Linjar algebra [PDF]

Zitiervorschau

Linj¨ ar algebra

av

Christer Glader

Inneh˚ allsf¨orteckning 1 Vektorrum Underrum . . . . . . . . . . . . Summor och direkta summor av Linj¨art obereoende . . . . . . . Linj¨ara h¨oljet . . . . . . . . . . Baser . . . . . . . . . . . . . . . Dimension . . . . . . . . . . . . Appendix A . . . . . . . . . . .

. . . . . . underrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Linj¨ ara avbildningar Vektorrummet L(V,W ) . . . . . . . . . . . Produkter av linj¨ara avbildningar . . . . . Nollrum och v¨arderum . . . . . . . . . . . Matrisframst¨allning av linj¨ara avbildningar Inverterbarhet . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

1 . 2 . 3 . 5 . 5 . 8 . 10 . 12

. . . . .

13 13 14 14 17 20

. . . . .

3 Tabellerade fakta om komplexa tal och polynom 23 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Egenv¨ arden och egenvektorer f¨ or linj¨ ara operatorer Invarianta underrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egenv¨arden och egenvektorer . . . . . . . . . . . . . Operatorpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Upp˚ at triangul¨ara matriser . . . . . . . . . . . . . . . Invarianta underrum p˚ a reella vektorrum . . . . . . . 5 Vektorrum med skal¨ ar produkt Skal¨ara produkter . . . . . . . Normer . . . . . . . . . . . . Ortonormerade baser . . . . . Ortogonala projektioner . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

26 26 27 29 30 33

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

35 35 37 39 42

6 Operatorer p˚ a vektorrum med skal¨ ar produkt Linj¨ara funktionaler och adjungerade avbildningar . . . . . . Sj¨alvadjungerade operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normala operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektralsatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normala operatorer p˚ a reella vektorrum med skal¨ar produkt Positiva operatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

45 45 48 49 51 56 61

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

Isometri . . . . . . . . . . . Pol¨ara uppdelningen . . . . Singul¨arv¨ardesuppdelningen Appendix B . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

63 66 68 71

F¨orord F¨oreliggande kompendium a¨r en sammanfattning av f¨orel¨asningsanteckningar i kursen linj¨ar algebra, en kurs inom f¨ordjupade studier i matematik vid ˚ Abo Akademi. Kursen behandlar fr¨amst ¨andligtdimensionella vektorrum och operatorer, rum med skal¨ar produkt, ortogonala, sj¨alvadjungerade, normala och positiva operatorer, egenv¨arden och spektralteorem, diagonalisering, pol¨ar uppdelning, singul¨arv¨ardesuppdelning och Jordans kanoniska form f¨or matriser. Inga anspr˚ ak p˚ a originalitet g¨ors. Materialet a¨r sammanst¨allt ur ett flertal b¨ocker med tonvikt p˚ a kursboken av Sheldon Axler: Linear algebra done right, (2 uppl.), Springer Verlag, 1997.

˚ Abo, i december 2010 Christer Glader