Interpretazione dei libri M-N della «Metafisica» di Aristotele. La filosofia della matematica in Platone e Aristotele 8834305388, 9788834305386 [PDF]

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Julia E. Annas

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Interpretazione dei libri M-N della “Metafísica” di Aristotele La filosofía della matematica in Platone e Aristotele Traduzione di Elisabetta Cattanei

Introduzione e traduzione dei libri M-N della “Metafísica” di Aristotele di Giovanni Reale, _ BIBLIOTECA 01 LGTT&Nb

FILOSOFÍA E MAG IST GB ö

\ÍT A E P eNSIERO

Ju lia Elizabeth Annas è oggi uno degli studiosi del pensiero antico di lingua e di cultura ingle­ se fra i piii afferinati. H a in segn ato d ap p rin ia a O xford {C h rist Church e St. Hugh's College) dal 1971 al 1986. È passata quindi in America; dove ha insegna­ to dapprim a presso FlJniversity of Arizona, dal 1986 al 1991. Dairautunno del 1991 insegna come ‘‘full professor” presso il dipartimento di filosofia della Columbia University di New York. L ’opera ehe qui presentiamo costituisce il con­ tributo piu significativo e piü stimolante per quanto concerne 1'interpretazione dei Iibri MN della Metafísica di Aristotele, ehe - come è noto - sono i piü difficili da intendere. £ non si tratta di uno di quei libri ehe si rifugiano nell'erudizione e nelle raffinatezze ehe il filologismo moderno conosce, nia che troppo spesso lasciano insoddisfatto il lettore, il quale tende soprattutto a capire il pensiero del filo­ sofo che legge. Si tratta, invece, di un libro ehe sa suscitare vivi interessi proprio per quei due icontestati libri finali, ehe molti trascurano del itutto. L a A nnas d im o stra m olto bene ehe, lungi idall'essere un insieme di discussioni cavillose tsu oscuri nonsensi, i libri M-N presentano ‘mn’ acuta trattazione di problemi filosofica­ mente vivi” . L ’edizione italiana arricchisce quella inglese, oltre ehe con l’Introduzione di G. Reale e una bibliografia completa di J . E. Annas, con una Appendice al Saggio introduttivo (un articolo in cui Tautrice riassume motto chiaramente e approfondisce la sua interpretazione della filo­ sofia della matematica di Aristotele) e altresi con il testo greco messo a fronte della traduzione dei libri M-N. L a traduzione qui riprodotta di questi libri è quella di G. Reale, ma rivista dalla Annas (coil alcuni ritocchi terminologici e con qualche modifica sulla base di differenti letture del testo), in modo che si accordi nelia migliore maniera con la sua esegesi e con il suo commentario.

Pubblicazioni del

PALGH.

CENTRO D I RICERCHE D I METAFISICA N. ;

'

Collana Temi metafisici eproblem i delpensiero antico. Studi e testi

18.

N.B. - Fino al numero 10 questa collana ha avuto 11titolo generale di Sezione: «Metafísi­ ca del Platonismo nel suo sviluppo storico e nella filosofía patrística. Studi e testi». A partiré dal numero 11 la sezione si è distinta in due collane: una con il nuovo titolo di cui sopra, una seconda parallela con xl titolo «Platonismo e filosofía patrística. Studi e te­ sti». La presente collana è dunque da considerarsi una continuazione della precedente e perianto ne prosegue la numerazione, mentre la collana «Platonismo e filosofía patrísti­ ca» assume una sua propria numerazione. Sono State rinnovate dall’editore anche le ve­ stí tipografiche.

CENTRO DI R IC ER C H E DI M ETA FISIC A delTUniversità Cattolica del Sacro Cuore Largo A. Gemelli, 1 -1-20123 Milano

Comitato scientifico: Adriano Bausola Carla Gallicet Calvetti Alessandro Ghisalberti Virgilio Melchiorre Angelo Pupi Giovanni Reale

Direttori: Adriano Bausola Giovanni Reale

Collana: «Temi metafisici e problemi del pensiero antico. Studi e testi» direita da Giovanni Reale segretario Roberto Radice

Titolo originate: Aristotle’s Metaphysics, Books M and N, translated with introduction and notes, 1976. Prima edizione della traduzione italiana: aprile 1992.

© Oxford University Press, Oxford 1976 © Traduzione italiana, 1992 - Vita e Pensiero - Largo A. Gemelli, 1 - 20123 Milano ISBN 88-343-0S37-X (brossura) ISBN 88-343-0538-8 (rilegato)

Sommario

Introduzione di Giovanni Reale Bibliografía sistemática e completa di Julia Annas

7 23

P arte prima : S a g g io introduttivo ai libri M -N d ella « M etafísica » d i A risto tele

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Prefazione 33 Capitolo primo: La filosofía della matematica di Platone 36 Capitolo secondo: La filosofía della matematica di Aristotele 61 Capitolo terzo: Platone, TAccademia e Aristotele sui fondamenti della matematica 78 Capitolo quarto: La struttura di M-N 119 Appendice: Predsazioni sugli oggetti della matematica in Aristotele 131 P arte sec o n d a : C om m entario ai libri M -N d ella « M etafísica »

149

Sezíone prima: Commentario al libro M Sezione seconda: Commentario al libro N Appendice prima: La relazione di M 4-5 con A 6 e A 9 Appendice seconda: Note al Testo dei libri M-N della «Metafísica»

151 228 264 266

P arte terza : T esto g reco d ei libri M -N d e lla « M etafísica » CON TRADUZIONE DI GlOVANNI REALE

271

Libro M Libro N

273 331

B iblio grafía e ind ici

363

Introduzione di Giovanni Reale

Significato ermeneutico e importanza del libro di Julia Annas sui libri M-N della Metafisica di Aristotele

1.L a sintonia simpatetica di Annas con la problemática dei libri MN della «M etafisica» aristotélica. I libri M-N della Metafisica di Aristotele sono certamente i piü difficili da leggere, per molti aspetti í piu problematici e, per la maggior parte dei lettori, i meno gratificanti. Ben si spiega, pertanto, il fatto che nel Medioevo non siano stati recepiti, e che anche nella storia delle interpretazioni della Metafisica siano rimasti largamente in ombra. La Annas ricorda giustamente, nella Prefazione, che la svalutazione di questi líbri dipende dalle seguenti ragioni di fondo: gli studiosi di Platone si trovano di fronte a discussion! di teorie attribuite a Platone, che, pero, non si trovano nei suoi scritti e che molti rítengono inconciliabili con quelle che si leggoho negli scritti medesimi; gli studiosi di Aristotele, poi, trovano tali libri tediosi. Io stesso devo confessare che, nel mío commento a\laMe¿afisica, scritto nel corso degli anni Sessanta1, ho rídotto all’essenziale le spiegazioni delle varié argomentazioni cosí serrate e spesso capillari. Non ritenevo M-N certamente tediosi e scolastici in senso decettivo, ma pensavo che, dal punto di vista teoretico, potessero anche essere letti come mera appendice, perché Timpianto teoretico costruttivo del discorso aristotélico può considerarsi in certo senso concluso con il libro Á. Ritenevo, in altri termini, che il loro interesse fosse di carattere prevalentemente dossografico, in quanto fonte di informazioni preziosíssime, giacché danno il quadro delle tendenze interne all’Accademia sulla problemática dei Principi e della loro funzíone sistemática e, per di piü, presentano il repertorio polemico piü ricco di Aristotele contro le dottrine Accademiche2. Ma, proprio gli studi da me fatti negli ultimi 1 Aristotele, La Metafísica, Traduzione, introduzione e commento di G. Reale, 2 voll., Loffredo, Napoli 1968; in corso di preparazione una nuova edizione con testo greco a fronte, che verrá pubblicata in questa collana. 2 Si veda anche quanto dico nella editio minor che di quest’opera ho pubblicato nella collana “I Classici del Pensiero” della Rusconi: Aristotele, La Metafísica, Intro­ duzione, traduzione e parafrasi di G. Reale, 1978, pp. 521 ss.

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venticinque anni mi hanno convinto che i libri M-N, in realtà, offrono di più, se ci si sa calare in quel circolo ermeneutico che presuppongono. Il discorso teoretico di Aristotele non si capisce a fondo (soprattutto nella sua autentica dimensione storica) se non si comprendono in modo adeguato proprio quelle dottrine contro cui polemizza in M-N, che costituiscono quel polo dialettico dal cui impatto e continuo riferimento nasce la sua ontologia in contrapposizione all'henologia dei Platonici. Ho intrapreso lo studio attento del libro della Annas proprio in parallelo alla revisione che sto facendo di quel mio commentario alia luce delle nuove acquisizioni3. Dirô subito che Topera della Annas costítuisce la più significativa novitá su questi libri: si tratta ínfatti del primo commentario sistemático e completo di M-N che finora sia stato scritto. E non si tratta di uno di quei libri che si rifugiano nelTerudizione e nelle raffinatezze che il filologismo moderno conosce, ma che molto spesso deludono elasciano insoddisfatto il lettore che ama soprattutto il pensiero del filosofo letto. E ’ invece un libro che sa suscitare vivi interessi proprio per Targomento trattato in M-N. Scrive giustamente la Annas: «L ’unico modo per dimostrare che qualcosa non è noioso è suscitare Interesse nei suoi confronti. lo credo che M-N non siano affatto cosí difficili e misteriosi come si usa pensare, e che non siano una cavillosa discussione di oscuri nonsensi, bensl un acuta trattazione diproblemifilosoficamente vivi»4. E in questo intento Annas riesce dawero, e in modo efficace. Ponendosi su un piano filosofico del tutto differente, ma non meno costruttivo, Annas compie una operazione analoga a quella che P. Merlan ha compiuto nella sua celebre opera From Platonism to Neoplatonism5, in cui affronta una serie di problemi che hanno forti tangenze con quelli presenta ti nei libri M-N della Metafísica, e in particolare con i problemi connessi con gil enti matematici, «intermedi» fra il mondo sensibile e l’intelligibile. Come è noto, la maggíor parte dei pens atolí oggi tende a respingere la posizione di Platone e deí Platonici come una forma di «realismo esagerato», per usare la terminologia che si è imposta a partiré dal Medioevo. Ebbene, Merlan conduce tutta la sua trattazione capovolgendo questa convinzione6. II cosiddétto «realismo esagerato» di Platone non

3 Cfr. sopra, nota 1. 4 lnfra, p. 33. 5 Si trovera quest’opera in questa stessa collana: Ph. Merlán, Dal Platonismo al Neoplatonismo, Traduzione di E. Peroli, introduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1990. 6 Si veda quanto dico nella mia Introduzione, in particolare alie pp. 18 ss.

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si fonda su un errore di base, consistente nella ipostatizzazione di concetti astratti (una sorta di reificazione di meri entia mentis). H «realismo esagerato», invece che essere studiato come ipostatizzazione di concetti, dovrebbe venir considerato come una dottrina che intende il reale come raxionale. Merlan scriveva esattamente: «II realismo eccessivo è proprio questo: insistere sul fatto che la filosofia non deve essere né un appello, né dovrebbe abdicare alle scienze positive i suoi diritti a comprendere la realtà; insistere sul fatto che è compito della filosofía comprendere e che solo ció che puó essere spiegato in termini di implicazione ed esplicazione “lógica” è autenticamente compreso»7. Per diría in altri termini, come giá rilevavo nell’introduzione al libro di Merlan, il «realismo» di Platone diventa in qualche modo vero (e in ogni caso ún punto di riferimento irrinunciabile) per tutti coloro i quali ammettono l’intelligibilità del reale, e, di conseguenza, accettano anche la razionale connessione (e quindi coerenza) delle parti che lo costituiscono. Insomma, chí ammette che la realtà abbia una intelligibilité e coerenza, jn ultima analisi, lo sappia o no, ha un qualche legame con il «realismo» platonico. Merlan era legato alla matrice teoretica della metafísica tedesca (con forti nervature idealistiche). Annas si muove, invece, su basi teoretiche di matrice anglosassone, con forti radíci empiristico-razionalistiche. Ma, pur pariendo da presupposti teoretici del tutto differenti, rende la problemática del «realismo» platonico non meno viva, e quindi interes­ sante, e, a suo modo, se considerata nella sua giusta ottica storica, attuale. Ecco, ad esempío, come Annas presenta il realismo platonico, che ella preferisce chiamare piú semplicemente «platonismo»: «...consiste nella convinzione che gli oggetti matematici - come ad esempio i numeri - effettivamente esistano, indipendenti da noi e dal pensiero che ne abbiamo. I numeri non esistono, owiamente, nel mondo intorno a noi; non esistono nel tempo e nello spazio. Ma cionondimeno esistono; devono essere scoperti prima che noi pensiamo ai mezzi per descriverli. Russell, in un saggio giovanile del 1901, dice: “l’aritmetica deve essere scoperta proprio nello stesso senso in cui Colombo scoprl gli Indiani delTOvest, e noi non creiamo í numeri, non píu di quanto egli abbia creato gli Indiani.,.”»8. Ed ecco un altro passo non meno significativo: «L ’accentuazione, da parte di Platone, del fatto che questi numeri sono “nell’intelletto”, non richiede che i numeri siano creature del nostro pensiero, ma piuttosto

7 Merlan, Dal P lato n ism o p. 52. 8 Infra, p. 36.

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l’inverso. II punto messo in luce da Platone é come quello di Frege: “in aritmética ... noi ci riferiamo ad oggetti direttamente dati alia nostra ragione, e completamente trasparenti ad essa, come se fossero il nostro piü stretto párente. E tuttavia, o piuttosto per tale ragione, questi oggetti non sono fantasie soggettive. Non c’énulla di piü oggettivo delle leggi delTaritmetica”» 9. Questi richiami di passi di Russell e di Frege sono di un’efficacia veramente straordinaria per ottenere lo scopo che il libro si propone, ossia dimostrare che i libri M-N della Metafísica aristotélica, tutti incentrati intorno alia trattazione di questa problemática, «sono un’acuta trattazione di problemi filosóficamente vivi»10. Annas chiama in causa anche altri autori moderni, come Whitehead, Quine e altri ancora, e dimostra, in questo modo, come la problemática di M*N puó venir connessa in modo costruttivo con la filosofía della matematica di oggi, con tutte le conseguenze decisamente positive che questo comporta. In conclusione: emerge con tutta chiarezza, da questo libro, che MN sono tutt’altro che quei relitti da museo, che non pochi studiosi e lettori della Metafísica di Aristotele hanno ritenuto e tuttora rítengono. 2. La grande questione oggi in primo piano delle dottrine non scritte di Platone nei libri M-N della «M etafísica» aristotélica. Detto questo, risulta suficientemente chiaro che coloro che respingono come poco significativi i libri M-N della Metafísica di Aristotele, non ne hanno compreso la problemática, oppure non hanno alcun interesse per quella problemática, che, invece, ha una sua precisa validitá e attualitá. Ma, come sopra si é giá rícordato, c’é anche chi assume una posizione fortemente critica nei confronti dei libri M-N, per il motivo che le dottrine che in essi Aristotele attribuisce a Platone non si leggono nei suoi scritti (e quindi si pensa che Aristotele, se non mente, travisa i testi platonici e confonde il lettore). lo stesso, prima di individuare e abbracciare il nuovo paradigma ermeneutico nel’interpretazione di Platone, leggevo e commentavo questi libri in modo assai cauto e con una serie di riserve. E ’ appena il caso che rilevi come, oggi, piü li rileggo e piü mi appaiano fecondi per la comprensione degli scritti dello stesso Platone.

9 înfra, pp. 37-38. 10 Infra, p. 33.

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E qual è la posizione di Atinas a questo riguardo? Come è noto, nella rilettura di M-N si possono indicare due posizioni diametralmente opposte: quella di Cherniss da una parte, e quella della Scuola di Tubinga dalTaltra, con di mezzo, evidentemente, posizioni che si awicinano in vario modo e in differente misura ad un polo o a quello opposto. Io direi che Annas assume una posizione in certo senso «media»; ma, ciononostante, supera decisamente la posizione di Cherniss, anche se, in qualche passo, gli da ancora ragione; su certi punti, invece, sembrerebbe tendere píú verso le posizioni del nuovo paradigma ermeneutico, anche se non lo accoglie. Sulla base di quanto si ricava da questo libro (confermato anche da uno scambio di vedute cheho avuto conl’autrice al riguardo) sipuó dire quanto segue. Le dottrine non scritte di Viatone sono veramente esistite; es se sono esattamente il background senza il quale M-N non si comprenderebbero. La tesi di Cherniss11, secondo la quale ció che si riferirebbe alie dottrine non scritte è frutto di incomprensioni e fraintendimenti dei discepoli e di sviluppi da essi impressi a spunti dottrinali dei dialoghi, non puó accettarsi. Tuttavia, Annas ritiene che i dialoghi platonici possano essere letti di per sé, e che essi non abbiano quindi bisogno, per essere interpretati, delle dottrine non scritte12. Di conseguenza, Annas, nelTanalizzare la filosofia della matematica di Platone, distingue nettamente ció che viene detto neglí scritti del filosofo da quello che viene detto nelle dottrine non scritte, sia per quanto riguarda la concezione del numero, sia per quanto riguarda la geometría. Tuttavia, se questa posizione, a mió giudizio, non regge per Platone, essa non comporta conseguenze negative nel modo in cui Annas la applicanell’interpretazione deilibriM-N. Conmolto equilibrio, infatti, l’autríce afferma quanto segue: se nel leggere e interpretare i dialoghi platonici le dottrine non scritte non sono necessarie, nel leggere e interpretare, invece, i Übri M-N della Metafísica, e in genere per intendere le posizioni assunte da Aristotele nei confronti di Platone, le dottrine non scritte non sono solo utili, ma sono addirittura necessarie. Insomma, mi pare che venga messo in atto da Annas proprio quel principio enunciato da Werner Jaeger, ma poi da luí non sviluppato e attuato, secondo cui la filosofia diPlatone che Aristoteleha di mira nelle

11 Sostenuta da Chemiss nelle sue due celebri opere: Aristotle’s Criticism of Plato and theAcademy, Baltimore 1944; The Riddle oftheEarly Academy, Berkeley-Los Angeles 1945. 12 Annas e quindi ancora del parere ehe i dialoghi siano «autarchici».

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sue polemiche non è quella degli scritti ma è soprattutto quella delle lezioni orali13. E í risultati, devo dire, sono, nella maggior parte dei casi, ecceüenti e comunque stimoíanti. Bisogna anche riconoscere che le posizioni che Annas, nella iettura di M-N, raggiunge a questo riguardo, sono fra le piü avanzate nelTambito dei paradigma ermeneutico tradizíonale. 3. Alcuni rilievi critici. Proprio perché ritengo che questo libro sia il piü importante finora scritto sui libri M-N non solo nelTambito delia produzione anglosassone, ma ín generale a livello internazíonale, e come tale lo presento, mi sia lecito fare qualche rilievo critico, per stimolare il lettore a mettere a confronto la posizione di Annas con il nuovo paradigma ermeneutico nelVinterpretazione di Platone. Un primo rilievo concerne il modo di leggere gli scritti di Platone. Per molto tempo Tuomo moderno ha pensato (e molti ancora oggi continuano a pensare) che Platone scrivesse i suoi libri alTincirca come si scrivono libri in tempi moderni e contemporanex. Lo scrittore includerebbe nei suoi scritti tutto quanto il suo pensíero, con le sue varie implícanze e conseguenze, e offrírebbe al pubblico ciò che via via guadagna nelle sue ricerche. Invece le autotestimonianze dei Fedro14, se correttamente interpretate (anche a prescindere dalla parallela autotestimonianza delia Lettera VII15), precisano, in vario modo, che non è cosi. Inoltre, il programma di Platone come scrittore espresso da lui nel Fedro, implica una strutturale «economia dottrinale» che ogni discorso deve attuare in rapporto alia persona a cui è diretta. Tutti i dialoghi dicono quindi, nella trattazione dei temi in oggetto, ilminimo necessário riguardante ifondamenti, e, per di piü, lo dicono in quelVottica riduttiva delle capacita dei deuteragonista, ossia delle capacita intellettuali e moralí che questi mostra di avere. Per di piü procedono in funzione di una struttura-soccorso che via via sale ad un piano sempre piü elevato, ma lascia sempre aperta la strada alia conclusione ultimativa, e non giunge mai programmaticamente fino in fondo (ossia ai Principi primi e supremi, che Platone riservava alToralità dialettica).

W.Jaeger, Studien zurEntsiehungsgescbichte derMetaphysik desAristoteles, Berlin 1912, pp. 140 ss. 14 Fedro, 274 B - 278 E. 15 Lettera VII, 340 B - 345 C.

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Rimando a tutti i îibri su Platone pubblicati in questa collana: di Krämer16, Gaiser17, e soprattutto quelli di Szlezàk18e di Erler19, oltre al mió20, che su questo punto potranno fornire tutti i chiarimenti e tutta la documentazione occorrenti. In particolare, dopo la fondazione dell’Accademia, Platone scrisse i suoi dialoghi sullo sfondo del suo insegnamento orale, corne per primo, criticando Schleiermacher, si è accorto Nietzsche21, ma come solo oggi emerge chiaramente alla luce. Con la straordinaria sua arte dello scrivere, Platone ha us ato nei suoi scritti due linguaggi: uno esplicito e chiaro per quelle cose che potevano essere comunicate anche ai più; uno invece allusivo, con ampio sfruttamento del gioco ironico, che lasciava intendere il nocciolo delia questione solo per cenni, e quindi mandava in questo modo messaggi comunicativi a chi conosceva le dottrine non scritte per altra via, ossia attraverso le lezioni dell’Accademia22. Prendo un solo esempio, che pero, nel nostro caso, è veramente paradigmatico. Nel libri M-N Aristotele si occupa a fondo della critica degli enti

16 H. Kt'ámet, Platone e ifondamenti della metafísica, Introduzione e traduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1989. 17 K. Gaiser, La metafísica della storia in Platone, Introduzione e traduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1988; 1991; Idem, L’oro della sapienza. Sulla preghiera delfilosofo a conclusione del «Pedro» di Platone, Introduzione e traduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1990. 18 Th. A. Szlezák, Platone e la scrittura dellafilosofia. Analisi distruttura dei dialoghi della giovinezza e della maturitä alia luce di un nuovo paradigma ermeneutico, Intro­ duzione e traduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1988; 19892 (l’edizione originale é del 1985). Di Szlezák si veda anche il recente Come leggere Platone, tra­ duzione di N. Scotti, presentazione di G. Reale, Rusconi, Milano 1991. 19 M. Erler, II senso delle aporie nei dialoghi di Platone, Esercizi di awiamento al pensiero fílosofico, Traduzione di C. Mazzarellí, introduzione di G. Reale, Vita e Pensiero, Milano 1991 (l’edizione origínale é del 1987). 20 G. Reale, Per una nuova interpretazione di Platone. Rilettura della metafisica dei grandi dialoghi alia luce delle "Dottrine non scritte”, decima edizione, Vita e Pensiero, Milano 1991. 21 F. Nietzsche, Gesammelte Werke, Musarion Ausgabe, vol. IV, Vorträge, Schriften und Vorlesungen 1871-1876, München 1921, p. 370. 22 Si veda, a questo proposito, quanto dico nel mió saggio: I tre paradigmi storici nell’interpretazione di Platone e i fondamenti del nuovo paradigma, in particolare pp. 56 ss.; cfr. anche un altro mio saggio: Ruolo delle dottrine non scritte di Platone “Intorno alheñe" neüa "Repubblica” e nel "Filebo”. Ambedue questi saggi sono editi nelle pubblicazioni dell’Istituto Suor Orsola Benincasa, Napoli 1991 e sono anche raccolti in cofanetto (con saggi di W. Beierwaltes, E. Berti, M. Erler, H. Krämer, M. Miglíorí, G. Movía, Th. A. Szlezák) che ha il titolo Verso una nuova immagine di Platone, a cura di G. Reale, Napoli 1991.

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matematici, che Platone ammetteva come «intermedi» fra il sensibile e Tintelligibile. . Mol ti studiosi, sulla base dei presupposti del paradigma tradizionale, hanno negato che dawero Platone ne parlasse, perché non si troverebbero indicazioni in questo senso nei dialoghi. Annas non ammette che Platone ne parli nei dialoghi, ma, sia pure con cautela, attribuisce alie dottrine orali la teoría degli enti matematici come intermedi. Conviene leggere in anticipo alcune affermazioni della studiosa. Aristotele ha considerato gli intermedi «come la risposta di Platone a quello che potremmo chiamare il “problema delTunicitá”: le proposizioni aritmetiche non descrivono il mondo intorno a noi, ma non possono neppure concernere le Forme, in quanto ciascuna Forma é única nei suo generé»23. Pero nei dialoghi non d sarebbe nulla «che suggerisce che Platone abbia esplicitamente concepito e ammesso gli intermedi; Timpressione che riceviamo é, piuttosto, che Platone non abbia ancora riflettuto su quei punti, che dovevano condurlo a distin­ guere due tipi di numeri puri»24. Le conclusioni della Annas sono pertanto le seguenti; «Vediamo dunque che Aristotele assume che gli intermedi síano introdotti come soluzione al “problema delTunicitá”, mentre nei dialoghi questa linea di pensiero non viene alia luce. Puó darsi che Aristotele “razionalizzi” Platone, attribuendogli un singolo argomento, che dia senso a tutte le sue affermazioni. Oppure puó darsi che, in qualche tempo, Platone abbia effettivamente formulato fra sé e sé il “problema delTunicitá”, ed abbia esplicitamente ammesso intermedi, in quanto risposta a tale problema»25. Per quanto, qui, questa secón da tesi venga presentata come possibile alternativa, é quella che, di fatto, la Annas abbraccia. Ma riletti nelTottica di un paradigma ermeneutico alternativo a quello tradizionale, dawero i dialoghi non alludono in modo inconfondibile agli intermedi? Fermiamoci alia sola Repubblica. La Annas riconosce che ín alcuni punti26, nella distinzione che vi viene fatta dei diversi livelli delTattivitá intellettuale si puó leggere una distinzione fra intermedi e intelligibili, ma rileva che «il testo non ci impone di interpretarlo cosí»27. Invece, a mió awiso, il testo della Repubblica impone prop rio di interpretarlo in tal senso, se letto mettendosi nelTottica in cui Platone

23 24 25 26 27

Infra, p, 53. Infra, p. 54. Ibid. In particolare Repubblica, 509 D - 511 A. Infra, p. 54.

INTRODÜZIONE

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componeva i suoi scritti, con la sistemática economia dottrinale e le allusioni a chi per altra via era a conoscenza dei fondamenti delle cose di cui trattava. Poco dopo íl passo menzionato da Annas, Platone scrive addirittura: «E mi pare che la condizione propria dei geometri e quella di coloro che son simili ai geometri tu la chiami dianoia come fosse un alcunché di intermedio fra l’opinione e Pintelligenza»28. Dove addirittura usa il termine sia pure riferito alie facoltà conos citive e non al loro oggetto. Ma Platone precisa senza equivoci: «i rapporti coi loro oggetti e la divisione delle due sezioni dell’opinabiie e delTintelligibile lasciamoli stare, o Glaucone, al fine di non prenderei carico di ragionamenti molte volte maggiori di quelli già fatti...»29. Dove quell’operazione di economia dottrinale di cui sopra dicevo è addirittura tematizzata. Ma c’è ancora di píu. Nel mito della Caverna gli «intermedi» sono simboleggiati in modo perfetto; e, se non si ammettessero, il gioco delle immagini del mito rimarrebbe inspiegato proprio in un punto chiave. Ricordiamo che le ombre della caverna simboleggiano le mere parvenze delle cose sensíbili; le statue degli artefatti, che Tuomo che si è liberato dalle catene della caverna ed è uscito da essa vede per prime, simboleg­ giano tutte le cose sensibili; il muro che si eleva subito alTuscita della caverna rappresenta lo spartiaeque che divide le realtà sensibili da quelle soprasensibíli. Al di la del muro, le cose vere e gli astri simboleg­ giano le vere realtà intelligibili (le Idee) e il Sole simboleggia il Bene. Ma, non appena varcato il muro, il prigioniero che si è liberato non vede subito le realtà intelligibili, ma immagini e ombre proprio delle vere realtà. Si noti chele ombre dirette e le immagini riflesse nelTacqua, fuori della caverna e al di la del muro, sono appunto ombre e immagini delle vere realtà prodotte dalla luce del Sole, e, quindi, sono completamente differenti dalle ombre che i prigionieri vedono nella caverna, che sono ombre-lo si ricordi bene-prodotte dalle statue e dagli oggetti artificial! e dalla luce del fuoco30, E siamo cosí giunti al punto chiave: queste immagini al di lá del muro prodotte da quelle cose che rappresentano le realtà ideali, stanno ve­ ramente “a mezzo"fra le Idee e le cose che le riproducono sensibilmente, e pertanto esprimono a perfezione proprio gli «enti intermedi», che sono appunto ontologicamente intermedi.

28 Repubblica, 511 D 2-5. 29 Ibid., 534 A 5-8. 30 Si legga attentamente soprattutto Repubblica, 516 A.

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4. La questione della identificazione delle Idee con i numeri. Un secondo punto cruciale di M-N riguarda la critica alla riduzione operata da Platone delle Idee a Numeri. La posizione ehe assume la Annas è molto equilibrata, e, a mio giudizio, corretta, anche se forse molto sfumata. Platone non ha certamente identificato le Idee con i numeri, come talvolta Aristotele vorrebbe far credere. E su questo punto Annas dà ragione a Cherniss: «Ha dunque un valore considerevole Taffermazione di Cherniss, secondo la quale l’identificazione delle Forme con i numeri non fu mai una teoria di Platone, ma è semplicemente la conclusione della polemica di Aristotele»31. Tuttavia, subito la Annas delimita la portata delle conclusioni di Cherniss, affermando che «Di sicuro, in quello ehe Platone ha effettivamente detto, dev’esserci stato qualcosa che diede un fondamento a questi rilíevi di Aristotele»32. Inoltre, Annas non ha dubbi sul fatto che le Idee per Platone fossero fatte derivare dai Principi supremi delTUno e del Due. Ed espressamente scrive: «Secondo Cherniss, anche quest’ultima assunzione non è di Platone; ma, se cosl è, Aristotele sta semplicemente travisando Platone, e questo non sembra verosimile»33. Per quanto riguarda gli elementi effettivamente presenti nei testi platonici, Annas riconosce nel Pilebo un testo base, che riassume in questo modo: «Fra l’unit à e la differenziazione illimitata, è il numero che impone il limite e produce intelligibilità e possibilita di conoscere. Quindi c’è un senso in cui la conoscenza di una Forma implica la conoscenza dei numero, ossia del numero delle Forme nelle qualî essa puô essere realizzata con chiarezza; e questo è cio ehe sostituisce l’inutile informazione, secondo cui la Forma è una (essendo unità) e illimitatamente moite (mostrandosi in un’illimitata moltepÜcità di individui). Pertanto il Filebo afferma in maniera sufficientemente netta (anche se - bisogna ammetterlo - non molto chiara e precisa) che una Forma non è solo una, ma anche molteplice, e non semplicemente un molteplice indistinto, ma un numero definito»34. Certamente Aristotele ha giocato in modo vario, per ragioni polemiche, nelTassimilare Forme e Numeri. Platone è, su questo punto, molto più cauto e la riduzione delle Forme a Numeri è solo analógica e quindi approssimativa, e comunque ben più sfumata. Su questo punto sono perfettamente d’accordo con Annas e riman31 32 33 34

Infra, p. 107. Infra, p. 108. Ibid. Infra, pp. 110-111.

introduzione

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do al mio volume Per una nuova interpretazione di Píatone per una serie di rilievi che mostrano il modo in cui Platone portava a livello metafísico concezioni tipiche delTarte greca che riduceva le Forme a canoni numerici35. 5. II problema delVastraxione in Aristotele. I libri M-N sono i piu polemici in assoluto. Forse Aristotele non ha scritto altre opere cosí polemiche, con una strategia che mira, dal principio alla fíne, alia sistemática reductio ad absurdum delle tesi di Platone e dei Platonici sui Principi primi, sulle Idee, sui Numeri ideali e sugli oggetti matematici. Quello che stupisce non poco è che Aristotele non si esprima su ció che, in positivo, bisognerebbe dire su questa problemática. Annas rileva, giustamente, che, con il tipo di confutazione condotta in M-N, e con gli argomenti puntuali addotti, risultano elimínate in toto le concezioni degli Accademici, e che, perianto, non occorre presentare neí confronti di queste nessuna alternativa. lo riterrei che a questo vada anche aggiunto il fatto che M-N vengono subito dopo il libro A, che contiene in positivo le idee alter­ native sui Principio primo e sulla struttura del reale, che si differenziano in toto rispetto a quelle degli Accademici, e che i libri M-N appunto elíminano (ancora una volta mi convinco delTidea, da me giá sostenuta, che M-N si trovíno nel posto migliore nell’ambito della silloge della Metafísica di Aristotele: solo dopo aver letto i dodici libri che precedono, si possono capire e gustare). Annas, inoltre, molto bene rileva che almeno ín un punto Aristotele presenta le sue idee personali, Ín alternativa a quelle dei Platonici, precisamente in M 3, sullo status degli enti matematici. E anche questo, a mió awiso, si spiega col fatto che nei precedenti libri della Metafísica Aristotele non si esprime su questo punto se non ín modo allusivo e parziale. A proposito di M 336Annas presenta una sua interpretazione molto originale, che ha ripreso in maniera piu precisa ed efficace in un successivo articolo, qui riprodotto come Appendice al Saggio introduttivcr’1 La tesi della Annas puó riassumersi come segue. Aristotele non ha

35 Si vedano, in particolare, pp. 214-227 e specialmente 266-312 della decima edizione. 36 Cfr. Infra, pp. 61-77; 167-173. 37 Cfr. Infra, pp. 131-148.

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una teoria delTastrazione come la si concepisce oggi, e in particolare corne la si è intesa soprattutto a partiré dagli empiristi anglosassoni. Muovendosi in quest’ottica, si è ritenuto erroneamente quanto segue. Aristotele deve respingere la concezione platónica che gli enti matematici abbiano un loro preciso status ontologico, una sussistenza in sé e per sé come enti intermedi. Peraltro, Aristotele, dal canto suo, non può negare che gli enti matematici in un qualche modo esistano. Ma in che modo esístono? Essi esistono solamente nel pensiero astraente del matematico (sono meri entia mentis). In realtà, cosï non è. L ’astrazione di cui parla Aristotele è mera eliminazione o sottrazione di alcuni elementi da altri elementí, aventi una precisa sussistenza. Questotipo di astrazioneimplica, pertanto, che gli oggetti che si ottengono per sottrazione mediante il nostro pensiero, abbiano una loro esistenza e ci siano già dati nell'esperienza sensibile, Quindi il procedimento astrattivo nella matematica non implica affatto, per Aristotele, Tinclusione nel sensibile di qualcosa che si trovi al di là del sensibile, e neppure implica una creazione noetica di natura aprioristica. Tale pensiero astrattivo è una pura forma di sottrazione, come si diceva, che parte da qualcosa che è già dato dalTesperienza. Insomma: gli enti matematici non dipendono, nella loro esistenza, dal fatto che qualcuno pensi ad essi, ma dalla realtà sensibile stessa cui ineriscono. Mentre l’opinione platônica è che gli enti matematici esistano indipendentemente dal mondo delTesperienza sensoriale, l’opinione aristotélica è che essi esistono, invece, in modo dipendente. Non sono sostanze, ma hanno un modo di essere appunto dipendente, in quanto sono caratteristiche delle sostanze, che vengono isolate e quindi studiate di per sé. La matematica, insomma, procederebbe nello stesso modo in cui procedono le altre scienze, che isolano certe propriété, separándole da quelle che per l’oggetto della scienza specifica non hanno rilevanza. II matematico procede alio stesso modo in cui procede il físico o il medico. Scrive Annas: «Ben lungi dall’essere astrazionismo, questa è, piuttosto, una forma ingenua di realismo. II matematico considera un oggetto che si trova nel mondo - ad esempio un uomo come me - e lo considera come qualcosa di esteso o di indivisibile, ecc. Quindi egli prescinde dalle mie proprietá che si possono coglíere attraverso i sensi, per studiare piu da vicino le mie proprietá geometriche e aritmetiche. Con ció non si afferma assolutamente che queste proprietá in realtà non esistono, né che esse non mi appartengono realmente, e neppure che esse sono in qualche maniera subordinate alle proprietá che si possono cogliere attraverso i sensi. E ancor piú, questo non implica che queste proprietá diventino per me realtà, se mai, solo in un seçondo tempo,

INTRODUZIONE

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qualora il matematico se ne occupi»38. In breve: le realtà matematiche sono immanenti al mondo físico nelio stesso modo in cui lo sono tutte le altre proprietà di esso. Le conclusioni che Annas trae sono perianto le seguenti: quello che nella filosofia delia matematica di Aristotele oggi disturba non è la sua ontologia, ma, semmai, un certo suo empirismo. Infatti «Oggi cí sembra insufficiente una teoria, secondo la quale le proprietà matematiche appartengono, senza mediazione, alie sostanze del nostro tridimensionale mondo delia vita. Ai nostri occhi Platone giunge piü vicino alia verità, non solo quando determina il pensiero matematico indipendentemente dalla nostra comprensione fondata sulTesperienza sensibile, ma anche quando lo rende capace di correggere quest’ultíma»39. 6. Riflessioni e notazioni conclusive. Ci sarebbero ancora molte questioni che potrebbero essere trattate con profitto, ma per questa Introâuzione bastano 1punti chiave che ho richiamato, e posso quindí venire alie conclusioni. Dicevo sopra che questo libro è molto vivo e stimolante, perché Annas ha una adesione simpatetica alia problemática trattata da Aristotele in M-N, e ricordavo autori come Russell, Frege, Whitehead, che sono alcuni suoi punti dí riferimento. Ebbene, questa medaglia ha, owiamente, un suo roves cio. Annas, nelTottica delia filosofia delia matematica di timbro analítico, prospetta una visione della problemática di M-N in modo fatalmente riduttivo. Lascia del tutto in ombra lo spessore e la portata metafísica di questa problemática. Ma, questo, non è certo un dífetto delTautrice, bensi una conseguenza del paradigma ermeneutico secondo cui è condotta la sua rícerca. Rícordo che M-N si trovano appunto nella Metafísica e tutta quanta la discussione che in essi viene fatta ha proprio lo scopo di concludere la discussione delia questione se esistano o no altre sostanze oltre a quelle sensibili. Proprio alTinizío del libro M Aristotele scrive: «Quale sia la sostanza delle cose sensibili, è già stato danoi detto: in primo luogo nel trattato dí Física, parlando della materia e, successivamente, par­ lando della sostanza intesa come atto. Ora, poiché la nostra rícerca riguarda il problema se oltre le sostanze sensibili esista o no una sostanza immobile ed eterna, e, nell’ipotesi che esista, quale ne sia la natura,

?8 Infra, p. 146. 39 Infra, p. 148.

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dobbiamo innanzitutto esaminare ció che gli altri filosofi hatino detto in mérito»40. E, se si colloca la discussione sugli oggetti matematici e sui numeri in questa ottica, il raggio della discussione va nettamente al di la della sfera della matematica e il gioco dialettico dei contrappunti metafisici si amplifica alquanto, mentre, collocandola nelTottica di una forma contemporánea di filosofía della matematica, non si evita una esegesi strutturalmente riduttiva. Faccio solo un esempio per illustrare quanto sto dicendo. Annas delimita l’interpretazione dei Principi primi supremi dell’Uno e della Diade in modo drástico, riducendo la loro area semantica quasi al limite. In particolare scrive: «Uso l’espressione “due infinito”, e non quella tradizionale “diade indefinita”, poiché la parola da tradurre, 8uds* é la parola greca ordinaria per indicare il "due” e non suggerisce niente di cosi grandioso come “diade”. UsoTespressíone “uno” anziché quella tradizionale, cioé ‘Tuno”, poiché nella nostra lingua “Fuño” é di nuovo piü carico di pretese che non il greco 'év, che viene regolarmente usato per indicare “uno” o “unitá”»41. Ma, se questo potrebbe avere qualche corrispondenza in certi Accademici, non corrisponde certamente al pensiero di Platone (e a certi approcci di Aristotele), in cui quella grandiositá e quelle pretese cui fa cenno Annas ci sono veramente. Rimando alie documentazioni che in mérito fornisco nelle ultime mié opere42. Ma devo anche riconos cere, prop rio mentre indico i limiti strutturali del paradigma ermeneutico della filosofía deña matematica di timbro analítico, la feconditá che esso ha nelTinvito alia rilettura di M-N per il filosofo d’oggi. Questo tipo di approccio di Annas é perfino piü stimolante, ai nostri giorni, rispetto al tipo di approccio grandioso di Merlán, di cui ho sopra detto. Quello di Merlán, a molti, puó parere un po’ obsoleto, mentre quello di Annas é assai piü vicino alia sensibilitá delTuomo di oggi. II titolo originale del libro é stato modificato con l’assenso dell’autrice. Inoltre, sono stati apportati alcuni arricchimenti nei titoli dei paragrafi e nelle loro articolazioni, sempre in accordo con l’autrice. ComzAppendice al Saggio introduttivo é stato anche tradotto un bel saggio sintético posteriore di Annas, di cui ho giá detto43.

40 Infra, p. 273. 41 Infra, p. 78, nota 1. 42 In particolare cfr. Per una nuova interpretázione..., parte terza, passitn, e Ruólo delle dottrine non scritte..., passim. 43 Cfr. supra, nota 37.

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INTRODUZIONE

Nella seconda parte del libro Annas collocava la sua traduzione di M'N. Evidentemente, ha assai poco senso tradurre la traduzione di una traduzione. H o perciö utilizzato la mia traduzione, chiedendo ad Annas di apportarvi tutte quelle modifiche che occorressero, perché la tradu­ zione potesse essere in sintonía con la sua esegesi e con differenti lezioni del testo da leí accolte, e Annas ha proceduto con cura all’operazione44. Tuttavia, soprattutto per poter leggere con il maggior profitto il commentario, mi é sembrato opportuno aggiungere anche il testo greco, in modo da offrire al lettore un perfetto strumento di lavoro. Ho, inoltre, spostato tutto il testo aristotélico nella terza parte, anticipando nella seconda il commentario, in modo che la voce delTautríce fosse ben distinta dal testo aristotélico e dalla mía traduzione45. L/autrice ha esaminato anche la traduzione di tutto il suo libro fatta da Elisabetta Cattanei46 e Tha approvata, giudicandola in modo molto favorevole. Da tutto quanto ho sopra precisato, il lettore si sará reso conto che questo libro (che, come ho detto, é il primo lavoro ermeneutico fatto in modo eccellente su M-N a livello non semplícemente filologico ma filosofico) si impone oggi come un punto di riferimento irrinunciabile per chiunque si occupi di questa problemática e voglia scoprire come essa venisse trattata in Platone e Aristotele. Giovanni Reale

44 In particolare, ha sostituíto la traduzione del termine Idea con Forma, ha apportato alcune altre modifiche terminologiche, ha operato alcuni ritocchi tectiici e modifiche di qualche frase, in modo da ottenere il piü possibiíe una coerenza con il suo commentario. 45 II testo greco riportato é quello di Jaeger, con l’inserzione di alcuni ritocchi che Annas stessa propone, per cui vedasi infra, Parte Seconda, Appendice seconda. 46 Elisabetta Cattanei ha studiato a fondo i libri M e N ¿e^&Metafiüca per preparare una dissertazione del Dottorato diRicerca in filosofía; inoltre ha giá pubblicato tre saggi dedicati a questi libri: Per tíña rilettura del libri «M» e «N» della «Metafísica» di Aristotele alia luce delle «Dottrine non scritte» di Platone e dei loro sviluppi nelpensiero dell’Accademia antica, «Rivista di Filosofía Neoscolastica», 81 (1989), pp. 543-558; I metodi della metafísica platonico-accademica «generaliztante» e «elementarizzante» nei libri «M » e «N » della «Metafísica» di Aristotele, ivi, 82 (1990), pp. 183-213; Un'ipotesi sul concetto aristotélico di astrazione. La sostituzione da parte di Aristotele, in «Met. MN», deimetodidella metafísica platonico-accademica «generaliztante» e «elementarizzante» r n n l ’/irtr/jrinnp 11n i n e r m l i v t / i t itrí t i n

S 7S .S R A

Bibliografia sistematica e completa di Julia Annas (aggiornata alTinizio del 1992)

A. Libri 1. Aristotle’s Metaphysics M and N, translated with Introductory Essay and Commentary, Oxford 1976 («Clarendon Aristotle Series»); ristampato nel 1987 (e il libro che presentiamo qui tradotto). 2. An Introduction to Plato's Republic; Oxford University Press 1981; 1984 (seconda edizione) (di quest’opera e in corso la traduzione francese, per Les Presses Universitaires, Paris). 3. In collaborazione con J. Barnes: The Modes ofScepticism, Cambridge University Press 1985 (quest’opera e stata tradotta in giapponese). 4. Hellenistic Philosophy of Mind, University of California Press, Berkeley/Los Angeles/London 1992. B. Capitoli in libri scritti da gruppi di autori 5. Philosophy: Fifth Century, Plato, Aristotle. Capitolo9 di: AA.W .,The Oxford History o f the Ancient World, Oxford 1986. 6. Platon. Capitolo 4 di: AA.W .,H andbuch der Politischen Ideen, Band I, a cura di I. Fetscher, München 1986 (in lingua tedesca). C. Voci in dizionari ed enciclopedie 7. Voce: Aristotle’s Philosophy of Mind, in: Blackwells Encyclopedic Dictionary o f Psychology, Oxford 1983. 8. Voci: Plato\ Socrates, in: D. Miller (curatore), A Dictionary o f Political Ideas, Blackwells, Oxford 1986.

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9. Vod: Ethics and Morality; Final Good; Scepticism in Ancient Ethics, in: The Encyclopedia o f Ethics, a cura di L. Becker, Garland 1991. D. Saggi pubblicati su miscellanee 10. Truth and Knowledge, in: AA.W ., Doubt andDogmatism. Studies in Hellenistic Epistemology, a cura di M. Schofield, M. Bumyeat e J. Barnes, Clarendon Press, Oxford 1980, pp. 84-104. 11. Aristotle on Pleasure and Goodness, in: AA.W ., Essays onAristotle’s Ethics, a cura di A. Rorty, University of California Press, Berkeley/ Los Angeles/London 1981, pp. 285-299. 12. Plato on the Triviality of Literature, in: AA.W ., Plato on Beauty, Wisdom and the Arts, a cura di J. Moravcsik e P. Temko, Rowman and Littlefield, Totowa (New Jersey) 1982, pp. 1-28. 13. Knowledge and Language: the Theaetetusandthe Cratylus, in: AA.W., Language andLogos. Studies in ancient Greek Philosophy presented to G.E.L. Owen, a cura di M. Nussbaum eM. Schofield, Cambridge University Press, Cambridge 1982, pp. 95-114. 14. Doing without Objective Values: Ancient and Modern Responses to Ethical Scepticism, in: AA. W ., The Norms of Nature. Studies in Hellenistic Ethics, a cura di M. Schofield e G. Striker, Cambridge University Press, Cambridge 1985, pp. 3-30. 15. Plato on Self-Knowledge, in: AA. W ., Platonic Investigations, a cura di D.J. O’Meara, The Catholic University of America Press, Washington D.C. 1985, pp. 111-138. 16. Die Gegenstände der Mathematik bei Aristoteles, in: AA.W ., Mathematics and Metaphysics in Aristotle. Mathematik und Metaphysik beiAristoteles. Akten des X. Symposium Aristotelicum, Sigriswil, 6.-12. September 1984, a cura di A. Graeser, Bern-Stuttgart 1986, pp. 131-147 (in lingua tedesca; e il saggio qui tradotto come Appendice alla Prima parte del libro). 17 .Aristotle on Memory and the Seif in: AA.W ., A Festschriftfor John Ackrill, a cura di M. Woods, «Oxford Studies in Ancient Philosophy», 4 (1986), pp. 99-118. 18. Plato, Republic V-VII, in: AA. W ., Ancient and Modern: Royal Institute of Philosophy Lecture Series, a cura di G. Vesey, Cambridge University Press, Cambridge 1986 (libro di testo per il livello A del corso di filosofia impartito nelle scuole), pp. 3-18.

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19. Stoic Epistemology; in: AA.W., Epistemology. Companions to Ancient Thought: 1, a cura di S. Everson, Cambridge University Press, Cambridge 1989, pp. 184-203. 20. Cicero on Stoic Moral Philosophy and Private Property, in: AA.W., Philosophia Togata. Essays on Philosophy and Roman Society, a cura di J. Barnes e M. Griffin, Clarendon Press, Oxford 1989, pp. 151173. 21. Naturalism in Greek Ethics, in: AA. W ., Proceedings of the Boston Area Colloquium in Ancient Philosophy, a cura di J,J. Cleary e D.C. Shartin, vol. IV, 1988, Lanham, Mass., pp. 149-171. 22. Aristotle on Virtue and Happiness, in: AA. W ., Proceedings of the 1988 Dayton Aristotle Conference, «Dayton Revue», 19 (1988-89), pp. 7-22. 23. Self Love in Aristotle, in: AA. VY., Aristotle's Ethics. Proceedings of the 1988 Spindel Conference, a cura di T.D. Roche, «The Southern Journal of Philosophy», suppl. al vol. 27 (1988), pp. 1-18. 24. Epicurean Emotions, in: AA. W ., Proceedings of the Conference on Tradition and Innovation in Epicureanism, Duke University, April 1989, «Greek Roman and Byzantine Studies», 30 (1989), n. 2, pp. 145-164. 25. Epicurus’ Philosophy o f Mind, in: AA.W ., Psychology. Companions to Ancient Thought: 2, a cura di S. Everson, Cambridge University Press, Cambridge 1991, pp. 84-102. 26. Epicurus on Pleasure and Happiness, in: AA.W ., Philosophical Topics, a cura di L. Spellmann, «Ancient Greek Philosophy», 15 (1987), n. 2, pp. 5-21. 27. The Hellenistic Version ofAristotle’s Ethics, in: A A . W Hellenistic Ethics, a cura di J. Cooper, «TheMonist», 73 (1990), n. 1, pp. 80-96. E. Articoli pubblicati su riviste 28. Individual in Aristotle’s Categories: Two Queries, «Phronesis», 19 (1974), pp. 146-152. 29. Forms and First Principles, ibid., pp. 257-283. 30. Aristotle, Number and Time, «The Philosophical Quarterly», 25 (1975), pp. 97-113.

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31. On the "Intermediates'v, «Archiv für Geschichte der Philosophic», 57 (1975), pp. 146-166. 32. Davidson andAnscombe on ((the same action”, «Mind», 85 (1976), pp. 251-257. 33. Plato’s Republic and Feminism, «Philosophy», 51 (1976), pp. 307321. 34. Mill and the Subjection of Women, «Philosophy», 52 (1977), pp. 179-194. 35. Abortion and Hare’s Moral Philosophy, «Open Mind» (The Philosophy Journal of the Open University), 1977, n. 4, pp. 20-26. 36. Aristotle on Substance, Accident and Plato’s Forms, «Phronesis», 22 (1977), pp. 146-160. 37. Plato and Aristotle on Friendship and Altruism, «Mind», 86 (1977), pp. 532-554. 38. Action and Character in Dostoevsky’s “Notesfrom the Underground”, «Philosophy and Literature», 1 (1977), pp. 257-275. 39. Plato and Common Morality, «The Classical Quarterly», 28 (1978), pp. 437-451. 40. How Basic are Basic Actions?, «Proceedings of the Aristotelian Society», 78 (1977-78), pp. 195-213. 41. Aristotle on Inefficient Causes, «The Philosophical Quarterly», 32 (1982), pp. 311-326. 42. Plato’s Myths of Judgement, «Phronesis», 27 (1982), pp. 11^-143. 43. Personal Love and Kantian Ethics in Effi Briest, «Philosophy and Literature», 8 (1984), pp. 15-31. F. Recensioni in forma di discussione 44. An Encounter with Aristotle. Recensione-discussione di: W.C.F. Guthrie, Aristotle: an Encounter, vol. 6 di: A History of Greek Philosophy (1981), in: «Phronesis», 27 (1982), pp. 82-89. 45. Utilitarism and Double Standards. Recensione-discussione di: R.M. Hare, Moral Thinking (1981), in: «Oxford Review of Education», .8 (1982), pp. 199-210.

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46. The Heirs of Socrates. Recensione-discussione di: A.M. Ioppolo, Opinione e Scienza: il Dibattito tra Stoici e Accademici net III e nelII Secolo a.c. (1986), in: «Phronesis», 33 (1988), pp. 100-112. 47. MacIntyre on Traditions. Recensione-discussione di: A, MacIntyre, Whosejustice? Which Rationality? (1988), in: «Philosophy and Public Affairs», 18 (1989), pp. 388-404. G. Recensioni 48. Recensionea: S. Clark, Aristotle’s Man (1975), in: «Mind», 86 (1977), pp. 281-283. 49. Recensionea: D. Russeli, The Tamarisk Tree (1975), in: «SpareRib», 62 (settembre 1977), pp. 41-42. 50. Recensione a: D. Evans, Aristotle's Concept of Dialectic (1977), in: «The Philosophical Quarterly», 28 (1978), pp. 74-75. 51. Recensione a: E. Hartman, Substance, Body andSoul(1978), in: «The Classical Review», 29 (1979), pp. 252-253. 52. Recensione a: J,J. Thomson, ActsandOtherEvents (1977), in: «Mind», 89 (1980), pp. 139-143. 53. Recensione a: G.E.R. Lloyd e G.E.L. Owen (curatori), Aristotle on Mind and the Senses (1978), in: «Isis», 70 (1979), p. 463. 54. Recensione a: M.C. Nussbaum, Aristotle’s De Motu Animalium (1978), ibid., pp. 610-611. 55. Recensione a: J. Lear, Aristotle and Logical Theory (1980), in: «Times Literary Supplement», 1980. 56.Recensione a: I. Berlin, Russian Thinkers (1978), in: «The Philosophical Quarterly», 30 (1980), pp. 357-359. 57.

Recensione a: P. Singer, Practical Ethics (1979), ibid., pp. 180-182.

58. Recensione a: S.M. Okin, 'Woman in Western Political Thought (1979), in: «Philosophy», 55 (1980), pp. 564-565. 59. Recensione a: T. Irwin, Plato’s Gorgias{l919),\n.\ «Mind», 91 (1982), pp. 125-128. 60. Recensione a: E. Telfer, Happiness (1980), ibid., pp. 287-288. 61. Recensione a: A.C. Lloyd, Form and Universal in Aristotle (1981), in: «Philosophical Books», 23 (1982), pp. 151-152.

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62. Recensione a: D. Hellweg, Adikia in Platons Politeia (1980), in: «The Classical Review», 32 (1982), pp. 41-42. 63. Recensione a: K.F. Moors, Glaucon and Adeimantus on justice (1981), ibid., pp. 283-284. 64. Recensione a: N. White, A Companion to Plato’s Republic (1979), in: «Journal of Hellenic Studies», 101 (1981), p. 154. 65. Recensione a: M.M. Mackenzie, Plato on Punishment (1981), in: «Philosophy», 57 (1982), pp. 416-418. 66. Recensione a: M. Midgley, Heart and Mind. The Varieties of Moral Experience (1981), in: «Modern Churchman», 25 (1982), p. 57. 67. Recensione a: L. Versenyi, Holiness andJustice. An Interpretation of Plato’s Euthyphro (1982), in: «The Classical Review», 33 (1983), pp. 56-58. 68. Recensione a: E. Batchelor (curatore), Abortion, the moral issues (1982), in: «Modern Churchman», 26 (1984), p. 55. 69. Recensione a: Philip Griffiths (curatore), Philosophy and Literature (1984), e W. Cain (curatore), PhilosophicalApproaches to Literature (1984), in: «Times Literary Supplement», 1985. 70. Recensione a: C. Rowe, Plato (1984), in: «The Classical Review», 35 (1985), pp. 400-401. 71. Recensione a: K. Gaiser, Platone comescrittorefilosofico (1984), ibid., pp. 401-402. 72. Recensione a: M. Slote, Consequentialism and Common-Sense Morality (1985), in: «Times Literary Supplement», 1986. 73. Recensione a: G.E.L. Owen, Logic, Science and Dialectic (1986), in: «Ethics», 1987, p. 818. 74. Recensione a: I.F. Stone, The Trial of Socrates (1988), in: «New York Times Book Review», gennaio 1988. 75. Recensione a: M. Stokes, Plato’s Socratic Conversations (1986), in: «The Classical Review», 38 (1988), pp. 82-84. 76. Recensione a: T. Pangle (curatore), The Roofs o f Political Philosophy: Ten ForgottenSocraticDialogues (1987), in: «Polis», 1988, pp. 40-47. 77. Recensione a: J. Lear, Aristotle: the Desire to Understand (1988), e J. Urmson, Aristotle’sEthics (1988), in: «Times Literary Supplement», 1988.

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78. Recensione a: A. Danto, Connections to the World(1989), in: «New York Times Book Review», maggio 1989. 79. Recensione a: C.D.C. Reeve, Philosopher-Kings (1988), in: «Times Literary Supplement», 1989. 80. Recensione a: T. Irwin, Classical Thought (1989), in: «Philosophical Review», (in corso di stampa). 81. Recensione a: G. Vlastos, Socrates (1991), in: «New York Times Book Review», giugno 1991. H. In corso di stampa 82. Women and the Quality ofLife: two norms or one? Apparirà in: AA. W ., Proceedings of the WIDER (World Institute for Development Economics Research), Conference on the Quality of Life, 1988. 83. Reply to Christopher Gill and Fernanda Decleva Caizxi. Apparirà in: AA. VV., Images and Ideology in the Hellenistic Period, University of California Press. 84. Epicurus on Agency. Contributo al Quinto “Symposium Hellenisticum” Internazionale (Philosophy of Mind). 85. Plato the Sceptic, in: «Oxford Studies in Ancient Philosophy», numero speciale per il 1992. 86. Una versione riveduta del trattato di Aristotele Sulla Memoria, al1’intemo di una raccolta di scritti, curata da A. Rorty, sulla filosofia della mente in Aristotele. 87. Una versione riveduta del saggio: Doing without Objective Values (cfr. n. 17), in: S. Everson (curatore), Ethics. Companions to Ancient Thought: 4. I. In corso di elaborazione 88. Un libro sull’etica greca (la penúltima versione é completa), per la «Oxford University Press», intitolato: The Morality of Happiness. 89. Una traduzione, con commentario, della sezione di Ario Didimo sull’etica stoica in Stobeo, Eclogae II, per la «Clarendon Library of Later Greek Philosophy».

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90. II completamente, insieme a J. Barnes (Balliol College, Oxford), di una traduzione degli Schizzi Pirroniani di Sesto Empírico, per la «Cambridge University Press» (oltre una meta della traduzione é gia completata). 91. Un saggio per un volume in onore di G. Patzig, curato da M. Frede e G. Striker. 92. Un saggio su: Ancient Ethics e Modem Morality, per: «Philosophical Perspectives», 5 (1992). 93. Un saggio su: Virtue as a Skill, per l’Universitä del Nevada, in occasione di una conferenza sulTetica greca e il mondo moderno, che si terra a Reno nell’ottobre 1992.

PARTE PRIMA

Saggio introduttivo ai libri M-N della «Metafísica» di Aristotele

Prefazione

I libri M e N della Metafísica hanno avuto una cattiva stampa. Imbarazzano gli studiosi di Platone, perché le idee di Platone che discutono sembrano strane e sono diverse da tutte quelle presenti nei dialoghi. Ed imbarazzano gli studiosi di Aristotele, perché argomentano in maniera tanto minuziosa su temi che apparentemente confondono. Questimotivi di malcontento sitrovano spesso combinati nella lamentela che i libri sono tediosi e scolastici. L ’unico modo per dimostrare che qualcosa non é noioso é suscitare interesse nei suoi confronti. Questo é lo scopo del presente lavoro. lo credo che M-N non siano affatto cosi difficili e misteriosi come si usa pensare, e che non siano una cavillosa discussione di oscuri nonsensi, bensi un’acuta trattazione di problemi filosóficamente vivi. M-N criticano Platone el*Accademia, epresentanoopinioniproprie di Aristotele, su temi che noi, oggi, dovremmo definire come una parte deña filosofía deüa matematica e deña lógica. Vi troviamo discusse teorie come queüa secondo la quale i numeri sono entitá “separate”, “non-sensibili”, e come queüa secondo la quale i numeri hanno “elementi” o “principi”, che sono piü ultimativi rispetto ai numeri, e che in qualche modo li spiegano. Chiaramente queste idee hanno una certa affínitá con le moderne questioni suña natura e suño status deglí enti matematici. I numeri esistono? Se esistono, che tipo di enti sono? Possono i termini-numero essere analizzati in puri termini logici, e in definizioni, e, se lo possono, in che senso questa é una “riduzione” del numero a qualcosa dí piü ultimativo? Da M-N possíamo vedere che Platone ed Aristotele erano interessati a questo genere di questioni, sia per se stesSe, sia in quanto dótate di un rapporto con la teoria deñe Forme. Dal momento che in M-N i problemi sono spesso analoghi a queñi moderni, accade talvolta che il testo diventi filosóficamente rüevante solo quando ci accostiamo ad Aristotele con un orientamento derivato da problemi moderni. In alcuni casi possiamo dire che Platone e Aristotele si dibattevano col nostro stesso problema, anche se noi lo formuleremmo in maniera molto diversa. Occorre pero ricordare che queste somiglianze sussistono ad un

Capitolo primo

La filosofia delia matematica di Platone

I. II numero 1 1 .1 dialoghi Dai dialoghi risulta chiaro, anche se nessuno dei loro passi lo afferma in modo esplicito, che Platone è un “platonista” nel senso in cui questo termine viene correntemente usato nella filosofia delia matematica (per evitare confusioni userò “platonismo” per indicare questa posizione, e “Platonismo” per indicare le effettive opinioni di Platone e dei suoi seguaci). Nella moderna filosofia delia matematica, per “platonismo” si intende comunemente un tipo di realismo, che consiste nella convinzione che gli oggetti matematici, come ad esempio i numeri, letteralmente esistano, indipendenti da noi e dal pensiero che ne abbiamo2.1 numeri non esistono, owiamente, nel mondo intomo a noi; non esistono nel tempo e nello spazio. Ma cionondimeno esistono; devono essere scoperti prima che noi pensiamo ai mezzi per descriverli. Russell, in un saggio giovanile dei 1901, dice: «L ’aritmética deve essere scoperta próprio nello stesso senso in cui Colombo scoprl gli Indiani deli’Oves t, e noi non creiamo i numeri, non piú di quanto egli abbia creato gli Indiani. . . » s. 1Trattando del numero pet primo, e in modo piu completo rispetto alia geometria, io inverto rotdine di importanza che usualmente si segue nelTaffrontare questi argomenti. La giustificazione (o la non giustificazione) di cid puo essere soltanto la plausibility (o la non plausibilita) della mia esposizione considerata per intero. 2 Cfr, W.V.O. Quine, From a Logical Point o f View, Harvard 1953, spec, capitolo I: On What there Is, pp. 18-19. Frege e il piu lucido ed energico difensore del moderno platonismo. Cfr. inoltre le opere del primo Russell, e P. Bernays, On Platonism in Mathematics, in: P. Benacerraf - H. Putnam (curatori), Philosophy of Mathematics, Oxford 1964, pp. 274-286. 3B. Russell, Is Position in Space and Time Absolute or Relative?, «Mind», 10 (1901), pp. 293-317, p. 312.

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II moderno platonismo matemático si delinea generalmente come una teoría sulla veritá delle proposizioni matematiche. Platone, invece, si interessa molto di piü allesistenza degli oggetti matematici. Ci sono due ordini di ragioni per spiegare questo fatto. In primo luogo, bisogna considerare la concezione un poco ingenua dell’oggetto di studio della matematica, che Platone condivideva con i suoi contemporanei. Come rileva Lasserre: «La matematica é stata ritenuta la scienza delle relazioni fra certe entitá, le cosiddette “emita matematiche”»4; Lasserre chiama questa concezione una «concezione ereditata dalTantíchita», e inoltre dice: «Mentre Taritmetica moderna ha sviluppato soprattutto l’arte del calcolo_gli aritmetici antichi si propongono di “conoscere i numeri”» 5. La seconda ragione per cui il platonismo appare in Platone come convinzione dell’esistenza di certe entitá sta nella sua tendenza, dalla quale non si é mai completamente liberato, ad assimílare tutta la conoscenza al modello della conoscenza diretta, cioé ad una relazione tra soggetto conoscente ed oggetto conosciuto. Nei dialoghi, Platone talvolta fa uso di espressioni che suggeriscono che noi conosciamo i numeri perché i numeri sono cose che giá esistono per essere conosciute (cír.Teeteto, 198 A-B; Alcibiade I, 126 C); in due passi, inoltre, egli pone un interessante contrasto. Da un lato, abbiamo la conoscenza dei numeri degli oggetti fisici, dei quali si parla propriamente come di numeri fisicí (questo mostra che la concezione dí numero che ha Platone non distingue in modo netto un numero da un gruppo numerato; e varrála pena di ricordare cío, quando toccheremo i piü ambiziosí sviluppi di tale concezione). Ma abbiamo anche la conoscenza di un diverso genere di numero, non dei numeri fisici, ma “dei numeri stessi”, afferrati dal solo pensiero “nelTintelletto”. Questi sono numeri concepití platonisticamente: sono separad dalle cose che contiamo, esistono e sono accessibili alia nostra ragíone (Kepubblica, 525 C-D;Teete¿o, 195 D-196B; Epinomide, 990 C 6 non é di Platone ma chiaramente deriva da lui, nel pensiero, e nelTespressione). L ’accentuazione, da parte di Platone, del fatto che questi numeri sono “nell’intelletto”, non richiede che i numeri siano creature del nostro pensiero, ma piuttosto 1’inverso. II punto messo in luce da Platone é come quello di Frege: «In aritmética n o i... ci riferiamo ad oggetti direttamente dati alia nostra ragione, e completamente trasparenti ad essa, come se fossero il suo piü stretto párente. E tuttavia, o

4F. Lasserre, The Birth ofMathematics in the Age of Plato, London 1964, pp. 12-13. 5 Ibid., p. 45. .

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piuttosto per tale ragione, questi oggetti non sono fantasie soggettive. Non c*é nulla di piü oggettivo delle leggi delTaritmetica» 6 . In Eutidemo, 290 B-C, si potrebbe dire che il platonismo venga alia superficie. Vi si afferma che «i geometri, gli astronomi e gli esperti in calcolo» differiscono dai filosofi nel modo in cui i cacciatori di quaglie differiscono dai cuochi: gli uni fanno dawero preda, oppure fanno scoperte, senza riferirsi solo a figure, ma non possono far buon uso di esse e le devono affídare agli altri. Poíché questo é quanto di piü esplicito Platone affermi, é possibile che Aristotele abbia in mente questo passo, quando discute il platonismo in M-N, 1077 b 30 ss. e 1078 a 28 ss. D’altro canto, nel proprio contesto, Posservazione di Platone é marginale, e non da sostanza al suo platonismo. Nei dialoghi, dunque, non c’é esplicita adesione ad una teoría platonistica del numero, pero da essi risulta evidente che per Platone era naturale concepire i numeri platonisticamente. In Sofista, 238 A 10-11, il Forestiero di Elea, nel corso di un argomento, dice: «Bene, assumiamo che il numero intero sia comunque fra le cose che esistono»; e questa affermazione provoca il commento: «Certo, se bisogna assumere che qualcosa esista». Ebbene, per Platone é assolutamente owio che i numeri esistono. Per di piü, se consideriamo la sua metafísica in generale, abbiamo ogni ragione di credere che egli non solo non avrebbe rifiutato, ma, al contrario, avrebbe ben accolto, un’esplicita formulazione della sua pronta disponibilitá ad accettare l’esistenza di oggetti astratti. Ulteriori aspetti dell’implícito platonismo di Platone vengono indi­ cará, ancorché in modo del tutto passeggero, nei dialoghi. Uno di questi aspetti consiste nella distinzione che egli traccia fra due maniere di studiare il numero, la ápi6|ir|Tiic^, e la XoylcttuctV Tradizionalmente, si ritiene che la distinzione tra ápi0p.r|TiKf| e XoyLCTTiKTi sia una distinzione fra lo studio teorico del numero (o aritmética) da una parte, e la pratica del calcolo dalTaltra. Questa interpretazione é molto diffusa, é communis opinio. Tuttavia, é sbaglíata, poiché Klein e de Strycker hanno dimostrato che l’opposizione tracciata da Platone non é quella fra lo studio dei puri numeri e, di contro, Tabilitá nel calcolo, bensi quella fra contare e calcolare. II termine XoyiCTTiK^ va senz’altro reso con “calcolare”;

6G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslavia 1884, traduzione inglese di J.L. Austin (con testo tedesco a fronte) '.The Foundations of Arithmetic, Oxford 1959, p. 115 e. [ La tradu2ione italiana dei testi di Frege cítati in questo libro è stata concordata con l’Autrice. Si distacca quindida quella a cura di C. Mangione, cheillettore italiano trova in: G. Frege, Logica e Aritmética, Boringhieri, Torino 1965 (n.d.t.).]

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ápi0|i'nTL«ni| puó significare “aritmética”, ma il termine greco é etimo­ lógicamente connesso alie parole “numero” e “contare” 7. Contare e calcolare non sembrano attivitá di genere diverso; in numerosi passi, Platone le fonde casualmente Tuna con Taltra8, e in un passo {Teeíeio, 204 B-C) assume naturalmente che si presuppongano a vicenda (egli non considera mai la possibilitá di contare gruppi di cose separatamente, senza essere in grado di calcolare, o di calcolare for­ malmente, senza essere in grado di contare). Pero, in tutti questi passi, Platone usa le nozioni di contare e di calcolare, e fa su di esse assunzioni naturali. Egli propone una distinzione interessante neiluoghi ove parla di esse, ossiain Gorgia, 451A-C; 453 E; e in Filebo, 56 D-57 A; 57 D-E. Nel passo del Gorgia, e XoyicmKT'i vengono distinte in virtü del propio oggetto di studio. L ’oggetto della prima é costituito «dal parí e dal dispari, nella quantítá ín cui ciascuno dei due si trova ad essere». La seconda non studia soltanto la quantitá in cui o il parí o il dispari si trovano ad essere, ma le relazioni delTuno con Taltro. Klein puntualizza che la distinzione qui posta é fra studiare i numerí, e studiare i numerí insieme alie loro possibili interrelazioni, e che questa distinzione non vale solo a livello pratico ma anche a livello teoretico (sul quale fu rípresa e sviluppata dai Neoplatonici) 9. La distinzione tra livello pratico e livello teoretico viene tracciata nel seguente passo del Filebo (56 D-E): «-Innanzi tutto, non bisogna dire che altra é Taritmetica dei piü, ed altra, invece, quella dei füosofi? -E con che mezzo, dunque, si puó distinguere un’aritmeüca dalTaltra? -Non é piccola distinzione, Protarco. Effettivamente, di quelli che si occupano del numero, gli uni contano in un certo qual modo unitá disuguali, come due eserciti, due buoi, due oggetti qualsiasi, Í piü piccoli oppure anche i piü grandi di tutti; gli altrí, invece, non li seguirebbero mai, a meno che non si supponga che nessuna delle innumerevoli unitá sia diversa da un’altra unitá. 7 Cfr. J. Klein, Die Griechische Logistik und die Entstehung der Algebra, «Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik», Abt. B, vol. III ( 1936), pp. 18-105,122-235, traduzione inglese di E. Brann: GreekMathematical Thought and the Origin ofAlgebra, Cambridge Mass. 1968, pp. 18-19; E. deStrycker, Trois Points Obscurs de Terminologie Mathématique chez Platon, «Revue des Études Greques», 63 (1950), pp. 43-57, spec. pp. 49-54. “ApiGp.os' equivale a “numero", e àpi0p.âv a “con­ tare” (ma ápi0|iT)TLKT^ puo significare “aritmética”, e ápi0fxr(TLKÓs* significa sempre “aritmético”, nel senso di “studioso di aritmética”). 8Ippia Minore, }66-568Jppia maggiore; 285 B-C; Protagora, 356 E-357 A; Eutifrone, 7 B-C; Fedro, 274 C D ; Repubblica, 522 C; 522 E; 525 A; 630 A; Leggi, 817 E; Politico, 259 E; cfr. J. Klein, Greek Mathematical Thought..., cit., p. 39. 9 Cfr. J. Klein,Greek Mathematical Thought..., cit., pp. 18 ss.

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- E dici molto bene che non è piccola la differenza tra coloro che sí occupano del numero, cosícché è logico che ci siano due aritmetiche». Platone dice che questa stessa distinzione vale per la XoyioriKf| e per la |i£Tpr|TiKT^ (Tarte del misurare), e in 57 D-E enfatizza la notevole distanza che divide «le due aritmetiche» fra loro, «le due metretiche» fra loro, e «le altre discipline di questo genere», affermando che esse hanno in comune lo stesso nome, ma non condividono nient’altro. Egli illustra tale differenza solo nel caso delia àpt0jiT)TLic^, ma gli altri casi sono chiaramente da consíderarsi come paralleli a questo. Dunque, Platone opera una distinzione tra àpi0^ir|TiK^ teoretica e XoyLCTTiKf| teoretica: ritiene che conoscere come si contano i numeri, e conoscere che cosa sono i numeri, sia diverso da conoscere le molteplicí relazioni che intercorrono fra i numeri, e i modi in cui essi si rapportano per addizione, moltiplicazione, etc. Cosi, Platone si colloca fermamente da una parte, alTinterno di una controversia propria della filosofía della matematíca. Una delle parti di questa controversia tiene per certo, d’accordo con Quine, che «aritmé­ tica ... étutto quello che accade al numero: non è assolutamente dire che cosa sono i numeri; è solo aritmética» 10. Che cosa puó mai essere co­ noscere che cosa sono í numeri, se non conoscere che cosa puó essere fatto con i numeri, ossia conoscere le leggi delTaritmetica? L ’altra parte della controversia tiene per certo che conoscere che cosa sono i numeri si distingue dai conoscere come possano essere manipolati; altrimenti, la nostra capacita di contare rimarrebbe inspiegata n. Platone, per il quale il platonismo è questione delTesistenza di certí oggetti, vede questa distinzione come una distinzione fra i numeri in sé stessi da un lato, e le loro interrelazioni dalTaltro. Ció suggerisce che i numeri possono essere identificad quali oggetti delTá piO^mo^ indipendentemente dalTaritmetica; e questo non sembra avere altra base possibile se non una visione platonistica dei numeri, come oggetti “giá da ti”, ed indipendenti dalle nostre attivita. Platone è preparato ad accettare ció, e la conseguenza che esisterá uno studio non aritmético dei numeri. II passo del Filebo appena citato mostra il modo in cui Platone concepisce le unità. Il suo argomento rivela una confusione, che ricorre in forma ben piü sofisticata nelle sue piü tarde elaborazioni delTidea di unità. Egli argomenta come segue: Tuomo della strada pensa che, ad esempio, un paio di scarpe siano due scarpe, poiché ciascuna di esse è

*Traduzione italiana di C. Mazzarelli, in: Platone, Tutti gli scritti, a cura di G. Reale, Rusconi, Milano 1991 {n.d.t.). 10 W.V.O. Quine,Ontological Relativity, New York 1979, pp. 44-45. 11Cfr. B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, London 19482, cap. 1.

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un uno oppure un’unita. Ci sono pero due casi in cui questo discorso e insufficiente (non e chiaro quale dei due casi indichi HFilebo). Due oggetti possono essere posti sotto lo stesso concetto unitario per essere contati, e non essere per niente simili, ad esempio, in grandezza. E una persona pud contare un paio di cose che ricadono in differenti concetti unitari, per esempio un bue e un esercito. In entrambi questi casi, le unita contate dalTuom o della strada sono estremamente eterogenee. II filosofo deve insistere sul fatto che, quando conta due, quello che egli conta e appunto due, ossia due unita che sono esattamente le stesse e niente affatto dissimili. L ’unita secondo il filosofo, cioe quello che egli conta come uno, deve essere appunto uno, vale a dire niente affatto divisibile. Questo viene affermato nella Repubblica (525), e ribadito nel piu tardo Sofista (245 A-B). II procedimento qui seguito da Platone e significativo sotto due aspetti. Innanzitutto, presenta un’assimilazione del contare intransitivo a quello transitivo 12, owero un’assimilazione della ripetizione della serie numerica alTuso dei simboli numerici per misurare insiemi di cose. II modo in cui viene compiuta questa assimilazione rivela assunzioni platonistiche: se una maniera di contare e insoddisfacente, e necessario che sia insoddisfacente il suo oggetto; quindi, un modo di contare e sicuramente soddisfacente, se si fabbrica per esso un tipo di oggetto soddisfacente. Non viene spiegata la peculiare natura di tale oggetto, che consiste in “pure unita”, fino al momento in cui, piu tardi, questo fatto iniziera a costituire un problema. In secondo luogo, Platone ritiene owio che un numero sia numero di qualcosa: il numero secondo l’uomo della strada e un numero di scarpe; cosl, il numero secondo il filosofo deve essere un numero di pure unita. Ancora una volta, sembra che i numeri non vengano distinti con sufficiente attenzione da gruppi numerati. Platone, nei dialoghi, non e molto prodigo di informazioni su quella che pud essere, a suo awiso, l’estensione del concetto di “numero”, pero e interessante che egli usi con frequenza “pari e dispari” intercambiabilmente con “numero” 13. Nel Politico (262 D-E), egli raccomanda la divisione in pari e dispari come il modo piu proprio per

12 Quando contiamo in modo intransitivo (‘uno’, ‘due’ ...), noi ripetiamo, per una qualsiasi ragione, la serie numerica; quando contiamo in modo transitivo (‘una patata', ‘due patate’ ...), noi usiamo i simboli numerici per misurare insiemi di cose. Cfr. B. Ellis, Basic Concepts ofMeasurement, Cambridge 1968, p. 154; P.Benacerraf, What Numbers could not be, «Philosophical Review», 74 (1965), pp. 47-73. 13Cfr. ad es. Carmide, 166 A; Protagora, 356 - 357; Gorgia, 451; 453 (ma cfr. Teeteto, 185 C-D, ove si fa menzione “delFuno e dei restanti numeri” separatamente dal “pari e dispari”).

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dividere i numeri. Ci sono inoltre due passi14, ove la trattazione dei pari e dei dispari forse prefigura successivi sviluppi. Questo atteggiamento nei confronti del pari e dei dispari ha come conseguenza (raramente nota ta) il fatto che “numero” per Platone sembra naturalmente avere lo stesso valore di “numero naturale”, cioè di quel numero che Frege chiamava Anzahl, o, per essere più precisi, “numero intero positivo” (escludendo lo zero, e con poca chiarezza relativamente alTuno). Questo fatto è di grande importanza, perché comunemente si assume che il concetto di numero di Platone segni un rivoluzionario passo in avanti, per la sua caratteristica di essere estensibile oltre i numeri naturali fino a coprire i numeri reali e razionali. Per alcuni studiosi ciò costituisce quasi un dato incontrovertibile, benché non abbia evidente fondamento in Platone. Anzi, una simile interpretazione del concetto platonico di numero risulta inverosimile di fronte aU’uso, da parte di Platone, di “pari e dispari” al posto di “numeri”, e di fronte alla confusione che egli fa tra numero e gruppo numerato (essa risulta ancora più inverosimile di fronte a gran parte delle “dottrine non scritte”). Ogni indicazione presente negli scritti di Platone suggerisce che per Platone “numero” significava Anzahl, ossia la risposta alla domanda: Quanti? L ’unica apparente eccezione a questa regola è Epinomide 990 D-E, un famoso passo in cui Tautore dice che quella che “assurdamente” viene chiamata “geometria”, in realtà, è uno strumento per studiare attraverso figure piane Fassimilazione di numeri che di per sè sono dissimili. Qui si fa chiaramente riferimento alla rappresentazione geometrica delle relazioni incommensurabili, ehe non puô essere espressa in numeri interi. Il passo è stato quindi accolto come una conferma del fatto ehe “numero” può correttamente coprire non solo i numeri interi, ma anche quelli irrazionali. Tuttavia, persino se questa fosse l’effettiva conclusione ultima del nostro passo, cosa che, peraltro, non è certa15,

14Cfr. Eutifrone, 12 D; E. de Strycker, Trois Points Obscurs.. cit., pp. 44-49. Pari e dispari sono caratterizzati quali isoscele e scaleno. Come divisione tra pari e dispari, questa caratterizzazione è difettosa (cfr. T. Heath, Greek Mathematics, vol. I, Oxford 1921, p. 292). I termini pari e dispari hanno un’applicazione più amplia di quella al numéro (cfr. Leggi, 895 E), ma non sono derivati da un uso geometrico (cfr. E. de Strycker, Trois Points Obscurs. . cit., p. 47). In Fedone, 103-105, la confusione tra uno e unità è intéressante (si veda infra, cap. terzo, § 1,1,f); in 103-104, la maggior parte dei traduttori sostituisce “unità”, che è traduzione di [louds* in 101 C, con “un*unità”. 15A. Wedberg, Plato3s Philosophy of Mathematics, Stockholm 1955, pp. 24-25, dà una spiegazione del nostro passo senza includervi i numeri irrazionali come numeri veri e propri: «Due numeri, ad esempio a e b, sono “simili” se a è un prodotto di a’ e di a”, se b è un prodotto dib’ e di b ”, e se a’/a” = b’/b ”. In questo senso, ad esempio, i numeri 1 e 2 sono “in sè dissimili”. Ma possono essere “assimilati in riferimento a superfici” nel

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non puó contare contro l’evidenza dei dialoghi, dato che puré nell’antichitá YEpinomide non era ritenuto di Platone, Ciononostante, molti studiosi hanno affertnato che la concezione di numero di Platone é “geométrica”, e che era esplicitamente chiamata a coprire i numeri razionali e reali, esattamente come quelli interi. Questa affermazione non ha un fondamento evidente ed é essenzialmente apriori: poiché Platone si interessava alia geometría del suo tempo, doveva essere ben cosciente del signifícalo del lavoro del suo amico Teeteto sui gradi di irrazionalitá, a cui viene fatto un riferimento nel Teeteto 16. Di fatto, comunque, da ció non segue né che Platone avesse una concezione geométrica di numero, né che egli la dovesse avere (persino nel passo del Teeteto, “numero” si applica solo a valori interi positivi). Troppo spesso sono state tratte conclusioni sul concetto di numero di Platone a partiré da premesse concernenti la geometría, sulla base del fatto che egli non separava radicalmente Tuno dalTaltra. Ma questo presupposto rende la questione della natura geométrica del concetto platonico di numero circolarmente viziosa, La concezione di numero che Platone dimostra di avere nei dialoghi non deve nulla alia geome­ tría. Un elemento che ha gran peso sulla volontá di attribuire a Platone un concetto geométrico di numero é costituito dalla convinzione che un tale concetto sia piü “avanzato” rispetto a un concetto aritmético. Ma ció non é vero nel modo piü chiaro, come ci é stato indicato da Frege17. Anche se un concetto geométrico di numero puó impedire di defínire circolarmente l’identitá dei rapporti fra lunghezze in termini dí equimultipü, questo sforzo resterebbe ancora futile: «Noi rimarremmo ancora nel dubbio su come íl numero defmito geométricamente... stia

senso che esistono due superfîci simili, ad esempio quadrate, i cui volumi stanno in rekzione come 1 sta a 2». 16 Cfr, G. Milhaud, Les Philosopkes-géomètres de la Grèce, Paris 1900, p. 362. Numerosi passi raccolti nei Testimonia di Gaiser mostrano che Platone si interessava di problemi matematici, ma non c’è nessuna indicazione del fatto che egli avesse una spéciale competenza matematica (si veda: H. Cherniss, Plato as a Mathematician, «Review of Metaphysics», 4 (1950/51), pp. 395-425). 17 G. Frege, The Foundations..., cit., § 19 (più tardi Frege ritornô su questo punto, ma non per motivi rilevanti per la presente discussione). Egli puntualizza inoltre che, sebbene il concetto geometrico di numéro sia più esteso rispetto ai numeri interi e li includa, esso presuppone grandezza, e relazione con la grandezza. Questo sarebbe stato un serio problema per Platone, per il quale (come vedremo) i numeri erano per importanza precedenti aile grandezze, e presupposti da esse (questo fatto viene sottolineato da K.H. Uting, nella recensione a: K. Gaiser, Platons Ungeschriebene Lehre, (cit.), in: «Gnomon», 37 (1965), pp. 131-144; non basta dire, come fa Gaiser, Platons Ungeschriehene Lehre, Stuttgart 1968, seconda edizione, p. 580, che il problema è un mero problema di esposizione).

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in relazione col numero delia vita ordinaria, che verrebbe quindi completamente escluso dalla scienza. Eppure noi abbiamo ogni diritto di richiedere alTaritmetica, che i suoi numeri vengano necessariamente adattati all'uso che del numero si fa in ogni applicazione». Inoltre, un concetto geométrico di numero non sarà sufficiente per 1’aritmética: non è adeguato, ad esempio, per esprimere il numero delle radici di un’equazione, mentre il numero-per-contare, o Anzahl «può stabilire, fra le altre cose, quante unità siano contenute in una lunghezza». Dunque, nessuna delle motivazioni a priori, per attribute a Platone un concetto geometrico di numero, riesce a superare la mancanza di un sostegno di chiara evidenza. E questo è importante, nella misura in cui riguarda 1’interpretazione delle “dottrine non scritte” intorno al nume­ ro. Platone, in verità, non si allontana dal concetto greco ordinario di numero, non più di quanto se ne allontani Aristotele, sebbene, sotto questo rispetto, gli studiosi spesso li pongano in netto contrasto Tuno con l’altro. Non a caso, Platone e Aristotele hanno lo stesso medesimo problema relativamente all’uno. L ’uno è un numero? Se il numero è concepito come Anzahl, si è tentati di rispondere di no, poiché Tuno non misura nessuna pluralitá (ápL0p.os*, numero, e àpiôfieiv', contare, sembrano avere, rispetto alie corrispondenti parole inglesi *, un nesso concettuale più stretto con la,capacita di ottenere il totale dei compo­ nent! un dato gruppo, cioè di una pluralitá). Ma d’altronde, di fatto noi usiamo Tuno come un numero, insieme al due, al tre e a tutti gli altri numeri. In Platone si riflette questa indecisione. Talvolta, egli scrive come se il primo numero fosse Tuno, talaltra come se fosse il due. L ’uno viene trattato come primo numero nelle Leggi (818 C) e nel Sofista (238 B), mentre nella Repuhblica (524 D) si parla di “numero e uno”, e nel Fedone (103-105) l’uno non sembra parte della serie numérica, bensi suo fondamento 18. D’altra parte, rileveremo che Platone, nella sua esplicita teoría del numero, porta alia luce ció che nel concetto greco ordinario di numero è latente, ossia che il numero misura una pluralitá e che il primo numero è il due. Sia Platone, sia Aristotele, nelle proprie teorie (anche se non nella pratica) non fanno delTuno un numero, ma il fondamento o l’origine del numero; è certo, pero, che i loro sforzi di spiegazíone sono molto differenti. Dunque, che Platone sia, nel concepire i numeri, un platonista, si * E anche italiane (n.d.í.). 18 L ’autore delTEpinotnide si comporta ancor peggio. In 977 C, dice che il numero procede secondola serie: “2 , 3 ma poche pagine dopo, in 978 B-C, troviamo scritto che, pér contare, si segue la serie: “ 1 ,2 ,3 ,...”

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capisce da alcune indicazioni presentí nei dialoghi. Principalmente si capisce da una particolare inclinazione ad usare determínate espressioni, che suggeriscono un certo platonismo, e ad accettare linee di pensiero con presupposti platonistici. Si potrebbe tuttavia sostenere che esiste una prova piü diretta del platonismo del Platone. Egli infatti concepisce in modo realístico, indipendentemente da noi e dal nostro mondo, l’esistenza delle Forme, e, a quanto pare, nel Fedone (103-106) abbiamo prova del fatto che egli riconoscesse i numeri come Forme. Aristotele inoltre afferma due volte 19 che per Platone i numeri erano Forme. Ma questo argomentoé troppo af&ettato. Ignora ilproblema degü “intermedi”, al quale d dedicheremofrapoco. Per di piü, sipuó metiere indiscussioneche Fedone 103-106 si occupi effettivamente delle Forme;20. La posizione dei sostenitoti di questo argomento puó trovar supporto nella convinzione che Platone ammettesse una Forma per ogni termine generale. Di conseguenza, i numeri rientrerebbero automáticamente tra le Forme. Platone, pero, non si appella alTammissione di una Forma per ogni termine generale come ad un principio di produzione delle Forme 21. Tutto quello che possiamo dire é che Platone non considerava i termini-numero significativamente diversi, nella loro lógica, dagli altriterminigenerali; passi com¿Teeteto, 185 C-D, RepubbUca$23 D ss.,el’intera seconda parte del Parmenide, lo dimostrano chiaramente. Ma noi non abbiamo nessun diritto di presentare la teoría delle Forme come sostegno ontologico di quella dei numeri. Non solo: alcune interpretazioni di Ippia maggiore, 301 D-302 B hanno addírittura messo in forse la ben piü modesta affermazione, secondo cui, come dicevamo, Platone non riteneva la lógica dei termininumero diversa da quella degli altri termini generali. In tale passo, Ippia tiene per certo che se, di due cose, ciascuna ha una determinata proprietá, allora la devono avere entrambe, e viceversa. Socrate rifiuta 19 Cfr. 1090 a 4-6; fr. 4 Ross del ttattato Sulle Forme. 20 Se questo passo tratta delle Forme, comporta una notevole e ingiustificata esagerazione del valore degli argomenti a favore delle Idee presenti nei dialoghi giovanili. Ad esempio, essi vengono a produrre Forme indesiderabili, come Morte e Anima (ancora si dice che le Formé sono simili alie anime). Cfr. G.E.L. Owen, Dialectic and Eristic in the Treatment ofForms, in: G.E.L. Owen (curatore), Aristotle on Dialectic. "The Topics". Proceedings of the Third Symposium Aristotelicum, Oxford 1968, pp. 103-125, spec. p. 112 n. 2; A. Nehamas, Predication and Forms of Opposites in the “Phaedo”, «Review of Metaphysics», 26 (1972-73), pp. 461-491. 21 Repubblica, 596 A, sembra presupporre un principio del genere, ma, se anche fosse, questo principio viene negato in Politico, 262-263. Molti degli argomenti di Pla­ tone a favore delle Forme (ad es. Repubblica, 223-235) sono ristretti a determinad tipi di predicati; e se Platone si fosse affidato a tale principio, in seguito non sarebbe potuta emergere nessuna incertezza su quali termini indichino Forme e quali no (cfr. Parmenide, 130-131; Sulle Forme, fr. 3 Ross).

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questo principio, facendo notare che ciascuna delle due cose è una, ma esse, in quanto paio, non sono una ma due; e che, mentre esse, insieme, sono due, entrambe non sono due, perché ciascuna di esse è una. Siamo quasi tentati di interpretare questa obiezione come un’anticipazione del rilievo di Frege, secondo cui: «mentre noipossiamo combinare “Solone era saggio” e “Tálete era saggio” in “Solone e Tálete erano saggi”, non possiamo dire “Solone e Tálete erano uno”» 22. Ma Platone sta solo rifiutando una fatua pretesa di Ippia, e non fa soltanto l’esempio che abbiamo ricordato; non sta trattando specificamente del numero23. Tutto ció rende ingiustificata l’ipotesi che Platone fosse cosciente della totale diversità dei numeri rispetto alie proprietà delle cose, e della necessita rilevata da Frege che un’ efficace teoria del numero la riconosca. Nei dialoghi, Platone appare piuttosto primitivo e irriflessivo per quanto riguarda la lógica dei termini-numero. Alla pagina 101 del Fedone, si dice che le cose “partecipano” delTUnità e della Dualità” nello stesso modo in cui altrove si dice che partecipano delle Forme. Inoltre, da un argomento del Teeteto (204 D-E) risulta con chiarezza che Platone non ha tratto nessuna lezione freghiana dal passo dell’Ippia Maggiore che abbiamo appena ricordato. Tale argomento implica, infatti, l’assunzione che il numero di un insieme di cose non sia differente dal complesso di tutte le cose contenute nelTinsieme. Platone, dunque, non dice nulla che lo impegni apertamente ad affermare oppure a negare che i numeri siano Forme. Egli si dimostra pronto a concepire i numeri come entità genuinamente esistenti ma non-percettibili, e quindi, comunque vadano le cose, è pronto per metà a concepirli come Forme. 2. Le dottrine non scritte Le relazioni sulle “dottrine non scritte” di Platone concementi il numero mostrano chiaramente che la posizione da lui assunta nei dialoghi subl un considerevole sviluppo (per i nostri presentí scopi, non importa se questo sviluppo ebbe luogo dopo la stesura dei dialoghi, o come sfondo ad essi). Il cambiamento piü importante consiste nei fatto che Platone, stando a quanto dice Aristotele, riconobbe due generi di numeri, dotati di esistenza reale, edindipendenti dal pensiero: inumeriForma e i numeri intermedi. Questi due generi di numeri vanno considerati separatamente. 22 G. Frege, TheFoundations cit., p. 40 e. 23 Platone aggiunge súbito un esempio usando il termine geométrico ápp^TO? (irrazionale), quindi il tema delTargomento non puó concernere specificamente il numero.

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a) I numeri-Forma Come abbiamo visto, Platone, pur non dicendo che i numeri sono Forme, esprime la relazione tra un numero ‘‘puro” e i suoi esempi concreti in termini di “partecipazione”, cioè nei termini della relazione che intercorre tra una Forma e i suoi esempi concreti (Fedone, 101). Questo suggerisce che il numero viene concepito come una proprietà numérica, e che ciò di cui partecipano tutte le possibili paia di cose è la Dualità. Ma alia domanda: “Per che cosa sta il termine ‘due’?”, è piü credibile rispondere menzionando non una proprietà, ma un oggetto, il numero due, o per dirla con Frege: «un oggetto dello studio scientifico, definito e unico». Inoltre, nel passo del Fedone che stiamo analizzando, le parole greche corrispondenti a “dualità” e “trialità” sono usate in maniera intercambiabile con quelle corrispondenti a “due” e “tre” . Nei dialoghi Platone mostra di non accorgersene, ma questi sono due modi molto diversi di considerare i numeri. Tuttavia, fra questi due modi di considerare i numeri, sussiste una certa tensione, che conduce Platone ad un teoria elaboratamente scriteriata. Questa tensione può emergere in tutta naturalezza se prendiamo in considerazione i termini-numero a prescindere dalla teoria delle For­ me. Però emerge con forza particolare a causa di un problema pertinente alle Forme, che compare fra i problemi della prima parte del Parmenide. Platone tende spesso a concepire le Forme in modo tale che una Forma possa essere ritenuta sia una caratteristica sia un esempio perfetto di tale caratteristica. Nel Simposio, ad esempio, la Forma del Bello sembra essere sia ciò che rende belle tutte le cose belle, sia, in se stessa, un oggetto supremamentebello. La fusione di “dualità” e “due” suggerisce che Platone riteneva il numero due non soltanto la proprietà caratte­ ristica di tutte le paia di cose, ma anche, in se stesso, un paio perfetto24. Qui la tendenza a concepire le Forme come modelli svolge un certo ruolo: la Dualità sarebbe concepita anche come quell’insieme di due cose che, per contare, è paradigmatico 25. Questo modo di considerare i numeri-Forma trova inoltre supporto in una concezione naturale dei numeri, menzionata da Wedberg: «La 24 Cfr. alcuni rilievi di Gödel (in: P. Benacerraf - H. Putnam [curatori], Philosophy of Mathematics, cit., p. 457): «... la seguente defmizione del numero due: “due è la nozione sotto la quale ricadono tutte le paia di cose e nient’altro.” ... “C’è sicuramente piu di una nozione che in senso costruttivistico soddisfa questa condizione, ma ci dovrebbe essere una ‘forma’ o ‘natura’ comune a tutte le paia di cose”». 25 Cfr. B. Ellis, Basic Concepts..., cit., p. 156: «E ’ concepibile dovet usare gruppi di pietre o di marmi come modelli numerici, e doverli custodire in speciali musei per proteggerli dalla distruzione. Ogni determinazione numerica verrebbe dunque compiuta uniformando il gruppo di cui si deve determinate il numero a uno dei modelli».

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definizione dei numero N come un certo insieme designato a contenere N elementi è una ragionevole alternativa alia definizione dei numero N come una proprietà predícabile di tutti gli insiemi che contengono N elementi ,.. Una definizione che identifica i numeri con tali insiemi sembra inoltre giustificare perfettamente Tuso dei numeri alTintemo di frasi come ad esempio: “Socrate e Gorgia sono 2 uomini”. Anziché interpretare questa frase come se significasse: “L ’insieme che ha come elementi gli uomini Socrate e Gorgia ha la proprietà 2” , noi possiamo intenderia nel senso seguente: “L ’insieme che ha come elementi gli uomini Socrate e Gorgia può essere correlato uno-ad-uno con 1’insieme in cui consiste il numero 2 ”» 26. Cosi, i numeri vengono ad esser concepiti quasi come insiemi canonizzati che funzionano alio stesso modo del Metro Campione. Ma, nel caso dei i numeri, noi otteníamo una conseguenza che non si ottiene nel caso delle altre Forme. Dobbiamo cioè ríspondere alia domanda: “Di che cosa il numero 2 è insieme paradigma tico? ” “ Che cosa è correlato uno-ad-uno con Socrate e Gorgia?” La risposta è: le unità. Abbiamo visto che già íl Filebo contiene la nozione di unità necessaria per rispondere alia nostra domanda intesa come puro oggetto di cui i numeri puri sono numero, In contrasto con le cose di cui sono numero i “numeri fisici” . Nelle opere meno tarde, Platone non sembra aver distinto con cura I’uno e Vunità: nel Fedone, vengono confusi; e nella Repubblica (525-526), parlando delT“uno”, Platone oscilla in maniera sconcertante fra il singolare e il plurale. Ma nel Filebo, Platone dispone di una parola (forse nuova) per indicare 1*“unità"; ele “unità”, al plurale, si dimostrano gli oggetti che soddisfano il nostro contare, quando contiamo i numeri puri. Questo concetto di numero come insieme paradigmatico di unità pure ci viene riferito da Aristotele sotto il nome dí llowiSlkòs âpi0|ios“27; egli lo attribuisce sia a Platone sia ad altri membri dell’Accademia, che avevano una teoria dei numero simile a quella di Platone, e similmente platonistica, ma diversa da essa in quanto non considerava i numeri Forme. Platone riteneva i novaSiicoi ¿pi0|ioi numeri-Forma, ma, come abbiamo visto, è possibile giungere al concetto di p.owrôiKÒs' âpi0p.oj indipendentemente dalla teoría delle Forme. 26 A. Wedberg, Plato’s Philosophy ..., cit., p. 83. 27 Cft. 1092 b 20, ove le unità sono poste in contrasto con le cose contate; 1080 b 19; 1080 b 30; 1083 b 17, tutti passi che trattano dei Pitagorici, ove Aristotele sostiene che i numeri, cosi come li concepiscono i Pitagorici, non sono [íovaSitcot, perché le loro unità hanno grandezza; Eth. Nic., 1131 a 30 ss.; De an., 490 a 20, ove la confusione fatta da Senocrate tra unità e punto viene chiamata - come una specie di errore nella categoria - “unità-punto”,