Algebra [PDF]

Zitiervorschau

ALGEBRA Tauno Metsänkylä

Kf

K(α1 )

K

τ ∼

- K0 f

τ1 ∼

idK ∼

K(α1 )

- K

SISÄLTÖ

1

Sisältö 1 MODULI 1.1 Moduli; alimoduli . . . . . . . . . 1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli 1.3 Modulien summa . . . . . . . . . 1.4 Vapaa moduli . . . . . . . . . . . 1.5 Vapaan modulin aste . . . . . . .

. . . . .

4 4 6 8 11 12

2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA 2.1 Jaottomat alkiot ja UFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Syt ja pyj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eukleideen alue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 19 20

3 POLYNOMIT 3.1 Polynomin nollakohdat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri . . . . . . . . . . 3.3 Polynomin derivaatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 24 25 29

4 KUNTALAAJENNUKSET 4.1 Kuntalaajennuksen aste . . . . . . . . 4.2 Yksinkertainen laajennus . . . . . . . . 4.3 Algebrallinen laajennus . . . . . . . . . 4.4 Algebrallinen sulkeuma . . . . . . . . . 4.5 Sovellus: geometriset konstruktiot . . . 4.6 Laajennusten isomorfia . . . . . . . . . 4.7 Polynomin hajoamiskunta . . . . . . . 4.8 Normaali laajennus . . . . . . . . . . . 4.9 Äärellisen laajennuksen yksinkertaisuus

. . . . . . . . .

32 32 34 36 40 42 43 46 48 50

5 ÄÄRELLISET KUNNAT 5.1 Äärellisen kunnan perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kaikki äärelliset kunnat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52 52 54

6 GALOIS’N TEORIAA 6.1 Kuntalaajennuksen automorfismit . 6.2 Galois’n laajennus; Galois’n ryhmä 6.3 Galois’n vastaavuus . . . . . . . . . 6.4 Konjugaattilaajennukset . . . . . . 6.5 Yhtälön algebrallinen ratkaiseminen

56 56 57 60 64 66

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

SISÄLTÖ 7 MODULI YLI EUKLEIDEEN ALUEEN 7.1 Matriisin Smithin normaalimuoto . . . . . . 7.2 Vapaan modulin alimoduli . . . . . . . . . . 7.3 Modulin torsioalkiot . . . . . . . . . . . . . 7.4 Äärellisesti generoitu moduli . . . . . . . . . 7.5 Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä

2

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

68 68 70 74 75 78

8 RYHMÄTEORIAA 8.1 Ryhmien isomorfiasta . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Vastaavuuslause . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Yksinkertainen ryhmä . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Normaali- ja kompositiosarjat . . . . . . . . . . 8.5 Ratkeava ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö 8.7 Sylowin ryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

84 84 85 87 89 92 95 98

. . . . .

(2004)

³³ ³³ ³ ³ ³³ ³ ³ 2 >> ³³ ³ >> ³ >> ³³ ³ >> ³ >> >> ³³ Á ¨³ 7o

1

/8 ­ ­ ­­ ­ ­ ­­ ­ ² ­ ­­ 3 ­ ­ ­­ ­ ­ ­­ ­ ­ ² ­­ ­ 4> ­ ¡¡ >>> ­­ ¡ ­ >> ­ ¡¡ >> ¡¡ ­­ > ¡ ­ >> ­ ¡¡ >Á ­¦ ­ ¡¡¡ /6 5o

JOHDANTO

JOHDANTO Kertauksena eräiden algebrallisten systeemien postulaatit: Monoidi (G, ·) :

1. (ab)c = a(bc) ∀ a, b, c ∈ G, 2. ∃ 1 ∈ G : a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ G.

Jos lisäksi ∀ a ∈ G ∃ a−1 ∈ G : aa−1 = a−1 a = 1, niin G on ryhmä. Abelin ryhmä (A, +) : 1. 2. 3. 4.

(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ A, ∃ 0 ∈ A : a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ A, ∀ a ∈ A ∃ − a ∈ A : a + (−a) = (−a) + a = 0, a + b = b + a ∀ a, b ∈ A.

Abelin ryhmän alkioiden a ja b erotus a − b = a + (−b). Rengas (R, +, ·) :

1. (R, +) on Abelin ryhmä, 2. (R, ·) on monoidi, 3. a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ R.

Jos kertolasku lisäksi on kommutatiivinen, R on kommutatiivinen rengas. Kunta (K, +, ·) :

1. (K, +, ·) on kommutatiivinen rengas, 2. ∀ a ∈ K r {0} ∃ a−1 ∈ K : aa−1 = a−1 a = 1. a Kunnan alkioiden a ja b 6= 0 osamäärä = ab−1 . b Esimerkki. Todetaan, että (Z+ , ·) on monoidi,

(2Z, +) on Abelin ryhmä, Z on rengas (kommutatiivinen), Q on kunta.

3

1 MODULI

1

4

MODULI

1.1

Moduli; alimoduli

Modulin käsite on vektoriavaruuden välitön yleistys. Määritelmä. Olkoon R rengas. Abelin ryhmää (M, +) sanotaan (vasemmaksi) R-moduliksi, jos siinä on määritelty modulikertolasku merk.

(a, x) 7→ a ◦ x = ax ∀ a ∈ R, x ∈ M, joka täyttää seuraavat ehdot: RM0. ax ∈ M

∀ a ∈ R, x ∈ M,

RM1. a(x + y) = ax + ay

∀ a ∈ R, x, y ∈ M,

RM2. (a + b)x = ax + bx ∀ a, b ∈ R, x ∈ M,

RM3. (ab)x = a(bx) ∀ a, b ∈ R, x ∈ M,

RM4. 1x = x ∀ x ∈ M.

Esimerkki 1.1.1. Jos K on kunta, niin K-moduli = vektoriavaruus yli K:n. Esimerkki 1.1.2. Jokainen Abelin ryhmä (M, +) on Z-moduli, jossa modulikertolaskun määrittelee alkion monikerta kx (k ∈ Z, x ∈ M ). Postulaatti k(x + y) = kx + ky on laskulaki, joka ryhmän multiplikatiivisessa merkinnässä saa muodon (xy) k = xk y k ; tämä on tosiaan voimassa kommutatiivisuuden nojalla. Esimerkki 1.1.3. Renkaan R ihanne I (tarkemmin (I, +)) on R-moduli, modulikertolaskuna ri (r ∈ R, i ∈ I) renkaan oma kertolasku. Postulaatti RM0 seuraa ihanteen määritelmästä, muut postulaatit suoraan rengaspostulaateista. Erityisesti siis R itse on R-moduli. Merkintä: R R. Modulien teoria rakentuu samaan tapaan kuin vektoriavaruuksien. Erityisesti kaikki vektoriavaruuksia koskevat tulokset, joiden todistuksessa ei tarvita skalaarikunnan jakolaskua (eikä kertolaskun kommutatiivisuutta), pätevät myös moduleihin. Tällaisia tuloksia ovat ensinnäkin seuraavat laskulait: 1◦ ax = 0, jos a = 0 tai x = 0, 2◦ a(nx) = (na)x = n(ax) ∀ n ∈ Z,

3◦ a(x − y) = ax − ay, (a − b)x = ax − bx.

1.1 Moduli; alimoduli

5

Huomautus 1.1. (i) Sekä R:n että M :n nolla-alkiosta käytetään yleensä merkintää 0 (ks. 1◦ ). (ii) Sääntö 1◦ ei päde kääntäen; esimerkiksi Z-modulissa Z6 on 2 · 3 = 0. (Vrt. vektoriavaruuksiin.) Määritelmä. R-modulin M osajoukkoa N sanotaan M :n (R-)alimoduliksi, jos N on Rmoduli (samojen operaatioiden suhteen kuin M ). Alimodulikriteeri. R-modulin M osajoukko N on M :n alimoduli, jos se täyttää seuraavat ehdot: AM1. N 6= ∅,

AM2. x, y ∈ N

=⇒ x + y ∈ N,

AM3. a ∈ R, x ∈ N

=⇒ ax ∈ N.

Todistus. Ryhmä (N, +) on (M, +):n aliryhmä, koska x, y ∈ N

=⇒

x−y ∈N

(AM2, AM3).

Postulaatti RM0 seuraa AM3:sta. Muut postulaatit ovat voimassa N :ssä, koska ne ovat voimassa M :ssä. Esimerkki 1.1.4. (i) K = kunta: K-modulin V eli vektoriavaruuden V alimodulit = V :n aliavaruudet. (ii) M = Abelin ryhmä: Z-modulin M alimodulit = M :n aliryhmät. (iii) Modulin R R alimodulit = renkaan R vasemmat ihanteet. Jos erityisesti R on kommutatiivinen, nämä ovat = R:n ihanteet. Alimodulikriteerin nojalla R-modulin M alimodulien Nα leikkaus

T

Nα on M :n alimo-

α

duli. Tämän perusteella määritellään tavalliseen tapaan joukon S ⊆ M generoima M :n alimoduli \ hSi = N (N on M :n alimoduli, S ⊆ N ). Kuten vektoriavaruuksilla, tämä koostuu kaikista S:n alkioiden lineaarikombinaatioista: hSi = { a1 s1 + · · · + ak sk | k ≥ 1; ai ∈ R, si ∈ S

∀ i }.

Perustelu: Oikea puoli on M :n alimoduli alimodulikriteerin nojalla; muu triviaalia. Jos S on äärellinen, S = {s1 , . . . , sn }, niin merkitään hSi = hs1 , . . . , sn i. Edellisen nojalla ½X ¾ n (∗) hs1 , . . . , sn i = ai s i | a i ∈ R ∀ i . i=1

1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli

6

Erityisesti merk.

hsi = { as | a ∈ R } = Rs

on ns. alkion s generoima syklinen moduli. Modulia hs1 , . . . , sn i sanotaan äärellisesti generoiduksi. Esimerkki 1.1.5. Z-modulin M syklinen alimoduli Zs = s:n generoima M :n syklinen aliryhmä. Siis esimerkiksi M = Z6 : M =Q:

(ord(2) = 3); Z2 = {0, 2, 4} Z(−1) = Z (ord(−1) = ∞).

Esimerkki 1.1.6. K = kunta: K-moduli V on äärellisesti generoitu sjvsk dim V < ∞. Esimerkiksi R-moduli Rn = he1 , . . . , en i, missä e1 = (1, 0, . . . , 0)T , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)T jne. Esimerkki 1.1.7. Abelin ryhmä R2 on M2 (R)-moduli, kun modulikertolasku ¶ µ ¶ µ x1 a b ∈ R2 , ∈ M2 (R), x = Ax, A= x2 c d määritellään tavallisena matriisikertolaskuna. Tämä on äärellisesti generoitu, vieläpä syklinen: esimerkiksi R2 = he1 i, sillä µ ¶µ ¶ µ ¶ y1 0 1 y ∀ y1 , y2 ∈ R. = 1 y2 0 0 y2 Esimerkki 1.1.8. Moduli R R on syklinen: R R = R · 1.

1.2

Modulihomomorfia; tekijämoduli

Olkoot M ja M 0 R-moduleja. Kuvausta f : M → M0 sanotaan (R-)modulihomomorfismiksi tai R-homomorfismiksi, jos se täyttää ehdot MH1. f (x + y) = f (x) + f (y) ∀ x, y ∈ M, MH2. f (ax) = af (x) ∀ a ∈ R, x ∈ M.

Ehto MH1 merkitsee, että f on ryhmähomomorfismi (M, +) → (M 0 , +). Esimerkki 1.2.1. Vektoriavaruudet V ja V 0 yli kunnan K: K-homomorfismit = lineaarikuvaukset V → V 0 . Esimerkki 1.2.2. Z-modulit M ja M 0 : Z-homomorfismit = ryhmähomomorfismit M → M 0.

1.2 Modulihomomorfia; tekijämoduli

7

Esimerkki 1.2.3. Kuvaus f : R R → R R,

f (r) = 2r

on R-homomorfismi (mutta ei rengashomomorfismi). Tavalliseen tapaan määritellään R-isomorfismi = bijektiivinen R-homomorfismi. R-homomorfismin f : M → M 0 ydin ja kuva: Ker(f ) = { x ∈ M | f (x) = 0 }, Im(f ) = { f (x) | x ∈ M } = f (M ). Nämä ovat R-moduleja (sovella alimodulikriteeriä). Määritelmä. R-modulin M tekijämoduli alimodulin N suhteen on tekijäryhmä M/N = { x + N | x ∈ M }, (x + N ) + (y + N ) = x + y + N varustettuna modulikertolaskulla ∀ a ∈ R, x ∈ M.

a(x + N ) = ax + N

Tekijämodulin alkioita x + N sanotaan N :n sivu- tai jäännösluokiksi M :ssä. Tätä määritelmää varten on ensiksikin varmistuttava, että ko. modulikertolasku on hyvinmääritelty: x1 + N = x 2 + N

x 1 − x2 ∈ N a(x1 − x2 ) ∈ N

=⇒ =⇒

=⇒

ax1 + N = ax2 + N (∀ a ∈ R).

Toiseksi se toteuttaa postulaatit RM0–RM4. Täten M/N on R-moduli. Esimerkki 1.2.4. Z-modulit: tekijämodulit = tekijäryhmät. Esimerkki 1.2.5. Vektoriavaruuden tapauksessa tekijämodulia sanotaan tekijäavaruudeksi. Jos esimerkiksi V = R2 ja aliavaruudeksi valitaan

x+x_ x 2x_ x_

U = { (u, 2u) | u ∈ R }, niin tekijäavaruus on x+U 2

2

R /U = { x + U | x ∈ R }, (x + U ) + (x0 + U ) = x + x0 + U, a(x + U ) = ax + U.

2x_+U

U x+x_+U

x_+U

1.3 Modulien summa

8

Homomorfialause. Jos f : M → M 0 on R-homomorfismi, niin M/ Ker(f ) ' Im(f ). Tarkemmin: f indusoi R-isomorfismin F : M/ Ker(f ) → Im(f ),

F (x + Ker(f )) = f (x).

Todistus. Ryhmäteorian homomorfialauseen nojalla F on Abelin ryhmien M/ Ker(f ) ja Im(f ) välinen isomorfismi. Lisäksi (merkitään K = Ker(f )) F (a(x + K)) = F (ax + K) = f (ax) = af (x) = aF (x + K), joten F on R-homomorfismi ja siis R-isomorfismi. Huomautus 1.2. Kuvaus f = F ◦ π, missä π on projektiokuvaus M → M/ Ker(f ), π(x) = x + Ker(f ) M

(R-homomorfismi).

f

HH

HH π

©©

HH j

- Im(f ) ⊆ M 0 * © ©© F

M/ Ker(f ) Esimerkki 1.2.6. Lineaarikuvaus f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = x2 − 2x1 : Ker(f ) = { (x, 2x) | x ∈ R } = U, Im(f ) = R (esim. f (0, x) = x). Homomorfialause antaa isomorfismin F : R2 /U → R,

F ((x1 , x2 ) + U ) = x2 − 2x1 .

Katso kuvaa esimerkissä 1.2.5: jokainen suora kuvautuu siksi pisteeksi, jossa se leikkaa y-akselin.

1.3

Modulien summa

Määritellään R-modulin M alimodulien N1 , . . . , Nk summa N1 + · · · + N k = { x 1 + · · · + x k | x i ∈ N i

∀ i }.

Tämä nähdään alimoduliksi alimodulikriteeristä. Huomaa myös, että oikea puoli on = hN1 ∪ · · · ∪ Nk i generoinnin määrittelyn nojalla; siis N1 + · · · + Nk = hN1 ∪ · · · ∪ Nk i. Erityisesti (vrt. pykälän 1.1 kaavaan (∗)) hs1 , . . . , sk i = Rs1 + · · · + Rsk

(si ∈ M

∀ i).

1.3 Modulien summa

9

Määritelmä. R-modulin M alimodulien summaa N = N1 + · · · + Nk sanotaan suoraksi summaksi, merkitään N = N1 ⊕ · · · ⊕ Nk , jos jokaisen alkion x ∈ N esitys muodossa x = x1 + · · · + x k

(xi ∈ Ni

∀ i)

on yksikäsitteinen. Lause 1.1. R-modulin M alimodulien summa N = N1 + · · · + Nk on suora sjvsk X Nj ∩ Ni = {0} (j = 1, . . . , k). i6=j

Todistus. 1) ”Silloin”. Jos x1 + · · · + xk = x01 + · · · + x0k (xi , x0i ∈ Ni ), niin X merk. xj − x0j = (x0i − xi ) = x (1 ≤ j ≤ k). i6=j

P

Siis x ∈ Nj ∩ i6=j Ni = {0}, joten x = 0. Täten xj = x0j . Summaesitys x1 + · · · + xk on siis yksikäsitteinen. P 2) ”Vain silloin”. Oletetaan, että x ∈ Nj ∩ i6=j Ni (1 ≤ j ≤ k). Silloin X xi (x1 ∈ N1 , . . . , xk ∈ Nk ). x = xj , x = i6=j

Tästä saadaan xj −

X i6=j

xi = 0 = 0 +

X

0.

i6=j

Esityksen yksikäsitteisyyden nojalla xj = 0. Siis x = 0, joten ko. leikkaus = {0}. Esimerkki 1.3.1. Vektoriavaruuksilla edellä mainitut käsitteet yhtyvät aliavaruuksien summan ja suoran summan käsitteisiin. Jos vektoriavaruuden V (yli kunnan K) virittää joukko {x1 , . . . , xn }, niin V = Kx1 + · · · + Kxn . Jos ko. joukko on V :n kanta, niin V = Kx1 ⊕ · · · ⊕ Kxn . Esimerkki 1.3.2. Z-modulissa eli Abelin ryhmässä puhutaan vastaavasti aliryhmien summasta ja suorasta summasta. Esimerkiksi ryhmässä (R, +) 3 1 3 Z+ Z= Z (ei suora, koska esim. 3 ∈ Z ∩ Z), 2 2 2 √ √ √ Z + 2Z = { a + b 2 | a, b ∈ Z } = Z ⊕ 2Z.

1.3 Modulien summa

10

Määritelmä. Olkoot M1 , . . . , Mk R-moduleja. Karteesinen tulo M1 × · · · × Mk = { (x1 , . . . , xk ) | xi ∈ Mi

on R-moduli, kun määritellään

∀ i}

(x1 , . . . , xk ) + (y1 , . . . , yk ) = (x1 + y1 , . . . , xk + yk ), a(x1 , . . . , xk ) = (ax1 , . . . , axk ) ∀ a ∈ R

(todistus suoraan modulin määritelmästä). Tätä sanotaan modulien M1 , . . . , Mk (ulkoiseksi) suoraksi summaksi ; myös sitä merkitään M1 ⊕ · · · ⊕ Mk . Tällä modulilla M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mk on alimodulit

Mi0 = { (0, . . . , 0, xi , 0, . . . , 0) | xi ∈ Mi }

(i = 1, . . . , k),

ja M on näiden suora summa,

M = M10 ⊕ · · · ⊕ Mk0 ,

kuten todetaan ajattelemalla summaesitystä

(x1 , . . . , xk ) = (x1 , 0, . . . , 0) + · · · + (0, . . . , 0, xk ).

Esitykset M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mk ja M = M10 ⊕ · · · ⊕ Mk0 voidaan samaistaa samaistamalla keskenään isomorfiset modulit Mi ja Mi0 (i = 1, . . . , k), siis samaistamalla alkiot xi ja (0, . . . , 0, xi , 0, . . . , 0). Esimerkki 1.3.3. Vektoriavaruus Rn = R ⊕ · · · ⊕ R (n kertaa; ulkoinen suora summa).

Esimerkki 1.3.4. Z-modulina C ' R ⊕ R, isomorfismina esimerkiksi a + bi 7→ (a, b). Kun C ajatellaan R-modulina, niin C = R · 1 ⊕ Ri (alimodulien suora summa). Lopuksi alimodulien summan sovelluksena eräs isomorfialaki:

Suunnikassääntö. Jos N1 ja N2 ovat R-modulin M alimoduleja, niin N1 /(N1 ∩ N2 ) ' (N1 + N2 )/N2 .

Todistus. Kuvaus

f : N1 → (N1 + N2 )/N2 ,

N1 + N 2

´´

N1

Q

´

QQ

Q

QQ

´´

´

N2

N1 ∩ N 2

f (x) = x + N2

on R-homomorfismi. Sen ydin Ker(f ) = N1 ∩ N2 , sillä x ∈ Ker(f )

⇐⇒ ⇐⇒

x ∈ N1 ja x + N2 = N2 x ∈ N 1 ∩ N2 .

Edelleen Im(f ) = (N1 + N2 )/N2 , sillä z + N2 ∈ (N1 + N2 )/N2 =⇒ z = x1 + x2 (x1 ∈ N1 , x2 ∈ N2 ) =⇒ f (x1 ) = x1 + N2 = x1 + x2 + N2 = z + N2 . Väite seuraa homomorfialauseesta.

1.4 Vapaa moduli

1.4

11

Vapaa moduli

Määritelmä. R-modulin M alkiot x1 , . . . , xn ovat lineaarisesti riippumattomia, jos a1 , . . . , an ∈ R,

n X i=1

ai xi = 0 =⇒ a1 = · · · = an = 0.

Vastakohta: lineaarisesti riippuvia.

Jos alkiot ovat lineaarisesti riippuvia, ei välttämättä päde (kuten vektoriavaruudessa), että jokin niistä on muiden lineaarikombinaatio. Ajattele esimerkiksi Z-modulissa Z lineaarista relaatiota 3 · 2 − 2 · 3 = 0. Määritelmä. R-modulin M osajoukko {x1 , . . . , xn } on M :n kanta, jos 1) M = hx1 , . . . , xn i,

2) x1 , . . . , xn ovat lineaarisesti riippumattomia. Modulia M sanotaan vapaaksi, jos sillä on kanta. Kannan {x1 , . . . , xn } määritelmästä seuraa välittömästi, että jokaisella modulin M alkiolla x on yksikäsitteinen kantaesitys x = a1 x1 + · · · + an xn , missä ai ∈ R ∀ i.

Huomautus 1.3. Sopimus: R-moduli {0} on vapaa, kanta = ∅. Lineaarisen riippumattomuuden ja kannan määritelmät voidaan yleistää äärettömiin joukkoihin. Esimerkki 1.4.1. Lineaarialgebrasta tiedetään, että jokaisella n-ulotteisella vektoriavaruudella V on kanta {z1 , . . . , zn }; V on siis vapaa. Huomaa myös, että V ' K n = { (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ K

∀ i }.

Yleisemmin: R-moduli Rn = { (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R ∀ i } on vapaa, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta {e1 , . . . , en }, missä ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0) i:s

(i = 1, . . . , n).

Erityisesti (n = 1) siis myös moduli R R on vapaa, kantana {1}.

Esimerkki 1.4.2. Äärellinen Abelin ryhmä M ei ole Z-modulina vapaa, sillä siinä ei ole lineaarisesti riippumattomia alkioita: kx = 0 esimerkiksi kun k on x:n kertaluku. Lause 1.2. Olkoot M1 ja M2 R-moduleja, M1 vapaa, kantana {x1 , . . . , xn } ja olkoot y1 , . . . , yn modulin M2 alkioita. On olemassa yksikäsitteinen R-homomorfismi f : M1 → M2 , joka täyttää ehdon f (xi ) = yi (i = 1, . . . , n).

1.5 Vapaan modulin aste Todistus. Väitetty kuvaus on µX ¶ X n n f ai x i = ai y i i=1

i=1

∀ ai ∈ R

12

(i = 1, . . . , n)

(vrt. vektoriavaruuksien lineaarikuvausten teoriaan). Lause 1.3. Jokainen äärellisesti generoitu R-moduli on isomorfinen jonkin vapaan Rmodulin tekijämodulin kanssa. Todistus. Olkoon M = hs1 , . . . , sn i R-moduli. Verrataan tätä esimerkissä 1.4.1 mainittuun vapaaseen moduliin Rn . Määritellään lauseen 1.2 mukainen R-homomorfismi f : Rn → M,

f (ei ) = si

(i = 1, . . . , n),

missä {e1 , . . . , en } on Rn :n luonnollinen kanta. Nyt Im(f ) = M , sillä µX ¶ n n X bi e i . bi si (bi ∈ R) =⇒ y = f y ∈ M =⇒ y = i=1

i=1

Homomorfialause antaa siis

M ' Rn / Ker(f ). Modulien teorian päätuloksiin kuuluu kaikkien äärellisesti generoitujen R-modulien luokittelu, kun R on pääihannealue (PID). Tämä tulos, joka perustuu edelliseen lauseeseen, esitetään luvussa 7. Koska Z on PID, tuloksesta seuraa edelleen kaikkien äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu (myös luvussa 7).

1.5

Vapaan modulin aste

Tässä pykälässä oletetaan, että rengas R on kommutatiivinen. Otetaan avuksi matriisit kuten lineaarialgebrassa. Matriiseilla   a11 . . . a1n A = . . . . . . . . . . . . . .  (aij ∈ R ∀ i, j) am1 . . . amn

määritellään summa, tulo ja R:n alkioilla kertominen kuten tavallisessa matriisilaskennassa. Ne toteuttavat normaalit laskulait (tähän tarvitaan vain R:n rengasominaisuuksia). Itse asiassa kaikkien m × n-matriisien joukko Mm×n (R) on R-moduli ja erityisesti joukko Mn (R) = Mn×n (R) on rengas. Neliömatriisia A ∈ Mn (R) sanotaan säännölliseksi, jos sillä on käänteismatriisi, ts. sellainen matriisi B = A−1 ∈ Mn (R), että AB = BA = In . Neliömatriisin A determinantti det(A) määritellään tavalliseen tapaan: se on siis renkaan R alkio ja täyttää lisäksi ehdon det(AB) = det(A) det(B).

1.5 Vapaan modulin aste

13

Lemma 1.1. Olkoon R kommutatiivinen rengas. Matriisi A ∈ Mn (R) on säännöllinen sjvsk det(A) on renkaan R yksikkö (ts. det(A):lla on R:ssä käänteisalkio). Todistus. 1) AB = I =⇒ det(A) det(B) = 1 =⇒ (det(A))−1 = det(B). 2) Jos det(A) on yksikkö, niin matriisi 1 ¡ ¢T Cij det(A)

(Cij on aij :n komplementti ∀ i, j)

¡ ¢T kuuluu joukkoon Mn (R). Tämä matriisi on A:n käänteismatriisi, sillä det(A)·I = Cij A = ¡ ¢T A Cij kuten klassisessa matriisiteoriassa. Huomautus 1.4. Lemmasta seuraa: Jos A, B ∈ Mn (R) ja AB = I, niin B = A−1 . Olkoon M vapaa R-moduli ja olkoot E = {e1 , . . . , em },

F = {f1 , . . . , fn }

kaksi M :n kantaa (seuraavassa näytetään, että m = n). Kannanvaihdon E → F matriisi A määritellään kuten lineaarialgebrassa:    a11 . . . a1n  f1 = a11 e1 + a21 e2 + · · · + am1 em ... ... kun A = . . . . . . . . . . . . . .  ,  am1 . . . amn fn = a1n e1 + a2n e2 + · · · + amn em .

Kannanvaihdon E → F → G matriisi saadaan kertomalla kannanvaihtojen E → F ja F → G matriisit (ks. lineaarialgebran kurssia; huomaa että tässä tarvitaan R:n kommutatiivisuus). Tarkastelemalla kannanvaihtoja E → F → E ja F → E → F saadaan AB = Im ,

BA = In ,

missä B on kannanvaihdon F → E matriisi (tyyppiä n × m). Tapauksessa m = n tästä seuraa erityisesti, että kannanvaihdon matriisi A on säännöllinen. Lause 1.4. Olkoon M vapaa moduli yli kommutatiivisen renkaan R. Silloin jokaisessa M :n kannassa on yhtä monta alkiota. Todistus. Olkoot E ja F kuten edellä M :n kantoja sekä A ja B kannanvaihtomatriisit E → F ja F → E. Oletetaan, että m > n, ja johdetaan ristiriita. Kirjoitetaan A ja B lohkomatriiseina µ ¶ ¡ ¢ A1 , B = B1 B2 , A= A2 missä A1 ja B1 ovat n × n-matriiseja. Koska AB = Im , saadaan µ ¶ µ ¶ A1 B1 A1 B2 In 0 (1) = . A2 B1 A2 B2 0 Im−n

1.5 Vapaan modulin aste

14

Erityisesti siis (2)

A 1 B1 = In .

Tästä seuraa edellisen huomautuksen nojalla, että A−1 1 = B1 . Yhtälö (1) antaa A2 B2 = I, A2 B1 = 0. Kun kerrotaan jälkimmäinen yhtälö oikealta A1 :llä, saadaan tulos A2 = 0. Tämä on ristiriidassa edellisen yhtälön kanssa. Määritelmä. Vapaan R-modulin M (missä R kommutatiivinen) kanta-alkioiden lukumäärää sanotaan M :n asteeksi (rank). Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli ja F sen kiinnitetty kanta, niin R-homomorfismit ϕ : M → M vastaavat bijektiivisesti matriiseja A ∈ Mn (R) kuten lineaarialgebrassa. Kannanvaihdossa F → F 0 , jonka matriisi on P , matriisi A muuttuu matriisiksi P −1 AP . Lause 1.5. Jos M on vapaa n-asteinen R-moduli, niin M ' R n . Todistus. Olkoon {x1 , . . . , xn } M :n kanta ja {e1 , . . . , en } Rn :n luonnollinen kanta. Ehdon f (xi ) = ei (i = 1, . . . , n) määrittelemä R-homomorfismi M → Rn (ks. lausetta 1.2) on bijektio, siis R-isomorfismi. Esimerkki 1.5.1. Vapaata Z-modulia sanotaan vapaaksi Abelin ryhmäksi ; nämä ovat siis muotoa Zn , n ≥ 0 (isomorfiaa vaille). Ryhmän (Q∗ , ·) aliryhmä © ª h2, 3i = 2h 3k | h, k ∈ Z ' Z2 , kanta esimerkiksi {2, 3}.

Jos erityisesti R on PID, lause 1.5 on äärellisesti generoitujen R-modulien rakennelauseen (luku 7) pieni osatulos. Vertaa myös esimerkkiin 1.4.1 pykälässä 1.4. Seuraava lause, jota myös tarvitaan luvussa 7, antaa keinon hallita vapaan modulin kaikki kannat. Lause 1.6. Olkoon M vapaa n-asteinen R-moduli ja E = {e1 , . . . , en } jokin sen kanta. Merkitään    f1 = a11 e1 + a21 e2 + · · · + an1 en ......   f = a e + a e + ··· + a e , n 1n 1 2n 2 nn n ¡ ¢ missä aij ∈ R ∀ i, j. Joukko F = {f1 , . . . , fn } on M :n kanta sjvsk matriisi A = aij on säännöllinen.

1.5 Vapaan modulin aste

15

Todistus. Jos F on M :n kanta, niin A on kannanvaihdon E → F matriisi ja siis säännöllinen. Oletetaan kääntäen, että A on säännöllinen. Kirjoitetaan lauseen yhtälöryhmä matriisimuodossa     f1 e1  ..  T  ..   .  = A  . , fn en

missä pystyriveinä kirjoitetut matriisit voidaan ajatella lohkomuodossa esitetyiksi n × nmatriiseiksi, lohkoina vaakarivit fi ja ej (kukin vaakarivi muodostuu kyseisen M :n alkion kantaesityksen kertoimista, kantana esimerkiksi luonnollinen kanta). Kun merkitään A−1 = B, edellisestä yhtälöstä seuraa     f1 e1  ..  T  ..   .  = B  . . fn en

Täten ej ∈ hFi ∀ j ja siis hEi ⊆ hFi. Mutta hEi = M , ja näin ollen joukko F virittää M :n. P Joukon F lineaarisen riippumattomuuden todistamiseksi olkoon ni=1 ci fi = 0 eli mat¡ ¢¡ ¢T riisimuodossa c1 . . . cn f1 . . . fn = 0. Oletuksen mukaan tästä seuraa ¡

¢ ¡ ¢T c1 . . . cn AT e1 . . . en = 0. ¡ ¢ ¡ ¢ Kun merkitään c1 . . . cn AT = d1 . . . dn , päätellään tästä edelleen joukon E lineaarisen riippumattomuuden nojalla, että d1 = · · · = dn = 0. Siis ¡ ¢ ¡ ¢ c1 . . . c n A T = 0 . . . 0 .

Kertomalla tämä yhtälö oikealta B T :llä saadaan tulos c1 = · · · = cn = 0.

2 TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA

2

16

TEKIJÖIHINJAKO KOKONAISALUEESSA

2.1

Jaottomat alkiot ja UFD

Määritelmä. Olkoon R kommutatiivinen rengas ja olkoot a, b ∈ R. Sanotaan, että b jakaa a:n tai a on jaollinen b:llä, merkitään b | a, jos ∃ c ∈ R : a = bc. (Tällöin merkitään joskus a myös c = .) b Muista, että u ∈ R on R:n yksikkö, jos u:lla on R:ssä käänteisalkio, ts. ∃ v ∈ R : uv = 1 (v = u−1 ). Kaikki renkaan R yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun suhteen. Ellei erikseen toisin mainita, seuraavassa R = D = kokonaisalue, ts. kommutatiivinen rengas, jossa ei ole nollanjakajia. Tällöin erityisesti supistamissääntö pätee. (Eräät yksinkertaiset tulokset alla ovat voimassa myös yleisemmin kommutatiivisissa renkaissa.) Jaollisuusrelaation ominaisuuksia: 1) a | a, 1 | a, a | 0 ∀ a ∈ D,

2) 0 | a =⇒ a = 0,

3) c | b, b | a =⇒ c | a,

4) c | a, c | b =⇒ c | (a + b).

Määritelmä. Alkioita a, b ∈ D sanotaan liitännäisiksi (associated), jos a | b ja b | a. Liitännäisyys on ekvivalenssirelaatio; seuraavassa siitä käytetään merkintää ∼ . Kokonaisalueelle D saadaan näin partitio liitännäisalkioiden luokkiin. Huomautus 2.1. (i) u on yksikkö ⇐⇒ u | 1 ⇐⇒ u ∼ 1. (ii) a ∼ 0 =⇒ a = 0. Lause 2.1. a ∼ b ⇐⇒ a = bu, missä u on yksikkö. Todistus. ( ⇐= ) Jos a = bu, missä u on yksikkö, niin voidaan myös kirjoittaa b = au −1 . Edellisestä yhtälöstä seuraa b | a, jälkimmäisestä a | b. ( =⇒ ) Jos a = 0, niin b = 0 ja voidaan siis valita u = 1. Olkoon a 6= 0. Ehdoista a | b, b | a seuraa, että a = bu, b = av, missä u, v ∈ D. Näistä saadaan, että a = avu, siis (huomaa oletus) 1 = vu. Täten u on yksikkö. Esimerkki 2.1.1. (i) D = Z: yksiköt ±1; siis a ∼ b ⇐⇒ a = ±b.

(ii) D = kunta K: yksiköt = kaikki alkiot 6= 0; siis a ∼ b ∀ a, b ∈ K r {0}.

(iii) D = K[x], polynomirengas yli kunnan K: yksiköt = vakiopolynomit 6= 0; siis f (x) ∼ g(x)

⇐⇒

f (x) = a · g(x),

a ∈ K r {0}.

2.1 Jaottomat alkiot ja UFD

17

Määritelmä. Alkiota a ∈ D sanotaan jaottomaksi (irreducible) D:ssä, jos 1) a ¿ 1 ja

2) a = bc (b, c ∈ D) =⇒ b ∼ 1 tai c ∼ 1. Esimerkki 2.1.2. (i) Renkaan Z jaottomat alkiot = jaottomat luvut eli alkuluvut 2, 3, 5, 7, 11, . . . ja näiden vastaluvut. (ii) Kunnassa ei ole jaottomia alkioita. (iii) Polynomirenkaan K[x] (K kunta) jaottomat alkiot = jaottomat polynomit. Esimerkki 2.1.3. Näytetään, että jaottoman alkion liitännäisalkiot ovat samoin jaottomia. Määritelmä. Kokonaisaluetta D sanotaan yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueeksi (unique factorization domain, lyh. UFD), jos se täyttää seuraavat ehdot: 1) jokainen D:n alkio c 6= 0, c ¿ 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, 2) jos kaksi tällaista esitystä ovat

c = a 1 a2 · · · a r = b 1 b 2 · · · b s

(ai , bj jaottomia),

niin r = s ja, kun bj :t on numeroitu sopivasti, ai ∼ bi (i = 1, . . . , s). Esimerkki 2.1.4. (i) Rengas Z on UFD (aritmetiikan peruslause). Huomaa, että esimerkiksi 6 = 2 · 3 = (−2)(−3). (ii) Kunta K on triviaalisti UFD (ehdot 1) ja 2) tyhjiä). (iii) Myöhemmin todistetaan, että K[x] on UFD. Jos D on UFD, valitaan D:stä sellainen jaottomien alkioiden joukko P, että jokainen D:n jaoton alkio on liitännäinen tarkalleen yhden P:n alkion kanssa. Esimerkiksi Z:ssa voidaan valita P = P = {2, 3, 5, . . . }. Silloin jokainen c ∈ D r {0} voidaan esittää yksikäsitteisesti (lukuunottamatta jaottomien alkioiden järjestystä) muodossa c = upα1 1 · · · pαr r

(r ≥ 0, αi > 0 ∀ i),

missä u ∼ 1 ja pi :t ovat P:n erisuuria alkioita. Joskus on mukava kirjoittaa tämä esitys muotoon ( Y αi ≥ 0 ∀ i, pαi i c=u αi > 0 vain äärellisen monella i:llä, p ∈P i

missä pi käy läpi koko P:n.

2.1 Jaottomat alkiot ja UFD Esimerkki 2.1.5. Tutkitaan jaollisuutta joukossa √ √ Z[ n ] = { a + b n | a, b ∈ Z }

18

(n ∈ Z),

joka on C:n alirengas ja siis kokonaisalue. Oletetaan, että n on neliövapaa, ts. n 6= 0, 1 ja ∀ p ∈ P : p2 - n. √ √ Luvun α = a + b n ∈ Z[ n ] liittoluvuksi sanotaan lukua √ √ α = a − b n ∈ Z[ n ] (= α:n liittokompleksiluku, jos n < 0). Suoralla laskulla todetaan, että αβ = α · β.

α + β = α + β, Määritellään luvun α normi N (α) = αα = a2 − nb2

(= |α|2 , jos n < 0).

Huomaa, että N (α) ∈ Z ja N (α) = 0

⇐⇒

α = 0 tai α = 0

⇐⇒

α = 0;

N (αβ) = αβ · αβ = ααββ = N (α)N (β). Väite 2.1. N (α) = ±1 ⇐⇒ α ∼ 1. Todistus. ( =⇒ ) N (α) = ±1 =⇒ αα = ±1 =⇒ α | 1 =⇒ α ∼ 1. ( ⇐= ) αβ = 1 =⇒ N (α)N (β) = 1 =⇒ N (α) = ±1. Väite 2.2. N (α) = ±p, p ∈ P =⇒ α jaoton.

(Ei päde kääntäen.)

Todistus. Väitteen 2.1 nojalla α ¿ 1. Edelleen α = βγ =⇒ N (α) = N (β)N (γ) =⇒ esim. N (β) = ±1 =⇒ β ∼ 1 (väite 2.1). √ Kokonaisalue Z[ n ] ei ole välttämättä UFD. Osoitetaan tämä tapauksessa n = −5. √ Väite 2.3. Z[ −5] ei ole UFD. Todistus. Näytetään, että luvun 6 hajotelmat √ √ 6 = 2 · 3 = (1 + −5)(1 − −5) ovat kaksi olennaisesti erilaista hajotelmaa jaottomiin √ tekijöihin. Väitteestä 2.1 seuraa helposti, että renkaan Z[ −5] yksiköt ovat ±1. Täten mikään em. hajotelmissa esiintyvistä luvuista ei ole yksikkö.

2.2 Syt ja pyj

19

Oletetaan, että 2√= αβ, α ¿ 1, β ¿ 1. Silloin N (α)N (β) = 4, siis N (α) = ±2. Kun merkitään α = a + b −5, on siis a2 + 5b2 = ±2. Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua a, b ∈ Z. Siis 2 on jaoton. √ Samoin osoitetaan, että 3 on jaoton ja luvut 1 ± √ √−5 ovat jaottomia. Lopuksi todetaan, että 2 ¿ 1 ±√ −5, koska (1 ± −5)/2 6= ±1. (Vastaavanlainen renkaiden Z[ n ] käsittely positiivisilla n:n arvoilla on paljon vaikeampaa, koska näissä on enemmän — itse asiassa äärettömän paljon — yksiköitä.)

2.2

Syt ja pyj

Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b (ainakin toinen 6= 0) suurin yhteinen tekijä, lyhyesti syt, on sellainen alkio d ∈ D, joka täyttää ehdot 1) d | a, d | b;

2) jos d0 | a, d0 | b, niin d0 | d.

Merkintä: d = syt(a, b) (tai lyhyemmin (a, b)). Lause 2.2. Jos syt(a, b) on olemassa, se on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Tarkemmin: jos d = syt(a, b), niin e = syt(a, b)

⇐⇒

e ∼ d.

Todistus. ( =⇒ ) Jos e = syt(a, b), niin e | a, e | b. Koska d = syt(a, b), saadaan siis e | d. Symmetrian nojalla d | e. Siis e ∼ d. ( ⇐= ) Jos e ∼ d, niin e voidaan kirjoittaa d:n tilalle ehdoissa 1) ja 2). Täten e = syt(a, b). Merkintää syt(a, b) käytettäessä on siis oltava varovainen. Seuraavat syt:n ominaisuudet ovat helppoja todistaa: (i) ((a, b), c) ∼ (a, (b, c)),

(ii) syt(a, b) ∼ a ⇐⇒ a | b, (iii) syt(a, 0) ∼ a.

Kohtaa (i) ja induktiota käyttämällä saadaan määritellyksi n:n alkion a 1 , . . . , an syt, kun enintään yksi ai = 0. Tämän jälkeen määritellään syt(a1 , . . . , an ) aina, kun (a1 , . . . , an ) 6= (0, . . . , 0), vain jättämällä mahdolliset 0:t pois. Siis esimerkiksi Z:ssa syt(6, 0, 30, 15, 0) = syt(6, 30, 15) = 3. Lause 2.2 pätee ilmeisesti myös useamman alkion syt:n tapauksessa; samoin seuraava lause 2.3 yleistyy suoraan tähän tapaukseen.

2.3 Eukleideen alue

20

Lause 2.3. Jos D on UFD, syt(a, b) on aina olemassa (kun esimerkiksi a 6= 0). Tarkemmin: kun a 6= 0 ja b 6= 0, sanokaamme Y Y β (1) a=u pαi i , b=v pi i (u, v ∼ 1), pi ∈P

pi ∈P

niin (2)

syt(a, b) ∼

Y

pγi i ,

pi ∈P

γi = min(αi , βi ) ∀ i.

Todistus. Tapauksessa b = 0 ensimmäinen väite seuraa edellisestä kohdasta (iii), tapauksessa b 6= 0 seQseuraa jälkimmäisestä väitteestä. Jälkimmäinen väite puolestaan seuraa siitä, että jos d = pi ∈P pδi i , niin d | a sjvsk δi ≤ αi ∀ i.

Määritelmä. Kokonaisalueen D alkioiden a ja b pienin yhteinen monikerta (tai jaettava), lyhennettynä pyj, on sellainen alkio m ∈ D, joka täyttää ehdot 1) a | m, b | m;

2) jos a | m0 , b | m0 , niin m | m0 .

Merkintä: m = pyj(a, b) (tai lyhyemmin [a, b]). Kuten syt, myös pyj on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Jos UFD:n alkioilla a ja b on hajotelmat (1), niin ilmeisesti Y µ µi = max(αi , βi ) ∀ i. (3) pyj(a, b) ∼ pi i , pi ∈P

Koska min(αi , βi ) + max(αi , βi ) = αi + βi , niin kaavoista (2) ja (3) seuraa, että (a, b) · [a, b] ∼ ab. Tämä kaava voitaisiin todistaa yleisemminkin (olettamatta, että D on UFD).

2.3

Eukleideen alue

Miten voidaan todeta, onko annettu kokonaisalue UFD? Seuraavassa eräs menetelmä. Määritelmä. Olkoon D kokonaisalue. Funktiota ϕ : D r {0} → Z≥0

(= {0, 1, 2, . . . })

sanotaan D:n Eukleideen normiksi, jos se täyttää ehdot

2.3 Eukleideen alue

21

E1. ϕ(ab) ≥ ϕ(a) ∀ a, b 6= 0,

E2. ∀ a, b ∈ D, b 6= 0 ∃ q, r ∈ D : a = bq + r,

ϕ(r) < ϕ(b) tai r = 0

(ks. myös huomautusta 2.4 pykälän lopussa). Jos D:llä on jokin Eukleideen normi, D:tä sanotaan Eukleideen alueeksi. Esimerkki 2.3.1. Rengas Z on Eukleideen alue, normina ϕ(a) = |a|. Esimerkki 2.3.2. Polynomirengas K[x] (K kunta) on Eukleideen alue, normina ϕ(p(x)) = deg p(x). Ehtoa E2 voidaan nimittää lyhyesti jakoalgoritmiksi. On kuitenkin huomattava, ettei välttämättä ole olemassa menetelmää, jolla alkiot q ja r löydetään. Lause 2.4. Eukleideen alueessa D on jokaisella alkioparilla a, b (ainakin toinen 6= 0) syt, lisäksi ∃ u, v ∈ D : syt(a, b) ∼ au + bv. Todistus. Jos esimerkiksi b = 0, niin syt(a, b) ∼ a = a · 1 + 0 · 0. Olkoot a, b 6= 0. Ehdon E2 nojalla D:ssä on sellaiset alkiot q1 , r1 , q2 , r2 , . . . , että a = bq1 + r1 , ϕ(r1 ) < ϕ(b), b = r 1 q2 + r 2 , ϕ(r2 ) < ϕ(r1 ), ................................. rn−2 = rn−1 qn + rn , ϕ(rn ) < ϕ(rn−1 ), rn−1 = rn qn+1 , rn+1 = 0. Yhtälöketju (”Eukleideen algoritmi”) päättyy, koska ϕ(b) > ϕ(r 1 ) > ϕ(r2 ) > . . . on aidosti vähenevä jono kokonaislukuja ≥ 0; lopuksi saadaan siis rn+1 = 0. Ensimmäisen yhtälön nojalla r1 = au + bv (u = 1, v = −q1 ); tästä ja toisesta yhtälöstä seuraa, että r2 on samaa muotoa. Jatkamalla samoin saadaan (1)

rn = au + bv

(u, v ∈ D).

Yhtälöketjun viimeisen yhtälön nojalla rn | rn−1 , siis viimeistä edellisen yhtälön nojalla rn | rn−2 . Jatkamalla näin saadaan rn | a, rn | b. Jos d0 | a, d0 | b, niin (1):n mukaan d0 | rn . Täten rn ∼ syt(a, b) ja lause on todistettu. Lemma 2.1. Olkoon D kokonaisalue ja p ∈ D r {0}, p ¿ 1. Jos p täyttää ehdon (2)

p | ab (a, b ∈ D) =⇒ p | a tai p | b,

niin p on D:n jaoton alkio.

2.3 Eukleideen alue Todistus. Nyt p = ab =⇒ p | ab =⇒ p | a tai p | b, voidaan olettaa p | a a = pc = abc (c ∈ D) =⇒ bc = 1 =⇒ b ∼ 1. Siis p on jaoton.

22 =⇒

Määritelmä. Ehdon (2) täyttävää jaotonta alkiota sanotaan vahvaksi jaottomaksi alkioksi (kirjallisuudessa myös alkualkioksi, engl. prime element). Esimerkki 2.3.3. Renkaan Z kaikki jaottomat alkiot (eli ±alkuluvut) ovat vahvoja. √ √ Esimerkki 2.3.4. Renkaan Z[ −5] = { a + b −5 | a, b ∈ Z } alkio 3 on jaoton (§2.1, esimerkki 2.1.5), mutta ei vahva jaoton, sillä √ √ √ 3 | (1 + −5)(1 − −5), 3 - (1 ± −5). Lause 2.5. Kokonaisalue D on UFD ⇐⇒ D täyttää ehdot

(i) jokainen alkio c ∈ D r {0}, c ¿ 1, voidaan esittää jaottomien alkioiden tulona, (ii) jokainen D:n jaoton alkio on vahva jaoton.

Todistus. ( =⇒ ) (i) on sama kuin UFD:n määritelmän ehto 1). Todistetaan (ii). Oletetaan, että p | ab. Koska D on UFD, voidaan kirjoittaa Y Y β a=u pαi i , b=v pi i (u, v ∼ 1). pi ∈P

pi ∈P

Olkoon esimerkiksi p = p1 . Koska p1 | ab, niin α1 + β1 ≥ 1. Silloin α1 ≥ 1 tai β1 ≥ 1, toisin sanoen p1 | a tai p1 | b. ( ⇐= ) On todistettava, etä (ii):stä seuraa alkutekijähajotelman yksikäsitteisyys. Todistus on aivan samanlainen kuin aritmetiikan peruslauseen todistus (jossa on kyse samasta väitteestä tapauksessa D = Z). Lemma 2.2. Oletetaan, että D on Eukleideen alue ja a, b ∈ D r {0}. Jos a | b mutta b - a (eli a on b:n aito tekijä), niin ϕ(a) < ϕ(b). Todistus. Tehdään vastaoletus: ϕ(a) ≥ ϕ(b). Koska a | b, niin b = ac, c ∈ D. Soveltamalla jakoalgoritmia (E2) saadaan a = bq + r = acq + r,

ϕ(r) < ϕ(b)

(huom. r 6= 0, koska b - a). Nyt r = a − acq = a(1 − cq), joten E1

vo

ϕ(r) ≥ ϕ(a) ≥ ϕ(b); ristiriita! Lause 2.6. Eukleideen alue on UFD.

2.3 Eukleideen alue

23

Todistus. Todistetaan, että Eukleideen alue D täyttää lauseen 2.5 ehdot (ii) ja (i). Oletetaan, että p on jaoton, p | ab, p - a. Nyt syt(a, p) ∼ 1, siis 1 = au + pv, missä u, v ∈ D (ks. lausetta 2.4). Tämä antaa b = abu + pbv. Koska p | ab, niin p | (abu + pbv), siis p | b. Täten p on vahva jaoton. Olkoon a ∈ D, a 6= 0. Oletetaan, että (3)

a = a 1 a2 · · · a k ,

ai ¿ 1 ∀ i.

Lemman 2.2 nojalla ϕ(a) > ϕ(a2 a3 · · · ak ) > ϕ(a3 · · · ak ) > · · · > ϕ(ak ) > ϕ(1) (≥ 0), joten ϕ(a) ≥ k. Esityksessä (3) on siis tekijöiden määrä rajoitettu. Täten on olemassa sellainen esitys (3), jossa tekijöiden määrä on maksimaalinen, ja silloin a 1 , . . . , ak ovat jaottomia. Seuraus 2.3.1. Eukleideen alueessa D jokaisella alkioparilla on pyj . Todistus. UFD:ssä on pyj(a, b) =

ab (kun (a, b) 6= (0, 0)). syt(a, b)

Seuraus 2.3.2. Jos K on kunta, niin polynomirengas K[x] on UFD. Tämä tulos on tärkeä seuraavissa luvuissa, joissa polynomit yli kunnan muodostavat keskeisen apuneuvon. Huomautus 2.2. Eukleideen alue on myös PID (pääihannealue). Tämä todistetaan jakoalgoritmin (E2) avulla samoin kuin Z:lla ja K[x]:llä (ks. algebran peruskurssia). Huomautus 2.3. Voidaan todistaa lausetta 2.6 yleisempi tulos: jokainen PID on UFD. Huomautus 2.4. Edelliset huomautukset antavat toisen todistuksen sille, että Eukleideen alue on UFD. Tässä todistuksessa ei tarvita Eukleideen normin ehtoa E1. Koska ehtoa E1 ei tarvita myöskään lauseen 2.4 todistuksessa, Eukleideen normi voitaisiin määritellä yksinomaan ehdolla E2. Toisaalta ehto E1 on yleensä automaattisesti täytetty niissä tapauksissa, jotka ovat teorian kannalta kiinnostavia.

3 POLYNOMIT

3 3.1

24

POLYNOMIT Polynomin nollakohdat

Polynomirengas R[x] on määritelty, olipa R mikä hyvänsä rengas. Seuraavassa renkaasta R oletetaan kuitenkin vähintään, että se on kommutatiivinen. Jos f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x] ja c ∈ R, merkitään tavalliseen tapaan f (c) = a0 + a1 c + · · · + an cn . Kuvaus R[x] → R,

f (x) 7→ f (c),

missä siis c ∈ R on kiinteä, on rengashomomorfismi, ts.

a(x) = f (x) + g(x) =⇒ a(c) = f (c) + g(c), b(x) = f (x)g(x) =⇒ b(c) = f (c)g(c) (ja f (x) = 1 =⇒ f (c) = 1). Tästä seuraa, että jokainen R[x]:n polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa c ∈ R (sijoitusperiaate). Jos f (c) = 0, alkiota c sanotaan polynomin f (x) nollakohdaksi tai yhtälön f (x) = 0 juureksi. Muista, että nollapolynomin asteeksi on sovittu −∞. Lause 3.1 (Yleinen jakoalgoritmi). Jos a(x), b(x) ∈ R[x] ja b(x) on pääpolynomi, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset polynomit q(x), r(x) ∈ R[x], että a(x) = q(x)b(x) + r(x),

deg r(x) < deg b(x).

Todistus. Ks. algebran peruskurssia, jossa sama on todistettu tapauksessa R = K = kunta heikommalla oletuksella b(x) 6= 0. Huomaa, että nytkin b(x):n johtavalla kertoimella (= 1) on käänteisalkio. Lisäksi yksikäsitteisyystodistuksessa tarvittava tulopolynomin astelukukaava (aste = tekijöiden asteiden summa) pätee, koska toinen tekijä on pääpolynomi b(x). Huomautus 3.1. Yleisemmin jos b(x):n johtava kerroin (= bm ) on R:n yksikkö, niin b(x) = bm · ˜b(x), missä ˜b(x) on pääpolynomi ∈ R[x]. Jakoalgoritmi soveltuu myös tällöin: ¡ −1 ¢ a(x) = q(x)˜b(x) + r(x) = bm q(x) b(x) + r(x). Lause 3.2 (Jäännöslause). Jos c ∈ R ja f (x) ∈ R[x], niin ∃ g(x) ∈ R[x] : Lisäksi f (c) = 0 ⇐⇒ (x − c) | f (x).

f (x) = (x − c)g(x) + f (c).

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri

25

Todistus. Lause 3.1 antaa f (x) = (x − c)g(x) + r(x), missä deg r(x) < 1, siis r(x) = r ∈ R. Sijoittamalla x = c saadaan f (c) = 0 + r, siis r = f (c). Nyt ( =⇒ ) seuraa edellisestä. ( ⇐= ) : (x − c) | f (x) =⇒ f (x) = (x − c)f1 (x) =⇒ f (c) = 0 (sij. x = c). Lause 3.3. Olkoon D kokonaisalue ja f (x) ∈ D[x]. Jos c1 , . . . , ck ovat f (x):n eri nollakohtia, niin (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − ck ) | f (x). Todistus. Induktiolla k:n suhteen. 1) k = 1: lause 3.2. 2) Induktio-oletuksen nojalla f (x) = (x − c2 ) · · · (x − ck )g(x),

g(x) ∈ D[x].

Sijoitetaan x = c1 : 0 = (c1 − c2 ) · · · (c1 − ck )g(c1 ) =⇒ g(c1 ) = 0 (koska ei nollanjakajia) =⇒ g(x) = (x − c1 )h(x), h(x) ∈ D[x] =⇒ f (x) = (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − ck )h(x). Seuraus 3.1.1. Jos f (x) ∈ D[x], f (x) 6= 0, ja deg f (x) = n, niin f (x):llä on D:ssä enintään n eri nollakohtaa. ¡ ¢ Todistus. Lauseen 3.3 merkinnöin k = deg (x − c1 ) · · · (x − ck ) ≤ deg f (x) = n.

Seuraus 3.1.2. Jos f (x), g(x) ∈ D[x] ovat enintään astetta n ja f (c i ) = g(ci ) (i = 1, . . . , n + 1), missä c1 , . . . , cn+1 ovat D:n eri alkioita, niin f = g. Todistus. Polynomi f (x) − g(x) on enintään astetta n ja sillä on n + 1 eri nollakohtaa c i . Seurauslauseen 3.1.1 nojalla f (x) − g(x) = 0. Huomautus 3.2. Tämän seurauslauseen mukaan siis n + 1 yhtälöä f (ci ) = ti , missä c1 , . . . , cn+1 ovat D:n eri alkioita, määrittävät n-asteisen polynomin f yksikäsitteisesti. Jos erityisesti D = K = kunta, voidaan helposti osoittaa, että tällainen polynomi f on aina olemassa (sen antaa klassinen Lagrangen interpolointikaava).

3.2

Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri

Olkoon K kunta. Luvussa 2 todistettiin, että K[x] on UFD. Jokainen K[x]:n polynomi 6= vakio (muista, että vakiot 6= 0 ovat K[x]:n yksiköt) voidaan siis esittää olennaisesti yksikäsitteisellä tavalla jaottomien polynomien tulona: (1)

f (x) = p1 (x) · · · pr (x)

(pi (x) jaoton ∈ K[x] ∀ i).

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri

26

Probleema: Mitkä ovat K[x]:n jaottomat polynomit? Triviaalisti jaottomia polynomeja ovat ainakin kaikki 1. asteen (eli lineaariset) polynomit. Lauseesta 3.2 seuraa, että 2. tai 3. asteen polynomi on jaoton sjvsk sillä ei ole nollakohtia (vrt. algebran peruskurssiin). Jos kunta K on äärellinen, jaottomat polynomit löydetään periaatteessa kokeilemalla. Lause 3.4. Jos K on kunta, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) Polynomirenkaassa K[x] jaottomat polynomit = lineaariset polynomit. (ii) Jokaisella K[x]:n polynomilla 6= vakio on nollakohta K:ssa. Todistus. (i) =⇒ (ii) Oletuksen mukaan polynomilla f (x) 6= vakio on hajotelma f (x) = (a1 x + b1 ) · · · (ar x + br )

(r ≥ 1; ai 6= 0 ∀ i).

Silloin f (−b1 /a1 ) = 0. (ii) =⇒ (i) Olkoon p(x) ∈ K[x] jaoton. Oletuksen mukaan sillä on nollakohta c ∈ K, joten p(x) = (x − c)q(x), q(x) ∈ K[x].

Tässä q(x) on vakio, q(x) = q, koska p(x) on jaoton. Siis p(x) on lineaarinen, p(x) = q · (x − c). Määritelmä. Kuntaa K sanotaan algebrallisesti suljetuksi, jos se täyttää lauseen 3.4 ehdot. Esimerkiksi C on algebrallisesti suljettu (algebran peruslause). Voidaan osoittaa, että jokaisella kunnalla K on laajennus L (K ⊆ L), joka on algebrallisesti suljettu. Suppeinta tällaista L:ää sanotaan K:n algebralliseksi sulkeumaksi. Esimerkiksi C on R:n algebrallinen sulkeuma. (Tästä enemmän luvussa 4.) Polynomia f (x) ∈ K[x] tarkasteltaessa on usein hyödyllistä ajatella sitä ensin L[x]:ssä, missä L on algebrallisesti suljettu K:n laajennus. Esimerkki 3.2.1. Tapauksessa K = R jaottomat polynomit ovat 1◦ lineaariset polynomit ja 2◦ polynomit ax2 + bx + c, missä b2 − 4ac < 0. Tämä nähdään hajottamalla polynomi f (x) ∈ R[x] ensin C[x]:ssä muotoon f (x) = a

n Y i=1

(x − ci )

(a ∈ R, ci ∈ C ∀ i).

Jos ci ∈ / R, myös liittoluku ci esiintyy nollakohtana (koska f (ci ) = f (ci ) = 0 = 0); tällöin (x − ci )(x − ci ) = x2 + tx + u ∈ R[x],

diskr. < 0.

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri

27

Seuraavassa tutkitaan polynomin tekijöihinjakoa Q[x]:ssä. Jos f (x) ∈ Q[x], niin kertomalla sopivalla vakiolla (siis Q[x]:n yksiköllä) saadaan polynomi ∈ Z[x]. Tutkitaan ensin näitä. Oletetaan yleisemmin, että polynomit ∈ D[x], missä D on UFD. Polynomia f (x) ∈ D[x] \ D sanotaan seuraavassa jaottomaksi, jos f (x) = g(x)h(x)

=⇒

g(x) tai h(x) on vakio.

Tämä ei ole edellisessä luvussa esitetyn yleisen teorian mukainen D[x]:n jaottoman alkion määritelmä, koska kaikki vakiopolynomit eivät välttämättä ole D[x]:n yksiköitä. (Itse asiassa D[x]∗ = D∗ , joten siis D[x]∗ = D \ {0} sjvsk D = K = kunta.) Määritelmä. Polynomia f (x) ∈ D[x], missä D on UFD, sanotaan primitiiviseksi, jos f (x):n kertoimien syt ∼ 1. Esimerkki 3.2.2. Polynomi 2x2 + 3x − 4 ∈ Z[x] on primitiivinen, 2x2 + 6x − 4 ei ole. Lause 3.5 (Gaussin lemma). Kahden primitiivisen polynomin (yli UFD:n) tulo on primitiivinen. Todistus. Olkoot f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ja g(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm primitiivisiä. Vastaoletus: f (x)g(x) ei ole primitiivinen, siis (2)

f (x)g(x) = πh(x),

π D:n jaoton alkio.

Oletetaan, että π - ar ,

π - bs ,

r ja s minimaalisia.

Tällaiset ar ja bs ovat olemassa, koska f, g primitiivisiä. Nyt tulossa f (x)g(x) termin x r+s kerroin on a0 br+s + · · · + ar−1 bs+1 + ar bs + ar+1 bs−1 + · · · + ar+s b0 ,

siis π:llä jaoton. Toisaalta se on (2):n nojalla π:llä jaollinen; ristiriita!

Jokainen polynomi f (x) ∈ D[x] (missä D on UFD) voidaan kirjoittaa muotoon ( δ = f (x):n kertoimien syt (∈ D), (3) f (x) = δf1 (x) f1 (x) primitiivinen. Alkio δ ∈ D (polynomin f (x) sisältö) on yksikäsitteinen liitännäisyyttä vaille. Lause 3.6. Jos f (x) ∈ Z[x] r Z on jaoton, niin f (x) on jaoton myös Q[x]:ssä. Todistus. Vastaoletus: f (x) = g(x)h(x), g, h ∈ Q[x] r Q. Poistetaan nimittäjät: af (x) = g1 (x)h1 (x),

a ∈ Z, g1 , h1 ∈ Z[x] r Z.

3.2 Polynomin tekijöihinjako; Eisensteinin jaottomuuskriteeri

28

Kirjoitetaan polynomit muotoon (3): abf1 (x) = c1 d1 g2 (x)h2 (x)

(

a, b, c1 , d1 ∈ Z, f1 , g2 , h2 primit. ∈ Z[x] r Z.

Gaussin lemmasta seuraa, että ab = ±c1 d1 ja siis f1 (x) = ±g2 (x)h2 (x). Tällöin f (x) = bf1 (x) = ±bg2 (x)h2 (x). Tämä on ristiriita, koska f on jaoton Z[x]:ssä. Huomautus 3.3. Lausetta 3.6 käytetään usein seuraavassa muodossa: Jos polynomi f (x) ∈ Z[x] \ Z hajoaa tuloksi g(x)h(x) yli kunnan Q (tekijät astetta n, m > 0), niin f (x) hajoaa myös yli Z:n tekijöihin ja nämä ovat g(x) ja h(x) kerrottuna vakioilla. Huomautus 3.4. Polynomin f (x) = a0¡ + a1 x¢ + · · · + an x¡n ¢∈ Z[x] lineaariset tekijät Q[x]:ssä löydetään tunnetulla tavalla: jos x − rs | f (x) eli f rs = 0 (r, s ∈ Z), niin s | an ja r | a0 (tai r = 0). Polynomin f (x) ∈ Z[x] jaottomuus voidaan monissa tärkeissä tapauksissa todistaa seuraavalla kriteerillä. Lause 3.7 (Eisenstein). Polynomi f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn ∈ Z[x] on jaoton Q[x]:ssä, jos on olemassa sellainen alkuluku p, että 1) p - an , 2) p | ai

3) p2 - a0 .

(i = 0, . . . , n − 1),

Todistus. Vastaoletus: f ei ole jaoton Q[x]:ssä. Silloin f ei ole jaoton myöskään Z[x]:ssä (lause 3.6), joten ( g(x) = b0 + b1 x + · · · + br xr ∈ Z[x], deg g(x) = r > 0, f = gh, s h(x) = c0 + c1 x + · · · + cs x ∈ Z[x], deg h(x) = s > 0. Erityisesti b0 c0 = a0 , joka on oletuksen mukaan jaollinen p:llä mutta ei p2 :lla. Voidaan olettaa, että esimerkiksi p | b0 , p - c0 (tarvittaessa vaihdetaan g ja h). Samoin oletuksen mukaan br cs = an on jaoton p:llä. Siis p - br , p - cs . Olkoon bi polynomin g(x) ensimmäinen p :llä jaoton kerroin, jolloin edellisen mukaan 1 ≤ i ≤ r < n. Nyt ai = bi c0 + bi−1 c1 + · · · + b0 ci .

Redusoidaan mod p :

0 ≡ bi c0 + 0 + · · · + 0 (mod p).

Toisaalta p - bi , p - c0 ; ristiriita!

3.3 Polynomin derivaatta

29

Esimerkki 3.2.3. Polynomi f (x) = xn − p on jaoton ∀ p ∈ P (n = 1, 2, . . . ). Täten Q[x] sisältää mielivaltaisen korkeaa positiivista astetta olevia jaottomia polynomeja. Esimerkki 3.2.4. Olkoon f (x) = x3 − 4. Kun merkitään y = x − 1, saadaan merk.

f (x) = (y + 1)3 − 4 = y 3 + 3y 2 + 3y − 3 = g(y). Tämä on jaoton Q[y]:ssä Eisensteinin kriteerin nojalla (p = 3). Siis myös f (x) on jaoton Q[x]:ssä, sillä f (x):n tekijöihinjaosta seuraisi tekijöihinjako myös g(y):lle. Huomautus 3.5. Lauseet 3.6 ja 3.7 yleistyvät suoraan tapaukseen, jossa Z:n tilalla on UFD D, p:n tilalla D:n jaoton alkio ja Q:n tilalla kokonaisalueen D osamääräkunta K.

3.3

Polynomin derivaatta

Määritelmä. Polynomin f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x] (muodollinen) derivaatta f 0 (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 ∈ R[x]. Käytetään myös merkintää f 0 (x) = Df (x). Derivaatta noudattaa sääntöjä (f + g)0 = f 0 + g 0 ,

(f g)0 = f 0 g + f g 0 ,

kuten nähdään määritelmästä suoralla laskulla (tai voidaan päätellä analyysin derivointikaavoista). Määritelmä. Jos f (x) ∈ K[x], α ∈ K ja (1)

f (x) = (x − α)m g(x),

g(x) ∈ K[x],

g(α) 6= 0,

niin α on polynomin f (x) kertalukua m oleva nollakohta. Tarkastellaan polynomia f (x) ∈ K[x], missä K on kunta. Oletetaan, että K ⊆ F = algebrallisesti suljettu kunta. Silloin f (x) hajoaa F [x]:ssä lineaarisiin tekijöihin: f (x) = c(x − α1 )m1 · · · (x − αr )mr , missä α1 , . . . , αr ovat F :n eri alkioita. Kunkin nollakohdan αi kertaluku on mi (i = 1, . . . , r). Huomaa, että koska F [x] on UFD, nollakohdan kertaluku ei riipu siitä, missä kunnassa sitä tarkastellaan (kunhan nollakohta vain kuuluu kyseiseen kuntaan). Lause 3.8. Olkoon f (x) ∈ K[x] ja F kuten yllä. Silloin alkio α ∈ F on f (x):n useankertainen nollakohta sjvsk f (α) = f 0 (α) = 0.

3.3 Polynomin derivaatta

30

Todistus. Jos α on useankertainen nollakohta, niin (x − α)2 | f (x), siis f (x) = (x − α)2 g(x)

(F [x]:ssä).

Derivoidaan: f 0 (x) = 2(x − α)g(x) + (x − α)2 g 0 (x).

Sijoittamalla tähän x = α saadaan f 0 (α) = 0. Kääntäen: Jakoalgoritmi antaa f (x) = (x − α)2 q(x) + r(x),

r(x) lineaarinen tai vakio.

Oletuksesta f (α) = f 0 (α) = 0 seuraa r(α) = r 0 (α) = 0. Kun merkitään r(x) = ax + b, on siis aα + b = 0 ja a = 0. Näistä seuraa a = b = 0, siis r(x) = 0. Täten (x − α)2 | f (x). Seuraus 3.3.1.¢ Alkio α ∈ F on polynomin f (x) ∈ K[x] useankertainen nollakohta sjvsk ¡ syt f (x), f 0 (x) on jaollinen¡(x − α):lla ¢(polynomirenkaassa F [x]). Siis f (x):n nollakohdat ovat yksinkertaiset sjvsk syt f (x), f 0 (x) ∼ 1. ¡ ¢ On tärkeää, että syt f (x), f 0 (x) voidaan määrittää Eukleideen algoritmilla polynomirenkaassa K[x]. Useankertaisten nollakohtien olemassaolo saadaan siis selvitetyksi siirtymättä K:n laajennuskuntiin. Huomaa, että jos syt(f (x), f 0 (x)) ¿ 1, niin tämä syt hajoaa lineaarisiin tekijöihin F [x]:ssä. Esimerkki 3.3.1. Tutkitaan, onko polynomilla f (x) = x5 + 2x4 + 2x3 + 4x2 + x + 2 useankertaisia nollakohtia kunnassa Q tai C. Hajotetaan f (x) jaottomiin tekijöihin Q[x]:ssä ja C[x]:ssä. Luetellaan nyt polynomin f (x) nollakohdat ∈ F jonona α1 , . . . , αn , jossa jokainen αi esiintyy niin monta kertaa kuin sen kertaluku osoittaa. Seurauslauseen nojalla ¡ ¢ merk. Q 2 syt f (x), f 0 (x) ¿ 1 ⇐⇒ ∆ = i 0, b1 ≥ · · · ≥ bh > 0,

ja väitetään, että m = h ja a1 = b1 , . . . , am = bm . Vastaoletus: a1 = b1 , . . . , ak−1 = bk−1 , ak > bk (1 ≤ k ≤ min(m, h)). Huomaa yleisesti, että jos (A, +) on Abelin ryhmä ja n ∈ Z+ , niin joukko nA = { nx | x ∈ A } on A:n aliryhmä. Seuraavassa sovelletaan tätä valitsemalla n:ksi sopivia p:n potensseja. Jos a ≥ b, niin pa pa = = pa−b . #pb Zpa = syt(pa , pb ) pb Näin ollen ryhmän p bk G 0 =

©

p bk x | x ∈ G 0

ª

= p bk Z p a 1 ⊕ · · · ⊕ p bk Z p a k ⊕ · · ·

kertaluku on ≥ pa1 −bk · pa2 −bk · · · pak −bk . Toisaalta ol.

pbk G0 = pbk G1 = pbk Zpb1 ⊕ · · · ⊕ pbk Zpbk−1 ⊕ {0} ⊕ · · · ⊕ {0} ja tämä on kertalukua pb1 −bk · pb2 −bk · · · pbk−1 −bk . Vertaamalla näitä kertalukuja nähdään, että pak −bk ≤ 1; ristiriita! Tulos on siis ak = b k (k = 1, . . . , min(m, h)). Toisaalta (#G0 =) pa1 +···+am = pb1 +···+bh (= #G1 ), joten myös m = h.

7.5 Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä

82

Seuraus 7.5.1. Jos G on äärellisesti generoitu Abelin ryhmä, niin on olemassa sellaiset G:n alkiot y1 , . . . , ys ja z1 , . . . , zr sekä sellaiset positiiviset kokonaisluvut a1 , . . . , as , että jokainen G:n alkio x voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa x = b 1 y1 + · · · + b s ys + c 1 z 1 + · · · + c r z r , missä bi , ci ∈ Z, 0 ≤ bi ≤ pai i − 1 ∀ i = 1, . . . , s.

Todistus. Suoraan suoran summan määritelmästä (ks. pykälän alkua).

Edellä mainittua joukkoa {y1 , . . . , ys , z1 , . . . , zr } sanotaan ryhmän G kannaksi. Huomaa kuitenkin, että jos s > 0, niin kyseessä ei ole kanta modulien teorian mielessä: lineaarisen riippumattomuuden ehdon tilalla on nyt ehto ( s r X X bi ≡ 0 (mod pai i ) ∀ i, bi yi + cj zj = 0 =⇒ cj = 0 ∀ j. i=1 j=1 Lukua r, joka siis on vapaan Abelin ryhmän Zr aste, sanotaan joskus ryhmän G Betti’n luvuksi. Esimerkki 7.5.1. Ryhmässä C∗ on hi, 2 + ii ' C4 × C∞ ' Z4 ⊕ Z, h−2, 2/3, 7i ' Z3 . Esimerkki 7.5.2. Algebrallisessa lukuteoriassa osoitetaan, että renkaan ½X ¾ p−2 i ai ζ p | a i ∈ Z ∀ i Z[ζp ] = (ζp = e2πi/p , p alkuluku > 2) i=0

p−3

yksikköryhmä on ' C2 × Cp × C∞2 . Ryhmän torsioaliryhmä on h−1i × hζp i.

Esimerkki 7.5.3. Elliptisten käyrien teoriassa osoitetaan, että rationaalikertoimisen elliptisen käyrän E: y 2 = x3 + ax + b

rationaalipisteiden (x, y) ryhmä GE on äärellisesti generoitu Abelin ryhmä. Sen torsioaliryhmä T (GE ) on joko muotoa Zn , missä 1 ≤ n ≤ 10 tai n = 12, tai muotoa Z2 ⊕ Z2n , missä 1 ≤ n ≤ 4. Ei tiedetä, voiko elliptisen käyrän aste (rank), ts. vapaan Abelin ryhmän GE /T (GE ) aste, olla mielivaltaisen suuri, mutta sille on löydetty yhä suurempia arvoja. Seuraus 7.5.2 (Äärellisten Abelin ryhmien peruslause). Jokainen äärellinen Abelin ryhmä on isomorfinen muotoa Zpa1 1 ⊕ Zpa2 2 ⊕ · · · ⊕ Zpas s olevan syklisten ryhmien suoran summan kanssa, missä pi :t ovat alkulukuja (eivät välttämättä erisuuria) ja ai > 0 ∀ i. Esitys on ryhmien järjestystä vaille yksikäsitteinen.

7.5 Sovellus: äärellisesti generoitu Abelin ryhmä

83

Huomaa myös, että lauseen 7.5 mukaan jokainen äärellinen Abelin ryhmä on (isomorfiaa vaille) muotoa (6)

Z d1 ⊕ Z d2 ⊕ · · · ⊕ Z dt ,

missä d1 | d2 , . . . , dt−1 | dt (di :t ovat Abelin ryhmän invariantit).

Esimerkki 7.5.4. Etsitään kaikki kertalukua 360 olevat Abelin ryhmät (isomorfiaa vaille). Koska 360 = 23 · 32 · 5, saadaan ryhmät Z2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 3 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 Z2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 2 ⊕ Z 9 ⊕ Z 5 Z2 ⊕ Z 4 ⊕ Z 3 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 Z2 ⊕ Z 4 ⊕ Z 9 ⊕ Z 5 Z8 ⊕ Z 3 ⊕ Z 3 ⊕ Z 5 Z8 ⊕ Z 9 ⊕ Z 5

(' Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z30 ), (' Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z90 ), (' Z6 ⊕ Z60 ), (' Z2 ⊕ Z180 ), (' Z3 ⊕ Z120 ), (' Z360 ),

missä on merkitty sulkuihin ko. ryhmät muodossa (6). Esimerkki 7.5.5. Osoitetaan, että ryhmän G = Zpa ⊕ Zr mielivaltainen aliryhmä H on tyyppiä (0 ≤ b ≤ a, 0 ≤ s ≤ r). H ' Z pb ⊕ Z s

Ensiksikin T (H) ≤ T (G) ' Zpa , joten T (H) ' Zpb , 0 ≤ b ≤ a. Ryhmä H on äärellisesti generoitu (lauseen 7.2 seurauslause), siis muotoa H ' Zpb ⊕H 0 , missä H 0 on vapaa, H 0 ≤ G. Koska homomorfismi x 7→ pa x on vapaassa Abelin ryhmässä injektio, nähdään että H 0 ' pa H 0 ≤ pa G ' p a Zr ' Z r .

Täten lauseen 7.2 nojalla H 0 ' Zs , 0 ≤ s ≤ r.

Varoitus. Yleisesti ehdoista H ≤ G, G = G1 ⊕ G2 ei seuraa, että H = H1 ⊕ H2 , Hi ≤ Gi (i = 1, 2). (Ajattele esim. ryhmän hxi ⊕ hyi aliryhmää hx + yi.)

Esimerkki 7.5.6. Ryhmä Z∗16 = h−1i × h5i ' Z2 ⊕ Z4 .

Esimerkki 7.5.7. Osoitetaan, että kunnan K multiplikatiivisen ryhmän K ∗ jokainen äärellinen aliryhmä on syklinen (toinen todistus pykälässä 5.1).

Esimerkki 7.5.8. Ryhmä Z∗48 on kertalukua ϕ(48) = ϕ(3 · 16) = 2 · 8 = 16. Tutkitaan, mitä tyyppiä se on. Huomautus 7.7. Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä ja p jokin #G:n alkutekijä, p h | #G mutta ph+1 - #G. Lauseen 7.6 todistuksen mukaan G:llä on yksikäsitteinen aliryhmä Gp , joka on kertalukua ph ; tarkemmin Gp = { x ∈ G | ord(x) = p:n potenssi }.

Aliryhmää Gp sanotaan G:n Sylowin p-ryhmäksi. Ryhmäteoriassa määritellään Sylowin p-ryhmät myös muiden kuin Abelin ryhmien tapauksessa. Tämä tulee esille seuraavassa luvussa.

8 RYHMÄTEORIAA

8

84

RYHMÄTEORIAA

8.1

Ryhmien isomorfiasta

Seuraavista lemmoista ensimmäinen esittää kuvausten yleisen ominaisuuden. Lemma 8.1. Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja, f on kuvaus X → Y ja S ⊆ X, T ⊆ Y . Silloin (i) (ii) (iii) (iv)

S ⊆ f −1 (f (S)), S = f −1 (f (S)), jos f on injektio, f (f −1 (T )) ⊆ T, f (f −1 (T )) = T , jos f on surjektio.

Todistus. Harjoituksena. Lemma 8.2. Jos f : G → G0 on ryhmähomomorfismi ja Ker(f ) ⊆ H ≤ G, niin H = f −1 (f (H)).

Todistus. Lemman 8.1(i) nojalla H ⊆ f −1 (f (H)). Käänteinen sisältyminen päätellään seuraavasti: a ∈ f −1 (f (H)) =⇒ f (a) ∈ f (H) =⇒ f (a) = f (h), h ∈ H =⇒ f (ah−1 ) = f (a)f (h)−1 = 1 =⇒ ah−1 ∈ Ker(f ) =⇒ ah−1 ∈ H =⇒ a ∈ H. Palauta mieleen homomorfialause: Jos f : G → G0 on ryhmähomomorfismi, niin (Ker(f ) E G ja) G/ Ker(f ) ' Im(f ).

Seuraavat isomorfialauseet nojautuvat tähän.

Lause 8.1. Jos f : G → G0 on ryhmähomomorfismi ja Ker(f ) ⊆ H E G, niin G/H ' f (G)/f (H).

Todistus. Huomaa ensiksikin, että H E G =⇒ f (H) E f (G) (algebran peruskurssi). Määritellään kuvaus π 0 : f (G) → f (G)/f (H),

π 0 (y) = yf (H).

Tämä on homomorfismi (kanoninen projektio; ks. huomautusta alla). Näin ollen myös yhdistetty kuvaus g = π 0 ◦ f : G → f (G)/f (H) on homomorfismi. Todetaan, että Im(g) = f (G)/f (H) ja

Ker(g) = { a ∈ G | π 0 (f (a)) = f (H) } = { a ∈ G | f (a)f (H) = f (H) } © ª = { a ∈ G | f (a) ∈ f (H) } = a ∈ G | a ∈ f −1 (f (H)) = H (lemma 8.2).

Väite seuraa isomorfiasta G/ Ker(g) ' Im(g).

8.2 Vastaavuuslause

85

Huomautus 8.1. Kuvausta π : G → G/H, joka on surjektiivinen homomorfismi, sanotaan G:n (kanoniseksi ) projektioksi G/H:lle. Lauseen 8.1 todistus antaa viereisen kommutoivan diagramman, missä τ on g:n indusoima isomorfismi, ts. τ (aH) = g(a) = (π 0 ◦ f )(a).

π(a) = aH, G

f

π

/ f (G) π0

²

G/H

τ ∼

² / f (G)/f (H)

Lause 8.2 (Tekijäryhmien isomorfialaki). Jos H E G ja K E G sekä K ⊆ H, niin K E H, H/K E G/K ja (G/K)/(H/K) ' G/H. Todistus. Aliryhmän normaalisuuskriteerin nojalla K E H (sillä aKa −1 ⊆ K ∀ a ∈ G, siis ∀ a ∈ H). Tarkastellaan projektiota p : G → G/K. Koska Ker(p) = K ⊆ H, niin lause 8.1 antaa G/H ' p(G)/p(H). Tässä p(G) = G/K ja p(H) = { aK | a ∈ H } = H/K, joten saadaan väitetty isomorfia (ja sivutuloksena H/K E G/K). Huomautus 8.2. Algebran peruskurssissa on homomorfialauseesta johdettu myös isomorfialaki (”suunnikassääntö”; vrt. myös § 1.3) H/(H ∩ K) ' HK/K

(H ≤ G, K E G).

Huomautus 8.3. Ryhmäteoriassa tarvitaan usein seuraavaa perustuloksiin kuuluvaa aliryhmien indeksilausetta: Jos K ≤ H ≤ G, niin [G : K] = [G : H][H : K]. Tämä seuraa suoraan Lagrangen lauseesta, jos G on äärellinen. Jos G on ääretön, kaava pätee luonnollisella tavalla tulkittuna (vrt. kuntalaajennusten astelukulauseeseen); todistus saadaan tarkastelemalla sivuluokkien edustajistoja (harj.). Vertaa myös edelliseen lauseeseen 8.2.

8.2

Vastaavuuslause

Lause 8.3 (Vastaavuuslause). Olkoon f : G → G0 surjektiivinen ryhmähomomorfismi. Merkitään H = { H | Ker(f ) ⊆ H ≤ G }, H0 = { H 0 | H 0 ≤ G0 }, F : H → H0 , F (H) = f (H).

8.2 Vastaavuuslause

86

Silloin (i) F on bijektio; (ii) K ⊆ H ⇐⇒ f (K) ⊆ f (H) ∀ H, K ∈ H (siis F ”säilyttää sisältymisen”); (iii) K E H ⇐⇒ f (K) E f (H) ∀ H, K ∈ H (siis F ”säilyttää normaalisuuden”); (iv) jos K E H, niin H/K ' f (H)/f (K) ∀ H, K ∈ H (F ”säilyttää tekijäryhmän”). Todistus. (i) F :n injektiivisyys: jos H, K ∈ H ja F (H) = F (K) eli f (H) = f (K), niin H = f −1 (f (H)) = f −1 (f (K)) = K

(lemma 8.2).

Surjektiivisuus: Näytetään, että ryhmän H 0 ≤ G0 alkukuvana on H = f −1 (H 0 ). Ensiksikin H ≤ G ja Ker(f ) = f −1 ({1}) ⊆ f −1 (H 0 ) = H, joten H ∈ H. Edelleen

F (H) = f (H) = f (f −1 (H 0 )) = H 0

pykälän 8.1 lemman 8.1(iv) nojalla (huomaa f :n surjektiivisuus). (ii) ”=⇒” triviaali, ”⇐=” seuraa samanlaisella päättelyllä kuin injektiivisyys yllä. (iii) Tunnetusti ”=⇒” on voimassa. Samoin tunnetusti f (K) E f (H) =⇒ f −1 (f (K)) E f −1 (f (H)) . | {z } | {z } =K

=H

(iv) Seuraa lauseesta 8.1. Go

Ho

Ker(f ) o

f

/ f (G)

Go

/ f (H)

Ho

/ H/N

/ {1}

No

/ {N }

Huomautus 8.4. Lisäksi pätee: jos H, K ∈ H ja K ⊆ H, niin [H : K] = [f (H) : f (K)] (eli F ”säilyttää indeksin”). Tämä seuraa siitä, että kuvaus

on bijektio (harj.).

{ aK | a ∈ H } → { yf (K) | y ∈ f (H) }, aK 7→ f (a)f (K)

π

/ G/N

8.3 Yksinkertainen ryhmä

87

Huomautus 8.5. Vastaavuuslausetta sovelletaan usein tapaukseen, jossa N E G ja homomorfismina on projektio π : G → G/N . Tällöin saadaan siis bijektio G:n ja N :n kaikkien ”väliryhmien” H ja tekijäryhmän G/N kaikkien aliryhmien välille. Erityisesti siis jokainen G/N :n aliryhmä on muotoa H/N , missä N ⊆ H ⊆ G. Esimerkki 8.2.1. Näytetään, miten edellisestä saadaan johdetuksi uudestaan syklisen ryhmän Cn aliryhmärakenne. (Valitaan G = Z, N = nZ; huomaa että Cn ' Z/nZ.) Huomautus 8.6. Vastaavuuslause pätee myös R-moduleilla M (ajatellaan M ensin Abelin ryhmänä).

8.3

Yksinkertainen ryhmä

Määritelmä. Ryhmää G sanotaan yksinkertaiseksi (simple), jos sillä ei ole muita normaaleja aliryhmiä kuin triviaalit eli {1} ja G. Lause 8.4. Jos G on Abelin ryhmä, niin G on yksinkertainen

⇐⇒

G = {1} tai G = Cp (p alkuluku).

Todistus. ( ⇐= ) Selvä, koska aliryhmän kertaluku jakaa #G:n. ( =⇒ ) Jos G = {1}, on väite oikea. Muussa tapauksessa valitaan a ∈ G, a 6= 1. Silloin hai E G (Abelin ryhmän kaikki aliryhmät ovat normaaleja) ja siis, koska G on yksinkertainen, G = hai. Jos G olisi ääretön, niin esimerkiksi {1} C ha2 i C G, mikä on mahdotonta. Siis G = Cn , n > 1. Nyt n = p ∈ P, sillä muuten Cn :llä on ainakin yksi epätriviaali aliryhmä. Esimerkki 8.3.1. Symmetrisen ryhmän Sn yksinkertaisuus: Ryhmät S1 , S2 ovat yksinkertaisia, sillä S1 = {1}, S2 ' C2 . Kun n > 2, Sn ei ole yksinkertainen, sillä {1} C An C Sn . Tässä An = n:n alkion parillisten permutaatioiden ryhmä eli alternoiva ryhmä, #A n = n!/2 ∀ n > 1. Esimerkki 8.3.2. Alternoivan ryhmän An yksinkertaisuus: Ryhmät A1 , A2 , A3 ovat yksinkertaisia, sillä A1 = A2 = {1}, A3 ' C3 . Ryhmä A4 ei ole yksinkertainen, koska sillä on normaali aliryhmä K4 = { (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) }; tämä on normaali S4 :ssä (ja siis myös A4 :ssä), koska se muodostuu kokonaisista S4 :n konjugaattiluokista. Tapauksessa n > 4 vastauksen antaa seuraava lause. Sen todistus aloitetaan todistamalla ensin kaksi lemmaa.

8.3 Yksinkertainen ryhmä

88

Lause 8.5 (Galois). Ryhmä An on yksinkertainen, kun n > 4. Lemma 8.3. 3-syklit (123), (124), . . . , (12n) generoivat ryhmän An (∀ n ≥ 3). Todistus. Tunnetusti transpositiot (12), (13), . . . , (1n) generoivat S n :n. Siis jokainen permutaatio α ∈ An voidaan kirjoittaa näiden tulona. Koska α on parillinen, tulossa on parillinen määrä transpositioita. Nyt (1i)(1j) = (1ji) = (12i)2 (12j)(12i).

Lemma 8.4. Olkoon H E An , n ≥ 3. Jos H sisältää yhdenkin 3-syklin, niin H = An . Todistus. Tapaus n = 3 on triviaali. Tapauksessa n > 3 voidaan olettaa (123) ∈ H. Jos 3 < k ≤ n, niin (32k)(123)(32k)−1 = (1k2), joten (1k2) ∈ H. Siis (12k) = (1k2)2 ∈ H. Täten H sisältää kaikki 3-syklit (123), (124), . . . , (12n), ja väite seuraa lemmasta 8.3. Lauseen 8.5 todistus. On todistettava, että {1} C H E An =⇒ H = An . Lemman 8.4 nojalla riittää todistaa, että H sisältää ainakin yhden 3-syklin. 1) Oletetaan, että α ∈ H ja että α:n sykliesityksessä ainakin yhden syklin pituus on > 3, ts. α = (abcd . . . )(. . . ) . . . (. . . ). kuten α:ssa

}| { z Merkitään α = (bcad . . . )(. . . ) . . . (. . . ), jolloin α0 = (abc)α(abc)−1 (vrt. Sn :n konjugaattialkioiden käsittelyyn algebran peruskurssissa). Koska (abc) ∈ A n , niin α0 ∈ H ja siis edelleen α0 α−1 ∈ H. Toisaalta α0 α−1 = (abd). 0

2) Olkoon α ∈ H, α tyyppiä (1h , 2m , 3q ) (ts. h 1-sykliä, m 2-sykliä ja q 3-sykliä), missä q > 0. 2.1) Jos q = 1, niin α2 on 3-sykli ∈ H.

2.2) Olkoon q > 1, siis

α = (abc)(a0 b0 c0 ) . . . (. . . ). Merkitään Silloin α0 α ∈ H ja

α0 = (b0 ca0 )α(b0 ca0 )−1 ∈ H. α0 α = (aa0 cbc0 )(. . . ) . . . (. . . ),

8.4 Normaali- ja kompositiosarjat

89

joten väite seuraa kohdasta 1). 3) Olkoon α ∈ H, α tyyppiä (1h , 2m ). Tässä m on parillinen, koska α on parillinen permutaatio. 3.1) Olkoon m = 2, siis α = (a1 b1 )(a2 b2 ). Valitaan c ∈ {1, 2, . . . , n}, c 6= a1 , b1 , a2 , b2 (huomaa että n > 4) ja merkitään α0 = (a1 b1 c)α(a1 b1 c)−1 ∈ H. Silloin α0 α ∈ H ja

α0 α = (a1 cb1 ).

3.2) Olkoon m > 2, siis m ≥ 4. Tällöin α = (a1 b1 )(a2 b2 )(a3 b3 )(a4 b4 )(. . . ) . . . (. . . ). Merkitään α0 = (b1 a2 )(b2 a3 )α(b1 a2 )(b2 a3 ) ∈ H.

Nyt α0 α ∈ H ja

α0 α = (a1 a3 b2 )(b1 a2 b3 ) . . . (. . . ).

Väite seuraa kohdista 2) ja 1). Kaikkien äärellisten yksinkertaisten ryhmien määrittäminen on vaatinut ryhmäteoreetikoilta noin 100 vuoden työn. Se saatiin pääosin päätökseen vuonna 1981 (mutta todistuksen aukkoja on paikattu ainakin vuoteen 2004 asti; ks. M. Aschbacher, Notices AMS 51:7). Edellä mainittujen ryhmien Cp ja An lisäksi yksinkertaisia ryhmiä on 16 ääretöntä perhettä ja 26 yksittäistä (”sporadista”) ryhmää.

8.4

Normaali- ja kompositiosarjat

Seuraavassa tutkitaan, miten ryhmät voidaan (ainakin periaatteessa) tietyllä luonnollisella tavalla ”rakentaa” yksinkertaisista ryhmistä. Määritelmä. Olkoon H C G. Jos H E K E G =⇒ joko K = H tai K = G, m

sanotaan, että H on G:n maksimaalinen normaali aliryhmä; merkitään seuraavassa H C G. (Kyseessä on siis G:n aitojen normaalien aliryhmien parven maksimaalinen alkio, kun järjestyksenä on ”⊆”.) Lemma 8.5. Jos H C G, niin m

HCG

⇐⇒

G/H on yksinkertainen.

8.4 Normaali- ja kompositiosarjat

Todistus. Vastaavuuslauseen nojalla (ks. myös pykälän 8.2 huomautusta 8.5) G:n ja H:n ”väliryhmät” K ja G/H:n aliryhmät (= K/H) vastaavat toisiaan bijektiivisesti; lisäksi K E G sjvsk vastaava G/H:n aliryhmä on normaali (lauseen kohta (iii)). Mutta G/H on yksinkertainen sjvsk sillä ei ole epätriviaaleja normaaleja aliryhmiä.

90

Go

/ G/H

Ko

/ K/H

Ho

/ {1}

Määritelmä. Ryhmän G normaalisarjaksi sanotaan äärellistä jonoa (1)

{1} = A0 E A1 E · · · E Ar−1 E Ar = G.

Tekijäryhmiä Ai /Ai−1 (i = 1, . . . , r) sanotaan normaalisarjan tekijöiksi. (Merkintää A i ei pidä sekoittaa alternoivaan ryhmään.) Jos normaalisarjan tekijät ovat yksinkertaisia ryhmiä ja kertaluvultaan > 1, normaalisarjaa sanotaan G:n kompositiosarjaksi ja sen tekijöitä G:n kompositiotekijöiksi. Normaalisarjaa sanotaan kirjallisuudessa myös alinormaaliksi (subnormal) sarjaksi. Lemman 8.5 nojalla siis G:n normaalisarja (1) on kompositiosarja sjvsk se on muotoa m

m

m

m

{1} = A0 C A1 C · · · C Ar−1 C Ar = G. Ryhmän G normaalisarjoja (1) ja (2)

{1} = B0 E B1 E · · · E Bs−1 E Bs = G

sanotaan isomorfisiksi eli ekvivalenteiksi, jos r = s ja tekijät Ai /Ai−1 ovat jossain järjestyksessä isomorfisia tekijöiden Bj /Bj−1 kanssa. Esimerkki 8.4.1. Syklisellä ryhmällä C12 on mm. normaalisarjat {1} C C4 C C12 ,

{1} C C3 C C12 .

Edellisen tekijät ovat C4 /{1} ' C4 ja C12 /C4 ' C3 , jälkimmäisen tekijät C3 /{1} ' C3 ja C12 /C3 ' C4 . Nämä normaalisarjat ovat siis isomorfiset. Kyseiset normaalisarjat voidaan tihentää seuraaviksi kompositiosarjoiksi: {1} C C2 C C4 C C12 {1} C C3 C C6 C C12

(tekijät ' C2 , C2 , C3 ), (tekijät ' C3 , C2 , C2 ).

Myös nämä ovat siis isomorfiset; tämä seuraa myös seuraavasta yleisestä lauseesta.

8.4 Normaali- ja kompositiosarjat

91

Jokaisella äärellisellä ryhmällä on kompositiosarja; sellainen näet saadaan esimerkiksi tihentämällä triviaalia normaalisarjaa {1} C G (kun G 6= {1}). Äärettömällä ryhmällä ei välttämättä ole kompositiosarjaa (ajattele esimerkiksi ääretöntä Abelin ryhmää). m

m

m

Lemma 8.6. Jos A C G ja B C G sekä A 6= B, niin A ∩ B C A (ja symmetrian nojalla m A ∩ B C B). Todistus. Tarkastellaan ryhmää AB = { ab | a ∈ A, b ∈ B } ≤ G. Koska xabx−1 = (xax−1 )(xbx−1 ) ∈ AB

∀ x ∈ G, a ∈ A, b ∈ B,

niin AB E G. Lisäksi A E AB, koska A on normaali G:ssä. Siis A:n maksimaalisuuden nojalla joko AB = A tai AB = G. Jos AB = A, niin B ⊆ A. Silloin B E A, koska B on normaali G:ssä. Mutta oletuksen mukaan B 6= A, siis B C A. Tämä on vastoin B:n maksimaalisuutta. Näin ollen AB = G, ja suunnikassääntö antaa A/(A ∩ B) ' G/B.

G AB GG

ww ww w ww ww A GG GG GG GG G

Lemman 8.5 nojalla G/B on yksinkertainen, samoin siis

GG GG GG G

B ww ww w ww ww

A∩B

A/(A ∩ B). Väite seuraa lemman 8.5 käänteisestä puolesta. Lause 8.6 (Jordan–Hölder). Äärellisen ryhmän G kompositiosarjat ovat isomorfiset. Todistus. Induktiolla G:n kertaluvun suhteen. 1) Tapaus #G = 1 on triviaali. 2) Olkoon #G > 1. Oletetaan väite oikeaksi ryhmillä, joiden kertaluku on < #G. Tarkastellaan ryhmän G kompositiosarjoja (1)

{1} C A1 C · · · C Ar−1 C G,

(2)

{1} C B1 C · · · C Bs−1 C G. Jos Ar−1 = Bs−1 , niin (1) ja (2) ovat isomorfiset induktio-oletuksen nojalla. Olkoon Ar−1 6= Bs−1 . Muodostetaan ryhmän D = Ar−1 ∩ Bs−1 kompositiosarja {1} C C1 C · · · C Ct C D.

Nyt G:llä on kompositiosarjat (3)

{1} C C1 C · · · C Ct C D C Ar−1 C G,

(4)

{1} C C1 C · · · C Ct C D C Bs−1 C G,

8.5 Ratkeava ryhmä m

92

m

sillä D C Ar−1 ja D C Bs−1 lemman 8.6 nojalla. Nämä kompositiosarjat ovat isomorfiset, koska G/Ar−1 ' Bs−1 /D, G/Bs−1 ' Ar−1 /D

(ks. lemman 8.6 todistusta). Induktio-oletuksen nojalla (1) on isomorfinen (3):n kanssa, samoin (2) on isomorfinen (4):n kanssa. Yhdessä edellä saadun kanssa tästä seuraa, että (1) ja (2) ovat isomorfiset. Lause pätee myös niillä äärettömillä ryhmillä, joilla on kompositiosarja, mutta todistus on tällöin mutkikkaampi. Lauseesta 8.6 seuraa, että äärellisen ryhmän kompositiotekijät ovat yksikäsitteiset isomorfiaa ja järjestystä vaille.

Esimerkki 8.4.2. Syklisellä ryhmällä C6 on kompositiosarja {1} C C2 C C6 ; kompositiotekijät ovat siis ' C2 , C3 . Symmetrisellä ryhmällä S3 on kompositiosarja {1} C A3 C S3 ; kompositiotekijät A3 /{1} ' A3 ' C3 ja S3 /A3 ' C2 . Kompositiotekijät eivät siis määritä ryhmää yksikäsitteisesti.

8.5

Ratkeava ryhmä

Määritelmä. Ryhmän G alkioiden x ja y kommutaattori [x, y] = xyx−1 y −1 . Kaikkien G:n kommutaattorien generoimaa G:n aliryhmää sanotaan G:n derivaattaryhmäksi, merkitään G0 tai DG. Määritelmän mukaan [x, y] = 1 sjvsk xy = yx. Siis G0 = {1} sjvsk G on Abelin ryhmä. Karkeasti sanottuna: G0 on sitä suurempi, mitä vähemmän G:ssä on kommutoivia alkioita. Kaikki derivaattaryhmän alkiot eivät ole kommutaattoreita! Sen sijaan pätee seuraava lause. Lause 8.7. Derivaattaryhmä G0 muodostuu kaikista G:n alkioiden kommutaattorien tuloista. Todistus. Ryhmän G0 alkiot ovat määritelmän mukaan tuloja, joiden tekijät ovat kommutaattoreita ja kommutaattorien käänteisalkioita. Koska [x, y]−1 = [y, x], väite seuraa. Lemma 8.7. Jos f : G → G0 on ryhmähomomorfismi, niin G0 ⊆ Ker(f )

Todistus. Nähdään, että G0 ⊆ Ker(f )

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

⇐⇒

Im(f ) on kommutatiivinen.

xyx−1 y −1 ∈ Ker(f ) ∀ x, y ∈ G f (x)f (y)f (x)−1 f (y)−1 = 1 ∀ x, y ∈ G f (x)f (y) = f (y)f (x) ∀ f (x), f (y) ∈ Im(f ).

8.5 Ratkeava ryhmä Lause 8.8. G0 ≤ H ≤ G

93

H E G ja G/H on kommutatiivinen.

⇐⇒

Todistus. 1) Jos G0 ≤ H ≤ G, niin H E G, sillä a ∈ G, h ∈ H =⇒ aha−1 = aha−1 h−1 h = [a, h]h ∈ H. 2) Oletetaan, että H E G. Soveltamalla lemmaa 8.7 projektioon π : G → G/H saadaan G0 ≤ H

G/H kommutatiivinen.

⇐⇒

Kohdat 1) ja 2) antavat lauseen väitteet. Seuraus 8.5.1. G0 E G ja G/G0 on kommutatiivinen. Todistus. Valitaan lauseessa H = G0 . Määritelmä. Ryhmän G n:s derivaattaryhmä G(n) = DG(n−1)

(merk. myös G(n) = Dn G)

∀ n ≥ 1. Lisäksi sovitaan, että G(0) = G. Edellisen seurauslauseen nojalla G D G0 D G00 D · · · . Tätä jonoa sanotaan ryhmän G derivoiduksi ketjuksi. Esimerkki 8.5.1. Tarkastellaan ryhmää G = S3 . Nyt A3 C S3 , S3 /A3 ' C2 (kommutatiivinen), joten S30 ≤ A3 (lause 8.8). Siis S30 = joko A3 tai {1}. Mutta S3 ei ole kommutatiivinen, joten S30 6= {1}. Täten S30 = A3 . Edelleen S300 = A03 = {1}, koska A3 on kommutatiivinen (' C3 ). Siis ryhmän S3 derivoitu ketju on S3 B A3 B {1}. Määritelmä. Ryhmää G sanotaan ratkeavaksi (solvable), jos ∃n≥1:

G(n) = {1}.

Erityisesti siis jokainen Abelin ryhmä on ratkeava. Lause 8.9. Ryhmä G on ratkeava sjvsk G:llä on normaalisarja, jonka tekijät ovat Abelin ryhmiä.

8.5 Ratkeava ryhmä

94

Todistus. ( =⇒ ) Ryhmän G derivoitu ketju {1} = G(n) E G(n−1) E · · · E G0 E G(0) = G on äärellinen ja siis G:n normaalisarja. Sen tekijät ovat Abelin ryhmiä edellisen seurauslauseen nojalla. ( ⇐= ) Oletetaan, että G:n normaalisarjan {1} = A0 E A1 E · · · E Ar−1 E Ar = G tekijät Ai /Ai−1 ovat Abelin ryhmiä. Lauseen 8.8 mukaan G0 ≤ Ar−1 . Tästä seuraa derivaattaryhmän määritelmän nojalla, että G00 ≤ A0r−1 . Toisaalta A0r−1 ≤ Ar−2 (taas lause 8.8!), joten G00 ≤ Ar−2 . Jatkamalla samoin saadaan lopuksi G(r) ≤ A0 = {1}. Siis G(r) = {1}, joten G on ratkeava. Lause 8.10. Äärellinen ryhmä G 6= {1} on ratkeava sjvsk sen kompositiotekijät ovat syklisiä ryhmiä, joiden kertaluku on alkuluku. Todistus. Jos G:n kompositiotekijät ovat syklisiä, ne ovat Abelin ryhmiä, joten G on ratkeava lauseen 8.9 nojalla. Oletetaan kääntäen, että G (6= {1}) on ratkeava. Lauseen 8.9 mukaan G:llä on normaalisarja {1} = A0 C A1 C · · · C Ar−1 C Ar = G,

jonka tekijät Ai /Ai−1 ovat Abelin ryhmiä (i = 1, . . . , r). Tihennetään tämä kompositiosarjaksi. Huomaa, että jos H1 C K C H 2 ,

H2 /H1 kommutatiivinen,

niin myös tekijäryhmät K/H1 ja H2 /K ovat kommutatiivisia. Näistähän näet edellinen on ryhmän H2 /H1 aliryhmä ja jälkimmäinen taas (isomorfiaa vaille) ryhmän H2 /H1 tekijäryhmä: H2 /K ' (H2 /H1 )/(K/H1 ),

kuten tekijäryhmien isomorfialaki sanoo. Tämä osoittaa, että myös saadun G:n kompositiosarjan tekijät ovat Abelin ryhmiä. Toisaalta ne ovat yksinkertaisia, siis lauseen 8.4 nojalla ' Cpi , pi :t alkulukuja. Lause 8.11. Symmetrinen ryhmä Sn on ratkeava sjvsk 1 ≤ n ≤ 4.

8.6 Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö

95

Todistus. Tapauksissa n = 1, 2 ryhmä Sn on kommutatiivinen, siis Sn0 = {1}. Tapaus n = 3: Nyt S300 = {1} (esimerkki 8.5.1). Tapaus n = 4: Ryhmällä S4 on normaalisarja (1)

{1} C K4 C A4 C S4 ,

missä A4 on alternoiva ryhmä ja K4 = { (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } (esimerkki 8.3.2). Tämän tekijät ovat ' K4 , C3 , C2 . Nämä ovat Abelin ryhmiä, joten S4 on ratkeava lauseen 8.9 nojalla. Olkoon n > 4. Tarkastellaan ryhmän Sn normaalisarjaa {1} C An C Sn . Sen tekijät ovat ' An , C2 , siis lauseiden 8.4 ja 8.5 (Galois’n lause!) nojalla yksinkertaisia. Täten kyseessä on kompositiosarja ja An ja C2 ovat Sn :n kompositiotekijät. Lauseesta 8.10 seuraa nyt, ettei Sn ole ratkeava, sillä An :n kertaluku (= n!/2) ei ole alkuluku. Huomautus 8.7. Ryhmän S4 normaalisarja (1) voidaan tihentää normaalisarjaksi {1} C C2 C K4 C A4 C S4 , missä C2 = { (1), (12)(34) }. Tämän tekijät ovat ' C2 , C2 , C3 , C2 , siis yksinkertaiset. Kyseessä on siis kompositiosarja ja nämä ovat S4 :n kompositiotekijät (vrt. lauseeseen 8.10). Esimerkki 8.5.2. Jos äärellinen ryhmä G on epäkommutatiivinen ja yksinkertainen, niin G(n) = G ∀ n ≥ 0. Tämä pätee erityisesti siis alternoivaan ryhmään An , kun n > 4. Näin saadaan myös uusi todistus sille, ettei Sn ole ratkeava, kun n > 4. (Yleisesti nimittäin ratkeavan ryhmän aliryhmät ovat ratkeavia, kuten helposti nähdään.) Huomautus 8.8. Lauseen 8.11 tulos liittyy Galois’n teoriaan (ks. §6.5).

8.6

Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö

Olkoon H ≤ G. Aina kun a ∈ G, joukko aHa−1 = { aha−1 | h ∈ H } on G:n aliryhmä ' H, nimittäin H:n kuva injektiivisessä homomorfismissa H → G, h 7→ aha−1 . Ryhmiä aHa−1 sanotaan aliryhmän H konjugaattiryhmiksi. Aliryhmän H normalisaattoriksi sanotaan G:n osajoukkoa NG (H) = { a ∈ G | aHa−1 = H } = { a ∈ G | aH = Ha }. Lause 8.12. (i) Normalisaattori NG (H) on G:n aliryhmä. (ii) Aliryhmän H konjugaattiryhmien aHa−1 (a ∈ G) lukumäärä = [G : NG (H)]. Erityisesti siis tämä lukumäärä jakaa #G:n, kun #G < ∞.

8.6 Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö

96

Todistus. (i) Suoraan aliryhmäkriteerillä. (ii) Jos a, b ∈ G, niin aHa−1 = bHb−1 ⇐⇒ (b−1 a)H = H(b−1 a) ⇐⇒ b−1 a ∈ NG (H) ⇐⇒ aNG (H) = bNG (H). Tästä nähdään, että aliryhmän NG (H) vasempien sivuluokkien aNG (H) ja H:n konjugaattiryhmien aHa−1 välillä vallitsee bijektio. Aliryhmän normaalisuuskriteerin avulla nähdään, että H E NG (H); tarkemmin: K = NG (H) on maksimaalinen ehdon H E K ≤ G täyttävä ryhmä. Esimerkki 8.6.1. Määritetään symmetrisen ryhmän S3 aliryhmän h(12)i konjugaattiryhmät ja normalisaattori. Normalisaattori tulee esille pykälässä 8.7. Seuraavassa esitetään tämän käsitteen kanssa analoginen käsite, jossa aliryhmän H tilalla on ryhmän yksittäinen alkio x. Palauta mieleen konjugaattialkion käsite ryhmässä G: x ja y konjugaattialkioita

⇐⇒

∃a∈G:

y = axa−1 .

Koska tämä on G:n ekvivalenssirelaatio, saadaan G:n partitio ekvivalenssiluokkiin eli konjugaattiluokkiin: [ (1) G= [x], [x] = { axa−1 | a ∈ G }, x∈D

missä D on jokin konjugaattiluokkien edustajisto. Ryhmän G alkion x sentralisaattoriksi sanotaan G:n osajoukkoa CG (x) = { a ∈ G | axa−1 = x } = { a ∈ G | ax = xa }. Lause 8.13. (i) Sentralisaattori CG (x) on G:n aliryhmä; (ii) #[x] = [G : CG (x)]; erityisesti siis #[x] jakaa #G:n, kun #G < ∞. Todistus. Samanlainen kuin lauseen 8.12 todistus. Määritelmä. Ryhmän G keskus Z(G) = { a ∈ G | ax = xa ∀ x ∈ G }.

8.6 Normalisaattori, sentralisaattori ja luokkayhtälö Tämän mukaan siis Z(G) =

T

x∈G

97

CG (x) ≤ G. Muita keskuksen perusominaisuuksia:

(i) Z(G) E G (suoraan normaalisuuskriteeristä). (ii) Z(G) on Abelin ryhmä; edelleen Z(G) = G sjvsk G on Abelin ryhmä. (iii) #[x] = 1 ⇐⇒ x ∈ Z(G). Jos G on äärellinen, partitiosta (1) seuraa luokkayhtälö P (D = konjugaattiluokkien edustajisto). #G = x∈D #[x]

Tämä voidaan edellisten tulosten nojalla esittää myös seuraavissa muodoissa (jälkimmäisessä kaavassa summataan yli niiden konj.luokkien, joissa on enemmän kuin yksi alkio): P #G = x∈D [G : CG (x)],

(2)

#G = #Z(G) +

P

#[x]>1 [G

: CG (x)].

Esimerkki 8.6.2. Tarkastellaan symmetrisen ryhmän S3 luokkayhtälöä. Osoitetaan edellisen sovelluksena, että ns. p-ryhmät ovat ratkeavia. Määritelmä. Äärellistä ryhmää G sanotaan p-ryhmäksi, jos #G = pn , missä p ∈ P ja n ≥ 0. Lause 8.14. Jos G on (äärellinen) p-ryhmä 6= {1}, niin Z(G) 6= {1}. Todistus. Luokkayhtälön (2) nojalla p | #Z(G). Esimerkki 8.6.3. Todistetaan, että kertalukua p2 oleva ryhmä on Abelin ryhmä. Lause 8.15. Jokainen (äärellinen) p-ryhmä on ratkeava. Todistus. Olkoon #G = pn , n ≥ 0. Sovelletaan induktiota lukuun n nähden. 1) Jos n = 0, niin G = {1}, siis G on triviaalisti ratkeava. 2) Olkoon n ≥ 1. Oletetaan, että p-ryhmä on ratkeava aina, kun sen kertaluku on < p n . Nyt lauseen 8.14 nojalla ryhmä G = G/Z(G) on ratkeava, joten sillä on normaalisarja Go

/

G

{1} = K 0 C K 1 C · · · C K r = G,

jonka tekijät ovat Abelin ryhmiä (lause 8.9). Tämä antaa vastaavuuslauseen nojalla G:lle normaalisarjan Ko

Z(G) o

/

K

/ {1}

{1} C Z(G) = K0 C K1 C · · · C Kr = G, jolla on tekijöinä Z(G) ja Ki /Ki−1 ' K i /K i−1 . Siis nämäkin tekijät ovat Abelin ryhmiä, joten lauseen 8.9 nojalla G on ratkeava.

8.7 Sylowin ryhmät

98

Jos #G on jaollinen kolmella alkuluvulla, niin G ei välttämättä ole ratkeava (esimerkiksi #S5 = 23 · 3 · 5). Jos #G = pa q b (p, q alkulukuja), niin G on ratkeava; tämä on kuuluisa Burnsiden lause, jonka ensimmäinen todistus nojautui ryhmien esitysteoriaan. Tiedetään myös, että jokainen äärellinen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava. Tämän ns. Burnsiden otaksuman todistivat W. Feit ja J.G. Thompson vuonna 1963.

8.7

Sylowin ryhmät

Lemma 8.8. Jos äärellisen Abelin ryhmän G kertaluku on jaollinen alkuluvulla p, niin ∃a∈G:

ord(a) = p.

Todistus. Peruslauseen (luku 7) nojalla G:llä on aliryhmä hbi ' Zpk

(k jokin kokonaisluku > 0).

¡ k−1 Silloin ord bp ) = p.

Lause 8.16. Olkoon G äärellinen ryhmä, p alkuluku ja pm | #G. Silloin G:llä on aliryhmä H, jonka kertaluku = pm . Todistus. Induktiolla #G:n suhteen. 1) Jos #G = 1, väite on triviaalisti tosi. 2) Olkoon #G>1. Oletetaan väite oikeaksi, kun ryhmän kertaluku < #G. Jos on olemassa sellainen H < G, että p - [G : H], niin yhtälön #G = [G : H](#H) nojalla pm | #H ja väite seuraa induktio-oletuksesta. Voidaan siis olettaa, että p | [G : H] ∀ H < G. Tällöin erityisesti p | [G : CG (x)] aina, kun x ∈ G ja [G : CG (x)] > 1, joten luokkayhtälö ((2) § 8.6) antaa, että p | #Z(G). Koska Z(G) on Abelin ryhmä, niin lemman nojalla ∃ a ∈ Z(G) : ord(a) = p.

Koska hai G. Nyt ¡ ¢ ⊆ Z(G), niin hai E m−1 # G/hai on < #G ja jaollinen p :llä, joten induktio-oletuksen mukaan ∃ H ≤ G/hai :

Go

/ G/hai

Ho

/

#H = pm−1 .

Vastaavuuslauseesta seuraa, että ∃H≤G:

H

H = H/hai.

Silloin #H = p · #H = pm .

hai o

/ {1}

8.7 Sylowin ryhmät

99

Seuraus 8.7.1 (Cauchyn lause). Jos p | #G, niin G:ssä on kertalukua p oleva alkio (p alkuluku). Todistus. Lauseen mukaan ryhmällä G on kertalukua p oleva aliryhmä H. Silloin H on syklinen, siis H = hai, ja ord(a) = p. Esimerkki 8.7.1. Tarkastellaan kertalukua 6 olevia ryhmiä. Seuraus 8.7.2. Jos G on äärellinen ryhmä, niin G on p-ryhmä

⇐⇒

ord(x) = p:n potenssi ∀ x ∈ G.

Todistus. ( =⇒ ) Jos x ∈ G, niin ord(x) jakaa #G:n ja on siis p:n potenssi. ( ⇐= ) Vastaoletus: G ei ole p-ryhmä, ts. on sellainen alkuluku q 6= p, joka jakaa #G:n. Silloin Cauchyn lauseen mukaan G sisältää kertalukua q olevan alkion, mikä on vastoin oletusta. Huomautus 8.9. Edellisen mukaan p-ryhmä voitaisiin siis myös määritellä ryhmäksi, jossa kaikkien alkioiden kertaluku on p :n potenssi. Tällä tavoin määritelläänkin äärettömät pryhmät. Määritelmä. Oletetaan, että p on alkuluku, pm | #G mutta pm+1 - #G (m ≥ 0). Kertalukua pm olevia G:n aliryhmiä S sanotaan G:n Sylowin p-(ali)ryhmiksi. (Abelin ryhmien tapauksessa tämä käsite on määritelty luvun 7 lopussa.) Lauseen 8.16 nojalla G:llä on ainakin yksi Sylowin p-ryhmä ∀ p ∈ P. (Tämä on tietysti = {1} aina kun m = 0 eli p - #G).

Esimerkki 8.7.2. Kertalukua 6 = 2 · 3 olevan ryhmän S3  A3 ,   Sylowin 3-ryhmä: Sylowin 2-ryhmät: { (1), (12) }, { (1), (13) }, { (1), (23) },   Sylowin p-ryhmä, kun p = 6 2, 3 : { (1) }.

Sylowin ryhmien päälausetta (lause 8.17) varten todistetaan ensin kaksi lemmaa. Näissä tarvitaan edellisessä pykälässä esitettyä aliryhmän H normalisaattorin N G (H) käsitettä. Lemma 8.9. Olkoon S ryhmän G Sylowin p-ryhmä, missä p|#G, ja olkoon P jokin pryhmä ≤ G. Silloin P ∩ NG (S) = P ∩ S.

Todistus. Väitteen oikealla puolella oleva ryhmä sisältyy triviaalisti vasempaan puoleen. On siis osoitettava, että ryhmä P1 = P ∩ NG (S) sisältyy oikeaan puoleen P ∩ S. Suunnikassääntö sovellettuna ryhmän NG (S) aliryhmiin P1 ja S (huomaa, että S on normaali NG (S):ssä) antaa P1 S/S ' P1 /(P1 ∩ S).

Koska P1 ja S ovat p-ryhmiä, tästä nähdään ensiksikin, että myös P1 S on p-ryhmä. Mutta se sisältää ryhmän S, jonka kertaluku on maksimaalinen p:n potenssi G:ssä, joten se on = S. Edellinen isomorfia antaa siis P1 = P1 ∩ S. Täten P1 ⊆ P ∩ S.

8.7 Sylowin ryhmät

100

Lemma 8.10. Olkoon S ryhmän G Sylowin p-ryhmä. Jokainen p-ryhmä P ≤ G sisältyy johonkin ryhmän S konjugaattiryhmään. Todistus. Oletetaan, että p|#G; muuten väite on triviaali. Merkitään C:llä ryhmän S kaikkien konjugaattiryhmien aSa−1 (missä a ∈ G) perhettä. Koska ryhmät aSa−1 ovat samaa kertalukua kuin S (vieläpä ' S), niin myös ne ovat G:n Sylowin p-ryhmiä. Määritellään C:ssä relaatio H ∼ H0

⇐⇒

∃ a ∈ P : H = aH 0 a−1 .

Havaitaan, että tämä on ekvivalenssi, joten perheelle C muodostuu partitio C = C1 ∪ · · · ∪ C k

(1 ≤ k ≤ #C);

tässä siis ekvivalenssiluokat ovat Ci = {H ∈ C | ryhmät H ovat ”konjugaattiryhmiä P :n suhteen”} (i = 1, . . . , k). Lauseen 8.12(ii) nojalla #C = [G : NG (S)]. Valitaan Si ∈ Ci (i = 1, . . . , k). Kun käydään läpi lauseen 8.12(ii) todistus ottaen alkiot a ja b vain ryhmästä P (koko ryhmän G asemesta), saadaan tulos #Ci = [P : P ∩ NG (Si )] = [P : P ∩ Si ], missä lopuksi käytettiin lemmaa 8.9. Lasketaan nämä yhtälöt yhteen kaikilla i:n arvoilla, jolloin edellisen mukaan tuloksena on (1)

[G : NG (S)] =

k X i=1

[P : P ∩ Si ].

Koska #S on maksimaalinen ryhmän G kertalukuun sisältyvä p:n potenssi, niin indeksi [G : S] on p:llä jaoton. Indeksilauseen nojalla (ks. pykälän 8.1 huomautusta 8.3) silloin myös [G : NG (S)] on p:llä jaoton. Täten yhtälössä (1) myös oikea puoli on p:llä jaoton. Toisaalta luvut [P : P ∩ Si ] ovat p:n potensseja. Nähdään siis, että jokin [P : P ∩ Si ] = p0 = 1. Tällöin P = P ∩ Si ja siis P ⊆ Si . Lause 8.17. (i) Jos S on ryhmän G Sylowin p-ryhmä, niin kaikki G:n Sylowin p-ryhmät ovat kaikki S:n konjugaattiryhmät, ts. ryhmät aSa−1 , a ∈ G. (ii) Ryhmän G Sylowin p-ryhmä S on yksikäsitteinen sjvsk se on normaali G:ssä.

(iii) Olkoon kp ryhmän G Sylowin p-ryhmien lukumäärä (kiinteällä alkuluvulla p). Silloin kp | #G ja kp ≡ 1 (mod p).

8.7 Sylowin ryhmät

101

Todistus. (i) Kuten edellä lemman 8.10 todistuksessa mainittiin, kaikki ryhmän S konjugaattiryhmät aSa−1 ovat G:n Sylowin p-ryhmiä. Kääntäen olkoon H mielivaltainen G:n Sylowin p-ryhmä. Valitsemalla P = H lemmassa 8.10 saadaan, että H sisältyy johonkin ryhmän S konjugaattiryhmään Si . Toisaalta H ja Si ovat samaa kertalukua, joten H = Si . (ii) Tämä seuraa suoraan edellisestä kohdasta. (iii) Kohdan (i) ja lauseen 8.12 perusteella ryhmän G Sylowin p-ryhmien lukumäärä on kp = [G : NG (S)]. Täten se jakaa #G:n. Valitaan lemman 8.10 todistuksessa P = S. Voidaan olettaa, että S1 = S. Yhtälö (1) antaa nyt k k X X [S : S ∩ Si ]. [S : S ∩ Si ] = 1 + kp = i=1

i=2

Koska kaikki ryhmät Si ovat erisuuria, niin i:n arvoilla 2, . . . , k ryhmä S ∩ Si = S1 ∩ Si sisältyy aidosti ryhmään S ja indeksi [S : S ∩ Si ] on siis > 1. Luvun p potenssina tämä indeksi on siis p:llä jaollinen. Näin ollen kp ≡ 1 (mod p).

Kohdasta (ii) seuraa, että Abelin ryhmän Sylowin p-ryhmät ovat yksikäsitteisiä ∀ p ∈ P. (Sama tulos saatiin toisin pykälässä 7.4.) Esimerkki 8.7.3. Todistetaan väite: Ei ole olemassa yksinkertaista ryhmää G, jonka kertaluku = 42 (= 2 · 3 · 7). Tarkastellaan G:n Sylowin 7-ryhmien lukumäärää k7 . Koska k7 ≡ 1 (mod 7), niin k7 = 1 + 7h, h ∈ Z. Ehdosta (1 + 7h) | 42 seuraa (1 + 7h) | 6, siis h = 0. Täten k 7 = 1, ts. SEG

(S = G:n Sylowin 7-ryhmä).

Toisaalta #S = 7, siis S 6= {1}. Näin ollen G ei ole yksinkertainen. Esimerkki 8.7.4. Olkoon #G = pq, missä p ja q ovat eri alkulukuja ja p 6≡ 1 (mod q), q 6≡ 1 (mod p). Osoitetaan, että G:llä on yksikäsitteiset Sylowin p- ja q-ryhmät, ja päätellään tästä edelleen, että G on Abelin ryhmä. Esimerkki 8.7.5. Todistetaan, että kertalukua 2p (p alkuluku > 2) olevalla epäkommutatiivisella ryhmällä G on tarkalleen p Sylowin 2-ryhmää. Ryhmä G on diedriryhmä D p eli säännöllisen p-kulmion peittoryhmä (harj.). Tässä ja edellisessä luvussa saatujen tulosten perusteella voidaan luetella kaikki (epäisomorfiset) ryhmät, joiden kertaluku on ≤ 15 ja 6= 8, 12. Epäkommutatiivisia näistä ovat vain symmetrinen ryhmä S3 ja diedriryhmät D5 ja D7 (diedriryhmän Dk kertaluku on = 2k; huomaa että D3 ' S3 ). Kertalukua 8 olevat epäkommutatiiviset ryhmät ovat diedriryhmä D4 ja kvaternioryhmä Q8 (harj.). Kertalukua 12 olevat epäkommutatiiviset ryhmät ovat diedriryhmä D6 , alternoiva ryhmä A4 sekä symmetrisen ryhmän S12 sellainen aliryhmä ha, bi, jonka generaattorit täyttävät ehdot ord(a) = 6, a3 = b2 , b−1 ab = a−1 . Se, ettei ole muita tällaisia ryhmiä, ei ole aivan helppo todistaa.