exista˘ Fie f ∈ L(U, V ) o transformare liniara˘ bijectiva. −1 −1 f s¸ i f ∈ L(V , U).

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

Nucleul s¸ i imagine

Defini¸tie ˘ liniare f : V → W mul¸timea Numim nucleu al transformarii Ker f = {u ∈ V | f (u) = 0W .} Defini¸tie ˘ liniare f : V → W mul¸timea Numim imagine a transformarii Im f = {v ∈ W | ∃u ∈ V , f (u) = v }.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

˘ ti Proprieta¸

Propozi¸tie Fie f : V → W o transformare liniara˘ atunci 1. Ker f este subspa¸tiu liniar în V . 2. Im f este subspa¸tiu liniar în W . Propozi¸tie Fie f : V → W o transformare liniara˘ atunci 1. f este injectiva˘ daca˘ s¸ i numai daca˘ Ker f = {0V } 2. f este surjectiva˘ daca˘ s¸ i numai daca˘ Im f = W .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

Teorema˘ 1. Daca˘ f ∈ L(V , W ) atunci f transforma˘ un sistem de vectori liniar dependen¸ti într-un sistem de vectori liniar dependen¸ti. 2. Daca˘ f ∈ L(V , W ) este injectiva˘ atunci f transforma˘ un sistem de vectori liniar independen¸ti într-un sistem de vectori liniar independen¸ti.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

Demonstra¸tie. 1. Presupunem ca˘ u1 , u2 , · · · , un sunt liniar dependen¸ti; exista˘ αi ∈ Γ nu to¸ti nuli astfel ca n X

αi ui = 0V .

i=1

˘ f s¸ i avem Aplicam n n X X f( αi ui ) = αi f (ui ) = 0W . i=1

i=1

2. Presupunem ca˘ u1 , u2 , ·, un sunt liniar independen¸ti. Fie n X

αi f (ui ) = 0W ,

i=1

care implica˘ n X f( αi ui ) = 0W , i=1 n

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

Morfisme

Defini¸tie Fie f : V → W o transformare liniara˘ atunci f se nume¸ste ˘ izomorfism daca˘ f este bijectiva. Daca˘ V = W , atunci f se nume¸ste endomorfism. Notam L(V ) mul¸timea tuturor endomorfismelor. Endomorfismul liniar f : V → V se nume¸ste automorfism, daca˘ ˘ f este bijectiva.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ ti. Opera¸tii Proprieta¸ Nucleul s¸ i imagine ˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

˘ Rangul s¸ i defectul unei transformari

Defini¸tie ˘ f : V → W liniare dimensiunea Numim rangul transformarii subspa¸tiului Im f . Defini¸tie ˘ f : V → W liniare dimensiunea Numim defectul transformarii subspa¸tiului Ker f .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Fie V , W doua˘ spa¸tii liniare finit dimensionale, astfel ca dim V = n,

dim W = m,

m, n ∈ N.

Fie B1 = {e1 , e2 , · · · , en } o baza˘ în V s¸ i B2 = {g1 , g2 , · · · , gm } o baza˘ în W . Au loc f (e1 ) = a11 f1 + a21 f2 + · · · + am1 fm f (e2 ) = a12 f1 + a22 f2 + · · · + am2 fm . ··· f (en ) = a1n f1 + a2n f2 + · · · + amn fm Rela¸tiile sunt echivalente cu: f (ei ) =

m X

aji gj , ∀i = 1, · · · , n.

j=1 ˘ liniare Transformari

(1)

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Defini¸tie Matricea 1 ,B2 A = AB = (aji ), j = 1, · · · m, i = 1, · · · , n f

˘ în perechea de baze B1 , B2 . se nume¸ste matricea transformarii Observa¸tie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilor f (ei ) în baza din W .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Teorema˘ ˘ Între mul¸timea transformarilor liniare L(V , W ) s¸ i mul¸timea ˘ matricelor Mm,n (Γ) exista˘ o coresponden¸ta˘ bijectiva. Demonstra¸tie.⇒ Fie f ∈ L(V , W ), unde dim(V ) = n, dim(W ) = m. Daca˘ folosim nota¸tiile predente, avem pentru orice u ∈ V , w ∈ W u=

n X i=1

xi ei w =

m X

yj fj .

j=1

˘ liniare Transformari

(2)

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Demonstra¸tie.

Au loc

n n X X w = f (u) = f ( xi ei ) = xi f (ei ) = i=1

=

n X

xi

i=1

Deducem yj =

m X

aji fj =

j=1 n X

i=1

aji xi ,

m X

n X ( aji xi )fj

j=1 i=1

j = 1, · · · , m

i=1

˘ liniare Transformari

(3)

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

 y1  y2   ˘ Y = Daca˘ notam  ···  ym 

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

 x1  x2   X =  · · · , rela¸tia (3) devine xn 

Y = A · X. ⇐ Oricare ar fi matricele A ∈ Mm,n (Γ), X ∈ Mn,1 (Γ), Y ∈ Mm,1 (Γ), rela¸tia (4) ˘ define¸ste o transformare liniara.

˘ liniare Transformari

(4)

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Consecin¸te

˘ f : V → W , f (u) = 0W , are 1. Tranformarea identic nula, matricea Om,n 2. Transformarea identica˘ f : V → V , f (u) = u are matricea A = In . 3. Daca˘ f , g ∈ L(V , W ) au matricele A, B ∈ Mm,n (Γ) atunci f + g are matricea A + B ∈ Mm,n (Γ). 4. Daca˘ α ∈ Γ, f ∈∈ L(V , W ), iar f are matricea A ∈ Mm,n (Γ), atunci transformarea α · f are matricea α · A ∈ Mm,n (Γ).

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

˘ Compunerea transformarilor 5. Fie U, V , W spa¸tii liniare peste Γ cu dim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m, n, p ∈ N. Fie f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ). Are sens compunerea g ◦ f ∈ L(U, W ). f U

→

g V

→

W .

↓

↓

A ∈ Mm,n (Γ)

B ∈ Mp,m (Γ)

˘ g ◦ f îi corespunde matricea Atunci transformarii B · A ∈ Mp,n (Γ). ˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

˘ Inversarea unei transfromari

6. Daca˘ V = W s¸ i f ∈ L(V ) cu matricea A ∈ Mn (Γ) este o ˘ atunci transformarii ˘ f −1 îi corespunde transformare inversabila, matricea A−1 .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Rela¸tia dintre rang s¸ i defect Fie V , W spa¸tii liniare peste Γ cu dim(U) = n s¸ i dim(W ) = m. Teorema˘ Fie f ∈ L(U, W ) atunci are loc dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n. Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mm,n (Γ) matricea lui f într-o pereche de baze. Atunci f (u) = w înseamna˘ A · X = Y. Daca˘ w ∈ Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil    a11 x1 + · · · + a1n = y1  a21 x1 + · · · + a2n = y2 . ···    am1 x1 + · · · + amn = ym ˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Sistemul este echivalent cu C1 x1 + · · · + Cn xn = Y ,

(5)

unde C1 , · · · , Cn sunt coloanele matricei A. Rela¸tia (5) exprima˘ faptul ca˘ Y ∈ Sp{C1 , · · · , Cn }. Stim ¸ ca˘ rang(A) = dim(Sp{C1 , · · · , Cn }), deci rang(A) = dim(Im(f )). Pe de alta˘ parte ker f reprezinta˘ mul¸timea solu¸tiilor unui sistem liniar omogen, cu dimensiunea n − rang(A), de unde concluzia.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Teorema˘ Fie f ∈ L(V ) cu dim(V ) = n s¸ i B = {ei , · · · , en } o baza˘ în V , în care f are matricea A ∈ Mn (Γ). Fie B 0 = {ei0 , · · · , en0 } o alta˘ baza˘ în V , în care f are matricea A0 ∈ Mn (Γ). Fie C matricea de schimbare de la baza B la B 0 . Are loc A0 = C −1 · A · C. (6)

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Matricea unei transformari Rela¸tia dintre rang s¸ i defect ˘ liniare Schimbarea matricei unei transformari

Demonstra¸tie. ˘ în doua˘ moduri f (ej0 ). Calculam n n X X f (ej0 ) = f ( cij ei ) = cij f (ei ) = i=1

=

n X i=1

f (ej0 ) =

n X i=1

cij

n X

i=1

aki ek =

k =1

aij0 ei0 =

n X i=1

n X

n X ( aki cij )ek .

k =1 i=1

aij0

n X

cki ek =

k =1

n X n X ( cki aij0 )ek . k =1 i=1

Rezulta˘ A · C = C · A0 .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Valori s¸ i vectori proprii

Defini¸tie Fie V un spa¸tiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C s¸ i f ∈ L(V ). λ ∈ Γ se nume¸ste valoare proprie daca˘ exista˘ u ∈ V , u 6= 0V astfel ca f (u) = λu. (7) Vectorul u se nume¸ste vector propriu. Mul¸timea tuturor vectorilor proprii se nume¸ste spectrul operatorului s¸ i se noteaza˘ cu σ(f ).

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Teorema˘ Fie λ ∈ Γ o valoare proprie. 1. Mul¸timea Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} este subspa¸tiu liniar în V . 2. Oricare ar fi u ∈ Vλ are loc f (u) ∈ Vλ . Demonstra¸tie. 1. Daca˘ u, u 0 ∈ Vλ rezulta˘ ca˘ u + u 0 ∈ Vλ . Daca˘ α ∈ Vλ , u ∈ Vλ atunci αu ∈ Vλ . 2. Fie u ∈ V astfel ca f (u) = λu. Rezulta˘ f (f (u)) = λf (u). Vλ se nume¸ste subspa¸tiu propriu.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Teorema˘ Daca˘ λ, λ0 ∈ Γ sunt valori proprii distincte, iar u, u 0 sunt vectorii proprii corespunzatori, atunci u s¸ i u 0 sunt liniar independen¸ti. Demonstra¸tie. Daca˘ u, u 0 ar fi liniar dependen¸ti, ar exista α ∈ Γ, α 6= 0 astfel ca u 0 = αu, Aplicând f deducem : λ0 αu = λ0 u 0 = f (u 0 ) = f (αu) = αf (u) = αλu De unde α(λ0 − λ)u = 0V ceea ce antreneaza˘ , prin absurd, λ = λ0 .

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Teorema˘ Daca˘ V este spa¸tiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci orice f ∈ L(V ) are cel pu¸tin o valoare proprie în Γ. ˘ într-o Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mn (Γ) matricea transformarii baza˘ fixata˘ B = {e1 , · · · , en }. Daca˘ u = x1 e1 + · · · + xn en din ˘ condi¸tia f (u) = λu gasim     x1 x1  x2     = λ  x2  . A  ···   ···  xn xn

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Ecua¸tia caracteristica˘ Se ob¸tine  a11 − λ a12 ···  a21 a − λ ··· 22   ··· an1 an2 ···

  0 x1   x2   0     ···  =  ··· 0 xn ann − λ a1n a2n

Sistemul are solu¸tie nebanala˘ daca˘ a11 − λ a12 ··· a21 a − λ · ·· 22 ··· an1 an2 ···



=0 ann − λ a1n a2n

˘ Ecua¸tia (8) se nume¸ste ecua¸tie caracteristica. ˘ liniare Transformari

  . 

(8)

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Forma diagonala˘

Defini¸tie ˘ Spunem ca˘ o transformare liniara˘ admite forma diagonala, ˘ daca˘ exista˘ o baza˘ în care matricea este diagonala. Teorema˘ Daca˘ spa¸tiul liniar V admite o baza˘ de vectori proprii, atunci în ˘ aceasta˘ baza˘ transformarea liniara˘ admite forma˘ diagonala. Demonstra¸tie. Fie λi ∈ Γ valori proprii s¸ i {u1 , · · · , un } o baza˘ de vectori proprii. Atunci f (ui ) = λi ui , adica˘ matricea are pe diagonala˘ valorile proprii λi , iar în rest 0.

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Lema lui Gersgorin Lema˘ Fie A ∈ Mn (C). Pentru orice i = 1, · · · , n fie ri =

n X

|aij | Di = {z ∈ C | |z − aii | ≤ ri }.

j=1,j6=i

Are loc σ(A) ⊂

n [

Di ,

i=1

˘ liniare de matrice A. unde σ(A) este spectrul transformarii

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Demonstra¸tie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca exista˘ xi , i = 1, · · · , n nu to¸ti nuli astfel ca     x1 x1 A ···  = λ ··· . xn xn

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Fie i astfel ca |xi | = max(|x1 |, · · · , |xn |) de unde xi 6= 0. Ecua¸tia i este ai1 x1 + · · · + (aii − λ)xi + · · · + ain = 0. Deducem (aii − λ)xi = −

n X

aij xj ,

j=1,j6=i

de unde

n X

|aii − λ||xi | ≤

|aij ||xj |.

j=1,j6=i

Urmeaza˘ |aii − λ| ≤

n X

|aij |

j=1,j6=i

|xj | ≤ ri . |xi |

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Polinom caracteristic Defini¸tie Fie A ∈ Mn (Γ). Polinomul P(λ) = det(A − λIn )

(9)

se nume¸ste polinom caracteristic. Teorema˘ Fie A ∈ Mn (Γ) s¸ i P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc: 1. A s¸ i At au acela¸si polinom carateristic. 2. P(λ) = (−1)n λn + (−1)n−1 λn−1 (a11 + a22 + · · · + ann ) + · · · + an unde an = det(A). 3. Date A, B ∈ Mn (Γ) s¸ i C ∈ Mn (Γ) nesingulara˘ astfel ca B = C −1 AC atunci A s¸ i B au acela¸si polinom caracteristic. ˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Demonstra¸tie

P(λ) = (a11 −λ)(a22 −λ) · · · (ann −λ)+polinom de grad ≤ n−2 = (−1)n λn + (−1)n−1 (a11 + a22 + · · · + ann )λn−1 + · · · + an . Daca˘ λ = 0 deducem an = det(A). Consecin¸te. 1 λ1 + λ2 + · · · + λn = Tr (A) 2. λ1 · λ2 · · · λn = det(A).

˘ liniare Transformari

No¸tiunea de transformare liniara˘ ˘ liniare între spa¸tii finit dimensionale Transformari Valori s¸ i vectori proprii

˘ Diagonalizarea matricei unei transformari Polinom caracteristic

Teorema Cayley-Hamilton

Teorema˘ Fie A ∈ Mn (Γ) s¸ i P polinomul caracteristic. Atunci P(A) = 0.

˘ liniare Transformari