Dynamikk [4 ed.] 8251915007 [PDF]

Zitiervorschau

Fridtjov Irgens

DYNAMIKK 4. utgave

TAPIR

NB Rana Depotbiblioteket

© TAPIR FORLAG, TRONDHEIM 1999 ISBN 82-519-1500-7

Foreløpig utgave 1980 1. utgave 1982 2. utgave 1985 3. utgave 1990 4. utgave 1999 Det må ikke kopieres fra denne boka ut over det som er tillatt etter bestemmelser i «Lov om opphavs­ rett til åndsverk», og avtaler om kopiering inngått med Kopinor

Omslag og trykk: Tapir Trykkeri Bind: Gjøvik bokbinderi A/S

Tapir forlag 7005 TRONDHEIM

Tlf: 73 59 3210 Faks: 73 59 32 04 E-post: tapirforlag @ tapir ntnu. no http://www. tapir, ntnu.no

Forord Dette er en lærebok i Dynamikk skrevet for studenter ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet, NTNU. Emnevalget i boken er så variert at det skulle dekke pensum i ethvert introduksjonskurs i Dynamikk for ingeniørstudenter og for realfagstudenter ved høgskoler og universiteter. Kinematikk (bevegelsesgeometri) og kinetikk (bevegelseslovene) er i størst mulig grad koordinert, slik at det blir mulig innenfor hvert kapittel, og i noen tilfeller også innen samme sek­ sjon, å løse dynamiske problemer fullstendig. Denne måten å ordne stoffet på, skal gi leseren en rimelig rask innføring i typiske problemstillinger i mekanikk. Dessuten blir det også lettere å bruke deler av boken i mindre kurs. Et minikurs i Dynamikk kan bestå av kapittel 1 Grunnlaget og utvalgte deler av kapittel 2 Partikkeldynamikk. Et lite kurs i Dynamikk kan inkludere kapittel 3 Dynamikk for legemer og seksjonene 4.1-6 fra kapittel 4 Rotasjon av stivt legeme om fast akse. For det store kurset i Dynamikk, som for tiden gies for stu­ denter ved Fakultetet for maskinteknikk, tar vi i tillegg med kapittel 5 Plan beve­ gelse av stive legemer, kapittel 6 Relativ bevegelse, seksjonene 7.1-5 fra kapittel 7 Svingningsteori, og seksjonene 8.1 og 8.2 fra kapittel 8 Generell bevegelse av stive legemer. Jeg har sett det som viktig at en lærebok i et fundamentalt fag som Dynamikk er så fullstendig som mulig. Boken inneholder derfor også stoff som studentene kan studere etter å ha fulgt et grunnkurs, ved selvstudium eller i videregående kurs. Hele kapittel 9 Lagrangelikningene er eksempel på dette. En del av det avanserte stoffet, samt mange av eksemplene og oppgavene i boken er i årenes løp kommet til etter at jeg har vært konsultert av studenter i videregående fag og praktiserende ingeniører. De fleste av Dynamikkens fundamentale størrelser: kraft, hastighet, akselera­ sjon, bevegelsesmengde og spinn, er vektorstørrelser. Ofte vil det være nødven­ dig å operere i det tre-dimensjonale rom, i alle fall i de teoretiske utledninger av fundamentale likninger. Her er vektoralgebra og vektoranalyse et uvurderlig hjelpemiddel. Det er derfor naturlig å utvikle teorien ved hjelp av vektorregning. Det gjør fremstillingen mer ryddig og oversiktlig. Dette forutsetter derfor at lese­ ren har litt kjennskap til vektoralgebra. Det mest nødvendige av vektoranalysen er inkorporert i teksten etter hvert som det blir anvendt. Boken henviser av og til til Statikk og Fasthetslære, men det er ikke nødvendig å ha nevneverdig kunn­ skap fra disse fagområdene for å kunne følge presentasjonen i boken. Referanser til formler fra de nevnte fagområdene er gjort ved å henvise til mine lærebøker «Statikk» og «Fasthetslære».

Hver seksjon i boken inneholder eksempler som belyser de enkelte elementer av teorien. Noen av eksemplene er delt over flere seksjoner. Alle kapitlene er for­ synt med oppgaver. I de forrige utgavene av boken var oppgavene plassert etter hver seksjon, slik at det skulle være lettere å finne oppgaver som passet til emnene i vedkommmende seksjon. Dette førte til at mange av oppgavene ble delt for at de enkelte deler skulle komme på sin «faglig rette» plass. Mange av bokens brukere mente at ordningen gjorde det vanskelig å finne frem til opp­ gavene i boken. Derfor er oppgavene i foreliggende utgave plassert i slutten av hvert kapittel. Oppdelingen av oppgavene er beholdt, slik at det fortsatt er mulig å løse delene som «uavhengige» oppgaver. Innholdsfortegnelsen på første side i hvert kapittel viser hvilke oppgaver som er knyttet til spesielle seksjoner i kapit­ let. I denne 4. utgaven av boken er antallet oppgaver økt fra 183 til 231. De fleste nye oppgavene er hentet fra eksamensoppgaver gitt ved NTNU de siste årene. Flest oppgaver finnes i kapitlene 2, 4, 5 og 7, som er bokens sentrale kapitler. Oppgavene er gitt med svar eller svarantydninger. Studentene ved NTNU bruker ved oppgaveløsning til eksamen forfatterens «Formelsamling i Mekanikk», Ta­ pir forlag, 1999. Denne formelsamlingen inneholder de mest sentrale formlene i Dynamikk og tabellene bak i boken. Terminologi og notasjon i boken følger i hovedsak Norsk Standard. Jeg har støttet meg til NS-ISO 31-0, Størrelser og enheter. Del 0: Generelle prinsipper og NS-ISO 31-3 Størrelser og enheter. Del 3: Mekanikk. Etter en foreløpig utgave av boken i 1980, kom første utgave i 1982. Andre utgave ble utgitt i 1985, og tredje utgave forelå i 1990.1 den foreliggende fjerde utgaven er det faglige innholdet fra tredje utgave beholdt, men det er gjort forsøk på å forbedre teksten. Videre er «layouten» av en høyere standard. En stor for­ bedring av denne utgaven er at alle figurene er tegnet om. Figurene er tegnet av studentene Gotfred Berntsen og Arild Sæther. Begge to skal ha min hjertelige takk for at de har utført en meget vanskelig oppgave på en utmerket måte. Under arbeidet med denne og tidligere utgaver av boken har jeg mottatt mange gode råd og korreksjoner fra mine kolleger ved Institutt for mekanikk, termo- og fluiddynamikk ved NTNU. Til denne utgaven har Erling Nardo Dahl gitt viktige bidrag. Henry Øiann har påtatt seg den store oppgaven å lese den siste korrekturen. Jeg takker begge for utmerket hjelp. Kristin Nervik har tekstbehandlet boken, holdt orden på alle små og store de­ taljer, samt sørget for at boken etter forfatterens mening har fått en meget flott layout. Hun skal ha min hjerteligste takk for sin innsats og gode samarbeidsvilje.

NTNU, Trondheim, april 1999 Fridtjov Irgens

Innhold Grunnlaget ....................................................... 13 1.1 Introduksjon .............................................................................. 14 1.2 Kinematikk ................................................................................ 15 1.2.1 Hastighet og akselerasjon ............................................. 17 1.2.2 Vei-tid-diagram og hastighet-tid-diagram ................. 18 1.2.3 Bevegelse med konstant baneakselerasjon .................... 20 1.2.4 Hastighetsvektoren ........................................................... 22 1.2.5 Akselerasjons vektoren...................................................... 24 1.3 Kinetikk......................................................................................... 25 1.3.1 Newtons gravitasjonslov .................................................. 29 1.3.2 Frihetsgrader og bevegelseslikninger .............................29 1.3.3 Eksempler med rettlinjet bevegelse ............................... 30 1.4 Inertialreferanser .......................................................................... 35 1.4.1 Kinematikk relativt til to referanser ............................... 35 1.4.2 Kraftloven relativt til to referanser ................................. 36 1.4.3 Relativitetsprinsippet.........................................................40 1.4.4 Treghetskrefter. D’Alemberts prinsipp............................. 41 1.5 Sammendrag av kapittel 1 .........................................................42 Oppgaver ............................................................................................. 44

Partikkeldynamikk ........................................ 47 2.1 Plan bevegelse.............................................................................. 48 2.1.1 Kastebevegelse ................................................................. 48 2.1.2 Sirkelbevegelse ................................................................. 51 2.1.3 Matematisk pendel............................................................. 55 2.1.4 Matematisk pendel: Perioden for store utslag ............. 57 2.1.5 Sykloidebevegelse ............................................................. 58 2.2 Polarkoordinater .......................................................................... 60 2.2.1 Svingning i roterende referanse ..................................... 63 2.2.2 Sylinderkoordinater ...........................................................65 2.3 Tangentialakselerasjon og normalakselerasjon ...................... 67 2.3.1 Kurvegeometri ................................................................... 68 2.3.2 Plan kurvegeometri ........................................................... 71 2.3.3 Kinematikk og kraftlov .................................................... 72

2.4 Arbeid og energi ..................................................................... 2.4.1 Arbeidsteoremet............................................................. 2.4.2 Arbeid av lineær fjær .................................................... 2.4.3 Elastisk energi ............................................................... 2.4.4 Tyngdens potensielle energi ....................................... 2.4.5 Gravitasjonspotensial .................................................. 2.4.6 Elektrisk potensial ........................................................ 2.4.7 Konservative krefter .................................................... 2.4.8 Energiloven ................................................................... 2.5 Kraftimpuls og støt ................................................................. 2.5.1 Kraftimpulsloven ........................................................... 2.5.2 Sentrale støt ................................................................... 2.5.3 Plastisk støt ................................................................... 2.5.4 Elastisk støt ................................................................... 2.5.5 Restitusjonstall............................................................... 2.6 Sentralkraftbevegelse ............................................................. 2.6.1 Momentloven ................................................................. 2.6.2 Jordsatellitter ................................................................. 2.6.3 Satellittbaner ................................................................. 2.6.4 Keplers lover ................................................................. 2.6.5 To-legeme problemet .................................................... 2.6.6 Energinivå og satellittbane ......................................... 2.7 Sammendrag av kapittel 2 .................................................... Oppgaver .........................................................................................

76 76 81 82 86 87 92 93 96 97 97 99 100 100 103 105 105 108 110 114 115 118 120 123

Dynamikk for partikkelsystemer og legemer ....................................................... 139 3.1 Kraftloven ................................................................................ 3.1.1 Introduksjon ................................................................... 3.1.2 Partikkelsystemer ........................................................ 3.1.3 Legemer av kontinuerlig fordelt masse .................... 3.1.4 Rakettbevegelse ............................................................. 3.1.5 Kraftimpulsloven .......................................................... 3.2 Momentloven .......................................................................... 3.2.1 Partikkelsystemer ........................................................ 3.2.2 Legemer av kontinuerlig fordelt masse .................... 3.2.3 Momentimpulsloven .................................................... 3.3 Arbeid og energi ..................................................................... 3.4 Sammendrag av kapittel 3 .................................................... Oppgaver .........................................................................................

140 140 141 145 150 153 154 154 157 159 161 163 166

Rotasjon av stivt legeme om fast akse ...

169

Introduksjon ............................................................................ 170 Kinematikk .............................................................................. 171 Bevegelseslikningen ............................................................... 175 Treghetsmomenter ................................................................. 180 4.4.1 Steiners teorem ............................................................. 183 4.4.2 Sammensatt legeme ...................................................... 184 4.4.3 Rotasjonslegeme .......................................................... 185 4.5 Arbeidslikningen..................................................................... 188 4.6 To-dimensjonale problemer .................................................. 189 4.6.1 Kraftlov og momentlov ................................................ 189 4.6.2 Fysisk pendel ................................................................. 193 4.6.3 Impulslovene - slagsenter ........................................... 196 4.7 Tre-dimensjonale problemer ................................................ 198 4.7.1 Fullstendig sett med kinetiske likninger .................... 198 4.7.2 Hovedtreghetsakser ......................................................... 202 4.7.3 Steiners teorem for sentrifugalmomenter .................... 203 4.7.4 Dynamisk ubalanse ......................................................... 205 4.7.5 Treghetsmoment om vilkårlig akse ............................... 207 4.8 Sammendrag av kapittel 4 ...................................................... 211 Oppgaver ........................................................................................... 214

4.1 4.2 4.3 4.4

Plan bevegelse av stive legemer ............... 223 5.1 Kinematikk for plan bevegelse................................................ 224 5.1.1 Hastighetsfordeling ......................................................... 227 5.1.2 Hastighetspol ....................................................................231 5.1.3 Akselerasjonsfordeling .................................................. 235 5.1.4 Frihetsgrader ....................................................................238 5.2 Momentloven for legemer .......................................................240 5.3 Kinetikk for to-dimensjonale problemer ............................... 243 5.3.1 Sentralspinn ...................................................................... 243 5.3.2 Kraftlov og momentlov .................................................. 244 5.3.3 Vilkårlig valg av fast momentpunkt .............................248 5.3.4 System av legemer........................................................... 251 5.3.5 Impulslovene ....................................................................253 5.3.6 Ekvivalente kraftsystemer.............................................. 256 5.4 Arbeid og energi ........................................................................ 257 5.4.1 Translasjonsenergi og rotasjonsenergi ........................ 257 5.4.2 Arbeidsteoremet............................................................... 259

5.4.3 Krefter som skifter angrepspunkt. Friksjonsarbeid .. 264 5.4.4 Energilikningen ............................................................... 266 5.5 Fullstendig sett med kinetiske likninger ............................... 267 5.6 Sammendrag av kapittel 5 .......................................................269 Oppgaver ........................................................................................... 274

Relativ bevegelse ........................................... 297 6.1 Introduksjon .............................................................................. 298 6.2 Kinematikk .................................................................................301 6.2.1 Materiell derivasjon......................................................... 301 6.2.2 Relasjoner for hastigheter og akselerasjoner ............. 303 6.3 Kinetikk....................................................................................... 307 6.3.1 Ekstraodinære massekrefter .......................................... 307 6.3.2 Referanse i rotasjon om fast akse ................................. 309 6.3.3 Roterende kar med væske .............................................. 311 6.3.4 Jorden som tilnærmet inertialreferanse........................ 314 6.3.5 Effektiv tyngdekraft på jordoverflaten ........................ 319 6.3.6 Tidevannsfenomenet .......................................................320 6.4 Sammendrag av kapittel 6 .......................................................325 Oppgaver ........................................................................................... 327

Svingningsteori .............................................. 331 7.1 Introduksjon .............................................................................. 332 7.1.1 Kinematikk ...................................................................... 333 7.1.2 Kinetikk ............................................................................ 335 7.1.3 Hovedtyper av mekaniske systemer .............................338 7.2 Frie svingninger uten dempning.............................................. 339 7.2.1 Energimetoden ................................................................. 344 7.2.2 Rayleighs metode ........................................................... 347 7.2.3 Effektiv masse ................................................................. 349 7.3 Frie svingninger med dempning.............................................. 351 7.3.1 Newton-dempning ........................................................... 352 7.3.2 Coulomb-dempning ......................................................... 361 7.4 Induserte svingninger ............................................................... 364 7.4.1 Generell svingelikning .................................................. 364 7.4.2 Stasjonærsvingning for udempet system .................... 367 7.4.3 Stasjonærsvingning for dempet system ...................... 368 7.4.4 Ubalansert roterende masse............................................ 372 7.4.5 Svevning .......................................................................... 373 7.4.6 Resonans for system uten dempning.............................376

1A.1 Faseplan og visere ........................................................... 377 7.4.8 Fundamentbevegelse ...................................................... 379 7.4.9 Isolering mot svingninger .............................................. 382 7.4.10 Instrumenter for måling av svingninger .................... 383 7.4.11 Kompleks løsningsmetode ......................................... 387 7.5 Koplede svingninger................................................................. 389 7.5.1 Frie svingninger ............................................................... 390 7.5.2 Dobbel-pendel ................................................................. 395 7.5.3 Induserte svingninger .................................................... 397 7.5.4 Dynamisk vibrasjonsabsorbsjon ................................... 398 7.6 Svingninger i elastiske legemer .............................................. 399 7.6.1 Bjelkesvingning ............................................................... 399 7.6.2 Svingende streng ............................................................. 404 7.6.3 Stavsvingning ................................................................. 406 7.6.4 Torsjonssvingning ........................................................... 407 7.7 Bølger i elastiske legemer ...................................................... 409 7.7.1 Longitudinelle bølger i en stav ..................................... 409 7.7.2 Hopkinsons eksperiment ................................................ 414 7.7.3 Bølger i streng, stav og bjelke ....................................... 416 7.7.4 Elastiske bølger generelt ................................................ 417 7.8 Sammendrag av kapittel 7 ...................................................... 420 Oppgaver ........................................................................................... 423

Generell bevegelse av stive legemer ........ 445 8.1 Kinematikk ................................................................................ 446 8.1.1 Rotasjon om et fast punkt .............................................. 447 8.1.2 Generell bevegelse........................................................... 456 8.1.3 Relativ bevegelse............................................................. 458 8.1.4 Foucault-pendel ............................................................... 460 8.2 Kinetikk....................................................................................... 461 8.2.1 Rotasjon om et fast punkt .............................................. 462 8.2.2 Generell bevegelse........................................................... 469 8.2.3 Impulslovene ................................................................... 472 8.2.4 Arbeid og energi ............................................................. 473 8.3 Gyroskop ..................................................................................... 475 8.3.1 Gyroskop i momentfri bevegelse ................................. 477 8.3.2 Jevn presesjon under tyngdepåvirkning ...................... 480 8.3.3 Presesjon av jordaksen .................................................. 484 8.3.4 Gyrokompass ................................................................... 485 8.4 Treghetstensor............................................................................ 487 8.4.1 Treghetsmatrise ............................................................. 488

8.4.2 Hovedtreghetsmomenter ................................................ 488 8.4.3 Treghetsellipsoiden .........................................................491 8.4.4 Spinnvektor og treghetstensor....................................... 492 8.5 Eulerlikninger ............................................................................ 493 8.5.1 Eulerlikninger for hovedtreghetsakser ........................ 493 8.5.2 Stabilitet av rotasjon om en hovedtreghetsakse .... 496 8.5.3 Eulerlikninger med Euler-vinkler ................................. 497 8.5.4 Generelle Eulerlikninger ................................................ 499 8.5.5 Legemefast momentpunkt .............................................. 500 8.6 Sammendrag av kapittel 8 .......................................................504 Oppgaver ........................................................................................... 507

Lagrange-likninger ...................................... 513 9.1 Generelle koordinater ............................................................... 514 9.2 Dynamikk for en massepartikkel ............................................ 516 9.2.1 Akselerasjoner i generelle koordinater ........................ 516 9.2.2 Lagrange-likninger ......................................................... 520 9.2.3 Konservative krefter .......................................................522 9.3 Generelle dynamiske systemer................................................ 524 9.3.1 Generaliserte krefter og virtuell effekt ........................ 531 9.3.2 Monogenetiske krefter.................................................... 533 9.4 Lineære svingninger ................................................................. 534 9.4.1 Systemer uten dempning ................................................ 534 9.4.2 Normalkoordinater ......................................................... 537 9.4.3 Systemer med dempning ................................................ 538 9.5 Sammendrag av kapittel 9 ...................................................... 539 Oppgaver ........................................................................................... 541

Appendiks A: Machs mekanikk .......................................................543

Appendiks B: Tabeller......................................................................547 Tabell 1. Volumsenter ............................................................... 548 Tabell 2. Arealsenter................................................................. 549

Tabell 3. Annet arealmoment .................................................. 550 Tabell 4. Treghetsmomenter .................................................... 552

Symbolregister................................................................................... 555

Gresk alfabet ..................................................................................... 557

Engelsk-norsk ordliste ................................................................... 559 Sakregister......................................................................................... 563

a

'i Kapittel

GRUNNLAGET

1.1 1.2

Introduksjon........................................ Kinematikk ........................................

14 15

Oppgaver 1.1-1.4

1.3

Kinetikk..............................................

25

Oppgaver 1.5-1.9

1.4

Inertialreferanser................................

35

Oppgaver 1.10-1.12

1.5

Sammendrag ......................................

42 Oppgaver 1.1-1.12 ....................................... 44

GRUNNLAGET

KAP. 1

1.1 Introduksjon Ordet dynamikk har rot i det greske ordet dunamis som betyr kraft. Der­ med skulle dynamikk være «læren om krefter». I den moderne betydning er dynamikk læren om legemers bevegelse og krefter som årsak til denne bevegelse. Faget deles inn i to hovedemner: Kinematikk (fra gresk kineo = bevege), som er bevegelsesgeometri med hastighet og akselerasjon som viktigste grunnbegreper, og Kinetikk, som behandler samvirke mellom krefter og den bevegelse de forårsaker. Dynamikken tar for seg bevegelseslovene og gir metoder til å bestemme et legemes bevegelse når kref­ tene på legemet er kjent, eller kreftene på legemet når bevegelsen er kjent. Statikk (fra gresk sta = stå) er læren om balanserte kraftsystemer, også kalt likevektssystemer. Et legeme angrepet av krefter i likevekt, vil være i ro eller i jevn, uakselerert bevegelse. Vi sier da at legemet er i likevekt. Statikk, som også kalles likevektslære, kan oppfattes som en spesialgren av dynamikken idet statikkens teoremer og formelapparat fremkommer fra dynamikken når alle akselerasjoner settes lik null. Men en slik frem­ stilling er ikke vanlig, og ved en presentasjon av mekanikkens grunnlag heller ikke pedagogisk heldig. Det kommer blant annet av at dynamikken benytter mer avansert matematikk enn statikken og langt flere spesielle begreper. Historisk ble statikken utviklet før dynamikken. Det forutsettes i denne boken at leseren har kunnskaper om elementær statikk, vektoralgebra og noe vektoranalyse. Når det gjelder statikk og læren om kraftsystemer, bygger fremstillingen på forfatterens bok Sta­ tikk. Henvisning til forfatterens bøker Statikk og Fasthetslære, henvisningsnummer [1] og [2] i litteraturoversikten, er i det etterfølgende beteg­ net med STATIKK og FASTHETSLÆRE. Det vesentligste av det som blir nødvendig av vektoranalyse, presenteres etter hvert som det skal anvendes. De legemer mekanikken omhandler, idealiseres til: massepartikkel, system av massepartikler, kontinuerlig medium eller kontinuum, deformerbart legeme og stivt legeme. Vi skal nå kort diskutere hva vi mener med disse begrepene.

Massepartikkel, eller kort partikkel, er et legeme som er lite nok i utstrekning til at denne kan neglisjeres. Dersom alle punkter i et legeme har den samme bevegelse, kan legemet behandles som en partikkel. En partikkel har konstant masse.

14

KINEMATIKK

SEK. 1.2

Et legeme kan i én undersøkelse modelleres som en partikkel, mens det i en annen sammenheng er nødvendig å ta hensyn til legemets utstrekning, og at det består av flere deler med ulike bevegelser. For eksempel, jor­ dens bane rundt solen kan betegnes ved å betrakte jord og sol som massepartikler. Men studerer vi jordkulens form på grunn av jordrotasjonen, eller vi utforsker tidevannsfenomenet, som skyldes månens og solens gravitasjonsfelt, da er jorden å betrakte som et legeme med utstrekning. Ordet partikkel vil av praktiske grunner bli foretrukket fremfor ordet massepartikkel selv om partikkel også blir benyttet i betydningen mate­ rielt punkt i et kontinuum.

Kontinuum eller kontinuerlig medium er et legeme med masse fordelt over et område i rommet på en slik måte at uansett hvor små deler legemet tenkes delt opp i, så vil hver del inneholde masse. Gasser, væsker og faste stoffer blir i mekanikken behandlet som konti­ nua. I denne sammenheng blir gasser og væsker kalt for fluider. En fluid er altså en fellesbetegnelse i mekanikken på gass og væske.

Stivt legeme er et system av partikler eller et kontinuum hvor den inn­ byrdes avstand mellom partiklene (= de materielle punktene i kon­ tinuumet) er uendret under påvirkning av krefter. Krefter forårsaker alltid deformasjoner av det legemet kreftene angri­ per. Vi betrakter derfor et legeme som stivt når deformasjonene er så små at legemets geometri og kreftenes virkemåte ikke endres vesentlig. Ordet dynamikk er ofte, som i denne boken, knyttet til partikkeldynamikk og stive legemers dynamikk. Deformerbare kontinua behandles innenfor fagområdene: Fluidmekanikk, Gassdynamikk, Elastisitetsteori, Faststoffmekanikk og Kontinuumsmekanikk. I kapittel 7 tar vi allikevel med en del emner fra dynamikken for deformerbare legemer.

1.2 Kinematikk For å kunne lokalisere fysiske objekter i rommet og angi deres bevegel­ ser, trenger vi først å velge et referanseobjekt, eller en referanseramme, her kort kalt en referanse. Som regel er jordkloden vår referanse. Men det

15

KAP. 1

GRUNNLAGET

Fig. 1.1

Fig. 1.1. Referanse, koordinatsystem, partikkel og partikkelbane

kan også være praktisk å bruke referanser som beveger seg relativt til jor­ den, for eksempel et romlaboratorium. Fast forbundet til referansen vel­ ger vi et referansesystem, det vil si et koordinatsystem, som gjør det let­ tere å beskrive bevegelse matematisk. Det mest brukte koordinatsystem er et rettvinklet kartesisk høyresystem, se fig. 1.1. Koordinatsystemet er gitt ved et punkt O, kalt origo, og tre koordinat­ akser x, y og z. Vi velger å notere koordinatsystemet slik: (9.xyz-systemet. I figuren er P en partikkel som ved tiden t er på stedet (x,y,z). Stedskoordinatene x, y og z, knyttet til partikkelen P, er funksjoner av tiden: x = x(t), y = y(t), z = zft). Stedet (x,y,z) kan også gies ved stedsvektoren r(t) fra origo O til P. Vi bruker r(t) når vi skal gi en generell fremstilling av partikkelbevegelse. Sammenhengen mellom koordinatfunksjonene x(t), y(t) og z(t), og stedsvektoren r(t) er

(1.1)

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez = [x(t), y(t), z(t)]

hvor ex, ev og e, er basisvektorene til koordinatsystemet, det vil si dimensjonsløse enhetsvektorer i retning av koordinataksene. Stedsvektoren r(t), alternativt koordinatfunksjonene x(t), y(t) og z(t), representerer partikkelens bevegelse. Stedsvektor og koordinatfunksjoner beskriver en romkurve som kalles partikkelbanen.

16

KINEMATIKK

SEK. 1.2

1.2.1 Hastighet og akselerasjon La oss anta at partikkelbanen er kjent. Buelengden PqP langs partikkelba­ nen fra et sted Po, hvor partikkel P er ved et tidspunkt t0, se fig. 1.2, til stedet r = [x,y,z] for partikkelen ved tiden t, kalles en veilengde s og er en funksjon av tiden: 5 = s(t). Veilengden ved tiden (t + At) er s(t + At), og tilbakelagt veilengde i løpet av tidsintervallet At blir As(t, At) = s(t + At) s(t). Gjennomsnittlig tilbakelagt veilengde per tidsenhet kalles gjennom­ snittlig hastighet v til partikkelen i tidsintervallet At: v(t, At) = As/At. Idet vi lar At gå mot null, nærmer v seg en grense som vi kaller hastigheten v(t) til partikkelen ved tiden t.

. . def

v(t) =

As ds hm — = — = s Ar—>o At dt

(1.2)

Fig. 1.2

Fig. 1.2. Referanse Rf og partikkelbane

Derivasjon med hensyn til tiden av funksjoner knyttet til materielle partikler eller legemer betegnes i denne fremstillingen med en prikk over funksjonssymbolet, og resultatet kalles en materiell-derivert. Definisjo­ nen (1.2) uttrykker at hastigheten v(t) er den materiell-deriverte av vei­ lengden s(t). Hastigheten v = s uttrykker tilbakelagt veilengde per tidsenhet ved tiden t. Positiv hastighet angir at veilengden s øker, mens negativ hastig­ het betyr at s avtar. Enhet for hastighet er m/s = meter per sekund. Andre enheter er for eksempel km/h = kilometer per time, og knop = nautisk mil per time = 1852 m/h. Speedometeret på en bil viser tilbakelagt veilengde s i km og hastigheten v i km/h. Hastighet blir også kalt fart. Nedenfor defineres hastigheten som en vektoriell størrelse v. Noen foretrekker å kalle vektoren v for hastighet

17

KAP. 1

GRUNNLAGET

og vektorens mål v = Ivl for fart. Ifølge Norsk Standard er hastighet og fart synonymer for det samme begrepet. På engelsk brukes ofte velocity for hastighetsvektoren v og speed for vektorens mål v = Ivl. Hastigheten v vil generelt endre seg med tiden t. Gjennomsnittlig has­ tighetsendring per tidsenhet mellom to tidspunkt t og t + Ar, kalles gjen­ nomsnittlig akselerasjon d til partikkelen i tidsintervallet Ar. aa + Ar) “ Av^’ Ar) a (r, Ar) =----------- ------------- = —-- ------

Ar

Ar

Lar vi Ar gå mot null, går d mot en grense som vi kaller baneakselerasjonen a(t) til partikkelen ved tiden t. (1.3)

, . def Av dv aft) — hm — = — = v = s Ar—>o Ar dt s er den annen materiell-deriverte av sft). Baneakselerasjonen a = v ut­ trykker endring av hastighet v per tidsenhet ved tiden t. Positiv baneakselerasjon viser at hastigheten v øker, mens negativ baneakselerasjon, som også kalles retardasjon, betyr at hastigheten v avtar. Enhet for akselera­ sjon er m/s/s = meter per sekund per sekund, eller m/s2 = meter per sekund i annen. For rettlinjet bevegelse parallell med en x-akse setter vi: s = x, v = s = x, a = v = x.

1.2.2 Vei-tid-diagram og hastighet-tid-diagram Figur 1.3 viser grafen til en veifunksjon sft) og er et vei-tid-diagram. Hastigheten vft) er representert av helningen, eller vinkelkoeffisienten, til grafens tangent: v = tan ø. Positiv helning angir positiv hastighet og at veilengden s øker med tiden.

18

KINEMATIKK

SEK. 1.2

Fig. 1.4 viser grafen til en hastighetsfunksjon v(t) og er et hastighet-tid-diagram. Akselerasjonen a(t) er representert av helningen, eller vinkelkoeffisienten, til grafens tangent, a = tanø. Positiv helning angir positiv akselerasjon a og at hastigheten øker med tiden.

Eksempel 1.1. harmonisk rettlinjet bevegelse

Figur 1.5 viser en vogn med en vertikal føring. I føringen glir en tapp som er festet til en stang med lengde r. Stangen roterer om en fast akse A og slik at vinkelen 0 mellom stangaksen og horisontalplanet øker propor­ sjonalt med tiden t. Vinkelen 0 er stangens rotasjonsvinkel, og rotert vin­ kel per tidsenhet kalles stangens vinkelhastighet co. Dermed blir: 6 = cot. I og med spesifikasjonene ovenfor er vognens bevegelse indirekte fore­ skrevet. Vi skal diskutere denne bevegelsen. Vognen får rettlinjet bevegelse, det vil si alle punkter i vognen beve­ ger seg likt og parallelt med en horisontal rett linje. Horisontalavstanden x(t) mellom aksen A og føringen i vognen angir vognens posisjon til enhver tid. x(t) = r cosØ = r coscot

Vognen beveger seg mellom ytterposisjonene x = -r og x = +r Dette kalles en harmonisk bevegelse eller en harmonisk svingning.

Fig. 1.5

Fig. 1.5. Vogn i harmonisk bevegelse

Vognens hastighet v(t) og akselerasjon a(t) bestemmes ved derivasjon av x(t), og vi finner v(t) = x = —r co sintot,

Vmax =

a(t) = v = x = -rco2 coscot,

«max = rCO2

19

KAP. 1

GRUNNLAGET

Fig. 1.6

Fig. 1.6. Vei-tid-, hastighet-tid- og akselerasjon-tid-diagrammer Legg merke til at a(t) = - (positiv konstant) • x(t). Vei-tid-, hastighet-tidog akselerasjon-tid-diagrammene er vist i fig. 1.6. Hastigheten er null hver gang stangen er horisontal og vognen er i en ytterposisjon, og får ekstremalverdier når stangen er vertikal: 0 = 7t/2 og 0 = 3tt/2. Akselera­ sjonen har ekstremalverdier hver gang vognen er i en ytterposisjon, og er null når stangen er vertikal.

1.2.3 Bevegelse med konstant baneakselerasjon Et legeme påvirket av en konstant kraft i fartsretningen, får konstant baneakselerasjon. Denne bevegelsen forekommer ofte, og det er derfor naturlig å utvikle et spesielt formelapparat for bevegelsen. For enkelhets skyld skal vi forestille oss en rettlinjet bevegelse. Figur 1.7 viser et

Fig. 1.7

Fig. 1.7. Legeme i rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

20

SEK. 1.2

KINEMATIKK

legeme som beveger seg langs en rett linje parallelt med en 5-akse. Lege­ met har konstant akselerasjon a. Ved tidspunktet t = 0 er hastigheten v0 og posisjonen gitt ved 50. Vi skal bestemme formler for hastigheten v(t) og stedskoordinaten s(t). Hastigheten v(t) finner vi ved å integrere relasjonen v = a.

v(t) = J adt + Q = at + Q

Integrasjonskonstanten C1 bestemmes fra startbetingelsen v(0) = v0, som gir Cl = v0. Altså har vi

v( t) = v0 + at

Stedskoordinaten s(t) finner vi så ved å integrere relasjonen i = v og der­ etter benytte startbetingelsen 5(0) = 50. Det gir

5(r) = | v dt + C2 — vot +

—F C2,

5(0) = 50 = C2 =>

at2 s(t) = 50 + vot + —

Av formelen for v(t) kan vi bestemme et uttrykk for at, og av formelen for s(t) kan vi bestemme et uttrykk for tiden t. Uttrykket for at settes inn i formelen for s(t), mens uttrykket for t settes inn i formelen for v(t). Vi samler så resultatene, som gjelder generelt for bevegelse med konstant baneakselerasjon a.

v(f) = Vq + at = -^Vq + 2a(s - 50) 5(0 = 50 + vot +

= 50 + [v(0 + v0] |

(1.4)

(1.5)

Fig. 1.8 viser vei-tid- og hastighet-tid-diagrammene. Vi har valgt: 50 = 0, v0 = 1,0 m/s og a = 5 m/s2.

21

KAP. 1

GRUNNLAGET

Fig. 1.8

Fig. 1.8. s(t) og v(t) diagrammer for bevegelse med konstant baneakselerasjon

1.2.4 Hastighetsvektoren Fig. 1.9 viser i to versjoner en partikkel P og partikkelbanen. Fast i den referansen Rf som vi har valgt å beskrive bevegelsen i forhold til, har vi introdusert et kartesisk koordinatsystem Oxyz.

Fig. 1.9

Fig. 1.9. Hastighetsvektoren Stedet til partikkelen ved tidspunktet t er gitt ved stedsvektoren r(t), som også er representert ved koordinatfunksjonene x(f), y(t) og z(t). Vi definerer hastighetskomponenter i de tre akseretningene ved

22

KINEMATIKK

vx = i ,

Komponentene vx, vy og

SEK. 1.2

vy = y ,

vz = z

(1-6)

definerer hastighetsvektoren.

\i{t} = vxex + vyey + vzez = [x, y, z]

(1.7)

En mer direkte definisjon av \l(t) er denne, se fig. 1.9 b:

Hastighet er stedsendring per tidsenhet og gitt ved vektoren

z . def r(r + At) - r(r) Ar dr v(t) = hm —-------- ------- — = hm —- = — = r At—>o

Ar

At-»o Ar

dt

(1.8)

Det følger av denne definisjonen at hastighetsvektoren er en tangentvektor til partikkelbanen. Ordet hastighet brukes både om hastighetsvektoren v og om målet Ivl, også kalt fart. Det skal gå frem av sammenhengen hva vi mener. Generelt lar vi hastighet være en kortform for hastighetsvekto­ ren. Farten v = Ivl kan vi beregne fra formelen

V = V V^V =

+ v/ + v/

(1.9)

For å vise at de to definisjonene (1.7) og (1.8) av hastighetsvektoren er ekvivalente, benytter vi vanlige derivasjonsregler for vektorvaluerte tids­ funksjoner på r(t) fra uttrykket (1.1), og tar hensyn til at basisvektorene er tidsuavhengige. Da blir

v = r =

(xe% + yQy +

+ yQy +

(1.10)

Dette viser at definisjonene (1.7) og (1.8) er ekvivalente.

23

KAP. 1

GRUNNLAGET

1.2.5 Akselerasjonsvektoren Fig. 1.10 viser i to versjoner en partikkel P og partikkelbanen. Koordinatfunksjonene x(t), y(t), z(t) representerer partikkelens bevegelser i de tre akseretningene. Akselerasjonskomponenter i disse retningene er (l.H)

ax = vx = x , -a-

•a.

ay v = yvv = y ,

a=v=z

Komponentene definerer akselerasjonsvektoren

(1.12)

a(t) = axBx + ayey + azez =

[x,

y, z]

Fig. 1.10

Fig. 1.10. Akselerasjonsvektoren En mer direkte definisjon av a(t) er denne, se fig. 1.10 b: Akselerasjon er hastighetsendring per tidsenhet og gitt ved vektoren

(1.13)

24

.def

V(t + At) - V(t) Av d\! a(t) = fim —.............lim ............ — = — = v = r At—>0 At At->o At dt

KINETIKK

SEK. 1.3

Akselerasjons vektoren a(t) har generelt en komponent langs tangenten til partikkelbanen, det er tangentialakselerasjonen at, og en komponent i retning av hovednormalen til partikkelbanen. Den sistnevnte komponen­ ten kalles normalakselerasjonen an. Dette er forhold vi skal diskutere i detalj i seksjon 2.3. Her skal vi bare merke oss at tangentialakselerasjo­ nen er knyttet til endringen av hastighetsvektorens mål v = Ivl og er iden­ tisk med det vi foran har kalt baneakselerasjonen, og som er definert ved (1.3). Normalakselerasjonen er et uttrykk for endringen av hastighets­ vektorens retning. For rettlinjet bevegelse, for eksempel bevegelse langs en rett linje parallell med x-aksen, vil hastighetsvektoren beholde en fast retning, og akselerasjonsvektoren er i samme retning, det vil si at atl = 0. Stedsvektoren r(t), hastigheten v(t) og akselerasjonen a(t) er de primære kinematiske størrelser for en partikkel. Legg merke til at r, v og a er definert slik at de er uavhengige av det koordinatsystemet vi har benyttet for å uttrykke vektorenes komponenter. Slike størrelser kalles koordinatinvariante. Men bevegelsen r(t) og de avledede vektorene v og a er definert relativt til den valgte referansen. Vi kaller slike størrelser for referanserelaterte. Sammenhengen mellom hastigheter og akselerasjoner i ulike referanser blir inngående behandlet i kapittel 6 om relativ bevegelse.

1.3 Kinetikk Partikler og andre legemer beveger seg eller settes i bevegelse under påvirkning av krefter. Relasjonen mellom krefter og resulterende beve­ gelse er gitt av bevegeseslovene som vi skal sette opp i to vektorlikninger: kraftloven og momentloven. For en partikkel er kraftloven identisk med Newtons 2. lov: F = ma, og denne blir diskutert nedenfor. Momentloven har sekundær interesse i partikkeldynamikken fordi den er knyttet til roterende bevegelse, som ikke har mening for en massepartikkel. Som vi skal se i seksjon 2.6 og kapittel 3, kan momentloven for en partikkel og for et system av partikler avledes av Newtons 2. lov. Det samme er egentlig ikke mulig for legemer av kontinuerlig medium, og det problemet blir tatt opp i kapittel 3. Partikkeldynamikken bygger på tre lover fremsatt av Isaac Newton [1642-1727] i boken «Philosophia Naturalis Principis Mathematica» i 1687. Boken, som ble skrevet på latin, er oversatt til engelsk av Motte og Cajori og utgitt i 1947 under navnet «Mathematical Principles of Natural Philosophy» av University of California Press, Berkeley.

25

KAP. 1

GRUNNLAGET

Først definerer Newton begrepene masse og kraft. Definisjonene er, i forkortet form, som følger:

Massen til et legeme er produktet av densitet og volum og proporsjo­ nal med tyngden til legemet.

En kraft er en påvirkning som endrer et legemes tilstand av ro eller rettlinjet bevegelse med konstant hastighet. Densitet er ikke definert hos Newton, som kanskje har sett på dette begre­ pet som fundamentalt og udefinerbart. Det er mer vanlig nå å betrakte masse som et fundamentalbegrep, og densitet avledet som masse per volumenhet. Kraftdefinisjonen til Newton er bare kvalitativ og antagelig ikke ment å være annet. Det er først ved de tre lovene at kraftbegrepet blir klart. Her følger Newtons tre bevegelseslover i en omtrentlig korrekt «newtonsk» formulering: 1. lov.

Et legeme forblir i ro eller i rettlinjet bevegelse med konstant hastighet dersom det ikke er påvirket av en kraft.

2. lov.

Endring av bevegelsen til et legeme, uttrykt ved produktet av masse og akselerasjon, er proporsjonal med kraften og rettet i kraftens retning.

3. lov.

To legemer virker på hverandre med like store og motsatt rettede krefter med felles angrepslinje.

Newton bruker ordet legeme i lovene istedenfor massepartikkel. Men da mekanikken til Newton ikke var ment for annet enn legemer med neglisjerbar utstrekning, er det naturlig i en moderne formulering av lovene å erstatte ordet legeme med massepartikkel. Dersom vi må ta hensyn til utstrekningen av et legeme, må vi bruke bevegelseslover som er basert på en videreutvikling av Newtons tre lover. Dette kommer vi til i kapittel 3. Som uttrykk for bevegelse bruker Newton produktet av masse og hastig­ het, et begrep som vi skal kalle bevegelsesmengde mV. Fordi massen til en partikkel ikke endrer seg, blir endring av bevegelsesmengden mV = m&, altså produktet av masse og akselerasjon. Newtons 1. og 2. lov er inneholdt i vektorformelen

26

SEK. 1.3

KINETIKK

F = ma

(1.14)

Newtons 3. lov kalles også loven om kraft og motkraft: Til enhver kraft finnes en like stor og motsatt rettet motkraft. Kraften representerer den mekaniske påvirkning av ett legeme på et annet legeme. Motkraften er det andre legemets påvirkning på det første legemet. Et legeme kan være påvirket av to typer krefter: massekrefter, regnet som kraft per masseenhet, og kontaktkrefter på legemets overflate, regnet som kraft per arealenhet. Massekreftene representerer fjempåvirkning fra andre legemer på legemet. Gravitasjon, elektrostatisk og magnetisk påvirkning, og sentrifugalkrefter er eksempler på massekrefter. Den mest typiske massekraften er tyngdekraften g i det parallelle og konstante tyngdefeltet, med standardverdien g = 9,81N/kg

(1.15)

Massekrefter kan også være gitt som kraft per volumenhet og kalles da volumkrefter. Kontaktkrefter er nærpåvirkning fra andre legemer som er i fysisk kontakt med legemet. Det har gjennom tidene, siden Newtons Principia ble publisert i 1687, vært spekulert meget over begrepene masse og kraft og hvordan dynamikkens grunnlag skulle forståes, se for eksempel kapittel 3 i boken Foundations of Physics av Lindsay og Margenau, nummer [3] i litteratur­ oversikten. En fremstilling som virker tilfredsstillende for partikkeldynamikken, er introdusert av den østerrikske filosofen Ernst Mach [1838— 1916] i 1893. Machs grunnlag er gjengitt i appendiks A. Vi skal imidlertid nøye oss med å sette masse i gruppe med lengde og tid som mekanikkens tre udefinerbare størrelser og la disse tre størrelsene være spesifisert av de regler vi har for å måle dem. Kraft vil bli definert ved Newtons 2. lov. I STATIKK er angitt definisjonene av grunnenheten meter [m] for lengde, sekund [s] for tid og kilogram [kg] for masse. Begrepet masse, som skal uttrykke et legemes stoffmengde, oppfyller følgende krav: Massen til et legeme er en uforanderlig størrelse og er lik summen av massene til legemets deler. Massen til et legeme kan måles med mange ulike metoder. For eksempel kan legemet veies på en balansevekt (skålvekt) eller med en fjærvekt hvorved legemets tyngde, som er proporsjonal med massen, sammenliknes med tyngden av et referanselegeme med kjent masse.

27

GRUNNLAGET

KAP. 1

Når begrepene lengde, tid, hastighet, akselerasjon og masse er forstått, kan kraft i partikkeldynamikken defineres slik:

Kraft er en mekanisk påvirkning som endrer bevegelsen til den mas­ separtikkel kraften angriper. Kvantitativt er kraften gitt ved produktet av partikkelens masse m og den akselerasjonen a kraften gir partikke­ len. Betegnes kraften med F, er F = ma. Enheten for kraft er newton [N] og er den kraft som gir en masse på et kilogram en akselerasjon lik en meter per sekund per sekund.

For å kunne bestemme bevegelsen av en massepartikkel når flere kref­ ter angriper samtidig, setter vi frem følgende postulat, som bygger på den erfaring vi har med samvirke av flere krefter.

POSTULAT. Dersom en massepartikkel med masse m er påvirket av flere krefter F1? F2, F3, ... samtidig, får partikkelen en akselerasjon (1.16)

a = F/m hvor F er vektorsummen av kreftene Fb F2, F3, ...

(1-17)

F = Fj + F2 + F3 + ...= XF F kalles resultantkraften av kraftsystemet F1? F2, F3, ...

I og med postulatet ovenfor har kraftbegrepet fått vektoregenskaper, og vi vil fra nå av oppfatte symbolet F som resultanten av alle krefter som påvirker en massepartikkel når vi setter opp kraftloven for en masse­ partikkel

(1.18)

F = ma

Likningen (1.18) avviker fra (1.14) bare på den måten at i (1.14) repre­ senterer F en enkeltkraft, mens F i (1.18) er resultanten av flere krefter. Dersom en massepartikkel påvirket av krefter er i ro eller i jevn, uakselerert bevegelse, reduseres kraftloven (1.18) til likevektslikningen F = ZF = 0.

28

SEK. 1.3

KINETIKK

1.3.1 Newtons gravitasjonslov To massepartikler med masse og m2 tiltrekker hverandre gjensidig med like store og motsatt rettede krefter, se fig. 1.11. F = G

/n1m2

(1.19)

2

r er avstanden mellom partiklene. G = 66,73 • 10-12 Nm2/kg2 kalles gravitasjonskonstanten. Gravitasjonskreftene mellom to legemer på jorden er små og de kan vanligvis neglisjeres i forhold til andre krefter. Tyngde­ kraften er gravitasjonskraft mellom et legeme og jorden. Dersom avstan­ den r mellom legemet og jordens sentrum ikke varierer meget i forhold til jordradien, kan vi regne med konstant tyngdekraft lik g per masseenhet. Vi lar oftest g representere den effektive tyngdekraften, som er et resultat av jordgravitasjonen og en effekt av jordrotasjonen. Tyngde­ kraften g varierer noe med bredde­ graden på jorden, men vi kan oftest regne med standardverdien av tyngdekraft per masseenhet gitt ved (1.15). Den effektive tyngde­ kraften på jordoverflaten er disku­ tert i seksjon 6.3.5.

Fig. 1.11

1.3.2 Frihetsgrader og bevegelseslikninger En massepartikkel som er fri til å bevege seg i alle retninger, har 3 fri­ hetsgrader. Bevegelsen r(t) beskrives med 3 koordinater, for eksempel x(t), y(t) °g z(t) i et Cbcyz-koordinatsystem fast i den referansen vi på for­ hånd har valgt for å beskrive bevegelsen. Dersom kreftene som påvirker partikkelen er kjent, vil kraftloven (1.18) gi oss 3 bevegelseslikninger som sammen med et nødvendig antall startbetingelser bestemmer beve­ gelsen r(r). I Gxyz-systemet er bevegelseslikningene

Fx = max = mx,

Fy - may = my,

Fz = maz = mf

(1.20)

29

KAP. 1

GRUNNLAGET

En partikkel som er tvunget til å bevege seg på en flate, sier vi er pålagt enføringsbetingelse. Antall frihetsgrader er nå redusert til 2, og 2 bevegelseslikninger er nødvendige for å bestemme bevegelsen. For ek­ sempel, sett at partikkelen skal bevege seg på xy-planet. Føringsbetingelsen er da: z(t) = 0, som impliserer at akselerasjonen az = z = 0. Kraftloven (1.18) gir de 2 bevegelseslikningene og 1 likevektslikning Fr = mar = mx, -A

-A

F, y = ma, y - my,

F. z. = 0

En partikkel som er tvunget til å bevege seg langs en foreskrevet føringskurve, har 1 frihetsgrad og er pålagt 2 føringsbetingelser. 1 beve­ gelseslikning er nødvendig. Bevegelsen til en partikkel i rettlinjet beve­ gelse parallelt x-aksen i Oxyz-systemet, er styrt av bevegelseslikningen

Fx = max = mx I tillegg gir kraftloven 2 likevektslikninger Fy = Q,

F =0

I det generelle tilfellet hvor en partikkel er underlagt føringsbetingel­ ser, vil kraftloven (1.18) gi like mange bevegelseslikninger som antallet frihetsgrader tilsier, og andre likninger, føringslikninger, som benyttes til å bestemme føringskreftene. I alle tilfeller representerer kraftloven (1.18) 3 kinetiske likninger. For de spesielle føringene som er beskrevet ovenfor, er føringslikningene redusert til likevektslikninger.

1.3.3 Eksempler med rettlinjet bevegelse Eksempel 1.2. konstant kraft

En kloss med masse m ligger på et horisontalt underlag, se fig. 1.12. Friksjonstallet for kreftene i kontaktflatene mellom kloss og underlag er //. Klossen settes i bevegelse under påvirkning av en horisontal kraft H. Vi skal bestemme bevegelsen til klossen uttrykt ved posisjonskoordinaten x(i). For t = 0 er x = 0 x(0) = 0 og v = 0 v(0) = x(0) = 0. Fig. 1.13, som viser klossen fullstendig isolert og med alle ytre krefter som angriper klossen og de kinematiske størrelsene v = x og a = x, kal­ les et «fritt-legeme-diagram». Vi ser at klossen er påvirket av kraften H, tyngden mg og føringskreftene normalkraften N og friksjonskraften /JN. Slik problemet er beskrevet har klossen 1 frihetsgrad: Bevegelsen skal foregå i x-retningen. Av de 3 kinetiske likningene fra kraftloven er kom-

30

SEK. 1.3

KINETIKK

Fig. 1.12 Fig. 1.13

Fig. 1.13. Fritt-legeme-diagram

Fig. 1.12

ponentlikningen for retningen normalt til figurplanet en uinteressant føringslikning. De resterende kinetiske likningene gir føringslikningen

Fy = 0 => N - mg = 0 => N = mg og bevegelseslikningen

Fx = mx => H - /uN = mx => x = Hhn - fj.g Generell løsning av denne likningen får vi ved å integrere to ganger.

x = (H/m - }lg)t + C1 => x = (H/m - jLLg)t2 /2 + Cxt + C2

Integrasjonskonstantene C\ og C2 bestemmes fra de gitte startbetingelsene. 1) x(0) = 0 => C2 = 0,

2) v(0) =x(0) = 0 => Q = 0

Dermed blir x(t) = (H/m - Iig')t2l2,

v(f) (H/m - JLLg^t

Eksempel 1.3. kraft proporsjonal med forskyvning I mange praktiske problemer er det mekaniske systemet påvirket av kref­ ter som kan regnes proporsjonale med forskyvninger i systemet. Dette er for eksempel tilfellet i lineært elastiske systemer. Som et enkelt eksempel ser vi på en vogn påvirket av en lineær fjær med fjærstivhet k, se fig. 1.14. k angir kraft i fjæren per enhet lengdeendring av denne. Vi velger koordinaten x(t) som gir vognens bevegelse, slik at x = jq når fjæren er kraftløs. Lengdeendringen av fjæren er da lik (x - jq). Fjærkraften er pro­ porsjonal med forskyvningen (x - x^) og lik k(x - xx).

31

KAP. 1

GRUNNLAGET

Vi antar som startbetingelser at ved tiden t = 0, er vognen i ro og fjæren struk­ ket et stykke x0. Bevegelsen x(t) skal bestemmes. Massen til vognens hjul og friksjo­ nen mellom hjul og underlag neglisjeres.

Fig. 1.14

Fig. 1.15 Fig. 1.16

Fig. 1.16. Harmonisk svingning

Fig. 1.15. Fritt-legeme-diagram

Kraftloven gir bevegelseslikningen, se fritt-legeme-diagrammet i fig. 1.15,

F = ma => -k(x-x^) = mx

Legg merke til at vi må anta at akselerasjonen a = x er positiv i retning av positiv x-akse. Det er fordi dx, og dermed v = dx/dt og dv = xdt er posi­ tive i retning av økende x-verdi. Bevegelseslikningen ordnes til differen­ siallikningen (1.21)

mx + kx = kx\

Dette er en lineær differensiallikning av 2. orden med konstante koeffisi­ enter. Startbetingelsene er (1-22)

1) jc(O)

=X\ +

Xq ,

2) v(0) = x(0) = 0

Vi har nå det matematiske problemet å løse en differensiallikning med startbetingelser (1.22). Generell løsning av (1.21) er

(1.23)

32

x = Q cos

j^t + C2 Vm

+ x1

KINETIKK

SEK. 1.3

fordi, for det første, denne funksjonen tilfredsstiller differensiallikningen (1.21). Det ser vi slik,

(1.24)

=> mx + kx = kx} For det andre, funksjonen (1.23) inneholder 2 uavhengige integrasjonskonstanter, C1 og C2, slik ordenen av differensiallikningen foreskriver. Settes startbetingelsen 2) fra (1.22) inn i uttrykket (1.24), får vi

sin C2 = 0 =» C2 = 0

fordi C1 ikke kan være lik null. Videre gir startbetingelsen 1) fra (1.22) for x(t) fra løsningen (1.23)

C1 cos C2 + x1 = x1 + x0 => C] = xq Dermed er bevegelsen av vognen gitt ved

x(t) = Xø cos

+ Xj

Klossens bevegelse er en enkel harmonisk svingning, konferer eksempel 1.1. Funksjonen x(t) er tegnet inn i fig. 1.16. Størrelsen x0 kalles amplitu­ den og tidsintervallet

T = 2jl — N k er svingetiden eller perioden. Svingetiden representerer den tid det tar for bevegelsen å gjenta seg. Den del av bevegelsen som gjentar seg, kalles en svingning eller en syklus. Antall svingninger per tidsenhet, sykler per tidsenhet, kalles frekvensen f = 1/r. Vi skal se nærmere på svingeproblemer i kapittel 7.

33

KAP. 1

GRUNNLAGET

Eksempel 1.4. kraft proporsjonal med hastighet

Et legeme med masse m kan bevege seg i en jr-retning på et horisontalplan. Legemet gies en starthastighet v0 idet x = x0 og t = 0. Bevegelsen brem­ ses av en støtdemper, som påvirker legemet med en kraft D som er pro­ porsjonal med blokkens hastighet v, D = cv, c er en proporsjonalitetsfaktor, som kalles dempningskoeffisienten. Vi skal bestemme bevegelsen x(t). Fig. 1.18 viser fritt-legeme-diagrammet. Kraftloven gir bevegelses­ likningen F = ma => —cv = ma => -cx = mx

Fig. 1.17

som ordnes til differen­ siallikningen

mx + cx = 0

(1.25)

Startbetingelsene er

l)x(O)=xo, 2) v(0) = v0

(1.26)

Den generelle løsningen av (1.25) er x = C1 + C2 exp(-ct/m)

(1.27)

Fig. 1.18

exp(-ct/m) er eksponensialfunksjonen med argu­ mentet (-ct/m), det vil si Fig. 1.18 Fritt-legeme-diagram grunntallet e = 2,718 opp­ høyet i eksponenten (-ctlm). Det er lett å vise at løsningen (1.27) tilfredsstiller differensiallik­ ningen (1.25), og fordi (1.27) dessuten inneholder to uavhengige integrasjonskonstanter slik ordenen av differensiallikningen foreskriver, må (1.27) være den generelle løsningen av (1.25). Av (1.27) får vi v = x = -C2(c/m) Qxp(-ct/m)

Integrasjonskonstantene C1 og C2 bestemmes av startbetingelsene (1.26) slik,

2) => -C2(c/m) = v0 => C2 = -vtfnlc 1) => C1 + C2 = x0

34

=> Q = x0 + v^mlc

INERTIALREFERANSER

SEK. 1.4

Bevegelsen av legemet er altså gitt av

x(t) = x0 + v0(m/c) [1 - exp(-ct/m)]

(1.28)

1.4 Inertialreferanser 1.4.1 Kinematikk relativt til to referanser Fig. 1.19 viser en vogn som beveger seg med hastighet v0 og akselera­ sjon a0 relativt til jorden. Vognens bevegelse kalles translasjon, som betyr at alle punkter fast i vognen beveger seg likt: med samme hastighet v0 og akselerasjon a0.

Fig. 1.19

Vi lar jorden og vognen representere to referanser som vi betegner henholdsvis med Rf og Rf. En partikkel P har bevegelsen r(t) relativt til Rf og bevegelsen r(t) relativt til Rf. Forbindelsen mellom de to bevegel­ sene er

r=ro+r

(1.29)

hvor r0 er stedsvektoren for referansepunktet O i Rf relativt til referansepunket O i Rf. Nå er

v0=r0,

ao = Vo=ro

d-30)

Partikkelens hastighet og akselerasjon i de to referansene er

v = r,

a=v=r

i Rf

(1.31)

v = r,

å = v=r

i Rf

(1.32)

35

GRUNNLAGET

KAP. 1

Av relasjonen (1.29) følger det at

v = v0 + v,

(1.33)

a = a0 + å

Disse relasjonene mellom kinematiske størrelser i to referanser gjelder under forutsetning av at referansene ikke roterer i forhold til hverandre. Tilsvarende kinematiske relasjoner for referanser i generell relativ beve­ gelse er vesentlig mer kompliserte. Presentasjon og diskusjon av dem utsettes til kapittel 6. Eksempel 1.5. relativ vindhastighet

Vinden er nordlig. En seilbåt slører mot sørøst med hastigheten v0 = 5 knop. Vindindikatoren ombord viser vindretningen 71° fra båtens senter­ linje. Vindhastigheten v skal bestemmes i antall meter per sekund. 1 knop = 1852 m/h.

Fig. 1.20 Fig. 1.21

Fig. 1.21

Fig. 1.20

Jorden er referanse Rf og båten referanse Rf. Hastighetsrelasjonen (1.33) er vist geometrisk i fig. 1.21. Sinussetningen gir v

sin(180° - 71°)

vo

sin 26°

=> v = 10,8 knop = 5,5 m/s

1.4.2 Kraftloven relativt til to referanser Observatører i referansene Rf og Rf, se fig. 1.22, vil stille opp kraftloven for en partikkel med masse m slik

36

INERTIALREFERANSER

F = ma

i Rf,

F = ma

i Rf

SEK. 1.4

(1.34)

Vi forutsetter at Rf translerer relativt til Rf med akselerasjonen a0. Det betyr at akselerasjonene a og a er forskjellige, og derfor at kreftene F og F ikke kan være de samme. Av (1.33) får vi

a = a - a0 Derfor blir

F=ma = ma-ma0 => F = F - ma0

Fig. 1.22

(1.35)

Vi ser herfra at i tillegg til de kreftene med resultant F som en observatør i Rf må regne med, må en observatør i Rf ta med en massekraft lik -a0. Bare dersom de to referansene er i uakselerert translasjon, a0 = 0, er kref­ tene på partikkelen de samme i de to referansene. Dersom Rf roterer relativt til Rf, vil forskjellen Aa mellom akselera­ sjonene a og a være gitt av et komplisert uttrykk, som vi ikke skal pre­ sentere før i kapittel 6.1 det tilfellet må observatøren i Rf ta med en ekstrakraft per masseenhet -Aa i tillegg til de kreftene som observatøren i Rf regner med. Eksempel 1.6.

PERSONHEIS SOM AKSELERERER

En mann med masse m står inne i en lukket heis uten vinduer, se fig. 1.23. En observatør, som står i ro relativt til heissjakten, skal beregne hvor stor kraft N som virker på mannen fra heisgolvet, når heisen beveger seg med akselerasjonen a oppover eller nedover. Relativt til heissjakten, referanse Rf, har mannen samme akselerasjon a som heisen. Observatøren, som kjenner a, beregner N ved å bruke kraftloven i Rf, se fig. 1.24a. Mannen er påvirket av tyngdekraften mg og golvkraften N. Kraftloven gir F - m a => N - mg - ma

Alternativt kan observatøren velge heisen som en referanse Rf. Mannen er i ro relativt til Rf, men blir nå påvirket av en kraft ma rettet nedover, i tillegg til tyngdekraften mg og golvkraften N, se fig. 1.24b. Kraftloven i

37

KAP. 1

GRUNNLAGET

Fig. 1.23 Fig. 1.24

Fig. 1.24

Rf gir

F = m a => N - mg - ma - 0 Resultatet av de to betegningene blir det samme N = m(g + a) Mannen i heisen kjenner ikke akselerasjonen a. Han føler en økning av tyngdekraften. Tyngdekraften g kan han måle med en fjærvekt og en kjent masse, eller ved å gjøre et pendelforsøk. En pendel med lengde £ får svingetiden r = 2/r^/g. Mannen vil finne at tyngdekraften har økt til g = g + a. Han kan så sette opp likevektslikningen for sitt legeme.

F = 0 => N - mg = Q => N = m(g + a) Med en vanlig badevekt kan mannen lese av kraften N direkte. For tilfellet a = 0, opplever mannen tilværelsen i heisen som helt nor­ mal. Alle eksperimenter han måtte finne på å utføre, vil gi samme resultat som om de var utført i mannens stue. Dersom heisen får en akselerasjon a nedover, reduseres kraften N fra normalverdien mg til m(g - a). For fritt fallende heis blir a = g, som gir N = 0. Observatøren vil da hevde at mannen, under påvirkning av tyng­ den mg, beveger seg i fritt fall med tyngdens akselerasjon g = 9,81 m/s2 vertikalt nedover. Mannen i heisen kan mene at han er i ro og vektløs.

38

SEK. 1.4

INERTIALREFERANSER

Eksempel 1.7. akselerert vannkar Et kar med vann kan be­ vege seg på et horisontalt underlag. Fig. 1.25 viser karet i ro. Vannoverflaten er da horisontal og altså normal til massekraften, her representert av tyngde­ kraften g. Fig. 1.26 viser karet i bevegelse med kon­ stant akselerasjon a. Vann­ overflaten er skrå og nor­ mal til massekraften g relativt til karet. I referan­ sesystemet Rf, som er karet, må vi nemlig regne med en horisontal massekraft -aex i tillegg til tyng­ dekraften -gev Vannet er i ro relativt til Rf og påvirket av et korrigert «tyngdefelt»

Fig. 1.25

Fig. 1.26

g = -gez-aex = g e

é er en enhetsvektor normalt til vannoverflaten. Vinkelen a som vann­ overflaten danner med horisontalplanet, er bestemt av: tan a = alg. Dersom vognen beveger seg med konstant hastighet, det vil si at a = 0, blir forholdene i vognen som i fig. 1.25. Vannflaten er horisontal.

Fig. 1.27 Fig. 1.28

Fig. 1.27

Fig. 1.28

Fig. 1.27 viser et lukket kar med vann som beveger seg med konstant hastighet på et horisontalt underlag. I karet er plassert to små legemer, ett

39

KAP. 1

GRUNNLAGET

med densitet p’ < p, hvor p er vannets densitet, og ett med densitet p” > p. Fig. 1.28 viser systemet i translasjon med konstant akselerasjon a mot høyre. Det lette legemet beveger seg mot øverste høyre kant, mens det tunge legemet går mot nederste venstre kant. Massekraften relativt karet er g nedover mot venstre, som i tilfellet i fig. 1.26.

1.4.3 Relativitetsprinsippet Den primære referansen i klassisk mekanikk er Melkeveien RfM. I denne referansen er massekreftene på et legeme gitt av gjensidige påvirkninger av andre legemer og følger Newtons 3. lov om kraft og motkraft. Vi skal kalle disse kreftene ordinære massekrefter I alle referanser som er i uakselerert translasjon i forhold til primærreferansen Melkeveien, er massekreftene og kontaktkrefter de samme. Disse referansene kalles inertialreferanser eller inertialsystemer. Kraft­ loven har identiske matematiske uttrykk relativt til inertialreferansene. Den mest vanlige referansen som brukes i forbindelse med mekaniske systemer på jorden, er jordkloden selv. Jorden kan, som vi skal vise i kapittel 6, benyttes som en tilnærmet inertialreferanse i de fleste tilfeller. Det at mekanikkens lover er invariante med hensyn til overgang fra én inertialreferanse til en annen inertialreferanse, kalles relativitetsprinsip­ pet i klassisk mekanikk, eller også relativitetsprinsippet til Galilei, etter Galileo Galilei [1564-1642]. I en referanse som akselererer relativt til en intertialreferanse, må vi i tillegg til de ordinære massekreftene regne med ekstraordinære masse­ krefter, som skyldes bevegelsen av referansen relativt inertialreferansen. De ekstraordinære massekreftene oppfyller ikke Newtons 3. lov. De har ikke motkrefter. På den annen side opptrer de som reelle krefter på linje med gravitasjonskrefter fra fjerne legemer. For eksempel, dersom man­ nen i heisen i eksempel 1.6 ikke var klar over at han befant seg i en heis i akselerert bevegelse, ville han ikke være i stand til å skille mellom mas­ sekreftene mg og ma. Som nevnt ovenfor, er det bare tilnærmet riktig å behandle jorden som en inertialreferanse. Jordrotasjonen introduserer to typer ekstraordinære massekrefter. Den ene er rettet ut fra rotasjonsaksen og kalles en sentrifu­ galkraft. Denne blir kombinert med gravitasjonkraften fra jorden til den effektive tyngdekraften g’. Den andre ekstraordinære massekraften i jordreferansen er den såkalte Coriolis-kraften, oppkalt etter Gustave Gaspard Coriolis [1792-1843]. Denne kraften, som virker normalt til fartsret­ ningen til legemet som angripes, er som regel neglisjerbar. Men den er

40

INERTIALREFERANSER

SEK. 1.4

allikevel ansvarlig for vindenes avbøyning mot høyre på nordlige halv­ kule og mot venstre på sørlige halvkule.

1.4.4 Treghetskrefter. D’Alemberts prinsipp. De ekstraordinære massekreftene kalles ofte for treghetskrefter eller inertialkrefter. Disse navnene har sin forklaring i følgende betraktningsmåte. Fig. 1.29 viser en vogn som i horisontal retning er påvirket av to krefter: trekkraften K og snorkraften S. Vognen er i likevekt, og likevektslikningen F = 0 gir resultatet K - S = 0. I fig. 1.30a er vognen påvirket av trekkraften K og får en akselerasjon a i retning av K. Kraftloven F = ma gir resultatet K = ma, hvor m er vognens masse. I første tilfelle, fig. 1.29, resulterte trekkraften K i en reaksjonskraft S i snoren. I det andre tilfellet, fig. 1.30a, kan vi forestille oss at vognens treghet, representert kvantita­ tivt ved massen m, etablerer en reaksjonskraft til trekkraften K lik ma, se fig. 1.30b, alstå slik at likevekt eksisterer til enhver tid. Vektoren -ma kalles en treghetskraft. Likevektslikningen er nå K - ma = 0. Mens vog­ nen i fig. 1.29 er i statisk likevekt, er vognen i fig. 1.30 i dynamisk likevekt.

Formelt kan vi for en massepartikkel skri­ ve kraftloven F = ma som en likevektslikning

F-ma = 0 Summen av alle krefter, inklusive treghetskraften -ma, er lik null. Likning (1.36) kalles også en dynamisk like­ vektslikning.

Fig. 1.29

(1.36)

Fig. 1.30

Denne betraktningsmåten kalles ofte for D’Alemberts prinsipp etter Jean Le Rond D’Alembert [1717-1783], Prinsippet innfører ikke noe nytt regneteknisk og er derfor overflødig. Men enkelte vil foretrekke å benytte likevektslikninger fremfor bevegelseslikningen Prinsippet blir ikke anvendt i denne boken. Navnet D’Alembert’s prinsipp er også knyttet til en arbeidsmetode hvor virtuelt arbeid av kreftene og treghetskreftene på et system settes lik null.

41

KAP. 1

GRUNNLAGET

1.5 Sammendrag av kapittel 1 Dynamikk deles i kinematikk, som er bevegelsesgeometri med hastig­ het og akselerasjon som de viktigste grunnbegrepene, og kinetikk, som behandler samvirke mellom krefter og den bevegelse de forårsaker. De legemer mekanikken omhandler idealiseres til massepartikkel, som er et legeme med neglisjerbar utstrekning, system av massepartikler, kontinuum, deformerbart legeme og stivt legeme. Bevegelsen til et legeme refereres til et referanselegeme, kalt en referanse Rf. I et kartesisk koordinatsystem Oxyz fast i Rf markerer koordinatsettet (x,y,z) stedet til en partikkel P. Vektoren fra origo O til P er stedsvektoren r(t). Partikkelens hastighet og akselerasjon er vek­ toren definert slik: Hastighet er stedsendring per tidsenhet og gitt ved vektoren (1.8)

z x def r(r + Ar) - r(r) Ar dr v(r) = hm -- --------- -------— = hm — = — = r At—>o Ar At—>o Ar dt Akselerasjon er hastighetsendring per tidsenhet og gitt ved vektoren

(1.13)

z def .. v(r + Ar) - v(r) Av dv a(r) = hm —---------------- — = hm — = — = v = r At—»o Ar At->o Ar dt

Veilengde s(t) er buelengden langs partikkelens bane målt fra et sted Po hvor partikkelen er ved et referansetidspunkt r0 til stedet r(t) hvor partikkelen er ved tiden r. Den skalare definisjonen av hastighet er gitt ved (1.2)

z . def As ds v(r) = hm — = — = 5 Az-^o Ar dt

Det følger av definisjonene (1.8) og (1.2) at | V | = | v |. Baneakselerasjonen er definert ved (1.3)

42

, . def Av dv a(t) = lim — = — = v = s Az—>o Ar dt

SAMMENDRAG

SEK. 1.5

Mekanikken bygger på Newtons tre bevegelseslover: 1. lov.

Et legeme forblir i ro eller i rettlinjet bevegelse med kon­ stant hastighet dersom det ikke er påvirket av en kraft.

2. lov.

Endring av bevegelsen til et legeme, uttrykt ved pro­ duktet av masse og akselerasjon, er proporsjonal med kraften og rettet i kraftens retning.

3. lov.

To legemer virker på hverandre med like store og mot­ satt rettede krefter med felles angrepslinje.

De to første lovene er inneholdt i vektorformelen

F = /??a

(1.14)

som vi kaller kraftloven for en massepartikkel. F står for resultanten av alle krefter som virker på partikkelen. Newtons 3. lov er loven om kraft og motkraft. Et legeme kan være påvirket av to typer krefter: massekrefter, reg­ net som kraft per masseenhet, og kontaktkrefter på legemets overflate, regnet som kraft per arealenhet. Massekreftene representerer fjempåvirkning fra andre legemer på legemet. Gravitasjon, elektrostatisk og magnetisk påvirkning, og sentrifugalkrefter er eksempler på masse­ krefter. Den mest typiske massekraften er tyngdekraften g i det paral­ lelle og konstante tyngdefeltet, med standardverdien g = 9,81 N/kg

(1.15)

Massekrefter kan også være gitt som kraft per volumenhet og kalles da volumkrefter. Kontaktkrefter er nærpåvirkning fra andre legemer som er i fysisk kontakt med legemet. Primærreferansen i mekanikken er Melkeveien RfM. I denne refe­ ransen er massekreftene på et legeme gjensidige påvirkninger fra andre legemer og følger Newtons 3. lov. Dette er ordinære massekrefter. Et stivt legeme er i translasjon relativt til en referanse dersom alle punkter i legemet har samme bevegelse. I alle referanser som er i uakselerert translasjon relativt til RfM, er massekrefter og kontaktkrefter de samme. Disse referansene kalles inertialreferanser. I en referanse som akselererer relativt til en inertialreferanse, må vi i tillegg til de ordinære massekreftene regne med ekstraordinære massekrefter. Disse kreftene følger ikke Newtons 3. lov.

43

KAP. 1

GRUNNLAGET

Oppgaver Oppgave 1.1 Veifunksjonen til en partikkel er s(t) = 4t2 -13 - 3, hvor 5 er gitt i meter og t i sekunder. Bestem hastigheten v(t) og akselerasjonen a(t). Beregn hastighet og akselerasjon når t er 2 sekunder. Bestem ekstre­ malverdier og nullpunkter for funksjonene s(t), v(t) og a(t) i intervallet t = [0,3]v. Skisser diagrammene for de tre funksjonene i intervallet t = [0,3]s. Svar:

v(2) = 4 m/s,

a(2) = -4 m/s2,

smin = -3m

Smaks — 6,48 m, Unzn ~ Itt/S, ^maks ~ 5,33 m/s amin = -10 m/s2, amaks = 8 m/s2.

Oppgave 1.2 En partikkel i rettlinjet bevegelse langs en jr-akse får akse­ lerasjonen a = 2 - 2t, hvor a er gitt i [m/s2] og t i sekunder. Ved tiden t = 0, er v = 3 m/s og x = 1 m. Bestem v(t) og x(t). Skisser diagrammene for funksjonene a(t), v(t) og x(t) i intervallet t = [0,4]^. Svar: x(t) = t2-t2/3 + 3t + 1 [m].

Oppgave 1.3 En personheis er konstruert for en maksimal hastighet 4 m/s og maksimal akselerasjon ±0,3g, hvor g = 9,81 m/s2. Hva er minimumstiden heisen bruker fra den starter i 1. etasje til den stopper i 20. etasje 80 m opp?

Svar: 21,4 s. Oppgave 1.4 En forskningsrakett sendes vertikalt til værs. En radar føl­ ger raketten og registrerer vinkelen 0 som funksjon av tiden: 0(t). Bestem funksjonen v(0,0 £) for rakettens has­ tighet.

Fig. Oppg. 1.4

Svar: £0/cos20.

Oppgave 1.5 En bil med masse 1500 kg kjører i 60 km/h på en horison­ tal vei. Bilen skal stoppe med en maksimal bremsekraft på 5,2 kN. Hvor lang tid tar det å stoppe bilen, og hvor lang er bremsestrekningen?

Svar: 4,8 s,

44

40 m.

OPPGAVER

KAP. 1

Oppgave 1.6 En bil med masse 1000 kg skal akselerere fra ro til hastig­ heten 80 km/h. Anta at dreiemomentet på hjulene er konstant lik 700 Nm. Hjuldiameteren er 0,6 m. Beregn akselerasjonstiden.

Svar: 9,5 5.

Oppgave 1.7 En mann som veier 80 kg, benytter personheisen i oppgave 1.3. Hvor stor er reaksjonkraften fra heisgolvet på mannen i akselerasjonsperioden og retardasjonsperioden? Svar: 1020 N,

549 N.

Oppgave 1.8 For systemet i eksempel 1.4 er m = 100 kg, c = 400 Ns/m, v0 = 0,2 m/s og xQ = 0,100 m. Beregn v og .x etter t = 0,3 s. Tegn diagram­ mene for v(t), x(t) og v(x).

Svar: 0,060 m/s,

0,135 m.

Oppgave 1.9 Et lodd med masse m = 10 kg slippes fra ro og faller fritt et stykke h = 0,10 m før det treffer en fjær. Fjærstivheten er k = 2,8 kN/m. Fjærens masse neglisjeres. Beregn fjærens maksimale sammentrykning 5. I denne versjonen av oppgaven skal kraftloven brukes. Men oppgaven løses lettest ved å bruke arbeidsteoremet som blir presentert i seksjon 2.4. Oppgaven er derfor også gitt i kapittel 2 som oppgave 2.13.

Fig. Oppg. 1.9

Svar: 0,126 m.

Oppgave 1.10 Vinden er nordlig. En seilbåt har kurs rett mot nordøst. Farten er 2,5 knop. Vindindikatoren ombord viser vindretningen 35° fra båtens senterlinje. Bestem vindhastigheten. Svar: 4,2 m/s.

Oppgave 1.11 Satellittene A og B skal føres sammen. Like før sammenføringsprosessen tar til, er avstanden mellom satellittene 15 000 m, og de beveger seg tilnærmet langs samme rette linje med hastigheten vA = 8 000 m/s og vB = 8 050 m/s relativt til jordoverflaten, og med A foran B.

45

GRUNNLAGET

KAP. 1

Bremseraketter på satellitt B gir en konstant bremsekraft F. Massen til B regnes konstant og lik 900 kg. Bestem hvor stor F må være for at satellit­ tene skal komme sammen med null relativ hastighet. Hvor lang tid må bremserakettene være virksomme? Svar: 75 N,

600 s.

Oppgave 1.12 En partikkel med masse m kan bevege seg på en sirkulær friksjonsfri føring som er festet til en vogn. Vognen beveger seg med konstant akselerasjon a. Partikkelen kan da holde seg i en fast posisjon på føringen gitt ved vinkelen 6. Bestem 0.

Svar: tan 0 = gla.

m

ig. Oppg. 1.12

46

PARTIKKELDYNAMIKK

2.1

Plan bevegelse..................................

48

Oppgaver 2.1-2.7

2.2

Polarkoordinater ..............................

60

Oppgaver 2.8-2.10

2.3

Tangentialakselerasjon og normalakselerasjon ..........................

67

Oppgaver 2.11-2.12

2.4

Arbeid og energi ..............................

76

Oppgaver 2.13-2.17

2.5

Kraftimpuls og støt..........................

97

Oppgaver 2.18-2.25

2.6

Sentralkraftbevegelse ......................

105

Oppgaver 2.26-2.29

2.7

Sammendrag .................................... Oppgaver 2.1-2.52 ....................................

120 123

KAP. 2

PARTIKKELDYNAMIKK

2.1 Plan bevegelse En partikkel som beveger seg i et fast plan, har plan bevegelse. Velger vi et kartesisk koordinatsystem Oxy fast i planet, kan partikkelens bevegelse beskrives av 2 koordinatfunksjoner x(t) ogy(t). Dersom partikkelen ikke er pålagt føring i planet, slik at partikkelen har 2 frihetsgrader, blir kraftlovens komponentlikninger Fx = max = mx,

Fy = may = my,

2 uavhengige bevegelseslikninger hvorfra x(t) og y(t) kan bestemmes. Dette blir demonstrert i seksjon 2.1.1 om kastebevegelse. Dersom partikkelen er pålagt en føring i planet, kan kraftlovens 2 komponentlikninger reduseres til en bevegelseslikning og en føringslikning. I seksjonene 2.1.2 og 2.1.3 diskuteres den vanligste type ført beve­ gelse, nemlig sirkelbevegelse.

2.1.1 Kastebevegelse Et legeme som kastes, eller et prosjektil som skytes ut, og som så beveger seg fritt under påvirkning av tyngdekraften, vil følge en ballistisk bane eller kastebane. Ballo betyr kaste på gresk. Ballista var navnet på et mili­ tært kastevåpen i oldtiden. Idag kalles læren om bevegelsen til prosjekti­ ler i fri flukt for ballistikk. Vi skal her se på grunnlaget for kastebevegelse når vi neglisjerer virkningen av luftmotstanden. Et legeme kastes med hastighet v0 som danner vinkelen 0 med hori­ sontalplanet, se fig. 2.1. Vi skal beregne hvor høyt h legemet går, og bestemme den banen y(x) legemet følger.

Fig. 2.1

Fig. 2.1. Kastebevegelse

Vi skal idealisere problemet og betrakter legemet som en partikkel med masse m. Luftmotstanden neglisjeres, og vi regner at partikkelen

48

SEK. 2.1

PLAN BEVEGELSE

beveger seg fritt, bare påvirket av tyngdekraften g. Fordi starthastigheten v0 ligger i jty-planet, og partikkelen ikke er påvirket av krefter normalt dette planet, vil bevegelsen foregå i .xy-planet. Startbetingelsene kan uttrykkes slik

x(0) = 0,

y(0) = 0,

i(0) = v0cosØ,

y(O) = vosinØ

(2.1)

Kraftloven resulterer i to uavhengige bevegelseslikninger Fx = max => 0 = mx => jc = 0 = may => -mg = my => y - -g

Integrasjon av disse likningene gir x = Cb

x = €\t + C2

y=-gt + C3,

y = -gt2/2 + C3t + C4

hvor Cj, C2, C3 og C4 er integrasjonkonstanter som bestemmes av start­ betingelsene (2.1). Vi finner ved å anvende startbetingelsene i den rekke­ følge de har i (2.1) at

C2 = 0,

C4 = 0,

C1 = v0cosØ,

C3 = vosinØ

Dermed har vi bevegelsen gitt ved stedskoordinatene x(t) = [v0cosØ]r,

(2.2)

y(t) = [vosinØ]t - gt2/2

For å finne hvor høyt, y = h, partikkelen går, bestemmer vi først tids­ punktet th for vy = y = 0. y(th) = vosinØ-gtA = 0 => 4

th = [vøsinØ] lg

stigetid

(2.3)

Dermed blir h = y(th) ifølge formel (2.2) lik

h = [v0sinØ]2 /2g

stigehøyde

(2.4)

Kastebanen y(x) finner vi ved å eliminere tiden t fra funksjonene x(t) og y(t) i formlene (2.2). Resultatet blir y(x) = [tanØ]x- [g/2v02][ 1 + tan2 fl] * 2

(2.5)

49

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Kastebanen er en parabel. Kastelengden £, definert i fig. 2.1, bestemmes ved å sette y(£) = 0 i likning (2.5). Vi finner da (2.6)

£ - [v02sin20] /g

kastelengde

For en gitt starthastighet v0 blir kastelengden størst for kastevinkel 0 = 45°. Vi finner (2.7)

^max =

Vq

lg

Luftmotstanden kan ha stor innvirkning på kastebanen og får større betydning dess mindre legemet er. Beregninger av maksimal kastelengde £max °S tilhørende kastevinkel 0 for stålkuler med utgangshastigheten v0 = 50 m/s og ulike diametrer d illustrerer dette. Formel (2.7) gir £max = 254,8 m for 0 = 45°. Med luftmotstand gir: d = 500 mm: £max = 253 m ved 0 = 45,0°, d - 100 mm: £majc = 232 m ved 0 = 44,0°, og d = 10 mm: £max = 132 m, 0 = 40,7°.

Eksempel 2.1. En kanon K skyter et prosjektil mot et mål M, se fig. 2.2. Prosjektilets utgangshastighet er v0 = 250 m/s. Vi skal bestemme nødvendig elevasjonsvinkel Øfor kanonen. Luftmotstanden neglisjeres.

Fig. 2.2 Fig. 2.3

Fig. 2.2

Fig. 2.3

Vi antar at prosjektilet går i en kastebane. I koordinatsystemet Kxy, se fig. 2.2, er banen gitt av likning (2.5). Med koordinatene x = 3500 m og y = 500 m for målet M innsatt i (2.5), får vi følgende likning for elevasjons vinkelen

50

SEK. 2.1

PLAN BEVEGELSE

500 = [tanØ]3500 - [9,81/2 • (250)2][ 1 + tan20](3500)2 => tan20-3,641 tan 6+ 1,520 = 0 =>

tanØ= 0,481 => Øj = 25,7°,

tanØ=3,16 => 02 = 72,4°

Vi finner altså to løsninger, som gir en lav bane for Øj = 25,7° og en høy bane for 02 = 72,4°. Fig. 2.3 viser de to banene. Stigetid th og stigehøyde h er gitt av formlene (2.3) og (2.4). Vi finner 0, => r/2=ll,ls,

h = 599 m,

02 => t/j = 24,3s,

/i = 2896m

2.1.2 Sirkelbevegelse En partikkel med masse m er tvunget til å bevege seg på en sirkel med radius r. Partikkelen kan være festet til enden av en snor eller en rote­ rende stang, som vist i fig. 2.6 til eksempel 2.2., eller den sirkulære beve­ gelsen kan være foreskrevet av en sirkulær føringsring, som vist i fig. 2.4, eller føringsflate, som vist i fig. 2.8 til eksempel 2.3. Vi skal utvikle uttrykk for partikkelens akselerasjoner tangentielt og normalt til sirkelbanen, og stille opp kraftlovens komponentlikninger.

Fig. 2.4 Fig. 2.5

Fig. 2.4

Fig. 2.5. Fritt-legemediagram

Partikkelens bevegelse kan beskrives av stedsvektoren fra sirkelens sentrum O, se fig. 2.4,

r(t) = x(t)ex + y(t)ey

(2.8)

51

KAP. 2

PARTIKKELDYNAMIKK

Føringsbetingelsen x2(t) + y2(t) = r2 gir problemet en frihetsgrad, nemlig en bevegelse langs en fast kurve: sirkelen med radius r. Vi innfører som koordinat for bevegelsen vinkelen 0(t) mellom jc-aksen og steds vektoren. Da blir (2.9)

x(t) = r cosØ (t),

y(t) = r sinØ(r)

Vi innfører to enhetsvektorer til sirkelen: hovednormalen en og tangentvektoren et, se fig. 2.4.

(2.10)

efi = -xlr - - cosØ er - sinØ ey v, e. i = - sin# er + cos 6 ey v «a.

Når vi knytter disse enhetsvektorene til partikkelens posisjon ved tiden t, blir en = en(t) og et = et(t). Materiell-derivasjon gir

é n = -r/r = sinØ • 0 ex - cosø • 0 ey,

é t = - cosØ • 0 ex - sinø • 0 ev

som ordnes til (2.11)

éH = -éez,

ét=øen

Vi kan nå skrive for bevegelsen av partikkelen

(2.12)

r(t) = -ren(t) Partikkelens hastighet- og akselerasjon bestemmes slik

v = r = -rén = réet,

a = v= rØet-røét = rø et-r(0}2en

som vi ordner til (2.13)

V = v et,

v= rø

a = atet + anen,

at = rØ = v ,

an = r(Ø)2 = v2/r

at er tangentialakselerasjonen og representerer endringen av hastighetsvektorens mål. an er normalakselerasjonen og representerer endringen av hastighetsvektorens retning. Alternative navn på at og an er henholdsvis baneakselerasjon og sentripetalakselerasjon. 0 kalles vinkelhastigheten og 0 kalles vinkelakselerasjonen til steds vektoren. I fig. 2.4 er vinkelhas­ tigheten markert med en krumpil som angir rotasjonsretningen, og vin­ kelakselerasjonen er markert med en krumpil som peker i retning av økende vinkelhastighet. Kraftloven har følgende to komponentlikninger i det planet partikke­ len beveger seg, se fritt-legeme-diagrammet i fig. 2.5, 52

SEK. 2.1

PLAN BEVEGELSE

Ft = mat,

Fn = man

(2.14)

Eksempel 2.2.

En partikkel P med masse m er festet til en stang OP. Stangen med par­ tikkelen roterer om en horisontal akse gjennom O med konstant vinkel­ hastighet 0 = co. Føringskreftene F og N som overføres fra stang til par­ tikkel, skal bestemmes, se fig. 2.7.1 tillegg til føringskreftene er partikke­ len påvirket av tyngdekraften mg.

Fig. 2.6 Fig. 2.7

Fig. 2.6

Fig. 2.7. Fritt-legeme-diagram

Partikkelhastigheten er konstant og lik v = rco. Tangentialakselerasjonen blir null og normalakselerasjonen er an = v1/r = rco1. Fig. 2.7 viser fritt-legeme-diagrammet for partikkelen. Kraftloven (2.14) gir to føringslikninger 4 Ft = mat => F - mg cosØ = m • 0 Fn = man => N + mg sinØ = mraF

Herfra bestemmer vi føringskreftene F = mg cos 0 ,

N = mrco

- mg sin 0

Maksimalverdiene blir \F\max = m8 Nmax

for

0=0° Og 180°

~ mr(& + mg

f°r

0 = 270°

53

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Eksempel 2.3.

En partikkel med masse m beveger seg på en vertikal sirkulær føring med radius r under påvirkning av tyngdekraften, se fig. 2.8. Startbetingelsen er at hastigheten er null idet vinkelen 0 er lik 00. Føringen er friksjonsfri. Vi skal bestemme partikkelhastigheten v og føringskraften N mellom par­ tikkel og den sirkulære føringen som funksjoner av vinkelen 0.

Fig. 2.8 Fig. 2.9

Fig. 2.8

Fig. 2.9. Fritt-legemediagram

Kraftloven gir ifølge fritt-legeme-diagrammet i fig. 2.9 bevegelseslik­ ningen

Ft = mat => -mg cosØ = mrØ => rØ = -g cosØ Likningen multipliseres med 2rØ, og vi får a d , -y n J(sin 0) 2r“00 = -2gr cos 0 • 0 => — (rØ)2 = -2gr----------dt dt

Integrasjon resulterer i v2 = (rØ)2 = -2gr sinØ + C Integrasjonskonstanten C bestemmes fra startbetingelsen: v = 0 for 0 = 00. Det gir C = 2rg sinØo, og vi har for partikkelhastigheten v = A/2gr(sin 00 - sin 0)

Kraftlovens andre komponentlikning er her en føringslikning som bestemmer føringskraften N. Fn = man => -N + mg sinØ = mv2/r =>

N = m [g sin 0 - v2/r] = mg [3 sin 0 - 2 sin 00]

54

PLAN BEVEGELSE

SEK. 2.1

Dersom partikkelen ligger oppe på sirkelføringen, som antydet i fig. 2.8, må kravet N > 0 oppfylles for at partikkel og føring skal være i kon­ takt. Partikkelen forlater da føringen idet N blir lik null, det vil si idet vin­ kelen 0 oppfyller betingelsen: sinØ = (2/3) sinØo.

2.1.3 Matematisk pendel En partikkel med masse m henger i en utøyelig snor med lengde / og svinger fritt i et vertikalplan under tyngdens påvirkning, se fig. 2.10. Sys­ temet kalles en matematisk pendel. Vi skal bestemme bevegelsen gitt ved vinkelen 0(t), perioden rog snorkraften S. Startbetingelsene skal være

1) 0(0) = 00,

(2.15)

2)0(0) = 0

Pendelen starter altså fra ro med utslags vinkelen 00. Fig. 2.11 viser fritt-legeme-diagrammet for partikkelen, som er påvir­ ket av snorkraft S og tyngdekraft mg. Hastighet og akselerasjoner blir v = £0,

at = v = £0,

an = v2/£ = £(0)2

Kraftloven gir nå Ft = mat => -mg sinØ = m/0

(2.16)

Fn - man => S - mg cosØ = m£(6)2

(2.17)

Fig. 2.10 Fig. 2.11 Fritt-legeme-diagram

Fig. 2.10 Fig. 2.11

55

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

(2.16) er bevegelseslikningen, og denne ordnes til (2.18)

0 + (g/£) sinØ = 0

Likningen kan ikke løses analytisk ved kvadratur. Numerisk løsning må til. Dette skal vi komme tilbake til i seksjon 2.1.4 nedenfor. Vi skal nå først anta at utslags vinkelen er liten, slik at vi kan sette sinØ ~ 0. Bevegelseslikningen (2.18) går da over til å være en svingelikning av samme form som vi har i eksempel 1.3,

(2.19)

6 +(g/£)Q=0

Følgende løsning tilfredsstiller startbetingelsene (2.15)

(2.20)

0(t) = 00 cos(7F^ 0 Perioden T er den tiden pendelen bruker på en fullstendig svingning: fra 0 = 00 til 0 = 00 igjen, det vil si fra cosinus er lik 1 til cosinus er lik 1 igjen, for eksempel fra t = 0 til t = t. Vi setter argumentet for cosinus, xg/l T, lik 2tt og finner

(2.21)

T = 2jt-j£/g

Snorkraften 5 kan nå bestemmes fra føringslikningen (2.17) og løs­ ningen (2.20). Men vi skal utvikle en generell formel for S, som også gjelder for store utslags vinkler. Vi multipliserer bevegelseslikningen (2.18) med 20 og får 200 = -2(g/£) sin 0 • 0 =>

dt

= 2(g/£) — (cos 0) dt

Denne likningen kan integreres og gir ved hjelp av startbetingelsene (2.15) at (2.22)

(0) 2 = 2(g/£) [cos0-cos00] Nå kan vi av (2.17) og (2.22) bestemme en generell formel for snorkraf­ ten, som også gjelder for store utslagsvinkler,

(2.23)

56

S = mg [3 cosØ - 2 cos00]

SEK. 2.1

PLAN BEVEGELSE

for små utslagsvinkler setter vi inn løsningen (2.20). Alternativt kan vi bestemme Øfra løsningen (2.20) og sette denne inn i (2.17), som da gir 5(r) = [1 + 002 sin(y[g/£ 0] mg,

5max = (1 +

Oo2) mg

2.1.4 Matematisk pendel: Perioden for store utslag Vi skal presentere resultatet av en numerisk løsning som gir perioden r for vilkårlig maksimal utslagsvinkel 00. Utgangslikningen er den inte­ grerte bevegelseslikningen (2.22). Denne omformes til , dØ dt =----- ,............ - ......... y g ^2[cos 0 - cos 00]

(2.24)

Før denne differensiallikningen integreres numerisk, innfører vi en trigo­ nometrisk formel og en ny variabel ø, cos# = 1 - 2 sin2(012) 2 sin(012) - 2 sin(00/2) • sinø => cos(012) • dØ= 2 sin(00/2) • cosø • I- . \ g yjl - sin"(00/2) sin" ø

(2.25)

Integrasjon av (2.25) fører til

T = 2nC-/f^ ,

< 2 Æ/2 dd) C = - J ■■■... , ■ , 71 o a/1 ~ sin2(00/2) sin" ø

(2.26)

Integralet i (2.26) kalles et elliptisk integral og må beregnes numerisk. C er en korreksjonsfaktor som markerer forholdet mellom eksakt verdi (2.26) og tilnærmet verdi (2.21) for perioden T. Diagrammet i fig. 2.12 viser C som funksjon av utslagsvinkel 00. Vi ser at formel (2.19) for svingetiden gir verdier med mindre enn 1% feil for 00 < 22°. For 00 = 10° er C = 1,002. For 0Q > 90° gjelder løsningen bare under forutsetning av at snoren er erstattet av en stiv stang.

57

KAP. 2

PARTIKKELDYNAMIKK

Fig. 2.12

Fig. 2.12. Korreksjons}aktor C for store utslagsvinkler 6q

2.1.5 Sykloidebevegelse Fig. 2.13 viser et hjul med radius r som ruller uten å gli på et horisontalt underlag. Hjulets bevegelse kalles ren rulling. I kapittel 5 skal vi disku­ tere kinematikken for rullende hjul. Her skal vi se nærmere på bevegel­ sen til en partikkel A på hjulets periferi. Resultatene vi kommer til, vil ha interesse når vi senere analyserer hjulets kinematikk.

Fig. 2.13

Fig. 2.13. Rullende hjul: Sykloidebevegelse

58

PLAN BEVEGELSE

SEK. 2.1

Vi velger et kartesisk koordinatsystem Oxy som vist i fig. 2.13. Origo O er valgt slik at det faller sammen med A ved et tidspunkt t0. A er da kontaktpunkt mellom hjul og underlag. Hjulsenteret C får rettlinjet beve­ gelse, og vi antar at denne bevegelsen er gitt ved koordinaten xc = xc(t). Hastighet og akselerasjon til C er henholdsvis vc = xcog ac = vc = xc. Ved tidspunktet t er koordinatene x(t) og y(t) til partikkelen A, ifølge fig. 2.13,

x(t) = xc(t) - r sini/(f),

y(t) = r- r cosy/(t)

(2.27)

Her er 1/ (t) rotasjonsvinkelen til radien CA, det vil si den vinkelen CA har rotert fra den vertikale posisjonen ved tiden t0 til posisjonen ved tiden t. Kaller vi kontaktpunktet mellom hjul og underlag for P ved tiden t, så er 1/ vinkelen mellom radiene CP og CA. Av den kinematiske betingelsen ren rulling følger det at buen AP er lik rullelengden xc. Det betyr at xc =

vo = R0

aR = R- Æ(0)2,

ae = RØ + 2RØ = R

dt

Kraftloven F = ma gir følgende to komponentlikninger i 7?0-planet

(2.42)

Fr = maR = m [R -R( Ø)2]

(2.43)

Fq -- mae = m [RO + 2RØ ]

Fr og Fq er komponentene til resulterende kraft F i henholdsvis Æ-retning og 0-retning. Eksempel 2.4.

En partikkel med masse m beveger seg langs en rett føringsstang OA. Stangen roterer i et horisontalplan med konstant vinkelhastighet 0 = co. Partikkelens hastighet vR = R relativt til stangen holdes konstant lik v ved hjelp av en snor fra origo O. Friksjonen mellom partikkel og stang

Fig. 2.16 Fig. 2.17

Fig. 2.16

62

Fig. 2.17. Fritt-legeme-diagram

POLARKOORDINATER

SEK. 2.2

neglisjeres. Føringskraften N og snorkraften S, se fig. 2.17, skal bestem­ mes som funksjoner av partikkelens avstand R fra rotasjonsaksen. Fordi 0 og R er konstanter, blir 0 = R = 0. Kraftloven (2.42) og (2.43) gir da Fr = maR = -mRco => S = mRco Fd - mae = 2mvco => N = 2mvco

Legg merke til at N er uavhengig av R og skifter retning med v og med co.

2.2.1 Svingning i roterende referanse En partikkel med masse m kan bevege seg friksjonsfritt langs en stang, se fig. 2.18. Stangen roterer med konstant vinkelhastighet 0 = co i et horisontalplan. Til partikkelen er festet en lineær fjær med fjærstivhet k. Fjæren er kraftløs for R = R^. Bevegelsen av partikkelen starter ved t = 0, og da er R = Ro, R = 0 og 0 = 00. Oppgaven er å bestemme bevegelsen gitt ved R(t) og 0(t), og føringskraften N mellom stang og partikkel. R(t) repre­ senterer en rettlinjet bevegelse i en referanse fast i den roterende stangen.

Fig. 2.18 Fig. 2.19

Fig. 2.18

Fig. 2.19. Fritt-legeme-diagram

Bevegelsen 0(t) er bestemt av den kinematiske betingelsen 0(t) = co = konstant. Med startbetingelsen 0(0) = 00, finner vi 0(t) — cot + ØQ

(2.44)

Fig. 2.19 viser fritt-legeme-diagrammet for partikkelen med krefter og akselerasjoner. Kraftloven (2.42) gir bevegelseslikningen

63

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

FR = maR => -k(R-Rx) - m[R -Rco2] => (2.45)

R + [kim - to2]R = kRx/m

Denne differensiallikningen har samme form som likning (1.21). Startbe­ tingelsene er

(2.46)

l)R(O) = Ro>

2)R(0) = 0

Forholdet maftlk avgjør hvilken type løsning vi får av likningssettet (2.45) og (2.46). Vi finner 3 ulike løsningstyper: 1. mæ2/k = 1. Koeffisienten foran R i (2.45) blir null, og vi står igjen med: R = kR^/m. To integrasjoner gir

R = (kRy/m) t + C1 ,

R = (kRj/2m) t2 + Cp + C2

Startbetingelsene (2.46) gir: Q = 0 og C2 = Rq. Dermed er løsningen

(2.47)

R(t) = (kR^m) t2 + Ro

2. mafi/k < 1. Koeffisienten foran R i (2.45) er nå positiv. Løsningen blir analog med den vi fant i eksempel 1.3.

(2.48)

R(t) = [Si, - -—] * /m cos[-J 1 - mtt) /k

- a>2 r] + -— 1 - mtt) /k

Det er lett å påvise ved innsetning at denne løsningen tilfredsstiller både bevegelseslikningen (2.45) og startbetingelsene (2.46). R(t) er altså en harmonisk svingning. Partikkelen svinger om en «relativ likevektsstilling» gitt ved: R = RL = Rx/(1 - mtt)2lk). Det vil si at for Ro = RL , vil ingen bevegelse komme i stand relativt til stangen. Partikkelen vil bevege seg på en sirkel. 3. mttFIk > 1. Koeffisienten foran R i (2.45) er nå negativ. Den generelle løsning blir en sum av to eksponentialfunksjoner og en konstant. Med startbetingelsene (2.46) blir løsningen

(2.49)

R(t) = [Ro-------- -------- -] cosh [^co2 - k/m t]----------------mtt) lk - 1 mtt) lk - 1 Her er cosh hyperbolsk cosinus og definert slik

(2.50)

64

cosh x = [exp x + exp (-x)J / 2

POLARKOORDINATER

SEK. 2.2

Det er lett å påvise ved innsetning at denne løsningen tilfredsstiller både bevegelseslikningen (2.45) og startbetingelsene (2.46). Stangens lengde og fjærens deformasjonsområde vil begrense hvor stor R kan bli. Løsningene (2.47) og (2.49) gjelder derfor bare et kort tidsrom. Føringskraften N bestemmes av kraftloven (2.43), som gir

(2.51)

Fø = mae => N = 2mRco

Her må R beregnes fra den relevante av løsningene (2.47), (2.48) eller (2.49).

2.2.2 Sylinderkoordinater I et sylinderkoordinatsystem OROz er (R,0) polarkoordinater i jcy-planet til det kartesiske koordinatsystemet Oxyz, se fig. 2.20. Enhetsvektorene til OÆØz-systemet er eR, ee og ez.

Fig. 2.20

Fig. 2.20. Sylinderkoordinater

Bevegelsen til en partikkel P er gitt ved

r = ReR(0) + zez,

R = R(t),

0 = 0(t),

z = z(t)

(2.52)

Årsaken til at den radielle koordinaten er betegnet med stor bokstav R, blir

nå klar. Målet til vektoren r betegnes naturlig med r, ogr/R generelt.

65

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Hastigheten og akselerasjonen til P blir henholdsvis

(2.53)

v = vReR + veee + vzez>

(2.54a)

a = aReR + ade6 + azez

(2.54b)

aR = R-R(0)2,

vr

= R’

a0 = RO + 2R0,

ve = R0,

vz

=z

az = z

Kraftloven F = ma får de tre komponentlikningene (2.55)

Fr = maR ,

Fq = ma0,

Fz = ma.

Eksempel 2.5.

En partikkel med masse m beveger seg under tyngdens påvirkning i et rett føringsspor på overflaten av en roterende kjegle, se fig. 2.21. Kjeglen har vertikal akse og roterer med konstant vinkelhastighet co. Vi skal anta som startbetingelser for sylinderkoordinatene (R,O,z)

(2.56)

0=0,

z = Zq,

z

= 0 for t = 0

Følgende geometriske og kinematiske betingelser gjelder, se fig. 2.22, (2.57)

R = z tanet ==> R = z tanet => R = z tanet Bevegelsen til partikkelen og føringskreftene på partikkelen skal be­ stemmes.

Fig. 2.21 (til venstre) Fig. 2.22 (i midten) Fig. 2.21 Fig. 2.22 Fig. 2.23

Fig. 2.23 (til høyre)

F--- Hl—^ae

J mg

66

TANGENTIALAKSELERASJON OG NORMALAKSELERASJON

SEK. 2.3

Fig. 2.22 og 2.23 viser fritt-legeme-diagrammer for partikkelen med krefter og akselerasjoner. N og F er føringskrefter. N står normalt på kjegleflaten og F virker i Ø-retningen. Akselerasjonene blir ifølge (2.54) aR = R- Rco2,

ae = 2Rco,

az = z

Kraftloven (2.55) gir nå

Fr = maR => N cosa = m [R -Rco2] Fø = maø

(2.58)

F = m • 2Rco

(2.59)

Fz = ma. => mg - N sintz = mz

(2.60)

Føringskraften N fra (2.58) settes inn i (2.60). Dernest brukes relasjonene (2.57) til å eliminere R og R, og følgende bevegelseslikning er resultatet.

z - [co2 sin2tz] z = g cos2a Differensiallikningen har samme form som (2.45), og løsningen som til­ fredsstiller startbetingelsene (2.56), bli av samme form som (2.49). Vi får

z(t) = [zo + (g/co2tan2a)] cosh [(co sintz) t ] - g/m2tan2tz

Med R(t) = z(t) • tantz og 0(t) = cot, er bevegelsen til partikkelen bestemt. Føringskreftene N og F kan nå beregnes fra (2.60) og (2.59), som ordnes til N = m(g -z) / sintz,

F = (2mco tantz) z

Dersom vinkelhastigheten co = 0, må løsningen for z(t) omformes. Dette kan gjøres ved å rekkeutvikle funksjonen cosh [(to sintz)?] i uttryk­ ket for z(t), og så la co —> 0. Men vi kan også stille opp kraftloven direkte for tilfellet co = 0, og vil da finne z(t) = Zo + (g cos2a)t2/2,

N = mg(l - cos2tz),

F=0

2.3 Tangentialakselerasjon og normalakselerasjon Det er nevnt i seksjon 1.2 at akselerasjons vektoren generelt har en kom­ ponent langs tangenten til partikkelbanen og en komponent i retning av hovednormalen til partikkelbanen. I seksjon 2.1.2 har vi demonstrert dette forholdet for sirkelbevegelse og utledet formlene (2.13) for tangen­ tialakselerasjon og normalakselerasjon. Vi skal nå utvikle tilsvarende

67

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

akselerasjonskomponenter for en generell partikkelbane. Men før vi ser på selve kinematikken, må vi definere en rekke geometriske størrelser for kurver i rommet og i planet.

2.3.1 Kurvegeometri Stedsvektoren r(p), hvor p er en variabel, definerer en romkurve. Stedsvektorens komponenter i et Oxyz-system, se fig. 2.24, er x(p), y(p) og z(p). Buelengden s mellom to punkter Po og P på kurven er gitt av buelengdeformelen

(2.61)

/ \

f

1/^x2

s(p) = I p0N dp

+

/dy 2

+

dp

, dz \2

j dP

dp

Fig. 2.24

Her er p0 og p parameterverdiene i henholdsvis Po °g formelen at

ds dp

,dx 9 ,dy 2 ,dzx2 + (—) + (—) dp dp dp

(— )

ds kalles buedifferensialet. Fordi dr dp

dx dp

dy dP

dz dp

— = — e h—— e H----- e

68

x

y

z

Det følger av

TANGENTIALAKSELERASJON OG NORMALAKSELERASJON

SEK. 2.3

|tZr| = yj(dx)2 + (dy)2

(2.62)

blir + (Jz)2 =

ds

Vi ser i fig. 2.24 at Ar nærmer seg tangenten når As —» 0, og at målet IArl nærmer seg As. Det betyr at vektoren

dr ds

Ar As—>0 As lim

(2.63)

er en enhetstangentvektor til romkurven. Vi setter

dr

e.

ds

(2.64)

og kaller den kort kurvens tangentvektor. Vi erstatter nå parameteren p med buelengden s og setter r = r(s). Da blir også et = et(s). Vektoren det d2r Ae. —L = —y = lim —lds ds As-»o As

(2.65)

står normalt til ez fordi relasjonen ef • ez = 1 impliserer at ez • det / ds = 0. Vi definerer nå kurvens krumning Kog krumningsradius p ved

det

d2 r

ds

ds2

(2.66)

de. d2 r enn = P -----T ds = P H -ds 2

(2.67)

1

P

def

og hovednormalen ved enhetsvektoren

def

Kog p er positive størrelser. Krumningsradien angir avstanden til krumningssenteret K.S, se fig. 2.24. En sirkel med sentrum i K.S. og radius lik p smyger seg tett opp til kurven i P og kalles krumningssirkel (eller smygesirkel). Er romkurven selv en sirkel, faller de to sirklene sammen: krumningsradien er lik sirkelens radius. Dette blir påvist nedenfor.

69

KAP. 2

PARTIKKELDYNAMIKK

Binormalen er en enhetsvektor som er definert ved def

(2.68)

©/ x

De tre vektorene et, e„ og eb danner et høyresystem, det vil si at boksproduktet et ■ (en xet)s [e,e„ej = 1. Vi har nå fått med den del av kurvegeometrien vi trenger i partikkeldynamikken.

Vi skal spesielt ta for oss en sirkelbue og formelt bestemme de relevante geometriske størrelsene. Et punkt P på en sirkelbue med radius r og sentrum i origo O er gitt ved stedsvektoren

Fig. 2.25

r(0) = r cosØ ev + r sinØ ev

Vinkelen 0 er her kurveparameter. Buelengden 5 fra Po til P, se fig. 2.25, blir ifølge formel (2.61)

0 ____________________ s = j

sin Ø)2 + (r cos Ø)2 dØ = rØ

0 Vi finner nå dt

dt dØ

ds

dØ ds

e, = — =------------ =

d2r

det dØ

ds2

dØ ds

. „ - sin Øe„ + cos Øe

— cos Øer — sin Øev A v y

Dermed blir krumningsradien og hovednormalen

p = 1 / |j2r/^2| = r,

70

n r - sin • Øe,. n e„ = P—r = -cosØe = —r ds2 r

TANGENTIALAKSELERASJON OG NORMALAKSELERASJON

SEK. 2.3

Krumningsradien er lik sirkelens radius, og krumningssenteret K.S. faller sammen med sirkelens sentrum O.

2.3.2 Plan kurvegeometri For en plan kurve gitt ved parameterfunksjonene x(p) og y(p) i et koordinat­ system Oxy, kan vi utvikle spesielle formler. Først innfører vi notasjonene

.

dx dp

2

.dy dp

d x dp1

,,

2

d y dp2

,,

Buedifferensialet (2.62) kan noteres slik

ds = Vc ') *

2 + (/)2 dp

Nå blir

ds

ds

ds

x

y

dp

x

dp

y ds

= [x'ex + y'ey] / ^(x')2 + (/)2

e,

(2.69)

= [(x"/ - x'y")y'ex + W ~ x'y)x'ej/ [(x')2 + fy')2]2 => 7

ds

=

= l( * z)2 + (yz)2]3/2

1 \det /ds\

(2.70)

\x'y" — x"y'\

= [-/ex + x'ey] [x'y" - x"y']p / [(x')2 + fy')2]2 4

e„

(2.71)

For en plan kurve gitt ved funksjonen y = y(x) i et koordinatsystem Oxy, kan formlene ovenfor reduseres noe. Vi lar x være kurveparameter, slik at

xf = 1,

x" = 0,

y z = —, dx

y" =

dx2

Da blir

e, = [ex + yej/^l + (yz)2

(2.72)

e„ = [-y'ex + ey]y"p/[l + (y)2]2

(2.73)

P

= [l + (y')2]3/2/|yz|

(2.74)

71

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

For en plan kurve gitt i polarkoordinater (R, 6) ved funksjonen R = R(0), kan vi etter den samme fremgangsmåte som ovenfor, utlede føl­ gende formler. Vi innfører notasjonene _ dR

_ d2 R

de

ae2

og finner, etter noe mellomregning,

ds = yl R2 + (Æ')2 dO (2.75)

et = [R'eR + Ree]/ ^R2 + (R')2

(2.76)

p

(2.77)

en = [-ReR + Æ'e0] [Æ2 + 2(7?')2 - RR"]p / [Æ2 + (Æ')2]2

= [R2 + (Å')2]3/2/ R2 + 2(7?')2 - RR"

2.3.3 Kinematikk og kraftlov Vi skal anta at banen til en partikkel P med masse m er kjent som kurven

r = r(s),

s = s(t)

s(t) er veilengden målt langs kurven og fra et spesifisert referansepunkt PQ på denne, se fig. 2.26. Kurven kan for eksempel representere en føring som tvinger partikkelen til å bevege seg langs denne. Hastigheten til par­ tikkelen blir, ved hjelp av formel (2.64) for tangentvektoren,

(2.78)

dr ds ds dt

v = r =------- = se, => v = ve,, v = s 1

v = s angir tilbakelagt veistrekning per tidsenhet og kalles ofte for fart.

Fig. 2.26

72

TANGENTIALAKSELERASJON OG NORMALAKSELERASJON

SEK. 2.3

Akselerasjonen til partikkelen bestemmes slik

Her bruker vi relasjonen (2.67) og får resultatet

a = atet + anen,

at = v = s,

an = v2/p = (s)2 lp

(2.79)

Komponentene at og an kalles henholdsvis tangentialakselerasjonen og normalakselerasjonen. at, som også kalles bane akseie rasjonen, angir endringen av hastighetsvektorens mål, det vil si endringen av farten. an, som også kalles sentripetalakselerasjonen, er et uttrykk for endringen av retningen til hastighetsvektoren. For konstant fart v er at = 0. For konstant hastighetsretning er an = 0. Det siste betyr rettlinjet bevegelse. For sirkelbevegelse er krumningsradien p lik sirkelradien r, og formlene (2.78) og (2.79) blir sammenfallende med formel (2.13), som er utledet spesielt for denne type bevegelse. Kraftloven F = ma kan settes opp med komponenter i de tre ortogonale retningene, et, en og eb.

Ft = mat,

Fn = man ,

Fb = 0

(2.80)

Eksempel 2.6. parabelføring En partikkel med masse m beveger seg langs en parabelformet føring gitt ved kurven y = x2/h i et horisontalt xy-plan. Føringen er friksjonsfri, og partikkelen er i jcy-planet bare påvirket av føringskraften N. Vi skal vise at farten v er konstant og beregne føringskraften N som funksjon av x, h og v.

Fig. 2.27 Fig. 2.28

Fig. 2.27. Partikkel på parabelføring

Fig. 2.28. Fritt-legeme-diagram

73

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Fig. 2.28 viser fritt-legeme-diagram for partikkelen i .xy-planet. Kraft­ loven gir nå

Ft = mat => 0 = mv => v = konstant

De andre komponentlikningene av kraftloven (2.80) er føringslikninger. Fb = 0 gir at føringskraften vertikalt er lik tyngden mg. Krumningsradien til føringskurven beregnes fra formel (2.74) p = [1 + (y')2]3/2 / |y"| = [1 + (2x//z)2]3/2(/z/2) Nå gir kraftloven

Fn = man ==> N = mv2lp => N = 2mv2/(h[l + (2x/A)2]3/2),

Nmaks = 'Zmv2/]! for x = 0

Kurvens geometri og retningen til føringskraften N er fullstendig bestemt om vi også beregner tangentvektor fra (2.72) og hovednormal fra (2.73). Vi finner

et = [ex + (2x/h)ey]/jl + 4x2lh2 en = [~(2x/h)ex + ey] / ^1 + 4x2/A2

Eksempel 2.7. skruelinjeføring

En partikkel med masse m beveger seg friksjonsfritt på en føring gitt ved skruelinjen, se fig. 2.29, x = r cosØ,

y = r sinØ,

z = b0 + z0

hvor r, b og z0 er konstanten Partikkelen er påvirket av tyngdekraften.

Fig. 2.29 Fig. 2.30

Fig. 2.29 (til venstre) Fig. 2.30 (til høyre)

24

TANGENTIALAKSELERASJON OG NORMALAKSELERASJON

SEK. 2.3

Startbetingelsene er 0 - 0 for t = 0

0 = Oo ,

(2.81)

Vi skal bestemme bevegelsen 0(t) og føringskreftene: N i retning av hovednormalen e„ og B i retning av binormalen, se fig. 2.30. Først må vi finne føringskurvens geometriske størrelser e,, e„, eb og p. Vi har dr = [dx, dy, dz\ = [—r sin 0, r cos 0, b] d0 => ds = |Jr| = y r2 + b~ d0 Altså blir dr ©r

[-r sin 0, r cos Q, b] / yr2 + b2

ds

Videre er

—— = [-r cos Q, -r sin 0, 0] -------t => ds2 r2 + b2 en = [- cos 0, - sin 0, 0], p = {r2 + b2) / r

eb = et x en = [b sin 0, -b cos 0, r] / Vr2 + b2 For hastighet og akselerasjon finner vi

v = s = 7r2 + b2 0, at = s = yjr2 + b2 0, an = (s}2lp = r(0)2

Kraftloven gir nå

Ft

= mat => -mgez -'et = m^r2 + b2 0 =5 0 = -bg/(r2 + Z?2)

(2.82)

Fn

= man => N + (-mgez) • en = mr(6)2 => N = mr(0)2

(2.83)

Fb

= 0

=> B + (-mgez) • eb = 0 => B - mgr / 7r2 + b2

Løsningen av bevegelseslikningen (2.82) med startbetingelsene (2.81) blir 0 = - [bg/( r 2 + b2)] t,

6= ~[bg/2( r2 + b2)] t2 + 00

(2.84)

Fra formlene (2.83) og (2.84) beregner vi så

N =

mrb2g2

2

(r2 + b2}2

75

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

2.4 Arbeid og energi 2.4.1 Arbeidsteoremet Kraftloven gir et uttrykk for akselerasjonen til en partikkel når kreftene som virker på partikkelen, er kjent. Hastigheten kan så bestemmes ved integrasjon. Dette er demonstrert i flere eksempler i seksjon 2.1. Integra­ sjonen kan utføres for et generelt tilfelle, og resultatet er arbeidsteoremet, som vi skal utlede nedenfor. Arbeidet W som en konstant kraft F utfører på et legeme, er definert som produktet av kraftens mål F og forskyvningen uF av kraftens angrepspunkt A i retning av kraften

W = F • uF

Dersom forskyvningen av A er gitt ved vektoren U, blir uF= u cos (F,U)

Derfor er W = Fu cos (F,U), som er et uttrykk for skalarproduktet av F og U. W = F • 11 = Fu cos (F,u) Fig. 2.31

(2.85)

76

Vi ser at arbeidet er positivt når kraften F og forskyv­ ning uF er rettet samme vei, men negativt når F og uF er motsatt rettede. Vi ser også at arbeidet av F kan bereg­ nes som produktet av for­ skyvningen u og kraftens komponent Fu i retning av forskyvningen. Der­ som kraft og forskyvning er ortogonale, blir arbeidet lik null. Fig. 2.32 tar for seg det generelle tilfellet for partikkelbevegelse. En partikkel med masse m beveger seg fra et sted Px ved tiden tx til et sted P2 ved tiden t2 under påvirkning av en kraft F. Partikkelbanen er beskrevet ved r(t), hastigheten ved V(7) = r og akselerasjonen ved a(t) = v Under forskyvningen dr = \ldt, utfører kraften et arbeid på partikkelen

F • dr = (F • v)dt

ARBEID OG ENERGI

SEK. 2.4

Størrelsen F *V er ar­ beid per tidsenhet og kalles mekanisk effekt P tilført partikkelen.

P= F» v

(2.86)

Under partikkelens bevegelse fra P} til P2 utfører kraften F et arbeid W som kan uttrykkes ved et tidsintegral av effekten fra tx til t2.

Fig. 2.32

?2

W = j P dt

(2.87)

h

eller ved å integrere arbeidet F • dr langs partikkelbanen

(2.88)

Relasjonene (2.85) og (2.86) viser at de to uttrykkene for W er ekviva­ lente. Vi lar (2.88) være det generelle definisjonsuttrykket for arbeidet av en kraft. Dersom F er resultanten av en rekke enkeltkrefter Fz, kan vi beregne effekten P, og arbeidet W, av hver kraft Fz og summere bidragene til P og W

P = 1P,,

(2.89)

W=YWi

Vi finner nemlig at P = F • v = (ZFz) • v = Z(Fz • v) = Z/J. P2

p2

P2

W = J F • dr = J (ZFz) • dr = Z( j Fz • dr) A

A

P\

Skalarmultipliserer vi kraftloven F = ma med hastigheten v, får vi

F • v = ma • v

dv d .1 . d A 2x m — • V = — (— mV • V) = — (— mv) dt dt 2 dt2

77

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Her innfører vi begrepet kinetisk energi K til partikkelen,

(2.90)

K =' - mv2 2

og vi kan skrive resultatet ovenfor slik

(2.91)

P=K Dette kalles effektteoremet eller effektloven. Mekanisk effekt tilført en partikkel er lik endring per tidsenhet av partikkelens kinetiske energi.

Integrerer vi effektlikningen (2.91) med hensyn til tiden, får vi z2

(2.92)

z2

J Pdt = J Kdt = K2 - Kx = \K h

h

hvor Kx og K2 er partikkelens kinetiske energi ved tidspunktene f og t2, og AK er endringen i kinetisk energi mellom de to tidspunktene. Venstre side i (2.92) er ifølge formel (2.87) et uttrykk for kreftenes arbeid på par­ tikkelen. Resultatet (2.92) kan derfor føres opp slik

Arbeidsteoremet. Det arbeid som kreftene på en partikkel utfører under bevegelsen, er lik endringen i partikkelens kinetiske energi

(2.93)

W =AK

Arbeidslikningen (2.93) viser at et positivt arbeid på en partikkel øker partikkelens kinetiske energi, mens et negativt arbeid reduserer den kine­ tiske energien. Ifølge definisjonen (2.85) har arbeid dimensjon kraft x lengde. En­ heten er newtonmeter (Nm), som også kalles joule (J) etter James Prescott Joule [1818-1889], 1J =1Nm

Dimensjonen av mekanisk effekt er kraft x lengde/tid, og enheten blir newtonmeter per sekund (Nm/s). Enheten kalles også watt (W) etter James Watt [1736-1819],

78

ARBEID OG ENERGI

SEK. 2.4

1 W = 1 J/s = 1 Nm/s

Det vil gå frem av eksemplene nedenfor at arbeidslikningen kan benyttes til å finne hastigheter. For en partikkel med 1 frihetsgrad vil arbeidslikningen også gi bevegelseslikningen. Eksempel 2.8. matematisk pendel Vi skal utlede svingelikningen (2.18) for den matematiske pendelen i fig. 2.10. Når pendelmassen beveger seg fra posisjonen gitt ved vinkelen 0 til den ekstreme posisjonen gitt ved vinkelen 00, løftes massen et stykke [£ cos 0-£ cos 00]. For vinkelen 0er hastigheten v = £0, mens massen er i ro for vinkelen 0Q. Arbeidslikningen W = ÅK gir derfor -mg • [£ cosØ —

cos 00] = 0 - m(£0)2 / 2 ==>

(0)2 = 2(g/£) [cos0-cos00]

(2.94)

som er identisk med resultatet (2.22). Dermed er pendelens hastighet v = £0 bestemt. Materiell-derivasjon av (2.94) gir nå 200 = 2(g/^) [-sinØØ] => 0 + (g/^) sinØ= 0

som er den generelle bevegelseslikningen eller svingelikningen (2.18). Eksempel 2.9. friksjonsfri føring

En partikkel med masse m er påvirket av tyngdekraften mg og en føringskraft som står nomalt til banen. Partikkelen er i ro i posisjon Vi vil bestemme hastigheten v2 i posisjon P2. Føringskraften utfører ikke arbeid under beve­ gelsen fordi denne kraften står normalt på forskyv­ ningen dr. Arbeidet utført av den konstante kraften F = -mgez blir

Fig. 2.33

79

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

P2

Z2

j (-mgez) • dr - -mg J dz = -mg(z2 - Zi) = A

zi

Arbeidsteoremet gir nå W = AK => mgh = — mv2~ ~ — wvj2 => v2 = ^2gh

Legg merke til at partikkelbanens form ikke influerer svaret.

Eksempel 2.10. friksjonsarbeid En blokk med masse m sklir nedover et skråplan under påvirkning av tyngdekraften mg, normalkraften N og friksjonskraften F = /1N fra under­ laget. /i er det kinetiske friksjonstallet. Bevegelsen er beskrevet av posisjonskoordinaten x langs skråplanet. Klossen er i ro når x = 0. Hastighe­ ten v(x) skal bestemmes. Arbeidet som utføres på klossen, er lik summen av tyngdens arbeid og friksjonskraftens arbeid W = mg • (x sinaj - (/dN)x

Fig. 2.34

80

SEK. 2.4

ARBEID OG ENERGI

N bestemmes fra kraftloven, som gir Fv = 0 => N = mg cosa Arbeidsteoremet AF = W gir da

mv2 = [mg sin a - /img cos tz] x => v = ^/sin a - /J, cos a y)2gx

Betingelsen for at klossen skal gli, er at sin a - n cos a > 0 =>/./< tan a

2.4.2 Arbeid av lineær fjær Fig. 2.35 viser en vogn som er festet med en lineær skruefjær med fjærstivhet k. Fjæren er kraftløs når forskyvningen x av vognen er lik null. Fjærkraften kx representerer to krefter, se fig. 2.36, en på vognen og en på fjæren. Ved en liten forskyvning dx utføres arbeidet (-kx) ■ dx på vognen. Arbeidet som utføres fra x = x1 til x = x2, blir da x2 111 = j (-kx)dx = —[—= — kx2----- kx22

(2.95)

xi

Arbeidet som utføres av fjærkraften kx på fjæren blir

Wf = J (kx)dx = [| fcr2£j = -Wv

(2.96)

Formlene (2.95) og (2.96) gjelder også for negative .x-verdier, det vil si når fjæren trykkes sammen.

Fig. 2.35

Fig. 2.36

81

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

Arbeidsteoremet viser at når fjæren utfører et negativt arbeid på vog­ nen, VFv < 0, reduseres vognens kinetiske energi. Samtidig utfører vognen et positivt arbeid på fjæren. Den kinetiske energi et legeme har, er derfor et uttrykk for legemets kapasitet til å utføre arbeid på grunn av sin hastig­ het. Generelt kan vi si det slik Kinetisk energi representerer en arbeidsressurs på grunn av bevegelse.

Eksempel 2.11.

En vogn med masse m har hastigheten v idet den treffer en lineær skruefjær med fjærstivheten k. Vognen bremses opp, og fjæren trykkes sam­ men et stykke u, som vi skal bestemme.

Fig. 2.37

Arbeidslikningen W = ÅK gir nå

-[-^2]o = 0 - — mv2 2 u 2

2.4.3 Elastisk energi Vi tar igjen for oss systemet i fig. 2.35, som består av en vogn med masse m og en lineær fjær med fjærstivhet k. Fig. 2.38 viser systemet i fire etter­ følgende situasjoner a) til d). I a) er fjæren kraftløs (x = 0), og vognens hastighet er v0 mot høyre. Mellom a) og b) forlenges fjæren og vognen bremses opp. Maksimal forskyvning og fjærforlengelse er u(x = u). Arbeidet på fjæren er positivt og lik ku2!2. Arbeidslikningen satt opp for vognen gir, se eksempel 2.11, ku2-/'! = mv02/2. Mellom b) og c) utfører fjæren positivt arbeid ku1/2 på vognen, slik at denne får tilbake sin kine­ tiske energi mv02/2 med hastighet v0 mot venstre. Fjæren er kraftløs i c).

82

ARBEID OG ENERGI

SEK. 2.4

Fig. 2.38

Mellom c) og d) trykkes fjæren sammen og vognen bremses opp. Maksi­ mal sammentrykning er u(x = -u). Arbeidet på fjæren er positivt og igjen lik ku2H. Fra d) bringer fjæren vognen tilbake til a). Vi sier at arbeid utført på fjæren, magasineres som elastisk energi i fjæren. Når fjæren er forlenget eller sammentrykket, har den elastisk energi og har kapasitet til å utføre arbeid på vognen. Vi definerer fjærens elastiske energi ved

(2.97)

hvor x er positiv som fjærforlengelse og negativ som fjærsammentrykning. Arbeidet Wj på fjæren kan nå uttrykkes som en endring av fjærens elastiske energi ø, konferer uttrykket (2.109). Wf = [i kx2]* 2 = R)

som om massen m var konsentrert i skallsenteret O, og v = -Gm

R

innenfor skallet (r < R)

Gravitasjonsfeltet blir

(2.106)

90

g(r) =

Gm ~re

for r > R

0

for r < R

ARBEID OG ENERGI

SEK. 2.4

Eksempel 2.15. gravitasjonsfeltet fra en kule

En kule med radius R og masse m har en massefordeling som er symmetrisk med hensyn til kulesenteret O. Kulesenteret er kulens massesenter, og densiteten p er en funksjon av avstanden r fra O: p = p(r). Kulen kan betraktes som en serie med tynne kuleskall lagt utenpå hverandre. Hvert skall gir et potensial, som er proporsjo­ nalt med skallets masse og omvendt proporsjonalt med avstanden r fra skallsenteret til enhetsmassen. Derfor blir gravitasjonspotensialet og gravitasjonsfeltet for tilfellet r>R

Gm

V(r)

r Gm

g(r)

9

Fig. 2.43

r > R

(2.107)

r > R

(2.108)

Resultatet blir altså som om m, var konsentrert i kulens sentrum. Resultatet skulle kunne anvendes på jordkloden dersom denne var en perfekt kule med massen fordelt symmetrisk om jordsenteret. Jordens masse M = 5,973 • 1024 kg, og den midlere radius, radien for en kule med samme volum som jorden, er 6371 km. Den midlere gravitasjonskraft på jordoverflaten når jorden antas å være en kule, er da ifølge (2.108)

Gm

66,73 • 10'12 • 5,973 • 1024 (6371 • 103)2

= 9,820 N/kg

Den effektive gravitasjonskraft, den vi måler på jorden, bli noe mindre enn g. Dette skyldes først og fremst jordens egenrotasjon. Men det fak­ tum at jordens form avviker fra en kule vil også influere på en nøyaktig

91

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

beregning av gravitasjonskraften på jordoverflaten. Disse forhold vil bli diskutert i kapittel 6. Ved de presise beregningene som må til i forbin­ delse med jordsatellitter nær jordoverflaten, må det i tillegg taes hensyn til den noe asymmetriske massefordeling i jorden. På en enhetsmasse inne i kulen i fig. 2.43 gir resultatet fra forrige eksempel at r

^7ir~p(r)dr

Dersom densiteten er konstant, blir resultatet av beregningen

(2.109)

3 r2 V(r) = —Gm [------------- T], 2R 2R3

r < R

For r = R gir formelen V(R) = Gm/R, altså samme resultat som (2.107). Gravitasjonsfeltet blir

(2.110)

. x

dV dr

Gmr R

g(r) = - —er = - —3-er,

n r < R

Bare den del av kulen som ligger innenfor en kuleflate med sentrum i O og radius r, bidrar til gravitasjonsfeltet.

2.4.6 Elektrisk potensial Mellom to elektrisk ladede massepartikler virker en kraft F =

1

=

SEK. 2.4

ARBEID OG ENERGI

Fig. 2.44

Til feltstyrken fra en ladning i ro hører det elektriske potensialet

= --------4tte0 r

(2.112)

_z x

E(r) = - —- e dr

dr

(2.113)

4æe0 r

Elektrisk feltstyrke og potensial på grunn av flere ladninger i ro kan be­ regnes på samme måte som for gravitasjonsfeltet fra flere massepartikler.

2.4.6 Konservative krefter La oss studere en partikkel med masse m som er påvirket av en eneste kraft, og slik at det til denne kraften hører en potensiell energi V. Det betyr at arbeidet W kraften utfører på partikkelen, kan uttrykkes ved den negative endringen i den potensielle energien: W = -AV. Arbeidsteoremet W = AK gir nå: -AV = AK => \(K + V) = 0. Herav følger det at

(2.114)

K + V = konstant

Summen av kinetisk energi og potensiell energi kalles partikkelens totale mekaniske energi og betegnes med E def

(2.115)

Resultatet (2.114) viser at den totale mekaniske energien er konstant, eller som vi sier, konservert. Kraften som virker på partikkelen, og som er årsaken til akselerasjon og endring i kinetisk energi, endrer altså ikke

93

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

partikkelens totale mekaniske energi. Energien konserveres, og kraften kalles en konservativ kraft. Alle krefter er enten konservative eller dissipative. Arbeidet av en konservativ kraft på en partikkel representerer en endring i en potensiell energi, uttrykt ved en skalarvaluert funksjon av partikkelens posisjon. Arbeidet av en dissipativ kraft representerer en overføring av mekanisk energi til en annen energiform, for eksempel via varme til indre energi. Friksjonskrefter er dissipative krefter. Generelt kan en konservativ kraft F som angriper en partikkel på stedet r, avledes av en skalarvaluert stedsfunksjon V(r) på følgende måte.

dV dv F(r) = -W = -[e * — + eJ Av

dv

(2.116)

dv dx

y

_dy_ dy

= _dy_ z dz

r = [jc,y,z] er stedsvektor fra origo O i et referansefast kartesisk koordinat­ system Oxyz. Symbolet V kalles «nabla» eller vanligst «del» og er en differensialoperator. I Oxyz-systemet er

(2.117)

d

d

----- te ----- f e Z V = e X 3., J 3..

d_ dz

V(r) kalles kraftpotensialet til F, og W = gradV kalles gradienten til skalarfeltet V(r). V(r) representerer en potensiell energi til den partikkel kraften F angriper. For tyngdens potensielle energi og tyngden har vi

(2.118)

V(r) = mgz + Vq F = -W = -mgQz

For elastisk energi i en fjær og fjærkraften gjelder

(2.119)

94

1 o ø(x) = - kx2 2

dø F =------- = -kx dx

ARBEID OG ENERGI

SEK. 2.4

Seksjonene 2.4.5 og 2.4.6 gir andre eksempler. V(r) = konstant beskriver en flate, kalt ekviskalarflate. Det kan vises at V Vog dermed kraften F står normalt til denne flaten, se for eksempel fig. 2.40 hvor ekviskalarflatene for gravitasjonspotensialet er kuleflater. Et skalarfelt er generelt en skalarvaluert funksjon av sted og tid: For hvert sted r og hvert tidspunkt t representerer skalarfeltet en skalar. Der­ som tiden ikke opptrer som variabel i funksjonen, kalles skalarfeltet sta­ sjonært. V(r) er altså et stasjonært skalarfelt. Det kan vises at (2.116) er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at en kraft er konservativ. Vi skal nå vise at betingelsen er tilstrekkelig. Når en partikkel beveger seg fra en posisjon Px til en posisjon P2 langs en bane r(t), utfører en kraft F = -VV arbeidet

Pi Pi W = JF • dx = - j VV • dr Pi

Pi

her blir skalarproduktet

Uv

dV J dx

J

dV J dy

dV J dz

W • dr = — dx + — dy + —- dz = dV

altså lik det totale differensialet dV til V(r). Derfor blir Pi W = - ^ dV = -(V2 - VØ = -AV

(2.120)

fl Arbeidet W av en kraft F = -VV på en partikkel er altså uavhengig av partikkelbanen og lik den negative endringen av kraftpotensialet. Kraft­ potensialet fungerer derfor som en potensiell energi for partikkelen, og kraften er konservativ. Det følger av resultatet (2.120) at dersom de to stedene Px og P2 faller sammen, så er arbeidet av en konservativ kraft lik null. Arbeidet av en konservativ kraft på en partikkel som følger en lukket bane, er null for hvert omløp av banen.

95

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

2.4.8 Energiloven Dersom alle arbeidende krefter på en partikkel er konservative, viser arbeidslikningen W = AA at (2.121)

-AV = ÅK => Å(K + V) = 0

V er her summen av kraftpotensialene og derfor lik partikkelens poten­ sielle energi. Resultatet (2.121) føres opp som

Loven om konservering av den totale mekaniske energi.

For en partikkel påvirket slik at de arbeidende kreftene er konserva­ tive, vil den totale mekaniske energien E = K + V konserveres under bevegelsen. (2.122)

E = K + V = konstant

Vi skal være klar over at energilikningen (2.122) er direkte avledet av arbeidslikningen. Den gir ingen ny informasjon og er oftest ikke særlig enklere å stille opp. Arbeidslikningen er generell. Energilikningen gjelder bare for tilfeller hvor de arbeidende kreftene alle er konservative.

Eksempel 2.16.

En partikkel med masse m er tvunget til å bevege seg på en friksjonsfri føring. Partikkelen settes i bevegelse mot høyre av en fjær fra posisjon x = x0. Fjæren er kraftløs når lengden er d. Vi skal bestemme den største hartigheten v som par­ tikkelen får, og hvor langt den beveger seg på føringen.

Fig. 2.45

Fjærens lengde kan uttrykkes ved A2 + x2 (7/i2 +

x2

d). Fjærens elastiske energi er derfor

ø = | k [yjh2 + x2 - d]2

96

og forlengelsen ved

SEK. 2.5

KRAFTIMPULS OG STØT

Ved start (x = x0) er partikkelens kinetiske energi lik null. Partikkelen får sin største hastighet idet fjæren blir kraftløs og ø = 0. Energilikningen, K+ = konstant, gir derfor, og fordi d > -^h2 + x02 ,

0 + | k [-^h2 + xo2 - d]2

1 2 = — mv + 0 => v = [d - -Ja2 + x2 ]^k/m 2

Vi setter x = jq der partikkelen stopper. Den kinetiske energien er igjen lik null, og det betyr at den elastiske energien må være lik det den var ved start

| k [-Ja2 + jq2 - d]2 = ~k [^h2 + jc02 - d]2 =>

*1 - x0 =

- ^h2 + x02 ]2 - h2 ~ Xq ,

total forskyvning

2.5 Kraftimpuls og støt 2.5.1 Kraftimpulsloven Bevegelsesmengden p til en partikkel med masse m og hastighet V er definert ved produktet av masse og hastighet def

p = mV

(2.123)

Kraftloven kan nå skrives slik den opprinnelig ble formulert av Newton, se diskusjonen av Newtons lover i seksjon 1.3,

dt

_ Jp F = -f = P

(2.124)

Kraftimpulsen F av en kraft F(t) som angriper et legeme, er definert som integralet av kraften med hensyn til tiden. " def

*2

f_ ,

F= J F dt

(2.125)

A

Mellom tidspunktene f og r2 mottar partikkelen kraftimpulsen F fra kraf­ ten F(r). For en konstant kraft er kraftimpulsen lik produktet av kraften

97

KAP. 2

PARTIKKELDYNAMIKK

og den tiden kraften får virke. Kraftimpuls er et vektorbegrep. I samme tidsrom er summen av kraftimpulsene fra flere krefter lik kraftimpulsen fra kreftenes resultant. Kraftimpuls kalles ofte kort for impuls. Integrerer vi kraftloven (2.124) med hensyn til tiden, får vi

- Pj = Ap = A(mv)

hvor A(mV) = mV2 - m\f står for endringen av bevegelsesmengde. Resul­ tatet kalles Kraftimpulsloven. Kraftimpulsen på en partikkel er lik endringen av partikkelens bevegelsesmengde (2.126)

F = A(mV) Kraftimpulsloven vil bli videreutviklet for systemer av massepartikler og for stive legemer.

Eksempel 2.17. retardasjonstid En kloss med masse m og starthastighet v beveger seg på et horisontalt underlag. Bevegelsen retarderes på grunn av friksjonen fra underlaget. Friksjonstallet i kontaktflaten er p. Vi skal bestemme den tid t det tar før klossen kommer til ro.

Fig. 2.46 Fig. 2.47

g

mg

m

-

- - - - - >v

---- ► v

pmg"

j

N=mg

Fig. 2.46

Fig. 2.47. Fritt-legeme-diagram

Friksjonskraften blir lik pmg. Klossen mottar i løpet av tiden t en impuls lik -pmgt i jc-retningen. Impulsloven (2.126) gir nå F = åfmv) => -pmgt = -mv => t = v!pg

98

KRAFTIMPULS OG STØT

SEK. 2.5

2.5.2 Sentrale støt Når to legemer kolliderer, oppstår relativt store krefter i kontaktflatene over et kort tidsintervall. Virkningen av andre krefter på legemene kan neglisjeres i den korte støtperioden slik at den endringen vi observerer i legemenes hastigheter, skyldes støtkreftene alene. Her skal vi bare disku­ tere tilfeller hvor legemer som støter sammen, kan betraktes som massepartikler. Betingelsen er da at støtkreftene går gjennom det vi skal defi­ nere som legemenes massesentre. Er denne betingelsen oppfylt, kalles kollisjonen et sentralt støt, eller et sentrisk støt. I motsatt fall represente­ rer kollisjonen et eksentrisk støt. Eksentrisk støt blir diskutert i kapitlene 4, 5 og 8. Dersom legemenes hastigheter faller sammen med angrepslin­ jen til støtkreftene, støtlinjen, betegnes et sentralt støt som et rett sentralt støt. Et skjevt sentralt støt er et sentralt støt hvor denne betingelsen ikke er oppfylt.

Fig. 2.48

Fig. 2.48 viser to homogene kuleformede legemer i sentrale støt. Legemenes overflater er antatt å være så glatte at friksjonskreftene i støt­ perioden kan neglisjeres. Derfor er støtkreftene rettet normalt til kulefla­ tene, og støtlinjen går gjennom kulenes massesentre. Vi betrakter nå to kuleformede legemer i et rett sentralt støt, se fig. 2.49. hastighetene før støtet og v2y er kjente, og vår oppgave er å bestemme hastighetene vle og v2e etter støtet. Kulene mottar i støtet like

Fig. 2.49

99

PARTIKKELDYNAMIKK

KAP. 2

store og motsatt rettede kraftimpulser. Altså følger det fra kraftimpulsloven (2.126) at AfmjvJ = -A(m2v2) m{(vle - vif) = -m2(v2e - v2f) =>

(2.127)

mlvle + m2v2e =

+ m2V2f

Vi trenger en likning til.

2.5.3 Plastisk støt Dersom legemene hefter seg til hverandre i støtet og fortsetter som ett legeme, kalles støtet et plastisk støt, og likningen som kommer i tillegg til impulslikningen (2.127), er: vle = v2e. Løsningen av likningene gir som resultat

(2.128)

ve = vle = v2e = Cmlvl/ + m2v2/] 1 tml + m2^

Ved et plastisk støt går en del av den samlede kinetiske energien til legemene over i varme til omgivelsene og i indre energi. Økning av indre energi registreres som en temperaturøkning i legemene. Tap i kinetisk energi er

Et = -\K = - |[m, + m2]v, 2 'e

(2.129)

1

2

1 2 ~^m2v2f

Æ, =| '"^2 [vlf-v2/]2 2 mx + m2

Et kalles mekanisk energitap eller mekanisk energidissipasjon.

2.5.4 Elastisk støt Dersom kulenes materialegenskaper er slik at den samlede kinetiske energien for de to kulene er uendret ved støtet, kalles støtet et elastisk støt. Under støtet vil kulene først deformeres, og en del av den kinetiske energien går over til elastisk energi. Dernest får kulene tilbake sin form, de restitueres, og den elastiske energien går igjen over til kinetisk energi. Vi får da

100

SEK. 2.5

KRAFTIMPULS OG STØT

. T, ZA A/f = 0 =>

+ -m2v2/

2

1 2 1 2 = - mxvle + - m2v2e =>

- U/2) = “-^(^2? - v2/2) =>

2

2

mSv\e + vl/)(vle “ h/) = -m2R

a„ = cox (©x r) = -a)2ReR,

an = co2R

Eksempel 4.1.

Fig. 4.7

Fire remskiver A, B, C og D er forbundet med to remmer slik fig. 4.7 viser. Dessuten er skivene B og C festet til samme aksel. Vinkelhastig­ heten ©3 til skive D skal uttrykkes ved vinkelhastigheten cor til skive A. Remmene løper rundt skivene med samme hastighet som punktene på skiveperiferiene. For rem­ men rundt skivene A og B gjelder

vi = ©jrj = ©2r2

174

SEK. 4.3

BEVEGELSESLIKNINGEN

For remmen rundt skivene C og D gjelder = co3r4

v2 =

Herav får vi relasjonen

nr3 «3 = — «1 r2r4

4.3 Bevegelseslikningen Bevegelsen av et stivt legeme i aksebundet rotasjon er beskrevet av én koordinat, nemlig rotasjons vinkelen y(t). Legemet har derfor én frihets­ grad. Vi legger inn et materielt koordinatsystem Oxyz fast forbundet med legemet, med origo i O og med z-aksen sammenfallende med rotasjons­ aksen, se fig. 4.8. Bevegelseslikningen som forbinder krefter som an­ griper legemet, og legemets bevegelse, er gitt av z-komponenten av momentloven med O som momentpunkt. Før vi kan sette opp denne bevegelseslikningen, må vi beregne spinnet om z-aksen. Legemets vinkelhastighet er co(t) = i/z Spinn er moment av bevegel­ sesmengde. Et dellegeme omkring en partikkel P med hastighet v = coR og densitet p har volum dV, masse pdV, bevegelsesmengde vpdV og spinn R ■ vpdV. Legemets spinn om z-aksen blir

Lz = j R • vpdV = J R • coRpdV = V

V

R2pdV V

Her innfører vi begrepet legemets treghetsmoment om z-aksen.

/z

= f

r2pdv

(4.10)

V

I seksjon 4.4 skal vi se hvorledes treghetsmoment kan beregnes. For et homogent legeme, p = konstant, er treghetsmomentet gitt av legemets masse og geometrisk form. Tabell 4 bak i boken har treghetsmomenter til en rekke enkle homogene legemer. For eksempel, for en kule med masse m og radius r og som roterer om en diameter blir Iz = 2mr2/5.

175

KAP. 4

ROTASJON AV STIVT LEGEME OM FAST AKSE

Fig. 4.8

Spinnet om z-aksen er nå

(4.11)

= Izco

z-komponenten av moment­ loven med O som momentpunkt gir

e; ■ [Mo = Lo] => M = e • Lo = 4(ez • Lo) = 4(l j = i m at

at

hvor Mz = ez • Mo er summen av momentene om z-aksen av alle krefter som angriper legemet. Når vi opererer med figur av legemet i bevegelses­ planet, slik som i fig. 4.5-7, og i de fleste eksemplene som følger, hvor zaksen ikke er vist, vil det være hensiktsmessig å sette M• = Mo >

Lz = Lq ,

Iz-Iq

z-komponenten av momentloven med O som momentpunkt blir nå, i to alternative former,

(4.12)

Mz = Izå>,

Mo = Ioco

Dette er den søkte bevegelseslikningen for rotasjon av stivt legeme om fast akse. Momentlovens to resterende komponentlikninger samt kraft­ lovens tre komponentlikninger representerer føringslikninger som be­ stemmer føringskreftene som angriper legemet gjennom rotasjonsaksen. Disse likningene vil bli presentert senere i kapitlet. For å få en bedre forståelse av begrepene spinn og treghetsmoment skal vi rekapitulere utviklingen av bevegelseslikningen (4.12), som er

176

BEVEGELSESLIKNINGEN

SEK. 4.3

komponentlikningen i retning rotasjonsaksen av momentloven for et stivt legeme som roterer om en fast akse. Vi startet i seksjon 2.6.1 med kraftlo­ ven, eller Newtons 2. lov, for en massepartikkel: F = ma = mv= d(m\l)ldt = p. Kraften F er lik endring per tidsenhet av bevegelsesmengde p. Denne likning blir vektormultiplisert med stedsvektoren r fra et fast refe­ ransepunkt O til partikkelen. Mo = r x F kalles momentet av kraften F om O, mens r x ma omskrives slik

d

d

dt

dt

r x ma = r x mv = — (r x mv) = - (r x p) = Lo som er endring per tidsenhet av partikkelens spinn, Lo = r x p, om O. Spinn er moment av bevegelsesmengde. Momentloven for en partikkel: Mo = Lo, er altså avledet matematisk fra kraftloven. I seksjon 3.2.1 ut­ ledes momentloven for et system av massepartikler. Loven har samme form som for en partikkel, men Mo er nå summen av ytre krefters momenter og Lo er summen av partiklenes spinn om det faste punktet O. På basis av momentloven for et partikkelsystem postulerer vi i seksjon 3.2.2 den generelle momentloven for et legeme, inkludert et legeme av kontinuerlig fordelt masse, igjen på formen Mo = Lo. For et stivt legeme i aksebundet rotasjon har vi ovenfor vist at komponentlikningen til momentloven med hensyn til rotasjonaksen har formen (4.12). Vi kan se nå at kraftloven og komponentlikningen av momentloven for et stivt legeme har analoge former

F = mac = /7?vc - p,

M. - I-CD- L.

Kraft må til for å endre legemets bevegelsesmengde p, og kraftmoment må til for å endre legemets spinn Lz. Bevegelsesmengden p = mV er pro­ porsjonal med legemets masse, som altså er et uttrykk for legemets treg­ het mot endring av hastigheten til legemets massesenter C. Spinnet Lz er proporsjonalt med legemets treghetsmoment, som derfor er et uttrykk for legemets treghet mot endring av vinkelhastigheten til legemet.

Eksempel 4.2. roterende hjul Et hjul roterer friksjonsfritt om en horisontal akse. Hjulet er en homogen sirkulær sylinder med masse m og radius r. To lodd med masse = m/Z og m2 = m/4 er forbundet med en rem som er lagt over hjulet, se fig. 4.9. Fordi > m2 , vil systemet få akselerert bevegelse. Vår oppgave skal være å bestemme denne bevegelsen, uttrykt ved rotasjons vinkelen og remkreftene. Startbetingelsene er

177

ROTASJON AV STIVT LEGEME OM FAST AKSE

KAP. 4

Fig. 4.9 Fig. 4.10

Fig. 4.9 (4.13)

WW = 0,

Fig. 4.10

60(0) = y(0) = 0

Bevegelsene til de to loddene er beskrevet av forskyvningene u = u(t), se fig. 4.9, som er valgt slik at u = 0 for Si • r - S2 ■ r = Ioæ

(4.17)

F = ma

^ig-51

= mxa

(4.18)

F - ma

S2 - m2g

= m2a

Fra tabell 4 finner vi at treghetsmomentet til en homogen sylinder om sylinderaksen er mr2/'!. Fra likningene (4.15-18) får vi for hjulets vinkelakselerasjon

_

(mx - m2)rg

(jnx + m2}r + l0

178

_ g

5r

SEK. 4.3

BEVEGELSESLIKNINGEN

Resultatet integreres to ganger, og vi finner 2

5r

10r

etter at startbetingelsene (4.13) er benyttet. Remkreftene beregnes fra lik­ ningene (4.17-18). „

$1 =

z • s 4mg m^g - ær) = ,

S2 = m2(g + ær) =

3mg

To”

Eksempel 4.3. torsjonspendel. måling av treghetsmoment

En torsjonspendel kan brukes til å måle treghetsmomentet til et legeme med komplisert geometri og massefordeling. Et enkelt arrangement er vist i fig. 4.11. Treghetsmomentet om legemets symmetriakse skal bestemmes. Legemet er hengt opp i en torsjons streng av stål. Ved å rotere legemet en vinkel % om symmetriaksen og så slippe det, kommer syste­ met i torsjonssvingninger. Vi skal utlede en formel mellom treghets­ momentet I om symmetriaksen og perioden T. Ved å måle T kan I bestem­ mes fra denne formelen. Perioden kan beregnes med stor nøyaktighet ved å registrere tiden for et stort antall svingninger. I dette eksemplet har strengen lengde l - 649 mm og diameter d = 0,50 mm. Skjærmodulen for stål er G = 80 GPa. Perioden er målt til T = 2,67 s. Fig. 4.12 viser legemet isolert og påsatt torsjonsmomentet T fra strengen. T finnes fra formelen T = — GI I p Se for eksempel kapittel 17 i FAST­ HETSLÆRE. Ip er det polare arealtreghetsmomentet for torsjonsstrengen. Ved hjelp av tabell 3 bak i boken finner vi

I = — = 6,14 • 10-15 m4 p 32

Fig. 4.11 Fig. 4.12

Fig. 4.11 (til venstre) Fig. 4.12 (til høyre)

179

ROTASJON AV STIVT LEGEME OM FAST AKSE

KAP. 4

Momentloven gir nå M = lå => -T = liy => i// +

GIp

— ~F £1

= 0

Denne svingelikningen har samme matematiske form som svingelikningen (2.19) for små utslag for den matematiske pendelen i seksjon 2.1.3. Derfor blir perioden ifølge formel (2.21), T = 2tt

U GIp

Herav får vi for legemets treghetsmoment om rotasjonsaksen r

4

G/„

I = —y----- = 1,37 ■ 1(T4 kgm 4/r2 l Den oppgitte verdi for skjærmodulen G er noe unøyaktig. Det samme kan gjelde strengdiameteren, som kan variere litt langs strengen. For å unngå feil som disse dataene vil introdusere, kan vi bestemme treghetsmomentet til legemet ved å sammenlikne perioden r med perioden Tk for et kalibreringslegeme med kjent treghetsmoment Ik. Fra formelen for perioden gitt ovenfor, avleder vi

1 = hW1

4.4 Treghetsmomenter Treghetsmomentet til et legeme om en akse er definert ved formel (4.10) og fig. 4.8. Vi kan skrive formelen for treghetsmomentet om z-aksen på to måter

(4.19)

Iz = j R2p dV = j (x2 + y2)p dV

v

v

Tilsvarende får vi for treghetsmomentene om x-aksen og y-aksen

(4.20)

Ix = J (/ + z2)p dV, V

180

Iy = J (? + x2)p dV V

TREGHETSMOMENTER

SEK. 4.4

For en del enkle geometriske former gir tabell 4 bak i boken treghets­ moment under forutsetningen av at legemet er homogent. Vi skal i denne seksjonen lære hvordan treghetsmoment kan beregnes for noen karakte­ ristiske typer av legemer. I noen formler kan det være hensiktsmessig å innføre begrepet treghetsradius. Vi setter

k =

(4.21)

og kaller iz treghetsradien til legemet med hensyn til z-aksen. Vi ser at Iz = miz2. Treghetsradien er altså lik avstanden fra z-aksen til en masse­ partikkel med samme masse og treghetsmoment Iz som legemet.

Eksempel 4.4.

SLANK HOMOGEN STAV

For en homogen rett stav AB med masse m og lengde skal vi bestemme treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret C og normalt til stavaksen. Vi antar at stavens dimensjoner tvers på stavaksen er små sam­ menliknet med stavlengden. Denne forutsetnin­ gen er grunnlaget for be­ tegnelsen slank stav. Et stavelement med lengde dx har masse

Fig. 4.13

pdV = (m/£)dx

Treghetsmomentet om z-aksen for staven blir da £/2 T

L =

IT 7

f2

J V

m

x p dV = — r

_ m x3 ^/2

P

f2l

x dx

2 -H2

_ mV3

z ~ 7 7 -e/2 ~ 77 Resultatet står oppført i tabell 4. Fra samme tabell avleder vi at for en stav med sirkulært tverrsnitt med radius r og for en stav med rektangulært tverrsnitt og høyde h tvers på zretningen, blir henholdsvis

181

|.ih|

.....................

■-

-

-...... -

.

.........

........................

■................

.........

.-----------

-

■

• ■

ROTASJON AV STIVT LEGEME OM FAST AKSE

KAP. 4

r mf2 mr2 I7 = ------ +------- , z 12 4

T m£2 mh2 I7 = ------- + -----z 12 12

z-aksen er her den som er vist i fig. 4.13. For slanke staver er r ------------- 5-------- ------- ------ . (1 + llmR2yjnglS - sin ø)

Oppgave 5.20 Skråplanet i oppgave 5.17 påvirkes av en horisontal kraft F. Bestem F slik at sylinderen ikke får akselerasjon relativt til skråplanet. Svar: (m + Mjgtanø.

280

OPPGAVER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.21

Oppgave 5.21 En skråstilt renne danner vinkelen ø med horisontal­ planet. Rennen består av to plane plater som hver danner vinkelen 0 med vertikalplanet. En homogen kule med masse m og radius r ruller uten å gli nedover rennen. Bestem massesenterets akselerasjon. Svar:

5 sin 0 sin ø 5 sin2 6 + 2

Oppgave 5.22 Beregn vinkelhastigheten til armen AB i eksempel 5.12 som funksjon av vinkelen yr når hjul A er fastholdt. Systemet er i ro når armen AB er horisontal. Svar: J(2g/3r) sin yr .

Oppgave 5.23 Blokken i oppgave 5.14 roterer om kanten K inntil den er kommet på høykant. Bestem vinkelhastigheten til blokken i denne posi­ sjonen. Svar: 2,03 rad/s. Oppgave 5.24 En sir­ kulær ring med radius r og jevnt fordelt masse m kan bevege seg i et vertikalt Oxy plan, slik at den tangerer %-aksen, og slik at et punkt P på ringen beveger seg på en vertikal føring langs y-aksen. I P er konsen­

Fig. Oppg. 5.24

281

KAP. 5

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

trert en masse m. Føringene er friksjonsfrie. Bevegelsen starter fra ro idet vinkelen Øer lik n/2. Bestem ringens vinkelhastighet som funksjon av 0.

Svar: ^g cos 6/r . Oppgave 5.25 Bestem føringskreftene på ringen i oppgave 5.24. Svar: NP = (3mg sin20)/4, NB = 3mg(l + cos20)/2.

Fig. Oppg. 5.26

Oppgave 5.26 En homogen blokk med masse m, høyde h og bredde b er plassert med en kant B på et horisontalt underlag, slik at massesenteret C er vertikalt over kanten B. Blokken slippes fra denne ustabile likevektsstillingen. Blokken roterer nå om kanten B inntil den støter mot underlaget med kanten A, hvoretter den fortsetter å rotere om A. a) Beregn vinkelhastigheten co like før kanten A treffer underlaget. b) Bestem forholdet h/b slik at blokken bare får støtkrefter ved A. Beregn vinkelhastigheten etter støtet. „ , Svar: a) co =

l3g(^h2 + b2 55 N h2 + b2

2h2 - b2 2(h2 + b2)

co.

Oppgave 5.27 En kule med radius r og masse m starter fra ro og ruller uten å gli nedover en krum bane som fører horisontalt ut på et transport­ bånd. Fallhøyden er h. Friksjonstallet mellom kulen og transportbåndet er [1. Bestem transportbåndets hastighet v slik at kulen kommer til ro relativt til båndet. Beregn også hvor lang tid det tar før kulen kommer til ro på båndet.

Svar: v = yjl4gh/5,

282

t = (2/Jug)A/2g/z/35 .

OPPGAVER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.27

Oppgave 5.28 Kulen i oppgave 5.27 skal forlate transportbåndet horison­ talt og fortsette med fritt fall. Bestem den maksimale trommelradien 7?. Svar: R = 14/z/5 - r

Oppgave 5.29 En homogen sylinder med masse m og radius r ruller under påvirkning av tyngdekraften nedover et skråplan. Mellom B og D på skråplanet er friksjonen neglisjerbar. Forøvrig er friksjonen mellom sylinder og skråplan stor nok til at sylinderen ruller uten å gli. Bevegel­ sen starter fra ro når sylinderen er ved A. a) Bestem hastigheten til massesenter C idet sylinderen passerer B. b) Bestem sylinderens vinkelhastighet like før og like etter den passerer D. Anta at ren rulling inntrer momentant ved D. Svar: a) vc - y](4gbsinø)/3, b) cof = vc/r, coe =

2(1 + 716)

Fig. Oppg. 5.29

283

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.30

Oppgave 5.30 Et lodd med masse m = 20 kg henger i et tau som er vik­ let rundt en trommel. Tauet regnes masseløst. Trommelen har treghets­ moment 1=2 kgm2 om rotasjonsaksen. Systemet er påvirket av en friksjonsbremse. Friksjonstallet mellom bremsekloss og trommel er /u = 0,4. a) Bestem bremsekraften K slik at loddet senkes med konstant hastighet. b) Systemet er i ro med loddet h = 1,0 m over et horisontalt underlag. Sett K = 50 N, og beregn hastigheten som loddet treffer underlaget med. Beregn også taulengden som totalt vikles av trommelen. Svar: a) 88 N,

Fig. Oppg. 5.31

284

b) 2,0 m/s,

1,40 m.

Oppgave 5.31 En homogen sylinder med masse m kan rulle uten å gli på et horisontalt underlag. En utøyelig og masseløs snor er viklet rundt sylinderen. Snoren går over en trinse og er festet i et lodd, som har masse m. Trinsen kan rotere fritt om en fast horisontal akse. Trinsen har treghets­ moment I = mr2 om ak­ sen. Det er tilstrekkelig friksjon til å sikre at sno­ ren ikke kan gli på trinsen. Loddet kan bevege seg vertikalt under påvirkning av tyngden.

OPPGAVER

KAP. 5

a) Bestem loddets akselerasjon samt snorkraften mellom sylinder og trinse og mellom trinse og lodd. b) Hvilken betingelse må friksjonstallet /i mellom sylinder og underlag tilfredsstille for at betingelsen ren rulling skal være oppfylt? Svar: a) 8g/19, 3mg/19, llmg/19

b) /i > 1/19.

Fig. Oppg. 5.32

Oppgave 5.32 En homogen sylinder med masse m kan rulle uten å gli på et horisontalplan på en vogn. Vognen har masse m og kan bevege seg friksjonsfritt på et horisontalt underlag. Vognen er festet til en fast vegg via en fjær. Vognhjulenes masse neglisjeres. Startbetingelsene for syste­ met er at sylinderens massesenter har hastighet v0 mot venstre, mens vog­ nen er i ro, og fjæren er ubelastet. Sylinderen støter så plastisk mot en vertikal plate festet til vognen. Støtet gir vogn og sylinder en felles has­ tighet. Fjæren trykkes maksimalt sammen et stykke dx. I det øyeblikk fjærkraften igjen blir null, vil sylinderen begynne å rulle på vognen. Vogn og sylinder har da hastigheten v2- Fjæren forlenger seg maksimalt et stykke d2 = v0^m/3k. a) Bestem systemets felleshastighet etter støtet, og beregn energitapet ved støtet. b) Beregn maksimal sammentrykning d} av fjæren etter støtet. c) Bestem hastigheten til sylinderens massesenter i det øyeblikk fjæren er maksimalt forlenget. Svar: a) v0/2, mvg/2

b) v0y)m/2k

c) v0/3

Oppgave 5.33 En aksesymmetrisk trommel har masse m og treghets­ moment = mr2 om sin akse. Trommelen skal rulle uten å gli på et hori­ sontalt underlag. En utøyelig og masseløs snor er viklet rundt trommelen. Snoren går over en trinse og er festet i et lodd. Trinsen kan rotere fritt om

285

KAP. 5

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

Fig. Oppg. 5.33

en fast horisontal akse. Trinsen har treghetsmoment /2 = mr2/2 om aksen. Friksjonen er tilstrekkelig til at snoren ikke kan gli på trinsen. Loddet har masse m og kan bevege seg vertikalt under påvirkning av tyngden. a) Bestem loddets akselerasjon, snorkraften mellom trommel og trinse og snorkraften mellom trinse og lodd. b) Hvilken betingelse må friksjonstallet n mellom sylinder og underlag tilfredsstille for at betingelsen om at trommelen skal rulle uten å gli på underlaget skal være oppfylt?

Svar: a) 2g/13, 10mg/13, llmg/13

b)^>6/13.

Oppgave 5.34 En homogen kule med radius r og masse m settes i translatorisk bevegelse på et horisontalt underlag ved hjelp av en spent fjær. Fjæren frigjøres etter å ha vært klemt sammen et stykke b. Friksjon mel­ lom kule og underlag neglisjeres inntil kulen har mistet kontakt med fjæ­ ren. Kulen forlater fjæren med hastigheten vP Kulen har masse m. På grunn av friksjon mellom kule og underlag, kommer kulen etter hvert i rotasjon. Friksjonstallet mellom kule og underlag er [i. a) Bestem hastigheten b) Bestem hastigheten til kulens massesenter når den har fått ren rulling på horisontalplanet. Beregn også hvor lang tid det tar fra kulen forla­ ter fjæren til den har fått ren rulling. Svar: a) bylk/m

286

b) 5vj/7,

OPPGAVER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.34

Oppgave 5.35 Et stivt lege­ me består av to homogene sylindre forbundet med en stiv stav. Hver av sylindrene har masse m. Staven regnes masseløs. Legemet starter fra ro med staven horisontal, og begynner å bevege seg under påvirkning av tyngden. Sylin­ der A er utstyrt med en bolt som stikker ut ved sylinderens endeflater. Etter en fallhøyde h = 5r støter bolten mot et fast boltelager ved D. Etter støtet fortsetter legemet å rotere om D. a) Bestem hastigheten til legemets massesenter like før støtet og vinkel­ hastigheten til legemet like etter støtet. b) Bestem vinkelhastigheten til legemet og lagerreaksjonen i D idet lin­ jen AB er blitt vertikal. Svar: a) yjlOgr, 3y[g/lQr,

Fig. Oppg. 5.35

b) yj3g/2r, 13mg/2

Oppgave 5. 36 Figuren viser et system av tre like homogene sylindre og en horisontal plate. Hver del har masse m. Platen kan rulle på to av sylindrene, som igjen kan rulle på et fast horisontalt underlag. Den tredje sylinderen kan rulle eller slure på platens overside. Friksjonstallet mel­ lom sylinder og plate er p.. Systemet settes i bevegelse av en horisontal kraft F som angriper platen. Platen får da en akselerasjon a. Anta at sylin­ deren på platen ruller uten å slure.

287

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.36

a) Bestem kraften F som gir platen akselerasjonen a. b) Sett opp betingelsen for platens akselerasjon a for at sylinderen på platen ikke skal slure under bevegelsen. Svar: a) 25ma/12, b) a < 3flg. Oppgave 5.37 Systemet i oppgave 5.36 endres. Det faste horisontale underlaget fjernes, og sylindrene som platen hviler på, lagres slik at de kan rotere friksjonsfritt om sine horisontale sylinderakser. a) Bestem kraften F som gir platen akselerasjonen a. b) Utled betingelsen som platens akselerasjon a må oppfylle for at sylin­ deren på platen ikke skal slure under bevegelsen. Svar: a) 7ma/3,

b) a < 3/ig.

Oppgave 5.38 En homogen sylinder med radius r og masse m befinner seg på lasteplanet til en lastebil som beveger seg med konstant horisontal akselerasjon a. Sylinderen holdes i ro på lasteplanet ved hjelp av et hori­ sontalt tau. Friksjonstallet mellom sylinder og lasteplanet er gt. a) Finn taukraften. b) Anta at tauet ryker slik at sylinderen begynner å bevege seg relativt til lastebilen. Hvor stor akselerasjon a kan lastebilen ha uten at sylinde­ ren kommer til å gli på lasteplanet. Svar: a) ma,

b) 3/J.g.

Oppgave 5.39 En stiv homogen stav med lengde l og masse m holdes i ro i horisontal stilling og slippes så. Den faller fritt i tyngdefeltet distan-

288

KAP. 5

OPPGAVER

Fig. Oppg. 5.38 Oppg. 5.39

Fig. Oppg. 5.39

Fig. Oppg. 5.38

sen h før den treffer et fast anslag i avstand ^74 fra stavens endepunkt. Bestem hastigheten til massesenteret og vinkelhastigheten umiddelbart etter støtet når det forutsettes at staven beholder sin kinetiske energi.

Svar: a) - yj2gh H,

24yj2gh

Oppgave 5.40 En sirkulær sylinder med radius r kan rulle uten å gli på et horisontalt underlag. Sylinderens masse m er skjevt fordelt slik at massesenteret C ligger i en avstand r/2 fra sylinderens geometriske akse gjennom O. Treghets­ momentet om en akse gjennom C paral­ lell med sylinderaksen er mr212. Sylin­ deren er til å begynne med i ro med lin­ jen OC horisontal, og kommer så i bevegelse på grunn av tyngdekraften. a) Bestem sylinderens vinkelakselerasjon og normalkraft og tangentialkraft fra underlaget mot sylinderen idet bevegelsen starter. b) Finn sylinderens maksimale vinkelhastighet, og bestem normalkraft mot sylinderen fra underlaget idet linjen OC er vertikal. Svar: a) 2g/7r, brngH, 2mgn,

Fig. Oppg. 5.40

b) y]4g/3r, 5mg/3.

Oppgave 5.41 Figuren viser en opprullingsmaskin for avispapir. Maski­ nen består av en papirrull med radius rx og masse mx og to like stålvalser med radius r2 °g hver med masse m2. Papirrullen hviler på valsene. Rull og valser kan rotere om horisontale akser. Til hver valse er tilkoblet elek­ tromotorer som kan overføre dreiemomenter til valsene. I denne opp-

289

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

KAP. 5

Fig. Oppg. 5.41

gaven er rullen ferdig opprullet, og vinklene ø er lik 45°. Motoren til venstre valse set­ tes i gang og leverer et kon­ stant dreiemoment T. Motoren i høyre valse er frakoplet. Anta at papirrullen ruller uten å gli på valsene, og at alle friksjonstap kan neglisjeres. Rull og valser regnes som homogene sylindrer. Bestem vinkelakselerasjonen å) til rullen, og beregn friksjonskraft F og normalkraft N mellom rull og drivvalse. Svar: a) æ =

2T

1

mirir2 1 + 2m2/m1

T 1 + m2lmx r2 1 + 2m2/m1

_r V2 T m2/m} N = mig — ~ —r2 1 + lm2lmx Oppgave 5.42 En homogen, rettvinklet kloss med masse m står på en horisontal skive. Friksjonstallet for flatene mellom skiven og klossen er /d = 0,7. Sett blh = 0,75. a) Skiven gies en konstant akselerasjon a. Bestem den største verdi a kan ha når klossen verken skal gli på skiven eller vippe. b) Idet hastigheten til klossen er blitt lik v, støter nedre forkant mot en sperre i form av en faststående bolt ved A, slik at klossen etter støtet b

Fig. Oppg. 5.42

290

OPPGAVER

KAP. 5

fortsetter å rotere om den horisontale bolteaksen. Bestem klossens vinkelhastighet co umiddelbart etter støtet. c) Bestem den største verdien hastigheten v kan ha når klossen ikke skal vippe overende etter støtet. Svar: a) 0,7g,

b) 24v/25A,

c) 5yJgh/3 /8

Oppgave 5.43 Et stivt legeme be­ står av to homogene sylindre for­ bundet med en stav. Hver av sylin­ drene har masse m, og sylinderradien er r. Avstanden mellom sylindrenes massesentre A og B er 3 r. Staven regnes masseløs. Legemet kan bare bevege seg parallelt med figurplanet, og slik at den nederste sylinderen er i kontakt med det hori­ sontale underlaget. Legemet er opp­ rinnelig i ro med linjen AB vertikal. Legemet gies en liten forstyrrelse og begynner så å bevege seg under tyngdens påvirkning. Anta at den nederste sylinderen ruller uten å gli på det horisontale underlaget. Bestem følgende størrelser umiddelbart før den øverste sylinderen møter det horisontale underlaget: a) Legemets vinkelhastighet m, og hastighetskomponentene i horisontal og vertikal retning til massesentrene A og B. b) Legemets vinkelakselerasjon d)og akselerasj onskomponentene i hori­ sontal og vertikal retning til A og B. Svar: a) co — ->Jg/2r, b) cb = 3g/8r,

vA = (Or

vB = (Or —> +3(or nL

aA = (br

aB = ((br - 3m2r) —» + 3 (br -L

Fig. Oppg. 5.43

Oppgave 5.44 En vogn består av et stivt legeme og to hjulpar. Det stive legemet har masse m og massesenter i punkt C. Hvert hjulpar har masse m og treghetsmoment I = mr2/2 om hjulaksen. Hjulradien er r. Vognen kan bevege seg på et horisontalt underlag. Hjulparene kan rotere frik­ sjonsfritt om hjulakslene. Anta at hjulene ruller uten å gli på underlaget. Til vognen er festet en utøyelig snor som går over en trinse og er festet til et lodd. Trinsen har radius r og treghetsmoment I = mr2/2 om sin hori­ sontale akse, og kan rotere friksjonsfritt om denne. Loddets masse er m.

291

KAP. 5

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

Fig. Oppg. 5.44

Systemet starter fra ro og kommer i bevegelse på grunn av loddets tyngde. Det forutsettes at snoren ikke kan gli på trinsen. a) Bestem vognens hastighet som funksjon av loddets vertikale forskyv­ ning y. b) Beregn snorkreftene som virker på vognen og på loddet. c) Beregn friksjonskrefter og normalkrefter mellom hjulpar og underlag.

Svar: a) ^AgylW, b) 8mg/ll, 9mg/ll, c)mg/ll, 91mg/66, 107mg/66 Oppgave 5.45 En jernbanevogn med masse m er lastet med en container med masse 2m. Punktet merket C er containerens massesenter. Containe­ ren er festet på vognen med fire stag, to merket PQ og to merket RS, som vist i figuren. Vognen er utstyrt med buffere som kan betraktes som masseløse, lineære fjærer med stivhet k. Vognene beveger seg på en horison­

Fig. Oppg. 5.45

292

OPPGAVER

KAP. 5

tal skinnegang. Hastigheten til vognen er v0 mot høyre like før den treffer en udeformerbar vegg. Vognen stopper så og fortsetter mot venstre. Vognhjulenes masser og treghetsmomenter neglisjeres. a) Finn et uttrykk for maksimal sammentrykning av bufferfjæren, og bestem returhastigheten til vognen. b) Under nedbremsningen av vognen oppstår det store krefter i stagene PQ. Idet strekkreftene i stagene PQ når maksimale verdier, blir stage­ ne RS kraftløse, og da har containeren bare kontakt med vognen langs kanten ved A. Bestem maksimal strekkraft i hvert av stagene PQ.

Svar: a) vQ^3m/k,

b) mg(v0^2k/3m /g - 72) / 4

Oppgave 5.46 Figuren viser en traktor med to store bakhjul og to mind­ re forhjul. Traktorens totale masse er m. Massesenteret er vist som punkt C. Bakhjulene har samlet treghetsmoment om bakhjulakselen lik I = mr2/4. Forhjulenes treghetsmomenter om forhjulsakselen og treghetsmo­ menter til roterende motorkomponenter neglisjeres. Traktorens motor overfører et konstant dreiemoment T til bakhjulene. a) Anta at alle fire hjul har kontakt med underlaget og at drivhjulene ikke slurer mot underlaget. Bestem traktorens akselerasjon. b) Sett friksjonstallet mellom drivhjul og underlag lik /j. = 0,5. Bestem hvor stort dreiemomentet T kan være under betingelsen ren rulling for drivhjulene. Bestem også resulterende normalkraft fra underlaget mot forhjulene. c) Forutsett at drivhjulene ikke kan slure mot underlaget. Bestem den maksimale verdien som dreiemomentet T kan ha uten at forhjulene mister kontakt med underlaget. Bestem også den tilhørende akselera­ sjonen til traktoren. Svar: a) 4775mr,

b) 10mgr/21, 5mg/21,

c) 15mgr/14, 6g/7.

Fig. Oppg. 5.46 Fig. Oppg. 5.47

293

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

KAP. 5

Oppgave 5.47 Et system består av to homogene skiver, et lodd og en masseløs, utøyelig snor. Hver skive og loddet har masse m. Snoren glir ikke på skivene. Bestem loddets akselerasjon. Svar: 7g/15.

Fig. Oppg. 5.48

Oppgave 5.48 En homogen stav AB med lengde t og masse mx kan dreie fritt om en horisontal akse gjennom B. En homogen kule med radius r og masse m2 kan bevege seg på et horisontalt plan. Den vertikale avstand mellom punkt B og kulens massesenter C er 2^/3. Friksjonstallet mellom kule og plan er fl. Systemet er i ro med sta­ ven i horisontal stilling. Sta­ ven begynner så å bevege seg under påvirkning av tyngden, og idet den når vertikal stilling, støter den mot kulen. Støtet kan regnes elastisk, slik at kinetisk energi for systemet er den samme like før og like etter støtet. Etter støtet vil kulen bevege seg bortover horisontal­ planet og vil etter en tid t komme i ren rulling. a) Bestem stavens vinkelhastighet like før støtet med kulen og hastig­ heten vc til kulens massesenter C like etter støtet med staven. b) Beregn tiden t kulen bruker før den får ren rulling, og bestem hastig­ heten v til kulens massesenter C etter at kulen er kommmet i ren rulling. c) Beregn forskyvningen u til kulens massesenter før den får ren rulling.

Svar: a) røj = b) t = 'Ivfjllng,

vc = v = 5vcn

— 3mt + 4m2

c) u = 12v|/49/tg

Oppgave 5.49 En homogen skive med radius r og masse mx kan bevege seg på et horisontalt plan. Friksjonstallet mellom skiven og planet er /l. Skiven er via en utøyelig snor forbundet med et fritthengende lodd som har masse m2 = amx.

294

KAP. 5

OPPGAVER

a) Bestem loddets akselera­ sjon under forutsetning av at friksjonstallet er stort nok til at skiven beveger seg med ren rulling. b) Bestem loddets akselera­ sjon og skivens vinkelakselerasjon under forut­ setning av at friksjontallet ikke er stort nok til at ski­ ven beveger seg med ren rulling. c) Hvilken betingelse må forholdet a = m2/mi oppfylle for at skiven skal bevege seg med ren rulling.

Svar: a) 2ag/(2tx + 3),

b) (ct-Ju)g/(tz+1),

Fig. Oppg. 5.49

c) a< 3/d/(l - 2/1).

Oppgave 5.50 En vertikal, homogen skive med masse m og radius r beveger seg bortover et horisontalplan. Det er friksjon mellom skiven og underlaget. Skiven starter med vinkelhastighet co0 og med massesenteret C i ro. Friksjonen mellom skiven og underlaget fører til at massesenteret kommer i bevegelse og vinkelhastigheten avtar inntil skiven er kommet i ren rulling. a) Bestem hastigheten til massesenteret når skiven er kommet i ren rulling. b) Bestem energitapet før skiven kommer i ren rulling. Svar: a) ft^r/3,

b) mr^co^/6.

Oppgave 5.51 En plate med masse M skal flyttes ved hjelp av 8 homogene sirkulære ruller med radius r og masse m. En gitt kraft F virker på platen. Det er ren rulling mellom plate og ruller og mellom ruller og underlag. a) Påvis at friksjonskreftene er de samme for alle rullene. b) Bestem akselerasjonen til platen. Bestem friksjonskreftene mellom rulle og plate og mellom rulle og underlag.

Fig. Oppg. 5.51

295

PLAN BEVEGELSE AV STIVE LEGEMER

KAP. 5

c) Forutsett at friksjonen mellom ruller og underlag er null, mens det fortsatt er ren rulling mellom plate og ruller. Bestem akselerasjonen til platen og rullenes massesentere.

x F Svar: b) ------------ , M + 3m

3ma ma ------- ,-------- , 8 8

. 3F c) -------------- , 3M + 8m

F --------------3M + 8M

Oppgave 5.52 Et system består av to horisontale, homogene skiver I og II som begge har samme masse m. Skive I har radius 2r, og kan dreie friksjonsfritt om en vertikal akse. Skive II har radius r, og kan dreie i for­ hold til skiven I om en liten vertikal tapp i skive I. En bremseinnretning kan innføre et dreiemoment mellom skive II og tappen. Massen av tappen og bremseinnretningen neglisjeres. Ved start er skive I i ro mens skive II roterer med vinkelhastighet City. Det settes så på et bremsemoment mel­ lom skiven II og tappen. Finn systemets vinkelhastighet når den relative rotasjonen er opphørt, og bestem tapet av mekanisk energi. Svar: ft^/7,

Fig. Oppg. 5.52

296

3mr2O)^/}A.

Kapittel

RELATIV BEVEGELSE

6.1

Introduksjon......................................

298

Oppgaver 6.1- 6.5

6.2 6.3

Kinematikk ...................................... Kinetikk............................................

301 307

Oppgaver 6.6- 6.11

6.4

Sammendrag .................................... Oppgaver 6.1- 6.12....................................

325 327

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

6.1 Introduksjon

Fig. 1.23

298

For å kunne angi posisjon og bevegelse til legemer, må vi velge en refe­ ranse og et koordinatsystem fast knyttet til referansen. De kinematiske størrelsene er definert realtivt til referansen og uttrykkes ved komponen­ ter i koordinatsystemet. Velger vi en annen referanse, får vi et nytt sett med kinematiske størrelser som beskriver den samme bevegelsen. I seksjon 1.4 har vi diskutert relasjonene mellom hastigheter og akse­ lerasjoner i to referanser som translerer relativt til hverandre. Dessuten har vi sett at ved overgang fra en referanse til en annen, må vi introdusere ekstraordinære massekrefter for at kraftloven for en partikkel skal gjelde i uendret form. I dette kapitlet skal vi ta for oss tilsvarende forhold når to referanser beveger seg relativt til hverandre i generell plan bevegelse. Alle resultater vi kommer frem til, vil gjelde uendret for det tilfellet at de to referansene er i generell rom-bevegelse relativt til hverandre. Vi skal igjen se på situasjonen i ek­ sempel 1.6. En mann i en heis som beve­ ger seg med akselerasjon a oppover, og en kvinnelig observatør i ro utenfor hei­ sen gjør ulike observasjoner av meka­ niske fenomener i heisen. Vi går ut fra at observatøren kan se inn i heisen. Hun ser at mannen står på en badevekt, som registrerer kontaktkraften mellom man­ nens føtter og vekten, men som oppgir denne i enheten kilogram som om det var mannens vekt eller masse. Observatøren har heissjakten, eller jorden, som sin referanse Rf. Hun gjennomfører derfor følgende analyse. Mannen som har vekt eller masse m er i akselerert bevegelse med akselerasjonen a oppover. Han er påvirket av to krefter: sin tyngde mg og kontaktkraften N fra bade­ vekten. Kraftloven F = ma gir: N -mg = ma => N = m(g + a). Dette er kontaktkraften i newton-enheter. Avlesningen på badevekten er i kilo­ gram og vil være m = N/g = m(l + a/g). Mannen i heisen har heisen som sin referanse Rf. Han kjenner sin masse m og føler seg i ro og uten akselerasjon, a = 0. Han kan analysere situasjonen slik: Jeg er påvirket av et tyngdefelt g og en kontaktkraft V. Kraftloven F = ma gir nå: N - mg =0 => N = mg. Han leser av den samme verdien m for N som observatøren og beregner at N = mg =

INTRODUKSJON

SEK. 6.1

m(l + a/g)g. Han finner dermed tyngdefeltet g ved å sette mg = m(l + a/g)g, som gir g = g + a. Observatøren og mannen utveksler sine analyser og resultater og kommer til at med heisen som referanse må vi regne med en ekstra «tyngdekraft» per masseenhet lik a, som er positiv, det vil si nedover, når heisen akselererer oppover. I alle eksperimenter mannen vil utføre i hei­ sen må han regne som om tyngdekraft per masseenhet er g = g + a. Tilleggstyngdekraften a har ingen motkraft, den følger ikke Newtons 3. lov og hører til den type krefter vi har kalt ekstraordinære massekrefter.

Fig. 6.1

Fig. 6.1. Roterende skive med sleide i fjærvekt Vi skal se på et annet eksempel. Fig. 6.1 viser en skive med et radielt spor som roterer med konstant vinkelhastighet om en vertikal akse. En sleide i sporet har masse m og er festet til en fjærvekt. Sleiden er i ro i sporet. Relativt til referansen Rf i figurplanet beveger sleiden seg på en sirkel med radius R og med normalakselerasjon an = Q2R. Denne kalles også en sentripetalakselerasjon fordi den er rettet mot et senter på rota­ sjonsaksen. Ordet sentripetal kommer av det latinske ordet «centripetus» = «centrum», senter + «petus», søkende = sentersøkende. På fjærvekten leser vi av fjærkraften K, som virker på partikkelen og innover mot rota­ sjonsaksen. I Rf setter vi opp kraftloven slik: F = ma => K = mam = mQ2R. Fjærkraften kan kalles en sentripetalkraft. Dersom vi nå velger skiven som ny referanse, Rf, må vi gjøre føl­ gende betraktning. Partikkelen er i ro og har ingen akselerasjon, a = 0. Men vi har registrert at partikkelen er påvirket av fjærkraften Kf= m£22R). Observert i Rf er partikkelen i likevekt: Summen av kreftene på partik­ kelen må være lik null. I tillegg til K må derfor partikkelen være påvirket

299

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

av en utoverrettet kraft S = K = mQ2R. Denne kraften kalles sentrifugal­ kraften på partikkelen. Ordet sentrifugal kommer av det latinske ordet «centrifugus» = «centrum», senter + «fugus», flyktende = senterflyktende. Massekraften £22R rettet ut fra rotasjonsaksen er en ekstraordinær massekraft, altså uten motkraft. Sentrifugalkrefter opptrer i roterende referanser. Situasjonen for fører og passasjerer i en bil som kjører i en sving kan analyseres slik. Bilen og folket i den har krumlinjet bevegelse som gir sentripetalakselerasjon. En person i bilen må påvirkes av en sentripetalkraft inn mot svingens krumningssenter. Denne kraften overføres gjennom setet, bilbeltet eller veg­ gen, dersom personen hviler mot denne. Personen kan ha en annen opp­ fatning av sin situasjon. Med bilen som referanse vil hun kunne oppfatte forholdet slik: «Jeg er i ro, men er påvirket av en sidekraft, en sentrifu­ galkraft, rettet ut av svingen bilen kjører i. Bilbeltet strammer og holder meg på plass». Ekstraordinære massekrefter opptrer i alle referanser som har aksele­ rert bevegelse relativt til inertialreferansene som er referanser i uakselerert translasjon i forhold til mekanikkens primærreferanse Melkeveien RfM. Vi kan ofte regne jorden som en inertialreferanse. Jordrotasjonen vil egentlig introdusere to ekstraordinære massekrefter: en sentrifugal­ kraft som inkorporeres i det vi kaller effektiv tyngdekraft, og en såkalt Coriolis-kraft som virker normalt på fartsretningen på et legeme som beveger seg på jordoverflaten. Denne kraften er vanligvis liten og neglisjerbar. Men den er ansvarlig for høyreavbøyning av vind og havstrøm på nordlig halvkule, og venstreavbøyning på den sørlige halvkule. Vi kom­ mer nærmere inn på sentrifugalkraft og Coriolis-kraft på jorden i seksjo­ nene 6.3.4 og 6.3.5. Tidevannsfenomenet forårsakes av gravitasjonskref­ ter fra måne og sol og ekstraordinære massekrefter som oppstår på grunn av disse himmellegemenes og jordens bevegelse relativt til hverandre. Tidevann med flo og fjære blir diskutert i seksjon 6.3.6. Ved studiet av mekanismer kan det ofte være fordelaktig å introdusere flere referanser for å lette den kinematiske analysen. Seksjon 6.2 om kinematikk gir derfor et viktig supplement til kinematikken i seksjon 5.1. Skifte til ny referanse kan av og til forbedre oversikten i et mekanisk problem. I noen tilfeller vil et dynamisk problem overføres til et statisk problem. Forståelse av konsekvensene av et referanseskifte er viktig om vi må analysere bevegelse realtivt til roterende maskiner eller forholdene for eksempel i en romstasjon. Jorden er selv en romstasjon i referansen Melkeveien RfM.

300

KINEMATIKK

SEK. 6.2

6.2 Kinematikk 6.2.1 Materiell derivasjon Vi skal observere materielle størrelser i to referanser Rf og Rf. Referan­ sene er representert av 2 kartesiske koordinatsystemer Oxyz og Oxyz, se fig. 6.2. Aksene z og z er parallelle, slik at basis vektorene ez = e^, og står normalt på figurplanet. Som antydet i figuren, skal vi forestille oss at Rf er fast i figurplanet. Bevegelsen av Rf relativt til Rf er bestemt av steds­ vektoren r0(r) fra origo O i Rf til origo O i Rf og rotasjonsvinkelen y/(t). Men de størrelser vi får bruk for nedenfor, er hastighet V0(t) og akselera­ sjon a0(7) til O observert i Rf, og vinkelhastighet £2(t) og vinkelakselerasjon Q(t) til referansen Rf observert fra Rf. Vektorformen til vinkelhas­ tighet og vinkelakselerasjon er Q=£2ez,

Q= åez

(6.1)

Størrelsene r0(7), \rQ(t) og a0(7) skal oppfattes som tidsfunksjoner rela­ tivt til Rf. Det betyr at funksjonene angir hvorledes størrelsene endrer seg med tiden når de observeres i Rf. For å demonstrere betydningen av denne spesifikasjonen kan vi tenke oss det tilfellet at Rf roterer om O, som er fast i Rf. Da vil vektoren r0 observert i Rf variere med tiden, mens den samme vektoren r0 observert i Rf er en konstant vektor.

Fig. 6.2

Fig. 6.2. Referanser Rf og Rf i relativ bevegelse La c(t) være en vilkårlig materiell vektor observert i referansene Rf og Rf. Vektoren har mål og retning, og når vi bruker betegnelsen mate­ riell om vektoren, henspiller det på at vektoren observeres som en geo­ metrisk størrelse, en pil, i de to referansene. I anvendelser vil vektoren

301

ai

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

ofte være knyttet til en partikkel eller til et legeme. Endringen av vekto­ ren med tiden t er avhengig av i hvilken referanse vektoren observeres. De materiell-deriverte av vektoren i de to referansene noteres slik i tre ulike alternativer

(6.2)

... . def dC (c)Rf s c = ~ dt

observert i Rf

(6.3)

. ■. j def dC (C)r? = C = — dt

observert i Rf

Subskriften Rf eller Rf i det første alternativet skal markere i hvilken referanse derivasjonen er foretatt. For vektorer lar vi generelt prikk som derivasjonstegn alene bety materiell-derivasjon i Rf, mens komma mar­ kerer materiell-derivasjon i Rf. For vektorkomponenter trenger vi ikke markere i hvilken referanse størrelsene observeres, og vi foretrekker å fortsette med prikk som derivasjonstegn. Vi skal utlede relasjonen mellom de to materiell-deriverte i (6.2) og (6.3). Med komponenter og basisvektorer i de to koordinatsystemene i fig. 6.2 har vi (6.4) (6.5) (6.6)

c = c..er + c,,e,, cvga.

+

cyey

C — CXGX +

+c7e7 = cvev +

+ c^e-

+qez

CyQy

Basis vektorene i det merkede koordinatsystemet er fast forbundet med Rf og er derfor tidsfunksjoner når de observeres i Rf. Formel (5.8) gir

(6.7)

éx =

£2

x ex ,

éy = £2

x ey ,

é- =

£2

x g- = 0

Nå finner vi at

C — (CjGj +

= c+

£2

CyCy

+C^G-) "*■

x (Cy©y +

(cx^x + cy&y

+ C7G7) = c +

+ cz®z^ £2

xc

Dermed har vi utledet relasjonen (6.8)

c= c +

£2

x c (c)Rf = (cjgj +

£2

xc

Dersom C er en vektor som er konstant når den observeres i Rf, eller kort sagt dersom C er en materiell vektor fast i Rf, blir C = 0. Fra (6.8) får

302

SEK. 6.2

KINEMATIKK

vi da C = legeme.

£2

x c. Konferer formel (5.8) for en materiell vektor i et stivt

6.2.2 Relasjoner for hastigheter og akselerasjoner Posisjonen til en partikkel P, se fig. 6.3, er gitt ved stedsvektorene r(t) i Rf og r (r) i Rf. Hastighetene til P, v(t) observert i Rf og V(7) observert i Rf, er definert ved

v(0 = (r)Rf = r,

v(r) = (F)^ = r

(6.9)

Fra fig. 6.3 har vi: r = r0 + r. Altså blir ved hjelp av formel (6.8)

r = ro+ r = ro+ (r +

£2

x r)

Her er r0 = v0 = hastigheten til referansepunktet O i Rf observert i Rf. Resultatet gir oss relasjonen

v = v0 + nxr+v

(6.10)

Ved tidspunktet t befinner partikkelen P seg på et sted i Rf, = fast punkt i Rf, definert ved stedsvektoren r. For dette stedet må r stå for en vektor som beveger seg stivt med Rf. Hastigheten til stedet i Rf relativt til Rf kalles stedshastigheten i Rf og er

Vsted = Vo +

Xr

(6.11)

Konferer hastighetsfordelingsformelen (5.7) for et stivt legeme. Det er noen ganger praktisk å kalle størrelser observert i Rf for abso­ lutte størrelser og størrelser observert i Rf for relative størrelser, slik at

v = vabs,

v = vrel

(6.12)

Hastighetsformelen (6.10) kan nå noteres slik

Vabs = Vsted + Vrel

(6.13)

303

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

Fig. 6.3

Fig. 6.3. Partikkelhastigheter og -akselerasjoner i to referanser Akselerasjonene til P, a(t) observert i Rf og a(t) observert i Rf, er definert ved

(6.14)

a(r) = (v)Rf = v = r,

a(r) = (v)^ = v = r

Vi materiell-deriverer formel (6.10), bruker formel (6.8) og får

a = v = vo+ 42x r + X2 x r + v

= a0 +

■ _ £2 x r

_

_

-L

_

+ 42 x (v + X2 x r) + (v + X2 x v)

hvor a0 = v0 er akselerasjonen til referansepunktet O i Rf observert i Rf. Formelen ordnes til

(6.15)

a = a0 + X2xr + X2 x (42 x r) + 2X2 x v + å

Stedet r fast i Rf beveger seg relativt til Rf med stedsakselerasjonen

(6.16)

asted = a0 + 42xr + 42x(42 xr)

Konferer akselerasjonsfordelingsformelen (5.14) for et stivt legeme. Vi setter

304

SEK. 6.2

KINEMATIKK

a ~ ®abs ’

a ~ arel

(6.17)

og innfører Coriolis-akselerasjonen, etter Gustave Gaspard Coriolis [1792-1843],

ac = 2£2 x v = 212 x vrel

(6.18)

Nå kan formelen (6.15) noteres slik

aabs — asted + ac

arel

(6.19)

Fra utviklingen av formel (6.15) ser vi at Coriolis-akselerasjonen 212 x v består av to likeverdige bidrag: ett som skyldes endringen av steds vektoren r relativt til Rf (bidraget fra £2 x r), og ett som kommer fra retningsendringen av vrel = v på grunn av rotasjonen av Rf relativt til Rf (bidraget fra v). Partikkelen på skiven i fig. 6.1 har ingen relativ bevegelse, og derfor ingen relativ akselerasjon, a = 0. Stedsakselerasjonen er

asted = 12x (12x r) = (12ez) x [(12ez) x (ReÆ)] = -&ReR og Coriolis-akselerasjonen er null. Eksempel 6.1.

PARTIKKEL PÅ FØRINGSSTANG

En partikkel med masse m beveger seg langs en føringsstang, se fig. 6.4. Bevegelsen realtivt til stangen er gitt ved avstanden R(t) fra endepunkt O. Stangen roterer i et horisontalplan. Rotasjons vinkelen er 0(t). Vi skal beregne partikkelens hastighet og akselerasjon uttrykt ved funksjonene R(t) og 0(t) og deres deriverte. Vi velger en referanse Rf fast i stangen og O = O. Da blir

r0 = 0, v0 = 0, a0 = 0

12 = 9ev £2 = 0ez r = r = ReR, v = ReR, å = ReR Formel (6.10) gir

305

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

v=v0 + X2xr+v Fig. 6.4

= 0 + (Øez) x (ReR) + 7?eÆ =>

v = ReR + RØee Her er relasjonen e_ x eR = e0 benyttet.

Fig. 6.4. Partikkel på føringsstang

Formel (6.15) gir

a =a0 +Æxr+ Æ x('Æxr) + 2Æ xv + å

= 0 + (Øez) x (ReÆ) + (Øez) x (Øez x 7?eÆ) + 2(0ez) x (ReÆ) + ReR => a = [R - R(0)2]eR + [RØ + 2RØ] ee Resultatene er tidligere utledet i seksjon 2.2, se formlene (2.40) og (2.41). Eksempel 6.2. mekanisme

Fig. 6.5a viser to stenger AD og BE som roterer i et horisontalplan. En sleide er festet med et ledd til stangenden E og kan gli langs stangen AD. Stangen BC roterer med konstant vinkelhastighet C0q. Vi skal bestemme vinkelhastigheten co og vinkelakselerasjonen å> til stangen AD som funk­ sjoner av vinklene ø og 0. Vi finner følgende formler for radien F = AC og vinkelen 0

r = ^r2 +

+ 2r£ cos ø ,

tan 0 = sin ø / (cos ø + £/r)

Med stangen AD som referansen Rf, kan sleidens hastighet vE uttrykkes på to måter: vE = co^r og, se fig. 6.5b, v£ = vsted + v£. Hastigheten vE er rettet langs AD, og vsted = r co står normalt på AD. Fra fig. 6.5b leser vi av resultatet

cor = C0qC cos(ø- 0) => co = co^r/r) cos(ø- 0) Dessuten gir figuren: vE = co^r sin(ø- 0).

306

KINETIKK

SEK. 6.3

Fig. 6.5

Fig. 6.5. a) Mekanisme b) Hastighetstrekant c) Akselerasjonspolygon

Sleidens akselerasjon aE kan også uttrykkes på to måter: aE = afar mot

B og, se fig. 6.5c, aE = aE + å

xr +

2a

x

vE + a

x

(a

x r)

Fra figuren leser vi av: år + 2avE = a^r sin(ø - 0). Med de uttrykkene for a og v E som vi har funnet, blir å= a%(r/ r) [1 - 2(r/ r) cos(ø- 0)] sin(ø- 0).

6.3 Kinetikk 6.3.1 Ekstraordinære massekrefter La Rf og Rf være to referanser som beveger seg relativt til hverandre. I fig. 6.6 er figurplanet fast i Rf, og Rf beveger seg med vinkelhastigheten £1 og vinkelaksererasjonen 12 relativt til Rf. Dessuten beveger referanse­ punktet O i Rf seg med akselerasjonen a0 relativt til Rf. En partikkel P med masse m beveger seg med akselerasjon a under påvirkning av resultantkraften F. I fig. 6.7 er figurplanet fast i Rf, og Rf beveger seg med vinkelhastig­ heten -Fl og vinkelakselerasjonen Fl relativt til Rf. Referansepunktet O i Rf har relativt til Rf akselerasjonen a^ Akselerasjonen åg kan bestem­

307

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

mes som a fra formel (6.15) med hjelp av formel (6.10) ved å sette v = 0, r = -r0 og a = 0. Se oppgave 6.12. Partikkelen P har i referansen Rf hastigheten v og ifølge (6.19) akse­ lerasjonen

(6.20)

a — a — asted ~ a(. hvor stedsakselerasjonen asted er akselerasjonen til stedet r i Rf observert fra Rf, og ac er Coriolis-akselerasjonen på grunn av rotasjonen av Rf relativt til Rf.

(6.21)

asted = a0+Æxr + Æx(Æxr),

ac = 2£2 x v

Fig. 6.6. Bevegelse relativt til Rf

Fig. 6.7. Bevegelse relativt til Rf

Fig. 6.6 Fig. 6.7

Fordi akselerasjonene a og a generelt er forskjellige, må vi også regne med at resultantkreftene F og F i henholdsvis Rf og Rf og som inngår i kraftloven, er forskjellige. For å få begge kraftlov-likningene

F = ma i Rf, og

F = ma i Rf

til å stemme, må vi ha følgende relasjon mellom de to resultantkreftene

F = F-masted-mac

(6.22)

Dette resultatet betyr at vi relativt til Rf må regne med to massekrefter i tillegg til de kreftene vi regner med relativt til Rf. Disse massekreftene er

308

(6.23)

bsted =“asted

(6.24)

bc

= -ac = -2Q x V

stedskraften

Coriolis-kraften

KINETIKK

SEK. 6.3

Coriolis-kraften står alltid normalt på vinkelhastigheten til referansen Rf og på den relative hastigheten v. Vi kaller stedskraft og Coriolis-kraft for ekstraordinære massekrefter fordi de ikke følger Newtons 3. lov om kraft og motkraft. Andre navn på disse kreftene er treghetskrefter, inertialkrefter og hjelpekrefter. Den primære referansen i klassisk mekanikk er Melkeveien RfM. Vi oppfatter da stjernene i melkeveien som fikserte i verdensrommet, derav navnet fiksstjerner. I virkeligheten beveger stjernene seg relativt til hver­ andre med hastigheter av størrelse 10-talls kilometer i sekundet (~ 106 km per år). Men avstandene mellom stjernene er så store (~ 1012 km) at stjernene kan for vårt formål i denne fremstillingen betraktes som fik­ serte. Dessuten roterer vår galakse, Melkeveien, relativt til retninger til andre galakser i rommet. Rotasjonshastigheten er anslått til ett omløp på omkring 250 millioner år. Relativt til RfM og alle referanser som er i uakselerert translasjon relativt til RfM, er massekreftene som påvirker et legeme, gjensidige påvirkninger av andre legemer. Disse referansene kalles inertialreferanser, inertialsystemer eller Newtonreferanser Massekreftene i en inertialreferanse blir her kalt ordinære massekrefter og følger Newtons 3. lov om kraft og motkraft, bortsett fra at ikke alle kraft-motkraft-par har felles angrepslinje, konferer kommentaren til antagelsen (3.2). Referansen definert ved jordsenteret og faste retninger mot fiksstjer­ nene er meget nær en inertialreferanse. Jorden er strengt tatt ikke en inertialreferanse, men den kan, som vi skal se nedenfor, for de fleste formål betraktes som en inertialreferanse. I referanser som er i akselerert translasjon og/eller i rotasjon relativt til RfM, må vi regne med ekstraordinære massekrefter i tillegg til de ordi­ nære massekrefter og kontaktkrefter. De ekstraordinære massekreftene er stedskrefter og Coriolis-krefter. Disse kreftene oppfyller ikke Newtons 3. lov. De har ikke motkrefter. Men de opptrer allikevel som reelle krefter på linje med gravitasjonskrefter fra fjerne legemer. Vi kan anta at deres årsak er universets fjerntliggende masse.

6.3.2 Referanse i rotasjon om fast akse I en referanse Rf som roterer med konstant vinkelhastighet 12 om en fast akse i referansen Rf, må vi regne med en stedskraft rettet ut fra rotasjons­ aksen. Denne stedskraften kalles sentrifugalkraft. Fig. 6.8 viser Rf i form av en roterende horisontal skive. En partikkel med masse m er i ro på ski­ ven og får ifølge formel (6.21) stedsakselerasjonen

309

Iljji ITB

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

Fig. 6.8 Fig. 6.9

Fig. 6.8. Sentripetalakselerasjon

asted = & x

(£2

x r) = -fl2

Fig. 6.9. Sentrifugalkraft

re

rettet mot rotasjonsaksen, e er en enhetsvektor i retning av r. Dette er det vi kaller sentripetalakselerasjonen. Partikkelen er påvirket av tyngden, samt normalkraft og friksjonskraft fra skiven. Friksjonskraften gir partikkelen stedsakselerasjonen. Fig. 6.9 viser situasjonen slik den observeres fra Rf. Partikkelen er fortsatt påvir­ ket av tyngden, normalkraft og friksjonskraft, men nå kommer i tillegg stedskraften, eller sentrifugalkraften, som per masseenhet er (6.25)

bsted = -asted =

-O

X (X2 X F) = X22 Fe

og rettet ut fra rotasjonsaksen. I referansen Rf er partikkelen i likevekt. Friksjonskraft og stedskraft balanserer hverandre.

Eksempel 6.3. svingning i roterende referanse

Et stivt legeme med et radielt spor roterer med konstant vinkelhastighet fl om en vertikal akse. En sleide i sporet har masse m og er festet med en lineær fjær med fjærstivhet k. Fjæren er kraftløs når sleidens avstand fra rotasjonsaksen er Rx. Friksjonstallet for de vertikale kontaktflatene i sporet er p. Sporets horisontalflate er glatt. Vi skal stille opp bevegelses­ likningen for sleiden. Observert fra det stive legemet Rf har sleiden hastigheten v = R og akselerasjonen a = R. I Rf er sleiden påvirket av følgende krefter i figur­ planet: fjærkraft k(R - Rf), normalkraft N, friksjonskraft pN, sentrifugal­ kraft mfl2R og Coriolis-kraft Fc. Med koordinatsystemet Oxyz fast i Rf,

310

KINETIKK

SEK. 6.3

Fig. 6.10

Fig. 6.10. Svingning i roterende referanse

se fig. 6.10, finner vi: kraft per masseenhet

£2 =

v =

vex = Rex. Dermed blir Coriolis-

br = -2£2 xv = -2(£2e7) x (Åe,.) = ~2£2Re.

Altså blir Coriolis-kraften på massen m: Fc = -mbc = 2m£2R. Kraftloven gir nå for sleiden Fx = max

=> -k(R - Rf) - /J.N + mQ-R - mR

Fy = may

=> N - 2m£2R - 0

Herav avleder vi bevegelseslikningen mR + 2pm£2R + (k- m£22)R = kRfm

Løsningen av denne differensiallikningen er, for tilfellet uten friksjon: p = 0, presentert i seksjon 2.2.1. Den generelle løsning av differensial­ likningen bestemmes som vist i seksjon 7.3.

6.3.3 Roterende kar med væske Et kar med væske roterer med konstant vinkelhastighet Q om en vertikal akse. Væskens densitet er p. En kort tid etter at rotasjonen er kommet i gang, vil væsken rotere med karet. Relativt til karet er væsken da i ro. Væskens frie overflate er en krum rotasjonssymmetrisk flate. Vi skal beregne trykket p(R,z) i væsken og bestemme overflatens form ut fra grensekravet at trykket er lik atmosfæretrykket pQ på væskens overflate, se fig. 6.11.

311

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

Fig. 6.11 Fig. 6.12

Fig. 6.12. Små væskesylindre

Fig. 6.11. Roterende kar

Relativt til karet må vi regne med en massekraft med bidrag fra tyng­ dekraften g og sentrifugalkraften Q2R, hvor R er avstanden fra rotasjons­ aksen z. Dermed blir massekraften

(6.26)

b(Æ) = -gez + £22ReR Kraften er konservativ med kraftpotensialet

(6.27)

ø(R,z) = gz-X227?2/2 slik at

(6.28)

é)(p

dd>

dz

oR

o

b = -Vø = -(—ez + ---eÆ) = -gez + Q2ReR Massekraften b står i hvert sted i karet normalt til potensialflaten = konstant gjennom stedet. Ifølge formel (6.27) er potensialflatene rotasjonsparaboloider. Vi skal vise at potensialflatene også er nivåflater for trykket i væsken. Fig. 6.12a viser en liten væskesylinder med akse normalt til b. I akse­ retningen virker bare trykk mot endeflatene. Fordi sylinderen er i likevekt relativt til karet, må kreftene mot endeflatene være like. Det betyr at dp = 0 i fig. 6.12a. Altså: Trykket varierer ikke i retningen tvers på massekraf­ ten. Det betyr at trykket er konstant i potensialflatene = konstant, eller med andre ord: Potensialflatene er nivåflater for trykket. Fig. 6.12b viser en liten væskesylinder med akse i retning av b og med høyde dn og grunnflate dA. I akseretningen virker trykk mot ende­ flatene og massekraften.

312

KINETIKK

SEK. 6.3

Likevekt av sylinderen krever

b • (p • (dA • dn)) + p • dA- (p + dp) • dA = 0 => dp = pb • dn Fra (6.28) følger det at b = -d/dn, slik at vi nå har funnet

dn

= -P

dn

=> p(R,z) = -p p0. Snoren, som har lengde 4 vil stille seg inn på skrå som vist i fig. 6.13. Vi skal bestemme snorkraften 5 og helningsvinkelen a.

Fig. 6.13

Fig. 6.13. Roterende kar med kule i snor

313

■I

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

Kulen er påvirket av tre krefter: snorkraften S, resultanten Fh av massekraften b fra (6.26) og oppdriften Fo. Fordi kulen er liten, kan vi regne b som konstant innenfor kulens volum. For Fb får vi

- b ‘ PqV = ~Po8^ez + PoF22RVeR Oppdriften er resultanten av væsketrykket mot kulens overflate og må være like stor som resultanten av massekraften på det væskelegemet kulen har fortrengt. Det følger av loven til Archimedes [287-212 B.C.]. Loven følger av resonnementet: Et væskelegeme vil være i likevekt under påvirkning av resultanten av massekraften og resultanten av overflatekreftene. Derfor blir oppdriften på kulen

Fo = p(-b) V = pgVez - pFl2RVeR Likevekt av kulen relativt til karet krever at snorkraften får samme ret­ ning som b. Snoren står altså normalt på isobaren gjennom kulen. Likevektslikningene blir

F. = 0 => —S costz- pogV + pgV = 0 FR = 0 => -S sintz - p0£l2RV-pFl2RV = 0

Herav finner vi, med R = a -

S = (p — Po)gV/cosa,

sintz,

tantz = (a- £ sintz)X22/g

Av den siste likningen kan tz bestemmes når vi kjenner a, l og Fl.

6.3.4 Jorden som tilnærmet inertialreferanse Relativt til en inertialreferanse beveger jorden seg i en elliptisk, nesten sirkulær, bane med solen i det ene brennpunktet, se seksjon 2.6.2. Dess­ uten roterer jorden om sin egen akse med vinkelhastigheten Fl = ------ —------ = 72,9 • KT6 rad/s stjemedøgn

Et stjemedøgn er lik 23,934 timer = 23 h og 3362 s og er den tiden jorden bruker på en hel omdreining om sin akse observert fra en inertialrefe­ ranse. Stjemdøgnet er 238 sekunder kortere enn soldøgnet, som er den tiden jorden bruker på en hel omdreining om sin akse observert relativt til solen, altså lik 24 timer.

314

SEK. 6.3

KINETIKK

Fig. 6.14 illustrerer situa­ sjonen. Jorden er tegnet i tre posisjoner. Punktene Pb P2 og P3 representerer det sam­ me stedet på jorden. I forhold til figurplanet, som kan repre­ sentere inertialreferansen, har jorden gjennomført en hel omdreining når jordstedet har flyttet seg fra posisjon Pb til posisjon P2. Under en hel jordomdreining observert ved hjelp av en siktelinje mot Fig. 6.14. Jordbevegelse solen, flytter jordstedet seg fra posisjon til posisjon P3. Tidsforskjellen mellom posisjonene P{ og P2 er ett stjemedøgn og mellom posisjonene Px og P3 ett soldøgn. Jorden fullfører et helt omløp om solen i løpet av ca. 365 soldøgn. Vinkelen 0, som representerer jordsenterets bevegelse i løpet av ett soldøgn, er derfor omtrent lik

Fig. 6.14

2ti 0 = ----- = 0,0172 radianer 365 Ifølge fig. 6.14 roterer jorden vinkelen (2tt + 0) relativt til inertialreferan­ sen i løpet av soldøgnet. Det betyr at tidsforskjellen i sekunder på et sol­ døgn og et stjemedøgn omtrent tilsvarer vinkelen 0 og blir

At =

24 • 3600 sekund

0 rad

soldøgn

(2æ + 0) rad/soldøgn

= 236 5

Jordsenteret O har en akselerasjon a0 mot solen som er bestemt av gravitasjonskraften fra solen. Vi lar M stå for solens masse og m for jor­ dens masse. Kraftloven og gravitasjonsloven gir for jordsenteret i en iner­ tialreferanse, se fig. 6.15,

_ GMm GM r = ma => ——5— r0 = ma0 => a0 = —r0 4) 4)

(6.30)

Med jorden som referanse Rf skal vi i tillegg til de ordinære masse­ kreftene, som for eksempel gravitasjonskraften fra jordkloden og fra solen, regne med følgende ekstraordinære massekrefter, se fig. 6.15,

315

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

Fig. 6.15

Fig. 6.15. Jordens bevegelse rundt solen

(6.31)

bsted = -asled = ~ao - & x r - Q x (Q x r)

(6.32)

bc = -2X2 x r

Coriolis-kraft

r er stedsvektoren fra jordsenteret til et sted på jorden, og v er hastigheten til en partikkel P på dette stedet og relativt til jorden. Gravitasjonskraften fra solen er per masseenhet (6.33)

r er stedsvektoren fra solsenteret til partikkel P på jorden. Vi skal se hvordan alle tilleggskreftene i formlene (6.31) og (6.32) kan neglisjeres i de fleste tilfeller. Vinkelakselerasjonen Q er forsvinnende liten, og det tilhørende ledd i formel (6.31) neglisjeres umiddelbart. Kraften -a0, som blir gitt ved for­ mel (6.30), og gravitasjonskraften (6.33) fra solen vil nesten oppheve hverandre. Vektorene r0 i formel (6.30) og r i formel (6.33) er nesten parallelle og har nesten samme lengde. Masse på jordens solside blir påvirket av litt mer gravitasjonskraft fra solen enn kraftbidrag fra -a0. På jordens skyggeside er gravitasjonskraften fra solen litt mindre enn tilleggskraften -a0. Disse kraftforskjellene er store nok til å påvirke vann­ overflaten i havene og er med å forklare tidevannsfenomenet, som blir diskutert i seksjon 6.3.6. Sentrifugalkraften -X2 x (12 x r) i formel (6.31) er rettet ut fra jordaksen, se fig. 6.16. Målet til kraften er X227? = X22r cosø. Vinkelen ø er

316

KINETIKK

SEK. 6.3

breddegraden. Kraften kan inkorporeres i jordens gravitasjonskraft g til en effektiv tyngdekraft

g’ = g + Q2r cosøe^

(6.34)

Den effektive tyngdekraften står normalt til jordoverflaten, slik denne er gitt av havets overflate. Havoverflaten er en potensialflate for kraftpoten­ sialet til g’. Havoverflaten har form av en rotasjonsellipsoide, gitt av for­ mel (6.35) nedenfor. Fig. 6.16 overdriver sterkt jordens ovale form. En loddsnor vil angi retningen til g’. Antar vi at radien r er konstant lik mid­ lere jordradius Rj = 6371 km, og at g er lik 9,820 N/kg, beregnet i eksem­ pel 2.15 som en midlere gravitasjonskraft, gir formel (6.34)

Fig. 6.16

Fig. 6.16. Jordkloden

g’ = g = 9,820 N/kg ved polene (ø = 90°) g’ = g - Q2Rj = 9,786 N/kg ved ekvator (ø = 0°) Maksimalkorreksjonen er Q2Rj = 0,034 N/kg og svarer til 0,3% av g. Vi skal nedenfor i seksjon 6.3.5 komme nærmere inn på beregningen av den effektive tyngdekraften. Av tilleggskreftene i (6.31) og (6.32) står vi nå tilbake med Corioliskraften. I de fleste tilfeller er denne så liten at den uten videre kan negli­ sjeres. For eksempel, en partikkel med hastighet v = 80 km/h rett mot nord på 60° nordlig bredde (ø = 60°) får en Coriolis-kraft per masseenhet lik

i 80 103 bc = | -2X2x v| = 2f2vsinø = 2 • (72,9 • 10“6)• -^^-sin60° = 0,0028 N/kg

Denne kraften virker rett øst, altså til høyre for fartsretningen. På en bil med masse m = 1000 kg blir dette en sidekraft mot høyre lik 2,8 N.

317

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

Fig. 6.17

Luftstrøm mot L

Coriolis-avbøyning

Syklon etablert

Fig. 6.17. Utvikling av syklon på den nordlige halvkule

Vindenes avbøyning, mot høyre på nordlige halvkule og mot venstre på sørlige halvkule, er også en Coriolis-effekt. Passatvindene dannes av luftmasser som presses mot ekvator og bøyes av mot vest på begge halv­ kuler. En tropisk storm eller syklon på den nordlige halvkule dannes slik, se fig. 6.17: Til et lavtrykk L strømmer luft fra alle kanter. Coriolis-kraften bøyer luftstrømmen av mot høyre, og denne går inn i en roterende bevegelse rundt lavtrykkssenteret. De roterende luftmassene trykkes nær­ mere senteret, og hastigheten øker. Der oppstår så en «balanse» mellom sentripetalakselerasjonen, trykkgradienten og Coriolis-kraften, og syk­ lonen har etablert seg som en virvel som roterer i retning mot urviseren, eller moturs. På den sørlige halvkule roterer virvelen i retning med ur­ viseren, eller medurs. For mindre vindsystemer som for eksempel tornadoer, spiller Coriolis-kraften mindre rolle og rotasjonsretningen kan være medurs eller moturs. Det samme gjelder den såkalte badekar-virvelen, som obser­ veres ved sluket i et badekar eller i en vanlig vask. Vann som renner mot åpningen i sluket vil sette opp en virvel, gjeme rundt et luftrør. Denne virvelen skulle dersom Coriolis-kraften var utslagsgivende, rotere moturs på den nordlige halvkule. Men det kan like gjeme være andre effekter som bestemmer rotasjonsretningen, for eksempel geometrien på badekar eller vask, eller bevegelsen i vannet før virvelen starter. Det er lett å påvirke starten av virvelen med hånden, slik at vi kan få den til å rotere den vei vi vil. Det observeres at vannet i en elv har en tendens til å grave mer på høyre elvebredd på den nordlige halvkule. Det rapporteres også at på enveiskjørte togskinner er slitasjen størst på høyre skinne. Dette er også effekter av Coriolis-kraften. 11851 demonstrerte Jean Bernard Léon Foucault [1819-1868] jordens rotasjon og Coriolis-kraften på jorden ved hjelp av en matematisk pendel.

318

KINETIKK

SEK. 6.3

En pendel på den nordlige halvkule, som svinger under påvirkning av tyngdekraften, vil under bevegelsen påvirkes av Coriolis-kraften slik at pendelens bane hele tiden bøyes av mot høyre. Avbøyningen er svært liten og kan bare observeres ved å studere mange svingninger. Svingeplanet dreier seg om en vertikal akse med en vinkelhastighet lik £2 sinø. Fenomenet med Foucault-pendelen blir analysert i seksjon 8.1.4.

6.3.5 Effektiv tyngdekraft på jordoverflaten Jordrotasjonen har gitt jorden en form som avviker noe fra en kule. Meget nær representerer havoverflaten en rotasjonsellipsoide som kalles den internasjonale jordellipsoide, se fig. 6.18 som er sterkt fortegnet, rx = 6378,4(1 - 0,00337 sin2ø + 0,000007 sin22ø) km (6.35)

r = 6378,4(1 - 0,00672 sin2ø)-i/2 km Det er av praktiske grunner at jordgeometrien er tegnet litt forskjellig i fig. 6.18 og fig. 6.16. Som det går frem av tabell 6.1, varierer jordradien mel­ lom polverdien 6357 km og ekvatorverdien 6378 km. Avviket fra en kule er altså meget svakt. Den midlere verdi for jordradien settes lik 6371 km.

Fig. 6.18

Fig. 6.18. Konstruksjon av effektiv tyngdekraft g’på jordoverflaten

Gravitasjonskraften g på jordoverflaten er rettet mot jorden massesen­ ter C og varierer litt med breddegraden, se tabell 6.1 nedenfor. Variasjo­ nen skyldes ellipsoideformen. Enkelte steder på jorden vil fjellformasjo­ ner og spesielle jordskorpeegenskaper influere på g. I eksempel 2.15 har vi beregnet en midlere gravitasjonskraft g = 9,820 N/kg, basert på å anta jorden som en kule.

319

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

Ekvator Tab. 6.1

Key West Paris Anchorage Nordpolen

g N/kg

g’ (6.36) N/kg

g’ målt N/kg

0

km

r km

0° 24°34’

6378 6375

6378 6382

9,814

9,780

9,780

9,817

9,790

45°

6368

6389

9,823

9,789 9,806

48°50’

6366 6362

6391 6395 6400

9,825

9,809 9,820 9,832

9,809 9,822 9,832

61°10’ 90°

6357

9,828 9,832

Tabell 6.1. Effektiv tyngdekraft g’ ulike steder på jorden Den effektive tyngdekraften g’ kan beregnes fra den internasjonale gravitasjonsformel

(6.36)

g’ = 9,78049(1 + 0,0052884 sin2ø - 0,0000059 sin22ø) N/kg Formelen er utledet fra gravitasjonsberegninger på den internasjonale jordellipsoide og korrigert for sentrifugalkraften på grunn av jordrotasjonen ifølge formel (6.34). En formel som relaterer g og g’, kan avledes fra formel (6.34) og fig. 6.18. Vi finner da

(6.37)

g’ = gjl - (^-^)2 sin2 20 - Q2r cos2 ø

Formel (6.36) gir g’ = 9,80629 N/kg for ø = 45°. Den standardvedtatte verdi for g’ er ifølge Norsk Standard NS1020 Del 3: g’ = 9,80665 N/kg for ø = 45°.

6.3.6 Tidevannsfenomenet Summen av gravitajsonskraften gs fra solen, gitt ved formel (6.33), og stedskraften -a0 i formel (6.33), og gitt ved formel (6.30), er en liten massekraft, se fig. 6.19,

(6.38)

b, = gs - a0 = GM [ r/F3 - Fo / Fq ] Denne kraften ble i diskusjonen ovenfor om jorden som inertialreferanse satt ut av betraktning. Kraften varierer med tid og sted på jorden. Kraften er størst på det sted som er nærmest solen, hvor kraften er rettet mot

320

KINETIKK

SEK. 6.3

solen, og på det sted som er lengst borte fra solen, hvor kraften er rettet fra solen. Ekstremalverdiene nær jordoverflaten opptrer altså for r = r0 ± Rj, hvor Rj er jordradien. Vi finner

□, llldA

1

— GM

D x2

1 ro2

2GMR-

(6.39)

Kraften bs påvirker vannet i havet. Havoverflaten vil bli trukket noe mot solen på jordens dagside og fra solen på jordens nattside. På grunn av jordrotasjonen vil dette resultere i tidevannsbølger, som gir flo (høyvann) og fjære (lavvann) til ulike tider. Massekraften bv kalles derfor en tide­ vannskraft.

Fig. 6.19

Fig. 6.19. Tidevannskraft bs på grunn av jordens bevegelse rundt solen

Månens gravitasjonsfelt gir jorden en bevegelse rundt massesenteret til måne-jordsystemet. Dette er diskutert i seksjon 2.6.5. Gravitasjons­ kraften fra månen er per masseenhet lik

z_ x GMm sM = ~^frm rm

hvor rm er stedsvektoren fra månesenteret til partikkel P på jorden, og Mm er månens masse. Med samme argumentasjon som ovenfor når det gjaldt tidevannskraften fra solen, finner vi at månen forårsaker en tide­ vannskraft på jorden. Ekstremalverdien av månens tidevannskraft nær jordoverflaten blir

2GMmR: ’

ah, max

~

-------------------- Z---- —

-

3

(6.40)

r0,m

321

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

hvor r0 m er avstanden mellom månens og jordens massesentre. Verdien (6.40) representerer en kraft mot månen på det sted på jorden som er nær­ mest månen, og en kraft fra månen på det sted på jorden som er lengst fra månen. Vi skal estimere forholdet mellom tidevannskreftene (6.39) fra solen og (6.40) fra månen. For massene og senteravstandene setter vi: M = 2,0 • 1030 kg,

r0 = 0,15 • 1012 m for solen

Mm = 73 • 1021 kg,

r0 m = 0,38 • 109 m

for månen

Forholdet mellom ekstremalverdiene til månens og solens tidevannskrefter blir da max

bs, max

_ Mm

M

r0

p —

22

r0, m

Resultatet betyr at tidevannsbølgen på grunn av månens påvirkning er 2,2 ganger så høy som den som solen forårsaker. Fig. 6.20 antyder hvorledes tidevannsbølgen som skyldes månen alene, med flo og fjære, hadde sett ut dersom jorden var dekket av hav og friksjonen mellom vannet og hav­ bunnen neglisjeres. I virkeligheten vil landområder, ujevn havbunn og strømningseffekter gjøre forholdene uendelig mer kompliserte. I fig. 6.20, hvor jorden viser sin nordlige halvkule, roterer jorden moturs. Det betyr at tidevannsbølgen vil være noe dreid moturs, det vil si mot øst, i

Fig. 6.20

Fig. 6.20. Tidevannsbølge på grunn av månens bane rundt jorden

322

SEK. 6.3

KINETIKK

Siste kvarter

Fullmåne

Fig. 6.21

Springflo Sol

Første Kvarter Fig. 6.21. Samvirke mellom månens og solens tidevannseffekter forhold til linjen mellom månens og jordens massesentre, altså i forhold til slik det er vist i figuren. Tidevannskreftene virker også på den faste jordskorpen og resulterer i periodiske deformasjoner. Det har til nå ikke vært mulig å beregne tidevannet ut fra en selvstendig teori. Tidevannsta­ beller blir satt opp på grunnlag av beregnede data for jordens og månens bevegelse og tidevannsobservasjoner over lang tid. Samvirke mellom tidevannskreftene fra sol og måne er størst ved nymåne og ved fullmåne, se fig. 6.21. Da blir floen høyest, springflo, og fjæren lavest, springfjære. Månen bruker 29,5 døgn på et omløp rundt jorden. Det betyr at springtidevann inntreffer ca. hvert 14. døgn. Ca. 7 døgn etter springtidevann er samvirket mellom sol og måne svakest. Dette skjer ved halvmåne, og vi snakker om nipptidevann, nippflo og nippfjære. På ett og samme sted på jorden inntreffer flo og fjære regelmessig et bestemt antall timer og minutter etter månens øvre og nedre kulminasjon. Tidsintervallet mellom to påfølgende høyvann eller lavvann er ca. 12 timer og 25 minutter. At det er mer enn 12 timer (= 1/2 døgn), skyldes månens bevegelse rundt jorden, se fig. 6.21. Sett fra jorden flytter månen seg østover relativt til RfM. Høyvann, eller lavvann, inntrer av denne grunn ca. 50 minutter senere hvert døgn. På grunn av at jordaksen ikke står normalt på månens baneplan, blir døgnets to høyvann ikke like høye. Situasjonen er antydet i fig. 6.22. Vinkelen a varierer mellom 17° og 29°

323

KAP. 6

RELATIV BEVEGELSE

Fig. 6.22

Fig. 6.22. Høy og lav flo i løpet av et døgn

ettersom månens baneplan roterer langsomt om normalen til jordbanens plan. Vinkelen mellom de to baneplanene er ca. 5°, og jordaksen danner vinkelen 23,5° med normalen til jordbanens plan. Høydeforskjellene mellom flo og fjære varierer meget fra sted til sted, se tabell 6.2. I tillegg til tidevannskreftene fra sol og måne, som gir grunnlag for verdiene i tabellen, spiller lufttrykk og vind en viktig rolle når det gjelder de tidevannshøyder som observeres. I verdenshavene er tidevannsforskjellene bare noen få desimeter. Der­ som vi antar at havoverflaten er slik som antydet i fig. 6.20, og lar over­ flaten være en potensialflate til kraftfeltet g’ + bm, det vil si summen av effektiv tyngdekraft og månens tidevannskraft, kan vi beregne en maksi­ mal heving av havflaten på grunn av månens tidevannskraft til å være ^o,m = 36 cm, se fig. 6.20, og en maksimal senking på h^ m =18 cm. Dette gir en tidevannsforskjell mellom flo og fjære på A/z,„ = 54 cm. Solen gir ut fra samme betraktningsmåte \hs = 25 cm. Som nevnt ovenfor virker tidevannskreftene også på den faste jordskorpen, og en vertikalforskyvning på 50 cm er observert. Denne forskyvningen må trekkes fra havfla­ tens forskyvning for å få netto tidevannsforskjell. Med de tallene som er gitt ovenfor, skulle tidevannsforskjellen ved øyer i verdenshavene være ca. A/z = 54 + 25 - 50 ~ 30 cm. Det stemmer ganske bra med målinger. Den største rapporterte tidevannsforskjellen ved normal springflo er 15,4 m i Fundy Bay, Nova Scotia, i Canada, men forskjeller helt opp til 21 m har vært registrert samme sted under spesielle vær- og lufttrykkforhold.

324

SEK. 6.4

SAMMENDRAG

Vardø Tromsø Bodø Trondheim Bergen Stavanger Nevlunghavn

Høyeste flo * cm

Laveste fjære * cm

Høydeforskjell Maks/Min cm

+345 +295 +321 +326 + 155 + 70 + 47

-14 -10 + 3 + 12 - 5 - 4 -11

334/117 296/104 252/66 318/87 148/40 53/10 33/10

Tab. 6.2

* Relativt til norske sjøkarts 0-nivå

Tabell 6.2. Fra Tidevannstabell for 1981 utgitt av Norges Sjøkartverk

6.4 Sammendrag av kapittel 6 For å angi posisjon og bevegelse til legemer, må vi velge en referanse. De kinematiske størrelsene er definert relativt til referansen. Velger vi en annen referanse, får vi et nytt sett med kinematiske størrelser som beskriver den samme bevegelsen.

Fig. 6.3

Fig. 6.3. Partikkelhastigheter og -akselerasjoner i to referanser

325

RELATIV BEVEGELSE

KAP. 6

Bevegelsen av referansen Rf relativt til referansen Rf i fig. 6.3 er gitt ved hastigheten v0 og akselerasjonen a0 til referansepunktet O i Rf, og ved vinkelhastigheten og vinkelakselerasjonen Q. til Rf relativt til Rf. Et punkt fast i Rf kalles et sted i Rf. Dette stedet, gitt ved steds­ vektoren r, har stedshastighet

(6.11)

vsted = v0 + £2 x r og stedsakselerasjon

(6.16)

asted = ao + fl x r + fl x (fl x r) En partikkel som beveger seg relativt til Rf og Rf, har hastigheter og akselerasjoner v = vabs »

v = vrel,

a = aabs>

a = arel,

relativt til Rf

relativt til Rf

Relasjonene mellom «absolutte» og «relative» verdier er gitt ved (6.13)

v ,

(6.19)

aabs ~ asted + a