Over reeksen van eigenfuncties van zekere randproblemen [PhD Thesis] [PDF]

Zitiervorschau

OVER REEKSEN VAN EIGENFUNCTIES VAN ZEKERE RANDPROBLEMEN

A. C. ZAANEN

OVER REEKSEN VAN EIGENFUNCTIES VAN ZEKERE RANDPROBLEMEN

N.V. BOEK- EN STEENDBUKKERIJ EDUABD IJ'DO. — LEEDEN.

OVER REEKSEN VAN EIGENFUNCTIES VAN ZEKERE RANDPROBLEMEN PROEFSCHRIFT TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE AAN DE RIJKSUNIVERSITEIT TE LEIDEN, OP GEZAG VAN DEN RECTOR MAGNIFICUS DR J. A. J. BARGE, HOOGLEERA-AR IN DE FACULTEIT DER GENEESKUNDE, VOOR DE FACULTEIT DER “’18- EN NATUURKUNDE TE VERDEDIGEN OP DONDERDAG 10 MAART 1938, DES NAMIDDAGS TE 4 UUR, DOOR

ADRIAAN CORN ELIS ZAAN EN GEBOREN TE ROTTERDAM.

NZV. BOEK- EN STEEN'DRUHERIJ EDUARD IJ'DO. — LEIDEN.

AAN MIJN OUDERS

Promotor:

Prof. Dr. J. Droste

INLEIDING.

Door de differentiaalvergelijking

(1)

L (P(Z)L:)+(¢I(z)+n)v=0 (aSsz), dz

waarbij in (a, b)

de functie p (z)

positief is en een continue

tweede afgeleide heeft, terwijl q (z) daar continu is, en door twee

betrekkingen

$111” (a) + A2? (a) v' (a) + 430(1)) + A413 (b) 1" (b)=0.

(2)

(Blv(a) + B,p(a)v’(a) +B,,v (b) +B‘p(b)v’(b)=0,

is een randprobleem gedefinieerd.

Onder het oplossen daarvan verstaat men het bepalen van waarden van de reéele parameter It en van een daarbti behoorende functie 1) (2m) zoodanig, dat v=v (2,;L) voor deze waarden van p. aan (1) en (2) voldoet. Zoo’n waarde van F wordt een eigenwaarde genoemd, de erbij behoorende v (2,;1) een eigenfunctie. Aan deze eigenfuncties nu zullen we de eisch stellen, dat ze in (a, b)

een

orthogonaal stelsel

vormen,

d.w.z.

313

v (2, #1) en

v (z,;;,) bii twee vemchjllende eigenwaarden behooren, moet b

[v (M) v (z.#a)d2=0 a

ztin. Deze eisch leidt tot het aannemen van een bepaalde betrekking tusschen eenige coéfficienten uit (2).

We zullen aantoonen, dat de eigenwaarden een aftelbare verzameling vormen, die net-gens in ’t eindige een ophoopingspunt heeft, maar waarvoor geldt: lim p...=+co. n—pu

2 Daarbii rangschikken we deze eigenwaarden naar opklimmende grootte en noemen we de eigenfunctie, die bfi p... behoort, 1),. (z). Zooals we zullen zien, is het mogeliik, dat bii één eigenwaarde

twee eigenfuncties behooren. In dat geval laten we die F twee keer in de rii in, i voorkomen. Als het beschouwde interval OS 25 1r is, terwijl p (2) =1 en q (2) =0, dan vinden we bii de randvoorwaarden v’ (0) =0 en

v’(1r)=0 het stelsel eigenfuncties icosnzi (n=0,1,2,...), bij de randvoorwaarden v (0) =0 en 1) (1r) =0 vinden we {sin m i (n: 1, 2,...).

Bit heeft tengevolge, dat de vraag gesteld kan

warden, in hoeverre de eigenschappen van trigonometrische reeksen ook gelden voor reeksen Ea, v. (2).

We zullen aantoonen, dat

onder zeer algemeene voorwaarden de voornaamste eigenschappen van trigonometrische reeksen ook voor deze reeksen gelden. Door een transformatie is het mogeliik p (2) =1 te maken en het interval (a, b) in (0,1r) over te voeren. Noemen we het stelsel

eigenfuncties van het getransformeerde probleem in. (z) i, dan bl'u'kt, dat de overeenkomst met het trigonometrische stelsel te danken is aan het feit, dat er voor u" (1:) een asymptotische formule bestaat, waarvan de hoofdterm cos mm of sinus: is.

Deze

asymptotische formule wordt in hoofdstuk II afgeleid. In hoofdstuk III wordt aangetoond, dat er aan elke reeks £11.41... (3;) een trigonometrische reeks kan worden toegevoegd, die

zich in (0,1r) op ,,dezelfde" manier gedraagt (Zvamm'n) en dat, wanneer Elana. (x) een ontwikkeling van een volgens LEBESGUE integreerbare functie is (d.w.z. wanneer voor alle n

a..=off(z) u. (2:) (if is), voor die trigonometrische reeks de cosinus- of sinusontwikkoling van diezelfde functie genomen kan worden (Hum).

Hoofdstuk IV handelt over noodjge en voldoende voorwaarden, opdat E a,| v. (z) een ontwikkeling is. Er wordt o.a. bewezen, dat het noodig en voldoende is, opdat £0“ 1),.(2)

de ontwikkeling

3 van een integreerbare of continue functie is, dat Eancosnx

of

S. a.sinn:1: de ontwikkeling van een integreerbtu'eo of continue 1

functie is.

In hoofdstuk V Itaat de zoogenaamde stelh'ng van BANAGE in het middelpunt, in verband waarmee bet stelsel

{9% (z) i , waarbti

”I: + 1

> A > 1 is, her sprake komt. "I:

Tenslotte wordt in hoofdstuk VI de Riemannsche theorie van reeksen £41.11. (:5) behandeld. De onderwerpen, die in dit proefschrift aangei'oerd warden, ztin

(voorzoover mii bekend is) nog slechts behandeld in het geval, dat de randvoorwaarden (2) de vorm

Alv(a)+A,p(a)v’(a)=0, B,v(b)+B‘p(b)v’(b)=O hebben.

HOOFDSTUK I.

DE OPLOSSNGEN VAN HET BANDPBOBLEBM. § 1.

We besehouwen de in de inleiding genoemde differentiaal-

vergelijking

(1)

i (9(2):—:)+(q(2)+#)v=0

(aSsz)

dz

met de randvoorwaarden

2) (

g 1110(0) + A21) (0) v’ (a) + An” (b) + A410 0’) 1" (b) =0, B,v(a)+B,p(a)v’(a)+B,v(b)+B‘p(b)v’(b)=0.

Is 121 (z) een oplossing van (1), behoorend bij F=Il1 en 1):, (z) een

oplossing, behoorend btj p=p.2, dan geldt: d

v“ (z) % (P ‘" W) “”1 (z) a? ( P (z) __dv:1:z>) + + (#1 _ P1)vx(z)vz(z)= 07

dus na integratie b

(3) [pm (15(2) um) —vl v2’(z))]2 + (m —#2) [15(2) v,' v (a)

Maar (6) en (7) zijn voor de functie v (z) twee randvoorwaarden van de vorm (2), die versehjllend ziin, omdat mm (4) niet vol-

daan is. Tusschen de coéfficienten bestaat de betrekking (5), die te schrtiven is als P1,: ,4. 2°.

Voor elk tweetal ’01 (z) en 1), (z) uit de verzameling is het

mogelfik reiéele A en p, die niet beide nul zijn, te vinden, zoodat sun (4) voldaan is.

Hieruit volgt, dat de beide leden van (5)

nul ztin, dus

'v.’ (a) v: (a) — vi (a) va’ (a) = 0. ”1,(b)”2(b)—vi(b)vz’(b)=0l)eze betrekkingen besehouwen we als randvoorwaarden voor v, (2) en door 1), (z) alle oplossingen uit de verzemeling te laten door-

loopen, zien we dat aan deze randvoorwaarden door alle oplossingen voldaan wordt. Zii hebben beide slechts op één rand betrekking en men noemt ze Sturmsche randvoorwaarden. Aan P1,: 3. is klaarbltjkeliik voldaan. Thans nemen we aan, dat de functies uit de verzameling voldoen aan twee verschillende randvoorwaarden (2), waarvoor P1,: 3,. Indien P,,=PM=/—-O, volgt uit (2):

P“? (b) ”(b) =

(8’

P..v (b)

P1300!) + P23? (6) v’ (a).

=—P,.v ((1)—Pup (a) v’(a).

Behooren v1(z) en v, (2) tot de verzameling, dan volgt uit (8)

met behulp van de identiteit PuP“ + PuP‘, + P,,P,,u=0, dat zii mm (5) voldoen.

Uit (3) zien we dan, dat ze orthogonaal ziin,

“15 Pa 95 F2-

Indien P": “=0. volgt uit (2):

P1300!) + P»? (0)1/(a)=0, 1’1.” (b) + Pup (b) 11’ (5) =0()ok nu zijn bij verschillende [1. de oplossingen orthogonaal, want de beide determinanten, die in (5) voorkomen, zijn nul, dus (5)

geldt. We mogen n i et de volgende stelling uitspreken: Wanneer van de eigenfuncties van een randprobleem, door (1) en (2) bepaald, bekend is, dat elk tweetal (niet bii dezelfde waarde van y be-

hoorend) orthogonaal is, dan geldt tusschen de coéfficienten van (2) de betrekking Pu: u. Beschouw nl. bet probleem (A), bepaald door d‘v +,u.v=0 dz'

(OSZS‘II’),

Het stelsel eigenfuncties' is

U’(0)=0,

tcos2nz}

v(0)—v(1r)=0.

(n=0,1,2,...);

z'u' ziin

orthogonal. Toch is P1,=— 1 en P,‘=0. Volgens de zoojuist hewezen stelh'ng voldoen echter de eigenfuncties toch aan twee

7 randvoorwaarden, waarvoor wel Pl2 =

M geldt. Dat ztin de rand-

voorwaarden van het probleem (B): d‘v

EIT+IW=0 (0.523%), v’(0)=0. v’(1r)=0, waarvan het stelsel eigenfuncties { cosnz}

(n=0, 1, 2, ...) is.

Zooals men ziet, vormen de eigenfuncties van (A) een onderver-

zameling van die van (B). Omdat het nu, in verband met de beschouwingen in de volgende hoofdstukken, ongewenscht is, een verzameling van eigenfuncties te beschouwen, die slechts onderdeel is van een andere verzameling eigenfuncties, behoorend bti een randprobleem, waarbij aan P1,: P3,

voldaan is, zullen wigi van 't begin af nan slechts randvoorwaarden toelaten, waarvoor P12=P3,. De bovenbewezen stalling leert, dat wigi zoodoende geen orthogonale stelsels van oplossingen van (1) uitsluiten.

§ 2.

Door invoering van nieuwe veranderljjken zullen we de

differentiaalvergelijking (1) in een eenvoudiger vorm schriiven. zooals LIOUVILLE dit het eerst gedaan heeft. We stellen:

fp-+(z)dz 3:1?

,

m- =c!p—*(z)dz.

p

z z

'

Omdat p (z) > 0, definieert deze formule een eeneenduidige correspondentie tusschen 3 en 2. Nu wordt v (z) =V (1:) en (1) gaat over in

2 I

c

1}

N "IL 'da: fl—+(q(z)+#)V=0 dz‘+cdz

8 Dan stellen we V (x)=u(a;) l (2), waardoor we krfigen dau c’l

du d1:

+(2cl’p*+clfldP—;—*) d3!

+(lp+cz dp+ —d.-1: +lp ,‘ dp+ dz +lq+lp)u n

l(z)

wordt nu

I

zoo gekozen,

I

_

dat de coéfficient van

.___

5%

0. nul

wordt, dus dp‘} __ ; i +l _ 2lp d: _O, of

l0, als 14(0):,é0,

u’ (0) > 0,1118 u (0) =0-

24 We kunnen dus stellen

A=cos-r, B=sinr

(———;—- 0 geldt: 1

la.|Sa,

|a.(x)l O) een verzameling met positieve maat te vinden is, waarop |f(x) I >K—e, dan heet K de essentieele bovengrens van f(:z:) in (0,1r).

De klasse der begrensde functies noemt men B,

die der in (0,1r) continue functies C. Is p2 1, dan heet L, de klasse der functim f(:c), waarvoor

/|f(z)|"d1 0

bestaat. De klasse L1 wordt ook met L aangeduid; zfi omvat de klassen L, en de klassen B en 0. Wanneer A één der genoemde klassen is, beteekent f(x) 2A, dat f(:c) tot die klasse behoort.

Laat nu hp. (:5) } een in (0, 1r) orthogonaal, genomeerd stelsel zijn. Als f(:l:) 2A en de getallen

a.=/ f (x) v. (av) dx 0

bestaan, schriift men 00k 2 a..¢,. (1:) a A.

54 IsIhet stelsel M. (3)}

zoo, dat voor elke F (:5), die in (0,1r)

van begrensde variatie is, de getallen

an=/ ¢.(w)dF'(€b‘) bestaan, dan noemt men 20.19,. (:5) de Stieltjesontwikkeling van

dF mar , 9,. (3” en men schriift Ea. 9. (1c) :8.

§ 2.

Stelling.

Wanneer A één der klassen L,” B, C, S is,

S

9

dan is 2 a, c. (x) a A noodig en voldoende, opdat 2 a. u, (m) e A. o o Bewijs.

Is f(a:)eL,, of f(a:)eB of f(z)eC, dan is 00k

f(a:) eL; volgens de vijfde hulpstelling van hoofdstuk III, § 3 is er dan een h (1:)e0 zoodanig, dat als Eduun (1:)=SL (f),

0

dan Ea,»n (1:)=C(f+h) is. Daar bljjkbaar f(a:) +h(z) tot 0

dezelfde klasse behoort als f (x), is beweun, dat voor de functieklassen L,, B en 0 de voorwaarde noodig is. Volgens de viifde hulpstelling van hoofdstuk III, § 3 is er ook

een

h, (x)eC

zoodanig,

dat

als Ea.c,.(z)=0(f),

dan

0 gang. (1:) =SL (f + h,). Dear f(a;) + h1 (:5) tot dezelfde klasse o behoort als f (as), is de voorwaarde 00k voldoende voor L,» B en 0. Slechts voor de functieklasse S moet nu het bewfis nog geleverd worden.

Laat eerst Emu. (3) as.

Dan is voor n > 0:

o

a.=/u.(x)dF(z)=/c.(x)d1"(x)+b., 0

0

waarin

1“;[[p. (3) mm a-TW] ”(wag).

55 Volgens de stelh'ng van RIEsz-Flscm is dus

b..= fc»(3)f1(z)dz=/c.(z)d1", (an) (F1 (2) = f r, (t) dt), 0

0

0

zoodat

a.=/ 6» (:0) d (17(3) + F1010). 0

d.w.z.

£0. c. (x) e S. 0

Dat £01.. u. (w) e S uit Eu, 0,. (x) e S volgt, wordt op een dergeltjke o o manier bewezen. .§ 3.

We zullen nu functieklassen beschouwen, waarvan de klassen

L, deel uitmaken. Daartoe ztjn eerst eenige definities noodjg: Een functie ¢ (1;) (anS B) heet convex, wanneer voor alle

1:, en 1:, (c159:l A>l an ab; Emc.k(a;)eB, is £|a~| can. I: Inn! 1

vergent. ') Tweede hulpstelling.

Ziin f(z) en g(z) in (a,b) ge-

defa'm'eerde fanatics, die tot de klaase L, behooren, dam behoort

f (2) + g (z) eveneens tot die khsse en '

h

1/r

(/|f(z)+g(z)|'dz)

h

1/r

S(f|f(5)l'dz)

b

1/1' .)

+(/19(B)lrdz)

(Ongeliikheid van MINKOWSKI). Derde hulpstelling.

Het stelsel [1). (z) } voldoet aande

volgende voorwaarden: a)

Er is een commute M, zoo dat l1). (2) | < M. in

b) Bii elke g(z)eL is can my mm: 5 2 2 (humus) ‘k=1

te m‘nden, zoodam'g dat b

lim n—fin

-) =) ') ‘)

'1‘. s. T. s. T.S. T. s.

3. 9. 6. 4.

22. 601. 4. 13.

fly (z)—p.. (z) ldz=0.

-

.62 Als / g (z) 1);;(2) dz=0, kan

l p. (z); zoo gekozen warden.

dot a.(fi)=0 voor aue n. in

c)

Bii elke g(z)eB is een rii Iq.(z) } E:

-

E b;,(")vg(z)* [(31

to m'nden, zoodam'g dat b-iina overal in (a,b) geldt:

h'm q.(z)=y (z). 71—):

terwiil de q. (z) geliikmatig begrensd ziin.

c

Ale] 9 (2) U); (2) (12:0, kan

{ q,| (z)!

200 gekozen warden,

0

dat b.(fi)=0 voor alle n.

Bewijs. Dat mm a) voldaan is, is duideltik. Lm la. (2)} de rii der partieele Cesarosommen van de ontwikkeling van 9 (z)

naar {1). (z) I ztjn. Ann b) en 0) [am nu voldaan worden door p. (z)=q,. (z)=o,.(z) te kiezen.

Zii G (:2) de functie, die uit

g (2)131 (z) ontstaat door de in hoofdstuk III, 5 6 vermelde transformatie

5:0 [p'+(z)dz,

u. (an): 1/17”} (2) we). De partieele Cesarosommen van de ontwikkeh'ng van G (:c) naar

{ 14,. (1:) ‘

noemen we t o.’ (3;) L

Zijn { 1,. (at)!

de partieele

Cesarosommen van de cosinusontwikkeling van G (1:), dan geldt wegens

de

in

hoofdstuk III

bewezen

stelling

0 S .1: 5 1r gelfikmatig: (1)

lim n—v)“I

Icn' (1:) — 1-. (:0) l=0.

van

Hum

in

63 Is nu g (z)eL, dan volgt uit (1) en de onderdeelen G) en b) van de eerste hulpstening, dnt 1

lim

|G(a:)—a.'(:c)|dz=0

iI—IDQ

0

en dnt biina overal in (0,11') geldt:

lim u.'(z)'=a(z). n—po

Dus is 00]: b

er

1

lam—v.03) ldz =lim —Jp*iz(z) HG(:D)—o-.'(z) |dz=0

lim n—pao

"-‘C u

en bfina oven] in (a,b) is

lim 0. (2):!) (2)n —) a:

Is 9 (z) 83, dun is ook G (:c) 23, zoodat uit bet onderdeel 0) van

de eerste hulpstelljng en uit (1) volgt, dat Ia.’ (2:) | S K, waaruit de geljjkmatige begrensdheid van a. (z) te concludeeren is.

Als [g (z) 1),; (2) (12:0,

komt in a. (z) geen term met 1),, (z) voor, zoodat aan alle eischen voldaan is.

§ 3.

Eerste aequivalentiestelling van BANACH.

Laat een in (a, b) orthogonaal, genomeerd stelsel I 9,. (z) } gegeven zfin, dnt aan de volgende eischen voldoet:

1.

Elke p. (2) is in (a,b) begrensd.

2.

Bii elke g(z)eL is een rii {12. (2)} E tkél1ak(")"(z)z

te vinden, zoodam'g dat

.

64 0

En

[URL—MWHM=Q

"do“

0

fawnuna=a kan ‘ p. (z) I zoo gekozen worden, dat aw!) =0. Laat verder I 'h‘ (z) } (k: 1,2, ...) een onderrii van ‘ v, (z) ’ zijn. I 10; (B) } noemen we een a-onderrii, wanneer voor elke rij

{ a; I,

waarvoor gap/m (2) de ontwikkeling van een integreerbare functie

naar ‘ h (3) ‘ is, gay? convergeert. 1 i 40: (z). I noemen we een B—o‘nderrii, wanneer bij elke rfi ‘ 0;, L waarvoor 2 cf convergeert, een continue functie h (z) gevonden Q

1

kn warden, zoodanig dat b akr=/

h(z)¢q‘(z)d2

(k=1,2,...).

“01(2)‘ noemen we een y-onderrii, wanneer er een getal It is, zoo dat voor elke rti { ax} _

b

V€M’SI# [$014149 Id“-

Is nu t 1P1: (z) } een a-, )3— of y-onderrii, dam. is | ‘0; (z) 1 tegeliik

a-, B- an y-onderrii. Tweede Laat een

in

aequivalentiestelling (a, b)

orthogonaal,

van

gegeven ztin, dat aan de volgende eischen voldoet: 1.

B A N A c H.

genomeerd stelsel

De functies p. (z) zijn geliikmatig begrensd.

1 w. (z) i

65 J

2. Bti elke g (z) 23 is can my l q..(z) {E g k£1bk(vy),.(z) te vinden, zoodanig dat biina overal in (a, b) geldt:

lim «1.. (2) =9 (2), n—bo

terw'ril de q. (z) gel'rikmatig begrensd z'rin.

A18

0

/g(z)n(z)dz=0, a

kan ‘ q. (z) } zoo gekozen worden, dnt by“) =0. Laat verder l up“ (2) I (k: 1, 2, ...) een onderrii van '9’. (2)} zfin.

I 4a. (2) I noemen we een al-onderrii, wanneer voor elke rii ! at} waarvoor E04; 4:; (2) de ontwikkeling van een begrensde functie 1 O

naar h. (z)! is, S. | akl convergeert. 1 3 1p; (2)} noemen we een fll-onderrii, wanneer bii elke rij { a], i \vaarvoor

lim ak=0,

een

integreerbare

functie

g (z)

behoort,

[1—) o

zoodanig dat u ak=fg (z)¢k(z) dz

(k=1,2,...).

H": (z) I noemen we een yl-omierrii, wanneer er een getal ,1 is, zoo dat voor elke rii {ad en elke n n

ElaxISan 1 fl

waarin B" de essentieele bovengrens van [2 11;; 10k (2) | voorstelt. 1

Is nu Mm)! can «1-, fi.- or yl-omierrii. dun is I Ma): tegeliik a" fll- en 1,-onder11'i. De bewfizen der beide stellingen zfin te vinden in het artikel 0

66 van S. BANACH ,,Uber einige Eigenschaften der lakuniiren trigonometrischen Reihen” (Studia Mathematica 2, bldz. 207).

Stelling.

Is !v,k(z)} (k=1,2,...) een onderrii van

{1). (2) L die a-, fi- of y-ondern'i is, dcm is {v,k(z)l

zoowel

a-, B- als y-ondern'i. Is Iv,“ (2)} a,-, p,— of yl-onderrij

dun is In“. (2)!

zoowel

011-, 3,— als yl-onderrii.

Bew ii 3. Volgens de derde hulpstelling van § 2 voldoet f 1),. (2) i aan de eischen, die gesteld warden aan de orthogonale stelsels, die in de stellingen van BANACH optreden. Die stellingen z'fin dus op iv. (2)} van toepassing.

Zelfs geldt een iets algemeenere stelling. randproblemen van hat in § 1 genoemde

Beschouw twee type en laat

{01.42)} (as 2 Sb) en {17. (2’)} (a’ S 2’ S b’) de stelsels eigenfuncties ztin. Stelling.

Is

lung)!

(k=1,2,...)

een

omiern'i

van

I1). (2) i, die van de eigenschappen, a-, fi- of y-onderrii te ziin, er één bezit, dun bezit { V.“ (2’) i die drie eigenschwppen tegeliik. Bezit f ”"1: (z) I één der eigenschappen, a“ 31- of ~h-cmderrii te ziin, dan bezit {VM (2’)} die drie eigenschappen tegeliik. Bewij s.

Wegens de vorige stelling is het klaarblijkeliik vol-

doende, te bewfizen, dat IV” (2’)! een a- onderrti (reap. al-onderrii) is, wanneer ’ ”"1; (z) } een a-onderrij (resp. al-onderrij) is. Laat dus I v" (z) I een a-onderrii en E m, 1’.k(z’) de ontwikkeItal

ling van een integreerbare functie naar l V" (2’) I zfin. Volgens hoofdstuk IV,

§ 5 is nu Ea; v..k(z)

de ontwikkeling van een

Ital

integreerbare

functie

naar l1). (2) I:

omdat I v,k(z) ’

een

a-onderrij is, convergeert dus gay”. 1 Laat nu l 1),.” (z) [een al-onderrti en E a; V..k (2’) de ontwikkek-1

ling van een begrensde functie naar I V,l (2’) l zijn. Volgens hoofd— stuk IV, § 5 is 2 akv.k(z) de ontwikkeling van een begrensde k—i

'

67

i wk (2) ‘ een a,-onderrii is, con-

functie naar ! v. (z) i ; omdat I

vergeert 2 | m, |.

1 § 4.

We hebben bewezen, dat btj alle randproblemen van de beschouwde soort een zelfde keus voor de indicw van een onderrii

uit de rij eigenfuncties van die onderrii een a-, 3- en y-onderrii (reap. a,-, [31- en yl-onderrii) maakt. Het is nu mogelfik, zoo’n keus aan te geven.

Stelling.

M

Is

>A>1,danislv.k(z)izoowel a-, #-

m

en y-onderrii, alsmam ,3,- en yl-ondern'i. B e w ii s.

Is 2 ak v. “(2)

de ontwikkeling van een begrensde

k-1

functie naar { v. (z) i, dan is E ah 0"]: (1:) de cosinusontwikkeling

k=1 van een begrensde functie.

Volgens onderdeel b) van de eerste D

hulpstelljng van § 1 is nu 2|ak| convergent, zoodat Iv.“ (z) I 1 een a,-onderrii is.

Zooals reeds beweun is, is {v.k (z), nu ook

)3,- en yl-onderrfi. Het bewiis, dat i ””1: (z)! ook a-, ,3- en y-onderrij is, zal in eenige stappen gevoerd worden.

Eerst toonen we aan, dat er een

B"; is, zoodam'g dat voor r > 1

a

(2)

(fl: amk (z) lrdz )"r $3M k=1

241.3. 1

Hebben we met het cosinusstelsel te doen, dan geldt volgens onderdeel d) van de eerste hulpstelling deze ongeliikheid. We gebruiken de reeds eenige malen genoemde transformatie 1

1:0] 17*(2) dz,

1).. (z): V_c.p‘% (2)“..(15) en de asymptotische formule

68 a.(23) u. (as) = c. (:v) +

fl.:__)$- sin m: +—

(n>0).

V341" } (z) (fir/r,

A=Max 115250

vinden we, door de ongeliikheid van MINKOWSKI te gebruiken: 0

1r if I}: am)”,r (z)|" dz )/ SA(

(

n if [2 akunk (x)|fd:c)/ S

k-1

k-1

a

I

0

n

‘_r

1

Ao

h...’

aan de genoemde eiseh.) De stelh'ng van DE LA VALLéE Pom, die wti hjer niet bewijzen. berust op de volgende stelling: A.

Laat f (2;) can in as 1:5 b integreerbare functie ziin, die

daar eindc'g is, behalve misschien op een aftelbare verzamelz'ng E. Laat verder F (1:) in «1st b een continue functie ziin, waar-

0001' 13mm 5m) sfiamz) geldt, behalve misschien 01) E, waar F (1:) echter glad is.

Dan geldt u

F(2:)=f dy/f(t)dt+A:c+B. 1)

') '1‘. S. 11. 31.

74 § 2.

In deze paragraaf bewijzen wij de stelling van DE LA VALLéE O

Poussm voor reeksen 2 a,l u, (x); daarbij volgen we de gang van

0 bet bewiis, dat HAAR in het reeds genoemde bijzondere geval ge-

geven heeft voor de stelling van DU BOIs-REYMOND. Bfi het bewiis hebben we noodig de Riemannsche stellingen voor de reeksen Ea. u,.(:c).

Hulpmiddelen om deze te bewiizen, zijn:

1°. De Riemannsche stellingen voor trigonometrische reeksen. Deze luiden als volgt: a)

Laat lim A,I =lim B.=0 zii'n, stel de partieele sommen mm

g" + '20 (A,I cos me + B, Iin nx) door 3,, (:5) voor en stel 4

F (:c) = A°41:" _. g'°

A..cosm; + B. sin n45

n,

.

Ziin voor zekere a van OS .1: 5 1r de partieele sommen 3,. (a) begrensd en is I: lim sup 3.. (a), s = lim inf 3,. ((1), dan liggen _

n—) n

_

n—) a:

D'F' (41) en D2 F (a) beide in hot interval (s—ks, s + k8), waarbii 2 3:; + s, 2 8 =;— s en k can absolute comttmte is. 1) In ’t bijzondere geval: dat lim 8,, (a) =3, iI dus 001: D‘ F (a) :5. n» O

Bestaat voor een trigonometrische reeks D’F (a), dan zegt men,

dat de reeks in het punt a volgens RIEMANN sommeerbaar is. De zoojuist genoemde stelling leert, dat deze sommatiemethode aan de tweede der in hoofdstuk III, § 5 genoemde eischen voldoet. Dat aan de eerste der daar genoemde eischen voldaan is, is duideliik. b)

Ala limAn=limBul=0, is

40x” __iA.cosnx+B.sinm: F“): overal glad. 2)

') T. S. 11. 2. :) T.S. ll. 2.

4

1

n’

75 2°.

Een stelling van ZYGMUND. We mogen aannemen, dat A=0

geen eigenwaarde is van het probleem; wanrvan de u. (2:) de eigenfuncties z'fin. Is nu lim «1.: 0 en is $4— + 2 (A. cos M: + B. sin M;\ n-—) w

2

de met 2 (1,14,, (2:) in 0 S a: S 1: gelfikmatig aequiconvergente t1io gonometrische reeks van hoofdstuk III, dun stellen we

¢(z)=—§

2

“I (I),

0

A

"A. cos m: + B. sin m:

F(£)=—4x_—1—n’—' Volgem ZYGHUND is nu in OS :1; S 11'

(3)

F($)=fdu[Q(t)¢(t)dt+¢(1:)+A.1:+B. o

Bewfis.

o

Omdat bij het beschouwde randprobleem «Heo is,

ziin de randvoorwaarden te schriiven in de vorm

(.

u’ (0) =P1u(0) + Pan”),

4

H

(

u’(w)=q,u(0)+qgu(w)-

In 0 S :1: S 1r geldt gelijkmatig

i 26.15.06)

=0,

2°

Nil-12a:

dus eveneens

5'3

lim N—Dc

N

A

N

/ du/ dt 2 S. a..u,. (t) ——[ 2° + 2 (A. cos M + B. sin 110:“: 0, . o 1

76 Met behulp van (1) en (4) vinden we

fdu [n.(t) (M:

o

1A

fl

du

u

—u,.’(0)]Mdu——1/dufou.dt=

=——[u,.(z)— u.(0)—un' (0) xI———fduo/ Quudt=

-- -T[m(w)—uu(0)—$(P1uu(0)+Pauu(1r))l—é-fdufQundt-

Verder is ‘1'

fduf[A2° +2(A,. cosnt+B..sinnt)]dtu=

A13” _’; A.cosnz-I;B.sinm; 1

n

+g 1

A.

N

a”

+3?

B.

zoodat

N a. Na» Na, m[jduo/Q(t)( _§:u.(t))dt+(—Eo—A—;u.($ ))+

+(z:m(0)— 53:)” (mgfltmowpzz—mv— $37)] 403’

= 4

wA..eosm:+B..sinm;

-21

n’

Vervangen we 1n alle hier voorkomende partieele sommen do bovengrens N door 00 , dun zien we van alle dun ontstane reeksen,

behalve van 2 —7:-- direct, dat ze geltikmatig convergeeren, omdat 1

77 1

a

1 =0 (——). De reeks S. h-convergeert dan echter ook, dus A» "2 1 n

F(:c)=/ dqu(t)¢(t)dt+¢(z)+Aa:+B. 0

0

De Riemannsche stellingen voor reeksen Ea. u. (z) luiden: o a)

Als lim an=0 en de partieele sommen s. (:5) van Emu, (z) 71—) a

_

0

zijn voor .1: = a begrensd, dan liggen, als s = lim sup .9. (a), _

s = lim inf s. (a),

_

2 s = s + s,

n» on

2 8 = s —— 3,

do

grootheden

n—bc

D’¢(a) +9 (a)¢(a) en D'¢(a) + Q(a)¢(a) in (s—ks, s + k 8), waarbii k can absolu—te comtante is. Bewiil.

ZYGMUND ingevoerde terminologie, leert de stalling

voor

.

Wanneer we ons houden aan de bti de stelh'ng van

trigonometrische

reeksen

ons,

eerste Riemannsche dat

I)” F (a)

en

D'F (a) in (s—ks, s + k8) liggen. Maken we verder gebruik van het feit, dat de gegeneraliseerde tweede afgeleide geltik is aan de tweede afgeleide, ingeval deze bestaat, dun volgt uit (3):

5'F(a) = 0(a>¢(a) + B'Ma), 1—?le = Q (a) ¢ (a) + 23¢ (a),

waarmee de stelling bewezen is. b)

Als lim a,.=0, is 95 (:c) overal in (0,3) glad. n—)a

Bewiis.

Als we (3) schrijven in de vorm

F(z)=¢(z) +¢(z). dan bestaat overal in (0,1r) de tweede afgeleide van .p (at), zoodat up (1;) daar glad is. Daar ook F (1:) oven] in (0, 1r) glad is, geldt

hetzelfde van ¢ (2:). We merken nog op, dat voor elke integreerbare functie g (z)

78 9?

lim fg (at) u. (z) dz=0 n—pan 0

geldt, hetgeen met behulp van de asymptotische formule gemakkelfik uit de stelling van RLEMANN-LEBFSGUE volgt, die leert, dat 1’

lim fg(:c)cosm:dz=0.

‘)

n—pn 0

Thans kunnen wii de stelling van DE LA VALLéE Poussm voor reeksen Ea..u,.'(:c) bewiizen; zij luidt: o Als lim a..=0 en als van £a.u,.(a:) de bovensom en do n—) a

0

ondersom beide in (0, 1r)

eimiz'g en integreerbaar 21in, behalve

misschien op een aftelbare verzameh'ng E, dan is de reeks een

ontwikkeli'ng. Bewtis.

Laat

f(:p)

een

13" ¢ (2:) 5f (9;) S 13* 4; (1;)

meetbare

geldt.

functie

zijn,

waarvoor

We zullen aantoonen, dat

game. (1:) de ontwikkeling is van

0

g (z) =f (z) + Q (2) 1b (2)Noemen

we

de

bovensom _s (1:)

en

de

ondersom

s (3:),

dan

volgt uit de Riemannsche stellingen, dat 1-)'¢ (2:) + Q (:5) ¢ (3:) en 2’95 (1:) + Q (1:) 4a (9:)

tusschen

de

integreerbare

functies

“3(2) +g(z>1 x";— [Han—gm] Essen; ook Hz) is dus integreerbaar en bovendien eindig, behalve misschien op E. Verder is .1. (z) overal in (0,1r) glad. Ann de voorwaarden van stelling A is due voldaan, zoodat

-) T. e. 2. 211.

79 w

u

¢(z)=/dy ff(t)dt+Az+B, o

0’

of

4.00:] dy/[g (0—0 (t) ¢ (m «it + Ax + B, o dus

15” (x) =9 (x) — Q (2:) ¢ (4:). Omdat % = O (71; ’ , convergeert —% % u, (z) geliilnnatig, dus

——:1 =]¢(z)un(z)dz. ”

(I

zoodat

a»=[ Mm) l—A.u.(a=)] dz=f Ms) lu."(z) + Q(£)u.(z)]d:c. 0

Must I

I

f .1: (1:)14.” (1:) dan: [¢.u,.’];’ -—/¢’ (2;) u.’ (:5) dz:

=[¢-un'lI—[¢’-uulg + [15” (z)u.(a:) dz: 6 =01 un’ (17) + 62 un’ (0) + ca 14... (1r) + c. 14.. (0) +

[[9 (x) — Q (I) ¢(:c)] u. (2)0116. 0

80 Met behulp van de randvoorwaarden kunnen we u...’ (1r) en u.’ (0) nog in u... (1r) en u. (0) uitdrukken, zoodat we kriigen I

a.=/ 9(16) u. (3) dz + Cu, (0) + Du. (r)0 Met behulp van de asymptotische formule voor u,I (z) komt e1voor 'n > 0 I

m=]9($)m(z)dx+ 0

+o[l/:+a-Ta‘”1+»[ emu/1+ Dear lima,=0 en Jim I g(:c)u,.(a:)da:=0, is ook n—ba

n—bao

lim [0 + (—1)nD].=0, n—fic

dus

C+D=0

en

C—D=0,

d.i.

C=D=0,

dus

«2.: f g (z) u» (3) dz, waarmee de stelh'ng van DE LA VALLéE Pm bewezen is. Tenslotte merken we nog op, dat de stelling 00k doorgaat voor reeksen E a.| 1),. (z), waarin I v. (z) I bet stelsel eigenfuncties is van 0 een randprobleem, zooals dat in hoofdstuk I, § 1 ingevoerd is en waarbfi aan Pugéo voldaan is. Door de in hoofdstuk III, § 6 genoemde transformatie gent I v. (z) I over in I u... (z)I . Voldoet Ed. 1),. (2) aan de voorwaarden, die bti de stelling van DE LA VALLéE 0

POUNN gesteld warden, dan geldt hetzelfde voor Emu. (9:), zoo0

81 dat deze reeks een ontwikkeling is.

Zooals in hoofdstuk IV, § 5

aangetoond werd, is dan ook £0” 11,. (z) een ontwikkeling. 0

§ 3.

Men kan de Riemannsche theorie van reeksen §a,. u. (z) 0

uit een nog algemeener gezichtspunt beachouwen; dit is gedaan door ZYGMUND in het geval, dat de randvoorwaarden van het

probleem, waarvan in. (1:) I bet stelsel eigenfuncties is, van het Sturmsche type ztin.

Zijn belchouwingen ziin zonder moeite ge-

schikt te maken voor het door ons beschouwde iets algemeenere geval.

We voeren de volgende definities in: Een verzameling E in

(0,1r)

heet een U.

voor het stelsel

M. (x) L wanneer elke reeks gout. (1:), die buiben E naar een o eindige, integreerbare functie f (x) M-sommeerbaar is en waarvoor lim a..=0, de ontwikkeling van f(1:) naar {un (1')} is. 15—) m

E heet een

U’., als van elke reeks 3‘. a. u. (1:), die buiten E near 0

nul M-sommeerbaar is en waarvan de coéfficienten naar nul convergeeren, alle coéfficienten nul zijn.

'

Het is duidelfik, dat een U. een U’. is. Het omgekeerde staat

niet vast.

Voor trigonometrische reeksen worden dezelfde bena-

mingen gebruikt, alleen wordt daar 't interval (—1r, 1r) besehouwd. De stellingen van ZYGMUND luiden nu: S to l l i n g ].

Elke U. voor trigonometrische reeksen, die geheel

in (0.1:) ligt, is oak een U. voor reekscn gout». (z). o Stelling 2.

Elke U. voor reeksen Emu... (z) is aok een Hg 0

new trigonometrische reeksen. Stelling 3.

De overeenkomstige bewen'ngen. gelden ten op-

zichte mm verzamelingem van het type U‘..

Bfi de bewiizen van deze stellingen hebben w'u' eenige stellingen uit de theorie der trigonometrische reeksen noodig; deze warden in § 4 behandeld.

82 § 4.

Ala men voor alle geheele n stelt (l_,, = “m

b—n = _‘ buy

2 ('u = “11"“ibn’

dan is ‘1'“0 + E (an 008 M? + bnhin M?) =§cn 9"”.

-u:

1

Men noemt hot tweede lid de ”complete vorm” van het eerste lid. 3

.

m

.

.

-

Ziin 2 c. em en 2‘. y. em twee tngonometnsche reeksen, dan heet - on

do reeks

E 0,. 9"”,

waarbij

0,. =3 c, 7n—p, ._

—¢

.-

=—m

hun formeel produkt, indien de som, die 0,. voorstelt, convergeert.

Nu golden de volgende stellingen: a) AL? lim c.=0 en Eyfle‘m is de Fourierreeks mm A (:6), "#9

—u

terwfil y,.=0(—’;1§), dan zii'n EC, 9"” en, £1). (1) .c,. 9W1 -9

—m

in — 11' S :2 5 1r geliikmatz'g aeqm'convergent. 1) ,8)

Laat E een verza/meh'ng mm type U. in (41,3) ziin.

Laat

verder a < a, < B1 < ,3 en de functie A (3;) in (a1, 3,) de waarde l, buiten («1,3) do waarde 0 hebben; wii denken am in (a, a1) en (Bu ,3) de functie zoo gedefinieerd, dat haar Fouriercoé'fficienten

r, lima..= 0 ($) ”a" Is f0”) 1"" (4,3) cindig en integreerbaa =lim bn=0 cm \

(M) fia‘, + E (a.I comm + busin mu) =f (1:) 1

2)

in (a, B), behalve misschien op E, dam is daze trigonometrische I) T. B. 11.42. 3) We herinneren er nan, dat M-sommeerbur in.

(M) 2an=a boteekent, dat S a” nam- s

83 reeks in (a,,fi,) gelfikmatig aeqm'convergent met de Fourier-reeks

van A (x) f (x). Bewiis.

(Buiten (a,,B) stellen we A (at) f (9:) =0).

Volgens stalling a) is A (:5) H 00 +;1(a,. cos nzr, + b,.sin n1)]

1 overal gelijkmatig aequiconvergent met het formeele produkt van de trigonometrische reeks en de Fourierreeks van A (1:).

Dear

A (3:) :1 in (a1, [3,), behoeven we slechts te bewijzen, dat dit formeele produkt de Fourierreeks van A (m) f (1;) is. Tengevolge van de genoemde aequiconvergentie convergeert het formeele produkt buiten (a, ,3) naar nul en is het M-sommeerbaar naar A (1:) f (at) in (a,B), behalve misschien op E. Het is dus overal in (—1r, 1r), op een U. na, M-sommeerbaar naar A(m)f(:c), zoodat het de Fourierreeks van A (1;) f (x) is. y)

0nder de in )3) over f(1;), an en b.I gemaakte ammo/men

mag de trigonometrische reeks term voor term over elk in («,3) gelegen internal geintegreerd warden. Bovmdien is voor a < J: < ,3 «a .1? " a, sin mp — b,I cos M; -7—+E ____._=ff(t)dt+(‘, 1

terwq'il

de

reeks

n

in

’f

linkerhfd

geliikmatig

convergeert

in

a + e S I S B — c. Bewi‘js.

In (a + e, ,B—e) is volgens stelling B) de trigono-

metrische reeks geliikmatig aequiconvergent met een Fourierreeks.

Daar deze term voor term ge'l'ntegreerd mag worden, geldt hetzelfde voor de trigonometrische reeks en, als 1:0 een vast punt in (0+2, fi—e) is, is in a+ anSfl—e geliikmatig

(.v _ 1'0) + 2'31, s_i_'_1."_-"’_:I_’."_°°s.'f‘f] :0 =j f (t) df. to

Door van 1:1 tot 1;, te integreeren (:1;l en :6, in ’t interval van

geltikmatige convergentie) zien we, dat ook

84 a.cosnz+b.sinnz “' n 4,] —

_ ——_2—_

(32 -‘ 1:1)

a..sinn.1:.,—-b..cosn:l:o n

———_

.MR

convergeert. Daar

ancosm: + businnxix’ ——n—’_—-_i 1‘:

convergeert, geldt hetzelfde van {A 1

H

an sin nzo — b, cos ms“ n

__—_

I

waarmee de stelling bewezen is.

§ 5.

We zullen nu de in § 3 genoemde stellingen bewtizen.

Bewtis van Stelling 1.

Last E, in (0,7) gelegen, een

U. zfin voor trigonometrische reeksen; haar complement. heete CE. but 2 a, u... (1;) (lim a..=0) op CE M~sommeerbaar ziin naar een 7| —D D

cindige, integreerbare f(:v); we moeben dun bewtizen dat

an: If”) u" (m)da:

is.

In hoofdstuk III hebben we bewezen, dat er een trigonometrische

— + 2 [(a.. + p») 0. (:c) + qnsin M]((on (m) =1/% comm) (5) pareel/j bestaat, die met Giana... (1:)

in 0 S 1:5 17 geltikmatig aequicon-

0

vergent is.

Deze reeks is samengesteld uit 2 a,I 0,. (z), uit de 1

gelijkmatig convergente reeks E p" c, (:0), die dus een Fourierreeks 0

is en uit de Fourierreeks Eq. sin me, die in OS 1: 5 1r geliikmatig

fl_u__($) sin n2. aequiconvergent is met 2 an——

Daar op CE

(M)'§a.un u. (x) =11 (w), 1

waarin

11(av)=f(av)——aoco (w) +§a.. 9",?)l

Volgens "'1 gegeven is de reeks in '1 linkerlid de ontwikkeling van g (x).

Bijgevolg is IShaun” (I) de ontwikkeling van 9(1) 4.1

+ .3: (it) 'I" (17) + 192 (33) 412(Z), zoodat

(13) €jmm(t)dt=[ [9(t) + Blah/1M) + p,(t)¢,(t)]dt, 0

0

waarbii de reeks in 't. linkerlid gelijkmatig convergeert. ”

3

.

.

..

.

.

.

2 an ATM sm nx lS gelukmatlg aequlconvergent met de Fourier-

1 reeks van )3, (x) 1/;1(:v) + 16,05) 50,015) en kan dus 00k term voor

a. (9:) term ge'integreerd worden, terw‘rjl hetzelfde geldt voor Ea” ? ,

1 zoodat

92 I

(14)

3'5 /[ a, @mntw‘, “”2"] «it: 1

n 0

1:

= [[3, (0 vi (0 + p, (t) v, (t) + 32a. “" n(2‘)] di0

00k bier convergeert de reeks in ’t linkerlid geltikmatig. Door aftrekking van (13) en (14) ontstaat

E fanc"(t)dt=/f(t)dt, 0

0

0

waarujt op dezelfde manier als bij Stelling 1 volgt, dat

an:

/f(t) 0,. (t) dt0

We laten nu de beperking, an E opgelegd, vallen. heat A (1:) een even functie van de periode 21r zfin, die 0 is in (0,11e) en (r—iefir), 1 is in (e,1r—e) en cosinuscoéfficienten heeft, die m

. 1

0 (5)111’11. Het formeele produkt van 2a, 6,. (:5) en de cosinusa reeks gun a. (2:) van A (1:) noemen we EA. 0,. (2:).

o

o

. (z) Is Educ 0

op CE naar f(:c)

M-sommeerbaar, dan is “EDA. c. (1:) volgens o stelh'ng a) op CE naar A (2:) f (1:) M-sommeerbaar. Deze reeks

voldoet nu wel aan de beperkende bepaling en is dus de cosinusreeks

van

A(.1:)f(.t).

In

‘t

inwendjge

van

(2, 1r—e)

en

(—2: + e, —e) is dus de cosinusreeks van A (1:) f (x) zoowel met de cosinusreeks van f (1:) als met £11,. 0,. (z) aequiconvergent. Bear

0 e willekenrig is, convergeert het verschil van de laatstgenoemde reeksen overal naar 0, behalve misschien in 0 en :I: 1r, zoodat vol0

.

gens de stelling van CANNR 2 a, c. (2:) de cosinusreeks van f (:c) IS.

0

93 Bew'n's van Stelling 3. Dit bewijs verloopt op dezelfde manier als die van de stelengen 1 en 2. Opme rking. In de bewezen stelh'ngen kan de sommeerbaar— heid naar f (1:) vervangen worden door het bestaan van onder- en bovensommen, die eindig en integreerbaar zijn buiten zekere verzameljngen E. In ’t. btizonder volgt op deze manier ook de stelling van DE LA VALLéE Poum voor reeksen gm. 1/... (as). 0

§ 6.

We zullen in deze paragraaf de zoogenaamde locali-

satiestelling voor reeksen 241.14,. (1:) bewiizen. o als volgt:

Deze luidt

Zii lim a..=lim a’n=0, n—bac

n—>=

¢.=—§—:"—u.(w>. 0

¢.=—°z°%'u.(x),

1|

0

n

¢ (w) = 1b. (as) — «#2 (I). Geldt nu. D’¢(a:) + Q(I)¢(z)=0 in

(a, b)

(OSa