Linearna algebra 9530308787, 9789530308787 [PDF]

Zitiervorschau

UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS ST UDIORUM ZAGRABIENSIS

Izdavač

d .d

Masaryko v a 28, Zagreb Školska knjiga,

.

Za izdavača

Ante Žužul, prof. U re d nic a

Štefica Dumančić Poljski, prof.

Recenzenti

dr. se. Ivica Gu si ć

dr. se. Mirko Prime

dr. se. Zoran Vondraček

Naslovnicu dizajnirala Snježana Grgić © ŠKOLSKA KNJIGA, d d , Za g reb 2008.

Nijedan dio ove k nj ige ne smije se umnožavati, fotokopirat i ni na bilo koj i način reproducirati bez nakladnikova pisanog dopu štenja .

.

,

.

Sveučilišta u Zagrebu odlukom klase 032-01/07-01/95 i ur.

Objavljivanje ovog sveučilišnog udžbenika odobrio je Senat

broja 380-02/6-08-8 od 8. travnj a 2008. go dine .

Damir Bakić

Linearna algebra

Zagreb, 2008.

Predgovor Namjera mi je bila napisati praktičan udžbenik linearne algebre; sadržajno zaokružen, ali ne predug; rigorozan, ali ne prestrog. Namijenjen je studentima i nastavnicima kao udžbenik za standardni jednogodišnji kurs linearne algebre uobičajen na studiju matematike i fizike na preddiplomskoj razini. Linearna algebra je grana matematike koja proučava vektorske prostore, linearne operatore i sustave linearnih jednadžbi. Konkretnu realizaciju linearne algebre nalazimo u analitičkoj geometriji, odnosno u prostorima klasa orijenti­ ranih dužina u dvije i tri dimenzije. Ti prostori predstavlj aju ishodišnu točku u izgradnji opće teorije vektorskih prostora i linearnih operatora. Svoje poopćenje, pak, linearna algebra nalazi u teoriji operatora i funkcionalnoj analizi. Vektorski prostori igraju jednu od centralnih uloga u modernoj matema­ tici. Stoga linearna algebra nalazi široku primjenu u drugim matematičkim disciplinama. Jednako ekstenzivna primjenjuje se linearna algebra i u drugim prirodnima te u društvenim znanostima. U svim primjenama slijedi se u osnovi isti obrazac: dani problem koji nije moguće direktno ili eksplicitno riješiti nastoji se "linearizirati", tj. aproksimirati nekim linearnim problemom koji se zatim rješava metodama linearne algebre. Svrha je ovog udžbenika prikazati glavne rezultate linearne algebre u op­ segu u kojem se ova teorija uobičajeno izlaže studentima prve godine studija matematike. I po načinu izlaganja i po izboru materijala prepoznat će se da je udžbenik ponajprije namijenjen matematičarima. Napokon, glavninu materijala i čine bilješke s predavanja koja sam držao studentima prve godine matematike i fizike na PMF-u Sveučilišta u Zagrebu tijekom posljednjih desetak godina. Ipak, od čitatelja se ne zahtijeva nikakavo posebno predznanje; podrazu­ mijeva se tek poznavanje uobičajene matematičke notacije i vladanje osnovnim elementima naivne teorije skupova i matematičke logike. Stoga vjerujem da će ovaj udžbenik biti pristupačan i koristan,j .�Jud.entima drugih, posebno priro­ doslovnih, tehničkih i ekonomskih fakulteta. U sadržajnom smislu udžbenik se gotovo podudara s programom isto­ imenog kolegij a za studente prve godine preddiplomskog studija matematike na PMF-Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu. Osnovna ideja je i bila oda­ brani materijal organizirati kao praktičan i efikasan udžbenik. Zato sam svjesno izostavio uvodna izlaganje skupovno-teorijskih činjenica s jedne , i naprednijih tema s druge strane. Ti i drugi izostavljeni dijelovi ( poput matematičkih i izvan­ matematičkih primjena, povijesnih napomena, komentara vezanih za izgradnju teorije i individualne doprinose pojedinih matematičara, ekstenzivnog popisa literature ) detaljno su izloženi u klasičnim sveučilišnim udžbenicima profesora S. Kurepe i K . Horvatića. Uz to, povijesne činjenice i opis različitih aspekata nastanka i izgradnje linearne algebre kao moderne matematičke teorije danas su široko dostupni na mnogobrojnim internetskim stranicama enciklopedijske orijentacije. ·

vi

Predgovor

Materijal je organiziran na s ljedeći način. U vodno p og l av lj e je u izvjesnom prolog : u njemu se prikazuje prostor radijve ktor a s namj erom da se pre­ p ozna i usvoji kon cept vektorskog prostora. Naglasak zato nije na potpunosti izlaganja, već na strukturnim s vo jst v i ma prostora V2(0) i V3(0). Upravo radi la kš eg uvida u strukturu odlučio sam za ogledni primj er v ektor s kog pros­ tora uzeti p ros t or r adij vek tora, a ne mnogo sofi sticir anij i i koris nij i (ali tehnički z amršeniji ) prostor klasa orij entiran ih dužina V3. "Dug" prema prostoru V3 vraćen je u Dod at ku na k raju drugog pogl av lj a . U drugom pogl av lju uveden je pojam vektorskog prostora na apstrakt noj razini te su obrađe ne standardne teme poput baze, dimenzije, potprostora. Treće poglavlje je pos već e no matricama. U njemu su navedeni i dokazani klasični teoremi o matricama i determinantama. Č et vrto p ogl avlj e se izravno n adovezuj e na p retho dno i sadrži cjelovitu dis ku s ij u o sustavima lin earnih j ed n adžbi . Sustavi linearnih j ed nadžbi nisu samo univerzalna zadaća koja se prirodno j av lja unu tar li nearn e algeb re i u njez inim primjenama; oni su u i z vjesnom smislu i s adrž a jna jez gra te orije . Na primjer, tek u proučavanju sustava pri r o d no se nameće potreba za uvođenjem i proučavanjem višedimenzionalnih vektorskih prostora (Dok je relativno lako akceptirati potrebu za proučavanj em v e k t orskog pros tor a dimenz ij e 4, u vo đ enj e prostora proizvoljne dimenzije je kr ajnj e neint uiti v n o . ) . Slič no , tek pri prouča­ vanju sustava linearn ih jednadžbi imamo pr il iku v idjeti teorem o r an gu i defektu na dj elu . U tom s mislu, pozi c ioni ranj e poglavlja o sus tavima linearnih jednadžbi (pa ond a, p oslj edičn a, i p oglav lj a o m atr icama i determinantama) u izlaganju linearne alge bre uvij e k je delikatno pitanje. Ovdje smo izgradnju teorije započeli proučavanjem apstraktnih vektorskih prostora te razvojem potrebnog t ehni čkog aparata. Tek tada su obrađeni sustavi linearnih jednadžbi, a u nj ihovo m tret­ manu su bitno korišt e ni rezultati iz pret ho dn ih dvaj u p o glavlj a . Dosljedna provedba ovak vog pristupa vjeroj atno bi podrazumijevala da se prije sustava izlože i uvodna p oglavlja teorije operatora; time bi se svi rezultati o rješivosti i rješavanju s us t ava linearnih jednadžbi dobil i još el egantnij e. Takav bi izbor, m eđutim, teoriji dao još naglašeniju ap st r akt nu ( moguće i preapstraktnu) notu. Zbog toga, a i zato što je pogodno radi vježbi i rj ešavanja prak tič n ih pr obl e­ ma sustave lin earn ih j edn adžbi obraditi čim prij e , poglavlj e o sustavima ipak prethodi dis k us iji o op eratorima. Peto p ogl avlje je u c ijelost i pos v eć en o linearnim operatorima i p r e dstavlj a centr aln i dio izl oženog m at erij al a. P oglavlj e završava relativno opširnim izla­ ganjem o sp ek tru, svojstvenim i inva rijantni m potprostorima te svojstvenom p olinomu . Posljednje, šesto pogl avlje sadržava pregled standardnog materijala o ko­ načnodimenzionalnim unitarnim prostori m a. Osobito je n ag l ašena ul o ga Gram­ Schmidtova postupka ortogonalizacije. Uvršteno j e i nekoliko tip ičnih pri mj ena , poput QR fakt or izacije matrice, problema najbolje aproksimacij e te približnog rj ešavanja sustava linearnih jednadžbi . smislu

Predgovor

Svako poglavlje završava odgovarajućim skupom zadataka različite priro­ de . Neki su od njih sasvim tehnički , drugi služe kao vježba apstrakt nog rezoni­ r anj a , u trećima se uvode novi p ojmovi ili navode nove činjenice . Svi su zadaci odabrani iz obilne neformalne arhive zadataka prikupljene na PMF-Matema­ tičkom odj elu Sveučilišta u Zagrebu. Ona se sastoji od mnoštva primjera s auditornih vj ež bi te ispitnih i kol okvij skih zadataka, a nastala je dugogodišnj im radom brojnih s adašnj i h i bivših asistenata koji su pr ot eklih desetljeća vodili vježbe iz kolegija Lin e ar na algeb r a . Nemoguće je matematičku teoriju u potpunosti svladati bez testiranja našeg raz umij evanj a kroz rješavanj e zadataka. Zato savjetujem čitateljima da pokušaju samostalno riješiti navedene zadatke. Uvrštene zadatke treba shvatiti kao integralni dio teksta. Ovaj je udžbenik nastao uz potporu mojih kolega i studenata i na izravan poticaj ure dnice u Školskoj knj izi, gđe Štefice D umanč ić Poljski. U različitim fazama nastanka dij e l ove rukopi s a čitali su i dali korisne opaske i prijedloge moji kolege s PMF-Matemtičkog odjela Sveučilišta u Zagrebu na čemu im srdačno zahvalj ujem. Posebno zahvaljujem doc. dr. Lj ilj an i Arambašić kao i recenzen­ tima, prof . dr. Ivici Gusić u , prof. dr. Mirku Primcu i prof. dr. Zoranu Von­ dračeku na brojnim korisnim primjedbama i sugestijama. Unaprijed z ahvalj u­ jem i svima koji će me upozoriti na greške ili dati primjedbe i komentare.

Damir Bakić U Z agre bu , ožujak 2008.

vii

Sadržaj 1

Popis oznaka

1. Uvod

1.1. Radijvektori u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Vektorski prostor V3(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Vektorska interpretacija sustava linearnih jednadžbi s dvije i tri nepoznanice . 1.4. Zadaci . . . .

2. Vektorski prostori

Operacije s matricama Determinanta Rang Zadaci . . . . .

4.1. Rj e ši vo st i st rukt ura skupa rješenj a . 4.2. Gaussova metoda eliminacije 4.3. Zadaci . . . . . . . . . . . . .

5. Linearni operatori

5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

5.6.

Osnovna svojstva linearnih operatora . Prostor linearnih operatora . . . Dualni prostor . . . . . . . . . . . Matrični zapis linearnog operatora Spektar Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . .

.

24

73 80 101 117

4. Sustavi linearnih jednadžbi

5.1.

19 23

73

Matrice

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

3 15

24 33 49 67 71

2.1. Pojam vektorskog prostora 2.2. Baza i dimenzija 2.3. Potprostor . . . . . . . . . 2.4. Zadaci . . . . . . . . . . . Dodatak: vektorski prostor V3 3.

3

122

122

126 132

135

136 149 152 159 170 188

x

Predgovor 6. Unitarni prostori

6.1. Ortogonalnost . . . . . . . . . . . . 6.2. Operatori na unitarnim prostorima 6.3. Zadaci . . . . . . . .

Literatura Kazalo pojmova Životopis

.

.

.

.

.

.

.

.

195

198 218

236

241

243

247

Popis oznaka ( ·, ·) - univerzalna oznaka za skalarni produkt, 198 A - adjunkta matrice A, 95 [A]! - matrični zapis operatora A u paru baza (e, !), 160 A B - matrica A je e k vi vale nt na matrici B, 105 A* - hermitski adjungirana matrica matrici A, 118 A* - hermitski adju n g i ran i operator operatoru A, 225 rv

t r an sp onirana

t A -

A-1 Aij

m atri ca , 51

- inverzna matrica, 79

Ap - proširena

matrica sustava

linearnih jednadžbi, 1 2 2

- algebarski komplement (kofaktor), 91

.. ,

44

točaka u r avnini , 3 točaka u ( tr o dimen zionalnom) prostoru, Ei,j,>. - elementarne matrice, 109

15

- univerzalna oznaka polja, 24 IF'N - vektorski prostor nizova realnih, odnosno kompleksnih brojeva, 30 GL(n,IF') - grupa regularnih matrica n-tog reda s koeficijentima iz p olj a IF', IF'

I - jedi nična

matrica,

75

I - jedinični operator, 139 I(p)

- broj

inverzija u permutaciji p, 82

rt, J} - kanonska baza prostora V2(0),

Im A

- slika operatora A, 142

Ker A

- jezgra

operatora A, 142

14

kA(>..) - svo jst ven i (kar akterist ič ni) polinom, 173 L + M - suma potprostora L i M, 5 5 L(V, W) - prostor linearnih operatora s V u W , 149 L + M - direktna suma potprostora Li M, 57

79

Popis oznaka

2

M :::; V - skup M je potprostor vektorskog prostora V, 50 M EB M.l. - ortogonalna suma, 210 M0 - anihilator potprostora M, 156 M.l. - ortogonalni komplement potprostora M, 209 Mmn(lF), Mrnn - vektorski prostor matr ica s m redaka i n stupaca, 29 Mn(lF), Mn - vektorski prostor kvadratnih matrica s n redaka i stupaca, n - prostor rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi, 124 P - vektorski prost or svih polinoma, 31 Pn - vektorski prostor svih polinoma čiji stupanj nije veći od

p(i o, odnosno suprotna orijentaciji od a ako j e a < o. Kao i kod množenj a broj eva i ovdje j e običaj pisati a.a umj esto a· a. Operacij a množenj a radijvektora skalarima iskazana je uz prešutnu pri­ mjenu napomene 1.1.1: a.a je definiran tako što smo mu propisali modul, smjer --+ i orijentaciju. Pritom, odrednice (ii ) i (iii) nemaju smisla ako je a= O. No, već iz ( i ) neposredno vidimo da j e a · O=O, Va E IR, kao i O· a= O, \fa E V2(0). Očito je iz defini cij e da vrijed i sljedeće pravilo: Propozicija 1.1.4. Neka je a E lR i a E V2(0). Ako je a = DA i A= (a1, a2), te ako stavimo ·

---t

--+

a.a=OT, onda je T

=

(aa 1 , aa ). 2

Teorem 1.1.5. Operacije zbrajanja+ : V2(0) X V2(0) --+ V2(0) i množenja --+ --+ V2(0) imaju sljedeća svojstva: skalarima · : JR X V2(0)--+ V2(0) na skupu --+

b + --+ (1) a+( --+ c) --+

=

(2) za nulvektor --+ O

--+

--+

--+ + b (a )+ c,

E

Va, b,

c E

V2 (O) vrijedi --+ a+ --+ O = --+ O + --+ a= --+ a,

(3) za s vaki a E V2(0) i njemu suprotan -a --+ --+ -a+--+ a=O; --+ --+ --+ --+ --+ (4) --+ a+ b =b +a, b E V2 (O); Va, (6) (a+ f3)a

(5) a(f3a)=(af3)a,

(s)

(7)

a (a

1.

--+

=

aa

\fa, f3

+ {3a,

+b)=a a + a b, --+

a= a,

--+

V2 ( O);

--+

E

\fa,{3 \;/a

va E v2(0).

\fa

IR, E

E

IR,

IR,

E

E

E

V2 (O);

V2(0) vrijedi a + (-a)=

V2(0);

\fa E V2(0); va, b E v2(0); --+

--+ \;/a

1.1.

Radijvektori

u

Dokaz. Prve četiri tvrdnj e već su izrečene i dokazane1upropoziciji1.1.3. --+ žimo tvrdnju (5) . Neka je -2- Uzmimo sada proizvoljan 1J E V2(0). Ponovnom pr imj enom teorema 1 . 1.8 dobivamo i j ed inst vena određene a, /3 z a koj e vrij edi

1

E

�

što možemo pisati i kao

S

druge strane, očito vrijedi i

Tako je ti prikazan na dva različita načina kao li n earn a kombinacij a r ad ij vek tora d1, d2, d3. Štoviše, jasno je da takvih prikaza radij vektora 1J zapravo ima beskonačno mnogo. Analogno bis mo rezonirali i kad bismo, umjesto s tri, radili općenito s n � 3 r ad ij vekt o r a ­

.

14

l.

Uvod

Definicija 1.1.9. Svaki dvočlani skup {Ci, b } čiji su član o vi nekolinearni naziva se baza vektorskog prostora V2(0). --+

--+

Ako je {Ci, b} proizvoljno odabrana baza prostora V2 (0), teorem 1.1.8 j amči da se svaki član prostora V2(0) može na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacij a elemenata baze. --+ ---+ --+ � --+ ---+ U praksi, ako je a = OA, b OB, v = OT i A= ( a 1 , a2), B = (b1, b2), T = (ti, t2), koeficijente a i (3 za koj e vrijedi =

--+

v=aa+ f3 b

--+

--+

možemo odrediti slijedeći dokaz teorema 1.1. 8. Alternativno, primjenom pro­ pozicija 1.1. 2 i 1.1.4, problem se svodi na rješavanje sustava od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Očito je da će konkretan račun biti tim jednos­ tavniji čim je baza zgodnije odabrana. U tom smislu posebno mjesto zauzima baza {i,)} koj a se sastoji od je­ diničnih ( tj. modula 1) radijvektora u smjeru pozitivnih dijelova koordinatnih osi našeg odabranog koordinatnog sustava. Tada, za proizvoljan ti = OT E V2(0), pri čemu je T = (t1, t2), očito vrijedi

y --+

J

t

X

Baza {i,)} zove se kanonska ili standardna baza prostora V2(0) ( no trebamo biti svj esni da ta baza ovisi o našem prethodnom izboru koordinatnog sustava u ravnini ) . Iako je u konkretnim zadaćama često najjednostavnije operirati upravo s kanonskom bazom, bitno je imati na umu da bazu prostora predstavlj a svaki skup od dva nekolinearna vektora. U teoriji, tj . u smislu tvrdnje teorema 1.1. 8, sve su baze ravnopravne. Istaknimo na kraju da se sve baze prostora sastoje od točno dva radijvek­ tora. Točno dva nekolinearna radijvektora ( i to bilo koja dva ) imaju moć da pomoću njih, i to na jedinstven način, izrazimo svaki drugi element prostora V2(0). Ova opaska j e u skladu s našom intuicijom prema kojoj prostor V2(0) zamišljamo dvodimenzionalnim.

1 .2.

1.2.

Vektorski prostor

V 3 (O)

15

Vektorski prostor V3 (0)

Prethodna razmatranja možemo proširiti i na r adij ve kt o re u prostoru. Označimo s E3 intuitivno shvaćen trodimenzionalni prostor koj i takođ er shva­ ćamo kao s kup točaka. I ovdje ćemo fiksirati pr avokutn i koordinatni s ust av s ishodištem u O. Neka V3 (0) označava skup svih r adij vekt or a s p o četnom točkom O. Modul, smj er i orijentacija, kao i pojam sup r ot no g r ad ij ve kto r a definirani su identično kao u V2 (0). J edn ako su defini rane i binarna oper acij a zbraj anja i operacija mn oženj a r adij ve kt or a s kal arima I ovdj e je korisno n aj prij e utvrditi kako se ove op erac ij e r e al izir aj u u minima koordinata završnih točaka radij vekt o ra .

ter­

Propozicija 1 . 2 . 1 . Neka je A = (a1, a2 , a3 ) , B = (b1 , b2, b3 ) i ---t

Tada je Nadalje, označimo li za a

--7

--7

OA + OB = OC.

E IR,

---t

aOA

vrijedi ---t

--7

Dokaz. Pretpostavimo da OA i OB ---t

= OD,

nisu --7

-----7

kolinearni.

Uočimo da s e sada zbroj

--7

OA + OB = OC

dob iva pr avilo m paralelograma u r avni ni OAB. Pr et p ost avi mo , konkretnosti radi, da se ravnina OAB ne podudara niti s j ednom od koordinatnih ravnina.

Označimo C = (c1 , c2 , c3) . Neka su A' , B', C' , redom, ortogonalne proj ekcij e točaka A, B , C na x y­ r av ninu . Tada je A' = ( a1 , a2, O) , B' = (b1, b2 , O) i C' = (c1 , c2 ,O). Kako je OACB par ale lo gr am , i njegova ort ogon alna p roj ekcija na xy-ravninu OA'C' B' j e paralelogram. Zato je ----+ � � OA' + OB' = OC' . Iz propozicije 1.1. 2 ( pri m ij enj ene u x y -r avnini ) s ad a do bivam o

16

1. Uvod

ai + bi i c2 a 2 + b 2 . Na sasvim analog an način, kor is t eći ortogonalnu projekciju paralelograma OACB na yz-ravninu, dobivamo i c3 = a3 + b3 . Slično zaključujemo da vrij edi C = ( ai + bi , a2 + b2 , a 3 + b ) i u svim 3 O drugim situacij ama. Druga t vr dnj a propozicije se dokazuje an alo gno . Odavde je c i

=

=

Uz p omo ć pr ethodn e propozicije sada lako možemo proučiti svojstva ope­ racij a u V3 (O) . S ljedeć i teorem navodimo bez dokaza jer se sve njegove t vr dnj e dobivaju izravnom primj enom propozicije 1 . 2. 1. 1 .2 . 2 .

Teorem

skalarima · : �

(1) (2) (3) ( 4)

-7

-7

a

Operacije zbrajanja + : V 3 (0) x V 3 (0) ___, V 3 (0) i množenja x V3 (0) ___, V 3 (0) na s kup u V3 (0) imaju s lje d e ć a svojstva: -7

+ ( b + c)

za

=

(a + b)+ c , -7

-'t

-7

Va ,

b, c

-7

-7

E V3 (O) ;

nulvektor O E V 3 (O) vrij edi .... a .. + -7 O = -7 O + -7 a = -7 a, -7

1 E V3 (O) i njemu suprotan - 1 -7 -a + a = O; -7 za svaki -7

a+

-7

b

-7

-7

-7

b + a,

=

(5) o: ({31) = (o:f3) 1 ,

......

V -7 a, b

-7

-7

(7) o:( a + b )

1 · 1 = 1,

=

E

V1

o: a + o: b , Va E �' Vd E V3 (0) . -7

-7

E

V-7 a

E

V 3 (O) ;

V3 (O) vrij e di 1 + ( - 1)

=

V3 (O) ;

Vo: , {3 E �'

(6) (a + {3) 1 = a1 + {31, (8)

-7

Va, {3

E �'

E

V3 ( 0); V1

E

V3 (0) ;

V a , b E V3 ( 0 ) ; -7

-7

Uočimo da je iskaz pre t ho dno g teorema identičan iskazu teorema 1 . 1 . 5. Prema tome, strukturna svoj st va operacija zbr aj anj a i množ enj a skalarima na skupovima V2 (0) i V3 (0) su ista. U tom smislu kažemo da je i V3 (0) vektorski prostor. Imajući na umu ovu strukturnu sličnost prostora V2 (0) i V3 (0) , i ovdje bismo željeli p rovesti razmatranja analogna onima koj a su nas dovela do p oj ma baze u prost o r u V2 (0).

Definicija 1 . 2 . 3 . Ne k a je {v\ , 112 , . . . , Vn } , n 2: 2 , k o n a č an skup radijvektora --+ u V 3 ( O) , te neka je vi = OTi , i = 1 , 2, . . . , n . Kažemo da su radijvektori Vi , V2 , . . . , Vn komplanarni ako točke O, Ti , Tz , . . . , Tn le že u istoj ravnini. U suprotnom kažemo da su radijvektori Vi , V2 , . . . , Vn nekomplanami. Primij etimo da su svaka dva radijvektora ko mp l anarna . Uzmemo li tri radijvektora, j asno je da oni mogu i ne moraju biti komplanarni. Na primjer, ako s 1, ) i k označimo j e din ične r adij vektor e u smjeru pozitivnih dijelova koordinatnih osi, j asno je da su oni nekomplanarni. Nasuprot tomu, radijvektori . -" 1 . i , i + J i i - J oc1 t o su komp anarm. -7

-7

-7

-7

-7

-7

Slj edeća p r op oz i cij a gotovo je identična t eo re mu 1 . 1.8 te je navodimo samo radi p ot punost i. I dokaz je identičan pa ga izostavljamo.

1 .2 .

Vektorski prostor V3 (0)

17

Propozicija 1 . 2.4. Neka su "Ct , b E V3 (0) nekolinearni radijvektori. Za svaki 1J E V 3 (O) k o mp lanaran s ct i b postoje jedinstveni skalari a i /3 takvi da vrijedi --+

--+

--+

v = aa +f3b.

U odnosu na teorem 1 . 1 . 8 jedina je razlika što se ovdje zaključak ne odnosi na sve radij vektore, nego tek na one koj i su komplanarni s dvama zadanima. Stvarni, puni analogan teorema 1 . 1 . 8 je sljedeći rezultat .

Teorem 1 . 2 . 5 . Neka su "Ct , b , t E V 3 ( 0 ) nekomplanarni. Za svaki radijvektor V E V3 (O) postoje jedinstveni skalari a' /3' 'Y takvi da vrijedi --+

--+

--+

--+

--+

V = C W + f3b + "( C .

Dokaz. Uočimo najprije da zbog pretpostavljene nekomplanarnosti nikoja dva od zadanih radij vektora "Ct , b , t ne mogu biti kolinearna. Stavimo a = OA, b = OB, c = OC te uzmimo proizvoljan v OT. Neka je T' p aralelna projekcija točke T na ravni nu OAB u smjeru pravca OC. Dalj e , neka j e T" projekcija točke T na pravac OC paralelna s ravninom OAB. --+

--+

------>

--+

---7

--+

---7

--+

=

------>

T

-----t

-----t

_____,

o

A _____,

------>

Očito je OT = OT' + OT" . Kako je OT" kolinearan s OC, imamo, prema propoziciji 1 . 1 . 6, za

n e ki

'Y

E

R

_____,

---7

OT" = 'YOC

S druge strane, primjena propozicije 1 . 2.4 daje -----t

---7

------>

OT' = aOA + /30B

za neke

a

i (3. Uvršt --+ avanjem -----t ovih dvij u jednakosti u prethodnu slijedi v

= OT

�

=

-----;, --+ --+ --+ OT + OT =aa + (3b + 'Y c .

Za dokaz jedinstvenosti pretpostavimo da neki 1J dopušta dva takva prikaza: --+

v

=

a2 a+ /32 b + "(2 c . --+

--+

--+

18

1 . Uvod

Izjednačavanjem dobivamo

a1 a + f31 b --+

odnosno

(a1

-

--+

--+

+ /1 c

a 2 ) --+ a + (f31

-

Ako bi sada b i lo a1 =F a2 , slij ed i lo bi

= a2 a + f32 b + /2 c , --+

--+

--+

f32 ) b +

(11

--+

--+

- 12 ) c

=

--+

O.

--+

a to bi, prema defi nic ij i zbrajanj a, značilo da je d kompl an aran s b i ? , što j e protivno pretpostavc i . D Jednako se otklone mogućnosti /31 =F /32 i /1 =F /2 ·

Definicija 1 . 2.6. Svaki skup {li , b , ?} od tri nekomplanarna radijvektora naziva se baza prostora V3 (0) . --+

Primijetimo da je ova definicij a baze formalno različita od definicije b az e prostora V 2 (0) ( defini cija 1 . 1 . 9) . No usporedba prethodnog t eorema i teo­ rema 1 . 1 . 8 pokazuje da smo u funkc ion alnom smislu dobili identičan rezultat: za proizvoljno odabranu bazu prostora V3 (0) svaki radijvektor iz V3(0) na j ed instven se način može prikazati kao linearna kombinacij a elemenata baze. Slično kao i u V 2 (0) i ovdje bismo lako vidjeli da takvo svojstvo ne može imati ni jedan skup s manje od tri člana, kao i ni jedan skup koji sadrži više od tri člana. U ovom drugom slučaju , kad imamo skup S koji se sastoji od n � 4 radijvektora, još se svaki radijvektor iz V3 (0) možda i može prikazati kao linearna kombinac ija elemenata skupa S (uvjet j e da nisu svi elementi od S kompl an arni ) , ali ne više n a j ed i nstven nač in . Svojstvo iz teorema 1 . 2. 5 mogu, dakle, imati samo tročlani skupovi radij­ vektora (koji moraju biti i nekomplanarni) . Kao i u slučaju prostora V2 (0) , ovo je potpora našem intuitivnom poimanju trodimenzionalnosti prost ora V3 (0) . Za kraj , korisno je formulirati kriterij nekomplanarnosti triju radij vektora. Očekivano, sljedeći rezultat je potpuno analogan korolaru 1 . 1 . 7: tr i su radijvek­ tora nekomplanarna ako i samo ako se nulvektor može prikazati kao njihova linearna kombinacija samo na trivijalan način. Korolar 1 . 2. 7. Radijvektori d. , b , ? E V3 (0) su nekomplanarni ako i samo ako vrijedi --+ --+ --+ --+ ( 1 .2 ) a = /3 = 'Y = O . a a + /3 b + 1 c = O --+

--+

Dokaz. P retpost avimo da su d , b , ? nekomplanarni. Nulvektor očito možemo zapisati u obliku --+ --+ --+ --+ O = O · a +O· b +O· c.

1.3.

Vektorska i nterpretacija sustava linearn i h jed nadžbi s dvije

i tri

n e p oznan ice

Teorem 1 . 2. 5 jamči jedinstvenost ovakvog prikaza, čime upravo dobivamo impli­ kaciju ( 1 . 2) iz iskaza korolara. ---> Obratno, pretpostavimo da vrijedi ( 1 . 2 ) . Odmah se vidi da tada 71, i b ne ---> mogu biti kolinearni. Kad bi c bio komplanaran s 71, i b imali bismo, prema propoziciji 1 . 2.4 , ---> ---> ---> c = c w + f3 b

za neke

a,

f3 E R Posljednju jednakost možemo pisati i kao --->

--->

--->

--->

a a + f3 b + ( - l ) · c = O .

Kako je koeficijent uz c različit od O , ova jednakost je u kontradikciji s pretO postavljenom implikacijom ( 1 . 2) . Stoga su 71, , b , c nekomplanarni. --->

1.3.

Vektorska interpretacija sustava l i nearn i h jednadžbi s dvije i tri nepozna n ice

Na više načina sustavi linearnih jednadžbi zauzimaju jedno od centralnih mjesta u linearnoj algebri. Na tehničkoj razini, rješavanje sustava linearnih jednadžbi nazaobilazan je dio rješavanja gotovo svake zadaće linearne algebre. S druge strane, za razumijevanje i izgradnju teorije sustava linearnih jednadžbi upravo je nužno razviti opću teoriju vektorskih prostora i njihovih preslikavanja - linearnih operatora. Da bismo to ilustrirali, pokazat ćemo kako se sustavi jednadžbi s dvije, odnosno tri nepoznanice mogu interpretirati i analizirati uz pomoć prethodnih ez lt at a o radijvektorima. Promotrimo najprije 3 sustava s po dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. r

u

X1 + X2 = 4 X1 - X2 2, =

X1 - 2x2 = 1 2x1 - 4x2 = 2 ,

2x1 - X 2 = 1 4x 1 - 2x2 = O .

U prvom slučaju jedino rješenje je uređen par (3, 1), drugi sustav ima beskonačno mnogo rješenja; to su svi uređeni parovi oblika ( 2 t + 1 , t) , t E IR, a treći sustav nema rJesenja. Dobro poznata analitičko-geometrijska interpretacija sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice pokazuje da su to upravo svi slučajevi koji mogu nastupiti. Smisao je te interpretacije svaku jednadžbu shvatiti kao jednadžbu pravca te time rješavanje sustava svesti na geometrijski problem nalaženj a sjecišta dvaju pravaca. U ovom trenutku nas više od konkretne metode nalaženj a rješenja zani­ ma analiza danog sustava. Dok je riječ o jednadžbama s dvije nepoznanice, spomenuta analitička interpretacija sustava je jasna i učinkovita. Ispravno je pretpostaviti da se analogno mogu analizirati i sustavi linearnih jednadžbi s

19

1 . Uvod

20

tri nepoznanice nakon što razvijemo an alit i čku geometriju u pro st oru . U tak­ voj geometrijskoj interpretaciji svaka bi jednadžba zapravo predstavljala jed­ nadžbu neke ravnine. Stoga bi se analiza danog sustava svela na razmatranj e međusobnog položaj a ravnina u prostoru. Očiti nedostatak ovakvog pristupa j e u nemog ućnost i daljnj e generaliza­ cije, tj . analognog, geometrij skog tretmana općih sustava linearn ih j ednadž b i s, opć enit o , n n epozn anica. Želimo li, dakle, razviti opću teoriju sustava linearnih j ednadžbi, bilo bi korisno iznaći i druge interpretacije. Promotrimo

jednadžbu u nepoznanicama --7

c

=

--7

--7

x

iy

xa + yb

( 1 .3)

gdje su d , b ' c proiz voljno odabrani radijvektori u V 2 (0) . Neka je d = DA, b OB i c OC, pri čemu j e A = (a1 , a2 ) , B = (b 1 , b2 ) i C = ( c 1 , c2 ) . Sad se možemo pozvati na propozicije 1 . 1 . 2 i 1 . 1 . 4 te prethodnu j ednadžbu pisati u obliku --7

=

=

(c1 , c2 )

=

(1 . 4 )

(a1 x + b1 y , a2x + b2y ) .

Napokon, kako j e jednakost ur eđenih parova ekvivalentna jednakostima odgova­ rajućih komp onenti , (1.4) možemo zapisati kao sustav je dnadžbi a 1 X + b1y a2 x + b2 y

=

=

(1.5)

C1

c2 .

Početna jed nadžba ( 1 .3) je ekvival ent na sustavu linearnih j ednadžbi ( 1 .5) s mi s lu : uređen par ( x , y) z ad ovolj ava ( 1 . 3) ako i sam o ako z ad ovolj ava i s u­ stav ( 1 .5) . Štoviše, identična rezoniranje možemo p ri mijeniti i u obrnut om smj eru . Ako j e zadan sustav od dvije line ar ne jednadžbe s dvije nepoz nani c e oblika ( 1 . 5) , p ri čemu su a 1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 proi zvolj ni realni broj evi , on je ekvivalentan j ed nadžb i (1 .3) gdj e je d = GA, b = OB, c = OC, i A = ( a 1 , a2 ) , B (b1 , b2) , C = (c1 , c2 ) . Na ovaj način anali z u dan og s ustava linearni h j edn adž bi s dvije nepozna­ nice možemo provesti analiz ir aj ući vektorsku jednadžbu oblika ( 1 . 3 ) . Iz rezul­ tata prve točke ovog poglavlj a odmah je jasno: j edn adžb a u

=

--7

--7

--7

c = xa + yb --7 za z ad an e radij vektore d , b , c E V 2 ( 0) � ima j edinstvena rj e š e nj e , u slučaju kad su d �

�

i b ne o linearni --7

k

(teorem 1 . 1 . 8) ;

im a beskonačno mnogo rj ešenja ako su d i b kol in ear ni i ako je i c koline--7 --7 aran s a i b ; ne ma rješenj a ako su d

--7

--7

i b kolinearni i ako je pritom

c nekolinearan s d i b . --7

1 . 3 . Vektorska i nterpretacija s u stava l i n ea r n i h j ed nadžbi s dvij e i tri n e pozn a n i ce

21

Ovime smo dobili alternativnu mogućno st analize sustava jednadžbi s dvije nepoznanice. Uočimo: dok se analitičko-geometrijska interpretacija temeljila na t um ačenju "redaka" (svaka jednadžba je predstavljala pravac) , ova vektorska interpretacija se zasniva na tumačenju "stupaca" : r adijve ktori koj e smo uveli su zad ani ko eficij entima uz n ep oz nan icu "x" , nep oz n anicu "y " te slobodn im članovima sustava (1 .5) . Potpuno analogno sada možemo tretirati sustave od tri j ednadžbe s t ri nepoznanice oslanjajući se na prethodno dobivene rezultate o radijvektorima u prostoru V 3 (0) . Uz pomoć propozicije 1 . 2. 1 lako se zaključuj e: Sustav od t ri linearne j e dnadž be s tri nepoznanice oblika aix + b i y + c i z = ti a2X + b2y + C2Z = t2 a 3 x + b3 y + c3 z = t3

( 1 .6)

pri čemu su a1 , a2 , a 3 , bi , b2 , b3 , c 1 , c2 , C3 , t i , t2 , t 3 pr oizvoljni realni broj evi , ekvivalentan

je jednadžbi

4

4

4

4

v = xa + yb + zc

(1. 7)

--+ OT i A = (ai , a2 , a3 ) , B = ( bi , b2 , b3 ) , gdje je a = OA, b = OB, c = OC, v C = ( c 1 , c2 , c3 ) , T (t1 , t2 , t 3 ) · Sada možemo lako analizirati (u smislu egzistencije i broj a rješenja) svaki sustav od tri linearne jednadžbe s tri nep oz n an i ce pro učavaj uć i rj ešivost ekvi­ valent ne vektorske j ednadžbe ( 1 . 7) . Na t emelj u rezultata iz prethodne točke zaključujemo: j edn adžb a 4

--+

4

--+

4

--+

4

=

=

4

4

4

4

v = xa + yb + zc

4

za zadane radijvektore d , b , Ć , ti E V3(0) � �

�

�

ima jedinstvena rješenje, u slučaj u kad su d , b i Ć nekomplanarni;

ima beskonačno mnogo rj ešenja i o n a ovise o jednom slobo dn om p ar am et r u, 4 ako su ct , b i ? komp lanarni i nekoli ne arn i i ako je i ti komp lan ar an s 4 4 . 4 a , b i c;

nema rj ešenja, 4 ako su d , b i Ć komplanarni i n eko line ar ni i ako ti nije 4 4 kom plan ar an s a , b i c ; im a beskonačno mnogo rješenj a i ona ovise o dva slobodna parametra, ako 4 su d , b i Ć koli ne arni, pri čemu je bar jedan od njih net r ivij al an , i ako je i 4 4 4 • 4 v kol m e ar an s a , b i c ; 4

•

�

4

4

n em a rješenj a, ako su d , b i

? koline arni i ako ti nij e kolinearan s d ,

b i Ć.

4

1. Uvod

22

Ovo su svi slu čaj ev i koji mogu nastupiti. I st akn i mo da je prvi slučaj p okrive n teoremom 1 . 2. 5. Drugi slu čaj je opisan u diskusij i koja je prethodila definiciji 1 . 1 . 9. Nadalje, zaključak u trećem slučaj u slijedi direktno iz definicij e ---+ zbraj anj a: ako su d , b i .. i µ pro i zvolj ni realni b r ojevi , međusobno neov isni i neov isn i o vr ij ed nostima {3, / i T. U tom smislu se ovdje kaže da rješenje ovisi o dva slobodna parametra.

Slično bismo mogli analizirati i sustave linearnih jednadžbi s tri nepoz­ n an i c e u kojima broj j ednadžbi nij e nužno jedn ak 3. No to nam ovdj e nije cilj . Nije nam ni namjera ovdje podrobno ulaziti u metode nalaženja svih rješenja ovakvih sustava. Potpunu i detalj nu diskusij a općih (m jednadžbi, n nepoz na­ nica) sust ava linearnih jednadžbi provest ćemo u če t vr tom pogl avlju , nakon što pripremimo odgovarajuću teorijsku podlogu. Za sada tek uočimo da smo i ovdje, kao i kod j ednadžbi s dvije nepoznanice, analizu danog sustava prove l i interpretiravši "st upce" ( tj . koeficijente uz istu n ep ozn ani cu) kao r ad ij vektore u V 3 (0 ) . S t r ukt urna svojstva prost ora V3 (0) , nadasve propozicija 1.2. 4 i teorem 1 . 2. 5, učinkovito su nas dovela do zaključ aka o egzistencij i i broj u rješenja danog sustava. Prirodno je sada oček ivat i da bi nam pri analizi i rješavanju op ć i h sustava linearnih j edn adžbi na sličan način mogli poslužiti "višedimenzionalni analo­ goni" pr ostor a V2 (0) i V3 (0) koji bi s njima dijelili ista strukturna svojstva. Izgradnj a i razvoj teorij e takvih, apstraktnih, vektorskih prostora (i njihovih preslikavanja) osnovni j e predmet proučavanj a linearne algebre.

1 . 4 . Zadaci

1.4.

Zadaci

1. Upotpunite dokaz propozicije 1 . 1 . 2. 2 . Dokaž ite da vrijede relacije

l

( - )d = -d ,

a a = a -+ a - /3 -+ ( a - /3 ) -+ -+

a( a

-+

-+

= a a - o: b ,

za sve a , b E V3 ( O ) i sve a , /3 E R Neka je A = ( 1 , 2 , 1 ) , B = (1, 1, O) , C = (O, 1, 1 ) . Ispitajte čine li radijvektori OA, OB, OC bazu prostora V3 (0) . -+

3.

-+

- b)

---+

----t

-+

----t

4. Neka je { Ci , b } baza prostora V2 (0) . Pokažite da je tada i { Ci - b , Ci + b} jedna baza za V 2 ( 0) . Nadalje, odredite nužan i dovoljan uvjet na skalare -+ -+ 0:, /3 , 1, 8 E R da bi i skup {ad - /3 b , /d + 8 b } bio baza za V2 (0) . 5. Riješite sustav

y - 2z 12 2x - y - z 6 X + Z = 2. X+

=

=

6. Služeći se vektorskom interpretacijom pokažite da je sustav

x - y + 2z = 1 2x - y + 3z = 4 x + 2y - z = 7

rješiv te da je skup njegovih rješenja beskonačan jednoparametarski skup. Nakon toga, rij ešite sustav služeći se nekom od uobičajenih metoda.

23

2.

Ve ktorski prostori

2.1.

Poj a m vektorskog prostora

Grubo govoreći, vekt o r ski prostor je skup na ko jem su zadane binarna op e r ac ij a zbr ajanj a i operacija množenja skalarima koje poštuj u uobičajena računska p r av i la . Da bismo definiciju mogli iskazati p re ciz no , podsj etimo se prvo pravila računanj a s broj ev i ma .

Napomena 2.1 .1. Bi narne operacij e zbrajanj a + : lR x lR -> lR i množenja : lR x lR -> lR na s k up u realnih b roj eva i maj u s lj e de ć a s voj st va : ·

p os toj i O E lR sa svojstvom a + O = O + a = a , Va E IR; (3) za svaki a E lR p ostoj i -a E lR t ako da je a + ( - a) = -a + a = O;

(1) a + (,8 + 1) = (a + ,8) + 1,

\ia, ,8 , 1 E 1R;

(2)

( 4) a + ,B = ,B + a,

'v'a, ,B E IR;

(5 ) a (,81 ) = (a ,B )!, Va , ,8, / E IR; (6) p ost oj i 1 E lR \ {O} sa svoj st vom 1 · a

(7) za svaki (8) a,B

a

,Ba ,

Va , ,B E IR;

(9) a (,8 + !) = a,8 + CY/,

janja

=

a · 1 = a,

\ia E IR;

E IR, a -/= O, postoji a-1 E lR tako da je aa- 1 =

'v'a, ,8, / E IR .

=

Kad god imamo n ek i sk up lF na koj em su zadane b i narne

a-1a

=

1; D

operacije zbra­

+ : lF x lF -> IF

i množenj a

· : IF X IF -> IF

koje imaju navedenih devet svojstava (pri čemu, naravno, u tom slučaju svuda umj esto lR treba stajati IF) , kažemo da je IF polje . P rec izn ij e bi bilo reći da je uređena t roj k (IF, + , ) p olj e jer j e rij eč o zajedničkim svoj stvima skupa IF i na nj emu definiranih binarnih operacij a + i U tom s m islu p re tho dn a napomena se može j ezgrovita reformulirati: skup realn i h broj eva s uo bič aj en i m op er aci­ j am a zb r aj anj a i množenja je polje. Odmah vidimo da su i skup r acionaln i h broj eva Ql, kao i s kup kompleksnih b roj eva

E

Mn

kažemo da je gornje­

j.

Smisao naziva je sljedeći: za elemente au , a22 , . . . , ann kažemo da tvore dijago­ nalu kvadratne matrice (od lijevog gornjeg do desnog donjeg kuta matrice) .

Koeficij enti aij za čije indekse vrij edi

i > j nalaze se ispod dij agonale. Ako smo sada propisali da za sve i > j vrij edi aij = O, onda su svi značajni (tj . netrivi­ j alni) koefi cij enti matrice A sadržani u gornjem trokutu, uključujući dijagonalu.

Matrica

je primjer gornjetrokutaste matrice. Analogno, za matricu B [bij] =

E

Mn

kažemo da je donjetrokutasta ako

vrijedi

Označimo s G , odnosno s D skup svih gornjetrokutastih, odnosno donje­ matrica u Mn . Sad se laganom primjenom korolara 2. 3. 3 vidi da D vrijedi G :'S; Mn , kao i D :'S; Mn . bij = O,

Vi < j.

trokutastih

Primjer 2 . 3 . 6 .

At formulom

Za matricu A = [aiJl E Mmn definiramo transponiranu matricu At = [bij]

E

Mnm ,

bij

=

aji ,

Vi , j .

Smisao je u tome da retci matrice A predstavljaju stupce matrice At (i obratno). Ako je, npr.

51

52

2.

Vektorski prostori

onda je At =

[1 5]

3 2 4 6 .

Primijetimo da je za A E Mn i At E Mn . Zato sljedeće definicije imaju smisla: kažemo da je kvadratna matrica A E Mn simetrična ako vrijedi At = A, dok za matricu B E Mn kažemo da je antisimetrična ako vrijedi Bt = - B . Na primj er, matrica

A

�

[H i]

je simetrična. Uočimo da je A zaista simetrična s obzirom na dij agonalu. Lako se vidi da je to osobina svake simetrične matrice, pa odatle i ime. Označimo sa S, odnosno A skup svih simetričnih, odnosno antisimetričnih matrica u Mn . Primjenom korolara 2. 3. 3 lako se pokazuje da su i S i A potpro­ O stori od Mn .

Primjer 2 . 3 . 7 . Neka je V vektorski prostor nad lF' i S ..i ai + M = L >..i ( ai + M) .

Preostaje samo uočiti da je

jer j e , za i

2.4.

ai + M = O + M , 'Vi = 1 , . . . , k

=

1 , . . . k, ai E M .

D

Zadaci

1 . Neka je G neprazan skup i * : G x G ---+ G binarna operacija n a G. Uređen par ( G, *) se zove grupa ako su z adovo lj eni s ljede ći uvj eti:

( 1 ) a * ( b * c) = ( a * b) * c , 'Va, b, c E G; (2) postoji e E G takav da je a * e e * a a, 'i/a E G; 1 (3) za svaki a E G po stoj i a- E G takav da vrijedi a * a-1 Ako j oš vrij e di i (4) a * b = b * a, 'Va, b E G, kažemo da je ( G, *) komutativna ili Abelova grupa. =

Pokažite da su

(Z, +) , (JR, +) i (JR \ {O } , ·)

=

=

a- 1 * a =

e.

Abelove grupe.

Napomena. Uočimo da je grupa matematička struktura koj a j e i mplicit no prisutn a u definicij ama polj a i vektorskog prostora. Na primj er, s voj stva operacija z braj anja i množenja realnih brojeva navedena u napomeni 2. 1 . 1 ( koj a čine de fin icij u polj a) sada se mogu kon c i z n ij e izreći na sljedeći način :

68

2 . Vektors k i prostori

( 1 ) ( JR , +) je Abelova grupa;

(2) ( JR \ { O } , · ) je A b e l ova grupa;

( 3 ) a(b + c ) = ab + ac, Va, b, c E R Id ent ič n a s voj stva i m aj u i o p er ac ij e zbraj anj a i množenj a u C i u bilo ko­ jem polju JF'. Uočimo t ako đ er da prva č et iri uvj eta iz defini c ij e vektorskog prostora zapravo znače da je (V, +) Ab elova grupa. Često se zato i kaže da je ( V, + ) aditivna Abelova grupa ve kt ors kog prostora (V, + , · ) . 2 . Neka j e S neprazan sk up . Označimo s B (S) skup svih bijektivnih preslika­ vanja sa S u S. Dokaži t e da je skup B (S) uz kompozicij u preslikavanj a kao binarnu o p e rac ij u grupa. Uočite da grupa (B (S) , o) nij e komutativna čim skup S im a više od dva elementa.

3 . Upotpunite dokaz propozicije 2. 1 . 5.

koje vrijednosti p aram etr a t je skup { ( 1 , 2, 1 , - 1 ) , ( 1 , 1 , 4, O) , ( 1 , t, 7, linearno nezavisan u pr ost oru JR4 ? 5. Je li skup { ( 1 , i, 1 + i) , (i, O, i) , ( 1 , 1, 1) } baza prost or a C3 ? 4. Za

6.

Neka je

to

re alan broj . Je li

skup { (t - t0)i : i = O, 1 , . . . , n} baza prostora

7. Pokažite da je s kup { ( 1 , 1 , 1) , (2 , 1 , 3) , ( 3 , 1 , 7) , (6, 2, 13 ) } za JR 3 pa ga reduciraj te do baze prostora JR 3 . Pn ?

8 . N adop u nit e skup 9.

Neka

1) }

s us tav izvodnica

{ [� i] , [� �] } do b z

a e prostora M2 .

je { a i , a 2 , . . . , a n } linearno nezavisan skup u vektorskom prostoru V, v E V . Je li i skup { a 1 + v , a 2 + v , . . . , a n + v} linearno nezavisan?

te neka je

1 0 . Neka j e { a1 , a 2 , . . . , an } , n E N , b az a za vektorski p ros t o r V. O dr ed i t e nužan i dovolj an uvjet na vektor b E V da bi i s kup {b, a2 , . . . , an } b io baza za V . 11.

Neka je { a1 , a2 , . . . , an } , n E N , baza z a vektorski prostor JRn . Uočite da vektori ai , i = 1 , 2 , . . . ' n , leže i u pr os t oru c n . Je li skup { a 1 , a2 , . . . , an } baza i za c n ?

12. Pokaž i t e da prostor JRN nije konačnodimenzionalan.

13. Pokažite da je sk u p ari tmet i čki h n i z ova X =

{ ( x1 , x2 , x3 , . . . ) E JRN :

Xk+l

-

Xk

=

X2

-

x1 ,

Vk E N}

potprostor prostora ID;N . Dokažite da j e X konačno dimenz i on al an i o d re dit e neku bazu i dime nzij u .

mu

14. Dokažite da je cn i realan vekt or ski p rosto r uz uo b ičaj en e op eracij e zbra­ j anj a i množenja (isključivo ) realnim skalarima. Pokažite da dimenzij a tako n iz nosi 2n. s hvać e n og ve k t o rs ko g prostora c

2 .4. Zadaci

15.

Neka su u vektorskom prostoru V dani konačni skupovi A = { ai , . . . , ar } i B = {b1 , . , b5 } . D okažite da j e [A] = [B] ako i samo ako vrij edi .

ai E [B] , Vi =

.

..

,r

bj E [A] , Vj = 1 , . . . , s .

16.

1 7.

1,

.

U prostoru IR3 dani su vektori a1 = (1, 3, 1), a2 = ( 1 , 2, 1 ) , b1 = (- 1 , O, - 1 ) i b2 = ( - 1 , - 1 , - 1 ) . Pokažite d a vrij edi Dokažite da j e skup

{ (x1 , x2 , x3)

E

IR3 : 2x1 - X2 + 5x3 = O}

potprostor od IR3 i odredite mu neku bazu i dimenzij u

18. Pokažite da j e s ku p

{ [ � !] E

M2 : 2a

-

b

-

.

c = O, a - b + 2c - d = O

potprostor od M2 i odredit e mu neku bazu i dime nzij u . 19. Dokažite da j e skup

potprostor od IRn i odredite mu neku bazu i dimen ziju

}

.

20. D okaž ite da je skup

potprostor od IRn i o dred it e mu neku bazu i dimenzij u 2 1 . O dredite po j edan direktan komplement svakom od potprostora iz prethod­ na četiri zadatka. .

2 2 . Neka su L i M međusobno različiti potprostori pr o st or a

dim L

=

2.

dim M

Dokažite da j e tada di m ( L n M)

=

=

3,

dim M = 2,

dim V = 4.

23. Neka su L i M potprostori prostora V, te neka vrijedi

L, ili je L + M = V.

dim L = 4, Dokažite: ili j e M

-. aij ,

, m,

Vj = 1 , 2, . . . , n.

smo

Vi = 1 , 2, . . . , m , Vj

=

1 , 2 , . . . , n.

74

3. M a t r ice

Vidjeli smo da je Mmn (Jl?) uz ovako uvedene operacije vektorski prostor nad poljem JF. Znamo također da j e dim M n ( lF) m

=

Vm, n E

mn,

N.

Uz zbraj anje i množenje skalarom može se definirati i množenje matrica. Za razliku od zbrajanja, koje je binarna ope acija na svakom od prostora Mmn , množenje matrica je operacij a u kojoj , općenito, ni faktori, ni rezultat nisu matrice istog tipa. r

Definicija 3. 1 . 1 . Neka je A ulančane ako je n = r .

E

Mmn i B

E

Mrs · Kažemo da su matrice A i B

Matrice A i B su, dakle, ulančane ako j e broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B . Ovo nije simetrična relacija; ako su matrice A i B ulančane (u tom poretku ) , ne slijedi nužno da su ulančane i u obrnutom p oretku . Na p rimjer , A E M2 4 i B E M43 su očito ulančane, a B i A nisu. Primij etimo još da su kvadratne matrice istog tipa A , B E Mn ulančane u ob a poretka. Definicija 3 . 1 . 2 . Neka su A = [aij] E Mmn i B = [bij] matrice. Tada je produkt A B definiran kao matrica

E

Mns ulančane

pri čemu je Cij

n

=

2: aik bkj ,

Vi = 1 , 2 , . . , m , .

Vj = 1, 2 , . . . , s.

Umnožak AB ima redaka kao prvi faktor i stupaca kao drugi faktor. Smisao definicije je da koeficijent Cij , koji se u produktu nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu, izračunamo kao "umnožak i-tog retka od A i j-tog stupca od B" . Pod tim umnoškom se podrazumijeva zbroj k=l

Sada je jasno kako zahtjev da matrice budu ulančane upravo zn ač i da svaki redak od A im a točno onoliko elemenata koliko i svaki stupac od B, čime je

osigurano da ovakvo množenje bude smislena. Pogledajmo primjer: 3 1

] [� - � - �i o - 1 -2 1 2 3

[� -� �;] .

3 . 1 . Operacije s matrica ma

75

Napomena 3. 1 . 3 . ( a) Istaknimo još jednom: množenje matrica je preslika­ vanj e . : Mmn X Mns ---t Mms , m , n, s E N.

Zato, općenito , množ enj e nije binarna operacija. Izuz etak je j edino s luč aj = n s ; jedino tada je mno ženje

m

=

Mn X Mn Mn bin arna operacija na skupu Mn . (b) Iz d efi n ic ij e je jasno da množenje matrica n ij e komut ativna ope racij a Nai­ me, promatramo li proizvoljne ulančane matrice A i B, umnožak BA ne samo da općenito neće biti j ednak AB , nego možda uopće nije ni definiran. Čak i u prostorima Mn u kojima je d efin ir a p r o du kt bilo koj ih dvij u matrica u oba poretka, zakon ko mut acije ne v r ij e di ( kako pokazuje sljedeći primjer) : •

:

---t

.

n

( c) Za svaku matricu A E Mmn vrij ed i AO = O i OA O ( pri čemu nulmatrica mora biti p rikl adno formatirana da bismo je s desna ili s l ij eva mog li množ i t i s A) . =

( d) Za

n E N

defi nir am o jediničnu matricu reda n kao kvadratnu matric u 1 o o 1 . l = o o o

o

o o

o

o

o 1 1

o

Jedinična matr ic a ima, dakle, jedin ice na svim dij ago nalni m mj estima , a svi ostali koeficijent i j e dn aki su joj O. O vdj e je p r ikladno uvesti tzv. Kroneckerov simb o l 8ij , koj i ovisi o dva

indeksa i i j i definiran je formulom 8ij

=

{ 1'

ako je i = j , o, ako je i =f= j .

Uz ovu oznaku, jediničnu matricu n-tog reda j e dnost avno z apis uj e mo kao

E Mn .

Sad se lako provjeri da za svaku matricu A E Mm n vrij e di AI = A i JA = A. Pritom je bitno uočiti da je u prvoj navedenoj jednakosti I E Mn , dok j e u drugoj j ednakost i I E Mm · Ovo pokazuje da se jedi nična matrica, prikladno formatirana, p onaš a kao n e ut r alni element za množenje svih matrica. D I = [8ij]

3 . Matrice

76

U idućem teoremu navest ćemo sva svojstva množenj a matrica.

Teorem 3 . 1 .4. Za množenje matrica vrijedi (kad god su navedeni produkti definirani): ( 1 ) A (B + C) = AB + AC; (2) (A + B)C = AC + BC;

(3) (aA)B = A(aB)

(4)

=

(AB)C = A(BC) ;

(5) I A

=

A, AI

=

Va

a(AB) ,

E

18';

A.

Formulacij a "kad god s u navedeni produkti definirani" podrazumijeva da navedena pravila vrijede za matrice pr o iz voljno g tipa pod uvjetom da su fak­ tori koji se pojavlj uju u pojedinim umnošcima ulančane matrice. Svojstva ( 1 ) i (2) zovu se desn a odnosno lijeva distributivnost mn oženj a prema zbraj anju, a svoj stvo (3) se n aziva kvaziasocij ativnost . Uočimo i ovdj e da na j ednoj razini ova svojstva predstavlj aj u računska pravila (koja ćemo u u nastavku koristiti prešutno, bez eksplicitnog citiranja) , dok na drugoj razini ova pravila treba razumjeti kao pokazatelj e da je množenj e matrica usklađeno s operacijama zbra­ janja i množenja skalarima. U tom smislu može mo reći da je množenj e matrica usklađeno sa strukturom vektorskih prostora Mmn ·

,

Dokaz teorema. Dokažimo tvrdnj u (4 ) Neka j e

A = [aij] E Mmn ,

-

asocij ativnost

m

nože nj a matrica.

E Mns 1 C = [cij]

E Mst ·

Uočimo da je tada AB E Mms , pa je p rodukt (AB)C definiran i rezultat je mat­ rica iz Mm t · Sasvim analogno se vidi da je i A(B C ) E Mmt · Zato preostaje samo vidjeti da su u matricama ( A B ) C i A(BC) svi odgovarajući ko efic ij enti jednaki. Odaberimo proizvoljne 1 :S i :S m i 1 :S j :S t . Sada j e

t,

B

a s druge strane imamo

[A ( B C ) ] ,,

�

a,p [B C]p;

�

=

t,

[bij]

a;p

( i; b,,,. r�J ) t, ( t, a;pb,,,.) �

c,.3 ,

odakle je očito da su dobiveni rezultati identični (do na izbor indeksa sumacije, što j e irelevantna) . Još primijetimo da je zamj ena redoslijeda sumiranja (što je sadržaj poslj ednj e jednakosti) moguć a jer su sume konačne, a zbraj anje u polj u komutativno. Dokazi svih ostalih tvrdnji su znatno jednostavnij i i svode se na direktnu provjeru. Zato detalje izostavljamo. O

3 . 1 . Operacij e s m atrica m a

Korolar 3. 1 . 5 . Množenja matrica u vektorskom prostoru Mn (lF) ima sljedeća

svojstva: ( 1 ) A(B + C) = AB + AC,

\IA, B, C E Mn (lF) ; (2) (A + B)C = AC + BC, \IA, B, C E Mn (lF) ; (3) (aA) B = A(aB) = a(AB), Va E lF, \IA, B E Mn (lF) ; (4 ) (AB) C A(B C ) , \IA, B E Mn ( lF ) ; (5) JA = AI = A, \IA E Mn (lF) . Definicij a 3 . 1 . 6 . Neka je V vektorski prostor nad poljem lF na kojem je, dodat­ =

no, zadana binama operacija množenja

- : V x V _, V. Tada se V zove asocijativna algebra s jedinicom ako operacija množenja na V ima sljedeća svojstva: ( 1 ) a(b + c) = ab + ac, \la, b, c E V;

(2) (a + b)c = ac + bc, \la, b, c E V; (3) (aa) b = a(ab) a(ab) , Va E lF, \la, b E V; (4) (ab) c = a(bc ) , \la, b E V; (5) postoji e E V sa svojstvom e a = ae = a, \la E V . =

Ponekad se, ako nema opasnosti od z abu ne , kraće kaže algebra. Međutim, bolje je kor ist it i puno ime jer se time j as no d aje do znanj a da u V postoj i neu­ tralan element za množenje te da je operac ij a množenja asoc ijativna . Postoje, naime, i vektorski prostori na koj ima je dana binarna oper acij a množenj a koj a nije asocijativna i ne posj eduj e neutralni element. Takve str ukt ur e se također zovu (neasocij ativne) algebre. Sad prethodni korolar u ovo m novom kontekstu možemo izreći na sljedeći način : Korolar 3 . 1 . 7. Mn (lF) je asocijativna algebra s jedinicom.

Sad bismo željeli dodatno istražiti svojstva množenj a u algebri Mn · Prije svega, uo č im o bitnu razliku u odnosu na množenje u polju: dok i u lR i u C (kao i u svakom polju) jednakost ab = O povlači a = O ili b = O, u algebri m atr ica n ije tako. U Mn postoje takozvani djelitelj i nule , tj . matrice A i B obje različite od nulmat rice , a takve da vrijedi AB = O. Na primj er, takve su matrice Nadalje, u polju svaki element a -::f. O ima multiplikativni inverz , tj . element = a- 1 a = 1 . To opet nije slučaj u algebri mat rica .

a- 1 E lF s a svojstvom aa- 1

77

78

3. M atrice

Na primjer, za matricu A= ne može postojati matrica B proizvoljnu matricu

E

[; �]

M2 takva da vrijedi AB = I. Zaista, uzmimo

B=

[� �] E

M2

i pretpostavimo da vrij edi AB = I. Kako je AB =

[

]

a + 2c b + 2d 2a + 4c 2b + 4d '

jednakost AB = I bi značila da moraju biti zadovoljene jednakosti a + 2c = b + 2d = 2a + 4c = 2b + 4d =

1, o, O, 1,

a taj sustav očito nema rješenja. S d r uge strane, lako j e provjeriti da za matricu

postoji matrica B E M2 sa svojstvom AB = BA = I. U ovom svjetlu je priro d no uvesti sljedeću d efinicij u . Definicija 3 . 1 .8. Kaže se da je matrica A trica B E Mn (IF) takva da vrijedi

E

Mn (IF) regularna ako postoji ma­

AB = BA = l.

U tom se slučaju matrica B zove multiplik ativni inverz ili inverzna matrica od A i označava s A- 1 . Za matricu A E Mn (lF) koja nema multiplikativni inverz kažemo da je singularna. Napomena 3 . 1 . 9 . (a) Uočimo da matrica A E Mn mo že imati najviše jedan inverz . Kad bi, naime, postojale matrice B , C E Mn koje bi zadovoljavale

AB = BA = I

i AC = GA = I,

onda bi zbog asocij ativnosti množenj a slijedilo B = BI = B ( A C )

=

(BA) C

=

IC

= C.

3 . 1 . O peracije s m atrica m a

Zbog toga i ima smisla matricu B koj a zadovoljava jednakost AB = BA = I

zvati inverznom matricom matrice A i označavati j e funkcijskom oznakom A- 1 . (b) Matrica I j e regularna i sama sebi inverzna jer vrijedi I · I = I. ( c) Ako je A regularna onda po definiciji vrijedi

To, posebno , pokazuje da je i A- 1 r egul arna matrica te da vrijedi

( d) Ako su matrice A, B vrijedi

E

Mn regularne, regularan je i njihov umnožak AB te

Zaista, ponovo uz pomoć asocij ativnosti množenj a matrica imamo

Analogno se pokaže da vrijedi i

Sad se lakim induktivnim argumentom pokazuj e : ako su

regularne matrice, regularna je i matrica A 1 A2

· · ·

Ak i vrijedi

( e ) Skup svih regularnih matrica n-tog reda s koefic ij entima iz polj a lF označava se s GL (n, JF) . Inače, ponekad se umjesto regularna kaže i invertibilna ma­ trica. D

Primijetimo da pretposljednji dio prethodne napomene pokazuje da je množenje, kad se provodi samo nad regularnim matricama, binarna operac ija na skupu GL(n, lF) . Naime, točno to znači tvr dnj a da je umnožak dviju regularnih matric a također regul arna matr i ca . Sjetimo se da smo u zadatku 1 u prethodnom poglavlju definirali poj am grupe. Nij e teško utvrditi da je GL(n, JF) s binarnom operacij om množenja grupa čij i je neut r alni element jedi n ična matrica.

79

3. Matrice

80

Propozicija 3. 1 . 10. Za binarnu operaciju množenja na skupu GL (n, !F) , n vrijedi: ( 1 ) A(BC) = (AB)C, VA, B, C E GL (n, IF) ;

(2) po s toji I E GL(n, JF) takva da je AI = JA = A,

(3) za svaku matricu A E GL (n, JF) postoji A- 1 AA - 1 = A- 1 A = I . Dakle, (G L (n IF) , · ) je grupa.

,

VA

E

E

GL (n, IF) ;

GL (n , JF) tako da vrijedi

Definicija 3. 1 . 1 1 . GL (n, IF) se zove opća linearna grupa reda

n

nad poljem IF.

U nastavku bis mo že lj e li pobliže istražiti regu l ar ne matrice . priro dn o proizlaze iz pretho dne dis kusije : � kako se može p r epo z nat i j e li dana matrica regularna? �

kako se za

3.2.

z ad anu

r egul arnu matricu računa

E N,

nj ezin

Dva pitanj a

inverz?

Determ ina nta

U ovoj točki uvest ćemo determinantu kvadratne matrice i ispi t ati nj en a svoj stva. Pokazat će se da je determinanta priklad an teorij ski instrument za opis regul ar nih mat ri ca Izlaganje započ injemo pregledom osnovnih či nje n i ca o p ermut ac ij ama . S voj s t va permutacija predstavljat će važ nu tehničku podršku našem istraživanju determinanti.

.

.

Ž elimo li proučavati p ermu tac ij e od np r n e lemen at a, nije nam važna priro d a tih elemenata, već s am o efekt dj elovanj a svake pojedine permutacij e . Zat o te objekte možemo idealizirati. Konkretno, ov dj e ćemo promatrati per­ mutacij e skupa { 1 , 2 , , n} . Pritom n a skupu { 1 , 2 , „ . , n} podrazumijevamo priro d ni uređaj .

...

Definicija 3 . 2 . 1 . Neka je n proizvoljan p rirodan broj. { 1 , 2 , . . . , n} je bilo koja bijekcija

p : {1, 2, .

„ ,

n}

--t

Permuta c ija skupa

{ 1 , 2 , . „ , n} .

Čest o s e kaže i da je p permutacija od n elemenata. Skup svih permutacija od n elemenata označavamo sa Sn . Uo b ičaj eno j e u praksi p er mutacije p

.

=

(

z ap isivati

1 2 n p ( l ) p(2) . . . p(n)

t ablična , u obliku

)

·

Uočimo: jer je p bijekcija, svaki element skupa { 1 , 2 , . poj avlj uje točn o j ednom

..

, n} se u donj e m r et ku

3.2.

81

Determ i n a nta

Z a svaki n permutacije unutar skupa Sn možemo komponirati. Kako j e kom pozicija dvij u bijekc ij a opet b ij ekc ija , time smo dobili j e dnu binarnu ope­ r acij u na skupu Sn · U stvari je ( Sn , o ) grupa (usp. zadatak 1 u 2. p og l avlju ) .

Propozicija 3 . 2. 2 . Neka je n E N . Skup Sn operacijom čini grupu od n! elemenata.

s

kompozicijom kao binarnom

D okaz. Kompoz i cij a bilo kakvih preslikavanja j e asocijativna operacij a. Neu­ tralni e lement u Sn je i dent ičn a p er mut acij a id =

(

1 2 . . . n) . 1 2 ... n

Za proizvoljan element ( l 2 n ) p= E Sn p ( l ) p ( 2) . . . p ( n )

inverz j e zapravo inverzno preslikavanj e

(pri čemu stupce u tabličnom zapisu od p - 1 možemo, ako že l imo , " pres lo ž iti " tako da u prvom retku tablice elementi skupa { 1 , 2 , . . . , n} budu poredani u svom prirodnom, rastućem poret ku. D r uga t v rd nja se dokazuje jednost avnim induktivnim argumentom. Broj elemenata skupa S1 očito je je d nak 1 ! - to je baza in dukc ije . Da p rove de mo korak, pretpostavimo da je tvrdnj a točna za n E N. Pogle­ daj m o proizvolj an element p E Sn+ l i uočimo da s e vrijednost p(n + 1 ) može odabrati na n + 1 način. Zamislimo da je p(n + 1) = i

za neki i E { 1 , 2, . . . , n, n + 1 } . Ostatak dj elovanja permutacije p je proi zvolj no bij ekt ivno preslikavanj e skupa { 1 , 2, . . . , n } na skup { 1 , 2, . . . , n, n + 1 } \ { i } , a t akv ih , prema pretpostavci indukcije, ima n! . P reostaj e uočiti da j e ( n + l ) n ! = (n + 1 ) ! .

D

Uočimo da je prva t vr dnj a prethodne propozicije zapravo specijalan slučaj tvrdnje zadatka 2 u 2. p oglavlj u . Gr u pa (Sn , o ) je, dakle, specij alan slučaj grup e (B(S) , o) svih b ijektivnih p res l i kavanj a na nepraznom skupu S s kompoz ic ijom kao binarnom operacijom. Grupa Sn se naziva simetrična grupa s t upnj a n . Kad zapisuj emo kompozicij u dv iju p ermutacij a p i q , z nak ko mp o nir anj a o obično ispuštamo i p i š e mo jednostavnije pq.

82

3.

M a t rice q E

Propozicija 3.2.3. Neka je

i

dq : su

Sn proizvoljna permutacija. Preslikavanja

Sn

�

Sn ,

dq (P)

=

pq

bijekcije. Preslikavanje p f-4 p - 1 je također bijekcija skupa Sn na samog sebe.

Dokaz. Neka je qp1 = qp2 . Komponiranjem s q - 1 s lijeve strane slijedi P 1 p2 . Dakle, lq j e i nj ekcij a . Jer j e skup Sn kon a č an to je dovoljno da se zaključi kako je lq bijektivno preslikavanje. An alo gno se dokazuju ost al e dvij e tvrdnje. O

,

Definicija 3 . 2 .4. Neka je

=

Svaki par (i, j) takav da vrijedi i < j i p( i) > p (j ) naziva se inverzija u per­ mutaciji p. Broj svih inverzija u p označava se s I(p) . Ukoliko je I(p) paran broj, kažemo da je permutacija parna; u suprotnom kažemo da je p neparna permutacija. pak

Primijetimo da je I( id) pogledamo

p=

vidimo da su inverzije je p je neparna.

Definicij a

3.2.5.

=

u

Aa p

O,

st o ga je i dentičn a

(2 4 43) 1 2 3 1

permutacij a parna. Ako

E 84 '

p parovi ( 1 , 3) , (2, 3) i (2, 4) ; z at o je ov dje I(p ) E

=

3 pa

Sn definira se predznak (signum) kao

sign p

:=

(- 1) 1 (P) .

Propozicija 3 . 2 . 6 . Za sve p iz Sn vrijedi

.

srgn p

= II - . . . p(j)J - p(i) i

i 1 ( usp . korolar 3. 2. 1 6) . S obzirom na to da je Mn al gebra , možemo također pitati kako se determinanta ponaša s obzirom na množenje matrica. Za razliku od zbraj anj a i množenja skalar om, ovdje odgovor ni p ošto nije očit jer u izrazu det (AB) imamo posla sa zamršenom operaci­ jom množenj a matrica i još zamrš enije definiranom determinantom. Tim je n eočekivan ij a činjenica da j e determin ant a multip l ikativ n o preslikavanje, tj . da vrijedi det (AB) = k onda u lijevom gornjem kutu imamo matricu ( koja je n ast ala iz originalnog bloka A) s k - 1 red aka i k stupaca. Da bismo primij enili pretpostavku indukcije, u determinanti .6. (X ) 1j koja je n - 1. r e da organizirat ćemo drugačiju razdiobu na blokove. U spomenuti blok u lij evom go r nje m k ut u pr idodat ćemo još j edan redak te time gornji lijevi blok učiniti kvadratnom k x k matricom. Primij etimo da smo time i donji desni blok u č inili kvadratnom matricom (ta sada ima n - k - 1 redaka i n - k - 1 stupaca ) . Sada ponovno možemo prim ij enit i p ret post avku in dukc ij e . O dm ah se vidi da je � (X) i j = O

za sve j > k jer je zadnji redak matrice u lijevom gornjem bloku nulredak. Na ovaj način prethodna formula prelazi u det X = a 1 1 ( - 1 ) 1+1 .6. (A) 1 1 · d et B + · · · + a l k ( - l ) l+ k .6.(A ) lk · det B det B · ( a11 ( - 1) 1 + 1 .D. ( A ) u = det A · det B . =

+·

· ·

+ a k ( - 1 ) 1 + k .6. ( A) lk) l

Drugu t vrdnj u leme mogli bismo dokazati analogno. Alt ern at ivno , može se uočiti da donjetrokutasta blok-matrica transponiranjem prelazi u gornjetroku­ tastu blok- matr icu ; zato dr uga tvrdnj a slijedi kombiniranom p rimj en om pret­ D hodno dokazane tvrdnje i propozicije 3. 2. 1 3. Teorem 3 . 2 . 26 (Binet-Cauchy) . Za sve A, B E Mn vrijedi

det (AB) = det A · det B .

Dokaz. S t av im o A = [aiJl i B = [ bij] · Prema prethodnoj lemi imamo a1n

'

o

o

a nn l O

O

1

I I

det A · det B

ani

=

I

- - - - - - - - 1- - - - - - - -

-1

o

O . •

1

I

I

I

bu . .

- 1 'I bn l

b 1n

3 . 2 . Determ i n a nta

(zamijenimo 1. stupac s n + 1 . , 2. stupac s n + 2 . , . . . , n-ti stupac s 2n-tim)

o

O

'

1

I

au

I

:

•

O

O 1 an1

bn

b 1n I1 - 1

- - - - - - - -I - -

•

.

-

ann

- - - - -

O

I

I

bnn : O

-1

(sad ćemo primijeniti elementarnu transformaciju (III) koj a ne mijenj a deter­ minantu: n + 1 . redak pomnožimo s a u i dodaj emo 1 . r et ku , n + 2 . redak pomnožimo s a 12 i dodajemo 1 . retku, . . . , 2n-ti redak pomnožimo s a 1 n i do­ dajemo 1 . retku)

L n

o

k =l

a u b kn Q

1 I

I

I

I I I

a21 :

•

ani

1 - - - - - - - - - - - - - - -1- - -

O

O

bn

b1n

I

I I

I

o

O

-1

--

Q • •

ann --

-

O

-1

( sada n + l . redak pomnožimo s a 21 i dodajemo 2. retku, n + 2 . redak pomnožimo s a22 i dodajemo 2. retku, . , 2n-ti redak pomnožimo s a 2n i dodajemo 2. retku ) .

.

n I: au bk1 k=l n I: a2 k b k1 k=l o

L n

L

k=l n k=l

a2k b kn Q

O

- - - - - - - -

bn

-

I

a31

I

:

a3n

-

o

1

I I

I

O -

o

I

I

= (- l ) n -

o

a u bkn :

-

b1 n

-

-

a i 1 n 1 -1

1

I

-

-

o

- -

ann --O

•

o

-1

99

10 0

3 . M a t ri ce

( analogno nastavljamo dalje te nakon još AB '

[B

- - -1

OJ

n

- 2 koraka konačno dobivamo )

- - = ( ponovno primij enimo lemu ) -I

= ( - l r d et ( AB ) . ( - 1 r = det ( AB ) . =

(- 1 r d et

'

D

Ovime smo kompletirali p regled najvažnijih svoj stava determinante. S ad a smo spremni vratiti se proučavanju regu l arnih matrica i odgovoriti na dva pi­ t anj a s kraja prethodne točke. Sljedeći teorem daje oba odgovora. Teorem 3 . 2 . 27. Matrica A E

Mn je regularna ako i samo ako je det A =f. O.

U tom slučaju je inverzna matrica A - 1 dana formulom 1 A. A- 1 = det A Još vrijedi 1 det ( A - 1 ) = d et A

Dokaz. Neka j e A regularna. Po definiciji, tada p ost o j i inverzna matrica A- 1 - .

Mn za koju vrijedi

AA- 1

=

A- 1 A

E

= I.

Kad na j ednakost AA-1 = I primij enimo determinantu dobivamo det ( AA - i )

=

det I = 1 ,

a odavde je, prema Binet - Cauchyjevom teoremu , det A - det ( A- 1 ) = 1 . Nužno je, dakle, det A =/= O. Osim toga, poslj ednja jednakost pokazuje da za determinantu inverzne matrice vrijedi 1 det ( A - 1 ) ' det A Obratno, pretpostavimo da j e det A =f. O. Prema korolaru 3. 2. 24 imamo =

AA = AA

= (det A)J.

Kako je det A =f. O , ovu jednakost možemo pomnožiti s ( usput ko r ist i mo i korolar 3. 1 . 5 (3)) A

de� A . Tako dobivamo

( � x) = ( � ) de A

de A

A A = I.

Po definiciji, ovo znači da je matrica A regu l arna a zbog jed inst veno st i inverza ( napomena 3. 1 . 9 (a)) , slij ed i 1 _ .A, A- 1 = _ det A

D

3 . 3 . Rang

Primjer 3 . 2 . 28.

Matrica A=

j e regularna jer je det A =

7.

Kako j e

101

[; �]

[ � -;J '

A= -

prethodni teorem j amči da j e A- 1 =

3.3.

�

[7 -78 -7]7 .

Rang

D

U prošloj točki smo pokazali da regularne matrice možemo karakterizirati pomoću determinante. Rang matrice je još jedan koncept prikl.adan za prepoz­ n avanj e regularnih matrica i računanje njihovih inverza. Rang je, međutim, za r azliku od det ermi n ante , definiran za sve matrice (ne nužno kvadratne) , što ga čini važnim tehničkim sredstvom i u širem kontekstu. Definicija 3 . 3 . 1 . Neka je A =

[aij]

E

Mmn (IF) i neka

su

njezini stupci. Rang matrice A, r(A) , definira se formulom

r ( A)

= dim [ { 81 , 82 , . . . , 5n } ] .

skup { 51 , 52 , . . . , 5n } stupčana reprezentacija matrice A E Mmn · Uočimo da je {51 , 52 , . . . , 5n } s adržan u prostoru jednostupčanih matrica s m redaka , te je zato

Napomena 3 . 3 . 2 . (a) Ponekad se kaže da j e

Odavde zaključuj emo da za sve

A E Mmn vrijedi r(A) ::;

m.

.

U drugu ruku, po definiciji linearne ljuske, { S1 , S2 , . . , 5n } je sustav izvodnica za potpr ostor [ { 81 , 82 , . . , Sn }] pa je zato, prema korolaru 2. 2. 22,

.

r(A) = dim [{S1 , S2, . . . , Sn }]

::; n .

1 02

3. M a t rice

Tako vidimo da za svaku matricu A E Mmn vrijedi r(A) ::; dakle, r(A) ::; min{ m, n } .

m

i r(A) ::;

n;

( b ) Kako stupci matrice A čine sustav izvodnica z a [{81 , 82 , , 8n }] i kako se svaki sustav izvodnica može reducirati do baze (propozicija 2. 2. 1 3) , to vidimo da je rang matrice zapravo broj njezinih linearno nezavisnih stupaca. Č esto se i ova o p isna formulacij a uzima za definiciju ranga. .

•

•

( c ) Za razliku od determinante, rang je funkcij a koja poprima isključivo cjelo­ brojne vrijednosti. Još uočimo da je nulmatrica jedina matrica ranga O. Također se odmah vidi da za jediničnu matricu I E Mn vrijedi r(J) =

o

n.

Rang je, dakle, broj linearno nezavisnih stupaca u danoj matrici. Vidjet ćemo i u drugim prilikama da stupci matrice imaju u teoriji važniju ulogu od redaka. No nije nekorisno ponekad promotriti i sporedne objekte i sporedne uloge. Možemo se, na primjer, ovdje pitati i koliko nezavisnih redaka ima dana matrica. Indikativna je pritom diskusij a 2 x 2 sustava linearnih jednadžbi prove­ dena u prvom poglavlju. Pogledajmo matricu koeficijenata

sustava linearnih jednadžbi

ai x + b1y a 2 X + b2y

=

=

c1 C2 .

Njezin rang može biti O, 1 , ili 2. Slučaj u kojem je rang O odmah možemo isključiti iz razmatranja jer tada je to nulmatrica i pripadajući sustav j ednadžbi je u tom slučaju nezanimljiv ( trivijalan ) . Pretpostavimo da rang matrice A iznosi 1 . Po definiciji, to znači da su stupci ove matrice linearno zavisni, tj . da postoji skalar >.. takav da je

[��] [��] . =

>..

--+

--+

U našoj vektorskoj intepretaciji sustava ovo znači da su radijvektori OA i OB kolinearni ( gdje je A = ( a1 , a 2 ) , B = (b 1 , b2 ) ) te stoga sustav ili nema rješenj a, ili je rješenja beskonačno mnogo . No isti zaključak onda mora proizići i iz analitičko-geometrijske interpretacije. To znači da jednadžbe sustava definiraju paralelne pravce, a to j e moguće samo tako da koeficijenti a1 , b1 i a2 , b2 budu proporcionalni kao uređeni parovi. No, poslj ednji zaključak upravo znači da su retci matrice A linearno zavisni, pa broj linearno nezavisnih redaka u A također iznosi 1 .

3 . 3 . Rang

103

Analogno bismo rezonirali i kad bi rang matrice A iznosio 2 i zaključili da su i retci u A nužno nezavisni. Na ovaj način zaključujemo: svaka matrica A E M2 ima jednak broj linearno nezavisnih redaka i stupaca. To, naravno, nije slučajno. Teorem 3 . 3 . 3 . Neka je

rang

matrice A = [aij]

linearno nezavisnih redaka u A iznosi r .

E Mmn jednak r . Tada i broj

Označimo stupce od A sa S1 , S2 , . . . , Sn - Prema pretpostavci, r(A ) = dim [{S1 , S2 , . . , Sn}] = r . Pokazat će se da nije smanjenje općenitosti pretpostavimo li da je skup {S1 , S2 , . . . , Sr } linearno nezavisan. Tada je, posebno, svaki daljnji stupac ma­ trice A linearna kombinacija ovih prvih r : Sj = "/1j S1 + "/2j S2 + (3. 1 ) + "/rj Sr i Vj = r + 1 , . . . , n . Uvedimo matricu A E Mmr čija je stupčana reprezentacija {S1 , S2 , . . , Sr } . (Dakle, A nastaje iz A ispuštanjem zadnjih n r stupaca.) Pretpostavimo da A ima točno p nezavisnih redaka. Jasno je da je p � m (jer m je ukupni broj redaka matrice A) , no također je i Dokaz.

.

· · ·

-

.

·

p�r

(3. 2 )

jer su retci matrice A elementi prostora IFr ( retci su uređene r-torke) , a u tom prostoru nezavisan skup može imati najviše r elemenata. Ponovno neće biti smanjenje općenitosti ako pretpostavimo da prvih p re­ daka u A čini nezavisan skup. Eksplicitno, ako retke u A označimo s R 1 . . . , Rm , onda je skup { R1 , . , Rp } linearno nezavisan, dok za ostale retke postoje skalari A ij takvi da vrijedi

..

Ri = >-.li R 1 + >-.2 iR2 +

· · ·

+ ApiRp ,

i

=

p

+ 1,

... ... ...

,

, m.

(3 .3)

Sada tvrdimo da identične relacije vrijede i za retke R1 , R2 , , Rm matrice A: Ri = >-.1i R1 + >-. 2 i R2 + + ApiRp , i = p + 1 , , m . (3.4) Da bismo dokazali ovih m - p jednakosti, fiksirajmo proizvoljan i , p + 1 � i � m . Gledajući element po element moramo vidjeti da vrijedi aij = >-.lialj + A2i a2j + + Apiapj , Vj = 1 , 2 , . . , n . (3.5) Za j = 1, 2 , . . . , r , međutim, nemamo što dokazivati - točno to nam govori jednakost (3.3) kad je raspišemo po elementima redaka. Uzmimo zato j > r. Najprije iz (3. 1 ) čitamo ·

·

·

.

· · ·

aij

=

r

r

k=l

k=l

(

p

L "/kj a i k = (koristeći (3.3 ) ) = L 'Ykj L >-.1i al k l=l

)

.

104

M atrice

3.

P r e ost aj e p okaz at i izrazu.

da je i desna strana jednakosti ( 3 .5) jednaka

Zaista, ako isko r i st imo (3. 1 ) , p

desnu str anu od ( 3 .5) možemo pisati u obli ku p

L A t iatj L A ti l=l

=

dobivenom

l=l

(L r

k=l

)

"!kj a lk .

Time smo dokazali relacije (3. 4 ) . Iz (3. 4 ) či t amo da A ima n aJ vise p nez avisn ih redaka. Ako broj nezavisnih redaka u A ozn ačimo s t, vr ij edi , dakle t ::::; p. Po go tovo je tada, prema (3.2) , t :S r . Kako j e m at r i c a A bila proizvoljno odabrana, dobi vena nej ed nakost vrijedi za sve matrice. Posebno, ako tu nejednakost p ri mij enimo i na At , d ob i vamo D r ::::; t. Zato je t r .

,

=

Uočimo da smo u z avršn o m argumentu d okaz a prešutno koristili sljedeću očiglednu činjenicu: skup jednostupčanih matrica

je line arn o

nezavisan ako i samo ako je nez avis an skup uređenih m-torki

Pitanj e broj a linearno n ez avis n i h redaka u matrici je irelevantna za samu defi nicij u ranga jer za rang su, po definiciji, relevantni isključivo stupci dane m at ric e U tom smislu se pitanje broja nezavisnih redaka može činiti akadem­ skim, a pret ho dni teorem samo usputnom primj edbom. Međutim, brzo će se pokazati da j e taj teorem izrazito koristan pri e fekti vno m računanj u ranga. Zabilježimo najprij e tvrdnju teorema 3. 3. 3 u ekvivalentnom obliku koj i će biti spretnij i za primjenu.

.

Korolar 3 . 3.4. Za svaku matricu A

E Mmn

vrijedi

U pro č avanj u determinante bilo je korisno vidjeti kako se determinanta ponaša pri pr imj eni elementarnih transformacija (uve den ih u definiciji 3. 2. 20) . Isto pi tanj e možemo postaviti i z a rang. Teorem 3 . 3 . 5 . Neka je matrica A' dobivena iz matrice A E Mmn primjenom neke elementarne transformacije. Tada je

r( A ' )

=

r(A) .

Dokaz. Dokažimo teorem n ajprij e u slučaju kad j e A' dob ivena iz A nekom t r ansform ac ijo m stupaca. Najprije pr imij eti mo : ako A' n astaje iz A jednom od

3.3.

1 05

Rang

elementarnih transformacija stupaca, onda primjenom istovrsne t ransformacij e stupaca na A' dobivamo originalnu matricu A . Zbog toga je dovoljno dokazati da vrijedi

r (A' ) :S r(A)

(jer tada će isti zaključak primij enjen na ove dvije matrice u obrnut im ulogama dati i obrnutu nejednakost) . Označimo stupce matrica A i A' s a S1 , . . . , Sn , odnosno S� , . . . , S� . Po defini cij i ranga, treba dokazati To će slijediti iz a za to j e dovoljno vidj eti da vrij edi

Ovo je, međutim, trivijal na p oslj edi ca definicije elementarnih transformacija. Naime, ovisn o o tome koj u smo tr ansform aciju izvršili, svaki od stupaca Sj je ili j ednak nekom Si , ili je oblika >.. Sk , ili j e pak oblika Sk + >.. Sz . Preostalo je dokazati t vr dnju teorema u slučaju kad A' nastaje tr ans­ formacijom redaka matrice A. Uočimo da efekt A - A' možemo proizvesti i okolnim put e m

Naznačeni koraci imaju slj edeće zn ače nj e matricu A naj pr ij e transponiramo, nad transponiranom m atricom izvedemo trans formacij u stupaca koja odgovara dan oj transformaciji redaka A - A' i na kraju tako dobivenu matricu (At ) Q :

opet transponiramo - očito se konačni rezultat ( ( At ) Q )t zaista podudara s A' . ' Zato je

S druge strane, komb inacij om pret ho dn og korolara i prethodno do kaz ane tvrdnj e z a stupce, imamo D

Definicija 3 . 3 . 6 . Kažemo da je matrica B E Mmn ekvivalentna matrici A E Mmn {i pišemo A ,...., B) ako se B može dobiti iz A primjenom konačno mnogo elementarnih transformacija redaka ili stupaca. Napomena 3 . 3.7. D efini r an a relacij a ,...., je očito storu Mmn ·

relacija ekvivalencije na pro­ D

106

3 . M a t rice

Neposredno iz prethodnog teorema sada slijedi: Korolar 3 . 3 . 8 . Za A, B E Mmn vrijedi: A B ====> r ( A ) = r ( B ) . Teorem 3. 3. 5 i prethodni korolar daju nam praktičnu metodu za računanje ranga. Ideja je primijeniti na zadanu matricu A konač an niz elementarnih trans­ formacija s namjerom da se dobije ekvivalentna matrica B čiji rang možemo iščitati i bez računanja. Definicija 3 . 3 . 9 . Neka su m, n E N i r E {O, , min { m , n } } . Matrica ""

1 , 2 , . . 1 01 0 0 o: o 0o 0 I

I

Dr =

. I

O

•

I

1 1

E Mm n ,

- - - - - - - -\- -

I I

pri čemu je točno r jedinica na dijagonalnim mjestima, zove se kanonska ma­ trica tipa m x n ranga r .

Rang matrice Dr zaista iznosi r j er prvih njezinih r stupaca očito čini linearno nezavisan skup, a ostali stupci su nulstupci. Za ilustraciju pogledajmo prostor M43 . Kanonske matrice tipa 4 x 3 su: Do

[ 1 o o ] [ 1 o o ] o o o o 1 o =0, Oo o o o o o Di =

O O '

D2 =

O O O '

Kako se i naslućuje, skup kanonskih matrica u prostoru Mmn će biti skup pred­ stavnika svih klasa ekvivalencije s obzirom na relacij u ekvivalentnosti matrica. To je sadržaj sljedećeg teorema. Međutim, dokaz tog teorema dat će nam i više: algoritam za računanje ranga proizvoljne matrice. Teorem 3 . 3 . 1 0 . Neka je A E Mmn i r ( A ) = r . Tada je

O

Ako je A = onda je u stvari A = D0 , pa se nema što dokazivati. Pretpostavimo da je A = [aij] i- O. Smijemo pretpostaviti da je a 1 1 i- O (j er u suprotnom, primjenom transformacije (I) možemo u gornji lijevi kut ma­ trice dovesti koeficijent različit od O) . Primijenimo transformaciju (II) ( množe­ nje s -1- ) na prvi redak matrice A tako da u lijevom gornjem kutu dobijemo 1 . Dokaz. ,

a11

3 . 3 . Rang

107

Označimo tako dobivenu matricu s

A' =

1 a; 1 a; 1

a� 3 a; 3 a; 3

a� n a ;n a; n

a�1 a �2 a� 3

a� n

a� 2 a; 2 a; 2

Jasno je da vr ij edi A "' A' . Sad ćemo sustavno pri mjenjivati transformaciju (III) , prvo nad retcima, zatim nad stupcima matrice A' s cilj em da dobijemo matricu o 1 o o b2n o b22 b2 3 b3n B = o b3 2 b33

o bm2 bm3

Konkretno, da bismo iz A' dobili B , treba 1. redak od A' množit i s -a; 1 i do dati 2 . retku, zatim ponovno 1 . redak od A' množ i t i s -a� 1 i dodati 3 . retku, i analogno dalje. Time ćemo u prvom stupcu, od drugog retka naniže dobiti same nule. Analogni manevar sada treba provesti nad stupcima tako da i u prvom retku, od drugog stupca nadalje dobijemo nule. Jasno je da je A "' A ' "' B ;

bmn

posebno, ove tri matrice imaju jednake rangove. Ako je r ( A) = 1 , nužno je bij = O, Vi, j (jer u protivnom bi rang matrice prema tome B = D1 i dokaz j e gotov. Ako je r (A) > 1 ,

B

bio barem 2 ) , te je

2.

onda je i r ( B ) > 1 , pa je barem jedan od koeficij enata bij različit od O. Nije smanjenje općenitosti ako pretpostavimo da je b22 of. O. Naime , primjeno m transformacije (I) nad matricom B ( ko nkretno, zamjenom 2 . i i-tog retka, te i j-tog stupca) možemo postići da koeficijent bij koji j e različit od O dođe na poziciju "dva-dva" . Sad n ast avimo primjenj uj ući transformaciju (III) u istom duhu kao u prvom koraku, s namjerom da dođemo do matrice

1 o o o 1 o C = o o C33

o o Cm3

o o

C3 n

C mn

108

3 . M a t rice

Opet je B

,..._,

C, pa onda zbog tranzitivnosti ove relacije i A ,..._, C, te je stoga i

r (A)

=

r ( C) .

Ako j e r(A) = 2 , jasno je da je cij = O, Vi, j i zato je C postupak nastavimo . Korolar 3 . 3 . 1 1 . Neka su A, B

A "' B

E

Mmn . Tada

�

Dokaz. Jedan smjer je već dokazan u

D2 •

Ako je r(A)

>

O

2,

vrijedi:

r (A) =

korolaru

=

r(B).

3. 3. 8. Da dokažemo obrat , pret­

postavimo da j e

i

i tranzitivna re lac j a ,

r(A)

=

r(B)

Tada j e, prema prethodnom teoremu, A

= r.

Dr i B

zaključujemo da je A ,....., rv

rv

O

Dr . Kako j e ,..._, simetrična

B.

Primjer 3 . 3 . 1 2 . lzračunaj mo rang matrice

A=

[-� � �21 1 5

Najprij e prvi redak do d aj emo drugom, a i dodaj emo trećem. Tako dobivamo

zatim prvi

redak množimo s - 1

Već sada vidimo, po definiciji ranga, da je r(A) 2. U praksi tako često p ost upamo ; ako smo zainteresirani samo za rang dane matrice nij e nužno doći D sve do matrice Dr ako se rang može očit ati i ranije. =

Prethodnim rez u l t at i m a opisali smo svojstva i tehnike računanja ranga. Pogledaj mo sada čemu rang matrice služi. Vratimo se n ajp r ij e na trenutak elementarnim transformacij ama. Do sada smo elementarne transformacije doživlj avali (i koristili) kao neku "vanjsku" in­ tervenciju nad matricama, potpuno izvan konteksta algebarske strukture pro­ stora Mm n · S filozofskog staj ališta takva situacij a nije poželjna, s estetskog još manje. Zato je pr ir o dno pitati imaj u li ipak elementarne transformacij e i neku algebarsku

interpretaciju.

3 . 3 . Rang

Definicija 3 . 3 . 1 3 . Neka je n E N . Elementarne matrice n -tog reda su (elementi koji nisu eksplicitno navedeni jednaki su nula) j 1 l 1

i

1

1

o

--t

1

i, j

1 j

=

1 , 2, . . .

, n,

i i- j ;

o

--t

1 1 1 1 1

Ei , >. == i

-+

>..

i = 1 , 2,

1

. . . , n,

>..

E lF \ { O} ;

1 i : E;,j,>.

= i

-+

j 1

>..

1

i, j = l , 2 , . . .

1 1

, n,

i f. j,

A. E lF \ {O} .

Napomena 3 . 3 . 14. Podrazumijevamo da j e u matrici Ei, j ,>. skalar .A na mjestu (i, j ) (pa je u navedenoj definiciji matrica Ei,j ,>. prikazana u slučaju kad je j < i) . Primijetimo da Eij nastaje zamjenom i-tog i j-tog st upca (ili retka) u matrici I. Zato je, prema propoziciji 3. 2. 1 7, 1

det Eij

=

-1,

te je, prema teoremu 3. 2.27, Eij regularna matrica.

10 9

1 10

3 . M a trice

Iz istog su razloga i matrice Ei ,>.. i Ei ,j ,>.. regularne. Naime, te su matrice trokutaste, pa im je determinanta j ednaka produktu dij agonalnih koeficijenata. Dakle je .. = >.#- O det Ei,j,>.. = 1. Š toviše, lako je odrediti i inverze elementarnih matrica. Vrijedi

E-:-� 'l. 1 A

=

E-t , °Xi '

o

Teorem 3.3. 1 5 . Množenjem proizvoljne matrice A E Mm n s elementarnim ma­ tricama s lijeve, odnosno desne strane realiziraju se elementarne transformacije nad retcima, odnosno stupcima matrice A .

Dokaz. Najprije treba uočiti d a z a množenje s lijeva treba uzimati elementarne matrice iz algebre Mm, dok za množenje s desna uzimamo elementarne matrice i z Mn . Pritom je Eij A matrica koja nastaje zamjenom i-tog i j-tog retka u A , Ei , >.. A je matrica koju dobivamo tako d a i-ti redak u A množimo s >. , a umnožak Ei ,j,>.. A je matrica koj a se dobije kad se i-tom retku matrice A pribroj i njezin j-ti redak pomnožen s >. . Analogno se precizira tvrdnj a o množenju matrice A elementarnim matri­ cama s desne strane. Sve navedene činj enice se dokazuju direktnom provjerom. o Dosad dobivene rezultate sada ćemo primijeniti na kvadratne tako dobiti još jednu važnu karakterizaciju r egu l arn ih m at r ic a .

matrice

i

Teorem 3 . 3 . 1 6 . Matrica A E Mn je regularna ako i samo ako je r (A)

=

n.

Dokaz. Pretpostavimo najprij e da j e r ( A) n . Prema teoremu 3. 3. 1 0, A "' Dn . Kako je ovdje Dn E Mn kanonska matrica s točno n jedinica na dij agonali, zapravo je Dn I. Imamo, dakle, A ,....., I. Po definiciji relacije rv , A se može dobiti iz I primjenom konačno mnogo elementarnih transformacij a nad I. Prema teoremu 3. 3. 1 5, ako smo primijenili k transformacij a nad retcima i l transformacij a nad stupcima, možemo pisati =

=

pri čemu su Ei , Fj , elementarne matrice koje realiziraj u izvedene transformacije. Kako su, prema napomeni 3. 3. 14, elementarne matrice regularne , i matrica A je, kao produkt regularnih matrica, regularna. Preostaj e dokazati obrat . Tu pretpostavljamo da je matrica A regularna, a treba pokazati da je r(A) = n.

3.3. Rang

Pretpostavimo suprotno: neka za regularnu matricu A vrijedi r(A) -f. n . Kako rang matrice A E Mn n e može biti veći od n , r(A) -f. n z nači da je r(A) < n . D akle je skup st u pac a { 81 , . . . , Sn } mat ric e A line arno zavisan. Po propoziciji 2. 2.4, postoji neki sk koj i je linearna kombin ac ij a preostalih stupaca matrice A. Recimo da je sk

=

k-l

n

i=l

i=k+l

L >..i si + L

>.. i si ·

lzvedimo sad nad A s lje deće transformacije stupaca: • pomnožimo prvi stupac s - >.. 1 i dodajmo ga k-tom; ... pomnožimo zatim drugi stupac s - >.. 2 i dodaj mo ga također k-tom

... i analogno d alj e (slijedeći pr ikaz stupca sk po mo ć u ostalih) .

B će očit o u k-tom st up cu imati same nule. Zato mora biti det B = O. Prema propoziciji 3. 2. 1 9 tada imamo i det A = det B. = O. No, to je kont r adi kc ij a s det A -f. O što slijedi iz pretpostavke da je A regularna i D teorema 3. 2. 21.

Tako dobivena matrica

Iz prvog d ij el a dokaza opažamo da su elementarne m at ri c e sv oj e vrsn i "atomi" iz koj ih je sastavljena svaka r egu l arna matrica. Ovu či nj en ic u vrijedi

zabilježiti kao zasebnu tvrdnju.

Korolar 3.3. 1 7. Svaka regularna matrica je produkt konačnog broja elemen­ tarnih m atri ca .

Sada možemo na još j edan način opisati relaciju ekvivalentnosti

matrica.

Korolar 3 . 3 . 1 8 . Matrice A, B E Mm,n su ekvivalentne ako i samo ako postoje regularne matrice S E Mm i T E Mn takve da vrijedi B = SAT.

Dokaz. Ako postoj e r egu larn e matrice S E Mm i T E Mn t akve da vrijedi = SAT onda, prema prethodnom korolaru, postoje prirodni b roj ev i k i l i elementarne matrice E1 , E2 , . . . , Ek E Mm i F1 , F2 , . . . , F1 E Mn takve da vrijedi

B

B

=

Ek

· · ·

E2 E1 AF1 F2 · · · · F1 .

Prema teoremu 3. 3. 1 5, odavde zaključujemo da j e A ,....., B. Obratno, ako je A ,....., B , onda, p onovno na t emelj u teorema 3. 3. 1 5, nala­ zimo e l ementar n e matrice E1 , E2 , . . . , Ek E Mm i F1 , F2 , . . . , F1 E Mn takve da vrijedi Sad definiramo

D

11

112

3.

Matrice

S teorij s ke točke gledišta teoremi 3. 3. 1 6 i 3. 2. 27 s u jednako vrijedni jer oba daj u kompletnu karakterizaciju re gul ar nih matrica. No, t eo re m 3. 3. 1 6 j e često s pr et nij i za pri mj enu od teorema 3. 2. 27. Š toviše, uz malu mo di fikacij u argument a iz dokaza dobivamo j edn ostavnu , tzv. Gauss-Jordanovu met od u in­ vertiranja matrica. Pretpostavimo da je m at ric a A E Mn regularna. Prem a teoremu 3. 3. 1 6, tada je r ( A ) = n i A I. Matricu I možemo, dakle , dobiti elementarnim t rans for m acij am a nad matricom A. Lako se vidi da to možemo učiniti trans­ formirajući samo retke (ili samo s t upce ) od A. Pretpostavimo da smo učinili tako. Prema teoremu 3. 3. 1 5 imamo onda '""

pn c emu smo učinili t t ransformacij a , a matrice Ei su elementarne matrice kojima su ( upravo tim r edom ) te transformacij e redaka re ali z ir ane. Matrica Et · · · E2 E1 j e zbog napomena 3. 3. 14 i 3. 1 . 9 (dj regularna. Zato pre t hod na jednakost pokazuje da su A i Et · · · E2E1 jedna d ru goj inverzne ma­ tri ce ( usp. zadatak 1 0 ) . Vrijedi, dakle, što možemo pisati i kao Sad, međut im , u svj et l u teorema 3. 3. 1 5, zadnju jednakost možemo pročitati na sljedeći način: ako na matricu I pr imij eni mo točno one iste transformacije redaka, i to u istom poretku kojima smo iz matrice A dobili I, rezultat će biti upravo A- 1 1 U praksi nije potrebno voditi zapisnik o učinjenim transformacijama. Za­ danoj matrici čij i inverz tražimo ( čak i ako n e znamo unaprij ed d a j e regularna) , računat ćemo rang is klj učivo transformirajući njezine ret ke , a svaku transforma­ ciju koju izvodimo odmah ćemo, paralelno, učiniti i nad j edi ni čnom matricom. Izađe li da je rang dane m atr i ce A E Mn manji od n , ovaj p ar ale lni postupak je bio uz alu dan . Ako je pak zadana matrica regularna, njezin rang je nužno jed n ak n , u konačno mnogo koraka prevest ćemo tu matricu u jediničnu, a paralelni konačni rezultat ( tj . matr ic a koju smo dobili istim koracima iz I) j e t ad a traženi inverz od A . Primjer 3 . 3 . 1 9 . Odr e d im o , ako postoji, inverz matrice A =

[� : !]

3 . 3 . Rang

Formirajmo odmah

[i

"duet"

113

]

od matrica A i J:

1

o;1 o o 1 1 110 1 o o 1 210 o 1 (koje smo odijelili iscrtkanom linijom ) i transformirajmo retke lijeve strane (to je zadana matrica A) s namjerom da dođemo do I, a ist e te tranformacije usput i zve dimo i na desnoj st ran i . Započet ćemo tako da prvi redak pomnožimo s - 1 pa ga dodamo drugom

1

retku:

1 1 1 o 1

[

I

�i [� � � :-� � �i i ] [ li1 [1 1

o o 1 (sad z am ije n imo drugi i treći redak) 1 o; 1 o o o 1 21 o o 1 o o 1 1 -1 1 o '"" ( od prvog retka oduzmemo drugi ) o -2 ; 1 o o 1 21 o o o o 11 1 o '"" ( sad od drugog retka oduzmemo treći pomnožen s 2 ; te prvom retku dodamo treći pomnožen s 2)

f"V

o

1 21

I

rv

I

I

-1

[� � � : -� � �i -

-

o o 1 1 -1 1 Iz prethodne diskusije sada slijedi da je f"V

I

A-1

=

o

[-� -� -�i-1

1

o

D

Identičnu tehniku možemo primijeniti i kad izvo d imo samo transformacij e stup aca matrice koju želimo invertirati - opravdanje je p otpu no analogno ma­ loprij ašnjem objašnjenju postupka invertiranja pomoću tr ans fo rm acij a redaka . Naravno, rang matrice najefikasnije možemo izračunati ako kombiniramo transformacije redaka i stupaca. Tako bi smo i ovdje mogli poći od či nj en ice da, ako je m at ric a A regul arn a , imamo (kao u p rvom dij elu dokaza teorema 3. 3. 1 6)

1 14

3. Matrice

gdje su Ei , Fj prikl adno o d abr ane e lem ent arn e m atri ce . Odavde je pa i nvert ir anjem dob ivamo Opet je dobivena formula za A- 1 , no ne vidi se kako bi s e ovo moglo j ednostavno i efikasno iskoristiti za o dređ i vanje A- 1 kao u s lučaju kad transformiramo samo retke ili s amo stupce. Na k raj u , vratimo se j oš jednom dokazu teorema 3. 3.1 O, odnosno algoritmu za računanje ranga matrice. Pr etp ost avimo da je A kvadratn a matrica. Da bismo izr ačun ali nj ez in rang, nije nužno da j e el ementarni m transformacijama dovedemo do kanon ske matrice Dr . Za određivanj e ranga je sasvim dovoljno svesti mat r ic u A na gornje­ trokutasti oblik.

Pogledajmo primjer:

Ovdj e smo u prvom kor ak u p rvi redak množ ili s - 2 i do d ali drugom retku, a nakon toga smo prvi red ak množili s - 1 i dodali trećem retku. U drugom koraku s mo drugi redak p omnožili s - 1 i dodali trećem retku. Rang do bivene matrice, pa onda i rang p olaz ne matrice A evi d ent n o iznosi 3; naime, trokutasta st ruktura jasno pokazuje d a su svi st up c i linear no nezavi s ni . Jednostavnom adaptacijom al goritma iz dokaza teorema 3. 3. 1 0 svaku kvadratnu ·matricu možemo elementarnim transformacijama dovesti do gornje­ trokut ast og oblika. Štoviše, jasno j e da to možemo p ost i ći isklj uč ivo trans for mi­ r aj ući ret ke . Pretp os t avimo na trenutak da smo do gornj e t rokut aste forme uspjeli doći bez z amj ene redaka. Ako dobivenu gornjetrokutastu mat ri cu označimo s U, onda je

pri čemu su sve matrice Et , t = 1, 2, . . . , k, oblika Et = Ej, i,>.. jer smo koristili samo transformaciju (III) . P rim ijet imo još da je u svim tim matricama j < i z ato što smo u svakom kor aku određeni redak množili nekim skalarom i do­ davali neko m retku ispod njega. Zato s u sve korištene matrice Et = Ej, i ,>.. , t = 1, 2, . . . , k , do njet rokut ast e . Osim toga, iz jed n akos t i

115

3.3. Rang

dobivamo

A = E1 1 E2 1

Pritom su, zbog E-:\ = E3· ' i ' - A > i sve J , i , /\ taste.

EJ; 1 U. matrice Et- 1 , t = 1 , 2, · · ·

.

.

.

, k, donjetroku-

Lema 3.3.20. Neka su A = [aij] , B = [bij] E Mn donjetrokutaste (gornjetroku­ taste) matrice. Tada je i AB donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica.

Dokažimo tvrdnju za donjetrokutaste matrice.

Dokaz.

aij = bij

=

O,

Vi


kj /'j = A. bi + bk · obratna inkluzij a tada slij edi

=

=

j=l

j= l

j= l

Napomena 4.2.4. Uočimo d a su elementarne t rans form acij e sustava zapravo eleme nt ar ne tr ans form ac ij e re d aka p roš irene matrice Ap . Elementarne t r ansfor­ m acij e stup aca ov dj e nećemo izvoditi. Može se primijetiti da bi elementarne transformacije stupaca zapravo zn ačile uvo đenje novih nepoznanica koje bi s originalnim nep o z nanic am a x 1 , . . . , Xn bile vezane linear nim transformacij ama. D

Prijeđimo sada na opis Gaussove metode elimi n acij e . Istaknimo j oš j e d­ nom da je riječ o univerzalnom al gor it mu za rješavanje pro izvo ljno g sustava linearnih jednadžbi. Neka je dan s ust av

a1 1 x1 + ai 2 X 2 +

a2 1 X1 + a2 2X2

+

· · · ·

·

·

+ a2n X n

+

a 1 n Xn

=

=

bi

b2

( 4 .5)

128

4 . S u stavi l i n ea r n i h j e d n a d ž b i

Elementarnim transformacij ama sustava (a to su elementarne t rans form acij e redaka proširene matrice Ap) dobivamo u konačno mnogo koraka matricu

1

o 1

o

A'p

=

o

o

o o

o

o

o

o

o 1

o

I a2,r+ 1

o

0 X1 ·

+ 0

X2 +

·

X2

+

0 X 1 + 0 X2 +

+

· · ·

+ 0 Xr +

0

· Xr

o

o

b�+l b'r

I

I

b'm

· · · + a� n Xn ·

·

·

+ a ; n xn

+ a�,r+ 1 X r +l + · · · + a�n Xn 0 Xr+l + · · · + 0 · Xn +

· · ·

Xr

b;

a�n

o

+ a� ,r + l Xr+ l + + a ; ,r + i Xr +l +

b'1

a;n

a rI , r+ l ............. o

odnosno sustav

X1 +

a� n

aIl ,r+l

·

0 · Xr + l +

· ·

+

0 Xn

=

=

b� b;

b�+l

= b� =

(4 . 6 )

b'm

Primijetimo najprij e da navedenu formu od A� uvijek možemo dobiti ele­ mentarna transformirajući retke polazne proširene matrice Ap . P r it o m je pret­ postavljeno, odnosno i z r ačunat a , r(A) r. Naime, ako je r = O nema se što računati, a ako je r > O onda se nekih r stupaca može elementarnim transfor­ macijama redaka dovesti do oblika kakav ima prvih r s t up ac a u A� . Vidjet će se da naša p re tpos t avka kako je to slučaj upravo s p rvi h r st up aca ne predstavlja sm anje nje općenitosti. Prema propoziciji 4 . 2. 3, dobiveni sustav ( 4.6 ) je ekvivalentan p o laz nom sustavu (4. 5) . Sada iz i zgl eda s us t ava ( 4.6) , odnosno iz matrice A� , odmah uviđamo da je (4.6) rješiv ako i samo ako je ·

·

·

·

·

=

=

b�+ 1

=...

= b'm = o.

To, naime, s lij e di iz teorema 4 . 1 . 5. ( I zr avnu potvrdu ove činjenice nam daje i izgled z ad nj i h m - r j ednadž b i sustava ( 4 .6) . ) Ako, dakle, z a bar j edan i , r + 1 s:; i s:; m , vrij edi b� i- O , zadani sustav nema rješenj a.

4.2.

Gaussova metoda e l i m i nacije

Pretpostavimo sada da je

b� + l

= . .

.

=

b�

=

o.

Tada dobivena matrica A; ima oblik

A'p

=

1

o

o a Il ,r+l

o

1

a2,r+l

o

o

..... ..

o o

I

.

o

o . . „ . .

o

o 1 . . . . . . . ..

I

a r,r+ l

o

o

o :

o

.........

. .

a in

b'1

a 2n

b2

a� n .

b'r

o

o

o

o

.

. .

Odavde odmah vidimo da je Go = (b� , b� , „

„

b� , o „ . „ o )

j e dno partikularno rješenje. Preostaje naći bazu p r osto r a rj ešenj a p rip adnog homogenog sustava. Uoči­ mo da to također možemo iščitati iz gornje matrice; pritom treba z amišlj ati da je b� = O , i = 1 , 2, . . . , r, jer su u polaznom pridruženom homogenom sustavu svi slobodni članovi bili j ednaki O. Sad iz m at ri c e A; nal az imo slj edeća rješenja pridruženog homogenom sustava:

C1 C2

= =

(- ai ,r+l • - a2 ,r+l • · · · ' - a�,r+ l • 1 , O, · · · ' O) ( -ai,r+2 • - a 2,r+2 • . . . ' - a� ,r+2 • O, 1 , . . . ' O) - a2 ' n • · . . ,

- a� ' n , o , o , . . . , l )

Da su C1 , . . . , Cn - r z ai s ta rješenj a pridruženog ho mo geno g sustava vidi se direktnom provj erom. Jasno je također da je s kup { C1 , . . . , Cn- r } linearno nezavisan ( t o je očito iz izgleda zadnj ih n - r komp onenti u svakom Ci , i = 1 , 2 , . . . , n - r) . Dokažimo da j e skup { C1 , . . . , Cn -r } i sustav iz vodni c a z a prost or rj ešenj a pridruženoga homogenog sustava. Neka j e C = (/1 , . . . , /n ) proizvoljno rješenje pri druženoga homogenog sustava. Eksplicitno, to znači:

+ ai , r +1 lr +1 + . . . + ain /n = o + a2,r+ i 'Yr+ l + . . . + a2n'Yn = o /r + a�, r+1 'Yr+l + . . . + a�n /n

=

o

129

130

4. Sustavi li nearn i h jed n adžbi

Sad tvrdimo da je

C = 'Yr+ 1 C1 + 'Yr+2C2 +

+ 'Yn Cn- r ·

Da se u to uvjerimo, treba samo usporediti sve ko m p onent e . Međutim, prethod­ ni skup j edn akost i daj e upravo jednakost prvih r komponenti, dok su jednakosti ostalih n - r komponenti trivij alne. Iz svega rečenog s lij edi : opće rješenje dobivenog, a time i polaznog sustava j e dano s ·

·

·

n-r

i=l

Izravno iz pr e th o dno g algoritma dobivamo sljedeću važnu činjenicu:

Mmn (F) , r(A)

Ne k a je O prostor rješenja homogenog sustava AX Tada je

= r.

Korolar 4 . 2 . 5 .

Posebno, ukoliko je r (A) =

dim O n

=

O, A

E:

= n - r.

onda sustav AX = O ima samo trivijalno rješenje.

Uočimo da di menzij a prostora rješenja ovisi samo o broju nepoznanica i o r an gu matrice sustava; kako smo već i istaknuli, broj jednadžbi u sustavu sam za sebe nije relevantan p o d atak . Primjer

4 . 2 . 6 . Rij eš i m o

sustav

X 1 + 2x2

2x 1

+ 2x2 x1 - 2 x2 x1

+ 2x3 - x3 + 6x3 + 5x3

+ 3x4 + X5 - x4 + 5 x 5 - x4 + 5x5 - 12x4 + 12x5

33 ] [] [ [t 1 -1 [� 3; 1 11 [1 0 0 [� 3 11

3

=

3

=

2

= =

-1

Transformiraj ući proširenu m at ri cu sustava Ap dobivamo sljed e ći niz ekviva­ lentnih matrica, o dnosno sustava:

o -1

- 1

2

2

2

6 -1 5 -12

-2

3

2 2 -4 -5

o

-4

o o -1

�

5

; :

2

12 I

-1

5

rv

3 -7

1: Q

QIQ l o I

-2

1

1; 3 3 I -4

'

rv

1 : l 31 1 3; 1 0 1

3 3 ;1 - 4

2 3 0 -4 - 5 - 7 O o 4 -4 Q -4 3 - 1 5 2

1

I

3 - 1 5 1 : -4

o o 1 -1 1 o o o

.1

rv

4: o

o 5 -1 ; 8 I -4 -4 Q - 2 O O 1 -1 1: O o -4 o - 12 8 : - 4

Q 1

2

Q 1 o 3 o o 1 -1 o o o o -1

-4

-2 1 1

1

1:o

0 '1

.

4 . 2 . Gaussova m etoda e l i m i n a c ije

131

Odavde vidimo d a rang matrica A i Ap iznosi 3 t e d a je dimenzija prosto­ ra rješenj a pridruženog homogenog sustava jednaka 2. (U tradicionalnoj ter­ minologij i reklo bi se da rješenje ovisi o dva slobodna parametra.) Pišemo li rj ešenj a kao jednostupčane matrice, dobivamo partikularna rj ešenje 1

1

1

-3

Go = o o o

C1 =

1 1 o

-1

-3

te C2 =

2

o 1

Opće rješenj e danog sustava je, dakle,

o

Ako je matrica sustava A kvadratna, tj . ako dani sustav ima jednak broj jednadžbi i nepoznanica, Gaussova metoda eliminacije je zapravo ekvivalent LU dekompoziciji koju smo razmatrali u završnoj točki prethodnog poglavlja1 . Pretpostavimo da j e dan sustav AX = B pri čemu je A E Mn . Uzmimo da je A = LU

faktorizacija matrice A na donjetrokutasti i gornjetrokutasti faktor. Sada dani sustav možemo pisati u obliku

LUX = B .

Uz supstitucij u U X = Y sada se rješavanje polaznog sustava svodi na rješavanje dvaj u sustava: LY = B ux = Y. Primijetimo da su oba sustava rješiva neposrednim sukcesivnim određivanjem svih nepoznanica jer su obje matrice trokutaste. Uočimo još da, po konstrukciji, matrica L ima j edinice na svim dijagonalnim mjestima. Posebno, prema propozi­ ciji 3. 2. 1 1 , O i imamo beskonačan (u stvari (n - r(A))-dimenzionalan) skup rješenja. Pobliže ćemo razmotriti slučaj kad je n = r (A) , tj . kad je matrica A regularna. -

nalaženje takve dekompoz icije pokazuje ekvivalentom Gaussove metode elimin acije za pro­ izvoljne sustave linearnih j ednadžbi. 1 Postoji

i analogna dekompozicij a matrica koje nisu nužno kvadratne te se zapravo

1 32

4. Sustavi l i nearn i h jed nadžbi

Definicija 4 . 2 . 7. Kaže se da j e sustav AX B Cramerov ako je A E Mn (d akl e, broj j edn a džb i je jednak broju nepoznanica) i ako je A regularna matrica. =

Propozicija 4 . 2 . 8 . Cramerov sustav AX

stvena i dano formulom

=

B je rješiv, a rješenje mu je jedin­

Dokaz. Da je C rješenje vidi se izravnim uvrštavanj em, a j edinstvenost slij edi O korolara 4 . 2. 5.

iz

Korolar 4 . 2 . 9 . Neka je C = (11 , . . . , "fn ) jedinstvena rje še nje Cramerova susta­ va AX = B Tada je D· "(j = , j 1 , . . . , n, .

_d

=

pri čemu je D det A, a Dj je determinanta m atri ce čiji je j -ti stupac up rav o B, dok su joj ostali stupci isti kao u A . =

Dokaz. K ako je A = [aij] regularna m at ri c a , D = det A i- O, p a je formula s mi slen a . Iz C = A-1 B vidimo d a je '°Yj zapravo umnožak j-tog retka od A - 1 i matrice B. Prema teoremu 3. 2. 27 z namo da je

gdje je A adjunkta matrice A. P o definiciji adjunkte je [A] r s je Asr algebarski komplement koeficijenta asr · Zato je n 1 -

=

Asr i pri čemu

13 = 2: n [A]3ibi = D L bi Aij = D Dj , i=l i=l 1 n

s t im da j e z adnj a jednakost dobivena po j-tom stupcu.

4.3.

Laplaceovim razvojem determinante Dj

O

Zadaci

1 . Riješite sustav

3x1 - X 2 + 2x 3 2x1 + 3x 2 - 5x3 X1

2.

1

Riješite sustav

+

X2 + X3

X 1 - 2x2 + X3 2x 1 + 3x2 - X3

4 X 1 - X2

+ X3

=

=

=

O O .

Q

4

3 . = 11 =

=

4.3. Zadaci 3. Rij eš it e sustav

3x1 - x2 + 2x3 O 2x1 + 3x2 - 5x3 = O . X1 + X2 + X3 = Q =

4. Riješite sustav

5 . Rij eš it e sustav

6.

X1 2x1 3x1 x1

X3 + X4 = - 1 + 2x2 + 5x2 - x 3 + 2x4 = - 2 - x 2 - 2x3 + x 4 = 5 - x 2 + 3x3 - 5x4 = 6

4x1 2x1 3x1 2x1

- 2x2 + 2x2 + 2x2 - 5x2

-

- 3x3 + 3x3 - 2x3 - 3x3

- 2x4 = 1 - 4x4 = 5 - 5x4 = 1 + 3x4 = - 1

Riješite sustav

3x1 + 2x2 + 2x3 2x1 + 3x2 + 2x3 9x1 + 2x2 + 4x3 2x1 + 2x2 + 3x3 1. U ovisnosti o realnom parametru

a

+ 2x4 = 2 + 5x4 = 3 - 5x4 = 1 + 4x4 = 5

rij ešite sustav

2x1 + ax2 - 13x3 = -32 x i - 2x2 + X3 = a . 8 - 2x1 + 3x2 + ax3 = 8.

U ovisnosti o realnom parametru >. riješite sustav >.xi + 2x2 + X3 2x1 - X2 4x1 + 3x2 + 2x3 5x2 + 2x3

+ X4 = 1 - X4 1 + .Ax4 = 3 + 3x4 = 1 =

9. U ovisnosti o realnom parametru >. riješite sustav

2x1 4x1 6x1 .Ax1

- x2 - 2x2 - 3x2 - 4x2

+ 3x3 + + 5x3 + + 7x3 + + 9x3 +

4x4 = 5 6x4 = 7 8x4 = 9 l0x4 = 1 1

133

134

4.

S usta v i l i nearn i h j ed n adžbi

10. Pokažite da j e sustav

2 x1 + x 2 X1

3x1 + x2 + 5x3 x2 + 3x3

+ 3x4 + X4

=

=

13

5 O

= -1

Cramerov pa ga riješite pomoću Cramerovih

formula

(iz korolara 4 . 2. 9) .

1 1 . Riješite sustav

12.

Riješite sustav

[1 1 ] [1 o o 2 o 2 o 1

�1

1 o o = O. X o o -1

13. Odredite LU dekompoziciju matrice

-1 ] o o 2 -1 o

i

uz

pomoć te dekompozicije r iješit e sustav

14. Neka je { ( l , 1 , 0 , - 1 ) , ( 1 , 0 , 1 , 2) } baza potprostora M prostora l!l4 . Pokažite

da je M skup svih rješenja nekog homogenog sustava jednadžbi. 1 5 . Neka j e M potprostor prostora JRn . P okaž it e da postoji homogeni sustav linearnih jednadžbi čiji prostor rješenj a je M .

5.

L i n earni o p e ratori

Fiksir aj mo po volji odabran kut

.A + µB) (eJ )

(

=

m

L f3ijfi, i=l

m

=

L( >. aij + µf3iJ )h i=l

1 , . . . , n . Takođ er je jasno da je K e r

=

{O}, D

što pokazuje d a j e monomorfiz am . Preostaje i ovdje primijeniti korolar 5. 1 . 13.

1 61

5 . 4 . M a tri č n i z a p i s l i nea rnog opera tora

Oznaka za preslikavanj a iz obiju pretho dn ih propozicija je donekle ne­ p re ci zn a . S obzirom da oba preslikavanj a b it no ovise o prethodno od abrani m bazama, bilo bi preciznije pisati epe , o dnosn o -; e;) t,

Sada je Ax

�

A; A e;

�

t, >-; t,

;; f;

�

t, (t,a;; A;)

t.

Unutarnja suma je i-ta komponenta u razvoju vekt ora Ax u bazi f ( tj . i-ta komponenta u stupcu [Ax] f ) ; s druge strane, vidimo da je ta unutarnja suma D upravo umnožak i tog retka matrice [AJ ! i stupca [x] e .

-

Na redu je propozicija koja pokazuje da j e p ridruž i vanj e matričnog zapisa linearnim operatorima također usklađeno s komponiranjem operatora na j ednoj , i matričnim množenjem na drugoj st r ani .

Propozicija 5.4. 10. Neka su redom e = {e1 , . . . , en } , f = {!1 , - - - , fm } i g { g 1 , . . . , 91 } baze vektorskih prostora V , W i X , neka je A E L(V, W) i B L(W, X) . Tada za operator BA E L(V, X) vrijedi

=

E

[B A]� = [ B ]j [AJ ! -

Dokaz. Uočimo najprije da s u m at rice [BJ } E M1m i [AJ ! E Mmn ulančane i da je njihov produkt matrica tipa l x n; baš kao i matrica [BA] � - Zato tvrdnja ima smisla, a za dokaz samo treba provjeriti da se te dvije matrice p od u dar aju u svim matričnim ko eficij entim a . Neka je [AJ ! = [a ij ] E Mmn i [BJ } = [,Bij] E M1m - Tada je, za 1 :S k :S n ,

. BA(ek ) = B (Aek )

stoj i

l

B

( t,

� aik 'f; ,Bji9j m

=

=

-

=

l

m

=

u j t om retku i k-tom stupcu matrice

) t, aikBfi ( 'f; � )

oikfi

,6jiD!ik 9i ·

Po definiciji matričnog zapisa operatora, skalar (tj . iznos sume ) u zagradi [BA] � , a očito je taj skalar ujedno i D umnožak j-tog retka od [EJ } i k- t og stupca od [A] ! .

5.

164

L i nearn i operatori

Nap omena 5 . 4. 1 1 . Isprva se definicij a matričnog množenj a uvijek čini kao zamršen i neintuitivan koncept . Sad, nakon prethodnih dviju propozicija, vidi­ mo stvarnu priro du te definicije. M at r ična množenje je, zapravo , i definir ano tako kako j est upravo zato da bismo im ali pravila računanja kakva su iskazana O u pretho dni m dvjema propozicij ama. Za zadani

operator A koj i djeluje na konačnodimenzionalnom p rosto ru po j am ranga. S druge strane, možemo promatrati i rang njegovog matričnog zapisa. Sljedeća propozicija tvrdi da se ta dva broj a podudaraju, što je još j ed n a činjenica koj a pokazuje da matrični zapis s adr ži sve bitne informacije o operatoru. definiran j e

Pro p ozicija 5 .4. 1 2 . Neka su e { e 1 , . . . , en } i f = {f1 , . . . , fm } baze vek­ torskih prostora V i W, te neka je A E L(V, W) . Tada je =

r (A )

Dokaz. Kako j e , za Im A, to j e

prema

r ( [A] ! ) .

napomeni 5. 1 . 8, skup Im A

pa

=

=

{Ae 1 , . . . , Aen } sustav izvodnica

[{Ae1 , . . . , A e n }]

je po definiciji r(A) = dim(Im A)

U drugu ruku, st up c i matrice po definiciji ranga matrice,

=

[AJt su upravo

dim [{Ae1 , . . . , Aen }] . [Ae1J f , . . . , [AenJ f . Zato je,

Spomenute dvije linearne ljuske su korespondentni potprostori pri izomor­ fizmu

r(A)

iz propozicije S. 4. 1. Imamo, dakle, =

r ( [A]!)

=

Kako i zo morfiz mi čuvaj u linearnu nezavisnost ( usp. propoziciju 5. 1 . 1 O i zadatak 5 ) , navedeni rangovi su jednaki. O

dim[{Ae1 , . . . , A e n }]

di m[{cp( A e1 ) , . . . , cp ( A en ) }] .

Sve do sada rečeno vrijedi i za operatore iz L (V) . Uočimo: kad imamo operator A E L(V) , tada z a for mir anj e nj egove matrice nisu potrebne dvij e baze j er se domena i kodomena podudaraju ( kao u primjerima s. 4.4, s.4.s, 5.4 . 6, S. 4 . 1) . Ovdje j e dovoljna jedna baza e = {e1 , . . . , e n } prost ora V i t ad a pišemo [A] � te govorimo o matričnom zapisu operatora u bazi e.

5 .4 . M atrični zapis l i n earnog operatora

165

Dosad dokazane t vrdnje o m at ri čno m zapisu ope rato r a možemo u ovoj posebnoj situaciji rekapitulirati na sljedeći način: : L (V)

--7

(A) = (A] �

Mn ,

je i z omor fi z am vektorskih prostora koji, zbog propozicije s. 4 . 1 0, zadovolj ava i (BA)

=

(B) (A) ,

\iA, B E L(V) .

Lako se vidi da ovaj izomorfizam presli kava i j edinični operat or u jediničnu matricu: (J) (I] � = I.

Korolar 5.4. 1 3 . Neka je V vektorski prostor nad poljem lF =

{e1 ,

. .

.

, e n } baza za V . Tada je :

L(V)

--7

Mn (lF) , (A)

n e ka je

e

= [A] �

izomorfizam algebri.

I idući korolar predstavlj a vrlo korisnu tvrdnju o operatorima koj i djeluju na jednom prostoru. Korolar 5 . 4 . 14.

Neka je V vektorski prostor nad IF i n e k a je e { e 1 , . . . , en} A E L(V) je regularan ako i s am o ako je [A] � regularna

baza za V . Operator

=

Dokaz. Prema korolaru 5. 1 . 1 3, A E L (V) je r egular an ako i samo ako je sur­ jektivan, dakle, ako i samo ako je r (A) n. To je, prema p ropoziciji 5.4 . 1 2, ekvivalentna s r ( [A] � ) n , a iz teorema 3. 3. 1 6 zn amo da je ovo ekvivalentna regularnosti mat ri ce [A] � . O

matrica..

=

=

Time je zaokružen niz najvažnijih činjenica o m atričnim zapisima vektora i operatora. Prirodno je, međutim, pitati što se u ovom kontekstu događa ako mijenjamo baze. Preciznije, ako su e' i f ' neke dr uge baze u V, odnosno W, u ' ko j oj su vezi matrice (x] e i [x] e , te (A] { i [A]�; ?

E L(V, W) i neka su e = { e1 „ . . , en}, e' te { e � , , e� } f = { !1 , . . . , fm}, f' { Ji , , J:,, } po dvije baze pros t ora V , odnosno W . Neka su operatori T E L(W) i S E L(V) definirani na bazama f , odno s no e, s

Teorem 5 . 4 . 1 5 . Neka je A „

Tfi = Ji ,

Tada je

=

=

.

„

i = l, . .

.

.

, m,

166

5 . L i n ea r n i operatori

Prvo uočimo da se ovdj e p oj avlj uju dva p o mo ć n a operatora T i S, o dnos no U d efi niranj u ta dva operatora koristili smo propozi­ ciju 5. 1 . 5. Dalj e , i S i T p r e vo de bazu u bazu - svaki u svom p r o s t o r u pa su prema propoziciji 5. 1 . 14 o b a izomorfizmi, tj . regul arni operatori. Sad su prema korolaru 5.4 . 14 m at rice [T]j i [S]� re gul arne pa tvrdnja teorema (u kojoj se sp om i nje ([T]j)-1) ima smisla. Treba u očit i i da su matrice na desnoj strani j ed n akos t i iz t vrd nj e teorema zaista ulančane. Sad primijetimo: kad imamo posla s op er ator im a iz L(V) onda nam za formiranje mat ri c e nisu potrebne dvije baze. No, mi smijemo , ako baš želimo, uzeti dv ij e baze te jednu od njih tret i r at i kao bazu dom ene , a drugu kao bazu kodomene. U no rmaln i m okolnostima, to nikad ne činimo. P ogot ovo ne za op erat or I jer je [I] � j ed inič n a matrica za svaku bazu e; za razliku od toga, m at ri c a [I] �, je z nat no kompliciranija. Međutim, upravo promatranje matrice [I] � , će se pokazati ključnim trikom u dokaz u koj i s lijedi .

njihove matrice [T]j i [S] � -

Dokaz teorema 5. 4 . 1 5. O z nač imo s Iv i Iw j e d inične operatore na prostorima V i W. Pogledajmo matricu [Iv ] �, : po definiciji matričnog zapisa operatora u paru baza, u nj ez i nom j-tom stupcu su koeficijenti koji pripadaj u razvoju vektora

Ive'.J u bazi e. Drugim riječima, pripadaju raz voj u vekt ora

u

[T]j.

=

[S]�.

e'.J

j - t o m stupcu matrice [Iv] �,

Sej u bazi e. Zato je [Iv]�,

=

= ej

su

ko e ficij ent i koji

Sasvim analogno se zaključi da vrijedi i

[Iw]j,

=

Sam dokaz j e sada dir ekt na pos lj ed i ca propozicije 5. 4. 1 O:

[T] j [A]�;

= [Iw]j, [ A] �; = [IwA ] �, = [A] �, = [Aiv ] �, = [A J nlv]�, = [ A] ! [ S ]� .

Preostaj e p omnožiti dobivenu j ed nakost

s

lij eve strane s

([T]j)-1.

o

Matrice [S]� i [T]j iz prethodnog dokaza uvedene su kao matrični zapisi neki h regularnih operatora. To naravno nij e bilo nužno, mogli smo ih uvesti i direktno.

5 . 4 . M atrič n i z a p i s l i nea rnog opera tora

Konkretno: j-ti stup ac m atrice [S] � pripadaju vektoru e j u b az i e; dakle , n

ej =

L Aij ei, i=l

Yj

167

j e upravo stupac ko eficij enat a koj i

= 1 , . . . , n,

Analogno bismo eksplicitno ispisali i mat r icu [T]j. U iskazu teorema pr i kl on ili smo se indirektnom z adavanju matrica [S] � i [T]j iz pragmat ičnih razloga. Naime, t ime što smo te matrice uveli kao matrične zapise regularnih opera­ tora S i T, odmah smo, pozivanjem na korolar 5. 4 . 14, mogli ustvrditi da su obje regularne. Definicija 5 . 4 . 1 6 . Matrica

zove se matrica prijelaza iz baze e u bazu e' .

Uočimo da je, (ne samo u kontekstu prethodnog dokaza) oznaka [J] �, znatno s adrž aj nij a . U svako m slučaju, treba upamtiti da su stupci te matrice ko efic ij enti koje prip adaj u vekt orima ej u r ast avu u bazi e.

Prva u nizu posljedica prethodnog teorema je odgovarajuća formula koja opisuje vezu između [A] � i [A] �; za op er ator A iz L(V) . Ovdj e j e W = V pa u t eore mu 5. 4 . 1 5 t re b a uzeti f = e te f ' = e'. Tako dobivamo:

5.4. 1 7. Neka je A E L (V) , neka su e = { e 1 , . . . , e n } i e' = {e� , . . . , e � } dvije baze za V te neka je [S] � = [J] �, matrica prijelaza iz baze e u bazu e ' . Tada Je Korolar

Sada možemo izračunati i

Korolar 5.4.18. Neka su

inverz matrice prijelaza.

e = {e1 , . . . , en } i e' = {e� , . . . , e� } dvije baze za V, neka je [S] � = [J] � , matrica prijelaza iz baze e u bazu e' . Tada je

matrica prijelaza iz baze e' u bazu e . Dokaz. [J] �, j e matrica p rijel az a iz baze e u baz.u e' . Z amij enimo li uloge baza ' e i e ', zaključujemo da je matrica pr ij e laz a u o b r nut om smjeru [J] � . Treba dokazati da je upravo to inverz za [J] �, . No to sad a slijedi direktnom p r imj eno m . propozicije 5. 4 . 1 O: [J]�, [J] �' = [J]�; = I .

Prema tvrdnji zadatka 1 0 iz 3. p ogl av lj a ' i [J]� jedna drugoj inverzne matrice.

to je dovoljno da se zaključi da su [I] �,

D

5. L i n e a r n i operatori

1 68

Poslj ednji u n i z u je korolar koji daje r elac ij u između matričnih prikaza vektora u dvjema različitim bazama.

Korolar 5.4.19. Neka su e { e 1 , . , en } i e' { e]_ , . . . , e� } dvije baze za V, neka je [S] � = [I]�, matrica prijelaza iz baze e u bazu e ' . Tada za svaki vektor x iz V vrijedi =

.

.

=

Dokaz. S obzirom na prethodni korolar, tvrdnj u koju dokazujemo možemo pisati u o bli ku D

No, ova j ednakost je samo s p ec ij al an slučaj tvrdnje propozicije 5.4 . 9. Primjer 5.4.20. Neka je e kanonska baza u JR 2 , a 2 e ; = ( - 1 , 1 ) . Neka j e operator A E L (JR ) zadan s

A(x1 , x2)

(x1

=

t e neka j e x = ( 1 , 1 ) . Izračunat ćemo Najprije imamo

[A J : pa dobivamo

[Ax] e

=

=

pa je

[Ax] e

=

(2 ,-1),

[i -i]

[A] � [x] e =

[i -i] [i] [�] . =

[i �] [i] = [�] 1[ [11 1] [ 2 ] [4 2] 2]

[A] �, = 1 I

{e� , e; } , e�

x2 , x1 - x2)

[x]e' =

Konačno,

' =

[Ax] e i [Ax] e' .

Dalje, kako j e

korolar s. 4 . 1 9 p ovl ači

+

e

1

-1

[AJ :, [x ] e I

I

=

·

I =

-1

-1 1 = 7 -4 ' -

[4 -42] [2] = [22] . 7

-

3

D

5 . 4 . M a t ri č n i za pis l i n earnog operatora

169

Definicija 5 .4 . 2 1 . Neka su A, B E Mn (IB') . Kažemo da je matrica B slična matrici A ako postoji regularna matrica S E GL(n, JF) takva da je

B

=

s- 1 AS.

Primijetimo da je sličnost rel acij a ekvivalencije na skup u Mn (JF) . Dalje, sličnost je očito specij alan slučaj ekvivalentnosti p a zato slične matrice im aju jednake rangove. O sim toga, slične matrice imaju imaju jednake determinante i j ednake tragove (zadatak 33 ) . Uz ovaj novi termin sada m ož emo parafrazirati korolar 5. 4. 1 1.

Korolar 5 . 4 . 2 2 . Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i A L (V) . Matrični prikazi operatora A u raznim bazama su slične matrice.

E

Na kraju ove točke navedimo j oš nekoliko napomena. Prva objašnjava postupak koji će se pokaz ati korisnim u mnogim situacij ama. Napomena 5.4.23. Č est o se nameće potreba za obratnim postupkom: za danu m at r i c u A trebamo naći line aran operator čiji će matrični zapis u nekom p aru baza (ili u nekoj bazi, ako je matrica kvad r at n a) biti upravo A. Evo kako to

možemo učiniti. Neka je zadana matrica A = [ aij ] E Mmn (IF) . Uzmimo dva vektorska prostora V i W nad lF tako da je dim V = n i dim W m , zatim neke baze e = { e1 , . . . , en} u V i f { 11 1 , fm } u W te uz pomoć propozicije 5. 1 . 5 definirajmo A E L ( V, W) formulom =

=

•

•

•

A. ej = 2.: a ijh Vj = l , . . . , n. i =l

m

je da vrijedi [AJ! = A . Još uočimo: ako j e polazna m atrica A kvadratna onda se može uzeti W

V i j = e. U cijelom ovom postupku malo je toga j ednoz n ačna određeno: tek pri­ padna polje i dimenzije prostora W i V. Jedan mogući st andar dn i izbor bi bio uzeti operator mn ož enj a sa zadanom m at ricom A, tj . op er ator LA : Mn 1 (lF) ---7 Mm 1 (IF) zadan formulom Jasno

Direktnom

LAx

=

Ax .

provjerom se vi di da je matrični zapis operatora LA u kanonsko m O paru baza prostora Mn 1 i Mm1 upravo pol az na matrica A. =

Napomena 5 . 4 . 24. Neka je Ax = b proizvoljan sustav linearnih jednadžbi i Ax = O pridr užen homogeni sustav. Uvedemo li kao u prethodnoj napomeni prostor e V i W, o p erat or A i (analognim postupkom) vekt or b E W takav da je

[b] f

=

b,

170

5 . L i nearn i o peratori

primj e nom propozicija 5.4 . 1 , 5.4 - 2 i 5.4 . 9 rješavanje polaznog sustava svodi se na rješavanj e vektorske j ed n ad ž b e

Ax = b. To omogućuje alternativni (i zapravo znatno brži i elegantniji) tretman sustava linearnih j e dn ad ž bi . Npr. informacija o dimenziji prostora rješenja homogenog sustava dobij e se sada kao direktna posljedica teorema o rangu i defektu. O Napomena 5 .4 . 2 5 . N eka je A E L(V, W) , neka su {Ji , . . . , fm } baze za V , odnosno W. Promotrimo

i

e

=

{ e1 , . . . , en } i f

Uzmimo sada dualne prostore V* i W* , dualni operator A* dualne baze e* = { e i , . . , e� } i f* = { /i , . . . , J:n } . Neka je

E

L (W* , V* )

.

Lako se pokaže da u stvari vrij ed i

dakle, ove dvije matrice su međusobno transponirane. Neka j e sada A E Mmn proizvoljna matrica. Uz p omoć napomene 5.4 . 23 _ m ož em o naći pridruženi op erat or A . Kad na taj op er at or primij enimo t vrd­ nj u iz p ret hodnog odlomka, napomenu 5. 3. 1 1 i propoziciju s.4 . 12 zaključujemo: mat r ica A i t r ansp o ni r ana matrica At imaj u isti rang. Drugim riječima, svaka matrica ima j ednak broj linearno nezavisnih redaka i stupaca. Ovo j e konceptu­ alni dokaz činj eni ce ( teorem 3. 3. 3) koj u smo u trećem poglavlju dokazali elemen­ tarnim sredstvima. Vidjet ćemo u idućem poglavlju da se isti teorem dokaz uj e O još elegantnije uz pomoć svojstava operatora na unitarnim prostorima .

5.5.

S p e ktar

Neka je

A

E

L2 (JR.2 ) oper at or kojem u kanonskoj baz i

pada matrica

[AJ :

=

[� -��] .

e

prostora JR 2 pri­

Analiza ovako zadanog operatora nipošto nije teška; tako je uostalom sa svakim oper ator om na prost or u 1R 2 ili na bilo kojem drugom dvodimenzionalnom pro­ storu. Već smo vidjeli da su sve bitne informacije o oper at oru p ohr anj ene u nj e govome matričnom zapisu. Primjerice, ovdje vidimo da je r( [A] �) = 1 pa je,

5.5.

Spektar

171

zbog propozicije 5.4. 12, i r(A) 1. Dakle, A je singularan. Mogli bismo lako odrediti i jezgru ili bilo koj i drugi podatak vezan za A. Ipak, sve postaje bitno lakše i j asnije onog trenutka kad shvatimo da matrični zapis operatora A u bazi =

glasi [A] g

=

[� �] .

Dakako da je svaki račun s ovom matricom lakši. Štoviše, odavde je odmah jasno da j e A zapravo projektor na p otprostor [{b1 } ] u smjeru pot prostor a [{b2 }] (usp . pri mje r s.4 . 6) . Ovaj primjer, p remda sasvim jednostavan, zorno ilustrira ključnu ideju proučavanj u linearnih operatora na konačnodimenzionalnim prostorima.

u

Imamo li zadan op er ator A E L(V) na nekom konačnodimenzionalnom pr osto r u V, cilj nam je naći takvu bazu prostora V u koj oj će matrica opera­ tora A biti čim jednostavnija. Koliko jednostavan matrični zapis danog opera­ tora možemo naći, nij e unaprijed jasno . Međutim, najjednostavnije bi bilo ako b ismo postigli da u nekoj bazi a { a1 , . . . , an } prostora V operatoru A pripada dijagonalna matrica: =

[A] �

=

1:1 : � I O

O,

O

O: n

Razlog je evidentan: ukoliko je matrica dijagonalna, njezin rang, determinanta, trag, inverz (ako postoji) ili bilo koj i drugi podatak očiti su i bez računa. Iz definicije matričnog zapisa linearnog operatora odmah slijedi da je dija­ gonalan matrični zapis u bazi a ekvivalentan s ust avu j e dnakost i :

. . . '

Dakle, vektori baze ai , i 1 , , n, u ovoj situ acij i imaju osobito svojstvo operator A ih preslikava u njima koline arne vektore. To nas navodi na idej u da općenito, dani linearni operator, razmotrimo egzistenciju, metode nalaženja i svojstva takvih vektora. =

. . .

:

za

Definicija 5 . 5 . 1 . Neka je V vektorski prostor nad poljem lF i A

E L(V) . Kaže se da je skalar .A o E lF svojstvena vrijednost operatora A ako postoji vektor x E V, x # O, takav da je Ax = .Aox .

Skup svih svojstvenih vrijedn o s ti operatora A naziva s e spektar (operatora A ) i označava sa O" (A) .

1 72

5 . L i nea r n i o p e ratori

Ponekad se umjesto svojst vena vrijednost kaže i karakteristična vrijednost . U up o t re bi je i termin vlast ita vr ij ed nos t . Z animlj ivo j e da je u engl es kom jeziku uvriježena njemačko-engleska kovanic a eigenvalue. Istaknimo odmah da je skal ar .\ 0 s vojs t vena vrijednost operatora A tek ako p ost o j i netrivijalan ve kt or x sa svoj stvo m Ax = .\0x. Ovo ograničenje j e z aista nužno jer za svaki skalar .\ vrij edi

AO = A.O;

d akle , za svaki skalar možemo r ij eš it i jednadžbu Ax .\ x. Svojstvene vrijed­ nosti su, međutim, samo oni skalari za koje ta jednadžba ima i neko netrivijalno =

·

rješenje .

Napomena 5 . 5 . 2 . (a) Vek t or x iz n aveden e definicije naziva se s voj s tven i vek­ tor p rid ruž en svojstvenoj vrijednosti .\o. Treba primijetiti da s voj s t veni vektor nikako nij e jedinstven: ako je x svoj st ve ni vektor pridružen .\o onda je i a x svojstveni vektor pridružen istoj svoj stvenoj vrijednosti, i to za svaki

skalar a iz lF,

a f= O. Zaista,

A(ax)

=

aAx

=

Štoviše, neka svoj st vena vrijednost

a ( A.0x)

=

.\o (ax) .

.\0 op er at ora A mo ž e posj edovati i v i še P r imj er j e j ediničn i operator I: osim nulvektora, s voj stveni za svojstvenu

linearno nezavisnih svojstvenih vektora.

za njega su svi vektori prostora, vrij ed no s t 1 jer vrijedi

lx = l · x ,

(b) Neka je

VA (.\o) = {x

Vx E V

E V : Ax

>.0x} . Ovaj skup se naziva svojstveni potp rostor pr idr už en svojstvenoj vrijednosti .\o . Uočimo d a j e VA (>.0 ) z aista potprostor jer evidentno vrijedi =

·

VA (>.o)

=

Ker(A

Primijetimo da je skup VA ( .\) oj

=

{x

-

E

>. al) .

.\x} uvij ek za svaki su, međutim, oni skal ari .\o

V : Ax

=

skalar .\ , potprostor od V. Sv s t vene vrijednosti koje j e potprostor VA (.\o) netrivij alan. K ako je VA (.\o)

,

za = Ker (A .Aol) , iz korolara 5. 1 . 1 3 z aklj učuj emo svojstvena vrijednost operatora A je takav skalar >.o za koj i je o p er ator A .A0I singularan. Posebno , O j e svojst vena vr ij ednost operatora A ako i samo ako je A singularan i u tom slučaju je svoj stveni p otprost or pr idr užen svojstvenoj vrijednosti O z ap r avo jezgra op e rato ra A. -

:

-

(c) Ako je ,\0 E O" (A) onda s e dimenzija svojstvenog potprostora VA (A.0) naziva geometrijska kratnost (ili geometrijski multipl ic it et) svojstvene vrijednosti >.a i oz načava se s d(>.0 ) . Iz defi ni c ije je j asno da je o

5.5.

Pogledajmo s ad a dva j e dnos t avn a primjera. U ob a do j ednos t avn im geometrijskim argumentima.

1 73

Spektar

zaključaka dolazimo

Primjer 5 . 5 . 3 . Operator A E L(V2 (0)) zrcaljenja preko x-osi na prostoru V2 (0) ima svojstvene vr ij ednosti ,\ 1 i ,\2 = - ; naime Ai = i i X] = -) . G eo met rij ski je oči t o (u što ćemo se kasnije uvj er i t i i formalno) da su to j e dine O dvije svojstvene vrij ednost i ovog operatora. =

1

1

Idući primjer je još jednostavnij i , a pokazuje da linearan operat or ne mora imat i svoj st ven i h vrij ednosti. Uoč i mo odmah da to ujedno znači, u skl ad u s uvodnim razmatranjima, kako svaki op erat or ne mor a dopušt at i dijagonalizaciju (tj . ne mora postojati b az a u kojoj će m at rič ni zapis operatora biti dij agonaln a matrica) . Primjer 5 . 5 . 4 . O e r at o R'P E L(V2 ( O)) rot acij e za kut

.I komutira sa svakom Cauchyjeva teorema dobivamo:

kB (>.)

=

=

=

mat icom iz r

Mn ,

uz pomoć

det(B - >.I) det(s - 1 AS - >.I) det (s- 1 (A - >.I)S) = det(s-1) det (A - >.I) det S det( A - >.I) = kA (>.. ) .

Binet­

=

O

Ova propozicija omogućuje da definiramo i p ojam svojstvenog polinoma za linearne operatore A : V V kad god je V konačnodimenzionalan vektorski prostor. Naime, odaberemo li neku bazu e za V, možemo formirati matrični zapis operatora A u bazi e i izračunati svojstveni polinom tako dobivene matrice. Kako je u svakoj drugoj bazi matrični zapis tog istog operatora neka matrica slična matrici [A]� , prethodna propozicija povlači da svaki matrični zapis ope­ ratora A dovodi do istog svojstvenog polinoma. Zato je definicija koj a slijedi dobra, tj . ·neovisna o izboru baze. �

Definicija 5 . 5 . 7 . Neka je V konačnodimenzionalan prostor, neka je A E L(V) te neka je [A ] � matrični zapis operatora A u nekoj bazi e p rost o ra V . Svojstveni polinom op e ra t o ra A, kA , definira se kao svojstveni polinom matrice [A] � : Primjer 5 . 5 . 8 . U primjeru 5.4 . 4 vidjeli smo da operatoru rotacije u kanonskoj bazi e prip ad a matrica

[R

Je 'P e =

Odavde se odmah vidi da je k R,,, ( >.)

=

[c?s cossin ep] . ep

sm ep

-

'P

( cos

.) 2 + sin2 ep.

D

5.5.

Spektar

1 75

Teorem 5 . 5 . 9 . Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te neka je A E L(V) . Skalar >.0 E F je svojstvena vrijednost operatora A ako

i samo ako vrijedi

Dokaz. O d ab erimo

neku bazu

e

za

ekvivalentnih tvrdnj i : >.0 je svojstvena vrijednost za A � 3x E V, x "/=- O, A x

� � � � � � �

V.

Sada imamo slj edeći niz međusobno

Ker (A - >.oI) "/=- {O} ( pr em a propoziciji 5. 1 . 9) A - >.ol n ij e monomo rfiz am ( prema korolaru 5. 1 . 1 3) A - >.ol nij e izomorfizam ( p rem a korolaru 5.4 . 14) [A - >.0!] � nije r egular na m atr i ca (prema propoziciji 5.4.2) [A] � - >.0! nije regularn a matrica det([AJ: - >.ol) = O D k [Aj� ( >.o ) = 0 tj. k A (>.o ) = 0 .

= >.ox

Napomena 5 . 5 . 10. U os n ovi , teorem 5. 5. 9 t vr d i da

su svojstvene vrijednosti operatora upravo nultočke njegovog svojstvenog polinoma. P r im ij e ti mo , među­ t i m , da je je dna od pretpostavki teorema >.0 E F. To konkretno znači da su u r e al ni m prostorima svojstvene v rij e dn o s t i samo realne nultočke svojstvenog polinoma. Po gledajmo po novn o pr imj e r r ot ac ij e Rep na V2 (0) za kut 'P "/=- O, n : zn amo da taj operator nema svojstvenih vrijednosti, a isti zaključak nam daj e i prethodni teorem j er svojstveni p olino m k R"' ( >.) = ( cos 'P - >. ) 2 + sin 2 'P nema realnih nulto čaka za 'P "/=- kn , k

E Z.

D

n i A E L(V) onda A ima najviš e n svoj stve nih vrijednosti. Ovo j e neposredna pos lje dic a tvrdnje teorema 5. 5. 9 j er D po li no m n-tog st up nj a ima n aj v i še n nult očaka. Napomena 5 . 5 . 1 1 . Ako j e dim V

=

Napomena 5 . 5 . 1 2 . Sve do s ad a i zbor polj a u n aš i m razmatranjima nije igrao n ikakv u ulogu. Teorem 5. 5. 9 očito predstavlja mj est o na kojem se teorij a p o či nj e dijeliti na re alnu i kompleksnu. S jedne strane, p o lj e kompleksnih brojeva je al­ gebarski zatvoreno (što zn ač i da svaki p ol ino m s komp le ks nim ko efic ije nti ma ima nultočku u polju .0 operatora A E L (V) računamo svojstvene v kt o e Postupak koj i m nalazimo cijeli svojstveni potpro­ sto r svodi se, putem koordinatizacije, na j ednoga homogenog s ust ava linearnih jednadžbi. Evo kako: Neka je e = { e 1 , . . . , en } neka baza za V . Sad redom imamo: Ax = >-ox

.

rješavanje

-o l) x = O

.I =

>.

1

-1

Laplaceovim razvojem p o z adnj em stupcu odmah do bi vam o Dakle je O'(A) = { l , 2} . Odredimo sada svojstveni potprostor za svojstvenu vrijednost >-1 Prema pret hod n oj diskusiji trebamo riješiti pripadajući sust av jednadžbi.

=

1.

5.5.

Dakle je

x1 = x2 = x3 ,

mu je vektor v rij

svojstvenu

rn

S pektar

177

prostor rješenj a je j ednodimenzionalan i (jedna) baza

. Slično bismo izračunali da bazu svojstvenog potprostora za

ednost >. 2 = 2 čini vektor

m.

2

D

Uočavamo da su obje geometrijske kratnosti (tj . dimenzije svojstvenih samo potprostora) jednake 1 . S druge strane, >. 1 = 1 je dvostruka, a >.2 jednostruka nultočka svojstvenog polinoma. Pokazat će se da je i inače korisno usporediti ove podatke. Uvedimo najprije pojam algebarske kratnosti svojstvene vrij ednosti Definicij a se te melji na činjenici da je svaka svojstvena vrijednost danog operatora nultočka njegovog svojstvenog polinoma. Definicija 5 . 5 . 14. Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A E L(V) i >.o E a(A) . Neka je =

.

kA (>.)

=

(>. - >.o )1 p (>.) ,

p (>.o)

=I= o ,

lE

N.

Broj l zovemo algebarskom kratnošću svojstvene vrijednosti >.o i označavamo ga s l (>.o ) . Teorem 5 . 5 . 1 5 . Neka j e V konačnodimenzionalan vektorski prostor, t e neka je A E L(V) i >. o E a (A) . Tada je

je { e 1 , . . . , ed } neka baza svojstvenog potprostora za Ao . Ovaj nezavisan skup nadopunimo do baze e = { e 1 , . . . , ed , ed+l , . . . , en } prostora V. Kako je

Dokaz. Označimo algebarsku i geometrijsku kratnost od >.0 s l, odnosno d. Neka

matrični prikaz operatora A u bazi

e

[A] ee

=

možemo pisati kao blok matricu oblika

[�oQ! �I B_]

pri čemu j e Aol E Md(JF) i C E Mn-d ( JF ) . Sad svojstveni polinom operatora A možemo izračunati i iz ovog matričnog zapisa. Pritom smo u poziciji iskoristiti lemu 3. 2. 25. Dobivamo '

pri čemu je q(>.) neki polinom stupnja

n

C '

- d.

S dr uge strane, po definiciji

algebarske kratnosti svojstvene vrijednosti, imamo

1 78

5. L i nearni o peratori

Zato je Uzmimo sada da

vrijedi

d

>

l.

Tada prethodnu jednakost

možemo

obliku

pis at i u o

a odavde odmah slijedi p(.A0 ) = O, što je kontradikcija.

Napomena 5 . 5 . 1 6 . Već znamo da za proizvoljan linearan operator općenito nije moguće naći bazu u koj oj bi nj e gova matrica bila dij agonalna. Osnovna smetnja j e nedostatak svojstvenih vrijednosti (jer smo idj el i da su dij agonalni ko efi ij enti u dijagonalnom matričnom z api su z apr avo svoj st vene rij ednost i o p er at o r ) M ogućn o st nal aže nj a baze u kojoj bi dani operator imao d ij agonal an v

c

v

matrični zapis još uvijek j e , međutim, otvorena za operatore na kompleksnim p r ost orim a , kao i z a one o p e r at ore na realn im prostorima čiji svojst veni polinomi a .

imaju isključivo realne nultočke.

Prethodni teorem (i primjer 5. 5. 1 3) p okaz uj e još j e dnu m oguću zapreku za egzistenciju d ij ago nal no ga m at r ičn o g z ap is a danog operatora. Ukoliko j e za neku svoj s t venu vrijednost .Ao njez ina geometrijska kr at nost strogo manj a o d algeb arske kratnosti l ( .A0 ) , on da je evide nt no nemoguće naći bazu u koj oj bi t aj operator imao dijagonalnu matricu . Naime, ako j e matrični prikaz operatora d ij agon al n a matrica, na dij agon ali te matrice .A o se mora pojaviti točno l(.Ao) puta , a to zaht ijeva točno l(.\0) nezavisnih svoj stvenih vektora pridruženih svoj­ st venoj vrijednosti .Ao . To p okaz uj e da je nužan uvjet dij agonalizacije operatora A jednakost algebarskih i geomet rij skih multipliciteta svih njegovih svoj s t veni h vr ij ednosti :

d(.A0 )

o

Grubo govo reći , pret ho dn nap omen a pokaz j e da je nep ovolj o kad su potprostori premali. Dobra je okolnost, međutim, da su svojstveni vektori pridruženi različitim voj st enim r ije dn osti m a nezavisni. a

u

n

svoj st ven i

s

v

v

Propozicija 5 . 5 . 1 7. Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor, neka je A E L(V), neka su .A 1 , . . . , A k međusobno različite svojstvene vrijednosti operatora A te neka su x 1 , . . . , Xk svojstveni vektori pridruženi, redom, svojstvenim vrijednostima .A1 , . . . , A k . Tada je skup { x 1 , . . . , X k } linearno nezavisan. Dokaz. Tvrdnju dokazujemo i nd ukc ij om po k. Ako j e k = 1 onda je s k up {xi } nezavisan j e r x1 # O. P re tpos tavi mo da je t vr dnj a točna za k - 1 .

Neka je

k

L O:iXi = o . i =l

5 . 5 . Spekta r

Kad na tu jednakost dj elujemo

s

A dobivamo k

L O'.iAiXi i=l

Od ove jednakosti Dobivamo

1 79

=

o.

oduzmimo p očetnu j ednakost prethodno pomnoženu s

>. k .

k- 1

L O'.i (>.i - >.k)Xi = o.

u

i=l

Prema pretpostavci i n d kcij e

slij e i

d

Kako su, međutim , svi Aj međusob no različiti, slij edi O'.i O, \:/i 1 , . . . , k - 1 . Tako j e o d početne j ednakosti ostalo samo O'.k X k O , a od av de j e i O'. k O . D U prethodnoj smo propozicij i za svaku svoj stvenu vr ijednost uzeli samo p o j e d an svoj s tveni vektor. Općenito , kako z namo , za neku svo j st venu vrijednost >.0 imamo d(>. 0 ) nezavisnih svojstvenih vektora. No sada m ož emo dokazati i odgovarajući, jači rezultat. =

=

=

=

Teorem 5 . 5 . 1 8 . Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor, A E L(V) ,

te

neka je

eC i )

=

{ e ii ) , e �i ) , . . .

1 , . . . , k . Tada je unija U

, e �i} }

baza za svojstveni potprostor VA (>.i ) , i

=

e C i ) linearno nezavisan skup u V . =l i P r i mij et i m o prvo da smo geometrijske kratnosti u iskazu teorema im­

Dokaz. plicitno označili Neka j e

s

k

di , . . . , dk .

Za svaki i = 1 , . . . , k, označimo Očito, ako za svaki i vrijedi X i = O, dokaz je gotov j er je svaki od skupova e(i) = { e ii) , e �i) , . . . , e �:) } prema pretpostavci nezavisan.

180

5 . L i n e a rn i operatori

Pretpostavimo stoga da su neki od vektora X i

općenitosti smijemo uzeti da j e X1 ,

Od početne j ed

n

X r+ 1 1

. . . , Xr f=. O,

, Xk

akosti sada nam ost aj e samo X1

+ Xz

+

•

•

•

. . . + Xr

različiti o d O. Bez smanjenja

= O,

=

r ::;

k.

o,

a kako su vektori . . . , Xr , svoj s tveni vektori (jer su netrivij alni! ) za ) q , . . . , A r i O respektivno, dospjeli smo u kontradikciju prethodnom propozicijom. x1 ,

s

Korolar 5 . 5 . 1 9 . Neka je V kompleksan konačnodimenzionalan vektorski pros­ tor, neka j e A E L(V) te neka je Operator A se može dijagonalizirati {tj. postoji baza od V u kojoj je matrični prikaz operatora A dijagonalna matrica) ako i samo ako su geometrijska i alge­ barska kratnost svih svojstvenih vrijednosti od A jednake.

Dokaz. Već smo vi dj e li u n apo m eni 5. 5. 1 6 da je jednakost algebarskih i ge­ ometrijskih multipliciteta nužan uvjet dijagonalizacije. O b r atno , jer je pr ost or kompleksan, svojstveni poli nom operatora A je oblika gdje je

l1 +

·

·

·

+ lk

= n

=

dim V.

Preostaje primijeniti pretho d ni teorem: unija baza svojstvenih potprostora je linearno nezavisan skup koji ovdje, zbog pretpostavke o jednakosti algebarskih i geometrijskih kratnosti, ima točno n elemenata i zato čini bazu za V . Jasno D j e da je u toj bazi matri c a operatora A dij agonalna. Treba primijetiti da je tvrdnja korolara točna i za operatore na realnom prostoru koji ispunjavaju d o d atni uvjet da im se svojstveni polinom može fak­ torizirati u linearne faktore nad polj em R Za operatore na kompleksnim prostorima ovaj preduvjet je automatski ispunjen (jer se njihov svojstveni polinom uvijek može faktorizirati na linearne faktore) i jedina smetnja dijagonalizaciji je eventualni "manjak" svojstvenih vektora. Tipičan primj er operatora koji se ne može dij agonalizirati je A E L(V) koji nekoj bazi e prostora V ima matricu u

[A J : =

[ � �] ·

Primij etimo da za ovu matricu vrijedi ( [AJ � ) 2 = O.

5 . 5 . S p e ktar

linearan operator ( matricu ) A kažemo da je nilpotentan (nilpotentna) ako je Ak = O za neki prirodni eksponent k . Nilpotentni ope­ ratori se prirodno pojavljuju. Najpoznatiji primjer je operator deriviranja na prostoru polinoma Općenito, z a

Pokazuje se da nilpotentni operatori igraju važnu ulogu u proučavanju strukt ure proizvoljnog operatora. Štoviše, uz pomoć tzv. Fittingove dekompozicije ( u kojoj se proizvoljan operator rastavlja na regularan i nilpotentan dio) dolazi se do općeg teorema koji opisuje strukturu linearnih operatora na konačnodimen­ zionalnim prostorima. Napomena 5 . 5 . 20 . Sva prethodna razmatranja o spektru, svojstvenim vrijed­ nostima, svojstvenim potprostorima, dijagonalizaciji . . . proveli smo za linearne operatore na konačnodimenzionalnim prostorima. Često se, međutim, govori o istim pojmovima vezanim za neku matricu bez referiranja na neki određeni operator. Tako se onda govori o spektru matrice ili o dijagonalizaciji kvadratne matrice. Formalna interpretacija se izvodi uz pomoć induciranog operatora iz napomene 5.4 . 23. Podsjetimo se da je za danu matricu A E Mn operator LA E L(Mn 1 ) definiran s Kako kanonskoj bazi e prostora Mn 1 vrijedi u

[LA]�

=

A,

to je

pa se zaista može reći da su svojstvene vrijednosti operatora LA i matrice A iste. Osim toga, za svaku svoj st venu vrijednost A operatora LA i svojstveni vektor x jednakost LAX = >.x glasi Ax >.x pa se i vektor x može smatrati svojstvenim vektorom matrice A. U praksi, kad računamo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrice A, operator LA ne trebamo i ne spominjemo. No prethodna opaska pokazuje da se svi e z ult at i o sp ektr u i svojstvenim vektorima, iako izrečeni i dokazani za O operatore, primjenjuju i na matrice. Za kraj ovih razmatranja preostalo je rasvijetliti ulogu kompleksnih nulto­ čaka svojstvenog polinoma operatora na realnom prostoru. Za to trebamo uvesti još j edan poj am. =

r

Definicija 5 . 5 . 2 1 . Neka je V vektorski prostor i A E L(V) . Kaže se da je potprostor M ::; V invarijantan za A ako vrijedi

tj. Ax E M,

Vx E M.

A (M) .. a = ">-.Ja ·

Posvetimo se sada operatorima. Kad je riječ o izomorfizmima vektorskih prostora (ili regularnim operatorima) onda je jasno da bismo ovdje želj eli imati na r aspolaganj u oper at o r e koji bi čuvali i unitarnu, a ne samo linearnu str ukt ur u . To nas dovodi do sljedeće definicije. Definicija

6.2.3.

Kažemo d a je

A

E

Neka su V i W unitarni prostori takvi

da

L ( V, W) unitaran operator ako vrijedi

(Ax, Ay)

=

Vx , y

(x, y ) ,

E

je dim V = dim W .

V.

Primijetimo da se u navedenoj jednakosti na lijevoj strani poj avlj uje ska­ larni produkt u W , dok desno stoji skalarni produkt u domeni V. Vidjet ćemo u idućem t e oremu da unitarni operatori, čuvaj ući skalarne p r o d ukt e svih vektora, čuvaju i kompletnu strukturu prostora; otuda i dolazi njihov naziv . Napomena 6 . 2 .4. (a) Uočimo da je

( Ax , Ay ) ekvivalentan

=

za

A

E

(x, y ) ,

L ( V, W)

Vx , y

uvj etu

/ / Ax / /

=

llx ll ,

=

( x , y) ,

Vx

E

E

zahtjev

V,

V

Ovo se svojstvo z ove izometričnost . U jednom smjeru je ovaj zaključak trivij alan (nq,prosto se uzme x = y) , dok je u drugom, netrivijalnom smjeru to izravna posljedica polarizacijskih formula iz napomene 6. 1 . 9. (b) Svaki operator sa svojstvom

(Ax, Ay)

'tlx , y E V,

je injektivan. Naime, ako je Ax = O, onda zbog l / Ax / I i

X =

0.

=

/ / x i i odmah slijedi

(c) Svojstvo očuvanj a

skalarnih produkata, kao i izometričnost smislena je i za operatore na beskonačnodimenzionalnim prostorima. No i ovdj e se ograni­ čavamo na istraživanje operatora na prostorima konačne dimenzije.

(d) I op će nit o , ako i nije dim V = di m W, mogli bismo za operatore A : V � W promatrati zahtjev ( Ax, Ay ) = ( x , y ) ,

'Vx , y

E

V

221

6 . 2 . Operatori n a u n itarn i m prostori m a

Međutim, to ima smisla tek ako je dim V :::;; dim W! Zaista, kako pokazuje prethodna o paska (b) , takav operator je nužno injektivan i zato je zbog teorema o rangu i defektu dim V = r( A ) :::;; dim W.

(e)

Ako je

dim V < dim W o p erator A E L(V, W) sa svojstvom (Ax, Ay) = (x , y) ,

Vx , y E V,

se naziva izometrij a. Termin unitaran operator je r ez ervir an A E L(V, W) koji zadovoljavaju uvjet (Ax , Ay)

= (x , y) ,

Vx, y

E

za operatore

V,

a pritom je dim V = dim W. Primijetimo da su takvi operatori zbog prethodne 5. 1 . 1 3 izo morfizmi .

opaske

D

(b) i korolara

Sljedeći teorem u osnovi kaže da unitarni operatori prevode ortonormirane ortonormirane baze. Usporedba s p ropozicijom 5. 1 . 14 p okazuj e da se unitarni operatori zaista mogu sm atr at i izomorfizmima unitarnih prostora.

baze

u

Teorem 6 . 2 . 5 . Neka su V i W konačnodimenzionalni unitarni prostori i A L ( V, W) . Sljedeći su uvjeti međusobno ekvivalentni: (i) A je unitaran;

(ii)

E

za svaku ortonormiranu bazu {b1 , . . . , bn } od V skup {A b 1 , . . . , A bn } je ortonormirana baza za V;

(iii) postoji ortonormirana baza { e1 , . . . , en} od V takva da je i skup { Ae1 , . . . , Aen } ortonormirana baza za V.

Dokaz. (i) =? (ii) : Uzmimo proizvoljnu ortonormiranu bazu {b1 , . . . , bn } pro­ stor a V. Prema pretpostavci , A čuva sve skalarne produkte, pa posebno za sve i, j = 1 , . . . , n, vr ij edi To pokazuje da je skup {Abi , . . . , Abn } ortonormiran. K ako pret post avka da j e A unitaran po dr az mij eva i da su dimenzije prostora V i W jednake, u

taj skup je i baza za W. (i i i )

=?

(i) : Pretpostavka odmah

pokazuje da vrijedi dim V = dim W.

222

6 . U n itarn i prostori

Preostaje pokazati da operator A čuva skalarne produkte. Uzmimo V. Prema napomeni 6. 1. 14 znamo da j e x

n

=

L (x , ei ) ei ,

y

i=l

n

=

i=l

S druge strane imamo

(A x , A y)

�

( t, n

(x , y )

L ( y, e i) e i

(x, e ;) A e ;,

n

i=l j=l

t,

(y, e; ) A e;

n

=

)

L( i=l

x,

x, v

E

ei) ( e i , y ) .

n

i=l

Primij etimo da posljednja j ednakost dolazi iz ortonormiranosti skupa

{A e 1 , . . . , A en}; zato je

(A e i , Aej)

=

8ij ,

Vi, j

=

D

1 , . . . , n.

Teorem koji smo upravo dokazali omogućuje d a unitarne operatore kon­ s t ru ir amo na j ednostavan način upotrebom propozicije 5. 1 . 5. Posebno, uoča­ vamo da unitarnih operatora ima u izobilju. Konkretan primj er unitarnog op e ratora je operator rotacije R'P za kut ep n a prostoru V 2 (O) . Najjednostavniji način da utvrdimo kako je ovaj operator zaista unitaran je primjena napomene 6. 2.4 (a) : R'P j e evidentno izometričan.

­

Osim toga, prethodni teorem pokazuje i da je inverzni operator A - 1 uni­ tarnog op er ato r a A (inverzni operator zaista postoji zbog napomene 6. 2.4 (e}) tako đe r unitaran. To je zato što i A - 1 ortonormirane baze prevodi u orton or mi­ rane baze - samo u obrnutom smjeru. Uočimo još jedno zanimljivo svojstvo unitarnih op er at ora . Propozicija 6 . 2 . 6 . Neka su V i W unitarni prostori i

A E L( V, W) unitaran

operator. Tada je

(Ax, y) = (x , A - 1y) ,

iv=

i y i nađimo v A - 1 y . Sada je

Dokaz. Uzmimo proizvoljne

u o čimo da j e tada

Vx E V,

x

E

Vy E W.

V t akav da je Av

=

y.

Odmah

D (Ax, y) ( Ax, Av) (x, v) \x, A-1y) . S lj edeć a pr op o zi c ij a govori o spektru unitarnog operatora. No, primije­ timo da i unitarni operatori, unatoč brojnim dobrim svojstvima, mogu biti bez =

=

=

svojstvenih vrij ednosti (već znamo da je oper ato r rotacije takav) .

6 . 2 . O p e ratori n a u n itarn i m prostori m a

223

Propozicija 6 . 2 . 7. Neka je V unit aran prostor i A E L(V) unitaran ope ra to r s nepraznim spektrom. Sve svojstve ne vrije dn o sti operatora A imaju apsolutnu vrijednost jednaku 1 . Svojstveni potprostori pridruženi različitim svojstvenim vrijednostima međusobno su okomiti. Dokaz. Neka je .A svoj stvena

vrij ed no st od A, ne ka je x p rid ruže ni svojs t ve ni vektor. Uočimo da je i e = 11;11 x svojs t ven i vektor operatora A p ri druže n istoj svoj stvenoj vrij ednosti .A. O s i m toga, e j e i normiran. Sada je

s

(Ae , Ae) = ( e , e)

j edn e , i dru ge

1

=

(Ae, Ae) = ( .A e , .Ae) = .A°X ( e, e ) = / A. 1 2

Uzmimo sada različite .A , µ E O" (A) i proizvoljne vektore x E VA ( A. ) , y E VA (µ) . U očimo da p r imj enom operatora A - 1 na jednakost Ay = µy dobivamo y µA- 1 y . Već smo dokazali da je / µ / = 1 , pa je zato µ i= O te vrijedi lµ = µ. Zato prethodnu jednakost možem o pisati u obliku A- 1 y = µy. Sada je

s

strane .

=

>. (x , y )

=

(Ax, y)

=

(sad primjenjujemo p r etho dnu pr op oz i cij u )

= (x, A- 1 y) = (x, µy)

=

Dobivenu jednakost možemo p re pis at i

µ (x, y) .

(.\ - µ) (x , y ) = u

O

o b lik u

Jer j e prema pretpostavci .\ i= µ, s lij ed i (x, y)

=

.

O.

o

P ri mij etimo da su, zbog prethodne p r opoz ic ij e, j edin e mo guć e svoj stve ne vrij e dnosti unitarnog op e rat or a na realnom unitarnom prostoru b r ojevi 1 i - 1 . No, kao što smo već konst at i r ali , unitaran op er at or n a realnom prostoru ne mora i mati svojstvenih vrijednosti. U tom su smislu unitarni operatori na kom­ pleksnim prostorima znatno bolji. Može se pokazati da se svaki unitarni o p e r at o r A na kompleksnom konačnodimenzionalnom pros to r u V može dij agonalizirati u nekoj ortonormiranoj bazi prostora V .

Primjer 6 . 2 . 8 . Opišimo unitarne operatore n a dvodimenzionalnom re aln o m unitarnom prostoru V2 (0) . Pokazat ćemo da je ope rat o r ro t ac ij e R'P z ap r avo tipičan pr i mj er unitarnog operatora na ovom prostoru . Neka j e S E L (V2 (0) ) operator zrcalj enj a po x-osi . Pr i mij et im o : ako je e = {i, J} standardna o rt o nor m iran a baza u V 2 (0) onda j e [SJ : =

[� -�J

.

6. U n itarn i prostori

224

Kako operator S očito ortonormiranu bazu e prevo di u ortonormiranu bazu { i , - ] } , i on je unitaran. Uzmimo sad proizvolj an unitaran operator A E L(V 2 (0) ) . Jer je unitaran, p resl i kava ortonormiranu b az u e u neku drugu ortonormiranu bazu b; stavimo

b { b 1 , b 2 } gdje j e b 1 = Ai i b 2 = A). Baza b j e orijentirana pozitivno ili negat i vno . Ukoliko je njena or ij ent ac ij a pozitivna, onda postoj i j edi n stven kut r.p E [O, 27r) takav da baza e rotacijom za kut r.p prelazi u bazu b. To znači da op erat or i A i R'P jednako dj eluju n a bazi e, t e su zato, prema n apomeni 5. 1 . 4, j ednaki . Ako je p ak baza b negativno or ijenti r an a onda postoj i j edin stven kut r.p E [O, 21f) takav da baza { i , - ]} r ot ac ij om za kut

i = X D

Propozicij a 6 . 2 . 2 6 . Nek a je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A E L (V) hermitski operator. Svojstveni potprostori pri druženi različitim svojstve­

a(A) ,

nim vrijednostima operatora A međusobno su okomiti.

Dokaz. Uzmimo ,\, µ

E

,\ f. µ i pr i p adajuće svojstvene vektore

x

i y:

Sada je, prema prethodnoj propoziciji, ( čak i ako je prostor kompleksan) µ = µ pa imamo Ax

>i ( x , y ) = (>ix , y)

=

=

,\ x ,

Ay = µy .

( A x , y) = (x , A y) = ( x , µy ) = µ (x, y) = µ ( x , y ) ,

a odavde je (,\ - µ) ( x , y) = O

i zato ( x , y )

=

O.

D

232

6 . U n itarn i prostori

Sada j e sve spremno za dokaz ključnog rezultata za hermitske op erat o re . N aj prije slij edi pripremni t e orem, no i sam za sebe važan. Uočimo da j e odgo­ varajuć a t vrd nj a za operatore na kompleksni m pro stor ima trivijalna . Teorem 6 . 2 . 27. Neka je V konačnodimenzionalan realan unitaran prostor, neka je A E L(V) hermitski operator. Tada je spektar operatora A neprazan.

Dokaz. Uzmimo o rton or miranu bazu b u V i for mi raj mo matri cu [A] g [o: ij] · Prem a propoziciji 6. 2. 24 , matri c a [A]g je hermitska ( sim et rična ) . Neka je kA svojst veni polinom operatora A (odn os n o , po definiciji, nj e govog matričnog za­ pisa [A]g) i neka je kA (>.) = O. Pokaz at ćemo da je >. realan broj (čime će bit i dokazana i više nego što se u iskazu p rop oz ic ije tvrdi: p okazat ćemo da su sve nultočke svojstvenog po lino ma opratora A realne) . Ostatak dokaza se provodi sasv i m an alogno razmat ranj i ma iz t očke 5 . 5 , gdj e smo anali zir ali ulogu kompleksnih nu lt očki svojstvenih pol inom a operatora na realnim prostorima. Promotrimo operator množenj a s matricom [A] g na unitarnom pr ost oru j e dn ostupčanih ko m pleksnih mat r ica =

Dobili smo linearan operator n a komp le ksnom unitarnom prostoru. Jasno je, međutim, da u st an d ardn oj ortonormiranoj bazi e p rosto ra Mn1 (C) imamo matrični zapis [L[AJ � ] � [A] g .

Zato j e , prema propoziciji 6. 2. 24, operator L [AJ � herm i t ski, a i svojs t ven i poli­ n om operatora L [A] � j e isti kao i svojstveni polinom operatora A. Dakle, >. je nu lto čka svojstvenog polinom a operatora L[ An na kompleksnom prostoru Mn1 (C) . Kako je prostor komp leks an, to znači da je >. svoj st vena vrij ednost O o p erat o ra L [ AJ � ! Propozicija 6 . 2.25 sada pokazuje da je >. E R =

Prethodni teorem je toliko važan u primjenama da se često susreću njegove z li č it e reformulacije. Zabilježimo jednu. ra Korolar 6 . 2 . 28. Realna simetrična matrica ima svojstvenu vrijednost.

Sljedeći teorem može se smatrati glavnim rezultatom za hermitske opera­ tore: svaki hermitski operator dopušta dijagonalizaciju u nekoj orton ormir anoj bazi. Treba uočiti da u formulaciji teorem a nema razlike i zmeđu realnih i kom­ pleksnih prostora. Teorem 6 . 2 . 2 9 . Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor, neka je A E L ( V) hermitski operator. Postoji ortonormirana baza e prostora V u kojoj je matrični zapis [A] � operatora A dijagonalna matrica.

6 . 2 . Opera tori na u n ita r n i m prostori m a

Dokaz. Teorem ćemo dokazati indukcij om po d imenz iji prostora. Za dim V = 1 tvrdnj a j e ( na tri vij alan n ači n) točna. Pretpostavimo da je t vr dnj a teorema točna za svaki hermitski operator Uzm imo unitaran prostor V takav da na unitarnim prostorima dim en z ij e n je dim V = n i her mit s ki operator A E L(V) . Najprije nađimo j e dnu svojstvenu vrij ednost >. za A - to možemo prema pre th o dnom teoremu. ( Prim ij e timo ulogu pre t ho dn og teorema. Ako je prostor komp leks an, p ostoj anje svoj stvenih vr ij e dnost i je nesporna . ) Neka je a jedinični svoj s t ve ni vekt or p r id ruže n svojstvenoj vrij ednosti >.. D efi nir aj mo

1.

M = [{a}] :S V

Tad a j e

= n - 1. Pokažimo da j e potprostor M 1- invar ij ant an za A, tj . d a vrijedi V = M EB M 1-

i zato j e d im M 1-

Z aist a , za to je dovolj no vidjeti (a, Ax ) ( a , A x)

=

=

O , no

( Aa , x ) = >. ( a , x) = O

x E M 1- . Označimo s A 1 : M 1- ___, M 1- restrikciju operatora A na potp r ost or M 1- . Jasno j e da j e i taj operator li n ear an , a jasno j e da vrij edi i

j er smo uzeli

za sve x i y iz M1- zato što jednakost (Ax, y) = (x, Ay) vr ij edi za sve vektor e prostora V. Nakon svega, vi dimo da smo dobili hermitski operator A1 n a unitarnom prostoru M 1- dimenzij e n - 1 . Prema pr etpostavci indukcije, post oji ortonormi­ rana baza { e2 , . . . , en } ovog prostora u koj oj je matrica oper at ora A1 dijago­ nalna; tj . vrijed i

Sada je j asno da je e = {a, e2 , . . . , en } ort onorm ir ana baza p rostora V u koj oj se polazni operat or A dij agonalizira. O

Ako je dan her m it ski operator A na realnom unitarnom prostoru V, onda j e , prema propoziciji 6. 2. 24, u svakoj ortonormiranoj bazi e pros t or a V ma­ tri c a [A] � simetrična. Sad možemo primijeniti p rethodni teorem : p ostoj i druga

233

6.

234

U n itarni prostori

ortonormirana baza e' p rost o r a V u kojoj će m at r ica [A] �'. U oči m o da je prema napomeni 6. 2. 1 9 mat r i c a prijelaza ortogonalna.

Odavde dobivamo s lj e deći kor ol ar , klasičnu reformulacij u prethodnog t eore ma .

koj i

biti dij agonalna.

predstavlja če st o prisutnu

Korolar 6 . 2 . 30. Svaka simetrična matrica je ortogonalno slična dijagonalnoj matrici.

Izlaganj e ćemo završiti pri mj er om koji se t eme lj i na prethodnom teoremu, a igra važnu ulogu u različitim primj enama. Primj er 6 . 2 . 3 1 . Neka su a, b , c realni brojevi pri č e mu je a2 + b2 + c2 > O. Pre slikavanje q : JR.2 __, JR definirano s q (x1 , x2 )

=

axi + 2bx 1 x2 + ex�

zove se kvad rat n a forma s koeficijentima a, b , c. Koeficijent uz x 1 x2 napisan je u ob l ik u 2b iz tehničkih ako s m o t ako po st u pi l i , možemo uvesti simetričnu mat ricu

razloga.

N aime ,

i onda, koristeći skalarni produkt u M21 (JR) , kvadratnu formu q zapisati u obliku

Ukoliko sad a p ogle d amo op e r at or kvadratnu formu q možemo interpretirati i vektors ki , odnosno operatorski. Sje­ se da u kanonskoj bazi e prostora M2 imamo [LA]� A. Kako j e ta b az a ortonormirana, a mat rič ni zapis našeg op er at or a simetrična matrica, za­ ključuj emo iz propozicije 6. 2. 24 da je LA herm it sk i operator. No sada smo u prilici pr i m ij e n it i teorem 6. 2. 29: m ož emo naći o rt onormir anu bazu (a) {a1 , a2 } svoj stven ih vektora za LA (odnosno za A) i svoj s t ve ne vrij edn osti a1 , a2 tako da je

t im o

=

=

To očito povlači d a u ovoj bazi form a q p op ri ma znatno jednostavniji oblik: ako je vektor x E M2 1 napisan u o bl iku

6 . 2 . O p e ratori na u n i ta r n i m prostor i m a

235

onda je U ovoj sit u ac ij i , gdj e je iščeznuo mj ešovit i član, kažemo da smo kvadratnu formu

dij agonalizirali.

Sve potpuno an alo gno možemo načiniti i za kvadratne forme od n varijabli; to su pres l i kavanj a q : ]Rn ----7 JR

zadana pomoć u simetrične matrice A E Mn (lR) formulom q(x)

=

(Ax, x) ,

pri čemu smo prešutno uređenu n- torku x s hvat ili kao st up ac .

D

Kvadratne forme se pr iro dno pojavljuj u u raznim pro ble m im a i čes to su njihova svojstva bitna za rješavanje tih p r ob l em a ( npr . p o zit ivna definitnost ili indefinit no st ) . U svim problemima takve vrste od z natne je p omo ći p o st u­ p ak dij agonalizacije koji se t e melji na teoremu 6. 2. 29. Spomenimo j ednu takvu primjenu: klasifikaciju krivulja drugog reda. Neka su a , b, c, d, e , f r ealni brojevi pri č emu je a 2 + b2 + c2 > O. Treb a riješiti jedn ad žbu drugog stup nj a u x1 i x2 ob lika

Preciznije, t reb a odrediti skup S svih točaka ravnine čije koordinate zadovolja­ vaj u ovu j e dn adžb u . Poznato je da je skup S zapravo j edn a krivulj a drugog reda. Do njezinog o p is a , odnosno standardne j ednadž b e n ajlakše se dol az i dijagonalizacij om pri­ družene kvadratne forme

P okaz uj e se da je skup S z ap r avo ( ako zanem arimo neke d ege nerir ane s it u ac ij e ) el ip s a ili hiperbola ili parabola, ovisno o tome j e li det A > O ili det A < O ili det A = O, g dj e j e A simetričn a matrica kvadratne forme q. Precizna formulacij a i izvod ove činjenice može se n aći u [5] u t očki 2.8. Analognom metodom mogu s e k las ificir at i i plohe drugog re d a ( [5] , to čka 3.5) .

Daljnja vrlo značajna primj ena dijagonalizacije kvadrat ne forme susreće se u mat emati čkoj analizi pri o dre đ ivanj u lokalni h ekstr em a fu nkcij a više vari­ jabli. Za dovoljno glatke funkc ij e viš e varij abli p r iro dn o se u svakoj kritičnoj točki uvodi kvadr at n a forma zadana drugim derivacij arna. Dij agonalizacijom ove forme lako se utvrđuj e nj ezina definitnost, odnos no inde fi nit nost , a to na kr aj u odlučuje o naravi d ane krit ične točke .

6 . U n itarn i p rostori

236

6.3.

Zadaci

1 . Provj erite da su preslikavanja navedena u primjerima 6. 1 . 4 zaista skalarni

produkti. 2.

Pokažite da j e formulom (p , q) = p ( l ) q ( l ) + 2p( O ) q (O) + p (

3.

-1

) q ( - 1)

definiran skalarni produkt na P2 (lR) . Dokaži te relaciju paralelograma iz napomene 6. 1 . 8.

Dokaži te polarizacijske formule iz napomene 6. 1 . 9. 5. Neka je e { e 1 , . . . , en } baza vektorskog prostora V. Dokaži te da postoji skalarni produkt na V s obzirom na koji je e ortonormirana baza za V.

4.

=

6 . U unitarnom prostoru JR4 Gram-Schmidtovim postupkom ortonormirajte skup s = { ( 1 , 2, 2, - 1 ) , ( 1 , 1 , -5, 3) , (3 , 2 , 8, -7) } . 7. U unitarnom prostoru M2 (1R) Gram-Schmidtovim postupkom ortonormi­ rajte skup

s

=

{ [� �] [i i] [� i] } . '

'

8 . Odredite bar jednu ortonormiranu bazu unitarnog prostora P3 (JR) sa ska­ larnim produktom 1

(p , q)

9.

=

J p ( t) q (t) dt.

-1 Neka su L i M potprostori konačnodimenzionalnog unitarnog prostora V. Dokažite da je

1 0. Za vektore a = ( 1 , 3 , 0, 2 ) , b = (3, 7, - 1 , 2) , c = (2 , 4, - 1 , 0) E JR4 prostor

M = [ {a, b, c}]

odredite j ednu ortonormiranu bazu potprostora

1 1 . U unitarnom prostoru JR n zadan j e potprostor

M

=

{ (x 1 , . . . , xn ) : X2 - X1 =

X 3 - X2

=

Odredite neku ortonormiranu bazu za M .l .

· · ·

= Xn -

Xn - 1 = X 1

M .l .

i pot­

- Xn } ·

6.3.

Zad aci

237

12. U unitarnom prostoru JR4 zadan j e potprostor M svojom bazom

{ (1 , 1 , 2, -1) , (1, 0, 0, 2) } .

Prikažite vektor x =

(1, 1 , 1 , 1 ) u obliku x = a + b , a E M,

b E M 1- .

1 3 . U unit ar nom prostoru M2 (IR) odredite najbolju ap roksimacij u

[i _;]

matricama iz potprostora Ker ( tr ) . 14.

Neka je V unitaran prostor .

definirano formulom

Pokažite da j e preslikavanj e 'P

tp ( a )

antilinearno, tj . da za sve s kal ar e

tp(aa + {3 b)

15. U

a,

b

fa

=

f3 i vektor e

a,

V

---+

V*

vrijedi

atp (a) + /3tp(b) .

=

prostoru P2 (IR) sa skalarnim produktom (p, q) =

m at ric e

J p (t)q(t) dt 1

-1

zadan j e linear an funkcional

Odredite p o l i nom

+ p(l ) .

q E P2 (IR) takav d a vrijedi f (p)

f (p )

=

=

p( - 1 )

(p, q ) ,

Vp E P2 (IR) .

16. Neka za li n earan operator A na konačnodimenzionalnom uni t arno m prosto­ ru V vrijedi x , y E V, x J_ y ====? Ax J_ Ay . Dokažite da tada postoje skalar a i unit ar an operator U na V takvi da je A = aU.

17. Neka su V i W unitarni prostori nad istim poljem. D okaž ite da je za linearan operator A E L ( V, W) svojstvo očuvanj a skalarnih pro d ukata

(Ax, Ay)

=

(x , y) ,

Vx, y

E

ekvivalentna svojstvu izometričnosti l l Ax l l = l l x l l ,

Vx E V.

V,

6. U n itarni prostori

238 18.

Neka je V

u ni

t ar an prostor

i A

(Ax, Ay)

:

V

=

___,

V preslikavanje sa svojstvom

(x , y ) ,

Vx, y

E

V.

Dokažite da je A linearan operator. 1 9 . Na unitarnom prostoru IR3 zadan je linearan operator

20. Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A E L ( V) . Pokažite da postoji ortonormirana baza prostora V u kojoj je matrični zapis operatora A gornj etrokutasta matrica.

Provj erite je li operator A unitaran te odredite A- 1 .

2 1 . Dokažite da skup svih ortogonalnih matrica čini grupu s obzirom na ma­ trična množenje. Ta grupa zove se ortogonalna grupa. (Usp. korolar 6. 2. 1 8.)

22. Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i A E L(V) unitaran operator. Ako j e potprostor M ::; V invarijantan za A, dokažite da je tada i M J_ invarij antan za A. 23. Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor i P E L ( V ) . Dokažite da je operator P ortogonalan projektor na neki potprostor ako i samo ako vrijedi pz = p P* . =

24. N eka su V i W konačnodimenzionalni unitarni prostori te neka j e A E L(V, W) . Označimo s