MATHS 3e GEOMETRIE 2020-2021 M.D-2 [PDF]

Zitiervorschau

THÉORÈME DIRECT – CONSÉQUENCE - RÉCIPROQUE

I- Cas du triangle a) Théorème direct Enoncé du théorème direct de Thalès : Soit ABC un triangle, I un point de la droite (𝐴𝐶) et J un point de la droite (𝐴𝐵). 𝐴𝐽 𝐴𝐼 Si la droite (𝐼𝐽) est parallèle à la droite (𝐵𝐶) alors, = ∙ 𝐴𝐵

𝐴𝐶

Exemple 1: Comment utiliser le théorème dans un exercice. Dans la figure suivante (𝐼𝐽)//(𝐵𝐶) et AB = 4cm ; AC = 3,2cm ; AJ = 2,5cm. Calcule AI

Règle des trois étoiles : *ABC est un triangle (énoncer un triangle) *I ∈(AC) et J ∈ (AB) (énoncer l’appartenance des autres points aux droites …) *Comme (BC)//(IJ), donc d’après le théorème de Thalès, on a : 𝐴𝐽 𝐴𝐵

=

𝐴𝐼 𝐴𝐶

ce qui donne

𝐴𝐼 =

𝐴𝐽×𝐴𝐶 𝐴𝐵

=

2,5×3,2 4

= 2 ; 𝐴𝐼 = 2𝑐𝑚

Exemple 2 : Autre manière Dans la figure suivante (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶) ; 𝐴𝐵 = 4,5𝑐𝑚 ; 𝐴𝐶 = 3,6𝑐𝑚 et 𝐴𝑁 = 1,5𝑐𝑚. Calcule AM.

Les points M; A et C d’une part et N ; A et B d’autre part sont alignés dans leur ordre d’écriture. Comme (𝑀𝑁) et (𝐵𝐶) sont parallèles donc, d’après le Théorème direct de Thalès on a : 𝐴𝑀 𝐴𝐶

=

𝐴𝑁 𝐴𝐵

; il vient : 𝐴𝑀 =

𝐴𝐶×𝐴𝑁 𝐴𝐵

=

3,6×1,5 4,5

= 1,2

;

𝐴𝑀 = 1,2 𝑐𝑚

b) Conséquence du théorème de Thalès Enoncé de la conséquence du théorème de Thalès : Soit ABC un triangle, M un point de la droite (𝐴𝐵) et N un point de la droite (𝐴𝐶). 𝐴𝑀

Si (𝑀𝑁) est parallèle à (𝐵𝐶 ), alors

𝐴𝐵

=

𝐴𝑁 𝐴𝐶

=

𝑀𝑁 𝐵𝐶

.

Exemple 1 : Démonstration de la conséquence du théorème de Thalès Dans la figure suivante (MN)//(BC) ; (MH)//(BC) et (AM)//(CH). AM

AN

Démontrons que : AB = AC =

MN BC

Les points A, M et B d’une part et A, N et C d’autre part sont alignés dans leur ordre d’écriture. AM AN Comme (MN)//(BC) donc, d’après le théorème direct de Thalès on a : = AB

AC

Les points A, N et C d’une part et M, N et H d’autre part sont alignés dans leur ordre d’écriture. NA NM Comme (AM)//(HC), il vient d’après le théorème direct de Thalès on a : = NC

NH

Le quadrilatère MBCH est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux, donc BC = MH. Comme MH = MN + NH donc BC = MN + NH d’où NH = BC − MN L’égalité

NA NC

=

NM

NA NM = NC BC − MN

NH

devient : ⟺

NA(BC − MN) = NC × NM ⟺ NA × BC − NA × MN = NC × NM

NA × BC = NC × NM + NA × MN NA × BC = AC × MN

donne

;

NA × BC = (NC + NA)MN = AC × MN NA AC

=

MN BC

Compte tenu des trois relations, on peut en déduire que :

AM AB

=

AN AC

=

MN BC

. Cette relation est la

conséquence du théorème de Thalès.

Exemple 2 : Comment utiliser la conséquence dans un exercice. Dans la figure suivante (𝐼𝐽)//(𝐵𝐶) et AB = 4cm ; AC = 3,2cm ; AJ = 2,5cm ; AI = 2cm et 𝐵𝐶 = 6𝑐𝑚 Calcule IJ

Règle des trois étoiles : *ABC est un triangle *I ∈(AC) et J ∈ (AB) *Comme (BC)//(IJ), donc d’après le théorème de Thalès, on a : 𝐴𝐽

=

𝐴𝐵

𝑨𝑰 𝑨𝑪

=

𝑰𝑱 𝑩𝑪

ce qui donne

𝐼𝐽 =

𝐴𝐼×𝐵𝐶 𝐴𝐶

=

2×6 3,2

= 3,75 ; 𝐼𝐽 = 3,75𝑐𝑚

Remarque : Le théorème et la conséquence de Thalès permettent de calculer des longueurs de segments dans un triangle.

c) Réciproque du théorème de Thalès Enoncé de la réciproque du théorème de Thalès : Soit ABC un triangle, M un point de la demi-droite [𝐴𝐵) et N un point de la demi-droite [𝐴𝐶). 𝐴𝑀 𝐴𝑁 Si = alors, (𝑀𝑁) est parallèle à (𝐵𝐶). 𝐴𝐵

𝐴𝐶

Exemple : L’unité est le centimètre. On considère la figure ci-dessous : Montrons que les droites (ST) et (EF) sont parallèles

Règle des quatre étoiles : *RST est un triangle *E ∈[RS) et F ∈ [RT) 𝑅𝐸

*

𝑅𝑆

6

𝑅𝐹

8

𝑅𝑇

= = 0,75 ;

*Comme

𝑅𝐸 𝑅𝑆

=

𝑅𝐹 𝑅𝑇

=

4,5 6

= 0,75

donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès (ST)//(EF)

II. Cas du trapèze Exemple : ABCD est un trapèze (voir définition) 𝑀 ∈ (𝐴𝐷) et 𝑁 ∈ (𝐵𝐶) tels que : (𝐴𝐵)//(𝑀𝑁) Le théorème direct de Thalès est : ABCD est un trapèze, M un point de [AD]et N un pointde[BC]. 𝐴𝑀

Si (𝐴𝐵)//(𝑀𝑁) alors, 𝐵𝑁 =

𝑀𝐷 𝑁𝐶

La réciproque de Thalès est : 𝐴𝑀 𝑀𝐷 Si 𝐵𝑁 = 𝑁𝐶 alors, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

III. Partage d’un segment dans un rapport donné Exemple : Trace un segment [𝐴𝐵] de longueur quelconque. Trace une demi-droite d’origine A non parallèle à la droite (𝐴𝐵). Prends un écart quelconque du compas puis construis à partir de A, 5 segments d’égale longueur sur cette demi-droite. Trace la droite (𝑑′) reliant le point B au dernier point marqué sur la demi-droite. Trace les droites parallèles à (𝑑′) et passant par les autres points marqués. Elles coupent (𝐴𝐵). Vérifie avec le compas que le segment [𝐴𝐵] est partagé en 5 segments égaux.

Rappel : Un angle aigu est un angle dont la mesure non nulle est strictement inférieure à 90°.

I. Cosinus ; sinus et tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle

Exemple : On considère le triangle rectangle ci-dessous :

̂ ou 𝐵̂ dont la mesure est de 60° . On s’intéresse à l’angle 𝐴𝐵𝐶  BC est l’hypoténuse de ce triangle ; ̂;  AC est le côté opposé à l’angle 𝐴𝐵𝐶 ̂;  AB est le côté adjacent à l’angle 𝐴𝐵𝐶

En calculant à l’aide d’une machine, le cosinus de 60°, on trouve 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠(60°) = 0.5 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 𝐴𝐵 4𝑐𝑚 En calculant le rapport ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒 , on trouve 𝐵𝐶 = 8𝑐𝑚 = 0.5 On remarque qu’on a trouvé le même résultat. On en déduit que 𝑐𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠(60°) =

𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

En calculant à l’aide d’une machine le sinus de 60°, on trouve 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠(60°) = 0.866 … En calculant le rapport

𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

, on trouve

𝐴𝐶 𝐵𝐶

=

4√3𝑐𝑚 8𝑐𝑚

= 0.866 … 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

On remarque qu’on a trouvé le même résultat. On en déduit que 𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠(60°) = ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

En calculant à l’aide d’une machine la tangente de 60°, on trouve 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒(60°) = 1.732 … 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é 𝐴𝐶 4√3𝑐𝑚 En calculant le rapport 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡, on trouve 𝐴𝐵 = 4𝑐𝑚 = 1.732 … 𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

On remarque qu’on a trouvé le même résultat. On en déduit que 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒(60°) = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 ̂ notés Dans un triangle ABC rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente de 𝑩 respectivement cos ; sin et tan ont pour formules : ̂= 𝒄𝒐𝒔𝑩

𝒄ô𝒕é 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕 𝑨𝑩 = 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕é𝒏𝒖𝒔𝒆 𝑩𝑪 ̂= 𝒔𝒊𝒏𝑩

𝒄ô𝒕é 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔é 𝑨𝑪 = 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕é𝒏𝒖𝒔𝒆 𝑩𝑪 ̂= 𝒕𝒂𝒏𝑩

𝒄ô𝒕é 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔é 𝑨𝑪 = 𝒄ô𝒕é 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕 𝑨𝑩

II. Sinus et cosinus d’angles complémentaires Rappel : On dit que deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leur mesure est égale à 90°.

Exemple :

En calculant 𝐵̂ + 𝐶̂ on trouve, 𝐵̂ + 𝐶̂ = 60° + 30° = 90°. On en déduit que 𝐵̂ et 𝐶̂ sont des angles complémentaires. En calculant avec une calculatrice 𝑐𝑜𝑠60°, on trouve :𝑐𝑜𝑠60° = 0.5 donc En calculant avec une calculatrice 𝑠𝑖𝑛30°, on trouve, 𝑠𝑖𝑛30° = 0.5 donc En calculant avec une calculatrice 𝑐𝑜𝑠30°, on trouve, 𝑐𝑜𝑠30° = 0.866 … donc En calculant 𝑠𝑖𝑛60°, on trouve, 𝑠𝑖𝑛60° = 0.866 … 𝑠𝑖𝑛𝐵̂ = 0.866 … On remarque que les angles complémentaires 𝐵̂ et 𝐶̂ sont tels que 𝑐𝑜𝑠𝐵̂ = 𝑠𝑖𝑛𝐶̂

𝑐𝑜𝑠𝐵̂ = 0.5 𝑠𝑖𝑛𝐶̂ = 0.5 𝑐𝑜𝑠𝐶̂ = 0.866 et 𝑐𝑜𝑠𝐶̂ = 𝑠𝑖𝑛𝐵̂

Dans un triangle rectangle dont les angles complémentaires sont θ° et α° on a : cos θ° = sinα°

et

cos α° = sinθ°

III. Relations trigonométriques ̂ est un angle aigu, montrons que : Exemple : 𝑩 2 2 (𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) = 1 Il vient :

et

𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ =

̂ 𝑠𝑖𝑛𝐵 ̂ 𝑐𝑜𝑠𝐵

𝑐𝑜𝑠𝐵̂ =

𝐴𝐵 𝐵𝐶

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 × 𝑐𝑜𝑠𝐵̂

𝑠𝑖𝑛𝐵̂ =

𝐴𝐶 𝐵𝐶

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 × 𝑠𝑖𝑛𝐵̂

D’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 . Il vient : 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = 𝐵𝐶 2 2 2 (𝐵𝐶 × 𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝐵𝐶 × 𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) = 𝐵𝐶 2 2 2 𝐵𝐶 2 (𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + 𝐵𝐶 2 (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) = 𝐵𝐶 2

𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ =

̂ 𝑠𝑖𝑛𝐵 ̂ 𝐴𝐶 𝐵𝐶 × 𝑠𝑖𝑛𝐵 = = ̂ 𝑐𝑜𝑠𝐵 ̂ 𝐴𝐵 𝐵𝐶 × 𝑐𝑜𝑠𝐵

2 2 𝐵𝐶 2 [(𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) ] = 𝐵𝐶 2 2

2

𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ =

𝐵𝐶 2

[(𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) ] = 𝐵𝐶 2 = 1

̂ 𝑠𝑖𝑛𝐵 ̂ 𝑐𝑜𝑠𝐵

2 2 (𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) = 1 2

2

̂ 𝑠𝑖𝑛𝐵

Les relations (𝑐𝑜𝑠𝐵̂ ) + (𝑠𝑖𝑛𝐵̂ ) = 1 et 𝑡𝑎𝑛 𝐵̂ = 𝑐𝑜𝑠𝐵̂ sont des relations trigonométriques.

IV. Sinus, cosinus et tangente d’un angle de mesure 30°, 45° ou 60°.

Mesures d’angle

Cosinus

30°

√3 2

Sinus 1 2

Tangente √3 3

45°

√2 2

√2 2

1

60°

1

√3 2

√3

2

Utilisation de la calculatrice Mettre la calculatrice en mode degré (deg ou D)  Pour donner une valeur approchée de cos50° à 10−2 près ; On tape sur le clavier de la calculatrice allumée cos 50° = Il s’affiche sur l’écran 0,642787609686539 On écrit : cos50°=0,64 à 𝟏𝟎−𝟐 à près. ̂ =0,173 à  Pour déterminer une valeur approchée de  lorsque cos𝐀 10−2 près ; On tape sur le clavier de la calculatrice allumée = Shift ou inv cos 0,173 Il s’affiche sur l’écran 80,0377085705336 ̂ =80,04 à 𝟏𝟎−𝟐 à près. On écrit : 𝐀

Histoire Rayon de la terre avec Eratosthène

Vers 275-194 av. J.C

Eratosthène est célèbre pour la mesure de la terre et pour le procédé de détermination des nombres premiers appelé ≪Crible d’Eratosthène≫…

Lors du solstice d’été, alors qu’il se trouve à Syène, Eratosthène remarque que le soleil ne laisse aucune ombre au fond d’un puits et donc qu’il est parfaitement à la verticale. A Alexandrie, un bâton vertical de 1 mètre fait une ombre de 0,125 mètres. La distance de Syène à Alexandrie étant environ 820km, Ératosthène en déduit le rayon de la terre. Les rayons solaires sont supposés parallèles.

Le triangle AMB est rectangle en A, il vient : 𝑡𝑎𝑛𝐵̂ =

𝐴𝑀 0.125 = = 0.125 𝐴𝐵 1

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝐵̂ = 7.12°

̂ Les droites (BM) et (SO) coupées par la sécante (OB) définissent des angles alternes internes 𝐴𝐵𝑀 ̂ égaux donc 𝐵𝑂𝑆 ̂ = 7.12°. et 𝐵𝑂𝑆 La distance entre A et S étant de 820km=820.000m, il vient : 𝐴𝑆 = 𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 ×

7.12°𝜋 180°

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 =

180° × 𝐴𝑆 7.12°𝜋

𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 =

180 × 𝐴𝑆 7.12𝜋

I. Présentation et définition Exemple : On considère la figure ci-dessous:

̂ et 𝐻𝑂𝑃 ̂ ont pour sommet, le point O centre du cercle : Ils sont appelés angles au Les angles 𝐴𝑂𝐵 centre. ̂ a pour sommet, le point M qui se situe sur le cercle. En plus de cela, ses côtés MB et L’angle 𝐵𝑀𝑃 MP sont des cordes de ce cercle. ̂ comme un angle inscrit. Ces deux conditions réunies, définissent l’angle 𝐵𝑀𝑃 ̂ a pour sommet, le point I qui se situe à l’intérieur du cercle et qui est distinct de O. L’angle 𝐹𝐼𝐸 ̂ n’est alors, ni un angle au centre ni un angle inscrit car il ne respecte aucune des L’angle 𝐹𝐼𝐸 conditions établies ci-dessus.

A Retenir : Soit (C), un cercle de centre O :  Un angle au centre, est un angle dont le sommet est le point O, centre du cercle.  Un angle inscrit est un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés sont susceptibles d’être des cordes de ce cercle.  Un angle qui ne respecte pas les conditions ci-dessus n’est ni un angle au centre ni un angle inscrit.

II. Relation entre angle inscrit et angle au centre associé Exemple 1: On considère le cercle suivant : ̂ (le ̂ et l’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 ̂ interceptent le même arc AB Dans cette figure, l’angle inscrit 𝐴𝑀𝐵 petit arc en rouge). ̂ = 2 × 𝐴𝑀𝐵 ̂ Montrons que 𝐴𝑂𝐵

̂ et 𝑀𝐴𝑂 ̂ sont égaux Le triangle AOM est isocèle en O, donc ses angles à la base 𝐴𝑀𝑂 ̂ = 𝑀𝐴𝑂 ̂ = 𝑎°. 𝐴𝑀𝑂 Dans le triangle AOM, la somme des angles est égale 180°, il vient : ̂ = 180° − 𝐴𝑀𝑂 ̂ − 𝑀𝐴𝑂 ̂ = 180° − 2𝑎° ̂ + 𝑀𝐴𝑂 ̂ + 𝐴𝑂𝑀 ̂ = 180° donc 𝑨𝑶𝑴 𝐴𝑀𝑂 ̂ = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟐𝑨𝑴𝑶 ̂. 𝐴𝑂𝑀 ̂ est formé par les angles 𝐴𝑂𝑀 ̂ et 𝐴𝑂𝐵 ̂ , il vient : L’angle plat 𝑀𝑂𝐵 ̂ = 𝐴𝑂𝑀 ̂ + 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 180° ce qui entraine que 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 180° − 𝐴𝑂𝑀 ̂. 𝑀𝑂𝐵 ̂ = 180° − 2𝐴𝑀𝑂 ̂ ̂ = 180° − 𝐴𝑂𝑀 ̂ , il vient : En remplaçant : 𝐴𝑂𝑀 dans 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 180° − (180° − 2𝐴𝑀𝑂 ̂ ) = 180° − 180° + 2𝐴𝑀𝑂 ̂ = 2𝐴𝑀𝑂 ̂. 𝐴𝑂𝐵 ̂ et 𝐴𝑀𝐵 ̂ désignent le même angle donc 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 2𝐴𝑀𝐵 ̂. Comme 𝐴𝑀𝑂 ̂ = 2 × 𝐴𝑀𝐵 ̂ On obtient la relation 𝐴𝑂𝐵

A retenir : Soit (C), un cercle de centre donné : Dans (C), un angle au centre est égal à deux fois un angle inscrit interceptant le même arc que lui.

Exemple 2: ̂ Dans le cercle ci-contre, 𝐴𝑀𝐵 = 25° ̂ Calcule 𝐴𝑂𝐵

̂ , il vient : L’angle au centre AOB et l’angle inscrit AMB interceptent le même arc de cercle AB ̂ = 2 × 𝐴𝑀𝐵 ̂ = 2 × 25° = 50° 𝐴𝑂𝐵

III. Angles inscrits interceptant le même arc Exemple : On considère le cercle ci-dessous ;

̂ et l’angle inscrit 𝐴𝑀𝐵 ̂ interceptent le même arc AB ̂ donc : Dans ce cercle, l’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 2 × 𝐴𝑀𝐵 ̂ 𝐴𝑂𝐵 ̂ et l’angle inscrit 𝐴𝑃𝐵 ̂ interceptent le même arc AB ̂, Dans ce même cercle, l’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 donc : ̂ = 2 × 𝐴𝑃𝐵 ̂ 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 2 × 𝐴𝑃𝐵 ̂ donc 𝐴𝑀𝐵 ̂ = 𝐴𝑃𝐵 ̂ . On en déduit que les Par comparaison, on a : 2 × 𝐴𝑀𝐵 ̂ ̂ ̂ angles inscrits 𝐴𝑀𝐵 et 𝐴𝑃𝐵 interceptant le même arc AB sont égaux. Soit (C), un cercle de centre donné ; Dans (C), deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

IV. Longueur d’un arc de cercle : ̂ = 60° intercepte l’arc AB. Pour calculer la longueur de cet arc, tu dois L’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 d’abord, convertir 60° en radian (rad). 180° → 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜋 𝜋 60° → 60 × 180° = 3 𝑟𝑎𝑑 La longueur de l’arc AB est : 𝜋

𝜋

𝐿𝐴𝐵 = 𝑅𝑎𝑦𝑜𝑛 × 3 = 6 × 3 = 2𝜋 cm

̂ et l’angle inscrit le V. Cas où l’angle au centre intercepte le petit arc 𝐀𝐁 ̂. grand arc 𝐀𝐁 Exemple : Fig1

Fig2

Figure 1 : ̂ intercepte le petit arc AB et l’angle inscrit 𝐴𝑀𝐵 ̂ intercepte le grand arc AB. L’angle au centre 𝐴𝑂𝐵 Quelle est la relation entre les deux ? Pour répondre à cette question, on peut choisir un point N diamétralement opposé à M. (fig2)

Figure 2 : ̂ = 𝑏° et 𝐵𝑀𝑁 ̂ = 𝑚°. Il vient, compte tenu de ce qui précède : On pose : 𝐴𝑀𝑁 ̂ = 180° − 2𝑏° et 𝐴𝑂𝑀

̂ = 180° − 2𝑚° 𝐵𝑂𝑀

̂ = 𝐴𝑂𝑀 ̂ + 𝐵𝑂𝑀 ̂ = 180° − 2𝑏° + 180° − 2𝑚° = 360° − 2(𝑏° + 𝑚°) = 360° − 2𝐴𝑀𝐵 ̂ 𝐴𝑂𝐵 ̂ = 360° − 2𝐴𝑀𝐵 ̂ 𝐴𝑂𝐵

ou

̂ = 1 (360° − 𝐴𝑂𝐵 ̂ ) = 180° − 1 𝐴𝑂𝐵 ̂ 𝐴𝑀𝐵 2 2

Soit (C), un cercle de centre O ; A et B deux points de (C) : ̂ et l’angle inscrit interceptant le Dans (C), l’angle au centre interceptant le petit arc AB ̂ grand arc AB sont liés par la relation : ̂ = 360° − 2𝐴𝑀𝐵 ̂ 𝐴𝑂𝐵

ou

̂ = 180° − 1 𝐴𝑂𝐵 ̂ 𝐴𝑀𝐵 2

I. Addition vectorielle 1. Théorème et définition Exemple : Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs d’un plan (𝑃) et A un point quelconque de (𝑃). a. Construis le point M image de A par la translation de vecteur 𝑢 ⃗. b. Construis le point B image de M par la translation de vecteur 𝑣. c. Trace le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 .

Correction : La traduction mathématique de ‘’M image de A par la translation de vecteur 𝑢 ⃗ ‘’ est : 𝑡𝑢⃗ (𝐴) = 𝑀. Il vient : a. 𝑡𝑢⃗ (𝐴) = 𝑀 signifie que les vecteurs 𝑢 ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 sont égaux (même direction, même sens, même longueur) voir figure. b. 𝑡𝑣⃗ (𝑀) = 𝐵 signifie que les vecteurs 𝑣 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 sont égaux (même direction, même sens, même longueur) voir figure.

c. Voir figure Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 est la résultante (la somme) des vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣. Dans cet exemple, B est l’image de A par la translation de vecteur 𝑢 ⃗ suivie de vecteur 𝑣.

Théorème et définition : Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs d’un plan (𝑃) et A un point de (𝑃). Si M est l’image de A par la translation de vecteur 𝑢 ⃗ suivie de la translation de vecteur 𝑣 alors le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 est la somme ⃗⃗⃗⃗⃗ des vecteurs 𝑢 ⃗ + 𝑣. On note 𝑢 ⃗ + 𝑣 = 𝐴𝐵.

Remarque : Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ne dépend pas de la position du point A (A peut être placé à n’importe quel endroit du plan).

2. Relation de Chasles En considérant l’exemple précédent, il vient : 𝑡𝑢⃗ (𝐴) = 𝑀 et 𝑡𝑣⃗ (𝑀) = 𝐵 donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = 𝑢 ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = 𝑣 𝑢 ⃗ + 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵.

Michel Chasles Mathématicien Français du XIX siècle

La relation vectorielle ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 est la relation de Chasles.

Enoncé de la relation de Chasles : Soit A, B et M trois points quelconques du plan, on a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐌 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐌𝐁 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐁.

II. Construction de la somme de deux vecteurs Exemples : 1er cas (en quatre figures) : Les deux vecteurs ont même origine.  Matériel : compas ; règle et crayon. ⃗⃗⃗⃗ ont même origine I. Pour construire le vecteur 𝐼𝑀 ⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ , somme des vecteurs 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ et Les vecteurs 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝐴 , on construit avec le compas l’arc de cercle de centre A et de rayon 𝐼𝐵 puis l’arc de cercle de centre B et de rayon 𝐼𝐴. Les deux arcs se coupent en M. Avec la règle, on trace le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑀.(Voir figure).

⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ est la somme des vecteurs 𝐼𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑀

 Matériel : équerre. Règle et crayon. Avec la règle et l’équerre, on trace la parallèle à (𝐼𝐴) passant par 𝐵 puis la parallèle à (𝐼𝐵) passant par 𝐴. Les deux droites tracées se coupent en 𝑀. On trace le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐼𝑀.

2ieme cas : L’origine de l’un est confondue avec l’extrémité de l’autre

⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ Application directe de la relation de Chasles : 𝐼𝐴

III. Construction du produit d’un vecteur par un nombre réel Exemple : on donne un vecteur 𝑢⃗ de longueur 2𝑐𝑚 et deux points 𝐴 et 𝐵 non confondus. Construis les points 𝐴’ et 𝐵’ tels que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴’ = 3𝑢 ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐵’ = −2,5𝑢 ⃗

Construction et proposition de démarche 3>0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑚ê𝑚𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴’ = 3𝑢 ⃗ ∶ { 𝐴𝐴′ 𝑒𝑡 𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 3 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ 𝑒𝑡 𝑢 ⃗ 𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑚ê𝑚𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑠 ′ 𝐴𝐴 = +3 × 2 = 6𝑐𝑚 −2,5 < 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ 𝑒𝑡 𝑢 ⃗ 𝑜𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑚ê𝑚𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐵’ = −2,5𝑢 ⃗ ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 − 2,5 < 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ 𝑒𝑡 𝑢 ⃗ 𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é𝑠 { 𝐵𝐵′ = +2,5 × 2 = 5𝑐𝑚

Figure

IV. Propriétés 𝑘 et 𝑘′ étant deux réels donnés et 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs, on a :

Propriété 1 𝑘𝑢⃗ + 𝑘𝑣 = 𝑘(𝑢⃗ + 𝑣) =

Propriété 3 :(𝑘 + 𝑘 ′ )𝑢⃗ = 𝑘𝑢⃗ + 𝑘′𝑢⃗

Propriété 2 :𝑘(𝑘 ′ 𝑢⃗) = 𝑘 × 𝑘′𝑢⃗

Propriété 4 :1𝑢⃗ = 𝑢⃗

Exemples : 3(𝑢 ⃗ + 𝑣) = 3𝑢 ⃗ + 3𝑣

1

−2(7𝑢 ⃗ ) = −14𝑢 ⃗

1

(4 + 2) 𝑢 ⃗ = 4𝑢 ⃗ + 2𝑢 ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 2𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 ⃗ = 2𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = +3𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(𝐹𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐸𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 = −3𝐸𝐹 𝐸𝐺 ) = 3𝐹𝐺

V. Vecteurs colinéaires Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs du plan. S’il existe un réel 𝒌 tel que 𝑢 ⃗ = 𝑘 × 𝑣 ; alors les vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires.

Cas de l’alignement de points Soit A, B et C trois points distincts, s’il existe un réel 𝑘 tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝑘 × ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 alors les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et les points A, B et C alignés. et 𝐴𝐶

Exemples : questions réponses ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑢 On donne 𝑢 ⃗ = 2𝑖 + 6j ; 𝑣 = 𝑖 + 3j ; 𝐴𝐵 ⃗ + 12𝑣 1. Montre que 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires Réponse 𝑢 ⃗ = 2𝑖 + 6j = 2(𝑖 + 3j) = 2 𝑣 𝑢 ⃗ = 2 𝑣 est de la forme 𝑢 ⃗ =𝑘×𝑣

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢 et 𝐴𝐶 ⃗ − 4𝑣

avec 𝑘 = 2 donc 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires.

2. Montre que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 sont colinéaires. En déduis que les points A, B et C sont alignés. Réponse ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −3𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗ + 12𝑣 = −3(𝑢 ⃗ − 4𝑣 ) = −3(𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −3𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ est de la forme 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 × 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵

avec 𝑘 = −3

⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires. donc 𝐴𝐵

Comme ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 sont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés. ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. R ; T ; M ; N et O sont quatre points tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑀 = 𝑅𝑇 𝑅𝑁 et O milieu du segment [NT]. Montre que les points R ; O et M sont alignés. Réponse ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑅𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑅𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂 ⃗ = 2𝑅𝑂 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝑇 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝑂 𝑅𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ est de la forme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑀 = 2𝑅𝑂 𝑅𝑀 = 𝑘 × 𝑅𝑂 les points R ; O et M sont alignés.

avec 𝑘 = 2

⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑀 et 𝑅𝑂

I. Coordonnées d’un vecteur A°) Calcul des coordonnées d’un vecteur A retenir : Soit 𝐴 (𝑦𝑥𝐴 ) et 𝐵 (𝑦𝑥𝐵 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal, les coordonnées du 𝐴

𝐵

vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 se calculent comme suit : ⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑥𝐵 −𝑥𝐴 ) 𝐴𝐵 𝑦 −𝑦 𝐵

𝐴

ou

⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 ) 𝐴𝐵

Exemple : On donne 𝐻(−7 ) et 𝐿(52) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal. Calcule les 3 coordonnées de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐿. 𝑥𝐿 − 𝑥𝐻 5 − (−7) 5 + 7) 12 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐿 ( ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐿 ( ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐿 ( ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐿 ( ) 𝑦𝐿 − 𝑦𝐻 2−3 −1 −1

B°) Calcul des coordonnées du milieu d’un segment A retenir : Soit 𝐴 (𝑦𝑥𝐴 ) et 𝐵 (𝑦𝑥𝐵 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal, les coordonnées 𝐴

𝐵

d’un point M milieu du segment [AB] se calculent comme suit :

𝑥𝐸 =

𝑥𝐵 + 𝑥𝐴 2

et

𝑦𝐸 =

𝑦𝐵 + 𝑦𝐴 2

Exemple : On donne 𝐴(−7 ) et 𝐷(52) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal. Calcule les 3 coordonnées du point E milieu de [AD].

𝑥𝐸 =

𝑥𝐷 + 𝑥𝐴 5 − 7 = = −1 2 2

et

𝑦𝐸 =

𝑦𝐷 + 𝑦𝐴 2 + 3 = = 2.5 2 2

II. Calcul de la distance de deux points A retenir : Soit 𝐴 (𝑦𝑥𝐴 ) et 𝐵 (𝑦𝑥𝐵 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal. La distance AB est 𝐴

𝐵

𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2

Exemple : On donne les points 𝐴(43) et 𝐵(06). La distance AB se calcule comme suit : La distance AB est :

𝐴𝐵 = √(0 − 4)2 + (6 − 3)2 = √(−4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5

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III. Propriétés Propriété 1 : vecteurs égaux 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) et 𝑣 (𝑦′ ) deux vecteurs dans un repère orthogonal.

Si 𝑢 ⃗ = 𝑣 alors 𝑥 = 𝑥′ et 𝑦 = 𝑦′. Si 𝑥 = 𝑥′ et 𝑦 = 𝑦′ alors 𝑢 ⃗ = 𝑣.

Exemple : Propriété 2 : somme de deux vecteurs 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) ; 𝑣 (𝑦′ ) et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs dans un repère orthogonal. ′

Si 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ + 𝑣 alors 𝑤 ⃗⃗ a pour coordonnées 𝑤 ⃗⃗ (𝑥+𝑥 ). 𝑦+𝑦′

Exemple : Propriété 3 : produit d’un vecteur par un réel 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) et 𝑣 (𝑦′ ) deux vecteurs dans un repère orthonormal et 𝑘 un réel.

Si 𝑢 ⃗ = 𝑘 × 𝑣 alors 𝑥 = 𝑘 × 𝑥′ et 𝑦 = 𝑘 × 𝑦′ Si 𝑥 = 𝑘 × 𝑥′ et 𝑦 = 𝑘 × 𝑦 ′ alors 𝑢 ⃗ =𝑘×𝑣

Exemple : Propriété 4 : vecteurs opposés 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) et 𝑣 (𝑦′ ) deux vecteurs dans un repère orthogonal.

𝑢 ⃗ et 𝑣 sont opposés si et seulement si𝑥 = −𝑥 ′ et 𝑦 = −𝑦′.

Exemple : Propriété 5 : vecteurs colinéaires 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) et 𝑣 (𝑦′ ) deux vecteurs dans un repère orthogonal.

Si 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires alors𝑥 × 𝑦′ − 𝑥′ × 𝑦 = 0. Si 𝑥 × 𝑦′ − 𝑦 × 𝑥′ = 0 alors 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires.

Exemple : Propriété 6 : vecteurs orthogonaux 𝑥′ Soit 𝑢 ⃗ (𝑦𝑥 ) et 𝑣 (𝑦′ ) deux vecteurs dans un repère orthogonal.

Si 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont orthogonaux alors 𝑥 × 𝑥 ′ + 𝑦 × 𝑦′ = 0. Si 𝑥 × 𝑥 ′ + 𝑦 × 𝑦′ = 0 alors 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont orthogonaux.

IV. Equations et représentation d’une droite 1. Equation générale 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 Une équation générale est une équation de la forme 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 1er cas : cas où la droite n’est parallèle ni à (𝒙′𝒙) ni à (𝒚′𝒚). Exemple : Soit A(13) et B(47) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal. Détermine l’équation cartésienne de la droite (AB).

Proposition de démarche :

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Soit M (𝑦𝑥 ) un point quelconque de la droite (𝐴𝐵), les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 sont colinéaires. On calcule leurs coordonnées puis on applique la Propriété 5 (voir ci-dessus). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 (𝑥−1) et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (4−1) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (3) 𝑦−3

7−3

4

𝑥−1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 (𝑦−3 ) est colinéaire à ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 (34) donc

4(𝑥 − 1) − 3(𝑦 − 3) = 0 4𝑥 − 4 − 3𝑦 + 9 = 0 4𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0

Réponse attendue : La droite (𝐴𝐵) a pour équation : 4𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0.

On note (𝐴𝐵) : 4𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0

2ième cas : cas où les deux points ont la même abscisse. Exemple : Soit C(21) et D(−32 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal et P (𝑦𝑥 )un point quelconque de la droite (𝑑) passant par les points 𝐶et 𝐷. Détermine l’équation de la droite (𝐶𝐷).

Proposition de démarche : Soit P (𝑦𝑥 ) un point quelconque de la droite (𝐶𝐷), les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑃 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 sont colinéaires. On calcule leurs coordonnées puis on applique la Propriété 5(voir ci-dessus). ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑃 (𝑥−2) ; ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷( 2−2 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷( 0 ) 𝑦−1

−3−1

−4

𝑥−2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑃 (𝑦−1 ) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 à

0 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷(−4 ) donc −4(𝑥 − 2) − 0(𝑦 − 1) = 0

−4𝑥 + 8 = 0 𝑥=2

Réponse attendue : La droite (𝐶𝐷) ou (𝑑) a pour équation : 𝑥 = 2. On note (𝐶𝐷) : 𝑥 = 2 ou (𝑑) : 𝑥 = 2 NB : on remarque que, lorsque deux points ont la même abscisse 𝑎, l’équation de la droite passant par ces deux points est 𝑥 = 𝑎. La représentation graphique de cette équation est une droite qui passe par le point (a ; 0) parallèlement à l’axe des ordonnées.

3ième cas : cas où les deux points ont la même ordonnée. Exemple : Soit E(−1 ) et F( 34 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal et N (𝑦𝑥 ) un point 3 quelconque de la droite (Δ) passant par 𝐸et 𝐹. Détermine l’équation de la droite (𝐸𝐹). Proposition de démarche : ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ Soit T (𝑥 ) un point quelconque de la droite (𝐸𝐹), les vecteurs 𝐸𝑇 𝐸𝐹 sont colinéaires. On 𝑦

calcule leurs coordonnées puis on applique la Propriété 5(voir ci-dessus). ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥+1) ; ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑇 𝐸𝐹 (4+1) = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹 (5) 𝑦−3

3−3

𝑥+1 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑇 (𝑦−3 ) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒 à

0

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐹 (50) donc 0(𝑥 + 1) − 5(𝑦 − 3) = 0 −5𝑦 + 15 = 0 𝑦=3

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Réponse attendue : La droite (𝐸𝐹) ou (∆) a pour équation : 𝑦 = 3.

On note (𝐸𝐹) : 𝑦 = 3 ou (∆) : 𝑦 = 3

NB : on remarque que, lorsque deux points ont une même ordonnée 𝑏, l’équation de la droite est 𝑦 = 𝑏. La représentation graphique de cette équation est une droite qui passe par le point (0 ; b) parallèlement à l’axe des abscisses.

2. Equation réduite : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ier

1 cas : connaissant les coordonnées de deux points Soit (𝑑) une droite d’équation réduite 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 ; 𝐴 (𝑦𝑥𝐴 ) et 𝐵 (𝑦𝑥𝐵 ) deux points quelconques de (𝑑) tels que 𝑥𝐴 ≠ 𝑥𝐵 ; 𝐴

𝐵

L’équation réduite de la droite (AB) se détermine comme suit : Comme en application affine, on calcule 𝑚 et 𝑝. 𝑦 −𝑦 Le coefficient directeur 𝑚 se calcule comme suit : 𝑚 = 𝑥𝐵 −𝑥 𝐴 𝐵

𝑚=

ou

𝐴

𝑦𝐴 −𝑦𝐵 𝑥𝐴 −𝑥𝐵

L’ordonnée à l’origine 𝑝 est : 𝑝 = 𝑦 − 𝑚𝑥. Elle se calcule avec les coordonnées de A ou avec celles de B une fois que 𝑚 est trouvé. Il vient : 𝑝 = 𝑦𝐴 − 𝑚𝑥𝐴 ou 𝑝 = 𝑦𝐵 − 𝑚𝑥𝐵

Exemple : Soit R(−1 ) et T(−4 ) deux points dans un plan muni d’un repère orthogonal. Détermine l’équation 5 3 de la droite (𝑅𝑇).

Proposition de démarche : 2 2 17 × (−1) = 5 + = 3 3 3 2 17 L’équation réduite de la droite (RT) est : (RT) : 𝑦 = 3 𝑥 + 3 𝑚=

𝑦𝑅 − 𝑦𝑇 5−3 2 = = 𝑥𝑅 − 𝑥𝑇 −1 + 4 3

;

𝑝 = 𝑦𝑅 − 𝑚𝑥𝑅 = 5 −

2ième cas : à partir d’une équation générale(équation cartésienne). Exemple :

Soit (𝐷) une droite d’équation générale 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0. Etablis l’équation réduite de (D)

Proposition de démarche : 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

;

2𝑦 = −4𝑥 + 5

;

𝑦=−

4𝑥 2

5

+ 2 = −2𝑥 + 2.5

𝑦 = −2𝑥 + 2.5 est l’équation réduite de (𝐷), on note (𝐷) : 𝑦 = −2𝑥 + 2.5

V. Positions relatives de deux droites d’équations données Soit deux droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) d’équations respectives 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑝 et 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑝′.  Si 𝑚1 = 𝑚2 alors, les droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) sont parallèles  Si les droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) sont parallèles alors, 𝑚1 = 𝑚2  Si 𝑚1 × 𝑚2 = −1 alors, les droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) sont perpendiculaires  Si les droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) sont perpendiculaires alors, 𝑚1 × 𝑚2 = −1  Si 𝑚1 ≠ 𝑚2 et 𝑚1 × 𝑚2 ≠ −1 alors, les droites (𝑑1 ) et (𝑑2 ) sont sécantes et non perpendiculaires.

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VI.

Vecteur directeur et représentation graphique d’une droite

A°) Vecteur directeur Exemple 1 : cas d’une équation générale. On donne la droite (𝑑) ∶ 𝒂𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 où a, b et c sont des réels. 𝑢 ⃗ (−𝑏; 𝒂) est vecteur directeur de la droite (d).

Exemple 2 : cas d’une équation réduite. On donne la droite (𝐷) ∶ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 où m et p sont des réels. 𝑢 ⃗ (1; 𝒎) est vecteur directeur de la droite (D).

B°) Représentation graphique d’une droite et de son vecteur directeur A retenir : Dans un repère orthonormé, une droite et sont vecteur directeur son parallèles.

Exemple : On a représenté dans le repère ci-dessous la droite (d) d’équation 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 et de vecteur directeur 𝑢 ⃗ (−3; 𝟐)

𝑢 ⃗

Remarque : Pour la représentation graphique d’une droite d’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, il faut se référer au chapitre : équation du premier degré à deux inconnues déroulé dans la version activité numérique.

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I. Etude de deux symétries orthogonales successives d’axes parallèles Activité : Soit un plan (𝑃); (𝐷) 𝑒𝑡 (𝐷′) deux droites parallèles dans (𝑃) et M un point de (𝑃). a. Construis le point M’ symétrique orthogonal de M par rapport à (𝐷). b. Construis le point M’’ symétrique orthogonal de M’ par rapport à (𝐷′). c. Soit I le milieu du segment [MM′] et J celui de [M′M′′]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2IJ ⃗ .( penser à la relation de CHASLES ) Montre que MM′′ Correction a. Voir figure

b. Voir figure c. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MM ′′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MM ′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ M ′ M ′′ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MM ′′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MM ′′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2M′J ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 (IM′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ compte tenu de la relation de Chasles = 2IM′ M′J) = 2IJ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ MM ′′ = 2IJ  Le vecteur ⃗IJ est un vecteur constant. Il est indépendant du point M.  Sa direction est la perpendiculaire aux droites (𝐷) et (𝐷′).  Son sens est de (𝐷) vers (𝐷′).  Sa longueur ou norme est la distance entre les droites (𝐷) et (𝐷′). L’action successive deux symétries orthogonales d’axes parallèles est une translation de vecteur constant. NB : l’image A’ d’un point A par la symétrie orthogonale d’axe (D) suivie de la symétrie ⃗⃗ orthogonale d’axe (D’) lorsque (D) et (D’) sont parallèles, est une translation de vecteur 2𝐼𝐽 ⃗⃗⃗ . Avec IJ la distance de (D) à (D’). définie par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ = 2𝐼𝐽

Exemple : (d) et (d’) sont deux droites parallèles dans un plan (P) ; A, M et Q sont trois points quelconques de (P). 𝑎 = 𝐼𝐽 = 3𝑐𝑚 est la distance séparant les droites (d) et (d’). Construis les points B, N et P images respectives des points A, M et Q par la symétrie orthogonale d’axe (d) suivi de la symétrie orthogonale d’axe (d’).

Proposition de démarche : ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐽 ⃗⃗⃗ : les vecteurs 𝐴𝐵 ⃗⃗ ont la même direction, le même sens et 𝐴𝐵 = 6𝑐𝑚 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2IJ ⃗ : les vecteurs 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐽 ⃗⃗ ont la même direction, le même sens et 𝑀𝑁 = 6𝑐𝑚 MN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ : l es vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ont la même direction, le même sens et 𝑄𝑃 = 6𝑐𝑚 𝑄𝑃 = 2𝐼𝐽 𝑄𝑃 et ⃗⃗𝐼𝐽

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II. Etude de deux symétries orthogonales successives d’axes perpendiculaires. Activité : Soit un plan (𝑃) ; (𝑑1 ) et (𝑑2 ) deux droites perpendiculaires en O dans (𝑃)et M un point de (𝑃). a. Construis le point M’ symétrique de M par rapport à (𝑑2 ). b. Construis le point M’’ symétrique de M’ par rapport à (𝑑1 ). c. Montre que O est le milieu du segment [𝑀𝑀′′]. Correction a. Voir figure

O b. Voir figure c.

M’ symétrique de M par rapport à (𝑑2 ), donc (𝑑2 ) est la médiatrice du segment [MM′] et (𝑑2 ) ⊥ (MM′). Comme O ∈ (𝑑2 ) donc OM = OM′. M’’ symétrique de M’ par rapport à (𝑑1 ), donc (𝑑1 ) est la médiatrice du segment [M′M′′] et (𝑑1 ) ⊥ (M′M′′) . Comme O ∈ (𝑑1 )donc OM′ = OM′′. On en déduit de ce qui précède que O est le centre du cercle circonscrit au triangle MM’M’’ rectangle en M’. Les points M, O et M’’ sont donc alignés et O est le milieu du segment [MM′′] d’où M’’ est le symétrique de M par rapport à O. L’action successive de deux symétries orthogonales d’axes perpendiculaires en O est une symétrie centrale de centre O. NB : l’image d’un pointsymétries A par la symétrie orthogonale d’axe (D) suivie de la symétrieet III. EtudeA’de deux orthogonales successives d’axes sécants orthogonale d’axe (D’) lorsque (D) et (D’) sont perpendiculaire en O est une symétrie IV. perpendiculaires. centralenon de centre O.

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III. Etude de deux symétries orthogonales successives d’axes sécants et non perpendiculaires. Activité : Soit un plan (P) ; (𝑑) 𝑒𝑡 (𝑑′)deux droites sécantes et non perpendiculaires en O dans (P) et M un point de (P). a. Construis le point M’ symétrique orthogonal de M par rapport à (𝑑) puis marque le point I milieu du segment [MM′]. b. Construis le point M’’ symétrique orthogonal de M’ par rapport à (𝑑′) puis marque le point J milieu du segment [M′M′′]. ̂ = 2β ̂ = β. Montre que MOM′′ c. On pose IOJ

Correction a. Voir figure

b. Voir figure c. M’ symétrique orthogonal de M par rapport à (𝑑), donc (𝑑) est la médiatrice du segment [MM′]. Comme O ∈ (𝑑) donc OM = OM′ d’où OMM’ est un triangle isocèle en O. Etant médiatrice passant par le sommet principal O du triangle isocèle OMM’, (𝑑) est aussi la ̂. ̂ ′ d’où MOI ̂ = IOM′ bissectrice de l’angle MOM ̂= ̂ De même M′OJ JOM′′ ′′ ′ ′ OM ′′ = 2IOM′ ̂ + 2M′OJ ̂ = 2(IOM′ ̂ + M′OJ ̂ ) = 2IOJ ̂ = MOM ̂ + M̂ ̂ = 2𝛽 MOM L’action successive de deux symétries orthogonales d’axes sécants et non perpendiculaires et une rotation d’angle 2𝛽. NB : On a deux types de rotations dans le plan: la rotation suivant les aiguilles d’une montre (sens horaire). La rotation dans le sens opposé (sens anti horaire).

Exemple : (d) et (d’) sont deux droites sécantes et non perpendiculaires en I dans un plan (P) ; ̂ = 40° est l’angle formé entre les droites (d) et A, M sont deux points quelconques de (P). IOJ (d’). Construis les points B et N images respectives des points A et M par la symétrie orthogonale d’axe (d) suivi de la symétrie orthogonale d’axe (d’).

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Correction ̂ = 80° et On trace en pointillés le segment [𝐼𝐴] puis on construit le point B tel que l’angle 𝐴𝐼𝐵 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵. ̂ = 80° et On trace en pointillés le segment [𝐼𝑀] puis on construit le point N tel que l’angle 𝑀𝐼𝑁 𝐼𝑀 = 𝐼𝑁. On tiendra compte du sens de rotation.

IV. Etude de deux translations successives de vecteurs. Activité : Soit deux vecteurs du plan (𝑃) et M un point de (𝑃). a. Construis le point M’ image de M par la translation de vecteur 𝑢 ⃗. b. Construis le point M’’ image de M’ par la translation de vecteur 𝑣. c. Construis le vecteur 𝑤 ⃗⃗ = 𝑢 ⃗ +𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Vérifie que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d. Trace le vecteur MM′′ MM′′ et 𝑤 ⃗⃗ ont la même direction, le même sens et la même longueur. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑤 e. Montre que MM′′ ⃗⃗ sont égaux.

Correction a. Voir figure 𝑢 ⃗

𝑣 𝑤 ⃗⃗

b. Voir figure

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c. Voir figure d. Voir figure. Vérification à l’aide de la règle, de l’équerre et du compas. e.  𝑡𝑢⃗ (𝑀) = 𝑀′ équivaut à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ = 𝑢 ⃗.  𝑡𝑣⃗ (𝑀′) = 𝑀′′ équivaut à ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀′𝑀′′ = 𝑣. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤  𝑢 ⃗ + 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑀′ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀′𝑀′′ = MM′′ ⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑤  MM′′ ⃗⃗ donc M’’ est l’image de M par la translation de vecteur 𝑢 ⃗. L’action successive de deux translations de vecteurs 𝑢 ⃗ suivi de 𝑣 est une translation de vecteur 𝑢 ⃗ + 𝑣. NB : l’image A’ d’un point A par la translation successive de vecteur 𝑢 ⃗ suivi de 𝑣 est une translation de vecteur 𝑢 ⃗ + 𝑣 définie par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴′ = 𝑢 ⃗ +𝑣. .

Exercice : 1. Dans un plan muni d’un repère orthonormal (O ; I ; J), place les points 𝐹(23), 𝐸(−1 ), 𝐴(20) 0 2. 3. 4. 5. 6.

2 et 𝐺(−3 ). Justifie que GEF est un triangle rectangle isocèle. Justifie que G est le symétrique de F par la symétrie orthogonale d’axe (EA). Détermine l’angle de la rotation de centre E qui applique F sur G. Construis le point M image de G par la rotation de centre E qui applique F sur G. Calcule les coordonnées du point M.

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I. Cône de révolution A°) Présentation et définition Le solide ci-contre est un cône de révolution ; Le point S est le sommet de ce cône de révolution ; SO est la hauteur de ce cône, on note h=SO ; O est le centre du disque de base ; OA, OB, OD, OE, … sont des rayons r du disque de base de ce cône ; SA, SB, SD, SE, …, sont des génératrices g de ce cône ; La droite (OS) est l’axe de rotation de ce cône ; Tout segment obtenu, en reliant S à un point du cercle du disque de base est une génératrice g, et : g 2 = h2 + r 2 Compte tenu du théorème de Pythagore.

Définition : un cône est dit cône de révolution :  Si sa base est un disque circulaire de centre O et de rayon r.  Sa hauteur passe par son sommet et est perpendiculaire au plan du disque de base en O.

B)° Patron d’un cône. Lorsqu’on détache suivant une génératrice puis suivant le cercle du disque de base le solide(cône), on obtient une représentation plane qui constitue le patron du cône.

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C°) Aire d’un cône de révolution.

𝛽°

̂ est égale au périmètre du cercle disque de base de rayon r. La longueur du grand arc 𝐴𝐵  Périmètre du disque de base : 𝑃𝐵 = 2 × 𝜋 × 𝑟  Longueur de l’arc AB : 𝐿𝐴𝐵 = g × 𝛽° ( 𝛽° 𝑑𝑜𝑖𝑡 ê𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛) Conversion de 𝛽° en radian : 360° → 2𝜋

donc

Il vient : 𝐿𝐴𝐵 = g ×

𝛽° →

2𝜋×𝛽° 360°

; ‘’compte tenu de l’application de la règle de trois’’

2𝜋×𝛽° 360°

L’égalité entre le périmètre du disque de base et la longueur de l’arc AB permet d’établir l’expression du rayon r du disque de base ou de la génératrice g du cône ou de l’angle 𝛽°ou le 𝑟 rapport g. Il vient : 𝑃𝐵 = 𝐿𝐴𝐵 équivaut à 2 × 𝜋 × 𝑟 = g × 𝛽°

𝑟 = 360° × g ou

g=

2𝜋×𝛽° 360° 360° 𝛽°

équivaut à :

×𝑟

ou

𝛽° =

𝑟×360° g

ou

𝑟 g

𝛽°

= 360°

D°) Aire latérale du cône de révolution 360° occupe une aire égale à 𝜋 × g 2 ; 𝛽° occupera une aire 𝐴𝐿 égale à d’un cône de révolution a donc pour formule : 𝐴𝐿 =

Remplaçons 𝛽° =

Il vient : 𝐴𝐿 =

360°×𝑟 g

𝜋×g2 ×𝛽° 360°

=

dans 𝐴𝐿 = 𝜋×g2 ×

360°×𝑟 g

360°

𝜋×g2 ×𝛽° 360°

. L’aire latérale

𝜋 × g 2 × 𝛽° 360°

𝜋×g2 ×𝛽° 360°

.

= 𝜋 × 𝑟 × g or

Donc 𝐴𝐿 = 𝜋 × 𝑟 × g

𝜋×𝑟 = ou

𝐴𝐿 =

𝑃𝐵 2 𝑃𝐵 2

. ×g

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E°) Aire totale du cône de révolution : L’aire totale d’un cône de révolution est égale à la somme de son aire de base et de son aire latérale : 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿

II. Volume d’un cône de révolution. La figure ci-contre est constituée : D’un cylindre de rayon 𝑟 = 𝑂𝐴 et de hauteur ℎ = 𝑂𝑆. D’un cône de révolution de même hauteur et de même Rayon que le cylindre. En utilisant ce cône pour remplir le cylindre d’eau, On constatera que le cylindre est plein après trois versements. Dans ces conditions, le volume du cylindre est égal à trois fois celui du cône. Il vient : 𝑉𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 = 3 × 𝑉𝑐ô𝑛𝑒 1

𝑉𝑐ô𝑛𝑒 = 3 × 𝑉𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 or 𝑉𝑐𝑦𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 = 𝜋 × 𝑟 2 × ℎ donc

1

𝑉𝑐ô𝑛𝑒 = 3 × 𝜋 × 𝑟 2 × ℎ 1

Comme 𝜋 × 𝑟 2 est l’aire du disque de base, donc 𝑉𝑐ô𝑛𝑒 = 3 × 𝐴𝐵 × ℎ 1

Le volume d’un cône de révolution a pour formule : 𝑉 = 3 × 𝐴𝐵 × ℎ

Autre méthode

Dans les trois figures ci-dessus, les polygones sont réguliers et représentent des bases de pyramides régulières. Les cercles circonscrits à ces polygones représentent des bases de cônes de révolution. Quand le nombre de côtés du polygone augmente, le cercle du disque de base du cône de révolution se rapproche et se confond progressivement au polygone. Cette observation permet de conclure que le volume du cône de révolution se calcule de la même manière que celui d’une pyramide régulière. (Voir leçon suivante). 1

𝑉 = 3 × 𝐴𝐵 × ℎ avec 𝐴𝐵 = 𝜋 × 𝑟 2

III. Section d’un cône de révolution par un plan parallèle au plan de sa base – coefficient de réduction. 1. Section d’un cône de révolution Quand on sectionne un cône par un plan parallèle au plan de sa base, on obtient deux solides : le cône réduit (nouveau cône) et le tronc de cône.

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𝑂𝐴 = 𝑟 ; 𝑆𝑂 = ℎ

; 𝑆𝐵 = g ′ ; 𝑂′𝐵 = 𝑟′ ; 𝑆𝑂′ = ℎ′ ; 𝑂𝐴 = 𝑟 ; 𝑂𝑂′ = ℎ′′ ; 𝑆𝐴 = g

2. Coefficient de réduction 𝒌 Les points S, B et A d’une part et S, O’ et O d’autre part sont alignés dans leur ordre d’écriture. Les triangles SOA et SO’B sont en position de Thalès car (𝑂𝐴)//(𝑂’𝐵). Il vient d’après la 𝑆𝑂′

𝑆𝐵

𝑂′𝐵

conséquence du théorème de Thalès : 𝑆𝑂 = 𝑆𝐴 = 𝑂𝐴 . 𝑆𝑂′ 𝑆𝐵 𝑂′𝐵 Les rapports ; et définissent le coefficient de réduction du cône initial. Ce 𝑆𝑂 𝑆𝐴 𝑂𝐴 coefficient est plus généralement noté par la lettre 𝑘. Ainsi on a : 𝑘=

𝑆𝑂′ 𝑆𝑂

=

ℎ′ ℎ

ou

𝑆𝐵

𝑘 = 𝑆𝐴 =

g′ g

ou

𝑘=

𝑂′ 𝐵 𝑂𝐴

=

𝑟′ 𝑟

a. Détermination de 𝒌 avec les périmètres de base Périmètre de base du cône initial : 𝑃𝑏 = 2 × 𝜋 × 𝑟 Périmètre de base du cône réduit : 𝑃𝑏′ = 2 × 𝜋 × 𝑟′ 𝑃𝑏′ 2 × 𝜋 × 𝑟′ 𝑟′ = = 𝑃𝑏 2 × 𝜋 × 𝑟 𝑟

𝑜𝑟

𝑟′ 𝑂′𝐵 = =𝑘 𝑟 𝑂𝐴

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝑃𝑏′ =𝑘 𝑃𝑏 𝑃′

Avec les périmètres de base, le coefficient de réduction est : 𝑘 = 𝑃𝑏

𝑏

b.

Détermination de 𝒌 avec les aires

Aire du disque de base du cône initial : 𝐴𝑏 = 𝜋 × 𝑟 2 Aire du disque de base du cône réduit : 𝐴′𝑏 = 𝜋 × 𝑟′2 Aire latérale du cône initial : 𝐴𝐿 = 𝜋 × 𝑟 × g Aire latérale du nouveau cône : 𝐴′𝐿 = 𝜋 × 𝑟′ × g′

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𝐴′𝑏

2

2

2

𝑟′ = = = ( ) 𝐴𝑏 𝜋 × 𝑟2 𝑟2 𝑟 𝜋 × 𝑟′

𝑟′

𝑜𝑟

𝑟′ =𝑘 𝑟

𝑟′ g′ = = = × 𝐴𝐿 𝜋×𝑟×g 𝑟×g 𝑟 g 𝐴′𝐿

𝐴′𝐿 𝐴𝐿

𝜋 × 𝑟 × g′

=𝑘×𝑘 =𝑘

2

𝑟′ × g′

𝑑′𝑜ù

𝐴′𝑏

𝑑𝑜𝑛𝑐

𝑜𝑟

𝐴𝑏

𝑟′ 𝑟

2 ′

= 𝑘 𝑑 𝑜ù

=𝑘

𝑒𝑡

𝐴′𝑏 𝐴𝑏

g ′ 𝑆𝐵 = = 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑐 g 𝑆𝐴

𝐴′𝐿

𝑘=√ 𝐴𝐿

Avec les aires, le coefficient de réduction 𝑘 est tel que : 𝑘 2 =

c.

𝑘=√

𝐴′𝑏 𝐴𝑏

ou

𝑘2 =

𝐴′𝐿 𝐴𝐿

Détermination de 𝒌 avec les volumes 1

1

Volume du cône initial : 𝑉 = 3 × 𝐴𝑏 × ℎ ; Volume du cône réduit : 𝑉′ = 3 × 𝐴′𝑏 × ℎ′ 1 ′ ′ 𝑉 ′ 3 × 𝐴𝑏 × ℎ 𝐴′𝑏 × ℎ′ 𝐴′𝑏 ℎ′ 𝐴′𝑏 = = = × or = 𝑘 2 et 1 𝑉 𝐴 × ℎ 𝐴 ℎ 𝐴 𝑏 𝑏 𝑏 3 × 𝐴𝑏 × ℎ Donc : 𝑉′ = 𝑘2 × 𝑘 = 𝑘3 𝑉

𝑑 ′ 𝑜ù

ℎ′ 𝑆𝑂′ = =𝑘 ℎ 𝑆𝑂

𝑘3 =

𝑉′ 𝑉

Avec les volumes, le coefficient de réduction 𝑘 est tel que : 𝑘 3 =

𝑉′ 𝑉

3. Aire et volume du tronc de cône Le tronc de cône de révolution présente deux bases : la grande base (GB) de centre O et de rayon 𝑟 et la petite base (PB) de centre O’ et de rayon 𝑟’. Sa hauteur est ℎ′′ = 𝑂𝑂′.  Son aire latérale 𝐴′′𝐿 est : 𝐴′′𝐿 = 𝐴𝐿 − 𝐴′𝐿 = 𝐴𝐿 − 𝑘 2 × 𝐴𝐿 = (1 − 𝑘 2 ) × 𝐴𝐿  Son volume 𝑉′′ est : 𝑉 ′′ = 𝑉 − 𝑉 ′ = 𝑉 − 𝑘 3 × 𝑉 = (1 − 𝑘 3 ) × 𝑉  L’aire de sa GB est : 𝐴𝐺𝐵 = 𝜋 × 𝑟 2  L’aire de sa PB est : 𝐴𝑃𝐵 = 𝜋 × 𝑟′2  Son aire totale est : 𝐴𝑇 = 𝐴𝐺𝐵 + 𝐴𝑃𝐵 + 𝐴′′𝐿

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I. Pyramide

A°) Présentation Le solide ci-dessous est une pyramide.

 Le quadrilatère ABCD est la base de cette pyramide.  [SA]; [SB]; [SC]; [SD]; [AB]; [BC];[CD] et [AD]sont ses arêtes.  Les triangles SAB ; SBC ; SCD et SAD sont ses faces latérales  SH est une hauteur de cette pyramide.  SABCD est un des noms de cette pyramide. Remarque : il existe d’autres formes de pyramides.

B°) Pyramides régulières

    

La base ABCD est un carré (ou un polygone régulier). SO est la hauteur de cette pyramide. Les faces latérales SAB, SBC, SCD et SAD sont des triangles isocèles Il y a 4 apothèmes (les hauteurs des triangles isocèles issues de S) SABCD est le nom de cette pyramide régulière.

Définition : Une pyramide est dite régulière si :  Sa base est un polygone régulier (carré, triangle équilatéral; …)  Sa hauteur passe par son sommet et par le centre de sa base.  Ses faces latérales sont des triangles isocèles.

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C°) Patron d’une pyramide En détachant soigneusement les faces suivant les arêtes latérales on obtient une figure plane : c’est le patron de la pyramide SABCD.

D°) Aire d’une pyramide L’aire 𝐴𝑃 de la pyramide régulière SABCD est égale à la somme des aires de ses faces latérales et de sa base. Il vient : 𝐴𝑃 = 𝐴𝑆𝐴𝐵 + 𝐴𝑆𝐵𝐶 + 𝐴𝑆𝐶𝐷 + 𝐴𝑆𝐷𝐴 + 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝑃 =

1 1 1 1 × 𝐴𝐵 × 𝑎 + × 𝐵𝐶 × 𝑎 + × 𝐶𝐷 × 𝑎 + × 𝐷𝐴 × 𝑎 + 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵 2 2 2 2

Or 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴 Donc :

1 2

𝐴𝑃 = 4 × ( × 𝐴𝐵 × 𝑎) + 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵

𝐴𝑃 =

4×𝐴𝐵×𝑎 2

+ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵 ; or 4 × 𝐴𝐵 et 𝐴𝐵 × 𝐴𝐵 sont respectivement le périmètre et l’aire du carré de

base ABCD.

Il vient : 𝐴𝑃 =

On déduit de l’expression ci-dessus que

𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎 + 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐴𝐵𝐶𝐷) 2 𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒 ×𝑎 2

est la somme des aires des faces latérales. En

d’autres termes, c’est l’aire latérale de la pyramide SABCD.

D’une manière générale, pour une pyramide régulière on a : 𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒×𝑎𝑝𝑜𝑡ℎé𝑚𝑒

𝑃

×𝑎

 Aire latérale : 𝐴𝐿 = = 𝑏𝑎𝑠𝑒 2 2  Aire de base : 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 dépend de la forme géométrique de la base.  Aire totale : 𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵

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E°) Volume d’une pyramide.

ABCDEFGH est un cube d’arête 𝑥. Ses diagonales intérieures se coupent au point S centre du cube. Il apparaît 6 pyramides régulières identiques et de même volume. Ce sont les pyramides : SABCD, SEFGH, SAEHD, SDHGC, SEFBA et SBFGC.

Volume de chacune des pyramides Le volume 𝑉 du cube ABCDEFGH peut être calculé de deux manières: 𝑉 = 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝑉𝑆𝐸𝐹𝐺𝐻 + 𝑉𝑆𝐴𝐸𝐻𝐷 + 𝑉𝑆𝐵𝐹𝐺𝐶 + 𝑉𝑆𝐷𝐻𝐺𝐶 + 𝑉𝑆𝐸𝐹𝐵𝐴 ou 𝑉 = 𝑥 3 Comme les pyramides ont des volumes égaux donc : 𝑉 = 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝑉𝑆𝐸𝐹𝐺𝐻 + 𝑉𝑆𝐴𝐸𝐻𝐷 + 𝑉𝑆𝐵𝐹𝐺𝐶 + 𝑉𝑆𝐷𝐻𝐺𝐶 + 𝑉𝑆𝐸𝐹𝐵𝐴 = 6 × 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 Il vient par comparaison : 𝑉 = 𝑉 équivaut à 6 × 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑥 3 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =

1 × 𝑥3 6 1

𝑥

𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 × 𝑥 × 𝑥 × 2 Or𝑥 × 𝑥 = 𝐴𝐵 (𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑟é 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒) et

𝑥 2

= ℎ (ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑦𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷).

𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =

𝟏 × 𝐴𝐵 × ℎ 𝟑

D’une manière générale, le volume d’une pyramide est donné par la formule :

𝑉=

1 × 𝐴𝐵 × ℎ 3

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F°) Section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base-coefficient de réduction : 1. Section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base Il s’agit de sectionner une pyramide suivant un plan parallèle au plan de sa base. Après coupure on obtient deux solides :  Le solide ABCDA’B’C’D’ appelé tronc de pyramide et  Le solide isolé avec le sommet S appelé nouvelle pyramide de hauteur ℎ’ et de base A’B’C’D’.

2. Coefficient de réduction 𝒌 ou d’agrandissement 𝒌′. Les calculs de coefficient de réduction s’apparentent à ceux vus dans la leçon1

a. Relation entre le volume de la pyramide initiale et celui de la nouvelle pyramide. Voir cône :

𝑉′ = 𝑘3 × 𝑉

b. Relation entre l’aire de la pyramide initiale et celle de la nouvelle pyramide. Voir cône :

𝐴′

𝐴′

𝑘 2 = 𝐴𝐿 ;

𝑘 2 = 𝐴𝑏

𝐿

𝑏

c. Calcul du volume 𝑽′′et de l’aire latérale 𝑨′′ 𝑳 du tronc de pyramide Voir cône :

𝑉 ′′ = (1 − 𝑘 3 ) × 𝑉

;

𝐴′′ = (1 − 𝑘 2 ) × 𝐴

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