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∗
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1/4
1
SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES DES MATERIAUX :
2
→
Traction N
3
→
Compression N
4
→
Cisaillement T
5
→
Torseurs des forces extérieures (ou visseur) appliquées en G
Flexion pure MF
6 → → →
7
Flexion composée N T M F
8 →
Torsion MT
9
10
Composante du torseur d’une surface ds (facette) résultant de l’action de B sur A
δ contrainte normale τ contrainte tangentielle (cission)
11
→
Résultante des forces R
M
MEMENTO
→
dF → =δ dS
→
+
τ
(quand dS tend vers 0)
→
→
→
R= N+ T
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M9
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 2/4
1
ESSAI DE TRACTION
2 Allongement DL (loi de Hooke)
DL = L – Lo = kF DL en m
Allongement relatif
e
Limite d’élasticité et fatigue
d
Module d’élasticité longitudinale E (module de Young) Allongement Déformation permanente (plus de proportionnalité entre ∆L et F) Coefficient de sécurité a (en fonction de la limite d’élasticité
F en newtons ∆L e= Lo F d= So
F.Lo E.So Fm R= So
DL =
∆max =
d max)
S F
3
L L
L
F force en N
d e
d e
E=
Eprouvette
contrainte normale en Pa
4
allongement relatif So surface de section m2 E module de Young en Pa
D L, L, Lo en m. R résistance à la traction (Pa). Fm charge maximale (N)
5
R 1,5 < a < 10
a
6
ESSAI DE COMPRESSION
Glissement unitaire ou tassement
Module d’élasticité de glissement G (module de coulomb)
ou module transversal
g=
x
Dx d
G=
7 d
t g
E G= 2(1 + n )
Coefficient de Poisson
e lo n= e lt
Module de compressibilité volumique k
p k=q
8 d distance entre face parallèles ∆x tassement
t accroissement de contrainte en Pa G en Pa ou daN/mm2 G = O,4 E lt dilatation linéique transversale lo dilatation linéique longitudinale k en Pa p accroissement de pression q accroissement de volume / volume de référence
9
10
11
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M10
M
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 3/4
1
CISAILLEMENT – TORSION
2
F1 Effort tranchant résultant du moment fléchissant MF dans une section S
T=
d MF dx
S
F2
X
3 Condition de résistance au cisaillement
t moyen
=
Rp
Rp résistance pratique à la rupture ou au glissement ou cisaillement
4 Cisaillement (domaine élastique)
5
6
7
BC AB
tg g =
Contrainte moyenne de
t moyen =
Cisaillement ou cission t
B C
T
T S
dans une fibre d’ordonnée y
dy = y
MF IG Z
dans une fibre de la surface
d max =
M tF IG Z
= y max )
n
8 Contrainte maximale acceptable
d max =
M tF max = Rp IG Z
n
10
e
Contrainte nor male d en fonction de MtF
(n
9
A
d y contrainte dans la fibre d’ordonnée y aa’ – bb’ = déformation infinitésimale de 2 sections droites parallèles IGZ moment quadratique de la section par rapport à l’axe G
Torsion (domaine élastique)
Déformation a d’un arbre cylindrique
Contrainte de cisaillement
t
q=
a l
q
angle de déformation par unité de longueur
t cission daN/mm2 r distance de l’axe à la fibre
t = G. q.r
11
M
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
M11
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 4/4
1
FLEXION
2 Déformation d’une poutre
Selon 1 courbure
1
r
de la ligne
1 MF = E.IG Z r
3
élastique 3
Expression analytique de r
r=
(1 + y' 2) 2 y''
Equation différentielle de la déformée Pour de petites déformations ( y’ -> 0 )
4 MtF F(x)
t
y’’ = -
MF
IG Z
E.IG Z
Mt F moment fléchissant de la section
5
IG Z moment quadratique par rapport à G
Flèche d’une poutre soumise à une charge F
f=
F l3 48 E IG Z
6
FLAMBEMENT AXIAL
7 Formule d’Euler
Charge critique à la compression
8
p2 E IG Z Fc = l2
9 Charge admissible pour poutre longue
FR = S . Rpc .
1 1 + Ag
2
module d’élasticité longitudinale du matériau l longueur théorique de la poutre IG Z moment quadratique Fc charge admissible à la compression S section de la poutre Rpc résistance pratique à la compression E
A=
MEMENTO
RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Re l g= r = 2 p E r
I S
10
11
M12
M
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