Physics For Scientists & Engineers (Ελληνική έκδοση σε τέσσερεις τόμους) [τ. I - IV, 3rd ed.] [PDF]

Zitiervorschau

ΤΟΜΟΣ I ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΣΕ ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ ΤΟΜΟΥΣ ΤΟΜΟΣ

I

ΜΗΧΑΝΙΚΗ (περιλαμβάνει και την ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ)

ΤΟΜΟΣ

II

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ

ΤΟΜΟΣ

III

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ - ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΤΟΜΟΣ

IV ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

PHYSICS For Scientists & Engineers with Modern Physics Third edition

Raymond A. Serway James Madison University

Φ SAUNDERS G OLDEN SUNBURST SERIES Saunders College Publishing Philadelphia F ort W orth Chicago San Francisco M ontreal Toronto London Sydney Tokyo

Copyright © 1990, 1986, 1983 by Raymond A. Serway. Translation Copyright © (1990) by Raymond A. Serway. All rights reserved. Κοπυράιτ © 1990, 1986, 1983, Raymond A. Serway. Κοπυράιτ μετάφρασης © (1990) Raymond A. Serway. Διατηρούνται όλα τα δικαιώματα Εξώφυλλο: © THE EXPLORATORIUM S. Schwartzenberg Απαγορεύεται να αναπαραχθεί η Ελληνική μετάφραση σε οποιαδήποτε μορφή είτε ολόκληρη είτε κατά μέρος χωρίς την γραπτή άδεια τού υπευθύνου τής Ελληνικής έκδοσης Λ. Κ. Ρεσβάνη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή τού Λ. Κ. Ρεσβάνη.

Κεντρική διάθεση: Βιβλιοπωλείο Γ. ΚΟΡΦΙΑΤΗ, Ιπποκράτους 6, Αθήνα 106 79, τηλ. 3628.492.

Υπεύθυνος παραγωγής: Α. Μαντενιώτης Φωτοστοιχειοθεσία: ΦΩΤΟΣΕΤ Ε.Π.Ε., τηλ. 8064.053 - 8051.880 Αναπαραγωγές - Μοντάζ: ΤΕΧΝΟΜΑΝ Ο.Ε., τηλ. 8067.037 - 8065.377

S

E

R

W

A

Υ

Α Π Ο Δ Ο ΣΗ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ

ΛΕΩΝΙΔΑ Κ. ΡΕΣΒΑΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ

FOR SCIENTISTS & ENGINEERS

ΤΟΜΟΣ I ΜΗΧΑΝΙΚΗ THIRD EDITION

Το πόνημά μ ο ν αυτό, τό αφιερώνω στη μνήμη τών γονέων μον, 'Ελλης και Κυριακούλη

Πρόλογος τής ελληνικής έκδοσης Αγαπητέ αναγνώστη, Το σύγγραμμα τού Serway είναι, κατά τον υπογράφοντα, το πιο καλογραμμένο βιβλίο Γενικής Φυσικής τής διεθνούς βιβλιογραφίας. Γι’ αυτό αποφασίσαμε την έκδοσή του στα Ελληνικά, παρ’ όλο που σήμερα κυκλοφορούν στη γλώσσα μας αξιόλογα δείγματά της. Ο Serway κατόρθωσε να ενσωματώσει στο σύγγραμμά του (τρίτη έκδοση, 1990) τις αλματικές προόδους που σημειώθηκαν στη Φυσική την τελευταία εικοσαετία. Συνέθεσε τις νέες ανακαλύψεις τής επιστήμης αυτής με την ύλη τού παραδοσιακού μαθήματος τής Γενικής Φυσικής με τρόπο απλό και μεθοδικό. Χρησιμοποιώντας παραδείγματα από τις εμπειρίες τής καθημερινής μας ζωής κατόρθωσε να καταστήσει σαφή την ενότητα τής Γενικής Φυσικής, παρέχοντας ταυτόχρονα στον αναγνώστη την ικανοποίηση που αισθάνεται κανείς όταν κατανοεί σε βάθος βασικές έννοιες, τις οποίες μπορεί να χρησιμοποιήσει. Για τον λόγο αυτό το βιβλίο του είναι το πιο διαδεδομένο και αγαπητό σύγγραμμα Γενικής Φυσικής στα πανεπιστήμια και στα πολυτεχνεία τών ΗΠΑ. Ο συγγραφέας χρησιμοποίησε αποτελεσματικά τις δυνατότητες «φιλτραρίσματος», ανατροφοδότησης και κριτικής τής ύλης και τού τρόπου παρουσίασής της που τού έδωσαν οι πολλές εκατοντάδες αμερικανικών πανεπιστημίων τα οποία χρησιμοποίη­ σαν το σύγγραμμα από το 1983, έτος κατά το οποίο κυκλοφόρησε η πρώτη έκδοσή του. Έτσι, σήμερα (1990), η τρίτη έκδοση που παρουσιάζουμε και η οποία μόλις κυκλοφόρησε στην Αμερική είναι καρπός πολυετούς επίπονης προσπάθειας για αξιοποίηση τών σχολίων και προτάσεων τόσο τών διδασκόντων όσο και τών διδασκομένων που χρησιμοποίησαν την πρώτη (1983) και τη δεύτερη (1986) έκδοση. Εξάλλου, ο Serway βελτίωσε σημαντικά τον τρόπο παρουσίασης τής ύλης τού μαθήματος τής Γενικής Φυσικής. Το εμπλούτισε με 400 παραδείγματα —που είναι λυμένα κατά τρόπο υποδειγματικό— παρμένα από την καθημερινή ζωή και τα οποία αφ’ ενός βοηθούν τον φοιτητή να διασαφήσει διάφορες έννοιες και, αφ’ ετέρου, τού κάνουν γνωστές τις εφαρμογές τής Φυσικής στις άλλες επιστήμες. Τις περισσότερες φορές, ο συγγραφέας συνοδεύει τα παραδείγματα με σχετικές ερωτήσεις που δίνουν στον αναγνώστη τη δυνατότητα να εισχωρήσει ακόμη πιο βαθιά στην κατανόηση τού αντίστοιχου θέματος. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου γίνεται ανακεφαλαίωση τών σπουδαιότερων εννοιών και εξισώσεων και ακολουθεί μια σειρά ερωτήσεων (περί τις 1.100 συνολικά), που βοηθούν τον φοιτητή να διαπιστώσει μόνος του τί κατανόησε και πόσο βαθιά αφομοίωσε τη σχετική ύλη. Επίσης, στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν, συνολικά, 3.300 προβλήματα που αφήνονται στην προαίρεση τού αναγνώστη να τά λύσει μόνος του. Τα προβλήματα αυτά είναι βαθμονομημένα σε κλίμακα δυσκολίας. Εξάλλου, σε καίρια σημεία τού συγγράμματος υπάρχουν οδηγίες και υποδείξεις για τη στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει ο φοιτητής κατά την επίλυση τών προβλημάτων. Ό λα αυτά επιτυγχάνονται με έναν σύγχρονο τρόπο παρουσίασης τής ύλης. Εκτός από τα 1.800 σχήματα και φωτογραφίες που περιέχονται στο βιβλίο, υπάρχουν στο περιθώριο τών σελίδων σημειώσεις που υπογραμμίζουν τα αντίστοιχα μέρη τού κειμένου. Αρκετά από τα προβλήματα αυτά λύνονται με προγραμματιζόμενη αριθμομηχανή ή με υπολογιστή καθώς και με προγράμματα spreadsheet. Επί πλέον, υπάρχουν 17 δοκίμια γραμμένα από ειδικούς, τα οποία ξεφεύγουν από την πεπατημένη τού παραδοσιακού μαθήματος τής Γενικής Φυσικής και οδηγούν τον αναγνώστη στο πραγματικό μέτωπο τής σύγχρονης έρευνας, δίνοντάς του «μια γεύση» τού μεγαλείου τής Φυσικής. Ξεναγούν τον αναγνώστη σε τομείς, όπως είναι τα προβλήματα κλίμακας, που αγνοούσε ο Jonathan Swift όταν έγραφε το βιβλίο του για τα ταξίδια τού Γκιούλιβερ στην χώρα τής Λιλλιπούτης, και στα μυστικά τής Γενικής θεωρίας τής Σχετικότητας και τού Big Bang, τών βαρυτικών φακών, τών μελανών οπών και τού Χ-1 τού Κύκνου. Τέλος, το μέρος τού συγγράμματος που είναι αφιερωμένο στη Σύγχρονη Φυσική καλύπτει θέματα που εκτείνονται από την εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική έως τη θεωρία τής Υπεραγωγιμότητας, τα Στοιχειώδη Σωματίδια και την Κοσμολογία. Το μαθηματικό επίπεδο τού συγγράμματος είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να τό παρακολουθεί εκείνος που μελετά παράλληλα το μάθημα τού Απειροστικού Λογι­ σμού.

X

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η γλώσσα που χρησιμοποίησε ο συγγραφέας είναι καθαρή, γλαφυρή και διόλου φορμαλιστική. Προσπαθήσαμε να διατηρήσουμε, όσο ήταν δυνατόν, τα στοιχεία αυτά και στην ελληνική απόδοση τού κειμένου. Αυτές οι βασικές αρετές, καθώς και άλλες τις οποίες θα διαπιστώσει ο αναγνώστης μόνος του, κάνουν το σύγγραμμα τούτο να ξεχωρίζει από τα άλλα και αποτέλεσαν τον πυρήνα τού σκεπτικού για την ανάγκη τής έκδοσής του και στα Ελληνικά. Η ελληνική έκδοση θα ολοκληρωθεί σε τέσσερεις τόμους: 1. 2. 3. 4.

Μηχανική (περιλαμβάνει και την Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας) Ηλεκτρομαγνητισμός θερμοδυναμική - Κυματική - Οπτική, και Σύγχρονη Φυσική

Δυστυχώς, η ελληνική πραγματικότητα δεν μάς επιτρέπει την εκτύπωση τού βιβλίου σε τετραχρωμία, όπως είναι η τρίτη αμερικανική πολυτελής έκδοση τού 1990! Ωστόσο, ας μάς επιτραπεί να ελπίζουμε ότι και η ελληνική έκδοση δεν υστερεί σε ποιότητα. Η ποιότητα τής ελληνικής έκδοσης οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στις άοκνες προσπάθειες δύο στενών συνεργατών μου, τους οποίους ευχαριστώ θερμά: τού φυσικού κ. Ι.Κ. Παπαδόδημα, ο οποίος έκανε κριτική ανάγνωση τού ελληνικού χειρογράφου και, επί πλέον, μετέφρασε όλα τα προβλήματα, καθώς και το Μαθηματικό Παράρτημα, και τού φιλολόγου και εραστή τής Φυσικής κ. Βίκτ. Α. Αθανασιάδη, ο οποίος έφερε το βάρος τής επιμέλειας τής έκδοσης. Ευχαριστώ επίσης τη διεύθυνση και το προσωπικό τής ΦΩΤΟΣΕΤ ΕΠΕ για την άριστη στοιχειοθέτηση τού τόμου αυτού. Τέλος, ευχαριστώ για τη βοήθειά τους την κυρία Ellen Newman τής Saunders College Publishing και τον καθηγητή R. A. Serway. θ α ήμουν, όμως, ασυνεπής εάν δεν ευχαριστούσα δημόσια την σύζυγό μου Φράνσις - Ινώ για την τεχνική βοήθειά της και για τη θερμή συμπαράσταση που μού παρέσχε ώστε το πόνημα τούτο να δει το φως τής δημοσιότητας. Παρά τις μεγάλες προσπάθειες όλων μας, η πρώτη αυτή ελληνική έκδοση θα έχει ίσως λάθη και ατέλειες. Παρακαλώ λοιπόν τους αναγνώστες που είναι πιο προσεκτι­ κοί από εμένα να μού τά κάνουν γνωστά ώστε να διορθωθούν πριν από τη δεύτερη έκδοση τού έργου. Λεωνίδας Κ. Ρεσβάνης

Αθήνα, Δεκέμβριος 1990

Πρόλογος Το σύγγραμμα τούτο καλύπτει το μάθημα τής Γενικής Φυσικής και απευθύνεται προς τους φοιτητές τών φυσικομαθηματικών και των πολυτεχνικών σχολών τών πανεπιστη­ μίων. Η παρούσα έκδοση ξεπερνάει τα στενά όρια τού παραδοσιακού μαθήματος τής Γενικής Φυσικής και περιέχει επτά επί πλέον κεφάλαια που καλύπτουν επιλεγμένα θέματα τής Σύγχρονης Φυσικής. Προσθέσαμε την ύλη αυτή προκειμένου να αντιμετω­ πιστούν οι ανάγκες τών πανεπιστημίων τα οποία θεωρούν χρήσιμο να διδάξουν νωρίτερα τις βασικές έννοιες τής Κβαντικής Φυσικής και τις εφαρμογές της στην Ατομική και Μοριακή Φυσική, στη Φυσική τών Στερεών και στην Πυρηνική Φυσική, καθώς και στη Φυσική τών Στοιχειωδών Σωματιδίων μαζί με την Κοσμολογία. Το σύγγραμμα στο σύνολό του μπορεί να διδαχθεί σε τρία εξάμηνα, αλλά είναι δυνατόν η διδασκαλία να γίνει και σε μικρότερο χρονικό διάστημα εάν ο διδάσκων παραλείψει ορισμένα κεφάλαια και υποκεφάλαια. Η ιδεώδης μαθηματική προετοιμα­ σία τού φοιτητή που μελετά το σύγγραμμα θα ήταν ένα εξάμηνο Απειροστικού Λογισμού. Εάν αυτό δεν είναι δυνατό, τότε ο φοιτητής πρέπει να παρακολουθήσει ταυτόχρονα το μάθημα τής εισαγωγής στον Απειροστικό Λογισμό. ΣΚΟΠΟΙ Δύο είναι οι κύριοι σκοποί στους οποίους στοχεύει σε ό,τι αφορά τον φοιτητή το σύγγραμμα τούτο: (1) να παρουσιάσει με σαφήνεια και με λογική αλληλουχία τις βασικές έννοιες και αρχές τής Φυσικής· και (2) να βοηθήσει τον αναγνώστη να εμπεδώσει την κατανόηση τών εννοιών και τών αρχών αυτών μέσω μιας πληθώρας ενδιαφερόντων παραδειγμάτων από την καθημερινή ζωή και από τον πραγματικό κόσμο, τον κόσμο στον οποίο ζούμε. Για να καταστεί δυνατή η επίτευξη τών σκοπών αυτών, έχω δώσει ιδιαίτερη έμφαση στην ατράνταχτη φυσική επιχειρηματολογία, ταυτόχρονα όμως προσπαθώ να κινήσω το ενδιαφέρον τού αναγνώστη με την παράθεση παραδειγμάτων που έχουν πρακτική εφαρμογή και δείχνουν την επίδραση τής Φυσικής στις άλλες επιστήμες. ΠΕΡΙΕΧ ΟΜ ΕΝΑ Η ύλη που καλύπτει το σύγγραμμα αναφέρεται σε θέματα τής Κλασικής και τής Σύγχρονης Φυσικής. Το βιβλίο χωρίζεται σε 6 βασικά μέρη. Το Μέρος 1 (κεφάλαια 1-15) αναφέρεται στη Θεμελιώδη Νευτώνεια Μηχανική και στη Φυσική τών Ρευστών· το Μέρος 2 (κεφάλαια 16-18) καλύπτει την Κυματική και την Ακουστική- στο μέρος 3 (κεφάλαια 19-22) εξετάζεται η Θερμότητα και η Θερμοδυναμική· το Μέρος 4 (κεφάλαια 23-34) αναφέρεται στον Ηλεκτρισμό και στον Μαγνητισμό· το Μέρος 5 (κεφάλαια 35-38) καλύπτει την Οπτική· τέλος, στο Μέρος 6 (κεφάλαια 39-40) περιγράφει την Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας, την Κβαντική Μηχανική και επιλεγμένα κεφάλαια τής Σύγχρονης Φυσικής. Οι περισσότεροι, καθηγητές θα συμφωνήσουν στο ότι το προτεινόμενο από τον διδάσκοντα βιβλίο ενός μαθήματος πρέπει να παίζει τον ρόλο κύριου «οδηγού» τού φοιτητή για την κατανόηση και αφομοίωση τού γνωστικού αντικειμένου. Ένα τέτοιο σύγγραμμα πρέπει να είναι εύληπτο και η οργάνωσή του πρέπει να διευκολύνει τη διδαχή τού θέματος. Έχοντας υπ’ όψιν τα παραπάνω, περιέλαβα στο βιβλίο πολλές παιδαγωγικές συνιστώσες, με σκοπό τη διευκόλυνση όχι μόνο τού διδασκομένου αλλά και τού διδάσκοντος. Οι συνιστώσες αυτές είναι οι ακόλουθες: Οργάνωση τής ύλης Το σύγγραμμα χωρίζεται σε έξι μέρη: Μηχανική, Κυματική και Ακουστική, Θερμότητα και Θερμοδυναμική, Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Οπτική και, τέλος, Σύγχρονη Φυσική. Για κάθε μέρος υπάρχει μια συνοπτική ανασκόπηση τής ύλης και ορισμένα σχόλια ιστορικής φύσεως. Ύ φος Προσπάθησα να γράψω το βιβλίο σε ύφος λιτό, στρωτό, ζωντανό. Για να διαβάζεται το κείμενο όσο το δυνατόν πιο ευχάριστα και να έλκει τον αναγνώστη, δεν τό έγραψα σε γλώσσα αυστηρά τυπική, αλλά στην επιστημονική «καθομιλουμένη». Έχω, πάντως, ορίσει προσεκτικά τους νέους όρους και επιδίωξα να αποφύγω την «αργκό» τού επαγγέλματος. Εισαγω γές Τα περισσότερα κεφάλαια έχουν δική τους εισαγωγή, με σχόλια για το αντικείμενο τού κεφαλαίου. Σημαντικά σχόλια, ορισμοί και εξισώσεις Τονίζω τα πιο πολλά σημαντικά σχόλια και τους περισσότερους ορισμούς, που είναι τυπωμένα με έντονα (παχέα)

στοιχεία. Αυτό διευκολύνει την γρήγορη επανάληψή τους. Οι πιο σημαντικές εξισώσεις ξεχωρίζουν διότι είναι σκιασμένες. Σημειώσεις στο περιθώριο Για να μπορεί κανείς να βρει γρήγορα τις κυριότερες εξισώσεις και έννοιες, υπάρχουν στα περιθώρια σχετικές σημειώσεις. Εικονογράφηση Για να ενισχυθεί η διδακτική αποδοτικότητα τού συγγράμματος, το κείμενο συνοδεύεται από μεγάλο αριθμό σχημάτων, διαγραμμάτων, εικόνων και πινάκων. Μ αθηματικό επίπεδο Η χρήση τού Απειροστικού Λογισμού στο βιβλίο γίνεται βαθμιαία και μεθοδικά. Και τούτο διότι δεν ήταν δυνατόν να αγνοηθεί το γεγονός ότι πολλοί αναγνώστες δεν έχουν ευχέρεια στη χρήση τού Απειροστικού Λογισμού και τόν μελετούν παράλληλα με το σύγγραμμα. Η απόδειξη τών βασικών εξισώσεων γίνεται σταδιακά, σε πολλά «βήματα», και ο αναγνώστης παραπέμπεται κάθε φορά στο μαθηματικό παράρτημα που υπάρχει στο τέλος κάθε τόμου. Το διανυσματικό γινόμενο εισάγεται για πρώτη φορά στο Κεφάλαιο 11, που αναφέρεται στη δυναμική τής περιστροφικής κίνησης, ενώ το εσωτερικό γινόμενο εισάγεται με το Κεφάλαιο 7 κατά τη μελέτη τού θέματος «'Εργο και ενέργεια». Π αραδείγματα 'Εχουμε συμπεριλάβει στο κείμενο 394 λυμένα παραδείγματα, στην προσπάθεια να γίνει η ύλη κατανοητή όσο το δυνατόν ευκολότερα. Αυτό, βεβαίως, οδήγησε στην αύξηση τού όγκου τού βιβλίου κατά 10% σε σχέση με τη δεύτερη έκδοση. Τις περισσότερες φορές τα λυμένα αυτά παραδείγματα μπορούν να αποτελέσουν «μοντέλο» για την επίλυση τών προβλημάτων που παρατίθενται στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Τα παραδείγματα καθώς και οι σχετικές λύσεις είναι μέσα σε πλαίσιο. Στα περισσότερα παραδείγματα έχουν δοθεί τίτλοι που περιγράφουν το περιεχόμενό τους. Ασκήσεις τών παραδειγμάτων Τα περισσότερα λυμένα παραδείγματα ακολου­ θούνται από ασκήσεις στις οποίες δίνονται απαντήσεις. Σκοπό έχουν να αυξήσουν την αυτενέργεια τού αναγνώστη και να τόν κάνουν να ελέγξει γρήγορα εάν αφομοίωσε το αντίστοιχο θέμα· και αποτελούν ένα είδος θεματικής επέκτασης τού παραδείγματος τού οποίου έπονται. Μ ονάδες Χρησιμοποιούμε το Διεθνές Σύστημα μονάδων (SI). Μόνο σε μερικά κεφάλαια (τής Μηχανικής και τής Θερμότητας και Θερμοδυναμικής) χρησιμοποιούμε σε μικρή έκταση το Βρεταννικό Σύστημα. Β ιογραφικά σημειώματα Για να υπάρξει μια ιστορική σύνδεση ανάμεσα στους κυριότερους σταθμούς εξέλιξης τής Φυσικής, δίνονται σε σύντομα σημειώματα βιογραφικά στοιχεία για σημαντικούς επιστήμονες. Στρατηγική λύσης προβλημάτων Στην τρίτη έκδοση έχουν συμπεριληφθεί γενικές οδηγίες για τη λύση τών ασκήσεων τών παραδειγμάτων και τών προβλημάτων που υπάρχουν στο τέλος κάθε κεφαλαίου. Ελπίζω ότι αυτό θα βοηθήσει τους αναγνώστες να ακολουθήσουν σωστό δρόμο προκειμένου να λύσουν ένα πρόβλημα. Ανακεφαλαίωση Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει περίληψη που αναφέρεται στις βασικότερες έννοιες και εξισώσεις τού αντίστοιχου κεφαλαίου. Ερωτήσεις Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτήσεις. Το πλήθος τους (1 085 συνολικά) είναι αυξημένο κατά 50% σε σύγκριση με τη δεύτερη έκδοση. Στόχος τών περισσότερων ερωτήσεων είναι να βοηθηθεί ο αναγνώστης ώστε να διαπιστώσει ο ίδιος κατά πόσον έχει αφομοιώσει την ύλη τού αντίστοιχου κεφαλαίου, ενώ άλλες μπορεί να αποτελέσουν τη βάση για ενδιαφέρουσες συζητήσεις στην αίθουσα διδασκαλίας. Ο αναγνώστης θα βρει τις απαντήσεις στις περισσότερες από τις ερωτήσεις αυτές στον Οδηγό Μελέτης τον Φοιτητή με Ασκήσεις Ηλεκτρονικού Υπολογιστή που συνοδεύει το σύγγραμμα και τού οποίου μετάφραση στα Ελληνικά πρόκειται να κυκλοφορήσει. Προβλήματα Στο τέλος κάθε κεφαλαίου παρατίθεται επίσης ένας αριθμός προβλη­ μάτων. Το σύγγραμμα περιέχει συνολικά 3 256 προβλήματα, δηλαδή κατά 42.5% περισσότερα σε σύγκριση με τη δεύτερη έκδοση. Στο τέλος κάθε τόμου θα βρείτε τις απαντήσεις τών προβλημάτων που είναι αριθμημένα με περιττό αριθμό. Για να καθοδηγηθεί καλύτερα ο αναγνώστης, τα 2/3 περίπου τών προβλημάτων αφορούν συγκεκριμένα υποκεφάλαια τού αντίστοιχου κεφαλαίου. Τα υπόλοιπα προβλήματα χαρακτηρίζονται ως «Γενικά προβλήματα» και καλύπτουν την ύλη τού αντίστοιχου κεφαλαίου. Κατά τη γνώμη μου, τα περισσότερα προβλήματα που δίνει ο καθηγητής «προς λύση» πρέπει να ανήκουν στην κατηγορία τών προβλημάτων που αφορούν σε συγκεκριμένα υποκεφάλαια, διότι έτσι συνεπικουρείται το χτίσιμο τής εμπιστοσύνης που πρέπει να αποκτήσει ο φοιτητής για τον εαυτό του.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Γενικά, η σειρά παρουσίασης είναι τέτοια ώστε πρώτα δίνονται τα εύκολα προβλήματα και κατόπιν τα δυσκολότερα. Για να διευκολύνεται ο αναγνώστης στην αναγνώριση τών προβλημάτων μέτριου βαθμού δυσχέρειας, ο αύξων αριθμός τών προβλημάτων αυτών σημειώνεται με μια κάθετη γραμμή στα αριστερά τού αριθμού, π.χ.: |10. Υπάρχουν επίσης ορισμένα προβλήματα με τα οποία θέλω να παροτρύνω τον πολύ καλό φοιτητή να δοκιμάσει τις γνώσεις του. Ο αύξων αριθμός τών προβλημάτων αυτών σημειώνεται με μια γωνία στην αριστερή και κάτω πλευρά τού αριθμού, π.χ.:

,

110

Προβλήματα και παραδείγματα που λύνονται και με ηλεκτρονικό υπολογι­ στή με spreadsheet Επιλεγμένα προβλήματα και παραδείγματα στο σύγγραμμα επιδέχονται, εκτός από την αναλυτική λύση, και λύση με spreadsheets. Τά βρίσκει κανείς σε μαλακό δίσκο υπολογιστή*. Τα spreadsheets θα βοηθήσουν τον αναγνώστη να λύσει μερικά δύσκολα προβλήματα. Στο Παράρτημα F υπάρχουν οδηγίες για τη χρήση τών spreadsheets. Ο αύξων αριθμός τών προβλημάτων αυτών είναι μέσα σε πλαίσιο, π.χ.: [Τθ]. Στα παραδείγματα το πλαίσιο αυτό υπάρχει μετά την εκφώνηση. Προβλήματα υπολογιστή Ο αναγνώστης θα βρει αρκετά αριθμητικά προβλήματα που λύνονται ευκολότερα με τη χρήση υπολογιστή ή προγραμματιζόμενης αριθμομη­ χανής. Δοκίμια Στο σύγγραμμα έχουν συμπεριληφθεί 17 δοκίμια γραμμένα από ειδικούς σε διάφορα θέματα ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Τα δοκίμια αυτά αποτελούν συμπληρωμα­ τική ύλη για τον αναγνώστη. Ε ιδικά θέματα Πολλά υποκεφάλαια περιέχουν ειδικά θέματα που στοχεύουν στο να παρουσιάσουν στον αναγνώστη ενδιαφέρουσες ή ακόμη και πρακτικές εφαρμογές τών αρχών τής Φυσικής. Ο αναγνώστης μπορεί να τά παραλείψει εάν θέλει. Στα αριστερά τού τίτλου καθενός από τα υποκεφάλαια αυτά υπάρχει ένας αστερίσκος (*). Παραρτήματα Στο τέλος τού συγγράμματος ο αναγνώστης θα βρει διάφορα χρήσιμα παραρτήματα. Παρατίθεται μια ενδιαφέρουσα επισκόπηση τών Μαθηματι­ κών, που μπορεί να τού χρησιμεύσει να παρακολουθήσει πιο εύκολα το σύγγραμμα, όπως π.χ. 'Αλγεβρα, Γεωμετρία, Τριγωνομετρία και Απειροστικός Λογισμός. Επί πλέον, θα βρει λυμένα παραδείγματα, καθώς και ασκήσεις με απαντήσεις. Θα βρει επίσης πληροφορίες για φυσικές σταθερές, συντελεστές μετατροπής, ατομικές μάζες, τις μονάδες τών φυσικών μεγεθών στο SI και, τέλος, έναν πίνακα τού περιοδικού συστήματος τών χημικών στοιχείων. Ο Δ ΗΓΙΕΣ Π ΡΟ Σ ΤΟΝ ΔΙΔΑΣΚ ΟΝΤΑ Η δομή τού συγγράμματος είναι η εξής, κατά σειρά παρουσίασης: Κλασική Μηχανική, Κυματική, Θερμότητα και Θερμοδυναμική, Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Οπτική, Σχετικότητα και, τέλος, Σύγχρονη Φυσική. Όπως βλέπετε, ακολούθησα την παραδο­ σιακή σειρά παρουσίασης τού μαθήματος τής Γενικής Φυσικής: ο Ηλεκτρομαγνητισμός ακολουθεί την Κυματική. Πολλοί διδάσκοντες ίσως κρίνουν σκοπιμότερο, ωστόσο, να προτάξουν τον Ηλεκτρομαγνητισμό. Το κεφάλαιο που αναφέρεται στην Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας τό τοποθέτησα προς το τέλος (Κεφάλαιο 39). Πολλοί αρχίζουν με αυτό την παρουσίαση τής Σύγχρονης Φυσικής. 'Αλλοι όμως μπορούν κάλλιστα να διδάξουν το Κεφάλαιο 39 αμέσως μετά το Κεφάλαιο 14, με το οποίο τελειώνει η μελέτη τής Νευτώνειας Μηχανικής. Εάν ο διδάσκων πρέπει να καλύψει την ύλη μέσα σε δύο εξάμηνα, μπορεί να παραλείψει μερικά κεφάλαια ή υποκεφάλαια, χωρίς να χάνεται η συνέχεια τού αντικειμένου. Αυτά είναι σημειωμένα με αστερίσκο (*) στον πίνακα περιεχομένων, καθώς και μέσα στο σύγγραμμα. Προφανώς, μπορεί να παραλείψει και τα δοκίμια. [Παραθέτουμε στη συνέχεια τις προσωπικές ευχαριστίες τού συγγραφέα, στο πρωτότυπο]: ACKNOWLEDGMENTS The third editon of this textbook was prepared with the guidance and assistance of many professors who reviewed part or all of the manuscript. I wish to acknowledge the

* Σημ. Μετφρ.: Οδηγίες για τό πως μπορείτε να προμηθευθείτε τον μαλακό αυτό δίσκο θα πάρετε εάν γράψετε στον καθηγητή Λ. Κ. Ρεσβάνη, στη διεύθυνση: Εργαστήριο Φυσικής, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Σόλωνος 104, Αθήνα 10 680.

XIII

X IV

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

following scholars and express my sincere appreciation for their suggestions, criti­ cisms, and encouragement: George Alexandrakis, University of Miami; Bo Casserberg, University of Minne­ sota; Soumya Chakravarti, California State Polytechnic University; Edward Chang, University of Massachusetts, Amherst; Hans Courant, University of Minnesota; F. Paul Esposito, University of Cincinnati; Clark D. Hamilton, National Bureau of Standards; Mark Heald, Swarthmore College; Paul Holoday, Henry Ford Community College; Larry Kirkpatrick, Montana State University; Barry Kunz, Michigan Technological University; Douglas A. Kurtze, Clarkson University; Robert Long, Worcester Poly­ technic Institute; Nolen G. Massey, University of Texas at Arlington; Charles E. McFarland, University of Missouri at Rolla; James Monroe, The Pennsylvania State University, Beaver Campus; Fred A. Otter, University of Connecticut; Eric Peterson, Highland Community College; Jill Rugare, DeVry Institute of Technology; Charles Scherr, University of Texas at Austin; John Shelton, College of Lake County; Kervork Spartalian, University of Vermont; Robert W. Stewart, University of Victoria; James Stith, United States Military Academy; Carl T. Tomizuka, University of Arizona; Som Tyagi, Drexel University; James Walker, Washington State University; George Wil­ liams, University of Utah; and Edward Zimmerman, University of Nebraska, Lincoln. Special thanks go to the many people who provided me with useful comments and suggestions for improvement during the development of this third edition. These include Albert A. Bartlett, David C. Currot, Chelcie Liu, Howard C. McAllister, A. J. Slavin, J. C. Sprott, and William W. Wood. I would also like to thank the following professors for their suggestions during the development of the prior editions of this textbook: Elmer E. Anderson, University of Alabama; Wallace Arthur, Fairleigh Dickinson University; Duane Aston, California State University at Sacramento; Richard Barnes, Iowa State University; Marvin Blecher, Virginia Polytechnic Institute and State Uni­ versity; William A. Butler, Eastern Illinois University; Don Chodrow, James Madison University; Clifton Bob Clark, University of North Carolina at Greensboro; Lance E. De Long, University of Kentucky; Jerry S. Faughn, Eastern Kentucky University; James B. Gerhart, University of Washington; John R. Gordon, James Madison Univer­ sity; Herb Helbig, Clarkson University; Howard Herzog, Broome Community College; Larry Hmurcik, University of Bridgeport; William Ingham, James Madison University; Mario Iona, University of Denver; Karen L. Johnston, North Carolina State University; Brij M. Khorana, Rose-Hulman Institute of Technology; Carl Kocher, Oregon State University; Robert E. Kribel, Jacksonville State University; Fred Lipschultz, Univer­ sity of Connecticut; Francis A. Liuima, Boston College; Charles E. McFarland, Univer­ sity of Missouri, Rolla; Clem Moses, Utica College; Curt Moyer, Clarkson University; Bruce Morgan, U.S. Naval Academy; A. Wilson Nolle, The University of Texas at Austin; Thomas L. O’Kuma, San Jacinto College North; George Parker, North Carolina State University; William F. Parks, University of Missouri, Rolla; Philip B. Peters, Virginia Military Institute; Joseph W. Rudmin, James Madison University; James H. Smith, University of Illinois at Urbana-Champaign; Edward W. Thomas, Georgia Insti­ tute of Technology; Gary Williams, University of California, Los Angeles; George A. Williams, University of Utah; and Earl Zwicker, Illinois Institute of Technology. I would like to thank the following people for contributing many interesting new problems and questions to the text: Ron Canterna, University of Wyoming; Paul Feldker, Florissant Valley Community College; Roger Ludin, California Polytechnic State University; Richard Reimann, Boise State University; Jill Rugare, DeVry Institute of Technology; Stan Shepard, The Pennsylvania State University; Som Tyagi, Drexel University; Steve Van Wyk, Chapman College; and James Walker, Washington State University. Special thanks go to the following people for writing guest essays: Isaac D. Abella, University of Chicago; Albert A. Bartlett, University of Colorado at Boulder; Gordon Batson, Clarkson University; Leon Blitzer, University of Arizona; Roger A. Freedman and Paul K. Hansma, University of California, Santa Barbara; Robert G. Fuller, Univer­ sity of Nebraska; Clark D. Hamilton, National Bureau of Standards; Laurent D. Hodges, Iowa State University; A. Jayaraman, AT&T/Bell Laboratories; Edward Lacy; Samson A. Marshall, Michigan Technological Institute; John D. Meakin, University of Delaware; Philip Morrison, Massachusetts Institute ofTechnology; Brian B. Schwartz, Brooklyn College, C.U.N.Y., and the American Physical Society; Clifford Will, Wash­ ington University; Sidney C. Wolff, National Optical Astronomy Observatory; Dean A. Zollman, Kansas State University; Alma C. Zook, Pomona College. I appreciate the

assistance of Carl T. Tomizuka in coordinating the essays. I am especially grateful to the following people for their careful accuracy reviews of all the problems and examples in the text: Stanley Bashkin, University of Arizona; Jeffrey J. Braun, University of Evansville; Louis H. Cadwell, Providence College, Ralph V. McGrew, Broome Community College; Charles D. Teague, Eastern Kentucky University; and Steve Van Wyk, Chapman College. I appreciate the assistance of Jeffrey J. Braun, Charles Teague and Steve Van Wyk in reorganizing the problem sets. My grateful thanks also go to Steve Van Wyk and Louis H. Cadwell for the preparation of the Instructor’s Manual that accompanies the text. I am indebted to my colleague and friend John R. Gordon for his many contribu­ tions during the development of this text, his continued encouragement and support, and for his expertise in revising the Student Study Guide. I am grateful to David Oliver for developing the computer software that accompanies the Student Study Guide and to David Stetser for developing the Spreadsheet Data Disks that accompany the In­ structor’s Manual and the Spreadsheet Appendix in the back of this text. Support for David Stetser’s work has been provided by Miami University— Middletown and the Department of Physics and Astronomy, Center for Advanced Studies, University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico. I thank David Loyd for preparing the Physics Laboratory Manual and accompanying Instructor’s Manual that can be used with this text. I appreciate the assistance of Louis H. Cadwell in preparing the answers that appear at the end of the text, and in preparing some of the test questions for the Computerized Test Bank and Printed Test Bank. I also thank the staff of the Physics Department at Georgia Tech for providing many of the questions for this test bank. I am grateful to Mario Iona for making many excellent suggestions for improving the figures in the text. I thank Sarah Evans, Ellen Newman, Henry Leap, and Jim Lehman for locating and/or providing many excellent photographs. I thank my son Mark for writing many of the biographical sketches included in this edition. I thank Agatha Brabon, Linda Delosh, Mary Thomas, Georgina Valverde, and Linda Miller for an excellent job in typing various stages of the original manuscript. During the develop­ ment of this textbook, I have benefited from valuable discussions with many people including Subash Antani, Gabe Anton, Randall Caton, Don Chodrow, Jerry Faughn, John R. Gordon, Herb Helbig, Lawrence Hmurcik, William Ingham, David Kaup, Len Ketelsen, Henry Leap, H. Kent Moore, Charles McFarland, Frank Moore, Clem Moses, Curt Moyer, William Parks, Dorn Peterson, Joe Rudmin, Joe Scaturro, Alex Serway, John Serway, Georgio Vianson, and Harold Zimmerman. Special recognition is due to my mentor and friend, Sam Marshall, a gifted teacher and scientist who helped me sharpen my writing skills while I was a graduate student. Special thanks and recognition go to the professional staff at Saunders College Publishing for their fine work during the development and production of this text, especially Ellen Newman, Senior Developmental Editor; Sally Kusch, Senior Project Manager; and Carol Bleistine, Manager of Art and Design. I thank John Vondeling, Associate Publisher, for his great enthusiasm for the project, his friendship, and his confidence in me as an author. I am most appreciative of the intelligent copyediting by Will Eaton, the excellent artwork by Tom Mallon and the excellent design work by Edward A. Butler. Πρέπει να απευθύνω τις θερμές ευχαριστίες μου στους εκατοντάδες φοιτητές τών Πανεπιστημίων Clarkson και James Madison που χρησιμοποίησαν τις σημειώσεις οι οποίες αργότερα αποτέλεσαν την πρώτη έκδοση τού συγγράμματός μου. Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τους πολλούς αναγνώστες τής δεύτερης έκδοσης που μού έστειλαν σχόλια ή μού επέστησαν την προσοχή σε ορισμένα λάθη. Με τη βοήθεια όλων τους ελπίζω ότι επέτυχα τον κύριο σκοπό μου, που ήταν πώς να δώσω στον φοιτητή ένα αποτελεσματικό έργο. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω την υπέροχη οικογένειά μου για την υπομονή και την κατανόηση που μού έδειξε. Χωρίς την απεριόριστη αγάπη της δεν θα είχα κατορθώσει να φέρω μέχρι τέλους τον τεράστιο αυτό φόρτο. Raymond A. Serway James Madison University Harrisonburg, Virginia

Οδηγίες προς τον φοιτητή Αισθάνομαι την ανάγκη να απευθύνω λίγες συμβουλές, οι οποίες —ελπίζω— θα είναι χρήσιμες σε σένα τον φοιτητή που διαβάζεις το βιβλίο αυτό. Υποθέτω ότι έχεις ήδη διαβάσει τον πρόλογο που περιγράφει τις συνιστώσες τού συγγράμματος αυτού και οι οποίες θα σέ βοηθήσουν κατά τη διάρκεια τού μαθήματος. ΠΩΣ ΝΑ ΜΕΛΕΤΑΣ Συχνά, ο φοιτητής θέτει στον καθηγητή του το ερώτημα: «πώς πρέπει να μελετώ τη Φυσική και πώς να προπαρασκευάζομαι για τις εξετάσεις;». Δεν υπάρχει απλή απάντηση στο ερώτημα αυτό. Θέλω όμως να σάς δώσω μερικές συμβουλές βασισμένες στην μακροχρόνια εμπειρία μου όχι μόνο ως καθηγητή αλλά και ως φοιτητή. Πρώτα από όλα, πρέπει να είσαστε ευμενώς διατεθειμένοι απέναντι στη Φυσική. Και δεν πρέπει να ξεχνάτε ότι η Φυσική είναι η πιο θεμελιώδης από όλες τις θετικές επιστήμες. Οι άλλες θετικές επιστήμες βασίζονται στη Φυσική. Και γι’ αυτό πρέπει να αφομοιώσετε τις έννοιες και τις θεωρίες που παρουσιάζουμε στο σύγγραμμα τούτο ώστε να είσαστε σε θέση να τίς εφαρμόσετε στην ειδικότητά σας. ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΕΝΝΟΙΕΣ Προτού προσπαθήσετε να λύσετε τα προβλήματα που σάς δίνει ο καθηγητής σας, πρέπει να κατανοήσετε τις βασικές έννοιες τού θέματος και τις αρχές πού τό διέπουν. Για να τό κατορθώσετε, πρέπει να διαβάσετε την ύλη που θα σάς διδάξει ο καθηγητής προτού παρακολουθήσετε την παράδοση η οποία θα καλύψει την ύλη αυτή. Καθώς θα προετοιμάζεστε, καλό είναι να κρατάτε μερικές χονδρικές σημειώσεις στα σημεία που δεν καταλαβαίνετε. Όταν παρακολουθείτε την παράδοση, κρατήστε καλές σημειώσεις (ακόμη και εάν έχετε το βιβλίο από το οποίο διδάσκει ο καθηγητής σας), μη διστάζετε να υποβάλετε ερωτήσεις πάνω στα θέματα που δεν καταλαβαίνετε. Μην ξεχνάτε ότι ελάχιστοι άνθρωποι μπορούν να καταλάβουν ένα θέμα με την πρώτη ανάγνωση, θ α χρειαστεί να διαβάσετε επανειλημμένα το βιβλίο και τις σημειώσεις σας. Οι παραδόσεις και τα εργαστήρια συμπληρώνουν το σύγγραμμα και συνήθως σάς βοηθούν να ξεδιαλύνετε τις απορίες σας. Πρέπει να περιορίσετε στο ελάχιστο την αποστήθιση. Ο παπαγαλισμός και η απομνημόνευση εξισώσεων και αποδείξεων δεν έχουν καμιά σχέση με την κατανόηση και την αφομοίωση τής ύλης, θ α βσηθηθείτε στην αφομοίωσή της εάν συνδυάσετε τη σκληρή, αλλά συστηματική, μελέτη με συζητήσεις με τους συμφοιτητές και τους καθηγητές σας και αναπτύξετε την ικανότητα να λύνετε προβλήματα. Μη διστάζετε να κάνετε ερωτήσεις. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΛΕΤΗΣ Πρέπει να μελετάτε συστηματικά, με πρόγραμμα, σε καθημερινή βάση. Διαβάστε τον πίνακα περιεχομένων τού μαθήματός σας και ακολουθήστε τις συμβουλές τού καθηγητή σας. Θα κερδίσετε πολύ περισσότερο από τις παραδόσεις εάν έχετε διαβάσει την ύλη πριν από την παράδοση. Γενικός κανόνας είναι ότι για κάθε ώρα παράδοσης πρέπει να μελετάτε τουλάχιστον δύο ώρες. Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες στο μάθημα, ζητήστε τη συμβουλή τού καθηγητή σας ή άλλων παλαιότερων φοιτητών. Ίσως χρειαστεί να σάς βοηθήσουν άλλοι, πιο έμπειροι από σάς. Μην αμελείτε τη μελέτη αναβάλλοντάς την μέχρι τις παραμονές τών εξετάσεων. Η τακτική αυτή οδηγεί σε καταστρεπτικά αποτελέσματα. Μην ξενυχτάτε μελετώντας την παραμονή τών εξετάσεων. Κάνετε μια επανάληψη τών βασικών εννοιών και τών κύριων εξισώσεων και μετά κοιμηθείτε. ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΒΟΗΘΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Πρέπει να χρησιμοποιείτε πλήρως όλοι τα βοηθήματα τού συγγράμματος τούτου, όπως τα περιγράψαμε στον πρόλογο. Λογουχάρη, οι σημειώσεις στο περιθώριο είναι χρήσιμες για να βρίσκετε γρήγορα βασικές εξισώσεις και έννοιες, ενώ οι πιο σημαντικοί ορισμοί είναι τυπωμένοι με παχέα στοιχεία. Πολλοί χρήσιμοι πίνακες παρατίθενται στα παραρτήματα, αλλά οι περισσότεροι βρίσκονται μέσα στο κείμενο, εκεί όπου είναι πιο εύχρηστοι. Στο Παράρτημα Β θα βρείτε μια σύντομη περίληψη τών μαθηματικών τεχνικών που χρειάζεστε. Στο τέλος τού βιβλίου θα βρείτε επίσης τις απαντήσεις τών προβλημάτων με περιττό αύξοντα αριθμό. Οι ασκήσεις (συνοδεύονται και με απαντήσεις) που έπονται τών λυμένων παραδειγμάτων αποτελούν εφαρμογή ή

προέκταση τού αντίστοιχου παραδείγματος και τις πιο πολλές φορές το μόνο που πρέπει να κάνετε είναι ένας απλός υπολογισμός. Σκοπός τους είναι να σάς δώσουν τη δυνατότητα να μετρήσετε εσείς οι ίδιοι κατά πόσο αφομοιώνετε την ύλη καθώς διαβάζετε. Σε πολλά κεφάλαια σάς δίνουμε λεπτομερείς οδηγίες στη «Στρατηγική λύσης τών προβλημάτων». Ο πίνακας τών περιεχομένων σάς δίνει μια άμεση αντίληψη για το επιστημονικό εύρος τού συγγράμματος, ενώ το αλφαβητικό ευρετήριο, στο τέλος, σάς βοηθάει να βρίσκετε τα συγκεκριμμένα θέματα πολύ γρήγορα. Συχνά, χρησιμοποιούμε υποσημειώσεις για να συμπληρώσουμε το κείμενο ή για να σάς δώσουμε βιβλιογραφία. Για να λύσετε αρκετά από τα προβλήματα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε προγραμματιζόμενες αριθμομηχανές ή υπολογιστές. Πολλά άλλα προβλήματα λύνονται αναλυτικά, αλλά, εάν προτιμάτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε spreadsheets. Τα τελευταία είναι πολύ χρήσιμα για εκείνους που θέλουν να αποκτήσουν εμπειρία σε αριθμητικές μεθόδους. Αφού διαβάσετε ένα κεφάλαιο, πρέπει να είσαστε σε θέση (1) να ορίσετε τα νέα μεγέθη που ορίστηκαν στο κεφάλαιο και (2) να σχολιάσετε τις βασικές αρχές και υποθέσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να εξαχθούν οι βασικές σχέσεις. Για κάθε μέγεθος πρέπει να γνωρίζετε το αντίστοιχο σύμβολό του και τις μονάδες του. Τέλος, θα πρέπει να είσαστε σε θέση να περιγράφετε κάθε σημαντική σχέση χρησιμοποιώντας σωστά και περιεκτικά τον προφορικό λόγο. Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΝΑ ΛΥΝΕΤΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ο R. Ρ. Feynman, κάτοχος βραβείου Νόμπέλ και ίσως ο μεγαλύτερος σύγχρονος φυσικός, είπε κάποτε: «Δεν γνωρίζεις τίποτε μέχρις ότου εξασκηθείς σ’ αυτό». Η καλύτερη συμβουλή που μπορώ να σάς δώσω, λοιπόν, είναι να αποκτήσετε την ικανότητα να λύνετε προβλήματα. Μια από τις σημαντικότερες αποδείξεις τών γνώσεών σας στη Φυσική θα είναι η ικανότητά σας να λύνετε προβλήματα. Πρέπει να λύσετε όσο το δυνατόν περισσότερα προβλήματα. Προτού επιχειρήσετε όμως να λύσετε προβλήματα, πρέπει να έχετε κατανοήσει τις βασικές αρχές και έννοιες τού σχετικού τομέα. Αξίζει τον κόπο να προσπαθήσετε να λύσετε ένα πρόβλημα με περισσότερες από μία μεθόδους. Λογουχάρη, τα προβλήματα τής Μηχανικής λύνονται συνήθως με εφαρμογή τών νόμων τού Newton, αλλά, πολλές φορές, λύνονται με τη χρήση τών εννοιών τού έργου και τής ενέργειας. Κοροϊδεύετε τον εαυτό σας εάν νομίζετε ότι ξέρετε ένα πρόβλημα αφού διαβάσατε τη λύση του σε «λυσάρια». Πρέπει να μπορείτε να λύνετε όχι μόνον αυτό αλλά και άλλα παρόμοια προβλήματα μόνοι σας. Πρέπει να είσαστε προσεκτικοί στη μέθοδο επίλυσης τών προβλημάτων. 'Οταν μάλιστα το πρόβλημα είναι σύνθετο και περιέχει πολλές έννοιες, πρέπει να έχετε ένα συστηματικό σχέδιο. Πρώτα από όλα διαβάστε το αρκετές φορές, μέχρις ότου βεβαιωθείτε ότι καταλάβατε τί σάς ζητείται. Κατόπιν αναζητήστε να βρείτε όρους-κλειδιά που θα σάς βοηθήσουν να κατανοήσετε καλύτερα το πρόβλημα και που πιθανώς θα σάς δώσουν τη δυνατότητα να κάνετε ορισμένες υποθέσεις. Η ικανότητα τού κατανοείν σωστά την ερώτηση είναι αναπόσπαστο μέρος τής λύσης. Συνηθίστε να γράφετε συμβολικά την πληροφορία που σάς δίνουν και επιλέξετε ποιες ποσότητες πρέπει να βρείτε. Πολλές φορές, είναι χρήσιμο να συντάξετε έναν πίνακα που θα δείχνει τις ποσότητες που σάς δίνουν και εκείνες που σάς ζητούν. Μερικές φορές έχουμε ακολουθήσει τη μεθοδολογία αυτή στα λυμένα παραδείγματα τού συγγράμμα­ τος. Αποφασίστε ποια είναι η σωστή μέθοδος και προχωρήστε στην εφαρμογή της λύνοντας το πρόβλημα. Συχνά οι φοιτητές δεν διακρίνουν τα όρια εφαρμογής ορισμένων τύπων ή φυσικών νόμων οι οποίοι περιγράφουν ένα φαινόμενο. Πρέπει οπωσδήποτε να καταλαβαίνετε και να θυμάστε τις υποθέσεις και τις παραδοχές που έχουν γίνει για να παραχθεί μια θεωρία ή ένας τύπος. Λογουχάρη, ορισμένοι τύ Α ι τής Κινητικής ισχύουν μόνον όταν το σώμα κινείται με σταθερή επιτάχυνση. Προφάνώς, οι τύποι αυτοί δεν ισχύουν όταν το σώμα δεν υπόκειται σε σταθερή επιτάχυνση, όπως είναι π.χ. η κίνηση ενός σώματος που είναι εξαρτημένο από ένα ελατήριο, ή κατά την κίνηση ενός σώματος μέσα σε ένα ρευστό. ΓΕΝΙΚΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΩΝ Επειδή στα μαθήματα Γενικής Φυσικής τα περισσότερα θέματα τών εξετάσεων είναι προβλήματα, πρέπει να μάθετε την τεχνική επίλυσής τους. Σε πολλά κεφάλαια τού συγγράμματος περιγράφουμε την αντίστοιχη στρατηγική λύσης προβλημάτων. Εδώ θα υπογραμμίσουμε ορισμένες αρχές. Υπάρχουν πέντε βασικά βήματα που πρέπει να ακολουθήσετε:

X V III

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

1. Κατασκευάστε ένα διάγραμμα συμβολίζοντας τις ποσότητες και τους άξονες τού συστήματος αναφοράς, εάν χρειάζεται. 2. Προσδιορίστε τις βασικές αρχές τής Φυσικής που έχουν σχέση με το πρόβλημα και κάνετε έναν κατάλογο ξεχωρίζοντας τα δεδομένα από τα ζητούμενα. 3. Επιλέξετε τη βασική σχέση ή την εξίσωση με την οποία μπορείτε να βρείτε τους αγνώστους. Προχωρήστε στη λύση τής εξίσωσης ως προς τον άγνωστο, χρησιμο­ ποιώντας μόνον σύμβολα. 4. Τοποθετήστε τα δεδομένα (χρησιμοποιώντας πάντοτε μονάδες) στην εξίσωση. 5. Βρείτε την αριθμητική τιμή τού αγνώστου και αμέσως ελέγξετε τα παρακάτω: (α) είναι οι μονάδες σωστές; Περιγράφουν, δηλαδή, σωστά το μέγεθος; (β) Είναι η απάντηση λογική; (γ) Είναι το πρόσημο σωστό; Η στρατηγική αυτή σάς είναι χρήσιμη, διότι ένα σωστό διάγραμμα σάς βοηθάει να βρείτε ενδεχόμενα λάθη στα πρόσημα. Πολλές φορές, επίσης, ένα καλό διάγραμμα σάς βοηθάει να δείτε τις φυσικές αρχές τού προβλήματος. Όταν λύνουμε το πρόβλημα με σύμβολα και όταν συμβολίζουμε σωστά τα δεδομένα και τα ζητούμενα, αποφεύγουμε, συχνά, λάθη απροσεξίας. Η λύση τού προβλήματος με σύμβολα σάς βοηθάει να αποκτήσετε εποπτεία φυσικής στο πρόβλημα. Ο έλεγχος τών μονάδων θα σάς βοηθήσει να βρείτε τυχόν αλγεβρικά σφάλματα. Η σωστή οργάνωση στη λύση προβλημάτων θα σάς δώσει την αυτοπεποίθηση που, συχνά, συντελεί σημαντικά στη σωστή λύση τών προβλημάτων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Κάποιος, ενώ οδηγεί το αυτοκίνητό του με ταχύτητα 20 m/s, φρενάρει και σταματάει σε απόσταση 100 m. Βρείτε την επιβράδυνση.

Δεδομένα: ι 0 = Οιΐ)

χ —100 m υ0 = 20 m/s υ = 0 m/s β -?

ν2 = υ„* + 2α(χ - *0)

α

(0 m/s)8 —(20 m/s)2 2(100 m)

—2 m/s*

υ* —Do* “ 2α(χ —χ0) °

ο*-θο» 2(χ - Χο)

m*/s* m

m s*

ΠΕΙΡΑΜ Α ΤΑ Φυσική είναι επιστήμη π ειρ α μ α τικ ή . Για τον λόγο αυτό, είναι σημαντικό να κάνετε πειράματα, παράλληλα με τη μελέτη τού συγγράμματος, ελέγχοντας τις ιδέες και τα μοντέλα που διδάσκεστε ή μελετάτε.

Η

Π ΡΟΣΚΛ ΗΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ελπίζω ότι η Φυσική θα σάς δώσει την ευκαιρία να αποκτήσετε μια μοναδική και πολύ ευχάριστη εμπειρία, ανεξάρτητα από την επιστήμη που θα ακολουθήσετε. Καλώς ορίσατε, λοιπόν, στον κόσμο τής Φυσικής. Ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή αυτό είναι χρήσιμο· τήν μελετά γιατί αυτό τόν ευχαριστεί. Και τόν ευχαριστεί διότι η φύση είναι όμορφη. Εάν η φύση δεν ήταν όμορφη, τότε δεν θα άξιζε τον κόπο να τή γνωρίσουμε. Και εάν δεν άξιζε τον κόπο να τή γνωρίσουμε, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε. Henri Poincar£

Περίληψη περιεχομένων τού συγγράμματος ΜΕΡΟΣ I ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Εισαγωγή: Φυσική και μέτρηση

25. Ηλεκτρικό δυναμικό 26. Χωρητικότητα κα ι διηλεκτρικά

2. Διανύσματα

27. Ρεύμα και αντίσταση

3. Κίνηση σε μία διάσταση

28. Κυκλώματα συνεχούς ρεύματος

4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

29. Μ αγνητικά πεδία

5. Ο ι νόμοι τής κίνησης

30. Π ηγές μαγνητικού πεδίου

6. Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρμογές των Νόμων τού Newton

31. Νόμος τού Faraday

7. 'Ε ργο και ενέργεια

33. Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος

8. Δυναμική ενέργεια κα ι διατήρηση τής ενέργειας

34. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

32. Επαγωγή

9. Γραμμική ορμή και κρούσεις 10. Περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό 11. Κύλιση, στροφορμή κα ι ροπή 12. Στατική ισορροπία και ελαστικότητα 13. Ταλαντώσεις

Μ ΕΡΟ Σ V Ο Π ΤΙΚΗ 35. Η φύση τού φωτός και οι νόμοι τής Γεωμετρικής Ο πτικής 36. Γεωμετρική Οπτική

14. Ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης

37. Συμβολή τώ ν κυμάτων φωτός

15. Μ ηχανική τών ρευστών

38. Περίθλαση κ αι πόλωση

ΜΕΡΟΣ Π ΚΥΜΑΤΙΚΗ 16. Κυματική κίνηση 17. Ακουστική 18. Υπέρθεση και στάσιμα κύματα

Μ ΕΡΟ Σ VI ΣΥΓΧΡΟΝΗ Φ Υ ΣΙΚΗ 39. Σχετικότητα 40. Εισαγωγή στην Κβαντική Φυσική 41. Κβαντική Μηχανική

ΜΕΡΟΣ III ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

42. Ατομική Φυσική

19. θερμοκρασία, θερμική διαστολή κα ι ιδανικά αέρια

43. Μ όρια κα ι στερεά

20. θερμ ότητα και ο πρώτος νόμος τής θερμοδυναμικής

44. Υπεραγωγιμότητα

21. Η κινητική θεωρία τών αερίων

45. Πυρηνική δομή

22. θερ μ ικ ές μηχανές, εντροπία και ο δεύτερος νόμος τής θερμοδυναμικής

47. Φυσική τών Στοιχειω δώ ν Σ ωματιδίων και Κοσμολογία

46. Εφαρμογές τής Πυρηνικής Φυσικής Π αραρτήματα

ΜΕΡΟΣ IV ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ 23. Ηλεκτρικά πεδία

Α παντήσεις στα προβλήματα που έχουν περιττό αύξοντα αριθμό

24. Νόμος τού Gauss

Αλφαβητικό Ευρετήριο

Πίνακας περιεχομένων τού παρόντος τόμου Μπορείτε να παραλείψετε όσα κεφάλαια ή υποκεφάλαια είναι σημειωμένα με *

ΜΕΡΟΣ I

ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Κεφάλαιο 1 Ε ισαγωγή: Φυσική κ αι Μέτρηση 1.1 Μονάδες μήκους, μάζας κα ι χρόνου 1.2 Πυκνότητα και ατομική μάζα 1.3 Δ ιαστασιακή ανάλυση 1.4 Μετατροπή μονάδων 1.5 Υπολογισμοί τάξης μεγέθους 1.6 Σημαντικά ψ ηφία 1.7 Μαθηματικός συμβολισμός Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟ ΚΙΜ ΙΟ

Κλίμακες — η Φ υσική τής Λ ιλλιποΰτη; Τού Philip Morrison

1 2 4 7 8 10 10 11 13 14 14 14 17

Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 6 Κυκλική κίνηση κα ι άλλες εφαρμογές των νόμων τού Newton 6.1 Εφαρμογή του δεύτερου νόμου τού Newton στην ομαλή κυκλική κίνηση 6.2 Μη ομαλή κυκλική κίνηση * 6.3 Κίνηση σε επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς * 6.4 Κίνηση με την παρουσία δυνάμεων που αντιστέκονται στην κίνηση 6.5 Ο ι θεμελιώδεις δυνάμεις τής φύσης Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟ ΚΙΜ ΙΟ

Κεφάλαιο 2 Διανύσματα 2.1 Συστήματα αναφοράς 2.2 Βαθμωτά μεγέθη και διανύσματα 2.3 Μερικές ιδιότητες τών διανυσμάτων 2.4 Συνιστώσες ενός διανύσματος και μοναδιαία διανύσματα Στρατηγική λύσης προβλημάτων Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε μία διάσταση 3.1 Μέση ταχύτητα 3.2 Σ τιγμιαία ταχύτητα 3.3 Επιτάχυνση 3.4 Κίνηση σε μία διάσταση με σταθερή επιτάχυνση (ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση) 3.5 Ελεύθερη πτώση σωμάτων * 3.6 Εξαγωγή τών εξισώσεων κίνησης με τη χρησιμοποίηση τού Απειροστικού Λογισμού Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις 4.1 Τα διανύσματα μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης 4.2 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση σε δύο διαστάσεις 4.3 Κίνηση βλημάτων 4.4 Ομαλή κυκλική κίνηση 4.5 Εφαπτομενική και ακτινική επιτάχυνση στην καμπυλόγραμμη κίνηση 4.6 Σχετική ταχύτητα και σχετική επιτάχυνση *4.7 Σχετική κίνηση σε πολύ μεγάλες ταχύτητες Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 5 Ο ι νόμοι τής κίνησης 5.1 Εισαγωγή στην Κλασική Μηχανική 5.2 Η έννοια τής δύναμης 5.3 Ο πρώτος νόμος τού Newton και αδρανειακά συστήματα αναφοράς 5.4 Α δρανειακή μάζα 5.5 Ο δεύτερος νόμος τού Newton 5.6 Βάρος 5.7 Ο τρίτος νόμος τού Newton 5.8 Εφαρμογές τών νόμων τού Newton Στρατηγική λύσης προβλημάτων 5.9 Δυνάμεις τριβής Ανακεφαλαίωση

22 22 24 25 27 29 31 32 32 37 38 39 41 43 47 50 53 54 55 62 62 64 67 73 74 77 79 80 82 83 90 90 90 93 95 96 98 98 100 101 107 111

Δ υναμική δορυφορικών τροχιών Τού Leon Blitzer

Κεφάλαιο 7 'Ε ργο και ενέργεια 7.1 Εισαγωγή 7.2 'Εργο σταθερής δύναμης 7.3 Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων 7.4 'Εργο μη σταθερής δύναμης σε μία διάσταση 7.5 'Εργο και κινητική ενέργεια 7.6 Ισχύς * 7.7 Ενέργεια και αυτοκίνητο * 7.8 Σχετικιστική κινητική ενέργεια Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 8 Δυναμική ενέργεια και διατήρηση τής ενέργειας 8.1 Διατηρητικές (ή συντηρητικές) και μη διατηρητικές δυνάμεις 8.2 Δυναμική ενέργεια 8.3 Διατήρηση τής μηχανικής ενέργειας 8.4 Βαρυτική δυναμική ενέργεια κοντά στην επιφάνεια τής Γης 8.5 Μη διατηρητικές δυνάμεις και το θεώρημα έργουενέργειας 8.6 Δυναμική ενέργεια αποθηκευμένη σε ένα ελατήριο Στρατηγική λύσης προβλημάτων 8.7 Σχέση μεταξύ διατηρητικών δυνάμεων και δυναμικής ενέργειας * 8.8 Διαγράμματα ενέργειας και σταθερότητας τής ισορροπίας 8.9 Γενική περίπτωση διατήρησης τής ενέργειας * 8.10 Ισοδυναμία μάζας-ενέργειας *8.11 Κβάντωση τής ενέργειας Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 9 Γραμμική ορμή και κρούσεις 9.1 Γραμμική ορμή και ώθηση 9.2 Διατήρηση τής γραμμικής ορμής για σύστημα δύο σωμάτων 9.3 Κρούσεις 9.4 Κρούσεις σε μία διάσταση 9.5 Κρούσεις σε δύο διαστάσεις Στρατηγική λύσης προβλημάτων 9.6 Κέντρο μάζας 9.7 Κίνηση ενός συστήματος σωμάτων * 9.8 Πρόωση πυραύλων Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις

113 114 123 123 128 129 132 135 137 137 138 144 147 147 148 150 152 156 161 163 166 167 168 168 175 175 178 179 180 183 185 187 189 190 191 192 193 194 195 196 205 205 209 211 213 217 218 220 223 226 228 229

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Προβλήματα Κεφάλαιο 10 Περιστροφή ενός στερεόν' σώματος γύρω από σταθερό άξονα 10.1 Γωνιακή ταχύτητα κα ι γωνιακή επιτάχυνση 10.2 Περιστροφική κινητική: Περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση 10.3 Σχέσεις ανάμεσα σε γωνιακές και γραμμικές ποσότητες 10.4 Κινητική ενέργεια περιστροφής 10.5 Υπολογισμός ροπών αδράνειας 10.6 Ροπή 10.7 Σχέση ανάμεσα στη ροπή και στη γωνιακή επιτάχυνση 10.8 'Εργο και ενέργεια στην περιστροφική κίνηση Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα Κεφάλαιο 11 Κύλιση, στροφορμή κα ι ροπή 11.1 Κύλιση ενός στερεού σώματος 11.2 Το διανυσματικό γινόμενο και η ροπή 11.3 Στροφορμή ενός σώματος 11.4 Περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα 11.5 Διατήρηση τής στροφορμής * 11.6 Κίνηση γυροσκοπίων και στρόβων *11.7 Η θεμελιώδης σημασία τής στροφορμής Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα * Κεφάλαιο 12 Στατική ισορροπία και ελαστικότητα 12.1 Ο ι συνθήκες ισορροπίας ενός στερεού αντικειμένου (ή σώματος) 12.2 Το κέντρο βάρους 12.3 Παραδείγματα στερεών αντικειμένων που βρίσκονται σε στατική ισορροπία Στρατηγική λύσης προβλημάτων: Ισορροπούντα αντικείμενα 12.4 Ελαστικές ιδιότητες τών στερεών Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟΚ ΙΜ ΙΟ

Α ψίδες (τόξα) Τού G ordon Batson

Κεφάλαιο 13 Ταλαντώσεις 13.1 Απλή αρμονική κίνηση 13.2 Μ άζα αναρτημένη α πό ελατήριο 13.3 Ενέργεια τού απλού αρμονικού ταλαντωτή 13.4 Το εκκρεμές * 13.5 Σύγκριση τής απλής αρμονικής κίνησης με την ομαλή κυκλική κίνηση * 13.6 Φθίνουσες ή αποσβεννύμενες ταλαντώσεις * 13.7 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟ ΚΙΜ ΙΟ

230 238 238 240 241 243 245 248 250 254 257 258 259 266 266 269 271 274 277 280 283 284 285 286 293 294 296 297 297 301 305 306 306 314 316 316 320 324 327 331 333 334 336 337 338

Η Γερτρούδη που χοροπηδάει: Η κατάρρευση τής γέφυρας Tacoma Narrows Τών Robert G. Fuller και Dean A . Zollman 344

* Κεφάλαιο 14 Ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης 14.1 Ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης τού Newton 14.2 Μέτρηση τής σταθερός τής βαρύτητας 14.3 Βάρος και βαρυτική δύναμη 14.4 Ο ι νόμοι τού Kepler 14.5 Ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης κα ι η κίνηση τών πλανητών 14.6 Το βαρυτικό πεδίο 14.7 Βαρυτική δυναμική ενέργεια 14.8 Ενεργειακή θεώρηση τής κίνησης πλανητών και δορυφόρων

349 349 351 351 353

XXI

* 14.9

Η βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και ένα εκτεταμένο σώμα (αντικείμενο) * 14.10 Δύναμη βαρύτητας ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και σε μιά σφαιρική κατανομή μάζας Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟΚ ΙΜ ΙΟ

To Big Bang (στο μεγάλο μπανγκ) Τού C. Wolff

* Κεφάλαιο 15 Μ ηχανική τώ ν ρευστών 15.1 Καταστάσεις τής ύλης 15.2 Πυκνότητα κα ι πίεση 15.3 Μεταβολή τής πίεσης συναρτήσει τού βάρους 15.4 Μετρήσεις πίεσης 15.5 Η άνωση και η αρχή τού Αρχιμήδη 15.6 Δυναμική τώ ν Ρευστών 15.7 Ρευματικές γραμμές και η εξίσωση τής συνέχειας 15.8. Η εξίσωση τού Bernoulli * 15.9 'Αλλες εφαρμογές τής εξίσωσης τού Bernoulli *15.10 Ενέργεια α πό τον άνεμο (αιολική ενέργεια) *15.11 Ιξώδες (εσωτερική τριβή ρευστών) * 15.12 Τυρβώδηςροή Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟΚ ΙΜ ΙΟ

Φυσική τών υψηλών πιέσεων Τού A. Jayaraman

Κεφάλαιο 39 Η ειδική θεωρία τής σχετικότητας 39.1 Εισαγωγή 39.2 Η αρχή τή ς σχετικότητας 39.3 Το πείραμα τών Michelson-Morley 39.4 Η αρχή τής σχετικότητας τού Einstein 39.5 Μ ια περιγραφή γεγονότων στη σχετικότητα 39.6 Το ταυτόχρονο 39.7 Η σχετικότητα τού χρόνου 39.8 Η σχετικότητα τού μήκους 39.9 Ο ι μετασχηματισμοί τού Lorentz 39.10 Μετασχηματισμοί ταχυτήτων τού Lorentz 39.11 Σχετικιστική ορμή 39.12 Σχετικιστική ενέργεια 39.13 Επιβεβαίωση και συνέπειες τής θεωρίας τής σχετικότητας Ανακεφαλαίωση Ερωτήσεις Προβλήματα ΔΟ Κ ΙΜ ΙΟ

Η αναγέννηση τής Γενικής θεω ρία ς τή ς Σχετικότητας Τού Clifford Μ. Will

Π αράρτημα Α Π ίνακες Π ίνακας Α.1 Συντελεστές μετατροπής Π ίνακας Α .2 Σύμβολα, διαστάσεις και μονάδες διαφόρων φυσικών μεγεθών Π ίνακας Α .3 Π ίνακας ατομικών μαζών Π αράρτημα Β Μ αθηματική Επισκόπηση Β.1 Μαθηματικός συμβολισμός Β.2 'Αλγεβρα Β.3 Γεωμετρία Β.4 Τριγωνομετρία Β.5 Σειρές Β.6 Δ ιαφορικός λογισμός Β.7 Ολοκληρωτικός λογισμός Π αράρτημα C Το περιοδικό σύστημα τών στοιχείων Π αράρτημα D

Μονάδες SI

364 365 367 369 370 375 381 381 383 384 387 387 390 391 392 394 395 398 399 400 401 403 409 413 413 414 417 420 422 423 424 428 430 432 434 436 440 441 442 443

447 Π.1 Π.1 Π.2 Π.4 Π.8 Π.8 Π .9 Π .15 Π .16 Π . 18 Π .19 Π.21 Π.26 Π.28

353 357 358

Π αράρτημα Ε

Βραβεία Νόμπελ

Π.29

Π αράρτημα F

Spreadsheets

II .34

361

Α λφαβητικό Ευρετήριο

Απαντήσεις στα προβλήματα με περιττό αύξοντα αριθμό

Π.49 Ε.1

Some Fundam ental Constants·

Quantit)

Symbol

Atomic mass unit

u

Avogadro’s number

Na eh "b= 2 ^ h2 °° mee2k k - R/Na

Bohr magneton Bohr radius Boltzmann’s constant

Valucb 1.660 540 2(10) X 10"27 kg 931.434 32(28) MeV/c2 6.022 136 7(36) X 1023 (g mol)"1 9.274 015 4(31) X ΙΟ"*· J/T 0.529 177 249(24) X 10~10 m 1.380 658(12) X 10~23J/K

Compton wavelength

Ac = — mec

2.426 310 58(22) X 10"»2 m

Deuteron mass

md

Electron mass

me

Electron-volt Elementary charge Gas constant Gravitational constant

eV e R G _ E°

3.343 2.013 9.109 5.485 0.510 1.602 1.602 8.314 6.672

Hydrogen ground state Josephson frequencyvoltage ratio Magnetic flux quantum Neutron mass

13.605 698(40) eV

2e/h

4.835 976 7(14) X 10M Hz/V

Φ0 = h/2e

2.067 834 61(61) X 10"15 Wb 1.674 928 6(10) X 10"27 kg 1.008 664 904(14) u 939.565 63(28) MeV/c2

t\£ II

Nuclear magneton

mee*k2 2h*

586 0(20) X 10"27 kg 553 214(24) u 389 7(54) X 10"31 kg 799 03(13) X ΙΟ"·· u 999 06(15) MeV/c2 177 33(49) X 10~i e J 177 33(49) X 10-19 C 510(70) J/K·mol 59(85) X 10"11 N-m2/kg2

5.050 786 6(17) X 10"27 J/T

Permeability of free space Permittivity of free space Planck’s constant

Ho

4π X 10-7 N/A2 (exact)

Co = k/HoC2

Proton mass

mP

Quantized Hall resistance Rydberg constant Speed of light in vacuum

h/e2

8.854 187 817 X 10-12 C2/N · m2 (exact) 6.626 075(40) X 10“ 34 J-s 1.054 572 66(63) X 10-34 J-s 1.672 623(10) X 10"27 kg 1.007 276 470(12) u 938.272 3(28) MeV/c2 25812.805 6(12) Ω

Rh c

1.097 373 153 4(13) X 107 n r ' 2.997 924 58X 10® m/s (exact)

h h = h/2π

• These constants are the values recommended in 1986 by CODATA, based on a least-squares adjustment of data from different measurements. For a more complete list, see Cohen, E. Rich­ ard, and Barry N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 59:1121, 1987. b The numbers in parentheses for the values below represent the uncertainties in the last two digits.

Solar System Data Body Mercury Venus Earth Mars Jupiter Saturn Uranus Nept,une Pluto Moon Sun

Mass (kg)

Mean Radius (m)

3.18 X 10“ 4.88 X 1024 5.98 X 1024 6.42 X 1023 1.90 X 1027 5.68 X 102« 8.68 X 1028 1.03 X 102e = 1.4 X 1022 7.36 X 1022 1.991 X 1030

2.43 X 10® 6.06 X 10e 6.37 X 10® 3.37 X 10® 6.99 X 107 5.85 X 107 2.33 X 107 2.21 X 107 * 1.5 X 10® 1.74 X 10® 6.96 X 10®

Distance from Sun (m) Period (s) 7.60 X 10® 5.79 X 10‘° 1.94 X 107 1.08X 10“ 3.156 X 107 1.496 X 10" 5.94 X 107 2.28 X 10“ 3.74 X 10® 7.78 X 10“ 9.35 X 10* 1.43 X 10‘* 2.64 X 10® 2.87 X 1012 5.22 X 10® 4.50 X 1012 7.82 X 10® 5.91 X 1012

—

—

—

—

Physical Data Often Used· Acceleration due to gravity Average earth-moon distance Average earth-sun distance Average radius of the earth Density of air (20 °C and 1 atm) Density of water (20°C and 1 atm) Mass of the earth Mass of the moon Mass of the sun Standard atmospheric pressure

9.80 m/s2 3.84 X 10® m 1.49 X 10u m 6.37 X 10® m 1.20 kg/m3 1.00 X 103 kg/m3 5.98 X 1024 kg 7.36 X 1022 kg 1.99 X 1030 kg 1.013 X 10s Pa

* These are the values o f th e constants as used in th e text.

Some Prefixes for Powers of Ten Power

Prefix

Abbreviation

Power

Prefix

Abbreviation

i o - 18 10-is IO"12 IO"® io-® 10“3 IO"2 IO"1

atto femto pico nano micro milli centi deci

a f P n M m c d

10» 102 103 10® 10® 1012 10‘® 101®

deka hecto kilo mega g'ga tera peta exa

da h k M G T P E

ΜΕΡΟΣ I Μηχανική Η Φυσική είναι η πιο θεμελιώδης από τις θετικές επιστήμες και έχει ως αντικείμενο τη μελέτη τών βασικών αρχών που διέπουν το Σύμπαν. Αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο έχουν κτιστεί οι λοιπές θετικές επιστήμες, όπως είναι λ .χ ., η Χημεία , η Αστρονομία, η Γεωλογία. Η ομορφιά τής Φυσικής βρίσκεται στην απλότητα τών θεμελιωδών θεωριών της και στον τρόπο με τον οποίο μάς βοηθά να κατανοήσουμε τον γύρω μας κόσμο χρησιμοποιώντας έναν μικρό αριθμό από βασικές έννοιες, εξισώσεις και υποθέσεις. Οι μυριάδες φυσικά φ αινόμενα που παρατηρούμε αποτελούν μέρος μιας ή περισσότερων από τους ακόλουθους τομείς της Φυσικής: 1. Τής Μ ηχανικής, που μελετά την κίνηση τών υλικών αντικειμένων. 2. Τής Θερμοδυναμικής, που μελετά τη θερμότητα, τη θερμοκρασία και τη συμπεριφορά ενός μεγάλου αριθμού σωμάτων. 3. Τού Ηλεκτρομαγνητισμού, που καλύπτει τη θεωρία τού ηλεκτρισμού, τού μαγνητισμού και τών ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. 4. Τής Σ χετικότητας, που είναι η θεωρία η οποία περιγράφει τα σώματα που κινούνται με οποιαδήποτε ταχύτητα. 5. Τής Κβαντικής Μ ηχανικής, που είναι η θεωρία η οποία περιγράφει τη συμπεριφορά τών σωμάτων στο επίπεδο τού ατόμου. Το πρώτο μέρος τού συγγράμματος τούτου αναφέρεται στη Μ ηχανική, που, συνήθως, καλείται Κλασική Μ ηχανική ή Νευτώνεια Μ ηχανική. Είναι πιο εύκολο να αρχίσουμε ένα εισαγωγικό σύγγραμμα Φυσικής με τη Μ ηχανική, γιατί οι βασικές αρχές που χρησιμοποιούνται για την κατανόηση τών προβλημάτων τής Μ ηχανικής θα είναι χρήσιμες αργότερα για την πληρέστερη περιγραφή διαφόρω ν φυσικών φαινομένων, όπω ς είναι λ.χ. τα κύματα και η μεταφορά θερμότητας. Εξάλλου, οι νόμοι διατήρησης τής ενέργειας και τής ορμής, που πρωτοεισάγονται στη Μ ηχανική, διατηρούν τη σπουδαιότητά τους και στα άλλα μέρη τής Φυσικής, συμπεριλαμβανομένων και τών θεωριών τής Σύγχρονης Φυσικής. Οι πρώτες συστηματικές προσπάθειες για την επεξεργασία μιας θεωρίας που θα εξηγούσε την κίνηση έγιναν από τους Έλληνες αστρονόμους και φιλοσόφους. Αλλά οι Έλληνες, αν και δημιούργησαν ένα σύνθετο μοντέλο για να εξηγήσουν τις κινήσεις τών ουράνιων σωμάτων, δεν κατόρθωσαν στο μοντέλο τους αυτό να συνδέσουν τις κινήσεις τών ουράνιων σωμάτων με τις κινήσεις τών σωμάτων που βρίσκονται πάνω στην Γη. Η μελέτη τής Μ ηχανικής σημείωσε πρόοδο κατά τον 16ο αιώ να με την πληθώρα τών αστρονομικών παρατηρήσεων που έκαναν ο Κοπέρνικος (Copernicus), ο Μ πράχε (Brahe) και ο Κέπλερ (Kepler). Κατά τη διάρκεια τού 16ου και τού 17ου αιώ να, ο Γαλιλαίος (Galileo Galilei) προσπάθησε να συνδέσει την κίνηση τών πλανητών με την κίνηση σωμάτων που πέφτουν στην επιφάνεια τής Γης, καθώς και βλημάτων, ενώ ο Σέβιν (Sevin) και ο Χουκ (Hooke) μελετούσαν τη σχέση ανάμεσα στις κινήσεις και στις δυνάμεις. Η μεγάλη πρόοδος όμως στη Μ ηχανική σημειώθηκε το 1687. Τότε ο Νεύτων (Newton) δημοσίευσε το βιβλίο το vPhilosophiae naturalis principia mathematica («Μαθη­ ματικές αρχές τής φυσικής φιλοσοφίας»). Η κομψή νευτώνεια θεωρία κυριάρχησε επί 200 και πλέον χρόνια και βασίστηκε στην υπόθεση τού Newton για την παγκόσμια έλξη, καθώς και στο έργο τού Γαλιλαίου και άλλων πρωτοπόρων επιστημόνων. Σήμερα η Μ ηχανική είναι πολύ χρήσιμη στους σπουδαστές πάρα πολλών ειδικοτήτων. Περιγράφει με μεγάλη επιτυχία τις κινήσεις διαφόρων υλικών σωμάτων, όπω ς είναι οι πλανήτες, οι πύραυλοι, οι μπάλλες κ.ά. Στο πρώτο μέρος τού συγγράμματος αυτού θα περιγράφουμε τους νόμους τής Μ ηχανικής και θα εξετάσουμε τα διάφορα φαινόμενα που ερμηνεύονται με τις βασικές αυτές ιδέες.

___________ 1___________

Εισαγωγή: Φυσική και Μέτρηση

Η ποσοτική μέτρηση είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία τού φυσι­ κού. Στη φω τογραφία βλέπετε, να ζυγίζεται χρυσός (Ο R. Pleasant, F. Ρ. G. International).

υσική είναι η θεμελιώδης επιστήμη που ασχολείται με την ερμηνεία τών φυσικών φαινομένων που συντελούνται στο Σύμπαν. Είναι η επιστήμη που βασίζεται στην πειραματική παρα­ τήρηση και στην ποσοτική μέτρηση. Κύριος στόχος τής επιστημο­ νικής προσέγγισης είναι η ανάπτυξη θεωριών που βασίζονται σε θεμελιώδεις νόμους και προβλέπουν τα αποτελέσματα πειραμάτων. Ευτυχώς, είναι δυνατόν να προβλεφθεί η συμπεριφορά πολλών φυσικών συστημάτων με έναν σχετικά περιορισμένο αριθμό θεμελιωδών νόμων. Αυτοί οι θεμελιώδεις νόμοι διατυπώνονται στη γλώσσα τών Μ αθηματικών, που είναι το εργαλείο το οποίο γεφυρώνει το πείραμα με τη θεωρία. Κάθε φορά που υπάρχει ασυμφωνία ανάμεσα στη θεωρία και στο πείραμα πρέπει να εισάγονται νέες θεωρίες και έννοιες για να αρθεί η ασυμφωνία αυτή. Συχνά, μια θεωρία ισχύει με ορισμένους περιορισμούς. Μ ια πιο γενική θεωρία όμως δεν έχει τέτοιους περιορισμούς. Κλασικό παράδειγμα είναι οι νευτώνειοι νόμοι τής κίνησης, που περιγράφουν με ικανοποιητική ακρίβεια την κίνηση τών σωμάτων σε ταχύτητες τής καθημερινής εμπειρίας, αλλά δεν ισχύουν για αντικείμενα που κινούνται με ταχύτητα συγκρίσιμη με την ταχύτητα τού φωτός. Η ειδική θεωρία τής σχετικότητας που ανέπτυξε ο 'Α λμπερτ Ά ινσ τα ϊν (Albert Einstein, 1879-1955) περιγράφει με ακρίβεια την

Φ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ

κίνηση αντικειμένων που κινούνται με ταχύτητες οι οποίες προσεγγίζουν την ταχύτητα τού φωτός. Είνα ι, λοιπόν, μια γενική θεωρία τής κίνησης. Κλασική Φυσική λέγεται η Φυσική που αναπτύχθηκε πριν από το 1900 και η οποία περιλαμβάνει τις θεωρίες, τις έννοιες και τους νόμους τριών μεγάλων ενοτήτων: 1) τής Κλασικής Μ ηχανικής· 2) τής Θερμοδυναμικής (δηλαδή τής μεταφοράς θερμότητας, τής θερμοκρασίας και τής συμπεριφοράς μεγάλου αριθμού σωμάτων που είναι ίδια και απαράλλαχτα μεταξύ τους)· και 3) τού Ηλεκτρομαγνητισμού (δηλαδή τής μελέτης των ηλεκτρικών και μαγνητικών φαινομένων, τής οπτικής και τής ακτινοβολίας). Ο Galileo Galilei (1564-1642) έδωσε την πρώτη μεγάλη συνεισφορά στην Κλασική Μ ηχανική με τη μελέτη τών νόμων τής κίνησης η οποία υπόκειται σε σταθερή επιτάχυνση. Την ίδια εποχή ο Johannes Kepler (1571-1630) χρησιμο­ ποίησε αστρονομικές παρατηρήσεις και κατέληξε σε εμπειρικούς νόμους για την κίνηση τών πλανητών. Η μεγαλύτερη όμως συνεισφορά στην Κλασική Μ ηχανική έγινε από τον Isaac Newton (1642-1727), που διαμόρφωσε την Κλασική Μηχανική ως συστηματική θεωρία και είναι ένας από τους δημιουργούς τού απειροστικού λογισμού και τής συστηματικής του χρήσης ως εργαλείου τής Φυσικής. Τον 18ο αιώ να σημειώθηκε σημαντική πρόοδος στη Φυσική. Η θερμοδυναμική, ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός, πάντως, δεν αναπτύχθηκαν παρά μόνο προς τα τέλη τού 19ου αιώ να, διότι οι πειραματικές συσκευές ήταν πολύ πρωτόγονες ή δεν υ πήρχαν ενωρίτερα. Αν και είχαν γίνει πολλές μελέτες τών ηλεκτρικών και τών μαγνητικών φαινομένων, πρώτος ο James Clark Maxwell (1831-1879) διατύπωσε μια ενοποιημένη θεωρία τού ηλεκτρομαγνητισμού. Στο σύγγραμμα τούτο θα εξετάσουμε τις διάφορες ενότητες τής Φυσικής σε χωριστά μέρη. Θ α φανεί σαφέστατα όμως ότι οι ενότητες τής Μ ηχανικής και τού Ηλεκτρομαγνητισμού είναι βασικές για όλους τους κλάδους τής Κλασικής και τής Σύγχρονης Φυσικής. Μ ια νέα εποχή άρχισε για τη Φυσική στα τέλη τού 19ου αιώ να, η εποχή τής Σύγχρονης Φυσικής. Η Σύγχρονη Φυσική δημιουργήθηκε ύστερα από την ανακάλυψη πολλών φυσικών φαινομένων τα οποία δεν μπορούσε να εξηγήσει η Κλασική Φυσική. Τα δύο σημαντικότερα επιτεύγματα τής σύγχρονης εποχής στην επιστήμη τής Φυσικής είναι η θεωρία τής σχετικότητας και η θεωρία τής Κβαντικής Μ ηχανικής. Η θεωρία τής σχετικότητας του Einstein επέφερε, κυριολεκτικά, επανάσταση στις παραδοσιακές έννοιες τού χώρου, τού χρόνου και τής ενέργειας. Ανάμεσα σε όλα τα άλλα, η θεωρία αυτή διόρθωσε τους νόμους τού Newton όταν αυτοί περιγράφουν την κίνηση αντικειμένων τα οποία κινούνται με ταχύτητα συγκρίσιμη με την ταχύτητα τού φωτός. Η θεωρία τής σχετικότητας δέχεται επίσης ότι ανώτατο όριο στην ταχύτητα ενός αντικειμένου ή σήματος είναι η ταχύτητα τού φωτός και αποδεικνύει την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας. Η διατύπωση της Κβαντι­ κής Μ ηχανικής έγινε από διάσημους επιστήμονες και περιγράφει τα φυσικά φαινόμενα στο επίπεδο τού ατόμου. Ο ι αδιάκοπες προσπάθειες τών επιστημόνων να καταστήσουν βαθύτερη την κατανόηση τών θεμελιωδών νόμων οδηγούν συνεχώς σε νέες ανακαλύ­ ψεις. Σε πολλούς τομείς έρευνας υπάρχει επικάλυψη Φυσικής, Χημείας και Βιολογίας. Και η μεγάλη τεχνολογική πρόοδος τής εποχής μας είναι καρπός τών κοπιωδών προσπαθειών πολλών επιστημόνων, μηχανικών και τεχνικών. Μερικά από τα αξιοσημείωτα τεχνολογικά επιτεύγματα τής εποχής μας είναι: 1 1) οι διαστημικές αποστολές και η προσεδάφιση ανθρώπων στη Σελήνη· 2) η μικροηλεκτρονική και οι ταχύτατοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές· και 3) οι πολύπλοκες και γεμάτες εφευρετικότητα τεχνικές απεικόνισης που χρησιμο­ ποιούνται στην επιστημονική έρευνα και ειδικότερα στην ιατρική έρευνα. Οι εξελίξεις αυτές έχουν επηρεάσει πολύ την κοινωνία και τη ζωή μας και ελπίζουμε ότι και οι μελλοντικές ανακαλύψεις θα είναι ακόμη πιο συναρπα­ στικές και χρήσιμες για την ανθρωπότητα.

3

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ

1.1

ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΗΚΟΥΣ, ΜΑΖΑΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥ

Οι νόμοι τής Φυσικής διατυπώνονται με τη χρησιμοποίηση ορισμένων θεμελιωδών ποσοτήτων, που πρέπει να ορίσουμε με σαφήνεια. Λογουχάρη, φυσικές ποσότητες όπως είναι η δύναμη, η ταχύτητα, ο όγκος και η επιτάχυνση μπορούν να περιγραφούν με τη χρησιμοποίηση πιο θεμελιωδών ποσοτήτων, οι οποίες ορίζονται με τη βοήθεια μετρήσεων ή συγκρίσεων με γενικώς αποδεκτά πρότυπα. Στη Μηχανική, οι τρεις θεμελιώδεις ποσότητες είναι το μήκος (L), ο χρόνος ( Τ) και η μάζα (Μ). Ό λ ες οι άλλες ποσότητες στη Μηχανική μπορούν να διατυπωθούν με τη χρησιμοποίηση τών τριών αυτών ποσοτήτων. Ε ίνα ι προφανές ότι εάν θέλουμε να πληροφορήσουμε κάποιον για τα αποτελέσματα μιας μέτρησης, πρέπει να ορίσουμε ένα πρότυπο. Δεν έχει νόημα να μάς μιλάει ένας επισκέπτης από κάποιον άλλο πλανήτη για μήκος 8 «gliches» εάν δεν ξέρουμε τον ορισμό τής μονάδας «glich». Από την άλλη πλευρά, εάν κάποιος είναι γνώστης τού συστήματος που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε το μήκος και μάς λέει ότι ένας τοίχος έχει ύψος 2m, όταν η μονάδα μέτρησης είναι το μέτρο, τότε καταλαβαίνουμε ότι το ύψος τού τοίχου είναι δύο φορές μεγαλύτερο από τη θεμελιώδη μονάδα μήκους. Παρομοίως, εάν μάς πουν ότι κάτι έχει μάζα 75 χιλιόγραμμα και η μονάδα μάζας που χρησιμοποιούμε είναι το χιλιόγραμμο, τότε ξέρουμε ότι αυτό το κάτι έχει μάζα 75 φορές μεγαλύτερη από την θεμελιώδη μονάδα μάζας(1). Το 1960, μια διεθνής επιτροπή όρισε τους τελευταίους κανόνες και αποφάσισε για τις μονάδες μέτρησης τών θεμελιωδών ποσοτήτων. Το σύστημα το οποίο διαμόρφωσε αποτελεί συνέχεια τού λεγάμενου μετρικού συστήματος. Και ονομάζεται Διεθνές Σύστημα (στα γαλλικά Systdme International- συμβολίζεται ως SI). Στο σύστημα αυτό οι μονάδες μάζας, μήκους και χρόνου είναι, αντίστοιχα, το χιλιόγραμμο μάζας, το μέτρο και το δευτερόλεπτο. 'Αλλες πρότυπες μονάδες του SI που ορίστηκαν από την ίδια επιτροπή είναι οι μονάδες τής θερμοκρασίας [το Κέλβιν (Kelvin)], τού ηλεκτρικού ρεύματος [το αμπέρ (ampere)], της έντασης φωτοβολίας [η καντέλα (candela)] και τής ποσότητας ύλης [το μολ (mole, βλ. υποκεφάλαιο 1.2)]. Αυτές οι επτά θεμελιώδεις μονάδες είναι οι βασικές μονάδες τού SI. Μάζα Μονάδα μάζας τού SI είναι το χιλιόγραμμο και ορίζεται ότι ισούται με τη μάζα ενός κυλίνδρου κατασκευασμένου από κράμα λευκοχρύσουιριδίου που φυλάσσεται στο Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών στην πόλη Sfcvres της Γαλλίας. Το πρότυπο αυτό μέτρο μάζας συμφωνήθηκε το 1901 και δεν έχει επέλθει από τότε καμία αλλαγή στον ορισμό του, διότι το κράμα λευκοχρύσου - ιριδίου είναι σταθερό και δεν αλλοιώνεται. Ο κύλινδρος αυτός έχει διάμετρο 3.9 εκατοστόμετρα. Έ ν α αντίγραφό του βρίσκεται στο Εθνικό Γραφείο Μέτρων τών Η Π Α στο Gaithersburg της πολιτείας Maryland. Χρόνος Π ριν από το 1960 η μονάδα τού χρόνου οριζόταν με τη χρησιμοποίηση τής

μέσης ηλιακής ήμέραΗ αναγκαιότητα περιγραφής με αριθμούς τών φυσικών ποσοτήτων που μετρούνται στα διάφορα πειράματα περιγράφεται από τον Λόρδο Κέλβιν (William Thomson) ως εξής: «Λέγω συχνά ότι όταν μπορείς να μετρήσεις αυτό που περιγράφεις και αν μπορείς να τό εκφράσεις με αριθμούς, τότε ξέρεις κάτι γι’ αυτό· αλλά όταν δεν μπορείς να τό εκφράσεις με αριθμούς, τότε η γνώση σου είναι αποσπασματική και ελλειπής». j = ν0 τη στιγμή t = 0 και με ν { = ν την ταχύτητα για κάθε τυχαίο χρόνο ί. Έ τσ ι, με τον παραπάνω συμβολισμό, η επιτάχυνση είναι , Η ταχύτητα ως συνάρτηση τού χρόνου

°

_ υ~υ0 t

υ = υ0 + at

(για σταθερό α)

(3.7)

Αυτή η έκφραση μάς δίνει τη δυνατότητα να προβλέψουμε την ταχύτητα για οποιονόήποτε χρόνο t εάν μάς δοθούν η αρχική ταχύτητα, η επιτάχυνση και ο διαρρεύσας χρόνος. Το Σχήμα 3.9a δείχνει την ταχύτητα αυτής τής κίνησης ως συνάρτηση τού χρόνου. Η καμπύλη είναι ευθεία γραμμή με κλίση ίση προς την επιτάχυνση a = dv/dt, που είναι σταθερή. Από την καμπύλη αυτή, που απεικονίζει την Εξίσωση 3.7, βλέπουμε ότι η ταχύτητα σε κάθε στιγμή t είναι το άθροισμα τής αρχικής ταχύτητας ν0 και τής μεταβολής τής ταχύτητας at. Το Σχήμα 3.9b απεικονίζει την επιτάχυνση ως συνάρτηση τού χρόνου, που είναι ευθεία γραμμή με μηδενική κλίση, εφόσον η επιτάχυνση είναι σταθερή. Να σημειωθεί ότι, εάν η επιτάχυνση είναι αρνητική (δηλαδή εάν το σώμα επιβραδύνεται), η κλίση τού Σχήματος 3.9a είναι αρνητική.

Σχήμα 3.9 'Ε να σώμα που κινείται στον άξονα χ με σταθερή επιτάχυνση a. (a) Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου. (b) Γραφική παράσταση επιτάχυνσης-χρόνου. (c) Γραφική παράσταση απόστασης-χρόνου.

Επειδή η ταχύτητα που μελετούμε εξαρτάται γραμμικά από τον χρόνο, μπορούμε να εκφράσουμε τη μέση ταχύτητα οποιουδήποτε χρονικού διαστή­ ματος ως τον αριθμητικό μέσο όρο τής αρχικής ταχύτητας ν0 και τής τελικής ταχύτητας ν: ν = V° ^ V

(Υια σταθερό α)

(3.8)

Α ς σημειωθεί ότι η έκφραση αυτή είναι χρήσιμη μόνον όταν η επιτάχυνση είναι σταθερή, δηλαδή η ταχύτητα είναι γραμμική συνάρτηση τού χρόνου. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τις Εξισώσεις 3.1 και 3.8 για να βρούμε τη μετατόπιση ως συνάρτηση τού χρόνου. Επιλέγουμε πάλι το η = 0 με αντίστοιχη μετατόπιση = χ 0. Αυτό μας δίνει Λ ,- Ϊ Α ,- Ι ψ ) , ή χ — χ0 ** i(v + v0)t

(για σταθερό α)

(3.9)

3.4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

45

Εάν χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση 3.7 στην 3.9 μπορούμε να βρούμε άλλη μία χρήσιμη έκφραση για τη μετατόπιση: χ - χ0 = i(«0 + «ο + a t)t x — x0 = v0t + \ a t2

(για σταθερό α)

(3.10)

Μπορούμε να ελέγξουμε την ορθότητα τής σχέσης αυτής παραγω γίζοντας ως προς τον χρόνο ν - ι ; - ί (χ° + ν °, + ι ,·'') = υ° + '“ Τέλος, μπορούμε να βρούμε μία έκφραση η οποία δεν περιέχει τον χρόνο, εάν θέσουμε στην Εξίσωση 3.9 την τιμή τού χρόνου t που βρίσκουμε από την Εξίσωση 3.7. 'Ετσι βρίσκουμε ■/ , \ ί υ ~ νο \ υ2 ~ υ 02 - , , - Ηο0 + ν) ( — ) -------2α

υ2 = υ02 + 2α(χ — χ0)

(για σταθερό ά)

(3.11)

Το Σχήμα 3.9c δείχνει την καμπύλη απόστασης-χρόνου για κίνηση με σταθερή θετική επιτάχυνση α. Να σημειωθεί ότι η καμπύλη είναι παραβολή. Η κλίση τής εφαπτομένης τής καμπύλης στο σημείο t = 0 ισούται με την αρχική ταχύτητα υ0. Η κλίση μιας τυχαίας εφαπτομένης κατά τη στιγμή t ισούται με την ταχύτητα που αντιστοιχεί σε αυτήν τη στιγμή. Εάν η επιτάχυνση τής κίνησης είναι μηδενική, τότε έχουμε

#1 όχαν α ~ ο xν - xν°0 = v t) Δηλαδή, όταν η επιτάχυνση είναι μηδενική, η ταχύτητα είναι σταθερή και η μετατόπιση είναι γραμμική συνάρτηση τού χρόνου. Με τη χρησιμοποίηση τών πέντε εξισώσεων κίνησης από 3.7 έως 3.11, μπορούμε να λύσουμε οποιοδήποτε πρόβλημα κίνησης σε μ ία διάσταση με σταθερή επιτάχυνση (ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση). Μην ξεχνά­ τε ότι αποδείξαμε τις σχέσεις αυτές χρησιμοποιώντας τους ορισμούς τής ταχύτητας, τής επιτάχυνσης και το γεγονός ότι η επιτάχυνση είναι σταθερή. Πολλές φορές, για διευκόλυνσή μας επιλέγουμε την αρχική θέση ενός σώματος έτσι ώστε αυτή να συμπίπτει με την αρχή τών συντεταγμένων, δηλαδή τ 0 = 0 όταν ί = 0. Στην περίπτωση αυτή η μετατόπιση είναι, απλώς, το ίδιο το χ. Για διευκόλυνσή μας ο Π ίνακας 3.2. περιέχει τις τέσσερεις πιο χρήσιμες εξισώσεις κίνησης. Η επιλογή τών εξισώσεων που θα χρησιμοποιήσετε εξαρτάται από το τί ξέρετε για το πρόβλημα. Πολλές φορές, πρέπει να χρησιμοποιήσετε δύο από αυτές τις εξισώσεις για να λύσετε ως προς δύο αγνώστους, όπως π.χ . τη μετατόπιση και την ταχύτητα που αντιστοιχούν σε κάποιο χρόνο. Λ ογουχάρη, υποθέστε ότι σάς έδωσαν την αρχική ταχύτητα υ0 και την επιτάχυνση α. Μπορείτε να βρείτε (1) την ταχύτητα μετά από την πάροδο χρόνου ί, επειδή ν = υ0 + at, και (2) την αντίστοιχη μετατόπιση, χρησιμοποιώντας τη σχέση χ - χ0 = v0t + \a t2. Πρέπει να έχετε πάντοτε υ π’ όψιν ότι οι ποσότητες που μεταβάλλονται κατά την κίνηση είναι η ταχύτητα, η μετατόπιση και ο χρόνος. Μόνο εάν λύσετε πολλά προβλήματα και χρησιμοποιήσετε πολλά πα ρα­ δείγματα θα αποκτήσετε εμπειρία. Πολλές φορές, θα ανακαλύψετε ότι υπάρχουν περισσότεροι από έναν τρόποι για να λύσετε μια άσκηση.

Η ταχύτητα ως συνάρτηση της μετατόπισης

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΠΙΝΑΚΑΣ 3.2 Εξισώσεις τής κίνησης γιο ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση Πληροφορία που δίνει η εξίσωση

Εξίσωση ν = ο0 + at χ= £(« + υο)* x - x 0 = v0t + $at2 ρ2 = ο„2 + 2 α (τ -τ ρ )

Ταχύτητα ως συνάρτηση τού χρόνου Μετατόπιση ως συνάρτηση τής ταχύτητας και τού χρόνου Μετατόπιση ως συνάρτηση τού χρόνου Ταχύτητα ως συνάρτηση τής μετατόπισης

Σημείωση: Η κίνηση είναι παράλληλη στον άξονα ιών χ. Τη «πιγμή 1 = 0 η θέση τού σώματος είναι *0 και η ταχύτητα τού υ0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.5 Αυτοκίνητο αγώνων Ένας κατασκευαστής αυτοκινήτων διαφημίζει το νέο αυτοκίνητο αγώνων που κατασκεύασε λέγοντας ότι, από τη στιγμή που θα ξεκινήσει επιταχυνόμενο ομαλά, αποκτά ταχύτητα 87 mi/h μέσα σε 8 s. (a) Βρείτε την επιτάχυνση τού αυτοκινήτου. Ας σημειωθεί ότι υ0 = 0 και ότι η ταχύτητα μετά από 8 s είναι 87 mi/h = 128 ft/s (διότι 60 mi/h = 88 ft/s ακριβώς). Εφόσον μάς έχουν δώσει τα υ0, ν και ί, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ν = ν0 + at και βρίσκουμε ότι η επιτάχυνση:

_ 2(χ —χ0) _ 2(2 X 10~2 m) ν0 + υ = (3 X ΙΟ4 + 5 X ΙΟ6) m/s =

7.95 X 10~® s

(b) Ποια είναι η επιτάχυνση τού ηλεκτρονίου σε αυτή την περιοχή; Χρησιμοποιώντας το τελευταίο αποτέλεσμα τού (a) και τη σχέση ν = υ0 + at βρίσκουμε:

°

_ p - υ0 _ (5 X ΙΟ6 - 3 X ΙΟ4) m/s t 7.95 X ΙΟ-9 s =

(b) Βρείτε την απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο στα πρώτα 8 s. Επιλέγουμε την αρχή τών συντεταγμένων να συμπί­ πτει με την αρχική θέση τού αυτοκινήτου ώστε τ 0 = 0. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση 3.9 βρίσκουμε: * = i K + »)f = i(128ft/s)(8s)=

512 ft

(c) Ποια είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου 10 s μετά την έναρξη τής κίνησής του, αν υποτεθεί ότι εξακολου­ θεί να επιταχύνεται με ρυθμό 16 ft/s2; Χρησιμοποιούμε πάλι την ν = ν0 + at με ν0 = 0, ί = 10 s και a = 16 ft/s2. Και βρίσκουμε υ = υ0 + at = 0 + (16 ft/s2)(10 s) =

160 ft/s

Η τιμή αυτή αντιστοιχεί στην ταχύτητα τών 109 mi/h.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.6 Επιταχύνοντας ένα ηλεκτρόνιο Ένα ηλεκτρόνιο στην καθοδική λυχνία μιας συσκευής τηλεόρασης εισέρχεται σε περιοχή όπου επιταχύνεται ομαλά από την ταχύτητα τών 3 x 104 m/s στην ταχύτητα τών 5 X ΙΟ6 m/s διανύοντας απόσταση 2 cm. (a) Για πόσο χρονικό διάστημα επιταχύνεται το ηλεκτρόνιο; Θεωρώντας ότι η κίνηση γίνεται στην διεύθυνση τού άξονα χ, χρησιμοποιούμε τηνΕξίσωση 3.9 για να βρούμε τον χρόνο ί, μια και ξέρουμε τη μετατόπιση και τις ταχύτητες: * - *o = i(«o + v)t

6.25 X ΙΟ14 m/s2

Μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει την εξίσωση 3.11 για να βρούμε την επιτάχυνση, μια και γνωρίζουμε τις ταχύτητες και τη μετατόπιση; (προσπαθήστε να εφαρμόσετε αυτόν τον τρόπο λύσης). Μπορεί να σάς φαίνεται μεγάλη η τιμή αυτή τού α, αλλά η επιτάχυνση αυτή διαρκεί για μικρό χρονικό διάστημα και είναι τυπική τιμή για επιταχύνσεις φορτισμένων σωματιδίων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.7 Μην αγνοείτε το όριο ταχύτητας Ένα αυτοκίνητο IX το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα 30 m/s (= 67 mi/h) περνάει μπροστά από ένα περιπολικό αυτοκίνητο τής τροχαίας που είναι κρυμμέ­ νο πίσω από ένα διαφημιστικό πανώ. Μετά από ένα δευτερόλεπτο το περιπολικό ξεκινάει και αρχίζει την καταδίωξη επιταχυνόμενο ομαλά με επιτάχυνση 3.0 m/s2. Σε πόση ώρα το περιπολικό θα φθάσει το IX αυτοκίνητο; Λύση Για να λύσουμε αλγεβρικά το πρόβλημα ας γράφουμε τις εκφράσεις που περιγράφουν τη θέση τών δύο οχημάτων συναρτήσει τού χρόνου. Μάς εξυπηρετεί καλύτερα να επιλέξουμε ως αρχή τών συντεταγμένων το διαφημιστικό πανώ και να θεωρήσουμε ότι η στιγμή ί = 0 συμπίπτει με το ξεκίνημα τού περιπολικού. Τη στιγμή αυτή το IX αυτοκίνητο έχει ήδη ξεπεράσει το διαφημιστικό πανώ κατά 30 m, δεδομένου ότι η ταχύτη­ τά του είναι 30 m/s. Επομένως, η αρχική θέση τού IX είναι χ0 = 30 m. To IX αυτοκίνητο κινείται ισοταχώς, επομένως η επιτάχυνσή του είναι μηδενική. Εφαρμό­ ζουμε την Εξίσωση 3.10 και έχουμε xc = 30 m + (30 m/s)t

3.5 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ

Ας σημειωθεί ότι τη στιγμή t = Οη έκφραση αυτή δίνει τη σωστή θέση τού IX: xc = Χο = 30 m. Παρομοίως, το περιπολικό ξεκινά από την αρχή των συντεταγμένων τη στιγμή ( = 0 με υ0 = 0, χ0 = 0 και a = 3.0 m/s2. Επομένως, η θέση τού περιπολικού περιγράφεται από την *Τ = i a*2 = £(3.0 m/s2)t2 Το περιπολικό φθάνει το IX αυτοκίνητο όταν χτ = xc , δηλαδή £(3.0 m/s2)f2 = 30 m + (30 m/s)i

3.5

47

Έτσι έχουμε τη δευτεροβάθμια εξίσωση 1.5ί2 —30ί —30 = 0 τής οποίας η λύση είναι ί = 21 s. Να σημειωθεί ότι σε αυτό το χρονικό διάστημα το περιπολικό τής τροχαίας διήνυσε 660 m. Άσκηση 1. Το παραπάνω πρόβλημα μπορεί να λυθεί με γραφική παράσταση. Σχεδιάστε πάνω στο ίδιο χαρτί την καμπύλη θέσης-χρόνου για το κάθε όχημα. Η τομή τών δύο καμπύλών ορίζει τον χρόνο που το περιπολικό έφθασε το IX.

ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ

Είναι γνωστό ότι όλα τα αντικείμενα, εάν αφεθούν χω ρίς υποστήριγμα, θα πέσουν προς τη Γη με σταθερή σχεδόν επιτάχυνση. Είναι γνωστή η ιστορία με τον Γαλιλαίο (Galileo Galilei): πρώτος εκείνος (από όσα τουλάχιστον είναι γνωστά από την ιστορία) ανακάλυψε αυτό το γεγονός παρατηρώντας ότι αντικείμενα διαφορετικού βάρους τα οποία άφηνε ταυτόχρονα να πέσουν από την κορυφή τού κεκλιμένου πύργου τής Π ίζας έφταναν στο έδαφος σχεδόν την ίδια στιγμή. Αν και υπάρχουν ορισμένες αμφιβολίες για το εάν πράγματι έτσι άρχισε ο Γαλιλαίος τα πειράματά του, είναι αναμφισβήτητο γεγονός ότι έκανε, πράγματι, σειρά από συστηματικά πειράματα για να μελετήσει την κίνηση αντικειμένων σε κεκλιμένα επίπεδα. Μ ετρώντας προσεκτικά τα χρονικά διαστήματα και τις αποστάσεις κατόρθωσε να αποδείξει ότι η μετατόπιση ενός αντικειμένου που αρχικά ήταν ακίνητο είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού χρόνου κατά τον οποίο κινήθηκε.Η μέτρηση αυτή συμφωνεί με την Εξίσωση 3.10 την οποία έχουμε εξαγάγει για κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Το έργο τού Γαλιλαίου στον τομέα τής Μ ηχανικής προετοίμασε τον δρόμο ώστε ο Newton να αναπτύξει τους νόμους τής κίνησης. Αξίζει να κάνετε το παρακάτω πείραμα: Αφήστε ταυτόχρονα ένα νόμισμα και ένα τσαλακωμένο χαρτί να πέσουν από το ίδιο ύψος. Εάν δεν υπήρχε η αντίσταση τού αέρα, και τα δύο σώματα θα έκαναν την ίδια κίνηση και θα έπεφταν στο πάτωμα την ίδια στιγμή. (Φυσικά είναι δύσκολο να αγνοήσετε την αντίσταση τού αέρα). Στην ιδεατή περίπτωση κατά την οποία μπορεί κανείς να αγνοήσει την αντίσταση τού αέρα, η κίνηση αυτή λέγεται ελεύθερη πτώση. Εάν μπορούσατε να επαναλάβετε το παραπάνω πείραμα σε συνθήκες κενού, το χαρτί και το νόμισμα θα έπεφταν με την ίδια επιτάχυνση, ανεξάρτητα από το σχήμα του χαρτιού. Στις 2 Αυγούστου 1971 ο αστροναύ­ της David Scott έκανε αυτό το πείραμα στη Σελήνη. Ά φ ησ ε ταυτόχρονα να πέσουν ένα βαρύ σφυρί και ένα φτερό γερακιού. Και, πράγματι, έπεσαν το ένα δίπλα στο άλλο και προσεληνώθηκαν την ίδια στιγμή. Εάν ο Γαλιλαίος μπορούσε να παρακολουθήσει την σκηνή θα ήταν πανευτυχής! Θα συμβολίσουμε την επιτάχυνση τής β αρύτητας (ή βαρυτική επιτάχυνση) με το σύμβολο g. Το μέτρο τού g ελαττώνεται όταν αυξάνεται το υψόμετρο. Έχουν επίσης μετρηθεί μικροαλλαγές τού g ανάλογα με το γεωγραφικό πλάτος. Το διάνυσμα g κατευθύνεται προς το κέντρο τής Γης. Στην επιφάνεια τής θάλασσας το g έχει μέτρο ίσο σχεδόν με 9.80 m/s2 ή 980 cm/s2 ή 32 ft/s2. Αυτή είναι η τιμή που θα χρησιμοποιούμε στους διαφόρους υπολογισμούς, εκτός τών περιπτώσεων που θα δηλώσουμε σαφώς ότι οι συνθήκες τού προβλήματος είναι τέτοιες ώστε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ακριβέστερες μετρήσεις. Οταν χρησιμοποιούμε την έκφραση σώμα που πέφτει ελεύθερα δεν εννοούμε απαραίτητα ότι το σώμα ξεκίνησε από κατάσταση ηρεμίας. Έ ν α σώμα πέφτει ελεύθερα όταν κινείται υπό την επίδραση τής βαρύτητας και

Φωτογραφία με πολυφλάς μπάλλας που πέφτει ελεύθερο. Το χρονικό διάστημα ανάμεσα στο φλας είναι (1/30) s και η κλίμακα σε cm. Υπολογίστε το g από αυτά τα δεδο­ μένα.

Η επιτάχυνση λόγω τής βαρύτητας g = 9.80 m/s2

Ορισμός της ελεύθερης πτώσης

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Ο Galileo Galilei (1564-1642) ήταν Ιταλός φυσικός και αστρονόμος. Μελέτησε την κίνηση τών σωμάτων που πέφτουν ελεύθερα (καθώς και βλημάτων), την κίνηση σε κεκλιμέ­ νο επίπεδο, θεμελίωσε την έννοια τής σχετικής κίνησης και πρότεινε τη χρήση τού απλού εκκρεμούς για τη μέτρηση τού χρόνου. Ό τα ν κα­ τασκεύασε το πρώτο τηλεσκόπιο είπε: «Τώρα μπορώ να αποδείξω οπτικά εκείνο που γνώριζα με την σκέψη μου». Ο Galileo έκανε σπου­ δαίες αστρονομικές ανακαλύψεις. Α νακάλυψε τέσσερεις οστό τους δο­ ρυφόρους τού Δία και πολλούς αστέρες, διερεύνησε την επιφάνεια τής Σελήνης. Α νακάλυψε επίσης τις ηλιακές κηλίδες, παρατήρησε τις φάσεις τής Α φροδίτης και απέδειξε ότι ο Γαλαξίας μας αποτελείται από έναν τεράστιο αριθμό αστέρων (Φωτογραφία από τη βιβλιοθήκη Niels Bohr τού American Institute for Physics).

μόνο, άσχετα από την αρχική του κίνηση. Ελεύθερη πτώση κάνουν και αντικείμενα που ρίχνουμε προς τα πάνω ή προς τα κάτω ή τα αφήνουμε να πέσουν. Πρέπει λοιπόν να γίνει κατανοητό ότι κάθε αντικείμενο που πέφτει ελεύθερα υπόκειται σε επιτάχυνση προς τα κάτω. Το τελευταίο ισχύει ανεξάρτητα από την αρχική κίνηση τού αντικειμένου. Έ να σώμα που ρίχνεται προς τα πάνω (ή προς τα κάτω) νφίσταται την ίδια επιτάχυνση με ένα αντικείμενο που αρχίζει να πέφτει ενώ αρχικά ήταν ακίνητο. Οποιοδήποτε αντικείμενο, από τη στιγμή που βρεθεί σε κατάσταση ελεύθερης πτώσης, υφίσταται επιτάχυνση προς τα κάτω. Η επιτάχυνση αυτή ισούται με την βαρυτική επιτάχυνση. Η κίνηση ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα είναι ισοδύναμη με την κίνηση σε μια διάσταση με σταθερή επιτάχυνση εάν αγνοήσουμε την αντίσταση τού αέρα καθώς και τη μεταβολή τής g συναρτήσει τού υψομέτρου. Επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις που έχουμε εξαγάγει για την κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Θ α θεωρήσουμε ότι ο άξονας τών y συμπίπτει με την κατακόρυφο και ότι η θετική του κατεύθυνση είναι προς τα πάνω. Μετά από αυτή την επιλογή συντεταγμένων μπορούμε να αντικαταστή­ σουμε το χ με το y στις Εξισώσεις 3.7, 3.9, 3.10 και 3.11. Επίσης, επειδή ορίσαμε το θετικό y προς τα επάνω, η επιτάχυνση είναι αρνητική, γιατί έχει κατεύθυνση προς τα κάτω. Έ τσ ι αντικαθιστούμε το α με το —g. Αυτό το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η επιτάχυνση έχει κατεύθυνση προς τα κάτω. Μετά από αυτές τις αντικαταστάσεις έχουμε τις παρακάτω σχέσεις(3): v = v0 ~ g t Εξισώσεις κίνησης για ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα

y - I/O = Κ» + «ο)t

y - y o = v0t - ig t2 ν 2 = ν 02 — 2g(y — y0)

(3.12) (για σταθερό α α -

~g)

(3.13) (3.14) (3.15)

Σημειώστε ότι το αρνητικό πρόσημο τής επιτάχυνσης περιέχεται στις παραπάνω εξισώσεις. Έ τσ ι, όταν χρησιμοποιείτε τις εξισώσεις αυτές, θα αντικαταστήσετε, απλώς, την τιμή τού g = 9.80 m/s2. Θεωρήστε την περίπτωση ενός σώματος που εκτοξεύεται προς τα πάνω, 0 είναι διάφορη από το μηδέν, τότε, απλούστατα, η καμπύλη y προς 1 (Σχήμα 3.10a) μετατοπίζεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω ίσα με το y0, ενώ η καμπύλη ν προς 1 (Σχήμα 3.10b) δεν μεταβάλλεται.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜ Α 3.8 Προσέξτε εκεί από κάτω!

Αφήνουμε να πέσει μια μπάλλα τού γκολφ από την ταράτσα ενός ψηλού κτηρίου. Χωρίς να λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα, υπολογίστε τη θέση τής μπάλλας και την ταχύτητά της μετά από 1,2 και 3 s. Λύση Επιλέγουμε τις συντεταγμένες μας έτσι ώστε η αρχή τους να συμπίπτει με το σημείο εκκίνησης τής μπάλλας (y0 = 0 όταν 1=0). Μην ξεχνάτε ότι το θετικό y είναι προς τα πάνω. Εφόσον υ0 = 0, οι Εξισώσεις 3.12 και 3.14 γίνονται

Παρομοίως, για 1 = 2 s βρίσκουμε ότι υ = -19.6 m/s, και y = -19.6 m. Τέλος, όταν / = 3 s, υ - -29.4 m/s και y = —44.1 m. To αρνητικό πρόσημο τού ν δείχνει ότι το διάνυσμα τής ταχύτητας έχει κατεύθυνση προς τα κάτω και το αρνητικό πρόσημο στο y δείχνει ότι η μετατόπιση γίνεται στην αρνητική κατεύθυνση τών y. Ά σκηση 2 Υπολογίστε τη θέση και την ταχύτητα τής μπάλλας μετά από 4 s. Α πάντηση -78.4 m, -39.2 m/s.

ν = —gt = —(9.80 m/s2)l

ΠΑ ΡΑ Δ ΕΙΓΜ Α 3.9 Πετροπόλεμος

0, βλέπουμε ότι η μετατόπιση είναι

Αχ=

lim V Δ*»—'°

η

νη

(3.16)

ή Μετατόπιση = περιεχόμενη επιφάνεια κάτω από την καμπύλη ταχύ­ τητας-χρόνου Να σημειωθεί ότι έχουμε αντικαταστήσει στο άθροισμα τη μέση ταχύτητα ν„ με την στιγμαία ν„. Ό π ω ς βλέπουμε στο Σχήμα 3.12, η προσέγγιση αυτή ισχύει στο όριο τών πολύ μικρών διαστημάτων. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι εάν η καμπύλη ταχύτητας-χρόνου είναι γνωστή για την ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος τότε η μετατόπισή του, που έγινε σε ένα οποιοδήποτε χρονικό διάστημα, προκύπτει από τον υπολογισμό τής κάτω από την καμπύλη επιφάνειας. Το όριο τού αθροίσματος τής Εξίσωσης 3.16 ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα και γράφεται ως lim Σ ν*Αίη =

J

v(t) dt

(3.17)

όπου η ν(ή συμβολίζει την ταχύτητα για κάθε χρόνο t. Εάν ξέρετε τη συναρτησιακή μορφή τού ν (t), τότε μπορείτε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα.

Ορισμένο ολοκλήρωμα

51

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Εάν ένα σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα ν0, όπως στο Σχήμα 3.13, η μετατόπισή του είναι, απλώς, η επιφάνεια τού σκιασμένου ορθογωνίου, δηλαδή

Δχ = υ0 At

(όπου ν = ν0 = σταθερό)

Α ς δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα: Θεωρήστε ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα ανάλογη προς τον χρόνο t, όπως στο Σχήμα 3.14. Εάν λάβουμε ν = at, όπου η επιτάχυνση α είναι η σταθερά τής αναλογίας, βρίσκουμε ότι η μετατόπιση τού σώματος που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστημα από 1 = 0 έως t = ti είναι η επιφάνεια τού σκιασμένου τριγώνου τού Σχήματος 3.14 Δχ

==Uh)(ati) =

£α0 Έ τσ ι εξάγουμε την πρώτη εξίσωση κίνησης: υ = ι>ο + at

(για σταθερό α)

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Σχήμα 3.14 Γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου για ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα η οποία αυξάνεται ανάλογα προς τον χρόνο.

Ας εξετάσουμε τώρα την εξίσωση που ορίζει την ταχύτητα:

Μπορούμε να την ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα ι =

J

ν dt + C2

όπου το C2 είναι μια σταθερά ολοκλήρωσης. Ξέρουμε ότι ν = ν0 + at, επομένως

χ=Ι (υ0 + at) dt + C2 x=

J

v0 d t+

J

a

Για να βρούμε το C2 χρησιμοποιούμε την αρχική συνθήκη ότι χ = χ0 όταν t = 0. 'Ετσι βρίσκουμε ότι C2 = *0· Επομένως έχουμε,

χ = χ0 + v0t + iat2

(για σταθερό α)

Αυτή είναι η δεύτερη εξίσωση κίνησης. Α ς θυμηθούμε ότι η μετατόπιση τού αντικειμένου είναι χ - χ0, όπου χ0 είναι η αρχική θέση.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Η μέση ταχύτητα ενός σώματος για κάποιο χρονικό διάστημα ισούται με τον λόγο τής μετατόπισης Δ* προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δί: βδ*

' Δί

( 3 * 1)

Μέση ταχύτητα

Η στιγμιαία ταχύτητα ενός σώματος ορίζεται ως το όριο τού AxJAt καθώς το Δί τείνει στο μηδέν. Εξ ορισμού, αυτό ισούται με την παράγω γο τής μετατόπισης χ ως προς τον χρόνο ί, δηλαδή τον ως προς τον χρόνο ρυθμό αλλαγής τής θέσης:

Αχ _ d x dt

: i - o Δί

(3.3)

Σ τιγμιαία ταχύτητα

54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

Η μέση επιτάχυνση ενός σώματος για κάποιο χρονικό διάστημα ορίζεται ως ο λόγος τής μεταβολής τής ταχύτητας, Αν, και τού χρονικού διαστήματος At: s Ao * At

Μέση επιτάχυνση

(3.4)

Η στιγμιαία επιτάχυνση ισούται με το όριο τού λόγου Αχ!At καθώς το At -» 0. Εξ ορισμού, αυτό είναι η παράγω γος τού ν ως προς t, ή ο ρυθμός μεταβολής τής ταχύτητας: .. Δυ do α“ ΐΆ Έ ~ &

Στιγμιαία επιτάχυνση

0 η επιτάχυνση είναι μηδέν; (d) Ποια είναι η ταχύτητα τη χρονική στιγμή Τ που βρέθηκε στο (c); |58. Ένα σωμάτιο κινείται πάνω στον άξονα χ με επιτά­ χυνση που είναι ανάλογη προς τον χρόνο σύμφωνα με την έκφραση α = 30 ί, όπου το α είναι σε m/s2. Αρχικά το σώματιο ηρεμεί. Βρείτε (a) τη στιγμιαία ταχύτητα και (b) τη στιγμιαία θέση ως συναρτήσεις τού χρόνου. |59. Ένα σωμάτιο κινείται πάνω στον άξονα χ. Η τα­ χύτητά του ως συνάρτηση τού χρόνου δίνεται από τη σχέση υ = 5 + 10 ί, όπου το ν είναι σε m/s. Η θέση τού σωματίου για ί = 0 είναι 20 m. Βρείτε (a) την επιτάχυνση ως συνάρτηση τού χρόνου, (b) τη θέση ως συνάρτηση τού χρόνου και (c) την ταχύτητα τού σωματίου κατά τη χρονική στιγμή ί = 0. |60. Η επιτάχυνση ενός βώλου μέσα σε ένα υγρό είναι ανάλογος τού τετραγώνου τής ταχύτητάς του και δίνεται (σε m/s2) από τη σχέση α = —3υ2 για ν > 0. Αν ο βώλος μπαίνει στο υγρό με ταχύτητα 1.50 m/s, πόσος χρόνος χρειάζεται προτού η ταχύτητά του ελαττωθεί στο μισό τής αρχικής; ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ 61. Δίνεται η συνάρτηση θέσης *(ί) = W + 2bt όπου a = 1 m/s2 και b = 1 m/s. Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα ν κατά τη διάρκεια τών χρονικών διαστη­ μάτων που αρχίζουν τη στιγμή ta = 2s και είναι Δί = 1 s, 0.5 s, 0.1 s, 0.01 s και 0.001 s. |62. Ένας οδηγός ταξιδεύει με ταχύτητα 18.0 m/s όταν μπροστά στον δρόμο, σε απόσταση 38.0 m, βλέπει ένα ελάφι, (a) Αν η μέγιστη αρνητική επιτάχυνση τού αυτοκινήτου είναι - 4.5 m/s2, ποιος είναι ο μέγιστος χρόνος αντίδρασης Δί τού οδηγού που θα τού επιτρέψει να αποφύγει το χτύπημα τού ελαφιού; (b) Αν ο χρόνος αντίδρασης είναι 0.30 s, ποια θα είναι η ταχύτητά του τη στιγμή που θα χτυπήσει το ελάφι; 63. Ένας ερευνητικός σπουδαστής Φυσικής που είναι και ορειβάτης σκαρφαλώνει σε έναν βράχο ύψους 50 m που «κρέμεται» πάνω από τα ήρεμα νερά μιας

60

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

λίμνης. Μετά, ρίχνει δύο πέτρες κατακόρυφα προς τα κάτω με διαφορά χρόνου 1 s τη μία από την άλλη και παρατηρεί ότι ακούγεται ένα μόνο «πλαφ». Η πρώτη πέτρα έχει αρχική ταχύτητα 2 m/s. (a) Μετά από πόσο χρόνο αφότου αφέθηκε η πρώτη πέτρα, οι δύο πέτρες θα χτυπήσουν στο νερό; (b) Ποια αρχική ταχύτητα πρέπει να έχει η δεύτερη πέτρα έτσι ώστε να χτυπήσουν στο νερό ταυτόχρονα; (c) Ποια θα είναι η ταχύτητα καθεμιάς τη στιγμή που θα χτυπή­ σουν στο νερό; 64. 'Ενα σωμάτιο κινείται πάνω στον θετικό άξονα χ κατά τέτοιο τρόπο ώστε η συντεταγμένη του να μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου σύμφωνα με την έκφραση χ = 4 + 2ί - 3Ι2, όταν το χ είναι σε m και το t σε s. (a) Κατασκευάστε ένα διάγραμμα τού χ ως συνάρτηση τού χρόνου για το χρονικό διάστημα από t = 0 έως ί = 2 s. (b) Προσδιορίστε την αρχική θέση και την αρχική ταχύτητα τού σωματίου, (c) Προσδιο­ ρίστε σε ποιο χρόνο το σωμάτιο φτάνει σε μια θέση όπου έχει μέγιστη συντεταγμένη (σημείωση: στον χρόνο αυτό, υ = 0). (d) Υπολογίστε τη συντεταγμένη, την ταχύτητα και την επιτάχυνση τη χρονική στιγμή ί = 2 s. 65. Μια «σουπερμπάλλα» αφήνεται από ένα ύψος 2 m πάνω από το έδαφος. Μετά από την πρώτη αναπήδηση η μπάλλα φτάνει σε ύψος 1.85 m, όπου και πιάνεται. Βρείτε την ταχύτητα τής μπάλλας (a) ακριβώς τη χρονική στιγμή που έρχεται σε επαφή με το έδαφος και (b) ακριβώς όταν φεύγει από το έδαφος κατά την αναπήδηση. (c) Παραλείποντας το χρόνο κατά τον οποίο ήταν σε επαφή με το έδαφος, βρείτε τον συνολικό χρόνο που χρειάζεται η μπάλλα για να φτάσει από το σημείο που ρίχτηκε στο σημείο που πιάστηκε. 66. Ενα αεροπλάνο Cessna 150 έχει ταχύτητα απογείω­ σης 125 km/h περίπου, (a) Ποια ελάχιστη σταθερή επιτάχυνση χρειάζεται αν το αεροπλάνο πρόκειται να απογειωθεί από έναν διάδρομο απογείωσης μή­ κους 250 m; (b) Ποιος είναι ο αντίστοιχος χρόνος; (c) Αν το αεροπλάνο εξακολουθήσει να επιταχύνεται με αυτό τον ρυθμό, ποια ταχύτητα θα έχει αποκτήσει μετά από 25 s από τη στιγμή που θα αρχίσει να κινείται; |67. Μια μπάλλα αφήνεται από ένα παράθυρο που βρί­ σκεται 8 m πάνω από το πεζοδρόμιο την ίδια στιγμή κατά την οποία μια σταγόνα βροχής περνά μπροστά από το παράθυρο με ταχύτητα 15 m/s. Πόσος χρόνος θα περάσει μεταξύ τών δύο συγκρούσεων στο πεζο­ δρόμιο; Παραλείψτε την αντίσταση τού αέρα. |68. Ενα σώμα που πέφτει χρειάζεται 1.50 s για να καλύψει τα τελευταία 30 m προτού χτυπήσει στο έδαφος. Από ποιο ύψος πάνω από το έδαφος πέφτει το σώμα; |69. Η Kathy αγόρασε ένα σπορ αυτοκίνητο που μπορεί να επιταχύνεται με ρυθμό 16 ft/s2. Και αποφάσισε να δοκιμάσει το αυτοκίνητο κάνοντας αγώνα δρόμου με τον φίλο της Stan. Οι δύο τους ξεκινούν, ενώ ήταν ακίνητοι, αλλά ο Stan, πιο πεπειραμένος, φεύγει 1 s πιο γρήγορα από την Kathy. Αν ο Stan κινείται με σταθερή επιτάχυνση 12 ft/s2 και η Kathy διατηρεί την επιτάχυνση τών 16 ft/s2, βρείτε (a) τον χρόνο που χρειάζεται ώστε η Kathy να προφθάσει τον Stan, (b) την απόσταση που διέτρεξε η Kathy προτού τόν φτάσει και (c) τις ταχύτητες τών δύο αυτοκινήτων τη στιγμή που θα συναντηθούν.

|70. Ένας παίκτης τού χόκεϋ δίνει ένα χτύπημα σε έναν δίσκο που ήταν ακίνητος πάνω στον πάγο. Ο δίσκος γλιστράει πάνω στον πάγο για διάστημα 10 ft χωρίς τριβή και στη συνέχεια κινείται πάνω σε πάγο με τραχιά επιφάνεια. Ο δίσκος τότε κινείται με επιτά­ χυνση αντίθετη προς την κίνησή του με σταθερό ρυθμό —20 ft/s2. Αν η ταχύτητα τού δίσκου είναι 40 ft/s, αφού διατρέξει 100 ft από το σημείο που δέχτηκε το χτύπημα, (a) ποια είναι η μέση επιτάχυνση που απέκτησε ο δίσκος αφότου χτυπήθηκε με το μπαστού­ νι τού χόκεϋ; (Υποθέστε ότι ο χρόνος επαφής είναι 0.01 s). (b) Πόσο διάστημα διέτρεξε συνολικά ο δίσκος προτού σταματήσει; (c) Ποιος είναι ο συνολικός χρόνος κίνησης τού δίσκου, εάν δεν ληφθεί υπ’ όψιν ο χρόνος επαφής; 71. Ένα σωμάτιο παρατηρείται τη χρονική στιγμή I = 0 να βρίσκεται στη θέση με συντεταγμένη χ0 = 5 m και να κινείται με ταχύτητα υ0 = 20 m/s. Το σωμάτιο υφίσταται μια σταθερή αρνητική επιτάχυνση (δηλα­ δή μια επιτάχυνση που έχει φορά αντίθετη προς τη φορά τής ταχύτητας). Αν, 10 s μετά την αρχική παρατήρηση, το σωμάτιο έχει ταχύτητα υ = 2 m/s, ποια είναι η επιτάχυνση; Ποια είναι η συνάρτηση θέσης; Πόσος χρόνος θα περάσει προτού ξαναγυρίσει το σωμάτιο στη θέση χ = 5 m; |72. Ένα φορτηγό αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα 80 km/h προσπερνά άλλο αυτοκίνητο που κινείται πιο αργά. Τη στιγμή που το φορτηγό προ­ σπερνά το αυτοκίνητο, αυτό αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερό ρυθμό 1.2 m/s2 και προσπερνά το φορτηγό πιο κάτω στον δρόμο, σε απόσταση 0.5 km. Ποια είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου κατά τη στιγμή που προσπερνά το φορτηγό; 73. Ένας σπουδαστής στέκεται στην ταράτσα ενός κτη­ ρίου σε ύψος 100 ft πάνω από το έδαφος και ρίχνει προς τα επάνω μια μπάλλα με ορισμένη αρχική ταχύτητα. Η μπάλλα παρασύρεται λίγο προς τα πλάγια από τον άνεμο και μετά πέφτει στο έδαφος, αφού μόλις που αποφεύγει το κτήριο. Αν ο συνολικός χρόνος τής κίνησης τής μπάλλας από τη στιγμή που τήν έριξε ο σπουδαστής μέχρι που να φτάσει στο έδαφος είναι 6 s, βρείτε (a) την αρχική ταχύτητα τής μπάλλας, (b) την τελική ταχύτητά της καθώς χτυπάει στο έδαφος και (c) την ταχύτητά της μετά από 3 s. |74. Μια πέτρα που ήταν ακίνητη αφήνεται να πέσει ελεύθερα και διατρέχει το τελευταίο 1/2 τής συνολι­ κής διαδρομής σε 3.0 s. Προσδιορίστε (a) το ύψος από το οποίο αφέθηκε η πέτρα και (b) τον συνολικό χρόνο τής πτώσης. 75. Ένας άνθρωπος βλέπει μια αστραπή να πέφτει κοντά σε ένα αεροπλάνο που πετάει σε ορισμένη απόσταση. Ο άνθρωπος ακούει τη βροντή 5 s αργότερα από τότε που είδε την αστραπή και βλέπει το αεροπλάνο από πάνω του 10 s αργότερα αφότου άκουσε τη βροντή. Αν η ταχύτητα τού ήχου στον αέρα είναι 1100 ft/s, (a) βρείτε την απόσταση τού αεροπλάνου από τον άν­ θρωπο τη στιγμή που είδε την αστραπή. (Παραλείψτε τον χρόνο που χρειάζεται το φως να διανύσει την απόσταση από το σημείο τής αστραπής στο μάτι τού παρατηρητή), (b) Εάν υποτεθεί ότι το αεροπλάνο κινείται με σταθερή ταχύτητα προς τον άνθρωπο, βρείτε την ταχύτητα τού αεροπλάνου, (c) Κοιτάξτε σε ένα βιβλίο ποια είναι η ταχύτητα τού φωτός στον αέρα και υποστηρίξτε την προσέγγιση που χρησιμο­ ποιήσατε στην (a).

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|76. Ένας πύραυλος εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα επάνω με αρχική ταχύτητα 80 m/s. Ο πύραυλος κινείται προς τα επάνω με επιτάχυνση 4 m/s2 μέχρις ότου φτάσει σε ύψος 1 000 m. Σε αυτό το σημείο οι μηχανές του χαλούν και ο πύραυλος συνεχίζει την πορεία του κάνοντας ελεύθερη πτήση με επιτάχυνση —9.80 m/s2. (a) Πόσο χρόνο θα κινείται ο πύραυλος; (b) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος του; (c) Ποια είναι η ταχύτητα του ακριβώς προτού συγκρουστεί με τη Γη; (Υπόδειξη: Θεωρήστε την κίνηση όταν λειτουργούν οι μηχανές του ξεχωριστά από την κίνηση τής ελεύθερης πτήσης). [77. Σε έναν αγώνα δρόμου 100 m, δύο αθλήτριες τερμάτι­ σαν ισόπαλες γιατί έκαναν και οι δύο χρόνο 10.2 s. Επιταχύνοντας σταθερά το τρέξιμό τους, η πρώτη αθλήτρια χρειάστηκε 2.0 s και η δεύτερη 3.0 s για να αποκτήσουν μέγιστη ταχύτητα, την οποία διατήρη­ σαν σε όλη την υπόλοιπη διαδρομή, (a) Ποια είναι η επιτάχυνση καθεμιάς αθλήτριας; (b) Ποιες είναι οι αντίστοιχες μέγιστες ταχύτητές τους; (c) Ποια αθλή­ τρια προηγείται στο σημείο τών 6 s και πόσο; |78. Ένα τραίνο ταξιδεύει κατά τον ακόλουθο τρόπο: Την πρώτη ώρα με ταχύτητα υ, την επόμενη μισή ώρα με ταχύτητα 3υ, στα επόμενα 90 λεπτά με ταχύτητα υ/2 και στις τελευταίες 2 h με ταχύτητα υ/3. (a) Σχεδιάστε το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου γι’ αυτό το ταξίδι, (b) Πόσο διάστημα διήνυσε το τραίνο σε αυτή τη διαδρομή; (c) Ποια είναι η μέση ταχύτητα τού τραίνου για ολόκληρο το ταξίδι; |79. Ένας ηλεκτρικός σιδηρόδρομος μπορεί να κάνει ελάχιστο τον χρόνο t μεταξύ δύο σταθμών αν επιτα­ χυνθεί με επιτάχυνση αχ = 0.1 m/s2 για χρόνο ίχ και μετά με τη βοήθεια τών φρένων του υποστεί αρνητική επιτάχυνση α2 = —0.5 m/s2 για χρόνο ί2· Δεδομένου οι δύο σταθμοί απέχουν μεταξύ τους μόνο 1 km, το τραίνο δεν αποκτά ποτέ τη μέγιστη ταχύτητά του. Βρείτε τον ελάχιστο χρόνο t μεταξύ τών δύο σταθμών και τον χρόνο ή. |80. Για να προφυλάξει τις τροφές του από τις πεινασμένες αρκούδες, ένας πρόσκοπος ανεβάζει το δέμα με τα τρόφιμα, μάζας m, με τη βοήθεια ενός σχοινιού που περνάει γύρω από ένα κλαδί το οποίο βρίσκεται σε ύψος h πάνω από τα χέρια του. Ο πρόσκοπος απομακρύνεται από το κατακόρυφο μέρος τού σχοι­ νιού με σταθερή ταχύτητα υ0 κρατώντας στα χέρια του το ελεύθερο άκρο τού σχοινιού (βλ. Σχήμα 3.23).

61

σταση που διήνυσε απομακρυνόμενος από το κατα­ κόρυφο μέρος τού σχοινιού, (b) Αποδείξτε ότι η επιτάχυνση α τού δέματος είναι h^x2 + Α2)-3/2υο· (c) Ποιες τιμές έχουν η επιτάχυνση και η ταχύτητα ν λίγο χρόνο μετά την απομάκρυνση τού προσκόπου από το κατακόρυφο μέρος τού σχοινιού; (d) Προς ποιες τιμές προσεγγίζουν η ταχύτητα και η επιτάχυν­ ση καθώς η απόσταση χ εξακολουθεί να αυξάνεται; |81. Δύο σώματα Α και Β συνδέονται με μια συμπαγή ράβδο που έχει μήκος L. Τα σώματα ολισθαίνουν κατά μήκος κάθετων οδηγών, όπως δείχνει το Σχήμα 3.24. Αν το Α ολισθαίνει προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα ν, βρείτε την ταχύτητα τού Β, όταν α = 60°.

ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ Π Α ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ |82. Στο Πρόβλημα 80 το ύψος h είναι Χσο με 6 m και η ταχύτητα υ0 ίση με 2 m/s. Υποθέστε ότι το δέμα με τις τροφές ξεκινάει ενώ βρισκόταν ακίνητο στην προ­ εξοχή ενός βράχου 6 m κάτω από τα χέρια τού προσκόπου, (a) Γράψτε σε πίνακα τις τιμές και σχεδιάστε το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου. (b) Γρά­ ψτε σε πίνακα τιμές και σχεδιάστε το διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου (υποθέστε ότι ο χρόνος μετα­ βάλλεται από 0 s έως 6 s και τα χρονικά διαστήματα έχουν πλάτος 0.5 s). |[83j Ένα σωμάτιο υφίσταται μεταβλητή επιτάχυνση. Η ταχύτητα μετριέται κατά χρονικά διαστήματα τών 0.5 s τα οποία καταχωρίζονται στον πίνακα που ακολουθεί, a) Προσδιορίστε τη μέση επιτάχυνση σε κάθε χρονικό διάστημα, (b) Χρησιμοποιήστε μεθό­ δους ολοκλήρωσης για να προσδιορίσετε τη θέση τού σωματίου στο τέλος κάθε χρονικού διαστήματος. Υποθέστε ότι η αρχική θέση τού σωματίου είναι μηδέν. t (s) 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 ν (m/s) 0 1 3 4.5 7.0 9.5 10.5 12 14 15 17.5

Σχήμα 3.23 (Πρόβλημα 80).

(a) Αποδείξτε ότι ή ταχύτητα ν τού δέματος με τις τροφές είναι χ (χ2 + h2)~mv0, όπου χ είναι η από­

184. Η επιτάχυνση ενός σωματίου που κινείται πάνω στον άξονα χ μεταβάλλεται συναρτήσει τής θέσης του σύμφωνα με την έκφραση a = aoe~bx όπου οο = 3 m/s2και b = 1 m-1. Αν το σωμάτιο ξεκινά από την αρχή, όπου ήταν ακίνητο, χρησιμοποιήστε μεθόδους ολοκλήρωσης για να βρείτε τη θέση τού σωματίου σε χρόνο t = 2.37 s. Το σφάλμα τού > υπολογισμού σας δεν πρέπει να υπερβαίνει το 1%. 85. Ένα σωμάτιο που κινείται πάνω στον άξονα χ υφίσταται επιτάχυνση σύμφωνα με τη σχέση α = V 3 + ί3 m/s2. Χρησιμοποιήστε μέθοδο ολοκλήρωσης για να βρείτε τη θέση και την ταχύτητα τού σωματίου σε χρόνο t — 5.7 s με σφάλμα υπολογισμού μέσα στο 1% .

το κεφάλαιο αυτό μελετούμε την κινητική ενός σώματος το οποίο κινείται επάνω σε ένα επίπεδο, κινείται δηλαδή σε δύο διαστάσεις. Μερικά παραδείγματα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση τών βλημά­ των των πυραύλων, τών δορυφόρων και τών φορτισμένων σωματίων σε ομογενή ηλεκτρικά πεδία. Α ρχίζουμε με την υπογράμμιση ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι διανυσματικά μεγέθη. Θ α επαναλάβουμε και εδώ τη μεθοδολογία που αναπτύξαμε στη μονοδιάστατη κίνηση και θα εξαγάγουμε τις εξισώσεις κίνησης σε δύο διαστάσεις από τους θεμελιώδεις ορισμούς τής μετατόπισης, τής ταχύτητας και τής επιτάχυνσης. Ως ειδικές περιπτώσεις κίνησης σε δύο διαστάσεις θα μελετήσουμε την κίνηση επί ενός επιπέδου υπό την επίδραση σταθερής επιτάχυνσης, καθώς και την ομαλή κυκλική κίνηση.

Σ

4.1

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜ ΑΤΑ Μ ΕΤΑΤΟ ΠΙΣΗ Σ, ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι η ευθύγραμμη κίνηση ενός σώματος ορίζεται πλήρως εάν γνωρίζουμε τη συναρτησιακή σχέση τής συντεταγμένης ως προς τον χρόνο. Α ς προεκτείνουμε την προηγούμενη ιδέα στην κίνηση ενός σώματος επί τού επιπέδου xy. Α ρχίζουμε με την περιγραφή τής θέσης τού σώματος που μελετούμε με το όιάννσμα θέσης (ή επιβατική ακτίνα) γ . Αρχή τού διανύσματος θέσης είναι η αρχή τού συστήματος συντεταγμένων και κατάληξή του είναι το ίδιο το σώμα τού οποίου τη θέση περιγράφει το διάνυσμα θέσης πάνω στο επίπεδο xy, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.1 Την

Σ χήμα 4.1 'Ε να σώμα που κινείται στο επίπεδο xy περιγράφεται από το διάνυσμα τής επιβατικής του ακτίνας r που α ρχίζει α πό την αρχή τών συντεταγμένων κα ι καταλήγει στο σώμα. Το δ ιάνυσμα τής μετατόπισης τού σώματος, καθώς αυτό κινείται α πό το σημείο Ρ στο σημείο Q κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος A t = tt - ή, είναι το Δ γ = r f - ι ϊ ·

στιγμή ή το σώμα βρίσκεται στο σημείο Ρ και, αργότερα, σε άλλη στιγμή tf, το σώμα βρίσκεται στο σημείο Q. Καθώς το σώμα κινείται από το Ρ στο Q κατά το χρονικό διάστημα Δ ί = if - ή, το διάνυσμα θέσης μεταβάλλεται από r,a t rt, όπου οι δείκτες i και f αναφέρονται στις αρχικές και στις τελικές τιμές, αντίστοιχα. Επειδή rf = η + Δ γ, το διάνυσμα μετα τόπισης για το σώμα είναι

4.1 ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ, ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

A r = rf —rt

(4.1)

Ορισμός τού διανύσματος τής μετατόπισης

Η κατεύθυνση Δ γ φαίνεται στο Σχήμα 4.1. Να σημειωθεί ότι το διάνυσμα τής μετατόπισης ισούται με τη διαφορά τού τελικού διανύσματος θέσης μείον το αρχικό διάνυσμα θέσης. Ό π ω ς βλέπουμε στο Σχήμα 4.1, το μέτρο τού διανύσματος μετατόπισης είναι μικρότερο από την απόσταση που διήνυσε το σώμα πάνω στην καμπυλόγραμμη τροχιά. Ορίζουμε ότι η μ έσ η τα χύτητα τού σώματος κατά το χρονικό διάστημα At ισούται με τον λόγο της μετατόπισης προς το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο έγινε η μετατόπιση:

(4.2)

Μέση ταχύτητα

Ό π ω ς ξέρουμε, η μετατόπιση είναι διάνυσμα και το χρονικό διάστημα είναι μέγεθος μονόμετρο. Επομένως, η μέση ταχύτητα είναι όιαννσματικό μέγεθος που έχει την κατεύθυνση τού Δ γ. Α ς σημειωθεί ότι η μέση ταχύτητα ανάμεσα σε δύο σημεία Ρ και Q είναι ανεξάρτητη τής τροχιάς μεταξύ τών δύο σημείων. Αυτό οφείλεται στο ότι η μέση ταχύτητα είναι ανάλογη, εξ ορισμού, προς τη μετατόπιση, η οποία εξαρτάται μόνο από το αρχικό και το τελικό διάνυσμα θέσης. Έ τσ ι, ‘όπω ς και στην περίπτωση τής μονοδιάστασης κίνησης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι εάν ένα σώμα αρχίσει να κινείται από κάποιο σημείο και καταλήξει πάλι στο ίδιο σημείο ακολουθώντας μια οποιαδήποτε τροχιά, η μέση ταχύτητα για ολόκληρη τη διαδρομή είναι μηδενική, επειδή η μετατόπιση είναι μηδενική. Θεωρήστε και πάλι την κίνηση ενός σώματος ανάμεσα σε δύο σημεία πάνω στο επίπεδο xy, όπως στο Σχήμα 4.2. Καθώς τα χρονικά διαστήματα ολοένα μικραίνουν, οι αντίστοιχες μετατοπίσεις Δ γ1; Δ γ2, Δ γ3... μειώνονται αντίστοι­ χα, ενώ η κατεύθυνση τής μετατόπισης τείνει να συμπέσει με την εφαπτομένη τής τροχιάς στο σημείο Ρ. Ορίζουμε ότι η σ τ ιγ μ ια ία τα χύτητα , ν , είναι το όριο της μέσης ταχύτητας, Ar/At, καθώς το A t τείνει προς το μηδέν: Κατεύθυνση τής ν στο Ρ

Σχήμα 4.2 Καθώς ένα σώμα κινείται ανάμεσα σε δύο σημεία Ρ και Q, η μέση ταχύτητά του έχει την κατεύθυνση τού διανύσματος Δ γ . Καθώς το σημείο Q κινείται πλησιέστερα προς το Ρ, η κατεύθυνση τού Δ γ τείνει να συμπέσει με την κατεύθυνση τής εφαπτομένης στο σημείο Ρ. Ορίζουμε ότι η κατεύθυνση τής στιγμιαίας ταχύτητας που έχει το σώμα στο σημείο Ρ συμπίπτει με την κατεύθυνση τής εφαπτομένης στην τροχιά στο ίδιο σημείο.

I)

,.

Δγ

hm — At

δ ι— *ο

dr dt

(4.3)

Δηλαδή, η στιγμιαία ταχύτητα ισούται με την παράγω γο τού διανύσματος τής θέσης ως προς τον χρόνο. Η διεύθυνση τού διανύσματος τής

63

Στιγμιαία ταχύτητα

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ταχύτητας συμπίπτει με τη διεύθυνση τής εφαπτομένης τής τροχιάς τού σώματος και έχει την ίδια κατεύθυνση με την κατεύθυνση τής κίνησης. Το παραπάνω θα τό δείτε εικονογραφημένο στο Σχήμα 4.3. Α ς σημειωθεί ότι η Εξίσωση 4.3 αποτελεί προφανή γενίκευση τής παραγώγισης, όπως εξελίχθηκε με την μελέτη τού απειροστικού λογισμού. Καθώς το σώμα κινείται από το σημείο Ρ στο Q πάνω σε τροχιά, το διάνυσμα τής στιγμιαίας ταχύτητας μεταβάλλεται, από υ, που είναι τη στιγμή ti, σε ν{ την στιγμή tf (Σχήμα 4.3). Ορίζουμε ότι η μέση επιτάχυνση τού σώματος, καθώς αυτό κινείται από το Ρ στο Q, ισούται με τον λόγο τής μεταβολής τού διανύσματος τής στιγμιαίας ταχύτητας, Δυ, προς τον αντίστοιχο χρόνο Δί: - _ V( — Vj _ Α ν ° ~ if - ή ~ At

Μέση επιτάχυνση

(4.4)

Σχήμα 4Δ Το διάνυσμα τής μέσης επιτάχυνσης, α, για ένα σώμα που κινείται από το Ρ στο Q έχει την κατεύθυνση τού διανύσματος που είναι ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δ ν = vf - μ .

Επειδή η μέση επιτάχυνση είναι ο λόγος ενός διανύσματος, Δ υ, και ενός μονόμετρου At, συμπεραίνουμε ότι η α είναι διάνυσμα που έχει την κατεύθυνση τού Α ν . Ό π ω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.3, την κατεύθυνση τού Δυ τή βρίσκουμε αν προσθέσουμε το διάνυσμα —υί (το αντίθετο τού ν,) στο διάνυσμα υ{, επειδή εξ ορισμού Δ υ = vf - Vj Ορίζουμε ότι η στιγμ ια ία επιτάχυνση, α, είναι ίση με το όριο Α ν/At καθώς το Δί τείνει στο μηδέν: ,. Δυ α =hm — Δί—ο At

Στιγμιαία επιτάχυνση

dv Tt

(4.5)

Με άλλα λόγια, η στιγμιαία επιτάχυνση ισούται με την πρώτη παράγωγο τού διανύσματος τής ταχύτητας ως προς τον χρόνο. Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι ένα σώμα επιταχύνεται για διαφόρους λόγους. Πρώτα από όλα, το μέτρο τού διανύσματος ταχύτητας μπορεί να μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου, όπως πολλές φορές είδαμε στην περίπτωση τής κίνησης σε μία διάσταση. Δεύτερο, ένα σώμα επιταχύνεται όταν αλλάζει η κατεύθυνση τού διανύσματος ταχύτητας (π .χ. όπως σε καμπυλόγραμμη τροχιά), έστω και εάν δεν μεταβάλλεται το μέτρο τής ταχύτητας. Τέλος, η επιτάχυνση μπορεί να οφείλεται στη μεταβολή τής κατεύθυνσης και τού μέτρου τού διανύσματος ταχύτητας. 4.2

ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Ας μελετήσουμε την κίνηση σε δύο διαστάσεις ενός σώματος υπό την επίδραση σταθερής επιτάχυνσης. Δηλαδή υποθέτουμε ότι το μέτρο και η

4.2 ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

κατεύθυνση τής επιτάχυνσης δεν μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια τής κίνησης. Έ ν α κινούμενο σώμα περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης r το οποίο μπορούμε να γράψουμε r=*xi + yj

(4.6)

όπου τα χ, y και r μεταβάλλονται συναρτήσει τού χρόνου καθώς το σώμα κινείται. Εάν το διάνυσμα θέσης είναι γνωστό, η ταχύτητα τού σώματος βρίσκεται από τις Εξισώσεις 4.3 και 4.6, που δίνουν ν

dr _ dx dy . d t ~ ~ d t t + ~dtJ

v = vxi + vvj

(4.7)

Οι συνιστώσες τής επιτάχυνσης a, ax και ay, είναι σταθερές επειδή η α εί­ ναι σταθερή. Επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις κίνησης στις συνιστώσες χ και y τής ταχύτητας. Εάν κάνουμε τις αντικαταστάσεις νχ = Vxo + axt και vy = VyQ + ayt στην Εξίσωση 4.7 έχουμε ν = (νΛ + axt)i + (υ^ο + ayt)j = (»«ο * + vvoj) + ( a j + ayj ) t ν == »ο + at

(4.8)

Το αποτέλεσμα αυτό λέει ότι η ταχύτητα ενός σώματος κατά τη στιγμή t ισούται με το διανυσματικό άθροισμα τής αρχικής ταχύτητας, ι%, και τής πρόσθετης ταχύτητας a t που απέκτησε κατά τον χρόνο ί, λόγω τής σταθερής επιτάχυνσης. Επίσης, γνωρίζουμε από την Κινητική ότι οι συνιστώσες χ και y ενός σώματος που κινείται με σταθερή επιτάχυνση δίνονται από τις σχέσεις χ = χ0 + v ^ t + i a xt 2

and

y = y0 + v ^ t + £a„t2

Εάν αντικαταστήσουμε με τις παραπάνω σχέσεις στην Εξίσωση 4.6, έχουμε r = (ι0 + «*οt + f a t 2)* + («/ο +

+ & vt2)j

= (*o* + yoj) + («*ο» + vyoj)t + i(a xi + ayj ) t 2 ή r = r0 + v 0t + bat*

(4.9)

Αυτή η εξίσωση λέει ότι το διάνυσμα τής μετατόπισης r - r0 είναι το διανυσματικό άθροισμα τής μετατόπισης vtf, η οποία οφείλεται στην αρχική ταχύτητα τού σώματος, και τής μετατόπισης lat2, η οποία οφείλεται στην σταθερή επιτάχυνση τού σώματος. Τα Σχήματα 4.4a και 4.4b δείχνουν τις γραφικές παραστάσεις τών Εξισώσεων 4.6 και 4.7. Για απλοποίηση τής γραφικής παράστασης 4.4b υποθέσαμε ότι r0 = 0. Δηλαδή υποθέσαμε ότι το σώμα βρίσκεται στην αρχή τών συντεταγμένων κατά τη στιγμή t = 0. Προσέξτε στο Σχήμα 4.4b ότι το r δεν βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση τού ν0 ή τού α, επειδή η σχέση που συνδέει αυτές τις ποσότητες είναι διανυσματική σχέση. Για τον ίδιο λόγο, βλέπουμε από το Σχήμα 4.4a ότι το ν γενικά δεν κείται πάνω στη διεύθυνση τού ι*ο ή τού α. Τέλος, εάν συγκρίνουμε τα Σχήματα 4.4a και 4.4b βλέπουμε ότι τα διανύσματα ν και r δεν έχουν την ίδια διεύθυνση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το ν εξαρτάται γραμμικά από το t, ενώ το r εξαρτάται από το τετράγωνο τού t. Πρέπει επίσης να προσεχθεί ότι,

Το διάνυσμα της ταχύτητας συναρτήσει τού χρόνου

65

66

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

εφόσον οι Εξισώσεις 4.8 και 4.9 είναι όιαννσματικές σχέσεις που έχουν μία ή περισσότερες συνιστώσες (γενικά έχουν τρεις συνιστώσες), μπορούμε να εκφράσουμε τις σχέσεις αυτές γρά φοντα ς τις συνιστώ σες τους στον άξονα των χ και y με γ0 = 0 ν

ν0 + at

\νΧ= υχ0 + azt = υνο + ayt

Σ χήμα 4.4. Διανυσματική απεικόνιση και ορθογώνιες συνιστώσες (a) τής ταχύτητας και (b) τής μετατόπισης ενός σώματος που κινείται με σταθερή επιτάχυνση α.

r = v 0t + \a t2

ΓX = Urft + Κ # 2 \ y = Vyot + i v

2

Αυτές οι σχέσεις απεικονίζονται στο Σχήμα 4.4. Με άλλα λόγια, η σε δύο διαστάσεις κίνηση με σταθερή επιτάχυνση είναι ισοδύναμη με δύο ανεξάρτη­ τες κινήσεις, μία στη διεύθυνση τού χ και μία άλλη στη διεύθυνση τού y, με σταθερές επιταχύνσεις αχ και ay, αντίστοιχα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.1 Κίνηση σε ένα επίπεδο □ Ένα σώμα κινείται πάνω στο επίπεδο xy και η επιτάχυνσή του έχει μόνο συνιστώσα χ, την αχ = 4 m/s2. Τη στιγμή ί = 0 το σώμα ξεκινά από την αρχή τών συντεταγμένων με αρχική ταχύτητα τής οποίας η συνι­ στώσα χ είναι 20 m/s και η y συνιστώσα -15 m/s. (a) Προσδιορίστε τις συνιστώσες τής ταχύτητας σε συνάρ­ τηση με τον χρόνο, καθώς και το διάνυσμα τής ταχύτητας για κάθε χρονική στιγμή. Επειδή νΜ = 20 m/s και αχ = 4 m/s2, η εξίσωση κίνησης μάς δίνει

Μπορείτε να καταλήξετε στο ίδιο συμπέρασμα αν χρησιμοποιήσετε κατευθείαν την Εξίσωση 4.8 και το ότι a = 4i m/s2 και = (20 I - 15 j) m/s. Προσπαθήστε! (b) Υπολογίστε την ταχύτητα τού σώματος και το μέτρο της τη στιγμή / = 5 s. Εάν αντικαταστήσουμε / = 5 s στην (a) παραπάνω βρίσκουμε υ - {[20 + 4(5)]* - 15;} m/s =

( 4 0 * 15j) m/s

Δηλαδή, τη στιγμή t = 5 s, νχ = 40 m/s και vy = - 15 m/s. Το μέτρο τής ταχύτητας είναι:

υζ = ΐλ,ο + azt = (20 + 4t) m/s Επίσης, αφού Vyo = — 15 m/s και ay = 0, vy = vy0 = - l 5 m/s Αν χρησιμοποιήσουμε λοιπόν τις παραπάνω συνιστώ­ σες έχουμε ν = vxi + vyj =

[(20 + 4t)f — 15j] m/s

ν = |υ| = Ίυ* + υ * = V(40)2 + (-1 5 )2 m/s =

42.7 m/s

(Σημείωση: η υ είναι μεγαλύτερη από την t%, Γιατί;). Η γωνία θ που σχηματίζει η υ με τον άξονα τών χ υπολογίζεται από τη σχέση tan θ = vy / υχ, ή - 20 . 6 ”

4.3 ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝ

(c) Προσδιορίσετε τις συντεταγμένες χ και y, για κάθε στιγμή t και το αντίστοιχο διάνυσμα μετατόπισης. Ξέρουμε ότι όταν t = 0, χ0 = yo = 0. 'Ετσι, εάν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις κίνησης, βρίσκουμε x = vx0t + iazt12 = (20#+2#2)m

67

Μπορούμε να βρούμε το r επίσης εάν χρησιμοποιήσου­ με την Εξίσωση 4.9, με = (20ΐ —15 j ) m/s και a = 4i m/s2. Προσπαθήστε! 'Ετσι, λογουχάρη, όταν t = 5 s, χ = 150 m και y = -75 m ή r = (150/ - 75j) m. Προκύπτει λοιπόν ότι η απόσταση που απέχει το σώμα από την αρχή τών συνταταγμένων είναι το μέτρο μετατόπισης, δηλαδή

y = Vyot= (-15#) m |r| = r = V(150)2 + (—75)2 m = 168 m

Επομένως, το διάνυσμα τής μετατόπισης για κάθε στιγμή t είναι r

4.3

xi + y j =

Προσέξτε, αυτή δεν είναι η απόσταση που διανύει το σώμα σε αυτόν τον χρόνο! Μπορείτε να τήν υπολογί­ σετε;

[(20# + 2#2)i - 15#;] m

ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝ

Ό ποιος έχει δει μια μπάλλα (ή οποιοδήποτε άλλο σώμα) να κινείται στον αέρα έχει παρατηρήσει κίνηση «βλήματος». Η τροχιά τής μπάλλας είναι καμπύλη στη γενική περίπτωση τυχαίας αρχικής ταχύτητας. Αυτή η πολύ γνωστή κίνηση αναλύεται πολύ εύκολα εάν κάνουμε τις παρακάτω δύο υποθέσεις: (1) η επιτάχυνση τής βαρύτητας, g, είναι σταθερή για όλη την τροχιά και ότι έχει κατεύθυνση προς τα κάτω(1) και (2) ότι μπορούμε να αγνοήσουμε την επίδραση που ασκεί η αντίσταση τού αέρα(2). Θα χρησιμο­ ποιήσουμε αυτές τις δύο προσεγγίσεις για να βρούμε τη διαδρομή τού βλήματος, δηλαδή την τροχιά του, που είναι πάντοτε παραβολή. Επίσης, θα τις χρησιμοποιούμε συνεχώς σε αυτό το κεφάλαιο. Επιλέγουμε το σύστημα αναφοράς (δηλαδή το ορισμένο σύστημα συντε­ ταγμένων που χρησιμοποιούμε έτσι ώστε η θετική κατεύθυνση y να είναι κατακόρυφη προς τα επάνω- τότε ay = — g (όπως στη μονοδιάστατη ελεύθερη πτώση) και αΧ = 0 (δεν λαμβάνεται υ π όψιν η τριβή με τον αέρα). Υποθέτουμε ότι το βλήμα εκτοξεύεται από την αρχή τών συντεταγμένων (τ0 = yo = 0) την χρονική στιγμή t = 0 με αρχική ταχύτητα ν0, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.5. Εάν το διάνυσμα υ0 σχηματίζει γωνία θ0 με τον άξονα τών χ (που είναι οριζόντιος), όπως στο Σχήμα 4.5,τότε από την τριγωνομετρία ξέρουμε ότι cos θ0 = υΛ /υ0

και

Υποθέσεις για την μελέτη βολής

sin θ0 = υ ^ /υ 0

Επομένως οι συνιστώσες χ και y τής αρχικής ταχύτητας είναι υ^ο = υ0 cos θ0

και

= υ0 sin θ0

Εάν θέσουμε αυτές τις σχέσεις στις Εξισώσεις 4.8 και 4.9 με αχ = 0 και ay = - g, βρίσκουμε τις συνιστώσες τής ταχύτητας και τις συντεταγμένες τού βλήματος για κάθε χρόνο #: νχ = υχ0 = υ0 cos θ0 = σταθερή

(4.10)

υν = υνθ ~ & = ϋο sin θ0 ~ gt

(4 11)

χ = 0 *0# = (ν0 cos θ0)ί

(4.12)

y = Vvot~ ig t2 = («ο sin 0o)t - £g#2

(4.13)

(1) Αυτή η προσέγγιση γενικά είναι καλή εφόσον το βεληνεκές και το ύψος τής τροχιάς είναι μικρά, σε σύγκριση με την ακτίνα τής Γης (6.4 X ΙΟ6 m). Δηλαδή, στην πράξη η παραπάνω υπόθεση είναι ισοδύναμη με την παραδοχή ότι η Γη είναι επίπεδη μέσα στα όρια τής τροχιάς που μελετούμε. (2) Αυτή η προσέγγιση δεν είναι καλή στην γενική περίπτωση,.ειδικά μάλιστα για μεγάλες ταχύτητες. Επί πλέον, το στριφογύρισμα (σπινάρισμα) ενός βλήματος, όπως είναι η μπάλλα τού μπέιζμπωλ, δημιουργεί πολλά ενδιαφέρονται φαινόμενα, που οφείλονται στην αεροδυναμική (βλ. Κεφάλαιο 15).

Οριζόντια συνιστώσα τής ταχύτητας Κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας Συνιστώσα τής οριζόντιας θέσης Συνιστώσα τής κατακόρυφης θέσης

68

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Σχήμα 4.5 Η παραβολική τροχιά ενός βλήματος που εκτοξεύεται με ταχύτητα t»o. Προσέξτε πώς μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου το διάνυσμα τής ταχύτητας υ. Π άντως, η * συνιστώσα τής ταχύτητας, υΜ, παραμένει σταθερή. Σημειώστε ότι στο υψηλότερο σημείο τής τροχιάς, vy = 0. Βλέπουμε από την Εξίσωση 4.10 ότι η υχ είναι σταθερή για όλους τους χρόνους και είναι ίση με την χ συνιστώσα τής αρχικής ταχύτητας, αφού δεν υπάρχει οριζόντια συνιστώσα τής επιτάχυνσης. Παρατηρούμε επίσης ότι στην κίνηση y, η vy και η y είναι ακριβώς ίδιες με τις σχέσεις που είχαμε για ελεύθερη πτώση σώματος στο Κεφάλαιο 3. Ας σημειωθεί ότι όλες οι εξισώσεις που έχουμε εξαγάγει στο Κεφάλαιο 3 βρίσκουν εφαρμογή στην κίνηση βλημάτων. Εάν στην Εξίσωση 4.12 λύσουμε ως προς t και αντικαταστήσουμε, με τη σχέση τού t που θα προκύψει, στην Εξίσωση 4.13 βρίσκουμε: „ - ( t a n ^ , - ( 2 V c eos. J

Μ ια μπάλλα τού γκολφ αναπηδάει πάνω σε μια σκληρή επιφάνεια. Προσέξτε την παραβολική τροχιά. (Ο Φωτογραφία H arold Ε. Edgerton τού Palm Press Inc.).

*»

(4.14)

που ισχύει για τις γωνίες θ0, 0 < θ ο < π/2. Η τελευταία εξίσωση έχει τη μορφή y = αχ — bx2, αυτή όμως είναι η εξίσωση μιας παραβολής που διέρχεται από την αρχή τών συντεταγμένων. Αποδείξαμε, δηλαδή, ότι η τροχιά ενός βλήματος είναι παραβολή. Α ς σημειωθεί ότι η τροχιά ορίζεται πλήρω ς εάν γνωρίζουμε τα ν0 και θ0. Μ πορούμε να βρούμε το μέτρο τής ταχύτητας τού βλήματος ως συνάρτηση τού χρόνου εάν προσέξουμε ότι οι Εξισώσεις 4.10 και 4.11 δίνουν τις χ και y συνιστώσες της ταχύτητας για κάθε στιγμή. Επομένως ξέρουμε ότι

ν=» >Ινζ2+ ν2

(4.15)

Ξέρουμε επίσης ότι το διάνυσμα τής ταχύτητας έχει τη διεύθυνση τής εφαπτομένης τής τροχιάς για κάθε στιγμή. Ό π ω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.5, η γω νία που σχηματίζει η υ με την οριζόντια διεύθυνση σε κάθε στιγμή βρίσκεται από τις συνιστώσες υχ και vy:

Γωνία τροχιάς

tan 0

(4.16)

Η διανυσματική σχέση για το διάνυσμα θέσης τού βλήματος ως συνάρτηση τού χρόνου προκύπτει άμεσα από την Εξίσωση 4.9 εάν αντικαταστήσουμε a = g: r = v0t + ±gt2 Αυτή η έκφραση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις 4.12 και 4.13 και η γραφική παράστασή της δίνεται στο Σχήμα 4.6. Α ς σημειωθεί ότι η εξίσωση αυτή είναι

4.3 ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝ

V

ο Σχήμα 4.6 Το διάνυσμα μετατόπισης, r, ενός βλήματος με αρχική ταχύτητα **,. Εάν δεν υπήρχε η βαρυτική έλξη, το διάνυσμα τής μετατόπισης θα ήταν ίσο προς το itf, το δε διάνυσμα ig t2 είναι ίσο με την κατακόρυφη μετατόπιση που προκαλεί η βαρύτητα στον χρόνο ί.

συνεπής προς την Εξίσωση 4.13, αφού το r είναι διάνυσμα και a = g = — g j όταν η θετική κατεύθυνση είναι προς τα πάνω. Α ξίζει να σημειωθεί πως μπορείτε να θεωρήσετε ότι η κίνηση είναι το αποτέλεσμα τής υπέρθεσης (συνδυασμού) δύο όρων: τού υ0ί, που είναι ίσος με τη μετατόπιση εάν δεν υπήρχε επιτάχυνση, και τού όρου i g t 2, που οφείλεται στην βαρυτική επιτάχυνση. Με άλλα λόγια, εάν δεν υπήρχε βαρυτική επιτάχυνση, το σώμα θα εξακολουθούσε να κινείται στη διεύθυνση τού ι>0. Επομένως, η κατακόρυ­ φη απόσταση, i g t 2, την οποία διανύει το σώμα «πέφτοντας», είναι ίση με εκείνην που θα διήνυε ένα σώμα που υπόκειται σε ελεύθερη πτώση. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η κίνηση βλημάτων είναι αποτέλεσμα τής υπέρθεσης δύο κινήσεων: (1) τής κίνησης ενός σώματος, σε κατακόρυφη διεύθυνση, που πέφτει ελεύθερα μ ε σταθερή επ ιτά χυνση · και (2) τής ισοταχούς κίνησης σε οριζόντια διεύθυνση. Βεληνεκές και μέγιστο ύψος τροχιάς βλήματος Α ς υποθέσουμε ότι ένα βλήμα εκτοξεύεται από την αρχή τών συντεταγμένων κατά τη στιγμή t = 0 με θετική συνιστώσα vy όπω ς στο Σχήμα 4.7. Θα αναλύσουμε δύο περιπτώσεις οι οποίες έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον: το μέγιστο ύψος τής τροχιάς, που σε καρτεσια­ νές συντεταγμένες αντιστοιχεί στο σημείο (R/2, Α), και στο βεληνεκές, που αντιστοιχεί στο (R, 0). Η απόσταση R ονομάζεται βεληνεκές τού βλήματος, και το Α μέγιστο ύ φ ος τής τροχιάς. Α ς βρούμε τα Α και R συναρτήσει τών υ0, 0ο και gΓια να βρούμε το μέγιστο ύψος αρκεί να θυμηθούμε ότι, στην κορυφή τής τροχιάς, υν.= 0. Επομένως, η Εξίσωση 4.11 είναι εκείνη η οποία προσδιορίζει τον χρόνο /χ που κάνει το βλήμα ώσπου να φτάσει στην κορυφή: υ0 sin θ0 g Εάν θέσουμε αυτήν την έκφραση τού ίχ στην Εξίσωση 4.13 βρίσκουμε το Α συναρτήσει τού υ0 και τού 0Ο:

, υ02 sin2 0Ο h -------- 2g

(4.17)

Το βεληνεκές R είναι ίσο με την οριζόντια απόσταση που διήνυσε το βλήμα στο διπλάσιο τού χρόνου ίχ, δηλαδή 2ίχ. (Αυτό μπορείτε να τό δείτε εάν θέσετε y = 0 στην Εξίσωση 4.13 και λύσετε ως προς t τη δευτεροβάθμια εξίσωση που προκύπτει. Η μία από τις λύσεις τής δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η t = 0

69

70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

y

νγ = ο

Σχήμα 4.7 'Ε να βλήμα εκτοξεύεται τη στιγμή ί = 0 με αρχική ταχύτητα ι%. Το βεληνεκές είναι R και το μέγιστο ύψος είναι Α.

και η άλλη t = 2fi). Εάν χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση 4.12 και θέσουμε χ = R για t = Ζίχ βρίσκουμε R = (υ0 cos 90)2t1 = (υ0 cos 0Ο) 2t>o sin g

2υ„2 sin θ0 cos 0Ο Η -------------------------g

Αλλά sin 20 = 2 sin 0 cos 0, οπότε μπορούμε να γράψουμε το R πιο κομψά:

R _ ν02 sin 20ο

Βεληνεκές

(4.18)

g

Μην ξεχνάτε ότι οι Εξισώσεις 4.17 και 4.18 είναι χρήσιμες μόνο για να υπολογίσουμε το ύψος h και R, εάν γνωρίζουμε το ν0 και το 0Οκαι μόνο για συμμετρικές τροχιές, όπως στο Σχήμα 4.7 (αυτό σημαίνει ότι αρκεί να οριστεί μόνο το Vo). Τα γενικά αποτελέσματα των Εξισώσεων 4.10 έως 4.13 είναι πολύ πιο σημαντικά, διότι μάς δίνουν τις συντεταγμένες τής κίνησης και τις συνιστώσες τής ταχύτητας τού βλήματος για οποιαδήποτε στιγμή ί. Ας σημειωθεί ότι η μεγίστη τιμή τού R που προκύπτει από την Εξίσωση 4.18 είναι Rmax = v02/g. Αυτό το αποτέλεσμα είναι συνέπεια τού ότι η μέγιστη τιμή τού sin 20ο είναι η μονάδα, που αντιστοιχεί στην τιμή 20ο = 90°. Βλέπουμε λοιπόν ότι το R είναι μέγιστο όταν 0Ο = 45°, όπω ς θα περιμένατε, αφού αγνοήσαμε την αντίσταση τού αέρα. Στο Σχήμα 4.8 φαίνονται διάφορες τροχιές για βλήμα με δεδομένο μέ­ τρο αρχικής ταχύτητας. Ό π ω ς βλέπετε, το βεληνεκές μεγιστοποιείται για 0Ο = 45°. Προσέξτε επίσης ότι για κάθε 0 διάφορο από 45°, σε κάθε βεληνεκές με συντεταγμένες (Λ, 0) αντιστοιχούν δύο συμπληρωματικές τιμές τού 0Ο, λ.χ. 75° και 15°. Προφανώς, όμως, το μέγιστο ύψος και ο αντίστοιχος χρόνος πτήσης διαφέρει για καθεμιά από τις δύ„2 = V(17.3)2 + (-3 1 .4 )2 m/s =

2

-1 0 0 m = -*(9.80 m/s2)t2 ί2 = 20.4 s2 t = 4.51 s

* = (40 m/s)(4.51 s) =

180 m

Άσκηση 2 Βρείτε την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας τού δέματος λίγο προτού αυτό προσκρούσει στο έδαφος. Απάντηση νχ = 40 m/s, vy = - 44.1 m/s.

35.9 m/s

Άσκηση 1 Πού πέφτει η πέτρα; Απάντηση 73 m από το κτήριο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.5 Οι χαμένοι εξερευνητές Ένα αεροπλάνο διάσωσης ρίχνει ένα δέμα πρώτων βοηθειών σε μια ομάδα εξερευνητών που έχουν χάσει τον δρόμο τους στην Αλάσκα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.11. Το αεροπλάνο ταξιδεύει οριζόντια με ταχύτητα 40 m/s, σε ύφος 100 m πάνω από το έδαφος. Πόσο μακριά από το σημείο ρίψης πέφτει το δέμα;

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.6 Χιονοδρομικό άλμα Ένας χισνοδρόμος-άλτης κατεβαίνει με σκι την πλαγιά και όταν φθάσει στο καθορισμένο σημείο τής πίστας «απογειώνεται» σε οριζόντια διεύθυνση με ταχύτητα 25 m/s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.12. Το έδαφος από κάτω έχει κλίση 35° με την οριζόντιο, (a) Σε ποιο σημείο τής πλαγιάς προσγειώνεται ο χιονοδρόμος; Λύση Για ευκολία, επιλέγουμε την αρχή τών συντεταγ­ μένων (χ = y = 0) στο σημείο έναρξης τού άλματος. Ξέρουμε ότι υΜ = 25 m/s και ν,,ο = 0. Εάν χρησιμοποιή­ σουμε τις Εξισώσεις 4.12 και 4.13 έχουμε (1)

x = vx0t= (25 m/s)t

(2)

y —Vyot — igt2 — —*(9.80 m/s2)i2

Ονομάζουμε d την παράλληλη προς την πλαγιά απόστα­ ση ανάμεσα στα σημεία «απογείωσης» και «προσγείω­ σης». Από το ορθογώνιο τρίγωνο τού Σχήματος 4.12 βλέπουμε ότι οι συνιστώσες χ και y τού σημείου προσγείωσης είναι χ = d cos 35° και y = - d sin 35°. Εάν αντικαταστήσουμε με τις τιμές αυτές στις (1) και (2) βρίσκουμε Σχήμα 4.11 (Παράδειγμα 4.5) Έ να ς παρατηρητής ο οποίος βρίσκεται στο έδαφος βλέπει το δέμα που έριξε το αεροπλάνο να κάνει παραβολική τροχιά, όπως φαίνεται στο σχήμα.

(3) (4)

d cos 35° = (25 m/s)i - d sin 35° = -*(9.80 m/s2)i2

4.4 ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

4.4

ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Το Σχήμα 4.13a δείχνει ένα σώμα που κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητα ς | ν|. Πολλοί σπουδαστές εκπλήσσονται όταν διαπιστώνουν ότι το σώμα, αν και κινείται μ ε σταθερό μέτρο ταχύτητας, επιταχύνεται. Για να δούμε πώ ς συτό είναι δυνατόν ας εξετάσουμε τον ορισμό τής μέσης επιτάχυνσης ά = Δυ/Δί Να ληφθεί υ π’ όψιν ότι η επιτάχυνση εξαρτάται από τη μεταβολή τού διανύσματος ταχύτητας. Επειδή η ταχύτητα είναι μέγεθος διανυσματικό, υπάρχουν δύο τρόποι να μεταβληθεί: με τη μεταβολή τού μέτρου της ή με τη μεταβολή τής διεύθυνσής της. Αυτή η δεύτερη περίπτωση ισχύει για ένα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύτητας. Το διάνυσμα τής ταχύτητας έχει πάντοτε τη διεύθυνση τής εφαπτομένης στην τροχιά και, στην περίπτωση που μελετούμε, είναι κάθετο στο r. Θ α δείξουμε ότι, στην

Σχήμα 4.13 (a) Κυκλική κίνηση ενός σώματος που κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας, (b) Καθώς το σώμα κινείται από το Ρ στο Q, η κατεύθυνση τού διανύσματος τής ταχύτητας μεταβάλλεται από σε ν,. (c) Γραφική κατασκευή για να βρεθεί η κατεύθυνση τής μεταβολής τής ταχύτητας, Δυ, η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου.

73

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ περίπτωση που εξετάζουμε, το διάνυσμα τής επιτάχυνσης είναι κάθετο στην τροχιά και κατευθΰνεται πάντοτε προς το κέντρο τού κύκλου. Τέτοιου είδους επιτάχυνση λέγεται κεντρομόλος επιτάχυνση και το μέτρο της είναι ν2 = y

Κεντρομόλος επιτάχυνση

(4.19)

Μελετήστε το Σχήμα 4.13b για να δείτε πώ ς εξάγεται η Εξίσωση 4.19. Εδώ βλέπουμε ένα σώμα πρώτα στο σημείο Ρ με ταχύτητα υ; κατά τη στιγμή ή, και αργότερα στο σημείο Q με ταχύτητα ν{ την στιγμή t{. Υποθέτουμε ότι τα υ; και vf έχουν το ίδιο μέτρο, δηλαδή διαφέρουν μόνον ως προς την κατεύθυνση (δηλαδή |wj| = |υ{| = |υ|). Α ς κάνουμε τον υπολογισμό τής επιτάχυνσης αρχίζοντας με την μέση επιτάχυνση: _ _ ν( — υ, _ Α ν ° if — ή At Η τελευταία εξίσωση μάς λέει ότι πρέπει να αφαιρέσουμε διανυσματικά το υ; από το ιγ. Το Δ υ = υ{ - υ; είναι η μεταβολή τής ταχύτητας. Δηλαδή, βρίσκουμε το Δ υ προσθέτοντας το διάνυσμα ν{ στο διάνυσμα - tv Στο Σχήμα 4.13c βλέπετε σε γραφική παράσταση την αφαίρεση τών δύο διανυσμάτων. Να σημειωθεί ότι όταν το χρονικό διάστημα A t είναι πολύ μικρό, τα As και Αθ είναι πολύ μικρά, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή το υ{ θα είναι σχεδόν παράλληλο προς το ν{ και το διάνυσμα Αν θα είναι κάθετο, σχεδόν, επάνω τους με κατεύθυνση προς το κέντρο τού κύκλου. Μελετήστε τώρα το τρίγωνο στο Σχήμα 4.13b, που έχει πλευρές As και r. Αυτό είναι όμοιο με το τρίγωνο τού Σχήματος 4.13c που έχει πλευρές Δ υ και υ. Επομένως Δυ _ As υ r Εάν λύσουμε ως προς Δυ και αντικαταστήσουμε στην a = Α ν/A t παίρνουμε a A t = υ As/r ή _ υ As a ~~r~At Φανταστείτε τώ ρα ότι τα σημεία Ρ και Q, στο Σχήμα 4.13b αρχίζουν να προσεγγίζουν το ένα με το άλλο. Έ τσ ι το Δυ κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου και, επειδή η επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση τού Δυ, κατευθύνεται και αυτή προς το κέντρο. Τέλος, καθώς το Ρ και το Q προσεγγίζουν το ένα το άλλο, το A t τείνει προς το μηδέν και ο λόγος As/At τείνει προς την ταχύτητα υ. Ά ρ α , στο όριο A t —* 0, η επιτάχυνση είναι υ2 αΓ= 7 Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι στην ομαλή κυκλική κίνηση η επιτάχυνση κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου και έχει μέτρο v 2/r. Αποδείξτε ότι οι διαστάσεις τού αΤείναι [L]/[T2], όπως απαιτείται για διαστάσεις επιτάχυνσης. Θ α επανέλθουμε στην εξέταση τής κυκλικής κίνησης στο Υποκεφάλαιο 6.1. 4.5

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

Ας μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος σε τροχιά με ταχύτητα που μεταβάλλεται ως προς το μέτρο και την κατεύθυνση, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.14. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα τού σώματος έχει πάντοτε τη διεύθυνση τής εφαπτομένης στην τροχιά, αλλά το διάνυσμα τής επιτάχυνσης a σχηματίζει γω νία με την τροχιά. Καθώς το σώμα κινείται πάνω στην τροχιά

4.5 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΚΤΙΝΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

τού Σχήματος 4.14, παρατηρούμε ότι η κατεύθυνση τού διανύσματος τής επιτάχυνσης α μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Το διάνυσμα αυτό μπορεί πάντοτε να αναλυθεί σε δύο διανύσματα-συνιστώσες κάθετες μεταξύ τους: σε μία ακτινική συνιστώσα, δηλαδή το διάνυσμα, ατ, και σε μία εφαπτομενική συνιστώσα, δηλαδή το διάνυσμα α,. Δηλαδή, το διάνυσμα τής επιτάχυνσης μπορεί να γραφεί ως διανυσματική συνισταμένη τών διανυσμάτων-συνιστωσών του:

α

αΓ+ α,

(4.20)

Ολική επιτάχυνση

Στην εφαπτομενική ή επιτρόχια συνιστώ σα τής επιτάχυνσης οφείλεται η μεταβολή τού μέτρου τής ταχύτητα ς τού σώματος (θα τή λέμε και εφαπτομενι­ κή επιτάχυνση). Το μέτρο της είναι Εφαπτομενική επιτάχυνση

Σχήμα 4.14 Κίνηση ενός σώματος σε μια τυχα ία τροχιά που κείται πάνω στο επίπεδο xy. Το διάνυσμα τής ταχύτητας ν εφάπτεται πάντοτε στην τροχιά , στη γενική περίπτωση μεταβάλλεται η κατεύθυνσή του κα ι το μέτρο του. Είθιοται να αναλύουμε το διάνυσμα τής επιτάχυνσης α σε μία συνιστώσα στην διεύθυνση τής εφαπτομένης, την εφαπτομενική ή επιτρόχια επιτάχυνση α„ και σε μία κάθετη ή ακτινική ή κεντρομόλο συνιστώσα, την ατ, που είναι κάθετη προς την εφαπτομενική διεύθυνση και κατευθύνεται προς το κοίλο τής τροχιάς.

Στην ακτινική ή κεντρομόλο συνιστώ σα τής επιτάχυνσης οφείλεται η μεταβολή τής κατεύθυνσης τής ταχύτητα ς τού σώματος (θα τή λέμε και ακτινική ή κεντρομόλο επιτάχυνση). Το μέτρο της είναι υ2 αΓ= —

(4.22)

όπου r είναι η ακτίνα καμπυλότητας τής τροχιάς στο σημείο που μελετούμε. Επειδή η α, είναι κάθετη στην ατ έχουμε a = V ar2 + α,2. Οπως είπαμε στην περίπτωση τής ομαλής κυκλικής κίνησης, το αΓ έχει κατεύθυνση προς το κέντρο καμπυλότητας, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.14. Για σταθερό μέτρο τής ταχύτητας, η αΓ είναι μεγάλη, όταν η ακτίνα καμπυλότητας είναι μικρή (όπως στα σημεία Ρ και Q τού Σχήματος 4.14), η βΓ είναι μικρή, όταν η ακτίνα καμπυλότητας είναι μεγάλη (όπως στο σημείο R). Η at έχει την ίδια κατεύθυνση με την ν (εάν αυξάνεται το μέτρο τής υ) ή αντίθετη κατεύθυνση από την υ (εάν ελαττώνεται το μέτρο τής υ). Ας σημειωθεί ότι για την ομαλή κυκλική κίνηση, όπου το μέτρο τής ν είναι σταθερό, at = 0 και έχουμε πάντοτε ακτινική συνιστώσα τής επιτάχυνσης, όπως στο Υποκεφάλαιο 4.4. Τέλος, εάν η κατεύθυνση τής ν δεν μεταβάλ­ λεται, τότε δεν υπάρχει ακτινική επιτάχυνση και η κίνηση είναι ευθύγραμμη

( k I = ο, Ik

φ

ο).

Είναι χρήσιμο να γράφουμε την επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε κυκλική τροχιά χρησιμοποιώντας μοναδιαία διανύσματα. ΓΓ αυτό ορίζουμε τα μοναδιαία διανύσματα t και 0, όπου το t είναι μοναδιαίο διάνυσμα που κατευθύνεται ακτινικά προς τα έξω και το 6 είναι μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση τέτοια ώστε αυτή να αυξάνει τη γω νία θ, όταν η θ μετριέται από τον άξονα τών x με φορά αντίθετη προς τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού.

Κεντρομόλος επιτάχυνση

75

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Να ληφθεί υ π ’ όψιν ότι τόσο το r όσο και το ΰ «κινούνται μαζί με το σώμα» και έτσι αλλάζουν θέση ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή. Α ν χρησιμοποιή­ σουμε τον συμβολισμό αυτό γράφουμε ότι d\v\ a υ* α -α , + α , - - ^ β - 7 Γ

(4.23)

Τα διανυσματα αυτά περιγράφονται στο Σχήμα 4.15b. Το αρνητικό πρόσημο τού ατ σημαίνει ότι αυτό έχει πάντοτε αντίθετη ακτινική κατεύθυνση από το μοναδιαίο διάνυσμα t. !/

(a) Σχήμα 4.15 (a) Π εριγραφή τών μοναδιαίων διανυσμάτων ί κ α ι θ. (b) Η ολική επιτάχυνση α ενός σώματος που κινείται σε κυκλική τροχιά αποτελείται οστό την κεντρομόλο ή ακτινική συνιστώσα, βΓ, η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου, και α πό την εφαπτομενική συνιστώσα, α,. Ε άν το μέτρο τής ταχύτητας είναι σταθερό, τότε α, = 0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.7 Η μπάλλα που γυρίζει Μια μπάλλα δεμένη με ένα νήμα μήκους 0.5 m περιστρέ­ φεται σε κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση τής βαρύτητας, όπως το Σχήμα 4.16. 'Οταν το νήμα σχηματίσει γωνία θ = 20° με την κατακόρυφο, η μπάλλα έχει ταχύτητα 1.5 m/s. (a) Βρείτε την ακτινική συνιστώ­ σα τής επιτάχυνσης τη στιγμή αυτή. Επειδή |ν| = 1.5 m/s και r = 0.5 m. βρίσκουμε °r

_ ΐ)2 _ (1.5 m/s)2 r 0.5 m

4.5 m/s2

(b) Όταν η μπάλλα σχηματίσει γωνία θ με την κατακόρυφο, έχει εφαπτομενική επιτάχυνση μέτρου g sin θ (δηλαδή την εφαπτομενική στην κυκλική τρο­ χιά συνιστώσα τού g). Έτσι, για θ = 20°, βρίσκουμε ότι a, = g sin 20° = 3.36 m/s2. Βρείτε το μέτρο και τη διεύθυνση τής συνολικής επιτάχυνσης για θ = 20°. Επειδή α = α, + ατ, το μέτρο τού α στις 20° είναι α = Ί α 2 + α,2 = V(4.5)2 + (3.36)2 m/s2 =

5.62 m/s2.

Εάν φ είναι η γωνία ανάμεσα στο α και στο νήμα, τότε , α. . /3.36 m/s2\ φ = tan-1 — = tan-1 I —— — γ γ ) = αχ \ 4.5 m/s2 / Να σημειωθεί ότι όλα τα διανύσματα

___ ,. 36.7° a, a, και

Σχήμα 4.16 (Παράδειγμα 4.7) Μια μπάλλα είναι αναρτημένη από την οροφή με ένα νήμα μήκους r και διαγράφει τόξο κύκλου. Η μπάλλα αιω ρείται σε κατακόρυφο επίπεδο. Η επιτάχυνσή της, α, αναλύεται σε ακτινική συνιστώσα, βΓ, και σε εφαπτομενική συνιστώσα, α,.

βΓ— μεταβάλλονται σε μέτρο και κατεύθυνση καθώς η μπάλλα περιστρέφεται. Όταν η μπάλλα βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο (θ = 0), τότε α, = 0, αφού δεν

4.6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

υπάρχει εφαπτομενική συνιστώσα τού g στην οριζόντια διεύθυνση, και έτσι στο σημείο αυτό η βΓ είναι μέγιστη, επειδή η ν είναι μέγιστη. 'Οταν η μπάλλα βρίσκεται στο υψηλότερο σημείο (θ = 180°), η α, είναι πάλι μηδέν,

4.6

77

αλλά η α, είναι ελάχιστη, γιατί η υ έχει την ελάχιστη τιμή της. Τέλος, στις δύο οριζόντιες θέσεις (θ = 90° και 270°) η |at| = g και η |αΓ| έχει ενδιάμεση τιμή (ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστή της).

ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Στο μέρος αυτό περιγράφουμε πώς συνδέονται μεταξύ τους οι μετρήσεις παρατηρητών που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Θα δούμε ότι παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς μετρούν διαφορετικές μετατοπίσεις και ταχύτητες για ένα κινούμενο σώμα. Δηλαδή, γενικά, δύο παρατηρητές που κινούνται μεταξύ τους δεν συμφωνούν στο αποτέλεσμα μιας μέτρησης. Λ ογουχάρη, εάν δύο αυτοκίνητα κινούνται στην ίδια κατεύθυνση με ταχύτητες 50 mi/h και 60 mi/h, ένας επιβάτης τού αργού αυτοκινήτου θα λέει ότι το γρήγορο αυτοκίνητο πηγαίνει με ταχύτητα 10 mi/h. Φυσικά, ένας ακίνητος παρατηρητής θα μετρήσει την ταχύτητα τού γρήγορου αυτοκινήτου ότι είναι 60 mi/h. Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι οι μετρήσεις ταχύτητας εξαρτώνται από το σύστημα αναφοράς. Υποθέστε ότι ένα άτομο (παρατηρητής Α) που βρίσκεται μέσα σε ένα κινούμενο όχημα πετάει μία μπάλλα κατακόρυφα προς τα επάνω, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 4.17a. Ο παρατηρητής Α βλέπει την μπάλλα να κινείται κατακόρυφα. Αλλά ένας άλλος παρατηρητής, που βρίσκεται ακίνητος στο έδαφος (ο παρατηρητής Β), βλέπει ότι η τροχιά τής μπάλλας είναι παραβολή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.17b.

Σχήμα 4.17 (a) Ο παρατηρητής Α , που βρίσκεται μέσα στο κινούμενο όχημα, πετάει την μπάλλα προς τα επάνω και πιστεύει ότι αυτή κινείται σε ευθεία γραμμή, (b) 'Ε να ς παρατηρητής Β, που βρίσκεται στο έδαφος, βλέπει την μπάλλα να διανύει παραβολική τροχιά.

Φανταστείτε ότι καθώς ένα αεροπλάνο πετάει παράλληλα προς τη Γη με σταθερή ταχύτητα, κάποιος ανοίγει μία πόρτα και αφήνει να πέσει ένα δέμα. Έ νας παρατηρητής μέσα από το αεροπλάνο κοιτάζει το δέμα και τό βλέπει να πέφτει ευθύγραμμα-κατακόρυφα προς τη Γη. Έ ν α ς άλλος παρατηρητής όμως, που βρίσκεται στο έδαφος, βλέπει το δέμα να πέφτει ακολουθώντας παραβολική τροχιά. Σε σχέση με τον παρατηρητή που βρίσκεται στο έδαφος, η ταχύτητα τού δέματος έχει δύο συνιστώσες, κάθετες μεταξύ τους, μία κατακόρυφη, που οφείλεται στην επιτάχυνση τής βαρύτητας (και είναι ίση με την ταχύτητα την οποία μετράει ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αεροπλά­ νο), και μία οριζόντια, πού οφείλεται στην κίνηση τού αεροπλάνου. Εάν το αεροπλάνο εξακολουθήσει να πετάει με την ίδια ταχύτητα, το δέμα θα φτάσει στο έδαφος όταν το αεροπλάνο βρίσκεται ακριβώς από πάνω του (υποθέτου­ με ότι μπορούμε να αγνοήσουμε την αντίσταση τού αέρα). Σε μια γενική περίπτωση, θεωρήστε ότι ένα σώμα βρίσκεται στο σημείο Ρ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.18. Φαντασθείτε ότι υ πάρχουν δύο παρατηρητές

78

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

οι οποίοι περιγράφουν την κίνηση τού σημείου Ρ. Ο ένας βρίσκεται στο σύστημα αναφοράς S, που είναι ακίνητο ως προς την Γη, και ο άλλος στο σύστημα S , το οποίο κινείται προς τα δεξιά τού S με ταχύτητα ιι. (Κατά τον παρατηρητή τού S το 5 κινείται προς τα αριστερά τού S με ταχύτητα — ιι). Αν και η θέση τού κάθε παρατηρητή στο σύστημά του δεν έχει σημασία, ας πούμε ότι οι παρατηρητές βρίσκονται πάνω στην αρχή τών συντεταγμένων τών συστημάτων τους ο καθένας, αντίστοιχα. S

S'

Σχήμα 4.18 Δύο παρατηρητές παρατηρούν ένα σώμα που βρίσκεται στο σημείο Ρ. Ο ένας παρατηρητής βρίσκεται στο ακίνητο σύστημα αναφοράς S και ο άλλος στο S το οποίο κινείται προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα ιι. Η επιβατική ακτίνα τού σημείου Ρ στο σύστημα S είναι η r, ενώ στο S είναι η τ'.

Περιγράφουμε τη θέση τού σώματος την στιγμή t με το r στο 5 και με το r ' στο S . Εάν οι αρχές τών δύο συστημάτων συμπίπτουν τη στιγμή 1 = 0, τότε τα διανύσματα r και τ ' συνδέονται με τη σχέση r = τ ' + ut ή Μετασχημαιισμοί τού Γαλιλαίου για τις συντεταγμένες

r ' = r —u t

(4.24)

Δηλαδή, τη στιγμή t στο σύστημα S έχει μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά ιιί. Εάν παραγωγίσουμε την Εξίσωση 4.24 ως προς τον χρόνο, χω ρίς να λησμονούμε ότι η ιι είναι σταθερή, βρίσκουμε d r' _ d r _ ~dt ~dt U Μετασχηματισμοί τού Γαλιλαίου για την ταχύτητα

v' = v ~ u

(4.25)

όπου ν ' είναι η ταχύτητα τού σώματος την οποία μετράει ο παρατηρητής στο σύστημα S ' και ν είναι η ταχύτητα τού σώματος την οποία μετράει ο παρατηρητής στο σύστημα S. Ο ι Εξισώσεις 4.24 και 4.25 είναι γνωστές ως μετασχηματισμοί τον Γαλιλαίον. Μολ,ονότι παρατηρητές οι οποίοι βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα μετρούν διαφορετική ταχύτητα για το σώμα, μετρούν την ίδια επιτάχυνση εφ’ όσον η ιι είναι σταθερή. Για να τό δείτε αυτό, παραγωγίσετε ως προς τον χρόνο τις Εξίσωσης 4.25 d v ' _ d v _ du ~dt ~dt ~dt Αλλά η ιι είναι σταθερή, δηλαδή duldt = 0. Επομένως, εφόσον a = dv'/dt και a = dv/dt, έχουμε a' = α. Δηλαδή, η επιτάχυνση ενός σώματος την οποία μετρά ει ένας παρατηρητής πον είναι ακίνητος σε σχέση μ ε τη Γη είναι ίδια με την επιτάχυνση την οποία μετρά ει οποιοσδήποτε άλλος παρατηρητής που κινείται μ ε σταθερή ταχύτητα σε σχέση μ ε τον πρώτο.

4.7 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.8 Περνώντας από τη μία όχθη τού ποταμού στην άλλη Μία βάρκα περνώντας έναν ποταμό κατευθύνεται προς Βορράν με ταχύτητα 10 km/h σε σχέση με το νερό. Το νερό τού ποταμού κυλάει προς Ανατολάς με ταχύτητα 5 km/h. Να προσδιορίσετε την ταχύτητα τής βάρκας ως προς έναν ακίνητο παρατηρητή που βρίσκεται στην όχθη. Λύση Ας υποθέσουμε ότι ένα κινούμενο σύστημα α­ ναφοράς, S', είναι τοποθετημένο πάνω σε έναν φελλό που πλέει στον ποταμό. Ο παρατηρητής μας βρίσκεται στην όχθη και το σύστημά του είναι το S. Τα διανύσματα u, υ και ν ' ορίζονται ως εξής: u = ταχύτητα τού νερού σε σχέση με την όχθη

79

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.9 Προς τα πού πάμε; Εάν η βάρκα τού Παραδείγματος 4.8 πρέπει να ταξιδέ­ ψει προς Βορράν με το ίδιο μέτρο ταχύτητας, 10 km/h, προς τα πού πρέπει να πηδαλιουχεί ο βαρκάρης; Λύση Τα διανύσματα τού προβλήματός μας υ, ν και ν ' φαίνονται στο Σχήμα 4.19b, όπου το ν ' είναι η υποτείνουσα τού τριγώνου. Επομένως η ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με την όχθη είναι ν = τ/(υ')2 —u2 = V(10)2 —(5)2 km/h = 8.66 km/h

30‘ όπου η θ2 μετριέται δυτικά από τον Βορρά.

ν = ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με την όχθη ν ' = ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με το νερό Στο παράδειγμα αυτό (Σχήμα 4.19α) η η κατευθύνεται προς τα δεξιά, η ν 'προς τα επάνω τού Σχήματος και η υ σχηματίζει γωνία θχ. Τα διανύσματα αυτά σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Η ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με την όχθη είναι ο = V(u')2 + «2 = V(10)2 + (5)2 km/h =

11.2 km/h

και η κατεύθυνση τού ν είναι 01 = tan- ‘ ( ^ ) = tan- 1 ( ^ ) = Β

26.6· Β

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.10 Το αεροπλάνο που πετάει με τον άνεμο στο πλάι. 'Ενα αεροπλάνο πετάει προς Ανατολάς και μπορεί να αναπτύξει ταχύτητα 400 km/h. Ταυτόχρονα, ο άνεμος πνέει προς Βορράν με ταχύτητα 75 km/h σε σχέση με το έδαφος. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση τής ταχύτητας τού αεροπλάνου σε σχέση με το έδαφος. Λύση Η ταχύτητα τού αεροπλάνου Up* σε σχέση με το έδαφος είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο τα­ χυτήτων που ορίζονται από την εκφώνηση τού προ­ βλήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.20. Η ταχύτητα την οποία αναπτύσσει το αεροπλάνο στον αέρα είναι Up, = (400 km/h)i, ενώ η ταχύτητα τού αέρα σε σχέση προς το έδαφος είναι uwe = (75 km/h)/· έτσι βρίσκουμε |®ρ.| = V(400 km/h)2 + (75 km/h)2 =

407 km/h

Η γωνία θ που σχηματίζει η Up* με την ανατολική διεύθυνση είναι

- '■ I S ; ·101875 ι β- 10·6· Σχήμα 4.19 (Παραδείγματα 4.8 και 4.9) (a) Ε άν η βάρκα κατευθύνεται (δηλαδή ο βαρκάρης πηδαλιουχεί) προς Βορράν και το ρεύμα τού ποταμού κατευθύνεται προς Α νατολάς, τότε η βάρκα κινείται προς τα βορειοανατολικά, παράλληλα προς το t>. (b) Ε άν ο βαρκάρης θέλει να πάει προς Βορράν, τότε πρέπει να πηδαλιουχήσει προς τα βορειοδυτικά, όπω ς φαίνε­ ται στο σχήμα. Και στις δύο περιπτώσεις ν = ν' + ιι, όπου ο βαρκάρης πηδαλιουχεί σε κατεύθυνση παράλληλη προς το ν '.

Επομένως, η ταχύτητα τού αεροπλάνου σε σχέση με τη Γη είναι 407 km/h και με κατεύθυνση 10.6° βόρεια από την Ανατολή. Άσκηση 4 Εάν το αεροπλάνο κινείται με το ίδιο μέτρο ταχύτητας, σε ποια διεύθυνση πρέπει να πιλοτάρεται για να πάει ανατολικά ως προς έναν παρατηρητή που βρίσκεται πάνω στη Γη; Απάντηση 10.8° νότια από την Ανατολή

Up, = 4 00 km /h

Επομένως η βάρκα, σύμφωνα με έναν παρατηρητή που βρίσκεται στην όχθη, κινείται σε διεύθυνση 63.4° βόρεια από την Ανατολή.

Σχήμα 4.20 (Παράδειγμα 4.10).

* 4.7 ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Οι μετασχηματισμοί τού Γαλιλαίου (Εξισώσεις 4.24 και 4.25) συνδέουν τις συντεταγμένες ή την ταχύτητα ενός σώματος, που υπολογίζονται σε ένα

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ σύστημα, αναφοράς, λ.χ. τού εργαστηρίου (δηλαδή τής Γης), με τις συντεταγμένες ή την ταχύτητα που μετριούνται σε ένα άλλο σύστημα το οποίο κινείται ισοταχώς ως προς το πρώτο σύστημα. Πρέπει πάντω ς να θυμάστε ότι αυτοί οι μετασχηματισμοί ισχύουν μόνο για την περίπτωση που η ταχύτητα τού σώματος (και για τους δύο παρατηρητές) είναι μικρές σε σύγκριση με την ταχύτητα τού φωτός c (όπου c ~ 3 x ΙΟ8 m/s). Ό τα ν η ταχύτητα τού σώματος, σύμφωνα με τον ένα ή τον άλλο παρατηρητή, πλησιάζει την ταχύτητα τού φωτός, τότε οι εξισώσεις τών μετασχηματισμών τού Γαλιλαίου δεν ισχύουν πια και πρέπει να αντικατασταθούν από τους μετασχηματισμούς τού Lorentz, όπω ς τούς χρησιμοποιεί ο Einstein στην Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας. Θα μελετήσουμε την Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας στο Κεφάλαιο 39. Αλλά ας κάνουμε τώρα λίγα σχόλια. Ό π ω ς θα δείτε, οι μετασχηματισμοί τής σχετικότητας ανάγονται στους μετασχηματισμούς τού Γαλιλαίου όταν η ταχύτητα τών σωμάτων είναι μικρή σε σύγκριση με την ταχύτητα τού φωτός. Αυτό αποτελεί αναγκαιότητα σύμφωνα με την αρχή τής αντιστοιχίας, που πρώτος διατύπωσε ο Niels Bohr. Η αρχή αυτή λέει ότι όταν μια παλαιά θεωρία περιγράφει ικανοποιητικά έναν αριθμό φυσικών φαινομένων, τότε για να γίνει αποδεκτή μία νέα θεωρία πρέπει και αυτή να ερμηνεύει ικανοποιητικά τα φαινόμενα που ερμηνεύονται από την παλαιά θεωρία. Θ α αναρωτιέστε πώς μπορεί να ελέγξει κανείς την ισχύ τών μετασχηματι­ σμών. Οι μετασχηματισμοί τού Γαλιλαίου είναι χρήσιμοι στην Νευτώνεια Μ ηχανική, ενώ η θεωρία τού Einstein χρησιμοποιεί τους σχετικιστικούς μετασχηματισμούς τού Lorentz. Ύ στερα από σειρά πειραμάτων στον τομέα τής Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων, πειραμάτων στη διάρκεια τών οποίων επιταχύνουμε ηλεκτρόνια ή πρωτόνια σε ταχύτητες που πλησιάζουν την ταχύτητα τού φωτός, γνωρίζουμε ότι η Νευτώνεια Μηχανική (δηλαδή η Κλασική Μ ηχανική) παύει να ισχύει, διότι δεν περιγράφει ικανοποιητικά τα φαινόμενα που συντελούνται στις ταχύτητες οι οποίες πλησιάζουν την ταχύτητα τού φωτός. Εξάλλου, πρέπει να έχουμε υ π’ όψ ιν ότι η ισχύς τής θεωρίας τής Ειδικής Σχετικότητας τού Einstein έχει επιβεβαιωθεί για όλες τις ταχύτητες (μικρές και μεγάλες). Ας σημειωθεί επίσης ότι, ενώ η Νευτώνεια Μ ηχανική δεν έχει όριο για την ανώτατη ταχύτητα την οποία μπορεί να έχει ένα σώμα, η Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας δηλώνει αξιωματικά (και αυτό μέχρι σήμερα έχει επιβεβαιωθεί από το πείραμα) ότι κανένα σώμα δεν έχει ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα τού φωτός. Στους μεγάλους επιταχυ­ ντές τα ηλεκτρόνια και τα πρωτόνια επιταχύνονται σε πολύ μεγάλες ταχύτητες, οι οποίες προσεγγίζουν πολύ την ταχύτητα τού φωτός, χω ρίς όμως να τήν φτάνουν ποτέ. Η Ειδική Θεωρία τής Σχετικότητας έχει επιβεβαιωθεί πλήρως από το πείραμα.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Εάν ένα σώμα κινείται υπό την επίδραση σταθερής επιτάχυνσης a , και τη στιγμή / = 0 η ταχύτητά του είναι t*>και η θέση του γ0, τότε η ταχύτητά του και η θέση του σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή t θα είναι Το διάνυσμα τής ταχύτητας συναρτήσει τού χρόνου Το διάνυσμα θέσης συναρτήσει τού χρόνου

(4 8)

r0 -l· v0t 4* ia t2

(4.9)

Στην περίπτωση κίνησης σε δύο διαστάσεις, στο επίπεδο xy, υπό την επίδραση σταθερής επιτάχυνσης, καθεμιά από τις παραπάνω διανυσματικές εξισώσεις είναι ισοδύναμη με τις σχέσεις που δίνουν οι συνιστώσες της χ κ α ι y, δηλαδή μία για την κίνηση προς τον άξονα x με επιτάχυνση αχ και μία άλλη κίνηση προς τον άξονα τών y, με επιτάχυνση ay. Η κίνηση βλημάτων είναι κίνηση σε δύο διαστάσεις υπό σταθερή

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

επιτάχυνση, με αχ - Ο και ay ~ -g . Στην περίπτωση αυτή, εάν χ0 —y0 — 0, τότε οι συνιστώσες τών Εξισώσεων 4.8 και 4.9 είναι

νχ ** α*ο ** constant

(4.10) (4 11)

*

(4 .1 2 )

y ^ V y o t - ig f2

(4 .1 3 )

Εξισώσεις βολής

όπου vM - Vq cos θ0, Vyo = v0 sin β0 είναι το μέτρο τής αρχικής ταχύτητας τού βλήματος στις διευθύνσεις χ και y, θ0 είναι η γω νία που σχηματίζει η αρχική ταχύτητα ν0 με τον θετικό άξονα τών χ. Ας σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις δίνουν τις συνιστώσες τής ταχύτητας και τής θέσης για κάθε χρονική στιγμή t που κινείται το βλήμα. Έ τσ ι, γνωρίζοντας τις αντίστοιχες συνιστώσες γνωρίζουμε και το διάνυσμα τής ταχύτητας και το διάνυσμα τής θέσης. Εάν χρησιμοποιήσουμε τις Εξισώσεις από 4.10 έως 4.13, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κίνηση βλήματος είναι αποτέλεσμα τού συνδυασμού δύο κινήσεων: (1) ισοταχούς κίνησης παράλληλης στον άξονα τών χ , όπου η νχ είναι σταθερή· κα ι (2) κίνησης σε κατακόρυφη διεύθυνση υπό την επίδραση τής βαρυτικής επιτάχυνσης, που έχει κατεύθυνση προς τα κάτω και μέτρο 9.80 m/s2. Έ τσ ι μπορούμε να αναλύσουμε τη δισδιάστατη κίνηση σε δύο κινήσεις, ν α μελετήσουμε δηλαδή την κίνηση που προέρχεται από την οριζόντια κα ι την κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας, όπω ς δείχνει το Σχήμα 4.21. Έ ν α σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r, με σταθερό μέτρο ταχύτητας ν, υπόκειται στην κεντρομόλο (ή ακτινική) επιτάχυνση ατ, γιατί μεταβάλλεται συνεχώς η κατεύθυνση τής ν. Το μέτρο τής «Γ είναι Κεντρομόλος επιτάχυνση

και έχει κατεύθυνση ακτινική προς το κέντρο τού κύκλου. Εάν ένα σώμα κινείται σε καμπυλόγραμμη τροχιά έτσι ώστε να μεταβάλλεται το μέτρο και η κατεύθυνση τής ταχύτητάς του ν, τότε αναλύουμε την επιτάχυνσή του σε δύο συνιστώσες: (1) μία ακτινική συνιστώσα, ατ, στην οποία οφείλεται η μεταβολή τής κατεύθυνσης τής ν, και (2) μία εφαπτομενική συνιστώσα α„ στην οποία οφείλεται η μεταβολή τού μέτρου τής ν. Το μέτρο τής αΤείναι v2/r και το μέτρο τής α, είναι djvj/dt. Η ταχύτητα ν ενός σώματος η οποία μετριέται σε ένα ακίνητο σύστημα αναφοράς S συνδέεται με την ταχύτητα ν ’ τού ίδιου σώματος, η οποία μετριέται σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς S', μέσω τής σχέσης

*' *

“ «

(4.25)

όπου u είναι η ταχύτητα τού S ως προς το S.

Η κίνηση βλήματος είναι ισοδύναμη με

Σ-Χήΐ·0 4.21 Ανάλυση

μια οριζόντια συνιστώσα

και μια κατακόρυφη συνιστώσα

κίνησης με την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας.

Μ ετασχηματισμοί τού Γαλιλαίον για την ταχύτητα

81

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Εάν η μέση ταχύτητα ενός σώματος σε κάποιο χρονικό διάστημα είναι μηδενική, τί συμπεραίνετε για την αντίστοιχη μετατόπιση τού σώματος; 2. Εάν γνωρίζετε τα διανύσματα θέσης ενός σώματος σε δύο σημεία της τροχιάς του και γνωρίζετε επίσης τον χρόνο που έκανε για να πάει από το ένα σημείο στο άλλο, μπορείτε να προσδιορίσετε τη στιγμιαία ταχύ­ τητα τού σώματος και τη μέση ταχύτητά του; Αιτιο­ λογήσετε την απάντησή σας. 3. Δώστε ένα παράδειγμα στο οποίο η ταχύτητα ενός σώματος είναι κάθετη στο διάνυσμα θέσης. 4. Εχει ένα σώμα επιτάχυνση εάν (a) το μέτρο τής ταχύτητάς του είναι σταθερό, (b) η ταχύτητά του είναι σταθερή; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 5. Εξηγήστε εάν τα παρακάτω σώματα έχουν ή όχι επιτάχυνση: (a) ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα με σταθερό μέτρο ταχύτητας· (b) ένα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύ­ τητας. 6. Διορθώστε τον εκφωνητή που λέει: «Το αγωνιστικό αυτοκίνητο πήρε τη στροφή με σταθερή ταχύτητα 140 χιλιομέτρων την ώρα». 7. Προσδιορίστε εάν τα παρακάτω κινητά ακολουθούν παραβολική τροχιά: (a) μια μπάλλα που πετάχθηκε σε κάποια τυχαία διεύθυνση· (b) ένα αεριωθούμενο αεροπλάνο· (c) ένας πύραυλος μόλις εκτοξευθεί από το ικρίωμά του· (d) ένας πύραυλος λίγη ώρα μετά την εκτόξευση με χαλασμένη τη μηχανή του· (e) ένα βότσαλο που πετάχθηκε μέσα στο νερό μιας λίμνης. 8. Ενας μαθητής λέει ότι ένας δορυφόρος που κινείται σε κυκλική τροχιά κινείται με σταθερή ταχύτητα και επομένως δεν υπόκειται σε επιτάχυνση. Ο καθηγητής τού παρατηρεί ότι κάνει λάθος, γιατί ο δορυφόρος υπόκειται σε κεντρομόλο επιτάχυνση, δεδομένου ότι κινείται σε κυκλική τροχιά. Πού κάνει λάθος ο μαθητής; 9. Ποια είναι η βασική διαφορά ανάμεσα στα μοναδι­ αία διανύσματα t και 0 που ορίζονται στο Σχήμα 4.15, αφ’ ενός, και στα μοναδιαία διανύσματα /και j, αφ’ ετέρου; 10. Η ταχύτητα ενός εκκρεμούς στο τέρμα τής τροχιάς του είναι μηδέν. Είναι και η επιτάχυνσή του μηδέν στο σημείο αυτό; 11. Αφήνετε μία πέτρα να πέσει από την κορυφή τού καταρτιού ενός ιστιοφόρου πλοίου. Εξαρτάται το σημείο στο οποίο η πέτρα χτυπάει το κατάστρωμα από το αν το σκάφος είναι ακίνητο ή αν κινείται ισοταχώς; 12. Μία πέτρα εκτοξεύεται προς τα επάνω από την ταράτσα ενός κτηρίου. Εξαρτάται η μετατόπιση τής πέτρας από το πού βρίσκεται η αρχή τών συντεταγμέ­ νων; Μήπως εξαρτάται η ταχύτητα τής πέτρας; 13. Μελετήστε την φωτογραφία τού Σχήματος 4.22, που δείχνει δύο μπάλλες να πέφτουν ταυτόχρονα, υπό τις συνθήκες τις οποίες έχει η φωτογραφία. Εξηγήστε γιατί οι δύο μπάλλες πέφτουν στο πάτωμα ταυτό­ χρονα. 14. Είναι δυνατόν να κάνει στροφή ένα όχημα χωρίς να έχει επιτάχυνση; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 15. Κάποιος ρίχνει μία μπάλλα μπέιζμπωλ με αρχική ταχύτητα (10/ + 15/) m/s. Μη λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα και βρείτε την ταχύτητα και την

'ώΙ

Σχήμα 4.22 Η πολλαπλή αυτή φωτογραφία δείχνει δύο μπάλλες τού γκόλφ που ξεκίνησαν ταυτόχρονα. Η μία αφέθηκε ελεύθερη να πέσει ενώ ή άλλη εκτοξεύθηκε με αρχική οριζό­ ντια ταχύτητα 2.0 m/s. Το φλας άναβε κάθε 1/30 s και οι λευκές γραμμές απέχουν 15.25 cm μεταξύ τους.

επιτάχυνσή της όταν η πέτρα βρίσκεται στο υψηλότε­ ρο σημείο τής τροχιάς της. 16. Ενα σώμα κινείται με σταθερό μέτρο ταχύτητας υ σε κυκλική τροχιά: (a) είναι η ταχύτητά του σταθερή; (b) είναι η επιτάχυνσή του σταθερή; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 17. Μελετήστε την κίνηση βλήματος στην παραβολική τροχιά του. Υπάρχει κανένα σημείο στην τροχιά του στο οποίο η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι (a) κάθετες ή (b) παράλληλες μεταξύ τους; 18. Ενα βλήμα εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα υ0 σχηματίζοντας γωνία θ με την οριζόντιο. Μη λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα και απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: είναι το βλήμα σώμα που πέφτει ελεύθερα; Ποια είναι η επιτάχυνσή του (a) κατά την κατακόρυφη διεύθυνση; (b) κατά την οριζόντια διεύθυνση; 19. Ενα βλήμα εκτοξεύεται με μια αρχική ταχύτητα και σχηματίζει γωνία 30° με την οριζόντιο. Χωρίς να λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα, βρείτε μια διαφορετική γωνία υπό την οποία εάν εκτοξευθεί ένα δεύτερο βλήμα θα έχει το ίδιο βεληνεκές με το πρώτο εάν έχει την ίδια αρχική ταχύτητα. 20. 'Ενα βλήμα εκτοξεύεται στη Γη με ορισμένη αρχική ταχύτητα. Ένα άλλο βλήμα εκτοξεύεται στη Σελήνη με την ίδια αρχική ταχύτητα. Μη λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα. Ποιο βλήμα έχει μεγαλύτερο βεληνεκές; Ποιο φτάνει σε μεγαλύτερο ύψος; (Η βαρυτική επιτάχυνση στη Σελήνη είναι 1.6 m/s2). 21. Ένα βλήμα κινείται σε παραβολική τροχιά. Ποια από τα ακόλουθα μεγέθη παραμένουν σταθερά: (a) το μέτρο τής ταχύτητας; (b) η επιτάχυνση; (c) η οριζό­ ντια συνιστώσα τής ταχύτητας; (d) η κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας; 22. Εάν δεν λάβουμε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα, γνωρίζουμε ότι για να έχουμε το μέγιστο βεληνεκές μιας βολής η εκτόξευση πρέπει να γίνει υπό κλίση 45° ως προς την οριζόντιο. Εάν δεν μπορούμε να αγνοή­ σουμε την αντίσταση τού αέρα, η γωνία που δίνει το μέγιστο βεληνεκές είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από 45°; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 23. Καθώς ένα τραίνο κινείται ισοταχώς, ένας επιβάτης ρίχνει προς τα επάνω μία μπάλλα. Περιγράψτε την τροχιά τής μπάλλας που βλέπει (a) ο επιβάτης, (b) ένας παρατηρητής που βρίσκεται έξω από το τραίνο

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

και είναι ακίνητος στο έδαφος. Τί θα μεταβληθεί από τις παρατηρήσεις αυτές εάν το τραίνο επιταχυνθεί; 24. Καθώς ένα τραίνο κινείται ισοταχώς, πέφτει το

83

πιρούνι από το χέρι ενός επιβάτη του. Ποια είναι η επιτάχυνση τού πιρουνιού σε σχέση (a) με το τραίνο και (b) με το έδαφος;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Υποκεφάλαιο 4.1 Τ α διανύσματα μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης

1. Υποθέστε ότι η τροχιά ενός σωματίου δίνεται από τη σχέση: r(t) = x(t)i + y(t)J, όπου x(t) = at2 + bt και y(t) = ct + d, όπου a, b, c και d είναι σταθερές που έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις. Ποια μετατόπιση κάνει το σωμάτιο μεταξύ των χρονικών στιγμών ( = 1 s και ί = 3 s; 2. Υποθέστε ότι η συνάρτηση τού διανύσματος θέσης για ένα σωμάτιο δίνεται ως r(t) = x(t)i + y(t)j με x(t) = at + b και y(i) = ct2 + d, όπου a = 1 m/s, b = 1 m, c = 1/8 m/s2 και d = 1 m. (a) Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα κατά το χρονικό διάστημα ί = 2 s έως t = 4 s. (b) Προσδιορίστε την ταχύτητα κατά τη χρονική στιγμή ί = 2 s. |3. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση τού διανύσματος τής μέσης ταχύτητας τής άκρης τού δείκτη που δείχνει τα λεπτά μήκους 5.0 cm όταν ο χρόνος μεταβάλλεται από 4:15 έως 4:30. |4. Μια κατσαρίδα προχωρεί αργά πάνω στο τραπέζι μιας κουζίνας με σταθερή επιτάχυνση σύμφωνα με τη σχέση α = (0.3/ - 0.2j) cm/s2. Αυτή ξεκινά από ένα σημείο ( - 4, 2) cm κατά τη χρονική στιγμή t = 0 με ταχύτητα υο = 1.0j cm/s. (a) Ποιες είναι οι συνιστώ­ σες τού διανύσματος τής ταχύτητάς της και τού διανύσματος θέσης της σε κάθε χρονική στιγμή f; (b) Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση τής ταχύτητας και τού διανύσματος θέσης όταν t = 10.0 s;

επιτάχυνσης ως συναρτήσεις τού χρόνου, (b) Προσ­ διορίστε τη θέση και την ταχύτητα τού σωματίου τη χρονική στιγμή t = 1 s. 9. Ένα σωμάτιο αρχικά βρίσκεται στην αρχή και έχει επιτάχυνση α = 3j m/s2 και αρχική ταχύτητα υ0 = 5/ m/s. Βρείτε (a) το διάνυσμα θέσης και την ταχύτητα σε οποιονδήποτε χρόνο t και (b) τις συντεταγμένες και την ταχύτητα τού σωματίου τη χρονική στιγμή t = 2 s. Υποκεφάλαιο 4.3 Κίνηση βλημάτων (Παραλείψτε την

αντίσταση τού αέρα σε όλα τα προβλήματα) 10.

Ένας σπουδαστής βρίσκεται στην άκρη ενός βράχου και ρίχνει οριζόντια μια πέτρα με ταχύτητα 18 m/s. Ο βράχος έχει ύψος 50 m πάνω από μια ομαλή οριζόντια παραλία, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.23. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή τής ρίψης η πέτρα θα χτυπήσει στην παραλία κάτω από τον βράχο; Με ποια ταχύτητα και ποια γωνία θα σχημα­ τίζει με το οριζόντιο επίπεδο τη στιγμή που θα προσκρούσει στο έδαφος;

Υποκεφάλαιο 4.2 Κίνηση με σταθερή επιτάχυνση σε δύο διαστάσεις

5. Τη χρονική στιγμή t = 0, ένα σωμάτιο που κινείται πάνω στο επίπεδο xy με σταθερή επιτάχυνση έχει ταχύτητα υο = (3/ —2j) m/s στην αρχή. Σε χρόνο t = 3 s, η ταχύτητά του είναι υ = (9i + 7J) m/s. Βρείτε (a) Σ χήμα 4.23 (Πρόβλημα 10). την επιτάχυνση τού σωματίου και (b) τις συντεταγμέ­ νες του σε οποιονδήποτε χρόνο ί. |11 . Ένας πελάτης σε ένα μπαρ σπρώχνει το άδειο ποτήρι τής μπίρας του πάνω στον πάγκο τού μπαρ για 6. Ενα σωμάτιο ξεκινά ενώ ήταν ακίνητο, κατά τη ξαναγέμισμα. Ο σερβιτόρος, αφηρημένος, δεν βλέπει χρονική στιγμή ί = 0 στην αρχή, και κινείται στο το ποτήρι, το οποίο γλιστράει από τον πάγκο και επίπεδο xy με σταθερή επιτάχυνση α - (2i + 4j) m/s2. πέφτει στο πάτωμα σε απόσταση 1.4 m από τη βάση Αφού περάσει χρόνος ί, προσδιορίστε (a) τις συνι­ τού πάγκου. Αν το ύψος τού πάγκου είναι 0.86 m, (a) στώσες χ και y τής ταχύτητας, (b) τις συντεταγμένες τού σωματίου και (c) την ταχύτητα τού σωματίου. με ποια ταχύτητα φεύγει το ποτήρι από τον πάγκο και (b) ποια είναι η κατεύθυνση τής ταχύτητας τού |7. Ένα ψάρι κολυμπάει σε οριζόντιο επίπεδο και έχει ταχύτητα = (4/ + j) m/s σε ένα σημείο τού ωκεανού ποτηριού ακριβώς προτού χτυπήσει στο πάτωμα; |12. Ένας σπουδαστής αποφασίζει να μετρήσει την ταχύ­ τού οποίου η απόσταση από έναν ορισμένο βράχο είναι r0 = (10i — 4j) m. Αφού κολυμπήσει με στα­ τητα με την οποία εξέρχεται από την κάννη το βλήμα από το αεροβόλο όπλο του. Ο σπουδαστής κατευθύ­ θερή επιτάχυνση για 20.0 s, η ταχύτητά του είναι νει το όπλο οριζόντια. Ένας στόχος, σε έναν κατακόυ = (20i - 5J) m/s. (a) Ποιες είναι οι συνιστώσες τής επιτάχυνσης; (b) Ποια είναι η κατεύθυνση τής ρυφο τοίχο, τοποθετείται σε απόσταση χ από το επιτάχυνσης σε σχέση με το μοναδιαίο διάνυσμα /; (c) όπλο. Οι βολές χτυπούν τον στόχο σε μια κατακόρυΠού βρίσκεται το ψάρι στον χρόνο t = 25 s και σε φη απόσταση y κάτω από το όπλο, (a) Αποδείξτε ότι η θέση τού βλήματος όταν κινείται στον αέρα δίνεται ποια κατεύθυνση κινείται; από τη σχέση y = Αχ2, όπου Α είναι μια σταθερά, (b) 8. Το διάνυσμα θέσης ενός σωματίου μεταβάλλεται με εκφράστε τη σταθερά Α σε συνάρτηση με την αρχική τον χρόνο σύμφωνα με την έκφραση r = (3/ —όί2/) m. ταχύτητα και την επιτάχυνση τής βαρύτητας. (c)Av (a) Βρείτε τις εκφράσεις τής ταχύτητας και τής

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ χ = 3.0 m και y = 0.21 m, ποια είναι η ταχύτητα ντες. Αν παραλείψετε αυτούς τους παράγοντες, (a) σε εξόδου από την κάννη; ποια απόσταση θα έφτανε η οβίδα; (b) Πόσο χρόνο |13. Ένα βλήμα βάλλεται από το έδαφος με ταχύτητα ν = θα βρισκόταν στον αέρα; (12.0/ + 24.0,/) m/s. (a) Ποιες είναι η οριζόντια και |22. Η μέγιστη οριζόντια απόσταση που μπορεί ένας κατακόρυφη συνιστώσες τής ταχύτητας μετά από 4 s; παίκτης τού μπέιζμπωλ να πετάξει την μπάλλα είναι (b) Ποιες είναι οι συντεταγμένες τού σημείου στο 150 m. Σε μια βολή, ο παίκτης αυτός χτυπάει την οποίο το ύψος είναι μέγιστο; μπάλλα έτσι ώστε αυτή να έχει την ίδια αρχική 14. Μια μπάλλα λακτίζεται έτσι ώστε να σχηματίζει ταχύτητα με την ταχύτητα που θα είχε σε μια βολή γωνία 50° με το οριζόντιο επίπεδο και διατρέχει μέγιστου βεληνεκούς, αλλά να σχηματίζει γωνία 20° οριζόντια απόσταση 20 m προτού χτυπήσει στο με το οριζόντιο επίπεδο. Σε ποια απόσταση από το έδαφος. Βρείτε (a) την αρχική ταχύτητα τής μπάλσημείο βολής θα χτυπήσει η μπάλλα το έδαφος; λας, (b) τον χρόνο πτήσης της και (c) το μέγιστο ύψος 23. Ένα βλήμα εκτοξεύεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε το στο οποίο θα φτάσει. βεληνεκές του να είναι ίσο με το τριπλάσιο τού |15. Μια μπάλλα ρίχνεται οριζόντια από την ταράτσα μέγιστου ύψους του. Ποια είναι η γωνία βολής; ενός κτηρίου ύψους 35 m. Η μπάλλα προσκρούει στο |24. Ένας ψύλλος μπορεί να πηδήσει κατακόρυφα μέχρι έδαφος σε ένα σημείο που απέχει 80 m από τη βάση ύψος Λ. (a) Ποια είναι η μέγιστη οριζόντια απόσταση τού κτηρίου. Προσδιορίστε (a) τον χρόνο πτήσης τής την οποία μπορεί να πηδήσει; (b) Ποιος είναι ο μπάλλας, (b) την αρχική ταχύτητα και (c) τις συνι­ χρόνος πτήσης σε καθεμιά περίπτωση; στώσες χ και y τής ταχύτητας ακριβώς προτού η 25. Ένας αστροναύτης πάνω σε έναν παράξενο πλανήτη μπάλλα χτυπήσει στο έδαφος. διαπιστώνει ότι μπορεί να πηδήσει μια μέγιστη 16. Ένας αθλητής ρίχνει μια μπάλλα με τεντωμένα χέρια οριζόντια απόσταση 30 m εάν η αρχική ταχύτητά του 2.3 m πάνω από το έδαφος με γωνία 60°, ως προς το είναι 9 m/s. Ποια είναι η επιτάχυνση τής βαρύτητας οριζόντιο επίπεδο. Η μπάλλα χτυπάει στο έδαφος σε πάνω στον πλανήτη; απόσταση 20.5 m μακριά από το σημείο βολής, και |26. Το βλήμα που εκτοξεύεται από ένα πυροβόλο το 0.60 m λιγότερο από το ρεκόρ, (a) Ποιες είναι οι οποίο λειτουργεί με πεπιεσμένο αέρα έχει αρχική συνιστώσες τής ταχύτητας όταν χτυπήσει το έδαφος, ταχύτητα 30.0 m/s και σχηματίζει γωνία 30° πάνω (b) Ποιο θα είναι το βεληνεκές αν ο αθλητής ρίξει την από το οριζόντιο επίπεδο. Αν η πίεση τού αέρα μπάλλα με γωνία 45° από ύψος 2.2 m; (Υποθέστε ότι η ελαττωθεί ώστε να προσδίδεται στο βλήμα αρχική αρχική ταχύτητα είναι αμετάβλητη). ταχύτητα 27.0 m/s, κατά ποια γωνία πρέπει να βάλλει το πυροβόλο για να επιτυγχάνεται το ίδιο βεληνεκές; |17. Σε ένα παιχνίδι ράγκμπυ ένας κυνηγός κλωτσάει την μπάλλα 36 m μπροστά από το μέσο τών γκολπόστ. Η Υποθέστε ότι το βλήμα επιστρέφει στο αρχικό του μπάλλα πρέπει να περάσει από το πάνω μέρος τού ύψος και στις δύο περιπτώσεις. οριζόντιου δοκαριού που βρίσκεται σε ύψος 3.05 m. Υποκεφάλαιο 4.4 Ομαλή κυκλική κίνηση Ο κυνηγός κλωτσάει την μπάλλα, που φεύγει με μέτρο ταχύτητας 20.0 m/s καί γωνία 53°, ως προς το 27. Βρείτε την επιτάχυνση ενός σωματίου που κινείται με οριζόντιο επίπεδο, (a) Σε πόση απόσταση πάνω ή ταχύτητα σταθερού μέτρου 8 m/s πάνω σε έναν κύκλο κάτω από την οριζόντια δοκό περνάει η μπάλλα; (b) ακτίνας 2 m. Πότε πλησιάζει τη δοκό κατά την άνοδο ή την 28. Ο νεαρός Δαβίδ που σκότωσε τον Γολιάθ πειραματί­ στηκε με σφεντόνες προτού αντιμετωπίσει τον γίγα­ κάθοδό της; ντα. Έτσι βρήκε ότι με μια σφεντόνα μήκους 0.6 m 18. Δείξτε ότι το βεληνεκές ενός βλήματος με ορισμένη μπορούσε να πετύχει 8 στροφές/s στο όπλο του. Αν αρχική ταχύτητα θα είναι το ίδιο για δύο οποιεσδήαύξανε το μήκος στα 0.9 m, μπορούσε να περιστρέφει ποτε συμπληρωματικές γωνίες, όπως π.χ. 30° και 60°. 19. Λέγεται ότι όταν ήταν νεαρός, ο George Washington τη σφεντόνα μόνο 6 στροφές ανά δευτερόλεπτο, (a) πέταξε ένα ασημένιο δολάριο στην απέναντι όχθη Ποια περιστροφή δίνει τη μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα; (b) Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός ποταμού. Αν υποτεθεί ότι το ποτάμι είχε πλάτος στις 8 στροφές/s; (c) Ποια είναι η κεντρομόλος 75 m, (a) ποια ελάχιστη αρχική ταχύτητα ήταν επιτάχυνση στις 6 στροφές/s; απαραίτητη ώστε να φτάσει το νόμισμα στην απένα­ ντι όχθη και (b) ποιος ήταν ο χρόνος πτήσης τού 29. Ένας κυνηγός χρησιμοποιεί μια πέτρα δεμένη στο άκρο ενός σχοινιού σαν πρόχειρο όπλο. Η πέτρα νομίσματος; |20 . Ένας σκοπευτής σημαδεύει με το όπλο του, οριζό­ περιστρέφεται πάνω από το κεφάλι του σε έναν οριζόντιο κύκλο διαμέτρου 1.6 m με ρυθμό 3 περι­ ντια, το κέντρο ενός μεγάλου στόχου που απέχει 200 m. Η αρχική ταχύτητα τής σφαίρας είναι 500 m/s. (a) στροφών το δευτερόλεπτο. Ποια είναι η κεντρομόλος Πού θα χτυπήσει η σφαίρα τον στόχο; (b) Για να επιτάχυνση τής πέτρας; 30. Από τις πληροφορίες και τα στοιχεία που περιέχοχτυπήσει στο κέντρο τού στόχου, η κάννη πρέπει να νται στον πίνακα τής εσωτερικής πλευράς τού πρό­ σχηματίζει γωνία πάνω από τη γραμμή σκόπευσης. σθιου εξωφύλλου τού βιβλίου μας υπολογίστε την Βρείτε την γωνία ανύψωσης τής κάννης. ακτινική επιτάχυνση ενός σημείου πάνω στην επιφά­ |21. Κατά τη διάρκεια τού Πρώτου Παγκόσμιου πολέμου, οι Γερμανοί είχαν ένα πυροβόλο που τό ονόμασαν νεια τού ισημερινού τής Γης. 31. Η τροχιά τής Σελήνης γύρω από τη Γη είναι κατά Μεγάλη Bertha και τό χρησιμοποίησαν για να βομ­ προσέγγιση κυκλική, με μέση ακτίνα 3.84 x 10s m. Η βαρδίσουν το Παρίσι. Η οβίδα είχε αρχική ταχύτητα Σελήνη χρειάζεται 27.3 ημέρες για να συμπληρώσει 1 700 m/s (κατά προσέγγιση 5 φορές μεγαλύτερη από μία περιφορά γύρω από τη Γη. Βρείτε (a) τη μέση την ταχύτητα τού ήχου) και σχημάτιζε γωνία 55° ως τροχιακή ταχύτητα τής Σελήνης και (b) την κεντρο­ προς το οριζόντιο επίπεδο. Για να χτυπήσει τον στόχο, έκαναν ρυθμίσεις στις οποίες λαμβάνονταν μόλο επιτάχυνσή της. 32. Κατά την λειτουργία ενός πλυντηρίου, ο κάδος του, υπ’ όψιν η αντίσταση τού αέρα και άλλοι παράγο­

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

αχτίνας 0.30 m, περιστρέφεται με 630 στροφές το λεπτό. Ποια είναι η μέγιστη γραμμική ταχύτητα με την οποία το νερό φεύγει από το πλυντήριο; 33. 'Ενα σωμάτιο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 0.4 m με σταθερή ταχύτητα. Αν το σωμάτιο κάνει πέντε στροφές σε κάθε δευτερόλεπτο τής κίνησής του, βρείτε (a) την ταχύτητα τού σωματίου και (b) την επιτάχυνσή του. 34. Ενας τροχός αυτοκινήτου ακτίνας 0.5 m περιστρέφε­ ται με σταθερό ρυθμό 200 στροφών το λεπτό. Υπολο­ γίστε την ταχύτητα και επιτάχυνση μιας μικρής πέτρας που έχει σφηνωθεί στο χείλος τού ελαστικού (στην εξωτερική άκρη του).

85

μπάλλας (a) στο ψηλότερο σημείο και (b) στο χαμηλότερο σημείο. |40. Σε μία χρονική στιγμή, ένα σωμάτιο που κινείται αντίθετα προς τους δείκτες τού ρολογιού σε έναν κύκλο ακτίνας 2 m έχει ταχύτητα 8 m/s και η ολική επιτάχυνσή του κατευθύνεται όπως δείχνει το Σχήμα 4.25. Σε αυτήν τη στιγμή, προσδιορίστε (a) την κεντρομόλο επιτάχυνση τού σωματίου, (b) την εφα­ πτομενική επιτάχυνση και (c) το μέτρο τής ολικής επιτάχυνσης.

Υποκεφάλαιο 4.5 Εφαπτομενική και ακτινική επιτάχυνση στην καμπυλόγραμμη κίνηση 35. Στο Σχήμα 4.24 απεικονίζεται η ολική επιτάχυνση ενός σωματίου που κινείται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας 2.5 m κατά τη φορά των δεικτών τού ρολογιού σε μία ορισμένη χρονική στιγμή. Σε αυτήν τη στιγμή βρείτε (a) την κεντρομόλο επιτάχυνση, (b) την ταχύτητά τού σωματίου και (c) την εφαπτομενική επιτάχυνσή του.

Σχήμα 4.25 (Πρόβλημα 40).

|36. Η ταχύτητα ενός σωματίου που κινείται σε κύκλο ακτίνας 2 m αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 3 m/s2. Σε κάποια στιγμή, το μέτρο τής ολικής επιτάχυνσης είναι 5 m/s . Για αυτήν τη στιγμή, βρείτε (a) την κεντρομόλο επιτάχυνση τού σωματίου και (b) την ταχύτητά του. |37. Ενα τραίνο ελαττώνει την ταχύτητά του σε μία απότομη οριζόντια καμπή, από 90 km/h, σε 50 km/h στη διάρκεια τών 15 s που χρειάζεται για να περάσει την καμπή. Η ακτίνα τής καμπής είναι 150 m. Υπολογίστε την επιτάχυνση κατά την στιγμή που η ταχύτητα τού τραίνου φτάνει τα 50 km/h. |38. Ενα εκκρεμές μήκους 1 m αιωρείται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο (Σχήμα 4.16). Όταν το εκκρεμές βρίσκεται στις δύο οριζόντιες θέσεις (θ - 90° και θ = 270“), η ταχύτητά του είναι 5 m/s. (a) Βρείτε το μέτρο τής κεντρομόλου και εφαπτομενικής επιτάχυνσης σε αυτές τις θέσεις, (b) Κατασκευάστε διανυσματικά διαγράμματα για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση τής ολικής επιτάχυνσης στις δύο αυτές θέσεις, (c) Υπολογίστε το μέτρο και την κατεύθυνση τής ολικής επιτάχυνσης. |39. Ένας σπουδαστής περιστρέφει μια μικρή μπάλλα που είναι δεμένη στην άκρη ενός νήματος μήκους 0.6 m σε έναν κατακόρυφο κύκλο. Η ταχύτητα τής μπάλλας είναι 4.3 m/s στο ψηλότερο σημείο και 6.5 m/s στο χαμηλότερο. Βρείτε την επιτάχυνση τής

41. Ένα αυτοκίνητο κινείται προς Βορράν με ταχύτητα 60 km/h σε έναν ευθύγραμμο αυτοκινητόδρομο. Ένα φορτηγό κινείται κατά την αντίθετη κατεύθυνση με ταχύτητα 50 km/h. (a) Ποια είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου σε σχέση με το φορτηγό; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού φορτηγού σε σχέση με το αυτοκίνητο; 42. Ένας οδηγός με το αυτοκίνητό του ταξιδεύει προς Δυσμάς με ταχύτητα 80 km/h και καταδιώκεται από ένα αστυνομικό αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 95 km/h. (a) Ποια είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου σε σχέση με το αστυνομικό; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού αστυνομικού σε σχέση με το πρώτο αυτοκίνητο; |43. Το νερό σε ένα ποτάμι κυλά με σταθερή ταχύτητα 0.5 m/s. Ένας σπουδαστής κολυμπάει αντίθετα προς το ρεύμα διανύοντας απόσταση 1 km και επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης. Αν ο σπουδαστής μπορεί να κολυμπήσει με ταχύτητα 1.2 m/s σε σχέση με ακίνητο νερό, πόσο χρόνο θα χρειαστεί για τη διαδρομή; Συγκρίνετε τον χρόνο αυτό με τον χρόνο που θα χρειαστεί για τη διαδρομή αυτή αν το νερό ήταν ακίνητο. |44. Δύο άνθρωποι σε ίδια κανό καταβάλλουν την ίδια προσπάθεια κωπηλατώντας μέσα σε ένα ποτάμι. Ο ένας κωπηλατεί κατευθείαν προς τα πάνω, αντίθετα προς το ρεύμα (και κινείται προς τα πάνω), ενώ ο άλλος κωπηλατεί κατευθείαν προς τα κάτω. Ένας παρατηρητής στην όχθη τού ποταμού υπολογίζει ότι οι ταχύτητές τους είναι 1.2 m/s και 2.9 m/s, αντίστοι­ χα. Με ποια ταχύτητα κυλά το ρεύμα τού ποταμού; 45. Ένας καταστηματάρχης ενός πολυκαταστήματος μπορεί να ανεβεί περπατώντας πάνω σε μια ακίνητη κυλιόμενη σκάλα σε χρόνο 30 s. Η κυλιόμενη σκάλα, όταν λειτουργεί, μπορεί να μεταφέρει τον ακίνητο καταστηματάρχη στον επόμενο όροφο σε χρόνο 20 s. Πόσος χρόνος θα χρειαστεί ο καταστηματάρχης για να ανεβεί περπατώντας πάνω στην κυλιόμενη σκάλα όταν αυτή κινείται; Υποθέστε ότι ο καταστηματάρ­

Υποκεφάλαιο 4.6 Σχετική ταχύτητα και σχετική επιτάχυνση

86

|46.

|47.

|48.

|49.

|50.

51.

|52.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

χης καταβάλλει την ίδια προσπάθεια στο περπάτημα είτε η σκάλα είναι ακίνητη είτε κινείται. Μία βενζινάκατος διασχίζει ένα ποτάμι πλάτους w = 160 m, στο οποίο το ρεύμα κυλά με σταθερή ταχύτητα 1.5 m/s. Ο πηδαλιούχος διατηρεί πορεία (δηλαδή, διεύθυνση στην οποία κατευθύνεται η βενζινάκατος) κάθετη στο ρεύμα και η μηχανή τής προσδίνει σταθερή ταχύτητα 2 m/s σε σχέση με το νερό, (a) Ποια είναι η ταχύτητα τής βενζινακάτου σε σχέση με έναν ακίνητο παρατηρητή στην όχθη τού ποταμού; (b) Σε πόση απόσταση προς τα κάτω ως προς την αρχική της θέση θα βρίσκεται η βενζινάκατος όταν φτάσει στην απέναντι όχθη; Ο πιλότος ενός αεροπλάνου παρατηρεί ότι η πυξίδα δείχνει πορεία προς τα δυτικά. Η ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξει το αεροπλάνο είναι 150 km/h. Αν φυσά ένας άνεμος 30 km/h προς τον Βορρά, βρείτε την ταχύτητα τού αεροπλάνου σε σχέση με το έδαφος. Ο πιλότος ενός αεροσκάφους θέλει να πετάξει προς Δυσμάς, ενώ ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 50 km/h προς τον Νότο. Αν η ταχύτητα τού αεροσκάφους όταν δεν φυσά άνεμος είναι 200 km/h, (a) σε ποια διεύθυνση πρέπει να κατευθύνεται το αεροπλάνο και (b) ποια πρέπει να είναι η ταχύτητά του σε σχέση με το έδαφος; Ενα αυτοκίνητο κινείται προς Ανατολάς με ταχύτη­ τα 50 km/h. Σταγόνες βροχής πέφτουν κατακόρυφα σε σχέση με τη Γη. Τα ίχνη των σταγόνων βροχής που πέφτουν στα πλευρικά παράθυρα τού αυτοκινήτου σχηματίζουν γωνία 60° σε σχέση με την κατακόρυφο. Βρείτε την ταχύτητα τών σταγόνων τής βροχής σε σχέση με (a) το αυτοκίνητο και (b) τη Γη. Ενα παιδί που κινδυνεύει να πνιγεί σε ένα ποτάμι παρασύρεται από το ρεύμα τού ποταμού που κυλά ομαλά με ταχύτητα 2.5 km/h. Το παιδί απέχει 0.6 km από την όχθη και 0.8 km αντίθετα προς το ρεύμα από μία αποβάθρα, όταν μία ναυαγοσωστική βενζινάκα­ τος ξεκινά από αυτήν, (a) Αν η βενζινάκατος κινείται με τη μέγιστη ταχύτητά της 20 km/h ως προς το νερό, ποια κατεύθυνση σε σχέση με την όχθη πρέπει να πάρει ο ναυαγοσώστης; (b) Ποια γωνία θα σχηματί­ σει η ταχύτητα τής βενζινακάτου ν με την όχθη; Πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να φτάσει η βενζινά­ κατος το παιδί; Ενα μπουλόνι πέφτει από την οροφή μιας αμαξο­ στοιχίας που επιταχύνεται κατευθυνόμενη προς Βορράν με ρυθμό 2.5 m/s2. Ποια είναι η επιτάχυνση που έχει το μπουλόνι σε σχέση με (a) την αμαξοστοιχία; (b) τον ακίνητο σιδηροδρομικό σταθμό; Ένας σπουδαστής βρίσκεται πάνω στην πλατφόρμα ενός τραίνου που κινείται με σταθερή ταχύτητα 10 m/s, σε ευθύγραμμη οριζόντια γραμμή. Ο σπουδαστής ρίχνει μια μπάλλα στον αέρα σε τροχιά που εκτιμά ότι σχηματίζει αρχική γωνία 60° με την οριζόντιο και κατά την κατεύθυνση τής γραμμής. Ο καθηγητής τού σπουδαστή, που δεν ταξιδεύει και στέκεται στο έδαφος κοντά στη σιδηροδρομική γραμ­ μή, βλέπει την μπάλλα να ανεβαίνει κατακόρυφα. Πόσο ψηλά θα ανέβει η μπάλλα;

ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 53. Σε χρόνο ί = 0 ένα σωμάτιο περνάει από την αρχή με ταχύτητα 6 m/s πάνω στη θετική κατεύθυνση y. Η

|54.

|55.

|56.

|58.

|59.

επιτάχυνση τού σωματίου δίνεται από τη σχέση α = (2i — 3j) m/s2. Οταν το σωμάτιο φτάσει στη μέγιστη συντεταγμένη τού y, η συνιστώσα y τής ταχύτητάς του είναι μηδέν. Αυτή τη χρονική στιγμή, βρείτε (a) την ταχύτητα τού σωματίου και (b) τις συντεταγμένες του χ και y. Ένα παιδί πετά μια μπάλλα στον αέρα με όλη του τη δύναμη και μετά τρέχει όσο πιο γρήγορα μπορεί κάτω από την μπάλλα για να τήν πιάσει. Αν η μέγιστη ταχύτητα στη ρίψη τής μπάλλας είναι 20 m/s και ο καλύτερος χρόνος τού παιδιού σε μία διαδρομή 20 m είναι 3 s; σε ποιο ύψος θα φτάσει η μπάλλα; Ένα αυτοκίνητο σταμάτησε σε μια απότομη κατηφοριά που έχει θέα προς τη θάλασσα και όπου η κατηφοριά σχηματίζει γωνία 37° με το οριζόντιο επίπεδο. Ο απρόσεκτος οδηγός άφησε την ταχύτητα στο νεκρό σημείο, ενώ το χειρόφρενο τού αυτοκινή­ του είναι ελαττωματικό. Το αυτοκίνητο αρχίζει να κυλάει, ενώ ήταν ακίνητο, στην κατηφοριά με σταθε­ ρή επιτάχυνση 4 m/s2 και διατρέχει 50 m στην πλαγιά τού βράχου. Ο βράχος βρίσκεται σε ύψος 30 m πάνω από τη θάλασσα. Βρείτε (a) την ταχύτητα τού αυτοκινήτου όταν φτάσει στον βράχο και τον χρόνο που χρειάστηκε να φτάσει εκεί, (b) την ταχύτητα τού αυτοκινήτου όταν πέφτει μέσα στη θάλασσα, (c) τον συνολικό χρόνο κίνησης τού αυτοκινήτου και (d) τη θέση τού αυτοκινήτου σε σχέση με τη βάση τού βράχου όταν το αυτοκίνητο πέφτει μέσα στη θά­ λασσα. Ένα πυροβόλο βάλλει με γωνία 30° ως προς το οριζόντιο επίπεδο από έναν βράχο ύψους 20 m πάνω από ένα επίπεδο ποτάμι. Ποια είναι η αρχική ταχύτητα τού βλήματος, αν αυτό προσκρούσει στο έδαφος σε απόσταση 40 m από τη βάση τού βράχου; Η αρχική ταχύτητα ενός βλήματος είναι 200 m/s. Αν ο στόχος προς τον οποίο βάλλεται βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση 2 km από το πυροβόλο, βρείτε (a) τις δύο γωνίες βολής για τις οποίες το βλήμα πετυχαίνει τον στόχο και (b) τον συνολικό χρόνο πτήσης για καθεμιά από τις δύο τροχιές που βρέθη­ καν στο (a). Ένα πυροβόλο βάλλει ένα βλήμα με αρχική ταχύτη­ τα υ0 και γωνία βολής θχ. 'Οταν η γωνία βολής αυξηθεί σε θ2, το βεληνεκές τού βλήματος αυξάνεται κατά μία απόσταση b. Αποδείξτε ότι

8

60. Ποιο θα είναι το μήκος τού δείκτη δευτερολέπτων ενός ρολογιού αν η κεντρομόλος επιτάχυνση τού άκρου του είναι 0.01 g; |61. Μια πέτρα στο άκρο μιας σφεντόνας στριφογυρίζει σε κατακόρυφο κύκλο ακτίνας 1.2 m με σταθερή ταχύτητα υ0 = 1.5 m/s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.26. Το κέντρο περιστροφής τής σφεντόνας βρίσκε­ ται σε ύψος 1.5 m πάνω από το έδαφος. Ποιο είναι το βεληνεκές τής πέτρας αν ελευθερωθεί από τη σφεντό­ να όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30° με το οριζόντιο επίπεδο (a) στο σημείο A; (b) στο σημείο Β; Ποια είναι η επιτάχυνση τής πέτρας (c) ακριβώς προτού ξεφύγει από το A; (d) ακριβώς μόλις ξεφύγει από το Α;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|62. Ενα φορτηγό κινείται προς Βορράν με σταθερή ταχύτητα 10 m/s πάνω σε έναν οριζόντιο ευθύγραμμο δρόμο. Ένα παιδί που βρίσκεται στο πίσω μέρος τού φορτηγού θέλει να πετάξει μια μπάλλα ενώ το φορτηγό κινείται και να τήν πιάσει πάλι αφού το φορτηγό έχει διατρέξει 20 m. (a) Εάν δεν ληφθεί υπ’ όψιν η αντίσταση τού αέρα, με ποια γωνία σε σχέση με την κατακόρυφο πρέπει να ριχτεί η μπάλλα; (b) Ποια πρέπει να είναι η αρχική ταχύτητα τής μπάλλας; (c) Ποιο είναι το σχήμα τής τροχιάς τής μπάλλας όπως τή βλέπει το παιδί; (d) Ένας παρατηρητής που στέκεται στο έδαφος βλέπει το παιδί να πετά την μπάλλα προς τα επάνω και να τήν ξαναπιάνει. Στο ακίνητο σύστημα αναφοράς τού παρατηρητή, προσ­ διορίστε το γενικό σχήμα τής τροχιάς τής μπάλλας καθώς και την αρχική της ταχύτητα. |63. Ένας μαθητής ρίχνει με ένα τόξο σε οριζόντιο επίπεδο από ύψος 1 m. Όταν ο μαθητής με το τόξο είναι ακίνητος, το βέλος διανύει οριζόντια απόσταση 5 m. Ένα παιδί που κατεβαίνει σε μια τσουλήθρα γωνίας 45° και με σταθερό μέτρο ταχύτητας 2 m/s ρίχνει με το ίδιο τόξο ένα βέλος οριζόντια. Πόσο μακριά θα πάει το βέλος αν το παιδί τό ρίξει όταν βρισκόταν σε ύψος 1 m; |64. Ένας πύραυλος εκτοξεύεται με γωνία 53° σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο και με αρχική ταχύτητα 100 m/s. Ο πύραυλος κινείται ευθύγραμμα με επιτάχυνση 30 m/s2 για χρόνο ίσο με 3 s. Τότε οι μηχανές του σταματούν και ο πύραυλος εξακολουθεί να κινείται ως ελεύθερο σώμα. Βρείτε (a) το μέγιστο ύψος που θα φτάσει ο πύραυλος, (b) τον συνολικό χρόνο κίνησης, και (c) το οριζόντιο βεληνεκές. |65. Μια βάρκα χρειάζεται 2 min για να περάσει στην απέναντι όχθη ενός ποταμού που έχει πλάτος 150 m. Η ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με το νερό είναι 3 m/s και το ρεύμα τού ποταμού κυλά με ταχύτητα 2 m/s. Σε ποια πιθανά σημεία προς τα πάνω ή προς τα κάτω ως προς το ρεύμα θα φτάσει η βάρκα στην απέναντι όχθη; |[66ΐ. Ένας παίκτης ποδοσφαίρου κλωτσά την μπάλα κατά τέτοιο τρόπο ώστε αυτή περνά σχεδόν «ξυστά» πάνω από έναν τοίχο, ύψους 21 m, που απέχει 130 m από τον παίκτη. Η μπάλλα έχει λακτιστεί με γωνία 35° ως προς την οριζόντιο και η αντίσταση τού αέρα δεν λαμβάνεται υπ’ όψιν. Βρείτε (a) την αρχική ταχύτητα τής μπάλλας, (b) τόν χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει η μπάλλα στον τοίχο και (c) την ταχύτητα και τις συνιστώσες της, όταν η μπάλλα φτάσει στον τοίχο. (Υποθέστε ότι η μπάλλα λακτίζεται από ύψος 1 m πάνω από το έδαφος).

87

|67. Μια μπάλλα ρίχνεται με έναν εκτοξευτήρα με αρχική ταχύτητα 25 m/s και με γωνία 45° σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο. Ένα δίχτυ βρίσκεται σε οριζό­ ντια απόσταση 50 m. από τον εκτοξευτήρα. Σε ποιό ύψος πάνω από το εκτοξευτήρα πρέπει να τοποθετη­ θεί το δίχτυ για να πιάσει την μπάλλα; |68. Η θέση ενός σωματίου που κινείται στο επίπεδο xy μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου σύμφωνα με την εξίσωση r = 3 cos 2ti + 3 sin 2tj, όπου το r υπο­ λογίζεται σε m και το / σε s. (a) Δείξτε ότι η τροχιά τού σωματίου είναι κύκλος ακτίνας 3 m με κέντρο την αρχή τών συντεταγμένων του (υπόδειξη: υποθέστε θ = 2f). (b) Υπολογίστε τα διανύσματα τής ταχύτη­ τας και επιτάχυνσης, (c) Δείξτε ότι το διάνυσμα τής επιτάχυνσης κατευθύνεται πάντοτε προς την αρχή τών συντεταγμένων (αντίθετα προς το r) και έχει μέτρο v2/r. |69. Ένα βομβαρδιστικό αεροπλάνο, ενώ πετάει οριζό­ ντια με ταχύτητα 275 m/s ως προς το έδαφος σε ύψος 3 000 m πάνω από μια επίπεδη επιφάνεια, ρίχνει μία βόμβα. Αγνοήστε την αντίσταση τού αέρα και υπολο­ γίστε: (a) Σε ποια οριζόντια απόσταση από τη θέση από την οποία αφέθηκε να πέσει η βόμβα θα προσκρούσει στο έδαφος; (b) Αν το αεροπλάνο διατηρεί την αρχική του πορεία και ταχύτητα, πού θα βρίσκεται κατά τη στιγμή που η βόμβα θα προσκρούσει στο έδαφος; (c) Με τις παραπάνω συνθήκες, ποια πρέπει να είναι η γωνία που σχηματί­ ζει η κατακόρυφος από το σημείο που αφέθηκε η βόμβα με τη γραμμή σκόπευσης από το ίδιο σημείο έτσι ώστε η βόμβα να πλήξει τον στόχο; |71. Ένας ψύλλος βρίσκεται στο σημείο Α ενός περιστρε­ φόμενου τραπεζιού σε απόσταση 10 cm από το κέντρο. Το τραπέζι περιστρέφεται με 33i στροφές/ min κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού. Ο ψύλλος πηδά κατακόρυφα προς τα επάνω σε ύψος 5 cm. και ξαναπέφτει στο τραπέζι σε ένα σημείο Β. Τοποθετείστε την αρχή τών συντεταγμένων στο κέ­ ντρο τού τραπεζιού με θετικό άξονα χ ακίνητο στον χώρο προς τη θέση από την οποία πήδησε ο ψύλλος, (a) Βρείτε τη γραμμική μετατόπιση τού ψύλλου, (b) Προσδιορίστε τη θέση τού σημείου Α όταν ο ψύλλος ξαναπέφτει στο τραπέζι, (c) Βρείτε τη θέση τού σημείου Β όταν ο ψύλλος έχει πέσει στο τραπέζι. |72. Ένας σπουδαστής που μπορεί να κολυμπά με ταχύ­ τητα 1.5 m/s σε ακίνητο νερό θέλει να διασχίσει ένα ποτάμι που το ρεύμα του έχει ταχύτητα 1.2 m/s προς Νότον. Το πλάτος τού ποταμού είναι 50 m. (a) Αν ο σπουδαστής ξεκινήσει από τη δυτική όχθη τού ποταμού, σε ποια διεύθυνση πρέπει να κατευθύνεται ώστε να κολυμπά προς ένα σημείο ακριβώς απέναντι από το σημείο από το οποίο ξεκίνησε; Πόσος χρόνος τού χρειάζεται για τη διαδρομή αυτή; (b) Αν κατευθύνεται προς Ανατολάς, πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να διασχίσει το ποτάμι; (Σημειώστε: ο σπουδα­ στής κολυμπά περισσότερο από 50 m σε αυτή την περίπτωση). |73. Ένα όπλο έχει μέγιστο βεληνεκές 500 m. (a) Για ποιες γωνίες βολής το βεληνεκές θα είναι 350 m; Ποιο είναι το βεληνεκές όταν η σφαίρα φεύγει από το όπλο (a) με γωνία 14°; (c) με γωνία 76°; |74. Ένα ποτάμι κυλά με σταθερή ταχύτητα υ. Ένας άνθρωπος μέσα σε μία βενζινάκατο κατευθύνεται αντίθετα προς το ρεύμα και διανύει απόσταση 1 km, οπότε βλέπει κοντά του να επιπλέει ένας κομμένος

88

|75.

|76.

|77.

|78.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

κορμός δέντρου. Ο άνθρωπος συνεχίζει τον πλου τής ταχύτητας τού Αϊ-Βασίλη όταν φτάνει στο έδαφος· (b) τον συνολικό χρόνο τής κίνησής του· και αντίθετα προς το ρεύμα επί μία ώρα ακόμη με την ίδια ταχύτητα και μετά επιστρέφει, πλέοντας κατά τη (c) την απόσταση d, μεταξύ τού σπιτιού και τού σημείου όπου προσγειώθηκε στο χιόνι. φορά τού ρεύματος, στο αρχικό σημείο, όπου συνα­ ντά πάλι τον ίδιο κορμό. Βρείτε την ταχύτητα τού 179. Ένας χιονοδρόμος-άλτης εγκαταλείπει την πίστα με ρεύματος τού ποταμού. (Υπόδειξη: ο χρόνος που ταχύτητα 10 m/s που σχηματίζει γωνία 15° πάνω από πλέει η βενζινάκατος μετά από τη στιγμή που το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.28. συνάντησε τον κορμό είναι ίσος με τον χρόνο που Η πλαγιά έχει γωνία κλίσης 50° και η αντίσταση τού ταξίδεψε ο κορμός). αέρα είναι αμελητέα. Βρείτε (a) την απόσταση που Ενας ψαράς θέλει να περάσει ένα ποτάμι πλάτους 1 διανύει ο άλτης ώσπου να προσγειωθεί στην πλαγιά· km τού οποίου το ρεύμα έχει ταχύτητα 5 km/h προς και (b) τις συνιστώσες τής ταχύτητάς του ακριβώς τον Βορρά. Ο ψαράς βρίσκεται στη δυτική όχθη. Η προτού προσγειωθεί. (Πώς νομίζετε ότι θα επηρεα­ βάρκα του κινείται με ταχύτητα 4 km/h σε σχέση με το στούν τα αποτελέσματα αν λάβουμε υπ’ όψιν και την νερό, (a) Προς ποια διεύθυνση πρέπει να κατευθύνεαντίσταση τού αέρα; Σημειώστε ότι οι άλτες γέρνουν ται για να περάσει το ποτάμι στον ελάχιστο χρόνο; προς τα εμπρός ώστε να πάρουν αεροδυναμικό (b) Πόσος χρόνος χρειάζεται για το πέρασμα; (c) σχήμα με τα χέρια τους στα πλευρά τους για να Προσδιορίστε την ταχύτητα τής βάρκας σε σχέση με αυξήσουν την απόσταση τού άλματός τους. Γιατί έναν παρατηρητή που βρίσκεται ακίνητος στην όχθη, αυτό αποδίδει;). (d) Βρείτε την τελική μετατόπιση κατά τη φορά τού 10 m/s ρεύματος τού ποταμού. Ο ψαράς στο Πρόβλημα 75 επιθυμεί να περάσει το ίδιο ποτάμι με την ίδια βάρκα ξεκινώντας από τη δυτική όχθη. Αυτή τη φορά θέλει να περάσει το ποτάμι κατά τέτοιο τρόπο ώστε η μετατόπιση κατά τη φορά τού ρεύματος να είναι ελάχιστη, (a) Προς ποια διεύθυνση πρέπει να κατευθύνεται; (b) Βρείτε την τελική μετατόπιση τής βάρκας κατά τη φορά τού ρεύματος τού ποταμού. Δύο παίκτες ποδοσφαίρου αρχίζουν να τρέχουν από το ίδιο περίπου σημείο ταυτόχρονα. Ο πρώτος τρέχει ανατολικά με ταχύτητα 4.0 m/s, ενώ ο δεύτερος κατευθύνεται 60° βόρεια τής Ανατολής με ταχύτητα 5.4 m/s. (a) Μετά από πόσο χρόνο θα απέχουν μεταξύ Σχήμα 4.28 (Πρόβλημα 79). τους 25 m; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού δεύτερου |80. Μία μπάλλα τού γκολφ αφήνει το έδαφος με γωνία θ παίκτη σε σχέση με τον πρώτο; (c) Πόση απόσταση και χτυπάει ένα δέντρο ενώ κινείται οριζόντια σε θα απέχουν μεταξύ τους μετά από 4.0 s; ύψος h πάνω από το έδαφος. Αν το δέντρο βρίσκεται Αφού μοίρασε τα δώρα του κατά το συνηθισμένο σε οριζόντια απόσταση b από το σημείο βολής, δείξτε τρόπο, ο Αϊ-Βασίλης αποφάσισε να διασκεδάσει λίγο ότι (a) tan θ = 2hlb. (b) Ποια είναι η αρχική ταχύτη­ και άρχισε να γλιστρά προς τα κάτω στη χιονισμένη τα τής μπάλλας σε συνάρτηση τών b και λ; σκεπή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.27. Ξεκίνησε, ενώ βρισκόταν ακίνητος, από την κορυφή τής σκεπής, |81. Ένα φορτηγό που μεταφέρει καρπούζια σταματά ξαφνικά για να αποφύγει να προχωρήσει στο άκρο που έχει μήκος 8 m, και επιταχύνεται με ρυθμό 5 m/s2. Η παρυφή τής σκεπής βρίσκεται σε ύψος 6 m μιας κατεστραμένης γέφυρας (6λ. Σχήμα 4.29). Το απότομο φρενάρισμα έχει ως αποτέλεσμα να πέσουν πάνω από το χιονισμένο επίπεδο έδαφος, όπου ο μερικά καρπούζια από το φορτηγό. Ένα καρπούζι Αϊ-Βασίλης προσγειώνεται. Βρείτε (a) τις συνιστώσες κυλά προς το άκρο τής γέφυρας με αρχική ταχύτητα ν0 = 10 m/s κατά οριζόντια διεύθυνση. Ποιες είναι οι συντεταγμένες χ και y τού καρπουζιού όταν θα πέσει από τη γέφυρα, αν η κάθετη τομή τής γέφυρας έχει το σχήμα μιας παραβολής (y2 = 16*, όπου τα * και y υπολογίζονται σε μέτρα) με την εστία της στην προέκταση τού δρόμου; |[82]. Ένα εχθρικό πλοίο βρίσκεται στην ανατολική ακτή ενός ορεινού νησιού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.30. Το εχθρικό πλοίο μπορεί να πλησιάσει μέχρι 2 500 m από την κορυφή τού βουνού που έχει ύψος 1 800 m και μπορεί να εκτοξεύει βλήματα με αρχική ταχύτητα 250 m/s. Αν η δυτική ακτή είναι οριζόντια και απέχει 300 m από την κορυφή τού βουνού, ποιες είναι οι αποστάσεις από τη δυτική παραλία, όπου ένα πλοίο μπορεί να είναι ασφαλές από τον βομβαρδισμό τού εχθρικού; IHJ. Ένα γεράκι πετά οριζόντια με ταχύτητα 10.0 m/s σε ευθεία γραμμή 200 m πάνω από το έδαφος. Το γεράκι κρατά έναν ποντικό, που κάποια στιγμή τού ξεφεύγει

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|||4].Το θυμωμένο «κσγιότ» για μια ακόμη φορά θα προσπαθήσει να πιάσει το άπιαστο «μπι-μπίπ». Το κογιότ φορά ένα ζευγάρι πυραυλοκίνητα πατίνια, που τού δίνουν σταθερή οριζόντια επιτάχυνση 15 m/s2 (Σχήμα 4.31). Το κογιότ ξεκινά, ενώ ήταν ακίνητο 70 m μακριά από το χείλος ενός γκρεμού, τη στιγμή που το μπι-μπίπ περνά δίπλα του σαν αστρα­ πή σφυρίζοντας με κατεύθυνση τον γκρεμό, (a) Αν το μπι-μπίπ τρέχει με σταθερή ταχύτητα, προσδιορίστε την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει έτσι ώστε να φτάσει στην άκρη τού γκρεμού πριν από το κογιότ. (b) Αν ο βράχος βρίσκεται 100 m πάνω από τον πυθμένα τού φαραγγιού προσδιορίστε τη θέση στην οποία θα προσγειωθεί το κογιότ μέσα στο φαράγγι (υποθέστε ότι τα πατίνια του λειτουργούν ακόμη στη διάρκεια τής «πτήσης» του), (c) Προσδιορίστε τις συνιστώσες τής ταχύτητας τού κογιότ ακριβώς προ­ τού προσγειωθεί μέσα στο φαράγγι. (Ό πω ς συνή­ θως, το μπι-μπίπ σώζεται κάνοντας μια απότομη στροφή στο χείλος τού γκρεμού). |85. Ενας αθλητής Ολυμπιακών Αγώνων στο δέκαθλο, ο οποίος ήταν και έξυπνος σπουδαστής Φυσικής, παγι­ δεύτηκε στην ταράτσα ενός φλέγόμενου κτηρίου έχοντας μαζί του μολύβι, χαρτί, υπολογιστή τσέπης και το αγαπημένο του βιβλίο Φυσικής. Ο αθλητής έπρεπε μέσα σε 15 min να αποφασίσει να περάσει στο διπλανό κτήριο ή τρέχοντας με τη μέγιστη οριζόντια ταχύτητα και πηδώντας από την άκρη τής ταράτσας ή χρησιμοποιώντας την τεχνική τού άλματος σε μήκος. Το διπλανό κτήριο απέχει οριζόντια 30 ft και κατακόρυφα 10 ft πιο κάτω. Ο χρόνος που έχει ο αθλητής πετύχει στον δρόμο τών 100 m είναι 10.3 s

και στο άλμα σε μήκος 25.5 ft (υποθέστε ότι όταν κάνει άλμα σε μήκος σχηματίζει γωνία 45° πάνω από το οριζόντιο επίπεδο). Κάνετε υπολογισμούς για να αποφασίσετε ποια μέθοδο (αν υπάρχει) μπορεί να χρησιμοποιήσει ο αθλητής ώστε να φτάσει ασφαλής στο διπλανό κτήριο.

Coyote Stupidus

Chicken Delightus

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Π Α ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΉ 86. Ενα βλήμα βάλλεται από την αρχή τών συντεταγμέ­ νων με αρχική ταχύτητα ν0 και με γωνία θ0 ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Γράψτε προγράμματα που θα σάς βοηθήσουν να γράψετε σε πίνακες τις συντεταγ­ μένες χ και y, τη μετατόπιση, τις συνιστώσες χ και y τής ταχύτητας και τής ταχύτητας τού βλήματος συναρτήσεις τού χρόνου. Γράψτε σε πίνακες παραπάνω τιμές για τα ακόλουθα δεδομένα: υ0 = m/s, 0Ο= 60°, σε χρονικά διαστήματα τών 0.25 μέχρις ότου ο συνολικός χρόνος φτάσει τα 4.4 s.

o il ®

από τα νύχια. Το γεράκι εξακολουθεί να πετά στην τροχιά του με την ίδια ταχύτητα για δύο δευτερόλε­ πτα προτού προσπαθήσει να ξαναπιάσει τη λεία του. Για να ξαναπιάσει τον ποντικό βουτά σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα και τόν συλλαμβάνει 3.0 m πάνω από το έδαφος. Εάν δεν ληφθεί υπ’ όψιν η τριβή τού αέρα (a) βρείτε την ταχύτητα καθόδου τού γερακιού, (b) Ποια γωνία σχηματίζει το γεράκι σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο κατά την κάθοδό του; (c) Για πόσο χρόνο ο ποντικός «χάρηκε» την ελεύθερη πτήση του;

89

τα προηγούμενα δύο κεφάλαια τής Κινητικής περιγράψαμε την κίνηση σωμάτων χρησιμοποιώντας τον ορισμό τής μετατόπισης, τής ταχύτητας και τής επιτάχυνσης. Θέλουμε όμως να απαντήσουμε και σε ερωτήματα που μάς εξηγούν τα αίτια τής κίνησης, όπως λ.χ., «ποιο είναι το αίτιο τής κίνησης;» ή «γιατί ορισμένα σώματα επιταχύνονται περισσότερο από άλλα;». Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράφουμε τη μεταβολή στην κίνηση σωμάτων με τη χρήση τών εννοιών τής δύναμης, τής μάζας και τής ορμής. Κατόπιν θα μελετήσουμε τους τρεις βασικούς νόμους στους οποίους οφείλεται η κίνηση. Ο ι νόμοι αυτοί βασίστηκαν σε πειραματικές παρατηρήσεις και πήραν τη μορφή που τούς έδωσε ο Isaac Newton πριν από τρεις αιώνες.

Σ

5.1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

Σκοπός τής κλασικής μηχανικής είναι η σύνδεση τής κίνησης ενός σώματος με τις δυνάμεις που δρουν επάνω του. Μην ξεχνάτε ότι η Κλασική Μηχανική έχει ως αντικείμενο μελέτης σώματα που είναι μεγάλα σε σύγκριση με τις διαστάσεις τών ατόμων (~ ΙΟ-10 m) και τα οποία κινούνται με ταχύτητα πολύ μικρότερη από την ταχύτητα τού φωτός (3 x ΙΟ8 m/s). Θ α δούμε ότι είναι δυνατόν να περιγράφουμε την επιτάχυνση ενός σώματος χρησιμοποιώντας την συνισταμένη τών δυνάμεων οι οποίες ασκού­ νται πάνω του και τη μάζα του. Η δύναμη αυτή αντιπροσωπεύει την αλληλεπίδραση τού σώματος με το περιβάλλον στο οποίο βρίσκεται. Η μάζα τού σώματος δίνει το μέτρο τής αδράνειάς του, δηλαδή την τάση τού σώματος να αντιστέκεται στην επιτάχυνση όταν δρα επάνω του μια δύναμη. Θ α μελετήσουμε επίσης τους νόμους τών δυνάμεων (ή νόμους τής Δυναμικής), δηλαδή την ποσοτική μεθοδολογία υπολογισμού τής δύναμης, όταν γνωρίζουμε το περιβάλλον στο οποίο αυτή οφείλεται. Θ α δούμε ότι οι νόμοι τών δυνάμεων έχουν απλή μορφή και εξηγούν με μεγάλη επιτυχία ένα μεγάλο φάσμα από φαινόμενα και πειραματικές μετρήσεις. Ο ι νόμοι τής Δυναμικής μαζί με τους νόμους τής Κινητικής αποτελούν τα θεμέλια τής Κλασικής Μ ηχανικής. 5.2

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΉΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Κάθε ον καταλαβαίνει σε ένα ορισμένο γνωστικό επίπεδο, που διαμορφώνε­ τα ι από τις καθημερινές του εμπειρίες, την έννοια τής δύναμης. Ό τα ν ωθείτε ή όταν έλκετε ένα αντικείμενο, ασκείτε επάνω του μια δύναμη. Ασκείτε δύναμη επίσης όταν πετάτε ή κλωτσάτε μια μπάλλα. Στα παραπάνω παραδείγματα, η έννοια τής δύναμης συνδέεται με το αποτέλεσμα τής μυϊκής δύναμης και μιας μεταβολής στην κατάσταση κίνησης τού αντικειμένου. Οι δυνάμεις, όμως, δεν έχουν απαραίτητα ως αποτέλεσμα την κίνηση. Λογουχά-

5.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ρη, όταν κάθεστε κάπου, επάνω σας δρα η δύναμη τής βαρύτητας, αλλά εσείς είσαστε ακίνητος. Μπορεί να σπρώχνετε έναν βράχο, χωρίς να κατορθώσετε να τόν κουνήσετε. Σε ποια δύναμη (εάν αυτή υπάρχει) οφείλεται η κίνηση τών μακρινών αστέρων στο ουράνιο στερέωμα; Ο Newton απάντησε στα ερωτήματα αυτά λέγοντας ότι οι δυνάμεις αποτελούν το αίτιο τής μεταβολής τής κινητικής κατάστασης ενός σώματος. Επομένως, όταν ένα αντικείμενο κινείται ισοταχώς, δεν χρειάζεται να δρα επάνω του καμία δύναμη ώστε το αντικείμενο αυτό να διατηρήσει την κινητική του κατάσταση. Εφόσον λοιπόν μόνο μια δύναμη μπορεί να μεταβάλει την ταχύτητα ενός αντικειμένου, συμπεραίνουμε ότι δύναμη είναι το αίτιο τής επιτάχυνσης ενός σώματος. Ας θεωρήσουμε τώρα την περίπτωση κατά την οποία πολλές δυνάμεις δρουν ταυτόχρονα επάνω σε ένα σώμα. Στην περίπτωση αυτή το σώμα θα επιταχυνθεί (ή επιβραδυνθεί) μόνον εάν το δια ννσμα ηκό τους άθροισμα, δηλαδή η συνολική τους δύναμη, είναι διαφορετικό από το μηδέν. Τη συνολική αυτή δύναμη θα τή λέμε συνισταμένη δύναμη. Εάν λοιπόν η συνισταμένη είναι μηδενική, η επιτάχυνση είναι μηδενική και η ταχύτη τα τού σώματος παραμένει σταθερή. Δηλαδή, εάν η συνολική δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα είναι μηδέν, το σώμα θα είναι ή ακίνητο ή θα κινείται ισοταχώς. Εάν η ταχύτητα ενός σώματος είναι σταθερή ή μηδενική, τότε λέμε ότι το σώμα ισορροπεί, δηλαδή βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Ό τα ν ασκείται δύναμη πάνω σε ένα σώμα, μπορεί να μεταβληθεί το σχήμα του. Λογουχάρη, όταν σφίγγετε στο χέρι σας μια λαστιχένια μπάλλα ή όταν χτυπάτε έναν σάκο τού μποξ, τα σώματα αυτά παραμορφώνονται σε ορισμένο βαθμό. Ακόμη και πιο σκληρά αντικείμενα, όπως λ.χ. ένα αυτοκίνητο, μεταβάλλουν σχήμα υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Και εάν οι δυνάμεις είναι αρκετά μεγάλες, οι παραμορφώσεις γίνονται μόνιμες, όπω ς λ.χ. συμβαίνει σε σύγκρουση αυτοκινήτων. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε επίσης με τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στη δύναμη η οποία ασκείται πάνω σε ένα σώμα και στην επιτάχυνση τού σώματος. Εάν τραβήξετε ένα ελατήριο, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 5.1a, το ελατήριο εκτείνεται. Εάν βαθμονομήσετε το ελατήριο, το μήκος κατά το οποίο εκτείνεται δίνει τη δυνατότητα να μετρήσετε τη δύναμη. Εάν τραβήξετε δυνατά ένα καροτσάκι για να υπερνικήσετε την τριβή, το καροτσάκι θα κινηθεί, όπω ς τό παρατηρούμε στο Σχήμα 5.1b. Τέλος, μια μπάλλα όταν δεχθεί ένα λάκτισμα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1c, παραμορ­ φώνεται και, τελικά, κινείται. Πρόκειται για παραδείγματα δυνάμεων που, παραδοσιακά, ονομάζονται δυνάμεις εξ επαφής, δηλαδή προέρχονται από τη μακροσκοπική επαφή δύο αντικειμένων. Ά λ λα παρόμοια παραδείγματα είναι η δύναμη την οποία ασκεί ένα αέριο στα τοιχώματα τού δοχείου που τό περιέχει (δηλαδή το αποτέλεσμα τών κρούσεων τών μορίων τού αερίου με τα μόρια τού δοχείου) και η δύναμη που ασκούν τα πόδια μας στο δάπεδο. Παραδοσιακά επίσης, ονομάζουμε δυνάμεις εξ αποστάσεω ς τις δυνάμεις που δεν φαίνεται να χρειάζονται μακροσκοπική επαφή για να κάνουν αισθητή την παρουσία τους, δηλαδή εκ πρώτης όψεως φαίνεται να δρουν μέσα σε κενό διάστημα. Λογουχάρη, τέτοια είναι η βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε δύο αντικείμενα (Σχήμα 5.Id). Στη δύναμη αυτή οφείλεται αυτό που ονομάζουμε βάρος τών σωμάτων και που κρατά τα διάφορα αντικείμενα δέσμια στη Γη. Ο ι πλανήτες τού ηλιακού μας συστήματος είναι δέσμιοι τής βαρυτικής δύναμης που δρα ανάμεσα στον καθένα τους και στον 'Η λιο. Έ ν α άλλο κοινό παράδειγμα δράσης εξ αποστάσεως είναι η δύναμη που ασκεί ένα ηλεκτρικό φορτίο πάνω σε ένα άλλο (Σχήμα 5.1e). Τα φορτία αυτά μπορεί να είναι μακροσκοπικά ή μικροσκοπικά, όπως π.χ. η δύναμη ανάμεσα στο πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο τού ατόμου τού υδρογόνου. Έ ν α τρίτο παράδειγμα είναι η δύναμη που ασκεί ένας μαγνήτης πάνω σε ένα κομμάτι σίδηρο, όπω ς δείχνει το Σχήμα 5.If. Οι δυνάμεις ανάμεσα στα συστατικά ενός πυρήνα (τα ονομαζόμενα νουκλεόνια - nucleons) είναι, στον μικρόκοσμο, παράδειγμα δυνάμεων εξ αποστάσεως, διότι αποτελούν τις κυρίαρχες δυνάμεις για αποστάσεις σωματιδίων μικρότερες από ΙΟ-15 m.

91

Ένα σώμα επιταχύνεται υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης

Ορισμός ισορροπίας

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Σχήμα 5.1 Π αραδείγματα δυνάμεων που δρουν πάνω σε δ ιάφορα σώματα. Το αντικείμενο πάνω στο οποίο δρα η δύναμη κάθε φορά βρίσκεται μέσα σε ένα «κουτί» που σημειώνεται με μια διακεκομμένη γραμμή. Στο περιβάλλον που είναι έξω από το κουτί οφείλεται η ύπαρξη τής δύναμης.

Ο ι παλαιοί επιστήμονες, όπως και ο ίδιος ο Newton, ήταν εμπειριστές και δεν αισθάνονταν καθόλου άνετα με την ιδέα τής δύναμης που δρα εξ αποστάσεως. Για να ξεπεράσει αυτό το εννοιολογικό πρόβλημα, ο Michael Faraday (1791-1867) εισήγαγε την έννοια τού πεδίου. Κατά τον Faraday, όταν μία μάζα τηχ τοποθετείται στο σημείο Ρ κοντά σε μία άλλη μάζα m 2, μπορούμε να πούμε ότι η μάζα m x αλληλεπιόρά με την τη2 μέσω τού βαρυτικού πεδίου που υπάρχει στο Ρ. Το πεδίο στο σημείο Ρ δημιουργείται από την μάζα m2. Στο Κεφάλαιο 23 θα δούμε ότι η έννοια τού πεδίου είναι πολύ χρήσιμη για την περιγραφή τών ηλεκτρικών αλληλεπιδράσεων ανάμεσα σε φορτισμένα σώμα­ τα. Πρέπει να επιστήσουμε την προσοχή σας ώστε να μην παρασυρθείτε από όσα αναφέρθηκαν παραπάνω , τα οποία βασίζονται στην ιστορική ανασκόπη­ ση τής Φυσικής· οι έννοιες τών δυνάμεων εξ επαφής και τών δυνάμεων εξ αποστάσεως βασίζονται στην παλαιά θεώρηση τής Φυσικής, η οποία ήταν θεμελιωμένη στην καθημερινή εμπειρία, δηλαδή στα αποτελέσματα τών αισθήσεων και όχι τής πειραματικής έρευνας. Στο ατομικό επίπεδο, όμως, οι ονομαζόμενες δυνάμεις εξ επαφής οφείλονται στις απωστικές δυνάμεις ανάμεσα σε ηλεκτρικά φορτία, οι οποίες είναι, αυτές κα θ’ εαυτές, δυνάμεις εξ αποστάσεω mx. Όταν εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton για το mu το οποίο επιταχύνεται προς τα επάνω με μέτρο α, βρίσκουμε ότι (!)

^ F y = T - m lg = mla

(1)

Παρομοίως βρίσκουμε για το m2 (2)

βρίσκεται πάνω σε ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 0. Βρείτε την επιτάχυνση τών δύο μαζών και την τάση τού νήματος. Λύση Αφού οι δύο μάζες συνδέονται μέσω τού νήματος (το μήκος τού οποίου δεν αυξάνεται όταν βρίσκεται υπό τάση) θα έχουν το ίδιο μέτρο επιτάχυνσης. Τα σχήματα 5.13b και 5.13c δείχνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα απελευθερωμένου σώματος. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στο σώμα μάζας Wi και υποθέτουμε ότι η κατεύθυνση τής επιτάχυνσής του α είναι προς τα επάνω, οπότε έχουμε

= Τ ~ mzg = - m 2a

Το αρνητικό πρόσημο στο δεξιό μέρος τής (2) δείχνει ότι η m2 επιταχύνεται προς τα κάτω. 'Οταν αφαιρέσουμε την (2) από την (1) η Τ απαλείφεται και έχουμε

(3)

—mig + m2g = mxa + m2a

(4)

ή

2 F* = °

(2) = Τ ~ m ig = wja Ας σημειωθεί ότι για να είναι η α θετική πρέπει η Τ > mg. Τώρα, ας επιλέξουμε για το m2, το βολικό σύστημα που έχει τον θετικό άξονα τών χ ' παράλληλο προς το επίπεδο, όπως στο Σχήμα 5.13c. Εφαρμόζουμε και πάλι τον δεύτερο νόμο τού Newton και έχουμε = m.jg sin θ - Τ = m2a ]TFy- = N —m^g cos 0 = 0

Οι σχέσεις (1) και (4) δεν δίνουν καμιά πληροφορία για την επιτάχυνση. Εάν όμως λύσουμε το σύστημα τών εξισώσεων (2) και (3) ως προς τους αγνώστους α και Τ, έχουμε Εάν θέσουμε την (3) στην (1) έχουμε (5)

α = m2g sin θ ~ wig m, + m2

Αντικαθιστώντας το στην (2) βρίσκουμε ότι Ειδικές περιπτώσεις Προσέξτε ότι όταν m, = m2, a = 0 και Γ = Wjg = m-g, όπως θα περιμέναμε για ισορροπία. Επίσης, εάν m2 > mx, τότε a = g (πτώση ελεύθερου σώματος) και Τ ~ 2m^g. Άσκηση 3 Υπολογίστε την επιτάχυνση και την τάση για μια μηχανή τού Atwood για την οποία mx = 2 kg και w2 = 4 kg. Απάντηση a = 3.27 m/s2, Τ - 26.1 N. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.5 Δύο συνδεδεμένα σώματα Δύο άνισες μάζες συνδέονται με ένα ελαφρύ νήμα που περνάει γύρω από μια ελαφρά τροχαλία χωρίς τριβές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.13a. Το σώμα μάζας m2

(6)

Τ - mim 2g(1 + sin g )

rri! + m2

Ας σημειωθεί ότι η m2 επιταχύνεται προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο εάν m2 sin θ > mx (δηλαδή, εάν η α είναι θετική, όπως υποθέσαμε αρχικά). Εάν η wi > m2 sin 0, τότε η wi επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω και η m2 επιταχύνεται προς τα επάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. 'Ενας τρόπος για να κατανοήσετε τη σχέση (5) είναι να θεωρήσετε ότι ο λόγος τής μη εξισορροπημένης δύναμης τού συστήματος διαιρεμένης διά τής συνολικής μάζας ισούται με την επιτάχυνση.

y'

Σχήμα 5.13 (Παράδειγμα 5.5) (a) Δύο σώματα τα οποία ενώ­ νονται με ένα νήμα που περνάει πάνω από τροχαλία χωρίς τρι­ βές. (b) Το διάγραμμα απελευ­ θερωμένου σώματος για το m x. (c) Το διάγραμμα απελευθερω­ μένου σώματος για το m 2 (το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο).

m2g (a)

(b)

5.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

Άσκηση 4 Υπολογίστε την επιτάχυνση εάν ml = 10 kg, m2 = 5 kg και θ = 45°. Απάντηση α = — 4.22 m/s2, όπου το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η m2 επιταχύνεται προς το επάνω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.6 Το ένα σώμα σπρώχνει το άλλο Δύο σώματα με μάζες m\ και m2, αντίστοιχα, κείνται επάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.14a. Μια σταθερή δύναμη F, παράλληλη προς το οριζόντιο, δρα πάνω στο σώμα μάζας m\. (a) Βρείτε την επιτάχυνση τού συστήματος.

—

(4) (a)

Σ Ρχ = Ρ - Ρ ' = F - P = m 2a

θέτουμε στην (4) την τιμή τής α που βρήκαμε από την (2) και βρίσκουμε Ρ

(b)

105

την εφαρμοζόμενη δύναμη F. Αυτό είναι αποτέλεσμα τού ότι η δύναμη που είναι αναγκαία να δώσει επιτάχυνση α στο σώμα μάζας m2 είναι, προφανώς, μικρότερη από τη δύναμη που απαιτείται για να δώσει την ίδια επιτάχυνση α στο σύστημα τών δύο σωμάτων mi και m2. Είναι χρήσιμο να ελέγξουμε το παραπάνω αποτέλε­ σμα αφού μελετήσουμε όμως τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα mu όπως φαίνονται στο Σχήμα 5.14b. Οι οριζόντιες δυνάμεις που δρουν πάνω στο σώμα mi είναι η εφαρμοζόμενη δύναμη Εμε κατεύθυνση προς τα δεξιά και η δύναμη Ρ πον οφείλεται στην επαφή με το σώμα m2 και έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο τού Newton, η Ρ είναι η αντίδραση στην Ρ και έτσι \Ρ'\ = |Ρ|. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στο m2 και έχουμε

Γ

m iF m i + m2

”»2

\

(; i + m2) F

το οποίο είναι το ίδιο με το (3).

(c)

Σχήμα 5.14 Π αράδειγμα 5.6.

Λύση Και τα δύο σώματα υπόκεινται στην ίδια επιτά­

χυνση αφού εφάπτονται μεταξύ τους. Η δύναμη F είναι η μόνη οριζόντια δύναμη που δρα στο σύστημα (το σύστημα αποτελείται από τα δύο σώματα). Και έτσι έχουμε

Άσκηση 5 Υπολογίστε την επιτάχυνση τού συστήματος και το μέτρο τής δύναμης επαφής εάν mx = 4 kg, m2 = 3 kg και F = 9 N. Απάντηση a = 1.29 m/s2, P = 3.86 N. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5.7 Ζυγίζοντας ένα ψάρι μέσα σε έναν ανελκυστήρα

Κάποιος ζυγίζει ένα ψάρι χρησιμοποιώντας ζυγαριά ελατηρίου, η οποία είναι αναρτημένη από την οροφή ενός ανελκυστήρα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.15. Αποδείξτε ότι, όταν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται ή επιβραδύνεται, η ζυγαριά δεν δείχνει το αληθινό βάρος τού ψαριού. ruj + m 2 Λύση Οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν πάνω στο (b) Προσδιορίστε το μέτρο τής δύναμης που ασκεί το ψάρι είναι το αληθινό βάρος τού W και η δύναμη Γ, την ένα σώμα στο άλλο. οποία ασκεί πάνω του η ζυγαριά και η οποία έχει κατεύθυνση προς τα επάνω. Από τον τρίτο νόμο τού Λύση Για να απαντήσουμε πρέπει να σχεδιάσουμε το Newton ξέρουμε ότι η ζυγαριά δείχνει την Τ. Εάν ο διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος που αντιστοιχεί ανελκυστήρας είναι ακίνητος ή εάν κινείται ισοταχώς, στο καθένα σώμα τού συστήματός μας. Αυτά φαίνονται τότε το ψάρι δεν επιταχύνεται και Τ = W = mg (όπου στα Σχήματα 5.14b και 5.14c, όπου η δύναμη την οποία g = 9.80 m/s2). Εάν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς ασκούν κατά την επαφή τα σώματα συμβολίζεται με το τα επάνω με επιτάχυνση α σε σχέση με έναν αδρανειακό Ρ. Από το Σχήμα 5.14c βλέπουμε ότι η μόνη οριζόντια παρατηρητή έξω από τον ανελκυστήρα, όπως φαίνεται δύναμη που δρα επάνω στο m2 είναι η δύναμη Ρ στο Σχήμα 5.15a, τότε εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο (δηλαδή η δύναμη με την οποία το σώμα μάζας mt δρα ως προς το ψάρι, που έχει μάζα m, και βρίσκουμε πάνω στο σώμα μάζας m2) και έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στο (1) £ F = T - W = ma m2 και βρίσκουμε (εάν η α κατευθύνεται προς τα επάνω) (2) X F I = P = m2n Παρομοίως, εάν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα κάτω, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.15b, εφαρμόζουμε θέτουμε την τιμή τής επιτάχυνσης από την (1) στη (2) τον δεύτερο νόμο τού Newton ως προς το ψάρι και και έχουμε έχουμε 5) Ρχ (συστήματος) = F = (m1 + m 2)a

ή

(3)

P = m2ti = ( — ) \m j + m 2/

f

Από το αποτέλεσμα αυτό βλέπουμε ότι η δύναμη Ρ η οποία ασκείται κατά την επαφή είναι μικρότερη από

(2) ^ F = Τ — W — —ma (εάν η α κατευθύνεται προς τα κάτω) Συμπεραίνουμε λοιπόν από την (1) ότι η ζυγαριά, που δίνει το Τ, δείχνει τιμή μεταλύτερη από το αληθινό

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Τ

W

(a)

(b)

Παρατηρητής σε αδρανειακό σύστημα.

Σχήμα 5.15 (Παράδειγμα 5.7). Φαινόμενο βάρος κα ι αληθινό βάρος, (a) Ό τα ν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα επάνω , η ζυγαριά ελατηρίου δείχνει μεγα λύτερο βάρος α πό το αληθινό, (b) Ό τ α ν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα κάτω , τότε η ζυγαριά ελατηρίου δείχνει μικρότερο βάρος α πό το αληθινό. Η ζυγαριά ελατηρίου δείχνει πάντοτε το φαινόμενο βάρος.

βάρος, W, όταν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα επάνω (Τ > W). Όταν επιταχύνεται προς τα κάτω, συμπεραίνουμε από τη (2) ότι δείχνει τιμή μικρότερη από το αληθινό βάρος (Τ < W). Λογουχάρη, εάν το αληθινό βάρος τού ψαριού είναι 40 Ν και η |α είναι 2 m/s2 και κατευθύνεται προς τα επάνω, τότε η ζυγαριά δείχνει Τ = ma + mg = mg

+ 1^

- W(i+1)-4mg;

Σχήμα 5.32 (Πρόβλημα 47).

Υποκεφάλαιο 5.9 Δυνάμεις τριβής 48. Ενα σώμα μάζας 25 kg βρίσκεται πάνω σε μια τραχιά οριζόντια επιφάνεια και ηρεμεί αρχικά. Μια οριζό­ ντια δύναμη 75 Ν χρειάζεται για να κάνει το σώμα να κινηθεί. Αφού αρχίσει να κινείται, απαιτείται μια οριζόντια δύναμη 60 Ν για να διατηρεί το σώμα σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα. Από τα δεδομένα αυτά υπολογίστε τους συντελεστές τής στατικής τριβής και τής τριβής ολισθήσεως. 49. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ενός σώματος μάζας 5 kg και μιας οριζόντιας επιφάνειας είναι 0.4. Ποια είναι η μέγιστη οριζόντια δύναμη που μπορεί να ασκηθεί στο σώμα πριν να αρχίσει να ολισθαίνει; 50. Ενα αγωνιστικό αυτοκίνητο επιταχύνεται ομαλά από 0 σε 80 mi/h μέσα σε 8 s. Η εξωτερική δύναμη που επιταχύνει το αυτοκίνητο είναι η δύναμη τριβής μεταξύ τών τροχών και τού δρόμου. Αν οι τροχοί δεν γλιστρούν στριφογυρίζοντας, προσδιορίστε τον ελά­ χιστο συντελεστή τριβής μεταξύ τών τροχών και τού δρόμου. 51. Ρίχνουμε έναν δίσκο σε ένα πάτωμα, με μέτρο ταχύτητας 5 m/s. Ο δίσκος ολισθαίνει και διατρέχει 8 m προτού σταματήσει. Ποιος είναι ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού δίσκου και τού πατώ­ ματος; 52. 'Ενα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 50 mi/h πάνω σε έναν οριζόντιο αυτοκινητόδρομο, (a) Αν ο συντε­ λεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού δρόμου και τών τροχών κάποια βροχερή ημέρα είναι 0.1, ποια είναι η ελάχιστη απόσταση στην οποία το αυτοκίνητο μπορεί να σταματήσει; (b) Ποια είναι η απόσταση αυτή όταν ο δρόμος είναι στεγνός καί μ = 0.6; (c) Γιατί θα πρέπει να αποφύγετε να «πατήσετε» απότομα φρένο αν θέλετε να σταματήσετε στη μικρότερη απόσταση; |53. 'Ενα παιδί σέρνει το έλκηθρό του, βάρους 60 Ν, με σταθερή ταχύτητα προς τα επάνω σε έναν λόφο που έχει γωνία κλίσης 15°. Το παιδί τό κάνει αυτό τραβώντας με δύναμη 25 Ν ένα σχοινί που είναι δεμένο στο έλκηθρο. Αν το σχοινί σχηματίζει γωνία κλίσης 35° με το οριζόντιο επίπεδο, (a) ποιος είναι ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού ελκήθρου και τού χιονιού; (b) Στην κορυφή τού λόφου το παιδί πηδά πάνω στο έλκηθρο και γλιστρά προς τα κάτω. Ποια είναι η επιτάχυνση στην κίνησή του προς τα κάτω; |54. Ένα σώμα κινείται προς τα επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45° με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση μιας δύναμης 15 Ν που ασκείται παράλληλα προς το κεκλιμένο επίπεδο. Αν ο συντελε­ στής τριβής ολισθήσεως είναι 0.3, προσδιορίστε (a)

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

|55.

|56.

|57.

|58.

59.

[60.

το βάρος του σώματος και (b) την ελάχιστη δύναμη που χρειάζεται για να κινείται το σώμα προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα. Δύο σώματα συνδέονται με ένα ελαφρό σχοινί και σύρονται με οριζόντια δύναμη F (6λ. Σχήμα 5.29). Υποθέστε ότι F = 50 Ν, mx = 10 kg, m2 = 20 kg και ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ καθενός σώ­ ματος και επιφάνειας είναι 0.1. (a) Σχεδιάστε το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για καθένα σώμα, (b) Προσδιορίστε την τάση, Τ, και την επιτά­ χυνση τού συστήματος. 'Ενας δίσκος τού χόκεϋ πάνω σε μία παγωμένη λίμνη δέχεται ένα χτύπημα και αρχίζει να κινείται με ταχύτητα 12.0 m/s. Τη χρονική στιγμή t = 5.0 s, η ταχύτητα τού δίσκου είναι 6.0 m/s. (a) Ποια είναι η μέση επιτάχυνση τού δίσκου; (b) Ποια είναι η μέση τιμή τού συντελεστή τριβής μεταξύ τού δίσκου και τού πάγου; (c) Ποια απόσταση διέτρεξε ο δίσκος κατά τη διάρκεια τών 5 s; Ενα σώμα μάζας 3 kg ξεκινάει, ενώ ήταν ακίνητο, από την κορυφή ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης 30° και ολισθαίνει προς τα κάτω. Το σώμα διανύει απόσταση 2 m σε χρόνο 1.5 s. Βρείτε (a) την επιτάχυνση τού σώματος, (b) τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως ανάμεσα στο σώμα και στο κεκλιμένο επίπεδο, (c) τη δύναμη τριβής που ασκείται στο σώμα και (d) την ταχύτητα τού σώματος αφού ολισθήσει 2 m. Σώμα ολισθαίνει πάνω σε ένα τραχύ κεκλιμένο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως ανάμεσα στο σώμα και το επίπεδο είναι μk. (a) Αν το σώμα επιταχύνεται προς τα κάτω, δείξτε ότι η επιτάχυνση τού σώματος είναι a = g (sin θ cos θ). (b) Αν το σώμα εκτοξεύεται προς τα πάνω, δείξτε ότι η επιτά­ χυνση είναι a = - g (sin θ + μ± cos θ). Προκειμένου να προσδιορίσει τους συντελεστές τρι­ βής μεταξύ ελαστικού και διαφόρων επιφανειών, ένας σπουδαστής χρησιμοποίησε μια γομολάστιχα και ένα κεκλιμένο επίπεδο. Στη διάρκεια ενός πειρά­ ματος η γομολάστιχα ολισθαίνει προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο όταν η γωνία κλίσης είναι 36° και μετά κινείται με σταθερή ταχύτητα όταν η γωνία μειωθεί στις 30°. Από τα δεδομένα αυτά, προσδιορί­ στε τους συντελεστές τής στατικής τριβής και τής τριβής ολισθήσεως. 'Ενα κιβώτιο βάρους W ωθείται με μια δύναμη F πάνω σε έναν οριζόντιο τραχύ δρόμο. Αν ο συντελε­ στής στατικής τριβής είναι μ%και η F κατευθύνεται κατά γωνία φ κάτω από το οριζόντιο επίπεδο (a) δείξτε ότι η ελάχιστη τιμή τής F που θα κινήσει το κιβώτιο είναι p

FsW sec φ 1 - μ5 tan φ

(b) Βρείτε την ελάχιστη τιμή τής Γ η οποία μπορεί να προκαλέσει κίνηση όταν μ&= 0.4, W = 100 Ν, και φ = 0°, 15°, 30°, 45°, και 60°. |61. Δύο μάζες συνδέονται με ένα ελαφρό νήμα, που διέρχεται από ακίνητη τροχαλία χωρίς τριβές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.13. Το κεκλιμένο επίπεδο είναι τραχύ. Όταν mx = 3 kg, m2 = 10 kg και θ = 60°, η μάζα τών 10 kg κινείται στο κεκλιμένο επίπεδο προς τα κάτω με επιτάχυνση 2 m/s2. Βρείτε (a) την τάση τού νήματος και (b) τον συντελεστή τριβής ολισθή-

σεως μεταξύ τής μάζας 10 kg και τού κεκλιμένου επιπέδου. 62. Ενα κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο στο πίσω μέρος ενός φορτηγού. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τού κιβωτίου και τού δαπέδου είναι 0.3. (a) Όταν το φορτηγό επιταχύνεται, ποια δύναμη επιταχύνει το κιβώτιο; (b) Βρείτε τη μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να έχει το φορτηγό προτού ολισθήσει το κιβώτιο. |63. 'Ενα σώμα γλιστρά προς τα κάτω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 30° με σταθερή επιτάχυνση. Το σώμα ξεκινάει, ενώ βρισκόταν ακίνητο στην κορυφή τού κεκλιμένου επιπέδου, και διανύει 18 m μέχρι τη βάση του, όπου η ταχύτητά τού σώματος είναι 3 m/s. Βρείτε (a) τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος και τού κεκλιμένου επιπέδου και (b) την επιτάχυνση τού σώματος. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ |64. Δύο μάζες πάνω σε μια τραχιά οριζόντια επιφάνεια συνδέονται με μια άκαμπτη ράβδο και η mx βρίσκεται αριστερά τής m2. Μια οριζόντια δύναμη F ασκείται στη μάζα m1 προς τη m2 και προκαλεί στο σύστημα επιτάχυνση προς τα δεξιά. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τών μαζών και τής επιφάνειας είναι μ (a) Σχεδιάστε διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για κάθε μάζα. Ονομάστε όλες τις δυνάμεις στα διαγράμματά σας. (b) Γράψτε σε συμβολική μορφή τον δεύτερο νόμο τού Newton στην οριζόντια και κατακόρυφη κατεύθυνση για κάθε μάζα, (c) Βρείτε τη δύναμη επαφής μεταξύ τής ράβδου και κάθε μάζας σε συνάρτηση με τα m1; m2, και F. (d) Βρείτε την επιτάχυνση τού συστήματος σε συνάρτηση με τις δοσμένες παραμέτρους και με το g.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|65. Μια μάζα Μ κρατιέται στη θέση της με μια δύναμη FA και ένα σύστημα τροχαλιών, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.33. Οι τροχαλίες δεν έχουν μάζες και οι τριβές είναι αμελητέες. Βρείτε (a) την τάση κάθε τμήματος τού σχοινιού, Tt, Τ2, Τ3, Τ4 και Τ5 και (b) την ασκούμενη δύναμη FA. '66. Ο άνθρωπος τού Σχήματος 5.34 θυμάται από τη Φυσική τού λυκείου ότι οι τροχαλίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν να σηκώνουμε βαριά σώματα. Σχεδίασε λοιπόν ένα σύστημα τροχα­ λιών, όπως φαίνεται στο σχήμα, για να ανεβάσει ένα χρηματοκιβώτιο σε ένα γραφείο τού δεύτερου ορό­ φου.Το χρηματοκιβώτιο ζυγίζει 400 lb και ο άνθρω­ πος μπορεί να τραβήξει με δύναμη 240 lb. (a) Μπορεί ο άνθρωπος να ανεβάσει το χρηματοκιβώτιο; (b) Ποιο είναι το μέγιστο βάρος που μπορεί να σηκώσει χρησιμοποιώντας το σύστημα τών τροχαλιών;

119

ξεπεράσει την παρυφή τού τραπεζιού; Εάν όχι, πόσο μέσα θα πέσει; |69. Τρία σώματα βρίσκονται σε επαφή μεταξύ τους πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.36. Μια οριζόντια δύναμη F ασκείται στο mχ. Αν ση = 2 kg, m2 = 3 kg, m3 = 4 kg και F = 18 Ν, βρείτε (a) την επιτάχυνση τών σωμάτων, (b) τη σννισταμένη δύναμη σε κάθε σώμα και (c) το μέτρο τών δυνάμεων επαφής μεταξύ τών σωμάτων.

Σχήμα 5.35 (Πρόβλημα 68)

Σχήμα 5.36 (Πρόβλημα 69 και 70).

Σχήμα 5.34 (Πρόβλημα 66).

67. Το μεγαλύτερου διαμετρήματος αντιαεροπορικό πυ­ ροβόλο που χρησιμοποιήθηκε από την γερμανική αεροπορία κατά τη διάρκεια τού Β' Παγκόσμιου πολέμου ήταν το Flak 40 τών 12.8 cm. Αυτό το πυροβόλο έβαλλε βλήματα μάζας 25.8 kg το καθένα, που είχαν στο στόμιο τής κάνης ταχύτητα 880 m/s. Ποια προωθητική δύναμη ήταν απαραίτητη για να αποκτήσει το βλήμα αυτή την ταχύτητα μέσα στην κάννη που έχει μήκος 6.0 m; (Υποθέστε ότι η επιτάχυνση είναι σταθερή και μην λάβετε υπ’ όψιν την επίδραση τής βαρύτητας στο βλήμα). |68. Ένα σώμα μάζας 0.50 kg υφίσταται την επίδραση τής βαρυτικής δύναμης και μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης ίσης με 15 Ν. Το σώμα συγκροτείται στη θέση του, που απέχει 5 cm από την επιφάνεια ενός τραπεζιού και 20 cm από την παρυφή του, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.35. Εάν αφεθεί ελεύθερο, θα

|70. Επαναλάβετε το Πρόβλημα 69 αλλά με συντελεστή τριβής ολισθήσεως μεταξύ τών σωμάτων και τής επιφάνειας ίσο με 0.1. Χρησιμοποιείστε τα δεδομένα τού προβλήματος 69. |71. Τρία καρότσια αποσκευών με μάζες mu m2 και m3 ρυμουλκούνται από ένα αυτοκίνητο μάζας Μ κατά μήκος ενός διαδρόμου τού αεροδρομίου. Οι τροχοί τού αυτοκινήτου ασκούν μια συνολική δύναμη τριβής F στο έδαφος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.37. Στα ερωτήματα που ακολουθούν εκφράστε τις απαντή­ σεις σας σε συνάρτηση τών F, Μ, mu m2, m3 και g. (a) Ποιο είναι το μέτρο και η κατεύθυνση τής οριζόντιας δύναμης που ασκείται στο αυτοκίνητο από το έδα­ φος; (b) Ποια είναι η μικρότερη τιμή τού συντελεστή στατικής τριβής, μ8, που θα εμποδίσει τους τροχούς να ολισθήσουν; Υποθέστε ότι καθένας από τους δύο τροχούς κίνησης τού αυτοκινήτου υποβαστάζει το 1/3 τού βάρους τού αυτοκινήτου, (c) Ποια είναι η επιτάχυνση α τού συστήματος (αυτοκίνητο-καρότσια); (d) Ποιες είναι οι τάσεις 7\, Τ2 και Τ3 τών συρματόσχοινων σύνδεσης; (e) Ποια είναι η συνολι­ κή δύναμη στο καρότσι μάζας m2,

Σχήμα 5.37 (Πρόβλημα 71).

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ |72. Μια οριζόντια δύναμη F δρα σε μια τροχαλία χωρίς τριβές μάζας m2, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.38. Η οριζόντια επιφάνεια είναι λεία, (a) Αποδείξτε ότι η επιτάχυνση τού σώματος μάζας mx είναι διπλάσια από την επιτάχυνση τής τροχαλίας. Βρείτε (b) την επιτάχυνση τής τροχαλίας και τού σώματος και (c) την τάση τού σχοινιού. Στον άξονα τής τροχαλίας εφαρμόζεται μια σταθερή δύναμη στηρίξεως ίση με το βάρος της.

χωρίς να σκαρφαλώσει στο δέντρο. Το παιδί κάθεται σε ένα κάθισμα συνδεδεμένο με ένα σχοινί που περνά γύρω από μια τροχαλία χωρίς τριβή (βλ. Σχήμα 5.41). Το παιδί τραβά το ελεύθερο άκρο τού σχοινιού με τέτοια δύναμη ώστε το δυναμόμετρο δείχνει 250 Ν. Το πραγματικό βάρος τού παιδιού είναι 320 Ν και το κάθισμα ζυγίζει 160 Ν. (a) Σχεδιάστε διαγράμματα απελευθερωμένου σώματος για το παιδί και το κάθισμα, αν θεωρηθούν ως ξεχωριστά συστήματα, και ένα άλλο διάγραμμα τού παιδιού και τού καθί­ σματος αν θεωρηθούν ως ένα σύστημα, (b) Δείξτε ότι η επιτάχυνση τού συστήματος είναι προς τα επάνω και βρείτε το μέτρο της. (c) Υπολογίστε τη δύναμη που ασκεί το παιδί στο κάθισμα.

Σχήμα 5.38 (Πρόβλημα 72).

|73. 'Ενα σώμα μάζας 2 kg τοποθετείται πάνω σε ένα σώμα μάζας 5 kg, όπως δείχνει το Σχήμα 5.39. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος μάζας 5 kg και τής επιφάνειας είναι 0.2. Μια οριζόντια δύναμη F δρα στο σώμα μάζας 5 kg. (a) Σχεδιάστε το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για κάθε σώμα. Ποια δύναμη επιταχύνει το σώμα τών 2 kg; (b) Υπολογίστε τη δύναμη που χρειάζεται για να σύρει και τα δύο σώματα προς τα δεξιά με επιτάχυνση 3 m/s2. (c) Βρείτε τον ελάχιστο συντελε­ στή στατικής τριβής μεταξύ τών δύο σωμάτων έτσι ώστε το σώμα τών 2 kg να μη γλιστρά λόγω τής επιτάχυνσης τών 3 m/s2.

77777777^

^

777777777,

Σχήμα 5.39 (Πρόβλημα 73).

|74. 'Ενα σώμα μάζας 5 kg στηρίζεται πάνω σε ένα σώμα μάζας 10 kg (βλ. Σχήμα 5.40). Μια οριζόντια δύναμη ίση με 45 Ν εφαρμόζεται στο σώμα τών 10 kg, ενώ το σώμα τών 5 kg είναι δεμένο στον τοίχο. Ο συντελε­ στής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τών επιφανειών που κινούνται είναι 0.2. (a) Σχεδιάστε το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για κάθε σώμα και ανα­ γνωρίστε τις δυνάμεις δράσης-αντίδρασης μεταξύ τών σωμάτων, (b) Προσδιορίστε την τάση τού νήμα­ τος και την επιτάχυνση τού σώματος τών 10 kg.

Σχήμα 5.40 (Πρόβλημα 74).

|75. Ενα εφευρετικό παιδί θέλει να φτάσει ένα μήλο

76. Θεωρήστε ότι ένα σύστημα αποτελείται από ένα άλογο που σέρνει ένα έλκηθρο. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο τού Newton, η δύναμη που ασκεί το άλογο στο έλκηθρο είναι ίση κατά μέτρο και αντίθετη προς τη δύναμη που ασκεί το έλκηθρο στο άλογο. Κατά συνέπεια, κάποιος μπορεί να ισχυριστεί ότι το σύστημα δεν θα κινηθεί ποτέ. Εξηγήστε, χρησιμο­ ποιώντας πλήρη διαγράμματα δυνάμεων για το άλο­ γο και το έλκηθρο, ότι η κίνηση στο σύστημα είναι δυνατή, παρά τον τρίτο νόμο τού Newton. Βεβαιω­ θείτε ότι αναγνωρίσατε όλες τις δυνάμεις. |77. Δύο σώματα είναι αναρτημένα από την οροφή ενός ανελκυστήρα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.42. Ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα επάνω με επιτά­ χυνση 4 m/s2. Κάθε σχοινί έχει μάζα 1 kg. Βρείτε τις τάσεις τών σχοινιών στα σημεία A, Β, C και D.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

121

|78. Δύο μάζες m και Μ είναι δεμένες με νήματα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.43. Αν το σύστημα ισορροπεί, 2Μ δείξτε ότι tan 0 = 1 Η----- .

Σχήμα 5.45 (Πρόβλημα 80).

Σχήμα 5.43 (Πρόβλημα 78).

|79. 'Ενα σύρμα ABC συγκρατεί ένα σώμα βάρόυς W, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.44. Το σύρμα διέρχεται από μια ακίνητη τροχαλία στο Β και είναι σταθερά δεμένο σε κατακόρυφο τοίχο στο σημείο A. Το ΑΒ σχηματίζει γωνία 0 με την κατακόρυφο, ενώ η τροχαλία στο Β ασκεί μια δύναμη μέτρου F που σχηματίζει γωνία 0 με το οριζόντιο επίπεδο πάνω στο σύρμα, (a) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα ισορροπεί, 0 = (1/2)0. (b) Αποδείξτε ότι F = 2W sin (0/2). (c) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση τής F καθώς η 0 αυξάνεται από 0° έως 180°.

στις συντεταγμένες ( - 2 m, + 4 m). (a) Ποιες είναι οι συνιστώσες τής ταχύτητας τού σώματος σε χρόνο t = 10 s; (b) Σε ποια κατεύθυνση κινείται το σώμα όταν t — 10 s; (c) Ποια μετατόπιση έχει υποστεί το σώμα κατά τη διάρκεια τών πρώτων 10 s; (d) Ποιες είναι οι συντεταγμένες τού σώματος κατά τη χρονική στιγμή t = 10 s; |82. Μια μπάλλα τού μπόουλινγκ δεμένη σε ένα δυναμό­ μετρο κρέμεται από την οροφή τού ανελκυστήρα, όπως στο Σχήμα 5.15. (Η μπάλλα αντικαθιστά το ψάρι!). Το δυναμόμετρο δείχνει 16 lb όταν ο ανελκυ­ στήρας είναι ακίνητος, (a) Τί θα δείχνει το δυναμόμε­ τρο αν ο ανελκυστήρας ανεβαίνει προς τα επάνω με ρυθμό 8 ft/s2; (b) Τί θα δείχνει το δυναμόμετρο αν ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα κάτω με ρυθμό 8 ft/s2; (c) Αν το σχοινί που έχουν δεθεί έχει μέγιστη τάση 25 lb και δεν ληφθεί υπ’ όψιν το βάρος τού δυναμομέτρου, ποια είναι η μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να έχει ο ανελκυστήρας προτού σπάσει το σχοινί; (d) Αν το δυναμόμετρο ζυγίζει 5 lb, ποιο σχοινί θα σπάσει πρώτο; Γιατί; |83. Ποια οριζόντια δύναμη πρέπει να ασκήσουμε στο αμαξάκι που φαίνεται στο Σχήμα 5.46 έτσι ώστε τα σώματα να παραμένουν ακίνητα σε σχέση με το αμαξάκι; Υποθέστε ότι όλες οι επιφάνειες, οι τροχοί και η τροχαλία δεν υφίστανται τριβές. (Υπόδειξη: σημειώστε ότι η τάση τού νήματος επιταχύνει το mv )

Σχήμα 5.44 (Πρόβλημα 79).

[80. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.45, τέσσερεις μεταλλι­ κές πεταλούδες τής ίδιας μάζας m είναι αναρτημένες από ένα σύρμα μήκους L. Τα σημεία ανάρτησης έχουν ληφθεί έτσι ώστε να ισαπέχουν μεταξύ τους κατά απόσταση ί. Το σύρμα σχηματίζει γωνία θχ με την οροφή σε κάθε τελικό σημείο. Το μεσαίο κομμάτι τού σύρματος είναι οριζόντιο, (a) Βρείτε την τάση κάθε κομματιού τού σύρματος σε συνάρτηση με τα 0t, m και g. (b) Προσδιορίστε τη γωνία 02 σε συνάρτηση με τη 0!, που σχηματίζουν οι εξωτερικές και οι εσωτερικές πεταλούδες με το οριζόντιο επίπεδο, (c) Αποδείξτε ότι η απόσταση D μεταξύ τών τελευταίων σημείων τού σύρματος είναι L D = — (2 cos 0! + 2 cos [tan 1 (i tan 0t)] + 1) |81. Δύο δυνάμεις = ( - 6/ - 4/) N και F2 = ( - 3/ + 7j) N δρούν σε ένα σώμα μάζας 2 kg που αρχικά ηρεμεί

Σχήμα 5.46 (Προβλήματα 83 και 84).

[84. Αρχικά το σύστημα τών μαζών που φαίνονται στο Σχήμα 5.46 παραμένει ακίνητο. Όλες οι επιφάνειες, η τροχαλία και οι τροχοί δεν υφίστανται τριβές. Σε αυτήν την περίπτωση υποθέστε ότι η δύναμη F είναι μηδέν και το m2 μπορεί να κινηθεί μόνο κατακόρυφα. Τη στιγμή ακριβώς που έχει ελευθερωθεί το σύστημα τών μαζών βρείτε: (a) την τάση τού νήματος- (b) την επιτάχυνση τού m2- (c) την επιτάχυνση τού Μ· και (d) την επιτάχυνση τού πη. (Σημείωση: η τροχαλία επιταχύνεται μαζί με το αμαξάκι.) |85. Τα τρία σώματα τού Σχήματος 5.47 συνδέονται με

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ αβαρή νήματα που διέρχονται από τροχαλίες χωρίς τριβή. Η επιτάχυνση τού συστήματος είναι 2 m/s2 προς τα αριστερά και οι επιφάνειες είναι τραχιές. Βρείτε (a) τις τάσεις των νημάτων· και (b) τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως μεταξύ των σωμάτων και των επιφανειών. (Υποθέστε ότι το μ είναι ίδιο και για τα δύο σώματα.) Σχήμα 5.49 (Προβλήματα 87 και 88).

Σχήμα 5.47 (Πρόβλημα 85).

|86. Στο Σχήμα 5.48, ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τών σωμάτων με μάζες 2 kg και 3 kg είναι 0.3. Η οριζόντια επιφάνεια και οι τροχαλίες θεωρείται ότι δεν υφίστανται τριβές και τα σώματα αφήνονται ενώ προηγουμένως ήταν ακίνητα, (a) Σχεδιάστε διαγράμματα απελευθερωμένου σώματος για κάθε σώμα- (b) προσδιορίστε την επιτάχυνση κάθε σώμα­ τος· (c) βρείτε τις τάσεις τών νημάτων.

Σχήμα 5.48 (Πρόβλημα 86).

|87. Δύο σώματα, μαζών 2 kg και 7 kg, συνδέονται με ένα λεπτό νήμα που περνάει γύρω από μια τροχαλία χωρίς τριβή (6λ. Σχήμα 5.49). Τα κεκλιμένα επίπεδα είναι λεία. Βρείτε (a) την επιτάχυνση κάθε σώματοςκαι (b) την τάση τού νήματος. |88. Το σύστημα που περιγράφηκε στο Σχήμα 5.49 μετρή­ θηκε να έχει επιτάχυνση 1.5 m/s2 όταν τα κεκλιμένα επίπεδα είναι τραχιά. Υποθέστε ότι οι συντελεστές τριβής ολισθήσεως μεταξύ καθενός σώματος και τών κεκλιμένων επιπέδων είναι ίδιοι. Βρείτε (a) τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως- και (b) την τάση τού νήματος.

|89. Η σφήνα που φαίνεται στο Σχήμα 5.50 κινείται πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια με επιτάχυνση 2 m /s. Ενα σώμα μάζας 5 kg βρίσκεται πάνω στη σφήνα και είναι δεμένο με ένα ελαφρό νήμα στο σημείο Α. Τριβή μεταξύ τής σφήνας και τού σώματος δεν υπάρχει, (a) Ποια είναι η τάση τού νήματος; (b) Ποια κάθετη δύναμη ασκεί η σφήνα στο σώμα; (c) Συγκρίνετε τις απαντήσεις στα (a) και (b) με τις τιμές που βρίσκονται όταν η σφήνα ήταν ακίνητη.

Σχήμα 5.50 (Πρόβλημα 89).

[90. Πριν από το 1960 πίστευαν ότι ο μέγιστος δυνατός συντελεστής τριβής ελαστικών αυτοκινήτου ήταν μικρότερος τού 1. Το 1962 όμως τρεις διαφορετικές εταιρείες κατασκεύασαν ελαστικά με συντελεστή 1.6. Από τότε τα ελαστικά έχουν βελτιωθεί, όπως φαίνε­ ται στο παρακάτω πρόβλημα. Σύμφωνα με την έκδοση τού Guinness Book o f Records, o Don Garlits τον Οκτώβριο τού 1975 κάλυψε απόσταση 1 μιλίου σε 5.64 s. (a) Εάν υποτεθεί ότι η ροπή που προσέδωσαν οι πίσω τροχοί τού αυτοκινήτου τού Garlits σχεδόν σήκωσαν τους πρόσθιους τροχούς του από τον δρόμο, υπολογίστε τη χαμηλότερη τιμή τού μ, που μπορούσαν να έχουν οι τροχοί του. (b) Υποθέστε ότι ο Garlits μπορούσε να διπλασιάσει την ισχύ τής μηχανής του διατηρώντας ίδια όλα τα άλλα δεδομέ­ να. Πώς αυτό θα επηρέαζε το ρεκόρ του; |91. Ενας ταχυδακτυλουργός προσπαθεί να τραβήξει ένα τραπεζσμάντηλο που πάνω του έχει ένα ποτήρι μπίρας μάζας 200 g. Το ποτήρι απέχει 30 cm από την παρυφή τού τραπεζομάντηλου. Υπάρχει μικρή δύνα­ μη τριβής 0.1 Ν μεταξύ τού τραπεζομάντηλου και τού ποτηριού. Ο ταχυδακτυλουργός τραβάει το τραπεζομάντηλο με σταθερή επιτάχυνση 3.0 m/s2. Τί απόστα­ ση θα διανύσει το ποτήρι μέχρις ότου το τραπεζομάντηλο φύγει από κάτω; (Σημείωση: Το τραπεζομάντηλο κινείται περισσότερο από 30 cm προτού τραβη­ χτεί τελείως).

6 Κυκλική κίνηση και άλλες εφαρμογές τών νόμων τού Newton

το προηγούμενο κεφάλαιο εισαγάγαμε τους νόμους κίνησης τού Newton και τούς εφαρμόσαμε σε προβλήματα ευθύγραμμης κίνη­ σης. Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τους νόμους τού Newton στη δυναμική τής κυκλικής κίνησης. Θ α μελετήσουμε επίσης την κίνηση ενός σώματος όταν τό παρατηρούμε σε ένα επιταχυνόμενο ή μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Τέλος, θα μελετήσουμε την κίνηση ενός σώματος μέσα σε ένα ιξώδες υγρό. Ο επίλογος τού κεφαλαίου θα είναι μια σύντομη ανασκόπηση τών θεμελιωδών δυνάμεων στη φύση.

Σ 6.1

ΕΦΑΡΜ ΟΓΗ ΤΟΥ Δ ΕΥ ΤΕΡΟ Υ ΝΟΜ ΟΥ TOY NEWTON ΣΤΗΝ ΟΜ ΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Στο Υποκεφάλαιο 4.4 βρήκαμε ότι ένα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r με σταθερό μέτρο ταχύτητας ν υπόκειται σε επιτάχυνση που έχει μέτρο

Επειδή το διάνυσμα τής ταχύτητας, ν, μεταβάλλει διεύθυνση συνεχώς κατά τη διάρκεια τής κίνησης, το διάνυσμα τής επιτάχυνσης αΓ, κατευθύνεται πάντοτε προς το κέντρο τού κύκλου και γ ι’ αυτό ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση. Ε π ί πλέον, η επιτάχυνση αΓ είναι συνεχώς κάθετη στο διάνυσμα τής ταχύτητας, ν. Θεωρήστε μια σφαιρική μάζα τη, δεμένη με νήμα μήκους r την οποία περιστρέφουμε σε οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.1. Η σφαίρα εκτελεί κυκλική τροχιά και ας υποθέσουμε ότι το μέτρο τής ταχύτητάς της είναι σταθερό. Η αδράνεια τής μάζας τήν κάνει να τείνει να διατηρήσει ευθύγραμμη τροχιά, αλλά η τάση τού νήματος τήν εμποδίζει να ακολουθήσει ευθύγραμμη πορεία, γιατί περιορίζει την απόσταση τής σφαίρας από το κέντρο· έτσι ασκεί πάνω στη σφαίρα δύναμη που τήν υποχρεώνει να κάνει κυκλική τροχιά. Η δύναμη κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου, πάνω σε μια ευθεία που συμπίπτει με τη διεύθυνση τού νήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.1. Αποτελεί αντιπροσωπευτικό παράδειγμα μιας τάξης δυνάμεων τών οποίων το κινητικό αποτέλεσμα φέρει τη γενική ονομασία κεντρομόλος δύναμη. Εάν εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην ακτινική κατεύθυνση, βρίσκουμε ότι η αναγκαία κεντρομόλος δύναμη είναι F, *= τηατ = τ η —

(6.1)

Η κεντρομόλος δύναμη έχει την ίδια κατεύθυνση με την κατεύθυνση τής

Ομαλή κυκλική κίνηση

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON κεντρομόλου επιτάχυνσης, δηλαδή δρα προς το γεωμετρικό κέντρο τής κυκλικής τροχιάς τού σώματος· έτσι μεταβάλλει συνεχώς την κατεύθυνση τής ταχύτητας. Ο ι δυνάμεις που, καμιά φορά, παίζουν τον ρόλο τής κεντρομόλου είναι δυνάμεις σαν όλες τις άλλες που μελετήσαμε μέχρι τώρα. Απλώς η ονομασία κεντρομόλος δείχνει ότι η δύναμη κατενθύνεται προς το κέντρο τής κυκλικής τροχιάς. Στο παράδειγμα που μελετούμε, η τάση τού νήματος είναι η κεντρομόλος δύναμη. Στην περίπτωση ενός δορυφόρου που κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη, κεντρομόλος είναι η βαρυτική δύναμη. Στην περίπτωση ενός αυτοκινήτου που κινείται γύρω-γύρω σε μια επίπεδη πλατεία, κεντρομόλος είναι η δύναμη τής τριβής ανάμεσα στα λάστιχα και στην άσφαλτο κ.ο.κ. Ανεξάρτητα από το συγκεκριμένο παράδειγμα που μελετούμε, εάν μηδενιστεί για οποιονδήποτε λόγο η κεντρομόλος δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα τότε το σώμα θα σταματήσει να κινείται σε κυκλική τροχιά και θα κινηθεί στην κατεύθυνση τής εφαπτομένης τής παλαιάς κυκλικής τροχιάς του, από το σημείο στο οποίο μηδενίστηκε η κεντρομόλος δύναμη. Γραφική παράσταση τού παραδείγματος τών παραπάνω βλέπετε στο Σχήμα 6.2, όπου μια σφαίρα δεμένη με ένα νήμα περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά. Εάν ξαφνικά σπάσει το νήμα, η σφαίρα θα κινηθεί ευθύγραμμα (ισοταχώς) στη διεύθυνση τής εφαπτομένης στην κυκλική τροχιά από το σημείο στο οποίο έσπασε το νήμα. Στη γενική περίπτωση, ένα σώμα μπορεί να κινηθεί σε κυκλική τροχιά υπό την επίδραση διαφόρω ν δυνάμεων, όπω ς είναι η τριβή, η βαρυτική δύναμη, η ηλεκτροστατική δύναμη ή διάφοροι συνδυασμοί δυνάμεων. Α ς μελετήσουμε μερικά παραδείγματα ομαλής κυκλικής κίνησης. Στην κάθε περίπτωση πρέπει να προσπαθήσετε να αναγνωρίσετε την εξωτερική δύναμη (ή τις εξωτερικές δυνάμεις) που κάνουν το σώμα να κινηθεί σε τόξο κύκλου.

λ.χημιι ο .ι ivuuiaau που οιαγραφει κυκλική τροχιά. Η δύναμη Fr, που κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου, συγκρατεί την μπάλλα στην κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύτητας.

Σ χήμα 6.2 Ό τα ν σπάσει το νήμα, η μπάλλα κινείται κατά τη διεύθυνση τής εφαπτομένης στο σημείο κυκλι­ κής τροχιάς στο οποίο έσπασε το νήμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.1 Πόσο γρήγορα στριφογυρίζει;

Λύνουμε ως προς το υ και βρίσκουμε

Μια μπάλλα μάζας 0.5 kg είναι δεμένη στην άκρη ενός νήματος μήκους 1.5 m. Η μπάλλα στροφογυρίζει σε οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.2. Εάν η μέγιστη τάση που αντέχει το νήμα είναι 50 Ν, ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα την οποία μπορεί να έχει η μπάλλα προτού σπάσει το νήμα; Λύση Η κεντρομόλος δύναμη είναι αυτή καθ’ εαυτήν η τάση τού νήματος. Έτσι, από την Εξίσωση 6.1 έχουμε V2 T=m —

Η μέγιστη ταχύτητα την οποία μπορεί να έχει η μπάλλα αντιστοιχεί στη μέγιστη τάση στην οποία αντέχει το νήμα. Επομένως, 12.2 m/s

6.1 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΝΟΜΟΥ TOY NEWTON ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Άσκηση 1 Υπολογίστε την τάση τού νήματος εάν η ταχύτητα τής μπάλλας είναι 5 m/s. Απάντηση 8.33 Ν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.2 Το κωνικό εκκρεμές Ένα μικρό σώμα μάζας m κρέμεται από μια κλωστή μήκους L. Το σώμα περιστρέφεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.3. Η κλωστή διαγράφει την επιφάνεια ενός κώνου, γι’ αυτό ονομά­ ζουμε το σύστημα κωνικό εκκρεμές. Βρείτε την ταχύτη­ τα τού σώματος και την περίοδο περιστροφής Τρ. Λύση Στο Σχήμα 6.3 βλέπετε το διάγραμμα απελευθε­ ρωμένου σώματος, όπου αναλύσαμε την τάση J τού νήματος σε μία κατακόρυφη συνιστώσα Τ cos θ και μία

» Tp

/ (100 m)(cos 20°) 9~80 im/s2

125

1.95 s

Είναι δυνατόν να έχουμε κωνικό εκκρεμές με θ = 90°; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.3 Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα τού αυτοκινήτου; Ένα αυτοκίνητο μάζας 1 500 kg κινείται πάνω σε επίπεδο δρόμο και προσπαθεί να πάρει μια στροφή ακτίνας καμπυλότητας 35 m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.4. Εάν ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στα

Σχήμα 6.4 (Παράδειγμα 6.3) Η δύναμη τής στατικής τριβής κατευθύνεται προς το κέντρο καμπυλότητας τού κυκλικού τόξου. Έ τσ ι συγκρατεί το αυτοκίνητο στην κυκλική διαδρομή

Σχήμα 6.3 (Παράδειγμα 6.2) Το κωνικό εκκρεμές και το αντίστοιχο διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος.

οριζόντια Τ sin θ με κατεύθυνση το κέντρο τής κυκλικής τροχιάς τού σώματος. Επειδή δεν υπάρχει επιτάχυνση στην κατακόρυφη διεύθυνση, η κατακόρυφη συνιστώσα τής τάσης εξισορροπείται από το βάρος. Επομένως (1)

Τ cos θ = mg

Η οριζόντια συνιστώσα Τ sin θ τής τάσης μάς δίνει την κεντρομόλο δύναμη. Έτσι, εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton και έχουμε (2)

Τ sin θ

την2

Διαιρούμε την (2) με την (1), απαλείφουμε την Τ και βρίσκουμε ν2 tan θ = — rg Αλλά από τη γεωμετρία τού προβλήματος ξέρουμε ότι r = L sin θ. Επομένως ν = '/rg tan θ = 4Lg sin θ tan θ Η περίοδος περιστροφής Τρ (μην τή συγχέετε με την τάση Τ) είναι

Ας σημειωθεί ότι η Τρ δεν εξαρτάται από τη μάζα ml Εάν λάβουμε L = 1.00 m και θ = 20° και χρη­ σιμοποιήσουμε την (3), βρίσκουμε ότι

λάστιχα και στην άσφαλτο είναι 0.50, ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα με την οποία μπορεί το αυτοκίνητο να πάρει τη στροφή με ασφάλεια; Λύση Η δύναμη τής στατικής τριβής κρατά το αυτο­ κίνητο σε κυκλική τροχιά. Έτσι, από την Εξίσωση 6.1, έχουμε (1)

f.- m *

Η μέγιστη ταχύτητα την οποία μπορεί να έχει το αυτοκίνητο είναι εκείνη που, αν τήν ξεπεράσει λίγο, θα αρχίσει να ολισθαίνει προς τα έξω. Τη στιγμή αυτή η δύναμη τής τριβής έχει τη μέγιστη τιμή της μΝ Στην περίπτωσή μας η κάθετη δύναμη είναι ίση με το βάρος, δηλαδή / Smax=A"ig = (0.5)(1500 kg)(9.80 m/s2) = 7350 Ν Θέτουμε την τιμή αυτή στην (1) και βρίσκουμε ότι η μέγιστη ταχύτητα είναι I (7350 N)(35m) V 1500 kg

13.1 m/s

Άσκηση 2 Μια βροχερή ημέρα, το αυτοκίνητο τού παραδείγματός μας ολισθαίνει όταν η ταχύτητά του φθάσει τα 8 m/s. Βρείτε τον συντελεστή στατικής τριβής στην περίπτωση αυτή (βρεγμένη άσφαλτος). Απάντηση 0.187. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.4 Έξοδος αυτοκινητοδρόμου με κλίση Ένας μηχανικός θέλει να σχεδιάσει μια έξοδο αυτοκι­ νητοδρόμου. Προτίθεται να τής δώσει την κατάλληλη κλίση ώστε τα αυτοκίνητα να μην εξαρτώνται από την τριβή για να μην ολισθαίνουν όταν παίρνουν τη στροφή. Υποθέστε ότι σκοπεύει να σχεδιάσει την έξοδο με ακτίνα καμπυλότητας 50 m και θέλει να μπορούν τα

126

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

αυτοκίνητα να παίρνουν τη στροφή με ταχύτητα 30 mi/h (13.4 m/s). Υπολογίστε τη γωνία κλίσης τής εξόδου. Λύση Σε έναν επίπεδο δρόμο η τριβή, ανάμεσα στα λάστιχα και στην άσφαλτο, δίνει την αναγκαία κεντρο­ μόλο δύναμη. Όταν όμως ο δρόμος έχει γωνία κλίσης θ, όπως στο Σχήμα 6.5, η κάθετη δύναμη Ν έχει οριζόντια συνιστώσα Ν sin θ με κατεύθυνση το κέντρο τού τόξου τού κύκλου το οποίο διανύει το αυτοκίνητο. Υποθέτου­ με ότι μόνο η Ν sin θ συνεισφέρει στην κεντρομόλο δύναμη. Επομένως θα υπολογίσουμε την αναγκαία κλίση για την περίπτωση που δεν χρειαζόμαστε καθό­ λου τριβή. Δηλαδή, ένα αυτοκίνητο να μπορεί να κινείται με τη δεδομένη ταχύτητα των 13.4 m/s και να κάνει τη στροφή ακόμη και αν η άσφαλτος έχει καλυφθεί με πάγο! Γράφουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton και έχουμε (1)

Ν sin θ

mg

mg

Επειδή το αυτοκίνητο ισορροπεί στην κατακόρυφη διεύθυνση, έχουμε lLFy = 0, έτσι

Σχήμα 6.6 (Παράδειγμα 6.5) Έ να ς δορυφόρος μάζας m κινείται γύρω από τη Γη σε κυκλική τροχιά ακτίνας r και με σταθερό μέτρο ταχύτητας υ. Η βαρυτική έλξη δορυφόρου-Γης δίνει την κεντρομόλο δύναμη.

Λύση Η μόνη δύναμη που δρα πάνω στον δορυφόρο είναι το βάρος του και έχει κατεύθυνση προς το κέντρο τής Γης· έτσι

Ν cos θ = m g

Διαιρούμε την (1) δια τής (2) και έχουμε tan

όπου G = 6.672 X ΙΟ-11 Ν· n^/kg2. Αυτός είναι ο νόμος τής παγκόσμιας έλξης τού Newton. Θα τόν μελετήσουμε λεπτομερώς στο Κεφάλαιο 14. Θεωρήστε ότι ένας δορυφόρος μάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη με μέτρο ταχύτητας υ και ύψος Α πάνω από την επιφάνεια τής Γης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.6. (a). Προσδιορίστε την ταχύτη­ τα τού δορυφόρου συναρτήσει τών G, A, Rc (ακτίνα τής Γης) και Aie (μάζα τής Γης).

= —

Σ χήμα 6.5 (Παράδειγμα 6.4) Κάτοψη ενός αυτοκινήτου καθώς παίρνει την στροφή σε δρόμο που σχηματίζει γω νία θ με το οριζόντιο επίπεδο. Εάν αγνοήσουμε την τριβή, η οριζόντια συνιστώσα τής κάθετης δύναμης δίνει την κεντρομόλο δύναμη. Σημειώστε ότι η Ν είναι το άθροισμα τών δυνάμεων που δρουν πάνω στους τέσσερεις τροχούς τού αυτοκινήτου.

(2)

μέτρο της ανάμεσα σε δύο σώματα μάζας ni\ και m2, που έχουν απόσταση r μεταξύ τους, είναι

υ2 rg

!Από τον δεύτερο νόμο τού Newton και από το γεγονός ότι r = Rc + Α προκύπτει

θ = —

θ

= tan-

( 1 3 .4 m /s )2

1

(5 0 m )(9 .8 0 m /s2) J

20 . 1°

Εάν το αυτοκίνητο πάρει τη στροφή με ταχύτητα μικρότερη από 13.4 m/s, ο οδηγός εξαρτάται από την τριβή ώστε το αυτοκίνητο να μην γλιστρήσει πλάγια προς τα κάτω στον κεκλιμένο δρόμο τής εξόδου. Ένας οδηγός που προσπαθεί να πάρει τη στροφή με ταχύτητα μεγαλύτερη από 13.4 m/s επαφίεται στην τριβή για να μη ολισθήσει (πλάγια προς τα έξω) προς το πάνω μέρος τού κεκλιμένου δρόμου τής εξόδου. Άσκηση 3 Γράψτε τον δεύτερο νόμο τού Newton για την περίπτωση που υπάρχει δύναμη τριβής / με κατεύ­ θυνση προς τα κάτω μέρος τού κεκλιμένου δρόμου. Απάντηση Ν sin θ + f cos θ = mv2/r. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.5 Κίνηση δορυφόρου Στο παράδειγμα αυτό μελετούμε την κίνηση ενός δορυ­ φόρου που περιφέρεται γύρω από τη Γη σε κυκλική τροχιά. Για να λύσουμε το πρόβλημα πρέπει να έχουμε υπ’ όψιν ότι η βαρυτική δύναμη είναι ελκτική και το

ή

(b) Υπολογίστε την περίοδο τού δορυφόρου Τρ (δηλαδή τον χρόνο που χρειάζεται για να κάνει μία πλήρη περιστροφή γύρω από τη Γη). Λύση Ο δορυφόρος καλύπτει την περίμετρο τής κυκλι­ κής τροχιάς του, δηλαδή απόσταση 2nr σε χρόνο ίσο με την περίοδο Τρ, επομένως από την (6.3) έχουμε

V

* £ . , ■ 2nr = ( - * ? - ) r 3/2 υ Jg m j ? \ J g m J

(6.4)

Προσεγγιστικά, οι πλανήτες κινούνται γύρω από τον Ήλιο σε κυκλικές τροχιές. Εάν ξέρετε την περίοδο περιφοράς τους μπορείτε να υπολογίσετε τις ακτίνες τους χρησιμοποιώντας την (6.4), όπου θα αντικαταστή-

6.1 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΝΟΜΟΥ TOY NEWTON ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

σετε την Me με τη μάζα τού Ηλιου. Όπως θα αναφερ­ θούμε διεξοδικό στο Κεφάλαιο 14, το ότι το τετράγωνο τής περιόδου είναι ανάλογο προς τον κύβο τής ακτίνας διαπιστώθηκε πρώτα από τη μελέτη αστρονομικών παρατηρήσεων και εξήχθη εμπειρικά. Άσκηση 4 Ενας δορυφόρος βρίσκεται σε κυκλική τροχιά σε ύψος 1 000 km. Η ακτίνα τής Γης είναι 6.37 X ΙΟ6 m. Βρείτε την ταχύτητα τού δορυφόρου και την περίοδο τής τροχιάς του. Απάντηση 7.35 X ΙΟ3 m/s, 6.31 x ΙΟ3 s = 105 min. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.6 Ελάτε να κάνουμε ανακύκλωση Ένας πιλότος μάζας m κάνει με το αεριωθούμενό του ανακύκλωση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.7a. Το αεριω­ θούμενο εκτελεί κύκλο ακτίνας 2.70 km σε κατακόρυφο επίπεδο με σταθερό μέτρο ταχύτητας 225 m/s. Υπολογί­ στε τη δύναμη που ασκεί το κάθισμα στον πιλότο όταν το αεροπλάνο βρίσκεται (a) στο χαμηλότερο σημείο τού κύκλου- και (b) στο ψηλότερο σημείο. Διατυπώσετε την απάντησή σας συναρτήσει τού βάρους τού πιλότου, mg. Λύση Στο Σχήμα 6.7b φαίνεται το διάγραμμα απελευθε­ ρωμένου σώματος για την περίπτωση που ο πιλότος βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο. Οι μόνες δυνάμεις που δρουν πάνω στον πιλότο είναι το βάρος του mg και η δύναμη Ν ^ι προς τα επάνω, την οποία ασκεί το κάθισμά του. Από τον δεύτερο νόμο τού Newton ξέρουμε ότι η συνισταμένη τών δύο αυτών δυνάμεων ισούται με την κεντρομόλο δύναμη ν2 Nbot - m g = m —

ή Nbo, = m g +

■[‘♦ 3

Θέτουμε στη σχέση αυτή τις τιμές τού μέτρου ταχύτητας υ = 225 m/s και τής ακτίνας r = 2.70 X 103 m/s και βρίσκουμε Top

w

127

. ,__________ in /» ;-______________

bo*

[ =

(2.70 X 103 m/s)(9.80 m/s2) J

2.91mg

Επομένως η δύναμη που ασκεί το κάθισμα στον πιλότο είναι μεγαλύτερη από το βάρος του κατά έναν παράγο­ ντα τού 2.91. Έτσι ο πιλότος αισθάνεται ότι έχει «βαρύνει», ότι, δηλαδή, το «φαινόμενο βάρος» του είναι κατά 2.91 φορές μεγαλύτερο από το κανονικό βάρος του. Θα επανέλθουμε σχετικά στο Υποκεφάλαιο 6.4. (b) Στο Σχήμα 6.7c βλέπετε το διάγραμμα απελευ­ θερωμένου σώματος που περιγράφει τις δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στον πιλότο όταν αυτός βρίσκεται στο επάνω μέρος τού κύκλου. Στο σημείο αυτό το βάρος του και η δύναμη τού καθίσματός του Νιορ έχουν κατεύθυνση προς τα κάτω. Έτσι, εάν εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton, θα δούμε ότι η συνισταμένη τών δύο παραπάνω δυνάμεων ισούται με την κεντρομό­ λο δύναμη, δηλαδή Ntop + mg = m —

Ntop = m ^ - m g = m g [ ^ - l ] at _ _Γ (225 m/s)2 top m g |^(2 7 q χ 103 m /s )(9 8 0 m /s2) - 1 J

=

0.91 mg

Στην περίπτωση αυτή, η δύναμη την οποία ασκεί το κάθισμα πάνω στον πιλότο είναι μικρότερη από το κανονικό του βάρος κατά έναν παράγοντα 0.91. Έτσι ο πιλότος αισθάνεται ελαφρότερος όταν βρίσκεται στο επάνω μέρος του κύκλου. Άσκηση 5 Υπολογίστε τη δύναμη που ασκεί το κάθισμα στον πιλότο όταν βρίσκεται στο σημείο Α , όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.7a. Απάντηση ΝΑ = 1.91 mg με κατεύθυνση προς τα δεξιά.

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON 6.2

Μ Η ΟΜ ΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Στο Κεφάλαιο 4 βρήκαμε ότι, όταν ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με μεταβαλλόμενο μέτρο ταχύτητας, εκτός από την κεντρομόλο συνιστώσα τής επιτάχυνσης υπάρχει και η επιτρόχια ή εφαπτομενική συνιστώσα τής επιτάχυνσης με μέτρο dv/dt. Επομένως, η δύναμη που δρα πάνω στο σώμα πρέπει να έχει και αυτή μια εφαπτομενική (επιτρόχια) και μια ακτινική (κεντρομόλο) συνιστώσα. Δηλαδή, αφού η συνολική επιτάχυνση είναι a = ατ + at, η συνολική δύναμη είναι F = FT + Ft, όπως φαίνεται στο Σχήμα

Σ χήμα 6.8 'Ο ταν η δύναμη που δρα πάνω στο σώμα έχει εφαπτομενική συνιστώσα F„ τότε μεταβάλλεται το μέτρο τής ταχύτητας. Η ολική δύναμη πάνω στο σώμα είναι το διανυσματικό άθροισμα τής εφαπτομενικής και τής κεντρομόλου δύνα­ μης. Δηλαδή, F = F, + Fr.

6.8. Η συνιστώσα Fr κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου και σ’ αυτήν οφείλεται η κεντρομόλος επιτάχυνση. Η συνιστώσα Ft εφάπτεται στον κύκλο και είναι υπεύθυνη για την επιτρόχια ή εφαπτομενική επιτάχυνση η οποία αλλάζει το μέτρο τής ταχύτητας τού σώματος συναρτήσει τού χρόνου. Το ακόλουθο παράδειγμα περιγράφει αυτό το είδος κίνησης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.7 Παρακολουθήστε την μπάλλα που περιστρέφεται Μια μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m είναι δεμένη με ένα νήμα, μήκους R, και περιστρέφεται κυκλικά σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από το σταθερό σημείο Ο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.9a. Προσδιορίστε την τάση τού νήματος κάθε στιγμή που η ταχύτητα τής σφαίρας είναι ν και το νήμα σχηματίζει γωνία 0 με την κατακόρυφο. Λύση Παρατηρούμε πρώτα από όλα ότι το μέτρο τής ταχύτητας τής σφαίρας δεν είναι σταθερό αλλά μετα­ βάλλεται, διότι λόγω τού βάρους τής σφαίρας υπάρχει εφαπτομενική συνιστώσα τής επιτάχυνσης. Στο Σχήμα 6.9b απεικονίζεται το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος. Βλέπουμε ότι οι μόνες δυνάμεις που δρουν πάνω στη σφαίρα είναι το βάρος της, mg, και η τάση Τ τού νήματος. Αναλύουμε το βάρος σε μία ακτινική συνιστώσα mg cos 0 και μία εφαπτομενική συνιστώσα mg sin 0. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην εφαπτομενική διεύθυνση και έχουμε

(2)

Τ = m ( ^ + gcosd?)

Οριακές περιπτώσεις Στο υψηλότερο μέρος τής τρο­ χιάς, όπου 0 - 180°, βλέπουμε ότι, αφού cos 180° = - 1, η (2) δίνει

T‘op= w( l f - g ) Αυτή είναι η ελάχιστη τιμή τής τάσης τού νήματος. Ας σημειωθεί ότι στο σημείο αυτό β, = 0 και επομένως η επιτάχυνση είναι μόνο ακτινική, κατευθυνόμενη προς τα κάτω, προς το κέντρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.9b. Στο χαμηλότερο σημείο τής τροχιάς, όπου 0 = 0, αντικαθιστούμε cos 0 = 1 στη (2) και έχουμε

^ F t = mg sin 0 = mat (1) at = g sin 0 Η συνιστώσα αυτή μεταβάλλει το μέτρο τής ταχύτητας συναρτήσει τού χρόνου, διότι a, = dv/dt. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην ακτινική διεύθυνση και παρατηρούμε ότι η Τ και η αχ κατευθύνονται προς το Ο· συνεπώς, έχουμε Σ Ργ = Τ - mg cos 0 =

Αυτή είναι η μέγιστη τιμή τής τάσης τού νήματος, στο σημείο αυτό α, = 0, η επιτάχυνση είναι ακτινική κατευθυνόμενη προς τα πάνω, προς το κέντρο. 'Ασκηση 6 Σε ποιο σημείο τής τροχιάς είναι πιθανότερο να σπάσει το νήμα εάν αυξηθεί η μέση ταχύτητα; Απάντηση Στο κάτω σημείο, όπου η Τ έχει τη μέγιστη τιμή της.

6.3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

129

\

/ '

(a)

(b)

Σχήμα 6.9

(Παράδειγμα 6.7) (a) Ο ι δυνάμεις που δρουν πάνω σε σώμα μάζας m το οποίο είναι δεμένο με νήμα μήκους R και περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά γύρω από το σημείο Ο, σε κατακόρυφο επίπεδο, (b) Ο ι δυνάμεις που δρουν πάνω στο σώμα όταν αυτό βρίσκεται στο επάνω και στο κάτω μέρος τής κυκλικής τροχιάς του. Ση­ μειώστε ότι η τάση έχει την ελάχιστη τιμή της στο ανώτερο σημείο τής τρο­ χ ιά ς κα ι τη μέγιστη στο χαμηλότερο.

*6.3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜ ΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜ ΑΤΑ Α Ν Α Φ Ο ΡΑ Σ Ό τα ν εξετάσαμε τους νόμους τού Newton στο Κεφάλαιο 5, τονίσαμε ότι οι νόμοι αυτοί ισχύουν για μετρήσεις που γίνονται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στο μέρος τούτο θα αναλύσουμε πώ ς θα εφαρμόσει τους νόμους τού Newton ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς (δηλαδή σε ένα σύστημα αναφοράς που επιταχύνεται). Εάν ένα σώμα επιταχύνεται με επιτάχυνση α, ως προς έναν αδρανειακό παρατηρητή, τότε οπωσδήποτε ο αδρανειακός παρατηρητής μπορεί να χρησιμοποιήσει τους νόμους τού Newton και να εφαρμόσει την Σ Ε = ma. Για να μπορέσει ένας μη αδρανειακός παρατηρητής να εφαρμόσει τον δεύτερο νόμο τού Newton για την κίνηση τού σώματος, πρέπει να εισαγάγει πλασματικές (υποθετικές) δυνάμεις για να καταλήξει σε σωστά αποτελέσματα από την εφαρμογή τού δεύτερου νόμου τού Newton στο σύστημα αυτό. Καμιά φορά, αυτές οι πλασματικές δυνάμεις λέγονται δυνάμεις αδράνειας. Θέλουμε έτσι να δώσουμε έμφαση στο ότι οι δυνάμεις αυτές είναι πλασματικές. Ο μη αδρανειακός παρατηρητής υποθέτει την ύπαρξή τους για να εξηγήσει πραγματικά φαινόμενα, καθώς χρησιμοποιεί νόμους που ισχύουν μόνο σε αδρανειακά συστήματα. Έ τσ ι οι υποθετικές, πλασματικές αυτές δυνάμεις φαίνονται ότι είναι πραγματικές όταν τίς μελετούμε σε επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς. Δεν υπάρχει όμως κανένας λόγος εισαγωγής τών πλασματικών αυτών δυνάμεων όταν μελετούμε κίνηση με ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Οι υποθετικές αυτές δυνάμεις είναι χρήσιμες μόνο σε μη αδρανειακά συστήματα και δεν περιγράφουν «πραγματικές» δυνάμεις που δρουν πάνω στο σώμα τού οποίου την κίνηση μελετούμε. Ό τα ν λέμε «πραγματικές» δυνάμεις εννοούμε τις 4 ^δυνάμεις που είναι αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης τού σώματος με το περιβάλλον του. Εάν οριστούν σωστά οι πλασματικές αυτές δυνάμεις στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, τότε η περιγραφή τής κίνησης στο μη αδρανειακό σύστημα είναι ισοδύναμη μ ε την περιγραφή τής ίδιας κίνησης σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς, όπου μόνο πραγματικές δυνάμεις λαμβάνονται υ π ’ όψιν. Συνήθως μελετούμε κινήσεις χρησιμοποιώντας αδρανειακά συστήματα, υπάρχουν όμως μερικές σπάνιες περιπτώσεις κατά τις οποίες είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε συστήμα­ τα αναφοράς τα οποία επιταχύνονται.

Πλασματικές ή αδρανειακές δυνάμεις

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

Σ χήμα 6.10 Έ ν α αυτοκίνητο πλη­ σιάζει στην έξοδο τού αυτοκινητο­ δρόμου.

Για να καταλάβουμε καλύτερα την κίνηση ενός συστήματος αναφοράς που περιστρέφεται ας θεωρήσουμε ότι ένα αυτοκίνητο τρέχει σε έναν αυτοκινητό­ δρομο από τον οποίο πρέπει να βγει ακολουθώντας τη λωρίδα εξόδου που κάνει στροφή, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 6.10. Καθώς το αυτοκίνητο κάνει στροφή προς τα αριστερά για να βγει από τον αυτοκινητόδρομο, ο συνεπιβάτης τού οδηγού θα γλιστρήσει προς το δεξιό μέρος τού καθίσματος και θα πέσει πάνω στην πόρτα. Η δύναμη που ασκεί η πόρτα επάνω του τόν συγκρατεί μέσα στο αυτοκίνητο. Ποια είναι η αιτία που κάνει τόν επιβάτη να γλιστρήσει προς την πόρτα; Μ ια πολύ διαδεδομένη αλλά όχι αρμόζονσα εξήγηση είναι ότι μια μυστηριώδης δύναμη τόν σπρώχνει προς τα έξω. (Αυτή η δύναμη συχνά αποκαλείται «φυγόκεντρος» δύναμη, αλλά εμείς δεν θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο αυτό, διότι πολύ συχνά συγχέει τα πράγματα αντί να τά εξηγεί). Ο επιβάτης επινοεί την πλασματική αυτή δύναμη για να εξηγήσει τί συμβαίνει στο σύστημα αναφοράς του, το οποίο επιταχύνεται. Η ορθή εξήγηση τού φαινομένου αυτού είναι η ακόλουθη: Προτού στρίψει το αυτοκίνητο για να αρχίσει να ακολουθεί τη στροφή εξόδου, ο επιβάτης κινείται ευθύγραμμα. Καθώς το αυτοκίνητο αρχίζει να στρίβει, ο επιβάτης, λόγω τής αδράνειας, τείνει να εξακολουθήσει να κινείται πάνω στην αρχική ευθύγραμμη τροχιά. Αυτό είναι συνέπεια τού πρώτου νόμου τού Newton, σύμφωνα με τον οποίο φυσική τάση ενός σώματος είναι να εξακολουθήσει να κινείται ευθύγραμμα. Πάντως, εάν μια αρκετά μεγάλη κεντρομόλος δύναμη (η οποία όπω ς θα θυμάστε κατευθύνεται προς το κέντρο καμπυλότητας) δράσει πάνω στον επιβάτη, αυτός θα εξακολουθήσει να κινείται σε καμπύλη τροχιά μαζί με το αυτοκίνητο. Η κεντρομόλος αυτή δύναμη δεν είναι τίποτε άλλο παρά η τριβή ανάμεσα στον επιβάτη και το κάθισμά του. Εάν η δύναμη τής τριβής δεν είναι επαρκής, ο επιβάτης θα γλιστρήσει από το κάθισμα καθώς από κάτω του το αυτοκίνητο στρίβει. Τελικά, ο επιβάτης θα πέσει πάνω στην πόρτα, η οποία δημιουργεί αρκετή τριβή (αντίσταση) ώστε ο επιβάτης να ακολουθεί πια την ίδια καμπύλη τροχιά με το αυτοκίνητο. Η αιτία που ο επιβάτης γλιστρά προς την πόρτα δεν είναι καμιά μυστηριώδης δύναμη που δρα προς τα έξω· απλώς, η κεντρομόλος πον ασκείται επάνω του δεν είναι επαρκής ώστε να τόν κρατήσει στην καμπύλη τροχιά που ακολουθεί το αυτοκίνητο. Α ς ανακεφαλαιώσουμε: πρέπει να είστε πολύ προσεκτικοί και να διακρίνετε τις πραγματικές δυνάμεις από τις πλασματικές, όταν περιγράφετε κινήσεις σε επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς. Έ ν α ς παρατηρητής μέσα σε ένα αυτοκίνητο το οποίο κάνει στροφή βρίσκεται σε επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς και πρέπει να επινοήσει, να πλάσει, δηλαδή, μια υποθετική δύναμη που κατευθύνεται προς τα έξω για να εξηγήσει γιατί πέφτει πάνω στην πόρτα. Έ ν α ς ακίνητος παρατηρητής έξω από το αυτοκίνη­ το (προφανώς είναι αδρανειακός) λαμβάνει ύ π ’ όψιν μόνον τις πραγματικές δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στον επιβάτη τού αυτοκινήτου. Για τον αδρανειακό παρατηρητή δεν υπάρχει μυστηριώδης δύναμη με κατεύθυνση προς τα έξω. Η μόνη πραγματική εξωτερική δύναμη (εκτός από το βάρος τού επιβάτη) που υπάρχει είναι η κεντρομόλος δύναμη που κατευθύνεται προς το κέντρο καμπυλότητας και οφείλεται στην τριβή με το κάθισμα ή στην κάθετη δύναμη τής πόρτας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.8 Γραμμικό επιταχυνσίμετρο Μια μικρή σφαίρα μάζας m είναι αναρτημένη από την οροφή ενός επιταχυνόμενου σιδηροδρομικού βαγονιού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.11. Σύμφωνα με τον ακίνητο (στο έδαφος) αδρανειακό παρατηρητή (Σχήμα 6.11a), οι δυνάμεις που δρουν πάνω στη σφαίρα είναι η τάση Τ και το βάρος mg. Ο αδρανειακός παρατηρητής

συμπεραίνει ότι η επιτάχυνση τής σφαίρας είναι ίση με την επιτάχυνση τού βαγονιού και ότι η επιτάχυνση αυτή οφείλεται στην οριζόντια συνιστώσα τής Τ. Η κατακόρυφη συνιστώσα τής Τ εξισορροπείται από το βάρος. Επομένως ο αδρανειακός παρατηρητής γράφει τον δεύτερο νόμο τού Newton ως Τ + mg = ma, ή εάν γράψουμε τις συνιστώσες x, y

6.3 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ

131

Σχήμα 6.11 (Παράδειγμα

6.8) (a) Μ ια σφαίρα που κρέμεται α πό την οροφή τού βαγονιού, το οποίο επιταχύνεται προς τα δεξιά, εκτρέπεται όπω ς φαίνεται στο σχήμα. Ο ακίνητος αδρανειακός παρατηρητής που βρίσκεται στο έδαφος πιστεύει ότι η μπάλλα επιταχύνθηκε από τη δράση τής οριζόντιας συνιστώσας τής τάσης τού νήματος Τ. (b) Ο μη αδρανειακός παρατηρητής όμως, που βρίσκεται μέσα στο βαγόνι, πιστεύει ότι η ολική δύναμη που δρα πάνω στη σφαίρα είναι μηδενική. Έ τσ ι, για να εξηγήσει την εκτροπή τού νήματος από την κατακόρυφο, υποθέτει ότι πάνω στη σφαίρα δρα μια πλασματική δύναμη, η -m e , η οποία εξισορροπεί την οριζόντια συνιστώσα τής τάσης Τ.

Αδρανειακός παρατηρητής

[(1)

1(2)

Σ Fx = Τ

sin 0 =

ma

Σ Fy = Τ cos 0 —mg = 0

Εάν λύσει το σύστημα των (1) και (2) ο αδρανειακός παρατηρητής υπολογίζει την επιτάχυνση τού βαγονιού από τη σχέση a — g ta n 0

Βλέπετε, λοιπόν, ότι η απόκλιση τού νήματος από την κατακόρυφο μάς δίνει την επιτάχυνση τού βαγονιού. Αυτός είναι ο τρόπος για να χρησιμοποιήσετε έ ν α α π λ ό ε κ κ ρ εμ έ ς ω ς ε π ιτ α χ ν ν σ ίμ ε τ ρ ο .

Σύμφωνα με έναν μη αδρανειακό παρατηρητή που βρίσκεται μέσα στο βαγόνι, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.11b, η σφαίρα είναι ακίνητη και η επιτάχυνση είναι

μηδενική. Επομένως, ο μη αδρανειακός παρατηρητής επινοεί μια υ π ο θ ε τ ικ ή δ ύ ν α μ η , τη - π ια , για να εξισορ­ ροπήσει την οριζόντια συνιστώσα τής Τ , απαιτώντας έτσι να είναι μ η δ ε ν ικ ή η συνολική δύναμη που δρα πάνω στη σφαίρα! Επομένως, για το μη αδρανειακό σύστημα, ο δεύτερος νόμος τού Newton δίνει Μη αδρανειακός παρατηρητής

ΓΣ F*' = Τ sin 0 - ma = 0 J [ Σ V = Τ cos 0 - mg = 0

Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με τις (1) και (2), επομένως ο μη αδρανειακός παρατηρητής καταλήγει στο ίδιο μαθηματικό αποτέλεσμα με τον αδρανειακό παρατηρητή. Εκείνο όμως που δ ια φ έ ρ ε ι ανάμεσα στους δύο παρατηρητές είναι η φυσική ερμηνεία τής απόκλι­ σης τού νήματος από την κατακόρυφο. Να σημειωθεί Μη αδρανειακός παρατηρητής

Σχήμα 6.12 (Παράδειγμα

6.9). Έ ν α σώμα μάζας m συνδέεται με ένα νήμα με το κέντρο τού περιστρεφόμενου λείου τυμπάνου, (a) Ο αδρανειακός παρατηρητής που βρίσκεται στο έδαφος πιστεύει ότι η τάση τού νήματος Τ', δρώντας πάνω στο σώμα, τού δίνει την κεντρομόλο δύναμη, (b) Ο μη αδρανειακός παρατηρητής, που βρίσκεται πάνω στο περιστρεφόμενο τύ μπανο, πιστεύει ότι το σώμα δεν επιταχύνεται. Έ τσ ι αναγκάζεται να υποθέσει την ύπαρξη τής πλασματικής δύναμης πηΡΊτ, η οποία ονομάζεται φυγόκεντρος και η οποία εξισορροπεί την τάση τού νήματος.

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON ότι στο παράδειγμά μας το απλό εκκρεμές που χρησιμο­ ποιούμε δεν ταλαντώνεται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.9 Πλασματική δύναμη σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα Ένα άλλο παράδειγμα μη αδρανειακού παρατηρητή είναι ο παρατηρητής ο οποίος βρίσκεται πάνω σε ένα σύστημα που περιστρέφεται. Υποθέστε ότι ένα σώμα μάζας m κείται επάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι που περιστρέφεται χωρίς τριβές. Η μάζα συνδέεται μέσω ενός νήματος με το κέντρο τού τραπεζιού, όπως στο Σχήμα 6.12. Σύμφωνα με έναν αδρανειακό παρατηρητή, εάν το σώμα περιστρέφεται ομαλά, τότε υπόκειται σε κεντρομόλο επιτάχυνση v2lr, όπου υ είναι η εφαπτομενική του ταχύτητα. Q αδρανειακός παρατηρητής συ­ μπεραίνει λοιπόν ότι στη δύναμη τής τάσης, Τ, οφείλε­ ται η κεντρομόλος επιτάχυνση και γράφει τον δεύτερο νόμο τού Newton ως Τ = mv2lr.

Ένας μη αδρανειακός παρατηρητής, που βρίσκεται επάνω στο περιστρεφόμενο τραπέζι, νομίζει ότι το σώμα είναι ακίνητο. Επομένως όταν εφαρμόζει τον δεύτερο νόμο τού Newton, ο παρατηρητής αυτός επινοεί την ύπαρξη μιας υποθετικής δύναμης με κατεύθυνση προς τα έξω, που ονομάζεται φνγόκεντρος δύναμη και έχει μέτρο mv2lr. Σύμφωνα με τον μη αδρανειακό παρατηρητή, η «φυγόκεντρος» δύναμη εξισορροπεί την τάση· γι’ αυτό και ο παρατηρητής αυτός γράφει Τ - rmrlr = 0. Πρέπει να είσαστε πολύ προσεκτικοί όταν χρησιμο­ ποιείτε πλασματικές δυνάμεις, για να περιγράφετε φυσικά φαινόμενα. Μην ξεχνάτε ότι χρησιμοποιούμε πλασματικές δυνάμεις, όπως είναι η φυγόκεντρος, μόνο σε μη αδρανειακά, δηλαδή σε επιταχυνόμενα, συστήμα­ τα αναφοράς. Κατά την επίλυση προβλημάτων είναι γενικά πιο εύκολο να χρησιμοποιείτε αδρανειακά συ­ στήματα.

* 6.4 ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΕΚΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε τη δύναμη τριβής ολισθήσεως, δηλαδή τη δύναμη που αντιστέκεται στην κίνηση ενός αντικειμένου το οποίο κινείται πάνω σε μια σκληρή τραχιά επιφάνεια. Αυτές οι δυνάμεις είναι ανεξάρτητες σχεδόν από την ταχύτητα και τα πράγματα είναι απλά, διότι μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση ότι είναι σταθερές κατά μέτρο. Ας μελετήσουμε τώρα τί συμβαίνει όταν ένα σώμα κινείται σε ένα μέσον, όπως είναι ένα υγρό ή ένα αέριο. Στην περίπτωση αυτή το μέσο ασκεί μια δύναμη R , που αντιστέκεται στην κίνηση τού σώματος. Το μέτρο αυτής τής δύναμης εξαρτάται από την ταχύτητα τού σώματος, η δε κατεύθυνσή της είναι πάντοτε αντίθετη στην κατεύθυνση προς την οποία κινείται το σώμα σε σχέση με το μέσον. Το μέτρο αυτής τής δύναμης αντίστασης αυξάνεται, γενικά, όσο αυξάνεται η ταχύτητα. Μ ερικά παραδείγματα αυτών τών δυνάμεων αντίστα­ σης είναι η αντίσταση τού αέρα σε ένα αεροπλάνο που πετά ή σε ένα αυτοκίνητο που κινείται γρήγορα, καθώς και οι δυνάμεις ιξώδους που δρουν πάνω σε σώματα τα οποία κινούνται μέσα σε ένα υγρό. Στη γενική περίπτωση, οι δυνάμεις αντίστασης είναι πολύπλοκες συναρτή­ σεις τής ταχύτητας. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε δύο περιπτώσεις. Πρώτα θα υποθέσουμε ότι η δύναμη αντίστασης είναι ανάλογη προς την ταχύτητα. Τέτοια δύναμη ασκείται πάνω σε αντικείμενα που πέφτουν μέσα σε υγρά και σε πολύ μικρά σώματα, όπω ς είναι οι κόκκοι σκόνης κ.ά ., που κινούνται μέσα στον αέρα. Κατόπιν θα μελετήσουμε παραδείγματα στα οποία η δύναμη αντίστασης είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού μέτρου ταχύτητας τού αντικειμένου. Μεγάλα σώματα, όπως είναι οι αλεξιπτωτιστές όταν εκτελούν ελεύθερη πτώση (με κλειστό αλεξίπτωτο), υπόκεινται σε τέτοια δύναμη. Δύναμη αντίστασης ανάλογη προς την ταχύτητα Ό τ α ν ένα σώμα κινείται με χαμηλή ταχύτητα σε ένα μέσο με ιξώδες, υπόκειται σε μια δύναμη που τό εμποδίζει. Η δύναμη αυτή είναι ανάλογη προς την ταχύτητα τού σώματος. Α ς υποθέσουμε ότι η δύναμη τής αντίστασης R έχει τη μορφή R == —bv

(6.5)

όπου υ είναι η ταχύτητα τού σώματος και b είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις ιδιότητες τού μέσου, από το σχήμα και από τις διαστάσεις τού

6.4 ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΕΚΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

133

σώματος. Εάν το σώμα έχει σφαιρικό σχήμα ακτίνας r, τότε το b είναι ανάλογο προς το r. θεωρήστε μια σφαίρα μάζας m που είναι αρχικά ακίνητη και αφήνεται ελεύθερη μέσα σε ένα υγρό, όπως στο Σχήμα 6.13a. Ας περιγράφουμε την κίνησή της, υποθέτοντας ότι οι μόνες δυνάμεις που δρουν πάνω στη σφαίρα είναι το βάρος της(1), mg, και η δύναμη αντίστασης - b v . Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton για κατακόρυφη κίνηση, επιλέγουμε τη θετική κατεύθυνση προς τα κάτω και έχουμε = mg — b v επομένως

m

mg — bv

dv I t

όπου η επιτάχυνση κατευθύνεται προς τα κάτω. Απλοποιούμε και έχουμε

dv

b

( 6 .6 )

T r g~ m V

Η Εξίσωση 6.6 είναι μια διαφορική εξίσωση · δεν γνωρίζετε ακόμη τη μέθοδο επίλυσής της. Παρατηρείτε πάντως ότι στην αρχή, όταν ν = 0, η δύναμη τής αντίστασης είναι μηδενική και η επιτάχυνση dv/dt είναι απλώς g. Καθώς αυξάνεται ο χρόνος t, η δύναμη αντίστασης μεγαλώνει και η επιτάχυνση ελαττώνεται. Τελικά, η επιτάχυνση μηδενίζεται και η δύναμη αντίστασης ισονται με το βάρος. Τότε το σώμα φτάνει την οριακή του ταχύτητα, vt. Μπορείτε να βρείτε την οριακή ταχύτητα εάν θέσετε a = dv/dt = 0 στην Εξίσωση 6.6. 'Ετσι έχουμε

mg — bvt — 0

ή

vt = mg/b

Η ν που ικανοποιεί την Εξίσωση 6.6 με υ = 0 όταν 1 = 0 είναι

ν = ψ ( 1 - e-W") - ϋ((1 - e~*)

(6.7)

Στο Σχήμα 6.13b δίνεται η γραφική παράσταση αυτής τής συνάρτησης. Ο χρόνος τ = m/b λέγεται σταθερά χρόνου τού προβλήματος και είναι ο χρόνος που κάνει το σώμα για να φτάσει το 63% τής οριακής του ταχύτητας. Παραγωγίζουμε κατευθείαν την Εξίσωση 6.7 και έχουμε

dv _ d / mg Έ ~ 1 ί\Τ

mg d b dt

e -bt/m _ g e -bt/m

To υψηλό κόστος τών καυσίμων υποχρέωσε τους ιδιοκτήτες «νταλι­ κών» να τοποθετήσουν ανεμοαποκλιντήρες για να μειωθεί η αντίστα­ ση τού αέρα. (Φωτογραφία Henry Leap).

Θέτουμε την παραπάνω σχέση και την Εξίσωση 6.7 στην Εξίσωση 6.6 και βλέπουμε ότι η λύση μας ικανοποιεί την εξίσωση.

Σχήμα 6.13 (a) Έ ν α σφαιρίδιο πέ­ φτει δ ιά μέσου ενός ρευστού με ιξώδες, (b) Η γραφική παράσταση ταχύτητας-χρόνου για ένα αντικεί­ μενο που πέφτει διά μέσου ενός ρευστού με ιξώδες. Το αντικείμενο τελικά φτάνει τη μέγιστη ή οριακή ταχύτητά του, υ,. Ορίζουμε ότι ο χρόνος τ ισούται με τον χρόνο που περνάει ωσότου φτάσει το 0.63υ,. ® Υπάρχει επίσης και η δύναμη τής άνωσης, που είναι σταθερή και ίση με το βάρος τού εκτοπιζόμενου υγρού. Η δύναμη αυτή μεταβάλλει μόνο το βάρος τής σφαίρας κατά έναν σταθερό παράγοντα, θ α μελετήσουμε την

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.10 Σφαίρα που πέφτει μέσα σε λάδι Μια μικρή σφαίρα μάζας 2 g ελευθερώνεται μέσα σε ένα δοχείο που είναι γεμάτο με λάδι. Η σφαίρα αποκτά την τερματική (οριακή) της ταχύτητα των 5 cm/s. Προσδιο­ ρίστε τη σταθερά χρόνου τ και τον χρόνο που κάνει η σφαίρα ώσπου να φτάσει τα 90% τής οριακής τής ταχύτητας. Λύσΐ| Ξέρουμε ότι το μέτρο τής οριακής ταχύτητας είναι υ, = mglb, ο συντελεστής b είναι b = 1^1 = (2 g )(9 8 ° c m /? f) _ 3 9 2 g /s vt 5 c m /s

Επομένως η σταθερά χρόνου τ είναι ' b

392 g/s

5 X ΙΟ"3 s

Η ταχύτητα τής σφαίρας ως συνάρτηση τού χρόνου είναι γνωστή από την Εξίσωση 6.7, υ = υ, (1 - e~Ur).

Για να βρούμε τον χρόνο t που κάνει η σφαίρα ώσπου να φτάσει το 0.90 υ, θέτουμε ν = 0.90 υ, στην τελευταία σχέση και λύνουμε ως προ t: 0.90 vt = υ,(1 - e-»/*) 1 _ e-tlT = ο.90 e- ,/T= 0.10 - - = - 2 .3 0 τ t = 2.30 τ = 2.30(5.10 X 10~3 s) = 11.7 X 10~3 s =

11.7 ms

Ασκηση 7 Αγνοώντας την αντίσταση τού αέρα, υπολο­ γίστε το μέτρο τής ταχύτητας τής σφαίρας την στιγμή t = 11.7 ms. Συγκρίνατε το αποτέλεσμά σας με την πραγματική ταχύτητα τής σφαίρας την ίδια στιγμή. Απάντηση 11.5 cm/s, ενώ η πραγματική ταχύτητα είναι 4.50 m/s.

Αντίσταση τού αέρα Είδαμε ότι ένα σώμα που κινείται μέσα σε ένα υγρό υπόκειται σε μια δύναμη που τού αντιστέκεται σαν να το «τραβάει» προς τα πίσω. Εάν το σώμα είναι μικρό και κινείται με μικρή ταχύτητα, το «τράβηγμα» αυτό είναι ανάλογο προς την ταχύτητα, όπω ς έχει ήδη αναφερθεί προηγουμένως. Αλλά όταν η ταχύτητα είναι μεγάλη και τα αντικείμενα δεν είναι μικρά, όπω ς λ.χ. είναι τα αεροπλάνα, οι αλεξιπτωτιστές (sky-divers) και οι μπάλλες τού μπέιζμπωλ, η δύναμη αυτή που τά «τραβάει» προς τα πίσω είναι προσεγγιστικά ανάλογη προς το τετράγωνο τής ταχύτητας. Στην περίπτωση αυτή ξέρουμε ότι το μέτρο τής οπισθέλκουσας αυτής δύναμης είναι R = iC pA v2 Σχήμα 6.14 Ο ι αλεξιπτωτιστές skydivers ελέγχουν την οριακή ταχύτη-

» τους

σώμα

(6.8)

όπου ρ είναι η πυκνότητα τού αέρα, Α είναι η διατομή τού αντικειμένου μετρούμενη σε ένα επίπεδο κάθετο προς τη διεύθυνση τής κίνησης και C είναι μ ΐ α ποσότητα χω ρίς διαστάσεις που μετριέται εμπειρικά και λέγεται *™ ηάοεως. Ο συντελεστής αντιστάσεως είναι 0.5 για σφαιρικά αντικείμενα, αλλά μπορεί να είναι ακόμη και 2 για σώματα που δεν έχουν απλό σχήμα. Θεωρήστε ότι ένα αεροπλάνο πετά και υφίσταται την επίδραση μιας τέτοιας οπισθέλκουσας δύναμης. Η Εξίσωση 6.8 δείχνει ότι η δύναμη αυτή είναι ανάλογη προς την πυκνότητα τού αέρα, επομένως μειώνεται όταν ελαττώνεται η πυκνότητα τού αέρα. Επειδή λοιπόν η πυκνότητα τού αέρα ελαττώνεται όσο αυξάνεται το ύψος, η οπισθέλκουσα δύναμη σε ένα αεροπλάνο πρέπει να ελαττώνεται όσο μεγαλώνει το ύψος του. Ε π ί πλέον, εάν διπλασιαστεί η ταχύτητα τού αεροπλάνου, η οπισθέλκουσα αυξάνεται 4 φορές. Για να διατηρήσει λοιπόν το αεροπλάνο την αυξημένη ταχύτητά του πρέπει να αυξήσει την προωστική του δύναμη 4 φορές, δηλαδή πρέπει να αυξηθεί η ισχύς τών κινητήρων του (δύναμη επί ταχύτητα) 8 φορές. Α ς μελετήσουμε μια μάζα που εκτελεί ελεύθερη πτώση και υπόκειται σε δύναμη που κατευθύνεται προς τα επάνω και έχει μέτρο R = iC pA v2. Υποθέστε ότι μια μάζα m ελευθερώνεται, ενώ ήταν ακίνητη στη θέση y = 0, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 6.15. Η μάζα υπόκειται σε δύο εξωτερικές δυνάμεις: στο βάρος της, mg, με κατεύθυνση προς τα κάτω, και στην οπισθέλκουσα δύναμη, R, προς τα επάνω. Επομένως, το μέτρο τής συνισταμένης είναι

6.5 ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ

Fnet = mg — iC pA v2

135

(6.9)

Θέτουμε Fnct = ma στην Εξίσωση 6.9 και βρίσκουμε ότι η μάζα επιταχύνεται προς τα κάτω με μέτρο επιτάχυνσης ( 6 . 10 )

a= g~

Μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την οριακή ταχύτητα v t, λαμβάνοντας υπ’ όψιν το γεγονός ότι, όταν το βάρος εξισορροπείται από την οπισθέλκουσα δύναμη, η συνολική δύναμη είναι μηδενική και επομένως και η επιτάχυνση είναι μηδενική, θέτουμε a = 0 στην Εξίσωση 6.10 και έχουμε

( 6 . 11)

Οριακή ταχύτητα

Εάν χρησιμοποιήσουμε την έκφραση αυτή, μπορούμε να προσδιορίσουμε πώ ς η οριακή ταχύτητα εξαρτάται από τις διαστάσεις τού σώματος. Υποθέστε ότι και τη r3 (δεδομένου ότι η το σώμα είναι σφαίρα ακτίνας r, επομένως A μάζα είναι ανάλογη προς τον όγκο). Επομένως v t oc λ/ } . Δηλαδή, καθώς αυξάνεται η r, η οριακή ταχύτητα αυξάνεται κατά την τετραγωνική ρίζα τής ακτίνας. Ο Πίνακας 6.1 περιέχει τις οριακές ταχύτητες διαφόρων σωμάτων που πέφτουν στον αέρα.

ΠΙΝΑΚΑΣ 6.1 Οριακή ταχύτητα διαφόρων σωμάτων που πέφτουν στον αέρα Σώμα Αλεξιπτωτιστής Μπέιζμπωλ (ακτίνα 3.66 cm) Μπάλλα γκολφ (ακτίνα 2.1 cm) Χαλάζι (ακτίνα 0.5 cm) Σταγόνα βροχής (ακτίνα 0.5 cm)

Μάζα (kg) 75 0.145 0.046 4.8 X 10"4 3.4 X ΙΟ"5

Επιφάνεια (m2) 0.7 4.2 X ΙΟ"3 1.4 X ΙΟ"3 7.9 X 10"5 1.3 X ΙΟ"5

Vt(m/s)a 60 33 32 14 9

* Υποτίθεται ότι ο συντελεστής αντιστάσεως είναι 0.5 για όλες τις περιπτώσεις.

6.5

ΟΙ ΘΕΜ ΕΛ ΙΩ Δ ΕΙΣ ΔΥ ΝΑΜ ΕΙΣ ΤΉΣ ΦΥΣΗΣ

Στο προηγούμενο κεφάλαιο περιγράψαμε μια πληθώρα από δυνάμεις τών οποίων την εμπειρία έχουμε από την καθημερινή ζωή. Τέτοιες είναι η δύναμη τής βαρύτητας, που δρα πάνω σε όλα τα σώματα τα οποία βρίσκονται πάνω στη Γη ή γύρω από τη Γη, και οι δυνάμεις τριβής που συναντούμε όταν μια επιφάνεια ολισθαίνει πάνω σε μια άλλη. 'Αλλες δυνάμεις στις οποίες αναφερθήκαμε είναι η τάση ενός σχοινιού, η κάθετη δύναμη που δρά πάνω σε ένα σώμα το οποίο βρίσκεται σε επαφή με το δάπεδο ή με κάποιο άλλο σώμα, καθώς και η οπισθέλκουσα δύναμη που αναπτύσσεται όταν ένα σώμα κινείται μέσα στον αέρα ή σε κάποιο άλλο μέσο. Στις άλλες δυνάμεις τις οποίες θα μελετήσουμε συγκαταλέγονται η δύναμη επαναφοράς σε ένα τεταμένο ελατήριο, η ηλεκτροστατική δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτισμένα σώματα και η μαγνητική δύναμη ανάμεσα σε έναν μαγνήτη και ένα κομμάτι σίδηρο. Δυνάμεις όμως δρουν και στο ατομικό και στο υποατομικό επίπεδο. Λογουχάρη, η ηλεκτροστατική δύναμη κρατά δέσμια γύρω από τον πυρήνα τα ηλεκτρόνια· έτσι καθίσταται δυνατή η ύπαρξη τών ατόμων. Επίσης η ισχυρή πυρηνική δύναμη ανάμεσα στα συστατικά τού πυρήνα (δηλαδή ανάμεσα στα πρω τόνια και στα νετρόνια) τά συγκρατεί δέσμια μεταξύ τους και έτσι υπάρχουν πυρήνες. Παρομοίως, η ισχυρή πυρηνική δύναμη ανάμεσα στα κουάρκ (που αποτελούν τα πρωτόνια και τα νετρόνια) τά συγκρατεί

Σ χήμα 6.15 'Ε να σώμα που πέ­ φτει δ ιά μέσου τού αέρα υπόκειται στην δύναμη τής βαρύτητας m g και στην αντίσταση τού αέρα R. 'Ο ταν η συνισταμένη τους είναι μηδενική, R = m g και το σώμα φτάνει την οριακή του ταχύτητα. Ωσότου συμ­ βεί αυτό, η επιτάχυνσή του μετα­ βάλλεται ως προς την ταχύτητα σύμφωνα με την Εξίσωση 6.10.

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON δέσμια μεταξύ τους και έτσι υπάρχουν τα πρωτόνια, τα νετρόνια και τα άλλα αδρόνια. Μ έχρι πρόσφατα, οι φυσικοί νομίζαμε ότι στη φύση υπήρχαν τέσσερεις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις ή δυνάμεις: η βαρυτική δύναμη, η ηλεκτρομαγνητική δύναμη, η ισχυρή πυρηνική δύναμη και η ασθενής πυρηνική δύναμη. Η βαρυτική δύναμη είναι η αμοιβαία έλξη ανάμεσα σε όλες τις μάζες. Μελετήσαμε λίγο την βαρυτική δύναμη όταν αναφερθήκαμε στο βάρος τών σωμάτων. Μολονότι η βαρυτική δύναμη είναι πολύ σημαντική ανάμεσα σε μακροσκοπικά σώματα, είναι η πιο αδύνατη από τις τέσσερεις θεμελιώδεις δυνάμεις. Η προηγούμενη πρόταση βασίζεται στη σχετική ισχύ τών τεσσάρων δυνάμεων, όταν μελετούμε τις αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα στοιχειώδη σωματίδια. Λογουχάρη, στο άτομο τού υδρογόνου, η βαρυτική δύναμη ανάμεσα στο ηλεκτρόνιο και στο πρωτόνιό του είναι ΙΟ-47 Ν περίπου, ενώ η ηλεκτροστατική δύναμη ανάμεσά τους είναι ΙΟ-7 Ν. Βλέπουμε λοιπόν ότι η ισχύς τής βαρυτικής δύναμης είναι αμελητέα σε σύγκριση με την ηλεκτροστα­ τική. Θ α αναφερθούμε εκτενέστερα στη φύση τής βαρυτικής δύναμης στο Κεφάλαιο 14. Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη είναι ελκτική ή απωστική· εκδηλώνεται ανάμεσα σε φορτισμένα σώματα. Σε επόμενα κεφάλαια θα δούμε ότι η ηλεκτρική και η μαγνητική δύναμη είναι στενά συνδεδεμένες. Η μαγνητική δύναμη δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια πρόσθετη ηλεκτρική δύναμη, που δρα ανάμεσα σε ηλεκτρικά φορτία τα οποία κινούνται μεταξύ τους. Αν και η ηλεκτρική δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτισμένα στοιχειώδη σωματίδια είναι πολύ πιο ισχυρή από τη βαρυτική δύναμη ανάμεσά τους, η ισχύς τής ηλεκτρικής δύναμης είναι σχετικά μέτρια. Παραδείγματα ηλεκτρι­ κών δυνάμεων είναι η δύναμη με την οποία ένα κομμάτι ηλέκτρου (κεχριμπα­ ριού) έλκει μικρά κομμάτια χαρτί ή η δύναμη την οποία ασκεί ένας μαγνήτης πάνω σε ένα σιδερένιο καρφί. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι όλα σχεδόν τα φαινόμενα (με εξαίρεση τα βαρυτικά) που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας στον μακροσκοπικό κόσμο είναι αποτελέσματα τής ηλεκτρομαγνητικής δύναμης. Λογουχάρη, οι δυνάμεις τριβής, οι δυνάμεις συνάφειας, οι δυνάμεις επαφής, οι τάσεις διαφόρων σχοινιών και οι ελαστικές δυνάμεις τεταμένων ελατηρίων ή άλλων παραμορφωμένων σωμάτων είναι όλες αποτε­ λέσματα τών ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων ανάμεσα στα μόρια ή στα άτομα που συγκροτούν τα υπό μελέτην σώματα. Η ισχυρή πυρηνική δύναμη είναι η δύναμη στην οποία οφείλεται η σταθερότητα τών πυρήνων. Η δύναμη αυτή παίζει τον ρόλο τής «κόλλας» που συγκρατεί κολλημένα μεταξύ τους τα συστατικά τού πυρήνα, τα νουκλεόνια (δηλαδή τα πρωτόνια και τα νετρόνια), παρά την παρουσία τών απωστικών ηλεκτρικών δυνάμεων ανάμεσα στα πρωτόνια. Είναι η πιο ισχυρή από όλες τις θεμελιώδεις δυνάμεις. Σε αποστάσεις τής τάξης τών ΙΟ-15 m (που είναι η διάμετρος ενός τυπικού πυρήνα), η ισχυρή πυρηνική δύναμη είναι από 10 έως 100 φορές πιο ισχυρή από την ηλεκτρομαγνητική δύναμη. Αλλά η ισχυρή πυρηνική δύναμη ελαττώνεται ραγδαία σε μεγαλύτερες αποστάσεις και είναι αμελητέα σε αποστάσεις μεγαλύτερες από 10-14 m. Τέλος, η ασθενής πυρηνική δύναμη είναι δύναμη με πολύ μικρή ακτίνα δράσης. Η δύναμη αυτή έχει ως αποτέλεσμα τη διάσπαση μερικών πυρήνων. Ο ι περισσότερες από τις ραδιενεργές διασπάσεις πυρήνων οφείλονται στην ασθενή πυρηνική δύναμη. Η ασθενής πυρηνική δύναμη είναι 12 τάξεις μεγέθους ασθενέστερη από την ηλεκτρική δύναμη. Κατά τη δεκαετία τού 1970, οι φυσικοί προέβλεψαν ότι η ηλεκτρομαγνητι­ κή δύναμη και η ασθενής πυρηνική δύναμη είναι φανερώματα, εκφάνσεις,τής ίδιας δύναμης που ονομάζουμε ηλεκτροασθενή δύναμη. Η πρόβλεψη αυτή επιβεβαιώθηκε με πειράματα που έγιναν το 1984. 'Ετσι, στο σημερινό γνωστικό μας επίπεδο υπάρχουν τρεις θεμελιώδεις δυνάμεις στη φύση. Ο ι φυσικοί τών στοιχειωδών σωματιδίων και τής κοσμολογίας πιστεύουν ότι οι θεμελιώδεις δυνάμεις στη φύση είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με την αρχή τού σημερινού Σύμπαντος. Το τωρινό γνωστικό μας επίπεδο για τη

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

137

δημιουργία τού σημερινού Σύμπαντος από την «μεγάλη έκρηξη» (big bang) περιγράφει πώ ς ξεπήδησε το Σύμπαν μας από μία σημειακή ανωμαλία πριν από 15 με 20 δισεκατομμύρια χρόνια. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, τις πρώτες στιγμές (~ ΙΟ-10 s) μετά το big bang οι πυκνότητες ενέργειας ήταν τόσο μεγάλες ώστε όλες οι δυνάμεις ήταν ενοποιημένες. Ο ι φυσικοί σήμερα εξακολουθούν να εργάζονται με βάση τους οραματισμούς τού Einstein και προσπαθούν να ανακαλύψουν με ποιον τρόπο είναι δυνατόν να γίνουν κατανοητές οι τρεις σήμερα «φαινομενικά» (;) διαφορετικές θεμελιώδεις δυνάμεις ως διάφορες εκφάνσεις μιας και μόνης δύναμης.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο τού Newton, όταν αυτός εφαρμόζεται σε ένα σώμα που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, η συνισταμένη δύναμη στην ακτινική κατεύθυνση ισούται με το γινόμενο τής μάζας επί την κεντρομόλο επιτάχυνση F, “ πια, .*»

(6.1)

Η δύναμη που προξενεί την κεντρομόλο επιτάχυνση μπορεί να είναι η δύναμη τής β αρύτητας, όπω ς συμβαίνει στην περίπτωση τής κίνησης ενός δορυφόρου, ή η δύναμη τής τριβής ή η δύναμη τής τάσης ενός σχοινιού. Έ ν α σώμα που κινείται κυκλικά με μεταβαλλόμενο μέτρο ταχύτητας έχει κεντρομόλο (ακτινική) επιτάχυνση, καθώς και μη μηδενική εφαπτομενική συνιστώσα τής επιτάχυνσης. Στην περίπτωση ενός σώματος που περιστρέ­ φεται σε κατακόρυφο κύκλο, η δύναμη τής βαρύτητας προξενεί την εφαπτομενική επιτάχυνση και, εν μέρει ή στο σύνολό της, την κεντρομόλο επιτάχυνση. Έ νας παρατηρητής σε ένα μη αδρανειακό (δηλαδή σε επιταχυνόμενο) σύστημα αναφοράς πρέπει να επινοήσει την εισαγωγή πλασματικών δυνάμεων για να εφαρμόσει τον δεύτερο νόμο τού Newton σε αυτό το σύστημα. Ε άν οι πλασματικές αυτές δυνάμεις οριστούν σωστά, η περιγρα­ φή τής κίνησης στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ισοδύναμη, ως προς το κ ινη τικ ό α ποτέλεσμ α , με την περιγραφή που κάνει ο παρατηρητής ενός αδρανειακού συστήματος. Ο ι δύο παρατηρητές όμως θα διαφωνούν για το ποια δύναμη είναι το αίτιο τής κίνησης. Έ ν α σώμα που κινείται μέσα σε ένα υγρό ή αέριο υπόκειται σε μια δύναμη αντίστασης που εξαρτάται απ ό την ταχύτητα. Η δύναμη αυτή αντιστέκεται στην κίνηση και, γενικά, αυξάνεται συναρτήσει τής ταχύτη­ τας. Η δύναμη εξαρτάται από το σχήμα τού κινητού και από τις ιδιότητες τού μέσου στο οποίο κινείται το σώμα. Στην ακραία περίπτωση ενός πίπτοντος σώματος όταν η δύναμη αντίστασης ισούται με το βάρος (α = 0), το σώμα αποκτά την οριακή του ταχύτητα. Υπάρχουν μόνο τέσσερεις θεμελιώδεις δυνάμεις στη φύση: η βα ρυτικ ή

Ομαλή κυκλική κίνηση

Πλασματικές δυνάμεις

δύναμη, η η λεκ τρομ α γνη τικ ή δ ύνα μ η, η ισ χυρ ά π υ ρ η νικ ή δ ύνα μη κ α ι η ασθενής π υ ρ η νικ ή δύναμη.

ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ 1. Η Γη είναι μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς διότι περιστρέφεται περί τον άξονά της και γύρω από τον Ήλιο. Εάν υποθέσουμε ότι η Γη είναι ομογενής σφαίρα, να εξηγήσετε γιατί το φαινόμενο βάρος ενός σώματος είναι μεγαλύτερο στους πόλους από ό,τι στον ισημερινό.

2. Εξηγήστε γιατί η Γη δεν έχει σφαιρικό σχήμα αλλά είναι πιο διογκωμένη στον ισημερινό. 3. Πώς εξηγείτε τη δύναμη που σπρώχνει έναν επιβάτη προς τη μία πλευρά τού αυτοκινήτου όταν αυτό «στρίβει» προς την αντίθετη πλευρά; 4. θεωρήστε ότι ένα αεροπλάνο εκτελεί ανακύκλωση σε

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

5.

6. 7. 8.

9.

10.

11. 12.

κατακόρυφο επίπεδο. Πότε ο πιλότος αισθάνεται βαρύτερος; Ποια είναι η δύναμη που ασκεί το κάθισμα στον πιλότο; Ένας πίπτων αλεξιπτωτιστής (skydiver) έχει αποκτή­ σει την οριακή του ταχύτητα· τότε ανοίγει το αλεξί­ πτωτό του. Τί μεταβλήθηκε ώστε να μειωθεί η οριακή του ταχύτητα; Γιατί ένας αστροναύτης σε ένα διαστημόπλοιο αισθά­ νεται αβαρής; Γιατί μια ρόδα που γυρίζει πάνω σε λασπωμένο δρόμο πετάει λάσπες; Ένας κουβάς με νερό περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς το νερό να χύνεται. Γιατί μένει το νερό μέσα ακόμη και όταν ο κουβάς βρίσκεται ανάποδα πάνω από το κεφάλι σας; Δέσετε ένα βαρύ σώμα στο άκρο ενός ελατηρίου και κρατώντας το άλλο άκρο του περιστρέφετε το ελατή­ ριο σε οριζόντιο κύκλο. Τεντώνεται το ελατήριο; Εάν ναι, γιατί; Σχολιάστε την απάντησή σας χρησιμο­ ποιώντας την έννοια τής κεντρομόλου δύναμης. Έχει προταθεί να χρησιμοποιηθούν στο Διάστημα, για τη δημιουργία αποικιών, περιστρεφόμενοι κύλιν­ δροι μήκους 10 mi και διαμέτρου 5 mi. Η περιστροφή επιβάλλεται γιατί έτσι εξομοιώνεται η κατάσταση βαρύτητας για τους κατοίκους τής αποικίας. Εξηγή­ στε πώς μπορεί να γίνει αυτό. Εξηγήστε γιατί οι πιλότοι ζαλίζονται όταν το αεριω­ θούμενο αεροπλάνο τους αναδύεται από απότομη βουτιά. Δώστε ένα παράδειγμα στο οποίο ο οδηγός ενός

αυτοκινήτου μπορεί να έχει κεντρομόλο αλλά όχι εφαπτομενική επιτάχυνση. 13. Είναι δυνατόν ένα αυτοκίνητο να κινείται σε κυκλική τροχιά τέτοια ώστε να έχει εφαπτομενική επιτάχυνση χωρίς να έχει κεντρομόλο επιτάχυνση; 14. Αναλύστε την κίνηση μιας πέτρας που πέφτει στο νερό. Χρησιμοποιήστε την ταχύτητά της και την επιτάχυνσή της. Υποθέστε ότι η δύναμη αντίστασης αυξάνεται καθώς αυξάνεται η ταχύτητα. 15. θεωρήστε έναν αλεξιπτωτιστή που πέφτει στον αέρα προτού αποκτήσει την οριακή του ταχύτητα. Τί συμβαίνει με την επιτάχυνσή του καθώς αυξάνεται η ταχύτητά του; 16. Πολλές φορές, σε γαλακτοκομικές μονάδες χρησιμο­ ποιούνται φυγοκεντρικές μηχανές για να ξεχωρίσουν το γάλα από το βούτυρο. Ποιο από τα δύο μένει στον πυθμένα τού δοχείου; 17. Πολλές φορές λέμε ότι ένα αυτοκίνητο επιταχύνεται εάν χρησιμοποιήσουμε το φρένο ή το γκάζι. Μπορεί­ τε να πείτε ότι το ίδιο ισχύει και για το τιμόνι; 18. Υποθέστε ότι ρίχνουμε από ένα αεροπλάνο δύο μπάλλες που έχουν ίδιες διαστάσεις αλλά η μία είναι σκληρή και η άλλη μαλακή. Ποια από τις δύο έχει μεγαλύτερη οριακή ταχύτητα; Ποια από τις δύο έχει μεγαλύτερη επιτάχυνση (προτού αποκτήσει την ορια­ κή ταχύτητα), ας πούμε, 1 s μετά τη ρίψη; 19. θεωρήστε δύο σταγόνες βροχής, μία μικρή και μία μεγάλη, που πέφτουν στην ατμόσφαιρα. Συγκρίνετε τις οριακές τους ταχύτητες. Ποιες είναι οι επιταχύν­ σεις τους όταν αποκτούν την οριακή τους ταχύτητα;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Υποκεφάλαιο 6.1 Εφαρμογή τού δεύτερον νόμον τού Newton στην ομαλή κυκλική κίνηση

1. Ένα αυτοκινητάκι παιχνιδιού κάνει μια στροφή πάνω σε κυκλική τροχιά (απόσταση 200 m) μέσα σε 25 s. (a) Ποια είναι η μέση ταχύτητα; (b) Αν η μάζα τού αυτοκινήτου είναι 1.5 kg, ποιο είναι το μέτρο τής κεντρομόλου δύναμης που συγκρατεί το αυτοκίνητο στην κυκλική τροχιά; 2. Σε ένα κύκλοτρο (έναν τύπο επιταχυντή σωματι­ δίων), ένα δευτερόνιο (ατομικής μάζας 2 u) αποκτά τελική ταχύτητα ίση με το 10% τής ταχύτητας τού φωτός καθώς κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 0.48 m. Το δευτερόνιο παραμένει σε κυκλική τροχιά υπό την επίδραση μιας μαγνητικής δύναμης. Ποιο είναι το μέτρο τής δύναμης που απαιτείται; 3. Ποια κεντρομόλος δύναμη απαιτείται για να συγκρο­ τήσει σε κυκλική τροχιά, ακτίνας 0.4 m, ένα σώμα κινούμενο με ταχύτητα 4 m/s; |4. Στο άτομο τού υδρογόνου, το ηλεκτρόνιο στην τροχιά του γύρω από το πρωτόνιο υφίσταται έλξη 8.20 X ΙΟ-8 Ν περίπου. Αν η ακτίνα τής τροχιάς είναι 5.3 X 10-11 m, ποια είναι η συχνότητα σε στροφές ανά δευτερόλεπτο; Για άλλα δεδομένα συμβουλευθείτε τον πίνακα τού εξωφύλλου. 5. Ένα σώμα μάζας 3 kg είναι δεμένο σε ένα ελαφρό νήμα και περιστρέφεται κάνοντας κυκλική κίνηση πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβές. Η ακτίνα τού κύκλου είναι 0.8 m και το νήμα μπορεί να

6.

|7.

|8.

|9.

αντέξει μια μάζα 25 kg προτού σπάσει. Ποια περιοχή ταχυτήτων μπορεί να έχει το σώμα προτού σπάσει το νήμα; Ένας δορυφόρος μάζας 300 kg βρίσκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος ίσο με την μέση ακτίνα τής Γης (βλ. Παράδειγμα 6.5). Βρείτε (a) τη γραμμική ταχύτητα τού δορυφόρου· (b) την περίοδο περιφοράς του· και (c) τη βαρυτική δύναμη που ασκείται πάνω στον δορυφόρο. (a) Ποια είναι η ακτίνα τού πλανήτη Αφροδίτη αν ένας δορυφόρος, 2.0 X ΙΟ6 m από την επιφάνειά της, κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον πλανήτη με ταχύτητα 6.35 x ΙΟ3 m/s και κεντρομόλο επιτάχυνση 5.01 m/s2; (b) Ποια είναι η περίοδος τού δορυφόρου γύρω από την Αφροδίτη; (Η περίοδος Τ είναι ο χρόνος που απαιτείται για μία περιφορά). (a) Ποια είναι η ταχύτητα μιας πέτρας στην άκρη ενός νήματος μήκους 1.2 m όταν κινείται σε έναν κύκλο και έχει κεντρομόλο επιτάχυνση 2.5 m/s2; (b) Το νήμα είναι πιθανόν να σπάσει αν η τάση ξεπεράσει τα 3.0 Ν. Ποια είναι η μέγιστη ασφαλής ταχύτητα ενός σώματος μάζας 0.2 kg που είναι δεμένο στο άκρο του; Ένα καφάσι με αβγά είναι τοποθετημένο στο πίσω μέρος ενός ανοιχτού φορτηγού που παίρνει μια στροφή. Η στροφή μπορεί να θεωρηθεί ως τόξο κύκλου ακτίνας 35 m. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στο καφάσι και στο δάπεδο τού

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|10.

11.

|12.

|13.

αυτοκινήτου είναι 0.6, ποια πρέπει να είναι η μέγιστη ταχύτητα τού φορτηγού για την οποία το καφάσι δεν γλιστρά κατά τη διάρκεια τής στροφής; Μια στροφή ενός αυτοκινητόδρομου έχει ακτίνα 150 m. και είναι υπολογισμένη για ταχύτητες κυκλοφο­ ρίας 40 mi/h (17.9 m/s). (a) Αν η στροφή δεν έχει κλίση, προσδιορίστε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής μεταξύ αυτοκινήτου και δρόμου, (b) Ποια γωνία κλίσης πρέπει να έχει η στροφή, αν θεωρήσουμε την τριβή αμελητέα (6λ. Σχήμα 6.5); 'Ενας λαστιχένιος δίσκος μάζας 0.25 kg είναι δεμέ­ νος σε ένα νήμα και μπορεί να περιστρέφεται σε κύκλο ακτίνας 1.0 m πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι χωρίς τριβές. Το άλλο άκρο τού νήματος είναι περασμένο από μια τρύπα στο κέντρο τού κύκλου και από αυτό κρέμεται μια μάζα 1.0 kg. Η μάζα που κρέμεται είναι σε ηρεμία, καθώς ο δίσκος πάνω στο τραπέζι περιστρέφεται, (a) Ποια είναι η τάση τού νήματος; (b) Ποια είναι η κεντρομόλος δύναμη που ασκείται στον δίσκο; (c) Ποια είναι η ταχύτητα τού δίσκου; Η ταχύτητα τού άκρου τού λεπτοδείκτη ενός ρολο­ γιού στην πλατεία ενός χωριού είναι 1.75 x ΙΟ-3 m/s. (a) Ποια είναι η ταχύτητα τού άκρου τού δείκτη δευτερολέπτων τού ίδιου μήκους; (b) Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση τού άκρου τού δείκτη δευτε­ ρολέπτων; 'Ενα μεταλλικό νόμισμα τοποθετείται σε απόσταση 30 cm από το κέντρο ενός περιστρεφόμενου οριζό­ ντιου δίσκου. Παρατηρούμε ότι το νόμισμα γλιστρά όταν η ταχύτητά του είναι ίση με 50 cm/s. (a) Ποιος προμηθεύει την κεντρομόλο δύναμη όταν το νόμισμα είναι ακίνητο ως προς τον περιστρεφόμενο δίσκο; (b) Ποιος είναι ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τού νομίσματος και τού δίσκου;

Υποκεφάλαιο 6.2 Μη ομαλή κυκλική κίνηση |14. 'Ενα αυτοκίνητο που κινείται σε έναν ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα 9.0 m/s περνά πάνω από ένα κύρτωμα τού δρόμου. Το κύρτωμα μπορεί να θεωρη­ θεί ως τόξο κύκλου ακτίνας 11.0 m. (a) Ποιο είναι το φαινόμενο βάρος μιας γυναίκας 600 Ν μέσα στο αυτοκινήτο καθώς αυτή περνά πάνω από το κύρτω­ μα; (b) Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου πάνω από το κύρτωμα αν η γυναίκα αισθάνεται σαν να μην έχει βάρος; (Το φαινόμενο βάρος πρέπει να είναι μηδενικό). 15. 'Ενας κουβάς με νερό περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο ακτίνας 1 m. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα τού κουβά στο ψηλότερο σημείο τού κύ­ κλου ώστε να μη χυθεί νερό; |16. 'Ενα σώμα μάζας 0.5 kg δεμένο στο άκρο ενός νήματος περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο ακτί­ νας R = 2 m (6λ. Σχήμα 6.9). 'Οταν θ = 20°, η ταχύτητα τού σώματος είναι 8 m/s. Για τη στιγμή αυτή, βρείτε (a) την τάση τού νήματος· (b) την εφαπτομενική και την ακτινική συνιστώσα τής επιτάχυνσης· και (c) το μέτρο τής ολικής επιτά­ χυνσης. 17. 'Ενα παιδί μάζας 40 kg κάθεται πάνω σε μια συνηθισμένη κούνια μήκους 3 m που είναι δεμένη με δύο αλυσίδες. Αν η τάση κάθε αλυσίδας στο κατώτε­ ρο σημείο είναι 350 Ν, βρείτε (a) την ταχύτητα τού παιδιού στο κατώτερο σημείο· και (b) τη δύναμη που

139

ασκεί το κάθισμα στο παιδί στο κατώτερο σημείο (μη λάβετε υπ’ όψιν τη μάζα τού καθίσματος). 18. Μια μικρή μπάλλα που είναι δεμένη στο άκρο ενός νήματος μήκους 0.8 m περιστρέφεται σε κατακόρυφο κύκλο (6λ. Σχήμα 6.9). Προσδιορίστε την ελάχιστη ταχύτητα τής μπάλλας στο ανώτερο σημείο τής τροχιάς της, αν αυτή παραμένει κυκλική. (Σημείωση: Κάτω από αυτή την ταχύτητα, η τάση τού νήματος είναι μηδενική στο ανώτερο σημείο τής τροχιάς). |19. Ενας κατακόρυφος τροχός τού λούνα παρκ, ακτίνας 20 m, κάνει μία περιστροφή κάθε 9.0 s. Ποια δύναμη ασκεί στο κάθισμά του ένας επιβάτης μάζας 55 kg όταν βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο τού τροχού; |20. 'Ενα βαγονάκι τού λούνα πάρκ έχει μάζα 500 kg όταν είναι γεμάτο με επιβάτες (6λ. Σχήμα 6.16). (a) Αν το βαγονάκι έχει ταχύτητα 20 m/s στο σημείο Α, ποια είναι η δύναμη που ασκεί η σιδηροτροχιά στο βαγονάκι σε αυτό το σημείο; (b) Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να έχει το βαγονάκι στο σημείο Β για να παραμένει πάνω στην τροχιά;

Σχήμα 6.16 (Πρόβλημα 20).

|21. Ο Ταρζάν (m = 85 kg) προσπαθεί να περάσει στην απέναντι όχθη ενός ποταμού αιωρούμενος με τη βοήθεια μιας μακριάς κλάρας. Η λυγαριά έχει μήκος 10 m και η ταχύτητά τού Ταρζάν στο χαμηλότερο σημείο τής αιώρησης (που περνά «ξυστά» σχεδόν πάνω από την επιφάνεια τού νερού) είναι 8 m/s. Ο Ταρζάν δεν γνωρίζει ότι η κλάρα έχει μέγιστη τάση θραύσεως ίση με 1 000 Ν. Θα περάσει το ποτάμι με ασφάλεια; |22. Στο λούνα πάρκ Six Flags Great America, που βρίσκεται κοντά στο Σικάγο, υπάρχει ένα τραινάκι που έχει σχεδιαστεί σύμφωνα με τις τελευταίες εξελίξεις τής τεχνολογίας και με τις αρχές τής Γενικής Φυσικής. Η κατακόρυφη ανακύκλωση αντί να είναι κυκλική έχει σχήμα σταγόνας (βλ. Σχήμα 6.17). Έτσι το τραινάκι έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα στο επάνω μέρος τού βρόχου τής ανακύκλωσης. Τα βαγονάκια κινούνται στο εσωτερικό μέρος τού βρό­ χου στην κορυφή και οι μεγαλύτερες ταχύτητες βοηθούν τα βαγονάκια να μένουν στις ράγιες. Ο μεγαλύτερος βρόχος έχει ύψος 40 m (= 130 ft) και η μέγιστη ταχύτητα στο κάτω μέρος είναι 31 m/s (σχεδόν 70 mi/h), όπως γράφει η εφημερίδα New York Times (2 Αυγούστου 1988). Υποθέστε ότι το μέτρο τής ταχύτητας στην κορυφή είναι 13.0 m/s και ότι η αντίστοιχη κεντρομόλος επιτάχυνση είναι 2g. (a) Ποια είναι η ακτίνα τού τόξου τής κορυφής τού βρόχου; (b) Αν η ολική μάζα που έχει το τραινάκι στην κορυφή τού βρόχου είναι Μ, ποια είναι η δύναμη που ασκούν οι ράγιες επάνω του στην κορυφή; (c) Υποθέστε ότι ο βρόχος είναι κυκλικός με ακτίνα 20 m. Αν το τραινάκι έχει την ίδια ταχύτητα 13.0 m/s στην κορυφή, ποια είναι η αντίστοιχη κεντρομόλος επιτάχυνση; (d) Σχολιάστε την αντί­ στοιχη κάθετη δύναμη.

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON Ένα σώμα μάζας m τοποθετείται πάνω σε μια ζυγαριά με ελατήριο, που βρίσκεται στο πάτωμα ενός ανελκυστήρα. Ο ανελκυστήρας κατεβαίνει με σταθε­ ρή επιτάχυνση α, προς τα κάτω, (a) Στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς τού ανελκυστήρα, σχεδιάστε το διάγραμμα τού απελευθερωμένου σώματος και εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο τού Newton για να βρείτε το φαινόμενο βάρος που δείχνει η ζυγαριά, (b) Επαναλάβετε την (a) σε ένα ακίνητο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς. [28. Το νήμα τής στάθμης δεν κρέμεται ακριβώς κατά μήκος τής ευθείας γραμμής που κατευθύνεται στο κέντρο περιστροφής τής Γης. Πόσο εκτρέπεται το νήμα τής στάθμης από την ακτινική κατεύθυνση σε έναν τόπο που έχει βόρειο γεωγραφικό πλάτος 35°; 27.

Σχήμα 6.17 (Πρόβλημα 22).

* Υποκεφάλαιο 6.3 Κίνηση σε επιταχυνόμενα συστήματα αναφοράς

* Υποκεφάλαιο 6.4 Κίνηση με την παρουσία δυνάμεων που αντιστέκονται στην κίνηση

23. 'Ενα σώμα είναι δεμένο σε ένα νήμα τού οποίου το

29.

άλλο άκρο είναι δεμένο στο κέντρο ενός περιστρεφό­ μενου τραπεζιού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.12. Αν η επιφάνεια τού τραπεζιού είναι τραχιά, περιγράψτε τις δυνάμεις που επιδρούν στο σώμα όπως περιγράφονται από (a) έναν παρατηρητή πάνω στο τραπέζι και (b) έναν παρατηρητή ακίνητο σχετικά με το τραπέζι, (c) Για μια δεδομένη ταχύτητα, η τάση τού νήματος αυξάνεται, ελαττώνεται ή παραμένει η ίδια καθώς η επιφάνεια τού τραπεζιού γίνεται ολοένα και .πιο λεία; 24. Μια μικρή σφαίρα κρέμεται από την οροφή ενός κινούμενου αυτοκινήτου με ένα νήμα μήκους 25 cm. Ένας παρατηρητής μέσα στο αυτοκίνητο παρατηρεί ότι η σφαίρα αποκλίνει 6 cm από την κατακόρυφο προς το πίσω μέρος τού αυτοκινήτου. Ποια είναι η επιτάχυνση τού αυτοκινήτου; 25. Ένα σώμα μάζας 0.5 kg κρέμεται από την οροφή ενός σιδηροδρομικού βαγονιού που επιταχύνεται, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.11. Αν a = 3 m/s2, βρείτε (a) τη γωνία που σχηματίζει το νήμα με την κατακόρυφο και (b) την τάση τού νήματος. 26. Ένα σώμα μάζας 5 kg είναι δεμένο στο άκρο ενός δυναμομέτρου και βρίσκεται πάνω σε μια λεία οριζό­ ντια επιφάνεια, όπως στο Σχήμα 6.18. Το δυναμόμε­ τρο, που είναι δεμένο στο πρόσθιο άκρο ενός φορτη­ γού βαγονιού, δείχνει 18 Ν όταν το βαγόνι κινείται, (a) Αν το δυναμόμετρο δείχνει μηδέν όταν το βαγόνι είναι ακίνητο, προσδιορίστε την επιτάχυνση τού βαγονιού, (b) Τί θα δείχνει το δυναμόμετρο αν το βαγόνι κινείται με σταθερή ταχύτητα; (c) Περιγράψτε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, όπως φαίνονται σε έναν παρατηρητή που βρίσκεται μέσα στο βαγόνι και σε έναν άλλο που βρίσκεται ακίνητος έξω από αυτό.

5 KC

Μ V //,V / / / / / 9 / / Σχήμα 6.18 (Πρόβλημα 26).

|30.

|31.

|32.

|33.

Ένας αλεξιπτωτιστής μάζας 80 kg πηδά από ένα αεροπλάνο —που πετάει αργά— και αποκτά οριακή ταχύτητα 50 m/s. (a) Ποια είναι η επιτάχυνση τού αλεξιπτωτιστή όταν έχει ταχύτητα 30 m/s; Ποια είναι η δύναμη αντίστασης πάνω στον αλεξιπτωτιστή όταν η ταχύτητά του είναι (b) 50 m/s και (c) 30 m/s; Ένα μικρό κομμάτι φελιζόλ πέφτει από ύψος 2.0 m και μέχρις ότου φτάσει στην οριακή ταχύτητα η επιτάχυνσή του είναι a = g - bv, όπου g είναι η επιτάχυνση τής βαρύτητας, υ η ταχύτητα και b μια σταθερά. Μετά από πτώση 0.5 m το φελιζόλ αποκτά την οριακή ταχύτητα και κάνει άλλα 5 s ώσπου να φτάσει στο δάπεδο, (a) Υπολογίστε την τιμή τής σταθερός b. (b) Ποια είναι η επιτάχυνση κατά τη στιγμή / = 0; (c) Ποια είναι η επιτάχυνση όταν η ταχύτητα είναι 0.15 m/s; Μια βενζινάκατος σβήνει τη μηχανή της όταν έχει ταχύτητα 10 m/s και εξακολουθεί να κινείται ώσπου να σταματήσει. Η εξίσωση που διέπει την κίνησή της κατά το διάστημα αυτό είναι ν = Voe~a, όπου ν είναι η ταχύτητα σε χρόνο t, είναι η αρχική ταχύτητα και c μια σταθερά. Σε χρόνο t = 20 s η ταχύτητα είναι 5 m/s. (a) Βρείτε τη σταθερά c. (b) Ποια είναι η ταχύτητα τη χρονική στιγμή ί = 40 s; (c) Παραγωγίσετε την παραπάνω έκφραση v(t) και αποδείξτε έτσι ότι η επιτάχυνση τής βάρκας είναι ανάλογη προς την ταχύτητα σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. (a) Εκτιμήστε την οριακή ταχύτητα μιας ξύλινης σφαίρας (πυκνότητα 0.83 g/cm3) που κινείται στον αέρα αν η ακτίνα της είναι 8.0 cm. (b) Από ποιο ύψος ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα θα αποκτούσε αυτήν την ταχύτητα εάν δεν υπήρχε η αντίσταση τού αέρα; Μια μικρή σφαιρική χάντρα μάζας 3 g αφήνεται ελεύθερη, ενώ ήταν ακίνητη, κατά τη χρονική στιγμή t = 0 σε ένα μπουκάλι που περιέχει υγρό σαμπουάν. Η οριακή ταχύτητα, vt, παρατηρήθηκε ότι είναι 2 cm/s. Βρείτε (a) την τιμή τής σταθεράς b στην Εξίσωση 6.7· (b) τον χρόνο, τ, που χρειάζεται να αποκτήσει την τιμή 0.63 υ,· και (c) την τιμή τής δύναμης που επιβραδύνει τη χάντρα όταν αυτή αποκτήσει οριακή ταχύτητα.

ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ |34. Μια περιστρεφόμενη σφαίρα ακτίνας 5.0 cm αρχίζει

να επιβραδύνεται ομαλά ενώ είχε 30 στροφές/min,

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

141

ώσπου να σταματήσει μέσα σε 0.3 s. Υπολογίστε την στην άκρη ενός τροχού αλέσματος που περιστρέφεται ακτινική, εφαπτομενική και συνολική επιτάχυνση γύρω από ένα οριζόντιο άξονα. Ο στόκος ξεκολλάει ενός σημείου στον ισημερινό τής σφαίρας κατά την από το σημείο Α όταν η διάμετρός που διέρχεται από αρχή αυτής τής χρονικής περιόδου. το Α είναι οριζόντια. Ο στόκος ανεβαίνει κατακόρυφα και ξαναγυρίζει στο Α τη στιγμή που ο τροχός 35. Σύμφωνα με τη θεωρία τού Bohr, στο άτομο τού συμπληρώνει μία περιστροφή, (a) Βρείτε την ταχύτη­ υδρογόνου το ηλεκτρόνιο έχει ταχύτητα ίση περίπου τα ενός σημείου στην περιφέρεια τού τροχού σε με 2.2 x ΙΟ6 m/s. Βρείτε (a) την κεντρομόλο δύναμη που δρα πάνω στο ηλεκτρόνιο καθώς αυτό περιστρέ­ συνάρτηση με την επιτάχυνση τής βαρύτητας και την ακτίνα τού τροχού R. (b) Αν η μάζα τού στόκου είναι φεται σε κυκλική τροχιά ακτίνας 0.53 x ΙΟ-10 m, (b) m, ποιο είναι το μέτρο τής δύναμης η οποία τόν την κεντρομόλο επιτάχυνση τού ηλεκτρονίου και (c) συγκρατεί πάνω στο τροχό; τον αριθμό τών περιστροφών ανά δευτερόλεπτο τις οποίες κάνει το ηλεκτρόνιο. 41. Μια σιδηροδρομική γραμμή έχει καμπή ακτίνας 400 m. Οι γραμμές παρουσιάζουν κλίση προς τα μέσα |36. Το σφαιρίδιο ενός εκκρεμούς μάζας 0.40 kg περνάει από το κατώτερο σημείο τής τροχιάς του με ταχύτητα κατά μια γωνία 6°. Για ποια ταχύτητα τραίνων έχει σχεδιαστεί η γραμμή αυτή; (Υποθέστε ότι η σωστή 8.2 m/s. Ποια είναι η τάση τού νήματος τού εκκρε­ ταχύτητα χρειάζεται μόνο την κάθετη δύναμη για να μούς αν αυτό έχει μήκος 80 cm; συγκροτήσει το τραίνο στη σιδηροδρομική γραμμή). |37. Μια χάντρα μάζας 100 g είναι ελεύθερη να γλιστρά κατά μήκος ενός κομματιού νήματος ABC που έχει |42. Ενα αυτοκίνητο κινείται σε μιά καμπή που έχει μήκος 0.8 m. Τα άκρα τού νήματος είναι δεμένα σε κλίση όπως στο Σχήμα 6.5. Η ακτίνα καμπυλότητας μια κατακόρυφη ράβδο στα σημεία Α και Β, τα οποία τής καμπής τού δρόμου είναι R, η γωνία κλίσης θ και απέχουν μεταξύ τους 0.4 m, όπως στο Σχήμα 6.19. ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μ. (a) Καθορίστε Όταν η ράβδος περιστρέφεται, το BC είναι οριζό­ την περιοχή ταχυτήτων που μπορεί να έχει το ντιο και ίσο με 0.3 m. (a) Ποια είναι η τάση τού αυτοκίνητο χωρίς να ολισθήσει προς τα έξω ή προς νήματος; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τής χάντρας στο τα μέσα τού δρόμου, (b) Βρείτε την ελάχιστη τιμή τού σημείο C; μ έτσι ώστε η ελάχιστη ταχύτητα να είναι μηδέν, (c) Ποια είναι η δυνατή περιοχή ταχυτήτων αν Λ = 100 |38. Μια μικρή θαλάσσια χελώνα, ας την ονομάσουμε m, θ = 10° και μ = 0.1 (με ολισθηρές συνθήκες); «Dizzy», τοποθετείται σε ένα οριζόντιο περιστρεφό­ μενο τραπέζι σε απόσταση 20 cm από το κέντρο του. [43. 'Ενα τηλεκατευθυνόμενο αεροπλανάκι μάζας 0.75 kg πετά σε οριζόντιο κύκλο δεμένο στο άκρο ενός Η μάζα τής Dizzy είναι 50 g και ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τών ποδιών της και τού σύρματος ελέγχου μήκους 60 m και έχει ταχύτητα 35 m/s. Υπολογίστε την τάση τού σύρματος αν σχηματί­ τραπεζιού είναι 0.3. Βρείτε (a) τον μέγιστο αριθμό ζει σταθερή γωνία 20° με το οριζόντιο επίπεδο. Στο περιστροφών κατά δευτερόλεπτο που μπορεί να αεροπλανάκι ασκούνται η τάση τού σύρματος, το κάνει το τραπέζι αν η Dizzy πρέπει να παραμένει βάρος του και η αεροδύναμη που ασκείται με γωνία ακίνητη ως προς το τραπέζι· και (b) την ταχύτητα και 20° προς τα μέσα ως προς την κατακόρυφο, όπως την ακτινική επιτάχυνση που έχει η Dizzy τη στιγμή φαίνεται στο Σχήμα 6.20. ακριβώς που πρόκειται να γλιστρήσει. |39. Λόγω τής περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά |44. Ενα παιχνίδι αποτελείται από μια μικρή ορθογώνια της, ένα σημείο τού ισημερινού υφίσταται κεντρομό­ σφήνα που έχει μια οξεία γωνία θ (βλ. Σχήμα 6.21). Η κεκλιμένη επιφάνεια τής σφήνας είναι λεία και μία λο επιτάχυνση ίση με 0.034 m/s2, ενώ ένα σημείο στους πόλους δεν υφίσταται κεντρομόλο επιτάχυνση, μάζα m πάνω σε αυτήν παραμένει στο ίδιο ύψος αν η σφήνα περιστραφεί με σταθερή ταχύτητα. Η σφήνα (a) Αποδείξτε ότι στον ισημερινό η βαρυτική δύναμη περιστρέφεται γυρίζοντας μια ράβδο που είναι στα­ ενός σώματος (το πραγματικό βάρος) πρέπει να είναι θερά κολλημένη στο ένα άκρο τής σφήνας. Αποδείξτε μεγαλύτερη από το φαινόμενο βάρος του. (b) Ποιο ότι όταν το σώμα μετατοπίζεται κατά L τότε η είναι το φαινόμενο βάρος, στον ισημερινό και στους πόλους, ενός ανθρώπου που έχει μάζα 75 kg; (Υποθέ­ ταχύτητα τής μάζας είναι στε ότι η Γη είναι ομογενής σφαίρα και πάρετε g = 9.800 m/s2). ν = V gL sin θ |40. 'Ενα κομμάτι στόκου βρίσκεται αρχικά στο σημείο A

Σχήμα 6.19 (Πρόβλημα 37).

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

Σχήμα 6.21 (Πρόβλημα 44).

|45. Ο πιλότος ενός αεροπλάνου κάνει ανακύκλωση με σταθερή ταχύτητα σε κατακόρυφο κύκλο. Η ταχύτη­ τα τού αεροπλάνου είναι 300 mi/h και η ακτίνα τού κύκλου 1 200 ft. (a) Ποιο είναι το φαινόμενο βάρος τού πιλότου στο κατώτερο σημείο αν το πραγματικό βάρος είναι 160 lb; (b) Ποιο είναι το φαινόμενο βάρος του στο ψηλότερο σημείο; (c) Περιγράψτε πώς ο πιλότος μπορεί να αισθάνεται αβαρής αν και η ακτίνα και η ταχύτητά του μπορεί να μεταβάλλονται. (Σημείωση: Το φαινόμενο βάρος του είναι ίσο με τη δύναμη που ασκεί το κάθισμα στο σώμα του). |46. Ενα σώμα μάζας 4 kg είναι δεμένο με δύο νήματα σε μία οριζόντια ράβδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.22. Τα νήματα βρίσκονται σε τάση όταν η ράβδος πε­ ριστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Αν η ταχύτητα τού σώματος είναι 4 m/s όταν παρατηρείται στις παρακάτω θέσεις, βρείτε την τάση τού νήματος όταν το σώμα βρίσκεται (a) στο κατώτερό του σημείο· (b) στην οριζόντια θέση· και (c) στο ανώτερό του σημείο.

Σχήμα 6.22 (Προβλήματα 46 και 47).

[47. Υποθέστε ότι η ράβδος στο σύστημα που φαίνεται στο Σχήμα 6.22 γίνεται κατακόρνφη και περιστρέφε­ ται γύρω από τον άξονα αυτόν. Αν το σώμα περιστρέ­ φεται με σταθερή ταχύτητα 6 m/s σε οριζόντιο επίπεδο, προσδιορίστε τις τάσεις στο επάνω και στο κάτω νήμα. |48. Ενας σπουδαστής κατασκευάζει και βαθμονομεί έ­ να επιταχυνσίμέτρο, το οποίο χρησιμοποιεί για να προσδιορίσει την ταχύτητα τού αυτοκινήτου του γύρω από μια ορισμένη καμπή τού αυτοκινητοδρό­ μου. Το επιταχυνσίμετρο είναι ένα απλό εκκρεμές με ένα μοιρογνωμόνιο που τό στερεώνει στην οροφή τού αυτοκινήτου του. Ο φίλος του παρατηρεί ότι το εκκρεμές αποκλίνει σχηματίζοντας γωνία 15° με την κατακόρυφο όταν το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα 23.0 m/s. (a) Ποια είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση τού αυτοκινήτου καθώς κινείται στην καμπή; (b) Ποια

είναι η ακτίνα τής καμπής; (c) Ποια είναι η ταχύτητα τού αυτοκινήτου αν η εκτροπή τού εκκρεμούς είναι 9.0° ενώ κινείται στην ίδια καμπή; Για έναν «περίπατο» στο λούνα παρκ χρησιμοποιεί­ ται ένας μεγάλος κατακόρυφος κύλινδρος που στρι­ φογυρίζει γύρω από τον άξονά του αρκετά γρήγορα έτσι ώστε κάθε άτομο στο εσωτερικό του να κρατιέται στο τοίχωμα, μολονότι το πάτωμα αποσύρεται (6λ. Σχήμα 6.23). Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τού ανθρώπου και τού τοιχώματος είναι μ, και η ακτίνα τού κυλίνδρου είναι R. (a) Δείξτε ότι η μέγιστη περίοδος περιστροφής που χρειάζεται για να συγκρατεί τον άνθρωπο ώστε να μην πέσει είναι Τ = (4T^ItyJg)112. (b) Υπολογίστε μια αριθμητική τιμή για το Τ αν R = 4 m και μ5 = 0.4. Πόσες περιστροφές το λεπτό κάνει ο κύλινδρος; C

_ 3

[50. Ενα κέρμα μάζας 3.1 g τοποθετείται πάνω σε ένα μικρό σώμα μάζας 20 g που συγκροτείται από έναν περιστρεφόμενο δίσκο (βλ. Σχήμα 6.24). Αν ο συντε­ λεστής τριβής μεταξύ σώματος και δίσκου είναι 0.75 (στατικής) και 0.64 (ολισθήσεως) ενώ για το κέρμα και το σώμα είναι 0.45 (ολισθήσεως) και 0.52 (στατι­ κής), ποια είναι η μέγιστη περιστροφή τού δίσκου σε τόσες στροφές το λεπτό, ώστε να μην γλιστρήσει πάνω στο δίσκο ούτε το σώμα ούτε το κέρμα;

Σχήμα 6.24 (Πρόβλημα 50).

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|5L Μια χάντρα έχει περαστεί σε μια κατακόρυφη συρμάτινη στεφάνη χωρίς τριβές ακτίνας R. Η στεφάνη περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.25. Η περίοδος περιστροφής τής στεφάνης είναι Τ. Η χάντρα έχει μάζα m και ηρεμεί ως προς τη στεφάνη σε μια γωνία θ. Απαντήστε στα ακόλουθα, σε συνάρτηση με τις δεδομένες παραμέτρους και την επιτάχυνση τής βαρύτητας g. (a) Βρείτε την κάθετη δύναμη Ν π ου ασκείται στη χάντρα από το σύρμα, (b) Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ τής κάθετης δύναμης και τού άξονα περιστροφής, (c) Υπολογίστε την κεντρομόλο δύναμη που δρα στη χάντρα.

143

την επενέργεια μιας συνολικής δύναμης που δίνεται από την Εξίσωση 6.9 Αυτή η έκφραση μπορεί να γραφεί με τη μορφή dv m — = mg - Κυ dt όπου Κ = 1CqA, ρ = 1.29 kg/m3 και C = 0.5. (a) Ποια είναι η οριακή ταχύτητα τού χαλαζιού; (b) Χρησιμο­ ποιήστε μεθόδους απειροστικού λογισμού για να βρείτε την ταχύτητα και τη θέση τού χαλαζιού σε χρονικά διαστήματα 1 s, παίρνοντας = 0. Συνεχί­ στε τον υπολογισμό σας μέχρις ότου ο κόκκος φτάσει την οριακή ταχύτητα. |55. 'Ενα σώμα μάζας 0.5 kg ολισθαίνει προς τα κάτω κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 30° και μήκους 1 m. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος και τού κεκλιμένου επιπέδου μεταβάλλεται με την ταχύτητα τού σώματος σύμφωνα με τη σχέση μ = 0.3 + 1.2\/ΰ

Σχήμα 6.25 (Πρόβλημα 51).

|52. Σε ένα λούνα πάρκ ο «μύλος» αποτελείται από μια περιστρεφόμενη κυκλική πλατφόρμα διαμέτρου 8 m, από την οποία τα καθίσματα είναι αναρτημένα με αλυσίδες μήκους 2.5 m. (Για ευκολία, μόνο μία αλυσίδα φαίνεται στο Σχήμα 6.26, αν και για σταθε­ ρότητα θα πρέπει να χρησιμοποιούνται τουλάχιστον δύο). 'Οταν το σύστημα περιστρέφεται, οι αλυσίδες που συγκρατούν τα καθίσματα σχηματίζουν γωνία θ = 28° με την κατακόρυφο. (a) Ποια είναι η ταχύτη­ τα τού καθίσματος; (b) Αν ένα παιδί μάζας 40 kg κάθεται σε ένα κάθισμα μάζας 10 kg, ποια είναι η τάση τής αλυσίδας; |53. Το ακόλουθο πείραμα γίνεται μέσα σε ένα διαστημό­ πλοιο που ισορροπεί εκεί όπου το συνολικό βαρυτικό πεδίο είναι μηδενικό. Μια μικρή σφαίρα εκτο­ ξεύεται μέσα σε ένα ιξώδες μέσο με αρχική ταχύτητα Μ). Η σφαίρα υφίσταται μια δύναμη αντίστασης R = —bv. Βρείτε την ταχύτητα τής σφαίρας ως συνάρτηση τού χρόνου. (Υπόδειξη: Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο τού Newton, γράψτε το α ως dv/dt, χωρίστε μεταβλητές και ολοκληρώστε την εξίσωση).

όπου η υ είναι σε m/s. (a) Χρησιμοποιήστε μια μέθοδο τού απειροστικού λογισμού για να βρείτε την ταχύτητα τού σώματος σε διαστήματα τών 10 cm κατά τη διάρκεια τής κίνησής του. (b) Αν το μήκος τού κεκλιμένου επιπέδου επεκταθεί κατά μερικά km, θα φτάσει το σώμα σε οριακή ταχύτητα; Αν είναι έτσι, ποιά είναι η οριακή του ταχύτητα και σε ποιο σημείο τού κεκλιμένου επιπέδου αποκτάται;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΉ [|54|. Ενας κόκκος χαλαζιού μάζας 4.8 x 10-4 kg και ακτίνας 0.5 cm πέφτει μέσα στον αέρα και υφίσταται

Σχήμα 6.26 (Πρόβλημα 52).

144

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

ΔΟΚΙΜΙΟ

ΟιΕξισώσεις6.3 και 6.4, οι οποίες προσδιορίζουν την ταχύτητα και την περίοδο ενός τεχνητού δορυφόρου που πραγματοποιεί κυκλική τροχιά γύρω από την υποτιθέμενη σφαιρική Γη, είναι γνωστές εδώ και πολύν καιρό:

Δυναμική δορυφορικών τροχιών του LEON BLITZER Πανεπιστήμιο τής Arizona

(6.3) (6.4) Η διαστημική εποχή όμως άρχισε επίσημα στις 4 Οκτωβρίου 1957 με την εκτόξευση τού Σπούτνικ. Έτσι οι τεχνητοί δορυφόροι έγιναν πραγματικότητα. Από τότε πολλές εκατοντάδες δορυφόροι και διαστημόπλοια έχουν τεθεί σε τροχιά. Ειδικά, οι επανδρωμένες αποστολές στο Διάστημα έχουν συγκεντρώσει το ενδιαφέρον και τον θαυμασμό και έχουν κεντρίσει την φαντασία όλου τού κόσμου. Το μεγάλο επιστημονικό πλεονέκτημα που προσφέρουν οι δορυφόροι είναι ότι μπορούμε να τούς χρησιμοποιήσουμε σαν διαστημικές πλατφόρμες, μακριά από την ατμόσφαιρα, για να μπορέσουμε να μελετήσουμε τη Γη, το περιβάλλον της και ταυτόχρονα το υπόλοιπο Διάστημα. Σήμερα χρησιμοποιούμε εκατοντάδες δορυφόρους για επιστη­ μονική έρευνα στην αστρονομία, στις παγκόσμιες τηλεπικοινωνίες, στη ναυσιπλοΐα, στην πρόγνωση καιρού, στη γεωδεσία, στις διαπλανητικές επιστήμες, στη μελέτη βιολογικών συστημάτων υπό συνθήκες έλλειψης βαρύτητας, στις μελέτες κοσμικής ακτινοβολίας και ηλιακής φυσικής, αγροτικής χωρομέτρησης κ.λπ. Δεν υπάρχει η παραμικρή αμφιβολία ότι στο μέλίχιν θα χρησιμοποιούνται ολοένα και περισσότερο οι δορυφόροι. Πρέπει να σημειωθεί ότι οι Εξισώσεις 6.3 και 6.4 δεν ισχύουν μόνο για τεχνητούς δορυφόρους τής Γης, αλλά για κάθε δορυφόρο, όπως είναι λ.χ. η Σελήνη, που κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον γεννήτορα πλανήτη, ή για κάθε πλανήτη που κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον γεννήτορα ήλιο του. Πάντως, πρέπει να έχουμε υπ’ όψιν ότι, γενικά, οι τροχιές δορυφόρων ή πλανητών δεν είναι κυκλικές, είναι ελλειπτικές. Αυτό οφείλεται στις διαταραχές τις οποίες προκαλεί η έλξη τών άλλων πλανητών, στα μη σφαιρικά σχήματα κ.λπ. Το παράδοξο τής τροχιάς δορυφόρου Προφανώς, για να εκτοξευθεί ένας δορυφόρος πρέπει να υπερνικηθεί η βαρυτική έλξη τής Γης. θεωρήστε έναν δορυφόρο που κινείται σε μια δεδομένη τροχιά. Εάν δράσει πάνω του μια δύναμη στην ίδια κατεύθυνση τής κίνησής του, θα προωθηθεί σε υψηλότερη τροχιά (μεγαλύτερη ακτίνα), επομένως, σύμφωνα με την εξίσωση 6.3, θα ελαττωθεί η ταχύτητά του. Αντίστροφα, εάν η δύναμη δράσει πάνω στον δορυφόρο με κατεύθυνση αντίθετη προς την κίνησή του τότε ο δορυφόρος θα μεταβεί σε χαμηλότερη τροχιά (μικρότερη ακτίνα) και θα κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα, σύμφωνα με την Εξίσωση 6.3. Ξέρουμε ότι ακόμη και σε ύψος 500 km πάνω από την επιφάνεια τής Γης υπάρχουν αρκετά ίχνη (μόρια αέρα) ατμόσφαιρας ώστε να δημιουργούν μια σημαντική δύναμη τριβής πάνω στον δορυφόρο που κινείται πολύ γρήγορα. Δεδομένου ότι η δύναμη τριβής εναντιώνεται στην κίνηση, ο δορυφόρος θα υποχρεωθεί να μεταβεί σε χαμηλότερη τροχιά και να κινηθεί με μεγαλύτερη ταχύτητα. Αυτό ακριβώς δημιουργεί το παράδοξο, δηλαδή η δύναμη τής ατμοσφαι­ ρικής τριβής γίνεται αιτία να αυξηθεί η ταχύτητα. Πράγματι, όλοι οι τεχνητοί δορυφόροι που κινούνται κοντά στη γήινη ατμόσφαιρα κινούνται σε ελικοειδείς τροχιές, τών οποίων οι ακτίνες συνεχώς ελαττώνονται, με συνεχώς αυξανόμενη ταχύτητα, μέχρις ότου καούν στην ατμόσφαιρα ή πέσουν πάνω στην επιφάνεια τής Γης (βλ. Σχήμα 1). Αυτή επίσης είναι η τύχη και τών δορυφόρων που κινούνται σε ελλειπτική τροχιά (περισσότερα μπορείτε να δείτε στο άρθρο τού L. Blitzer, Satellite Orbit Paradox: A General View, που δημοσιεύθηκε το 1971, στον 39ο τόμο τού περιοδικού American Journal of Physic, σελ. 882). Πρέπει να σημειωθεί ότι το παράδοξο αυτό δεν περιορίζεται σε αιτίες που οφείλονται μόνο στην τριβή, αλλά κάθε δύναμη που δρα στην ίδια κατεύθυνση με την κίνηση τού δορυφόρου προκαλεί μεταβολή τής τροχιάς τού δορυφόρου προς μεγαλύτερη ακτίνα περιφοράς και μικρότερη ταχύτητα, ενώ κάθε δύναμη που εναντιώνεται στην κίνηση προκαλεί αύξηση ταχύτητας.

ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΩΝ ΤΡΟΧΙΩΝ

145

Σχήμα 1 Μείωση τής ακτίνας περι­ φοράς λόγω τής αντίστασης τού αέρα.

Σύγχρονοι (γεωστάσιμοι) δορυφόροι SYNCOM θεωρήστε έναν τεχνητό δορυφόρο που κινείται σε κυκλική τροχιά στο ισημερινό επίπεδο και σε απόσταση από τη Γη τέτοια ώστε η περίοδος περιφοράς του να είναι ίδια (σύγχρονη) με την περίοδο περιστροφής τής Γης γύρω από τον άξονά της, δηλαδή μία αστρική ημέρα. Οι δορυφόροι αυτοί έχουν σταθερό γεωγραφικό μήκος και λέγονται γεωστάσιμοι. Στο Σχήμα 2 απεικονίζονται τρεις τέτοιοι δορυφόροι, που είναι τοποθετημένοι σε ίσα διαστήματα σε σύγχρονη ισημερινή τροχιά. Ένα τέτοιο σύστημα τριών γεωστάσιμων δορυφόρων, εξοπλισμένων με αναμεταδότες, εξασφαλίζει συνεχή τηλεπικοινωνία ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε σημεία τής Γης. Όλοι σχεδόν οι δορυφόροι που χρησιμοποιούνται για τηλεπικοινωνίες βρίσκονται σε τέτοιες τροχιές τών 24 ωρών και τούς ονομάζουμε SYNCOM. Λίκνιση σύγχρονων δορυφόρων Στην πραγματικότητα η Γη απέχει πολύ από το να είναι σφαίρα, λόγω τής ύπαρξης ανωμαλιών στο σχήμα και στην κατανομή τής μάζας στην επιφάνειά της, όπως είναι τα βουνά, οι ωκεανοί κ.λπ. Η Γη είναι πιο ισοπεδωμένη στους πόλους και πιο διογκωμένη στον ισημερινό. Η ισημερινή τομή της είναι σχεδόν ελλειπτική. Όπως, γνωρίζουμε από δορυφορικές μετρήσεις, η διαφορά ανάμεσα στον μεγάλο και στον μικρό άξονα τής έλλειψης είναι 130 m!

Σχήμα 2 Τρεις δορυφόροι σε σύγ­ χρονες ισημερινές τροχιές. (Το σχή­ μα δεν είναι υπό κλίμακα).

Ας μελετήσουμε την κίνηση ενός σύγχρονου τεχνητού δορυφόρου από ένα σύστημα αναφοράς που περιστρέφεται μαζί με την Γη (όπως στο Σχήμα 3). Είναι προφανές, από λόγους συμμετρίας, ότι όταν ο δορυφόρος βρίσκεται πάνω στην προέκταση ενός από τους δύο άξονες τής έλλειψης, στις θέσεις S ή V, η βαρυτική έλξη έχει μόνο ακτινική συνιστώσα. Προφανώς, λοιπόν, τα σημεία αυτά είναι σημεία

146

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΝΟΜΩΝ TOY NEWTON

Σ χήμα 3 Η FT είναι η ολική εφαπτομενική δύναμη η οποία δρα πάνω στον δορυφόρο στις θέσεις που φαίνονται στο σχήμα, S ε ίναι η θέση σταθερής ισορροπίας, ενώ η U είναι η θέση ασταθούς ισορροπίας. Η διακεκομμένη κλειστή γραμμή στο επάνω μέρος τού σχήματος δεί­ χνει τη λίκνιση.

σταθερής ισορροπίας, στάσιμα σημεία, στο περιστρεφόμενο σύστημα (τέτοια είναι τα σημεία S και U τού Σχήματος 3). Στα απομακρυσμένα όμως από τους άξονες σημεία υπάρχει εφαπτομενική συνιστώσα FT, που κατευθύνεται προς τον πλησιέστερο μεγάλο άξονα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3. Η πρώτη αντίδραση είναι να πει κανείς ότι ο δορυφόρος επιταχύνεται στην κατεύθυνση τής FT. Αλλά, σύμφωνα με το παράδοξο, ο δορυφόρος θα ολισθήσει προς την αντίθετη κατεύθυνση, προς το σταθερό σημείο S, στην προέκταση τού μικρού άξονα. Επειδή όμως αυξάνεται η ορμή του, θα ξεπεράσει το σημείο ισορροπίας S. Αλλά τότε μεταβάλλεται η κατεύθυνση τής FT και σιγά σιγά η κατεύθυνση τής ολίσθησης θα μεταβληθεί. Έτσι ο δορυφόρος θα ταλαντώνεται (θα λικνίζεται) γύρω από το σημείο ισορροπίας S. Η διακεκομμένη γραμμή τού Σχήματος 3 δείχνει την ταλάντωση ενός τέτοιου σύγχρονου τεχνητού δορυφόρου, όπως φαίνεται από το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς τής Γης. Η περίοδος τής ταλάντωσης εξαρτάται από την αρχική θέση τού δορυφόρου. Για μικρά πλάτη, η περίοδος είναι 2.1 χρόνια. Για να διορθωθούν αυτές οι ταλαντώσεις, οι δορυφόροι αυτοί είναι εφοδιασμένοι με μέσα πρόωσης. Προτεινόμενη βιβλιογραφία Blitzer, L., “Satellite Orbit Paradox: A General View,” Amer. J. Phys. 39:882, 1971. “Basic Facts About The Satellite Orbits,” Sky and Telescope 15:408, 1956. Dubridge, L.A., “Fun In Space,” Amer. J. Phys. 28:719, 1960. Blitzer, L., “Equilibrium and Stability of a Pendulum in an Orbiting Spaceship,” Amer. J. Phys. 47:241, 1979.

έννοια τής ενέργειας είναι από τις πιο σημαντικές έννοιες στη Φυσική και κατ’ επέκτασιν σε όλους τους κλάδους τής σύγχρονης επιστήμης και τεχνολογίας. Στην καθημερινή ζωή χρησιμοποιού­ με την έννοια τής ενέργειας κάθε φορά που σκεπτόμαστε πόσο κοστίζουν τα καύσιμα για την κίνηση τού αυτοκινήτου ή για θέρμανση, κάθε φορά που έρχεται ο λογαριασμός τής Δ Ε Η ή όταν πληρώνουμε το κόστος των επεξεργασμένων τροφίμων που αγοράζουμε στο σουπερμάρκετ. Ό λ α αυτά όμως είναι φιλολογικές εφαρμογές τής έννοιας τής ενέργειας· δεν τήν ορίζουν. Μ άς λένε μόνο ότι χρειαζόμαστε καύσιμα για να κάνουμε μια εργασία και ότι τα καύσιμα αυτά μάς δίνουν κάτι που τό ονομάζουμε ενέργεια. Η ενέργεια παρουσιάζεται σε διάφορες μορφές, όπω ς είναι η μηχανική ενέργεια, η ηλεκτρομαγνητική ενέργεια, η χημική ενέργεια, η θερμική ενέργεια και η πυρηνική ενέργεια. Οι διάφορες μορφές ενέργειας συνδέονται μεταξύ τους μέσω τού νόμου, σύμφωνα με τον οποίο, όταν η ενέργεια αλλάζει μορφές, η συνολική ενέργεια παραμένει σταθερή. Ακριβώς αυτός είναι ο λόγος που κάνει την έννοια τής ενέργειας τόσο χρήσιμη. Ο νόμος τής διατήρησης τής ενέργειας λέει ότι εάν ένα απομονωμένο σύστημα χάσει ενέργεια μιας μορφής, θα κερδίσει ίση ποσότητα ενέργειας σε άλλες μορφές. Λογουχάρη, όταν ένας ηλεκτρικός κινητήρας συνδέεται με μια μπαταρία, η χημική ενέργεια μεταβάλλεται σε ηλεκτρική, η οποία με τη σειρά της μεταβάλλεται σε μηχανική ενέργεια. Αυτή η μεταβολή τής ενέργειας από ένα είδος σε ένα άλλο αποτελεί βασικό μέρος τής μελέτης τής Φυσικής, τών διαφόρων κλάδων τής Μ ηχανολογίας, τής Χημείας, τής Β ιολογίας, τής Γεωλογίας και τής Αστρονομίας.

Η

7.1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε μόνο με τη λεγάμενη μηχανική ενέργεια. Θα δούμε ότι οι έννοιες τού έργου και τής ενέργειας μπορούν να εφαρμοστούν στη δυναμική ενός μηχανικού συστήματος χω ρίς να χρησιμο­ ποιήσουμε τους νόμους τού Newton. Πάντως, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι οι έννοιες τού έργου και τής ενέργειας βασίζονται στους νόμους τού Newton και επομένως δεν συνεπάγονται νέες αρχές τής Φυσικής. Η μεθοδολογία που θα χρησιμοποιήσουμε καταλήγει στα ίδια αποτελέ­ σματα με τους νόμους τού Newton κατά την περιγραφή τής κίνησης ενός μηχανικού συστήματος. Οι γενικές όμως ιδέες τής έννοιας έργο-ενέργεια μπορούν να εφαρμοστούν με μεγάλη επιτυχία σε ένα πολύ ευρύ φάσμα φαινομένων (που δεν έχουν σχέση με κίνηση) στους κλάδους τού Ηλεκτρομαγνητισμού, τής ατομικής και τής πυρηνικής Φυσικής. Τέλος, πολλές φορές, πολλά πολύπλοκα προβλήματα λύνονται με πολύ απλούστερη ανάλυση εάν

148

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

χρησιμοποιήσουμε την «ενεργειακή λύση» παρά την άμεση εφαρμογή τών νόμων τού Newton. Αυτή η νέα μεθοδολογία είναι χρησιμότατη όταν η δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα δεν είναι σταθερή. Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή και επομένως δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις κίνησης που περιγράψαμε στο Κεφάλαιο 3. Πολλές φορές, ένα σώμα υπόκειται σε μια δύναμη που δεν είναι σταθερή, αλλά μεταβάλλεται συναρτήσει τής θέσης τού σώματος. Τέτοιες δυνάμεις είναι μεταξύ άλλων η βαρυτική και η δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο. Για να αντιμετωπίσουμε διάφορα προβλήματα θα περιγράφουμε τεχνικές που βασίζονται στο θεώρημα έργου-ενέργειας, το οποίο και αποτελεί το κύριο αντικείμενο αυτού τού κεφαλαίου. Α ρχίζουμε με τον ορισμό τής έννοιας τού έργου, που αποτελεί τον συνδετικό κρίκο ανάμεσα στις έννοιες τής δύναμης και τής ενέργειας. Στο Κεφάλαιο 8 θα περιγράφουμε τον νόμο τής διατήρησης τής ενέργειας και θα τόν εφαρμόσουμε σε διάφορα προβλήματα.

7.2

ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

Θεωρήστε ότι ένα σώμα μετατοπίζεται ευθύγραμμα κατά μήκος s υπό την δράση δύναμης F, η οποία σχηματίζει γω νία θ με το s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.1.

Σχήμα 7.1 Ε άν ένα σώμα μετατοπι­ στεί κατά απόσταση s, τότε το έργο που παρήγαγε η δύναμη F που τό μετατόπισε είναι (F cos 6)s.

Εργο σταθερής δύναμης

Σχήμα 7.2 'Ο ταν ένα σώμα μετατο­ πίζεται οριζόντια πάνω σε μία τρο­ χ ιά επιφάνεια τότε ούτε η κάθετη δύναμη, Ν, ούτε το βάρος, m g, παράγουν έργο. Το έργο τό παράγει η δύναμη F και είναι ίσο προς (F cos 0)s, καθώς και η τρ ιβ ή ,/, τής οποίας το έργο είναι - fs .

Ορίζουμε ότι το έργο σταθερής δύναμης ισούται με το γινόμενο τής συνιστώσας τής δύναμης πάνω στη διεύθυνση τής μετατόπισης επί το μέτρο τής μετατόπισης. Επειδή η συνιστώσα τής Γστη διεύθυνση s είναι F cos θ, το έργο W τής F είναι W - ( F cos 0)s

(7.1)

Σύμφωνα, λοιπόν, με τον ορισμό αυτό, η F παράγει έργο όταν πληρούνται οι ακόλουθοι όροι: (1) το σώμα πρέπει να μετατοπιστεί και (2) η δύναμη F πρέπει να έχει μη μηδενική συνιστώσα στη διεύθυνση τού s. Α πό τον πρώτο όρο βλέπουμε ότι η δύναμη δεν παράγει έργο εάν το σώμα δεν κινηθεί (s = 0). Λ ογουχάρη, εάν κάποιος σπρώχνει έναν τοίχο, ασκεί δύναμη αλλά δεν παράγει έργο όσο ο τοίχος παραμένει ακίνητος. Βεβαίως, το άτομο αυτό καταναλώνει εσωτερική ενέργεια, διότι οι μύες του συστέλλονται (δηλαδή μετατοπίζονται). Έ τσ ι, βλέπουμε ότι η σημασία τής λέξης έργο στη Φυσική είναι σαφώς διαφορετική από τη σημασία που έχει η λέξη αυτή κατά τη χρήση της στην καθημερινή ζωή. Επίσης, εάν κρατάτε ένα βάρος με το τεντωμένο χέρι σας, δεν παράγετε έργο πάνω στο βάρος (υποθέτουμε ότι το χέρι σας δεν κινείται ούτε τρέμει). Εσείς πρέπει να ασκείτε μία δύναμη προς τα επάνω, για να κρατάτε το βάρος, αλλά το έργο που παράγει η δύναμη είναι μηδενικό, γιατί η μετατόπιση είναι μηδενική. Α πό τον δεύτερο όρο είναι σαφές ότι το έργο που παράγει η δύναμη είναι επίσης μηδενικό όταν η δύναμη είναι κάθετη πάνω στη μετατόπιση, επειδή θ = 90° και cos 90° = 0. Λογουχάρη, στο Σχήμα 7.2, το έργο που παράγει η κάθετη δύναμη καθώς και το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι μηδενικό, γιατί και οι δύο δυνάμεις είναι κάθετες στη μετατόπιση και έχουν μηδενική συνιστώσα στη διεύθυνση τού s. Το πρόσημο τού έργου εξαρτάται επίσης από την κατεύθυνση τής F σε σχέση με το s. Το έργο που παράγει η εφαρμοζόμενη δύναμη είναι θετικό όταν το διάνυσμα που έχει μέτρο F cos θ έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση. Λογουχάρη, όταν σηκώνουμε ένα σώμα, το έργο που παράγει η εφαρμοζόμενη δύναμη- είναι θετικό, επειδή η ανυψωτική δύναμη έχει κατεύθυνση προς τα επάνω, δηλαδή την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση. Στην περίπτωση αυτή το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι αρνητικό. Ό τα ν το διάνυσμα με μέτρο F cos θ έχει αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση,

7.2 ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

149

τότε το έργο W είναι αρνητικό. Ο παράγοντας cos θ που υπάρχει στο γινόμενο καθορίζει αυτόματα το πρόσημο. Έ ν α σύνηθες παράδειγμα στο οποίο το έργο W είναι αρνητικό είναι το έργο που παράγει η δύναμη τριβής όταν ένα σώμα ολισθαίνει πάνω σε μια τραχιά επιφάνεια. Εάν η δύναμη τής τριβής ολισθήσεως είναι f και το σώμα μετατοπίζεται ευθύγραμμα σε απόσταση s, τότε το έργο που παράγει η δύναμη τριβής είναι "/

, '1

J8

.

Έργο που παράγει η δύναμη τριβής σε ολισθαίνον σώμα

το αρνητικό πρόσημο προέρχεται από το ότι θ = 180° και cos 180° = — 1. Τέλος, εάν η εφαρμοζόμενη δύναμη δρα στην ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση, τότε θ = 0° και cos 0° = 1. 'Ετσι η Εξίσωση 7.1 γίνεται W =Fs

(7.3)

Το έργο είναι μονόμετρη ποσότητα και οι μονάδες του είναι δύναμη πολλαπλασιασμένη επί το μήκος. Έ τσ ι στο Διεθνές Σύστημα (SI) η μονάδα τού έργου είναι το newton · meter (Ν · m), που ονομάζεται joule (J). Η μονάδα τού έργου στο σύστημα c.g.s. είναι dyne · cm, που ονομάζεται erg, και στο βρετανικό σύστημα το lb-ft. Ο ι μονάδες αυτές αναγράφονται και στον Πίνακα 7.1. Σημειώστε ότι 1 J = ΙΟ7 ergs. Εφόσον το έργο είναι μανόμετρο μέγεθος, μπορούμε να προσθέσουμε το έργο που παράγει κάθε δύναμη ξεχωριστά για να υπολογίσουμε το συνολικό έργο. Λογουχάρη, εάν τρεις είναι οι δυνάμεις που συνεισφέρουν στο παραγόμενο έργο, το άθροισμα θα έχει τρεις όρους, καθένας από τους οποίους θα περιγράφει το έργο τής αντίστοιχης δύναμης. Το ακόλουθο παράδειγμα περιγράφει τα παραπάνω . Παράγει έργο 0 αθλητής καθώς ___

,

ΠΙΝΑΚΑΣ 7.1 Μονάδες έργου στα τρία συνήθη συοτηματα_________________ σύστημα μονάδα έργου ονομασία μονάδας SI newton · meter (Ν · m) cgs dyne · centimeter (dyne · cm) Βρετανικό μηχανολογικό σύστημα foot-pound (ft-lb)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.1 Ένα συρόμενο κιβώτιο Ένα κιβώτιο σύρεται πάνω σε ένα τραχύ πάτωμα από μια σταθερή δύναμη μέτρου 50 Ν. Η κατεύθυνση τής δύναμης σχηματίζει γωνία 37° πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Μία δύναμη τριβής μέτρου 10 Ν επιβραδύνει την κίνηση και το κιβώτιο μετατοπίζεται 3 m προς τα δεξιά, (a) Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη τών 50 Ν. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό τού έργου (Εξίσωση 7.1) και αφού είναι δεδομένα ότι F = 50 Ν, θ = 37° και ότι s = 3 m, WF= (F cos 6)s - (50 N)(cos 37°)(3 m) = 120 N · m =

120 J

Η κατακόρυφη συνιστώσα τής F δεν παράγει έργο. (b) Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη τριβής. W y=- / « = (- 1 0 N)(3m) = —30 Ν · m =

-3 0 J

κρατάει τα βάρη ψηλά; Π αράγει έργο όταν τά σηκώνει; (Ο Μ. Britinternational).

tan / Index Stock

joule (J) erg foot · pound (ft · lb)

(c) Προσδιορίστε το συνολικό έργο που παράγουν επί τού κιβωτίου όλες οι δυνάμεις οι οποίες δρουν επάνω του. Η δύναμη τής βαρύτητας mg και η κάθετη δύναμη Ν είναι κάθετες προς τη μετατόπιση και επομένως δεν παράγουν έργο. Το συνολικό έργο λοιπόν που γίνεται πάνω στο κιβώτιο είναι το άθροισμα τού (a) και τού (b):

Wne( = WF + W f= 120 J - 30 J =

90 J

Θα δούμε αργότερα ότι το συνολικό έργο πάνω στο σώμα ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής του ενέρ­ γειας. Αυτός είναι και ο διδακτικότερος τρόπος για να εξηγήσει κανείς τη φυσική σημασία τού Wnet. Άσκηση 1 Υποθέτουμε ότι η δύναμη τριβής είναι 15 Ν. Βρείτε το έργο που παράγεται επί τού κιβωτίου εάν μια οριζόντια δύναμη 50 Ν τό μετατοπίσει σε απόσταση 3 m. Απάντηση 105 J.

150

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

7.3

ΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ (Ή ΜΟΝΟΜΕΤΡΟ Η ΒΑΘΜΩΤΟ) ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Έ τ σ ι ό π ω ς τ ό ο ρ ί σ α μ ε , τ ο έ ρ γ ο ε ί ν α ι π ο σ ό τ η τ α μονόμετρη κ α ι ισ ο ύ τ α ι μ ε τ ο γ ι ν ό μ ε ν ο τ ο ύ μ έ τ ρ ο υ τ ή ς μ ε τ α τ ό π ισ η ς ε π ί τ η ν σ υ ν ισ τ ώ σ α τ ή ς δ ύ ν α μ η ς π ά ν ω σ τη δ ι ε ύ θ υ ν σ η τ ή ς μ ε τ α τ ό π ισ η ς . Γ ια δ ιε υ κ ό λ υ ν σ ή μ α ς γ ρ ά φ ο υ μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 7 .1 χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ώ ν τ α ς τ ο εσ ω τ ε ρ ικ ό ή β α θ μ ω τ ό ή μονόμετρο γ ι ν ό μ ε ν ο τ ώ ν δ ύ ο δ ι α ν υ σ μ ά τ ω ν Ε κ α ι s. Σ υ μ β ο λ ί ζ ο υ μ ε α υ τ ό τ ο μ ο ν ό μ ε τ ρ ο γ ι ν ό μ ε ν ο ω ς F ■s. Σ τ α α γ γ λ ι κ ά , σ υ χ ν ά , τ ό α π ο κ α λ ο ύ μ ε κ α ι dot product ( α π ό τ η ν τ ε λ ε ία = d o t π ο υ β ά ζ ο υ μ ε α ν ά μ ε σ α σ τα δ ύ ο δ ια ν ύ σ μ α τ α τ ο ύ γ ιν ο μ έ ν ο υ ). Έ τ σ ι ξ α ν α γ ρ ά φ ο υ μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 7 .1 ω ς

Το έργο σε μορφή εσωτερικόν γινομένου

W = F ■8 = F s cos θ Μ ε ά λ λ α λ ό γ ι α , F ■s (τ ό δ ι α β ά ζ ε τ ε « Ε ν τ ο τ θ α χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ο ύ μ ε α ν τ ί τ ο ύ F s c o s θ.

(7.4)

s») ε ί ν α ι η

σ υ ν θ η μ α τ ικ ή γ ρ α φ ή π ο υ

Γενικά, το μονόμετρο (ή βαθμωτό ή εσωτερικό ή ντοτ) γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β ορίζεται ως το μονόμετρο μέγεθος που ισούται με το γινόμενο τών μέτρων τών δύο διανυσμάτων επί το συνημίτονο της γωνίας θ , η οποία περιέχεται από τις κατευθύνσεις τών διανυσμάτων Α και Β. Δ η λ α δ ή , τ ο β α θ μ ω τ ό γ ιν ό μ ε ν ο τώ ν δ ια ν υ σ μ ά τ ω ν σ χέσ η

Το εσωτερικό (βαθμωτό) γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β

Α ·

Α

Β - ΑΒ c o s θ

και

Β

ο ρ ί ζ ε τ α ι α π ό τη

( 7 .5 )

ό π ο υ θ ε ί ν α ι η γ ω ν ί α μ ε τ α ξ ύ τ ώ ν Α κ α ι Β, ό π ω ς δ ε ί χ ν ε ι τ ο Σ χ ή μ α 7 . 3 , Α ε ίν α ι τ ο μ έ τ ρ ο τ ο ύ Α κ α ι Β τ ο μ έτ ρ ο τ ο ύ Β. Ν α σ η μ ε ιω θ ε ί ό τ ι τ α Α κ α ι Β δ ε ν ε ίν α ι α ν α γ κ α ίο ν α έ χ ο υ ν τ ις ίδ ιες μ ο ν ά δ ε ς.

Σχήμα 7.3 Το εσωτερικό γινόμενο Α ■Β τών δύο διανυσμάτων Α κάι Β ισούται με το γινόμενο τού μέτρου τού Α επί την προβολή τού Β πάνω στο Α. Σ τ ο Σ χ ή μ α 7 . 3 , η π ρ ο β ο λ ή τ ο ύ Β π ά ν ω σ τ η ν δ ι ε ύ θ υ ν σ η τ ο ύ Α ε ί ν α ι Β c o s θ. Ε π ο μ έ ν ω ς ο ο ρ ι σ μ ό ς τ ο ύ Α · Β, ό π ω ς τ ό ν δ ώ σ α μ ε α π ό τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 7 . 5 , ε ίν α ι ισ ο δ ύ ν α μ ο ς με το γ ιν ό μ ε ν ο τ ο ύ μ έτρ ο υ τ ο ύ Α επ ί τη ν π ρ ο β ο λ ή τ ο ύ Β π ά ν ω στο Α ή , ι σ ο δ ύ ν α μ α π ά λ ι , λ έ μ ε ό τ ι Α · Β ισ ο ύ τ α ι μ ε τ ο γ ι ν ό μ ε ν ο τ ο ύ μ έ τ ρ ο υ τ ο ύ Β ε π ί τ η ν π ρ ο β ο λ ή τ ο ύ Α π ά ν ω σ τ ο Β.'Από τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 7 .5 β λ έ π ο υ μ ε ό τ ι τ ο β α θ μ ω τ ό γ ι ν ό μ ε ν ο ε ί ν α ι α ν τ ιμ ε τ α θ ε τ ικ ό . Δ η λ α δ ή ,

Το εσωτερικό γινόμενο ακολουθεί την αντιμεταθετική ιδιότητα

Α ■Β — Β · Α

( 7 .6 )

Τ έ λ ο ς , τ ο εσ ω τ ε ρ ικ ό γ ι ν ό μ ε ν ο υ π α κ ο ύ ε ι σ τ ο ν ε π ιμ ε ρ ισ τ ικ ό ν ό μ ο τ ο ύ π ο λ λ α ­ π λ α σ ια σ μ ο ύ . Δ η λ α δ ή ,

Α · (Β + 0 = Α · Β + Α - C

(7 .7 )

Ο υ π ο λ ο γ ι σ μ ό ς τ ο ύ β α θ μ ω τ ο ύ γ ι ν ο μ έ ν ο υ ε ί ν α ι π ο λ ύ α π λ ό ς ό τ α ν τ ο Α ε ίν α ι

(1>Αυτό είναι το ίδιο με το να πούμε ότι το Λ -Β είναι too με το γινόμενο τού μέτρου τού Β επί την προβολή τού Α πάνω στο Β. -

7.3 ΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

151

κ ά θ ε τ ο ή π α ρ ά λ λ η λ ο σ τ ο Β. Ό τ α ν τ ο Α ε ί ν α ι κ ά θ ε τ ο σ τ ο Β ( 0 = 9 0 °) τ ό τ ε A · Β = 0 . 'Ε χ ο υ μ ε ε π ίσ η ς A · Β = 0 ό τ α ν τ ο Α ή τ ο Β ε ί ν α ι μ η δ έ ν . Ε ά ν τ α A κ α ι Β έ χ ο υ ν τ η ν ί δ ι α κ α τ ε ύ θ υ ν σ η (θ = 0 °) τ ό τ ε A · Β = Α Β . Ε ά ν τ ο Α κ α ι Β έ χ ο υ ν α ν τ ίθ ε τ η κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ( θ = 1 8 0 °) τ ό τ ε Α · Β = - Α Β . Τ ο β α θ μ ω τ ό γ ι ν ό μ ε ν ο ε ί ν α ι α ρ ν η τ ι κ ό ό τ α ν 9 0 ° < θ < 180°. Τ α μ ο ν α δ ι α ί α δ ι α ν ύ σ μ α τ α ί, J, κ α ι k , τ α ο π ο ί α ο ρ ί σ α μ ε σ τ ο Κ ε φ ά λ α ι ο 2 , κ α τ ε υ θ ύ ν ο ν τ α ι π ρ ο ς τ α θ ε τ ικ ά χ, y, κ α ι ζ , α ν τ ί σ τ ο ι χ α , ε ν ό ς δ ε ξ ι ό σ τ ρ ο φ ο υ σ υ σ τή μ α το ς σ υ ντε τα γ μ ένω ν. Ε π ο μ έ ν ω ς , ε ά ν εφ α ρ μ ό σ ο υ μ ε τ ο ν ο ρ ισ μ ό το ύ Α · Β, τ ο μ α ν ό μ ε τ ρ ο γ ι ν ό μ ε ν ο α υ τ ώ ν τ ώ ν δ ι α ν υ σ μ ά τ ω ν ε ί ν α ι

I . j m>j ■j = k - k — 1

( 7 .8 a )

Εσωτερικά γινόμενα

i .j

(7.8b)

μ θ ν α δ ια ίω ν

. {

. k

- j ·

k

- 0

Μ π ο ρ ο ύ μ ε ν α γ ρ ά ψ ο υ μ ε τ α δ ια ν ύ σ μ α τ α Α κ α ι

Β σ υνα ρτή σ ει τώ ν

διανυσμάτων

σ υ ν ισ τ ω σ ώ ν

το υ ς

A = Axt + A yj + A zk Β = Bxi + Byj + Bzk Ε ά ν χ ρ η σ ι μ ο π ο ι ή σ ο υ μ ε λ ο ι π ό ν τ ι ς Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς 7 .8 a κ α ι 7 . 8 b , τ ο β α θ μ ω τ ό γ ιν ό μ ε ν ο τώ ν Α κ α ι Β ε ίν α ι Α ·

B = AxBx + AyBy + AzBz

Σ τ η ν ε ιδ ικ ή π ε ρ ίπ τ ω σ η π ο υ Α =

Β,

( 7 .9 )

βλ έπ ο υ μ ε ότι

Α ■Α = Α 2 + Αν2 + Α 2 = Α 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.2 Το μονόμετρο γινόμενο Δίνονται τα διανύσματα Α = 2/ + 3/ και Β = —i+2j. (a) Προσδιορίστε το μονόμετρο γινόμενο Α · Β. Α · Β = (21 + 3j) ■( - i + 2j) = - 2 i · «+ 2i · 2j - 3j · i + 3j ■2j = -2 + 6 =

4

όπου χρησιμοποιήσαμε τις σχέσεις i ■j = j ■i = 0. Μπορούμε να βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώ­ ντας κατευθείαν την Εξίσωση 7.9 με Λ* = 2, Α,, = 3, Βχ = - 1, και Β, = 2. (b) Βρείτε την γωνία θ που περιέχεται από τα Α και Β. Τα μέτρα τών Α και Β είναι: A = VA,2 + Ay2 = V(2)2 + (3)2 = >/Ϊ3 Β = VB*2 + Β„2 = >/(-1)2 + (2)2 = 75 Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 7.5 και τα αποτελέσματα από την (a) και έχουμε cos0 = ± l l = — *.____ L ΑΒ λ/13 λ/5 y/65

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.3 Εργο σταθερής δύναμης Ένα σώμα που κινείται στο επίπεδο xy μετατοπίζεται σε απόσταση s = (2/ + 3J) m υπό την επίδραση σταθερής δύναμης F = (5i + 2J) Ν. (a) Υπολογίστε το μέτρο τής μετατόπισης και τής δύναμης. s = Vx2 + (/* = V(2)2 + (3)2 = F = VFr2 + Fy2 = V(5)2 + (2)8 =

Vl3 m V29N

(b) Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη F. θέτουμε τις εκφράσεις για το F και το s στην Εξίσωση 7.4, χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 7.8 και έχουμε W = F ■s = (5ί + 2j) ■(2* + 3j) Ν · m = 5 i · 2» + 2j · 3j = 16 Ν · m =

16 J

Άσκηση 2 Υπολογίστε τη' γωνία ανάμεσα στην F και την s. Απάντηση 34.5°.

152

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

7.4

ΕΡΓΟ ΜΗ ΣΤΑ Θ ΕΡΗ Σ ΔΥΝΑΜ ΗΣ Σ Ε Μ ΙΑ ΔΙΑ ΣΤΑ ΣΗ

Θεωρήστε ένα σώμα που μετακινείται πάνω στον άξονα τών χ υπό την επίδραση μεταβλητής δύναμης, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.4. Το σώμα στο σημείο χ {. μετατοπίστηκε πάνω στον άξονα τών χ από το σημείο Στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό W = (F cos θ) s για να υπολογίσουμε το έργο το οποίο παράγει η δύναμη, διότι ο προηγούμενος ορισμός προϋποθέτει ότι η F είναι σταθερή σε μέτρο και διεύθυνση. Α ς φανταστούμε όμως ότι το σώμα μετακινείται πάρα πολύ λίγο κατά Αχ, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 7.4a, η συνιστώσα χ τής δύναμης F δεν έχει μεταβληθεί σημαντικά σε αυτό το πολύ μικρό διάστημα Α χ και μπορούμε να πούμε κατά προσέγγιση ότι είναι σταθερή. Έ τσ ι μπορούμε να υπολογίσου­ με το έργο που παράγει η δύναμη για να μετατοπίσει το σώμα κατά Α χ A W = F x Ax

Σχήμα 7.4 (a) Το έργο που παράγει η δύναμη Fx μετατοπίζοντας το σώμα κατά Α χ είναι FxA x κα ι ισούται με την επιφάνεια τού γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου. Το ολικό έργο που παράγεται για να μετατο­ πιστεί το σώμα από το χ, στο χ { είναι, προσεγγισιικά, ίσο με το άθροισμα τών επιφανειών όλων τών μικρών ορθογωνίων, (b) Το έργο που παράγει η μεταβαλλόμενη δύ­ ναμη Fx καθώς το σώμα κινείται υπό την επίδρασή της από το x t στο χ , ισούται ακριβώς με την επιφά­ νεια που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη.

(7.10)

Αλλά αυτό ισούται με την γραμμοσκιασμένη επιφάνεια τού Σχήματος 7.4a. Εάν φανταστούμε ότι η επιφάνεια κάτω από την καμπύλη τής Fx ως προς χ χω ρίζεται σε έναν μεγάλο αριθμό πολύ μικρών διαστημάτων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.4a, τότε το συνολικό έργο που καταναλώνεται για να μετατοπιστεί το σώμα από το χ, στο x t ισούται με το άθροισμα πολλών όρων, παρόμοιων με τον όρο τής Εξίσωσης 7.10: \ ν = Σ ρχ Αχ Εάν οι μετατοπίσεις Αχ, γίνουν απειροστά μικρές, τότε ο αριθμός τών όρων αυξάνεται απεριόριστα, αλλά η τιμή τού αθροίσματος τείνει προς μία ορισμένη τιμή, η οποία ισούται με την επιφάνεια που περιορίζεται από την καμπύλη Fx και τον άξονα τών χ. 'Ο πω ς γνωρίζουμε από το μάθημα τού απειροστικού λογισμού, το όριο αυτό τού αθροίσματος ονομάζεται ολοκλή­ ρωμα και το συμβολίζουμε με lim Τ Fz A x = I

Fx dx

Τα ό ρια χ = χ, και χ = χ { καθορίζουν τα όρια τών τιμών τις οποίες μπορεί να λάβει η ανεξάρτητη μεταβλητή χ και, γ ι’ αυτό, το ολοκλήρωμά μας λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα. (Ενώ, όπως ξέρετε, αόριστο ολοκλήρωμα είναι το όριο τού αθροίσματος πάνω σε ένα ακαθόριστο διάστημα. Βλ. στο Παράρτη­ μα Β.7 μια σύντομη ανασκόπηση τού ολοκληρωτικού λογισμού). Αυτό λοιπόν το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο αριθμητικά με την επιφάνεια που περιέχεται κάτω από την καμπύλη τής Fx ως προς χ, για τιμές τού χ ανάμεσα στο χ i και στο χ {. Επομένως, μπορούμε να εκφράσουμε το έργο που παράγει η Fx για να μετατοπίσει το σώμα ανάμεσα στο χ·, και χ { ως W = J * Fx dx

(7.11)

Στην περίπτωση που η Fx = F cos θ είναι σταθερή, η παραπάνω εξίσωση ανάγεται στην Εξίσωση 7.1, όπως, άλλωστε, ήταν επόμενο. Εάν δρουν πάνω στο σώμα περισσότερες από μία δυνάμεις, τότε το συνολικό έργο είναι, απλώς, το έργο που παράγει η συνισταμένη τους. Εάν συμβολίσουμε τη συνισταμένη τών δυνάμεων στη διεύθυνση χ με το ΣΕ„ τότε το συνολικό έργο που παράγουν όλες οι δυνάμεις καθώς κινούν το σώμα από το χ, στο χ { είναι

wn

- Π 2*)*

(7.12)

7.4 ΕΡΓΟ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.4 Εργο σταθερής δύναμης Μια δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα εξαρτάται από το χ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.5. Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη καθώς μετατοπίζει το σώμα από το χ = 0 στο χ = 6 m. Λύση Το έργο που παράγει η δύναμη ισούται με τη συνολική επιφάνεια η οποία βρίσκεται κάτω από την καμπύλη, από το σημείο χ = 0 στο x = 6 m .H επιφάνεια είναι ίση με την επιφάνεια τού ορθογωνίου από χ = 0 έως χ = 4 m συν την επιφάνεια τού τριγώνου από χ = 4 m έως χ = 6 m. Η επιφάνεια τού ορθογωνίου είναι (4) (5) Ν · m = 20 J και η επιφάνεια τού τριγώνου είναι ί(2)(5) Ν · m = 5 J. Επομένως το συνολικό έργο είναι 25 J.

Fx (.Ν)

Σχήμα 7.5 (Παράδειγμα 7.4) Η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σώμα είναι σταθερή για τα 4 πρώτα μέτρα τής κίνησης και κατόπιν ελαττώνεται γραμμικά συναρτήσει τού χ, από το χ = 4 m έως το χ = 6 m. Το ολικό έργο που παράγει η δύναμη ισούται με την επιφάνεια που βρίσκεται ανάμεσα στην καμπύ­ λη και στον άξονα χ.

Έ ργο που παράγεται από ένα ελατήριο Στο Σχήμα 7.6 φαίνεται ένα σύνηθες σύστημα στο οποίο η δύναμη είναι συνάρτηση τής μετατόπισης. Έ ν α σώμα που ακουμπάει πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια συνδέεται με τον τοίχο με ένα ελατήριο. Εάν το ελατήριο εκταθεί ή συμπιεσθεί από τη θέση ισορροπίας του, τότε το ελατήριο ασκεί δύναμη πάνω στο σώμα, η οποία ισούται με Ft = ~ k x

(7.13)

Δύναμη ελατηρίου

όπου χ είναι η μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας (χ = 0) και k είναι μια θετική σταθερά που λέγεται ελαστική σταθερά τού ελα τηρίου.Ό πω ς αναφέ­ ραμε στο Κεφάλαιο 5, ο νόμος αυτός ονομάζεται νόμος τού Hooke. Α ς σημειωθεί ότι ο νόμος τού Hooke ισχύει γενικά για μικρές μόνο μετατοπίσεις. Η τιμή τού k είναι ενδεικτική τής σκληρότητας τού ελατηρίου. Σκληρά ελατήρια έχουν μεγάλες τιμές τού k, ενώ μαλακά ελατήρια έχουν μικρές τιμές τού k. Το αρνητικό πρόσημο τής Εξίσωσης 7.13 σημαίνει ότι η δύναμη την οποία ασκεί το ελατήριο έχει πάντοτε αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση. Λογουχάρη, όταν το χ > 0, όπως στο Σχήμα 7.6a, η δύναμη έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά, είναι δηλαδή αρνητική. Ό τα ν χ < 0, όπω ς στο Σχήμα 7.6c, η δύναμη έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά, δηλαδή είναι θετική. Προφανώς, όταν χ = 0, όπως στο Σχήμα 7.6b, το ελατήριο δεν είναι ούτε τεταμένο ούτε συμπιεσμένο και Fs = 0. Ο ι δυνάμεις τών ελατηρίων κατευθύνονται πάντοτε προς τη θέση ισορροπίας και γ ι’ αυτό ονομάζονται και δυνάμεις επαναφοράς. Ό τα ν το σώμα μετατοπιστεί κατά απόσταση x m από τη θέση ισορροπίας, θα κινηθεί από το — x m στο + x m περνώντας από το μηδέν. Περιγραφή τής κίνησης που θα προκύψει θα βρείτε στο Κεφάλαιο 13. Ας υποθέσουμε ότι σπρώχνουμε το σώμα προς τα αριστερά μέχρι απόσταση jcm από τη θέση ισορροπίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6c, και τό αφήνουμε. Ας υπολογίσουμε το έργο που πα ράγεται από τη δύναμη τού ελατηρίου καθώς το σώμα κινείται από το σημείο Xi= — x m στο χ { = 0. Εάν εφαρμόσουμε την Εξίσωση 7.11, παίρνουμε

W, = J

F ,d x =

J

153

(—kx) dx = i k x m2

(7.14a)

Δηλαδή το έργο που παράγεται από τη δύναμη τού ελατηρίου είναι θετικό, επειδή η δύναμη έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση (και οι δύο κατευθύνονται προς τα δεξιά). Εάν υπολογίσουμε το έργο που παράγει η

Έργο ελατηρίου

154

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Fs < 0 χ>0

Σχήμα 7.6 Η δύναμη ενός ελατηρίου μεταβάλλεται καθώς μεταβάλλεται η θέση τού σώματος από τη θέση ισορροπίας, (a) Ό τ α ν το χ είναι θετικό (τεταμένο ελατήριο), η δύναμη τού ελατηρίου κατευθύνεται προς τα αριστερά, (b) Ό τα ν το χ είναι μηδέν, η δύναμη τού ελατηρίου είναι μηδενική (κανονικό μήκος τού ελατηρίου), (c) Ό τα ν το χ είναι αρνητικό (συμπιεσμένο ελατήριο), τότε η δύναμη τού ελατηρίου κατευθύνεται προς τα δεξιά, (d) Γραφική παράσταση τής μεταβολής τής δύναμης τού ελατηρίου F, και τού χ για το παραπάνω παράδειγμα. Το έργο που π αράγει η δύναμη τού ελατηρίου καθώς το σώμα μ ετατοπίζεται από το - * m στο 0 ισούται με την επιφάνεια τού γραμμοσκιασμένου τριγώνου, ik x m2.

δύναμη τού ελατηρίου καθώς το σώμα κινείται από το χ·λ = 0 στο x f = x m, βρίσκουμε ότι Wg = — Ikxm2. Επομένως το συνολικό έργο που παράγει η δύναμη τού ελατηρίου καθώς το σώμα κινείται από το = —x m στο x t = xm είναι μηδενικό. Εάν κάνουμε μια γραφική παράσταση τού F προς το χ, όπως στο Σχήμα 7.6d, καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. (Να σημειωθεί ότι το έργο που υπολογίσαμε με την Εξίσωση 7.14a είναι ίσο με την επιφάνεια τού γραμμοσκιασμένου τριγώνου τού Σχήματος 7.6d, με βάση το x m και ύψος kxm. Η

7.4 ΕΡΓΟ ΜΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

155

επιφάνεια τού τριγώνου αυτού είναι ik x m2, δηλαδή ίση με το έργο που υπολογίσαμε με την Εξίσωση 7.14a. Εάν το σώμα μετατοπιστεί κατά μία τυχαία μετατόπιση από το στο χ {, το έργο που παράγει η δύναμη τού ελατηρίου είναι W, «= f ( - k x ) d x = i k x * - i k x f

(7.14b)

Από την εξίσωση αυτή βλέπουμε ότι το έργο είναι μηδενικό για κάθε κίνηση η οποία καταλήγει στο σημείο από το οποίο άρχισε = xf). Το σημαντικό αυτό αποτέλεσμα θα τό χρησιμοποιήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Α ς υπολογίσουμε τώρα το έργο που παράγει μια εξωτερική δύναμη καθώς εκτείνει πολύ σιγά το ελατήριο από το σημείο Xj = 0 στο x f = x m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.7. Μ πορούμε να κάνουμε εύκολα τον υπολογισμό εάν προσέξουμε ότι η εφαρμοζόμενη δύναμη, Fapp, είναι ίση και αντίθετη με την δύναμη τού ελατηρίου Fs, για οποιαδήποτε τιμή τής μετατόπισης, έτσι ώστε Fapp = - ( —lex) = kx. Επομένως το έργο που παράγει αυτή η εφαρμοζόμενη (ή εξωτερική) δύναμη είναι WFw =

J

Fvp dx =

J

kx dx = %kxm2

Να σημειωθεί ότι το έργο αυτό ισούται με το αρνητικό τού έργου που παράγεται από τη δύναμη τού ελατηρίου για αυτήν τη μετατόπιση.

Σχήμα 7.7. 'Ε να σώμα βρίσκεται πάνω σε λεία επιφάνεια και σύρεται προς τα δεξιά από τη δύναμη Fapp. Έ τσ ι μετατοπίζεται από το χ = 0 στο χ = xm. Ε άν η διαδικασία αυτή γίνει σιγά-σιγά, τότε η εφαρμοσμέ­ νη δύναμη Fapp είναι ίση και αντίθε­ τη προς τη δύναμη τού ελατηρίου κάθε στιγμή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.5 Η δύναμη τού ελατηρίου παράγει έργο Ένα σώμα που βρίσκεται πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια συνδέεται με ένα ελατήριο σταθερός 80 N/m. Το ελατήριο συμπιέζεται κατά ένα μήκος 3.0 cm από τη θέση ισορροπίας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6c. Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη τού ελατη­ ρίου καθώς το σώμα κινείται από το σημείο Xj = - 3.0 cm στη θέση ισορροπίας xf = 0. Λύση Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 7.14a με xm = - 3.0 cm = - 3 X ΙΟ-2 m, και βρίσκουμε W, = i k x j = *^80 =

( - 3 Χ ΙΟ” 2 m)2

3.6 X 10-* J

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.6 Μέτρηση της σταθερός k ενός ελατηρίου Στο Σχήμα 7.8 παριστάνεται μια συνήθης μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση τής σταθερός ενός ελατηρίου. Το ελατήριο αναρτάται κατακόρυφα, όπως στο Σχήμα 7.8a, και από το άκρο του στο κάτω μέρος κρέμεται ένα σώμα μάζας m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.8b. Λόγω τού «βάρους», mg, το ελατήριο επιμηκύνε­ ται κατά ένα μήκος d. Η δύναμη τού ελατηρίου κατευθύνεται προς τα επάνω και εξισορροπεί το βάρος. Εφαρμόζουμε τον νόμο τού Hooke, που δίνει |F,| — kd = mg, ή k = mg/d

(a)

(b)

(c)

Σχήμα 7.8 (Παράδειγμα 7.6) Προσδιορισμός τής σταθεράς ενός ελικοειδούς ελατηρίου. Η επιμήκυνσή του d οφείλεται στο βάρος mg. Επειδή η τάση τού ελατηρίου εξισορροπεί το βάρος, έπεται ότι k = mg/d.

Λογουχάρη, εάν εκτείνουμε ένα ελατήριο κατά 2.0 cm κρεμώντας σ’ αυτό μάζα 0.55 kg, η σταθερά τού ελατηρίου θα είναι mg

( 0 . 5 5 k g ) ( 9 . 8 0 m / S2)

--- ϊ.οχ'ίό-^

k~~d

27X10

N/m

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.7 Εργο για να κινηθεί ένα αυτοκίνητο Ένα αυτοκίνητο αγώνων ωθείται πάνω σε μια οριζό­ ντια επιφάνεια από μια οριζόντια δύναμη που εξαρτά-

156

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ται από την απόσταση, σύμφωνα με την καμπύλη τού Σχήματος 7.9. Υπολογίστε προσεγγιστικά το συνολικό έργο που παράγεται για να κινηθεί το αυτοκίνητο από την θέση χ = 0 στη θέση χ = 20 m. Λύση Ας πάρουμε την καμπύλη και ας χωρίσουμε τη μετατόπιση σε πολλές μικρές μετατοπίσεις. Για ευκολία ας χωρίσουμε τη συνολική μετατόπιση σε δέκα διαδοχι­ κές μετατοπίσεις μήκους 2 m η καθεμιά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.9. Το έργο που παράγεται σε καθεμιά από τις επιμέρους μετατοπίσεις ισούται κατά προσέγγιση με την επιφάνεια τού ορθογωνίου που περιγράφεται από την διακεκομένη γραμμή. Λογουχάρη, το έργο που παράγεται στην πρώτη μετατόπιση, από το χ = 0 έως το

χ = 2 m, ισούται με την επιφάνεια τού μικρότερου ορθογωνίου (2 m) (5 Ν) = 10 J. Το έργο που παράγεται κατά τη δεύτερη μετατόπιση, από το χ = 2 m μέχρι χ = 4 m, είναι η επιφάνεια τού δεύτερου ορθογωνίου και ισούται με (2 m) (12 Ν) = 24 J. Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο και βρίσκουμε τις επιφάνειες οι οποίες είναι σημειωμένες στο Σχήμα 7.9. Το άθροισμά τους δίνει το συνολικό έργο από χ = 0 έως χ = 20 m. Το αποτέλεσμα είναι Wtotal - 442 J Είναι προφανές ότι η ακρίβεια τού αποτελέσματος βελτιώνεται πολύ όσο περισσότερα είναι τα ορθογώνια.

Σχήμα 7.9 (Παράδειγμα 7.7) Γραφική παράσταση τής δύναμης συναρτήσει τής απόστασης για ένα αυτοκίνητο που κινείται πάνω στον άξονα χ. Ο ι αριθμοί μέσα στα ορθογώνια δίνουν την επιφά­ νεια του αντίστοιχου ορθογωνίου, δηλαδή το έργο που έχει παραχθεί σε αυτό το διάστημα.

7.5

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Στο Κεφάλαιο 5 είδαμε ότι όταν η συνισταμένη των δυνάμεων οι οποίες δρουν επί ενός σώματος δεν είναι μηδενική, τότε το σώμα επιταχύνεται. Θεωρήστε την περίπτωση κατά την οποία μια σταθερή δύναμη Fx δρα πάνω σε ένα σώμα μάζας m το οποίο κινείται στη διεύθυνση χ. Ο δεύτερος νόμος τού Newton λέει ότι Fx = max, όπου η αχ είναι σταθερή, αφού η Fx είναι σταθερή. Εάν το σώμα μετατοπιστεί από το jcj = 0 στο x t = s, τότε το έργο που παράγει η δύναμη Fx είναι W = F ^ = (maz)s

(7.15)

Στο Κεφάλαιο 3 όμως είδαμε ότι, όταν το σώμα επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση, ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: s = £(t>, + Of)t

αχ = V{ ^ V‘

όπου Vi είναι η ταχύτητα τη στιγμή ί = 0 και υ{ είναι η ταχύτητα τη στιγμή ί. Θέτουμε τις εκφράσεις αυτές στην Εξίσωση 7.15 και έχουμε i(vi + Vf)t

W = i m v f — \m Vi

(7.16)

7.5 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

157

Ορίζουμε ότι η κινη τική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με το γινόμενο τού μισού τής μάζας επί το τετράγωνο τού μέτρου ταχύτητας τού σώματος. Δηλαδή, η κινητική ενέργεια, Κ, ενός σώματος μάζας m το οποίο έχει μέτρο ταχύτητας ν ορίζεται με την παρακάτω εξίσωση K = im t)4

(7.17)

Κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που σχετίζεται με την κίνηση ενός σώματος

Η κινητική ενέργεια είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει τις ίδιες μονάδες με το έργο. Λογουχάρη, μία μάζα 1 kg η οποία κινείται με ταχύτητα 4.0 m/s έχει κινητική ενέργεια 8.0 J. Στον Πίνακα 7.2 περιέχεται κατάλογος τών κινητικών ενεργειών διαφόρω ν σωμάτων. Μ πορούμε να νοήσουμε την κινητική ενέργεια ως ενέργεια που συνδέεται με την κίνηση ενός σώματος. Για διευκόλυνσή μας, μπορούμε να ξαναγράψουμε την Εξίσωση 7.16 ως W = Kf -

= ΑΚ

ΠΙΝΑΚΑΣ 7.2 Κινητικές ενέργειες διαφόρων σωμάτων σώμα μάζα (kg) μέτρο ταχύτητας (m/s) Η Γη περιφερόμενη 5.98 X ΙΟ24 2.98 X ΙΟ4 γύρω από τον Ήλιο Η Σελήνη περιφερόμενη 7.35 X 1022 1.02 X ΙΟ3 γύρω από τη Γη Πύραυλος κινούμενος 500 6.18 X 104 με ταχύτητα διαφυγής® Αυτοκίνητο κινούμενο 2000 25 με 55 mi/h Δρομέας 70 10 Πέτρα που πέφτει 1 14 από ύψος 10 m Μπάλλα τού γκολφ 0.046 32 κινούμενη με την οριακή της ταχύτητα Σταγόνα βροχής 3.5 X ΙΟ-5 9 που πέφτει με την οριακή της ταχύτητα Ένα μόριο οξυγόνου 500 5.3 X ΙΟ"26 τής ατμόσφαιρας

(7.18)

θεώρημα έργου-ενέργειας

κινητική ενέργεια (J) 2.65 X ΙΟ33 3.82 X ΙΟ28 9.5 X ΙΟ13 6.3 X ΙΟ5 3.5 X ΙΟ3 9.8 X 101 2.4 X 101 1.4 X ΙΟ"3 6.6 X 10“21

*Ταχύτητα διαφυγής είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει ένα σώμα ώστε να ξεφύγει από το βαρυτιχό πεδίο τής Γης.

Δηλαδή Το έργο που παράγει η συνισταμένη σταθερή δύναμη F καθώς μετατοπίζεται ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού σώματος. Η λέξη μεταβολή εδώ σημαίνει τη διαφορά τής τελικής μείον την αρχική κινητική ενέργεια. Η Εξίσωση 7.18 αποτελεί πολύ σημαντικό αποτέλεσμα και είναι γνωστή ως θεώρημα έργου-ενέργειας. Έ χουμ ε εξαγάγει το θεώρημα αυτό για την περίπτωση σταθερής δύναμης, αλλά μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει ακόμη και όταν η δύναμη μεταβάλλεται. Εάν η συνολική δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα στη διεύθυνση χ είναι ΣΕΧ, τότε ξέρουμε από τον δεύτερο νόμο τού Newton ότι ΣΕΧ = ma. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε

Το έργο που παράγεται πάνω σε ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής του ενέργειας

158

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Την Εξίσωση 7.12 για να υπολογίσουμε το συνολικό παραγόμενο έργο Wnet: = £ ( Σ * .) * - pm adx Εφόσον η συνολική δύναμη εξαρτάται από το χ, έπεται ότι και η ταχύτητα και η επιτάχυνση εξαρτώνται από το χ. Θ α χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα τής διαδοχικής διαφόρισης για να υπολογίσουμε το Wnet: _ dv _ dv dx _ dv dt dx d t V dx Θέτουμε αυτό στην έκφραση για το W και παίρνουμε W„et =

J

την ^

dx =

j

την dv = \rnVf3· — £την*

(7.19)

Μ εταβάλαμε τα όρια τού ολοκληρώματος γιατί αλλάξαμε τη μεταβλητή από το χ στο ν. Το θεώρημα έργου-ενέργειας, όπω ς εκφράζεται στην Εξίσωση 7.18, ισχύει επίσης και για τη γενικότερη περίπτωση κατά την οποία μεταβάλλεται η κατεύθυνση και το μέτρο τής δύναμης καθώς το σώμα κινείται πάνω σε μια οποιαδήποτε τροχιά στις τρεις διαστάσεις. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Γενική έκφραση τού έργου που παράγει η δύναμη F

Γραμμικό ή επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

W - J ^ F 'd s

(7.20)

όπου τα όρια ϊ και f αντιστοιχούν στις αρχικές και στις τελικές συντεταγμένες τού σώματος. Το ολοκλήρωμα τής Εξίσωσης 7.20 ονομάζεται γραμμικό ολοκλήρωμα. Μ πορούμε να γράψουμε το διάνυσμα το οποίο περιγράφει μια απειροστά μικρή μετατόπιση ως ds = dxi + dyj + dzk, αλλά η F = F J + Fyj + Fzk. 'Ετσι ξαναγράφουμε την Εξίσωση 7.20

W = j ' Fx dx+ f ' Fv dy + I * Fz dz

(7.21)

Αυτή είναι γενική έκφραση(2) και τή χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε το έργο που παράγει μια δύναμη όταν μετατοπίζει το σώμα από το σημείο το οποίο έχει συντεταγμένες (*;, y x, Ζϊ) στο σημείο (jc{ , y t, ζ{). Έ τσ ι συμπεραίνουμε ότι Το έργο μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό

το έργο που παράγει σε ένα σώμα η συνισταμένη τών δυνάμεων οι οποίες δρουν επάνω του ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού σώματος. Σύμφωνα επίσης με το θεώρημα έργου-ενέργειας, εάν το συνολικό έργο είναι θετικό (δηλαδή Κ{ > Κι), τότε αυξάνεται το μέτρο ταχύτητας τού σώματος· εάν όμως είναι αρνητικό (δηλαδή K t < Κ {), τότε ελαττώνεται το μέτρο τής ταχύτητας. Δηλαδή, η ταχύτητα και η κινητική ενέργεια ενός σώματος θα μεταβληθούν μόνο εάν μια εξωτερική δύναμη παραγάγει έργο πάνω στο σώμα. Έ τσ ι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος είναι ίση με το έργο που πρέπει να παραγάγει μια δύναμη στο σώμα ώστε να τό ακινητοποιήσει.

Στη γενική περίπτωση την οποία περιγράφει η Εξίσωση 7.21, η συνιστώσα Fx μπορεί να είναι συνάρτηση τών y και ζ, όπως και τού χ. Όταν ολοκληρώνουμε ως προς χ θα θεωρούμε τα y και ζ σταθερά. Το ίδιο ισχύει και για τις Fy και Fz .

7.7. ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.8 'Ενα σώμα σύρεται πάνω σε λεία επιφάνεια Ένα σώμα μάζας 6 kg, το οποίο αρχικά ηρεμούσε, σύρεται προς τα δεξιά επάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια υπό την δράση σταθερής οριζόντιας δύναμης 12 Ν, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.10a. Βρείτε το μέτρο ταχύτητας τού σώματος όταν αυτό έχει διανύσει από­ σταση 3 m. Λύση Το βάρος εξισορροπείται από την κάθετη δύναμη, αλλά καμία από αυτές τις δύο δυνάμεις δεν παράγει έργο, γιατί είναι κάθετες πάνω στη μετατόπιση. Εφόσον δεν υπάρχουν τριβές, η συνολική εξωτερική δύναμη είναι 12 Ν. Επομένως, το έργο που παράγει η δύναμη αυτή είναι Wf =F s = (12 Ν)(3 m) = 36 Ν · m = 36 J Χρησιμοποιούμε το θεώρημα έργου-ενέργειας και, αφού γνωρίζουμε ότι η αρχική κινητική ενέργεια είναι μηδενική, βρίσκουμε = Κ[ — Κ ! = {mvf2 — 0

= 2WE = 2 g 6 J ) = 12

m V[ =

159

φάμε στο Παράδειγμα 7.8, εάν η επιφάνεια είναι τραχιά και ο συντελεστής κινητικής τριβής είναι 0.15. Λύση Στην περίπτωση αυτή πρέπει να υπολογίσουμε το συνολικό έργο που έχει παραχθεί επί τού σώματος. Το έργο αυτό είναι άθροισμα τού έργου το οποίο παρήγαγε η εφαρμοσθείσα εξωτερική δύναμη τών 12 Ν και η δύναμη τριβής, /, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.10b. Εφόσον η Γέχει κατεύθυνση προς τα αρνητικά χ και η μετατόπιση γίνεται προς τα θετικά χ, το έργο της είναι αρνητικό. Το μέτρο τής δύναμης τριβής είναι / = μΝ = pmg. Επομένως, σύμφωνα με την Εξίσωση 7.2, το έργο της είναι Wf = - f s = -μ τη &3 = (—0.15)(6 kg)(9.80 m/s2)(3 m) = —26.5 J Ά ρα το συνολικό έργο που έχει παραχθεί επί τού σώματος είναι Wnet = WF+ Wf = 36.0 J - 26.5 J = 9.50 J Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας με vt = 0 και βρίσκουμε Wnet = im vf*

6 kg

3.46 m/s ν{

1.78 m/s

Άσκηση 4 Βρείτε την επιτάχυνσή τού σώματος χρησι­ μοποιώντας τον δεύτερο νόμο τού Newton· βρείτε επίσης το μέτρο τελικής ταχύτητας τού σώματος χρησι­ μοποιώντας τις εξισώσεις κίνησης. Απάντηση a = 0.530 m/s2, ν{ = 1.78 m/s. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.10 Ένα σύστημα μάζας-ελατηρίου Ένα σώμα μάζας 1.6 kg συνδέεται με ένα ελατήριο σταθεράς 103 N/m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6. Το ελατήριο συμπιέζεται κατά 2 cm και το σώμα αφήνεται ελεύθερο ενώ βρισκόταν σε κατάσταση ηρεμίας, (a) Υπολογίστε το μέτρο ταχύτητας τού σώματος καθώς αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, χ = 0, εάν η επιφάνεια είναι λεία. Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 17.4a, αντικαθιστού­ με xm = - 2.0 cm = - 2 x ΙΟ-2 m, και βρίσκουμε ότι το έργο που παράγεται από το ελατήριο, είναι Ws = i k x j = i^ lO 3 ^

Σχήμα 7.10

(a) (Παράδειγμα 7.8). (b) Παράδειγμα 7.9.

Ασκηση 3 Βρείτε την επιτάχυνση τού σώματος και προσδιορίστε την τελική ταχύτητα χρησιμοποιώντας την εξίσωση ν{2 = ν 2 + las. α = 2 m/s2; Of = 3.46 m/s. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.9 Ένα σώμα σύρεται επάνω σε τραχιά επιφάνεια Βρείτε την τελική ταχύτητα τού σώματος που περιγρά-

( - 2 X ΙΟ"2 m)2 = 0.20 J

Χρησιμοποιούμε το θεώρημα έργου-ενέργειας με και βρίσκουμε ότι

=0

W, = Im cf2 —im v i2

0.20 J = 1(1.6 kg)of2 —0

υ _

f

q

,s

'

(b) Υπολογίστε το μέτρο τής ταχύτητας τού σώματος

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

καθώς αυτό διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, εάν μια σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 4.0 Ν επιβραδύνει την κίνηση. Το έργο τής δύναμης τριβής για μετατόπιση 2 x ΙΟ-2 m είναι Wf = - f s = - ( 4 Ν)(2 X ΙΟ"2 m) = - 0 .0 8 J Το συνολικό έργο που παράγεται επί τού σώματος είναι το άθροισμα τού έργου το οποίο παράγει η δύναμη τού ελατηρίου και η δύναμη τριβής. Στο μέρος (a) βρήκαμε ότι Ws = 0.20 J. Επομένως

(a)

Wnet = W, + Wf = 0.20 J - 0.08 J = 0.12 J

y

Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας και έχουμε im vf2 = Wnet ΚΙ 6 kg)«f2 = 0.12 J Of* Of =

0.24 J = 0.15 m2/s2 1.6 kg 0.39 m/s

Ας σημειωθεί ότι αυτή η τιμή τής ν{ είναι μικρότερη από την τιμή που βρήκαμε στην περίπτωση τής λείας επιφάνειας. Σάς φαίνεται λογικό αυτό το αποτέλεσμα; (Παράδειγμα 7.11) Σταθερή δύναμη F ωθεί ίο σώμα προς το επάνω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου που έχει τραχιά επιφάνεια.

Σχήμα 7.11

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.11 Σώμα ωθούμενο επάνω σε κεκλιμένο επίπεδο Ένα σώμα μάζας τη ωθείται από μια σταθερή δύναμη F προς το επάνω μέρος μιας τραχιάς κεκλιμένης επιφά­ νειας, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.11a. Η δύναμη Γέχει διεύθυνση παράλληλη προς την κεκλιμένη επιφάνεια. Το σώμα μετατοπίζεται κατά απόσταση d επάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, (a) Υπολογίστε το έργο που παράγει η δύναμη βαρύτητας για τη μετατόπιση αυτή. Η δύναμη τής βαρύτητας είναι παράλληλη προς την κατακόρυφο. Έτσι έχει μία συνιστώσα που κατευθύνεται παράλληλα προς το κάτω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου. Εάν λάβουμε τη θετική κατεύθυνση τού χ προς τα επάνω, τότε η συνιστώσα αυτή είναι —mg sin θ (Σχήμα 7.11b). Επομένως, το έργο που παράγει η βαρύτητα για τη μετατόπιση d είναι

(c) Εάν ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι μ, βρείτε το έργο που παράγει η τριβή ολισθήσεως. Το μέτρο τής δύναμης τριβής είναι / = μΝ = μmg sin θ. Επειδή η κατεύθυνση τής δύναμης τριβής είναι αντίθετη προς την κατεύθυνση τής μετατόπισης, βρίσκουμε ότι W f= —f d = —μmgd cos θ (d) Βρείτε το συνολικό έργο που παράγεται στο σώμα κατά τη διάρκεια αυτής τής μετατόπισης. Χρησιμοποιούμε τα αποτελέσματα από τα (a), (b) και (c) και έχουμε Wnet= W g + W p + W f

Wg = (—mg sin θ)ά =

—mgh

όπου h = d sin θ είναι η χατακόρυφη μετατόπιση. Δηλαδή το έργο που παράγει η βαρύτητα έχει μέτρο το οποίο είναι ίσο με τη δύναμη βαρύτητας πολλαπλασιασμένη με τη μετατόπιση προς τα επάνω. Στο επόμενο κεφάλαιο θα αποδείξουμε ότι αυτό το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε σώμα που μετατοπίζεται ανάμεσα σε δύο σημεία. Τέλος, το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτη­ το από τη διαδρομή ανάμεσα στα σημεία αυτά.

= —mgd sin Θ+ Fd —gmgd cos Θ ή -

Fd — mgd (sin θ + μ cos Θ)

Λογουχάρη, εάν λάβουμε F = 15 N, d = 1.0 m, Θ = 25°, m = 1.5 kg και μ = 0.30, βρίσκουμε ότι

(b) Υπολογίστε το έργο που παράγει η εφαρμοσμένη δύναμη F. Επειδή η Εέχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπι­ ση, βρίσκουμε

Wg = - (mg sin θ)ά = -( 1 .5 kg) ^9.80 ^

(sin 25e)(1.0 m)

= - 6 .2 J Wp — F ' s

Fd

WF =Fd — (15 N)(l m) = 15 J

7.6 ΙΣΧΥΣ W f=

161

—μτηβά cos θ

= —.(0.30X1.5 kg) ^9.80 ^

(1.0 m)(cos 25”) Εάν υποθέσουμε ότι η δύναμη τριβής/είναι ίδια και για τις δύο αρχικές ταχύτητες, μπορούμε να θεωρήσουμε τη τπ και την / σταθερές. Επομένως ο λόγος των δύο ελάχιστων αποστάσεων πέδησης είναι

= - 4 .0 J Wnet= W g + W F + W / = 4 . 8 J

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.12 Ελάχιστη απόσταση πέδησης Ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα 48 km/h μπορεί να σταματήσει στο ελάχιστο διάστημα των 40 m εάν χρησιμοποιηθούν τα φρένα του. Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση ώστε το ίδιο αυτοκίνητο να σταμα­ τήσει εάν κινείται με ταχύτητα 96 km/h; Λύση Υποθέτουμε ότι το αυτοκίνητο δεν «ντεραπάρει». Για να βρούμε την ελάχιστη απόσταση πέδησης d, θα θεωρήσουμε ότι η δύναμη τριβής/ανάμεσα στα λάστιχα και στην άσφαλτο είναι η μέγιστη δυνατή. Το έργο που παράγει η δύναμη τριβής είναι —fd και ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού αυτοκινήτου. Η αρχική κινητική ενέργεια είναι imv2 και η τελική είναι μηδενική. Έτσι έχουμε Wf = K f —

—f d = 0 —

7.6

ί -fe)' Εάν λάβουμε τη = 48 km/h, υ2 = 96 km/h και dx = 40 m, έχουμε

d2 = 4dj = 4(40 m) =

160 m

To αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι η ελάχιστη απόσταση πέδησης είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού λόγον τών ταχυτήτων. Εάν διπλασιαστεί η ταχύτητα, όπως συνέβη στο παράδειγμά μας, η ελάχιστη απόσταση πέδησης τετραπλασιάζεται.

ΙΣΧΥΣ

Στην πράξη μάς ενδιαφέρει να ξέρουμε όχι μόνο το έργο που παράγεται πάνω σε ένα σώμα αλλά και τον ρυθμό με τον οποίο παράγεται το έργο αυτό. Ορίζουμε ότι ο ρυθμός τής μετα φορά ς ενέργειας λέγεται ισχύς. Εάν μια εξωτερική δύναμη δράσει πάνω σε ένα σώμα και παραγάγει έργο AW μέσα σε ένα χρονικό διάστημα At, τότε η μέση ισχύς για το χρονικό αυτό διάστημα είναι ίση με τον λόγο τού έργου προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα: AW Ρ as ——

(7.22)

Μέση ισχύς

Σύμφωνα με το θεώρημα έργου-ενέργειας, το έργο που παράγεται πάνω σε ένα σώμα αυξάνεται συναρτήσει τής ενέργειας τού σώματος. Λέμε λοιπόν ότι ισχύς είναι ο ως προς τον χρόνο ρυθμός μεταφοράς ενέργειας. Η στιγμιαία ισχύς Ρ είναι το όριο τής μέσης ισχύος καθώς το Δί τείνει προς το μηδέν: (7.23) Εάν χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση 7.4, εκφράζουμε το έργο που παράγει μία δύναμη F καθώς μετατοπίζει ένα σώμα κατά ds, d.W = F ■ds. Η στιγμιαία ισχύς ισούται λοιπόν με dW ds P = - —— — F '- j -*= F‘V όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ν = d s / Λ .

(7.24)

Στιγμιαία ισχύς

162

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Η μονάδα ισχύος στο SI είναι το J/s και ονομάζεται watt (προς τιμήν τού James W att), συμβολίζεται δε με W: 1 W = 1 J/s *= 1 kg-m 2/s3 Δεν πρέπει να συγχέουμε το σύμβολο τού watt (βατ), W, με το σύμβολο τού έργου. Στο βρετανικό σύστημα μονάδα ισχύος είναι ο ίππος (hp). 1 hp = 550 ft · lb/s = 746 W Μ πορούμε να ορίσουμε μια νέα μονάδα ενέργειας (ή έργου) εάν χρησιμοποιήσουμε τη μονάδα ισχύος. Μ ία κιλοβατώρα (kilowatt-hour- σύμβ. kWh) είναι η ενέργεια που μετατράπηκε ή καταναλώθηκε μέσα σε μία ώρα με τον σταθερό ρυθμό ενός kW. Η αριθμητική τιμή μιας kWh είναι 1 kW h = (ΙΟ3 W )(3600 s) = 3.6 X 10® J Πρέπει να θυμούμαστε ότι η kWh είναι μονάδα ενέργειας και όχι ισχύος. Ό τα ν πληρώνετε τον λογαριασμό τής ΔΕΗ αγοράζετε ενέργεια και γ ι’ αυτό τον λόγο το μέρος τού λογαριασμού σας που σχετίζεται με την κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας χρεώνεται σε μονάδες kWh. Λογουχάρη, ένας ηλεκτρι­ κός λαμπτήρας τών 100 W καταναλώνει ενέργεια 3.6 x ΙΟ5 J σε I ώρα. Αν και χρησιμοποιούμε τα W και kWh συνήθως για να περιγράφουμε κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας, τελευταία τα σύμβολα αυτά χρησιμοποι­ ούνται και σε άλλους κλάδους. Έ τσ ι, μερικοί κατασκευαστές αυτοκινήτων περιγράφουν την ισχύ τών μηχανών τους ό χι μόνο σε ίππους, hp, αλλά και σε kW. Είναι πολύ πιθανό ότι στο μέλλον θα περιγράφουμε την ισχύ μιας ηλεκτρικής συσκευής σε hp.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.13. Ιοχύς που δίνει μια ηλεκτροκίνητη μηχανή Ένα ασανσέρ έχει μάζα 1 000 kg και μεταφέρει μέγιστο φορτίο μάζας 800 kg. Η προς τα επάνω κίνηση τού ασανσέρ επιβραδύνεται από μία σταθερή δύναμη τριβής 4 000 Ν, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.12 (a). Εάν θέλουμε να κινείται προς τα επάνω το ασανσέρ με σταθερή ταχύτητα 3 m/s, ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ισχύς που παράγει ο κινητήρας; Ο κινητήρας παράγει τη δύναμη Τ, η οποία έλκει το ασανσέρ προς τα επάνω. Από τον δεύτερο νόμο τού Newton και λόγω τού ότι a = 0, εφόσον η ταχύτητα είναι σταθερή, έχουμε T -/-M g = 0 όπου Μ είναι η συνολική μάζα (μάζα τού ασανσέρ συν το φορτίο) η οποία ισούται με 1 800 kg. Έτσι

Σ χήμα 7.12 (Παράδειγμα 7.13) Ο κινητήρας τού ανελκυστήρα παράγει την τάση Γπ ο υ κατευθύνεται προς τα επάνω. Η τριβή f και το βάρος M g κατευθύνονται προς τα κάτω.

T —f + Mg = 4 X ΙΟ3 Ν + (1.8 X ΙΟ3 kg)(9.80 m/s2) = 2.16 X 104 Ν Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 7.24 και, εφόσον το Τ έχει την ίδια κατεύθυνση με το υ, έχουμε Ρ = Τ ■ν = Τν = (2.16 X ΙΟ4 Ν)(3 m/s) = 6.49 X ΙΟ4 W

= 64.9 kW =

87.0 hp

(b) Ποια πρέπει να είναι η ισχύς την οποία παράγει ο κινητήρας ώστε το ασανσέρ να επιταχύνεται προς τα επάνω με επιτάχυνση 1.0 m/s2; Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton και έχουμε Γ —/ —Mg = Μα

7.7 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ

Τ = Μ(α + g) + /

Ρ= Τυ=

163

(2.34 ΧΙΟ4 ο) W

= (1.8 X ΙΟ3 kg)(1.0 + 9.80) m/s2 + 4 X ΙΟ3 Ν = 2.34 X ΙΟ4 Ν Χρησιμοποιούμε λοιπόν την Εξίσωση 7.24 και βρίσκου­ με ότι η απαιτούμενη ισχύς είναι

Όπου ν είναι η στιγμιαία ταχύτητα τού ασανσέρ σε m/s. Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η ισχύς αυξάνεται γραμμικά συναρτήσει τής ταχύτητας.

* 7.7 ΕΝ ΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ Είναι γνωστό ότι τα βενζινοκίνητα αυτοκίνητα είναι μηχανήματα χαμηλής αποδοτικότητας. Ακόμη και υπό ιδεώδεις συνθήκες, λιγότερο από το 15% τής διαθέσιμης ενέργειας τών καυσίμων χρησιμοποιείται για την κίνηση τού αυτοκινήτου. Η κατάσταση είναι πολύ χειρότερη σε συνθήκες κυκλοφοριακής συμφόρησης. Σκοπός τού υποκεφαλαίου αυτού είναι να χρησιμοποιήσουμε έννοιες τής ενέργειας, τής ισχύος και τών δυνάμεων τριβής για να μελετήσου­ με ορισμένους παράγοντες που επηρεάζουν την κατανάλωση καυσίμων. Υπάρχουν πολλοί παράγοντες που συντελούν σ α ς απώλειες ενέργειας ενός αυτοκινήτου. Τα δύο τρίτα τής ενέργειας τού καυσίμου σπαταλώνται από τη μηχανή, π .χ. ένα μέρος τής ενέργειας αυτής καταλήγει στην ατμόσφαιρα διά μέσου τής εξάτμισης και τού συστήματος ψύξης. Ό π ω ς θα δούμε στο Κεφάλαιο 22, οι μεγάλες ενεργειακές απώλειες στην εξάτμιση και στο ψυγείο επιβάλλονται από τους νόμους τής Θερμοδυναμικής. Τα 10% περίπου τής διαθέσιμης ενέργειας χάνονται κατά τη μηχανική μετάδοση τής κίνησης στο κιβώτιο ταχυτήτων, στον άξονα, στο διαφορικό και στους τροχούς. Η τριβή στα άλλα κινούμενα μέρη, όπως λ.χ. στον κινητήρα, καταναλώνει το 6% τής διαθέσιμης ενέργειας. Τέλος, ένα 4% καταναλώνεται από τις διάφορες αντλίες, το σύστημα κλιματισμού, τα υδραυλικά φρένα, το τιμόνι και τα φώτα. Έ τσ ι μόνον το 14% τής διαθέσιμης ενέργειας καταλήγει στην κίνηση τού αυτοκινήτου. Αυτή η ενέργεια καταναλώνεται για να υπερνικηθούν οι τριβές με την άσφαλτο και η αντίσταση τού αέρα. Ο Π ίνακας 7.3 περιέχει έναν κατάλογο τών ενεργειακών απωλειών ενός μεγάλου αυτοκινήτου, τού οποίου τα καύσιμα παράγουν ισχύ 136 kW, η μάζα τού αυτοκινήτου είναι 1 450 kg και η κατανάλωση καυσίμων 15 περίπου It ανά 100 km. Αλλά ας μελετήσουμε λεπτομερειακά την ισχύ που χρειάζεται ένα αυτοκίνητο για να υπερνικήσει την τριβή τού δρόμου και τού αέρα. Ο συντελεστής τριβής κυλήσεως μ ανάμεσα στα λάστιχα και στην άσφαλτο είναι 0.016 περίπου. Έ ν α αυτοκίνητο μάζας 1 450 kg έχει βάρος 14 200 Ν και η δύναμη τριβής κυλήσεως είναι μ Ν = μ Ψ = 227 Ν. Καθώς αυξάνεται η ταχύτητα τού αυτοκινήτου, μειώνεται λίγο η κάθετη δύναμη για λόγους αεροδυναμικούς. Έ τσ ι μειώνεται λίγο η δύναμη τής τριβής κυλήσεως fT, όπως φαίνεται στον Π ίνακα 7.4. ΠΙΝΑΚΑΣ 7.3 Απώλειες ισχύος για ένα μεγάλο αυτοκίνητο με μηχανή ισχύος 136 kW Απώλειες (%) Αίτιο Απώλειες (kW) 46 33 Εξάτμιση Ψυγείο 45 33 Σύστημα μετάδοσης κίνησης 13 10 Εσωτερικές τριβές μηχανής 6 8 4 Διάφορα εξαρτήματα 5 14 Κίνηση οχήματος 19 Ας μελετήσουμε τώρα τα αποτελέσματα τής τριβής με τον αέρα, δηλαδή τής οπισθέλκουσας δύναμης που δημιουργείται καθώς ο αέρας περνάει πάνω

164

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

από διάφορες εξωτερικές επιφάνειες τού αυτοκινήτου. Ό π ω ς είδαμε στο Υποκεφάλαιο 6.4, η οπισθέλκουσα δύναμη για μεγάλα αντικείμενα είναι ανάλογη προς το τετράγωνο τού μέτρου τής ταχύτητας και μπορούμε να τήν γράψουμε

Λ=

iCA /w2

(7.25)

όπου C είναι ο συντελεστής αντίστασης, Λ είναι η επιφάνεια διατομής τού κινούμενου σώματος και ρ η πυκνότητα τού αέρα. Ο ι τιμές τού Π ίνακα 7.4 προκύπτουν από την παραπάνω σχέση για C = 0.5, ρ = 1.293 kg/m3 και A « 2 m2. Το μέτρο τής συνολικής δύναμης τριβής, / „ είναι το άθροισμα τών μέτρων τής τριβής κυλήσεως και τής τριβής με τον αέρα

f = f r + / a * σταθερό + \CApv 2

(7.26)

Ό π ω ς φ αίνεται από τον Π ίνακα 7.4, στις χαμηλές ταχύτητες η αντίσταση τού δρόμου και τού αέρα είναι παρόμοιες, αλλά στις μεγάλες ταχύτητες η αντίσταση τού αέρα είναι η κύρια δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση. Μπορούμε να ελαττώσουμε την τριβή με τον δρόμο εάν χρησιμοποιήσουμε λάστιχα radial και φουσκώσουμε τα λάστιχα λίγο πιο πολύ από το κανονικό. Την αντίσταση τού αέρα μπορούμε να τήν ελαττώσουμε αν χρησιμοποιήσουμε αυτοκίνητα μικρότερης διατομής και με αεροδυναμικό σχήμα. Εάν έχουμε τα τζάμια τών παραθύρω ν κατεβασμένα, αυξάνουμε την αντίσταση τού αέρα και αυξάνεται η κατανάλωση καυσίμων κατά 3%. Αλλά εάν ανεβάσουμε τα τζάμια και χρησιμοποιήσουμε το σύστημα κλιματισμού, τότε η κατανάλωση καυσίμων αυξάνεται κατά 12%. Η συνολική ισχύς λοιπόν που απαιτείται για να διατηρείται σταθερή η ταχύτητα υ είναι το γινόμενο f tv. Αυτή πρέπει να είναι η ισχύς που φτάνει στους τροχούς. Λογουχάρη, βλέπουμε από τον Π ίνακα 7.4 ότι, για υ = 26.8 m/s, η απαιτούμενη ισχύς είναι

Ρ = f v = (683 Ν) ^ 26.8

= 18.3 kW

ΠΙΝΑΚΑΣ 7.4 Απώλειες τριβών και αναγκαία ισχύς για ένα μεγάλο αυτοκίνητο ν (m/s) Ν(Ν) Ρ = ftv (kW) U (Ν) 4 (Ν) F t (Ν) 0 8.9 17.8 26.8 35.9 44.8

14 200 14 100 13 900 13 600 13 200 12 600

227 226 222 218 211 202

0 51 204 465 830 1293

227 277 426 683 1041 1495

0 2.5 7.6 18.3 37.3 66.8

Στον πίνακα αυτό, Ν είναι η κάθετη δύναμη, f t είναι η τριβή με την άσφαλτο, / , η τριβή με τον αέρα, /, η συνολική τριβή και Ρ η ισχύς που φτάνει στους τροχούς.

Το αποτέλεσμα αυτό χω ρίζεται σε δύο μέρη: (1) την ισχύ που απαιτείται για να υπερνικηθεί η αντίσταση τής ασφάλτου f Tv και (2) την ισχύ που απαιτείται για να υπερνικηθεί η τριβή τού α έ ρ α /3υ. Για ταχύτητα ν = 26.8 m/s έχουμε

Ρf = frv = (218 Ν) ^ 26.8

= 5.8 kW

Ρ. = / .υ = (465 Ν) ^ 26.8

= 12.5 kW

7.7 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΟ

165

Να σημειωθεί ότι Ρ = Pt + ΡΛ. Αλλά για ταχύτητα ν = 44.7 m/s βρίσκουμε ότι Ρτ = 9.0 kW, Pa = 57.8 kW, και Ρ = 66.8 kW. Βλέπουμε λοιπόν πόσο μεγάλη είναι η τριβή τού αέρα στις μεγάλες ταχύτητες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.14 Κατανάλωση βενζίνης ενός μεσαίου αυτοκινήτου Ένα αυτοκίνητο μέσου μεγέθους έχει μάζα 800 kg και απόδοση 14% (δηλαδή 14% τής διαθέσιμης ενέργειας τών καυσίμων φτάνει στους τροχούς). Υπολογίστε πόση βενζίνη καταναλώνεται για να επιταχυνθεί το αυτοκί­ νητο ώστε να αποκτήσει την ταχύτητα τών 60 mi/h (27 m/s), ενώ αρχικά ήταν ακίνητο. Ας ληφθεί ως δεδομένο ότι ένα γαλόνι (ΗΠΑ) βενζίνης αποδίδει ενέργεια I. 3 X 10* J. Λύση Η ενέργεια που απαιτείται για να επιταχυνθεί το αυτοκίνητο ώστε, ενώ ήταν ακίνητο, να αποκτήσει την ταχύτητα ν είναι η κινητική του ενέργεια, imv2. Στην περίπτωσή μας Ε = im v2 = 1(800 kg) ^27 j J 2 = 2.9 X 10s J Εάν ο κινητήρας τού αυτοκινήτου απέδιδε 100%, με κάθε γαλόνι βενζίνης που έκαιγε θα απέδιδε 1.3 x 108 J. Αλλά επειδή ο κινητήρας έχει απόδοση 14%, από κάθε γαλόνι βενζίνης μόνο (0.14) (1.3 x ΙΟ8 J) = 1.8 X ΙΟ7 J φτάνουν στους τροχούς. Επομένως, για να επιταχυνθεί το αυτοκίνητο χρειαζόμαστε:

αυτοκίνητο, όπως είδαμε στο Υποκεφάλαιο 7.7. Βλέπε­ τε λοιπόν πόσο σημαντικό ρόλο παίζει το μέγεθος τού αυτοκινήτου στην κατανάλωση ισχύος. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.16. Αυτοκίνητο που επιταχύνεται καθώς κινείται προς την κορυφή ενός λόφου Θεωρήστε ένα αυτοκίνητο μάζας m που επιταχύνεται ενώ κινείται προς την κορυφή ενός λόφου, όπως στο Σχήμα 7.13. Υποθέστε ότι το μέτρο τής αντίστασης τού αέρα είναι 1/1= (218 +

0 .7 0 υ 2)

Ν

όπου ν είναι το μέτρο ταχύτητας σε m/s. Υπολογίστε την ισχύ που πρέπει να μεταδώσει στους τροχούς η μηχανή. Λύση Στο Σχήμα 7.13 φαίνονται οι δυνάμεις που δρούν πάνω στο αυτοκίνητο: F είναι η δύναμη τής στατικής τριβής που προωθεί το αυτοκίνητο και τα υπόλοιπα σύμβολα έχουν τη συνήθη σημασία τους. Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στο κεκλιμένο επίπεδο τού δρόμου και έχουμε ^ F z = F —1/1 — mg sin θ = ma F = ma + mg sin Θ+ \f\

ο ο ν 1 ο5 I Αριθμός γαλονιών = χ ^ 'χ Τ ό 7 J/iH =

0 016 gal

= ma + mg sin Θ+ ( 2 1 8 +

0 .7 0 o 2)

Με τον ρυθμό αυτό, ένα γαλόνι βενζίνης επαρκεί για 62 τέτοιες επιταχύνσεις. Γι’ αυτόν τον λόγο, όταν οδηγείτε να αποφεύγετε τα πολλά σταματήματα και ξεκινήματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7.15 Ισχύς που φθάνει στους τροχούς Υποθέστε ότι το αυτοκίνητο τού Παραδείγματος 7.14 καταναλώνει 35 mi/gal όταν κινείται με 60 mi/h. Πόση ισχύς φθάνει στους τροχούς; Λύση Από τα δεδομένα προκύπτει ότι το αυτοκίνητο καταναλώνει 60/35 = 1.7 gal/h. Αλλά γνωρίζουμε ότι κάθε γαλόνι αντιστοιχεί σε 1.3 x ΙΟ8 J, βρίσκουμε λοιπόν ότι η συνολική ισχύς που χρησιμοποιείται είναι

Σ χήμα 7.13 (Παράδειγμα 7.16).

Επομένως η ισχύς που είναι απαραίτητη για την επιταχυνόμενη κίνηση είναι P —Fv = mva + mvg sin θ + 2 18υ + 0.70υ3

(1.7 gal/h)(1.3 X ΙΟ8 J/gal) 3.6 X ΙΟ3 s/h

Αλλά αφού μόνον 14% τής διαθέσιμης ισχύος φτάνει στους τροχούς, η ισχύς που τελικά χρησιμεύει στην κίνηση είναι (0.14) (62 kW) = 8.7 kW. Αυτό είναι το μισό περίπου τής ισχύος που χρειάζεται το μεγάλο

Στην έκφραση αυτή ο όρος mva αντιπροσωπεύει την ισχύ που πρέπει να αποδώσει η μηχανή για να επιτα­ χυνθεί το αυτοκίνητο. Εάν το αυτοκίνητο κινείται ισοταχώς, ο όρος αυτός μηδενίζεται και απαιτείται μικρότερη ισχύς. Ο όρος mvg sin θ ισούται με την ισχύ που πρέπει να καταναλωθεί για να υπερνικηθεί η δύναμη τής βαρύτητας καθώς το αυτοκίνητο κινείται προς την κορυφή τού λόφου. Ο όρος αυτός μηδενίζεται όταν η κίνηση γίνεται σε οριζόντιο επίπεδο.Ο όρος 218υ δίνει την ισχύ που είναι αναγκαία για να υπερνικηθεί η

166

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

τριβή κυλήσεως. Τέλος, ο όρος 0.70υ3 δίνει την απαιτούμενη ισχύ για να υπερνικηθεί η τριβή με τον αέρα. Εάν πάρουμε m = 1 450 kg, υ = 27 m/s = (60 mi/h), a = 1 m/s2, και θ = 10°, μπορούμε να υπολογίσουμε τους διαφόρους όρους τής Ρ mva — (1450 kg)(27 m/s)(l m/s2) = 39 kW = 52 hp • mvg sin Θ= (1450 kg)(27 m/s)(9.80 m/s2)(sin 10°) = 67 kW = 89 hp

218υ = 218(27) = 5.9 kW = 7.9 hp 0.70υ3 = 0.70(27)3 = 14 kW = 18 hp Επομένως η συνολική αναγκαία ισχύς είναι 126 kW ή 167 hp. Ας σημειωθεί ότι εάν το ζητούμενο ήταν να υπολογιστεί η ισχύς για κίνηση με σταθερό μέτρο ταχύτητας σε οριζόντιο επίπεδο, θα βρίσκαμε μόνον 20 kW (26 hp), αποτέλεσμα που προκύπτει από το άθροι­ σμα τών δύο τελευταίων όρων. Να σημειωθεί επίσης ότι εάν το αυτοκίνητο είχε μισή μάζα, η απαιτούμενη ισχύς θα ήταν σχεδόν η μισή.

* 7.8 ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Ο ι νόμοι τής Νευτώνειας Μ ηχανικής ισχύουν μόνο όταν περιγράφουν τις κινήσεις σωμάτων που κινούνται με ταχύτητες τών οποίων το μέτρο είναι μικρό σε σύγκριση με την ταχύτητα τού φωτός c ( * 3 x ΙΟ8 m/s). 'Ο ταν το μέτρο ταχύτητας ενός σώματος πλησιάζει το c, τότε οι εξισώσεις της Νευτώνειας Μ ηχανικής πρέπει να αντικατασταθούν από πιο γενικές εξισώ­ σεις, που προκύπτουν στη θεωρία τής σχετικότητας. Μ ία από τις συνέπειες τής θεωρίας τής σχετικότητας είναι ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας m το οποίο κινείται με μέτρο ταχύτητας ν δεν είναι Κ = m v2/2. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη σχετικιστική μορφή τής κινητικής ενέργειας

Σχετικιστική κινητική ενέργεια

2(νΐ - ( υ /c)2 1)

(7.27)

Σύμφωνα με αυτή την έκφραση, ταχύτητες μεγαλύτερες από το c δεν είναι επιτρεπτές, διότι τότε η κινητική ενέργεια Κ θα είναι φανταστική για v>c. Επίσης, καθώς το ν τείνει προς το c, η Κ τείνει προς το » . Αυτό είναι σύμφωνο με τα αποτελέσματα πειραμάτων στα οποία επιταχύνονται υποατο­ μικά σωματίδια, όπως είναι τα ηλεκτρόνια ή τα πρωτόνια. Ό π ω ς έχει διαπιστω θεί, τα σωματίδια αυτά ποτέ δεν μπορούν να υπερβούν την ταχύτητα τού φωτός. (Δηλαδή το c είναι φράγμα τής ταχύτητας). Α πό τη σκοπιά τού θεωρήματος έργου-ενέργειας, το ν μπορεί ν α τείνει προς το c, χω ρίς όμως να εξισώνεται, διότι απαιτείται άπειρο έργο για να φτάσουμε στο ν = c. Ό λ ες οι σχέσεις τής θεωρίας τής σχετικότητας τιρέπει να ανάγονται στις αντίστοιχες σχέσεις τής Νευτώνειας Μ ηχανικής για μικρές ταχύτητες. Α ξίζει τον κόπο να δείξουμε ότι τα παραπάνω ισχύουν για την περίπτωση τής κινητικής ενέργειας εάν αναλύσουμε τη Σχέση 7.27, όταν το ν είναι πολύ μικρότερο τού c. Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή, η Κ θα πρέπει να ισούται με την νευτώνεια έκφραση Κ = m v2/2. Χρησιμοποιούμε το θεώρημα τού διωνύμου για να αναπτύξουμε την ποσότητα [1 - (v/c)2]~m , με vie < 1. Εάν αντικαταστήσουμε το χ = {vie)2, τότε η ανάπτυξη δίνει 1 (1 - χ)1'2

, , * . 3 0 , 2 8

Χρησιμοποιούμε το ανάπτυγμα αυτό στη Σχέση 7.27 και έχουμε K = mc2 ( 1 + ^

+ | | i + ·

1 t3 3 , =_m 22 +, _m _ +...

-ο

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

167

Έ τσι βλέπουμε ότι πράγματι η σχετικιστική κινητική ενέργεια ανάγεται στη νευτώνεια σχέση για ταχύτητες των οποίων το μέτρο είναι μικρό σε σύγκριση με την ταχύτητα τού φωτός c. Θ α επανέλθουμε στη σχετικότητα και θα τη μελετήσουμε προσεκτικότερα στο Κεφάλαιο 39.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Το έργο που παράγει μια σταθερή δύναμη F η οποία δρά πάνω σε ένα σώμα ορίζεται ως το γινόμενο τής συνιστώσας τής δύναμης επάνω στην κατεύθυνση τής μετατόπισης επί το μέτρο τής μετατόπισης. Εάν η δύναμη σχηματίζει γω νία θ με τη μετατόπιση s, το έργο που παράγει η F είναι

W « Fs cos θ

(7 .1 )

Έ ργο σταθερής δύναμης

Το βαθμωτό ή εσωτερικό ή dot γινόμενο δύο διανυσμάτων Α και Β ορίζεται από τη σχέση

Α · Β *“ ΑΒ cos θ

(7 .5 )

Εσωτερικό γινόμενο

Το αποτέλεσμα τού πολλαπλασιασμού αυτού είναι μία βαθμωτή ποσότητα και θ είναι η γω νία ανάμεσα στα Α και Β. Το βαθμωτό γινόμενο υπακούει στον αντιμεταθετικό και στον επιμεριστικό κανόνα. Το έργο που παράγει μια μεταβλητή δύναμη η οποία δρα σε ένα σώμα που κινείται πάνω στον άξονα τών χ από το στο xf ισούται με (7 .1 1 )

Έ ργο μεταβλητής δύναμης

όπου Fx είναι η συνιστώσα τής δύναμης πάνω στη διεύθυνση τών χ. Εάν πάνω σε ένα σώμα δρουν πολλές δυνάμεις, το συνολικό έργο όλων αυτών τών δυνάμεων είναι ίσο με το άθροισμα τών επιμέρους έργων τής καθεμιάς δύναμης. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας m το οποίο κινείται με ταχύτητα υ (όπου η ν είναι μικρή σε σύγκριση με την ταχύτητα τού φωτός) είναι ίση με

Κ*

(7 .1 7 )

Κινητική ενέργεια

Το θεώρημα έργου-ενέργειας λέει ότι το συνολικό έργο που παράγουν πάνω σε ένα σώμα οι εξωτερικές δυνάμεις ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού σώματος: W — Kf — Κ, = £mof2 — ^ιπυ,2

(7 .1 8 )

θεώρημα έργου-ενέργειας

Ορίζουμε ότι η στιγμιαία ισχύς ισούται με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό με τον οποίο παράγεται το έργο. Εάν μια δύναμη F εφαρμοστεί πάνω σε ένα σώμα που κινείται με ταχύτητα ν, τότε τού παρέχει ισχύ ίση προς

(7 .2 4 )

'Ο ταν τα σώματα κινούνται με ταχύτητες που είναι συγκρίσιμες με την

Στιγμιαία ισχύς

168

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ταχύτητα τού φωτός, c, τότε υπολογίζουμε την κινητική τους ενέργεια χρησιμοποιώντας τη σχετικιστική έκφραση Σχετικιστική κινητική ενέργεια

( 7 .2 7 )

W 1 — (v/c)®

ΕΡΩ ΤΗΣΕΙΣ 1. Οταν ένα σώμα κινείται κυκλικά, τότε επάνω του δρα κεντρομόλος δύναμη που κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου. Εξηγήστε γιατί η δύναμη αυτή δεν παράγει έργο πάνω στο σώμα. 2. Εξηγήστε γιατί το έργο που παράγει η δύναμη τής τριβής ολισθήσεως είναι αρνητικό όταν ένα σώμα μετατοπίζεται πάνω σε τραχιά επιφάνεια. 3. Μπορείτε να ορίσετε την κατεύθυνση χρησιμοποιώ­ ντας το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων; 4. Υποθέστε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι θετικό. Είναι απαραίτητο να έχουν τα διανύσματα θετικές ορθογώνιες συνιστώσες; 5. Δεν περιμένει κανείς να ισχύει επ’ άπειρον η γραμμι­ κή σχέση που περιγράφει το Σχήμα 7.6d, καθώς αυξάνεται το φορτίο πάνω σε ένα ελατήριο που είναι αναρτημένο κατακόρυφα. Εξηγήστε ποιοτικά (δηλα­ δή χωρίς κατ’ ανάγκην να χρησιμοποιήσετε αριθ­ μούς) τί πρόκειται να συμβεί καθώς αυξάνεται το m. 6. Μπορεί η κινητική ενέργεια ενός σώματος να είναι αρνητική; 7. Πώς επηρεάζεται η κινητική ενέργεια ενός σώματος όταν διπλασιάζεται η ταχύτητά του; 8. Τί μπορείτε να πείτε για το μέτρο ταχύτητας ενός σώματος εάν το συνολικό έργο που παράγεται πάνω του είναι μηδενικό; 9. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας και εξηγήστε γιατί η δύναμη τής τριβής ολισθήσεως έχει πάντοτε ως αποτέλεσμα την μείωση τής κινητικής ενέργειας ενός σώματος; 10. Μπορεί ποτέ η στιγμιαία ισχύς να είναι ίση με τη μέση ισχύ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 11. Στο Παράδειγμα 7.13, αυξάνεται ή μειώνεται η απαιτούμενη ισχύς καθώς μειώνεται η δύναμη τής τριβής; 12. Ενας πωλητής αυτοκινήτων προσπαθεί να σάς πείσει ότι στο αυτοκινητάκι (!) που θέλετε να αγοράσετε πρέπει να βάλετε κινητήρα 300 hp αντί τής στάνταρ μηχανής τών 130 hp. Εσείς δεν έχετε σκοπό να οδηγείτε με ταχύτητα μεγαλύτερη από 55 mi/h και δεν πρόκειται να κινηθείτε ποτέ σε ανηφορικούς ή κατηφορικούς δρόμους. Τί θα τού απαντήσετε; 13. Η μάζα σφαίρας είναι διπλάσια από τη μάζα μιας δεύτερης σφαίρας. Και οι δύο κινούνται με την ίδια ταχύτητα. Ποια έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια;

Ποιος είναι ο λόγος τών κινητικών ενεργειών τών δύο σφαιρών; 14. Ενας ποδοσφαιριστής κλωτσάει μια μπάλλα. Παρά­ γει έργο πάνω στην μπάλλα όσο τήν αγγίζει το πόδι του; Παράγει έργο όταν η μπάλλα έχει απομακρυνθεί από το πόδι του; Υπάρχουν δυνάμεις που παράγουν έργο επάνω στην μπάλλα όταν αυτή βρίσκεται στον αέρα; 15. Σχολιάστε το έργο που παράγει ένας αθλητής καθώς ρίχνει μια μπάλλα τού μπέιζμπωλ. Πόση περίπου απόσταση διανύει η μπάλλα όσο η δύναμη δρα επάνω της; 16. Υπολογίστε πόση ώρα κάνετε για να ανεβείτε τις σκάλες ενός ορόφου. Υπολογίστε προσεγγιστικά την ισχύ που πρέπει να έχετε. Εκφράστε την απάντησή σας σε ίππους (hp). 17. Εχουν πάντοτε οι δυνάμεις τριβής ως αποτέλεσμα τη μείωση τής κινητικής ενέργειας; Εάν η απάντησή σας είναι «όχι», δώστε τα σχετικά παραδείγματα. 18. Δώστε δύο παραδείγματα στα οποία η δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα σώμα δεν παράγει έργο. 19. Δύο σκοπευτές χρησιμοποιούν ίδιες σφαίρες. Αλλά η κάννη τού όπλου τού ενός είναι 2 cm μακρύτερη από την κάννη τού άλλου. Ποια σφαίρα θα έχει μεγαλύτε­ ρη ταχύτητα εξόδου; (Η σφαίρα επιταχύνεται από τα εκτονούμενα αέρια). 20. Δύο φορτοεκφορτωτές φορτώνουν ένα φορτηγό αυ­ τοκίνητο και θέλουν να χρησιμοποιήσουν μια φαρδιά σανίδα από το έδαφος στην καρότσα. Ο ένας λέει ότι όσο μεγαλύτερο μήκος έχει η σανίδα τόσο λιγότερο έργο θα έχουν να κάνουν, γιατί έτσι ελαττώνεται η γωνία κλίσης τής σανίδας. Συμφωνείτε; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 21. Ενα απλό εκκρεμές ταλαντώνεται. Οι δυνάμεις που δρουν πάνω στο σφαιρίδιο είναι το βάρος του, η τάση τού νήματος και η αντίσταση τού αέρα, (a) Ποια από αυτές τις δυνάμεις παράγει μηδενικό έργο; (b) Ποια παράγει συνεχώς αρνητικό έργο; (c) Περιγράψτε το έργο που παράγει η βαρύτητα καθώς το εκκρεμές ταλαντώνεται. 22. Η κινητική ενέργεια ενός σώματος εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς στο οποίο περιγράφεται η κίνη­ ση. Δώστε ορισμένα παραδείγματα που να περιγρά­ φουν το σημείο αυτό.

ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ

Υποκεφάλαιο 7.2 Έργο σταθερής δύναμης 1. Ένας άνθρωπος ανεβάζει έναν κουβά νερό μάζας 20

kg από ένα πηγάδι και παράγει έργο ίσο με 6 kJ. Πόσο βαθύ ήταν το πηγάδι; Υποθέστε ότι η ταχύτητα τού κουβά κατά την άνοδό του παραμένει σταθερή.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

2. Μια γυναίκα μάζας 65 kg ανεβαίνει μια σκάλα με 20 σκαλοπάτια, που το καθένα έχει ύψος 23 cm. Πόσο έργο παρήγαγε ενάντια στη δύναμη τής βαρύτητας; 3. Ενα ρυμουλκό ασκεί μια σταθερή δύναμη ίση με 5 000 Ν σε ένα πλοίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα μέσα στο λιμάνι. Πόσο έργο παράγει το ρυμουλκό στο πλοίο σε μια απόσταση 3 km; 4. Επαληθεύσετε τις ακόλουθες μετατροπές μονάδων τής ενέργειας: (a) 1 J = ΙΟ7 ergs, (b) 1 J = 0.737 ft · lb. 5. 'Ενας χορευτής σηκώνει την ντάμα του μάζας 50 kg κατακόρυφα προς τα επάνω σε ύψος 0.6 m από το έδαφος προτού τήν αφήσει. Αν τό κάνει 20 φορές, πόσο έργο παράγει επάνω της; 6. Ενα έλκηθρο μάζας 100 kg σύρεται από μια ομάδα σκύλων σε απόσταση 2 km πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια με σταθερή ταχύτητα. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ τού ελκήθρου και τού χιονιού είναι 0.15, βρείτε το έργο που παράγει (a) η ομάδα τών σκυλιών· και (b) η δύναμη τής τριβής. 7. Μια οριζόντια δύναμη 150 Ν χρησιμοποιείται για να ωθήσει ένα κιβώτιο μάζας 40 kg πάνω σε μια τραχιά οριζόντια επιφάνεια σε απόσταση 6 m. Αν το κιβώτιο γλιστρά με σταθερή ταχύτητα, βρείτε (a) το έργο που παράγει η δύναμη τών 150 Ν, (b) το έργο που παράγει η δύναμη τής τριβής και (c) τον συντελεστή τής τριβής ολισθήσεως. |8. Σώμα μάζας 15 kg σύρεται πάνω σε τραχιά οριζόντια επιφάνεια από μια σταθερή δύναμη ίση με 70 Ν που ασκείται με γωνία 20° πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα μετατοπίζεται κατά 5 m και ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι 0.3. Βρείτε το έργο που παράγει (a) η δύναμη τών 70 Ν, (b) η δύναμη τής τριβής, (c) η κάθετη δύναμη και (d) η δύναμη τής βαρύτητας, (e) Ποιο είναι το συνολικό έργο που παράγεται στο σώμα; 9. Ενας άνθρωπος κινεί μια σκούπα οριζόντια σπρώχνοντάς την με δύναμη 80 Ν και με κατεύθυνση 50° κάτω από το οριζόντιο επίπεδο. Όταν σταματήσει να προχωρεί έχει παραγάγει έργο ίσο με 450 J. Κατά πόση απόσταση μετατόπισε τη σκούπα; |10. Ο Μπάτμαν, που έχει μάζα 80 kg, κρατά το ένα άκρο ενός σχοινιού μήκους 12 m, τού οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο πάνω σε κλαδί ενός δέντρου. Ο Μπά­ τμαν ξέρει πώς να πηδήσει με το σχοινί έτσι ώστε, όταν αυτό σχηματίζει γωνία 60° με την κατακόρυφο, να φτάσει σε έναν βράχο στην απέναντι μεριά. Πόσο έργο παράγεται ενάντια στη δύναμη βαρύτητας σε αυτό το πήδημα; |11. Ενα καροτσάκι φορτωμένο με τούβλα έχει συνολική μάζα 18 kg και σύρεται με σταθερή ταχύτητα από ένα σχοινί. Το σχοινί σχηματίζει γωνία 20° πάνω από την οριζόντιο και το καροτσάκι κινείται σε οριζόντιο επίπεδο. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως ανάμεσα στο έδαφος και στο καροτσάκι είναι 0.5. (a) Ποια είναι η τάση τού σχοινιού; Όταν το καροτσάκι έχει μετακινηθεί κατά 20 m; (b) Πόσο έργο έχει παραχθεί από το σχοινί πάνω στο καροτσάκι; (c) Πόσο έργο παρήγαγε η δύναμη τής τριβής;

14. 15.

16. |17.

|18.

19. |20. |21.

Υποκεφάλαιο 7.4 Εργο μη σταθερής δύναμης: Σε μια διάσταση 22. 'Ενα σώμα κινείται από χ = 0 έως χ = 3 m. Αν η συνισταμένη δύναμη που δρα σε αυτό το σώμα έχει διεύθυνση τον άξονα χ και μεταβάλλεται όπως δείχνει το Σχήμα 7.14, προσδιορίστε το συνολικό έργο που παράγεται στο σώμα. 23. 'Ενα σώμα υφίσταται την επίδραση δύναμης Fx που μεταβάλλεται συναρτήσει τής θέσης του, όπως φαίνε­ ται στο Σχήμα 7.15. Βρείτε το έργο που παράγει η δύναμη στο σώμα καθώς αυτό κινείται (a) από χ = 0 έως χ = 5m, (b) από χ = 5 m έως* = 10 m και (c) από * = 10 m έως * = 15 m. (d) Ποιο είναι το συνολικό έργο που παράγει η δύναμη κατά τη μετατόπιση από * = 0 έως * ·= 15 m;

F,mΤΤ -2-

1

Υποκεφάλαιο 7,3 Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων 12. Δύο διανύσματα είναι: Α = 4/ + 3J και Β = —ι + 3]. Να βρείτε (a) το Α · Β και (b) τη γωνία μεταξύ τών A και Β. 13. Δίνεται το διάνυσμα A = —2i + 3j. Υπολογίστε (a)

169

το μέτρο τού Α και (b) τη γωνία που σχηματίζει το A με τσν θετικό άξονα y. [Στο (b) χρησιμοποιήστε τον ορισμό τού εσωτερικού γινομένου]. Ενα διάνυσμα Α έχει μέτρο 5 μονάδες και το Β έχει μέτρο 9 μονάδες. Τα δύο διανύσματα σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 50°. Βρείτε το Α · Β. Αν δοθούν δύο τυχαία διανύσματα Α και Β, δείξτε ότι Α · Β = ΑΧΒΧ + AyBy + Α ΖΒΖ. (Υπόδειξη: Γράψτε τα Α και Β στη μορφή με μοναδιαία διανύσματα και χρησιμοποιείστε την Εξίσωση 7.8.) Για τα τρία διανύσματα A = 3i + j — k, Β = —/ + 2J + 5k και C = 2j - 3*, βρείτε το C · (Α - Β). Μια δύναμη F = (61 - 2J) Ν δρα σε ένα σωμάτιο που υφίσταται μετατόπιση s = (3/ + J) m. Βρείτε (a) το έργο που παράγει η δύναμη στο σωμάτιο και (b) τη γωνία μεταξύ τών F και s. Το διάνυσμα Α έχει μήκος 2 μονάδες και κατευθύνεται προς τον θετικό άξονα y. Το διάνυσμα Β έχει αρνητική συνιστώσα χ μήκους 5 μονάδων, θετική συνιστώσα y μήκους 3 μονάδων και δεν έχει συνιστώ­ σα ζ. Υπολογίστε το Α ■Β και τη γωνία μεταξύ τών διανυσμάτων. Το εσωτερικό γινόμενο τών διανυσμάτων Α και Β είναι 6 μονάδες. Το μέτρο καθενός διανύσματος είναι 4. Βρείτε τη γωνία μεταξύ τών διανυσμάτων. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ τών διανυσμάτων Α = - 5/ - 3/ + 2k και Β = - 2J - 2k. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό τού εσωτερικού γινομέ­ νου, βρείτε τις γωνίες μεταξύ τών ακόλουθων ζευγών διανυσμάτων: (a) A = 3i - 2j και Β = 4/ - 4j, (b) A = - 2i + 4j και B = 3 i—4j + 2k, (c) A = i - 2j + 2k και B = 3j + 4It.

-1

Η*φΗ m LlJ

Σχήμα 7.14 (Πρόβλημα 22).

170

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Σχήμα 7.15 (Πρόβλημα 23 και 38).

24.

|25.

|26.

27.

|28.

|29.

Η δύναμη που ασκείται σε ένα σωμάτιο μεταβάλλεται όπως στο Σχήμα 7.16. Βρείτε το έργο που παράγει η δύναμη καθώς το σωμάτιο κινείται (a) από χ = 0 μέχρι χ = 8 m, (b) από i = 8m μέχρι χ = 10 m, και (c) από χ = 0 μέχρι χ = 10 m.

αυτή η δύναμη στο σώμα που κινείται από χ = 4 m μέχρι χ = 7 m; |30. Αποδείξτε ότι το συνολικό έργο που παράγει μια δύναμη τής μορφής F = A sin (kx) είναι μηδενικό για κάθε ακέραιο αριθμό κύκλων. (Σημείωση: Κάθε «κύκλος» αντιστοιχεί σε μια αύξηση τού χ κατά ποσότητα χ = 2π/λ.) |31. Πόσο έργο παράγεται σε ένα σώμα από μια δύναμη η οποία μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση F = 3 sin (4τ) κατά τη διάρκεια μισού κύκλου; {Σημείωση: Ένας «κύκλος» αντιστοιχεί σε μια αύξηση 2π ακτινίων στην τιμή τού 4χ.)

Υποκεφάλαιο 7.5

Έργο και κινητική ενέργεια

32. Ένα σώμα μάζας 0.6 kg έχει ταχύτητα 2 m/s στο σημείο Α και κινητική ενέργεια 7.5 J στο σημείο Β. Ποια είναι (a) η κινητική του ενέργεια στο σημείο Α; (b) η ταχύτητά του στο σημείο Β; (c) Ποιο είναι το / (ί συνολικό έργο που παράγεται στο σώμα καθώς αυτό κινείται από το Α στο Β; 33. Μια μπάλλα έχει μάζα 0.3 kg και ταχύτητα 15 m/s (a). Ποια είναι η κινητική της ενέργεια; (b) Αν η ταχύτητά της διπλασιαστεί, τί παθαίνει η κινητική της ενέργεια; 34. Υπολογίστε την κινητική ενέργεια ενός δορυφόρου 2 μάζας 1 000 kg που περιστρέφεται γύρω από τη Γη με ταχύτητα 7 X ΙΟ3 m/s. 35. Ένας μηχανικός αρχίζει να σπρώχνει ένα αυτοκίνη­ το μάζας 2 500 kg που προηγουμένως ήταν ακίνητο ώσπου αυτό αποκτήσει ταχύτητα υ. Ο μηχανικός Σχήμα 7.16 (Πρόβλημα 24 και 39). στην προσπάθειά του αυτή παράγει έργο 5 000 J. Ενας τοξότης τραβά τη χορδή τού τόξου του προς τα Κατά τη διάρκεια αυτού τού χρόνου το αυτοκίνητο πίσω κατά 0.4 m ασκώντας μια δύναμη που αυξάνε­ κινείται κατά 25 m. Εάν δεν ληφθεί υπ’ άψιν η τριβή ται από 0 μέχρι 230 Ν. (a) Ποια είναι η ισοδύναμη μεταξύ αυτοκινήτου και δρόμου, (a) ποια είναι η σταθερά ελατηρίου τού τόξου; (b) Πόσο έργο παρά­ τελική ταχύτητα υτού αυτοκινήτου; (b) Ποια είναι η γει ο τοξότης τραβώντας τη χορδή; οριζόντια δύναμη που ασκείται στο αυτοκίνητο; Η δύναμη που δρα σε ένα σωμάτιο είναι Fx = 36. Μια μάζα 3 kg έχει αρχική ταχύτητα Vg = (61 - 2J) m/s. (a) Ποια είναι η κινητική της ενέργεια στον (&c — 16) Ν, όπου το χ είναι σε m. (a) Κάνετε ένα χρόνο αυτό; (b) Βρείτε τη μεταβολή τής κινητικής της διάγραμμα τής δύναμης αυτής σε συνάρτηση με το χ ενέργειας αν η ταχύτητα μεταβάλλεται, σε (8/ + 4J) m/s. από χ = 0 έως χ = 3 m. (b) Από το διάγραμμα βρείτε (Υπόδειξη: θυμηθείτε ότι ν2 = υ · υ.) το συνολικό έργο που παράγει η δύναμη καθώς το σωμάτιο κινείται από χ = 0 έως χ = 3 m. |37. Ένα κιβώτιο μάζας 40 kg το οποίο ηρεμεί αρχικά σύρεται κατά μια απόσταση 5 m κατά μήκος ενός μη Εάν σε ένα ελαφρό ελατήριο που υπακούει στον νόμο τού Hooke κρεμάσουμε κατακόρυφα ένα σώμα μάζας λείου οριζόντιου πατώματος με μια σταθερά ασκού­ μενη δύναμη ίση με 130 Ν. Αν ο συντελεστής τριβής 4 kg, το ελατήριο εκτείνεται κατά 2.5 cm. Αν μεταξύ τού κιβωτίου και τού πατώματος είναι 0.3, αφαιρέσουμε τη μάζα τών 4 kg, (a) κατά πόσο θα βρείτε (a) το έργο που παράγει η ασκούμενη δύναμη, εκταθεί το ελατήριο αν κρεμάσουμε σε αυτό μια μάζα (b) το έργο που παράγει η τριβή, (c) τη μεταβολή τής 1.5 kg και (b) πόσο έργο πρέπει να παραγάγει ένα εξωτερικό μέσο για να εκτείνει το ίδιο ελατήριο κατά κινητικής ενέργειας τού κιβωτίου και (d) την τελική 4.0 cm από τη θέση ισορροπίας του; ταχύτητα τού κιβωτίου. 38. Ένα σώμα μάζας 4 kg υφίσταται μια δύναμη που 'Ενας ναυτικός που έχει χαθεί μέσα στη ζούγκλα μεταβάλλεται συναρτήσει τής θέσης του, όπως δεί­ βρίσκεται στη μέση ενός βάλτου. Εκτιμά ότι η δύναμη χνει το Σχήμα 7.15. Το σώμα ξεκινά ενώ προηγουμέ­ Fx την οποία πρέπει να ασκεί κατά τη διεύθυνση χ νως ήταν ακίνητο στη θέση x = 0. Ποια είναι η ταχύ­ καθώς αγωνίζεται να βγει από τον βάλτο είναι Fx = τητα τού σώματος όταν (a) χ = 5 m, (b) χ = 10 m, (c) (1 000 — 50 χ) Ν, όπου το χ είναι σε m. (a) Να χ = 15 m; παραστήσετε γραφικά την Fx σε συνάρτηση με το χ. (b) Ποια είναι η μέση δύναμη κατά την κίνηση από το 39. Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μάζας 6 kg μεταβάλλεται συναρτήσει τής θέσης, όπως φαίνεται μηδέν έως το χ\ (c) Αν ο ναυτικός διανύσει απόσταση στο Σχήμα 7.16. Αν η ταχύτητά του είναι 2 m/s όταν χ = 20 m για να βγει εντελώς από τον βάλτο, πόσο χ = 0, βρείτε την ταχύτητα και την κινητική ενέρ­ έργο θα έχει παραγάγει; γεια τού σώματος όταν (a) χ = 4 m, (b) χ = 8 m, και Αν η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μεταβάλλεται (c) χ = 10 m. συναρτήσει τής θέσης του σύμφωνα με τη σχέση Fx = 3jc3 —5, όπου το χ είναι σε m, πόσο έργο παράγει |40. Σε μια σκοπευτική επίδειξη, ένας σκοπευτής ρίχνει

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

41.

|42.

|43.

|44.

|45.

|46.

|47.

48.

μια σφαίρα μάζας 55 g οριζόντια σε έναν κοντινό στόχο, που είναι ένα σακί με άμμο. Η σφαίρα φεύγει με ταχύτητα 350.0 m/s και μετά σταματά μέσα στην άμμο, αφού διατρέξει 18 cm. Εάν υποτεθεί ότι μόνο το 25% τής ενέργειας που καταναλώθηκε από τη σφαίρα εμφανίζεται ως μηχανικό έργο (το υπόλοιπο 75% μετατρέπεται σε θερμότητα), (a) πόση μηχανική ενέργεια απορρόφησε η άμμος; (b) ποια μέση δύναμη ασκεί η άμμος στη σφαίρα; Μια μάζα 6 kg ανυψώνεται κατακόρυφα κατά ένα ύψος 5 m με ένα ελαφρό σχοινί που η τάση του είναι 80 Ν. Βρείτε (a) το έργο που παράγει η δύναμη τής τάσης, (b) το έργο που παράγει η βαρύτητα και (c) την τελική ταχύτητα τής μάζας εάν αυτή προηγουμέ­ νως ήταν ακίνητη. Στο τραινάκι τού Προβλήματος 22, Κεφάλαιο 6, η ταχύτητα τών βαγονιών είναι 13 m/s στην κορυφή τής ανακύκλωσης σε ύψος 40 m. Ποια είναι η ταχύτητά τους στο χαμηλότερο σημείο αν δεν ληφθεί υπ’ όψιν καμιά τριβή; Μια μηχανή τού Atwood αποτελείται από μια ελα­ φρά ακίνητη τροχαλία με ένα ελαφρό μη εκτατό νήμα γύρω από αυτήν (βλ. Σχήμα 5.12). Στα άκρα τού νήματος είναι δεμένες μάζες 0.2 kg και 0.3 kg, αντίστοιχα. Οι μάζες κρατιούνται ακίνητες, η μια απέναντι στην άλλη, και μετά αφήνονται ελεύθερες. Εάν δεν ληφθεί υπ’ όψιν καμιά τριβή, ποια θα είναι η ταχύτητα καθεμιάς μάζας τη στιγμή κατά την οποία κάθε μάζα θα έχει διατρέξει 0.4 m; Ένα σώμα μάζας 2 kg είναι δεμένο σε ένα ελαφρό ελατήριο σταθεράς 500 N/m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6. Το σώμα σύρεται 5 cm προς τα δεξιά από τη θέση ισορροπίας και μετά αφήνεται. Βρείτε την ταχύτητα τού σώματος καθώς διέρχεται από τη θέση ισορροπίας αν (a) η οριζόντια επιφάνεια είναι χωρίς τριβή και (b) ο συντελεστής τριβής μεταξύ τού σώματος και τής επιφάνειας είναι 0.35. Σε ένα έλκηθρο μάζας m δίνεται ώθηση πάνω σε μια παγωμένη λίμνη ώστε να αποκτήσει αρχική ταχύτητα υ0 = 2 m/s. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ του ελκήθρου και τού πάγου είναι = 0.1. Χρησιμο­ ποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να βρείτε την απόσταση που διέτρεξε το έλκηθρο προτού σταματήσει. Ένα σώμα μάζας 12 kg αρχίζει να γλιστρά, ενώ προηγουμένως ήταν ακίνητο, κατά μήκος ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 35° και το σταματά ένα ισχυρό ελατήριο με k = 3.0 x ΙΟ4 Ν/m. Το σώμα διατρέχει μια συνολική απόσταση d = 3.0 m από το σημείο που αφέθηκε μέχρι το σημείο που τό σταμάτη­ σε το ελατήριο. 'Οταν το σώμα σταματά, κατά πόσο έχει συσπειρωθεί το ελατήριο; Ένα κιβώτιο μάζας 10 kg ωθείται προς τα πάνω κατά μήκος ενός μη λείου κεκλιμένου επιπέδου με αρχική ταχύτητα 1.5 m/s. Η ασκούμενη δύναμη είναι 100 Ν, παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο, το οποίο σχηματίζει γωνία 20° με το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι 0.4 και το κιβώτιο διατρέχει απόσταση 5 m, (a) πόσο έργο παράγει αντίθετα προς τη βαρύτητα; (b) Πόσο έργο παράγει ενάντια στην τριβή; (c) Πόσο έργο παράγει η δύναμη τών 100 Ν; (d) Ποια είναι η μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού κιβωτίου; (e) Ποια είναι η ταχύτητα τού κιβωτίου όταν έχει διατρέξει 5 m; Ένα σώμα μάζας 0.6 kg ολισθαίνει 6.0 m προς τα

|49.

|50.

|51.

|52.

171

κάτω σε μια ράμπα χωρίς τριβή που έχει κλίση κατά γωνία 20° ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Μετά κινείται σε μια τραχιά οριζόντια επιφάνεια, όπου = 0.5. (a) Ποια είναι η ταχύτητα τού σώματος στη βάση τού κεκλιμένου επιπέδου; (b) Ποια είναι η ταχύτητά του αφού διατρέξει 1.0 m πάνω στην τραχιά επιφάνεια; (c) Πόση απόσταση θα διατρέξει στην οριζόντια επιφάνεια προτού σταματήσει; Σε ένα σώμα μάζας 4 kg στη βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 20° δίνεται μια αρχική ταχύτητα 8 m/s. Η δύναμη τριβής που επιβραδύνει την κίνηση είναι 15 Ν. (α) Αν το σώμα κινείται προς τα επάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, πόση απόσταση θα διατρέξει το σώμα προτού σταματήσει; (b) Θα ξαναγυρίσει πίσω στη βάση τού κεκλιμένου επιπέδου; «Οι τρεις φίλοι Winkin, Blinkin και Nod μια μέρα...» βαρέθηκαν να παίζουν με τη βάρκα τους και πήγαν στις πλαγιές τού βουνού εφοδιασμένοι με ένα έλκη­ θρο. Βρήκαν μια πλαγιά με γωνία κλίσης 2.87° και μήκους 30 m. Από την κορυφή τού λόφου άρχισαν να γλιστρούν και έφθασαν μέχρι το κάτω μέρος, όπου η ταχύτητά τους ήταν 5.0 m/s. Αν η συνολική μάζα τών τριών παιδιών και τού ελκήθρου ήταν 120 kg, ποια ήταν η μέση δύναμη τριβής κατά μήκος τής πλαγιάς; Ένα σώμα μάζας 3 kg κινείται προς τα επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 37° υπό την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης 40 Ν. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι 0.1 και το σώμα μετατοπίζεται κατά 2 m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Υπολογίστε: (a) το έργο που παράγει η δύναμη τών 40 Ν, (b) το έργο που παράγει η βαρύτητα, (c) το έργο που παράγει η τριβή και (d) τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας τού σώματος. (.Σημείωση: Η εφαρμοσμένη δύναμη όεν είναι παράλληλη προς το κεκλιμένο επίπεδο.) Σώμα μάζας 4 kg δεμένο σε ένα νήμα μήκους 2 m περιστρέφεται σε κύκλο πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια, (a) Αν η επιφάνεια είναι χωρίς τριβές, προσδιορίστε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και δείξτε ότι το έργο που παράγει καθεμιά δύναμη είναι μηδενική για κάθε μετατόπιση τού σώματος, (b) Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ τού σώματος και τής επιφάνειας είναι 0.25, βρείτε το έργο που παράγει η δύναμη τής τριβής σε κάθε περιστρο­ φή τού σώματος.

Υποκεφάλαιο 7.6 Ισχύς 53. Ένας στρατιώτης βάρους 700 Ν, στη διάρκεια τής βασικής εκπαίδευσής του σκαρφαλώνει σε ένα σχοινί 10 m, αναρτημένο κατακόρυφα, με σταθερή ταχύτητα σε 8 s. Ποια είναι η ισχύς που αποδίδει; 54. Σε ένα τμήμα τών καταρρακτών τού Νιαγάρα το νερό ρέει με ρυθμό 1 200 kg/s και πέφτει από 50 m. Πόσες λάμπες τών 60 W μπορούν να ανάψουν με αυτή την ισχύ; 55. Ένας αθλητής άρσης βαρών σηκώνει 250 kg κατά 2 m σε 1.5 s. Ποια είναι η ισχύς ·που αναπτύσσει; 56. Ένα κιβώτιο μάζας 200 kg σύρεται κατά μήκος μιας επίπεδης επιφάνειας από μια μηχανή. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ κιβωτίου και επιφάνειας είναι 0.4. (a) Πόση ισχύ πρέπει να παρέχει η μηχανή ώστε το κιβώτιο να κινείται με σταθερή ταχύτητα 5 m/s; (b) Πόσο έργο παράγει η μηχανή σε 3 min; |57. Ένα αυτοκίνητο μάζας 1 500 kg αρχίζει να επιταχύ­

172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

58.

59.

|60.

61.

|62.

νεται ομαλά ώσπου να αποκτήσει ταχύτητα 10 m/s σε 3 s. Βρείτε (a) το έργο που παράγεται στο αυτοκίνητο κατά τον χρόνο αυτό, (b) τη μέση ισχύ που αποδίδει η μηχανή στα πρώτα 3 s και (c) τη στιγμιαία ισχύ που αποδίδει η μηχανή όταν t = 2 s. Μια ορισμένη μηχανή αυτοκινήτου προσδίδει ισχύ 30 hp (2.24 X 104 W) στους τροχούς της όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα 27 m/s (= 60 mi/h). Ποια είναι η δύναμη αντίστασης που ασκείται στο αυτοκίνητο στην ταχύτητα αυτή; Μια βενζινάκατος χρειάζεται 130 hp για να κινείται με σταθερή ταχύτητα 15 m/s (== 33 mi/h). Υπολογίστε τη δύναμη αντίστασης που οφείλεται στο νερό στην ταχύτητα αυτή. Ενα αυτοκίνητο βάρους 2 500 Ν που δουλεύει σε ρυθμό 130 kW αναπτύσσει μέγιστη ταχύτητα 31 m/s σε έναν επίπεδο οριζόντιο δρόμο. Εάν υποτεθεί ότι η αντιδρώσα δύναμη που οφείλεται στην τριβή και την αντίσταση τού αέρα παραμένει σταθερή, (a) ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα τού αυτοκινήτου σε ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσης 1 προς 20 (δηλαδή, αν θ είναι η γωνία τού κεκλιμένου επιπέδου με το οριζό­ ντιο επίπεδο, sin θ = 1/20); (b) Ποια είναι η ισχύς που αποδίδει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο κλίσης 1 προς 10 αν αυτό κινείται με ταχύτητα 10 m/s; Ενας αθλητής μάζας 65 kg διατρέχει μια απόσταση 600 m πάνω σε έναν λόφο που έχει γωνία κλίσης 20°. Ο χρόνος που πετυχαίνει είναι 80 s. Εάν υποτεθεί ότι η αντίσταση τού αέρα είναι αμελητέα, (a) πόσο έργο παράγει και (b) ποια είναι η ισχύς που αναπτύσσει κατά τη διάρκεια τού τρεξίματος; Μια μοναδική σταθερή δύναμη Εδρα σε ένα σωμάτιο μάζας m. Το σωμάτιο ξεκινά, ενώ ήταν ακίνητο, τη χρονική στιγμή t = 0. (a) Αποδείξτε ότι η στιγμιαία ισχύς που αποδίδει η δύναμη σε οποιονδήποτε χρόνο t είναι ίση με (I^/m)!. (b) Αν F = 20 Ν και τη = 5 kg, ποια είναι η ισχύς που αποδίδει κατά τη χρονική στιγμή / = 3 s;*

* Υποκεφάλαιο 7.7 Ενέργεια και αυτοκίνητο 63. Το αυτοκίνητο που περιγράφεται στον Πίνακα 7.4 κινείται με σταθερή ταχύτητα 35.9 m/s. Στην ταχύτη­ τα αυτή,προσδιορίστε (a) την ισχύ που χρειάζεται για να υπερνικήσει την αντίσταση τού αέρα, και (b) τη συνολική ισχύ που προσδίδει στους τροχούς. 64. Ενα επιβατικό αυτοκίνητο με δύο επιβάτες έχει κατανάλωση 25 mi/gal. Το αυτοκίνητο διανύει από­ σταση 3 000 miles. Ένα αεριωθούμενο αεροπλάνο που διανύει την ίδια απόσταση με 150 επιβάτες έχει κατανάλωση 1 mi/gal. Συγκρίνετε την κατανάλωση κατά επιβάτη για τους δύο τρόπους μεταφοράς. |65. Ένα μικρό αυτοκίνητο είναι σχεδιασμένο με συντελε­ στή αντίστασης 0.40 και ισοδύναμη μετωπική επιφά­ νεια 1.7 m2. Το αυτοκίνητο με έναν επιβάτη έχει μάζα 760 kg και απόδοση 15%. Εκτιμήστε την ποσότητα τής βενζίνης που χρειάζεται ώστε το αυτοκίνητο να διανύσει απόσταση 1.4 km πάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 10° και με σταθερή ταχύτητα 64 km/h. |66. Υποθέστε ότι το αυτοκίνητο που περιγράφεται στον Πίνακα 7.4, άδειο έχει κατανάλωση 6.4 km/liter (15 mi/gal), όταν κινείται με ταχύτητα 26.8 m/s (60 mi/h). Εάν υποτεθεί ότι η απόδοση είναι σταθερή, προσδιο­ ρίστε την κατανάλωση τού αυτοκινήτου όταν η

συνολική μάζα τών επιβατών και τού οδηγού είναι 350 kg. |67. 'Οταν προστεθεί ο κλιματισμός στο αυτοκίνητο που περιγράφεται στο Πρόβλημα 66, η πρόσθετη ισχύς που χρειάζεται ώστε να λειτουργήσει ο κλιματισμός είναι 1.54 kW. Αν η κατανάλωση είναι 6.4 km/liter χωρίς τον κλιματισμό, ποια είναι η κατανάλωση όταν λειτουργεί ο κλιματισμός; * Υποκεφάλαιο 7.8 Σχετικιστική κινητική ενέργεια 68. 'Ενα ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα 0.995c, όπου c είναι η ταχύτητα τού φωτός, (a) Ποια είναι η κινητική ενέργεια τού ηλεκτρονίου; (b) Αν χρησιμο­ ποιήσετε την κλασική έκφραση για να υπολογίσετε την κινητική του ενέργεια, τί ποσοστό επί τοίς εκατό σφάλματος θα προκύψει; 69. Ένα πρωτόνιο σε έναν επιταχυντή υψηλής ενέργειας κινείται με ταχύτητα c/2, όπου c είναι η ταχύτητα τού φωτός. Χρησιμοποιείστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να βρείτε το έργο που χρειάζεται για να αυξήσει την ταχύτητά του σε (a) 0.75c, (b) 0.995c. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ |70. Ένα κιβώτιο μάζας 15 kg σύρεται με σταθερή ταχύτητα προς τα επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο μήκους 8.0 m που σχηματίζει γωνία 15° ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ τού κιβωτίου και τού κεκλιμένου επιπέδου είναι 0.40, πόσο έργο παράγει (a) η εφαρμοσμένη δύναμη, (b) η δύναμη τριβής, (c) η κάθετη δύναμη και (d) η βαρυτική δύναμη; 71. Ο μπάρμαν σε ένα μπαρ στη Δύση τών ΗΠΑ σπρώχνει ένα μπουκάλι ουίσκυ πάνω στον οριζόντιο πάγκο προς έναν πελάτη στην άλλη άκρη τού πάγκου που απέχει 7 m. Με ποια ταχύτητα άφησε το μπουκάλι αν ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι 0.1 και το μπουκάλι σταμάτησε μπροστά από τον πελάτη; 72. Μια γυναίκα υψώνει μια σημαία μάζας 10 kg από το έδαφος στην κορυφή ενός κονταριού ύψους 10 m με σταθερή ταχύτητα 0.25 m/s. (a) Βρείτε το έργο που παράγει η γυναίκα κατά τον χρόνο που ανεβάζει τη σημαία, (b) Βρείτε το έργο που παράγει η βαρύτητα, (c) Ποια είναι η ισχύς που αποδίδει η γυναίκα όταν υψώνει τη σημαία; 73. Τρία διανύσματα που σχηματίζουν ένα τρίγωνο ικανοποιούν τη σχέση C = A - Β (βλ. Σχήμα 7.17). Χρησιμοποιήστε αυτό το δεδομένο και τον ορισμό τού εσωτερικού γινομένου για να βρείτε τον νόμο τών συνημιτόνων τής τριγωνομετρίας C2 = Α 2 + Β2 - 2ΑΒ cos θ (Υπόδειξη: Βρείτε το εσωτερικό γινόμενο C · C, σε συνάρτηση με τα Α και Β.)

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|74. Η κατεύθυνση ενός αυθαίρετου διανύσματος Α μπο­ ρεί να προσδιοριστεί ακριβώς με τις γωνίες α, β, και γ που σχηματίζει το διάνυσμα με τους άξονες χ, y και ζ, αντίστοιχα. Αν A = A xi + Ayj + A zk, (a) βρείτε εκφράσεις για τα cos α, cos β και cos γ (είναι γνωστά ως συνημίτονα κατεύθυνσης) και (b) αποδείξτε ότι αυτές οι γωνίες ικανοποιούν τη σχέση cos2 α + cos2β + cos2 γ - 1. (Υπόδειξη: Πάρετε το εσωτερικό γινόμενο τού Α με τα i, j και k ξεχωριστά). |75. Ενα σώμα μάζας 4 kg κινείται κατά μήκος τού άξονα χ. Η θέση του μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου σύμφωνα με τη σχέση χ = t + 2Ζ3, όπου το χ είναι σε m και το / σε s. Βρείτε (a) την κινητική ενέργεια σε οποιονδήποτε χρόνο ί, (b) την επιτάχυνση τού σώματος και τη δύναμη που δρα σε αυτό κατά τον χρόνο /, (c) την ισχύ που δίνεται στο σώμα, σε χρόνο ί·, και (d) το έργο που παράγεται στο σώμα κατά το χρονικό διάστημα από t = 0 μέχρι ί = 2 s. (Σημείωση: Ρ = dW/dt.) |76. Μια ιδανική μηχανή τού Atwood φέρει μια μάζα 3 kg και μία 2 kg στα άκρα τού νήματος (βλ. Σχήμα 5.12). Η μάζα 2 kg αφήνεται, ενώ προηγουμένως ακινητούσε, στο έδαφος, 4 m κάτω από τη μάζα τών 3 kg. (a) Αν η τροχαλία δεν έχει τριβή, ποια θα είναι η ταχύτητα τών μαζών όταν η μία βρίσκεται απέναντι τής άλλης; (b) Υποθέστε τώρα ότι η τροχαλία δεν περιστρέφεται και το νήμα πρέπει να γλιστρά γύρω από αυτήν. Αν η συνολική δύναμη τριβής μεταξύ τής τροχαλίας και τού νήματος είναι 5 Ν, ποιες θα είναι οι ταχύτητές τους, όταν οι μάζες βρίσκονται η μία απέναντι στην άλλη; |77. Η συνισταμένη δύναμη που δρα σε ένα σώμα μάζας 2 kg το οποίο κινείται κατά μήκος τού άξονα χ μεταβάλλεται σαν Fx = 3χ2 —4χ + 5, όπου το χ είναι σε m και το Fx σε Ν. (a) Βρείτε το συνολικό έργο που παράγεται στο σώμα καθώς αυτό κινείται από χ = 1 m έως χ = 3m. (b) Αν η ταχύτητα τού σώματος είναι 5 m/s όταν χ = 1 m, ποια θά είναι η ταχύτητα όταν χ = 3 m; |78. Αποδείξτε το θεώρημα έργου-ενέργειας, W = ΑΚ για μια γενική τρισδιάστατη μετατόπιση. (Σημειώστε: F = mdv/dt και ds = vdt.) |79. Ενα σώμα μάζας 200 g πιέζεται πάνω σε ένα ελατήριο σταθερός 1.4 kN/m ωσότου το ελατήριο συσπειρωθεί κατά 10 cm και μετά αφήνεται ελεύθερο. Το ελατήριο βρίσκεται στη βάση ενός κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 60°, ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να προσδιορίσετε πόση απόσταση θα διατρέξει το σώμα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο προτού σταματήσει στιγμιαία: (a) αν δεν υπάρχει τριβή μεταξύ τού σώματος και τού κεκλιμένου επιπέδου· και (b) αν ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είναι 0.4 |80. Σώμα μάζας m είναι δεμένο σε ένα ελαφρό ελατήριο σταθεράς k, όπως στο Σχήμα 7.6. Το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά απόσταση d από τη θέση ισορρο­ πίας και αφήνεται, ενώ ώς τότε ακινητούσε. (a) Αν το σώμα ηρεμήσει όταν για πρώτη φορά φτάσει στη θέση ισορροπίας, ποιος είναι ο συντελεστής τριβής μεταξύ τού σώματος και τής επιφάνειας; (b) Αν το σώμα ηρεμήσει όταν το ελατήριο είναι για πρώτη φορά τεταμένο κατά απόσταση d/2 από τη θέση ισορρο­ πίας, πόσο είναι το μ; |81. Σώμα μάζας 0.4 kg ολισθαίνει σε μια οριζόντια κυκλική πίστα ακτίνας 1.5 m. Έχει αρχική ταχύτητα

173

8 m/s. Μετά από μια περιστροφή η ταχύτητά του ελαττώνεται σε 6 m/s λόγω τής τριβής, (a) Βρείτε το έργο που παράγει η τριβή σε μια περιστροφή, (b) Υπολογίστε τον συντελεστή τής τριβής ολισθήσεως. (c) Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός περιστροφών που θα κάνει το σώμα προτού σταματήσει; |82. Ένα ελαφρό μη ελαστικό νήμα είναι δεμένο σε μια μάζα 0.25 kg που βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι με τραχιά επιφάνεια. Το νήμα είναι περασμέ­ νο γύρω από μια ελαφρά τροχαλία χωρίς τριβή και στο άλλο άκρο του δένεται σε μια μάζα 0.4 kg που κρέμεται κατακόρυφα από αυτό. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος και τού επιπέδου είναι 0.2. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να προσδιορίσετε: (a) την ταχύ­ τητα τών σωμάτων αφού το καθένα έχει διατρέξει 20 m από το σημείο στο οποίο ήταν ακίνητο· και (b) τη μάζα που πρέπει να προστεθεί στη μάζα τών 0.25 kg έτσι ώστε αν δοθεί μια αρχική ταχύτητα στο σύστη­ μα, τα σώματα να εξακολουθήσουν να κινούνται με σταθερή ταχύτητα, (c) Ποια μάζα πρέπει να αφαιρεθεί από τη μάζα τών 0.4 kg για να πραγματοποιηθεί το ίδιο πράγμα όπως στην (b); |83. Ένα βλήμα μάζας m εκτοξεύεται οριζόντια με αρχική ταχύτητα από ύψος h πάνω από το οριζόντιο έδαφος. Κατά τη στιγμή ακριβώς προτού το βλήμα χτυπήσει στο έδαφος, βρείτε (a) το έργο που παράγει η βαρύτητα στο βλήμα, (b) τη μεταβολή τής κινητικής του ενέργειας από τη στιγμή που εκτοξεύθηκε το βλήμα και (c) την τελική κινητική ενέργεια τού βλήματος. 1[84|. Αναφερόμενοι στο Πρόβλημα 83, βρείτε (a) τον στιγμιαίο ρυθμό με τον οποίο παράγεται έργο στο βλήμα και (b) αν η μάζα τού βλήματος είναι 10 kg και το αρχικό ύψος 40 m, τον στιγμιαίο ρυθμό που παράγεται έργο μετά από 1 s, 2 s και 3 s. (Σημείωση: Προσέξτε τον παρερχόμενο χρόνο). |85. Ένα φορτίο μάζας 60 kg υψώνεται από μια διάταξη δύο τροχαλιών, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.18. Πόσο έργο παράγει η δύναμη F για να σηκώσει το φορτίο κατά 3 m αν υπάρχει δύναμη τριβής σε κάθε τροχαλία ίση με 20 Ν; (Οι τροχαλίες δεν περιστρέφο­ νται και το σχοινί γλιστρά κατά μήκος κάθε επιφά­ νειας).

Σχήμα 7.18 (Πρόβλημα 85).

|86. Μια μικρή σφαίρα μάζας m κρέμεται από ένα νήμα

174

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

μήκους L, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.19. Μια μεταβλητή οριζόντια δύναμη F ασκείται στη μάζα κατά τέτοιο τρόπο ώστε τή μετακινεί αργά από την κατακόρυφη θέση μέχρις ότου το νήμα σχηματίσει γωνία θ με την κατακόρυφη. Υποθέτοντας ότι η σφαίρα βρίσκεται πάντοτε σε ισορροπία, (a) απο­ δείξτε ότι F = mg tan θ. (b) Χρησιμοποιήστε την Εξίσωση 7.20 για να δείξετε ότι το έργο που παράγει η δύναμη F είναι ίσο με mgL (1 - cos θ). (Υπόδειξη: Σημειώστε ότι s = ί,θ και έτσι ds = L dff).

Σχήμα 7.19 (Πρόβλημα 86).

|87. Το ένα άκρο ενός ελαφρού ελατηρίου σταθερός 400 N/m είναι στερεωμένο σε έναν μεταλλικό σωλήνα που λειτουργεί σαν όπλο με ελατήριο. Όταν το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, το ελεύθερο άκρο του συμπίπτει με το ανοιχτό άκρο τού σωλήνα. Το ελατήριο συμπιέζεται κατά 0.25 m μέσα στον σωλήνα, που είναι στραμμένος προς τα επάνω σχηματίζοντας γωνία 60° ως προς το οριζόντιο επίπεδο.Πάνω στο συσπειρωμένο ελατήριο βρίσκεται μια χαλύβδινη σφαίρα μάζας 200 g, που εκτινάσσεται από τον σωλήνα μόλις ελευθερωθεί το ελατήριο. Υποθέστε ότι η αντίσταση τού αέρα είναι αμελητέα και ότι δεν υπάρχει τριβή μέσα στον σωλήνα, (a) Ποια είναι η ταχύτητα τής σφαίρας όταν εγκαταλείπει τον σωλή­ να; (b) Ποια είναι η ταχύτητά της στο ψηλότερο σημείο; (c) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος (πάνω από το σημείο που εγκατέλειψε τον σωλήνα) που θα φτάσει η σφαίρα; [88. Ενα σώμα μάζας 10 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο ενός ελατηρίου που έχει σταθερά k. Το άλλο άκρο τού ελατηρίου είναι σταθερά στερεωμένο και το σώμα και το ελατήριο βρίσκονται πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος και τού τραπεζιού είναι 0.5. Οταν το ελατήριο αρχικά δεν είναι τεταμένο, το σώμα σπρώ­ χνεται με μια οριζόντια δύναμη που συσπειρώνει το ελατήριο κατά μια απόσταση L. (a) Βρείτε μια έκφραση για το συνολικό έργο που παράγεται σε συνάρτηση με τα L και k. (b) Υπολογίστε την τιμή τής σταθερός τού ελατηρίου λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι αν σπρώξουμε το σώμα κατά 7 cm, το έργο που παράγεται ενάντια στην τριβή είναι ίσο με το έργο που παράγεται ενάντια στη δύναμη τού ελατηρίου, (c) Αν το 60% τής ενέργειας που καταναλώθηκε χρησιμο­ ποιήθηκε για τη συμπίεση τού ελατηρίου, πόσο συνολικό έργο έχει παραχθεί; |89. Ένα αυτοκίνητο μάζας m κινείται με σταθερή ταχύ­ τητα υ σε έναν επίπεδο δρόμο και διανύει απόσταση d. Σύμφωνα με πραγματικές δόκιμές, η οπισθέλκου­ σα δύναμη είναι κατά προσέγγιση ίση με / = - Kmv,

όπου Κ = 0.018 s_1. (a) Αποδείξτε ότι το έργο που παράγει η μηχανή για να υπερνικήσει την οπισθέλ­ κουσα δύναμη είναι Kmvd. (b) Αποδείξτε ότι η ισχύς που πρέπει η μηχανή να παρέχει στους τροχούς για να διατηρείται αυτή η ταχύτητα είναι Kmv1. (c) Βρείτε αριθμητικές τιμές για το έργο που παράγεται και την ισχύ που παρέχεται όταν m = 1 500 kg, ν = 27 m/s, και d = 100 km. (d) Αν το αυτοκίνητο έχει κατανάλωση καυσίμου ίση με 15 mi/gal, ποια είναι η απόδοση τής μηχανής; (Σε αυτήν την περίπτωση, ορίζουμε την απόδοση ως το έργο που παράχθηκε διαιρούμενο με την ενέργεια που καταναλώθηκε). |90. Ένα επιβατικό αυτοκίνητο μάζας 1 500 kg επιταχύ­ νεται από το σημείο όπου ήταν ακίνητο σε 97 km/h μέσα σε 10 s. (a) Βρείτε την επιτάχυνση τού αυτοκινή­ του. (b) Αποδείξτε ότι ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τών οπίσθιων τροχών και τού δρόμου πρέπει να είναι τουλάχιστον ίσος προς 0.55. (c) Προσδιορίστε την ελάχιστη δύναμη τριβής τού αυτο­ κινήτου. (d) Βρείτε τη μέση ισχύ που αποδίδει η μηχανή. (Υποθέστε ότι η κάθετη δύναμη σε κάθε τροχό είναι img). |91. Υποθέστε ότι το μοντέλο ενός αυτοκινήτου είναι ένας κύλινδρος που κινείται με ταχύτητα υ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.20. Σε χρόνο Δί, μια στήλη αέρα μάζας Am πρέπει να κινείται κατά μια απόσταση υΔί και έτσι πρέπει να έχει κινητική ενέργεια i (Am)v2. Χρησιμοποιώντας αυτό το μοντέλο, αποδείξτε ότι η ισχύς που χάνεται λόγω τής αντίστασης τού αέρα είναι ΙρΑυ3 και η οπισθέλκουσα δύναμη ϊρΛυ2, όπου ρ είναι η πυκνότητα τού αέρα. —

vA t |-*—

A Σχήμα 7.20 (Πρόβλημα 91).

ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ Π Α ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ |92· Ένα σώμα μάζας 5 kg ξεκινά από την αρχή τών συντεταγμένων και κινείται πάνω στον άξονα χ. Η συνολική δύναμη που ασκείται στο σώμα μετριέται κατά διαστήματα 1 m και είναι 27.0, 28.3, 36.9, 34.0, 34.5, 34.5,46.9,48.2,50.0,63.5,13.6,12.2,32.7,46.6, 27.9 (σε Newton). Προσδιορίστε το συνολικό έργο που παράγεται πάνω στο σώμα κατά το διάστημα αυτό. |93. Ένα σώμα μάζας 0.178 kg κινείται κατά μήκος τού άξονα χ από χ = 12.8 m έως χ = 23.7 m υπό την επίδρασης μιας δύναμης

όπου F μετριέται σε Ν και το χ σε m. Χρησιμοποιήστε ολοκληρωτικό λογισμό για να εκτιμήσετε το συνολικό έργο που παράγει η δύναμη κατά τη διάρκεια αυτής τής μετατόπισης. Οι υπολογισμοί σας πρέπει να έχουν ακρίβεια τουλάχιστον 98%.

8 Δυναμική ενέργεια και διατήρηση τής ενέργειας __________ 1__ το Κεφάλαιο 7 είχαμε εισαγάγει την έννοια της κινητικής ενέργειας, η οποία προφανώς σχετίζεται με την κίνηση ενός σώματος. Είδαμε ότι για να μεταβληθεί η κινητική ενέργεια ενός σώματος πρέπει να παραχθεί έργο επί τού σώματος. Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαγάγου­ με μια άλλη μορφή ενέργειας, που λέγεται δυναμική ενέργεια και σχετίζεται με τη θέση τού σώματος ή με τη διαταξή του σε σχέση με άλλα σώματα. Θα δούμε ότι η δυναμική ενέργεια ενός σώματος μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι αποθηκευμένη ενέργεια η οποία μπορεί να παραγάγει έργο ή να μετατραπεί σε κινητική ενέργεια. Η έννοια τής δυναμικής ενέργειας είναι χρήσιμη μόνον όταν οι δυνάμεις που μελετούμε ανήκουν στην ειδική τάξη τών λεγάμενων διατηρητικών (ή συντηρητικώ ν) δυνάμεων. Ό τα ν σε ένα σύστημα δρουν μόνο εσωτερικές διατηρητικές δυνάμεις, όπω ς είναι η βαρύτητα ή οι δυνάμεις ελατηρίων, η κινητική ενέργεια που αποκτά (ή χάνει) το σύστημα, καθώς η σχετική απόσταση τών μελών του μεταβάλλεται στον χώρο, εξισορροπείται από μια ίση απώλεια (ή πρόσκτηση) δυναμικής ενέργειας. Αυτός είναι ο γνωστός νόμος διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας. Έ ν α ς πιο γενικός νόμος διατήρησης ισχύει για απομονωμένα συστήματα, όταν λαμβάνονται υ π ’ όψιν όλες οι μορφές ενέργειας και οι μεταβολές της.

Σ

8.1

ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ( Η ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ) ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

Διατηρητικές δυνάμεις Στο Παράδειγμα 7.11 βρήκαμε ότι το έργο που παράγει η δύναμη τής βαρύτητας όταν δρά πάνω σε ένα σώμα ισούται με το γινόμενο τού βάρους τού σώματος επί την κατακόρυφη μετατόπιση, με την προϋπόθεση βέβαια ότι το g δεν μεταβάλλεται μέσα στην περιοχή τής μετατόπισης. Ό π ω ς θα δούμε στο Υποκεφάλαιο 8.4, το αποτέλεσμα αυτό ισχύει για οποιαδήποτε μετατόπιση τού σώματος. Δηλαδή, το έργο που παράγει η βαρύτητα εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες τής αρχικής και τής τελικής θέσης τού σώματος και δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολούθησε το σώμα για να μεταβεί από το ένα σημείο στο άλλο. Ό τα ν μια δύναμη έχει αυτές τις ιδιότητες λέγεται διατηρητική (ή συντηρητική) δύναμη. Διατηρητικές δυνάμεις, εκτός από τη βαρύτητα, είναι η ηλεκτροστατική δύναμη και οι δυνάμεις επαναφοράς τών ελατηρίων. Γενικά, μια δύναμη λέγεται διατηρητική εάν το έργο που παράγει η δύναμη αυτή, καθώς μετατοπίζει κάποιο σώμα από ένα σημείο σε άλλο, είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα ανάμεσα στα δύο σημεία. Δηλαδή, το έργο που παράγει μια διατηρητική δύναμη εξαρτάται μόνο από

176

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

τις συντεταγμένες τής αρχικής και τής τελικής θέσης τού σώματος. Αναφερόμενοι στις αυθαίρετες (τυχαίες) διαδρομές τού Σχήματος 8.1a μπορούμε να γράψουμε Ιδιότητα διατηρητικής δύναμης

W pq (πάνω στη διαδρομή 1) = WPQ (πάνω στη διαδρομή 2) Ο ι διατηρητικές δυνάμεις έχουν και άλλη μια ιδιότητα, που απορρέει από την παραπάνω σχέση. Υποθέστε ότι το σώμα μεταβαίνει από το σημείο Ρ στο Q ακολουθώντας τη διαδρομή 1 και μετά επιστρέφει από το Q στο Ρ ακολουθώντας τη διαδρομή 2, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.1b. Το έργο που παράγει μια διατηρητική δύναμη, καθώς επιστρέφει στο Ρ από το Q ακολουθώντας τη διαδρομή 2, ισούται με το αντίθετο τού έργου που παράγεται καθώς το σώμα μεταβαίνει από το Ρ στο Q ακολουθώντας την διαδρομή 2. Μ πορούμε λοιπόν να γράψουμε για την ιδιότητα αυτή τών διατηρητικών δυνάμεων ότι

(a)

W Pq (πάνω στη διαδρομή 1) = - WQP (πάνω στη διαδρομή 2) WpQ (πάνω στη διαδρομή 1) + W QP (πάνω στη διαδρομή 2) = 0

Επομένως, μια διατηρητική δύναμη έχει την ακόλουθη ιδιότητα: το συνολικό έργο το οποίο παράγει μια διατηρητική δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα είναι μηδενικό όταν το σώμα αυτό πραγματοποιεί κλειστή διαδρομή, δηλαδή, όταν καταλήγει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε. (b) Σχήμα 8.1 (a) Έ ν α σώμα κινείται από το Ρ στο Q ακολουθώντας δύο διαφορετικές διαδρομές. Εάν η δύ­ ναμη που δρα πάνω του είναι διατηρητική, τότε το έργο που παράγει είναι τό ίδιο για καθεμιά από τις διαδρομές. Εάν όμως η δύναμη δεν είναι διατηρητική, τότε το έργο που παράγει είναι διαφορετικό για κάθε διαδρομή, (b) Έ ν α σώμα κινείται από το Ρ στο Q και κατόπιν επι­ στρέφει από το Q στο Ρ ακολουθώ­ ντας διαφορετική διαδρομή, δηλα­ δή τελικά διήνυσε κλειστή δια ­ δρομή.

Μ πορούμε να κατανοήσουμε την ιδιότητα αυτή τών διατηρητικών δυνάμεων ως εξής: Το θεώρημα έργου-ενέργειας λέει ότι το συνολικό έργο που παράγεται πάνω σε ένα σώμα το οποίο μετατοπίζεται ανάμεσα σε δύο σημεία ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής του ενέργειας. Είδαμε όμως ότι εάν όλες οι δυνάμεις είναι διατηρητικές, τότε W = 0 για κλειστή διαδρομή. Δηλαδή, το σώμα επιστρέφει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε με την ίδια κινητική ενέργεια που είχε κατά την εκκίνησή του. Για να αντιληφθούμε καλύτερα ότι η δύναμη τής βαρύτητας είναι διατηρητική, ας θυμηθούμε ότι το έργο που παράγει η βαρυτική δύναμη καθώς ένα σώμα μάζας m κινείται ανάμεσα σε δύο σημεία ύψους y, και y{ είναι

Ws = - m g ( y ( - y l) Δηλαδή, το έργο που παράγει η βαρυτική δύναμη mg (στην αρνητική κατεύθυνση τού y) ισούται με τη δύναμη πολλαπλασιασμένη με την μετατό­ πιση πάνω στην κατεύθυνση y. Ετσι βλέπουμε ότι το έργο εξαρτάται από την αρχική και τελική συντεταγμένη y και είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή. Επίσης, εάν τα y4 και y { αντιστοιχούν στο ίδιο ύψος ή εάν το σώμα εκτελεί κλειστή διαδρομή, τότεyj = yf και επομένως Wg = 0. Λογουχάρη, εάν ρίξουμε προς τα επάνω μια μπάλλα με αρχική ταχύτητα υ { και αγνοήσουμε την αντίσταση τού αέρα, τότε η μπάλλα πρέπει να ξαναπέσει στο χέρι μας και να έχει το ίδιο μέτρο ταχύτητας (την ίδια κινητική ενέργεια) με εκείνην που είχε στην αρχή. Έ ν α άλλο παράδειγμα διατηρητικής δύναμης είναι η δύναμη που ασκεί ένα ελατήριο πάνω σε ένα σώμα εξαρτημένο από το ελατήριο, τού οποίου η δύναμη επαναφοράς είναι Fs = - kx. Στο προηγούμενο κεφάλαιο βρήκαμε ότι το έργο που παράγει το ελατήριο πάνω στο σώμα είναι

Έργο που παράγει δύναμη ελατηρίου

W, -

- tk x ?

8.1 ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

177

όπου θεωρήσαμε ότι η αρχή, χ = 0, συμπίπτει με τη θέση ισορροπίας τού σώματος. Βλέπουμε λοιπόν ότι και πάλι το Ws εξαρτάται από την αρχική και την τελική θέση τού σώματος. Επίσης, Ws = 0 για κλειστή διαδρομή, δηλαδή όταν χ\ = Χ[. Μη διατηρητικές δυνάμεις Μια δύναμη είναι μ η δ ια τη ρ η τικ ή όταν το έργο που παράγει η δύναμη πάνω σε ένα σώμα το οποίο κινείται ανάμεσα σε δύο σημεία εξαρτάται από τη διαδρομή την οποία ακολουθεί το σώμα αυτό. Δηλαδή, το έργο που παράγει μια μη διατηρητική δύναμη καθώς κινεί το σώμα από το σημείο Ρ στο σημείο Q (Σχήμα 8.1a) θα είναι διαφορετικό για τις διαδρομές 1 και 2. Γράφουμε λοιπόν: WPQ (πάνω στη διαδρομή 1) Φ WPQ (πάνω στη διαδρομή 2)

Ιδιότητα μη διατηρητικής δύναμης

Επίσης, από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι, εάν μια δύναμη δεν είναι διατηρητική, το έργο που παράγει η δύναμη αυτή όταν κινεί ένα σώμα πάνω σε κλειστή τροχιά όεν είναι απαραίτητα μηδενικό. Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγει καθώς μεταβαίνει από το Ρ στο Q πάνω στην τροχιά 2 ισούται με το αρνητικό τού έργου από το Q στο Ρ πάνω στην ίδια διαδρομή, δηλαδή τη διαδρομή 2. Ετσι WPQ (πάνω στη διαδρομή 1) Φ - W QP (πάνω στη διαδρομή 2) W Pq

(πάνω στη διαδρομή 1) + WQP (πάνω στη διαδρομή 2) Φ 0

Ενα χαρακτηριστικό παράδειγμα μη διατηρητικής δύναμης είναι η δύναμη τριβής ολισθήσεως. Εάν ένα αντικείμενο κινηθεί ανάμεσα σε δύο σημεία πάνω σε μια τραχιά οριζόντια επιφάνεια ακολουθώντας διαφορετικές διαδρομές, τότε οπωσδήποτε το έργο που παράγει η δύναμη τριβής εξαρτάται από τη διαδρομή. Το αρνητικό έργο που παράγει η δύναμη τριβής πάνω σε ένα σώμα όταν αυτό κινείται σε μια διαδρομή ισούται με το γινόμενο τής δύναμης τριβής επί το μήκος τής διαδρομής. Για διαδρομές διαφορετικού μήκους καταναλώνονται διαφορετικές ποσότητες έργου. Η ελάχιστη απόλυτη τιμή τού έργου που παράγουν οι δυνάμεις τριβής αντιστοιχεί με τη διαδρομή που είναι η ευθεία γραμμή η οποία συνδέει τα δύο σημεία. Α ς σημειωθεί, τέλος, ότι για κλειστή διαδρομή το έργο δεν είναι μηδενικό, γιατί η δύναμη τής τριβής είναι συνεχώς αντίθετη προς την κατεύθυνση τής κίνησης. Λ ογουχάρη, υποθέστε ότι μετακινείτε ένα βιβλίο πάνω στην τραχιά οριζόντια επιφάνεια ενός τραπεζιού. Εάν μετακινήσετε το βιβλίο πάνω στην ευθεία γραμμή ανάμεσα στα σημεία Α και Β (βλ. Σχήμα 8.2), το έργο που παράγει η τριβή είναι - fd, όπου d είναι η απόσταση ανάμεσα στα δύο σημεία. Εάν όμως κινήσετε το βιβλίο ανάμεσα σε αυτά τα σημεία, πάνω σε μια οποιαδήποτε άλλη διαδρομή, τότε το έργο που παράγει η τριβή είναι μεγαλύτερο (κατά απόλυτη τιμή) από το - fd. Έ τσ ι, το έργο που παράγει η τριβή για τη μετατόπιση τού βιβλίου επάνω στην ημικυκλική διαδρομή τού Σχήματος 8.2 ισούται με —/ (πά/2), όπου d είναι η διάμετρος τού κύκλου. Τέλος, εάν το βιβλίο μετατοπιστεί πάνω σε μια οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή, όπως π .χ . σε κύκλο, το έργο που παράγει η τριβή είναι διάφορο τού μηδενός, γιατί η τριβή έχει συνεχώς αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση. Εάν στο παράδειγμα τής μπάλλας που πετάξαμε κατακόρυφα στον αέρα με αρχική ταχύτητα υj κάνουμε μετρήσεις ακρίβειας, θα δούμε ότι λόγω τής αντίστασης τού αέρα η μπάλλα επανέρχεται στο χέρι με ταχύτητα μικρότερη τής αρχικής. Δηλαδή, η τελική κινητική ενέργεια είναι μικρότερη από την αρχική. Αυτό σημαίνει ότι καταναλώθηκε (σκορπίστηκε) κινητική ενέργεια στο περιβάλλον. Για τον λόγο αυτό, καμιά φορά, οι μη διατηρητικές δυνάμεις

Σχήμα 8.2 Το έργο που παράγει η δύναμη τής τριβής (δεν είναι διατηρητική) είναι συνάρτηση τής δια ­ δρομής που ακολουθεί καθώς κινεί­ ται από το Α στο Β.

178

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

λέγονται και δυνάμεις ασωτίας*. Γι’ αυτό, πολλές φορές, περιγράφουμε τις δυνάμεις τριβής ως δυνάμεις ασωτείας.

J.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Στο προηγούμενο υποκεφάλαιο είδαμε ότι το έργο που παράγει μία διατηρητική δύναμη είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που ακολουθεί το σώμα κα ι από την ταχύτητά του. Το έργο που παράγεται είναι συνάρτηση μόνον τών συντεταγμένων τής αρχικής και τής τελικής θέσης τού σώματος. Για τους λόγους αυτούς, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση τών συντεταγμένων μόνο, που λέγεται δυναμική ενέργεια U και είναι τέτοια ώστε το έργο το οποίο παράγεται είναι ίσο με τη μείωση τής δυναμικής ενέργειας. Δηλαδή, το έργο που παράγει μια διατηρητική δύναμη F καθώς το σώμα κινείται στον άξονα τών χ είναι*(1)

( 8 . 1)

Δηλαδή, το έργο που παράγει μια διατηρητική δύναμη ισονται μ ε το αρνη­ τικό τής μεταβολής τής δυναμικής ενέργειας η οποία σχετίζεται μ ε τη δύνα­ μη αυτή. Ορίζουμε τη μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας ως την διαφορά A U = Uf - ί/;. Μ πορούμε να ξαναγράψουμε την Εξίσωση 8.1 ως

Μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας

( 8 .2 )

όπου η Fx Πολλές αναφοράς, προς αυτό δυναμικής

είναι συνιστώσα τής δύναμης F στη διεύθυνση τής μετατόπισης. φορές, για διευκόλυνση, μπορούμε να ορίσουμε ένα σημείο x h και να μετρήσουμε όλες τις διαφορές δυναμικής ενέργειας ως το σημείο. Με βάση τα παραπάνω , ορίζουμε τη συνάρτηση τής ενέργειας ως (8.3)

Πολλές φορές, θεωρούμε ότι η ίή είναι μηδενική σε κάποιο αυθαίρετο σημείο αναφοράς. Η τιμή που δίνουμε στο ίή δεν έχει καμία σημασία, αφού αυξομειώνει την Uf(x) κατά μία σταθερή τιμή. Εκείνο που έχει φυσική σημασία είναι η μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας (στο επόμενο υποκεφά­ λαιο θα δούμε ότι η μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας συνδέεται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας). Εάν ξέρουμε τη διατηρητική δύναμη ως συνάρτηση τών συντεταγμένων, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση 8.3 για να υπολογίσουμε τη μεταβολή στη δυναμική ενέργεια ενός σώματος καθώς αυτό κινείται από το x t στο χ (. Πρέπει να σημειωθεί ότι στη μονοδιάστατη περίπτωση μία δύναμη που είναι συνάρτηση μόνο τού χ είναι πάντοτε διατηρητική. Αυτό δεν ισχύει γενικά στη δισδιάστατη ή στην τρισδιάστατη περίπτωση. Το έργο που παράγει μια μη διατηρητική δύναμη εξαρτάται από τη * Σημ. Μετφρ.: Έτσι αποδίδουμε τον αγγλικό όρο dissipative forces, για τον οποίο δεν υπάρχει άλλη ικανοποιητική απόδοση στην Ελληνική. (1) Για μια γενική μετατόπιση, το έργο που παράγεται σε δύο ή τρεις διαστάσεις ισοΰται επίσης με ί/, - U,, όπου U = U (χ, y, z). Δηλαδή

W = I F ■ds = l/, - Uf .

8.3 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

διαδρομή που ακολουθεί το σώμα καθώς κινείται. Μπορεί επίσης να εξαρτάται από την ταχύτητα τού σώματος ή από άλλες ποσότητες. Στις περιπτώσεις αυτές το έργο δεν είναι, απλώς, συνάρτηση τών αρχικώ ν και τών τελικών συντεταγμένων τού σώματος. Τέλος, ας σημειωθεί ότι η δυναμική ενέργεια δεν μ π ο ρεί να ο ριστεί στην περίπτω ση κατά την οποία η δύναμη δεν είναι διατηρητική. 8.3

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Υποθέστε ότι ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα χ υπό την επίδραση μια ς διατηρητικής δύναμης Fx. Εάν αυτή είναι η μόνη δύναμη που δρα πάνω στο σώμα, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα έργου-ενέργειας, το έργο που παράγει η δύναμη αυτή είναι ίσο με τη μεταβολή στην κινητική ενέργεια τού σώματος: W C= AK Επειδή όμως η δύναμη είναι διατηρητική, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση 8.1 και να γράψουμε Wc = - AU. Επομένως, ΑΚ = —Δ17 ΑΚ + AU *· Δ(Κ + 17) = 0

(8.4)

Αυτός είναι ο νόμος διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας, τον οποίο μπορούμε να εκφράσουμε και με τη μορφή +

(8.5)

Διατήρηση τής μηχανικής ενέργειας

Εάν ορίσουμε την ολική μηχανική ενέργεια τού συστήματος, Ε, ως το άθροισμα τής κινητικής ενέργειας συν τη δυναμική ενέργεια, μπορούμε να εκφράσουμε τη διατήρηση τής ενέργειας ως Ε, = Ε[

(8.6a)

Ε=Κ+ U

(8.6b)

όπου Ολική μηχανική ενέργεια

Ο νόμος διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας λέει ότι εάν η δύναμη που παράγει έργο είναι διατηρητική, τότε η ολική μηχανική ενέργεια τού συστήματος παραμένει σταθερή. Ή , ισοδύναμα, εάν η κινητική ενέργεια ενός διατηρητικού συστήματος αυξηθεί (ή μειωθεί) κατά μία ποσότητα, τότε η δυναμική ενέργεια μειώνεται (ή αυξάνεται) κατά την ίδια ποσότητα. Εάν περισσότερες από μία διατηρητικές δυνάμεις δρουν πάνω στο σύστημα, τότε για καθεμιά δύναμη υπάρχει μια συνάρτηση δυναμικής ενέργειας. Στην περίπτωση αυτή, μπορούμε να γράψουμε τον νόμο διατήρη­ σης τής μηχανικής ενέργειας ως

(8.7) όπου ο αριθμός τών όρων στα αθροίσματα ισούται με τον αριθμό τών εξεταζόμενων διατηρητικών δυνάμεων. Λογουχάρη, θεωρήστε μια μάζα που είναι αναρτημένη από ένα ελατήριο το οποίο ταλαντώνεται κατακόρυφα. Έχουμε δύο διατηρητικές δυνάμεις που δρουν πάνω της: τη δύναμη τού ελατηρίου και τη δύναμη τής βαρύτητας. Θ α μελετήσουμε την περίπτωση αυτή αργότερα κατά την ανάλυση ενός παραδείγματος.

Διατήρηση τής μηχανικής ενέργειας

179

180

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

8.4

ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΟΝΤΑ Π Ή Ν ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΉΣ ΓΗΣ

'Ο ταν ένα σώμα κινείται κοντά στη Γη η βαρυτική δύναμη παράγει έργο επί τού σώματος. Στην περίπτωση τής ελεύθερης πτώσης, το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι συνάρτηση τής κατα χόρνφης μετατόπισης τού σώματος. Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει και για τη γενικότερη περίπτωση κατά την οποία το σώμα μετατοπίζεται οριζόντια και κατακόρυφα, όπως στην περίπτωση τής τροχιάς ενός βλήματος. Θεωρήστε την περίπτωση ενός σώματος που μετατοπίζεται από το Ρ στο Q ακολουθώντας διάφορες διαδρομές ενώ υ πάρχει σταθερή βαρυτική δύναμη(2) (βλ. Σχήμα 8.3). Το έργο που παράγει κατά τη διαδρομή PAQ τό διαιρούμε σε δύο μέρη: στο έργο κατά μήκος τής ΡΑ, που είναι -m g h (το mg είναι αντίθετο στη μετατόπιση), και στο έργο κατά μήκος τής A Q , που είναι μηδενικό (εφόσον το mg είναι κάθετο στη διαδρομή αυτή). Έ τσ ι WPAQ = — mgh. Εξάλλου, το έργο που παράγεται όταν το σώμα ακολουθεί τη διαδρομή PBQ είναι και αυτό -m g h , εφόσον.WPB = 0 και W B q = - mgh. Θεωρήστε τώρα την τυχαία διαδρομή PQ, που φαίνεται στο Σχήμα 8.3. Μ πορούμε να τήν περιγράφουμε προσεγγιστικά με μια τεθλασμένη που αποτελείται από μια σειρά οριζόντιες και κατακόρυφες μικρές γραμμές. Η δύναμη τής βαρύτητας δεν παράγει έργο σεις οριζόντιες διαδρομές, διότι είναι κάθετη σε αυτές. Η δύναμη αυτή όμως παράγει έργο στις κατακόρυφες διαδρομές, όπου, λογουχάρη, το έργο που παράγεται στη γραμμή π είναι —mg Δγ„. Έ τσ ι, το συνολικό έργο που παράγει η δύναμη τής βαρύτητας καθώς το σώμα μετατοπίζεται προς τα επάνω κατά h είναι το άθροισμα τών

X Σχήμα 8.3 Μπορείτε να θεωρήσετε ότι η μετατόπιση ενός σώματος από το Ρ στο Q υπό την επίδραση τής βαρύτητας έγινε με έναν μεγάλο αριθμό οριζόντιων και κατακόρυφων βημάτων. Το έργο που παράγει η βαρύτητα κατά τη διάρκεια κάθε οριζόντιου βήματος είναι μηδενικό. Έ τσι, το ολικό έργο που παράγει η βαρύτητα ισούται με το άθροισμα τών έργων που έχουν παραχθεί κατά τις κατακόρυφες μετατοπίσεις.

έργων καθεμιάς κατακόρυφης μετατόπισης. Το άθροισμα όλων αυτών τών όρων δίνει ' ' Wg = ~ m g

Ayn = - m g h

Δεδομένου ότι h - y f - y it μπορούμε να γράψουμε Wg * mgy, - mgyf

( 8 .8)

Συμπεραίνουμε ότι το έργο που παράγει η δύναμη τής βαρύτητας είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή και, συνεπώς, η βαρυτική δύναμη είναι διατηρητική δύναμη. ® Η υπόθεση ότι η δύναμη τής βαρύτητας είναι σταθερή είναι ικανοποιητική όσο η κατακόρυφη μετατόπιση είναι μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα τής Γης.

8.4 ΒΑΡΥΠΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΟΝΤΑ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΗΣ ΓΗΣ

181

Επειδή η δύναμη τής βαρύτητας είναι διατηρητική, μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας Ug ως Ug = m gy

(8.9)

Βαρυτική δυναμική ενέργεια

όπου επιλέξαμε το C/g = 0 όταν y = 0. Μην ξεχνάτε ότι η παραπάνω συνάρτηση εξαρτάται από την επιλογή τής αρχής των συντεταγμένων και ισχύει όταν η κατακόρυφη μετατόπιση τού σώματος είναι μικρή σε σύγκριση με την ακτίνα τής Γης. Στο Κεφάλαιο 14 θα αναπτύξουμε την γενική έκφραση για την βαρυτική δυναμική ενέργεια. Θέτουμε τον ορισμό τού Ug (Εξίσωση 8.9) στη σχέση που δίνει το παραγόμενο από τη δύναμη τής βαρύτητας έργο (Εξίσωση 8.8) και έχουμε Wg — Ut — U(= ~ A U g

(8.10)

Δηλαδή, το έργο που παράγει, η δύναμη τής β αρύτητας ισούται μ ε τη διαφορά τής αρχικής τιμής τής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας μείον την τελική τιμή τής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Συμπεραίνουμε από την Εξίσωση 8.10 ότι όταν η μετατόπιση είναι προς τα επάνω, γ {> y it τότε ίή < Uf και επομένως το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι αρνητικό. Αυτό λοιπόν συμβαίνει στην περίπτωση κατά την οποία η δύναμη τής βαρύτητας είναι αντίθετη από τη μετατόπιση. Ό τα ν το σώμα όμως μετατοπίζεται προς τα κάτω, yf < _yj, τότε Ui > U{ και επομένως το έργο που παράγει η βαρύτητα είναι θετικό. Στην περίπτωση αυτή, το m g έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση. Ο όρος δυναμική ενέργεια σημαίνει ότι το σώμα έχει τη δυνατότητα να αυξήσει την κινητική του ενέργεια ή να παραγάγει έργο όταν σε κάποιο σημείο απελευθερωθεί υπό την επίδραση τής βαρύτητας. Η επιλογή τής αρχής τών συντεταγμένων για την μέτρηση τού Ug είναι εντελώς αυθαίρετη, διότι μόνον οι διαφορές τής δυναμικής ενέργειας ορίζονται σαφώς. Πάντως, τις περισσότερες φορές, για διευκόλυνσή μας, μπορούμε να επιλέξουμε την επιφάνεια τής Γης ως το σημείο αναφοράς y t = 0. Εάν η δύναμη τής βαρύτητας είναι η μόνη δύναμη που δρα πάνω σε ένα σώμα, τότε η ολική μηχανική ενέργεια τού σώματος διατηρείται (Εξίσωση 8.5). Επομένως, γράφουμε τον νόμο διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας για ένα σώμα που πέφτει ελεύθερα ως i m v 2 + mgyl = $ m v 2 + m gyf

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8.1 Η μπάλλα που πέφτει ελεύθερα □ Μια μπάλλα μάζας m πέφτει από ύψος Λ πάνω από το έδαφος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.4. (a) Προσδιορίστε το μέτρο ταχύτητας τής μπάλλας όταν αυτή βρίσκεται σε ύψος y πάνω από το έδαφος. Μη λάβετε υπ’ όψιν την αντίσταση τού αέρα. Επειδή η μπάλλα πέφτει ελεύθερα, η μόνη δύναμη που δρα επάνω της είναι η βαρυτική. Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας. Όταν η μπάλλα αφήνεται ελεύθερη, ενώ προηγουμένως ηρεμούσε, από ύψος Λ πάνω από το έδαφος, η κινητική της ενέργεια είναι Kt = 0 και η δυναμική της ενέργεια U{ = mgh, όπου η συντεταγμένη y μετριέται από το έδαφος. Όταν η μπάλλα απέχει y επάνω από το έδαφος, η κινητική της ενέργεια είναι Kf = imvf2 και η δυναμική της ενέργεια σε σχέση με το έδαφος είναι U{ = mgy. Εφαρμόζουμε την Εξίσωση 8.11 και βρίσκουμε

(8.11)

Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας σώματος που πέφτει ελεύθερο

Kt + U ^ K f + U f

0 + mgh = £muf2 + mgy vf2 = 2 g ( h - y) V2g(/i - y) (b) Προσδιορίστε το μέτρο ταχύτητας τής μπάλλας στο y, εάν τή ρίχναμε με μέτρο αρχικής ταχύτητας υ( από το αρχικό ύψος Λ. Στην περίπτωση αυτή η αρχική ενέργεια περιέχει και κινητική ενέργεια ίση προς tm v 2 και η Εξίσωση 8.11 δίνει %mvi2 + mgh = |πιυ f2 + mgy υ{2 = υ,2 + 2g ( h - y)

182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Σχήμα 8.5 (Παράδειγμα 8.2) Ε άν το εκκρεμές αφεθεί ελεύθερο όταν σχηματίζει γω νία θ0 με την κατακόρυφο, ποτέ δεν θα ταλαντωθεί με μεγαλύτερη απόκλιση. Στην αρχή (στη θέση a) όλη του η ενέργεια είναι αποκλειστικά δυναμική. Μετατρέπετα ι όμως όλη σε κινητική όταν διέρχεται από τη χαμηλότερη θέση του (θέση b).

από ύψος Λ. Στην αρχή, όλη η ενέργειά της είναι δυναμική και ίση με mgh ως προς το πάτωμα. Σε ένα τυχαίο ύψος y , η ολική της ενέργεια είναι το άθροισμα τής κινητικής συν την δυναμική ενέργεια.

t)f =

τότε ya = - L cos 0Οκαι yb = - L. Επομένως Ua = - mgL cos 0Οκαι Ub = - mgL. Εφαρμόζουμε την αρχή τής διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας και έχουμε

+ 2 g ( h - y)

Ας σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τη σχέση τής κινητικής υ 2 = ν,ο2 - 2 g (y - y0), όπου >0 = A. Τέλος, το αποτέλεσμα αυτό ισχύει ακόμη και όταν η αρχική ταχύτητα σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο επίπεδο (όπως π.χ. στη μελέτη τής βολής). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8.2 Το εκκρεμές Το εκκρεμές αποτελείται από μια σφαίρα μάζας m που είναι αναρτημένη από λεπτό αβαρές νήμα μήκους L, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.5. Εκτρέπουμε τη σφαίρα ώστε το νήμα να σχηματίσει γωνία 0Ομε την κατακόρυ­ φο και ενώ ηρεμεί τήν αφήνουμε ελεύθερη. Στο σημείο εξάρτησης 0 δεν υπάρχει τριβή, (a) Βρείτε το μέτρο ταχύτητας τής σφαίρας όταν αυτή βρίσκεται στο χαμη­ λότερο σημείο b. Η μόνη δύναμη που παράγει έργο στη σφαίρα είναι η βαρυτική, εφόσον η τάση τού νήματος είναι συνεχώς κάθετη σε κάθε στοιχείο τής μετατόπισης και επομένως δεν παράγει έργο. Αφού η βαρύτητα είναι διατηρητική δύναμη, η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται. Επομέ­ νως, καθώς το εκκρεμές ταλαντώνεται, υπάρχει συνε­ χώς μετατροπή ενέργειας από δυναμική σε κινητική ενέργεια και αντίστροφα. Τη στιγμή που η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη, όλη η ενέργεια είναι δυναμική. Στο σημείο b το εκκρεμές έχει κινητική ενέργεια αλλά έχει χάσει δυναμική ενέργεια. Στο σημείο c το εκκρεμές έχει ξαναποκτήσει όλη τη δυναμική του ενέργεια και η κινητική του ενέργεια είναι και πάλι μηδενική. Εάν μετρήσουμε την τεταγμένη y από το σημείο εξάρτησης,

Ktt+Ua = Kb + Uh 0 - mgL cos θ0 = im vb2 - mgL (1)

vb = V2gL(l — cos 0O)

(b) Ποια είναι η τάση Τ τού νήματος στο σημείο b; Αφού η τάση δεν παράγει έργο, δεν μπορούμε να τή βρούμε χρησιμοποιώντας ενεργειακές μεθόδους. Μπο­ ρούμε όμως να εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην ακτινική διεύθυνση. Ας θυμηθούμε ότι η κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σώματος το οποίο κινεί­ ται πάνω σε τόξο κύκλου ισούται με i/lr και κατευθύνεται προς το κέντρο τού κύκλου. Εφόσον λοιπόν r - L, έχουμε (2)

2)Fr = T b - m g = mar = mvb2/L

θέτουμε την (1) στην (2) και βρίσκουμε ότι η τάση στο σημείο b είναι (3)

Tb = mg + 2mg(l —cos 0O) = m g (3 -2 c o s 0 o)

Άσκηση 1 Ενα εκκρεμές μάζας 0.5 kg και μήκους 2.0 m αφήνεται ελεύθερο όταν το νήμα σχηματίζει γωνία 30° με την κατακόρυφο. Βρείτε το μέτρο ταχύτητας τής σφαίρας και την τάση τού νήματος όταν η σφαίρα βρίσκεται στο χαμηλότερο σημείο. Απάντηση 2.29 m/s, 6.21 Ν.

8.5 ΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ-ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

8.5

183

ΜΗ ΔΙΑ ΤΗ ΡΗ ΤΙΚ ΕΣ ΔΥΝΑΜ ΕΙΣ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩ ΡΗΜ Α ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Στην πραγματικότητα, μη διατηρητικές δυνάμεις, όπως είναι η τριβή, υπάρχουν συνήθως στα φυσικά συστήματα. Επομένως, η ολική μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται. Πάντως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να υπολογίσουμε τις μη διατηρητικές δυνάμεις. Εάν συμβολίσουμε με Wnc το έργο που παράγουν πάνω στο σώμα όλες οι μη διατηρητικές δυνάμεις και με Wcxo έργο που παράγουν όλες οι διατηρητικές δυνάμεις, μπορούμε να γράψουμε το θεώρημα τού έργου-ενέργειας ως εξής: Wnc + Wc = ΔΚ Αλλά Wc = A U (Εξίσωση 8.1) και έτσι έχουμε W,*. = Α Κ + A U = ( K f — IQ + ( U f — Ut)

(8.12)

Δηλαδή το έργο που παράγουν όλες οι μη διατηρητικές δυνάμεις ισούται με το άθροισμα μεταβολής τής κινητικής ενέργειας συν τη μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας. Εφόσον η ολική μηχανική ενέργεια είναι Ε - Κ + U, μπορούμε να γράψουμε την Εξίσωση 8.12 ως εξής: Wnc = (Κ,·+ Uf) - (Κ, + Ud = Ε (— Ε,

(8.13)

^

^

νδΐατηρητΐκών

Δηλαδή, το έργο που πα ράγουν όλες οι μη διατηρητικές δυνάμεις ισούται με την μεταβολή τής ολικής μηχανικής ενέργειας τού συστήματος. Προφανώς, όταν δεν υπάρχουν μη διατηρητικές δυνάμεις, τότε Wnc = 0 και Ε { = Ε {. Δηλαδή, τότε διατηρείται η ολική μηχανική ενέργεια.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8.3 Σώμα κινούμενο σε κεκλιμένο επίπεδο Ένα σώμα μάζας 3 kg ολισθαίνει προς τα κάτω σε ένα τραχύ κεκλιμένο επίπεδο μήκους 1 m, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8.6a. Το σώμα ξεκινά, ενώ βρισκόταν σε κατάσταση ηρεμίας, από την κορυφή και υπόκειται σε μία σταθερή δύναμη τριβής μέτρου 5 Ν. Η γωνία τού κεκλιμένου επιπέδου είναι 30°. (a) Χρησιμοποιήστε

ενεργειακές μεθόδους και βρείτε την ταχύτητα που έχει αποκτήσει στο κάτω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου. Εφόσον = 0, η αρχική κινητική ενέργεια είναι μηδενική. Εάν μετρούμε την τεταγμένη y από το κάτω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου, τότε γ, = 0.50 m. Επομένως, η ολική μηχανική ενέργεια τού σώματος στην κορυφή τού κεκλιμένου επιπέδου ισούται με τη δυναμική ενέργεια, που είναι

Σχήμα 8.6 (Παράδειγμα 8.3) (a) Έ ν α σώμα ολισθαίνει σε ένα τραχύ κεκλιμένο επίπεδο υπό την επίδραση τής βαρύτητας. Η δυναμική του ενέργεια μειώνεται, ενώ η κινητική του ενέργεια αυξάνεται, (b) Διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος.

Όταν το σώμα φτάσει κάτω, η κινητική του ενέργεια είναι imvf2, αλλά η δυναμική του ενέργεια είναι μηδενική επειδή τότε βρίσκεται στο yf = 0. Επομένως η ολική μηχανική ενέργεια στο κάτω μέρος τού κεκλιμέ­ νου επιπέδου είναι Ε{ = 1mv{2. Δεν μπορούμε όμως να πούμε ότι ισχύει Ε{ = Ε{ στην περίπτωση αυτή, διότι υπάρχει μία μη διατηρητική δύναμη που παράγει έργο επί τού σώματος. Είναι η δύναμη τής τριβής και το έργο που παράγει είναι Wnc = ~fsϋ και είναι οι αρχικές ταχύτητες τών σωμάτων 1 και 2 και ότι Vif και V2 t είναι οι ταχύτητές τους κάποια στιγμή αργότερα. Μπορούμε να εκφράσουμε τη διατήρηση τής γραμμικής ορμής αυτού τού απομονωμένου συστήματος γράφοντας την Εξίσωση 9.10 ως εξής: m lv li + m 3v2i = m lv lf + m i v u

(9.11)

Pli + P2l = P lf+ P 2f

(9.12)

ή Διατήρηση τής ορμής

Δηλαδή, η ολική ορμή ενός απομονωμένου συστήματος κάθε σ τιγμ ή ισούται μ ε την αρχική ολική ορμή. Μ πορούμε να περιγράφουμε τον νόμο διατήρησης τής ορμής και με έναν άλλο τρόπο. Εφόσον απαιτείται το σύστημα που μελετούμε να είναι απομονωμένο, οι μόνες δυνάμεις που είναι δυνατόν να υπάρχουν είναι απαραίτητα εσωτερικές δυνάμεις τού συστήματος (δηλαδή το ζεύγος δράσης-αντίδρασης). Με άλλα λόγια, εάν δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις, η ολική ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Για ένα α­ πομονωμένο σύστημα, δηλαδή, ο νόμος διατήρησης τής ορμής είναι ισοδύνα­ μος με τον τρίτο νόμο τού Newton. Ο νόμος διατήρησης τής ορμής είναι από τους πιο θεμελιώδεις τής Φυσικής. Βλέπουμε λοιπόν ότι η ορμή ενός απομονωμένου συστήματος δύο σωμάτων διατηρείται ανεξάρτητα από το είδος τών εσωτερικών δυνάμεων. Στο Υποκεφάλαιο 9.7 θα αποδείξουμε ότι ο νόμος διατήρησης τής ορμής ισχύει επίσης και για ένα απομονωμένο σύστημα η σωμάτων.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.4 Η ανάκρουση πυροβόλου Ένα πυροβόλο μάζας 3 000 kg βρίσκεται πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.6. Το πυροβόλο γεμίζεται με σφαιρική οβίδα μάζας 30 kg και πυροδοτείται ενώ σκοπεύει σε οριζόντιο επίπεδο. Εάν το πυροβόλο ανακρούει προς τα δεξιά (όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.6) με ταχύτητα 1.8 m/s, υπολογίστε την αρχική ταχύτητα τής οβίδας. Λύση Θεωρούμε ότι το σύστημά μας αποτελείται από το πυροβόλο και την οβίδα. Το σύστημα στην πραγματικό­ τητα δεν είναι, απομονωμένο, διότι υπάρχει η δύναμη τής βαρύτητας καθώς και η κάθετη δύναμη (τριβή δεν

Σχήμα 9.6 (Παράδειγμα 9.4) Καθώς το κανόνι πυροδοτείται, ανακρούει προς τα δεξιά.

υπάρχει, εφόσον θεωρούμε ότι ο πάγος είναι λεία επιφάνεια). Πάντως, και οι δύο αυτές δυνάμεις δρουν σε κατεύθυνση που είναι κάθετη στη διεύθυνση κίνησης

9.3 ΚΡΟΥΣΕΙΣ

τού συστήματος. Επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο διατήρησης τής ορμής στη διεύθυνση χ, επειδή δεν υπάρχουν δυνάμεις στη διεύθυνση αυτή (υποτίθεται πάντοτε η ύπαρξη λείας επιφάνειας). Η ολική ορμή τού συστήματος πριν από την πυροδό­ τηση είναι μηδενική. Επομένως, η ολική ορμή είναι μηδενική και μετά την πυροδότηση ή τηχυχ + m2v 2 = 0

211

Λύνουμε ως προς υ2, κάνουμε τις αντίστοιχες αντικατα­ στάσεις, mx = 3 000 kg, ιη = 1.8 m/s και m2 = 30 kg και βρίσκουμε

Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η οβίδα κινείται προς τα αριστερά (Σχήμα 9.6), αντίθετα από το ανακρούον πυροβόλο.

9.3 ΚΡΟΥΣΕΙΣ Στο μέρος αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο διατήρησης τής ορμής για να περιγράφουμε τί γίνεται όταν δύο σώματα συγκρούονται, θ α χρησιμοποιή­ σουμε τον όρο κρούση για να περιγράφουμε την προσέγγιση τών δύο σωμάτων επί ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, κατά το οποίο ασκούνται δυνάμεις ώθησης από το ένα σώμα στο άλλο. Υ ποθέτουμε ότι η δύναμη ώθησης που αναπτύσσεται λόγω τής κρούσης είναι πολύ μεγαλύτερη από οποιαδήποτε εξωτερική δύναμη που δρα πάνω στα σώματα. Η διαδικασία κρούσης, μακροσκοπικά, είναι αποτέλεσμα τής επαφής δύο μακροσκοπικών αντικειμένων, όπως φαίνεται λ.χ. στο Σχήμα 9.7a. Τέτοια παραδείγματα έχετε δει πολλά, όπως λ.χ. την κρούση ανάμεσα σε δύο μπίλιες τού μπιλιάρδου ή το χτύπημα μιας μπάλλας με ρακέτα. Πρέπει όμως να γενικεύσουμε την έννοια τής «κρούσης», διότι η λέξη «επαφή» στον μικρόκοσμο δεν έχει νόημα ούτε ορίζεται. Εκείνο που συμβαίνει είναι ότι αναπτύσσονται δυνάμεις ώθησης, λόγω τής ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης ανάμεσα στα ηλεκτρόνια τών ατόμων τών επιφανειών τών δύο σωμάτων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα το τί συμβαίνει όταν προσεγγίσουμε το θέμα βαθύτερα ας παρατηρήσουμε το Σχήμα 9.7b, που περιγράφει μια κρούση σε ατομική κλίμακα, λ.χ. την κρούση ενός πρωτονίου με ένα σωματίδιο α (που είναι ο πυρήνας ενός ατόμου ηλίου). Τα δύο σωματίδια είναι φορτισμένα θετικά, γ ι’ αυτό απωθούν το ένα τς> άλλο λόγω τής ηλεκτροστατικής δύναμης. Στη Φυσική αποδίδουμε τη διαδικασία αυτή με τον όρο σκέδαση. 'Οταν δύο σώματα μάζας m x και m 2 συγκρούονται, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.7, οι δυνάμεις ώθησης μεταβάλλονται συνήθως κατά έναν πολύπλο­ κο τρόπο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.8. Εάν F12 είναι η δύναμη που ασκεί το m2 πάνω στο m x, τότε η μεταβολή τής ορμής τού m x λόγω τής κρούσης είναι

(b) Σχήμα 9.7 (a) Κρούση δύο σωμά­ των. (b) Κρούση δύο φορτισμένων ηλεκτρικά σωμάτων.

F

Δρι = Εξάλλου, εάν F2X είναι η δύναμη την οποία ασκεί το m x πάνω στο m2, τότε η μεταβολή τής ορμής τού τπ2 λόγω τής κρούσης είναι Δρ2 = £

F 2 i dt

Γνωρίζουμε όμως από τον τρίτο νόμο τού Newton ότι η δύναμη την οποία ασκεί το m2 πάνω στο m x είναι ίση και αντίθετη με τη δύναμη που ασκεί το m x πάνω στο m 2, δηλαδή Fx2 = —F21. Αυτό περιγράφεται με γραφική παρά­ σταση στο Σχήμα 9.8. 'Ετσι συμπεραίνουμε ότι Δρι = - Δ ρ 2 Αρχ + Δρ2 = 0 Αφού η ολική ορμή τού συστήματος είναι Ρ = Ρι + ρ 2 , συμπεραίνουμε ότι η

Σχήμα 9.8 Η δύναμη ως συνάρτη­ ση τού χρόνου για την περίπτω­ ση τών συγκρουόμενων σωμάτων τού Σχήματος 9.7a Σημειώστε ότι Ρι 2 = ~F2 1-

212

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

μεταβολή της ορμής τού συστήματος λόγω τής κρούσης είναι μηδενική, δηλαδή Ρ = Pi + ρ 2 = σταθερή Αυτό ακριβώς είναι το αποτέλεσμα που περιμένουμε, ότι δεν δρουν εξωτερικές δυνάμεις πάνω στο σύστημα (Υ ποκεφάλαιο 9.2). Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε εάν θεωρήσουμε την κίνηση λίγο πριν και λίγο μετά από την κρούση. Και τούτο συμβαίνει διότι οι δυνάμεις τής ώθησης που αναπτύσσονται είναι εσωτερικές δυνάμεις τού συστήματος και δεν επηρεά­ ζουν την ορμή του. Επομένως συμπεραίνουμε ότι Η ορμή διατηρείται πάντοτε, σε οποιαδήποτε κρούση

Μη ελαστική κρούση

Ελαστική κρούση

Ιδιότητες ελαστικών και μη ελαστικών κρούσεων

σε οποιαδήποτε κρούση, η ολική ορμή τού συστήματος λίγο πριν από την κρούση είναι ίση με την ολική ορμή τού συστήματος λίγο μετά από την κρούση, διότι η ολική ορμή ενός απομονωμένου συστήματος είναι οποιαδήποτε στιγμή η ίδια. Ό π ω ς είδαμε, λοιπόν, όσες φορές έχουμε κρούση δύο σωμάτων που αποτελούν απομονωμένο σύστημα, η ολική ορμή τους είναι πάντοτε σταθερή. Η ολική κινητική τους ενέργεια όμως 21 m 1+ m2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.5 «Φιατάκι» εναντίον Κάντιλακ

(9.13) (9.14)

η ταχύτητα τού συσσωματώματος, και βρίσκουμε

Ένα μεγάλο αυτοκίνητο πολυτελείας μάζας 1 800 kg σταματά σε κόκκινο φανάρι και από πίσω του τό χτυπά ένα μικρό αυτοκίνητο μάζας 900 kg. Τα δύο αυτοκίνητα συμπλέκονται τελείως λόγω τής σύγκρουσης, (a) Εάν το μικρό αυτοκίνητο κινούνταν με ταχύτητα 20 m/s πριν από την σύγκρουση, ποια είναι η ταχύτητα τής συσσω­ ματωμένης μάζας μετά τη σύγκρουση; Λύση Αφού το μεγάλο αυτοκίνητο ήταν σταματημένο πριν από τη σύγκρουση, η ολική ορμή ισούται με την ορμή τού μικρού αυτοκινήτου. Έτσι, η ορμή πριν από την κρούση είναι

(b) Πόση κινητική ενέργεια χάθηκε κατά τη σύγκρουση; Λύση Αφού το μεγάλο αυτοκίνητο ήταν ακίνητο πριν από τη σύγκρουση, η αρχική κινητική ενέργεια είναι

ρ, = τπχν, = (900 kg)(20 m/s) = 1.80 X ΙΟ4 kg -m/s

Αλλά τα δύο αυτοκίνητα κινούνται κολλημένα μεταξύ τους ύστερα από τη σύγκρουση και έτσι η τελική κινητική ενέργεια (μετά τη σύγκρουση) είναι

Μετά από τη σύγκρουση, η κινούμενη ενιαία μάζα ισούται με το άθροισμα τών μαζών τού μεγάλου και τού μικρού αυτοκινήτου. Η ολική ορμή λοιπόν είναι

Kr= i( mi + m2)v f = 1(900 kg + 1800 kg)(6.67 m/s)2

pf = (m 1 + m2)vf — (2700 kg)(v{) Εξισώνουμε την ορμή πριν από την σύγκρουση με την ορμή μετά από αυτήν, λύνουμε ως προς ν{, που είναι

1.80 ΧΙΟ4 kg-m /s_ 2700 kg

6.67 m/s

Κ, - i m ^ n 2 + im 2v2i2 = 1(900 kg)(20 m/s)2 + 0 = 1.80 X 10* J

= 0.60 X 105 J Η απώλεια κινητικής ενέργειας είναι λοιπόν K ,- K f =

1.20 X 10® J

214

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αλλά t>2i = 0. 'Ετσι η Εξίσωση 9.14 δίνει ( 2)

vr

”»1«11

θέτουμε την (2) στην (1) και παίρνουμε W hSl2 2 (ml + m2) όπου vn είναι η αρχική ταχύτητα τής σφαίρας. Να σημειωθεί ότι η κινητική ενέργεια τού συστήματος μετά την κρούση είναι μικρότερη από την αρχική κινητική ενέργεια τής σφαίρας- αυτό, βεβαίως, αναμενόταν, διότι η σφαίρα, για να σφηνωθεί μέσα στο ξύλο τού καδρονιού, δαπάνησε μεγάλο μέρος τής κινητικής ενέργειάς της θραύοντας τις ίνες τού ξύλου και θερμαίνοντάς το. Ας δούμε όμως τί συμβαίνει αμέσως μετά την κρούση: η κινητική ενέργεια τού συστήματος (σφαίρακαδρόνι) μετατρέπεται σε δυναμική ενέργεια τού συστή­ ματος καθώς αυτό ανυψώνεται κατά ύψος Α. Δηλαδή, μετά την κρούση δεν έχουμε μη διατηρητικές δυνάμεις (όπως θλάση τού ξύλου και τριβή με αυτό) και μπορού­ με να εφαρμόσουμε την περίπτωση διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας. Έτσι Σ χήμα 9.10 (Παράδειγμα 9.6) (a) Βαλλιστικό εκκρεμές (σχημα­ τικά). Σημειώστε ότι υ, είναι η ταχύτητα τού συστήματος αμέσως μετά την πλαστική κρούση, (b) Φω τογραφία, με πολυφλάς, πειράματος βαλλιστικού εκκρεμούς. (Φωτογραφία CENCO).

mi2vu2 2(mj + m2)

(mi + m2)gA

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.6. Το βαλλιστικό εκκρεμές Για να μετρήσουμε την ταχύτητα ενός αντικειμένου που κινείται πολύ γρήγορα, όπως π.χ. μιας σφαίρας, χρησι­ μοποιούμε το βαλλιστικό εκκρεμές (Σχήμα 9.10). Κρε­ μούμε ένα μεγάλο καδρόνι από το ένα άκρο του με ελαφρά νήματα και το πυροβολούμε οριζόντια. Η σφαίρα σφηνώνεται μέσα στο καδρόνι, το οποίο κινεί­ ται κατά ύψος Α. Επειδή η κρούση είναι τελείως μη ελαστική, η Εξίσωση 9.14 δίνει την ταχύτητα υ{ τού συστήματος καδρόνι-σφαίρα αμέσως μετά την κρούση, σύμφωνα με την προσέγγιση τής ώθησης. Η κινητική ενέργεια αμέσως μετά την κρούση είναι1 (1)

Κ = i(mi + m2)v?

Επομένως, εάν μετρήσουμε το ύψος Α κατά το οποίο ανυψώνεται το σύστημα και γνωρίζουμε τη μάζα τής σφαίρας και τη μάζα τού ξύλου, βρίσκουμε την αρχική ταχύτητα τής σφαίρας. Γιατί θα ήταν λάθος να εξισώσετε την αρχική κινητική ενέργεια τής σφαίρας με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια τού συστήματος σφαίρα-καδρόνι; Άσκηση 2 Σε ένα πείραμα βαλλιστικού εκκρεμούς τα δεδομένα είναι: Α = 5 cm, ση = 5 g και m2 = 1 kg. Βρείτε: (a) την αρχική ταχύτητα τής σφαίρας- και (b) την απώλεια ενέργειας κατά την κρούση. Απάντηση 199 m/s, 98.5 J.

Ελαστικές κρούσεις Θεωρήστε τώρα ότι δύο σώματα συγκρούονται ελαστικά κατά μέτωπο (Σχήμα 9.11). Στην περίπτωση αυτή, εκτός από την ορμή, διατηρείται και η κινητική ενέργεια- επομένως mjUu + m 2v2i = ιτίχΌχ + m 2v2{ +

i m 2v zi2

=

fa n iQ if2

+ i w 2t32f2

(9.15) (9.16)

όπου η ταχύτητα είναι θετική εάν το σώμα κινείται προς τα δεξιά και αρνητική εάν κινείται προς τα αριστερά (όπως βλέπουμε στο σχήμα).

9.4 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

215

Σ ε έ ν α τ υ π ικ ό π ρ ό β λ η μ α μ ε ελ α σ τ ικ ή κ ρ ο ύ σ η θ α υ π ά ρ χ ο υ ν δ ύ ο ά γ ν ω σ τ ο ι , τ ο υ ς ο π ο ί ο υ ς β ρ ίσ κ ο υ μ ε λ ύ ν ο ν τ α ς τ ο σ ύ σ τ η μ α τ ώ ν Ε ξ ισ ώ σ ε ω ν 9 .1 5 κ α ι 9 .1 6 . Μ π ο ρ ο ύ μ ε ό μ ω ς ν α α κ ο λ ο υ θ ή σ ο υ μ ε τ η ν ε ξ ή ς δ ια δ ικ α σ ία : Ξ α ν α γ ρ ά φ ο υ μ ε τ η ν Ε ξίσ ω σ η 9 .1 6 ω ς

”h (u

u2

“ « if 2) =

2 2f2

m (v

-

υ2ι2)

Ε ά ν π α ρ α γ ο ν τ ο π ο ιή σ ο υ μ ε , έ χ ο υ μ ε

"hit»!, - «if)(«n + t>lf) =

m 2( v 2f — t>21)(u2f + v 2i)

(9.17)

Ε ά ν τ ώ ρ α π ά ρ ο υ μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 9 .1 5 , μ π ο ρ ο ύ μ ε ν α τ ή ν ξ α ν α γ ρ ά ψ ο υ μ ε ω ς » « ι(« ιι ~ « σ ) = m 2(o 2f - υ 21)

( 9 .1 8 )

Ε ά ν δ ι α ι ρ έ σ ο υ μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 9 .1 7 μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 9 .1 8 , β ρ ίσ κ ο υ μ ε «II + « I f = « if + «21 ή « U _ « 2 l=!!“ ‘ ( « l f “ « 2 f)

( 9 .1 9 )

Η εξ ίσ ω σ η α υ τ ή , σ ε σ υ ν δ υ α σ μ ό μ ε τ η ν εξ ίσ ω σ η δ ια τ ή ρ η σ η ς τ ή ς ο ρ μ ή ς , ε ίν α ι π ο λ ύ χ ρ ή σ ιμ η γ ι α τη λ ύ σ η π ρ ο β λ η μ ά τ ω ν σ τ α ο π ο ί α υ π ε ι σ έ ρ χ ο ν τ α ι ε λ α σ τ ικ έ ς κ ρ ο ύ σ ε ις . Σ ύ μ φ ω ν α μ ε τ η ν Ε ξ ίσ ω σ η 9 .1 9 , η σ χ ε τ ικ ή τ α χ ύ τ η τ α τ ώ ν δ ύ ο σ ω μ ά τω ν π ρ ι ν α π ό τ η ν κ ρ ο ύ σ η , v u - ν^, ισ ο ύ τ α ι μ ε τ ο α ρ ν η τ ι κ ό τ ή ς σ χ ε τ ικ ή ς τ α χ ύ τ η τ ά ς τ ο υ ς μ ετ ά α π ό τ η ν κ ρ ο ύ σ η , —(i>if — « 2ί)· Υ π ο θ έ σ τ ε ό τι ο ι μ ά ζ ε ς κ α ι ο ι α ρ χ ικ έ ς τ α χύ τη τε ς τώ ν δ ύ ο σ ω μ ά τω ν ε ίν α ι γ ν ω σ τ ές . Μ π ο ρ ο ύ μ ε ν α λ ύ σ ο υ μ ε τ ι ς Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς 9 .1 5 κ α ι 9 .1 6 γ ι α ν ά β ρ ο ύ μ ε τ ις τε λ ικ ές τ α χ ύ τ η τ ε ς σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι τ ώ ν α ρ χ ι κ ώ ν , α φ ο ύ έ χ ο υ μ ε δ ύ ο ε ξ ισ ώ σ ε ις κ α ι δύο αγνώ σ τους. Λ ύνουμ ε ω ς π ρ ο ς

ν 1{ κ α ι ν2ι ° 1' -

U - (

κ α ι β ρ ίσ κ ο υ μ ε

( 2m * l« h + m J

+

2‘

Υ . +1 ( m 2 — m i \ r [ m i + m j 21

2” .

( 9 .2 0 )

Ελαστική κρούση: σχέση ανάμεσα στην αρχική και την τελική ταχύτητα

( 9 .2 1 )

Μ η ν π α ρ α λ ε ίπ ε τ ε ν α β ά ζ ε τ ε τ α σ χ ε τ ι κ ά π ρ ό σ η μ α σ τ ις Ε ξ ισ ώ σ ε ις 9 .2 0 κ α ι 9 .2 1 , δ ε δ ο μ έ ν ο υ ό τ ι η τ α χ ύ τ η τ α ε ί ν α ι δ ι ά ν υ σ μ α . Λ ο γ ο υ χ ά ρ η , ε ά ν η m2 κ ι ν ε ίτ α ι α ρ χ ι κ ά π ρ ο ς τ α α ρ ι σ τ ε ρ ά , ό π ω ς φ α ί ν ε τ α ι σ τ ο Σ χ ή μ α 9 .1 1 , τ ό τ ε η v2i ε ί ν α ι α ρ ν η τ ικ ή . Α ς μ ελ ε τ ή σ ο υ μ ε μ ε ρ ικ έ ς ε ι δ ι κ έ ς π ε ρ ιπ τ ώ σ ε ις : Ε ά ν τηχ = m2, τ ό τ ε β λ έ π ο υ μ ε ό τ ι t>if = t>2i κ α ι v2f = wu . Δ η λ α δ ή , ε ά ν τ α σ ώ μ α τ α έ χ ο υ ν ί σ ε ς μ ά ζ ε ς , τ ό τ ε α ν τ α λ λ ά σ σ ο υ ν τ α χ ύ τ η τ ε ς . Α υ τ ό τ ό π α ρ α τ η ρ ο ύ μ ε ό τ α ν π α ίζ ο υ μ ε μ π ι λ ι ά ρ δ ο . Ε ά ν η m2 ε ί ν α ι α ρ χ ι κ ά α κ ίν η τ η , τ ό τ ε v2i = 0 κ α ι ο ι ε ξ ισ ώ σ ε ις 9 .2 0 κ α ι 9 .2 1 γ ίν ο ν τ α ι

m i —m 2\ Λ '

(9 .2 2 ) μετά

+ ”» ι/ “ 2m ,

(b)

V

κτπ ! + m 2/

11

(9 .2 3 )

Ε ά ν η mi ε ί ν α ι π ο λ ύ μ ε γ α λ ύ τ ε ρ η α π ό τ η ν m2, τ ό τ ε β λ έ π ο υ μ ε α π ό τ ις Ε ξ ισ ώ σ ε ις 9 .2 2 κ α ι 9 .2 3 ό τ ι t>lf = v xi κ α ι ν2{ = 2vu. Δ η λ α δ ή , ό τ α ν έ ν α π ο λ ύ β α ρ ύ σ ώ μ α σ υ γ κ ρ ο ύ ε τ α ι μ ε τ ω π ικ ά μ ε έ ν α ε λ α φ ρ ό σ ώ μ α π ο υ ε ί ν α ι α κ ί ν η τ ο , τ ό τ ε τ ο β α ρ ύ σ ώ μ α σ υ ν ε χ ί ζ ε ι τ η ν κ ίν η σ η τ ο υ κ α ι μ ε τ ά τ η ν κ ρ ο ύ σ η χ ω ρ ίς κ α μ ι ά

Σχήμα 9.11 Σχηματική απεικόνιση ελαστικής μετωπικής κρούσης δύο σωμάτων (a) πριν από την κρούση (b) μετά την κρούση.

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ μεταβολή, ενώ το ελαφρό σώμα κινείται με ταχύτητα δύο φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα τού βαρέος σώματος. Τέτοια περίπτωση είναι η σύγκρουση ενός βαρέος ατόμου, όπως είναι το άτομο του ουρανίου, με ένα ελαφρό άτομο, όπως είναι το άτομο τού υδρογόνου. Εάν η m 2 είναι πολύ μεγαλύτερη από την τηγ και εάν η m2 αρχικά ηρεμεί, τότε βρίσκουμε από τις Εξισώσεις 9.22 και 9.23 ότι ν 1{ = - να και ν2ί * 0. Δηλαδή, όταν ένα πολύ ελαφρό σώμα συγκρούεται κατά μέτωπο με ένα πολύ βαρύ σώμα, που αρχικά ήταν ακίνητο, τότε η ταχύτητα τού ελαφρού σώματος αλλάζει κατεύθυνση κατά 180°, ενώ το βαρύ σώμα παραμένει σχεδόν ακίνητο. Για να πεισθείτε, ρίξτε μια μπίλια πάνω σε μια ακίνητη μπάλλα τού μπόουλινγκ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.7 Κρούση δύο σωμάτων με ελατήριο Ένα σώμα μάζας τηχ = 1.60 kg κινείται επάνω σε λεία οριζόντια σιδηροτροχιά προς τα δεξιά, με μέτρο ταχύ­ τητας 4.00 m/s, και συγκρούεται με ένα ελατήριο που είναι στερεωμένο πάνω σε ένα άλλο σώμα μάζας m2 = 2.10 kg, το οποίο κινείται προς τα αριστερά με μέτρο ταχύτητας 2.50 m/s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.12 a. Η σταθερά τού ελατηρίου είναι 600 N/m. Σε λίγο, το ση κινείται προς τα δεξιά με μέτρο ταχύτητας 3.00 m/s. Προσδιορίστε: (a) την ταχύτητα τού m2 τη στιγμή αυτή και (b) την απόσταση χ κατά την οποία συμπιέστηκε το ελατήριο την ίδια στιγμή. Λύση (a) Η αρχική ταχύτητα τού m2 είναι - 2.50 m/s, επειδή κατευθύνεται προς τα αριστερά. Η ολική ορμή τού συστήματος διατηρείται και έτσι mjOn + m2t>2i = m iVu + m2v2f

(1.60 kg)(4.00 m/s) + (2.10 kg)(-2.50 m/s) = (1.60 kg)(3.00 m/s) + (2.10 kg)«2f v2f = —1.74 m/s To αρνητικό πρόσημο τής υ2{ σημαίνει ότι τη στιγμή αυτή το m2 εξακολουθεί να κινείται προς τα αριστερά.

; Π = 4.00 m/s

v2i =

- 2.50 m/s

(a)

υ ΙΓ = 3.00 m/s

u ,f

|*1 Σχήμα 9.12 (Παράδειγμα 9 7).

(b) Για να υπολογίσουμε την απόσταση χ κατά την οποία συμπιέστηκε το ελατήριο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.12b, θα χρησιμοποιήσουμε την περίπτωση διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας, δεδομένου ότι δεν υπάρχουν τριβές στο σύστημα. Αντικαθιστούμε με τις δεδομένες τιμές και το αποτέλεσμα τού μέρους (a) και βρίσκουμε im jiV + im 2v2i2 = itn ^ ! ? + £m2t)2f* + \kx2 x=

0.173 m

Άσκηση 3 Βρείτε την ταχύτητα τού ηη και τη συμπίεση τού ελατηρίου τη στιγμή που σταματάει το m2. Απάντηση 0.719 m/s, 0.251 m. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.8 Επιβράδυνση νετρονίων με κρούσεις Σε έναν πυρηνικό αντιδραστήρα παράγονται νετρόνια με τη σχάση τού ισοτόπου 222υ . Τα νετρόνια αυτά κι­ νούνται με υψηλές ταχύτητες (γύρω στα ΙΟ7 m/s) και πρέπει να επιβραδυνθούν σε ταχύτητες γύρω στα ΙΟ3 m/s. Αυτό επιβάλλεται, γιατί τα βραδέα νετρόνια έχουν μεγάλη πιθανότητα να προκαλέσουν νέα σχάση τού ουρανίου και να υπάρξει έτσι αλυσιδωτή αντίδραση. Για να επιβραδυνθούν τα ταχέα νετρόνια, τά υποχρεώ­ νουμε να περάσουν μέσα από ένα στερεό ή υγρό υλικό που τό ονομάζουμε επιβραδυντή. Τα νετρόνια επιβρα­ δύνονται μέσω ελαστικών κρούσεων. Θα αποδείξουμε ότι τα νετρόνια μπορούν να επιβραδυνθούν όταν συγκρούονται με ελαφρούς πυρήνες, όπως π.χ. δευτερίου ή άνθρακα, διότι τότε χάνουν το μεγαλύτερο μέρος τής κινητικής τους ενέργειας. ΓΓ αυτό τον λόγο χρησι­ μοποιούμε για επιβραδυντή βαρύ ύδωρ (DzO) ή γραφί­ τη (ο γραφίτης περιέχει πάρα πολύ άνθρακα). Λύση Ας υποθέσουμε ο πυρήνας τού επιβραδυντή έχει μάζα m2 και στην αρχή είναι ακίνητος και ότι ένα νετρόνιο μάζας mx και αρχικής ταχύτητας vu συγκρούε­ ται μετωπικά μαζί του. Στην περίπτωση μας λοιπόν θα εφαρμόσουμε τις Εξισώσεις 9.22 και 9.23. Η αρχική κινητική ενέργεια τού νετρονίου είναι Κ, = inijOjj2 Μετά την κρούση το νετρόνιο έχει κινητική ενέργεια imiVif2. To vu τό βρίσκουμε από την Εξίσωση 9.22.

9.5 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Κι

ml ( ml ~ m 2 ]

2 \ mx + m2) »u2 (2 )

Επομένως, το κλάσμα τής ολικής κινητικής ενέργειας που έχει το νετρόνιο μετά από την κρούση είναι

9.5

Κ2

4 m 1m 2

Ί ζ = (my + m2)2

Η ολική ενέργεια όμως διατηρείται και έτσι θα μπορού­ σαμε να εξαγάγουμε την (2) από την (1), δεδομένου ότι Λ + h = 1, δηλαδή / 2 = 1 - fy. Υποθέστε ότι ο επιβραδυντής είναι βαρύ ύδωρ. Οι κρούσεις των νετρονίων με τους πυρήνες δευτερίου τού D20 (m2 = 2nti) σύμφωνα με τις (1) και (2) δίνουν fy = 1/9 και / 2 = 8/9. Δηλαδή, το 89% τής κινητικής ενέργειας τού νετρονίου μεταφέρεται στον πυρήνα τού επιβραδυντή. Στην πράξη, η αποδοτικότητα τού επι­ βραδυντή είναι χαμηλότερη, διότι κρούσεις κατά μέτω­ πο είναι σπάνιες. Σε τί θα μετέβαλλε το αποτέλεσμα εάν χρησιμοποιούσαμε γραφίτη ως επιβραδυντή;

Είναι προφανές από το τελευταίο αποτέλεσμα ότι η τελική κινητική ενέργεια τού νετρονίου είναι μικρή όταν η μάζα m2 είναι σχεδόν ίση με τη μάζα m1 και μηδενική όταν τπ\ = τη2. Μπορούμε να βρούμε την κινητική ενέργεια τού πυρήνα τού επιβραδυντή μετά την κρούση εάν χρησιμο­ ποιήσουμε την Εξίσωση 9.23: Κ2 —

217

Επομένως το κλάσμα τής ολικής κινητικής ενέργειας που μεταφέρεται στον πυρήνα τού επιβραδυντή είναι

Μπορούμε να γράψουμε την κινητική ενέργεια λοιπόν

(mi + m2)2 V

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΔΥ Ο Δ ΙΑ ΣΤΑ ΣΕΙΣ

Στο προηγούμενο Υποκεφάλαιο, καθώς και στο Υ ποκεφάλαιο 9.2, αποδείξα­ με ότι η ολική ορμή ενός συστήματος δύο σωμάτων διατηρείται εάν το σύστημα είναι απομονωμένο. Για τη γενική περίπτωση κρούσης στον χώρο, αυτό σημαίνει ότι η ολική ορμή διατηρείται σε κάθε μ ία από τις διευθύνσεις χ, y, και ζ (Εξίσωση 9.12). Δηλαδή, σε ένα πρόβλημα στο οποίο υπεισέρχονται τρεις διαστάσεις θα έχουμε τρεις εξισώσεις. Ας μελετήσουμε ένα πρόβλημα στο οποίο υπεισέρχονται δύο διαστάσεις και κατά το οποίο ένα σώμα μάζας my συγκρούεται με ένα άλλο μάζας m 2 που ηρεμεί αρχικά (Σχήμα 9.13). Η κρούση δεν είναι μετωπική, αλλά πλάγια. Μετά την κρούση, το my κινείται με γω νία θ σε σχέση με την αρχική του κατεύθυνση και το m2 με γω νία φ. Εφαρμόζουμε τον νόμο διατήρησης τής ορμής σε μορφή συνιστωσών και έχουμε Ρχι = Ρχί και Pyi = Py{. Παρατηρούμε ότι Pyi = 0 και βρίσκουμε rriyVu = niyVyf cos θ +

m 2v 2[ cos

φ

0 == myVyf sin θ — m 2v 2f sin φ

(9.24a)

συνιστώσα χ τής ορμής

(9.24b)

συνιστώσα γ τής ορμής

Σχήμα 9.13 Σχηματική απεικόνιση ελαστικής κρούσης ανάμεσα σε δύο σώματα που συγκρούο­ νται πλάγια: (a) πριν από την κρούση, (b) μετά από την κρούση.

218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ Εάν υποθέσουμε τώρα ότι η κρούση είναι ελαστική, έχουμε και τρίτη εξίσωση από την περίπτωση τής διατήρησης τής κινητικής ενέργειας im iV u2 = £τηχt>lf2 + $m2v 2{2

Διατήρηση τής ενέργειας

(9.25)

Εάν γνωρίζουμε την αρχική ταχύτητα, Vu, και τις μάζες, έχουμε τέσσερεις αγνώστους. Επειδή όμως έχουμε μόνο τρεις εξισώσεις, πρέπει να μάς δοθεί ένας από τους τέσσερεις αγνώστους (υ ^, v 2t, θ τ \φ ) για να περιγράφουμε την κίνηση μετά την κρούση χρησιμοποιώντας μόνο τους νόμους διατήρησης. Π άντως, μη ν ξεχνάτε ότι εάν η κρούση είναι μη ελαστική, η κινητική ενέργεια όεν διατηρείται και τότε δεν ισχύει η Εξίσωση 9.25. θ α δούμε παραδείγματα ό χι μόνον ελαστικών αλλά και μη ελαστικών κρούσεων. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Σάς συνιστούμε να ακολουθείτε την ακόλουθη διαδικασία για να λύνετε προβλήματα κρούσης δύο σωμάτων: 1. Ορίσετε ένα σύστημα συντεταγμένων καθώς και τις ταχύτητες στο σύστημα αυτό. Γενικά, για διευκόλυνσή μας μπορούμε να ορίσουμε τη διεύθυνση τού άξονα των x έτσι ώστε αυτός να συμπίπτει με μία από τις αρχικές ταχύτητες. 2. Σχεδιάστε όλα τα διανύσματα τών ταχυτήτων και βάλτε στο σχεδιάγραμμα όλες τις πληροφορίες τού προβλήματος. 3. Γράψτε τις σχέσεις για τις συνιστώσες χ και y τής ορμής κάθε σώματος, πριν και μετά από την κρούση. Μην παραλείψετε να βάλετε το σωστό πρόσημο σε καθεμιά από τις συνιστώσες τών ταχυτήτων. Λογουχάρη, εάν ένα σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση τών χ, η συνιστώσα χ τής ταχύτητας πρέπει να είναι αρνητική. Εάν δεν δώσετε τη δέουσα προσοχή στα πρόσημα, θα κάνετε λάθη! 4. Γράψτε την ολική ορμή στη διεύθυνση χ πριν και μετά από την κρούση και εξισώσετέ τις. Επαναλάβατε το ίδιο για την διεύθυνση y. Αυτό πρέπει να γίνει διότι η ολική ορμή οποιουδήποτε απομονωμένου συστήματος διατηρείται και επομένως η συνιστώσα τής ολικής ορμής σε οποιαδήποτε διεύθυνση είναι σταθερή. Πρέπει να έχετε αποσαφηνίσει στη σκέψη σας ότι εκείνο που διατηρείται είναι η ορμή τού συστήματος (τών δύο συγκρουόμενων σωμάτων) και όχι η ορμή καθενός σώματος ξεχωριστά. 5. Εάν η κρούση είναι μη ελαστική, η κινητική ενέργεια όεν διατηρείται και επομένως έχετε να λύσετε μόνο τις εξισώσεις τής ορμής για να βρείτε τους αγνώστους. 6. Εάν όμως η κρούση είναι ελαστική, τότε διατηρείται και η κινητική ενέργεια. Μπορείτε λοιπόν να εξισώσετε την κινητική ενέργεια πριν από την κρούση με την κινητική ενέργεια μετά από την κρούση. Έτσι έχετε μία επί πλέον εξίσωση, η οποία συνδέει τις διάφορες ταχύτητες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.9 Σύγκρουση σε διασταύρωση Αυτοκίνητο μάζας 1 500 kg κινείται προς Ανατολάς με μέτρο ταχύτητας 25 m/s και σε μια διασταύρωση συγκρούεται με ένα φορτηγάκι μάζας 2 500 kg, που κινείται με μέτρο ταχύτητας 20 m/s, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.14. Βρείτε την ταχύτητα (σε μέτρο και κατεύ­ θυνση) τού συσσωματώματος τών δύο αυτοκινήτων μετά την κρούση. Υποθέστε ότι έχετε τέλεια μη ελαστική κρούση (πλαστική κρούση). Λύση Ας επιλέξουμε τη θετική κατεύθυνση τών χ να είναι προς Ανατολάς και θετική τών y να είναι προς Βορράν, όπως στο Σχήμα 9.14. Το μόνο σώμα που έχει ορμή στη διεύθυνση τού χ πριν από τη σύγκρουση είναι

το αυτοκίνητο. Έτσι, η αρχική ορμή τού συστήματος (αυτοκίνητο συν φορτηγάκι) στη διεύθυνση χ είναι Σ ρ * = (1500 kg)(25 m/s) = 37 500 kg-m/s Υποθέστε τώρα ότι το συσσωμάτωμα που είναι αποτέ­ λεσμα τής σύγκρουσης κινείται μετά την κρούση σχημα­ τίζοντας γωνία θ με τον άξονα τών χ και έχοντας μέτρο ταχύτητας ν, όπως στο Σχήμα 9.14. Έτσι, η ολική ορμή στη διεύθυνση χ μετά τη σύγκρουση είναι Σ ρ * ί= (4000 kg)(t> cos θ)

9.5 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

219

«if sin 37° —o2f sin φ — 0 «if2 + «if2 = (3-5 X 105)2 Λύνουμε αυτές τις τρεις εξισώσεις και βρίσκουμε τους τρεις αγνώστους. «Η =

2.80 ΧΙΟ5 m/s φ=

Σχήμα 9.14 (Παράδειγμα 9.9) Σύγκρουση αυτοκινήτου με ημιφορτηγό.

Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο διατήρησης τής ορμής στη διεύθυνση χ. Και βρίσκουμε (I)

37 500 kg·m/s = (4000 kg)(o cos θ)

Παρομοίως, η ολική αρχική ορμή τού συστήματος στη διεύθυνση y είναι αυτή την οποία είχε το φορτηγάκι και που είναι (2 500 kg)(20 m/s). Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης τής ορμής στη διεύθυνση των y και έχουμε

50 000 kg · m/s = (4000 kg)(t> sin Θ)

Διαιρούμε την (2) δια τής (1) και βρίσκουμε , η 50 000 __ ta n 0 “ 3 7 5 0 0 " 133

2.11 ΧΙΟ 5 m/s

53.0°

Παρατηρούμε ότι θ + φ = 90°. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Ό ταν δύο ίσες μάζες συγκρούονται πλάγια και η μία ήταν αρχικά ακίνητη, τότε οι τελικές τους ταχύτητες είναι κάθετες μεταξύ τους. Στο επόμενο παράδειγμα περιγράφεται λεπτομερώς το σημείο αυτό. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.11 Παίζουμε μπιλιάρδο Σε ένα παιχνίδι μπιλιάρδου, ένας από τους παίκτες θέλει να βάλει μια μπίλια στη γωνιακή τρύπα χτυπώ­ ντας την με τη δική του μπίλια (Σχήμα 9.15). Εάν η γωνία την οποία πρέπει να σχηματίσει η μπίλια που θα δεχθεί το χτύπημα τής άλλης είναι 35°, ποια είναι η γωνία υπό την οποία φεύγει η μπίλια τού παίκτη; Υποθέστε ότι δεν υπάρχουν τριβές, ότι η κρούση είναι ελαστική και ότι η μπίλιες δεν στριφογυρίζουν. Λύση Αφού ο στόχος αρχικά ηρεμεί, υ% = 0. Η αρχή διατήρησης τής κινητικής ενέργειας μάς δίνει

Σ Ρ * —Σ^νί (2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg)(t> sin θ) (2)

o2f =

2

i m i« ii =

+

2

&η υ2?

Αλλά mi = m2. Έτσι (1)

«II2 = «If2 + «2Χ2

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης τής ορμής σε αυτή την δισδιάστατη κρούση και έχουμε (2)

«ιι = «if + «if

Αντικαθιστούμε αυτή την τιμή τού θ στην (2) ή στην (1) και βρίσκουμε ότι το μέτρο τής ν είναι 50 000 kg -m/s (4000 kg)(sin 53°)

15.6 m/s

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.10 Σύγκρουση πρωτονίου με πρωτόνιο Ένα πρωτόνιο συγκρούεται ελαστικά με ένα άλλο πρωτόνιο που αρχικά ήταν ακίνητο. Το πρώτο πρωτό­ νιο έχει μέτρο αρχικής ορμής 3.5 X 10s m/s και συγκρούεται πλάγια με το άλλο πρωτόνιο, όπως φαίνε­ ται στο Σχήμα 9.13. (Τα πρωτόνια ασκούν απωστικές ηλεκτροστατικές δυνάμεις μεταξύ τους). Μετά την κρούση, ένα από τα πρωτόνια κινείται σχηματίζοντας γωνία 37° με την αρχική διεύθυνση τής κίνησης και το άλλο σχηματίζει γωνία φ με την ίδια διεύθυνση. Βρείτε τη γωνία φ και τα μέτρα τών τελικών ταχυτήτων τών δύο πρωτονίων. Λύση Ξέρουμε ότι mx = m2, θ = 37° και ότι vu = 3.5 X 10s m/s. Αντικαθιστούμε στις Εξισώσεις 9.24 και 9.25 t>lf cos 37° + v2f cos φ = 3.5 X 10s

Σ χήμα 9.15 (Παράδειγμα 9.11).

Τετραγωνίζουμε τα δύο μέρη τής (2) και έχουμε «II2 = (« If + «if) · (« If + «if)

= «if2 + v2f + 2«lf · v2f Αλλά vlf · W2f = t>ifW2f cos (Θ + 35°) και έτσι (3)

Dj,2 = Djj2 + v2f + 2vlfo2{ cos(0 + 35°)

Αφαιρούμε την (1) από την (3) και έχουμε 2 « if« if c os(0 + 3 5 ° ) = 0

220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ cos(0 + 35°) = 0 0 + 3 5 ° = 90° ή

θ=

55.0°

μάζες συγκρούονται μεταξύ τους πλάγια και ελαστικά και εφόσον η μία ηρεμούσε αρχικά, τότε σκεδάζονται σχηματίζοντας γωνία 90° μεταξύ τους.

Βλέπουμε λοιπόν και πάλι ότι κάθε φορά που δύο ίσες

9.6 ΚΕΝΤΡΟ Μ ΑΖΑΣ Στο Υποκεφάλαιο τούτο θα περιγράφουμε την ολική κίνηοη ενός συστήμα­ τος σε σχέση με ένα πολύ ειδικό σημείο που λέγεται κέντρο μ ά ζα ς τού συστήματος. Το υπό μελέτην σύστημα μπορεί να είναι ένα σύστημα σωμάτων ή ένα μεγάλο αντικείμενο. Θα δούμε ότι το σύστημα κινείται σαν να ήταν όλη η μάζα του συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας. Τέλος, εάν η συνισταμένη όλων τών εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες δρουν πάνω στο σύστημα είναι F και η μάζα τού συστήματος Μ , τότε το κέντρο μάζας επιταχύνεται με επιτάχυνση a = FIΜ. Δηλαδή, το σύστημα κινείται σαν να δρούσε η συνισταμένη δύναμη Ε πάνω σε ένα μόνον σώμα μάζας Μ , που βρίσκεται στο κέντρο μάζας. Πρέπει να προστεθεί ότι στη μελέτη μας μέχρι τώρα δεχθήκαμε σιωπηρώς τα παραπάνω για να δώσουμε παραδείγματα μακροσκοπικών σωμάτων. θεω ρήστε ότι ένα μηχανικό σύστημα αποτελείται από ένα ζεύγος σωμάτων τα οποία είναι συνενωμένα με μια ελαφρά συμπαγή ράβδο (Σχήμα 9.16). Το κέντρο μάζας βρίσκεται πάνω στη γραμμή που ενώνει τα δύο σώματα και πλησιέστερα προς το σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα. Εάν μία μόνο δύναμη εφαρμοστεί πάνω στη ράβδο, σε ένα σημείο κοντά στη μικρότερη μάζα, το σύστημα θα στραφεί κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού (Σχήμα 9.16a). Εάν η δύναμη εφαρμοστεί σε ένα σημείο τής ράβδου πλησιέστερο προς τη μεγάλη μάζα, το σύστημα θα στραφεί με φορά αντίθετη από τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού (Σχήμα 9.16b). Εάν η δύναμη εφαρμοστεί στο κέντρο μάζας, τότε το σύστημα θα κινηθεί στη διεύθυνση τής F, χω ρίς να στρέφεται (Σχήμα 9.16c). Έ τσ ι λοιπόν μπορούμε να βρούμε το κέντρο μάζας. Μ πορούμε να πούμε ότι το κέντρο μάζας ενός συστήματος είναι η μέση θέση τής μάζας τού συστήματος. Λογουχάρη, το κέντρο μάζας τού ζεύγους σωμάτων που απεικονίζονται στο Σχήμα 9.17 βρίσκεται πάνω στον άξονα χ και κείται κάπου ανάμεσα στα δύο σώματα. Ορίζουμε μάλιστα ότι η συντεταγμένη χ είναι

(c)

Δύο άνισες μάζες συν­ δέονται με ελαφρά άκαμπτη ράβδο, (a) Το σύστημα περιστρέφεται κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού όταν η δύναμη εφαρμόζεται πάνω από το κέντρο μάζας τους, (b) Το σύστημα περιστρέφεται κατά φορά αντίθετη προς τη φορά τών δεικτών TtiyXi 4- m 2x2 (9.26) τού ρολογιού όταν η δύναμη εφαρ­ xc μόζεται κάτω από το κέντρο μάζας, 7711 + m 2 (c) Το σύστημα κινείται κατά την κατεύθυνση τής δύναμης F, χωρίς Λ ογουχάρη, εάν x t = 0, χ2 = d και m 2 = 2mi, βρίσκουμε ότι xc = id. Δηλαδή να περιστρέφεται, όταν η δύναμη το κέντρο μάζας κείται πιο κοντά στο σώμα που έχει τη μεγαλύτερη μάζα. εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας. Εάν οι δύο μάζες είναι ίσες, το κέντρο μάζας κείται στο μέσο τής απόστασης τών δύο σωμάτων. Μ πορούμε να επεκτείνουμε την έννοια τού κέντρου μάζας σε ένα σύστημα πολλών σωμάτων σε τρεις διαστάσεις. Ορίζουμε ότι η συντεταγμένη χ τού κέντρου μάζας π σωμάτων είναι

*

m 1x1 + m2x2 + m3x2 + · · · + τηΒχ„ _ Σ τπ,χ, m 1 + m2 + τη3 + · · · + τη„ Σττη

Σ χήμα 9.16

(9.27)

όπου χ, είναι η συντεταγμένη χ τού σώματος i και Σ/ τι, είναι η ολική μ ά ζα τού συστήματος. Για διευκόλυνσή μας, θα συμβολίσουμε την ολική μάζα με Μ =

Σ χήμα 9.17 Το κέντρο μάζας τών δύο σωμάτων βρίσκεται στο σημείο xc πάνω στον άξονα χ. To xc βρίσκε­ ται πιο κοντά στη μεγάλη μάζα.

9.6 ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

221

Στπι, όπου αθροίζουμε τα η σώματα. Παρόμοια ορίζουμε τις συντεταγμένες y και ζ του κέντρου μάζας.

Vcm

Σιntyt Μ

και

ζ' "

ΣλΓ

(9.28)

Το κέντρο μάζας ορίζεται και από την επιβατική του ακτίνα, rc. Οι ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες τού rc είναι οι x c, yc και zc που ορίσαμε με τις Εξισώσεις 9.27 και 9.28. Επομένως, rc = xci + y j + zjk Σπηχ,ι + 'S.miyij + 'Lmfak Μ _ Σm lr{ Γ' = Μ

(9.29)

(9.30)

Επιβατική ακτίνα τού κέντρου μάζας ενός συστήματος σωμάτων

όπου r, είναι η επιβατική ακτίνα τού σώματος ί και ορίζεται ως η = χ ,i + y j + ztk Η θέση τού κέντρου μάζας ενός στερεού (άκαμπτου) αντικειμένου ορίζεται κατά τον ίδιο τρόπο. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αντικείμενό μας αποτελείται από έναν μεγάλο αριθμό σωμάτων (Σχήμα 9.18). Η απόσταση ανάμεσα στα σώματα είναι πολύ μικρή και έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουμε συνεχή κατανομή μάζας. Διαιρούμε λοιπόν το αντικείμενο σε σώματα μάζας Δ/n, με συντεταγμένες x b y t και ζ,. Από όσα γνωρίζουμε λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι προσεγγιστικά ή συντεταγμένη χ τού κέντρου μάζας είναι

με παρόμοιες εκφράσεις για τα yc και zc. Εάν επιτραπεί στον αριθμό τών σωμάτων η να προσεγγίσει το άπειρο, τότε η παραπάνω σχέση ορίζει ακριβώς το xc. Στο όριο αυτό αντικαθιστούμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα και το Am, με το απειροστό dm. Έ τσ ι λοιπόν .____. (9.31)

Παρόμοια για το yc και zc yc = j j j y dm

and

Zc = J f J z

Μπορούμε να θεωρή­ σουμε ότι ένα άκαμπτο σώμα αποτελείται από μια κατανομή μικρών στοιχείων μάζας Δ/η(. Το κέντρο μάζας έχει επιβατική ακτίνα rc και συντεταγμένες otc, yc, και zc. Σ χήμα 9.18

Σχ( Ατη{

,. l x .A m . 1 Γ xc = lim --- —— = — I χ dm Am,—*0 Μ M J

y

(9.32)

Μπορούμε, συνεπώς, να πούμε ότι η επιβατική ακτίνα rc του κέντρου μάζας ενός στερεού αντικειμένου είναι

(9.33) Αυτή η σχέση είναι ισοδύναμη με τις τρεις βαθμωτές σχέσεις που δίνονται από τις Εξισώσεις 9.31 και 9.32. Το κέντρο μ ά ζα ς ομογενών και συμμετρικών σωμάτων κείται πάνω σε έναν άξονα συμμετρίας. Λογουχάρη, το κέντρο μάζας μιας ομογενούς ράβδου βρίσκεται πάνω στη ράβδο και μάλιστα στο μέσον της. Το κέντρο μάζας ενός

222

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ομογενούς κύβου ή μιας ομογενούς σφαίρας συμπίπτει, προφανώ ς, με το γεωμετρικό κέντρο τους. Για να προσδιορίσουμε πειραματικά το κέντρο μάζας ενός επίπεδου σώματος ακαθόριστου σχήματος, τό αναρτούμε από δύο διαφορετικά σημεία (Σχήμα 9.19). Τό αναρτούμε πρώτα από το σημείο Α και όταν το σώμα σταθεί ακίνητο χαράζουμε την κατακόρυφη γραμμή Α Β με τη βοήθεια τού νήματος στάθμης. Κατόπιν αναρτούμε το σώμα από το C και παρόμοια χαράζουμε την κατακόρυφη γραμμή CD. Το κέντρο μάζας συμπίπτει με την τομή αυτών τών δύο γραμμών. Εάν μάλιστα αναρτήσουμε το σώμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο, η κατακόρυφη γραμμή που θα χαράξουμε από το σημείο ανάρτησης πρέπει να διέρχεται από το κέντρο μάζας. Εφόσον ένα στερεό σώμα είναι μια συνεχής κατανομή μάζας, η δύναμη τής βαρύτητας δρα πάνω σε κάθε μέρος του. Το συνολικό αποτέλεσμα όλων αυτών τών δυνάμεων είναι ισοδύναμο με το αποτέλεσμα τής δράσης μιας δύναμης, Mg, η οποία δρα πάνω σε ένα σημείο που τό ονομάζουμε κέντρο βάρους. Εάν η g είναι σταθερή σε όλη την κατανομή μάζας, τότε το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο μάζας. Εάν ένα στερεό αντικείμενο αναρτηθεί από το κέντρο βάρους του, θα ισορροπεί σε οποιαδήποτε διεύθυνση.

Σχήμα 9.19 Πειραματική τεχνική για τον προσδιορισμό του κέντρου μάζας ενός επίπεδου σώματος ακα­ νόνιστου σχήματος. Κρεμάμε το αντικείμενο από δύο διαφορετικά σημεία του, Α και C. Το κέντρο μάζας του είναι η τομή τών κατακόρυφων γραμμών Α Β και CD.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.12 Το κέντρο μάζας τριών σωμάτων Ένα σύστημα αποτελείται από τρία σώματα τα οποία κείνται στις κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.20. Βρείτε το κέντρο μάζας τού συστήματος.

_ Στη$)ι Vc-----M

2m(0) + m(0) + 4mh 4 7m--------------7 h

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι η επιβατική ακτίνα τού κέντρου μάζας είναι

y rc =

xci

+ y j=

(~&)ydx

aL3 3Μ Μπορούμε επίσης να απαλείψουμε το α, εφόσον παρα­ τηρούμε ότι η ολική μάζα τής ράβδου σχετίζεται με το α ως εξής

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα πρέπει να εκφράσουμε την μεταβλητή y συναρτήσει τής μεταβλητής χ. Από τα όμοια τρίγωνα τού Σχήματος 9.22 βλέπουμε ότι y b χ ά

ή

b V= a X

θέτουμε την τιμή αυτή τού y και βρίσκουμε ότι Αντικαθιστούμε με αυτό στην έκφραση τού xc και βρίσκουμε aL3 3aL2/2

2 3L

1Με έναν παρόμοιο υπολογισμό μπορούμε να αποδεί­ ξουμε ότι η συντεταγμένη y τού κέντρου μάζας είναι yc = — b. Επομένως τα αποτελέσματα είναι

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9.14 □ 'Ενα αντικείμενο μάζας Μ έχει το σχήμα ενός ορθογω­ νίου τριγώνου με τις διαστάσεις που σημειώνονται στο Σχήμα 9.22. Βρείτε τις συντεταγμένες τού κέντρου μάζας, εάν υποτεθεί ότι το αντικείμενο έχει σταθερή μάζα ανά μονάδα επιφάνειας.

Άσκηση 4 Να αποδείξετε μόνοι σας ότι η συντεταγμένη y τού κέντρου μάζας είναι πράγματι yc = bl3.

9.7 ΚΙΝΗΣΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΉΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ Για να αρχίσουμε να κατανοούμε τη χρησιμότητα και τη φυσική σημασία τής έννοιας τού κέντρου μάζας παίρνουμε την ως προς τον χρόνο παράγω γο τής επιβατικής ακτίνας τού κέντρου μάζας rc, που μάς δίνει η Εξίσωση 9.30· υποθέτουμε ότι η ολική μάζα Μ είναι σταθερή, δηλαδή άλλα σώματα ούτε εισέρχονται στο σύστημα ούτε εξέρχονται από αυτό, και βρίσκουμε την έκφραση που δίνει την ταχύτητα τού κέντρου μάζας:

224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Ταχύτητα τού κέντρου μάζας

Vc

drc dt

1 _ dr, _ Στη,ν, ~Μ Σ " 1' d t = Μ

(9.34)

όπου vt είναι η ταχύτητα τού σώματος ΐ. Ξαναγράφουμε την Εξίσωση 9.34 και έχουμε Ολική ορμή ενός συστήματος σωμάτων

Mvc = Σ " ΐ,ν , = Σ

ρ υ 2). 'Οταν το τη χ συγκρούεται με το ελατήριο τού τη2 και συμπιέζει το ελατήριο στη μέγιστη συσπείρωσή του xm, η ταχύτητα τών σωμάτων είναι υ. Σε συνάρτηση με τα νχ, ι^, τηχ, τη2 και k, βρείτε: (a) την ταχύτητα ν στη μέγιστη συσπείρωση· (b) τη μέγιστη συσπείρωση xm- και (c) τις ταχύτητες κάθε σώματος από τη στιγμή που το πρώτο σώμα θα χάσει την επαφή του με το ελατήριο.

237

|85. Μια σφαίρα μάζας 5 g που κινείται με αρχική ταχύτητα 400 m/s χτυπά σε ένα σώμα μάζας 1 kg, το οποίο και διαπερνά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.45. Το σώμα είναι αρχικά ακίνητο πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια και συνδέεται με ένα ελατήριο σταθεράς 900 N/m. Αν το σώμα μετακινείται κατά 5 cm προς τα δεξιά μετά την κρούση, βρείτε: (a) την ταχύτητα με την οποία εξέρχεται η σφαίρα από το σώμα· και (b) την ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση.

Σχήμα 9.42 (Πρόβλημα 82).

|83. 'Ενα παιδί μάζας 40 kg στέκεται στη πρύμνη μιας βάρκας μάζας 70 kg και μήκους 4 m (βλ. Σχήμα 9.43). Στην αρχή η βάρκα απέχει 3 m από την προβλήτα. Το παιδί βλέπει μια θαλάσσια χελώνα μπροστά από την πλώρη, πάνω σε έναν βράχο, και αρχίζει να βαδίζει προς την πλώρη για να πιάσει τη χελώνα. Χωρίς να λάβετε υπ’ όψιν την τριβή μεταξύ τής βάρκας και τού νερού, (a) περιγράψτε την κίνηση τού συστήματος (παιδί + βάρκα), (b) Σε ποιο σημείο ως προς την προβλήτα θα βρίσκεται το παιδί όταν θα φτάσει στην πλώρη τής βάρκας; (c) Θα πιάσει τη χελώνα; (Υποθέ­ στε ότι το παιδί μπορεί να απλώσει τα χέρια του έως 1 m έξω από τη βάρκα).

ΠΡΟΒΛΗΜ Α Π Α ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΉ 86 .

Θεωρήστε ότι συμβαίνει μια μετωπική ελαστική κρούση μεταξύ ενός κινούμενου σώματος μάζας mx και ενός άλλου, αρχικά ακίνητου, σώματος μάζας m2 (βλ. Παράδειγμα 9.8). (a) Παραστήσετε γραφικά το / 2, που είναι το κλάσμα τής ενέργειας η οποία μεταφέρεται στο m2 ως συνάρτηση τού λόγου m2lml και αποδείξτε ότι το / 2 λαμβάνει τη μέγιστη τιμή του όταν m2/mx = 1. (b) Εκτελέστε αναλυτικό υπολογισμό που επαληθεύει ότι το / 2 είναι μέγιστο όταν mx = m2.

10 Περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

ταν ένα αντικείμενο καταλαμβάνει εκτεταμένες διαστάσεις στον χώ ρο, όπως λ.χ. ένας τροχός, και στρέφεται γύρω από έναν άξονα, δεν μπορούμε να μελετήσουμε την κίνησή του εάν θεωρήσουμε ότι το αντικείμενο είναι ένα σώμα· και τούτο διότι κάθε στιγμή διαφορετικά μέρη τού αντικειμένου έχουν διαφορετική ταχύτητα και επιτάχυνση. Για διευκόλυνσή μας, λοιπόν, θεωρούμε ότι ένα αντικείμενο μεγάλων διαστάσεων αποτελείται από μεγάλο αριθμό σωματίων, καθένα από τα οποία έχει τη δική του ταχύτητα και τη δική του επιτάχυνση. Η μελέτη τής περιστροφής ενός σώματος απλουστεύεται πολύ εάν υποθέσουμε ότι το σώμα είναι στερεό. Ορίζουμε ότι ένα στερεό σώμα είναι σκληρό και άκαμπτο, δηλαδή οι αποστάσεις ανάμεσα σε οποιονδήποτε συνδυασμό ανά δύο τών σωματίων που τό αποτελούν παραμένουν σταθερές. Βεβαίως, στην πραγματικότητα το σχήμα όλων τών σωμάτων παραμορφώνε­ ται. Θ α δούμε όμως ότι η παραπάνω προσέγγισή μας είναι χρήσιμη σας περιπτώσεις κατά τις οποίες μπορούμε να αγνοήσουμε τις παραμορφώσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από έναν ακίνητο άξονα, θα ασχοληθούμε δηλαδή με αμιγή περιστροφι­ κή κίνηση. Στο Κεφάλαιο 11 θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με τη μελέτη τής διανυσματικής φύσης τής γωνιακής ταχύτητας και τής γωνιακής επιτάχυνσης, καθώς και με την έννοια τής στροφορμής.

Ο

Στερεό σώμα

10.1

Σχήμα 10.1 Περιστροφή ενός στε­ ρεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα (τον άξονα ζ) που είναι κάθετος στο επίπεδο τού σχήματος και διέρχεται από το Ο. Να σημειω­ θεί ότι ένα τυχαίο σημείο Ρ διαγρά­ φει κυκλική τροχιά, ακτίνας r, γύ­ ρω από το κέντρο Ο.

ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Στο Σχήμα 10.1 φαίνεται ένα επίπεδο στερεό σώμα, ακανόνιστου σχήματος, το οποίο είναι περιορισμένο στο επίπεδο xy και στρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο τού σχήματος. Έ ν α από τα σωμάτια που αποτελούν το στερεό σώμα βρίσκεται στο σημείο Ρ, το οποίο έχει σταθερή απόσταση r από την αρχή τών συντεταγμένων. Το σωμάτιο αυτό στρέφεται γύρω από το Ο διαγράφοντας κύκλο ακτίνας r. Για την ακρίβεια, κάθε σωμάτιο τού στερεού σώματος διαγράφει κύκλο με κέντρο το Ο. Για διευκόλυνσή μας, περιγράφουμε το σημείο Ρ χρησιμοποιώντας τις πολικές συντεταγμένες (r, θ). Σε αυτή την περιγραφή η επιβατική ακτίνα r παραμένει σταθερή και η μόνη συντεταγμένη που μεταβάλλεται είναι η γω νία θ. Οι ορθογώνιες συντεταγμένες χ, y μεταβάλλονται και οι δύο συναρτήσει τού χρόνου. Καθώς το σωμάτιο διατρέχει τον κύκλο από τον θετικό άξονα χ (θ = 0 ) στο σημείο Ρ, διαγράφει τόξο κύκλου s, το οποίο σχετίζεται με τη γωνιακή θέση θ μέσω τής σχέσης s = τθ

( 1 0 . 1 a)

θ = s/r

( 1 0 . 1 b)

10.1 ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

239

Δεν πρέπει να λησμονούμε τις μονάδες τού θ, όπως αυτές ορίζονται από την Εξίσωση 10.1b. Η γω νία θ είναι ο λόγος ενός τόξου κύκλου προς την ακτίνα τού κύκλου και επομένως είναι καθαρός αριθμός. Για λόγους τεχνικούς, όμως, λέμε ότι μονάδα τού θ είναι ένα ακτίνιο (radian), που τό συμβολίζουμε με rad, και ότι το τόξο κύκλου τού οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα τού κύκλου σχηματίζει επίκεντρη γωνία ίση με ένα rad. Επειδή η περιφέρεια ενός κύκλου είναι 2πτ, προκύπτει από τον παραπάνω ορισμό ότι οι 360° αντιστοιχούν σε γω νία 2nrlr ή 2π rad (μία περιστροφή). Επομένως, 1 rad = 360° / 2π * 57.3°. Για να βρούμε λοιπόν πόσων rad είναι μια γω νία μετρούμενη σε μοίρες χρησιμοποιούμε τη γνωστή σχέση 2π rad = 360°. Επομένως, π θ (rad) = ------- θ (μοίρες) 180°

y

Ετσι, οι 60° ισούνται με π/3 rad και οι 45° ισούνται με π/4 rad. Καθώς το σώμα κινείται στο χρονικό διάστημα Δί από το σημείο Ρ στο σημείο Q, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.2, η επιβατική ακτίνα σαρώνει γω νία Δ0 = θ2 - 0ι, η οποία είναι ίση με τη γωνιακή μετατόπιση. Ορίζουμε ότι η μέση γωνιακή ταχύτητα ώ είναι ίση με τον λόγο τής γωνιακής μετατόπισης προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δί: _ θ2 ω ~ ί 2 - ί,

Αθ Δί

( 10 . 2)

Κατ’ αναλογίαν προς τη γραμμική ταχύτητα, η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα, ω, ορίζεται ότι είναι το όριο τής Εξίσωσης 10.2 καθώς το Δ ί τείνει προς το μηδέν: . Αθ άθ ω ■ lim — = - 3Δί—ο Δ ί at

( 1 0 .3 )

Σχήμα 10.2 Κάθε σωμάτιο που βρί­ σκεται πάνω σε ένα περιστρεφόμε­ νο στερεό σώμα κινείται από ένα σημείο Ρ σε κάποιο άλλο σημείο Q διαγράφοντας τόξο κύκλου. Κατά το χρονικό διάστημα A t = l2 - h , η αντίστοιχη επιβατική ακτίνα σαρώ­ νει τόξο γω νίας Δ0 = θ2 - θ,.

Η γωνιακή ταχύτητα έχει μονάδες rad/s ή s_1, αφού το ακτίνιο δεν έχει διάσταση. Α ς επιλέξουμε εξ ορισμού το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας z να συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής τού στερεού σώματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.1. Θ α θεωρούμε την ω θετική όταν η θ αυξάνεται (περιστροφή αντίθετη με τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού) και αρνητική όταν η θ μειώνεται (περιστροφή όμοια με τη φ ορά τών δεικτών τού ρολογιού). Εάν η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος μεταβληθεί από το ωχ στο ω 2 κατά το χρονικό διάστημα Δί, τότε το σώμα έχει γωνιακή επιτάχυνση. Η μέση γωνιακή επιτάχυνση α ενός περιστρεφόμενου σώματος ορίζεται ως λόγος τής μεταβολής τής γωνιακής ταχύτητας προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα Δί: _ α=

ω 2 — ωχ h -h

Δω ~~At

(10.4)

Μέση γωνιακή επιτάχυνση

Κατ’ αναλογίαν προς την γραμμική επιτάχυνση ορίζουμε τη στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ως όριο τού λόγου Δω /Δί καθώς το Δί τείνει προς το μηδέν:

a

, Δω άω Jr* δ γ - ·*

( 1 0 .5 )

Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση

240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Η γωνιακή επιτάχυνση έχει μονάδες rad/s 2 ή s-2. Να σημειωθεί ότι η α είναι θετική όταν η ω αυξάνεται και αρνητική όταν η ω μειώνεται. Στην περίπτωση περιστροφ ής γύρω από έναν σταθερό άξονα όλα τα μέρη τον στερεού σώματος έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. Δηλαδή, οι ποσότητες ω και α περιγράφουν την περιστροφή ολόκληρον τού στερεού σώματος. Η γωνιακή μετατόπιση (0), η γωνιακή ταχύτητα (ω) και η γωνιακή επιτάχυνση (α) είναι μεγέθη αντίστοιχα προς την γραμμική μετατόπιση (x ), τη γραμμική ταχύτητα (υ) και τη γραμμική επιτάχυνση (α), τις οποίες εξετάσαμε στο Κεφάλαιο 3. Οι ποσότητες θ, ω και α διαφέρουν διαστασιακά από τις χ, ν και α κατά έναν παράγοντα μήκους. Μολονότι περιγράψαμε πώς ορίζονται τα πρόσημα τών ω και α δεν ορίσαμε ακόμη την κατεύθυνση στον χώρο την οποία έχουν αυτές οι διανυσματικές ποσότητες(1). Πάντως, για περιστροφή γύρω από έναν σταθε­ ρό άξονα, η μόνη σταθερή διεύθυνση στον χώρο η οποία ορίζει μονοσήμαντα την περιστροφική κίνηση είναι η διεύθυνση τού άξονα. Πρέπει, όμως, να ορίσουμε και την κατεύθυνση επάνω στον άξονα αυτό, δηλαδή εάν η κατεύθυνση είναι προς το επίπεδο τής σελίδας ή προς τα έξω τού επιπέδου αυτού (Σχήμα 10.1). Ό π ω ς έχουμε ήδη τονίσει, η διεύθυνση τού ω συμπίπτει με τη διεύθυνση τού άξονα z (Σχήμα 10.1). Κατά συνθήκην θεωρούμε ότι η κατεύθυνση τού ω είναι προς τα έξω τού επιπέδου τού διαγράμματος όταν η φορά τής στροφής είναι αντίθετη προς τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού και ότι η κατεύθυνση τού ω είναι προς το επίπεδο τού διαγράμματος όταν η περιστροφή γίνεται σύμφωνα με τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού. Για να εξηγήσουμε με εικόνες την παραπάνω συνθήκη ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.3a. Ό τα ν τα τέσσερα δάκτυλα περιστρέφονται σύμφωνα με την κατεύθυνση περιστροφής τού σώματος, τότε ο αντίχειρας (το μεγάλο δάκτυλο) δείχνει την κατεύθυνση τού ω. Αυτό φ αίνεται και στο Σχήμα 10.3b με τη φορά βιδώματος δεξιόστροφου κοχλία. Τέλος, η κατεύθυνση τής α ακολουθεί τον ορισμό τού άω/dt. Έ χ ε ι την ίδια κατεύθυνση με το ω εάν το μέτρο τής γωνιακής ταχύτητας αυξάνεται συναρτήσει τού χρόνου και έχει αντίθετη κατεύθυνση με το ω εάν το μέτρο τής γωνιακής ταχύτητας ελαττώνεται συναρτήσει τού χρόνου. 10.2

/ (b) Σ χήμα 10.3 (a) Ο κανόνας τού δεξιόστροφου κοχλία (βίδας) μάς δείχνει την κατεύθυνση τής γω νια­ κής ταχύτητας, (b) Η ω κατευθύνετα ι προς τα εκεί που προχωρεί ένας δεξιόστροφος κοχλίας.

Εξισώσεις τής περιστροφικής κίνησης

Π ΕΡΙΣΤ ΡΟ Φ ΙΚ Η ΚΙΝΗΤΙΚΗ: Π ΕΡΙΣΤ ΡΟ Φ ΙΚ Η ΚΙΝΗΣΗ Μ Ε ΣΤΑ Θ ΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Κατά τη μελέτη τής γραμμικής κίνησης είδαμε ότι η απλούστερη μορφή επιταχυνόμενης κίνησης είναι η ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (Κεφάλαιο 3). Παρόμοια, λοιπόν, και κατά την εξέταση τής περιστροφικής κίνησης γύρω από σταθερό άξονα θα αρχίσουμε τη μελέτη μας με την απλούστερη επιταχυνόμενη κίνηση, που είναι η περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Συνεπώς, το επόμενο βήμα μας είναι να βρούμε τις εξισώσεις περιστροφικής κίνησης με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Εάν γράψουμε την Εξίσωση 10.5 στη μορφή άω = a d t και συμβολίσουμε την ω που αντιστοιχεί στη στιγμή t0 = 0 με το ω0, μπορούμε να ολοκληρώσουμε κατευθείαν: ω = ω0 + θΛ

( α = σταθερό)

(10.6)

Επίσης, θέτουμε την Εξίσωση 10.6 στην Εξίσωση 10.3, ολοκληρώνουμε ακόμη μία φορά (συμβολίζοντας το θ = θ0 κατά τη στιγμή ί0 = 0 ) και βρίσκουμε θ — θ0 + ω0ί +

(10.7)

(1) Αν χαι δεν τό αποδεικνύουμε στο σύγγραμμα αυτό, η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα και η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση είναι διανυσματικές ποσότητες, αλλά οι αντίστοιχες μέσες ποσότητες δεν είναι. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η γωνιακή μετατόπιση δεν είναι διάνυσμα για πεπερασμένες στροφές.

10.2 ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΓΩΝΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ

241

Απαλείφουμε τον χρόνο t από τις εξισώσεις 10.6 και 10.7 και βρίσκουμε ω 8 = ω02 + 2α(θ - θ0)

( 1 0 .8 )

Ας σημειωθεί ότι οι εξισώσεις κίνησης για περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση έχουν την ίδια μορφή με εκείνες τής γραμμικής κίνησης με σταθερή γραμμική επιτάχυνση (δηλαδή τής ομαλά επιταχυνόμενης), εάν κάνουμε τις αντικαταστάσεις χ —> θ, υ -* ω και α —*α. Στον Π ίνακα 10.1 βλέπουμε μια σύγκριση τών εξισώσεων κίνησης, για περιστροφική και γραμμική κίνηση. Τέλος, οι σχέσεις αυτές ισχύουν για περιστροφή ενός σώματος γύρω από σταθερό άξονα. ΠΙΝΑΚΑΣ 10.1 Σύγκριση τών εξισώσεων κίνησης για περιστροφική και γραμμική κίνηση με σταθερή επιτάχυνση

Περιστροφική κίνηση γύρωαπό σταθερό άξονα μεα = σταθερή. Μεταβλητές θ και ω

Γραμμική κίνηση με α = σταθερή, Μεταβλητές χ και ν

ω —ω 0 + at υ —υ0 + at θ —θ0 + ω0ί + fa t2 χ —x0 + v0t + fat2 ω1 - ω02 + 2α(θ - θ0)___________________________ υ2 - ι?08 4- 2σ(χ - χ0)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.1 Περιστρεφόμενος τροχός Ένας τροχός περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επι­ τάχυνση 3.5 rad/s2. Εάν κατά τη στιγμή «ο = 0 η γωνιακή ταχύτητα τού τροχού είναι 2.0 rad/s: (a) Βρείτε τη γωνία κατά την οποία περιστρέφεται ο τροχός σε 2 s. Λύση

/ =

(b) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα κατά τη στιγμή 2 s; ω —ω0 + at —2 .0 rad/s + ^3.5 =

(2

s)

9.0 rad/s

θ - θ 0 = ω0ί + fa t2 - ( 2 . 0 ^ ) (2 s ) + i ( 3. 5 ^ ) (2 = (1

11 ra d - 6 3 0 “ - 1 .7 5 rev rev είναι

1

περιστροφή)

s)2

Προσπαθήστε να βρείτε το αποτέλεσμα αυτό χρησιμο­ ποιώντας την Εξίσωση 10.8 και τα αποτελέσματα τής (a). Άσκηση 1 Βρείτε τη γωνία που περιστρέφεται ο τροχός ανάμεσα στην στιγμή ί = 2 s και t = 3 s. Απάντηση 10.8 rad.

10.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΝΑ Μ ΕΣΑ ΣΕ ΓΩΝΙΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜ ΜΙΚΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ Στο υποκεφάλαιο αυτό θα εξαγάγουμε χρήσιμες σχέσεις ανάμεσα στη γωνιακή ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος, αφ ’ ενός, και στη γραμμική ταχύτητα και επιτάχυνση ενός τυχαίου σημείου τού σώματος, αφ ’ ετέρου. Θα πρέπει να λάβουμε υ π ’ όψιν το γεγονός ότι, καθώς το στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, κάθε μέρος τού σώματος αυτού διαγράφει ένα τόξο κύκλου γύρω από τον άξονα περιστροφής (βλ. Σχήμα 10.4). Μπορούμε να εξαγάγουμε πρώτα τη σχέση τής γωνιακής ταχύτητας τού περιστρεφόμενου σώματος με την εφαπτομενική ταχύτητα, ν, ενός τυχαίου σημείου Ρ τού στερεού σώματος. Εφόσον το Ρ διαγράφει τόξο κύκλου, το διάνυσμα τής γραμμικής ταχύτητάς του κείται στην εφαπτομενική διεύθυνση και γι’ αυτό ονομάζουμε την ν εφαπτομενική ταχύτητα. Εξ ορισμού, το μέτρο της είναι dsldt, όπου s είναι η απόσταση την οποία διήνυσε το σημείο πάνω

Σ χήμα 10.4 Καθώς ένα στερεό σώ­ μα περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό άξονα που διέρχεται από το Ο , το σημείο Ρ έχει γραμμική ταχύτητα υ που εφάπτεται στην κυκλική τροχιά ακτίνας r την οποία διαγράφει το Ρ.

242 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ στον κύκλο. Ό π ω ς θυμάστε όμως, s = γΘ, όπου η ακτίνα r είναι σταθερή, διότι ο άξονας περιστροφής είναι ακίνητος. Έ τσ ι Σχέση ανάμεσα στα μέτρα τής γραμμικής και τής γωνιακής ταχύτητας

V

ds dt

άθ Γ dt

v = ra>

(10.9)

Δηλαδή, το μέτρο τής εφαπτομενικής ταχύτητας ενός τυχαίου σημείου το οποίο κείται πάνω σε ένα περιστρεφόμενο σώμα ισούται με το γινόμενο τής γωνιακής ταχύτητας περιστροφής επί την απόσταση τού σημείου από τον άξονα περιστροφής. Επομένως, μολονότι όλα τα σημεία επάνω στο στερεό σώμα έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα, δεν έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα. Η Εξίσωση 10.9 δείχνει μάλιστα ότι το μέτρο τής γραμμικής ταχύτητας αυξάνεται γραμμικά, καθώς αυξάνεται η απόσταση τού υπό μελέτην σημείου από τον άξονα περιστροφής, όπως θα αναμενόταν. Μ πορούμε να βρούμε τη σχέση τής γωνιακής επιτάχυνσης ενός περιστρε­ φόμενου στερεού σώματος με την εφαπτομενική επιτάχυνση τού σημείου Ρ εάν υπολογίσουμε την ως προς τον χρόνο παράγωγο τής ν: '

dv ώ

άω dt

αΧ— rot

(1 0 .1 0 )

Δηλαδή, η εφαπτομενική συνιστώσα τής γραμμικής επιτάχυνσης ενός σημείου το οποίο κείται πάνω σε ένα περιστρεφόμενο στερεό σώμα ισούται με το γινόμενο τής γωνιακής επιτάχυνσης επί την απόσταση τού σημείου από τον άξονα περιστροφής. Στο Κεφάλαιο 4 είδαμε ότι ένα σημείο που περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά υπόκειται σε κεντρομόλο, ή ακτινική, επιτάχυνση μέτρου v2/r και κατεύθυνσης προς το κέντρο περιστροφής (Σχήμα 10.5). Γνωρίζουμε ότι για ένα τυχαίο σημείο Ρ πάνω στο σώμα ισχύει ν = τω. Έ τσ ι η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι υ2 Σ χήμα 10.5 Καθώς ένα στερεό σώ­ = — = Γω 2 (1 0 .1 1 ) μα περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό άξονα που διέρχεται από Η ολική γραμμική επιτάχυνση τού σώματος είναι a = at + αΤ. Επομένως, το Ο, στο σημείο Ρ έχει εφαπτομενι­ κή συνιστώσα α, τής επιτάχυνσης το μέτρο τής ολικής γραμμικής επιτάχυνσης τού σημείου Ρ το οποίο βρίσκεται και κεντρομόλο συνιστώσα α,. Η πάνω στο περιστρεφόμενο στερεό σώμα είναι συνολική επιτάχυνση τού σημείου είναι α = α, + αΤ. α — Ία* + α 2 =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.2 Περιστρεφόμενο τύμπανο στερεοφωνικού συστήματος Το τύμπανο τού πικάπ ενός στερεοφωνικού συστήματος ενώ περιστρέφεται με ρυθμό 33 στροφών το λεπτό χρειάζεται 20 s για να σταματήσει, '/(a) Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση τού τυμπάνου εάν υποτεθεί ότι είναι σταθερή; Λύση Γνωρίζουμε ότι 1 rev = 2π rad (1 rev = μία περιστροφή). Έτσι βλέπουμε ότι η αρχική γωνιακή ταχύτητα είναι

“°"(33Ξ) (2*ί£)(άτ1 )"346rad/s

-Jr^a2 + τ^ω4 =

rV o 2 +

ω*

( 1 0 .1 2 )

Εφόσον γνωρίζουμε ότι ω = ω0 + at και ότι ω = 0 όταν ί = 20 s, βρίσκουμε α----- ff t - -

3 ‘4| o

V /S =

“ 0 1 7 3 ra d /si

όπου το αρνητικό πρόσημο σημαίνει επιβράδυνση. (b) Πόσες στροφές κάνει το τύμπανο τού πικάπ προτού σταματήσει; Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 10.7 και βρίσκουμε ότι η γωνιακή μετατόπιση μετά από 20 s είναι Αθ = θ - θ 0 = ω0ί + ta t2 = [3.46(20) + i(-0.173)(20)2] rad =

34.6 rad

10.4 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

243

Αυτό αναλογεί σε 34.6/27Γ rev, δηλαδή σε 5.50 rev ar = rw 02 = (14cm) ^ 3 . 4 6 ^ 2 = 168 cm/s 2 (= στροφές) (c) Ποια είναι τα μέτρα τής ακτινικής και εφαπτομενικής συνιστώσας τής επιτάχυνσης ενός σημείου τής περιμέτρου κατά τη στιγμή ί = 0 ; Άσκηση 2 Εάν η ακτίνα τού τυμπάνου τού πικάπ είναι Γνωρίζουμε ότι α, = τα και ότι βΓ = τω2. Ετσι 14 cm, ποιο είναι το μέτρο τής αρχικής γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου τής περιμέτρου τού τυμπάνου; Απάντηση 48.4 cm/s. at = r a = (14 cm) ^0.173 = 2.42 cm/s 2

10.4

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝ ΕΡΓΕΙΑ Π ΕΡΙΣΤ ΡΟ Φ Η Σ

Ας θεωρήσουμε ότι ένα στερεό σώμα είναι συσσωμάτωμα μικρών σωμάτων και ας υποθέσουμε ότι το στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από τον σταθερό άξονα ζ με γωνιακή ταχύτητα ω (Σχήμα 10.6). Καθένα από τα σωμάτια που αποτελούν το στερεό σώμα έχει κινητική ενέργεια η οποία εξαρτάται από τη μάζα και την ταχύτητα. Εάν η μάζα τού σωματίου ι είναι m, και έχει μέτρο ταχύτητας υ„ η κινητική ενέργεια τού σωματίου αυτού είναι Κ, = ^τη,υ2 Για να προχωρήσουμε πρέπει να θυμηθούμε ότι, αν και κάθε ένα από τα επιμέρους σωμάτια που αποτελούν το στερεό σώμα έχει την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, το μέτρο τής γραμμικής ταχύτητας καθενός από τα επιμέρους σωμάτια εξαρτάται από την απόσταση r, από τον άξονα περιστροφής, διότι Vi = rfi) (Εξίσωση 10.9). Η ολική κινητική ενέργεια τού περιστρεφόμενου στερεού σώματος είναι το άθροισμα τών κινητικών ενεργειών τών επιμέρους σωματίων: Κ-

= Σ έη η υ ,2 = ^ τ π ^ ω 2 (10.13)

όπου το ω2 βρίσκεται έξω από το άθροισμα, διότι είναι το ίδιο για κάθε σωμάτιο. Η ποσότητα που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση τής Εξίσωσης 10.13 ονομάζεται ροπή αδράνειας και συμβολίζεται με 7: (10.14) Ξαναγράφουμε λοιπόν την κινητική ενέργεια περιστρεφόμενου σώματος και χρησιμοποιούμε εδώ αυτόν τον συμβολισμό Κ = *7ω2

(10.15)

Από τον ορισμό τής ροπής αδράνειας βλέπουμε ότι αυτή έχει διαστάσεις ML2 και μονάδες kg-m 2 στο SI ή g-cm 2 στο cgs). Στις εξισώσεις που περιγράφουν περιστροφές π αίζει ρόλο αντίστοιχο με τον ρόλο τής μάζας. Αν και θα ονομάσουμε την ποσότητα \Ιω 2 κινητική ενέργεια περιστροφής (δηλαδή κινητική ενέργεια που προέρχεται από την περιστροφή), αυτή δεν είναι νέα μορφή ενέργειας. Είναι η γνωστή μας κινητική ενέργεια και την βρήκαμε αθροίζοντας την κινητική ενέργεια τών επιμέρους σωματίων τα οποία συναποτελούν το στερεό σώμα. Πάντως, η μορφή τής Εξίσωσης 10.15 διευκολύνει στη μελέτη τών περιστροφών εάν ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε το 7. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την αντιστοιχία ανάμεσα στην κινητική ενέργεια hmv2 που προέρχεται από γραμμική (μεταφορική) κίνηση και την κινητική ενέργεια περιστροφής \Ιω 2. Ο ι ποσότητες 7 και ω τής περιστροφικής

Σ χήμα 10.6 'Ε να στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα τών 2 με γωνιακή ταχύτητα ω. Η κινητική ενέργεια τού σωματίου μά­ ζας mi είναι im p ,2. Η ολική κινητι­ κή ενέργεια τού σώματος είναι \Ιω 2.

244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ κίνησης αντιστοιχούν στις m και ν τής γραμμικής κίνησης. Στο επόμενο υποκεφάλαιο θα περιγράφουμε πώ ς μπορούμε να υπολογίσουμε ροπές α δράνειας στερεών σωμάτων. Τα παρακάτω παραδείγματα δείχνουν πώς υπολογίζουμε ροπές αδράνειας και κινητικές ενέργειες περιστροφής διαφό­ ρων κατανομών σωματίων.

y

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.3 Το μόριο τον οξυγόνου Το μόριο τού οξυγόνου (0 2) αποτελείται από δύο άτομα, θεωρήστε λοιπόν ότι ένα μόριο οξυγόνου περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από τον άξονα ζ, που είναι κάθετος στο επίπεδο xy και διέρχεται από το μέσο τής γραμμής που ενώνει τα δύο άτομα. Σε θερμοκρασία δωματίου, η «μέση» απόσταση των δύο ατόμων είναι 1.21 X ΙΟ-10 m (θεωρούμε ότι τα άτομα είναι σημεία στον χώρο): (a) Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας τού μορίου ως προς τον άξονα ζ. Λύση Η μάζα τού ατόμου τού οξυγόνου είναι 2.66 x ΙΟ-26 kg. Εάν συμβολίσουμε την απόσταση ανάμεσα στον άξονα ζ και σε καθένα από τα άτομα με 4/2, τότε η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα ζ είναι - Σ ”·λ · ■ m

(f) ' + m ( ! ) * ■

π γ

- (Μ ΙίΙΙίϋ ϋ ig)(i.21χ ιο-“ „,)« = ί 1.95 X 10-4β kg-m 2 (b) Εάν η γωνιακή ταχύτητα τού μορίου γύρω από τον άξονα ζ είναι 2 .0 x ΙΟ12 rad/s, ποια είναι η κινητική ενέργεια περιστροφής; Κ = *7ω2 = £(1.95 X 10-4β kg-m2) ^2.0 X ΙΟ12 = 3.89 X ΙΟ-2 2 J Η ενέργεια αυτή είναι μια τάξη μεγέθους μικρότερη από την κινητική ενέργεια που προέρχεται από τη μεταφορι­ κή (γραμμική) κίνηση τού μορίου σε θερμοκρασία δωματίου, η οποία είναι 6.2 x IQ-2 1 J. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.4 Τέσσερα περιστρεφόμενα σώματα Τέσσερα σημειακά σώματα είναι στερεωμένα πάνω σε έναν σταυρό αμελητέας μάζας, ο οποίος κείται στο επίπεδο xy (Σχήμα 10.7). (a) Εάν το σύστημα περιστρέ­ φεται γύρω από τον άξονα τών y με γωνιακή ταχύτητα ω υπολογίστε την ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y καθώς και την κινητική ενέργεια περιστροφής γύρω από τον άξονα αυτόν. Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι τα σώματα με μάζα m κείνται επάνω στον άξονα y και δεν συνεισφέ­ ρουν στο Iy (δηλαδή για τα σώματα αυτά r, = 0 ). Εφαρμόζουμε την Εξίσωση 10.14 και βρίσκουμε Ιν = ]Tm(r (2 = Μα2 + Μα2 = 2Μα2

Σ χήμα 10.7 (Παράδειγμα 10.4) Τ α σώματα απέχουν μεταξύ τους κατά αποστάσεις που φαίνονται. Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τον άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζεται.

Επομένως, η κινητική ενέργεια που οφείλεται στην περιστροφή γύρω από τον άξονα y είναι Κ = \1νω2 = |(2 Μα2)ω2 =

Μα2ω2

Τα σώματα με μάζα m δεν συνεισφέρουν στα παραπά­ νω επειδή δεν έχουν διαστάσεις (είναι σημεία). Έτσι, δεν περιστρέφονται γύρω από τον άξονα επάνω στον οποίο κείνται, επομένως δεν έχουν κινητική ενέργεια. (b) Υποθέστε τώρα ότι το σύστημα περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από τον άξονα ζ ο οποίος διέρχεται από το Ο. Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα ζ και την κινητική ενέργεια περιστρο­ φής ως προς τον ίδιο άξονα. Αφού γ, στην Εξίσωση 10.14 είναι η κάθετη απόστα­ ση από τον άξονα περιστροφής, έχουμε 1Χ= ^ m jr ,2 = Μα2 + Μα2 + mb2 + mb2 =

2 Μα2 + 2

mb2

Κ = # ζω2 = i(2 Μα2 + 2ηώ2)ω2 =

(Μα2 + mb2)(o2

Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα τών περιπτώσεων (a) και (b) συμπεραίνουμε ότι η ροπή αδράνειας και επομένως και η κινητική ενέργεια περιστροφής οι οποίες οφείλονται σε μια συγκεκριμένη γωνιακή ταχύ­ τητα εξαρτώνται από τον άξονα περιστροφής. Στην περίπτωση (b) το αποτέλεσμα θα περιέχει την περιστρο­ φική κίνηση όλων τών μαζών, εφόσον όλα τα σώματα περιστρέφονται στο επίπεδο xy. Τέλος, το γεγονός ότι η κινητική ενέργεια περιστροφής τής περίπτωσης (a) είναι μικρότερη από εκείνην τής περίπτωσης (b) δηλώνει ότι είναι πιο εύκολο (χρειάζεται, δηλαδή, να παραχθεί μικρότερο έργο) να περιοτραφεί το σύστημα γύρω από τον άξονα y παρά γύρω από τον άξονα ζ.

10.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

10.5

245

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜ ΟΣ ΡΟΠΩΝ Α Δ ΡΑ Ν ΕΙΑ Σ

Μπορούμε να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας αντικειμένων οποιουδήποτε σχήματος και μεγέθους εάν τά χωρίσουμε νοερά σε πολλά στοιχεία μάζας Am. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό I = Σι2 Ατη παίρνουμε το όριο τού A m —* 0 και μπορούμε να αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα. Ολοκληρώ­ νουμε πάνω σε ολόκληρο τον όγκο που κατέχει το σώμα. Η r είναι η κάθετη απόσταση του στοιχείου A m από τον άξονα περιστροφής. Έ τσ ι

I — lim Y r 2 Am — I r 2 dm Am—*0 J

(10.16)

Για να υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας με τη βοήθεια τής Εξίσωσης 10.16 πρέπει να εκφράσουμε το στοιχείο μάζας dm συναρτήσει τών συντεταγμένων του. Έ τσ ι πρέπει να ορίσουμε την έννοια τής πυκνότητας, δηλαδή τής μά ζα ς ανά μονάδα όγκον. Γράφουμε λοιπόν , Am dm ρ-^ ο Α Ϋ ~ 1 ν dm = pd V Έ τσι μπορούμε να εκφράσουμε τη ροπή αδράνειας ως / = jp r * d V Εάν το σώμα είναι ομογενές (δηλαδή έχει σταθερή πυκνότητα ρ), τότε, εφό­ σον γνωρίζουμε τη γεωμετρική περιγραφή του, μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Εάν η πυκνότητα ρ δεν είναι σταθερή, τότε πρέπει να γνωρίζουμε τη συναρτησιακή της εξάρτηση από τον χώρο. Εάν το σώμα έχει τη μορφή πλάκας σταθερού πάχους t, μάς είναι εύκολο να ορίσουμε την επιφανειακή πυκνότητα σ = ρί, που περιγράφει τη μά ζα ανά μονάδα επιφάνειας. Τέλος, εάν έχουμε μια γραμμική κατανομή μάζας όπως σε μια ράβδο διατομής A , χρησιμοποιούμε την έννοια τής γραμμικής πυκνότητας λ = ρΑ, που περιγράφει μά ζα ανά μονάδα μήκους.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.5 Ομογενές στεφάνι Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ενός ομογενούς στεφα­ νιού μάζας Μ και ακτίνας R ως προς έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο τού στεφανιού ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του (Σχήμα 10.8). Λύση Όλα τα στοιχεία τής μάζας έχουν την ίδια σταθερή απόσταση r = R από τον άξονα. Έτσι ε­ φαρμόζουμε την Εξίσωση 10.16 και βρίσκουμε ότι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα z ο οποίος διέρχεται από το Ο είναι

Ιζ =

r 2 dm = R2

dm =

MR2

Σ χήμα 10.8 (Παράδειγμα 10.5) Ό λ α τα στοιχεία μάζας ενός ομογενούς δακτυλιδιού (κρίκου) έχουν την ίδια απόσταση από το Ο.

246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΎΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.6 Ομογενής στερεά ράβδος □ Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας μιας ομογενούς στερεός ράβδου μήκους L και μάζας Μ (Σχήμα 10.9) ως προς έναν άξονα κάθετο στη ράβδο (άξονα y) ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας της. y

y

1 1 1 1 |

1

dx ....-

Σχήμα 10.10 (Παράδειγμα 10.7) Υπολογισμός τής ροπής αδράνειας ενός ομογενούς συμπαγούς κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του.

ο ^ χΑ

1

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.7 Ομογενής στερεός κύλινδρος Σ χήμα 10.9 (Παράδειγμα 10.6) Ομογενής στερεά ράβδος μήκους L. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y είναι μικρότερη από τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y '.

Λύση Το γραμμοσκιασμένο στοιχείο dx έχει μάζα dm που ισούται με το γινόμενο τής μάζας ανά μονάδα μήκους επί το στοιχείο μήκους dx. Δηλαδή, dm — — dx. θέτουμε την έκφραση αυτή στην Εξίσωση 10.16 ορίζου­ με r = χ και βρίσκουμε

Μ x2 dx L J—L/2

1: Μ L

ή

m l*

Ένας ομογενής στερεός κύλινδρος έχει ακτίνα R, μά­ ζα Αί και μήκος L. Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας τού κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του (τον άξονα ζ στο Σχήμα 10.10). Λύση Στο πρόβλημα αυτό, για διευκόλυνσή μας, χωρί­ ζουμε τον κύλινδρο σε κυλινδρικούς φλοιούς ακτίνας r, πάχους dr και μήκους L, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.10. Ο χωρισμός σε κυλινδρικούς φλοιούς επιλέγεται διότι, χάρη στην κυλινδρική συμμετρία, όλα τα στοι­ χεία μάζας dm θα έχουν την ίδια ακτίνα r και έτσι απλουστεύεται ο υπολογισμός τής ροπής αδράνειας 7. Ο όγκος καθενός φλοιού είναι το γινόμενο τής διατομής του dA επί το μήκος του L, δηλαδή dV = dA · L = (2nr dr)L. Εάν η μάζα ανά μονάδα όγκον είναι ρ, τότε η μάζα τού στοιχείου όγκου dV είναι dm = gdV = ρ 2nrL dr. θέτουμε αυτό στην Εξίσωση 10.16 και έχουμε Iz = J r 2 dm = 2npL

Άσκηση 3 Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας μιας ομογε­ νούς στερεός ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο ένα άκρο τής ράβδου (τον άξονα y '). Ας σημειωθεί ότι στον υπολογισμό αυτόν τα όρια τού ολοκληρώματος είναι χ = 0 και χ = L. Απάντηση JML2

J*r*

dr =

Αλλά ξέρουμε ότι ο ολικός όγκος τού κυλίνδρου είναι nR2L και επομένως ρ = ΜIV = MlnR2L. θέτουμε το αποτέλεσμα αυτό στην τελευταία εξίσωση και βρί­ σκουμε lz = JMR2

Ό π ω ς είδαμε στα προηγούμενα παραδείγματα, είναι εύκολο να υπολογι­ στούν οι ροπές αδράνειας στερεών σωμάτων με απλά συμμετρικά σχήματα, εφόσον ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με έναν άξονα συμμετρίας. Στον Π ίνακα 10.2 θα βρείτε τις ροπές αδράνειας οι οποίες αντιστοιχούν σε διάφορα σώματα για διάφορους άξονες περιστροφής(2). Ο υπολογισμός ροπών αδράνειας ως προς έναν αυθαίρετο άξονα μπορεί να είναι πολυπλοκότατος ακόμη και για ένα πολύ συμμετρικό σώμα, όπως π .χ. είναι η σφαίρα. Για να διευκολυνθούμε λοιπόν χρησιμοποιούμε ένα

Πολλές φορές οι πολιτικοί μηχανικοί χρησιμοποιούν την έννοια τής ροπής αδράνειας για να περιγράφουν τις ελαστικές ιδιότητες διαφόρων κατασκευών, όπως είναι λ.χ. οι δοκοί. Δηλαδή, χρησιμοποιούν την έννοια τής ροπής αδράνειας όχι για να περιγράφουν περιστροφές αλλά την ακαμφία μιας κατασκευής.

10.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΟΠΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

247

ΠΙΝΑΚΑΣ 10.2 Ροπές αδράνειας ομογενών στερεών σωμάτων διαφόρων σχημάτων Κρίκος ή κυλιδρικό κέλυφος

IC=MR2

Δίσκος ή συμπαγής κύλινδρος ic=

\m r2

σπουδαίο θεώρημα, το θεώρημα τών παράλληλων αξόνων (ή θεώρημα τού Steiner), με το οποίο απλουστεύεται ο υπολογισμός. Υποθέστε ότι η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς έναν οποιονδήποτε άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του είναι Ic. Σύμφωνα με το θεώρημα τών παράλληλων αξόνων, η ροπή αδράνειας ως προς έναν άξονα που είναι παράλληλος και έχει απόσταση D από τον άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι l — le + MD2

(10.17)

* Α πόδειξη τού θεωρήματος τών παράλληλων αξόνων. Υποθέστε ότι ένα σώμα περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο (Σχήμα 10.11) και ότι το κέντρο μάζας του έχει συντεταγμένες x c, yc. Υποθέστε επίσης ότι το στοιχείο μάζας A m έχει συντεταγμένες χ, y. Το στοιχείο βρίσκεται σε απόσταση r = V * 2 + y2 από τον άξονα ζ. 'Ετσι η ροπή αδράνειας τού σώματος ως προς τον άξονα τών ζ ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο είναι 1= J r 2 dm = J (x * + y2)dm Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που συνδέουν τις συντε­ ταγμένες χ, y με τις συντεταγμένες τού κέντρου μάζας xc, y c και τις σχετικές αποστάσεις από το κέντρο μάζας χ ' και y', που είναι χ = χ ' + xc και y = y ' + yc. Έ τσ ι βρίσκουμε

Το θεώρημα τών παράλληλων αξόνων

248 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ ί=

I [(*' + xc)2 + (y' + yc)2]dm

■f

= J [(*')* + (y')2]dm + 2xcJ x ' dm + 2yeJ y ' dm + (xc2 + yc2) j d Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέλος είναι εξ ορισμού η ροπή αδράνειας ως προς έναν άξονα παράλληλο προς τον άξονα ζ αλλά που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Ο καθένας από τους επόμενους δύο όρους είναι μηδέν, εφόσον από τον ορισμό τού κέντρου μάζας j χ ' dm = $ y ' dm = 0. (Μην ξεχνάτε ότι χ ' και y ' είναι οι σχετικές συντεταγμένες ως προς το κέντρο μάζας). Τέλος, ο τελευταίος όρος είναι M D 2, διότι / dm = Μ και D2 = χ 2 + y 2. Επομένως I = L + M D2 y

Σχήμα 10.11 Το θεώρημα ιώ ν παράλληλων αξόνων. Έ στω ότι η ροπή α δράνειας, γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας c και είναι κάθετος στο σχήμα, είναι Ie. Τότε η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα ζ είναι 1Ζ = Ic + MLΫ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.8 Εφαρμογή τού θεωρήματος των παράλληλων αξόνων θεωρήστε την ομογενή στερεά ράβδο μάζας Μ και μήκους L τού Σχήματος 10.9. Βρείτε τη ροπή αδράνειας τής ράβδου γύρω από έναν κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το ένα άκρο της (είναι ο άξονας y ' τού Σχήματος 10.9). Λύση Γνωρίζουμε ότι η ροπή αδράνειας τής ράβδου ως προς έναν κάθετο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι ML2/12 και η απόσταση ανάμεσα στον άξονα αυτό και στον παράλληλο τού άξονα που

10.6

διέρχεται από το άκρο του είναι D = LI2. Το θεώρημα των παράλληλων αξόνων δίνει

l = lc + MD2 = & ML2 + Μ ( ^ j 2 =

If ML2

Άσκηση 4 Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς έναν άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το σημείο χ = L/4. Απάντηση I = igML2

ΡΟΠΗ

Οταν ασκούμε δύναμη πάνω σε ένα στερεό σώμα διά μέσου τού οποίου διέρχεται ένας άξονας τότε το σώμα θα περιστραφεί γύρω από τον άξονα. Περιγράφουμε ποσοτικά την ικανότητα μιας δύναμης να περιστρέφει ένα σώμα γύρω από έναν άξονα (ή κάποιο σημείο) με μια ποσότητα την οποία ονομάζουμε ροπή και την οποία συμβολίζουμε με το γράμμα τού ελληνικού αλφαβήτου τ. θεω ρήστε ότι έχουμε ένα κλειδί, όπω ς παριστάνεται στο Σχήμα 10.12, το οποίο περιστρέφεται γύρω από το σημείο Ο. Η εφαρμοζόμενη δύναμη F, στη γενική περίπτωση, σχηματίζει γω νία φ με την οριζόντιο.

ιο.6 ρ ο π η

Ορίζουμε το μέτρο τής ροπής τ που οφείλεται στην εφαρμογή τής δύναμης F ως προς το σημείο Ο, ως εξής τ = rF sin φ = Fd

(10.18)

Είναι σημαντικό να έχουμε κατανοήσει ότι η έννοια τής ροπής ορίζεται μόνο σε σχέση μ ε έναν καθορισμένο άξονα ή ένα καθορισμένο σημείο. Η ποσότητα d = r sin φ ονομάζεται μοχλοβραχίονας τής δύναμης F και είναι η κάθετη απόσταση ανάμεσα στον άξονα περιστροφής και στην κατεύθυνση τής F. Να σημειωθεί ότι μόνο η κάθετη συνιστώσα τής δύναμης στο r, η F sin φ, τείνει να περιστρέφει το κλειδί. Η άλλη συνιστώσα, η F cos φ, που διέρχεται από το Ο, δεν επηρεάζει την περιστροφή. Εάν δρουν επάνω στο σώμα περισσότερες από μία δυνάμεις, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.13, τότε η

Σχήμα 10.12 Το κλειδί περιστρέφε­ ται πιο εύκολα όταν αυξάνεται η F ή ο μοχλοβραχίονας d. Εκείνο που περιστρέφει το σύστημα γύρω από το Ο είναι η συνιστώσα F sin φ.

Σχήμα 10.13 Η δύναμη F1 τείνει να περιστρέφει το σώμα γύρω από το Ο κατά φορά αντίθετη από τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού, ενώ η F2 τείνει να τό περιστρέφει κατά φορά όμοια με τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού.

καθεμιά τους τείνει να περιστρέφει το σώμα γύρω από το Ο. Λογουχάρη, η F2 τείνει να περιστρέφει το σώμα κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού, ενώ η F, τείνει να τό περιστρέφει αντίθετα από τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού. Θ α συμφωνήσουμε να θέτουμε θετικό πρόσημο στη ροπή εάν η δύναμη τείνει να περιστρέφει το σώμα αντίθετα από τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού και αρνητικό πρόσημο εάν η περιστροφή είναι κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού. Λογουχάρη, στο Σχήμα 10.13, η ροπή που οφείλεται στη δύναμη Fx, η οποία έχει μοχλοβραχίονα du είναι θετική και ίση με + Fidx. Η ροπή τής F 2 είναι αρνητική και ίση με - F2d2. Επομένως, η ολική ροπή πάνω στο σώμα, υπολογιζόμενη ως προς το σημείο Ο, είναι τηβ, = τ 1 + τ 2 = F1d 1 — F2d2 Από τον ορισμό τής ροπής βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα τής περιστροφής αυξάνεται εάν αυξηθεί η δύναμη F ή ο μοχλοβραχίονας d. Ολοι γνωρίζουμε ότι, για να κλείσουμε μια πόρτα, τή σπρώχνουμε από την πλευρά που βρίσκεται το πόμολο και όχι από την πλευρά όπου είναι οι μεντεσέδες. Δ εν πρέπει να συγχέουμε την έννοια τής ροπής μ ε την έννοια τής δύναμης. Οι μονάδες τής ροπής είναι μονάδες δύναμης επί την μετατόπιση, ή Ν· m στο SI, δηλαδή ίδιες με εκείνες τού έργου. Στο Υ ποκεφάλαιο 10.7 θα δούμε πόσο μάς διευκολύνει η έννοια τής ροπής προκειμένου να μελετήσουμε τη δυναμική περιστροφών ενός στερεού σώματος. Στο επόμενο κεφάλαιο θα περιγράφου­ με λεπτομερώς τις διανυσματικές ιδιότητες τής ροπής.

Ορισμός τής ροπής

Μοχλοβραχίονας

249

250

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΎΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.9 Η συνολική ροπή σε έναν κύλινδρο Ένας συμπαγής κύλινδρος αποτελούμενος από δύο μέρη διαφορετικής ακτίνας περιστρέφεται χωρίς τριβή γύρω από έναν άξονα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.14. Ένα σχοινί είναι τυλιγμένο γύρω από τον εξωτερικό κύλινδρο, ακτίνας R lt και ασκεί δύναμη Ft προς τα δεξιά τού κυλίνδρου. Ένα άλλο σχοινί είναι τυλιγμένο γύρω από το μέρος τού κυλίνδρου που έχει ακτίνα R2 και ασκεί στον κύλινδρο δύναμη F2 η οποία κατευθύνεται προς τα κάτω: (a) Ποια είναι η συνολική ροπή που ασκείται στον κύλινδρο ως προς τον άξονα ζ (ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο)·, Λύση Η ροπή την οποία ασκεί η F, είναι - R^Fi και είναι αρνητική διότι τείνει να περιστρέφει τον κύλινδρο κατά τη φορά των δεικτών τού ρολογιού. Η ροπή την οποία δημιουργεί η F2 είναι + R2F2 και είναι θετική, διότι τείνει να περιστρέφει τον κύλινδρον αντίθετα από τη φορά των δεικτών τού ρολογιού. Η ολική ροπή λοιπόν είναι τ„β, = Π + τ2 =

R2F2 - RjF,

(b) Υποθέστε ότι F! = 5 Ν, F, = 1.0 m, F2 = 6 Ν και R2 = 0.5 m. Ποια είναι η ολική ροπή και προς ποια κατεύθυνση θα περιστραφεί ο κύλινδρος;

10.7 y

Σ χήμα 10.15 Σώμα που κινείται διαγράφοντας κύκλο υπό την επί­ δραση τής εφαπτομενικής δύναμης F,. Για να διατηρηθεί η κυκλική κίνηση πρέπει να υπάρχει η κεντρο­ μόλος δύναμη F„ που δεν φαίνεται στο σχήμα.

y

Σχήμα 10.14 (Παράδειγμα 10.9). Έ να ς συμπαγής κύλινδρος που περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ζ ο οποίος διέρχεται από το Ο. Ο μοχλοβραχίονας τής F είναι F j και τής F2 είναι

R2.

t„et = (6 Ν )(0 .5 m ) - (5 Ν )(1 .0 m ) =

- 2 N -m

Εφόσον η ολική ροπή είναι αρνητική, ο κύλινδρος θα περιστραφεί κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού.

ΣΧ ΕΣΗ ΑΝΑ Μ ΕΣΑ ΣΤΗ Ρ Ο Π Η ΚΑΙ ΣΤΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

Στο υποκεφάλαιο αυτό θα δείξουμε ότι η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι ανάλογη προς την υπολογιζόμενη ως προς τον ίδιο άξονα ολική ροπή. Προτού μελετήσουμε την περίπτωση τής περιστροφής ενός στερεού σώματος είναι σκόπιμο να μελετήσουμε για λίγο την περίπτωση ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο υπό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης. Κατόπιν θα χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τρόπο, καθώς και τα αποτελέσματα που θα προκόψουν, για να μελετήσουμε την περίπτωση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Θεωρήστε ότι ένα σώμα μάζας m περιστρέφεται πάνω σε έναν κύκλο ακτίνας r υπό την επίδραση μιας εφαπτομενικής δύναμης Ft, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 10.15, και μιας κεντρομόλου δύναμης Fr, που δεν φαίνεται στο Σχήμα. (Π ροφανώς, η κεντρομόλος είναι απαραίτητη για να κινείται το σώμα σε κυκλική τροχιά). Η εφαπτομενική δύναμη προκαλεί την εφαπτομενική επιτάχυνση at και Ft = mat Η ροπή, ως προς την αρχή τών συντεταγμένων, τής δύναμης F, είναι ίση με το γινόμενο τού μέτρου τής δύναμης και τού μοχλοβραχίονα τής δύναμης: τ = Ftr = (mat)r Ξέρουμε όμως ότι η εφαπτομενική επιτάχυνση σχετίζεται με τη γωνιακή επιτάχυνση μέσω τής σχέσης at = ra, Έ τσ ι μπορούμε να ξαναγράψουμε την ροπή ως τ = (m ra)r = (mr2)**

10.7 ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗ ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

251

Αλλά η ποσότητα m r2 είναι η ροπή αδράνειας τής περιστρεφόμενης μάζας ως προς τον άξονα ζ, ο οποίος διέρχεται από την αρχή τών συντεταγμένων. Έ τσ ι τ = * ία

(10.19)

Σχέση ανάμεσα στη ροπή και στη γωνιακή επιτάχυνση

Δηλαδή, η ροπή που όρα πάνω σε ένα σώμα είναι ανάλογη προς τη γωνιακή του επιτάχυνση και η σταθερά τής αναλογίας είναι η ροπή αδράνειας. Πρέπει να σημειωθεί ότι η σχέση τ = Ια είναι για την περιστροφή η αντίστοιχη εξίσωση τού δεύτερου νόμου τού Newton F = ma. Ας επεκτείνουμε τώρα τη μελέτη μας σε ένα στερεό σώμα, οποιοσδήποτε σχήματος, το οποίο περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, όπως παριστάνεται στο Σχήμα 10.16. Θεωρήστε ότι το σώμα αποτελείται από άπειρο αριθμό μικρών μερών απειροστής μάζας dm. Το κάθε μέρος μάζας περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο γύρω από την αρχή τών συντεταγμένων και καθένα έχει εφαπτομενική επιτάχυνσςη at, που οφείλεται σε μια εφαπτομενική δύναμη dFt. Ξέρουμε από τον δεύτερο νόμο τού Newton ότι για κάθε μέρος τού σώματος ισχύει

y

dFt = (dm)at Η ροπή άτ που οφείλεται στην δύναμη dFt, ως προς την αρχή τών συντεταγμένων, είναι ά τ = r dFt — (r dm)at Αλλά α, = ra, Έ τσ ι ξαναγράφουμε την τελευταία σχέση ως άτ

= (r

dm )ra — ( r 2 dm )a

Είναι πολύ σημαντικό να έχουμε υ π’ όψιν ότι αν και κάθε σημείο πάνω στο στερεό σώμα μπορεί να έχει διαφορετική εφαπτομενική επιτάχυνση a,, όλα τα απειροστά μέρη μάζας πού τό αποτελούν έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση α. Έ τσ ι, ολοκληρώνοντας την τελευταία σχέση βρίσκουμε την ολική ροπή γύρω από το Ο:

Σχήμα 10.16 Έ ν α στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από άξονα ο οποίος διέρχεται από το Ο. Το καθένα στοιχείο μάζας dm περι­ στρέφεται γύρω από το Ο με την ίδια γωνιακή επιτάχυνση α . Η ολι­ κή ροπή που ασκείται πάνω στο σώμα είναι ανάλογη προς τη να .

Tne( = J (r 2 dm )a = a j r 2 dm όπου θέσαμε τα γωνιακή επιτάχυνση α έξω από το ολοκλήρωμα, διότι είναι κοινός παράγοντας επειδή είναι ίδια για όλα τα μέρη μάζας. Η ροπή αδράνειας τού σώματος γύρω από τον άξονα περιστροφής ο οποίος διέρχεται από το Ο ορίζεται ότι είναι / = Jr 2 dm. Έ τσ ι η έκφραση για την ολική ροπή γράφεται ως τ«* ~ lot

( 1 0 .2 0 )

Η ροπή είναι ανάλογη προς τη γωνιακή επιτάχυνση

Και πάλι βλέπουμε ότι η ολική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ανάλογη προς τη γωνιακή επιτάχυνση και ότι η σταθερά τής αναλογίας είναι η ροπή αδράνειας I. Δεν πρέπει να λησμονούμε ότι η I εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής και από το μέγεθος και το σχήμα τού σώματος. Εάν σκεφθούμε πόσο σύνθετο είναι το σύστημα, το σημαντικότατο αποτέλεσμα τ = Ια είναι πράγματι πολύ απλό και απόλυτα σύμφωνο με τις πειραματικές μετρήσεις. Το ότι το αποτέλεσμα είναι τόσο απλό οφείλεται στον τρόπο με τον οποίο περιγράφεται η κίνηση. Μολονότι τα σημεία ενός στερεού σώματος το οποίο περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα μπορεί να μην υπόκεινται στην ίδια δύναμη και να μην έχουν την ίδια γραμμική επιτάχυνση ή γραμμική ταχύτητα, όλα έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση και γωνιακή ταχύτητα. Επομένως,

Όλα τα σημεία έχουν την ίδια ω και α

252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ οποιαδήποτε στιγμή το περιστρεφόμενο στερεό σώμα περιγράφεται από χαρακτηριστικές τιμές τής γωνιακής επιτάχυνσης, τής ολικής ροπής και τής γωνιακής ταχύτητας. Τέλος, πρέπει να ξέρουμε ότι το αποτέλεσμα r net = Ια ισχύει ακόμη και εάν οι δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στις στοιχειώδεις μάζες έχουν όχι μόνο εφαπτομενικές συνιστώσες αλλά και ακτινικές. Αυτό οφείλεται, απλούστατα, στο ότι οι ακτινικές συνιστώσες πρέπει να διέρχονται από τον άξονα περιστροφής και επομένως έχουν μηδενική ροπή ως προς τον άξονα αυτόν.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.10 Περιστρεφόμενη ράβδος Μια ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα, χωρίς τριβή, γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται από το ένα άκρο της. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, ενώ αρχικά ηρεμούσε σε οριζόντια θέση. Ποια είναι η αρχική γωνιακή επιτάχυνση τής ράβδου και ποια η αρχική γραμμική επιτάχυνση τού δεξιού άκρου της; Λύση Το βάρος τής ράβδου Mg δρα στο κέντρο μάζας, που συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.17. Το μέτρο τής ροπής που οφείλεται στη βαρύτητα ως προς το σημείο περιστροφής το οποίο βρίσκεται στο άκρο τής ράβδου είναι

Η δύναμη τής αντίδρασης τού άξονα έχει μηδενική ροπή ως προς τον άξονα, διότι έχει μηδενικό μοχλοβρα­ χίονα (γ = 0). Επειδή τ = Ια, όπου / = \ML2 για τον συγκεκριμένο άξονα περιστροφής (βλ. Πίνακα 10.2), έχουμε

Το αποτέλεσμα αυτό παρουσιάζει ενδιαφέρον διότι «,>#. Δηλαδή, το άκρο τής ράβδου υπόκειται σε επιτάχυνση μεγαλύτερη από την επιτάχυνση τής βαρύ­ τητας. Έτσι, εάν τοποθετούσαμε στο άκρο τής ράβδου ένα νόμισμα, το άκρο της θα έπεφτε γρηγορότερα από το νόμισμα. Τα άλλα σημεία τής ράβδου έχουν γραμμική επιτά­ χυνση μικρότερη από jg. Λογουχάρη, το μέσο τής ράβδου υπόκειται σε επιτάχυνση $g. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.11 Γωνιακή επιτάχυνση ενός τροχού Ένας τροχός ακτίνας R, μάζας Μ και ροπής αδράνειας I μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.18. Ένα ελαφρό νήμα είναι τυλιγμένο γύρω από τον τροχό και από το άκρο του είναι αναρτημένο ένα σώμα μάζας m. Υπολογίστε τη

la = Mg ^

Σχήμα 10.17 (Παράδειγμα 10.10) Η ομογενής αυτή ράβδος περιστρέφεται γύρω από το αριστερό άκρο της.

Mg(L/2) _ p iL 2

3g 2L

Όλα τα σημεία τής ράβδου έχουν αυτή την τιμή τής γωνιακής επιτάχυνσης. Για να βρούμε τη γραμμική επιτάχυνση τού δεξιού άκρου τής ράβδου χρησιμοποιούμε τη σχέση α, = Ra, όπου R = L. Έτσι βρίσκουμε at = L a =

|g

Σχήμα 10.18 (Παράδειγμα 10.11) Το νήμα από το οποίο είναι αναρτημένη η m είναι τυλιγμένο γύρω από την τροχαλία. Έτσι παράγετάι ροπή γύρω από τον άξονα περιστροφής ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο.

10.7 ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗ ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΣΤΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

γραμμική επιτάχυνση τού αναρτημένου σώματος, τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού και την τάση τού νήματος. Λύση Η ροπή πάνω στον τροχό, υπολογιζόμενη ως προς τον άξονα περιστροφής είναι τ = TR. Το βάρος τού τροχού και η κάθετη δύναμη τού άξονα στον τροχό διέρχονται από τον άξονα περιστροφής και έτσι έχουν μηδενική ροπή. Επειδή τ = 7α, βρίσκουμε τ = Ια = TR (1)

253

με ότι m2>mi. Το διάγραμμα απελευθερωμένου σώμα­ τος φαίνεται στο Σχήμα 10.19b. T1~ m 1g = m 1a

(1)

m2g — Τ3 = m 2a

(2)

Το επόμενο βήμα είναι να εντάξουμε τις τροχαλίες στο πρόβλημα τής κίνησης. Το Σχήμα 10.19c απεικονί­ ζει το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για τις τροχαλίες.

a = TR/I

Ας εφαρμόσουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην κινούμενη μάζα m, χρησιμοποιώντας το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος (Σχήμα 10.18): ^ F y = T - m g = -m a

Η γραμμική επιτάχυνση τής αναρτημένης μάζας ισούται με την εφαπτομενική επιτάχυνση ενός σημείου που βρίσκεται στην περίμετρο τού τροχού. Επομένως, η γωνιακή επιτάχυνση τού τροχού και η παραπάνω γραμμική επιτάχυνση συνδέονται ως a = Ra. Χρησιμο­ ποιούμε την τελευταία σχέση μαζί με τις (1 ) και (2 ) και έχουμε Σχήμα 10.19 (Παράδειγμα 10.12).

fl = R a = ™ ! = I M Z l r _

ms ι+ —

Η ολική ροπή γύρω από τον άξονα τής τροχαλίας στα αριστερά είναι (Γ2 - 7\)/?, ενώ η ολική στη δεξιά τροχαλία είναι (Τ3 —T2)R. Ξέρουμε όμως ότι rnet = Ια για κάθε τροχαλία. Επίσης ξέρουμε ότι οι δύο τροχα­ λίες έχουν την ίδια α 'Ετσι

Λύνουμε προς α και α και βρίσκουμε ___ I ___ 1 + I/mR 2

(Τ2 - T,)R = Ια

(3)

(Γ3 - Τ 2)Κ = 7α

(4)

Έχουμε λοιπόν να λύσουμε ένα σύστημα με τέσσε­ ρεις εξισώσεις και τέσσερεις αγνώστους.Προσθέτουμε την (3) και την (4) και έχουμε (Τ3 - Τ 1)Κ = 2Ζα

α _

R

(5)

g

R + I/mR

Άσκηση 5 Ο τροχός τού Σχήματος 10.18 είναι ένας συμπαγής δίσκος Μ = 2.0 kg, R = 30 cm και I = 0.09 kg · m2. Η αναρτημένη μάζα είναι m = 0.5 kg. Βρείτε την τάση τού νήματος και τη γωνιακή επιτάχυνση τού τροχού. Απάντηση 3.27 Ν, 10.9 rad/s2.

προσθέτουμε την (1 ) και (2 ) Τι - Τ3 +

m 2g

- m 1g =

(m j

+ m 2)a

ή T3 - T 1 = (m2 - m 1) g - ( m 1 + m 2)a

(6)

θέτουμε την εξίσωση (6 ) στην (5) και

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.12 Δύο μάζες m\ και m2 είναι συνδεδεμένες με ένα ελαφρό νήμα το οποίο περνάει πάνω από δύο όμοιες τροχαλίες από τις οποίες η καθεμιά έχει ροπή αδράνειας 7 (βλ. Σχήμα 10.19a). Βρείτε την επιτάχυνση καθεμιάς μάζας και τις τάσεις ϊ \ , Τ2 και Τ3 τού νήματος. (Υποθέστε ότι το νήμα δεν γλιστράει στις τροχαλίες). Λύση Ας γράψουμε πρώτα τον δεύτερο νόμο τού Newton για την κάθε μάζα ξεχωριστά και ας υποθέσου­

[(m2 - mj)g - {mY + m 2)a]R = 27a

Επειδή όμως a = — κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και έχουμε (m2 - m j g - (m2 + m 2)a = 27

25 4

ή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

(tng —mi)g I m i + f» 2 +

θέτουμε την τιμή αυτή τού α στις εξισώσεις ( 1 ) και (2 ) και βρίσκουμε τις 7\ και Γ3. Τέλος, θέτουμε τις τιμές τους στην (3) ή (4) και βρίσκουμε την Τ2.

2

10.8

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ Π ΕΡΙΣΤ ΡΟ Φ ΙΚ Η ΚΙΝΗΣΗ

Για να συμπληρώσουμε τη μελέτη ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος, πρέπει να εξετάσουμε τη σχέση που έχει η μεταβολή τής κινητικής ενέργειας περιστροφής με το έργο που παράγουν οι εξωτερικές δυνάμεις. Θ α περιορίσουμε και πάλι τη μελέτη μας σε περιστροφές γύρω από έναν σταθερό άξονα σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Θα δούμε επίσης ότι η σημαντική σχέση r net = Ια στην οποία είχαμε εξαγάγει στο προηγούμενο υποκεφάλαιο, μπορεί να αποδειχθεί εκ νέου, εάν λάβουμε υ π ’ όψιν τον ως προς τον χρόνο ρυθμό μεταβολής τής ενέργειας. Θεωρήστε ότι ένα στερεό σώμα μπορεί να περιστραφεί γύρω από το σημείο Ο, όπω ς παριστάνεται στο Σχήμα 10.20. Υποθέστε ότι μία μόνο εξωτερική δύναμη, η F, δρα πάνω στο σώμα, στο σημείο Ρ. Το παραγόμενο από την F έργο καθώς το σώμα περιστρέφεται κατά μία απειροστή απόσταση ds = r άθ, σε χρόνο dt, είναι d W = F - ds = (F sin φ )τ άθ όπου F sin φ είναι η εφαπτομενική συνιστώσα τής F, δηλαδή η συνιστώσα τής δύναμης πάνω στη διεύθυνση τής διαδρομής. Να ληφθεί υ π’ όψ ιν ότι, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.20, η σκη νική συνιστώ σα τής F όεν παράγει έργο, διότι είναι κάθετη στην μετατόπιση. Ξέρουμε ότι το μέτρο τής ροπής που προκαλεί η F γύ ρ ω από την αρχή των συντεταγμένων είναι rF sin φ. 'Ετσι μπορούμε να εκφράσουμε το έργο που έχει παραχθεί κατά την απειροστή περιστροφή ως ά ψ = τά θ Σ χήμα 10.20 'Ε να στερεό σώμα πε­ ριστρέφεται, γύρω από άξονα που διέρχεται από το Ο, υπό την επί­ δραση εξωτερικής δύναμης F που εφαρμόζεται στο Ρ.

( 1 0 .2 1 )

Ο ρυθμός λοιπόν με τον οποίο παράγεται έργο από την F καθώς το σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι dW _ Μ dt T dt

( 10 .22 )

Αλλά εξ ορισμού dWIdt είναι η στιγμιαία ισχύς, Ρ, την οποία αποδίδει η δύναμη. Επίσης, επειδή άθ/dt = ω, μπορούμε να ξαναγράψουμε την Εξίσωση 1 0 .2 2 , ως Ισχύς παρεχόμενη σε στερεό σώμα

Ρ= ^ - τ ω

(10.23)

Αυτή η σχέση είναι αντίστοιχη τής Ρ = Fi> στην περίπτωση τής γραμμικής κίνησης, ενώ η σχέση dW = τ άθ αντιστοιχεί στην dW = Ffdx. Το θεώρημα έργου-ενέργειας στην περιστροφική κίνηση Ό τα ν μελετούσαμε τη γραμμική κίνηση είχαμε διαπιστώσει ότι η έννοια τής ενέργειας και ειδικά το θεώρημα έργου-ενέργειας είναι πολύ χρήσιμα κατά την περιγραφή τής κίνησης ενός συστήματος. Η έννοια τής ενέργειας λοιπόν μπορεί να μάς φανεί πολύ χρήσιμη για να απλουστεύσουμε την ανάλυση τής περιστροφικής κίνησης. Ό π ω ς ξέρουμε από τη γραμμική κίνηση, θα πρέπει και στην περιστροφική κίνηση ενός συμμετρικού αντικειμένου (όπως π.χ.

10.8 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

255

ενός τροχού) γύρω από έναν σταθερό άξονα το έργο που παράγουν οι εξωτερικές δυνάμεις να είναι ίσο προς τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας περιστροφής. Για να δείξουμε ότι πράγματι αυτό ισχύει, θα αρχίσουμε από την σχέση τ = Ια. Χρησιμοποιούμε τον κανόνα παραγώγισης τής σύνθετης συνάρτησης και μπορούμε να εκφράσουμε τη ροπή ως

τ = Ια

άω _

άω ά θ _

άω

Με τη βοήθεια τής παραπάνω σχέσης και τής τ άθ = dW βρίσκουμε ότι τ άθ = d W = Ιω άω Ολοκληρώνουμε και βρίσκουμε ότι το ολικό έργο είναι W — [ τά θ = I Jeο

Ιω άω - $Ιω* ~ \Ιω 0*

(10.24)

όπου για τα όρια τού ολοκληρώματος βασιστήκαμε στο γεγονός ότι, καθώς η γωνιακή μετατόπιση μεταβάλλεται από θ0 σε θ, η γωνιακή ταχύτητα μεταβάλλεται από ω0 σε ω. Η Εξίσωση 10.24 μάς θυμίζει την αντίστοιχη έκφραση τού θεωρήματος έργου-ενέργειας για μεταφορική κίνηση, όπου η ροπή αδράνειας αντικατέστησε την μάζα m και η γωνιακή ταχύτητα ω τη γραμμική ταχύτητα ν. Δηλαδή στην περίπτωση ενός στερεού σώματος το οποίο περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, το ολικό έργο που παράγουν οι εξωτερικές δυνάμεις ισούται με τη μεταβολή τής κινητικής ενέργειας περιστροφής τού σώματος.

ΠΙΝΑΚΑΣ 10.3 Σύγκριση χρήσιμων εξισώσεων για περιστροφική και μεταφορική κίνηση Περιστροφική κίνηση γύρω Μεταφορική κίνηση από σταθερό άξονα Γωνιακή ταχύτητα ω = άθ/dt Γραμμική ταχύτητα υ = dxldt Γραμμική επιτάχυνση a = dvldt Γωνιακή επιτάχυνση a = dco/dt Ολική (συνισταμένη) δύναμη ΣΈ = Μα Ολική (συνισταμένη) ροπή Στ = Ια Εάν f ω = ω0 + at a = σταθερή J 0 - 0Ο= ω0ί + {at2 ω 2 = ω 02 + 2α(θ — θ0)

Εάν \ υ = υ0 + at a = σταθερή -ί * - *0 = «0t + | αί 2

Έργο W =

Έργο W =

Jίe0τ άθ

Κινητική ενέργεια Κ = {Ιω2 Ισχύς Ρ = τω Στροφορμή L = Ιω Ολική (συνισταμένη ροπή) τ = dL/dt

U 2 = «ο2 + 2 α (χ - χ 0)

j Fx dx J*ο

Κινητική ενέργεια Κ = imv2 Ισχύς Ρ = Fv Γραμμική ορμή ρ = mv Ολική (συνισταμένη) δύναμη F = dpldt

Στον Π ίνακα 10.3 θα βρείτε τις διάφορες εξισώσεις που εξετάσαμε κατά τη μελέτη τής περιστροφικής κίνησης μαζί με τις αντίστοιχες σχέσεις τής γραμμικής (μεταφορικής) κίνησης. Ο ι δύο τελευταίες εξισώσεις τού Πίνακα 10.3 αναφέρονται στην στροφορμή L και θα τίς μελετήσουμε στο επόμενο Κεφάλαιο. Αξιοσημείωτη είναι η ομοιότητα τών εξισώσεων περιστροφικής κίνησης με τις αντίστοιχες τής μεταφορικής.

Το θεώρημα έργου-ενέργειας για περιστροφική κίνηση

256

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.13. Περιστρεφόμενη ράβδος . Ανασκόπηση Μια ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται μέσα από το ένα άκρο της (Σχήμα 10.21). Ενώ αρχικά η ράβδος ηρεμούσε στην οριζόντια θέση, ξαφνικά αφήνεται ελεύθερη: (a) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα τής ράβδου τη στιγμή κατά την οποία η θέση της γίνεται κατακόρυφη; Λύση Μπορούμε να απαντήσουμε εύκολα εάν μελετή­ σουμε τη μηχανική ενέργεια τού συστήματος. Όταν η ράβδος είναι οριζόντια δεν έχει κινητική ενέργεια. Η δυναμική της ενέργεια σε σχέση με την αντίστοιχη τής κατακόρυφης θέσης (οπότε το κέντρο μάζας της βρίσκε­ ται στο σημείο θ ') είναι MgLI2. 'Οταν λοιπόν η ράβδος φτάσει στην κατακόρυφη διεύθυνση, όλη η δυναμική της ενέργεια έχει γίνει κινητική, i/ω2, όπου I είναι η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονα Ο. Ξέρουμε (από τον Πίνακα 10.2) ότι I = \ML2. Εφαρμόζουμε λοιπόν το θεώρημα διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας και βρίσκουμε \MgL = \Ιω 2 = i(4ML2)o>2

της (Σχήμα 10.22). Το νήμα δεν γλιστρά στην τροχαλία και το σύστημα αρχικά ηρεμεί. Βρείτε τις γραμμικές ταχύτητες τών μαζών όταν η μάζα m2 πέσει προς τα κάτω διανύοντας απόσταση Λ, καθώς και την αντίστοι­ χη, στη στιγμή αυτή, γωνιακή ταχύτητα τής τροχαλίας. Λύση Εάν δεν λάβουμε υπ’ όψιν τις τριβές τού συστήματος, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας. Έτσι λοιπόν λέμε ότι η αύξηση τής κινητικής ενέργειας ισούται με τη μείωση τής δυναμικής. Επειδή το σύστημα αρχικά ηρεμεί (Kt = 0), έχουμε ΛΚ — Κ[— Kj = im j υ2 + im 2v2 + £/ω 2 Ας μην ξεχάσουμε ότι η mx και η m2 έχουν την ίδια ταχύτητα. Ξέρουμε επίσης ότι ν = Ra>. Έτσι

1 2 ^)«2

AK = i(m + m +

Από το Σχήμα 10.22 βλέπουμε ότι η m2 χάνει δυναμική ενέργεια, ενώ η ml κερδίζει δυναμική ενέργεια. Δηλαδή Δ172 = —migh και AUX—m^gh. Χρησιμοποιούμε τη δια­ τήρηση τής ενέργειας με τη μορφή ΑΚ + Δί/χ + AU2 = 0 και βρίσκουμε

Έτσι, λογουχάρη, εάν η ράβδος έχει μήκος ένα μέτρο, βρίσκουμε ότι ω = 5.42 rad/s. (b) Προσδιορίστε τη γραμμική ταχύτητα τού κέ­ ντρου μάζας και τη γραμμική ταχύτητα τού ελεύθερου άκρου τής ράβδου στην κατακόρυφη θέση. νΐ = νω = ^ ω =

*V3iL

Το ελεύθερο άκρο τής ράβδου έχει λοιπόν γραμμική ταχύτητα ίση προς 2vc = V3gL.

ΤL/2 _L

Σ χήμα 10.22 (Παράδειγμα 10.14).

1_|

Ε = \ΐω 2

Σ χήμα 10.21 (Παράδειγμα 10.13). Ομογενής στερεά ράβδος περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από το Ο, υπό την επίδραση τής βαρύτητας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10.14 Συνδεμένες μάζες θεωρήστε ότι δύο μάζες είναι συνδεδεμένες με ένα νήμα που είναι περασμένο πάνω από μια τροχαλία η οποία έχει ροπή αδράνειας 1 ως προς τον άξονα περιστροφής

Επειδή ν = έ?ω, για να βρούμε την γωνιακή ταχύτητα τής τροχαλίας κατά την αντίστοιχη στιγμή διαιρούμε την παραπάνω έκφραση τής ταχύτητας με την ακτίνα τής τροχαλίας R. Και βρίσκουμε ω = v/R. Άσκηση 6 Επαναλάβετε τον υπολογισμό τής ταχύτητας ν στο Παράδειγμα 10.14 χρησιμοποιώντας τη σχέση *net = ία για την τροχαλία και χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο τού Newton για τις μάζες mj και m2. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία που ακολουθήθηκε και στα παραδείγματα 1 0 .1 1 και 1 0 .1 2 .

10.8 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

2 57

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που περιστρέφεται διαγρά­ φοντας κύκλο ή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα είναι

άθ dt

(10.3)

Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα

όπου το ω έχει μονάδες rad/s ή s_1. Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ενός περιστρεφόμενου σώματος είναι

άω “ dt

(10.5)

Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση

και έχει μονάδες rad/s2 ή s~2. Ό τα ν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, όλα τα μέρη που συναπαρτίζουν το σώμα έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. Εννοείται ότι τα διάφορα μέρη τού σώματος δεν έχουν σε όλες τις περιπτώσεις την ίδια γραμμική ταχύτητα και γραμμική επιτάχυνση. Εάν ένα σωματίδιο ή ένα σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εξισώσεις κίνησης οι οποίες είναι αντίστοιχες πρός τις εξισώσεις κίνησης που περιγράφουν τη γραμμική (μεταφορική) κίνηση με σταθερή γραμμική επιτάχυνση (ομαλά επιταχυνόμενη)

ω *» ω0 + a t θ ** 00 + ω 0ί + ω 2 = ω 0* + 2α(θ - θ0)

( 10 . 6)

(10.7)

Εξισώσεις τής περιστροφικής κίνησης

(10 .8 )

'Ο ταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση συνδέονται με την γραμμική ταχύτητα κα ι την εφαπτομενική γραμμική επιτάχυνση μέσω τών σχέσεων

v = rm στο σύστημα σωματίων που περιγράφεται στο Σχήμα 10.7. Γύρω από ποιον άξονα (χ, y ή ζ) έχουμε τη μικρότερη ροπή αδρά­ νειας; Και γύρω από ποιον τη μεγαλύτερη; 7. Ένας τροχός έχει σχήμα στεφανιού, όπως παριστάνεται στο Σχήμα 10.8. Κάνουμε δύο ξεχωριστά πειράματα κατά τα οποία περιστρέφουμε τον τροχό, που μέχρι τότε ήταν ακίνητος, μέχρις ότου η γωνιακή του ταχύτητα γίνει ω. Στο ένα πείραμα η περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα z που διέρχεται από το

8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

Ο. Στο άλλο η περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα ζ που διέρχεται από το Ρ. Για ποια από τις δύο περιπτώσεις πρέπει να παραγάγουμε μεγαλύτερο έργο; Υποθέστε ότι η ράβδος που απεικονίζεται στο Σχήμα 10.9 έχει ανομοιογενή κατανομή μάζας. Εξακολουθεί η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονα y να ισούται με -^ML1234567; Εάν όχι, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας χωρίς να γνωρίζουμε πώς είναι κατανεμημένη η μάζα; Υποθέστε ότι μόνο δύο δυνάμεις δρουν πάνω σε ένα σώμα και ότι είναι ίσες σε μέτρο αλλά έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Υπό ποια συνθήκη θα περιστραφεί το σώμα; Εξηγήστε πώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κατασκευή τού Παραδείγματος 10.11 για να προσδιο­ ρίσετε τη ροπή αδράνειας ενός τροχού. (Εάν ο τροχός δεν είναι ομογενής δίσκος, η ροπή αδράνειας δεν είναι απαραίτητα ίση προς iMR2). Εάν χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα τού Παρα­ δείγματος 1 0 .1 1 , πώς θα υπολογίζαμε τη γωνιακή ταχύτητα τού τροχού και τη γραμμική ταχύτητα τής αναρτημένης μάζας κατά την στιγμή t = 2 s εάν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο ενώ βρισκόταν σε κατάστα­ ση ηρεμίας κατά την στιγμή t = 0; Ισχύει εδώ η σχέση ν = Rco; Τοποθετήστε μια μικρή σφαίρα μάζας Μ στο άκρο τής ράβδου τού Σχήματος 10.21. Αυξάνεται, μειώνε­ ται ή παραμένει σταθερή η ω, την οποία υπολογίσαμε στο Παράδειγμα 10.13; Εξηγήστε γιατί μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας ενός σώματος όταν μεταβάλλεται ο άξονας περιστροφής. Είναι δυνατόν να μεταβάλουμε τη μεταφορική κινη­

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

15.

16. 17. 18. 19.

τική ενέργεια ενός αντικειμένου χωρίς να μεταβάλου­ με την κινητική ενέργεια περιστροφής του; Περιστρέφουμε δύο κοίλους κυλίνδρους ίδιων δια­ στάσεων γύρω από τους άξονές τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Ο ένας κύλινδρος είναι γεμάτος νερό. Ποιον από τους δύο κυλίνδρους είναι ευκολό­ τερο να σταματήσουμε; Είναι απαραίτητο να περιστρέφεται ένα σώμα για να έχει μη μηδενική ροπή αδράνειας; Ενα σώμα περιστρέφεται. Είναι απαραίτητο να δρα επάνω του μη μηδενική ροπή; Μπορεί ένα (στιγμιαία) ακίνητο σώμα να έχει μη μηδενική γωνιακή επιτάχυνση; 'Ενα σώμα κινείται πάνω σε κυκλική τροχιά με

259

σταθερό μέτρο ταχύτητας. Βρείτε ένα σημείο ως προς το οποίο η στροφορμή του είναι σταθερή και ένα άλλο ως προς το οποίο δεν είναι. 20. Η διάμετρος τής Γης στους πόλους είναι λίγο μικρό­ τερη από τη διάμετρό της στον ισημερινό. Πώς μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας τής Γης εάν μεταφέ­ ρουμε μάζα από τον ισημερινό στους πόλους ώστε ο πλανήτης μας να γίνει τέλεια σφαίρα; 21. Δυναμιτιστές ανατινάζουν μια πολύ υψηλή καπνοδό­ χο, αφού τοποθέτησαν δυναμίτη στη βάση της. Η καπνοδόχος ανοίγει στο κάτω μισό της μέρος καθώς πέφτει. Έτσι το κάτω μέρος πέφτει στο έδαφος πριν από το επάνω. Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Υποκεφάλαιο 10.2 Περιστροφική Κινητική: Περιστροφι­ κή κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Ένας τροχός που ήταν ακίνητος αρχίζει να περιστρέ­ φεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και αποκτά γωνιακή ταχύτητα 12 rad/s σε χρόνο 3 s. Βρείτε: (a) τη γωνιακή επιτάχυνση τού τροχού· και (b) τη γωνία σε ακτίνια κάτά την οποία περιστρέφεται ο τροχός σε αυτόν το χρόνο. 2. Το τύμπανο ενός πικάπ στρέφεται με ρυθμό 334 στροφές/min και σταματάει σε 60 s μόλις κλείσουμε τον διακόπτη λειτουργίας. Υπολογίστε: (a) τη γωνια­ κή του επιτάχυνση· και (b) τον αριθμό τών περιστρο­ φών που θα κάνει προτού να σταματήσει. 3. Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα σε rad/s τής: (a) Γης στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο· και (b) Σελήνης στην τροχιά της γύρω από τη Γη; 4. Ένας τροχός περιστρέφεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε η γωνιακή μετατόπισή του σε συνάρτηση με τον χρόνο t να είναι θ = a t + bt3, όπου τα α και b είναι σταθερές. Προσδιορίστε τις εξισώσεις για: (a) τη γωνιακή ταχύτητα και (b) τη γωνιακή επιτάχυνση ως συναρτήσεις τού χρόνου. 5. Σε ένα μηχανουργείο ένας ηλεκτροκινητήρας που περιστρέφει έναν τροχό με ρυθμό 100 στροφές/min σταματά. Εάν υποτεθεί ότι υπάρχει σταθερή αρνητι­ κή επιτάχυνση μέτρου 2 rad/s2: (a) σε πόσο χρόνο θα σταματήσει ο τροχός; (b) κατά πόσα ακτίνια θα έχει περιστραφεί ο τροχός στη διάρκεια τού χρόνου που υπολογίστηκε στο (a); [§. Η γωνιακή θέση ενός σημείου πάνω σε έναν τροχό που περιστρέφεται μπορεί να περιγράφει με τη σχέση θ = 5 + ΙΟί + 2Ζ2 rad. Προσδιορίστε τη γωνιακή θέση, ταχύτητα και επιτάχυνση τού σημείου όταν t = 0 και ί = 3 s. |7. Ένας τροχός για τρόχισμα, αρχικά ακίνητος, περι­ στρέφεται στη συνέχεια με σταθερή γωνιακή επιτά­ χυνση α = 5 rad/s2 για χρόνο 8 s. Ο τροχός μετά αποκτά σταθερή αρνητική επιτάχυνση και σταματά αφού κάνει 10 περιστροφές. Προσδιορίστε την αρνη­ τική επιτάχυνση που χρειάζεται και τον χρόνο μέσα στον οποίον θα σταματήσει. |8. Ένας τροχός, αρχίζει να κινείται, ενώ ήταν α­ κίνητος, και στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση α = (10 + 6ί) rad/s2, όπου το t είναι σε δευτερόλεπτα.

Προσδιορίστε τη γωνία σε ακτίνια κατά την οποία στράφηκε ο τροχός στα τέσσερα πρώτα δευτερό­ λεπτα.

1.

Υποκεφάλαιο 10.3 Σχέσεις ανάμεσα σε γωνιακές και γραμμικές ποσότητες 9.

10.

11.

12 .

13.

14.

Ένα αυτοκίνητο αγώνων τρέχει σε έναν κυκλικό στίβο ακτίνας 250 m. Αν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα σταθερού μέτρου 45 m/s, βρείτε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τού αυτοκινήτου και (b) το μέτρο και την κατεύθυνση τής επιτάχυνσής του. Το αγωνιστικό αυτοκίνητο που περιγράφηκε στο Πρόβλημα 9 ξεκινά και επιταχύνεται σταθερά ωσότου αποκτήσει ταχύτητα 45 m/s μέσα σε 15 s. Βρείτε (a) τη μέση γωνιακή ταχύτητα τού αυτοκινήτου σε αυτό το χρονικό διάστημα, (b) τη γωνιακή επιτάχυν­ ση τού αυτοκινήτου, (c) το μέτρο τής γραμμικής επιτάχυνσής του κατά τη στιγμή t = 10 s, και (d) τη συνολική απόσταση που διήνυσε στα πρώτα 30 s. Ένας τροχός διαμέτρου 2 m στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση 4 rad/s2. Ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται όταν ί = 0 και η επιβατική ακτίνα ενός σημείου Ρ στην περιφέρεια τού τροχού σχηματί­ ζει γωνία 57.3° με την οριζόντιο στον χρόνο αυτό. Όταν ί = 2 s, βρείτε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τού τροχού, (b) τη γραμμική ταχύτητα και επιτάχυνση τού σημείου Ρ και (c) τη θέση τού σημείου Ρ. Ένας κύλινδρος ακτίνας 0 .1 m αρχίζει να περιστρέ­ φεται γύρω από τον άξονά του με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση 5 rad/s2. Όταν t = 3 s, ποιά είναι (a) η γωνιακή του ταχύτητα, (b) η γραμμική ταχύτητα ενός σημείο στην περιφέρειά του και (c) η ακτινική και εφαπτομενική, συνιστώσες τής επιτάχυνσης ενός ση­ μείου στην περιφέρεια του; Ένας δίσκος ακτίνας 8 cm περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό 1 200 στροφές/min. γύρω από τον άξονά του. Προσδιορίστε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τού δίσκου, (b) τη γραμμική ταχύτητα ενός σημείου που απέχει 3 cm από το κέντρο του, (c) την ακτινική επιτάχυνση ενός σημείου στην περιφέρεια τού δίσκου και (d) τη συνολική απόσταση που διέγραψε ένα σημείο στην περιφέρεια σε χρονικό διάστημα 2 s. Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 36 km/h πάνω σε έναν ευθύγραμμο δρόμο. Η ακτίνα τών τροχών του

260

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

είναι 25 cm. Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα ενός τροχού παίρνοντας τον άξονά του ως άξονα περιστροφής. |15. 'Ενας σώμα μάζας 6 kg αφήνεται ελεύθερο από το σημείο Α σε μια διαδρομή χωρίς τριβή, όπως φαίνε­ ται στο Σχήμα 10.23. Προσδιορίστε την ακτινική και εφαπτομενική συνιστώσα τής επιτάχυνσης τού σώμα­ τος στο σημείο Ρ. Υποκεφάλαιο 10.4 Κινητική ενέργεια περιστροφής

19. Τρεις σφαίρες συνδέονται με στερεά ράβδο αμελη­ τέας μάζας και βρίσκονται πάνω στον άξονα y (6 λ. Σχήμα 10.25). Αν το σύστημα περιστρέφεται γύρω από τον άξονα χ με γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s, βρείτε (a) τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα χ και την ολική κινητική ενέργεια υπολογιζόμενη από την παράσταση {Ιω2 και (b) τη γραμμική ταχύτητα καθεμιάς σφαίρας και την ολική κινητική ενέργεια από την παράσταση Σ$/η,υ,?.

|16. 'Ενας τροχός αυτοκινήτου ροπής αδράνειας 80 kg · m2 περιστρέφεται γύρω από ένα ακίνητο κεντρι­ κό άξονα με ρυθμό 600 στροφές/min. Ποια είναι η κινητική του ενέργεια; 17. Οι τέσσερεις σφαίρες που φαίνονται στο Σχήμα 10.24 συνδέονται με στερεές ράβδους αμελητέας μάζας. Αν το σύστημα περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από τον άξονα ζ με γωνιακή ταχύτητα 6 rad/s, υπολογίστε (a) τη ροπή αδράνειας τού συστήματος ως προς τον άξονα ζ και (b) την κινητική ενέργεια τού συστή­ ματος.

Σχήμα 10.25 (Πρόβλημα 19).

|20. Τρεις σφαίρες, μάζας Μ η καθεμιά, είναι τοποθετη­ μένες στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.26. Προσδιορίστε τη ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες χ, y και ζ. Ο άξονας ζ διέρχεται από το σημείο Ο* και είναι κάθετος στο επίπεδο xOy.

18. Το σύστημα τών σφαιρών που περιγράφηκε στο Πρόβλημα 17 (6 λ. Σχήμα 10.24) περιστρέφεται γύρω από τον άξονα y. Υπολογίστε (a) τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα y και (b) το έργο που απαιτείται για να προσδοθεί στο σύστημα γωνιακή ταχύτητα 6 rad/s αν αυτό ξεκινά ενώ προηγουμένως ήταν ακί­ νητο.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

121. Δύο μάζες Μ και m συνδέονται με μια στερεά ράβδο μήκους L και αμελητέας μάζας, όπως στο Σχήμα 10.27. Για έναν άξονα κάθετο στη ράβδο, αποδείξτε ότι το σύστημα έχει την ελάχιστη ροπή αδράνειας όταν ο άξονας διέρχεται από το κέντρο μάζας. Αποδείξτε ότι αυτή η ροπή αδράνειας είναι / = μ · L2, όπου μ = mMI(m + Μ).

26.

261

26. Βρείτε τη μάζα m που χρειάζεται για να εξισορ­ ροπεί το φορτηγό μάζας 150 kg πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως δείχνει το Σχήμα 10.30. Η γωνία κλίσης είναι θ = 45°. Υποθέστε ότι όλες οι τροχαλίες είναι χωρίς τριβές και έχουν αμελητέες μάζες.

Σχήμα 10.27 (Πρόβλημα 21).

Υποκεφάλαιο 10.5 Υπολογισμός ροπών αδράνειας 22. Ακολουθώντας τη διαδικασία που χρησιμοποιήθηκε στο Παράδειγμα 10.6, αποδείξτε ότι η ροπή αδρά­ νειας ως προς τον άξονα y ' τής στερεάς ράβδου τού Σχήματος 10.9 είναι \ML2. 23. Χρησιμοποιήστε το θεώρημα τών παράλληλων αξό­ νων και τον Πίνακα 10.2 για να βρείτε τις ροπές αδράνειας: (a) ενός συμπαγούς κυλίνδρου ως προς έναν άξονα παράλληλο προς τον άξονα τού κέντρου μάζας και που διέρχεται από την παράπλευρη επιφά­ νεια τού κυλίνδρου· και (b) μιας συμπαγούς σφαίρας ως προς άξονα που εφάπτεται στην επιφάνεια τής σφαίρας. Υποκεφάλαιο 10.6 Ροπή 24. Υπολογίστε τη συνιστάμενη ροπή (μέτρο και κατεύ­ θυνση) στο δοκάρι που φαίνεται στο Σχήμα 10.28 ως προς (a) έναν άξονα που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο σχήμα· και (b) έναν άξονα που διέρχεται από το C και είναι κάθετος στο σχήμα.

Σχήμα 10.28 (Πρόβλημα 2-*'

25.

Βρείτε τη συνιστάμενη ροπή στον τροχό τού Σχήμα­ τος 10.29 ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο αν a = 10 cm και b = 25 cm.

Σ χήμα 10.30 (Πρόβλημα 26).

|27. 'Ενας σφόνδυλος σε σχήμα στερεού κυλίνδρου ακτί­ νας R = 0,6 m και μάζας Μ = 15 kg μπορεί να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα 1 2 rad/s σε χρόνο 0.6 s με τη βίοήθεια ενός κινητήρα που τού ασκεί σταθερή ροπή. Μετά ο κινητήρας σβήνει και ό σφόνδυλος κάνει 20 περιστροφές προτού σταματήσει εξαιτίας τών απωλειών λόγω τριβής (η οποία υποτίθεται ότι είναι σταθερή κατά τη διάρκεια τής περιστροφής). Ποιο ποσοστό τής ισχύος που παράγει ο κινητήρας χρησιμοποιείται για να υπερνικηθούν οι απώλειες τριβής; Υποκεφάλαιο 10.7 Σχέση ανάμεσα στη ροπή και στη γωνιακή επιτάχυνση 28. Ο συνδυασμός μιας εφαρμοζόμενης δύναμης και μιας δύναμης τριβής δημιουργεί μια σταθερή ολική ροπή 36 Ν · m πάνω σε έναν τροχό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Η ασκούμενη δύναμη δρα για 6 s, και στον χρόνο αυτό η γωνιακή ταχύτητα τού τροχού αυξάνεται από 0 μέχρι 10 rad/s. Η εφαρμοζό­ μενη δύναμη καταργείται τότε, και ο τροχός σταμα­ τάει σε χρόνο 60 s. Βρείτε (a) τη ροπή αδράνειας τού τροχού, (b) το μέτρο τής ροπής τής τριβής και (c) τον συνολικό αριθμό τών περιστροφών τού τροχού. 29. Αν ένας κινητήρας πρόκειται να παράγει ροπή ίση με 50 Ν · m πάνω σε έναν τροχό που περιστρέφεται με 2 400 στροφές/min, πόση ισχύς πρέπει να παρέχεται στον κινητήρα; 30. Το σύστημα που περιγράφηκε στο Παράδειγμα 10.11 (6 λ. Σχήμα 10.18) αφήνεται ενώ προηγουμένως ακινητούσε. Αφού η μάζα m κατέλθει κατά απόσταση Λ, βρείτε (a) τη γραμμική ταχύτητα τής μάζας m και (b) τη γωνιακή ταχύτητα τού τροχού. Υποκεφάλαιο 10.8 'Εργο και ενέργεια στην περιστροφική κίνηση

Σχήμα 10.29 (Πρόβλημα 25).

31. 'Ενας τροχός διαμέτρου 1 m περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα αυτόν είναι 5 kg m2. Μια σταθερή τάση 20 Ν δημιουργείται με ένα σχοινί που είναι τυλιγμένο γύρω από την περίμετρο τού τροχού έτσι ώστε αυτός να επιταχύνεται. Αν ο

262

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

τροχός αρχίζει να περιστρέφεται όταν t = 0 , βρείτε (a) τη γωνιακή επιτάχυνση τού τροχού, (b) τη γωνιακή ταχύτητα τού τροχού κατά τη χρονική στιγμή t = 3 s (c) την κινητική ενέργεια τού τροχού όταν f = 3 s και (d) το μήκος τού σχοινιού που ξετυλίχθηκε στα πρώτα 3 s. |32. 'Ενα σώμα μάζας 15 kg είναι δεμένο σε ένα νήμα που είναι τυλιγμένο γύρω από έναν τροχό ακτίνας r = 10 cm (6 λ. Σχήμα 10.31). Η επιτάχυνση τού σώματος προς τα κάτω στο λείο κεκλιμένο επίπεδο είναι 2.5 mis1. Εάν υποτεθεί ότι ο άξονας τού τροχού είναι χωρίς τριβή, υπολογίστε (a) την τάση τού νήματος, (b) τη ροπή αδράνειας τού τροχού και (c) τη γωνιακή ταχύτητα τού τροχού μετά από 2 s από τη στιγμή που αρχίζει να περιστρέφεται ενώ προηγουμένως ήταν ακίνητος.

ελαφρού νήματος τυλιγμένου σε μια τροχαλία ακτί­ νας 0.25 m και μάζας 3 kg. Η τροχαλία είναι ελεύθερη να περιστρέφεται σε ένα κατακόρυφο επίπεδο ως προς έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Το βάρος αφήνεται ελεύθερο 6 m πάνω από το έδαφος, (a) Προσδιορίστε την τάση τού νήματος, την επιτάχυνση τής μάζας και την ταχύτητα με την οποία το βάρος προσκρούει στο έδαφος, (b) Βρείτε, χρησιμοποιώντας τον νόμο διατήρησης τής ενέργειας, την ταχύτητα που υπολογίστηκε στο (a) μέρος. |36. Θεωρήστε το Σχήμα 10.22 (Παράδειγμα 10.14) με τπχ = 12.5 kg, m2 = 20 kg, R = 0.2 m και μάζα τής τροχαλίας Μ = 5 kg. Η μάζα ηΐχ βρίσκεται στο έδαφος και η μάζα m2 βρίσκεται 4 m πάνω από το έδαφος όταν αφήνεται ελεύθερη ενώ ώς τότε ακινητούσε. Υπολογίστε τον χρόνο που χρειάζεται ώσπου η τη2 να προσκρούσει στο έδαφος. Πώς θα άλλαζε η απάντησή σας αν η μάζα τής τροχαλίας ήταν αμε­ λητέα; ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ

Σ χήμα 10.31 (Πρόβλημα 32).

|33. (a) Ένας ομογενής στερεός δίσκος ακτίνας R και μάζας Μ είναι ελεύθερος να στρέφεται γύρω από ένα άξονα που διέρχεται από ένα σημείο τής περιφέρειάς του (6 λ. Σχήμα 10.32). Αν ο δίσκος αφεθεί, ενώ ως τότε ήταν ακίνητος στη θέση που δείχνει ο πλήρης κύκλος, ποια είναι η ταχύτητα τού κέντρου βάρους του, όταν φτάνει στη θέση που δείχνει ο διακεκομμέ­ νος κύκλος; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού χαμηλότε­ ρου σημείου τού δίσκου στη θέση τού διακεκομμένου κύκλου; (c) Επαναλάβετε το (a) μέρος τού προβλήμα­ τος αν το σώμα είναι ένας ομογενής δακτύλιος.

37. Ένα νήμα είναι τυλιγμένο γύρω από έναν ομογενή ' δίσκο ακτίνας 0.25 m και μάζας 8 kg. Ο δίσκος αρχίζει να κινείται και είναι ελεύθερος να στρέφεται γύρω από τον άξονά του. Το άκρο τού νήματος έλκεται με σταθερή δύναμη 12 Ν. Σε χρόνο t = 2 s αφότου ασκήθηκε η σταθερή δύναμη, προσδιορίστε (a) τη ροπή που εφαρμόζεται στον δίσκο, (b) τη γωνιακή επιτάχυνση τού δίσκου, (c) την επιτάχυνση τού άκρου τού νήματος, (d) τη γωνιακή ταχύτητα τού δίσκου, (e) την ταχύτητα τού άκρου τού νήματος, (f) την κινητική ενέργεια τού δίσκου, (g) το έργο που παράγεται στον δίσκο, (h) τη γωνία θ κατά την οποία έχει στραφεί ο δίσκος και (ϊ) το μήκος τού νήματος που ξετυλίχθηκε από τον δίσκο. |38. Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας μιας ομογενούς στε­ ρεός σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς μια διάμετρο (βλ. Πίνακα 10.2) (Υπόδειξη: θεωρήστε τη σφαίρα σαν ένα σύνολο δίσκων διαφορετικών ακτι­ νών και βρείτε πρώτα μια έκφραση για τη ροπή αδράνειας ενός από αυτούς τους δίσκους ως προς τον άξονα συμμετρίας). 139. Ένας ομογενής στερεός κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R περιστρέφεται γύρω από έναν οριζόντιο άξονα χωρίς τριβές (βλ. Σχήμα 10.33). Δύο ίσες μάζες είναι αναρτημένες από ελαφρά νήματα τυλιγ­ μένα γύρω από τον κύλινδρο. Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο ενώ ώς τότε ήταν ακίνητο, βρείτε (a) την τάση καθενός νήματος, (b) την επιτάχυνση καθεμιάς μάζας και (c) τη γωνιακή ταχύτητα τού κυλίνδρου όταν οι μάζες έχουν κατεβεί κατά απόσταση Α.

Σχήμα 10.32 (Πρόβλημα 33).

|34. Ο τροχός αγγειοπλάστη αποτελείται από έναν πέτρι­ νο δίσκο ακτίνας 0.5 m και μάζας 100 kg που περιστρέφεται ελεύθερα και κάνει 50 στροφές/min. Ο αγγειοπλάστης μπορεί να σταματήσει τον τροχό σε 6 s πιέζοντας ένα βρεγμένο πανί στην περίμετρό του και ασκώντας έτσι μια ακτινική προς τα μ’έσα δύναμη ίση με 70 Ν. Βρείτε τον συντελεστή τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού τροχού και τού βρεγμένου πανιού. |35. Ένα βάρος 50 Ν είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός

Σχήμα 10.33 (Πρόβλημα 39).

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|40. Βρείτε με ολοκλήρωση τη ροπή αδράνειας ενός κοίλου κυλίνδρου ως προς τον άξονα συμμετρίας του. Η μάζα τού κυλίνδρου είναι Μ, η εσωτερική ακτίνα του είναι R\ και η εξωτερική R2. (Ελέγξετε το αποτέλεσμά σας με την τιμή που δίνεται στον Πίνακα 10.2).

|41. 'Ενα κομμάτι ελαφρού σπάγγου νάυλον μήκους 4 m είναι τυλιγμένος γύρω από ένα ομογενές κυλινδρικό πηνίο ακτίνας 0,5 m και μάζας 1 kg. Το πηνίο είναι στερεωμένο σε έναν άξονα χωρίς τριβή και αρχικά είναι ακίνητο. Ο σπάγγος έλκεται από το πηνίο με σταθερή επιτάχυνση 2.5 m/s2. (a) Πόσο έργο έχει παραχθεί στο πηνίο, όταν αυτό έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω = 8 rad/s; (b) Εάν υποτεθεί ότι υπάρχει αρκετός σπάγγος στο πηνίο, πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αποκτήσει το πηνίο γωνιακή ταχύτητα 8 rad/s; (c) Υπάρχει αρκετός σπάγγος στο πηνίο ώστε να μπορέσει αυτό να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα τών 8 rad/s; |42. Πολλές μηχανές χρησιμοποιούν βαριούς κυκλικούς δίσκους, που λέγονται σφόνδυλοι και που βοηθούν στο να διατηρείται σταθερή η περιστροφική κίνηση. Η αδράνεια στην περιστροφή ενός σφονδύλου εξομα­ λύνει τις διακυμάνσεις τής γωνιακής ταχύτητας που εμφανίζονται κατά τη λειτουργία τους, όπως λογουχάρη σε ορισμένους βενζοκινητήρες στους οποίους η ροπή εμφανίζεται περιοδικά. Ένας ορισμένος σφόν­ δυλος που έχει διάμετρο 0.6 m και μάζα 200 kg είναι στηριγμένος σε έναν άξονα χωρίς τριβές. Ένας κινητήρας είναι συνδεδεμένος με τον σφόνδυλο και τόν επιταχύνει, ενώ ώς τότε ήταν ακίνητος, ωσότου αποκτήσει 1 000 στροφές/min. (a) Ποια είναι η ροπή αδράνειας τού σφονδύλου; (b) Πόσο έργο παράγεται στον σφόνδυλο κατά τη διάρκεια αυτής της επιτάχυν­ σης; (c) Αφού ο σφόνδυλος αποκτήσει τις 1 000 στροφές/min, ο κινητήρας αποσυνδέεται από τον σφόνδυλο. Ένα φρένο τριβής χρησιμοποιείται για να ελαττώσει τον ρυθμό περιστροφής σε 500 στροφές/ min. Πόση ενέργεια χάνεται με τη μορφή τής θερμό­ τητας στα φρένα; |43. Μια επιμήκης ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της με έναν οριζόντιο άξονα χωρίς τριβή. Η ράβδος αφήνεται ελεύθερη, ενώ προηγουμένως ήταν ακίνητη σε κατακόρυφη θέση, όπως δείχνει το Σχήμα 10.34. Τη στιγμή που η ράβδος είναι οριζόντια, βρείτε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τής ράβδου, (b) τη γωνιακή της επιτάχυνση, (c) τις συνιστώσες χ και y τής επιτάχυν­ σης τού κέντρου μάζας της και (d) τις συνιστώσες τής δύναμης αντίδρασης τού άξονα στήριξης.

Σχήμα 10.35 (Πρόβλημα 44).

|45. Η ακτίνα αδράνειας, Κ, ενός στερεού σώματος για οποιονδήποτε δεδομένο άξονα περιστροφής, ορίζε­ ται από τη σχέση Κ2 = ItΜ, όπου Μ είναι η ολική μάζα τού σώματος και I είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον δεδομένο άξονα. Η ακτίνα αδράνειας είναι ίση με την απόσταση από τον άξονα περιστροφής ενός υποθετικού σημείου στο οποίο θα μπορούσε να συγκεντρωθεί όλη η μάζα τού σώματος, Μ, χωρίς να μεταβληθεί η ροπή αδράνειας, I, ως προς τον ίδιο άξονα. Βρείτε την ακτίνα αδράνειας: (a) ενός στε­ ρεού δίσκου ακτίνας R, (b) μιας ομογενούς ράβδου μήκους L, και (c) μιας στερεάς σφαίρας ακτίνας R, όλων τών παραπάνω σωμάτων ως προς ένα κεντρικό άξονα περιστροφής. |46. Ένας σπουδαστής Φυσικής αγοράζει έναν ανεμοδεί­ κτη για το γκαράζ τού πατέρα του. Ο ανεμοδείκτης αποτελείται από έναν κόκορα που στέκεται πάνω σε ένα βέλος. Ο ανεμοδείκτης είναι στερεωμένος σε έναν κατακόρυφο άξονα ακτίνας r και μάζας m που είναι ελεύθερος να περιστρέφεται γύρω από το στήριγμά του στη στέγη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.36. Ο

y

Ά ξο ν α ς Η

__________________ ] χ

Σχήμα 10.34 (Πρόβλημα 43).

|44. Ένας επίπεδος μικρός δίσκος με μάζα

2

kg ολισθαί­

263

νει πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Ο δίσκος περιστρέφεται σε κυκλική τροχιά με τη βοή­ θεια μιας ράβδου μήκους 1.5 m αμελητέας μάζας που είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.35. Αρχικά, ο δίσκος έχει γραμμική ταχύτητα 5 m/s. Στη συνέχεια ρίχνεται στο δίσκο κατακόρυφα από πάνω μια μάζα στόκου ίση με 1 kg. Αν ο στόκος κολλήσει στον δίσκο, ποια είναι η νέα περίοδος περιστροφής;

Σχήμα 10.36 (Πρόβλημα 46).

26 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

σπουδαστής οργανώνει ένα πείραμα για να μετρήσει τη ροπή αδράνειας τού κόκορα και τού βέλους που είναι συνδεδεμένο με τον άξονα. Τυλίγει έναν σπάγγο γύρω από τον κατακόρυφο άξονα, τόν περνάει από μια τροχαλία και δένει μια μάζα Μ που κρέμεται από τη στέγη τού γκαράζ. 'Οταν η μάζα Μ αφήνεται ελεύθερη, ο σπουδαστής προσδιορίζει τον χρόνο t που απαιτείται ώστε η μάζα να κατέλθει κατά απόσταση Λ. Από αυτά τα δεδομένα ο σπουδαστής μπορεί να βρει τη ροπή αδράνειας I τού κόκορα και τού βέλους. Βρείτε την έκφραση για το I σε συνάρτη­ ση με τα m, Μ, τ, g, h και t. [47 Ενα ομογενές κοίλο κυλινδρικό καρούλι έχει εσωτε­ ρική ακτίνα RI2, εξωτερική R και μάζα Μ (βλ. Σχήμα 10.37). Είναι τοποθετημένο έτσι ώστε να περιστρέφε­ ται γύρω από έναν τραχύ σταθερό οριζόντιο άξονα. Μια μάζα m είναι δεμένη στην άκρη ενός νήματος που είναι τυλιγμένο γύρω από το καρούλι. Η μάζα m αρχίζει να κινείται και παρατηρείται ότι κατέρχε­ ται κατά απόσταση y σε χρόνο ί. Αποδείξτε ότι η ροπή που οφείλεται σε δυνάμεις τριβής μεταξύ τού καρουλιού και τού άξονα είναι

δίσκο και που διέρχεται από το κέντρο του. [Υπόδει­ ξη : θεωρήστε την τρύπα ως έναν υλικό δίσκο «αρνη­ τικής μάζας»]. |50. Μια μάζα mx συνδέεται με μια μάζα m2 με ένα λεπτό νήμα, που μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε μια λεία επιφάνεια (βλ. Σχήμα 10.38). Η τροχαλία περιστρέ­ φεται γύρω από έναν άξονα χωρίς τριβή και έχει ροπή αδράνειας I και ακτίνα R. Εάν υποτεθεί ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία, βρείτε (a) την επιτάχυνση τών δύο μαζών, (b) τις τάσεις Τχ και Τ2 και (c) τις αριθμητικές τιμές τών α, Τχ και Τ2 αν I = 0.5 kg ■m2, R = 0,3 m, mx = 4 kg και m2 - 3 kg. (d) Ποιες θα ήταν οι απαντήσεις σας αν η ροπή αδράνειας τής τροχαλίας θεωρούνταν αμελητέα;

Σχήμα 10.38 (Πρόβλημα 50).

|51. Δύο σώματα συνδέονται με νήμα αμελητέας μάζας που περνά από μια τροχαλία ακτίνας 0.25 m και ροπής αδράνειας I. Το σώμα στο κεκλιμένο επίπεδο κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση 2 mis2 (βλ. Σχήμα 10.39). (a) Προσδιορίστε τις τάσεις Τχ και Τ2 στα δύο τμήματα τού νήματος, και (b) βρείτε τη ροπή αδράνειας τής τροχαλίας. y

Σχήμα 10.37 (Πρόβλημα 47).

[48. Ενας σπάγγος είναι τυλιγμένος γύρω από μια τροχα­ λία μάζας m και ακτίνας τ. Το ελεύθερο άκρο τού σπάγγου δένεται σε ένα σώμα μάζας Μ. Το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει προς τα κάτω σε ένα τραχύ κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντιο. Ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως μεταξύ τού σώματος και τού κεκλιμένου επιπέδου είναι μ. (a) Χρησιμοποιήστε το θεώρημα έργου-ενέργειας για να αποδείξετε ότι η ταχύτητα τού σώματος ν ως συνάρ­ τηση τής μετατόπισης d προς τα κάτω στο κεκλιμένο επίπεδο είναι

ϋ = [ 4 gdt f i ^ ) (sin

θ

- μ c° s θ)Γ

(b) Βρείτε την επιτάχυνση τού σώματος σε συνάρτηση με τα μ, m, Μ, gxcu θ. |49. Μια κυκλική τρύπα ακτίνας Λ/4 ανοίγεται σε έναν δίσκο ακτίνας R και μάζας Μ. Η τρύπα έχει το κέντρο της σε απόσταση RI2 από το κέντρο τού δίσκου. Βρείτε μια έκφραση για τη ροπή αδράνειας αυτού τού σώματος ως προς έναν άξονα κάθετο στον

k Ϊ^■20 ______ Σχήμα 10.39 (Πρόβλημα 51).

|52. Η τροχαλία στο Σχήμα 10.40 έχει ακτίνα R και ροπή αδράνειας /. Η μία πλευρά τού σώματος μάζας m, συνδέεται με ένα ελατήριο σταθεράς Κ και η άλλη είναι δεμένη σε ένα νήμα που είναι τυλιγμένο γύρω από μια τροχαλία. Ο άξονας τής τροχαλίας και το κεκλιμένο επίπεδο είναι χωρίς τριβή. Αν η τροχαλία στραφεί αντίθετα προς τους δείκτες τού ρολογιού έτσι ώστε να επιμηκύνει το ελατήριο κατά απόσταση d από τη θέση στην οποία βρίσκεται όταν δεν είναι τεταμένο και μετά αφεθεί ελεύθερο, βρείτε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τής τροχαλίας όταν το ελατήριο βρεθεί πάλι στη θέση που είχε όταν δεν ήταν τεταμένο, και (b) μια αριθμητική τιμή τής γωνιακής ταχύτητας σε αυτό το σημείο, αν / = 1 kg-m , R = 0.3 m, Κ = 50 N/m, m = 0.5 kg, d = 0.2 m και θ = 37°.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|54. Σχήμα 10.40 (Πρόβλημα 52).

|53. Ενα κυλινδρικό καρούλι νήματος ακτίνας 0.1m και μάζας 4 kg τοποθετείται έτσι ώστε μπορεί να στρέφε­ ται ελεύθερα γύρω από τον επιμήκη άξονα συμμε­ τρίας του. Το καρούλι αρχίζει να περιστρέφεται ενώ προηγουμένως ήταν ακίνητο, καθώς το νήμα έλκεται και ξετυλίγεται ενώ η τάση στο νήμα διατηρείται σταθερή στα 8 Ν. Αγνοήστε τη μάζα τού ξετυλιγμένου

265

νήματο και προσδιορίστε (a) τη ροπή που ενεργεί στο καρούλι και τη γωνιακή του επιτάχυνση. Τη στιγμή κατά την οποία η γωνιακή ταχύτητα τού καρουλιού είναι 10 rad/s, προσδιορίστε (6 ) τη γωνία κατά την οποία έχει στραφεί το καρούλι από την έναρξη τής κίνησης, (c) την εφαπτομενική και ακτινική επιτά­ χυνση ενός σημείου στην περιφέρεια τού καρουλιού και (d) την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και τη στροφορμή τού καρουλιού. Ενας ηλεκτρικός κινητήρας μπορεί να επιταχύνει έναν τροχό ροπής αδράνειας I = 20.000 kg · m2 από την κατάσταση ηρεμίας ώς 10 στροφές/min σε χρόνο 12 s. Όταν ο κινητήρας αποσυνδεθεί, ο τροχός επιβραδύνεται από 10 στις 8 στροφές/min σε 10 s, λόγω τών απωλειών σε τριβές. Προσδιορίστε (a) τη ροπή που προκαλεί ο κινητήρας για να προσδώσει στον τροχό 10 στροφές/min και (b) την ισχύ που απαιτείται για να διατηρεί την περιστροφή τού τροχού σε 10 στροφές/min.

11

το προηγούμενο κεφάλαιο μάθαμε πώς να αναλύουμε την περιστρο­ φή ενός στερού σώματος γύρω από έναν σταθερό άξονα. Στο κεφάλαιο αυτό μεταξύ άλλων θα δούμε πώς αναλύουμε την περίπτωση κατά την οποία ο άξονας περιστροφής δεν είναι σταθερός στον χώρο. Αρχίζουμε με την περιγραφή τής κύλισης ενός αντικειμένου, λ.χ. ενός κυλίνδρου ή μιας σφαίρας. Κατόπιν ορίζουμε το διανυσματικό γινόμενο. Το διανυσματικό γινόμενο είναι ένα βολικό μαθημα­ τικό εργαλείο για να περιγράφουμε ποσότητες όπως είναι η ροπή ή η στροφορμή. Κεντρικό θέμα τού κεφαλαίου είναι η ανάπτυξη τής έννοιας τής στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων, έννοιας η οποία αποτελεί κλειδί στη δυναμική τών περιστροφών. Θα δούμε ότι, σε αντιστοιχία με τη διατήρηση τής γραμμικής ορμής, η στροφορμή οποιουδήποτε απομονωμένου συστήματος (όπως λ.χ. είναι ένα απομονωμένο στερεό σώμα ή ένα απομονωμένο σμήνος σωματίων) διατηρείται πάντοτε. Αυτός ο νόμος διατήρησης είναι ειδική περίπτωση τού νόμου σύμφωνα με τον οποίο ο ρυθμός μεταβολής τής ολικής στροφορμής οποιουδήποτε συστήματος σωμάτων ισούται με την ολική ροπή τών εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες δρουν πάνω στο σύστημα.

Σ

11.1

ΚΥΑΙΣΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟ Υ ΣΩΜ ΑΤΟΣ

Στο υποκεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την κίνηση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν κινούμενο άξονα. Η περιγραφή τής γενικής κίνησης ενός στερεού σώματος στον χώρο είναι πρόβλημα πολύπλοκο. Μ πορούμε όμως να απλουστεύσουμε την μελέτη μας εάν περιοριστούμε σε ομογενή σώματα τα οποία έχουν συμμετρικό σχήμα, όπω ς είναι ένας κύλινδρος, μια σφαίρα ή ένα στεφάνι. Θα υποθέσουμε επί πλέον ότι το σώμα κυλιέται πάνω σε ένα επίπεδο. Υποθέστε ότι ένας κύλινδρος κινείται πάνω σε ευθύγραμμη διαδρομή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.1. Το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθεία

Σχήμα 11.1 Τα λαμπάκια που έχουν προσαρμοστεί στην περιφέρεια και στο κέντρο ενός κυλιόμενου κυλίνδρου δείχνουν τις διαδρομές που διαγράφουν τα σημεία αυτά. Το κέντρο κινείται ευθύγραμμα. (Φωτογραφία Henry Leap και Jim Lehman).

11.1 ΚΥΛΙΣΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

267

γραμμή, ενώ ένα σημείο τής περιμέτρου τού κυλίνδρου διαγράφει πιο σύνθετη τροχιά, που αντιστοιχεί στην τροχιά μιας κυκλοειδούς. Ό π ω ς θα δούμε αργότερα στο κεφάλαιο αυτό, για διευκόλυνσή μας θα θεωρήσουμε την κίνηση αυτή ως σύνθεση τής περιστροφής γύρω από το κέντρο μάζας και τής γραμμικής μεταφοράς τού κέντρου μάζας. Θεωρήστε τώρα ότι ένας ομογενής κύλινδρος, ακτίνας R , κυλιέται πάνω σε τραχιά οριζόντια επιφάνεια (Σχήμα 11.2). Καθώς ο κύλινδρος περιστρέφε­ ται κατά γω νία θ, το κέντρο μάζας του μετατοπίζεται κατά s = R6. Επομένως, η ταχύτητα και η επιτάχυνση τού κέντρου μάζας για αμιγή κύλιση ισούνται με

Σχήμα 11.2 Στην περίπτωση της κύλισης, καθώς ο κύλινδρος περι­ στρέφεται κατά γω νία θ, το κέντρο τού κυλίνδρου μετατοπίζεται κατά απόσταση s = ϋ θ .

Οι γραμμικές ταχύτητες διαφόρων σημείων τού κυλίνδρου απεικονίζονται στο Σχήμα 11.3. Να σημειωθεί ότι η κατεύθυνση τής γραμμικής ταχύτητας κάθε σημείου είναι κάθετη προς τη γραμμή που τό ενώνει με το σημείο επαφής. Εάν δεν υπάρχει ολίσθηση, τότε το σημείο επαφής Ρ ηρεμεί σε σχέση με την επιφάνεια. Έ ν α τυχαίο σημείο πάνω στον κύλινδρο, λ.χ. το Q, έχει οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας. Το σημείο όμως Ρ και Ρ και το κέντρο μάζας απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή. Το κέντρο μάζας κινείται με ταχύτητα vc = Ra> σε σχέση με την επιφάνεια επάνω στην οποία κυλιέται ο κύλινδρος, ενώ η ταχύτητα τού Ρ είναι μηδενική. Το σημείο Ρ έχει ταχύτητα ίση με 2vc = 2 Rw , επειδή όλα τα σημεία τού κυλίνδρου έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Μ πορούμε να υπολογίσουμε ότι η ολική κινητική ενέργεια ενός κυλιόμενου κυλίνδρου είναι Κ = £ΖΡω 2

(11.3)

Σχήμα 1 1 3 'Ο λα τα σημεία ενός κυλιόμενου σώματος κινούνται σε κατεύθυνση κάθετη προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο επα­ φής Ρ. Το κέντρο τού σώματος κινείται με ταχύτητα vc, ενώ το σημείο Ρ' κινείται με ταχύτητα 2vc.

όπου Ιρ είναι η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ρ. Εφαρμόζουμε το θεώρημα τών παράλληλων αξόνων και βρίσκουμε ότι Ιρ = Ic + M R2. Θέτουμε το αποτέλεσμα αυτό στην εξίσωση 11.3 και έχουμε Κ = Ι ζ ω 2 + iM R W Κ—

+ |M « C2

(11.4)

Ολική κινητική ενέργεια κυλιόμενον σώματος

όπου χρησιμοποιήσαμε τη γνωστή σχέση vc = Rco. Μπορούμε να σχολιάσουμε την Εξίσωση 11.4 ως εξής: Ο πρώτος όρος,

ilcw2, περιγράφει την κινητική ενέργεια περιστροφής τού κυλίνδρου γύρω από το κέντρο μάζας του, ενώ ο όρος \Μ ν 2 αντιπροσωπεύει την κινητική ενέργεια τού κυλίνδρου εάν αυτός πραγματοποιούσε μόνο μεταφορική κίνηση στον χώρο χω ρίς περιστροφές. Λέμε λοιπόν ότι η ολική κινητική ενέργεια ενός κυλιόμενου σώματος είναι το άθροισμα τής κινητικής ενέργειας περιστροφής γύρω από το κέντρο μάζας και τής κινητικής ενέργειας η οποία αντιστοιχεί στη μεταφορική κίνηση τού κέντρου μάζας. Μπορούμε πιο εύκολα να λύσουμε προβλήματα κύλισης σε τραχύ κεκλιμένο επίπεδο εάν χρησιμοποιήσουμε σχέσεις ενέργειας. Θα υποθέσουμε ότι το στερεό σώμα τού Σχήματος 11.4 δεν ολισθαίνει και ότι αρχικά ηρεμούσε στο επάνω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου. Δεν πρέπει να μάς διαφεύγει ότι για να υπάρξει κύλιση είναι απαραίτητη η ύπαρξη δύναμης τριβής ανάμεσα στο αντικείμενο και στο κεκλιμένο επίπεδο, διότι έτσι

Σχήμα 11.4 Σώμα κυκλικής διατομής κυλιέται προς τα κάτω. Η μηχα­ νική ενέργεια διατηρείται εάν δεν υπάρχει ολίσθηση.

268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ δημιουργείται η απαραίτητη ροπή γύρω από το κέντρο μάζας. Μ ολονότι όμως υπάρχει τριβή, δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειας, διότι το σημείο επαφής, ανά πάσα στιγμή, είναι ακίνητο σε σχέση με το κεκλιμένο επίπεδο. Αλλά εάν το στερεό σώμα ολισθαίνει, προφανώς χάνει μηχανική ενέργεια λόγω τής τριβής. Γνωρίζουμε ότι vc = Λω προκειμένου για κύλιση. Έ τσ ι ξαναγράφουμε την Εξίσωση 11.4 ως

(11.5) Ό τα ν ο κυλιόμενος κύλινδρος φτάσει στο κάτω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου ύψους Α, θα έχει χάσει δυναμική ενέργεια ίση προς Mgh. Εάν το σώμα αρχικά ηρεμούσε στο επάνω μέρος τού κεκλιμένου επιπέδου, η κινητική ενέργεια που θα έχει όταν φτάσει στο κάτω μέρος, όπω ς τήν δίνει η Εξίσωση 11.5, ισούται με τη δυναμική ενέργεια την οποία είχε το σώμα στην κορυφή. Εξισώνουμε τις δύο ποσότητες, λύνουμε ως προς v c, την ταχύτητα τού κέντρου μάζας, και βρίσκουμε:

( 11. 6)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.1 Σφαίρα που κυλιέται προς το κάτω μέρος κεκλιμένου επιπέδου Υποθέστε ότι το στερεό σώμα τού Σχήματος 11.4 είναι συμπαγής σφαίρα. Υπολογίστε την ταχύτητα τού κέ­ ντρου μάζας της όταν φτάνει στο κάτω μέρος· προσδιο­ ρίστε τη γραμμική επιτάχυνση τού κέντρου μάζας τής σφαίρας. Λύση Γνωρίζουμε ότι, για συμπαγή ομογενή σφαίρα, Ic = fMR2 Έτσι η Εξίσωση 11.6 δίνει

Γνωρίζουμε από τη Στοιχειώδη Τριγωνομετρία ότι h = χ sin θ. Αντικαθιστούμε και υψώνουμε τα δύο μέλη στο τετράγωνο και βρίσκουμε ότι * ιυ gx sin . θο ν *a = — εάν συγκρίνουμε τη σχέση αυτή με τη γνωστή μας από την Κινητική σχέση υ02 = 2α^χ, βρίσκουμε ότι η επιτάχυνση είναι ac = fg sin θ Πρέπει να σημειωθεί ότι η ταχύτητα και η επιτάχυν-

ση τού κέντρου μάζας είναι ανεξάρτητες από τη μάζα και την ακτίνα τής σφαίρας! Δηλαδή, όλες οι ομογενείς συμπαγείς σφαίρες έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτά­ χυνση σε ένα δεδομένο κεκλιμένο επίπεδο. Βρίσκουμε παρόμοια αποτελέσματα εάν επαναλάβουμε τον παρα­ πάνω υπολογισμό για τις περιπτώσεις κοίλης σφαίρας, συμπαγούς κυλίνδρου ή στεφανιού. Οι αριθμητικοί συντελεστές των αποτελεσμάτων για υ€ και ac εξαρτώνται από την ροπή αδράνειας τού συγκεκριμένου σώματος γύρω από το κέντρο μάζας του. Σε όλες τις περιπτώσεις όμως η επιτάχυνση τού κέντρου μάζας είναι μικρότερη από το g sin θ, που θα ήταν η επιτάχυν­ ση εάν το κεκλιμένο επίπεδο ήταν λείο και επομένως δεν υπήρχε κύλιση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.2 Δεύτερος τρόπος λύσης τού προβλήματος τής κυλιόμενης σφαίρας θ α ξαναλύσουμε το πρόβλημα τού προηγούμενου πα­ ραδείγματος αλλά με τη χρησιμοποίηση δυνάμεων. Το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος απεικονίζεται στο Σχήμα 11.5. Λύση Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton στην κίνηση τού κέντρου μάζας και έχουμε (1)

^

= Mg sin 0 - / = M a c

£ F „ = N —Mg cos0 = O

11.2 ΤΟ ΔIΑΝΥΣΜΑΤΊΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ Η ΡΟΠΗ

269

ρας(1). Επειδή το βάρος Mg και η κάθετη δύναμη Ν διέρχονται από το κέντρο μάζας, έχουν μηδενικό μοχλοβραχίονα και δεν συνεισφέρουν στη ροπή. Αλλά η δύναμη τής τριβής δημιουργεί ροπή γύρω από τον άξονα αυτό ίση με fR και με κατεύθυνση κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού. Επομένως

y

τC= / R = /Ca

Αλλά γνωρίζουμε ότι Ic = IMR2 και a = aJR. Έτσι Σχήμα 11.5 (Παράδειγμα 11.2) Διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος για την περίπτωση κυλιόμενης σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

( 2)

ac = όπου ο άξονας χ είναι παράλληλος προς το κεκλιμένο επίπεδο και η θετική του κατεύθυνση είναι προς τα κάτω. Ας βρούμε τη σχέση που περιγράφει τη ροπή που δρα πάνω στην σφαίρα. Για διευκόλυνσή μας θα χρησιμοποιήσουμε έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο τού σχήματος ο οποίος διέρχεται από το κέντρο τής σφαί-

11.2

~g sin Θ

θέτουμε τη (2 ) στην ( 1 ) και βρίσκουμε αποτέλεσμα που συμπίπτει με το αποτέλεσμα τού Παραδείγματος 11.1. Ας σημειωθεί ότι το ac Να σημειωθεί ότι, αν και το σύστημα κέντρου μάζας τού παραδείγματός μας δεν είναι αδρανειακό επειδή επιταχύνεται, η σχέση rc = Ια εξακολουθεί να ισχύει για το σύστημα κέντρου μάζας.

ΤΟ ΑΙΑΝΥΣΜΑΤΊΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ Η ΡΟΠΗ

Θεωρήστε ότι μια δύναμη F δρα πάνω σε ένα στερεό σώμα στο σημείο που έχει επιβατική ακτίνα r (Σχήμα 11.6). Υποθέτουμε ότι το σύστημα συντεταγ­ μένων που έχει την αρχή του στο Ο είναι αδρανειακό και, γ ι ’ αυτό, ισχύει ο δεύτερος νόμος τού Newton. Γνωρίζουμε ότι εξ ορισμού το μέτρο τής ροπής την οποία ασκεί η δύναμη F σε σχέση με την αρχή τών συντεταγμένων ισούται με rF sin φ, όπου φ είναι η γω νία που περιέχεται από τα r και F. Ο άξονας γύρω από τον οποίον η F τείνει να περιστρέφει το σώμα είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από τα r και F. Εάν η δύναμη κείται στο επίπεδο xy, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.6, τότε συμβολίζουμε τη ροπή τμ ε ένα διάνυσμα παράλληλο προς τον άξονα τών ζ. Η δύναμη τού Σχήματος 11.6 δημιουργεί ροπή η οποία τείνει να περιστρέφει το σώμα σε φορά αντίθετη προς τη φορά τών δεικτών ρολογιού για έναν παρατηρητή που κοιτάζει παράλληλα προς την κατεύθυνση τού αρνητικού άξονα ζ. 'Ετσι, λοιπόν, η κατεύθυνση τού τ είναι προς τον θετικό άξονα ζ. Εάν μεταβάλουμε την κατεύθυνση τής Ε κ ατά 180°, τότε και η κατεύθυνση τού τ θα μεταβληθεί κατά 180° και θα λάβει κατεύθυνση προς τον αρνητικό άξονα ζ. Η ροπή συνεπάγεται, για να οριστεί, δύο διανύσματα, r και F, και εξ ορισμού είναι ίση προς το διανυσματικό γινόμενο, το οποίο ορισμένες φορές λέγεται και εξωτερικό γινόμενο τών διανυσμάτων r και F: T®rXF

(11.7)

Α ς δώσουμε τώρα έναν αυστηρότερο ορισμό τού διανυσματικού γινομέ­ νου. Εάν έχουμε δύο διανύσματα Α και Β, τότε το εξωτερικό τους γινόμενο τό συμβολίζουμε με A x Β και ορίζουμε ότι είναι ίσο με ένα τρίτο διάνυσμα, C, που έχει μέτρο Α Β sin θ, όπου θ είναι η γω νία που περιέχεται ανάμεσα στα διανύσματα Α και Β. 'Ετσι γράφουμε ότι C =“ A X Β

(11.8)

C = |C| = |AB sin θ\

(11.9)

και το μέτρο του είναι

Ο τ = r XF

Σχήμα 11.6 Η κατεύθυνση τού διανύσματος τής ροπής τ είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν η επιβατι­ κή ακτίνα r και η εφαρμοσμένη δύναμη F.

270

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

Να σημειωθεί ότι η ποσότητα Α Β sin θ ισούται με την επιφάνεια τού παραλληλογράμμου το οποίο σχηματίζουν τα Α και Β, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 11.7. Η διεύθυνση τού A X Β είναι κάθετη στο επίπεδο το οποίο ορίζεται από τα Α και Β (βλ. Σχήμα 11.7) και η κατεύθυνσή της καθορίζεται σύμφωνα με τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία, καθώς μετατοπίζεται στρεφόμενος από το Α προς το Β και σαρώνει τη γω νία θ. Ε ίνα ι πιο εύκολο να βρούμε την κατεύθυνση τού A x Β αν χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα τού δεξιού χεριού όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 11.7. Χρησιμοποιούμε το δεξί μας χέρι έτσι ώστε τα τέσσερα δάκτυλα να δείχνουν προς την κατεύθυνση τού πρώτου από τα δύο πολλαπλασιαζόμενα μεταξύ τους διανύσματα, δηλαδή τού Α. Κατόπιν στρέφουμε τα δάκτυλά μας προς το Β σαρώνοντας τη γω νία θ. Η κατεύθυνση τού αντίχειρα μας δείχνει την κατεύθυνση τού Α χ Β. T o A x Β εκφέρεται και ως Α «κρος» Β και γ ι’ αυτό, συχνά, το διανυσματικό γινόμενο λέγεται και γινόμενο κρος. Μ ερικές από τις ιδιότητες τού διανυσματικού γινομένου οι οποίες απορρέουν από τον ορισμό του, είναι οι εξής: 1.

Η σειρά με την οποία δύο διανύσματα πολλαπλασιάζονται για να βρούμε το διανυσματικό τους γινόμενο έχει σημασία (εν αντιθέσει προς το εσωτερικό γινόμενο), δηλαδή A X Β = —(Β X Α)

(11.10)

Σχήμα 11.7 Το διανυσματικό γινόμενο A x Β είναι ένα τρίτο διάνυσμα C, μέτρου Α Β sin θ (που ισούται με την επιφάνεια τού παραλληλογράμμου τού σχήματος). Η διεύθυνση τού C είναι κάθετη προς το επίπεδο που ορίζουν τα Α και Β και η κατεύθυνσή του δίνεται από τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία.

Επομένως, εάν μεταβάλουμε τη σειρά τών παραγόντων τού διανυσματικού γινομένου πρέπει να αλλάξουμε το πρόσημο. Είναι ενδιαφέρον να τό επιβεβαιώσετε αυτό χρησιμοποιώντας τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία (Σχήμα 11.7). 2. Εάν τα Α και Β είναι παράλληλα (ή αντιπαράλληλα), τότε A x Β = 0. Επομένως, A x Α = 0 3. Εάν τα Α και Β είναι κάθετα, τότε |Α χ Β| = Α Β 4. Είναι σημαντικό να θυμούμαστε ότι το διανυσματικό γινόμενο ακολουθεί τον επιμεριστικό κανόνα, δηλαδή

Ιδιότητες τού διανυσματικού γινομένου

A X ( B + C) = A X B + A X C

(11.11)

5. Τέλος, η παράγω γος τού διανυσματικού γινομένου ως προς μια ανεξάρτη­ τη μεταβλητή, όπως λ.χ. τον χρόνο ί, είναι

11.3 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ

d , * -

dB α χ λ

dA + *

271

χβ

Ε ίναι σημαντικό να τηρούμε τη σειρά τών παραγόντων τού γινομένου A X Β (να μην ξεχνούμε, δηλαδή, την Εξίσωση 11.10). Σάς δίνουμε ως άσκηση να χρησιμοποιήσετε τις εξισώσεις 11.8 και 11.9 και τον ορισμό τών μοναδιαίων διανυσμάτων για να αποδείξετε ότι για τα ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα ί, J και k ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις ί X « - j X j —k X k

i X j = —i

X

(11.13a)

0

(11.13b)

»= k

j X k = —k X j = i

(11.13c)

k X i^ -iX k = j

(11.13d)

Λιαννσματικό γινόμενο μοναδιαίων διανυσμάτων

Τα πρόσημα μετατίθενται· λογουχάρη i X (— j) = — i X j = - Ic. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ορίζουσες για να εκφράσουμε το διανυσματικό γινόμενο οποιωνόήποτε διανυσμάτων Α και Β. i j k A X Β = Αχ Ay Αζ Βχ By Βζ Αναπτύσσουμε την ορίζουσα και βρίσκουμε Α Χ

Β = (AyBz - A zBy)i + (ΑΧΒΧ - A xBx) j + ( Α β , - AyBx)k

ΠΑ ΡΑ ΔΕΙΓΜ Α 11.3 Το διανυσματικό γινόμενο

Τα διανύσματα Α και Β κείνται στο επίπεδο xy και ισούνται με Α = 2/ + 3j, Β = —i + 2j. Βρείτε το A X Β και επαληθεύσετε ότι A x Β = - Β X Α. Αύση Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις 11.13a έως 11.13d που δίνουν το εξωτερικό γινόμενο μοναδιαίων διανυσμάτων και βρίσκουμε A X Β = (2ί + 3j) X ( - i + 2j)

(11.14)

= - i X 3 j + 2 jX 2 i = - 3 k - 4 k =

-7 k

Επομένως, A x B = - B x A Μπορούμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας την Εξίσωση 11.8, με Αχ = 2, Αγ = 3, Α ζ = 0 και Βχ - —1, By =2, Βζ = 0. 'Ετσι βρίσκουμε A X Β = (0)ί + (0)j + [2 X 2 - 3 X (-l)]jt = 7k

= 2* X 2j + 3j X ( - 1 ) = 4k + 3k = I k Ά σκηση 1 Χρησιμοποιήστε τα αποτελέσματα τού πα­

Παραλείπουμε τους μηδενικούς όρους i X i = j x j = 0 Β X A = ( - i + 2j) X (2i + 3j)

ραδείγματος αυτού και την Εξίσωση 11.9 για να βρείτε τη γωνία την οποία περιέχουν τα Α και Β. Α πάντηση 60.3°.

11.3 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ενα σώμα μάζας m έχει επιβατική ακτίνα r και κινείται με ταχύτητα ν (Σχήμα 11.8).

Η στιγμια ία στροφορμή L τού σώματος ως προς την αρχή Ο εξ ορισμού είναι ίση με το διανυσματικό γινόμενο της επιβατικής του ακτίνας r επί (κρος!) την στιγμιαία γραμμική του ορμή ρ:

272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ L -rX p

Φ

Σχήμα 11-8 Η στροφορμή L ενός σώματος μάζας m και ορμής p που έχει επιβατική ακτίνα r είναι L = r X ρ. Η τιμή τού L εξαρτάται από την αρχή τών συντεταγμένων και είναι διάνυσμα κάθετο στο r και στο ρ.

(11.15)

Ο ι μονάδες τής στροφορμής στο SI είναι kg-m2/s. Μην ξεχάσετε ποτέ ότι το μέτρο και η κατεύθυνση τής στροφορμής εξαρτώνται από την αρχή τών συντεταγμένων ως προς την οποία υπολογίζουμε το L. Η διεύθυνση τού L είναι κάθετη προς το επίπεδο που ορίζεται από τα r και p και η κατεύθυνσή του δίνεται από τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία. Λ ογουχάρη, στο Σχήμα 11.8, τα r και ρ κείνται στο επίπεδο xy, οπότε το L έχει την κατεύθυνση τού θετικού άξονα ζ. Επειδή ρ = mv, το μέτρο τού L είναι

L = mvr sin φ

(11.16)

όπου φ είναι η γω νία που περιέχεται ανάμεσα στα r και ρ. Προφανώς, το L είναι μηδενικό όταν η p είναι παράλληλη προς το r ( φ = 0° ή 180°). Με άλλα λόγια, όταν το σώμα κινείται επάνω σε ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από την αρχή τών συντεταγμένων έχει μηδενική στροφορμή ως προς αυτήν την αρχή ή» ^ άλλα λόγια, δεν τείνει να περιστραφεί προς το σημείο αυτό. Εάν όμως το r είναι κάθετο στο ρ ( φ 90°), τότε το μέτρο τού L έχει τη μέγιστη τιμή του και ισούται με mrv. Τότε, δηλαδή, το σώμα έχει τη μέγιστη τάση να περιστραφεί γύρω από την αρχή. Στην περίπτωση αυτή το σώμα κινείται σαν να βρισκόταν επάνω στην περίμετρο ενός τροχού ο οποίος περιστρέφεται γύρω από την αρχή στο επίπεδο που ορίζεται από τα r και ρ. Μ πορούμε να πούμε ότι ένα σώμα έχει μη μηδενική στροφορμή ως προς κάποιο σημείο εάν η επιβατική ακτίνα τού σώματος, ως προς το σημείο αυτό, περιστρέφεται γύρω από το σημείο. Εάν όμως το μήκος τής επιβατικής ακτίνας απλώς αυξάνεται ή ελαττώνεται, τότε το σώμα κινείται πάνω σε ευθεία γραμμή η οποία διέρχεται από την αρχή τών συντεταγμένων καί, επομένως, έχει μηδενική στροφορμή ως προς το σημείο αυτό. Ό τα ν μελετούσαμε τη γραμμική κίνηση ενός σώματος είχαμε δει ότι η συνισταμένη τών δυνάμεων που δρουν πάνω σε ένα σώμα ισούται με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό μεταβολής τής γραμμικής ορμής. Θ α αποδείξουμε τώ ρα ότι επακόλουθο τού δεύτερου νόμου τού Newton είναι ότι η ολική ροπή που υφίσταται ένα σώμα ισούται με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό μεταβολής τής στροφορμής του. Γράφουμε, λοιπόν, τη ροπή πάνω σε ένα σώμα ως

=

dp at

T= r X F = r X - £

(11.17)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση F = dp/dt. Α ς παραγωγίσουμε τώρα την Εξίσωση 11.15 ως προς τον χρόνο και ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα τής Εξίσωσης 11.12.

dJL dt

-j-( fX p ) = r X ^ + y X p Ί+v dt dt dt

Πρέπει να διατηρήσουμε τη σειρά τών παραγόντων, διότι Α χ Β = - Β χ Α . Ο τελευταίος όρος τής προηγούμενης εξίσωσης είναι μηδέν, διότι το διάνυσμα ν = drtdt είναι παράλληλο προς το ρ. Επομένως

dt

dt

(11.18)

Συγκρίνουμε τις εξισώσεις 11.17 και 11.18 και βρίσκουμε ότι Η ροπή ισούται με τον ρυθμό μεταβολής τής στροφορμής

(11.19)

που είναι ο αντίστοιχος νόμος, για τις περιπτώσεις περιστροφής, τού

11.3 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ

δεύτερου νόμου τού Newton F = dpldt. Αυτό το αποτέλεσμα ορίζει λοιπόν ότι

η ροπή που δρα πάνω σε ένα σώμα ισούται με τον ως προς τον χρόνο ρυθμό μεταβολής τής στροφορμής τού σώματος. Πρέπει να σημειωθεί οπωσδήποτε ότι η Εξίσωση 11.19 ισχύει μόνον εάν η ροπή τ κ α ι η στροφορμή L μετριόνται ως προς το ίδιο σημείο. Αφήνουμε στον αναγνώστη να αποδείξει μόνος του ότι εάν υπάρχουν περισσότερες από μία δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στο σώμα, η Εξίσωση 11.19 εξακολουθεί να ισχύει, αλλά το τ είναι η συνισταμένη ροπή όλων τών δυνάμεων που δρουν πάνω στο σώμα. Ε π ί πλέον, η σχέση αυτή ισχύει για κάθε αρχή συντεταγμέ­ νων η οποία είναι σταθερή σε ένα σύστημα αναφοράς. Είναι προφανές ότι πρέπει και εδώ να υπολογίζουμε όλες τις ροπές και την στροφορμή ως προς το ίδιο σημείο.

Ένα σύστημα σωμάτων Η ολική στροφορμή L ενός συστήματος σωμάτων ως προς κάποιο σημείο ισούται με το διανυσματικό άθροισμα τών στροφορμών καθενός από τα σώματα:

L = Li + L2 + · · - + L n= 2 L ( όπου το διανυσματικό άθροισμα περιλαμβάνει όλα τα η σώματα τού συστήματος. Εάν οι επιμέρους ορμές τών σωμάτων μεταβάλλονται ως προς τον χρόνο, τότε και η ολική στροφορμή θα μεταβάλλεται ως προς τον χρόνο. Α πό τις εξισώσεις 11.17 έως 11.18 βρίσκουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής τής ολικής στροφορμής ισούται με το διανυσματικό άθροισμα όλων τών ροπών, δηλαδή τών ροπών που οφείλονται στις εξωτερικές δυνάμεις, καθώς και εκείνων που οφείλονται στις εσωτερικές δυνάμεις ανάμεσα στα σώματα τού συστήματος. Η ολική ροπή όμως τών εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική. Για να καταλάβουμε καλύτερα αυτό το σημείο ας θυμηθούμε τον τρίτο νόμο τού Newton, που μάς λέει ότι οι εσωτερικές δυνάμεις απαντούν κατά ζεύγη, στα οποία οι δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες και ότι κείνται επάνω στη γραμμή που ενώνει τα ζεύγη τών σωμάτων. Επομένως, η ροπή κάθε ζεύγους δράσης-αντίδρασης είναι μηδενική. Εάν κάνουμε την άθροιση, βλέπουμε ότι η ολική εσωτερική ροπή είναι μηδενική. Έ τσ ι συμπεραίνουμε ότι η ολική στροφορμή μεταβάλλεται συναρτήσει τού χρόνου μόνο όταν δρα επάνω στο σύστημα μη μηδενική εξω τερική ροπή. Έ τσ ι έχουμε

Σ'~- ς£ - £ ς ^ § a»·*·» Δηλαδή

ο ρυθμός μεταβολής, ως προς τον χρόνο, τής ολικής στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων, όταν μετριέται ως προς κάποιο σημείο ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς, ισούται με τη συνισταμένη εξωτερι­ κή ροπή η οποία δρα επάνω στο σύστημα σωμάτων, όταν αυτή μετριέται ως προς το ίδιο σημείο. Ας σημειωθεί ότι η Εξίσωση 11.20 είναι το ανάλογο, ως προς την περιστροφή, τής σχέσης Fext = dpldt για ένα σύστημα σωμάτων (Κεφάλαιο 9).

273

274

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

y

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.4 Γραμμική κίνηση Ένα σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα στο επίπεδο xy με ταχύτητα ν (Σχήμα 11.9). Ποιο είναι το μέτρο και ποια η κατεύθυνση τής στροφορμής ως προς την αρ­ χή Ο;

Σχήμα 11.10 (Παράδειγμα 11.5). Έ ν α σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας τ έχει στροφορμή μέτρου mvr ως προς το κέντρο τού κύκλου. Το διάνυσμα L = r x p στο παράδειγ­ μά μας κατευθύνεται προς τον αναγνώστη.

L = mvr sin 90° = Σχήμα 11.9 (Παράδειγμα 11.4) Έ ν α σώμα που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα ν έχει στροφορμή μέτρου mvd ως προς το σημείο Ο, όπου η απόσταση τού Ο από την ευθεία τροχιά είναι d. = r sin φ. Στο παράδειγμά μας το διάνυσμα L = r X ρ κατευθύνεται προς το επίπεδο τού σχήματος.

Λύση Από τον ορισμό τής στροφορμής γνωρίζουμε ότι L = r X ρ = rmv sin φ (—It). Επομένως, το μέτρο τής στροφορμής είναι L = mvr sin φ = mvd όπου η μικρότερη απόσταση τού σώματος από την αρ­ χή τών συντεταγμένων είναι d = r sin φ. Από τον κα­ νόνα τού δεξιόστροφου κοχλία προκύπτει ότι η κα­ τεύθυνση τού L είναι κάθετη προς το επίπεδο τής σε­ λίδας και προς τα μέσα. Μπορούμε να γράψουμε ότι L = —(mvd)k. Είναι προφανές ότι η στροφορμή ως προς το σημείο Ο ' είναι μηδενική. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.5 Κυκλική κίνηση Ένα σώμα κινείται στο επίπεδο xy σε κυκλική τροχιά ακτίνας r, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.10. (a) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση τής στροφορμής ως προς το Ο όταν η ταχύτητά του είναι ν. Λύση Επειδή το r είναι κάθετο στο ν, φ = 90°, και το μέτρο τού L είναι

mvr

(για r κάθετο στο ν)

Η διεύθυνση τού L είναι κάθετη στο επίπεδο τού κύκλου και η κατεύθυνσή του εξαρτάται από την κατεύθυνση τού ν. Εάν το υ έχει φορά αντίθετη προς τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.10 τότε, εάν εφαρμόσουμε τον κανόνα τού δεξιού χεριού, το L = r x ρ, κατευθύνεται έξω από τη σελίδα (επάνω σας!). Έτσι μπορούμε να γράψουμε τη σχέση L = (mvr)k. Εάν όμως το σώμα κινούνταν κατά τη φορά τών δεικτών τού ρολογιού, τότε το L θα κατευθυνόταν προς το επίπεδο τής σελίδας. (b) Βρείτε μια σχέση που να δίνει το L συναρτήσει τής γωνιακής ταχύτητας ω. Γνωρίζουμε ότι για ένα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά υ = τω. Έτσι L = m v r = m r^io =

Ιω

όπου I είναι η ροπή αδράνειας τού σώματος σε σχέση με τον άξονα ζ, που διέρχεται από το Ο. Βλέπουμε λοιπόν ότι, στην περίπτωση αυτή, η στροφορμή έχει ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα τής γωνιακής ταχύτητας, ω, (βλ. Υποκεφάλαιο 10.1). Έτσι γράφουμε L = Ιω = Imk. Άσκηση 2 Ένα αυτοκίνητο μάζας 1 500 kg κινείται με μέτρο ταχύτητας 40 m/s σε κυκλικό στίβο αγώνων ακτίνας 50 m. Ποιο είναι το μέτρο τής στροφορμής του ως προς το κέντρο τού στίβου; Απάντηση 3.00 X ΙΟ6 kg-m2/s.

11.4 Π ΕΡΙΣΤ ΡΟ Φ Η ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟ Υ ΣΩΜ ΑΤΟΣ ΓΥΡΩ Α Π Ο ΣΤΑ Θ ΕΡΟ ΑΞΟΝΑ Ας θεωρήσουμε ότι ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα ο οποίος έχει σταθερή κατεύθυνση. Υποθέτουμε ότι ο άξονας αυτός συμπίπτει με τον άξονα ζ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.11. Καθένα από τα πολλά μέρη ή επιμέρους-σώματα που συναπαρτίζουν το στερεό σώμα περιστρέφεται στο επίπεδο xy γύρω από τον άξονα ζ με γωνιακή ταχύτητα ω. Το μέτρο τής

11.4 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΕΝΟΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ

275

στροφορμής τού σώματος ί, μάζας /η„ είναι ως προς την αρχή των συντεταγμένων Ο. Γνωρίζουμε ότι υ, = or,. Έ τσ ι μπορούμε να εκφράσουμε το μέτρο τής στροφορμής τού σώματος ϊ ως L,

= m,r,2 ω

Το διάνυσμα L, κατευθύνεται παράλληλα με τον θετικό άξονα ζ, όπως και το ω. Ας βρούμε τώρα τη συνιστώσα ζ τής στροφορμής τού στερεού σώματος αθροίζοντας το L, πάνω σε όλα τα επιμέρους σώματα που συναπαρτίζουν το στερεό σώμα:

Κ = X w , 2 ω = ( £ τ n(r,2) ω ή ( 11. 21)

Lz — Ιω

όπου L z είναι η συνιστώσα ζ τής στροφορμής και I είναι η ροπή αδράνειας τού στερεού σώματος ως προς τον άξονα τών ζ. Ας παραγωγίσουμε τώρα ως προς τον χρόνο την Εξίσωση 11.21, χω ρίς να μάς διαφεύγει ότι η I είναι σταθερή για ένα στερεό σώμα: dL z _ άω ~ d t ~ l ~dt

Ια

( 11 . 22 )

όπου α είναι η γωνιακή επιτάχυνση σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Ξέρουμε όμως ότι το γινόμενο Ια είναι ίσο προς τη συνισταμένη ροπή (βλ. Εξίσωση 11.20). Έ τσ ι ξαναγράφουμε την Εξίσωση 11.22 ως dL, dt

Ια

(11.23)

Με άλλα λόγια, η συνισταμένη ροπή τών εξωτερικών δυνάμεων οι οποίες δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο τής ροπής αδράνειας, υπολογιζό­ μενης ως προς τον άξονα περιστροφής, επί την ως προς τον άξονα περιστροφής υπολογιζόμενη γωνιακή επιτάχυνση. Ας σημειωθεί ότι εάν ένα συμμετρικό σώμα περιστρέφεται γύρω από οταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, μπορούμε να ξαναγράψουμε την Εξίσωση 11.21 με μορφή διανυσμάτων, L = Ιω , όπου L είναι η ολική στροφορμή τού σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής. Η εξίσωση αυτή μπορεί να γενικευθεί για οποιοδήποτε σώμα, ανεξάρτητα από την συμμετρία του, εάν αντί για την ολική» L βάλουμε την συνιστώσα τής L επάνω στον άξονα περιστροφής®.

® Η σχέση L = Ιω δεν ισχύει γενικά. Ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν τυχαίο άξονα δεν έχει τα L και ω συγγραμμικά, τα οποία, γενικά, έχουν διαφορετικές διευθύνσεις. Μάλιστα, στην περίπτωση αυτή η ροπή αδράνειας δεν είναι πια μονόμετρο μέγεθος. Η εξίσωση L = Ιω ισχύει μόνο για στερεά σώματα, τυχαίου σχήματος, τα οποία περιστρέφονται γύρω από έναν από τους λεγάμενους κύριους άξονες αδράνειας, οι οποίοι διέρχονται από το κέντρο μάζας και είναι τρεις και κάθετοι μεταξύ τους.

Σχήμα 11.11 'Ο ταν ένα στερεό σώ­ μα περιστρέφεται γύρω α πό άξονα, η στροφορμή L έχει την ίδια κατεύ­ θυνση με τη γωνιακή ταχύτητα ο», διότι L - Ιω.

276

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.6 Περιστρεφόμενη σφαίρα Μια ομογενής συμπαγής σφαίρα ακτίνας R = 0.50 m και μάζας 15 kg περιστρέφεται γύρω από τον άξονα ζ, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.12. Βρείτε τη στροφορμή της όταν η γωνιακή ταχύτητά της είναι 3 rad/s.

Σ χήμα 11.13 (Παράδειγμα 11.7) Γενικά, για ένα σύστημα με m 1 Φ m 2, το οποίο περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, υπάρχει ροπή που δημιουργεί γωνιακή επιτάχυνση σύμφωνα με το r net = Ια.

L = Ιω = . —

Σ χήμα 11.12 (Παράδειγμα 11.6). Μ ια σφαίρα που περιστρέφε­ ται γύρω από τον άξονά της κατά τη φορά που φαίνεται στο σχήμα έχει στροφορμή L που κατευθύνεται προς τη θετική κατεύθυνση τού άξονα ζ. Εάν αντιστραφεί η φορά περιστρο­ φής, τότε η στροφορμή L θ α κατευθύνεται προς τον αρνητικό άξονα ζ.

Λύση Η ροπή αδράνειας τής σφαίρας γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της είναι

+ π»! + m2^ ω

(b) Υπολογίστε τη γωνιακή επιτάχυνση τού συστή­ ματος όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντιο. Η ροπή την οποία ασκεί το βάρος rriig γύρω από τον άξονα είναι (κατεύθυνση προς τα έξω τού επιπέδου) £ Τι = «Ηβ ~2 cos θ

Η ροπή την οποία ασκεί το βάρος άξονα είναι

γύρω από τον

I = |MR2 = f(15 kg)(0.5 m)2 = 1.5 kg m2 Επομένως, το μέτρο τής στροφορμής είναι L = Ιω = (1.5 kg · m2)(3 rad/s) =

4.5 kg · m2/s

£ τ2 = —m2g —cos θ (κατεύθυνση προς το επίπεδο) Επομένως, η συνισταμένη ροπή ως προς το Ο είναι Tnet = ti + τ2 = i(m x - m2)gt cos θ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.7 Περιστρεφόμενη ράβδος Μια συμπαγής ράβδος μάζας Μ και μήκους £ περιστρέ­ φεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές γύρω από έναν άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της (Σχήμα 11.13). Στα δύο άκρα τής ράβδου έχουν στερεωθεί δύο σώματα μάζας mx και m2, αντίστοιχα: (a) Προσδιορίστε τη στροφορμή της όταν η γωνιακή ταχύ­ τητα είναι ω. Λύση Η ροπή αδράνειας τού συστήματος ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας τών τριών διαφορετι­ κών μερών τα οποία απαρτίζουν το σύστημα: τής ράβδου, τής mx και τής m2. Χρησιμοποιούμε τους Πίνακες 10.2 και βρίσκουμε ότι η ολική ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα z ο οποίος διέρχεται από το Ο είναι

/ ^ M ^ + m ^-0 +m2j j ) = Τ ( f + Wl + m2) Επομένως, όταν η γωνιακή ταχύτητα είναι ω, η στροφορμή είναι

Ας σημειωθεί ότι η συνισταμένη ροπή rnet, κατευθύνεται έξω από το επίπεδο εάν mv>m2και προς το επίπεδο εάν mxm2, για ποια τιμή τού θ είναι το ω μέγιστο; Εάν γνωρίζετε τη γωνιακή ταχύτητα σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, πώς θα υπολογίσετε τη γραμμική ταχύτητα τών mx και m2; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.8 Δύο συνδεδεμένες μάζες Δύο μάζες mx και m2 συνδέονται με ένα ελαφρό νήμα το

11.5 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

οποίο περνά πάνω από μια τροχαλία ακτίνας R και ροπής αδράνειας I ως προς τον άξονά της, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.14. Η μάζα m2 ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Προσδιορίστε την επιτάχυνση τών δύο μαζών χρησιμοποιώντας τις έννοιες τής στροφορμής και τής ροπής.

277

άξονας πάνω στην τροχαλία έχει μηδενικό μοχλοβρα­ χίονα και έτσι δεν συνεισφέρει στη ροπή. Η κάθετη δύναμη που δρά πάνω στο m2 εξισορροπείται από το βάρος του και έτσι δεν συνεισφέρει στη ροπή. Το βάρος τού mx είναι mxg και παράγει γύρω από τον άξονα ροπή με μέτρο rn^gR, όπου R είναι ο μοχλοβραχίονας τής δύναμης ως προς τον άξονα. Αλλά αυτή είναι και η ολική εξωτερική ροπή ως προς το Ο, δηλαδή rext = mxgR. Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 11.23, στην οποία αντικαθιστούμε την τελευταία σχέση, καθώς και την (1 )

"hgR = ^ [(«Η + tn2)Rv + 1 ή Σχήμα 11.14 (Παράδειγμα 11.8).

(2 ) Λύση Ας υπολογίσουμε την στροφορμή τού συστήμα­ τος, το οποίο αποτελείται από τις δύο μάζες και από την τροχαλία, γύρω από τον άξονα τής τροχαλίας ο οποίος διέρχεται από το Ο. Την στιγμή που οι μάζες έχουν ταχύτητα ν, η στροφορμή τής mx είναι mxvR και τής m2 είναι m2vR. Την ίδια στιγμή η στροφορμή τής τροχαλίας είναι Ιω = IvIR. Έτσι η ολική στροφορμή τού συστήμα­ τος είναι (1)

L = m1vR + m2vR + I ^

Ας υπολογίσουμε την ολική εξωτερική ροπή που υφίσταται το σύστημα ως προς τον άξονα τής τροχαλίας ο οποίος διέρχεται από το Ο. Η δύναμη την οποία ασκεί ο

11.5

migR = (mi + m2) R % + L ! £

Αλλά dv/dt = α. Λύνουμε λοιπόν προς α και έχουμε *»ig (mx + m2) + I/R2 Εάν αναρωτιέστε γιατί δεν λάβαμε υπ’ όψιν τις δυνά­ μεις τάσης τού νήματος κατά τον υπολογισμό τής ολικής ροπής ως προς τον άξονα, η απάντηση είναι ότι οι δυνάμεις τάσης είναι εσωτερικές στο εξεταζόμενο σύ­ στημα. Μόνο εξωτερικές δυνάμεις συνεισφέρουν στη μεταβολή τής στροφορμής.

ΔΙΑΤΉ ΡΗ ΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟ Φ Ο ΡΜ Η Σ

Στο Κεφάλαιο 9 βρήκαμε ότι η ολική γραμμική ορμή ενός συστήματος σωμάτων παραμένει σταθερή (διατηρείται) όταν η συνισταμένη εξωτερική δύναμη που δρα πάνω στο σώμα είναι μηδενική. Έ χουμ ε έναν ανάλογο νόμο διατήρησης στην περιστροφική κίνηση, σύμφωνα με τον οποίο η ολική στροφορμή ενός συστήματος είναι σταθερή εάν η συνισταμένη εξωτερική ροπή η οποία δρα πάνω στο σύστημα είναι μηδενική. Αυτό είναι άμεσο αποτέλεσμα τής Εξίσωσης 11.20, όπου βλέπουμε ότι, εάν Λ -ο dt

(11.24)

σταθερή

(11.25)

Για ένα σύστημα σωμάτων γράφουμε τον νόμο αυτό ως ΣΙ* = σταθερή (constant). Εάν γίνει ανακατανομή τής μάζας ενός σώματος (από εσωτερικές δυνάμεις), τότε είναι προφανές ότι μεταβάλλεται η ροπή αδράνειάς του και γράφουμε τον νόμο διατήρησης τής στροφορμής ως

278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ Lj = I f = σταθερή

(11.26)

Εάν το σύστημα είναι ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, λ.χ. τον ζ, τότε μπορούμε να γράψουμε για την συνιστώσα ζ τού L ότι L z = Ιω, όπου I είναι η ροπή αδράνειας τού σώματος ως προς τον ζ. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να γράψουμε τον νόμο διατήρησης τής στροφορμής ως Διατήρηση τής στροφορμής

= If (Of = σταθερή

(11.27)

Η σχέση αυτή ισχύει για τις περιπτώσεις περιστροφής γύρω από σταθερό άξονα ή γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας τού συστήματος και παραμένει παράλληλος προς την αρχική του κατεύθυνση. Απαιτείται μόνον να είναι μηδενική η εξωτερική ροπή. Μολονότι δεν αποδεικνύεται εδώ, υπάρχει για τη στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας ένα σημαντικό θεώρημα σύμφωνα με το οποίο η συνισταμένη ροπή που ασκείται πάνω σε ένα σώμα, ως προς το κέντρο μάζας του, ισούται με τον, ως προς τον χρόνο, ρυθμό μεταβολής τής στροφορμής του, ανεξάρτητα από την κίνηση τού κέντρου μάζας.

Μ παλαρίνα καλλιτεχνικού πατινάζ καθώς περιστρέφεται. Ε άν φέρει τα χέρια της (ή τα πόδια της) κοντά στο σώμα της, αυξάνεται η γωνιακή της ταχύτητα λόγω της διατήρησης τής στροφορμής. (Ο G. Aschendorf Photo Researches).

Το θεώρημα αυτό ισχύει έστω και αν το κέντρο μάζας επιταχύνεται, αρκεί τα τ και L να υπολογίζονται ως προς το κέντρο μάζας. Η Εξίσωση 11.27 μάς δίνει έναν τρίτο νόμο διατήρησης, ο οποίος προστίθεται στον κατάλογο μαζί με τους άλλους δύο που έχουμε ως τώρα. Έ τ σ ι τώρα μπορούμε να πούμε ότι η ενέργεια, η γραμμική ορμή και η στροφορμή ενός απομονωμένου συστήματος παραμένουν σταθερές. Υ πάρχουν πολλά παραδείγματα διατήρησης τής στροφορμής, μερικά από τα οποία είναι πολύ γνωστά. Θ α έχετε δει βεβαίως μια αθλήτρια καλλιτεχνι­ κού πα τινά ζ να στριφογυρίζει πάνω στο παγοδρόμιο. Η γωνιακή ταχύτητα τής αθλήτριας αυξάνεται όταν αυτή συμπτύσσει τα χέρια και τα πόδια της κοντά στο σώμα της. Εάν δεν ληφθεί υπ’ όψιν η τριβή τών παγοπέδιλων πάνω στον πάγο, δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές που δρουν πάνω στην αθλήτρια. Η γωνιακή ταχύτητά της μεταβάλλεται διότι η στροφορμή διατηρείται και το γινόμενο Ιω παραμένει σταθερό, έτσι ώστε μείωση τής ροπής αδράνειας προκαλεί αντίστοιχη αύξηση τής γωνιακής ταχύτητας. Παρομοίως, όταν οι ακροβάτες ή οι κολυμβητές καταδύσεων θέλουν να κάνουν πολλές αναστρο­ φές στον αέρα συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους κοντά στο σώμα τους ώστε να στριφογυρίζουν πιο γρήγορα. Στις περιπτώσεις αυτές, η εξωτερική δύναμη τής βαρύτητας δεν προκαλεί ροπές, διότι δρα πάνω στο κέντρο μάζας και έχει μηδενικό μοχλοβραχίονα ως προς αυτό. Επομένως, η στροφορμή ως προς το κέντρο μάζας διατηρείται, δηλαδή = /fO>f. Έ τσ ι, όταν οι ακροβάτες θέλουν να διπλασιάσουν τη γωνιακή ταχύτητά τους, πρέπει να μειώσουν τη ροπή αδράνειάς τους στο μισό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11.9 Κρούση βλήματος-κυλίνδρου 'Ενα βλήμα μάζας m και αρχικής ταχύτητας ν0 εκτο­ ξεύεται εναντίον συμπαγούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R (Σχήμα 11.15). Ο κύλινδρος αρχικά βρίσκε­ ται σε κατάσταση ηρεμίας και είναι εξαρτημένος σε έναν σταθερό οριζόντιο άξονα που συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας του. Η τροχιά τού βλήματος είναι κάθετη στον άξονα και σε απόσταση d. Η ροπή τ την οποία προκαλεί η δύναμη F ως προς ένα σημείο ενός αδρανειακού συστήματος (ας πάρουμε το σημείο έτσι ώστε να συμπίπτει με την αρχή αυτού τού αδρανειακού συστήματος) είναι εξ ορισμού Ροπή

T*rXF

(11.7)

Εάν έχουμε δύο διανύσματα Α και Β, το διανυσματικό τους γινόμενο A χ Β είναι ένα άλλο διάνυσμα C, κάθετο στο επίπεδο τών Α και Β , που έχει μέτρο Μέτρο διανυσματικού γινομένου

C * |ΑΒ sin θ\

(11.9)

όπου θ είναι η γω νία η οποία περιέχεται ανάμεσα στο Α και Β και η κατεύθυνση τού C ορίζεται από τον κανόνα τού δεξιόστροφου κοχλία. Ορισμένες απ ό τις ιδιότητες τού διανυσματικού γινομένου είναι ότι A X Β ~ - Β X Α και A X Α = 0. Η στροφορμή L ενός σώματος με γραμμική ορμή ρ — m v είναι ίση με Στροφορμή σώματος ως προς σημείο

L m rXp = mrXv

(11.15)

όπου r είναι η επιβατική ακτίνα τού σώματος μετρούμενη ως προς την αρχή ενός αδρανειακού συστήματος. Εάν η γω νία ανάμεσα στο r και στο ρ είναι φ, τότε το μέτρο τού L είναι

L ^ m v r sin φ

(11.16)

Η ολική εξωτερική ροπή που δρα πάνω σε ένα σωματίδιο ή σε ένα στερεό σώμα ιαούται με τον ως προς το χρόνο ρυθμό μεταβολής τής στροφορμής: 0 ΐ·“ ) Η συνιστώσα ζ τής στροφορμής ενός στερεού σώματος το οποίο περιστρέφεται γύρω απ ό σταθερό άξονα (με τον οποίο συμπίπτει ο άξονας ζ ) ισσύται με Στροφορμή στερεού σώματος ως προς σταθερό άξονα

ί,,- Ι ω

(11.21)

όπου / είναι η ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα περιστροφής και ω είναι η γωνιακή ταχύτητα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

285

Η ολική εξωτερική ροπή που δρα πάνω σε ένα στερεό σώμα ισούται με το γινόμενο τής ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής επί την γωνιακή επιτάχυνση: Σ ^ -Ια

Εάν η ολική εξωτερική ροπή που δρα σε ένα σώμα είναι μηδενική, τότε η ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή. Εάν εφαρμόσουμε την αρχή τής διατήρησης τής στροφορμής σε ένα σώμα τού οποίου μεταβάλλεται η ροπή αδρανείας, βρίσκουμε ήω, “ IfWf** σταθερή

(1 1 .2 7 )

Διατήρηση τής σιροφορμής

ΕΡΩΤΉ ΣΕΙΣ 1. Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τη ροπή που δρα επάνω σε ένα στερεό σώμα χωρίς να ορίσετε το σημείο ως προς το οποίο την μετράτε; Είναι η ροπή ανεξάρτητη από το σημείο ως προς το οποίο την μετράτε; 2. Ας ορίσουμε το τριπλό γινόμενο A ■(Β x C). Είναι μονόμετρο μέγεθος ή διάνυσμα; Έχει νόημα το γινόμενο (Α ■ Β) x C; 3. Ορίσετε στη σχέση τ = r x Ετον μοχλοβραχίονα τής δύναμης. 4. Μπορεί να έχει μη μηδενική στροφορμή ένα σώμα το οποίο κινείται ευθύγραμμα; 5. Υποθέστε ότι ένας παρατηρητής κάνει μετρήσεις και διαπιστώνει ότι η στροφορμή ενός σώματος είναι σταθερή, θ α συμφωνήσουν μαζί του και όλοι οι άλλοι παρατηρητές; 6 . Η ροπή που δρα πάνω σε ένα σώμα ως προς ένα τυχαίο σημείο είναι μηδενική. Τί μπορείτε να πείτε για την στροφορμή τού σώματος ως προς το ίδιο σημείο; 7. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και κάποιος σάς λέει ότι η ροπή του είναι μηδενική ως προς ένα σημείο. Σημαίνει αυτό απαραίτητα ότι η συνισταμένη δύναμη πάνω στο σώμα είναι μηδενική; Μπορείτε να συμπεράνετε ότι η ταχύτητα τού σώματος είναι σταθερή; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 8 . Υποθέστε ότι το διάνυσμα τής ταχύτητας ενός σώμα­ τος είναι γνωστό. Τί μπορείτε να συμπεράνετε για την κατεύθυνση τής στροφορμής του σε σχέση με την κατεύθυνση τής κίνησης; 9. Η ολική ροπή (ως προς κάποιο σημείο) ενός στερεού σώματος είναι διάφορη τού μηδενός. Μπορείτε να βρείτε ένα άλλο σημείο ως προς το οποίο η ολική ροπή θα είναι μηδενική; 1 0 . Ένα σύστημα σωμάτων κινείται. Είναι δυνατόν να έχουν μηδενική ολική στροφορμή ως προς κάποιο σημείο; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 11. Κάποιος πετάει μια μπάλλα έτσι ώστε αυτή να μην περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Είναι αληθές ότι η μπάλλα έχει μηδενική στροφορμή ως προς όλα τα σημεία της; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 12. Γιατί είναι πιο εύκολο να ισορροπείτε σε ένα ποδήλα­ το που κινείται παρά σε ένα ποδήλατο που είναι ακίνητο;

13. Ένας φυσικός ζήτησε βοήθεια από τον ξενοδόχο ενός ξενοδοχείου για να μεταφέρει μια μυστηριώδη βαλίτσα. 'Οταν ο ξενοδόχος προσπάθησε να στρίψει σε έναν διάδρομο, η βαλίτσα κινήθηκε ξαφνικά μακριά απ’ αυτόν, για κάποια άγνωστη αιτία. Τότε ο ξενοδόχος, έντρομος, πέταξε τη βαλίτσα και τό ’βάλε στα πόδια. Τί νομίζετε ότι υπήρχε μέσα στη βαλίτσα; 14. Ένας κύλινδρος κυλίεται πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.4. Υπάρ­ χουν σημεία στον κύλινδρο τα οποία έχουν μόνον κατακόρυφη συνιστώσα τής ταχύτητας σε κάποια στιγμή; Εάν ναι, πού βρίσκονται; 15. Τρία ομογενή στερεά σώματα —μια συμπαγής σφαί­ ρα, ένας συμπαγής κύλινδρος και ένας κοίλος κύλιν­ δρος— έχουν τοποθετηθεί στο επάνω μέρος ενός κεκλιμένου επιπέδου (Σχήμα 11.22). Και τα τρία αντικείμενα βρίσκονται στο ίδιο ύψος και αρχικά ηρεμούν. Εάν τά αφήσουμε ελεύθερα ταυτοχρόνως και κυλήσουν χωρίς να γλιστρούν, ποιο φτάνει κάτω πρώτο και ποιο φτάνει τελευταίο; Κάνετε το πείραμα στο σπίτι σας και θα δείτε ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τις μάζες ή από τα μεγέθη τών αντικειμένων.

Σχήμα 11.22 (Ερώτηση 15) Π οιο από τα τρία σώματα θα φτάσει κάτω γρηγορότερα;

16. Ένα ποντικάκι αρχικά βρίσκεται ακίνητο πάνω σε ένα οριζόντιο τύμπανο πικάπ που μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα. Εάν το ποντικάκι αρχίσει να βαδίζει γύρω γύρω στην περίμετρο, τί κάνει το τύμπανο; Αιτιολο­ γήστε την απάντησή σας. 17. Οι αστέρες δημιουργούνται από μεγάλες ποσότητες αερίων τα οποία περιστρέφονται αργά. Λόγω τής αμοιβαίας βαρυτικής έλξης τους, ο χώρος τον οποίο καλύπτουν τα αέρια σμικρύνεται. Τί συμβαίνει στην γωνιακή ταχύτητα ενός αστέρα καθώς το μέγεθός του σμικρύνεται; Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

286

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

18. Χρησιμοποιήστε την αρχή διατήρησης τής στροφορμής για να εξηγήσετε πώς οι γάτες προσγειώνονται πάντοτε με τα πόδια τους, ανεξάρτητα από το ύψος και τη στάση που έχουν όταν αρχίζουν να πέφτουν; 19. Εάν ένας κολυμβητής καταδύσεων από υψηλή εξέδρα θέλει να κάνει αναστροφές στον αέρα, μαζεύει τα πόδια του κοντά στο στήθος του. Γιατί κάνει τότε την αναστροφή πιο γρήγορα; Τί πρέπει να κάνει για να επιβραδύνει την αναστροφή; 20. Ορισμένοι επιστήμονες έχουν προτείνει την κατα­ σκευή αποικιών στο Διάστημα οι οποίες θα έχουν το σχήμα κυλίνδρου. Για να δημιουργηθούν συνθήκες βαρύτητας προτείνουν να δοθεί στους κυλίνδρους

κίνηση περιστροφής γύρω από τον άξονα συμμετρίας τους. Εξηγήστε τις δυσχέρειες που θα συναντήσει εκείνος που θα προσπαθήσει να περιστρέφει τους κυλίνδρους. 21. 'Ενα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με σταθερό μέτρο ταχύτητας. Ποιες είναι οι σχετικές κατευθύν­ σεις τής γραμμικής ορμής του, ρ, και τής στροφορμής τού, L; 22. Η συνισταμένη τών δυνάμεων που δρουν πάνω σε ένα σώμα είναι μηδενική. Σημαίνει αυτό απαραίτητα ότι και η ολική ροπή είναι μηδενική; 23. Γιατί οι σχοινοβάτες κρατούν στα χέρια τους ένα μακρύ κοντάρι που τούς βοηθάει να ισορροπήσουν;

ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ Υποκεφάλαιο 11.1 Κύλιση στερεού σώματος 1. 'Ενας κύλινδρος μάζας 10 kg κυλά χωρίς να ολισθαί­ νει πάνω σε μια τραχιά επιφάνεια. Κατά τη χρονική στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει ταχύτητα 10 m/s, προσδιορίστε: (a) την κινητική ενέργεια, λόγω μετα­ φοράς τού κέντρου μάζας του· (b) την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής γύρω από το κέντρο μάζας του· και (c) την ολική κινητική ενέργειά του. 2. Μια στερεά σφαίρα έχει ακτίνα 0.2 m και μάζα 150 kg. Πόσο έργο απαιτείται για να κυλά η σφαίρα με γωνιακή ταχύτητα 50 rad/s πάνω σε οριζόντια επιφά­ νεια; (Υποθέστε ότι η σφαίρα ξεκινά, ενώ προηγου­ μένως ήταν ακίνητη, και κυλά χωρίς να ολισθαίνει). 3. (a) Προσδιορίστε την επιτάχυνση τού κέντρου μάζας ενός ομογενούς στερεού δίσκου που κυλά προς τα κάτω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο και συγκρίνετε την επιτάχυνση αυτή με την επιτάχυνση μιας ομογενούς στεφάνης, (b) Ποιος είναι ο ελάχιστος συντελεστής τριβής που απαιτείται ώστε να παραμένει η κίνηση τού δίσκου αμιγής κύληση; 4. Ενας ομογενής στερεός δίσκος και μια ομογενής στεφάνη τοποθετούνται πλάι - πλάι στην κορυφή ενός τραχιού κεκλιμένου επιπέδου ύψους Λ. Αν αφεθούν ελεύθερα, ενώ ήταν ακίνητα, και κυλήσουν χωρίς να ολισθαίνουν, προσδιορίστε τις ταχύτητές τους όταν θα φτάσουν στη βάση τού κεκλιμένου επιπέδου. Ποιο σώμα θα φτάσει στη βάση πρώτο; 5. Το κέντρο μάζας ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R κινείται με ταχύτητα ν πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Ο κύλινδρος κυλά χωρίς να ολισθαίνει. Βρείτε την ολική κινητική ενέργεια τού κυλίνδρου ως προς ένα σύστημα αναφοράς ακίνητο στην οριζόντια επιφάνεια. 6 . Τα κέντρα μάζας ενός στερεού κυλίνδρου και μιας στερεάς σφαίρας που το καθένα έχει μάζα Μ και ακτίνα R κινούνται με ταχύτητα ν σε σχέση με το έδαφος. Βρείτε τσν λόγο τών ολικών κινητικών ενεργειών τους.

Β = 2i + 2J, (b) A = 3/ - j και B = 4k, (c) A = 3j + * και B = - 2/. To διάνυσμα A έχει κατεύθυνση κατά τον αρνητικό άξονα y και το διάνυσμα Β κατά τον αρνητικό άξονα χ. Ποιες είναι οι κατευθύνσεις τών (a) A x Β και (b) Β X A; 10. Ενα σώμα βρίσκεται στο σημείο που έχει διάνυσμα θέσης r = (i + 3J) m και η δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι F = (3/ + 2J) Ν. Ποια είναι η ροπή ως προς (a) την αρχή τών συντεταγμένων και (b) το σημείο που έχει συντεταγμένες (0 ,6) m; 11. Αν \Α X Β| = A · Β, ποιά είναι η γωνία μεταξύ τών A και Β; 12. Επαληθεύσετε την Εξίσωση 11.14 για το διανυσματικό γινόμενο δύο οποιωνδήποτε διανυσμάτων Α και Β και αποδείξτε ότι το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να γραφεί σε μορφή ορίζουσας ως ακολούθως: 9.

* i k Α Χ Β = Αχ Ay Αζ Βζ By Βζ 13. Δύο δυνάμεις Ft και F2 δρουν κατά μήκος τών δύο πλευρών ενός ισόπλευρου τριγώνου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.23. Βρείτε μια τρίτη δύναμη F3 που πρέπει να ασκηθεί στο Β και κατά μήκος τής BC τέτοια ώστε να κάνει τη συνισταμένη ροπή ως προς το σημείο τομής τών υψών μηδενική. Η συνισταμένη ροπή θα μεταβληθεί αν η F3 ασκηθεί όχι στο Β, αλλά σε ένα άλλο τυχαίο σημείο κατά μήκος τής BC;

Υποκεφάλαιο 11.2 Το διαννσματικό γινόμενο και η ροπή 7. Δύο διανύσματα είναι A = - 3/ + 4J και B = 2i+ 3j. Βρείτε (a) το A x Β και (b) τη γωνία μεταξύ τών A και Β. 8 . Βρείτε το A x Β για τα διανύσματα (a) A = 3J και

Σχήμα 11.23 (Πρόβλημα 13).

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

|14. Ένα σώμα βρίσκεται σε ένα σημείο με διάνυσμα θέσης r = (4i + 6J) m και η δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι F = (3i + 2J) Ν. (a) Ποια είναι η ροπή που ενεργεί στο σώμα ως προς την αρχή τών συντεταγμέ­ νων; (b) Προσδιορίστε ένα σημείο στον άξονα y ως προς το οποίο η ροπή θα έχει αντίθετη κατεύθυνση από την (a) και μέτρο το μισό.

19.

Υποκεφάλαιο 11.3 Στροφορμή ενός σώματος [351. Μια ελαφρά άκαμπτη ράβδος μήκους 1 m περιστρέ­ φεται στο επίπεδο xy γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από το μέσο τής ράβδου. Δύο σώματα μαζών 4 kg και 3 kg συνδέονται στα άκρα της (6 λ. Σχήμα 11.24). Προσδιορίστε τη στροφορμή τού συ­ στήματος ως προς την αρχή τών συντεταγμένων κατά τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα καθενός σώματος είναι 5 m/s.

20 .

21.

|22.

Σ χήμα 11.24 (Πρόβλημα 15).

16. Ένα σώμα μάζας 0.3 kg κινείται στο επίπεδο xy. Τη στιγμή που οι συντεταγμένες του είναι (2, 4) m, η ταχύτητά του είναι (3/ + 21) m/s. Αυτή τη στιγμή, προσδιορίστε τη στροφορμή τού σώματος ως προς την αρχή τών συντεταγμένων. 17. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας 2 kg σε συνάρτηση με τον χρόνο είναι r = (6/ + 5tJ) m. Προσδιορίστε τη στροφορμή τού σώματος ως συνάρ­ τηση τού χρόνου. 18. Δύο σφαίρες κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής (βλ. Σχήμα 11.25).

|23.

287

Η σφαίρα μάζας m κινείται προς τα δεξιά με μέτρο ταχύτητας υ, ενώ η σφαίρα μάζας 3 m κινείται προς τα αριστερά με μέτρο ταχύτητας ν. Ποια είναι η ολική στροφορμή τού συστήματος ως προς (a) το σημείο A , (b) το σημείο Ο και (c) το σημείο Β; Ένα σώμα μάζας m κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα υ = vj κατά μήκος τού θετικού άξονα y. Προσδιορίστε τη στροφορμή τού σώματος (μέτρο και κατεύθυνση) ως προς (a) το σημείο που έχει συντεταγμένες ( - d, 0)· (b) το σημείο που έχει συντεταγμένες (2d, 0) και (c) την αρχή τών συντεταγ­ μένων. Ένα αεροπλάνο μάζας 1 2 000 kg πετά παράλληλα προς το έδαφος σε ύψος 10 km με σταθερή ταχύτητα 175 m/s σε σχέση με τη Γη. (a) Ποιο είναι το μέτρο τής στροφορμής τού αεροπλάνου ως προς έναν παρατη­ ρητή που βρίσκεται στο έδαφος ακριβώς κάτω από το αεροπλάνο; (b) Αυτή η τιμή μεταβάλλεται καθώς το αεροπλάνο εξακολουθεί να κινείται ευθύγραμμα; (a) Υπολογίστε τη στροφορμή τής Γης που οφείλεται στην περιστροφή της γύρω από τον άξονά της. (b) Υπολογίστε τη στροφορμή τής Γης που οφείλεται στην περιφορά της γύρω από τον 'Ηλιο και συγκρίνε­ τε την τιμή αυτή με την (a) . (Η απόσταση Γης - Ηλιου ισούται με 1.49 x 1011 m). Μια μάζα 4 kg είναι δεμένη σε ένα ελαφρό νήμα που είναι τυλιγμένο γύρω από μια τροχαλία (βλ. Σχήμα 10.18). Η τροχαλία είναι ένας ομογενής στερεός κύλινδρος ακτίνας 8 cm και μάζας 2 kg. (a) Ποια είναι η συνισταμένη ροπή τού συστήματος ως προς το σημείο Ο; (b) Όταν η μάζα τών 4 kg έχει ταχύτητα υ, η τροχαλία έχει γωνιακή ταχύτητα ω = vIR. Προσ­ διορίστε τη συνισταμένη στροφορμή τού συστήματος ως προς το Ο. (c) Με δεδομένα ότι τ = dUdt και το αποτέλεσμά σας από το (b), υπολογίστε την επιτά­ χυνση τής μάζας τών 4 kg. Ένα σώμα μάζας m εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα Vq που κάνει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.26. Το σώμα κινείται στο βαρυτικό πεδίο τής Γης. Βρείτε τη στροφορμή τού σώματος ως προς την αρχή τών συντεταγμένων όταν το σώμα βρίσκεται: (a) στην αρχή τών συντεταγμέ­ νων, (b) στο ψηλότερο σημείο τής τροχιάς του και (c) στο σημείο ακριβώς προτού προσκρούσει στο έδα­ φος. (d) Ποια ροπή προκαλεί μεταβολές τής στρο­ φορμής του;

Σ χήμα 11.26 (Πρόβλημα 23)

Υποκεφάλαιο 11.4 Περιστροφή ενός στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα 24.

Ένας ομογενής στερεός δίσκος μάζας 3 kg και ακτίνας 0 .2 m περιστρέφεται γύρω από έναν ακίνητο

288

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

άξονα κάθετο στην επιφάνειά του. Αν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι 6 rad/s, υπολογίστε τη στροφορμή τού δίσκου όταν ο άξονας περιστροφής: (a) διέρχεται από το κέντρο μάζας του και (b) διέρχεται από το μέσο μιας ακτίνας. 25. Ενα σώμα μάζας 0.4 kg είναι δεμένο στο άκρο ενός ξύλινου χάρακα μήκους 100 cm και μάζας 0.1 kg. Ο χάρακας περιστρέφεται πάνω σε ένα οριζόντιο λείο τραπέζι με γωνιακή ταχύτητα 4 rad/s. Υπολογίστε τη στροφορμή τού συστήματος αν ο χάρακας είναι στερεωμένος γύρω από έναν άξονα (a) που είναι κάθετος στο τραπέζι και διέρχεται από το σημείο με ένδειξη 50 cm- και (b) που είναι κάθετος στο τραπέζι και διέρχεται από το σημείο με ένδειξη 0 cm. 26. Δύο μάζες Μ και τη που συνδέονται με μια άκαμπτη ράβδο αμελητέας μάζας βρίσκονται πάνω σε μια οριζόντια λεία επιφάνεια. Πού πρέπει να ασκηθεί μια δύναμη κάθετη στη ράβδο έτσι ώστε οι μάζες να μην περιστραφούν γύρω από το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη; Υποκεφάλαιο 11.5 Διατήρηση της στροφορμής 27. 'Ενας κύλινδρος με ροπή αδράνειας Ιχ περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0 γύρω από έναν κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβή. Ένας δεύτερος κύλινδρος, με ροπή αδράνειας / 2 που αρχικά δεν περιστρέφεται πέφτει πάνω στον πρώτο κύλινδρο (6 λ. Σχήμα 11.27). Επειδή οι επιφάνειες είναι τραχιές, οι δύο κύλινδροι αποκτούν τελικά την ίδια γωνιακή ταχύτηα ω. (a) Υπολογίστε την ω. (b) Αποδείξτε ότι στην περίπτωση αυτή υπάρχει απώλεια ενέργειας και υπολογίστε τον λόγο τής τελικής προς την αρχική κινητική ενέργεια.

Ι·

του. Κάποια στιγμή η γυναίκα αρχίζει να βαδίζει γύρω στην περιφέρεια με φορά σύμφωνη με τους δείκτες τού ρολογιού (κοιτάζοντας προς τα κάτω) και με σταθερή ταχύτητα 1.5 m/s ως προς τη Γη. (a) Κατά ποια φορά και με ποια γωνιακή ταχύτητα περιστρέ­ φεται το τραπέζι; (b) Πόσο έργο παράγει η γυναίκα για να θέσει σε κίνηση το σύστημα; |30. Μια ομογενής ράβδος μάζας 100 g και μήκους 50 cm περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από έναν ακίνητο κατακόρυφο άξονα χωρίς τριβή που διέρχε­ ται από το μέσον της. Δυό μικρές χάντρες μάζας 30 g η καθεμιά είναι τοποθετημένες στη ράβδο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να ολισθαίνουν χωρίς τριβή κατά μήκος της. Αρχικά οι χάντρες συγκροτού­ νται με ασφάλειες σε θέσεις που απέχουν 10 cm από το μέσον, η μια δεξιά και η άλλη αριστερά του. Το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 20 rad/s. Ξαφνικά, οι ασφάλειες σπάνε και οι χάντρες ολισθαίνουν προς τα έξω κατά μήκος τής ράβδου. Βρείτε (a) τη γωνιακή ταχύτητα τού συστήματος τη στιγμή κατά την οποία οι χάντρες φτάνουν στα άκρα τής ράβδου και (b) τη γωνιακή ταχύτητα τής ράβδου όταν οι χάντρες φύγουν από τα άκρα τής ράβδου. |31. Ο σπουδαστής τού Σχήματος 11.17 κρατά δύο βάρη, που το καθένα έχει μάζα 10 kg. 'Οταν τα χέρια είναι σε έκταση οριζόντια, τα βάρη απέχουν 1 m από τον άξονα περιστροφής και το σύστημα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 2 rad/s. Η ροπή αδράνειας τού σπουδαστή συν το κάθισμα είναι 8 kg · m2 και θεωρείται σταθερή. Αν ο σπουδαστής συμπτύξει τα χέρια του οριζόντια, έτσι ώστε, τα βάρη να απέχουν 0.25 m από τον άξονα περιστροφής, υπολογίστε (a) την τελική γωνιακή ταχύτητα τού συστήματος και (b) τη μεταβολή τής μηχανικής ενέργειας τού συστή­ ματος. 32. Ένα σώμα μάζας τη = 10 g και ταχύτητας υ0 = 5 m/s συγκρούεται και κολλά στην εξωτερική επιφάνεια μιας ομογενούς στερεάς σφαίρας μάζας Μ = 1 kg και ακτίνας R = 20 cm (βλ. Σχήμα 11.28). Αν η σφαίρα είναι αρχικά ακίνητη και είναι στερεωμένη σε έναν άξονα χωρίς τριβή που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο τής σελίδας τού βιβλίου (a) βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα τού συστήματος μετά από την κρούση και (b) προσδιορίστε πόση ενέργεια χάθηκε κατά την κρούση.

Πριν

τη Σχήμα 11.27 (Πρόβλημα 27).

28. Ένας ομογενής στερεός κύλινδρος μάζας 2 kg και ακτίνας 25 cm περιστρέφεται γύρω από έναν κατακό­ ρυφο ακίνητο άξονα χωρίς τριβή με γωνιακή ταχύτη­ τα 10 rad/s. Ένα κομμάτι στόκος μάζας 0.5 kg πέφτει κατακόρυφα πάνω στον κύλινδρο σε ένα σημείο 15 cm μακριά από τον άξονα. Αν ο στόκος κολλήσει στον κύλινδρο, υπολογίστε την τελική γωνιακή ταχύ­ τητα τού συστήματος. (Υποθέστε ότι το κομμάτι τού στόκου είναι σημειακή μάζα). 29. Μια γυναίκα μάζας 60 kg στέκεται στην περιφέρεια ενός στρογγυλού οριζόντιου τραπεζιού που έχει ροπή αδράνειας 500 kg · m2 και ακτίνα 2 m. Το σύστημα αρχικά είναι ακίνητο και το στρογγυλό τραπέζι είναι ελεύθερο να περιστρέφεται γύρω από έναν κατακό­ ρυφο άξονα χωρίς τριβή που διέρχεται από το κέντρο

Σχήμα 11.28 (Πρόβλημα 32)

|33. Ένα ξύλινο σώμα μάζας Μ βρίσκεται πάνω σε μια λεία οριζόντια επιφάνεια και είναι προσαρμοσμένο σε μια άκαμπτη ράβδο μήκους /’και αμελητέας μάζας (βλ. Σχήμα 11.29). Η ράβδος είναι στερεωμένη σταθερά στο άλλο άκρο. Μια σφαίρα όπλου μάζας τη που κινείται παράλληλα προς την οριζόντια επιφά­ νεια και κάθετα προς τη ράβδο με ταχύτητα υ χτυπάει το ξύλινο σώμα και ενσωματώνεται σε αυτό.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

(a) Ποια είναι η στροφορμή τού συστήματος σφαίρα σώμα; (b) Ποιο κλάσμα τής αρχικής κινητικής ε­ νέργειας χάθηκε κατά την κρούση;

Σ χήμα 11.29 (Προβλήματα 33 και 34).

|34. Θεωρήστε το προηγούμενο πρόβλημα με I = 2 m, Μ = 2 kg, m = 10 g και υ = 200 m/s. Σε αυτή την περίπτωση η σφαίρα διαπερνά το σώμα και εξέρχεται με ταχύτητα ν = 25 m/s παράλληλα προς την επι­ φάνεια. (a) Προσδιορίστε τη στροφορμή τού σώ­ ματος ακριβώς τη στιγμή που η σφαίρα εξέρχεται από το σώμα, (b) Προσδιορίστε την κινητική ενέρ­ γεια που χάθηκε σε αυτήν την κρούση. Παραλείψετε τον χρόνο που πέρασε όταν η σφαίρα διαπερνούσε το σώμα. * Υποκεφάλαιο 11.7 Η θεμελιώδης σημασία τής στροφορμής.

289

οφείλεται στην ετήσια κίνησή της γύρω από τον 'Ηλιο, (b) Υπολογίστε την κινητική ενέργεια περι­ στροφής τής Γης που οφείλεται στην ημερήσια περι­ στροφή της γύρω από τον άξονά της. (c) Υπολογίστε τον λογο ^τροχιακτ/^περιστροφής38. Ένα λεπτό ομογενές τραπέζι έχει κυλινδρικό σχήμα και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας του χωρίς τριβή. Η ακτίνα τού τραπεζιού είναι ίση με 2 m, η μάζα του 30 kg. Το τραπέζι αρχικά περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο, με αρχική γω­ νιακή ταχύτητα 4π rad/s. Σε μια στιγμή, ένα μικρό κομμάτι πηλού μάζας 0.25 kg πέφτει πάνω στο τραπέζι και κολλά σε ένα σημείο που απέχει 1.8 m από το κέντρο περιστροφής, (a) Βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα τού πηλού και τού τραπεζιού (θεωρήστε το κομμάτι τού πηλού ως σημειακή μάζα), (b) Διατηρείται η μηχανική ενέργεια σε αυτή την κρούση; Εξηγήστε και χρησιμοποιήστε αριθμητικά αποτελέσματα για να επαληθεύσετε την απάντησή σας. 139. Ένας σπάγγος είναι τυλιγμένος γύρω από έναν ομογενή δίσκο ακτίνας R και μάζας Μ. Ο δίσκος αφήνεται ελεύθερος ενώ ακινητούσε με τον σπάγγο κατακόρυφο και το ένα άκρο του δεμένο σε ένα σταθερό υποστήριγμα (βλ. Σχήμα 11.31). Καθώς ο δίσκος κατέρχεται, αποδείξτε ότι: (a) η τάση τού σπάγγου είναι το ένα τρίτο τού βάρους τού δίσκου· (b) η επιτάχυνση τού κέντρου μάζας είναι 2 g/3· και (c) η ταχύτητα τού κέντρου μάζας είναι (4gh/3)m . Επαληθεύσετε την απάντησή σας στο (c) χρησιμο­ ποιώντας ενεργειακή μέθοδο.

35. Κατά τη θεωρία τού Bohr για το άτομο τού υδρογό­ νου, το ηλεκτρόνιο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτί­ νας 0.529 X ΙΟ-1 0 m γύρω από το πρωτόνιο. Εάν υποτεθεί ότι η τροχιακή στροφορμή τού ηλεκτρονίου είναι ίση με Λ, υπολογίστε (a) την τροχιακή ταχύτητα τού ηλεκτρονίου, (b) την κινητική ενέργεια τού ηλεκτρονίου και (c) τη γωνιακή συχνότητα τής κίνησης τού ηλεκτρονίου. ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ 36. Μια ομογενής στερεά σφαίρα ακτίνας r τοποθετείται στην εσωτερική επιφάνεια ενός ημισφαιρικού κυπέλ­ λου ακτίνας R. Η σφαίρα αφήνεται, ενώ ήταν ακίνητη από μια θέση που σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο και κυλά χωρίς να ολισθαίνει (βλ. Σχήμα 11.30). Προσδιορίστε τη γωνιακή ταχύτητα τής σφαίρας όταν φτάνει στο χαμηλότερο σημείο τού κυπέλλου.

Σχήμα 11.31 (Πρόβλημα 39).

|40. Μια σταθερή οριζόντια δύναμη F ασκείται σε μια μηχανή κουρέματος χόρτου που έχει σχήμα ενός ομογενούς στερεού κυλίνδρου ακτίνας R και μάζας Μ (βλ. Σχήμα 11.32). Αν ο κύλινδρος κυλά χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια, απο­ δείξτε ότι: (a) η επιτάχυνση τού κέντρου μάζας είναι 2F/3M και (b) ο ελάχιστος συντελεστής τριβής που είναι απαραίτητος για να αποτρέψει την ολίσθηση είναι F/3Mg. (Υπόδειξη: πάρετε τη ροπή ως προς το κέντρο μάζας).

Σ χήμα 11.30 (Πρόβλημα 36).

37. (a) Υπολογίστε την κινητική ενέργεια τής Γης που

Σχήμα 11.32 (Πρόβλημα 40).

290

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

41. Ενα ελαφρό σχοινί περνάει από μια ελαφριά τροχα­ λία χωρίς τριβή. Στο ένα άκρο τού σχοινιού είναι δεμένο ένα τσαμπί με μπανάνες μάζας Μ και στο άλλο άκρο τού σχοινιού είναι γατζωμένος ένας πίθηκος μάζας Μ. (βλ. Σχήμα 11.33). Ο πίθηκος αρχίζει να σκαρφαλώνει στο σχοινί προσπαθώντας να φτάσει τις μπανάνες, (a) Θεωρήστε το σύστημα που αποτελείται από τον πίθηκο, τις μπανάνες, το σχοινί και την τροχαλία. Υπολογίστε τη συνισταμένη ροπή ως προς τον άξονα τής τροχαλίας, (b) Χρησιμο­ ποιώντας τα αποτελέσματα τού (a) προσδιορίστε την ολική στροφορμή ως προς τον άξονα τής τροχαλίας και περιγράψτε την κίνηση τού συστήματος. Θα φτάσει ο πίθηκος τις μπανάνες;

μια σταθερή τάση τού νήματος ίση με 2 Ν. (a) ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση α τού κυλίνδρου; (b) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα ω τού κυλίνδρου μετά από 2 s αφότου ασκήθηκε η δύναμη, αν ο κύλινδρος ήταν αρχικά ακίνητος;

Σχήμα 11.35

Σχήμα 11.33 (Πρόβλημα 41).

|42. Μια μικρή στερεά σφαίρα μάζας m και ακτίνας r κυλά χωρίς να ολισθαίνει κατά μήκος τής τροχιάς που δείχνει το Σχήμα 11.34. Αν η σφαίρα ξεκινά ενώ ήταν ακίνητη στην κορυφή τής τροχιάς σε ύψος h, όπου το h είναι μεγάλο σε σύγκριση με το r: (a) ποια είναι η ελάχιστη τιμή τού h (σε συνάρτηση με την ακτίνα τής τροχιάς ανακύκλωσης R) έτσι ώστε η σφαίρα να συμπληρώσει την ανακύκλωση; (b) Ποιες είναι οι συνιστώσες τής δύναμης στη σφαίρα στο σημείο Ρ αν h = 3R\

Σχήμα 11.34 (Πρόβλημα 42).

|43. Ενα αβαρές νήμα είναι τυλιγμένο γύρω από έναν ομογενή στερεό κύλινδρο (βλ. Σχήμα 11.35) που έχει μάζα Μ = 15 kg και ακτίνα R = 6 cm. Ο κύλινδρος είναι ελεύθερος να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του χωρίς τριβή. Το ένα άκρο τού νήματος είναι δεμένο στον κύλινδρο και το ελεύθερο άκρο σύρεται εφαπτομενικά με μια δύναμη που διατηρεί

(Πρόβλημα 43).

|44. Θεωρήστε το πρόβλημα τής στερεάς σφαίρας που κυλά προς τα κάτω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, όπως περιγράφηκε στο Παράδειγμα 11.1. (a) Πάρετε ως άξονα για την εξίσωση τών ροπών τον στιγμιαίο άξονα που διέρχεται από το σημείο επαφής Ρ και αποδείξτε ότι η επιτάχυνση τού κέντρου μάζας είναι ac = ig sin θ (b) Αποδείξτε ότι ο ελάχιστος συντελε­ στής τριβής έτσι ώστε η σφαίρα να κυλά χωρίς να ολισθαίνει είναι μο,άχ = ftan θ. 45. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας 5 kg είναι r = (2?i + 3J) m, όπου το t είναι σε δευτερόλεπτα. Προσδιορίστε τη στροφορμή και τη ροπή που ενεργεί στο σώμα ως προς την αρχή τών συντεταγμένων. 46. Ένα σώμα μάζας m κείται σε σημείο με διάνυσμα θέσης r και έχει γραμμική ορμή ρ. (a) Αν τα r και ρ έχουν και τα δύο συνιστώσες x, y και ζ διαφορετικές από μηδέν, δείξτε ότι η στροφορμή τού σώματος ως προς την αρχή έχει συνιστώσες Lx = ypz - zpy, Ly = zpx —xpz και Lz = xpy —ypx. (b) Αν το σώμα κινεί­ ται μόνο στο επίπεδο xy, αποδείξτε ότι Lx = Ly = 0 και Lz Φ 0. 47. Μια δύναμη F δρα στο σώμα που περιγράφηκε στο Πρόβλημα 46. (a) Βρείτε τις συνιστώσες τής ροπής που ενεργεί στο σώμα ως προς την αρχή τών συντεταγμένων όταν το σώμα κείται στη θέση r και η δύναμη έχει τρεις συνιστώσες, (b) Από το αποτέλε­ σμα αυτό, αποδείξτε ότι αν το σώμα κινείται στο επίπεδο xy και η δύναμη έχει μόνο συνιστώσες χ και y, η ροπή (και η στροφορμή) πρέπει να έχουν διεύθυνση στον άξονα ζ. |48. Έχει προταθεί για την αύξηση τής ισχύος ενός επιβατικού λεωφορείου η χρήση ενός συμπαγούς περιστρεφόμενου σφονδύλου, ο οποίος περιοδικά στρέφεται με τη μέγιστη ταχύτητά του (3 500 στρο­ φές/min) με τη βοήθεια ενός ηλεκτρικού κινητήρα. Ο σφόνδυλος έχει μάζα 1 200 kg, διάμετρο 1.8 m και το σχήμα του είναι ίδιο με έναν συμπαγή κύλινδρο. (Αυτό δεν είναι αποδοτικό σχήμα για έναν σφόνδυλο προορισμένο να αυξάνει την ισχύ ενός αυτοκινήτου: Μπορείτε να πείτε γιατί;) (a) Ποια είναι η μέγιστη ποσότητα κινητικής ενέργειας που μπορεί να αποθηκευθεί στον σφόνδυλο; (b) Αν το λεωφορείο χρειάζε-

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ται μια μέση ισχύ 30 hp, πόσο χρόνο θα πρέπει να περιστρέφεται ο σφόνδυλος; |49. Μια μάζα m είναι δεμένη σε έναν σπάγγο που περνάει μέσα από μια μικρή τρύπα και βρίσκεται πάνω σε οριζόντια λεία επιφάνεια (βλ. Σχήμα 11.36). Η μάζα αρχικά περιστρέφεται σε έναν κύκλο ακτίνας r0 με ταχύτητα ν0. Ο σπάγγος αρχίζει να τραβιέται αργά από κάτω ελαττώνοντας την ακτίνα τού κύκλου σε τ. (a) Ποια είναι η ταχύτητα τής μάζας όταν η ακτίνα είναι r; (b) Βρείτε την τάση τού σπάγγου ως συνάρτηση τού r. (c) Πόσο έργο έχει παραχθεί κατά την κίνηση τής μάζας m από την ακτίνα r0 στην r; (Σημειώστε: η τάση εξαρτάται από το r). (d) Βρείτε αριθμητικές τιμές για τα ν, Τ και W όταν r = 0.1 m, αν m = 50 g, r0 = 0.3 m και v0 = 1.5 m/s.

291

|52. (a) Μια λεπτή ράβδος μήκους h και μάζας Μ συγκροτείται κατακόρυφα προς τα επάνω ενώ το κάτω άκρο της ακουμπά πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια χωρίς τριβή. Μετά, η ράβδος αφήνεται να πέσει ελεύθερη. Προσδιορίστε την ταχύτητα τού κέντρου μάζας ακριβώς προτού χτυπήσει στην οριζό­ ντια επιφάνεια, (b) Υποθέστε ότι η ράβδος στηρίζε­ ται στο κάτω άκρο της. Προσδιορίστε την ταχύτητα τού κέντρου μάζας της ακριβώς προτού χτυπήσει στην επιφάνεια. |53. Ένας ομογενής στερεός δίσκος μάζας Μ περιστρέφε­ ται γύρω από έναν άξονα παράλληλο προς τον άξονα συμμετρίας του που διέρχεται από το κέντρο του, όπως στο Σχήμα 11.38. Αποδείξτε ότι η στροφορμή τού δίσκου είναι L = Ιμο + rc x Mvc

Σχήμα 11.36 (Πρόβλημα 49).

όπου /c είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, rc είναι το διάνυσμα από το Ο στο κέντρο μάζας και vc είναι η ταχύτητα τού κέντρου μάζας. Ο πρώτος όρος τού δεξιού μέλους αυτής τής έκφρασης ονομάζεται εσωτε­ ρική στροφορμή (spin) γιατί αναφέρεται στο μέρος εκείνο τής στροφορμής που σχετίζεται με την περι­ στροφή τού συστήματος ως προς το κέντρο μάζας. Ο δεύτερος όρος τού δεξιού μέλους συνήθως αναφέρεται ως τροχιακή στροφορμή. (Υπόδειξη: χρησιμο­ ποιήστε το θεώρημα τών παράλληλων αξόνων).

[50. Σε μια μπάλλα τού μπόουλινγκ στο έδαφος δίνεται μια αρχική ταχύτητα υ0 έτσι ώστε αυτή αρχικά να ολισθαίνει χωρίς να κυλά. Ο συντελεστής τριβής μεταξύ τής μπάλλας και τού εδάφους είναι μ. Αποδείξτε ότι στον χρόνο κατά τον οποίο συντελείται αμιγής κνληση (a) η ταχύτητα τού κέντρου μάζας τής μπάλλας είναι 5νοΠ και (b) η απόσταση που θα έχει διανύσει η μπάλλα είναι 12υ02/49 μξ. (Υπόδειξη: όταν αρχίσει αμιγής κύλιση, vc = Rw και a = aJR. Αφού η δύναμη τριβής προκαλεί την επιβράδυνση, από τον δεύτερο νόμο τού Newton συνεπάγεται ότι

fc = -

μ « )·

|51. Ένα τροχόσπιτο συνολικού βάρους W σύρεται από ένα αυτοκίνητο με μια δύναμη F, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.37. Το τροχόσπιτο είναι φορτωμένο έτσι ώστε το κέντρο βάρους του να βρίσκεται στη θέση που δείχνει το σχήμα. Αγνοείστε τη τριβή κυλίσεως και υποθέστε ότι το τροχόσπιτο έχει επιτάχυνση α. (a) Βρείτε την κατακόρυφη συνιστώσα τής F σε συνάρτηση με τις δεδομένες παραμέτρους, (b) Αν a = 2 m/s2 και h = 1.5 m, ποια πρέπει να είναι η τιμή τής απόσταση d έτσι ώστε Fy = 0 (δεν υπάρχει κατακόρυφο φορτίο στο αυτοκίνητο), (c) Βρείτε τις τιμές τών Fx και Fy, δεδομένου ότι W = 1500 Ν, d = 0.8 m,L = 3 m, h = 1.5 m και a = — 2 m/s2.

Σ χήμα 11.38 (Πρόβλημα 53).

|54. Ένας συμπαγής ξύλινος κύβος πλευράς Ια και μάζας Μ βρίσκεται πάνω σε μια οριζόντια επιφάνεια. Ο κύβος είναι στερεωμένος έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από την ακμή ΑΒ (βλ. Σχήμα 11.39). Μια σφαίρα

A

Σχήμα 11.37 (Πρόβλημα 51).

Σχήμα 11.39 (Πρόβλημα 54).

292

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΚΥΛΙΣΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ

μάζας m και ταχύτητας υ εκτοξεύεται εναντίον τής έδρας που είναι απέναντι τής ABCD σε ύψος 4α/3. Η σφαίρα ενσωματώνεται στον ξύλινο κύβο. Βρείτε την ελάχιστη ταχύτητα τής υ που απαιτείται για να ανατρέψει τον κύβο και να πέσει στην έδρα τού ABCD. Υποθέστε ότι my i), (* 3 >γ 3)···, αντίστοιχα. Στο Κεφάλαιο 9 ορίσαμε τη συντεταγμένη χ τού κέντρου μάζας ενός τέτοιου αντικειμένου, ως

c

_ ηχΧχ + m 2x2 + m 3x3 + · · · _ Στη{χ{ mi + m2+ m3+ · · · Στη,

12.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

297

y Η συντεταγμένη y τού κέντρου μάζας ορίζεται παρόμοια, εάν αντικαταστή­ σουμε το Xi με το yt. Ας εξετάσουμε τώρα την κατάσταση από διαφορετική σκοπιά, θεωρώντας το βάρος κάθε μέρους τού αντικειμένου, όπω ς στο Σχήμα 12.8. Κάθε μέρος τού αντικειμένου συνεισφέρει ροπή ως προς την αρχή τών συντεταγμένων, ροπή που ισούται με το γινόμενο τού βάρους τού μέρους επί τον μοχλοβραχίονά του. Λογουχάρη, η ροπή που προκαλεί το βάρος m jgi τού μέρους μάζας m ι είναι m 1g1x 1, κ.λπ. Θέλουμε να βρούμε το σημείο στο οποίο, εάν εφαρμόσουμε μία μόνο δύναμη W (που ισούται με το ολικό βάρος τού αντικειμένου), το αποτέλεσμα στην περιστροφή τού αντικειμένου θα είναι το ίδιο σαν να έχουμε τα βάρη καθενός μέρους χωριστά. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο βάρους τού αντικειμένου. Έ τσ ι, εξισώνουμε τη ροπή την οποία προκαλεί το W που δρα πάνω στο κέντρο βάρους με το άθροισμα τών ροπών τών ξεχωριστών μερών: (m igi + m 2g 2 + m 3g3 + ■ ■ ■)χκ 6= π ι & χ 1 + τη2g2x2 + τ η ^ 3χ3 + · · · Στην εξίσωση αυτή υποθέσαμε ότι είναι δυνατόν η επιτάχυνση τής βαρύτητας να μεταβάλλεται πάνω στον χώρο τον οποίο καταλαμβάνει το αντικείμενο. Εάν θεωρήσουμε ότι η επιτάχυνση τής βαρύτητας είναι σταθερή (όπως συμβαίνει συνήθως), τότε το g απαλείφεται και έχουμε ^ τη·ιΧι + τη2χ2 + τη3χ3 + Χχ·6·

τη1+τη2+ηι3+■■·

(12 5)

Με άλλα λόγια, το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο μάζας εφόσον το

αντικείμενο βρίσκεται σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Στα παραδείγματα τού επόμενου υποκεφαλαίου θα ασχοληθούμε με ομογενή συμμετρικά αντικείμενα στα ο ποία το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας τού αντικειμένου. Έ ν α στερεό σώμα που βρίσκεται μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο μπορεί να ισορροπήσει εάν εφαρμόσουμε στο κέντρο βάρους του δύναμη ίση και αντίθετη προς το βάρος του. 12.3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

Στο υποκεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ορισμένα παραδείγματα στερεών αντικειμένων που ισορροπούν στατικά. Για να λύσουμε τα προβλήματα αυτά πρέπει πρώτα από όλα να βρούμε όλες τις εξωτερικές δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στο αντικείμενο. Εάν δεν το κάνουμε αυτό σωστά, η ανάλυσή μας θα αποτύχει. Προτείνουμε να ακολουθήσετε την ακόλουθη διαδικασία όταν λύνετε προβλήματα στατικής ισορροπίας αντικειμένων επάνω στα οποία δρουν πολλές εξωτερικές δυνάμεις. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ: ΕΕΟΡΡΟΠΟΥΝΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙ­ ΜΕΝΑ 1. Σχεδιάστε το αντικείμενο που μελετάτε. 2. Σχεδιάστε το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος και αριθμίστε άλες τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν πάνω στο σώμα. Προσπαθήστε να μαντέψετε τη σωστή κατεύθυνση καθεμιάς δύναμης. Εάν επιλέξατε κατεύθυνση δύναμης τέτοια ώστε να βρείτε αρνητικό πρόσημο τής δύναμης όταν λύσετε την εξίσωση, μην ανησυχείτε. Απλώς επιλέξατε αρχικά την αντίθετη κατεύθυνση τής δύναμης από την πραγματική. 3. Αναλύστε όλες τις δυνάμεις σε ορθογώνιες συνιστώσες, σε ένα βολικό σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Κατόπιν εφαρμόστε την πρώτη συνθή­ κη ισορροπίας, που εξισορροπεί τις δυνάμεις. Μην παραλείψετε να βάλετε πρόσημα στις διάφορες συνιστώσες τών δυνάμεων. 4. Επιλέξτε ένα σημείο που να σας διευκολύνει στον υπολογισμό τής ολικής ροπής η οποία δρα πάνω στο αντικείμενο. Μη λησμονείτε ότι η επιλογή τού σημείου ως προς το οποίο υπολογίζετε τις ροπές είναι εντελώς αυθαίρετη. Επιλέξτε λοιπόν το σημείο που απλουστεύει τους υπολογισμούς σας. Πρέπει

Σχήμα 12.8 Το κέντρο βάρους ενός σώματος συμπίπτει με το κέντρο μάζας του εάν το g είναι σταθερό στον χώρο που καταλαμβάνει το σώμα.

298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

5.

να συνηθίσετε να χάνετε τους υπολογισμούς σας κατά τον απλούστερο δυνατά τρόπο. Εφαρμόστε τώρα τη δεύτερη συνθήκη ισορροπίας. Η εφαρμογή τών δύο συνθηκών σάς δίνει ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Λύστε το ως προς τους αγνώστους.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.1 Η τραμπάλα Μια τραμπάλα αποτελείται από μια ομογενή σανίδα βάρους 40 Ν. Επάνω της κάθονται δύο παιδιά βάρους 500 Ν και 350 Ν, αντίστοιχα, όπως βλέπετε στο Σχήμα 12.9. Εάν το σημείο υποστήριξης (που λέγεται και υπομόχλιο) συμπίπτει με το κέντρο βάρους της σανίδας και εάν το παιδί που έχει βάρος 500 Ν κάθεται σε απόσταση 1.5 m από το υπομόχλιο: (a) Υπολογίστε την προς τα επάνω δύναμη Ν που ασκεί στη σανίδα ο σκελετός τής τραμπάλας. Λύση Πρώτα από όλα πρέπει να σημειωθεί ότι, εκτός από την Ν, οι υπόλοιπες εξωτερικές δυνάμεις που δρουν πάνω στη σανίδα είναι τα βάρη τών δύο παιδιών και τής σανίδας· όλα κατευθύνσνται προς τα κάτω. Εφόσον η σανίδα είναι ομογενής (έχει δηλαδή την ίδια πυκνότη­ τα), το κέντρο βάρους της συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο της. Και αφού το σύστημα ισορροπεί, η μόνη προς τα επάνω δύναμη Ν εξισορροπεί όλες τις προς τα κάτω δυνάμεις, που είναι τα βάρη. Δηλαδή ~LFy = 0. Έτσι Ν —500 Ν —350 Ν —40 Ν = 0

ή

Ν=

'Ασκηση 1 Εάν το υπομόχλιο δεν συνέπιπτε με το κέντρο βάρους τής σανίδας, ποια πρόσθετη πληροφορία θα ήταν απαραίτητη για να λύσετε το πρόβλημα; ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.2 Ένα βαρύ χέρι Κάποιος κρατά στο χέρι του ένα βάρος 50 Ν, με τον αντιβραχίονα σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 12.10a. Ο μυς τού βραχίονα προσφύεται στον αντιβραχίονα σε απόσταση 3 cm από τον αγκώνα. Το βάρος απέχει 35 cm από τον αγκώνα. Βρείτε την προς τα επάνω δύναμη που ασκεί ο μυς τού βραχίονα στον αντιβραχίονα και την προς τα κάτω δύναμη που δρα πάνω στον βραχίονα, στον αγκώνα. Αγνοήστε το βάρος τού αντιβραχίονα. Λύση Οι δυνάμεις που δρουν πάνω στον αντιβραχίονα είναι σαν να δρούσαν πάνω σε ράβδο μήκους 35 cm,

890 Ν

Είναι προφανές ότι υπάρχει και η Εξίσωση ΣΕ, = 0, αλλά δεν τήν χρησιμοποιούμε διότι δεν υπάρχουν συνιστώσες παράλληλες στον άξονα χ. (b) Προσδιορίστε το σημείο στο οποίο πρέπει να καθήσει το παιδί που έχει 350 Ν ώστε το σύστημα να ισορροπήσει. Λύση Για να βρούμε το σημείο αυτό πρέπει να χρησιμο­ ποιήσουμε την δεύτερη συνθήκη ισορροπίας. Χρησιμο­ ποιούμε το κέντρο βάρους ως σημείο γύρω από το οποίο υπολογίζουμε τις εξωτερικές ροπές και αντικαθιστούμε στην Σγ = 0 (500 Ν)(1.5 m) - (350 Ν)(*) = 0 ι=

2.14 m

Σχήμα 12.10 (Παράδειγμα 12.2) (a) Ο μυς τού βραχίονα έλκει τον αντιβραχίονα σχηματίζοντας γωνία 90 μοιρών, (b) Το μηχανικό ανάλογο τού ανατομικού παραδείγματος τού (a).

12.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΕΡΕΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 299

όπως μπορείτε να δείτε στο Σχήμα 12.10b, όπου F είναι η προς τα επάνω δύναμη τού μυός τού βραχίονα και R είναι η προς τα κάτω δύναμη που δρα στον αγκώνα. Από την πρώτη συνθήκη ισορροπίας έχουμε (1)

XF, = F - R - 5 0 N = 0

Από τη δεύτερη συνθήκη ισορροπίας γνωρίζουμε ότι το άθροισμα τών ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο πρέπει να είναι μηδενικό. Υπολογίζουμε τις ροπές ως προς τον αγκώνα, που συμπίπτει με το αρχή Ο, και έχουμε Fd. - W€ = 0 F(3 cm) - (50 N)(35 cm) = 0 F=

583 N

Αντικαθιστούμε με την τιμή αυτή τής Fcm)v (1) και βρίσκουμε ότι η R = 533 Ν. Οι τιμές αυτές αντιστοιχούν στα βάρη μαζών 59 kg και 54 kg, αντίστοιχα. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι δυνάμεις στις αρθρώσεις και στους μυς μπορεί να είναι πολύ μεγάλες. Άσκηση 2 Στην πραγματικότητα, ο μυς τού βραχίονα σχηματίζει γωνία 15° με την κατακόρυφο. Έτσι η Fέχει και οριζόντια συνιστώσα. Υπολογίστε την F και τις συνιστώσες τής R. Απάντηση F = 604 Ν, Rx = 156 Ν, Ry = 533 Ν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.3 Βάρος σε οριζόντια δοκό Ομογενής δοκός μήκους 8 m και βάρους 200 Ν έχει αναρτηθεί σε έναν τοίχο με έναν οριζόντιο πείρο έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Το άλλο άκρο της έχει εξαρτηθεί από ένα συρματόσχοινο που σχηματίζει γωνία 53° με την οριζό­ ντιο (Σχήμα 12.11a). Ένας άνθρωπος που ζυγίζει 600 Ν στέκεται επάνω στη δοκό σε απόσταση 2 m από τον τοίχο. Βρείτε την τάση στο συρματόσχοινο και τη δύναμη που αοκεί ο τοίχος στη δοκό. Λύση Πρώτα πρέπει να ορίσουμε όλες τις εξωτερικές δυνάμεις που δρουν επάνω στη δοκό. Αυτές είναι το βάρος της, η τάση τού συρματόσχοινου Τ, η δύναμη R την οποία ασκεί ο τοίχος μέσω τού πείρου στο σημείο Ο (δεν γνωρίζουμε την κατεύθυνση τής R), και το βάρος τού ανθρώπου. Οι δυνάμεις αυτές απεικονίζονται στο διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος (Σχήμα 12.11b). Αναλύουμε τις R και Τ σε οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες. Εφαρμόζουμε την πρώτη συνθήκη ισορρο­ πίας και βρίσκουμε (1)

2 F I = R c o s 0 -T c o s 5 3 ° = O

(2)

Σ Ρν =

Rsin0+Tsin 53° -

Σχήμα 12.11 (Παράδειγμα 12.3) (a) Ομογενής δοκός που είναι αναρτημένη από συρματόσχοινο, (b) Το διάγραμμα απελευθε­ ρωμένου σώματος για τη δοκό.

(3)

Σ το = (Τ «η 53°)(8 m) - (600 Ν)(2 m) - (200 Ν)(4 m) = 0 Τ — 313 Ν

Έτσι λοιπόν, με την κατάλληλη επιλογή τού σημείου υπολογισμού τών ροπών υπολογίσαμε αμέσως έναν από τους αγνώστους τού προβλήματός μας. Αντικαθιστούμε στις (1 ) και (2 ) και έχουμε R cos θ — 188 Ν R sin θ = 550 Ν Διαιρώντας τις παίρνουμε

600 Ν - 200 Ν = 0

Έχουμε όμως τρεις αγνώστους: R, Τ και θ. Συνεπώς χρειαζόμαστε άλλη μία εξίσωση. Ας εφαρμόσουμε λοιπόν και τη δεύτερη συνθήκη ισορροπίας (περιστροφικής ισορροπίας). Θα υπολογί­ σουμε τις ροπές ως προς το σημείο Ο. Το σημείο αυτό είναι πολύ βολικό, διότι ο μοχλοβραχίονας τής R είναι μηδέν, καθώς και ο μοχλοβραχίονας τής οριζόντιας συνιστώσας τής τάσης Τ. Έτσι γράφουμε

550 Ν 188 Ν

tan θ=

2.93

71.1°

Τέλος, Π - 188 Ν cos θ

188 Ν cos 71.1°

581 Ν

Εάν είχαμε επιλέξει ένα άλλο σημείο για να υπολογί­ σουμε τις ροπές, θα είχαμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλε-

300

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

σμα. Απλώς η αριθμητική θα ήταν κάπως πιο πολύπλο­ κη. Λύστε το ίδιο πρόβλημα υπολογίζοντας τις ροπές ως προς το κέντρο βάρους τής δοκού. 'Οταν σε ένα πρόβλημα υπεισέρχονται πολλές εξω­ τερικές δυνάμεις, είναι εύκολο να μπερδευτείτε. Γι’ αυτό, καλό είναι να κρατάτε σωστά «λογιστικά βιβλία». Κάνετε λοιπόν έναν πίνακα στον οποίο θα περιέχονται όλες οι εξωτερικές δυνάμεις, οι αντίστοιχοι μοχλοβρα­ χίονες ως προς το ίδιο σημείο και οι αναλογούσες ροπές. Ο πίνακας που ακολουθεί αντιστοιχεί στο τελευταίο μας παράδειγμα. Εάν μάλιστα αθροίσετε την τελευταία στήλη, θα δείτε ότι έχετε την εξίσωση που προκύπτει από την εφαρμογή τής συνθήκης περιστροφι­ κής ισορροπίας. Συνιστώσα δύναμης

Μοχλοβραχίονας Ροπή ως προς το Ο (m) ως προς το Ο (Ν-m)

Τ sin 53° Τ cos 53° 200 Ν 600 Ν R sin θ R cos θ

8 0

4 2 0 0

8 Τ sin 0

53°

-4(200) -2(600) 0 0

%Fx = f - P = 0 £F„ = N - W = 0 Δεδομένου ότι W = 50 Ν, βλέπουμε από την τελευταία εξίσωση ότι W = Ν = 50 Ν. Γνωρίζουμε επίσης ότι όταν η σκάλα πρόκειται να γλιστρήσει, τότε η δύναμη τής στατικής τριβής έχει τη μέγιστη τιμή της, που ξέρουμε ότι είναι / mM = μΝ = 0.40 (50 Ν) = 20 Ν. Μην ξεχνάτε ότι /, s μΝ. Επομένως, για τη γωνία αυτή βρίσκουμε από την πρώτη εξίσωση ότι Ρ = 20 Ν. Για να βρούμε την τιμή τού θ πρέπει να εφαρμόσου­ με τη δεύτερη συνθήκη ισορροπίας. Υπολογίζουμε τις ροπές όλων τών δυνάμεων ως προς το κάτω σημείο τής σκάλας, το Ο, και έχουμε 2

Το = Ρέ sin θ —

tan 6L;„ 0min =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.4 Μια σκάλα που ακονμπά σε τοίχο Μία ομογενής σκάλα μήκους t και βάρους IV = 50 Ν ακουμπά πάνω σε έναν λείο κατακόρυφο τοίχο (Σχήμα 12.12a). Εάν ο συντελεστής στατικής τριβής ανάμεσα στη σκάλα και στο δάπεδο είναι μ = 0.40, βρείτε την ελάχιστη γωνία στήριξης, υπό την οποία η σκάλα δεν ολισθαίνει.

(a)

cos 0 =

0

Αλλά όταν η σκάλα πρόκειται να γλιστρήσει, ξέρουμε ότι Ρ = 20 Ν και W = 50 Ν. Θέτουμε την τιμή αυτή στην τελευταία εξίσωση και βρίσκουμε W 2Ρ

50 Ν 40 Ν

1.25

51.3*

Πρέπει να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτη­ το από το μήκος τής σκάλας. Ένας δεύτερος τρόπος λύσης τού προβλήματος είναι να λάβουμε υπ’ όψιν το σημείο τομής Ο "τών δυνάμεων Ρ και IV. Ξέρουμε ότι η ροπή ως προς οποιοδήποτε σημείο, επομένως και ως προς το θ ', πρέπει να είναι μηδενική. Για τον λόγο αυτό ο φορέας τής R (τής συνισταμένης τής Λίκαι τής /) πρέπει να διέρχεται από το θ '! Με άλλα λόγια, εφόσον έχουμε μόνον τρεις εξωτερικές δυνάμεις, αυτές πρέπει να είναι συντρέχουσες. Με τον όρο αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία φ, την οποία σχηματίζει η R με την οριζόντιο (όπου η φ είναι μεγαλύτερη από τη θ), εάν είναι γνωστό το μήκος τής σκάλας. Άσκηση 3 Αναφερόμενοι στο Σχεδιάγραμμα 12.12 να αποδείξετε ότι tan φ = 2 tan θ.

(b)

Σχήμα 12.12 (Παράδειγμα 12.4) (a) Μια ομογενής σκάλα ηρεμεί ακουμπώντας σε λείο τοίχο. Το δ άπεδο ε ίναι τραχύ, (b) Το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος τής σκάλας. Να σημειωθεί ότι οι δυνάμεις R , W και Ρ συντρέχουν στο σημείο

ο:

Λύση Στο Σχήμα 12.12b υπάρχει το διάγραμμα απελευ­ θερωμένου σώματος όπου φαίνονται όλες οι εξωτερικές δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω στην σκάλα. Η δύναμη τής αντίδρασης τού εδάφους, R, είναι το διανυσματικό άθροισμα τής κάθετης δύναμης Ν και τής δύναμης τριβής, f Η αντίδραση τού τοίχου είναι οριζόντια (δηλαδή κάθετη στον τοίχο), αφού ο τοίχος είναι λείος. Εφαρμόζουμε την πρώτη συνθήκη ισορροπίας και βρίσκουμε

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.5 Το ανέβασμα τού κυλίνδρου Ένας κύλινδρος βάρους W και ακτίνας R πρέπει να ανεβεί σε ένα σκαλοπάτι ύψους Α (Σχήμα 12.13). Τυλίγουμε ένα σχοινί γύρω από τον κύλινδρο και τό τραβάμε κατά οριζόντια διεύθυνση. Εάν υποτεθεί ότι ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει στο σκαλοπάτι, να βρείτε την ελάχιστη αναγκαία δύναμη F ώστε ο κύλινδρος να ανέβει στο σκαλοπάτι, καθώς και την αντίδραση στο σημείο Ρ. Λύση Μόλις ο κύλινδρος αρχίσει να σηκώνεται, η δύναμη αντίδρασης στο σημείο Q γίνεται μηδενική. Έτσι λοιπόν, τη στιγμή αυτή μόνον τρεις εξωτερικές δυνάμεις δρουν πάνω στον κύλινδρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 12.13b. Ας υπολογίσουμε τις ροπές ως προς το σημείο Ρ. Από το τρίγωνο με τις διακεκομμένες

12.4 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ

301

γραμμές τού Σχήματος 12.13a βρίσκουμε τον μοχλοβρα­ χίονα τού βάρους W ως προς το Ρ d = JRT-

(R - λ )2 = V2RA - ft2

Ο μοχλοβραχίονας τής F ως προς το Ρ είναι 2R — h. Επομένως, η συνολική ροπή που δρα στον κύλινδρο ως προς το Ρ είναι Wd - F(2R - h) = 0 WV2RA - h2 - F(2R - h) = 0 „

\W2RA - /i2

F

2 R —~h

Έτσι η δεύτερη συνθήκη ισορροπίας ήταν επαρκής ώστε να βρούμε το μέτρο τής F. Μπορούμε να υπολογί­ σουμε τις συνιστώσες τής Ν εάν εφαρμόσουμε την πρώτη συνθήκη ισορροπίας. Σ Ρ Χ= F —Ν cos 0 = 0 Σ Ρ ν = Ν sin 0 - W = 0 Διαιρούμε και έχουμε (1 )

tan

0

= ·—

λύνουμε ως προς Ν και βρίσκουμε (2)

Ν=

,/ψ * Τ Ί β

Έτσι λοιπόν, εάν W = 500 Ν, h = 0.3 m και R = 0.8 m, βρίσκουμε ότι F = 385 Ν, 0 = 52.4° και Ν = 631 Ν. Άσκηση 4 Λύστε το ίδιο πρόβλημα λαμβάνοντας υπ’ όψιν ότι υπάρχουν μόνον τρεις εξωτερικές δυνάμεις οι

Σχήμα 12.13 (Παράδειγμα 12.5) (a) Κύλινδρος βάρους W σύρεται από δύναμη F πάνω σε ένα σκαλοπάτι, (b) Το διάγραμμα απελευθερωμένου σώματος τη στιγμή που ο κύλιν­ δρος σηκώνεται, (c) Το ό ια νυσ μα η χό άθροισμα τών τριών εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδενικό.

οποίες πρέπει να συντρέχουν στο σημείο C. Οι τρεις δυνάμεις αποτελούν τις πλευρές τού τριγώνου τού Σχήματος 12.13c.

12.4 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ Στη μελέτη μας μέχρι τώρα έχουμε υποθέσει ότι τα αντικείμενα δεν παραμορφώνονται όταν δρουν επάνω τους εξωτερικές δυνάμεις. Στην πραγματικότητα, όλα τα αντικείμενα παραμορφώνονται. Δηλαδή, εάν εφαρ­ μόσουμε εξωτερικές δυνάμεις, μπορούμε να μεταβάλουμε το σχήμα και το μέγεθος ενός αντικειμένου. Μολονότι οι παραμορφώσεις αυτές είναι μακρο­ σκοπικές, οι εσωτερικές δυνάμεις που αντιδρούν στην παραμόρφωση οφείλο­ νται στις δυνάμεις τών ατόμων. Θ α μελετήσουμε τις ελαστικές ιδιότητες τών στερεών χρησιμοποιώντας τις έννοιες τής τάσης και τής παραμόρφωσης. Η τάση είναι ποσότητα ανάλογη προς την δύναμη στην οποία οφείλεται η παραμόρφωση, για την ακρίβεια τάση είναι η εξωτερική δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας διατομής. Παραμόρ­ φωση είναι αυτό που λέει η ίδια η λέξη, είναι το μέτρο τής μεταβολής τού αρχικού σχήματος και μεγέθους. Γνωρίζουμε πειραματικά ότι, για μικρές τάσεις, η τάση είναι ανάλογη προς την παραμόρφωση. Η σταθερά τής αναλογίας εξαρτάται από το υλικό που παραμορφώνεται και από τη φύση τής παραμόρφωσης. Η σταθερά αυτή λέγεται μέτρο ελαστικότητας. Επομένως

302

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

μέτρο ελαστικότητας είναι ο λόγος της τάσης προς την παραμόρφωση τάση μέτρο ελαστικότητας * — ----- ---------- παραμόρφωση

( 1 2 .6)

Θ α μελετήσουμε τρία είδη παραμορφώσεων και θα ορίσουμε από ένα μέτρο ελαστικότητας για την καθεμιά:

1.

Μέτρο τον Young, που δίνει το μέτρο τής αντίστασης ενός στερεού στη μεταβολή τού μήκους του Μέτρο διάτμησης, που δίνει το μέτρο τής αντίστασης των επιπέδων ενός στερεού καθώς ολισθαίνουν το ένα πάνω στο άλλο. 3. Μέτρο ελαστικότητας όγκον, που δίνει το μέτρο τής αντίστασης τών στερεών και τών υγρών στις μεταβολές τού όγκου τους.

2.

Μέτρο τού Young: Ελαστικότητα σε μήκος

Σχήμα 12.14 Μια μακριά ράβδος επιμηκύνεται κατά A L υπό την επί­ δραση τής δύναμης F.

Θεωρήστε ότι μια μακριά ράβδος, διατομής Α και μήκους L 0 είναι στερεωμένη με το ένα άκρο της (Σχήμα 12.14). 'Ο ταν εφαρμόζεται επάνω της μια εξωτερική δύναμη F παράλληλη στη ράβδο και κάθετη στη διατομή της, οι εσωτερικές δυνάμεις τής ράβδου αντιστέκονται στην επιμήκυνσή της, δηλαδή στην παραμόρφωσή της. Τελικά η ράβδος βρίσκει ισορροπία με αυξημένο μήκος, όταν οι εσωτερικές δυνάμεις εξισορροπούν την εξωτερική δύναμη. Λέμε λοιπόν ότι η ράβδος επιμηκύνθηκε, υπέστη εφελκυσμό. Ορίζουμε την τάση εφελκυσμού ως τον λόγο τής εξωτερικής δύναμης F προς τη διατομή Α. Επίσης ορίζουμε την παραμόρφωση εφελκυσμού (ανηγμένη μήκυνση) ως τον λόγο τής μεταβολής τού μήκους A L , προς το αρχικό μήκος L0, ο οποίος είναι καθαρός αριθμός. Χρησιμοποιούμε λοιπόν την Εξίσωση 12.6 για να ορίσουμε το μέτρο τού Young, Υ: τάση εφελκυσμού FIA Υ „ -------------------------- —---------= ---------Παραμόρφωση εφελκυσμού A L /L q

Μ έτρο τού Young

(12.7)

Η ποσότητα αυτή τυπικά περιγράφει μια ράβδο ή ένα σύρμα που έχει παραμορφωθεί από εφελκυσμό ή από συμπίεση. Ας σημειωθεί ότι, επειδή η παραμόρφωση είναι καθαρός αριθμός, το Υ έχει μονάδες δύναμης ανά μοναδιαία επιφάνεια. Στον Π ίνακα 12.1 θα βρείτε χαρακτηριστικές τιμές της. Από πολλά πειράματα που έχουν γίνει γνωρίζουμε ότι: (a) η μεταβολή τού μήκους για σταθερή εφαρμοσμένη δύναμη είναι ανάλογη προς το αρχικό μήκος· και (b) η απαραίτητη δύναμη για να παραγάγει δεδομένη παραμόρφω­ ση είναι ανάλογη προς την επιφάνεια τής διατομής. Και οι δύο αυτές παρατηρήσεις είναι σύμφωνες με την Εξίσωση 12.7 Εάν εφαρμόσουμε μεγάλη τάση, είναι δυνατόν να υπερβούμε το όριο ελαστικότητας (Σχήμα 12.15). Οταν η τάση υπερβεί το όριο ελαστικότητας, τότε το αντικείμενο παραμορφώνεται μόνιμα και δεν επανακτά το αρχικό του σχήμα και μέγεθος όταν η τάση απομακρυνθεί. Μετά από το όριο τής ελαστικότητας, η καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης δεν συνεχίζεται στην ίδια ευθεία. Εάν εξακολουθήσουμε να αυξάνουμε την τάση, το υλικό τελικά θα σπάσει. Τάση

Ό ρ ιο ελαστικότητας

Σχήμα 12.15 Καμπύλη τάσης-παρα­ μόρφωσης ενός ελαστικού στερεού.

12.4 ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ

303

ΠΙΝΑΚΑΣ 12.1 Χαρακτηριστικές τιμές μέτρων ελαστικότητας

Υλικό

Αλουμίνιο Ορείχαλκος Χαλκός Χάλυβας Βολφράμιο Γυαλί Χαλαζίας Νερό Υδράργυρος

Μέτρο τού Young (N/m2)

Μέτρο διάτμησης (N/m2)

7.0 X ΙΟ10 9.1 X 10 10 1 1 X 1 0 10 2 0 X 1 0 10 35 X 1010 6 5 -7 .8 Χ ΙΟ 10 5.6 X 1010

2.5 X 1010 3.5 X 10 10 4.2 X ΙΟ10 8.4 X 10 10 14 X 1010 2.6-3.2 X 10 10 2 .6 X 1 0 10

—

—

—

—

Μέτρο ελαστικότητας 'Ογκου (N/m2) 7.0 X ΙΟ10 6 .1 X 1 0 10 14 X 1010 16 X 1 0 10 2 0 X 1 0 10 5 .0-5.5 X 1010 2.7 X 1010 0.21 X ΙΟ10 2 .8 X 1 0 10

Μέτρο διάτμησης: ελαστικότητα σχήματος Ένα άλλο είδος παραμόρφωσης προκαλείται όταν εφαρμόσουμε δύναμη F στην εφαπτομενική διεύθυνση μιας έδρας ή επιφάνειας τού σώματος ενώ διατηρούμε την απέναντι έδρα σταθερή, χρησιμοποιώντας τη δύναμη τριβής, /, (Σχήμα 12.16a). Εάν το αντικείμενο είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αρχικά η διατμητική τάση θα δώσει σχήμα παραλληλόγραμμο στη διατομή του· έτσι ορίζεται και η διατμητική τάση. Έ ν α βιβλίο τού οποίου το ένα μέρος ωθούμε προς τα πλάγια, όπως φαίνεται στο Σχήμα 12.16b, υπόκειται σε διατμητική τάση. Κατά την παραμόρφωση αυτή δεν μεταβάλλεται ο όγκος. Η διατμητική τάση ισούται με FIA, δηλαδή, εξ ορισμού ισούται με τον λόγο τής εφαρμοζόμενης δύναμης προς την επιφάνεια τής έδρας η οποία υπόκειται στην τάση. Η διατμητική παραμόρφωση εξ ορισμού ισούται με Ax/h, όπου Αχ είναι η οριζόντια απόσταση κατά την οποία κινείται η παραμορφωμένη έδρα προς το πάχος (ύψος) τού αντικειμένου Λ. Έ τσ ι ορίζουμε το μέτρο διάτμησης, S ως Διατμητική τάση FIA 5 = -------------—------------- ------- -- -------Διατμητική παραμόρφωση Ax/h

(b) Σχήμα 12.16 (a) Διατμητική παρα­ μόρφωση κατά την οποία ένα σώμα σχήματος ορθογωνίου παραλληλε­ πιπέδου παραμορφώνεται υπό την επίδραση δύο ίσων και αντίθετων δυνάμεων που δρουν πάνω σε δύο απέναντι έδρες του. (b) Έ να βιβλίο που υπόκειται σε διατμητική τάση.

Μέτρο διατμήσεως

(12.8)

Στον Π ίνακα 12.1 θα βρείτε τιμές τού μέτρου διάτμησης για ορισμένα υλικά. Οι μονάδες τού μέτρου διάτμησης είναι οι μονάδες τής δύναμης ανά μονάδα επιφάνειας.

Μέτρο ελαστικότητας όγκου: ελαστικότητα όγκου Τέλος, ορίζουμε το μέτρο ελαστικότητας όγκου ενός υλικού, το οποίο (μέτρο) περιγράφει την αντίδραση τού υλικού σε ομοιόμορφη συμπίεση. Υποθέστε ότι όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν πάνω σε ένα αντικείμενο είναι κάθετες στις έδρες του (Σχήμα 12.17) και είναι ισοκατανεμημένες σε όλες τις έδρες του. Τέτοια περίπτωση έχουμε όταν ένα αντικείμενο βυθιστεί σε ένα υγρό, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 15. Έ ν α αντικείμενο που υφίσταται τέτοια παραμόρφωση μεταβάλλεται ως προς το μέγεθος (δηλαδή σε όγκο), αλλά όχι ως προς το σχήμα. Η τάση όγκου, ΑΡ, είναι εξ ορισμού ίση με τον λόγο τού μέτρου τής δύναμης F προς την επιφάνεια Α . Η ποσότητα Α Ρ = FIA ονομάζεται πίεση. Η παραμόρφωση όγκου ισούται με τον λόγο τής μεταβολής τού όγκου A V διά τού αρχικού όγκου V. Χρησιμοποιούμε λοιπόν την Εξίσωση 12.6 με την οποία μπορούμε να περιγράφουμε τη συμπίεση όγκου με το μέτρο ελαστικότητας όγκου, Β, το οποίο ορίζεται ως εξής: τάση όγκου

FIA

ΑΡ

παραμόρφωση όγκου

A V /V

A V /V

(12.9)

Σχήμα 12.17 'Ο ταν ένα στερεό σώ­ μα υπόκειται σε ομοιόμορφη πίεση, τότε μεταβάλλεται ο όγκος του αλλά ό χι και το σχήμα του. Ο κύβος τού σχήματός μας πιέζεται από παντού α πό δυνάμεις κάθετες στις έδρες

Μέτρο ελαστικότητας όγκου

304

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ

Χρησιμοποιούμε το αρνητικό πρόσημο στον ορισμό ώστε το Β να γίνεται θετικός αριθμός. Και τούτο διότι η αύξηση τής πίεσης (θετικό Δ Ρ) προξενεί μείωση τού όγκου (αρνητικό A V ) και αντίστροφα. Στον Π ίνακα 12.1 περιέχονται οι τιμές τού μέτρου ελαστικότητας όγκου για διάφορα υλικά. Εάν τίς συγκρίνετε με τις τιμές που διαλαμβάνονται σε άλλα συγγράμματα, θα δείτε ότι ορισμένοι συγγραφείς δίνουν τον αντίστροφο τού Β , που ονομάζεται συμπιεστότητα. Ας σημειωθεί ότι όχι μόνο τα στερεά αλλά και τα υγρά έχουν μέτρο ελαστικότητας όγκου. Πάντως, τα υγρά δεν έχουν μέτρο διάτμησης ή μέτρο τού Young, διότι δεν υφίστανται εφελκυσμό ή διάτμηση επειδή ρέουν.

Προεντεταμένο σκυρόδεμα Εάν η τάση που ασκείται σε ένα στερεό υπερβεί μια τιμή, το αντικείμενο θα ραγίσει ή θα σπάσει. Η μέγιστη τάση που μπορεί να εφαρμοστεί προτού το υλικό σπάσει εξαρτάται από το είδος τού υλικού και τής εφαρμοζόμενης τάσης. Λογουχάρη, το σκυρόδεμα έχει μέτρο τού Young 2 X 106 N/m2 περίπου, μέτρο ελαστικότητας όγκου 20 X ΙΟ6 N/m 2 και μέτρο διάτμησης 2 X ΙΟ6 N/m2. Εάν η τάση υπερβεί τις τιμές αυτές, το σκυρόδεμα θα ραγίσει. Γι’ αυτό οι πολιτικοί μηχανικοί χρησιμοποιούν μεγάλους συντελεστές ασφάλειας σε κατασκευές από μπετόν. Γενικά, το σκυρόδεμα είναι εύθραυστο όταν είναι μικρής διατομής. Έτσι, οι πλάκες από σκυρόδεμα παραμορφώνονται ή ραγίζουν στα μέρη που δεν υποστηρίζονται (βλ. Σχήμα 12.18a). ΓΓ αυτό, οι πλάκες από σκυρόδεμα οπλίζονται με χαλύβδινες ράβδους (Σχήμα 12.18b). Δεν πρέπει να ξεχνούμε (βλ. στην προηγούμενη πα ράγρα φ έ τις τιμές τών αντίστοιχων μέτρων) ότι το σκυρόδεμα αντέχει πολύ καλύτερα στη συμπίεση από ό,τι στον εφελκυσμό. Για τον λόγο αυτό οι κολόνες στα κτήρια μπορούν να υποστηρίζουν πολύ μεγάλα φορτία, ενώ οι δοκοί, που πρέπει να αντέξουν σε διατμητικές τάσεις, παραμορφώνονται ή ραγίζουν πολύ πιο εύκολα. Μ πορούμε να αυξήσουμε σημαντικά το μέτρο διάτμησης εάν χρησιμοποιήσουμε προεντεταμένο σκυρό­ δεμα (Σχήμα 12.8c). Ό τα ν γίνεται το χύσιμο τού σκυροδέματος, οι χαλύβδινες ράβδοι τού οπλισμού υποβάλλονται σε εφελκυσμό από εξωτερικές δυνάμεις. Ό τα ν «δέσει» το σκυρόδεμα, αφαιρούνται οι εξωτερικές δυνάμεις και, επομένως, ασκείται μόνιμη τάση στο σκυρόδεμα από τις εφελκυσμένες ήδη χαλύβδινες ράβδους και συμπιέζεται το σκυρόδεμα, το οποίο έτσι αντέχει σε πολύ μεγαλύτερα φορτία.

Χαλύβδινες ράβδοι

Χαλύβδινες ράβδοι οπλισμού

Δύναμη φορτίου

(b)

(c)

Σχήμα 12.U (a) Έ να κομμάτι μπετόν χω ρίς οπλισμό τείνει να υποστεί θραύση κάτω από τάση (b) Η αντοχή τού μπετόν αυξάνεται κατά πολύ όταν οπλίζεται με χαλύβδινες ράβδους, (c) Η αντοχή τού μπετόν αυξάνεται ακόμη περισσότερο όταν χρησιμοποιήσουμε προεντεταμένο σκυρόδεμα με τις ράβδους υπό εφελκισμό.

Έ ν α ς άλλος τρόπος που έχει χρησιμοποιηθεί με επιτυχία για την ενίσχυση τού σκυροδέματος είναι η ανάμιξη διαφόρων ινών με το τσιμέντο και τα αδρανή υλικά. Έ τσ ι μπορούμε να αποτρέψουμε τις ρωγμές χρησιμοποιώντας διάφορες φυσικές ή συνθετικές ίνες.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

305

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.6 Προσδιορισμός τον μέτρου τού Young

με τις τιμές που περιέχονται στον Πίνακα 12.1, συμπε­ ραίνουμε ότι το σύρμα είναι ορειχάλκινο.

Από σύρμα μήκους 2 m και διατομής 0.1 cm2 είναι αναρτημένη μάζα 10 2 kg. Το σύρμα έχει εκταθεί κατά 0.22 cm. Βρείτε την τάση και παραμόρφωση εφελκυσμού, καθώς και το μέτρο τού Young. Λύση

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12.7 Συμπίεση μολύβδινης σφαίρας

Τάση εφελκυσμού - F - Μ* - j, όπως φαίνεται στο Σχήμα 14.14. Θ α χρησιμοποιήσουμε ενεργειακές μεθόδους για να βρούμε την ελάχιστη αρχική ταχύτητα που πρέπει να έχει το σώμα για να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο τής Γης. Η Εξίσωση 14.15 δίνει την ολική ενέργεια ενός σώματος οπουδήποτε, αρκεί να γνωρίζουμε την ταχύτητά του και την απόστασή του από το κέντρο τής Γης. Στην επιφάνεια τής Γης, υ{ = υ και η = R e. Ό τα ν το σώμα φτάσει στη μέγιστη απόσταση, τότε υ { = 0 και rt = rmax* Επειδή η ολική ενέργεια τού συστήματος μένει σταθερή, θέτουμε τα προηγούμενα σύμβολα στην Εξίσωση 14.15 και έχουμε ,

GMem

W

GMem . -----------------R

Λύνουμε ως προς υ * και βρίσκουμε V = 2 Σχήμα 14.14 Έ ν α σώμα μάζας m που εκτοξεύεται προς τα επάνω από την επιφάνεια τής Γης με α ρχι­ κή ταχύτητα ν, και φτάνει σε μέγι­ στο ύψος Λ.

(14.18)

(5> Αυτό συνήθως είναι θέμα τών εξειδικευμένων συγγραμμάτων κλασικής μηχανικής. Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν Ε = 0, τότε η τροχιά τού σώματος είναι παραβολή, ενώ εάν Ε > 0 είναι υπερβολή. Τίποτε στην Εξίσωση 14.14 δεν απαγορεύει σε ένα σώμα που έχει Ε a 0 να φτάσει σε άπειρα μεγάλη απόσταση από το βαρυτικό κέντρο (δηλαδή να μην είναι δέσμια η τροχιά του). Αλλά εάν Ε < 0, η τροχιά είναι δέσμια και ενεργειακά απαγορεύονται οι άπειρα μεγάλες αποστάσεις.

14.8 ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΠΛΑΝΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ

363

Έ τσι, εάν γνωρίζουμε την αρχική ταχύτητα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση αυτή για να βρούμε το μέγιστο ύψος Λ, εφόσον γνωρίζουμε ότι Λ

Γmax

*e*

Τώρα, λοιπόν, μπορούμε να υπολογίσουμε την ελάχιστη αρχική ταχύτητα την οποία πρέπει να έχει το σώμα στην επιφάνεια τής Γης για να διαφύγει από το γήινο βαρυτικό πεδίο. Η λύση τού προβλήματος αυτού αντιστοιχεί στην περίπτωση κατά την οποία το σώμα μόλις και φτάνει στο άπειρο με τελική ταχύτητα μηδέν. Θέτουμε rmax = 00 στην Εξίσωση 14.18 και = vesc (ταχύτητα διαφυγής) και βρίσκουμε

(14.19)

Ταχύτητα διαφυγής

Α ς σημειωθεί ότι η έκφραση αυτή για την vesc είναι ανεξάρτητη από τη μάζα τού εκτοξευόμενου από τη Γη αντικειμένου. Λογουχάρη, ένα διαστημόπλοιο έχει την ίδια ταχύτητα διαφυγής την οποία έχει και ένα μόριο. Ε π ί πλέον, το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο από τη διεύθυνση τής αρχικής ταχύτητας, υπό τον όρο ότι η τροχιά του δεν συναντά την Γη. Α ν σε ένα σώμα δοθεί αρχική ταχύτητα ίση με vcsc, η ολική ενέργειά του είναι ίση με το μηδέν. Αυτό μπορούμε να τό διαπιστώσουμε διότι όταν r = °° η κινητική και η δυναμική ενέργεια τού σώματος είναι μηδενική. Εάν η νι είναι μεγαλύτερη από v esc, η ολική του ενέργεια θα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και έτσι το σώμα θα έχει ένα υπόλοιπο κινητικής ενέργειας όταν φτάσει στο άπειρο, r =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14.7 Ταχύτητα διαφυγής πυραύλου Υπολογίστε την ταχύτητα διαφυγής από τη Γη ενός διαστημοπλοίου μάζας 5 000 kg. Προσδιορίστε την κινητική ενέργεια που πρέπει να έχει στην επιφάνεια τής Γης για να διαφύγει από το γήινο βαρυτικό πεδίο. Λύση Χρησιμοποιούμε την Εξίσωση 14.19 με Me = 5.98 X 10* kg και Rc = 6.37 x 106 m και βρίσκουμε

/ 2(6.67 X ΙΟ-11 N-m2/kg2)(5.98 X lO ^kg) V 6.37 X 10® m =

1.12 X ΙΟ4 m/s

που αντιστοιχεί σε 25 000 mi/h περίπου. Η κινητική ενέργεια τού διαστημοπλοίου είναι: Κ = ±πιυξκ = *(5 X ΙΟ3 kg)(1.12 X ΙΟ4 m/s)2 =

3.14 X 1011 J

Τέλος, πρέπει να σημειωθεί ότι οι εξισώσεις 14.18 και 14.19 ισχύουν για σώματα που εκτοξεύονται κατακόρυφα από οποιονδήποτε πλανήτη. Δηλαδή, η ταχύτητα διαφυγής από έναν πλανήτη μάζας Μ και ακτίνας R είναι

Πίνακας 143 Ταχύτητες διαφυγής από τους πλανήτες, την Σελήνη και τον Ήλιο

Στον Π ίνακα 14.3 περιέχεται κατάλογος με τις ταχύτητες διαφυγής για τους πλανήτες, τον Ή λιο και τη Σελήνη. Σημειώστε το ευρύ φάσμα ταχυτήτων διαφυγής από την τιμή 2.3 km/s για τη Σελήνη ώς την τιμή τών 618 km/s για τον Ή λιο.Τ α αποτελέσματα αυτά μαζί με ορισμένα στοιχεία τής κινητικής θεωρίας αερίων (Κεφάλαιο 21) εξηγούν γιατί μερικοί πλανήτες έχουν ατμόσφαιρα και άλλοι δεν έχουν. Ό π ω ς θα δούμε αργότερα, η μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Έ τσ ι, ελαφρά άτομα, όπως τού υδρογόνου και τού ηλίου, έχουν κατά μέσον όρο μεγαλύτερες μέσες ταχύτητες από τα πιο βαρέα άτομα. Έ τσ ι, για έναν μικρό

Ερμής Αφροδίτη Γη Σελήνη Άρης Δίας Κρόνος Ουρανός Ποσειδώνας Πλούτων Ήλιος

Ουράνιο Σώμα

υ.*, (km/s) 4.3 10.3 11.2 2.3 5.0 60 36 22 24 1.1 618

364

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΠΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

πλανήτη τα ελαφρά άτομα διαφεύγουν ευκολότερα από τα βαρέα. Ε ίναι, λοιπόν, τώρα ευνόητο γιατί η ατμόσφαιρα της Γης έχει χάσει όλο το υδρογόνο και το ήλιό της, ενώ αέρια με βαρέα άτομα, όπω ς είναι το οξυγόνο και το άζω το, παραμένουν. Αντίθετα, στον Δ ία, η ταχύτητα διαφυγής είναι πολύ μεγάλη (60 km/s) και έτσι ο πλανήτης αυτός συγκρατεί τα ελαφρά άτομα και η ατμόσφαιρά του αποτελείται κυρίως από υδρογόνο.

* 14.9 Η ΒΑΡΥΠΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΕΝΑ ΣΩΜΑΤΙΟ ΚΑΙ ΕΝΑ ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΟ ΣΩΜΑ (ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ)

Σχήμα 14.15 Σωμάτιο μάζας m που αλληλεπιδρά με ένα μεγάλο σώμα μάζας Μ. Η δυναμική ενέργεια τού συστήματος δίνεται από την Εξίσω­ ση 14.20. Για να βρούμε την ολική δύναμη που ασκεί το μεγάλο σώμα πάνω στη μάζα m πρέπει να πάρου­ με το διανυσματικό άθροισμα όλων τών δυνάμεων που οφείλονται στην αλληλεπίδραση καθενός κομματιού τού μεγάλου σώματος με την m.

Ολική δύναμη ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και ένα εκτεταμένο σώμα

Μ έχρι τώ ρα έχουμε τονίσει ότι ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης που δίνει η Εξίσωση 14.3 ισχύει μόνο όταν μπορούμε να θεωρήσουμε τα αλληλεπιδρώντα αντικείμενα σαν σωμάτια. Επομένως δημιουργείται το εύλογο ερώτημα πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την δύναμη ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και ένα σώμα που είναι εκτεταμένο στον χώρο; Για να το κάνουμε αυτό θεωρούμε ότι το εκτεταμένο σώμα είναι μια συλλογή από σωμάτια και χρησιμοποιούμε ολοκληρωτικό λογισμό. Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας, από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη. Για να βρούμε τη δυναμική ενέργεια τού συστήματος που αποτελείται από ένα σωμάτιο σημειακής μάζας m κα ι από ένα εκτεταμένο σώμα μάζας Μ, χωρίζουμε το εκτεταμένο σώμα σε μέρη μάζας ΔΜ, (Σχήμα 14.15). Η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στην αλληλεπίδραση αυτού τού μέρους με το σωμάτιο m είναι - Gm S.MJriy όπου rt είναι η απόσταση ανάμεσα στο σωμάτιο και στο μέρος ΔΜ,. Για να βρούμε την ολική δυναμική τού συστήματος πρέπει να αθροίσουμε όλα τα μικρά μέρη στο όριο που το ΔΜ, -* 0. Στο όριο αυτό λοιπόν μπορούμε να εκφράσουμε την U σε μορφή ολοκληρώματος: 17 *»

—Gm J

(14.20)

Αφού ολοκληρώσουμε και έτσι υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια U, τότε, για να βρούμε την δύναμη, παίρνουμε το αρνητικό τής παραγώγου τού μονόμετρου μεγέθους U ως προς την απόσταση r (βλ. Υποκεφάλαιο 8.7). Εάν το εκτεταμένο σώμα είναι συμμετρικό σφαιρικά, τότε η συνάρτηση τής δυναμικής ενέργειας U εξαρτάται μόνο από το r και η δύναμη είναι - dU/dr Θ α λύσουμε το πρόβλημα αυτό στο Υποκεφάλαιο 14.10. Κατ’ αρχήν, μπορούμε να υπολογίσουμε το U για οποιαδήποτε δεδομένη γεωμετρία, αλλά η ολοκλήρωση μπορεί να είναι πολύπλοκη. Έ ν α ς άλλος τρόπος να λύσουμε το πρόβλημά μας είναι να υπολογίσουμε κατευθείαν το διανυσματικό άθροισμα τών δυνάμεων ανάμεσα στο σωμάτιο και σε όλα τα μικρά μέρη τού εκτεταμένου σώματος. Χρησιμοποιούμε λοιπόν τη μεθοδολογία που περιγράψαμε για τον υπολογισμό τού U και τον νόμο τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης (Εξίσωση 14.3) και βρίσκουμε ότι η ολική δύναμη πάνω στο σωμάτιο είναι

F = —Gm

(14.21)

όπου το r είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο κατευθύνεται από το στοιχείο dM προς το σωμάτιο (Σχήμα 14.15). Δεν σάς συνιστούμε, πάντως, να ακολουθήσετε τη μέθοδο αυτή, διότι είναι πολύ πιο εύκολο να εργαστείτε με μια μονόμετρη ποσότητα, όπως είναι, η δυναμική ενέργεια, παρά με μια διανυσματική, εκτός από περιπτώσεις στις οποίες η γεωμετρία είναι απλή, όπω ς στο ακόλουθο παράδειγμα, οπότε ο υπολογισμός τής δύναμης F είναι σχετικά απλός.

14.10 ΔΥΝΑΜΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΕΝΑ ΣΩΜΑΤΙΟ ΚΑΙ ΣΕ ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΑΖΑΣ

365

Π Α ΡΑ ΔΕΙΓΜ Α 14.8 Δύναμη ανάμεσα σε μια σημειακή μάζα και σε μια ράβδο.

Ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ έχει απόσταση Λ από μια σημειακή μάζα m (Σχήμα 14.16). Υπολογίστε την βαρυτική έλξη που ασκεί η ράβδος στη μάζα m. Λύση Το στοιχείο τής ράβδου με μήκος dx έχει μάζα dM. Εφόσον η γραμμική πυκνότητα τής ράβδου είναι σταθερή, ο λόγος τών μαζών dMIM ισούται με τον λόγο Μ

τών μηκών dx/L, επομένως dM = — dx. Στη δική μας περίπτωση, η αντίστοιχη μεταβλητή τού r στην Εξίσωση 14.21 είναι το χ και η κατεύθυνση τής δύναμης η οποία ασκείται πάνω στο m είναι προς τα δεξιά. Επομένως παίρνουμε

GmM Γ ΐΤ"+\ L L x \h '

Σχήμα 14.16 (Παράδειγμα 14.8) Η δύναμη που ασκείται σε έ­ να σώμα το οποίο βρίσκεται στην αρχή τών συντεταγμένων κατευθύνεται προς τα δεξιά. Ας σημειωθεί ότι η ράβδος δεν είναι ισοδύναμη με ένα σώμα μάζας Μ τοποθετημένο στο κέντρο μάζας της.

Ας σημειωθεί ότι στο όριο L -> 0 η δύναμη μεταβάλλεται ως 1/Λ2, δηλαδή αυτό που αναμενόταν για τη δύναμη ανάμεσα σε δύο σημειακές μάζες. Επίσης, εάν Λ > L, η δύναμη πάλι μεταβάλλεται κατά 1/Λ2. Για να τό διαπιστώσουμε μπορούμε να ξαναγράψουμε τον

GmM . h(L + h ) '

παρονομαστή τής έκφρασης τού Εστη μορφή Λ2^ 1 +

Βλέπουμε λοιπόν ότι η δύναμη που ασκεί η ράβδος στο m έχει τη θετική κατεύθυνση χ, όπως αναμενόταν, διότι η βαρυτική δύναμη είναι ελκτική.

που κατά προσέγγιση ισούται με Λ2. Επομένως, όταν δύο σώματα έχουν μεγάλη απόσταση μεταξύ τους (σε σύγκριση με τις δικές τους διαστάσεις) συμπεριφέρονται σαν σημειακά σώματα.

* 14.10 Δ Υ Ν Α Μ Η Β Α Ρ Υ Τ Η Τ Α Σ Α Ν Α Μ Ε Σ Α Σ Ε Ε Ν Α Σ Ω Μ Α ΤΙΟ Κ Α Ι Σ Ε Μ ΙΑ Σ Φ Α ΙΡ ΙΚ Η Κ Α Τ Α Ν Ο Μ Η Μ Α Ζ Α Σ

Στο υποκεφάλαιο αυτό θα περιγράφουμε τη βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και σε μια σφαιρική κατανομή μάζας. Έ χουμ ε ήδη αναφέρει ότι μια μεγάλη σφαίρα έλκει ένα σωμάτιο το οποίο βρίσκεται έξω από αυτήν σαν να ήταν όλη η μάζα της συγκεντρωμένη στο κέντρο της. Α ς περιγράφουμε την δύναμη την οποία ασκεί πάνω σε ένα σωμάτιο ένα εκτεταμένο σώμα που είναι ή σφαιρικό κέλυφος ή συμπαγής σφαίρα και ας εφαρμόσουμε τα αποτελέσματά μας σε μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις. Σ φ αιρικ ό κέλυφ ος

1. Εάν ένα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται έξω από ένα σφαιρικό κέλυφος μάζας Μ (λ.χ. στο σημείο Ρ τού Σχήματος 14.17), το σφαιρικό κέλυφος έλκει το σωμάτιο σαν να ήταν όλη η μάζα του συγκεντρωμένη στο κέντρο του. 2. Εάν το σωμάτιο βρίσκεται μέσα στο σφαιρικό κέλυφος (σημείο Q τού Σχήματος 14.17) η δύναμη πάνω του είναι μηδενική. Μ πορούμε να εκφράσουμε τα δύο αυτά σημαντικά αποτελέσματα, ως εξής: ^

για r < R

a)

( 1 4 .2 2 b )

Στο Σχήμα 14.17 βλέπουμε τη γραφική παράσταση τής δύναμης συναρτήσει τής απόστασης r. Πρέπει να σημειωθεί πάντως ότι ένα κέλυφος μάζας όεν παίζει τον ρόλο α σπίδας βαρύτητας. Το σώμα στο σημείο Q «αισθάνεται» την ύπαρξη άλλων μαζών έξω από το κέλυφος.

Σχήμα 14.17 Η βαρυτική δύναμη που οφείλεται σε ένα κοίλο σφαιρι­ κό κέλυφος μάζας Μ και ασκείται πάνω σε ένα σωμάτιο μάζας m έξω από το κέλυφος είναι GMm/r2, κατευθύνεται δε προς το κέντρο τού σφαιρικού κελύφους. Εάν το m τοποθετηθεί μέσα στο κοίλο κέλυ­ φος, η δύναμη είναι μηδενική.

Η δύναμη που ασκεί ένα σφαιρικό κέλυφος (φλοιός) πάνω σε ένα σωματίδιο

366

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΠΚΗΣ ΕΛΞΗΣ Σ υ μ π α γή ς σ φ αίρα

1. Εάν ένα σωμάτιο μάζας τη βρίσκεται έξω από μια ομογενή συμπαγή σφαίρα μάζας Μ (στο σημείο Ρ τού Σχήματος 14.18), η σφαίρα έλκει το σωμάτιο σαν να ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο της όλη η μάζα της. Δηλαδή η Εξίσωση 14.22a ισχύει στην περίπτωση αυτή. Αυτό απορρέει από την προηγούμενη περίπτωση 1, επειδή μπορούμε να θεωρήσουμε τη συμπαγή σφαίρα σαν μια συλλογή από ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη. 2. Εάν ένα σωμάτιο μάζας τη βρίσκεται μέσα σε μια ομογενή συμπαγή σφαίρα μάζας Μ (στο σημείο Q τού Σχήματος 14.18), η δύναμη που «αισθάνεται» η τη οφείλεται μόνο στη μάζα Μ , η οποία περιέχεται στη σφαίρα ακτίνας r < R και απεικονίζεται με τη διακεκομμένη γραμμή τού Σχήματος 14.18. Με άλλα λόγια

Η δύναμη που ασκεί μια συμπαγής σφαίρα πάνω σε ένα σωματίδιο

F = - Gr^ ~ f

γ 1(χ Γ > ^

(14.23a)

για r < R

(14.23b)

Έ χουμ ε υποθέσει ότι η πυκνότητα τής μάζας τής σφαίρας είναι σταθερή, επομένως ο λόγος τών μαζών Μ ΐΜ ισούται με τον λόγο των όγκων V IV, όπου V είναι ο ολικός όγκος τής σφαίρας και V o όγκος ο οποίος περιέχεται μέσα στην επιφάνεια που απεικονίζεται με την διακεκομμένη γραμμή τού Σχήματος 14.18. Δηλαδή

M' _ V _

fo r3

Μ

|π Α 3

V

_

r3

R3

Λύνουμε ως προς Μ ”, θέτουμε στην Εξίσωση 14.23b την τιμή που είχε προκύψει και βρίσκουμε Σχήμα 14.18 Η βαρυτική δύναμη που ασκεί συμπαγής ομογενής σφαί­ ρα μάζας Μ σε σώμα μάζας m το οποίο βρίσκεται έξω από αυτήν είναι GMmlr2 και κατευθύνεται προς το κέντρο. Εάν όμως το σώμα βρίσκεται μέσα στη σφαίρα, τότε η δύναμη που ασκείται πάνω του είναι ανάλογη τού r και μηδενική στο κέντρο.

GmM R3

r r

για r < R

(14.24)

Δηλαδή η δύναμη μηδενίζεται στο κέντρα τής σφαίρας, όπως έπρεπε να συμβεί. Η συναρτησιακή σχέση τής δύναμης με την r φαίνεται στο Σχήμα 14.18. 3. Εάν ένα σωμάτιο βρίσκεται μέσα σε μια συμπαγή σφαίρα πυκνότητας ρ που είναι σφαιρικά συμμετρική αλλά μη ομογενής, τότε το Μ στην Εξίσωση 14.23 βρίσκεται από ολοκλήρωμα τής μορφής Μ = J ρ dV, όπου η ολοκλή­ ρωση γίνεται μόνο μέσα στον όγκο ο οποίος περιέχεται στη διακεκομμένη γραμμή τού Σχήματος 14.18. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα εάν η ρ εξαρτάται από το r και μάς έχουν δώσει την εξάρτηση τής πυκνότητας ρ από τη θέση r. Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι το στοιχείο τού όγκου dV είναι ο όγκος τού σφαιρικού κελύφους ακτίνας r και πάχους dr, έτσι ώστε dV = 4πτ2 dr. Λογουχάρη, εάν ρ(τ) = Ar, όπου το Α είναι σταθερό, αποδεικνύεται ότι Μ = πΑτ 4 (βλ. Πρόβλημα 63). Επομένως, βλέπουμε από την Εξίσωση 14.23b ότι στην περίπωση αυτή η F είναι ανάλογη προς το r2 και ισούται με μηδέν στο κέντρο(6λ

(6) Σημ. μετφρ.: Με το κεφάλαιο αυτό ελπίζουμε ότι έγινε κατανοητός ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιήσαμε μέχρι τώρα τις λέξεις σωμάτιο και σώμα ισοδύναμα προκειμένου να περιγράφουμε σημειακές μάζες ή κατανομές μάζας οι οποίες επιδρούν με τον έξω από αυτές χώρο.

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

ΠΑ ΡΑ ΔΕΙΓΜ Α 14.9. Μ ια βόλτα δωρεάν

Ένα σώμα κινείται σε μια λεία ευθύγραμμη υπόγεια σήραγγα που ενώνει δύο σημεία τής επιφάνειας τής Γης. (Σχήμα 14.19). Αποδείξτε ότι το σώμα κινείται με απλή αρμονική κίνηση και βρείτε την περίοδό της. Υποθέστε ότι η πυκνότητα τής Γης είναι σταθερή.

367

Εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο τού Newton για την κίνηση στην κατεύθυνση χ και βρίσκουμε

α==- η ζ Γ χ = ~ ω2χ Αλλά αυτή είναι η εξίσωση τής απλής αρμονικής ταλάντωσης με κυκλική συχνότητα ω (Κεφάλαιο 13), όπου

Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα τού Πίνακα 14.2 και τα παραπάνω αποτελέσματα, οπότε

Σχήμα 14.19 Έ να σώμα κινείται σε σήραγγα που διαπερνά τη Γη. Η συνιστώσα χ τής βαρυτικής δύναμης F είναι η οδηγήτρια δύναμη τής κίνησης. Να σημειωθεί ότι κατευθύνεται πάντοτε προς το κέντρο Ο.

Λύση 'Οταν το σώμα βρίσκεται μέσα στη σήραγγα, η δύναμη τής βαρύτητας στην οποία υπόκειται κατευθύνεται προς το κέντρο τής Γης. Η δύναμη αυτή δίνεται από την Εξίσωση 14.24: GmMe F

~ s r r

Η συνιστώσα y τής δύναμης εξισορροπείται από την κάθετη δύναμη την οποία ασκεί το λείο τοίχωμα τής σήραγγας. Έτσι έχουμε μόνο συνιστώσα χ, που είναι

Εφόσον η συντεταγμένη χ τής θέσης τού σώματος είναι r cos θ, ξαναγράφουμε την f* με τη μορφή _

GmMe

(6.37 X ΙΟ6)3 .67 X 10_11)(5.98 X ΙΟ24) = 5.06 X ΙΟ3 s =

84.3 min

Πρέπει να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτη­ το από το μήκος τής σήραγγας και ότι είναι ίδιο με την περίοδο ενός δορυφόρου σε κυκλική τροχιά λίγο πάνω από την επιφάνεια τής Γης. Έχει διατυπωθεί η άποψη να εφαρμοστεί η ιδέα αυτή ως τρόπος μαζικής συγκοινωνίας ανάμεσα σε δύο πόλεις. Το ταξίδι για το «πήγαινε» μόνο διαρκεί 42 λεπτά, ανεξάρτητα από την απόσταση τών δύο πόλεων! Φυσικά, πρέπει να γίνει ένας πιο ρεαλιστικός υπολογι­ σμός, κατά τον οποίο θα λαμβάνεται υπ’ όψιν, λ.χ., ότι η πυκνότητα τής Γης δεν είναι σταθερή. Αλλά ακόμη πιο σημαντικό είναι ότι πρέπει να λυθούν πολλά πρακτικά προβλήματα· λ.χ., είναι αδύνατο να κατα­ σκευαστεί απολύτως λεία (δηλαδή χωρίς καμιά τριβή) σήραγγα, άρα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια βοηθητική μηχανή. Μπορείτε να σκεφθείτε άλλα σχετικά προβλή­ ματα;

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Ο νόμος τής πα γκ ό σ μ ια ς βαρυτικής έλξη ς τού Newton ορίζει ότι η βαρυτική ελκτική δύναμη μεταξύ δύο μαζών mi και m2 οι οποίες έχουν μεταξύ τους απόσταση r έχει μέτρο ίσο προς F = G mi mi

(1 4 .1 )

r* όπου G είναι η παγκόσμια σταθερά τής βαρυτικής έλξης, η ο ποία έχει τιμή G - 6.672 χ 10"11 Ν ■nAkg2.

Ο παγκόσμιος νόμος τής βαρύτητας

368

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΠΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

Οι νόμοι τού Kepler

Ο ι νό μ ο ι τού Kepler γ ια τη ν κίνηση τώ ν πλανη τώ ν ορίζουν ότι

1. Ό λ ο ι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές με τον 'Η λιο στη μία εστία. 2. Η επιβατική ακτίνα (εάν θεωρηθεί ο Ή λιος ως αρχή τών συντεταγμέ­ νων) οποιουδήποτε πλανήτη σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσα χρονικά διαστήματα. 3. Το τετράγωνο τής περιόδου κάθε πλανήτη είναι ανάλογο προς τον κύβο τού μεγάλου ημιάξονα τής ελλειπτικής τροχιάς του. Ο δεύτερος νόμος τον Kepler είναι απόρροια τού γεγονότος ότι η δύναμη τής βαρύτητας είναι κεντρική δύναμη, δηλαδή κατευθύνεται προς το ίδιο σταθερό σημείο. Αυτό υποχρεώνει τη στροφορμή τού συστήματος Ή λιος-πλανήτης να είναι σταθερά τής κίνησης. Ο τρίτος νόμος τού Kepler είναι συνεπής με το γεγονός ότι η παγκόσμια βαρυτική έλξη ακολουθεί τον νόμο αντίστροφου τετραγώνου. Ο δεύτερος νόμος τού Newton μαζί με τον νόμο τής βαρύτητας (Εξίσωση 14.1) επιβεβαιώνουν ότι η περίοδος Τ και η ακτίνα r τής τροχιάς ενός πλανήτη γύρω από τον Ή λιο συνδέονται με τη σχέση Ο τρίτος νόμος τού Kepler

(14.6) όπου Ma είναι η μάζα τού Ηλιου. Οι περισσότεροι πλανήτες έχουν τροχιές σχεδόν κυκλικές γύρω από τον Ή λιο. Για ελλειπτικές τροχιές αντικαθι­ στούμε στην Εξίσωση 14.6 το r με τον μεγάλο ημιάξονα α. Η βαρυτική δύναμη είναι διατηρητική και, επομένως, μπορούμε να ορίσουμε δυναμική ενέργεια. Η βαρυτική δ υναμικ ή ενέρ γεια δύο σωμα­ τίω ν που έχουν μεταξύ τους απόσταση r είναι

Βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός ζεύγους σωμάτων

17 =

Gm1m i

(14.12)

όπου λαμβάνεται U = 0 όταν r —* °°. Η ολική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος σωμάτων είναι το άθροισμα τών ενεργειών όλων τών δυνατών συνδυασμών ζευγών τών σωμάτων. Κάθε ζεύγος εισφέρει έναν όρο (στο άθροισμα) τής μορφής που δίνει η Εξίσωση 14.12. Εάν ένα απομονωμένο σύστημα αποτελείται από ένα σωμάτιο μάζας m το οποίο κινείται με μέτρο ταχύτητας ν σε εγγύτητα με ένα εκτεταμένο σώμα μάζας Μ, τότε η ολική ενέργεια τού συστήματος είναι Ε = im v* —

GMm

(14.14)

Δηλαδή η ενέργεια είναι το άθροισμα τής κινητικής συν τη δυναμική ενέργεια. Η ολική ενέργεια είναι σταθερά τής κίνησης. Εάν η m κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r γύρω από την Μ και Μ > m , τότε η ολική ενέργεια τού συστήματος είναι Ολική ενέργεια για κυκλικές τροχιές

GMm 2r

(14.17)

Η ολική ενέργεια όλων τώ ν δέσμιων συστημάτω ν είναι αρνητική. (Δέσμια είναι τα συστήματα τών οποίων τα μέλη κινούνται σε κλειστές τροχιές, π.χ. κύκλους, ελλείψεις). Η δυναμική βαρυτική ενέργεια ενός σωματίου μ ά ζα ς m και ενός εκτεταμένου σώματος μάζας Μ είναι Ολική δυναμική ενέργεια για σύστημα σωματίου εκτεταμένου σώματος

u —

a m

f£

(14.20)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

369

ό π ο υ τ ο ο λ ο κ λ ή ρ ω μ α υ π ο λ ο γ ίζ ε τ α ι π ά ν ω σ ε ο λ ό κ λ η ρ ο το εκ τ ετ α μ έ νο α ν τ ι κ ε ί μ ε ν ο , άΜ ε ί ν α ι η μ ά ζ α ε ν ό ς α π ε ι ρ ο σ τ ο ΰ σ τ ο ι χ ε ί ο υ τ ο ύ α ν τ ι κ ε ί μ ε ν ο υ κ α ι τ ε ί ν α ι η α π ό σ τ α σ η α π ό τ ο σ ω μ ά τ ιο ώ ς τ ο σ τ ο ι χ ε ί ο μ ά ζ α ς άΜ. Ε ά ν έ ν α σ ω μ ά τ ιο β ρ ίσ κ ε τ α ι έ ξ ω α π ό έ ν α ο μ ο γ ε ν έ ς σ φ α ι ρ ι κ ό κ έ λ υ φ ο ς ή α π ό μ ι α σ υ μ π α γ ή σ φ α ί ρ α , μ ε σ φ α ι ρ ι κ ά σ υ μ μ ετ ρ ικ ή κ α τ α ν ο μ ή μ ά ζ α ς , τ ό τ ε τ ο σ ω μ ά τ ιο έ λ κ ε τ α ι σ α ν ν α ή τ α ν σ υ γ κ ε ν τ ρ ω μ έ ν η σ τ ο κ έ ν τ ρ ο ό λ η η μ ά ζ α . Ε ά ν έ ν α σ ω μ ά τ ιο β ρ ίσ κ ε τ α ι μ έ σ α σ ε έ ν α σ φ α ι ρ ι κ ό κ έ λ υ φ ο ς , η δ ύ ν α μ η τ ή ς β α ρ ύ τ η τ α ς ( λ ό γ ω τ ο ύ κ ε λ ύ φ ο υ ς ) ε ί ν α ι μ η δ εν ικ ή . Ε ά ν έ ν α σ ω μ ά τ ιο β ρ ίσ κ ε τ α ι μ έ σ α σ ε μ ι α ο μ ο γ ε ν ή σ υ μ π α γ ή σ φ α ί ρ α , τ ό τ ε η δ ύ ν α μ η π ά ν ω σ τ ο σ ω μ ά τ ιο κ α τ ε υ θ ύ ν ε τ ά ι π ρ ο ς τ ο κ έ ν τ ρ ο τ ή ς σ φ α ί ρ α ς κ α ι ε ίν α ι α ν ά λ ο γ η π ρ ο ς τη ν α π ό σ τ α σ η α π ό τ ο κ έν τ ρ ο τη ς.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

1. Εκτιμήστε την βαρυτική έλξη ανάμεσα σε εσάς και σε ένα άτομο που βρίσκεται 2 m μακριά σας. 2. Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο τού Kepler και αποδείξτε ότι η Γη κινείται πάνω στην τροχιά της πιο γρήγορα τον Δεκέμβριο, οπότε βρίσκεται πιο κοντά στον Ήλιο, από ό,τι τον Ιούνιο, οπότε βρίσκεται πιο μακριά από τον Ήλιο. 3. Πώς εξηγείται το γεγονός ότι ορισμένοι πλανήτες, όπως ο Κρόνος και ο Δίας, έχουν περιόδους πολύ μεγαλύτερες από 1 έτος; 4. Εάν ένα σύστημα αποτελείται από πέντε σώματα, από πόσους όρους αποτελείται το άθροισμα το οποίο δίνει την ολική δυναμική ενέργεια τού συστήματος; 5. Είναι δυνατόν να υπολογίσετε τη συνάρτηση δυναμι­ κής ενέργειας ενός σώματος και ενός εκτεταμένου αντικειμένου χωρίς να γνωρίζετε το σχήμα ή την κατανομή μάζας τού αντικειμένου; 6. Εξαρτάται η ταχύτητα διαφυγής ενός πυραύλου από τη μάζα του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 7. Συγκρίνετε τις ενέργειες που απαιτούνται για να φτάσουν στη Σελήνη ένα διαστημόπλοιο μάζας ΙΟ5 kg και ένας δορυφόρος μάζας ΙΟ3 kg. 8. Εξηγήστε γιατί ένα διαστημόπλοιο καταναλώνει πε­ ρισσότερα καύσιμα για να πάει στη Σελήνη, παρά για να γυρίσει. Υπολογίστε τη διαφορά. 9. Η απόλυτη τιμή τής δυναμικής ενέργειας τού συστή­ ματος Γη-Σελήνη είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με την κινητική ενέργεια τής Σελήνης ως προς τη Γη; 10. Εξηγήστε προσεκτικά γιατί δεν παράγεται έργο πάνω σε έναν πλανήτη καθώς αυτός κινείται σε κυκλική τροχιά γύρω από τον Ήλιο, παρ’ όλο που δρα επάνω του η βαρυτική δύναμη. Ποιο είναι το ολικό έργο που παράγεται πάνω σε έναν πλανήτη καθώς αυτός κάνει μια πλήρη ελλειπτική περιφορά γύρω από τον Ήλιο; 11. 'Ενα σώμα εκτοξεύεται διά μέσου μιας μικρής οπής στο εσωτερικό ενός μεγάλου σφαιρικού κελύφους. Περιγράψτε την κίνηση τού σώματος στο εσωτερικό τού κελύφους. 12. Εξηγήστε γιατί η δύναμη που ασκεί πάνω σε ένα σώμα μια ομογενής σφαιρική κατανομή μάζας κατευθύνεται προς το κέντρο τής σφαίρας. Θα εξακολου­ θούσε να συμβαίνει αυτό εάν η κατανομή μάζας τής σφαίρας δεν ήταν σφαιρικά συμμετρική; 13. Χωρίς να λάβετε υπ’ όψιν τις μεταβολές τής πυκνότη­ τας τής Γης υπολογίστε την περίοδο ενός σώματος το

οποίο κινείται σε μια λεία σήραγγα η οποία διέρχεται από το κέντρο τής Γης. 14. Αναφερόμενοι στο Σχήμα 14.8, θεωρήστε την επιφά­ νεια που έχει σαρωθεί από την επιβατική ακτίνα για τα χρονικά διαστήματα t2 - ή και ί4 - ί3· Υπό ποιες συνθήκες Λ 1 = Α 2; 15. Εάν στο Σχήμα 14.8 Αχ = Α 2, είναι το μέτρο τής μέσης ταχύτητας τού πλανήτη για το χρονικό διάστημα t2 —ίχ μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο από το μέτρο τής μέσης ταχύτητας τού χρονικού διαστήματος ί4 ~ h; 16. Σε ποιο σημείο τής ελλειπτικής τροχιάς του είναι μέγιστο το μέτρο τής ταχύτητάς του; Σε ποιο σημείο είναι ελάχιστο; 17. Εάν σάς δώσουν τη μάζα και την ακτίνα τού πλανήτη X, πώς θα υπολογίσετε την επιτάχυνση τής βαρύτη­ τας στην επιφάνεια τού πλανήτη; 18. Υποθέστε ότι υπάρχει μια σήραγγα που διέρχεται από το κέντρο τής Γης. Πιστεύετε ότι η δύναμη πάνω στη μάζα m που βρίσκεται μέσα στην σήραγγα ακολουθεί την Εξίσωση 14.1; Ποια νομίζετε ότι είναι η δύναμη που ασκείται πάνω στη μάζα m όταν αυτή βρίσκεται στο κέντρο τής Γης; 19. Όταν ο Henry Cavendish έκανε το πείραμά του το 1798 και μέτρησε την G, είχε λεχθεί ότι ζύγισε την Γη. Σχολιάστε τον ισχυρισμό αυτό. 20. Το βαρυτικό πεδίο τού γιγαντιαίου πλανήτη Δία επιτάχυνε το διαστημόπλοιο Voyager ώστε αυτό να αποκτήσει την ταχύτητα διαφυγής και να διαφύγει από το βαρυτικό πεδίο τού Ηλιου. Είναι αυτό δυνατόν; Δεν έχασε το διαστημόπλοιο, απομακρυνό­ μενο από τον Δία, την ταχύτητα που είχε κερδίσει καθώς τόν πλησίαζε; 21. Πώς θα υπολογίζατε τη μάζα τής Σελήνης; 22. Το διαστημόπλοιο Απόλλων 13 είχε προβλήματα με το σύστημα οξυγόνου στο μέσο τής διαδρομής προς τη Σελήνη. Γιατί η αποστολή συνέχισε την πορεία της και πραγματοποίησε περιφορά γύρω από τη Σελήνη για να επιστρέφει στη Γη αντί να γυρίσει πίσω στη Γη αμέσως; 23. Πόσο μεταβάλλεται η επιτάχυνση τής βαρύτητας τής Γης στον ισημερινό λόγω τής περιστροφής τού πλανή­ τη μας γύρω από τον άξονά του; Πώς μεταβάλλεται το φαινόμενο αυτό συναρτήσει τού γεωγραφικού πλάτους;

370

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΠΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Υποκεφάλαιο 14.1 έως Υποκεφάλαιο 14.3 1. Δύο όμοια απομονωμένα σώματα, που το καθένα έχει μάζα 2 kg, απέχουν μεταξύ τους 30 cm. Ποιο είναι το μέτρο τής βαρυτικής δύναμης που ασκεί το ένα σώμα στο άλλο; 2. Μια μάζα 200 kg και μια δεύτερη 500 kg απέχουν μεταξύ τους 0.40 m. (a) Βρείτε τη συνισταμένη βαρυτική δύναμη που οφείλεται στις μάζες αυτές και δρα σε μια τρίτη μάζα 50 kg που βρίσκεται στο μέσον τής μεταξύ τους απόστασης, (b) Σε ποια θέση (εκτός από το άπειρο) η μάζα τών 50 kg θα υφίσταται μια συνισταμένη δύναμη ίση με μηδέν; 3. Τρεις μάζες 5 kg είναι τοποθετημένες στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 0.25 m. Προσδιο­ ρίστε το μέτρο και την κατεύθυνση τής συνισταμένης βαρυτικής δύναμης σε μια από τις μάζες που οφείλε­ ται στις δύο άλλες μάζες. 4. Δύο αστέρες μαζών Μ και 4Αί απέχουν μεταξύ τους απόσταση d. Προσδιορίστε τη θέση ενός σημείου μετρούμενη από την Μ στο οποίο η συνισταμένη δύναμη σε μια τρίτη μάζα να είναι μηδέν. 5. Τέσσερα σώματα είναι τοποθετημένα στις κορυφές ενός ορθογωνίου, όπως στο Σχήμα 14.20. Προσδιορί­ στε τις συνιστώσες χ και y τής συνισταμένης δύναμης που ασκείται στο σώμα μάζας τη.

i p -------- ο

Σχήμα 14.20 (Πρόβλημα 5).

6. Υπολογίστε την επιτάχυνση τής βαρύτητας σε ένα σημείο το οποίο βρίσκεται σε απόσταση Re πάνω από την επιφάνεια της Γης, όπου Re είναι η ακτίνα τής Γης. 7. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στο Σχήμα 14.3, προσδιορίστε μια διανυσματική έκφραση για τη συνισταμένη δύναμη στη σφαίρα μάζας 6 kg. Ποιο είναι το μέτρο αυτής τής δύναμης; 8. Δύο σώματα έλκονται μεταξύ τους με μια βαρυτική δύναμη 1.0 X ΙΟ-8 Ν όταν απέχουν 20 cm. Αν η συνολική μάζα τών δύο σωμάτων είναι 5.0 kg, ποια είναι η μάζα καθενός σώματος; 9. Ο Δίας έχει μέση πυκνότητα 1.34 x ΙΟ3 kg/m3 και μέση διάμετρο 1.436 X ΙΟ5 km. Ποια είναι η επιτά­ χυνση τής βαρύτητας στην επιφάνεια τού Δία; 10. Θεωρήστε τη Γη σαν σφαίρα σταθερής πυκνότητας. Ποια πρέπει να είναι η πυκνότητα αυτή ώστε η τιμή τής επιτάχυνσης τής βαρύτητας στην επιφάνεια τής Γης να είναι ίση με τη μετρούμενη; 11. Ενας διπλός αστέρας αποτελείται από δύο άστρα που περιστρέφονται σε κυκλική τροχιά γύρω από το κέντρο βάρους στο μέσο τής απόστασής τους. Αυτό σημαίνει ότι οι μάζες τών δύο άστρων είναι ίσες (βλ.

Σχήμα 14.21). Αν η τροχιακή ταχύτητα καθενός άστρου είναι 220 km/s και η τροχιακή περίοδός του 14.4 ημέρες, βρείτε τη μάζα Μ καθενός άστρου. (Για σύγκριση, η μάζα τού Ηλίου μας είναι 2 X ΙΟ30 kg).

Σχήμα 14.21 (Πρόβλημα 11).

12. Η Σελήνη απέχει από το κέντρο τής Γης 384 400 km και συμπληρώνει μια περιφορά σε 27.3 ημέρες, (a) Προσδιορίστε την τροχιακή ταχύτητα τής Σελήνης, (b) Κατά πόσο «πέφτει» η Σελήνη προς τη Γη σε 1 δευτερόλεπτο; Υποκεφάλαιο 14.4 Νόμοι τού Kepler Υποκεφάλαιο 14.5 Ο νόμος τής παγκόσμιας βαρυτικής έλξης και η κίνηση τών πλανητών 13. Δεδομένου ότι η περίοδος τής Σελήνης κατά την περιφορά της γύρω από τη Γη είναι 27.32 ημέρες και η απόσταση Γης-Σελήνης είναι 3.84 x ΙΟ8 m, ε­ κτιμήστε τη μάζα τής Γης. Υποθέστε ότι η τροχιά είναι κυκλική. Γιατί νομίζετε ότι η εκτίμησή σας έχει μεγάλη τιμή; 14. Ενας δορυφόρος είναι σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. (a) Υπολογίστε τη σταθερά Κ που εμφανίζεται στον τρίτο νόμο τού Kepler, όπως εφαρμόζεται σε αυτήν την περίπτωση, (b) Ποια είναι η περίοδος τού δορυφόρου αν αυτός κινείται σε ύψος 2 x 10s m; 15. Η Ιώ είναι ένας μικρός δορυφόρος τού γίγαντα πλανήτη Δία και έχει περίοδο περιφοράς 1.77 ημέρες και ακτίνα περιφοράς 4.22 X ΙΟ3 km. Από αυτά τα δεδομένα προσδιορίστε τη μάζα τού Δία. 16. Ενας δορυφόρος τού Άρη έχει περίοδο 459 min. Η μάζα τού Άρη είναι 6.42 x Ιθ23 kg. Από τις πληροφορίες αυτές προσδιορίστε την ακτίνα τής τροχιάς τού δορυφόρου. 17. Στο αφήλιό του, ο πλανήτης Ερμής απέχει από τον Ήλιο 6.99 X ΙΟ10 m και στο περιήλιό του απέχει 4.60 X ΙΟ10 m. Αν η τροχιακή του ταχύτητα είναι 3.88 x 104 m/s στο αφήλιο, ποια είναι η τροχιακή ταχύτητα στο περιήλιο; 18. Σε ποια απόσταση από το κέντρο τής Γης ένας τεχνητός δορυφόρος σε μια ισημερινή κυκλική τροχιά (δηλαδή σε μια τροχιά που κείται ολόκληρη στο ισημερινό επίπεδο τής Γης) έχει περίοδο ίση με 1 ημέρα; Ένας τέτοιος σύγχρονος (ή γεωστατικός) δορυφόρος κινείται σε συγχρονισμό με τη Γη, παρα-

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

μένοντας σε μια σταθερή θέση πάνω από ένα σημείο τού ισημερινού. Γεωστατικοί δορυφόροι χρησιμοποι­ ούνται εκτεταμένα ως ακίνητοι σταθμοί αναμετάδο­ σης στα παγκόσμια δίκτυα επικοινωνίας. 19. Χρησιμοποιώντας τον νόμο τής παγκόσμιας έλξης, προσδιορίστε τη μέση ταχύτητα τής Γης στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο. (Χρησιμοποιήστε δεδομένα από το εξώφυλλο αυτού τού βιβλίου). |20. Ο κόμητης τού Halley πλησιάζει τον Ήλιο μέχρι 0.57 A.U. (1 A.U. = 150 X 106 km) και η τροχιακή του περίοδος είναι 75.6 έτη. Πόσο μακριά από τον Ήλιο ταξιδεύει ο κομήτης προτού αρχίσει το ταξίδι τής επιστροφής του; (Βλ. Σχήμα 14.22).

371

από τη Γη σε ύψος 2 x 106 m. (a) Ποια είναι η δυναμική ενέργεια τού συστήματος Γης-δορυ.φόρου; (b) ποιο είναι το μέτρο τής δύναμης που ασκείται στον δορυφόρο; 25. Ενα σύστημα αποτελείται από τρία σώματα, το καθένα μάζας 5 g, που βρίσκονται στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 30 cm. (a) Υπολογίστε τη δυναμική ενέργεια τού συστήματος, (b) Αν τα σώματα αφεθούν ελεύθερα ταυτόχρονα, πού θα συγκρουστούν; 26. Πόση ενέργεια απαιτείται για να μετακινηθεί μια μάζα 1 000 kg από την επιφάνεια τής Γης σε ύψος ίσο με το διπλάσιο τής ακτίνας τής Γης; |27. Αποδείξτε ότι η δυναμική ενέργεια ενός συστήματος που αποτελείται από τέσσερα σώματα ίσης μάζας Μ που είναι τοποθετημένα στις κορυφές ενός τετραγώ­ νου πλευράς d είναι U = - (GM2ld) (4 + V2). Υποκεφάλαιο 14.8 Ενεργειακή θεώρηση τής κίνησης τών Πλανητών και Δορυφόρων

Υποκεφάλαιο 14.6 Το βαρυτικό πεδίο 21. Προσδιορίστε το μέτρο και την κατεύθυνση τής έντασης τού βαρυτικού πεδίου δύο ίσων μαζών που απέχουν μεταξύ τους 2a σε ένα σημείο Ρ το οποίο κείται στη μεσοκάθετο τού ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τις δύο μάζες (βλ. Σχήμα 14.23).

Γ

Σχήμα 14.23 (Πρόβλημα 21).

22. Βρείτε την ένταση τού βαρυτικού πεδίου σε απόστα­ ση r κατά μήκος τού άξονα ενός λεπτού δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας α. 23. Σε ποιο σημείο τής ευθείας που ενώνει τη Γη με τη Σελήνη η βαρυτική δύναμη πάνω σε ένα σώμα είναι ίση με το μηδέν; (Αγνοήστε την παρουσία τού Ηλιου και τών άλλων πλανητών). Υποκεφάλαιο 14.7 Βαρυτική δυναμική ενέργεια Υποθέστε U = 0 στο r = ®. 24. 'Ενας δορυφόρος μάζας 100 kg περιστρέφεται γύρω

28. Υπολογίστε την ταχύτητα διαφυγής από τη Σελήνη χρησιμοποιώντας στοιχεία τού Πίνακα 14.2. 29. Ενα διαστημόπλοιο εκτοξεύεται από την επιφάνεια τής Γης με αρχική ταχύτητα 2.0 x ΙΟ4 m/s. Ποια θα είναι η ταχύτητά του, όταν θα βρίσκεται πολύ μακριά από τη Γη; (Η τριβή παραλείπεται). 30. Ενα διαστημόπλοιο μάζας 500 kg εκτελεί κυκλική τροχιά ακτίνας 2Re γύρω από τη Γη. (a) Πόση ενέργεια απαιτείται για τη μεταφορά τού διαστημο­ πλοίου σε κυκλική τροχιά ακτίνας 4Re; (b) Μελετήστε τη μεταβολή τής δυναμικής, κινητικής και ολικής ενέργειας. 31. (a) Υπολογίστε την ελάχιστη ενέργεια που χρειάται για να μεταφερθεί ένα διαστημόπλοιο μάζας 3 000 kg από τη Γη σε ένα απομεμακρυσμένο σημείο τού Διαστήματος, όπου η βαρύτητα τής Γης είναι αμελητέα, (b) Αν το ταξίδι πρόκειται να διαρκέσει τρεις εβδομάδες, ποια μέση ισχύ πρέπει να αναπτύσ­ σουν οι μηχανές του; 32. Ενας πύραυλος εκτοξεύεται κατακόρυφα από την επιφάνεια τής Γης και φτάνει σε μέγιστο ύψος ίσο προς τρεις γήινες ακτίνες. Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα τού πυραύλου; (Παραλείψετε την τριβή, την περιστροφή τής Γης και την τροχιακή κίνηση τής Γης).' 33. Ενας δορυφόρος περιφέρεται σε κυκλική τροχιά γύρω από έναν πλανήτη ακριβώς πάνω από την επιφάνειά του. Αποδείξτε ότι η τροχιακή ταχύτητα υ και η ταχύτητα διαφυγής τού δορυφόρου συνδέονται με τη σχέση uesc = yjlv. 34. 'Ενας δορυφόρος εκτελεί κυκλική τροχιά ακριβώς πάνω από την επιφάνεια τής Σελήνης. (Η ακτίνα τής Σελήνης είναι 1738 km), (a) Ποια είναι η επιτάχυνση τού δορυφόρου; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού δορυφόρου; (c) Ποια είναι η περίοδος τής τροχιακής του κίνησης; 35. 'Ενας δορυφόρος μάζας 500 kg βρίσκεται σε κυκλική τροχιά σε ύψος 500 km πάνω από την επιφάνεια τής Γης. Εξαιτίας τής τριβής τού αέρα, ο δορυφόρος τελικά πέφτει στη Γη και προσκρούει στην επιφάνειά της με ταχύτητα 2 km/s. Πόση ενέργεια απορροφήθηκε από την ατμόσφαιρα λόγω τής τριβής; |36. 'Ενας σύγχρονος τεχνητός δορυφόρος τής Γης βρί­ σκεται σε ισημερινή κυκλική τροχιά σε ύψος 103 km. Ποια είναι η ελάχιστη πρόσθετη ταχύτητα που

37 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

πρέπει να δοθεί στον δορυφόρο προκειμένου να διαφύγει από τη γήινη βαρυτική έλξη; Πώς συγκρίνεται αυτή η ταχύτητα με την ελάχιστη ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια τής Γης; |37. (a) Ποια είναι η ελάχιστη αναγκαία ταχύτητα για ένα διαστημόπλοιο ώστε να διαφύγει από το ηλιακό σύστημα, ξεκινώντας από την τροχιά τής Γης; (b) Το Voyager 1 ανέπτυξε μέγιστη ταχύτητα 125 000 km/h στο ταξίδι του για να φωτογραφήσει τον Δία. Πέρα από ποια απόσταση από τον 'Ηλιο είναι αυτή η ταχύτητα επαρκής για να διαφύγει από το ηλιακό σύστημα; * Υποκεφάλαιο 14.9 Η βαρυτική δύναμη ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και ένα εκτεταμένο σώμα |38. Μια ομογενής ράβδος μάζας Μ έχει ημικυκλικό σχήμα ακτίνας R (βλ. Σχήμα 14.24). Υπολογίστε τη δύναμη σε μια σημειακή μάζα m τοποθετημένη στο κέντρο τού ημικυκλίου.

Σχήμα 14.24 (Πρόβλημα 38).

|39. Μια μη ομογενής ράβδος μήκους L είναι τοποθετημέ­ νη πάνω στον άξονα τών χ σε απόσταση Η από την αρχή, όπως στο Σχήμα 14.16. Η μάζα ανά μονάδα μήκους λ μεταβάλλεται σύμφωνα με την έκφραση λ = λο + Αχ?, όπου λ0 και Α είναι σταθερές. Βρείτε τη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που τοποθετείται στην αρχή. (Υπόδειξη: ένα στοιχειώδες κομμάτι τής ράβδου έχει μάζα dM = λ dx).*

* Υποκεφάλαιο 14.10 Δύναμη βαρύτητας ανάμεσα σε ένα σωμάτιο και σε μια σφαιρική κατανομή μάζας

40. 'Ενας σφαιρικός δακτύλιος έχει ακτίνα 0.5 m και μάζα 80 kg. Βρείτε τη δύναμη που ασκείται σε ένα σωμάτιο 50 g που βρίσκεται (a) 0.3 m από το κέντρο τού δακτυλίου και (b) έξω από τον δακτύλιο σε απόσταση 1 m από το κέντρο του. |41. Μια ομογενής συμπαγής σφαίρα έχει ακτίνα 0.4 m και μάζα 500 kg. Βρείτε το μέτρο τής δύναμης σε ένα σωμάτιο μάζας 50 g που βρίσκεται (a) 1.5 m από το κέντρο τής σφαίρας, (b) πάνω στην επιφάνεια τής σφαίρας και (c) 0.2 m από το κέντρο τής σφαίρας. |42. Μια ομογενής συμπαγής σφαίρα μάζας ml και ακτί­ νας Λι βρίσκεται στο εσωτερικό ενός ομόκεντρου σφαιρικού δακτυλίου μάζας m2 και ακτίνας R2 (βλ. Σχήμα 14.25). Βρείτε τη δύναμη σε ένα σωμάτιο μάζας m στις θέσεις (a) r = a, (b) r = b, (c) r = c, όπου το r μετριέται από το κέντρο τών σφαιρών.

m2

Σχήμα 14.25 (Πρόβλημα 42).

ΓΕΝΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΑ 43. Υπολογίστε την κλασματική διαφορά Ag/g τής επιτά­ χυνσης τής βαρύτητας μεταξύ τών σημείων στην επιφάνεια τής Γης που βρίσκονται πιο κοντά προς τη Σελήνη και τών σημείων που βρίσκονται πιο μακριά από αυτήν, λαμβάνοντας υπ’ όψιν τη βαρυτική επίδραση τής Σελήνης. (Στη διαφορά αυτή οφείλεται η εμφάνιση τών σεληνιαχών παλιρροιών στη Γη). 44. Τα διαστημόπλοια Voyager 1 και 2 εξέτασαν την επιφάνεια τού δορυφόρου Ιώ τού πλανήτη Δία και φωτογράφησαν ενεργά ηφαίστεια που εκτόξευαν υγρό θείο σε ύψος 70 km πάνω από την επιφάνεια αυτού τού δορυφόρου. Εκτιμήστε την ταχύτητα με την οποία το υγρό θείο διαφεύγει από το ηφαίστειο. Η μάζα τού δορυφόρου Ιώ είναι 8.9 x Mr1 kg και η ακτίνα του 1 820 km. 45. Μια κυλινδρική αποικία στο Διάστημα έχει διάμετρο 6 km και μήκος 30 km. Έχει προταθεί από τον G. Κ. Ο’ Neill, 1974. Μια τέτοια αποικία θα μπορούσε να έχει πόλεις, χωράφια, λίμνες στην εσωτερική επιφά­ νεια και αέρα και σύννεφα στο κέντρο. Αυτά όλα θα συγκροτούνται στη θέση τους με περιστροφή τού κυλίνδρου γύρω από τον επιμήκη άξονά του. Πόσο γρήγορα πρέπει να περιστρέφεται ο κύλινδρος ώστε να δημιουργεί βαρυτικό πεδίο 1 g στα τοιχώματα τού κυλίνδρου; 46. Τοποθετημένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγ­ μένων είναι μια μάζα 2 kg στην αρχή, μάζα 3 kg στη θέση (0,2) και μάζα 4 kg στη θέση (4,0), όπου όλες οι αποστάσεις είναι σε m. Βρείτε τη συνισταμένη βαρυ­ τική δύναμη που ασκείται από τις δύο άλλες μάζες στη μάζα η οποία βρίσκεται στην αρχή. 47. Τρεις μάζες βρίσκονται πάνω στον άξονα χ ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων έτσι ώστε μια μάζα 2 kg να είναι στην αρχή, μια μάζα 3 kg στη θέση (2, 0) m και μια μάζα 4 kg στη θέση (4,0) m. (a) Βρείτε τη βαρυτική δύναμη που ασκείται στη μάζα τών 4 kg από τις δύο άλλες μάζες, (b) Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση τής βαρυτικής δύναμης που δρα στη μάζα τών 3 kg από τις άλλες δύο. 48. Τέσσερεις σφαίρες κείνται στις κορυφές ενός ορθο­ γωνίου, όπως στο Σχήμα 14.26. Προσδιορίστε το μέτρο και την κατεύθυνση τής συνισταμένης δύναμης που ασκείται στη μάζα τών 2 kg η οποία βρίσκεται στην αρχή τών συντεταγμένων. 49. Ένα σώμα μάζας m κινείται σε μια λεία ευθύγραμμη σήραγγα μήκους L που έχει ανοιχθεί κατά μήκος μιας χορδής τής Γης, όπως μελετήθηκε στο Παράδειγ-

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

56.

|57.

50.

51.

52.

53.

|54.

|55.

μα 14.9 (βλ. Σχήμα 14.19). (a) Προσδιορίστε τη σταθερά επαναφοράς τής αρμονικής κίνησης και το πλάτος της. (b) Χρησιμοποιώντας ενεργειακή προ­ σέγγιση, βρείτε τη μεγίστη ταχύτητα τού σώματος. Σε ποια θέση συμβαίνει αυτό; (c) Πάρετε μια αριθμητική τιμή για τη μέγιστη ταχύτητα όταν L = 2 500 km. Για κάθε πλανήτη, κομήτη ή αστεροειδή που περιφέ­ ρονται γύρω από τον 'Ηλιο, ο τρίτος νόμος τού Kepler μπορεί να γραφεί ως Γ2 = kt3 όπου Τ είναι η περίοδος τής τροχιακής κίνησης και r ο μεγάλος ημιάξονας τής τροχιάς, (a) Ποια είναι η τιμή τής k, αν το Τ μετριέται σε έτη και το r σε A.U.; Μια αστρονομική μονάδα (A.U.) είναι η μέση απόσταση τής Γης από τον Ήλιο, (b) Χρησιμοποιήστε τη νέα τιμή τής k για να βρείτε σύντομα την τροχιακή περίοδο τού Δία αν η μέση ακτίνα από τον Ήλιο είναι 5.2 A.U. Δύο υπερωκεάνια, το καθένα μάζας 40 000 μετρικών τόννων, ταξιδεύουν σε παράλληλες πορείες και απέ­ χουν 100 m. Ποιο είναι το μέτρο τής επιτάχυνσης τού ενός ως προς το άλλο η οποία οφείλεται στην αμοιβαία βαρυτική τους έλξη; Ενα αεροπλάνο που εκτελεί ανακύκλωση μπορεί να δημιουργήσει «g = 0» μέσα στην καμπίνα τού αεροπλάνου. Ποια πρέπει να είναι η ακτίνα καμπυ­ λότητας τής τροχιάς πτήσης για ένα αεροπλάνο που κινείται με ταχύτητα 480 km/h ώστε να δημιουργήσει «συνθήκες έλλειψης βαρύτητας» μέσα στο αερο­ πλάνο; Με ποιο ρυθμό (σε στροφές/min) πρέπει να περιστρέ­ φεται ένας φυγοκεντρικός διαχωριστήρας για να προκαλέσει επιτάχυνση 1 000 g σε μια ακτίνα μήκους 10 cm; Η απόσταση τής Γης από τον Ήλιο κυμαίνεται μεταξύ μιας μέγιστης τιμής (στο αφήλιο) ίσης με 1.521 X 1011 m και μιας ελάχιστης τιμής (στο περιήλιο) ίσης με 1.471 x 1011 m. Αν η τροχιακή ταχύτητα τής Γης στο περιήλιο είναι 3.027 x ΙΟ4 m/s, προσδιορίστε (a) την τροχιακή ταχύτητα τής Γης στο αφήλιο, (b) την κινητική και δυναμική ενέργεια στο περιήλιο και (c) την κινητική και δυναμική ενέργεια στο αφήλιο. Η ολική ενέργεια διατηρείται; (Αγνοήστε την επίδραση τής Σελήνης και τών άλλων πλανητών). Δύο υποθετικοί πλανήτες μαζών mι και m2 και ακτινών /γ και r2, αντίστοιχα, ηρεμούν όταν απέχουν μεταξύ τους άπειρη απόσταση. Εξαιτίας τής βαρυτικής τους έλξης αρχίζουν να κινούνται ο ένας προς τον άλλο έτσι ώστε τελικά να συγκρουστούν. (a) Όταν η απόσταση τών κέντρων τους είναι d, βρείτε την ταχύτητα καθενός πλανήτη και τη σχετική τους ταχύτητα, (b) Βρείτε την κινητική ενέργεια καθενός

|58.

|59.

|60.

373

πλανήτη ακριβώς προτού να συγκρουστούν a \m l = 2 X 1024 kg, m2 —8 x ΙΟ24 kg, rx = 3 X ΙΟ6 m και r2 = 5 x 106 m. (Υπόδειξη: σημειώστε ότι και η ενέργεια και η ορμή διατηρούνται). Χρησιμοποιήστε την εξίσωση F = rm?ir για να υπολογίσετε την κεντρομόλο δύναμη που απαιτείται για να κρατάει τη Γη στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο. Συγκρίνετε την τιμή αυτή τής F με την τιμή που βρίσκετε χρησιμοποιώντας τον νόμο τής παγκόσμιας βαρύτητας τού Newton. Όταν το διαστημόπλοιο Απόλλων 11 περιφερόταν γύρω από τη Σελήνη, η μάζα του ήταν 9.979 x ΙΟ3 kg, η περίοδός του 119 min και η μέση απόστασή του από το κέντρο τής Σελήνης 1.849 x ΙΟ6 m. Υποθέτοντας ότι η τροχιά του ήταν κυκλική και η Σελήνη είναι ομογενής σφαίρα, βρείτε (a) τη μάζα τής Σελήνης, (b) την τροχιακή ταχύτητα τού διαστημοπλοίου και (c) την ελάχιστη ενέργεια που χρειάστηκε το διαστημό­ πλοιο για να εγκαταλείψει την τροχιά του και να διαφύγει από τη βαρύτητα τής Σελήνης. Μελέτες που έγιναν για τη σχέση τού Ηλίου με τον τοπικό μας Γαλαξία —τη γαλαξιακή ζώνη— αποκά­ λυψαν ότι ο Ήλιος βρίσκεται κοντά στην εξωτερική όψη τού γαλαξιακού δίσκου, 30 000 περίπου έτη φωτός από το κέντρο. Επί πλέον, έχει βρεθεί ότι ο Ήλιος έχει τροχιακή ταχύτητα περίπου 250 km/s γύρω από το κέντρο τού γαλαξία, (a) Ποια είναι η περίοδος τής κίνησης τού Ηλίου στον Γαλαξία; (b) Ποια είναι κατά προσέγγιση η μάζα τού γαλαξία; Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ο Ήλιος είναι ένα τυπικό άστρο, εκτιμήστε τον αριθμό τών άστρων στον τοπικό μας Γαλαξία. Χρησιμοποιώντας τα στοιχεία τού Πίνακα 14.2, υπολογίστε την ολική δυναμική ενέργεια τού συστή­ ματος Ήλιος-Σελήνη-Γη. Υποθέστε ότι η Σελήνη και η Γη βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τον 'Ηλιο. Ενας υποθετικός πλανήτης μάζας Μ έχει τρεις δορυφόρους που έχουν ο καθένας μάζα m και κινούνται στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας R (βλ. Σχήμα 14.27). Οι δορυφόροι έχουν μεταξύ τους ίσες αποστάσεις και έτσι σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Βρείτε (a) την ολική δυναμική ενέργεια τού συστήματος και (b) την τροχιακή ταχύτητα καθενός δορυφόρου έτσι ώστε να διατηρείται αυτή η διάταξή τους.

Σχήμα 14.27 (Πρόβλημα 60).

|61. 'Ενας δορυφόρος μάζας 200 kg τίθεται σε τροχιά γύρω από τη Γη σε ύψος 200 km πάνω από την επιφάνειά της. (a) Υποθέτοντας κυκλική τροχιά, σε πόσο χρόνο ο δορυφόρος συμπληρώνει μια πλήρη

37 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΤΊΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

περιφορά; (b) Ποια είναι η ταχύτητα τού δορυφό­ ρου; (c) Ποια είναι η ελάχιστη ενέργεια η απαραίτη­ τη για να θέσει αυτόν το δορυφόρο σε τροχιά (υποθέστε ότι δεν υπάρχει τριβή τού αέρα). |62. 'Ενα σωμάτιο μάζας τη κείται πάνω στον άξονα συμμετρίας ενός ομογενούς κυκλικού δακτυλίου μά­ ζας Μ και ακτίνας R (βλ. Σχήμα 14.28). (a) Βρείτε τη δύναμη που ασκείται στο m αν έχει απόσταση d από το επίπεδο τού δακτυλίου, (b) Αποδείξτε ότι το αποτέλεσμά σας επαληθεύει αυτό που περιμένατε από διαίσθηση (1) όταν το τη βρίσκεται στο κέντρο τού δακτυλίου (d = 0) και (2) όταν το τη βρίσκεται μακριά από το δακτύλιο (d > R).

d

|65. Το 1978, αστρονόμοι τού Αμερικανικού Ναυτικού Αστεροσκοπίου ανακάλυψαν ότι ο πλανήτης Πλούτων έχει έναν δορυφόρο, τον Χάροντα, ο οποίος έχει περίοδο περιφοράς περί τον πλανήτη 6.4 ημέρες. Αν από παρατήρηση, βρέθηκε ότι η απόσταση τών κέντρων τών Πλούτωνα και Χάροντα είναι 19 700 km, βρείτε την ολική μάζα (Μ + τη) τού Πλούτωνα και τού δορυφόρου του. (Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε το αποτέλεσμα τού Προβλήματος 64). |66. Σε μια προσπάθεια να εξηγήσουν τις συγκρούσεις μεγάλων μετεωριτών με τη Γη (που φαίνεται να συμβαίνει μια κάθε 3 X 107 έτη), οι επιστήμονες υποστηρίζουν την ύπαρξη ενός συνοδού άστρου στο ηλιακό σύστημα το οποίο είναι εξαιρετικά θολό και, πολύ μακριά από τον 'Ηλιο. Αυτό το άστρο (το οποίο μερικοί ονομάζουν Νέμεση) κινείται κατά μήκος τού άξονα τού νέφους κομητών διαταράσσοντας τις τροχιές τους κάθε 3 x ΙΟ7 έτη. Αν αυτό το υποθετικό άστρο έχει την παραπάνω τροχιακή περίοδο και μάζα ίση με 0.2 φορές τη μάζα τού Ηλίου, προσδιορί­ στε τη μέση απόσταση αυτού (τού συνοδού) άστρου από τον 'Ηλιο Αίηλιου = 2 X ΙΟ30 kg. |67. Ενας δορυφόρος εκτελεί κυκλική τροχιά γύρω από έναν πλανήτη ακτίνας R. Αν το ύψος τού δορυφόρου είναι h και η περίοδός του Τ, (a) δείξτε ότι η πυκνότητα τού πλανήτη είναι

Σχήμα 14.28 (Πρόβλημα 62).

|63. Μια σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R έχει μεταβλητή πυκνότητα που μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το r, δηλ. την απόσταση από το κέντρο της, σύμφωνα με την έκφραση ρ = Ατ, για 0 < r £ Λ. (a) Ποια είναι η σταθερά Α σε συνάρτηση με τα Λί και R; (b) Προσδιορίστε τη δύναμη που ασκείται σε ένα σωμά­ τιο μάζας m που βρίσκεται έξω από τη σφαίρα, (c) Προσδιορίστε τη δύναμη στο σωμάτιο αν βρίσκεται μέσα στη σφαίρα. (Υπόδειξη: βλ.Υποκεφάλαιο 14.10). |64. Δύο άστρα μαζών Μ και τη, που απέχουν μεταξύ τους κατά d, περιστρέφονται σε κυκλικές τροχιές γύρω από το κέντρο μάζας τους (βλ. Σχήμα 14.29). Δείξτε ότι κάθε άστρο έχει περίοδο G(M +m ) (Υπόδειξη: εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο τού Newton σε καθένα άστρο και σημειώστε ότι η συνθήκη τού κέντρου μάζας απαιτεί ότι Mr2 = mrx, όπου rx + r2 = d).

Σχήμα 14.29 (Πρόβλημα 64).

(b) Υπολογίστε τη μέση πυκνότητα τού πλανήτη αν η περίοδος είναι 200 min και η τροχιά τού δορυφόρου είναι κοντά στην επιφάνεια τού πλανήτη. |68 . Η επιτάχυνση τής βαρύτητας σε ύψος Λ δίνεται από την Εξίσωση 14.5. Αν h < Re, αποδείξτε ότι η επιτάχυνση τής βαρύτητας σε ύψος h είναι κατά προσέγγιση

(Υπόδειξη: Αρχίστε με την Εξίσωση 14.5 και χρησι­ μοποιήστε το διωνυμικό ανάπτυγμα για τον παρονο­ μαστή). |69. 'Ενα σώμα μάζας m βρίσκεται στο εσωτερικό μιας ομογενούς στερεάς σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R. Αν το σώμα απέχει από το κέντρο τής σφαίρας απόσταση r, (a) αποδείξτε ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια τού συστήματος είναι U = (GmMUR?)!2 3GmMI2R. (b) Πόσο έργο παράγεται από τη βαρυτι­ κή δύναμη για να μετατοπιστεί το σώμα από την επιφάνεια τής σφαίρας στο κέντρο της; [70. (a) 'Ενας πλανήτης έχει μάζα Λί„ ακτίνα τ και σταθερή πυκνότητα ρ. Θεωρήστε ένα κομμάτι αυτού τού πλανήτη σε μορφή ενός λεπτού σφαιρικού δακτυ­ λίου κοντά στην επιφάνειά του μάζας dm = ρΛπτ2 dr. Αποδείξτε ότι η ενέργεια που χρειάζεται για να μετακινήσουμε τη μάζα αυτού τού δακτυλίου στο άπειρο είναι . Τ_ GMr dm GMr . „ ,. dW = ---- ----- = ----- - (ράπτ* dr) (b) Αν η μάζα τού πλανήτη μέσα από την ακτίνα τ είναι Mr = ρ4πτ3/3, βρείτε την ολική ενέργεια σύνδεσης τού πλανήτη εάν θεωρήσουμε ότι δημιουργείται από σφαιρικούς δακτυλίους, αρχίζοντας από ακτίνα r = 0 και συνεχίζοντας μέχρι r = R0, την εξωτερική ακτίνα, όπου έχει μάζα Μ0 = (4/3) ρπΚ/.

ΔΟΚΙΜΙΟ TO BIG BANG

375

Ο νόμος της παγκόσμιας βαρυτικής έλξης του Newton διδάσκεται σήμερα σε κάθε σειρά μαθημάτων στοιχειώδους Φυσικής. Έχουμε εξοικειωθεί τόσο πολύ μαζί του ώστε, πολλές φορές, ξεχνούμε πόσο η πραγματικά επαναστατική αυτή σχέση άλλαξε την πορεία τής επιστήμης. Ο Newton δεν μάς έδωσε μόνο την ακριβή μαθηματική μεθοδολογία περιγραφής τών κινήσεων τών σωμάτων, αλλά απέδειξε επίσης ότι η μεθοδολογία αυτή ισχύει και για πολύ μεγάλες αποστάσεις από τη Γη. Η δύναμη που αποτελεί το αίτιο ώστε το μήλο να πέφτει στο έδαφος είναι ίδια με τη δύναμη που συγκρατεί τη Σελήνη στην τροχιά της γύρω από την Γη και τους πλανήτες στις τροχιές τους γύρω από τον Ήλιο. Οι ουρανοί δεν είχαν πια μυστικά, η Σελήνη, οι Τού Sidney C. Wolff πλανήτες και, δυνητικά, οι αστέρες υπακούουν στους ίδιους νόμους οι οποίοι National Optical ισχύουν στη Γη. Το Σύμπαν έχασε λοιπόν τον χαρακτήρα τού υπερφυσικού Astronomy Observatory μυστηρίου και έγινε αντικείμενο επιστημονικής έρευνας. Αλλά είναι ο νόμος τής βαρυτικής έλξης τού Newton πράγματι παγκόσμιος; Ισχύει για το Σύμπαν στο σύνολό του; Ισχύει προκειμένου για τους αστέρες; Ο Newton υπέθεσε ότι ισχύει, αλλά οι παρατηρησιακές μετρήσεις τής εποχής του δεν είχαν την απαραίτητη ακρίβεια για να επιβεβαιώσουν την υπόθεσή του. Η επίδραση τής βαρύτητας φαίνεται μόνον όταν αναλύσουμε τις κινήσεις τών διαφόρων σωμάτων. Την εποχή τού Newton δεν είχαν μετρηθεί κινήσεις τών αστέρων, εκτός από την ανατολή τους και τη δύση τους, που ήταν γνωστό ότι ήταν αποτέλεσμα τής περιστροφής τής Γης γύρω από τον άξονά της. Το γεγονός όμως ότι υπάρχουν σμήνη αστέρων, όπως είναι λ.χ. οι Πλειάδες και οι Υάδες, δείχνει ότι ελκτικές δυνάμεις επηρεάζουν τους αστέρες. Η υπόθεση αυτή όμως αποδείχθηκε ένα αιώνα αργότερα. Τον Ιανουάριο τού 1782 ο Sir William Herschel, που είναι επίσης γνωστός διότι ανακάλυψε τον πλανήτη Ουρανό, δημοσίευσε έναν κατάλογο με 269 ζεύγη αστέρων που βρίσκονται πολύ κοντά το ένα με το άλλο στον ουρανό. Δεν γνώριζε τότε εάν αυτά ήταν πράγματι ζεύγη αστέρων που αποτελούσαν φυσικά συστήματα ή απλώς φαίνονταν έτσι επειδή έτυχε να βρίσκονται πάνω στην ίδια διεύθυνση από τη Γη αλλά είχαν πολύ διαφορετικές αποστάσεις από τη Γη. Μετά από 20 περίπου χρόνια, ο Herschel επανέλαβε τις παρατηρήσεις του στους διπλούς αυτούς αστέρες και ανακάλυψε ότι σε μερικά από τα ζεύγη οι αστέρες είχαν μεταβάλει θέσεις μεταξύ τους με τρόπο τέτοιο που μπορούσε να εξηγηθεί μόνο εάν ένας αστέρας τού ζεύγους περιφερόταν γύρω από τον άλλο. Πολλές ακριβείς μετρήσεις που διήρκεσαν αρκετές δεκαετίες έγιναν από άλλους αστρονόμους και απέδειξαν ότι οι τροχιές τις οποίες ακολουθούν οι αστέρες που είναι σε ζεύγη εξηγούνται πράγματι με τον νόμο τού αντιστρόφου τετραγώνου τής αληθινά, τώρα πια, παγκόσμιας έλξης τού Newton. Το συμπέρασμα όμως ότι οι κινήσεις τών αστέρων καθορίζονται από τη δύναμη τής βαρύτητας δημιουργεί ένα σημαντικό πρόβλημα, την υπάρξη τού οποίου είχε αναγνωρίσει και ο Newton. Μέχρι τις αρχές τού 20ού αιώνα πιστευόταν ότι το Σύμπαν είναι στατικό, ότι, δηλαδή, δεν αλλάζει, δεν διαστέλλεται ούτε συστέλλεται. Εάν η θεωρία τής βαρυτικής έλξης ισχύει για όλα τα σώματα που αποτελούν το στατικό Σύμπαν και εάν το Σύμπαν είναι πεπερασμένο, τότε είναι εύλογο να αναρωτιέται κανείς γιατί δεν έχει καταρρεύσει όλο το Σύμπαν σε μια μόνον μάζα, αφού όλα τα σώματα αλληλοέλκσνται. Ο Newton πίστευε ότι εάν το Σύμπαν είναι άπειρο, τότε είναι αδύνατο το Σύμπαν στο σύνολό του να καταρρεύσει σε μία μόνον μάζα. Πίστευε ότι είναι πιθανότερο μέρος τού Σύμπαντος να καταρρεύσει σε μία μάζα, άλλο μέρος του σε άλλη κ.ο.κ. Το αποτέλεσμα θα ήταν ένας άπειρος αριθμός μεγάλων μαζών διασκορπισμένων μέσα στο άπειρο Σύμπαν. Το επόμενο μετά τον Newton μεγάλο βήμα προς τα εμπρός στη θεωρία τής βαρύτητας έγινε από τον Einstein με τη γενική θεωρία τής σχετικότητας. Το 1917 ο Einstein εφάρμοσε τη θεωρία του σε ολόκληρο το Σύμπαν και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ούτε ένα άπειρο Σύμπαν μπορεί να είναι στατικό. Επειδή και ο Einstein πίστευε ότι το Σύμπαν ούτε διαστέλλεται ούτε συστέλλεται, εισήγαγε έναν νέο όρο στις εξισώσεις του. Ο όρος αυτός, που ονομάζεται κοσμολογική σταθερά, είναι ισοδύναμος με μία απωθητική δύναμη η οποία εξισορροπεί τη βαρυτική έλξη σε μεγάλες αποστάσεις και επιτρέπει έτσι την ύπαρξη ενός στατικού Σύμπαντος. Στη φύση όμως δεν υπάρχει καμιά ένδειξη για μια τέτοια απωθητική δύναμη. Ο Einstein Σ χήμα 1. Ο σπειροειδής γαλαξίας εισήγαγε την κοσμολογική σταθερά για να συμβιβάσει τη γενική θεωρία τής Μ 83 απέχει 10 εκατομμύρια έτη φωτός από τη Γη και έχει διάμετρο σχετικότητας με το «πιστεύω» τής εποχής του ότι το Σύμπαν είναι στατικό. Σήμερα όμως γνωρίζουμε ότι το Σύμπαν δεν είναι στατικό. Οι παρατηρήσεις 30 000 ετών φωτός. Γαλαξίες σαν Μ83 περιέχουν δισεκατομμύρια δείχνουν ότι χωρίς καμιά αμφιβολία το Σύμπαν διαστέλλεται. Αυτό το γεγονός είναι τον αστέρες. (National Optical Astrono­ θεμελιώδους σημασίας και είναι βασικό πια συστατικό όλων τών σύγχρονων my Observatories). κοσμολογικών θεωριών. Σε ένα κλασικό πλέον δημοσίευμα τους το 1931, οι Edwin Hubble και Milton Humason συνέκριναν αποστάσεις και ταχύτητες μακρινών

ΔΟΚΙΜΙΟ

To Big Bang (το μεγάλο μπανγκ)

376

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΏΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

Σχήμα 2 Γραφική παράσταση τής σχέσης ταχύτητας-απόστασης τών Hubble και Humason, παρμένη από την εργασία τους που δημοσιεύθηκε το 1931 στο περιοδικό Astrophysical Journal. Ο ι αποστάσεις είναι μετρη­ μένες σε parsec (ένα parsec είναι η απόσταση που διανύει το φως σε 3.26 έτη). (Από Abell, Morrison, and Wolff, Exploration o f the Uni­ verse», 5η έκδ., 1987, σελ. 658).

γαλαξιών, που αποτελούν γιγαντιαία συστήματα δισεκατομμυρίων αστέρων (Σχήμα 1). Η σύγκρισή τους απέδειξε ότι οι γαλαξίες απομακρύνονται από εμάς με ταχύτητες οι οποίες είναι ανάλογες προς την απόστασή τους από τη Γη. Τη σχέση αυτή την εξέφρασαν με τον εξής τύπο ν = H 0r,

όπου υ είναι η ταχύτητα με την οποία απομακρύνεται από εμάς ο δεδομένος γαλαξίας, r είναι η απόσταση τού γαλαξία και Η0 είναι η σταθερά τής αναλογίας. Η εξίσωση αυτή λέγεται και νόμος τον Hubble και η Η0 λέγεται σταθερά τον Hubble (Σχήμα 2). Εάν η ταχύτητα είναι ανάλογη προς την απόσταση, τότε το Σύμπαν πρέπει να διαστέλλεται. Για να κατανοήσουμε το φαινόμενο αυτό ας σκεφθούμε το ακόλουθο παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι ένας μάγειρας φτιάχνει σταφιδόψωμο. Έχει βάλει μαγιά στη ζύμη και το αφήνει να φουσκώσει προτού τό ψήσει. Η ζύμη φουσκώνει και διπλασιάζεται σε όγκο μέσα στην επόμενη ώρα (Σχήμα 3). Όλες οι σταφίδες απομακρύνονται η μία από την άλλη και η απόσταση ανάμεσα σε δύο οποιεσδήποτε σταφίδες διπλασιάζεται, εφόσον μέσα σε μια ώρα όλες οι σχετικές αποστάσεις τών σταφίδων διπλασιάζονται. Ας επιλέξουμε τώρα μία τυχαία σταφίδα και ας την ορίσουμε ως αρχή τών συντεταγμένων μας. Όλες οι άλλες σταφίδες απομακρύνονται από αυτήν που επιλέξαμε ως αρχή τών συντεταγμένων με ταχύτητα ανάλογη προς Σχήμα 3 Διασιελλόμενο σταφιδό­ ψωμο (Παρμένο από την εργασία Abell, Morrison, and Wolff, Explo­ ration o f the Universe, 5η έκδ., Φ ι­ λαδέλφεια, Saunders College Publis­ hing, 1987, σελ. 659).

ΔΟΚΙΜΙΟ TO BIG BANG

377

την απόστασή τους από την αρχή των συντεταγμένων. Το ίδιο ισχύει, ανεξάρτητα από ποια σταφίδα θα επιλέξουμε ως αρχή τών συντεταγμένων. Από το παραπάνω παράδειγμα φαίνεται σαφώς ότι εάν το Σύμπαν διαστέλλεται με τον ίδιο ρυθμό προς όλες τις κατευθύνσεις, τότε όλοι οι παρατηρητές οπουδήποτε και αν βρίσκονται, προφανώς συμπεριλαμβανομένων και τών γήινων παρατηρητών, βλέπουν όλους τους άλλους γαλαξίες να απομακρύνονται από αυτούς με ταχύτητες που είναι ανάλογες προς τις αποστάσεις τών γαλαξιών από τους παρατηρητές. Όπως απέδειξαν οι Hubble και Humason αυτό ακριβώς παρατηρούμε από τη Γη. Ο Αμερικανός φυσικός George Gamow διηγείται ότι όταν ο Einstein πληροφορήθηκε ότι η διαστολή τού Σύμπαντος μετρήθηκε και επομένως η γενική θεωρία τής σχετικότητας δεν διαφωνούσε με τη πραγματικότητα και δεν απαιτούνταν η προσθήκη τής κοσμολογικής σταθερός, είπε ότι η εισαγωγή τής κοσμολογικής σταθεράς ήταν «η μεγαλύτερη ανοησία τής ζωής του». Αλλά για να συναγάγουμε συμπεράσματα για όλο το Σύμπαν από γήινες παρατηρήσεις πρέπει να υποθέσουμε ότι το μέρος τού Σύμπαντος που παρατηρούμε είναι αντιπροσωπευτικό τού υπόλοιπου. Η υπόθεση αυτή είναι γνωστή ως «κοσμολογική αρχή», σύμφωνα με την οποία, με εξαίρεση πιθανώς τοπικές ανωμαλίες, το Σύμπαν σε μια δεδομένη στιγμή είναι το ίδιο παντού. Εάν ισχύει η αρχή αυτή, τότε μπορούμε να συναγάγουμε συμπεράσματα για το υπόλοιπο Σύμπαν από τις μετρήσεις που μπορούμε να κάνουμε στο μικρό κομμάτι τού Σύμπαντος που μάς περιβάλλει. Μπορούμε να καταλήξουμε σε ορισμένα σημαντικά συμπεράσματα για το διαστελλόμενο Σύμπαν εάν χρησιμοποιήσουμε τον νόμο τής παγκόσμιας έλξης τού Newton, την κοσμολογική αρχή και μία ακόμη υπόθεση. Φανταστείτε μια σφαίρα ακτίνας τ με κέντρο το σημείο Ο, όπου βρίσκεται και ο παρατηρητής (Σχήμα 4). Πρέπει τώρα να υποθέσουμε ότι η κίνηση ενός γαλαξία που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια τής σφαίρας είναι αποτέλεσμα τών βαρυτικών δυνάμεων τών γαλαξιών που βρίσκονται μέσα στη σφαίρα. Υποθέτουμε έτσι ότι οι βαρυτικές δυνάμεις όλων τών γαλαξιών οι οποίοι βρίσκονται έξω από τη σφαίρα αλληλοαναιρούνται και έτσι δεν επιδρούν πάνω στον γαλαξία που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια τής σφαίρας. Η υπόθεση που κάναμε φαίνεται πιθανή για ένα άπειρο Σύμπαν, αλλά κανένας δεν έχει αποδείξει την ορθότητα της με τη θεωρία τού Newton. Μόνο μέσα στα πλαίσια τής γενικής θεωρίας τής σχετικότητας μπορεί να αποδειχθεί ότι οι υπολογισμοί που ακολουθούν για την κίνηση τών γαλαξιών είναι σωστοί. Εν πάση περιπτώσει, οι νευτώνειοι υπολογισμοί που θα κάνουμε δίνουν σωστά αποτελέσματα και τα αποτελέσματα αυτά μάς επιτρέπουν να συναγάγουμε ενδιαφέροντα συμπερά­ Σχήμα 4 m είναι η μάζα ενός γαλαξία που βρίσκεται στην επιφά­ σματα για το παρελθόν και για το μέλλον τού Σύμπαντος. Ας συμβολίσουμε με m τη μάζα ενός τυχαίου γαλαξία ο οποίος βρίσκεται πάνω νεια μιας σφαίρας ακτίνας τ με στην επιφάνεια τής σφαίρας ακτίνας r τού Σχήματος 4. Ας σημβολίσουμε με Αί τη κέντρο στο Ο. Η σφαίρα περιέχει συνολική μάζα όλων τών γαλαξιών οι οποίοι βρίσκονται μέσα στη σφαίρα. Εάν ρ0 πολλούς γαλαξίες, ολικής μάζας Μ. είναι η σημερινή πυκνότητα μάζας μέσα στη σφαίρα, μπορούμε να γράψουμε: Μ = πυκνότητα · όγκο =

,

Εάν η μόνη δύναμη που δρα πάνω στον γαλαξία μάζας m είναι η βαρύτητα, τότε η ολική ενέργεια τού γαλαξία είναι σταθερή. Εάν τή συμβολίσουμε με Ε, έχουμε

όπου υ είναι η ταχύτητα τού γαλαξία. Η ολική ενέργεια Ε μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική. Αυτό εξαρτάται από την ταχύτητα υ. Εάν η Ε είναι θετική, τότε ο γαλαξίας m θα εξακολουθήσει να απομακρύνεται από τον παρατηρητή Ο μέχρις ότου φτάσει στο άπειρο. Εάν η Ε είναι αρνητική, τότε ο γαλαξίας m είναι δέσμιος και, τελικά, θα καταρρεύσει στην αρχή Ο. Εάν η Ε είναι μηδενική, τότε ο γαλαξίας m μόλις και θα εξακολουθήσει να απομακρύνεται από το Ο και η ταχύτητά του ν θα ελαττώνεται μέχρις ότου γίνει μηδενική καθώς r —> °ο. Η κοσμολογική αρχή με τη σειρά της μάς διαβεβαιώνει ότι τα συμπεράσματα στα οποία θα καταλήξουμε για την επιφάνεια τής σφαίρας πρέπει να ισχύουν για όλους τους άλλους γαλαξίες οι οποίοι υπάρχουν στο Σύμπαν. Έτσι λοιπόν συμπεραίνουμε ότι θετική ενέργεια Ε αντιστοιχεί σε ένα Σύμπαν που διαστέλλεται στο διηνεκές.

378

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΕΛΞΗΣ

Αρνητική Ε σημαίνει ότι το Σόμπαν κάποτε θα σταματήσει να διαστέλλεται και θα καταρρεόσει (δηλαδή θα συσταλεί). Εφόσον ξέρουμε από τον νόμο τοό Hubble ότι ν = HqT, εάν Ε = 0, με κατευθείαν αντικατάσταση έχουμε

Σχήμα 5 Εκτιμούμε τη μέση πυκνό­ τητα τού Σύμπαντος μελετώντας τις ταχύτητες τών γαλαξιών σε ζεύγη, μικρές ομάδες ή σμήνη. Το απεικονιζόμενο ζεύγος τών γαλαξιών (NGC 2207 κα ι 1C 2103) βρίσκεται ν αστερισμό τού Μεγάλου Κυνός. (National Optical Astronomy Observatories).

3Η„2 Α> = 8nG Με άλλα λόγια, εάν η πυκνότητα μάζας τού Σύμπαντος είναι σήμερα 3H02/8nG, τότε το Σόμπαν είναι οριακά δέσμιο και μόλις θα μπορεί να εξακολουθήσει να διαστέλλεται στο διηνεκές. Η περίπτωση είναι ανάλογη προς την περίπτωση τής κατακόρυφης εκτόξευσης ενός αντικειμένου από την επιφάνεια τής Γης. Εάν η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα διαφυγής, το αντικείμενο δεν θα επιστρέφει ποτέ στην επιφάνεια τής Γης. Εάν είναι μικρότερη από την ταχύτητα διαφυγής, θα ξαναπέσει στο έδαφος τής Γης. Παρομοίως, εάν η ταχύτητα τού γαλαξία ο οποίος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια τής υποθετικής σφαίρας τού Σχήματος 4 είναι αρκετά μεγάλη ώστε να υπερνικήσει τη βαρυτική έλξη τών γαλαξιών οι οποίοι είναι μέσα στη σφαίρα, θα εξακολουθήσει να απομακρύνεται και έτσι θα συνεχιστεί η διαστολή τού Σύμπαντος. Εάν όμως η ταχύτητά του είναι μικρότερη από την ταχύτητα διαφυγής, τότε θα επιβραδυνθεί μέχρις ότου η ταχύτητά του γίνει μηδενική, οπότε ο γαλαξίας θα αλλάξει κατεύθυνση και θα κινείται προς τους γαλαξίες οι οποίοι βρίσκονται μέσα στη σφαίρα. Το προφανές ερώτημα λοιπόν είναι ποια από αυτές τις πιθανότητες θα ακολουθήσει η πορεία τού Σύμπαντός μας. Η απάντηση εξαρτάται από το πώς συγκρίνεται η πυκνότητα τού Σύμπαντός μας με την κρίσιμη πυκνότητα που βρήκαμε προηγουμένως, δηλαδή από τη σύγκριση τής ρ0 με την 3H02l8nG. Μπορούμε να εκτιμήσουμε την ρ0 προσθέτοντας τη μάζα τών γαλαξιών οι οποίοι βρίσκονται γύρω μας μέσα σε κάποιο γνωστό όγκο τού Σύμπαντος. Οι περισσότεροι γαλαξίες δημιουργούν σμήνη, τα οποία μπορούμε να «ζυγίσουμε» μετρώντας τη βαρυτική επίδραση που έχουν πάνω στους γειτονικούς τους γαλαξίες (Σχήμα 5). Λογουχάρη, εάν έχουμε δύο γαλαξίες οι οποίοι κινούνται ο ένας γύρω από τον άλλο και γνωρίζουμε τη σχετική τους απόσταση και ταχύτητα, τότε από τον τρίτο νόμο τού Kepler υπολογίζουμε τη συνολική τους μάζα. Υπάρχουν επίσης μαθηματικές μέθοδοι για τον υπολογισμό τής συνολικής μάζας ενός σμήνους που περιέχει περισσότερους από δύο γαλαξίες. Οι καλύτεροι υπολογισμοί που μπορούμε να κάνουμε για τη μέση πυκνότητα μάζας τού Σύμπαντος δείχνουν ότι υπάρχει μόνο το 10% με 20% τής πυκνότητας μάζας που απαιτείται ώστε να σταματήσει η διαστολή τού Σύμπαντός μας. Υπάρχουν επίσης ορισμένα θεωρητικά επιχειρήματα, σύμφωνα με τα οποία η πραγματική πυκνότητα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα που δίνουν οι χονδρικοί υπολογισμοί. Μερικοί μάλιστα λένε ότι ίσως η πραγματική πυκνότητα είναι ακριβώς ίση με την τιμή τής πυκνότητας που θα σταματήσει τη διαστολή. Στην περίπτωση αυτή όμως η επιβράδυνση είναι τόσο μικρή ώστε χρειάζεται άπειρος χρόνος για να γίνει μηδενική η ταχύτητα διαστολής. Επομένως σήμερα τόσο οι παρατηρήσεις όσο και οι θεωρητικοί υπολογισμοί συμπίπτουν στο ότι οι γαλαξίες δεν θα αντιστρέφουν την πορεία τους και το Σύμπαν θα εξακολουθήσει να διαστέλλεται. Ο μόνος τρόπος να ξεφύγουμε από το προηγούμενο συμπέρασμα είναι να δεχθούμε ότι ίσως οι αστρονόμοι δεν κατόρθωσαν να ανιχνεύσουν ένα μεγάλο μέρος τής ολικής μάζας τού Σύμπαντος. Η «χαμένη» αυτή μάζα δεν θα είχε ανιχνευθεί μέχρι τώρα εάν ήταν σκοτεινή εάν, δηλαδή δεν εξέπεμπε φως και ήταν «σκοτεινή» ύλη. (Σημ. Μετφρ.: Εάν τα νετρίνα είχαν μη μηδενική μάζα, τότε, επειδή υπάρχει μεγάλος αριθμός νετρίνων τού Big Bang, θα είχαμε ικανή ποσότητα μάζας ώστε να βρεθεί η «χαμένη» μάζα). Η σκοτεινή μάζα θα έπρεπε να είναι συγκεντρωμένη σε μέρη τού Σύμπαντος που φαίνονται άδεια, αλλιώς θα έπρεπε να μπορούσαμε να μετρήσουμε την επίδρασή της σε γειτονικούς της ορατούς γαλαξίες ή αστέρες. Ένα από το σημαντικότερα προβλήματα τής σύγχρονης Αστροφυσικής και Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων είναι ακριβώς το ερώτημα αυτό: υπάρχει ή όχι σκοτεινή μάζα; Και εάν υπάρχει από τί αποτελείται; Καθώς το Σύμπαν διαστέλλεται, οι γαλαξίες απομακρύνονται ο ένας από τον άλλον. Μπορούμε όμως να φανταστούμε τί συνέβη και στο παρελθόν. Εάν προεκταθούμε στο παρελθόν, θα δούμε ότι όλοι οι γαλαξίες συνέτρεχαν ώσπου όλη η ύλη τού Σύμπαντος συγκεντρώθηκε στο ίδιο σημείο! Είχαμε, δηλαδή, τρομερά

ΔΟΚΙΜΙΟ TO BIG BANG

μεγάλη πυκνότητα, τόσο μεγάλη ώστε πράγματι να περιγράφει την αρχή τού Σύμπαντος — ή τουλάχιστον αυτού τού Σύμπαντος που γνωρίζουμε, τού δικού μας Σύμπαντος. Στην αρχή αυτή, το Σύμπαν ξαφνικά έκανε ένα μεγάλο μπανγκ —το Big Bang— και έτσι ξαφνικά άρχισε να διαστέλλεται· και εγένετο Σύμπαν! Με τα δεδομένα που γνωρίζουμε σήμερα μπορούμε να υπολογίσουμε χονδρικά πότε ξεκίνησε το Σύμπαν μας. Η ολική ποσότητα μάζας και ενέργειας τού Σύμπαντος δημιουργεί βαρύτητα και έτσι όλα τα σώματα έλκουν το ένα το άλλο. Η αμοιβαία έλξη, προφανώς, επιβραδύνει τη διαστολή, Αυτό σημαίνει ότι στο παρελθόν η διαστολή γινόταν με γρηγορότερο ρυθμό από ό,τι σήμερα. Πόσο γρηγορότερα; Αυτό εξαρτήθηκε από το πόσο μπορούσε η βαρύτητα να μειώσει τον ρυθμό διαστολής. Στο όριο, εάν δηλαδή η πυκνότητα τής ολικής μάζας-ενέργειας ήταν αρκετά χαμηλή ώστε η βαρύτητα να είναι αναποτελεσματική (δηλαδή ένα, βασικά, «άδειο» Σύμπαν) η επιτάχυνση θα ήταν μηδενική και στην περίπτωση αυτή το Σύμπαν θα διαστελλόταν στο διηνεκές με τον σημερινό ρυθμό. Είναι σαφές ότι το όριο τού άδειου Σύμπαντος αντιστοιχεί στη μέγιστη ηλικία τού Σύμπαντος (μετρούμε από το Big Bang). Εάν η διαστολή γινόταν γρηγορότερα στο παρελθόν, οι γαλαξίες θα είχαν φτάσει στις σημερινές σχετικές αποστάσεις τους νωρίτερα. Επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε ένα ανώτατο όριο τής ηλικίας τού Σύμπαντος άν απαντήσουμε στο ερώτημα πόσο χρόνο χρειάστηκαν οι μακρινοί γαλαξίες (που συνεχώς απομακρύνονται από μάς) ώστε να φτάσουν σας αποστάσεις που βρίσκονται σήμερα εάν κινούνταν με τον σημερινό τους ρυθμό. Ας ονομάσουμε αυτόν τον μέγιστο δυνατό χρόνο Τ0. Σύμφωνα όμως με τον νόμο τού Hubble ®= H0r. Αλλά η ταχύτητα δεν είναι τίποτε άλλο από το πηλίκον τής απόστασης διά τού χρόνου, δηλαδή ν = r/T0. Επομένως

Βλέπουμε λοιπόν ότι η μέγιστη δυνατή ηλικία τού Σύμπαντος είναι το αντίστροφο τής σταθερός τού Hubble. Η τιμή τής σταθεράς τού Hubble δεν μάς είναι γνωστή με μεγάλη ακρίβεια, κυρίως διότι υπάρχει μεγάλο σφάλμα στις μετρήσεις τών αποστάσεων τών μακρινών γαλαξιών. Εν πάση περιπτώσει, η καλύτερη εκτίμηση για την ηλικία τού Σύμπαντος είναι ότι το Big Bang έγινε πριν από 10 με 15 δισεκατομμύρια χρόνια. Εάν οι σημερινές μας ιδέες είναι σωστές, δεν μπορεί να υπάρξει ανανέωση τού Σύμπαντος (Σημ. Μετφρ.. Αυτό αναφέρεται στο δικό μας Σύμπαν και δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρξουν άπειρα άλλα Σύμπαντα που θα διαδεχθούν το δικό μας Σύμπαν. Όπως επίσης είναι πιθανόν να υπήρξαν άπειρα άλλα Σύμπαντα πριν από το Big Bang τού δικού μας Σύμπαντος). Κατά τη στιγμή τού Big Bang, το Σύμπαν μας ήταν πάρα πολύ πυκνό και θερμό. Καθώς άρχισε να διαστέλλεται, άρχισε ταυτόχρονα και να ψύχεται. Δημιουργήθηκαν τα στοιχειώδη σωματίδια, μετά το υδρογόνο, το ήλιο και κατόπιν άλλα άτομα. Κατά κάποιον τρόπο — οι θεωρίες μας εδώ δεν είναι πολύ ακριβείς— τα άτομα τού υδρογόνου και τού ηλίου σχημάτισαν συμπυκνωμένη ύλη και έτσι σχηματίστηκαν τελικά οι γαλαξίες. Μαζί με αυτούς τους πρώτους γαλαξίες σχηματίστηκαν και αστέρες. Σε πολλούς γαλαξίες, αστέρες δημιουργούνται ακόμη και τώρα. Οι αστέρες καταναλώνουν όλο το πυρηνικό τους καύσιμο ορισμένοι ύστερα από εκατομμύρια χρόνια και άλλοι μετά από δισεκατομ­ μύρια χρόνια. Μερικοί αστέρες πεθαίνουν σιγά-σιγά, άλλοι όμως εκρήγνυνται και εκτοξεύουν μέρος τής μάζας τους στο Σύμπαν, όπου η μάζα αυτή συμμετέχει ξανά στη δημιουργία καινούργιων αστέρων. Πολλοί αστέρες, καθώς πεθαίνουν, αφήνουν πίσω τους έναν πολύ πυκνό πυρήνα, που περιέχει σημαντικό μέρος τής μάζας τους. Η ύλη που περιέχεται σε αυτούς τους πυρήνες δεν συνεισφέρει πια στη δημιουργία άλλων αστέρων. Οι πυρήνες αυτοί δεν ακτινοβολούν ενέργεια. Στο τέλος, αφού θα έχει χρησιμοποιηθεί όλη η αστρική στάχτη και όλο το αστρικό αέριο, δεν θα δημιουργούνται πλέον νέα άστρα και αφού «πεθάνει» και η τελευταία γενεά αστέρων θα βασιλεύσει παντού το σκοτάδι, ίσως για πάντα. Με τις σημερινές μας γνώσεις τής Φυσικής και τής Αστρονομίας το παραπάνω σενάριο είναι το πιθανότερο, δεν υπάρχει άλλη λύση. Πλην όμως δεν πρέπει να μάς διαφεύγει ότι η σημερινή μας γνώση, κατά πάσαν πιθανότητα, δεν είναι πλήρης. Στα τέλη τού 19ου αιώνα οι φυσικοί πίστευαν ότι είχαν πλήρεις γνώσεις. Οι

379

380 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ ΕΛΞΗΣ θεωρίες τής βαρύτητας, τής θερμότητας, τού ηλεκτρομαγνητισμού εξηγούσαν σχεδόν όλα τα πειραματικά δεδομένα. Οι περισσότεροι φυσικοί δεν περίμεναν πια σημαντικές ανακαλύψεις. Προσπαθούσαν να βελτιώσουν κάπως τις μετρήσεις και να «χτενίσουν» καλύτερα τις θεωρίες τους. Αλλα υπήρχαν μερικά πειράματα, όπως τα πειράματα εκπομπής ακτινοβολίας, το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, το φαινόμενο Compton, καθώς και το πείραμα τών Michelson-Morley, τα οποία δεν μπορούσαν να ερμηνεύσουν ικανοποιητικά οι γενικά παραδεκτές θεωρίες. Έπρεπε να έλθει ο Max Planck και ο Albert Einstein για να αναθεωρήσουν ριζικά εκείνο που οι άλλοι αποδέχονταν ως «γενικά ικανοποιητική Φυσική». Να είστε βέβαιοι ότι πολύ πιθανόν η εικόνα που παρουσιάσαμε εδώ για την αρχή, την εξέλιξη και την τελική τύχη τής ύλης τού Σύμπαντός μας θα υποστεί δραστική μεταβολή. Ο κύριος λόγος μάλιστα που οι φυσικοί και οι αστρονόμοι μελετούν και κάνουν πειράματα και παρατηρήσεις σε προβλήματα κοσμολογίας είναι ότι ο τομέας αυτός τής Φυσικής χρειάζεται ακόμη πολλή εργασία ώσπου να τόν κατανοήσουμε πλήρως. Να είστε βέβαιοι ότι πολλά μυστικά θα αποκαλυφθούν μετά από τη συστηματική επιστημονική «έφοδο» που γίνεται σήμερα στα προβλήματα αυτά. Η καινούργια γνώση είναι το γέρας και ο τελικός σκοπός τής επιστημονικής έρευνας. Προτεινόμενη βιβλιογραφία Ferris, Τ., The Red Limit, 2nd ed., New York, Morrow, Quill, 1983. Harrison, E.R., Cosmology, Cambridge, England, Cambridge University Press, 1981. Silk, J., The Big Bang, New York, W.H. Freeman, 1989. Tucker, W., and K. Tucker, The Dark Matter, New York, William Morrow, 1988. Ερωτήσεις Δοκιμίου 1. Οταν οι Hubble και Humason πρωτοανήγγειλαν τα αποτελέσματα τών ερευνών τους για τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με την απόσταση τών γαλαξιών, πίστευαν ότι η σταθερά αναλογίας Η0 ήταν ίση με 200 km/s ανά εκατομμύριο ετών φωτός περίπου. Πόσο διέφερε η εκτίμηση την οποία έκαναν για την ηλικία τού Σύμπαντός από την εκτίμηση που είναι γενικά αποδεκτή σήμερα και η οποία βασίζεται στην τιμή τού Η0 = 20 km/s ανά εκατομμύριο ετών φωτός; Οι πιο «γηραιοί» αστέρες στο Σύμπαν έχουν ηλικία 15 δισεκατομμύρια περίπου έτη. Συμφωνεί το δεδομένο αυτό με την τιμή τής σταθερός τού Hubble Η0 που έδωσαν οι Hubble και Humason; 2. Πιο πάνω εξηγήσαμε πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τις μάζες δύο γαλαξιών οι οποίοι περιστρέφονται ο ένας γύρω από τον άλλο, εάν μετρήσουμε τη σχετική τους απόσταση και ταχύτητα και εφαρμόσουμε τον τρίτο νόμο τού Kepler. Μπορείτε να κάνετε το ίδιο εάν μετρήσετε κατευθείαν την περίοδο περιφοράς; Εάν όχι, γιατί; (Μην ξεχνάτε ότι οι γαλαξίες αποτελούνται από δισεκατομμύρια αστέρες και έχουν διαμέτρο περίπου 100 000 έτη φωτός). 3. Εξηγήστε γιατί η παρατήρηση ότι όλοι οι γαλαξίες απομακρύνονται από εμάς δεν σημαίνει ότι είμαστε στο κέντρο τού Σύμπαντός. Προβλήματα Δοκιμίου 1. Αποδείξτε ότι εάν η ολική ενέργεια ενός γαλαξία στην επιφάνεια τής σφαίρας τού Σχήματος 4 είναι ίση με το μηδέν, τότε ρ0 = 3H02ISnG. 2. Η μϊγιστη ηλικία τού Σύμπαντός είναι 1ΙΗ0. Να αποδείξετε ότι εάν η πραγματική πυκνότητα τού Σύμπαντός είναι ίση με 3H02I&kG, τότε η ηλικία του ισούται με (2/3)ΙΗ0 (χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι £ = 0 για αυτήν την πυκνότητα και βρείτε μια σχέση για το ν = drldt. Ολοκληρώστε την σχέση αυτή και υποθέστε ότι r = 0 τη στιγμή ί = 0). 3. Οι σημερινοί υπολογισμοί τής σταθεράς τού Hubble Η0 τήν τοποθετούν στην τιμή από 15 έως 30 km/s ανά εκατομμύριο έτη φωτός. Ένα έτος φωτός είναι η απόσταση την οποία διανύει το φως σε ένα γήινο έτος. Ποιο είναι το αντίστοιχο εύρος τιμών τής ηλικίας τού Σύμπαντός; 4. Βρείτε μια σχέση που να δίνει την ταχύτητα διαφυγής συναρτήσει τής μέσης πυκνότητας. Εφαρμόστε το αποτέλεσμα αυτό σε δύο γαλαξίες που έχουν μεταξύ τους απόσταση R και απομακρύνονται ο ένας από τον άλλον με ταχύτητα ίση προς την ταχύτητα διαφυγής. Βρείτε μια σχέση για την κρίσιμη πυκνότητα στην οποία η ταχύτητα διαφυγής και η ταχύτητα διαστολής είναι ίσες. Υποθέστε ότι Η0 = 20 km/s ανά εκατομμύριο έτη φωτός. Συγκρίνετε την τιμή τής κρίσιμης πυκνότητας που βρήκατε με την μετρημένη πυκνότητα, που πιστεύουμε ότι είναι μικρότερη από ΙΟ-30 g/cm3. Τί δείχνει ο υπολογισμός σας για την τελική τύχη τού Σύμπαντός;

την ανάλυση που θα κάνουμε στη συνέχεια θα δούμε ότι δεν χρειαζόμαστε καινούργιες αρχές Φυσικής για να εξηγήσουμε φαινόμενα όπως είναι η δύναμη τής άνωσης που δρα πάνω σε ένα βυθισμένο αντικείμενο ή η δυναμική άνωση που δρα στην πτέρυγα ενός αεροπλάνου. Θ α αρχίσουμε με τον σχολιασμό τών διάφορω ν καταστά­ σεων τής ύλης. Κατόπιν θα μελετήσουμε ένα ρευστό που είναι ακίνητο και θα εξαγάγουμε τη συνάρτηση τής πίεσης με την πυκνότητα και το βάθος. Μετά θα μελετήσουμε την κίνηση τών ρευστών, δηλαδή τη δυναμική τών ρευστών. Θα περιγράφουμε ένα κινούμενο ρευστό απλουστεύοντας το πρόβλημα με ορισμένες παραδοχές. Θα κατασκευάσουμε ένα μοντέλο. Θα χρησιμοποιή­ σουμε το μοντέλο αυτό για να μελετήσουμε ορισμένα σημαντικά πρακτικά προβλήματα. Ο νόμος τού Bernoulli θα μάς δώσει τη δυνατότητα να βρούμε τη σχέση που συνδέει την πίεση με την πυκνότητα και την ταχύτητα σε κάθε σημείο τού ρευστού. Θ α δούμε ότι η αρχή τού Bernoulli είναι άμεσο αποτέλεσμα τής εφαρμογής τής αρχής διατήρησης τής ενέργειας σε ένα ιδανικό ρευστό. Θ α κλείσουμε το κεφάλαιο με μια σύντομη εξέταση τής εσωτερικής τριβής τών ρευστών και τής τυρβώδους κίνησης.

Σ

15.1

ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ

Η ύλη γενικά κατατάσσεται ως υπάρχουσα σε μία από τις ακόλουθες τρεις καταστάσεις: στερεά, υγρά και αέρια. Πολλές φορές, επεκτείνουμε την ταξινόμηση αυτή ώστε να περιλαμβάνει και μία τέταρτη κατάσταση που ονομάζεται πλάσμα. Η καθημερινή πείρα μάς διδάσκει ότι ένα στερεό έχει καθορισμένο σχήμα και όγκο. Έ ν α τούβλο, λογουχάρη, διατηρεί διαρκώς το ίδιο σχήμα. Γνωρίζουμε επίσης ότι ένα υγρό έχει καθορισμένο όγκο αλλά δεν έχει καθορισμένο σχήμα. Λογουχάρη, όταν βάζουμε βενζίνη στο αυτοκίνητο, η βενζίνη θα πάρει το σχήμα που τής δίνει το ρεζερβουάρ· αλλά εάν είχαμε δέκα λίτρα βενζίνης προτού τά βάλουμε στο ρεζερβουάρ, θα εξακολουθήσου­ με να έχουμε δέκα λίτρα βενζίνης μέσα στο ρεζερβουάρ. Τέλος, τα αέρια δεν έχουν καθορισμένο σχήμα ή ορισμένο όγκο. Οι ορισμοί αυτοί μάς βοηθούν να αποκτήσουμε μέσα μας εικόνες για τις καταστάσεις τής ύλης, αλλά είναι πολύ τεχνητοί. Λογουχάρη, συνήθως ταξινομούμε την άσφαλτο και τα πλαστικά ως στερεά, αλλά και αυτά, μέσα σε μεγάλα χρονικά διαστήματα ρέουν επίσης, όπως και τα υγρά. Π αρόμοια, το νερό μπορεί να είναι υγρό, αέριο ή στερεό ή συνδυασμός τών προηγούμενων καταστάσεων, ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες θερμοκρασίας και πίεσης. Έ τσ ι, λοιπόν, ο χρόνος αντίδρασης στη μεταβολή σχήματος λόγω τής δράσης ενός εξω τερικού παράγοντα, όπως λ.χ. τής πίεσης, παίζει κανονιστικό ρόλο στο κατά πόσο θεωρούμε ένα υλικό ως στερεό, υγρό ή αέριο. Η τέταρτη κατάσταση τής ύλης δημιουργείται όταν η ύλη θερμαίνεται σε

382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Σχήμα 15.1 Π αραστατικό μοντέλο ενός στερεού. Ο ι σφαίρες συμβολί­ ζουν άτομα και τα ελατήρια που τίς ενώνουν συμβολίζουν τις ενδοατομικές δυνάμεις.

πολύ υψηλές θερμοκρασίες. Υπό τις συνθήκες αυτές ένα-δύο από τα ηλεκτρόνια κάθε ατόμου ελευθερώνονται από τον πυρήνα. Η τελική κατάστα­ ση αποτελείται από μια συλλογή ελεύθερων φορτισμένων ηλεκτρικά σωματι­ δίων: δηλαδή αρνητικά φορτισμένων ηλεκτρονίων και θετικά φορτισμένων ιόντων. Έ ν α τέτοιο ιοντισμένο αέριο με ίσα μέρη αρνητικού και θετικού φορτίου λέγεται πλάσμα. Λογουχάρη, τέτοιες καταστάσεις πλάσματος επι­ κρατούν στους αστέρες. Εάν μπορούσαμε να κάνουμε μια κρουαζιέρα στο Σύμπαν, θα βλέπαμε ότι η πιο συνήθης κατάσταση είναι η κατάσταση πλάσματος. Και τούτο γιατί στους αστέρες, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη μορφή, βρίσκεται το μεγαλύτερο μέρος τής παγκόσμιας ύλης, εάν ξεχάσουμε βέβαια για λίγο τη «σκοτεινή» ύλη τού Σύμπαντος. Π άντως, στο κεφάλαιο αυτό δεν θα ασχοληθούμε με καταστάσεις πλάσματος, αλλά θα μελετήσουμε τις πιο οικείες σε μάς καταστάσεις στερεών, υγρών και αερίων, που αποτελούν το άμεσο περιβάλλον μας στον πλανήτη μας. Κάθε μορφή ύλης αποτελείται από μια κατανομή ατόμων. Τα άτομα ενός στερεού συγκροτούνται σε καθορισμένες θέσεις (τού καθενός ως προς τα γειτονικά του) υπό την επίδραση ηλεκτρικών δυνάμεων. Τα άτομα ενός στερεού ταλαντώνονται γύρω από αυτές τις καθορισμένες θέσεις, λόγω τής θερμικής κίνησης (που και αυτή οφείλεται στις ηλεκτρικές δυνάμεις). Σε χαμηλές θερμοκρασίες όμως η ταλάντωση αυτή ελαχιστοποιείται και έτσι είναι καλή προσέγγιση να θεωρούμε ότι τα άτομα τών στερεών κατέχουν καθορισμένες θέσεις στον χώρο. Καθώς όμως προστίθεται θερμική ενέργεια (θερμότητα) στο υλικό, αυξάνεται το εύρος τών ταλαντώσεων. Μπορεί κανείς να περιγράφει τις ταλαντώσεις αυτές τών ατόμων κάνοντας την προσέγγιση ότι τα άτομα είναι στερεωμένα στις θέσεις ισορροπίας με ελατήρια που τά συνδέουν με τα γειτονικά τους άτομα. Μ ια τέτοια συλλογή ταλαντούμενων ατόμων με τα υποτιθέμενα ελατήρια φαίνεται στο Σχήμα 15.1. Εάν ένα στερεό σ υμπιέζεται από εξωτερικές δυνάμεις, μπορείτε να φανταστείτε ότι οι δυνάμεις αυτές συμπιέζουν τα μικρά αυτά ελατήρια. Ό τα ν απομακρυνθούν οι εξωτερικές δυνάμεις, το στερεό τείνει να ανακτήσει το αρχικό του σχήμα και μέγεθος. Γι’ αυτό λέμε ότι τα στερεά έχουν ελαστικότητα. Τα στερεά ταξινομούνται σε κρυσταλλικά ή σε άμορφα. Τα κρυσταλλικά υλικά έχουν άτομα διατεταγμένα κανονικά με περιοδική δομή. Λογουχάρη, στους κρυστάλλους τού χλωριούχου νατρίου (τού επιτραπέζιου αλατιού) τα ιόντα τού νατρίου και τού χλωρίου κατέχουν εναλλάξ τις κορυφές ενός κύβου, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 15.2a. Ενώ σε ένα άμμορφο υλικό, όπως είναι λ.χ. το γυαλί, τα άτομα κατανέμονται χω ρίς καμιά τάξη, όπω ς φαίνεται στο Σχήμα 15.2b. Σε οποιοδήποτε υλικό η υγρά κατάσταση υπάρχει σε υψηλότερες θερμοκρασίες από ό,τι στη στερεά. Η θερμική κίνηση είναι μεγαλύτερη στην υγρά κατάσταση παρά στη στερεά. Αποτέλεσμα τού φαινομένου αυτού είναι

Σχήμα 15.2 (a) Η δομή τού NaCl, όπου ιόντα Na+ και C1” κατέχουν θέσεις σε εναλασσόμενες κορυφές κύβου. Ο ι μικρές σφαίρες αντιπροσωπεύουν ιόντα N a+ και οι μεγάλες ιόντα Cl- , (b) Σε ένα άμορφο στερεό τα άτομα καταλαμβάνουν τυχαίες θέσεις, (c) Τ υχαία κίνηση ενός μορίου μέσα σε υγρό.

15.2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΙΕΣΗ

383

ότι οι μοριακές δυνάμεις σε ένα υγρό δεν είναι αρκετά ισχυρές ώστε να συγκρατούν τα μόρια σε σταθερές θέσεις, και έτσι τα μόρια κινούνται μέσα στο υγρό σε τυχαίες κατευθύνσεις (Σχήμα 15.2c). Τα στερεά και τα υγρά έχουν όμως την εξής κοινή ιδιότητα: όταν συμπιεστούν, αναπτύσσουν εσωτερικά ισχυρές απωστικές δυνάμεις οι οποίες εναντιώνονται στη συ­ μπίεση. Στην αέρια κατάσταση, τα μόρια κινούνται συνεχώς σε τυχαίες κατευθύν­ σεις και αναπτύσσουν μεταξύ τους δυνάμεις που δεν είναι ισχυρές. Η μέση απόσταση που χω ρίζει μεταξύ τους τα μόρια ενός αερίου είναι πολύ μεγαλύτερη από το μέγεθος τών μορίων. Τον περισσότερο χρόνο τα μόρια τών αερίων κινούνται σχεδόν ελεύθερα χωρίς να αλληλεπιδρούν. Και μόνον σπάνια συγκρούονται. Στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε περισσότερο με τις ιδιότητες τών αερίων. 15.2

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Π ΙΕΣΗ

Ορίζουμε ότι η πυκνότητα ενός υλικού είναι η μάζα του ανά μονάδα όγκου. Δηλαδή, ένα υλικό μάζας m και όγκου V έχει πυκνότητα ρ, ίση προς

( 1 5 .1 )

ρ (kg/m3)* 1.00 X ΙΟ3 1.26 X ΙΟ3 0.806 X ΙΟ3 0.879 X ΙΟ3 13.6 X ΙΟ3 1.29 1.43 Οο XX

ΠΙΝΑΚΑΣ 15.1 Πυκνότητες κοινών ουσιών Ουσία ρ (kg/m3)' Ουσία 0.917 X ΙΟ3 Πάγος Νερό Αλουμίνιο 2.70 X ΙΟ3 Γλυκερίνη Σίδηρος 7.86 X ΙΟ3 Αιθυλική αλκοόλη Χαλκός 8.92 X ΙΟ3 Βενζίνη Άργυρος 10.5 X 103 Υδράργυρος Μόλυβδος 11.3 X ΙΟ3 Αέρας Χρυσός 19.3 X ΙΟ3 Οξυγόνο Πλατίνα 21.4 X ΙΟ3 Υδρογόνο Ήλιο

Ορισμός τής πυκνότητας

* Όλες οι τιμές αντιστοιχούν σε κανονικές συνθήκες ατμοσφαιρικής πίεσης και θερμοκρασίας (STP) ή (ΚΣ), δηλαδή κανονική ατμοσφαιρική πίεση (1.013 X ΙΟ5 Pa) και 0°C. Αν προτιμάτε τις τιμές σε γραμμάρια ανά κυβικό εκατοστόμετρο, πολλαπλασιάστε επί ΙΟ-3.

Στο Διεθνές Σύστημα (SI) οι μονάδες πυκνότητας είναι kg/m3, ενώ στο cgs είναι g/cm3. Στον Π ίνακα 1 5 .1 θα βρείτε τις πυκνότητες ορισμένων ουσιών. Οι τιμές αυτές μεταβάλλονται ελαφρά συναρτήσει τής θερμοκρασίας, επειδή, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 1 6 , ο όγκος εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Ας σημειωθεί ότι υπό κανονικές συνθήκες (0 °C και κανονική ατμοσφαιρική πίεση), οι πυκνότητες τών αερίων είναι 1/1000 περίπου φορές χαμηλότερες από τις πυκνότητες τών στερεών και τών υγρών. Αυτό σημαίνει ότι η μέση ενδομοριακή απόσταση υπό τις συνθήκες αυτές είναι δέκα φορές μεγαλύτερη σε ένα αέριο από ό,τι είναι σε ένα υγρό ή στερεό. Το σχετικό ειδικό βάρος μιας ουσίας ορίζεται ότι είναι ίσο με τον λόγο τής πυκνότητας τής ουσίας προς την πυκνότητα τού νερού θερμοκρασίας 4 ° C , που είναι 1 .0 x ΙΟ3 kg/m3. Ε ξ ορισμού, λοιπόν, το σχετικό ειδικό βάρος είναι καθαρός αριθμός και δεν έχει διαστάσεις. Έ τσ ι εάν το σχετικό ειδικό βάρος μιας ουσίας είναι 3 , αυτό σημαίνει ότι η ουσία έχει πυκνότητα 3 ( 1 .0 x ΙΟ3 kg/m3) = 3 .0 X ΙΟ3 kg/m3. Έ χουμε δει ότι τα ρευστά δεν αντέχουν σε διατμητικές τάσεις. Έ τσ ι η μόνη τάση που μπορεί να υποστεί ένα αντικείμενο που είναι βυθισμένο σε ένα υγρό είναι η τάση που θα προκαλέσει συμπίεση. Η δύναμη την οποία ασκεί το ρευστό πάνω στο αντικείμενο είναι πάντοτε κάθετη προς τις επιφάνειες τού αντικειμένου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 15.3.

Σχήμα 15.3 Η δύναμη τού ρευστού πάνω στο βυθισμένο σώμα είναι πάντοτε κάθετη στις έδρες τού σώ­ ματος. Η δύναμη τού ρευστού πάνω στο δοχείο που τό περιέχει είναι πάντοτε κάθετη στα τοιχώματά του.

384

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Σ χήμα 15.4 Απλή συσκευή μέτρη­ σης τής πίεσης.

Η πίεση σε οποιοδήποτε μέρος ενός ρευστού μπορεί να μετρηθεί με την απλή συσκευή τού Σχήματος 15.4. Η συσκευή αποτελείται από έναν κύλινδρο στον οποίο έχει δημιουργηθεί κενό και τού οποίου η μία πλευρά είναι ένα έμβολο που μπορεί να κινηθεί με την πίεση ενός εσωτερικού ελατηρίου. Ό τα ν η συσκευή βυθιστεί σε ένα ρευστό, το ρευστό πιέζει το έμβολο, το οποίο με τη σειρά του πιέζει το ελατήριο μέχρις ότου η προς τα μέσα πίεση τού ρευστού εξισορροπιστεί από την προς τα έξω δύναμη τού ελατηρίου. Η πίεση τού ρευστού μπορεί να προσδιοριστεί αμέσως εάν το ελατήριο είναι βαθμονομη­ μένο εκ τών προτέρων. Αυτό γίνεται εύκολα εάν εφαρμόσουμε γνωστές δυνάμεις στο ελατήριο και καταγράψουμε την απόσταση κατά την οποία συμπιέζεται. Εάν F είναι το μέτρο της κάθετης δύναμης πάνω στο έμβολο, το οποίο έχει επιφάνεια Α , τότε ορίζουμε ότι η π ίεσ η Ρ τού ρευστού στο επίπεδο που βρίσκεται βυθισμένο το έμβολο είναι ο λόγος τής δύναμης F προς την επιφάνεια Α τού εμβόλου.

Ορισμός τής πίεσης

(15.2) Η πίεση ενός ρευστού δεν είναι η ίδια σε όλα του τα σημεία. Για να ορίσουμε την πίεση σε ένα καθορισμένο σημείο, ας θεωρήσουμε ότι το ρευστό βρίσκεται σε ένα δοχείο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 15.3. Εάν η κάθετη δύναμη που ασκεί το ρευστό πάνω σε μια επιφάνεια ΔΑ είναι AF, τότε η πίεση στο σημείο αυτό είναι

Ρ

dF dA

(15.3)

Ό π ω ς θα δούμε στο επόμενο υποκεφάλαιο, η πίεση ενός ρευστού το οποίο υπόκειται στη βαρυτική δύναμη είναι συνάρτηση τού βάθους. Επομένως, εάν θέλουμε να υπολογίσουμε την ολική δύναμη την οποία ασκεί το υγρό πάνω στο επίπεδο τοίχω μα ενός δοχείου, πρέπει να ολοκληρώσουμε την Εξίσωση 15.3 πάνω στην επιφάνεια. Αφού η πίεση ισούται με τη δύναμη διά τής επιφάνειας, στο SI έχει μονάδα το N/m2, που ονομάζεται και Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N /m 2

15.3 (?

Σχήμα 15.5 Μεταβολή τής πίεσης συναρτήσει τού βάθους, σε ένα ρευ­ στό. Το στοιχείο όγκου ηρεμεί. Οι δυνάμεις που δρουν πάνω του φα ί­ νονται στο σχήμα.

(15.4)

ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΒΑΘΟΥΣ

θεω ρήστε ότι ένα ακίνητο ρευστό βρίσκεται μέσα σε ένα δοχείο, όπως στο Σχήμα 15.5. Πρώτον, σημειώνουμε ότι όλα τα σημεία που β ρίσκονται στο ίδιο βάθος νφ ίσ ταντα ι την ίδια πίεση. Εάν αυτό δεν ίσχυε, το ρευστό δεν θα ηρεμούσε. Για να τό κατανοήσουμε πλήρως, ας θεωρήσουμε ότι ένας ιδεατός κύλινδρος βάσεως Α και ύψους dy περιέχει ένα υγρό. Η προς τα επάνω δύναμη που ασκείται στην κάτω βάση τού κυλίνδρου είναι ΡΑ, η προς τα κάτω δύναμη η οποία ασκείται στην επάνω βάση τού κυλίνδρου είναι (Ρ + dP)A. Το βάρος τού ρευστού το οποίο περιέχει ο ιδεατός αυτός κύλινδρος όγκου d.V είναι dW = gg d V = Qg Ady, όπου ρ είναι η πυκνότητα τού ρευστού. Εφόσον ο κύλινδρος ηρεμεί, οι δυνάμεις πρέπει να είναι εξισορροπημένες, δηλαδή £ F „ = ΡΑ - (Ρ + dP)A — pgA dy = 0

15.2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΙΕΣΗ

385

Α πό το αποτέλεσμα αυτό βλέπουμε ότι η μείωση τού βάθους (δηλαδή θετικό dy) αντιστοιχεί σε μείωση τής πίεσης (αρνητικό dP). Εάν λοιπόν Ρχ και Ρ2 είναι οι πιέσεις οι οποίες αντιστοιχούν στα σημεία yi και y 2 επάνω από το επίπεδο αναφοράς, και εάν η πυκνότητα είναι σταθερή, τότε εάν ολοκληρώ­ σουμε την Εξίσωση 15.5 βρίσκουμε P z -P i^ - p g iy i-y i)

(15.6)

Εάν το δοχείο είναι ανοιχτό από επάνω (Σχήμα 15.6), τότε μπορούμε να βρούμε την πίεση η οποία αντιστοιχεί στο σημείο βάθους h εάν χρησιμοποιή­ σουμε την Εξίσωση 15.5. Εάν θεωρήσουμε ότι η ατμοσφαιρική πίεση είναι Ρa = Ρ 2 και επειδή το βάθος h = y 2 - y lt βρίσκουμε ότι Ρ == Ρ„ + pgh

(15.7)

όπου συνήθως βρίσκουμε την τιμή ΡΛ ~ 1.01 x ΙΟ5 P a (14.7 lb/in.2). Με άλλα λόγια, η ο λ ικ ή (ή α π ό λ υ τ η ) π ίεσ η Ρ, σε βάθος Α, κάτω από την επιφάνεια ενός υγρού το οποίο είναι ανοιχτό στην ατμόσφαιρα, είναι μ ε γα λ ύ τ ε ρ η από την ατμοσφαιρική πίεση κατά Qgh.

Σ χήμα 15.6 Η πίεση Ρ σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια ενός υγρού, η οποία επικοινωνεί ελεύθε­ ρα με την ατμόσφαιρα, είναι Ρ = Ρ„ + Qgh.

Το αποτέλεσμα επαληθεύει εκείνο που αναφέραμε πιο πάνω δηλαδή, ότι η πίεση είναι σταθερή σε όλα τα σημεία τα οποία βρίσκονται στο ίδιο βάθος. Να σημειωθεί, τέλος, ότι η πίεση δεν επηρεάζεται από το σχήμα τον δοχείου στο οποίο περιέχεται το υγρό. Αφού λοιπόν η πίεση σε ένα ρευστό εξαρτάται μόνον από το βάθος, οποιαδήποτε αύξηση τής πίεσης στην επιφάνεια μεταδίδεται σε κάθε σημείο τού ρευστού. Ο πρώτος που επισήμανε το γεγονός αυτό ήταν ο Γάλλος φυσικός Blaise Pascal (1623-1662), ο οποίος τό διατύπωσε με τον νόμο που φέρει το όνομά του, τον νόμο τού Pascal: Κάθε μεταβολή στην πίεση ενός αποθηκευμένου ρευστού μεταδίδεται χωρίς να μειωθεί σε κάθε σημείο τού ρευστού, καθώς και στα τοιχώματα τού δοχείου αποθήκευσης. Μ ια σημαντική εφαρμογή τού νόμου τού Pascal αποτελεί η υδραυλική πρέσα που φαίνεται στο Σχήμα 15.7. Η δύναμη Ft δρα πάνω στο μικρό έμβολο επιφάνειας Αχ. Η πίεση μεταφέρεται μέσω τού ρευστού στο μεγαλύτερο έμβολο Α 2. Αφού η πίεση είναι ίδια και στις δύο επιφάνειες, έχουμε Ρ = Fx/Αχ = F2/A 2. Επομένως, η δύναμη Ρ2 είναι μεγαλύτερη από την Ρχ κατά τον συντελεστή Α 2/Αχ. Το γεγονός αυτό τό εκμεταλλευόμαστε στους υδραυλικούς ανυψωτήρες, στα υδραυλικά φρένα, στις υδραυλικές πρέσες κ.λπ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15.1 Υδραυλικός ανυψωτήρας αυτοκινήτων Σε έναν υδραυλικό ανυψωτήρα αυτοκινήτων, ο πεπιε­ σμένος αέρας ασκεί δύναμη πάνω σε ένα μικρό έμβολο ακτίνας 5 cm. Η πίεση μεταδίδεται σε ένα άλλο έμβολο ακτίνας 15 cm. Ποια είναι η δύναμη που πρέπει να ασκήσει ο πεπιεσμένος αέρας για να ανυψωθεί ένα αυτοκίνητο βάρους 13 300 Ν; Ποία πίεση αέρα θα δημιουργήσει τη δύναμη αυτή;

Σ χήμα 15.7 Σχηματικό διάγραμμα υδραυλικού ανυψωτήρα (πρέσας). Η αύξηση τής πίεσης είναι η ίδια και για τις δύο μεριές (δεξιά ή α ­ ριστερά). Έ τσ ι, μια μικρή δύναμη Fi στα αριστερά παράγει μια πολύ μεγαλύτερη δύναμη F2 στα δεξιά.

Λύση Η πίεση την οποία ασκεί ο πεπιεσμένος αέρας μεταδίδεται αμείωτη μέσω τού ρευστού- έτσι έχουμε π(5 X 10~2 m)2 (13 300 Ν) π(15 X ΙΟ-2 m)2

386

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Η πίεση τού πεπιεσμένου αέρα που είναι αναγκαία για να δημιουργήσει τη δύναμη Ft είναι F, Λ!

1.48 X ΙΟ3 Ν π(5 X ΙΟ"2 σι)2

1.88 ΧΙΟ* Pa

Η πίεση αυτή ισούται χονδρικά με το διπλάσιο τής ατμοσφαιρικής πίεσης. Ας σημειωθεί ότι το έργο στην είσοδο (δηλαδή το έργο που παράγει η Fi) ισούται με το έργο στην έξοδο (το έργο που παράγει η F2), έτσι ώστε να διατηρείται η ενέργεια. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15.2 Το κρεβάτι νερού

Είναι λοιπόν 100 φορές μεγαλύτερη από την ατμοσφαι­ ρική! Ασκηση 2 Υπολογίστε την ολική δύναμη που υφίσταται το παράθυρο ενός βαθυσκάφους διαμέτρου 30 cm στο παραπάνω βάθος. Απάντηση 7.00 X 1(Ρ Ν.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15.4 Η δύναμη σε ένα φράγμα Σε ένα φράγμα πλάτους tv το νερό φτάνει σε ύψος Η (Σχήμα 15.8). Υπολογίστε τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται πάνω στο φράγμα.

Ένα κρεβάτι νερού (δηλαδή ένα κρεβάτι τού οποίου το στρώμα είναι ένας σάκος γεμάτος με νερό) έχει διαστάσεις 2.0 x 2.0 x 0.30 m3: (a) Βρείτε το βάρος του. Λύση Γνωρίζουμε ότι η πυκνότητα τού νερού είναι 1 000 kg/m3. Έτσι το στρώμα έχει μάζα M = pV = (1000 kg/m3)(1.2 m3) = 1.20 X ΙΟ3 kg και το βάρος του είναι W = M g = (1.20 X ΙΟ3 kg)(9.80 m/s2) =

1.18 X ΙΟ4 Ν

Βλέπουμε λοιπόν πόσο βαρύ είναι. Και εάν δεν θέλετε να καταστραφεί το πάτωμά σας, να βάλετε το κρεβάτι νερού στο υπόγειο ή πάνω σε ένα γερό δάπεδο. (b) Βρείτε την πίεση την οποία ασκεί το κρεβάτι νερού στο δάπεδο, εάν υποτεθεί ότι ολόκληρο το στρώμα ακουμπά στο δάπεδο. Λύση Το βάρος τού κρεβατιού με νερό είναι 1.18 x 104 Ν. Η διατομή του είναι 4 m2. Επομένως η πίεση που ασκείται στο πάτωμα είναι ρ_Μ8ΧΚΗΝ_

2 9 5 χ 1 0 )ρ >

Σ χήμα 15.8 (Παράδειγμα 15.4) Για να βρούμε την ολική δύναμη που ασκείται πάνω σε ένα φράγμα χρησιμοποιούμε την έκφραση F = J P dA, όπου dA είναι η επιφάνεια τής σκιασμένης λωρίδας τού σχήματος.

Λύση Η πίεση που ασκείται σε βάθος λ πάνω στη σκιασμένη επιφάνεια είναι P = pgh= pg(H - y)

Άσκηση 1 Υπολογίστε την πίεση πάνω στο δάπεδο εάν γυρίσετε το κρεβάτι νερού στο πλευρό. Απάντηση Δεδομένου ότι η διατομή τής πλευράς αυτής έχει επιφάνεια 0.6 m2, η πίεση είναι 1.96 x ΙΟ4 Pa.

(Δεν έχουμε λάβει ύπ’ όψιν την ατμοσφαιρική πίεση, διότι η πίεση αυτή δρα και στις δύο πλευρές). Χρησιμο­ ποιούμε την Εξίσωση 15.3 και βρίσκουμε ότι η δύναμη πάνω στη σκιασμένη επιφάνεια είναι

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15.3 Η πίεση στον ωκεανό Υπολογίστε την πίεση σε βάθος 1 000 m στον ωκεανό. Υποθέστε ότι η πυκνότητα τού νερού είναι 1.0 X ΙΟ3 kg/m3 και ότι η ατμοσφαιρική πίεση ΡΛ= 1.01 X ΙΟ5 Pa. Λύση

dF= P dA = pg(H — y)w dy Επομένως η ολική δύναμη επί τού φράγματος είναι F

J

PdA =

J

pg(H - y)w dy =

ipgwH*

P=P* + pgh = 1.01 X 10s Pa + (1.0 X ΙΟ3 kg/m3) (9.80 m/s2)(103 m) P=

9.90X10® Pa

Λογουχάρη, εάν Η = 30 m και νν = 100 m, βρίσκουμε ότι F = 4.4 X ΙΟ8 Ν. Πρέπει να σημειωθεί ότι, επειδή η πίεση αυξάνεται συναρτήσει τού βάθους, τα φράγματα σχεδιάζονται έτσι ώστε το πάχος τους να αυξάνεται συναρτήσει τού βάθους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 15.8.'

15.5 Η ΑΝΩΣΗ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ

15.4

Μ ΕΤΡΗΣΕΙΣ Π ΙΕΣΗΣ

387

Ρ*

Μ ία απλή συσκευή για τη μέτρηση τής πίεσης είναι το ανοιχτό μανόμετρο που απεικονίζεται στο Σχήμα 15.9a. Ό π ω ς βλέπουμε, ο σωλήνας σχήματος U περιέχει υγρό· το ένα άκρο του είναι ανοιχτό στην ατμόσφαιρα και το άλλο συνδέεται με το σύστημα τού οποίου την πίεση Ρ θέλουμε να μετρήσουμε. Η πίεση στο σημείο Β ισούται με ΡΆ + ggh, όπου ρ είναι η πυκνότητα τού υγρού. Αλλά η πίεση στο Β ισούται με την πίεση στο Α , το οποίο υφίσταται την άγνωστη πίεση Ρ. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι P = P> + pgh Η πίεση Ρ λέγεται απόλυτη πίεση ενώ η Ρ - P a λέγεται υπερπίεση. Έ τσ ι λοιπόν εάν η πίεση τού συστήματος είναι μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική, το Λ είναι θετικό. Εάν είναι μικρότερη (μερικό κενό αέρα), το h είναι αρνητικό. Έ ν α άλλο όργανο για τη μέτρηση τής πίεσης είναι το κοινό βαρόμετρο, το οποίο εφεύρε ο Evangelista Torricelli (1608-1647). Παίρνουμε έναν μακρύ σωλήνα, κλειστό στο ένα άκρο του, τόν γεμίζουμε με υδράργυρο και μετά τόν αναποδογυρίζουμε βυθίζοντας το ανοιχτό άκρο σε ένα δοχείο που περιέχει υδράργυρο (Σχήμα 15.9b). Το κλειστό μέρος τού σωλήνα είναι σχεδόν κενό αέρα και έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η πίεση εκεί μέσα είναι μηδενική. Είναι προφανές λοιπόν ότι Ρα = Qgh, όπου ρ είναι η πυκνότητα τού υδραργύρου και Λ το ύψος τής στήλης τού υδραργύρου μέσα στον σωλήνα. Εξ ορισμού η πίεση μιας φυσικής (κανονικής) ατμόσφαιρας είναι ίση προς την πίεση στήλης υδραργύρου ύψους 0.76 m ακριβώς σε 0°C και για g = 9.80665 m/s2. Στη θερμοκρασία αυτή η πυκνότητα τού υδραργύρου είναι 13.595 X ΙΟ3 kg/m3. Επομένως Ρ. = pgh = (13.595 X ΙΟ3 kg/m 3)(9.80665 m/s2)(0.7600 m) = 1.013 X 105 Pa

15.5

V5; (b) Σχήμα 15.9 Δύο συσκευές μέτρησης τής πίεσης: (a) ανοιχτό μανόμετρο, (b) βαρόμετρο υδραργύρου.

Η ΑΝΩΣΗ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ

Η αρχή τού Αρχιμήδη ορίζει ότι: Κάθε σώμα που είναι πλήρως ή μερικώς βυθισμένο σε ένα ρευστό υφίσταται δύναμη άνωσης ίση προς το βάρος τού ρευστού το οποίο εκτοπίζει.

Η αρχή τού Αρχιμήδη

Ό λ ο ι μας έχουμε εμπειρίες από την αρχή τού Αρχιμήδη. Λογουχάρη, σκεφθείτε πόσο πιο εύκολο είναι να σηκώσετε κάποιον που είναι μέσα στη θάλασσα παρά όταν είναι στην ξηρά. Είναι προφανές ότι το νερό υποστηρίζει εν μέρει κάθε αντικείμενο που βυθίζεται σε αυτό. Λέμε λοιπόν ότι ένα αντικείμενο όταν τοποθετείται μέσα σε ένα ρευστό τότε υφίσταται την προς τα επάνω δύναμη τής άνωσης. Σύμφωνα με την αρχή τού Αρχιμήδη, το μέτρο τής δύναμης τής άνωσης είναι πάντοτε ίσο προς το βάρος τού ρευστού που εκτοπίζει το αντικείμενο. Η άνωση δρα σε κατακόρυφη διεύθυνση προς τα επάνω εκεί όπου βρίσκεται το κέντρο μάζας τού εκτοπιζόμενου ρευστού. Μ πορούμε να επιβεβαιώσουμε την αρχή τού Αρχιμήδη ως εξής: Ας συγκεντρώσουμε την προσοχή μας στον ιδεατό κύβο νερού μέσα στο γεμάτο με νερό δοχείο τού Σχήματος 15.10. Αυτός ο κύβος νερού ηρεμεί κάτω από τη δράση τών δυνάμεων που δρουν επάνω του. Η μία δύναμη είναι το βάρος τού κύβου τού νερού. Τί λοιπόν εξισορροπεί τη δύναμη αυτή; Προφανώς, το υπόλοιπο νερό μέσα στο δοχείο ωθεί τον κύβο προς τα επάνω, διατηρώντας

Σχήμα 15.10 Ο ι εξωτερικές δυνά­ μεις που δρουν πάνω στον κύβο τού νερού είναι το βάρος του W, και η άνωση, Β. 'Ο ταν υπάρχει ισορρο­ π ία , Β = W.

388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Βιογραφικό σημείωμα Αρχιμήδης (287-212 π .Χ .)

Ο Αρχιμήδης ήταν ίσως ο μεγαλύτερος μαθηματικός, φυσικός και μηχανικός τής αρχαιότητας. Υπολόγισε πρώτος με ακρίβεια το πηλίκο περιφέρειας κύκλου προς τη διάμετρό του (τον αριθμό π) και επίσης κατέδειξε πώς υπολογίζονται όγκοι και εμβαδά επιφανειών, κύκλων, κυλίνδρων και άλλων γεωμετρικών στερεών. Έγινε διάσημος όταν ανακάλυψε την άνωση που δρα σε βυθισμένα σώματα και ήταν επίσης προικισμένος εφευρέτης. Μια από τις πρακτικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιεί­ ται ακόμη και σήμερα είναι ένα αντλητικό μηχάνημα, που ονομάζεται κοχλίας τού Αρχιμήδη και αρχικά χρησιμοποιούνταν για την άντληση τών νερών από τη σεντίνα τών πλοίων. Εφεύρε επίσης τον καταπέλτη και επινόησε συστήματα μοχλών, τροχαλιών και βαρούλκων για την ανύψωση βαριών φορτίων. Τέτοιες εφευρέσεις χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία από τους στρατιώτες για να υπερασπίσουν τη γενέτειρά του πόλη, τις Συρακούσες, κατά τη διάρκεια μιας πολιορκίας δύο ετών από τους Ρωμαίους. Σύμφωνα με την παράδοση, ο τύραννος τών Συρακουσών, Ιέρων, ζήτησε απο τον Αρχιμήδη να διαπιστώσει αν το στέμμα του ήταν κατασκευασμένο από καθαρό χρυσό ή είχε νοθευθεί με κάποιο άλλο μέταλλο. Η εξέταση έπρεπε να γίνει χωρίς να καταστραφεί το στέμμα. Ο Αρχιμήδης βρήκε τη λύση ενώ έκανε μπάνιο μέσα στο λουτρό του, παρατηρώντας τη μείωση τού βάρους του όταν βύθιζε τα χέρια του και τα πόδια του στο νερό. Ενθουσιάστηκε τόσο πολύ από την ανακάλυψή του, ώστε έτρεξε γυμνός στους δρόμους των Συρακουσών, φωνάζοντας «Εύρηκα! Εύρηκα!».

τον σε ηρεμία. Έ τσ ι, η δύναμη τής άνωσης Β που δρα πάνω στον κύβο τού νερού είναι ίση και αντίθετη προς το βάρος τού νερού που περιέχει ο ιδεατός αυτός κύβος: Β =

W

Υποθέστε τώ ρα ότι αντικαθιστούμε τον ιδεατό αυτό κύβο με έναν συμπαγή κύβο χάλυβα που έχει τις ίδιες ακριβώς διαστάσεις με τον ιδεατό κύβο νερού τον οποίο μελετήσαμε προηγουμένως. Π οια είναι η δύναμη τής άνωσης πάνω στον χάλυβα; Το νερό που περιβάλλει τον κύβο συμπεριφέρεται κατά τον ίδιο τρόπο, ανεξάρτητα από το τί είναι κατασκευασμένος ο κύβος, δηλαδή η δύναμη τής άνωσης η οποία δρα στον χαλύβδινο κύβο είναι ακριβώς η ίδια μ ε την άνωση που δρα πάνω σε έναν κύβο νερού, ίδιων διαστάσεων. Το αποτέλεσμα αυτό ισχύει για κάθε βυθισμένο αντικείμενο ανεξάρτητα από μέγεθος, σχήμα ή πυκνότητα. Α ς αποδείξουμε όμως ότι το μέτρο τής δύναμης τής άνωσης ισούται με το βάρος τού εκτοπιζόμενου ρευστού. Η πίεση στην κάτω βάση τού κύβου στο Σχήμα 15.10 είναι μεγαλύτερη από την πίεση στην επάνω βάση τού κύβου κατά ποσότητα ίση με ρ#Α, όπου ρ{ είναι η πυκνότητα τού ρευστού και h η ακμή τού κύβου. Αλλά η διαφορά πίεσης, Α Ρ ισούται με το μέτρο τής δύναμης τής άνωσης Β ανά μονάδα επιφάνειας δηλαδή Α Ρ = Β Ι Α . Βλέπουμε λοιπόν ότι Β = ( Α Ρ ) (A ) = fa fg h ) ( A ) - Q fg V , όπου V είναι ο όγκος τού κύβου. Αλλά η μάζα τού ρευστού στον κύβο είναι Μ = ρ{Υ. Έ τσ ι έχουμε Β = W = p[Vg = Mg (b) Σχήμα 15.11 (a) Η ολική δύναμη που δρα πάνω σε ένα βυθισμένο σώμα που έχει πυκνότητα μικρότε­ ρη από την πυκνότητα τού νερού κατευθύνεται προς τα επάνω, (b) Ε άν το βυθισμένο σώμα έχει πυκνό­ τητα μεγαλύτερη από την πυκνότη­ τα τού υγρού, θα πάει στον πυθμέ­ να τού δοχείου.

(15.8)

όπου JV είναι το βάρος τού εκτοπιζόμενου ρευστού. Προτού παραθέσουμε τα παραδείγματα, παρουσιάζει ενδιαφέρον να συγκρίνουμε τις δυνάμεις οι οποίες δρουν πάνω σε ένα εντελώς βυθισμένο αντικείμενο με τις δυνάμεις που δρουν πάνω σε ένα αντικείμενο το οποίο επιπλέει. Περίπτωση I Εντελώς βυθισμένο αντικείμενο 'Ο ταν ένα αντικείμενο είναι εντελώς βυθισμένο σε ένα ρευστό πυκνότητας ρ{, η δύναμη τής άνωσης η οποία δρα προς τα επάνω είναι Β = ρίΥ^ς, όπου ν ο είναι ο όγκος τού αντικειμένου. Εάν το αντικείμενο έχει πυκνότητα ρ0, το βάρος του είναι W =

15.5 Η ΑΝΩΣΗ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ

389

Mg ~ QoVag- Έ τσ ι η συνισταμένη δύναμη που δρα πάνω του είναι Β - W = (pf - p0)Vog. Επομένως, εάν η πυκνότητα τού αντικειμένου είναι μικρότερη από την πυκνότητα τού ρευστού, όπως στην περίπτωση τού Σχήματος 15.11a, το αντικείμενο θα επιταχυνθεί προς τα επάνω. Εάν όμως η πυκνότητα τού αντικειμένου είναι μεγαλύτερη από την πυκνότητα τού ρευστού, τότε το αντικείμενο θα επιταχυνθεί προς τα κάτω και θα βυθιστεί. (Βλ. Σχήμα 15.11b). Περίπτωση Π Έ ν α αντικείμενο που επιπλέει. Θεωρήστε τώρα ότι ένα αντικείμενο σε στατική ισορροπία επιπλέει πάνω στο ρευστό. Δηλαδή μόνο ένα μέρος τού αντικειμένου βρίσκεται μέσα στο ρευστό. Στην περίπτωση αυτή η άνωση εξισορροπείται από το βάρος τού αντικειμένου. Εάν ο όγκος τού εκτοπιζόμενου από το αντικείμενο ρευστού είναι V (προφανώς αυτός είναι ίσος προς τον όγκο τού μέρους τού αντικειμένου που βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια τού ρευστού), το μέτρο τής άνωσης είναι Β = pfVg. Το βάρος τού αντικειμένου είναι W = Mg = ρον