Teorie Subiect I Bac Mate [PDF]

Zitiervorschau

Capitolul I – Ecuaţia şi inecuaţia de gradul I  Forma unei ecuaţii de gradul I  ax + b = 0  Rezolvarea unei ecuaţii de gradul I  Se trec toţi termenii care conţin pe x în partea stângă iar ceilalţi în partea dreaptă  ţinând cont de regula semnelor. Se scoate x din ecuaţia respectivă.  Exemplu :  2x + 3 = 5x ­ 2  2x ­ 5x = ­ 2 ­ 3  ­ 3x = ­5 | • (­1)  3x = 5  5 x =  3  Regulă : se poate aduce ecuaţia la acelaşi numitor şi se poate elimina numitorul punând  condiţie de existenţă în cazul în care la numitor apare x.  Exemplu :  x  2 x + 1  - 1 = 2 3  3 2  x  6  2 x + 1  Se aduce la acelaşi numitor :  -  1 = 2  3  3 x - 6  2 ( 2 x + 1 )  = 6  6  Se elimină numitorul :  3x – 6 = 2 ( 2x + 1 )  3x – 6 = 4x + 2  3x – 4x = 2 + 6  ­ x = 8 | • (­1)  x = ­ 8  Rezolvarea unei inecuaţii de gradul I  Se rezolvă ca şi ecuaţiile doar că în loc de = se păstrează până la final semnul   Reguli :  Dacă se înmulţeşte cu ­1 atunci este obligatoriu să se schimbe semnul.  Este obligatoriu ca rezultatul final să fie sub formă de interval.  Exemple de rezultate finale :  x > ­1  Þ x Î (-1 ; + ¥ )  x ³ 3 Þ x Î [ 3 ; + ¥ )  x  0 .  a  c  Rădăcinile unei ecuaţii semne diferite dacă  P =  < 0 .  a 

Capitolul III – Combinatorică  n! = 1 × 2 × 3 × ... × n  Avem următoarea egalitate  0! = 1  Exemplu :  5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120  n !  ( n - k )!  Condiţia de existenţă a unui aranjament este ca n şi k să fie numere naturale şi k ≤ n  Exemplu :  5 !  5 !  1 × 2 × 3 × 4 × 5  A 52  =  = = = 4 × 5 = 20  ( 5 - 2 )!  3 !  1 × 2 × 3  Aranjamente de n luate câte k este :  A nk  = 

n !  n ! × ( n - k )!  Condiţia de existenţă a unei combinări este ca n şi k să fie numere naturale şi k ≤ n  Exemplu :  5 !  5 !  1 × 2 × 3 × 4 × 5  3 × 4 × 5  C 52  =  = = = = 2 × 5 = 10  2 ! ×( 5 - 2 )!  2 ! ×3 !  1 × 2 × 1 × 2 × 3  1 × 2 × 3  Formule la combinări : Combinări de n luate câte k este :  C nk  = 

4

C n k  = C n n -k  C n 1 + C n 2  + ... + C n n  = 2 n 

Probalitate = 

Numar  cazuri  favorabile  Numar cazuri totale 

Numărul de funcţii ce se pot construi :  Dacă avem  f : A ® B  şi A are a elemente iar B are b elemente atunci numărul  funcţiilor ce se pot construi este b a .  Dacă avem o mulţime cu n elemente şi trebuie să determinăm numărul submulţimilor cu k  elemente atunci formula de determinare a acestora este  C n k  .  Exemplu :  Să se determine numărul de submulţimi cu 2 elemente ale mulţimii {1,2,3,4,5}  5 !  5 !  1 × 2 × 3 × 4 × 5  3 × 4 × 5  C 52  =  = = = = 2 × 5 = 10  2 ! ×( 5 - 2 )!  2 ! ×3 !  1 × 2 × 1 × 2 × 3  1 × 2 × 3 

Binomul lui Newton  (a + b ) n  Dezvoltarea are n+1 termeni  Formula termenului general este :  Tk +1  = C n k  × a n -k  × b k  Un termen din dezvoltare este raţional dacă acesta, după toate calculele adus la forma cea  mai simplă, nu conţine radical, adică puterea sa nu este fracţie (numărătorul se divide cu numitorul).  Exemplu :  Să se determine probabilitatea ca alegând un termen din dezvoltare  (3 +  5 ) 10  ,  acesta să fie număr raţional.  Dezvoltarea are 11 termeni în total.  Formula termnului general este :  k  n 

n - k 

k 

k  10 

10 - k 

k 

k  10 

10 - k 

k  2 

Tk +1  = C  × a  × b  Þ Tk + 1  = C  × 3  × 5  = C  × 3  × 5  Acesta este un număr raţional dacă nu există radicali adică nu există puteri de tip fracţie  k  adică ΠN  unde k Î {0 , 1 , 2 ,..., 10 } Se observă că dacă k este un număr par atunci numărul este  2 natural. Deci rezultă că k Î {0, 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } adică sunt exact 6 termeni raţionali.  munar _ cazuri _  favorabile  6  = Deci  P =  numar _ cazuri _ totale  11 

Capitolul IV – Progresii  Progresii aritmetice 5 

a + c  2  Fie progresia  a 1 , a 2 ,..., a n  (un termen se obţine din cel de dinanintea lui prin adunarea  cu aceiaşi cantitate numită raţie)  Primul termen al progresiei este a1  Raţia progresiei aritmetice se notează cu r şi are formula  r = a 2  - a 1  Numărul de termeni dintr­o progresie aritmetică se determină cu formula :  a  - a  n =  n  1 + 1  r  Formula termenului general al unei progresii aritmetice este :  a n = a 1  + ( n - 1 ) × r  Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este :  n × ( a 1  + a n )  S n  =  2  Exemplu :  Fie şirul 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 (sau poate apărea sub forma sunei sume)  Primul termen a1  = 1  Raţia este r = a2  – a1  = 4 – 1 = 3  19 - 1  18  Numărul de termeni este :  n =  + 1 = + 1 = 6 + 1 = 7  3  3  Termenul al 10­lea al progresiei este :  a n  = a 1 + ( n - 1 ) × r  = 1 + ( 10 - 1 ) × 3 = 1 + 9 × 3 = 1 + 27 = 28  Suma primilor 7 termeni este :  n × ( a 1  + a n )  7 × ( 1 + 19 )  7 × 20  S 7 =  = = = 7 × 10 = 70  2  2  2 

a, b, c sunt în progresie aritmetică  Û b =

Progresii geometrice  a, b, c sunt în progresie geometrică  Û b 2  = a × c  Fie progresia  b 1 , b 2 ,..., b n  (un termen se obţine din cel de dinanintea lui prin înmulţirea  cu aceiaşi cantitate numită raţie)  Primul termen al progresiei este  b 1  b  Raţia progresiei geometrice se notează cu q şi are formula  q =  2  b 1  Formula termenului general al unei progresii geometrice este :  b n  = b 1 × q n -1  Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este :  b 1 × ( q n  - 1 )  S n  =  q - 1  Exemplu : Să se calculeze suma :  3 + 3 2 + 3 3  + ... + 3 10  = ...  Primul termen al progresiei geometrice este b1 = 3  b  3 2  Raţia progresiei geometrice este  q =  2 = = 3  b 1  3  Numărul de termeni este 10 6 

S n  = 

b 1 × ( q n  - 1 )  3 × ( 3 10  - 1 )  3 × ( 3 10  - 1 )  Þ S 10  = = q - 1  3 - 1  2 

Capitolul V – Logaritmi  Condiţia de existenţă a unui logaritm  Dacă avem  log a  b  şi apare x într­o ecuaţie sau inecuaţie condiţia de existenţă a  logaritmului este b > 0.  Dacă apar mai mulţi logaritmi în care apare x se pune condiţie pentru fiecare în parte  ca cantitatea din interiorul lui să fie mai mare ca 0, se obţine astfel un sistem de inecuaţii, se  rezolvă fiecare inecuaţie în parte iar la final se vor intersecta soluţiile, obţinându­se condiţia  finală.  Formule cu logaritmi  log a x + log a  y = log a  x × y  x  log a  x - log a  y = log a  y  y  log a  x  =  y × log a  x  log a a x  =  x 

log a 1 = 0  Dacă avem  log a x = log a  y Û x = y  Rezolvarea unei ecuaţii cu logaritm :  Dacă avem  log a  x = b Þ x = a b  Dacă avem  lg x = b Þ x = 10 b  Dacă avem  ln x = b Þ x = e b 

Capitolul VI – Puteri  Formule cu puteri :  a x  × a y  = a x + y  a x  = a x - y  y  a  ( a x ) y  = a x × y  ( a × b ) x  = a x  × b x  x 

a x  æ a ö = ç ÷ b x  è b ø 1 a - x  = x  a  a  b 

( x ) = x  b 

a 

a 0  = 1  Ecuaţii cu puteri :

7 

Dacă avem  a x = a y  Û x = y  Se încearcă scrierea ecuaţii cu aceiaşi bază iar apoi pe baa acestei formule se renunţă  la bază, egalând doar puterile. Se continuă cu noua ecuaţie.  Alte tipuri de ecuaţii :  Se folosesc formulele cu puteri de aşa natură ca ecuaţia să fie scrisă cu puteri cu aceiaşi  bază, folosind formulel de despărţire de la puteri. Apoi se va nota cu t puterea respectivă.  Exemplu : Se notează 2 x  cu t. dacă în ecuaţia respectivă apare 4 x  atunci acesta va fi t 2 .  Se rescrie ecuaţia numai cu t. Se rezolvă ecuaţia în t.  Apoi se revine la notaţie şi se egalează puterea cu valorile obţinute pentru t.  Dacă t are valoare negativă se scrie că ecuaţia nu are soluţii.  La final se vor enumera soluţiile obţinute. 

Capitolul VII  ­ Radicali  Proprietăţi  a × b  = a × b  a a  =  b  b  a 2  × b  = a 2  × b  = a  b 

Condiţia de existenţă a unui radical  Dacă avem  x  se pune condiţia ca  x ³ 0 Se rezolvă inecuaţia sau sistemul de inecuaţii şi se obţine condiţia finală.  Pentru rezolvarea ecuaţiei aceasta se ridică la pătrat în ambii membri, dispărând astfel 

( ) 

2 

radicalul deoarece x =  x .  La final se testează dacă soluţiile se află printre condiţiile de existenţă.  Dacă radicalul este de ordinul 3 nu se pun condiţii de existenţă şi ca acesta să dispară se va  ridica totul la puterea a 3­a.  a 2  = a  a 3  = a  Formule de calcul prescurtat: ( a + b ) 2  = a 2  + 2 ab + b 2 

( a - b ) 2  = a 2  - 2 ab + b 2  ( a + b ) 3  = a 3  + 3 a 2 b + 3 ab 2  + b 3  ( a - b ) 3  = a 3  - 3 a 2 b + 3 ab 2  - b 3  a 2  - b 2  = ( a + b )( a - b )  a 3  + b 3  = ( a + b )( a 2  - ab + b 2 )  a 3  - b 3  = ( a - b )( a 2  + ab + b 2 ) 

Capitolul VIII  ­ Sisteme de inecuaţii şi ecuaţii 8 

Expresii de tip fracţie sau produs  Se trec toţi termenii în partea stângă.  Se aduce la acelaşi numitor iar dacă acesta conţine x atunci acesta nu se elimină.  Se egaleaă atât numitorul cât şi numărătorul cu 0 şi se determină soluţiile.  Se face tabelul de semn al expresiei în care pe fiecare linie se  va trece fiecare componentă a  expresiei împreună cu soluţiile şi semnul ei.  La final pe ultima linie se trece expresia, se coboară toate valorile de 0 şi se face semnul  final.  Din tabel se va alege semnul dorit.  Sisteme de inecuaţii  Se rezolvă fiecare inecuaţie în parte, se obţin soluţiile sub formă de intervalle iar la final se  vor intersecta toate soluţiile.  Sisteme de ecuaţii  Sistem de ecuaţii combinate una de gradul I şi alta de gradul II  Se foloseşte în general metoda substituţiei.  Din ecuaţia de gradul I se scoate o necunoscută funcţie de alta. Se înlocuie în ecuaţia  cealălaltă şi se rezolvă această ecuaţie.  După ce s­a determinat una din necunoscute se înlocuie în prima ecuaţie şi se determină apoi  cealaltă necunoscută.  Sistem de ecuaţii simetrice (dacă schimbăm x cu y obţinem aceleaţi ecuaţii)  Se notează cu S suma celor două necunoscute şi cu P produsul acestora.  Se scrie sistemul numai cu S şi P.  Se determină S şi P din acest sistem.  Se scrie ecuaţia :  z 2 - S × z + P = 0  şi se rezolvă obţinându­se soluţiile z1  şi z2.  Soluţia finală a sistemului va fi : ì x 1  =  z 1  ì x 2  =  z 2  şi í í î y 1  = z 2  î y 2  = z 1  Sistem de ecuaţii omogene ( conţin doar x 2 , xy şi y 2 )  Se înmulţesc cele două ecuaţii de aşa natură ca prin adunare să dispară termenul liber.  Ecuaţia obţinută se împarte la x 2 .  1 ö 1  ö æ æ Se notează ç x +  ÷ cu t, de unde  ç x 2 +  2  ÷ = t 2  - 2 .  x ø x  ø è è Se scrie ecuaţia numai cu t şi se rezolvă.  x Pentru fiecare soluţie se construieşte un sistem combinat format din notaţia  = t  şi una din  y  ecuaţiile iniţiale ale sistemului.  Se rezolvă sistemele obţinute. 

Capitolul IX – Funcţii  Calculul valorii unei funcţii  Dacă avem f(a) de calculat se pune a în loc de x în funcţie

9 

Dacă avem f(f(a)) se calculează mai întâi f(a) şi presupunem că ne dă valoarea b,  apoi se calculează f(b).  Exemplu :  Fie f(x) = 2x + 1  Să se calculeze f(f(f(1)))  Se calculeaă mai întâi f(1)=2*1+1=3  f(f(f(1)))=f(f(3))  Se calculează apoi f(3)=2*3+1=7  f(f(f(1)))=f(f(3))=f(7)  Se calculează apoi f(7)=2*7+1=15  f(f(f(1)))=f(f(3))=f(7)=15.  Mulţimea valorilor unei funcţii (Imaginea unei funcţii)  Dacă avem  f : [ a , b ] ® R  se calculează f(a) şi f(b) iar intervalul ce se obţine este imaginea.  Dacă funcţia este de gradul I una din aceste două valori este valoarea minimă sau maximă a  funcţiei.  Dacă funcţia este de gradul II se calculează şi valoarea minimă sau maximă a funcţiei  - 

D şi funcţie de cele trei valori se va stabili cel mai mic interval care va fi imaginea funcţiei.  4 a 

Dacă funcţia este de gradul II şi avem  f : R ® R , se determină a coeficiemntul lui x 2  :  D D ­  dacă a > 0 atunci funcţia admite un minim egal cu  -  , iar Imf  =  [ -  ; +¥ )  4 a  4 a  D D ­  dacă a  0  cos x > 0  tgx > 0  ctgx > 0  é p  ù Cadranul II  ­ x Î ê ;p ú ë 2  û sin x > 0  cos x < 0  tgx < 0  ctgx < 0  Unui unghi x din Cadranul I îi corespunde unghiul  ( p  - x) sau ( 180 0 - x ) din  Cadranul II 15 

Avem formulele de trecere din Cadranul II în Cadranul I :  sin( p  - x ) = sin( 180 0 - x ) = sin x  cos( p  - x ) = cos( 180 0 - x ) = - cos x  tg ( p  - x ) = tg ( 180 0 - x ) = -tgx  ctg ( p  - x ) = ctg ( 180 0 - x ) = -ctgx  é 3p ù Cadranul III  ­ x Î êp ; ú ë 2  û sin x  0  ctgx > 0  Unui unghi x din Cadranul I îi corespunde unghiul  ( p  + x) sau ( 180 0 + x ) din  Cadranul II  Avem formulele de trecere din Cadranul III în Cadranul I :  sin( p  + x ) = sin( 180 0 + x ) = - sin x  cos( p  + x ) = cos( 180 0 + x ) = - cos x  tg ( p  + x ) = tg ( 180 0 + x ) = tgx  ctg ( p  + x ) = ctg ( 180 0 + x ) = ctgx  é 3 p  ù Cadranul IV  ­ x Î ê ; 2 p ú ë 2  û sin x  0  tgx < 0  ctgx < 0  Unui unghi x din Cadranul I îi corespunde unghiul  ( 2 p  - x) sau ( 360 0 - x ) sau ( - x ) din  Cadranul II  Avem formulele de trecere din Cadranul II în Cadranul I :  sin( 2 p  - x ) = sin( 360 0 - x ) = sin( - x ) = - sin x  cos( 2 p  - x ) = cos( 360 0 - x ) = cos( - x ) = cos x  tg ( 2 p  - x ) = tg ( 360 0 - x ) = tg ( - x ) = -tgx  ctg ( 2 p  - x ) = ctg ( 360 0 - x ) = ctg ( - x ) = -ctgx  Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice  sin x = a Þ x = ( -1 ) k × arcsin( a ) + k × p  , k Î N  cos x = a Þ x = ± arccos( a ) + k × p , k Î N  16 

tgx = a Þ x = arctg (a ) + k × p  , k Î N  ctgx = a Þ x = arcctg (a ) + k × p  , k Î N 

Capitolul III – Relaţii metrice în plan ­ Arii  Perimetrul unui triunghi  P = AB + BC + CA (suma laturilor)  Mărimi de unghiuri  ìsin x > 0  Un unghi este ascuţit Û í îcos x > 0  ìsin x > 0  Un unghi este obtuz Û í îcos x < 0 

Teorema sinusului  a  b  c  =  = = 2 R  sin A  sin B  sin C  Unde a = latura BC ; b = latura AC ; c = latura B; A, B, C unghiuri; R = raza cercului circumscris  Teorema cosinusului  AB 2 =  AC 2  + BC 2  - 2 × AC × BC × cos C  BC 2 =  AB 2  + AC 2  - 2 × AB × AC × cos A  AC 2 =  AB 2  + BC 2  - 2 × AB × BC × cos B  Formula lui Heron  Fie A aria unui triunghi :  A =  p ( p - a )( p - b )( p - c )  unde A = aria unui triunghi; a,b,c lungimile laturilor triunghiului iar p este semiperimetrul  a + b + c  deci  p =  2  Formule pentru Aria unui triunghi  a × h a  b × h b  c × h c  = = 2  2  2  unde a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului iar ha, hb, hc  sunt înâlţimile corespunzătoare laturilor.  A = 

a × b × sin C  b × c × sin  A  a × c × sin B  = = 2  2  2  a × b × c  A =  4 R  unde a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului iar R este raza cercului circumscris.  A = r × p  A = 

17 

unde r este raza cercului înscris iar p este semiperimetrul deci  p = 

a + b + c  2 

Aria unui paralelogram  AABCD  = 2 × A ABC 

18