Parallele Berechnung 3-dimensionaler, instationärer Gas-Partikel-Strömungen unter Berücksichtigung von Kollisionen und Aggregatzustandsänderungen [PDF]

Zitiervorschau

Parallele Berechnung 3-dimensionaler, instation¨ arer Gas–Partikel-Str¨ omungen unter Beru ¨ cksichtigung von Kollisionen und Aggregatzustands¨ anderungen

Klaus Pachler

Graz, August 2004

Parallele Berechnung 3-dimensionaler, instation¨ arer Gas–Partikel-Str¨ omungen unter Beru ¨cksichtigung von Kollisionen und Aggregatzustands¨ anderungen

Von der Fakult¨at f¨ ur Maschinenbau der Technischen Universit¨at Chemnitz

genehmigte Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktoringenieur (Dr.–Ing.)

vorgelegt

von Dipl. Ing. Klaus Pachler

Datum der Einreichung: Datum der Verteidigung:

15.09.2003 09.07.2004

Gutachter:

Prof. Dr.–Ing. habil. B. Platzer Prof. Dr.–Ing. habil. M. Sommerfeld Prof. Dr.–Ing. habil. G. Wozniak

Graz, August 2004

Berichte aus der Strömungstechnik

Klaus Pachler

Parallele Berechnung 3-dimensionaler, instationärer Gas-Partikel-Strömungen unter Berücksichtigung von Kollisionen und Aggregatzustandsänderungen

.

D 93 (Diss. TU Chemnitz)

Shaker Verlag Aachen 2004

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Zugl.: Chemnitz, Techn. Univ., Diss., 2004

.

Copyright Shaker Verlag 2004 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany.

ISBN 3-8322-3448-9 ISSN 0945-2230 Shaker Verlag GmbH • Postfach 101818 • 52018 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]

meiner Familie Heike, Christian und Andreas

Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand w¨ahrend meiner T¨atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Technischen Universit¨at Chemnitz in der Forschungsgruppe Mehrphasenstr¨omungen der Professur Technische Thermodynamik. Der Großteil der hier dokumentierten Forschungsarbeiten wurde im Rahmen des Teilprojektes D2 des Sonderforschungsbereiches 393 “Numerische Simulation auf massiv parallelen Rechnern“ durchgef¨ uhrt. Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. B. Platzer f¨ ur seine Bereitschaft, diese Arbeit zu betreuen, und insbesondere f¨ ur sein großes pers¨onliches Engagement bei der Durchf¨ uhrung dieses Promotionsvorhabens. Des weiteren danke ich Herrn ¨ Prof. Dr. M. Sommerfeld und Herrn Prof. Dr. G. Wozniak f¨ ur die Ubernahme der Begutachtung der Dissertation. Dar¨ uber hinaus danke ich den Kollegen der Forschungsgruppe Mehrphasenstr¨omungen, insbesondere Herrn Dr. Thomas Frank, dem Leiter der Numerik–Gruppe, Herrn Dr. Klaus Bernert und Dr. Helfried Schneider f¨ ur die fachlichen Diskussionen und Ratschl¨age sowie f¨ ur das u ¨ beraus angenehme Arbeitsklima in der Gruppe. Grundlagen meiner Arbeit wurden w¨ahrend meiner T¨atigkeit in der AVL List GmbH gelegt, die es mir erm¨oglichten mich schnell in die Entwicklungsumgebung am Lehrstuhl einzuarbeiten. Bei Dr. G. Rainer m¨ochte ich mich bedanken, daß er eine FIRE Installation erm¨oglicht hat, die interessante Vergleiche in Bezug auf Zyklonberechnungen zustande gebracht hat. Diese Arbeit ist wesentlich von den verf¨ ugbaren Rechnerresourcen abh¨angig, wof¨ ur ich mich bei DI Christian Andrezky und DI Mike Becher, dem Administrator des Chemnitzer–Linux–Clusters, bedanken m¨ochte. Klaus Pachler, September 2003

Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung 1.1 1.2

Einleitung und Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1 1.2.2

1.2.3 1.3

1

Str¨omungssimulation, Algorithmenentwicklung und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelle f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen

. . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2.1

¨ Ubersicht u ¨ber ein– und mehrdimensionale Modelle . 15

1.2.2.2

Euler–Euler–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2.3

Euler–Lagrange–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2.4

Freies–Oberfl¨achen–Modell . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2.5

Vergleich der Mehrphasenmodelle Euler–Euler und Euler–Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2.6

Modelle f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen basierend auf LES/DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Rechner–Software Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Ziel dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Berechnung der kontinuierlichen Phase 2.1

7

41

Mathematisches Modell f¨ ur die Gasstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1

Koordinatensystem und Berechnungsgitter . . . . . . . . . . . 41

2.1.2

Grundgleichungen f¨ ur die Momentanbewegung . . . . . . . . . 44

2.1.3

Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

i

2.1.4 2.2

2.1.3.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.3.2

Standard–k–ε–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.3.3

Reynolds–Spannungsmodell (SSG) . . . . . . . . . . 57

Rand- bzw. Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Numerische L¨osung der Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.2.1

2.2.2

Diskretisierung der Bilanzgleichungen nach der Finite–Volumen–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1.1

Berechnung der konvektiven Fl¨ usse . . . . . . . . . . 63

2.2.1.2

Berechnung der diffusiven Fl¨ usse . . . . . . . . . . . 66

2.2.1.3

Linearisierung des Quellterms . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.1.4

Assemblierung des Gleichungssystems

2.2.1.5

Zeitdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

. . . . . . . . 68

L¨osungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Berechnung der dispersen Phase

75

3.1

Parameter zur Klassifizierung von Gas–Partikel–Str¨omungen . . . . . 75

3.2

Euler–Euler–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3

3.2.1

Kontinuit¨atsgleichung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.2

Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.3

Energie/Enthalpiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Euler–Lagrange–Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3.1

Berechnung der Bewegung eines Einzelpartikels . . . . . . . . 88 3.3.1.1

BBO–Gleichung f¨ ur sehr kleine Reynolds–Zahlen . . 88

3.3.1.2

Gleichungen f¨ ur die translatorische Partikelbewegung bei hohen Reynolds–Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.1.3

Zusammenfassung des Formelapparates und numerische L¨osung der BBO–Gleichung f¨ ur die translatorische Partikelbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.3.1.4

Gleichungen f¨ ur die Partikelrotation . . . . . . . . . 95

ii

3.3.2

3.3.3

3.3.1.5

Einfluß der Fluidturbulenz auf die Partikelbewegung

97

3.3.1.6

R¨ uckwirkung der dispersen Phase auf das Tr¨agerfluid (Phasenwechselwirkung) . . . . . . . . . . . . . 100

Berechnung von gekoppelten Stoff– und W¨armeaustausch der dispersen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3.2.1

Erhaltungsgleichung f¨ ur Enthalpie und Masse eines Tropfens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3.2.2

Bilanzgleichung f¨ ur den Speziestransport . . . . . . . 112

Berechnung der Str¨omung der dispersen Phase . . . . . . . . . 113

4 Partikel–Wand– und Partikel–Partikel–Wechselwirkung

116

4.1

Partikel–Wand–Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2

Partikel–Partikel–Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3

4.2.1

Allgemeine Definitionen und Begriffe f¨ ur Partikeln bzw. Tropfen122

4.2.2

Vorangegangene Arbeiten im Bereich Partikel– bzw. Tropfen– Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2.3

Berechnung der bin¨aren Kollision von Partikeln . . . . . . . . 128 4.2.3.1

Allgemeine Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2.3.2

Herleitung der Bedingung f¨ ur einen Haftstoß . . . . . 132

4.2.3.3

Beziehungen f¨ ur den Haftstoß . . . . . . . . . . . . . 133

4.2.3.4

Beziehungen f¨ ur den Gleitstoß . . . . . . . . . . . . . 133

Modelle zur Simulation von Kollisionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.3.1

Stochastische Kollisionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3.1.1

Stoßzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.3.1.2

Kollisionsfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.3.1.3

Kollisionswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . 137

4.3.1.4

Modellierung des Stoßpartners

4.3.1.5

Modellaufbau und Diskussion . . . . . . . . . . . . . 140

4.3.1.6

Alternative Modelle f¨ ur einen instation¨aren L¨oser . . 141

iii

. . . . . . . . . . . . 138

5 Algorithmen f¨ ur die parallele Simulation

143

5.1

Allgemeines und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2

Parallele Berechnung der kontinuierlichen Phase (Gasstr¨omung) . . . 146

5.3

Parallele Berechnung der kollisionsbehafteten Partikelbewegung . . . 151 5.3.1

Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3.2

Static–Domain–Decomposition(SDD)–Verfahren . . . . . . . . 155

5.3.3

Dynamic–Domain–Decomposition(DDD)–Verfahren . . . . . . 157

5.3.4

Neuer paralleler Algorithmus f¨ ur die instation¨are Simulation von Partikeltrajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6 Validierung und Berechnungsergebnisse

165

6.1

Allgemeine Grundlagen der Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.2

Turbulenzverifikation

6.3

6.4

6.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.1

Rohrstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.2

Stufenstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.2.3

Gaszyklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Instation¨are Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3.1

2D–Zylinderumstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.3.2

3D–Zylinderumstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Kollisionsbehaftete Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.4.1

Konvergenter Kanal

6.4.2

Eine technische Anwendung: der Bifurkator

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.4.3

Untersuchung der parallelen Effizienz anhand des Bifurkators . 213

. . . . . . . . . . 205

Tropfenstr¨omung mit Stoff– und W¨arme¨ ubergang . . . . . . . . . . . 219

7 Schlußfolgerungen zur Anwendbarkeit des parallelen instation¨ aren Algorithmus, Zusammenfassung und Ausblick 231 7.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.2

Instation¨arer Str¨omungsl¨oser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.3

Parallele station¨are/instation¨are Partikelverfolgung . . . . . . . . . . 234

7.4

Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

iv

A Numerische L¨ osung der Erhaltungsgleichungen

239

A.1 Druckkorrektur–Algorithmus, Anwendung der SIMPLE–Familie . . . 239 B Herleitung des Zwei–Fluid Modells

247

B.1 Grundlagen des Zwei–Fluid–Modells

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

B.1.1 Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 B.1.2 Konstitutive Gleichungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

B.1.2.1

Thermische Zustandsgleichung

. . . . . . . . . . . . 254

B.1.2.2

Kalorische Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . 255

B.1.2.3

Fouriersche W¨armeleitung

B.1.2.4

Diffusion / Ficksches Gesetz

B.1.2.5

Massen–, Molanteile, Partialdr¨ ucke . . . . . . . . . . 257

B.1.2.6

Newtonscher Spannungsansatz und Hypothese von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

. . . . . . . . . . . . . . 256 . . . . . . . . . . . . . 257

B.1.3 Sprungbedingungen an der Phasengrenze

. . . . . . . . . . . 262

B.2 Vergleich der Mittelungsans¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.2.1 Zeit–Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 B.2.2 Ensemble–Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 B.2.3 Dichte–Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 B.2.4 Volumen–Mittelung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

B.2.5 Grenzfl¨achen–Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 B.3 Formulierung der gemittelten Transportgleichung . . . . . . . . . . . 269 B.3.1 Bedingte Mittelung der Differentialoperatoren . . . . . . . . . 269 B.3.2 Erhaltungsgleichung in gemittelter Form . . . . . . . . . . . . 272 C Erl¨ auterungen zur Diskretisierung der NS–Gleichungen und Herleitung der Fluktuationswerte 274 C.1 Approximation der diffusiven Fl¨ usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 C.2 Berechnung der Ableitung im Zellenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . 276 C.3 Berechnung der gemittelten Schwankungsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . 276

v

Literaturverzeichnis

278

Lebenslauf

312

Erkl¨ arung

315

vi

Verzeichnis von Gr¨ oßen in lateinischen Zeichen Formelzeichen Einheiten Bedeutung A, B, C, D, E, F, G [−] Koeffizienten/Tensoren einer PDG ck , cl,k [kg/m3 ,mol/m3 ] massen–, molbezogene Konzentr. einer Spezies der Phase k cp , cp [J/(kg K)] differentielle, integrale spez. W¨arme b. konst. Druck cv [J/(kg K)] spezifische W¨arme bei konstantem Volumen [−] Rotationsbeiwert cω cM [−] Beiwert f¨ ur die Magnus–Kraft cS [−] Beiwert der Saffman–Kraft cW [−] Widerstandsbeiwert cW,S [−] Schwarmwiderstandsbeiwert cV M [−] Beiwert f¨ ur die virtuelle Massenkraft D, dij [1/s] sym. Deformationsgeschw.tensor  Dv = grad(v) [1/s] Deformationsgeschw.tensor DFk , DFε [kg/(m s3 )] diffusiver Transport von k bzw. ε dP , dP 0 [m] Partikeldurchm., mittl. lokaler Partikeldurchm. ein [J/kg, m2 /s2 ] innere Energie et [m2 /s2 ] Gesamtenergie (innere plus kinetische Energie) etf [kg/s3 ] Fluktuationsterm der Energiegl. ep [−] Stoßzahl f¨ ur den Partikel–Partikel–Stoß ew [−] Stoßzahl f¨ ur den Partikel–Wand–Stoß E [−] parallele Effizienz FC [N] Kraft auf ein Partikel w¨ahrend der Kollision FG [N] Gravitationskraft [N] Magnus–Kraft FM FS [N] Saffman–Kraft FW [N] aerodynamische Widerstandskraft Fσ , σ [N, N/m] Oberfl¨achenspan.–Kraft, Oberfl¨achenspan. f [−] allg. Fluß pro Fl¨acheneinheit fp , fp,k [−] statischer, kinetischer Reibungsbeiwert f¨ ur den Partikel–Partikel–Stoß fw , fw,k [−] stat./kinetischer Reibungsbeiwert f¨ ur den Partikel–Wand–Stoß g , gx , gy , gz [N,m/s2 ] Massenkraft, Gravitationsbeschleunigung hL [J/(kg K)] latente Enthalpie h, ht [J/(kg K)] Enthalpie, totale Enthalpie htf [kg/s3 ] Fluktuationsterm der Enthalpiegl. Hr [m] mittlere Rauhigkeitstiefe

vii

Verzeichnis von Gr¨ oßen in lateinischen Zeichen Formelzeichen I IP iξ Ja , J J J jP F ¯jP F jk j c, j d k k, n, t LI LP,E Lr mk Mk Mp,k Mm,k Mh,k Me,k Mtk,k , Mε,k Ml mP m ˙ F, m ˙P n, nx , ny , nz nv N˙ P NT Nreal , Nsim NP Nl nP nP 0 p PC

Einheiten [−] [m5 ] [m] [−] [m/s] [kgm/s] [m/s]

Bedeutung Einheitstensor Tr¨agheitsmoment einer Kugel Richtungsvektor Transformationsmatrix, Jakobi–Determinate Flußtensor Kraftimpuls Driftfluß bzw. relativer volumetrischer Fluß der Phase P zum mittleren Fluß [m/s] mittlerer Fluß im Driftflußmodell [m/s] allg. Fluß der Phase k [m/s] konvektiver bzw. diffusiver Fluß [m2 /s2 ] kinetische Turbulenzenergie [m] Einheitsvektoren des Koordinatensystems f¨ ur die Kollision [m] Durchm. eines Turbulenzwirbels, integ. L¨angenmaßstab [m] Abstand zwischen den Punkten P und E [m] mittlerer Abstand zwischen Rauhigkeitsspitzen [kg/(m2 s)] spezifischer Massenstrom der Phase k [−] allgemeiner Wechselwirkungsterm der Phase k [kg] Wechselwirkungsterm Masse der Phase k [(kgm)/s2 ] Wechselwirkungsterm Impuls der Phase k [(kgm2 )/s2 ] Wechselwirkungsterm Enthalpie der Phase k [(kgm2 )/s2 ] Wechselwirkungsterm Energie der Phase k [(kgm2 )/s2 ] Wechselwirkungsterm Turbulenz, k-ε der Phase k [kg/mol] Molmasse [kg] Masse eines Partikels [kg/s] Fluid– bzw. Partikelmassenstrom [m] Normalenvektor [m] Normalenvektor der virtuellen Wand [1/s] Partikelstrom entlang einer Trajektorie [−] Anzahl von Trajektorien [−] Anzahl realer bzw. simulierter Partikel [−] lokale Anzahl der Partikel pro Paket bzw. Zelle [mol] Stoffmenge [1/m3 ] lokale Anzahldichte der Partikel [−] gemittelte Anzahl der Partikel pro Zelle [N/m2 ] statischer Druck [−] Kollisionswahrscheinlichkeit

viii

Verzeichnis von Gr¨ oßen in lateinischen Zeichen Formelzeichen  Q Q q Qmu , Qmv , Qmw Qp Qh Qtk , Qε qh,k qh q S, Sk  S x , Sy , Sz S, Sp s T T T t ∆t, δt ∆tW TD TE TKomm TN TR,max T1 uˆj u
F , vF
, wF
vF , uF , vF , wF vP , uP , vP , wP v vf c vr vrel vrel,c VP v, V vP 0 , uP 0, vP 0 , wP 0 x x, y, z Y, yl , y

Einheiten [−] [J/s] [J/(m2 s)] [(kg m)/s2 ] [kg] [kg] [(kgm2 )/s2 ] [W/m2 ] [J/kg] [−] [m2 ] [m2 ] [−] [J/(kg K)] [N/m2 ] [Nm] [K] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m3 ] [m3 /kg,m3 ] [m/s] [m] [m] [−, m]

Bedeutung allg. Quelltermvektor W¨arme die vom Gas auf den Tropfen wirkt lokaler W¨armefluß um den Tropfen Partikel–Quellterme f¨ ur die Impulsgleichungen Partikel–Quellterme f¨ ur die Massengleichungen Partikel–Quellterme f¨ ur die Enthalpiegleichungen Partikel–Quellterme f¨ ur die Turbulenzgleichungen W¨armestromvektor der Phase k W¨arme allgemeine Variable Oberfl¨ache eines Kontrollvol./ Faces k Fl¨achenvektor paralleler Speedup spezifische Entropie Spannungstensor Drehmoment Temperatur Zeit Zeitschritt des NS–bzw. Partikel–L¨osers Wechselwirkungszeit des Partikels mit einem Turb.wirbel Durchgangszeit durch einen Turbulenzwirbel Wirbellebensdauer oder integraler Zeitmaßstab Kommunikationszeit Rechenzeit f¨ ur parallele Rechnung auf N Prozessoren maximale Rechenzeit eines Nodes bei paralleler Rechnung Rechenzeit f¨ ur serielle Rechnung kovariante Fluidgeschwindigkeit Schwankungsanteile der Fluidgeschwindigkeit zeitlich gemittelte Fluidgeschwindigkeit Partikelgeschwindigkeit Fluidgeschwindigkeit Relativgeschw. der Partikeloberfl¨achen beim Stoß Relativgeschw. zwischen Partikeloberfl¨ache und Wand Relativgeschw. zwischen Partikel und Fluid Relativgeschw. zweier kollidierender Partikel Volumen pro Partikel spezifisches Volumen, Volumen mittlere lokale Partikelgeschwindigkeit Ortsvektor kartesische Koordinaten Spezieskonzent. als Massen– bzw. Molbruch, Wandabstand ix

Verzeichnis von Gr¨ oßen in griechischen Zeichen Formelzeichen αF , αP βw , β β ij γ ∆γ Γ δT δP ∆ ε ξi η λ λP λe µ

Einheiten [−] [−] [−] [Rad] [−] [m2 /s] [m] [m] [−] [m2 /s3 ] [m] [−] [W/(mK)] [m] [−] [kg/(ms)]

µF , µ, µt νF νC , νE νC,t ρF , ρP σT τk τxx , τxy , τxz τA τk τp τC τS φ φe , φE , φP ψ ωF , ωF x , ωF y ωP , ωP x , ωP y ωP 0 , ωP x0 , ωP y0 ωrel

[kg/(ms)] [m2 /s] [1/s] [−] [kg/m3 ] [m2 ] [N/m2 ] [N/m2 ] [s] [s] [s] [s] [s] [−] [−] [−] [1/rad] [m/s] [m/s] [m/s]

Bedeutung Volumenfraktion des Fluides bzw. der Partikel Wichtungsfaktor, Koeffizient Transformationskoeffizient Inklination der virtuellen Wand Standardabweichung von γ Diffusionskoeffizient bei Gasen bzw. Fl¨ ussigkeiten thermische Grenzschichtdicke mittlerer Partikelabstand Differential Dissipationsrate Koordinatenrichtung im schiefwinkeligen System Massenbeladung W¨armeleitf¨ahigkeitskoeffizient, Raum/Zeitkoordinate mittlere freie Wegl¨ange Interpolationsfaktor Tensor der dyn. Viskosit¨at eines nichtnewtonischen Fluids effektive dynam., molekulare, turb. Viskosit¨at eines Fluids kinematische Viskosit¨at des Fluids Kollisions–, Wirbelfrequenz dimensionslose Kollisionsfrequenz Materialdichte des Fluides bzw. des Partikels Kollisionsquerschnitt Tensor zweiter Stufe der viskosen Spannungen Komponenten des Spannungstensors aerodynamische Relaxationszeit Kolmogorovsche Zeitmaßstab aerodynamische Partikelrelaxationszeit mittlere Kollisionszeit charakteristische Systemzeit, integraler Zeitmaßstab allg. Str¨omungsgr¨oße Wert von φ am Ort e, E bzw. P Zufallszahl Rotation des Fluides Rotationsgeschwindigkeit des Partikels mittlere lokale Rotationsgeschw. der Partikel Rotation des Partikels relativ zum Fluid

x

Verzeichnis von Konstanten und Kennzahlen Formelzeichen c0 cT Cµ , C1 , C2 , C3 C3

Einheiten [m/s] [−] [−] [−]

Cµ , Cε , C1, C2, C1k , C3k , CS σk , σε κ = cp /cv

[−] [−] [−]

Kn = λ/L M Le = Sc/P r Nu Pe P r, P rt , P rl

[−] [−] [−] [−] [−] [−]

Rm = 8, 314 R ReP ReS Reω σM Sc, Sct , Scl

[J/(molK)] [J/(kg K)] [−] [−] [−] [−] [−]

Sh St Str

[−] [−] [−]

xi

Bedeutung Schallgeschwindigkeit Konstante f¨ ur das LSD–Modell Konstanten f¨ ur das k–ε–Modell Konstante f¨ ur Partikelwirkung auf die –Gleichung Konstanten f¨ ur das SSG–Modell Konstanten f¨ ur das k–ε–Modell Isentropen Exponent, van Karmansche Konstante Knudsen–Zahl Mach–Zahl Lewis–Zahl Nusselt–Zahl Peclet–Zahl Prandtl–Zahl, turbulente/ laminare Prandtl–Zahl universelle Gaskonstante spezifische Gaskonstante Partikel–Reynolds–Zahl Reynolds–Zahl der Scherstr¨omung Reynolds–Zahl der Rotation Konstante zur Bestimmung von cM Schmidt–Zahl, turbulente/laminare Schmidt–Zahl Sherwood–Zahl Stokes–Zahl Strouhal–Zahl

Verzeichnis von Operatoren und Funktionen Formelzeichen δij , δ(r,t) , δ f Finterf , Fk H(f ) Ik Sp(T ) φakt φ


Bedeutung Kronecker Delta, Ortsoperator, Diracsche Deltafunktion allgemeine Funktion oder Gr¨oße Interface FunktionF(x,y,z,t) = 0 Heaviside Funktion Indikator Funktion Ik = H(f ) · Fk Spur vom Tensor T Momentanwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße zeitlichbezogener Schwankungswert einer allg. Str¨omungsgr¨oße φ“ dichtebezogener Schwankungswert einer allg. Str¨omungsgr¨oße φ zeitlicher Mittelwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße φ¯ Volumen– bzw. Ensemblemittelwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße φ˜ Phasenmittelwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße φˆ dichtegewichteter Phasenmittelwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße
φ Grenzfl¨achenmittelwert einer allg. Str¨omungsgr¨oße ∂ ∂ ∂ ∇ = ∂x + ∂y + ∂z Nabla–Operator p(n) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f¨ ur das Ereignis n (PDF) T 1, T 2, T 3, T 4, T 5 Term in einer Gleichung Ausdruck f¨ ur lokale Kr¨ ummung wa

xii

Verzeichnis der tiefgestellten Indices Abk¨ urzung A akt d i i, j = 1, 2, 3 interf inf F I k L l P ref r mak S T tu V v

Bedeutung reine Luft bzw. Gas Momentanwerte einer Gr¨oße Tropfen–Phase Spezieskomponente, wie Luft oder Dampf kartesische Koordinatenrichtungen Phasengrenze Stoffwerte in der Freistr¨omung Fluide Phase Integral–Maßstab nach Taylor Fluid– oder Partikel–Phase, Kolmogorovsche Mikromaßstab latente W¨arme fl¨ ussige Phase Partikel–Phase Referenzwert f¨ ur Temperatur oder Stoffkonzentration Wandrauhigkeit makroskopisch, bei Re–Zahl bezogen auf Geometrie am Einlaß Tropfenoberfl¨ache Taylor–Mikromaßstab turbulent, Retu basierend auf integralem L¨angenmaßstab Dampf virtuelle Wand

Verzeichnis der hochgestellten Indices Abk¨ urzung + f k j n t T

Bedeutung dimensionslose Gr¨oße fluktuierende Gr¨oße Zeit– oder Iterationsebene j–te Phasengrenzfl¨ache Zeit– oder Iterationsebene totale Gr¨oße transponierte Gr¨oße

xiii

Verzeichnis der Abku ¨ rzungen Abk¨ urzung ALE ARSM BBO CFD CG–Verfahren CLIC DNS DRSM EEM EIM ELM FVM ICE LDA LES LEVM MAC NS PDA PDF PDG PIV RANS PIC PSI–Cell SIMPLE

Bedeutung Arbitrary Lagrangian Eulerian Equations Algebraische Reynoldsspannungsmodelle Basset–Bousinesq–Oseen–Gleichung f¨ ur ein Partikel Computational–Fluid–Dynamics Conjugierte Gradienten Methode Chemnitzer Linux–Cluster Direkte numerische Simulation Differentielle Reynoldsspannungsmodelle Euler–Euler Methode/Verfahren/Ansatz Eddy–Interaction Model Euler–Lagrange Methode/Verfahren/Ansatz Finite–Volumen Methode/Verfahren/Ansatz Implicit Continuous Fluid Eulerian Laser–Doppler Anemomentrie Large–Eddy–Simulation lineares Wirbelviskosit¨ats–Modell Marker and Cell Navier–Stokes Phasen–Doppler–Anemomentrie Probability–Density–Function oder Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung partielle Differentialgleichung Particle–Image–Velocimetry Reynolds Averaged Navier-Stokes Equation oder zeitgemittelte NS–Gleichung Particle in Cell Particle Source in Cell Semiimplicit Method for Pressure Linked Equations

xiv

Kapitel 1 Einfu ¨ hrung 1.1

Einleitung und Problemstellung

Die rasche Durchdringung der Industrie mit digitalen Technologien f¨ uhrte im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik zu einem starken Wachstum der Simulationstechniken. Dies bewirkt ein detaillierteres Verst¨andnis komplexer Zusammenh¨ange und erlaubt gleichzeitig die Reduzierung der experimentellen Untersuchung von Prototypen sowie die Parametrisierung von Anlagen oder Bauteilen, ohne dabei große Risiken auf sich zu nehmen. Auch wenn durch die Simulation die Anzahl der Versuche, beispielsweise beim Crashtest in der Fahrzeug–Industrie, verringert wird, steigen die Anforderungen an die Qualit¨at der Laboruntersuchungen. Die G¨ ute der Simulation ist also wesentlich von der experimentellen Validierung abh¨angig und f¨ordert eine rasche Weiterentwicklung der Meßtechnik. Mehrphasenstr¨omungen haben eine breite Anwendung auf den Gebieten der chemischen Verfahrenstechnik, der Energie– und Verbrennungstechnik, der Lebensmittel– und pharmazeutischen Industrie. Typisch f¨ ur solche Systeme ist die Existenz mehrerer nicht oder nur begrenzt mischbarer Medien in einem gemeinsamen Str¨omungsraum, wobei sich entlang der Phasengrenzfl¨ache die physikalischen Parameter sprunghaft ¨andern. Zur Charakterisierung der Mehrphasenstr¨omungen dienen h¨aufig Parameter, die nach Mittelung u ¨ ber einen Volumenbereich, der u ¨ber typische L¨angen– und Zeitmaßst¨abe definiert wird, bestimmt werden. Eine lokale Bestimmung von Aggregatzustand, Druck, Temperatur, Dichte und Geschwindigkeit mit der Simulation oder dem Experiment ist aufwendig, liefert aber ein umfaßendes Abbild der wesentlichen Prozesse. Außerdem ist die Topologie der Phase (Form der Phasengrenzfl¨ache), wie beispielsweise tropfenf¨ormig, kontinuierlich oder filmartig, von Bedeutung.

1

Stand der Technik sind 3–Phasen–Simulationen (Kernschmelze in der Reaktortech¨ ordertechnik) mit unterschiednik, z.B. Kolev [216], Transportvorg¨ange in der Olf¨ lichen Phasentopologien und Aggregatzust¨anden, wobei jedoch schon 2–Phasen– Systeme sehr viele Anwendungen abdecken. Wenn man ein 2–Phasen–System Fl¨ ussigkeit–Gas betrachtet, bei dem die Gasphase die kontinuierliche und die Fl¨ ussigkeit als Tropfen die disperse Phase ist, ist es m¨oglich u ¨ber mehrere Spezies die Gasphase umfassend auch in Bezug auf chemische Reaktionen darzustellen (z.B. Sauerstoff–Stickstoff–Kohlendioxid–Verteilung bei Verbrennungsvorg¨angen), ohne die Annahmen des Zweiphasenmodells zu verletzen. Die wichtigsten Gr¨oßen zur Definition der Mehrphasigkeit sind der Aggregatzustand, die Topologie und der Volumen– bzw. Massenanteil (bezogen auf den Gesamtwert in einem lokalen Kontrollvolumen der jeweiligen Phase). Außerdem geben diese Gr¨oßen Aufschluß u ¨ber die St¨arke der Wechselwirkung zwischen den Phasen. So ist der Impulsaustausch abh¨angig von der Volumenfraktion bzw. vom Massenanteil und der Stokes–Zahl. In dieser Arbeit werden Zweiphasenstr¨omungen behandelt, die eine kontinuierliche Gasphase und eine disperse Tropfen/Partikel Phase beinhalten. Damit k¨onnen sowohl Spr¨ uhvorg¨ange unterschiedlichster Art als auch Transportvorg¨ange von Feststoffen in Gasen (aber auch in Fl¨ ussigkeiten) simuliert werden. Als Modellansatz hat sich das Euler–Lagrange–Verfahren (ELM) f¨ ur diese Art von Zweiphasenstr¨omungen durchgesetzt, wobei alternative Verfahren wie das Euler–Euler–Verfahren (EEM) durchaus bei speziellen Anwendungen vorteilhafter sein k¨onnen. Viele Untersuchungen zeigen, daß sogar bei moderater Beladung die Partikel–Partikel–Kollisionen einen großen Einfluß auf Str¨omungsvorg¨ange haben k¨onnen. Es gibt verschiedene Modelle f¨ ur die Partikelkollisionen, mit denen zum Teil ein starker Anstieg der Rechenzeit verbunden ist. Mehrphasenstr¨omungen z¨ahlen deshalb mit zu den rechenintensivsten Anwendungen der CFD. Die Simulation von Zweiphasenstr¨omungen im Bereich des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik ist letztendlich von der erzielbaren bzw. geforderten Genauigkeit und dem Aufwand an Zeit und Arbeitskraft abh¨angig. Die G¨ ute der Ergebnisse ist oft eine Frage der Qualit¨at der physikalischen Modelle und einer entsprechend feinen Gitternetzaufl¨osung, was wiederum stark den Rechenaufwand erh¨oht. Heute und in absehbarer Zukunft sind die leistungsf¨ahigsten Rechner massiv parallele Systeme, die aus bis zu mehreren tausend Prozessoren bestehen. Um einen Parallelrechner effizient zu nutzen, ist es notwendig, serielle Algorithmen zu u ¨berarbeiten bzw. v¨ollig neue Ans¨atze zu implementieren. F¨ ur die Einphasenstr¨omung hat sich die Gebietszerlegungsmethode als “Stand der Technik“ f¨ ur statische Berechnungsgitter etabliert. Die parallele Berechnung einer Zweiphasenstr¨omung mit

2

einem Euler–Lagrange–Ansatz befindet sich jedoch noch in der Anfangsphase. Es ist deshalb Ziel dieser Arbeit, zu zeigen, daß f¨ ur 2–Phasensysteme eine parallele Berechnung auch von komplexen physikalischen Vorg¨angen, wie Kollision oder Aggregatszustands¨anderung, mit entsprechenden Algorithmen m¨oglich ist. Damit wird skalierbare Rechenleistung nutzbar, die aufwendigere und genauere Modelle erm¨oglicht oder die numerische Simulation aufgrund der genaueren Diskretisierung u ¨berhaupt erst m¨oglich macht. Die “Erstellung eines Simulationsalgorithmus“, wie es in dieser Arbeit durchgef¨ uhrt wird, erfordert folgende Schritte: 1) Aufstellen eines mathematischen Formelapparates (partielle Differentialgleichungssysteme), der den technischen Prozeß mit Hilfe von physikalischen Modellen ausreichend genau darstellt, 2) Diskretisierung der Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen, die auf  = Q  f¨ ein numerisch l¨osbares System A · φ uhren und die Formulierung von Schließungsans¨atzen, 3) Erzeugen einer Programmstruktur, bei der Modularit¨at und Wartbarkeit erhalten bleiben, und deren Umsetzung in eine h¨ohere Programmiersprache, 4) Testen der Funktionalit¨at und Fehlerbeseitigung, 5) Validierung mittels Meßdaten oder analytischer L¨osungen und Messung der parallelen Effizienz, 6) Optimierung und Verbesserung, was schon ab Schritt 3) erfolgen kann, 7) Dokumentation und Versionsmanagement Die in den Punkten 1) bis 7) angef¨ uhrten Schritte sind der Idealzustand einer Algorithmusentwicklung. In der Praxis werden oft Schritt 5) bis 7) auf Kosten von Schritt 3) bis 4) vernachl¨assigt. Oft reicht die Zeit nur f¨ ur die Erstellung einer Beta–Programmversion. Die Ursache liegt einerseits darin, daß parallele Programme eine sehr hohe Anforderung an das Softwareengineering1 stellen, andererseits, verlangen reale Ingenieur–Probleme zur Abbildung aller wesentlichen Prozesse Rechenprogramme mit umfangreichen Funktionalit¨aten. Um einen parallelen Algorithmus auf seine Praxistauglichkeit zu pr¨ ufen, ist es notwendig, die entsprechenden Problemstellungen aus der Anwendung inklusive aller Details zu simulieren. Das daf¨ ur notwendige Programm wird mehrere zehntausend Programmzeilen enthalten, kommerzielle Programme sind um eine Gr¨oßenordnung umfangreicher. 1 Es gibt Untersuchungen, Caspers [55], bez¨ uglich der m¨oglichen Anzahl von Programmfehlern pro 100 Code Zeilen, die nur durch strukturiertes Softwareengineering zu minimieren sind. Grundlage ist ein umfassendes Design Konzept, das objektorientierte Prinzipien, Modularit¨at und Einfachheit, Leveson [236], beinhaltet.

3

1.2

Stand der Forschung

Die numerische Simulation von Mehrphasenstr¨omungen ist wegen der vielf¨altigen Anwendungen in Technik und Industrie Gegenstand der Forschung seit den fr¨ uhen 70er Jahren, die auch den Anfang der breiten Computernutzung darstellen. Die wesentlichen Impulse gingen anfangs von der Nuklearindustrie2 aus (K¨ uhlkreislauf Harlow [169] und Ramshaw [310]), w¨ahrend ab den 90er Jahren vermehrt die chemische Industrie (Blasenkolonnen, R¨ uhrer), die Lebensmittelindustrie (Spr¨ uhtrockner), die Verfahrenstechnik (F¨ordertechnik, Kohlestaubfeuerung) und die Verbrennungstechnik (Einspritzsysteme f¨ ur Verbrennungsmotoren und Gasturbinen z.B. Pachler [284]) ¨ Interesse zeigen. Heute steht die Simulation am Ubergang von der Forschung in Universit¨aten zur Anwendung in den Konstruktionsb¨ uros und wird als Entwicklungswerkzeug allgemein akzeptiert. Die theoretische Behandlung von Mehrphasenstr¨omungen ist ungleich komplexer als von Einphasenstr¨omungen3 . Ein wesentlicher Grund r¨ uhrt aus der Str¨omungstopologie her, deren makroskopischen Erscheinung oft sogar visuell vorgenommen werden kann. Diese bestimmt die Phasengrenzfl¨achen und damit die dort wirkenden Kr¨afte. Abb.1.1 zeigt eine m¨ogliche Klassifizierung der 3–Phasenstr¨omung nach Kolev [215], der geometrisch eine Unterscheidung zwischen Rohr– und Beh¨alterstr¨omung definiert. Man kann die Mehrphasigkeit formal genauso behandeln wie eine Einphasenstr¨omung, wobei jede Phase durch einen eigenen Gleichungssatz dargestellt wird. Die Wechselwirkungen an den Phasengrenzfl¨achen m¨ ussen jedoch u ¨ber entsprechende Ans¨atze modelliert werden und entscheiden wesentlich u ute der gesamten Mehr¨ber die G¨ phasensimulation. Aufgrund der Komplexit¨at von Phasentopologien und Systemzustand (es besteht ¨ oft ein fließender Ubergang von einem Fluidregime zum anderen, siehe Abb.1.1 Str¨omungsregime 10 bzw. 23), wird bis heute auch noch mit ph¨anomenologischen Modellen gearbeitet. Grundlage ist oft die Rohrstr¨omung mit den dazugeh¨origen Erhaltungsgleichungen und ein semiempirischer Modellansatz, der durch Meßdaten 2 Im Bereich der Einphasenstr¨omung hat die Luft–und Raumfahrt schon seit den 70er Jahren numerische Simulationen zur Auslegung von Turbinenschaufeln, Tragfl¨ ugeln und in den 90er Jahren von ganzen Flugzeugen und Raketen verwendet. Gerade die Turbulenzmodellierung (algebraische Reynolds–Spannungsmodelle, LES) und leistungsstarke L¨oseralgorithmen (Multigrid) wurden dadurch vorangetrieben. 3 Die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie sind exakte Ans¨atze, w¨ahrend der Newton’sche Spannungsansatz oder die Zustandsgleichung (Materialgesetze) eine Modellannahme sind. Die Turbulenzmodellierung mittels zeit– oder ensemblegemittelter Gleichungen ist ein m¨oglicher Weg, um die statistischen Schwankungen abzubilden. Die Navier-Stokes Gleichungen (NS) sind f¨ ur den Bereich der lokalen Knudsen–Zahl (Kn = λ/L) 0,1 - 0,2 als untere bzw. f¨ ur den Bereich λ/d = 7 als obere Grenze immer g¨ ultig, siehe Bird [37], und lassen sich aus den Boltzmann– Gleichungen herleiten. (λ ist dabei die mittlere freie Wegl¨ange, L eine charakteristische L¨ange und d der Durchmesser der Gasmolek¨ ule.)

4

17

7

22

1

9

4

6

3

8

Gas

Water 

2

microscopi c solid particles

13

15

14

16

5

Liquid metal

21

10

11

12

Pool

23

flow

Pool  channel flow

Liquid  solid

Solid

flow

Bubbles

microscopic

Water _ droplets  microscopi c

solid

solid

particles

particles

Water _ film 

Channel

Abbildung 1.1: Str¨omungsregime f¨ ur drei Phasen nach Kolev [215], siehe auch Tab.1.1 kalibriert wird. Damit k¨onnen Druckabfall und Massenstr¨ome berechnet werden. Leider ist die Anwendung dieses Ansatzes nur auf ¨ahnliche Verh¨altnisse beschr¨ankt, der G¨ ultigkeitsbereich ist nicht exakt definiert. Die Ergebnisse sind globale Gr¨oßen, ohne Aufschluß beispielsweise u ¨ber ein Geschwindigkeits– oder Konzentrationsprofil geben zu k¨onnen. Andererseits ist der Aufwand bei solchen Modellen gering und kann f¨ ur Vorbemessungen ausreichen. Dreidimensionale instation¨are Simulationen k¨onnen bei richtiger Modellierung der Phasenaustauschterme und der Turbulenz detaillierte Aussagen u ¨ber Str¨omungsgr¨oßen liefern. Die Entwicklung geht in Richtung Berechnung aller str¨omungsrelevanten Ph¨anomene wie beispielsweise Kavitation4 in Einspritzsystemen (wof¨ ur die 4 Der Massenaustauschterm zwischen fl¨ ussiger und dampff¨ormiger Phase wird mit der Rayleigh-Besant Gleichung bestimmt, Hammit [164].

5

1 GF 1 17 22 24 2 GF 2 3 4 6 7 8 9 13 14 15 16 3 GF 26 27 3 GF 5 10 11 12 21 23

Feldzuordnung/Phasentopologie Geschw.feld 2 Geschw.feld 1 Geschw.feld 3 Geschw.feld 3 Feldzuordnung/Phasentopologie

Fluid–Typ Wasser Gas fl¨ ussiges Metall verfestigtes Metall Fluid–Typ

diskr. Tropfengeschw. 2, kontin. ߬ ussiges Metall 3

Wasser/߬ ussiges Metall ߬ ussige Metalltropfen od. feste Partikel/Wasser

diskr. Phase Geschw.feld 3 in kontin. Phase Geschw.feld 2 2–Phasen Blasenstr¨ omung: kontin. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 1 2–Phasen Pfropfenstr¨ omung: kontin. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 1 turb. sch¨ aumende 2–Phasen Str¨ omung: kontin. Phase Geschw.feld 1, diskr. Phase Geschw.feld 2 Ringstr¨ omung: kontin. Phase Geschw.feld 1, kontin. Phase Geschw.feld 2 disp. 2–Phasen Str¨ omung: kontin. Phase Geschw.feld 1, diskr. Phase Geschw.feld 2 f¨ ur Beh¨alterstr¨omung

kontin. Phase Geschw.feld 1, diskr. Phase Geschw.feld 3 kontin.Phase Geschw.feld 1, diskrete Phase Geschw.feld 3 kontin.Phase Geschw.feld 1, diskrete Phase Geschw.feld 3 kontin.Phase Geschw.feld 1, diskrete Phase Geschw.feld 3 Feldzuordnung/Phasentopologie

Gas/Gas Gas/Gas Gas/Gas Gas/Wasserfilm Gas/Tropfen Gas/Wassertropfen Gas/feste Partikel Gasblasen/fl¨ ussige Metall Gas/feste od. fl¨ ussige Metalltropfen

Kanalstr¨ omung

¨ Ubergang von Schicht– zu Propfenstr¨omung: kontin. Phase Geschw.felder 1, 2 u. Tropfen 3 ¨ Ubergang von Schicht– zu Blasenstr¨omung: kontin. Phase Geschw.felder 1, 2 u. Tropfen 3

Feldzuordnung/Phasentopologie

Fluid–Typ

3–Phasenblasenstr¨ omung: diskr. Phase Geschw.feld 1, kontin. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 3 kontin.Phase Geschw.feld 1, kontin. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 3 diskr. Phase Geschw.feld 1, kontin. Phase Geschw.feld 2, kontin. Phase Geschw.feld 3 kontin. Phase Geschw.feld 1, kontin. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 3

Gasblasen/Wasser/߬ ussiges Metall od. feste Partikel

Gas/Wasser/ Wassertropfen Gasblasen/Wasser Gas/Wasser/ feste Mikropartikel

Gas/Wassertropfen/ fl¨ ussige Metallpartikel od. feste Partikel od. por¨ose Geschw. Gas/Wassertropfen/ kontin. Phase Geschw.feld 1, diskr. Phase Geschw.feld 2, por¨oses fl¨ ussiges Metall mit umgeben von kontin. Phase Geschw.feld 3 großen Tropfendurchmessern kontin. Phase Geschw.feld 1, diskr. Phase Geschw.feld 2, diskr. Phase Geschw.feld 3

Tabelle 1.1: Erl¨auterung der Str¨omungsregime von Abb.1.1 anhand der Anzahl der Geschwindigkeitsfelder (GF)

6

Arbeit von Rieger [318] als Startpunkt im Bereich der dreidimensionalen Simulation steht) oder Transportvorg¨ange in Blasenkolonnen, die mittels genauer Aufl¨osung der Kr¨afte an der Blasenoberfl¨ache berechnet werden, was Esmaeeli und Tryggvason [117], [118] mit einem Grenzfl¨achenverfolgungsalgorithmus bewerkstelligen. Die Rechenzeiten sind bei komplexen dreidimensionalen Mehrphasenproblemen so hoch, daß oft nur exemplarische Anwendungen durchgef¨ uhrt werden k¨onnen, wie beispielsweise die Berechnung eines Ausschnitts aus einer Blasenkolonne. Doch nicht immer kann der technische Prozeß auf eine akzeptable Rechenzeit skaliert werden. Bei dem pneumatischen Transport von granularem Material kann Str¨ahnenbildung auftreten, die statt eines kurzen Ausschnittes die Simulation eines l¨angeren Teils einer Rohrgeometrie erfordert. Bei hoher Beladung muß bei Gas–Partikel–Str¨omungen eine Vier–Wege–Kopplung aktiviert werden, die noch mehr Rechenressourcen verlangt. Je nach Anwendung wird der EEM–Ansatz (Zwei–Fluid Modell) mit zwei separaten Impulsgleichungen, der ELM–Ansatz oder ein Oberfl¨achenverfolgungsalgorithmus verwendet. Bei letzterem gibt es mehrere Verfahren (VOF-Methode, Level–Set Methode, Partikel–Methode), die mit einem Satz Impulsgleichungen sowie einem Algorithmus zur Verfolgung der Phasengrenzfl¨ache den Dichtesprung und die Oberfl¨achenspannung an der Grenzfl¨ache modellieren.

1.2.1

Str¨ omungssimulation, Algorithmenentwicklung und Diskretisierung

Die numerische Str¨omungssimulation fußt auf einer großen Anzahl von Spezialdisziplinen, die alle f¨ ur das Ziel Bauteil-/Prozeß Optimierung notwendig sind. Die Mehrphasenstr¨omungssimulation kann viele Entwicklungen aus der Einphasenstr¨omung verwenden. Aus diesem Grund werden in diesem Kapitel vor allem Entwicklungsspr¨ unge bez¨ uglich der Einphasenstr¨omung behandelt, obwohl sich die Forschung im Bereich Mehrphasenstr¨omung parallel dazu entwickelt hat. Wie in vielen anderen Bereichen der Ingenieurwissenschaften sind auch in der Str¨omungsmechanik die Grundgleichungen, wie die NS–Gleichung (Navier 1827, Stokes 1845), schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt. Die Verf¨ ugbarkeit von digitaler Rechentechnik ab den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts fokussierte jedoch die Forschung auf Diskretisierungsverfahren (Finite–Elemente–Methode, Finite–Differenzen– Methode, Finite–Volumen–Verfahren, Spektral–Verfahren) von PDG–L¨osungsalgorithmen f¨ ur lineare Gleichungssysteme (konjugierte–Gradienten–Verfahren, Multigrid) und sp¨ater mit dem Aufkommen der Workstation auf Netzgenerierungsmethoden, Thompson [394]. Letztere erm¨oglichten erstmals die interaktive Erstellung von Berechnungsgittern

7

und die anschließende graphische Darstellung der Rechenergebnisse. Bis heute und auch zuk¨ unftig ist die Gittergenerierung von großem Interesse, weil sie sehr zeitaufwendig ist und durch die jeweilige Art der Netze die Numerik wie auch die Anwendbarkeit f¨ ur den Berechnungsingenieur stark beeinflußt. Die ersten Str¨omungsprogramme konnten nur laminare Str¨omungszust¨ande berechnen, was f¨ ur die meisten technisch relevanten Str¨omungen eine Erweiterung f¨ ur den turbulenten Bereich erforderte. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts wird, beginnend mit Reynolds und Boussinesq am Verst¨andnis der Turbulenz gearbeitet. Trotz großer Anstrengungen gibt es noch immer Bedarf an Forschung, um dieses noch nicht ganz erkl¨arbare Ph¨anomen modellierbar zu machen. Die aktuell verwendeten Ans¨atze sind im Rahmen ihrer G¨ ultigkeit recht brauchbar, verlangen jedoch detaillierte Kenntnisse u ¨ber deren Grundlagen. Außerdem gibt es Str¨omungen, die bisher nur mit der DNS gen¨ ugend genau gel¨ost werden k¨onnen, wobei der hohe Rechenaufwand5 f¨ ur reale Probleme sehr oft ein un¨ uberbr¨ uckbares Hindernis darstellt. Ordnet man die Turbulenzmodelle aufsteigend nach deren Ressourcenbedarf bzw. Komplexit¨at, erh¨alt man: • Lineare und nichtlineare Wirbelviskosit¨ats–Modelle (LEVM) bzw. Eddy–Viscosity–Models • Algebraische Reynolds–Spannungsmodelle (ARSM) • Differentielle Reynolds–Spannungsmodelle (DRSM) bzw. Second–Moment–Closures • Large Eddy Simulation (LES), zur Zeit f¨ ur Remak ≤ 5 · 105 verwendbar, Breuer [46, 47] • Direkte Numerische Simulation (DNS), zur Zeit f¨ ur Remak ≤ 2·104 verwendbar, H¨artel [298], Kap. 2.1.3.1 Aufgrund der Zielstellung dieser Arbeit wird die Turbulenzmodellierung vor allem im Rahmen der LEVM– und der DRSM–Modelle betrachtet. F¨ ur die Absch¨atzung zuk¨ unftiger Potentiale werden auch LES–Resultate verwendet. Um die numerische Simulation zu validieren, sind Laborexperimente notwendig, die die Entwicklung der ber¨ uhrungslosen Meßtechnik (Laserlichtschnitt, Videoendoskopie, LDA, PDA, PIV, Malvern, R¨ontgentomographie) vorantreiben. Parallel dazu werden gut vermessene Benchmarks definiert, die charakteristische Str¨omungsklassen (Rohrstr¨omung, Drallstr¨omung, diverse Tragfl¨ ugelkonfigurationen wie z.B. f¨ ur 9/4

5 Gitterpunktanzahl in 3–dimensionalen Geometrien Ng = LI /λk ∼ Retu , Anzahl der Rechen11/4 operationen Nf ∼ Retu , siehe Wilcox [436] und Kap. 2.1.3.1

8

Start oder Reiseflug) oder spezielle Anwendungsf¨alle (Saugrohreinspritzung bei 4– Takt–Otto–Motoren) abdecken. Theoretische als auch versuchstechnische Turbulenzforschung wird an Universit¨aten, in staatlichen Organisationen wie z.B. NASA Langley, DLR, ONERA oder bei Turbinenbauern (Sulzer, Rolls–Royce, Pratt & Whitney) durchgef¨ uhrt. Bis heute wird die numerische Str¨omungssimulation nicht nur vom Forscherdrang der Universit¨aten, sondern in zunehmenden Maße auch von aktuellen Fragestellungen aus der Industrie vorangetrieben. Als Beispiele w¨aren die Fl¨ ugel/Rumpfoptimierung von Verkehrsflugzeugen (z. B. Boeing 777) oder die Einlaßkanaloptimierung bzw. die wasserseitige K¨ uhlkreislaufauslegung von direkteinspritzenden PKW–Dieselmotoren (z. B. BMW 320d, [369]) zu nennen. Die mehrdimensionale Str¨omungsberechnung bedeutet f¨ ur den Anwender das Arbeiten mit umfangreichen Programmpaketen, die je nach L¨osungsalgorithmus (FEM–, FVM–, Lattice Boltzmann–Methode) unterschiedliche Kenntnisse bez¨ uglich Gittergenerierung und L¨osersteuerung verlangen. Es gibt unterschiedliche L¨osungsverfahren, die vor allem in der Diskretisierung differieren. FEM–Str¨omungsl¨oser werden heute haupts¨achlich von Mathematikern an Universit¨aten entwickelt und zeichnen sich durch einen durchgehenden mathematischen Formalismus aus, der die Anwendung moderner Fehlersch¨atzer und h– bzw. p–Verfeinerung (h· · · Gitterver¨ feinerung, p(≡Polynom)· · · Anderung der Ordnung der Ansatzfunktion) durch adaptiven Steuerung erlaubt, Turek [400], Oden [278]. Damit f¨allt der Schwerpunkt der Entwicklung auf die Verbesserung des Algorithmus, w¨ahrend die Anwendung physikalischer Modelle und die Simulation technischer Str¨omungen meist von Ingenieuren mit der FVM betrieben wird6 . F¨ ur Mehrphasenstr¨omungen werden wegen der Robustheit und der lokalen Massenerhaltung mehrheitlich FVM–L¨oser verwendet, die auch bei kommerziellen Str¨omungsprogrammen dominieren. Die Basis jeder L¨osung ist die Ortsdiskretisierung mittels eines Volumennetzes, das sehr unterschiedlich gestaltet sein kann und von den Algorithmen des L¨osers abh¨angt. Ein wichtiger Punkt ist die M¨oglichkeit einer automatische Netzgenerierung, was aber momentan nur f¨ ur ausgesuchte Anwendungen problemlos funktioniert. Als Basiskontrollvolumen hat sich ein allgemeiner (schiefwinkeliger) Hexaeder bew¨ahrt, der bei dreidimensionalen Str¨omungen die besten Ergebnisse liefert. Der in der folgenden Auflistung als einfaches Kontrollvolumen bezeichnete Hexaeder ist der Urtyp eines Kontrollvolumens in der FVM und wird 6 Neben den Standardmethoden FVM und FEM muß die zunehmende Bedeutung der Gasgitter– Methoden hervorgehoben werden, wobei hier vor allem die Lattice–Boltzmann–Methode (LBM) aufgrund der guten Ergebnisse schon in der Industrie verwendet wird, [27], [242]. Die LBM geht nicht wie die Standardmethoden von der NS–Gleichung aus, sondern l¨ost die Boltzmann–Gleichung. Die LBM wurde urspr¨ unglich f¨ ur hochverd¨ unnte Gase (Wiedereintrittsprobleme) oder bei por¨osen Str¨omungen verwendet, wo infolge der dort erreichten Knudsen–Zahl die NS–Gleichung nicht mehr g¨ ultig ist. Aktuell wird an der Erweiterung f¨ ur thermische, hochkompressible Str¨omungen gearbeitet.

9

aktuell um beliebige Vielfl¨achler bzw. Tetraeder oder Pyramiden erweitert. Die Entwicklung der Netztopologien ist w¨ahrend der letzten drei Dekaden chronologisch wie folgt verlaufen, Peric [297], [294]: 1. einfaches Kontrollvolumen (Hexaeder), blockstrukturiert(ijk–Addressierung), Netztopologie bestehend aus einem Block (ist unwirtschaftlich bei komplexen Geometrien, weil Gebiete außerhalb der Str¨omung mitmodelliert werden m¨ ussen), z.B. im L¨oser Kiva 2 2. einfaches Kontrollvolumen (Hexaeder), blockstrukturiert(ijk–Addressierung), Netztopologie bestehend aus mehreren Bl¨ocken (wird in dieser Arbeit verwendet), auch multi–block–scheme genannt, verlangt Datenaustausch an den Blockgrenzen und bedeutet einen Mehraufwand durch die zus¨atzlichen Austauschzellen, sogenannte “virtuelle Zellen“, an den Blockgrenzen, z.B. im L¨oser Kiva 3 3. einfaches Kontrollvolumen (Hexaeder), blockstrukturiert mit indirekter Addressierung, das heißt Arbeiten in einem topologischen Block mit variabler Gr¨oße f¨ ur jede Netzschicht, z.B. FIRE 7.x, ohne den Zusatzaufwand des Datentausches an den Blockgrenzen wie unter Punkt 2 4. wie 2 aber beliebige Kontrollvolumen (Hexaeder, Tetraeder, Prismen) 5. wie 2 aber mit sogenannten “nonconstrained elements“, d.h. es ist nicht notwendig, daß die Hexaeder mit ihren Eckpunkten u ¨bereinstimmen, was eine effiziente lokale Gitterverfeinerung erlaubt, Lilek [240] und Abb. 1.2 6. wie 2 oder 3, doch es werden u ¨berlappende Netze (Chimera–Netze) verwendet, die eine lokale Verfeinerung erlauben, was ein Festhalten an den effizienten blockstrukturierten Gleichungsl¨osern erm¨oglicht, aber eine aufwendige Interpolation zwischen den Gittern verlangt, siehe auch Abb. 1.3, die ein O–Netz um den bewegten Zylinder zur besseren Aufl¨osung der Grenzschicht zeigt, w¨ahrend das Grundnetz an die horizontal verlaufendende Einlaßstr¨omung angepaßt ist. Chimera–Netze findet man h¨aufig bei Anwendungen in der Luft– und Raumfahrt z.B. bei der Fl¨ ugelklappenkonfigurationen oder bei der Rumpf– Tragfl¨ ugeleinheit, Buning [409]. 7. Hybridnetze, das sind komplett unstrukturierte Netze, die aus einer Mischung von Hexaedern, Tetraedern, Prismen und Pyramiden bestehen k¨onnen und auch die “nonconstrained element“ F¨ahigkeit beinhalten, siehe Punkt 5. Realisiert wird dies in den kommerziellen L¨osern Fluent 6, Cfx5, Star–CD, FIRE 8.

10

In dieser Arbeit wird der unter Punkt 2 beschriebene Ansatz verwendet, wobei die Blockstrukturierung eine effiziente Parallelisierung im Rahmen der Gebietszerlegung erlaubt. Daneben k¨onnen die Gleichungsl¨oser wie SIP oder CG–Verfahren in einer sehr kompakten und speicherschonenden Form verwendet werden. Es hat sich herausgestellt, daß konturangepaßte Netze mit einer Schicht von mindestens zwei Lagen Hexaedern an der Wand gute Resultate liefern. Bei nichtkon-

y 2

P

x x

x

N

P

x

x

P

P

N

1

x Abbildung 1.2: Nonconstrained Elementanordnung nach dem unverschobenen Variablenschema, siehe auch Abb.1.4 turangepaßten Netzen ist eine aufwendige Verfeinerung der Wandgrenzschicht erforderlich. Die Fl¨ usse werden in einem lokalen schiefwinkeligen Koordinatensystem berechnet und dann auf ein kartesisches System u ur welches anschließend ¨ bertragen, f¨ die linearisierten Gleichungen gel¨ost werden. Die L¨osung in ko– bzw. kontravarianten Koordinaten hat sich vor allem wegen der zus¨atzlichen Kr¨ ummungsterme bei stark verzerrten, komplexen Geometrien als wenig robust erwiesen (Demirdzic [83]). Außerdem ist der zus¨atzlich notwendige große Speicher f¨ ur die Christoffelsymbole (Steffan [368]) bei 3–dimensionalen Geometrien eine starke Einschr¨ankung. Der unter Punkt 7 aufgef¨ uhrte Hybridansatz ist der aktuelle Stand der Entwicklung und erlaubt die gr¨oßte Flexibilit¨at bei der Netzgenerierung, die erst eine Automatisierung m¨oglich macht. Hybridnetze werden auch von der Cell–Vertex–Methode, Raw [313] und Morton [266],

11

Abbildung 1.3: vInlet = 0, 85 Mach, Isofl¨achen der Mach–Zahl f¨ ur einen bewegten Zylinder nach Buning [49] berechnet mit dem OverFlow–Code auf einem Chimera– Netz verwendet, wo um jeden Vertexpunkt ein Kontrollvolumen aufgespannt wird (in 2–D wird die Kantenlinie zwischen benachbarten Knoten und Knotenpolpunkt halbiert und darauf die neue, zum Rechenkontrollvolumen geh¨orige Kante definiert, die neuen Kanten verbinden die Halbierungspunkte und ergeben mit den Schnittpunkten als neue Eckpunkte das Rechenkontrollvolumen, siehe Abb. 1.4). Muzaferija [270], [271] zeigt, daß man sich von der Vorstellung einer speziellen Kontrollvolumentopologie l¨osen kann und formuliert einen Ansatz f¨ ur ein allgemeines Vieleck, bei dem man von der Zellmittelpunktsfixierung weggeht und sich daf¨ ur auf die Zellfl¨achen setzt und die daran anliegenden Kontrollvolumen speichert. Zur Berechnung des Volumens summiert man nach dem Gaußschen Oberfl¨achentheorem das Produkt von den Normalvektoren und den Zellfl¨achen des Vielecks. Die FVM nutzt bei der Berechnung der Grundvariablen (Druck, Geschwindigkeit, Turbulenzgr¨oßen) in Abh¨angigkeit von den vektoriellen und den skalaren Gr¨oßen unterschiedliche Positionen, Abb.1.4. W¨ahrend die skalaren Gr¨oßen bei den meisten Algorithmen im Zellzentrum eines beliebigen Kontrollvolumens berechnet werden, k¨onnen die Geschwindigkeiten im Zellzentrum (colocated arrangement, was unverschobene Anordnung bedeutet) oder an den Eckpunkten bzw. an den Zellfl¨achenschwerpunkten definiert sein (verschobene Anordnung bzw. MAC oder ICE–ALE arrangement, Hirt [173], z.B. in Kiva 2/Kiva 3). Die verschobene Anordnung ist nur f¨ ur orthogonale Netze etwas genauer als die unverschobene, verlangt jedoch eine

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Y Y 2

N

x x

E x

x

P

x

S E

S

x

1

N

X

C e ll-V e rte x

Y

1

N

X

S ta n d a rd C o lo c a te d

P

x

x

W S W

2

N

x

N W

x

N

N E

N

Y 2

N

P P N

M A C

2

1

N

X

IC E -A L E

1

X

Abbildung 1.4: Variablen Verteilung der unterschiedlichen Algorithmen, o=Polpunkt P Ort aller Skalargr¨oßen, X=Ort der Zellfacegeschwindigkeit, ↑→=Ort der Geschwindigkeit

Spezialbehandlung der Randzellen und einen gr¨oßeren Speicheraufwand (statt einem Metriktensor sind f¨ ur die Geschwindigkeiten noch zus¨atzlich drei Metriktensoren abzuspeichern und das verschobene Gitter muß berechnet werden). Das MAC–Schema, Harlow [167], ist wegen seiner Genauigkeit (die Zellfacegeschwindigkeiten werden f¨ ur ∆h berechnet, in der unverschobenen Anordnung f¨ ur 2∆h) besonders beliebt f¨ ur CFD–Prototypen, die 2-dimensionale orthogonale Netze verwenden. Die cell–vertex–Methode ist sehr flexibel bez¨ uglich der Geometrie, muß jedoch aufwendig die Kontrollvolumen f¨ ur die Berechnung generieren, wobei der Zellmittelpunkt nicht immer der Zellschwerpunkt ist. Die Genauigkeit ist etwas h¨oher, weil in einem Hexaedernetz u ¨ber acht Einzelvolumen, im Gegensatz zu einem Volumen bei der unverschobenen Anordnung, integriert wird.

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Alle Variablen–Schemata mit Ausnahme des MAC–Schemas haben Probleme mit der Geschwindigkeits–Druck–Kopplung, die zu sogenannten “chequerboard Mustern“ im Druck f¨ uhren k¨onnen. W¨ahrend das ICE–ALE–Schema eine numerische Zwangsbedingung zur Kopplung einer gleichm¨aßigen Druckverteilung vorsieht, hat die unverschobene Anordnung mit der Druckinterpolation nach Rhie7 und Chow [316] dieses Problem u ur reine Hexaedernetze ¨berwunden. Bei der unverschobenen Anordnung f¨ ist zu unterscheiden, ob es eine Diagonalzelle gibt oder ob diese einfach wegfallen kann. Das hat Einfluß auf die Gradientenberechnung f¨ ur die Zellfl¨achengeschwindigkeiten bei stark nichtorthogonalen Netzen. Bei dieser Operation, Abb.1.4, werden Gradienten z.B. des Drucks in der Hauptrichtung ξ 1 von W nach E als auch quer dazu in ξ 2 von S– nach N–Richtung gebildet. Der Quergradient bildet sich aus NW-SW bzw. NE-SE. Daf¨ ur ist jedoch der Diagonalnachbar (NW, NE, SW, SE) notwendig. Vielfach wird jedoch auf die Bildung der Quergradienten verzichtet, was die Qualit¨at der iterativen Anfangsl¨osung reduziert bzw. eine h¨ohere Gitteraufl¨osung verlangt. Shih et al. [344] vergleichen die verschiedenen Anordnungen und stellen eine ausreichende Genauigkeit f¨ ur das unverschobene Schema fest. Aus all diesen Gr¨ unden ist die unverschobene Anordnung (Standardform) in seiner modernsten Auspr¨agung, n¨amlich die der Hybridnetze (siehe Punkt 7), anzustreben. Bevor auf die unterschiedlichen L¨osungsalgorithmen eingegangen wird, soll erw¨ahnt werden, daß eine Str¨omung mit entsprechendem Druckgradienten Voraussetzung f¨ ur die sinnvolle Anwendung der Druck–Korrektur–Algorithmen ist. Es gibt jedoch auch Dichte–Geschwindigkeitskorrektur–Algorithmen, die beispielsweise bei Zwangskonvektion sinnvoll eingesetzt w¨aren, und bei denen die Dichte den Druck als Prim¨arvariable ersetzt, Gatski [142]. Bei den Druckkorrekturalgorithmen, die f¨ ur inkompressible/kompressible Str¨omun¨ gen vom laminaren bis zum Uberschallbereich geeignet sind, wird u ¨berwiegend der SIMPLE–Algorithmus, Caretto [52], einschließlich seiner Derivate SIMPLER und SIMPLEC und seine Erweiterung der PISO–Algorithmus, Issa [184], verwendet, w¨ahrend der ALE–Algorithmus mit ICE–ALE–Arrangement meist auf Entwicklungen aus Los Alamos (hier am bekanntesten die Kiva Familie) beschr¨ankt ist. Eine Gegen¨ uberstellung von SIMPLE und ICE–ALE findet man bei Carver [51] und Holtbecker [178]. Oliveira [281] zeigt eine Weiterentwicklung des PISO und vergleicht dies mit dem SIMPLEC–Algorithmus. Eine n¨ahere Beschreibung des Druckkorrektur– Algorithmus findet man im Anhang A.1.

7 Die Druckinterpolation entspricht einem Dissipationsterm vierter Ordnung, Linden et al. [241]. Solche Stabilisierungsterme werden auch in der FEM verwendet. Es gibt unterschiedliche Varianten, die teilweise zeitschritt– bzw. unterrelaxationsabh¨angig sind, Oliveira [280], Seite 101.

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1.2.2

Modelle fu omungen ¨r Mehrphasenstr¨

Obwohl die numerische Mehrphasensimulation nahezu gleichzeitig mit der Einphasensimulation am Imperial College (Spalding [363] mit SIMPLE) und im Forschungszentrum von Los Alamos, New Mexiko (Harlow [167] mit ICE) entstanden ist, gibt es weit mehr und unterschiedlichste mathematische Formulierungen. Der Grund liegt in der h¨oheren Komplexit¨at der Mehrphasenstr¨omung, die oft schon makroskopisch sichtbar wird (Kombination von unterschiedlichen Medien, Topologien und Aggregatzust¨anden). W¨ahrend die Einphasenstr¨omungen durch die bekannten allgemeinen Erhaltungss¨atze, dargestellt mittels partieller Differentialgleichungen, beschrieben werden und nur die Materialgleichungen (Newton’scher Spannungsansatz, Zustandsgleichung) und die Turbulenz einer Modellierung bedarf, verlangt die Mehrphasenstr¨omung zus¨atzlich eine entsprechende Mittelung f¨ ur Austauschterme, Grenzfl¨achen und Phasenindikatoren, die wesentlich von der aktuellen Anwendung abh¨angen und die das ganze Modell bestimmen. Die Modellierung der Turbulenz wird mit den unter 1.2.1 aufgef¨ uhrten Ans¨atzen f¨ ur Ein– als auch f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen durchgef¨ uhrt. Diese Arbeit beschr¨ankt sich bei der Mehrphasenstr¨omung auf den Eddy–Viscosity–Ansatz, der dem aktuellen Stand bei technischen Anwendungen entspricht. Trotzdem sind aufwendigere Modelle wie LES und DNS notwendig, um ein Grundverst¨andnis von Prozessen wie der Turbulenzd¨ampfung oder Anfachung infolge der Zwei–Wege–Kopplung zu bekommen. Die Ergebnisse liefern Grundlagen f¨ ur die Parameteroptimierung von EEM-Modellen bei Partikel–Partikel– und Partikel– Wand–Kollisionen und f¨ ur die Verbesserung von Diffusionsmodellen der dispersen Phase. Die LES l¨ost turbulente Wirbel bis zur Filtergr¨oße auf (je nach Filtermodell sind eine oder mehrere Zellen daf¨ ur notwendig), was eine Subgrid–Modellierung f¨ ur die darunterliegenden Skalen erfordert. Die Mehrphasenstr¨omung verlangt auch eine Modellierung der Partikel, die kleiner sind als diese Grenze. Eddy–Viscosity–Modelle l¨osen nur die gr¨oßten, energiereichen Turbulenzballen auf und modellieren alle dissipativen Skalen. LEVM–Modelle geh¨oren genauso wie ARSM– und DRSM–Modelle zur Klasse der RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes Equation). 1.2.2.1

¨ Ubersicht u ¨ber ein– und mehrdimensionale Modelle

Eine der technisch wichtigsten Str¨omungen ist die Rohrstr¨omung, die sich n¨aherungsweise auch eindimensional beschreiben l¨aßt. Rohrsysteme sind z.B. f¨ ur W¨armetauscher oder Verdampfer und nat¨ urlich als das u ur ¨berragende Konstruktionselement f¨ den Gas–Fl¨ ussigkeits–Granular–Transport wichtige Bauteile im Anlagen– und Maschinenbau. Das Drift–Flußmodell, das auf der eindimensionalen Rohrstr¨omung aufbaut, ist eine Fortf¨ uhrung des homogenen und des heterogenen Modells. Dabei wird ein sogenannter “Drift–Fluß“ jP F = α(vP − ¯jP F ) definiert, der der volumetrische Fluß der

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Phase P mit deren Geschwindigkeit vP ist. ¯jP F ist der mittlere Fluß, der der Summe der einzelnen Phasengeschwindigkeiten entspricht, die jeweils allein das Rohr durchstr¨omen. Der Fluß der Phase F wird mit jF P = (1 − α) (vF − ¯jP F ) dargestellt, weiter gilt jF P = −jP F . Dieses Modell ist besonders f¨ ur solche Str¨omungen geeignet, bei denen der Druckgradient mit den ¨außeren Kr¨aften (z.B. Gravitation) oder mit den Phasenwechselwirkungskr¨aften (Widerstandskraft) im Gleichgewicht steht. Bei eindimensionalen, instation¨aren Prozessen, wie bei der Wellenausbreitung von Diskontinuit¨aten (Druck– oder Konzentrationspuls, Prandtl in [306]) in inkompressiblen/kompressiblen Medien, erm¨oglicht das Drift–Flußmodell zusammen mit dem Charakteristikenverfahren ein besseres Verst¨andnis der physikalischen Abh¨angigkeiten. Eine n¨ahere Beschreibung findet sich bei Wallis [417] und Whalley [418]. Die Weiterentwicklung des eindimensionalen Drift–Flußmodells f¨ uhrt zum zweidimensionales Drift–Flußmodell nach Zuber und Findlay [444], das zus¨atzlich eine Geschwindigkeitsverteilung u ¨ber den Querschnitt beinhaltet. Die praktische Anwendung zeigt jedoch, daß meistens sowohl die Str¨omungsgeschwindigkeit als auch die Phasenkonzentration dreidimensional verteilt sind und technische Geometrien oft recht kompliziert sind. Aktuelle Mehrphasenmodelle sind daher dreidimensionale Ans¨atze, die die Grundlagen der Einphasensimulation u ¨bernehmen. Unterschiedliche Mittelungsans¨ atze f¨ ur Euler–Euler–Modell Die Schwierigkeit besteht in einer ad¨aquaten Mittelung der jeweiligen Phase ohne den Charakter der Str¨omung zu zerst¨oren, aber auch ohne jedes mikroskopische Detail aufzul¨osen (das entspricht der Wirkung eines Tiefpaßfilters). Celmins [56] hat sich mit dem Einfluß des Mittelungsvolumen bei Blasen– oder Partikelstr¨omungen mit der Volumenfraktion αk ≥ 0, 5 besch¨aftigt. Er zeigt, daß erst bei einer das Mittelungsvolumen beschreibende Kugel mit dem Radius r¯ ≥ 4L (L kleinster Abstand zwischen den Partikel) ein stabiles αk errechnet wird. Diese Problematik ist mit der Turbulenzmodellierung vergleichbar, wo es darum geht, die energiereichen großen Wirbel aufzul¨osen und die dissipativeren, kleineren Wirbel mit Schließungsans¨atzen (k–ω oder k–ε–Gleichungen) zu modellieren. W¨ahrend bei der Turbulenz eine Ensemble– oder Zeitmittelung f¨ ur alle Str¨omungsgr¨oßen vorgenommen wird, geht es bei der Mehrphasenstr¨omung um eine Phasenmittelung in Raum und Zeit. Es wird ein sogenannter “Phasenmarker“ αk eingef¨ uhrt, der auch als Volumenfraktion bezeichnet wird und zwischen 0 und 1 schwankt. Damit wird der Volumenmittelwert der Phase i in jedem Kontrollvolumen bestimmt. Drew [92], [93] entwickelte fr¨ uhzeitig einen vollst¨andigen dreidimensionalen Formalismus der Erhaltungsgleichungen f¨ ur Zweiphasenstr¨omungen. Wesentlich ist das Verwenden von Mittelungsans¨atzen, die eine Volumen– mit einer Zeitmittelung kombinieren. Die dabei verlorengegangene Information muß unter Umst¨anden aus zus¨atz-

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lichen Grundgleichungen wiedergewonnen werden. Ishii [185] hat unter Verwendung der Ensemblemittelung ein System von Differentialgleichungen und konstitutiven Beziehungen geschaffen, das die Basis f¨ ur die Euler–Euler–Formulierung legte. Aliod und Dopazo [11], [91] haben die Idee der bedingten Mittelwertbildung 8 eingef¨ uhrt, wobei sie f¨ ur die disperse Phase die G¨ ultigkeit einer boltzmannartigen Gleichung (PDF–Formulierung) annehmen. Lain [223] und Aliod / Lain [12] haben darauf aufbauend Untersuchungen f¨ ur Gas–Partikelstr¨omungen durchgef¨ uhrt. Die grundlegende Idee ist es, wie in der Einphasensimulation einen Satz Erhaltungsgleichungen f¨ ur Impuls, Masse, Energie und Turbulenzgr¨oßen f¨ ur jede Phase zu verwenden und u ¨ber Austauschterme zu koppeln (EEM). Das bedeutet, man l¨ost die Erhaltungsgleichungen f¨ ur das ganze Str¨omungsgebiet und wichtet die physikalischen Gr¨oßen mit der Volumenfraktion. Dieser Ansatz wird im Zweifluid–Modell verwendet und erlaubt unter Inkaufnahme m¨oglicher hoher Rechenzeiten (besonders bei ausgepr¨agtem Stoff¨ ubergang) die Simulation von sehr unterschiedlichen ¨ Str¨omungstopologien. Einen Uberblick u ¨ber die EEM–Entwicklung findet man bei Drew [95], [96] und Stewart / Wendroff [371]. Lagrange–Modell Ein anderer Ansatz f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen geht von der Str¨omungsph¨anomenologie aus und beschreibt die disperse Phase (Tropfen–, Partikel–, Blasenstr¨omung, siehe Abb.1.1 Regime 9) als Ansammlung von diskreten Massenpunkten mittels des Lagrangen Ansatzes. Zus¨atzlich wird die kontinuierliche Phase wie in der Einphasensimulation mittels der Eulerschen Betrachtung der Bilanzgleichungen von Impuls, Masse und Energie behandelt. Die Kopplung verl¨auft wieder u ¨ber Austauschterme, wobei diese als explizit bezeichnet wird (im Gegensatz zur impliziten EEM– Kopplung). W¨ahrend die implizite Kopplung sofort das entsprechende Druckfeld herstellt (es gilt mit N¨aherung ein Druckfeld f¨ ur alle Phasen), muß f¨ ur den expliziten Fall erst die Impulskopplung das Geschwindigkeitsfeld modifizieren, um danach den Druck zu adaptieren. Der Vorteil bei der expliziten Behandlung liegt in der hohen Stabilit¨at, die durch eine entsprechende Numerik noch verbessert werden kann (Unterrelaxation, Zeitschrittgr¨oße). Diese Methode wird als ELM– oder PSI–Cell– Verfahren bezeichnet, Crowe [69]. Grenzfl¨ achenverfolgung mit Freiem–Oberfl¨ achen–Modell Ein momentan sehr stark beachteter Diskretisierungsansatz f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen geht von der Idee der freien Oberfl¨ache bzw. von der Verfolgung der Phasen¨ grenzfl¨ache aus. An der Grenzfl¨ache kommt es zu einem sprungartigen Anderung 8 Eine bedingter Mittelwert wird aus einer Mittelung u ucksichti¨ ber einen Raum unter der Ber¨ gung einer Nebenbedingung gebildet. Bei Zweiphasenstr¨omungen kann diese Bedingung das Vorhandensein der jeweiligen Phase sein. Der Mittelwert ist also nur f¨ ur den Bereich g¨ ultig, in dem auch die jeweilige Phase vorhanden ist. Damit umgeht man Raum/Zeitmittelungen, die entsprechende Maßst¨abe verlangen.

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der Materialeigenschaften des Fluids und zur Ausbildung einer Oberfl¨achen– (besser Grenzfl¨achen–) Spannung, die von den anliegenden Kontaktmedien abh¨angig ist. Zur Berechnung der Str¨omungsfelder ben¨otigt man nur einen Satz der Erhaltungsgleichungen, muß jedoch die freie Oberfl¨ache u ¨ber einen entsprechenden Algorithmus (VOF–, Level–Set–, Partikel–Methode) berechnen. Der kritische Teil besteht im Finden der freien Oberfl¨ache, wenn diese stark gekr¨ ummte Fl¨achen bildet (z.B. koaleszierende Blasen, siehe Abb.1.1 Regime 6). Die Konvergenz der Numerik ist im Gegensatz zum Zwei–Fluid–Modell besser, was, solange die Oberfl¨achenverfolgung stabil arbeitet, ein Vorteil f¨ ur die Rechenzeit ist. Generell sind alle drei Modelle speziell f¨ ur ihre Kernanwendungen sehr gut geeignet. Es ist auch m¨oglich, Anwendungen parallel mit zwei der drei Ans¨atze durchzuf¨ uhren wobei man ¨ahnliche Resultate erh¨alt. Die Rechenzeiten zeigen jedoch, daß es sinnvoll ist, die Verfahren dort einzusetzen, wo sie am effizientesten sind. Das EEM–Verfahren ist f¨ ur eine kontinuumsartige disperse Phase bzw. K¨ uhlkreisl¨aufstr¨omungen (Blasensieden), ELM f¨ ur Tropfen/Partikel–Str¨omungen mit einer breiten Gr¨oßenverteilung und die VOF–Methode f¨ ur Schwall/Blasen–Str¨omungen bzw. Bef¨ ullungsprobleme oder nichtmischbare Spezies mit unterschiedlichen Materialparametern bevorzugt einzusetzen.

1.2.2.2

Euler–Euler–Modell

Diese Methode wird auch Zwei–Fluid–Modell genannt, weil zwei Phasen durch zwei separate Impulsgleichungen repr¨asentiert werden. Heute spricht man auch immer ¨ofter von einem Multi-Fluid–Model, was einer Verallgemeinerung der Euler–Euler– Methode entspricht und die M¨oglichkeit der Berechnung beliebig vieler Phasen suggeriert. Tats¨achlich ist jedoch die korrekte Erfassung der Wechselwirkungsterme schon f¨ ur zwei Phasen recht schwierig und daher soll hier nur das Standard–Euler– Euler– Modell beschrieben werden. Den Idealfall stellen zwei in sich homogene Phasen dar, wobei die disperse Phase durchaus aus Blasen, Tropfen oder Partikel bestehen kann. Beide Phasen sind u ¨ berall im Berechnungsgebiet mit sehr unterschiedlicher Konzentration vorhanden und erf¨ ullen die Vorstellung zweier sich gegenseitig durchdringender Kontinua. Diese Annahmen bedeuten, daß bei der Phasenmittelung bezogen auf ein Kontrollvolumen keine wesentlichen Informationsverluste entstehen k¨onnen. Oft jedoch ist die disperse Phase durch folgende physikalische Inhomogenit¨aten gekennzeichnet: • Die Partikelgr¨oßenverteilung kann sehr unterschiedlich sein und entspricht keiner monodispersen Verteilung.

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• Das Kontinuumsmodel verlangt eine gen¨ ugend große Anzahl9 von Einzelpunkten, damit Mittelwerte mit ausreichender Genauigkeit gebildet werden k¨onnen (Reif [314]), was dann auch die minimale Gr¨oße des Mittelungsvolumen bestimmt, Celmins [56]. Bei verd¨ unnten Gasen (lokale Knudsen–Zahl ≥ 0, 2) gilt der Kontinuumsansatz der Navier–Stokes Gleichung nicht mehr und die Boltzmann–Gleichung wird verwendet. • Die Bildung von Pfropfenstr¨omungen (Abb.1.1 Regime 6), d.h. die disperse Phase tritt r¨aumlich diskontinuierlich auf und verletzt damit die f¨ ur die Mittelung angenommenen L¨angenmaßst¨abe. • Bei einer Volumenbeladung von αP > 10−4 wird die Partikel–Partikel– und die Partikel–Wand–Wechselwirkung wichtig, wobei beide Prozesse oft nur am Einzelpartikel berechenbar sind. Die hier angef¨ uhrten Mechanismen werden auch mit der EEM simuliert, doch sind zus¨atzliche Algorithmen und Modellierungen einzuf¨ uhren. Die Partikelgr¨oßenverteilung kann durch eine Transportgleichung f¨ ur die Population oder durch Transportgleichungen f¨ ur die niederen Momente (Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe, Watkins [430]), modelliert werden. Kalkach–Navarro [195] hat eine Transportgleichung vom Boltzmann Typ f¨ ur die Interfacedichte von Blasen in einer Gas– ¨ Fl¨ ussigkeits–Str¨omung entwickelt, die den Ubergang von der Blasen– zur Pfropfenstr¨omung mit einem Zwei–Fluid–Modell beschreibt. Millies [258], aufbauend auf diesen Arbeiten, leitet ein linearisiertes Modell f¨ ur die instation¨are Grenzfl¨achendichte von Blasenkolonnen ab. Lettieri [237] berechnet f¨ ur Geldart–B–Stoffe den Regimewechsel von Blasen zu Pfropfen und weiter in die turbulente Fluidization mittels des granularen kinetischen Modells, Gidaspow [146]. Diese Festbettsimulation wurde mit 300 µm großen Sandpartikel durchgef¨ uhrt und weist eine Volumenbeladung von 55 % f¨ ur die feste Phase auf. Ein anderer, recht teurer Weg ist es, f¨ ur jede Gr¨oßenklasse eine eigene Transportgleichung f¨ ur die Partikelanzahldichte zu l¨osen. Streng genommen sollte analog dazu auch eine eigene Impulsgleichung gel¨ost werden, was jedoch einen betr¨achtlichen Mehraufwand bedeutet. Die Partikelwechselwirkung kann bei moderater Volumenfraktion mit dem kinetischen Spannungstransportmodel f¨ ur Partikel nach Grad [150] und in der Weiterf¨ uhrung nach Jenkins und Richmann [190] beschrieben werden. Indenbirken [183] entwickelte eine Modellierung der Wandwechselwirkung im Rahmen der kinetischen √ Der Fehler εMean bei der Mittelung eines Kollektivs mit n Werten ist εMean ∼ 1/ n. F¨ ur n → ∞ ist der Fehler normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz). 100 Berechnungspartikel pro Kontrollvolumen (10% Fehler) haben sich in der Praxis (knotenbasierende PDF–Formulierung f¨ ur turbulente Verbrennung) als ausreichend erwiesen, obwohl bei Simulationen von Verbrennungsvorg¨angen in Gasturbinen auch 1000 Partikel pro Zelle verwendet werden. 9

19

Theorie granularer Str¨omungen. Es gibt jedoch Probleme, die Magnus–Kraft und die Randbedingung f¨ ur die feste Wand der dispersen Phase ad¨aquat zu formulieren. Masson [247] stellt einen Zwei–Fluid–FVM–Algorithmus nach der Zell–Vertex–Methode10 f¨ ur zweidimensionale Str¨omungen vor. Die Partikelphase wird nach der kinetischen Theorie f¨ ur trockene, granulare Str¨omungen modelliert, um auch Partikel– Partikel–Kollisionen zu berechnen. Fletcher et al. [396], [397], [398], [273] verwenden das Zwei–Fluid Modell f¨ ur Erosionsuntersuchungen bei Bauteilen der Verfahrenstechnik. Es wird allerdings nur die Partikel–Wand–Wechselwirkung f¨ ur monodisperse Gas–Feststoff–Str¨omungen ber¨ ucksichtigt. ¨ Young und Slater [352] zeigen eine gute Ubereinstimmung f¨ ur das Euler–Euler– Modell im Vergleich zu Lagrangen Ergebnissen bei der Partikel–Wand–Wechselwirkung von zweidimensionalen laminaren Str¨omungen. Zusammenfassend muß festgestellt werden, daß die EEM eine sehr große Bandbreite von Anwendungen abdeckt und mit der ELM in Randbereichen (monodisperse Gas– Feststoff–Str¨omungen) stark konkurriert. Da die EEM f¨ ur Einphasenstr¨omungen der allgemeinere Fall ist, werden Details der Mittelung und Ableitung des Formelapparats ausf¨ uhrlich beleuchtet, um darauf aufbauend wichtige Erkenntnisse f¨ ur die Kopplung der Euler– mit der Lagrangen–Phase im Rahmen der ELM zu gewinnen. Im Kapitel 3.2 wird das Zwei–Fluid–Modell hinsichtlich seines Gleichungsapparates f¨ ur Masse, Impuls und Energie beschrieben. Da der Schwerpunkt dieser Arbeit auf dem ELM–Ansatz basiert, werden die Turbulenzgleichung im Rahmen der ELM diskutiert. 1.2.2.3

Euler–Lagrange–Modell

Die ELM ist ein Ansatz der aus der intuitiven Vorstellung enstanden ist. Der Betrachter bewegt sich mit, ist ein Teil der dispersen Phase und simuliert damit eine durch Trajektorien beschriebene Phase. Das Partikeltracking ist außerdem recht anschaulich, wenn man es beispielweise auf eine tropfenartige Phasentopologie bezieht. Die kontinuierliche Phase, siehe Kapitel 2, wird weiterhin durch Bilanzgleichungen in Euler–Koordinaten beschrieben, die jedoch Modifikationen bez¨ uglich Volumenfraktion αF und den Austauschtermen f¨ ur Masse, Impuls, Energie und Turbulenz Mp,k , Mm,k , Mh,k , Mtk,k , Mε,k enthalten. Die Austauschterme sind die Schnittstelle zwischen Euler– und Lagrange–Betrachtungsweise und wichtig f¨ ur die G¨ ute 10 Die Zell–Vertex Methode ist eine Mischung aus FEM und FVM. Es wird dabei ein Kontrollvolumen um jeden Gitterpunkt gebildet. Dieses Verfahren ist sowohl f¨ ur 2–D alsauch 3–D Anwendungen geeignet. Als Ausgangsgitter werden normalerweise Tetraeder oder Hexaeder verwendet. Um deren Eckpunkte (Vertices) werden nach gewissen geometrischen Regeln (z.B. verbinden der gegen¨ uberliegenden Fl¨achenschwerpunkte) die Rechen–Kontrollvolumina gelegt. Somit k¨onnen sowohl strukturierte als auch unstrukturierte Netze verwendet werden, Raw [313] und Morton [266].

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der Simulationsergebnisse, weil hier Numerik und Modellierung zusammentreffen. Die Euler–Phase ist ein dreidimensionaler Ansatz, die Lagrange–Phase bewegt sich als Massenpunkt, auf den eindimensionale Austauschgesetze f¨ ur den W¨arme– und Stoff¨ ubergang angewendet werden. Weiter kommt es dazu, daß f¨ ur die Gasphase meist ein implizites Verfahren verwendet wird, w¨ahrend die disperse Phase explizit oder semi–implizit berechnet wird. In Kapitel 3 wird die Partikelphase detailliert beschrieben, hier soll nur auf die Annahmen und den G¨ ultigkeitsbereich eingegangen werden. Die Partikel werden als Massenpunkte (im Standardfall ohne Ausdehnung) betrachtet. Damit kann folgende Bewegungsgleichung f¨ ur jedes Rechenpartikel angesetzt werden: ¨ i (t) = m · x

n


Fj,i

(1.1)

j=1

Die Gleichung (1.1) ist eine Kr¨aftebilanz, bei der auf der rechten Seite die Summe aller auf den Massenpunkt i angreifenden Kr¨afte Fj , die aerodynamischen Druck–, Reibungs– und ¨außeren Kr¨afte repr¨asentierend, stehen. Die vollst¨andige Gleichung, auch BBO–Gleichung genannt, wird in Kapitel 3 behandelt. Die direkte Betrachtung eines Partikels bedeutet, daß hier keine Mittelung im Sinn der EEM oder von Reynolds–gemittelten Gleichungen vorliegt. Die Konsequenz daraus ist, daß beispielsweise f¨ ur die Widerstandskraft die Momentangasgeschwindigkeit am Partikelort x(t) bestimmt werden muß. Das verlangt eine entsprechende Modellierung unter Ber¨ ucksichtigung der vorhandenen Turbulenzgr¨oßen. Oft wird ein stochastischer Schwankungsterm zur Geschwindigkeit der Euler–Phase addiert, der im Ensemble–Mittel der turbulenten Schwankung entspricht. Bei DNS–Simulationen kommt die Partikelphase ohne solche Modelle aus und wird als Referenz f¨ ur eine EEM–Berechnung verwendet, die jedoch weniger Rechenzeit ben¨otigt. Das heißt, die Lagrange–Phase liefert Ergebnisse von hoher Genauigkeit, weil sie fast netzunabh¨angig ist. Die EEM ben¨otigt eine aufwendige Diskretisierung, die trotzdem Fehler produziert. Auch die ELM hat ein ¨ahnliches Problem, wenn die Zwei–Wege– Kopplung notwendig wird. Die nach der PSI–Cell Methode, (Crowe [69], [77]) definierten Wechselwirkungsterme erh¨ohen vor allem bei starker Kopplung dramatisch die Netzabh¨angigkeit. Der von Crowe entwickelten Methode, Einzelpartikel durch Volumenmittelung mit den auf der Kontinuumsmechanik aufsetzenden NS-Gleichungen kompatibel zu machen, entspricht analog dazu der DSMC–Ansatz (Direct Simulation Monte Carlo Method, Bird [36], [37]). Im Bereich der Knudsen–Zahl ≥ 0, 2 , das sind hochverd¨ unnten Gasen, ist der Kontinuumsansatz der NS-Gleichung nicht mehr g¨ ultig und der diskrete DSMC–Ansatz sollte zwingend verwendet werden. Eine weitere Parallele l¨aßt sich zur Hochenergiephysik und hier zur Simulation von Fusionsreaktoren, wie beispielsweise Tokamaks, (Walker [415] und Karmesin [199]),

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ziehen. Dabei geht es um die Simulation einerseits der Magnetfelder, die das Plasma einschließen, und andererseits um das Plasma selbst. Man berechnet auf einem Euler–Ansatz die Maxwell–Gleichung und simuliert mittels der Partikel das Plasma. Diese PIC (Particle in Cell)–L¨oser sind auch bez¨ uglich der Kollisionsmodellierung interessant. Viele Ans¨atze der Partikelkollisionsmodelle in der Str¨omungsmechanik stammen aus der kinetischen Gastheorie oder von der Modellierung von Elektronen– Elektronen–Kollisionen, Nanbu [272], Wang et al. [419] und Jones et al. [188], [191]. Wenn man die Anzahl der real in einer technischen Str¨omung vorhanden Partikel betrachtet, erkennt man recht schnell, daß man bei Partikeldurchmesser unter 1mm kaum alle Teilchen direkt berechnen kann. Es ist daher notwendig, sogenannte Pakete zu bilden, die nur Partikel gleicher physikalischer Art enthalten und bei denen es aus diesem Grund ausreicht, nur einen Stellvertreter aus dieser Gruppe zu berechnen. Damit ergibt sich eine Mittelung, die man sich als Ensemble–Mittelung u ¨ ber eine Partikelwolke denken kann. Dukowicz [98] hat in seiner fundamentalen Ver¨offentlichung gezeigt, daß die Diskretisierung eines Sprays mittels diskreter Tropfen der Wahrscheinlichkeitsdichtebetrachtung aus der Boltzmann–Gleichung entspricht und das die Volumenmittelung ¨aquivalent der Ensemble–Mittelung ist. Die numerische Realisierung entspricht einer Monte–Carlo–Methode. Wichtig ist eine statistisch ausreichend große Zahl an Rechenpartikel, siehe Kap. 1.2.2.2, die erst brauchbare Mittelwerte m¨oglich macht. Wesentlich ist, daß das Kontrollvolumen einerseits fein genug ist, um auftretende Gradienten sicher zu approximieren und andererseits groß genug ist, um ausreichend viele Partikel zu enthalten. Außerdem sollten die Partikel bzw. ihr Interaktionsradius wesentlich kleiner als die Kantenl¨ange des Kontrollvolumens sein. Damit wird auch eine beliebige Variation der Partikeldurchmesser in Bezug auf die Netzdiskretisierung begrenzt. Bei hohen Volumenfraktionen steigt nicht nur die Wechselwirkung zwischen den Partikel (Kollisionsh¨aufigkeit), sondern es kommt auch zu einer Versperrung in der kontinuierlichen Phase, was durch eine Multiplikation aller Volumenterme mit αF ber¨ ucksichtigt wird. Bei weiterer Erh¨ohung der dispersen Phase wird die mittlere freie Wegl¨ange deutlich reduziert und die Kollisionsmodelle m¨ ussen entsprechend modifiziert werden. Ein daf¨ ur typisches Ph¨anomen ist der bei erh¨ohter Packungsdichte reduzierte Luftwiderstand, der durch eine Art Windschattenfahren der Tropfen hervorgerufen wird. Es gibt daf¨ ur empirische Korrelationen, doch eine aus lokalen Gr¨oßen (Geometrie, Str¨omungsgr¨oßen) errechenbare Funktion w¨are sicher eine bessere Alternative. Die Standard–Partikel–Modelle gehen immer vom ungest¨orten Einzeltropfen aus, f¨ ur den Scherkr¨afte oder W¨arme¨ ubergangszahlen bestimmt werden. Bei hoher Beladung ist diese Annahme nat¨ urlich hinf¨allig. Wenn man an der Massenpunkttopologie festhalten will, muß daf¨ ur ein Modell geschaffen werden, das diese zus¨atzlichen Wechselwirkung ber¨ ucksichtigt. Außerdem werden verst¨arkt Oberfl¨achenkr¨afte (Druck, Scherung, Adh¨asions– bzw. Koh¨asionskr¨afte) wirksam, was

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auf eine granulare Str¨omung hinweist. Auch solche Prozesse lassen sich mit ELM l¨osen, doch sind daf¨ ur Erweiterungen der Standard–Partikel–Modelle in Richtung gekoppelter Federmodelle notwendig, Tsuji [389]. Die Anwendungen kommen aus der Lebensmittel– und der Pharmaindustrie bzw. aus der Bodenmechanik. Der Vorteil der ELM, daß physikalische Modelle f¨ ur den Stoff– bzw. den W¨arme¨ ubergang oder Wandstoß direkt u ¨bernommen werden k¨onnen, wird zum Nachteil, wenn große Berechnungsgebiete mit stark schwankender Anzahldichte zu simulieren sind. Die Parallelisierung auf großen Clusterrechnern ist eine begrenzte (maximal zwei bis drei Gr¨oßenordnungen mehr Rechenpartikel im Vergleich zur seriellen Berechnung) aber attraktive L¨osung. Die EEM bietet sich oft als eleganter Ausweg an, greift aber bei den Austauschtermen auf die selben Annahmen (Widerstandsgesetz f¨ ur isolierte Partikel) wie die ELM zu. Mit dem zunehmenden Einsatz der LES verst¨arkt sich die Forderung nach sehr leistungsf¨ahigen Algorithmen f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen. Eine L¨osung k¨onnte die dynamische Verwendung von ELM und EEM innerhalb des selben Berechnungsgebiets sein, ¨ahnlich wie man den RANS Ansatz mit der LES bei der Turbulenzmodellierung zu verkoppeln versucht (Detached–Eddy Simulation, Piomelli et al. [299], [395, 127]). 1.2.2.4

Freies–Oberfl¨ achen–Modell

In den 70er und 80er Jahren hat sich die Atomindustrie unter anderem mit Leckage– Problemen bei Siedewasserreaktoren auseinandergesetzt. In einem solchen St¨orfall wird heißer Dampf in ein Wasserbassin zum Kondensieren geleitet, was aber das Verdr¨angen der in den Leitungen und im Becken vorhandenen Luft voraussetzt. Die sich dabei ausgebildenden Phasengrenzfl¨achen geben Hinweise u ¨ber die notwendigen baulichen Maßnahmen und sind nur durch die Simulation ad¨aquat darstellbar. Seit den 90er Jahren gibt es wegen der g¨ unstigen Verf¨ ugbarkeit von großen Rechnerressourcen vermehrt Interesse an Algorithmen, die Phasengrenzfl¨achen verfolgen. Damit ergeben sich vielf¨altige Anwendungen im Bereich der Blasenstr¨omung, von Freistrahlen und bei der Simulation der Phasenausbreitung mit und ohne bewegte R¨ander (Dammbruch, Tankf¨ ullung). Gerade bei sich zeitlich/r¨aumlich ¨andernden Phasengrenzfl¨achen ist diese Methode oft recht erfolgreich. Je nach Aufgabenstellung kann ein sehr unterschiedlicher L¨angenmaßstab gew¨ahlt werden, was die detaillierte Berechnung von wachsendenen/schrumpfenden Einzelblasen (Kavitation in Einspritzd¨ usen, Marcer et al. [245]) oder der Mischung einer großr¨aumigen geschichteten St¨omung erlaubt. Es gibt momentan drei wichtige Methoden, auf denen die aktuelle Entwicklung aufbaut. Alle drei Ans¨atze verwenden ein statisches Netz, auf dem die Str¨omungsgleichungen, aber auch die Grenzfl¨achenrekonstruktion durchgef¨ uhrt wird, wobei sowohl ein verschobenes als auch unverschobenes Variablenarrangement zum Einsatz

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kommt: • MAC (Marker and Cell) bewirkt die Rekonstruktion der Grenzfl¨ache mit masselosen Tracer–Partikel. Harlow [167] hat diesen Ansatz unter Verwendung des verschobenen Netzes (verschobene Anordnung: die Geschwindigkeiten werden auf den Zellfaces, der Druck im Zellmittelpunkt gel¨ost) in Los Alamos entwickelt. Das ist eine sehr robuste, aber auch aufwendige Methode. • VOF (Volume of Fluid) wurde von Hirt und Nichols [174] als Fortf¨ uhrung der recht rechenintensiven MAC–Methode erstmals im SOLA Code implementiert und ist heute der Standardansatz bei kommerziellen CFD-Codes. • Level–Set (Sussmann et al. [379], Sethian [343]) verwendet eine Abstandsfunktion, die am Interface Null ist. Durch Reskalierung und entsprechende Diskretisierung wird die numerische Diffusion gering gehalten. Das Verfahren ist jedoch bei stark gekr¨ ummten Interfaces nicht massenerhaltend. Tryggvason, [404], [117], [118], verwendet einen Algorithmus, der zus¨atzlich zum dreidimensionalen Berechnungsnetz ein zweites Oberfl¨achennetz, das aus Dreiecken besteht, zur Markierung der Phasengrenzfl¨ache verwendet. Diese Methode, eine Art Marker–Ansatz, ist zur Simulation von Blasenclustern, Strahlaufbruch und Tropfen– Wand–Wechselwirkungen geeignet, wobei wegen dieser detaillierten Modellierung nur Ausschnitte eines Str¨omungsfeldes mittels zyklischer Randbedingungen simuliert werden. Abb.1.5 zeigt den Ausschnitt aus einer Blasenkolonne einschließlich der Streichlinien der kontinuierlichen Phase zur Zeit τ = 87s, wobei der Volumenanteil der Blasen α = 0, 0654 ist. Ein wichtiger Unterschied zu EEM und ELM ist, daß f¨ ur alle Phasen bzw. f¨ ur das gesamte Berechnungsgebiet nur ein Satz der Erhaltungsgleichungen verwendet wird. Damit ergeben sich erhebliche Vorteile bei der Rechenzeit und dem Speicherbedarf, die jedoch durch den Oberfl¨achenverfolgungs– Algorithmus wieder aufgehoben werden k¨onnen. An der Grenzfl¨ache gibt es, wie bei der EEM eine Sprungbedingung, die den Phasen¨ ubergang durch ein schlagartiges Ver¨andern der Str¨omungsgr¨oßen darstellt. Außerdem wird im Gegensatz zur EEM oft die Oberfl¨achenspannung ber¨ ucksichtigt, Zaleski [305]. Der kritische Punkt ist, in wieweit es gelingt, die exakte Lage der Grenzfl¨ache unter Minimierung der numerische Diffusion zu bestimmen. Folgende Kriterien k¨onnen f¨ ur die Beurteilung der Qualit¨at eines Freie–Oberfl¨achen–Algorithmus herangezogen werden. Das Schema soll: • massenerhaltend sein, • die Grenzfl¨ache ohne Verschmierung m¨oglichst exakt aufl¨osen,

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• auch komplexe Grenzfl¨achen, wie sie bei Tropfenaufbruch und Tropfenkoaleszenz entstehen, richtig wiedergeben. Rider und Kothe [317] zeigen in einem Vergleich von Partikel–Methode, VOF und Level–Set, daß die VOF f¨ ur Anwendungen mit einer mittleren Komplexit¨at der Grenzfl¨achentopologie der beste Kompromiß zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand ist. Aus diesem Grund wird die VOF–Methode etwas genauer besprochen. Bei der VOF wird eine Volume–Fraction–Gleichung als Transportgleichung f¨ ur eine Marker–Funktion verwendet, die da lautet: ∂α + ∇ · (α v ) = 0 mit α = ∂t



1 f¨ ur einen Pkt (x, t) innerhalb von Fluid 1 0 f¨ ur einen Pkt (x, t) innerhalb von Fluid 2

(1.2)

Die Oberfl¨achenspannung σ kann als Volumenkraft Fσ auf der rechten Seite der NS-Gleichung ber¨ ucksichtigt werden und lautet, Brackbill et al. [40]: 

Fσ = −(σ∇α)∇ ·



∇α . |∇α|

(1.3)

Abbildung 1.5: Simulation einer Blasenstr¨omung mit Hilfe einer Grenzfl¨achenverfolgung, Esmaeeli und Tryggvason [117]

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Schwerpunkt vieler Modifikationen der VOF–Methode ist eine verbesserte Abbildung der Phasengrenzfl¨ache. Es ist dabei wichtig, Diskretisierungs–Schemata h¨oherer Ordnung zu verwenden, um die großen Gradienten der Str¨omungsgr¨oßen an der Phasengrenze zu erhalten, Ubbink und Issa [402], [403]. 1.2.2.5

Vergleich der Mehrphasenmodelle Euler–Euler und Euler–Lagrange

Simonin [350] hat den Unterschied zwischen EEM und ELM folgendermaßen dargestellt: Entweder man rechnet sofort los, um dann daf¨ ur sehr lange auf das Ergebnis zu warten oder man u urfend, um danach schnell zum ¨berlegt vorher lange und tiefsch¨ Ergebnis zu gelangen. Das heißt: die EEM verlangt einen hohen Modellieraufwand und ist numerisch sehr effizient, w¨ahrend die ELM relativ einfache Gleichungen beinhaltet, die jedoch sehr zeitaufwendig zu l¨osen sind. Diese Bewertung ist nat¨ urlich auch polemisch zu sehen, weil Simonin ein erkl¨arter Anh¨anger der EEM ist. Dies beleuchtet einen weiteren Aspekt eines solchen Vergleichs. Meistens ist der wertende Autor aufgrund seiner vorangegangenen Arbeiten und Erfahrungen voreingenommene Partei f¨ ur einen der Ans¨atze. Selten gibt es die M¨oglichkeit, die St¨arken und Schw¨achen beider Wege in einem fairen Vergleich zu u ufen. Auch der Verfasser ist durch seine Themenwahl gepr¨agt, ¨berpr¨ kann jedoch infolge seiner Erfahrungen sehr wohl typische Eigenschaften dieser beiden Algorithmen aufzeigen. Die Literatur liefert vor allem ¨altere Arbeiten, wie von Kallio [198], Fashola [120], [121], Mostafa [267], Sch¨onung [337], Durst [99] und Milojevic [259], die sich mit einem Vergleich von EEM und ELM besch¨aftigen. Eine Motivation mag der Versuch sein, ¨ die Uberlegenheit der einen oder anderen Methode zu beweisen. Dies zeigt sich beispielsweise auch an den teilweise gegens¨atzlichen Schlußfolgerungen der jeweiligen Autoren. Es wird vor allem die turbulente Partikeldispersion verglichen, wobei auch Profile der Geschwindigkeitsmittelwerte bestimmt werden. Die der damaligen Rechnerleistung angepaßte Netzaufl¨osung und Partikelanzahl kann Ergebnisse verf¨alschen und muß kritisch interpretiert werden. Generell kommt zum Ausdruck, daß eine Bewertung nur anhand von umfangreichen Meßdatens¨atzen m¨oglich ist und diese kaum verf¨ ugbar sind. Auch bietet die Schwankungsbreite der Modellparameter, die oft erheblich mehr Einfluß haben als gewisse Modellans¨atze, die M¨oglichkeit, die Ergebnisse in Richtung Meßdaten zu kalibrieren. Hallmann [163] konnte bei seiner Arbeit auf am Lehrstuhl erbrachte Meßdaten und Programmentwicklungen zugreifen, die sowohl die EEM als auch die ELM betreffen. Seine Bewertung ist differenzierter und weist auf die modellbedingten Charakteristiken hin, die unterschiedliche Anwendungen beg¨ unstigen. Heute ist es jedoch noch immer notwendig, f¨ ur spezielle Anwendungen (z.B. Kraftstoffeinspritzung in

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das Saugrohr bei Otto–Motoren unter realen Bedingungen [285]) eigene Versuche durchzuf¨ uhren, um damit die Simulation zu validieren, weil verl¨aßliche Meßdaten nicht frei zug¨anglich bzw. vorhanden sind. Meßdaten aus der offen zug¨anglichen Literatur oder dem Internet behandeln meistens sehr theoretische Konfigurationen oder sind grundlagenorientiert. Eine n¨ uchterne Betrachtung der beiden Ans¨atze zeigt recht schnell, daß beide bezogen auf spezielle Anwendungen ihre Berechtigung haben. Wenn man die Topologie der dispersen Phase betrachtet (Phasengrenzfl¨achen etc.) wird schnell klar, welcher Ansatz f¨ ur welche Anwendung besser geeignet ist: • Die EEM ist f¨ ur Blasen– oder Sedimentationsstr¨omungen gut geeignet. Die disperse Phase sollte einem kontinuierlichen Fluid m¨oglichst entsprechen und mit einer Partikelgr¨oße zu definieren sein. Weiter kann die Gr¨oße der Beladung bis in den Bereich Festbett gehen und sich u ¨ber das ganze Berechnungsgebiet erstrecken. Der Speicherbedarf ist unabh¨angig von der Anzahldichte und der Ausbreitung der Partikelphase, was bei Mischungsproblemen von Vorteil ist. Die implizite Kopplung von Impuls–, Druck– und Volumenfraktionsgleichung erlaubt große Zeitschritte und eine hohe Volumenfraktion. Da die Gleichungen der dispersen Phase gleich aufgebaut sind wie die der kontinuierlichen Phase, k¨onnen die effizienten L¨oser f¨ ur lineare Gleichungssysteme verwendet werden. Die EEM l¨aßt sich einfach vektorisieren und parallelisieren. Physikalische Modelle basieren oft auf der Einzeltropfentopologie und verlangen damit einen Mittelungsprozeß, der zu einem erheblichen Modellierungsaufwand f¨ uhren kann. Außerdem ist ein LES/DNS–Ansatz f¨ ur die EEM nur bedingt sinnvoll, weil die Modellannahme auf einer Mittelung (Phasen oder Volumenmittelung) beruht, w¨ahrend die LES die energiereichen Skalen direkt aufl¨ost und nur die kleinen Skalen modelliert. Trotzdem gibt es aktuelle Entwicklungen auch die LES f¨ ur die EEM nutzbar zu machen, Alajbegovic [7], Pandya [287]. • Die ELM wird zur Simulation von Sprays, Spr¨ uhstrahlen und Gas–Feststoff– Str¨omungen verwendet, die aus Tropfen oder Partikel mit unterschiedlichen physikalischen Gr¨oßen (Durchmesser, Dichte, Temperaturen, Konzentration, Anzahldichte und Geschwindigkeit) bestehen. Die Tropfen kommen nur lokal im Berechnungsgebiet vor und k¨onnen ¨ortlich große Impuls– und Energiequellen generieren. Durch das explizite Verfahren lassen sich auch große Wechselwirkungsterme numerisch stabil berechnen. Ein Problem ist die numerische Diffusion der dispersen Phase infolge der volumetrischen Wechselwirkungsterme, die nur durch Differenzenschemata h¨oherer Ordnung oder durch eine lokale Netzverfeinerung minimiert werden kann. Partikel–Partikel–Kollisionen und Partikel–Wand–Wechselwirkungen k¨onnen bei diesem Verfahren leicht implementiert werden. Die bekannten physikalischen Modelle f¨ ur den Einzeltropfen

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(Widerstandsgesetz, Stoff–, W¨arme¨ ubergang) lassen sich ohne zus¨atzliche Modellierung implementieren. Die Zwei–Wege–Kopplung der Turbulenz kann mit unterschiedlichem Aufwand und Genauigkeit modelliert werden. Ein Flaschenhals ist die BBO–Gleichung, die ein lokales Behandeln jedes Tropfens (idealisiert als Massenpunkt ohne volumetrische Ausdehnung) erfordert, wobei dazu Suchoperationen und die Integration einer gew¨ohnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung notwendig sind. Dies ist im Vergleich zum L¨osen eines linearen Gleichungssystems mit in Vektoren abgespeicherten Koeffizienten numerisch sehr ineffizient, da dort vor allem Skalarprodukte ausgewertet werden. Die ELM l¨aßt sich zu Grundlagenuntersuchungen mittels LES/DNS benutzen, um Modellierungen aus der EEM zu u ufen. Die ELM kann f¨ ur ¨berpr¨ unstrukturierte Netze nur unter erheblichen Aufwand parallelisiert, aber nicht vektorisiert werden. Zusammenfassend kann man sagen, daß weder ELM noch EEM alle Bereiche abdecken k¨onnen. Die physikalischen Gegebenheiten der aktuellen Anwendungen sind ebenso entscheidend, wie die Anforderungen an Genauigkeit, Rechenzeit, Speicherbedarf und die G¨ ute der Randbedingungen, um eine Entscheidung f¨ ur die ELM oder die EEM zu treffen. 1.2.2.6

Modelle f¨ ur Mehrphasenstr¨ omungen basierend auf LES/DNS

Elghobashi befaßt sich seit 20 Jahren mit dem Thema Zweiphasenturbulenz [104]. Er verwendet die DNS, um den Modellierungsanteil m¨oglichst klein zu halten und um damit Grundlagenuntersuchungen m¨oglich zu machen. Die disperse Phase wird sowohl mittels Mikropartikel (Relaxationszeit viel kleiner als Kolmogorovzeitmaßstab τp τk ) nach ELM als auch als Kontinuum nach EEM dargestellt [113], [114]. Die Zwei–Wege–Kopplung reduziert die D¨ampfungsrate der turbulenten kinetischen Energie im Fall einer isotropen abklingenden Turbulenz. Die hochfrequenten Anteile des Spektrums der turbulenten kinetischen Energie und der Dissipation werden verst¨arkt. Die Fluidtr¨agheit wird erh¨oht, was sich in einem Anstieg der effektiven Dichte zeigt. In [106] wird der Einfluß der Gravitation auf die Turbulenz der Gasphase in einer Gas–Feststoff–Str¨omung f¨ ur τp ∼ τk untersucht. In [105] wird auf Grundlage des Experiments von Snyder und Lumley [353] mit drei verschiedenen Arten von Partikel (Getreide, Kupfer, Glas) die Dispersion der diskreten Phase ohne Phasenwechselwirkung mit und ohne Gravitation berechnet. [115] gibt Auskunft u ¨ber das Potential von ELM und EEM Ans¨atzen, wobei die Volumenfraktion klein genug war, um Partikel–Partikel–Kollission auszuschließen (α = 2 · 10−4 ). Es wird der Fall τp ≥ τk behandelt, der zeigt, daß die niederfrequenten Anteile reduziert und die hochfrequenten Anteile des turbulenten kinetischen Energie–Spektrums durch

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die Kopplung mit den Partikel verst¨arkt werden. Eaton untersucht langj¨ahrig Partikel–Str¨omungen in einem Kanal bzw. an einer r¨ uckspringenden Stufe [366]. Sein Schwerpunkt liegt auf Experimenten, die jedoch durch DNS– und LES–Simulationen unterst¨ utzt werden. Gemessen wurden Partikelkonzentrationen f¨ ur Durchmesser von 28 · · · 70 µm und Dichten von 700 · · · 8800 kg/m3 , wobei eine Clusterbildung festgestellt wurde, [122], [221]. Aufbauend auf eigenen Meßdaten hat Rouson eine DNS–Simulation der partikelbehafteten Kanalstr¨omung durchgef¨ uhrt [320]. Die Reynolds–Zahl betrug 1552. Es wurden Eulersche (mittlere und RMS Geschwindigkeiten, Partikelanzahldichte) und Lagrange (Fluid– Partikel–Geschwindigkeitsautokorrelationstensor) Statistiken bestimmt. Die LES– Untersuchungen befassen sich mit der Subgrid–Modellierung der Partikeldispersion und den Wandmodellen [341]. Banerjee besch¨aftigt sich mit Mehrphasenstr¨omungen und hier vor allem mit der Phasengrenzfl¨ache, an der Impuls–, Stoff– und W¨armeaustausch stattfindet. In [290] zeigt er eine DNS–Simulation bei Re = 4500 einer Gas–Partikel–Str¨omung. Schwerpunkt der Untersuchungen ist der Einfluß station¨arer und bewegter Partikel auf die Turbulenzstruktur sowie den W¨arme– und Stoff¨ ubergang an der Wand. Squires, der ebenfalls an Gas–Partikel–Str¨omungen arbeitet, zeigt, daß eine Zwei– Wege–Kopplung mit dynamischem Subgrid–Model die besten Ergebnisse bringt. Bei großer Massenbeladung wird die Gasphasenturbulenz wesentlich von der Fluid– Partikel–Interaktion bestimmt [41], [367]. Squires stellt in [407] die Parallelisierung eines LES–Codes vor, wobei der NS-Solver nur auf einem Prozessor l¨auft. Die vertikale Kanalstr¨omung hat eine Reynolds–Zahl von 3200. Es werden 200 000 Partikel auf 32 Prozessoren unter Ber¨ ucksichtigung der Partikel–Partikel–Kollision berechnet. Die Partikelrelaxationszeit τp ist f¨ ur die zwei Gr¨oßenklassen 0,65 bzw. 2,6 s. Dehning simuliert mit der LES bei Re = 2·105 und Re = 9·104 eine Partikelstr¨omung. Die Partikeldurchmesser variieren von 50 bis 200µm bei Luft als kontinuierliche Phase, f¨ ur Wasser von 50 bis 800 µm. Die Partikeldichte betr¨agt 2600 kg/m3 , [82]. Collins und Sundaram, verwenden einen standardpseudospektralen L¨oser f¨ ur die Gasphase. Die Partikelphase wird nach dem ELM–Verfahren berechnet, wobei Partikel–Partikel–Kollision ber¨ ucksichtigt wird. Es werden unterschiedliche Kollisionsalgorithmen (Interpolationsschema, Kollisionspartner Suchprozedur, Kollisionsfrequenz) und die Zwei–Wege–Kopplung beschrieben, [378], [377]. Simonin ver¨offentlicht seit Jahren Arbeiten im Bereich Mehrphasenstr¨omungen. Er verwendet den EEM–Ansatz, der eine Modellierung der turbulenten Diffusion (Reynolds–Spannungstensor) der Partikel–Phase verlangt. Um die theoretischen Ans¨atze, basierend auf Tchen’s Theorie [391], die auch den Crossing–Trajectory– Effekt beinhaltet, zu u ufen, wird eine LES mit Blasen und mit leichten, als auch ¨ berpr¨ mit schweren Partikeln als disperse Phase durchgef¨ uhrt [88]. In Zusammenarbeit mit Squires wird eine Untersuchung einer partikelbeladenen Kanalstr¨omung (250 000 Partikel ohne Kollision) durchgef¨ uhrt, um Schließungsans¨atze f¨ ur das Zweifluidmo-

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dell zu u ufen (modellierte Terme der Partikelkinetikspannungsgleichung und ¨berpr¨ der Fluid–Partikel–Kovarianzgleichung), [423], [424]. Eine LES mit Partikel– und Zwei–Wege–Kopplung wird in [41] dargestellt. DNS–Daten werden f¨ ur den Vergleich der unterschiedlichen Subgrid–ModelLe verwendet. Die LES ist unabh¨angig von der Netzverfeinerung, wenn das kombinierte, dynamische Subgrid–Model verwendet wird und die Partikelrelaxationszeit gr¨oßer ist als der charakteristische Zeitmaßstab der Gasphasenturbulenz. In [123] wird die LES und die DNS verwendet, um das Dispersionsverhalten von Partikel bei homogener, isotroper, station¨arer Turbulenz zu untersuchen. Bei einer Stokes–Zahl von etwa 0,2 ist die turbulente Dispersion und die lokale Konzentration am gr¨oßten. Lavieville [231] untersucht das Kollisionsverhalten von monodispersen Partikel mit unterschiedlichen Durchmessern, Dichten und H¨aufigkeiten mittels der LES. Das Kollisionsmodell basiert auf der kinetischen Gas–Theorie, ohne molekulares Chaos vorauszusetzen. Es werden Partikel–Partikel–, Fluid–Partikel– und Fluid–Fluid– Korrelationen gebildet, die auch in das Kollisionsmodell eingehen. W¨ahrend die Mehrheit der Autoren feste Partikeln verwendet, um Turbulenz– oder Kollisionsprozesse mit der LES bzw. DNS zu untersuchen, gibt es seit kurzem auch Arbeiten zum W¨arme– und Stoff¨ ubergang infolge verdampfender Tropfen. Oefelein und Yang [277] simulieren mit der LES einen bei Raketentriebwerken vorkommenden fl¨ ussigen Sauerstoffspray in einer gasf¨ormigen Wasserstoffumgebung und zeigen Ergebnisse f¨ ur 1, 100 und 400 bar Einspritzdruck bei Temperaturen von 1000 K f¨ ur die kontinuierliche Wasserstoff–Phase und 100 K f¨ ur die Sauerstofftropfen. Die Zwei–Wege–Kopplung des Sprays mit der Gasphase (Impuls, Masse, Energie), zeigt den großen Einfluß der Tropfen auf die Str¨omung der kontinuierlichen Phase ¨ahnlich wie beim Dieselmotor. Die gr¨oßten Tropfen sind kleiner als der Kolmogorov–L¨angenmaßstab, was eine Turbulenzwechselwirkung vernachl¨assigbar macht 11 . Pannala [291] verwendet DNS–Ergebnisse verdampfender Tropfen bei station¨arer isotroper Turbulenz als Vergleich f¨ ur seine LES–Modellierung. Er entwickelt ein Zwei–Phasen Subgrid–Modell f¨ ur die Tropfenverdampfung mit anschließender Verbrennung. Beispiele werden f¨ ur verdampfende Tropfen in Scherschichten pr¨asen¨ tiert und mit Experimenten aus der Literatur verglichen, wobei eine gute Ubereinstimmung erzielt wird. Es zeigt sich, daß die Tropfen den Energietransfer von großen Wirbelstrukturen zu kleineren Skalen, wie bei der isotropen Turbulenz, unterst¨ utzen. Die Tropfen werden mit dem ELM–Ansatz bis zu einer vorgegebenen Gr¨oße, die willk¨ urlich gew¨ahlt werden kann, verfolgt. 12 Der Phasen¨ ubergang der 11 Die disperse Phase hat wegen der sehr kleinen Relaxationszeit dasselbe Geschwindigkeitsfeld, wie die kontinuierliche Phase und bewirkt eine Erh¨ohung der lokalen Mischdichte. 12 Diese Grenze, bei der explizite Integrierer (Runge–Kutta Schema 2. bis 4. Ordnung) f¨ ur die BBO–Gleichung noch stabil arbeiten bzw. mit einem ausreichend großem Zeitschritt betrieben werden k¨onnen, kann zwischen 1 bis 5 µm liegen. Die Partikelrelaxationszeit f¨ ur Stokessches Regime

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Tropfen des gesamten Spektrums (sowohl im Bereich u ¨ber als auch unter dieser Grenze) wird mit dem Subgrid–Model auf Basis eines EEM–Ansatzes bewerkstelligt. Das Subgrid–Model liefert als Schließungsansatz die Spannungen und die Energiefl¨ usse infolge Verbrennung mit Hilfe einer Transportgleichung f¨ ur die kinetische Energie im Subgrid–Bereich, die auch die Kopplung mit der Lagrangen Tropfenphase ber¨ ucksichtigt und auf einem dynamischen LES–Modell aufbaut. Die Reaktions– Diffusions–Gleichung zur Berechnung der Spezieskonzentrationen wird als eindimensionale Subgrid–Transportgleichung f¨ ur jede Zelle aufgestellt und ber¨ ucksichtigt turbulentes Mischen und den Einfluß der dispersen Phase. Diese detaillierte Modellierung der Reaktionsskalen erlaubt die Berechnung von turbulenten, vorgemischten Flammen ohne große numerische Dissipation und mit unterschiedlichen Subgrid– Grenzen. Es wurde hier bewußt die große Anzahl von Literaturstellen zitiert, um zu zeigen, daß die LES / DNS momentan ein Gebiet von wesentlichem wissenschaftlichem Interesse ist und die LES m¨oglicherweise ein Ausweg aus der Krise der Turbulenzmodellierung sein kann. Gerade die Mehrphasenstr¨omung ist sehr stark abh¨angig von einer quantitativ richtigen Berechnung der Turbulenz und damit der Reynolds– Spannungen. Auch Kollisionsprozesse werden davon beeinflußt. Aktuelle Arbeiten im Bereich CFD f¨ ur Turbomaschinen in [14], [15] zeigen die Relevanz der LES f¨ ur technische Anwendungen. Es ist davon auszugehen, daß auch bei Zweiphasenstr¨omungen die Bereiche hoher Gradienten (Scherung, W¨arme–, Stoff¨ ubergang, Dissipation, Mischung, chemische Reaktionen) in Zukunft verst¨arkt von der LES abgedeckt werden, w¨ahrend außerhalb ein RANS–Ansatz verwendet wird. Eine robuste Implementation der LES ben¨otigt jedoch eine sehr genaue Numerik, die es f¨ ur unstrukturierte Netze noch nicht gibt: Differenzenschemata 3. und 4. Ordnung sind f¨ ur r¨aumliche Differenzen Operatoren anzustreben, in der Zeit ist die 2. Ordnung wegen der schon kleinen Zeitschritte ausreichend. Spektral L¨oser sind sehr genau, aber wegen der Vorgaben aus der Diskretisierung nur f¨ ur einfache Geometrien anwendbar.

1.2.3

Rechner–Software Technologie

Die Rechner–Technologie ist in der Str¨omungssimulation wesentlich, da die CFD seit ihren Urspr¨ ungen immer ein Maximum an Rechenressourcen ben¨otigt. Es geht ρ

D2

P P ist τP = 24 ρGas oßer als der Integrationszeitschritt δt sein, um explizite Integrierer µGas und sollte gr¨ verwenden zu k¨onnen. δt/τP entspricht einer Art Courant–Zahl, die bekanntlich bei expliziten Verfahren kleiner als 1 sein soll. Bei kleinen Partikeldurchmessern f¨ uhrt diese Forderung zu einem unwirtschaftlich kleinem δt. Die Differentialgleichung wird recht steif, so daß ¨ahnlich wie bei L¨osern von chemischen Reaktionsgleichungen ein semiimplizites Verfahren verwendet werden muß. Die Grenze um 1 µm markiert auch den Beginn des Subgrid–Bereichs.

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dabei nicht nur um eine st¨andige quantitative Erh¨ohung der Rechnerleistung, siehe auch die Top 500 in Abb. 1.6, sondern auch um Qualit¨atsspr¨ unge. Die Hardware– Entwicklung in zeitlicher Reihenfolge lautet13 : • Workstation (MicroVax II von DIGITAL ∼ 1988 erste Workstation; Top Modelle 2001: SGI ONYX 3400 bzw. HP J6000 2Proc. fx10 mit 20 000 000 Linien/s und 3 800 000 Polygone/s), • Vektorrechner (Cray X–MP 2 Proc. mit 0,427 Gflop/s ∼ 1985, NEC–SX5 128 Proc. mit 1192 Gflop/s ∼ 2001), • RISC–Prozessor (IBM RS6000 ab ∼ 1993 verdr¨angt die mittleren Vektorrechner und Parallelrechner und ist die Basis f¨ ur die SPx Technologie), • Multi Processor Shared Memory (SGI Origin seit ∼ 1995 ist ein idealer Mehrplatz Rechner mit großem Speicher, aber langsamen Prozessoren von MIPS), • Parallelrechner MIMD–Typ (Intel nCUBE2 64 Proc. mit 1,9 Gflop/s ∼ 1993 leistet ∼ soviel wie ein Cray Y–MP Prozessor, im Jahr 2002 leisten IBM SP3 375 MHz 8192 Proc. 7220 Gflop/s, Compaq Clusterfarm mit Alpha EV6/EV7 mit 5120 Proc. 3980 Gflop/s, Earth Simulator NEC–SX6 mit 5120 Proc. 35,86 Tflop/s). Diese Entwicklung hat die Str¨omungsprogramme wesentlich beeinflußt. W¨ahrend einer Str¨omungssimulation werden drei Arbeitsschritte durchlaufen, die im optimierten Fall auf unterschiedlichen Hardwarearchitekturen ablaufen. 1. Preprocessing zur Erstellung des 3D–Berechnungsgitters aus Oberfl¨achendaten (IGES, VDA, SET, STL), 2. L¨osen des Gleichungssystems, Aufsetzen der Koeffizienten, I/O von Dateien, 3. Postprocessing zur graphischen Darstellung der Berechnungsergebnisse. Schritt 1.) und 3.) laufen auf einer Mehrprozessorhochleistungsworkstation ab, die sich durch ausreichenden Speicher (> 4 Gigabyte), schnelle Harddisk und Datenbus und einer 3D–Graphik unter Open–GL mit entsprechenden Graphikprozessoren auszeichnet. Die CPU f¨ ur Floatingpointoperationen ist ein RISC–Prozessor, 13 Die Leistungsdaten f¨ ur Workstations (Graphik–Leistung) wurden einem Ensight– Benchmark [116] entnommen, die Rechenleistung wurde aus den Top 500 [89] bezogen, wo ein LINPACK–Benchmark verwendet wird. Man erkennt in Abb. 1.6, daß die Rechnerleistung linear auf einer logarithmischen Skala zunimmt, was einer Verdoppelung innerhalb von etwa eineinhalb Jahren entspricht.

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der jedoch nicht auf h¨ochste Performance getrimmt sein muß. Beispielsweise verwendet SGI relativ langsame MIPS Prozessoren (R12000), w¨ahrend die Graphikleistung trotzdem ansprechend ist. Gut ausgestattete PCs mit AMD–Athlon oder Intel–P4– Prozessoren sind mit entsprechenden Graphikkarten eine echte Alternative zu den bekannten Workstations. Der aktuelle Engpaß in der CFD ist die Gittergenerierung, die viel zu lange dauert (etwa 50-70% der Gesamtdurchlaufzeit) und in Zukunft vollautomatisch ablaufen soll. Diese Forderung gibt es schon seit Mitte der 90er Jahre, doch wegen der starken Wechselwirkung Netz–Qualit¨at–Numerik/Genauigkeit– Str¨omung werden erst voll adaptive Programme ohne menschliche Netzgeneratoren auskommen. Schritt 2.) wird auf einem Supercomputer abgearbeitet. Der Begriff Supercomputer bezieht sich auf die aktuell schnellsten Rechner, wobei das Numbercrunching bewertet wird. Um einen modernen CFD–Code schnell abzuarbeiten sind unterschiedlichste Hardwarekomponenten wichtig. Dazu geh¨oren in Reihenfolge ihrer Bedeutung: Prozessor–Technologie (Silizium/CMOS, Galiumarsenid), Vektorl¨ange (Cray mit 256 Byte, NEC/Fujitsu mit 1024 Byte), Bus– und Memory–Bandbreite, Cache–Gr¨oße (Level 2 f¨ ur Floatingpoint), Switchbandbreite bei MIMD–Architekturen (multiple instruction multiple data), Compiler–Qualit¨at, I/O–Zugriffszeiten. Ein gerade f¨ ur die Str¨omungssimulation wesentlicher Engpaß ist die Diskrepanz zwischen Prozessorleistung und Speicher– bzw. Switchbandbreite, die nur sehr notd¨ urftig durch diverse Cache–Hirachien entsch¨arft wird, siehe Bader et al. [21]. In den 80er Jahren waren die Supercomputer u ¨berwiegend Vektorrechner, wie die

Abbildung 1.6: Entwicklung der Rechenleistung nach der Liste Top500 [89]

33

Cray X–MP oder Convex C3840, die sp¨ater von den RISC–Rechnern, hier vor allem der IBM RS6000, verdr¨angt wurden. In den fr¨ uhen 90er Jahren wurden die ersten Parallelrechner auf den Markt gebracht (CM5 Thinking Machine, Intel Paragon, nCUBE2), die respektable Rechenleistungen bei theoretischen Testf¨allen vorweisen konnten. Doch bald zeigte sich, daß die neuen Architekturen oft ein Neuschreiben der Codes verlangten und es auch von der Benutzung viel einfacher ist, auf den herk¨ommlichen, aber auch sehr teuren Vektorrechnern zu bleiben. Mit der Einf¨ uhrung der IBM RS6000 wurden die Parallelrechner stark in den Bereich Universit¨aten und nationale Forschungsinstitute abgedr¨angt. Die Entwicklung der Shared– Memory–Technologie mit der SGI Origin verst¨arkte den Siegeszug der RISC–Rechner, obwohl es im Hochleistungsbereich immer noch Platz f¨ ur Vektorrechner von Cray, Fujitsu und NEC gab. Daneben verblieben nur wenige Parallelrechner, wie die IBM SP2/SP3 oder die Cray T3E. Erst Ende der 90er Jahre kam mit verbesserten Netzwerken und den Beowulf–Clustern auf PC–Basis neue Euphorie f¨ ur die Parallelrechner auch im industriellen Umfeld auf. Diese Cluster–Technik baut auf standardisierte Hardwarekomponenten aus dem PC–Bereich auf, was zu einem sehr guten Preis/Leistungsverh¨altnis f¨ uhrt. Durch den damit geschaffen Cluster–Markt wird die Entwicklung von schnellen und auch erschwinglichen Netzwerken, die mit unterschiedlichen Prozessor–Familien kompatibel sind (INTEL–Pentium, AMD–Athlon, HP–Alpha), gef¨ordert und bewegt sich vom Fast–Ethernet zum Myrinet. Die properit¨aren Switch–Systeme der IBM–SP3 oder einer Cray-T3E werden zunehmend auf den Markt f¨ ur den obersten Leistungsbereich reduziert. Am Anfang des 21. Jahrhunderts ist unbestritten, daß der Supercomputer ein Parallelrechner ist und bleibt. Ob und wie sogenannte SMP(Shared–Memory–Processor)– Nodes, die untereinander mit OpenMP Thread basierend kommunizieren, mit einer Switch–Technologie zu Clusterrechner verkoppelt werden, wird auch von den M¨oglichkeiten der Anwendersoftware bestimmt. Letztere beeinflußt immer st¨arker das Hardware–Angebot. Je nach Institution entscheidet ein gemischter Betrieb (kommerzielle Software, spezialisierte Eigenentwicklungen, Parallelapplikationen) oder eine auf wenige Programmpakete ausgelegte Software–Umgebung u ¨ber die installierte Hardware. Meistens sind Benchmark–Ergebnisse nur ein Hinweis auf die Performance eines Rechners. F¨ ur die CFD ist der Feldtest mit dem aktuellen CFD-Code die Richtschnur f¨ ur die tats¨achliche Leistung der Maschine, die manchmal recht weit unter den Benchmarkwerten liegt. Gerade Parallelrechner mit mehr als hundert Knoten sollten hier vorsichtig bewertet werden. Der Einsatz des Parallelrechners in der Industrie steht erst am Anfang. Vielfach liegen die Gr¨ unde am erh¨ohten Aufwand, einen parallelen Job zu starten und an der Verf¨ ugbarkeit von gut skalierbarer Anwendersoftware. Die IMB SP2/SP3 ist ein Musterbeispiel f¨ ur diese Problematik. Dieser Rechner eignet sich sehr gut f¨ ur parallele Jobs, wird aber meistens f¨ ur serielle L¨aufe genutzt, weil der Einzelprozessor schon recht schnell ist.

34

Die optimale Nutzung der unterschiedlichen Architekturen erfordert speziell angepaßte Software. Basis eines guten CFD-Codes ist eine offene Programmstruktur. In den 90er Jahren wurde strukturierte Programmieren gefordert, heute und in Zukunft sind die Regeln des objektorientierten Programmierens einzuhalten bzw. weiterzuentwickeln. Es gibt momentan einen Wettlauf zwischen dem prozeduralem Ansatz (FORTRAN, C) und dem objektorientiertem Programmkonzept (C++)14 . Der Unterschied zwischen diesen beiden Programmierkonzepten liegt in der Problemsichtweise. Bei FORTRAN wird jeder Vorgang ausprogrammiert (Task orientiert) und in Modulen abgelegt ohne die Daten besonders zu strukturieren. Es gibt f¨ ur FORTRAN nur wenige unterschiedliche Datentypen und diese sind fix vorgegeben. Damit muß f¨ ur jede neue Datenstruktur eine oft große Anzahl von Modulen adaptiert werden. C++ enth¨alt mit den Klassenbibliotheken die M¨oglichkeit, eigene ¨ Datentypen zu definieren und diese auch lokal zu implementieren, was keine Anderung der Schnittstellen zu den Berechnungsprozeduren erfordert (data hiding). Dies erlaubt eine hohe Wiederverwendbarkeit der Software und erleichtert die Wartung. Allerdings erfordert die h¨ohere Abstraktion von C++ einen entsprechend fundierten Softwareentwicklungsplan. Ein weiterer Aspekt liegt bei C++ in der Lokalit¨at der Daten, w¨ahrend FORTRAN Vektoren sehr effizient verarbeiten kann, was wiederum unterschiedliche Hardware–Architekturen favorisiert. Die typischen Hochsprachen sind f¨ ur Pre–und Postprocessing C++, f¨ ur den L¨oser C oder HPF–FORTRAN, das durch seine feste Speicher Zuordnung Vorteile auf Vektor–Maschinen bietet. Wenn man die Software–Qualit¨at eines L¨osers absch¨atzen will sollte man die Performance auf einer RISC–Maschine, auf einer Vektor– und einer Parallel–Maschine u ufen. Im Idealfall sieht man entweder eine deutliche Performance–Steigerung ¨berpr¨ auf der Vektormaschine, d.h. der Code vektorisiert zu ≥ 95%, oder einen gravierenden Einbruch, weil der Code die meiste Zeit auf dem Skalarprozessor l¨auft, der ¨ viel schw¨acher ist als auf einer vergleichbaren RISC–Workstation. Ahnliches gilt f¨ ur den Parallelrechner. Es ist wichtig, einen m¨oglichst hohen Anteil (≥ 98%) des Programms parallel abzuarbeiten, wobei die Last pro Prozessor gleich sein sollte. Außerdem sollte der Datenaustausch zwischen den Prozessoren minimiert sein. Diese Hardwareerfordernisse verlangen gravierende Eingriffe in den L¨oser, die oft l¨anger 14 Die aktuelle Codeentwicklung l¨auft einerseits evolution¨ar von FORTRAN 77 auf FORTRAN 90, womit viele Features von C inkludiert werden, ohne die Performance von FORTRAN zu verlieren, und andererseits revolution¨ar mit C++. Der evolution¨are Weg wird bei der Weiterentwicklung von vorhandener Software beschritten, w¨ahrend der v¨ollige Neubeginn mit C++ erfolgt. Dieser Weg bedeutet eine radikale Abkehr vom prozeduralen Ansatz, der f¨ ur jede Gleichung spezielle Routinen, die explizit ausprogrammiert sind, verlangt. Stattdessen wird in der Notation einer Macrosprache (z.B. MATHEMATIKER) die PDFG definiert und u ¨ber die entsprechenden Klassenbibliotheken auch gel¨ost. Damit erh¨alt man eine gr¨oßere Flexibilit¨at und Wartungsfreundlichkeit, die jedoch unter Umst¨anden Performanceverluste, vor allem auf Vektorrechnern, nach sich zieht, Weller [433], Strang [374], Hatakeyama et al. [170].

35

dauern als auf eine neue Prozessor–Familie zu warten. Besonders große Programmsysteme sind manchmal nur durch ein Neuschreiben an solche Bedingungen anpaßbar (siehe alte FEM–Codes wie MSC–NASTRAN). Diese Problematik verlangt ein sorgf¨altiges Absch¨atzen der Hardware Entwicklung, um die richtigen Weichenstellungen bei der L¨oserentwicklung treffen zu k¨onnen. Nicht nur in der Str¨omungsmechanik ist zu beobachten, daß die Computer–Hardwareentwicklung aufgrund der automatisierbaren, skalierbaren Fertigungstechniken schneller voranschreitet als die CFD–Programme, die Handarbeit und viele Nachbesserungen verlangen, was m¨oglicherweise mit C++ verbessert werden kann. Auch Software unterliegt einem Produktzyklus, wozu auch der Alterungsprozeß geh¨ort. Dies gilt nicht nur f¨ ur kommerzielle Software, sondern auch f¨ ur den universit¨aren Bereich der Ingenieurwissenschaften, f¨ ur die aktuelle CFD–Technologien notwendig sind. Als aktuelles Beispiel kann ein NS–L¨oser mit Multigrid f¨ ur unstrukturierte Netze angef¨ uhrt werden. Die theoretischen Grundlagen wurden Anfang der 90er Jahre gelegt, doch zehn Jahre sp¨ater sind die großen kommerziellen Programmhersteller noch immer damit besch¨aftigt, ihre blockstrukturierten L¨oser auf unstrukturierte Netze mit Multigridf¨ahigkeiten umzustellen.

Abbildung 1.7: Entwicklung der Rechenleistung bzw. der Speicherbandbreite Es ist daher wichtig, das Nachfolgeprodukt rechtzeitig zu planen, um auch f¨ ur zuk¨ unftige Hardwareszenarien die passende Antwort zu haben. Bis Mitte der 90er Jahre waren technisch–wissenschaftliche oder milit¨arische Anwendungen an den Supercomputing–Instituten vorherrschend. Heute stellen Anwendungen aus den Bereichen Telekommunikation, Finanzdienstleister, Wetter und Biotechnologie die Mehrheit im Supercomputing. Der Consumer–Markt bzw. die Spielkonsolen bestimmen wesentlich die Entwicklung auf dem Speichersektor. In Abb. 1.7 erkennt man die sehr unterschiedliche Leistungsentwicklung von Prozessoren und Speicherchips, was

36

aus der Kundenanforderung nach großen und billigen Speicher, der jedoch auch sehr langsam ist, resultiert. Das hat Auswirkungen auf die Hardware–Entwicklung, die f¨ ur die zuk¨ unftigen CFD-Algorithmen ber¨ ucksichtigt werden muß.

1.3

Ziel dieser Arbeit

Es soll mit dieser Arbeit der aktuelle Stand der CFD unter dem Blickwinkel des Euler–Lagrange–Verfahren beschrieben und bewertet werden, wobei auch die Entwicklungsgeschichte der Methoden f¨ ur das Verst¨andnis bzw. deren sinnvolle Anwendung unerl¨aßlich ist. Dabei wird die Mehrphasenstr¨omung mit ihren wesentlichen Algorithmen detailliert besprochen, um daraus Bewertungen und neue Ans¨atze f¨ ur die hier verwendete ELM zu gewinnen. Außerdem wurde auf Grundlagen der Modellierung eingegangen, die oft als Postulat angenommen, aber nicht bez¨ uglich ihrer Relevanz f¨ ur spezifische Berechnungsf¨alle diskutiert werden. Auch schon bekannte Formulierungen werden beschrieben, weil diese anhand von Beispielen wesentlich f¨ ur das Gesamtverst¨andnis sind. Aus diesem Grund wird die EEM diskutiert, weil deren Kenntnis f¨ ur die Phasenkopplung oder die Subgrid–Modellierung im Rahmen der ELM auf Basis der LES notwendig ist. Die numerische Str¨omungsmechanik hat sich seit den 90er Jahren evolution¨ar entwickelt. Dabei wurden eine F¨ ulle von kleinen Verbesserungen entwickelt, die, nachdem sie erst langsam in Software umgesetzt werden, v¨ollig neue M¨oglichkeiten der Simulation erschließen. Die praktische Anwendung von Mehrphasenstr¨omungen verlangt sowohl alogrithmische Ans¨atze mit hoher Qualit¨at in Bezug auf die Modellierung der physikalischen Prozesse, als auch die F¨ahigkeit technische Problemstellungen in einer akzeptablen Zeit zu berechnen. Diese Forderungen f¨ uhren zu gemischten LES/RANS–Ans¨atzen auch f¨ ur Partikel–Tropfen–Str¨omungen mit einer breiten Tropfengr¨oßenverteilung. F¨ ur Gebiete mit hoher Kollisionswahrscheinlichkeit w¨are f¨ ur die disperse Phase ein Hybridansatz Euler–Euler mit Euler–Lagrange sehr effizient. Dies bedeutet, daß die Lagrange–Methode auch in Zukunft nicht nur als Validierungswerkzeug von Interesse ist, sondern auch als Arbeitsmittel f¨ ur unterschiedlichste technische Anwendungen. Ihr großer Nachteil ist die schlechte Effizienz der Numerik. Aufbauend auf vorangegangene Entwicklungen15 soll diese Arbeit zeigen, daß mit einer Parallelisierung der ELM auch technisch relevante Anwendungen im Bereich der Gas–Feststoff–Str¨omungen simulierbar sind. Es wurde ein neuer Algorithmus entwickelt, der eine dynamische Lastverteilung der Partikel auf der parallelen Maschine auch bei transienten Str¨omungen oder bei starker Phasenwechselwirkung m¨oglich 15 Das am Lehrstuhl f¨ ur technische Thermodynamik Arbeitsgruppe Mehrphasenstr¨omung vorhandene CFD–Paket MISTRAL/PARTFLOW-3D wurde seit 1996 kontinuierlich weiterentwickelt und ist Basis f¨ ur die Implementation der angef¨ uhrten Algorithmen.

37

macht. Gleichzeitig k¨onnen alle notwendigen Prozesse, wie Kollision oder Stoff– bzw. W¨arme¨ ubergang berechnet werden, ohne große Abstriche bez¨ uglich der Komplexit¨at der physikalischen Prozesse machen zu m¨ ussen. Dies verlangte eine Adaption des Kollisionsmodells nach Sommerfeld bzw. Oesterl´e, eine Implementation des instation¨aren Terms f¨ ur alle Erhaltungsgleichungen und eine Implementation der Energiegleichung und einer Speziestransportgleichung im NS–L¨oser. F¨ ur die Tropfenverdunstung wird im Partikell¨oser eine Energie– und eine Massenerhaltungsgleichung implementiert. Abb. 1.8 zeigt die in dieser Arbeit neuimplementierten bzw. u ¨berarbeiteten Mo¨ dule von Mistral–3D. Abb. 1.9 gibt einen Uberblick auf den aktuellen Stand der Parallelisierung bez¨ uglich der ELM. Es muß jedoch betont werden, daß die Parallelisierung von Partikelmodellen auf dem Gebiet der Hochenergiephysik weiter als in der Str¨omungsmechanik vorangeschritten ist. Die praktische Verwendbarkeit eines neuen Verfahrens ist wesentlich von der verf¨ ugbaren Funktionalit¨at und Genauigkeit abh¨angig. Letztere wird u ¨ber ausgew¨ahlte Validierungsbeispiele dokumentiert, wobei hier Turbulenz– und Kollisionsmodell zu untersuchen sind. Weiter ist der NS–L¨oser bez¨ uglich seiner Qualit¨at f¨ ur transiente Anwendungen (Vortex shedding) zu u ufen. ¨berpr¨ Aufbauend auf der Validierung sollen Vergleichssimulationen von technischen Mehrphasenstr¨omungen auf unterschiedlichen Hardware–Architekturen zur Messung der numerischen Effizienz durchgef¨ uhrt werden. Die Untersuchungen an solchen Aufgaben geben auch Aufschluß u ¨ber die entscheidenden, die Effizienz beeinflussenden, Algorithmen der Parallelisierung.

38

Grundlagen stationärer stationärer NS-Löser NS-Löser

stationärer stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

KollisionsModell

Parallelisierung: dynamische Partikelverteilung

aktuelle Arbeit instationärer instationärer NS-Löser NS-Löser

instationärer instationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser KollisionsModell PhasenKopplung VerdunstungsModell

Enthalpie/SpeziesGleichung

Parallelisierung: dynamische Partikelverteilung Abbildung 1.8: Schema der in dieser Arbeit implementierten Algorithmen

39

instat/stat. NS-Löser, Datenzerlegung

instat/stat. Lagrange-Löser

Autoren,Datenzerlegung Partikel

instat/stationärer instat/stationärer NS-Löser,GebietsNS-Löser,Gebietszerlegung zerlegung

instat/stationärer instat/stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

Tysinger, 1997, shared memory für die Partikel

instat/stationärer instat/stationärer NS-Löser,keine NS-Löser,keine Parallelisierung Parallelisierung

instat/stationärer instat/stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

Tsuji, 1996, Datenzerlegung für die Partikel

instat/stationärer instat/stationärer NS-Löser,GebietsNS-Löser,Gebietszerlegung zerlegung

instat/stationärer instat/stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

instat/stationärer instat/stationärer NS-Löser,keine NS-Löser,keine Parallelisierung Parallelisierung

instat/stationärer instat/stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

stationärer stationärer NS-Löser,GebietsNS-Löser,Gebietszerlegung zerlegung

stationärer stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

instat/stationärer instat/stationärer NS-Löser,GebietsNS-Löser,Gebietszerlegung zerlegung

instat/stationärer instat/stationärer Lagrange-Löser Lagrange-Löser

Chen/Fricker, 1997, stat. Gebietszerlegung für die Partikel Vance/Squire, 2002, stat. Gebietszerlegung für die Partikel Frank/Wassen, 1997, statische/ dynamische Datenzerlegung für die Partikel Pachler, 2002, dynamische Datenzerlegung für die Partikel

Abbildung 1.9: Stand der Parallelisierung f¨ ur ELM–Algorithmen

40

Kapitel 2 Berechnung der kontinuierlichen Phase Die Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie sind die mathematische Grundlage zur Beschreibung von Fluiden, die der Kontinuumsannahme entsprechen, siehe Seite 4, Fußnote 3. Konstitutive Gleichungen, siehe Anhang B.1.2, sind notwendig, um das Materialverhalten (z.B. Spannungs–Verformungsverhalten) der Str¨omung realistisch wiederzugeben. Modellgleichungen werden f¨ ur physikalische Prozesse (Turbulenz) aufgestellt, die sich nicht ausschließlich durch die fundamentalen Erhaltungsgleichungen ausdr¨ ucken lassen. Schließungsans¨atze sind wichtige Annahmen, um die in der Modellierung unbekannten Gr¨oßen darzustellen, wie es beispielsweise f¨ ur die k–ε–Gleichungen gemacht wird. Die Str¨omungsgleichungen sind nichtlineare, partielle Differentialgleichungen 2. Ord¨ nung, die die ¨ortliche und zeitliche Anderung einer Gr¨oße wiedergeben. Die zus¨atzlichen Gleichungen k¨onnen entweder Differential– oder algebraische Gleichungen sein. Die hier behandelten Str¨omungen sind station¨ar bzw. instation¨ar und sind auf Newtonsche Fluide beschr¨ankt. Die Gleichungen beschreiben das kompressibel/inkompressibel Regime, wobei der Schwerpunkt der Ausf¨ uhrungen auf den inkompressiblen Bereich gelegt wird.

2.1 2.1.1

Mathematisches Modell fu omung ¨ r die Gasstr¨ Koordinatensystem und Berechnungsgitter

Alle Bilanzgleichungen werden f¨ ur ein festes, globales, kartesisches Koordinatensystem in der Form xi , i = 1, 2, 3 f¨ ur x, y, z gel¨ost. Bei rotierenden Systemen ergeben

41

N E x 2

N

N

N W

n

2 n @ N

n

2

N e

e 2

P

w

W

N

@ N

s

2 e

N

N 1 e

1 e

E n

1

S E n

S

S W

x

N

1

1

Abbildung 2.1: 2D–Kontrollvolumen mit lokalem/globalem Koordinatensystem sich Zusatzterme in den Erhaltungsgleichungen. Die Fl¨ usse u ¨ ber die Kontrollfl¨achen der finiten Volumina werden am effizientesten mit einem lokalen, krummlinigen, bewegten Koordinatensystem f¨ ur ξ 1 , ξ 2, ξ 3 berechnet, was mit Hilfe der Jakobi–Matrix Ja f¨ ur den Zell– und Zell–Face–Mittelpunkt erfolgt und in das globale kartesische System xi = xi (ξ j , t) u uhrt werden kann: ¨bergef¨

Ja =

⎛ ∂x1 ∂ξ 1 ⎜ ∂x 1 ⎜ ⎜ ∂ξ 2 ⎜ ∂x1 ⎝ ∂ξ 3 ∂x1 ∂t

∂x2 ∂ξ 1 ∂x2 ∂ξ 2 ∂x2 ∂ξ 3 ∂x2 ∂t

∂x3 ∂ξ 1 ∂x3 ∂ξ 2 ∂x3 ∂ξ 3 ∂x3 ∂t

0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(2.1)

Die Zell–Face–Geschwindigkeiten lassen sich mit Hilfe von lokalen kovarianten Koordinaten mit kontravarianter Basis formulieren. Abb. 2.1 zeigt f¨ ur die Ostfl¨ache die kontravariante Basis ξe1 , ξe2 und die kovariante Basis ξ1e , ξ2e . Weiter werden f¨ ur den zweidimensionalen Fall die Abst¨ande δξ 1 , δξ 2 ausgewiesen, die f¨ ur die Berechnung des Kontrollvolumens δVP = J δξ 1 δξ 2 δξ 3 um den Polpunkt notwendig sind. Eine beliebige Funktion φ l¨aßt sich bez¨ uglich seiner Ableitungen folgendermaßen

42

transformieren, Steffan [368]: φξ = Ja φx

bzw.

−1 φx = Ja φξ

⎡

⎤

(2.2) ⎡

⎤

T T ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ

⎦ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ

⎦

, φx = ⎣ , , , . φξ = ⎣ 1 , 2 , 3 , ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂t ξi ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂t xi

(2.3)

Die Jakobi–Matrix Ja wird folgendermaßen invertiert: ⎛

Ja

−1

=

1 J

⎜ ⎜ ⎜ ⎝

β11 β12 β13 β14

β21 β22 β23 β24

β31 β32 β33 β34

0 0 0 J

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

mit J = det|Ja | = det| 

und z. B.

β12 =

∂xi ∂x1 | = j βj1 ∂ξ j ∂ξ 

∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 − 2 3 . (2.4) ∂ξ 3 ∂ξ 2 ∂ξ ∂ξ

Die Zeitableitung f¨ ur ein bewegtes Gitter entspricht der Gittergeschwindigkeit. Die negativen Komponenten der kovarianten Gittergeschwindigkeit uˆj,g k¨onnen wie folgt bestimmt werden: 1 4 1 ∂xi 1 β = β , J 1 J ∂t i 1 1 ∂xi 2 β , = β24 = J J ∂t i 1 1 ∂xi 3 = β34 = β . J J ∂t i

−ˆ u1,g = −ˆ u2,g −ˆ u3,g

(2.5)

Somit l¨aßt sich der ¨ortliche und zeitliche Differentialoperator f¨ ur das globale System darstellen:



∂φ

∂φ

1 ∂φ i ∂xi

=

− , β ∂t xi ∂t ξi J ∂ξ j j ∂t

(2.6)

∂φ 1 ∂φ j = β . ∂xi J ∂ξ j i

(2.7)

¨ Gl. (2.6) stellt die zeitliche Anderung der Funktion φ an der ortsfesten Koordinate ¨ der Funktixi dar. Der erste Term auf der rechten Seite ist die zeitliche Anderung ∂φ on φ an der bewegten, lokalen Koordinate ξ i. Der zweite Term besteht aus ∂ξ j (die

43

¨ partielle Anderung der dem Massenelement dm zugewiesenen Funktion φ infolge der i Verschiebung um dξ j im bewegten Koordinatensystem) und aus ∂x (der Absolut∂t geschwindigkeit des Fluids im ortsfesten Koordinatensystem). ¨ Gl. (2.7) stellt die partielle Anderung der dem Massenelement dm zugewiesenen Funktion φ infolge der Verschiebung um dxi im ortsfesten Koordinatensystem dar. Diese Koordinatentransformation ist f¨ ur die Fl¨ usse an den Zellfl¨achen und f¨ ur die Druckgradientenberechnung notwendig. Dazu stellt man die Transformationskoeffizienten f¨ ur alle Zellfl¨achen und im Zellzentrum auf, wobei manche Autoren die Koeffizienten an den Zellfl¨achen interpolieren. Die Koeffizienten der Jakobi–Matrix k¨onnen auch als jeweils zur betrachteten Zellfl¨ache definierte Normalenvektoren gedeutet werden. Eine allgemeine Transportgleichung mit Instation¨ar–, Konvektions–, Diffusions– und Quellterm lautet f¨ ur das lokale bzw. globale System: 

∂ ∂φ ∂ ρui φ − Γφ (ρφ)|xi + ∂t ∂xi ∂xi



= Qφ ,



(2.8) 

∂ 1 ∂ Γφ ∂φ i i (ρφ)|ξj + Jρˆ uj φ − β β = Qφ . ∂t J ∂ξ j J ∂ξ k k j

(2.9)

Die L¨osung der Bilanzgleichungen in globalen, kartesischen Koordinaten unter der Verwendung eines krummlinigen lokalen Systems zur Berechnung der Fl¨ usse u ¨ber die Zellfl¨achen hat sich als der beste Kompromiß zwischen Genauigkeit, Robustheit und Speicherbedarf erwiesen, Demirdzic [83], Peric [294], [297], Steffan [368]. Die Verwendung konturangepaßter Gitter basiert auf der Idee, die Gitterlinien in Str¨omungsrichtung zu legen, um den Fehler durch numerische Diffusion (ein Problem der Upwind–Diskretisierung der konvektiven Terme) zu minimieren. Die Stromlinien sind generell apriori nur ansatzweise bekannt, w¨ahrend die wandnahen Str¨omungsverh¨altnisse beinahe ohne Berechnung vorhergesagt werden k¨onnen. In dieser Arbeit wird das unverschobene Variablenschema (colocated arrangement) verwendet, das schon in Kap. 1.2.1 beschrieben wurde.

2.1.2

Grundgleichungen fu ¨r die Momentanbewegung

Bilanzgleichungen einer Gr¨oße φ basieren auf dem Kontinuumsansatz einer Kontrollmasse und ihrer extensiven Gr¨oßen, wie Stoffmenge, Volumen, Impuls oder Totalenthalpie (Gr¨oßen deren Produktionsdichte Null ist). Die Grundvariable φ ist eine intensive Gr¨oße (φ = 1/v/ht ), was die Unabh¨angigkeit vom Betrag der Kontrollmasse bedeutet. Die Finite–Volumen–Methode verwendet Integralgleichungen, die man lokal f¨ ur jedes

44

v n Q u e lle n S e n k e n

@ S

P

@ V X

Abbildung 2.2: Allgemeines durchstr¨omtes Kontrollvolumen δV mit Polpunkt P Kontrollvolumen aufstellen kann, siehe Abb. 2.2, w¨ahrend die Finite–Differenzen– Methode approximierte Differentiale verwendet. Der Vorteil der FVM liegt in der lokalen und globalen Erhaltung der Bilanzgr¨oßen. Dies gilt vor allem f¨ ur die Fl¨ usse, w¨ahrend der Quellterm diese wichtige Eigenschaft in Abh¨angigkeit von der Art der Diskretisierung ganz oder nur teilweise erf¨ ullt. D Dt





φ dV = V(t)

V(t)



∂φ dV + ∂t



div(φ) dV = V(t)



φ (v − vinterf ) · n dS ,

(2.10)

S(t)

φ · n dS .

(2.11)

S(t)

vinterf ist die Geschwindigkeit der Oberfl¨ache des Kontrollvolumens und bei unbewegten Netzen gleich Null. Mit Hilfe des Reynolds–Transporttheorems (2.10) und des Gaußschen Satzes (2.11) l¨aßt sich eine Bilanzgleichung, siehe Abb. 2.2, f¨ ur eine Str¨omungsgr¨oße φ in integraler Form schreiben: ∂ ∂t





ρ φ dV + V(t)

ρ φ (v−vinterf )·n dS =

S(t)

 S(t)

45



Γ grad(φ)·n dS+ V(t)

Qφ dV .(2.12)

Gl. (2.12) ist die Urform aller Transportgleichungen, die aus dem instation¨aren Term, dem konvektiven und dem diffusiven Flußterm und dem Quellterm besteht. Die Fl¨ usse werden dazu entlang der Oberfl¨ache integriert, wof¨ ur es notwendig ist, n dS zu bilden. Der Normalenvektor n ist immer nach außen gerichtet. Instation¨ar– bzw. Quellterm sind Volumenintegrale. Es werden in diesem Kapitel die Bilanzgleichungen f¨ ur station¨are bzw. instation¨are, laminare Einphasenstr¨omungen betrachtet, wobei auf Erweiterungen (Mehrphasigkeit, Turbulenz) aufmerksam gemacht wird bzw. diese sp¨ater behandelt werden. Die Erhaltungsgleichungen werden in der Integralform von Gl. (2.12) dargestellt. Die Bilanzgleichung f¨ ur die Massenkomponente ergibt sich aus Gl. (2.12) und der Phasenwechselwirkung, die f¨ ur die EEM abgeleitet wurde: ∂ ∂t





(αF ρF ) dV + V(t)

(αF ρF ) vF · n dS =

S(t)



Qp dV .

(2.13)

V(t)

Der Quellterm auf der rechten Seite in Gl. (2.13) resultiert aus dem Massen¨ ubergang zwischen den Phasen, bei Einphasigkeit ist dieser Term Null, α ist die Volumenfraktion, die bei Einphasigkeit eins ist. Die Kontinuit¨atsgleichung ist im inkompressiblen Fall eine wichtige Zusatzbedingung f¨ ur alle anderen Bilanzgleichungen (der absolute Wert des Drucks ist bedeutungslos, elliptische Gleichung), im kompressiblen Fall zus¨atzlich eine Art Transportgleichung f¨ ur die Dichte (hyperbolische Gleichung). Die Impulserhaltungsgleichung (zweites Newtonsches Gesetz des Kr¨aftegleichgewichts) lautet unter Verwendung von Gl. (2.12), Gl. (B.53) und Gl. (B.52) : ∂ ∂t





(αF ρF )vF dV

+

V(t)

S(t)



+ V(t)

(αF ρF )vF vF · ndS =



(αF ρF )g dV

+ V(t)



 m dV + Q



τ · ndS −

S(t)

vF Qp dV .



αF grad(p)dV V(t)

(2.14)

V(t)

Die Gl. (2.14) besteht auf der linken Seite aus dem Instation¨ar– und dem Konvektionsterm des Impulses, w¨ahrend die rechte Seite aus den Spannungs– und den Quelltermen besteht. Dabei wurde der Spannungsterm in einen Druckterm, der als Volumenintegral aufgefaßt wird, und in einen viskosen Spannungsterm, der als Impulsfluß betrachtet wird, zerlegt. Der Spannungsterm wird in Kap. B.1.2.6 ausf¨ uhrlich beschrieben, wobei auch der Einfluß der Kompressibilit¨at erl¨autert wird. Die Quellterme beschreiben die Wirkung von ¨außeren Kr¨aften (z.B. Gravitation), der Impulswechselwirkung und der Massenwechselwirkung infolge der zweiten Phase. Die f¨ ur die Modellierung der Turbulenz notwendigen Reynolds–Spannungen werden analog zu τ behandelt.

46

Die Totalenthalpiegleichung wird unter Verwendung der Euler–Euler–Formulierung Gl. (3.23) und von Gl. (B.11) wie folgt angeschrieben:  ∂  (αF ρF ) htF dV + (αF ρF ) htF vF · n dS = ∂t  S(t)

V(t)

τ vF · n dS + 



S(t)

αF qh,F · n dS +

S(t)



(αF ρF )g vF dV + V(t)

∂ ∂t



(αF ρF ) p dV + V(t)



htF Qp dV .

Qh dV + V(t)

(2.15)

V(t)

Anhand von Gl. (2.15) sieht man, daß Fl¨ usse wie die Konvektion, der W¨armestrom qh,F oder die viskosen Spannungen τ generell Oberfl¨achenintegrale sind. Die Zeitableitungen und die Quellterme stellen Volumenintegrale dar.

2.1.3

Turbulenzmodellierung

2.1.3.1

Grundlagen

Die Turbulenz ist ein physikalischer Prozeß, der auf Instabilit¨aten bei h¨oheren Reynolds–Zahlen zur¨ uckgef¨ uhrt wird und mit statistischen Betrachtungen f¨ ur ingenieurm¨aßige Anwendungen modellierbar ist. Ein mathematische Kennzeichen f¨ ur dieses Verhalten ist die Nichtlinearit¨at der NS–Gleichung aufgrund des quadratischen Konvektionsterms. Zur Absch¨atzung des Rechenaufwands in Abh¨angigkeit von einer Reynolds–Zahl Remak = Um H/ν ohne Turbulenzmodellierung (DNS) kann man f¨ ur eine Kanalstr¨omung mit der mittleren Geschwindigkeit Um und der Kanalh¨ohe H folgende Gr¨oßen definieren, Wilcox [436] : 9/4

• Gitterpunktanzahl in 3–dimensionaler Geometrie Ng ∼ ReIk ∼ LI /λk , 11/4

• Anzahl der Rechenoperationen Nf ∼ ReIk , • ReIk = Retu = LI k 0.5 /ν ∼ 0.075 Remak , Wilcox [436], der Proportionalit¨atsfaktor 0,075 ist ein Sch¨atzwert und kann um eine Gr¨oßenordnung nach oben und unten variieren. Die Gitteraufl¨osung muß so fein gew¨ahlt werden, daß die kleinsten L¨angenskalen der Str¨omung erfaßt werden. Dasselbe gilt f¨ ur die Zeitskalen und wurde von Kolmogorov erstmals definiert, siehe Tennekes und Lumley [390].

47

Kolmogorovsche Mikromaßst¨ abe: Mit Produktion: P ∼ u2k uk /λk , Dissipation:  ∼ ν u2k /λ2k und kinetische Energie: k = 12 (u2k + vk2 + wk2 ) . Die Geschwindigkeiten entsprechen einer gemittelten Schwankungsgeschwindigkeit f¨ ur die turbulente kinetische Energie. Unter der Annahme P ≡  gelten folgende Maßst¨abe: L¨ange: λk = (ν 3 /)1/4 , Geschwindigkeit: uk = (ν )1/4 , Zeit: τk = (ν/)1/2 . Maßst¨ abe nach Taylor: Taylor hat zwei unterschiedliche Maßst¨abe definiert, wobei der Integral Scale die großen, energiereichen Wirbel, der Mikroscale die Wirbel, bei denen ein Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation herrscht, beschreibt. Integral–Maßstab : 3/4 Dissipation:  ∼ UI3 /LI = ν UI2 /L2I , ReIk = LI /λk ∼ (ν/(UI LI ))3/4 . Mikromaßstab : Dissipation:  = 15ν u2T /L2T , uT /LT = 0, 26 (/ν)1/2 . L¨angenmaßstabsverh¨altnis zwischen Taylor–Mikro bzw. Integral–Maßstab : LT /LI = (15/A)1/2 (UI LI /ν)−1/2 mit A ∼ 1 F¨ ur Str¨omungen mit großen Reynolds–Zahlen, wie sie h¨aufig bei realen Anwendungen vorkommen, gilt folgende Beziehung der L¨angenskalen : λk LT LI .

(2.16)

Weil die direkte L¨osung der NS–Gleichungen sehr aufwendig ist, wurden statistische Modelle entwickelt, die eine Mittelung der Str¨omungsgleichungen erfordern. Die aktuelle Str¨omungsgr¨oße φakt wird in einen Mittelwert φ und in eine Schwan¨ ckungsgr¨oße φ
zerlegt. F¨ ur Str¨omungen mit geringer Anderung der Dichte wird eine Zeit– oder Ensemble–Mittelung, bei großen Dichtegradienten eine Favre– bzw. Dichte–Mittelung gew¨ahlt. Details zur Mittelwertbildung werden im Kap. B.2 beschrieben. Die gemittelten Gleichungen enthalten Korrelationen der Form −ρ u
i u
j , ¨ die f¨ ur die Impulsgleichungen als Reynolds–Spannungen oder wegen ihrer Ahnlichkeit zu den Schubspannungen als turbulente Scheinspannungen bezeichnet werden. Die zeitgemittelten, einphasigen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Gesamtenthalpie lauten in kartesischen Koordinaten: ∂(¯ ρ) ∂ + (¯ ρ u¯j ) = 0 , ∂t ∂xj

(2.17)

 ∂ ∂(¯ ρ u¯i ) ∂  + (¯ ρ u¯j u¯i ) = Tij − ρ¯ u
iu
j + ρ¯ gi , ∂t ∂xj ∂xj

(2.18)

48

¯ t) ∂(¯ ρh ∂ ¯ t ) = ∂ p¯ + ∂ + (¯ ρ u¯j h ∂t ∂xj ∂t ∂xj



¯t ¯ ∂h λ − ρ¯ u
i ht
cp ∂xj



.

(2.19)

Der Spannungstensor Tij setzt sich aus Druckkraft und viskosen Spannungen, Gl. (B.53), zusammen.   Aufgrund der Reynolds–Mittelung entstehen Korrelationen der ¨ Form ∂x∂ j ρ¯ u
iφ
, die als diffuse Fl¨ usse diskretisiert werden. Die große Ahnlichkeit zwischen der Korrelation aus der Zeitmittelung mit dem Fluktuationsterm aus der volumetrischen Phasenmittelung Gl. (B.93) unterstreicht die Bedeutung eines ad¨aquaten Turbulenzmodells f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen. Bei laminaren Str¨omungen wird der Fluktuationsterm klein und kann daher nach Gl. (B.13) vernachl¨assigt werden. Die turbulente Fluktuation wird zwar meistens nur im Zusammenhang mit der Geschwindigkeit u
i beachtet (hat Einfluß auf alle transportierten Gr¨oßen), doch je nach Anwendung k¨onnen auch Dichte–, Temperatur– oder Konzentrationsschwankungen die mittlere Str¨omung beeinflussen. In [392], [142], [338] findet man eine Gegen¨ uberstellung der inkompressiblen und der kompressiblen Spannungsgleichungen, wobei letztere wesentlich komplexer sind. Die Transportgleichung f¨ ur die Reynolds–Spannungen u
i u
j im inkompressiblen Fall l¨aßt sich durch das Multiplizieren der Impulsgleichungen in j–Richtung mit u
i und der Impulsgleichungen in i–Richtung mit u
j und der Kontinuit¨atsgleichung mit −u
i u
j und anschließendem Addieren und Zeitmitteln dieser Gleichungen gewinnen, Wilcox [436]: ∂u
i u
j ∂u
i u
j ¯ ijt − εij + D ¯ ijv . = P¯ij + Πij + D + u¯k ∂t ∂xk

(2.20)

Die Terme auf der rechten Seite von Gl. (2.20) sind nachfolgend dargestellt: • Der Produktionsterm P¯ij entnimmt der Hauptstr¨omung durch Wechselwirkung Energie und kann direkt ohne Modellierung berechnet werden ∂ u¯j ∂ u¯i − u
j u
k . P¯ij = −u
i u
k ∂xk ∂xk

(2.21)

• Die Druck–Scherkorrelation Πij bewirkt eine Umverteilung der Spannungen infolge Druckschwankungen

Πij =

p
ρ



∂u
i ∂u
j + ∂xj ∂xi



.

(2.22)

49

¯ t bewirkt den diffusen Transport • Der Flußterm der turbulente Diffusion D ij infolge turbulenter Schwankungsbewegungen und Druckschwankungen ¯t = D ij

   p

∂ −u
i u
j u
k + ui δjk + u
j δik . ∂xk ρ

(2.23)

• Die viskose Dissipation der Reynolds–Spannungen εij transferiert die Fluktuationsenergie in Richtung innerer Energie εij = 2ν

∂u
i ∂u
j . ∂xk ∂xk

(2.24)

¯ v ist • Der Flußterm der molekulare Diffusion D ij 

¯v = D ij

∂ ∂u
i u
j ν ∂xk ∂xk



.

(2.25)

Ungl¨ ucklicherweise ist Gl. (2.20) damit nicht ausreichend bestimmt (sechs Gleichungen f¨ ur 22 neue Unbekannte) und verlangt zur Schließung (Second–Moment–Closer) eine Modellierung der Dreifachkorrelationen, n¨amlich der Druck–GeschwindigkeitsKorrelation, der Druck–Scher–Korrelation und der turbulenten Dissipation, siehe Kap. 2.1.3.3. Die turbulente kinetische Energie k pro Masse entspricht der Spur des Reynolds– Spannungstensors. Eine Erhaltungsgleichung f¨ ur k kann man daher aus der Spannungsgleichung (2.20) durch Zusammenziehen der Indizes i ≡ j und nachfolgender Summation u ¨ber i herleiten, wobei der Druck–Scher–Korrelationsterm Πij entf¨allt, weil dieser die Spannungen umordnet ohne am Betrag der Fluktuationsenergie etwas zu ¨andern. k ist mit der Schwankung u
i verkn¨ upft: k =

3


u
i2 . i=1 2

(2.26)

Die dazugeh¨orige Dissipation wird wie folgt definiert, wobei cµ je nach Modell eine Funktion des Richtungs–, Deformations– bzw. Wirbeltensors sein kann: ε = c3/4 µ

k 3/2 . LI

(2.27)

In Gl. (2.27) ist LI der integrale L¨angenmaßstab, der sich auf die großen, energiereichen Wirbel bezieht.

50

Eine Ableitung der Erhaltungsgleichung f¨ ur k findet man bei Watkins [431]. Die vollst¨andige(kompressible), exakte k–Gleichung enth¨alt 33 Terme, die jedoch erst durch Modellierung berechenbar gemacht werden, siehe Kap.2.1.3.2. Die Transportgleichung f¨ ur die Dissipation  erh¨alt man aus der Transportgleichung f¨ ur die Geschwindigkeitsschwankung u
i , die aus der Subtraktion von Momentanwerten minus gemittelter hervorgeht, durch das Differenzieren nach xl , dem 
Werte  ∂u Multiplizieren mit 2µ ∂xil und der anschließenden Ensemblemittelung unter Verwendung der Kontinuit¨atsgleichung. Harlow [168] hat wesentlich zur Modellierung der Dissipationsgleichung beigetragen, siehe Kap.2.1.3.2, die in ihrer vollst¨andigen (kompressiblen) Form 66 Terme umfaßt, siehe El Tahry [108], Ahmadi–Befrui [6]. Die in dieser Arbeit behandelten Anwendungen sind inkompressibel bis schwach kompressibel. Eine Modellierung der Kompressibilit¨at beginnt mit den dichtegemittelten Gleichungen f¨ ur k und ε. Nach einer Gr¨oßenabsch¨atzung werden die relevanten Terme modelliert bzw. k¨onnen direkt diskretisiert werden. Die Behandlung der Kompressibilit¨at f¨ ur die LEVM–Ans¨atze unterscheidet nach den Anwendungen bzw. den Ursachen der Dichtevariation. Die Arbeit von El Tahry [108] bezieht sich auf Kompressibilit¨at infolge der Kompression bei Verbrennungskraftmaschinen (schnelle Kompression bzw. Expansion) und wird in dieser Arbeit verwendet. F¨ ur Str¨omungen mit einer Mach–Zahl ≥ 0.3 muß die Druckdilatation und die Dilatation der Dissipation ber¨ ucksichtigt werden(z.B. in freier Scherschichtstr¨omung), siehe Venkata [220]. Die Gl. (2.50) wird um den Dilatationsterm ρ εc = 4/3µ(div(u))2 erweitert, Guezengar et al. [159], Vandromme [408]. Str¨omungen mit Zwangskonvektion beinhalten einen Dichtegradienten (z.B. aus einer Temperaturquelle) und stehen unter dem Einfluß einer Fernfeldkraft (Gravitation, elektrisches Feld). Der Einfluß dieser ¨außeren Kraft auf den Dichtegradienten geht als Produktionsterm in die k– und in die ε–Gleichung ein (Boussinesq–N¨aherung). Bei Durchflußmessungen ist oft der Manometerdruck pM an gesucht. Die Simulation liefert einen statischen Druck p, der jedoch nicht genau dem thermodynamischen Druck in der Messung entspricht. Dazu ist der Einfluß von Kompressibilit¨at, Volumenviskosit¨at µvol , siehe Gl. (B.51), und Turbulenz zu ber¨ ucksichtigen: 



2 2 p = pM an + ρk + µef f − µvol ∇v . 3 3

(2.28)

Bei laminaren Str¨omungen oder bei der Verwendung eines DRSM-Ansatzes entf¨allt der Term 23 ρk und die Viskosit¨at µef f wird durch die molekulare Viskosit¨at µ ersetzt. Trotz der infolge der voranschreitenden Entwicklung in der Turbulenzforschung großen Zahl von Modellierungsans¨atzen, sollen in den folgenden Kapiteln nur zwei der drei in dieser Arbeit verwendeten Modelle beschrieben werden, n¨amlich das

51

Standard–k–ε–Modell (LEVM) nach Launder [229] bzw. Harlow [168] und das SSG– Modell (DRSM) nach Speziale et al. [365]. Das dritte Turbulenzmodell ist ein LES– Ansatz nach Smagorinsky, siehe Pachler et al. [84], der hier aus thematischen Gr¨ unden nicht weiter erl¨autert wird. Obwohl die LEVM–Ans¨atze seit den 80er Jahren Stand der Technik sind, gibt es noch immer Weiterentwicklungen f¨ ur unterschiedliche Anwendungen (lineare und nichtlineare EVM), Shih [345], [346]. In zunehmenden Maße werden jedoch DRSM– und LES–Modelle verwendet, wobei in Zukunft eine Integration von RANS mit LES zu erwarten ist, Piomelli [299],Travin [395]. Es liegt nicht in der Zielsetzung dieser Arbeit, Turbulenzmodellierung zu betreiben, sondern vorhandene Modelle effizient zu diskretisieren und f¨ ur entsprechende Anwendungen zu optimieren. Dar¨ uberhinaus soll die Bandbreite der numerischen L¨osung basierend auf dem k–ε–Modell untersucht werden. N¨ahere Angaben zu Second–Moment–Closure–Methoden bzw. LEVM findet man bei Ehrhard [109], Grotjans [157], Hadzic [161], Jakirlic [186] und Schubert [338]. 2.1.3.2

Standard–k–ε–Modell

Turbulente kinetische Energie Die Erhaltungsgleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie k wird nach einer Gr¨oßenabsch¨atzung, Watkins [431], auf folgende Terme reduziert: ∂ (¯ ρ k) ∂ ¯ k,t + D ¯ k,m + εij + (¯ ρ u¯j k) = P¯ij + D ij ij ∂t ∂xj

(2.29)

Die Terme auf der rechten Seite von Gl. (2.29) sind nachfolgend dargestellt: • Der Produktionsterm P¯ij enth¨alt mittlere Dehnungen und Spannungsprodukte, die als Quelle wirken und f¨ ur kompressible/inkompressible (Kompressibilit¨atsterm=µt ∂∂xu¯m ) Fluide wie folgt modelliert werden: m

P¯ij P¯ij

∂ u¯j , ∂xi      ∂ u¯i 2 ∂ u¯m ∂ u¯j ∂ u¯j ∂ u¯m ≈ µt + − ρ¯ · k + µt . ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xm ∂xm =

−¯ ρ · u
i u
j





(2.30)



Boussinesq [42] Spannungsansatz, Hinze [172] Die isotrope Wirbelviskosit¨at µt wird wie folgt definiert: µt = cµ ρ¯

k2 . 

(2.31)

52

¯ k,t , ist der Transport von k infolge der turbulenten Fluktuationen und kann • D ij nach Prandtl und Kolmogorov als Diffusionsprozeß interpretiert werden: ⎡

¯ D

k,t ij

⎤



∂ ⎣ p
⎦ ∂ = − ρ¯ · u
j k + ≈ ∂xj ρ¯ ∂xj



µt ∂k σk ∂xj



.

(2.32)

• Der Term εij wird als Dissipation der turbulenten Energie gedeutet und wird folgendermaßen modelliert: 

εij = −µ

∂u
j ∂xi

2

≈ −¯ ρ .

(2.33)

¯ k,m ist der Transport von k infolge der molekularen Diffusion, • D ij ¯ k,m = D ij

∂ ∂xj



µ

∂k ∂xj



,

(2.34)

wobei u ¨ber die effektive Viskosit¨at molekulare und turbulente Diffusion zusammenfaßti werden: µef f = µ + µt .

(2.35)

Die turbulente Diffusionskennzahl kann nach der Reynolds–Analogie, siehe auch Gl. (B.30), f¨ ur die k––Gleichungen und die Enthalpiegleichung dargestellt werden: Γk =

νt +ν , σk

Γ =

νt +ν , σ

Γh =

νt +ν . σh

(2.36)

ur die Turbulenzgleichungen, w¨ahrend σk , σ entsprechend dabei einer Schmidt–Zahl f¨ σh als turbulente Prandtl–Zahl bezeichnet wird, siehe Tab. 2.1. Cµ

C1

C2

C3

κ

E

0.09 1.44 1.92 -0.373 0.4187 9.7393

σk 1

σ

σh

σl

σf

1.2174 0.9 0.7

1

Tabelle 2.1: Werte f¨ ur die Modellkonstanten des Standard k–ε–Modells, Rodi [319]

53

j Die Endform der k–Gleichung lautet daher mit Gt = 2 dij ∂u als Generationterm, ∂xi siehe Gl. (B.49), und einer als bekannt angenommenen turbulenten Schmidt–Zahl σk :

∂ (¯ ρ k) ∂ + (¯ ρ u¯j k) = (2.37) ∂t ∂xj        ∂ u¯j ∂ u¯j ∂ u¯m µt ∂k ∂ u¯i 2 ∂ u¯m ∂ µ+ + µef f + − ρ¯ · k + µef f − ρ¯  . = ∂xj σk ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xm ∂xm 





Gt

Der dritte Term auf der rechten Seite von Gl. (2.37) entspricht dem Beitrag der Volumendilatation und kann im inkompressiblen Fall vernachl¨assigt werden. F¨ ur die DRSM–Modelle verwendet man Gl. (2.26) zur Bestimmung von k, w¨ahrend eine eigene Erhaltungsgleichung f¨ ur die Dissipation notwendig ist, Gl. (2.51). Dissipationsgleichung Nach dem Aufstellen einer Dichte bzw. Ensemble gemittelten Gleichung, Kap.2.1.3.1, wird mit Hilfe einer Gr¨oßenabsch¨atzung, Watkins [431], die Anzahl der Terme betr¨achtlich reduziert: ∂ (¯ ρ ε) ∂ + (¯ ρ u¯j ε) = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6 + Qµ . ∂t ∂xj

(2.38)

wobei Qµ Gradienten der molekularen Viskosit¨at und der mittleren Dichte enth¨alt. Die Terme auf der rechten Seite von Gl. (2.38) sind nachfolgend dargestellt: • Der Term T1 formuliert den Transport von ε infolge der Fluktuationen und wird wie die turbulente kinetische Energie modelliert: T1 = −

 ∂  ∂ ρ¯ · u
j ε ≈ ∂xj ∂xj



µt ∂ε σ ∂xj



.

(2.39)

• Der Term T2 beschreibt die Produktion der Dissipationsrate infolge der mittleren Fluidbewegung: ⎡

T2 = −2µ ⎣



⎤

∂ u¯j ∂u
i ∂u
i ∂ u¯i ∂u
i ∂u
i ⎦ ε ∂ u¯i · + · ≈ C1 ρ¯ · u
iu
j . (2.40) ∂xl ∂xl ∂xj ∂xj ∂xl ∂xl k ∂xj

54

• Der Term T3 steht f¨ ur den Abbau von ε: ⎡

T3 =

−2µ ⎣



∂u
i ∂u
j ∂u
i µ ∂u
i ∂u
i + · ∂xl ∂xl ∂xj ρ ∂xj ∂xl

2 ⎤ ⎦

≈ C2

ε2 ρ¯ . k

(2.41)

• Der Term T4 enth¨alt das Produkt aus Dissipationsrate und Divergenz der fluktuierenden Geschwindigkeit und muß wegen Mangel an Modellans¨atzen vernachl¨assigt werden: ρ·ε T4 = 2¯

∂u
j . ∂xj

(2.42)

• Der Term T5 steht f¨ ur das Produkt aus Dissipationsrate und Divergenz der mittleren Geschwindigkeit und wird direkt dargestellt: T5 = ρ¯ · ε

∂ u¯l . ∂xl

(2.43)

• Der Term T6 enth¨alt schwer modellierbare Korrelationen der Gradienten der fluktuierenden Geschwindigkeiten und wird aus diesem Grund zusammen mit Qµ f¨ ur hohe Reynolds–Zahlen vernachl¨assigt: T6 = −2µ

∂ u¯
i ∂ u¯
j
∂u
i ·uj . ∂xl ∂xj ∂xl

(2.44)

Damit kann die Erhaltungsgleichung f¨ ur die Dissipation angegeben werden als: 





∂ (¯ ρ ε) ∂ ∂ µt ∂ε + (¯ ρ u¯j ε) = µ+ + (2.45) ∂t ∂xj ∂xj σε ∂xj    ∂ u¯m 2 ∂ u¯m 2 ∂ u¯m ε ρ¯ · k + µef f − C2 ρ¯ + C3 ρ¯  . + C1 µef f Gt − k 3 ∂xm ∂xm k ∂xm Auf der rechten Seite von Gl. (2.45) ist der Term mit dem Faktor − 23 und der letzte Term nur f¨ ur kompressible Str¨omungen zu ber¨ ucksichtigen.

55

Integration der k–ε–Gleichungen Analog zur Enthalpiegleichung (2.15) wird die Bilanzgleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie in Integralform angegeben: ∂  (αF ρF ) kF dV ∂t



V(t)

S(t)



−



(αF ρF ) kF vF · n dS =

+

V(t)



Pk dV −

V(t)



ρF ε dV + V(t)



DFk dV +

Qtk dV + V(t)

kF Qp dV .

(2.46)

V(t)

Die linke Seite von Gl. (2.46) beschreibt die Advektion, die rechte Seite Diffusion, Produktion und Dissipation von k. Die letzten beiden Quellterme beschreiben eine k–Quelle infolge der dispersen Phase und den Schließungsterm infolge einer Massenquelle. Der Diffusionsterm DFk wird nun ausgeschrieben, wobei Γk die Diffusivit¨at ist, siehe Gl. (2.36). Das Volumenintegral f¨ ur DFk kann mit dem Gaußschen Satz in ein Oberfl¨achenintegral umgewandelt werden: 

DFk

=

DFk dV

=

 V(t)









∂ ∂k ∂ ∂k ∂ ∂k Γk ρ + Γk ρ + Γk ρ ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x3    ∂k ∂k ∂k Γk ρ nx1 + nx2 + nx3 dS . ∂x1 ∂x2 ∂x3



(2.47)

S(t)

Der Produktionsterm Pk = P1k + P2k (inkompressibel+kompressibel) wird wie folgt ausgeschrieben: ⎡

P1k

∂u1F 2µef f ⎣ ∂x1

=

+ µef f

⎡ ∂u1F ⎣ ⎡

P2k

=

+

∂x2

2 − ⎣µef f 3



2



∂u2F + ∂x2

∂u2F ∂x1

2

2 

+



∂u3F + ∂x3

2 ⎤ ⎦+

∂u3F ∂u2F + ∂x2 ∂x3

∂u1F ∂u2F ∂u3F + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

2

2

(2.48) 

+

2 ⎤ ∂u3F ⎦

∂u1F + ∂x3 ∂x1



⎤

∂u1F ∂u2F ∂u3F ⎦ + ρk + + . ∂x1 ∂x2 ∂x3

Die Bilanzgleichung f¨ ur ε lautet: ∂ ∂t





(αF ρF ) εF vF · n dS =

(αF ρF ) εF dV + V(t)

−



V(t)

S(t)

ε2 ρF C2 dV + k





DFε dV + V(t)



V(t)



ρF C3 ε div(vF )dV V(t)

+

C1 Pk



Qε dV + V(t)

ε dV k

εF Qp dV , V(t)

(2.49)

56

wobei die Modellkonstanten von Tab. 2.1 entnommen werden k¨onnen. Der Diffusionsterm DFε wird analog zu Gl. (2.47) vom Volumenintegral zum Oberfl¨achenintegral umgeformt und beinhaltet die turbulenten und viskosen Fl¨ usse der Dissipation ε. Der Term mit C1 beschreibt die Produktion und der der Term mit C2 die Dissipation von ε. Der Term mit C3 r¨ uhrt von der Kompressibilit¨at. Qε ist der Quellterm infolge der dispersen Phase, Qp ist der Massenaustauschterm. 2.1.3.3

Reynolds–Spannungsmodell (SSG)

Modellierung der Dissipationsrate F¨ ur die Ableitung der Dissipationsrate εij wird Isotropie der kleinskaligen, dissipativen Bewegungen angenommen, was f¨ ur großen Reynolds–Zahlen gerechtfertigt ist. Die Dissipation von ρ u
i u
j entspricht der Dissipation von k, siehe auch Gl. (2.24): 2 ρ εij = δij ρ ε . 3

(2.50)

Eine Transportgleichung f¨ ur ε kann nach Daly [80] bzw. Hanjalic [165] formuliert werden, wobei die kompressiblen Terme analog zum EVM–Ansatz modelliert werden: 





∂ k ∂ u¯m ∂ (¯ ρ ε) ∂ε ∂ (¯ ρ u¯k ε) = µ + Cε ρ u
k u
l + Cε3k ρ¯  + + ∂t ∂xk ∂xk ε ∂xl ∂xm    ∂ u¯i ∂ u¯m 2 ∂ u¯m Cε1k ε µef f u
i u
j − ρ¯ · k + µef f − + k ∂xj 3 ∂xm ∂xm   ∂ u¯i  ρ¯ Cε1 u
i u
j + Cε2  . (2.51) − k ∂xj Der zweite und dritte Term auf der rechten Seite von Gl. (2.51) entspricht der kompressiblen Modellierung. Der erste Term modelliert die Diffusion von ε, w¨ahrend der letzte Term der Produktion/Destruktion von ε entspricht. Diffusion der Spannungen Die Diffusion der turbulenten Spannungen T Dij , siehe auch Gl. (2.23), wird nach der “General Gradient Hypothesis“, Daly [80], modelliert, w¨ahrend die Diffusion infolge Druckschwankungen und molekularer Diffusion, siehe Gl(2.25), vernachl¨assigt wird: T Dij = −

∂ ∂ (ρui uj uk ) = ∂xk ∂xk





k ∂ρ ui uj CS u k u l ε ∂xl

57



.

(2.52)

Es ist bekannt, daß diese Formulierung wegen der Kreuzableitungen im iterativen L¨osungsprozeß nicht sehr robust ist. Lien und Leschziner [239] haben einen isotropen Diffusionskoeffizienten formuliert, der in kommerziellen Programmen verwendet wird. In Tab.2.2 sind die Werte der Konstanten f¨ ur die Dissipationsgleichung und die Diffusionsmodellierung der Reynolds–Spannungen definiert. Cε

Cε1

Cε2

Cε1k

Cε3k

CS

0.18 1.44 1.83 1.44 -0.373 0.22 Tabelle 2.2: Werte f¨ ur die Modellkonstanten des SSG–Modells (Dissipationsgleichung, Spannungsdiffusion), siehe Daly [80]

Modellierung der Druck–Scherkorrelation Wie Jakirlic [186] dokumentiert, ist der Term Πij Gegenstand umfangreicher Forschungsarbeiten. Hier wird nur das Ergebnis der Modellierung mit Hilfe eines quadratischen Ansatzes und der unter Tab. 2.3 definierten Modellkonstanten dargestellt: 



1 (2.53) Πij = −bij (C1 ε + C1∗ Pk ) + C2 ε bik bij − bmn bmn δij + 3     2 +Sij k C3 − C3∗ (bmn bmn )1/2 + C4 k bik Sjk + bjk Sik − bmm Smn δij + 3 +C5 k (bik Wjk + bjk Wik ) .

C1

C2

3.4 4.2

C1∗

C3

C4

C5

1.8 1.3 1.25 0.4

Tabelle 2.3: Werte der Modellkonstanten des SSG–Modells (Druck–Scher– Korrelation), Basara [28]

Die Hilfsgr¨oßen Produktion Pk , der Anisotropietensor bij , der mittlere Wirbeltensor Wij und der mittlere Dehnungsratentensor Sij sind wie folgt definiert: bij

=

Wij

=

u
i u
k − 2k  1 ∂ u¯i 2 ∂xj

1 δij 3  ∂ u¯j − ∂xi

Pk = −u
i u
k Sij =

1 2

58



∂ u¯i ∂xj

∂ u¯i ∂ u¯j + ∂xj ∂xi



.

(2.54)

Reynolds–Spannungsgleichung f¨ ur das SSG–Modell Der Produktionsterm P¯ij siehe Gl. (2.21), kann direkt ohne Modellierung verwendet werden. Weitere Terme sind die Dissipation εij , Gl. (2.50), die Druck–Scherkorrelation ¯ ijt , Gl. (2.23), Gl. (2.25) Πij , Gl. (2.22), Gl. (2.54), und die turbulente Diffusion D und Gl. (2.52). Die modellierte Form der Spannungsgleichungen lautet somit nach Speziale et al. [365]: ∂u
u
∂ρ u
i u
j + (¯ uk ρ) i j ∂t ∂xk    k ∂ρ ui uj ∂ CS u k u l + ∂xk ε ∂xl   1 +C2 ερ bik bij − bmn bmn δij 3   2 C4 k ρ bik Sjk + bjk Sik − bmm Smn δij 3

2.1.4

= −ρ u
i u
k

∂ u¯j ∂ u¯i 2 − ρ u
j u
k − δij ρ ε ∂xk ∂xk 3

− bij ρ (C1 ε + C1∗ Pk ) + 



+ Sij k ρ C3 − C3∗ (bmn bmn )1/2 + + C5 k ρ (bik Wjk + bjk Wik ) .

(2.55)

Rand- bzw. Anfangsbedingungen

In den vorangegangenen Kap. 2.1.3 und 2.1.2 wurde das Gleichungssystem angegeben, das die Str¨omung im Inneren eines Berechnungsgebietes beschreibt. Zur vollst¨andigen mathematischen Definition (elliptisches Randwerteproblem im Raum und parabolisches in der Zeit) und zur Berechnung eines konkreten Str¨omungsproblems ist es zus¨atzlich notwendig, die Werte an den R¨andern des Str¨omungsgebietes vorzugeben bzw. anzugeben, wie diese Werte aus anderen Gr¨oßen berechnet werden k¨onnen. Die Anfangsbedingungen werden f¨ ur das Str¨omungsinnere als Startl¨osung vorgegeben und entsprechen oft dem thermodynamischen Ruhezustand des Fluids. Die Geschwindigkeiten werden auf Null (nur in Ausnahmef¨allen bekommt man beispielsweise mit einer Potentiall¨osung eine bessere Konvergenz), der Druck auf den statischen Druck des Systems gestellt. Die Turbulenzgr¨oßen werden nach einer Absch¨atzung der zu erwartenden mittleren Turbulenz definiert, wobei h¨ohere Werte eine D¨ampfung numerischer Oszillationen bedeuten und unter Umst¨anden den Start der Simulation erleichtern. All dies gilt f¨ ur station¨are L¨osungen oder f¨ ur transiente Simulationen, die eine gewisse Vorlaufzeit aus numerischen Gr¨ unden mitberechnen. Der Druck wird f¨ ur alle Randbedingungen mit einer Neumannschen Randbedingung belegt (Extrapolation). Der Druck wird aus einer Korrekturgleichung errechnet und ben¨otigt f¨ ur diese keine Randbedingung. Allerdings sind Druckgradienten zu bestimmen, die auch die R¨ander betreffen. Um feste W¨ande zu simulieren werden

59

die Koeffizienten an der Wand f¨ ur die Druckkorrekturgleichung Null gesetzt (kein diffusiver oder konvektiver Transport). Bei Druckrandbedingungen wird der Druck f¨ ur die Randzelle fest vorgegeben und alle Quellterme und Nachbarkoeffizienten f¨ ur die Druckkorrekturgleichung Null gesetzt. An den Einstr¨ omr¨ andern werden in dieser Arbeit Dirichletsche Randbedingungen verwendet, d.h. bis auf den Druck werden die Werte aller Str¨omungsgr¨oßen fest vorgegeben. An den Ausstr¨ omr¨ andern wird f¨ ur alle Variablen die Neumannsche Randbedingung verwendet, d.h. der Gradient der Variablen normal zum Auslaß ist gleich Null. Oft entspricht das Gitternetz nicht einem kompletten Bauteil, wie z.B. in einem Rohr, in dem eine Str¨omung berechnet wird, sondern ist eine mehr oder weniger geschickte Reduktion eines gr¨oßeren Raumes, f¨ ur den kritische Bereiche untersucht werden sollen. Die Auslaßr¨ander sind demzufolge auch nicht immer das Ende des Bauteils, sondern nur das Ende des zu untersuchenden Bereichs. Tats¨achlich verh¨alt sich der Auslaß dann wie ein offenes Rohr, von dem je nach Kompressibilit¨at des Fluids mehr oder weniger stark Druckwellen16 stromaufw¨arts reflektiert werden. Dies f¨ uhrt zu einer ungewollten und in der Realit¨at nicht vorhandenen Ver¨anderung des Druckfeldes, was vor allem bei instation¨aren Berechnungen auftritt. Wenn man jedoch den Auslaß als Fernfeldrandbedingung verwenden m¨ochte, muß man eine nichtreflektierende Randbedingung (NRBC) entwickeln. Besonders im Bereich der Turbomaschinen werden solche Randbedingungen verwendet, Engel [112]. Frolov [138] verwendet die Riemann–Methode, um eine NRBC f¨ ur die Wellengleichung bei Unterschallbedingungen zu finden. Wenn die Ausstr¨omung als quasi ein2 ∂ p dimensional angesehen werden kann ( ∂y aherung f¨ ur den 2 ≈ 0), wird oft folgende N¨ Druck am Auslaß definiert. c0 (1 + M) ∂p ∂p + c0 (1 + M) = ∂t ∂x 2

 t 0

∂2p dt ≈ 0 ∂y 2

.

(2.56)

Peric [297] wiederum modifiziert nur das Geschwindigkeitsfeld und schl¨agt folgende Formulierung als Randbedingung vor: ∂φ  ∂φ − Vaver =0 ∂t ∂n

(2.57)

In Gl. (2.57) ist Vaver eine gemittelte Geschwindigkeit am Auslaß, so daß die Kontinuit¨at der Massenstr¨ome zwischen Ein– und Auslaß erf¨ ullt ist. In dieser Arbeit wird 16 Die Laufzeit einer Druckwelle, infolge Reflexion an den offenen R¨andern eines Rohrs, l¨aßt sich einfach zum Validieren eines ur ideale Gase die √ kompressiblen Algorithmus verwenden. Dabei ist f¨ Schallgeschwindigkeit c0 = κ R T .

60

eine Art Charakteristikenverfahren benutzt, wobei nur die Nullgradientenbedingung f¨ ur die Geschwindigkeiten wie folgt modifiziert wird: • spiegeln der aktuellen Geschwindigkeitskomponenten voutlet auf den Auslaß an der Position xoutlet , • errechnen einer neuen Position mit x1 = xoutlet − dt · voutlet , • trilineare Interpolation der Geschwindigkeiten des alten Zeitschritts der n¨achst¨ der interpoliegenden Zellmittelpunkte auf die Position x1 und Ubertragung lierten Geschwindigkeit v¯1old auf Position xoutlet . Es findet eine Art Spiegelung der Geschwindigkeiten des vorangegangen Zeitschritts entlang der aktuellen Streichlinien auf den Auslaß statt, die man wie folgt formuliert: v(xoutlet ,t+dt) = v¯(xoutlet −dt·v(x

outlet ,t+dt)

,t)

.

(2.58)

F¨ ur Symmetrier¨ ander gilt: 

uF n = 0 ,

∂φ ∂n



= 0,

φ = uF t , p, k, ε, h ,

(2.59)

sym

wobei uF n und uF t die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors normal bzw. tangential zum Symmetrierand sind und n die Koordinatenrichtung normal zum Rand bezeichnet. Der Normalgradient von uF n ist nicht zwingend gleich Null, was aus der Kontinuit¨atsgleichung folgt. An festen, undurchl¨assigen W¨ anden gilt die Haftbedingung, d.h. die Geschwindigkeit des Fluides an der Wand ist gleich der Wandgeschwindigkeit, welche bei nicht bewegten W¨anden gleich Null ist: u1F w = u2F w = u3F w = 0 .

(2.60)

Die Nachbarkoeffizienten in Richtung Wand werden Null gesetzt. Der Beitrag aus der Wandschubspannung f¨ ur die entsprechenden Wandzellen wird u ¨ber Quellterme modelliert. Damit l¨aßt sich eine realistische Grenzschicht berechnen, was jedoch Hexaeder bzw. Prismen in Wandn¨ahe voraussetzt. F¨ ur turbulente Str¨omungen wird das logarithmische Wandprofil, sonst ein laminares verwendet, um die Grenzschicht an den Str¨omungsbereich hoher Reynolds–Zahlen anzubinden. Die Verwendung des logarithmischen Wandgesetzes erfordert eine entsprechende Netzaufl¨osung entlang der Wand, wobei die erste Zelle im Bereich des dimensionslosen Wandabstandes

61

von y + ≤ 70 liegen sollte. Die Wandtangentialgeschwindigkeit uT ang lautet somit f¨ ur 11, 06 ≤ y + ≤ 70: uT ang =

uτ ln(Ey + ) , uτ = κ



τw ρ

1/2

, y+ =

ρ κ Cµ1/4 k 1/2 uT ang ρ uτ y , τw = .(2.61) µ ln(Ey + )

Die Werte der in Gl. (2.61) angef¨ uhrten Modellkonstanten κ, die von Karmansche Konstante, und E finden sich in Tab. 2.1. y ist der Normalabstand von der Wand zum Zellmittelpunkt der wandn¨achsten Zelle. uτ ist die Wandschubspannungsgeschwindigkeit und τw ist die Wandschubspannung. Die Turbulenzgr¨oßen an einer Wand ergeben sich zu: 

kw = 0 ,

∂ε ∂n



= 0.

(2.62)

w

Zur Berechnung von ε in Wandn¨ahe wird hier der folgende Ausdruck verwendet: ε(y) =

Cµ3/4 [k(y)]3/2 . κy

(2.63)

Mit Hilfe dieser Beziehung wird die Dissipationsrate f¨ ur den wandn¨achsten Punkt des numerischen Gitters berechnet. Eine ausf¨ uhrliche Herleitung der Beziehung (2.63) ¨ ist z.B. in [297] zu finden. Dieses Wandgesetz wird wegen der Ahnlichkeiten der Grenzschichten f¨ ur die Impuls–, Turbulenz–, und Enthalpie–Gleichungen verwendet.

2.2

Numerische Lo ¨sung der Bilanzgleichungen

In einem numerischen Verfahren werden die Str¨omungsgr¨oßen stets an diskreten Punkten des Str¨omungsgebietes berechnet. Zu diesem Zweck muß das zu berechnende Str¨omungsgebiet in geeigneter Weise durch ein Netz diskreter Punkte beschrieben werden. Der Typ der hier verwendeten Gitternetze wurde im Kap. 1.2.1 und Kap. 2.1.1 dargestellt. Bei der Diskretisierung des Str¨omungsgebietes durch ein Gitternetz entstehen Kontrollvolumina, die zur Berechnung der Volumen- und Oberfl¨achenintegrale der Bilanzgleichungen dienen. Die Approximation der Volumen- und Oberfl¨achenintegrale wird nach Rechenvorschriften durchgef¨ uhrt, in denen allein die Werte der Str¨omungsvariablen in den Zellenmittelpunkten bzw. interpolierte Werte an den Zellfl¨achen und die Geometriedaten verwendet werden. Die diskretisierten Gleichungen werden linearisiert, und das daraus resultierende lineare Gleichungssystem wird mit einem iterativen Algorithmus gel¨ost, der im Kap. 2.2.2 erl¨autert wird. In Kap. A.1 wird das Verfahren zur Berechnung des Drucks angegeben, der gesondert behandelt werden muß, da f¨ ur ihn keine eigene Bilanzgleichung existiert.

62

2.2.1

Diskretisierung der Bilanzgleichungen nach der Finite–Volumen–Methode

Berechnung der Volumenintegrale Das Volumenintegral einer Gr¨oße φ wird aus dem Produkt des Mittelwerts φ dieser Gr¨oße in der Gitterzelle und dem Volumen der Gitterzelle ∆V berechnet. Dabei wird φ durch den Wert von φ im Zellenmittelpunkt approximiert: 

φ dV = φ ∆V ≈ φP ∆V .

(2.64)

V(t)

Falls φ eine zusammengesetzte Gr¨oße ist, kann der Wert von φP leicht berechnet werden, da die Werte aller Variablen im Zellenmittelpunkt bekannt sind. Berechnung der Oberfl¨ achenintegrale Das Integral einer Gr¨oße φ u ¨ ber die Oberfl¨ache einer Gitterzelle wird aus der Summe der Integrale u ur einen ¨ ber die einzelnen Seitenfl¨achen gebildet, wobei nb = 6 f¨ Hexaeder ist: 

φ dS =

nb 


φ dSk ≈ φw Sw + φe Se + φn Sn + φs Ss + φb Sb + φt St . (2.65)

k=1 S k

S

Da alle Seitenfl¨achen analog behandelt werden, seien die folgenden Ausf¨ uhrungen auf die mit e (= east) bezeichnete “¨ostliche“ Seitenfl¨ache beschr¨ankt. Das Integral von φ u ¨ber eine Seitenfl¨ache ergibt sich aus dem Produkt des Mittelwertes von φ bezogen auf diese Fl¨ache und dem Fl¨acheninhalt: 

Fe =

φ dS = (φ)e Se ≈ φe Se ,

(2.66)

Se

wobei Se der Fl¨acheninhalt und φe der Wert von φ im Mittelpunkt der Fl¨ache ist und aus einer entsprechenden Interpolation hervorgeht. 2.2.1.1

Berechnung der konvektiven Fl¨ usse

Alle Bilanzgleichungen enthalten einen konvektiven Term (zweiter Term auf der linken Seite), der als konvektiver Fluß die Form hat: 

Fc =

ρF φ vF · n dS ,

(2.67)

S

63

x 2

N

n e 2 n w n N

2

N e

2 e 1

N

e w

N

1 e

E n

e

P s

s e

s w

N x

1

1

Abbildung 2.3: 2–dimensionales Kontrollvolumen wobei φ die Variable ist, deren Bilanz von der jeweiligen Gleichung beschrieben wird. Der Massenstrom (φ = 1) durch die Seitenfl¨ache e einer Gitterzelle l¨aßt sich n¨aherungsweise berechnen, siehe Abb. 2.3: 

m˙ e

=

ρF vF · n dS ≈ (ρF vF · n)e Se = ρF (u1F Sx1 + u2F Sx2 + u3F Sx3 )e =

Se

= ρF u1F [(x2ne − x2se )(x3te − x3be ) − (x2te − x2be )(x3ne − x3se )] + ρF u2F [(x1te − x1be )(x3ne − x3se ) − (x1ne − x1se )(x3te − x3be )] + ρF u3F [(x1ne − x1se )(x2te − x2be ) − (x3te − x3be )(x2ne − x2se )]

(2.68)

e = ne Se der Fl¨achenvektor der Seitenfl¨ache ist. Nach Einsetzen in die Gleiwobei S chung (2.67) ergibt sich die Approximation des konvektiven Flusses f¨ ur die Variable φ durch die Seitenfl¨ache zu: Fec ≈ m ˙ e φe .

(2.69)

Die Berechnung dieses Ausdrucks wird mit Hilfe der Deferred–Correction–Methode nach Khosla und Rubin [202] durchgef¨ uhrt, wobei αb ein Wichtungsfaktor17 mit 17 Peric [297] hat diese als Flux–Blending bezeichnete Methode vorgeschlagen, wobei er αb konstant u urlich eine vereinfachte ¨ ber das ganze Feld und u ¨ ber alle Zeitschritte verwendet, was nat¨

64

einem Wert zwischen 0 und 1 ist. (Upwind/Zentraldifferenzen Schema): Fec ≈ (FecL )neu + αb (FecH − FecL )alt .

(2.70)

Hierin kennzeichnet das Superskript neu einen implizit formulierten Ausdruck, der die noch unbekannten Variablenwerte der n¨achsten Nachbarpunkte f¨ ur den aktuellen Iterationsschritt enth¨alt, und die mit dem Superskript alt gekennzeichneten Terme werden explizit mit bereits bekannten Variablenwerten aus der vorhergehenden Iteration berechnet. Das Superskript L (= Lower order) bezeichnet Terme, deren Gr¨oße im Mittelpunkt der Seitenfl¨ache mit Hilfe der Upwind–Interpolation 

φe =

φP φE

falls falls

(vF · n)e > 0 (vF · n)e < 0

(2.71)

berechnet werden, wobei φP und φE die Werte der Gr¨oße φ in den Punkten P bzw. E sind (siehe Abb. 2.3). Der mit dem Superskript H (= Higher order) bezeichnete Term wird mit Hilfe einer linearen Interpolation 2. Ordnung [297], unter der Annahme einer linearen Verteilung der Funktion φ berechnet: φe = φE λe + φP (1 − λe ) ,

mit

λe =

|xe − xP | . |xE − xP |

(2.72)

Wenn man das Upwind–Schema verwendet, k¨onnen die sechs Nachbarkoeffizienten folgendermaßen definiert werden: Ace = max(−m˙ e , 0) Acn = max(−m˙ n , 0) Act = max(−m˙ t , 0)

Acw = max(m˙w , 0) Acs = max(m˙ s , 0) Acb = max(m˙ b , 0)

(2.73)

Nach einer Umformung lautet der Polkoeffizient mit nb = 6 f¨ ur eine Hexaeder folgendermaßen: AcP =

nb


Aci + (m˙ e − m˙w ) + (m˙ n − m˙ s ) + (m˙ t − m˙ b )

(2.74)

i=1

Die konvektiven Terme der Impulserhaltungsgleichung sind nichtlinear und eine der Ursachen f¨ ur die manchmal großen Ungenauigkeiten der numerischen Methoden. Gerade bei h¨oheren Reynolds–Zahlen sind Robustheit und physikalisch plausible ad–hoc–Annahme ist.

65

Resultate unabdingbar, was jedoch meistens mit einer D¨ampfung großer Gradienten erkauft werden muß. In dieser Arbeit wird das Upwind– (1. Ordnung) und das Zentraldifferenzen–Verfahren (2. Ordnung, oft nur laminar stabil) verwendet, wobei bekannt ist, daß das Upwind–Verfahren eine relativ hohe numerische Diffusion verursacht, w¨ahrend das Zentraldifferenzen–Verfahren relativ genau ist, aber die Transporteigenschaft im Sinn einer stetig monotonen L¨osung bei h¨oheren Peclet18 –Zahlen (P e > 2) nicht erf¨ ullt. Die Entwicklung von Diskretisierungsschemata zusammen mit Fehlersch¨atzern ist ein aktuelles Forschungsgebiet, das urspr¨ unglich stark von der Entwicklung der Euler–Codes f¨ ur Anwendungen in der Aerodynamik (Schock–Captering) vorangetrieben wurde. NS–L¨oser stellen jedoch zus¨atzliche Anforderungen, wor¨ uber Arbeiten von Schifferm¨ uller [330], Zijlema [443] und Jasak [189] Einblick geben. 2.2.1.2

Berechnung der diffusiven Fl¨ usse

Der erste Term auf der rechten Seite der Bilanzgleichungen hat die allgemeine Form:  S

Γ grad φ · n dS = 

Fd



 S

Γ grad ui · n dS + 



F d1

 

S

Γ

∂uj · n dS . ∂xi 

(2.75)



F d2

Γ ist der zugeh¨orige Diffusionskoeffizient, siehe Gl. (2.36). F d1 ist der diffusive Fluß u ¨ber die Seitenfl¨ache (hier wird nur e betrachtet) und wird nach Peri´c [297] folgendermaßen approximiert: Fed1 ≈ Γe

Se 1  (φE − φP )neu + Γe Se (grad φ)alt e · (ξe − ξ1e ) . LP,E

(2.76)

Hierbei ist LP,E der Abstand der Punkte P und E, und die Superskripte neu bzw. bezeichnen wiederum implizit bzw. explizit berechnete Terme. Mit der Deferred– Correction–Methode wird eine Nichtorthogonalit¨at des Gitters ber¨ ucksichtigt ohne explizit eine Querdiffusion mit entsprechenden Interpolationen ausrechnen zu m¨ ussen. Bei der expliziten Methode wird getrennt eine Normal– und eine Querableitung, die nur bei nichtorthogonalen Zellen eine Bedeutung hat, der Diffusionskoeffizienten bestimmt. Eine direkte Bewertung der Deferred–Correction–Methode und der expliziten Berechnung der Querdiffusion ist dem Verfasser leider nicht m¨oglich.

alt

18 Die Peclet–Zahl gibt das Verh¨altnis zwischen konvektivem und diffusivem Transport in einem Kontrollvolumen an (P e = ρ ui δxi /µ), das einer Art Reynolds–Zahl entspricht, wobei δxi ein lokales mittleres L¨angenmaß ist.

66

Unbestritten ist die Deferred–Correction–Methode ein Weg zu gr¨oßerer Netzflexibilit¨at, die jedoch mit einer m¨oglicherweise h¨oheren Gitteraufl¨osung erkauft werden muß. Eine Herleitung dieser Approximation ist im Anhang C.1 bzw. in [297] beschrieben. Der in den Impulsgleichungen vorkommende Term Fed2 mit 



Fed2 =

S

Γ

∂u1 ∂u2 ∂u3 , , ∂xi ∂xi ∂xi

T

· n dS mit i = 1, 2, 3

(2.77)

wird auf einfache Weise explizit berechnet. Zum Beispiel wird f¨ ur die Impulsgleichung in x–Richtung die folgende Approximation verwendet: ⎡ alt ∂u1 Γ e Se ⎣

≈

Fxd2e

∂x1

e



∂u2 + ∂x1

alt e



∂u3 + ∂x1

alt ⎤ ⎦

.

(2.78)

e

Die in den Gleichungen (2.76) und (2.78) ben¨otigten Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten im Mittelpunkt der Seitenfl¨ache Se werden durch lineare Interpolation der Ableitungen in den benachbarten Zellenmittelpunkten bestimmt. Die Ableitung im Zellenmittelpunkt wird mit Hilfe der Beziehung 

∂φ ∂x





≈

c

P

φc Scx ∆V

,

c = e, w, n, s, b, t

(2.79)

berechnet [297], f¨ ur die im Anhang C.2 eine Herleitung angegeben ist. Die diffusiven Terme werden generell nach dem Zentraldifferenzenschema diskretisiert, was f¨ ur turbulente Str¨omungen als ausreichend angenommen wird. Der Polkoeffizient f¨ ur die Diffusionsterme lautet AdP =

nb


Adi .

(2.80)

i=1

wobei nb die Anzahl der Oberfl¨achen des Kontrollvolumens ist. Die Nachbarkoeffizienten Adi entsprechen der Summe von Fid1 + Fid2 . 2.2.1.3

Linearisierung des Quellterms

Der Quellterm wird auch als lokaler Term bezeichnet, weil er aus einem Volumenintegral u ¨ber die Zelle hervorgeht 

Qφ =

V

qφ dV ≈ qφ |P V .

(2.81)

67

Gl. (2.81) geht von einer gleichm¨aßigen Verteilung von φ im Kontrollvolumen aus. Es w¨are auch m¨oglich, ein Volumenintegral mittels Formfunktion aus der FEM und den dann m¨oglicherweise unterschiedlichen Werten von φ an den Eckpunkten zu berechnen. In den Quelltermen sind alle Gr¨oßen der DFG enthalten, die nicht in den Koeffizienten ber¨ ucksichtigt werden. Bei der Linearisierung geht es darum, daß der Polkoeffizient m¨oglichst gr¨oßer als die Summe aller Nachbarkoeffizienten ist (diagonale Dominanz), um die numerische Stabilit¨at des linearen Gleichungsl¨osers zu gew¨ahrleisten, siehe Patankar [292]. Bei der Linearisierung des Quellterms sollten alle von φ abh¨angigen Gr¨oßen in den Polkoeffizient addiert werden, w¨ahrend die linearen Anteile in den konstanten Quellterm kommen. Diese Forderung kann durch eine Art pseudo implizite Linearisierung, die das Vorzeichen des Terms ber¨ ucksichtigt und dem iterativen Gleichungsl¨oser hilft, realisiert werden, wobei negative Werte mit der aktuellen Variable φ dividiert und danach zum Polkoeffizient addiert werden. Nur positive Werte werden zum Quellterm addiert. Folgender Ansatz ist eine m¨ogliche Linearisierung, die die Stabilit¨atsforderung und das implizite Verhalten ber¨ ucksichtigt Qφ = Qn0(φ) + AnQ,P (φn+1 − φnP ) P

mit AnQ,P ≈

∂Qn ∂φ

und AnQ,P < 0 . (2.82)

Die aktuelle Iterationsstufe ist n, wobei die zu errechnenden Werte der Stufe n + 1 entsprechen. Um die diagonale Dominanz sicherzustellen, muß AnQ,P < 0 sein. Bei erreichen der Konvergenz entf¨allt der zweite Term, der zu dem Polkoeffizienten addiert wird, Gl. (2.82), weil φn+1 = φnP ist. Qn0(φ) ist der lineare Term, der durchaus P n eine Funktion von φ sein kann. 2.2.1.4

Assemblierung des Gleichungssystems

Anb sind die Nachbarkoeffizienten und resultieren aus Konvektion und Diffusion. Der Polkoeffizient ist die Summe der Beitr¨age aus Konvektion, Diffusion und Quellterm. Die Zeitableitung geht ebenfalls in den Pol ein: AP =




Anb +

nb

(ρF V )t+∆t P − AnQ,P VP mit Anb = Acnb + Adnb . ∆t

(2.83)

Die Impulsgleichung, Gl. (2.14), in linearisierter Form f¨ ur die Grundvariable φ lautet u ¨ber das Kontrollvolumen mit dem Polpunkt P: AP φP =




Anb φnb + Qφ mit Qφ = Qφ0 +

nb

68

(ρF V φ)tP . ∆t

(2.84)

Qφ enth¨alt den linearen Quellterm Qφ0 und einen Beitrag f¨ ur die Zeitableitung. Damit erh¨alt man bei blockstrukturierten Netzen d¨ unnbesetzte Bandmatrizen, die mittels iterativer L¨oser berechnet werden. Unstrukturierte Netze ver¨andern diese Ordnung und verlangen entsprechend modifizierte L¨oser. Die Impulsgleichungen f¨ ur Einphasenstr¨omungen unterscheiden sich von den Skalargleichungen folgendermaßen: • Es sind Schubspannungsterme bzw. deren Ableitungen zu ber¨ ucksichtigen, siehe Gleichung (B.43) und (B.52), wobei der Gradient des Spannungstensors Tij wie folgt lautet: ∂Tij ∂xj

=

∂ ∂xj



µ

∂ui ∂xj



+

∂ ∂xj



µ

∂uj ∂xi



−

∂p 2 ∂ ∂uk − µ . ∂xi 3 ∂xi ∂xk

(2.85)

Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (2.85) gleicht einem Diffusionsfluß und wird mit dem Konvektionsterm zu einem Gesamtfluß, siehe Gl. (2.83), zusammengef¨ uhrt. Der zweite und vierte Term wird in den Quellterm u uhrt, ¨berf¨ siehe Gl. (2.77). • Ein f¨ ur die Druck–Geschwindigkeitskoppelung ganz wesentlicher Term ist der  hineingezogen, sondern als seDruckgradient, der nicht in den Quellterm Q parate Volumenkraft diskretisiert wird. Es gibt dabei die M¨oglichkeit, den Druckgradienten mittels des Gaußschen Oberfl¨achenintegrals (wird in dieser Arbeit verwendet), u ¨ ber ein Volumenintegral oder mit Formfunktionen zu bestimmen. Nach Integration u ur ui : ¨ber das Kontrollvolumen lautet die Impulsgleichung f¨

APui uiP =

nbg
nb=1

ui Anb ui,nb −

3
i

βjP ∆pj + Qui ,P ,

(2.86)

j=1

wobei nbg die Anzahl der Nachbarn ist, die bei Hexaedernetzen je nach Diskretisierung der Quergradienten 6 oder 18 sein kann. Die Druckkorrekturgleichung wird im Anhang A.1 beschrieben und verwendet ein zu Gl. (2.86) analoges Gleichungssystem, daß mit einer siebenreihigen Matrix jedoch unter Umst¨anden weniger Nachbarkoeffizienten verwendet als alle anderen Gleichungen.

69

2.2.1.5

Zeitdiskretisierung

Der Zeitterm in der Bilanzgleichung, beispielsweise f¨ ur den Impuls, Gl. (2.14), wird als lokaler Term behandelt, wobei eine Mittelung u ¨ber das Kontrollvolumen durchgef¨ uhrt wird.  V

∂(ρF φ) ∂(ρF φ) dV = V ∂t ∂t

mit

∂(ρF φ)/∂t ≈

∂(ρF φP ) . ∂t

(2.87)

Diese Approximation f¨ ur φ auf der Basis der finiten Volumen erlaubt eine Entwicklung nach der Taylor-Reihe f¨ ur die Zeitkoordinate. Die L¨osung zum Zeitpunkt t + ∆t kann nur von einem fr¨ uheren Zustand abh¨angen. Die Anzahl der verwendeten St¨ utzstellen in der Zeit zur Approximation und die Wahl von Vorw¨arts- oder R¨ uckw¨artsdifferenzen bestimmen die Eigenschaften des Verfahrens, [297]. Wenn man den neuen Zeitpunkt mit n + 1 bezeichnet, sind die vorangegangenen Zeitpunkte n bzw. n−1. F¨ ur die 1.–Ordnung–Approximation und ein Intervall ∆t von n bis (n+1) kann eine Taylor-Reihe f¨ ur φ(t−∆t) (r¨ uckw¨artiger Euler–Ansatz) angesetzt werden: φn = φn+1 −

∂φ 1 ∂2φ 2 ∆t + O(∆t3 ) . ∆t + ∂t 2 ∂t2

(2.88)

Damit kann das Zeitdifferential angesetzt werden, siehe Gl. (2.89), was unter Vernachl¨assigung des zweiten Terms nur eine Genauigkeit 1. Ordnung aufweist:

∂φ

φn+1 − φn 1 ∂ 2 φ

+ = ∆t + O(∆t3 ) . ∂t φn+1 ∆t 2 ∂t2

(2.89)

Um eine h¨ohere Genauigkeit zu erreichen, bietet sich das Drei–Zeitstufen–Verfahren an, dem ein erweiterter r¨ uckw¨artiger Euler–Ansatz zugrunde liegt. F¨ ur die 2.–Ordnung–Approximation und ein Intervall 2 ∆t von (n − 1) bis (n + 1) kann eine TaylorReihe f¨ ur φ(t−2∆t) wie folgt angesetzt werden: φn−1 = φn+1 − 2

1 ∂2φ 2 ∂φ ∆t + 4 ∆t + O(∆t3 ) . ∂t 2 ∂t2

(2.90)

Wenn man Gl. (2.88) mit -4 multipliziert und zu Gl. (2.90) addiert, f¨allt der quadratische Term weg und man erh¨alt ein Zeitdifferential, das eine Genauigkeit 2. Ordnung darstellt:

∂φ

=

∂t φn+1

3 n+1 φ 2

− 2φn + 12 φn−1 . ∆t

70

(2.91)

Diese Beziehung f¨ ur den Zeitterm ist kompakt und ausreichend genau, aber auch etwas unflexibel. F¨ ur adaptive Verfahren ist ein ver¨anderbarer Zeitschritt notwendig. Das ist bei Ans¨atzen 1. Ordnung immer gegeben, doch f¨ ur die 2. Ordnung muß eine Verfeinerung von Gl. (2.91) verwendet werden, die auf den Lagrangen Polynomen19 basiert, siehe Canale [54]. Die Intervalle ∆t1 bzw. ∆t2 entsprechen dem Bereich von (n − 1) bis n und n bis (n + 1):

∂φ

∆t1 + 2∆t2 ∆t1 + ∆t2 n ∆t2 = φ + φn+1 − φn−1 (. 2.92)

∂t φn+1 ∆t2 (∆t1 + ∆t2 ) ∆t1 ∆t2 ∆t1 (∆t1 + ∆t2 ) Wenn ∆t1 = ∆t2 erh¨alt man aus Gl. (2.92) die Gl. (2.91). Beim Start der Simulation sind keine Gr¨oßen vorangegangener Zeitstufen verf¨ ugbar, was die Verwendung einer 1. Ordnung–Diskretisierung erfordert. Um dies zu gew¨ahrzuleisten wird Gl. (2.92) (2. Ordnung) mit entsprechenden Wichtungsfaktoren versehen, so daß auch Gl. (2.89) (1. Ordnung) wiedergegeben werden kann. Bei der Zeitdiskretisierung ist neben der Genauigkeit auch die Stabilit¨at maßgeblich. Dabei werden explizite und imlizite Verfahren unterschieden, wobei erstere nur Sinn machen, wenn aufgrund von speziellen physikalischen Prozessen (z.B. Stoßwellen) generell sehr kleine Zeitschritte notwendig sind. Folgende drei Verfahren sind in der CFD gebr¨auchlich: t+∆t  2

φ(t) dt ∼ = [α φt+∆t2 + (1 − α) φt ] ∆t2

mit [0 ≤ α ≤ 1]

(2.93)

t

• α = 0 . . . . . . voll explizites Verfahren (vorw¨artiges Euler-Verfahren) • α = 0.5 . . . zeitgemitteltes Verfahren (Crank-Nicolson-Verfahren) • α = 1 . . . . . . voll implizites Verfahren (r¨ uckw¨artiges Euler-Verfahren) In der aktuelle Arbeit wird ein voll implizites Verfahren (α = 1) verwendet, daß sich durch seine Stabilit¨at (keine Zeitschrittbegrenzung) auszeichnet, w¨ahrend das 19 F¨ ur xi−1 ≤ x ≤ xi+1 (entspricht den drei St¨ utzpunkten xi−1 , xi , xi+1 l¨aßt sich mit den La
grangen Polynomen eine erste Ableitung ∂x ∂y = fx von 2. Ordnung Genauigkeit bilden.

fx
=

2x − xi − xi+1 2x − xi−1 − xi+1 2x − xi−1 − xi fx + fx + fx (xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 ) i−1 (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) i (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi ) i+1

71

Crank-Nicolson-Verfahren u ¨ber eine h¨ohere Genauigkeit (2.–Ordnung–Approximation), aber eine geringere Robustheit bez¨ uglich großer Zeitschritte, verf¨ ugt. F¨ ur explizite Verfahren spricht der geringere Speicherplatzbedarf, wobei jedoch die Courant– Zahl die Zeitschrittweite stark begrenzt. Aus Stabilit¨atsgr¨ unden darf die Courant– Zahl = 1 nicht u ¨ berschritten werden. Alle Verfahren mit α > 0 sind bedingungslos stabil, aber garantieren damit noch keine gebundene L¨osung (physikalisch sinnvolle L¨osung, die im Einklang mit allen Bilanzgr¨oßen steht). Das Volumenintegral u ¨ ber die partielle Zeitableitung der Funktion φ(xi , t), siehe Gl. (2.87), wird durch die mit 1/∆t2 multiplizierte Differenz der zu den zwei Zeiten aus einer Volumenmittelung gebildeten Werten von φ approximiert und verwendet die 1.–Ordnung–Approximation nach Gl. (2.89): t+∆t2 2 1   ∂ (V ρF φ)t+∆t − (V ρF φ)tP P . (ρF φ) dVP dt ≈ ∆t2 ∂t ∆t2 t

(2.94)

VP

Verwendet man Gl. (2.92), so ist es notwendig die Zeitstufen n und n − 1 abzuspeichern. Folgende Hilfsgr¨oßen werden definiert: T1 =

∆t1 + 2∆t2 ∆t1 + ∆t2 ∆t2 − 1 , T2 = − 1 , T3 = − . (2.95) ∆t1 + ∆t2 ∆t2 ∆t1 + ∆t2

Der lineare Quellterm wird unter besonderer Ber¨ ucksichtigung von Gl. (2.82), Gl. (2.92), Gl. (2.93) und Gl. (2.95) mit dem Wichtungsfaktor T 4 = 0 · · · 1 f¨ ur das Schema 1. bzw. 2. Ordnung so formuliert: Qφ = (Qn0(φ) − AnQ,P φn )VP +

(ρF V φ)nP (ρF V φ)n−1 P (1 + T 2 T 4) + T 3 T 4 (.2.96) ∆t2 ∆t1

Der Polkoeffizient AP , siehe auch Gl. (2.83), setzt sich aus Gl. (2.82), Gl. (2.92) und Gl. (2.93) wie folgt zusammen, wobei wie in Gl. (2.96) der Wichtungsfaktor T4 das Diskretisierungsschema steuert: AP =


nb

Anb +

(ρF V )n+1 P (1 + T 1 T 4) − AnQ,P VP . ∆t2

(2.97)

Um eine Genauigkeit 2. Ordnung der Zeitapproximation zu erreichen, wurde das Drei–Zeitstufen–Verfahren in dieser Arbeit verwendet, das auch unterschiedliche Zeitschrittgr¨oßen ber¨ ucksichtigten kann. Eine variable Zeitschrittgr¨oßensteuerung wird vom Kollisionsmodell der dispersen Phase aktiviert und dient zur besseren

72

Aufl¨osung der Partikel–Partikel–Wechselwirkung. Verdunstungsvorg¨ange von Tropfen k¨onnen ebenfalls durch einen variablen Zeitschritt besser simuliert werden bzw. zur Zeitschrittweitensteuerung herangezogen werden. Die Zeitdiskretisierung sollte bez¨ uglich Genauigkeit und Aufl¨osung mit der Raumdiskretisierung abgestimmt werden, weil es durchaus eine gegenseitige Beeinflußung gibt. Eine hohe Genauigkeit in der Zeit sollte durch eine ebensolche f¨ ur die Raumableitungen unterst¨ utzt werden. Eine Genauigkeit 2. Ordnung in der Zeit ist f¨ ur RANS–Ans¨atze ausreichend, w¨ahrend bei der DNS eine h¨ohere Genauigkeit (4. Ordnung) erforderlich ist. LES–Simulationen verlangen zumindest eine Genauigkeit 2. Ordnung, die f¨ ur technische Anwendungen mit moderater Reynolds–Zahl ausreichen, siehe Pachler et al. [84, 137], Breuer [47].

2.2.2

L¨ osungsmethode

Nach der Diskretisierung der Bilanzgleichungen erh¨alt man f¨ ur jedes Kontrollvolumen eine lineare Gleichung. F¨ ur das gesamte Gitter ergibt sich ein Gleichungssystem, das bei blockstrukturierten Gittern eine Bandstruktur aufweist. Wegen der d¨ unnbesetzten Koeffizientenmatrix und der nichtlinearen Verkoppelung der Bilanzgleichungen haben sich iterative Gleichungsl¨oser als sinnvoll erwiesen. In dieser Arbeit werden die Gleichungen, f¨ ur die jeweils eine eigene Koeffizientenmatrix und ein eigener Lastvektor aufgestellt werden, in getrennter Reihenfolge20 gel¨ost (segregated approach). Die Abarbeitung von Impuls–, Druckkorrektur–, Turbulenz– und Enthalpie–Gleichung nennt man ¨außere Iteration, w¨ahrend die Durchl¨aufe im linearen Gleichungsl¨oser innere Iterationen genannt werden. Diese ¨außere Iteration wird solange durchgef¨ uhrt bis das Residuum einer maßgeblichen Gr¨oße (meistens die Masse) unter ein Abbruchkriterium gefallen ist. Als lineare L¨oser werden die SIP–Methode, siehe Stone [373] und Peric [297], oder die Konjugate–Gradient–Methode, siehe Vinsome [412] und Kershaw [201], verwendet. Zur Berechnung des Drucks und der Korrektur der Geschwindigkeitswerte wird das SIMPLE–Verfahren nach Caretto [52], siehe Anhang A.1, angewandt. Lineare Gleichungsl¨oser, wie Gauß–Seidel oder GMRES, haben die Eigenschaft, mit zunehmender Gr¨oße des Gleichungssystems eine u ¨ berproportionale Zunahme der Rechenzeit zu verlangen. Eine der Ursachen mag die genauere Aufl¨osung der 20 Es gibt allerdings auch Ans¨atze, bei denen z.B. alle Impulsgleichungen und die Druckkorrektur in einer Matrix gel¨ost werden, Raw [312]. Der Vorteil ist eine robustere ¨außere Iteration, die auch eine h¨ohere Konvergenzgeschwindigkeit erreichen kann. Allerdings muß ein entsprechender Algorithmus entwickelt werden, der eine entsprechend große Koeffizientenmatrix behandeln kann. Pascau et al. [289] vergleicht segregated approach mit dem gekoppelten Ansatz, der weniger Unterrelaxation ben¨otigt und schneller konvergiert.

73

Str¨omung sein, die mit der nichtlinearen NS-Gleichung beschrieben wird. Multigrid– Methoden, siehe Brandt [44], verlangen nur eine proportionale Zunahme der Rechenzeit und sind damit, obwohl nicht einfach in ihrer Anwendung, ad¨aquate L¨oser f¨ ur Str¨omungsaufgaben. Sie k¨onnen zwar eine um eine Gr¨oßenordnung h¨ohere Konvergenzgeschwindigkeit als konventionelle L¨oser erreichen, sind jedoch nicht so robust und aufwendig zu implementieren, wenn man zus¨atzlich die Parallelisierung ber¨ ucksichtigen will. Multigrid nutzt das in jedem Netz implizit vorhandene Filterverhalten, wobei die Filterbandbreite der Netzaufl¨osung ∆xi entspricht. D.h., man kann nur Wirbel, die gr¨oßer als die Gitterweite sind, aufl¨osen. Das Netz wirkt als Tiefpaßfilter, der besonders gut die hohen Frequenzen des L¨osungsfehlers d¨ampft, w¨ahrend die niederen Frequenzen viel langsamer oder gar nicht abgebaut werden. Wenn nun unterschiedliche Filterweiten oder Netzaufl¨osungen auf dieselbe L¨osung angewandt werden, kann eine sehr hohe Konvergenzgeschwindigkeit erreicht werden. Da die meisten Gl¨atter isotrop arbeiten, ist die Effizienz bei elliptischen Problemen weit gr¨oßer als bei hyperbolischen. Man unterscheidet das geometrische und das algebraische Multigrid (AMG), wobei ersteres mehrere unterschiedlich feine Rechengitter ben¨otigt, w¨ahrend letzteres nur ein Gitter verwendet und die daraus hervorgehende Matrixstruktur ben¨otigt. Außerdem wird kein linearer Gleichungsl¨oser mehr verwendet, weil die L¨osung direkt aus dem Multigrid erhalten wird. Das AMG ist der zu favorisierende Ansatz und Gegenstand aktueller Forschungsarbeiten (St¨ uben [375], Braess [43]), wobei hier die Entwicklung eines geeigneten Gl¨atters im Vordergrund steht. In str¨omungsmechanischen Anwendungen werden immer mehr Teilmodelle integriert, wie z. B. die disperse Phase mit dem Lagrangen Ansatz, die eine reine Modellstr¨omung stark modifizieren (Kavernen– oder Kanalstr¨omung) und damit auch das theoretische Potential von Multigrid–Algorithmen reduzieren. In dieser Arbeit wird das geometrische Multigrid auf die Druckkorrekturgleichung, die den Großteil der Rechenzeit verbraucht, angewandt. Dieser Ansatz ist numerisch sehr robust und bringt ein Maximum an Konvergenzbeschleunigung, wobei mehrere (mindestens zwei) Gitter, die hierachisch miteinander verbunden sind, vorhanden sein m¨ ussen. Dabei wird die diskretisierte Druckkorrekturgleichung, siehe Gl. (A.9), wie eine Bilanzgleichung f¨ ur p
behandelt. Der SIP–L¨oser, siehe Stone [373], wird als Gl¨atter auf den feineren Gittern, die Konjugate–Gradient–Methode wird als L¨oser am Grobgitter verwendet.

74

Kapitel 3 Berechnung der dispersen Phase In diesem Kapitel sollen die Komponenten des mathematischen Modells beschrieben werden, mit dessen Hilfe die Bewegung der dispersen Phase berechnet wird. Die Partikel werden dabei als kugelf¨ormig angenommen, wobei die Durchmesser sich u ¨ber die Zeit a¨ndern k¨onnen. Im Abschnitt 3.1 werden zun¨achst einige wichtige Parameter und Begriffe definiert, die der Klassifizierung von Gas–Partikel–Str¨omungen dienen und im folgenden h¨aufig verwendet werden. Eine M¨oglichkeit zur Berechnung von Gas–Partikel– Str¨omungen bietet das Zwei–Fluid–Modell, in dem die beiden Phasen als sich gegenseitig durchdringende Fluide angesehen werden. Eine detaillierte Beschreibung dieses Modells erfolgt im Abschnitt 3.2 bzw. im Anhang B. In dieser Arbeit wird zur Beschreibung der Bewegung der Partikelphase jedoch das Lagrange–Modell verwendet, das die Bewegung diskreter Partikel in dem umgebenden Fluid modelliert. Im Abschnitt 3.3 wird dieses Modell ausf¨ uhrlich erl¨autert. Die Modelle f¨ ur die Partikel– Partikel–Kollisionen werden im Kap. 4 beschrieben.

3.1

Parameter zur Klassifizierung von Gas–Partikel–Str¨ omungen

Gas–Partikel–Str¨omungen besitzen eine Reihe charakteristischer Merkmale, anhand derer eine Klassifizierung m¨oglich ist. Ein wichtiger Parameter ist die Massenbeladung η, die als das Verh¨altnis der Massenstr¨ome von disperser und fluider Phase definiert ist: η =

m ˙P m ˙F

(3.1)

75

Ein weiterer wichtiger Parameter ist der relative Volumenanteil (Volumenfraktion) α, der die Gr¨oße des Volumens angibt, das eine Phase pro Einheitsvolumen des Gemisches einnimmt. Hierbei ist αP der Volumenanteil der Partikel und αF = 1 − αP der Volumenanteil des Fluides, der auch oft als “voidfraction“(Leeranteil der Gasphase) bezeichnet wird. αF wird in der ELM bei h¨oherer Volumenbeladung zur Simulation der Versperrung der Gasphase infolge der Partikelphase verwendet. Daf¨ ur ist es notwendig, alle Terme in den Bilanzgleichungen, die aus der Integration u ¨ber das Kontrollvolumen entstehen, mit αF zu multiplizieren. Eine mittlere Dichte ρ l¨aßt sich f¨ ur beide Phasen mittels der Gemischdichte formulieren: ρ = ρF αF + ρP αP

(3.2)

Ein Fluid kann als Kontinuum oder als diskrete Verteilung von Massenpunkten definiert werden. Der Kontinuumsansatz erfordert eine Mittelung u ¨ber die einzelnen Fluidelemente (Molek¨ ule, Partikel, kleinskalige Wirbel), wobei dazu eine statistisch relevante Anzahl vorhanden sein muß. In Kap. 1.2.2.1 und Kap. 1.2.2.2 wurde diese Problematik unter dem Aspekt der Mittelung behandelt. Wenn man annimmt, daß 104 Elemente eine statistisch ausreichend große Anzahl sind, kann man daraus mit folgenden vorgegebenen Gr¨oßen f¨ ur eine Kohle–Luft–Str¨omung die mittlere Kantenl¨ange des Mittelungsvolumens bestimmen: • Massenbeladung η = 1 , • Dichte f¨ ur Luft ≈ 1, 1kg/m3 und Kohle ≈ 1300 kg/m3 , • Annahme einer monodispersen Partikelverteilung mit 100 µm Durchmesser , • Die Volumenbeladung ist bei großen Dichteunterschieden und η = 1 gleich αP ≈ ρF /ρP . Aus der Beladung und der Teilchenzahl ergibt sich ein W¨ urfel mit der Kantenlange von ca. 1,84 cm. Das ist ein L¨angenmaß, das gr¨oßer als der integrale L¨angenmaßstab der Gasphase sein kann. Das bedeutet, f¨ ur diese Bedingungen ist nur die ELM zu verwenden, die keine Kontinuumsannahme f¨ ur die disperse Phase, wie beispielsweise die EEM, siehe Kap. 3.2, verlangt. Nat¨ urlich hat bei solchen Absch¨atzungen die Gr¨oße des Partikeldurchmessers einen wesentlichen Einfluß, doch soll damit gezeigt werden, wie sehr sich Betriebsbedingungen, Modellananhmen und Diskretisierung (Gitterweite) beeinflussen bzw. abgestimmt werden m¨ ussen.

76

Man hat also mit der ELM die M¨oglichkeit, Prozesse aufzul¨osen, deren L¨angenmaßst¨abe unterhalb der f¨ ur die EEM notwendigen Zellgr¨oße liegen. Komplizierter ist die Situation, wenn man die maximale Netzaufl¨osung bei einer Spraysimulation festlegt. Es muß mit einer sehr hoher Volumenfraktion, Massenbeladung und Impulswechselwirkung bezogen auf die kleinsten Zellen gerechnet werden. Außerdem gibt es infolge des Prim¨araufbruchs ein sich zeitlich stark ver¨anderliches Tropfengr¨oßenspektrum, das wesentlichen Einfluß auf die Impulswechselwirkung hat. Abraham [2] zeigt, daß man brauchbare Ergebnisse erh¨alt, wenn der zum Einspritzstrahl analoge Gasstrahl ad¨aquat aufgel¨ost wird. Die Netzaufl¨osung mit vier bis acht Zellen quer zum Strahl erfordert jedoch eine sehr große Anzahl von Kontrollvolumina, die f¨ ur ingenieurm¨aßige Anwendungen momentan unrealistisch ist. Versaevel [411] untersucht Dieseleinspritzungen unter motornahen Bedingungen. Dabei ist die richtige Berechnung der Eindringtiefe der fl¨ ussigen als auch der dampff¨ormigen Phase ein wesentliches Kriterium f¨ ur realistische Simulationen der Z¨ undung bzw. Verbrennung. Die Berechnung des Kraftstoffdampfgemisches erfordert die Aufl¨osung des Spritzlochquerschnitts mit zwei bis vier Zellen. Nat¨ urlich spielt hier wegen der hohen Geschwindigkeitsgradienten ein entsprechendes Diskretisierungsschema eine große Rolle. Bei upwind–Schemata bewegt sich der Strahl vorzugsweise entlang der Netzlinien, was bei entsprechenden Netzen kein Nachteil sein muß. Sirignano [351] vergleicht ELM und EEM bez¨ uglich aufl¨osbarer Skalen und favorisiert eine Wahrscheinlichkeitsdichteformulierung auf Basis der ELM. Die hier erw¨ahnten Vorteile der ELM werden von der Zwei–Wege–Kopplung relativiert, weil hier eine Volumenmittelung zur Berechnung der Wechselwirkungsterme ¨ durchgef¨ uhrt werden muß. Uberhaupt ist dies ein ganz kritischer Punkt, weil hier das in der Zeit explizite Lagrange–Schema auf das implizite Euler–Schema trifft. W¨ahrend die disperse Phase die Konvektion direkt u ¨ber Streichlinien berechnet, muß die Euler–Phase aufwendige Diskretisierungsschemata nutzen, um die numerische Diffusion infolge der Netztopologie zu minimieren. Auch hier werden die Vorteile der dispersen Phase mit der Kopplung stark reduziert. Ein anderes Maß f¨ ur die r¨aumliche Partikelverteilung ist das Verh¨altnis der mittleren freien Wegl¨ange λP , abgeleitet aus der kinetischen Gastheorie, Frohn [139], zum mittleren Partikelabstand, λP =

d √P . 6 2 αP

(3.3)

Dieses Maß kann als Grenzwert bez¨ uglich der Volumenbeladung αP von harten Ku

1/3

, und trennt das kollisionsbehaftete Regime geln gedeutet werden, λP ≥ dP 6 απP von der verd¨ unnten Zweiphasenstr¨omung bei αP = 0, 056, Sommerfeld [357]. Bei etwa αP = 0, 12 entspricht die freie Wegl¨ange dem Partikeldurchmesser.

77

Man kann statt geometrischer Gr¨oßen auch charakteristische Zeiten (Relaxations– bzw. Kollisionszeit) zur Definition des verd¨ unnten bzw. des kollisionsbehafteten Regimes heranziehen. Dabei ist die Relaxationszeit, Gl.(3.4) f¨ ur das Stokes–Regime, ein Maß wie lange es dauert, bis das Partikel infolge der aerodynamischen Kr¨afte 63,2 % der Geschwindigkeitsdifferenz zur kontinuierlichen Phase erreicht hat τA =

4 dP ρP 3 cD ρF vrel

τA−Stokes =

ρP d2P , 18 µ

(3.4)

wobei dP der Partikeldurchmesser und µ die dynamische Viskosit¨at des Gases ist. Die Kollisionszeit τC , Gl.(3.5), ist die Zeit, die zwischen zwei St¨oßen eines Partikels vergeht und kann beispielsweise nach der kinetischen Gastheorie wie folgt bestimmt werden (NP Anzahl der Partikel im Kontrollvolumen bzw. in einem Rechenpartikel, vrel Relativgeschwindigkeit zwischen den zwei sich stoßenden Partikeln,V Kontrollvolumen): 

τC = 1/

π NP (dP 1 + dP 2 )2 |vrel,c | 4V

.

(3.5)

Diese Klassifizierung bedeutet f¨ ur Gas–Feststoff–Str¨omungen (ρP  ρF ) eine Grenzbeladung αP ≤ 0, 056, siehe Gl.(3.3), und f¨ ur Fl¨ ussig–Feststoff–Str¨omungen (ρP ≥ ρF ) eine Grenzbeladung von beispielsweise 0, 0005 ≤ αP ≤ 0, 25, wobei die geometrisch dichteste Kugelpackung21 nach Kepler bei αP = 0, 7405 f¨ ur eine monodisperse Gr¨oßenverteilung liegt. F¨ ur Beladungen αP ≥ 12 % kommt man in den Bereich Festbett bzw. granularer Str¨omungen, wo die Kollisionsprozesse zunehmend durch Oberfl¨achenkr¨afte (Stoß, Reibung, Haftung) ersetzt werden. Zur Modellierung werden Federst¨abe eingef¨ uhrt, die entsprechend kalibriert werden m¨ ussen und zusammen mit den Partikeln ein Mehrk¨orperproblem repr¨asentieren. Man unterscheidet die Modelle anhand der Elastizit¨at der Partikeln in weiche oder harte Kugelmodelle. Tsujii [389] hat solche Masse–Federsysteme erfolgreich f¨ ur die Lebensmittelindustrie mit der Discrete–Element–Methode simuliert. Luding [243] besch¨aftigt sich mit granularem Sch¨ uttgut, wobei er mit einem Partikelmodel das diskontinuierliche Verhalten simuliert, um daraus Ans¨atze f¨ ur eine Kontinuumsmodellierung zu gewinnen. Ein weiterer wichtiger Klassifizierungsparameter ist die Stokes–Zahl. Sie ist definiert als das Verh¨altnis der aerodynamischen Relaxationszeit des Partikels und einer cha21 Es gibt bis heute keine exakte mathematische Formulierung der dichtesten r¨aumlichen Kugelpackung. Der Wert von Kepler (αP = 0, 7405) wird f¨ ur die ELM verwendet und steht am unteren Ende der bisherigen Ver¨offentlichungen, [143], w¨ahrend Muder eine Absch¨atzung von αP = 0, 7731 in den Jahren 1988 bis 1993 publizierte, [268], [269].

78

rakteristischen Zeit τS des Str¨omungssystems, die meistens der integrale Zeitmaßstab ist: St =

τA . τS

(3.6)

Ist die Stokes–Zahl sehr klein (St ≤ 1), so hat das Partikel ausreichend Zeit, um auf Geschwindigkeits¨anderungen des umgebenden Gases zu reagieren. Ein solches Partikel folgt der Fluidstr¨omung nahezu ideal, d.h. in einer station¨aren, laminaren Str¨omung sind die Bahnlinien solcher Partikel nahezu identisch mit den Stromlinien des Fluides, wenn die Sinkgeschwindigkeit der Partikeln in Richtung der Str¨omung verl¨auft. Ist dagegen die Stokes–Zahl sehr groß, so reagiert das Partikel nur sehr ¨ langsam auf Anderungen der Fluidstr¨omung. Die Bewegung eines solchen Partikels wird stark durch dessen Massentr¨agheit bestimmt, was in der Regel h¨aufige Kollisionen des Partikels mit der Str¨omungsberandung zur Folge hat. Als letzter Aspekt zur Charakterisierung von Gas–Partikel–Str¨omungen sei hier die Kopplung zwischen der dispersen und der fluiden Phase betrachtet. Bei geringen Beladungen hat das Vorhandensein der Partikel keine signifikanten Auswirkungen auf das Geschwindigkeitsfeld des Gases. In diesem Fall spricht man von einer Ein–Weg– Kopplung. Liegt eine mittlere bis hohe Beladung vor, so hat die Partikelbewegung eine merkliche R¨ uckwirkung auf die Fluidbewegung. Im Falle einer solchen Zwei– Wege–Kopplung findet eine Wechselwirkung zwischen den Phasen statt, die auf einer gegenseitigen Impuls¨ ubertragung beruht. Weitere Arten der Phasenwechselwirkung sind z.B. Stoff- oder W¨arme¨ ubertragung, die bei verbrennenden, verdunstenden oder kondensierenden Tropfen eine wichtige Rolle spielen und massiv die Gastemperatur ver¨andern k¨onnen. Zus¨atzlich gibt es auch eine Modulierung der Gasturbulenz durch die disperse Phase. Es gibt dazu Ans¨atze, die jedoch bei realen Beladungen recht unterschiedliche Resultate liefern und daher noch Gegenstand aktueller Forschung sind. Wenn man zus¨atzlich zu den genannten Kopplungen die Partikel–Partikel– Kollision ber¨ ucksichtigt, spricht man von einer Vier–Wege–Kopplung, die bei hoher Beladung ber¨ ucksichtigt werden muß.

3.2

Euler–Euler–Verfahren

Die Modellierung von Mehrphasenstr¨omungen auf der Basis der RANS–Gleichungen f¨ uhrt auf das Euler–Euler–Modell (EEM), was hier in der Form des Zwei–Fluid– Modells behandelt wird. Es wird dabei angenommen, daß die disperse Phase durch einen Kontinuumsansatz darstellbar ist. Damit erh¨alt man zwei kontinuierliche Fluide, die sich gegenseitig durchdringen und an ihren Grenzfl¨achen Austauschprozesse

79

verursachen. F¨ ur die mathematische Formulierung der Bilanzgleichungen ist es notwendig, eine Mittelung f¨ ur beide Fluide (Phasen) u ¨ber ein Kontrollvolumen durchzuf¨ uhren. Die Str¨omungsgleichungen werden im Detail im Anhang B von der Basis der Bilanzgleichungen u ¨ ber die Mittelungsans¨atze und konstitutiven Gleichungen bis zu den Erhaltungsgleichungen in gemittelter Form aufgef¨ uhrt. Die hier folgenden Kapitel befassen sich mit der Endform der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie und basieren auf den f¨ ur eine allgemeine Gr¨oße φk formulierten Gleichungen, (B.92) bis (B.94). Die entsprechenden Grundvariablen sind die Volumenfraktion und die phasengemittelten Werte f¨ ur Dichte, Geschwindigkeit, Druck und Totalenthalpie. Die f¨ ur die EEM notwendige Turbulenzmodellierung wird nicht beschrieben, weil sie f¨ ur die in dieser Arbeit verwendete ELM keine analogen Ans¨atze enth¨alt.

3.2.1

Kontinuit¨ atsgleichung

Die Transportgleichung (B.92) wird verwendet, wobei die Variable φ = 1, der Quellterm Q = 0 und der Fluß j = 0 gesetzt werden: ∂(αk ρ˜k ) + ∇ · (αk ρ˜kvˆk ) = Mp,k . ∂t

(3.7)

¨ Es gibt starke Ahnlichkeiten zur Einphasenstr¨omung, die Volumenfraktion und der Massenquellterm auf der rechten Seite stellen jedoch einen Unterschied dar. Setzt man αk = 1 und Mp,k = 0 erh¨alt man die Einphasenformulierung. Die Volumenfraktion ist eine Wichtung, die den Anteil der jeweiligen Phase im Kontrollvolumen beschreibt. Bei sehr niedriger Volumenbeladung αP ≤ 0, 1 ist kann im Rahmen der ELM diese Gr¨oße vernachl¨assigt werden. Der Massenquellterm Mp,k beschreibt den Massentransport im Zuge eines Phasen¨ ubergangs. Diese Gr¨oße ver¨andert auch die lokale Dichte ρk . Außerdem bedeutet sie eine Vergr¨oßerung/Verkleinerung des Fluidkontinuums. Alle Bilanzgleichungen berechnen Erhaltungsgr¨oßen f¨ ur eine bestimmte Masse der jeweiligen Phase und ¨ reagieren daher entsprechend auf Anderungen der Gesamtbilanz, die bei fehlerhafter Formulierung zu physikalisch nicht sinnvollen Massenquellen bzw. Senken f¨ uhren. Die Massenquelle wird aus dem Phasenwechselwirkungsterm Gl. (B.94) abgeleitet: Mp,k =

n n 1
1
Aj
n · ρk (vinterf − vk ) j = Aj
mk j . ∆V j=1 ∆V j=1

(3.8)

Sie ist die Summe aller materiellen Fl¨ usse u ¨ber alle im Kontrollvolumen vorhandenen Phasengrenzfl¨achen. Der Term vinterf − vk (materielle Geschwindigkeit der Phase k

80

an der Grenzfl¨ache minus der nichtmateriellen Interfacegeschwindigkeit) beschreibt einen Fluß von Masse von einer Phase zur anderen. Die Gr¨oßen vinterf , vk sind leider (im Gegensatz zur ELM) f¨ ur das Zwei–Fluid Modell nicht direkt zug¨anglich, weil man aufgrund der Mittelwertbildung keine Kenntnisse u ¨ ber Vorg¨ange unterhalb der bei der Mittelung ber¨ ucksichtigten L¨angen– bzw. Zeitskalen hat. Als Alternative wird hier auf konstitutive Gleichungen der Stoff¨ ubertragung zur¨ uckgegriffen, die algebraisch in Abh¨angigkeit vom thermodynamischen Zustand einen Massenstrom mk in Abh¨angigkeit von der Topologie (Tropfendurchmesser, Oberfl¨achenrauhigkeit eines Wandfilms) der dispersen Phase liefern.

3.2.2

Impulsgleichung

Die allgemeine Bilanzgleichung (B.92) kann auch f¨ ur eine vektorielle Gr¨oße v formuliert werden, was f¨ ur die Navier–Stokes–Gleichung zu drei skalaren Gleichungen f¨ uhrt. Dabei werden die allgemeine Variable zum Geschwindigkeitsvektor φ = v , der  = g und der Flußvektor j wird zu Quellterm zum Vektor der Massenkraft Q = Q einem Tensor zweiter Stufe T , der in einen isotropen Druckterm −p I und einen viskosen Anteil τij zerlegt wird, siehe Gl. (B.43). Daraus folgt die Impulsbilanz f¨ ur die Phase k:   ∂(αk ρ˜kvˆk ) f  m,k , + ∇(αk ρ˜kvˆkvˆk ) = −∇ (αk p¯k ) + ∇ αk τ˜k + τk + αk ρ˜kgk + M ∂t wobei ∇ (αk p¯k ) = αk ∇ p¯k + p¯k ∇ αk (3.9)

ist. Die fluktuierenden Spannungen τk f sind als Korrelation der Geschwindigkeitsfluktuationen definiert: τk

f

= −ρkvk
vk
.

(3.10)

Der Wechselwirkungsterm Mm,k f¨ ur den Impuls der Phase k ist Mm,k =

n   1
Aj
nk · ρkvk (vinterf − vk ) − pk I + τk j . ∆V j=1

(3.11)

Gegen¨ uber der einphasigen ungemittelten Formulierung der NS–Gleichung sind folgende Unterschiede in Gl. (3.9) zu beachten: • Die Volumenfraktion αk findet man im instation¨aren, konvektiven, diffusiven und im Quellterm.

81

f  m,k sind zus¨atz• Die Geschwindigkeitskorrelation τk und der Austauschterm M liche Gr¨oßen, die aus der Mehrphasigkeit resultieren. f

Der Korrelationsterm τk gleicht dem Tensor der Reynolds–Spannungen f¨ ur einphasige, turbulente Str¨omungen, ist jedoch aus der Volumenmittelung entstanden und hat daher mit der Turbulenzmodellierung nichts zu tun. Wenn man jedoch die Gleichungen einer Ensemble–Mittelung unterwirft, kann man diesen Fluktuationsterm direkt als turbulente Korrelation auffassen. Reynolds hat das Ph¨anomen Turbulenz durch eine Zeit– oder Ensemble–Mittelung beschrieben. Der Impulsaustauschterm Mm,k gliedert sich in drei Terme, n¨amlich den Fluß von Masse u ¨ber die Phasengrenzfl¨ache, den Druck und die viskosen Spannungen an der Grenzfl¨ache. Ishii [185] und Drew [95], [96] zerlegen Gl. (3.11) folgendermaßen: Γ v p Mm,k = Mm,k + Mm,k + Mm,k

mit

Γ Mm,k = Mp,k v¯k,interf ,

(3.12)

siehe auch Gl. (3.8) .

(3.13)

Term (3.13) ist der Impuls, der infolge des Massen¨ ubergangs von einer Phase zur anderen transferiert wird. v¯k,interf ist eine f¨ ur die Phase k gemittelte Geschwindigkeit an der Phasengrenze, die bei der Diskretisierung der EEM direkt nicht bestimmbar ist. Eine gute N¨aherung ist die gemittelte Geschwindigkeit vˆk . Dieser Term findet sich in allen Transportgleichungen, wobei die L¨osungsvariable (hier v¯k,interf ∼ vˆk ) entsprechend der Bilanzgleichung getauscht werden muß. F¨ ur den zweiten Term v rechts in Gl. (3.12), Mm,k , kann man schreiben: v Mm,k =

n   1
Aj
τn,k + I · (¯ pk,interf − pk ) · nk + nk · τt,k j ∆V j=1

(3.14)

mit τk = τn,k + τt,k und pk ≡ p¯k . v Der Term Mm,k beschreibt die viskosen Austauschkr¨afte und die Druckkraft an der Grenzfl¨ache. Daf¨ ur wird der Spannungstensor in einen normalen und in einen tangentialen Teil zerlegt. Der Ausdruck (¯ pk,interf − pk ) beschreibt die Differenz zwischen dem mittleren Druck p¯k und dem Grenzfl¨achenmittel p¯k,interf (Mittelwert des Drucks u ¨ber eine im Kontrollvolumen vorhandene Phasengrenzfl¨ache). p Der dritte Term in Gl. (3.12) Mm,k basiert auf dem u ¨ ber die Phasengrenze gemittelten Druck p¯k,interf und der Beziehung (B.88), die den Mittelwert des Normalenvektors n durch den Gradienten der Volumenfraktion ersetzt: p = −¯ pk,interf Mm,k

n 1
Aj
nk j = p¯k,interf ∇αk . ∆V j=1

82

(3.15)

Dieser Term kann als Art Auftriebsterm interpretiert werden, den die eine Phase p durch die andere auch im Ruhezustand erf¨ahrt. Man kann Mm,k und den Druckterm in Gl. (3.9) folgendermaßen zusammenfassen: pk,interf − ∇(αk ∇¯ pk ) = (¯ pk,interf − p¯k )∇αk − αk ∇¯ pk . αk ∇¯

(3.16)

Prosperetti [307] vergleicht Ans¨atze der Druckkraft f¨ ur Blasenstr¨omungen mit Hilfe der Volumen–Mittelung. Oliveira [280] diskutiert unterschiedliche Formulierungen von Gleichung (3.12) bis (3.15), wobei die Oberfl¨achenspannung ber¨ ucksichtigt/nicht ber¨ ucksichtigt werden kann, ohne einen bestimmten Ansatz zu favorisieren. Aus diesem Grund wird eine einfache Annahme von Ishii [185] verwendet, die je nach Anwendung kritisch hinterfragt werden muß: p¯k ≡ p¯k,interf ,

(3.17)

pk vereinfacht. Damit l¨aßt sich womit sich die rechte Seite der Gl. (3.16) zu −αk ∇¯ nun Gl. (3.9) in folgende Form fassen:   ∂(αk ρ˜kvˆk )  v + Mp,kv¯k,interf . + ∇(αk ρ˜kvˆkvˆk ) = −αk ∇˜ pk + ∇ αk τ˜k + τk f + αk ρ˜kgk + M m,k ∂t (3.18)

Der wesentliche Unterschied zur urspr¨ unglichen Gleichung (3.9) ist das Herausziehen von α f¨ ur den Druckgradienten und eine genauere Spezifikation der Wechselwirkungsterme.

3.2.3

Energie/Enthalpiegleichung

Die Energiegleichung wird in der Form der totalen Energie, siehe Gl. (B.7), angef¨ uhrt, wobei jetzt die gemittelte Gr¨oße φ = eˆt verwendet wird, die damit auch Fluktuationen der Geschwindigkeiten enth¨alt. Die allgemeine Bilanzgleichung (B.92) wird f¨ ur die Energiegleichung, siehe auch Gl. (B.10), mit Flußterm jk = qh,k − (τk − p · I) · vk = qh,k − T · vk und Quellterm Q = vk · gk + Qe /ρk +  modifiziert. Die Bilanzgleichung der Totalenergie lautet: ∂(αk ρ˜k eˆtk ) + ∇(αk ρ˜kvˆk eˆtk ) = ∂t





−

∇ · αk ˜qh,k + p˜kvˆk − τ˜k · vˆk

+

∇ · ek

tf

83



+

(3.19)

+ αk ρ˜k (gk · vˆk + ) + Qe,k + Me,k .

Der Fluktuationsterm etf k ist gegeben durch : etf = −ρkvk
etk
, k

(3.20)

der Austauschterm Me,k durch:

Me,k =

n   1
Aj
nk · ρk etk (vinterf − vk ) − qh,k − vk · T k j . ∆V j=1

(3.21)

Die Unterschiede zur einphasigen Energiegleichung sind der Fluktuationssterm etf k und der Phasenaustauschterm Me,k . Bei letzterem wirken drei Arten von Wechselwirkungsmechanismen. Der Massenfluß, der u ¨ber die Phasengrenze geht, bewirkt wegen der inneren Energie der u ¨ bergehenden Masse einen Energiezufluß. Die Wechselwirkung der mechanischen Spannungen an der Phasengrenze mit der materiellen Geschwindigkeit sind eine zweite Energiequelle, und die W¨armeleitung u ¨ber die Grenzfl¨ache ist der dritte Mechanismus. Die Bilanzgleichung der Totalenthalpie, siehe Gl. (B.11), lautet: ˆt ) ∂(αk ρ˜k h k ∂t

+ +

∂(αk p¯) − ∇ · (αk ˜qh,k ) + (3.22) ∂t   + αk ρ˜k (gk · vˆk + ) + Qh,k + Mh,k . ∇ · αk τ˜k · vˆk + ∇ · htf k ˆt ) = ∇(αk ρ˜kvˆk h k

Fluktuationsterm htf und Austauschterm Mh,k sind analog zu Gl. (3.20), wobei k Γ ¯ k,interf ∼ Mp,k h ˆ t ist. wieder Mh,k = Mp,k h k

3.3

Euler–Lagrange–Verfahren

In dieser Arbeit wird zur Berechnung des Transports der dispersen Phase das Lagrange–Modell (ELM) verwendet. Die disperse Phase wird dabei als eine Menge diskreter Einzelpartikel angesehen, deren Lagrange Bewegungsgleichungen numerisch gel¨ost werden. Um den Rechenaufwand zu begrenzen, werden in der Simulation im allgemeinen weniger Partikel betrachtet, als in der realen Str¨omung vorhanden sind. Jedes simulierte Partikel repr¨asentiert daher eine bestimmte Anzahl physikalischer Partikel mit denselben physikalischen Eigenschaften. Dukowicz [98] hat gezeigt, daß

84

dieser Ansatz gleichwertig mit der Wahrscheinlichkeitsdichtebetrachtung22 aus der Boltzmann–Gleichung ist, siehe Williams [437], Succi [376], und somit die Simulation mit Hilfe einer Monte–Carlo–Methode erlaubt. Die Bewegung eines einzelnen Partikels resultiert aus den an diesem Partikel angreifenden Kr¨aften und Momenten. Die Berechnung der Bewegung eines Einzelpartikels nach dem Lagrange–Verfahren wird im Abschnitt 3.3.1 beschrieben. Aus der Summe der einzelnen Partikelbewegungen ergeben sich die makroskopischen Str¨omungsgr¨oßen der dispersen Phase, wie z.B. die lokale Partikelkonzentration oder die mittlere Partikelgeschwindigkeit. Zur Bestimmung dieser Gr¨oßen existieren zwei prinzipiell verschiedene Verfahren, n¨amlich zum einen die sukzessive Berechnung einer großen Anzahl von Trajektorien (Station¨arl¨oser), und zum anderen die simultane Berechnung der Bewegung aller simulierten Partikel (Instation¨arl¨oser). Diese beiden Verfahren werden im Abschnitt 3.3.3 erl¨autert. Die Partikel–Reynolds–Zahl ist folgendermaßen definiert: ReP =

dP ρF vrel , µF

(3.23)

wobei vrel die Relativgeschwindigkeit zwischen Partikel und Tr¨agerfluid ist und als station¨ar angenommen wird. Diese Annahme ist f¨ ur hochturbulente Str¨omungen eigentlich nicht gerechtfertigt, doch neuere Messungen zeigen keinen großen Einfluß, [432]. Stoff– und W¨arme¨ ubergang infolge hochfrequenter Fluktuationen sind jedoch Gegenstand aktueller Forschung. Die Partikel–Reynolds–Zahl ist wesentlich zur Berechnung des station¨aren Widerstandsbeiwert cW , der sich aus einer empirisch bestimmten Funktion errechnet. Somit lassen sich die je nach Reynolds–Zahl unterschiedliche Str¨omungsstrukturen in einem Widerstandsbeiwert zusammenfassen, der durch umfangreiche Untersuchungen, [67], [265], f¨ ur Partikel gr¨oßer ungef¨ahr 100µm gut dokumentiert ist. In dieser Arbeit wird die von Morsi und Alexander [265] angegebene Formel zur Berechnung von cW in Abh¨angigkeit von ReP verwendet: + b Re−1 + c. cW = a Re−2 P P

(3.24)

Die Parameter a, b und c stellen Konstanten dar, die aber in unterschiedlichen ReP –Bereichen verschiedene Werte annehmen, Tab. 3.1. In der Abb. 3.1 ist die 22 Es gibt bei den Partikelmethoden zwei grunds¨atzliche Ans¨atze, n¨amlich die konventionelle ELM, wo ein Rechenpartikel f¨ ur eine Partikelgruppe mit gleichen Eigenschaften steht und die Annahme, daß Partikel Wahrscheinlichkeitsdichten repr¨asentieren bzw. transportieren und daß damit beliebige Momente gebildet werden k¨onnen. Diese Methode wird auch Joint–Pdf genannt und eignet sich zur Simulation von Mehrphasenstr¨omungen bzw. Verbrennungsvorg¨angen ohne daß eine FVM zur Berechnung des Drucks erforderlich w¨are, [321], [262]. Pope [301, 302, 303] hat mit der Formulierung der statistischen Differentialgleichungen f¨ ur die Str¨omungsmechanik die Grundlagen f¨ ur die Joint–Pdf gelegt, die eine große Anzahl von Rechenpartikel f¨ ur ausreichend genaue Ergebnisse ben¨otigt (100 bis 400 Partikel pro Kontrollvolumen).

85

Abh¨angigkeit des Widerstandsbeiwertes von der Partikel–Reynolds–Zahl graphisch dargestellt. Werte von ReP , die gr¨oßer als die in der Tab. 3.1 bzw. der Abb. 3.1 angegebenen sind, haben f¨ ur die hier betrachteten Gas–Partikel–Str¨omungen kaum eine praktische Relevanz, wobei bei ReP ∼ 3 · 105 (kritische Reynolds–Zahl) ein Umschlag zu einer turbulenten Str¨omung und eine sprunghafte Reduktion von cW stattfindet. Es soll hier betont werden, daß es eine Unzahl von Korrelationen f¨ ur den Widerstandsbeiwert gibt, die jedoch sehr ¨ahnliche Ergebnisse liefern. Bei erh¨ohter Volumenbeladung23 kommt es zu eine Art Schwarmeffekt, der zu einem betr¨achtlichen Anstieg des Widerstandsbeiwerts f¨ uhren kann. Minemura, [261], zeigt in Abb. 3.2 den Einfluß der Beladung auf den Widerstandsbeiwert des Schwarms cW,S . Dabei ist jedoch unter bestimmten Bedingungen auch ein Windschattenfahren der Partikel m¨oglich, daß zu einer Reduktion von cW f¨ uhrt.

1e+04

Widerstandsbeiwert

1e+03

1e+02

1e+01

1e+00

1e-01 1e-02 1e-01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03 1e+04 1e+05 Partikel-Reynols-Zahl

Abbildung 3.1: Gr¨oße des Widerstandsbeiwertes cW in Abh¨angigkeit von der Partikel–Reynolds–Zahl ReP

23 Bei Gas–Feststoff–Str¨omungen ist die Volumenbeladung meist unter 1 %, was die Schwarmbildung eher unwahrscheinlich macht.

86

ReP 0 0,1

< ReP
> ρF wesentlich, wobei meistens nur 24 Das hochgestellte P bedeutet hier entlang der Partikeltrajektorie im Gegensatz zur Fluidelementtrajektorie.

88

die Widerstandskraft und die Gravitationskraft ber¨ ucksichtigt werden. Der Kern K(t − τ ) ist nur f¨ ur Partikel g¨ ultig, f¨ ur Blasen gibt es eine andere Formulierung. Weitere Kraftwirkungen, wie z.B. die durch Geschwindigkeitsgradienten induzierte Rotation, k¨onnen durch Zusatzterme ber¨ ucksichtigt werden. 3.3.1.2

Gleichungen f¨ ur die translatorische Partikelbewegung bei hohen Reynolds–Zahlen

So wie die NS–Gleichung eine Impulsbilanzgleichung f¨ ur die Gasphase ist, so wird f¨ ur das Einzelpartikel (idealisierter Massenpunkt) eine Impulsbilanz zur Berechnung seiner Bewegung aufgestellt. Zus¨atzlich zu den in Gl. (3.26) angef¨ uhrten Kr¨aften k¨onnen elektrische bzw. magnetische Kr¨afte ber¨ ucksichtigt werden, auf die jedoch nicht n¨aher eingegangen wird. Die translatorische Bewegung des Partikels wird durch ¨ die Impulsgleichung beschrieben, wonach die Anderung des Partikelimpulses gleich der Summe der auf das Partikel einwirkenden ¨außeren Kr¨afte ist. F¨ ur ein Partikel mit der Masse mP lautet die Impulsgleichung: mP

dvP = FW + FV M + FP + FGA + FB + FM + FS . dt

(3.27)

Hierbei sind FW die aerodynamische Widerstandskraft, FV M die virtuelle Massenkraft, FP die Druckkraft infolge eines Druckgradienten der kontinuierlichen Phase, FGA die Gravitations– und Auftriebskraft, FB die Basset–Kraft, FM die Querkraft aufgrund der Partikelrotation (Magnus–Kraft) und FS die Querkraft durch eine Scheranstr¨omung des Partikels (Saffman–Kraft). Aerodynamische Widerstandskraft Die Widerstandskraft FW auf ein Partikel unter paralleler Anstr¨omung besteht aus einem Reibungs- und einem Druckwiderstand (viskose Kr¨afte bzw. Druckkraft). Der Reibungswiderstand wird durch die Haftbedingung an der Partikeloberfl¨ache verursacht. Der Druckwiderstand resultiert aus einer ungleichm¨aßigen Druckverteilung entlang der Partikeloberfl¨ache. Dabei ist der Druck, der auf die stromabw¨arts gelegene Seite des Partikels wirkt, kleiner als der auf die stromaufw¨arts gelegene Seite wirkende. Dementsprechend ist die resultierende Druckkraft der Partikelbewegung entgegengerichtet. Die Gleichung f¨ ur die Widerstandskraft lautet: π FW = ρF d2P cW vrel vrel , 8

(3.28)

wobei Vektor bzw. Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Partikel wie folgt definiert sind: vrel

=

vF − vP ,

(3.29)

89

vrel

=

|vrel | =

*

(u1,F − u1,P )2 + (u2,F − u2,P )2 + (u3,F − u3,P )2 .

Die Fluidgeschwindigkeit vF zur Bestimmung der Relativgeschwindigkeit muß auf die aktuelle Partikelposition xP bezogen sein. Das erfordert eine Interpolation der Gasgeschwindigkeit auf xP , was mit isoparametrischen Polynomen (FEM–Ansatz) oder mit einer Taylor–Entwicklung der Fluidgeschwindigkeit bewerkstelligt werden kann. Im Wandbereich ist mit hohen Geschwindigkeitsgradienten zu rechnen, was lineare Interpolationsalgorithmen u ¨berfordert. Es hat sich bew¨ahrt, konstant u ¨ber das Kontrollvolumen die Geschwindigkeit im Polpunkt zu nehmen. Die Fluidgeschwindigkeit vF muß der Momentanwert und nicht die mittlere Geschwindigkeit sein, weil das Partikel alle Fluktuationen des Fluids in eine Art direkter Simulation nachvollziehen muß. Der semiempirische Widerstandsbeiwert cW ist wiederum auf eine station¨are Umstr¨omung bezogen, siehe auch Kap. 3.3.1.1. Virtuelle Massenkraft Aufgrund der Haftwirkung des Partikels mit dem umgebenden Fluid muß auch zus¨atzliche Fluidmasse verdr¨angt oder beschleunigt werden. Dieser zus¨atzliche Str¨omungswiderstand kann folgendermaßen formuliert werden, siehe Gl. (3.26): πd3 1 FV M = cV M ρF P 2 6



dvP DvFP − Dt dt



.

(3.30)

Es gab seit den 80er Jahren Diskussionen, ob diese Kraft existiert bzw. welchen Wert die Konstante cV M annehmen kann, Drew et al. [94], Kazimi [200]. Die Ergebnisse von detaillierten 3D–Simulation haben gezeigt, daß das Konzept der virtuellen Masse sinnvoll ist und f¨ ur die Konstante cV M = 1.0 gesetzt werden kann, Magnaudet [246], Huilier et al. [180], [181]. Damit sind die bisher g¨ ultigen Arbeiten von Odar et al. [275], [276] zu revidieren. Wichtig wird diese Kraft bei Str¨omungen in Blasenkolonnen. Druckkraft Der lokale Druckgradient des umstr¨omenden Fluids, der aus dessen Bewegung entsteht, u ¨bt eine Kraftwirkung auf das Partikel aus und errechnet sich folgendermaßen: πd3 mF πd3 FP = − ∇p = − P ∇p = − P ρF 6 6



∂p ∂p ∂p + + ∂x ∂y ∂z



.

(3.31)

Die Druckkraft ist f¨ ur ρP /ρF  1 vernachl¨assigbar, w¨ahrend sie bei Blasenstr¨omungen wesentlich ist. Basset–Kraft Diese Kraft resultiert aus Z¨ahigkeitskr¨aften infolge der relativen, hochfluktuierenden

90

Beschleunigung zwischen Fluid und Partikel und ist direkt mit der Widerstandskraft verbunden, die f¨ ur einen station¨aren Zustand angenommen wird. Sie kann f¨ ur ρP /ρF  1 vernach¨assigt werden. Die Basset–Kraft ist Gegenstand umfangreicher Forschungen vor allem im Bereich Blasenstr¨omungen, Huilier [180], [181], Magnaudet [246], Liang [238], Kim [205]. Die momentan aktuelle Formulierung f¨ ur Partikel findet man in Gl. (3.26). In dieser Arbeit wird die Basset–Kraft vernachl¨assigt, weil sie f¨ ur die Gas–Feststoff–Str¨omungen ohne Bedeutung ist und die numerische Berechnung sehr aufwendig macht. Gravitations– und Auftriebs–Kraft Die auf ein Partikel der Masse mP wirkende Gravitations/Auftriebskraft FGA wird berechnet aus: π d3P FGA = mP g − mF g = (ρP − ρF ) g , 6

(3.32)

wobei g die Gravitationsbeschleunigung ist. Wenn man Gl. (3.28) mit Gl. (3.32) vergleicht, sieht man die quadratische bzw. kubische Abh¨angigkeit vom Partikeldurchmesser. Das bedeutet, daß die Gravitationskraft besonders einen Einfluß auf die Bewegung relativ großer Partikel hat, w¨ahrend bei relativ kleinen Partikeln der Einfluß der aerodynamischen Kr¨afte u ¨ berwiegt. Magnus–Kraft Die Magnus–Kraft FM ist eine Querkraft, die auf ein rotierendes Partikel in einer parallelen Anstr¨omung wirkt. Aufgrund der an der Partikeloberfl¨ache geltenden Haftbedingung ver¨andert sich das Fluidgeschwindigkeitsfeld in der N¨ahe des rotierenden Partikels. Auf der Seite des Partikels, die sich in Richtung der Fluidstr¨omung bewegt, wird das Fluid beschleunigt, und auf der gegen¨ uberliegenden Seite wird es verz¨ogert, siehe Abb. 3.3. Dadurch sinkt auf der beschleunigten Seite der Druck, wogegen er auf der verz¨ogerten Seite ansteigt. Aus dieser Druckdifferenz resultiert eine Querkraft auf das Partikel, die senkrecht zur Richtung der Fluidstr¨omung gerichtet ist. Ein recht anschauliches Beispiel ist der mit Topspin geschlagene Tennisball, der damit eine stark modifizierte Flugbahn erf¨ahrt. Die Gr¨oße der Magnus–Kraft ist auch von der Rauhigkeit der Oberfl¨ache des Partikels abh¨angig, wobei der semiempirische Beiwert cM f¨ ur eine hydraulisch glatte Kugel entwickelt wurde. Die Gleichung zur Bestimmung der Magnus–Kraft lautet, [388]: vrel π FM = ρF d2P cM (ωrel × vrel ) . 8 ωrel

(3.33)

Hierbei ist ωrel die Rotation des Partikels relativ zum Fluid: ωrel

=

1 ωF − ωP 2

(3.34)

91

FM

vrel

ZP

Abbildung 3.3: Querkraft auf ein rotierendes Partikel in einer Parallelstr¨omung

und * ωrel = |ωrel | = (0, 5 ωF x − ωP x )2 + (0, 5 ωF y − ωP y )2 + (0, 5 ωF z − ωP z )2 . Die Rotation des Fluides am Partikelort ergibt sich aus

ωF = ∇ × vF =

⎛ ∂u 3,F ∂x2 ⎜ ∂u 1,F ⎜ ⎝ ∂x3 ∂u2,F ∂x1

− − −

∂u2,F ∂x3 ∂u3,F ∂x1 ∂u1,F ∂x2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

.

(3.35)

Zur Bestimmung des Beiwertes der Magnus–Kraft cM wurden z.B. von Tsuji et al. [386] Messungen durchgef¨ uhrt. Daraus wurden die folgenden Beziehungen abgeleitet (ReP < 1600), die auch in dieser Arbeit verwendet werden:

cM =

⎧ ⎪ ⎨

(0.4 ± 0.1) σM

f¨ ur σM < 1

⎪ ⎩

(0.4 ± 0.1)

f¨ ur σM ≥ 1

σM =

1 dP ωrel . 2 vrel

(3.36)

Wenn die Rotationsgeschwindigkeit hinreichend groß ist, kann die Magnus–Kraft die Bewegung eines Partikels signifikant beeinflussen. Solche hohen Rotationsgeschwindigkeiten sind vor allem f¨ ur Gas–Partikel–Str¨omungen in Kan¨alen und Rohren zu beobachten. Hierbei kommt es zu h¨aufigen Partikel–Wand–Kollisionen, bei denen durch die Reibung zwischen der Partikeloberfl¨ache und der Wand relativ große Tangentialkr¨afte auf die Partikeloberfl¨ache wirken. Beim pneumatischen Transport von Partikeln mit einem Durchmesser von 0,5–1 mm in einem rechteckigen Kanal wurden z.B. von Matsumoto und Saito [248] Rotationsgeschwindigkeiten von 300–2000 rad/s gemessen. Da Messungen f¨ ur kleine Partikel (dP < 100 µm) sehr schwer durchzuf¨ uhren sind, sollten die Korrelationen f¨ ur den Beiwert cM bei kleineren Partikeln mit Vorsicht verwendet werden. Aufgrund der viskosen Kr¨afte des umstr¨omenden

92

Fluids und der geringen Rotationstr¨agheit werden kleine Partikel, die infolge der Wandwechselwirkung rotieren, schnell wieder abged¨ampft. Saffman–Kraft Wenn man ein ruhendes Partikel in eine Scherstr¨omung stellt, wird sich entlang dessen Oberfl¨ache eine ungleichm¨aßige Druckverteilung quer zur Str¨omungsrichtung ausbilden, die eine Querkraft, die Saffman–Kraft FS , generiert, siehe Abb. 3.4. Saffman hat erstmals eine analytische Beziehung f¨ ur diese Kraft hergeleitet [324]:

FS = 1.615 ρF

√

2

νF dP

$

% % ∂u1,F

vrel &

∂x2

,

(3.37)

wobei |∂u1,F /∂x2 | der Betrag des Gradienten der Fluidstr¨omung senkrecht zur mittleren Anstr¨omgeschwindigkeit ist. Die G¨ ultigkeit dieser Beziehung ist auf den Spezialfall einer unbegrenzten linearen Scherstr¨omung beschr¨ankt. Außerdem ist sie nur f¨ ur einen kleinen Wertebereich der Partikel–Reynolds–Zahlen g¨ ultig, n¨amlich f¨ ur: Reω 1

und

ReP

*

ReS ,

(3.38)

wobei Reω die Reynolds–Zahl der Rotation und ReS die Reynolds–Zahl der Scherstr¨omung ist:

Reω =

1 d2P ωrel , 4 νF

ReS =

d2P νF



∂u

1,F

∂x2

.

(3.39)

F¨ ur gr¨oßere Partikel–Reynolds–Zahlen wurden Korrekturen der Saffman–Beziehung vorgeschlagen [254], [81]. Zur Bestimmung der Saffman–Kraft in komplexen dreidimensionalen Str¨omungen wird in dieser Arbeit die folgende allgemeinere Bestimmungsgleichung verwendet, 1 FS = cS ρF d2P 4

,

νF (vrel × ωF ) , |ωF |

(3.40)

wobei der Beiwert der Saffman–Kraft cS eine Funktion von ReS und ReP ist, was von Frank [136] detailliert dargestellt wird.

93

FS

vrel

Abbildung 3.4: Querkraft auf ein Partikel in einer Scherstr¨omung

3.3.1.3

Zusammenfassung des Formelapparates und numerische L¨ osung der BBO–Gleichung f¨ ur die translatorische Partikelbewegung

Damit sind alle f¨ ur die Gas–Feststoffstr¨omungen relevanten Kr¨afte der translatorischen Partikelbewegung beschrieben. Setzt man die oben angegebenen Ausdr¨ ucke f¨ ur die verschiedenen Kr¨afte in Gl. (3.27) ein, addiert den zweiten Term der virtuellen Massenkraft und dividiert durch die nun erweiterte Partikelmasse mP + 0, 5 mF , so erh¨alt man eine gew¨ohnliche Differentialgleichung25 f¨ ur Ort und Geschwindigkeit des Partikels mit folgenden Hilfsgr¨oßen:

ReP vrel

dP ρF vrel d2 ρF ωrel 1 dP ωrel , Reω = P , σM = , ωF = rot vF , µF 4µF 2 vrel * d2 = (u1,F − u1,P )2 + (u2,F − u2,P )2 + (u3,F − u3,P )2 , ReS = P |rot vF | , νF =

*

ωrel

=

(0, 5 ωF x − ωP x )2 + (0, 5 ωF y − ωP y )2 + (0, 5 ωF z − ωP z )2 ,

(3.41)

25 Die Partikelgleichung wird unter der Voraussetzung aufgestellt, daß die NS-Gleichung keinen Schwerkraftterm enth¨alt. Dies bedeutet f¨ ur die kontinuierliche *Phase, daß der errechnete Druck p in 3 2 einem Postprozessing Schritt mit pgesamt = pdynam − ρref i=1 (gi xi ) modifiziert werden muß, um den Gesamtdruck (dynamischer und hydrostatischer Anteil) richtig abzubilden. Bei lokalen Dichte¨anderungen ist jedoch eine Art Schwerkraftterm mit V gi (ρ − ρref ) an die rechte Seite der NS-Gleichung zu addieren. Der Vorteil f¨ ur die Partikelphase ist eine transparentere Formulierung, w¨ahrend die Eulerphase von einem numerisch effizienteren Algorithmus profitiert, Peric [297] S. 9.

94

⎛

⎞

⎛

⎞

x u1,P d ⎜ 1,P ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x2,P ⎠ = ⎝ u2,P ⎠ , dt x3,P u3,P ⎛

(3.42) ⎧

⎞

⎛

⎞

⎪ u u1,F − u1,P ⎨ d ⎜ 1,P ⎟ ρF 3 ⎟ cW (ReP ) vrel ⎜ ⎝ u2,P ⎠ = ⎝ u2,F − u2,P ⎠ + ⎪ dt 4 (ρP + cV M ρF /2)dP ⎩ u3,P u3,F − u3,P ⎛

⎞

(u2,F − u2,P )(ω3,P − 12 ω3,F ) − (u3,F − u3,P )(ω2,P − 12 ω2,F ) vrel ⎜ ⎟ + cM (σM ) ⎝ (u3,F − u3,P )(ω1,P − 12 ω1,F ) − (u1,F − u1,P )(ω3,P − 12 ω3,F ) ⎠ + ωrel 1 1 (u1,F − u1,P )(ω2,P − 2 ω2,F ) − (u2,F − u2,P )(ω1,P − 2 ω1,F ) 2 +cS,(ReP ReS ) π

,

⎞⎫

⎛

(u − u2,P )ω3,F − (u3,F − u3,P ω2,F ) ⎪ ⎬ νF ⎜ 2,F ⎟ ⎝ (u3,F − u3,P )ω1,F − (u1,F − u1,P ω3,F ) ⎠ − ⎪ |ωF | (u1,F − u1,P )ω2,F − (u2,F − u2,P ω1,F ) ⎭ ⎛

⎞

⎛

⎞

∂p/∂x1 g1 1 + cV M /2 ⎜ ρP − ρF ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ∂p/∂x2 ⎠ + ⎝ g2 ⎠ . ρP + cV M ρF /2 ρP + cV M ρF /2 ∂p/∂x3 g3

(3.43)

Sind die Koordinaten xP 0 und die Geschwindigkeit uP 0 des Partikels zu einem Zeitpunkt t0 bekannt, so ergibt sich die Partikelgeschwindigkeit uP 1 zum Zeitpunkt t1 = t0 + ∆t durch die numerische L¨osung der Gl. (3.43). Dazu wird ein Runge– Kutta–Verfahren 4. Ordnung mit adaptiver Schrittweitensteuerung verwendet. Nach Berechnung der neuen Partikelgeschwindigkeit uP 1 kann die Strecke bestimmt werden, die das Partikel w¨ahrend des Zeitschritts ∆t zur¨ uckgelegt hat. Dazu wird die Gl. (3.42) in gleicher Weise wie Gl. (3.43) numerisch integriert. Partikel–Wand– und Partikel–Partikel–Kollisionen haben einen zus¨atzlichen Einfluß sowohl auf die translatorische als auch rotatorische Partikelbewegung und werden im Kap. 4 beschrieben. 3.3.1.4

Gleichungen f¨ ur die Partikelrotation

In Scherschichten, im Bereich der Wandgrenzschicht oder infolge Kollision mit der Wand oder anderen Partikel wirken auf ein Partikel Momente, die eine Erhaltungsgleichung f¨ ur die Partikelrotation erforderlich machen. Die Rotation eines Partikels kann bei entsprechend großen Drehzahlen einen nicht zu vernachl¨assigenden Einfluß auf die translatorische Bewegung des Partikels haben. So ist z.B. die Gr¨oße der Magnus–Kraft und der Saffman–Kraft u.a. abh¨angig von der Rotationsgeschwindigkeit des Partikels. Die Drehimpulsgleichung ist eine Bilanzgleichung f¨ ur alle angreifenden Momente: IP


dωP = Ti . dt i

(3.44)

95

Hierbei ist IP das Massentr¨agheitsmoment der Kugel IP =

1 π mP d2P = ρP d5P 10 60

(3.45)



und i Ti ist die Summe der an dem Partikel angreifenden Momente. Diese Momente k¨onnen z.B aerodynamischer Natur sein, d.h. durch die viskose Reibung zwischen der Partikeloberfl¨ache und dem umgebenden Fluid entstehen. Nach Untersuchungen von Dennis [85] kann das vom Fluid auf das Partikel ausge¨ ubte Moment wie folgt bestimmt werden: ρF T = 2



dP 2

5

cω ωrel ωrel .

(3.46)

Reω 0

cω

< Reω ≤ 10

16π Reω

10 < Reω ≤ 1000

6, 45 32, 1 √ + Reω Reω

1000 < Reω ≤ 40000

6, 8 √ Reω

40000 < Reω ≤ 400000

0, 058 √ 20 Reω

400000 < Reω ≤ 107

0, 397 √ 5 Reω

Tabelle 3.2: Abh¨angigkeit des Rotationsbeiwertes von der Reynolds–Zahl der Rotation Die Gr¨oße des in dieser Gleichung verwendeten Rotationsbeiwertes cω ist abh¨angig von der Reynolds–Zahl der Rotation Reω . Diese Abh¨angigkeit ist in der Tab. 3.2 angegeben sowie in der Abb. 3.5 graphisch dargestellt. Nach Einsetzen der Gl. (3.45) und (3.46) in die Gl. (3.44) und Division durch IP ergibt sich die Differentialgleichung f¨ ur die Rotationsgeschwindigkeit des Partikels zu: dωP 15 ρF = cω ωrel ωrel . dt 16 π ρP

(3.47)

96

1e+04

Rotationsbeiwert

1e+03 1e+02 1e+01 1e+00 1e-01 1e-02 1e-02

1e+00 1e+02 1e+04 Reynolszahl der Rotation

1e+06

Abbildung 3.5: Verlauf des Rotationsbeiwertes cω in Abh¨angigkeit von der Reynolds–Zahl der Rotation Reω

Diese Gleichung wird wie f¨ ur die translatorische Bewegung mit Hilfe eines Runge– Kutta–Algorithmus numerisch gel¨ost. Im Unterschied zur Berechnung der translatorischen Bewegung erfolgt hier keine weitere Integration zur Bestimmung des Winkels, um den sich das Partikel w¨ahrend des Zeitschritts ∆t gedreht hat. Dieser ist nur f¨ ur nicht kugelf¨ormige Partikel von Interesse (Bestimmung der Raumlage der idealisierten Halbachsen), die jedoch in dieser Arbeit nicht behandelt werden. 3.3.1.5

Einfluß der Fluidturbulenz auf die Partikelbewegung

In den Gleichungen, z.B. Gl. (3.29), die in den vorhergehenden Unterabschnitten f¨ ur die Berechnung der Partikelbewegung angegeben wurden, wird aufgrund der Annahmen der ELM die momentane Fluidgeschwindigkeit verwendet. Damit k¨onnen auch hochfrequente Fluktuationen der Fluidstr¨omung von den Partikeln wahrgenommen werden, die bei kleinen Partikeln zu einer verst¨arkten Dispersion f¨ uhren. Die aktuelle Fluidgeschwindigkeit ist jedoch nur u ¨ber das jeweilig verwendete Turbulenzmodell zug¨anglich, weil die kontinuierliche Phase u ¨ber gemittelte Gleichungen (RANS) berechnet wird. Die Stokes–Zahl, siehe Gl. (3.6), gibt Aufschluß u ¨ ber die Tr¨agheit eines Partikels bez¨ uglich Fluktuationen des Umgebungsfluids. Das heißt, Partikel reagieren in Abh¨angigkeit von ihrer Dichte und Durchmesser stark unterschiedlich auf turbulente Schwankungen der kontinuierlichen Phase.

97

In dieser Arbeit wird das Lagrange–Stochastisch–Deterministische–Modell (LSD) nach Milojevi´c [260], [99] verwendet. Es handelt sich dabei um einen Vertreter der Modellklasse “Eddy interaction model“ (EIM), Graham [153], die folgendermaßen aufgebaut ist: Die auf das Partikel wirkende Fluidgeschwindigkeit uF wird durch die momentane Geschwindigkeit uF,akt in bekannter Weise ersetzt: uF,akt = uF + u
F

(3.48)

Die Schwankungsgeschwindigkeit u
F wird dabei mit Hilfe eines stochastischen Verfahrens bestimmt. Dazu wird angenommen, daß u
F eine Zufallsgr¨oße ist, die einer Gaußverteilung * (isotrope Turbulenz) mit dem Mittelwert 0 m/s und der Standardabweichung 23 k unterliegt, wobei k die Turbulenzenergie des Fluides ist. Nach Bestimmmung der Schwankungsgeschwindigkeit kann die momentane Fluidgeschwindigkeit f¨ ur das Partikel unter dem Einfluß der Turbulenz berechnet werden. Das Erzeugen einer zuf¨alligen Schwankungsgeschwindigkeit ist gleichbedeutend mit dem Generieren eines Turbulenzwirbels, den das Partikel auf seiner Bahn durchquert. Die L¨ange des Zeitintervalls ∆tW , in dem das Partikel mit dem Wirbel in Wechselwirkung steht, ist dabei durch zwei Faktoren begrenzt. Diese sind zum einen die Wirbellebensdauer TE und zum anderen die Durchgangszeit TD , d.h. die Zeit, die das Partikel ben¨otigt, um den Wirbel zu durchqueren. Zur Bestimmung der Wirbellebensdauer wird folgende Beziehung verwendet, die den Lagrangen Zeitmaßstab des k–ε–Modells enth¨alt: TE = cT

k , ε

mit cT = 0, 3 .

(3.49)

cT ist eine semiempirische Konstante, die zwischen 0, 116 − 0, 46 schwanken kann, siehe Sommerfeld [357]. Die Durchgangszeit TD h¨angt von der Gr¨oße des Wirbels LI und der Relativgeschwindigkeit zwischen Wirbel und Partikel ab. Die Gr¨oße des Wirbels wird aus LI = c1/2 µ

k 3/2 = TE ε

,

2 k 3

(3.50)

bestimmt und somit ergibt sich die Durchgangszeit zu TD =

LI . vrel

(3.51)

98

Ist ein turbulenter Wirbel generiert worden, so betr¨agt die Wechselwirkungszeit des Partikels mit diesem Wirbel ∆tW = min (TE , TD ) .

(3.52)

Nach Ablauf dieser Zeit wird ein neuer Wirbel generiert, mit dem das Partikel in Wechselwirkung tritt. Pracht [308] zeigt einen Vergleich verschiedener Dispersionsmodelle anhand der Messungen von Snyder et al. [353], bei dem der Ansatz nach ¨ Milojevi´c eine recht gute Ubereinstimmung mit experimentellen Daten aufweist. Petrissans et al. [296] vergleichen drei Ans¨atze f¨ ur den integralen Lagrangen Zeitmaßstab eines Fluids, die f¨ ur die Dispersion von kleinen und großen Partikeln verwendet werden. Sowohl der “Cross–Trajectory–Effekt“(CTR) als auch der Tr¨agheitseffekt werden quantitativ richtig wiedergegeben. Es sei darauf verwiesen, daß die Modellierung der turbulenten Dispersion von Partikeln ein Thema permanenter Forschung ist, was die Unzul¨anglichkeit der vorhandenen Ans¨atze dokumentiert. Diese Problematik hat mehrere Ursachen, wobei die ungel¨oste Turbulenzmodellierung der kontinuierlichen Phase und das Streben nach Einfachheit (numerische Effizienz) und Robustheit eines Partikeldispersionsmodells26 als wesentliche Punkte anzuf¨ uhren w¨aren. F¨ ur die kontinuierliche Phase wird deshalb heute auch großteils das k–ε–Turbulenzmodell verwendet, das anisotrope Str¨omungsverh¨altnisse schlecht wiedergibt. Gosman et al. [149] hat bez¨ uglich der Partikeldispersion den EIM–Ansatz bekannt gemacht und damit diesem Modell den Durchbruch in der ingenieurm¨aßigen Anwendung gesichert. Wenn man die Dispersionsmodelle unterschiedlicher Arbeitsgruppen vergleicht, siehe Graham et al. [153], [154], Chen et al. [61], zeigt sich, daß aufgrund der Defizite der EIM27 zunehmend Modelle auf Basis der Langevin– Gleichung, [357], [244], [422], [19], oder der damit verwandten Zeitreihen–Methode, 26 Drei Prozesse unterscheiden die Partikeldispersion von der Fickschen Diffusion des Fluids: Der ¨ Tr¨agheits–, CTR– und der Kontinuit¨ats–Effekt. Außere Kr¨afte (Gravitation) f¨ uhren zu einem deterministischen Driftverhalten von Partikeln. Damit im Zusammenhang kommt es zu einer schnelleren Dekorrelation der Partikel–Fluid–Geschwindigkeitsbeziehung als der Fluid–Fluid–Beziehung. Wells et al. [434] haben dazu Experimente mit Partikeln der Durchmesser von 5 und 57µm mit der Dichte von 2420 kg/m3 gemacht. Der Kontinuit¨ats–Effekt verst¨arkt die Dekorrelation der lateralen Komponenten des Geschwindigkeitskorrelationstensors, was vor allem die Geschwindigkeitskomponenten normal zur Partikeldrift betrifft. F¨ ur Partikel mit geringer Dichte, aber hoher Driftgeschwindigkeit infolge eines elektrischen Feldes, kommt es in lateraler Richtung zu einer viel schw¨acheren Dispersion als in longitudinaler Richtung, siehe Rouson [320]. 27 Die r¨aumlichen bzw. zeitlichen Korrelationen der Geschwindigkeitsfluktuationen des Fluids entlang der Partikeltrajektorie bleiben unber¨ ucksichtigt, anisotrope Turbulenz wird nicht modelliert, die Korrelation zwischen den Fluidgeschwindigkeiten u, v, w wird nicht ber¨ ucksichtigt (d.h. die Kontinuit¨atsbedingung f¨ ur Fluktuationsgeschwindigkeiten bleibt unerf¨ ullt). Graham [151], [152] zeigt, daß die EIM besonders f¨ ur kleine Partikel (St < 2) physikalisch nicht sinnvolle Beitr¨age f¨ ur die Wechselwirkungsterme der k–Gleichung der kontinuierlichen Phase generiert.

99

[441], [442], entwickelt werden. Nach Graham [153], [154] sollte es damit m¨oglich sein, sowohl den “Cross–Trajectory–Effekt“, als auch den Tr¨agheits– und den Kontinuit¨atseffekt richtig wiederzugeben. Die Langevin–Gleichung beschreibt einen Markov–Prozeß, [303], und verwendet hier einen Lagrangen und einen Eulerschen Korrelationskoeffizienten. Somit kann mit Hilfe dieser Zeit– bzw. Raum–Korrelationen zwischen Fluid und Partikel die Fluktuationsgeschwindigkeit des Fluids bestimmt werden, Sommerfeld [356]. Momentan k¨onnen nur wenige Dispersionsmodelle ohne vorher angenommene empirische Parameter anisotrope Turbulenz modellieren. Grundlage ist eine L¨osung des Reynolds–Spannungstensors f¨ ur die Fluidphase mit einem DRSM–Modell oder einer LES–Simulation. Manchmal wird auch ein nichtlineares k–ε–Modell daf¨ ur adaptiert, [62]. Chen [65] verwendet einen modifizierten EIM–Ansatz, Zhou et al. [441], [442] die Zeitreihen–Methode und Bl¨ umke [39] ein spektrales Dispersionsmodell, das auf eine digitale Filtertechnik (“z–Transformation“) aufbaut, um die unterschiedlichen RMS Geschwindigkeiten aus den drei kartesischen Richtungen zu nutzen.

3.3.1.6

R¨ uckwirkung der dispersen Phase auf das Tr¨ agerfluid (Phasenwechselwirkung)

Wenn sich durch die aerodynamische Krafteinwirkung der Fluidstr¨omung der Impuls eines Partikels um ∆ pP ¨andert, so muß sich aus Gr¨ unden der Impulserhaltung (Actio ist gleich Reactio) der Impuls des Fluides in der Umgebung des Partikels ebenfalls ¨andern, und zwar in folgender Weise: ∆ pF = −∆ pP .

(3.53)

Dies hat zur Folge, daß die Fluidstr¨omung auch durch die Bewegung der Partikel beeinflußt wird. Es findet eine Wechselwirkung zwischen der dispersen und der fluiden Phase statt, die auf einer gegenseitigen Impuls¨ ubertragung zwischen den Phasen beruht. Dasselbe gilt f¨ ur alle anderen Bilanzgr¨oßen, wie Masse und Enthalpie. Die Turbulenzwechselwirkung kann formal ¨ahnlich modelliert werden, doch sind diese Beziehungen keine exakten Bilanzen, sondern Modellans¨atze, die vor allem bei hohen Beladungen noch keine wirklich befriedigenden Ergebnisse liefern. Zur Ber¨ ucksichtigung dieser Phasenkopplung in der numerischen Berechnung der Gas–Partikel–Str¨omung wurde von Crowe [69] die PSI–Cell–Methode (Particle– Source–In–Cell) entwickelt. Hierbei wird der Einfluß der Partikel auf die Fluidstr¨omung durch entsprechende Quellterme modelliert, die in die Bilanzgleichungen der kontinuierlichen Phase eingef¨ uhrt werden. Aufgrund des lokalen und teilweise

100

II 1 I

P

@ t

2

i

Abbildung 3.6: Darstellung einer Partikeltrajektorie f¨ ur einen Zeitschritt ∆t von 1 bis 2 und f¨ ur einen Partikelsubzeitschritt δt in einem Kontrollvolumen, Berechnungszelle, Oberfl¨achengitter aus dem CAD

----

——–

sehr unstetigen Auftretens dieser Quellen/Senken ist eine m¨oglichst implizite Diskretisierung dieser Terme wesentlich, um die Konvergenz nicht zu stark zu st¨oren und ein realistisches Str¨omungsverhalten zu erhalten. In der Abb. 3.6 ist schematisch die Verschiebung eines Partikels innerhalb eines Zeitschritts ∆t von Punkt 1 zu Punkt 2 dargestellt. Die Subzeitschritte δti entstehen infolge der Zeitschrittsteuerung des Runge–Kutta–Integrators und bilden die eigentliche Integrationsschrittweite. Die Wechselwirkungsterme werden f¨ ur jeden der Subzeitschritte δti berechnet und f¨ ur jedes Kontrollvolumen aufsummiert, wobei der Eintrittspunkt I bzw. der Austrittspunkt II zus¨atzlich errechnet werden, um nur diesen Bereich der Trajektorie in die Wechselwirkung mit dem jeweiligen Kontrollvolumen einzubeziehen. Die im Folgenden formulierten Wechselwirkungsterme beziehen sich auf die instation¨are Simulation, die ein Schwerpunkt dieser Arbeit ist, w¨ahrend die station¨are Formulierung bei Frank [136] zu finden ist. Impulswechselwirkung Die Kopplung der Impulswechselwirkung verl¨auft u ¨ber Quellterme in der NS–Gleichung, was manchmal ein st¨arkeres Unterrelaxieren dieser Gleichung erfordert. Meistens ist ein Druckgradient die physikalisch Ursache f¨ ur die Str¨omungsbewegung und wird entsprechend u ¨ber die Druckkorrekturgleichung behandelt. Bei der Impulswechselwirkung ist die treibende Gr¨oße der Partikelschwarm, der zuerst die NS–Gleichung beeinflußt und danach erst die Druckberechnung modifiziert.

101

F¨ ur die Impulswechselwirkung gibt es zwei Diskretisierungsans¨atze, die sich an der station¨aren bzw. instation¨aren Simulation orientieren. Im ersten Fall werden alle im Lagrange–L¨oser berechneten Kr¨afte in einer expliziten Weise auch wieder auf das Fluid u ¨ bertragen, [357], w¨ahrend im instation¨aren Fall mit Hilfe einer semiimpliziten Formulierung die Fluidgeschwindigkeit mit in die Berechnung der aerodynamischen Widerstandskraft einbezogen wird und bis auf die Gravitation und den Druckgradient alle anderen Kraftwirkungen vernachl¨assigt werden. Dies f¨ uhrt zu einer wesentlichen Verbesserung der Stabilit¨at des L¨osungsverfahrens und hat sich f¨ ur instation¨are Berechnungen allgemein durchgesetzt, [283], [35]. Wenn man die NS–Gleichung, siehe Gl. (2.14), ohne den Schwerkraftterm, siehe Fußnote 25 S.94, verwendet, lautet der Impulswechselwirkungsterm folgendermaßen: Explizite Kopplung: Qmu = −

NP
Ni 1
mP,j V ∆t j=1 i=1

Qmv = −

NP
Ni 1
mP,j V ∆t j=1 i=1

Qmw = −

NP
Ni 1
mP,j V ∆t j=1 i=1



ρP − ρF n+1 δti ρP

un+1 − unP,i − gx P,i  n+1 n vP,i − vP,i − gy



ρP − ρF n+1 δti ρP

n+1 n wP,i − wP,i − gz



,



ρP − ρF n+1 δti ρP

, 

.

(3.54)

Hierbei ist ∆t der aktuelle Fluidzeitschritt im NS–L¨oser, δti der aktuelle Subzeitschritt des Partikels, Ni die Gesamtzahl der in diesem Kontrollvolumen zur¨ uckgelegten Subzeitschritte und NP ist die Anzahl der realen Partikel pro Rechenpartikel. Die Wirkung dieser Kopplung kann folgendermaßen beschrieben werden: Alle Kraftwirkungen des Fluids auf das Partikel dr¨ ucken sich in der Geschwindigkeits¨anderung un+1 − unP,i innerhalb von δti aus, wobei die Wirkung der Gravitation und des AufP,i triebs, die im Fluid nicht enthalten sind, abgezogen werden muß, siehe Gl. (3.43). Die in Gl. (3.54) angef¨ uhrten Qm –Terme gehen als lineare Quellterme in die rechte Seite der NS–Gleichung ein. Implizite Kopplung: Es wird die Fluidgeschwindigkeit aus den auf das Partikel wirkenden Krafttermen entkoppelt und damit werden Terme generiert, die sowohl in den Polkoeffizienten als auch in den linearen Quellterm der NS–Gleichung eingehen. Auf diese Weise wird die jeweils in der Iteration aktuelle Fluidgeschwindigkeit verwendet, was eine R¨ uckkopplung mit der aerodynamischen Widerstandskraft bewirkt (kein numeri¨ sches Uberschießen!), die auch eine Funktion der Relativgeschwindigkeit ist. Es wird Gl. (3.43) ohne Saffmann– und Magnus–Kraft verwendet und die im Widerstandsbeiwert cW (ReP ) enthaltene Relativgeschwindigkeit ebenso wie vrel mit der alten

102

Fluidgeschwindigkeit vik berechnet. k + 1 ist hier der neue und k der alte Zeitschritt im NS–L¨oser, n + 1 ist der neue und n der alte Subzeitschritt f¨ ur den Partikell¨oser. Im folgenden wird eine vereinfachte BBO–Gleichung als Grundgleichung verwendet: 

vPn+1 − vPn = δt

ρnP − ρkF 1 + cV M /2 g − n ∇pk + ρ + cV M ρkF /2 ρP + cV M ρkF /2 n P

⎤ ⎥

k  ⎥ 3 ρkF cW vrel ⎥ . vFk+1 − vPn+1 ⎥ n k n ⎥ 4 (ρP + cV M ρF /2) dP ⎦

+





(3.55)



T 1n P

Die Gl. (3.55) wird nun umgeformt, so daß vPn+1 explizit dargestellt ist, wobei eine Hilfsgr¨oße T 1P n definiert wird: 

n+1

vP

n P

(1 + δt T 1 )

= −

T 1nP

=

vPn+1

= −

ρnP − ρkF g − ρ + cV M ρkF /2  1 + cV M /2 k n k+1 ∇p + T 1  v , F P ρnP + cV M ρkF /2 k 3 ρkF cW vrel , n k 4 (ρ + cV M ρF /2) dPn  P  ρn − ρkF g − (3.56) vPn + δt n P ρP + cV M ρkF /2 .   1 + cV M /2 ∇pk + T 1nP vFk+1 / 1 + δt T 1nP vFk+1 . ρnP + cV M ρkF /2 n

vP + δt

n P

multipliziert und −mnP vPn wird Die Gl. (3.56) wird mit der Partikelmasse mn+1 P beidseitig addiert: 

mn+1 vPn ρn − ρkF P g − − mnP vPn + n P 1 + δt T 1nP ρP + cV M ρkF /2 . 1 + cV M /2 δt mn+1 P ∇pk + T 1nP vFk+1 − n . ρP + cV M ρkF /2 1 + δt T 1nP

mn+1 vPn+1 − mnP vPn = P

(3.57)

Wenn man Gl. (3.57) durch den Partikelzeitschritt δt dividiert und Gravitation und Auftrieb aus der rechten Seite herauszieht, siehe Gl. (3.54), erh¨alt man mit der n+1 n+1 Kraftbeziehung FF,P = −FP,F : n+1 FF,P

=

1 δt







mn+1 vPn cV M ρkF (ρnP − ρkF ) P g − − mnP vPn + 1 + δt T 1nP 2 ρnP (ρnP + cV M ρkF /2)

103

.

mn+1 1 + cV M /2 P ∇pk + T 1nP vFk+1 , ρnP + cV M ρkF /2 1 + δt T 1nP    1 + cV M /2 vPn mn+1 mn+1 P P ∇pk − mnP − + δt 1 + δt T 1nP 1 + δt T 1nP ρnP + cV M ρkF /2 . cV M ρkF (ρnP − ρkF ) n k+1  v . (3.58)  g − T 1 P F 2 ρnP (ρnP + cV M ρkF /2)

− n+1 FP,F

= −

Mit Gl. (3.58) hat man die M¨oglichkeit, die Kraftwirkung in APui bzw. in Qmui aufzuspalten, wobei die Fluidgeschwindigkeit, die das Partikel erf¨ahrt, mit vFk+1 = k+1 vFk+1 + v
F modelliert wird. Wenn man cV M = 1 setzt, erh¨alt man die Kraftwirkung eines Partikels f¨ ur einen Zeitschritt δt. F¨ ur die Gesamtkraft muß noch u ¨ber alle realen Partikel pro Rechenpartikel und u ¨ber alle Subzeitschritte innerhalb des Kontrollvolumens summiert werden, siehe auch Gl. (3.54), w¨ahrend hier die Kraft f¨ ur ein Partikel bzw. einen Subzeitschritt angegeben wird: APui  mu V Q i

=

6


ui Anb +

nb=1  n

= −

δt T 1nP mn+1 P , ∆t 1 + δt T 1nP 

vP mn+1 mn+1 δt P P mnP − + ∆t 1 + δt T 1nP ∆t(1 + δt T 1nP ) . ρkF (ρnP − ρkF ) k n 
. v  g − T 1 F P 2 ρnP (ρnP + ρkF /2)



3 ∇pk − 2ρnP + ρkF (3.59)

Wenn man die Magnus– und die Saffman–Kraft ber¨ ucksichtigen will, muß man in  mu modifizieren, weil eine implizite Behandlung dieser Kr¨afte zu Gl. (3.59) nur Q i aufwendig ist: T 2nP =

k 3 ρkF cM vrel 6 ρkF cS , T 3nP = k 4 (ρnP + cV M ρkF /2) dPn ωrel 4 π (ρnP + cV M ρkF /2) dPn







,

νF , |ωFk |

n mn+1 mn+1 δt 3 P P  mu V = vP mnP − Q + ∇pk − i ∆t 1 + δt T 1nP ∆t(1 + δt T 1nP ) 2ρnP + ρkF . k ρk (ρn − ρkF ) n 
n k k n k k  g − T 1 − T 2 ( v × ω  ) − T 3 ( v × ω  ) (3.60) . − nF nP v F P P rel rel P rel F 2 ρP (ρP + ρkF /2)

Wenn man den Stoff¨ ubergang ber¨ ucksichtigen will, muß der Zusatzterm φ ∆mP in δt der Form ∆t δmP vPn+1/2 zum linearen Quellterm addiert werden. Massenwechselwirkung Der Massenaustausch entsteht infolge Verdunstung oder Kondensation, was zu einer

104

¨ Anderung der Gesamtmasse der kontinuierlichen Phase f¨ uhrt und in allen Bilanzgleichungen einen Zusatzterm φ∆mP generiert. Am Beispiel der Impulsgleichung f¨ ur das Zwei–Fluid–Modell, Gl. (3.18), erkennt man (letzter Term auf der rechten Seite) die Implementierung und in Gl. (B.94) wird die Ableitung der Massenquellei gezeigt. Der Massenquellterm Qp geht somit auch als lineare Quelle in die Druckkorrekturgleichung (mit φ = 1) auf der rechten Seite ein, siehe Gl. (2.13). Die Berechnung von Qp entspricht einer Summierung der Massen¨anderung f¨ ur alle Tropfen in einem Kontrollvolumen und f¨ ur einen Zeitschritt: Qp

=

−

NP
Ni  π  n+1 3 n+1 1
n ρP,i,j dP,i,j − ρnP,i,j d3P,i,j . V ∆t j=1 i=1 6

(3.61)

Enthalpiewechselwirkung Der Phasenwechselwirkungsterm Qh wird in Gl. (2.15) verwendet und beinhaltet den Energieaustausch u ¨ ber die Phasengrenzfl¨ache infolge W¨armeleitung und Phasen¨ ubergang (Verdampfungsenthalpie). Es wird der Beitrag von einem Partikel f¨ ur einen Zeitschritt δt formuliert, ohne die Bewegungsenergie des Partikels zu ber¨ ucksichtigen: Qh = −Qp hL −

  π ρn+1 d3P n+1 + ρnP d3P n cp(l,T ) (TPn+1 − TPn ) . P 12 V ∆t

(3.62)

Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (3.62) beschreibt den Austausch infolge des Phasenwechsels (Verdampfungsenthalpie), cp(l,T ) ist das differentielle cp f¨ ur die fl¨ ussige Phase gebildet mit der Tropfentemperatur TPn+1 . Der zweite Term in Gl. (3.62) beinhaltet den Energieaustausch infolge W¨armeleitung u ¨ber die Tropfenoberfl¨ache. Dem Wechselwirkungsterm von der Art “φ ∆mP “ entspricht in der Enthalpiegleiˆ t bzw. in der Integralgleichung f¨ chung f¨ ur die EEM, Gl. (3.23), Mp,k h ur die Gasphase, k / t Gl. (2.15), hF Qp dV . Dieser Term kann folgendermaßen diskretisiert werden: V(t)



htF Qp dV =



Qp cp(v,T ) T



V .

(3.63)

V(t)

cp(v,T ) ist das integrale cp f¨ ur die dampff¨ormige Phase gebildet mit dem Mittelwert T = (TPn+1 + TPn )/2. Der Term auf der rechten Seite, Gl. (3.63), beschreibt den Beitrag an Energie, der von dem neu dazugekommenen Dampf ausgeht, wobei hier eine mittlere Tropfentemperatur T als Grenzfl¨achentemperatur angenommen wird.

105

Turbulenzwechselwirkung Zur Bestimmung der Quellterme f¨ ur die k–ε–Gleichungen sind, wegen der generellen Problematik der Turbulenzmodellierung, bisher keine allgemeing¨ ultigen Berechnungsvorschriften bekannt. Das Vorhandensein von Partikeln kann in Abh¨angigkeit von der Massenbeladung und dem Partikeldurchmesser die Turbulenz sowohl anregen als auch d¨ampfen, wobei große Partikeln durch den durch sie verursachten Nachlauf Turbulenz generieren, w¨ahrend kleine Partikel eher d¨ampfend wirken (entspricht einer Dichteerh¨ohung der kontinuierlichen Phase). Crowe [72] zeigt, daß diese Grenze dP /LI ≈ 0, 1 sein k¨onnte, wobei LI der integrale L¨angenmaßstab des Fluids ist. Außerdem kann es zu einer Umlagerung der Frequenzen im Energiespektrum kommen, [115]. Neben Experimenten, siehe Kulik und Eaton [221], [222]28 werden vor allem DNS– und LES–Simulationen verwendet, um daraus Modellierungsans¨atze f¨ ur die RANS zu entwickeln, siehe Elghobashi [105], [106], [115], Squires und Eaton [366], [122], Rousan [320] und Simonin [123]. Die LES–Simulationen sind ein wichtiges Hilfsmittel, um Einflußfaktoren getrennt zu untersuchen (z.B. Diffusion infolge Gravitation und dem “Cross–Trajektory–Effect“) bzw. numerische, schwer meßbare Terme zu quantifizieren. Leider sind ein Großteil der Experimente bzw. Simulationen auf verd¨ unnte Partikelstr¨omungen mit f¨ ur ingenieurtechnische Anwendungen unrealistisch niedrigen Beladungen beschr¨ankt. Kohnen [212], [213] hat eine Turbulenzmodulation infolge Partikelstr¨omung im Zusammenhang mit einem k–ε–Modell und einem DRSM–Ansatz vorgestellt. Shuen et al. [347] hatten die zeitgemittelte k– bzw. ε–Gleichung zusammen mit der dispersen Phase (Impuls¨anderung infolge aerodynamischer Widerstandskraft) unter Vernachl¨assigung des Druckgradienten abgeleitet und Quellterme f¨ ur die Turbulenzwechselwirkung formuliert. Desjonqueres [87], [31] ver¨offentlichte Zusatzterme f¨ ur die Turbulenzmodulation in kartesischen Koordinaten, die der Arbeit Shuens entsprechen. Die zur ε–Gleichung geh¨orige Modellkonstante Cε3 variiert je nach Ver¨offentlichung, [136], von 1,0 bis 1,9, was einen großen Einfluß auf die Ergebnisse hat. Squire und Eaton [366] haben nach DNS–Simulationen festgestellt, daß diese Konstante eine Funktion der Volumenfraktion und der Partikeldichte ist. In dieser Arbeit wird Cε3 = 1, 6 gesetzt. Trotzdem ist der urspr¨ unglich von Shuen et al. [347] gefundene Ansatz die momentane Standardmodellierung, Lain et al. [225], [226], die jedoch bei hoher Beladung und kleinen Partikeln keine konsistenten Ergebnisse liefert29 . Wenn 28 Die Untersuchungen zeigen, daß f¨ ur eine Stokes–Zahl gleich 1 (basierend auf dem Kolmogorov Zeitmaßstab), die bevorzugte Konzentration gemessen wurde. Die Bereiche zwischen den Partikelclustern (Gebiete maximaler Konzentration) sind eine Gr¨oßenordnung gr¨oßer als die Cluster selbst. 29 Allein durch Variation der Konstanten Cε3 kann bei hoher Beladung und kleiner Stokes–Zahl die Fluidturbulenz angefacht oder ged¨ampft werden. Als zus¨atzliche Unsicherheit geht die Modellierung der momentanen Fluidgeschwindigkeit u ¨ ber das Partikeldispersionsmodell ein. Graham [151],

106

man den Quellterm Qmui von Gl. (3.54) verwendet, erh¨alt man f¨ ur die k–Gleichung, siehe auch Gl. (2.46):

Qtk V =

3
i=1

u
Fi Q
m,P,ui ≈

Nl
NP
3


uakt Fi Qakt m,P,ui −

j=1 l=1 i=1

3


uakt Fi Qakt m,P,ui . (3.64)

i=1

Gl. (3.64) enth¨alt mit Qakt m,P,ui eine Zeit– bzw. Ensemblemittelung und Nl ist die Anzahl der Subzeitschritte in diesem Kontrollvolumen. Die ε–Gleichung erh¨alt in Analogie zur Fluiddissipation folgenden linearen Quellterm, siehe auch Gl. (2.49):

Qε V = 2ν

3 ∂u
Fi ∂Q
m,P,ui ε ε
≈ u
Q
= Cε3 Qtk V ∂xj ∂xj k i=1 Fi m,P,ui k

(3.65)

Crowe [74] betont die Bedeutung des Partikel–Partikel–Abstandes f¨ ur die Turbulenzanregung, die u ¨ ber einen sich ver¨andernden Dissipationsl¨angenmaßstab ausgedr¨ uckt werden kann. Weiter fordert er eine Volumenmittelung der mechanischen Energiegleichung, wobei die Geschwindigkeit u ¨ ber eine Phasenmittelung als Summe von Mittelwert und Fluktuation dargestellt werden sollte, [76], [75]. Crowe schl¨agt damit ein Modell vor, daß makroskopische, meßtechnisch quantifizierbare Prozesse trendm¨aßig richtig vorhersagen, [78, 79], bzw. der Standardmodellierung u ¨berlegen sein kann, Lain et al. [224, 226]. Es wird der Beitrag von einem Partikelzeitschritt δti und einem Rechenpartikel f¨ ur die k–ε–Gleichungen formuliert: Qtk V =

3 0

2  1
π δt

k
n




cW ρkF vrel dPn uP,in − uF,ik uP,in

uF,i − unP,i + uP,i 8 ∆t i=1

mit

Qε = Cε3




(3.66)




uF,ik uP,in = (unakt,P,i − unP,i)(ukakt,F,i − ukF,i) ,

ε Qtk . k

(3.67)

Das Standardmodell nach Shuen bzw. Desjonqueres [87], [347] und der Ansatz von Crowe [76], [75] sind die momentan f¨ ur RANS benutzten Formulierungen. Nat¨ urlich gibt es eine Reihe von Autoren, die vom Standardmodell ausgehend problemspezifische Erweiterungen entwickeln, die sie auch an eigenen Meßdaten validieren k¨onnen, siehe Yokomine et al. [438]. [152] zeigte f¨ ur den EIM–Ansatz Probleme mit der Turbulenzkopplung auf.

107

3.3.2

Berechnung von gekoppelten Stoff– und W¨ armeaustausch der dispersen Phase

Die Tropfenverdunstung in Spr¨ uhstrahlen ist f¨ ur viele technische Anwendungen von Interesse, wobei die Entwicklung der Luft– und Raumfahrt wesentliche Impulse lieferte. Waren es in den 30er Jahren die Pionierarbeiten von Schmidt [334] und Fr¨ossling [141] u ¨ber fallende Wassertropfen, so dehnten in den 50er Jahren El Wakil [110], [111], Godsave [147], Spalding [362] und Ranz/Marshall [311] die experimentellen und theoretischen Untersuchungen auf Kraftstoffstrahlen aus. Mit dem Aufkommen der Computertechnik in den sp¨aten 70er Jahren begann auch die numerische Untersuchung des Spr¨ uhstrahls. Law [233], Sirignano [5], [332] und Faeth [119] m¨ogen hier stellvertretend f¨ ur eine Reihe von anderen Autoren genannt werden, die sich mit dem d2 –Gesetz, dem Uniform–Temperatur–Modell, dem Thin–Skin– Modell oder mit der Mehrkomponentenverdampfung besch¨aftigt haben. Seit Ende der 80er Jahre wurden Strahlmodelle zusammen mit NS–L¨osern implementiert, um die Tropfenverdunstung bzw. Kondensation zunehmend realistischer zu simulieren. Die Arbeiten von Klausmann [208], Kneer [211], Klingsporn [209], Pommersberger [300] und Schmehl [333] besch¨aftigten sich mit der detaillierten Modellierung der Kraftstoffeinspritzung in Otto– und Dieselmotoren bzw. Gasturbinen. Der aktuelle Stand der Entwicklung behandelt die Mehrkomponentenverdampfung zur Simulation realer Kraftstoffe (Siedekurve) im u ¨ber– und unterkritischen Bereich, [50], [234], und die direkte Berechnung des Stoff– und W¨armetransports mit Hilfe der NS– Gleichungen innerhalb und außerhalb eines Tropfens [427]. Es werden bei der Modellierung der Verdunstung folgende Bereiche innerhalb bzw. um einen Tropfen unterschieden: • das Tropfeninnere, das noch in kugelsymmetrische Schalen aufgeteilt werden kann, • die Tropfenoberfl¨ache, an der ein S¨attigungszustand angenommen wird, ¨ • ein kugelsymmetrischer Ubergangsbereich zwischen Tropfenoberfl¨ache und Umgebung (Grenzschicht), wo u ¨ ber empirische Annahmen, ein konstanter Referenzwert f¨ ur Temperatur oder Konzentration bestimmt wird, wie z. B. nach der 1/3–Regel von Sparrow [364] mit Tref = Ts /3 + 2/3 Tinf , • die ungest¨orte Umgebung mit den physikalischen Gr¨oßen der Gasphase (Konzentration, Temperatur, Dichte, Druck des jeweiligen Kontrollvolumens) . Die momentan f¨ ur die Strahlsimulation in CFD–Codes bevorzugten Modelle basieren auf vereinfachenden Annahmen, die einerseits eine moderate Rechenzeit erlauben und andererseits den Verdunstungsprozeß ausreichend genau darstellen:

108

• ideal kugelf¨ormiger Tropfen, • ideales Gas um den Tropfen bzw. S¨attigungszustand an der Tropfenoberfl¨ache bei Phasengleichgewicht, quasi–station¨are diffusionsgetriebene Verdunstung, • kleine Mach–Zahl, Vernachl¨assigung von viskoser Dissipation und kinetischer Energie und eines Druckgradienten entlang der Tropfenoberfl¨ache, • Vernachl¨assigung von Gravitation, Tropfendeformation, Oberfl¨achenspannung, Massendiffusion infolge Druck– oder Temperaturgradienten, • Unl¨oslichkeit des Umgebungsfluids innerhalb des Tropfens. Der Einfluß der erzwungenen Konvektion wird u ¨ ber empirische Korrekturfaktoren auf der Basis von Reynolds–, Schmidt– und Prandtl–Zahl ber¨ ucksichtigt, Klingsporn [209]. Je nach Anwendung werden h¨aufig folgende Einkomponentenmodellans¨atze verwendet: • Uniform–Temperatur–Modell, die Temperatur ist innerhalb des Tropfens homogen und eine Funktion der Zeit, an der Phasengrenzfl¨ache wird ein Mittelwert angesetzt, • Thin–Skin–Modell, f¨ ur kurze Tropfenlebenszeit bzw. niedrigsiedene Fl¨ ussigkeiten, Tropfentemperatur bleibt auf dem Anfangswert und nur die Tropfenoberfl¨achentemperatur ist zeitabh¨angig, der Energietransfer geht komplett in den Phasen¨ ubergang, • Conduction–Limit–Modell, entspricht dem Uniform–Temperatur–Modell, wobei zus¨atzlich eine kugelsymmetrische Temperaturverteilung innerhalb des Tropfens mittels einer eindimensionalen W¨armeleitgleichung berechnet wird. Mehrkomponentenmodelle erm¨oglichen eine realistischere Simulation des Siedeverhaltens von Realkraftstoffen unter Inkaufnahme h¨oherer Rechenzeiten. Aufgrund der Zielrichtung dieser Arbeit soll jedoch hier statt einer ausf¨ uhrlichen Beschreibung auf folgende Literatur verwiesen werden, Klingsporn [209], Kneer [211], Pommersberger [300], Burger [50], Leborgne [235]. In dieser Arbeit wird die algorithmische Implementierung eines Verdunstungsmodells exemplarisch anhand eines Einkompomentenmodells (Uniform–Temperatur– Modell) gezeigt. Dabei wird auf die Ans¨atze von Dukowicz [97] und Ranz und Marshall [311] zur¨ uckgegriffen. In diesem Modell wird die Lewis–Zahl30 f¨ ur die Grenz30 Le = ρ cλp Γ , quantifiziert das Verh¨altnis der thermischen zur stofflichen Diffusion, siehe auch Gl. (B.31).

109

schicht gleich eins gesetzt (wie beim d2 –Gesetz), was die Berechnung einer Diffusionszahl in diesem Modell u ussig macht. Diese Annahme ist eine starke Verein¨berfl¨ fachung, weil sich im allgemeinen die Lewis–Zahl u ¨ber die Tropfenlebensdauer und radial innerhalb des Tropfens von 50 bis etwa 1 ver¨andert. In der Grenzschicht der Gasphase schwankt die Lewis–Zahl bezogen auf die Referenzwerte zeitlich von 3 bis 1, siehe Kneer [211]. Der W¨arme¨ ubergang eines Tropfens bei Zwangskonvektion wird durch folgende semi–empirische Korrelation von Ranz und Marshall [311] beschrieben: Nu = 2 + 0, 6 Re1/2 P r 1/3 .

(3.68)

Gl. (3.68) formuliert einen station¨aren W¨arme¨ ubergang31 , der auf einer globalen Betrachtung des Partikelschwarms beruht. Die Berechnung behandelt jedoch diskrete Tropfen innerhalb eines numerischen Gitters, was zu numerischen Problemen bei stark transienten Verdunstungsprozessen f¨ uhren kann. Außerdem wird ein f¨ ur den Zeitschritt eingefrorenes Str¨omungsfeld angenommen, um eine explizite Kopplung Str¨omung / Tropfen zu erm¨oglichen. Die daraus resultierenden Zeitschrittweiten werden jedoch aus Effizienzgr¨ unden nicht immer ber¨ ucksichtigt. 3.3.2.1

Erhaltungsgleichung f¨ ur Enthalpie und Masse eines Tropfens

Die Verdunstungsmodellierung wird anhand der Filmtheorie, siehe Baehr [24], unter der Annahme einseitiger Diffusion durchgef¨ uhrt. Die Tropfenenergiegleichung f¨ ur das Uniform–Temperatur–Modell lautet: d ¯ d ) = hV S dmd + Q . (md h dt dt

(3.69)

¨ Gl. (3.69) beschreibt die Anderung der mittleren Tropfenenthalpie infolge der zugef¨ uhrter Energie Q und der Verdunstung, siehe erster Term auf der rechten Seite. Die latente W¨arme hL l¨aßt sich als Enthalpiedifferenz zwischen der dampff¨ormigen und der fl¨ ussigen Phase an der Grenzfl¨ache (Tropfenoberfl¨ache) darstellen (hL = hV S − hdS ). Wenn man die Dampfenthalpie hV S in Gl. (3.69) einsetzt, die linke Seite von Gl. (3.69) nach der Kettenregel differenziert und die Annahmen des Uniform–Temperatur– ¯ d  hdS , Td  TdS und cp = const f¨ Modells, n¨amlich h ur den ganzen Tropfen, d ¯ d  cp Td : verwendet, erh¨alt man mit h d (md cpd )

dmd dTd = hL +Q . dt dt

(3.70)

31 Die Nusselt–Zahl kann auch u ur den W¨arme¨ ubergang charakteristi¨ber das Verh¨altnis einer f¨ schen L¨ange L zur thermischen Grenzschichtdicke ausgedr¨ uckt werden. N u = L/δT

110

Gl. (3.70) verbindet die Energieerhaltung mit der Verdunstung. Die zugef¨ uhrte W¨arme Q wird mit der Korrelation von Ranz und Marshall [311] und der Nusselt– Zahl nach Gl. (3.68) berechnet: Q = π dd λV,ref (Tinf − TS ) Nu .

(3.71)

Die Bestimmung der Nusselt–Zahl in Gl. (3.71) erfordert Referenzwerte nach Sparrow [364] f¨ ur die spezifische W¨arme oder die thermische Leitf¨ahigkeit. Der Stoff¨ ubergang dmd /dt von Gl. (3.70) wird nach Dukowicz [97] folgendermaßen umgeformt: m ˙ V,S dmd = Q , dt qS

wobei auch

drd dmd = 4πρd rd2 dt dt

gilt .

(3.72)

m ˙ V,S ist der lokale Stoffluß, qS ist der lokale W¨armestrom an der Phasengrenzfl¨ache und A ist die Tropfenoberfl¨ache. Mit Q = −qS A und m ˙ d = −m ˙ V,S A l¨aßt sich Gl. (3.70) umformen: (md c¯pd )

m ˙ V,S dTd = Q (1 + hL ) . dt qS

(3.73)

Der Dampfmassenstrom m ˙ V,S bzw. der W¨armestrom qS an der Tropfenoberfl¨ache l¨aßt sich nach der Stofferhaltung bzw. dem Fickschen Gesetz u ¨ber Gradientenans¨atze approximieren: m ˙ i,S = (ρi v − ρ Γ ∇ yi )S

mit m ˙ A,S = 0 bzw. v  0 , ∇S y V m ˙ V,S = −(ρ Γ)S , 1 − yV,S

qS = −λS ∇S T .

(3.74)

(3.75)

Gl. (3.74) und Gl. (3.75) enthalten nur noch den unbekannten Temperaturgradienten ∇S T , der mit Hilfe der Filmerhaltungsgleichungen berechnet wird. Die Modellierung von Dukowicz besteht im Wesentlichen aus der Formulierung von Analogien zwischen Stoff– und W¨armefluß im Bereich des den Tropfen umh¨ ullenden Dampffilms zur Bestimmung des Ausdrucks m ˙ V,S /qS in Gl. (3.73). Die Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Spezieskonzentration i (Luft und Dampf) und Energie im Film nach Dukowicz [97] sind: ∇(ρ v ) = 0 .

(3.76)

111

(ρ v ) ∇Yi = ∇ (ρ Γ ∇Yi ) ,

(ρ v ) ∇h = ∇

(3.77)

λ λ
∇h + ∇(ρ Γ − ) hi ∇Yi . cp cp i

(3.78)

Wenn man die Gl. (3.76), Gl. (3.76) und Gl. (3.78) umformt und Le = 1 annimmt, erh¨alt man eine Beziehung zwischen Spezies– und Enthalpiegradienten. Damit l¨aßt sich nun der gesuchte Temperaturgradient ∇S T ausdr¨ ucken, was folgende Beziehung f¨ ur den Ausdruck m ˙ V,S /qS aus Gl. ( 3.72) ergibt: m ˙ V,S BY YV,S − YV,inf mit BY = =− .(3.79) qS hinf − hS − (hV,S − hA,S )(YV,inf − YV,S ) 1 − YV,S Im Programm erm¨oglicht Gl. (3.79) die Bestimmung der Durchmesser– bzw. Temperatur¨anderung, was numerisch mit einem Runge–Kutta–Algorithmus vierter Ordnung durchgef¨ uhrt wird. BY wird als Massen¨ ubergangszahl bezeichnet und auch zur Modifikation des W¨armestroms, Gl. (3.71), infolge Verdunstung verwendet. Bei Erreichen der Siedetemperatur des Tropfens geht die gesamte zugef¨ uhrte Energie in den Verdunstungsprozeß u ¨ber, wobei der rechte Klammerausdruck in Gl. (3.73) Null wird. F¨ ur den Fall YV,inf = 0 und einer beliebigen Le–Zahl erh¨alt man f¨ ur die Massen¨ ubergangszahl: 

BY =

3.3.2.2

λ ρ Γ cp

 S

hA,inf − hA,S . hL

(3.80)

Bilanzgleichung f¨ ur den Speziestransport

Verdunstungsprozesse f¨ uhren zu einem Phasen¨ ubergang, wobei die vorher fl¨ ussigen Tropfenanteile als Dampf im Tr¨agerfluid eine eigene Spezies darstellen. Es gibt also neben der urspr¨ unglichen Spezies Luft, die wiederum im wesentlichen aus rund 78% Stickstoff, 21% Sauerstoff und dem Rest aus Edelgasen besteht, eine zweite Spezies Dampf, die in der Form eines Massenbruchs quantifiziert wird, siehe auch Anhang B.1.2.5: Y =

δmP ρV

(3.81)

ρ ist die Mischdichte, siehe Kap. B.1.2.1, bezogen auf ein Kontrollvolumen, die u ¨ber die spezifische Gaskonstante berechnet wird, δmP ist die Dampfmasse, die

112

aus der Verdunstung der Tropfenphase entstanden ist und Y ist der Massenbruch Dampfmasse bezogen auf die Gesamtmasse des Kontrollvolumens. Um die r¨aumliche und zeitliche Ausbreitung der Dampfphase darzustellen, verwendet man eine Bilanzgleichung f¨ ur Y in differentieller Form. Es gelten die gleichen Regeln bez¨ uglich Mittelung infolge der Turbulenzmodellierung, wie beispielsweise f¨ ur die Enthalpiegleichung oder die Turbulenzgleichungen (RANS–Ansatz). Y ist der Mittelwert des Massenbruchs, siehe Gl. (3.81), αF ist die Volumenfraktion der Fluidphase und σf ist die turbulente Schmidt–Zahl f¨ ur die Speziesgleichungen, siehe Tab. (2.1) bzw. Gl. (2.36): 

∂ αF ρ¯ Y¯ ∂t





+



 ∂ µt ∂  αF ρ¯ u¯j Y¯ = αF µ + ∂xj ∂xj σf





∂ Y¯ + Qp V (1 + Y¯ ). (3.82) ∂xj

Qp , siehe Gl. (3.61), ist der Stoff¨ ubergang von der Partikel– in die Fluid–Phase. Der vorletzte Term in Gl. (3.82) ist der Quellen–Senken–Term der Speziestransport¨ gleichung, w¨ahrend der letzte Term die Anderung der Gesamtfluidmasse (Luft plus ¨ Dampf) ber¨ ucksichtigt und zum Polkoeffizienten addiert wird. Die Uberpr¨ ufung der korrekten Bilanzierung l¨aßt sich leicht u ¨ ber einen Vergleich zwischen dem Massenstrom aus der Tropfenphase und der im Fluid vorhandenen Dampfmasse durchf¨ uhren. In der Regel sind die verdunsteten Massen recht klein gegen¨ uber der Gesamtgasmasse, was jedoch Fehler, vor allem in Hinblick auf die Simulation von Z¨ und– und Verbrennungsvorg¨angen, keineswegs vernachl¨assigbar macht.

3.3.3

Berechnung der Str¨ omung der dispersen Phase

Im Abschnitt 3.3.1 wurde die Berechnung der Bewegung eines einzelnen Partikels in einer turbulenten Str¨omung beschrieben. Aus der Summe der einzelnen Partikelbewegungen in einer solchen Str¨omung resultieren makroskopische Str¨omungsgr¨oßen der Partikelphase, wie z.B. die lokale Partikelkonzentration bzw. Massen/Volumenbeladung oder die mittlere lokale Partikelgeschwindigkeit. Zur Bestimmung dieser Gr¨oßen gibt es f¨ ur RANS zwei verschiedene Verfahren, die im folgenden beschrieben werden. Trajektorienberechnung Dieses Verfahren beruht auf der aufeinanderfolgenden Berechnung einer großen Anzahl von Partikeltrajektorien. Eine Trajektorie ist hierbei die Bahnkurve eines Partikels von einem Startpunkt, der in der Regel am Einlaß liegt, bis zum Erreichen eines Abbruchkriteriums, das z.B. das Erreichen des Auslaßes sein kann. Es wird angenommen, daß jedes Partikel, das am selben Startpunkt und mit denselben Anfangsbedingungen (Geschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Durchmesser, etc.) in das

113

Str¨omungsgebiet eintritt, dieselbe Bahn durchl¨auft. Dieses Verfahren setzt eine bekannte, station¨are Fluidstr¨omung voraus, die als Basis f¨ ur das Partikeltracking dient. Eine Trajektorie repr¨asentiert somit einen Strom von Partikeln, die alle dieselben physikalischen Eigenschaften besitzen. Dieser Strom ist ein Teil des Partikelmassenstroms in einer station¨aren Gas–Partikel–Str¨omung. Die Anzahl von Partikeln pro Zeiteinheit N˙ P , die sich entlang einer Trajektorie bewegen, ergibt sich aus dem Gesamtpartikelmassenstrom m ˙ P und der Gesamtanzahl der Trajektorien NT zu: m ˙P

N˙ P = ρP

NT
j=1

π 3 d 6 Pj

.

(3.83)

Die makroskopischen Str¨omungsgr¨oßen der Partikelphase ergeben sich f¨ ur jedes Kontrollvolumen aus der Summe der dieses Kontrollvolumen durchquerenden Trajektorien. Um f¨ ur diese Gr¨oßen statistisch gesicherte Werte zu erhalten, muß die Anzahl ¨ der berechneten Trajektorien ausreichend groß sein. Hierf¨ ur gelten die selben Uberlegungen, wie bez¨ uglich der Grundlagen der EEM. Simultane Partikelverfolgung In diesem Verfahren wird die Bewegung aller simulierten Partikel, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt innerhalb des Str¨omungsgebietes aufhalten, simultan berechnet, wobei die Bilanzgleichungen der kontinuierlichen und dispersen Phase f¨ ur einen vorgegebenen Zeitschritt ∆t integriert werden. Kollidiert ein Partikel w¨ahrend dieses Zeitschritts mit der Str¨omungsberandung, so erfolgt die Berechnung des Schrittes in zwei Teilschritten. Zun¨achst wird die Partikelbewegung bis zum Erreichen der Wand berechnet. Mit Hilfe des im Abschnitt 4.1 beschriebenen Kollisionsmodells werden die Partikelgeschwindigkeit und –rotationsgeschwindigkeit nach dem Stoß bestimmt. Unter Verwendung dieser Gr¨oßen wird der Zeitschritt zu Ende gef¨ uhrt. Nach dem Abschluß der Berechnung aller einzelnen Partikelschritte des aktuellen Zeitschrittes wird der n¨achste Zeitschritt in gleicher Weise ausgef¨ uhrt. Das Verfahren der simultanen Partikelverfolgung ist ein inh¨arent instation¨ares Berechnungsverfahren. Die makroskopischen Str¨omungsgr¨oßen der Partikelphase ergeben sich f¨ ur ein Kontrollvolumen zu jedem Zeitpunkt aus der Mittelwertbildung u ¨ber alle Partikel, die sich zu diesem Zeitpunkt in dem betreffenden Kontrollvolumen befinden. Das Verfahren eignet sich sowohl f¨ ur die Simulation instation¨arer als auch makroskopisch station¨arer Gas–Partikel–Str¨omungen. Insbesondere ist es auch f¨ ur die Simulation kollisionsbehafteter Str¨omungen mit Phasenwechselwirkung geeignet, weil bei entsprechender Beladung die Str¨omung der kontinuierliche Phase von den Partikeln lokal modifiziert wird. Dieser Prozeß l¨aßt sich auch mit der “Trajektorienberechnung“ simulieren, wobei aber alle Fluktuationen bzw. instation¨are Str¨omungsstrukturen durch die zeitliche Mittelung (die Gasphase wird station¨ar berechnet) unaufgel¨ost bleiben. Außerdem erfordert diese Methode einen viel

114

geringeren Rechenaufwand, was f¨ ur manche Anwendungen jedoch ausreichend sein kann. Der instation¨are Ansatz ist unumg¨anglich, wenn man an inh¨arent transienten Prozessen, wie der Gemischbildung innerhalb von Verbrennungskraftmaschinen, interessiert ist.

115

Kapitel 4 Partikel–Wand– und Partikel–Partikel–Wechselwirkung In diesem Kapitel soll die Behandlung der Partikel–Wechselwirkung im Rahmen der Lagrangeschen Berechnung der Bahnlinien dargestellt werden. Im Abschnitt 4.1 wird die Partikel–Wand–Wechselwirkung f¨ ur harte Kugeln besprochen. Um die Partikel–Wand–Wechselwirkung abzugrenzen, sollen hier die Besonderheiten der Tropfen–Wand–Wechselwirkung kurz erl¨autert werden. Es muß betont werden, daß die Tropfen–Wand–Wechselwirkung vom numerischen her eine ¨ahnliche Aufgabenstellung ist, die jedoch unterschiedliche Modelle erfordert. Es kommt der Einfluß der Tropfenverformung, des Tropfenaufbruchs und der Temperaturabh¨angigkeit des Reflexionsregimes zur Wirkung, was eine F¨ ulle semiempirischen Modellen im Rahmen der ELM bedingt. Unter entsprechenden Bedingungen kommt es zur Wandfilmbildung, was ebenfalls erheblichen Einfluß auf das Reflexionsverhalten der Tropfen hat. Weiter ergibt sich die Problematik, daß Einzeltropfen in ihrem Verhalten nicht unbedingt Teile eines gr¨oßeren Tropfenkollektivs wiederspiegeln. Damit sind experimentelle Untersuchungen nur bedingt reduzierbar auf den Einzeltropfen. Die Simulation verwendet f¨ ur die globale Betrachtung, wie beispielsweise f¨ ur die Wand–Strahl–Wechselwirkung im Rauchgasw¨ascher, stochastische Modelle im Rahmen der ELM, die die grobskaligen Prozesse semiempirisch wiedergeben. F¨ ur Detailuntersuchungen werden Freie–Oberfl¨achen–Codes verwendet, die schon recht genau die physikalischen Prozesse abbilden, aber f¨ ur eine Gesamtsimulation eine viel zu hohe Netzaufl¨osung verlangen. Bei Gas–Feststoff–Str¨omungen sind die Einflußfaktoren besser modellierbar und beziehen sich vielfach auf die Oberfl¨achenrauhigkeit und die Absch¨atzung der Kugelsteifigkeit, was im Versuch gut reproduzierbar ist. Im Kap. 4.2.1 werden grundlegende Begriffe erkl¨art und Definitionen angegeben, die

116

im weiteren Verlauf des Kapitels h¨aufig verwendet werden. Im Kap. 4.2.2 wird auf in der Literatur bekannte Experimente und Modellans¨atze eingegangen. Die Berechnung der Translations– und der Rotationsgeschwindigkeit zweier Partikel nach einer Kollision wird im Kap. 4.2.3 beschrieben. Diese Berechnungsvorschriften werden in allen Kollisionsmodellen gleichermaßen verwendet. Im Kap. 4.3 erfolgt schließlich die Beschreibung der verschiedenen Modelle, die zur Simulation der Partikel–Partikel–Kollisionen entwickelt wurden.

4.1

Partikel–Wand–Kollisionen

Viele Str¨omungen in der Energie– und Verfahrenstechnik sind von einer festen Umrandung umschlossen, was man auch als interne Str¨omung bezeichnet (z.B. Rohrstr¨omung). Das Gegenteil sind externe oder freie Str¨omungen, wie sie beispielsweise bei der Umstr¨omung von Tragfl¨ ugeln vorkommen. Betrachtet man Gas–Partikel– Str¨omungen, so hat die Wechselwirkung der Partikel mit den W¨anden einen großen Einfluß auf das Str¨omungsverhalten. Dies gilt insbesondere f¨ ur relativ große Par¨ tikel, die aufgrund ihrer Massentr¨agheit verh¨altnism¨aßig langsam auf Anderungen im Geschwindigkeitsfeld des Gases reagieren und daher oft mit den W¨anden kollidieren. Außerdem bedingt die hohe Masse auch einen hohen Impulseintrag infolge Wandstoß, der zum großen Teil bei der Reflexion wieder mitgenommen wird. Kleine Partikel werden daher spezifisch viel st¨arker an der Wand abgebremst als das f¨ ur große Partikel der Fall ist. Ein besonders wichtiger Parameter bei den Partikel–Wand–Kollisionen ist die Wandrauhigkeit, die aus dem Herstellungsprozeß des Wandbauteils herr¨ uhrt, siehe auch Schade et al. [327], [328] und H¨adrich [162]. Bei Tropfen bzw. Wandfilmen spielt auch die Strukturrauhigkeit der Wand bez¨ uglich des Transportverhaltens eine wichtige Rolle. Die Abmessungen der Unebenheiten der Wand liegen oft in derselben Gr¨oßenordnung wie der Partikeldurchmesser. Dies hat zur Folge, daß ein Partikel, das mit der Wand kollidiert, lokal eine andere Wandneigung antrifft als es bei einer ideal glatten Wand der Fall w¨are. Dadurch wird eine st¨arkere Dispersion der Partikelphase verursacht. Zur Modellierung der Wandrauhigkeit wurden eine Reihe verschiedener Ans¨atze entwickelt, so z.B. von Matsumoto und Saito [248], [249], [250], Tsuji et al. [387] und Frank [128]. Das in dieser Arbeit verwendete Wandrauhigkeitsmodell basiert auf einem Modell von Sommerfeld [355]. Hierbei st¨oßt das Partikel mit einer virtuellen Wand zusammen, die gegen¨ uber der mittleren Wandebene um einen Winkel γ angestellt ist, siehe Abb. 4.1. Der Inklinationswinkel γ ist eine stochastische Schwankungsgr¨oße, die aus einer Gaußverteilung mit dem Mittelwert γ = 0 und der Standardabweichung ∆γ bestimmt wird. Die Gr¨oße der Standardabweichung ist von den

117

vP

nV

J

Abbildung 4.1: Stoß des Partikels mit einer virtuellen Wand

Rauhigkeitsparametern der Wand und dem Durchmesser des auftreffenden Partikels abh¨angig. Wie man anhand der Abbildungen 4.2 und 4.3 sieht, ist der Stoßwinkel f¨ ur kleine Partikeln in der Regel gr¨oßer als f¨ ur große Partikeln. Partikeln, deren Durchmesser deutlich kleiner als der Abstand Lr zwischen zwei Rauhigkeitsspitzen ist, stoßen u ¨berwiegend mit den Flanken der Rauhigkeitserhebungen zusammen. Dagegen treffen wesentlich gr¨oßere Partikel haupts¨achlich die Spitzen der Rauhigkeitserhebungen. Aus geometrischen Betrachtungen l¨aßt sich die Standardabweichung des Inklinationswinkels in folgender Weise absch¨atzen:

∆γ =

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

arctan

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

arctan

2Hr Lr

f¨ ur dP
100), gebildet aus Partikelrelaxationszeit und Kolmogorov–Zeitmaßstab, siehe S. 48, verschiebt sich der Beginn der Kollision zu kleineren Werten von αP , weil τC ∼ αP /StE ist,32 siehe [213]. τC kann u ¨ ber die kinetische Gastheorie, siehe Gl. (3.5), berechnet werden und ist die mittlere Zeit zwischen zwei Kollisionen. Durch den Vergleich von τC mit der aerodynamischen Relaxationszeit τA l¨aßt sich entscheiden, ob die Partikelbewegung u ¨berwiegend von den aerodynamischen Kr¨aften des Fluides oder von den Inter– Partikel–Kollisionen dominiert wird. Der Kehrwert der Kollisionszeit ist die mittlere Kollisionsrate oder Kollisionsfrequenz νC , d.h. die mittlere Anzahl von Kollisionen, die ein Partikel pro Zeiteinheit ausf¨ uhrt: νC =

1 τC

.

(4.6)

F¨ ur αP ≥ 10−3 ist nach [107], [213], der Einfluß der Partikel–Partikel–Kollision zu ber¨ ucksichtigen, weil die Stokes–Zahl bezogen auf die Kollisionszeit StC = τp /τC gr¨oßer als 1 wird. Eine wichtige Gr¨oße im Zusammenhang mit Partikel–Partikel– Kollisionen und deren Modellierung ist die Anzahldichte der Partikel nP , d.h. die Anzahl der Partikel, die sich in einem Einheitsvolumen des Gas–Feststoff–Gemisches aufhalten. Wie bereits im Abschnitt 3.1 erl¨autert wurde, ist die Angabe einer solchen 32 Die Stokes–Zahl StE = τp /τE bezieht sich auf die das Partikel beeinflussenden Wirbel, was LI einem Zeitmaßstab τE = uurms entspricht. LI , siehe Gl. (3.50), ist das Lagrange L¨angenmaß und uurms die Wirbelgeschwindigkeit.

122

WW p k

WW p E

10E+4

10E+2

vernach− lässigbare Auswirkung auf die Turbulenz

Partikel erhöhen die Produktion

10E+2

10E+0

Partikel erhöhen die Dissipation

10E−0

10E−2

10E−7

Ein−Wege Kopplung

10E−5

10E−2

10E−3

Zwei−Wege− Kopplung

verdünnte Suspension

10E−1

D

10E−4

p

Vier−Wege− Kopplung dichte Suspension

Abbildung 4.5: Einteilung der Partikel–Wechselwirkungen nach der Volumenfraktion αp und der Stokes–Zahl Stk = τP /τk bzw. StE = τP /τE nach Elghobashi [107] Gr¨oße nur dann sinnvoll, wenn sich in einem Kontrollvolumen, das wesentlich kleiner als die charakteristische Abmessung des Str¨omungsgebietes ist, hinreichend viele Partikel aufhalten. Ist diese Voraussetzung erf¨ ullt, so betr¨agt das mittlere Volumen VP , das jedem Partikel zur Verf¨ ugung steht, VP =

1 nP

(4.7)

und der mittlere Abstand zwischen den Partikeln δP l¨aßt sich absch¨atzen mit: −1

δP = nP 3 .

(4.8)

In dieser Arbeit sollen Str¨omungen betrachtet werden, die eine mittlere bis hohe Massenbeladung aufweisen, deren volumetrische Beladung aber dennoch klein ist.

123

Daß diese Annahme plausibel ist, sieht man z.B. daran, daß in einem Gemisch von gemahlener Kohle und Luft mit einer relativ hohen Massenbeladung von η = 10 die Volumenbeladung αP ≈ 9 · 10−3 betr¨agt. In solchen Str¨omungen ist der mittlere Abstand zwischen den Partikeln sehr viel gr¨oßer als der Partikeldurchmesser δP  dP ,

(4.9)

wenn es sich um kleine Partikel handelt. Gl. (4.9) definiert eine wesentliche Voraussetzung f¨ ur den bin¨aren Stoß. Obwohl gerade die Kollisionsmodellierung gerne auf Beziehungen der kinetischen Gastheorie zur¨ uckgreift, sollte man sich der Unterschiede zur makroskopischen Partikelkollision bewußt sein, siehe Indenbirken [183]. Nachfolgend werden die Eigenschaften einer makroskopischen Partikelstr¨omung aufgez¨ahlt, die sich in folgenden Punkten von der mikroskopischen kinetischen Gastheorie unterscheiden: • Partikel sind volumenbehaftet und nicht ideal rund, • es kommt zur Dissipation von Impuls und Energie infolge Kollision (kein totalelastischer Stoß), • Partikeldurchmesser k¨onnen stark unterschiedlich sein (Partikelgr¨oßenverteilung), • Partikelstr¨omungen werden oft von W¨anden mit unterschiedlichem Reflexionsverhalten beeinflußt, • Partikel sind infolge der Haftbedingung an der Oberfl¨ache von einer Grenzschicht umgeben und sind nicht unabh¨angig vom Umgebungsfluid bzw. beeinflussen sich gegenseitig, • die Partikelanzahl pro Kontrollvolumen kann kleiner als die statistisch notwendige Anzahl sein. Eine weitere Bedingung f¨ ur die G¨ ultigkeit der kinetischen Gastheorie kann mit Kn = λP /L < 10−3 formuliert werden. λP wird als freie Wegl¨ange bezeichnet, die den zur¨ uckgelegten Weg eines Partikels zwischen zwei Kollisionen bemißt, siehe Gl.(3.3) und L ist eine charakteristische Gr¨oße des Str¨omungsgebietes. Weiter sollte die kleinste freie Wegl¨ange λP ∼ 7 − 10 dP sein, siehe Bird [37], was auch wesentlich ist, um die Einschr¨ankung der bin¨aren33 Kollisionen zu gew¨ahrleisten (dies erfordert ein Minimum an freier Wegl¨ange). 33 Kollisionsuntersuchungen/modellierungen beschr¨anken sich zum u ¨ berwiegenden Teil aus Gr¨ unden der Einfachheit auf den bin¨aren Stoß.

124

Tats¨achlich werden einige der vorhin genannten Annahmen der kinetischen Gastheorie von realen Partikelstr¨omungen nicht erf¨ ullt, wobei beispielsweise die Grenzwerte in Richtung dichte Gase u ¨berschritten werden (Kn  10−3 ). Außerdem kommt es bei kleinen Partikeln (St < 1) zu Korrelationen zwischen den mittleren und den fluktuierenden Gas– und Partikelsgeschwindigkeiten, die durch jede Kollision modifiziert werden, siehe Chang et al. [59] und Lavieville [231]. Korrelationen zwischen den stoßenden Partikel und dem umgebenden Fluid bzw. zwischen den Stoßpartnern bedeuten, daß die Beziehung f¨ ur die Kollisionszeit τc , siehe Gl. (3.5), die aus der kinetischen Gastheorie kommt oder die Geschwindigkeit des fiktiven Stoßpartners, siehe Sommerfeld [359], Berlemont et al. [32, 33], daran angepaßt werden muß. Die Kollisionsfrequenz νC wird exemplarisch f¨ ur den Grenzfall Stokes–Zahl → 0 von Saffman und Turner [323] bzw. f¨ ur den Grenzfall Stokes–Zahl → ∞ von Abrahamson [3] f¨ ur schwere Partikel bei starker, isotroper Turbulenz angegeben zu ,

νC−Saf

=

νC−Abr

=

8π (r1 + r2 )3 (4.10) NP 1 NP 2 , 15ν V 2 * √ (r1 + r2 ) 2 2π σP2 1 + σP2 2 NP 1 NP 2 mit σP2 = u
P2 = vP
2 = wP
2 . V

In Gl.(4.10) wird die Kollisionsfrequenz νC−Saf aus den Fluidgr¨oßen Dissipation  und kinematische Viskosit¨at ν bzw. aus der Partikelanzahl NP und dem Partikelradius r gebildet. Die Kollisionsfrequenz νC−Abr wiederum beinhaltet die isotrope Partikelschwankungsgeschwindigkeit σP . Beide Formulierungen f¨ ur νC sind auf ein Kontrollvolumen V bezogen. Der Einfluß von Turbulenz und Brownscher Bewegung auf die Kollisionsfrequenz wurde von einer Reihe von Autoren mit unterschiedlichen Ans¨atzen dargestellt, siehe Sommerfeld [359], Achim [4], Yuu [440].

4.2.2

Vorangegangene Arbeiten im Bereich Partikel– bzw. Tropfen–Kollisionen

Bevor auf die Einfl¨ usse der Kollision bei Mehrphasenstr¨omungen eingegangen wird, sollen die wesentlichen Unterschiede zwischen Partikeln und Tropfen beleuchtet werden. W¨ahrend bei Partikelkollisionen von einem harten Kugel–Modell ausgegangen wird, das mit Hilfe der Coulombschen Reibungsans¨atze und einem elastisch/plastischen Stoßmodell beschrieben wird, ist das Verhalten von Tropfen viel komplexer. Die Tropfentemperatur bzw. der Umgebungsdruck haben Einfluß auf die physikalischen Eigenschaften des Tropfenfluids, die wiederum die Gr¨oße der Verformung der Tropfenoberfl¨ache infolge einer Kollision bestimmen, was bis zu Tropfen¨ aufbruch oder zur Koaleszenz f¨ uhren kann. Post et al. [304] geben einen Uberblick

125

u ¨ber die aktuellen Tropfen–Kollisionsmodelle, wobei auch die Koaleszens34 detailliert untersucht wird. Zielanwendung ist eine Simulation des Diesel–Strahls, bei der jedoch oft infolge zu geringer Netzaufl¨osung der m¨ogliche Genauigkeitsgewinn durch verbesserte Kollisionsmodelle bei der Tropfengr¨oßenverteilung stark reduziert wird. Sowohl die Partikel– als auch die Tropfen–Kollision kann man direkt im Sinn der DNS/LES simulieren, um eine Referenz f¨ ur die Modellierung zu bekommen, siehe Sundaram et al. [377], [378], Lavieville et al. [231], [232], Yamamoto [425], Chen [63], [64]. Die Partikel–DNS/LES erlaubt die Untersuchung eines kleineren Tropfenkollektivs, wie schon im Kap. 1.2.2 eingehend beschrieben wurde. Bei Tropfen k¨onnen nur wenige Einzeltropfen mittels eines Freien–Oberfl¨achen–Codes simuliert werden, siehe Tryggvason et al. [274], weil das Nachbilden des Zerfalls vom Einzel– in viele Satelliten–Tropfen oder das Verschmelzen zu einem Tropfenklumpen recht aufwendig ist, siehe Frohn [140], Umemura et al. [187], [426]. Der Kollisionsprozeß l¨aßt sich bez¨ uglich der H¨aufigkeit seines Auftretens, der Art des Kontaktes (bin¨arer Stoß oder Clusterinteraktion) und der Art der Wechselwirkung (zentraler oder exzentrischer Stoß, Koaleszenz oder Tropfenaufbruch) einteilen. Außerdem ist die St¨arke der Korrelation zwischen den Stoßpartnern bzw. zwischen Fluid und Partikeln von Bedeutung, was wiederum von der Stokes–Zahl, dem lokalen Turbulenzniveau und etwaigen geometrischen Randbedingungen (Wandeinfluß) abh¨angig ist. Rein mechanisch bedeutet die Kollision eine zus¨atzliche Dissipation, die Bewegungsenergie in W¨arme umwandelt und eine Vergleichm¨aßigung der Partikelstr¨omung bewirkt. Kollisionen haben je nach H¨aufigkeit großen Einfluß auf die Partikelstr¨omung, bei entsprechender Massenbeladung auch auf die kontinuierliche Phase. Es gibt viele, meist auf Kanal– oder Plattenstr¨omungen bezogene Untersuchungen, siehe Wassen [428], Frank [136], die die Auswirkungen der Kollision experimentell oder numerisch dokumentieren. Oesterl´e und Petitjean [279] f¨ uhrten numerische Simulationen einer horizontalen Rohrstr¨omung mit Ein–Weg–Kopplung durch. Weiter wird die Partikel–Partikel– und die Partikel–Wand–Wechselwirkung mit einem statistischen Modell ber¨ ucksichtigt. Die Experimente von Morikawa [263] sind f¨ ur gewisse Beladungen mit der Simulation von Oesterl´e vergleichbar. Dabei wurde der pneumatische Transport (Gasgeschwindigkeit vg ≈ 25,5 m/s) von Glaspartikeln mit einem mittleren Durchmesser von dP = 100 µm und einer Dichte ρ = 2620 kg/m3 in einem Rohr mit einem Durchmesser von 30 mm untersucht. Es wurden Beladungen von η = 0; 2; 5; 10; 20 34 W¨ahrend bei Tropfen die Koaleszenz infolge Kollision schon lange modelliert wird, O’Rourke [282], gibt es f¨ ur feste Partikel noch sehr wenige Modellierungsans¨atze im Rahmen einer 3–D–Str¨omungssimulation. Ho [175] befaßt sich mit der Agglomeration f¨ ur Partikel von 1 − 20 µm infolge von Kollisionen und van–der–Waalschen Kr¨aften.

126

simuliert. Bei einer geringen Massenbeladung ist dabei die vertikale Konzentrationsverteilung der Partikel relativ gleichm¨aßig. Dies ist auf den im Kap. 4.1 beschriebenen Einfluß der Wandrauhigkeit zur¨ uckzuf¨ uhren. Mit zunehmender Massenbeladung nimmt jedoch die Partikelkonzentration im unteren Teil des Rohrquerschnittes zu. Dies ist damit zu erkl¨aren, daß die von der rauhen Wand zur¨ uckprallenden Partikel nicht mehr so weit in das Str¨omungsgebiet eindringen k¨onnen, da sie auf ihrem Weg mit anderen Partikeln kollidieren. Bis zu einer Massenbeladung von η = 10 ist zu beobachten, daß die maximale Konzentration nicht unmittelbar an der Wand, sondern ca. 4,5 mm von der Wand entfernt, vorliegt. Dies wird von Oesterl´e und Petitjean damit erkl¨art, daß in unmittelbarer Wandn¨ahe sehr große Unterschiede in den Geschwindigkeiten der auftreffenden und der zur¨ uckprallenden Partikeln existieren, was eine große Anzahl von Inter–Partikel–Kollisionen zur Folge hat. Dadurch entsteht ein abschirmender Effekt, durch den die Partikelkonzentration in unmittelbarer Wandn¨ahe sinkt. Bei einer Massenbeladung von η = 20 ist dieser Effekt allerdings nicht mehr zu beobachten. In diesem Fall nimmt die Konzentration nach unten hin stark zu und hat ihr Maximum direkt an der Rohrwand. Da f¨ ur diesen Umschlag des Verhaltens keine Erkl¨arung abgegeben wird, muß hier auf weitere Untersuchungen gehofft werden. Außerdem ist bei dieser hohen Beladung eine Zwei– Wege–Kopplung unbedingt notwendig, wobei zus¨atzlich die Turbulenzmodellierung kritisch hinterfragt werden muß. In [126] zeigt Fohanno an einem vertikalem Kanal eine Partikelstr¨omung, die stark von Partikel–Wand– und Partikel–Partikel–Kollisionen beeinflußt ist. Die Volumenfraktion betr¨agt αP = 6, 5 · 10−4 bzw. 1, 9 · 10−3 (η = 3, 2 bzw. 9, 3), wobei die Glaspartikel einen Durchmesser von 3 mm haben. Es werden in drei Ebenen mittlere und fluktuierende Partikelgeschwindigkeiten gemessen. Außerdem werden Konzentrationen u ¨ber die Anzahldichte dimensionslos dargestellt. Obwohl dieses Experiment nur den speziellen Fall von sehr großen Partikeln und damit von der Gasstr¨omung entkoppelte Partikeln untersucht, ist hiermit Kollision und Partikel– Wand–Wechselwirkung in einer einfachen, meßtechnisch u ufbaren Form exem¨berpr¨ plarisch dargestellt. Infolge der konischen Form des Kanals kommt es zu Partikel– Wand–Wechselwirkung und Partikel–Partikel–Kollisionen, die die von der Gravitation getriebene vertikale Hauptstr¨omung bremsen und teilweise in radiale Richtung umlenken. Die parallel dazu durchgef¨ uhrte Berechnung zeigt den aktuellen Stand der Modellierung und demonstriert die Brauchbarkeit dieser Konfiguration zur Validierung von Kollisionsmodellen. Tanaka [380] f¨ uhrte Messungen an einer Str¨omung von Polysterenpartikeln und Luft in einem vertikalen Rohr durch. Hierbei zeigte sich, daß bei sehr geringen Beladungen die Partikelkonzentration nahe der Rohrachse am gr¨oßten ist und nach außen hin stark abnimmt. Bereits bei einer moderaten volumetrischen Beladung von αP = 4 · 10−4 , die einer Massenbeladung von η ≈ 0, 35 entspricht, verursachen die Inter–Partikel–Kollisionen eine verst¨arkte Dispersion der Partikel, was zu einer

127

gleichm¨aßigeren Konzentrationsverteilung im Rohrquerschnitt f¨ uhrt. Diese Messungen wurden durch entsprechende Simulationen von Tanaka und Tsuji [381] best¨atigt.

4.2.3

Berechnung der bin¨ aren Kollision von Partikeln

4.2.3.1

Allgemeine Definitionen

Die unterschiedlichen Modelle zur Simulation von Partikel–Partikel–Kollisionen differieren in der Art der Detektion einer Kollision, der Bestimmung der daran beteiligten Kollisionspartner und der Berechnung der Kollisionsfrequenz. Allen Modellen ist jedoch gemeinsam, daß die Geschwindigkeiten und Rotationsgeschwindigkeiten der beteiligten Partikel nach dem Stoß mit Hilfe der Impuls– bzw. Drehimpulsgleichungen aus den entsprechenden Gr¨oßen vor dem Stoß ermittelt werden. In diesem Kapitel wird daher der Formelapparat f¨ ur den Coulombschen Gleit– und Haftstoß zweier rotierender Partikel beschrieben. Es ist ein beliebiger Stoß (zentral oder exzentrisch) m¨oglich, w¨ahrend bei der Tropfenkollision die Stoßexzentrizit¨at (beim zentralen Stoß ist die Relativgeschwindigkeit der Stoßpartner komplanar zur Verbindungslinie zwischen den Kugelmittelpunkten) separat mit Hilfe einer Stoßeffizienz (abh¨angig von Weber–Zahl, Tropfengr¨oßenverh¨altnis und Stoßexzentrizit¨at) modelliert wird, siehe O’Rourke [283]. Die hier angegebenen Gleichungen sind Tanaka und Tsuji [381], Fohanno und Oesterl´e [126] und Frank [136] entnommen und gelten f¨ ur alle Kollisionsmodelle gleichermaßen. Die Kollision zweier Tropfen wird hier nicht behandelt, weil der Schwerpunkt dieser Arbeit auf festen Partikeln liegt. Post und Abraham [304] haben die bei Tropfenkollisionen relevanten Aspekte umfassend diskutiert. Zur Vereinfachung des Gleichungsapparates wird zur Beschreibung des Partikel– Partikel–Stoßes ein lokales Koordinatensystem verwendet, dessen Ursprung mit dem Mittelpunkt des Partikels (1) verbunden ist, siehe Abb.4.6. Die erste Koordinatenachse n ist entlang der Verbindung der beiden Partikelmittelpunkte gerichtet −→

O1 O2

n =

−→

=

O1 O2

⎛

1

−→ ⎜

⎝

O 1 O 2

⎞

xP,2 − xP,1 yP,2 − yP,1 ⎟ ⎠ . zP,2 − zP,1

(4.11)

Die zweite Koordinatenrichtung t ist als Tangentialvektor an die beiden sph¨arischen Partikeln in ihrem Kontaktpunkt M definiert. Zus¨atzlich soll der Vektor t komplanar mit dem Vektor der Relativgeschwindigkeit der beiden Partikeln vrel,c = v1 −v2 sein. Es ist nun zun¨achst einfacher, die Richtung des dritten Einheitsvektors (der dritten

128

M 1

M

t

2

v1 v

n k

0 1

M

2

00 2

Abbildung 4.6: Lokales Koordinatensystem bei der Berechnung des Partikel– Partikel-Stoßvorganges Koordinatenrichtung) k aus folgender Beziehung zu bestimmen : k = n × vrel,c . |n × vrel,c |

(4.12)

anschließender Normierung dieses Vektors. Es folgt sofort : t = k × n .

(4.13)

Damit ist ein rechtsorientiertes, normiertes Koordinatensystem (n, t, k) gefunden, dessen Einheitsvektoren n und t in der Stoßebene der Partikeln (1) und (2) liegen und dessen dritter Einheitsvektor k senkrecht auf der Stoßebene steht. Als n¨achstes wird die Relativgeschwindigkeit der Partikeln im Kontaktpunkt M der beiden Partikeln (1) und (2) ermittelt : dp1 (n × ω1 ) , 2 dp2 (n × ω2 ) , = v2 + 2 ∗ ∗ = v1 − v2 =

v1∗ = v1 −

(4.14)

v2∗

(4.15)

vf c

⎛

=

⎜ ⎝

⎞

⎛

⎞

v1n − v2n vf c,n dp1 dp2 ⎜ ⎟ vf c,t ⎟ ⎠ = ⎝ v1t + 2 ω1k − v2t + 2 ω2k ⎠ . dp1 dp2 vf c,k v1k − 2 ω1t − v2k − 2 ω2t

129

(4.16)

Die Indizes n, t und k bezeichnen die Komponenten der Translations– und Rotationsgeschwindigkeiten im transformierten Koordinatensystem (O1, n, t, k). Unter Anwendung der Impuls– und der Drehimpulsgleichung auf den Stoß zwischen den Partikeln (1) und (2) erh¨alt man die mit dem Superskript (2) bezeichneten Partikelgr¨oßen nach dem Stoß: (2)

v1

(2)

v2

(2)

ω1

(2)

ω2

= v1 +

J , mp1

(4.17)

= v2 −

J , mp2

(4.18)

= ω1 +

1 dp1  , (n × J) Ip1 2

(4.19)

= ω2 −

1 dp2  . (n × J) Ip2 2

(4.20)

Ip ist das Tr¨agheitsmoment des jeweiligen Partikels. J entspricht dem Gesamtimpuls, der w¨ahrend der Stoßzeit von einem Partikel auf das andere u ¨bertragen wird. Da ¨ die Anderung des Impulses einer Kraft entspricht, ist das Zeitintegral der Stoßkraft FC , die auf die beiden Partikel wirkt.

J ≡

t(2)

FC dt

(4.21)

t(1)

Aus Gl. (4.17) und Gl. (4.18) kann man den Stoßimpuls formulieren: 





(2) (2) J = m1 v1 − v1 = −m2 v2 − v2



.

(4.22)

Aus dieser Beziehung und der Definition f¨ ur den Stoßbeiwert ep in normaler Richtung (2)

ep = −

(2)

v1n − v2n v1n − v2n

(4.23)

130

ergibt sich der Zusammenhang f¨ ur den summarischen Impuls Jn in Normalenrichtung. Hierbei sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß der beiden Stoßpartner durch das Superskript (2) gekennzeichnet, die es im Folgenden aus den Gleichungen zu eliminieren gilt. Aus den n–Komponenten der Gleichungen (4.22) und der Gleichung f¨ ur den Stoßbeiwert in normaler Richtung (4.23) ergibt sich ein Gleichungssy(2) (2) stem mit drei Gleichungen, aus denen die Unbekannten v1n und v2n elimiert werden k¨onnen: (2)

(2)

v1n − v2n = −ep (v1n − v2n ) ,   1 (2) Jn = v1n − v1n , m1   1 (2) Jn = − v2n − v2n . m2

(4.24) (4.25) (4.26)

Stellt man die letzten beiden Gleichungen nach den Geschwindigkeitskomponenten nach dem Stoß um, ergibt sich (2)

v1n

(2)

v2n

1 Jn + v1n , m1 1 = v2n − Jn . m2 =

(4.27) (4.28)

(2)

(2)

Setzt man diese beiden Beziehungen f¨ ur v1n und v2n in die Gl. (4.24) ein, so erh¨alt man 1 1 Jn + v1n − v2n + Jn = −ep (v1n − v2n ) , m1 m2 m1 + m2 Jn + v1n − v2n = −ep (v1n − v2n ) , m1 m2 m1 + m2 Jn = −(1 + ep ) (v1n − v2n ) . m1 m2

(4.29) (4.30) (4.31)

oder Jn = −

m1 m2 (1 + ep )(v1n − v2n ) . m1 + m2

131

(4.32)

4.2.3.2

Herleitung der Bedingung f¨ ur einen Haftstoß

Es wird zwischen zwei Arten des Partikel–Partikel–Stoßes unterschieden. Kommt die gleitende Bewegung an der Kontaktstelle der beiden Partikeln w¨ahrend des Stoßvorganges zur Ruhe, so spricht man von einem Haftstoß. H¨alt diese gleitende Bewegung an der Kontaktstelle u ¨ber den gesamten Zeitraum des Stoßvorganges hinweg an, so spricht man von einem Gleitstoß. Die Gleitgeschwindigkeit an der Kontaktstelle berechnet sich aus vs = vf c,t t + vf c,k k .

(4.33)

Nach dem Coulombschen Reibungsgesetz erh¨alt man die Bedingung f¨ ur einen Haftstoß in Abh¨angigkeit vom Haftreibungskoeffizient fp



J ×  n





≤ fp J · n

(4.34)

oder *

Jt2 + Jk2 ≤ fp |Jn | .

(4.35)

Jn berechnet sich nach Gl. (4.32). Unter Verwendung von Gl. (4.16), (4.22), (4.23) und mit der Bedingung, daß die Gleitgeschwindigkeit im Kontaktpunkt M der beiden Partikeln zum Ende der Kollision gleich Null ist (|vs | = 0), ergeben sich folgende Tangentialkomponenten f¨ ur den Haftstoß: m1 m2 2 Jt = − vf c,t , 7 m1 + m2 m1 m2 2 Jk = − vf c,k . 7 m1 + m2

(4.36) (4.37)

Wenn man die Impulskomponenten Jn , Jt , Jk in Gl. (4.35) einsetzt, ergibt sich die Bedingung f¨ ur den Haftstoß zu 2 m1 m2 * 2 m1 m2 v + vf2c,k ≤ fp (1 + ep ) |v1n − v2n | 7 m1 + m2 f c,t m1 + m2

(4.38)

oder *

7 vf2c,t + vf2c,k ≤ fp (1 + ep ) |v1n − v2n | . 2

132

(4.39)

4.2.3.3

Beziehungen f¨ ur den Haftstoß

Ist die obige Bedingung f¨ ur einen Haftstoß erf¨ ullt, Gl. (4.39), so ergeben sich die Stoßbeziehungen f¨ ur die Berechnung der Partikelgeschwindigkeit und die Partikelrotationsgeschwindigkeit nach dem Stoß wie folgt: ⎛

m1



(2) v1

− v1



= J =

⎜ m1 ⎜ ⎝

⎞

(2)

⎛

⎞

v1n − v1n Jn ⎟ ⎜ (2) Jt ⎟ = ⎝ ⎠ . v1t − v1t ⎟ ⎠ (2) J k v1k − v1k

(4.40)

Nach dem Einsetzen der Beziehungen f¨ ur Jn , Jt und Jk aus Gl. (4.32), (4.36) und (4.37) ergeben sich die Stoßbeziehungen zu ⎛

⎞

⎛

(2) v + v ⎜ 1n ⎜ 1n ⎟ ⎜ v (2) ⎟ = ⎜ ⎜ v1t + ⎝ 1t ⎠ ⎝ (2) v1k v1k +

1 m1 Jn 1 m1 Jt 1 m Jk

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

.

(4.41)

1

Basierend auf der Impulserhaltung ergibt sich f¨ ur die Rotationsgeschwindigkeit nach dem Stoß entsprechend: ⎛ ⎜ I1 ⎜ ⎝

⎞

⎛

⎞

(2) 0 ω1n − ω1n ⎟ ⎜ ⎟ dp1 (2) ω1t − ω1t ⎟ ⎠ = ⎝ − 2 Jk ⎠ , dp1 (2) J ω1k − ω1k 2 t

(4.42)

ur das Partikel (1) ist. Somit ergeben wobei I1 = 25 m1 ( d2p1 )2 das Tr¨agheitsmoment f¨ sich die Stoßbeziehungen f¨ ur die Rotationsgeschwindigkeit des Partikels (1) nach dem Stoß zu ⎛

⎛

⎞ ω1n (2) ω ⎜ dp1 ⎜ ⎜ 1n ⎟ (2) ⎜ ω − ⎜ ω ⎟ 2 I1 Jk ⎝ 1t ⎠ = ⎜ 1t ⎝ (2) d ω1k ω1k + 2 p1 I Jt

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

.

(4.43)

1

4.2.3.4

Beziehungen f¨ ur den Gleitstoß

F¨ ur den Gleitstoß zweier Partikeln ergeben sich die Impulskomponenten Jt und Jk in tangentialer Richtung im Verh¨altnis zur Stoßrichtung n aus den folgenden

133

Gleichungen: vf c,t Jt = −fp,k |Jn | * , vf2c,t + vf2c,k vf c,k . Jk = −fp,k |Jn | * vf2c,t + vf2c,k

(4.44) (4.45)

Die Partikelgeschwindigkeit und die Partikelrotationsgeschwindigkeit f¨ ur das Partikel (1) ergeben sich dann aus den gleichen Beziehungen (4.41) und (4.43) wie f¨ ur den Haftstoß lediglich unter Einsetzung der ver¨anderten Beziehungen f¨ ur Jt und Jk aus den Gl. (4.44) und (4.45).

4.3

Modelle zur Simulation von Kollisionen

F¨ ur die ELM kann die Kollision mit folgenden zwei Methoden simuliert werden, wobei speziellere Methoden, wie die DSMC35 nach Bird [36], [37], die f¨ ur stark verd¨ unnte Gasstr¨omungen verwendet wird, oder eine auf Partikelstr¨omungen erweiterte DSMC, siehe Kitron [206], aus Gr¨ unden der Relevanz f¨ ur Str¨omungen im Bereich Maschinenbau/Verfahrenstechnik vernachl¨assigt werden. Beide Ans¨atze basieren auf der Lagrangen Beschreibung der Partikel und diskretisieren die disperse Phase als Massenpunkte in einem Vielk¨orpersystem: 1. Die Partikelstr¨omung wird in einer Art direkter Simulation, wobei jedes physikalische Partikel einem numerischen Partikel entspricht (Nsim = Nreal ), gel¨ost. Jede Kollision kann damit exakt ohne Modellierung berechnet werden. Wie bei der DNS f¨ ur Fluidstr¨omungen ist dieser Ansatz nur f¨ ur eine im Vergleich zu realen Problemen geringe Anzahl von Partikeln durchf¨ uhrbar, weil die aktuellen und auch zuk¨ unftig absehbaren Rechnerresourcen damit weit u ¨berfordert sind. F¨ ur Grundsatzuntersuchungen mit LES–DNS–Ans¨atzen wird diese deterministische Methode der Partikelverfolgung genutzt, um Vergleichsdaten f¨ ur die Modellierung von stochastischen Ans¨ atzen zu bekommen, siehe Lavieville [231], Wang [423], Sundaram [377], [378], Tsuji [381]. 2. Die Simulation von technischen Partikelstr¨omungen gelingt mit Hilfe der PSI– Cell–Methode nach Crowe [69] bzw. Dukowicz [98], die eine Mittelung u ¨ber Partikel gleicher physikalischer Eigenschaften zu einem numerischen Partikel 35 Die DSMC setzt unter anderem die gleiche Partikelzahl Np pro Rechenpartikel voraus, was bei realen Partikelgr¨oßenverteilungen nicht gegeben ist.

134

vorsieht. Da hierbei mit Partikelgruppen gerechnet wird, muß der Kollisionsprozeß als ein stochastischer Vorgang betrachtet werden. Dementsprechend ist die Kollisionsfrequenz und der Stoßpartner u ¨ber Wahrscheinlichkeiten zu modellieren.

F¨ ur Punkt 2 l¨aßt sich die zus¨atzliche Unterscheidung station¨ar/instation¨ar treffen. Das heißt, je nach Str¨omungscharakteristik verh¨alt sich die Partikelstr¨omung u ¨ber eine l¨angere Zeit gleich bzw. es kommt zu Fluktuationen, was einen oft betr¨achtlich h¨oheren Rechenaufwand generiert. DNS–LES–Simulationen sind dagegen immer als instation¨ar zu betrachten. Die EEM verwendet Ans¨atze aus der kinetischen Theorie f¨ ur granulare Str¨omungen, siehe Indenbirken [183], Sakiz et al. [325], [326], Lavieville [232], und zeichnet sich durch weit geringere Rechenzeiten als die ELM aus. Daf¨ ur muß ein erh¨ohter Modellierungsaufwand mit den damit verbundenen Einschr¨ankungen in Kauf genommen werden.

4.3.1

Stochastische Kollisionsmodelle

Kollisionsmodelle im Rahmen der ELM unterscheiden sich bez¨ uglich der Definition des Stoßpartners und dessen physikalischen Gr¨oßen, der Kollisionsfrequenz und der Stoßwahrscheinlichkeit. Es werden im folgenden diese Gr¨oßen definiert und f¨ ur mehrere Modelle beschrieben. Anschließend werden die Unterschiede bewertet und m¨ogliche Verbesserungen zu einem Gesamtmodell f¨ ur station¨are und instation¨are Anwendungen aufgezeigt.

4.3.1.1

Stoßzylinder

Die geometrische Erfassung der Stoßpartner wird in Analogie zur kinetischen Gastheorie, Bird [37], u uhrt. Abb. 4.7 zeigt ¨ ber einen sogenannten Stoßzylinder durchgef¨ schematisch die Lage der Stoßpartner zueinander und daß die Achse des Stoßzylinders (n’–Richtung) vom Geschwindigkeitsdifferenzenvektor vrel,c der beiden Partikel gebildet wird. Das Partikel 1 liegt dabei im Koordinatenursprung f¨ ur das lokale System (n,t,k), was die Modellierung vereinfacht. Partikel 2 ist der Stoßpartner bzw. fiktive Stoßpartner. Die Gerade zwischen den Mittelpunkten der beiden Partikel liegt in n–Richtung, um einen zentralen Stoß zu erhalten. Die Querschnittsfl¨ache des Stoßzylinders bezeichnet man als den Kollisionsquerschnitt σT = π4 (dp1 + dp2 )2 .

135

n

t' 2

t

t' 2

B

O

L 1

1

v

r e l,c

L k '

n '

k

Abbildung 4.7: Stoßzylinder und lokales Koordinatensystem bei der Berechnung des Partikel–Partikel-Stoßvorganges, Sommerfeld [359] 4.3.1.2

Kollisionsfrequenz

Mit Hilfe des Stoßzylinders l¨aßt sich die Kollisionsfrequenz νC aus der kinetischen Gastheorie ableiten, siehe Gl.(3.5), Gl.(4.6) bzw. eine auf den aktuellen Partikelintegrationszeitschritt bezogene dimensionslose Stoßfrequenz νC,t definieren: νC,t =

π NP (dP 1 + dP 2 )2 |vrel,c | ∆t . 4V

(4.46)

Die in Gl. (4.46) definierte Relativgeschwindigkeit36 vrel,c zwischen den Kollisionspartnern wird durch deren Momentangeschwindigkeiten gebildet. NP ist die Gesamtzahl der Partikel in dem betrachteten Kontrollvolumen V bzw. die Anzahl der realen Partikel pro Rechenpartikel. Die Unterschiede ergeben sich aus der Modellierung des Kollisionsprozeßes zwischen zwei Partikeln (O’Rourke [283]) oder der Kollision zwischen dem gerade berechneten Partikel mit allen anderen Partikeln im Kontrollvolumen (Oesterl´e [126]). Trotz der in Kap. 4.2.1 genannten Unterschiede zwischen der kinetischen Gastheorie und realen Partikelstr¨omungen verwendet der Großteil der Autoren, wie beispielsweise Sommerfeld [359], Oesterl´e [126], O’Rourke [283], Berlemont [32], [33] und Kitron [207], die Formulierung von Gl. (4.46) f¨ u√ r die Stoßfrequenz. Oesterl´e modifiziert die Kollisionsfrequenz νC mit νC,mod = νC / 2, was einer Maxwellschen Dichteverteilung der Partikelrelativgeschwindigkeiten entspricht. Berlemont [33] ber¨ ucksichtigt bei kleiner Drift der Partikeln die Fluktuationsgeschwin36 Die Relativgeschwindigkeit ist hier vorzeicheninvariant, was aus der statistischen Betrachtung eines Mittelungsvolumen herr¨ uhrt, bei der die ¨ortliche, momentane Lage der Partikel bedeutungslos ist. Das heißt, die Modelle nehmen eine statistisch gleichm¨aßige Verteilung der Partikel u ¨ ber das Kontrollvolumen an, was bei geringer Anzahldichte oder zu großen Kontrollvolumina nicht gegeben ist.

136

digkeiten. F¨ ur eine numerisch genaue Aufl¨osung der Kollisionsereignisse ist es notwendig, daß der Integrationszeitschritt darauf abgestimmt wird. Sommerfeld [357] hat folgende Beziehung als eine relevante oberste Zeitschrittschranke infolge Kollision abgeleitet: ∆t ≤ 0.05/νC .

(4.47)

Watkins [1] hat die Zeitschrittproblematik im Kollisionsmodel von O’Rourke untersucht und ein weit realistischeres Verhalten dieses Modells bei Verwendung einer, bezogen auf die Kollisionszeit obersten Zeitschranke, erreicht. 4.3.1.3

Kollisionswahrscheinlichkeit

Die Annahme eines molekularen Chaos aus der kinetischen Gastheorie ergibt f¨ ur ein Einheitsvolumen V eine momentane Anzahl von N Molek¨ ulen, wobei n die spezifische Anzahl der Molek¨ ule pro Volumen ist. Die Anzahl N der Molek¨ ule fluktuiert ¯ (¯ ¯ ). Die Wahrscheinlichkeit von N kann mit einer um den Mittelwert N n = N/V Poissonverteilung folgendermaßen angegeben werden: P(N) = (¯ n V )N

e−(¯n V ) . N!

(4.48)

F¨ ur große Werte von n ¯ V wird diese Poissonverteilung der folgenden Gaußverteilung sehr ¨ahnlich: P(N) = √

(N−n V )2 1 e− 2n V . 2πnV

(4.49)

¯ wobei ur N, Wenn man n ¯ V durch νC ∆t ersetzt37 , erh¨alt man die Wahrscheinlichkeit f¨ ¯ hier statt der Anzahl der Molek¨ N ule die Anzahl der bin¨aren St¨oße im Zeitintervall ∆t ist: P(C,N) = (νC ∆t)N

e−(νC ∆t) . N!

(4.50)

F¨ ur keinen Stoß gilt mit N ≡ 0: P(C,0)) = e−(νC ∆t) .

(4.51)

37

¯ P(C,2) ersetzt (N ¯ mittlere Anzahl der Partikel, P(C,2) KollisionswahrWenn man n ¯ V durch N scheinlichkeit f¨ ur zwei Partikel), erh¨alt man die urspr¨ ungliche Binominalverteilung, die f¨ ur kleine ¯ in eine Poissonverteilung u Werte von P(C,2) und große Werte von N ¨ bergeht, [177].

137

Oesterl´e und Petitjean [279] verwenden folgende Beziehung aus der kinetischen Gastheorie, siehe auch Gl. (4.51), die die Wahrscheinlichkeit von einem Stoß innerhalb eines Zeitschritts ∆t angibt: P(C,1) = 1.0 − e−(νC ∆t) .

(4.52)

Berlemont [33] und Sommerfeld [359] verwenden die dimensionslose Kollisionsfreur die Stoßwahrscheinlichkeit PC = νC ∆t, was einer Linearisierung quenz νC,t direkt f¨ von Gl. (4.52) entspricht. O’Rourke [283] verwendet Gl. (4.50) um das Auftreten eines Stoßes zu erfassen. Eine Kollision wird nun berechnet, wenn eine zwischen [0, 1] gleichverteilte Zufallszahl ψ < PC ist. 4.3.1.4

Modellierung des Stoßpartners

Die Partikelgeschwindigkeiten des Stoßpartners werden abh¨angig von den Modellautoren unterschiedlich definiert: O’Rourke [283] modelliert den Stoß direkt zwischen zwei Rechenpartikeln. Sommerfeld [359] und Oesterl´e [279] verwenden einen fiktiven Stoßpartner aus gemittelten Partikelgr¨oßen, wie die Translations– bzw. Rotationsgeschwindigkeit, die Anzahldichte und den Durchmesser (vP 0 , ωP 0 , nP 0 , dP 0 ), des jeweiligen Kontrollvolumens generieren: • O’Rourke [283] verwendet ohne Modifikation Geschwindigkeit und Durchmesser des ausgew¨ahlten Stoßpartners, der ein Rechenpartikel ist. • Oesterl´e [279] verwendet einen fiktiven Stoßpartner, wobei dessen Geschwindigkeit sich aus einer Gauß–verteilten Zufallszahl mit dem Mittelwert uP 0 und Standardabweichung u
P 0 zusammensetzt. Analog dazu wird der Durchmesser f¨ ur den fiktiven Stoßpartner berechnet. • Sommerfeld [359] arbeitet ebenfalls mit einem fiktiven Stoßpartner mit der Geschwindigkeit uP f ic , die jedoch korreliert ist, um den Einfluß der Turbulenz abzubilden: uP

*

f ic

2 = R(τp ,τL ) (uP − uP 0 ) + uP 0 + u
P 0 1 − R(τ ξ . p ,τL )

(4.53)

uP ist die momentane Geschwindigkeit, u
P 0 ist die, bezogen auf ein Kontrollvolumen, mittlere Schwankungsgeschwindigkeit, siehe auch im Anhang Kap. C.3. Der Korrelationskoeffizient R(τp ,τL ) ergibt sich halbempirisch: R(τp ,τL ) = e−0.55 St

0.4

mit

St =

138

τp . τL

(4.54)

ξ ist eine Gauß–verteilte Zufallszahl mit dem Mittelwert Null und der Standardabweichung eins. Die Partikelrelaxationszeit τp ist in Gl. (3.4) definiert. Der Lagrange Zeitmaßstab τL wird mit Hilfe des k–ε–Modells bestimmt: τL = cT

ε k

mit

cT = 0, 3 .

(4.55)

Der Durchmesser dP f ic des fiktiven Stoßpartners ergibt sich aus einer Gauß– verteilten Zufallszahl mit dem Mittelwert dP 0 und der Standardabweichung d
P 0 . Diese Gr¨oßen (dP 0 , d
P 0 ) m¨ ussen f¨ ur das jeweilige Kontrollvolumen nach einer Mittelung zus¨atzlich in jedem Zeitschritt abgespeichert werden. Zus¨atzlich zu den physikalischen Gr¨oßen des Stoßpartners ist die Lage im Raum von Bedeutung. Bei O’Rourke [283] werden die schon bekannten Gr¨oßen des Rechenpartikels, analog zur Bestimmung von Geschwindigkeit und Durchmesser, verwendet. Sommerfeld [359] bestimmt die Position des fiktiven Stoßpartners Partikel 2, siehe Abb. 4.7, f¨ ur das lokale System (n, t, k) u ¨ber zwei im Intervall [-1, 1] gleichverteilte * Zufallszahlen ξ1 , ξ2 . Daraus kann die laterale Distanz L f¨ ur L ≤ 1 mit L = ξ12 + ξ22 bestimmt werden. Die Winkel ergeben sich mit 

φ = arcsin(L)

,

ψ = arctan

ξ1 ξ2



.

(4.56)

Frank [136] verwendet statt der Winkel φ bzw. ψ f¨ ur die t– bzw. k–Position des fiktiven Partikels zwei im Intervall [−0, 5 (dP 1 + dP 2 ), 0, 5 (dP 1 + dP 2 )] gleichverteile Zufallszahlen. Weiter gilt die Bedingung, daß die errechnete Position innerhalb des Stoßzylinders um die n–Achse liegt: 1 t2P 2 + kP2 2 ≤ (dP 1 + dP 2 )2 . 4

(4.57)

Die Position f¨ ur die n–Richtung ergibt sich aus der Kontaktbedingung ,

nP 2 =

1 (dP 1 + dP 2 )2 − t2P 2 − kP2 2 . 4

139

(4.58)

4.3.1.5

Modellaufbau und Diskussion

Es gibt momentan im Bereich der statistischen Kollisionsmodelle f¨ ur Partikel– bzw. Tropfenstr¨omungen zwei Modelle, die weltweit in Str¨omungsl¨osern verwendet werden: den Trajektorienansatz von Sommerfeld [360] bzw. Oesterl´e [279] und das Kollisionsmodell von O’Rourke [283]. W¨ahrend das Modell von O’Rourke bei hochtransienten Tropfenstr¨omungen verwendet wird, modellierten Sommerfeld und Oesterl´e den pneumatischen Transport von Partikeln in einer Rohrstr¨omung, die als quasi– station¨ar betrachtet werden kann. In dieser Arbeit wird das f¨ ur quasi–station¨are Str¨omungen entwickelte Kollisonsmodell, siehe Sommerfeld [360], Oesterl´e [279], Frank [136], f¨ ur instation¨are Simulationen verwendet, wobei infolge eines kleinen Zeitschritts ∆t ein Einfrieren der Gasstr¨omung und damit ein Station¨arzustand erzeugt wird. Die Partikelgr¨oßen f¨ ur den fiktiven Stoßpartner, wie z.B. die mittlere Partikelgeschwindigkeit, werden aus dem vorangegangen Zeitschritt ermittelt. Der Ansatz von O’Rourke stammt von der instation¨aren Simulation und basiert auf der statistischen Betrachtung der DSMC, siehe Bird [37]. Dabei wird die Partikelberechnung innerhalb eines kleinen Fluidzeitschritts in eine Integration der Bewegungsgleichung mit diversen Runge–Kutta–Subzeitschritten f¨ ur alle Partikel und in eine anschließend separate Kollisionsberechnung bezogen auf den gesamten Fluidzeitschritt aufgeteilt. Sommerfeld und Oesterl´e entwickelten ihre Modelle f¨ ur station¨are Str¨omungen, wobei die exakte Stoßpunktberechnung auch eine Anwendung im Rahmen der DNS erlaubt. Die Generierung eines fiktiven Stoßpartners ist notwendig, wenn man viele Einzeltrajektorien f¨ ur eine große Zeitdauer berechnet, die stark von Kollisionsereignissen beeinflußt werden. Die Kollisionsberechnung wird nach jedem Runge–Kutta Subzeitschritt durchgef¨ uhrt. Der Aufwand bez¨ uglich des fiktiven Stoßpartners liegt vor allem im zus¨atzlichen Speicherbedarf. Das Kollisionsmodell von O’Rourke berechnet f¨ ur jedes Kontrollvolumen und f¨ ur alle dort vorhandenen Rechenpartikeln die auftretenden Stoßereignisse. Eine Absch¨atzung der m¨oglichen Kollisionen f¨ uhrt auf eine endliche arithmetische Reihe, bei der NP aar die Gesamtzahl der relevanten Partikelpaarungen ist: NP aar ≈ (Nsim − 1) + (Nsim − 2) + · · · + 1 =

1 Nsim (Nsim − 1) 2

(4.59)

Nsim ist die Anzahl der simulierten Partikel. In der Praxis ist NP aar etwas kleiner, da der Detektionsalgorithmus f¨ ur zwei Partikel beendet wird, wenn eine Ber¨ uhrung festgestellt wird. Man erkennt aus Gl. (4.59), daß die Anzahl der Kollisionen eine quadratische Abh¨angigkeit von der Anzahl der Rechenpartikeln hat. Dies bedeutet bei einer großen Anzahl von Rechenpartikeln einen u ¨ berproportionalen Rechenaufwand, was unter Umst¨anden eine Simulation unm¨oglich machen kann und eine starke Einschr¨ankung des Kollisionsmodells von O’Rourke darstellt.

140

In dieser Arbeit wurden die Modelle von Sommerfeld [360] und Oesterl´e [279] implementiert und verglichen. Ein weiterer Vergleich mit dem Ansatz von Schmidt und Rutland [335] w¨are f¨ ur zuk¨ unftige Untersuchungen sehr sinnvoll, wobei jedoch die ¨ Entkopplung der Kollisionsberechnung wesentliche Anderungen in der Programmstruktur des parallelen Partikell¨osers erfordert. 4.3.1.6

Alternative Modelle f¨ ur einen instation¨ aren L¨ oser

Die DSMC–Methode verwendet genauso, wie die PLIC–Simulationen von Plasmastr¨omungen, siehe Nanbu [272], Jones et al. [191], Wang et al. [419], Kollisionsalgorithmen ¨ahnlich dem Modell von O’Rourke. Da sowohl in der DSMC– als auch in der PLIC–Simulation teilweise wesentlich mehr Rechenpartikel als bei der Simulation von Partikelstr¨omungen mit NS–L¨osern verwendet werden, sind hier auch die Anstrengungen entsprechend h¨oher, die bei der Kollisionsberechnung auftre2 tende Nsim –Beziehung in eine lineare Abh¨angigkeit zu bringen. Der entscheidente Unterschied ergibt sich bei der effizienten Auswahl der Stoßpaare, wobei nicht alle m¨oglichen Kombinationen, wie bei O’Rourke, tats¨achlich ausgerechnet werden. In der von Bird [36] entwickelten Time–Counter(TC)–Methode wird zun¨achst ur dieses zuf¨allig ein Molek¨ ulpaar ausgew¨ahlt. Die Kollisionswahrscheinlichkeit PC f¨ Molek¨ ulpaar wird nach der Gleichung f¨ ur die dimensionslose Stoßfrequenz, Gl. (4.46), berechnet. Danach wird eine gleichverteilte Zufallszahl ψ aus dem Intervall [0, 1] generiert. Falls PC ≥ ψ ist, findet eine Kollision zwischen diesen beiden Molek¨ ulen statt. In diesem Fall wird ein Zeitparameter TC um einen bestimmten Betrag ∆tC erh¨oht. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis TC ≥ ∆t ist. Die Gr¨oße des Zeitinkrements ∆tC kann z.B. mit Hilfe der Kollisionsfrequenz bestimmt werden, siehe Koura [218]. Unter der Annahme, daß das Zeitintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kollisionen ∆tC einer Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt, P (∆tC ) = νC e−νC ∆tC ,

(4.60)

kann dieses Zeitintervall als stochatische Gr¨oße aus ∆tC = −

ln (ψ) νC

(4.61)

bestimmt werden, wobei ψ wiederum eine gleichverteilte Zufallszahl mit ψ ∈ [0, 1] ist. Neben der Tatsache, daß der Rechenaufwand direkt proportional zu Nsim ist, besteht ein weiterer Vorteil der TC–Methode darin, daß automatisch die korrekte Kollisionsfrequenz eingeht, siehe Bird [37]. Ein wesentlicher Nachteil dieser Methode ist es, nur Rechenpartikel mit gleicher Anzahldichte behandeln zu k¨onnen.

141

Ein neuer Ansatz ist die No–Time–Counter(NTC)–Methode, die f¨ ur Gasdynamiksimulationen von Alexander [10] verwendet wurde. Der Algorithmus skaliert linear mit der Anzahl der Partikel Nsim und kann unterschiedliche Anzahldichten der Rechenpartikel verarbeiten. Schmidt und Rutland [335] haben die NTC–Methode in einen Str¨omungsl¨oser implementiert und mit dem Modell von O’Rourke verglichen. Die NTC–Methode ist etwas genauer als das Kollisionsmodell von O’Rourke und um mehrere Gr¨oßenordnungen schneller. Dieser Ansatz scheint zumindest f¨ ur instation¨are Anwendungen recht vielversprechend zu sein.

142

Kapitel 5 Algorithmen fu ¨ r die parallele Simulation 5.1

Allgemeines und Definitionen

Eine der ersten Methoden der Parallelverarbeitung ist die in Vektorrechnern realisierte Pipeline–Verarbeitung sowie die Vervielfachung der CPUs, die in Multiprozessorsystemen angewendet wird. Das Prinzip der Pipeline–Verarbeitung beruht darauf, daß f¨ ur Daten, die eine gleichartige Verarbeitung durchlaufen (z. B. Abarbeitung in einer Schleife), unterschiedliche Operationen parallel ausgef¨ uhrt werden. Idealerweise werden die Daten in eindimensionalen Feldern abgespeichert, wobei der Zugriff u ¨ ber eine entsprechende Indexierung erfolgt, um den Speicherzugriff zu optimieren. Am Besten ist es, wenn die Daten sequentiell im Speicher abgelegt werden, was sogenannte “prefetching“–Algorithmen (spekulative Datenzugriffe aufgrund vorangegangener Operationen) zu einer zus¨atzlichen Optimierung nutzen. Nachdem die Pipeline geladen ist, wird auf diese Weise in jedem Taktzyklus ein Ergebnis berechnet. Je l¨anger die Schleife (Entfernung zwischen Start– und Endindex), desto effizienter arbeitet ein Vektorrechner (bei geschachtelten Schleifen, wird nur die innerste Schleife vektorisiert), vorausgesetzt, es gibt innerhalb der Schleife keine Datenabh¨angigkeiten. Kommt eine indirekte Indexierung von Elementen vor, wird wegen einer m¨oglichen Datenabh¨angigkeit die Vektorisierung abgebrochen, es sei denn Compilerdirektiven erzwingen eine Schleifenvektorisierung. Das heißt, die Vektorisierung entspricht einer Art inh¨arenten Parallilit¨at. Eine weitere Verbesserung der Effizienz bringt das Aufspalten geschachtelter Schleifen (loop unroll). Vektorrechner sind vor allem f¨ ur solche Rechenaufgaben gut geeignet, bei denen eine große Anzahl von Daten gleichartig verarbeitet wird, wie z.B. bei Matrix–Vektor– Multiplikationen. Skalaroperationen sind dagegen auf einer Vektormaschine nicht

143

nur ineffizient, sondern auch extrem langsam, weil die separate Skalarrecheneinheit meist relativ schwach ausgelegt ist. Das bedeutet, daß ein skalarer Code auf einer Vektormaschine wesentlich langsamer sein kann, als auf einem m¨oglicherweise viel billigeren RISC–Rechner. Multiprozessor–Rechner bestehen aus einer Anzahl von CPUs, die gleichzeitig und voneinander unabh¨angig die Datenverarbeitung ausf¨ uhren und auf einem gemeinsamen Speicher zugreifen, was aufgrund der begrenzten Busbandbreite schnell zum Engpaß werden kann. Dabei kann die Verarbeitung der Daten in den einzelnen Prozessoren sowohl gleich– als auch verschiedenartig erfolgen. Obwohl, wie oben dargestellt, auf dem Gebiet der Rechentechnik schon verschiedene Arten der Parallelit¨at realisiert wurden, hat sich die Bezeichnung “Parallelrechner“ als Oberbegriff f¨ ur die Klasse der Multiprozessorsysteme durchgesetzt. Parallelrechner lassen sich hinsichtlich ihrer Architektur unterscheiden in Systeme mit gemeinsamem Speicher (Shared Memory) sowie Systeme mit verteiltem Speicher (Distributed Memory). In einem Distributed–Memory–Rechner besitzt jeder Prozessor einen eigenen Speicher, auf den die u ¨ brigen Prozessoren nicht zugreifen k¨onnen Die einzelnen CPU/Speicher–Einheiten sind untereinander durch ein Netzwerk verbunden. Der Austausch von Informationen zwischen diesen Einheiten erfolgt durch das sogenannte “Message Passing“, d.h. das explizite Versenden bzw. Empfangen von Datenpaketen u ¨ber das Netzwerk verwendet ein Hardware–unabh¨angiges, standardisiertes Protokoll, wie z.B. MPI oder PVM. Distributed–Memory–Rechner oder MIMD-Architekturen bringen f¨ ur eine moderate bis große Anzahl von Prozessoren die gr¨oßte Effizienz, weswegen die Parallelisierungsaktivit¨aten im Rahmen dieser Arbeit auf solche Systeme bezogen sind. Der Speedup Sp ist das Verh¨altnis der Zeit T1 , die zur seriellen Berechnung eines Problems ben¨otigt wird, zur Zeit TN , die N Prozessoren zur L¨osung dieses Problems ben¨otigen: Sp (N) =

T1 . TN

(5.1)

Falls sich das zu berechnende Problem ideal skalieren l¨aßt und der parallele Algorithmus ideal arbeitet, ist die Gr¨oße des Speedups gleich der Anzahl der Prozessoren. Die Effizienz E einer parallelen Berechnung ist definiert als das Verh¨altnis des Speedups zur Anzahl der f¨ ur die Berechnung eingesetzten Prozessoren: E(N) =

Sp(N) T1 . = N N · TN

(5.2)

Im Idealfall ist also die Effizienz gleich 1, bei Shared–Memory–Rechnern kann die Effizienz auch u ¨ ber 1 liegen, was man als superlinearen Speedup bezeichnet. Dieser

144

Fall h¨angt mit dem Cache–Verhalten der Maschine zusammen, was wiederum an die Art des Speicherzugriffs und an die Problemgr¨oße gekoppelt ist. Gene Amdahl, Hardware Entwickler bei IBM in den 60er Jahren, hatte die Bedeutung von seriellen Programmteilen f¨ ur die maximal erreichbare parallele Effizienz erkannt und Amdahls Gesetz, Schwabe [339], formuliert. Wenn man den seriellen Programmanteil mit αs , den linear mit der Anzahl der Prozessoren anwachsende Kommunikationsanteil mit βk und die normalisierten Gesamtrechenzeit f¨ ur einen Prozessor mit 1 setzt, kann der Speedup Sp (N) folgendermaßen definiert werden: Sp (N) =

1 . αs + N βk + (1 − αs − βk )/N

(5.3)

Reale Werte sind αs = 0, 01 bis 0, 2 und βk = 0, 01 bis 0, 00001. F¨ ur 50 Prozessoren, αs = 0, 05 und βk = 0, 00001 ist der theoretische Speedup Sp (50) = 14, 4 . Man erkennt daraus, wie wichtig eine m¨oglichst umfassende Parallelisierung ist und daß nat¨ urlich auch die Austauschzeit durch asynchrone Kommunikation minimiert werden muß. Gl. (5.3) geht vom sehr ung¨ unstigen Fall der konstanten Problemgr¨oße aus, was jedoch kaum der Realit¨at entspricht. Tats¨achlich sollte die auf den Einzelprozessor bezogegene Problemgr¨oße gleich bleiben. Das Gustafson–Barsis–Gesetz ber¨ ucksichtigt dies, ohne jedoch auf die Kommunikationszeiten einzugehen: Sp (N) = N + (1 − N) αs .

(5.4)

F¨ ur 50 Prozessoren und αs = 0, 05 ist der theoretische Speedup Sp (50) = 47, 5, was f¨ ur die Praxis noch um die Kommunikationszeit reduziert werden muß. In Kap. 1.2.3 wurde ausf¨ uhrlich die Hard– und Software besprochen und die Notwendigkeit zur Entwicklung paralleler Algorithmen begr¨ undet. In der Alltagspraxis der Industrie werden meist serielle L¨oser verwendet, weil die Anwendung paralleler Applikationen oft mit einem Mehraufwand bei der Vorbereitung der Simulation verbunden ist und resourcenintensive Berechnungen m¨oglichst vermieden werden. Eine interessante Alternative bieten Applikationen auf kosteng¨ unstigen Beowulf– Clustern, die jedoch trotzdem gut skalierbare Modelle und Algorithmen voraussetzen. Es soll hier auf die Kriterien f¨ ur gute Parallelisierung eingegangen werden, um die Zielrichtung dieser Arbeit besser verst¨andlich zu machen. F¨ ur die NS–L¨oser gibt es mehrere bekannte Standardmethoden, die prinzipiell Gebietszerlegungsalgorithmen sind. Der Lagrange–L¨oser ist der wesentlich aufwendiger Teil der Parallelisierung, weil er von Anfang an eine dynamische Lastverteilung unter den Prozessoren erfordert, um f¨ ur reale Partikelstr¨omungen eine annehmbare Effizienz zu erreichen. Dynamische Verteilungsalgorithmen sind notwendig, um die

145

Rechenlast, die sich aufgrund der physikalischen Problemstellung w¨ahrend der Simulation a¨ndert, ad¨aquat auf die Prozessoren aufzuteilen. Als Beispiel kann die adaptive Gitterverfeinerung infolge lokaler Gradienten innerhalb eines NS–Solvers angef¨ uhrt werden. Der Partikell¨oser wiederum muß bei im Berechnungsgebiet unterschiedlicher Anzahldichte der Tropfen mit einer dynamischen Verteilungsprozedur die Berechnungslast f¨ ur die Partikel gleichm¨aßig auf alle Prozessoren verteilen. Die G¨ ute jeder Parallelisierung h¨angt einerseits vom Grad der Parallelisierung des Progamms ab und andererseits vom Umfang des Datenaustausches bzw. der Anzahl der verschickten Messages und deren L¨ange. Die Effizienz wird zus¨atzlich von der Hardwarekonfiguration bestimmt, die unterschiedliche Algorithmen bevorzugen kann. Es ist daher sinnvoll, die Strategie der Lokalit¨at der Daten analog zur Idee des lokalen Speichers von MIMD (multiple instruction multiple data)–Architekturen zu verfolgen, um den Datenaustausch zu minimieren. Die aktuelle Hardwareentwicklung zeigt, daß die Speicher– bzw. Netzbandbreite immer mehr ins Hintertreffen gegen¨ uber der Prozessorleistung ger¨at. Schnelle Floatingpoint–Prozessoren sind wesentlich billiger als schnelle Netzwerke bzw. schnelle Speicher, was f¨ ur die CFD eine etwas ung¨ unstige Entwicklung ist. Die Effizienz, die immer in Relation zur Einzelprozessorleistung berechnet wird, muß daher die Problematik einer ausgewogenen Rechnerkonfiguration mitber¨ ucksichtigen. Das heißt, die Qualit¨at der Parallelisierung bzw. deren Potential sollte anhand von unterschiedlicher Hardware abgesch¨atzt werden. Somit ist die Effizienz einer Parallelisierung, abgesehen von der realen Programmqualit¨at, auch abh¨angig von der aktuellen Applikation (wichtig f¨ ur die dynamische Lastverteilung), wie auch von der verwendeten Hardware (Netzwerkbandbreite zur Prozessorleistung, Gr¨oße des Level–2–Cache). Zur quantitativen Bestimmung der parallelen Effizienz unterschiedlicher Hardware– Konfigurationen wurden CFD–Benchmarks entwickelt, die entweder von Software– Entwicklern oder von Forschungsinstituten, wie der NASA, herausgegeben werden, siehe Bachler [22], Ensight [116], Bailey et al. [25], Anderson et al. [13]. Damit soll die Leistungsf¨ahigkeit diverser Rechner f¨ ur eine spezielle Software oder f¨ ur eine spezielle Problemklasse, wie z.B. unstrukturierte L¨oser mit indirekter Adressierung und impliziter Zeitdiskretisierung dokumentiert werden.

5.2

Parallele Berechnung der kontinuierlichen Phase (Gasstr¨ omung)

Die Parallelisierung des NS-L¨osers basiert auf der Methode der Gebietszerlegung (Domain Decomposition). Hierbei wird das Str¨omungsgebiet in Teilgebiete aufgeteilt, die wiederum den einzelnen Prozessoren zugeordnet werden. Damit wird die Last, n¨amlich die Str¨omungsberechnung der Gasstr¨omung, auf die Knoten eines

146

Parallrechners verteilt. Die Partitionierung des numerischen Gitternetzes ist in der Abb. 5.1 dargestellt. F¨ ur die Berechnung der Str¨omungsgr¨oßen in den Kontrollvolumina, die unmittelbar an der Grenze zwischen den neu entstandenen Partitionen liegen, ist es f¨ ur diese Methode im Rahmen der FVM erforderlich, daß die Partitionen sich mit einer Zellreihe u ¨ berlappen. Bei Differenzenschemata h¨oherer Ordnung ¨ muß der Uberlappungsbereich verdoppelt werden, was die Programmstruktur wesentlich komplexer macht. Die Str¨omungsgr¨oßen f¨ ur ein beliebiges Kontrollvolumen werden, wie im Kap. 2 dargestellt, aus der Summe der Kr¨afte, die auf dieses Volumen einwirken und den Fl¨ ussen durch die Oberfl¨ache des Volumens, bestimmt. F¨ ur eine Gitterzelle im Inneren eines numerischen Gitters ergeben sich diese Kr¨afte und Fl¨ usse aus den Str¨omungsgr¨oßen in den umliegenden Gitterzellen. F¨ ur die Git-

c Rechenzellen o n t r o l v o l u im m e Inneren w ith v a ria b le a Austauschzellen d d itio n a l c o n tro l v o lu m e Abbildung 5.1: Prinzip der Gebietszerlegung angewandt auf blockstrukturierte Gitternetze, hier mit vier Bl¨ocken terzellen an den Partitionsr¨andern stellen die Austauschzellen, siehe Abb. 5.1, eine explizite Randbedingung dar, die nach jeder Iteration des linearen Gleichungsl¨osers vom Nachbarblock aktualisiert wird. Dieser Nachbarblock kann nun auf dem selben Prozessor (bei einem Multiblock–L¨oser mit ijk-Adressierung) oder auf einem fremden Prozessor, was einen Datenaustausch u ¨ber das Kommunikationsnetzwerk

147

erfordert, liegen. Dieses Aktualisieren wird in beide Richtungen durchgef¨ uhrt und garantiert dieselbe L¨osung, die auch ohne diese Partitionsgrenze errechnet werden w¨ urde. Damit entsprechen die Austauschzellen einer sich mit der Iteration ¨andernden Randbedingung. Da jeder Austausch zwischen Prozessoren um Gr¨oßenordnungen langsamer ist als ein Speicherzugriff38 am selben Prozessor, gilt es den Austausch sowohl in seiner H¨aufigkeit39 , als auch in seinem Umfang zu minimieren. Dazu gibt es zwei Forderungen: 1. Die Austauschfl¨achen oder das Verh¨altnis Oberfl¨ache zu Volumen, das dem jeweiligen Prozessor zugeordnet ist, sollen minimal sein. Das bedeutet, die pro Prozessor partitionierten Bl¨ocke (ijk–Adressierung) sollen m¨oglichst zusammenh¨angend sein oder es soll nur ein Gebiet pro Prozessor geben (indirekte Adressierung). 2. Die Anzahl der Kontrollvolumina sollte f¨ ur alle Prozessoren m¨oglichst gleich sein (load balancing). Bei unterschiedlicher Last40 pro Prozessor kommt es zu Wartezeiten f¨ ur die Prozessoren, die eine geringere Anzahl von Kontrollvolumina zugeteilt erhielten. Damit wird die globale Effizienz der Simulation reduziert. Diese Forderungen kann f¨ ur die ijk–Adressierung nur n¨aherungsweise erf¨ ullt werden, w¨ahrend bei indirekter Adressierung die Verteilungsalgorithmen diese Bedingung sicherstellen. Das in dieser Arbeit verwendete Programm ist ein Multiblock–L¨oser mit ijk–Adressierung. Aus Gr¨ unden der Effizienz wird die Partitionierung entlang der Blockgrenzen durchgef¨ uhrt. Diese statische Aufteilung wird in einem separaten Preprozessingschritt f¨ ur den Geometriefile durchgef¨ uhrt, wobei, wenn notwendig, durch Teilung der vorhandenen Bl¨ocke zus¨atzliche Bl¨ocke generiert werden k¨onnen. Da jeder Prozessor nur Gitterpartitionen in Form von Gitterbl¨ocken erh¨alt, ist die Qualit¨at der Aufteilung stark von der Gittergenerierung abh¨angig. Eine detailliertere Beschreibung der Austauschmechanismen (buffered/unbuffered send) findet sich bei 38 Speicherzugriffe auf einer Shared–Memory–Maschine (Mehrprozessormaschine mit einem großen Speicherbereich) sind ab einer gewissen Problemgr¨oße (wenn die Cache–Gr¨oße u ¨berschritten wird) langsamer, weil die Busbandbreite f¨ ur den Zugriff mehrerer Prozessoren viel zu klein ist. Außerdem entsteht das Problem, in einem sehr großem Speicherbereich schnell Daten zu finden, die bei unstrukturierten Netzen oder indirekter Adressierung unsystematisch abgelegt sind. 39 Die H¨aufigkeit ist insofern von Bedeutung, weil jede Botschaft, die verschickt wird, eine sogenannte “Latenzzeit“ ben¨otigt. Das ist eine Zeit, die f¨ ur den Zusammenbau der Botschaft und das Aktivieren des Protokolls (PVM, MPI), unabh¨angig von der Gr¨oße des zu verschickenden Datensatzes, notwendig ist. 40 Die Rechenzeit ist direkt proportional zur Anzahl der Kontrollvolumina, was jedoch strenggenommen nur f¨ ur einen station¨aren Multigrid–L¨oser gilt.

148

Frank [136]. Theoretische Vorarbeiten zur Parallelisierung von blockstrukturierten Gitternetzen wurden von Peri´c et al. [297], [295], [342] geleistet. Bei Verwendung einer indirekten Adressierung f¨ ur strukturierte/unstrukturierte Netze gibt es keine Blockgrenzen, die sich als Partitionierungsgrenzen anbieten w¨ urden. Daher ist es notwendig, mittels spezieller Verteilungsalgorithmen im Zuge der Definition der Randbedingungen im Preprozessing die Gebietszerlegung durchzuf¨ uhren. Diese Partitionsprozeduren sind Algorithmen, die die Gitterinformation auf unterschiedlicher Abstraktionsstufe verwenden. W¨ahrend die elementarste Darstellung physikalische Gitterkoordinaten und die Konduktivit¨atsinformation verwendet, geht man bei einer erh¨ohten Abstraktion auf verteilte Graphen u uller [331] und Si¨ber. Schifferm¨ mon [349] haben eine Reihe von Partitionsalgorithmen f¨ ur einen strukturierten, mit indirekter Adressierung arbeitenden NS–L¨oser vorgestellt: • Lineare Datenzerlegung Das Netz wird anhand der Indexnumerierung der Kontrollvolumina in den Speicherfeldern aufgeteilt, was die einfachste, aber auch willk¨ urlichste Aufteilung ist. Trotzdem ist bei dieser Methode, wie bei den folgenden drei Ans¨atzen, die Anzahl der Rechenzellen f¨ ur jeden Prozessor gleich. Die Summe der Oberfl¨achen der Partitionen ist jedoch bei diesem Ansatz h¨ochstwahrscheinlich am gr¨oßten. • Kartesische Koordinatenbisektion Die globale Koordinatenrichtung (x, y, z) f¨ ur die das Netz die gr¨oßte Ausdehnung hat, wird bestimmt. Das Netz wird in Gebiete gleicher Anzahl der Kontrollvolumina normal zu dieser Achse unterteilt. • Rekursive Koordinatenbisektion Die zwei Kontrollvolumina, die zueinander im Netz den gr¨oßten Abstand haben, werden ermittelt. Das Netz wird in zwei Teile mit gleicher Anzahl der Kontrollvolumina normal zur Verbindungsgeraden zwischen den zwei vorher bestimmten Zellen geteilt. Dieser Vorgang wird rekursiv f¨ ur die neugefundenen Teilgebiete wiederholt. • Rekursive Spektralbisektion Das Netz wird hier als Graph betrachtet, bei dem die Kontrollvolumina als Knoten und die Konduktivit¨at zwischen den benachbarten Zellen als Kanten dargestellt werden. Es wird nun der Eigenvektor, der dem zweitgr¨oßten Eigenwert der Laplace–Matrix des Graphen entspricht, berechnet. Dieser Eigenvektor wird als Fiedler–Vektor bezeichnet. Jedem Knoten im Graph entspricht eine Komponente des Fiedler–Vektors. Um den Graph in zwei gleich große Untergraphen 0 und 1 aufzuteilen, wird der Medianwert der Eigenvektorkomponenten berechnet. Die Knoten mit Eigenvektorkomponenten kleiner als der

149

Abbildung 5.2: Rekursive Spektralbisektion eines unstrukturierten Gitters einer Tragfl¨ ugelkonfiguration nach Hendrickson et al. [171] Medianwert werden dem Untergraph 0 zugeordnet, die u ¨brigen Knoten dem Untergraph 1. Dieser Vorgang wird rekursiv wiederholt, bis die gew¨ unschte Anzahl von Teilgebieten berechnet wurde. In Abb. 5.2 sieht man, daß der Algorithmus f¨ ur acht Prozessoren jeweils ein zusammenh¨angendes Teilgebiet definiert hat, das außerdem eine minimierte Grenzfl¨ache zum Nachbarn bildet. Das Dreiecksnetz besteht aus 8034 Knotenpunkten und ist Input f¨ ur einen FEM– oder FV–NS–L¨oser. Die rekursive Spektralbisektion, siehe Simon [26], erfordert eine Eigenwertberechnung (Lancos–L¨oser), die sehr speicher– und rechenintensiv ist. Daf¨ ur erh¨alt man eine Gebietszerlegung mit der kleinsten Oberfl¨ache, was vor allem bei einer großen Prozessoranzahl vorteilhaft ist. Bisher wurde auf eine statische Gebietszerlegung eingegangen, w¨ahrend infolge der zunehmenden Rechenleistungen auch dynamische Gebietszerlegungen aufgrund von lokaler Gitterverfeinerung immer interessanter werden. Prinzipiell werden die Vorteile der dynamischen Netzverfeinerung, siehe Muzaferija [270] und Landertshammer [227], allgemein akzeptiert, doch der enorme Zuwachs an neuen Kontrollvolumina hat bisher die Anwendung stark gebremst. Außerdem gibt es Probleme mit der

150

Implementierung der dynamischen Netzverfeinerung im Zusammenhang mit Multigrid oder mit der Parallelisierung im Rahmen der Gebietszerlegungsmethode. Dazu ist es notwendig, die Netztopologie als graphentheoretisches Optimierungsproblem f¨ ur knoten– und kantenbewertende Graphen darzustellen. Es wurden Forschungsprojekte zur Entwicklung von Netzpartitionierern f¨ ur unstrukturierte Gitter gestartet, woraus frei verf¨ ugbare Software entstand, siehe ParMETIS [288], Jostle [192]. Richter [214] beschreibt eine Master–Slave–Kommunikation f¨ ur einen adaptiven Euler– L¨oser. Das Berechnungsgitter wird w¨ahrend der Simulation am Master–Knoten angepaßt und an die Slave–Knoten verschickt. Dabei zeigt sich, daß dieser serielle Teil die parallele Effizienz stark einschr¨ankt. Birken [38] hat die DDD–Bibliothek (dynamic distributed data) entwickelt, wobei das Gitter formal auf einen dynamischen Graphen abgebildet wird, der wiederum aus mehreren lokalen Graphen besteht. Die DDD–Module sind mit der METIS– Bibliothek kompatibel, so daß daraus z.B. die Lastbilanzierung u ¨bernommen werden kann. Allen graphenorientierten Ans¨atzen ist eine starke Abstraktion des Gitters und der Konduktivit¨atsinformation gemein, damit die Prozessoren, unabh¨angig von der verwendeten Hardware bzw. dem Message–Passing–Protokoll und dem Berechnungsgitter, mit gleicher Last beaufschlagt werden. Aktuell ist eine gewisse Zur¨ uckhaltung bei der Entwicklung von parallelen, adaptiven L¨osern mit dynamischer Lastverteilung zu beobachten, weil dieses Thema extrem aufwendig zu bearbeiten ist (hohe Komplexit¨at der Software, keine einheitlichen Standards f¨ ur die feingranulare Gitterdarstellung bzw. Schnittstellen zum L¨oser) und weil das Maß an m¨oglichen Verbesserungen infolge lokaler Netzverfeinerung stark von der Hardwareentwicklung (Netzwerkbandbreite) abh¨angig ist. Zuk¨ unftig kann jedoch bei steigenden Anspr¨ uchen an die Qualit¨at der L¨osung und zunehmenden Rechnerressourcen mit einem Einsatz der dynamische Lastverteilung gerechnet werden.

5.3

Parallele Berechnung der kollisionsbehafteten Partikelbewegung

Es sei an dieser Stelle bereits darauf hingewiesen, daß bei der Beschreibung der Algorithmen zwischen den Begriffen “Prozessor“ und “Prozeß“ unterschieden wird. Bei einem “Prozessor“ handelt es sich um eine CPU, d.h. eine Hardware–Komponente eines Rechners. Dagegen ist ein “Prozeß“ eine Software–Komponente, die auf einem Prozessor ausgef¨ uhrt wird. Viele Rechner bieten die M¨oglichkeit, gleichzeitig mehrere Prozesse auf einem Prozessor auszuf¨ uhren, wobei dies haupts¨achlich von der Konfiguration des Betriebsystems abh¨angig ist.

151

5.3.1

Stand der Forschung

Auf dem Gebiet der parallelen Berechnung disperser Mehrphasenstr¨omungen mit Hilfe des Lagrange–Verfahrens (ELM) sind bislang relativ wenige Arbeiten bekannt. Dessen ungeachtet wurde auf einem benachbarten Gebiet, n¨amlich dem der PLIC– Verfahren, seit dem Anfang der 90er Jahre parallel zur Entwicklung der MIMDArchitektur die Parallelisierung vorangetrieben. Die Ursache f¨ ur diese Entwicklung liegt auch daran, daß die Plasmasimulation ganz entscheidend von einer hohen Rechenpartikelanzahl profitiert, die wiederum serielle Rechner schnell an die Grenzen ihrer Leistungsf¨ahigkeit bringt. Außerdem ist die Kopplung mit dem L¨oser f¨ ur das elektrische Feld (Maxwellschen Gleichungen) nicht so aufwendig wie mit einem NS–Str¨omungsl¨oser f¨ ur unstrukturierte Gitter und beliebige Reynolds–Zahlen (vom elliptischen bis zum hyperbolischen Bereich). Ein weiterer Grund liegt in der guten und fr¨ uhen Verf¨ ugbarkeit von Clusterrechnern (z.B. nCUBE2) an den Forschungsst¨atten f¨ ur Hochenergiephysik. Partikelmodelle, die eine ausgepr¨agte Wechselwirkung mit einer physikalischen Feldgr¨oße (z.B. magnetisches/elektrisches Feld oder ein str¨omendes Fluid) eingehen, k¨onnen zwar mit einer statischen Gebietszerlegung, analog zu reinen Gasphasen, parallelisiert werden, doch die Effizienz ist damit stark problemabh¨angig. Demgegen¨ uber bietet eine dynamische Zerlegung f¨ ur die Partikelphase viele Vorteile, (z. B. eine optimierte Lastverteilung unabh¨angig von der r¨aumlichen Partikelposition), denen nur die aufwendigere Programmierung als wesentlichster Nachteil entgegensteht. Die Kopplung mit den Felddaten verlangt f¨ ur die Partikelberechnung die aktuellen Gitter– und Fluidvariableninformationen, die jedoch unter Umst¨anden erst angefordert werden m¨ ussen, weil der lokale Speicher ein anderes Teilgebiet des gesamten Berechnungsnetzes abbildet. Hier muß ein Datenaustausch einsetzen, der je nach Notwendigkeit u ¨ber einen sogenannten “event handler“ ausgel¨ost wird. Diese Kommunikation muß jedoch auch in die Gegenrichtung arbeiten, weil volumengemittelte Rechenergebnisse, wie z.B. Wechselwirkungsterme infolge einer Zwei–Wege– Kopplung oder mittlere Partikelgeschwindigkeiten, wieder auf den Speicher der statischen Gebietszerlegung des NS–L¨osers zur¨ uckgeschrieben werden m¨ ussen. Diese Austauschproblematik kann einerseits mit einer Master–Slave–Konzeption im Rahmen eines Message–Passing–Paradigmas gel¨ost werden oder andererseits an das Betriebssystem bzw. den Compiler einer Shared–Memory–Maschine deligiert werden. Der erste Weg wurde in dieser Arbeit beschritten, w¨ahrend der Großteil der in der Literatur bekannten Entwicklungen auf dem zweiten Weg basiert. Eine Ausnahme bilden hier die PLIC–L¨oser, die st¨arker auf das explizite Message–Passing setzen. Walker [414], [415], [416], sowie Karmesin et al. [199] geben einen Einblick u ¨ber die Funktionalit¨at von PLIC–Codes, die beispielsweise bei der Simulation von Tokamaks eingesetzt werden. Die Effizienz wird auch hier stark von einer guten Last-

152

verteilung beeinflußt, wobei die Kommunikation m¨oglichst gering gehalten werden muß. Es wird eine Gebietszerlegung verwendet, wobei nur die Partikel, die in diesem Gebiet enthalten sind, auf dem Prozessor berechnet werden. Das erfordert f¨ ur eine gute Effizienz eine recht gleichm¨aßige r¨aumliche Verteilung. F¨ ur inhomogene Verteilungen wird ein dynamisches Load–Balancing der Partikel notwendig, das mit FORTRAN M realisiert wird. Die Kommunikation verl¨auft teilweise sehr feingranular (viele kurze messages), was mit einem gepufferten Datenaustausch zu verbessern w¨are. Eine Parallelisierung mit Hilfe eines expliziten Message–Passing–Systems wird als u ¨berlegen anerkannt, doch wegen des hohen Entwicklungsaufwands versucht man beispielsweise auf Shared–Memory–Ans¨atze auszuweichen. Tysinger et al. [401] verwendeten den Fluent–Code f¨ ur ein paralleles Verfahren zur Simulation einer Gas–Tropfen–Str¨omung im Brennraum von Verbrennungskraftmaschinen. Zur Berechnung der Gasstr¨omung wurde die u ¨bliche Gebietszerlegungsmethode angewandt. Die Berechnung der Tropfenbewegung erfolgte mit Hilfe der Trajektorienmethode (PIC) und unter Anwendung eines Shared–Memory–Ansatzes. Dazu wurde zun¨achst das Gasgeschwindigkeitsfeld berechnet und dieses in dem gemeinsamen Speicher abgelegt. Anschließend berechnete jeder Prozessor einen bestimmten Anteil der Trajektorien jeweils von ihrem Start– bis zu ihrem Endpunkt im Str¨omungsgebiet. Ein Vorteil dieses Verfahrens ist, daß durch eine gleichm¨aßige Aufteilung der Anzahl der zu berechnenden Trajektorien unter den Prozessoren relativ einfach eine gleichm¨aßige Verteilung der Rechenlast erzielt werden kann. Ein Nachteil ist jedoch, daß das Verfahren nur auf Computern mit einer Shared–Memory– Architektur eingesetzt werden kann, die bekanntlich bei ausgepr¨agtem Datenaustausch und ab einer mittleren Anzahl von Prozessoren sehr schlechte Effizienzwerte liefern. Chen et al. [66] haben ein Partikelmodell, das Einspritzstrahlen simuliert, im Rahmen des Verbrennungscodes (ALLSPD–3D) parallelisiert. Die Gasphase verwendet die bekannte Gebietszerlegung. Das Partikelmodell enth¨alt alle f¨ ur die Gasturbinenverbrennung notwendigen physikalischen Submodelle. Die Tropfen werden nach einer statischen Gebietszerlegung unter PVM verteilt, wobei keine Angaben u ¨ber Effizienz und Methode der Lastverteilung gemacht werden. Obwohl hier die Tropfenparallelisierung erst am Anfang stand, muß festgehalten werden, daß diese Arbeitsgruppe im Vergleich zu ¨ahnlichen Softwareprojekten einen sehr fortschrittlichen Ansatz verfolgte. Die Entwicklung von ALLSPD–3D wurde aus dem Autor nicht bekannten Gr¨ unden eingestellt. Squires et al. [407] zeigen eine LES–Simulation einer Gas–Feststoff–Str¨omung in einem vertikalen Kanal. Es wird nur die Partikel–Phase mit einem Message–Passing– Algorithmus parallelisiert, w¨ahrend die Gasphase auf einem Prozessor berechnet wird. Eine statische Gebietszerlegung weist jedem Prozessor die in seinem Teilgebiet liegenden Partikel zu. Schwerpunkt der Simulation ist die sehr rechenintensive,

153

direkte Berechnung einer bin¨aren, reibungslosen Kollision ohne stochastische Modellierung. Eine dynamische Lastverteilung wird als zuk¨ unftiges Entwicklungsziel formuliert. Tsuji [389] berechnete mit Hilfe der simultanen Partikelverfolgung den Einfluß von Partikel–Partikel–Kollisionen in einer zweidimensionalen Kanalstr¨omung. Aus pers¨onlichen Mitteilungen von Tsuji ist bekannt, daß f¨ ur diese Simulationen ein Workstation–Cluster mit einer geringen Anzahl von Workstations verwendet wurde, um 50.000 bis 120.000 Partikel simultan in einer Rohrstr¨omung zu verfolgen. Dabei wurde die Fluidphase jedoch seriell auf einer Workstation berechnet, was die Gesamteffizienz drastisch reduziert. Ein effizientes Verfahren erfordert die Parallelisierung sowohl der kontinuierlichen als auch der dispersen Phase, was einerseits gewisse Anforderungen an das Software– Engineering stellt, andererseits spezielle Algorithmen erfordert, die Daten zwischen beiden Phasen austauschen k¨onnen. Aus der Sicht des Anwenders z¨ahlt jedoch nur die erreichbare Effizienz und die Anwendbarkeit f¨ ur ingenieurtypische Berechnungsgitter41 inklusive der dabei verwendbaren physikalischen Teilmodelle (Kollision, Verdunstung). In den vergangenen Jahren wurden von Frank [136] und Wassen [428], [131] parallele Algorithmen f¨ ur die trajektorienbasierte Simulation entwickelt, die f¨ ur den Einsatz auf MIMD–Rechnern geeignet sind. Dabei wurden zwei verschiedene Verfahren, das Static–Domain–Decomposition–Verfahren und das Dynamic–Domain– Decomposition–Verfahren, zur optimierten Parallelisierung erprobt und validiert. Im Rahmen dieser Arbeit wurde letzteres Verfahren im Hinblick auf die Einbeziehung transienter Str¨omungen mit Kollision, Impuls– oder Enthalpiewechselwirkung weiterentwickelt. Zusammenfassend muß festgestellt werden, daß es momentan keine Ver¨offentlichungen betreffend eines parallelisierten NS– als auch Lagrange–L¨osers zur Simulation von transienten Gas–Festoff– oder Tropfenstr¨omungen mit folgenden Eigenschaften gibt: Dynamische Lastverteilung auf MIMD–Architektur und hohe Funktionalit¨at(Kollision, Phasen¨ ubergang) des Partikelmodells unter Verwendung ingenieurtechnischer Berechnungsgitter. 41 LES–DNS–Simulationen verwenden Gitter mit einer sehr einfachen Adressierung, weil auch nur relativ einfache Str¨omungen (z. B. Kanal– oder Stufenstr¨omung) berechnet werden. Daraus ergeben sich sehr effiziente Partikelsuchalgorithmen, die jedoch bei komplexen, unstrukturierten Gittern unbrauchbar sind.

154

5.3.2

Static–Domain–Decomposition(SDD)–Verfahren

Das Prinzip des Domain–Decomposition–Verfahrens beruht auf der im Abschnitt 5.2 zur parallelen Berechnung der Fluidstr¨omung beschriebenen Methode. Das Str¨omungsgebiet wird in Teilgebiete aufgeteilt, wobei die Partitionierung verwendet wird, die zuvor auch f¨ ur die Str¨omungsberechnung zum Einsatz kam. Jedes Teilgebiet wird einem separaten Prozeß zugeordnet. Dieser Prozeß speichert lokal und statisch w¨ahrend der gesamten Rechnung s¨amtliche zu diesem Teilgebiet geh¨orenden Daten der Gittergeometrie und der Str¨omungsvariablen. Wie in der Abbildung 5.3 dargestellt ist, existieren im SDD–Verfahren zwei Arten von Prozesse: ein Host–

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Abbildung 5.3: Prinzip des Static–Domain–Decomposition–Verfahrens, [136]

oder Master–Prozeß und N–Slave– bzw. Node–Prozesse. Die Anzahl N der Node– Prozesse ist dabei gleich der Anzahl der Gitterpartitionen42 . Die Node–Prozesse 42 Eine Gitterpartition besteht in dieser Arbeit aus mindestens einem oder mehreren Gitterbl¨ocken.

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u uhren die Berech¨bernehmen die Speicherung der Gitter– und Fluiddaten und f¨ nung der Partikeltrajektorien durch. Alle Trajektoriensegmente, die einen bestimmten Gitterblock durchqueren, werden von dem Prozeß berechnet, dem dieser Block zugeordnet ist. Der Host–Prozeß f¨ uhrt alle I/O–Vorg¨ange aus und koordiniert die Trajektorienberechnung der Node–Prozesse. Zu Beginn jeder Partikelrechnung sind alle Trajektorien–Startbedingungen im Host– Prozeß als C–Struktur gespeichert. Eine Startbedingung ist dabei eine Menge von Daten (Koordinaten, Geschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Partikeldurchmesser, ...), die den Anfangszustand einer Trajektorie bestimmen. Der Host–Prozeß sendet nun unter Ber¨ ucksichtigung der Startkoordinaten die Startbedingungen an die Node–Prozesse. Dabei wird eine Startbedingung nur an einen solchen Node–Prozeß gesendet, innerhalb dessen Teilgebiet die Startkoordinaten lokalisiert wurden. Der Node–Prozeß erh¨alt die Startbedingung und berechnet das zugeh¨orige Trajektoriensegment in dem ihm zugeordneten Teilgebiet. Wenn eine Abbruchbedingung (z.B. Auslaß, Einlaß, Partitionsrand, ...) erreicht wird, wird der Endzustand des Trajektoriensegmentes an den Host zur¨ uckgesendet. Falls die Trajektorie einen Partitionsrand erreicht hat, wird der Endzustand als neue Startbedingung behandelt, die vom Host an denjenigen Node gesendet wird, dem die entsprechende Nachbarpartition zugeordnet ist. Der Austausch von Daten findet in diesem Verfahren ausschließlich zwischen Host und Nodes statt. Die Aktivierung des Partikel–Partikel–Kollisionsmodells nach Sommerfeld [359] hat keinen Einfluß auf diesen Algorithmus. Das Modell von O’Rourke [282] w¨ urde jedoch einen zus¨atzlichen Rechenschritt nach der Partikel–Konvektion erfordern. Der Rechenaufwand pro Partikelschritt erh¨oht sich, da jeweils das Auftreten einer Kollision u uft und gegebenenfalls die Kollision ausgef¨ uhrt werden muß. In Gebieten, in ¨berpr¨ denen sehr viele Kollisionen stattfinden, f¨ uhrt dies zu einer st¨arkeren Rechenlast, was wiederum zu Wartevorg¨angen von weniger belasteten Prozessen f¨ uhrt. Diese Lastungleichm¨aßigkeiten reduzieren letztlich die Gesamteffizienz des Verfahrens. Weitere Ursachen f¨ ur ungleiche Lastverteilung auf die Rechenprozessen k¨onnen sein, siehe auch Frank et al [129], [131], [429]: • inhomogene Partikelverteilung im Str¨omungsgebiet, z.B. in stark separierten Str¨omungen oder in Freistrahlstr¨omungen hinter D¨ usen, • Partikel–Wand–Kollisionen aufgrund der zus¨atzlich erforderlichen Rechenoperationen zur Detektierung und Berechnung eines Wandstoßes, • Str¨omungsgebiete mit großen Gradienten in der Fluidstr¨omung und kleinen turbulenten Zeitmaßen, da in diesen Gebieten aus Gr¨ unden der Rechengenauigkeit der Integrationszeitschritt stark verkleinert wird,

156

• Partikel–Partikel–Kollisionen, da z.B. in Gebieten mit hoher Partikelkonzentration mehr Kollisionen stattfinden als in den anderen Gebieten, • zu geringe Lasten pro Rechenprozeß bzw. eine zu hohe CPU–Leistung im Vergleich zu einem langsamen Kommunikationsnetzwerk (unausgewogene Rechnerarchitektur). Zus¨atzliche physikalische Teilmodelle, wie Kollision oder Verdunstung, verlangen neue Rechengr¨oßen, wie beispielsweise die volumengemittelten Partikelgr¨oßen uP 0 , vP 0 , wP 0 , ωP x0 , ωP y0, ωP z0 , dP 0 , nP 0 oder die Gr¨oßen f¨ ur die Fluidenthalpiegleichung, wie Enthalpie, Temperatur, spezifische W¨arme, Gaskonstante. Am Beginn der Entwicklung der MIMD-Architektur waren die Einzelprozessoren mit relativ wenig Speicher ausgestattet (Cray T3D), doch mittlerweile werden Beowulf–Cluster, basierend auf Intel/AMD– oder Alpha–Prozessoren, oder IBM–SP3–Rechner mit Speicher in der Gr¨oßenordnung ab einem Gigabyte ausgestattet. Ein Vorteil des SDD–Verfahren ist seine relativ einfache Implementierung, da es dieselbe Verteilung von Gitter– und Fluiddaten unter den Prozessen verwendet wie der parallele Algorithmus zur Berechnung der Fluidstr¨omung. Eine weiterere positive Eigenschaft ist die Verwendung des Host–Prozesses als Koordinator, wodurch die Trajektorienberechnung der Nodes asynchron durchgef¨ uhrt werden kann. Dabei kann mit Beginn der Berechnung eines Trajektoriensegmentes schon die Nachfrage nach einer neuen Arbeit angemeldet werden. Ist die aktuelle Trajektorie fertig gerechnet, wird der Endzustand an den Host gesendet, und es kann sofort mit der Berechnung des n¨achsten Segmentes begonnen werden. Im Falle einer direkten Node– Node–Kommunikation w¨ urden h¨aufige Wartezust¨ande eintreten, da eine gewisse Zeit vergeht, bis der Host eine neue Aufgabe verschickt hat. ¨ Das SDD–Verfahren ist wegen der starken Ahnlichkeiten mit der Gebietszerlegung f¨ ur die Fluid–Phase der erste Entwicklungsschritt bei der Partikelparallelisierung. In Kap. 5.3.1 wurden mehrere Entwicklungen mit ¨ahnlichem Ansatz beschrieben. Da die Lastaufteilung statisch ist und Lastungleichm¨aßigkeiten nicht korrigiert werden k¨onnen, ist eine Weiterentwicklung zu einer dynamischen Lastaufteilung erforderlich, die im folgenden Kap. 5.3.3 beschrieben wird.

5.3.3

Dynamic–Domain–Decomposition(DDD)–Verfahren

Die Weiterentwicklung des vorhin beschriebenen SDD–Verfahrens stellt das DDDVerfahren dar, das die feste Gitterblock–Partikel–Beziehung aufhebt und beliebige Partikel mit beliebigen Node–Prozessen berechnen l¨aßt. Diese hohe Flexibilit¨at wird durch ein st¨arkeres Kommunikationsverhalten erkauft, was wiederum durch ein

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Abbildung 5.4: Prinzip des Dynamic–Domain–Decomposition–Verfahrens, [136]

Buffern in einem Stack der lokalen Bl¨ocke gemildert wird. Das “Dynamic“ in der Bezeichnung “DDD-Verfahren“ steht also f¨ ur diese verbesserte Lastverteilung und hat nichts mit dem Rechengitter f¨ ur den NS–L¨oser zu tun, das weiterhin statisch zerlegt wird. Eine der Grundannahmen von allen Lagrangen Partikelmodellen ist die Verwendung der aktuellen, eingefrorenen L¨osung der Str¨omungsgleichungen, wozu auch das jeweilige Rechengitter geh¨ort. Die Realisierung dieses Verfahrens erfordert eine zus¨atzliche Klasse von Prozessen, n¨amlich die Service–Nodes, siehe Abb. 5.4. Jeder Service–Node speichert w¨ahrend der gesamten Rechnung statisch die Gittergeometrie– und Fluiddaten einer be-

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stimmten Partition. Der Service–Node f¨ uhrt jedoch selber keine Trajektorienberechnungen durch. Die eigentliche Berechnung wird wie im SDD–Verfahren von den Node–Prozessen ausgef¨ uhrt. Im Unterschied zum SDD–Verfahren kann ein Node– Prozeß Partikeltrajektorien prinzipiell in jeder beliebigen Partition berechnen. Die dazu jeweils aktuell ben¨otigten Gitter– und Fluiddaten werden von dem Service– Node, der diese Daten gespeichert hat, nach Anforderung bereitgestellt. Wie im SDD–Verfahren hat der Host–Prozeß auch hier die Aufgabe, die Partikelstartbedingungen zu verwalten und an die Nodes zu verteilen. Da die Wechselwirkungen zwischen den Prozessen aufgrund von event handler43 w¨ahrend der Laufzeit entschieden wird und nicht vorhersehbar ist, wird eine Art Master– oder Host–Prozeß ben¨otigt, um die globale Steuerung der Calc– und der Service–Nodes zu u ¨bernehmen. Host–Prozeß: Der Host verwaltet und verteilt die Partikelstartbedingungen. Dabei ist eine Startbedingung, wie schon oben erl¨autert, eine Menge von Daten, die den Partikelzustand bei der Einbringung in das Str¨omungsgebiet bzw. beim Eintritt in eine neue Partition beschreiben. Bei einer großen Anzahl von Partikeln ist es sinnvoll, den Host–Prozeß auf einen separaten Prozessor zu legen, weil die Datenstruktur der Partikelstartbedingungen einen großen Teil des lokalen Speichers ben¨otigt und zus¨atzliche Prozesse der Calc– oder Service–Nodes damit kollidieren k¨onnen. F¨ ur knapp eine Million Partikel werden rund 500 MB Speicher ben¨otigt. Die maximale Anzahl der zur rechnenden Partikel ist somit nur durch die verf¨ ugbare Speichergr¨oße f¨ ur den Host–Prozeß beschr¨ankt. Der Host sendet eine Startbedingung an einen Node, und nach der Berechnung des entsprechenden Trajektoriensegmentes empf¨angt er von diesem Node den Endzustand der Trajektorie. Falls die Trajektorie eine Partitionsgrenze erreicht hat, wird der Endzustand als neue Startbedingung behandelt und erneut an einen Node zur weiteren Berechnung gesendet. Dieser Vorgang wird vom Host solange wiederholt, bis alle Trajektorien endg¨ ultige Abbruchbedingungen erf¨ ullt haben. Die Zuteilung von Startbedingungen an die Node–Prozesse unterliegt einem Optimierungsverfahren. Der Node kann prinzipiell in jeder Partition Trajektorien berechnen, indem er die entsprechenden Gitter– und Fluiddaten dieser Partition vom zugeh¨origen Service–Node empf¨angt. Um jedoch die Menge der zwischen den Prozessen auszutauschenden Daten und damit die Kommunikationszeit zu minimieren, sendet der Host eine Startbedingung 43 “event handler“ sind Schleifen–Programme, die permanent Abfragen von anderen Prozessen auswerten und daraus entsprechende Aktionen, wie z. B. eine Austauschoperation, generieren. Damit lassen sich “host–client“ Prozesskonfigurationen steuern, die sonst mit einem deterministischen Programmablauf sehr ineffizient w¨aren. Das Laufzeitverhalten der jeweiligen Rechnerkonfiguration synchronisiert dabei den Prozeßablauf auf effiziente Weise.

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bevorzugt an einen Node, in dessen Speicher bereits die Daten f¨ ur die Partition vorliegen, in der diese Startbedingung lokalisiert ist. Wenn der Node noch keine Partition allokiert hat, schickt der Host–Prozeß eine Partikelstartbedingung, die der gr¨oßten Anzahl von noch abzuarbeitenden Startbedingungen auf einer speziellen Partition entspricht. Der Node–Prozeß muß sich nun die dazu geh¨origen Fluid– und Gitterdaten von einem Service–Node schicken lassen (Anforderung und Empfangen der Daten), was eine Kommunikation ohne Mitwirkung des Hosts ausl¨ost. Am Ende der Rechnung verlangen die Calc–Nodes vom Host–Prozeß Arbeit, doch dieser hat keine Partikelstartbedingungen mehr zu verschicken. Dies registriert der Host–Prozeß und wenn alle Calc–Nodes auf Arbeit warten, beginnt er die Partikelberechnung abzuschließen. Node– oder Rechenprozeß: Der Node empf¨angt jeweils eine Partikelstartbedingung vom Host und fordert sofort eine weitere an (asynchrone Kommunikation), berechnet das zugeh¨orige Trajektoriensegment und sendet den Endzustand des Segmentes zur¨ uck an den Host. Nach dem Empfang der Startbedingung wird gepr¨ uft, ob die zugeh¨origen Startkoordinaten in der Gitterpartition liegen, deren Gitter– und Fluiddaten aktuell im lokalen Speicher vorhanden sind. Ist dies der Fall, wird sofort mit der Trajektorienberechnung begonnen. Im anderen Fall m¨ ussen diese Daten vom entsprechenden Service–Node zum Node u ¨bertragen werden. Zur Verfolgung eines Partikels im Str¨omungsgebiet und zur Detektierung der Ann¨aherung an Partitionsgrenzen m¨ ussen dem Node die kompletten Gittergeometriedaten der aktuellen Partition zur Verf¨ ugung stehen. Bez¨ uglich der Fluiddaten hat Frank [131], [136] untersucht, wieweit man die Effizienz durch unterschiedliche Gr¨oßen der Datenkommunikation beeinflussen kann. So ist es m¨oglich, die Fluiddaten von einer gesamten Partition, einem 7–Punkte– Differenzenstern, oder nur von der aktuellen Zelle zu u ¨ bertragen. Der Vorteil einer kleineren zu u ¨ bertragenden Datenmenge wird von der gr¨oßeren Anzahl von zu u ¨bertragenden Daten, die ja alle eine ¨ahnliche Latenzzeit ben¨otigen, begrenzt. Je nach Anwendung und Hardwarearchitektur kann jeder der drei unterschiedlichen Kommunikationsmethoden der Fluiddaten vorteilhaft sein. Als bester Kompromiß aus unterschiedlichen Anwendungen wurde jeweils die gesamte Partition ausgetauscht. Die vom Service–Node erhaltenen Fluid– und Geometrie–Daten werden in einer lokalen, dynamischen Struktur eingelagert, die als Cache–Speicher angesehen werden kann. In Abh¨angigkeit von einem gesetzten Parameter wird die ¨ Gr¨oße definiert. Beim Uberlauf dieses Cache–Speichers wird die am seltensten gebrauchte Partition vom neu geladenen Datensatz u ¨berschrieben.

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Das Kollisionsmodell ben¨otigt mittlere Partikeldaten, die separat analog zu den Fluiddaten von den Service–Nodes angefordert werden m¨ ussen. Die Wechselwirkungsterme bzw. die Beitr¨age f¨ ur die gemittelten Partikelwerte werden zuerst in der lokalen Datenstruktur aufsummiert. Wenn die Partition aufgegeben wird oder am Schluß der Berechnung wird diese Datenstruktur an den zugeh¨origen Service–Node versandt. Service–Prozeß: Ein Service–Node speichert die Gittergeometrie– und Fluiddaten einer bestimmten Partition permanent w¨ahrend der gesamten Rechnung. Wenn ein Node die Gitter– bzw. Fluiddaten f¨ ur diese Partition anfordert, werden sie an den entsprechenden Node gesendet. Der Service–Node f¨ uhrt selbst keine Berechnungen aus. Seine Hauptaufgabe ist das Versenden von angeforderten Daten. In einer kollisionsbehafteten Simulation entsteht f¨ ur den Service–Node ein zus¨atzlicher Speicheraufwand. F¨ ur die ihm zugeordnete Partition m¨ ussen f¨ ur jede Gitterzelle die Partikelvariablen uP 0 , vP 0 , ωP x0 , ωP y0 , dP 0 und nP gespeichert werden, und zwar sowohl die der vorhergehenden als auch die der aktuellen Iteration. Im Falle einer Datenanforderung durch einen Node versendet der Service–Node zus¨atzlich zu den Gitter– und Fluiddaten die entsprechenden Partikelgr¨oßen der vorhergehenden Iteration. Nach Beendigung der Trajektorienberechnung durch den Node empf¨angt der Service–Node von diesem die neu berechneten Partikeldaten und addiert diese Anteile zu den Gesamtpartikeldaten der aktuellen Iteration. Im Vergleich zum SDD–Verfahren ist der Kommunikationsaufwand des DDD–Verfahrens wesentlich gr¨oßer, da hier nicht nur Partikelstartbedingungen, sondern außerdem auch Gittergeometrie– und Fluiddaten und je nach aktiviertem Submodell gemittelte Partikeldaten und Wechselwirkungsterme ausgetauscht werden. Durch die dynamische Zuordnung von Partitionen zu Node–Prozessen wird mit dem DDD– Verfahren jedoch eine gute Verteilung der Rechenlast unter den Node–Prozessen erreicht, [131], [429]. F¨ ur den Fall, daß die Partikel/Tropfen nur in einem lokal sehr begrenzten Bereich des Berechnungsgebiets auftreten (Spray–Simulation), ist das DDD–Verfahren wesentlich effizienter. Die zus¨atzliche Verwendung der Service–Node–Prozesse erfordert mehr als doppelt so viele Prozesse wie Gitterpartitionen vorhanden sind. Bei dem DDD–Verfahren ist die Anzahl der ben¨otigten Prozesse gleich 2N + 1, wobei N die Anzahl der Partitionen ist. Die Berechnung der Partikeltrajektorien wird von den N Node–Prozessen ausgef¨ uhrt. Die u ¨brigen N + 1 Prozesse, Service–Node und Host, dienen lediglich

161

zur optimalen Verteilung der Rechenlast unter den Nodes. Auf aktuellen Rechenclustern ist es m¨oglich, den Prozessor mit jeweils einem Node– und einem Service– Node–Prozeß zu belegen, was somit N Prozessoren verlangt. In der Vergangenheit war das ein Problem, doch heute werden MIMD–Systeme durchweg unter einem proprit¨arem UNIX oder unter LINUX betrieben, die mehrere Prozesse gleichzeitig verwalten k¨onnen. Die gegenseitige Beeinflussung der Node– und Service–Prozesse ist dabei gering, da sie einen komplement¨aren Ressourcenbedarf haben. Der Node– Prozeß ben¨otigt relativ wenig Speicherplatz und viel Rechenleistung, wogegen der Service–Node–Prozeß relativ viel Speicherplatz und nahezu keine Rechenleistung beansprucht.

5.3.4

Neuer paralleler Algorithmus fu are Si¨r die instation¨ mulation von Partikeltrajektorien

Das im Rahmen dieser Arbeit entwickelte Verfahren f¨ ur die parallele Berechnung einer Partikelstr¨omung baut auf die Vorarbeiten von Frank [128] und Wassen [428] auf. Vergleiche der zwei Parallelisierungsans¨atze (SSD– und DDD–Verfahren) f¨ ur ¨ den station¨aren L¨oser haben die Uberlegenheit der DDD–Methode bez¨ uglich Speedup und paralleler Effizienz gezeigt, siehe Pachler et al. [134], [135]. Aus diesem Grund wird das DDD–Verfahren als Basis f¨ ur den instation¨aren L¨oser verwendet. In Kap. 6.4.3 wird der neue Algorithmus anhand zweier Anwendungsbeispiele untersucht. Es wird der Einfluß von Rechner–Hardware und Zeitschrittweite ∆t auf die Effizienz und die Rechenzeit dargestellt. Bei der instation¨aren Zwei–Wege-Kopplung zwischen Partikel– und Gasphase wird von einem eingefrorenen Str¨omungsfeld der Gasphase ausgegangen. Das erfordert eine diskrete Zeitschrittgr¨oße, die kleiner als die relevanten Zeitmaßst¨abe der jeweiligen Str¨omung sind. Analog dazu wurde der station¨are L¨oser, der f¨ ur einen gedachten sehr großen Zeitschritt richtige Ergebnisse liefert, f¨ ur beliebig kleine Zeitschritte so modifiziert, daß abwechselnd Partikel– und Gasphase f¨ ur dieses Zeitintervall berechnet werden. Es wurde angenommen, daß dieses konsequente Schrumpfen des Zeitmaßstabes keine Auswirkungen auf m¨ogliche Modellannahmen hat. So wird bei der Kollisionsberechnung die Stoߨ uberpr¨ ufung nach jedem Subzeitschritt δt des Partikel–L¨osers wie beim station¨aren L¨oser durchgef¨ uhrt. Im Gegensatz dazu berechnen die DSMC–Ans¨atze zuerst die Verschiebung f¨ ur alle Partikel u ¨ber den gesamten Fluidzeitschritt ∆t und simulieren erst danach wiederum f¨ ur den gesamten Fluidzeitschritt den Kollisionsprozeß. Die Kollisionszeit τC ist eine obere Schranke f¨ ur den Subzeitschritt des Runge–Kutta–Integrierers im Partikel–L¨oser, die sowohl vom station¨aren als auch vom instation¨aren Partikel– L¨oser ber¨ ucksichtigt wird. Wenn man jedoch das globale Minimum u ¨ ber alle Subzeitschritte bildet und diesen Wert f¨ ur den n¨achsten Fluidzeitschritt verwendet, erh¨alt man oft so kleine Werte, daß die Simulation wegen zu hoher Rechenzeiten abge-

162

brochen werden muß. Aus diesem Grund wird die transiente Zeitschrittsteuerung meistens u uhrt. Optional kann entweder die ¨ber einen Eingabedatensatz durchgef¨ Kollisionszeit oder eine mittlere Tropfenrelaxationszeit als neuer globaler Fluidzeitschritt verwendet werden, was einer adaptiven Zeitschrittsteuerung entspricht. W¨ahrend beim station¨aren L¨oser die Abbruchkriterien f¨ ur die Trajektorienberech¨ nung das Erreichen der Str¨omungsberandung oder das Uberschreiten einer maximalen Zeit sind, wird im instation¨aren Fall zus¨atzlich der aktuelle Fluidzeitschritt u ¨ berpr¨ uft. Außerdem muß das wechselseitige Zusammenspiel zwischen Partikel–L¨oser und NS–L¨oser bei der Zwei– oder Vier–Wege–Kopplung sichergestellt werden. Dazu wurde ein Eingabedatensatz entwickelt, der alle wichtigen Steuergr¨oßen transient ver¨anderlich macht. Damit lassen sich z. B. zeitlich ver¨anderliche Partikelmassenstr¨ome oder Partikelgr¨oßenverteilungen simulieren. Obwohl das DDD–Verfahren f¨ ur große Zeitschritte eine recht gute parallele Effizienz liefert, reduziert sich dieser Wert betr¨achtlich bei f¨ ur hochtransiente Vorg¨ange typischen Zeitschrittweiten. Die Ursache liegt an der stark angewachsenen Datenaustauschrate, die u ¨ber ein im Vergleich zur Prozessorrechenleistung relativ langsames Kommunikationsnetzwerk geleitet wird. Ein entscheidender Engpaß ist, daß an den Rechenknoten immer nur eine Partikelstartbedingung verschickt wird. Bei moderaten bis großen Zeitschritten wird einfach l¨anger bis zum Abbruch gerechnet und damit verbessert sich das Verh¨altnis Rechen– zu Austauschzeit. Eine m¨ogliche L¨osung w¨are das gleichzeitige Verschicken von mehreren Partikelstartbedingungen vom Host an den Rechenknoten. Diese Modifikation w¨ urde einerseits den Kommunikationsumfang reduzieren, andererseits jedoch die Programmstruktur un¨ ubersichtlicher machen. Das SDD–Verfahren w¨ urde zwar weniger Kommunikation verursachen, leidet aber unter der gleichen Problematik, n¨amlich daß die Rechenknoten u ¨ber einen Datenaustausch neue Partikelstartbedingungen anfordern. Generell erfordert jede dynamische Partikelverteilung einen erh¨ohten Kommunikationsaufwand, der durch die bessere Auslastung der Prozessoren wettgemacht werden muß. Gerade bei einer Rechenpartikelanzahl von mehr als 106 und mehr als 25 Prozessoren ist eine dynamische Lastverteilung anzustreben. Abb. 5.5 zeigt schematisch den Ablauf des Partikel– und des NS–L¨osers f¨ ur instation¨are Str¨omungen mit expliziter Kopplung der beiden Phasen. Das Flußdiagramm ¨ zeigt die Abfolge der großen Progammbl¨ocke, die starke Ahnlichkeit mit dem Aufbau von kommerziellen Programmpaketen wie Kiva oder FIRE hat. Ein wesentlicher Unterschied ist der parallele Lagrange–L¨oser, der als Master–Slave–Konzept verwirklicht wurde und sich innerhalb der zweiten Box (Abb. 5.5, Berechnung der Bewegung ...) des Lagrange–L¨osers befindet. Innerhalb des NS–L¨osers bedeutet jede Gleichungsbox das Aufstellen der Koeffizienten und der Quellterme, das Assemblieren des Gleichungssystems und das L¨osen mit Hilfe eines iterativen Gleichungsl¨osers.

163

Einlesen der Startdaten, des Gitters, Initialisierung

Eingangsdaten

Einlesen der Randbedingungen, des instationären Steuerdatensatzes

Initialisierung, Lokalisierung der Tropfenstartbedingungen

Lagrange Löser

Berechnung der Bewegung und Verdunstung von Tropfen mit dem Runge--Kutta--Löser

Berechnung der gemittelten Größen und der Quellterme

Zeit Schleife über alle dti Impulsgleichungen u,v,w

Druckkorrektur mit Multigrid

Navier- Stokes Löser

k-e Gleichungen

SIMPLE Iterations Schleife

Enthalpiegleichung

Dampfgleichung

Konvergenz SIMPLE?

Nein

Ja Ja Ausgabe? Ausgabe der Ergbnisdaten

Nein End Zeit erreicht?

Nein

Ja Abbruch

Abbildung 5.5: Flußdiagramm des instation¨aren Euler–Lagrange–Verfahrens mit Vier–Wege–Kopplung

164

Kapitel 6 Validierung und Berechnungsergebnisse 6.1

Allgemeine Grundlagen der Validierung

Die Entwicklung neuer Verfahren in der numerischen Str¨omungsmechanik wird einerseits von der Grundlagenforschung in der Physik und der Mathematik und andererseits von m¨oglichst umfassend vermessenen Testf¨allen vorangetrieben. Auch wenn ein L¨osungsalgorithmus durch theoretische Untersuchungen als vielversprechend be¨ schrieben wird, kann erst die gute Ubereinstimmung im Vergleich Rechenergebnisse/Meßwerte seine Brauchbarkeit f¨ ur die ingenieurm¨aßige Praxis aufzeigen. Dazu ist es notwendig charakteristische Testf¨alle zu entwickeln, die, basierend auf sehr einfachen Str¨omungsverh¨altnissen, eine spezielle Problemklasse besonders deutlich darstellen (Scherstr¨omung, Abl¨ose- oder Stufenstr¨omung, Gasstrahl, Drallstr¨omung). Obwohl Str¨omungsl¨oser gerne als “multipurpose CAE-Tools“ bezeichnet werden, verl¨auft die Entwicklung jedoch schon aus Kapazit¨atsgr¨ unden immer in Richtung einer spezielle Anwendungsklasse. Dementsprechend muß auch die Validierung die dazu passenden Experimente definieren, um die tats¨achliche G¨ ute der numerischen L¨osung absch¨atzen zu k¨onnen. Es ist aus Effizienzgr¨ unden u ¨blich, einen erprobten L¨oser st¨andig weiterzuentwickeln, um sich dadurch ein erweitertes Anwendungsfeld zu schaffen. Es gibt jedoch durchaus die Situation, bei der eine Neuentwicklung die bessere L¨osung f¨ ur eine spezifische Anwendung sein kann. Der Grund f¨ ur eine Neuentwicklung kann ein anderer L¨osungsalgorithmus, eine veraltete, unflexible Datenstruktur bzw. ein neues Gitterkonzept oder eine nicht mehr beherrschbare Programmstruktur sein. In der vorliegenden Arbeit wurde ein station¨arer L¨oser f¨ ur instation¨are, turbulente Str¨omungen

165

erweitert, wobei eine disperse Phase mit Aggregatzustands¨anderungen zu ber¨ ucksichtigen ist. Dieser weite Bereich wurde in mehrere Testf¨alle unterteilt, um die Qualit¨at der Implementierung zu u ufen. Die gew¨ahlten Testf¨alle sind signifikant ¨berpr¨ f¨ ur spezifische Modelle oder Algorithmen des L¨osers. Trotzdem muß betont werden, daß die kleine Anzahl der in dieser Arbeit m¨oglichen Vergleiche keine abschließende Aussage u ute des L¨osers bei anderen Anwendungen erlaubt. Abgesehen ¨ber die G¨ von Programmfehlern ist die Anzahl der Kombinationen nur eines Teils der Eingabeparameter so groß, daß eine genaue Validierung einen sehr gr¨oßen Ressourcen– und Personalaufwand44 erfordert. Validierung wird im Rahmen von Benchmarks betrieben, bei dem entweder die Hardware, siehe Kap. 5.1, der Berechnungs–Code (siehe DFG–Benchmark [329], Zweiphasen-Benchmark [361]), oder Applikationsbeispiele (siehe Pachler [285], Bachler [22], JSAE-Konferenz [194]), variiert werden. Einerseits wird dabei die Rechenzeit und der Speicherbedarf, andererseits die Qualit¨at der L¨osung bez¨ uglich der experimentellen Daten verglichen. Nat¨ urlich muß Rechenzeit und Genauigkeit in einem praktikablen Verh¨altnis stehen, wobei je nach Anwendung die minimalen Genauigkeitsanforderungen zwischen 0,1 bis 30 % liegen k¨onnen. Bei schlechter quantitati¨ ¨ ver Ubereinstimmung wird mittels Normalisierung die qualitative Ubereinstimmung untersucht. Sollte letztere eine positive Aussage liefern, kann zumindest eine Trendvorhersage mit der Simulation durchgef¨ uhrt werden. Dazu ist jedoch die Kopplung mit Meßwerten erforderlich, weil oft der G¨ ultigkeitsbereich f¨ ur eine rein qualitative Simulation nicht ausreichend bekannt ist. Zur Qualit¨atssicherung der CFD-Simulation wurden in den letzten Jahren eine Reihe von “Best Practice Guidelines“ formuliert, siehe EROFTAC [53], ALESSIA [8], Stern [370], die jedoch nur eine allgemeine Hilfestellung geben k¨onnen. In ¨ahnliche Richtung geht die Vorstellung, Expertensysteme an die NS-L¨oser zu koppeln, um die Steuerparameter der Simulation bzw. die Netzqualit¨at zu optimieren. Grundlage jeder Validierung ist ein spezifisches Rechenprogramm, das f¨ ur ausgew¨ahlte Beispiele L¨osungen produziert, die mit experimentell ermittelten Daten verglichen werden. Bei der Fehleranalyse muß zwischen numerischen und modellbedingten Fehlern unterschieden werden. Numerische Fehler resultieren aus dem Diskretisierungfehler und dem L¨osungsverfahren (numerische Diffusion, keine vollst¨andige Konvergenz der L¨osung). Modellfehler entstehen bei der Simulation von Str¨omungsvorg¨angen, die mit Hilfe der verwendeten mathematischen Modelle unzureichend beschrieben werden. Diese an sich triviale Kausalkette setzt das Wissen um den G¨ ultigkeitsbereich 44 Entwicklungen im Bereich der numerischen Str¨omungsmechanik erfordern eine gewisse Mindestanzahl von Bearbeitern und ein internationales Netzwerk f¨ ur den Informations- und Gedankenaustausch. Aufgrund der globalen Verflechtungen und der permanenten Reduktion der Rechenkosten ist mit dem st¨andigen Auftreten von neuen Programm–Codes zu rechnen. Da die Anforderun¨ gen an kommerzielle Software jedoch laufend steigen (Validierung), ist das langfristige Uberleben nur von einer kleinen Zahl von Anbietern m¨oglich.

166

der verwendeten Modellierungsans¨atze voraus, was keineswegs selbstverst¨andlich ist. Basis jeder Validierung eines NS–L¨osers f¨ ur technische Str¨omungen ist die Untersuchung des implementierten Turbulenzmodells, das maßgeblich die Qualit¨at der Str¨omungsl¨osung beeinflußt. Dazu wurden mehrere Beispiele mit zunehmender Komplexit¨at der Str¨omung ausgew¨ahlt, die mit Messungen bzw. einem zweiten NS– ¨ L¨oser verglichen wurden. Ublicherweise liefern L¨oser basierend auf einem Zweigleichungsturbulenzmodell relativ gute Ergebnisse bez¨ uglich der Mittelwerte, w¨ahrend die Reynolds–Spannungen gr¨oßere Abweichungen aufweisen k¨onnen. Da solche Modelle isotrope Turbulenz annehmen, werden Str¨omungen mit starker Stromlinienkr¨ ummung (Zyklon) oder Gasstrahlen nicht vollst¨andig beschrieben. Im Anschluß wird die Implementation des Instation¨arl¨osers mit Hilfe einer laminaren Abl¨osestr¨omung um einen Zylinder u uft. Weiter wird die Kollisionsmodellie¨berpr¨ rung bzw. der Vergleich zwischen zwei Modellans¨atzen an einem konvergenten vertikalen Kanal getestet. Eine reale Anwendung ist die Simulation mit einer Vier–Wege– Kopplung des Kohlestaubtransports u ¨ ber eine Rohrverzweigung in einen Brennkessel. Abschließend wird eine Tropfenstr¨omung in einer Hochdruckkammer simuliert, wobei hier ohne Zerst¨aubungsmodell der Transport der fl¨ ussigen und dampff¨ormigen Phase dargestellt wird. Zus¨atzlich neben dem Rechnungs–Messungs–Vergleich wird die parallele Effizienz anhand ausgew¨ahlter Beispiele untersucht und bewertet.

6.2

Turbulenzverifikation

Die Turbulenzverifikation bezieht sich auf den NS–L¨oser und vergleicht sowohl Geschwindigkeits- und Spannungsprofile als auch integrale Gr¨oßen wie die Druckdifferenz oder Abl¨osepunkte. Die Beispielwahl umfaßt drei Anwendungen mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad, n¨amlich eine Rohr–, eine Abl¨ose– bzw. Stufen– und eine Zyklonstr¨omung. Die Auswahl dieser Anwendungen entspricht vergleichbaren Entwicklungsans¨atzen, siehe Teixeira [384], Shuen [348]. Nat¨ urlich wird mit zunehmender Komplexit¨at der Str¨omung ein Vergleich immer problematischer, und m¨ogliche Abweichungen lassen sich auch schwer erkl¨aren. Trotzdem ist es wichtig auch eine komplizierte Bauteilkonfiguration zu simulieren, um die praktische Verwendbarkeit einsch¨atzen zu k¨onnen.

6.2.1

Rohrstr¨ omung

F¨ ur eine ungest¨orte Rohrstr¨omung soll der Druckabfall untersucht werden. Dazu werden Meßdaten von Laufer [228] verwendet, der ein recht umfangreiches Experiment in den 50er Jahren durchgef¨ uhrt hat. Laufer hat f¨ ur zwei Reynolds–Zahlen, 50 000

167

bzw. 500 000, Ergebnisse ver¨offentlicht. Es wird die station¨are Variante des L¨osers MISTRAL/PARTFLOW-3D verwendet. Abb. 6.1 zeigt das Berechnungsnetz f¨ ur die-

X

Z

Y

X

0.1

0.05

8 6 4

0

Z

2 -0.1

-0.05

0

0

Y

Abbildung 6.1: Berechnungsnetz mit Blockstruktur, Maßeinheit in Meter se Rohrstr¨omung, wobei aus Symmetriegr¨ unden nur ein Viertelkreis modeliert wird. Dieses Netz enth¨alt 80 000 Kontrollvolumina. Die Randbedingungen sind die feste Wand (Mantel des Zylindersektors) bzw. Symmetriebedingung in der Mitte. Am Einlaß wird ein Geschwindigkeitsblockprofil, am Auslaß die Neumann–Bedingung (verschwindende Ableitung in Str¨omungsrichtung) vorgegeben. Als Rohrl¨ange wurde 7,9 m gew¨ahlt, was dem 42-fachen Durchmesser entspricht. Laufer [228] schreibt, daß nach etwa dem 30-fachen Durchmesser eine vollausgebildete turbulente Str¨omung angenommen werden kann. Tab. 6.1 zeigt die berechneten bzw. gemessenen Druckdifferenzen f¨ ur zwei Massenstr¨ome, die den Reynolds–Zahlen von 50 000 und 500 000 entsprechen. Als Str¨omungsmedium wird Luft unter Umgebungsbedingungen verwendet. Die Druckdifferenz wurde im Bereich der ausgebildeten Str¨omung ermittelt, was den letzten 3,95 m entsprach. Das Rohr wird als hydraulisch glatt angenommen. Die analytische Berechnung basiert auf der halbempirischen Theorie von

168

Verfahren

Re auf Uo bezogen

Einlaßgeschw. Uo /Um [m/s]

Theorie nach Prandtl Messung von Laufer Rechnung MISTRAL–3D

50 000 500 000 50 000 500 000 50 000 500 000

3,05 30,50 3,05 30,50 2,52 26,40

/ / / / / /

2,52 26,40 2,52 26,40 2,52 26,40

Einlaßturbulenz k/ε [m2 /s2 ]/[m2 /s3 ]

∆P auf 3,95 m [Pa]

0,0237 / 0,012 2,60 / 153,0

1,31 89,60 1,26 88,40 1,33 88,20

Tabelle 6.1: Vergleich Rechnung–Messung bez¨ uglich Druckabfall

Prandtl [103], die die Bernoulli-Beziehung mit einer Rohrreibungszahl erweitert. Daraus ergibt sich folgende Beziehung f¨ ur den Druckverlust: ∆p = λ

L ρm 2 v . d 2 m

(6.1)

In Gl. (6.1) ist λ die Rohrreibungszahl, die eine Funktion der Reynolds–Zahl ist, Ld das Verh¨altnis Rohrl¨ange zu Rohrdurchmesser, ρm die mittlere Dichte und vm die mittlere Fluidgeschwindigkeit. Bei der Berechnung mit MISTRAL–3D wurde das Standard–k–ε–Modell verwendet, w¨ahrend f¨ ur die Wandmodellierung das logarithmische Wandgesetz angewandt ¨ wurde. Die Ubereinstimmung f¨ ur den Druckabfall ist gut, wobei eine detailiertere Untersuchung beispielsweise des Geschwindigkeitsprofils w¨ unschenswert w¨are. Abb. 6.2 zeigt die Druckverteilung in einem Schnitt durch die Rohrachse. Die Druckwerte sind als relativer Druck in Pascal angegeben, weil f¨ ur diese inkompressible Berechnung der Absolutdruck bedeutungslos ist. Die Druckverteilung erscheint als homogen quer zur Str¨omungsrichtung und linear verlaufend in Str¨omungsrichtung. Es wurde f¨ ur den einlaßnahen Bereich ein etwas h¨oherer Druckabfall von 103,3 Pa im Gegensatz zum auslaßnahen Bereich mit 88,2 Pa festgestellt.

169

Pipe Flow Laufer Experiment DelP for Inlet Region [0.0-3.95 m] = 103.3 [Pa] Re=500 000 Fluid=Air Ambient Conditions Xcut= 0.0006 [m] D=0.2469 [m] L=7.9 [m] Z

DelP for Outlet Region [3.95-7.9 m] = 88.2 [Pa] X

Y 309 362 362

294

256

324317

354

188

226

294 203

339 339 249 347

188 332

317

181

203 211

256

218

332 332 8

181

226

7

6

5

4

3

181

2

1

0

P 362 354 347 339 332 324 317 309 302 294 286 279 271 264 256 249 241 233 226 218 211 203 196 188 181

Abbildung 6.2: Mittlerer Druck in einem Schnitt durch die Rohrachse

Pipe Flow Laufer Experiment DelP for Inlet Region [0.0-3.95 m] = 103.3 [Pa] Re=500 000 Fluid=Air Ambient Conditions Xcut= 0.0006 [m] D=0.2469 [m] L=7.9 [m] Z

11 1513 1214 17 15 1419 19 1315 13 18 1620 15 18 15 19 17 17 17 18 19 2318 2224 23 22 22 26 24 25 26 27 27

Y 11 1118 1115 1116 1219 15 12 14 12 11 1214 12 13 13 13 13 161712 17 14 15 1513 15 15 15 15 15111212 15 15 1612 16 1715 17 1716 17 17 17 17 18 19 19 1719 19 19 20 21 212219 19 2222 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 2423 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 27 28 28 29 2929 29

29

28

26

28

DelP for Outlet Region [3.95-7.9 m] = 88.2 [Pa] X

29

29

29

29 29 30

30

28

8

7

6

5

4

3

2

1

0

VF,abs 30.00 29.30 28.59 27.89 27.19 26.48 25.78 25.07 24.37 23.67 22.96 22.26 21.56 20.85 20.15 19.44 18.74 18.04 17.33 16.63 15.93 15.22 14.52 13.81 13.11

Abbildung 6.3: Betrag der mittleren Geschwindigkeit in einem Schnitt durch die Rohrachse, Achsbezeichnung in Meter

170

Die Ursache liegt am noch unvollst¨andig ausgebildeten Str¨omungsprofil, die aus den Einlaufverlusten resultiert. Außerdem entspricht die willk¨ urliche Vorgabe der Einlaßrandbedingung als Blockprofil nicht den Versuchsbedingungen. Abb. 6.3 zeigt die Geschwindigkeitsverteilung in einem Schnitt durch die Rohrachse. Deutlich ist die sich stromabw¨arts entwickelnde Wandgrenzschicht zu erkennen. Der Einlaßbereich ist wesentlich vom Umbau des Blockprofils auf ein turbulentes Profil gekennzeichnet. Obwohl die Rohrl¨ange nach den Angaben von Laufer [228] ausreichend gew¨ahlt wurde, ist f¨ ur weitere Vergleiche eine zyklische Randbedingung anzustreben, um die Einlaßst¨orung durch das Blockprofil zu unterbinden. F¨ ur den Vergleich bez¨ uglich Druckabfall ist die verwendete Konfiguration ausreichend. Abb. 6.4 zeigt die Ver-

Pipe Flow Laufer Experiment DelP for Inlet Region [0.0-3.95 m] = 103.3 [Pa] Re=500 000 Fluid=Air Ambient Conditions Xcut= 0.0006 [m] D=0.2469 [m] L=7.9 [m] Z

DelP for Outlet Region [3.95-7.9 m] = 88.2 [Pa] X

Y 1890 1650 2610 1890 1890 1890 1770 1770 2130 1650 1650 1650 1770 1770 2010 1530 1050 1530 1650 1410 1410 1410 1410 1290 930810 1290810 1410 1410 1410 1410 1290 1170 1170 1170 1170 1170 1050 1050 1050 1050 930 810 810 810 1050 8101170 810 690 690 690810 570 330 570 8101050 570 450 450 450 450 450 450 570 570690 450 330 330 330 330 90 210 210 9090

1650 1650 1410 1410 1290 1290 1170 690 690 570570

90

90

8

7

6

5

4

3

2

1

0

H 2970 2850 2730 2610 2490 2370 2250 2130 2010 1890 1770 1650 1530 1410 1290 1170 1050 930 810 690 570 450 330 210 90

Abbildung 6.4: Verteilung der Dissipation in einem Schnitt durch die Rohrachse, Achsbezeichnung in Meter

teilung der turbulenten Dissipation in einem Schnitt durch die Rohrachse. Auch hier erkennt man den Einfluß der Einlaßrandbedingung. Der u ¨berwiegende Teil der Dissipation r¨ uhrt von der Wandreibung und unterstreicht die Bedeutung der Wandmodellierung bzw. einer entsprechenden Netzaufl¨osung.

171

6.2.2

Stufenstr¨ omung

Die Stufenstr¨omung, auch “backward facing step“genannt, ist ein klassischer Testfall, f¨ ur den viele Varianten bez¨ uglich der geometrischen Abmessungen und der Reynolds–Zahl existieren. Dieser Testfall erm¨oglicht aufgrund der Geometrie die wichtige Annahme einer zweidimensionalen Str¨omung, was eine starke Vereinfachung f¨ ur die Turbulenzmodellierung bedeutet. Die Messung wird nat¨ urlich immer an einer dreidimensionalen Konfiguration durchgef¨ uhrt. In dieser Arbeit wird die Untersuchung von Kim et al. [203] im Rahmen der Stanford–Konferenz 1978 verwendet, die einen Startpunkt zur systematischen Validierung von CFD–Codes markierte. Obwohl dieser Datensatz relativ alt ist, wird er wie das Experiment von Laufer [228] auch heute noch oft verwendet, [393], [264]. Die Annahme einer zweidimensionalen Str¨omung erm¨oglicht ein Berechnungsnetz mit der Dicke von einer Zelle, wobei aus programmtechnischen Gr¨ unden zwei Zellen verwendet werden m¨ ussen. Es werden zwei Netzaufl¨osungen mit 9 800 und 32 000 Kontrollvolumina untersucht. Als Einlaßrandbedingung werden f¨ ur die Geschwindigkeit zwei unterschiedliche Profile, n¨amlich ein einfaches Block– bzw. ein etwas realistischeres parabolisches Geschwindigkeitsprofil zur Approximation der turbulenten Kanalstr¨omung verwendet. Das Str¨omungsfluid ist Luft unter Umgebungsbedingungen. Zus¨atzlich werden am Einlaß k und ε, siehe Tab. 6.2, vorgegeben. Am Auslaß wird eine Nullgradientenbedingung in Str¨omungsrichtung angesetzt. Weiter werden die Symmetrie- sowie die Wandrandbedingung nach dem logarithmischen Wandgesetz verwendet. Die Stufenh¨ohe h ist 0,02 m. Die H¨ohe des Einlaßquerschnitts betr¨agt 2 h, ebenfalls 2 h ist der Einlaßbereich stromaufw¨arts von der Kanalerweiterung lang. Die Kanall¨ange nach der Stufe betr¨agt 23 h, woraus sich eine Gesamtl¨ange von 25 h f¨ ur diese Geometrie ergiebt. Die Messungen von Kim et al. [203] wurden mit einem Hitzedrahtanemometer und mit Druckmeßsonden durchgef¨ uhrt. Als Ergebnisse wurden der statischen Druck an der stufenseitigen bzw. an der dazu gegen¨ uberliegenden Wand, mittlere Geschwindigkeits- und Reynolds–Schubspannungsprofile in Str¨omungsrichtung ver¨offentlicht. Aus den Messungen wurde die Gr¨oße der Wiederanlegel¨ange bestimmt, die folgendermaßen definiert ist: Die Wiederanlegel¨ange wird entlang der stufenseitigen Wand von der Stufe bis zu jenem Wandpunkt gemessen, der ein Schnittpunkt zwischen der Nullgeschwindigkeitslinie in x-Richtung innerhalb des großen Abl¨osewirbels und der Wand ist. Die Wiederanlegel¨ange ist eine wichtige Kenngr¨oße bei Stufenstr¨omungen, weil sie die grobskalige Wirbelstruktur vereinfacht wiedergibt. Außerdem gilt diese Gr¨oße als ein Maßstab f¨ ur die Qualit¨at des Turbulenzmodells. Selbstverst¨andlich sollten jedoch weitere unterschiedliche Benchmarks (z. B. bended pipe) ein Turbulenzmodell validieren.

172

F¨ ur dieses Beispiel wird die Turbulenzmodellierung anhand von zwei CFD–Programmen, n¨amlich dem institutseigenen MISTRAL–3D und dem FIRE 7.1.a, siehe AVL [125], untersucht. Die Berechnung mit FIRE verwendet neben dem Standard– k–ε–Modell ein Reynolds–Spannungsmodell (DRSM), das die Druck-Scher–Korrelation nach dem SSG–Ansatz modelliert, siehe Kap. 2.1.3.3. Die numerische Seite wird vor allem von der Diskretisierung der konvektiven Terme bestimmt. In diesem Fall wurde einerseits ein Upwind–Schema, andererseits ein modifiziertes Zentraldifferenzen– bzw. Quick–Schema verwendet. Obwohl diese Schemata Gradienten unterschiedlich gut aufl¨osen, war in diesem Fall kein Einfluß auf die Wiederanlegel¨ange oder die Druckdifferenz festzustellen, was m¨oglicherweise durch die hohe Netzaufl¨osung und die starke D¨ampfung der Schemata h¨oherer Ordnung in Richtung Upwind zu erkl¨aren ist.

Verfahren Kim et al. Messung k–ε MISTRAL k–ε Fire RSM Fire

Re auf Uo bezogen

Einlaßg. Einlaßturb. Uo k/ε [m/s] [m2 /s2 ]/[m2 /s3 ]

stat. ∆P [Pa]

Zellen– anzahl [-]

45 000

Wieder– anlege– l¨ange ∆ x/h 7,0 +/- 1.0

45 000

34,4

17,8 / 35739

261

45 000

34,4

17,8 / 35739

257

45 000 45 000

34,4 Parabel

17,8 / 35739 17,8 / 35739

256 234

32000 9800 32000 9800 32000 32000

5,75 5,30 5,75 5,30 6,50 6,75

Tabelle 6.2: Vergleich Rechnung–Messung bez¨ uglich Wiederanlegel¨ange und statischer Druckdifferenz ∆P

Wiederanlegel¨ ange W¨ahrend die Differenzenschemata bei 32 000 Kontrolvolumina keinen Einfluß auf die Wiederanlegel¨ange hatten, ergibt eine geringere Netzaufl¨osung auch eine k¨ urzere Wiederanlegel¨ange, siehe Tab. 6.2, Abb. 6.5, Abb. 6.6. Bez¨ uglich der Wiederanlegel¨ange ist das Reynolds–Spannungsmodell dem Standard-k-ε-Modell u ¨berlegen, wobei ein Unterschied von ungef¨ahr 15 % festzustellen ist. Wenn man die Stromlinien darstellt und darin die Nullgeschwindigkeitslinie in x-Richtung einzeichnet, stellt man fest, daß das Reynolds–Spannungsmodell die bekannten kleinen Wirbel am Fußpunkt der Stufe richtig wiedergibt, siehe Abb. 6.7, w¨ahrend das k–ε–Modell diese Wirbel nur andeutungsweise zeigt. Allerdings ist die Wirbelstruktur infolge des Reynolds–Spannungsmodells nicht ganz plausibel, wenn man den Verlauf der Null-

173

Abbildung 6.5: Darstellung der Stromlinien und des Berechnungsgitters mit 9 800 Kontrollvolumina, k–ε–Modell, MISTRAL–3D, Maßeinheit in Meter

Abbildung 6.6: Darstellung der Stromlinien und des Berechnungsgitters mit 32 000 Kontrollvolumina, k–ε–Modell, MISTRAL–3D, Maßeinheit in Meter geschwindigkeitslinie in x-Richtung im wandnahen Bereich betrachtet. Man erkennt einen Verlauf zur¨ uck in Richtung der Stufe, der beim k–ε–Modell nicht auftritt. ¨ Ahnliches hat auch Basara [28] bei der Simulation eines ¨ahnlichen “backward facing step“ festgestellt. Wenn man den Stromlinienverlauf zusammenfassend betrachtet, ergeben sich klare Vorteile f¨ ur das Reynolds–Spannungsmodell, wobei jedoch der Verlauf der Nullgeschwindigkeitslinie zeigt, daß dieser Ansatz f¨ ur diese relativ einfache Str¨omung noch verbesserungsw¨ urdig ist. Eine M¨oglichkeit ist eine genauere Wandmodellierung, wie sie Basara [29] mit einem Zweischicht–Wandmodell vorschl¨agt. Das k-ε–Modell in

174

Abbildung 6.7: Darstellung der Stromlinien, RSM mit Einlaßblock– bzw. Parabelprofil und k–ε–Modell mit Einlaßblockprofil, 32 000 Kontrollvolumina, FIRE V7.1.a, Maßeinheit in Meter, f¨ ur x/h = 8 ist x=0,16

175

3.00

2.50

y/h [−]

2.00

1.50

x/h=2.67 FIRE K−e x/h=5.33 FIRE K−e x/h=6.22 FIRE K−e x/h=2.67 FIRE RSM x/h=5.33 FIRE RSM x/h=6.22 FIRE RSM x/h=2.67 MISTRAL K−e x/h=5.33 MISTRAL K−e x/h=6.22 MISTRAL K−e x/h=2.67 MEASURMENT x/h=5.33 MEASURMENT x/h=6.22 MEASURMENT

1.00

0.50

0.000 −0.50

−0.25

0.00

0.25

0.00

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

u/uo [−]

3.00

2.50

y/h [−]

2.00

1.50

x/h=8.00 FIRE K−e x/h=10.67 FIRE K−e x/h=16.00 FIRE K−e x/h=8.00 FIRE RSM x/h=10.67 FIRE RSM x/h=16.00 FIRE RSM x/h=8.00 MISTRAL K−e x/h=10.67 MISTRAL K−e x/h=16.00 MISTRAL K−e x/h=8.00 MEASURMENT x/h=10.67 MEASURMENT x/h=16.00 MEASURMENT

1.00

0.50

0.000 0.00

0.25

0.00

0.25

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

u/uo [−]

Abbildung 6.8: Vergleich der mittleren Geschwindigkeitsprofile u/uo von FIRE k–ε bzw. RSM und MISTRAL k–ε mit Meßwerten f¨ ur verschiedene Axialprofile x/h

176

0.40

0.30

cp [−]

0.20 Opposite Wall Mistral K−e Step Side Wall Mistral K−e

0.10

0.00

−0.10

0

5

10

15

20

x/h [−]

Abbildung 6.9: Vergleich Rechnung–Messung des Druckkoeffizienten entlang der stufenseitigen und der dazu gegen¨ uberliegenden Wand f¨ ur MISTRAL k–ε

x/h=7.66 FIRE K−e x/h=10.33 FIRE K−e x/h=15.66 FIRE K−e x/h=7.66 FIRE RSM x/h=10.33 FIRE RSM x/h=15.66 FIRE RSM x/h=7.66 MISTRAL K−e x/h=10.33 MISTRAL K−e x/h=15.66 MISTRAL K−e x/h=7.66 MEASURMENT x/h=10.33 MEASURMENT x/h=15.66 MEASURMENT

3.0

2.5

y/h [−]

2.0

1.5

1.0

0.5

0.00 0.000

0.025

0.000

0.025

0.000

0.025

0.500

tke/uo**2 [−]

Abbildung 6.10: Vergleich der turbulenten kinetischen Energie von FIRE k–ε bzw. RSM und MISTRAL k–ε mit Meßwerten f¨ ur verschiedene Axialprofile x/h

177

3.0

2.5

y/h [−]

2.0

x/h=7.66 Fire RSM x/h=10.33 Fire RSM x/h=15.66 Fire RSM x/h=7.66 Mistral K−e x/h=10.33 Mistral K−e x/h=15.66 Mistral K−e

1.5

1.0

0.5

0.0 −0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.000

0.005

0.010

0.000

0.005

0.010

−uv / uo**2 [−]

Abbildung 6.11: Vergleich der Reynolds–Spannungen FIRE–RSM und MISTRAL k–ε mit Meßwerten f¨ ur verschiedene Axialprofile x/h MISTRAL bzw. FIRE liefert sehr a¨hnliche Stromlinien, wobei hier eine 2–D–Str¨omung untersucht wird, die Basis f¨ ur die Kalibrierung der k–ε–Modell–Konstanten war. Mittlere Geschwindigkeiten Die mittleren Geschwindigkeitsprofile u/u0 in Str¨omungsrichtung wurden von Kim f¨ ur folgende Querschnitte x/h = 2, 67; 5, 33; 6, 22; 8, 0; 10, 67 und 16,0 gemessen. x ist die Entfernung von der Stufe bis zum Meßquerschnitt und h ist die Stufenh¨ohe. Es werden die Ergebnisse von MISTRAL mit k–ε–Modell und FIRE mit k–ε– und RSM–Modell mit den Messungen verglichen, siehe Abb. 6.8. Die beiden k–ε–Modelle liegen bis auf Profil x/h = 6, 22 recht nahe beinander, w¨ahrend das RSM-Modell ¨ davon abweicht. Die Profile x/h = 2, 67 und 5,33 zeigen eine gute Ubereinstimmung der Messungen mit den k–ε–L¨osungen, wobei kein Modell den wandnahen Bereich stufenseitig richtig wiedergibt. Das Profil x/h = 6, 22 wird von der RSM–L¨osung am besten wiedergegeben. Ab Profil x/h = 8, 0 stromabw¨arts stimmen die k–ε– L¨osungen besser als die RSM–L¨osung mit den Messungen u ¨ berein. Im Bereich der ersten drei Profile zeigt die RSM–L¨osung ein qualitativ richtiges Profil, obwohl die absoluten Gr¨oßen teilweise von den k–ε–Modellen besser vorhergesagt werden. Vor allem der wandnahe Bereich stufenseitig wird bez¨ uglich der Absolutwerte von allen drei Modellen nicht besonders gut dargestellt.

178

Statische Druckverteilung Die statische Druckverteilung an der Wand wird mit dem Druckkoeffizienten cP dargestellt, der folgendermaßen definiert ist: cP =

p − p0 . ρ 2 u 2 0

(6.2)

u0 bzw. p0 sind die Geschwindigkeit bzw. der Druck am Einlaß und p der Druck an der Wand. In Abb. 6.9 ist der Druckkoeffizient nur f¨ ur MISTRAL dargestellt. Eine Darstellung des Druckkoeffizienten f¨ ur FIRE mit k–ε findet man bei Schifferm¨ uller [330], wobei diese Ergebnisse f¨ ur eine ¨altere FIRE Version gelten. Die MISTRAL–Ergebnisse sind etwas besser als die FIRE Resultate, obwohl sie genauso wie bei FIRE immer u ¨ber den Messwerten liegen. Eine Ausnahme bildet der Bereich des Stufenwirbels f¨ ur x/h < 2, 5 an der stufenseitigen Wand, wo die Simulation leicht unter der Messung liegt. Profile f¨ ur turbulente Gr¨ oßen Es liegen Messungen von Kim in nur drei Profilen, n¨amlich x/h = 7, 66; 10, 33 und 15,66 vor. Dabei wurden Reynolds–Spannungen und die turbulente kinetische Energie ermittelt. W¨ahrend das RSM–Modell die turbulente kinetische Energie weit besser als das k–ε–Modell errechnet, siehe Abb. 6.10, liegt das k–ε–Modell von MISTRAL bei den Spannungen besser als das RSM–Modell, siehe Abb. 6.11. Leider gibt es bez¨ uglich der turbulenten Gr¨oßen, die weit sensitiver als die Mittelwerte sind, nur einen sehr beschr¨ankten Datensatz. Eine umfassende Validierung erfordert an dieser Stelle mehr Vergleiche, die auch LDA–Daten enthalten sollten. Zusammenfassend zeigt sich ein recht gemischtes Bild. Einerseits liegen die globalen Gr¨oßen, wie die Wiederanlegel¨ange, in einem Bereich, der aus der Literatur bekannt ist, andererseits zeigen die turbulenten Gr¨oßen, daß ein RSM–Modell nicht zwangsl¨aufig besser als k–ε ist. Weiter erkennt man, daß zwei Codes mit dem formal gleichen Turbulenzmodell durchaus unterschiedliche Resultate liefern k¨onnen. Dieser unbefriedigende Sachverhalt soll an dieser Stelle nicht ergr¨ undet, sondern als Anregung zu einer umfassenden Validierung verstanden werden.

6.2.3

Gaszyklon

Zyklone sind eine wichtige Anwendung bei Gas- bzw. Fl¨ ussig-Feststoff–Str¨omungen in der Verfahrenstechnik, siehe Trefz [385], [410], Frank [133]. Obwohl Filter und W¨ascher oft wirksamer als Zyklone sind und diese auch stark verdr¨angt haben, erfreuen sich letztere vor allem wegen ihrer Robustheit und Unempfindlichkeit gegen¨ uber hohen Temperaturen und Dr¨ ucken noch immer großer Beliebtheit.

179

Ein kritischer Punkt f¨ ur die Simulation von Zyklonen ist die starke Stromlinienkr¨ ummung infolge der vorherrschenden Drallstr¨omung und der Umlenkung am Einlaß zum Tauchrohr, was die vereinfachende Annahme der isotropen Turbulenz stark einschr¨ankt. Dabei ist vor allem die Qualit¨at des Turbulenzmodells gefordert, wobei betont werden muß, daß die G¨ ute der Ergebnisse f¨ ur diesen Testfall keine generellen Pr¨aferenzen f¨ ur andere Anwendungen erlaubt. Obwohl bei Zyklonen das Abscheideverhalten (Grenzkorndurchmesser) im Vordergrund des Interesses steht, ist eine realistische Berechnung der Str¨omung des Tr¨agerfluids Basis jeder weiteren Simulation. Es ist also m¨oglich, eine Simulation mit einem lokal teilweise unrealistischen Geschwindigkeitsfeld der kontinuierlichen Phase erfolgreich durchzuf¨ uhren, wenn gerade die Bereiche, die f¨ ur das Absetzverhalten der Partikel verantwortlich sind, richtig wiedergegeben werden. Grundlage des Vergleichs sind die experimentellen Untersuchungen von K¨onig [219], die vier Zyklone mit unterschiedlichen geometri4 0

4 .5 1 8 1 2

3 1

3 4 .5

4 .5 1 0

1 0 0 .5 1 0

1 5 .6 1 8

6 0

4 4 .4

4 0

Abbildung 6.12: Lage der Schnittebenen und Geometrie Z–10–Zyklons in m bzw. mm

180

Abbildung 6.13: Berechnungsnetz und Blockstruktur des Z-10–Zyklons, 350 000 Kontrollvolumina generiert mit ICEM-CFD

schen Konfigurationen verglichen hat. In dieser Arbeit wird der kleinste Zyklon mit der Bezeichnung Z-10 verwendet, wobei 10 hier die 10 mm des Tauchrohrdurchmessers bedeutet. Die Abmessungen des Zyklons sind Abb. 6.12 zu entnehmen. Da von K¨onig auf der Gasseite nur der Druckabfall verf¨ ugbar ist, werden nur Vergleiche der mittleren Geschwindigkeits- und Druckfelder bzw. der turbulenten kinetischen Energie zwischen den verschiedenen Turbulenzmodellen durchgef¨ uhrt. Trotzdem k¨onnen Vergleiche auch nur der Geschwindigkeitsprofile wesentliche Unterschiede der Turbulenzmodellierung aufzeigen. Eine Gegen¨ uberstellung der berechneten Geschwindigkeitskomponenten mit Messungen von einem ¨ahnlichen Zyklon, [148], wurde in di-

181

mensionsloser Darstellung durchgef¨ uhrt, siehe Pachler et al. [137]. Es zeigt sich, daß LES–Modelle Gaszyklone recht gut simulieren k¨onnen, w¨ahrend das RSM–Modell je nach Zyklon und Modellimplementation unterschiedlich gut abschneidet, siehe Alessia [9]. Das Standard–k–ε–Modell ist meistens schlecht geeignet, die kontinuierliche Phase einer Zyklonstr¨omung zu berechnen. Als Codes werden MISTRAL–3D und FIRE V7.1.a verwendet, wobei bei MISTRAL das k–ε–Modell und das LES–Modell nach Smagorinsky, siehe Pachler et al. [84], sowie bei FIRE das k–ε– und das RSM– Modell, siehe Kap. 2.1.3.3, zum Einsatz kommen. Die LES–Berechnung wurde mit einem feineren Gitter (1,6 Millionen gegen¨ uber ca. 350 000 Kontrollvolumina) als die k–ε– bzw. RSM–Berechnungen durchgef¨ uhrt. Alle Simulationen mit Ausnahme der MISTRAL–k–ε–Berechnung werden transient durchgef¨ uhrt. Als Randbedingung wird ein Blockprofil der Geschwindigkeit am Einlaß und bei der LES wird ein aus einer Kanalstr¨omung generiertes turbulentes, transientes Str¨omungsprofil verwendet. Am Auslaß wird die Nullgradientenbedingung gesetzt. Weiter werden am Einlaß k und ε vorgegeben. Als Str¨omungsfluid wird Luft unter Umgebungsbedingungen verwendet. Abb. 6.13 zeigt Details des Berechnungsgitters und die Blockstruktur, die Grundlage der Gebietszerlegung f¨ ur die parallele Simulation der Gasphase ist. W¨ahrend der MISTRAL–Code ein Multiblockl¨oser mit i,j,k–Addressierung ist, verwendet FIRE im L¨oser nur einen logischen Block, der mit Hilfe der indirekten Addressierung aus der blockstrukturierten Gittertopologie erzeugt wird. F¨ ur beide L¨oser wird das identische Gitter verwendet. Da keine LDA–Daten f¨ ur den Z–10–Zyklon verf¨ ugbar sind, wird auf einen Vergleich der Reynolds–Spannungen verzichtet. Die Geschwindigkeitsprofile werden in vier Schnittebenen f¨ ur x = 0 und z = konstant dargestellt, siehe auch Abb. 6.12, wobei Umfangs– und Axialgeschwindigkeiten verglichen werden, siehe Abb. 6.14 bis Abb. 6.17. Die Profile zeigen, daß die k–ε–Modelle in der Darstellung der grobskaligen Wirbel sehr ¨ahnlich sind, wobei in den Absolutwerten durchaus große Unterschiede auftreten k¨onnen. LES–MISTRAL und RSM–FIRE sind einander ebenfalls sehr ¨ahnlich in der Vorhersage der Wirbelsysteme, wobei die Absolutwerte sich nur geringf¨ ugig unterscheiden. Auff¨allig ist, daß die k–ε–Modelle doch eine etwas andere Wirbelanordnung als LES und RSM beschreiben die, wenn man sie mit LDA–Daten auf dimensionloser Basis vergleicht (siehe Pachler et al. [137]), besser mit Messun¨ gen u von LES bzw. RSM ¨ bereinstimmen. Damit wird die theoretische Uberlegenheit gegen¨ uber den Eddy–Viscosity–Models best¨atigt. Weiter werden Umfangs- und Absolutgeschwindigkeiten, statischer Druck und turbulente kinetische Energie in den Schnittebenen x = 0 bzw. y = 0 verglichen. Alle Schnittbilder sind auf das lokale Maximum skaliert. Abb. 6.18 und Abb. 6.19 zeigen die Verteilung der Umfangsgeschwindigkeiten, wobei besonders der Unterschied zwischen dem k–ε–Modell einerseits und dem

182

Schnitt−1: z=0.0135, x=0.0

Schnitt−1: z=0.0135, x=0.0

12.5

5.0

Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

10.0 7.5

2.5 0.0 −2.5

2.5

W−Geschw. [m/s]

U−Geschw. [m/s]

5.0

0.0 −2.5 −5.0

−15.0

−10.0

−17.5

−12.5 −0.020

−7.5 −10.0 −12.5

−7.5

−15.0

Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

−5.0

−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

−20.0

−0.020

−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Radius [m]

Radius [m]

Abbildung 6.14: Tangentiale und axiale Geschwindigkeit, Schnittebene 1, MISTRAL–k–ε/LES, FIRE–k-ε/RSM Schnitt−2: z=0.03354, x=0.0

Schnitt−2: z=0.03354, x=0.0

12.5

5.0

Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

10.0 7.5

2.5 0.0 −2.5

2.5

W−Geschw. [m/s]

U−Geschw. [m/s]

5.0

0.0 −2.5 −5.0

−5.0 −7.5 Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

−10.0

−7.5 −12.5

−10.0 −15.0

−12.5 −15.0

−0.020

−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

−17.5

−0.020

−0.015

−0.010

−0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

Radius [m]

Radius [m]

Abbildung 6.15: Tangentiale und axiale Geschwindigkeit, Schnittebene 2, MISTRAL–k–ε/LES, FIRE–k–ε/RSM RSM– bzw. LES–Modell andererseits auff¨allt. Das k–ε–Modell liefert einen kompakten Festk¨orperwirbel um die z–Achse im Bereich des Einlaufs, w¨ahrend LES und RSM einen kleineren Wirbel in der Gr¨oße des Tauchrohrs bilden, der vom Bunker bis in das Tauchrohr recht gut sichtbar ist. Ursache f¨ ur das schlechte Abschneiden der k–ε–Modelle k¨onnte die zu starke Turbulenzproduktion am Tauchrohreinlaß sein, was zu einer Homogenisierung der Auslaßstr¨omung f¨ uhrt. Im Nahbereich oberhalb des Bunkers kommt es bei LES und RSM zu einer viel st¨arker aufw¨arts gerichteten Str¨omung. Diese Tendenz setzt sich bis zum Auslaß fort. Abb. 6.20 und Abb. 6.21 zeigen die Verteilung der Absolutgeschwindigkeiten, die f¨ ur das k–ε–Modell den

183

0.020

Schnitt−3: z=0.08747, x=0.0

Schnitt−3: z=0.08747, x=0.0

12.5

5.0 Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

10.0 7.5

2.5

0.0 W−Geschw. [m/s]

U−Geschw. [m/s]

5.0 2.5 0.0 −2.5 −5.0

−2.5

−5.0

−7.5

−7.5

−10.0 −10.0 −12.5

−0.012

−0.008

−0.004

0.000

0.004

0.008

0.012

−12.5

−0.012

Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

−0.009

−0.006

−0.003

Radius [m]

0.000

0.003

0.006

0.009

0.012

Radius [m]

Abbildung 6.16: Tangentiale und axiale Geschwindigkeit, Schnittebene 3, MISTRAL–k–ε/LES, FIRE–k–ε/RSM Schnitt−4: z=0.1274, x=0.0

Schnitt−4: z=0.1274, x=0.0 4.0

8.0 Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

6.0

Mistral k−e Mistral LES Fire k−e Fire RSM

2.0

4.0

W−Geschw. [m/s]

U−Geschw. [m/s]

0.0 2.0

0.0

−2.0

−2.0

−4.0

−6.0 −4.0 −8.0

−6.0

−8.0

−0.006

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

Radius [m]

−10.0

−0.006

−0.004

−0.002

0.000

0.002

0.004

Radius [m]

Abbildung 6.17: Tangentiale und axiale Geschwindigkeit, Schnittebene 4, MISTRAL–k-ε/LES, FIRE–k-ε/RSM Maximalwert von ca. 14,2 f¨ ur LES bzw. RMS jedoch 22,8 bzw. 20,5 m/s betr¨agt. Gut ist die Zone geringer Geschwindigkeiten im Bereich oberhalb des Bunkers bis knapp vor dem Tauchrohreintritt bei dem k–ε–Modell zu erkennen. Unklar bleibt warum das RSM–Modell in Schnittebene 4 unter dem Tauchrohr eine h¨ohere axiale Geschwindigkeit als das LES–Modell produziert, w¨ahrend in Schnittebene 3 sich dieses Verh¨altnis umdreht, siehe auch Abb. 6.16, Abb. 6.17. Grunds¨atzlich ist die Form des axialen Geschwindigkeitsprofils der RSM–L¨osung etwas besser vergleichbar mit LDA–Daten als die LES–L¨osung, siehe Alessia [9], Derksen [86].

184

0.006

Y

X

Z

UF 8.1 7.6 7.0 6.5 5.9 5.4 4.8 4.3 3.7 3.2 2.6 2.0 1.5 0.9 0.4 -0.2 -0.7 -1.3 -1.8 -2.4 -2.9 -3.5 -4.0 -4.6 -5.1 -5.7 -6.3 -6.8 -7.4 -7.9 -8.5 -9.0 -9.6 -10.1 -10.7

Y

X

Z

UF 13.2 12.4 11.6 10.8 10.0 9.2 8.4 7.6 6.8 6.0 5.2 4.4 3.6 2.8 2.0 1.2 0.4 -0.4 -1.2 -2.0 -2.8 -3.6 -4.4 -5.2 -6.0 -6.8 -7.6 -8.4 -9.2 -10.0 -10.8 -11.6 -12.4 -13.2 -14.0

Abbildung 6.18: u–Geschwindigkeit f¨ ur x=0, MISTRAL–k–ε und LES, FIRE–RSM Y

Z

X VF 13.1 12.4 11.6 10.8 10.0 9.2 8.5 7.7 6.9 6.1 5.3 4.6 3.8 3.0 2.2 1.4 0.7 -0.1 -0.9 -1.7 -2.5 -3.2 -4.0 -4.8 -5.6 -6.4 -7.1 -7.9 -8.7 -9.5 -10.2 -11.0 -11.8 -12.6 -13.4

Abbildung 6.19: u–Geschwindigkeit x=0, FIRE–k–ε, v–Geschwindigkeit y=0, MISTRAL–LES, FIRE–RSM

185

Y

X

Z

VF,abs 14.2 13.8 13.4 13.0 12.6 12.2 11.8 11.3 10.9 10.5 10.1 9.7 9.3 8.9 8.5 8.1 7.7 7.3 6.9 6.5 6.1 5.7 5.3 4.9 4.5 4.1 3.6 3.2 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4

Y

X

Z

VF,abs 22.8 22.2 21.5 20.9 20.2 19.6 18.9 18.3 17.6 16.9 16.3 15.6 15.0 14.3 13.7 13.0 12.4 11.7 11.1 10.4 9.8 9.1 8.5 7.8 7.2 6.5 5.9 5.2 4.6 3.9 3.3 2.6 2.0 1.3 0.7

Abbildung 6.20: Vabs–Geschwindigkeit x=0, MISTRAL–k–ε und LES, FIRE–RSM Y

Z

X VF,abs 22.7 22.1 21.4 20.8 20.1 19.5 18.8 18.2 17.5 16.9 16.2 15.6 14.9 14.3 13.6 13.0 12.3 11.7 11.0 10.4 9.7 9.1 8.4 7.8 7.1 6.5 5.8 5.2 4.5 3.9 3.2 2.6 1.9 1.3 0.6

Abbildung 6.21: Vabs–Geschw. x=0, FIRE–k–ε, y=0, MISTRAL–LES, FIRE–RSM

186

Y

X

Z

P 44.6 38.0 31.5 24.9 18.3 11.8 5.2 -1.4 -7.9 -14.5 -21.1 -27.6 -34.2 -40.8 -47.3 -53.9 -60.5 -67.0 -73.6 -80.2 -86.7 -93.3 -99.9 -106.4 -113.0 -119.6 -126.1 -132.7 -139.2 -145.8 -152.4 -158.9 -165.5 -172.1 -178.6

Y

X

Z

P 100097.7 100082.7 100067.7 100052.6 100037.6 100022.6 100007.5 99992.5 99977.4 99962.4 99947.4 99932.3 99917.3 99902.2 99887.2 99872.2 99857.1 99842.1 99827.0 99812.0 99797.0 99781.9 99766.9 99751.8 99736.8 99721.8 99706.7 99691.7 99676.6 99661.6 99646.6 99631.5 99616.5 99601.5 99586.4

Abbildung 6.22: Statischer Druck f¨ ur x=0, MISTRAL–k-ε und LES, FIRE–RSM Abb. 6.22 zeigt die Verteilung des statischen Drucks, wobei die unterschiedlichen Dr¨ ucke aus der Anfangsinitialisierung stammen. Wesentlich sind die lokalen Druckdifferenzen, die nur f¨ ur eine Schnittebene dargestellt werden, weil sich der Druck in Umfangsrichtung wenig ¨andert. Deutlich erkennt man den zentralen Wirbel vom Bunker bis zum Tauchrohreintritt bei LES und RSM, w¨ahrend das k–ε–Modell durch den Drucksprung am Tauchrohreintritt auff¨allt. Die lokalen Druckdifferenzen sind f¨ ur das k–ε–Modell 223 Pa, f¨ ur das LES–Modell 511 Pa und f¨ ur das RSM–Modell 440 Pa. Die Druckoszillationen in der RSM–L¨osung im Bereich des Tauchrohreintritts (Beschleunigungsstrecke) deuten auf Konvergenzprobleme hin, die jedoch in den globalen Residuen nicht sichtbar waren. K¨onig hat eine Gesamtdruckdifferenz vom Einlaß zum Auslaß mit 470 Pa gemessen. Die Werte aus der Simulation lauten f¨ ur MISTRAL–k–ε 240 Pa, f¨ ur Fire–k-ε 400 Pa, f¨ ur Fire–RSM 360 Pa und f¨ ur MISTRAL–LES 270 Pa. Der große Unterschied zwischen Fire–RSM und MISTRAL– LES ist nicht eindeutig erkl¨arbar, wobei hier die Auslaßrandbedingung genauer zu untersuchen w¨are. Abb. 6.23 zeigt die Verteilung der turbulenten kinetischen Energie, die von

187

Y

X

Z

k 11.8 11.5 11.2 10.8 10.5 10.2 9.8 9.5 9.1 8.8 8.5 8.1 7.8 7.4 7.1 6.8 6.4 6.1 5.8 5.4 5.1 4.7 4.4 4.1 3.7 3.4 3.0 2.7 2.4 2.0 1.7 1.4 1.0 0.7 0.3

Abbildung 6.23: Turbulente kinetische Energie f¨ ur x=0, MISTRAL–k–ε, Fire–k–ε und RSM den k–ε–Modellen weit h¨oher errechnet wird als vom RSM–Modell (11,8 bzw. 38,0 gegen¨ uber 5,6 m2 /s2 ). Die Ursache liegt vermutlich in einer zu hohen k–Produktion im Bereich des Tauchrohreinlaufs f¨ ur das k–ε–Modell. RSM und LES zeigen dagegen die Hauptproduktion im Bereich knapp oberhalb des Bunkers, wo ein sich schnell drehender Wirbel von einer Aufw¨artsstr¨omung u ¨berlagert wird. ¨ Zusammenfassend wird die Uberlegenheit von RSM– bzw. LES–Modellen45 gegen¨ uber dem k–ε–Modell durch die vorgelegten Ergebnisse klar dokumentiert. Es muß jedoch auch der Aufwand f¨ ur Second–Moment–Closure–Modellierung ber¨ ucksichtigt werden. RSM–Modelle brauchen zumindest die doppelte Rechenzeit der k–ε–Modelle. Außerdem gibt es momentan nur Codes f¨ ur inkompressible Str¨omungen, obwohl 45 Bei den RSM–Modellen gibt es unterschiedliche Ans¨atze, die vor allem in der Modellierung der Druck–Scher–Korrelation differieren (linearer bzw. quadratischer Ansatz). Es hat sich gezeigt, daß das Launder–Reece–Rodi–Modell, [145], [230], im Gegensatz zu dem hier verwendeten Modell von Speziale, Sarkar und Gatski, [365], eher schlecht geeignet ist Zyklonstr¨omungen zu beschreiben, siehe auch Grotjans [158].

188

kompressible RSM–Ans¨atze vorhanden sind. Die LES ben¨otigt eine feinere Gitteraufl¨osung. Weiter ist eine transiente Berechnung u ¨ber ausreichend viele Zeitschritte notwendig, um realistische Mittelwerte zu erhalten. Das bedeutet einen Rechenaufwand, der um zwei Gr¨oßenordnungen u ¨ber der k–ε–Berechnung liegt. Dieser Mehraufwand ist nur durch effiziente Algorithmen (Multigrid) und Parallelisierung zu verkraften. F¨ ur h¨ohere Reynolds–Zahlen bleibt jedoch nur der Ausweg u ¨ber ein Hybridverfahren LES mit RANS (detached eddy simulation). F¨ ur die zweiphasige Zyklonsimulation mit der LES ist es notwendig, die Partikeln u ¨ber den gesamten transienten Verlauf mitzurechnen, weil eine sp¨atere Simulation auf dem gemittelten Geschwindigkeitsfeld zu unrealistischen Ergebnissen f¨ uhrt. Die Mittelung wird geometrisch u uhrt, was eine ¨ber die transiente L¨osung als Ensemble–Mittelung durchgef¨ nicht zwingende Erf¨ ullung der Erhaltungsgleichungen bedeutet.

6.3

Instation¨ are Str¨ omung

Turbulente Str¨omungen sind inh¨arent instation¨ar. Trotzdem kann unter der Annahme einer ad¨aquaten Ensemble– oder Zeitmittelung von einer im Mittel station¨aren oder instation¨aren Str¨omung gesprochen werden. Man geht also von grobskaligen Str¨omungsstrukturen, wie beispielsweise Abl¨osewirbeln, aus, die sich zeitlich ¨andern k¨onnen. Eine andere Ursache f¨ ur eine instation¨are Str¨omung kann in der zeitli¨ chen Anderung der Randbedingungen liegen (variabler Einlaßmassenstrom, Geometrie¨anderungen wie durch die Kolbenbewegung eines Motors). Die Erfassung der Abl¨osezone hinter einem stumpfen K¨orper ist eine h¨aufige Aufgabenstellung in der Str¨omungstechnik. Einerseits geht es um eine Reduktion des Str¨omungswiderstands in der Außenaerodynamik des Fahrzeugbaus, andererseits kann das Rezirkulationsgebiet zum Stabilisieren von Diffusionsflammen in der Verbrennungstechnik dienen. In beiden F¨allen ist die Wirbelstruktur stark von der Reynolds–Zahl abh¨angig und instation¨ar. Das Abl¨osen der Str¨omung an einer vorgegeben Geometrie ist ebenfalls von der Reynolds–Zahl abh¨angig. Da sich diese Arbeit nicht mit der Turbulenzmodellierung46 befaßt, soll hier eine m¨oglichst einfache und damit laminare instation¨are Str¨omung untersucht werden. Dazu wurde der DFG–Benchmark [329] herangezogen, der die laminare Umstr¨omung von Zylindern mit unterschiedlicher geometrischer Konfiguration behandelt. Es wurden verschiedene numerische Verfahren bzw. CFD–Codes anhand dieser Zylinderumstr¨omungen validiert, wobei auch Messungen mit LDA durchgef¨ uhrt wurden, siehe Jovanovic [100], um die Strouhal–Zahl auch experimentell zu bestimmen. 46 Turbulente Abl¨osevorg¨ange z¨ahlen zu den anspruchsvollsten Aufgaben der Turbulenzmodellierung. Daf¨ ur sind vor allem moderne RANS– und LES–Ans¨atze, eine u ¨ ber das Standard–Wandgesetz hinausgehende Wandmodellierung und Diskretisierungsschemata h¨oherer Ordnung notwendig.

189

Aus dem DFG–Benchmark wurde je ein zweidimensionales und ein dreidimensionales Beispiel ausgew¨ahlt, n¨amlich die Kreiszylinderumstr¨omungen 2D–2 und 3D–2Z. Dabei ist d=0,1 m der Durchmesser des Zylinders und h=0,41 m die Kanalh¨ohe. Abb. 6.24 und Abb. 6.30, die nicht maßstabsgetreu sind, zeigen die geometrischen Abmessungen der beiden Testf¨alle. Die Breite des dreidimensionalen Kanals f¨ ur den Testfall 3D–2Z entspricht der H¨ohe h und betr¨agt ebenfalls 0,41 m. Es werden in dieser Arbeit transiente bzw. maximale Widerstands- und Auftriebskoeffizienten, sowie die Strouhal-Zahl und eine Druckdifferenz in Abh¨angigkeit von der Zeit verglichen. Die Widerstandszahl cD−2d bzw. cD−3d wird aus einer Kr¨aftebilanz folgendermaßen errechnet: cD−2d =

2FD , ρ u2m d

cD−3d = mit

2FD ρ u2m d h FD =

(6.3)  S

(ρ νF

∂vt ny − p nx ) dS . ∂n

Die Auftriebszahl cL−2d bzw. cL−3d ergibt sich ebenfalls cL−2d =

2FL , ρ u2m d

cL−3d = mit

2FL ρ u2m d h FL =

(6.4) −

 S

(ρ νF

∂vt nx − p ny ) dS . ∂n

Die Strouhal–Zahl Str = d νE /um wird mit der mittleren Fluidgeschwindigkeit um am Einlaß und mit der Frequenz der Schwingung der Wirbelstraße hinter dem Zylinder νE , die aus der Druck– bzw. Geschwindigkeitsschwankung in einem Monitoringpunkt entsteht, bestimmt. Weiter wird das Druck– und Geschwindigkeitsfeld in ebenen Schnitten dargestellt. F¨ ur den zweidimensionalen Fall werden Streichlinien mit dem parallelen Partikell¨oser berechnet, die recht anschaulich die Rezirkulationsstr¨omung beschreiben. Als Fluid wird ein inkompressibles Modellfluid mit der Dichte ρ = 1, 0 kg/m3 und der kinematischen Viskosit¨at νF = 0, 001 m2 /s verwendet. Die Einlaßrandbedingung wird u ur 2D–2 ¨ber ein vorgeschriebenes parabolisches Profil definiert, wobei f¨ um = 1, 5 m/s,

u(0,y) =

4 um y (h − y), h2

v(0,y) = 0

und f¨ ur 3D–2Z um = 2, 25 m/s,

u(0,y,z) =

16 um yz (h − y)(h − z), h4

190

v(0,y,z) = w(0,y,z) = 0

ist. Die Einlaßrandbedingungen entsprechen jeweils einer Reynolds–Zahl von 100. Als zus¨atzliche Randbedingungen werden die Symmetrierandbedingung f¨ ur 2D– 2, sowie f¨ ur beide Beispiele die feste Wandrandbedingung und eine modifizierte Neumann–Bedingung als Auslaßrandbedingung (non reflecting boundary) verwendet, siehe Kap. 2.1.4. Als Str¨omungsl¨oser kommt MISTRAL–3D zur Anwendung. Als Diskretisierungsschema wird das Upwind– und das Zentraldifferenzenschema f¨ ur die konvektiven Terme, sowie f¨ ur die Zeitdiskretisierung ein implizites r¨ uckw¨artiges Eulerschema 1. bzw. 2. Ordnung verwendet. Als L¨oser f¨ ur die linearen Gleichungssysteme kommt ein Konjugiert–Gradient–L¨oser in Verbindung mit einem Multigrid f¨ ur die Druckgleichung zum Einsatz. Die Vergleiche mit dem DFG–Benchmark dienen einerseits der Qualit¨atskontrolle der Implementation des instation¨aren L¨osers in MISTRAL– 3D, andererseits wird anhand der 2–D–Str¨omung der Einfluß der Diskretisierung 2. Ordnung in Raum und Zeit auf Widerstands– und Auftriebskoeffizienten dokumentiert.

6.3.1

2D–Zylinderumstr¨ omung

Das blockstrukturierte Berechnungsgitter enth¨alt 86 000 Kontrollvolumina, wobei aus programmtechnischen Gr¨ unden eine zwei Zellreihen dicke Geometrie verwendet ¨ wird. Tab. 6.3 zeigt eine gute Ubereinstimmung der Ergebnisse von MISTRAL–3D mit den innerhalb des DFG–Benchmarks generierten numerischen und experimentellen Resultaten. Die besten Resultate wurden mit dem Zentraldifferenzenschema f¨ ur die konvektiven Terme und mit dem r¨ uckw¨artigen Eulerschema 2. Ordnung f¨ ur die Zeitdiskretisierung erzielt. Abb. 6.25 zeigt den Einfluß des Zeitschritts ∆t bei 1. und 2. Ordnung der Zeitdiskretisierung auf den transienten Auftriebs– bzw. Widerstandskoeffizienten. Deutlich ist zu erkennen, daß mit ∆t = 0,002 s und dem Euler–Schema 2. Ordnung noch gr¨oßere Widerstandskoeffizienten berechnet werden, als mit ∆t = 0,0005 und dem Schema 1. Ordnung. Auch hat die Gr¨oße des Zeitschritts bei den Verfahren 1. Ordnung einen st¨arkeren Einfluß auf die Ergebnisse als bei 2. Ordnung. Abb. 6.26 zeigt den direkten Vergleich zwischen den Schemata 1. und 2. Ordnung und die Auswirkung der Raumdiskretisierung auf Auftriebs– bzw. Widerstandskoeffizienten. Dabei wird f¨ ur alle Kontrollvolumina ein Mix zwischen Upwind– und Zentraldifferenzenschema verwendet. W¨ahrend sich die Amplitude des Auftriebskoeffizienten kaum ¨andert, erkennt man beim Widerstandskoeffizienten, daß das Maximum mit 50 % Anteil an Zentraldifferenzen erreicht wird. Außerdem kommt es zu einer Phasenverschiebung zwischen den maximalen Amplituden, wobei die Frequenz ann¨ahernd gleich bleibt. Der Fall mit 100 % Zentraldifferenzen zeigt am fr¨ uhesten seine maximale Amplitude.

191

0 .1 5

0 .1

1 .9 5

0 .1 6

A u s la ß

y

0 .1 E in la ß

0 .1 5

0 .4 1

fe s te W a n d

x

2 .2 Abbildung 6.24: Abmessungen des Kanals 2D–2 in m ¨ Abb. 6.27 gibt einen Uberblick u ¨ber den Einfluß des Zeitschrittes ∆t und der Art der Zeitdiskretisierung auf cD−2d und cL−2d . Ziel ist es, mit einem m¨oglichst großen Zeitschritt eine ausreichende Genauigkeit bez¨ uglich Auftriebs– und Widerstandskoeffizienten zu erreichen. Abb. 6.28 zeigt eine Momentaufnahme der instation¨aren Str¨omung. Es werden zwei Fluidgr¨oßen (Absolutgeschwindigkeit, Druck) dargestellt, wobei zu beachten ist, daß es zu keiner Reflexion der Druckblasen am Auslaß kommt (nonreflecting outlet boundary condition). Typisch f¨ ur Druckreflexionen am Auslaß ist ein starker lokaler Druckanstieg, der sich entsprechend der Abl¨osefrequenz ¨andert. Der passive Skalar ist eine Mischungsgr¨oße, die an der Oberfl¨ache des Zylinders mit 1 initialisiert wurde und als Tracer dient. Die Massendichte der mitgerechneten Partikeln gibt Aufschluß u ¨ber lokale Anlagerungen, wie sie an den W¨anden oder in Gebieten Tabelle 6.3: Vergleich der Ergebnisse f¨ ur den Testfall 2D–2

Str¨omungsgr¨oßen max. cD−2d max. cL−2d

Experiment [100] DFG–Benchmark [329] -

3,22 - 3,24

MISTRAL–3D 3,220

-

0,99 - 1,01

0,986

Strouhal–Zahl

0,287 ± 0,003

0,295 - 0,305

0,298

max. ∆p [P a]

-

2,46 - 2,50

2,400

192

0.5

2.85

0.5

0.0

2.60

Lift [−]

1.0

Drag [−]

3.10

Lift [−]

1.0

0.0

−0.5

2.35

−0.5

Dt=2.E−3, 2.Order Dt=1.E−3, 2.Order Dt=5.E−4, 2.Order

DT=2.E−3 DT=1.E−3 DT=5.E−4 −1.0 0.0

1.0

2.0

3.0 Time [s]

4.0

5.0

6.0

2.10

0.0

1.0

2.0

3.0 Time [s]

4.0

5.0

6.0

−1.0

Abbildung 6.25: Vergleich der 1. und 2. Ordnung Zeitdiskretisierung f¨ ur unterschiedliche Zeitschritte bei der transienten Berechnung von cD−2d und cL−2d Dfg−Benchmark: 2D−2; Comparison of Time−Discretisation; 100%CDS

Dfg−Benchmark: 2D−2; 2. Order Time Discretisation; Different Blending of CDS

1.0

2.85

0.5 2.85

0.5

0.0

0.0 2.60

2.60

−0.5

−0.5 2.35

2.35 Dt=1.E−3, 2.Order Dt=2.E−3, 2.Order Dt=5.E−4, 1.Order 2.10 0.0

Lift [−]

Lift [−]

Drag [−]

1.0 3.10

Drag [−]

3.10

1.0

2.0

3.0 Time [s]

4.0

5.0

6.0

−1.0 2.10 0.00

Dt=5.E−4, 100%CDS Dt=5.E−4, 80% CDS Dt=5.E−4, 50% CDS 1.00

2.00

3.00 Time [s]

4.00

5.00

Abbildung 6.26: Vergleich der 1. und 2. Ordnung Zeit– bzw. Raumdiskretisierung bei der transienten Berechnung von cD−2d und cL−2d geringer Durchmischung auftreten. Abb. 6.29 zeigt die Streichlinien masseloser Partikel. Eingef¨arbt werden der Betrag der Partikelgeschwindigkeit, die Aufenthaltszeit, die v–Geschwindigkeit und die Startposition in y–Richtung. Die Partikel werden gepulst eingebracht. Ein Puls dauert ca. 1 s. Danach vergeht ca. 1 s bis der n¨achste Partikelpuls gestartet wird.

193

−1.0 6.00

3.0

Lift Drag

2.5 1. Order

2.0

1. Order

2. Order

2. Order

Lift/Drag [−]

1.5 5.E−4

1.E−3 5.E−35.E−4

2.5E−4

5.E−4 5.E−3

1.E−3

1.0

0.5

0.0

−0.5

−1.0

0

5000

10000

8000

15000

20000 25000 30000 No. Time Steps [−]

13500 9000

35000 33000

40000

45000

50000

44000

17000

Abbildung 6.27: Vergleich der 1. und 2. Ordnung Zeitdiskretisierung bei der Berechnung von cD−2d und cL−2d mit ver¨anderlichem ∆t

194

Abbildung 6.28: Darstellung von Absolutgeschwindigkeit [m/s], Druck des Fluids [Pa], passiver Skalar [-], Massendichte [kg/m3 ] der Partikel in einer Wirbelstraße

195

VPABS: 0.08

TP: 0.00

VP: -1.05

GROUP:

0.34

0.59

0.23

0.45

-0.79

2.9

-0.53

8.5

0.84

0.68

-0.26

14.2

1.09

1.34

0.90

1.12

0.00

0.26

19.8

25.5

1.59

1.35

31.2

1.84

1.57

0.53

36.8

2.10

1.80

0.79

42.5

1.05

48.1

Abbildung 6.29: Str¨omungsvisualisierung mit Hilfe der Partikelausbreitung, Partikelgr¨oßen sind Absolutgeschwindigkeit [m/s], Lebensdauer [s], v–Geschwindigkeit [m/s], Startposition in einer Wirbelstraße

196

6.3.2

3D–Zylinderumstr¨ omung

Tabelle 6.4: Vergleich der numerischen Ergebnisse f¨ ur den Testfall 3D–2Z Str¨omungsgr¨oßen

DFG–Benchmark [329]

MISTRAL–3D

max. cD−3d

3,29 - 3,31

3,280

max. cL−3d

-0,011 - 0,008

0,005

Strouhal–Zahl

0,290 - 0,350

0,318

0 .4 5

0 .1

1 .9 5

0 .1 6 0 .1 0 .1 5

A u s la ß

y E in la ß

0 .4 1 x

z

fe s te W a n d

2 .5 Abbildung 6.30: Abmessungen des Kanals 3D–2Z in Meter, Tiefe ist 0,41 m

VF,abs: 0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

Abbildung 6.31: Betrag der Fluidgeschwindigkeit in m/s nach 15 s Echtzeit, Schnittebene ist die Kanalachse

197

Das blockstrukturierte Berechnungsgitter enth¨alt 1 905 000 Kontrollvolumina f¨ ur das feinste Netz. Das geometrische Multigrid f¨ ur den Druck verwendet drei Netze. Tab. 6.4 enth¨alt den Vergleich zwischen den Berechnungsergebnissen der am DFG– Benchmark teilgenommen Arbeitsgruppen und der Simulation mit MISTRAL–3D, die im Rahmen der DFG–Ergebnisse liegt. Leider gibt es dazu keine Messungen, um die Simulationen bewerten zu k¨onnen. ¨ W¨ahrend der 2D–Benchmark eine gute Ubereinstimmung zwischen den numerischen L¨osungen der verschiedenen Arbeitsgruppen und dem Experiment gebracht hat, lieferte der 3D–Benchmark widerspr¨ uchliche Aussagen. Im 3D–Fall d¨ampfen die in endlicher z–Richtung liegenden W¨ande das Abl¨oseverhalten der Str¨omung und es entsteht dabei eine instabile Str¨omung, die intermittierend zwischen Abl¨osen und Anliegen fluktuiert, wobei die Berechnung eine station¨are L¨osung liefert. Die Schwankungen der Auftriebs– und Widerstandskoeffizienten klingen nach etwa 13 s Echtzeit in der Simulation mit MISTRAL–3D ab, wobei unklar ist, ob eine h¨ohere Gitteraufl¨osung doch noch eine periodische Schwankung darstellen k¨onnte. Abb. 6.31 zeigt das Geschwindigkeitsfeld, das sich fast perfekt symmetrisch ausgebildet hat. Vergleicht man Abb. 6.31 mit dem Geschwindigkeitsfeld f¨ ur den 2D–Fall, siehe Abb. 6.28, ist offensichtlich, daß hier ein beinahe station¨ares Str¨omungsfeld vorliegt. Die Ergebnisse der verschiedenen Forschungsgruppen zeigen auch aus diesem Grund eine gr¨oßere Streuung als f¨ ur den 2D–Testfall. Die Mehrdeutigkeit der Ergebnisse ist das Resultat der Definition des Testbeispieles (Abmessungen des Kanals, Reynolds– Zahl), was zu einer m¨oglicherweise instabilen Str¨omung gef¨ uhrt hat. Ein vorher durchgef¨ uhrtes Experiment h¨atte diese Problematik entsch¨arfen k¨onnen.

6.4

Kollisionsbehaftete Str¨ omung

Gas–Feststoff–Str¨omungen werden bei einer Massenbeladung von etwa η ≥ 0, 1 wesentlich vom Kollisionsprozeß bestimmt. Außerdem spielt f¨ ur den Transport gerade kleiner Partikel die Wandwechselwirkung eine wichtige Rolle. Fohanno und Oesterl´e [126] haben ein Experiment ver¨offentlicht, das sowohl Wand– als auch Partikel–Partikel–Kollisionen beinhaltet. Es werden mittlere Partikelgeschwindigkeitsprofile bzw. die dazugeh¨origen Schwankungsgr¨oßen sowie Konzentrationsprofile verglichen. Eine reale Anwendung stellt die Simulation des pneumatischen Kohlestaubtransports unter Aktivierung der 4–Wege–Kopplung dar. Es wird ein Bifurkator untersucht, der am Ende der Kohlezuf¨ uhrung von der M¨ uhle zum Kessel eines Kraftwerks angeordnet ist. Diese Art von Rohrverzweigung u ¨bernimmt die Aufteilung des Kohlestaubs kurz vor der Eind¨ usung in den Brennraum, [101]. Dabei soll eine m¨oglichst

198

gleichm¨aßige homogene Zuf¨ uhrung erzielt werden, um den Anteil der Schadstoffe bei der Verbrennung zu reduzieren. Die Gas–Feststoff–Str¨omung im Bifurkator ist Grundlage zur Messung der parallelen Effizienz des neuentwickelten parallelen Partikell¨osers. Diese Anwendung ergibt einen realen Datensatz, der als Benchmark f¨ ur zwei PC–Cluster dient.

6.4.1

Konvergenter Kanal 3 9 8 3 0 0 4 2

4 2

E in la ß 6 0 0

6 0

1 8 4

S c h n itte b e n e 1 : z = -6 6

y x

S c h n itte b e n e 2 : z = 9 S c h n itte b e n e 3 : z = 8 5

5 0 0

z

z

A u s la ß 1 8 5 1 0 6 ,5

1 0 6 ,5

1 4 4

Abbildung 6.32: Abmessungen des konvergenten Kanals in mm Abb. 6.32 zeigt die geometrischen Abmessungen des Experiments nach Fohanno und Oesterl´e [126]. Der Einlaß an der Oberseite des rechteckigen Glaskanals ist einerseits Einbringungsort f¨ ur die Glaspartikel, andererseits f¨ ur die Luftzufuhr. Die Partikel starten aus der Ruhelage und werden nach unten nur u ¨ber die Gravitation beschleunigt. Am Auslaß k¨onnen beide Phasen den Kanal verlassen. Weiter sind in Abb. 6.32 die drei Meßebenen eingezeichnet, f¨ ur die experimentelle Daten der Partikelstr¨omung vorliegen. Als Randbedingung werden am Einlaß die Geschwindigkeiten vorgegeben und die Partikeln gleichverteilt u ¨ber die rechteckige Eintrittsfl¨ache mit der Anfangsgeschwin-

199

digkeit Null positioniert. F¨ ur die kontinuierliche Phase wird Luft unter Umgebungsbedingungen, f¨ ur die disperse Phase 3 mm große, monodisperse Glaspartikeln mit der Dichte ρ = 2500 kg/m3 angenommen. Am Auslaß wird die Nullgradientenbedingung in Ausstr¨omrichtung angesetzt. Zus¨atzlich wird an allen sonstigen Oberfl¨achen des Kanals die Randbedingung “feste Wand“ verwendet. Es werden zwei unterschiedliche Partikelmassenstr¨ome, n¨amlich m ˙ P = 0, 13 und 0, 38 kg/s, untersucht. Daraus ergibt sich eine lokale Volumenfraktion von αP = 6, 5 · 10−4 bzw. αP = 1, 9 · 10−3 . Die Gr¨oße dieser Beladung sowie τp /τC = 385 >> 1 erfordern die Ber¨ ucksichtigung der Partikel–Partikel–Kollision und der Wandwechselwirkung. Es wird eine hydraulisch glatte Wand angenommen. Die verwendeten Stoß– und Reibungsbeiwerte sind in Tabelle 6.5 aufgelistet. Es wird die 2–Wege– Beiwert fw = fw,k ew

Funktion

Gr¨oße

stat. bzw. kinet. Reibungsbeiwert Partikel–Wand

0,35

Stoßzahl Partikel–Wand

0,85

ep

Stoßzahl Partikel–Partikel

0,96

fp

statischer Reibungsbeiwert Partikel–Partikel

0,20

fp,k

kinetischer Reibungsbeiwert Partikel–Partikel

0,14

Tabelle 6.5: Beiwerte f¨ ur den Partikel–Wand– und den Partikel–Partikel–Stoß zwischen Glas–Glas Kopplung aktiviert, wobei der Einfluß der Partikelphase auf die Gasphase wegen der großen Stokes–Zahl der Partikel (St = 6, 9) recht gering ist. Auch kann ei¨ ne Beeinflussung der Partikel durch die Gasphasenturbulenz bzw. eine Anderung der Gasphasenturbulenz aufgrund der Partikel ausgeschlossen werden. Zur genauen Aufl¨osung des Kollisionsprozesses wurde der globale Zeitschritt an die Kollisionsfrequenz angepaßt und ∆t = 0,0001 s gew¨ahlt. F¨ ur den Vergleich Rechnung–Messung ist ein quasi–station¨ares Str¨omungsfeld erforderlich, das nach 2,5 s Echtzeit erreicht wird. Diese Gas–Feststoff–Str¨omung wird mit MISTRAL–3D berechnet, wobei das k–ε–Modell aktiviert wird. Das Berechnungsgitter enth¨alt ca. 21 000 Kontrollvolumina, was der Aufl¨osung des Experiments von Fohanno und Oesterl´e [126] entspricht. Diese relativ grobe Aufl¨osung ist ausreichend, weil die Kopplung mit der Gasphase schwach und die Partikelanzahldichte klein ist. Das Experiment von Fohanno und Oesterl´e [126] untersucht den Partikel–Wand– bzw. Partikel–Partikel–Stoß, wobei eine Aufteilung dieser Prozesse nur in der Simulation m¨oglich ist. Das gibt Einblicke in die Problematik von u ¨berlagerten Prozessen, wie Partikelkollision und Wandwechselwirkung oder Tropfenkollision und Tropfenaufbruch, die sich experimentell

200

Abbildung 6.33: Partikelstr¨omung bei Aktivierung nur des Wandstoßmodells

Y

Z

X

Vp,abs 4.52 4.39 4.26 4.13 4.00 3.87 3.74 3.61 3.48 3.35 3.23 3.10 2.97 2.84 2.71 2.58 2.45 2.32 2.19 2.06 1.94 1.81 1.68 1.55 1.42 1.29 1.16 1.03 0.90 0.77 0.65 0.52 0.39 0.26 0.13

Y

Z

X

U’p 1.60 1.55 1.51 1.46 1.42 1.37 1.33 1.28 1.24 1.19 1.14 1.10 1.05 1.01 0.96 0.92 0.87 0.83 0.78 0.73 0.69 0.64 0.60 0.55 0.51 0.46 0.41 0.37 0.32 0.28 0.23 0.19 0.14 0.10 0.05

Y

X

Massdens 25.00 24.29 23.59 22.88 22.18 21.47 20.76 20.06 19.35 18.65 17.94 17.24 16.53 15.82 15.12 14.41 13.71 13.00 12.29 11.59 10.88 10.18 9.47 8.76 8.06 7.35 6.65 5.94 5.24 4.53 3.82 3.12 2.41 1.71 1.00

Z

Abbildung 6.34: Partikelstr¨omung (0, 38 kg/s) mit aktiviertem Wandstoß– und Kollisionsmodell nach Sommerfeld

201

Y

X

VF,abs 0.68 0.66 0.64 0.62 0.60 0.58 0.56 0.54 0.52 0.51 0.49 0.47 0.45 0.43 0.41 0.39 0.37 0.35 0.33 0.31 0.29 0.27 0.25 0.23 0.21 0.19 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

Z

Y

Z

X

N 0.12 0.12 0.11 0.11 0.11 0.10 0.10 0.10 0.09 0.09 0.09 0.08 0.08 0.08 0.07 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.05 0.05 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.00

Y

X

Pt 4.30E-03 4.18E-03 4.05E-03 3.93E-03 3.81E-03 3.68E-03 3.56E-03 3.44E-03 3.31E-03 3.19E-03 3.06E-03 2.94E-03 2.82E-03 2.69E-03 2.57E-03 2.45E-03 2.32E-03 2.20E-03 2.08E-03 1.95E-03 1.83E-03 1.71E-03 1.58E-03 1.46E-03 1.34E-03 1.21E-03 1.09E-03 9.65E-04 8.41E-04 7.18E-04 5.94E-04 4.71E-04 3.47E-04 2.24E-04 1.00E-04

Z

Abbildung 6.35: Gasstr¨omung infolge der Phasenwechselwirkung bei dem Partikelmassenstrom von m ˙ P = 0, 38 kg/s nur sehr aufwendig trennen lassen. Abb. 6.33 zeigt die Partikelstr¨omung bei alleiniger Aktivierung des Wandwechselwirkung–Modells. Auf der linken Seite sieht man den Einfluß der Wandreflexion auf die Partikeltrajektorien (eingef¨arbt nach der Partikelabsolutgeschwindigkeit), w¨ahrend man rechts die ausgepr¨agten Konzentrationsmaxima der Partikelmassendichte entlang der Partikelstreichlinien erkennt. Außerdem wurde links die Blockstruktur des Netzes, die die Gebietszerlegung auf dem Parallelrechner bestimmt, dargestellt, Abb. 6.34 zeigt die Verteilung der Partikelgr¨oßen (|vP |, vP
, ρP 0 ) bei Verwendung des Kollisions– und des Wandstoß–Modells. Die drei Meßebenen werden durch drei horizontale Schnittlinien angezeigt. Man erkennt deutliche Unterschiede zu Abb. 6.33 bez¨ uglich der Partikelmassendichte infolge der Aktivierung des Kollisionsmodells, das zu einer verst¨arkten Homogenisierung der Dichteverteilung f¨ uhrt. Infolge des konvergenten Kanals kommt es im Bereich der Meßebenen zu einem Einschn¨ urungseffekt (chocking flow), der sich in einer erh¨ohten Massendichte bzw. Fluktuation darstellt. Die Partikelfluktuationsgeschwindigkeit vP
ist in jenen Gebieten am gr¨oßten, wo die Wirkung von Kollision und Wandwechselwirkung maximal ist. Abb. 6.35 zeigt die Verteilung der Str¨omungsgr¨oßen (|vF |, k, µt ) infolge der Parti-

202

4.00

4.00

3.50

3.50

Velocity [m/s]

3.00

3.00

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.50

2.00

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.50

2.00

1.50

1.50 Model Sommerfeld

1.00

1.00 Model Sommerfeld

0.50

0.00

0.000

0.50

0.026

0.052

0.078

0.104

0.131

0.157

0.183

0.209

0.235

0.261

0.00

0.000

0.026

0.052

0.078

0.104

Distance [m]

0.131

0.157

0.183

0.209

0.235

0.261

Distance [m]

Velocity [m/s]

Abbildung 6.36: Vergleich Rechnung–Messung mit dem Ansatz von Sommerfeld f¨ ur wP , |vP |, u
P , wP
und m ˙ P = 0, 13 / 0, 38 kg/s in der Ebene z=-66mm 4.00

4.00

3.50

3.50

3.00

3.00

2.50

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.50 Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.00

1.50

1.00

2.00

1.50

1.00

0.50

0.50 Model Sommerfeld

Model Sommerfeld 0.00

0.000

0.023

0.046

0.069

0.092

0.115

0.138

0.161

0.00

0.185

Distance [m]

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

0.175

Distance [m]

Abbildung 6.37: Vergleich Rechnung–Messung mit dem Ansatz von Sommerfeld f¨ ur wP , |vP |, u
P , wP
und m ˙ P = 0, 13 / 0, 38 kg/s in der Ebene z=+9mm kelphase. Deutlich ist der Einfluß der Partikelkollisionen im Bereich der Meßebenen auf die Turbulenzproduktion in der Gasphase zu sehen. Da f¨ ur die Gasphase der Einlaßmassenstrom gleich dem Auslaßmassenstrom bei inkompressibler Annahme sein muß, ist es notwendig, den Einlaßmassenstrom st¨andig an den durch die Partikel beschleunigten Auslaßmassenstrom anzupassen. In dieser Simulation wird die

203

0.200

4.00

4.00

3.50

3.50

Velocity [m/s]

3.00

3.00

2.50

2.00

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.50

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

2.00

1.50

1.50

1.00

1.00

0.50

0.50 Model Sommerfeld

0.00

0.000

0.023

0.046

0.069

0.092

0.115

0.138

Model Sommerfeld 0.161

0.00

0.185

0.000

0.023

0.046

0.069

Distance [m]

0.092

0.115

0.138

0.161

0.185

Distance [m]

Abbildung 6.38: Vergleich Rechnung–Messung mit dem Ansatz von Sommerfeld f¨ ur wP , |vP |, u
P , wP
und m ˙ P = 0, 13 / 0, 38 kg/s in der Ebene z=+85mm 4.00

4.00 Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

3.50

Velocity [m/s]

3.00

2.50

2.50

2.00

2.00

1.50

1.50

1.00

1.00

0.50

Wp Calculation VabsP Calculation Sigma_Up Calculation Sigma_Wp Calculation Wp Measurment VabsP Measurment Sigma_Up Measurment Sigma_Wp Measurment

0.50

Model Oesterle

Model Oesterle 0.00

0.000

0.023

0.046

0.069

0.092

0.115

0.138

0.161

0.00

0.185

Distance [m]

0.000

0.023

0.046

0.069

0.092

0.115

0.138

0.161

Distance [m]

Abbildung 6.39: Vergleich Rechnung–Messung mit dem Ansatz von Oesterl´e f¨ ur wP , |vP |, u
P , wP
und m ˙ P = 0, 13 / 0, 38 kg/s in der Ebene z=+85mm Gasphase am Auslaß verz¨ogert, weil ein u ¨ ber die Zeit konstanter Einlaßmassenstrom vorgegeben wurde. Generell zeigt sich ein geringer Einfluß der Partikel auf die Gasphase. Der Vergleich Rechnung–Messung wird benutzt, um die zwei Ans¨atze von Sommerfeld bzw. Oesterl´e, siehe Kap.4.3.1, f¨ ur die Kollisionsmodellierung gegen¨ uberzustel-

204

0.185

¨ len. Es zeigt sich, daß das Modell nach Sommerfeld [360] eine etwas bessere Ubereinstimmung mit den Meßwerten liefert als der Ansatz von Oesterl´e [279]. Es wird daher der Großteil der Vergleiche nur mit dem Modell nach Sommerfeld dargestellt, siehe auch Pachler [286]. Abb. 6.36 bis Abb. 6.39 zeigen im Rechnungs–Messungs–Vergleich eine Abweichung der Mittelwerte von etwa 20%, w¨ahrend die Schwankungsgr¨oßen im Vergleich zur Messung in der Rechnung immer zu niedrig ermittelt werden. Die h¨oheren Fluktuationen in Wandn¨ahe f¨ ur den kleineren Massenstrom werden von der Simulation richtig wiedergegeben. Beide Kollisionsmodelle zeigen ¨ahnliche Ergebnisse, wobei der Ansatz nach Sommerfeld etwas besser abschneidet. Die Ursachen f¨ ur die Abweichungen k¨onnen an diesem relativ komplexen Kollisionsprozeß nur schwer ergr¨ undet werden und erfordern zus¨atzliche Vergleiche f¨ ur ¨ahnliche und kleinere Partikelgr¨oßen. Es wurde sowohl auf eine Anpassung von Materialkennwerten und Modellkonstanten als auch auf eine Variation des Berechnungsnetzes oder der Anzahl der Rechenpartikel verzichtet, um den Rahmen dieser Arbeit nicht zu sprengen. Trotzdem erf¨ ullen die Ergebnisse ingenieurm¨aßige Genauigkeitsanforderungen und k¨onnen f¨ ur reale Anwendungen verwendet werden.

6.4.2

Eine technische Anwendung: der Bifurkator

Im Rahmen eines ECSC–Projekts [101] wurde eine Rohrverzweigung (Bifurkator) numerisch und meßtechnisch untersucht. Der Bifurkator ist ein Bauteil, das entscheidend die Massenstromaufteilung beim pneumatischen Transport von Kohlestaub beinflussen kann. Im Zuge der Optimierung der Verbrennung in Kraftwerken ist eine m¨oglichst gleichm¨aßige Beladung nach einer Rohrverzweigung anzustreben. Ein Problem von Gas–Feststoff–Str¨omungen ist die Str¨ahnenbildung. Diese lokale Masseninhomogenit¨at soll durch Leitbleche an Kr¨ ummern oder bei Verzweigungen minimiert werden, Pachler et al. [34]. Daneben kann die Wirkung einer hohen Str¨omungsturbulenz die Str¨ahnenbildung reduzieren. All diese Maßnahmen f¨ uhren jedoch zu einem erh¨ohten Str¨omungswiderstand und sind daher Gegenstand der Bauteiloptimierung. Beim pneumatischen Transport von Partikeln kommt es außerdem zur Oberfl¨achenerosion der Rohrleitung infolge Partikel–Wand–Stoß, siehe Frank [136], was jedoch hier nicht weiter diskutiert werden soll. Abb. 6.40 zeigt schematisch die Kohlestaubzuf¨ uhrung in einem Kraftwerk von der M¨ uhle bis zum Kessel. Am Department of Mechanical Engineering, Nottingham University, UK, wurde ein Modell eines Bifurkators im Maßstab 1:3 aufgebaut. Anhand dieser Geometrie wurden Str¨omungsfelder mit PIV und LDA vermessen. Der Bifurkator wurde sowohl mit/als auch ohne Leitblecheinbauten (riffle box) im Bereich der Rohrverzweigung vermessen.

205

Abbildung 6.40: Schema des Rohrleitungssystems zur Kohlestaubzuf¨ uhrung im Kraftwerk Kingsnorth, UK, [102] Abb. 6.41 zeigt den Bifurkator im Labormaßstab. 900 mm vor der Verzweigung bzw. in den beiden Auslaßrohren (line 1, line 3) kurz hinter der Verzweigung wurden Plexiglaseinbauten f¨ ur die PIV–Messung und die Lichtschnittvisualisierung angebracht. Im Experiment ist eine m¨oglichst realistische Anstr¨omung der Rohrverzweigung nur durch eine lange Anlaufstrecke m¨oglich. F¨ ur die Simulation wird der von der Verzweigung stromaufw¨artige Rohrstrang in einem reduzierten Umfang modelliert, siehe Abb. 6.42, weil eine gleichm¨aßige Partikelstr¨omung als Einlaßrandbedingung vorgegeben werden kann. Im Experiment wurden Keramikhohlkugeln mit der Dichte ρP = 750 kg/m3 und dem mittleren Anzahldurchmesser d10 = 10, 1 µm verwendet, um sich die aufwendige Absaugung beim Einsatz von Kohlestaub zu ersparen. Die damit realisierte Partikelgr¨oßenverteilung variiert von 4, 5 µm≥ dP ≥ 90 µm. F¨ ur den Bifurkator ohne Einbauten (riffle box) wurden Beladungen von 0, 05 ≥ η ≥ 0, 42 bei Einlaßgeschwindigkeiten von 12 m/s ≥ uF ≥ 18, 5 m/s vermessen, [102]. Der Luftmassenstrom wurde mit Hilfe von Blendenwiderst¨anden auslaßseitig so eingestellt, daß sich an den beiden Rohren der gleiche Durchsatz einstellt. Im Experiment wurden relativ niedrige Partikelbeladungen vermessen, die keinen Einfluß auf die Gasphase haben und mit dem Station¨arl¨oser simuliert werden. Abb. 6.42 zeigt links die Verteilung der Partikelstromdichte im Bifurkator. Infolge der

206

Abbildung 6.41: Darstellung des f¨ ur die Experimente genutzten Bifurkators, [101] Drallbewegung der Gasphase kommt es schon nach dem ersten Kr¨ ummer zu einer Entmischung der Partikelphase. Nach dem zweiten Kr¨ ummer erkennt man zwei Konzentrationsmaxima an der Ober– und Unterseite der Rohrleitung. Es bildet sich im weiteren Verlauf eine Art Doppelhelix aus zwei Partikelstr¨ahnen, die die Rohrverzweigung ungehindert durch die Leitbleche passieren und die beiden Rohrstr¨ange (line 1, line 3) erreichen. Die Lage und Bewegung der Doppelstr¨ahne l¨aßt sich mit den Lichtschnittdaten der Universit¨at Nottingham recht gut vergleichen, siehe Abb. 6.42 rechts. Die Qualit¨at eines Bifurkators wird wesentlich davon bestimmt, wie gleichm¨aßig die Partikelstr¨ome aufgeteilt werden. F¨ ur den Fall uF = uP = 12 m/s, η = 0, 1 wurde eine Aufteilung von 45% zu 55% gemessen und 49% zu 51% berechnet, siehe Pachler [336]. F¨ ur die Auslaßrohre 1 und 3 wurden axiale und radiale Geschwindigkeiten gemessen. Abb. 6.43 zeigt einen Vergleich der axialen und radialen Geschwindigkeiten f¨ ur Rohr 3, siehe auch Abb. 6.41. Abb. 6.44 zeigt diesen Vergleich f¨ ur Rohr 1. Wie schon erw¨ahnt, wurden die Experimente f¨ ur eine relativ niedrige Partikelbeladung und mit Keramikhohlkugeln durchgef¨ uhrt. Es wurden auch Messungen mit Hilfe eines elektrostatischen Massenstromsensors von ABB im laufenden Betrieb im

207

Abbildung 6.42: Links: Darstellung der Partikelstromdichte des Bifurkators, Keramikhohlkugeln, uF = uP = 12 m/s, η = 0, 1 Rechts: Visualisierung der Partikelstr¨ahnen mittels Lichtschnitt 900 mm vor der Verzweigung Kraftwerk Kingsnorth ausgef¨ uhrt. Dabei haben sich teilweise betr¨achtliche Unterschiede (20 % : 80 %) in den Partikelmassenstr¨omen gezeigt, [101]. Es wurde daher eine instation¨are Simulation mit einer Beladung von η = 2 und mit Keramikhohlkugeln (d10 = 10, 1 µm, d32 = 25 µm) durchgef¨ uhrt. Die Einlaßrandbedingung wird u ¨ber ein Blockprofil mit der Geschwindigkeit von uF = 16 m/s realisiert. Aufgrund der hohen Beladung wird die Phasenkopplung und das

208

16

14

14

Geschwindigkeit (m/s)

Geschwindigkeit (m/s)

16

12 10 8 V(y=4.2)

6

U(y=4.2) 4 2

12 10 8

4 2

0

0

-2

-2 0

20

40

60

80

100

V (y=4.2) U (y=4.2) Polynomial (V, y=4.2) Polynamial (U, y=4.2)

6

0

20

40

60

80

100

X (mm)

X (mm)

Abbildung 6.43: Vergleich der axialen und radialen Partikelgeschwindigkeiten im Rohr 3, Links: Berechnung, Rechts: Messung, uF = uP = 12 m/s, η = 0, 1 15

1,5

13

1 12 11

V(y=16.6) comp

10

V (y=16.6) exp

Vel. (m/s)

Geschwindigkeit (m/s)

14

9

0,5

8

U(y=16.6) comp

0 7

U (y=16.6) exp

6

-0,5

5 0

10

20

30

40

50

60

X (mm)

0

10

20

30

40

50

60

X (mm)

Abbildung 6.44: Vergleich der axialen und radialen Partikelgeschwindigkeiten im Rohr 1, uF = uP = 12 m/s, η = 0, 1 Kollisionsmodell mit dem Ansatz nach Sommerfeld aktiviert. Der Luftmassenstrom wird wie in der station¨aren Simulation auf beide Ausl¨asse gleich aufgeteilt. Es wird MISTRAL–3D mit dem k–ε–Modell verwendet. Zur Konvergenzbeschleunigung wird das Multigrid f¨ ur die Druckgleichung unter Verwendung von zwei Gittern aktiviert. Als Zeitschrittweite wird ∆t=0,0001 s gew¨ahlt, womit der Kollisionsprozeß ausreichend genau simuliert werden kann. Das Berechnungsnetz enth¨alt ca. 300 000 Kontrolvolumina und nach einer transienten Anfahrphase werden ca. 700 000 Partikel

209

Abbildung 6.45: Darstellung der Partikelverteilung anhand der Void–Fraction und der Anzahldichte 1,5 s nach Start der Simulation, uF = uP = 16 m/s, η = 2, 0 simultan berechnet. Die h¨ohere Beladung f¨ uhrt infolge der Kollision und der starken Phasenwechselwirkung zu einer stark unterschiedlichen Aufteilung (80 % : 20 %) der Partikelmassenstr¨ome in den Rohren 1 und 3. Es bilden sich lokal hohe Partikelkonzentrationen (Clusterbildung), die sich jedoch je nach der Lage im Bifurkator zeitlich ver¨andern. Beispielsweise bildet sich in der Startphase der Simulation zwischen dem ersten und zweiten Kr¨ ummer im geraden Rohrbereich ein Partikelcluster, siehe Abb. 6.45. Dieser vergr¨oßert sich solange, bis die Einschn¨ urung der Gasphase einen entsprechenden Widerstand mobilisiert, der die Partikel weiter stromabw¨arts wieder in einen verd¨ unnteren Bereich transportiert. An den Außenseiten der Kr¨ ummer und im Staupunkt der Rohrverzweigung findet man zeitlich stabile Partikelcluster, siehe Abb. 6.47. Abb. 6.45 und Abb. 6.46 zeigen die Anfangsphase der Partikelstr¨omung, die zu einer Umordnung der Gr¨oßenverteilung f¨ uhrt. Kleinere Partikel werden schneller durch den Bifurkator transportiert als große Partikel, was sich in einem Ansteigen des d32

210

Abbildung 6.46: Darstellung der Partikelverteilung anhand der Void–Fraction und der Gesamtviskosit¨at der Gasphase 1,5 s nach Start der Simulation, uF = uP = 16 m/s, η = 2, 0 von 25 auf 42 µm auswirkt. Die starke Impulswechselwirkung erkennt man in Abb. 6.46 am Anstieg der Gesamtviskosit¨at im Bereich der Partikelphase. Abb. 6.47 zeigt den statischen Druck der Gasphase, der infolge der Partikelwechselwirkung im Auslaß 1 stark abnimmt, weil die Gasmassenstr¨ome (Geschwindigkeiten) in beiden Ausl¨assen gleich groß angenommen werden. Der Partikelwiderstand wird also vor allem vom Druckgradienten getragen, damit die Geschwindigkeiten gleich bleiben k¨onnen, siehe Abb. 6.48. Zus¨atzlich entsteht durch die Partikelquellen in den Impulsgleichungen eine vermehrte Turbulenzproduktion, die wiederum die Gesamtviskosit¨at erh¨oht, siehe Abb. 6.46. Die Turbulenzmodulation infolge der Partikelphase wurde nicht aktiviert, weil die momentan implementierten Modelle, siehe Kap. 3.3.1.6, f¨ ur diese hohe Beladung inkonsistente Ergebnisse geliefert haben. Es ist also davon auszugehen, daß die Gasphasenturbulenz in diesem Fall (relativ kleine Durchmesser) noch durch die Partikel ged¨ampft wird. Zweiphasenstr¨omungen

211

Abbildung 6.47: Darstellung des statischen Drucks und der Partikelmassendichte 8 s nach Start der Simulation, uF = uP = 16 m/s, η = 2, 0 mit einer dispersen Phase von sehr kleinen Partikel, die also Stokes–Zahlen um eins entsprechen, verhalten sich wie ein Gas mit erh¨ohter Dichte. Abb. 6.48 zeigt, daß sich kleinere Partikel (dP < 5 µm) u ¨ ber den ganzen Rohrquerschnitt mit der Gasstr¨omung verteilen k¨onnen, w¨ahrend gr¨oßere Partikel eher an der Wand bleiben. Außerdem beinhalten die gr¨oßeren Durchmesser je nach Gr¨oßenverteilung meistens die gr¨oßeren Massen. Die Gasgeschwindigkeit zwischen erstem und zweitem Kr¨ ummer ist gut erkennbar von der Partikelphase beeinflußt. Zusammenfassend muß festgehalten werden, daß ein Bifurkator f¨ ur niedere und hohe Beladungen von Partikeln numerisch untersucht werden kann. Die Vergleiche sowohl der Gas– als auch der Partikelphase bei niederer Beladung zeigen eine ausreichende Genauigkeit f¨ ur ingenieurtechnische Anwendungen. Der Fall mit hoher Beladung liefert plausible Ergebnisse, doch wurde die dabei entstehende Fragestellung der Turbulenzwechselwirkung noch nicht vollst¨andig beantwortet. Zuk¨ unftig

212

Abbildung 6.48: Darstellung der mittleren Gasgeschwindigkeit und des mittleren Partikeldurchmessers d10 , 8 s nach Start der Simulation, uF = uP = 16 m/s, η = 2, 0 sollten Untersuchungen, gest¨ utzt durch umfassende experimentelle Daten, vermehrt Betriebspunkte mit hoher Partikelbeladung behandeln. Heute sind allerdings schon viele notwendige Bestandteile, wie die dynamische Parallelisierung der dispersen Phase oder die Kollisionsmodelle, zur Str¨omungssimulation vorhanden.

6.4.3

Untersuchung der parallelen Effizienz anhand des Bifurkators

Effiziente L¨oser sind heute auch hochgradig parallelisierte L¨oser. Das bedeutet, daß m¨oglichst mehr als 90 % des Programms parallel abl¨auft. F¨ ur die Simulation von Gas–Feststoff–Str¨omungen bedeutet dies, daß sowohl der NS– als auch der Partikell¨oser parallelisiert ist. Bei Frank [136] wird der NS–L¨oser detailliert beschrieben, hier soll der parallele Partikell¨oser mit Schwerpunkt auf instation¨are Str¨omungen

213

24

Speed-up

20 16 12 CLIC, Pentium-III, SDD Linux-Cluster, AMD-K7, SDD Cray-T3E, SDD CLIC, Pentium-III, DDD Linux-Cluster, AMD-K7, DDD Cray-T3E, DDD

8 4 0 0

8

16

24

32

40

48

Anz ahl der Pro z e s s oren

56

64

Abbildung 6.49: Vergleich paralleler Speedups des station¨aren Partikel–L¨osers (SDD– bzw. DDD-Verfahren) f¨ ur unterschiedliche Rechnerarchitekturen, [135] erl¨autert werden, siehe auch Kap. 5.3.4. In Kap. 5.1 wurde die Effizienz E definiert, die eine maßgebende Gr¨oße f¨ ur das parallele Rechnen ist. Obwohl die Effizienz m¨oglichst gegen 1 gehen sollte, kann es durchaus von Interesse sein, eine geringere Effizienz infolge einer erh¨ohten Prozessorenanzahl in Kauf zu nehmen, um damit trotzdem schneller die Berechnung durchf¨ uhren zu k¨onnen. Das heißt, neben der Effizienz ist auch die Gesamtrechenzeit ein wichtiges Kriterium, wobei die Zeitmessung u ¨ blicherweise mit der sogenannten “wall clock time“ erfolgt. Es wird hier die Gesamtrechenzeit nicht funktional in I/O, Kommunikation und Berechnung aufgegliedert, weil die Zuordnung nicht immer eindeutig ist. Effizienz und Gesamtrechenzeit geben jedoch bei einer Variation der Prozessoranzahl oder der Last auch Einblick u ¨ ber den Einfluß der Kommunikation. Wenn man die Qualit¨at einer Parallelisierung messen will, gilt es folgende Einflußfaktoren zu beachten: Verh¨altnis der Netzwerkbandbreite zur Prozessorleistung, Speicher–Cache–Gr¨oße, Floatingpoint–Prozessor–Leistung, Speicherbandbreite, Latenzzeit des Netzwerks, Problemgr¨oße, Rechenalgorithmus, H¨aufigkeit des Datenaustauschs und L¨ange der verschickten Messages. Je nach Gr¨oße und Verh¨altnis der aufgez¨ahlten Faktoren kann ein Algorithmus oder die Rechenhardware besser oder schlechter abschneiden. Es ist daher notwendig meßbare Kriterien zu finden, die praxisrelevant und m¨oglichst Hard– und Software invariant sind. Da die Effizienz in weiten Bereichen durch das Verh¨altnis Netzwerk– ¨ und Speicherbandbreite zu Prozessorleistung beinflußbar ist, sollte immer die Ubertragungsrate des Kommunikationsnetzwerkes angegeben werden, um damit Untersuchungen vergleichbar zu machen. Die Entwicklung der Prozessorleistung w¨achst u ¨berproportional zur Netzwerk– und Speicherbandbreite, was tendenziell zu einer Abnahme der Effizienz bei kommunikationsintensiven Algorithmen f¨ uhrt. Abb. 6.49 zeigt exemplarisch an einer Gas–Feststoff–Str¨omung in einer Rohrleitung (396 000 ¨ Kontrollvolumina) einerseits die Uberlegenheit des DDD–Verfahrens, andererseits,

214

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0.8 0.6

SDD : Efficiency DDD : Efficiency SDD : Speed-up DDD : Speed-up

0.4 0.2 0 0

16

32

48

64

80

96

112

Speed-up

parallel Efficiency

1

128

No. of Processors

Abbildung 6.50: Vergleich paralleler Speedups bzw. Effizienzen des station¨aren Partikel–L¨osers (SDD– und DDD-Verfahren) f¨ ur eine Gas–Feststoff–Str¨omung, [136] daß die Cray–T3E mit ihrem besseren Verh¨altnis von Netzwerkbandbreite zu Prozessorleistung klar effizienter ist als die PC–Cluster, obwohl letztere bezogen auf die Gesamtrechenzeit schneller sind. Abb. 6.50 zeigt Speedup und Effizienz einer Fast−Ethernet/Black Diamond, Linux−Cluster PIII 800 MHz, Case Bifucator Dt=1.E−4

0.50

200.0 190.0

0.45 0.40

170.0

600 000 Particles, Efficiency 300 000 Particles, Efficiency

160.0

0.35

150.0 0.30

140.0 130.0

0.25

120.0 0.20

110.0 100.0

Parallel Efficiency [−]

Calculation Time per Time Step[s]

180.0

0.15

90.0 0.10

80.0 600 000 Particles, Calculation Time 300 000 Particles, Calculation Time

70.0

0.05

60.0 50.0

15

20

25

30 35 No. of Processors [−]

40

45

50

0.00

Abbildung 6.51: Vergleich der Rechenzeit bzw. der Effizienz des instation¨aren Partikel–L¨osers (DDD-Verfahren) f¨ ur zwei unterschiedliche Anzahlen von Partikeln station¨aren Gas–Feststoff–Str¨omung mit 3,2 Millionen Kontrollvolumina. Die Berechnung wurde auf dem CLIC (Chemnitzer Linux–Cluster) durchgef¨ uhrt. Diese Maschine enth¨alt 528 PIII 800 MHz Intel Prozessoren und einen Black Diamond Switch, der 2x100 Mbit/s Kommunikationsleistung bietet. Man erkennt, daß trotz dieses relativ langsamen Kommunikationsnetzwerks f¨ ur 128 Prozessoren knapp 20 %

215

Effizienz zu erzielen ist. Diese relativ guten Werte f¨ ur den station¨aren Partikell¨oser lassen sich momentan f¨ ur instation¨are Anwendungen nur sehr eingeschr¨ankt erzielen. Ursache ist ein viel kleinerer Wert f¨ ur den Quotienten aus Rechen– zu Kommunikationsleistung. Im station¨aren Fall wird jedes Partikel entlang seiner Trajektorie auf dem jeweiligen Prozessor vom Ein– bis zum Austritt eines Gitterblocks berechnet. Im instation¨aren Fall wird je nach Zeitschritt und Gitterweite gerade einmal eine Zelle durchquert. Bei der instation¨aren Simulation mit Phasenkopplung kommt es daher zu einem starken Anstieg der zu kommunizierenden Daten. Abb. 6.51 zeigt Fast−Ethernet/Cisco 100MBit/s, Linux Cluster with 12 AMD Athlon 600 MHz

0.9 0.8 0.7

Efficiency [−]

0.6 0.5 0.4 0.3

2 proc Dt=1.E−4 2 proc Dt=1.E−3 4 proc Dt=1.E−4 4 proc Dt=1.E−3 8 proc Dt=1.E−4 8 proc Dt=1.E−3 12 proc Dt=1.E−4 12 proc Dt=1.E−3

0.2 0.1 0.0

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

Average No. of Particles per Processor [−]

Abbildung 6.52: Vergleich der Effizienz des instation¨aren Partikel–L¨osers f¨ ur zwei unterschiedliche Zeitschritte ∆t =0,001 s bzw. 0,0001 s und unterschiedliche Partikelanzahl Rechenzeit und Effizienz einer instation¨aren Gas–Feststoff–Str¨omung in einem Bifurkator. Man sieht die im Vergleich zum Station¨arl¨oser relativ geringen Effizienzen und daß f¨ ur das Erreichen einer Effizienz E ≥ 50 % nicht mehr als 16 Prozessoren verwendet werden k¨onnen. An der Gesamtrechenzeit erkennt man die S¨attigung infolge der langsamen Kommunikation, weil die Rechenzeit f¨ ur 16 bis 46 Prozessoren beinahe gleich bleibt. Außerdem scheint die Rechenzeit linear mit der Anzahl der Partikel zu skalieren. Abb. 6.52 zeigt die Abh¨angigkeit der Effizienz einer instation¨aren Gas–Feststoffstr¨omung von der Zeitschrittweite, der Anzahl der Prozessoren und Partikel an einer modifizierten Bifurkator–Geometrie. F¨ ur den Fall mit ∆t =0,0001 s ist f¨ ur etwa zehn Prozessoren die S¨attigung bei der Effizienz erreicht. F¨ ur zwei bis vier Prozessoren

216

sieht man geringe Unterschiede in der Effizienz, w¨ahrend sich dar¨ uber der Einfluß der Kommunikationszeiten stark auf die Effizienz auswirkt. F¨ ur ∆t =0,001 s wird f¨ ur 12 Prozessoren 80 % Effizienz erreicht, was ein guter Wert ist. Fast−Ethernet/Black Diamond 100MBit/s Linux Cluster with 528 INTEL PIII 800 MHz

700

4 proc Dt=1.E−4 Bent Duct 4 proc Dt=1.E−3 B.D. 8 proc Dt=1.E−4 B.D.

600

8 proc Dt=1.E−3 B.D.

Calculation Time per Time Step [s]

16 proc Dt=1.E−4 B.D. 16 proc Dt=1.E−3 B.D. 32 proc Dt=1.E−4 B.D.

500

32 proc Dt=1.E−3 B.D. 46 proc Dt=1.E−4 Bifucator 46 proc Dt=1.E−3 Bif.

400

300

200

100

0

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

Average No. of Particles per Processor [−]

Abbildung 6.53: Vergleich der Rechenzeiten des instation¨aren Partikel–L¨osers f¨ ur unterschiedliche Zeitschritte ∆t =0,001 s bzw. 0,0001 s, Partikelanzahl und Hardware Abb. 6.53 zeigt die Abh¨angigkeit der Gesamtrechenzeit vom Zeitschritt und der Anzahl der Prozessoren bzw. Partikel. Das ozillierende exponentielle Anwachsen der Rechenzeit ist ein Indiz f¨ ur ein starkes Ansteigen der Kommunikationszeit, das die Grenze der Leistungsf¨ahigkeit dieser Konfiguration markiert. Die Kurvenverl¨aufe zeigen ein mit der Anzahl der Partikel linear zunehmende Rechenzeit. Mit steigender Prozessorenanzahl wird der Unterschied zwischen den zwei Zeitschritten immer geringer, was einem Zuwachs infolge der Kommunikation zuzuschreiben ist. Der Unterschied zwischen dem Kurvenverlauf f¨ ur 46 Prozessoren und f¨ ur alle anderen Konfigurationen resultiert aus unterschiedlich großen Berechnungsgittern und einem damit verbundenen Zusatzaufwand. Obwohl die Effizienz f¨ ur ∆t =0,001 s gr¨oßer als

217

Fast−Ethernet 100MBit/s, Linux−Cluster PIII 800 MHz/AMD Athlon 600 MHz

0.9 0.8 0.7

Efficiency [−]

0.6 0.5 0.4 0.3 4 proc Dt=1.E−4 PIII 4 proc Dt=1.E−3 PIII 8 proc Dt=1.E−4 PIII 8 proc Dt=1.E−3 PIII 8 proc Dt=1.E−4 AMD 8 proc Dt=1.E−3 AMD 16 proc Dt=1.E−4 PIII 16 proc Dt=1.E−3 PIII 32 proc Dt=1.E−4 PIII 32 proc Dt=1.E−3 PIII 46 proc Dt=1.E−4 PIII 46 proc Dt=1.E−3 PIII

0.2 0.1 0.0

0

10000

20000 30000 40000 50000 Average No. of Particles per Processor [−]

60000

70000

Abbildung 6.54: Vergleich der Effizienz f¨ ur unterschiedliche Zeitschritte ∆t =0,001 s bzw. 0,0001 s, Partikelanzahl und Hardware f¨ ur ∆t =0,0001 s ist, schl¨agt der gr¨oßere Zeitschritt als entsprechender Mehraufwand auf die Gesamtrechenzeit st¨arker durch. Abb. 6.54 zeigt die Abh¨angigkeit der Effizienz von Zeitschritt, Prozessoranzahl, Partikelanzahl und Hardware. F¨ ur acht Prozessoren wird das AMD–Cluster direkt mit ¨ dem CLIC verglichen, wobei die Uberlegenheit des CLIC vor allem beim kleineren Zeitschritt ∆t =0,0001 s auff¨allt. F¨ ur 32 Prozessoren l¨aßt sich je nach Zeitschritt eine Effizienz von 65 % bzw. 20 % erreichen. Zur optimalen Nutzung des dynamischen instation¨aren DDD–Verfahrens ist eine Mindestanzahl von Partikeln pro Prozessor notwendig. Etwa 15000 Partikel sollten schon jedem Prozessor zugeteilt werden. Diese Zahl h¨angt auch von der Netzwerkbandbreite, der Zeitschrittgr¨oße und den Submodellen ab. Wenn weniger Partikel vorhanden sind, kommt es zu keiner gleichm¨aßigen Lastverteilung, was sofort die Effizienz reduziert. Bei einer großen Zahl von Partikel pro Prozessor bleibt die Effizienz gleich oder f¨allt ab, wenn die Kommunikationszeiten stark anwachsen, siehe ∆t =0,0001 s.

218

6.5

Tropfenstro armeu ¨mung mit Stoff– und W¨ ¨ bergang

In diesem Kapitel soll der Stoff– und W¨arme¨ ubergang einer dispersen Zweiphasenstr¨omung exemplarisch dargestellt werden. Dabei spielt die Phasenwechselwirkung infolge Energieaustausch auch eine Rolle beim Impulsaustausch, weil die verdunstete Masse die Impulswechselwirkung f¨ ur die Tropfenphase verst¨arkt und gleichzeitig in der Gasphase als zus¨atzliche Dampfmasse wieder auftritt. Die Enthalpie¨anderung der Gasphase bewirkt eine Ver¨anderung von Zustands– bzw. Materialgr¨oßen, was letztendlich auch zu einer Modifizierung der lokalen Druckgradienten und Massenstr¨ome f¨ uhrt. Zur Untersuchung werden die beiden Programme Mistral–3D und FIRE herangezogen, wobei Mistral–3D ein inkompressibler L¨oser ist, w¨ahrend in FIRE die Zustandsgleichung f¨ ur ein ideales Gases implementiert ist. FIRE entspricht damit relativ gut den Anforderungen einer hochkompressiblen Gasstr¨omung, obwohl bei hohen Dr¨ ucken Realgaseffekte zu ber¨ ucksichtigen w¨aren. Mistral–3D vernachl¨assigt die ¨ Anderung der Dichte infolge Druck, Temperatur und Spezieskonzentration, was in dieser Arbeit toleriert wird, weil die Strahlmodellierung bzw. Parallelisierung im Vordergrund steht. Außerdem w¨ urde die Implementation eines kompressiblen Algorithmus (Gasgleichung, erweiterte Druckkorrektur) den vorgegebenen Zeitrahmen sprengen. Die Simulation eines Diesel–Einspritzstrahls ist ein guter Test, um die Qualit¨at von Numerik und Modellierung zu untersuchen. Die Phasenwechselwirkung ist infolge des mit Hochdruck eingespritzten Kraftstoffs sehr ausgepr¨agt. Eine Erh¨ohung des Drucks f¨ uhrt nicht nur zu einer besseren Zerst¨aubung des Strahls (k¨ urzerer Kernstrahl), sondern auch zu einer Erh¨ohung des Impulseintrags, was wichtig f¨ ur Mischungsprozesse ist, die die Verdunstung und die chemischen Z¨ undreaktionen steuern. Die f¨ ur die Validierung erforderliche Vermessung eines Dieselstrahls ist aufwendig und verlangt unterschiedliche Lasermeßverfahren, wenn sowohl die fl¨ ussige als auch die dampff¨ormige Phase untersucht werden soll. Der prim¨are Tropfenaufbruch im Nahbereich des D¨ usenspritzlochs ist Gegenstand von aktuellen Forschungsvorhaben und soll hier wegen seiner Komplexit¨at nicht weiter diskutiert werden. Nur so viel sei gesagt, daß die D¨ useninnenstr¨omung unter Ber¨ ucksichtigung von Turbulenz und Kavitation ganz wesentlich die Stabilit¨at ¨ des Strahls beeinflußt. Die Anderung des Tropfendurchmessers wird von Aufbruchmechanismen (prim¨arer bzw. sekund¨arer aerodynamischer Aufbruch), sowie von der Verdunstung verursacht, was wiederum den Transport und die Eindringtie-

219

fe47 ver¨andert. In der aktuellen Arbeit werden Aufbruchprozesse vernachl¨assigt und statt dessen eine halbempirische Wahl der Starttropfengr¨oßenverteilung verwendet. Klingsporn [209] hat in seiner Arbeit die dieselmotorische Einspritzung untersucht und daf¨ ur Meßdaten von einem Kraftstoffstrahl in einer Druckkammer verwendet. In diesem Beispiel soll ein unterer Teillastfall, basierend auf den an der RWTH in Aachen durchgef¨ uhrten Experimenten, Reuter [315], Koß [217] und Breuer [45], simuliert werden. Die zylindrische Kammer hat einen Durchmesser von 100 mm und eine L¨ange von 120 mm. Da bei solchen Experimenten die Einspritzmenge sehr gering und/oder der Druck niedrig ist, kommt es zu einer relativ kurzen Eindringtiefe, was eine Reduktion der modellierten Kammerl¨ange in axialer Richtung auf 70 mm erlaubt. Die Einspritzung erfolgt zentral in Zylinderachse. Es wird eine Einlochd¨ use von Bosch DLLA S mit 0,2 mm Durchmesser verwendet. Die eingespritzte Kraftstoffmenge ist eine zeitlich stark ver¨anderliche Gr¨oße, die vom Pumpendruck, der Bauart der D¨ use, der D¨ usennadelstellung und der Kraftstofftemperatur abh¨angig ist. Bekannte Gr¨oßen sind der Verlauf des Drucks in der Leitung von der Pumpe zu D¨ use und das Nadelhubdiagramm. Aus diesen Daten kann mit Hilfe der Bernoulli–Gleichung eine Strahlstartgeschwindigkeit errechnet werden, wobei damit die dreidimensionale D¨ useninnenstr¨omung nicht ber¨ ucksichtigt wird. Die Versperrungswirkung der Kavitationsblasen wird durch einen empirischen Beiwert modelliert. Die Einspritzmenge pro Hub wird am D¨ usenpr¨ ufstand mittels W¨agung ermittelt. Die Einspritzdauer aus den Steuersignalen bzw. Nadelhubdiagramm muß um Ansprechzeiten zwischen elektrischem Signal und mechanischem Nadelhub bzw. Nadelhub und vorgespannter Fl¨ ussigkeitss¨aule reduziert werden. Die Kammer ist mit einem Glasfenster versehen um eine optische Zug¨anglichkeit zu gew¨ahrleisten. Da ein intermittierendes Einspritzregime am Versuchsstand gefahren wird, ist eine Sp¨ ulstr¨omung notwendig, die axial u ¨ber die gesamte obere Zylinderfl¨ache mit 0,2 m/s und 10% Turbulenzgrad eingebracht wird. Am unteren Ende des Zylinders wird die Luft abgezogen und so im offenen Kreislauf betrieben. Abb. 6.55 zeigt das Berechnungsgitter, wo im Ursprung der Strahl mit der Spritzlochachse in positiver z–Richtung eingebracht wird. Im Strahlnahbereich wurde in radialer Richtung die maximale Netzaufl¨osung gew¨ahlt, w¨ahrend axial konstant 0,7 mm Gitterweite definiert wurden. Die Strahlsimulation ist wesentlich von der korrekten Wahl der Anfangsgr¨oßen abh¨angig. Dazu geh¨oren der Strahlwinkel und die Tropfengr¨oßenverteilung, die aus Messungen entnommen werden, Klingsporn [209]. W¨ahrend der Strahlwinkel noch mit einer gewissen Sicherheit aus Schlierenmessungen bestimmt werden kann, ist die Tropfengr¨oßenverteilung teilweise abh¨angig vom Meßverfahren und vom Ort der 47 Als Eindringtiefe wird die Distanz zwischen Spritzloch und Strahlspitze definiert, wobei die Strahlspitze als ein Bereich von gegen¨ uber der reinen Luft sprunghaft erh¨ohter Fl¨ ussigkeitsdichte verstanden wird.

220

Abbildung 6.55: Berechnungsgitter mit Strahlstartposition Messung. Am Ort des Prim¨araufbruchs, im Spritzlochnahbereich, ist nur eine eingeschr¨ankte Messung m¨oglich, weil der Strahl dort optisch dicht und damit f¨ ur ein konventionelles LDA–System unsichtbar ist. Da in dieser Arbeit aus thematischen Gr¨ unden auf ein Aufbruchmodell verzichtet wurde, ist es m¨ ußig, zu viel Aufwand in die Bereitstellung der Gr¨oßenverteilung zu verwenden. Es wurden daher Meßdaten bez¨ uglich d10 , d32 , Klingsporn [209], sowie die von LDA–Messungen bekannte Form einer angen¨aherten schiefen Gaußverteilung ber¨ ucksichtigt. Abb. 6.56 zeigt die verwendete Tropfengr¨oßenverteilung, bezogen auf eine Anzahlwahrscheinlichkeit. Simulationen ohne Aufbruchmodell haben Probleme, die korrekte Eindringtiefe des fl¨ ussigen als auch des dampff¨ormigen Kraftstoffs wiederzugeben, weil die Impulskopplung und die Verdunstungsraten den realen Prozeß nur ungenau wiedergeben. Da die verf¨ ugbaren Meßdaten nicht umfassend bekannt sind ist eine korrekte Simulation unm¨oglich. Aber aus Aufwandsgr¨ unden kann der reduzierte Modellierungsansatz bei dieser Fragestellung gerechtfertigt werden. In Tab. 6.6 sind die wichtigsten Anfangs– bzw. Randbedingungen f¨ ur Gas– und Tropfenphase enthalten. In Abb. 6.57 wird die eingespritzte Masse und die Tropfenstartgeschwindigkeit nach den Angaben von Klingsporn [209] dargestellt. F¨ ur diese Berechnung wird zus¨atzlich angenommen, daß die Kraftstoffdichte unabh¨angig vom Einspritzdruck ist, was f¨ ur Dr¨ ucke bis 250 bar gerechtfertigt erscheint, weil sich die Dichte um weniger als drei Prozent erh¨oht, siehe Hobbie [176]. Die Querschnittseinschn¨ urung infolge Kavitation wird vereinfachend als konstant angenommen, w¨ahrend der reale Prozeß stark vom transienten Verlauf des Einspritzdrucks abh¨angig ist. Einen großen Einfluß auf die Qualit¨at der Ergebnisse hat die Numerik der konvektiven Terme in den Str¨omungsgleichungen (numerische Diffusion) wegen der großen Gradienten an der Strahloberfl¨ache. Zus¨atzlich spielt eine entsprechend hohe Netzaufl¨osung im Bereich des Kernstrahls eine wesentliche Rolle f¨ ur eine realistische Simulation. Dabei wird oft versucht, mit Zellgr¨oßen im Millimeterbereich

221

Tabelle 6.6: Anfangs– bzw. Randbedingungen der Strahlberechnung Gastemperatur

773 K

Gasdruck in der Kammer

45 bar 20,2 kg/m3

Gasdichte Spritzlochgeometrie

L/d=0,8/0,2 mm

Kraftstoff

n–Heptan

Kraftstoffmenge pro Einspritzung

7 mm3

Kraftstoffmasse pro Einspritzung

4,67 mg

Einspritzdauer

1,5 ms

Durchflußbeiwert der D¨ use

0,647

Einschn¨ urungsfaktor infolge Kavitation

0,8

gesamter Strahlwinkel

25 ◦

Tropfenstartgeschwindigkeit

120 - 210 m/s

Tropfenanfangsdurchmesser

1 - 65 µm, d10 =13 µm, d32 =25 µm

Tropfenanfangstemperatur

313 K

einen Freistrahl aufzul¨osen, der in seinem Ursprung einen Durchmesser von wenigen 100 µm hat. Diese Diskrepanz, verursacht aus Rechenzeitgr¨ unden, wird durch Modellparameter in den Aufbruch– bzw. Kavitationsmodellen teilweise u uckt. ¨berbr¨ Klingsporn [209] hat in seiner Arbeit Berechnungen mit Fluent durchgef¨ uhrt, die er mit Messungen von Reuter [315], Koß [217] und Breuer [45] verglichen hat. In dieser Arbeit werden Eindringtiefen mit obigen Messungen und Verdunstungsraten mit der Simulation von Klingsporn [209] verglichen. Abb. 6.58 vergleicht berechnete Strahleindringtiefen von FIRE und Mistral–3D mit Meßdaten. Die Startphase der Einspritzung (bis etwa 0,1 ms) wird gut wiedergegeben, w¨ahrend der Mittelteil (von 0,1 bis 0,5 ms) eine zu kurze Eindringtiefe aufweist. Der Endteil (von 0,5 bis 1,0 ms) zeigt wegen der Parallelit¨at zwischen den Verl¨aufen von Rechnung und Messung ei¨ ne gute Ubereinstimmung. Als Ursache f¨ ur die Abweichungen im Mittelteil kommen unterschiedliche Rand– und Anfangsbedingungen des Einspritzsystems sowie ein zu grobes Berechnungsgitter in Frage. Die Unterschiede zwischen FIRE und Mistral– 3D sind auf unterschiedliche Gasgeschwindigkeiten und Totalviskosit¨aten zur¨ uck-

222

100 90

Anzahlwahrscheinlichkeit [−]

80 70 60

D10 = 13 um

50

D30 = 19 um

40

D32 = 25 um

30 20 10 0

0

10

20

30 40 50 Tropfendurchmesser [um]

60

70

Abbildung 6.56: Starttropfengr¨oßenverteilung konstant u ¨ber die Einspritzzeit 0.018

225 200 175 axiale Startgeschwindigkeit [m/s]

pro Zeitschritt eingespritzte Masse [mg]

0.015

0.012

0.009

0.006

150 125 100 75 50

0.003 25 0.000 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 1.2 Zeit [ms]

1.4

1.6

1.8

2.0

0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 1.2 Zeit [ms]

1.4

1.6

1.8

2.0

Abbildung 6.57: eingespritzte Kraftstoffmasse und Startgeschwindigkeit am Spritzloch, Diskretisierungsschritt ∆ t=5.E-6 zuf¨ uhren. Abb. 6.59 vergleicht Verdunstungsraten zwischen Fluent [209], FIRE und Mistral–3D, wobei Fluent und Mistral–3D einen h¨oheren Stoff¨ ubergang als FIRE aufweisen. Als Referenz wird die akkumulierte Einspritzmenge dargestellt. FIRE und Mistral–3D verwenden das gleiche Verdunstungsmodell, was hier gut zum Ausdruck kommt, wobei, wie schon erw¨ahnt wurde, FIRE die Gasphase realistischer abbildet. Gemessene Verdunstungsraten von realen Dieselstrahlen sind dem Autor leider nicht zug¨anglich, weil der experimentelle Aufwand enorm groß ist und nur von wenigen

223

40

35

axiale Eindringtiefe [mm]

30

25

20

15

10

Messung Fire Mistral

5

0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 1.2 Zeit [ms]

1.4

1.6

1.8

2.0

Abbildung 6.58: Vergleich der Strahleindringtiefen 5.0 4.5 4.0

Tropfenmasse [mg]

3.5 3.0 gesamte eingespritzte Masse Fire: vorhandene Masse Fluent: vorhandene Masse Mistral: vorhandene Masse

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 1.2 Zeit [ms]

1.4

1.6

1.8

2.0

Abbildung 6.59: Vergleich der Verdunstungsraten Forschungsstellen (z. B. Institut Francais du Petrole) geleistet werden kann. Die Auswertung von integralen Gr¨oßen ist Grundlage f¨ ur eine quantitative Analyse der Simulation. Um einen qualitativen Vergleich zwischen FIRE und Mistral–3D zu bekommen, werden 1 ms nach Start der Einspritzung (SOI) die Str¨omungsfelder in axialen Schnitten durch den Strahl dargestellt. Abb. 6.5 zeigt Temperatur und Geschwindigkeit der Einzeltropfen. Abb. 6.61, Abb. 6.62 und Abb. 6.63 zeigen ver-

224

schiedene Str¨omungsgr¨oßen der Gasphase, die typische Strukturen eines Freistrahls, wie den Staupunkt an der Strahlspitze oder das Unterdruckgebiet im Nachlauf nahe dem Spritzloch, wiederspiegeln.

Abbildung 6.60: Tropfentemperatur (l.), Tropfengeschwindigkeit (r.), 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Millimeter, Berechnung mit FIRE

Abbildung 6.61: stat. Druck (l.), Betrag der mittleren Geschwindigkeit (r.), 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Millimeter, Berechnung mit FIRE

225

Abbildung 6.62: turbulente kinetische Energie (l.), Dissipation (r.), 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Millimeter, Berechnung mit FIRE

Abbildung 6.63: totale Viskosit¨at (l.), mittlere Temperatur (r.), 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Millimeter, Berechnung mit FIRE Die Verteilung der totalen Viskosit¨at erreicht die gr¨oßten Werte in der Grenzschicht zwischen Tropfen– und Gasphase wegen der großen Geschwindigkeitsgradienten. Im Nahbereich der D¨ use bildet sich eine rotationssymmetrische Zone erh¨ohter turbulenter Viskosit¨at, die dem Gebiet der gr¨oßten integralen L¨angen– bzw. Zeitmaßst¨abe

226

entspricht. Mistral–3D zeigt sowohl in der Gas– als auch in der Tropfenphase ein ¨ahnliches Verhalten wie FIRE, wobei sich Unterschiede einerseits durch die unterschiedliche Behandlung der Gasdichte, andererseits durch Unterschiede infolge der Turbulenzproduktionsrate ergeben. Letzteres erkennt man an der geringeren Gr¨oße von k in Abb. 6.65. In Abb. 6.64 sieht man die Gasgeschwindigkeit und das Druckfeld, das wesentlich von der Strahlinteraktion beeinflußt wird. Die maximale Gasgeschwindigkeit von rund 50 m/s liegt deutlich unter dem Wert von FIRE mit knapp 80 m/s, was Unterschiede im Tropfentransport verursacht. Das Druckfeld beider Codes zeigt ¨ große Ubereinstimmung. In Abb. 6.66 werden die Gastemperatur, die etwas u ¨ber den Werten von FIRE liegt, sowie der Kraftstoffmassenbruch von der Dampfphase dargestellt.

0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

0

VF,abs 51.20 49.49 47.78 46.07 44.36 42.65 40.94 39.23 37.52 35.81 34.10 32.39 30.68 28.97 27.26 25.55 23.84 22.13 20.42 18.71 17.00 15.29 13.58 11.87 10.16 8.45 6.74 5.03 3.32 1.61

Z

0 0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

Z

Die Partikelphase wird nach einem Mittelungsprozeß wie ein Kontinuum dargestellt, wobei auch Schwankungsgr¨oßen, wie die w–Geschwindigkeit in Abb. 6.68 angezeigt werden. In Abb. 6.67 erkennt man aus der r¨aumlichen Tropfengr¨oßenverteilung, daß die gr¨oßten Tropfen an der Strahlspitze zu finden sind, was typisch f¨ ur eine vorgegebene Starttropfengr¨oßenverteilung ist. Bei Verwendung eines Aufbruchmodells w¨ urde man keine so ausgepr¨agte Sortierung der Tropfengr¨oßen feststellen k¨onnen.

P 4.5011E+06 4.5008E+06 4.5006E+06 4.5004E+06 4.5001E+06 4.4999E+06 4.4997E+06 4.4994E+06 4.4992E+06 4.4990E+06 4.4987E+06 4.4985E+06 4.4983E+06 4.4981E+06 4.4978E+06 4.4976E+06 4.4974E+06 4.4971E+06 4.4969E+06 4.4967E+06 4.4964E+06 4.4962E+06 4.4960E+06 4.4957E+06 4.4955E+06 4.4953E+06 4.4950E+06 4.4948E+06 4.4946E+06 4.4944E+06

Abbildung 6.64: links mittlere Gasgeschwindigkeit, rechts mittlerer statischer Druck bei 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Meter, Berechnung mit MISTRAL–3D

227

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

0

Z

Pt 1.45E-01 1.40E-01 1.35E-01 1.30E-01 1.25E-01 1.21E-01 1.16E-01 1.11E-01 1.06E-01 1.01E-01 9.65E-02 9.17E-02 8.68E-02 8.20E-02 7.72E-02 7.24E-02 6.76E-02 6.27E-02 5.79E-02 5.31E-02 4.83E-02 4.34E-02 3.86E-02 3.38E-02 2.90E-02 2.41E-02 1.93E-02 1.45E-02 9.68E-03 4.86E-03

0 .0 2

0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

0

Z

N 3.38E+02 3.26E+02 3.15E+02 3.04E+02 2.93E+02 2.81E+02 2.70E+02 2.59E+02 2.48E+02 2.36E+02 2.25E+02 2.14E+02 2.03E+02 1.91E+02 1.80E+02 1.69E+02 1.58E+02 1.46E+02 1.35E+02 1.24E+02 1.13E+02 1.01E+02 9.00E+01 7.88E+01 6.75E+01 5.63E+01 4.50E+01 3.38E+01 2.25E+01 1.13E+01

0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

ScalT 7.67E+02 7.62E+02 7.56E+02 7.50E+02 7.45E+02 7.39E+02 7.33E+02 7.27E+02 7.22E+02 7.16E+02 7.10E+02 7.05E+02 6.99E+02 6.93E+02 6.88E+02 6.82E+02 6.76E+02 6.70E+02 6.65E+02 6.59E+02 6.53E+02 6.48E+02 6.42E+02 6.36E+02 6.31E+02 6.25E+02 6.19E+02 6.13E+02 6.08E+02 6.02E+02

0

Z

0 0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

Z

Abbildung 6.65: links turbulente kinetische Energie, rechts totale Viskosit¨at bei 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Meter, Berechnung mit MISTRAL–3D ScalV 2.97E-01 2.87E-01 2.77E-01 2.67E-01 2.57E-01 2.47E-01 2.38E-01 2.28E-01 2.18E-01 2.08E-01 1.98E-01 1.88E-01 1.78E-01 1.68E-01 1.58E-01 1.48E-01 1.39E-01 1.29E-01 1.19E-01 1.09E-01 9.90E-02 8.91E-02 7.92E-02 6.93E-02 5.94E-02 4.95E-02 3.96E-02 2.97E-02 1.98E-02 9.90E-03

Abbildung 6.66: links mittlere Gastemperatur, rechts Kraftstoffmassenbruch bei 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Meter, Berechnung mit MISTRAL–3D

228

Z

7

0 4

0 .0 0 1

0 .0 1 8

0 .0 2 0 .0 2

0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

Z

0

Mdp 4.56E-05 4.41E-05 4.26E-05 4.11E-05 3.95E-05 3.80E-05 3.65E-05 3.50E-05 3.35E-05 3.19E-05 3.04E-05 2.89E-05 2.74E-05 2.59E-05 2.43E-05 2.28E-05 2.13E-05 1.98E-05 1.82E-05 1.67E-05 1.52E-05 1.37E-05 1.22E-05 1.06E-05 9.12E-06 7.60E-06 6.08E-06 4.56E-06 3.04E-06 1.52E-06

Vp,abs 163.19 157.75 152.31 146.87 141.43 135.99 130.55 125.11 119.67 114.23 108.79 103.35 97.91 92.47 87.03 81.59 76.15 70.71 65.27 59.83 54.40 48.96 43.52 38.08 32.64 27.20 21.76 16.32 10.88 5.44

0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

Tempp 5.13E+02 5.06E+02 4.99E+02 4.92E+02 4.85E+02 4.78E+02 4.71E+02 4.64E+02 4.57E+02 4.50E+02 4.43E+02 4.36E+02 4.29E+02 4.22E+02 4.15E+02 4.08E+02 4.01E+02 3.94E+02 3.87E+02 3.80E+02 3.73E+02 3.66E+02 3.59E+02 3.52E+02 3.45E+02 3.38E+02 3.31E+02 3.24E+02 3.17E+02 3.10E+02

0

Z

0 0 .0 2

8

0 .0 2

1

0 .0 1

4

0 .0 0

7

Z

Abbildung 6.67: links mittlerer Tropfendurchmesser d10 , rechts mittlere Tropfengeschwindigkeit bei 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Meter, Berechnung mit MISTRAL–3D W’p 1.69E+01 1.63E+01 1.58E+01 1.52E+01 1.46E+01 1.41E+01 1.35E+01 1.29E+01 1.24E+01 1.18E+01 1.13E+01 1.07E+01 1.01E+01 9.56E+00 9.00E+00 8.44E+00 7.88E+00 7.31E+00 6.75E+00 6.19E+00 5.63E+00 5.06E+00 4.50E+00 3.94E+00 3.38E+00 2.81E+00 2.25E+00 1.69E+00 1.13E+00 5.63E-01

Abbildung 6.68: links mittlerer Tropfentemperatur, rechts mittlere Tropfenschwankungsgeschwindigkeit in z–Richtung bei 1 ms nach SOI, zur Orientierung vertikaler Maßstab in Meter, Berechnung mit MISTRAL–3D Der maximale Impulseintrag vom Einspritzstrahl in die Gasphase kann nahe der D¨ use angenommen werden. Mit zunehmender Gasphasendichte werden die Tropfen

229

st¨arker abgebremst. Kleine Tropfen geben schneller als große den Eigenimpuls an die Gasphase ab. Am Ende der Einspritzung und im Bereich großer Laufl¨ange des Strahls werden die Tropfen haupts¨achlich von der vorher beschleunigten Gasphase transportiert, w¨ahrend sich stromaufw¨arts die Tropfenphase deutlich schneller als das Gas bewegt. Ohne Phasenwechselwirkung wird die Eindringtiefe k¨ urzer, die Verdunstungsrate wegen der fehlenden K¨ uhlung der Gasphase jedoch deutlich gr¨oßer. Die Simulation wurde mit einem einheitlichen Euler–Zeitschritt von ∆t = 5.10−6 durchgef¨ uhrt. Der Lagrange–L¨oser ben¨otigte durchschnittlich 10 bis 20 Subzeitschritte f¨ ur die Integration der Tropfen u ¨ber einen NS–L¨oser–Zeitschritt. Die Anzahl der Subzeitschritte wird wesentlich von der St¨arke der Phasenwechselwirkung und der Stokes–Zahl bestimmt. Die maximale Anzahl der Rechenpartikel betrug etwa 15 000. Die Berechnung mit Mistral–3D wurde auf dem CLIC unter 8, 16 und 32 Prozessoren durchgef¨ uhrt. Bei gleichbleibender Gesamtzahl eingespritzter Tropfen wurden Effizienzen von 50, 30 und 12 % f¨ ur den Partikell¨oser erreicht. Der Grund f¨ ur den starken Abfall der parallelen Leistung bei 32 Prozessoren liegt in der geringen Gesamtlast, was wiederum zu großen Lastunterschieden zwischen den einzelnen Prozessoren f¨ uhrt. Außerdem mußte f¨ ur diesen Testfall aus technischen Gr¨ unden auf das langsamere Fast–Ethernet Netzwerk ausgewichen werden. Trotzdem erkennt man, daß durch das Verdunstungsmodell mehr Rechenleistung am Einzelknoten notwendig ist, was die Effizienz bis zu einer gewissen Anzahl von Prozessoren, was vom Netzwerk abh¨angig ist, verbessert. Abb. 6.54 zeigt dagegen geringere parallele Effizienzen, die mit der Simulation der Bifurkator–Str¨omung erreicht wurden. Dabei wurde das Partikel–Wand– bzw. das Partikel–Partikelstoßmodell aktiviert, die weniger rechenintensiv sind als das hier verwendete Verdunstungsmodell nach Dukowicz [97]. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß auch Dieselstrahlsimulationen effizient parallelisierbar sind, wobei modellbedingte zus¨atzliche Austauschoperationen explizite Algorithmen bevorzugen. Komplexe Tropfenverdunstungs– oder Tropfenverbrennungsmodelle k¨onnen, was die Rechenzeit betrifft, somit wirtschaftlicher in der ingenieurm¨aßigen Applikation verwendet werden.

230

Kapitel 7 Schlußfolgerungen zur Anwendbarkeit des parallelen instation¨ aren Algorithmus, Zusammenfassung und Ausblick 7.1

Allgemeines

Die Ergebnisse der im Kap. 6 beschriebenen Untersuchungen zeigen die Bedeutung der einzelnen Module eines Str¨omungsl¨osers. F¨ ur das Gesamtergebnis ist einerseits die Genauigkeit der physikalischen Modelle, wie beispielsweise des Turbulenzmodells, wichtig, andererseits muß der Basisalgorithmus (SIMPLE bzw. Trajektoriengleichungen), effizient gel¨ost werden (Multigrid und/oder Parallelisierung). Modelle, L¨oser, Netztopologie (Diskretisierung) und Parallelisierungsstrategie m¨ usssen Mindestanforderungen erf¨ ullen, um ein leistungsf¨ahiges Gesamtpaket zur Simulation neuer Anwendungen zu bilden. Die Entwicklung eines flexiblen instation¨aren L¨osers verlangt eine Organisation des Programmablaufs, der den Anforderungen sowohl des NS– wie des Partikell¨osers gen¨ ugt. So m¨ ussen transiente Str¨omungsrandbedingungen oder eine adaptive Zeitschrittwahl genauso m¨oglich sein, wie ein sich in der Zeit ver¨andernder Partikeleinlaßmassenstrom. Die Implementation einer effizienten I/O–Bibliothek garantiert einen f¨ ur Weiterentwicklungen offenen Programm–Code und eine optimale Ablaufsteuerung. Aus Stabilit¨atsgr¨ unden wurde das implizite r¨ uckw¨artige Euler–Schema 1. und 2. Ordnung implementiert, was sich auch in der Validierung bez¨ uglich Genauigkeit

231

bew¨ahrt hat. Zus¨atzliche Bilanzgleichungen wurden f¨ ur den Transport der Enthalpie und des Kraftstoffmassenbruchs sowie zur Visualisierung mit Hilfe eines passiven Skalars eingef¨ uhrt. Die Parallelisierung ist neben dem Multigrid ein wichtiger Ansatz, um rechenintensive Methoden wie die Mehrphasenstr¨omungssimulation oder die LES u ¨ berhaupt zu untersuchen. F¨ ur die station¨are Berechnung wurden das SDD– und das DDD– Verfahren entwickelt, die je nach den physikalischen Randbedingungen Vorteile aufweisen. Im Fall einer instation¨aren, phasengekoppelten Str¨omung sind jedoch Voraussagen bez¨ uglich der Str¨omungsstruktur, die entweder das SDD– oder das DDD– Verfahren beg¨ unstigen k¨onnten, wesentlich schwerer zu treffen. Das DDD–Verfahren wurde als Grundlage f¨ ur die Parallelisierung des instation¨aren Partikell¨osers verwendet, weil einerseits, eine instation¨are Str¨omung schwer abzusch¨atzen ist und andererseits eine gleichm¨aßige Lastverteilung unter allen Umst¨anden nur mit dem DDD– Verfahren garantiert werden kann. Der damit verbundenene erh¨ohte Datenaustausch muß durch eine intelligente Daten– und Programmstruktur minimiert werden, um den Vorteil einer erh¨ohten Effizienz nicht durch eine l¨angere Gesamtrechenzeit zu verlieren. Die Einbindung der Teilmodelle in den instation¨aren Parallelisierungsalgorithmus erfordert je nach physikalischen Submodell einen unterschiedlichen Aufwand, wobei identische Ergebnisse sowohl f¨ ur die paralle als auch f¨ ur die serielle Simulation anzustreben sind.

7.2

Instation¨ arer Str¨ omungsl¨ oser

Die F¨ahigkeit eines Str¨omungsl¨osers, instation¨are Vorg¨ange zu berechnen, erm¨oglicht ¨ die Simulation von Anwendungen, die sich durch transiente Anderungen der physikalischen Randbedingungen, der Str¨omungsstruktur oder der Geometrie auszeichnen. Weiter l¨aßt sich damit beispielsweise eine Gas–Feststoff–Str¨omung mit starker Phasenkopplung berechnen, wobei hier durch die Partikelphase eine zeitlich variierende Randbedingung auf die Gasphase wirkt. Die Turbulenzmodellierung mit Hilfe der LES verlangt ebenfalls eine instation¨are Berechnung. Die angef¨ uhrten M¨oglichkeiten bez¨ uglich einer transienten Simulation ergaben folgende Entwicklungsanforderungen an den bestehenden Station¨ar–L¨oser: 1. Erstellen einer offen Programmstruktur zur flexiblen Steuerung des NS– und des Partikell¨osers, 2. Schaffen einer I/O–Bibliothek, die Prozeduren zum Lesen und Schreiben von zeitabh¨angigen Files enth¨alt und eine flexible Programmsteuerung erm¨oglicht,

232

3. Diskretisierung und Implementation des ∂φ –Terms f¨ ur ein implizites Schema ∂t 1. und 2. Ordnung f¨ ur alle Transportgleichungen des NS–L¨osers, 4. Weiterentwicklung des Partikell¨osers f¨ ur den instation¨aren Fall, 5. Ableitung und Implementierung der Terme f¨ ur eine semiimplizite Phasenkopplung, 6. Implementierung zus¨atzlicher skalarer Transportgleichungen f¨ ur die Enthalpie, den Kraftstoffmassenbruch und einen passiven Skalar zur Visualisierung, 7. Implementierung eines Einkomponentenverdunstungsmodells f¨ ur die Partikelphase. W¨ahrend Punkt 3 sofort mit einem Instation¨ar–L¨oser in Verbindung gebracht wird, stellen die Punkte 1 und 2 die verborgenen Grundlagen f¨ ur die praktische Verwendbarkeit eines Str¨omungsl¨osers dar. In Kap. 6 wurden mehrere Beispiele angef¨ uhrt, die in ihrer Verschiedenheit die Bandbreite des in dieser Arbeit entwickelten L¨osers verdeutlichen. Punkt 3 betrifft den in jeder Erhaltungsgleichung vorkommenden Instation¨arterm. Es wurde hier aus Stabilit¨atsgr¨ unden (gr¨oßere Zeitschritte, Phasenkopplung) das r¨ uckw¨artige Euler–Schema 1. und 2. Ordnung verwendet, w¨ahrend bekanntermaßen das Crank–Nicolson–Verfahren genauer, aber nicht so robust ist. Punkt 4 und 6 sind notwendige Implementierungsarbeiten, um die Energiegleichung und den Partikell¨oser innerhalb des instation¨aren Algorithmus verwendbar zu machen, wobei die Kollisionsmodelle an die transienten Bedingungen angepaßt wurden. Punkt 5 bezieht sich auf die Kopplungsterme, die unterschiedlich behandelt werden k¨onnen. In dieser Arbeit wurden zwei Methoden vorgeschlagen (explizit, semiimplizit), die je nach Anwendung zu favorisieren sind. Punkt 7 behandelt die Implementierung eines Verdunstungsmodells, um damit Aufschluß u ¨ ber die Qualit¨at der Parallelisierung im Fall von Kraftstoffeinspritzsimulationen zu erhalten. Die Weiterentwicklung von MISTRAL–3D in Richtung eines instation¨aren L¨osers wurde durch eine entsprechende Validierung abgesichert, siehe Kap. 6. Dabei wurde die zu erwartende Genauigkeit der L¨osung erreicht. Ebenso wurde die Partikelphase simuliert, wobei die Phasenkopplung qualitativ u ¨ber den Vergleich mit einem kommerziellen L¨oser bei dem Testfall Tropfenstr¨omung in einer Druckkammer u ¨ berpr¨ uft wurde. Somit wurde ein Algorithmus entwickelt, der instation¨are Gas–Fest– Stoffstr¨omungen unter Einbeziehung aller relevanten physikalischer Prozesse darstellen kann. Die verwendeten Modelle und Ans¨atze entsprechen ingenieurm¨aßigen Anforderungen. Die St¨arke dieser Entwicklung besteht in der Vollst¨andigkeit der notwendigen Algorithmen und Modelle, die bis auf die Gittertopologie (Multi–Block– L¨oser mit ijk–Adressierung) auf einem aktuellen Stand der numerischen Str¨omungsmechanik sind. Die Anbindung an kommerzielle Pre– und Postprozessoren erm¨oglicht

233

zusammen mit dem geometrischen Multigrid und der Parallelisierung die Berechnung von realen Geometrien in der Gr¨oßenordnung von vier Millionen Kontrollvolumina und einer Million Partikeln auf dem CLIC.

7.3

Parallele station¨ are/instation¨ are Partikelverfolgung

Die Berechnungsmethode der simultanen Partikelverfolgung ist der allgemeinste Ansatz eines Partikell¨osers, der f¨ ur ein beispielsweise vom NS–L¨oser vorgegebenes Zeitintervall ∆ t die Trajektorie jedes Partikels berechnet. Vorausgesetzt wird dabei ein f¨ ur diesen Zeitschritt eingefrorenes Str¨omungsfeld der Gasphase. Instation¨are Einfl¨ usse, wie zeitlich ver¨anderliche Randbedingungen oder Phasenwechselwirkungen, werden u ucksichtigt. F¨ ur den theoretischen Grenzfall ¨ber das Zeitschrittverfahren ber¨ ∆ t → ∞ wird in der Gasphase ein station¨arer Zustand simuliert, der m¨oglicherweise sogar der makroskopischen Wirbelstruktur widerspricht (wanderndes Drallzentrum in einer Zyklonstr¨omung) und nur eine Mittelung der realen Str¨omung darstellt. Die Partikelphase wird von den Anfangsbedingungen und der kontinuierlichen Phase bestimmt. Bei starker Phasenwechselwirkung (Impuls, Energie) wird die disperse Phase die bestimmende Randbedingung f¨ ur die Gasphase, was je nach Aufgabenstellung sowohl station¨ar als auch instation¨ar simuliert werden kann. Es ist jedoch a priori nicht immer vorhersehbar ob die Mehrphasenstr¨omung station¨ar berechenbar ist oder ob eine instation¨are Simulation der Aufgabenstellung besser entspricht. Der neue parallele Algorithmus basiert auf dem DDD–Verfahren, das eine dynamische Lastverteilung erm¨oglicht. Allerdings m¨ ussen die Partikeldatenstruktur vom Host–Prozeß an den Rechenknoten und die Felddaten von den Service–Knoten ebenfalls an die Rechenknoten transferiert werden. Der Austausch der Partikeldatenstruktur ist ein serieller Vorgang, der speziell bei kleinen Zeitschritten eine Einschr¨ankung der Effizienz bewirkt. Trotzdem k¨onnen auch schon mit diesem Algorithmus eine Gr¨oßenordnung mehr Partikel als auf einer seriellen Maschine berechnet werden. Diese Leistung ist umso bemerkenswerter, da die verwendete Rechnerarchitektur nur u ugte (Fast–Ethernet). Die ¨ber ein relativ langsames Netzwerk verf¨ aktuelle Entwicklung der Kommunikationsneztwerke wird durch das große Interesse an Clusterrechnern stark gef¨ordert, wobei jedoch die Prozessorentwicklung schneller voranschreitet. Somit erh¨oht die st¨andig verbesserte Hardware die Leistungsf¨ahigkeit des instation¨aren DDD–Algorithmus. Die dynamische Verteilung der Partikel erreicht unabh¨angig von der Str¨omungsstruktur und dem Netzwerk eine sehr gleichm¨aßige Lastverteilung. Außerdem ist dieses Verfahren sehr gut f¨ ur unstrukturierte Gitter bzw. lokale Gitterverfeinerung

234

geeignet. Die Kopplung der Partikel an die Gebietszerlegung, wie es das SDD– Verfahren vorsieht, bedeutet bei einer stark inhomogenen Partikelverteilung eine schlechte Lastverteilung. Dieser Nachteil wird durch einen reduzierten Kommunikationsaufwand etwas gemildert. F¨ ur unstrukturierte Netze m¨ ußte jedoch der Partikell¨oser stark mit dem NS–L¨oser verkoppelt werden, was theoretisch sogar ein Vorteil ¨ ist. In der Entwicklung bzw. bei der Ubertragung auf andere Str¨omungsl¨oser ist jedoch ein einheitlicher Partikell¨oser mit definierten Schnittstellen zum Str¨omungsl¨oser der bessere Weg. Bei starker Phasenkopplung oder kollisonsbehafteten Str¨omungen erh¨oht sich der Kommunikationsaufwand um den Austausch zus¨atzlicher Quellterm– und gemittelter Partikelgr¨oßenfelder. Doch auch in diesem Fall funktioniert die dynamische Lastverteilung recht gut, solange die Netzwerkgeschwindigkeit, die Partikel– und die Prozessoranzahl in einem ad¨aquaten Verh¨altnis stehen. Da heute die Speichergr¨oße der Rechenknoten keine besondere Einschr¨ankung mehr ist, kann ein recht großer Teil des Rechengitters einschließlich aller Str¨omungsgr¨oßen lokal gespeichert werden, was wiederum die Kommunikation reduziert. F¨ ur den instation¨aren Partikell¨oser werden bei N Partitionen des Berechnungsgitters insgesamt 2N + 1 Prozesse ben¨otigt, was oft zu einer Belegung von zumindest zwei Prozessen pro physischem Prozessor f¨ uhrt. Dies bedeutet bei Verwendung von Unix–Betriebssystemen keinerlei Einschr¨ankung, weil die erforderliche Rechenleistung und der Speicherbedarf dieser Prozesse komplement¨ar sind. Typ und Anzahl der Prozesse ergeben sich aus dem Master–Slave–Konzept des Algorithmus, der mit Hilfe einer speziellen Hierachie der Prozesse wiederum die dynamische Lastverteilung erm¨oglicht. Eine Reduzierung der Anzahl der Prozesse durch Zusammenfassen von Rechen– bzw. Service–Knoten mit Hilfe von OpenMP–Threads ist m¨oglich, doch erh¨oht dies die Komplexit¨at des Programms durch die Verwendung einer zus¨atzlichen Klasse von Prozessen.

7.4

Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurde ein L¨oser f¨ ur instation¨are Gas–Partikel/Tropfen–Str¨omungen entwickelt, dessen Algorithmen vollst¨andig parallelisiert und damit effizient auf Clusterarchitekturen lauff¨ahig sind. Damit ist die ELM f¨ ur eine F¨ ulle von Anwendungen nutzbar, ohne daß Einschr¨ankungen infolge des hohen Rechenressourcenbedarfs in Kauf genommen werden m¨ ussen. Die ELM ist f¨ ur technische Gitternetze nur sehr bedingt vektorisierbar und seriell momentan bis etwa 200 000 Partikel nutzbar. Um die Brauchbarkeit der neuen Algorithmen zu validieren, wurden relevante Teilmodelle f¨ ur Kollision und Verdunstung implementiert. Der Str¨omungsl¨oser MISTRAL–3D ist somit in der Lage, reale technische Aufgabenstellungen einschließlich der wesent-

235

lichen physikalischen Prozesse (Turbulenz, Kollision, Verdunstung) vollst¨andig zu beschreiben. Die numerische Berechnung der Gasphase erfolgte mittels Erhaltungsgleichungen, die nach der Finite–Volumen–Methode diskretisiert wurden. Es werden konturangepaßte, nichtorthogonale, blockstrukturierte numerische Gitternetze verwendet. Zur L¨osung der resultierenden linearen Gleichungssysteme f¨ ur die einzelnen Variablen wurde ein CG–Verfahren, f¨ ur die Druckgleichung ein geometrisches Multigrid verwendet. Die L¨osung des Gesamtsystems unter Ber¨ ucksichtigung der Druck–Geschwindigkeits–Kopplung erfolgte mit Hilfe eines SIMPLE–Verfahrens f¨ ur inkompressible Str¨omungen. Die Ortsdiskretisierung wurde mit einem Hybridverfahren durchgef¨ uhrt, das mittels Blendingfaktoren zwischen Upwind– und Zentraldifferenzen variiert. F¨ ur die Zeitdiskretisierung wurde ein r¨ uckw¨artiges Eulerverfahren 1. und 2. Ordnung implementiert, was variable Zeitschrittweiten erlaubt. Eine adaptive Zeitschrittweitensteuerung erm¨oglicht eine verbesserte Aufl¨osung von lokalen Kollisionsprozessen. Zur Bestimmung der Partikelbewegung wurde in dieser Arbeit die ELM verwendet, was die Berechnung von Trajektorien jedes einzelnen Partikels erfordert. Bei den hier betrachteten Gas–Partikel/Tropfen–Str¨omungen waren die wesentlichen auf ein Einzelpartikel einwirkenden Kr¨afte die aerodynamische Widerstandskraft, die Magnus– Kraft, die Saffman–Kraft und die Gravitationskraft. Die gemittelten Gr¨oßen der Partikelphase wurden mit der Methode der simultanen Partikelverfolgung berechnet. Zur Ber¨ ucksichtigung der Partikel–Partikel–Kollisionen wurde das Verfahren nach Oesterl´e und Petitjean [279] mit dem Ansatz nach Sommerfeld [360] verglichen. Das Einkomponentenverdunstungsmodell nach Dukowicz [97] wurde zur Simulation von Tropfenstr¨omungen mit Stoff– und W¨arme¨ ubergang implementiert. Die parallele Berechnung der Gasphase erfolgte auf der Basis der bekannten der Gebietszerlegungsmethode. Dabei wurde das numerische Gitternetz in eine bestimmte Anzahl m¨oglichst gleichgroßer Partitionen aufgeteilt, die der Gitterblockstruktur entsprechen. Die Str¨omung in jedem dieser Teilgebiete wurde von einem separaten Prozessor des Parallelrechners berechnet. F¨ ur die parallele Simulation der instation¨aren kollisionsbehafteten Partikelbewegung auf der Basis der Trajektorienberechnung wurde der bereits existierende DDD– Algorithmus unter Einbeziehung der Kollisionen und der Phasenwechselwirkung weiterentwickelt. Der DDD–Algorithmus erlaubt eine dynamische Zuordnung von Gitterpartitionen zu Prozessen, was auch bei stark unterschiedlicher Partikelverteilung im Str¨omungsgebiet zu einer gleichm¨aßigen Lastverteilung auf dem Parallelrechner f¨ uhrt. Dies ist eine Grundvoraussetzung f¨ ur eine hohe Effizienz und daher unbedingt anzustreben. Der Nachteil des DDD–Verfahrens ist die Generierung von relativ vielen Austauschoperationen, die die Kommunikationszeit allein schon durch

236

die Latenzzeit erh¨ohen. Aus diesem Grund sollte eine Rechnerarchitektur mit einem schnellen Netzwerk bevorzugt werden, was aktuell eine Bandbreite von > 500 Mbit/s bedeutet. Es gelang, einen Algorithmus zu entwerfen, der zwar aus Effizienzgr¨ unden gepufferte Nachrichten versendet, trotzdem jedoch robust genug ist, um mehrere Wochen ununterbrochen auf dem CLIC zu funktionieren. Um die Qualit¨at des Gesamtalgorithmus richtig bewerten zu k¨onnen, wurden Modelle bzw. numerische Ans¨atze separat validiert. Schwerpunktsm¨aßig wurden die Modellierung der Turbulenz, der Kollision und Verdunstung und die Zeitdiskretisierung untersucht. Damit konnte erstmals Klarheit u ¨ber das Potential des L¨osers bei der Berechnung von Druckabfall, Geschwindigkeits– und Spannungsprofilen gewonnen werden. Die Vergleiche wurden zwischen aktuell implementierten Ans¨atzen und Meßdaten oder, wenn keine Meßdaten vorhanden waren, zwischen verschiedenen Str¨omungsl¨osern durchgef¨ uhrt. Die Untersuchungen der implementierten Turbulenzmodelle wurde an drei Testf¨allen unterschiedlicher Komplexit¨at vollzogen, wobei dieser aus Kapazit¨atsgr¨ unden ein¨ geschr¨ankte Beispielumfang die Allgemeing¨ ultigkeit der Ergebnisse begrenzt. Ahnliches gilt f¨ ur die Kollision und Verdunstung, w¨ahrend die Zeitdiskretisierung als numerischer Ansatz eine breitere Aussagekraft aufweist. Eine umfassende Validierung bleibt kommerziellen Softwarefirmen oder großen Forschungsgruppen vorbehalten. Die Turbulenzmodellierung mit dem Standard–k-ε–Modell und der Wandbehandlung mit dem logarithmischen Wandgesetz liefert die f¨ ur die berechneten Geometrien typischen Wirbelstrukturen, wobei die Dissipationsproduktion an der Wand etwas ¨ geringer als erwartet ausf¨allt. Lokal zeigt sich eine starke Ahnlichkeit mit der RSM– L¨osung eines kommerziellen NS–L¨osers, was auch die recht guten Ergebnisse der Partikelabscheidung, die ja ein sehr lokaler Prozeß ist, erkl¨art, [136]. Der Modellvergleich einer Zyklonberechnung zeigte jedoch, daß f¨ ur eine realistische Beschreibung das Standard–k-ε–Modell schlecht geeignet ist und ein LES– oder RSM–Ansatz sinnvoll erscheint. Die Kollisionsvalidierung anhand eines Experiments von Fohanno [126] lieferte ei¨ ne Ubereinstimmung im Rahmen einer technischen Anwendung. Außerdem konnten die Ergebnisse zweier Modellans¨atze den Meßdaten gegen¨ ubergestellt werden. Weitere Untersuchungen mit kleineren Partikeldurchmessern und verschiedenen Gasgeschwindigkeiten w¨aren wichtig, um die G¨ ultigkeit der Kollisionsmodelle genauer abzugrenzen. Die Partikelphase einer Bifurkatorstr¨omung wurde mittels Licht¨ schnitt verglichen, wobei eine gute Ubereinstimmung festgestellt wurde. Dasselbe gilt f¨ ur den Vergleich der berechneten und gemessenen Geschwindigkeitsprofile an ausgew¨ahlten Positionen. Eine instation¨are Bifurkatorstr¨omung mit hoher Beladung lieferte stark unterschiedliche Partikelmassenstr¨ome, was im realen Kraftwerksbetrieb ebenfalls festgestellt wurde. Die Wirbelstruktur und die Partikelverteilung hat sich infolge Clusterbil-

237

dung massiv gegen¨ uber dem Fall sehr geringe Beladung ver¨andert. Auch dieser Fall sollte durch weitere Validierungen zuk¨ unftig abgesichert werden. Die Zeitdiskretisierung wurde mittels zweier Zylinderumstr¨omungen (2D und 3D) unter laminaren Bedingungen (Re = 100) validiert. Es wurden sowohl die Meßwerte, als auch Kenngr¨oßen (Widerstands- und Auftriebskoeffizienten) aus Vergleichsrechnungen des DFG–Benchmarks recht gut wiedergegeben. Weiter wurde die Bedeutung einer Diskretisierung 2. Ordnung f¨ ur den Ort und die Zeit anhand von zeitabh¨angigen Kenngr¨oßen dargestellt. Das Experiment einer Dieselstrahleinspritzung in einer Druckkammer wurde als Basis zur Validierung des implementierten Verdunstungsmodells genommen. Dabei konnte die Eindringtiefe der fl¨ ussigen Phase und der Stoff¨ ubergang mit Messwerten ¨ bzw. mit Berechnungsdaten von kommerziellen L¨osern verglichen werden. Die Ubereinstimmung mit Meßdaten ist ausreichend, wobei eine detailliertere Aufbruchsmodellierung des Strahls die Ergebnisse verbessern k¨onnte. Der Vergleich mit anderen L¨osern f¨allt sowohl f¨ ur Gas– als auch f¨ ur die Tropfenphase recht gut aus. Die Bifurkatorstr¨omung war Grundlage f¨ ur die Untersuchung des parallelen instation¨aren Partikell¨osers hinsichtlich Effizienz und Rechenzeit. Die Tropfenstr¨omung zeigte deutlich den großen Einfluß der lokalen Last infolge aufwendigere Submodelle auf die parallele Effizienz. Die parallele Leistungsf¨ahigkeit ist bei kleinen Zeitschritten des NS–L¨osers ausreichend, wobei zuk¨ unftiges Verbesserungspotential schon erkannt wurde. Bei großen Zeitschritten werden Effizienzen vergleichbar mit dem Station¨ar–L¨oser erreicht. Bei starker Phasenkopplung ist der instation¨are L¨oser ein gutes Simulationswerkzeug, um realistisch die Zweiphasenstr¨omung abzubilden. Eine sehr große Anzahl von Rechenpartikeln oder detaillierte Verdunstungsmodelle k¨onnen nun mit dem instation¨aren DDD–Verfahren effizient gel¨ost werden. Zusammenfassend kann gesagt werden, daß zuk¨ unftig die Modellvalidierung ausgebaut werden sollte. Die mit dem Partikell¨oser gekoppelte LES stellt dabei einen sehr leistungsf¨ahigen Str¨omungsl¨oser dar, der mit h¨oherer Genauigkeit unterschiedlichste Gas–Partikel/Tropfen–Str¨omungen simulieren kann. Dazu geh¨ort auch eine Verbesserung des instation¨aren DDD–Algorithmus, der momentan relativ viele Nachrichten versendet, die zusammengefaßt werden k¨onnten. Der vorliegende L¨oser MISTRAL– 3D zeichnet sich durch seine durchg¨angige Parallelisierung (dynamische Partikellastverteilung) der ELM aus, was in dieser Form f¨ ur instation¨are NS–L¨oser noch nicht publiziert wurde. Die Anbindung an kommerzielle Pre– und Postprozessoren erm¨oglicht eine Berechnung von technischen Geometrien, was die praktische Anwendbarkeit des Gesamtalgorithmus bewertbar macht. Die Qualit¨at der L¨osungen entspricht technischen Anforderungen, wobei infolge des neuen Algorithmus erstmals stark phasengekoppelte Gas–Feststoff–Str¨omungen mit Wandwechselwirkung berechenbar werden.

238

Anhang A Numerische L¨ osung der Erhaltungsgleichungen A.1

Druckkorrektur–Algorithmus, Anwendung der SIMPLE–Familie

Die Druckkorrektur–Algorithmen sind f¨ ur kompressible/inkompressible Str¨omungen ¨ beliebiger Machzahl geeignet, obwohl sich im Uberschallbereich andere Verfahren durchgesetzt haben. F¨ ur den inkompressiblen Fall ist der Absolutwert des Drucks bedeutungslos (es gibt daf¨ ur keine eigene Zustandsgleichung, Relativdr¨ ucke sind von Interesse). Die Druckgleichung dient als Zwangsbedingung zur Einhaltung der Kontinuit¨at (elliptischer Zustand). Im kompressiblen Fall werden die Str¨omungsgleichungen hyperbolisch und der Druck erh¨alt eine thermodynamische Bedeutung. F¨ ur das Verst¨andnis der Druckkopplung sind nur die Impuls– und die Kontinuit¨atsgleichung notwendig, die hintereinander gel¨ost werden. Es gibt jedoch auch Verfahren, die alle vier Gleichungen (Impuls und Druck) in einer Matrix l¨osen, um die Stabilit¨at des Verfahrens zu erh¨ohen. Mittels eines iterativen Verfahrens sollen beide Gleichungen erf¨ ullt werden, wobei der Druck nur u ¨ber eine Korrekturgleichung zur Erhaltung der Masse berechnet wird. Man geht von einer stetigen Anfangsverteilung bzw. von der L¨osung der vorangegangengen Impulsgleichung von un+1,∗ , v n+1,∗, w n+1,∗ und pn,∗ , ρn,∗ auf dem Iterationsniveau n bzw. n + 1 aus, das nach Ende der Berechnung in das Niveau n + 1 inkrementiert wird, und verlangt aus Stabilit¨atsgr¨ unden ein in der Zeit implizites Verfahren. Es werden die Zwischenwerte (n → n + 1) mit Stern (∗ ) und die Korrekturwerte mit (
) bzw. (

) bezeichnet. Folgende vier Gr¨oßen werden korrigiert: un+1 i

=

un+1,∗ + u
i , i

239



pn+1

pn,∗ + p
, ρn+1 = ρn,∗ +

=

∂ρ ∂p



, p
= ρn,∗ + T

1
p . (A.1) RT

Wenn man die diskretisierte Impulsgleichung, Gl. (A.2), der Stufe n + 1 = APui un+1 iP

6


ui n+1 Anb ui,nb −

3
j=1

nb=1

i βjP ∆pn+1 + Qn+1 jP ui ,P

(A.2)

betrachtet, sieht man, daß der Quellterm Q und die Koeffizienten A von der Geschwindigkeit un+1 (i = 1, 2, 3 ≡ kartesische Richtungen) wesentlich abh¨angig sind i und daher nur eine iterative L¨osung m¨oglich ist. Wenn man die Geschwindigkeit, die noch nicht die Kontinuit¨at erf¨ ullt, mittels der Impulsgleichung berechnet, erh¨alt man

n+1,∗

uiP

=

Qnui ,P −

6  nb=1 ui

ui n+1,∗ Anb ui,nb

AP



−



3 1
β i ∆pn,∗ . APui j=1 jP jP

(A.3)

u ˜n+1,∗ iP

. Nun Man bezeichnet den ersten Term auf der rechten Seite von Gl. (A.3) mit u˜n+1,∗ iP gilt es, mittels ∇(ρv ) = 0 die Massenerhaltung zu gew¨ahrleisten, was durch eine Modifikation des Druckfelds erreicht wird. Die Kontinuit¨atsgleichung lautet 3
δ(ρun+1 ) iP i ≡ βjP ∆(ρun+1 )=0 . jP δxi j=1

(A.4)

Die zu l¨osende Impulsgleichung kann man, siehe auch Gl. (A.3), folgendermaßen aufschreiben un+1 = u˜n+1,∗ − iP iP

3 1
β i ∆pn+1 , APui j=1 jP jP

(A.5)

um sie in Gl. (A.4) einzusetzen, was eine Poissongleichung f¨ ur den Druck ergibt. In allgemeiner differentieller Form lautet die Poissongleichung 

δ ρ δxi APui

⎡

≡



δpn+1 P δxi





= ⎤

3 δ ⎣ ρ
β i ∆pn+1 ⎦ ui δxi AP j=1 jP jP

=

δ(ρ˜ un+1,∗ ) iP δxi

3
i



≡

βjP ∆(ρ˜ un+1,∗ ) . iP

j=1

240

(A.6)

Der mit Gl. (A.6) berechenbare Druck pn+1 wird in Gl. (A.5) eingesetzt und ergibt die P neue Geschwindigkeit un+1 . Die Methode der Druckkorrektur wird nun modifiziert, iP indem man die Poissongleichung nicht f¨ ur den Druck, sondern f¨ ur eine Druckkorrektur p
l¨ost, siehe dazu Gl. (A.1). Dazu wird Gl. (A.3) von Gl. (A.2) abgezogen und man erh¨alt unter Vernachl¨assigung aller Abh¨angigkeiten (die Quellterme werden als konstant angenommen), eine Approximation f¨ ur die Korrekturwerte 6 


uiP = −

nb=1

ui
Anb ui,nb

Aui



 P

u ˜
iP

u ˜
≡0

iP 3 3  1
1
i − ui βjP ∆p
jP ≈ − ui β i ∆p
, AP j=1 AP j=1 jP jP 

(A.7)

wobei u˜
iP dem ersten Term auf der rechten Seite von Gl. (A.7) entspricht. Analog zu Gl. (A.3) gilt 6 


u˜iP = −

nb=1

ui
Anb ui,nb

.

APui

(A.8)

Nun kann die Impulsgleichung als Korrekturgleichung Gl. (A.7) in die Kontinuit¨atsgleichung Gl. (A.4) unter Ber¨ ucksichtigung von Gl. (A.1) eingesetzt werden und ergibt eine Poissongleichung auf der Basis von Korrekturgr¨oßen 

δ ρ δxi APui



δp
P δxi





=

δ(ρun+1,∗ ) iP δxi





+

δ(ρ˜ u
iP ) δxi



.

(A.9)

Die L¨osung von Gl. (A.9) liefert die Druckkorrektur p
P , die wiederum in Gl. (A.7) eingesetzt die Geschwindigkeitskorrektur bestimmt und letztlich mit Gl. (A.1) die ¨ neue Geschwindigkeit un+1 ergibt. Nach der Anderung der Geschwindigkeiten m¨ ussen i auch die Massenfl¨ usse an den Zellfaces korrigiert werden. Der neue Druck pn+1 wird mit Gl. (A.10) errechnet. Diese Vorgehensweise entspricht dem Standard– SIMPLE, wobei ber¨ ucksichtigt werden muß, daß die Gr¨oße u˜
iP in Gl. (A.7) und Gl. (A.9), weil sie zu diesem Zeitpunkt unbekannt sind, Null gesetzt wird. Dies ist auch der Grund f¨ ur die Bezeichnung semi–implizit in der Namensgebung des SIMPLE. Eine Auswirkung dieser Vereinfachung ist die m¨aßige Konvergenzgeschwindigkeit, die eine Druckunterrelaxation verlangt, was einer Modifizierung von Gl. (A.1) entspricht: pn+1 = pn,∗ + αp p
mit αp = 1 − αui .

241

(A.10)

Die Beziehung zwischen Druck– und Geschwindigkeitsunterrelaxationsfaktor, αp und αui , wurde von Raithby und Schneider [309] hergeleitet. SIMPLEC, SIMPLER und PISO ben¨otigen keine Unterrelaxation der Druckkorrektur. Die Druckberechnung ist der mit Abstand rechenintensivste Teil im Rahmen der SIMPLE–Familie. Man kann f¨ ur eine turbulente Rohrstr¨omung bei grober Sch¨atzung f¨ ur die Impulsgleichungen etwa 15% und 85% f¨ ur die Druckgleichung veranschlagen. Dieses Verhalten zeigt sich auch in der Anzahl der Iterationen des linearen Gleichungsl¨osers. Im kompressiblen Fall wird die Druckkorrekturgleichung hyperbolisch und zu einer Transportgleichung f¨ ur die Dichte. Unter Vernachl¨assigung eines Terms 2. Ordnung lautet der Zellfacekorrekturmassenstrom am Ostface m ˙
e = (ρn uˆ
j Se )e + (ρ
uˆn+1,∗ Se ) e . j

(A.11)

Die Druck¨anderung p
bewirkt in diesem Fall eine Geschwindigkeits– und eine Dichte¨anderung. Prinzipiell kann dies in einer Druckkorrekturgleichung formuliert werden. Aufgrund der Nichtlinearit¨at des Systems und zur Erh¨ohung der Stabilit¨at empfiehlt es sich, die Geschwindigkeits– und Dichte¨anderung mittels zweier aufeinanderfolgender Druckkorrekturgleichungen zu bestimmen. Außerdem kann nun u˜
iP (siehe Gl. (A.8)), weil nach der ersten Korrektur schon errechnet, in Gl. (A.7) eingesetzt werden. L¨ osung der Druckkorrekturgleichung Die Gl. (A.9) wird als Bilanzgleichung der Massenfl¨ usse aufgestellt, wobei das Residuum der Massendefekt ist. Es gilt, die Massenfl¨ usse u ¨ber die Kontrollvolumenfaces und die Quellen bzw. Senken ins Gleichgewicht zu bringen. Die Gleichung der Druckkorrektur l¨aßt sich formal wie die anderen Bilanzgleichungen aufstellen und verwendet daher auch dieselben Gleichungsl¨oser: ApP p
iP =

6


Apnb p
nb + Q∗p .

(A.12)

nb=1

Schreibt man die Massenstr¨ome und die Quellen direkt an, erh¨alt man f¨ ur ein Hexaederkontrollvolumen ∆(V ρ)P = (S ρ uˆ1 )w − (S ρ uˆ1 )e + ∆t + (S ρ uˆ2 )n − (S ρ uˆ2 )s + + (S ρ uˆ3 )h − (S ρ uˆ3 )l .

242

(A.13)

Dabei l¨aßt sich der Instation¨arterm, diskretisiert nach Euler–r¨ uckw¨arts 1. Ordnung, mit Hilfe von Gl. (A.1) expandieren, wobei unter “old“ die Gr¨oßen vom vorangegangenen Zeitschritt zu verstehen sind: ∆(V ρ)P 1 = ∆t ∆t



V p
+ V p∗ RT





− (V ρ)old

.

(A.14)

P

Die Massenfl¨ usse in Gl. (A.13) werden f¨ ur die erste Druckkorrektur mit ρ = ρ∗ verwendet, in der zweiten Druckkorrektur wird ρ
ber¨ ucksichtigt. Die Geschwindigkeitskorrektur u
iP , siehe Gl. (A.7), muß f¨ ur die Massenfl¨ usse auf die Oberfl¨achen des Kontrollvolumens interpoliert werden, wozu das Schema von Rhie und Chow [316] zur Kopplung von Druck– und Geschwindigkeitsfeld bei unverschobenen Variablenanordnung verwendet werden kann. F¨ ur das Ostface lautet die Korrekturgeschwindigkeit wie folgt:

u
ie =

− 

 1

 i
β1e (pE − p
P ) + (β2i ∆p
2 + β3i ∆p
3 )e . ui ,e

AP e 

u ,P

(1−λe )/APi

(A.15)



u ,E

+λe /APi

Die Querstriche in Gl. (A.15) bedeuten eine lineare Interpolation zwischen den Nachbarzellen. Die Gradientenberechnung in Hauptrichtung (von E nach P) ist analog zur Normalableitung der Diffusionsterme, w¨ahrend der zweite und dritte Term die Querableitungen enth¨alt. Wenn man Gl. (A.15) in Gl. (A.13) einsetzt, erh¨alt man den Massenfluß an der Ostfl¨ache des Kontrollvolumens: Se ρe uˆ1,e = Se ρe (ˆ u∗1 + uˆ
1 )e = 1 = Se ρe [ˆ u∗1,e + (B11 ∆p
1 + B21 ∆p
2 + B31 ∆p
3 )e β1,e + 2 + + (B12 ∆p
1 + B22 ∆p
2 + B32 ∆p
3 )e β1,e 3 + (B13 ∆p
1 + B23 ∆p
2 + B33 ∆p
3 )e β1,e ]

mit der Abk¨ urzung Bji = −

i

βj . APui

(A.16)

Die Dichte ρe wird durch lineare Interpolation zwischen Polzelle und Ostnachbar approximiert. Der Polkoeffizient errechnet sich aus der Summe der Nachbarkoeffizienten plus der impliziten Quelle aus der Druckkorrektur ApP =

6
nb=1



Apnb +

V 1 ∆t RT



.

(A.17)

P

243

Der Nachbarkoeffizient E, der in Gl. (A.17) eingeht, bestimmt sich aus dem Massenstrom an der Zellfl¨ache, die dem jeweiligen Nachbarn zugeordnet ist. F¨ ur den Ostnachbarn gilt, siehe auch Gl. (A.15): u†ie∗ = − 



S u ,e APi 

u ,P

(1−λe )/APi



, e

Apnb,E = u∗ie (S ρ∗ )e .

(A.18)

 u ,E

+λe /APi

Die Pseudogeschwindigkeit u†ie∗ in Gl. (A.18) bedarf noch der Multiplikation mit dem Korrekturdruck p
e , siehe Gl. (A.12), und mit (S ρ∗ )e , um den korrekten Massendefekt zu errechnen. Der Quellterm Q∗P in Gl. (A.19) beinhaltet die Summe der Massenstr¨ome und des Instation¨arterms: Q∗P = ∆m ˙ ∗ = (S ρ∗ uˆ∗1 )w − (S ρ∗ uˆ∗1 )e + + (S ρ∗ uˆ∗2 )n − (S ρ∗ uˆ∗ 2 )s + + (S ρ∗ uˆ∗3 )h − (S ρ∗ uˆ∗3 )l +

(V ρ∗ )P (V ρ)old P − . ∆t ∆t

(A.19)

Mit den Gleichungen (A.17), (A.18), (A.19) kann man Gl. (A.12) assemblieren sowie anschließend p
berechnen. Mit Gl. (A.15) wird die Geschwindigkeits– und Massenflußkorrektur durchgef¨ uhrt. Bei kompressiblen Str¨omungen wird ein Dichte–Update mittels der Zustandsgleichung durchlaufen und die Druckkorrektur erneut berechnet. Nun wird auch ρ∗ durch ρ∗ + ρ
in Gl. (A.19) ersetzt. Nachfolgend werden Massenstrom, Geschwindigkeiten und der Druck korrigiert. Oliveira [281] beschreibt mit seiner Studie u ¨ber PISO–Varianten anhand einer Auftriebsstr¨omung den Einfluß einer zweiten Korrekturgr¨oße (Temperatur) neben der Geschwindigkeit. Es zeigt sich, daß im Fall der Korrektur von zwei Gr¨oßen (Geschwindigkeit und Dichte bzw. Temperatur) der Standard–SIMPLE mit einer Druckkorrektur nicht besonders effizient ist bzw. sogar divergieren kann. SIMPLER nach Patankar [293] Die Druckkorrekturgleichung Gl. (A.9) wird, einschließlich der Vernachl¨assigung des zweiten Terms auf der rechten Seite, wie im SIMPLE gel¨ost. p
P wird nur zur Geschwindigkeitskorrektur zur Einhaltung der Kontinuit¨at und zur Berechnung von un+1 verwendet. Der neue Druck wird mit der Druckgleichung Gl. (A.6) bestimmt, i wobei statt u˜n+1,∗ u˜n+1 verwendet wird. Diese Modifikation kann durchgef¨ uhrt weriP iP den, weil un+1 bereits berechnet wurde. Die Druckberechnung mittels einer KorrekiP tur, siehe Gl. (A.10), wird zu Gunsten der L¨osung der Druckgleichung (A.6) vorgezogen, um eine Beschleunigung der Konvergenz zu erhalten und um schneller an das

244

richtige Druckfeld zu kommen. Die Druckkorrekturgleichung liefert zwar schnell das richtige Geschwindigkeitsfeld, ist jedoch langsam in der Generierung des Druckfelds pn+1 . Betrachtet man den Aufwand, so steht die h¨ohere Konvergenzgeschwindigkeit P der L¨osung von zwei Korrekturgleichungen gegen¨ uber. SIMPLEC nach Van Doormal und Raithby [406] Eine Verbesserung der Behandlung der Druckkorrekturgleichung (A.9) ist es, die Gr¨oße u˜
iP nicht Null zu setzen, sondern u ¨ber eine Mittelung der Nachbarwerte die Geschwindigkeitskorrektur u
iP zu approximieren, was zu einer Modifikation von Gl. (A.7) f¨ uhrt: u
iP = −

3


1 APui +

6  nb=1

ui Anb

i βjP ∆p
jP .

(A.20)

j=1

Wenn man Gl. (A.20) in die Druckkorrekturgleichung (A.6) einsetzt, wird der Polkoeffizient APui durch den Ausdruck APui +

6 

nb=1

ui Anb ersetzt und der zweite Term auf

der rechten Seite entf¨allt wie beim Standard–SIMPLE. PISO nach Issa [184] Die Druckkorrekturgleichung (A.9) wird einschließlich der Vernachl¨assigung des zweiten Terms auf der rechten Seite wie im SIMPLE als erster Korrekturschritt gel¨ost. Zus¨atzlich wird eine zweite Korrekturstufe, siehe Gl. (A.7), durchgef¨ uhrt, wobei u

iP folgendermaßen definiert ist: u

iP = u˜
iP −

3 1
β i ∆p

. ui AP j=1 jP jP

(A.21)

u
iP wird mit Gl. (A.7) berechnet, wobei u˜
iP vernachl¨assigt wird. u˜
iP wird mit Gl. (A.8) berechnet. Analog zu Gl. (A.6) wird eine zweite Druckkorrekturgleichung ausgef¨ uhrt: 

δ ρ δxi APui



δp

P δxi





=

δ(ρ˜ u
iP ) δxi



.

(A.22)

Beim PISO wird zus¨atzlich zu Impuls– und Kontinuit¨atsgleichung auch die Energiegleichung wegen der Druckkopplung mit einbezogen.

245

Zusammenfassend kann gesagt werden, daß SIMPLE, PISO und SIMPLEC in dieser Reihenfolge die am h¨aufigsten verwendeten Druckkorrekturalgorithmen sind. SIMPLE ist sehr robust, aber vielleicht nicht immer am effizientesten, w¨ahrend der PISO bei instation¨aren Simulationen mit entsprechender Unterrelaxation die beste Wahl sein kann.

246

Anhang B Herleitung des Zwei–Fluid Modells Die EEM ist eine Verallgemeinerung der einphasigen Str¨omungsmodellierung und ein wichtiger Schritt zu einer konsistenten Formulierung der ELM. Die Gasphase ¨ ist identisch mit der EEM, w¨ahrend die Wechselwirkungsterme große Ahnlichkeiten aufweisen. Die folgenden Ausf¨ uhrungen beziehen sich auf die Anwendung des SIMPLE–Algorithmus zur L¨osung der Geschwindigkeits– und Druckfelder im Rahmen der FVM–Diskretisierung. Die Gleichungen werden immer in kartesischen Koordinaten dargestellt und auch so gel¨ost. Der Schwerpunkt der Betrachtungen liegt auf der Ableitung der Wechselwirkungsterme und der Volumenfraktion. Die dazu notwendigen Hilfsmittel sind die ad¨aquaten Mittelungsans¨atze und die konstitutiven Gleichungen. Aus Stabilit¨atsgr¨ unden wird ein implizites Verfahren verwendet. Stuart und Wendroff [371] weisen auf die in den NS–Gleichungen inh¨arent vorhandene Instabilit¨at hin. Eine allgemeine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung f¨ ur ein 2D–Transportproblem lautet (die Beweisf¨ uhrung f¨ ur 3D ist nicht trivial laut Bronstein [48]): A·

∂2φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ + C · 2 +D· + E· + F · φ + G = 0, (B.1) + B· 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y

¨ Wegen der Ahnlichkeit der PDG (B.1) mit der Gleichung f¨ ur Kegelschnitte ergibt sich folgende Klassifizierung, wobei die Koeffizienten A, B · · · E Funktionen von x, y, φ, φx, φy sein k¨onnen und nur Ableitungen 2. Ordnung ber¨ ucksichtigt werden: • parabolisch f¨ ur B 2 − 4AC = 0, ν < n reelle Eigenwerte, • hyperbolisch f¨ ur B 2 − 4AC > 0, n reelle Eigenwerte. • elliptisch f¨ ur B 2 − 4AC < 0, 1 ≤ ν ≤ n komplexe Eigenwerte.

247

Analog zu Gl. (2.1.2), k¨onnen die Str¨omungsgleichungen (Eulergleichung mit Kontinuit¨at, Impuls, Energie) (B.2), (B.3) in ein Gleichungssystem gebracht werden, indem die Koeffizienten A, B, C einer Jakobi–Matrix vom Rang n mit ν Eigenwerten entsprechen: ⎛

 = U

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

ρ ρu ρv ρw ρet

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟,F  ⎟ x ⎟ ⎠

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

A=

=

ρu ρu2 + p ρuv ρuw ρu(et + p)

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟,F  ⎟ y ⎟ ⎠

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

∂ Fx ∂ Fy ∂ Fz , B= , C=    ∂U ∂U ∂U

=

ρv ρvu ρv 2 + p ρvw ρv(et + p)

⎞

⎛

⎟ ⎟ ⎟ ⎟,F  ⎟ z ⎟ ⎠

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

=

ρw ρwu ρwv ρw 2 + p ρw(et + p)

    ∂U ∂U ∂U ∂U  +A +B +C =Q ∂t ∂x ∂y ∂z

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ (B.2) ⎟ ⎟ ⎠

(B.3)

Die Str¨omungsgleichungen sind im inkompressiblen Bereich (Ma < 0, 3) elliptisch und werden f¨ ur h¨ohere Machzahlen hyperbolisch. Der Druck kann mit einer Poissongleichung berechnet werden, die komplexe Eigenwerte hat und damit ein sogenanntes unsachgem¨aß formuliertes Anfangswertproblem (ill–posed) darstellt. Trotzdem l¨aßt sich dieses theoretisch instabile Gleichungssystem numerisch l¨osen. Dazu ist es notwendig, zus¨atzliche Dissipation einzubringen, was durch Filter oder D¨ampfungsterme m¨oglich ist. Die Differenzenschemata niederer Ordnung d¨ampfen meistens Gradienten was als Generierung der sogenannten numerischen Viskosit¨at verstanden werden kann, die genau diesen stabilisierend Effekt hervorbringt (D¨ampfen hoher Frequenzen, die bei großen Re–Zahlen durch den nichtlinearen Konvektionsterm in den NS-Gleichungen entstehen). Treibt man jedoch die Gitteraufl¨osung sehr hoch, sind dissipative Zusatzterme (Linden et al. [241]), wie die Druckinterpolation nach Rhie und Chow [316], unerl¨aßlich (Dissipationsterm 4. Ordnung), um Oszillationen zu unterbinden, die bei unverschobenen Rechengittern aus der Entkoppelung zwischen Druck– und Geschwindigkeitsfeld entstehen. Typische Zeitskalen bei Zweiphasenstr¨omungen sollten als Zielgr¨oße bekannt sein, um Zeitschritt, numerisches Schema und Gitterweite entsprechend zu w¨ahlen: • 10−6 s, Diffusionsvorg¨ange an der Phasengrenzfl¨ache, Kollisionszeiten, • 10−3 s, Druckwellenausbreitung ist eine Funktion der lokalen Zweiphasenschallgeschwindigkeit, • 10−2 s, Konvektion.

248

Holtbecker [178] vermutet f¨ ur das Mehrphasenmodell aufgrund der Modellierung (nur ein Druckfeld f¨ ur beide Phasen, nichtdifferentielle Austauschterme auf der rechten Seite der PDG, die niedere Oszillationsfrequenzen d¨ampfen) weitere Instabilit¨aten und fordert ein hyperbolisches Gleichungssystem, was durch modellierte Zusatzterme machbar ist. Ein wesentlicher Punkt bei der EEM ist es, eine Mittelung zu finden, die die hochfrequenten Fluktuationen der Phasengrenzfl¨ache einschließlich der darauf stattfindenden Austauschprozesse (Scherspannungen, Massen– und W¨arme¨ ubergang) nur im statistischen Mittel ber¨ ucksichtigt und gleichzeitig diese Unstetigkeit innerhalb des Kontrollvolumens m¨oglichst exakt weitertransportiert. Der dabei entstehende Informationsverlust muß durch Zusatzterme, die nicht aus der Mittelung, sondern aus sogenannten konstitutiven Gleichungen errechnet werden, minimiert werden. Die Erhaltungsgleichungen m¨ ussen als differentielle Gleichungen entwickelt werden, was einen stetigen Verlauf der Funktionen voraussetzt. Unterschiedliche L¨osungswege wurden f¨ ur diese Problematik entwickelt. Dopazo [91], [11] hat mit seiner bedingten Mittelung eine neue Methode zur Modellierung von Grenzfl¨achen bei Mehrphasen– und Chen [60] bei Verbrennungssimulationen, angewandt. Kataoka und Serizawa [196], [197] verwenden f¨ ur ihren statistischen Mittelungsansatz die Heaviside–Sprungfunktionen, eine Funktion vom Dirac’schen Typ, die nach der Theorie der Distributionen (Fouriertransformationen, Schwartz [340]) differenzierbar ist. Lahey und Drew [92], [93], [95], [18], [96] verwenden eine Raum–Zeit–Mittelung, wobei sie die Phasengrenzfl¨ache mit einer Sprungfunktion als Phasenindikator darstellen. Die konstitutiven Gleichungen (Beziehung zwischen Spannung und Str¨omungsgr¨oßen) sind an entsprechende Str¨omungsregime angepaßt und oft nicht allgemeing¨ ultig. Manche Formulierungen sind nicht koordinateninvariant, was jedoch nicht f¨ ur Geschwindigkeitsdifferenzen gilt. Die praktische Durchf¨ uhrung erfordert die Minimierung der Anzahl von Gleichungen, wobei der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ein brauchbarer Filter sein kann. Zusammenfassend gilt, daß trotz unterschiedlichster Herangehensweise beim Mittelungsansatz heute die Mehrphasengrundgleichungen anerkannt werden. Die Probleme liegen in den konstitutiven Gleichungen und deren sinnvolle Reduzierung in Hinblick auf die zu untersuchende Str¨omung. Dazu geh¨ort auch die Behandlung der Turbulenz, die meist analog zur Einphasenstr¨omung implementiert wird, obwohl die Wechselwirkungsmechanismen, speziell bei hoher Beladung, damit nur unvollst¨andig wiedergegeben werden. Nachgelagert spielen die Diskretisierung und der L¨osungsalgorithmus f¨ ur das Druck–Geschwindigkeits–Feld mit Volumenfraktion eine vor allem f¨ ur die Rechenzeit entscheidente Rolle.

249

B.1

Grundlagen des Zwei–Fluid–Modells

Die Str¨omungsgleichungen beschreiben die lokalen, aktuellen Gr¨oßen, wie αakt , ρakt , vakt , pakt , hakt , die u ¨ber eine Bilanzierung von Masse, Impuls und Energie zu berechnen sind. Aufgrund der Bedeutung mikroskopischer Prozesse auf die makroskopische Str¨omung wird ein Mittelungsprozeß durchgef¨ uhrt, der zu gemittelten Bilanzgleichungen f¨ uhrt. N¨ahere Details zu den Mittelungsoperatoren sind im Kap. (B.2) zu finden. Eine h¨aufig verwendete Beziehung zwischen dem aktuellen Wert und dem zeitlichen Mittelwert ist die Reynolds–Mittelung. Alle im folgenden angegebenen Str¨omungsgr¨oßen bezeichnen, sofern sie nicht als Volumen– oder Phasenmittel gekennzeichnet sind immer die zeitlich gemittelten Werte dieser Gr¨oßen. Turbulenz und Mehrphasigkeit sind effizient nur mit gemittelten Bilanzgleichungen zu formulieren, wobei diese meist Fluktuationsterme enthalten, die u ¨ ber geeignete Schließungsans¨atze modelliert werden. Zus¨atzlich sind konstitutive Gleichungen notwendig, die das Materialverhalten m¨oglichst gut approximieren sollen. Dazu geh¨ort der Newtonsche Spannungsansatz genauso wie die Zustandsgleichungen oder das Fouriersche Gesetz der W¨armeleitung. F¨ ur die Mehrphasenstr¨omung sind die viskosen Spannungen an der Phasengrenzfl¨ache (bei Tropfenstr¨omung die Widerstandskraft) oder die Grenzfl¨achenspannung als Differenz der Phasendr¨ ucke zu erw¨ahnen.

B.1.1

Erhaltungsgleichungen

Die fundamentalen Bilanzgleichungen sind die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die Massenbilanz, die NS-Gleichung f¨ ur die Impulserhaltung und die Energiebilanz. Zus¨atzlich gibt es Skalargleichungen, die den Stofftransport von Spezies beschreiben, die sich passiv mit der kontinuierlichen Phase mitbewegen ohne eine separate Impulsgleichung zu ben¨otigen. Die Turbulenzgleichungen bzw. die Spannungstransportgleichungen sind Modellgleichungen in der Form von Bilanzgleichungen. Die Erhaltung einer spezifischen Gr¨oße φ in einem Str¨omungsfeld v (x, t) lautet ∂(ρk φ) + ∇ · (vk ρk φ) = −∇ · jk + ρk Q . ∂t

(B.4)

Links steht das totale Differential der Gr¨oße φ, rechts der gesamte diffuse Transport und die Produktion/Destruktion von ρk Q im Kontrollvolumen. Kontinuit¨ atsgleichung Die allgemeine Form der Transportgleichung (B.4) f¨ ur die FVM beschreibt die Massenerhaltung, wenn man

250

φ = 0, Q = 0, jk = 0 setzt. Daraus ergibt sich die Kontinuit¨atsgleichung ∂(ρk ) + ∇ · (vk ρk ) = 0 . ∂t

(B.5)

Impulsgleichung Die allgemeine Transportgleichung (B.4) wurde f¨ ur eine skalare Gr¨oße hergeleitet. F¨ ur den Impuls ist die Umwandlung von Gleichung (B.4) in eine Vektorgleichung  der Flußvektor jk zu notwendig, wobei der skalare Quellterm Q zu einem Vektor Q, einem Tensor zweiter Stufe jk wird. Folgende Modifikationen sind erforderlich:  = g , φ = vk , Q

jk = −Tk = pI − τk .

Der volumetrische Quellterm ist die Massenkraft g . Der Spannungstensor Tk wurde in den isotropen Druckterm pI und in den Tensor der viskosen Spannungen τk aufgeteilt. Damit folgt die Impulsgleichung f¨ ur die Phase k ∂(ρkvk ) + ∇ · (ρkvkvk ) = −∇ · p + ∇ · τk + ρkg . ∂t

(B.6)

Energiegleichung Es gibt drei Formen der thermischen Energiegleichung (Gersten [144]), die alle je nach Anwendung ihre Vorteile haben. Die Totalenergie l¨aßt sich aus der kalorischen Zustandsgleichung ableiten und ist die innere Energie ein (translatorische /rotatorische Bewegungsenergie der Atome bzw. Elektronen) plus der kinetischen Energie des Fluids et = ein +

|v |2 +k . 2

(B.7)

Der zweite Term auf der rechten Seite von Gl. (B.7) entspricht der mittleren kinetischen Energie, der dritte Term k auf der rechten Seite entspricht der Fluktuationsgeschwindigkeit, wenn man ein k-ε–Turbulenzmodell verwendet wird. Aus Stabilit¨atsgr¨ unden wird in CFD–Codes dieser Term oft weggelassen. F¨ ur die FVM hat sich die Formulierung u ¨ber die Totalenthalpie nicht zuletzt bei Verbrennungssimulationen mit großen Volumen¨anderungen als vorteilhaft erwiesen. Die Totalenthalpie ht bzw. h werden folgendermaßen definiert: ht = cp T +

|v |2 p + k, h = ein + = cp T . 2 ρ

251

(B.8)

Totalenthalpie und Totalenergie sind wie folgt verkn¨ upft: ht = et +

p ρ

(B.9)

F¨ ur die Formulierung der Energiegleichung wird Gl. (B.4) modifiziert, was die Umformung der Fl¨ usse und des Quellterms erfordert jk = qh,k − (τk − p · I) · vk = qh,k − T · vk , Q = vk · gk + Qh /ρk +  . qh,k ist der W¨armefluß, siehe auch Kap. B.1.2.3, und Qh die volumetrische W¨armequelle,  die Dissipation aus dem k–ε–Turbulenzmodell. T · vk ist die Arbeit, die das Fluid gegen die an der Oberfl¨ache des Kontrollvolumens angreifenden Spannungen leistet. Somit lautet die thermische Energiegleichung ∂(ρk et ) + ∇ · (ρkvk et ) = −∇ · qh,k + ∇ · (T · vk ) + ρk (g vk + ) + Qh . ∂t

(B.10)

Die Gleichung f¨ ur die Totalenthalpie ergibt sich, wenn man die Enthalpiegleichung zur mechanischen Energiegleichung (Impulsgleichung ·v) addiert. Dabei entf¨allt die Dissipationsfunktion (Gersten [144]) und der Druckgradient reduziert sich vom totalen Differential auf eine reine Zeitableitung, w¨ahrend ein Arbeitsterm, der die viskosen Kr¨afte (Spannungen) an der Oberfl¨ache des Kontrollvolumen beschreibt, dazukommt: ∂(ρk ht ) ∂p + ∇ · (ρkvk ht ) = − ∇ · qh,k + ∇ · (τk · vk ) + ρk (g vk + ) + Qh .(B.11) ∂t ∂t Die Formulierung in Gl. (B.11) ist recht allgemein gehalten, so daß beispielsweise f¨ ur den inkompressiblen Fall der Druckgradienten–Terms entf¨allt. Der Spannungstensor τ enth¨alt je nach Zustandsgleichung zus¨atzliche Terme wie etwa die Volumenkompressibilit¨at. Wichtig wird dieser Term bei hohen Mach–Zahlen, wo es zu dem sogenannten viskosen Heizen kommt. Bei bewegten Netzen muß eine zus¨atzliche Arbeit durch das Produkt Spannung mal lokaler Netzgeschwindigkeit ber¨ ucksichtigt werden.

252

B.1.2

Konstitutive Gleichungen

Die fundamentalen Bilanzgleichungen von Masse, Impuls und Energie sind nicht ausreichend, um Str¨omungen vollst¨andig zu beschreiben. Das Spannungs–DehnungsVerhalten und die Druck–Temperatur–Dichte–Beziehung ben¨otigen zus¨atzliche Materialgleichungen. Diese m¨ ussen eine Reihe von Voraussetzungen erf¨ ullen, um wirklichkeitsnah (es handelt sich um makroskopische N¨aherungen) das Verhalten des Fluids zu beschreiben. Aris [16], Lahey und Drew [93], [18] sowie Jischa [193] geben jeweils aus unterschiedlichen Anwendungsperspektiven eine umfassende Einf¨ uhrung zu den konstitutiven Gleichungen. Es gibt eine Reihe von theoretisch abgesicherten Kriterien, die als Grundlage f¨ ur die Materialgesetze dienen. Trotzdem werden auch mangels besserer Modellierung, Gleichungen verwendet, die nicht jeder dieser Anforderungen gen¨ ugen (z. B. Modellierung der Reynoldsschen Spannungen). Eine auf wesentliche Punkte reduzierte Aufz¨ahlung der Kriterien lautet: • Konsistenz mit den Erhaltungsgleichungen, • koordinaten–invariant, das bedeutet unabh¨angig vom Bezugssystem oder einer Koordinatentransformation muß der funktionale Zusammenhang erhalten bleiben, • f¨ ur nichtpolare, (keinen internen Drehimpuls erhaltende) oder Newtonsche Fluide gilt ein symmetrischer Spannungs– bzw. Verformungstensor, • der zweite Hauptsatz der Thermodynamik48 ist ein guter Filter f¨ ur die G¨ ultigkeit einer Mehrphasen–Energiegleichung. Die Zustandsgr¨oße Entropie s darf gem¨aß der Gibbschen Gleichung ds =

dqh , T

T ds = dein + pdv = dein −

p dρ ρ2

(B.12)

in einem adiabaten System nicht kleiner werden. Eine Ableitung der Zwei– Phasen–Entropiegleichung findet man bei Arnold [18]. Die hier angef¨ uhrten Kriterien f¨ ur Materialgesetze d¨ urfen nat¨ urlich nicht dar¨ uber hinwegt¨auschen, daß ein Prozeß oft ph¨anomenologisch und intuitiv modelliert wird. Wenn man jedoch ohne diese ad–hoc–Vorauswahl alle konstitutiven Gesetze einer 48 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik sagt, daß die Entropie nicht kleiner werden kann. Diese Annahme ist jedoch eine statistische, wie schon Boltzmann erkannt hat, und gilt nur f¨ ur entsprechend große Systeme. Im Rahmen der Nanowelt kann es daher zu meßbaren Verletzungen des zweiten Hauptsatzes kommen, was jedoch nur f¨ ur kurze Zeitskalen m¨oglich ist, Wang et al. [421].

253

Zweiphasen–Str¨omung formuliert, kommt man auf mehrere hundert Beziehungen, von denen die meisten f¨ ur die aktuelle Anwendung irrelevant sind. Die Aufstellung der verwendeten Gleichungen beinhaltet die thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen, die durch den zweiten Hauptsatz miteinander verkn¨ upft sind. Weiter geh¨ort das Gesetz der W¨armeleitung und der Newtonsche Spannungsansatz dazu. Es wird die Formulierung f¨ ur eine Phase verwendet, ohne auf die Details von Mischgr¨oßen bei Viskosit¨at oder W¨armeleitf¨ahigkeit einzugehen. Ishii [185] zeigt mit Hilfe einer Reihenentwicklung, daß die mikroskopischen Zustandsgleichungen unter der Voraussetzung: φ
1 φˆ

(B.13)

auch f¨ ur die gemittelten Gr¨oßen angewandt werden k¨onnen, da der Fehler vernachl¨assigbar ist.

B.1.2.1

Thermische Zustandsgleichung

Bei niedrigem Druck gilt f¨ ur ein ideales Gas nach der kinetischen Theorie v = v(T, p), pv = RT,

p = ρRT .

(B.14)

Bei hohen Dr¨ ucken ist dieses Gesetz ungenau und wird oft durch eine kubische Zustandsgleichung, beispielsweise von Redlich–Kwong, in der Modifikation von Soave [354], ersetzt :

p=

RT ak α(T ) − . v − b v(v + b)

(B.15)

ak und b sind das sogenannte Kovolumen, R die spezifische Gaskonstante und α(T ) eine Temperaturfunktion. Die spezifische Gaskonstante R l¨aßt sich aus der universellen Gaskonstanten und der Molmasse der Spezies errechnen: R = Rm /Ml .

(B.16)

254

B.1.2.2

Kalorische Zustandsgleichung

Zur Beschreibung eines Gases ist neben dem thermischen Zustand auch eine kalorische Gleichung zur Bestimmung der inneren Energie ein bzw. der Enthalpie h = ein + p/ρ notwendig. Die abh¨angigen Gr¨oßen sind 1/ρ und T oder p und T. Die Herleitung wurde aus Baehr [23] entnommen und liefert Beziehungen f¨ ur cp und cv , die f¨ ur einatomige Edelgase temperaturunabh¨angig sind. F¨ ur mehratomige Gase sind diese Gr¨oßen eine Funktion der Temperatur. ein und h werden als vollst¨andiges Differential dargestellt: ein = ein (T, v) ,

(B.17)



∂ein

∂ein

dv , dT + dein = ∂T 1/ρ ∂v T

(B.18)

dh = d(ein + p/ρ) = d(ein + RT ) =

∂h

∂h

dT +

dp .

∂T p ∂p T

(B.19)

Mit den spezifischen W¨armekapazit¨aten:

cv =

∂ein

∂T 1/ρ

(B.20)

und



∂h

∂(ein + RT )

∂ein

=

=

+R = cp =

∂T p ∂T ∂T p p ⎛

=

⎜ ⎜ ∂ein

⎜

⎜ ⎝ ∂T

⎞

∂ein

+ ∂(1/ρ) 1/ρ   T

∂(1/ρ)

∂T

⎟ ⎟ ⎟+R ⎟ p⎠

= cv + R ,

(B.21)

0

ergiebt sich die innere Energie und die Enthalpie zu dein = cv dT ,

(B.22)

dh = cp dT .

(B.23)

255

Der Isentropenexponent κ wird folgendermaßen definiert: κ = cp /cv ,

cp =

κ R, κ−1

cv =

1 R . κ−1

(B.24)

cp wird als integrales (Mittelwert) oder als differentielles cp verwendet, wobei das integrale aus dem differentiellen wie folgt errechnet werden kann: cp(T ) =

1 T

 T 0

cp(T ) dT

(B.25)

Das alleinige L¨osen einer Energie– oder Enthalpiegleichung wie mit Gl. (B.11) ist nicht ausreichend, weil beispielsweise Stoffgr¨oßen in Abh¨angigkeit von der Temperatur bestimmt werden m¨ ussen. Dazu ist es notwendig, aus der Totalenthalpie ht u ¨ber eine iterative Schleife (weil cp eine Funktion der Temperatur ist) die Temperatur zu berechnen: T =

B.1.2.3

ht − |v |2 /2 − k cp(T )

(B.26)

Fouriersche W¨ armeleitung

Die W¨armeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molek¨ ulen aufgrund eines im Material vorhandenen Temperaturgradienten. Der zweite Hauptsatz sagt, daß der Fluß immer von der h¨oheren zur niedrigeren Temperatur erfolgt, was in dem negativen Vorzeichen in Gl. (B.27) zum Ausdruck kommt. Wenn man diesen makroskopischen Zusammenhang formalisiert, kann man einen W¨armestromvektor qh wie folgt definieren: qh = −λ(T,p) grad(T ) .

(B.27)

λ ist der W¨armeleitf¨ahigkeitskoeffizient, der f¨ ur isotrope Medien ein Skalar, f¨ ur Holz beispielsweise ein Tensor zweiter Ordnung, ist. Es gibt eine Temperatur– und Druckabh¨angigkeit, wobei diese je nach Medium unterschiedlich stark ausgepr¨agt ist. Die Prandtl–Zahl l¨aßt sich mit Hilfe von λ, cp und µ errechnen: P r(T ) =

cp µ . λ

(B.28)

Die Prandtl–Zahl ist temperaturabh¨angig und hat bei Gasen ungef¨ahr den Wert ¨ bis u 0,7, w¨ahrend bei Fl¨ ussigkeiten h¨ohere Werte, beispielsweise f¨ ur Ole ¨ber 250, zu verwenden sind. Wenn man die Reynolds–Analogie voraussetzt (P rT = 1), kann man die Prandtl–Zahl auch als das Verh¨altnis der Impuls– zur Temperaturgrenzschichtdicke deuten.

256

B.1.2.4

Diffusion / Ficksches Gesetz

Der Stoff¨ ubergang findet durch Diffusion statt, wobei hier nur auf die Konzentrationsdiffusion und nicht auf die Thermo– und Druckdiffusion eingegangen wird. Es kommt an der Phasengrenzfl¨ache zu einem regen Austausch von Molek¨ ulen, der vom Partialdruck der jeweiligen Phase bestimmt wird. Diese molekulare Diffusion bedeutet innerhalb einer Phase einen Austausch in Richtung des Konzentrationsgradienten analog zum Fourierschen Gesetz der W¨armeleitung. D.h., ein Stoff verteilt sich von Gebieten h¨oherer Konzentration in Gebiete niedrigerer Konzentration. Diese Verhalten wird durch das 1. Ficksche Gesetz formalisiert: j d = −Γ(T,p) grad(Y ) .

(B.29)

j d ist der Diffusionsfluß, Γ die Diffusionskonstante und Y die Konzentration einer Spezies. Der Diffusionskoeffizient Γ ist bei laminaren Str¨omungen eine Materialgr¨oße, im turbulenten Regime eine Modellgr¨oße. Die Diffusionskennzahl ist die Schmidt– Zahl Sc(T ) =

ν . Γ

(B.30)

Die Schmidt–Zahl wird bei laminaren Gasstr¨omumgen wie auch im turbulenten Regime oft 1 gesetzt. Diffusion tritt nicht nur beim Stoff¨ ubergang auf, sondern ist neben der Konvektion und dem Strahlungstransport ein weiterer wichtiger Transportmechanismus f¨ ur Fluide. Die Lewis–Zahl Le(T ) = Sc/P r

(B.31)

gibt das Verh¨altnis zwischen Stoff– und Temperaturfeld an. Oft wird nach der ¨ Reynolds–Analogie eine Ahnlichkeit beider Felder vorausgesetzt. Bei Gleichheit wird Le = 1 und somit der Stoff¨ ubergang gleich dem W¨arme¨ ubergang (Nu = Sh). Die Lewis–Zahl ist vor allem von der Temperatur aber auch von der Stoffzusammensetzung abh¨angig. B.1.2.5

Massen–, Molanteile, Partialdr¨ ucke

Bei Erhaltungsgleichungen wird u ¨ blicherweise ein Massenbruch bzw. eine Massenwichtung verwendet, weil die Erhaltung der Masse prim¨are Zielsetzung jedes Str¨omungsl¨osers ist. Bei der Tropfenverdunstung tritt jedoch zus¨atzlich ein Molenbruch

257

auf, der in einen Massenbruch umgewandelt werden muß. Dabei wird ein S¨attigungszustand an der Tropfenoberfl¨ache angenommen, der die Verwendung des Partialdrucks erlaubt. Der Massenbruch f¨ ur eine Spezies k eines Stoffgemisches wird auf die Gesamtmasse eines Kontrollvolumens bezogen: Yk =

mk mk =  mit m mk k




Yk = 1 .

(B.32)

k

Die Summe aller Massenbr¨ uche ist 1. Analog zu dem in Gl. (B.32) definierten Massenbruch l¨aßt sich ein Stoff– oder Molanteil berechnen. yl,k =

Nk Nk =  mit N Nk k




yl,k = 1 .

(B.33)

k

In Gl. (B.33) ist N die gesamte Stoffmenge im betrachteten Kontrollvolumen. Die Konzentrationen lassen sich massen– bzw. volumenbezogen definieren. Zuerst soll jedoch der Massenanteil formuliert werden: ck =

mk ρk V ρk = = = Yk . m ρ¯ V ρ¯

(B.34)

Die Definition der Stoffmengenkonzentration lautet f¨ ur eine Spezies k bzw. f¨ ur das gesamte Gemisch wie folgt: cl,k =

Nk , V

cl =


N = cl,k . V k

(B.35)

Der Molanteil f¨ ur die Spezies k l¨aßt sich wie folgt bestimmen: yl,k =

cl,k . cl

(B.36)

Wenn man Gl. (B.33) mit der Molmasse Ml,k = ml,k /Nk der Spezies k multipliziert, folgt yl,k Ml,k = mk /N .

(B.37)

Eine Summation u ¨ ber alle Spezies liefert die mittlere Molmasse Ml = m/N:
k

yl,k Ml,k =


k

mk m = Ml . = Nk N

258

(B.38)

Aus Gl. (B.38) kann eine Beziehung zwischen Mol– (yl,k ) und Massenbruch (Yk ) hergestellt werden: ck =

mk mk Nk N Ml,k yl,k = Yk . = = m m Nk N Ml

(B.39)

In dieser Arbeit werden Gasgemische als ideale Gase betrachtet, was die Anwendung des Daltonschen Gesetzes erlaubt, das besagt, daß die Summe der Partialdr¨ ucke pk dem Gesamtdruck entspricht:


pk = p .

(B.40)

k

Der Partialdruck der Spezies k errechnet sich u ¨ ber den Molanteil und Gesamtdruck bzw. u ¨ ber die Zustandsgleichung, in die die Molmasse der Spezies k eingeht: pk = p yl,k = p

B.1.2.6

cl,k Rm = ρk T . cl Ml,k

(B.41)

Newtonscher Spannungsansatz und Hypothese von Stokes

Die Cauchysche Bewegungsgleichung, Aris [16], beschreibt eine Kr¨aftebilanz zwischen ¨außeren Kr¨aften und der Materialspannung einerseits und der auf das Fluidelement wirkenden Kraft andererseits und ist Grundlage f¨ ur die Verkn¨ upfung von Spannungstensor mit der Impulsgleichung. Grundannahme dieser Arbeit sind Newtonische Fluide, die folgenden makroskopischen Spannungs– Deformationsgeschwindigkeitszusammenhang f¨ ur das laminare Regime haben: τxy = µ

du , dy

(B.42)

d.h., der Geschwindigkeitsgradient mal der Viskosit¨at ergibt eine Scherspannung, was einem Materialgesetz ¨ahnlich dem Hookschen Gesetz (E–Modul mal relativer Dehnung), entspricht. Die Spannung ist eine lineare Funktion der sogenannten Formur einatomige Gase). Nat¨ urlich gibt es ¨anderungsgeschwindigkeit (gilt exakt nur f¨ Fluide, die nicht dieser Hypothese gehorchen, wie z.B. die Bingham Fluide (Zahnpasta oder Farbe), doch viele technisch relevante Gase und Fl¨ ussigkeiten k¨onnen damit simuliert werden.

259

Wenn man alle auf die Oberfl¨ache des Kontrollvolumens wirkenden Kr¨afte betrachtet, kann man diese mit dem Tensor T beschreiben. Dieser l¨aßt sich wiederum in einen isotropen Druckterm und in einen viskosen Anteil τij zerlegen, so daß folgt: T = −p I + τ .

(B.43)

Wegen der in Gl. (B.1.2) getroffenen Annahmen, soll der Spannungstensor τ symmetrisch sein, was jedoch nicht zwingend einen ebensolchen symmetrischen Deformationsgeschwindigkeitstensor Dv bedingt, Wiegardt [435]. Eine immer symmetrische Matrix l¨aßt sich jedoch durch Addition der konjugierten Matrix erzwingen. Somit ergibt sich der symmetrische Deformationsgeschwindigkeitstensor D bzw. dij zu D

=

dij

=

 1  grad v + (grad v )T 2   1 ∂ui ∂uj + . 2 ∂xj ∂xi

, (B.44)

Der viskose Spannungstensor in allgemeiner Form lautet: τ τij

= =

µ :D , µijαβ dαβ .

(B.45)

Der allgemeine Fall von Gl. (B.45), in der zwei Tensoren 2. Stufe verkn¨ upft werden, f¨ uhrt auf einen Tensor 4. Ordnung mit 34 = 81 Komponenten. Diese große Anzahl l¨aßt sich unter der Annahme eines isotropen Fluids stark reduzieren, Aris [16]. Das bedeutet, daß Gleichung (B.45) unabh¨angig von der Orientierung im Raum wird. Ein isotroper Tensor 4. Ordnung kann folgendermaßen entwickelt werden [58]: µijkl = a δij δkl + b δik δjl + c δil δjk .

(B.46)

a, b, c sind skalare Koeffizienten. Setzt man Gl. (B.46) in Gl. (B.45) ein, so vereinfacht sich diese zu τij

= =

(a δij δαβ + b δiα δjβ + c δiβ δjα ) dαβ a δij dαα + b dij + c dji .

(B.47)

Da der Deformationstensor symmetrisch ist dij = dji und das Fluid als isotrop angenommen wird, reduziert eine weitere Vereinfachung die anfangs 81 Komponenten des

260

Viskosit¨atstensors auf zwei zu berechnende Werte, wobei µvol die Volumenviskosit¨at ist: a = µvol und b + c = 2µ , wobei

τij = 2µ dij + µvol δij dαα . (B.48)

Der Produktionsterm, eine oftgebrauchte Gr¨oße bei der Turbulenzmodellierung, lautet Gt = 2 dij

∂uj = ∂xi



∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi



∂uj . ∂xi

(B.49)

Zur Bestimmung der Volumenviskosit¨at wird die Stokesche Hypothese genutzt, die besagt, daß der thermodynamische Druck 3· pˆ gleich der Summe der Normalspannungen ist. Diese Annahme soll auch f¨ ur kompressible Fluide gelten (stimmt exakt nur f¨ ur einatomige Gase), was die folgende Zwangsbedingung erfordert. Ausgangspunkt ist der Spannungstensor T , von dem die Spur gebildet wird: Sp(T )

=

−3 p + (2 µ + 3 µvol ) div(v) = −3 pˆ ,

pˆ

=

p−





2 µ + µvol div(v ) .  3   µ ˆ≡0

(B.50)

Die Forderung µ ˆ ≡ 0 erlaubt eine direkte Bestimmung der Volumenviskosit¨at, w¨ahrend f¨ ur inkompressible Fluide die Volumenviskosit¨atsterme wegfallen (div(v) = 0). 2 µvol = − µ . 3

(B.51)

Somit l¨aßt sich Gleichung (B.45) detailliert schreiben: 

τ

=

µ grad(v) + grad(v)T

τij

=

µ



∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi



−



−

2 µ div(v) I , 3

2 ∂uk µ δij . 3 ∂xk

(B.52)

Der gesamte Spannungstensor T lautet somit 

Tij

=

µ

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi





−

2 ∂uk µ +p 3 ∂xk

261



δij .

(B.53)

Die allgemeine Form des symmetrischen Spannungstensors f¨ ur das laminare Regime wird in Gl. (B.54) in kartesischen Koordinaten aufgeschrieben. F¨ ur das turbulente Regime sind die Reynolds–Spannungen wesentlich. Bei Modellierung der Turbulenz im Rahmen eines Eddy–Viscosity–Models mit dem Boussinesque–Ansatz entsprechen die Reynolds–Spannungen dem unter (B.54) beschriebenen Formelapparat, wobei die molekulare Viskosit¨at µ durch die turbulente µt ersetzt wird, Gl. (2.30). 











τ22 τ33 τ12 τ13 τ23



∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u1 1 ∂u1 ∂u2 ∂u3 2 + − µ + + = 2µ − + + ∂x1 ∂x1 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3        ∂u2 ∂u2 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u2 1 ∂u1 ∂u2 ∂u3 2 =µ + − µ + + = 2µ − + + ∂x2 ∂x2 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x2 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3        ∂u3 ∂u3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u3 1 ∂u1 ∂u2 ∂u3 2 =µ + − µ + + = 2µ − + + ∂x3 ∂x3 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x3 3 ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂u1 ∂u2 = τ21 = µ + ∂x2 ∂x1   ∂u1 ∂u3 = τ31 = µ + (B.54) ∂x3 ∂x1   ∂u2 ∂u3 = τ32 = µ + ∂x3 ∂x2

τ11 = µ

B.1.3

Sprungbedingungen an der Phasengrenze

Die bisher diskutierten Gesetze, z.B. die allgemeine Erhaltungsgleichung Gl. (B.4), ¨ gelten jeweils nur f¨ ur eine Phase, ohne den Ubergang zur zweiten Phase zu ber¨ ucksichtigen. Diese Grenzfl¨ache stellt einen sprungartigen Verlauf, eine Diskontinuit¨at, der physikalischen Gr¨oßen dar und widerspricht dem geforderten stetigen Verlauf der Str¨omungsvariablen. Somit entsteht eine ¨ahnliche Situation wie bei einer Rand¨ bedingung und damit kann die Phasengrenzfl¨ache als kombinierte Rand– und Ubergangsbedingung gedeutet werden. Ischii [185] und Kataoka [196], [197] haben beschrieben, wie man u ¨ber eine Bilanzierung der Fl¨ usse f¨ ur ein Kontrollvolumen um die Grenzfl¨ache zu einer Sprungbe¨ dingung in einem Punkt kommt. Durch den Ubergang des Kontrollvolumens gegen Null erh¨alt man die Grenzfl¨achengeschwindigkeit. Die Grenzfl¨ache Ainterf zwischen den beiden Phasen wird von der Kurve cinterf umrandet. Die zur Grenzfl¨ache parallelen Fl¨achen im Abstand δ1 und δ2 sind A1 und A2 . Die Normalenvektoren sind n1 und n2 , der Normalenvektor an der Grenzkurve  cinterf bzw. an der Fl¨ache interf ist nc . Somit ist das Bilanzvolumen definiert, f¨ ur welches eine Gr¨oße ρ φ bilanziert und der Grenz¨ ubergang δ1 + δ2 → 0 durchgef¨ uhrt

262

c interf .

nc

A interf

.

.

6interf

A1 n1

Ainterf G

nc n2 . A2

G

Abbildung B.1: Kontrollvolumen um eine Phasengrenzfl¨ache wird. Die Geschwindigkeiten der Phasen 1 und 2 bzw. der Grenzfl¨ache sind v1 , v2 und vinterf . Die Grenzfl¨achengeschwindigkeit vinterf ist eine Modellgeschwindigkeit, w¨ahrend die Phasengeschwindigkeit vk eine physikalische Gr¨oße ist. Die Position der Phasengrenzfl¨ache kann mit einer Funktion Finterf (x,y,z,t) definiert werden, wobei sich die Normalgeschwindigkeit vinterf und der Normalenvektor nk interf an der Grenzfl¨ache mit Hilfe der Differentialgeometrie berechnet: n Finterf (x,y,z,t) = 0, vinterf =−

∂Finterf /∂t , n1 |∇Finterf |

interf

= −n2

interf

=−

∇Finterf . (B.55) |∇Finterf |

Die Tangentialkomponente der Grenzfl¨achengeschwindigkeit bekommt man u ¨ber das Produkt aus Phasengeschwindigkeit vs an der Grenzfl¨ache und dem Normalenvektor nc nc · vinterf ≡ nc · vs .

(B.56)

Fordert man δk → 0 gehen und vernachl¨assigt die Volumenintegrale wegen Kleinheit, erh¨alt man: 2 d
dt k=1

 Vk

ρφ dV

263

 0=

(B.57)

=

2 
k=1 Ak





nk jk + ρk φk (vk − vinterf ) dA −

 c





nc j + ρφ (v2 − vinterf ) ds .

Damit ist die Flußdifferenz zwischen den Phasen gleich der Summe der Fl¨ usse des Linienintegrals. L¨aßt man, das Integrationsgebiet in Gl. (B.58) zu einem Punkt schrumpfen, Aris [16],folgt eine einfache Beziehung f¨ ur die Normalkomponente des Gesamtflusses: 2






nk jk + ρk φk (vk − vinterf ) = wa  0 .

(B.58)

k=1

ummung entspricht und meistens zu vernachl¨assiwa ist ein Term, der der lokalen Kr¨ gen ist. Gl. (B.58) stellt eine einfache Beziehung der Normalfl¨ usse an einer Phasengrenzfl¨ache dar.

B.2

Vergleich der Mittelungsans¨ atze

Die Erhaltungsgleichungen des Zweifluidmodells Gl. (B.5), Gl. (B.6), Gl. (B.10) und Gl. (B.58), wie auch die der Einphasenstr¨omung bei der ELM, werden f¨ ur die aktuellen Gr¨oßen aufgestellt, die jedoch in dieser Form wegen der mikroskopischen Details nicht l¨osbar sind. Eine Mittelung (Tiefbaßfilter) ist notwendig, um die Str¨omungsprozesse zu vereinfachen und einer Modellierung zug¨anglich zu machen. Turbulenz und Mehrphasigkeit sind effizient nur mit gemittelten Bilanzgleichungen zu formulieren, wobei diese meist Fluktuationsterme enthalten, die u ¨ber geeignete Schließungsans¨atze beschrieben werden. Bei einphasigen, isothermen Gasstr¨omungen wird die Reynolds– oder Ensemble–Mittelung, bei kompressiblen Einphasenstr¨omungen mit hohen Temperaturgradienten die Favre– oder Dichte–Mittelung verwendet. Der durch diesen Filtervorgang stattfindende Informationsverlust muß durch zus¨atzliche konstitutive Gleichungen kompensiert werden. Somit werden gemittelte Bilanzgleichungen, die aber auch die kleinskaligen Ph¨anomene enthalten, auf einem relativ groben Netz gel¨ost. Eine geschickte Mittelung reduziert die Anzahl unbekannter Terme in den Bilanzgleichungen bzw. minimiert den Informationsverlust und ist immer im Zusammenhang mit der jeweiligen Anwendung zu sehen. Aus diesem Grund gibt es unterschiedliche Ans¨atze, die im n¨achsten Abschnitt erl¨autert werden.

B.2.1

Zeit–Mittelung

Der aktuelle Wert φakt einer beliebigen Str¨omungsgr¨oße φ in einer turbulenten, einphasigen Str¨omung l¨aßt sich aus der Summe vom zeitlichen Mittelwert und einer

264

stochastischen Schwankungsgr¨oße bilden. Der zeitliche Mittelwert wird durch eine Beobachtung u ¨ber ein Zeitintervall ∆t gebildet, das wesentlich gr¨oßer als der typische integrale Zeitmaßstab der turbulenten Str¨omung, aber kleiner als die grobskaligen zeitlichen Variationen (z.B. instation¨arer Massenstrom) in der Str¨omung ist. Diese urspr¨ unglich von Reynolds f¨ ur die Turbulenzmodellierung entwickelte Mittelung l¨aßt sich folgendermaßen darstellen: φ(x, t) =

1 ∆t

 t+∆t t

φakt (x, t) = φ(x, t) + φ
(x, t) .

φakt (x, t)dt,

(B.59)

Hierbei bezeichnet x den Ort, an dem die Gr¨oße φ betrachtet wird, t ist die Zeit, φ(x, t) ist der zeitlich gemittelte Wert und φ
(x, t) ist der Schwankungswert.

B.2.2

Ensemble–Mittelung

Eine von Experimenten entliehene Vorgehensweise ist die Messung statistisch ausreichend vieler Realisationen eines Prozesses, wie beispielsweise Geschwindigkeiten einer turbulenten Str¨omung mit all ihren Schwankungen. Die Mittelung erfolgt u ¨ber die Anzahl der Messungen, wobei p(n) eine normalisierte Wichtungsfunktion, in diesem Fall eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung, ist: N 

N

p(n)dn = 1,

φ(x, t) =

n=1

(φakt (x, t; n) p(n)) N

n=1

.

(B.60)

Diese Methode wird bei Tropfengr¨oßenmessungen nach der Laser–Doppler–Methode (PDA) gew¨ahlt, um auch die mit statistisch geringer H¨aufigkeit vorkommenden großen Tropfen zu detektieren und damit das gesamte Spektrum zu erfassen. F¨ ur sehr große Zeitintervalle ∆t l¨aßt sich zeigen, daß die Ensemble–Mittelung der Zeit– Mittelung entspricht, Hinze [172]. Generell ist die Ensemble–Mittelung eine mit der Funktion p gewichtete Darstellung der Wahrscheinlichkeit einer Gr¨oße, ohne auf Zeit– oder L¨angenskalen Bezug nehmen zu m¨ ussen. Aus diesem Grund ist dieser Ansatz recht universell verwendbar und als die anzustrebende Methode einzustufen. Aliod [11], Arnold [17], Lahey und Drew [96] verwenden diesen Ansatz als bedingte Ensemble–Mittelung.

B.2.3

Dichte–Mittelung

¨ Bei großen Anderungen der Dichte kommt es zu Dichtefluktuationen ρ“, die zu zus¨atzlichen unbekannten Termen in der NS–Gleichung f¨ uhren. Dies kann vereinfacht

265

werden, wenn man eine Dichte–Mittelung nach Favre [124] verwendet. Es gelten f¨ ur die sogenannte Massenwichtung folgende Beziehungen, wobei Gl. (B.59) zur Zeit– Mittelung verwendet wird: ˆ x, t) = φ(

1 / t+∆t ρakt φakt (x, t)dt ∆t t , 1 / t+∆t ρakt dt ∆t t

ˆ x, t) + φ“(x, t) . φakt (x, t) = φ(

(B.61)

Zum besseren Verst¨andnis wird nur f¨ ur Gl. (B.62) das Volumenwichtungssymbol φ¯ f¨ ur die Zeit–Mittelung verwendet: 1 ∆t

 t+∆t

ρakt dt = ρ¯ ,

t

φ“(x, t) = −

B.2.4

ρ
φ
(x, t) ρ
φ“(x, t) = − , ρ¯ ρ¯

ρakt φ“(x, t) = 0 .

(B.62)

Volumen–Mittelung

Die Raum–Mittelung ist besonders f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen eine recht anschauliche Methode, um die Grundgedanken bez¨ uglich der Phasenwichtung zu erl¨autern. Drew [95], Gray [155], [156], Wang [420] und Oliveira [280] beschreiben die Volumen– Mittelung und diskutieren die Notwendigkeit einer anschließenden Zeit–Mittelung, was einer Zweifachmittelung entspricht. Das Mittelungsvolumen ∆V um einen Punkt P kann eine beliebige Form (Hexaeder, Tetraeder, Kugel) haben und entspricht damit den M¨oglichkeiten der Diskretisierung moderner NS-L¨oser. Das Kontrollvolumen ∆Vk (k = 1, 2) ist in die beiden Phasen in beliebiger Form aufgeteilt. Bei einer feingranularen Verteilung der dispersen Phase heißen die n Teilbereiche ∆Vkj , 1 ≤ j ≤ n, siehe Abb. (B.2). Die Grenzfl¨ache Aj zwischen den Phasen k wird durch die Gl. (B.55) bzw. mit Fkj = 0 beschrieben. Das Volumen–Mittel einer Gr¨oße φ entsteht durch die Integration u ¨ ber das ganze Volumen und wird mit einem Querstrich gekennzeichnet: φ¯ =

1 ∆V



φ dV

(B.63)

∆V

F¨ ur eine bedingte Mittelung wird eine Indikatorfunktion Ik der Phase k eingef¨ uhrt. Im Bereich der Phase k erh¨alt sie den Wert 1, sonst den Wert 0. Ik wird mathematisch mit der Heaviside–Funktion: 

H j (Fkj ) =

1 f¨ ur Fkj > 0 0 f¨ ur Fkj ≤ 0

(B.64)

266

3

A A

2

V ,

2

2

o

V ,

X A

2

V ,

V ,

1

3

1

2

,

V

P

2

1 ,

V

4

A

4

n 2

A 1

n

Abbildung B.2: Mittelung um ein Kontrollvolumen ∆V mit dH j dF j dH j = = njλ · δ(F j (x,t)) · |∇F j (x, t)| · dλ dF j dλ 

und

−vs · n wenn λ = t, Zeitableitung nk wenn λ = xk , Ortsableitung

njλ =

(B.65)

sowie der Gl. (B.55) f¨ ur die Phasengrenze Fkj nach einer Ensemble–Mittelung realisiert, Aliod [11]: Ik (x, t) =

n




H j Fkj (x, t)



.

(B.66)

j=1

Mit Ik kann die Volumenfraktion der Phase k folgendermaßen bestimmt werden: /

∆Vk = αk = ∆V

∆v

Ik dV

/

∆v

dV

= I¯k

und

n
k=1

267

αk = 1 .

(B.67)

In Gl. (B.67) steht n f¨ ur die Anzahl der Phasen. Der bedingte Mittelwert einer Gr¨oße φ bedarf ebenfalls der Indikator–Funktion Ik : 1 φ¯k = Ik φ = ∆V



Ik φ dV

(B.68)

∆V

φ¯k ist auf die Existenz der Phase k im Kontrollvolumen ∆V mittels Ik beschr¨ankt. Sollte die Phase k nicht vorhanden sein, ist φ¯k = 0. Wenn man ein Phasenmittel definiert, das nur u ¨ber den Teilbereich von ∆V gebildet wird, wo die Phase k existiert φ˜k = Ik φ =

1 ∆Vk



Ik φ dV ,

(B.69)

∆V

dann ist auf eine Null–Division durch ∆Vk zu achten. Zwischen bedingtem Mittel und Phasenmittel besteht folgender Zusammenhang, siehe Gl. (B.67): φ¯ = αk φ˜ .

(B.70)

Viele Gr¨oßen sind spezifisch auf die Masse bezogen. Der Term ρ φ ist in den f¨ ur den Transport wesentlichen Flußtermen enthalten. Daher ist es sinnvoll, ein dichtegewichtete Phasenmittel zu definieren: 

Ik ρ φ = φˆk = Ik ρ

ρφ

 k

ρ¯k

.

(B.71)

Das Phasenmittel φ˜ und das dichtegewichtetes Phasenmittel φˆ sind wichtige Grundgr¨oßen der Euler–Euler–Formulierung.

B.2.5

Grenzfl¨ achen–Mittelung

Zur Bestimmung der Phasenaustauschterme ist es notwendig, eine Integration u ¨ber die Phasengrenzfl¨achen durchzuf¨ uhren. Analog zur Volumen–Mittelung wird entlang der Grenzfl¨achen gemittelt, siehe auch Abbildung (B.2):
φk j ≡

1  Ik φ dA . Aj j

(B.72)

A

268


φk j ist der Mittelwert von φ auf der Seite der Phase k. Es wird die j–te der n Grenzfl¨achen Aj innerhalb des Kontrollvolumens ∆V betrachtet. φ¯ki =

n

j j j=1 A
φk  n j A j=1

.

(B.73)

φ¯ki ist der Mittelwert von φ auf der Seite der Phase k, wobei die gesamte Grenzfl¨ache innerhalb des Kontrollvolumens ∆V zur Wichtung verwendet wird.

B.3

Formulierung der gemittelten Transportgleichung

B.3.1

Bedingte Mittelung der Differentialoperatoren

Die allgemeine Bilanzgleichung Gl. (B.4) soll nun f¨ ur eine phasengemittelte Gr¨oße φ˜(x,t) formuliert werden. Die Erhaltungsgleichung wird mit der Indikatorfunktion Ik multipliziert, womit die Bilanzen nur f¨ ur die k–te Phase gebildet werden. Anschließend wird jeder Term gemittelt, wobei folgende Ausdr¨ ucke entstehen: T 1t = Ik

∂φ ∂t

,

T 1x = Ik ∇φ .

(B.74)

Ben¨otigt werden jedoch die Differentiale in den gemittelten Gr¨oßen. φ¯k = Ik φ . Dopazo [91] hat die G¨ ultigkeit folgender zwei Umformungen gezeigt: ∂Ik φ ∂(αk φ˜k ) ∂Ik φ = = , ∂t ∂t ∂t 

∇ αk φ˜k



(B.75)

= ∇Ik φ = ∇(Ik φ) .

(B.76)

Um die phasengemittelten Differentialterme nach Gl. (B.75), Gl. (B.76) zu erhalten, ist es notwendig die Funktion Ik in den Differentialoperator f¨ ur die Terme der Gl. (B.74) hineinzuziehen. Dies soll nachfolgend die sogenannten Mittelwerttheoreme f¨ ur die zeitliche und r¨aumliche Ableitung liefern.

269

Zeitableitung Die Produktregel der Differentiation erlaubt die Ersetzung Ik

∂Ik ∂φ ∂Ik φ = −φ . ∂t ∂t ∂t

(B.77)

Wenn man die Definition der Heaviside–Funktion H in Gl. (B.66), die der Indikatorfunktion Ik in Gl. (B.65) und der Geschwindigkeit der j–ten Phasengrenzfl¨ache j vinterf in Gl. (B.55) entspricht, verwendet, gilt 

n
∂H ∂Fkj ∂Ik = j · ∂t ∂t j=1 ∂Fk



mit δ Fkj





= −

n  
j

j δ Fk · ∇Fkj · vinterf

j=1



= lim

→∞

0 f¨ ur +  < Fkj < − 1/ε f¨ ur −  < Fkj < +

.

(B.78)

Mit der Gl. (B.78) l¨aßt sich die Mittelung des zweiten Terms auf der rechten Seite von Gl. (B.77) durchf¨ uhren, Dopazo [91]: φ

n  ∂Ik 1
j φ · vinterf · nj dA . = ∂t ∆V j=1

(B.79)

Aj

nj ist der Normalenvektor der j–ten Grenzfl¨ache. Mit Gl. (B.79) kann die Ausgangsgleichung (B.77) umgeformt werden und liefert nun eine Beziehung zwischen dem bedingten Mittelwert der Zeitableitung und der Zeitableitung des bedingten Mittels: Ik

n  ∂φ ∂(αk φ˜k ) 1
j φ · vinterf · nj dA . = − ∂t ∂t ∆V j=1

(B.80)

Aj

Ortsableitung Die Vorgehensweise f¨ ur den Gradienten einer Funktion ist analog zur Zeitableitung. Es gelten: Ik ∇φ = ∇(Ik φ) − φ∇(Ik ) , ∇Ik =

n
j=1



∂H · ∇Fkj ∂Fkj



= −

(B.81) n  
j

δ Fk · ∇Fkj ,

j=1

270

(B.82)

n  1
φ · nj dA . ∆V j=1

φ∇Ik =

(B.83)

Aj

Analog zu Gl. (B.80) wird Gl. (B.76) umgeformt: Ik ∇φ = ∇(αk φ˜k )t +

n  1
φ · nj dA . ∆V j=1

(B.84)

Aj

Mit der Formulierung der Grenzfl¨achen–Mittelung nach Gl. (B.72) k¨onnen zusammenfassend Beziehungen f¨ ur die Zeit– und Ortsableitung der phasengemittelten Gr¨oße φ˜k geschrieben werden: n ∂(αk φ˜k ) ∂φ 1
Aj
φk vinterf · nj j , = Ik + ∂t ∂t ∆V j=1



∇ αk φ˜k



= Ik ∇φ −

n 1
Aj
φk nj j . ∆V j=1

(B.85)

(B.86)

Es soll hier nicht verschwiegen werden, daß es auch einen anderen Weg gibt, diese sogenannten Mittelwerttheoreme Gl. (B.85) und Gl. (B.86) abzuleiten. Delhaye [90] zeigt unter Verwendung der Leibnizschen Regel, daß er auf dieselbe Formulierung kommt. Zeit– und Ortsableitung der Volumenfraktion F¨ ur den Fall einer konstanten Funktion φ(x,t) = 1 mit ∂φ/∂t ≡ 0 und ∂φ/∂xi ≡ 0 kann man mit Hilfe von Gl. (B.85) und Gl. (B.86) einfach die Differentiale f¨ ur die Volumenfraktion αk bekommen: n 1
∂αk Aj
vinterf · nj , = ∂t ∆V j=1

∇αk =

(B.87)

n 1
Aj
nj . ∆V j=1

(B.88)

Diese Beziehungen k¨onnen zum Umformen von Termen, die u ¨ ber die Phasengrenzen integrieren, verwendet werden.

271

B.3.2

Erhaltungsgleichung in gemittelter Form

Die allgemeine Bilanzgleichung (B.4) f¨ ur die Gr¨oße φk wird mit der Indikatorfunktion Ik multipliziert, gemittelt und mit den Mittelwerttheoremen, Gl. (B.85) und Gl. (B.86), umgeformt: 

Ik

∂(ρk φk ) + ∇ · (vk ρk φk ) + ∇ · jk − ρk Qk ∂t



= 0 .

(B.89)

Terme wie ρk φk werden als Produkt der phasengemittelten Dichte und des dichtegewichteten Phasenmittels, siehe Gl. (B.71), dargestellt: ρk φk = ρ¯k φˆk . Die Mittelung der konvektiven Terme liefert Ausdr¨ ucke von der Art ρk φkvk , die nicht direkt umformbar sind. Mit der Definition der Fluktuationen: φk = φˆk + φ
k

mit

ρk φ
k = 0

(B.90)

ergibt sich folgende Aufspaltung ρk φk vk = ρ¯k φˆk vˆk + ρk φ
k vk
.

(B.91)

Die Korrelation der fluktuierenden Gr¨oßen in (B.91) (zweiter Term rechts) ergibt sich wegen der Mittelwertbildung u ¨ber einen endlich großen Raumbereich. Dieser Ausdruck entspricht formal den turbulenten Spannungen, die bei der Reynolds– Aufspaltung von turbulenten Str¨omungen entstehen, obwohl hier die Mehrphasigkeit die Ursache ist. Wenn man Gl. (B.90) und Gl. (B.91) mit Gl. (B.89) kombiniert und die phasengemittelte Gr¨oße φ˜k als Basis nimmt, erh¨alt man folgende Grundgleichung des Zwei– Fluid–Modells: 



∂(αk ρ˜k φˆk ) ˜ ˜ + ∇ · (αk ρ˜k φˆkvˆk ) = −∇ · αk jk + jkf ∂t



+ ρ˜k Qˆk + Mk .

(B.92)

Der Fluktuationsterm jkf ist folgendermaßen definiert: ρk φ
k vk
j˜kf = ρk 2 φ
k vk
= , αk

(B.93)

272

der Austauschterm Mk wird detailliert so bestimmt: Mk =

n   1
Aj
n · ρk φk (vinterf − vk ) − jk j . ∆V j=1

(B.94)

Der Austauschterm Mk stellt den u ¨ber alle Phasengrenzfl¨achen gemittelten Fluß der Gr¨oße φ dar. Er entspricht der schon unter Gl. (B.58) formulierten Sprungbedinuhrt. gung. Mk wird als zus¨atzlicher Quellterm in der Bilanzgleichung (B.92) eingef¨ Durch Mittelung der Sprungbedingung Gl. (B.58) folgt die Summe der Wechselwirkungsterme: M1 + M2 =

n 1
Aj
wa j . ∆V j=1

(B.95)

Wegen der Oberfl¨achenspannung ist die Summe der Austauschterme M1 und M2 ungleich Null. F¨ ur den Fall wa = 0, der als vereinfachende Annahme verwendet wird, kann angenommen M1 = −M2

(B.96)

werden Gl. (B.92) ist eine exakte Bilanz der Gr¨oße φ. Die Grundgr¨oßen Dichte, Geschwindigkeit, Druck, Energie sind jedoch bedingte Mittelwerte, wie sie nach Gl. (B.68)–Gl. (B.71) definiert wurden. Die Komplexit¨at des Zwei–Fluid–Modells wurde nun in die folgenden drei Terme verlagert: ˜ • Fluktuationsterm jkf , • Phasenaustauschterm Mk , ˜ • gemittelter diffuser Fluß jk . Der Fluktuationsterm entsteht aus der Mittelwertbildung, was auch f¨ ur die Reynolds– Spannungen bei der Turbulenzmodellierung gilt. F¨ ur den laminaren Fall sind diese Terme zu vernachl¨assigen, wie Gl. (B.13) nach dem Gesetz von Termen 2. Ordnung (Produkt zweier kleiner Gr¨oßen) zeigt. Im turbulenten Fall m¨ ussen sie u ¨ber ein Mehrphasenturbulenzmodell ber¨ ucksichtigt werden, bei Reduktion auf eine Phase erh¨alt man die bekannten Reynolds–Spannungen. Der Austauschterm ist ein Quellterm, der durch ein Volumenintegral u usse aller Grenzfl¨achen des betreffenden ¨ber die Fl¨ Kontrollvolumens gebildet wird. Oft sind Fl¨ usse mit konstitutiven Gesetzen verbunden, wobei hier gemittelte Gr¨oßen als Basis stehen, die mit den gemittelten diffusen Fl¨ ussen verkn¨ upft werden. Diese ˜ Annahme wird f¨ ur den gemittelten Fluß jk postuliert, wobei es notwendig ist, die Grunds¨atze von Kap. B.1.2 einzuhalten.

273

Anhang C Erl¨ auterungen zur Diskretisierung der NS–Gleichungen und Herleitung der Fluktuationswerte In diesem Anhang sind einige Herleitungen und Verfahren zusammengefaßt, die im Kapitel 2 f¨ ur die Diskretisierung und die numerische L¨osung der Bilanzgleichungen ben¨otigt werden. Die Darstellungen der Fl¨ usse und Ableitungen sind eine Kurzfassung der Erl¨auterungen in [297]. Die Ableitung der gemittelten Fluktuation zeigt den in der Implementation gew¨ahlten L¨osungsweg.

C.1

Approximation der diffusiven Flu ¨ sse

Der in den Bilanzgleichungen auftretende Diffusionsterm F d1 hat die allgemeine Form: 

F d1 =

S

Γ grad φ · n dS .

(C.1)

Der diffusive Fluß durch die Seitenfl¨ache e wird approximiert durch: 

Fed1 =

Se

Γ grad φ · n dS ≈ (Γ grad φ · n)e Se .

(C.2)

Der Gradient von φ im Mittelpunkt der Fl¨ache kann sowohl in globalen kartesischen Koordinaten (x, y, z) als auch durch die lokalen orthogonalen Koordinaten uckt werden: (ξe1 , ξ2e , ξ3e ) in kontra– bzw. kovarianter Richtung ausgedr¨ 

grad φ =

∂φ ∂φ ∂φ , , ∂x ∂y ∂z

T

=

∂φ 1 ∂φ  ∂φ  ξe + ξ2e + ξ3e . 1  ∂ξ ∂ξ 3e ∂ ξe 2e

274

(C.3)

wobei ξe1 die Koordinatenrichtung senkrecht zur Seitenfl¨ache und ξ2e die tangentiale Koordinatenrichtung ist, siehe Abb. 2.3. Setzt man diese Formulierung f¨ ur den Gradienten in die Gleichung (C.2) ein, so sieht man, daß nur die Ableitung senkrecht zur Seitenfl¨ache einen Beitrag zum diffusiven Fluß liefert, d.h.: 

Fed1 ≈ Γe

∂φ ∂ξe1



Se .

(C.4)

e

F¨ ur orthogonale Gitternetze kann die Ableitung senkrecht zur Fl¨ache auf einfache Weise mit einer zentralen Differenz berechnet werden 

∂φ ∂ξe1



≈ e

φE − φP , LP,E

(C.5)

wobei LP,E der Abstand der Punkte P und E ist. In nichtorthogonalen Gittern ist die Verbindungslinie zwischen den benachbarten Gitterpunkten nicht senkrecht zur dazwischenliegenden Seitenfl¨ache. F¨ ur diesen Fall wird die folgende Deferred– Correction–Formulierung verwendet: 

∂φ ∂ξe1





≈ e

∂φ ∂ξ1e

neu e

⎡

∂φ +⎣ ∂ξe1

alt



− e

∂φ ∂ξ1e

alt ⎤ ⎦

.

(C.6)

e

Hierbei ist ξ1e die Koordinatenrichtung entlang der Verbindungslinie der Punkte P und E. Der mit dem Superskript neu gekennzeichnete erste Term auf der rechten Seite wird durch einen impliziten Ausdruck berechnet: 

∂φ ∂ξ1e

neu

= e

(φE − φP )neu . LP,E

und die mit dem Superskript ermittelt: 

∂φ ∂ξe1

alt e

alt

(C.7)

gekennzeichneten Terme werden auf explizite Weise 

1 = (grad φ)alt e · ξe ,

∂φ ∂ξ1e

alt

 = (grad φ)alt e · ξ1e .

(C.8)

e

wobei ξ1e der Koordinatenvektor der ξ1e –Richtung (kovariante Richtung) ist. Nach dem Einsetzen der Gl. (C.6)–(C.8) in die Gl. (C.4) ergibt sich als Approximation f¨ ur den diffusiven Fluß durch die Seitenfl¨ache e Fed1 ≈ Γe

Se 1  (φE − φP )neu + Γe Se (grad φ)alt e · (ξe − ξ1e ) . LP,E

275

(C.9)

C.2

Berechnung der Ableitung im Zellenmittelpunkt

Die Berechnung der Ableitung einer Gr¨oße φ im Mittelpunkt einer Gitterzelle soll im folgenden am Beispiel der Ableitung nach der Variablen x erl¨autert werden. Die Berechnung der Ableitung nach y bzw. z erfolgt in analoger Weise. Zun¨achst wird die Ableitung im Mittelpunkt der Zelle durch den Mittelwert der Ableitung in der Zelle approximiert: 

∂φ ∂x



/

=

∂φ V ∂x

dV . ∆V

P

(C.10)

Die Ableitung ∂φ / ∂x kann als Divergenz des Vektors (φ , 0, 0)T betrachtet werden. Damit kann das Volumenintegral in Gl. (C.10) unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes in ein Oberfl¨achenintegral umgewandelt werden:  V

∂φ dV = ∂x

 S

(φ , 0, 0)T · n dS ≈




φc Scx ,

c = e, w, s, n, b, t .

(C.11)

c

Setzt man diese Beziehung in die Gl. (C.10) ein, so erh¨alt man als Approximation f¨ ur die Ableitung im Zellenmittelpunkt 

C.3

∂φ ∂x





≈ P

φc Scx . ∆V

c

(C.12)

Berechnung der gemittelten Schwankungsgr¨ oßen

Oft wird in der Str¨omungstechnik eine gemittelte Schwankungsgr¨oße, auch “root mean square“genannt, ben¨otigt. In der aktuellen Arbeit kommen solche Gr¨oßen im Kollisionsmodell von Sommerfeld [360] vor. Es soll hier die Berechnung der Partikelfluktuationsgeschwindigkeit u
P unter Verwendung der Reynolds–Annahme uP = u¯P + u
P dargestellt werden:

u¯P =

NP 1
uP,i , NP i=1

NP 1
1 u¯2 = NP u¯2P = u¯2P . NP i=1 P NP

276

(C.13)

Gl. (C.13) zeigt Hilfsbeziehungen, die in Gl. (C.14) Verwendung finden NP NP NP 1
1
1 1

2 uP,i = (uP,i − u¯P )2 = u2 − 2¯ uP u¯P + NP u¯2P .(C.14) NP i=1 NP i=1 NP i=1 P,i NP

Gl. (C.14) ist die Definition von “mean square“ von u
P und verwendet Gl. (C.13) zu weiteren Umformungen. Die Wurzel von Gl. (C.14) l¨aßt sich folgendermaßen darstellen: $ % % &

$ % * NP NP % 1
1

2
2 uP,i = uP = & u2 − u¯2P . NP i=1 NP i=1 P,i

(C.15) *

Gl. (C.15) und Gl. (C.13) zeigen, daß sich eine gemittelte Fluktuationsgr¨oße aus den Summen der Momentanwerte φ bzw. φ2 ermitteln l¨aßt.

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φ
2

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Lebenslauf Name : Dipl. Ing. Klaus Pachler Geboren : 27.10.1959 in Graz Familienstand : verheiratet, zwei S¨ohne Staatsangeh¨origkeit : ¨osterreichisch e–mail : [email protected]

1978 : 1978 - 1985 : 1981 :

Matura am Realistischen Gymnasium Lichtenfelsgasse in Graz Studium des Bauingenieurwesens an der Technischen Universit¨at Graz 1. Diplompr¨ ufung, sechs Wochen Studienaufenthalt an der Miami Universit¨at in Oxford, Ohio 1985 : 2. Diplompr¨ ufung mit der Vertiefung im konstruktiven Wasserbau 1985 - 1987 : Projektingenieur f¨ ur das Tunnel–Ingenieurb¨ uro IGT in Salzburg, verantwortlich f¨ ur Grundbau– und Tunnelstatiken und die Ausf¨ uhrungsplanung 1987 - 1989 : Softwareentwickler im technischen B¨ uro TDV Ges.mbH in Graz im Bereich Durchlauftr¨ager/Hochbaustatik seit 1989 : in der AVL LIST GmbH in Graz innerhalb des FIRE– Entwicklungsteams seit 1992 : Implementation des Einspritzstrahlmoduls in das CFD Paket FIRE, Betreuung von drei Diplomarbeiten im Bereich Dieselmotorischer Verbrennung und GDI Simulation in Zusammenarbeit mit dem Institut f¨ ur Verbrennungskraftmaschinen an der TU–Graz, Mitarbeit bei den von der AVL bearbeiteten und von der FVV gef¨orderten Projekten “EINSPRITZSTRAHL“ und “DIESELVERBRENNUNG“. Die FVV (Forschungsvereinigung f¨ ur Verbrennungskraftmaschinen) unterst¨ utzt im deutschsprachigen Raum industrienahe Forschung im Bereich Motoren und Gasturbinen. 1995 : Implementation des Spray Moduls im Rahmen von FIRE auf die Local Memory Architecture des auf Intel Prozessoren basierenden N–Cubes 1997 : Entwicklung eines Grafikinterfaces (GUI) f¨ ur die Definition der Strahleingabedaten in Zusammenarbeit mit freien Mitarbeitern, Einbringung des AVL Projektantrags f¨ ur die Simulation im Rahmen des FVV– ¨ Forschungsvorhabens “PRIMARAUFBRUCH“ und Zuteilung des Auftrags nach einem deutschlandweiten Auswahlverfahren

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1998 :

1999 - 2003 :

Projektleiter f¨ ur die FIRE Sprayvalidierung in Zusammenarbeit mit ¨ Robert Bosch und der BMW–AG, Uberpr¨ ufung der Anwendbarkeit der Diskreten–Tropfen–Methode f¨ ur die CFD–Simulation von Niederdruckeinspritzventilen in Otto–Motoren, Vergleich Rechnung– Messung der Gas– als auch der Tropfenphase wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut f¨ ur Technische Thermodynamik der TU–Chemnitz in der Forschungsgruppe Mehrphasenstr¨omung, Implementation eines instation¨aren NS–L¨osers im Rahmen des SFB 393, sowie die Erweiterung des Partikell¨osers f¨ ur ein Zeitschrittverfahren unter Ber¨ ucksichtigung von Kollisionsalgorithmen, Betreuung einer Diplomarbeit und eines Gastwissenschaftlers, Abschluß der vorliegenden Dissertation im Herbst 2003.

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Erkl¨ arung Hiermit erkl¨are ich, Klaus Pachler, daß ich die vorliegende Dissertation “Parallele Berechnung 3-dimensionaler, instation¨arer Gas–Partikel-Str¨omungen unter Ber¨ ucksichtigung von Kollisionen und Aggregatzustands¨anderungen“ selbstst¨andig und ohne unzul¨assige Hilfe verfaßt habe. Die aus fremden Quellen direkt oder indirekt u ¨bernommen Gedanken oder Ergebnisse sind als solche im Text kenntlich gemacht. Alle Personen, die Beitr¨age zur Erstellung dieser Arbeit geleistet haben wurden benannt. Es wurden keine Dienstleistungen von Promotionsberatern in Anspruch genommen. Dritte, haben von mir weder mittel noch unmittelbare geldwerte Leistungen f¨ ur Arbeiten im Zusammenhang mit dem Inhalt dieser Dissertation erhalten. Die vorgelegte Arbeit wurde weder im Inland noch im Ausland in gleicher oder ver¨anderter Form einer anderen Pr¨ ufungsbeh¨orde zum Zweck einer Promotion oder eines anderen Pr¨ ufungsverfahrens vorgelegt. Es hat auch keine vorangegangen Promotionsversuche gegeben. Die Promotionsordnung der Fakult¨at Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Technischen Universit¨at Chemnitz ist mir bekannt.

Chemnitz, September 2003 Klaus Pachler

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