Mekanikk lærebok for ingeniørhøgskoler. 2 Dynamikk [2, 3 ed.] 8258502840 [PDF]

Zitiervorschau

SVERRE E. KINDEM

M E K A NIKK 2. DYNAMIKK

LÆREBOK FOR INGENIØRHØGSKOLEN

-' d p o t b i b I i o t e k et

Yrkesopplæring i.s

© YRKESOPPLÆRING I.S

3. UTGAVE 4. OPPLAG TRYKT HOS PDC PRINTING DATA CENTER AS 1930 AURSKOG

1992

ISBN 82-585-0284-0

DET MÅ IKKE KOPIERES FRA DENNE BOK UTOVER DET SOM ER TILLATT ETTER BESTEMMELSENE I

«LOV OM OPPHAVSRETT TIL ÅNDSVERK», «LOV OM RETT TIL FOTOGRAFI» OG «AVTALE MELLOM STATEN OG OPPHAVSMANNSORGANISASJONENE AV OPPHAVSRETTSLIG BESKYTTET VERK I UNDER­

VISNINGSVIRKSOMHET». BRUDD PÅ DISSE BESTEMMELSENE VIL BLI ANMELDT.

FORORD TIL 3. UTGAVE

Læreboka i dynamikk var opprinnelig beregnet på elevene ved de

tidligere tekniske skoler og ble også brukt ved tekniske fagskoler. Fremstillingen forutsetter et elementært kunnskapsnivå i matematikk.

Når denne fremstillingsformen er beholdt også i den foreliggende 3.

utgave, så er det fordi det fortsatt er behov for en elementær lærebok i dynamikk. En lærebok skrevet spesielt for ingeniørhøgskolen, ville bruke diffe-

rensialregnmgens symboler ved utledningen av grunnleggende formler, og ville kanskje også ta for seg regneeksempler som bare kan løses ved

differensialregning. Få områder er så godt egnet til øvelser i anvendt

matematikk som faget dynamikk. Erfaringsmessig blir det liten lid til slike øvelser ved en ingeniørhøgskole, og studentene vil kanskje fore­ trekke en kortfattet lærebok. Om fremstillingen i læreboken er elemen­ tær og derfor ofte tungvint, bør læreren som foreleser faget, vise hvor­

dan bruken av integralsymbolet forenkler fremstillingen. Oslo i august 1 980

Sverre E. Kindem

INNLEDNING

Vi vet at det skal kraft til for a skape bevegelse, og likedan kraft for a stanse bevegelse.

Hvis det ikke virker kraft, vil be­

vegelsen foregå med jevn fart langs en rett linje (treghetsloven). I dynamikken er framstilt den lovmessige sammenhengen mel­

lom kraft og bevegelse. Kjenner vi kreftene som virker, vil vi bli i stand til å beregne hvordan bevegelsen kommer til å bli.

Om­

vendt kan vi beregne hvor store kreftene er, hvis vi kjenner

bevegelsen. En oppgave løses gjerne på den måten at vi først klarlegger

alt vi vet om bevegelsen.

Vi tar geometrien til hjelp og stiller

opp ligninger, som vi kan utlede av de rent geometriske egen­ skapene ved bevegelsen. Disse ligningene kalles ofte for kinema-

tiske ligninger. Så kommer da ligninger som bygger på sammenhengen mellom

kraft og bevegelse. Dette er dynainiske ligninger. Sammenholder vi alle ligningene, skulle vi ha nok hjelpemidler til å løse oppgaven. Det første avsnittet av lærebøker i dynamikk bærer ofte tit­

telen det materielle punktets dynamikk. Vi forsoner oss med denne noe abstrakte tittelen når vi tenker på følgende eksempel:

Vi får oppgitt at en bil har kjørt 100 meter langs en vei som går i svak kurve.

Ved nærmere ettertanke finner vi ut at vei-

distansen ikke kan ha vært nøyaktig 100 meter for alle punktene på bilen, fordi veien går i kurve.

Bare hvis bilen hadde hatt

INNLEDNING

6

størrelsen av et punkt, ville det kunne bli tale om bare én vei-

distanse. Men forutsatt at de små differansene mellom veilengdene

av punktene ikke bar noen praktisk betydning, spiller størrelsen av bilen ingen rolle for vurderingen. Derimot er vekten av bilen

av betydning. Om vi ville, kunne vi godt tenke på bevegelsen av

et punkt som hadde samme vekt som bilen, og som var utsatt for de samme kreftene som bilen. Vi har da et materielt punkt.

Tar vi for oss et svinghjul, er forskjellen mellom bevegelsene

av de forskjellige punktene av vesentlig betydning ved beregningene.

Vi oppfatter da svinghjulet som en samling av materi­

elle punkter som utfører hver sin bevegelse.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

Jevn bevegelse Vi sier at et legeme utfører en jevn bevegelse når det tilbake­ legger en konstant veilengde pr. tidsenhet. Hvis legemet tilbakelegger veilengden s i løpet av tidsrommet t, vil legemets hastighet være s v =— t Hastigheten er lik forholdet mellom veilengde og tid. Eks. s = 600 meter, t = 30 sekunder.

600 m _ , r = ------- = 20 m/s — 30 s----------

Omvendt får vi

s= vt Ved en hastighet 20 m/s blir veilengden i løpet av 1 sekund lik 20 meter, i løpet av 2 sekunder 40 meter, osv., i løpet av 30 sekunder

s = v t = 20 — • 30 s = 600 m s Veilengden i løpet av et tusendels sekund blir s = 20 — • 0,001 s = 0,02 m — 2 cm s Til å tilbakelegge en veilengde på 130 meter behøver legemet tiden

s t= v

130 m --------- = 6,5 s 20™ s

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

8

Ved jernbanetog, fly m. v. måler vi gjerne hastigheten i km pr. time.

1 km 1000 m z 1 time r---- = 3600 s 1 m/s = 3,6 km/time Til sjøs angir en hastigheten i knop. 1 knop — 1 nautisk mil pr. time = 1,852 km/time — 0,5144 m/s.

QAnn = °’2778 m/s

Betingelsen for at et legeme skal utføre en jevn rettlinjet be­ vegelse, er ifølge Newtons første lov, at legemet ikke er påvirket av noen ytre kraft, eller at det virker krefter som holder hver­ andre i likevekt.

Ujevn bevegelse Ved ujevn bevegelse vil hastigheten forandre seg med tiden. Forholdet mellom veilengden s og tiden t blir da gjennomsnitts­ hastigheten eller middelhastigheten på veilengden.

s t

For å bestemme hastigheten i et bestemt punkt på veien må vi ta forholdet mellom et kort veistykke As og medgått tid At ved punktet.

Jo kortere veistykke en tar, desto mindre forskjell blir det mel­ lom middelhastigheten på veistykket og hastigheten i punktet.

Eks.

s = 0,0032 meter, t = 0,0012 sekund.

0,0032 m

V = W12V = 2’67 m/s Bruker vi symbolene fra differensialregning, får vi følgende ek­ sakte uttrykk for hastigheten på et vilkårlig tidspunkt ..As ds , v = hm =s At dt

At->0 Hastigheten er lik den deriverte av veilengden med hensyn på tiden.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

9

Øker hastigheten etter hvert, sier vi at bevegelsen er akselerert. Avtar hastigheten, kaller vi bevegelsen retardert. En bevegelse hvor hastighéten øker eller avtar jevnt med tiden, er jevnt akselerert eller jevnt retardert. Vi definerer begrepet akselerasjon a — hastighetsøkning pr. tidsenhet.

Ved retardert bevegelse får vi negativ hastighetsøkning og negativ akselerasjon. Ved jevnt akselerert bevegelse er akselerasjonen hele tiden den samme, og vi kan finne den ved å ta forholdet mellom den totale økningen av hastigheten og tiden v — vo a =-----t

Her betyr vo hastigheten til å begynne med og v hastigheten til slutt.

Hvis hastighetsøkningen ikke foregår jevnt med tiden, vil den siste formelen bare gi en middelverdi av akselerasjonen på vei­ strekningen. For å finne akselerasjonen i et bestemt punkt av veien, måtte vi måle hastighetsøkningen Av på et kort veistykke ved punktet og dele med medgått tid At.

a —

Av At

Også denne formelen gir bare akselerasjonens middelverdi i tidsrom­ met At.

Den eksakte verdien av akselerasjonen på et vilkårlig tidspunkt er r Av a = hm - = , = v = s At dt At->0 Akselerasjonen er lik den deriverte av hastigheten med hensy n på tiden. Herav følger det da at akselerasjonen er lik den annen deriverte av veilengden med hensyn på tiden.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

10

Jevnt akselerert bevegelse Hvis en bevegelse foregår med jevnt økende eller minkende hastighet, kan vi lett stille opp ligninger mellom veilengde, hastig­ het, akselerasjon og tid. o

t

Klokken 0

s Fig. 1.

Bevegelsen kan vi illustrere ved en skisse som ovenfor. Klokka 0 passerer legemet punkt A med en hastighet vo mot høyre. Klokka t befinner legemet seg i punkt B i en avstand s til høyre for A. Hastigheten er da blitt v. Da hastighetsforandringen forutsettes å foregå jevnt med tiden, blir akselerasjonen hele tiden den samme. v — v a —--------t

Uttrykket skrives gjerne løst med hensyn på slutthastigheten v og blir da v = vQ + a t............................................... (1) Er f. eks. vo = 3 m/s, v = 12 m/s og tiden t = 6 s, blir akselera­ sjonen

Benevningen for akselerasjon blir altså m/s2 eller m s-2. Fordi fartsøkningen foregår jevnt med tiden, vil middelhastig­ heten bli gjennomsnittet av begynnelses- og slutthastigheten. vo + v

og avstanden til sluttpunktet B blir

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

£ = vm -1 = V°

11

V ■ t.......................................

(2)

Ligningene (1) og (2) gir den søkte matematiske sammenhengen mellom vei, hastighet, akselerasjon og tid.

Ligningene inneholder i alt 5 størrelser (v0, v, s, a og t), og av disse må vi på forhånd kjenne 3 for at det skal være mulig å beregne de 2 andre ved hjelp av ligningene. For å lette bruken av ligningene kan det ofte være fordelak­ tig å ha ligningene skrevet i andre former. Ved innsetning for v i ligning (2) får vi for eksempel

Løser vi ligning (1) med hensyn på t og setter inn i (2), får vi

vo + V

v—vo

---- 9--------------

d

v2— Vo2 ... = - 9—~.................................. (4) Li d

Løser vi siste ligning med hensyn på v, finner vi

v = |/vo2 + 2 as........................................... (4a) I et seinere avsnitt vil vi finne alle disse formene for ligningene ført opp i tabell, sammen med viktige formler som vi seinere kom­ mer til. Ved å gjennomføre en strengt algebraisk behandling av beve­ gelsen, vil vi kunne bruke ligningene ved løsningen av alle tilfelle der akselerasjonen hele tiden er den samme. Vi velger en plussretning (se fig. 1) og erstatter bokstavene i ligningene med posi­ tive eller negative tall, alt etter som størrelsen er rettet i positiv

eller negativ retning. Se regneeksemplet seinere. Fritt fall Vi slipper et blylodd fra 10 meter høyde og måler at loddet når bakken etter 1,43 sekunder. Vi antar at bevegelsen er jevnt akselerert og vil beregne akselerasjonen.

Gitt v0 = 0, s = 10 m, t = 1,43 s.

Ukjent a.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

12

s = vo t

a t2 gir for vo = 0

2s

2 ■ 10 *7 = 9,8 m/s2 (1743 s)2

Loddet når bakken med en hastighet v = j uo2 + 2 a s -- j

2 ■ 9,8 m/s2 -10 m — 14 m/s

Hvis vi kunne foreta lignende fallforsøk i lufttomt rom, ville vi finne at alle legemer falt like fort. Alle legemer faller derfor med samme akselerasjon, som kan måles en gang for alle. FallLevegelsen skyldes tyngdekraften, og akselerasjonen kalles derfor tyngdens akselerasjon og betegnes som oftest med bokstaven g.

g = ca. 9,8 ni/s2 Den nøyaktige verdi av g avhenger av på hvilket sted vi be­ finner oss på jorda, g er ca. % % større ved polene enn ved ekvator. Middelverdien er ca. 9,81 m/s2, mens vi i Norge har g = ca. 9,82 m/s2. Vi forutsetter da at vi befinner oss i nærheten av havets overflate. Høyere til værs vil vi finne at g avtar med 0,03 % for hver 1000 meter. Ved fall i fri luft vil luftmotstanden bremse bevegelsen. Luftmotstanden har størst betydning for lette legemer (fjær, bomull), som derfor faller langsommere enn tunge legemer (blylodd). Eksempel på algebraisk behandling av ligningene

Fig. 2.

En stein kastes rett oppover med en begynnelseshastighet 25 m/s. Vi antar at vi kan se bort fra luftmotstanden og vil finne sammen­ hengen mellom høyde, hastighet og tid. Vi velger positiv retning oppover og har at voer positiv = 25 m/s. Akselerasjonen er tyng­ dens akselerasjon, som gir hastighetsøkning nedover, altså i negativ retning. Akselerasjonen er derfor negativ a = -—g = — 9,8 m/s2

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

13

Ligning (1) gir da følgende uttrykk for hastigheten v = vo+ a t = 25 — 9,8 t

For veien bruker vi ligning (3)

s = vo t

— at2 = 25 t — 4,9 t2

1

2

15,2 20,1

5,4 30,4

O

II

II

0 to

t =

Ui

Setter vi inn t — 1 s, 2 s, 3 s, osv., får vi fasitene i denne tabellen: 3

—4,4

30,9

4

5

6

sek.

—14,2 21,6

—24,0 2,5

—33,8 —26,4

m/s m

Vi ser av tabellen at hastigheten blir negativ etter vel 2 sekunder, dvs. bevegelsen begynner da å gå nedover. Samtidig ser vi at s begynner å avta. Her må en merke seg at s ikke egentlig betyr den tilbakelagte veistrekningen, men avstanden fra utgangspunktet til det punktet hvor steinen befinner seg klokken t. Denne av­ standen vil minke, fordi legemet etter vel 2 sekunder beveger seg nedover igjen. Etter vel 5 sekunder blir s negativ, som betyr at steinen befinner seg i negativ avstand fra utgangspunktet, dvs. på nedsiden av punktet.

For det tidspunktet da steinen er høyest oppe, er v = 0. Klokka er da og høyden ^maks,

= H = 25 • 2,55 — 4,9 • 2,552 = 31,9 m

Tidspunktet da steinen når bakken i en avstand 30 meter nedenfor utgangspunktet, finner vi ved å sette s = — 30 m. — 30 = 25 t — 4,9 t2 Vi finner t = 6,1 s.

Hastigheten den når bakken med, blir

v = 25 — 9,8 • 6,1 = — 34,8 m/s

Dynamikkens grunnlov. Masse En har ved målinger av bevegelser i naturen funnet følgende lov (Newtons annen lov):

14

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

Når et legeme er påvirket av en kraft, vil legemet ha en aksele­ rasjon i kraftens retning som er proporsjonal med kraften. Vi kan f. eks. utføre forsøk med en kloss, som kan gli langs et forholdsvis glatt horisontalt underlag. Vi binder en snor fast i klossen og trekker klossen bortover. Snorkraften leser vi av på et fjærdynamometer. Fig. 3. Friksjonsmotstanden F fra underlaget kan vi måle ved å se hvor stor snorkraften er når vi trekker klossen med jevn fart. Fra statikken vet vi at det da er likevekt til stede mellom kreftene, og friksjonskraften er derfor like stor som snorkraften. Øker vi nå snorkraften til Sn o vil klossen bli påvirket av en resultantkraft Ry = — F, og vil begynne å øke hastigheten i kraftFig. 3. retningen med en akselerasjon ax. Øker vi snorkraften til S2, så resultantkraften blir R% = S2 ■—F, vil akselerasjonen øke til a?, osv. Det vil da vise seg at forholdet mellom resultantkraft og akse­ lerasjon blir ens ved alle forsøkene.

Ri

R2

R3

ai

(12

Ct3

Vi kunne ta med oss klossen til et annet sted på jorda og gjenta forsøket. Forutsatt at vi passer på å bruke nøyaktig den samme kraftenheten (samme dynamometeret), vil vi finne nøyaktig det samme forholdet mellom kraft og akselerasjon. Ja, selv om forsøket var blitt utført på et helt annet sted i verdensrommet, ville antagelig resultatet bli det samme. Forholdet R/a blir derfor en typisk og uforanderlig egenskap ved et legeme og kalles for legemets trege masse m. R m = — a

Den enkleste måten å finne massen av et legeme på, er å be­ nytte seg av erfaringen om fallbevegelsen i lufttomt rom. Resul­ tantkraften blir da legemets tyngde G, og akselerasjonen er en gang for alle målt til g.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

15

Legemets masse blir R G m = —=— ~ a L

Massen er lik tyngden dividert med tyngdens akselerasjon. Måler vi tyngden av et legeme ved hjelp av en fjærvekt, vil vi finne at tyngdekraften er minst ved ekvator og størst ved po­ lene. Forholdet mellom tyngdekraften og tyngdens akselerasjon på samme sted vil alltid gi samme fasit på massen. Ved oppstilling av generelle formeluttrykk i dynamikk foretrek­ ker vi helst å bruke bokstaven F som symbol for den totale kraftvirkningen mot et legeme. Ovenfor brukte vi bokstaven R, fordi F var brukt som symbol for friksjonskraften. Vi kaller altså resultantkraften for F, og skriver da formelen for den dynamiske grunnlov slik m = — eller F = m a a ----

Anvendt på fallbevegelsen i lufttomt rom blir dette G n _ m — — eller G = m g g ----

Ved bruken av formelen har det betydning å være konsekvent ved valg av måleenheter. Ønsker vi å måle kreftene i kilopond (kp), må vi til gjengjeld finne oss i at det blir en eiendommelig måleenhet for massen m. Eks. Tyngden G = 1 kp. Tyngdens akselerasjon g — 9,81 m/s2. Vi får zn = — — = 0.102 kps2/m g 9,81 m/s2 Måleenheten for masse blir altså kps2/m.

Hvis vi i stedet foretrekker å ha en enkel måleenhet for masse, får vi til gjengjeld en rar benevning for kraft. I SI-systemet regner vi at massen av et kilogramlodd er lik 1 kg, altså lik det resultat vi finner ved veining med en skålvekt. Tyngden av det samme loddet blir

G = mg = 1 kg-9,81 m/s2 = 9,81 kgm/s2 = 9,81 N (newton)

16

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

For å slippe den tungvinte benevningen for kraft kgm/s2, er kraft­ enheten omdøpt til newton (N). De to målesystemer fører til forskjellige tallverdier for både kraf­ ten og massen, fordi måleenhetene er forskjellige. I dag foretrekker vi SI-systemet med masseenheten kg som grunn­ leggende måleenhet og kraftenheten newton som avledet måleenhet. Men for å være på talefot med eldre kolleger og eldre teknisk litteratur, bør vi merke oss utgangspunktet for begge målesystemene.

K r a ft p a r a 11 e 11 og ra nil o ve n Vi kunne tenke oss at vi hadde et fullkomment glatt hori­ sontalt underlag og la en kloss med masse m på underlaget. Fes­ ter vi en snor i klossen og trekker med en kraft Fi, vil klossen begynne å gli bortover i kraftens ret­ ning med akselerasjon

Fi oi = — m I løpet av tiden t vil klossen gli lengden si =

1

2

Q „ t2 ai t- = Fi •

2m

Hvis vi flytter klossen tilbake ti] utgangsstillingen og så trekker med en snorkraft F2 (se fig. 4), like lang tid som første gang, vil klossen gli lengden

Hvis vi samtidig trekker med kreftene Fi og F2, må vi benytte

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

17

oss av uavhengighetsprinsippet i dynamikken, som sier at den be­ vegelsen vi får, blir den geometriske sum av de bevegelsene som

kreftene enkeltvis fremkaller. Vi vil altså da i løpet av den fast­ * lagte tid t nå fram til punkt C på figuren. Bruker vi parallellogramloven fra statikken og erstatter de to kreftene med en resultant, lik diagonalen i kraftparallellogrammet, vil resultanten trekke klossen lengden

Vi får proporsjonen S

Sl

S2

Da proporsjonen stemmer med figuren, ser vi at resultantkraften vil transportere klossen til samme punkt som kreftene Ft og F2 sammenlagt.

Erfaringsloven om kreftenes parallellogram blir derfor en di­ rekte følge av dynamikkens grunnlov og uavhengighetsprinsippet. Hvis et legeme er påvirket av flere enn to krefter, får vi en bevegelse som blir lik den geometriske sum av de bevegelsene som kreftene enkeltvis ville forårsake. Vi kan da også erstatte kreftene med resultanten, som er lik den geometriske sum av kreftene. Hvis kreftene gir en lukket kraftpolygon, og altså har geometrisk sum lik null, blir resultanten null, og legemet blir liggende i ro. De bevegelsene som kreftene enkeltvis forårsaker, opphever altså hverandre. Når vi i det etterfølgende bruker bokstavbetegnelsen F, vil vi dermed forstå resultanten av alle kreftene som virker på legemet.

Impulssetningen Hvis et legeme er utsatt for en resultantkraft F, som ikke for­ andrer verdi eller retning under bevegelsen, vil kraften gi legemet en konstant akselerasjon i kraftretningen. Hvis hastigheten er vo

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

18

til å begynne med og øker til v i løpet av tiden t, blir som tid

ligere vist akselerasjonen v — vo a =-------t

m

Multipliserer vi i kryss, får vi impulssetningen

F t = m v — mvo mv og mvo kalles bevegelsesmengden, henholdsvis ved slutten og ved begynnelsen av bevegelsen. Setningen får følgende ordlyd: Kraft gange tid er lik økningen av bevegelsesmengden. I seg selv betyr impulssetningen intet nytt, da den fremkom­ mer av to formeluttrykk som vi kjenner fra før. Når impulsset­

ningen, i likhet med arbeidssetningen, i det hele fremheves, så kommer det av at nettopp den formen ligningene får, gjør dem spesielt egnet til løsningen av praktisk forekommende oppgaver.

Arbeidssetningen Hvis vi i ligningen s =

.s =

eller

v2—vo2 ----- - setter a — —, får vi m 2 a m (v2 — vo2)

1 m 2

v2 —

m vo 2

F s blir her det arbeidet resultantkraften F utfører, når legemet

beveger seg veilengden s i kraftretningen. — m v2 og — m vo2 er le­ gemets kinetiske energi (bevegelsesenergi) ved henholdsvis slutten og begynnelsen av bevegelsen. Arbeidssetningen lyder altså: Arbeidet er lik økningen av bevegelsesenergien. Da arbeidsligningen er av stor teknisk betydning, skal vi se på hvordan forholdet stiller seg ved en bevegelse der kraften ikke

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

19

er jevn, og der bevegelsen altså ikke blir jevnt akselerert eller retardert. Vi cfeler veilengden s opp i korte deler. A.$ . A.$; osv. For hvert veistykke vil kraftendringen bli liten, og vi kan bruke arbeidsligningen for jevnt akselerert

bevegelse. Vi får

1 2 1 Fi • A si = y m vF — - m vo“ 1 2 1 F2 • A S2 = - m r2“ — 9 m vr

1 F% • A S3 = — m

2

—

1

m vi1

osv.

Hvis vi summerer ligningene, faller alle bevegelsesenergiene bort unntatt

9

2

o

m v F og 9 m v-

der v er hastigheten til slutt. 2

2m

Vi får

1

— - m v„

A = (F • As) er det totale arbeidet som kraften har utført under hele bevegelsen, og blir altså lik den totale økningen av bevegelses­ energien. Kjenner vi kraften i alle stillinger av legemet, kan vi tegne et kraft-veidiagram, som vist på fig. 5. Vi ser at kraf­ tens arbeid blir lik area­ let av kraft-vei-diagrammet. Fig. 5. Kjenner vi den matematiske sammenhengen mellom kraften F og veilengden s, kan arbeidet A beregnes eksakt ved integralregning.

20

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

Eksempel. Vi vet fra fasthetslæren at kraften som vi må bruke for å trykke sammen en skruefjær en viss lengde, er proporsjonal med lengden av sammentrykningen. Sammentrykningskraften må derfor økes jevnt etter som fjæra trykkes mer og mer sammen. Et kraftvei-diagram for bevegelsen blir rettlinjet, som vist på fig. 6. Hvis sammentrykningskraften til slutt er K, vil gjennomsnittsverdien

være

og sammentrykningsarbeidet

I sammentrykt tilstand har fjæra en stillingsenergi, fordi den på grunn av sin stilling vil være i stand til å utføre et arbeid, når den seinere får anledning til å fjære tilbake igjen. Den vil da kunne skyve et legeme framover og yter samme kraften og samme arbeidet som den selv mottok under sammentrykningen. Fjæras stillingsenergi var derfor lik sammentrykningsarbeidet. Hvis legemet som skyves framover av fjæra, ikke er påkjent av andre krefter enn fjærkraften (friksjonsfritt underlag), vil fjærkraftens arbeid være lik bevegelsesenergien som legemet får til

slutt. Fjæra mister sin stillingsenergi, mens legemet mottar et like stort kvantum bevegelsesenergi.

Eksempel. Et lodd med masse 10 kg settes i bevegelse av en skrue­ fjær, som var trykt sammen 4 cm ved hjelp av en kraft på 196 N. Hvor stor hastighet får loddet? A = * K s = J ■ 196 N • 0,04 m = 3,92 N m 2 2

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

21

2 • 3,92 Nm

0,888 m/s

10 kg Ifølge definisjonen er 1 N = 1 kgm/s2, som gir

Nm kg

(m/s)2.

Sammensatt bevegelse Som eksempel på en sammensatt bevegelse vil vi se på be­ vegelsen av en båt, som blir rodd over en elv, fig. 7. Båten starter i pnnkt A med stevnen rettet mot punkt B. Pr. tidsenhet ror : vx = v • cos a Sr og vy = v - sin a Fig. 8. Eksempel — kastebevegelse. Et prosjektil skytes ut med begynnelseshastighet vo under en vinkel a i forhold til horisontalen. Vi vil beregne hvilken bane prosjektilet ville følge hvis vi kunne se bort fra luftmotstanden.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

22

Vi dekomponerer bevegelsen i en horisontal og en vertikal bevegelse, med utgangshastigheter Vox =

v0 cos a

vOy = vo sin a

Den eneste kraften som virker på prosjektilet, etter at det har forlatt løpet, er tyngdekraften, som gir prosjektilet akselerasjonen g i vertikal retning. Velger vi plussretning oppover, vil vertikalbevegelsen få akselerasjon ay ——g. Etter et tidsrom t vil vertikalhastigheten være ry = voy — gt og veilengden vertikalt er y = voyt — — g l2

Da det ikke virker noen horisontal kraft, vil horisontalbeve-

gelsen foregå med jevn hastighet vx = vox, og veilengden blir x = voxL Av figuren ser vi at x og y blir prosjektilets koordinater i for­ hold til det valgte aksesystem, og beliggenheten lar seg altså be­ regne for ethvert tidspunkt. Resultanthastigheten blir v = V vx2 4~ vy2. Av x = voxt får vi t = x/vox, som vi setter inn i formelen for y.

V i finner

y = —- • x — - ■ x2 vox 2 vox

som blir ligningen for prosjektilets bane. Banen blir en parabel. Skuddvidden L kan vi finne ved å sette y — 0 og x = L. Vi

finner

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

r

2 VoxVoy "

23

2 vo cos a • vo sin a vo2 sin 2 a ~g = g

*

Den største verdi for sinus er 1 og inntreffer når 2 a = 90°, dvs. for en utskytningsvinkel a = 45°. Ved denne vinkelen oppnås den lengste skuddvidden. T

-V-°L

^maks.

g På grunn av luftmotstanden blir skuddvidden atskillig kortere.

Arbeidsligningen ved sammensatt bevegelse Et legeme passerer punkt 0 med hastighet vo. Legemet er på­ virket av en kraft F, som ikke er rettet samme vei som vo, og legemet vil derfor følge en krumlinjet bane, som figuren viser.

Vi velger et rettvinklet aksesystem og dekomponerer hastigheten og kraften langs aksene. For bevegelsen i begge akseretningene kan vi da stille opp arbeidsligningen. Vi får vx2 — — m v, Fy-y = im S-I

Vy2— -

m

V v oy “

Vi adderer ligningene og får Fx • % + Fy . j = — m (vx2 + Vy2) — - m (ro* 2 + r°y2)

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

24

v2 — -m vo2

=

= total økning av bevegelsesenergien. Fra statikken er det kjent at summen av kraftkomponentene Fx’s og Fy’s arbeider er lik det arbeidet som resultantkraften F utfører under bevegelsen. Uansett hvilket forløp bevegelsen har, blir det totalt utførte arbeid — total økning av bevegelsesenergien. J

1

2

A = - m v£ —

1

m vo“

Ved kastebevegelsen, fig. 9, var tyngden G den eneste kraften på prosjektilet. Ved arbeidsligningen vil vi kunne beregne resul­ tanthastigheten v for en vilkårlig høyde y uten å behøve å foreta en dekomponering av bevegelsen. Vi får

Her kan vi forkorte G og løse ligningen med hensyn på v, som blir v = V vo2 — 2 g y

Hvis et legeme er påkjent av mer enn én kraft, kan vi be­ regne arbeidet uten at det er nødvendig å finne resultanten først. Vi vet nemlig fra statikken at resultantens arbeid vil bli like stort som summen av arbeidene av kreftene enkeltvis. Som eksempel vil vi se på et legeme, som kan gli uten friksjonsmotstand langs et underlag. Kreftene som kirker på legemet, blir da tyngdekraf­ ten G og normalkraften N fra underlaget. Legemet bep-vnner å gli fra punkt 0 u en begvnnelsesliastighet. (fig. 11). Etterat legemet har beveget seg til et punkt som ligger h lavere enn punkt O, vil tyngdekraften ha gjort arbeidet G h. Normalkraften N arbeider ikke noe i det hele tatt, fordi legemet alltid beve­ ger seg vinkelrett på kraftens retning. Summen av alle arbeidene blir altså G h. Eia. 1 ] .

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

25

Arbeidsligningen gir

Herav

v — V2 g h

Slutthastigheten v blir helt uavhengig av detaljforløpet av banen og avhenger utelukkende av høydeforskjellen mellom utgangspunk­ tet og sluttpunktet. Hastigheten ville blitt den samme om legemet falt loddrett høyden h. I praksis blir hastigheten mindre på grunn av friksjon mot underlaget og luftmotstand. I punkt 0 har legemet stillingsenergi, fordi tyngden av legemet vil kunne utføre arbeidet G h når anledningen kommer. I punkt B har legemet mistet stillingsenergien, men har fått igjen et like stort kvantum bevegelsesenergi. Ved friksjonsfri bevegelse vil summen av stillingsenergi og be­ vegelsesenergi være konstant.

cTAlemberts prinsipp Som eksempel kan vi tenke på en jernbanevogn, som vi skyver langs en horisontal skinnebane. Skal vi skyve vogna med jevn hastighet, må vi bruke en kraft som er lik friksjonsmotstanden F fra skinnebanen. Bruker vi større kraft, Kr vil vi få en resultant R = Kr —F som gir vogna akselerasjon framover. Vi har

ma

__ * &

----- c—

R = Ki__ F = m a-----------------------------------------------eller

ZC—F — m a — 0

—-______________________ Fig. 12.

Tilføyer vi en ekstra kraftpil på skissen, i retning mot aksele­ rasjonen a og med størrelse ma, får vi situasjonen på figuren. Vi får da et kraftbilde som tilfredsstiller statikkens regler for likevekt, som gir ligningen SFx=Ki—F — m a = 0, altså samme ligning som ovenfor.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

26

Så lenge vi bygger på de definisjonene vi før har brukt om hva kraft er, vil kraften ma ikke eksistere i virkeligheten. En kraft kan bare øves av en nabogjenstand. Kr øves av mannen som skyver på, og F øves av skinnebanen, men ingen av naboene øver noen kraft ma. Men på grunn av vår store erfaring om hvor­ dan vi skal behandle statikkens likevektsligninger, vil det være en fordel å merke seg, at hvis vi føyer til kraftpilen ma, i motsatt retning av akselerasjonen a, får vi et kraftbilde som tilfredsstiller statikkens likevektsligninger. Vi kaller kraftpilen ma en treghetskraft, og regelen kan uttales: Treghetskraften holder likevekt med de ytre kreftene. * Knepet med å tegne inn treghetskrefter i kraftbildet, er av spesiell betydning når vi skal beregne påkjenningene i et legeme, som er i bevegelse. Vi vil da kunne regne akkurat på samme måten som vi lærte i fasthetslæren. Eksempel. Inne i en elevator ligger det en horisontal bjelke,

med masse m = 100 kg. Bjelken er understøttet i begge ender. Fig. 13. Hvor stort bøyningsmoment blir det i bjelken, når eleva­ toren beveger seg oppover med akselerasjon a = 2 m/s2? Bjelkens lengde er Z = 2 m. Q Q. Vi tegner inn alle de ytre 2 2 kreftene, som virker på bjel­ Fig. 13. ken, og dessuten treghetskreftene. Hver liten del av bjelken h r akselerasjon a oppover og får t en treghetskraft m a, som for­ tres nedover. I alt blir deler seg jevnt langs bjelkens lengde, på samme måten som tyngden. Summen av tyngden og treghetskreftene blir i alt Q — G

ma --- mg -|- ma = m (gf a)

Opplagerkreftene blir like store og holder likevekt med tyngden og treghetskreftene. * (cPAlemberts prinsipp)

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

27

A = B = Q2 Bøyrfingsmomentdiagrammet blir det vante parabeldiagram for jevnt fordelt last, og bøyningsmomentet på midten blir som van­ lig Q 1/8.

M

Q l _m (g + a) l _ 100 kg (9,81 + 2) m/s2 • 2 m T“ 8 “ 8 = 295 kgm2/s2 = 295 Nm

Sirkelbevegelse Hvis vi ønsker å øke hastigheten av et legeme, må vi skyve på legemet, Fig. 14. slik at vi, når vi trekker fra friksjonsmotstanden, får en overskuddskraft F i bevegelsesretningen. Fig. 14. Ønsker vi at legemet skal gjøre en sving, må vi også bruke kraft tvers på bevegelsen. Skal legemet svinge mot høyre, må vi bruke kraft mot høyre, som vi ser på fig. 15. Resultantkraften F har der en komponent Fn tvers på bevegelsen. Vi vil beregne hvor stor kraft vi må bruke, hvis vi vil at legemet skal følge en kurve med radius r. Vi velger et rettvinklet aksekors med akser langs tan­ genten t og normalen n til kur­ ven i punkt 0 og dekomponerer kraften og hastigheten langs disse aksene. I punkt 0 er vt = v og Vn = 0. Etter et kort tidsrom At har legemet fulgt sirkelbuen

Fig. 15.

DET MATERIELLE PUNKTETS DYNAMIKK

28

en lengde As. Resultanthastigheten har da skiftet retning A