matematica e cultura 2005: a cura di Michele Emmer 978-88-470-0314-9, 978-88-470-0360-6, 88-470-0314-8 [PDF]

Zitiervorschau

a cura di Michele Emmer

2005 matematica e cultura

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Armando Pizzinato, Autoritratto

a Armando Pizzinato

matematica e cultura 2005 a cura di Michele Emmer

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MICHELE EMMER Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo” Università degli Studi “La Sapienza”, Roma

ISBN 88-470-0314-8 Springer fa parte di Springer Science+Business Media springer.it © Springer-Verlag Italia, Milano 2005 Stampato in Italia Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La riproduzione di quest’opera, anche se parziale, è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’autore ed è soggetta all’autorizzazione dell’editore. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc. anche se non specificamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti.

Traduzioni: Catia Peduto, Roma; Fausto Saleri per l’articolo di Jean-Marc Castera; Marco Rizza per l’articolo di Marcela Villarreal Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Redazione: Paola Testi Saltini, Milano Fotocomposizione e impaginazione: Signum Srl, Bollate, Milano Stampato in Italia: Signum Srl, Bollate, Milano In copertina: incisione di Matteo Emmer tratta da “La Venezia perfetta”, Centro Internazionale della Grafica, Venezia, 1993 Occhielli: incisioni di Matteo Emmer, op. cit. Il congresso è stato realizzato grazie alla collaborazione di: Dipartimento di Matematica Applicata, Università di Ca’ Foscari, Venezia; Dipartimento di Matematica “G. Castelnuovo”, Università di Roma “La Sapienza”; Dipartimento di Matematica “F. Enriques”, Università di Milano; Liceo Marco Polo di Venezia; Dipartimento di Scienze per l’Architettura dell’Università di Genova; Galileo - Giornale di scienza e problemi globali; Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Progetto Europeo “Mathematics in Europe”; IBM Italia; Sissa - Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati, Trieste; Galleria Venezia Viva, Venezia

Introduzione

– Su, signorina, – cominciò il vecchio, chinandosi sul quaderno accanto alla figlia... La principessina guardava con spavento gli occhi del padre luccicanti vicino a lei... Il vecchio perdeva la pazienza; muoveva in su e in giù con fracasso la poltrona sulla quale era seduto e faceva degli sforzi su se stesso per non andare sulle furie e quasi ogni volta s’infuriava, sbuffava, e a volte buttava il quaderno. La principessina sbagliò la risposta. – E poi non saresti una sciocca! – gridò il principe, respingendo il quaderno e voltandosi rapidamente in là. – È impossibile, principessina, è impossibile – disse, quando la principessina, preso e chiuso il quaderno con le lezioni assegnate, già si preparava ad andarsene – la matematica è una gran cosa, signora mia. E io non voglio che tu sia come le nostre stupide ragazze. Persevera e finirai per amarla… E le diede un colpetto con la mano sulla guancia. – La grullaggine ti andrà via di capo. Chi pronuncia queste frasi è il principe Andrei Bolkonskij, e si rivolge alla principessa Marja Bolokonskaja, sua figlia. Sono due dei protagonisti di Guerra e pace di Lev Tolstoj terminato di scrivere nel 1869. Quasi le stesse frasi si sono udite nel dicembre 2004 all’Auditorio della musica di Roma, quello ideato da Renzo Piano durante la messa in scena della prima parte di “Guerra e Pace” da parte del talentuoso regista Russo Pëtr Fomenko con la sua compagnia de “I Fomenki” di Mosca. Una delle scene scelte da Fomenko per la riduzione teatrale è appunto quella della “lezione di geometria”. E mentre il padre rimprovera la figlia, una amica della figlia gioca a fare le bolle di sapone! Dell’acustica dell’auditorio di Renzo Piano parla il fisico Andrea Frova in questo volume. E di bolle di sapone si parla, sempre a Venezia! In attesa che, dopo il grande successo a teatro, arrivi sugli schermi il film tratto dalla commedia di David Auburn Proof. Protagonista Anthony Hopkins, regia di John Madden, sceneggiatura di Rebecca Miller. Scelto per essere un grande attore, non per essere stato il famoso Hannibal the Cannibal, padre di tutti i “pazzi da legare” del cinema. Curioso quello che Hopkins ha dichiarato in una intervista: “In verità a scuola andavo malissimo, non ho una vera educazione, non ho mai fatto l’università. E nella vita non avrei mai potuto fare il professore, sono troppo stupido.”

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Introduzione

Ma evidentemente ha il fisico e lo sguardo del rôle, del genio della matematica, come si esige per il protagonista di Proof, commedia anch’essa liberamente ispirata alla vita di Nash. Ci sarà spazio anche per la protagonista femminile, nel film Gwyneth Paltrow, anch’essa matematica, figlia del personaggio interpretato da Hopkins. Il titolo rimanda al doppio significato di “dimostrazione” e di “prova”. Viene solo accennato di quale dimostrazione si tratta: sembra che sia l’ipotesi di Riemann. Il dramma della follia: il grande matematico era divenuto pazzo, la figlia teme di diventarlo, non è chiaro se la dimostrazione del teorema sia stata fatta dal padre o dalla figlia, il cui talento non è mai stato riconosciuto, offuscato da quello del padre. E da gennaio 2005 è finalmente in scena, in forma completa con scene e costumi, il Galois di Luca Viganò, produzione del Teatro di Genova. Cultura e matematica, non se ne può fare a meno! MICHELE EMMER

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Indice

omaggio a Coxeter H.S.M. Coxeter: un breve omaggio di Michele Emmer.......................................................................................... Donald nel paese delle meraviglie: le varie sfaccettature della vita di H.S.M. Coxeter* di Siobhan Roberts, Asia Ivi´c Weiss ...............................................................

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matematica e immagini Visioni e realtà. Empiria e geometria di Franco Ghione ........................................................................................... Stelle di Gian Marco Todesco..................................................................................

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matematica e Venezia Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi di Giovanni Sarpellon ...................................................................................

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matematica e applicazioni Modelli matematici per la meteorologia di Elisabetta Cordero..................................................................................... La matematica in difesa dell’ambiente di Germana Peggion ..................................................................................... matematica e architettura La cupola a mouqarnas della sala delle due sorelle dell’Alhambra di Granada di Jean Marc Castera ..................................................................................... MATHLAND. Dalla topologia all’architettura virtuale di Michele Emmer.......................................................................................... Architettura come topologia della trasformazione di Giuseppa Di Cristina ................................................................................ Nuovo Auditorium di S. Cecilia, anatomia di una megaopera di Andrea Frova.............................................................................................

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Indice

matematica e educazione Matematica a… Un format per mostre di matematica di Simonetta Di Sieno, Cristina Turrini ...................................................... Imparare la matematica attraverso l’arte di Angela Elster, Peggy Ward........................................................................ matematica e medicina La matematica nel sangue di Chiara Bertini, Luigi Preziosi .................................................................. L’HIV/AIDS, l’agricoltura e la sicurezza alimentare in Africa di Marcela Villarreal ..................................................................................... L’uso di modelli matematici per la diffusione dell’AIDS nell’Africa sub-Sahariana di Gianpaolo Scalia Tomba........................................................................... matematica e moda Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza di Donatella Sartorio ....................................................................................

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matematica e arte Verso un’estetica matematica di Martin Bálek, Jaroslav Nesˇetrˇil............................................................... Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry di Richard P. Taylor ....................................................................................... Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà di Sam Hunter................................................................................................ Armando Pizzinato di Michele Emmer.......................................................................................... Armando Pizzinato, una avventura espressiva del XX secolo di Enzo Di Martino ....................................................................................... matematica e teatro Bustric raccontato da Bustric di Sergio Bini/Bustric ....................................................................................

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omaggio a Coxeter

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio MICHELE EMMER

Preliminari Il progetto “Matematica e arte” è iniziato nel 1976. Vi erano diverse ragioni per le quali ho iniziato a pensare al progetto. La prima ragione era che in quell’anno mi trovavo all’università di Trento e lavoravo nel settore del “Calcolo delle variazioni” e in particolare sulle superfici minime e sui problemi di capillarità. Sempre nel 1976 Jean Taylor aveva dimostrato un famoso risultato che chiudeva una congettura che era stata posta sperimentalmente dal fisico belga Plateau più di cento anni prima [1]: le proprietà delle singolarità, degli spigoli, che generano le lamine di acqua saponata quando si incontrano. Plateau aveva osservato sperimentalmente che malgrado la apparente enorme complessità, i tipi di angoli che si producevano erano solo di due tipi. Jean Taylor utilizzando la Geometric Measure Theory introdotta da Federer e poi da Allard e Almgren, fu in grado di dimostrare che le ipotesi di Plateau erano corrette. La rivista Scientific American chiese nel 1976 a Jean Taylor e Fred Almgren di scrivere un articolo sui risultati più recenti sulla teoria delle Superfici Minime e lamine di sapone [2]. Ad un fotografo professionale fu chiesto di realizzare delle suggestive immagini dei diversi tipi di lamine saponate. Sempre nel 1976 Taylor e Almgren furono invitati all’università di Trento come visiting professors. Le immagini dell’articolo pubblicato sul Scientific American erano veramente splendide. Guardando quelle foto mi venne l’idea di fare un film sulle lamine di sapone per mostrarle in maggior dettaglio: introdussi la possibilità di osservare l’evoluzione delle loro forme e geometrie e dei loro colori nel tempo, utilizzando anche la tecnica della slowmotion camera. Sia Almgren che Taylor erano molto interessati all’idea. In quello stesso anno avevo scoperto le superfici “topologiche” di uno dei grandi artisti del Ventesimo secolo: Max Bill. Le sue sculture furono per me una vera rivelazione. L’impressione di Endless Ribbon, quell’enorme nastro di Moebius in pietra, fu molto forte [3]. Una forma matematica viva. In un certo senso questa era l’idea che mancava al progetto: i matematici, la matematica in tutti i periodi storici ed in ogni civilità hanno creato immagini, forme, relazioni. Il progetto si stava chiarendo: fare dei film per mettere a confronto su singoli temi il punto di vista matematico e quello artistico; non per filmare delle “tavole rotonde” di discussione tra artisti e matematici, ma “To make visible the invisibile”, come ha detto l’artista David Brisson nel film Dimensions realizzato nel

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1984 con Thomas Banchoff [4]. L’idea era quindi di realizzare dei film sulle relazioni, ovviamente, “visive” tra matematica ed arte. Gli argomenti dei primi due film erano le bolle di sapone e la topologia, il nastro di Moebius. Per una descrizione completa del progetto “Art and Mathematics” si veda [5-7]. Nell’articolo [5] è contenuta la lista completa dei film, libri, esposizioni inclusi nel progetto.

Il film con Coxeter

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Alla fine degli anni Settanta avevo già scoperto le opere dell’artista grafico olandese Maurits Cornelis Escher. In particolare leggendo il libro, curato da Escher stesso, The Graphic Work of M.C. Escher [8] avevo letto nell’introduzione che cosa l’artista grafico olandese scriveva dei suoi rapporti con la matematica. Sin dal primo momento, guardando le sue opere, mi venne l’idea di realizzare un film animando alcune delle più famose incisioni. Escher stesso aveva partecipato alla realizzazione di due piccoli film di animazione poco prima della morte avvenuta nel 1972. Dopo aver realizzato i primi quattro film della serie agli inizi degli anni Ottanta cominciai a pensare alla realizzazione del film su Escher. Pensai ad un film diviso in due parti della durata di 27 minuti ognuna. Il film sarebbe diventato poi un video unico di 50 minuti nella versione per gli USA e per il Giappone alla metà degli anni Novanta. Dopo aver letto i libri che erano stati pubblicati sull’opera di Escher mi resi presto conto che, per realizzare il mio film, dovevo entrare in contatto con H.S. Coxeter e con Roger Penrose. Oltre che con la cristallografa Caroline MacGillavry e Bruno Ernst. Tutti sono stati molto cooperativi e di alcuni come Ernst e Coxeter sono divenuto amico. Negli anni Sessanta i film che fossero di carattere “scientifico” o divulgativo” (non ho mai considerato i miei film di questi due tipi) erano distribuiti negli USA e nel Canada dall’International Film Board con sede a Chicago. I film erano in formato 16 mm che allora era molto diffuso. Meno costoso del 35 mm, lo standard utilizzato per i film in uscita nelle sale cinematografiche. Tra l’altro il 16 mm aveva il grande vantaggio che poteva essere proiettato in tutto il mondo, lo standard era unico, non come oggi per cassette e DVD. Coxeter aveva partecipato a due film brevi sulla geometria. Essendo anche quelli distribuiti dall’International Film Board ho avuto occasione di vederli anche prima di conoscere Coxeter di persona. Il primo si intitola Dihedral Kaleidoscopes [7] e ha una durata di circa 13 minuti, il secondo Symmetries of the Cube dura invece 14 minuti [10]. Dei due mi è subito piaciuto molto il primo. Visivamente attraente l’utilizzo degli specchi e geniale la parte finale girata “fuori scena” che mostra come sono state realizzate le riprese. Il piccolo teatrino degli specchi tra pareti scure, illuminato da tre parti. Coxeter stesso muove gli oggetti che formano le diverse simmetrie all’interno del piccolo teatro di specchi. Tra l’altro Coxeter come personaggio era molto fotogenico. Coxeter negli anni Settanta era un famoso matematico (lo era già da molti anni prima), io mi ero invece laureato da poco. Ero insomma molto preoccupato di entrare in contatto con lui. Ho sempre pensato che in ogni situazione la cosa migliore sia un approccio diretto cercando di far-

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si capire. Ovviamente prima di contattare Coxeter e Penrose dovevo avere un’idea precisa di quello che volevo fare con loro e che tipo di film volevo realizzare insieme a loro. Insomma che tipo di film volevo realizzare sull’opera di Escher, su quelle opere che Escher chiamava le sue “visioni interiori”. D’altra parte Escher aveva scritto che: Le idee che per loro sono fondamentali (le visioni interiori) spesso testimoniano, con mio grande stupore e meraviglia, le leggi della natura che opera nel mondo intorno noi. Colui che si stupisce, scopre che il suo stupirsi non è altro che uno stupore esso stesso. Confrontando nel dettaglio gli enigmi che ci circondano, e considerando ed analizzando le osservazioni che io stesso avevo fatto, ho finito per ritrovarmi nel campo della matematica. Sebbene sia assolutamente fuori allenamento e non abbia alcuna conoscenza delle scienze esatte, mi sembra spesso di avere più cose in comune con i matematici che con i miei colleghi artisti ([8], p. 8). Inoltre Escher (che non a caso chiamerà il primo libro che contiene molte delle sue opere The World of M.C. Escher [11]) aveva un approccio “visivo”, “cinematografico” in molte delle opere. Era un artista meticoloso, preciso, oltre che immaginativo e realistico a suo modo. Come nel caso di quasi tutti gli artisti, l’utilizzo della macchina da presa permette di “restare all’interno” dell’opera, senza mostrare il mondo che la circonda. Quando si va a visitare una mostra le opere dell’artista sono appese alle pareti, vi è una cornice, un supporto, la parete, un ambiente, le altre persone. Tutto questo in qualche modo disturba. Anche nel caso del mondo di Escher. Si rischia di essere distratti. Utilizzando la macchina da presa, chi osserva è invece costretto a cogliere i dettagli, a seguire la “storia” che le immagini raccontano. Non si esce dal “mondo dell’artista”. Inoltre i racconti che sono presenti nelle opere di Escher acquistano quella dimensione temporale che le opere suggeriscono. In qualche modo è possibile filmare le opere di Escher restando nell’ambito del modo di operare dell’artista grafico olandese. Ecco quindi che in un certo modo era “ovvio” pensare al cinema, alle tecniche cinematografiche dello zoom, del rallenti, dell’animazione, del fish eye, per realizzare un film su Escher. Era stato Escher stesso a suggerire di leggere “cinematograficamente” le sue opere, o almeno alcune. Nel suo libro The Regular Division of the Plane [12] scrisse: In questo libro sono le immagini e non le parole a venire per prime ... Per me rimane una questione aperta se il gioco di figure bianche e nere mostrate nelle sei xilografie di questo libro appartenga al regno della matematica o a quello dell’arte. ... La prima xilografia ... mostra chiaramente che una successione di figure, che gradualmente si trasformano, può avere come risultato la creazione di una storia per immagini. Similmente, gli artisti del medioevo raffiguravano le vite dei santi in una serie di tavole statiche ... L’osservatore doveva guardare le scene seguendo un certo ordine. La serie di rappresentazioni statiche acquisiva un carattere dinamico a causa dell’intervallo di tempo necessario per seguire l’intera storia. Una proiezione cinematografica è in contrasto

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con tutto ciò. Le immagini appaiono, una dopo l’altra, su uno schermo immobile e l’occhio dell’osservatore rimane fisso e non si muove. In entrambi i casi, per la storia medievale illustrata sulle tavole e per il motivo che si sviluppa come divisione regolare del piano, le immagini sono fianco a fianco e il tempo scorre seguendo il movimento dell’occhio dell’osservatore, che segue la sequenza da un’immagine all’altra. Avendo abbastanza chiarito quali erano le mie idee sul film, era giunto il momento di contattare Coxeter. Prima di scrivere a Coxeter e Penrose ho iniziato a leggere i loro libri e i loro lavori scientifici.Volevo avere un’idea più precisa del loro lavoro. Inoltre in quanto matematico ero molto interessato a settori che erano al di fuori della mia attività di ricerca. Ho letto in particolare Introduction to Geometry e Regular Polytopes [13, 14]. Nella prima pagina di Introduction to Geometry, pubblicato nel 1961, è scritto: Negli ultimi trenta o quarant’anni, la maggior parte degli americani ha perso in qualche modo l’interesse per la Geometria. Questo libro vuole essere un tentativo per dare nuova vita a questa materia tristemente trascurata.

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Coxeter era interessato alla Geometria che può essere chiamata “Geometria classica”. Egli era interessato alle raffigurazioni mentali, all’intuizione, ma come scriveva in Regular Polytopes (pubblicato nel 1947): Soltanto una o due persone hanno avuto la capacità di visualizzare gli ipersolidi in maniera semplice e naturale come noi comuni mortali riusciamo a visualizzare i solidi. Ma una certa facilità in questa direzione può essere acquisita riflettendo sull’analogia tra la prima e la seconda dimensione, poi tra la seconda e la terza, e così tra la terza e la quarta. Quest’approccio intuitivo è molto utile per suggerire quale risultato ci si debba aspettare. Ad ogni modo, sussiste il pericolo di venire fuorviati, a meno che non si controllino i propri risultati con l’aiuto di una o dell’altra delle ulteriori due procedure, la procedura assiomatica e quella algebrica. Così, egli parla di intuizione, di raffigurare mentalmente, ma non solo di ciò. Serve anche il rigore per essere precisi e corretti. La prima grande mostra di Escher verrà organizzata al congresso mondiale di matematica di Amsterdam nel 1954. Sarà l’occasione per Coxeter di conoscere le opere di Escher. Qualche anno dopo, nel 1958, Escher scrisse una lettera a Coxeter: L’ho mai ringraziata per avermi inviato “Una conferenza sulla simmetria” [“A symposium on Symmetry”]? Sono stato così contento di questo libretto ed orgoglioso delle due riproduzioni dei miei disegni piani! Nonostante il testo del suo articolo sulla “simmetria dei cristalli e le sue generalizzazioni” [“Crystal Symmetry and its generalization”] sia troppo indirizzato a persone più erudite di uno come me – un semplice uomo che da sé ha imparato a fare disegni

H.S.M. Coxeter: un breve omaggio

Fig. 1. Modello di geometria iperbolica

piani – alcune delle illustrazioni e soprattutto la figura 7 a pagina 11 mi hanno provocato una forte emozione. [Il modello di Geometria iperbolica di Poincaré, Fig. 1]. Da tanto tempo nutro un certo interesse per i disegni con dei motivi che diventano sempre più piccoli finché raggiungono il limite dell’infinitamente piccolo. La questione è relativamente semplice se il limite è un punto al centro del disegno. Anche il limite assiale per me non è una novità, ma non sono mai stato capace a fare un disegno in cui ogni macchia diventa gradualmente più piccola partendo dal centro di un cerchio e andando verso il suo limite esterno, come mostrato nella sua figura 7. Ho cercato di capire come questa figura sia stata costruita geometricamente, ma sono riuscito soltanto a trovare i centri ed i raggi del cerchio interno più grande. Le sarei immensamente grato e riconoscente, se mi potesse dare una spiegazione semplice di come costruire gli altri cerchi i cui centri si avvicinano gradualmente partendo dall’esterno fino a raggiungere il limite! Ciononostante ho utilizzato il suo disegno per fare una grande xilografia (di cui ho fatto soltanto un settore di 120° che ho stampato tre volte). Gliene sto inviando una copia. Si tratta del Circle Limit One. Seguirono delle osservazioni di Coxeter e alla fine il Circle Limit III. Coxeter disse: L’opera di Escher, basata sulla sua intuizione, senza effettuare alcun tipo di calcolo, è perfetta, anche se la descrizione poetica che ne dà (Loodrecht uit de limiet, perpendicolare dal limite) era solo approssimativa (Fig. 2). Avevo letto tutto questo materiale e non avevo dubbi che uno degli argomenti che dovevo trattare con Coxeter nel film doveva essere il modello di Geometria iperbolica di Poincaré e la serie di incisioni Circle Limit. In questo modo invece di parlare in astratto dei rapporti tra Escher e il mondo matematico, con

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Fig. 2. M. C. Escher, Circle Limit III, incisione, 1959. M.C. Escher’s works © Cordon Art B.V., Baarn, The Netherlands. All rights reserved

Coxeter sarebbe stato possibile parlare di un fatto molto concreto, di una collaborazione esplicita che aveva portato alla realizzazione di alcune opere tra le più interessanti da parte di Escher. Il 18 maggio del 1978 inviai la mia lettera al dipartimento di matematica dell’Università di Toronto. Non sapevo che in quel periodo Coxeter fosse professore visitatore dell’Università di Bologna, abbastanza vicino all’università dove mi trovavo io, Trento. Non ho le copie delle mie lettere (non esisteva l’e-mail allora!): ecco la risposta di Coxeter, datata 18 June 1978: Caro Dott. Emmer, molte grazie per la sua lettera del 18 maggio che mi attendeva al mio ritorno dalle cinque settimane a Bologna. Se solo qualcuno le avesse detto che ero lì avremmo potuto incontrarci in Italia. Per coincidenza, giusto tre giorni prima che lei mi scrivesse, stavo tenendo una conferenza sugli aspetti matematici delle opere di Escher a Siena [è la conferenza pubblica-

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ta in Leonardo [15]] su specifico invito dei matematici senesi. Sin da allora ho aggiornato la conferenza, concentrandomi particolarmente sulle quattro immagini di Circle Limit che avevano tratto ispirazione da un mio vecchio disegno. La sua idea di fare un film su Escher mi interessa molto. Credo che un film del genere sia già stato fatto mentre egli era ancora in vita. Qualcuno ha detto che comprendeva alcune versioni animate dei suoi disegni che si ripetono. Mi sono sempre rammaricato di averlo perso quando veniva mostrato in TV. Sì, sarei veramente interessato ad aiutarla a fare il suo film. Penso di rimanere a Toronto quest’estate. Dunque teniamoci in contatto. Cordiali saluti. Suo, H. S. M. Coxeter. Inoltre Coxeter mi segnalava un artista italiano, Lucio Saffaro, che aveva sempre dipinto poliedri nella sua vita. Lo aveva conosciuto a Bologna. Sarà grazie a Coxeter che entrerò in contatto con Saffaro con il quale realizzeremo due film e diverse mostre e libri. Durante il convegno dedicato a Coxeter all’università di Toronto, nel maggio 2004, a Bologna era in corso una grande mostra dedicata a Saffaro [16]. Qualche tempo dopo Coxeter mi inviò alcune idee su che cosa si poteva realizzare nel film su Escher. Donald stava già pensando a come si poteva realizzare la parte del film in cui sarebbe stato coinvolto. La sua mente visiva era la lavoro. Il progetto del film procedette. Normalmente non scrivo una sceneggiatura dettagliata dei miei film ma soltanto una traccia, anche se abbastanza estesa, riservandomi di cambiare i piani in dipendenza dell’interesse delle immagini che vengono filmate. Il che permette un grande margine di libertà per l’invenzione e la creatività. Con Coxeter decidemmo di realizzare tre diverse parti per tre diversi film: Solidi Platonici, M.C. Escher, symmetry and space e M.C. Escher: geometries and impossible worlds. Per le riprese cinematografiche fissiamo il gennaio del 1979. Le riprese verranno effettuate all’università di Roma “La Sapienza”, non nel mio studio, troppo piccolo, ma nello studio di un amico nel dipartimento di genetica. Coxeter resterà a Roma qualche giorno. Le riprese vanno molto bene, noi diventiamo amici. Viene a cena a casa e conosce Valeria di cui diverrà pure molto amico. Avendo deciso di dividere il film in due parti, in due film indipendenti, nella prima M.C. Escher: Symmetry and Space in cui si parla della simmetria e dei solidi nell’opera di Escher, faccio intervenire la cristallografa Caroline MacGillavry e Bruno Ernst. Nel secondo film M.C. Escher: Geometries and Impossible Worlds intervengono Coxeter e Penrose. Al ritorno a Toronto Coxeter scrive le sue prime impressioni. Questa volta, per la prima volta, mi scrive “Dear Michele”. La lettera è del 4 febbraio 1979. È stato un grande piacere esserti venuto a trovare e aver visto qualcuna delle tue attività. È stata un’esperienza interessante ritrovarsi in un film. Spero che taglierai le parti del film dove ho esitato troppo a lungo o ho parlato in modo confuso. Mi ha fatto anche molto piacere conoscere tuo padre [Luciano Emmer, regista e produttore] e vedere un po’ del tuo lavoro. Tanti saluti, Donald.

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Qualche anno dopo prende forma l’idea di un congresso e di una mostra su Escher. Il convegno si tiene all’Università di Roma alla fine di marzo del 1985. La mostra all’Istituto Olandese resterà aperta per due mesi con grande successo. Sarà inaugurata dalla Regina Beatrice d’Olanda. Quella mostra ed il suo successo salveranno l’Istituto Olandese dalla chiusura che allora era prevista. Il catalogo in cui è pubblicato anche un articolo di Coxeter sarà stampato in 6000 copie che andranno esaurite in pochi giorni. Nel catalogo, stampato a cura dell’Istituto Olandese di Roma, erano inclusi i seguenti articoli (alcuni testi erano in italiano, alcuni in inglese): “Introduzione” di M. Emmer,“Escher e l’Italia”, di J. Offerhaus, allora direttore dell’Istituto Olandese di Roma, “Roman Memories” di George Escher, figlio di Maurits,“La fantasia dell’enigma e l’enigma della fantasia” di M. Emmer, “M.C. Escher, the Man and his Work”, di C. H. MacGillavry, “Escher’s Fondness for Animals”, di H.S.M. Coxeter [17] (Fig. 3). Molti anni dopo, nel 1998, un altro convegno su Escher sempre all’università di Roma e al centro Europeo di Ravello, con due mostre delle opere di Escher, una all’università di Roma, presso il laboratorio di Arte Contemporanea e l’altra a Ravello, città molto amata da Escher. Per ragioni di salute Coxeter non poté ve-

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Fig. 3. Copertina del catalogo della mostra all’istituto Olandese di Roma, 1985

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nire al nuovo convegno. Inviò però due articoli che sono stati pubblicati nel volume degli atti nel 2003 [18]. Ho incontrato per l’ultima volta Coxeter ad un convegno sulla simmetria “Symmetry 2000” a Stoccolma nel 2000. Sono molto lieto di aver potuto realizzare con lui il film su Escher. Sono stato molto contento di essere stato invitato al convegno in onore di Coxeter organizzato a Toronto dal Fields Institute nel maggio 2004. Un ampio articolo con la pubblicazione di alcune lettere di Donald, dei testi dei film che abbiamo realizzato insieme comparirà negli atti del convegno [19]. Sono commosso ad aver contribuito con i film a mantenere un ricordo “visivo” di una persona dalla eccezionale “mente visiva”. Oltre che di un grande amico.

Bibliografia [1] J. Plateau (1873) Statique expèrimentale et Thèorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires, Gauthier-Villars, Paris [2] F. Almgren, J. Taylor (1976) The Geometry of Soap films and Soap Bubbles, Scientific American, July, pp. 82-93 [3] M. Bill (1993) “The Mathematical Way of Thinking in the Visual Art of Our Time”, in: M. Emmer (ed.) The Visual Mind, Cambridge, Mass, pp. 5-9 [4] M. Emmer (1986) Dimensions, film and video, series Art and Mathematics, 27 minutes [5] M. Emmer (2002) Mathematics and Art: the Film Series, Mathematics and Visualization series, Bruter, P.C. (ed), Mathematics and Art, Springer-Verlag, Berlin, pp. 119-133 [6] M. Emmer (2003) Films: a Communicating Tool for Mathematics, Mathematics and Visualization Series, vol. 3, C. Hege, K. Polthier (eds) Mathematics and Visualization, Springer-Verlag, Berlin, pp. 393-405 [7] M. Emmer (2004) The ‘Mathematics and Culture’ Project, J. Wang, B. Xu (eds.) Trends and Challenges in Mathematics Education, East China Normal Univer. Press, Shanghai, pp. 85-103 [8] M.C. Escher (1961) The Graphic Work of M.C. Escher, MacDonald, London [9] J. Hines, G. Wright, registi, Dihedral Kaleidoscopes; matematici: H.S.M. Coxeter e W. O.J. Moser, modelli di J. Runyon, College Geometry Project, University of Minnesota [10] A. Landy, regista, Symmetries of the Cube; matematico: H.S.M. Coxeter, College Geometry Project, University of Minnesota [11] M.C. Escher (1971) The world of M.C. Escher, H.N. Abrams, New York [12] M.C. Escher The regular Division of the Plane; ristampato in: F.H. Bool, J.R. Kist, J.L. Locher, F. Wierda (eds.) (1982) M.C. Escher: his Life and Complete Graphic Work, H.N. Abrams, New York [13] H S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, J. Wiley & Sons, New York, p. VII [14] H.S.M. Coxeter (1973) Regular Polytopes, Dover Publ., New York, p. 119 [15] H.S.M. Coxeter (1979) “The Non-Euclidean Symmetry of Escher’s ‘Circle Limit III’”, Leonardo, 12, p. 19 [16] L. Saffaro (2004) Le forme del pensiero, catalogue of the exhibition, G.M. Accame (a cura di) Edizioni Aspasia, Bologna [17] M. Emmer, C. van Vlanderen (eds.) (1985) M.C. Escher, catalogue of the exhibition, Ist. Olandese, Roma [18] M. Emmer, D. Schattschneider (eds.) (2003) M.C. Escher’s Legacy, Springer-Verlag, Berlin [19] M. Emmer (2005),“The Visual mind: art, mathematics, cinema”, in: Proceedings of the Toronto University meeting, Fields/AMS Communications, in corso di stampa

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Donald nel paese delle meraviglie: le varie sfaccettature della vita di H.S.M. Coxeter* SIOBHAN ROBERTS, ASIA IVIC´ WEISS

C’è un che di soddisfacente per un mistico in un tale mondo di specchi. Poiché un mistico è una persona che ritiene che due mondi sono meglio di uno solo. In effetti, il significato più alto di tutto ciò, è che ogni pensiero è una riflessione.

Con questa citazione dal libro Man Alive di G.K. Chesterton, Donald Coxeter invitava molti nel suo reame di geometria e, una volta portati lì, felicemente divagava sui ricordi del suo passato.

Un’infanzia precoce Una delle prime fotografie di Donald Coxeter lo ritrae da bambino a circa tre anni. Era tutto ben agghindato, portava una camicia con un colletto ornato e dei calzoni alla zuava, con ciocche di ricci biondi fin sulle spalle ed era seduto su una panca davanti ad un pianoforte a coda, con i piedi a penzoloni. Secondo l’analisi fatta dallo stesso Coxeter, le sue mani facevano finta di suonare il pianoforte: egli posava per sua madre, e il ritratto di suo figlio in questa esatta posa si trova ora presso l’università che frequentò, il Trinity College di Cambridge (il pianoforte si trova all’Istituto Fields). In quel periodo Donald aveva tredici anni e non era solo diventato un discreto pianista per la sua età, avendo imparato a suonare da uno degli amici musicisti del padre che frequentava il loro grottesco salotto (in cui si trovavano non uno, ma ben due pianoforti a coda), ma componeva anche. Egli intitolò uno dei suoi arrangiamenti Autumn ed un altro Devil, parte di un’opera chiamata Magic. Più tardi compose un quartetto d’archi in Fa minore, come pure alcune canzoni. Coxeter si ricordava spesso che sua madre lo portava da Gustav Holst per una valutazione delle sue opere. Holst era un compositore che risiedeva presso una scuola femminile poco fuori Londra.“Non so come mia madre arrivò a lui,” disse Coxeter,“ma mi ci ha portato per un lungo periodo e io gli mostravo alcune parti della musica che avevo scritto e suonavo un po’ al pianoforte. Nel complesso deve aver pensato che si trattava di ben poca roba”. Ricevettero pressoché la stessa risposta da un compositore irlandese, C.V. Standford, che consigliò: “Educatelo dapprima”. Da quel momento in poi – così continua la storia – i genitori tentarono di pro-

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Traduzione dell’articolo Donald in Wonderland: The Many-Faceted Life of H.S.M. Coxeter, apparso sulla rivista The Mathematical Intelligencer, vol. 26, n.ro 3 © Springer-Verlag New York, 2004.

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Un ritratto di Coxeter da bambino dipinto da sua madre (Tutte le illustrazioni sono usate per gentile concessione di Susan Coxeter Thomas)

teggere Donald dal dispiacere del loro divorzio, mandandolo al collegio San George a Harpenden, poco fuori Londra. Il dodicenne Donald, tuttavia, trovò una via di scampo migliore per i suoi pensieri. Creò una lingua personale e la chiamò Amellaibian, un incrocio tra latino e francese. Riempì un libro di 126 pagine, in cui raccontava nel dettaglio il mondo immaginario dove veniva parlato l’Amellaibian, un posto mitico di cui incluse anche delle cartine (anticipando Tolkien di vari decenni). Scritto in maniera impeccabile a caratteri maiuscoli, degni di un disegnatore, il libro contiene anche un elenco di vocaboli, storie, genealogie, racconti e una parte intitolata “Compleanni delle fate e altri eventi”. Gradualmente, il testo diventa molto numerico, con pagine e pagine di calcoli dedicati a pesi e misure, formule, equazioni e numeri magici Amellaibiani (questi erano i numeri della fattorizzazione del numero preferito di Donald in quel periodo, il 250). Del suo periodo al collegio, Coxeter ricorderà: “Mi sentivo in carcere”. Si sentiva un miserabile, ma ha ammesso che il suo incontro formativo con la geome-

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tria era avvenuto a San George. Convalescente nell’infermeria scolastica a causa della varicella, Donald si trovò nel letto accanto a quello di John Flinders Petrie, figlio dell’egittologo ed avventuriero Sir William Matthew Flinders Petrie. Fu l’inizio di una lunga amicizia e collaborazione. I due cominciarono a discutere sul perché esistevano soltanto cinque solidi platonici e passarono il loro tempo a cercarne altri di dimensioni più grandi. Uno o due anni dopo, Donald vinse un premio scolastico per un tema su come creare forme in più dimensioni. Lo chiamò Dimensional Analogy. Il padre di Donald decise quindi che suo figlio meritava un ambiente educativo più stimolante. Portò Donald e il suo tema da Bertrand Russell. I padri di Russell e Donald erano entrambi dei pacifisti e si erano conosciuti a Londra in un raduno di obiettori di coscienza durante la prima Guerra Mondiale. Russell convenne che Donald aveva un grande potenziale matematico e suggerì di mettersi in contatto con E.H. Neville, il matematico che ha aiutato a portare Ramanujan dall’India a Cambridge. Fra le carte di Coxeter c’è una lettera datata 11 settembre 1923, inviata a Neville da un’amica di famiglia, la professoressa Edith Morley. Così scriveva: Caro E. H., Mi sono presa una libertà che spero mi perdonerà! Un certo Donald Coxeter, un ragazzo di 15 anni, che deve essere un matematico ed un musicista piuttosto insolito per la sua età, ha passato le sue vacanze estive scrivendo ciò che mi dicono essere un trattato molto originale sulla quarta dimensione. Il ragazzo è amico di una mia amica, la signora McKillop: non lo conosco di persona, ma ho sentito parlare molto di lui e so che a scuola non riceve adeguata comprensione per i suoi risultati in matematica. Penso che lei mi perdonerà se lo inciterò a scriverle e a chiederle di aiutarlo. Sembra che abbia letto il suo piccolo libro (penso proprio di aver ragione): in ogni caso, ne ha sentito parlare e sente che lei è la persona giusta per aiutarlo. Se il suo lavoro non promette nulla di buono, può scoraggiarlo senza problemi: se così fosse, il suo consiglio sarebbe inestimabile per lui. In seguito andrà a Cambridge. Le scriverà non appena troverà il coraggio per farlo e spero tanto che lei non penserà che siamo troppo presuntuosi. Con i miei migliori saluti, Edith Morley Esattamente lo stesso giorno, l’11 settembre del 1923, il prodigio in questione, all’età di 16 anni, prese la penna e scrisse: Caro Prof. Neville, La professoressa Edith Morley mi ha suggerito di scriverle a suo nome. Sto per andare a comprami il suo libro sulla quarta dimensione, dato che sono tremendamente appassionato di queste tematiche. Sto scrivendo anch’io un libro sull’analogia dimensionale, di cui Le allego una bozza… Vostro fiduciosamente, Donald Coxeter

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Donald aveva già quasi rinunciato a ricevere aiuto da Neville, quando un mese dopo arrivò la sua risposta. Fu fissato un incontro a San George. Neville fece a Donald la domanda: “Cosa ha un limite?” Come ricordava lo stesso Coxeter, quando non rispose “Una successione”, Neville gli consigliò di lasciare la sua attuale educazione scolastica (non si sa se la motivazione di Neville di toglierlo dalla scuola fosse dettata dal fatto che era rimasto impressionato di non avere ricevuto una risposta ingenua alla sua domanda o costernato da una insufficiente; Donald, da ciò che ricordava di questa scena, optava con modestia per l’ultima delle due). Neville suggerì a Coxeter di lasciar perdere tutte le materie a parte matematica e tedesco e di fare una carrellata veloce delle altre in ripetizioni private per Cambridge. Un tutor adatto fu trovato in Alan Robson del Marlborough College. Donald affittò una stanza da una famiglia della città e andava in bicicletta all’università, dove Robson gli dava quotidianamente lezioni private durante il suo tempo libero (l’università non avrebbe accettato un nuovo studente di soli sedici anni). Per quanto si sa, sembra che inizialmente egli fu classificato in fondo tra gli studenti di Robson: era ossessionato dalla quarta dimensione, ma tristemente indietro in alcuni fondamentali. Gradualmente salì dal fondo della classifica fino ad essere il primo della classe, cosa resa possibile non solo per il fatto che trascurava le altre materie, ma anche perché gli era stato espressamente vietato di

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Coxeter insieme a suo padre

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sognare a occhi aperti sui politopi, finché non aveva finito di fare tutti i compiti del giorno. Ovviamente Coxeter non era riuscito ad astenersi del tutto dal farlo, come raccontò pochi anni dopo: Ho passato tuttavia una grande parte del mio tempo libero scrivendo ulteriori volumi di Dimensional Analogy. Ricorderò per sempre il fremito, l’eccitazione che ho sentito, mentre sedendo sotto un albero nella vicina foresta di Savernake ho riscoperto i politopi puri di Archimede in dimensione sei, sette ed otto. Più di quarant’anni dopo, il tema che aveva vinto un premio raggiunse il suo compimento, quando Coxeter pubblicò il suo libro Regular Polytopes. Il suo extutor Alan Robson gli inviò una lettera di congratulazioni: Sono contento di vedere i tuoi politopi finalmente stampati e il libro mi piace molto. Le immagini e le tabelle sono molto piacevoli. Quanto tempo è passato da quando, mentre studiavi per l’esame del Trinity, hai fatto quel proposito (te lo ricordi?) di non lavorare alla quarta dimensione eccetto che di domenica. Donald fu mandato via da Marlborough con un regalo d’addio del suo tutor. Robson suggerì che Coxeter presentasse la sua opera al Mathematical Gazette. I suoi tentativi di valutare il volume di un tetraedro sferico portavano ad alcuni integrali definiti che, ammetteva, lo lasciavano perplesso. Nel volume 13 della Gazzetta pubblicata nel 1926, Coxeter propose: Può qualche lettore dare una dimostrazione elementare dei risultati che sono stati suggeriti da considerazioni geometriche e verificate graficamente?

Cambridge, Princeton ed oltre Per la festa di San Michele del 1926, Coxeter era partito alla volta di Cambridge, sostenuto da una borsa di studio di entrata e da una considerevole provvista di marzapane fatto in casa da sua madre. Si sistemò nella stanza G9 della Whewell’s Court. Cosa ci potrebbe essere di meglio nei sogni più selvaggi di un fresco studente di matematica del Trinity, che ricevere a novembre una risposta alla sua domanda pubblicata nel Mathematical Gazette. Arrivò una lettera raccomandata nientemeno che da parte del grande G.H. Hardy, e poi da un professore di geometria di Oxford.“Ho tentato in tutti i modi di non passare tutto il mio tempo a risolvere i suoi integrali”, annotò Hardy al margine delle sue pagine di calcoli, “ma per me la sfida di un integrale definito è irresistibile”. Questo fu un rituale di passaggio: Coxeter era entrato nel reame della dialettica matematica. A Cambridge, Coxeter si teneva in disparte studiando con molto rigore. La prima e unica menzione del suo nome nell’annuario del Trinity ci fu nel 1928 quando il circolo di discussione “Magpie e Stump” (circolo di chiacchiere e comizi) riportava:

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Abbiamo due nuovi membri veterani, il Sig. J.A. Todd, che è troppo strano per essere descritto a parole, ed il Sig. H.S.M. Coxeter, che è sempre molto buono ed inintelligibile, ma terribilmente conciso. Con J.E. Littlewood come suo consigliere di studi universitari, Coxeter completò l’esame Tripos con la posizione B Wrangler. Il suo consigliere di dottorato fu H.F. Baker, che pure si era laureato a Cambridge nel 1888. Baker era rimasto a Cambridge come studioso ed insegnante, e gli era stata assegnata la cattedra di Astronomia e Geometria nel 1914. Ogni sabato mattina Coxeter faceva dalla sua residenza (che ormai si trovava nel Great Court) una passeggiata in bicicletta di dieci minuti, attraversando il fiume Cam, fino alla casa di Baker sulla Storey’s Way, dove riferiva i suoi progressi. I sabato pomeriggio erano riservati ai famosi “ricevimenti pomeridiani” di geometria di Baker. Coxeter vi partecipava insieme a P. Du Val, G. de B. Robinson, J.A. Todd, D.W. Babbage, J.G. Semple, T.G. Room, W.J. Welchman e William Hodge. Come annotato in uno degli articoli commemorativi di Baker del 1956, [Egli] radunava intorno a sé un gruppo di giovani, contagiati dal suo entusiasmo e dalla sua potenza evocativa … qui si riuniva l’ispirazione che ha fatto della geometria la grande materia che è oggi in molte nostre università ed oltre oceano. 18

I discepoli di Baker erano tutti molto appassionati, nonostante alcuni abbiano trovato queste riunioni – inevitabilmente di sabato – piuttosto stancanti. Baker dal canto suo non si stancava mai, perlomeno in apparenza, e teneva vive le riunioni. Ogni studente aveva un pomeriggio a disposizione per presentare la sua ricerca più recente, alla quale seguiva poi una discussione. Durante un pomeriggio del 1929 in cui toccava a Coxeter, come ha annotato nel suo Personal Record Book of Fellows della Royal Society, Ho descritto la successione di politopi “puri archimedei” nelle dimensioni 3, 4, 5, 6, 7, 8 (chiamate dopo (–1)21, 021, 121, 221, 321, 421) con il loro numero di vertici: 6, 10, 16, 27, 56, 240. Continuando, Coxeter si spiega più nel dettaglio: Uno dei geometri algebrici ha espresso subito il suo interesse, perché 6, 10, 16, 27 sono i numeri delle rette sulla superficie di Del Pezzo nelle dimensioni 6, 5, 4, 3. Du Val andò un passo più in avanti dichiarando che 2x28 erano il numero di rette della “superficie di Del Pezzo” nella dimensione 2, superficie che è costituita da due copie di un piano collegate lungo una quartica di genere 3; le rette corrispondono a coppie alle bitangenti alla quartica. Queste considerazioni mi hanno condotto a scrivere il mio articolo sui politopi archimedei puri. Un giorno, durante una delle mie passeggiate solitarie in bicicletta sui “Gogs”, vidi come questi e altri politopi potevano essere dimostrati essere membri di una sola famiglia per mezzo dei simboli npq (per una fi-

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gura nella dimensione n+q+1). Questa riflessione portò al mio lungo articolo nel Philosophical Transactions di questa società. In un’altra occasione, quando era di nuovo il turno di Coxeter al ricevimento pomeridiano, egli invitò “zia Alice”, come la chiamava, a tenere una conferenza congiunta, usando i suoi famosi modelli come sostegno. Era più nota con il nome di Alicia Boole Stott, una casalinga amante della geometria, cui Coxeter attribuiva l’introduzione della parola “politopo” nella lingua inglese intorno al 1902. La Stott era la figlia intermedia delle cinque di George Boole. Suo padre, che era diventato famoso per l’algebra della logica pubblicata nel libro The Laws of Thought 150 anni prima, era morto quando lei aveva quattro anni. Secondo le valutazioni di Coxeter, ciò significava che le sue capacità matematiche erano puramente ereditarie. Attribuendo elogi, come sempre, solo dove era veramente doveroso farli, Coxeter scrisse un esteso profilo biografico della Stott (come fece per molti altri predecessori in quel campo della matematica), includendolo nel suo libro Regular Polytopes. L’influenza della Stott sul lavoro di Coxeter è evidente dalla prefazione della sua dissertazione di dottorato. Egli scrisse: Nei capitoli 7, 9 e 13 si trova un tentativo di esprimere in forma più generale alcune delle scoperte della sig.ra A. BOOLE STOTT e del prof. P. H. SCHOUTE. Nel capitolo 10, per la sua conclusione logica, ho eseguito un suggerimento fattomi dalla sig.ra STOTT. SCHOUTE sembra invece non aver colto l’importanza delle “operazioni parziali” della STOTT, e conseguentemente si è perso una famiglia infinita di politopi uniformi… Anche Ludwig Wittgenstein aveva simpatia per Coxeter e lo scelse tra i sei studenti per il suo seminario sulla filosofia della matematica. “Ho preso un tè con Wittgenstein ieri” disse in una lettera alla sua famiglia dei suoi ultimi anni al Trinity.“Parlò in maniera molto interessante della cecità e della sordità, e perché su un cammello si soffre di mal di mare mentre su un cavallo no.” Aggiungendo alla fine: “Non sembra essere più anormale come prima.” Wittgenstein ha fatto su Coxeter un’impressione simile a quella che Coxeter fece sui partecipanti alle discussioni da Baker: era inintelligibile. Wittgenstein si rifiutava di tenere lezioni di cinquanta minuti, come era usanza, ma richiedeva centocinquanta minuti, in parte perché gli ci voleva un’ora per entrare nel vivo della questione ed in parte perché aveva l’abitudine di fermarsi a metà frase e tenere il suo pubblico in attesa mentre elaborava il prossimo punto o cercava la parola successiva. Una volta Coxeter cronometrò una di queste pause che durò per più di venti minuti, dopo i quali Wittgenstein continuò esattamente laddove aveva lasciato il discorso, come se tutto fosse normale, e con nessuna scusa o spiegazione. In un’altra occasione, Wittgenstein lamentò che l’aula delle lezioni era troppo formale, e disse che preferiva un salotto privato. Coxeter offrì il suo nella scala I della Great Court. Wittgenstein lo utilizzò a parecchie riprese, anche dopo che Coxeter aveva abbandonato la classe per passare più tempo nella sua ricerca matematica.

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Non riuscivo a capire quel tipo di filosofia, ricordava Coxeter, ho pensato che fossero sciocchezze. Dopo tutto, non mi interessava. La sola cosa che ricordo delle sue opere è che il suo libro Tractatus Logico-Philosophicus iniziava con le parole: “Il mondo è tutto ciò che è il caso”, e che finiva con la famosa frase, “Di ciò di cui non si può parlare occorre tacere”.

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Dopo aver ottenuto il suo dottorato a Cambridge, Coxeter alternò periodi di lavoro tra Princeton e Cambridge (1932-33 Princeton, 1933-34 Cambridge, 1934-35 Princeton, 1935-36 Cambridge). In ogni campus si portava una collezione di specchi che aveva fatto tagliare appositamente per i suoi scopi (ora si trovano all’Università di York). Sugli specchi erano fissati dei cardini, di modo che senza molto sforzo potevano essere montati in maniera tale da diventare una versione grezza di un caleidoscopio. Era un uomo quasi per niente vanitoso, ma amava i suoi specchi. Nella documentazione del Progetto di Geometria del 1960, prodotta nell’Università del Minnesota, Coxeter e i suoi colleghi costruirono un gran numero di caleidoscopi giganteschi. In uno egli collocò un triangolo su cui aveva stampato a chiare lettere la parola NONSENSE. In un altro posizionò l’amato bassotto di sua moglie, Nico, il quale, immancabilmente ringhiò contro Donald (come è ovvio che fosse). Coxeter portava i suoi specchi in giro in sacchetti cuciti appositamente per lui da sua madre. Di tanto in tanto nei suoi diari avrebbe annotato: “Riparazione degli specchi.” I cardini che incollavano uno specchio al prossimo, si erano forse scardinati a causa della sua passione per una guida sfrenata. “Mi hanno beccato a guidare troppo velocemente (65 miglia all’ora),” annotò un giorno, e un altro, “Ho portato Pat [Du Val] ad estrarre un dente dal dentista (ho sbandato e ammaccato il parafango di un’altra automobile mentre andavo lì)”. In età avanzata, Coxeter descrisse i suoi anni a Princeton, dove aveva studiato con Oswald Veblen, Hermann Weyl, George Pólya, J.W. Alexander, L.P. Eisenhart, J.H.M. Wedderbum, Eugene Wigner e Solomon Lefschetz, come i tempi più felici della sua vita. Faceva avanti e indietro da New York, andando appresso alle donne, ma mai quanto alla matematica. I suoi corteggiamenti, tuttavia, erano condannati a fallire a causa della loro predominante natura metafisica. Dopo una delle delusioni, scrisse una lunga lettera in cui si confidò con suo padre, riferendo nel dettaglio il disastro romantico che gli era accaduto e poi chiudendo con le parole: Sto scrivendo tutto ciò a letto nel bel mezzo della notte. Sono troppo stravolto da questi fatti per dormire. Adesso tenterò di trovare una consolazione nelle Lectures on the Icosahedron di Klein. Non molto dopo la sua seconda visita a Princeton, durante il suo ritorno a Cambridge nell’agosto del 1935, Coxeter conobbe “la ragazza attraente olandese” che divenne sua moglie: Rien Brouwer. Si incontrarono nel marzo del 1936 e, do-

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po un semplice corteggiamento di due mesi, in un cimitero, egli si dichiarò. Si sposarono in tragiche circostanze in agosto nella chiesa Round Church di Cambridge, subito dopo la morte improvvisa del padre di Donald, che era annegato per un attacco di cuore mentre nuotava nel Canale della Manica. All’inizio del 1936, Coxeter rifiutò l’offerta di un posto universitario da assistente all’Università di Toronto. Baker stava andando in pensione e suggerì Coxeter come candidato per la sua cattedra da Lowdean di geometria. Era una posizione privilegiata, ma quell’estate seppe di aver perso la cattedra contro William Hodge, che aveva vinto il Premio Adams per la geometria nel 1934. Consultandosi con Baker, Coxeter realizzò che aveva poche opzioni. Si persuase a riconsiderare l’offerta di Toronto.“Molti uomini buoni hanno iniziato lontano dall’Inghilterra.” gli consigliò Baker, aggiungendo, “L’Europa di oggi sembra essere diventata matta. E comunque Toronto è un posto stimolante.” Il 6 giugno Coxeter telegrafò a Samuel Beatty, poi al direttore del dipartimento di matematica a Toronto, chiedendo se, dopo tutto, era ancora possibile accettare l’offerta. Un “sì” via telegramma arrivò due giorni dopo. Il 3 settembre, la coppia di sposi novelli salpò per il Canada. Coxeter passò quasi tutta la sua vita da matematico all’Università di Toronto, a parte numerosi posti da visiting professor in giro per il mondo. Poco prima di lasciare Cambridge, Littlewood chiese a Coxeter di scrivere l’undicesima edizione dei Mathematical Recreations & Essays di W.W. Rouse Ball. Gli appunti lasciati a Littlewood da Ball (che era stato il tutor di Littlewood

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a Cambridge dal 1903 al 1906) passarono a Coxeter. Nel 1938 egli completò la revisione, che includeva un nuovo capitolo sui poliedri. Questo capitolo fu scritto nello stesso stile con cui più tardi scrisse il suo Regular Polytopes. Vi aggiunse anche un capitolo sulla crittografia, scritto soprattutto da A. Sinkov, con cui Coxeter ebbe una lunga corrispondenza per tutta la vita (si conobbero, probabilmente, durante la seconda visita di Coxeter a Princeton). Fu grazie ai Mathematical Recreations che Coxeter incontrò per la prima volta John Horton Conway. Anche se Conway non studiò mai insieme a Coxeter, si considerava comunque uno studente d’onore, a causa della natura “coxeteriana” di alcune delle sue opere. L’unione dei loro geni avvenne nel marzo del 1957, quando, mentre era studente al Caius College a Cambridge, un Conway adolescente scrisse una lettera a Coxeter, che iniziava così: Caro Signore, Nell’ultimo anno la mia copia della sua edizione del Mathematical Recreations di Ball ha accumulato un numero sorprendente di note al margine ed alcune correzioni. Della maggior parte di queste non si può dire che siano adatte per essere pubblicate nelle successive ristampe, ma una o due mi sembrano importanti …

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La lettera continuava per cinque pagine. I piccoli scarabocchi erano interrotti soltanto da una selezione di pochi grafici, inclusa una versione molto ben fatta di un quadrato magico. Conway concluse la lettera dicendo: L’ultimissima mia osservazione è una domanda. Dove posso trovare le informazioni necessarie per disegnare un {5, 3, 3}, oppure devo elaborare i dettagli da solo? Le sarei molto grato se potesse fornirmi alcune informazioni accessibili. Vostro fiduciosamente, J. H. Conway

Contributi matematici Nei diari che Coxeter ha scritto per quasi tre quarti della sua vita, una parte dei quali oggi si trova in archivio all’Università di Toronto, egli parlava soprattutto degli impegni sociali, di seminari occasionali, di libri e concerti. Molto raramente prendeva nota dei manoscritti che stava ultimando e di teoremi che aveva dimostrato o stava per dimostrare. Il 22 febbraio del 1933, per esempio, scrisse: “Ho dimostrato (mentre mi stavo alzando) che tutti i prodotti continui di generatori sono coniugati”. Questo prodotto di generatori è stato chiamato elemento di Coxeter ed il suo ordine numero di Coxeter. Sarà per il suo lavoro sui politopi regolari, sulla riflessione dei gruppi e settori collegati a questi, che Coxeter sarà ricordato. Un gruppo generato da involuzioni e definito da relazioni che specificano il periodo dei prodotti di tutte le coppie di generatori, è noto come gruppo di Coxeter. Ispirato da un suo commi-

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litone, J.A. Todd, con cui più tardi fece una relazione su quest’argomento, Coxeter investigò i gruppi di simmetrie dei politopi regolari. Infine, questo lo portò a studiare sistematicamente i gruppi di riflessione. In una serie di articoli, finita nel 1933 [1,2,3], Coxeter diede una classificazione completa dei gruppi discreti generati da riflessioni (finite ed infinite) in spazi sferici ed euclidei. Il nome di Coxeter viene anche associato ad un grafo, corrispondente al gruppo di Coxeter, dove i vertici del grafo rappresentano i generatori involutivi. Quando i generatori commutano, i vertici corrispondenti non sono collegati. Altrimenti, i vertici sono collegati ed i lati del grafo sono etichettati con numeri interi ≥ 3 o con il simbolo ∞. L’etichetta sotto il lato che collega due vertici del grafo indica l’ordine del prodotto dei generatori corrispondenti. Sebbene Coxeter scrisse che aveva cominciato ad usare i grafi per rappresentare le riflessioni durante la sua visita a Princeton nel 1932, il primo riferimento all’uso di un grafo può essere trovato in un articolo che pubblicò nel Journal of the London Mathematical Society [1], che presentò il giorno del suo compleanno, il 9 febbraio del 1931. La prima apparizione dei grafi pubblicata si trova negli Annals of Mathematics del 1934 [2]. Aveva completato questo articolo durante la sua prima visita a Princeton nel febbraio del 1933. E.B. Dynkin ha essenzialmente riscoperto la stessa notazione indipendentemente alcuni anni dopo. Coxeter salutò questa notizia cordialmente e non in termini di competizione e fu particolarmente soddisfatto della comunicazione che ne risultò con Dynkin. Coxeter amava raccontare i dettagli di una lettera di Dynkin, datata 3 aprile 1984, in cui Dynkin osservava, “Colpisce che la mia notazione risultò essere così simile alla sua. Questo mostra, probabilmente, come queste notazioni siano naturali”. Mentre si trovava a Princeton nel 1933, Coxeter aveva iniziato ad enumerare le stellazioni di un icosaedro (è stato certamente il primo a completare l’enumerazione). Tornato in Inghilterra, egli collaborò con Petrie e Du Val, che eseguirono dei disegni al tratto, e anche con Flather, che fece dei modelli di questi poliedri (Coxeter ricordava che, dato che Flather era piccolo quasi come un nano, era più facile per lui produrre modelli così intricati). Flather completò ventiquattro di questi modelli e, per metterli al sicuro, li spedì a Coxeter prima della seconda Guerra Mondiale, temendo che potessero essere distrutti se fossero rimasti in Inghilterra (uno fu danneggiato durante il trasporto, ma i ventitré restanti sono conservati oggi all’Università di York). Dopo la guerra, Flather fece un’altra serie di modelli, questa volta completa, delle cinquantanove stellazioni (conservato al Trinity College a Cambridge). Il manoscritto sui cinquantanove icosaedri è stato completato da Coxeter una volta tornato a Toronto e fu presentato nel 1938. G. de B. Robinson era stato di valido aiuto nel portare Coxeter a Toronto (i due si erano conosciuti ai ricevimenti pomeridiani di Baker nel 1928). Coxeter, Robinson e Richard Brauer fondarono il Canadian Journal of Mathematics, con Coxeter che aveva l’incarico di primo redattore capo. Era anche grazie a Robinson che Coxeter si era imbattuto nella costruzione di Wythoffs, argomento di molte lezioni universitarie successive. Secondo Coxeter, Wythoff nel 1918 aveva ricavato dei politopi dal gruppo {3,3,5} e osservava che “un’investigazione simile … può essere intrapresa … per ciò che riguarda le altre famiglie di politopi …”. Nel 1930, Robinson fornì una dimostrazione del risultato. Questa costru-

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zione formava il quattordicesimo capitolo della dissertazione di dottorato di Coxeter ed è stata anche utilizzata nel capitolo quindici, in un tentativo di classificare i politopi convessi uniformi. Indipendentemente, M.S. Longuet-Higgins e J.C.P. Miller lavorarono sulle costruzioni di politopi uniformi. Dopo parecchi vani tentativi di provare la completezza della loro enumerazione dei poliedri uniformi, Coxeter, Longuet-Higgins e Miller scrissero un articolo [8] contenente la classificazione completa (come fu dimostrata più tardi). Per un resoconto piacevole dell’importanza di questo lavoro, si faccia riferimento al contributo del Grünbaum in [7]. Il capolavoro di Coxeter è stato il famoso libro Regular Polytopes. Con la sua pubblicazione nel 1947, conseguì la fama di grande espositore, unificando con eleganza e con chiarezza la sua ricerca sui politopi come pure le scoperte dei suoi predecessori (che ha incluso nel suo trattato con meravigliosi schizzi storici). Regular Polytopes ha influenzato profondamente un gran numero di matematici. Nell’articolo commemorativo nei Notices of the AMS, Grünbaum dichiara che si tratta “possibilmente di uno dei testi di geometria più citati del secolo,” e Peter McMullen riconosce l’“influenza profonda” di quest’opera sulla sua carriera. Altri lo chiamano la loro Bibbia, o l’addendum dei giorni moderni degli Elementi di Euclide. Certo, qualcuno sostiene che il capolavoro di Coxeter è invece Introduction to Geometry, pubblicato nel 1961. È stato tradotto in molte lingue, viene ancora ristampato e al momento si trova ancora nel syllabus dei corsi di matematica dell’Università McGill. Towit, un bibliotecario dell’Università di To24

Coxeter con i suoi specchi

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ronto, una volta dimostrò che Introduction to Geometry era il libro più frequentemente rubato dalla biblioteca di matematica. Coxeter stesso, tuttavia, considerava il testo Regular Complex Polytopes (RCP) come il suo capolavoro. Era stato ispirato, fino ad un certo punto, dalla sua collaborazione di vecchia data con G.C. Shephard, collaborazione che cominciò nel 1951 mentre Coxeter era uno degli esaminatori esterni quando Shephard presentò la sua dissertazione intitolata Complex Polytopes. Venti anni dopo, questo seme germogliò nella mente di Coxeter con la pubblicazione di RCP. Paragonando quest’opera alla precedente, Regular Polytopes, Coxeter osservò: “Il seguito è più profondo. L’esposizione è bella, includendo vari disegni notevoli di McMullen”. È anche con RCP che Coxeter fornì la spiegazione più esplicita e viva di come compiva il suo lavoro di matematico. Riferendosi alla pubblicazione della seconda edizione attesa da tempo, egli commentò ai giornalisti: Ho fatto il tentativo di costruire un libro simile ad una sinfonia di Bruckner, con crescendi e punti culminanti, piccoli assaggi di un piacere che verrà e abbondanti riferimenti trasversali. Gli aspetti geometrici, algebrici e della teoria dei gruppi dell’argomento in questione si intrecciano come le diverse parti di un’orchestra. Le opere menzionate sono solo alcuni dei contributi che Coxeter ha dato alla matematica e alla geometria. Altri aspetti importanti del suo lavoro dovrebbero perlomeno essere passati in rassegna. Ha dato molti contributi alla geometria delle inversioni, esplorandone il collegamento alla geometria iperbolica. Era fra i primi a muoversi dalla geometria “reale” a quella combinatoria. Il suo articolo del 1937 sui poliedri regolari sghembi [4], cui seguirono discussioni con Petrie, ha esteso la nozione di poliedro regolare, includendo poliedri infiniti con vertici adiacenti a qualsiasi dato vertice che appartiene ad un poligono sghembo (come il poligono formato dai lati di un antiprisma). Coxeter ha lavorato sugli sphere packing e le forme quadratiche estreme. Il suo interesse per la geometria proiettiva ha dato indicazioni a parecchie dissertazioni di dottorato e ha trovato un risultato in due dei suoi libri: The Real Projective Plane nel 1949, seguito da Projective Geometry nel 1957. L’interesse di Coxeter per i gruppi discreti generati da involuzioni, lo ha condotto naturalmente ad investigare le geometrie noneuclidee. Nel 1950 scrisse un articolo insieme a Witrow [6], elencando tutte le quindici strutture a nido d’ape del 3-spazio iperbolico. Come conseguenza, al Congresso Internazionale di Matematica svoltosi ad Amsterdam nel 1954, Coxeter tenne una conferenza sulla classificazione completa delle tassellazioni nello spazio iperbolico n-dimensionale [5]. Un accenno particolare deve essere fatto per William Moser, insieme a cui Coxeter fu autore di Generators and Relations for Discrete Groups, pubblicato nel 1957. In molte occasioni, come alla conferenza tenuta in onore del settantesimo compleanno di Coxeter – che attirò centinaia di matematici da tutto il mondo e che ebbe come conseguenza la produzione del libro The Geometric Vein, The Coxeter Festschrift – Moser ha condiviso storie che mostrano l’apprezzamento ed il rispetto che aveva per Coxeter, e soprattutto l’ammirazione per lui di un in-

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segnante che dissemina la propria passione per la geometria e la gioia per la bellezza di questa materia, sia in un’aula universitaria che nei seminari settimanali di geometria. In una di queste occasioni Moser ha tessuto le sue lodi: Il professore Coxeter è un insegnante nel senso ampio della parola … Sedici studenti hanno completato le loro tesi di dottorato (il PhD) sotto la sua direzione. Ha insegnato a gruppi selezionati di studenti di liceo particolarmente dotati, fatto respirare la vita di un matematico ad insegnanti di liceo ed ispirato generazioni intere di studenti durante i suoi anni all’Università di Toronto. Alla festa dell’ottantesimo compleanno di Coxeter, Moser raccontò la seguente storia sul suo mentore:

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Nel 1955 Donald Coxeter ed io abbiamo ballato insieme, non uno nelle braccia dell’altro, ma tenendoci per mano a una distanza rispettabile. Non si trattava di una richiesta di un dottorando dell’Università di Toronto. Quell’estate eravamo a Stillwater, Oklahoma, dove Donald insegnava in un corso estivo della National Science Foundation ed io ero il suo assistente. Come diversivo dall’intenso lavoro – lui stava preparando le lezioni ed io gli appunti delle sue lezioni, e stavamo anche completando il nostro libro –Donald decise di imparare il ballo da sala e il corso richiedeva la partecipazione in coppia… Avrete notato che lo chiamo Donald, come probabilmente fate voi tutti. Ma io lo faccio perché sono stato espressamente invitato a fare così! Alla fine di quell’estate, egli mi disse: “‘William, ci conosciamo da sei anni, sei stato mio studente per quattro anni, abbiamo lavorato insieme da vicino e abbiamo scritto un libro insieme. Penso che sia arrivata l’ora di chiamarmi ‘Donald’.” Io risposi: “Va bene, professor Coxeter.” E il mio modo di rivolgermi a lui rimase tale per un paio di anni.

Come qualunque altro artista Nel suo penultimo viaggio Donald Coxeter andò a Banff, in Alberta, con sua figlia Susan, che dalla morte di Rien nel 1999 lo sorvegliava con devozione, per una conferenza su alcuni aspetti della simmetria. Introducendo il suo articolo, diede un colpetto alla lavagna luminosa e vi fece scivolare il suo primo lucido. In quel momento, Coxeter fu immerso in una gigantesca proiezione colorata del Circle Limit III di M.C. Escher. “L’argomento del mio articolo,” iniziò a parlare Coxeter, “è qualcosa che mi ha intrigato e fatto pensare per quasi cinque decenni. Riguarda ciò che io chiamo ‘la geometria intuitiva’ del mio amico M.C. Escher.” Dopo essersi conosciuti al Congresso Internazionale nel 1954, Coxeter ed Escher avevano incominciato una collaborazione sui generis, soprattutto per corrispondenza. Coxeter chiese ad Escher se poteva usare una delle sue tassellazioni in un articolo che stava pubblicando. Escher acconsentì e quando ricevette la sua copia gratuita, altri grafici che vi si trovarono fatti da Coxeter serviro-

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no ad Escher per rimuovere un blocco creativo di lunga data. Escher non capiva ciò che chiamava “il testo hocus pocus” di Coxeter. Ma in una lettera di ringraziamento a Coxeter, egli esclamò: Nonostante il testo del suo articolo “Crystal Symmetry and its generalization” sia troppo indirizzato a persone più erudite di uno come me – un semplice uomo che da sé ha imparato a fare disegni piani – alcune delle illustrazioni e soprattutto la figura 7 a pagina 11 mi hanno provocato una forte emozione. Da tanto tempo nutro un certo interesse per i disegni con dei” motivi” che diventano sempre più piccoli finché raggiungono il limite dell’infinitamente piccolo. La questione è relativamente semplice se il limite è un punto al centro del disegno. Anche il limite assiale per me non è una novità, ma non sono mai stato capace di fare un disegno in cui ogni macchia diventa gradualmente più piccola partendo dal centro di un cerchio e andando verso il suo limite esterno, come mostrato nella sua figura 7. Successivamente, Escher attribuì a Coxeter l’ispirazione dei sui disegni Circle Limit. Mentre lavorava ai suoi Circle Limit, Escher dirà “Oggi sto ‘coxetereggiando’.” E in una lettera a suo figlio George, Escher scrisse con effusione: La mia xilografia ispirata dal sistema di Coxeter è finita, e per me è la più bella che io abbia mai fatto del tipo “più piccolo e sempre più piccolo”. Non posso smettere di guardare quel limite circolare che circonda tutto di forme infinitamente piccole, tutto così logico ed ordinato. Quest’opera si avvicina alla bellezza e semplicità assoluta. Sono ansioso di sentire la reazione di Mr. “Cokeseater” (“mangiatore di coca-cola”), cui ho inviato una copia. Coxeter, per sua parte, si considerava allo stesso tempo un matematico ed un artista. “Sono come qualunque altro artista,” disse una volta al Globe and Mail. “È solo che ciò che riempie la mia mente sono le forme ed i numeri”. Nonostante Coxeter lavorasse alla geometria solamente per la sua bellezza artistica, e non per qualunque scopo pratico, il suo lavoro trovò spesso applicazione in vari altri campi. L’architetto Buckminster Fuller, detto anche da Coxeter “Bucky”, una persona di una cultura enciclopedica, si imbatté nel lavoro di Coxeter mentre costruiva le sue cupole geodetiche. Più tardi Fuller conferì a Coxeter grandiose lodi, dedicandogli il libro Synergetics, sulla geometria del pensiero: In virtù dell’opera straordinaria di matematica cui dedicò tutta la sua vita, il dott. Coxeter è il matematico “geometrico” che ha mosso il ventesimo secolo. [Egli è] il direttore terrestre, acclamato spontaneamente, di un inventario storico di una nuova scienza, quella dell’analisi delle forme. Nonostante fosse stato adulato, per Coxeter questa dedica e il fatto che Bucky vi buttasse dentro un po’ di nomi, era soltanto un modo per attrarre un pubblico matematico per il suo libro. Donald ne lesse dei frammenti e ritenne che Fuller avrebbe fatto meglio a consultare un matematico per scriverlo.

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Coxeter a Toronto con uno dei suoi pronipoti

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Coxeter dovrebbe essere ricordato anche per il suo intenso senso di giustizia sociale. Pacifista come suo padre, rifiutò l’opportunità di lavorare come decrittatore durante la seconda Guerra Mondiale. In parecchie occasioni parlò del trattamento ingiusto che il fisico teorico Leopold Infeld, un suo collega all’Università di Toronto, ricevette dal Canada. Ad Infeld era stato vietato di lasciare il Paese per passare la sua licenza sabbatica in Polonia, il suo Paese di nascita, perché la Polonia in quel periodo era “dietro la cortina di ferro.” Infeld fu denunciato da alcuni conservatori nel parlamento come potenziale traditore del popolo canadese, che avrebbe fornito dei segreti atomici ai comunisti. Dopo aver dato le dimissioni dalla sua posizione universitaria ed essere rimasto in Polonia con la famiglia, sia Infeld che la moglie e i loro bambini nati in Canada furono privati della cittadinanza canadese. Infeld fu molto grato a Coxeter per il sostegno che gli diede per pubblicare la sua opera Why I left Canada. Helen Infeld, dopo la morte di Leopold, rimase in contatto con Coxeter e gli scrisse le seguenti gentili parole in una lettera datata 6 gennaio 1976: Sai, la mia vita è stata tale che ho imparato a valutare con attenzione alcune qualità umane e trovo che sia una cosa giusta comunicarlo alle persone che ce le hanno.Vorrei dirti che ti ammiro come una persona di sani principi, non vacillante di fronte a pregiudizi generici, cecità emozionale o isteria temporanea come altri in questioni importanti. Se l’intera umanità avesse una tale comprensione razionale, ovunque! Infine, ritorniamo all’acuto senso dell’umorismo di Coxeter. Amava il nonsense ed in particolare il libro Alice nel paese delle meraviglie di Lewis Carroll. La

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sua richiesta più comune era per il passaggio di “Jabberwocky”. Diceva quella parola – “JabberrwOckAy” – con un tale gusto. Reciterebbe ancora oggi, se fosse vivo, a memoria e con la stessa drammatica intonazione, alzando il volume della voce, che in altre occasioni era sempre così posata: One, two! One. Two! And through and through The vorpal blade went snicker-snack! He left it dead, and with its head He went gulumphing back. “And, hast thou slain the Jabberwock? Come to my arms, my beamish boy! O frabjous day! Callooh! Callay! He chortled in his joy.1 Una volta, quando gli fu chiesto perché non si era mai stancato di Alice nel paese delle meraviglie, rispose, È come la lettura di una parte di matematica di cui si sa che è bella, ma che non si capisce abbastanza bene. Come la teoria delle stringhe. È altrettanto un mistero per me che per ciascun altro che non viene a capo della sedicesima dimensione. Durante le settimane prima della sua morte, Donald Coxeter perseverò nel voler fare dei ritocchi finali ad un articolo che aveva consegnato a Budapest l’estate prima. Non poteva credere che nessuno trovasse più degli errori o ulteriori refusi – gli faceva sempre un grande piacere, nei suoi articoli e nei suoi libri, cercare errori (che erano sempre molti) che sarebbero stati corretti nelle ristampe successive. Con l’articolo finalmente finito, Coxeter morì due giorni dopo.

Bibliografia [1] H.S.M. Coxeter (1931) Groups whose fundamental regions are simplexes, J. London Math Soc., 6, pp. 132-136 [2] H.S.M. Coxeter (1934) Discrete groups generated by reflections, Ann. of Math., 35, pp. 588-621 [3] H.S.M. Coxeter (1935) The complete enumeration of finite groups of the form Ri2 = (RRj)kij = 1, J. London Math. Soc., 10, pp. 21-25 [4] H.S.M. Coxeter (1937) Regular skew polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proc. London Math. Soc., pp. 43, 33-62

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Uno, due, uno, due! E affondò la vorpale lama zucando e zacando fino alla morte. Poi con la sua testa galonfappando ritornò. “Hai ucciso il mascellodonte? Vieni fra le mie braccia, mio radioso fanciullo O giorno fravoloso! Evviva! Evviva!” E cordeggiò un inno per la gioia.

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[5] H.S.M. Coxeter (1956) Regular honeycombs in hyperbolic space, Proc. Internat. Congress Math. Amsterdam (1954), North-Holland, Amsterdam, pp. 155-169 [6] H.S.M. Coxeter, G.J. Whitrow (1950) World structure and non-Euclidean honeycombs, Proc. Roy. Soc., London Ser. A, 201, pp. 417-437 [7] E.W. Ellers, B. Grunbaum, P. McMullen, A.I. Weiss, H.S.M. Coxeter (2003) Notices of the AMS, 50, pp. 1234-1240 [8] M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, H.S.M. Coxeter (1954) Uniform Polyhedra, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 246, pp. 401-450 [9] J.A. Todd, H.S.M. Coxeter (1936) A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group, Proc. Edinburgh Math. Soc., 5(2), pp. 26-34 [10] J.A. Todd (1931) The groups of symmetries of regular polytopes, Proc. Camb. Phil. Soc., 27, pp. 212-231

Letture consigliate

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H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather, J.F. Petrie (1938) The Fifty-nine Icosahedra, University of Toronto Studies, Toronto W.W. Rouse Ball’s (1938) Mathematical Recreations and Essays (XI edizione), Macmillan, London H.S.M. Coxeter (1948) Regular Polytopes, Methuen, London H.S.M. Coxeter (1949) The Real Projective Plane, McGraw-Hill, New York H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser (1957) Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, Berlin H.S.M. Coxeter (1961) Introduction to Geometry, Wiley, New York H.S.M. Coxeter (1964) Projective Geometry, Blaisdell, New York H.S.M. Coxeter (1974) Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, London, New York (II ed. ristampata con correzioni e un nuovo XIV capitolo)

matematica e immagini

Visioni e realtà. Empiria e geometria FRANCO GHIONE

I fenomeni della produzione mentale di immagini sono molto poco studiati. Resto fermo nella mia convinzione circa la loro importanza. Sostengo infatti che certe leggi, proprie di questi fenomeni, sono essenziali e inoltre dotate di una straordinaria generalità; e che le variazioni delle immagini, le restrizioni imposte a queste variazioni, le produzioni spontanee di immaginirisposta o di immagini complementari, consentano di raggiungere mondi assolutamente distinti come quelli del sogno, degli stati di estasi, della deduzione per analogia. P. Valery

La geometria della visione, che trova una sua prima sistemazione coerente, per quello che ci è dato sapere, nell’Ottica di Euclide, col passare dei secoli ha subito quel processo di fossilizzazione ben descritto nel saggio di Lucio Russo sulla teoria delle maree [1], comune a tante altre teorie “antiche”. Questo processo è stato agevolato, da un lato, dallo sviluppo dell’ottica fisica tesa a descrivere i fenomeni quali la diffrazione, la rifrazione, la teoria del colore ecc. e dall’altro dalla riscoperta della prospettiva avvenuta nel Rinascimento in modo indipendente dalla matematica ellenista. Questi sviluppi essenzialmente estranei all’opera di Euclide e apparentemente più avanzati di quelli presenti nel vecchio testo ne rendevano il contenuto di scarso interesse: un elenco di affermazioni banali, importanti, semmai, solo in vista di una ricostruzione storica delle idee. La stessa concezione di una geometria della visione, una geometria dell’apparire, contrapposta a una geometria dell’essere si andava via via perdendo man mano che una ideologia della scienza monolitica e in grado di spiegare univocamente ogni fenomeno si faceva strada. La geometria della visione infatti si pone il problema di studiare il rapporto tra come le cose ci appaiono e come le cose sono. Che i sensi, e la vista prima di tutto, possano ingannare suggerendo idee sbagliate o lontanissime dalla realtà e che possa essere logicamente sostenibile l’esistenza di un mondo completamente diverso da quello che percepiamo era ed è cosa grandemente dibattuta fin dai primordi della filosofia presocratica. L’idea, ad esempio, che la Luna appaia cambiare forma pur essendo sempre la stessa sembra aver suggerito a Parmenide l’ipotesi che la molteplicità sia apparenza. La geometria della visione fornisce uno strumento di indagine razionale per studiare proprio il rapporto tra il modo in cui gli oggetti sono e il modo in cui appaiono e come questo venga a

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dipendere dalla posizione dell’osservatore. Se, ad esempio, guardiamo la grandezza del Sole e quella della Luna esse ci appaiono uguali mentre il Sole è molto più grande della Luna.

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Ciò significa che il cono visivo che si forma guardando la Luna ha la stessa apertura del cono visivo che si forma guardando il Sole. Questa evidenza visiva si traduce ora in una proprietà geometrica basata sull’idea astratta di raggio visivo e cono visivo, concetti introdotti nelle premesse dell’Ottica. Il vantaggio è che ora non solo abbiamo, della banale visione del Sole e della Luna, una immagine geometrica, un modello astratto sul quale ragionare, ma possiamo anche stabilire, usando il teorema di Talete, che esiste un medesimo rapporto tra le distanza dei due corpi celesti e il loro raggio. Questa immagine ci suggerisce anche l’idea che la parte della Luna illuminata dal Sole, quella cioè colpita dai raggi solari, è la parte di Luna interna al cono visivo rivolta verso il Sole e, di conseguenza, la linea che divide la zona illuminata da quella in ombra è la circonferenza lungo la quale la Luna è tangente al cono; da questo si ricava pure che la retta che unisce i due centri, quello del Sole e quello della Luna, cioè l’asse del cono, è perpendicolare a questa circonferenza. Questi fatti non sono patrimonio comune. Conosco molte persone che pur sapendo di big-bang e buchi neri ignorano completamente questa geometria. Se si domanda di disegnare un quarto di Luna nel modo più realistico possibile troviamo dei disegni di questo tipo che

contraddicono un importante e difficile teorema dell’Ottica, il teorema 36, che stabilisce come viene vista una circonferenza a seconda della posizione dell’occhio. Sulla base di quel teorema dovremmo disegnare la linea che separa la zona d’ombra da quella illuminata non con un arco di circonferenza ma con una ellisse tangente in due punti diametralmente opposti al bordo lunare.

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Accade anche, quando la Luna è in quadratura, che il cerchio che divide la parte illuminata da quella in ombra appaia come un segmento. Questo, secondo il teorema 22 dell’Ottica, accade se e solo se l’occhio è posto sullo stesso piano del cerchio, e poiché, come abbiamo visto, la retta che congiunge il centro della Luna con quello del Sole è sempre perpendicolare a quel piano, si forma in cielo un triangolo rettangolo nel punto L corrispondente al centro della Luna.

Dato che la Luna in quadratura appare di prima mattina è possibile vedere in cielo contemporaneamente Luna e Sole e quindi misurare l’angolo L o S, la “distanza apparente” tra la Luna e il Sole. Questa misura permetterà di calcolare il reale rapporto tra la distanza della Luna (il cateto minore) e quella del Sole (l’ipotenusa del triangolo rettangolo). Esso è ciò che oggi chiamiamo il seno dell’angolo µ. Tutto ciò, come è noto, fa parte di una importante opera di Aristarco di Samo di poco posteriore a Euclide, dove si illustra un metodo geometrico per calcolare grandezze e distanza del Sole e della Luna conoscendo la grandezza del raggio terrestre. Aristarco è noto come il Copernico dell’antichità perché ipotizzò un sistema solare eliocentrico e coi pianeti disposti su orbite circolari centrate nel Sole. Tale ipotesi permetteva di spiegare facilmente il moto apparentemente irregolare dei pianeti. Essi infatti appaiono muoversi in una direzione poi fermarsi e tornare indietro formando in cielo una strana S. Non era facile immaginare che i pianeti si muovessero su un’orbita tanto irregolare anche se questo era quello che appariva alla vista. L’ipotesi di Aristarco rendeva ragione di queste stranezze se solo si teneva conto che il moto apparente dei pianeti è il risultato del moto composto dell’osservatore e del pianeta. Se questi due moti si svolgono

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su cerchi concentrici a velocità angolari diverse il fenomeno che si osserva viene pienamente spiegato. Sul sito www.mat.uniroma2.it/mep abbiamo realizzato una animazione dove si vede la Terra che ruota su un’orbita circolare intorno al Sole e Marte che ruota su un cerchio concentrico a quello orbitale terrestre a una velocità angolare quasi doppia. Il vettore Terra-Marte è, nella figura accanto, applicato a un punto fisso e in tale figura risulta riprodotto, sulla base di questo modello, esattamente ciò che appare: il moto retrogrado del pianeta.

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La conoscenza delle leggi che regolano la visione e di come questa modifichi le caratteristiche geometriche delle figure è di estrema importanza se si vuole rappresentare su un particolare supporto (ad esempio, su una parete, una tela o una scenografia teatrale) una scena reale. Il problema diventa non banale se si vuole rappresentare in modo realista su un supporto bidimensionale, come la tela di un quadro, la profondità tridimensionale dell’oggetto reale. L’effetto che si desidera raggiungere sarà pienamente realizzato se la visione del quadro risulterà equivalente alla visione della realtà che il quadro rappresenta. Se, ad esempio, sappiamo che, dati due oggetti uguali a diverse distanze dall’osservatore, quello più lontano viene visto più piccolo, allora sarà necessario seguire questa regola anche nella rappresentazione di questi oggetti su un quadro. Può sembrare che regole di questo tipo siano così semplici da apparire evidenti senza bisogno di una particolare teoria assiomatica deduttiva come la geometria della visione. In realtà le cose non sono così chiare e spesso un metodo empirico basato sull’occhio di un buon pittore non è sufficiente. Un importante teorema della geometria della visione afferma che segmenti paralleli vengono visti come se convergessero a un punto. La dimostrazione di questo teorema è indicata nell’Ottica euclidea (teorema 6) ed è sviluppata in tutte le sue implicazioni nel libro Le Geometrie della visione [2]. Il risultato appare poco intuitivo essendo completamente disatteso fino alla riscoperta della prospettiva nel Rinascimento. Se analizziamo, ad esempio, l’Ultima Cena di Duccio da Buoninsegna il tavolo non appare orizzontale e gli oggetti che vi sono appoggiati sembra debbano cadere.

Duccio da Boninsegna, Ultima cena

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Anche la trabeazione del soffitto non restituisce pienamente la profondità della stanza. È naturale pensare che, nella scena reale che il quadro rappresenta, i lati del tavolo (che si allontano in profondità) e quelli del soffitto siano paralleli. Essi vengono dunque visti, stante il teorema 6 come se convergessero in un unico punto. La stessa cosa non accade guardando il quadro: le 6 linee che abbiamo evidenziano non appaiono convergere verso un punto, ma appaiono disordinatamente divergenti. Alcune volte la regola è rispettata localmente a dimostrazione del fatto di come sia spesso difficile da un punto di vista empirico integrare dei dati solo lo-

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calmente coerenti tra loro per arrivare a un modello globale: questo processo è possibile solo se possediamo una teoria astratta che ci permetta di sviluppare coerentemente delle leggi globali relative agli enti astratti della teoria e applicabili singolarmente ai vari casi che la realtà ci presenta. Il seguente dipinto di Daddi realizzato intorno al 1300 presenta un soffitto sulla sinistra del quadro co-

Bernardo Daddi, Il martirio di S. Stefano

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erente col teorema sulle parallele mentre il resto delle pareti è disegnato in modo molto approssimativo. Un ulteriore esempio è questa Annunciazione di Lorenzetti.

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Le linee del pavimento concorrono correttamente ad un unico punto, tuttavia i punti diagonali che nella realtà dovrebbero essere allineati non risultano allineati sul dipinto. Questo non è coerente con un importante teorema della geometria della visione che afferma che punti allineati nella realtà vengono anche visti come allineati: cioè i raggi visivi coi quali questi punti sono visti appartengono a uno stesso piano. È ovvio che se si vuole creare con la pittura un effetto realista si dovranno disegnare sul quadro allineati i punti che corrispondono a punti realmente allineati in modo che i raggi visivi con i quali li vedo sul quadro siano come quelli con i quali li vedrei nella realtà: cioè su uno stesso piano. La costruzione di una teoria geometrica completa che permetta di riprodurre una scena reale come fosse fotografata non è né banale, né intuitiva. Noi pensiamo che l’Ottica di Euclide, tra le altre cose, offra tutti gli elementi per poter delineare questa teoria ben prima del Rinascimento. Sul libro precedentemente citato [2] questa tesi è sviluppata pienamente tenendo anche conto di recenti ritrovamenti archeologici che dimostrano, anche sul piano fattuale, la piena dimestichezza dei pittori greco-romani coi teoremi base delle geometria della visione. La possibilità di “fotografare” oggetti reali apriva anche le porte verso un’altra fantastica direzione: quella di “fotografare” oggetti solo immaginati. Questa nuova possibilità fu pienamente compresa dai pittori-scienziati del Rinascimento. Le città ideali, ad esempio, trovarono la loro prima espressione in pitture così ben fatte da dare l’impressione che esistessero davvero. Il rapporto tra essere e apparire poteva anche essere invertito: ora l’apparire poteva trasformarsi in essere, il rapporto tra l’oggetto rappresentato e quello reale era così puntuale da permettere la completa ricostruzione dell’oggetto rappresentato. Questa nuova possibilità fu pienamente compresa solo alla fine del XVIII secolo e, nelle nuove scuole politecniche istituite con la Rivoluzione francese, la geometria descrittiva, che così venne chiamata, divenne materia fonda-

Visioni e realtà. Empiria e geometria

Scuola di Piero della Francesca, La città ideale

mentale di insegnamento e terreno fertile di ricerca. Nel contempo però si cominciò col realizzare quella cesura che andava separando i vari aspetti dell’attività creativa: prima di tutto tra arte e scienza e poi tra scienza e tecnologia. La geometria descrittiva divenne così un argomento tecnico ad uso di ingegneri e architetti mentre la geometria proiettiva, artificialmente slegata da quella, assumerà, nella ricerca matematica un’importanza sempre più grande. Lo stesso Desargues, matematico, architetto, ingegnere del XVII secolo, ignorato dai contemporanei abbagliati dagli impetuosi sviluppi della nascente geometria analitica e dall’analisi infinitesimale, fu parzialmente riconosciuto solo nel XIX secolo per lo meno come fondatore della geometria proiettiva mentre restava in ombra la sua versatilità nelle varie attività pratiche e la sua propensione didattica1. Le geometrie della visione possono aiutarci a recuperare a livello didattico e teorico quella unità del pensiero in grado di provocare emozioni, di suscitare reciproci legami e connessioni tra campi apparentemente lontani come la matematica e l’arte. L’opera di Piero della Francesca, il De prospectiva pingendi, dove l’Ottica euclidea più volte citata, viene sviluppata nella direzione della rappresentazione prospettica della profondità su una superficie piana, rappresenta un ottimo controesempio a questa separazione tra geometria e arte e tra tecnologia e scienza. Il percorso che segue Piero ci sembra emblematico. Si parte da una enunciazione di alcuni risultati sulla visione diretta per arrivare, nel primo libro, alla costruzione della trasformazione proiettiva, oggi detta omologia, che per-

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Per maggiori approfondimenti sull’opera di Desargues e per una nuova interpretazione del suo inusuale vocabolario si vedano [3] e [4].

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mette di individuare l’immagine, tramite una proiezione centrale, di un punto posto su un piano orizzontale (il piano reale) nel piano del quadro (il piano degradato) che si immagina verticale. La costruzione è descritta in modo geometrico molto semplice senza bisogno di uscire dal piano del quadro e dipende in modo essenziale dalla posizione dell’occhio. La sua correttezza è dimostrata servendosi di semplici prerequisiti di geometria elementare ed essa può essere realizzata in astratto (ma concretamente sul foglio) comunque si decida debba essere la posizione dell’occhio. Non serve insomma uno strumento empirico come un prospettografo dove fissare realmente l’occhio per vedere l’esito della pittura: questo esito è calcolato geometricamente e saranno solo il gusto e le esigenze artistiche e comunicative del pittore a decidere il punto di vista. Nel celebre dipinto la Flagellazione il punto di vista è posto all’altezza delle ginocchia, in una posizione cioè del tutto inna-

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Piero della Francesca, La Flagellazione

turale come se la scena fosse artificialmente un poco sollevata e vista dal basso. L’effetto che si ottiene è vagamente inquietante e riesce a dare all’insieme quella indefinibile sospensione tra una perfetta ricostruzione prospettica e una qualche invisibile anomalia strutturale che dà forza al contrasto tra il dramma della flagellazione che si svolge in profondità e la serafica, borghese discussione in primo piano. È questo un buon esempio di come sia l’impianto teorico a dare nuovi strumenti espressivi rendendo possibile la raffigurazione di una realtà solo immaginata. Nel secondo libro Piero affronta il problema delle alzate, cioè di come, una volta rappresentata la pianta, si debba procedere per realizzare le altezze nel loro geometrico degradare man mano che si allontanano in profondità. Gli esempi che vengono dettagliatamente sviluppati non sono solo di oggetti geometrici come cubi o prismi, ma si illustrano anche colonne, altari e pozzi. Il ben delineato confine tra geometria e arte così come è stato tracciato dalla nostra cultura comincia a vacillare e ci pare che ciò che leggiamo non sia né l’una né l’altra. Infine nel terzo libro la ricerca di Piero si rivolge con incredibile energia e grande passione verso un obiettivo grandioso che appare tuttoggi indomabile anche con

Visioni e realtà. Empiria e geometria

le più sofisticate tecniche informatiche: la descrizione del viso umano, un viso simbolico, astratto, né maschile né femminile, né adulto né bambino. Questo viso viene descritto con centinaia e centinaia di punti di ancoraggio ottenuti sezionando il volto con piani paralleli, che ne permettono varie visioni prospettiche, ognuna analizzata in dettaglio teoricamente, sulla base della iniziale scansione, una specie di Tac del volto col quale Piero riesce a “fotografare” teoricamente l’oggetto più complesso e più affascinante della visione: un volto umano.

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Riportiamo una delle pagine del manoscritto, che si ritiene autografo, dove Piero inizia la sua ricerca per dare un’idea della complessità del lavoro che si intende affrontare.

Piero della Francesca, Leggenda dlla vera croce

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Abbiamo provato a sovrapporre questo volto “geometrico” ad alcuni volti, a mio avviso, di straordinaria bellezza tratti dalla Leggenda della vera croce ad Arezzo. Lo studio di Piero ci ha permesso di realizzare con le recenti tecniche di computer grafica basate sulle triangolazione di superfici di Bezier una animazione 3D che è stata pubblicata sul CD allegato al libro Le Geometrie della visione [2]. In questa animazione il viso si forma in una ambiente virtuale, ricavato dai disegni di Piero che ruotando si presenta in prospettiva dalle diverse angolazioni. Ne riportiamo qui un frame per dare un’idea di questa animazione.

Bibliografia [1] L. Russo (2002) Flussi e riflussi, Feltrinelli, Milano [2] L. Catastini, F. Ghione (2004) Le Geometrie della visione, Springer-Verlag Italia, Milano [3] L. Catastini (2004) Il giardino di Desargues, BUMI, serie VIII,Vol.VII-A, pag. 321-346 [4] L. Catastini, F. Ghione Nella mente di Desargues, in corso di stampa sul BUMI, sez. A

Stelle GIAN MARCO TODESCO

Ho appena finito un piccolo origami. L’origami è l’arte che permette di ottenere un’impressionante varietà di figure piegando dei fogli di carta. Io sono partito da 12 fogli quadrati. Li ho piegati e incastrati fra loro in modo da ottenere un ottaedro: una piccola stella di carta colorata. I poliedri, ovvero il vastissimo insieme delle figure solide delimitate da facce piane, a cui la mia piccola stella appartiene, sono oggetti in qualche senso universali. La loro bellezza ce li fa ritrovare spesso anche fuori dai libri di matematica: ad esempio nella storia dell’arte o nella forma di molti oggetti di uso comune. Nelle pagine seguenti esploreremo una piccola parte della sterminata tassonomia dei poliedri: ci occuperemo infatti di quelli a forma di stella. Invece della carta piegata utilizzeremo il computer e con l’aiuto delle immagini digitali sperimenteremo il procedimento matematico chiamato stellazione. Passeremo in rassegna alcuni poliedri stellati cercando di comprenderne le parentele. Infine faremo una breve tappa nel mondo più esotico delle figure quadridimensionali. Quello è un firmamento ancor più ricco di stelle anche se sarà necessario qualche sforzo in più per riuscire a crearsene un’immagine mentale.

Le stellazioni dei solidi platonici Cominciamo la nostra esplorazione partendo dai poliedri più semplici: i poliedri regolari (Fig. 1), ovvero i poliedri convessi delimitati da poligoni regolari uguali e che presentano lo stesso numero di facce attorno ad ogni vertice1. Questi poliedri sono descritti da Platone nel Timeo e per questo motivo vengono in genere chiamati solidi platonici. Essi sono il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, l’icosaedro e il dodecaedro. Platone associava i primi quattro agli elementi naturali che si riteneva costituissero il mondo: rispettivamente fuoco, terra, aria e acqua. Il dodecaedro rappresentava l’intero universo. È abbastanza facile (e piuttosto divertente) costruire dei modelli di cartoncino dei 5 solidi. Si tratta di ritagliare tutte le facce e poi unirle lungo i bordi con colla o nastro adesivo. Per la nostra esplorazione bisogna invece costruire un

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Le definizioni matematiche sono spesso più complicate del previsto nello sforzo di escludere le entità estranee. Ad esempio, in questa definizione di solido regolare, l’ultima richiesta proibisce oggetti come il poliedro delimitato da sei triangoli equilateri formato da due piramidi a base triangolare incollate fra loro. Vedremo in seguito quali bellissimi poliedri vengano esclusi dalla richiesta che la superficie non si autointersechi.

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Fig. 1. I cinque solidi platonici: tetraedro, ottaedro, cubo, dodecadro e icosaedro 44

modello “pieno”. Sfruttando il fatto che i solidi platonici sono convessi (i piani che passano per le facce lasciano il solido tutto dalla stessa parte) posso pensare di “affettare” il modello a partire da una massa di materiale idoneo. Una patata si presta particolarmente bene. Con un coltello affilato posso fare un certo numero di tagli e ricavare dalla patata qualunque poliedro convesso. Ovviamente per ottenere un solido regolare devo calcolare con la massima esattezza gli angoli fra un taglio e l’altro, ma andando ad occhio è senz’altro possibile ottenere, ad esempio, un poliedro delimitato da 12 facce pentagonali. Un opportuno programma permette di simulare su un computer il procedimento sopra descritto, mantenendo un controllo preciso sugli angoli. Molte figure in queste pagine sono realizzate per l’appunto con questo programma2. Se immaginiamo di rimettere a posto i pezzi dopo ogni taglio (oppure di effettuare tutti i tagli contemporaneamente) ci rendiamo conto che alla fine i tagli avranno generato un gran numero di pezzi dalla forme più strane attorno al solido centrale (Fig. 2). Fra i pezzi prodotti, alcuni, i più esterni, arrivano fino alla buccia della patata, mentre altri, fra cui il pezzo centrale, sono interamente delimitati dai tagli del coltello. Se la patata iniziale è abbastanza grande rispetto alla distanza fra i tagli allora il fatto che un pezzo arrivi alla buccia non dipende dalle dimensioni della patata, ma solo dalla posizione del pezzo rispetto ai vari tagli. Supponiamo che la patata sia molto grande e decidiamo di buttare via tutti i pezzi con la buccia. 2

Per gli amanti della programmazione: le animazioni interattive presentate durante la conferenza sono generate da un programma scritto in C++/OpenGL. Per creare le immagini presenti in questo articolo (statiche, ma di qualità superiore) è stato utilizzato il ray-tracer PovRay. Tutti i programmi sono stati realizzati dall’autore.

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Fig. 2. I “frammenti” ricavati dal taglio del dodecaedro

Facendo i tagli per ottenere il tetraedro o il cubo, e buttando via i pezzi con la buccia, rimane il solo pezzo centrale: per l’appunto il tetraedro o il cubo. L’ottaedro invece lascia otto tetraedri attorno a sè. Incollando questi tetraedri all’ottaedro otteniamo un bel poliedro stellato. Si tratta della stella octangula (Fig. 3), un solido citato da Luca Pacioli (1445-1514) nel suo famoso libro De Divina Proportione. Come vedremo anche in seguito, è caratteristico di questi solidi permettere più di un’interpretazione geometrica. Ad esempio è possibile immaginare la stella octangula come composizione di due grandi tetraedri incastrati fra loro. Gli otto vertici dei due tetraedri coincidono con i vertici del cubo circoscritto alla stella. Con il dodecaedro la situazione si complica. Fatti i tagli ed eliminate le “bucce” rimangono 62 frammenti attorno al nucleo centrale. Se li incollo tutti il solido risultante è una bella stella con 20 aguzze piramidi a base triangolare che si uniscono lungo la superficie di un icosaedro.

Fig. 3. La stella octangula

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Questo solido si chiama grande dodecaedro stellato. Il nome racconta diverse cose interessanti. Il termine “dodecaedro stellato” fa pensare a 12 facce stellate, e in effetti questo poliedro, delimitato da 60 triangoli, può essere pensato come delimitato da 12 facce ognuna delle quali a forma di stella a cinque punte. Val la pena osservare che, se nelle nostre definizioni di poligono e di poliedro regolare non imponiamo che la curva o la superficie sia semplice (ovvero che non si autointersechi), allora il grande dodecaedro stellato diventa a pieno titolo un solido regolare e il numero di solidi regolari passa da 5 a 9. I quattro nuovi solidi, di cui il grande dodecaedro stellato fa parte, si chiamano poliedri di Keplero-Poinsot (Fig. 4). Nonostante la loro grande bellezza, erano sconosciuti al mondo antico e sono stati scoperti soltanto a partire dal quindicesimo secolo. Rimane da interpretare l’aggettivo “grande”, che fa – ovviamente – pensare ad un piccolo dodecaedro stellato. In effetti anche quest’ultimo esiste ed è un altro dei poliedri di Keplero-Poinsot. C’è una stretta parentela fra il piccolo e il grande dodecaedro stellato, formati dallo stesso numero di facce dalla stessa forma, ma incollate in due modi diversi. Fra i frammenti che orbitano attorno al dodecaedro ci sono 12 piramidi a base pentagonale. Incollando queste piramidi sulle 12 facce del dodecaedro otteniamo proprio il piccolo dodecaedro stellato. Sul pavimento della basilica di San Marco a Venezia c’è un intarsio marmoreo, attribuito a Paolo Uccello (1397-1475), che raffigura questo solido. Le 12 piramidi formano una specie di guscio che nasconde completamente il dodecaedro. Anche gli altri frammenti possono essere raggruppati in gusci, ognuno dei quali ricopre completamente il precedente. I frammenti del dodecaedro formano tre gusci, mentre l’icosaedro, assai più ricco, ne conta sette. Ovviamente possiamo raggruppare i frammenti in molti altri modi ottenendo una grande varietà di poliedri. Un raggruppamento che non lasci pezzi isolati e che mantenga la stessa simmetria del solido di partenza si chiama stellazione. L’icosaedro vanta ben 59 stellazioni differenti. Vediamone un paio.

Fig. 4. I poliedri di Keplero-Poinsot: grande dodecaedro stellato, piccolo dodecaedro stellato, grande dodecaedro, grande icosaedro. Nella riga in basso è esposta una faccia

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Fig. 5. Poliedro composto formato da cinque tetraedri. Questa figura è una delle 59 stellazioni dell’icosaedro

Il grande icosaedro è un altro dei poliedri di Keplero-Poinsot. È strettamente imparentato con l’icosaedro. Oltre ad esserne una stellazione, ha lo stesso numero di vertici, nelle stesse posizioni, ed è formato, come l’icosaedro, da 20 facce a forma di triangolo equilatero. Le facce però sono più grandi e si intersecano fra loro. Il solido è formato dai pezzi che stanno nel penultimo “guscio” dell’icosaedro. L’ultimo poliedro che prendiamo in considerazione è composto da pezzi provenienti da diversi gusci. Come la stella octangula, questa bellissima stellazione è composta da tetraedri, in questo caso cinque. I venti vertici dei cinque tetraedri coincidono con i vertici di un dodecaedro circoscritto (Fig. 5).

La quarta dimensione Abbiamo visto come la stella a cinque punte, o pentagramma3, possa essere considerata la forma delle facce di alcuni poliedri stellati. Questa figura piana è essa stessa il risultato di una stellazione in due dimensioni: facendo cinque lunghi tagli per ricavare un pentagono da un foglio di carta si formano, fra gli altri, 5 frammenti triangolari che, uniti al pentagono, formano la stella a cinque punte4. Il procedimento di stellazione è applicabile quindi in due come in tre dimensioni. I matematici adorano le generalizzazioni e tendono a pensare che non ci possa essere tre senza quattro. Con l’aiuto del computer (e della nostra fantasia) possiamo provare ad esplorare le stellazioni in quattro dimensioni. La quarta dimensione, in questo contesto, è una pura dimensione spaziale, perfettamente analoga alle tre che ben conosciamo. Non ci riferiamo, quindi, allo spazio tempo, in cui la quarta dimensione ha caratteristiche differenti dalle prime tre.

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Il termine pentagramma è più frequentemente usato per indicare il rigo musicale, anch’esso composto da 5 linee. La stella a cinque punte veniva chiamata pentagramma o anche pentalfa. Questo simbolo contiene il rapporto aureo come rapporto fra la lunghezza dei vari segmenti che lo compongono e, anche per questo, era particolarmente caro ai pitagorici. Ma la sua storia è molto più antica: pentagrammi compaiono in iscrizioni risalenti a 5000 anni fa.

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Ovviamente il nostro cervello tridimensionale può solo intuire, ma non immaginare una quarta dimensione spaziale. D’altro canto una quarta direzione perpendicolare alle prime tre non crea alcuna contraddizione logica e quindi la geometria quadridimensionale è un argomento di studio (e di gioco) perfettamente legittimo. In effetti fin dal diciannovesimo secolo i matematici studiano la geometria oltre la terza dimensione. Pensiamo alla sequenza punto, segmento, quadrato e cubo. Come il segmento è delimitato da due punti, il quadrato da quattro segmenti e il cubo da sei quadrati (Fig. 6), così esiste una figura quadridimensionale delimitata da otto cubi. Questa figura viene chiamata tesseratto, dalle parole greche che significano quattro assi (Fig. 7). Le figure quadridimensionali delimitate da poliedri hanno ricevuto molti nomi, nessuno dei quali si è universalmente affermato. Uno dei più diffusi è policoro5, per analogia con poliedro. Cho¯ra¯ significa spazio, e il policoro è delimitato da iperfacce tridimensionali, cioè spaziali. Queste iperfacce vengono chiamate in genere celle. Un tesseratto è quindi un policoro delimitato da otto celle cubiche. I policora regolari, ovvero i policora le cui celle sono poliedri regolari uguali, disposti sempre nello stesso modo attorno ad ogni vertice, sono ben sei: i corrispondenti dei 5 solidi platonici più una figura completamente nuova delimitata da 24 ottaedri. I sei policora regolari vengono chiamati (in maniera piuttosto pedissequa) 5celle, 8-celle, 16-celle, 24-celle, 120-celle e 600-celle. L’8-celle, essendo il più famoso, ha diritto a qualche nome in più, ad esempio tesseratto oppure, in maniera un po’ impropria, ipercubo. Per tutti è sempre possibile usare i nomi di derivazione greca, ad esempio esacosicoro per il 600-celle. Per visualizzare questi enti geometrici abbiamo più o meno gli stessi strumenti che utilizziamo per rappresentare i poliedri: possiamo costruirne gli sviluppi, generarne delle immagini in prospettiva o possiamo studiarne le sezioni. L’ultimo sistema si usa in genere per ottenere precise rappresentazioni analitiche di una forma tridimensionale. La risonanza magnetica, ad esempio, permette di ottenere delle accurate immagini degli organi interni sotto forma di tante fette parallele. Un altro esempio è rappresentato dalle carte geografiche: le curve di livello corrispondenti ad una certa quota rappresentano il contorno di una fetta orizzontale del profilo montuoso; l’insieme di tutte le linee di livello, a diverse quote, permette di cogliere l’aspetto tridimensionale della regione raffigurata. Il sistema delle sezioni richiede uno sforzo di visualizzazione superiore rispetto alla rappresentazione prospettica, ma questa può essere utilizzata con efficacia solo in pochi casi. Ad esempio quando siamo interessati alla sola superficie esterna di un oggetto opaco e quando la forma generale dell’oggetto è sufficientemente chiara da permettere al nostro cervello di ricostruire le parti “nascoste” del disegno. Le sezioni invece sono uno strumento molto versatile che funziona anche in condizioni difficili. Noi lo utilizzeremo per rappresentare oggetti a quattro dimensioni. Prima di cominciare a sezionare (nella nostra mente) le figure a quattro dimensioni è utile familiarizzarsi con le sezioni di semplici figure geometriche tri-

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Il termine politopo, molto più diffuso, indica il generico “poliedro” a N dimensioni. Un poligono è quindi un politopo 2-dimensionale, mentre un policoro è un politopo 4-dimensionale.

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Fig. 6. Il cubo: sviluppo e rappresentazione prospettica

Fig. 7. Il tesseratto: sviluppo e rappresentazione prospettica

dimensionali. Ad esempio è facile convincersi che le sezioni di una sfera sono dei cerchi di varie dimensioni. Delle immaginarie creature bidimensionali, abitanti di un universo piatto, che si trovassero di fronte ad una sfera tridimensionale che attraversa il loro universo vedrebbero dapprima comparire un singolo punto. Il punto si trasformerebbe poi in un piccolo cerchio, sempre più grande fino ad arrivare ad una dimensione massima. Il cerchio comincerebbe poi a rimpicciolire fino a ridursi ad un punto e poi sparire del tutto. Questa scena immaginaria parafrasa uno degli episodi salienti di Flatlandia, un romanzo scritto da Edwin A. Abbot (1838-1926) nel 1882. Il protagonista, una creatura bidimensionale a forma di quadrato, incontra una sfera che lo ispira a riflettere sulle dimensioni del suo spazio, ipotizzando una terza dimensione e dopo di questa una quarta, una quinta, eccetera. Riflettere sui problemi che una mente bidimensionale (in senso geometrico) incontrerebbe cercando di crearsi delle immagini mentali dei poliedri rappresenta un eccellente strumento per aiutarci a visualizzare gli oggetti quadridimensionali. Della sfera che attraversa il loro mondo gli abitanti di Flatlandia vedono solo le sezioni: tanti cerchi di differenti dimensioni. Un cubo può generare sezioni differenti a seconda di come è orientato. Se ha una faccia parallela al piano di Flatlandia, allora le sezioni saranno quadrati tutti uguali. Con altre inclinazioni ci saranno triangoli, quadrilateri, pentagoni ed anche esagoni (Fig. 8).

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Fig. 8. Sezioni del cubo rispetto a dei piani perpendicolari ad una diagonale

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Fig. 9. Sezioni del tesseratto

Una sequenza ancora più complessa si ottiene sezionando un poliedro concavo, ad esempio il grande icosaedro. Il primo contatto con il piano potrebbe avvenire in più di un punto. Ad esempio tre delle 20 punte aguzze che adornano il solido potrebbero formare tre sezioni distinte, ognuna a forma di stella a cinque punte. Con il progredire del passaggio le tre stelle diventerebbero sempre più grandi fino a fondersi in una grande figura complicata ricca di punte. E le sezioni di oggetti quadridimensionali? Se le sezioni dei poliedri sono poligoni allora le sezioni dei policora saranno dei poliedri. Se per esempio un tesseratto scivolasse attraverso la nostra Spacelandia (lo spazio tridimensionale in cui viviamo), noi vedremmo comparire all’improvviso un cubo, che rimarrebbe immobile per qualche tempo per poi sparire in maniera altrettanto improvvisa. Ho supposto che una cella del tesseratto sia parallela al nostro spazio. Con una diversa inclinazione potremmo veder comparire un tetraedro che si trasformerebbe in un solido limitato da esagoni e triangoli che subirebbe altre trasformazioni fino a tornare un tetraedro, rimpicciolirsi e sparire (Fig. 9). Il programma che genera le sezioni può “affettare” qualunque policoro. Val la pena di metterlo alla prova con un modello più complicato del tesseratto. Un

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modello ambizioso è l’equivalente quadridimensionale del grande icosaedro. Partiamo dal 600-celle: con le sue 600 celle a forma di tetraedro regolare questo policoro corrisponde all’icosaedro (che è limitato da 20 facce a forma di triangolo equilatero). Il grande icosaedro, come abbiamo visto prima, è un poliedro non convesso con gli stessi vertici dell’icosaedro. Le facce sono sempre 20 triangoli, ma collegati in modo diverso e intrecciati fra loro. In maniera perfettamente analoga è possibile realizzare un policoro non convesso delimitato da 600 tetraedri intrecciati. Questa figura si chiama granesacosicoro (o gax secondo l’accattivante notazione stenografica inventata da Jonathan Bowers 6). L’unico modo che abbiamo per apprezzare la forma di questa figura è ricavarne delle sezioni. Diamo quindi il modello in pasto al programma. Muovendo il mouse possiamo simulare il passaggio del granesacosicoro attraverso il nostro spazio: dal nulla compare un grande icosaedro, affiancato quasi subito da 12 piccole repliche che si fondono al corpo centrale formando una struttura estremamente complessa, ma gradevolmente simmetrica. In queste pagine sono riportate alcune immagini estratte dalla sequenza (Fig. 10).

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Fig. 10. Sezioni del granesacosicoro

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George Olshevsky, Jonathan Bowers, Bruce Chilton sono i principali artefici dell’Uniform Polychora Project nell’ambito del quale sono stati classificati più di 8000 policora.

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Sullo schermo del computer il movimento è particolarmente efficace nel rappresentare l’inaccessibile quarta dimensione e le evoluzioni del modello danno vita ad un caleidoscopio tridimensionale in cui è piacevole smarrirsi.

Letture consigliate E.A. Abbott (1996) Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni, ed. italiana a cura di M. d’Amico, Milano, Adelphi, (il testo in lingua inglese è disponibile in http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/) A.K. Dewdney (1984) The planiverse: computer contact with a two-dimensional world, New York, Poseidon Books T.F. Banchoff (1993) Oltre la terza dimensione. Geometria, computer graphics e spazi multidimensionali, Bologna, Zanichelli H.S.M. Coxeter (1973) Regular Polytopes, 3° ed., New York, Dover W.W.R. Ball, H.S.M. Coxeter (1987) Mathematical Recreations and Essays, 13° ed., New York, Dover

Siti web consigliati

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R. Webb Stellated Polyhedra http://web.aanet.com.au/robertw/Stellations.html V. Bulatov Polyhedra Stellation http://www.physics.orst.edu/~bulatov/polyhedra/stellation/index.html D.A. Fontaine Polyhedra Pages Index http://davidf.faricy.net/polyhedra/ G. Hart Virtual Polyhedra http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Polychoron, Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Polychoron Bowers, Jonathan, Uniform polychora http://hometown.aol.com/hedrondude/polychora.html G. Olshevsky Uniform Polytopes in Four Dimensions http://hometown.aol.com/Polycell/uniform.html M. Newbold Hyperspace Star Polytope Slicer http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html R. Towle Russel Towleís 4D Star Polytope Animations http://dogfeathers.com/towle/star.html POV-RAY, The persistence of Vision Raytracer http://www.povray.com

matematica e Venezia

Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi GIOVANNI SARPELLON

Mai dire mai… Mai avrei pensato di dover un giorno parlare a un convegno di matematici. Non ho nulla contro i matematici, sia chiaro. È con la matematica, piuttosto, che non ho mai avuto buoni rapporti, soprattutto da quando, partendo con quel poco che avevo imparato al liceo classico, ho dovuto, all’università, affrontare l’analisi, la matematica finanziaria e infine anche quella attuariale. Mi brucia ancora quel dodici (allora si usava ancora…) che presi al primo tentativo. Una cosa, comunque, non ho mai digerito e, precisamente, un paio di espressioni che tanto spesso si usano in quel gergo: nella dimostrazione di un teorema, prima o poi, salta sempre fuori un epsilon che diventa piccolo a piacere, così come, nei momenti più incomprensibili, il testo arriva al punto successivo per facili passaggi. Non ho mai provato alcun piacere a rimpicciolire un epsilon, né ho mai trovato facili i passaggi non spiegati che conducono alla dimostrazione finale! Questa è l’occasione della mia rivincita e posso mostrare ai matematici il mio epsilon che, per facili passaggi, diventa davvero piccolo a piacere: le murrine.

Come si fa una murrina Le murrine, in senso molto generale, sono dei dischetti di vetro che al loro interno contengono un qualsiasi disegno. Questi dischetti si ottengono tagliando a fettine una bacchetta di vetro la quale, in tutta la sua lunghezza, contiene il medesimo disegno. Per meglio far comprendere come questo disegno possa essere sia una semplice ruota dentata, sia un dettagliatissimo ritratto di una persona, è opportuno illustrare anzi tutto modalità e fasi della costruzione di una bacchetta di vetro (per la quale, a Murano come in questo testo, si usa il termine “canna”). Il lavoro comincia scaldando sulla bocca del forno di fusione la parte terminale di un’asta di ferro lunga circa un metro e mezzo e di spessore variabile secondo la grossezza della canna che si deve preparare; con questa asta il servente (assistente del maestro) raccoglie dalla paela (crogiolo) la quantità necessaria di vetro e, rotolandola sopra il bronzino (una spessa lastra di ferro), la riduce a un cilindro (questa operazione è detta marmorizzare, facendoci ritenere che un tempo al posto della lastra di ferro si usasse un marmo ben levigato); ciò fatto, la pas-

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sa al maestro (detto scagnèr) che perfeziona il cilindro, lo riscalda di nuovo portandolo alla temperatura necessaria e vi attacca all’altra estremità la conzaura, che è un’altra asta di ferro, più corta della precedente, a una estremità della quale è stata preparata una corona di vetro incandescente. Le due aste passano quindi nelle mani dei due tiradori che, camminando (o correndo) in direzione opposta, stirano il cilindro riducendolo a una canna della grossezza voluta. La lunghezza della canna può arrivare anche oltre cento metri e naturalmente varia in ragione del diametro voluto a lavoro finito. Via via che viene tirata, la canna si raffredda e finisce per essere appoggiata al suolo, dove sono state preparate delle assicelle di legno che ne impediscono il contatto con il terreno. La canna viene infine tagliata in pezzi, di solito lunghi un metro, raccolta in fasci e accantonata per le successive lavorazioni. La preparazione di una canna a più colori è molto simile. Dopo aver formato il primo cilindro, si ritorna al forno per immergere il vetro in una seconda paela e successivamente in altre, dopo aver provveduto a marmorizzare il cilindro sul bronzino a ogni aggiunta di colore. In questo modo si ottiene una canna a fasce concentriche di vario colore. È inoltre possibile arricchire ulteriormente la canna a più colori facendo uso di appositi stampi aperti superiormente che hanno all’interno delle costolature verticali: dopo ogni levada (aggiunta) di colore, si infila il cilindro nello stampo che trasmette così la propria forma al vetro ancora molle; con l’ultima levada la massa di vetro assume di nuovo la forma a sezione circolare, permettendo così di ottenere poi una canna circolare. È necessario a questo punto fare due osservazioni che risulteranno utili in seguito. Anzitutto si deve notare che, facendo uso di stampi adeguati, si possono tirare canne con sezioni di qualsiasi forma, anche se l’operazione risulta molto più delicata. In secondo luogo, bisogna fermare l’attenzione sul fatto che il cilindro a fasce concentriche (e quindi poi la canna) ripete in ogni sua sezione lo stesso disegno per cui, tagliando la canna in qualsiasi punto, apparirà sempre un cerchio centrale circondato da tante corone circolari quante erano le successive fasce di colore che avevano formato il cilindro di partenza (Fig. 1). Avendo a disposizione un certo numero di canne semplici del tipo appena decritto, è poi possibile costruire una canna complessa. Con un filo di rame si legano assieme alcune canne semplici, formando il disegno voluto, e poi si riscaldano molto lentamente fino a che il vetro si rammollisce al punto da poter essere nuovamente stirato. Ripetendo più volte l’operazione con canne sempre più complesse, si può costruire una canna composta da decine di canne semplici: Giovanni Franchini, come vedremo, è arrivato a comporne una di oltre 150 elementi. Caratteristica comune di questo tipo di canne (anche delle più complesse) è di essere di norma a disegni concentrici, perché tutto si raccoglie attorno a un cilindro centrale. La massa di vetro da sottoporre alla tiratura può tuttavia essere formata anche in maniera diversa. Particolarmente belle (e famose) sono le canne la cui sezione contiene una spirale a più colori, che già in epoca romana venivano usate per imitare la forma dell’agata-calcedonio e che saranno di nuovo usate da Vincenzo Moretti nel XIX secolo. Per fare questo tipo di canna si prepara anzitutto una striscia rettangolare di un dato colore, alla quale si sov-

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Fig. 1. Preparazione di una canna. Figura in alto: a Immersione di uno stampo a stella; b Canna a forma di stella; c Aggiunta di vetro in stampo cilindrico; d Immersione nello stampo silindrico; e Canna cilindrica con stella al centro. Figura in basso: a Preparazione di una canna a stella; b Assemblaggio delle singole canne; c Fusione a caldo in un’unica canna

rappone subito un’altra striscia di un altro colore; si provvede poi ad arrotolare il vetro e ad attaccare il cilindro così formato a due conzaure e a tirare la canna. Questo procedimento, che richiede una maggiore abilità dei precedenti, nasconde una terribile insidia per il vetraio: le bolle d’aria. È infatti facile che sia nella sovrapposizione dei due strati di vetro, sia nell’arrotolamento della pasta vitrea si insinuino delle bolle d’aria che, una volta tirata la canna, si allungheranno in altrettanti lunghissimi fori che risulteranno evidenti ad ogni sezione della bacchetta. Le canne complesse (formate dall’unione di più canne), oltre alle bolle d’aria, temono poi un altro pericolo. È infatti necessario che l’intera massa di vetro sia riscaldata alla medesima temperatura in modo da avere ovunque la stessa pastosità e poter quindi assottigliarsi uniformemente per effetto della successiva ti-

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ratura. In caso contrario, alcune canne termineranno prima di altre e, oltre a risultare più grosse del previsto (essendosi allungate meno delle altre), faranno sì che il disegno della canna finale, a partire da un certo punto, risulti incompleto. Esiste poi un altro modo, ancora più difficile, di preparare una canna a disegno non concentrico, come ad esempio un fiore, un animale, un volto. Prelevata con l’asta di ferro la quantità necessaria del primo colore, dopo averla marmorizzata sul bronzino e quindi raffreddata un po’, si provvede a ridurla uniformemente nella forma desiderata per tutta la sua lunghezza, facendo bene attenzione che la sezione della canna così ottenuta rimanga sempre uguale. Volendo, per esempio, costruire un fiore a tre petali, si potrebbe preparare anzitutto una canna la cui sezione abbia la forma del primo petalo. Presa poi con un’altra asta di ferro una seconda quantità di vetro, le si fa assumere allo stesso modo la forma del secondo petalo e, accostandolo al primo - mantenuto caldo - li si salda assieme. L’operazione viene infine ripetuta per la terza volta, ottenendo così i tre petali uniti. A questo punto si può preparare un paio di canne a forma di foglie, una a forma di gambo e saldare progressivamente tutto assieme. Con del vetro di uno stesso colore si riempiono poi un po’ alla volta gli spazi vuoti, fino a formare il solito cilindro che, attaccato a una seconda conzaura, verrà tirato e ridotto al diametro voluto. Le difficoltà di questa procedura sono molto evidenti. Bisogna lavorare con vetro caldo (e quindi tenero) che non può essere lasciato penzolare né può essere appoggiato su un supporto senza pericolo di venir deformato; gli strati di vetro che via via vengono aggiunti si sovrappongono ai precedenti, nascondendo il disegno che si sta formando; la massa vetrosa in lavorazione va mantenuta costantemente alla stessa temperatura; a ogni accostamento di una nuova porzione di colore c’è il rischio di inglobare anche dell’aria. Per superare, almeno in parte, alcune di queste difficoltà si possono adottare alcuni accorgimenti. Supponendo di dover costruire il fiore dell’esempio precedente, si possono preparare degli stampi aperti superiormente fatti in modo che le loro sezioni abbiano la forma dei vari elementi del fiore: un petalo, una foglia, il gambo. Colando entro lo stampo del vetro liquido, con una conzaura se ne possono estrarre, una dopo l’altra, le tre canne a forma di petalo e attaccarle insieme; similmente, da un altro stampo, si ricaveranno, perfettamente sagomate, le due lingue a forma di foglia e infine quella del gambo. Il fiore così formato verrà infine contornato con del vetro di riempimento, formando la canna. Dopo aver tirato la canna e averla tagliata in tante fettine, si otterranno altrettante murrine raffiguranti il fiore a tre petali. Il rametto di rosa di Giacomo Franchini, di cui parleremo più avanti (Fig. 2), è stato sostanzialmente costruito in questo modo. Se la murrina che si vuole costruire è più complessa, il numero degli stampi potrebbe diventare troppo elevato. In ogni stampo, inoltre, si versa normalmente vetro di un solo colore e quindi l’uso degli stampi è conveniente nei casi in cui il disegno sia composto da poche sezioni di colore diverso. Quando il disegno da comporre è più complesso, conviene procedere per stadi successivi, preparando secondo uno dei sistemi precedenti varie canne contenenti ciascuna una parte del disegno finale. Quando tutto il lavoro preparatorio è terminato, attorno a un nucleo centrale si saldano via via i vari elementi pre-

Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi

Fig. 2. Giacomo Franchini, 1843-1845, murrina della rosa: bocciolo (L 10 mm), stelo (L 8 mm), rosa (∅ 5-8 mm)

parati (dopo averli gradatamente riportati alla temperatura del vetro tenero), aggiungendo dove necessario vetro preso direttamente dal forno. Questa tecnica, che si potrebbe definire mista, è una sintesi delle tecniche precedenti, richiedendo l’uso di canne precedentemente preparate, di stampi e di vetro prelevato direttamente dal forno. In questo modo è stata realizzata la murrina finora forse più famosa: il pavone di Giuseppe Barovier (Fig. 3). Il riferimento alla possibilità di utilizzare canne precedentemente sagomate facendo uso di stampi introduce la spiegazione del modo di realizzare un altro tipo di canna: la canna – mosaico. Questo metodo, infatti, è in qualche modo derivato dalla tecnica dei mosaicisti. Facendo uso di piccoli cubi o parallelepipedi di varia forma, i mosaicisti compongono i loro disegni, che vengono poi cementati su supporti di varia natura. Se al posto dei piccoli pezzi di mosaico si adoperano sottili canne di vetro della forma e del colore necessario, si possono preparare dei “mosaici” che hanno uno spessore non di uno, ma di 15-20 centimetri. Questo “mosaico”, tenuto assieme da opportuni legacci di rame, può essere riscaldato molto lentamente, fino a che il vetro riacquista plasticità. Aumentandone progressivamente la temperatura, il vetro arriva al punto in cui può essere stirato, dando vita a una lunga canna. Questa tecnica richiede un grande lavoro di preparazione: più sottili sono le canne di partenza, più accurato sarà il disegno finale, risultando meno evidenti i confini fra una canna e l’altra. Molta attenzione richiede inoltre il progressivo riscaldamento del mosaico che, non so-

Fig. 3. Giuseppe Barovier, 1913, pavone, ∅ 28 mm

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lo deve essere lento, ma anche uniforme, per non dar luogo agli inconvenienti precedentemente ricordati. I ritratti preparati da Luigi Moretti sono stati eseguiti secondo questa tecnica (Figg. 4-8).

Fig. 4. Luigi Moretti, 1888, ritratto di V. Moretti, ∅ 20 mm

Fig. 5. Luigi Moretti, 1888, Vittorio Emanuele II, ∅ 27 mm

Fig. 6. Luigi Moretti, 1888, Umberto I, ∅ 20 mm

Fig. 7. Luigi Moretti, 1888, Garibaldi, ∅ 17 mm

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Fig. 8. Luigi Moretti, 1892, Cristoforo Colombo, ∅ 24 mm

Un epsilon piccolo a piacere: le murrine veneziane e muranesi

Giovanni Battista e Giacomo Franchini L’abilità di fare murrine è molto antica: gli scavi archeologici hanno riportato alla luce un bicchiere prodotto tremila anni fa nel nord-ovest dell’Iran, sulla superficie del quale appare cinque volte una figura umana composta con l’accostamento e rifusione di murrine. Il periodo di maggior splendore di quest’arte si situa nel Quarto e Terzo secolo avanti Cristo, si prolunga fino al Primo secolo e ha come luogo di maggiore e migliore produzione le fornaci di Alessandria d’Egitto e quelle romane. L’invenzione della canna da soffio (che ha luogo nel secolo attorno all’inizio dell’era cristiana) fece andare in disuso questa tecnica complicata e costosa che, dopo una breve riapparizione a Murano verso la fine del XV secolo, conobbe un nuovo periodo di splendore verso la metà dell’Ottocento quando due perlai veneziani, Giovanni Battista Franchini e suo figlio Giacomo, vollero sfidare gli antichi e dettero vita ad una incredibile serie di vere miniature di vetro fra le quali si possono ammirare alcuni ritratti tanto minuti quanto perfetti. Giovanni Battista Franchini (1804-1873) non fu un semplice artigiano, ma un imprenditore molto capace, sempre pronto a cercare la strada dell’eccellenza attraverso l’innovazione: le sue perle furono fra le più belle di quelle prodotte nella metà dell’Ottocento. Ma la ragione per la quale egli deve ora essere ricordato è la sua idea di produrre, usando gli strumenti del perlaio, delle nuove canne millefiori allo scopo di utilizzarle per farne delle spille di nuovo tipo. L’intuizione che, tuttavia, portò Giovanni Battista Franchini, e poi suo figlio Giacomo, a raggiungere un risultato eccezionale fu quella di fare delle canne che, invece dei semplici disegni geometrici dei millefiori, avrebbero potuto avere altri disegni, come animali, rose, gondole e, alla fine, dei veri e propri ritratti. Lo sviluppo tecnico è, in astratto, molto semplice. Per costruire una canna con al centro una stella basta avere a disposizione uno stampo a forma di stella nel quale inserire la massa morbida del vetro caldo. Per costruire una canna con otto stelle basta unire una all’altra otto canne con una stella, amalgamare bene la nuova canna sotto l’azione del fuoco e poi tirarla fino a raggiungere il diametro desiderato. Con questa tecnica Franchini ottenne risultati mai prima raggiunti, riuscendo a produrre una lunga serie di canne millefiori molto belle e molto complesse (Fig. 9). Dopo questo primo risultato, il fascino delle murrine toccò anche il giovane Giacomo (1827- 1897) che si dedicò anima e corpo a questa entusiasmante impresa. L’idea geniale dei Franchini (semplice, come tutte le cose geniali) fu di preparare, dopo quelli a forme geometriche, altri stampi delle forme più varie (come un cane, un’anatra, un cavallo…) e di preparare quindi delle canne che contenevano al loro interno varie figure semplici. Allo stesso modo essi prepararono l’intera serie delle lettere dell’alfabeto e dei numeri e furono così in grado di fare delle nuove canne con nomi, date, sigle (Fig. 10). La strada era aperta per nuove esperienze e in esse si lanciò Giacomo al quale il padre lasciò volentieri il campo. Per comporre disegni più complessi, Giacomo procedette per fasi successive. Dopo aver scomposta la figura da realizzare nei suoi particolari elementari, costruiva le cannelle corrispondenti. Queste venivano poi assemblate progressiva-

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Fig. 9. Giovanni B. Franchini, 18401843, millefiori, ∅ 7-9 mm

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mente, saldandole assieme sotto l’azione della fiamma, finendo così per ricomporre il disegno, contenuto tutto in un’unica canna. In questo modo Giacomo compose delle murrine di rara bellezza, fra le quali spiccano dei ramoscelli di rosa (Fig. 2), un quarto di luna contornata da bianche stelline, un sole raggiante (Fig. 11). A queste fece poi seguito una parata di gondole (Fig. 12) che, pur misurando da 6 a 8 millimetri, sono perfette anche nei particolari più minuti, come il ferro di prua e le forcole. Le murrine di Giacomo Franchini sono infatti tutte incredibilmente piccole e solo raramente hanno il diametro superiore a un centimetro. Le murrine millefiori furono prodotte negli anni 1840-1843, mentre le prime murrine figurate appaiono fra il 1843 e il 1845.

Fig. 10. Giacomo Franchini, 1843-1845, sigle e date, ∅ 7-12 mm

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Fig. 11. Giacomo Franchini, 1843- 1845, murrina della luna: quarto di luna (L 12 mm), occhio della luna (L 8 mm), luna (∅ 5-8 mm); sole (∅ 6-8 mm) 63

Fig. 12. Giacomo Franchini, 1843-1846, gondole, ∅ 7-15 mm

Un bellissimo esempio di questo genere di produzione è la murrina con il ponte di Rialto (realizzata fra il 1847 e il 1848), che ha richiesto per la sua realizzazione la preparazione di un grande numero di canne elementari, che sono state poi progressivamente accostate per formare il disegno intero (Fig. 13). La precisione del disegno è totale: sull’arcata del ponte si distinguono, da una parte e dall’altra, le due file di archi che ospitano le botteghe, separate dal grande arco centrale. Ai lati del ponte sono due palazzi dei quali si può contare il numero delle finestre, mentre sullo sfondo, in perfetta prospettiva, si vedono il Fontego dei Tedeschi e il palazzo dei Camerlenghi; sotto il ponte scorre lentamente l’acqua del Canal Grande, increspata da un leggero vento che confonde i colori di ciò che vi

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Fig. 13. Giacomo Franchini, 1847-1848, Rialto, ∅ 11 mm

64 Fig. 14. Giacomo Franchini, 1845-1846, Angelina, ∅ 7 mm

si riflette. Il sole al tramonto, infine, colora il cielo di rosa e azzurro. Tutto questo nello spazio di pochi millimetri! La canna con il ponte di Rialto poteva già essere considerata un capolavoro; ma Giacomo volle andar oltre, tentando l’incredibile. Fra il 1845 e il 1846 egli aveva realizzato due murrine con il volto di una ragazza (di cui era probabilmente innamorato): Angelina (Fig. 14). Nel 1847 fece la canna con il volto di Pio IX, il papa che nei primi anni del suo regno aveva tanto entusiasmato i patrioti italiani. L’obiettivo successivo fu la costruzione di un vero e proprio ritratto. Per fare un ritratto in una murrina bisogna superare due particolari difficoltà, oltre alle consuete: ottenere la somiglianza con il soggetto e utilizzare vetro di diverse tonalità per dare il senso del volume al disegno. E questo Giacomo si impegnò a fare con il ritratto del re d’Italia, Vittorio Emanuele II. Era questo un lavoro estremamente complesso, che richiedeva la preparazione di un gran numero di canne semplici. Egli lavorò per quattro anni e alla fine, nel 1860, ottenne uno splendido risultato (Fig. 15). Dopo il Re, venne il suo generale, Garibaldi, ritratto in uniforme, fiocchi e alamari compresi. Anche di questo ritratto esistono diverse versioni (Fig. 16). E per

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Fig. 15. Giacomo Franchini, 1860, Vittorio Emanuele II, ∅ 5-7 mm

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Fig. 16. Giacomo Franchini, 1862, Garibaldi, ∅ 5-7 mm

completare questa piccola serie patriottica venne infine il ritratto del primo ministro della nuova Italia: Cavour (Fig. 17). A questo punto Giacomo Franchini volle dare una prova dei risultati estremi cui egli poteva arrivare con la sua nuova tecnica e riunì i tre protagonisti della nuova Italia in un’unica canna, ridotta al diametro assolutamente incredibile di 3 millimetri, senza che con questo venisse compromessa la nitidezza del disegno (Fig. 18). Dopo i tre italiani, Giacomo fece il ritratto di Napoleone III (Fig. 19), anch’esso preciso e dettagliato come i precedenti. L’incredibile galleria dei ritratti di Franchini si concluse, nel 1863, con quello dell’imperatore d’Austria Francesco Giuseppe (Fig. 20). La carriera di Giacomo Franchini fu interrotta da una malattia mentale ed egli finì i suoi giorni nel manicomio dell’isola di San Servolo a Venezia. L’opera sua (e quella di suo padre) va ricordata nella storia del vetro non solo

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Fig. 17. Giacomo Franchini, 1862, Cavour, ∅ 6 mm

Fig. 18. Giacomo Franchini, 1862, Vittorio Emanuele II, Garibaldi, Cavour, ∅ 3 mm

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Fig. 19. Giacomo Franchini, 1862, Napoleone III, ∅ 5-7 mm

Fig. 20. Giacomo Franchini, 1863, Francesco Giuseppe, ∅ 8 mm

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perché raggiunse una perfezione mai più uguagliata (in particolare i ritratti di Giacomo restano ancor oggi dei capolavori insuperati), ma anche perché i Franchini compirono queste meraviglie non in una fornace di Murano, ma nel loro laboratorio da perlaio, usando la piccola fiamma della lampada a olio ravvivata da un getto d’aria.

Vincenzo e Luigi Moretti Dopo la pionieristica opera dei Franchini, la lavorazione delle murrine raggiunse a Murano nuovo splendore con Vincenzo Moretti (1835-1901). Egli lavorava nella Venice and Murano Glass Company fondata da Salviati nel 1867 e ben presto si propose l’obiettivo di riprodurre le murrine di epoca romana che gli scavi archeologici di quel tempo stavano riportando alla luce. Il suo primo risultato venne nel 1873, con una serie di “canne mosaico” composte da un gran numero di canne semplici (Fig. 21). Queste canne furono fabbricate per essere utilizzare nella preparazione di spille, medaglioni e altri oggetti simili che fino a quel momento erano invece prodotti con la laboriosissima tecnica dell’intarsio. Questa esperienza permise al Moretti di fare i primi progressi in quella che diverrà poi la sua principale specialità: la composizione di una grande quantità di vetri di diversi colori e fra loro compatibili. La “compatibilità” fra vetri diversi è infatti sempre stato il grande problema dei vetrai, perché vetri di composizione diversa possono avere coefficienti di dilatazione diversi e, se uniti in uno stesso oggetto, possono provocarne la rottura al momento del raffreddamento. Vincenzo Moretti, che non era un maestro vetraio ma piuttosto un tecnico compositore, alla fine di una serie di ricerche ed esperimenti risolse brillantemente il problema e si preparò una coloratissima “tavolozza” che gli permise di affrontare con grande libertà la riproduzione di quei vetri che, nei due secoli attorno alla nascita di Cristo, venivano fatti accostando murrine e segmenti di canne, senza l’intervento della soffiatura. Le prime riproduzioni dei vetri romani vennero presentate nel 1878 all’esposizione internazionale di Parigi.

Fig. 21. Vincenzo Moretti, 1873, murrine a mosaico, ∅ 18-20 mm

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Fig. 22. Vincenzo Moretti, ca. 1880, fiori e farfalle, L 12-25 mm

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Moretti compose una gran numero di murrine di raffinata eleganza, che costituiscono ciascuna un piccolo gioiello. Esse sono fiori di vario tipo, tulipani, margherite, pansé, fiore di loto, ma anche due farfalle e un uccellino (Fig. 22). L’amore per il vetro a Murano si trasmette da padre in figlio da secoli: fu così che anche il figlio di Vincenzo, Luigi Moretti (1867-1946), volle cimentarsi in una difficile impresa. Egli aveva di fronte a sé l’esempio di Giacomo Franchini e decise così di dar vita a una nuova serie di ritratti. La tecnica del giovane Moretti era diversa da quella di Franchini. Luigi infatti non operava con il vetro caldo e fluido, ma faceva intervenire l’azione del fuoco solo dopo aver composto a freddo l’intero disegno. Facendo uso di tante sottili canne monocromatiche di vario colore e sfumature e accostandole le une alle altre, quasi come un mosaicista, egli preparava un cilindro di circa 10 cm di diametro e 20 cm di altezza. Il cilindro, ben legato con filo di rame, veniva poi riscaldato un po’ alla volta e, quando il vetro diventava morbido, veniva tirato in una lunga canna. In questo modo Luigi Moretti, fra il 1888 e il 1894, realizzò una originale serie di ritratti, cominciando con quello del padre Vincenzo (Fig. 4) e continuando poi con quelli di Vittorio Emanuele II (Fig. 5), Umberto I, nuovo re d’Italia (Fig. 6), il principe Vittorio Emanuele, Garibaldi (Fig. 8), Papa Leone XIII, l’imperatore Guglielmo di Germania e anche un volto di Madonna. Particolarmente bella, infine, è la murrina di Cristoforo Colombo (Fig. 25). Essa fu fatta nel 1892, in occasione del quarto centenario della scoperta dell’America. Quando, nell’anno successivo, la Venice and Murano Glass Company aprì una propria fornace a Chicago, il 18 maggio 1893, a tutti i quattrocento invitati fu regalato uno di questi piccoli ma preziosi ritratti.

Giuseppe Barovier e le murrine liberty Nella già ricordata fornace di Salviati, oltre a Vincenzo Moretti, prestavano la loro opera anche alcuni membri dell’antica famiglia dei Barovier. Colui che ci ha

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Fig. 23. Giovanni Barovier, 1881, piatto con murrine floreali su fondo nero, ∅ 225 mm

lasciato una bellissima serie di murrine è Giuseppe (1853-1942), che inizia la sua attività di vetraio a 14 anni, seguendo soprattutto l’insegnamento dello zio Giovanni. Costui aveva senza dubbio partecipato al lavoro di riproduzione degli antichi vetri murrini, tanto che a buona ragione gli si può attribuire un bel piatto attualmente conservato nel museo di Murano e databile attorno al 1881 (Fig. 23). Il giovane Giuseppe collaborò certamente con lo zio anche per queste prime

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Fig. 24. Giuseppe Barovier, ca. 1915, fiori, L 3-29 mm

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Fig. 25. Giuseppe Barovier, ca. 1915, Garibaldi, ∅ 19 mm

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murrine; le sue opere più belle, tuttavia, vennero molto più tardi, con il nuovo stile floreale dei primi anni del XX secolo. Sicuramente importante nello stimolare questa affascinante attività fu l’incontro con due artisti del tempo, Teodoro Wolf Ferrari e Vittorio Zecchin, che nella vetreria dei Barovier eseguirono alcune innovative opere in vetro. Giuseppe Barovier era un maestro vetraio di altissimo livello e fu quindi per lui ovvio adottare nella fabbricazione delle murrine la tecnica più confacente alla sua arte. Egli non seguì cioè l’esempio di Luigi Moretti (che componeva il disegno a freddo, accostando le une alle altre sottili canne di vari colori), ma formava la canna stendendo progressivamente strisce di vetro prelevate direttamente dal crogiolo e modellandole finché erano ancora calde: un lavoro di grande maestria, che immediatamente si apprezza osservando la complessità e la bellezza delle murrine realizzate. La maggior parte delle murrine di Barovier è costituita da fiori che, sia nella concezione, sia nella resa cromatica, ripetono l’affascinante stile di quegli anni (Fig. 24). Egli si cimentò tuttavia anche nell’esecuzione di figure umane, come quella in cui, in maniera spiritosa e quasi impressionistica , è ritratto un personaggio che potrebbe ricordare (ancora una volta!) Garibaldi (Fig. 25). L’indiscusso capolavoro di Giuseppe Barovier è comunque una murrina che rappresenta in se stessa un’opera completa e che, anche se misura solo pochi centimetri, è più preziosa di un quadro: il pavone (Fig. 3). Essa fu presentata a Venezia nel 1913 alla esposizione dell’Opera Bevilacqua La Masa (che raccoglieva artisti “dissidenti”) e valse al suo esecutore l’appellativo di “mago dell’arte vetraria”. Con le murrine liberty di Giuseppe Barovier si conclude un ciclo nella storia di questi minuscoli capolavori: negli anni successivi le murrine cessano di essere oggetti in sé compiuti e vengono sempre più concepite e utilizzate come elementi decorativi di oggetti di vetro soffiato: così le utilizzarono gli stessi Giuseppe e Benvenuto Barovier e, successivamente, Ercole (figlio di Benvenuto); così le utilizzarono i Fratelli Toso nella loro infinita produzione di vetri millefiori

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Fig. 26. Fratelli Toso, ca. 1920, lampada da soffitto, vetro soffiato, murrine floreali, H 900 mm

(Fig. 26) e tanti altri ancora, che non si possono qui ricordare, fino ai giorni nostri. Un’eccezione, tuttavia, deve essere fatta per Mario Dei Rossi (Murano, 1926), un maestro vetraio che, dopo aver abbandonato il lavoro in fornace, ha ripreso ancora una volta l’antica arte. Dal 1989, utilizzando la tecnica di Luigi Moretti, egli ha dato vita a una non interrotta serie di murrine di grande bellezza, che comprende ritratti, fiori, animali e altri soggetti estremamente complessi (Fig. 27).

Fig. 27. Mario Dei Rossi, 1998-1999, murrine figurate, ∅ 19-21 mm

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Modelli matematici per la meteorologia ELISABETTA CORDERO

Il tempo meteorologico ha grande influenza su molti aspetti della vita umana, come ad esempio l’agricoltura, il traffico aereo, navale, stradale e molte altre attività, soprattutto (ma non solo) quelle che si svolgono all’aria aperta. Talvolta esso può avere conseguenze devastanti, come nel caso delle calamità naturali (inondazioni, uragani, temporali, siccità), che possono provocare vittime ed ingenti danni economici. È quindi estremamente importante saper prevedere il tempo in modo accurato ed in tempo utile, per non farsi cogliere impreparati, soprattutto in previsione di eventi meteorologici estremi. Il tempo meteorologico è determinato dai moti dell’atmosfera, che è l’involucro gassoso che circonda la Terra. Tali moti sono descritti da un sistema di equazioni non lineari alle derivate parziali (tipo Navier-Stokes). Tali equazioni non possono essere risolte esattamente, ma devono essere approssimate mediante schemi numerici. L’approssimazione numerica delle suddette equazioni è alla base dei modelli matematici dell’atmosfera utilizzati per le previsioni meteorologiche e gli studi climatici, le cui altre componenti fondamentali sono le condizioni iniziali e la rappresentazione dei processi fisici che avvengono nell’atmosfera. In questo articolo introdurremo le equazioni matematiche che descrivono i moti dell’atmosfera, discuteremo come tali equazioni vengano approssimate all’interno dei modelli numerici dell’atmosfera, descriveremo le componenti dei modelli numerici e come questi vengano utilizzate per calcolare le previsioni meteorologiche.

Equazioni continue I moti atmosferici sono descritti da un sistema di equazioni differenziali non lineari alle derivate parziali che comprende la seconda legge della dinamica, che esprime la conservazione del momento, quella di continuità, che esprime la conservazione della massa, l’equazione termodinamica, che corrisponde al principio di conservazione dell’energia e l’equazione di stato, con la quale si assume che l’atmosfera sia un gas perfetto. Per una rappresentazione realistica dell’atmosfera, è inoltre necessario considerare l’umidità che è presente nell’atmosfera sotto forma di vapor acqueo ed acqua e ghiaccio contenuti nelle nuvole. Per ciascuna di queste sostanze viene introdotta un’equazione che ne esprime la conservazione.

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matematica e cultura 2005

Forma vettoriale Generalmente le equazioni che governano i moti atmosferici si scrivono rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro della Terra e solidale con essa, ovvero in rotazione attorno all’asse terrestre con la velocità angolare della Terra, Ω. In tale sistema di riferimento le equazioni assumono la seguente forma vettoriale [1]: dV 1 = –2Ω × V – ∇p – gk + F , dt ρ

cp

(2.1)

dρ + ρ ∇ ⋅ V = 0, dt

(2.2)

dT 1 dp – = Q, dt ρ dt

(2.3)

p = ρRT.

(2.4)

∂ d + V ⋅ ∇, V = (u, v, w) è il vettore velocità; –2Ω × V è la ≡ dt ∂ t forza di Coriolis, ove Ω è la velocità angolare di rotazione della Terra attorno al suo asse polare; ρ è la densità; p è la pressione; gk è la gravità apparente; F è il termine forzante che comprende gli effetti dovuti ai processi fisici che avvengono nell’atmosfera; cpè il calore specifico a pressione costante; T è la temperatura; Q è la variazione di calore nel tempo per unità di massa; R è la costante universale dei gas. GM r La gravità apparente gk è la somma della gravità newtoniana g * r ≡ – 2 a r (ove G è la costante di gravitazione universale, M la massa della terra, a il raggio medio terrestre, r il vettore posizione relativo al centro della terra) e della forza centrifuga Ω × (Ω × R) = Ω2R, ove R è il vettore posizione dall’asse di rotazione terrestre. 1 Nell’equazione del momento (2.1), accanto alle forze reali g * r, ∇p, F com-

In (2.1)-(2.4),

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ρ paiono le forze apparenti –2Ω × V e Ω2R. La presenza delle forze apparenti è dovuta all’applicazione della seconda legge della dinamica (a = F / m) per derivare (2.1) nel sistema di riferimento in esame, che è non inerziale a causa della rotazione terrestre. Le equazioni (2.1)-(2.4) sono scritte ignorando, per semplicità, la presenza dell’umidità nell’atmosfera: esse vengono indicate come equazioni per l’atmosfera ‘secca’. Per includere l’effetto dell’umidità, a (2.1)-(2.4) viene aggiunta un’equazione di conservazione per ciascuna delle sostanze che la compongono: vapor acqueo, acqua contenuta nelle nuvole e ghiaccio contenuto nelle nuvole. Il prototipo di equazione di conservazione per ciascuna di queste sostanze prende la forma: dm x (2.5) = Sx , dt ove l’indice x identifica una delle sostanze in esame; il ‘mixing ratio’ mx = ρx / ρs

Modelli matematici per la meteorologia

rappresenta il contenuto di sostanza umida di tipo x per unità di massa di aria secca, indicata dall’indice s; Sx rappresenta il termine sorgente per l’equazione di conservazione della specie x. Oltre a manifestarsi nelle equazioni di conservazione (2.5), la presenza dell’umidità influisce anche sulle equazioni (2.1)-(2.4), nelle quali la densità ρ dovrebbe essere sostituita dalla densità dell’aria umida, che si ottiene sommando a quella dell’aria secca quella di ciascuna sostanza umida. La trattazione dettagliata delle equazioni in presenza dell’umidità esula dagli scopi di questo articolo, nel quale si preferisce limitarsi alle più semplici equazioni per l’atmosfera secca (2.1)-(2.4). Una derivazione e discussione delle equazioni in presenza dell’umidità è riportata ad esempio in [2]. Forma scalare in coordinate sferiche È conveniente riscrivere l’equazione del momento che appare in forma vettoriale in (2.1) nelle sue componenti scalari, utilizzando le coordinate polari sferiche: longitudine λ, latitudine φ e distanza radiale r. Le componenti scalari di (2.1) in coordinate polari sferiche sono [1]:

∂p du uv tan φ uw 1 – + =– + 2Ωv sinφ – 2Ωw cos φ + Fλ , dt r r ρr cos φ ∂λ

(2.6)

dv u 2 tan φ vw 1 ∂p + + =– – 2Ωu sinφ + Fφ , dt r r ρr ∂φ

(2.7)

dw u 2 + v 2 1 ∂p – =– – g + 2Ωu cos φ + Fr . dt r ρ ∂r

(2.8)

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I termini che compaiono alla sinistra delle uguaglianze in (2.6)-(2.8) accanto alle componenti di dV/dt sono chiamati termini ‘metrici’ e sono dovuti al fatto che i versori (i, j, k) nelle direzioni (λ, φ, r) dipendono dalla longitudine e dalla latitudine e devono quindi essere differenziati nel calcolo di dV/dt come segue: dV/dt ≡ i du/dt + j dv/dt+k dw/dt + udi/dt+vdj/dt+wdk/dt.

(2.9)

Riscrivendo udi/dt + vdj/dt + wdk/dt componente per componente, si ottengono i termini metrici di (2.6)-(2.8). Le equazioni (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4) costituiscono il sistema più completo e più generale utilizzato in meteorologia per descrivere i moti atmosferici; esso viene indicato con il nome di sistema di Navier-Stokes. Tale sistema non contiene semplificazioni, a parte quella di rappresentare la Terra come una sfera. Esso descrive tutti i tipi di moti atmosferici su tutte le scale spaziali e temporali, da poche ore a centinaia di anni, per cui è alla base dei modelli matematici che vengono utilizzati sia per le previsioni meteorologiche che per gli studi climatici, come ad esempio [2] e [3]. Una importante proprietà delle equazioni di Navier-Stokes è che esse implicano i seguenti principi di conservazione [4]: 1. dell’energia totale, somma dell’energia cinetica, potenziale ed interna del sistema, E = 1/2V2 + Φ + cvT (ove Φ è la funzione potenziale associata alla gravità apparente, gk ≡ ∇Φ e cv è il calore specifico a volume costante);

matematica e cultura 2005

2. della componente assiale del momento angolare, (Ωr cos φ + u)r cos φ; (∇ × V + 2Ω) ⋅ ∇ϑ R/ , ove ϑ ≡ T ( p0 / p) cv si defini3. della vorticità potenziale ρ sce temperatura potenziale e po è la pressione atmosferica al livello del mare. Introducendo opportune approssimazioni nel sistema di Navier-Stokes, se ne possono derivare sottosistemi che, pur essendo di validità meno generale rispetto al sistema originale, sono più semplici da trattare dal punto di vista numerico e per questo motivo vengono utilizzati, o lo sono stati in passato, per le previsioni meteorologiche e gli studi climatici. È desiderabile che i sistemi semplificati derivati dalle equazioni di Navier-Stokes mantengano gli stessi principi di conservazione 1.-3. soddisfatti dal sistema originale. Questa proprietà è soddisfatta dai sottosistemi che verranno discussi più avanti.

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Semplificazioni: sottosistemi Equazioni quasi idrostatiche (QHEs) Una delle difficoltà nella soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes è rappresentata dalla sua non idrostaticità, o più precisamente dalla presenza dell’accelerazione verticale (dw/dt) nella componente radiale dell’equazione del momento (2.8), che comporta la presenza delle onde acustiche tra le soluzioni del sistema, accanto a quelle gravitazionali e a quelle di Rossby [5]. Tra le onde descritte da (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4), quelle più rilevanti dal punto di vista meteorologico sono quelle di Rossby, che governano i moti atmosferici su scala sinottica (cioè globale) ed hanno velocità di fase dell’ordine di quella di avvezione. Le restanti onde gravitazionali ed acustiche hanno alta frequenza e velocità di fase molto superiore a quella delle onde di Rossby: quelle gravitazionali hanno velocità da tre a sei volte superiore a quella delle onde di Rossby e quelle acustiche hanno velocità ancora superiore. La presenza di onde ad alta frequenza può imporre restrizioni sul passo temporale che è possibile utilizzare nella soluzione numerica (con schemi espliciti) delle equazioni [6], per garantire la stabilità della soluzione [7], [8]. Per evitare la restrizione sul passo temporale dovuta alla presenza delle onde acustiche, è possibile filtrarle dal sistema, omettendo l’accelerazione verticale in (2.8). Tale approssimazione è accurata per i moti per i quali l’accelerazione verticale è trascurabile rispetto agli altri termini che compaiono in (2.8). Le equazioni (2.6)-(2.8), (2.2)-(2.4), ma con dw/dt omesso in (2.8) prendono il nome di equazioni quasi idrostatiche (QHEs) [4]. Atmosfera ‘shallow’ ed equazioni primitive idrostatiche e non idrostatiche Un’approssimazione comunemente utilizzata in meteorologia è quella di atmosfera ‘shallow’, cioè ‘poco profonda’. Il 90% della massa dell’atmosfera è concentrata in uno strato dello spessore di 17 km che avvolge la superficie terrestre e che è molto sottile rispetto alle dimensioni della Terra, il cui raggio medio è 6360 km. Considerando una particella di atmosfera P (Fig. 1), la sua distanza r dal centro ∼ 6360km e dall’aldella Terra è data dalla somma del raggio medio terrestre, a = tezza del punto P sulla superficie terrestre, z < 17 km. Poiché z 1 l’infezione si sviluppa in epidemia o endemia, se invece R0 ⱕ 1 ci sarà l’estinzione (dell’infezione…!). Se è possibile esplicitare la formula per questo numero, diventa anche possibile studiare l’effetto di potenziali interventi direttamente su R0. Se l’inter-

L’uso di modelli matematici per la diffusione dell’AIDS nell’Africa sub-Sahariana

vento riesce a ridurre il suo valore a meno di uno, l’infezione sparirà dalla popolazione. Purtroppo, già nel modello presentato sopra, non vi è un’espressione semplice per il parametro R0. La “complicazione” ritenuta più importante per un maggiore realismo del modello è sicuramente l’introduzione di eterogeneità, cioè l’esistenza di sottogruppi della popolazione con comportamenti differenti (rispetto all’infezione), definiti da sesso, età, luogo, occupazione, ecc. L’introduzione di questi sottogruppi della popolazione aumenta il numero di variabili (tre, come gli stati di salute, per ogni sottogruppo) e crea il bisogno di definire quanto “spesso” i vari sottogruppi interagiscono e si possono quindi trasmettere l’infezione (quest’informazione viene rappresentata da un’estensione della funzione β di mixing a tutti gli indici dei sottogruppi definiti, cioè a rispondere a domande del tipo “quanto spesso si formano copie con una donna di venti anni da una particolare regione rurale e un uomo di trentacinque anni dalla capitale”. Spesso questa informazione viene discretizzata, per gruppi di età, provenienza, ecc, e si parla allora della “matrice dei contatti”). Un interessante esempio di modellizzazione “realistica” è il modello ASSA 2002 [2] della Actuarial Society of South Africa, una serie di spreadsheet Excel con possibilità per l’utente di modificare parametri e assunzioni. In questo modello, elaborato in varie versioni durante gli anni, si prevvede una descrizione dettagliatissima della popolazione sudafricana. Finalmente, allo scopo di illustrare quanto un grafico (in questo caso calcolato in un modello come descritto sopra con R0 circa 2.5, 30% dei bambini nascono sieropositivi, durata media del periodo infettivo 8 anni e durata media del pe-

Fig. 3. Popolazione totale per classi d’infezione

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Fig. 4. Effetto della fine della trasmissione anno 30 dell’epidemia 220

riodo con AIDS 1 anno) abbia forza espressiva superiore a quasi ogni rappresentazione verbale vediamo, nella Figura 3, come l’introduzione del HIV/AIDS e le conseguenti morti riescono a cambiare la precedente crescita della popolazione totale (simile a quella di un piccolo paese sub-Sahariano, come parametri) in declino. Nello stesso modello, è anche possibile ipotizzare che 30 anni dopo l’inizio dell’epidemia si riesca a porre fine alla trasmissione dell’infezione (ipotetico vaccino, differenti comportamenti, ...). Vediamo, nella Figura 4, che entro una ventina di anni la situazione ritorna come prima. In teoria c’è dunque speranza, ma come interrompere la trasmissione in pratica?

Bibliografia [1] R.M. Anderson, R.M. May (1991) Infectious Diseases in Humans: Dynamics and control, OUP [2] Actuarial Society of South Africa, “ASSA 2002”, modello dettagliato del HIV/AIDS con documentazione e strumenti di calcolo reperibili consultando il sito oppure scrivendo a

matematica e moda

Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza DONATELLA SARTORIO

Non è semplice parlare di Moda in rapporto alla matematica senza cadere in semplificazioni e imprecisioni. Certamente però le parole del titolo possono fornire uno spunto per indagare le possibili connessioni tra la precisione della matematica nelle sue forme base, aritmetica e geometria, e la Moda intesa come momento creativo. L’astrazione è un’idea creativa attraverso la quale la materia deve diventare concreta, reale, portabile, trasformabile in un abito, un cappotto, un paio di scarpe, un gioiello. Astrazione e concretezza sono le idee di base che permettono alla Moda il passaggio dalla immaginazione alla realtà. Il rigore nelle scelta creativa e quindi il rigore dell’abito determinano l’eleganza che si rispecchia nell’armonia. L’eleganza serve a rendere sofisticato un corpo attraverso la fusione e l’accordo di materiali, colori e forme. Il concetto di eleganza non si scosta da quello di semplicità e funzionalità. Ad abiti che adornano ed abbelliscono semplicemente il corpo si possono aggiungere accessori di tendenza e tocchi decorativi. Il risultato è la Moda. È di fondamentale importanza, sia per quanto riguarda gli uomini che le donne, sottolineare la differenza tra Moda e Stile: la prima è proposta da altri, creatori di immagine e produttori intelligenti, o modelli di massa quali, ad esempio, divi televisivi e ragazzi in discoteca. Quindi proprio per il carattere mutevole delle tendenze, i media, che si nutrono di novità, sono uno dei principali veicoli attraverso i quali la Moda si impone. Ma, mentre la Moda cambia rapidamente ed in modo capriccioso, lo Stile è quello che ognuno di noi dovrebbe imparare a riconoscere come il più appropriato per sé. Lo Stile deve essere rappresentativo della persona e si costruisce attraverso la scelta attenta degli abiti e degli accessori che più ci assomigliano. Per questo motivo lo Stile non è soggetto a cambiamenti repentini ed evidenti, e di stagione in stagione segnala in modo sempre più marcato la personalità dell’individuo stesso. Fino a un secolo fa nel campo dell’abbigliamento come nelle arti figurative non si parlava di Moda ma appunto di Stile: gli stili, in pittura, in architettura, arredamento, duravano e durano tuttora. Dando uno sguardo al passato notiamo che le forme dell’abbigliamento dall’inizio sono molto semplici e geometriche; le stoffe sono tessute con telai a mano dai quali escono con una forma e una misura unica dovuta al formato del telaio: la dimensione artigianale si accompagna alla geometria. All’origine gli abiti sono tutti semplici rettangoli piatti, uniti da due o più punti a formare un drappeggio sul corpo. La tunica dell’antica Grecia, il peplo roma-

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no e le variazioni della toga e del chitone, il kimono giapponese, il sari indiano, il sarong indonesiano, il boubou africano sono tutti rettangoli. Con il passare del tempo, l’abito diventa sempre più ricercato e sagomato fino ad arrivare all’esasperazione dei corsetti stringivita del Settecento e dell’Ottocento, per giungere alla liberazione del corpo, per la quale bisogna ringraziare Coco Chanel, solo negli anni Venti del secolo scorso. Negli anni Sessanta la Moda ritorna prepotentemente “geometrica”, perché segue il sogno di un futuro spaziale vivibile. Il risultato di questo lungo processo comunque, è che tutto ciò che la Moda è oggi, è una rivisitazione di quello che è stato proposto, visto e realizzato nei secoli. È evidente che la differenziazione delle creazioni viene dettata dalle diverse visioni dei creatori di Moda che seguono il proprio talento facendolo diventare uno Stile. Senza visione o punto di vista non è possibile chiamare un abito “creazione”, è più corretto definirlo “prodotto vendibile”. Facendo una parentesi “matematica”, relativa al lato economico della Moda, si sottolinea che i “numeri” in termini di vendita vengono realizzati proprio attraverso gli abiti-prodotto, mentre la Moda “colta”, per esempio quella di Valentino, di Giorgio Armani, di Yves Saint Laurent, di Jean Paul Gaultier, di Karl Lagerfeld, e di Missoni, forse proprio perché basata su precisi rapporti e proporzioni, è considerata arte, e quindi non sembra obbligata a fare “grandi numeri”.

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Tre casi di connessione tra Moda e matematica Per esemplificare la stretta relazione esistente tra matematica e Moda contemporanea, ho individuato tre creatori attuali particolarmente interessanti al fine di rintracciare le linee di una concezione matematica caratterizzante. Il primo è Stephan Janson, un couturier di scuola francese, milanese di adozione, il secondo è Gianfranco Ferrè, un sarto architetto di scuola italiana, e il terzo è un designer alternativo di scuola belga, Martin Margiela. Janson, 47 anni, diplomato all’Ecole de la Haute Couture Parisienne, collaboratore di Kenzo, Saint Laurent e Diane Von Furstenberg, è colui che fra i tre ha lo Stile più “classico” con forti momenti di eccentricità. Oltre alla linearità del suo percorso, di cui sono esempi la lavorazione del “double” e il tailleur, va sottolineata la sua straordinaria capacità di “sentire” la stoffa con le mani, di riconoscerne la specificità, di lavorarla e quindi di creare forme geometriche direttamente sul corpo partendo dalla stoffa stessa. Dide Janson: Da sempre, le mie collezioni nascono dal “dialogo” che ho con la stoffa. È un “dialogo” tattile, sensoriale, un processo di addomesticamento, di conoscenza. Dalla stoffa voglio ottenere tante cose ma non posso cominciare a tagliare prima di averla presa in mano, palpata, fatta scivolare fra le dita. Studio la sua caduta in dritto filo, in sbieco, in semi-sbieco per capire l’armonia tra stoffa e corpo, materia e movimento. Questo è il mio metodo di lavoro. Così ho scoperto molte cose inimmaginabili. Per fare un esempio stupido, un tessuto di base come il crèpe de chine si comporterà diversamente se in tinta unita, o stampato

Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza

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Figg. 1-3. Abiti della collezione di Stephane Janson primavera/estate 2004

a un colore in applicazione, oppure un colore in corrosione, o stampato con 67 o più colori. La sua caduta non sarà proprio uguale. Da sempre gioco/lavoro così, e credo che chi sa tagliare un vestito si diverta allo stesso modo. Lo Stile di Janson è sensuale e atemporale, fatto da nodi morbidi che si sciolgono con una carezza e pieghe che rivelano la vera natura del tessuto. Egli sostiene che un abito diventa ugualmente tale e quindi un vero oggetto del desiderio, quando, indossato, non si percepisce il suo impianto geometrico. Nella sua collezione primavera-estate 2004 (Figg. 1-3) risulta più che mai evi-

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dente il contributo offerto dalla geometria ai tessuti e ai tagli sapienti: protagonista è il cerchio che grazie ad una sola cucitura strategica si trasforma in capi dall’eleganza fluida e dall’aplomb perfetto. Alla fine quindi i suoi abiti risultano dolci, morbidi e femminili. Gianfranco Ferrè, 60 anni, laureato in architettura, è il più “adulto”, maturo e rigoroso dei tre: la sua specificità infatti è quella di creare una struttura di base geometrica, partendo da un disegno quasi tecnico. La sua ricerca di equilibrio trae ispirazione dagli stimoli offerti dalla tradizione e va di pari passo con il suo desiderio di osare e rischiare nelle scelte: il presente è già futuro. Della sua collezione primavera-estate 2004 Ferrè afferma: La semplicità è il valore più importante. L’obiettivo di una ricerca che per me significa rifiuto di ogni ovvietà, esplorazione convinta di percorsi inediti e coerenti, concessione entusiastica agli slanci, alle sperimentazioni... Proprio per accendere di slancio la mia nuova collezione e per sottolinearne l’identità, ho scelto di percorrerla per intero con un unico elemento di decoro che rimanda all’esperienza estetica di Vittorio Zecchin1, straordinario italiano che ha assorbito in forme assolutamente personali la lezione della Secessione. I suoi moduli grafico-pittorici hanno la carica attualissima della serialità, della reiterazione quasi ossessiva, accentuata da scelte cromatiche decise, travolgenti... Ho voluto rileggere questi moduli in dimensioni e proporzioni differenti. Li ho resi con mezzi diversi per animare forme e materie, giocando tra geometrie elementari – quella del cerchio e del rettangolo in particolare – e costruzioni accurate. Realizzare in tessuti puri o con interpretazioni tecniche, assolutamente identici tra loro per nobiltà ed appeal...

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Ferrè imposta, dunque, la collezione primavera-estate 2004 sui modelli matematici della serialità rileggendo questi moduli grafico-pittorici. I pezzi più rappresentativi di questa collezione sono impreziositi da decori in perle oppure in pelle, organza, denim tagliati al laser con trafori che creano veri e propri disegni geometrici che rendono ogni singolo capo un’opera densa di creatività e progettualità. Per la sera, l’immediatezza di certe geometrie acquista un’enfasi speciale e fantastica. Rivela una festosità lieve, esuberante, vagamente messicana, caleidoscopica. Nelle gonne il cerchio si allunga a terra in accenti di strascico, accresce i volumi, crea una ricchezza ondeggiante. Nei corpetti, il cerchio invece si rovescia, si apre a ruota, a ventaglio, a corolla, svetta verso l’alto (Figg. 4-7). Martin Margiela, 47 anni, che ha studiato all’Accademia delle Belle Arti di Anversa, rappresenta il più aritmetico dei creatori. Dal 1990 al 2004, ogni stagione le collezioni sono tutte numerate e cerchiate secondo un criterio di funzionalità. L’uso dei numeri come elemento di identificazione, che il belga adotta per pri1

Vittorio Zecchin (Murano 1878 - Murano 1947) maestro vetraio

Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza

Fig. 5. Disegno di Vittorio Zecchin

Fig. 4. Bozzetto per abito della collezione primavera/estate 2004

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Fig. 6. Particolare di camicia

Fig. 7. Abito della collezione Gianfranco Ferrè donna primavera/estate 2004

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Fig. 8. Alfabeto aritmetico che definisce le diverse linee disegnate da Margiela 228

mo, diventa un marchio immediatamente riconoscibile: 0 = abiti vintage da donna rimodellati a mano; 10 = abiti vintage da uomo rimodellati a mano; 4 = collezione più recente, sofisticata, costosa, è un vero e proprio guardaroba da donna; 6 = capi basici femminili; 22 = collezione di scarpe da donna. Margiela riesce ad inventare per esempio una storia attorno a una semplice T-shirt lavorando con precisi rapporti matematici sulle possibili dimensioni delle maniche: senza manica, mezza manica e manica lunga. Ci sono poi i pantaloni, corti, medi, lunghi, le maglie piccole, medie e larghe e tanti altri pezzi “basici” che attraverso la rieducazione matematica diventano speciali. Questo processo creativo mette in luce l’attenzione costante ai rapporti e alle forme, vera caratteristica di Margiela. È considerato un decostruttore del semplice capo: alterando le strutture di base e giocando con i numeri riesce a ricreare serie e accumulazioni che danno vita a nuovi e fantasiosi capi. Sono infatti di grande impatto e interesse i suoi capi quali il corsetto costruito assemblando stivali vintage destrutturati e cuciti insieme e il gilet fatto da cappelli da uomo tenuti insieme da sapienti cuciture. Il processo artigianale che porta alla nascita di questi capi parte dal desiderio di lavorare sulla forma già esistente di un indumento per crearne una nuova. La lavorazione rispetta i difetti e i segni dell’usura dei componenti originari, garantendo così l’unicità di ogni pezzo (Fig. 8).

Astrazione e concretezza, rigore ed eleganza

Conclusioni In sostanza ritengo che, pur senza voler seriamente penetrare nel campo matematico, si può però sfiorarlo, riflettendo su alcuni principi fondamentali e chiedendoci dove in realtà si intersecano matematica, geometria e moda. Partiamo da un abito ideale, che dovrebbe sempre vestire un corpo ideale. La citazione più precisa di un corpo ideale iscritto in moduli geometrici ci viene fornita dall’uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci, che indica la perfetta proporzione fra il busto, la testa e gli arti; e tanto più un corpo si avvicina a queste proporzioni tanto più è perfetto. In matematica questa perfezione ci è indicata dal “phi”, il numero aureo della Sequenza di Fibonacci, il numero che compare in varie manifestazioni della natura tanto da aver fatto pensare ad alcuni matematici che sia un numero pensato dal Creatore. E poiché i couturiers sono, a loro modo, dei creatori, possiamo anche accettare che chi disegna la moda è tanto più bravo quanto più riesce a vestire con armonia il corpo dei suoi modelli. E tanto più lo stilista è ispirato e sperimentato, tanto più le sue creazioni “cadono” bene, cioè funzionano e piacciono, per quanto folli siano le linee di ispirazione. E tanto più lo stilista è bravo, tanto più ha innata la percezione del “phi”, e così del corpo e di come vestirlo. Questa è la differenza che percepiamo – sovente senza razionalizzarla – fra i creatori “di talento” e quelli mediocri.

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matematica e arte

Verso un’estetica matematica MARTIN BÁLEK, JAROSLAV NESˇETRˇ IL

Se non ci è possibile cambiare questo mondo che non merita amore, cosa ci resta? Non consentire di venire ingannati. Per vedere e sapere. Per sapere come vedere. M. Kundera

Il problema principale L’arte contemporanea e la tecnologia producono una vasta quantità di dati visivi. Noi crediamo che la gestione, l’identificazione e la classificazione di questi dati sia uno dei problemi principali di oggi. Parecchie aree della scienza contemporanea si concentrano su queste questioni riguardanti sia il livello teorico che quello pratico. Queste aree includono, per esempio, campi diversi come la chimica, l’intelligenza artificiale, l’elaborazione delle immagini, il disegno grafico, la robotica e la teoria della complessità. La nostra ricerca è stata eseguita in tutte le possibili direzioni e testata largamente (soprattutto) su dati tecnici. Infatti, molti algoritmi sono progettati per essere utilizzati con dati e situazioni di una tipologia molto particolare (come progetti grafici o modellazione di superfici di un certo materiale). Ancora oggi è proprio questa varietà ad esigere un’unificazione e una codifica dei principi fondamentali alla base dell’analisi visuale. Riteniamo che la presenza di un aspetto estetico di questo tipo di analisi sia uno dei possibili principi unificatori.

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Sembra che l’aspetto estetico sia onnipresente nel giudizio che si dà alle informazioni visive. Anche in aree più tecniche e “non artistiche” esiste un giudizio estetico. A volte è presente solo minimamente, dando un senso di armonia, benessere, soddisfazione e attrattiva. Il giudizio che si dà alle informazioni visive include sempre dei criteri estetici. Come analizzare l’aspetto estetico, come esprimerlo? È possibile misurarlo ed analizzarlo nella speranza di riuscire poi a sintetizzarlo in maniera esatta? Questo è il problema principale sul quale ci concentreremo. In questo articolo continuiamo a sviluppare i nostri primi tentativi [1-5], che a loro volta erano motivati dai precedenti sforzi sia di artisti che di scienziati. Bisognerebbe citare anche [6] ed i lavori pionieristici [7-9], che presentano vedute estremamente concise e coerenti. Tutti questi lavori convalidano il nostro punto di vista, cioè che gli aspetti estetici delle informazioni visive dovrebbero essere sperimentati sull’arte (e che gli artisti devono essere coinvolti). È chiaro che né la semantica né l’ontologia dei sentimenti estetici sono conosciute. Vari lavori (per esempio [10]) tracciano in maniera eccezionale questi problemi nel contesto della neurobiologia e presentano sia prove convincenti (sebbene a volte un po’ speculative) di spiegazioni fisiologiche dell’evoluzione sia la descrizione del sentimento estetico. Vogliamo seguire qui una diversa – e in un certo senso duale – linea di approccio1. Vorremmo esprimere in termini esatti alcune qualità estetiche globali, per analizzare i dati visivi in riferimento alle loro qualità estetiche (o forse, più modestamente, per arrivare al punto della questione: le qualità “armoniose”). Ovviamente, esiste una letteratura estesa che riguarda queste tematiche, mostrata in maniera convincente dalla lunga evoluzione della storia dell’arte e dell’architettura, dalla teoria dei progetti e dagli “assiomi di bellezza” nei campi più disparati (come ad esempio l’allevamento degli animali!). Molto schematicamente, vogliamo procedere come segue: cominciando dalle informazioni visive in sé (che d’ora in poi chiameremo brevemente immagini), vogliamo trovare le loro caratteristiche essenziali per sviluppare un loro “nucleo astratto”, che a sua volta potrebbe essere usato per l’analisi, l’identificazione e la classificazione dei dati. Per essere più concreti, parliamo di immagini intendendo qualunque informazione visiva individualmente osservabile (isolata) a due dimensioni. Dunque l’immagine può essere un’opera d’arte come pure un progetto, una scena fissa o uno schizzo, oppure una foto proiettata su uno schermo. Non miriamo a relazionare le immagini con alcune forme canoniche (come, per esempio, la sezione aurea e il modello geometrico), ma vogliamo estrarne i parametri essenziali dall’immagine in sé. Il nostro scopo è che questi parametri (che chiamiamo invarianti; si veda il terzo paragrafo) riflettano delle essenziali qualità estetiche dell’immagine. La nostra analisi è libera dal contesto. Analizziamo delle singole immagini (e paragoniamo i parametri ottenuti). Questo va bene anche per le situazioni tecniche (come l’analisi di un grafico), nelle quali la storia ed il contesto hanno di norma un significato minimo. L’immagine individuale è la nostra fonte primaria che analizziamo come se fosse un oggetto isolato. Ma l’analisi che proponiamo riflette la nostra esperienza artistica e tecnologica che poi si proietta di nuovo sull’immagine. 1

Si veda il terzo paragrafo.

Verso un’estetica matematica

Fig 1. L’archetipo di Kupka, basato su [9]

Perché l’arte? L’approccio della matematica e dell’informatica dovrebbe riuscire a giustificarsi da sé, perché può analizzare la maggior parte dei dati tecnici per i quali la storia ed il contesto in cui sono stati realizzati non significano molto. Perché allora vogliamo illustrare i nostri metodi e i nostri risultati sull’arte e su opere “cariche” artisticamente? Riteniamo che analizzare informazioni visive, con la loro estrema varietà di input, richieda di effettuare esperimenti su esempi che sono complicati e che riflettono questa varietà. Gli artisti visivi hanno fatto e continuano a fare esattamente così, esplorando e sfruttando ogni possibilità fino al limite (e a volte, ci sembra, anche oltre). L’arte visiva produce esempi che non sono solo di grande varietà, ma che sono anche esteticamente molto carichi (ovviamente, sia in senso positivo che in senso negativo, visto che il giudizio dipende dalle impressioni individuali), in contrasto con (usuali) dati scientifici esteticamente neutri. Così questa dimensione estetica presenta una dimensione addizionale che possiamo usare per migliorare i nostri strumenti d’indagine e sperimentare la qualità del nostro approccio (e degli algoritmi). È più probabile che gli algoritmi astratti, quando vengono testati su esempi così complicati, rivelino i loro difetti. Inoltre, dato che le opere d’arte sono cariche esteticamente, anche il giudizio estetico può essere usato in questo algoritmo. Dobbiamo tentare e dobbiamo usare l’arte per allargare il nostro sapere. Sarebbe bello poter dire di voler mettere l’estetica al servizio della complessità. Quindi l’analisi dell’arte è necessaria per entrambi (per la generalità di un approccio esterno) e conveniente anche nei casi in cui i nostri dati di input sono di carattere tecnico (generati da computer).

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Fig. 2. G. Braque: Viaduct en L’Estaque, dell’inizio del 1908 e P. Picasso: Paysage avec un pont, primavera 1909

E il nostro approccio può essere forse anche utile per analizzare l’arte in sé. Per esempio, come contributo alla continua discussione sulla collaborazione tra Braque e Picasso nel primo periodo del cubismo (1905, [11]). I dati oggettivi (raccolti per illustrare la Tesi di Entropia Ereditaria 2 possono fornire alcune ulteriori informazioni.

La dualità “macro contro micro” Quali caratteristiche – invarianti – delle immagini dovrebbero essere investigate? Dove trovare questi invarianti? Nella scelta dei parametri, ovviamente, è codificato il periodo storico in cui viviamo e lo stato fisiologico e tecnologico dell’arte. La scelta dei parametri e la loro interpretazione è il luogo dove manifestiamo il nostro approccio e dovrebbe essere il luogo dove si manifesta l’ontologia della percezione estetica (che si presuppone esista, ma è attualmente ancora sconosciuta). Su un livello d’indagine molto basilare ci si chiede come il sentimento estetico venga acquisito, come si sviluppi e come venga mantenuto. Una possibilità di come affrontare questi problemi è considerare l’estetica in un contesto gnoseologico e vedere le impressioni e i giudizi estetici come l’e2

Si veda più avanti.

Verso un’estetica matematica

stensione di una funzione generale del cervello. Questo è espresso in maniera molto piacevole da S. Zeki in [12]: La caratteristica principale di un sistema di conoscenza acquisita che sia efficiente, è la sua capacità di astrarre, che lo libera dalla schiavitù dal particolare. Ma l’astrazione porta anche alla formazione di concetti e di ideali. Similmente, tutta l’arte è, in un certo senso, un’astrazione. L’arte è la traduzione su tela di concetti formati dal cervello attraverso l’astrazione. Anche in questa maniera, l’arte si innalza al di sopra del particolare e dà conoscenze generali sulle categorie. Questo approccio che mostra l’estetica come una funzione tipica del cervello, consistente di interazioni incomprensibili e complicate che hanno come risultato l’astrazione, potrebbe essere chiamato una micro analisi dell’estetica, l’estetica della percezione visiva. Quest’analisi sembra essere espressa dalla nozione di gruppo: le operazioni elementari sono reciprocamente combinate e anche invertibili. L’algebra che governa tale astrazione si riflette particolarmente bene nelle operazioni di gruppo, come forse ha sostenuto per primo Piaget [13]. Il nostro approccio è diverso: quando tentiamo di definire le linee guida per l’analisi di un’immagine, dobbiamo adottare un approccio più globale. Dobbiamo vedere i problemi estetici dell’immagine nella loro totalità e miriamo quindi ad una macro analisi. Forse in maniera simile all’approccio della topologia dei colori di H. Damish [14], miriamo ora ad una topologia dell’estetica. Come va inteso quest’approccio di tipo globale? Basandoci sulla nostra comprensione delle immagini e sulla tecnologia disponibile, isoliamo una certa serie di concetti misurabili e verificabili che chiamiamo invarianti. La scelta di questi invarianti è di cardinale importanza dato che non solo influenza la qualità e il significato del risultato, ma dovrebbe anche riflettere la struttura sottostante all’analisi dell’immagine e la sua topologia espressa in termini algebrici. Ma allora, quale è l’algebra di questa macro analisi? Piuttosto che una combinazione di percezioni locali è una percezione dell’intera immagine, di parti intere dell’immagine. Questa percezione è poi affinata dalla percezione delle parti che a loro volta possono essere ulteriormente affinate. In termini matematici lavoriamo con oggetti duali, come la partizione di un reticolo ed i cogruppi. Abbiamo tentato di rappresentare l’analisi nello schema di Figura 3. Ovviamente la macro e la micro analisi si combinano l’una con l’altra, ma sembra che soltanto la macro analisi (ossia un’analisi top-down) produca concetti sufficientemente generali per i nostri scopi. L’approccio globale (topologico) studia e si concentra sulle caratteristiche che sono simili al modo individuale di vedere l’arte. Sicuramente una caratteristica dell’arte è la sua ricchezza e la sua diversità. Ma considerando il lavoro individuale (“libero dal contesto”) cerchiamo le somiglianze e speriamo che emerga un’immagine globale. Abbiamo sviluppato le basi di tale analisi da una combinazione di tecniche della teoria degli integrali in geometria, della teoria dei modelli e della teoria dei

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MICRO ANALISI

MACRO ANALISI

immagine

gruppo

combinazione reciproca degli elementi con un’operazione di gruppo

immagine parti importanti dell’immagine affinate da partizioni

cogruppo

Fig. 3. Schema di una micro e di una macro analisi di un’immagine

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frattali. Usando queste tecniche possiamo definire rigorosamente l’algebra, la scala, lo spazio e l’entropia di un’immagine. L’interazione di queste nozioni porta alla Tesi Ereditaria 3, che vediamo come un criterio generale per un’immagine armoniosa.

L’analisi di un caso: invarianti di alcune immagini Cosa rende le seguenti immagini simili e cosa diverse fra loro?

Fig. 4. Uno schizzo di un partito musicale di Janácˇek [22] e uno tratto dai Moduli – uno schizzo di Nacˇeradsky´ e del secondo autore

3

Si veda oltre.

Verso un’estetica matematica

E, molto semplicemente, possiamo distinguere oppure ordinare in qualche maniera sistematica i seguenti quattro disegni dello stesso grafo?

Fig. 5. Disegni diversi di un grafo (da sinistra): i vertici sono collocati regolarmente lungo un cerchio; versione prodotta dall’uomo accentuando le simmetrie e l’immaginazione spaziale; disegno ottenuto a caso; il computer ha generato il disegno usando modelli di stringhe. I disegni si distinguono dai numeri (le entropie) scritte sotto

La versione moderna di queste problematiche non è quella di insegnare ad un bambino dotato e collaborativo cosa sia piacevole e bello. Abbiamo bisogno di insegnare invece ad un individuo che non collabora affatto, che prende ogni informazione che gli diamo come oro colato e che la utilizza seriamente fino all’ultimo bit: il computer. Gli umani in genere non reagiscono in questa maniera (e se lo fanno, è solo nelle commedie come [15] o [16]; il fatto che questi grandi romanzi abbiano un’ambientazione militare non è accidentale). Per riuscire ad “insegnare” qualcosa ad un computer (e anche senza l’ambizione di insegnare, ma anche solo per trattare con un computer) abbiamo bisogno di precisione. E precisione, detto in altre parole, significa cercare misure concrete dei nostri fenomeni, o meglio significa trovare gli invarianti. Di conseguenza, il problema tradizionale principale dell’estetica (e della storia dell’arte) – spiegare e predire in maniera soddisfacente l’arte e l’estetica – ha portato recentemente ad uno sviluppo imprevisto. Non spieghiamo e non abbiamo a che fare con dei casi individuali, ma dobbiamo classificare una vasta quantità di dati e dobbiamo progettare delle procedure con degli output armoniosi. Questo problema nella sua molteplice varietà è interessante già quando i nostri oggetti sono solo delle composizioni ben definite e composte da semplici blocchi di costruzione, come linee, quadrati, ecc. Questo è infatti esercizio familiare e terreno di prova per tutte le scuole di design, di architettura e per le (tradizionali) accademie d’arte. Questo illustra la difficoltà e la varietà delle soluzioni, anche in situazioni semplici. Ciò non dovrebbe sorprendere, se riusciamo a capire quante semplici linee servivano, ad esempio a Rembrandt o a Picasso, per produrre immagini piene (i disegni di solito usano cinquanta linee o anche meno!). Vorremmo creare un invariante per la nostra “semplice composizione a blocchi di costruzione”, che ci aiuterebbe a classificare ed ordinare queste composi-

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zioni. È difficile dire, anche a questo semplice livello, cosa sia un invariante, ma possiamo dichiarare con certezza quali proprietà dovrebbe avere: 1. l’invariante dovrebbe essere un aspetto della struttura da calcolare (facilmente); 2. l’invariante dovrebbe essere costante (o invariante, nel senso che non dovrebbe cambiare) se si sceglie di effettuare delle modifiche alla struttura; 3. l’invariante dovrebbe essere utile per poter essere usato per catalogare, ordinare (quale struttura è “migliore”), classificare, distinguere. Proponiamo qui un invariante – di nome entropia ereditaria combinatoria – per misurare una qualità estetica di dati visivi (disegni, progetti, dipinti, spartiti, dati molecolari e altro). Questo invariante viene presentato nel prossimo paragrafo.

Misure

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Gli articoli [1] e [5] suggeriscono un’“estetica” diversa che si basa sulle tecniche della teoria degli integrali in geometria e della probabilità geometrica4. Il parametro definito Lunghezza Frattale [19] o Entropia Combinatoria [1] (due termini con lo stesso significato) è definito soltanto per disegni con linee e offre parecchi vantaggi: – il disegno (l’immagine, i dati visivi) non deve essere dato analiticamente; l’input può essere un’immagine scansionata. Questo ci consente di analizzare, classificare e paragonare immagini reali, scene, foto e opere d’arte visiva in genere; – l’Entropia Combinatoria è invariante per scala e per rotazione; – l’Entropia Combinatoria è facile da determinare ed è “robusta”. La generalizzazione dell’Entropia Combinatoria per immagini su scala di grigi può essere trovata in [2]. Tutti i risultati di questo articolo sono stati calcolati per mezzo di queste definizioni. Senza dare ulteriori dettagli e derivazioni, diamo le seguenti formule. Per un’immagine, data come un disegno di linee (connesse), abbiamo definito l’Entropia Combinatoria E come E = 2L /C, dove L è la lunghezza totale del disegno e C è il perimetro del guscio convesso del disegno. Per un’immagine su scala di grigi abbiamo una definizione simile di Entropia Combinatoria: E = πF/ C, dove C è ancora il perimetro del guscio convesso dell’immagine (in questo caso di solito è il perimetro del rettangolo di cornice) e F è l’area totale occupata dall’immagine. Questa formula non è precisamente invariante per scala (e questo è dovuto alle scale d’ombra variabili), ma può essere usata lo stesso per la maggior parte delle operazioni di cui abbiamo bisogno. 4

Per i dettagli matematici si vedano per esempio [17] e [18].

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Entrambe le formule hanno delle belle proprietà in comune, così che l’Entropia Combinatoria può essere facilmente approssimata analizzando l’immagine data, semplicemente guardando il numero di intersezioni del disegno con delle linee casuali. E questo è esattamente il modo con cui calcoliamo i numeri invarianti per qualunque immagine. Non calcoliamo soltanto l’Entropia Combinatoria dell’immagine intera, ma anche per le singole parti dell’immagine. I valori in tutte le parti non possono essere derivati dall’Entropia Combinatoria dell’immagine e sono essenzialmente dipendenti dall’immagine in sé. Questa è una delle ragioni per cui pensiamo che la distribuzione dell’Entropia Combinatoria dia delle informazioni di valore sulla struttura dell’immagine. Questo ci porta al nostro criterio principale per un’immagine bilanciata, armoniosa o esteticamente soddisfacente.

La tesi principale Così possiamo misurare (piuttosto facilmente) l’Entropia Combinatoria di un’immagine. Ma qual’è il suo significato? È una densità media, un’approssimazione della densità. Si noti che la distribuzione della densità a sua volta determina l’immagine in sé (questo è uno dei principi su cui si basa la tecnica tomografica al computer [20]). Ma i contenuti semantici ed estetici di ogni immagine provocano un rafforzamento ed un raffinamento delle informazioni globali. Siamo condotti dall’esperienza, dalla “logica” dell’immagine ad ispezionare le sue parti, a paragonarle fra loro. Non tutte le parti hanno la stessa importanza e la struttura gerarchica risultante è parte integrante dell’elaborazione dell’immagine. Qual’è il nucleo astratto di questa struttura gerarchica? Con l’aiuto della teoria dei modelli lo consideriamo come un reticolo omogeneo, numerabile e pesato, privo di atomi e che è stato troncato al livello della dimensione frattale dell’immagine. A sua volta ciò viene approssimato dai nostri sensi come se fossero inseparabili macchie sfocate e troncate. Nei disegni tecnici fatti da computer, questi possono essere dei pixel e, in questo caso, la topologia digitale è pertinente e produce dei risultati (e delle conoscenze) importanti. Il paragone e la valutazione reciproca fra le parti di un’immagine è espressa dalla nostra tesi principale [1], [4]: Tesi Ereditaria: un’immagine è armoniosa se due qualsiasi delle sue parti similmente significative hanno entropie combinatorie simili. La “similitudine di significato” non viene definita, ma non è una nozione primitiva. La similitudine è governata da considerazioni topologiche e algebriche. Questo conduce all’algebra di un’immagine. A sua volta ciò viene definito come una scomposizione in fattori sfocati dello spazio omogeneo privo di atomi di un’immagine. Ad ogni modo, in casi concreti questa complicata descrizione spesso non è un handicap. Inoltre, se non è data alcuna preferenza in un’immagine, allora la partizione uniforme serve da buon modello.

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Fig. 6. Antropogeometria [14]

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Esempi Includiamo vari esempi, insieme ai risultati delle misurazioni. Lasciamo al lettore il compito di interpretare l’importanza dei nostri esperimenti. Le entropie combinatorie di immagini intere assieme alle entropie delle loro suddivisioni regolari sono raffigurate in tabelle, nel cui centro è scritta l’entropia del rettangolo intero. In questa maniera vengono date le entropie dei primi dipinti di entrambi i padri del cubismo (Fig. 2) [11]. Nel caso in cui venga indicata soltanto l’entropia dell’intero dipinto, questo numero è semplicemente scritto sotto l’immagine (come nelle Figure 4,5,8). Sembra che le misure di entropia si adattino bene alle nostre impressioni intuitive di “densità” di un’immagine. Questo è vero anche se paragoniamo disegni con fotografie (come in Figura 7), dove abbiamo confrontato la foto di copertina di [21] scattata dal famoso fotografo di Praga S. Tu° ma con un disegno di J. Nesˇetrˇil (che di fatto è stato realizzato in seguito a questa foto). La Figura 8 contiene due versioni di un disegno del nostro istituto a Praga, entrambi fatti da J. Nesˇetrˇil. Uno è la copia del disegno originale, mentre l’altro è stato elaborato da un algoritmo in modo da ottenere solo linee sottili. La sua densità è considerevolmente più alta.

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243 Fig. 7. Malá Strana, veduta dal Dipartimento di Matematica Applicata

Fig. 8. Il palazzo del Dipartimento di Matematica Applicata. Un disegno (28.46) e la sua versione con linee assottigliate (35.28)

Abbiamo scelto delle immagini che sono bilanciate, in maniera da poter analizzare l’immagine per mezzo di una semplice algebra di suddivisioni regolari. Terminiamo l’articolo con un’analisi ereditaria del disegno di Venezia, realizzato da J. Nesˇetrˇil che si trova all’inizio dell’articolo.

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Fig. 9. Analisi ereditaria di un disegno di Venezia 244

Ringraziamenti Ringraziamo V. Douchová per le numerose osservazioni e discussioni riguardo a questo articolo.

Bibliografia [1] J. Adamec, J. Nesˇetrˇil (2001) Towards an aesthetic invariant for graph drawing, in: Graph Drawing’01, vol. 2265, LNCS, Springer, pp. 287–296 [2] M. Bálek, J. Nesˇetrˇil (2003) Measuring of aesthetic invariant of images, KAMDIMATIA Series, 625 [3] M. Mendès France, J. Nesˇetrˇil, Fragments of a Dialogue, KAM Series, 95-303, Charles University Prague (una traduzione in ceco si trova in Atelier 1997) [4] J. Nesˇetrˇil (2002) Art of Drawing and Art, in: Graph Drawing and Representations: Special Issue on Selected Papers from JGGA, vol. 6, 2, pp. 131-147 [5] J. Nesˇetrˇil (2005) Aesthetics for Computers or How to Measure a Harmony, in: M. Emmer (ed.) Visual Mind II, MIT Press [6] G.D. Birkho (1933) Aesthetic Measure, Harvard University Press [7] W. Kandinsky (1979) Point and Line to Plane, Dover Publications [8] F. Kupka (1923) Tvorˇení v umeˇní vy´tvarném (La Crèation des Arts plastiques), Praha, Paris

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[9] F. Kupka (1926) Quatre histories de blanc et noir, Paris [10] S. Zeki (1999) Inner Vision, Oxford University Press [11] W. Rubin (1990) Picasso und Braque: Eine Einführung, in: Picasso and Braque: Die Geburt des Kubismus, Prestel-Verlag; (trad. ingl. The Museum of Modern Art, New York, 1989) [12] S. Zeki (2002) The function of art is an extension of the function of the brain, in: Abstracts, The First International Conference on Neuroesthetics, University of California, Berkeley [13] J. Piaget (1967) Logique et connaissance scientifique, Gallimard, Paris [14] H. Damisch (1998) Le travail de l’art: vers une topologie de la couleur?, in: J. Nacˇeradsky´, J. Nesˇetrˇil Antropogeometrie I, II (in ceco e in inglese), Rabas Gallery, Rakovník (ISBN 80-85868-25-3) [15] J. Hasˇek (1920) Osudy dobrého vojáka Sˇvejka, (The Good Soldier Schweik) [16] J. Heller (1961) Catch-22 [17] L.A. Santaló (1976) Integral Geometry and Geometric Probability, Encyklopedia of Mathematics and Its Applications, Addison-Wesley [18] D.A. Klain, G.-C. Rota (1998), Introduction to Geometric Probability, Cambridge University Press [19] M. Mendès France (1991) The planck constant of curve, in: J. Blair. S. Dubuc (eds.) Fractal Geometry and Analysis, pp. 325–366, Kluwer Academic Publishers [20] Ch. L. Epstein (2003) The Mathematics of Medical Imaging, Prentice Hall [21] S. Tu° ma (2003) Prague castle vicinity, Kant & JBST, Prague [22] M. Sˇteˇdronˇ (1998) Leosˇ Janácˇek and Music of 20. Century, Nauma, Brno, (in ceco)

Letture consigliate T.J. Clark (2000) Modernism - a farewell to an idea, Yale Univ. Press H. de Fraysseix Graph Drawing SW (comunicazione personale)

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Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry RICHARD P. TAYLOR

Il profilo di Manhattan è una veduta familiare a tutti, con i suoi numerosi grattacieli che sembrano entrare nelle nuvole. Immaginate ora di dare ad uno dei grattacieli la forma delle nuvole che lo circondando. Nel 2001 il Guggenheim Museum di New York ha reso noto il progetto di un edificio in cui alloggiare la sua collezione d’arte moderna, che renderebbe reale una tale idea: si tratta di un progetto di Frank Gehry di un edificio cloud-like, ossia “simile ad una nuvola”. Con i suoi strati di superfici curvilinee che girano vorticosamente e si estendono su tre pontili, la struttura di 45 piani doveva dare una nuova forma al lungomare newyorkese. Se il progetto andasse avanti, che reazione avrebbero le persone nei confronti di questa insolita architettura? I miei studi recenti sulle reazioni percettive e fisiologiche della gente ai modelli di frattali, indicano un futuro roseo per progetti di edifici che incorporeranno forme della natura. In particolare, l’architettura dei frattali potrebbe essere usata per ridurre notevolmente i livelli di stress delle persone. Dal primo momento in cui ho visto uno degli edifici di Frank Gehry, il suo stile architettonico mi ha riportato alla mente le creazioni di un’altro artista visionario – il pittore espressionista astratto Jackson Pollock (1912-1956) [1]. Pollock srotolava enormi tele sul pavimento del suo studio e faceva gocciolare poi la pittura direttamente su queste tele, creando disegni di enormi vortici. Negli ultimi cinquant’anni i dipinti di Pollock sono stati frequentemente descritti come “biologici”, dato che le sue immagini richiamano alla mente allusioni alla natura [2]. “Biologico” sembra essere una descrizione appropriata anche per le creazioni di Gehry. Carenti del rigore di un ordine artificiale che non si trova in natura, le immagini create da Pollock e Gehry sono in forte contrasto con le linee dritte, i triangoli, i quadrati e la vasta gamma di altre forme appartenenti alla geometria euclidea. Ma allora, le creazioni di Pollock e Gehry, imitando le forme biologiche della natura, che tipo di forme sono? Oggetti come gli alberi e le nuvole e quindi appartenenti al mondo della natura, hanno una geometria sottostante o sono “privi di forma”? Mentre le forme artificiali della geometria euclidea sono state studiate fin dal 300 a.C., le forme della natura, a causa della loro complessità e apparente irregolarità, pur essendo parte della nostra esperienza quotidiana, hanno mostrato essere assai più difficili da definire. Un approccio, condannato al fallimento, è stato quello di cercare di modellare le immagini della natura usando le forme della geometria euclidea [3]. “Pensandoci bene,” fece notare Benoit Mandelbrot,

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“le nuvole non sono delle sfere, le montagne dei coni e le coste dei cerchi, e la corteccia non è liscia, né i fulmini seguono delle linee rette” [4]. L’approccio corretto alla risoluzione del problema si ebbe nel 1970 da parte dello stesso Mandelbrot: egli identificò una sorta di ordine nell’apparente disordine del paesaggio naturalistico. Mandelbrot mostrò che molti oggetti della natura sono composti da forme che si ripetono ogni volta che si aumenta la scala di ingrandimento. A queste forme ricorrenti Mandelbrot diede il nome di “frattali” (un termine che deriva dal termine latino “fractus”, che significa frantumato), per accentuare l’aspetto irregolare di queste forme rispetto alla regolarità delle forme euclidee. Catalogati nell’opera Fractal Geometry of Nature dello stesso Mandel-

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Fig. 1. Sinistra: Frattali “naturali” a forma di albero (noti come frattali stocastici). Destra: Frattali esatti, in cui le forme si ripetono nello stesso identico modo nei vari ingrandimenti (Fotografie di R.P. Taylor)

Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry

brot [4], una gamma di oggetti diversi della natura sono risultati essere dei frattali, incluse le montagne, le nuvole, i fiumi e gli alberi. Di alcuni frattali naturali, come l’albero mostrato nella Figura 1 (a sinistra), si parla di frattali di tipo statistico o di frattali stocastici. Difatti, anche se le forme che si osservano nei vari ingrandimenti non sono identiche fra loro, esse hanno tuttavia le stesse caratteristiche statistiche. Questo tipo di forma frattale è in contrapposizione con quella dei frattali “esatti”, mostrati nella Figura 3 (a destra), dove le forme si ripetono nello stesso identico modo nei vari ingrandimenti. Vista la larga diffusione di oggetti frattali nella natura, il concetto di architettura dei frattali è molto di moda (si vedano, ad esempio, [5-9]). L’architettura dei frattali trova le sue basi in proposte generiche di ‘biofilia’ e nello sforzo di incorporare la natura nei paesaggi urbani [10]. Tuttavia, queste proposte spesso non sono pratiche per le città, dove la densità edilizia limita o addirittura esclude la possibilità di una maggiore esposizione alla natura. Un approccio più diretto per introdurre immagini della natura nelle città è quello di disegnare l’aspetto degli edifici basandosi sulla geometria frattale. Ma è possibile costruire degli edifici a forma di frattale? La sfida, ovviamente, sta nella capacità di ripetere il processo di costruzione su scale diverse. I frattali esatti sono la proposta più semplice, perché per costruirli viene adoperata la stessa forma ad ogni ingrandimento. Per questa ragione, i frattali esatti sono apparsi regolarmente in ogni momento della storia dell’arte, fin dai tempi dei disegni islamici e celtici. Tra gli esempi più recenti la stampa xilografica di Katsushika Hokusai The Great Wave (1846) [4] e Circle Limit III e IV di M.C. Escher (1960). Escher è particolarmente noto nel mondo dell’arte per le sue abilità matematiche e le sue capacità nel maneggiare disegni che si ripetono su scale diverse [11]. Questa ripetizione esatta può essere adattata a oggetti fisici in un piano a due dimensioni (come la distribuzione delle rocce nel giardino di Ryoanji Rock in Giappone [12]) e a tre dimensioni (un esempio ovvio è quello delle bambole russe, dove una bambola grande nasconde al suo interno una bambola identica ma più piccola, che a sua volta ne nasconde una ancora più piccola). In termini di architettura, Castel del Monte, disegnato e costruito dall’imperatore del Sacro Romano Impero Federico II (1194-1250), ha come forma base un ottagono regolare con otto torri più piccole ottagonali su ogni angolo. Un esempio più recente è la Tour Eiffel costruita da Gustave Eiffel a Parigi, dove la ripetizione di un triangolo genera una forma conosciuta nella Geometria dei frattali come un “Triangolo di Sierpinski” [13]. La Tour Eiffel (1889) si presta per dare una dimostrazione delle conseguenze che l’architettura dei frattali comporta nella pratica. Se al posto della sua costruzione filiforme, la torre fosse stata disegnata come una piramide massiccia, avrebbe consumato una grande quantità di ferro senza molta solidità aggiunta. Invece Eiffel ha utilizzato la rigidità strutturale di un triangolo su tante scale di misura diverse. Il risultato è un design robusto e conveniente dal punto di vista dei costi. Anche le cattedrali gotiche utilizzano la ripetizione frattale per ottenere la massima solidità con un peso minimo. Il carattere frattale domina anche l’estetica di questi edifici. La ripetizione di forme diverse su scale differenti in una cattedrale gotica (gli archi, le finestre e le guglie) ha come risultato un’interessante combinazione tra complessità e or-

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Fig. 2. Esempi di dipinti “a gocciolamento” (colonna sinistra) e paesaggi della natura (colonna destra). In alto: una linea liscia (D=1) e l’orizzonte (D=1). Al centro: dipinto di Pollock Senza titolo (1945) (D=1,10) e nuvole (D=1,3). In basso: dipinto di Pollock Senza titolo (1950) e una foresta, entrambi modelli di frattale con D=1,89. (Fotografie di R.P. Taylor)

dine [6]. In contrasto con l’aspetto “massiccio” delle strutture romaniche che precedevano l’era gotica, il carattere scolpito degli edifici gotici dà loro un particolare aspetto scheletrico, che ha come risultato la loro notevole luminosità. Più recentemente, l’attrattiva visiva del Frank Lloyd Wright’s Palmer House a Ann Harbour (USA) del 1950-51 è stato analizzato in termini dell’uso che Llyod ha fatto di forme triangolari su scale diverse [8].

Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry

In contrasto con i frattali esatti discussi sopra, i frattali stocastici rappresentano una sfida ben più stimolante per entrambi, artisti e architetti. Leonardo Da Vinci è rinomato per le sue illustrazioni scientifiche delle turbolenze dell’acqua del 1500, anche se le sue rappresentazioni dell’acqua turbinosa non riescono a rendere qualitativamente un frattale stocastico generato da una turbolenza. Ciononostante, creazioni artistiche di frattali stocastici sono possibili. Nel 1999 ho mostrato che il processo del “dripping”, il gocciolamento della pittura dall’alto, sviluppato da Jackson Pollock, genera frattali stocastici simili a quelli che si trovano nelle forme della natura [14]. La stupefacente impresa di Pollock è stata battezzata “espressionismo frattale” [15], per distinguerlo dai frattali di tipo statistico che sono apparsi con l’avvento della computer art negli anni Ottanta. Il metodo di Pollock non era un metodo scientifico né scaturiva da una riflessione intellettuale, ma era un processo intuitivo in cui il carattere di frattale veniva fuori solo dopo due minuti di attività agile e intensa. Capire come precisamente Pollock fosse riuscito a generare frattali stocastici rimane l’argomento principale delle mie ricerche attuali. Comunque, Lee Krasner – moglie di Pollock ed essa stessa artista rispettata – pensa che il suo talento risedesse nella capacità di dipingere disegni a motivi ricorrenti a tre dimensioni nella mente e di saper prevedere in che modo l’olio si sarebbe condensato sulla superficie a due dimensioni della tela. I dipinti di Pollock dimostrano quindi che è possibile creare frattali stocastici nello spazio a tre dimensioni. Tuttavia, per disegnare un edificio basato sui frattali stocastici, un architetto dovrebbe creare frattali a tre dimensioni simili a quelli di Pollock, ma con la restrizione aggiunta che il progetto dovrà anche essere assemblabile in un oggetto strutturalmente valido. Quali sono le possibili motivazioni per creare un edificio basato sui frattali stocastici? Tali frattali hanno una grande area di superficie in proporzione al volume. Per esempio, gli alberi sono un modello di frattale stocastico perché massimizzano l’esposizione alla luce del sole. In maniera analoga, i rami bronchiali nei nostri polmoni massimizzano l’assorbimento di ossigeno nei vasi sanguigni. Tra i possibili vantaggi che porta con sé questa grande area di superficie per un edificio, dunque, possono esserci cellule solari sui tetti e finestre che consentono tanta luminosità all’interno dell’edificio. In ogni caso, la ragione principale per un tale progetto sta nell’estetica e nella speranza di riuscire ad imitare una forma “biologica” della natura. Come reagirebbe un osservatore ad un oggetto artificiale che assuma la forma di un frattale naturale? Lo studio del giudizio estetico che l’uomo dà ai modelli di frattale costituisce un campo di ricerca relativamente nuovo nell’ambito della psicologia percettiva. Solo recentemente i ricercatori hanno incominciato a quantificare le preferenze visive delle persone nei confronti dei frattali. L’aspetto di un oggetto della forma di un frattale stocastico è influenzata da un parametro cui si dà il nome di dimensione frattale D. Esso quantifica la complessità visiva di un modello di frattale. Il suo valore è compreso tra 1 e 2 e si avvicina più a 2 quanto più la complessità visiva aumenta. Ne abbiamo una dimostrazione nella Figura 2 per i dipinti a “gocciolamento” (colonna sinistra) e i paesaggi corrispondenti in natura (colonna destra). Cominciando dalla riga superiore, una linea diritta e liscia visivamente non è complicata e ha un valore di base di D pari a 1. Il corrispondente paesaggio in natura è dato dall’orizzonte.

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Spostandoci verso la riga centrale, il dipinto frattale a “gocciolamento” è un disegno molto scarso e semplice, con un valore di D pari a 1,3. Modelli di frattale equivalenti in natura sono le nuvole. Sulla riga inferiore troviamo frattali a “gocciolamento” molto ricchi, intricati e complessi, con un valore di D molto più alto pari a 1,9. Modelli di frattali corrispondenti in natura sono gli alberi di una foresta.

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Fig. 3. Immagini utilizzate negli esperimenti di stress: una fotografia realistica di una foresta (in alto), un’interpretazione artistica di un paesaggio naturale (al centro), un disegno di linee (in basso)

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Dato che il valore di D di un disegno frattale ha un legame così profondo con il suo aspetto “visivo”, una domanda cruciale da porsi è se le persone preferiscono i disegni caratterizzati da un particolare valore di D. Dal 1993 al 1996 Deborah Aks e Julien Sprott hanno usato un computer per generare disegni di frattali con diversi valori di D, scoprendo che la gente esprime una preferenza per i frattali con un valore medio di 1,3 [16]. Nel 1995 anche Cliff Pickover ha utilizzato un computer per il suo sondaggio, ma sfruttando un metodo matematico diverso per generare i frattali [17]. Questo sondaggio ha riportato una preferenza per valori di D molto più alti di 1,8. Il disaccordo tra i due sondaggi sembrava suggerire la non esistenza di un valore di D universalmente preferito e che le qualità estetiche di un frattale dipendessero invece specificatamente da come veniva generato. Per determinare se ci siano delle qualità estetiche “universali”di un frattale, ho collaborato con gli psicologi Branka Spehar, Colin Clifford di Colin e Ben Newell. Abbiamo eseguito degli studi di percezione, includendo tutte e tre le categorie fondamentali di frattale: i frattali “naturali”(paesaggi di alberi, montagne, nuvole ecc.), “matematici” (cioè simulazioni al computer) e “umani” (sezioni tolte ai dipinti a “gocciolamento” di Pollock). I partecipanti allo studio di percezione hanno espresso una preferenza costante per i frattali con valori di D tra 1,3 e 1,5, indipendentemente dalla categoria cui appartenevano. È anche significativa la scoperta fatta in una recente collaborazione con Caroline Hagerhall, i cui esperimenti indicano che la “naturalezza” percepita nei disegni di frattale raggiunge il suo punto massimo per i frattali con valori medi. Inoltre, molti dei frattali che ci circondano nella natura hanno valori di D in questa media. Tutto ciò fa pensare alla possibilità che l’occhio sia esteticamente più “in sintonia” con i frattali simili a quelli che troviamo nei paesaggi della natura. Recenti indagini scientifiche indicano che il fascino dei frattali con un valore medio si estende oltre l’estetica visiva: questi frattali, in realtà, riducono lo stress dell’osservatore. In uno studio di James Wise [18], le persone erano state posizionate di fronte ad illustrazioni di un metro per due ed era stato loro chiesto di eseguire una serie di compiti mentali che inducono stress, come problemi aritmetici, con ogni compito separato da quello successivo da un periodo di recupero di un minuto. Nel frattempo, Wise monitorava continuamente la conduttività della pelle di ogni persona. Le misure della conduttività della pelle sono un metodo consolidato per quantificare lo stress (un forte stress aumenta la conduttività della pelle). La quantità di stress indotta dal lavoro mentale può essere quindi quantificata dall’aumento della conduttività della pelle ∆G tra i periodi di riposo e di lavoro (un grande valore di ∆G indica un forte stress). Wise utilizzò le tre illustrazioni mostrate in Figura 3: una fotografia realistica di una foresta (in alto), un’interpretazione artistica di un paesaggio naturale (al centro), un disegno di linee (in basso) ed un pannello uniforme bianco che serviva da controllo (non mostrato). Si è scoperto che ∆G dipendeva da quale illustrazione veniva osservata. Per il disegno “artificiale” di linee (in basso) ∆G era del 13% maggiore rispetto all’osservazione del pannello di controllo bianco, cosa che indica che questa illustrazione ha aumentato effettivamente lo stress dell’osservatore. Al con-

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trario, i valori di ∆G per le immagini “naturali” erano minori del 3% (in alto) e del 44% (al centro) rispetto al pannello di controllo, cosa che indica una riduzione dello stress. Questo risultato conferma la proposta precedente per cui le immagini della natura potrebbero essere incorporate negli ambienti artificiali come metodo per la riduzione dello stress. Ma perché l’immagine al centro è stata molto più efficace nel ridurre lo stress rispetto a quella in alto? Per rispondere a questa domanda ho collaborato recentemente con Wise eseguendo un’analisi “frattale” delle due immagini. Abbiamo scoperto che il valore D dell’immagine in mezzo è di 1,4 e cioè che essa fa parte della categoria di frattali che precedentemente abbiamo stabilito essere visivamente più attraenti. Al contrario, l’immagine in alto ha un valore di D pari a 1,6, che si trova fuori dalla gamma di valori visivamente piacevoli. Sembra dunque che il fascino dei frattali “medi” (valori di D da 1,3 a 1,5) si estenda oltre la semplice estetica visiva e sia sufficiente per far avere all’osservatore un effetto benefico di tipo fisiologico [19]. Potenzialmente si tratta di ottime notizie per Frank Gehry ed il suo progetto per il Guggenheim Museum cloud-like: le nuvole sono dei modelli di frattale con un valore di D pari a 1,3 e si trovano quindi nella “magica” gamma di valori di complessità visiva preferita [20]. Ma il progetto di Gehry sarà mai capace di imitare il carattere frattale delle nuvole della natura? L’impresa può non essere così difficile come sembra. I frattali in natura non si ripetono per molti ingrandimenti. Mentre i frattali generati al computer ripetono un motivo per ingrandimenti successivi da una scala molto grande ad una infinitamente piccola, i frattali nella natura ingrandiscono il motivo al massimo di venticinque volte [21]. Quindi per un edificio cloud-like, la figura più grande dovrà essere soltanto di venticinque volte più grande della figura più piccola. Molto stimolante, ma non impossibile. Inoltre, il basso valore di D di una nuvola assicura che la struttura di frattale sarà relativamente liscia e rada (Fig. 2). Se Gehry avesse scelto una struttura di frattale simile ad una foresta, la complessità di questo frattale con un alto valore di D sarebbe stata molto più difficile da incorporare in un edificio. Anche recenti indagini architettoniche sono favorevoli al progetto di Gehry: gli esperimenti di percezione indicano che non è necessario uguagliare il carattere frattale dell’edificio ad un panorama frattale di fondo per ottenere un buon impatto estetico [9]. In particolare, ciò esclude la prospettiva estremamente indesiderabile di dover eguagliare la forma dell’edificio alle nuvole nel cielo, che cambiano forma in ogni momento del giorno! Se la proposta di Gehry verrà accettata, sarà molto interessante vedere se l’apprezzamento di base delle persone nei confronti delle nuvole frattali si rispecchierà anche nei newyorkesi nei confronti di questo progetto di costruzione rivoluzionario.

Bibliografia [1] K. Varnedoe, K. Karmel (1998) Jackson Pollock, Abrams, New York [2] J. Potter (1985) To a violent grave: An oral biography of Jackson Pollock, G.P. Putman and Sons, New York [3] G.D. Birkhoff (1933) Aesthetic measure, Harvard University Press, Cambridge, USA

Alla ricerca di arte frattale che riduce lo stress: da Jackson Pollock a Frank Gehry

[4] B.B. Mandelbrot (1977) The fractal geometry of nature, W.H. Freeman and Company, New York [5] N.A. Salingaros, B.J. West (1999) A universal rule for the distribution of sizes, Journal of Environmental and Planning B: Planning and Design, 26, pp. 909-923 [6] A.L. Goldberger (1996) Fractals and the birth of gothic, Molecular Psychiatry, 1, pp. 99-104 [7] C. Bovill (1995) Fractal geometry in architecture and design, Springer-Verlag, Berlin [8] L.K. Eaton (1998), in: K. Williams (eds.), Architecture and mathematics, Edizioni dell’Erba, Firenze, pp. 23-38 [9] M. Schroeder (1991) Fractals, chaos and power laws, W.H. Freeman and Company, New York [10] R. Neutra (1954) Survival Through Design, Oxford University Press, Oxford [11] M. Emmer, D. Schettschneider (eds.) (2003) M.C. Escher’s Legacy: A Centennial Celebration, Springer, Berlin, Heidelberg, New York [12] G.J. Van Tonder, M.J. Lyons, Y. Ejima (2002) Visual structure of a Japanese Zen garden, Nature, 419, p. 359 [13] M. Schroeder (1991) Fractals, chaos and power laws, W.H. Freeman and Company, New York [14] R.P. Taylor, A.P. Micolich, D. Jonas (1999) Fractal analysis of Pollock’s drip paintings. Nature, 399, p. 422 [15] R.P. Taylor (2003) Fractal expressionism-where art meets science, in: J. Casti, A. Karlqvist (eds.) Art and complexity, Elsevier Press, Amsterdam, pp. 117-144 [16] D. Aks, J. Sprott (1996) Quantifying aesthetic preference for chaotic patterns, Empirical Studies of the Arts, 14, pp. 1-16 [17] C. Pickover (1995) Keys to infinity, Wiley, New York, p. 206 [18] J.A. Wise, E. Rosenberg (1986) The effects of interior treatments on performance stress in three types of mental tasks, Technical Report, Space Human Factors Office, NASA-ARC, Sunnyvale CA [19] R.P. Taylor et al. Perceptual and physiological responses to the visual complexity of fractal patterns, Journal of Non-Linear Dynamics in Psychology and the Life Sciences (in corso di stampa) [20] R.P. Taylor (2001) Architect reaches for the clouds, Nature, 410, p. 18 [21] D. Avnir (1998) Is the geometry of nature fractal, Science, 279, pp. 39-40

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Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949 Mito e realtà* SAM HUNTER

Quando sono nel mio quadro, non sono cosciente di quello che faccio. Solo dopo una specie di “presa di coscienza” vedo ciò che ho fatto. Non ho paura di fare dei cambiamenti, di distruggere l’immagine ecc., perché un quadro ha una vita propria. Jackson Pollock, 1947

Ancora oggi, a quasi cinquant’anni dalla morte, Jackson Pollock è un personaggio mitico, ora più leggendario che mai. Conosciuto durante la sua breve vita, finita drammaticamente a quarantaquattro anni, come un “cowboy” esistenzialista, un cane sciolto proveniente dal cuore del selvaggio West americano, ossia da Cody nel Wyoming, e avversato come l’iconoclasta “Jack the Dripper”, colui che ha stravolto l’arte, Pollock è un artista la cui leggenda e il grande spessore artistico non hanno mai cessato di crescere. Nel 1956, pochi mesi dopo la sua morte, gli viene tributata un’importante retrospettiva al Museum of Modern Art di New York. In realtà questa mostra è la prima importante personale di Pollock organizzata presso un museo e, guarda caso, proprio dall’autore di questo saggio. Essendosi svolta, per pura coincidenza, poco dopo la morte di Pollock, è percepita nel mondo dell’avanguardia come una mostra commemorativa, che riconosce a Pollock la leadership dei cosiddetti “Irascibili”. Ma all’epoca le opere di Pollock non godevano assolutamente del plauso generale, come dimostra il commento piuttosto sarcastico al catalogo della mostra del critico d’arte del “New York Tmes”, Hilton Kramer: “La breve monografia di Hunter ... rivendica per Pollock l’eroismo della storia in modo assoluto e inequivocabile e poi continua reclamando per questo eroismo storico una sovranità artistica parimenti incondizionata e incommensurabile” [1]. Nel 1959, tre anni dopo l’incidente d’auto in cui Pollock perse la vita vicino a casa a Springs, Long Island, gli rende omaggio la prima monografia scritta dal grande poeta americano Frank O’Hara. La creazione del mito prosegue concentrandosi sempre più sull’uomo piuttosto che sulla sua arte, raggiungendo l’apoteosi verso la fine del 1978 con un testo che paragona il suo metodo di lavoro e la sua action painting a “un rituale religioso che lo tiene costantemente in uno stato di lucido determinismo” [2]. Ma già verso la metà degli anni Sessanta l’attenzione della critica si allontana

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L’articolo è stato in origine pubblicato in: da Jackson Pollock a Venezia, Skira, Nilano, 2002. Si ringrazia l’autore, la Guggenheim Collection Venezia e la casa editrice Skira.

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258 Circoncisione (Circumcision) gennaio 1946. Olio su tela 142,3 x 168 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY)

da simili esagerazioni sentimentali, dipinte forse a tinte forti ma non sempre frutto di fantasia, per propendere per una più misurata e meditata analisi del rapporto tra Pollock e il modernismo. Di recente si è aggiunto un nuovo elemento alla crescente mole di studi e critica su Pollock, con nuove prospettive derivate dallo studio delle implicazioni psicanalitiche dei suoi disegni. Questi studi mettono in relazione la sua arte con le teorie junghiane sull’inconscio collettivo, con le quali Pollock venne in contatto durante la discontinua terapia cui si sottopose a causa del suo perenne alcolismo. Per quanto benemerite siano queste interpretazioni accademiche e questi approfondimenti, non sorprendono chi conosce bene i dipinti e i disegni di Pollock, soprattutto i cosiddetti “disegni psicanalitici” risalenti al 1939-40, quando era seguito da un analista junghiano. È stato lo stesso Pollock a spiegare la sua ossessione per i simboli e l’indagine psichica che genera la sua arte: “Non mi interessa l’espressionismo astratto ... e comunque non si tratta di un’arte senza oggetto, né di un’arte che non rappresenta. Io a volte ho molta capacità di rappresentare, anche se di solito ne ho poca. Ma se tu dipingi il tuo inconscio, le figure

Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà

259 Foresta incantata (Enchanted Forest) 1947. Olio su tela 221,3 x 114,6 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY)

devono per forza emergere. Tutti noi siamo influenzati da Freud, mi pare. Io sono stato a lungo junghiano. ... La pittura è uno stato dell’essere... La pittura è la scoperta di sé. Ogni buon artista dipinge ciò che è”1. A parte l’interesse per la sua psiche, Pollock sente anche che i suoi dipinti sono vicini alla natura, ma identifica la natura con l’ego. “Io sono la natura”, dichiara bruscamente un giorno a Hans Hofmann, esponente di spicco dell’astrattismo, in un violento e repentino accesso d’ira. Per i suoi dipinti e disegni usa una grande varietà di mezzi, matita e carboncino, pastelli colorati e inchiostro, gouache, tempera, acquerello, pastello, gesso e smalto, su carte di tutte le grammature e consistenze e di tutti i colori, oltre a realizzare collage, stampe e insolite sculture nei materiali più disparati come il mosaico e la terracotta. Per quanto riguarda i soggetti, c’è un po’ di tutto, da Picas-

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[2] p. 111 (trad. it. in Jackson Pollock, Lettere, riflessioni, testimonianze, a cura di Elena Pontiggia, Milano, SE, 1991, p. 102).

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Due (Two), 1943-45. Olio su tela 193 x 110 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY)

Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà

so e il surrealismo alle dee minoiche della luna, alle voraci donne primitive che molti critici da un punto di vista psicologico collegano alla “cattiva” figura materna dominante. Più in generale, le sue forme sono influenzate dalle maschere e dai totem primitivi e dagli aspetti elementari dell’esistenza come la nascita e la morte. Tuttavia i suoi dipinti, i disegni e le stampe sono essenzialmente riflessioni sull’arte stessa. Quando nel 1951 gli hanno chiesto come le opere contemporanee riflettano il mondo, Pollock ha risposto: “Per me l’arte moderna non è altro che l’espressione degli ideali dell’epoca in cui viviamo... L’artista moderno lavora con lo spazio e il tempo, ed esprime i suoi sentimenti piuttosto che illustrarli”2. E l’anno prima, proprio quando incominciava ad essere più conosciuto grazie a un articolo su Life illustrato dalle foto di Hans Namuth, che lo mostravano febbrilmente al lavoro su un dipinto, aveva dichiarato: “Tempo fa un critico ha scritto che i miei quadri non hanno né capo né coda. Non intendeva farmi un complimento ma me lo ha fatto. Era un complimento magnifico. Solo che non lo sapeva”3. Per quanto semplicistiche possano apparire oggi tali parole, queste sono le osservazioni di un artista sofisticato, perfettamente conscio di ciò che faceva, dell’importanza delle tradizioni artistiche e dell’esigenza, inoltre, di reinventarle. Ad eccezione di un occasionale, seppur profondamente commovente, bisogno di approvazione, Pollock è quanto mai consapevole dei propri mezzi. Il più delle volte è assolutamente sicuro di sé e della sua tecnica innovatrice, che consiste nello sgocciolare il colore sulla tela, incurante del fatto che gli altri trovino bizzarro il suo orientamento pittorico. Qualche volta tuttavia lo assalgono i dubbi che confidava alla moglie, la pittrice Lee Krasner, la quale, poco prima di morire, ha raccontato: “Ma altre volte si sentiva insicuro. Tempo dopo, davanti a un’opera molto bella – non un bianco e nero – mi chiese: ‘È pittura, questa?’ Non mi chiedeva se era buona o cattiva pittura, ma se era pittura! Arrivava a livelli di dubbio quasi intollerabili, a volte”4. Americano fino alla provocazione, Pollock era però sensibile anche alle lezioni dell’arte europea del passato e attribuiva la dovuta importanza ad artisti contemporanei come Picasso, Miró, John Graham e altri esponenti della Scuola di Parigi e del movimento surrealista, con i quali era entrato in contatto negli anni della seconda guerra mondiale durante il loro volontario “esilio” a New York. Prima di allora era stato influenzato dal regionalismo di Thomas Hart Benton, suo maestro alla Art Students League, al quale in principio era ciecamente devoto ma che in seguito considererà con disprezo. Si tiene a prudente distanza da qualsiasi genere di organizzazione artistica politicamente connotata che cerchi di farlo entrare nei suoi ranghi e non si lascia coinvolgere da attività sociali impegnate che incoraggiavano discussioni sulla produzione artistica e il mondo dell’arte. Fin dall’inizio appare dolorosamente introverso e sembra orientarsi soprattutto seguendo una sua bussola interiore. A diciassette anni, in una lettera al fratello maggiore Charles, anch’egli artista, che all’epoca viveva a New York,

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[2] p. 114 (trad. it. in Pollock, Lettere, si veda nota 1, pp. 79, 81). [2] pp. 109-110. [2] p. 109 (trad. it. in Pollock, Lettere, si veda nota 1, p. 104).

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Jackson riflette sui propri sforzi per studiare il disegno dal vivo alla scuola superiore di Los Angeles. “Faccio continuamente nuove esperienze e sto attraversando un periodo di trasformazioni che mi lascia piuttosto disorientato”, scrive il giovane Pollock, e con onestà prosegue: “I miei disegni francamente non valgono niente, mancano di libertà e di ritmo, sono freddi e senza vita. Non valgono il bollo per spedirli... La verità è che non mi sono mai impegnato abbastanza a fondo da finire un lavoro. Generalmente mi scoraggio strada facendo e lascio perdere. L’acquerello mi appassiona, ma non l’ho mai praticato molto. Ma sento che un giorno sarò in qualche modo un artista” [3]. Pollock appartiene comunque al suo tempo e al suo ambiente. Nato il 28 gennaio 1912 a Cody, quando ha appena dieci mesi i genitori si trasferiscono in una città apparentemente più cosmopolita, San Diego. Non tornerà mai più nel Wyoming, e se sostiene che la sua visione ha acquisito il colore di una certa espansività occidentale, forse ciò è dovuto più alla successiva permanenza in Arizona della sua famiglia che, cronicamente povera, travagliata e senza radici, è costretta a spostarsi continuamente dove la porta il lavoro. Nei primi quindici anni di vita dell’artista, il padre LeRoy Pollock lavora precariamente come bracciante da un capo all’altro del sud ovest, da Phoenix a Chico e poi ancora a Riverside, in California. Alla fine, sentendosi fallito e schiacciato dalla responsabilità della famiglia, lascia la moglie e i cinque figli. L’artista, battezzato Paul Jackson, e i quattro fratelli maggiori sono spesso costretti a gravosi lavori agricoli ed è a queste esperienze che può farsi risalire il legame di Jackson con la terra. Sul certificato di nascita del suo quinto figlio, figura che LeRoy Pollock lavora come “scalpellino e operaio edile”. I Pollock non sono religiosi ma si interessano molto di arte, cosa che stupisce se si considera che non hanno una residenza fissa. L’atmosfera che si respira a casa loro è talmente ben disposta nei confronti dell’arte che Jackson e i suoi fratelli faranno tutti carriera in campo artistico. Il primo a lasciare casa è il maggiore, Charles, che nel 1922 inizia gli studi all’Accademia di Los Angeles e in seguito lavorerà nella redazione artistica del Los Angeles Times. Grazie a Charles e alle riviste che questi manda a casa, la famiglia ha qualche contatto con l’avanguardia e le nuove idee sul modernismo allora in circolazione. Charles va a New York nel 1926 per studiare alla Art Students League e a poco a poco lo raggiungeranno gli altri fratelli più giovani e Jackson con loro. Fin dai primi anni entrano in gioco molte delle forze che finiranno per determinare l’espressione artistica di Jackson Pollock. È affascinato da amici e maestri inclini al modernismo, ancora rari nella California del Sud. Grazie a un docente della Manual Arts High School, Pollock entra in contatto con il misticismo della teosofia e lo yoga di Krishnamurti e conosce certamente i culti esotici e le pratiche pseudoreligiose assai diffuse in quella regione. Non li pratica ma lo interessano, e quell’interesse lo conduce a tutta una serie di credenze esoteriche e culture che in seguito riaffioreranno nelle opere della maturità. Da quella ricerca giovanile scaturisce anche la sua tecnica dominante che consiste nello stendere o gettare fiotti di colore sopra la tela, usando la gravità per creare rappresentazioni grafiche di vario colore e consistenza. Nonostante risultati visivi ra-

Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà

Direzione (Direction) ottobre 1945. Olio su tela, 80,6 x 55,7 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY)

dicalmente opposti, ci sono notevoli punti di contatto tra i suoi successivi metodi pittorici e quelli usati per le pitture di sabbia dagli indiani d’America, che lo affascinavano. Durante l’adolescenza, anche se con conseguenze molto più infauste, iniziano a manifestarsi il suo ribellismo e l’alcolismo con cui avrebbe lottato per tutta la vita. A detta di tutti è un giovane lunatico, irrequieto, cupo, che si ritira da scuola o si fa espellere più volte prima di andare a New York per raggiungere i due fratelli che già vi si erano trasferiti. Si iscrive alla Art Students League il 29 settembre 1930, a diciotto anni, ansioso di scoprire, sono parole sue, “se ce l’avevo dentro” di diventare artista per davvero. Le opere dei muralisti messicani, in particolare di Diego Rivera e José Clemente Orozco, avevano colpito Pollock già in California. New York, che solo diciassette anni prima era stata scossa dall’Armory Show e dall’avvento del modernismo, è ora sconvolta dalla crisi dei mercati finanziari e incerta sul suo status culturale. L’onda lunga del risentimento, fomentata dalla grande depressione, lambisce il modernismo europeo, e il mondo dell’arte è dominato dai pittori regionalisti e dai paesaggisti americani da tempo affermati, tra cui Thomas H. Benton e John Sloan. Con una fervente ammirazione per tutto ciò che è americano, ma anche con un’avversione altrettanto forte per i modernisti contemporanei come Georgia O’Keeffe e Marsden Hartley, Benton è il maestro di Pollock

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per due anni che si riveleranno cruciali nella sua carriera. Pollock più tardi rinnegherà l’affettazione del maestro per l’immaginario campagnolo, il suo sciovinismo e la violenta antipatia per il modernismo europeo, e all’inizio del suo apprendistato riesce a modificare l’influenza di Benton diluendola nell’ambiente più misterioso e appassionato del malinconico visionario americano Albert Pynkham Ryder. Rimarrà tuttavia in contatto con Benton, che nel 1935 gli scrive parole di incoraggiamento: “Hai stoffa vecchio mio, basta che non molli”. E Pollock non molla, trovando sostegno e solidarietà, mentre la situazione economica si inasprisce, nella Works Progress Administration che, con sapienti iniziative in campo artistico, sa catalizzare le energie di molti artisti americani che economicamente versano in cattive acque. Al culmine della depressione, prima dello scoppio della guerra e prima che molti eminenti artisti europei trovino asilo a New York, portando in quel nuovo polo artistico le loro composite esperienze, Pollock si dedica a lavori umili, arrivando talvolta a rubare per mangiare, come tanta altra gente comune che ha perso tutto durante la crisi americana. Lascia la League e aderisce al WPA Art Project promosso nel quadro del New Deal, prima come pittore di murales e l’anno successivo dedicandosi alle tele su cavalletto. Alcune importanti conoscenze e la nuova solidarietà nata tra Pollock e altri artisti come lui coinvolti nelle iniziative artistiche del WPA formeranno in seguito la nuova identità collettiva d’avanguardia della New York School, verso la fine degli anni Trenta e Quaranta. Questo sentimento di appartenenza diventa particolarmente forte a New York, tradizionale polo di attrazione d’eccellenza per creativi e rivoluzionari. E così, proprio come Parigi aveva rappresentato un terreno fertile per talenti stranieri dell’importanza di Picasso, Gris e Miró, Kandinsky e Mondrian, Modigliani e de Chirico, Chagall, Lipchitz, Soutine ed Ernst, oltre ai maestri di origine francese, New York attira una grande varietà di aspiranti pittori e scultori. Arshile Gorky vi arriva nel 1925, dopo essere sfuggito alla persecuzione turca nella nativa Armenia. L’anno dopo fa la sua comparsa il ventiduenne olandese Willem de Kooning, partito da Rotterdam come clandestino su una nave. Nel frattempo dalla Russia emigra Mark Rothko, dopo essere passato per Portland, nell’Oregon. Nel 1930, come già sappiamo, Pollock, nato nel Wyoming, entra nella Art Students League per studiare con Benton. Il West americano manda a New York Robert Motherwell da San Francisco e Clyfford Still da Spokane, Washington. Nati meno lontano sono David Smith, dell’Indiana, e Franz Kline, del distretto carbonifero della Pennsylvania. In quanto a talenti autoctoni, la futura New York School annovera Lee Krasner, Barnett Newman, Adolph Gottlieb e Ad Reinhardt. A differenza dei precedenti artisti americani di indole solitaria, i protagonisti della futura avanguardia si cercano l’un l’altro, scambiano idee, mettono in comune le scoperte e parlano di tutto ciò che leggono negli ultimi numeri di riviste francesi come Cahiers d’art e Minotaure. Si incontrano negli squallidi loft del centro città, nelle luride caffetterie sempre aperte, o semplicemente sulle panchine di Washington Square, formando una bohème tutta loro, l’equivalente, ai tempi della grande depressione, della vita nei café-studio di Parigi. Come i più sofisticati abitanti di quell’ambiente più salubre e civilizzato, i New

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Senza titolo (Untitled) 1946 circa. Gouache e pastello su carta, 58 x 80 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY) 265

Yorkers si confortano l’un l’altro accettando così il loro volontario estraniarsi dal mondo esterno popolato di filistei. Eludono per lo più le sollecitazioni a “dipingere americano” come Benton o a “dipingere proletario” come Ben Shahn e altri, in nome dei propri stringenti e concreti interessi politici e umanitari. Lo stile maturo di Pollock inizia a manifestarsi già verso la fine degli anni trenta. In un’opera giovanile, datata 1934-38, Composition with Figures and Banners, presenta un soggetto talmente stilizzato da sfiorare l’astrazione. Sembra essere influenzato tanto da El Greco e da Ryder quanto da Benton, che lo aveva incoraggiato a creare composizioni dinamiche tramite l’uso di forme oblique e di linee attorno alle quali fluttuano strutture di archi in una disposizione piuttosto lirica e ritmica. Stupisce quanto sia cambiato il suo stile rispetto ai primi dipinti, come l’angoscioso Self-Portrait del 1930-33, che ricorda un vivido ritratto a encausto di Faiyum nell’Egitto di circa duemila anni fa. Straordinariamente teso, quasi circospetto, il viso annerito, che a malapena ricorda quello di Pollock, scruta l’astante da una fitta semioscurità atmosferica; mentre nella composizione di poco successiva viene enfatizzata la calligrafia idiosincratica, mutevole, espressionistica e vorticosa. Il campo in cui si intersecano diagonali simili a lance può essere considerato il precursore di molti suoi successivi dipinti realizzati con la tecnica del dripping e in particolare il famoso Blue Poles, ora custodito all’Australian National Gallery di Canberra.

Autore? Controllare

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Altra dimensione della precoce creatività di Pollock entra in gioco con Overall Composition, che nonostante sia contemporaneo sembra molto più avanti di Composition with Figures and Banners nell’esplorazione dell’astrazione. Il campo totalmente coperto di segni – caratteristico dei dipinti cosiddetti “allover” –, l’ambigua profondità spaziale e lo sfumato del pennello, tutto fa presagire le grandi tele degli anni 1947-50 eseguite con la tecnica del dripping. Elementi biomorfici, surrealisti o primitivizzanti, associati a combinazioni di colori stridenti ed essenziali e una lineare cornice restrittiva, trasmettono la sensazione di energie compresse alle due tele semi figurative del 1938-41, Orange Heade Head with Polygons, dove è chiara l’influenza di Picasso e del surrealismo. Il loro rapporto con il sorprendentemente maturo Moon Vessel, piccolo capolavoro del 1945, funge da ponte tra la vitalità in trasformazione del regionalismo delle opere precedenti e la fase più immaginativa che sarebbe seguita. Con la sua luce tremula, effetto dei segni che formano sulla superficie un sottile velo incrostato di spruzzate di colore e sotto di essa uno spazio indeterminato, ma profondo e vitale, affollato di volti dai tratti primitivi, Moon Vassel rappresenta l’apice dell’evoluzione stilistica di Pollock di quegli anni. Il periodo dal 1943 al 1947 è determinante per la sua carriera,“un’epoca di sintesi e padronanza ma anche di transizione e di recupero delle energie”. Nel 1943 Pollock tiene la sua prima personale nella famosa Art of This Century Gallery di Peggy Guggenheim, dove espone alcuni dei suoi primi capolavori surrealisti, come The She-Wolf, il primo dipinto di Pollock acquistato dal Museum of Modern Art di New York. Nel 1945 con la moglie Lee Krasner si trasferisce a Springs, Long Island, grazie al generoso compenso annuale che riceve da Peggy Guggenheim. Nel 1946 e nel 1947 Pollock tiene altre due mostre nella stessa galleria, affermandosi sempre più e attirando su di sé l’attenzione degli espressionisti astratti e di alcuni critici, curatori e collezionisti tra i più lungimiranti. La sua vita ormai ha assunto un corso più ordinato, grazie in parte all’apprezzamento pubblico e in parte alle cure continue cui si sottopone, con alterni risultati, contro l’alcolismo; lavorando in campagna e tenendo momentaneamente a bada i demoni che porta dentro di sé, Pollock è pronto per il successo. Questa cruciale fase di transizione tanto nella vita quanto nella pittura, con un totale confluire delle energie e della fiducia in se stesso nelle proprie potenzialità artistiche da poco scoperte, si concretizza in Moon Vessel, che mostra un perfetto equilibrio tra qualità formali e profondità psicologica. Sobrio, serio e magistrale, fa la sintesi dei suoi antecedenti e indica il futuro; compendia ingegnosamente le lezioni di Picasso, Miró e Masson e l’immaginario scaturito dalla sua psiche unito all’emergente propensione per una struttura elegante e intuitivamente esatta. È di grande soddisfazione studiare questo periodo fecondo di opere in cui si possono leggere gli sviluppi futuri dell’arte di Pollock. Tra queste opere primeggia la serie, notevolmente complessa, di nove disegni a penna e inchiostro degli anni 1946-47, e le sei stampe a intaglio realizzate a New York tra l’autunno del 1944 e la primavera del 1945 presso il famoso Atelier 17 di Stanley William Hayter, dove realizzavano talvolta le loro stampe anche Joan Miró e altri affermati artisti europei, così come illustri “colleghi” dell’espressionismo astratto.

Un maestro americano: Jackson Pollock, 1930-1949. Mito e realtà

Suggestive sono anche le serigrafie del periodo successivo tratte dai dipinti in bianco e nero del 1950-53, angosciosi studi figurativi che esprimono un rinnovato e sconcertante ritorno a quello stile potentemente espressivo più turgido che Pollock sembrava avere abbandonato per sempre per prediligere l’astrazione lirica di opere “allover” come Lavender Mist (ora alla National Gallery di Washington) e lo sfarzo monumentale e la perfezione di Number 1, 1950 (New York, Museum of Modern Art). Sono opere evocative, con una propria dilatabilità ambientale e un flusso generoso e continuo di energia che segnano l’apoteosi di una evoluzione che ha il suo punto focale in Moon Vessel, opera cruciale dell’evoluzione di Pollock che preannuncia le sue famose pitture realizzate con la tecnica del dripping. Solo un anno dopo l’apoteosi di Number 1, si verifica un caratteristico quanto improvviso ritorno al nero versato, così angosciante nel Number 18, 1951, da cui ha origine una delle sue più pregevoli riproduzioni serigrafiche. Come le serigrafie evidenziano un chiaro nesso con i principali dipinti in bianco e nero, così i disegni figurativi dai segni appuntiti del 1946-47 svelano infinite informazioni sulle radici e le intenzioni visuali di Pollock, soprattutto per quanto attiene ai suoi legami con Picasso e l’automatismo, proprio come le stampe realizzate nel famoso atelier di William Hayter a New York. I disegni e le stampe, densi, complessi, decisamente barocchi nelle linee sottili ed energiche, si espandono sugli elementi sottili e organici che sono sviluppati più completamente e direttamente negli spruzzi di colore, nel colore versato e nei segni calligrafici di Moon Vessel. Dall’appassionato e cupo autoritratto giovanile e dalle prime audaci esplorazioni nell’astrazione, alle splendide stampe e ai magnifici disegni con il loro complesso e aggrovigliato intreccio di forme, fino alle essenziali immagini dei dipinti in bianco e nero della maturità, le opere esposte in questa mostra sono rappresentative dell’intera carriera di Pollock, presentandolo come un artista dalle doti impressionanti, eloquentemente espresse e realizzate a pieno. Date le sue origini certo non promettenti e la sua giovinezza così travagliata, non stupisce tanto che Pollock fosse dotato e che sia riuscito a realizzarsi in campo artistico, ma che riuscisse a tal punto a trionfare sui propri handicap personali da diventare il leader riconosciuto della New York School e un artista di primo piano in campo internazionale. A parte la leggenda che circonda la sua figura, vista come archetipo americano dell’eroe-martire, il successo di Pollock in quanto artista è certamente destinato a durare, mentre gli aspetti più torbidi della sua romanzata biografia con il passare del tempo cominciano, fortunatamente, a dissolversi.

Bibliografia [1] Hilton Kramer (1973) The Age of the Avant-Garde, New York, Farrar, Straus and Giroux, p. 335 [2] Elizabeth Frank (1983) Jackson Pollock, New York, Abbeville Press, p. 67 [3] Elizabeth Frank (1992) Pollock in the Mid-Forties: A Close-Up, cat. mostra, New York, Jason McCoy Gallery, n.p. (trad. it. in Pollock, Lettere, si veda nota 1, p. 16)

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Armando Pizzinato

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A. Pizzinato, Strutture, serigrafia, 1975

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Negli anni Cinquanta, ragazzino, avevo la grande fortuna di frequentare il mondo dei “cinematografari” (come si diceva allora) e degli artisti. Mio padre Luciano era famoso per i documentari sull’arte e aveva iniziato a realizzare i primi film. Ho incontrato così Flaiano e Pasolini, Fellini e Guttuso, Turcato e tanti altri. E ho continuato poi negli anni a conoscere ed incontrare artisti: Veronesi, Perilli, Munari, Max Bill, Fabrizio Clerici. Non ricordo se allora incontrai Pizzinato, ma certo i suoi quadri sì. Ricordo le grandi discussioni “ideologiche” sulla forma, sull’astrattismo, sull’arte contemporanea, insomma. Soprattutto con Turcato, che era spesso a casa, dato che Vana Caruso, sua compagna, era aiuto regista di mio padre. Discussioni che ora appaiono sfumate, svanite nel ricordo. Le forme, quelle sì, rimangono. I colori, la luce. Quelle bandiere rosse. Quando anni fa ci siamo trasferiti, anche se part time, a Venezia, non sapevo che saremmo andati ad abitare vicinissimi alla casa di Armando Pizzinato. E che avrei avuto più occasioni di visitare la casa e il giardino, e vedere i quadri, ammassati ovunque. E sono stato felice quando ho potuto fare pubblicare su L’Unità il quadro sul tema della pace, nato per un’altra guerra, anni prima, un’altra guerra, o la stessa, che non finisce mai. E avevo pensato da tempo che nella serie di mostre che si organizzano per l’incontro “Matematica e cultura” non doveva mancare un omaggio a Pizzinato. Già presente con alcune opere nel volume del convegno 2003 perché a lui il musicista veneziano Claudio Ambrosini ha dedicato l’opera Concavo/convesso. Scriveva Ambrosini: “Le sue tipiche forme, ora rigide, ora sinuose, disegnano volumi ed ambienti che chi guarda può vedere come concavi o convessi”. Non certo a caso Pizzinato è stato ispiratore di musica perché “i suoi motivi forma-colore sono armoniosamente legati alla sua sicura intuizione musicale”, ha scritto Rossella Florean. Un piccolo omaggio, a Venezia, la città dell’acqua: “senza quell’acqua, così vicina alla sua casa, non avrebbe potuto dipingere come ha dipinto; non avrebbe saputo spargere un colore tanto veneziano”, ha scritto Marco Goldin. A Venezia, la città del colore, della luce. Quella luce così vicina alla sua casa.

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A. Pizzinato, Strutture, serigrafia, 1975

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Armando Pizzinato è morto a Venezia nella sua casa nei pressi della Chiesa della Salute il pomeriggio del 17 aprile 2004. Al convegno “Matematica e cultura 2004” gli era stata dedicata una mostra di opere grafiche, mostra che si è svolta alla Galleria del Centro Internazionale della Grafica a Campo Sant’Angelo. Nel dedicare questo volume a Pizzinato abbiamo voluto inserire una sezione a lui dedicata in cui sono stati ristampati i testi contenuti nel catalogo realizzato per la mostra di grafica. In particolare i testi che Enzo Di Martino ha scritto sia per quel catalogo che per il volume realizzato dagli amici del Centro della Grafica Venezia per Armando Pizzinato. I più sinceri ringraziamenti a Di Martino. Un grazie anche a Patrizia Pizzinato per aver concesso di utilizzare alcune delle opere riprodotte in questo volume.

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Armando Pizzinato

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A. Pizzinato, Continuità I, serigrafia, 1975

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Armando Pizzinato, una avventura espressiva del XX secolo ENZO DI MARTINO

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Pizzinato è stato uno degli artisti italiani del quale è difficile raccontare la storia e ripercorrere il sentiero della ricerca espressiva, ma con il quale, tuttavia, bisognerà prima o poi fare i conti. È davvero difficile parlare di una personalità complessa nella quale l’arte e la vita sono state così intimamente intrecciate. Egli ha infatti attraversato quasi per intero, con straordinaria passione civile e una grande tensione poetica, un secolo contraddittorio e difficile come il XX appena concluso. Ha percorso nella sua strada sempre con rigore “morale” ed “intransigente severità critica”, verso orizzonti espressivi che ogni volta egli ha connotato con il marchio irrinunciabile della sua verità. Senza tenere conto dell’emozione che viene da una amicizia che mi ha legato a lui per oltre quarant’anni, pur nelle difficoltà che la sua natura aspra, spigolosa e tenera allo stesso tempo, spesso comportava. A Venezia era giunto nel 1930 per frequentare l’Accademia di Belle Arti, avendo la fortuna di incontrarvi come Maestro Virgilio Guidi del quale diverrà poi anche assistente per un breve periodo. Evitando così i pericoli del “lagunarismo” allora imperante in città e guardando piuttosto, come ha detto egli stesso più volte, alla lezione di Gino Rossi, purtroppo già da qualche anno internato a San Servolo. Senza dimenticare mai la sua terra d’origine, il Friuli, e Maniago, la città natale, dove avrebbe voluto lasciare un gruppo dei suoi dipinti negli angusti spazi delle ex carceri napoleoniche. E Poffabro, il borgo incantato della sua infanzia, quando sognava di diventare pittore ed al quale, negli anni Novanta, ha dedicato molto tempo per le ricerche documentate in un libro di fotografie impregnate da una lancinante nostalgia per un luogo dell’anima inesorabilmente perduto per sempre. Importante nella sua formazione appare anche il viaggio a Roma del 1936 – reso possibile dalla borsa di studio Marangoni – dove soggiornerà alcuni anni a contatto con Cagli e Mafai, Capogrossi e Guttuso.Volgendo però anche qui la sua attenzione ad un artista già scomparso, Scipione, del quale, ebbe a dire, trasse la lezione della sua “classicità espressionista”. Nel 1939 è di nuovo a Venezia, dove dominava allora la figura di Arturo Martini – Guidi era stato nel frattempo “esiliato” a Bologna – dove incontra i suoi compagni di riflessione sulla “nuova pittura”, vale a dire Santomaso e De Luigi, Vedova e Viani e il critico Giuseppe Marchiori. Nel 1943 Pizzinato è inevitabilmente partecipe della Resistenza e la sua casa diviene perfino una stamperia clandestina. Sarà arrestato nell’autunno del 1944 e uscì dal carcere di Santa Maria Maggiore solo dopo il 25 aprile del 1945. Ricominciò con immutato entusiasmo a riflettere sulla “pittura dopo Guernica”, icona indelebilmente fissata nell’immaginario dei giovani artisti europei di quel tempo.

Armando Pizzinato

A. Pizzinato, Continuità 2, serigrafia, 1975 277

A. Pizzinato, Laguna, serigrafia, 1975

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Sono gli anni delle appassionate discussioni per dar vita ad una Nuova Secessione che faceva capo alle teorizzazioni critiche di Giuseppe Marchiori e che sfocerà nel 1946 nella costituzione del Fronte Nuovo delle Arti, un gruppo al quale, oltre Pizzinato, aderivano artisti quali Santomaso e Vedova, Guttuso e Viani, Corpora e Turcato, Birolli e Leoncillo, Morlotti e Franchina. Il gruppo sarà consacrato alla Biennale del 1948, la prima del dopoguerra, in occasione della quale Peggy Guggenheim, appena giunta a Venezia per esporre la sua strepitosa collezione d’arte del XX secolo, comprò proprio un dipinto di Armando poi donato al Modern Art Museum di New York. Nello stesso momento, tuttavia, emersero anche i contrasti con le direttive realiste del PCI che determinarono la spaccatura del gruppo: da un lato gli astrattisti che poi confluirono nel Gruppo degli Otto (Santomaso, Vedova, Corpora, Turcato), dall’altro gli artisti che per ragioni ideologiche aderirono al movimento del Realismo, come Guttuso e lo stesso Pizzinato. Egli fece una scelta, in questo senso, simile a quella del francese Jean Helion, abbandonando progressivamente l’astrattismo praticato tra il 1946 ed il 1948, e già nel Fantasma del 1949-50 annunciando l’adesione a Realismo che nel 1950 lo porterà a dipingere quadri come Terra non Guerra e I difensori delle fabbriche. Sarà una scelta che la cecità del sistema dell’arte gli farà pagare duramente emarginandolo, senza tenere conto che il cinema italiano del Realismo produceva nello stesso momento alcuni capolavori della sua storia e che tra il 1953 ed il 1956 Pizzinato realizzava gli affreschi di Parma, tra le opere più belle ed importanti del Realismo italiano. La morte della compagna Zaira accentuerà l’isolamento di Armando che solo l’amico e storico dell’arte Giuseppe Mazzariol riuscirà a rompere incoraggiandolo a dipingere nel 1962 i Giardini di Zaira, un ciclo che lo riporterà sulla scena dell’arte. Nel 1967, non a caso, gli vengono dedicate grandi mostre a Berlino, Mosca ed all’Ermitage di Leningrado. Verranno poi le Betulle nel 1970, viste durante il viaggio in Russia, i Gabbiani del 1973 e, verso la fine degli anni Settanta, le Falci o Composizioni che riportano Pizzinato al punto in cui aveva interrotto la sua ricerca espressiva di valenza inoggettiva, connotata da una lirica visione fatta di forme in movimento nello spazio. Nel 1981 Venezia gli dedicherà una grande mostra retrospettiva, curata da Giovanni Carandente, allestita al Museo Correr. Negli ultimi anni Pizzinato ha però vissuto come ripiegato in se stesso, impegnato a riflettere intensamentesul valore delle sue scelte artistiche ed esistenziali, in un isolamento interrotto solo dalla mostra sulla sua stagione realista, che ho personalmente curato nel 1986 al Museo di Carpi e dalla vasta rassegna retrospettiva dedicatagli da Marco Goldin nel 1996 a Villa Manin di Passariano. Appare chiaro, infine, che Armando Pizzinato è stato sempre impegnato in una intensa ed ansiosa ricerca della verità nell’arte e nella vita. È per questa ragione che egli costituiva un riferimento morale, oltre che artistico, per tutti noi più giovani. Un riferimento che ci mancherà dolorosamente nel futuro.

Armando Pizzinato

279 A. Pizzinato, La finestra sul mare, 1949, olio su compensato, 164x200, Parma, CSAC dell’Università

A. Pizzinato, Dragamine e faro, 1947

matematica e teatro

Bustric raccontato da Bustric SERGIO BINI/BUSTRIC

Capita a “Pippo ci cocco” la proposta che Michele Emmer mi ha fatto con una telefonata sintetica e precisa: “Sergio, scrivi del tuo lavoro, di te. Puoi mettere molte foto, anche a colori, tempo e spazio sono illimitati.” “Grazie, accetto con piacere l’invito, sto preparando il mio nuovo spettacolo e scrivere un articolo su di me mi aiuta a fare il punto della situazione e a capire dove sono in questo momento.” Mi chiamo Sergio Bini, in arte Bustric. Bustric è un nome inventato all’inizio della mia carriera d’attore, mago, giocoliere, autore. Mi considero un artigiano dello spettacolo, perché partendo da un’idea costruisco il mio lavoro facendo da solo, o quasi, tutti i passaggi necessari: dalla costruzione degli oggetti, alla regia, alla scrittura, fino ad arrivare alla rappresentazione finita. Bustric è un nome astratto e inventato che non significa niente. Bustric è un nuovo personaggio. Bustric sono io che faccio Bustric. Bustric conosce quello che io conosco. Ho fatto una scuola di circo, quella di Piere Etaix e Annie Fratellini, ma anche di mimo da Decroux, a Parigi, l’università a Bologna, il D.A.M.S. per precisione, e alcuni seminari, fra cui quello con Grotowski e Strasberg. Viaggio il mondo e rappresento i miei spettacoli ovunque: ovunque sia possibile. A Gerusalemme, per esempio, dovetti rinunciare. Ho sempre associato il mio lavoro all’idea del viaggio. Parlo un po’ di lingue e mi aiuto con i gesti. Pur lavorando da solo, non rappresento dei monologhi, perché considero il giocoliere, il gioco di prestigio e la pantomima dei compagni di lavoro, il testo e l’azione per me sono inscindibili. In genere non mostro un esercizio d’abilità se non è funzionale al racconto, perché, anche se la sorpresa e la meraviglia mi piacciono, è il racconto che privilegio. Il teatro di varietà è solo un importante punto di riferimento. Le barzellette non mi piacciono, far ridere con le barzellette è come vincere una partita di calcio ai rigori.

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Fig. 1. Per gentile concessione di E. Pujalet-Plaa

Sono un comico metaforico, perché parlo di una cosa per dirne un’altra. Nella comicità credo ci debba essere sempre un fondo drammatico, che divenendo comico esprime speranza e, a volte, poesia. Definire Bustric per me è molto difficile, lo considero un po’ come mio fratello gemello, così gemello che si confonde con me, cresciamo insieme. Ho cominciato la mia carriera di spettacolo alla fine degli anni Settanta, all’epoca nessuno mi avrebbe comprato lo spettacolo, così sono andato nelle piazze, dove c’è sempre pubblico, dove ero libero di scegliere il giorno e l’ora della rappresentazione e dove, se lo spettacolo non piaceva, potevo semplicemente andarmene, un po’ triste è vero, ma senza aver ingannato, né il pubblico, che pagava solo se voleva, né l’organizzatore, perché non c’era. La piazza mi ha insegnato a sentire e controllare il pubblico e che un palco-

Bustric raccontato da Bustric

scenico è un luogo inadatto per nascondersi. Nella strada si deve essere presenti a tutto ciò che accade, senza perdere la concentrazione. Un incidente in scena non può essere ignorato. Se un cane arriva e abbaia o un ubriaco interrompe, diventa immediatamente parte dello spettacolo, bisogna saper dire qualcosa per metterlo nel gioco, altrimenti il disturbo disturberà veramente e indebolirà lo spettacolo. Immaginate che le campane suonino all’improvviso mentre state recitando il monologo d’Amleto, non potete certo continuare a parlare, sarebbe inutile, non

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Fig. 2. Per gentile concessione di Lepera

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potete nemmeno fermarvi e aspettare, perdereste il pubblico così faticosamente radunato. Io vi consiglierei d’improvvisare un balletto sul suono delle campane. Il pubblico riderà, se il balletto è buffo, e quell’incidente vi farà guadagnare in simpatia. Il pubblico in strada è sensibile all’intelligenza, improvvisare è necessario. Quando dico nascondersi in scena, voglio dire nascondersi dietro le battute imparate a memoria, o gli esercizi ripetuti mille volte tanto da renderli automatici. Ogni frase e ogni esercizio è frutto di un pensiero che deve sembrare spontaneo e nato in quel momento. La scena è un momento di vita, ignorarlo significherebbe rendere falsa la rappresentazione, che è artificiale, ma non falsa. Credo che lo spettacolo sia un evento irripetibile, ogni rappresentazione è unica, perché è l’unione di tre elementi distinti. Il primo è la rappresentazione, come montaggio tecnico di testo, azioni, scene e costumi, poi c’è l’attore e infine il pubblico. Il pubblico cambia sempre e anche l’attore è sempre un po’ diverso, non sovrapponibile. “L’arte è un mistero”, mi disse una volta un cantastorie siciliano. Aveva ragione? Forse sì. Certo è che c’è sempre un po’ di paura prima di cominciare uno spettacolo, la riuscita non è mai sicura, per questo gli attori sono scaramantici e credono alla fortuna. Fare lo spettacolo per me è sempre, anche oggi, fare un salto in uno spazio sconosciuto, ogni volta nuovo. Tiro un respiro profondo e comincio. Cerco di essere il più possibile sensibile allo spazio scenico e al pubblico, devo in un certo senso aprirmi e lasciarmi vivere nella situazione che ho deciso e scritto. Lo spettacolo non occupa solamente l’ora della rappresentazione, ma tutto il giorno. Non potrei scrivere un racconto o fare un altro lavoro creativo, o anche semplicemente visitare un museo: devo conservare per la sera quella parte d’energia creativa, e di voglia di scoperta che ho. Per questo mi piace andare in teatro presto e preparare io stesso gli attrezzi di scena. In genere faccio una passeggiata, osservo la gente, prendo il respiro della vita e guardo com’è facile essere. Il margine di rischio nel mio lavoro è naturale, ma il rischio è anche uno degli elementi vitali del teatro. Qui riporto un volantino che regalavo quando giravo nelle piazze, in cambio della mancia che il pubblico mi dava (Fig. 3). Adesso vi parlerò del mio lavoro da un punto di vista più tecnico. Supponete che io mi appoggi a un bastone immaginario come fanno i mimi. Il mimo non usa oggetti ma finge di averli. Si ha l’illusione così che io sia veramente appoggiato ad un bastone, ma il bastone non c’è. Se al posto del bastone immaginario io metterò una sciarpa vera, il pubblico penserà che la sciarpa diventi rigida come un bastone. Avrà un dubbio: “È un gioco di prestigio o di Pantomima?” Questo ponte fra due tecniche è un po’ la chiave del mio lavoro. Non mi sono mai specializzato in un’arte in modo ossessivo, ma mi sono sempre messo a mescolare a trasforma-

Bustric raccontato da Bustric

Fig. 3. Volantino 287

re le cose che avevo imparato: un po’ di giocoliere, magia, danza, cammino sul filo, una caduta. D’altra parte la pantomima ha molte cose in comune con la prestidigitazione. Entrambe creano illusione, ma con una differenza sostanziale: il mimo rende magica la presenza di un oggetto che è proprio magico perché non c’è, mentre il mago rende magica la presenza di un oggetto che non c’era e che magicamente appare davvero. Tutti sono attori, il mago è innanzi tutto un attore che recita il ruolo del mago. Tutte le arti dello spettacolo hanno dei punti in comune, sarebbe un peccato dividere il gesto dalla voce, spesso una voce nasce da una postura, da una smorfia del volto, da un gesto, appunto. Un personaggio ha, oltre alle caratteristiche psicologiche, delle precise caratteristiche fisiche, ed è la precisazione di entrambi che lo fa nascere. Le intonazioni nascono dai pensieri, non viceversa. È bello costruire, inventare, sperimentare. A volte, ho la sensazione di fabbricare dei giocattoli. La ricerca è continua ed è appassionante, e faccio fatica a chiamarla lavoro. Lavorare bene mi dà piacere, se ciò non accade vuol dire che sto sbagliando qualcosa. Credo di aver iniziato questo modo di fare spettacolo, per una ragione molto pratica, ovvia: non potevo fare diversamente.

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Fig. 4. Per gentile concessione di M. Agus

Dovendo lavorare in piazza, infatti, era indispensabile creare fiducia nel pubblico, mostrare loro che si è capaci di fare qualcosa di eccezionale. Keaton disse: “Perché fare una cosa difficile se con un piccolo sforzo può diventare impossibile”. Il pubblico in piazza va conquistato ogni volta, è occasionale e involontario, diviene spettatore solo nel momento in cui si ferma e assiste in piedi, magari al freddo, forse con la borsa della spesa in mano. Diviene spettatore pagante solo se mette i soldi nel cappello, dopo aver visto lo spettacolo: ce ne vuole d’abilità per convincerlo. Allora un gioco di prestigio, o di giocoliere, divengono ottimi agganci per colpire in maniera rapida ed efficace. Poi si potrà fare la commedia, giocare di sottigliezza, ma il primo impatto deve essere forte. Non è un caso che il mondo del circo si sia sviluppato in quel senso, è per necessità che mi sono trovato a costruire gli spettacoli unendo varie abilità. Cerco nello spettacolo un equilibrio fra spettacolarità e racconto. Il mio fine

Bustric raccontato da Bustric

non è fare dei giochi di prestigio, meglio essere un attore vero che un mago finto. È vero che di creduloni il mondo è pieno, vorrei ricordare una frase di Chesterton: “Quando gli uomini non credono più in Dio, non è che non credano più a nulla. Credono a tutto”. Molte cose sono accadute da quando ho cominciato a fare spettacolo. Smisi di lavorare in piazza dopo alcuni anni, poiché non era più necessario. Non rinnego quel periodo, anzi considero ancora la piazza un’ottima scuola e, perché no, un modo di superare un momento di crisi. Da molti anni lavoro in teatro e cinema, anche in televisione, ma senza esagerare. Sto preparando, come dicevo, un nuovo spettacolo. E questa volta, anche se la tentazione di fare drammaturgia e regia contemporaneamente è sempre molto forte, procedo separando il momento della costruzione delle azioni da quello della scrittura del testo. Desidero scrivere senza preoccuparmi, seguendo unicamente il piacere e il senso della storia. Senza le limitazioni che in genere si hanno per incastrare un effetto magico o una pantomima. Vorrei un testo che stesse

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Fig. 5. Per gentile concessione di M. Buscarino

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290 Fig. 6. Per gentile concessione di M. Agus

in piedi da solo e non perché lo rappresento io. Poi mi dedicherò al doppio scenico, all’apparato visivo, alla regia. Alcuni elementi della nuova storia sono lo spazio, che diviene tempo. Mi spiego, parlo di un personaggio che viene da lontano (non importa da dove) e quando dice “nel mio paese si fa questo”, diviene un ricordo del tempo passato. Così lego la memoria ad uno spazio e non al tempo. Il protagonista è un personaggio di nome Nuvolo che vede cose che altri non vedono, si trasforma in modo bizzarro, un po’ come se i suoi pensieri prendessero forma. Un personaggio che viaggia stando fermo e mette in dubbio qualsiasi cosa, non chiamerebbe mai un albero semplicemente albero, perché osservandolo vede che ogni foglia è un po’ diversa e ha quindi ha bisogno di dare un nome ad ognuna delle foglie. Per dire “albero” gli occorre un quarto d’ora, troppo stupido o troppo intelligente. È un miscuglio fra pensieri profondi e osservazioni ridicole, non per fare obbligatoriamente il buffone, ma perché è ciò che vede e capisce. Non è colpa sua se nelle parole ci sono infiniti significati, che dipendono dall’intonazione, dal pensiero che svelano, dire “Ma!” Con un sospiro può significare dubbio e speranza. Dire “Ma! Ma!”, raddoppia quell’incertezza e speranza, ma letto velocemente diviene anche “Mamma!” cioè, mamma, madre d’incertezza e di speranza.

Bustric raccontato da Bustric

Il dubbio e la speranza, sono la nostra origine. La storia di Nuvolo ancora la sto cercando, mi servirà forse un altro personaggio, pensavo ad un topolino in gabbia, forse ci si accorgerà che Nuvolo è semplicemente un carcerato che ha tempo da perdere, o il cameriere del bar sotto casa innamorato della cassiera. Mi rendo conto che sono più le domande che le risposte, ma porre bene la domanda è già qualcosa. Sono certo che la soluzione è vicina, magari è lì e semplicemente non la vedo. Una cosa che Artaud aveva scritto e che mi colpì molto era: “l’uomo scoprì la ruota molti anni dopo che già suo figlio ci giocava.” Nuvolo ha anche la capacità di distrarsi, di essere in pratica un cattivo allievo, come io stesso sono stato. Credo che il mio modo di fare spettacolo nasca anche da questo, dalla mia particolare attitudine a distrarmi: praticamente un discorso troppo lungo finisce sempre con l’annoiarmi, mi obbliga a fantasticare. Già dai tempi del liceo, mi perdevo in immagini che non avevano niente a che fare con la lezione, era il mio bisogno d’immagini. Buffo come un difetto di allora sia diventato un mezzo utile ed importante. Parlare con voi mi fa proprio bene, mi rendo conto di come tutto abbia un senso logico e di come, di fatto, sia semplice. E dire che ognuno vorrebbe essere eccezionale! È il percorso che m’interessa, il risultato è una normale conseguenza, alla fine uscirà fuori ciò che si è, ciò che si è sempre stati. Per fare apparire un oggetto lo si deve per forza aver nascosto da qualche parte, altrimenti non apparirà mai. In fondo la bellezza del mio mestiere, ma forse anche del vostro, è che fa crescere. Capite come in tutto questo la convenienza, la moda, anche la globalizzazione, abbiano poco a che fare. Rifiutai di divenire ospite fisso a Buona Domenica quando Costanzo me lo propose, considero che la mia inadattabilità a certi schemi non mi abbia danneggiato, ma protetto. Bustric e Sergio Bini vi ringraziano per la vostra attenzione e, naturalmente, siete invitati allo spettacolo. “Mi chiamo Nuvolo, sempre, anche quando sono di buon umore come oggi che si può dire che sono sereno!”

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Autori

Martin Bálek

Dipartimento di Matematica Applicata e Istituto di Informatica Teorica (ITI), Charles University, Praha, Repubblica Ceca

Chiara Bertini

Dipartimento Matematica Politecnico di Torino

Sergio Bini/Bustric

Artista, fantasista, Firenze

Jean-Marc Castera

Artista, architetto Paris, France

Elisabetta Cordero

Met Office, FitzRoy Road, Exeter, UK

Giuseppa Di Cristina

Università “La Sapienza”, Roma

Enzo Di Martino

Critico d’arte, Venezia

Simonetta Di Sieno

Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano

Angela Elster

Learning Through the Arts The Royal Conservatory of Music, Toronto, Canada

Michele Emmer

Dipartimento di Matematica Università “La Sapienza”, Roma

Andrea Frova

Dipartimento di Fisica Università “La Sapienza”, Roma

Franco Ghione

Dipartimento di Matematica Università “Tor Vergata”, Roma

Sam Hunter

Storico di arte contemporanea Princeton University

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Autori

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Jaroslav Nesˇetrˇil

Dipartimento di Matematica Applicata e Istituto di Informatica Teorica (ITI), Charles University, Praha, Repubblica Ceca

Germana Peggion

University of New Orleans, CERM BLDG, Lakeshore Dr., New Orleans, USA

Luigi Preziosi

Dipartimento Matematica Politecnico di Torino

Siobhan Roberts

Scrittrice, Toronto, Canada

Giovanni Sarpellon

Dipartimento di Scienze Economiche Università Ca’ Foscari, Venezia

Gianpaolo Scalia Tomba

Dipartimento di Matematica Università “Tor Vergata”, Roma

Gian Marco Todesco

Digital Video Srl, Roma

Cristina Turrini

Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Milano

Donatella Sartorio

Giornalista, Milano

Richard P. Taylor

Physics Department, University of Oregon, Eugene Oregon, USA

Marcela Villarreal

Organizzazione delle Nazioni Unite per l’Agricoltura e l’Alimentazione Dipartimento per lo Sviluppo Sostenibile, FAO, Roma

Peggy Ward

Learning Through the Arts The Royal Conservatory of Music, Toronto, Canada

Asia Ivic´ Weiss

Department of Mathematics and Statistics York University, Toronto, Canada

Collana Matematica e cultura

Volumi pubblicati M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura Atti del convegno di Venezia, 1997 1998 – VI, 116 pp. – ISBN 88-470-0021-1 (esaurito) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2 Atti del convegno di Venezia, 1998 1999 – VI, 120 pp. – ISBN 88-470-0057-2 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2000 2000 – VIII, 342 pp. – ISBN 88-470-0102-1 (anche in edizione inglese) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2001 2001 – VIII, 262 pp. – ISBN 88-470-0141-2

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M. Emmer, M. Manaresi (a cura di) Matematica, arte, tecnologia, cinema 2002 – XIV, 285 pp. – ISBN 88-470-0155-2 (anche in edizione inglese ampliata) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2002 2002 – VIII, 277 pp. – ISBN 88-470-0154-4 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2003 2003 – VIII, 279 pp. – ISBN 88-470-0210-9 (edizione inglese in prep.) M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2004 2004 – VIII, 254 pp. – ISBN 88-470-0291-5 M. Emmer (a cura di) Matematica e cultura 2005 2005 – X, 291 pp. – ISBN 88-470-0314-8

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A. Pizzinato, Gabbiani, 1974 (pp. 271-279)

A. Pizzinato, Cantiere, 1948 (pp. 271-279)

A. Pizzinato, Il giardino di Zaira, 1963 (pp. 271-279)

A. Pizzinato, Laguna, serigrafia, 1975 (pp. 271-279)

A. Pizzinato, Un fantasma percorre l’Europa, 1949-1950, tempera-olio su tela, cm. 255x298, Venezia, Galleria d’Arte Moderna di Ca’ Pesaro (pp. 271-279)

Giovanni Barovier, 1881, piatto con murrine floreali su fondo nero, ∅ 225 mm (pp. 55-71)

Giuseppe Barovier, ca. 1915, fiori, L 3-29 mm (pp. 55-71)

Vincenzo Moretti, 1873, murrine a mosaico, ∅ 18-20 mm (pp. 55-71)

Giacomo Franchini, 1862, Cavour, ∅ 6 mm (pp. 55-71)

Mario Dei Rossi, 1998-1999, murrine figurate, ∅ 19-21 mm (pp. 55-71)

Disegno del piano della cupola (pp. 101-110)

Analisi delle dimensioni: il trangolo impossibile (pp. 101-110) Disposizione a mouqarnas degli spicchi negli angoli: rilievo a mano e rappresentazione esatta. Tutti i pezzi sono regolari (pp. 101-110)

Raccordo del tamburo ottagonale con i quattro muri della sala, con i raccordi negli spigoli adornati da mouqarnas (pp. 101-110) Stella pentagonale, irregolare malgrado le apparenze (pp. 101-110)

Immagine dell’allestimento della mostra matemilano, Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia, Milano, 2003-2004. (Fotografia di S. Provenzi) (pp. 155-169)

Arnaldo Pomodoro, Rotante dal foro centrale, 1966; bronzo, ø 60 cm. (Fotografia di S. Provenzi) (pp. 155-169)

“mateMILANO”. (Fotografia di S. Provenzi) (pp. 155-169)

Fig. 6. Particolare di camicia della collezione di Gianfranco Ferrè (pp. 155-169)

Disegno di Vittorio Zecchin (pp. 155-169)

J. Pollock, Circoncisione (Circumcision) gennaio 1946. Olio su tela 142,3 x 168 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY) (pp. 257-267) J. Pollock, Senza titolo (Untitled) 1946 circa. Gouache e pastello su carta, 58 x 80 cm. Collezione Peggy Guggenheim, Venezia (Fondazione Solomon R. Guggenheim, NY) (pp. 257-267)

Sezioni tridimensionali del granesacosicoro (pp. 43-52)

I piani che contengono le facce del dodecaedro tagliano la sfera in un gran numero di frammenti. Il colore indica il numero di piani che separano ogni frammento dal dodecaedro centrale (pp. 43-52)

Veduta del fronte del Museo Guggenheim a Bilbao (1991-1997) progettato da Frank Gehry (Foto di Francesco Isidori) (pp. 129-141)