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German Pages 382 [388]
Peter Kurzweil (Hrsg.) Bernhard Frenzel Florian Gebhard
Physik Formelsammlung
Aus dem Programm Naturwissenschaftliche Grundlagen
Vieweg Handbuch Maschinenbau herausgegeben von A. Böge Formeln und Tabellen Maschinenbau herausgegeben von A. Böge Physik von A. Böge und J. Eichler Physik von J. Eichler Technische Berichte von H. und L. Hering Wutz Handbuch Vakuumtechnik herausgegeben von K. Jousten Physik Aufgabensammlung i. Vorb. von P. Kurzweil (Hrsg.), J. Eichler, B. Frenzel und B. Schiewe Lehrsystem Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler in sechs Bänden von L. Papula
vieweg
Peter Kurzweil (Hrsg.) Bernhard Frenzel Florian Gebhard
Physik Formelsammlung Für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Studium Technik
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2008 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0251-4
V
Vorwort Die Anforderungen an eine Physik Formelsammlung far Ingenieure und Naturwissenschaftler sind hoch: die Grundlagen der Physik und ihre wichtigsten Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik sollen knapp und kIar dargestellt und in nutzbare Formeln gegossen werden, von der Mechanik iiber die Stromungslehre zu Thermodynamik, Stofftransport und Elektrochemie, von der Elektrodynamik und -technik iiber die Optik bis hin zur Atom- und Kernphysik. Mit dem vorliegenden Buch konnten wir nicht alle diese Anforderungen gleichermaBen gut erfiilIen. Fiir Physiker so interessante Themen wie der Formalismus der Quantenmechanik, die Quantentheorie der Festkorper und viele Facetten der Streutheorie mussten wir leider weglassen. Der Schwerpunkt liegt auf der Darstellung und den Anwendungen der kIassischen Gebiete der Physik, mit denen sich die Studierenden der Natur- und Ingenieurwissenschaften in den ersten zwei bis drei Jahren ihres Studiums an Universirnten und Fachhochschulen beschiiftigen. Anflinger in den ersten Semestern mogen manches Axiom zunachst iiberblattern und sich auf die Beispiele und Spezialfiille konzentrieren. In hOheren Semestern wird das theoretische Fundament willkommen sein, um den inneren Zusammenhang der Physik zu erkennen. In diesem beschrlinkten Rahmen prasentieren wir die fur Naturwissenschaftler und Ingenieure wichtigen Gleichungen und erlautern die grundlegenden Konzepte, damit die Formeln ihren Sinn behalten und nicht zu einem ,,Buchstabensalat' verkommen. Dennoch kann unsere Formelsammlung kein Lehrbuch der Physik oder die zugehorigen Vorlesungen ersetzen. Unsere Formelsammlung Physik macht kompaktes Physik-Wissen zuglinglich und fiihrt zielsicher durch die Grundlagen und Anwendungen der Physik und physikalischen Chemie und der angrenzenden Ingenieurdisziplinen. Auf rund 400 Seiten konnten wir den vielen Anwendungen der Physik in den Ingenieurwissenschaften selbstverstlindlich nicht vollstlindig gerecht werden. Vermissen Sie, liebe Leserin und lieber Leser, eine Formel, die fUr Ihr Studium, Ihre Priifungen oder Ihre beruftiche Praxis wichtig ist, dann schreiben Sie uns bitte. Wir danken Prof. Dr. Peter LENZ, Marburg, fur die Durchsicht des Kapitels Stromungslehre, Prof. Dr. Harald RIBS, Marburg, fUr seine Anmerkungen zum Kapitel Optik und Dipl.-Phys. David KOHLER fUr seine Unterstiitzung bei der Anfertigung vieler Bilder. Dem Verlag Vieweg, voran unserem Lektor Herrn Thomas ZIPSNER, danken wir fUr die hochwertige Ausstattung des Buches zu einem fur Studierende erschwinglichen Preis. 1m September 2007
PROF. DR. PETER KURZWEIL Fachhochschule Amberg-Weiden p.kurzweil@/h-amberg-weiden.de
PROF. DR.-ING. BERNHARD FRENZEL Fachhochschule Amberg-Weiden b.frenzel@/h-amberg-weiden.de
PROF. DR. FLORIAN GEBHARD Universitiit Marburg [email protected]
Vorwort
VI
Inhaltsverzeichnis A Intemationales Einheitensystem (SI) 1 BasisgroBen und -einheiten 2 Inkohiirente Einheiten 3 Wichtige Fonne1zeichen und Einheiten
1 2 3 5
E Schwingungen und WeUen 1 Hannonische Schwingungen 2 Uberlagerung von Schwingungen 3 Gekoppe1te Schwingungen linearer Oszillatoren 4 Wellen
B Mechanik .........................•.•.•.•• 7 1 Axiome der Mechanik 7 F Akustik 13 2 NEwToN-Mechanik 1 Schallquellen und Schal1ausbreitung 3 Aspekte der technischen Mechanik 19 2 Physio1ogische Akustik 4 LAGRANGE-Mechanik 25 5 Erhaltungssiitze 32 G Elektrotechnik 1 Strom, Spannung, Widerstand 35 6 Zweitei1chenprob1em und Leistung 7 Mechanik des starren Korpers 40 2 Spannungs-Strom-Beziehungen 8 Spezielle Re1ativitatstheorie .49 an Zweipo1en 3 KIRCHHoFF-Gesetze und C Striimungslehre 56 Widerstandsnetze 1 Ideale und reale Fluide 56 4 Wechse1stromlehre linearer Netzwerke 2 Hydro- und Aerostatik 65 5 Schaltvorgange 3 EULER-Fluide: 6 E1ektromagnetische Felder Reibungsfreie ideale Stromung 73 7 Ladungstransport 4 Umstromung von Korpem 80 8 E1ektronische Bauteile 5 Rohrstromungen 89 9 Drehstromsystem 6 Ausstromende F1uide 95 10 E1ektrische Maschinen 7 Impu1s- und Drehimpulsiibertragung 99 H Optik 1 Wellenoptik D Thermodynamik, 2 Geometrische Optik (Strahlenoptik) 103 Wiirme- und Stofftransport 3 Optische Instrumente 1 Temperatur und thermische Ausdehnung. 103 4 Strahlung und Lichtempfindung 2 Wiirmeenergie und Kalorimetrie 104 3 Ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Mengenbegriffe in Fluiden und Mischungen 5 Hauptsiitze der Thennodynamik 6 Zustandsanderungen des idealen Gases .. 7 Kreisprozesse 8 Reale Gase 9 Luftfeuchtigkeit 10 Fliissigkeiten und Losungen 11 Phaseniibergange und 1atente Wiirme 12 Wiirmetransport 13 Stoff'transport 14 Thennodynamik: und Kinetik chemischer Reaktionen
109 111 113 120 122 126 128 130 135 136 146 150
155 155 175 181 182
190 190 200 202 202 207 211 217 231 233 258 272 279 281
288 288 306 313 317
K Atom- und Kemphysik 321 1 Quanten und Materiewellen 321 2 E1ektronenhiille und Atomspektroskopie . 324 3 Mo1ekii1spektroskopie 335 341 4 Massenspektrometrie 5 Kemspin und NMR-Spektroskopie 343 6 Radioaktivitat 345 7 Rontgenspektroskopie, ionisierende Strahlung, Dosimetrie 350 8 E1ementarteilchen 356 9 Atomares Einheitensystem 358 Quellen und weiterrdhrende Literatur Stichwortverzeichnis
359 360
1
A Internationales Einheitensystem (81)
Einheiten sind VergleichsgroBen, die einen festen, durch ein Mess- und Eichverfahren reproduzierbaren Betrag haben. In einem kohiirenten Einheitensystem wie dem SI sind die BasisgroBen und -einheiten unabhangig voneinander festgelegt und nicht durch Zahlenfaktoren miteinander verknupft. •
Fur jede GroBenart gibt es genau eine Einheit. Beispiel: Das Meter als SI-Einheit der Uinge.
• Abgeleitete Groflen und Einheiten sind einfache Potenzprodukte der BasisgroBen und -einheiten. Beispiel: 1 N = 1 kg m s-2 •
•
Die Dimension einer physikalischen GroBe ist das Potenzprodukt aus den SI-Basisdimensionen. Achtung: Dimension und Einheit sind zweierlei! Beispiel: dim F = dim (rna) = dim(mljt 2 ) = MLT- 2 In physikalische Groflengleichungen diirfen an Stelle der Formelzeichen die Zahlenwerte und Einheiten eingesetzt werden. Ie groBer die Einheit, umso kleiner ist der Zahlenwert.
BasisgroBe Lange Masse Zeit Stromstiirke Temperatur Stoffmenge Lichtstarke
m
t I
T n Iy
Dimension Einheit m L=diml M=dimm kg T=dimt s l=dimI A 8=dimT
K
N=dimn J = dimly
mol cd
I GroBe = Zahlenwert . Einheit I F = {F}· [F] = 220N= O,22kN
Formelzeichen werden kursiv, Einheiten aufrecht gedruckt. Zwischen Zahlenwert und Einheit steht ein Leerzeichen.
Dezimale Vorsatzzeichen erlauben die handliche DarsteHung der rund 25 GroBenordnungen yom Atomkem bis zur kosmischen Galaxie. Vorsatz und Einheitensymbol bilden ein eigenstlindiges Symbol, d. h. Exponenten gelten auch fUr den Vorsatz. Zehnerpotenz 10- 1 10- 2 10-3 10-6 10-9 10- 12 10- 15 10- 18 10- 21 10- 24
Vorsilbe dezicentirnillirnikronanopicofemtoattozeptoyokto-
Symbol d c m p.
n p f a z y
Zehnerpotenz 10
102 103 106 109 1012 1015 1018 1021
1024
Vorsilbe dekahektokiloMegaGigaTeraPetaExaZettaYotta-
Symbol da h k M G T P E Z Y
Statt zepto, yokto, Zetta und Yotta besser die Exponentialschreibweise.
Beispiele: p.m2 = (10- 6 mf = 10- 12 m2 cm- 1 = (10- 2 m)-1 = 100 m- 1
Deutsche Umschreibung Zehn(tel) Hundert(stel) Tausend(stel) Million(stel) Milliarde(stel) Billion(stel) Billiarde(stel) Trillion(stel) Trilliard(stel) Quadrillion(stel)
US-
Umschreibung ten(th) hundred(th) thousand(th) rnillion(th) billion(th) trillion(th) quadrillion(th) quintillion(th)
2
A Internationales Einheitensystem (SI)
1 Basisgro8en und -einheiten BasisgroBe
Symbol Einheit Festlegung
Lange
Masse
m
m
Ein Meter ist die Lange der Strecke, die Licht im Vakuum innerhalb 1/299792458 Sekunde (Kehrwert der Lichtgeschwindigkeit) durchHiuft. Definitionen vor 1983: a) 40-millionster Teil des Erdumfangs (1790) b) P1atin-Iridium-Nonnalstab ("Unneter") in Sevres bei Paris (Intemationales Buro fUr MaBe und Gewiehte, 1875) e) 1650763,73-fach die Wellenliinge der orangeroten Spektrallinie beim 5d5 --+ 2PlO-Ubergang des 86Kr-Atoms im Valruum (1960)
kg
Ein Kilogramm ist die Masse des Platin-Iridium-Zylinders ("Urkilogramm") des Internationalen Buros fUr MaBe und Gewichte in Sevres bei Paris (1964,1901). Ursprunglieh der Masse von 1 Liter Wasser bei 4 °C gleiehgesetzt. Seit 1964 gilt: 1 kg Wasser = 1000,028 em3 und 1 Liter = 1 dm3.
sEine Sekunde ist das 9l9263l770-fache der Periodendauer der Strahlung beim Ubergang zwischen den beiden Hyperfeinstruktur-Niveaus des Grundzustandes des 133Cs_ Atoms (,,Atomsekunde", 1967). Ursprunglieh: 1/86400 des mittleren Sonnentages ("Weltzeitsekunde"); der 31 556925,9 747te Teil des tropisehen Sonnenjahres (1956).
Zeit
Stromstarke
I
A
Ein Ampere ist die Starke des zeitlich konstanten Stromes, der zwischen zwei parallelen, geradlinigen, unendlich langen Leitern von vernachHissigbarem Kreisquerschnitt im Abstand 1 Meter im Vakuum pro Meter Leiterlange die Kraft 2.10-7 N hervorruft (1948). Ursprunglieh: Der Strom, urn pro Sekunde 1,118 mg Silber dureh Elektrolyse aus einer definierten Silbernitratlosung abzuseheiden (1 CIs).
Temperatur
T
K
Ein Kelvin ist 1!z73,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von reinem Wasser (1967).
Stoffmenge
n
mol
Ein Mol ist die Stoffmenge eines Systems mit ebenso vielen Teilchen (z. B. Atome, lonen, Molekiile, Elektronen, Protonen, Neutronen, Photonen), wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoffisotops 12C enthalten sind (1971). Ursprunglieh: die in Granun ausgedriiekte relative MolekUlmasse.
cd
Ein Candela ist die Lichtstiirke einer monochromatischen Strahlungsquelle (540 GHz) in eine vorgegebene Richtung mit einer Strahlstarke von 1/683 Watt pro Steradiant (1979). Lichtstiirke, mit der 1/600000 m 2 der Oberfliiche eines Schwarzen Strahlers bei der Temperatur des unter Normaldruck (101 325 Pa) erstarrenden Platins senkrecht zu seiner Oberfliiche leuchtet.
Lichtstarke
3
2 Inkoharente Einheiten
2 Inkoharente Einheiten Inkohlirente Einheiten werden durch Zahlenfaktoren in SI-Einheiten umgerechnet. 2
2
Beispiel: 5 lb . 32,17 ftIs = (5·0,4536) kg . (32,17 . 0,3040) mls = 0,2865-.lL = 0,2865 N = 2865 Pa 12 in2 12 . (2,54 cm)2 cm2 (0,D1 m)2
1. Gesetzliche Einheiten • Gebrauchseinheiten neben dem SI: Liter, Gramm, Tonne, Bar, Hertz, Grad Celsius
1 TWa
10-3 m 3 = 1 dm3 10-3 kg 1000 kg 105 Pa = 0,1 MPa 1 s-1 (7'J;CC + 273.15) K = 60 min = 3600 s = 365 d = 8760 h 1 mIs -36 = (~/180) rad = 3,6 MJ = 3,6.106 J = 8,76.10 12 kWh = 3,15.10 19 J
1 ha 1b 1 Kt 1 eV 1u 1 var 1 tex 1 mmHg Idpt 1 sm 1 kn 1 AE Ily 1 pc
= 100 ar = 10000 m 2 = 10-28 m 2 = 100 fm 2 = 2.10- 4 kg = 200 mg Ri 1,602.10- 19 J 27 kg Ri 1,66054.10= 1 VAr = 1 W = 10-6 kglm = 1 glkm = 133,322 Pa Ri 1,3 mbar =lm- 1 = 1852m = 1 smlh = 1852 mIh = 1,49597870.10 11 m = 9,6405.10 15 m = 3,0857.10 16 m
1 in 1 ft 1 yd 1 mi 1 mph 1 in 1 gal 1 bbl 1 reg ton lIb 1 oz
= 25,4mm = 30,40 cm = 12 in = 0,9144m= 3 ft = 1609,344 m = 1760 yd Ri 1,609 kmIh Ri 0,447 mls = 25,4mm = 3,785412 dm3 (US) = 158,9873 dm3 = 42 gal = 2,8317 m 3 = 100 ft3 = 0,453 592 37 kg = 0,028 349 523 kg = ft, lb
11
19 It 1 bar 1 Hz T
• Auj3erhalb des SI zuliissig: I> Zeiteinheiten: Minute, Stunde, Tag und Jahr I> Winkeleinheit: Grad I> Energieeinheit: Kilowattstunde
Terawattjahr • Eingeschriinkt zuliissig: I> Landwirtschaft: Ar, Hektar I> Kemreaktoren: Bam I> Edelsteine: metrisches Karat I> Atomphysik: Elektronvolt, atomare Masseneinheit I> Elektrotechnik: Voltampere, Var I> Textilfasem: Tex I> Medizin: Millimeter Quecksilbersaule I> Brillenglaser: Dioptrie • International verwendete Enheiten: I> Seefahrt: Seemeile, Knoten I> Astronomische Einheit, Lichtjahr, Parsec
2. Angloamerikanische Einheiten In Deutschland im geschiiftlichen und amtlichen Verkehr, in Forschung und Lehre nicht zuliissig: I> Lange: inch, foot, yard, mile I> Geschwindigkeit: mile per hour I> Flache: acre I> Volumen: gallon, barrel, register ton I> Masse: pound, ounce
Ih 1a 1 kmIh 1° 1 kWh
= = = = = =
A Intemationales Einheitensystem (SI)
4 [>
Kraft: pound-force, poundal
Druck: psi = Ibf/in2 Energie: British Thermal Unit [> Leistung: horsepower [> Temperatur: Degree Fahrenheit, Rankine [> [>
[>
Lichttechnik: Lambert, footcandle
3. Umrechnung veralteter Einheiten [> Lange: Angstrom, X-Einheit [> Winkel: Gon, Neugrad [> Beschleunigung: Gal [> Kraft: Kilopond, Dyn Energie: Erg Steinkohleeinheit [> Leistung: Pferdestiirke [> Druck: physikalische und technische Atmosphiire, Meter Wassersaule, Torr, Millimeter Quecksilbersaule [>
[>
Viskositat: Poise, Stokes
[> [>
Wiirmemenge: Kalorie Elektromagnetismus: Oersted, Maxwell, GauB
[>
Leuchtdichte: Stilb, Apostilb
[>
Strahlenschutz: Curie, Rontgen, Rem, Rad
Ilbf 1 pdl 1 psi 1 Btu 1 hp 'l9°F lR lla 1 fc
=4,44822N = 0,138 255 N = 68,9476 mbar ~ 6,89 kPa = 1,05506kJ = 0,745 700 kW =~('l9 - 32) °C
lA 1 xu 1 gon 1 gal 1 kp 1 dyn 1 erg 1 tSKE 1 PS 1 atm 1 at 1 mWS 1 mmHg 1P 1 St 1 cal 1 Oe 1M IG 1 sb 1 asb 1 Ci 1R 1 rem 1 rd
=lO- lO m=O,lnm = 1,00202.10- 13 m ~ 0,1 pm = 1g = (n /200) rad = 0,9° = 10-2 m/s2 = 1 cm/s 2 = 9,80665 N = 10-5 N = 10 mN = 10-7 J = 0,1 flJ = 9,3.10- 10 TWa = 29,3.109 J = 735,498 75 W = 1,01325 bar = 101325 Pa = 1 kp/cm2 = 98066,5 Pa = 0,1 at = 98,0665 mbar = 1 Torr = 133,3224 Pa = 0,1 Pa s = 10-4 m2/s = 1 cm2 /s = 4,1868 J = 79 , 57747 (1000) Aim 411" = 10-8 Wb = 10 nV s =1O- 4 T=0,lmT = 1 cd/cm2 =104 cd/m2 = 0,31831 (~) cd/m2 = 3,7.1010 Bq = 37 GBq = 258 flC/kg = 1 mSv = 0,01 J/kg = 10 mGy = 0,01 J/kg
-~K
-9
= 3183,1 e~oo) cd/m2 = 1O,76391lx
3 Wichtige Formelzeichen und Einheiten
5
3 Wichtige Formelzeichen und Einheiten
Physikalische GroBe (Radio-)Aktivitiit Beschleunigung(svektor) magnetische Flussdichte, Induktion Elektrische Kapazitiit Licht-, Schallgeschwindigkeit spez. Warmekapazitiit (Stoffmengen-)Konzentration elektr. Flussdichte, Verschiebungsdichte Energiedosis Energiedosisleistung Energie elektrische Feldstiirke Beleuchtungsstiirke(vektor) Kraft(vektor) Elektrischer Leitwert Magnetfeldstiirke Enthalpie Aquivalentdosis elektrische Stromstiirke Lichtstiirke, -intensitiit Strahlstiirke Triigheitsmoment, Massen~ 2. Grades Ionendosis Ionendosisleistung Elektrische (Leitungs-)Stromdichte Feder-, Kraftkonstante, Diimpfungsgrad Drehimpuls(vektor) (Selbst-)Induktivitiit Leuchtdichte Strahldichte (charakteristische) Lange molare Masse Drehmoment(vektor) Magnetisierung magnetisches Moment spektrale spezif. Ausstrahlung Masse Massenstrom, -durchsatz Teilchenzahl, Ensemblezahl Stoffmenge Brechungsindex, Brechzahl Leistung, elektrische Wirkleistung (Di)elektrische Polarisation Impuls(vektor) Druck,Schalldruck Elektr. Ladung, Elektrizitiitsmenge Warmemenge, Warmeenergie Warmestrom
Symbol Einheit A
ii
B C C
cp
c
jj D
D E
E E, E v F G
if H H I I, Iv Ie J J
j J,j k
i L L Le I M
AI AI m,rnA M;,
m
m N
n n
P P,P
p p
Q Q
Q
Basiseinheiten
Bq =s-1 m1s2 = m s-2 T = V ~ = ~ = kg s-2A-1 m m F = C/V = m- 2kg- 1s4A2 m1s = ms- 1 1 1 Jkg- K- =m2kgs- 2K- 1 molll' = m- 3mol C/m2 = m- 2sA Gy = J/kg = m2s- 2 GyIs = W Ikg = m2s- 3 J = Nm = Ws = m2kgs- 2
Englische Bezeichnung activity ofa radioactive substance acceleration (vector) magnetic flux density, induction
capacitance light~, sound velocity specific heat capacity concentration electric flux density, displacement absorbed dose (of radiation) absorbed dose rate energy Vim = mkg s-3 A-1 electric field strength (vector) lx = lm/m 2 = m- 2cd sr illuruinance (vector) N = mkgs- 2 force S = 0- 1 = ~ = m- 2kg- 1s3A2 conductance Nm = m-1 A magnetic field strength J = m2kg s-2 enthalpy Sv =J/kg = m2 s-2 dose equivalent A Basiseinheit electric current cd Basiseinheit luruinous intensity W/sr = m2kg s-3 sr-1 radiant intensity kg m2 moment of inertia Clkg = kg-1 s A ion dose, exposure A1kg ion dose power Nm2 = m- 2A (conduction) current density N/m = J/m2 = kgs-2 spring~, force constant Nms = m2kgs-1 angular momentum, action H = Os= Wb/A = m2kgs- 2A- 2(self-)inductance cd/m2 = m- 2cd luruinance Wm- 2sr- 1= kgs-3 sr-1 radiance m Basiseinheit (characteristic) length kg/mol = kg mol- 1 molar mass Nm = m2 kg s-2 torque, moment of a force Nm = Am-1 magnetization Am2 = J/T magnetic (area) momentum W m-3 = m-1 kg s-3 spectral radiant exitance kg mass kg/s = kgs- 1 mass flow (rate) =1 number of particles, ~ entities mol Basiseinheit amount of substance =1 refractive index W = J/s = m2kgs- 3 power, active power C/m2 = m- 2sA dielectric polarization Ns = mkgs- 1 momentum (vector) Pa = N/m2 = m- 1kg s-2 pressure, souic pressure C = As electric charge, quantity ofelectricity J = m2kg s-2 quantity of heat, heat energy W =m2kgs- 3 heatfIow
•
A Intemationales Einheitensystem (81)
6 Lichtmenge elektrischer (Wirk-)Widerstand magnetischer Widerstand, Reluktanz Ortsvektor (Komplexe) Scheinleistung Entropie Weg, Bogenllinge, freie Wegllinge Periodendauer Temperatur Zeit elektrische Spannung Innere Energie Beweglichkeit e. Ladungstragers Yolumen magnetische Spannung Geschwindigkeit(svektor) Arbeit; Energie Blindwiderstand Komplexer Widerstand, Impedanz Winkelbeschleunigung thermo Langenausdehnungskoeff. Wiirmeiibergangszahl Polarisierbarkeit Massenkonzentration Kompressibilitat Maguetische Suszeptibilitat Yerlustwinkel Permittivitat, Dielelektrizitatskonstante Wirkungsgrad, Leistungsverhaltnis dynamische Yiskositat Schiebung, Scherung elektrische Leitfahigkeit Wellenlange Wiirmeleitfahigkeit Zerfallskonstante reduzierte Masse
Q R Rm
r
~
S s T T t
K
Basiseinheit Basiseinheit Y = J/As = m2kgs- 3A- 1 =m2kgs- 2 J m2y- 1s- 1 = kg- 1s2A m3
U U u V V
A
Basiseinheit =ms- 1 =m2kgs- 2 J n=YjA = m2kg s-3A- 2 n=YjA = m2kg s-3A- 2
v
m1s
W X
Z a a a a
fJ X Xm,K ~
e l'f l'f y K,(o-)
A A A p.
Permeabilitat
p.
Frequenz kinematische Viskositat Raumwinkel Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz, Pulsatanz Lichtstrom Strahlungsleistung, -ftuss magnetischer Fluss elektrisches Potential Phasenverschiebung(swinkel) Dichte Spezifischer Widerstand Normal-, Zug-, Druckspannung Flachenladungsdichte Schubspannung
v, v n
f
ill ill
w,w v we W rp rp Q Q 0-
o-,IVI
,
Ims = scdsr n=YjA = m2kg s-3A- 2 H- 1 = AjWb = m- 2kg- 1 s2A2 m = Jjs = m2kgs- 3 W=YA = m2kgs- 2K- 1 JIK m s-l
luminous energy, quantity of light electrical resistance reluctance position vector apparent power, complex power entropy (free) path, length of arc period (of vibration) thermodynamic temperature time electric voltage internal energy electric mobility volume magnetic voltage velocity work; energy reactance impedance
=s-2 radls2 angular acceleration K- 1 linear expansion coefficient Wm- 2K- 1= kgs- 3K- 1 heat transmission coefficient Cm2y- 1 = kg- 1s4A 2 electric polarizability = kgm- 3 mass concentration gil Pa- 1 = ms2jkg compressibility maguetic susceptibility =1 rad loss angle =1 = m- 3kg- 1s4A 2 permittivity F/m efficiency =1 = m- 1kgs- 1 dynamic viscosity Pas shear strain =1 Sjm = (nm)-l = m- 3kg- 1s3A2 conductivity m wavelength WK- 1m- 1= mkgs- 3K- 1 thermal conductivity s-l decay constant, rate ~ kg reduced mass _ 2 _ Ys _ mkg permeability Hjm-NjA - p;:- - 2 2 m sA Hz = s-l frequency =m2s- 1 kinematic viscosity m2/s sr solid angle =1 = s-l radls angular velocity = s-l circular ~, angular frequency radls luminous flux 1m =cd sr =m2kgs- 3 radiant power, ~ flux W Wb=Ys =m2kgs- 2A magnetic flux = m2kgs- 3A- 1 electric potential Y=J/C rad phase angle =1 =m- 3kg kgjm3 density, mass density = m 3kg s-3A- 2 resistivity nm =m- 1kgs- 2 Pa normal stress, axial stress 2 =Asm- 2 surface charge density Cjm Pa = Njm2 = m- 1kgs- 2 shear stress, tangential stress
7
B Mechanik
1 Axiome der Mechanik 1.1 Raum und Zeit Raum und Zeit bilden eine Einheit: Ein Punkt Pin der vierdimensionalen Raumzeit (Ereignis) wird vollstlindig beschrieben durch die Angabe des dreidimensionalen reellen Ortsvektors 7 und der eindimensionalen reellen Zeit t.
1.1.1 Bezugssystem - kartesische Koordinaten Zur mathematischen Beschreibung des Raums wird ein Bezugssystem festgelegt. Drei Vektoren e1, e2 und e3, die nicht in einer Ebene liegen, bilden eine Basis des dreidimensionalen euklidischen Raums. Der Ortsvektor 7 = 71e1 + 72e2 + 73e3 hat die Koordinaten 71,72 und 73 beziiglich dieser Basis. Der Ursprung 0 des Bezugssystems hat die Koordinaten 71 = 72 = 73 = O. • Besonders gebrauchlich ist die raumfeste, zeitunabhlingige kartesische Basis mit den orthonormalen Einheitsvektoren ex, ey , ez in die x- y- und z-Richtung mit dem Skalarprodukt:
ex .ex = ey . ey = ez . ez = ex· ey = ex· ez = ey ' ez =
1 ('Llinge=l') 0 ('..l zueinander')
ex,y,z Kartesische Basisvektoren in x-, y- und z-Richtung
SpaitendarsteUung der Basisvektoren: AbSlunds-
\'cktor
Der kartesische Ortsvektor 7 ist damit: -+
7
-+
= xe x
-+
( X)
-+
+ ye y + ze z =
~
e.,
i\z ' - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' rZl
• Euklidischer Abstand 7 zweier gleichzeitiger Ereignisse PI und P2: 7 = 721 = 712 = 172 - 711.
I 7 == 171 = ..17 . 7 =
Jx
2
+ y2 + z2
- - - - - - - - - - - - - - - - - -I
Ortsvektor des Ereignisses Pl Z Abstand zwischen Pz und Pl '
r Lange oder Betrag des Vektors r x,y,z Kartesische Koordinaten von
r
r Uinge oder Betrag des Vektors x,y,z Kartesische Koordinaten von
r
r
m m m m
m m
8
B Mechanik
1.1.2 Zylinder- und Kugelkoordinaten Kartesische Vektoren in krummlinigen Koordinaten Darstellung Zylinderkoordinaten (fUr achsensymmetrische Probleme)
Koordinaten
Basisvektoren
zylindrisch --+ kartesisch
zylindrisch --+ kartesisch
QcoSqJ Y = QsinqJ
x
ex ~y = ez =
Z = Z kartesisch --+ zylindrisch
= tanqJ = Z = Q
Kugelkoordinaten (fUr kugelsymmetrische Probleme)
Jx2 y/x
kartesisch --+ zylindrisch
+ y2
sin 0 cos qJer - sin qJerp + cos 0 cos qJe(} ey = sinO sinqJer + cosqJerp + cos 0 sin qJe(} ez cosOer - sinOe(} ex =
rcosO
kartesisch --+ sphiirisch
....
kartesisch --+ sphiirisch
r = J x 2 + y2 + Z2 tanqJ = y/x tan 0 = Jr-x2~+-y-=2/ Z
....
r = rer
er .... ~rp e(}
P r Q
rp
Ereignis Abstand zurn Mittelpunkt Abstand zur z-Achse Wmkel in der x-y-Ebene
() m m rad
cos qJex + sin qJey =- sin qJex + cos qJey ez
sphiirisch --+ kartesisch
x = r sinO cos qJ y = rsinOsinqJ =
eQ = ~rp =
ez
Z
sphiirisch --+ kartesisch
Z
cos qJeQ - sin qJerp ~in qJeQ + cos qJerp ez
=
sin 0 cos qJex + sin 0 sin qJey +cosOez
- sin qJex + cos qJey cos 0 cos qJex + cos 0 sin qJey - sinOez
Winkel zur z-Achse
rad
ex,y,z Kartesische Basisvektoren eQ,rp,z Zylindrische Basisvektoren er,(J,rp Sphiirische Basisvektoren
Beispiel: Kugelkoordinaten. Ein kartesischer Vektor r = ex + ey + .fiez hat in Kugelkoordinaten die Darstellung = 2er + (x /4)e() + (x /4)erp mit den spharischen Basisvektoren:
r
er = ~ex + ~ey + (l/.fi)ez, erp = -(l/.fi)ex + (l/.fi)ey, e() = ~ex + ~ey - (l/.fi)ez.
1.1.3 Rechtssystem FUr das Vektorprodukt (auch: Kreuzprodukt) der Basisvektoren gilt im Rechtssystem:
ei x ej
....
ek
(i,j ,k) = (x,y,z) , (e,tp,z) , (r,(},tp) (und zyklische Vertauschung)
Korkenzieherregel: Denkt man sich ei (1. Vektor) an einem Korkenzieher befestigt und dreht diesen "auf kiirzestem Wege" auf j (2. Vektor des Kreuzprodukts), ist die Bewegung des Korkenziehers gleich der Orientierung von ek (3. Vektor).
Orthonormale Basisvektoren (Kartesische, Zylinder- oder Kugelbasis)
e
Bewegung des Korkenziehers = Orientierung von ek
9
1 Axiome der Mechanik
1.2 Kinematik des Punktteilchens Befindet sich ein Teilchen zur Zeit t am art r(t), dann liegen die Punkte im euklidischen Raum als Funktion der Zeit auf der Raumkurve oder Bahn C (in der Raumzeit: die Weltlinie).
IDie Kinematik beschreibt die Bewegung von Punktteilchen entlang ihrer Bahn. 1.2.1 Geschwindigkeit - Bogenliinge -
Beschleunigung
• Die Geschwindigkeit v(t) ist der Vektor der zeitlichen Anderung des Ortes r(t):
-+( . r(t v t) = lim
+ M)-r(t) At
M--+O
Beispiel:
dr(t) = -dt
""( t)
== r
V
Geschwindigkeit des Teilchens ; Ortsvektor des Teilchens M,dt Zeitelement
- Der Geschwindigkeitsvektor vet) liegt tangential zur Raumkurve; er zeigt in deren momentane Richtung. - Fiir Ir(t)1 = const ist vet) stets senkrecht zu ret), d. h. das Skalarprodukt ist ret) . vet) = o. - Ein Drachen bewegt sich senkrecht zur Schnur, wenn die Schnur festgezurrt und straff ist. - Geschwindigkeit vet) in verschiedenen Koordinatensystemen (Tabelle):
Geschwindigkeit vet) = ~(t)
~(t) = xex
+ yey + zez
Kartesische Koordinaten
~(t) = i!.el1
+ lI,perp + zez
Zylinderkoordinaten
Zeitliche Anderung der Basisvektoren
~x = ~y = ~z =
0 0 0
x,y,z x, y, z-Geschwindigkeit II
r
= ,perp ~e .:, erp = ~,pel1 ~z =0
rp ()
i!.,r ,p
.:,
~(t) =
m/s m
rer + rBeo + r sin (),perp Kugelkoordinaten
= BeO + sin (),perp .:, B = -Ber + cos (),perp eo .:, erp = - sin (),per - cos (),peO er
Abstand zur z-Achse Abstand zum Ursprung Winkel in der x-y-Ebene Winkel zur z-Achse Radialgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit in der x,y-Ebene Winkelgeschwindigkeit in der x' ,z-Ebene
mls m m rad rad mls radls radls
• Die Bogenliinge s(t) ist die Lange der Strecke, die das Teilchen vom Punkt PI (tl,71 (tl» bis zum Punkt P(t,7(t» zuriicklegt: set)
s(t) =
t
J J
Iv(t') I dt' ;
ds =
o
ds(t) = Iv(t)1 dt
t1
'---------------------------'
s ds t' ,t dt ,dt' tl
Bogenllinge (Strecke PI P) Wegelement Zeit Zeitelement ZU;1 zugeordneter Zeitpunkt
Beispiel: Fiir eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit vet) = vo ist s ,,Die zuriickgelegte Strecke ist gleich Geschwindigkeit mal Zeit."
m m
= Ivolt = vot:
• Die Beschleunigung a(t) ist der Vektor der zeitlichen Anderung der Geschwindigkeit v(t):
-+() Ii v(t+M)-v(t) =vt=rt ""() :.;() at= m M--+O At
a v
;
M
Beschleunigung des Teilchens Geschwindigkeit des Teilchens Ortsvektor des Teilchens Zeitspanne
m/s 2 m/s m
Beispiel: Beschleunigung in Zylinderkoordinaten. Mit der Produktregel aCt) = ;(t) = ({jell + Q;lI) + (QrPerp + (l,iPerp + (l,rP;rp) + zez und nach Einsetzen der zeitlichen Anderung der Basisvektoren: aCt) = ({j - (l,rP 2 )ell + (2QrP + (l,iP)erp + zez.
10
B Mechanik
1.2.2 Natiirliche Koordinaten - Kriimmung -
Torsion
Natiirliches Koordinatensystem (auch: begleitendes Dreibein): Seine Basisvektoren eT (tangential zur Raumkurve), ~ (normal zur Raumkurve) und eB (binormal zu eT, eN) bilden ein orthonormales Rechtssystem (I>S. 8), dessen Ursprung mit dem Ereignis P der Raumkurve verbunden ist und die Raumkurve begleitet. P
r
ex,y,z
er,N,B
Ereignis Ortsvektor des Ereignisses P Kartesische Basisvektoren Basisvektoren des begleitenden Dreibeins
m
Der Ortsvektor; wird durch die Bogenlange s(t) (I>S. 9) beschrieben: ; = ;(s(t)). Die Basisvektoren werden damit definiert tiber
d~(s) _ ~ s - v
h(s)
ei
r
1 dh(s) ~(s) = K(.ijds
ii v
K(S)
h(s) x ~(s)
eB(s)
Basisvektoren des Dreibeins Ortsvektor des Ereignisses P Geschwindigkeit Betrag der Geschwindigkeit Kriimmung
m
mls mls
11m
Die FRENET-SERRET -Gleichungen geben die Anderung der Basis beztiglich san: deT(s) ( ) ~s -+ ( ) ---=KS ds
deB-(s) -+ ( ) - = -. (s ) ~ s
;
ds
Sie definieren die Kriimmung K und Torsion (Windung) .: K
K(S) = Ide:;S) I
'Z"(s) =
11K
Ide:;S) I
'l"
1I 'l"
v
Mit den Dreibeinvektoren lauten Geschwindigkeit und Beschleunigung r---------------------, S
aT aN
-+
V
er
er; '--------------------------' K
s v=
rrjJ rijJ rrjJ2
m
11m m
ades Punktteilchens:
Bogenliinge Tangentialbeschleunigung Normalbeschleunigung Tangenten-Einheitsvektor Hauptnormalen-Einheitsvektor Kriimmung
Beispiel: Natiirliche Koordinaten der ebenen Kreisbewegung. Mit dem Kreisradius r = I/K = const und der Bogenliinge s
v= aT(t) =
11m
Kriimmung Kriimmungsradius Torsion (Windung) Torsionsradius
m
m/s2 m/s2
11m
= rrp folgt:
UN(t) = KV 2 = Bei ~ = -er ist dies die gleiche Darstellung wie mit ebenen Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten in x,y-Ebene mit () = 1C /2 = const oder Zylinderkoordinaten mit z = 0):
v
a=
veT = rrjJerp aTeT + aN~
= rijJerp - rrjJ2er
11
1 Axiome der Mechanik
• Einfache ebene Bewegungsvorgiinge in kartesischen Koordinaten Geschwindigkeit Beschleunigung Weg Bewegung r = xex + yey + zez = iex + yey + zez = :tex + jiey + zez
xxipvO
GJ
eZ
a
X = vo
x=O y=o z=o
L3
ex x = vot +xo y=o z=o
y
vo=conste ao=O
xo
v
y=o z=o
g1eichf"ormige geradlinige Bewegung
L3
-a0
,-
~xP
W
eZ _
ex
y vo=conste ao=const
xo
ao2 x = zt y=o z=o
X = aot + vo
+ vot + xo
x =ao y=o z=O
y=o z=O
g1eichmiiBig beschleunigte Bewegung -
ao=-g=const
."~~. zo[ Z,Z,z' , . f 1--5P a
_ e- z
x,x,x Xf ey schiefer Wurf im Schwerefeld ao=-g=const vo=const
f
z,z,i
zo
_ ez
L3
ex
!g e-y
x = vot cos a y=o 1 2 ' Z = -2gt +votsma +Zo z(x)
z
2
= - 2gt + vot + zo
x=O y=o z= -g
y=o z=-gt+vosina
= zo + x tan a -
x=o y=o 1
X = vocosa
gx2/(2v5 cos 2 a)
(Wurfparabel)
x=O y=o z=-gt+vo
x=O y=o z= -g
x=O y=O z = -gt
x=O y=O z= -g
gerader Wurf im Schwerefeld (a = '11:/2) aO=-g=const vO=O
~S. 11) fUr t ~ 0 eindeutig bestimmt.
1.3.2 Masse -1mpuls - Kraft NEWTON ordnet einem Punktteilchen eine trage Masse m zu (Massenpunkt). Der kinematische Impuls pet) hiingt von der Zeit t, Geschwindigkeit vet) und Masse m abo Das 2. NEwToN-Gesetz (Aktionsprinzip) formuliert den Determinismus der Mechanik:
I }jet) =
I~
F(r(t),p(t),t)
:,:s
kgmls N
•
Das Aktionsprinzip definiert die Kraft: 1. Urn den Impuls eines Teilchens zu iindern, bedarf es einer Kraft. 2. Andert sich der Impuls eines Teilchens, so kann man auf das Wirken einer Kraft schlieBen.
•
Diese Form des Aktionsprinzips gilt auch in der Speziellen Relativillitstheorie, I>S. 55.
•
FUr N Punktmassen mi hiingt die Kraft auf das i -te Teilchen von den Orten und Impulsen alier Teilchen abo Gesamtimpuls und Gesamtkraft sind Summen der Einzelimpulse und -krafte: ~
Pges
=
N ~
L Pi;
i=l
~
Pges
~
= F ges =
N ~ Fi.
L
i=l
1.4 Inertialsysteme - GALILEI-Relativitiitsprinzip - EINSTEIN-Postulat •
Inertialsysteme: AIle Bezugssysteme (I>S. 7), die sich mit gleichmaBiger Geschwindigkeit geradlinig (also nicht beschleunigt) zueinander bewegen.
•
Abgeschlossene Inertialsysteme: Inertialsysteme, bei denen Teilchen auBerhalb keinen Einfluss auf die Teilchenbewegung innerhalb des Systems haben.
•
GALILEI-Relativitatsprinzip: Die Naturgesetze haben unabhiingig von der Wahl des Inertialsystems in alien dieselbe Form, d. h. die Naturgesetze sind universell.
•
EINSTEIN-Postulat der spezieUen Relativitatstheorie: Die Transformation der Koordinaten zwischen zwei Inertialsystemen S und S' erfolgt mit der LORENTz-Transformation (I>S. 49).
2 NEwToN-Mechanik
13
2 NEwToN-Mechanik Die NEWTON-Mechanik betrachtet abgeschlossene Inertialsysteme. Die Geschwindigkeit der Teilchen in den Interialsystemen muss klein gegen die Lichtgeschwindigkeit Co sein.
2.1 NEWTON'sche Gesetze 2.1.1 GALILEI-Transformation -
NEWTON-Poslulat
• Allgemeine GALILEI-Transformation: Erhalt des euklidischen Abstands zweier Ereignisse:
'
I t,t'
r, r'
(dT')2 = (dT)2
· dt = dt
I
Zeit in System S und S' art in S und S'
s m
- Die GALILEI-Transformation definiert eine absolute Zeit, t' = t. - Drehungen gehoren zu den GALILEI-Transformationen. • Spezielle GALILEI-Transformation. Bewegt sieh S' mit gleiehfOrmiger Geschwindigkeit relativ zum Inertialsystem S und fallen deren Urspriinge zur Zeit t = 0 zusammen, so gilt: it Konstante RelativgeschwindigrnIs v'(t') = v(t)-u keitzwischenSundS' a' (t') a(t) ii, ii' Geschwindigkeit in S und S'
'-----
Beispiel:
-----' a, a'
u
Beschleunigung in S und S'
- Die Besehleunigung ist GALILEI-invariant; sie andert sich nieht unter einer speziellen GALILEI-Transformation. - Die Gesehwindigkeiten addieren sieh vektoriell (vektorielles Superpositionsprinzip). - Uberholt ein Auto (v= 100 km/h . ex) einen Lastwagen (v' = 80 km/h . ex), so betragt die Relativgesehwindigkeit ii = ~ = 20 km/h· ex.
v v'
• NEWTON-Postulat Die Naturgesetze iindem ihre Form nieht, wenn man die Koordinaten vom Inertialsystem S in das Inertialsystem S' mit Hilfe einer GALILEI-Transformation uberfiihrt.
2.1.2 Aktionsprinv,p (2. NEwToN-Geselz)
Die auf das Teilchen wirkende Kraft leitet sieh aus derselben Raumkurve abo Daher gilt F(r(t),v(t),t) = F'(r'(t'),v'(t'),t'). Aus dem NEWTON-Postulat und der Invarianz der Beschleunigung unter speziellen GALILEI-Transformationen folgt, dass Kraft und Beschleunigung proportional sein mussen. FUr Geschwindigkeiten, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit Co sind, lautet das 2. NEwToN-Gesetz (Aktionsprinzip):
F=ma F'=ma'
p=mv p'=mv'
F, F' Kraft in System S und S' p, p' Impuls in S und S' ii, ii' Geschwindigkeit in S und S'
N
kgrnls rnIs
Beispiel: Urn ein Teilehen der Masse m und der Winkelgesehwindigkeit CO() = rP = eonst auf einer = Kreisbahn mit dem Radius r = eonst zu halten, muss man die Zentripetalkraft F = 2 -> auf wenden. m ( -rrp·2-> er ) = -mmOrer
ma
14
B Mechanik
•
Die Proportionalitiitskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung ist die triige Masse. Nach der allgemeinen Relativitiitstheorie ist sie aquivalent zur schweren Masse m, die im Gravitationspotential auftritt, I>S. 17.
•
,,Kraft Masse·Beschleunigung" gilt nur fUr Geschwindigkeiten, die klein gegeniiber der Lichtgeschwindigkeit Co sind.
=
2.1.3 Schwerpunkt - EThaltung des Gesamtimpulses Der Schwerpunkt rs ist der Massenmittelpunkt eines Systems aus N Teilchen (Massen mi): N
.... 1 ~ .... TS = - L..JmiTi ms i=l
art des Schwerpunkts art des Teilchens i Masse des Teilchens i Gesamtmasse
N
mit
ms = Lmi i=l
m m
kg kg
F
O.
Die Gesamtkraft auf ein abgeschlossenes Inertialsystem (I>S. 12) verschwindet, ges = Daher bleibt der Gesamtimpuls erhalten, pges = O. Das Aktionsprinzip (I>S. 13) resultiert in der Impulserhaltung fUr den Schwerpunktsimpuls: PS = msfrs = pges ist in einem abgeschlossenen Inertialsystem mit N Teilchen konstant. Impuls des Schwerpunkts Impuls des Teilchens i Geschwindigkeit des Teilchens i Teilchenzahl
kgmls kgmls m1s
Beispiel: Zentraler Sto8 zweier Punktmassen. Eine Punktmasse (ml = 20 kg) trifft mit ih = VIex = 10 m/s . ex auf eine mit V2 = V2ex = -5 m/s . ex bewegte Punktmasse (m2 = 10 kg). Die Impulserhaltung Hefert nach einem vollplastischen Sto.f3 (gleiche Geschwindigkeiten = = Vi nach StaB) die gesuchte Geschwindigkeit Vi beider Massen: ... ... "'1"'1 "'1 I'" mivi +m2 v 2... 5 ... mivi + m2v2 = mlv 1 +m2v2 = canst::::} v = vex = ex = + m/s, ex· ml +m2 Der Schwerpunkt rs(t) bewegt sich geradlinig gleichfOrmig: m art des Teilchens i m 1 N ... rs ,ro art und Anfangsort des .... () .... () PSt TO .... TS t = - ~ L..JmiTi t = Schwerpunkts ms i=l ms ms Gesamtmasse kg L---.J ps Impuls des Schwerpunkts kgmls
vi vi
ri
+
Beispiel: 1st im obigen Beispiel der Schwerpunkt fUr t = 0 im Ursprung des Inertialsystems, folgt ro = O. Die Schwerpunktsbewegung wird dann durchrs(t) = pstlms = v't = 5 m/s.t.ex beschrieben.
2.1.4 Triigheitsprinzip (1. NEwToN-Gesetz) Aus der Erhaltung des Gesamtimpulses folgt fUr den Spezialfall eines einzelnen Massenpunktes:
1. NEwToN-Gesetz oder Triigheitsprinzip: Ein einzelner Massenpunkt im abgeschlossenen Inertialsystem bewegt sich geradlinig gleichf6rmig (also nicht beschleunigt).
l_r_(_t)_=_v_ ....o_t_+_ro
1
~o
art des Teilchens, r(t = 0) = ro Geschwindigkeit des Teilchens Zeit
m
m1s
Beispiel: Der Schwerpunkt der Sonne bewegt sich geradlinig gleichformig durch das Welta1l. Erst auf kosmologische Distanzen zeigt sich, dass die Sonne das Zentrum ihrer Galaxie (MilchstraBe) umkreist.
2 NEwToN-Mechanik
15
2.1.5 Reaktionsprinzip (3. NEwToN-Gesetz) Aus der Erhaltung des Gesamtimpulses folgt ffir den Spezialfall zweier Massenpunkte das dritte NEwToN-Gesetz oder Reaktionsprinzip (actio reactio): Die Kraft des ersten Teilchens auf das zweite ist umgekehrt zur Kraft des zweiten auf das erste. F"es Gesamtkraft N -+ -+ -+ -+ -+ ...p Fges = Fl + F2 = 0 oder Fl = - F2 ~1 Kraft auf das Teilchen 1 N · F2 Kraft auf das Teilchen 2 N
=
I
I
Beispiel: Zieht man auf einem zugefrorenen See mit ideal glatter Eisfliiche eine Person an einem Seil zu sich heran, iibt man die Kraft Fl auf die Person aus. Aufgrund von 'actio=reactio' wird man selbst ebenfalls mit der Kraft F2 = - F1 in Richtung der Person bescWeunigt.
2.2 Energie, Leistung und Arbeit, Drehimpuls und Drehmoment 2.2.1 Kinetische Energie - Leistung - Arbeit • Bewegt sich ein Teilchen der Masse m mit der Geschwindigkeit
I Ek == T = -mv 1 2 = _mr 1 ·2 2 2 Beispiel:
v, ist die kinetische Energie:
I '!!E" T Masse """"""'" EMS. 14, ist die Summe der kinetischen Energien vor dem StoB groBer als die kinetische Energie nach dem StoB: 1 ~2 1 k:J ,Ek,2=Zm2v2= 1 ~2 125 JundEk,2=Zml+m2v ' 1( )~'2 = 375 J. Ek,I=Zmlv1=
- Kinetische Energie Ek in verschiedenen Koordinatensystemen (TabeUe).
Zy linderkoordinaten
Kartesische Koordinaten E k=2 m (,2 x + Y·2 + z.2) x,y,z Kartesische Koordinaten r,(),rp Kugelkoordinaten
Ek =
~ (~2 + flif} + Z2) m m,rad
Kugelkoordinaten Ek =
~ (;-2+ r 2(,P + (r SinO)2¢J2)
o.,rp,z Zylinderkoordinaten Masse m
m,rad,m kg
• Die Leistung P ist die zeitliche A.nderung der kinetischen Energie. P ist positiv, wenn die kinetische Energie des Teilchens zunimmt (Teilchen nimmt Energie aut): P Leistung W dE ~. P ( ) _ _k _ -+_ F 1-+1 F Kraft auf das Teilchen N t - dt V T V FT Tangentialkraft zur Raumkurve N I I v Geschwindigkeit des Teilchens mls
F.
Beispiel:
- Eine Kraft FN senkrecht zu 0 iindert nicht die kinetische Energie der Masse, da P(t) = O. Ebene Kreisbewegung der Masse m. Die Zentripetalkraft F = -mwarer ist senkrecht zu 0/101 = erp, iindert die Richtung, nicht aber die kinetische Energie: eo. . erp = 0 ::::} P(t) = O.
• Die A.nderung der kinetischen Energie im Zeitraum tl bis t2 ist die an m verrichtete Arbeit: t2
t2
W = f P(t)dt = fF.vdt t1
=
f F·dT C
Beispiel:
t1
s
=
f FTds' 0
P
F FT
v s
C
Leistung Kraftfeld auf der Raumkurve C Tangentialkraft zur Raumkurve Geschwindigkeit des Teilchens Bogenliinge der Raumkurve C Raumkurve zwischen tl und t2
W
N N mls m
- W < 0 bedeutet, dass das Teilchen auf seiner Balm die Arbeit IWI verrichtet hat. - Fiir eine konstante Tangentialkraft gilt W = FT s: ,,Arbeit ist gleich Kraft mal Weg".
B Mechanik
16
2.2.2 Potential- potentielle Energie - Energiesatz der Mechanik • Ein Potential oder die potentieUe Energie rp (I) existiert am Ort r fUr ein Teilchen, wenn fUr alle geschlossenen Raumkurven C die verrichtete Arbeit W = 0 ist. Die zugehOrige Kraft Fist die raumliche Anderung der potentiellen Energie:
I
-+ -+
-+
-+
-+
F(r) = -gradrp(r) = -Vrp(r) =
am (T\ -aT
Potential (auch: E p , Epot, U, V) J=Nm Kraftvektor N NABLA-Operator, Gradientenoperator m- 1 V = a/ax + a/ay + a/az
I!
-------------------
Beispiel:
- Freier Fall. Auf ein Masseteilehen m im Sehwerefeld der Erde wirkt die Gravitationskraft:
F~g
--
(II(z)
Rj
Vrp --
-
(0l ~ + 0l ~ + 0l ~ ) -ox ex oy ey OZ ez
~ -- -mg ez· ~ - 0l OZ ez
mgz fUr kleine Bereiche nahe der Erdoberflache; g Fallbeschleunigung; z Rohe.
- Die Arbeit ist wegunabhiingig; sie hiingt nieht vom Verlauf der Raumkurve,ab, sondem nur vom Wert des Potentials am Anfangs- und Endpunkt: W = rp(r{tl» - rp(r{t2)). - Das Kraftfeld ist wirbelfrei, denn
• Energiesatz der Mechanik: 1st F =
V x F = rot F = -(V x V) rp(T) = O.
-V rp (r), gilt die Erhaltung der mechanischen Energie: E Ek Ep
dE -=0 dt
Energie des Teilchens Kinetische Energie (auch: Ekin, T) Potentielle Energie (auch: (II, U, V)
J J J
In der theoretischen Physik schreibt man: E = T(;(t» + U(r(t» = const. Allgemeiner Energiesatz fUr beliebige Energieformen (z. B. Warmeenergie, elektrische Energie): Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant. Beispiel: Fiillt eine Miinze von m = 10 g Masse aus h = 50 em Hohe auf den Erdboden (Luftreibung vemachliissigt), dann wird die potentielle Energie E p = mgh ~ 0,049J bis zum Aufsehlag vollstiindig in kinetisehe Energie Ek (v ~ 3.13 m/s) umgewandelt.
2.2.3 Drehimpuls - Drehmoment • Der Drehimpuls L (auch: DralT) eirles Teilchens und das Drehmoment M auf ein Teilchen bezliglich des Ursprungs eines Bezugssystems sind definiert als: L(t)
r
p F
r(t) x p(t) -+
l M
M(t) = dL(t) = r(t) x ht) dt Beispiel:
--
- Das Drehmoment ist die zeitliehe Ableitung des Drehimpulses Kraft die zeitliehe Ableitung des Impulses ist F = ~. - Dreh- und Linearbewegung im Vergleieh (Tabelle).
Linearbewegung (Translation)
l(t)
F
m
kg rnIs N kg m 2/s Nm
genauso wie die
= r(t) x p(t)
M(t) =
Impuls Kraft Masse
if = l,
m
Drehbewegung (Rotation)
p(t) = mv(t) F(t) = p(t)
e
Ort des Teilchens Impuls des Teilchens Kraft auf das Teilchen Drehimpuls des Teilchens Drehmoment auf das Teilchen
kgm/s N kg
• Drehimpulserhaltung. Flir Zentralkriifte L(t) = L = const , denn r x F = O.
L(t) = r(t) x F(t)
l M
F(r) =
Drehimpuls Drehmoment Ort des Teilchens
e
kgm2/ S Nm m
F (r) r bleibt der Drehimpuls erhalten:
2 NEwToN-Mechanik
17
2.3 Arten von Kraften 2.3.1 Grunilkriifte
Die vier Grundkrafte, die die Elementarteilchen als Wechselwirkung aufeinander ausfiben, lassen sich aus einem Potential herleiten: • GravitatioDSwechselwirkung: zwischen allen Teilchen • Elektromagnetische Wechselwirkung: zwischen elektrisch geladenen Teilchen • Starke Wechselwirkung: zwischen Teilchen mit einer Farbladung (Quarks) • Schwache Wechselwirkung: zwischen Teilchen mit einer schwachen Ladung (Leptonen, Quarks) Grundkrlifte sind Zweiteilchen-Wechselwirkungen: die gesamte Wechselwirkung eines Systems von N Teilchen ist die Summe aller Paarwechselwirkungen. Mechanisch relevante Grundkrafte sind die Gravitationskraft und die LORENTZ-Kraft.
2.3.2 Abgeleitete Kriifte Keine Grundkrafte sind:
•
Scheinkriifte treten in Bezugssystemen auf, die sich beschleunigt gegen die Inertialsysteme bewegen (z.B. die Fahrstuhlkraft, die Fliehkraft, die CORIOLls-Kraft). • Zwangskriifte resultieren aus der Reduktion eines Vielteilchensystems auf ein effektives mechanisches System mit wenigen Freiheitsgraden (zum Beispiel bei der Achterbahnfahrt). • Reibungskriifte erscheinen - wie die Zwangskrafte - bei der Reduktion eines Vielteilchensystems auf ein effektives mechanisches System mit wenigen Freiheitsgraden (zum Beispiel beim allmlihlichen Abbremsen eines auf einer rauen Unterlage bewegten Gegenstandes).
2.3.3 Konservative unil dissipative Kriifte
•
Konservative Kriifte verlindern die mechanische Energie eines Systems nicht. Beispiel: Die Zentripetalkraft der ebenen Kreisbewegung ist konservativ, da sie die rein kinetisehe Energie des Systems nieht lindert.
• Dissipative Kriifte verringern die mechanische Energie eines Systems. Beispiel: Reibungskrlifte, die einen bewegten Korper zur Ruhe bringen.
2.4 Gravitationskraft 2.4.1 NEWTON'sches Gravitationsgesetz -
Gravitationspotential
Eine Punktmasse m2 fibt eine Anziehungskraft auf eine Punktmasse m 1 aus: ,-
Kraft auf das Teilchen 1 Orte der Teilchen 1 und 2 ml,2 Massen der Teilchen G Gravitationskonstanle G RJ 6,673.10- 11 m 3 /(kg s2)
-, Fl
;1,;2
N
18
B Mechanik
Gravitationskraft zwischen zwei Massen m 1 und mz im Abstand r = Ir1 - rzl: ....
IFI =
m1 mZ
I F
G --z-
r G
r
I
Anziehungskraft (Massenml,2) Abstand der Schwerpunkte Gravitationskonstante
N m m 3/(kg s2)
A
Die Gravitationskraft ist wegunabhiingig; sie hangt vom Abstand r1 - rz ab, nicht aber von fr 1 oder fr z und kann aus dem Gravitationspotential rp (r = r1) der Masse mz hergeleitet werden: .... mz r,r2 art des Teilchens 1, Teilchens Z m A(r) = m1 (-vrp(r)) rp(r) = -G.... .... rp Gravitationspotential m 2/s2 Ir - rzl G Gravitationskonstante m 3/(kgs2)
'-----
• •
---.J
Das Gravitationspotential ist eine Eigenschaft des Massenpunkts mit Masse mz, das heiBt, sie ist unabhangig von der Anwesenheit anderer Punktmassen. Das NEwToN-Gravitationsgesetz istforminvariant unter GALILEI-Transformationen. Die allgemeine Relativitatstheorie von EINSTEIN ist forminvariant unter (lokalen) LORENTZ-Transformationen und reduziert sich auf das NEwToN-Gravitationsgesetz im Grenzfall kleiner Massen und Geschwindigkeiten.
2.4.2 Gravitationspotential einer Massenverteilung
Das Gravitationspotential rp einer Ansammlung von N Massenpunkten (i = 1,2, ... ,N) ist: rp
ri mj
Beispiel: Eine Kugel mit der homogenen Massendichte QO
rp(r?:.R)
=
=-
rp(r)
3mj(41f R 3) hat das Potential
Grm, rp(r$.R)
Gravitationspotential Ortsvektor des i-ten Teilchens Masse des i-ten Teilchens Massendichte im Vo1umen V Dreidimensionale 15- Distribution Gravitationskonstante
= _GRm (it
m2 /s2 m
kg kg/m3 m- 3 m 3 /(kgs2)
R r
1st die Gesamtmasse m kugelsymmetrisch urn em Zentrum angeordnet, gilt rp(r ?:. R) -Gmjr. r Radialabstand m R Kugelradius m m Masse der Kugel kg lIo Massendichte der Kugel kg m 3 rp Gravitationspotential m2/s2 G Gravitationskonstante m 3/(kg s2)
=
2.4.3 GALILEI-Fallgesetz
r e
In der Rohe h tiber der Erdoberflache ist der Abstand vom Erdmittelpunkt = r (1"E + h). Nahe der Erdoberftache gilt rp (h) ~ - GmE/ 1"E +G(mE/ r~)h. Die Kraft auf einen Korper der Masse m
e
ist daher F = -m a~~h) r • Ohne Reibung fallen alle Korper mit derselben ort1ichen Fallbeschleunigung g. Die Fallbeschleunigung des Korpers ist auf den Erdmittelpunkt gerichtet und vom Betrag: G mE
g =
I
m
--z~ 9,812" r S E
g 1"E mE
IG
Fallbeschleunigung Erdradius: Erdmasse: Gravitationskonstante
6378.103 m 5,98.1024 kg m 3/(kgs2)
3 Aspekte der technischen Mechanik
19
Die Masse der Erde ist nicht perfekt kugelsymmetrisch verteilt; sie rotiert und ist der Gravitation des Mondes und der anderen Himmelskorper ausgesetzt. Die lokale Fallbeschleunigung weicht daher von der NormaIfallbeschleunigung gn = 9,80665 m/s2 abo Beispiel: gn ist der international vereinbarte ortsunabhiingige Standardwert der Fallbeschleunigung bei der geographischen Breite 45° , 32', 33" auf Meereshohe. In Miinchen: g = 9,80733 m/s 2, am Nordpol: 9,83221 m/s2, am Aquator: 9,78049 m/s2 .
2.5 LORENTz-Kraft und LORENTz-Potential Die elektrische Feldstiirke ECT,t) und magnetische Flussdichte BCT,t) bewirken die von Ort Geschwindigkeit; und Ladung q des Teilchens abhangige LORENTZ -Kraft FL(r,;,t): FL q
A = q (E + vx B)
~
I·- - - - - - - - - - - - - - - - - - -I Ejj -+
-+
LORENTZ-Kraft Ladung des Teilchens Geschwindigkeit des Teilchens Elektrische Feldstiirke Magnetische Flussdichte
r,
N
C rnIs Vim T
-+-+
• Der zu B proportionale Anteil Fm = qv x B der LORENTZ-Kraft steht senkrecht zur Geschwindigkeit (Fm . V = 0). Daher andert er die kinetische Energie des Teilchens nicht. Beispiel: Elektron im Magnetfeld. Ein Elektron im statischen B-Feld beschreibt eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit rP = COO = Belm (LARMoR-Frequenz). Die kinetische Energie von Elektronen, die durch eine kleine Spaunungsdifferenz U beschleunigt worden, ist 1mv2 = eU, so dass sich aus dem gemessenen Balmradius r = vlcoo das Verhiiltnis elm = 2Ul(r 2 B 2 ) ergibt. FUr Potentialdifferenzen von einigen keV werden relativistische Effekte wichtig.
q,
Aus dem V~ktorp