Het zwaartekrachtsveld van een of meer lichamen volgens de theorie van Einstein [PhD Thesis] [PDF]

Zitiervorschau

Emu—J N¢>mfimxw>fiiuwma2, 292a2, dan blijft dit voortdurend het geval, daar volgens formule (46) de dubbele wortel niet bereikt kan worden; evenzoo blijft z3a2, dan wordt

f

=i(a1/3)cotgh (%afPV3)

o 00

F—1};=z=——2a2+3a"cotgh2(lgatpl/3) , . . . . (50) waarin weer over de integratieconstante is beschikt. Is daarentegen z2 —(y _ 2 +3a), 2 2 4(qu

waaruit volgt

“WmWij verkrijgen

)1: i (al/3)tg(%atp1/3) en dus

;—%=x=2a2+302tg2(%a901/3). 41. Wij komen nu tot de beantwoording van de vraag: welke plaats nemen de cirkelvormige bewegingen onder de andere in?

Om deze vraag te beantwoorden denken wij ons in (47) de een of andere keus der constanten e“ e2 en (23 gedaan. Vergelijking (47)heeft dan een algemeene oplossing, waarover tot nu toe alleen sprake is geweest, en een singuliere, die voldoen moet aan

Wij verkrijgen hieruit en uit‘(47), door eliminatie van Z—i’

(z— el) (2— e2) (2— ea) =0, waaruit blijkt, dat alleen z=e1,z=ez,z=e3 singuliere oplossingen kunnen zijn; zij zijn het ook inderdaad, want zij voldoen aan (47). Wij zien hieruit, dat de cirkelvormige bewegingen singuliere oplossingen van de differentiaalvergelijking (47) zijn.

35 Nu is het, zooals wij in 24 zagen, nog niet zeker, dat door deze oplossingen tevens aan de bewegingsvergelijkingen (34) voldaan is; daartoe moet naast (36) en (37) 00k aan (38) voldaan worden. Uit deze drie vergelijkingen volgt echter

en hieruit volgt gemakkelijk, dat 0 2 l—A 2 x3—x-+%x+(—m)—w

overgaat in ‘2.

(DC—E)

(x—‘l+2;'f)y

r

r

en dus

(z—e.)(z—ez)(z—es)=(2+%—§)2%, dus r3a hebben, van de banen der in 40 beschreven bewegingen; en cirkel 3w omhult de spiralen van 38. 42. Wij komen thans tot de bewegingen, die op den voerstraal geschieden en waarbij dus voortdurend ¢=0 is. Wij kunnen van de vergelijkingen (36) en (37) uitgaan, waarvan de eerste in

1

r2 = A .......... . (52) _ _._3

1—: (1—2)

overgaat, terwijl de tweede vereischt dat B =0 is, in welk geval zij door ¢=0 bevredigd wordt. Zooals men uit vergelijking (41) gemakkelijk ziet, zijn twee e’s oneindig groot en is de derde %— 1%. Hoewel nu de integratie van (52) zonder bezwaar is te verrichten en er slechts elementaire functies bij optreden, willen wij liever de eigenschappen der bewegingen zonder tusschenkomst der integralen

36 aflezen uit de difierentiaalvergelijking. Lossen wij (52) naar r' op, dan verkrijgen wij an 2 at =(l—;> 0 is; hetzelfde geldt van )5, omdat men tevens r zoo dicht bij ac kan nemen, dat f”(p) .62, bij f vergeleken, in het niet zinkt. Daaruit volgt echter, dat in het geval A> 1, waarbij de beweging eens omkeert, de versnelling 'fi eerst positief is, daarna nul en dan negatief wordt. Is A% is. Men kan nu vragen, of 00k 'p', evenals f, voor een beperkt gebied van waarden van A, eens

nul wordt. Daar (3' aanvankelijk positief is, zal dit gebeuren, indien 25 voor zeer groote waarden van r negatief wordt. Nu is / "_ __ // '2_ _f_/_(P) 2. f(P)P—f f (P)P —f f/(p)2f substitueeren wij hierin r en f2 uit (54) en (53), dan wordt

f’(p)'p=—(1——)(1—%A+iA §—) —’j::—EIE;ZdTZ— Bxfi—axlaxj_3xlaxi 3x1639-

(74)

A 344 = P

Hierin stelt 3U; indien i=j is, 1 voor, indien 1‘75} is, O. 55. Aan deze vergelijkingen kan men op oneindig veel wijzen voldoen. Zeer eenvoudig is de oplossing 611:0(i¢j)r Bll=fizz=fi33=fi44=fi,

..... (75)

waarin de functie fl voldoet aan A ,8 = p ................ (76)

54

Maar deze oplossing is volstrekt niet de eenige. Want indien 90 een willekeurige functie van x1, x2 en x3 voorstelt, is steeds

32(1) {3” — a—Xi—‘axj

..............

(77)

een oplossing van het stelsel, dat men u1t (74)verkr1]gt door [9—0 te stellen; bij (75) kan men dus steeds de oplossing (77) optellen. Men 'verkrijgt zoo onbeperkt veel nieuwe oplossingen. De oplossing (75) bezit, behalve dat zij eenvoudig is, het voordeel, dat 14.844 voor een enkel bolvormig centrum gelijk wordt aan —oc:r (a constant), hetgeen van denzelfden vorm is als de gravitatiepotentiaal in NEWTON’S theorie. Zij ontstaat echter niet door de termen van hooger orde dan de tweede in vergelijking (28), die het veld van een rustend bolvormig centrum voorstelt, weg te laten. Want schrijft men voor (28)

ds’-’=(1—;>dt2—dr2~(dr2+r2d32+rzsin23d¢2). 1__“

r

dan kan men gemakkelijk rechthoekige coordinaten invoeren en vindt, daar

dr2+r-a'3rz—[—r2sin2 361th =dx15+dx22+dx32, dr=—'xdx1+x—dxz+x3dx3 is,

w a dxl+rdx2+rdx3> a as 2_ a's'=(1——)dt- —r_w(r —(dx,2+dx,2+dx32). Ontwikkelt men nu naar opklimmende machten van ac, dan vindt men (344 =—_ 311‘: _x_r

r2

(17541754)

Deze functies van x,, xbx3 lossen (74) op, maar verschillen van (75); zij ontstaan er uit, door 326p/3 x13 x,- toe te voegen, indien up = w r is. Wel verkrijgen wij zonder toevoeging van (77) de oplossing (75), indien wij van (31) uitgaan. Dan wordt (verg. 51) no 4 ,, ds2= (1— Z—pY dtz— (1 +47) (dx12+dx2-—|—dx32.)

(+11%) en men vindt ”811:“622=KB33=”344=—%, {317:0 indien (if,

hetgeen de oplossing (75) is voor een bolvormig centrum.

55 56. Wij gaan nu over tot de opstelling der differentiaalvergelijkingen voor de grootheden fen y. Substitueeren wij de oplossing (75) in (73),

dan gaat die uitdrukking, met weglating van de termen van de eerste orde, over in

3‘6 voori;é4,j7£4: 5i1Ka—x:2,

.

.

3%

v00rt754,1=4:—2%——3x4a;i,

.

.

923

voorz—J—4.

—3n—_ax2. 4

Dit is dus, met weglating van de termen van de eerste orde, het resultaat der substitutie van den eersten term van (71) in het eerste deel van 20,-]. Wij moeten nu nog de overige termen van (71) in het eerste deel van 2 G”- substitueeren en ten slotte 00k nog den eersten term van (71) in het tweede deel van 2 G”. Substitueeren wij nu in het eerste deel van 2 G”- den tweeden term van (7]), dan vinden wij een uitdrukking, die van (73) alleen verschilt, doordat er overal o- in plaats van ,8 in staat en doordat x erin voorkomt tot de macht %. Daar tn,- slechts dan van 0 verschilt, wanneer een der beide indices 4 is en de andere 1, 2 of 3, vallen er vele

termen weg en er blijft slechts over 4

voori¢ .

4:

W W

2

2“ B—xJ-1 is.

72

VI. Het axioma van M. PASCH (Vorlesungen fiber neuere Geometrie, blz. 21, Grundsatz IV) moet in HILBERT’S stelsel van axioma’s (Grund— lagen der Geometrie, Be druk, axioma 114) 200 worden geformuleel'd, dat het alleen uitdrukt, dat er in het vlak van den driehoek geen lijn is, die (zonder door een hoekpunt te gaan) slechts een der zijden snijdt. VII. De vraag naar de ,,kromming" onzer ruimte heeft hare beteekenis verloren. VIII. De integraalvergelijking, waarmede I-IILBERT de gastheorie in het geval van volkomen veerkrachtige bolvormige molekulen en bij voor— onderstelling van de gebruikelijke formule voor het aantal botsingen behandelt, heeft geen andere ,,Eigenwerte” dan ].

IX. De theorie der integraalvergelijkingen is voor de Natuurkunde van slechts weinig nut.

X. Wanneer het gewenscht mocht blijken zich in de algemeene relati— viteitstheorie te‘ beperken tot de coordinatenstelsels, die aan een enkele voorwaarde (bv. V:g=1) voldoen, dan behoeft dit geen reden te

zijn, de poging, die bij het opstellen dier theorie gedaan is, als mislukt te beschouwen. XI. Het is door niets te rechtvaardigen, dat bij een isotherm de druk,

waarbij er evenwicht tusschen twee phasen kan zijn, wordt bepaald door de overweging, datfpdv langs beide isotherme wegen even groot moet zijn. XII. Het onderwijs in de Wiskunde aan Hoogere Burgerscholen en Gymnasia behoort grondig te worden herzien.