Geometriai példatár [I.] [PDF]

Zitiervorschau

EÖ T V Ö S L O R Á N D T U D O M Á N Y E G Y E T E M TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Strohmajer János

GEOMETRIAI PÉLDATÁR I.

N E M Z E T I T A N K Ö N Y V K IA D Ó

BEVEZETÉS A Geometriai Példatár I. sikgeometriai feladatokat tartalmaz. A fel­ adatok összeállításában követtük a Hajós György: Bevezetés a geometriába c. egyetemi tankönyv felépítését. A példatár első része a feladatokat, a második része pedig az utmutatásokat .tartalmazza. Az egyes feladatcsoportokkal célszerű mindig a meg­ felelő elméleti anyaggal kapcsolatban foglalkozni és a feladatok megoldásá­ nál mindig tartsuk szem előtt azt, hogy m ire támaszkodhatunk. Egyes fel­ adatok később több ismeretre támaszkodva könnyebben oldhatók meg, de igyekezzünk mindig olyan megoldást keresni, amely nem támaszkodik ké­ sőbbi ismeretekre. A feladatokhoz tartozó útmutatások általában nem tekint­ hetők teljes megoldásnak. Szükséges á részletezés, a speciális helyzetek, esetek megvizsgálása is. Szerkesztési feladatok zöménél csak a m egszer­ kesztendő ábra elemzését szerepeltettük. Igyekezzünk önállóan megoldani a feladatokat. Csak akkor nézzük meg az útmutatást, ha hosszabb próbálko­ zás, gondolkodás után nem sikerült a feladat megoldását megtalálni. Lehe­ tőleg minél több megoldást keressünk egy-egy feladatra, annak ellenére, hogy az útmutatás mindegyik feladattal kapcsolatban csak egy-egy meg­ oldásmenetet tartalmaz. Gyakran előfordul, hogy az útmutatásban korábbi feladatra hivatkozunk. Pl. ha a 10. paragrafus 8. feladatára hivatkozunk, akkor ezt a következő módon jelöljük: 10. 8. A példatár harmadik része további feladatokat tartalmaz, mégpedig olyan csoportosításokban, amelynek mindégyike felöleli á sikgeometriából tanultakat. Ezekhez a feladatokhoz nem adtunk útmutatásokat. Végül felhívjuk a figyelmet a középiskolai tankönyvekben szereplő feladatokra is.

I.

1. 1,1

RÉSZ

§. Alapfogalmak

'Irányított szakaszok körében oldjuk meg a következő feladatokat:

1. Bizonyítsuk be, hogy egy egyenes A , B , C , ű mely sorrendjére

pontjainak bár­

A B + B C + C D -A D .

‘

2. Bizonyítsuk be, hogy ha az A 1 ., *A2 , . . . , A n pontok egy egyenesen vannak, akkor a pontok bármely sorrendjére

ACB. Bizonyítsuk be, hogy ha a C1 pont az ÁB oldal felezőpontja (azsc=CC, a c oldalhoz tartozó súlyvonal), akkor ACC1? < BCC, BE + E D + D C . 16. Legyen adva a sikban két pont, A és B . Bizonyítsuk be, hogy ha az A -bél induló félegyenes tetszőleges P pontja a félegyenesen A -tói távolodik, akkor a PA + PB összeg nem csökken! Határozzuk meg á sik azon pontjait is, amelyekre a PA + PB összeg nem változik.

17. Legyen adva a sikban két pont, A és B , és az A B sza­ kasz felezőm erőlegese legyen az e egyenes. Bizonyítsuk be, hogy ha az A -ból induló félegyenes tetszőleges P pontja a félegyenesen A -tói tá­ volodik, de ugyanabban a félsikban marad, mint A , akkor a P B - PA kü­ lönbség nem növekszik! Határozzuk meg a féléik azon pontjait is, amelyekre PB -P A nem változik! A C i-B C . 7. Mutassuk meg, hogy az r sugaru körbe irt háromszögek kerü­ letének alsó határa Ar , ha a kör középpontja nem fekszik a háromszö­ gön kivül. Érvényes-e ez az állitása az r sugaru körbe írt konvex sokszögre?

-

21

-

8.2

Külső pontból vont érintő; érintősokszög.

8. Egy 0 középpontú körhöz A -b ői vont érintőkön az érintési pontok legyenek B és C . A BC iv tetszőleges .pontjában vont érintő az AB érintőt egy X pontban, az AC érintőt pedig egy Y pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy' a) az XOY A állandó, b) AX+A Y+XY állandó, ha az X , Y pontok az érintőszakaszok belső pontjai. c) AX+A Y-XY állandó, ha az X , Y pontokat az érintőszakaszok nem tartalmazzák! 9. Mi azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekből egy adott f körhöz a) egyenlő hosszú érintőszakaszok húzhatók; b) húzott érintők szöge egyenlő. ÍÓ . Bizonyítsuk be, hogy az ABCDLF érintőhatszögben

Á & + C D + E F = B C + D E + FA . 11. Adott egy kör és az A B szakasz, mégpedig úgy, hogy végpont­ jai külső pontok legyenek. Az AB szákasz végpontjaiból a körhöz vont érintőszakaszok legyenek AT/ és ö T2 . Bizonyítsuk be, hogy az ÁB sza­ kasz nagyobb, egyenlő, vagy kisebb az ATj és összegénél aszerint, hogy az AB szi a kört.

BT2 érintőszakaszok

szakasz metszi, érinti vagy nem met­ ..•>

12. Az ABCD négyszög BC, CD és DA oldalai érintenek égy kört. Bizonyítsuk be, hogy AB +CD nagyobb, egyenlő vagy kisebb .(BC + DA ) -nál aszerint, hogy az AB oldal metszi, érinti vagy nem érinti az adott kört. 8.3

Két kör viszonylagos elhelyezkedése. 13. Legyen a

kör sugara r , a

köré pedig 3 r . Milyen

a két kör viszonylagos elhelyezkedése, ha a körök C centrálisára a) C = J r, , b) C - r, c) C = 5 r, ; d) ■■■ c = 4 r , e) C =2 r. '.

22

-

14. Két kör M közös pontján átmenő egyenes áz egyik kört még

A -bán, a másikat B -ben m etszi. Mikor lesz az AB szakasz a leg­ nagyobb? 15. Két m etsző kör egyik közös pontján át fektessünk olyan egyenest amelyből mindkét kör egyenlő húrt m etsz k i! 16. A K4 és

körök C pontban kívülről érintkezzenek és a közös

külső érintőszakaszok legyenek AB és A 1B1 , továbbá a C pontban vont közös érintőjük D ill. Dt pontban m esse ezeket a szakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy a) AC8 4 = Af CB, 4 = 90°, b) AD = DB, C)

a b

= a b ) oldalú ,

c 8- b 8 =

ahol Mf az CLoldalhoz tartozó magasság talppontja, é s ■At az Q oldal felezőpóntja! 20. Áz ABC derékszögű háromszög AB átfogóját E és D tok három egyenlő részre osztják. Állítás:

C D 8+ D E !í + C E z = - y

pon­

ABz.

21. Ha. AOBA =-60° és a szögtartomány /V pontja az OA szögszártól ö , az OB szögszártól pedig b távolságra van, mekkora az OM szakasz ? '

22. Jelölje két hasonló derékszögű háromszög m egfelelő oldalait a , mc , ill.

b , C , ill. Q . b', c , és az átfogóhoz tartozó magasságokat m'c . Bizonyítsuk be, hogy a) aa' + bb' = co’ , * aa'

bb'

mc

23. Az R sugaru kör köré Írjunk egyenlő szárú háromszöget 120 -o s szárszöggel. Mekkorák a háromszög oldalai? 24. Egy körnek OÁ és OB sugarai i20°-os szöget zárnak be. Számit.Biik ki azon kör sugarát, amely az QA, OB Sugarakat és a kört érinti. . 25. Bizonyítsuk be, hogy ha egy érintőtrapéz derékszögű, akkor a merőleges szár (c ) a párhuzamos oldalak (p ésti) harmonikus közepével egyenlő, azaz

-L = J - í-L c 2 l a

+ J -) . b J

26. Bizonyítsuk be, hogy a körlemez égy rögzített pontján átmenő és egymásra m erőleges két húr négyzetének összege állandó. 27.Tekintsük azr sugaru körben a kör középpontjától különböző M ponton átmenőkét egymásra merőleges AB és CD húrokat. - 34 -

Állítás:

, a) b)

,

- :

AB2 + CD2 > 4 / Á M *+ M B 2 + W

,

2* M

D * = 4 r z.

28. Két kör sugara A* és r , a két kör egymást kívülről érinti. Mekkora a két k ör közös, érintőszakaszának a hossza? 29. Két kör sugara R és r , a két kör egymást kívülről érinti. Mekkora a két kört;és azok közös külső érintőjét érintő kör sugara? 30. Két # sugaru kívülről érintkező kört és a közös érintőjüket érintse az sugaru kör, az R , R és /y sugaru kört érintse aZ r2 Sugaru kör, általában az rn sugaru kör érintse az R , R , rn 4 sugaru köröket. a) Mekkora lesz az /? -dik kör átmérője ? b) Az rf | ,. rn , . . . sugaru körök átmérőinek összege mihez tart, ha n minden határon túl növekszik ( /?-*• o o ) ? 31. Kétkör, O és

Oi középponttal, R ill. ^ R

sugárral A,

pontban belülről érinti egftt4 sk Számítsuk-ki azon Oe középpontú k ör’ sugarát, amely az ¿7 é| érinti! °

középponti köröket és az

OA ' egyenest

' 32. Egy /? sugaru negyedkör ivének egyik végpontjából mint kö­ zéppontból rajzoljunk ugyanakkor isugaru körivet,; amely a negyedkör ál­ tal meghatározott körcikkét két rész*?® vágja. Számitsuk ki áz egyes ré ­ szekbe irható körök sugarát* 33. írjunk egy félkor átmérője fölé két különböző, R és r sugaru félkört, amelyek egymást es az eredeti |élkört is érintik. Számitsuk ki a három félkört érintő kör Sugarát • 34. Az rf .., rz r egymást. Áz n, ,

£

sugarú körök páronként kívülről érintik

SUgaru körök koz ö t 1belső érintőjéből az r3 sugaru

kör mekkora húrt metsz ki ? 11.2

A háromszög Szögfelezőiről.

35. Adottak a háromszög a , szokra bontja fel az a oldalt az fa

6

, c .oldalai. Mekkora Szaka­ szögfelező?

36. Bizonyítsuk be, hogy az ABC A -ben ot=2(l akkor és csak akkor teljesül, ha

a 2 ¡= b z + b e . V - 35 -

37. Egy háromszögben

= 45 ° . Állítás:

a+c = b ) f l 38. AB és CD egy O középpontú körnek egymásra merőleges átmérői, az OD-1 felező E ponton áthalad az A F húr; AB és CF met­ széspontja G . Bizonyítsuk be, hogy a) AF = 2- B F • b) OB = 3- 06, c) CF = 3 -D F ■ , 39. Milyen tulajdonságú az a háromszög, amelynek két oldala és a harmadik oldalhoz tartozó szögfelezője között a következő összefüggés érvényes: ,

40. Bizonyítsuk be, hogy ha az ABC háromszög f c szögfelezője a C oldalt cf s ce szakaszokra bontja fel, akkor

f * = C L b - C t Cz 41. Számítsuk ki a háromszög f c oldalaiból!

szögfelezőjét a háromszög

42. Egy háromszög oldalainak aránya a:b :c = A:B- 6 . Bizonyítsuk be, hogy ekkor a legnagyobb szög kétszer akkora, mint a legkisebb szög! 43. Bizonyítsuk be, bármely háromszögben egy szögfelező röyidebb, mint a közrefogó oldalak mértani közepe! 44. A C -ben derékszögű ABC háromszögben meghúzzuk a derékszög szögfelezőjét, amely - ‘MIB -t D -ben metszi. D -ben m erő­ legest emelünk AB -r e ,a m e ly az AC egyenest E -ben és a BC egye­ nest / " -ben m etszi. Igazoljuk, hogy AD=DF é s BD = D E . 45. Egy adott szög szögfelezőjének egy pontján keresztül,két egye­ nest huzunk.Az egyik egyenes a szög száraiból a csúcstól számítva-fl és b , a másik pedig a ' é s b ‘ szakaszokat metsz le. Bizonyítandó, hogy

- 36 -

46. Az ABC A -ben megrajzoljuk az AD szögfelezőt, amely a BC oldalt D -ben metszi. D ponton át tetszésszerinti egyenest rajzolunk, amely az AB oldalegyenest E -ben, az A C oldalegyenest F -ben metszi. Igazoljuk, hogy

AB AC

■

11.3

BE A F CF A E •

:

Pontnak körre vonatkozó hatványa.

47. A kör a hosszúságú húrjának felezőpontján át rajzoljunk egy b hosszúságú húrt. Számítsuk ki, hogy milyen szakaszokra osztja az a húr a b húrt! 48. Ha az ű , b ■ > c oldalú háromszög b oldalának m erőleges vetiilete az a oldal egyenesén p\ akkor állitjuk hogy A"

c * = Q s+ b 2- E a p , \':'C* =' a z+ b 2 + 2 a p ,

vagy

c 2 = a* + b 2 a szerint, hogy a háromszög rékszög.

szöge hegyesszög, tompaszög vagy de­

49. Bizonyitsuk be, hogy az e egyenest A és B pontjában érintő, egymást m etsző körök metszéspontján átmenő egyenes az A B szakaszt mindig ugyanabban a pontban m etszi! 5 0 .-A kör AB átmérőjének végpontjaiból induló AD es BC hurok metszéspontja legyen E . Állitás:

.

AB* = A E - AD + BE

51. Az ABCD rombusz /lC ges P pontot. Bizonyitsuk be, hogy

BC.

átlóján vegyünk fel egy tetszőle­ *

A P •PC = A B * - PB 2. 52. Egy kör / hosszúságú húrját osszuk fel n egyenlő részre é s képezzük az osztőpontoknak a körre vonatkozó hatványát. Igazoljuk, hogy mindezen hatványok összege ' , :

-¿ M d l

37 -

,

I

53. Adva van két egymást metsző kör. Hol vannak azok a pontok, amelyek az egyik kör belsejében a másiknak pedig külsejében vannak és egyenlő a két körre vonatkozó hatványuk abszolút értéke?

'

*

54. Az ABC háromszögben a B csúcson átmenő és az AC oldalt az A pontban érintő kör a BC oldalegyenest másodszor a D pontban met­ szi. A C ponton átmenő és az AB oldalt az A pontban érintő kör a BC oldalegyenest m ásodszor az E pontban m etszi. Bizonyítsuk be, hogy

&)

bcz

=

b)

A D 2= A E 2 = D C - BE •

ab

2+

a c z± b c

d e

\

55. A k és k , körök M pontban kivülről érintkeznek. A k, kör M pontjától különböző A , B , C pontjaiból a k körhöz vont érintőszakaszok legyenek AT, , BT2 és CT^ . Bizonyitandó, hogy

AT,

E>C + CT3 - A B = BT, A C ,

ha az AC egyenes elválasztja a B pontot a k kör tol.

12. 12.1

§. Szabályos sokszög, a kör kerülete

* Szabályos sokszögek.

1. a.z ABC szabályos háromszög oldalait osszuk fel három egyenlő részre. Bizonyítsuk be, hogy az igy adódó pontók egy szabályos hátszög csúcsai! 2. Ha az egyenlő oldalú háromszög oldalainák,felezőpontjaiből a szomszédos oldalakba merőlegeseket bocsátunk, ezek a háromszögből egy hatszöget vágnak ki. Bizonyitandó, hogy ez a hatszög szabályos! 3. Rajzoljunk a szabályos hatszög oldalaira kifelé négyzeteket.

Bizonyítsuk be, hogy a négyzeteknek a hatszög csúcsaitól különböző csúcsai Szabályos tizenkétszöget alkotnak! 4. Bizonyítsuk be, hogy egy szabályos ötszög valamennyi átlója szabályos ötszöget határol. 5. Szabályos-e az olyan ABC D E

egyenlő oldalú ötszög, amely-

ben az AC , Aí) és BE áttók egyeniő hosszúak? 6. Legyenek A ■. B , C , D és E egy körbe irt szabályos öt­ szög csúcsai és M az AE köriv egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy

M B ■+. M D = M A + M C + M E .

-

38

-

7. Adott körbe beírunk és körülírunk két szabályos, ugyanolyan oldal számú sokszöget. Igazoljuk, hogy a kör sugara mértani középarányos a kö­ rülírt sokszög köré irt kör sugara és a beirt sokszögbe irt kor sugara kö­ zött! 8. Bizonyítsuk be, hogy áZ ABCDEFG érvényes az

J - = -L -

"

AB

szabályos hétszögben

+ -J -

AC

AD

összefüggés! 9. Legyen az r sugaru körbe irt szabályos tizennyolcszög egy oldala ct . Bizonyítsuk be, hogy

a3+

r3=

3ar2

10. Van-e olyan körbe irható sokszög, amelynek szögei egyenlők, oldalai azonban nem, vagy oldalai egyenlők, de szögei nem? 11. Van-e olyan érintő sokszög, amelynek oldalai egyenlők, szögéi azonban nem, vagy szögei egyenlők, de oldalai nem ? 4■ 12. Számítsuk ki adott sugaru kör köré irt Szabályos háromszög, négyszög és hatszög oldalát! 13.Legyen az r sugaru kör köré irt szabályos n-$s 2 n -s z ö g kerülete ^77 > Kgjn > és a körbe irt szabályos n - és 2n -szög ke­ rülete

kn ,.\kg . Bizonyítsuk be, hogy j'

-

¿K t'kn

'

a

_ t/V ^

*

.'n . n 14. Ha az ABCD négyzet E , F , 6 , H oldalfelezőpontjait összekötjük a szemközetes oldal végpontjaival, akkor ezek a szakaszok egy nyolcszöget határolnak. Szabályos-e ez a nyolcszög? 15. Legyen A1A2A3

szabályos sokszög, páratlan oldal­

számmal; a körülirt körön M legyen az Ai A2n+j

köriv pontja. Bizonyí­

tandó, hogy ha az M pontot összekötjük a sokszög csúcsaival, akkor a pá­ ros sorszámú csúcsokhoz vezető szakaszok összege egyenlő a páratlan s o r ­ számú csúcsokhoz vezető szákaszok,összegével. - 39 -

12. 2

Kör kerülete.

16. Adott az AB szakasz és azon két tetszőleges pont: M és N . Mutassuk ki, hogy az A M , M N és NB átmérőjű körök kerületeinek összege egyenlő az AB átmérőjű kör kerületével, ha Á ,M , N , B a sorrend! 17. Egy félkör AB átmérőjére szerkesszünk két egyenlő félkört, amelyek az adott félkört és egymást is érintik és a félkörök közt fennma­ radó sikrészben egy olyan kört, amely a három félkört érinti. Bizonyítsuk be, hogy ennek a körnek a kerülete az AB átmérőjű kör kerületének 1/3 r é s z e ! 18. Legyen A , B , C

a sik három egymáson kivüleső r

sugaru

körének középpontja. Ha AB =c , B C ~ a , CA = b, akkor mekkora e körök konvex burkának á kerülete ? Hogyan általánosítható áz eredmény n kör esetére. 19. Bizonyítsuk be, hogyha két különböző sugaru körön egyenlő hosszú iveket veszünk fel, akkor az ezekhez tartozó középponti szögek fo r­ dított arányban állnak a körök sugaraival! 20. Legyen egy kör két egymásra merőleges sugara OA és OB . Tekintsük az OA átmérőjű kört. Ennek OA -ra merőleges átmérője az OA egyenes ugyanazon az oldalán a köröket N , illetve M pontokban metszi. Mekkora az NMOB idom kerülete?

13. §. Terület 13.1

Sokszögek területe.

1. Az ABC három szög A , B , C csúcsait tükrözzük rendre , a J , C , A pontokra. Az igy kapott A'B'C' háromszög területe hányszo­ rosa az eredeti tíáromszög területének? 2. Tükrözzük az ÁBCD konvéx négyszög A ,. B ^ C , D Csú­ csait rendre a B , C , O, A pontokra. Az igy kapott A'Ő'C'B’négy­ szög területe hányszorosa az ABCD négyszög területének? 3. A z ABC háromszög BC oldalának az A csúcson áthaladó külső szögfelezőn való merőleges vetülete legyen B'C'. Az ^A csúcsból induló belső szögfelező a BC oldalt D pontban metszi. Állitás:

T i A B C ) = T f B 'C 'D ) . 4. Egy konvex négyszög átlóinak felezőpontjain át huzzunk a másik átlóval párhuzamost. Bizonyítsuk be, hogy e párhuzamosok metszéspont­ ját a négyszög oldalfelezőpontjaival összekötő egyenesek a négyszöget egyen­ lő területű részekre bontják! .n _

5. Az ÁBCD konvex négyszögben az AB oldalfelezőpontja E , CD oldalfelezőpontja pedig F . Legyen G az AF és DE szakaszok m e tszé sp o n tja ,// pedig a BF és EC szakaszoké. Bizonyítsuk b|^ hogy

T (A G D ) + T (B C H ) = T ( F G E H ) .

.

6. Jelölje

pi , p£,

p3

az oldalaktól való távolságút,

aháromszög belsejében levő P pontnak

m1 ,m2 és m3 pedig a háromszög

meg­

felelő magasságait. Állitás: 4

mi

mz

+. -B ± /m f". m5

,

7. Legyen P áz ABC háromszög belső pontjá, Az A P , BP , CP egyenesek metszéspontja a szemközti oldalon, legyen >4, , -0/ » C, . Bizonyítsuk be, hogy

AP

BP^

PA, ’

PB , '

CP PC,

'

között van olyan, amelyik nem nagyobb, és olyan is, amelyik nem kisebb, ■ mint ¿ . 8. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög fha , m #, ■ ■mc - magassá­ gainak reeiprokaira érvényes a háromszög-egyenlőtlenségl 9. Égy parallelogramma belsejében felvett P ponton keresztül huzzunk olyan egyenest, amely a parallelogrammából a legkisebb területű darabot vágja le! 10. A négyzet átlóján felvett P ponton át huzzunk a négyzet olda­ laival párhuzamosakat; ezáltal a négyzetet két négyzetre és két téglalapra bontottuk fel. Mutassuk ki, hogy a két négyzet területének összege nem kisebb a két téglalap területének összegénél! ; 11. Bizonyítandó, hogy egy parallelogrammába irt háromszög te­ rületé nem nagyobb a parallelogramma területének felénél. 12. Rajzoljunk egy egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalai fölé kifelé négyzeteket. Határozzuk meg a négyzetek középpontjai által meghatározott háromszög területét, ha ism eretes az egyenlő oldalú derék­ szögű háromszög b befogója!

- 41 -

M ,

13. 'Az.ABC szabályos háromszög AB, BC , CA N pontok rendre 1:2 arányban osztják. Ha azABC

rom sztg old a la G , mekkora az ZA W

oldalait az L , szabályos háháromszög területe?

14. Az ABCD négyzet oldala a és területe T . A K L N N négyzetet, amelynek területe t , beírjuk az ABCD négyzetbe. .Ha a A'pont az AB oldalra illeszkedik és t : T-25A9, akkor mekkora az AK. szakasz? 15. Az a

oldalú

ABCD

négyzetbe beírjuk a

/ ■.

= re r ^ rs

.

7. Az 4AÓ73 trapéz ABC , BCD > CDA , csúcsai köré irt körök sugarai rendre , , r2 > 0 ? hogy :

^

ahol 4 C és B D a trapéz átlói. . '’

'

- 45 -

háromszögek

r4 • Mutassuk ki,

8 . E g y egyenesen kijelöltünk négy pontot, az A , B , C és D pon tokát, az egyenesen kivül pedig egy P pontot. Két kört rajzolunk: az egyik átmegy: a P , A és B , a másik a P , C és D pontokon. A két körnek másik metszéspontja P \ j . . a) Igazoljuk, hogy bárhol vesszük is tel a P pntot, a P P egye­ nes a megadott egyenest mindig ugyanabban aipontban metszi-, b) Határozzuk meg, hogy hol lehet á '|Ppont, haa két kör egymást

■érinti!

/ j■

■.

ABCD szemköztes ¡oldalainak metszéspontjai • legyenek E és F . Bizonyítsuk be, hogy ai D C F , ECB , PAB és E A D háromszögek köré irt köröknek van egy közös pontjuk (Miquel9. Az

n é g y s z ö g

féle pont)! 14.2

■

>

A háromszög magasságpontja. 10. A háromszög magasságpontja a háromszög a) melyik csúcsához esik a legközelebb? b) melyik oldalához esik a legközelebb? .

11. .Bizonyítsuk' be, hogy a háromszög bármely csúcsának távolsága a magasságponttól kétszer akkora, mint a körülirt kör középpontjának tá­ volsága e csúccsal szemköztes oldaltól! ' . 12. Tükrözzük a háromszög magasságpontját a háromszög oldalaira és oldalfelezőpontjaira. Bizonyítsuk be, hogy a tükörképek a háromszög köré irt körön vannak! 13. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságainak talppontjai legyenek A1 , B1 , Q . Bizonyítsuk be, hogy az ABC - h á r o m - . / szög magasságai az A1B1Ci

háromszög (talpponti háromszög) szög­

felezői. 14. Bizonyítsuk be, hogy az ÁBC hegyesszögű vagy tompa- szögű háromszög csúcsait a háromszög köré irhatő kör középpontjával öszszekötő egyenesek merőlegesek a talpponti háromszög oldalaira! 15. Igazoljuk, hogy az A B C D húrnégyszögben az ABC , ACD , BDA BBC háromszögek magasságpontjai az ABCD -vei egybevágó négyszö get határoznak meg! 16. Az ABC hegyes- (vagy tompa-) szögű egyenlő szárú három­ szög M magasságpontja és C csúcsa közti távolság felével rajzoljunk kört, amely az AB alapot Cf felezőpontjában érinti felülről (vagy alul­ ról) .* Mutassuk ki, hogy a C csúcsból ezen körhöz vont érintőszakaszok az alap felével egyenlők!

- 46 -

17. Kössük össze a háromszög magasságpontját az egyik csúccsal. Bizonyítsuk be, hogy e távolság négyzetének és a választott esu'ccsal szem ­ közti oldal négyzetének összege egyenlő a körülirt kör átmérőjének négy­ zetével! 18. Az ABC háromszög magasságai A D , B E , C F ságpontja M . Fejezzük ki az

A D A M + B E B M + CF CM kifejezés éítékét a háromszög a , b , 14.3

C

és magas­

/

oldalaival.

A háromszög súlypontja.

.

;

19. A háromszög súlypontja a három szög. melyik oldalához és m e­ lyik csúcsához esik a legközelebb? 20. A háromszög melyik súlyvonala a legrövidebb ? 21. Igazoljuk, hogy az A B C .háromszög sa , S £ , Sc vonalaira

súly­

j - 4 < s Q + sb + s c < 2 s ,

ahol S a háromszög kerületének léié. -

-

22. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög súlyvonalai kielégítik a há­ romszög-egyenlőtlenségeket! 23. Legyen a z A B C háromszög /területe T alkotott háromszög területe t . Bizonyítsuk be, hogy

T ■t

= 4 •• 3 .

.

, Súlyvonalaiból

■

24. Az ABCD konvex négyszöget egy-egy átlója két háromszögre bontja fel. Igazoljuk, hogy az ABC , ADC , és BDC , BOA ^három­ szögek súlypontjai által meghatározott négyszög hasonló az eredetihez! ezen a

25. Az AB szakaszra a C felezőpontjában m erőlegest állítunk, D , E , F pontokat úgy jelöljük ki, hogy

s Száülitsuk k i az

’

C D ~ DE = E F

= AC

-

A D B 4 +AEB A2 , A j , B2 , Bj .

Bizonyítandó,

és A3 B3C3 háromszögeknek közös a súlypontja!

A ,Ä ,Q

28. Igazoljuk, hogy ha az ABC háromszög ^ súlypontján át tetszőlegesen vont egyenes a háromszög köré irt kört P és Q pontok­ ban m etszi, akkor

S P - S Q = - í - ( A B z + B C Z+ CAZ)

29. Bizonyítsuk be, hogy az A B C a körülirt körre vonalkozó hatványa

H ( 5 y = i r ? ( sa + ahol Sa 14,4

Sb ,

háromszög S

sb +

súlypontjának

5c ) >

Sc - a háromszög súlyvonalai.

A háromszög oldalegyeneseit érintő körök.

30. Számítsuk ki az egyenlő Szárú háromszög oldalait, ha ism er­ jük az alaphoz tartozó magasságát és a beirt kör sugarát! 31. A háromszög beirt körének középpontja melyik csúcshoz esik a legközelebb? 32. Bizonyitsuk be, hogy az egyenlő szárú háromszög szárához irt kör sugara az egyenlő szárú háromszög magasságával egyenlő'!

aj;

? = y / a + b -c ) ,

b)

9a = Í ( a - b + c ) ,

°)‘

9c *

f b = J^ ( ~ P + b 'hc)>

j(a + b i-c ) , - 48 -

34. Az ABC derékszögű háromszög beirt köre az AB átfogót pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög területe egyenlő az ACi C1B szorzattal. 35. Bizonyítsuk be, hogy a derékszögű háromszögbe, irt kör sugara mindegyik befogó felénél és az átfogó ^ részénél kisebb! 36. Igazoljuk, hogy az

OA< £ ahol p

a beirt kör sugara, m

ABC

derékszögű háromszögben

< 0,5 , pedig az átfogóhoz tartozó magasság.

37. A derékszögű háromszög kerülete rák az oldalai ?

2s , területe T . Mekko­

38. Az ABC derékszögű háromszög C csúcsából a C át­ fogóra bocsátott merőleges talppontja legyen D , az ABC , A C D , ill. BCD háromszögbe irhatő kör középpontja O , 0 / , 02 ; Igazoljuk, ' hogy CO = 0 t 02 . 3'9. Az -ABC: derékszögű háromszög átfogójához irt kör a CA be­ fogó egyenesét az M , a CB befogó egyenesét pedig az N pontban érinti. Igazoljuk, hogy j

(C M + C N ) < AB < 4 f(C M + C N ) .

1

40. Bizonyítsuk be, hogy a háromszögbe irt kör átmérője kisebb a három szög bármelyik magasságánál! 41. Egy Q. , b , C oldalú háromszög beirt körének sugara hozzáirt köröké pQ , p^ , p Bizonyitsűk be* hogy.

p ,

42. Bizonyítandó, hogy tetszőleges háromszögben két magasság reciprok értékének összege a beirt kör sugarának és átmérőjének recip rok értéke közé esik! 43. Ha a háromszög beirt körének sugara sugarai , pb , p c , akkor

J -+

J -

9a

p , a hozzáirt körök

+ J - .- L .

9b

9c

9

44. Ha az A B C háromszög A csúcsából az a oldalt a BA és CA oldalakon kifelé felmérjük, kapjuk az A f és A / pontokat; hasonlóan aB ill.

C

ill. a C1 ,Ce

Ő , ' i l l . ' C oldalt felm érve, a Bf , p s ,

csúcsokból a

pontokhoz jutunk. Mutassuk ki, hogy az

Bz , C1". , Cz

Ai ,

Az , Bit

pontok egy körön vannak !

45. A háromszögbe irt körhöz, az a , b , C Oldalakkal párhu­ zamos érintőknek a háromszög belsejében levő szakaszai legyenek rendre at , bf , Cf .... ÁllitáS: -

S í_ + J A + A . = y ' a b e

■■■'■

'

46. Rajzoljuk meg azt a négy kört, amelyek érintik egy háromszög oldalegyeneseit. Bizonyitsuk be, hogy a beirt és bármelyik hozzáírt kör negyedik közös érintője párhuzamos a másik két hozzáirt kör negyedik kö­ zös érintőjével. ■ i 47. Az ABC A -b e Írjunk négyzetet úgy, hogy egyik oldala a há­ rom szög legnagyobb oldalán legyen. Ha a négyzet oldala X , a beirt kör sugara p , akkor

p


b)

,

és

; szakasz. Szerkesszük meg az

ha

x - px + q ^ 0 .

51 -

X szakaszt,

3. Szerkesszük meg az

x2 - px

0

egyénlet gyökeinek abszolút értékével egyenlő szakaszokat, ha adva, van­ nak a p és Cfr szakaszok. 4. Adott a és b szakaszok esetében szerkesszük meg a követ­ kező összefüggéssel meghatározott X szakaszt:

x ( a

a

b

és b harmonikus középarányosa).

15.2 A háromszög oldalai a , b , c ; szögei oc, fi , ? \ az egyes olda­ lakhoz, tartozó súlyvonalai Sfa >Sfo , és sc ; magasságai fna , mb és

mc , szögfelezői

fa ,

f b é s fc ’ félkerülete s , a beirt kör sugara p,

a körülirt kör sugara r . 5. Szerkesztendő háromszög, ha adott a)

2s ,

b)

■% i .

ot , m a -,

m)

a,

b,

a,

oc, sa ;

n)

a,

m Q , fQ ;

d)

a,

oc, fa ;

o)

mQ , mb > rhc ;

e)

o, c - b ( c ^ b ) , p ; c ( c > b ) , t f -f i i

f) g)

ma *

fa >

h)

5íz '

% ' mc >

f)

sa > \sb ,

ű,

oc,

r)

;

s> ,

4)

U)

ma i

s b> sc j

j) k)

p)

oc, 'fa,

fc >

s ;

ma > fa > 9 > a, r'

c l

,$ y 00 ;

2 s ; p , ex ; ma > fa > s a

;

- 52 -

6. Szerkesszünk háromszöget, ha adott az a és juk, hogy oc= 2/3 . 7. Szerkesszük meg az ABC a BBi =sb súlyvonal és az ABBf

c oldala, és tud­

háromszöget, ba adott a BC=Q oldal, szög.

8. Egy háromszögnek rajzban adott az A D magasságpontja. Szerkesszük meg a háromszöget!

szögfelezője és az M

9. Szerkesszünk háromszöget, ha ismerjük az egyik súlyvonal hosz. szát és azon háromszögek köré irható körök sugarait, amelyekre ez a súly­ vonal a háromszöget osztja ., 10. Szerkesszünk háromszöget ha ismerjük két oldalát, és tudjuk, hogy oc , /3 = 4 - 2 .

a -t és b -t

11. Háromszög szerkesztendő, ha ism eretesek a háromszög körül­ irt körén a magasságvonalak metszéspontjai. 12. 'Szerkesztendő az ABC A , ha adva van az AB , BC , CA oldalán egy-egyppnt, az M , N ,

CP = j

P úgy, hogy AM = y A B , B N = ^BC,

CA .

13. Szerkesszünk hárotaszöget, ha adva van két szöge, valamint a beirt és á körülirt kör középpontja közti távolság! 14. Szerkesszünk egyenlő szárú háromszöget, ha adva van az alapon fekvő szöge, továbbá az alaphoz és az egyik szárhoz tartozó magasságok Összege: rnQ + m b = l. 15. Szerkesszünk egyenlő szárú háromszögét, ha ismerjük a szá­ rak szögét és a szárakhoz tartozó súlyvonalakat. 16. Szerkesztendő egyenlő szárú háromszög, ha adott a szárhoz tar­ tozó magasság és a beirt körnek szárakra illeszkedő érintési pontjait > ' összekötő szakasz! 17. ;Szé.rkeszténdff derékszögű háromszög, ha ismerjük, hogy az egyik, hegyesszög szögfelezője milyen arányban osztja a megadott szemkoztés oldalt ( p < q ). 18. Szerkesszük meg a derékszögű háromszöget, ha adott az átfogó C és tudjuk azt, hogy az átfogóhoz tartozó súlyvonal mértani középará­ nyos a két befogó között:. 19. Adott a derékszögű háromszög egyik befogója ■'(a), és a másik befogónak {£>) az átfogóra vonatkozó vetülete \p). Szerkesztendő a derék­ szögű háromszög. - 53 -

20. Szerkesztendő derékszögű háromszög, ha adott a+ c és b+c, ahc j. és b a befogók, c pedig az átfogó. 21. Az ABC tot úgy, hogy az A D 2°

ABC

Szerkesszük meg az

ján azt az X 15.3

háromszög BC oldalán szerkesszük meg a D pon­ szakaszra: A D - V B D D C •

pontot, amelyre

derékszögű háromszög AB átfogó­

XA ■X B -

a. 2 ; b z .

Négyszögek szerkesztése. 23. Szerkesszünk parallelogrammát a szögeiből és az átlóiból! 24. Szerkesszünk trapézt, ha adva van négy oldala! 25. Szerkesszünk trapézt, ha adva van a két alapja és a két átlója!

26. Adott egy szög és egyik szárán az A és & pont. Fektessünk párhuzamos egyenéseket ezeken a pontokon keresztül úgy, hogy a szög szárai által kimetszett szakaszok összege megadott Szakasszal legyen egyenlő. ?7. Szerkesszünk négyszöget három oldalából és a negyediken fekvő két szögéből ! 28, Szerkesszünk négyszöget, ha adott négy öldala és két szemköz­ tes oldalegyenesének a szöge! i

2^. . Szerkesszünk négyszöget négy oldalából és egyik középvoná-

"■ Iából! 30. Szerkesszünk téglalapot, "ha ismerjük az egyik oldalát és tud­ juk, hogy a másik oldal mértani középarányos az adott oldal és a kerület " között. 31.; Szerkesztendő egy adott a négyzet! ^

oldalú négyzetbe egy

b

oldalú

32. Szerkesszünk négyzetet, ha adott az egyik csúcsa és a vele szemközetes csúcsba futó két él egy-egy pontja! 33. Szerkesszünk négyzetet, ha adott a négyzet mindegyik oldalá­ nak egy-egy pontja! : !5-4

' 34. Szerkesszünk adott háromszögbe olyan négyzetet, amelynek két csúcsa a háromszög egyik oldalára esik, a piásik két csúcsa pédig egy-egy további oldalra illeszkedik.

- 54

35, Szerkesszünk adott körcikkbe négyzetet úgy, hogy két csúcsa a körivre essék, a másik két csúcsa pedig a határoló sugarakra illeszkedjék. 36, Szerkesszünk adott körsZeletbe négyzetet úgy, hogy két csú­ csa a hurrá, a másik két csúcsa pedig a körszeletet határoló körivre essék; 37, Adott körbe szerkesszünk adott háromszöghöz hasonló három­ szöget! 38» Szerkesszünk adott háromszög köré egy másik adott háromszög­ gel egybevágó háromszögét! 39. Szerkesszünk adott háromszögbe egy másik adott háromszöggel egybevágó háromszöget! 40. Adott egy háromszög. Szerkesszünk két egyenlő sugaru kört úgy, hogy mihd a két kör érintse a háromszög két oldalát és éZenkivül egymást is érintsék. 41. Adott egy szögtartomány belsejében két pont. Szerkesztendő olyan egyénlőszáru háromszög, amelynek alakja illeszkedik a^szog egyik szárára, szárai áthaladnak egy-egy megadott ponton és a csúcsa pedig le ­ gyen a szög másik szárán! 15.5

Körrel kapcsolatos szerkesztések.

42. Szerkesszünk olyan kört, amely adott a , b , mindegyikéből adott' d hosszúságú húrt metsz ki!

C

egyenesek

43. Szerkesszünk olyan kört, amely érint két egyenest és áthalad egy adott ponton! 44; Szerkesszünk olyan kört, amely érint két adott egyenest és egy adott kört. 45. Szerkesszünk olyan kört, amely egy adott egyenest és egy adott kört érint, mégpedig a kört egy ipegadott pontjában. 46. Szerkesszünk olyan kört, amely egy adott kört és egy adott egyenest érint, mégpedig az egyenest egy megadott pontjában. 47. Szerkesszünk két adott ponton átmenő adott egyenest érintő .■.kört!: ■kört!

48. Szerkesszünk két adott ponton átmenő és egy adott kört érintő •

49. Szerkesszünk olyan egyenlő szárú háromszpget, amelynek s z á r szöge adott {oc) , továbbá alapjának végpontjai egy-egy adott körre essenek. a»csucsa pedig egy adott pontban legyen! ■

■- 55 -

. .1

A körök egyike, vagy mindegyik helyettesithető-e egyenessel? ■ Szövegezzük még a feladatot speciális oC -r a ! 50. A kör belsejében adott ponton át szerkesszünk olyan húrt, amely­ nek hossza adott szakasszal egyenlő. 51. Adott egy kör és azon két pont: Á és B . Szerkesszük meg a körön azt a P pontot, amelyre nézve

PA -P B = 2 : 3 . 52. Egy körben adott két egymással párhuzamos húr. Szerkesszünk olyan harmadik húrt, amelyet az előbbi kettő három egyenlő szakaszra oszt! 53. Adott egy kör, egy egyenes és egy pont. Az adott pontra illeszszünk úgy egy szakaszt, hogy egyik végpontja a körön legyen, a másik pedig az egyenesen, és az adott pont a szakasz felezőpontja legyen. 54. Adott az m, n szakasz, egy kör és a körön kivül levő P pont.. A P -xe illeszkedő Szelő A és B pontokban messe a kört. Szerkesszük m ega P pontra illeszkedő szelőt úgy, hogy

PA

•• A B = m : n

legyen. 55. Adott az e Szerkesszük meg az 9 egyenes kétszer akkora XB félegyenes az XD nesek együttese az 6

egyenes, és az egyik félsikban az A és B pont. egyenesen az X pontot úgy, hogy az XA fél­ Szögben hajoljon az XC félegyeneshez, mint az félegyeneshez, ha az XC és az XD félegye­ egyenes.

56. Adva van egy C csúcsú derékszög egyik szárán két pont, A és B és B legyen a CA szakasznak pontja. Keressük meg a derékszög má­ sik száron azt az X pontot, amelynél BXA