Proiect TS2 GS [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea Tehnică a Moldovei Facultatea Calculatoare, Informatica si Microelectronica Departamentul Ingineriea Software și Automatică

PROIECT DE CURS la disciplina Teoria Sistemelor 2 Tema : Sistem de reglare automată a presiunii în rezervor

A efectuat:

Gîrlea Stanislav st. gr.AI 151,

A verificat:

Izvoreanu Bartolomeu dr. Conf. Univ.,

Chisinau-2018

UTM 526.3.151.08 Mod. Coala

Nr. document

Elaborat Controlat

Luca M Izvoreanu B.

Semnăt.

Data Litera

Tema: Sistem de reglare automata a presiunii în rezervor.

Coala

Coli

27 UTM FCIM AI-151

CUPRINS

Introducere

3

1.Sarcina la proiectul de curs la Teoria Sistemelor 2. Descrierea funcţionării sistemului automat neliniar 3. Descrierea matematică a sistemului neliniar 4. Calcularea şi trasarea portretului de fază a SAN 5. Determinarea stabilităţii SAN 5.1. Planul Fazelor 5.2. Metoda de stabilitate în planul Nyquist 5.3. Metoda de stabilitate în planul Mihailov 5.4. Metoda de stabilitate absolută V. Popov 6. Determinarea performanţelor SAN aplicând la intrare semnalul treaptă unitară 7. Determinarea parametrilor oscilaţiilor forţate dacă la intrarea sistemului acţionează un semnal x=X m sin ω f t 8. Analiza sistemului discret. Înlocuirea elementului neliniar cu un element discret şi determinarea f.d.t a sistemului discret. 9. Stabilitatea sistemului discret 10. Procesul tranzitoriu al sistemului impulsular..............................................25 Concluzie.....................................................................................................27 Bibliografie..................................................................................................27

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

2

Introducere Automatica este ansamblul metodelor şi mijloacelor de realizare a unor legături (corelaţii) intre diferite elemente şi instalaţii ale unui proces tehnologic în vederea eliminării intervenţiei operatorului în conducerea şi supravegherea acestuia. Reglarea automată este acel ansamblu de operaţii, îndeplinit automat, prin care o mărime fizică este fie menţinută la o valoare prescrisă, constantă – numită consemn sau program fix – fie îşi modifică valoarea la intervale de timp date, conform unui anumit program, luând astfel o succesiune de valori prescrise (dinainte stabilite). Scopurile urmărite prin automatizare sunt: - îmbunătăţirea calităţii produselor obţinute; - creşterea eficienţei economice; - îmbunătăţirea condiţiilor de lucru; Teoria sistemelor automate, care constituie forma superioară a cunoaşterii ştiinţifice a sistemelor automatizate, a cunoscut o continuă dezvoltare atât din punct de vedere conceptual, cît şi din punct de vedere aplicativ. Rezultatele teoretice deosebite au fost obţinute în domeniul analizei şi sintezei sistemelor automate liniare pe baza formalismului intrare – stare – ieşire. O instalaţie tehnologică considerată ca obiect al automatizării se numeşte instalaţie automatizată (IA). Deci un sistem automat reprezintă ansamblul format din instalaţia automatizată şi echipamentul de automatizare, având rolul de a realiza, fără participarea omului, o funcţie de comandă, control, reglare sau optimizare automată. O instalaţie tehnologică considerată ca obiect al automatizării se numeşte instalaţie automatizată (IA). Deci un sistem automat reprezintă ansamblul format din instalaţia automatizată şi echipamentul de automatizare, având rolul de a realiza, fără participarea omului, o funcţie de comandă, control, reglare sau optimizare automată.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

3

1. 1.

Sarcina la proiectul de curs Pentru schema bloc structurală a sistemului automat neliniar (SAN),

caracteristică statistică a elementului neliniar și parametrii părții lineare de ordinul de efectuat: 1.1 De alcătuit schema de principiu a SAN conform temei proiectului. 1.2 Dați descrierea funcțională SAN. 1.3 Conform datelor numerice de prezentat descrierea matematică a SAN. 1.4 Calculaţi şi trasaţi portretul de fază a SAN. 1.5 Determinaţi stabilitatea SAN utilizând următoarele metode: planul fazelor, metoda funcţiei de descriere (metodele aproximative metode algebrice în planul Mihailov, metoda Goldfarb sau în planul Nyquist), metoda criteriu Popov. În caz de instabilitate a SAN alegeţi valoarea unui parametru (coificient de transfer sau constanta de timp) în aşa mod ca sistemul să devină stabil. Determinaţi parametrii oscilaţiilor posibile în SAN. 1.6 Apreciaţi performanţele SAN aplicând semnal de referinţă treaptă unitară. 1.7 Determinaţi parametrii oscilaţiilor forţate ale SAN, dacă la intrarea lui acționează un semnal armonic x=X m sin ω f t

.

2. Înlocuiţi elementul neliniar cu un element discret. 2.1 Prezentați descrierea matematică a sistemului automat discret (SAD). 2.2 Studiaţi stabilitatea SAD utilizînd criterii algebrice și frecvențiale. 2.3 Calculaţi procesul tranzitoriu al SAD la semnal de referinţă treaptă unitară. Concluzii. Bibliografie.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

4

Varianta nr. 8. Sistem de reglare automată a presiunii în rezervor. Tabelul 1 Tabelul cu condiţiile iniţiale a proiectului de curs k1 6

k2 7

k3 0,4

k4 6

ε0 0,4

σ0 T1,s T2,s 13 0,5 8

T3,s 7

Xm 18

ωf 10

Sistemul automat neliniar se prezentă cu schema structurală din Fig.1.1 prezentată mai jos: y

xp v

yr

Fig.1.1 Schema structurală a sistemului neliniar. În continuare este prezentată caracteristica statică a elementului neliniar

Fig.1.2. Caracteristica elementului neliniar, releu ideal (tripozițional).

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

5

2. Descrierea funcţionării sistemului automat neliniar Sistemele continue de reglare automată sunt cele mai răspândite sisteme, ceea ce se explică în primul rând prin simplitatea lor şi în al doilea rând prin existenţa unei metode bine stabilite de calcul şi de proiectare a lor. Vehicul aerian mai greu decît aerul, pus în mișcare de unul sau mai multe motoare care învîrtesc o elice; se deplasează cu mare viteza și servește la transportul mărfurilor și călătorilor. 3. Descrierea matematică a sistemului neliniar Un sistem automat este neliniar dacă în componenţa lui este inclus măcar un element neliniar. La analiza şi sinteza SAN–lor se utilizează structuri – bloc tipice, în care se evidenţiază neliniarităţile prezentate prin caracteristici statice şi partea liniară a sistemului H(s) care cuprinde toate elementele liniare componente ale sistemului. Neliniaritatea se exprimă prin relaţia funcţională intrare – ieşire şi această relaţie este un model matematic de funcţii neliniare . Descrierea matematică a sistemului neliniar porneşte de la schema - bloc structurală ce este prezentată în fig.3.1, prezentată mai jos: xp

y

ε V

yr

Fig. 3.1. Schema structurală a sistemului neliniar.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

6

Avînd schema structurală a sistemului neliniar în urma transformărilor se prezintă în modul următor:

Fig.3.2. Schema structurală a sistemului neliniar în urma transformării. Efectuînd şi ultimele transformări obţinem schema–bloc structurală tipică, generală a SAN: xp

ε

F(ε)

y

yr Fig.3.3. Schema-bloc structurală tipică a SAN. Descrierea matematică a sistemului neliniar poate fi prezentat în modul următor : H 1 ( s )=

k1

6 ; T 1 s+ 1 0 . 5 s+1 H ( s )=(

H ( s )=

H 2 ( s )=

=

k2

7 ; ( T 2 s+1)( T 3 s +1) ( 8 s+1)(7 s+1 ) =

k1 k4

k2 +k 3 )⋅ ; T 1 s+ 1 (T 2 s+1 )(T 3 s+1)

k 2 k 3 T 1 s+ k 1 k 4 k 2 +k 2 k 3

1. 4 s +254 . 8 . T 1 T 2 T 3 s +(T 1 (T 2 +T 3 )+T 2 T 3 )s +(T 1 + T 2 +T 3 )s +1 28 s +22 .5 s2 +15. 5 s +1 3

2

H ( s )=

1 . 4 s+254 . 8 28 s +22 . 5 s 2 +15 .5 s+1 3

=

3

;

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

7

X ( s )=H ( s )⋅F ( ε ) ;

Considerînd (3.1) X ( s )=

1 . 4 s+254 .8 ⋅F ( ε ) ; 28 s +22. 5 s 2 +15 . 5 s+ 1 3

28

s -> d/dt

dF ( ε ) d3 x d2 x dx +22. 5 +15 .5 +x=1 . 4 +254 .8 F ( ε ) ; 3 2 dt dt dt dt

(3.2) astfel am obţinut ecuaţia diferenţială a modelului matematic a SAN. 4.Calcularea şi trasarea portretului de fază a SAN Analiza traiectoriilor de fază în planul fazelor pentru SAN cu relee permite a evidenţia influenţa diverşilor factori (zonă de insensibilitate, histerezis ş.a.) asupra stabilităţii şi convergenţei proceselor. Metoda de calcul planul fazelor este o metodă precisă şi cu o reprezentare grafică care se aplică cu precădere sistemelor automate de ordinul doi invariante descrise cu variabile de stare (fază), obţinînd planul fazelor. Această metodă este descrisă mai jos şi ne va duce la determinarea stabilităţii: X ( s )=H ( s )⋅F ( ε ) ;

(28 s 3 +22 .5 s2 +15. 5 s+1)⋅X ( s )=( 1. 4 s+254 . 8 )⋅F ( ε ) ; 3

2

dF ( ε ) d x d x dx 28 3 +22. 5 2 +15 .5 +x=1 . 4 +254 .8 F ( ε ) ; dt dt dt dt

s->d/dt; 3

d x dt 3 =0; a2=1:

De unde rezulta: dF ( ε ) d2 x dx +15 .5 +x=1 . 4 +254 .8 F ( ε ) ; 2 dt dt dt

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

8

de unde se obţine planul fazelor: 2

dF (ε ) d x dy = +b ; 1 dt dt 2 dt

dx = y+b1 F( ε); dt

dF ( ε ) dF ( ε ) dy +b 1 + 15. 5( y +b 1 F (ε ))+x=1 . 4 +254 .8 F ( ε ) ; dt dt dt

dF( ε) dy +(b1 −1. 4 ) )+15 . 5 y +x=(254 . 8−15 . 5 b1 )F ( ε ) ; dt dt

efectuăm următoarele notaţii: b2 =254 .8−15.5 b1 ; b1 −1.4=0 ;

b1 =

1. 4 =1. 4 ; b2 =233.1 1 ;

înlocuind aceste valori obţinem: dy +15 .5 y +x=233. 1 F ( ε ) dt

;

din această ecuaţie de mai sus determinăm derivata mărimii de ieşire

dy : exprimată prin dt dy =−15 . 5 y −x+233. 1 F ( ε ) dt

dy Împărţim derivata mărimii de ieşire dt

;

dx la cea de intrare dt

vom obţine

următoarea expresie: dy −15 .5 y−x +233 . 1 F (ε ) = ; dx y +1 . 4 F (ε )

notăm

dy =k dx

şi obţinem că: k

=

−15 .5 y−x+233 .1 F( ε) ; y+1.4 F( ε)

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

9

Unde lui k atribuindui un şir de valori vom obţine caracteristica portretului de fază, ce am construit-o cu ajutorul calculatorului în pachetul de programe KOPRAS şi o prezentăm în (fig.4.2) de mai jos.

Fig. 4.2. Caracteristica portretului de fază. 5.Determinarea stabilităţii SAN Pentru descrierea SAN se utilizează aparatul matematic a ecuaţiilor integrodiferenţiale neliniare, pentru care o soluţie generală nu există, dar se soluţioneazăca cazuri particulare. Din aceste considerente se evidenţiază dificultăţile care apar la analiza şi sinteza SAN. La etapa actuală sau propus o diversitate de metode de studiere a stabilităţii SAN-lui. Metodele mai frecvent utilizate sunt: 5.1.Planul Fazelor Din caracteristica portretului de fază conform Graf.1 putem face concluzia că SAN este stabil, conform proprietăţilor de stabilitate a traiectoriei de

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

10

fază: intersectează axa absciselor în semiplanul drept de la stînga spre dreapta, iar în semiplanul stîng respectiv de la dreapta spre stînga. 5.2.Metoda de stabilitate in planul Nyquist. Metoda de stabilitate Nyquist este o metodă de liniarizare armonică (metoda funcţiei de descriere), care se utilizează la liniarizarea neliniarităţilor în domeniul frecvenţial şi este aplicativă unei clase largi de neliniarităţi, însă se aplică în special neliniarităţilor discontinue (releice) . Metoda este utilă pentru SAN care funcţionează cu autooscilaţii şi care permite determinarea relativ simplă a parametrilor autooscilaţiilor. Considerăm structura de SAN dată în cadrul căreia neliniaritatea este reprezentată printr-un bloc cu caracteristica statică a elementului neliniar şi partea liniară prin funcţia de transfer în domeniul frecvenţial H(jω), Fig.8:

Fig.5.2.1. Schema structurală a elementului neliniar prin metoda Nyquist. Prin metoda planului Nyquist simplu se poate determina stabilitatea SAN ce funcţionează cu autooscilaţii. Condiţiile de existenţă a autooscilaţiilor sunt ca :

N ( A )⋅H ( jω )=−1 ; 1 H ( jω )=− ; N (A) (5.2.1)

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

11

N ( A )=

conform

caracteristicii

neliniare

4c πa

√

b 1− a

2 2

, a≥ b ;

(5.2.2) −

1 =− N (A)

πa

√

4 c 1−

;

b a

2 2

(5.2.3)

(

Re −

1 1 =− ; N( A) N ( A)

)

(

Im −

1 =0 . N( A)

)

Astfel am obţinut locul invers de transfer al părţii neliniare -1/N(A) Funcţia de transfer a părţii liniare va avea următoarea formă: H ( s )=

1 . 4 s+254 . 8 28 s +22 . 5 s 2 +15 .5 s+1 3

H ( jω )=

;

s= jω ;

1 . 4 jω+254 . 8 28( jω)3 +22. 5( jω )2 +15 .5 jω+1 ;

(1−22. 5 ω2 )− j(15. 5 ω−28 ω3 ) 1. 4 jω+254. 8 H ( jω )= ∗ = (1−22. 5 ω 2 )+ j(15. 5 ω−28 ω3 ) (1−22. 5 ω2 )− j(15. 5 ω−28 ω3 ) 1. 4 ω(15 . 5 ω−28 ω 3 )+254. 8(1−22 .5ω 2 ) 1 . 4 ω(1−22 .5 ω 2 )−254 . 8(15 .5 ω−28 ω 3 ) ¿ −j ; (1−22. 5 ω2 )2 +(15. 5 ω−28 ω3 )2 (1−22. 5ω 2 )2 +(15 .5 ω−28 ω 3 )2

Din funcţia de transfer partea reală şi cea imaginară se prezintă: 4

2

−39 . 2 ω −5711. 3 ω +254 . 8 P ( ω )= ; 784 ω6 −361 .75 ω 4 +195 .25 ω 2 +1 Q ( ω )=

7102 . 9 ω3 −3948 ω 784 ω6 −361 .75 ω 4 +195 .25 ω 2 +1

.

În acelaşi plan complex construim caracteristica locului de transfer al părţii liniare H(jω), 0‹ω‹∞ şi caracteristica locului invers de transfer a părţii neliniare −

1 N (A)

, ε0‹A‹∞.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

12

Tabelul. 2. Valorile pentru determinarea caracteristicii H(jω) ω

0

Re(ω)

25 4.8 0

Im(ω)

1

5

-8.

9

20

...

-0.

01 0.0001 5.1 0.0 0.0 7 01

+∞

...

0

...

0

A

ea

Construir

1 − N (A)

caracteristicilor f.d.t. în planul Nyquist

Fig. 5.2.2. Caracteristica SAN în planul Nyquist Din caracteristica SAN în planul Nyquist rezultă că în sistem nu există auto-oscilaţii stabile, deoarece curbele ce caracterizează locul de transfer a părţii liniare şi neliniare nu se intersectează. Deci SAN este absolut stabil. 5.3.Metoda de stabilitate in planului Mihailov Metoda de stabilitate in planului Mihailov constă în liniarizarea armonică a neliniarităţilor sistemului din Fig.9. Ecuaţia caracteristică a sistemului liniarizat în circuitul închis în domeniul frecvenţial se prezintă în forma:

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

13

L(jω,A) = 1+ H(jω) N(A) = 0; xp=0

ε

(5.3.1)

Y

-yr

Fig.5.3.1. Schema structurală a elementului neliniar prin metoda Mihailov. Pentru a determina ecuaţia caracteristică L(jω,A) efectuăm calculele: H ( s )=

H ( jω )=

1 . 4 s+254 . 8 28 s +22 . 5 s 2 +15 .5 s+1

; s-> jω

3

1 . 4 jω+254 . 8 28( jω) +22. 5( jω )2 +15 .5 jω+1 ; 3

Neliniaritatea dată este o caracteristică univocă (cu o ramură) şi se descrie numai de partea reală N ( A )=q ( A )=

4c πa

√

b 1− a

2 2

, a≥b ;

'

q ( A ) =0;

În ecuaţia caracteristică substituim �(�) şi �(�ω) prin expresiile care descriu

partea liniară şi partea neliniară şi după unele transformări expresia se prezintă prin partea reală şi imaginară în forma: 1. 4 jω+254 . 8 = 28( jω)3 +22 . 5( jω)2 +15. 5 jω+1 ¿−28 jω3 −22.5 ω2 +15. 5 jω+1+ ( 1 .4 jω+254 . 8 ) N ( A )=0 ; L ( jω, A )=1+N ( A )

După unele transformări această ecuaţie se prezintă prin partea reală şi imaginară: �(�,ω)+��(�,ω)=0.

(5.3.2)

luînd partea reală şi imaginară a funcţiei obţinem:

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

14

2

X ( A , ω ) =−22 .5 ω +1+254. 8 q ( A )=0 ; (5.3.3) 3 Y ( A ,ω )=−28 ω +15 .5ω+1. 4 ω⋅q ( A )=0 ;

(5.3.4) Din expresia (5.3.4) se calculează valorile parametrilor autooscilaţiilor: din ecuaţia a doua se exprimă ω2. ω 2=

15 . 5+1. 4 q( A ) 28

(5.3.5)

şi se substituie în prima ecuaţie obţinând o ecuaţie de gradul unu în raport cu q(�): 253.68q(A)-11.45=0 Soluţionând ecuatia se obţine valoarea lui q(�)=0.05.

Utilizăm valoarea q(�)=0.05 şi determinăm valoarea pulsaţiei ω 2=

15 .5+1 .4∗0 . 05 15 . 5+1. 4 q( A ) =0.6 28 = 28 si

ω

=0.77 s-1 .

Pentru verificarea stabilităţii autooscilaţiilor se utilizează inegalitatea:

(

S 0=

∂ X ( A , ω) ∂A

)( A0

∂Y ( A , ω) ∂ω

) ( −

ω0

∂ X ( A , ω) ∂ω

)( ω0

∂Y ( A , ω) ∂A

)

A0

. (5.3.6)

Sistemul automat neliniar liniarizat va fi stabil dacă �0>0.

Determinăm derivatele parţiale din sistemul de ecuaţii (5.3.4) şi calculăm prin datele numerice : ∂ X ( A , ω) =254 .8 ; ∂A

∂ X ( A , ω) =−2⋅22. 5⋅ω=−2⋅22 . 5⋅0 . 77=−34 . 65 ; ∂ω

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

15

∂Y ( A , ω) =3⋅28⋅ω2 +15. 5+1 . 4⋅q ( A )=65 . 97 ; ∂ω

∂Y ( A , ω) =1. 4⋅ω=1 .4⋅0. 77=1. 08 ; ∂A

Se calculează ultima expresie prin datele numerice: S 0 =254 .8⋅65 . 97−(−34. 65)⋅1 . 08>0

(5.3.7) Din inegalitatea (5.3.7) se constata că S0 > 0 , de unde se poate lua concluzia că în sistem autooscilaţiile vor fi stabile. Deci SAN este absolut stabil. 5.4 Metoda de stabilitate absolută V. Popov O metodă de determinare a stabilităţii absolute este metoda V. Popov. Criteriul de stabilitate Popov se formulează: SAN este absolut stabil dacă există un număr real q astfel încît să se satisfacă relaţia: Re [1+ jq H(jω)]> -1/k ,

(5.4)

k – coeficientul de transfer al sistemului deschis; 1/q – panta dreptei Popov. Fie că este prezentată schema structurală:

Fig. 5.4.1. Schema structurală pentru calculul metodei Popov. Si dacă f.d.t. modificat H*(jω) a acestui sistem este complet situat în dreapta de la dreapta Popov dusă prin punctul cu coordonatele (0,-1/k) sub un unghi arbitrar q se consideră că sistemul este absolut stabil. Locul de transfer a părţii liniare modificat se determină conform expresiei:

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

16

H*(jω) = Re(ω)+ jωIm(ω) = P(ω) + jQ(ω) .

(5.5)

Funcţia de transfer a părţii liniare are următoarea formă: H ( s )=

C (s) 1 . 4 s+254 . 8 = 28 s 3 +22 . 5 s 2 +15 .5 s+1 D( s ) ;

(E5.6)

Se introduce coeficientul de transfer liniar care are semnificatia : kl=254.8. Coeficientul �l va fi atribuit coeficientului de transfer al neliniarităţii.

Din expresia (E5.6) se prezentă funcţia de transfer a părţii liniare cu coeficientul de transfer �=1 şi stabilă: H ( s )=k l

C1 (s ) 0 .6 s+1 = 3 2 28 s +22. 5 s +15 . 5 s+ 1 D(s ) ;

(E5.7)

Expresia (E5.7) se transformă în domeniul pulsaţie utilizând substituţia �=�ω

şi se prezintă ca locul de transfer al părţii liniare : H ( jω )=

0 . 6 jω+1 (1−22. 5 ω )+ j(15 .5 ω−28 ω 3 ) ; 2

Înmulţim această expresie de mai sus la conjugata ei şi vom obţine: H ( jω )=

−39 . 2ω 4 −5711. 3 ω2 +1 7102 . 9 ω3 −3948 ω − j ; 784 ω6 −361 .75 ω 4 +195. 25 ω2 +1 784 ω6 −361 .75 ω 4 +195. 25 ω 2 +1

(E5.8) Se prezentă locul de transfer modificat al părţii liniare înmulţind numărătorul parţii imaginare a expresiei (E5.8) la ω şi utilizând datele numerice ale coeficienţilor calculaţi se obţine funcţia de transfer modificată: −39. 2 ω 4 −5711 .3 ω 2 +1 7102 .9 ω 3 −3948 ω H∗( jω )= − jω = 784 ω 6 −361. 75 ω 4 +195 . 25 ω2 +1 784 ω 6 −361. 75 ω 4 +195 . 25 ω2 +1 −39 . 2 ω4 −5711. 3 ω 2 +1 7102. 9 ω 4 −3948 ω 2 ¿ − j = P(ω )− jQ∗( ω); 784 ω 6 −361. 75 ω4 +195 . 25 ω2 +1 784 ω 6 −361. 75 ω 4 +195 . 25 ω2 +1

Pentru a construi locul de transfer modificat �∗(�ω) se variază valoarea lui

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

17

ω = 0⋯∞ şi pentru fiecare valoare a lui ω se calculează valorile părţii reale �(ω) şi imaginare �∗(ω) şi introducând datele în tabelul 3. După datele din tabelul 3 se construieşte în scara respectivă locul de transfer al părţii liniare.

Datele de locului de modificat al

ω ) ω)

�(ω

�∗(

5

0 1 0

0.09 0.043

1

1

30

0

5

0.021 0.0 31

0.01 0.0 15

0.0031 0.00 1

Tabelul 3. calcul a transfer … 0 SAN.

…

∞

… 0

σ 13 k=k l∗k N =k l⋅ =254 .8⋅ ≈1912 .5 ; ε 0.4 1 1 − =− ≈−0 . 05 k 191 .25

Construirea caracteristicii prin metoda Popov

Fig.5.4.2. Caracteristica sistemului prin metoda Popov.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

18

Din caracteristica locului de transfer modificat al SAN, observăm că H *(jω) este complet situat la dreapta de la dreapta Popov, care poate fi dusă prin orice punct (0,-∞). Deci rezultă că sistemul este absolut stabil. 6. Determinarea performanţelor SAN aplicînd la intrare semnalul treaptă unitară Procesul tranzitoriu a fost obţinut cu ajutorul calculatorului în pachetul de programe KOPRAS.

Fig.6.1. Schema modelului matematic a SAN Aplicînd la intrare semnalul treaptă unitate şi introducînd datele din tabelul 1 am obţinut (fig.6.2) după care apreciem performanţele sistemului.

Fig.6.2. Caracteristica tranzitorie h(t) a SAN

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

19

Performanţele SAN sunt: - Intervalul autooscilaţiilor stabile.

εst = ± 0.75

- Timpul de reglare.

t c=1s

- Timpul de stabilizare.

t st =7 s

- Perioada oscilaţiilor.

T =1.5 s

- Frecvenţa oscilaţiilor.

1 f = =0 . 66 Hz T

7.Determinarea parametrilor oscilaţiilor forţate dacă la intrarea sistemului acţionează un semnal x=x m sin ωt Schema simulată la calculator în pachetul de programe KOPRAS şi respectiv caracteristica procesului acţionând la intrare semnalul x=x m sin ωt :

Fig. 7.1. Schema asamblată la calculator ce descrie semnalul de la intrare

x=x m sin ωt

.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

20

Fig.7.2. Caracteristica procesului la intrarea căruia este aplicat semnalul

x=x m sin ωt . Pentru obţinerea unui proces oscilant aplicăm la intrarea sistemului un semnal sinusoidal x=x m sin ωt . Din caracteristica obţinută în fig.7.2. determinăm parametrii oscilaţiilor forţate:

- Amplitudinea max. şi min. a oscilaţiilor forţate.

A max =4. 5 A min =2.9

- Perioada oscilaţiilor.

T=0.1 s

- Frecvenţa oscilaţiilor.

1 f = =1 0 Hz T

- Timpul de reglare

t c=0. 35 s . -

frecvenţa

oscilaţiilor

forţate

ω=2 πT =2⋅3 . 14⋅10=62 . 8 rad .

8.Analiza sistemului impulsular. Înlocuirea elementului neliniar cu un element impulsular şi determinarea f.d.t a sistemului impulsular Înlocuim elementul neliniar din schema structurală a sistemului automat neliniar (fig.8.1) cu un element impulsular, care constă din elementul ideal şi elementul de reţinere. Astfel, obţinându-se schema din (fig. 8.2.).

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

21

y

xp V

yr

Fig.8.1. Schema structurală a sistemului neliniar. Înlocuim elementul neliniar din figura de mai sus cu un element impulsular care constă din elementul ideal şi elementul de reţinere obţinem: xr

ε(t)

ε(kt)

y -V -yr

Fig.8.2. Schema structurală a sistemului impulsular. Pentru a determina funcţia de transfer a sistemului impulsular se fac transfigurări în schema obţinută în (fig.8.2.) Transferîndu-se sumatorul de la ieşirea elementului 1 la intraea lui, se obţine schema din (fig.8.3).

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

22

Fig.8.3. Schema structurală transfigurată a sistemului impulsular. F(z) Xp

R(z)

L(z)

Y(z)

-yr Fig.8.4. Schema structurală a sistemului impulsular . Astfel, s-a obţinut schema structurală a sistemului impulsular prezentată în

figura 8.4, unde:

H 1 ( s )=

k1 T 1 s+1 ,

H 2 ( s)=

k2 (T 2 s+1)(T 3 s +1) ,

H 3 ( s )=

k 3 T 1 s+k 3 +k 1 k 4 k1

.

9.Stabilitatea sistemului impulsular Condiţiile necesare şi suficiente de stabilitate a SAD în planul Z sunt ca toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice a sistemului închis îndeplinesc condiţia │zi │< 1.

(9.1)

Pentru determinarea f.d.t a circuitului închis întrerupem legătura înaintea elementului impulsular (cum e arătat în fig.10.1). Prin urmare :

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

23

F ( z )=H 1 ( s )∗R( z )−H 2 H 3 H 1 ( s )⋅F ( z ) ;

(9.2) F ( z )=

H1 R ( z) 1+ H 2 H 3 H 1 ( z )

Y ( z ) =F ( z )⋅H 0 H 2 ( z )=

;

H 2 ( z ) R( z ) 1+ H 0 H 2 H 3 H 1 ( z )

(9.3) ⋅H 2 H 0 ( z ) ;

(9.4)

H0 H1 H2( z) Y (z) =H I ( z )= ; R(z) 1+ H 0 H 2 H 3 H 1 ( z )

(9.5) Se aplică transformata z la expresia (9.5) obţinută mai sus: H 0 H 2 H 3 H 1 ( z )=

{

}

k k T s +k 2 k 3 + k 1 k 2 k 4 z−1 z−1 1 . 4 s +254 . 8 1 . 4 s+254 . 8 ⋅Z 2 3 1 = ⋅Z = z z s ( T 1 s )( T 2 s+1 ) s ( T 1 s )( T 2 s +1 ) s ( T 1 s )( T 2 s+1 )

{

}

;

(9.6)

Descompunem expresia de mai sus în fracţii elementare 2

2

2

T 1 T 2 As + ( T 1 + T 2 ) As+ A+ T 2 Bs + Bs+T 1 Cs +Cs 1 . 4 s+254 .8 A B C = + + = = s ( T 1 s )( T 2 s+1 ) s ( T 1 s ) (T 2 s+1 ) s ( T 1 s )( T 2 s +1 ) 2

=

( T 1 T 2 A+ T 2 B+T 1 C ) s + (( T 1 +T 2 ) A+ B+C ) s+ A s( T 1 s +1)( T 2 s +1)

.

(9.7) Astfel, egalînd expresiile (9.6) şi (9.7) primim egalitatea ce urmează: 2

( T 1 T 2 A+ T 2 B+T 1 C ) s + (( T 1+T 2) A+ B+C ) s+ A = 1.4 s+254 .8

şi egalînd termenii de acelaşi ordin pentru s obţinem:

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

24

T 1 T 2 A + T 2 B + T 1 C =0 A + B + C =1 . 4 ( T 1+T 2)

−9

A = 2 54 . 8 ⇒ ¿ − 9 B + 9 . 5 C =− 112 5 B + C =−118 7 . 5 A = 2 54 . 8 ⇒ ¿ (− C − 11 8 7 . 5 ) + 9 . 5 C = −1125 B =− C − 11 87 . 5 A = 2 54 . 8 ⇒ ¿ ¿ − 0 . 5 C =− 2 31 2 . 5 B =− C − 11 87 . 5 A = 2 54 . 8 ⇒ ¿ A = 2 54 . 8 B =− 58 12 . 5 C = 4 62 5

{

¿

{

¿

¿

¿

¿ ¿

¿

Se obţine funcţia : H 1 H 2 H 3=

37 . 8 −5812 .5 4625 + − s T1 s T 2 s +1

.

(9.8) Dacă perioada T=0,001, transformata Z a f.d.t. va fi:

H 0 H 1 H 2 H 3= ¿

{

}

z−1 254.8 −5812.5 4625 Z + − = z s T1s T 2 s+1

{

}

z−1 254 .8 z −5812.5 z 4625 z + ⋅ − ¿ = T T z z−1 T 1 T − − 2 T2 T1 z−e z−e

( )

( )

z−1 254 .8 z −5812.5 z 4625 z + ¿ − ¿ = 0.001 0.001 z z−1 T 1 T − − 2 z−e 10 z−e 11

(

= =

(

)

{

(

)

)

}

z −1 254 . 8 z −5812. 5 z 4625 z + ⋅ − ⋅ = z z−1 0 .1 ( z−0. 99 ) 11 ( z−0 .999 )

{

}

z−1 77509. 99 z 3−154945. 19 z 2 −155456 . 5 z 77509 . 99 z2 −154945 .19 z−155456 . 5 = , z ( z−0 . 99 ) ( z−0 . 999)( z−1 ) ( z −0 .99 ) (z−0 . 999) 2

H 0 H 1 H 2 H 3=

77509 . 99 z −154945 .19 z−155456 .5 . ( z−0 . 998 ) ( z−0. 9998 )

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

(9.9)

Coala

25

H 0 H 1 H 2=

(

{

(

T − T1

z−1 k 1 k 2 e ¿ z T 1−T 2

(

}

{

}

k2 z−1 k 1 z−1 k 1 k 2 Z ⋅ = Z = z T 1 s+1 T 2 s+1 z ( T 1 s+1 )( T 2 s+1 ) −

−e

T T

2

) ¿z

T − T1

T − T2

( z−e )( z−e )

0 . 0002 − 10

z−1 20⋅z ( e ¿ z −1 ( z−e

−

−e

0 .0002 − 10

0 .0002 11

)

0 .0002 − 11

)( z−e

))

=

)

=

z−1 −0.36∗z , z −1( z−0. 998)( z−0 .9998 )

(

)

H 0 H 1 H 2=

0 .36 z−0. 36 ( z−0 . 998)( z−0. 9998 ) .

(9.10) Din relaţiile (9.9) şi (9.10) se determină funcţia de ieşire Y(z): 0 .36 z−0. 36 ( z−0 . 998 )( z−0 . 9998) Y ( z )= = = 1+H 0 H 1 H 2 H 3 77509. 99 z 2 +154945 .19 z−155456 . 5 1+ ( z−0 . 998 )(z −0 . 9998) 0 .36 z−0. 36 ( z−0 . 998 )( z−0 . 9998) ¿ = ( z−0 . 998 )( z−0 . 9998)−77509 . 99 z 2 +154945 .19 z−155456 .5 ( z−0 . 998 )( z−0 . 9998) 0 .36 z−0. 36 ¿ ; −77508 . 99 z 2 +154943 .2 z−155455 .51 H 0 H1 H2

Prin urmare, ecuaţia caracteristică a sistemului impulsular închis este Y ( z)=

B (z ) 0 .36 z−0. 36 = . 2 A( z) −77508. 99 z +154943 .2 z−155455 .51

(9.11) Stabilitatea sistemului impulsular conform condiţiilor necesare şi suficiente a SAI se determină din ecuaţia caracteristice a sistemului închis. Astfel, din ecuaţia (9.11):

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

26

A ( z )=−77508.99 z 2 +154943 .2 z−155455 .51 ; −154943 .2±268708.3 z i= . −155017 . 98

Rezultă că SAD dat este stabil, deoarece toţi radacinile ecuaţiei caracteristice A(z) după modul sunt mai mici ca 1:

z1=0.73,

z2=-0.998.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

27

10. Procesul tranzitoriu al sistemului impulsular Folosind pachetul de programe KOPRAS, pentru schema din (fig.10.1), aplicând la intrare treaptă unitară şi luând parametrul t= 0.0002, se obţine procesul tranzitoriu prezentat în fig.10.2.

Fig. 10.1. Schema structurală a SAI în pachetul de programe KOPRAS.

Fig.10.2. Procesul tranzitoriu obţinut cu ajutorul pachetului de programe KOPRAS.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

28

Concluzii În prezentul proiect de curs am avut posibilitatea de a analiza şi studia un sistem de reglare automată a presiunii în rezervor. Am studiat sistemul neliniar de la schema principială la cea structurală. După ce am verificat stabilitatea sistemul după mai multe criterii,cum ar fi cele mai importante criterii de verificare a stabilitatii: 1)planul Nyquist; 2)planul fazelor; 3)planul Mihailov; 4) analiza Popov. Am observat că sistemul dat este absolut stabil dupa efectuarea fiecarui criteriu in parte . Studiind acelaşi sistem cu element impulsular şi am determinat că sistemul la fel este stabil. De asemenea am efectuat procesul tranzitoriu pentru SAN-ul dat, aplicînd la intrare semnal treaptă unitară şi semnal sinusoidal am determinat performanţele acestui sistem şi parametrii autooscilaţiilor posibile în sistemul neliniar dat.

Bibliografie: 1. Иващенко Н. Н., Автоматическое регулирование. – M.: Машиностроение, 1978. – 735s. 2. Воронов А. А., Основы теории автоматического регулирования и управления. – M.: 3 Высшая школа, 1977. - 519 s. 3. Топчеев Ю. И., Задачник по теории автоматического регулирования и управления. – M.: Машиностроение, 1977. – 592 с.

UTM 526.3.151.08 Mod Coala Nr.document

Semnăt. Data

Coala

29