Etude des series de Chebyshev solutions d'equations diff. holonomes [PhD Thesis ed.] [PDF]

Zitiervorschau

THE SE presentee par

Lu REBILLARD pour obtenir le grade de DOCTEUR de l'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE (Arr^ete ministeriel du 30 mars 1992) (spe ialite : Mathematiques Appliquees)

Etude theorique et algorithmique des series de Chebyshev solutions d'equations dierentielles holonomes

Date de soutenan e : 6 juillet 1998 Composition du Jury :

P.-J. LAURENT (president) A. RONVEAUX (rapporteur) J. VAN ISEGHEM (rapporteur) C. CHAFFY (examinateur) J. DELLA DORA (examinateur) These preparee au sein du Laboratoire LMC-IMAG

A la memoire de Jean-Christophe Blan

3

Remer iements Je remer ie Jean Della Dora, mon dire teur de these, pour la on an e qu'il m'a a

ordee, pour le re ul qu'il m'a apporte par ses judi ieuses remarques et pour la bonne humeur qui l'a

ompagne en permanen e. Claudine Chay a propose le sujet de ette these, elle a suivi et soutenu ma progression ave une grande attention, elle a ete, en n et surtout, d'un onstant soutien moral. De tout ela, je lui suis in niment re onnaissant. Moulay Barkatou m'a ete d'une aide pre ieuse par ses onnaissan es sur les operateurs aux dieren es, l'asymptotique Gevrey et la theorie de la resommation. Je l'en remer ie

haleureusement. Monsieur Pierre-Jean Laurent m'a fait l'honneur immense d'^etre mon president de jury. Cet honneur est a la hauteur de l'estime et de l'admiration que j'ai pour lui. Mes remer iements vont aussi a mes rapporteurs. J'exprime ma gratitude envers Madame Jeannette Van Iseghem qui a onsenti de grands eorts pour se plier a des ontraintes de dates et d'horaires tres in onfortables. Je remer ie Monsieur Andre Ronveaux pour sa rele ture experte de mon memoire, ses onseils avises et le soutien qu'il a apporte a mon enthousiasme pour l'appro he hypergeometrique des polyn^omes orthogonaux lassiques. En n, je remer ie tous les membres de l'equipe Cal ul Formel au sein de laquelle j'ai bene ie de onditions de travail ideales en termes de ompeten es, d'e oute et d'en ouragements.

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6

Table des matieres Index des notations

11

Introdu tion

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I Appro he algorithmique des series orthogonales

17

1 Series orthogonales

19

1.1 Operations formelles sur les series de fon tions . . . . . 1.1.1 Exemple introdu tif : les series de Taylor . . . . 1.1.2 Operateurs aux dieren es . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Series formelles de fon tions . . . . . . . . . . . . 1.1.4 La transformation de Mellin formelle . . . . . . . 1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Rappels sur les polyn^omes orthogonaux . . . . . 1.2.2 Polyn^omes hypergeometriques . . . . . . . . . . . 1.2.3 Polyn^omes hypergeometriques et orthogonalite . 1.2.4 Identi ation des polyn^omes hypergeometriques . 1.2.5 Relations dieren es-dierentielles . . . . . . . . 1.3 Des polyn^omes aux series . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 A tion d'un operateur dierentiel . . . . . . . . . 1.3.2 Appli ation : onstru tion de re urren es . . . . 1.4 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Outils informatiques pour les series orthogonales

2.1 Representation des series orthogonales . . . . . . . . . 2.1.1 Series : la stru ture OS . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Series partielles : la stru ture OSP . . . . . . . 2.2 Operations sur les series . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Operations elementaires sur les series . . . . . . 2.2.2 Operations elementaires sur les series partielles 2.2.3 Autres operations . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Series de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

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53 53 53 54 57 57 58 58 60 62

II Etude theorique et pratique des series de Chebyshev

63

3 Series de Chebyshev et equations dierentielles

65

3.1 Introdu tion : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equations dierentielles holonomes . . . . . . 3.1.2 Series de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev 3.2.1 Series de Chebyshev sur un segment [a; b℄ . . 3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels . . . . 3.3.1 Le s hema general . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Utilisation de la relation de stru ture . . . . . 3.4 Autres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Produit de polyn^omes de Chebyshev . . . . . 3.4.2 Integration des series de Chebyshev . . . . . 3.4.3 Derivation dans la base de Chebyshev . . . . 3.4.4 Composition de polyn^omes de Chebyshev . . 3.5 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev . . . . . . . . . . 4.1.1 Remarques preliminaires sur la re urren e de Chebyshev . 4.1.2 Proprietes des operateurs elementaires . . . . . . . . . . . 4.1.3 Un regard nouveau sur d'autres methodes . . . . . . . . . 4.1.4 Forme polynomiale de la re urren e de Chebyshev . . . . 4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev . . . . . . . 4.2.1 Fa torisation des re urren es de Chebyshev . . . . . . . . 4.2.2 Inversion de la re urren e de Chebyshev . . . . . . . . . . 4.2.3 Series de Chebyshev Holonomes . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Etude de la re urren e de Chebyshev

5 Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO

5.1 Introdu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Cas des fra tions rationnelles . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Etude des solutions formelles : appro he indire te . . . . . 5.3.1 Equations aux dieren es-Equations dierentielles 5.3.2 Polygone de Newton d'un operateur dierentiel . . 5.3.3 Un theoreme de Ramis . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Appli ation aux series de Chebyshev . . . . . . . . 5.3.5 En resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Polygone de Newton-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Transformee de Mellin de L . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Polygone de Newton de L^ . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 De nition du polygone de Newton-Chebyshev . . . 5.5 Forme expli ite de solutions formelles . . . . . . . . . . . 5.6 Resommation de series de Chebyshev . . . . . . . . . . . . 8

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65 65 66 67 74 77 77 83 85 85 92 93 93 95

97

98 98 100 102 108 112 112 116 118 123

125 125 127 127 128 129 130 131 132 134 135 135 136 138 142 143 148

5.6.1 Resommation par prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . 148 5.6.2 Resommation par le pro ede de Borel-Lapla e . . . . . . . . . . . . . 150 5.7 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Appli ation a la resolution numerique des equations dierentielles 6.1 Une methode de resolution . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 La  -methode de Lan zos . . . . . . . . . . 6.1.2 Analyse d'erreur a posteriori . . . . . . . . 6.1.3 Convergen e . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Remarques sur la methode . . . . . . . . . 6.2 Appli ations et exemples . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Integration sur un hemin . . . . . . . . . . 6.2.2 Systemes dierentiels . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Singularites irregulieres . . . . . . . . . . . 6.2.4 Equations non-lineaires . . . . . . . . . . . 6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle . 6.3.1 Approximant global . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Approximation rationnelle : les  -fra tions . 6.4 Con lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Con lusion

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155 155 161 162 162 165 167 167 168 170 171 174 174 177 183

185

9

10

Notations Nous reportons i i ertaines des notations les plus usitees dans e memoire. La liste qui suit permet un rappel de notation en ours de le ture mais ne se substitue pas a une de nition de haque item dans le texte. Derivations et operateurs dierentiels :

x x x k;x k;x

d dx x dxd

(x2 (x2

derivation ordinaire derivation d'Euler

(x2 1) dxd 1) dxd + (2k + 1)x

1) dxd 2 + (2k + 1)x dxd 2

Operateurs aux dieren es : I E

I(an ) = an E(an ) = an+1

operateur d'identite operateur de de alage

Operateurs aux dieren es asso ies aux series de Chebyshev :


r X0 Xk

E

1

E

2n (n 1)E 1 + (n + 1)E E+E 1 2 (n + k)E + (n k)E 2n

1

Remarque : on notera la de nition des operateurs
et r qui ne representent pas

i i, ontrairement a un usage assez repandu dans la litterature sur les operateurs aux dieren es, les derivees dis retes : E I et I E 1 . 11

Fon tions de nies sur C : w v l r

M

z+z 1 2 z z 1 z 7! 2 z 7! jz 1j + jz + 1j z 7!

z 7!

l(z ) +

p

l(z )2

4

2 designe l'ensemble des fon tions analytiques sur C sauf en un nombre ni de points.

Autres notations :

Æn;m (a)n

1 si m = n ; 0 sinon a(a + 1) : : : (a + n 1)

n!!

1:3:5 : : : (2n 1) =

M

symbole de Krone ker notation de Po hhammer

(2n)! 2n n!

transformation de Mellin

12

Introdu tion Le travail presente de e memoire de these se propose d'etudier divers problemes mathematiques et algorithmiques lies a la re her he de series de Chebyshev solutions d'une equation dierentielle holonome generique

Ly = pr (x)y(r) +


+ pk (x)y(k) +


+ p0 (x)y = q(x) :

(1)

Le quali atif holonome prend dierents sens selon les ontextes mathematiques : dans

e memoire il signi era lineaire a oeÆ ients polyn^omiaux et quali era aussi bien une equation dierentielle que l'operateur dierentiel asso ie. La re her he des solutions de l'equation (1) a l'aide de series de Taylor est bien ma^trisee : sur le plan theorique par les resultats d'existen e d'une base de solutions formelles onnus depuis le sie le dernier depuis les travaux de Fabry et Poin are jusqu'aux resultats plus re ents sur la resommation des solutions formelles en \vraies" solutions de l'equation dierentielle (Balser, Braaksma, E alle, Ramis ...) ; et sur le plan algorithmique depuis la manipulation des series de Taylor maintenant traitee par la plupart des systemes de al ul formel modernes jusqu'au al ul ee tif des solutions formelles (programmes DESIR, DESIR2, ISOLDE et autres) issu des methodes de polygones de Newton. Les series de Chebyshev sont moins ri hement dotees de resultats pour la m^eme problematique : nous avons don voulu ontribuer a la re her he de tels resultats. Le premier probleme ren ontre dans notre re her he reside dans la apa ite a appliquer un operateur dierentiel a une serie de Chebyshev d'une maniere algorithmique omme on sait le faire pour les series de Taylor. C'est l'objet de la premiere partie. La methode que nous avons mise au point s'est averee ^etre tres naturellement generalisable a une plus grande lasse de series. Cette generalisation est presentee dans la premiere partie de

e memoire ou nous donnons une methode pour faire agir un operateur dierentiel sur une serie developpee suivant une famille de polyn^omes hypergeometriques. Les polyn^omes hypergeometriques veri ent des equations dierentielles parti ulieres qui leur onferent un grand nombre de proprietes que nous pouvons \transmettre" aux series orrespondantes. Parmi les polyn^omes hypergeometriques se trouvent les polyn^omes orthogonaux lassiques dont les polyn^omes de Chebyshev. Le premier hapitre presente les resultats theoriques qui permettent un travail algorithmique ave les series de polyn^omes hypergeometriques et en parti ulier d'ee tuer des operations dierentielles sur elles- i. Dans le hapitre 2 nous indiquons nos hoix de representation informatique des series et des operations qui ont abouti au programme orthoserie developpe en MAPLE et qui permet la mise en oeuvre 13

Introdu tion ee tive des proprietes etudiees theoriquement dans le premier hapitre. La se onde partie est onsa ree plus spe i quement aux series de Chebyshev. Les raisons de l'inter^et parti ulier porte aux series de Chebyshev sont exposees dans le premier

hapitre de ette partie. Cet inter^et provient des proprietes d'approximation des series de Chebyshev dont les sommes partielles fournissent des approximants polyn^omiaux quasioptimaux pour la norme uniforme sur un segment. Un ensemble d'autres proprietes vient de plus valider du point de vue analytique les pro edes formels issus de la premiere partie. L'aboutissement de ette validation est la onstru tion d'une equation re urrente, que nous appelons re urren e de Chebyshev, veri ees par les oeÆ ients de Chebyshev des solutions de l'equation (1). Dans le hapitre 4, nous etudions la stru ture de la re urren e de Chebyshev. Cette etude met en eviden e des proprietes qui seront utilisees par la suite tant pour le traitement informatique que pour l'etude theorique des solutions de la re urren e de Chebyshev. Apres

es onsiderations, nous traitons d'une part le probleme de fa torisation de la re urren e de Chebyshev qui, parfois, n'est pas minimale - dans un sens a de nir - et d'autre part quelques problemes inverses asso iees a la re urren e de Chebyshev : omment re onstruire l'equation dierentielle qui a engrendre la re urren e ? omment onstruite une re urren e qui ait une solution donnee ? Les reponses a es problemes sont apprehendees de maniere

onstru tive, suggerant de fa on immediate la programmation que nous en avons faite dans le langage MAPLE. Le hapitre 5 souleve l'interrogation prin ipale que sus ite la re urren e de Chebyshev et fournit des reponses suivant dierents axes. La stru ture de la re urren e de Chebyshev etudiee pre edemment indique que elle- i est d'ordre au moins 2r lorsqu'elle est engendree par une equation dierentielle d'ordre r. Ce qui signi e toute solution de la re urren e de Chebyshev ne onstitue pas la suite des oeÆ ients de Chebyshev d'une solution de l'equation dierentielle. La question que nous nous posons est don la nature de es solutions surnumeraires auxquels nous asso ions des series de Chebyshev formelles divergentes. Dans un premier temps, nous etudions le omportement asymptotique des solutions formelles. Pour ela, nous utilisons des outils et des resultats issus de l'etude asymptotique Gevrey pour les series de Taylor. Notamment, nous de nissons un polygone de Newton-Chebyshev qui permet de determiner a partir de l'equation dierentielle le ara tere Gevrey des solutions formelles d'une maniere tres dire te. Le omportement asymptotique des solutions formelles m^eme s'il onstitue une information importante (y

ompris dans l'analyse des methodes numeriques asso iees a la re urren e de Chebyshev) ne marque neanmoins pas le lien entre les solutions formelles et les fon tions solutions de l'equation dierentielle. Ce lien est etabli gr^a e a une representation integrale de ertaines solutions formelles, qui fait intervenir expli itement une fon tion solution de l'equation dierentielle. La orrelation entre l'augmentation du nombre de solutions formelles et les degres des polyn^omes oeÆ ients de l'equation dierentielle est interpr^etee en terme de se teurs de de roissan e exponentielle que l'on peut determiner expli itement a l'aide de la

onstru tion d'une base de solutions formelles (aux sens de Fabry) a l'in ni de l'equation. Une autre fa on de relier solutions formelles et fon tions solutions onsiste a appliquer aux premieres une methode de resommation pour faire reappara^tre des fon tions solutions. Divers pro edes sont examines. En n, dans le dernier hapitre nous revenons au probleme de resolution numerique de 14

Introdu tion l'equation dierentielle. Gr^a e aux outils informatiques presentes dans la premiere partie et programmes en MAPLE, la mise en oeuvre de methodes de resolution se trouve grandement simpli ee et fa ilement adaptable. Nous avons essentiellement etudie une  -methode que nous avons experimentee dans une grande gamme de problemes (integration sur un

ontour, problemes aux limites, systemes lineaires et ...). L'usage du al ul formel permet de plus d'obtenir en modi ant  -methode des approximations rationnelles pour les solutions d'un probleme de Cau hy.

15

Premiere partie

Appro he algorithmique des series orthogonales

17

Chapitre 1

Series orthogonales Le but de e hapitre est de presenter une methode generale pour appliquer un operateur dierentiel a une serie developpee suivant une famille de polyn^omes orthogonaux lassiques. D'une maniere bra hylogique, nous dirons une serie orthogonale pour designer une telle serie. En fait, le resultat qui sera etabli on erne la lasse plus large des series de polyn^omes hypergeometriques. Cette appro he plus generale onferera une plus grande unite a la presentation m^eme si l'orthogonalite est souvent requise dans les appli ations.

1.1 Operations formelles sur les series de fon tions Dans la re her he de solutions d'une equation dierentielle sous la forme de series de Chebyshev ou plus generalement de series orthogonales, nous sommes onfrontes au probleme d'appliquer, d'une maniere simple et algorithmique, un operateur dierentiel a de telles series. Nous en avons tire des prin ipes generaux relatifs aux operations formelles sur les series de fon tions. Nous allons presenter es resultats.

1.1.1 Exemple introdu tif : les series de Taylor L'appli ation d'un operateur dierentiel a oeÆ ients polynomiaux a une serie de Taylor est une t^a he fondamentale a la base de diverses appli ations : DESIR [19℄ et DESIR2 [53℄ pour la re her he des solutions formelles d'une equation dierentielle holonome, ISOLDE dans le m^eme but mais ave des systemes ou NODES [13℄ pour la re her he de solutions de systemes non-lineaires quasi-monomiaux. Cette operation est relativement elementaire (mais pas les appli ations sus-mentionnees) et de oule des deux formules suivantes 1 1 X X n (a 1 = 0) (1.1) x an x = an 1 xn n=0

et

n=0

1 1 X d X an xn = (n + 1)an+1 xn : dx n=0 n=0

(1.2)

Pour ertaines appli ations telles que NODES, il faut ajouter le produit de deux series de Taylor dont le resultat est en ore une serie de Taylor ave des oeÆ ients obtenus par produit de Cau hy. Gr^a e a une utilisation repetee des deux formules pre edentes, 19

Chap. 1 : Series orthogonales nous pouvons fa ilement exprimer le resultat de l'appli ation d'un operateur dierentiel holonome quel onque a une serie de Taylor. Exemple 1 Considerons l'operateur dierentiel

d d2 + (3 + x) 7x : dx2 dx Alors en utilisant les formules pre edentes nous etablissons que L=

L

1 X

n=0

!

an

xn

=

1 X

n=0

( 7an

1 + nan + 3(n + 1)an+1 + (n + 1)(n + 2)an+2 ) x

n

:

Cet exemple montre qu'une operation (i i dierentielle) sur une serie de Taylor s'est traduite par une operation sur les oeÆ ients de elle- i. Ce phenomene est frequent ave les series de fon tions mais la lo ution \operation sur les oeÆ ients", assez vague, doit ^etre pre isee dans un adre theorique.

1.1.2 Operateurs aux dieren es De nition 1

On note S l'ensemble des fon tions de Z dans C . On note F l'ensemble des operateurs de S dans S.

Nous avons nomme ainsi l'ensemble S ar nous pouvons l' identi er a l'ensemble des suites indexees sur Z et a valeurs dans C , de sorte que la suite des oeÆ ients d'une serie de fon tions peut ^etre onsideree omme un element de S. De e fait, les elements de F representent les \operations sur les oeÆ ients". Neanmoins, F est un ensemble un peu grand pour nos besoins et, hose plus grave, tous les elements de F ne sont pas al ulables. Nous allons don nous restreindre a un sous-ensemble de F : l'ensemble des operateurs aux dieren es. Avant d'en donner une de nition, nous soulignons le fait que F presente une stru ture d'algebre naturelle pour la somme et le produit (qui est en fait une omposition) de nis omme suit pour F1 ; F2 2 F et f 2 S (F1 +F F2 )f = F1 f +S F2 f (F1 F F2 )f = F1 (F2 f ) ave pour unite l'operateur d'identite note I.

De nition 2

Nous appellons operateur aux dieren es, un operateur D telle que

D :

S

f

! S 7 ! Df

ou Df est de ni par

Df (n) =

s X k=r

(

dk (n)f (n + k)

ave

r; s 2 Z dk 2 S ; k = r


s

L'ensemble des operateurs aux dieren es est note D .

20

1.1 Operations formelles sur les series de fon tions Remarque 1 Nous avons adopte une de nition restreinte des operateurs aux dieren es, mais suÆsante dans le ontexte de e memoire, puisqu'en toute generalite un operateur aux dieren es agit sur des fon tions de la variable omplexe.

On veri e aisement que D est stable pour la somme et le produit de F et que l'operateur I appartient a D . L'ensemble D est don une sous-algebre de F . Il est souhaitable de donner une representation simple des elements de D qui fa ilite les al uls ave eux- i. Pour ela introduisons ertains operateurs parti uliers a partir desquels nous onstruirons tous les autres. L'operateur de de alage (shift operator) note assez ouramment E ainsi que son operateur re iproque E 1 sont de nis respe tivement par Ef (n) = f (n + 1) et E 1 f (n) = f (n 1) : Les operateurs Ek se de nissent alors re ursivement, pour tout entier k, par E0 = I ; Ek+1 = E:Ek et Ek 1 = E 1 :Ek : A toute fon tion f de S on asso ie inje tivement l'operateur fb de D qui a toute fon tion b d g de S asso ie la fon tion fg e nie par b )(n) = f (n)g (n) : (fg Ainsi tout operateur aux dieren es F s'e rit de maniere synthetique sous la forme

F=

s X k=r

fbk Ek :

(1.3)

Il est habituel d'abuser des notations en e rivant plut^ot l'operateur F sous la forme suivante

F=

s X k=r

fk (n)Ek :

(1.4)

Cet abus est pratique en e qu'il allege les notations omme nous le verrons plus bas et par e qu'il fait appara^tre la variable (i i n) sur laquelle agit l'operateur de de alage. Il peut ^etre utile d'e rire un operateur aux dieren es sous forme d'une somme (faussement) in nie 1 X F= fk (n)Ek (1.5) k= 1 ou seul un nombre ni de fon tions fk sont non identiquement nulles. Nous de nissons alors, par analogie ave les polyn^omes, le degre et la valuation d'un operateur aux dieren es.

De nition 3

Nous appellons valuation de l'operateur F de ni par (1.5), la quantite

d (F ) = minfk j fk non identiquement nulg et degre de F la quantite

d+ (F ) = maxfk j fk non identiquement nulg En n, l'ordre de l'operateur F est de ni par

ord(F ) = d+ (F ) d (F ) : 21

Chap. 1 : Series orthogonales De ette maniere, la somme S des deux operateurs 1 1 X X F= fk (n)Ek et G = gk (n)Ek k= 1 k= 1 s'e rit tres simplement

S= ave

1 X k=

d (S ) d+ (S )

(fk (n) + gk (n))Ek 1

(1.6)

 min(d (F ); d (G)) ;  max(d (F ); d (G)) : +

+

De la m^eme fa on, le produit P de F et G s'e rit ! 1 1 X X fl (n)gk l (n + l) Ek P= k = 1 l= 1 ave

d (P ) d+ (P )

 d (F ) + d (G) ;  d (F ) + d (G) : +

+

Les deux inegalites pre edentes peuvent se rempla er par des egalites si les oeÆ ients de F et G appartiennent a une sous-algebre integre de S. C'est, en parti ulier, le as pour les operateurs a oeÆ ients polyn^omiaux ou rationnels en n que nous ren ontrerons par la suite.

1.1.3 Series formelles de fon tions Les series de fon tions sont un outil fondamental des mathematiques, dont une utilisation majeure est la representation des fon tions. Nous pouvons iter les series de Taylor pour representer les fon tions analytiques au voisinage d'un point donne ou les series de Fourier pour representer des fon tions periodiques. L'avantage de es developpements est de fa iliter les operations sur les fon tions. En parti ulier, les operations lineaires peuvent ^etre ee tuees termes a termes moyennant ertaines pre autions vis-a-vis de la onvergen e. Nous parlerons de serie formelle pour designer l'objet mathematique usuel mais sans onsideration de onvergen e et sur lequel les operations sont ee tuees \ omme si" elles etaient legitimes en termes de onvergen e. Ces operations seront elles-m^emes dites formelles. Donnons une de nition puis une proposition qui sera la base du al ul sur les series formelles.

22

1.1 Operations formelles sur les series de fon tions De nition 4 Soit F 2 D ,

Operateur adjoint

F=

s X k=r

fk (n)Ek :

Nous appellons operateur adjoint de F et nous notons F  , l'operateur r X k= s

f k (n + k)Ek :

Il est fa ile de voir que l'appli ation qui, a un operateur aux dieren es, asso ie son adjoint est une appli ation lineaire. Bien que ette appli ation ait d'autres proprietes interessantes, nous n'aurons a utiliser que la linearite.

Proposition 1 Soit fan g et fbn g deux suites de S et F 2 D . Alors 1 X n=

1

an F (bn ) =

1 X 1

n=

F  (an ) bn

Demonstration : La demonstration onsiste en la ree riture suivante

1 X n=

1

an F (bn ) = = =

1 X

s X

an n= 1 s X 1 X

k=r

k=r n= 1 s X 1 X k=r n=

1 X

1

!

fk (n)bn+k

an fk (n)bn+k fk (n k)an k bn

r X

!

f k (n + k)an+k bn 1 k= s 1 X F  (an ) bn : = n= 1

=

n=

2 Lorsqu'une operation f est lineaire, nous pouvons la faire agir terme a terme sur une serie formelle ! 1 1 X X

n f (Pn (x))

n Pn (x) = f n= 1 n= 1 Si, de plus, l'operateur f agit de fa on parti uliere (mais tres repandue en pratique) sur les fon tions Pn nous avons la 23

Chap. 1 : Series orthogonales Proposition 2 Soit fPn (x)g une suite de fon tions et f un operateur lineaire agissant sur les Pn . Supposons qu'il existe une suite de fon tions fQn (x)g et un operateur aux dieren es F tels que f (Pn (x)) = F (Qn (x)) (1.7) alors nous avons

f

1 X n=

1

!

an Pn (x) =

1 X n=

1

F  (an ) Qn (x) :

Demonstration : Ce resultat est l'appli ation de la proposition 1 pour bn = Qn (x).

2

Nous avons utilise des series ave des indi es variant de 1 a 1. Il est plus usuel, et e sera le as par la suite, d'avoir une indexation de 0 a 1. La proposition 2 s'applique a es series moyennant la onvention an = 0, Pn  0 et Qn  0 pour n negatif. Et nous aurons alors sous les m^emes hypotheses que elles de la proposition 2 ! 1 1 X X an Pn (x) = F  (an ) Qn(x) : f n=0

n=0

1.1.4 La transformation de Mellin formelle Revenons aux series de Taylor ave l'e lairage donne par les resultats pre edents. Les deux operateurs lineaires que sont la multipli ation par la variable et la derivation par rapport a elle- i veri ent les hypotheses de la proposition 2, en eet

x:xn = Exn

d n x = nxn dx

et

1

= nE 1 xn :

Comme E = E 1 et (nE 1 ) = (n + 1)E, par appli ation de la proposition 2, nous retablissons les formules (1.1) et (1.2), a savoir 1 1 1 X X X 1 n n x an x = E (an )x = an 1 xn et

n=0

n=0

n=0

1 1 1 X X d X an xn = (n + 1)E(an )xn = (n + 1)an+1 xn : dx n=0 n=0 n=0

Soit l'operateur dierentiel holonome

dr d +


+ p1 (x) + p0 (x) : dxr dx Par linearite et ompositions d'operateurs nous obtenons fa ilement que L = pr (x)

L

1 X n=0

!

an

xn

= 24

1 X n=0

L(an)xn

(1.8)

1.1 Operations formelles sur les series de fon tions ou l'operateur aux dieren es L vaut

L=

r X k=0

pk (E 1 )((n + 1)E)k :

(1.9)

Par onstru tion, l'operateur L est un element de l'algebre C [n; E; E 1 ℄ des operateurs aux dieren es a oeÆ ients polyn^omiaux en n. Nous introduisons la derivation d'Euler x = x dxd . Il est alors fa ile de veri er que C [x; x 1 ; dxd ℄ aussi bien que C [x; x 1 ; x ℄ forment l'algebre des operateurs dierentiels lineaires a oeÆ ients polyn^omiaux en x et x 1 . Nous allons mettre en orrespondan e les deux algebres pre itees par le biais d'un isomorphisme appele transformation de Mellin formelle. Une de nition de la transformation de Mellin formelle est donnee dans [4℄ ou elle designe un isomorphisme de C [n; E ℄ sur C [x; x ℄. Nous avons adapte ette de nition a nos besoins. D'une part, la transformation \dire te" va, pour nous, des operateurs dierentiels vers les operateurs aux dieren es (et serait la transformation \inverse" au sens de [4℄). D'autre part, nous ajoutons un operateur elementaire a haque algebre, E 1 et x 1 , a n de prendre en ompte des operateurs aux dieren es ave des de alages negatifs.

Proposition 3

Transformation de Mellin formelle La orrespondan e x 7! E 1 1 x 7! E x 7! n

de nit un isomorphisme d'algebre

M de C [x; x 1 ; x℄ sur C [n; E; E 1 ℄.

Demonstration : S'il est \bien de ni", l'operateur M est par onstru tion un isomorphisme. Il sera bien de ni, si l'image d'un operateur ne depend pas de son e riture. Cela revient a veri er de M est ompatible ave les regles de ommutation. Eliminons les eviden es : puisque x et x 1 ommutent ainsi que E et E 1 , nous avons

M(xx 1 ) = M(x)M(x 1 ) = E 1E = EE 1 = M(x 1 )M(x) = M(x 1 x) : Par ailleurs, du ote dierentiel nous avons les regles de ommutation

xx = (x 1)x ; x 1 x = (x + 1)x 1 : Or nous pouvons ee tuer la suite de al uls suivante

M(xx) = M(x)M(x ) = E 1n = (n 1)E 1 = M(x 1)M(x) = M((x 1)x) 1 M(x x) = M(x 1 )M(x ) = En = (n + 1)E = M(x + 1)M(x 1 ) = M((x + 1)x 1 ) 2

qui onstitue la veri ation voulue.

La transformee de Mellin est un outil a la fois simple et puissant pour formaliser la

orrespondan e entre operateurs dierentiels et operateurs aux dieren es bien onnue 25

Chap. 1 : Series orthogonales depuis longtemps (voir par exemple les travaux de Pin herle [54℄). Nous avons presente la transformee de Mellin par e que nous utiliserons et outil plus loin et aussi par e qu'elle est un modele que nous voulons adapter a d'autres types de series, en parti ulier les series orthogonales que nous allons de nir i-apres.

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques Les polyn^omes orthogonaux lassiques o

upent une pla e importante dans la litterature

onsa ree aux polyn^omes orthogonaux (Szego [61℄, Freud [26℄) et toute \bible" sur les fon tions spe iales leur onsa re une partie substantielle (Abramowitz et Stegun [1℄, Luke [42, 43℄ ou Erdelyi et al. [22℄). Nous allons presenter les polyn^omes orthogonaux lassiques tels qu'ils le sont dans l'ex ellent livre de A. Nikiforov et V. Ouvarov [47℄, a partir de l'equation hypergeometrique. Ce point de vue a un double avantage : d'une part elle

onfere aux polyn^omes orthogonaux lassiques une tres elegante unite et d'autre part l'equation hypergeometrique et la formule de Rodrigues sous-ja ente sont a l'origine de toutes les proprietes qui permettent les operations formelles sur les series orthogonales. Commen ons par quelques rappels sur les polyn^omes orthogonaux.

1.2.1 Rappels sur les polyn^omes orthogonaux Nous presentons i i les polyn^omes orthogonaux sur un intervalle relativement a une fon tion poids. Il s'agit d'un as restreint d'orthogonalite. Pour une presentation plus generale, le le teur pourra se referer a l'ouvrage de T. S. Chihara [10℄. Soit un intervalle ℄a; b[ de R. Nous ne supposons pas ℄a; b[ ni. Soit un fon tion w(x) stri tement positive sur ℄a; b[. Nous supposons de w(x) 2 L1 (℄a; b[) et que les moments Z b

a

w(x)xn dx

existent pour tout entier n  0 ( ette hypothese etant immediatement veri ee si ℄a; b[ est un intervalle ni). Alors l'integrale Z b

a

w(x)P (x)Q(x) dx

existe pour tous polyn^omes P et Q et de nit un produit s alaire sur R[x℄ note (P; Q)w .

De nition 5

On appelle polyn^omes orthogonaux relativement au poids w, une famille de polyn^omes fPn gn2N veri ant { Pn est de degre n, { pour tout n et m distin ts, Pn et Pm sont orthogonaux relativement au produit s alaire (:; :)w 'est-a-dire que (Pn ; Pm )w = 0.

L'existen e d'un systeme de polyn^omes orthogonaux pour un produit s alaire donne se demontre de fa on onstru tive en orthogonalisant le systeme f1; x; x2 ;


g par le pro ede de Gram-S hmidt. Pour plus de details, voir par exemple l'ouvrage de Szego [61℄. 26

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques Proposition 4 Soit Q un polyn^ome de R[x℄ de degre m et fPn g une famille orthogonale. Alors Q(x) =

m X n=0

n Pn (x)

(Pn ; Q)w : (Pn ; Pn )w

ave n =

Demonstration : Puisque qu'une famille de polyn^omes orthogonaux est \etagee" en degre, nous savons que la suite fPn gn=0::m onstitue une base de l'espa e Rm [x℄ des polyn^omes de degre au plus m. Ainsi si Q 2 Rm [x℄ alors il existe des oeÆ ients 0 ;


; m tels que

Q(x) =

m X

n=0

n Pn (x) :

Pour tout n, 0  n  m, al ulons le produit s alaire

(Pn ; Q)w =

m X k=0

k (Pk ; Pn ) = n (Pn ; Pn )w : | {z }

nul si k6=n

2

Ce qui prouve le resultat enon e.

Corollaire 1 Le polyn^ome Pm est orthogonal a tout polyn^ome de degre stri tement inferieur a m. Demonstration : Soit Q un polyn^ome de degre stri tement inferieur a m. Alors

(Pm ; Q)w =

m X1 n=0

n (Pm ; Pn )w = 0 : |

{z 0

}

2

Une autre onsequen e de la proposition 4 est le resultat tres important suivant Proposition 5 Uni ite des polyn^omes orthogonaux Soit deux familles fPn g et fQn g orthogonales sur un m^eme segment ℄a; b[ relativement au m^eme poids w. Alors les deux familles sont identiques a une normalisation pres i.e. qu'il existe des onstantes n telles que pour tout n, Qn (x) = n Pn (x). Demonstration : D'apres la proposition 4 le polyn^ome Qn se de ompose sous la forme

Q(x) =

n X k=0

k Pk (x)

(P ; Q )

ave k = k n w (Pk ; Pk )w

:

Or d'apres le orollaire 1, pour tout k < n (Pk ; Qn )w = 0 puisque Qn est orthogonal a tout polyn^ome de degre stri tement inferieur a n. Il reste don que Qn = n Pn , e qui prouve le theoreme en prenant n = n . 2

Nous donnons maintenant une propriete ara teristique des polyn^omes orthogonaux. 27

Chap. 1 : Series orthogonales Proposition 6

Re urren e a trois termes Pour toute famille de polyn^omes orthogonaux fPn g , il existe f1 (n)g, f0 (n)g et f 1 (n)g telles que

xPn (x) = 1 (n)Pn+1 (x) + 0 (n)Pn (x) +  1 (n)Pn 1 (x) ; n  0; (1.10) ave la onvention P

1

 0.

Demonstration : Prenons pour valeur de 1 (n) le rapport du oeÆ ient dominant de Pn sur le oeÆ ient dominant de Pn+1 . Il est alors lair que

xPn 1 (n)Pn+1 est un polyn^ome de degre n au plus. Ainsi

xPn 1 (n)Pn+1 =

n X k=0

k Pk :

Or, en utilisant le fait que (p(x)q(x); r(x))w = (p(x); q(x)r(x))w , il vient

(xPn

1 (n)Pn+1 ; Pk ) = (Pn ; xPk ) 1 (n)(Pn+1 ; Pk )

et par appli ation du orollaire 1 e produit s alaire est nul si xPk est de degre stri tement inferieur a n don si k < n 1. Cela implique que 0 =


= n 2 = 0. Nous etablissons la relation (1.10) en prenant 0 (n) = n et  1 (n) = n 1 . 2

L'inter^et de series developpees suivant des fon tions orthogonales est grand pour les proprietes d'approximation que onfere l'orthogonalite et pour la mise en oeuvre d'un grand nombre de methodes de l'analyse numerique, en parti ulier les methodes spe trales. Par ailleurs, la proposition 6 nous assure que de telles series se multiplient aisement par la variable via l'a tion d'un operateur aux dieren es sur ses oeÆ ients. Neanmoins, notre but etant d'appliquer un operateur dierentiel a une serie, il faudrait sinon que la famille de polyn^omes orthogonaux orrespondante soit stable par derivation, du moins que la famille formee par les derivees soit orthogonale. Or il a ete demontre au debut du sie le (Hahn [31℄ et Krall [34℄) que les seuls polyn^omes orthogonaux dont les derivees sont en ore des polyn^omes orthogonaux sont les polyn^omes orthogonaux lassiques. Et parmi eux- i, seuls les polyn^omes d'Hermite sont stables par derivation.

Polyn^omes orthogonaux lassiques Les polyn^omes orthogonaux lassiques sont les polyn^omes de Ja obi, polyn^omes de Laguerre et les polyn^omes d'Hermite dont les intervalles d'orthogonalite et les fon tions poids asso iees sont donnes dans le tableau suivant : ℄a; b[ poids parametres Ja obi ℄ 1; 1[ (1 x) (1 + x)  > 1, > 1 Laguerre ℄0; 1[ x e x > 1 2 x e Hermite ℄ 1; 1[ 28

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques Mais une telle presentation des polyn^omes orthogonaux lassiques ne souligne guere les liens qui les unissent. Ces liens vont appara^tre dans l'appro he par la theorie des polyn^omes hypergeometriques.

1.2.2 Polyn^omes hypergeometriques Considerons la famille d'equations dierentielles dites hypergeometriques

(x)y00 +  (x)y0 + y = 0

(1.11)

ou (x) est un polyn^ome de C [x℄ de degre au plus 2,  (x) un polyn^ome de degre au plus 1 et  est une onstante omplexe. L'equation (1.11) peut ^etre e rite sous la forme auto-adjointe, (y0 )0 + y = 0

(1.12)

ou la fon tion  veri e l'equation dierentielle, dite equation de Pearson, ()0 =  :

(1.13)

La proposition suivante etablit l'existen e pour tout ouple (;  ) de valeurs de  pour lesquelles l'equation 1.11 a une solution polyn^omiale.

Proposition 7

Formule de Rodrigues [47, p.24℄ Supposons que la quantite

n(n 1) 00  2 soit non nulle pour tout autre entier naturel que 0. Alors l'equation dierentielle hypergeometrique (1.11) possede une solution polyn^omiale Pn , dite polyn^ome (du type) hypergeometrique, de degre n pour  = n . Cette solution est donnee expli itement par la formule n = n 0

Pn (x) =

Bn dn [(x)n (x)℄ (x) dxn

(1.14)

ou Bn est un oeÆ ient de normalisation et  une fon tion solution de l'equation dierentielle (1.12). Cette formule est appele formule de Rodrigues.

Remarque 2 Des polyn^omes hypergeometriques existent hors de l'hypothese formulee sur les n mais la proposition pre edente n'est alors plus assuree. Par la suite nous supposerons la ondition sur les n toujours veri ee ar elle l'est pour les polyn^omes orthogonaux

lassiques. Cette ondition implique en parti ulier que  (x) doit ^etre de degre exa tement

egal a 1.

Nous voyons ainsi qu'une famille de polyn^omes hypergeometriques est entierement determinee par la donnee du triplet (; ; Bn ) (1.15) 29

Chap. 1 : Series orthogonales ave un degre de liberte on ernant la normalisation. De la formule de Rodrigues nous tirons

P0 (x) = B0 P1 (x) = B1  (x)

(1.16) (1.17)

(la deuxieme egalite est etablie a l'aide de l'equation de Pearson). Nous voyons que si  (x) n'etait pas de degre exa tement egal a 1, le polyn^ome P1 (x) ne le serait pas non plus et la famille serait in omplete. Une propriete fondamentale des fon tions hypergeometriques et des polyn^omes hypergeometriques en parti ulier est que leurs derivees sont aussi de type hypergeometrique. C'est d'ailleurs ette propriete qui permet d'etablir la proposition pre edente. Elle se montre fa ilement en derivant l'equation (1.11) et posant z = y0 pour obtenir (x)z 0 + ( (x) + 0 (x))z 0 + ( +  0 )z = 0 (1.18) Puisque  (x)+ 0 (x) est un polyn^ome de degre 1 et que  +  0 est une onstante, l'equation (1.18) est hypergeometrique. Et, par onstru tion, si une fon tion y veri e l'equation (1.11) alors y0 veri e l'equation (1.18). Nous donnons alors la proposition suivante1 qui indique la forme expli ite des polyn^omes derives.

Proposition 8 Derivees des polyn^omes hypergeometriques Soit fPn g une famille de polyn^omes hypergeometriques, solutions de l'equation (1.11), alors, pour tout n, Pn0 est un polyn^ome type hypergeometrique solution de l'equation hypergemetrique (1.18). De plus Pn0 est de ni par la formule de Rodrigues suivante

n Bn dn 1 [(x)n (x)℄ (1.19) (x)(x) dxn 1 Comme le polyn^ome Pn0 est de degre n 1 (et nul pour n = 0) il est preferable, dans une perspe tive de larte des notations, de remettre en adequation indi es et degres des polyn^omes en posant P~n = Pn0 +1 . La famille de polyn^omes P~n est alors de nie par le triplet Pn0 (x) =




;  + 0 ; n+1 Bn+1 : L'existen e d'une formule de Rodrigues pour tout polyn^ome de type hypergeometrique a des impli ations fortes. Notamment, un theoreme donne dans le livre de Nikiforov et Ouvarov [47, p.34℄ montre qu'il existe une ombinaison lineaire a oeÆ ients polynomiaux liant 3 polyn^omes hoisis arbitrairement parmi une famille de polyn^omes du type hypergeometrique et toutes les familles derivees. Ce theoreme est a l'origine de trois relations aux dieren es-dierentielles a partir desquelles nous allons onstruire les operations sur les series orthogonales. Pour haque famille de polyn^omes hypergeometriques, es relations sont entierement determinees par le triplet (1.15). Cette remarque nous dispense de distinguer ou de parti ulariser les dierents polyn^omes hypergeometriques. Neanmoins, avant de presenter les relations dieren es-dierentielles sus-mentionnees, nous allons montrer une relation entre polyn^omes hypergeometriques et polyn^omes orthogonaux gr^a e a laquelle nous pourrons \identi er" les polyn^omes hypergeometriques. 1

La demonstration est donnee dans le livre de Nikiforov et Ouvarov 30

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques

1.2.3 Polyn^omes hypergeometriques et orthogonalite Nous reproduisons i i un resultat donne et demontre dans le livre de Nikiforov et Ouvarov [47, p.40℄. Nous avons legerement modi e l'enon e (la demonstration restant essentiellement la m^eme) pour tenir ompte de la possibilite d'une orthogonalite limitee a un nombre ni de polyn^omes.

Theoreme 1

Supposons que la fon tion  (solution de l'equation de Pearson ()0 = ) veri e aux extremites d'un intervalle ℄a; b[ la ondition

(x)(x)xk jx=a;b = 0 pour k = 0; 1;


; K ou K est ni ou non. Alors les polyn^omes hypergeometriques Pn orrespondant aux dierentes valeurs de n sont orthogonaux sur ℄a; b[ par rapport a  i.e. Z b

a

(x)Pn (x)Pm (x) dx = 0 si n 6= m et n + m  K :

Remarque 3 La ondition n 6= m pourra ^etre rempla ee par n 6= m lorsque la fon tion n 7! n est inje tive sur f0; 1; 2;


; K g. Nous ferons grand usage de e theoreme, ainsi que de la remarque qui l'a

ompagne, dans la se tion suivante.

1.2.4 Identi ation des polyn^omes hypergeometriques Nous allons montrer que les polyn^omes orthogonaux lassiques sont des polyn^omes hypergeometriques, e qui nous permettra d'une part de mettre en exergue la profonde unite qui relie es polyn^omes et d'autre part d'en deduire un fais eau de proprietes. Pour etablir e resultat nous allons pro eder a l'etude exhaustive des polyn^omes solutions d'une equation hypergeometrique a oeÆ ients reels. Au ours de ette etude nous montrerons les proprietes d'orthogonalite de ertaines familles hypergeometriques en appliquant le theoreme 1. Lorsque qu'une famille sera orthogonale sur le m^eme intervalle et relativement au m^eme poids qu'une famille orthogonale lassique, les deux familles seront, en vertu de la propriete d'uni ite, identiques a une normalisation pres. Au ours de notre etude nous allons don trouver les polyn^omes orthogonaux lassiques mais aussi d'autres familles de polyn^omes moins onnues bien qu'identi ees au debut du sie le par Romanovski [58℄. C'est pour prendre en ompte es polyn^omes que nous avons adapte le theoreme 1 pour en aaiblir les hypotheses par rapport a la version originale donnee dans [47℄. L'etude exhaustive que nous avons annon ee onsiste a etudier les solutions polyn^omiales que l'equation (x)y00 +  (x)y0 + y = 0 : pour tous les as possibles de ouples (;  ) ou  est un polyn^ome reel de degre au plus deux et  est un polyn^ome reel de degre au plus un. Dans ette etude, nous supposons veri ee l'hypothese de la proposition 7 sur les valeurs n asso iee a haque ouple (;  ), e qui determine les solutions polyn^omiales gr^a e a la formule de Rodrigues et e qui implique

onformement a la remarque 2 que le polyn^ome  est de la forme

 (x) = x + d ave 6= 0 : 31

Chap. 1 : Series orthogonales La forme du polyn^ome  etant relativement xee, l'etude va onsister a distinguer les dierents as en fon tion du nombre de ra ines de . Comme nous pouvons diviser l'equation hypergeometrique par une onstante reelle non nulle arbitraire sans en hanger les solutions, la valeur du oeÆ ient de t^ete de  est sans importante et nous la poserons suivant les as egale a 1 ou 1. Pour haque ouple (;  ) nous al ulerons alors la fon tion  asso iee en multipliant l'equation de Pearson (1.12) par  pour obtenir l'equation dierentielle ()0 =  () dont les solutions sont de la forme 1  = exp 

Z

 



:

(1.20)

Remarquons que la fon tion  est de nie par (1.20) a une onstante multipli ative pres (due a l'integrale inde nie) que nous xerons arbitrairement. En eet, il est lair que, quelle que soit la onstante hoisie, le m^eme polyn^ome sera donne par la formule de Rodrigues. A partir de la fon tion  nous pourrons identi er les polyn^omes. Pour fa iliter la mise en parallele de l'etude qui suit ave les resultats existant dans la litterature nous utiliserons les notations et onventions \traditionnelles" pour les polyn^omes orthogonaux lassiques et les notations de Romanovski pour les polyn^omes presentes dans son arti le.

 Le polyn^ome  a deux ra ines reelles distin tes a et b

Sans perte de generalite nous pouvons supposer que (x) = (x a)(b x) ave a < b. Une de omposition en elements simples nous permet d'e rire

 +1 =  x a

+1 b x

ave

+1 =

a + d a b

et

+1 =

b + d : b a

En appliquant la relation (1.20), nous obtenons

(x) = C

jx aj+1 jb xj +1 : (x a)(b x)

(1.21)

La latitude que nous avons sur la valeur (et don le signe) de la onstante C nous permet de simpli er l'expression i-dessus en

(x) = jx aj jb xj (en tout rigueur ette simpli ation n'est valide que sur un intervalle ne ontenant ni a ni b e qui sera le as par la suite). Nous supprimerons les valeurs absolues plus bas suivant les valeurs des parametres  et . En exprimant les oeÆ ient et d du polyn^ome  en fon tion de a, b,  et , nous avons

 (x) = ( + + 2)x + (b + a + a + b) : Les as d'orthogonalite dependent des signes de  et .

 Premier as :  > 1 et > 1 32

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques Nous nous pla ons sur l'intervalle ℄a; b[ sur lequel nous prenons (x) = (x On veri e aisement que

a) (b x) .

(x)(x)xk jx=a = (x)(x)xk jx=b = 0 quelque soit k entier. Le theoreme 1 implique alors que les polyn^omes hypergeometriques asso ies a  et  sont orthogonaux sur [a; b℄ relativement au poids (x a) (b x) . L'uni ite (a un normalisation pres) des polyn^omes orthogonaux nous indique que dans le as 2 ou a = 1 et b = 1, la famille de polyn^omes determinee par 8 > > < > > :

(x)  (x) (x) n

= = = =

1 x2 ( + + 2)x + ( ) (1 x) (1 + x) n(n +  + + 1)

ave la normalisation (dans la formule de Rodrigues) ( 1)n Bn = n 2 n! est elle des polyn^omes de Ja obi. Les polyn^omes de Ja obi sont notes assez traditionnellement Pn(; ) . Mais pour eviter la onfusion ave la notation designant un polyn^ome hypergeometrique generique, nous les noterons Jn(; ) . Un as parti ulier des polyn^omes de Ja obi sont les polyn^omes de Gegenbauer de nis par (2)n Cn() = J ( 1=2; 1=2) : ( + 1=2)n n Cette famille de polyn^omes ontient en parti ulier les polyn^omes de Legendre, Cn(1=2) , et les polyn^omes de Chebyshev proportionnels a Cn(0) . Nous reviendrons longuement sur es derniers.

 Deuxieme as :  < 0 et > 1 Nous nous pla ons sur ℄b; +1[ ave (x) = (x a) (x b) . Les hypotheses du theoreme 1 sont alors veri ees pour K = (jj 1)=2. Dans le as ou a = 0, nous obtenons la

famille dite des polyn^omes de Romanovski de type VI telle que (en posant p =  et q = pour reprendre les notations de l'arti le de Romanovski) Z 1 p q 1 : (x b)q x pPn Pm dx = 0 n 6= m et n + m < 2 b  Troisieme as :  > 1 et < 0 Ce as est symetrique au pre edent. Nous avons orthogonalite sur ℄ 1; a[ relativement au poids (a x) (b x) ave K = (j j  1)=2.

 Le polyn^ome  a deux ra ines omplexes onjuguees

Une transformation lineaire3 nous permet de supposer sans perte de generalite que

(x) = x2 + a2 :

On peut toujours se ramener a e as via la transformation ha;b : x 7! a plus bas x 7! x b si les ra ines de  sont, avant tranformation, b  ia 2

3

33

2

b x + a+b 2

que nous retrouverons

Chap. 1 : Series orthogonales La fon tion poids est alors 1 (x) = 2 2 exp x +a

Z 

x d + 2 2 2 2 x +a x +a



= (x2 + a2 )

m exp

h

 ar tan

 x i

a

en ayant pose m = 1 2 et  = ad pour reprendre les notations de Romanovski. L'appli ation du theoreme 1 permet de retrouver le resultat donne par Romanovski a a savoir que les polyn^omes hypergeometriques asso ies aux elements 8
0 ave Z 1 h  x i (x2 + a2 ) m exp  ar tan Pk Ph dx = 0 a 1

k 6= h et k + h
> < > > :

(x)  (x) (x) n

= x2 = (2 p) x + = x pe x = n(n + 1 p)

(1.22)

et nommes polyn^omes de Romanovski de type V qui veri ent les relations d'orthogonalite Z 1

p 1 x p e x Pk Ph dx = 0 : (1.23) k 6= h et k + h < 2 0 Les polyn^omes de rits par les elements (1.22) pour p = 0, = 2 et la normalisation

Bn = 4

x 7! x + a

34

1 2n

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques sont appeles polyn^omes de Bessel. On notera que dans e as polyn^omes de Bessel ne veri ent au une des relations (1.23).

p 1 2

= 0 et qu'ainsi les

 Le polyn^ome  est de degre 1

En toute generalite nous posons (x) = x a. Nous etablissons alors que +1  = + ave = et  + 1 = d + a  x a

e qui nous donne une famille de polyn^omes hypergeometriques de nie par les elements 8 > >  (x) = x a <  (x) = (x a) +  + 1 : (1.24) (x) = jx aj e x > > : n = n et veri ant des relations d'orthogonalite dans les as suivants :   > 1 et < 0 Sur ℄a; +1[ la fon tion  vaut (x a) e x et veri e les hypotheses du theoreme 1 ave K = 1. En parti ulier pour = 1 et  > 1 ave la normalisation 1 Bn = n! nous obtenons les polyn^omes de Laguerre generalises L(n) de nis don par 8 > >  (x) = x x < (x) = x e :  ( x ) = x +  + 1 > > : n = n

  > 1 et < 0

Orthogonalite sur ℄

1; a[ par rapport au poids (a x) e x.

 Le polyn^ome  est onstant Nous supposons que   1 et nous e rivons  sous la forme  (x) = 2x + . Nous avons don des famille de polyn^omes hypergeometriques de nis par 8 (x) = 1 > > <  (x) = 2x + : (1.25) x2 + x >  ( x ) = e > : n = 2n Ces polyn^omes sont orthogonaux relativement a  sur ℄ 1; 1[ lorsque  < 0. Nous obtenons les polyn^omes d'Hermite Hn pour  = 1 et = 0 i.e. ave les elements 8 (x) = 1 > > < (x) = ex2 >  (x) = 2x > : n = 2n et la normalisation Bn = ( 1)n : 35

Chap. 1 : Series orthogonales Remarque 4 Dans tous les as ou il y avait orthogonalite, nous avons rempla e la ondition n 6= m du theoreme 1 par n 6= m ar dans tous es as on pourra veri er que la fon tion n 7! n est inje tive sur le domaine requis ( f remarque 3).

1.2.5 Relations dieren es-dierentielles Maintenant que nous avons mis des noms sur ertains des polyn^omes hypergeometriques, nous allons etablir les relations sus-mentionnees. Cette se tion est relativement al ulatoire mais ne essaire. En eet, les relations telles qu'elles sont donnees par le theoreme de Nikiforov mettent en jeu des operateurs aux dieren es dont les oeÆ ients dependent de la variable. Or nous devons les rendre independants de elle- i pour etablir les operations sur les series. De plus, nous voulons des formules les plus expli ites possibles de maniere a fa iliter et surtout optimiser l'implementation. Cela implique les al uls opieux qui vont suivre. Nous rappelons ou donnons les de nitions des quantites suivantes n =  + n0 ; n(n 1) 00  = n 0n 1 n = n 0 2 2 dont nous ferons un usage intense.

Proposition 9 Re urren e a trois termes Soit fPn g une famille de polyn^omes hypergeometriques, solutions de l'equation (1.11), alors il existe un operateur X tel que xPn (x) = X Pn (x) = 1 (n)Pn+1 (x) + 0 (n)Pn (x) +  1 (n)Pn 1 (x) ave

Bn (0n 1)=2 ; 1 (n) = Bn+1 n0 1=2 n0  1  0 (n) = 0 0 00 n(1 n) (0)  0 2n (0) ; n n 1  nBn 1  1 (n) = (n 1) 0n 1 0 (0)2 Bn 1 n0 1=2 n0 1 2


200 (0)

( 0 )2 



 (0) 0



:

Demonstration : Ce resultat est montre dans un arti le de Ya~nez, Dehesa et Nikiforov [63℄ par appli ation dire te du theoreme de A. F. Nikiforov [47, p. 34℄ evoque plus haut. Nous avons neanmoins transforme la formule donnee dans [63℄ pour laquelle le oeÆ ient  1 (n) est egal a

nBn 1 0 2Bn 1 n 1=2 n0

1

I

ave

I = 2 0 [0 (0)n 1 (0) (0) 0 ℄ 00 [n 1 (0)1 n (0) + 4(n 1)(0)(0n 36

1)=2 ℄ :

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques En remarquant que et que

(n 1)2 (0 (0))2

n 1 (0)1 n (0) =  (0)2

0 (0)n 1 (0) (0) 0 = 0 (0) (0) (0) 0 + (n 1)0 (0)2

nous obtenons

I = 2 0 [0 (0) (0) (0) 0 ℄ 00  (0)2 + 2(n 1)0 (0)2  0 + (n 1)2 0 (0)2 00 4(n 1)(0)00 (0n | {z } = 2



2(n 1)0 (0)2 (0n

1)=2

=

1) 2

1 00 2   (0) + 0 (0) 0  (0) (0)( 0 )2 + (n 1)(0n 2

1)=2

0 (0)2




200 (0) :

En utilisant le developpement de Taylor du polyn^ome  en 0 00 (x) = (0) + 0 (0)x + x2

2

 (0) nous etablissons que 0

pour evaluer  au point 







 (0) 1  (0)2 0 (0) 0 + 00 0 2  2 ( ) 1 = (0)( 0 )2 0 (0) (0) 0 + 00  (0)2 ) : 2 En ee tuant la substitution orrespondante dans l'expression de I nous obtenons le resultat enon e. 2 ( 0 )2 

 (0) 0

= ( 0 )2 (0)

La deuxieme relation que nous presentons est une formule de derivation dans laquelle la derivation depend de la famille de polyn^omes onsideree puisqu'il s'agit de (x) dxd . Cette relation, dite relation de stru ture, est donnee dans [47, p. 39, formule (7)℄ sous la forme  (0n 1)=2  Bn 0 (1.26) (x)Pn = P  (x)Pn : n0 Bn+1 n+1 n Comme nous voulons que les oeÆ ients de la ombinaison lineaire de polyn^omes Pn dans le membre droit ne dependent que de n, nous utilisons la proposition 9 pour eliminer la variable x dans le terme n(x)Pn . Ainsi, en e rivant n (x) = n(0) + n0 x, nous obtenons la relation suivante (x)P 0 = 1 (n)Pn+1 (x) + 0 (n)Pn (x) +  1 (n)Pn 1 (x) n

ou

 (0n 1)=2  Bn 0 1 (n) =   (n) n0 Bn+1 n 1 0 B = 0(n 0 1)=2 n [n0 1=2 (0n n n 1=2 Bn+1 | {z n 00 2

37

1)=2 ℄ }

Chap. 1 : Series orthogonales (0n 1)=2   0 (n) = n (0) + n0 0 (n) 0 n  0 (n 1)=2  1 00 0 = n (0) + 0 [ n(1 n) (0) +  2n (0)℄ n0 n 1 0 (n 1)=2 0 [  (0) + 00 n(1 n) (0) +  0 2n (0)℄ : = n0 n0 1 n 1 n (0n 1)=2 00 = [n  (0) n 0 0 (0)℄ n0 n0 1 (0n 1)=2 0  1 (n) = n  1 (n) : n0 Et en rempla ant les oeÆ ients 1 (n), 0 (n) et  1 (n) par leurs expressions nous obtenons la Proposition 10 Relation de stru ture Soit fPn g une famille de polyn^omes hypergeometriques, solutions de l'equation (1.11), alors il existe un operateur  tel que (x)Pn0 = Pn (x) = 1 (n)Pn+1 (x) + 0 (n)Pn (x) +  1 (n)Pn 1 (x)

ave

(0n 1)=2 nBn 00  ; 1 (n) = 0 0 nn 1=2 2Bn+1 0 0 (n) = (n0 01)=2 n[0 (0) 0 00  (0)℄ ; n n 1 (0n 1)=2 nBn  (n 1) 0n 1 0 (0)2  1 (n) = n0 1 n0 1 Bn 1 2


200 (0)

( 0 )2 

2



 (0) 0



:

Remarque 5 Les oeÆ ients 1 (n), 0 (n) et  1 (n) s'expriment en fon tion des oeÆ ients de la re urren e a trois termes :

n 00   (n) ; 2 1 1 0 (n) =  ( (n)) ; 2 0  1 (n) =  0n 1  1 (n) : 1 (n) =

2

La troisieme relation que nous allons presenter lie les polyn^omes Pn et Pn0 . Pour ette raison nous l'appelons relation de derivation mais e n'est pas une appellation aussi ouramment employee que elles des deux premieres relations. Derivons la re urren e a 3 termes (1.10), nous obtenons xP 0 + Pn = 1 (n)P 0 (x) + 0 (n)P 0 (x) +  1 (n)P 0 (x) : n

n+1

n

n 1

Nous substituons les derivees Pn0 par P~n 1 = Pn0 . La famille fP~n g, de polyn^omes hypergeometriques d'apres la proposition 8, veri e, d'apres la proposition 9, une re urren e 38

1.2 Polyn^omes orthogonaux lassiques a trois termes ave des oeÆ ients que nous noterons 10 (n), 00 (n) et  0 1 (n). En utilisant

ette relation pour ree rire le terme xPn0 , il vient Pn = 0 (n)P~n (x) + 1 (n)P~n 1 (x) + 2 (n)P~n 2 (x) ave

0 (n) = 1 (n) 1 (n) = 0 (n) 2 (n) =  1 (n)

10 (n 1) ; 00 (n 1) ;  0 1 (n 1) :

Pour expli iter les oeÆ ients i-dessus il nous faut expli iter les oeÆ ients i0 . Pour ela, nous appliquons la proposition 9 au triplet (;  + 0 ; n+1 Bn+1 ), e qui se traduit par les substitutions

n+1 Bn+1 n+1

Bn ; n :

Cal ul de 0 (n)

En ee tuant les substitutions susmentionnees, il vient  0n2 n  n Bn 0 =  (n) 1 (n 1) = 0 0 n+1 Bn+1 n 1 n n + 1 1 2

d'ou nous tirons

0 (n) =

Cal ul de 1 (n)

De la m^eme fa on, nous al ulons 1  00 (n 1) = 0 0 00 (n n n 1

et nous en tirons

1 (n) = =

1 0 n n0 1 0 n n0



1

00 (n(1



1

1 (n) : n+1

1)(2 n)+1 (0)

n) (0)

(n

( 0 + 00 )2n 1 (0)



1)(2 n)+1 (0) + 2n 1 (0)) 

 0 (2n (0) 2n 1 (0)) 

00  (0)  0 0 (0) :

Il appara^t que 1 (n) = 0 (n)=n et don , d'apres la remarque 5,  (0 (n)) : 1 (n) = 2n Cal ul de 2 (n) Ce dernier al ul est un peu plus deli at et pour etablir le lien ave la re urren e a 3 termes nous rappelons que 1 nBn I  1 (n) = 0 Bn 1 n 1=2 n0 1 39

Chap. 1 : Series orthogonales ave 1) 0n

I = (n

2

1

0 (0)2


200 (0)

( 0 )2 



 (0) 0



:

En pro edant a la m^eme substitution que dans les 2 as pre edents nous obtenons

 0 1 (n 1) = ou 2) 0n2 0 (0)2

I 0 = (n

1 (n 1)n Bn n 1 Bn 1 n0 1 n0


200 (0)

( 0 + 00 )2 

1 2



 I0  (0) + 0 (0)  0 + 00



:

Des expressions de  1 (n) et  0 1 (n 1) nous tirons don

2 (n) =

1 Bn n 1 Bn 1 n0 1=2 n0

Introduisons la notation



1

nn 1 I



(n 1)n I 0 :

(1.27)

Æ() = 0 (0)2 200 (0) :

Ave un peu de al uls, on montre, d'une part, que ( 0 + 00 )2  et d'autre part, que





 (0) + 0 (0) = ( 0 )2   0 + 00



 (0) 0



1 ( 0 + 00 )Æ() 2

1 (n 2) 0n2 + ( 0 + 00 ) = (n 1) 0n 1 : 2 2

Les deux formules pre edentes nous permettent d'etablir que

I 0 = 2(n

1) 0n 1 Æ() 2

(00 )2 





 (0) =I 0

En inje tant e resultat dans l'equation 1.27 nous obtenons nalement 1 Bn 2 (n) = 0 n 1 Bn 1 n 1=2 n0



1



00 n(n 1) I : 2

Maintenant, si nous expli itons ette relation en utilisant les oeÆ ients fournis par les propositions 9 et 10 nous obtenons la

Proposition 11

Relation de derivation 40

1.3 Des polyn^omes aux series Soit fPn g une famille de polyn^omes hypergeometriques, solutions de l'equation (1.11), alors il existe un operateur B tel que

Pn = B P~n = 0 (n)P~n (x) + 1 (n)P~n 1 (x) + 2 (n)P~n 2 (x) ave

(0n 1)=2 Bn 0 (n) = 0 0 n n 1=2 (n + 1)Bn+1 1 1 (n) = 0 0 [00  (0) 0 (0) 0 ℄ n n 1 00 1 nBn 2 (n) = I 0 0 0 Bn 1 (n 2)=2 n 1 n 1 2 2

ou

I = 2(n 1) 0n

2

1

0 (0)2

00 (0)




( 0 )2 



 (0) 0



:

Remarque 6 Les oeÆ ients 0 (n), 1 (n) et 2 (n) s'expriment en fon tion des oef ients de la re urren e a trois termes :

1 (n) ; n+1  (0 (n)) ; 1 (n) = 2n 00 2 (n) =  (n) : 2 0n 2 1 0 (n) =

2

Les deux premieres egalites ont ete montrees plus haut, la troisieme se veri e aisement.

Ainsi avons nous etabli les trois relations qui vont induire les resultats sur les series de polyn^omes hypergeometriques, dont la sous- lasse importante des series de polyn^omes orthogonaux lassiques.

1.3 Des polyn^omes aux series Nous allons maintenant exploiter au niveau des series les proprietes presentees pour les polyn^omes.

1.3.1 A tion d'un operateur dierentiel Les relations mises en eviden e par les propositions 9, 10 et 11 pour les polyn^omes hypergeometriques en impliquent de similaires pour les series de polyn^omes hypergeometriques par appli ation de la proposition 2. 41

Chap. 1 : Series orthogonales Proposition 12 Soit fPn g une famille de polyn^omes de type hypergeometrique, alors il existe des operateurs aux dieren es X , B et  tels que 1 1 X X X(an )Pn (x) ; x an Pn (x) = n=0

n=0

(1.28)

1 1 X d X (an)Pn (x) ; a P (x) = (x) dx n=0 n n n=0

(1.29)

B(an )P~n (x) :

(1.30)

1 X

n=0

an Pn (x) =

1 X

n=0

Demonstration : Cette proposition est l'appli ation de la proposition 2 dans laquelle X , B et  sont les operateurs aux dieren es adjoints respe tivement aux operateurs X de la proposition 9, B de la proposition 11 et  de la proposition 10. 2

La forme expli ite des operateurs X, B et  de la proposition 2 en fon tion du triplet [; ; Bn ℄ qui de nit la famille de polyn^omes hypergeometriques auxquels ils s'appliquent s'obtient gr^a e aux propositions de la se tion 1.2.5 et a la notion d'operateur adjoint. A n de ne pas assener a nouveau au le teur de longues formules qu'un programme MAPLE genere fort bien, nous nous ontenterons d'expli iter les operateurs relatifs aux polyn^omes orthogonaux lassiques. Pour ela, nous e rivons les operateurs sus-mentionnes sous la forme X = x 1 (n)E 1 + x0 (n)I + x1 (n)E ; B = b0 (n)I + b1 (n)E + b2 (n)E2 ;  = s 1(n)E 1 + s0(n)I + s1(n)E : La table 1.1 donne la valeur de es dierents oeÆ ients. Les operations elementaires sur les series donnees par la proposition 12 nous permettent d'appliquer formellement a une serie developpee suivant une famille de polyn^omes hypergeometriques, un operateur dierentiel appartenant a C [x; (x) dxd ℄. Soit L un tel operateur   r X d k L = pk (x) (x) dx k=0 alors nous al ulons fa ilement # ! r 1 "X 1 X X k pk (X)  (an )Pn (x) : an Pn (x) = L k=0

k=0 k=0

(1.31)

Cependant un operateur dierentiel n'est en general pas element de C [x;  (x) dxd ℄ et bien qu'il soit toujours possible de se ramener a e as par multipli ation par une puissan e adequate de , nous allons de rire un pro ede qui s'applique dire tement et dans tous les 42

Gegenbauer

Laguerre

Hermite

p(0) n

Jn(; )

Cn()

L(n)

Hn

p(1) n

Jn(+1; +1)

Cn(+1)

L(n+1)

Hn

d0 (n)

n++ +2 2

2

1

2(n + 1)

x1 (n)

2(n++1)(n+ +1) (2n++ +2)(2n++ +3) 2 2 (2n++ )(2n++ +2) n(n++ ) (2n++ 1)(2n++ )

n+2 2(n++1)

(n +  + 1)

n+1

x0 (n)

43

x 1 (n)

0 n 2(n+ 1)

b0 (n)

(n++2)(n+ +2) (2n++ +4)(2n++ +5) ( )(n++ +2) (2n++ +2)(2n++ +4) (n++ +1)(n++ +2) (2n++ +1)(2n++ +2)

s1 (n)

n)(n++1)(n+ +1) 2 ((2+n ++2+ + +2)(2n++ +3)

(2+n)(2+n+1) 2(n++1)

s0 (n)

(n++ +1) 2 (2n(+ +) n)(2 n++ +2)

0

s 1 (n)

n++ ) 2 (2n+n(n+ 1)( )(2n++

b2 (n) b1 (n)

Tab.

1)

 n++2

0  n+

n(n 1) 2(n+ 1)

2n +  + 1

n 0 1 1

0 1 2

0 0 1

(n +  + 1)

n 0

1.1 { CoeÆ ients pour les operations sur les polyn^omes orthogonaux lassiques

1.3 Des polyn^omes aux series

Ja obi

Chap. 1 : Series orthogonales

as pour un operateur dierentiel de C [x; dxd ℄. Considerons une famille fPn g de polyn^omes hypergeometriques. Nous de nissons les familles de polyn^omes hypergeometriques fPn(k) g omme suit (

Pn(0) = Pn ; (k+1) dk+1 (n)Pn = dxd Pn(k+1)

(1.32)

ou les dk+1 sont des fon tions de n qui normalisent les familles onstruites. Maintenant, si nous derivons les series en Pn(k) termes a termes, nous obtenons 1 1 X d X ( k ) an dk+1 (n 1)Pn(k+1) an Pn = 1 dx n=0 n=1

=

1 X

n=0

dk+1 (n)an+1 Pn(k+1) :

Don , si nous de nissons les operateurs aux dieren es suivants Dk = dk (n)E

(1.33)

la derivation des series se traduit par la formule 1 1 X d X an Pn(k) = Dk (an )Pn(k+1) : dx n=0 n=0

(1.34)

Adaptons la formule de hangement de base (1.30) aux familles que nous avons introduites. Pour un k xe, la formule (1.30) de la proposition 12 nous indique l'existen e d'un operateur B tel que 1 X n=0

an Pn(k)

= =

1 X n=0 1 X n=0

B(an )

d (k) P dx n+1

B(an )dk+1 (n)Pn(k+1) :

Si nous introduisons l'operateur B k egal a dk+1 (n)B, la formule pre edente devient 1 X n=0

an Pn(k)

=

1 X n=0

B k (an )Pn(k+1) :

(1.35)

En n, si nous notons X k l'operateur aux dieren es orrespondant a la multipli ation des series en Pn(k) par la variable, nous pouvons appliquer un operateur dierentiel holonome general r X dk L = pk (x) k (1.36) dx k=0 44

1.3 Des polyn^omes aux series a une serie de polyn^omes hypergeometriques quel onque, de la maniere suivante

L

1 X n=0

!

r X

dk = pk (x) k dx k=0

an Pn

= = =

r X

k=0 r X

1 X n=0

!

an Pn(0)

1 "kY1 X

pk (x)

n=0 l=0 1 "rY1 X

pk (x)

#

!

Dl (an )Pn(k) kY1

#

!

Dl (an )Pn(r)

Bl n =0 k=0 l=k l=0 r 1 "X rY1 kY1 # X pk (X r ) B l Dl (an )Pn(r) n=0 k=0 l=k l=0

:

Resumons e resultat dans la

Proposition 13 Soit L l'operateur dierentiel (1.36). Alors l'operateur aux dieren es

L= est tel que

L

r X k=0

1 X n=0

pk (X r ) !

an Pn =

rY1 l=k

1 X n=0

Bl

kY1 l=0

Dl

L(an)Pn(r) :

(1.37)

Cette proposition valable pour toute famille de polyn^omes de type hypergeometrique etablit un pro ede d'appli ation d'un operateur dierentiel omparable au pro ede vu pour les series de Taylor. Nous y refererons sous le nom de s hema general par opposition a des s hemas qui utilisent une stru ture parti uliere de l'operateur dierentiel,

omme elui que nous avons presente pour des operateurs de C [x; (x) dxd ℄. Neanmoins, si les pro edes sont omparables dans le sens ou nous avons asso ie un operateur aux dieren es a un operateur dierentiel, l'asso iation ne se fait pas (du moins de maniere evidente) via un morphisme du fait que nous hangeons de famille des polyn^omes a haque derivation. A fortiori, nous n'avons pas exhibe un isomorphisme qui nous permettrait de faire le hemin inverse d'un operateur aux dieren es vers un operateur dierentiel. Nous reviendrons a es onsiderations dans le as des series de Chebyshev pour lesquelles nous avons obtenu des resultats que nous avons bon espoir de retrouver dans le as general. Comme nous venons de le dire, une parti ularite de notre methode est de donner

omme resultat de l'appli ation d'un operateur dierentiel une serie developpee suivante une famille dierente de elle de la serie initiale (sauf dans le as des series d'Hermite). Cette ne essite de hanger de base provient du fait qu'il n'existe pas d'operateur aux dieren es permettant d'exprimer le polyn^ome hypergeometrique Pn0 en fon tion des Pn . Bien s^ur, les polyn^omes Pn0 peuvent toujours se de omposer en termes de Pn mais suivant une relation de type triangulaire (au sens des matri es de passages asso iees). Si nous utilisons es relations pour ree rire une serie en Pn0 en une serie en Pn les oeÆ ients de la derniere s'exprimerons au moyen d'une in nite de oeÆ ients de la premiere, e qui ne 45

Chap. 1 : Series orthogonales

onstitue pas une operation formelle puisqu'elle implique des onsiderations de onvergen e sur les oeÆ ients. Nous reviendrons aussi sur e point dans le as des series de Chebyshev. Revenons momentanement aux polyn^omes orthogonaux generaux. Nous avons vu que, en dehors du as des polyn^omes orthogonaux lassiques, les derivees de polyn^omes orthogonaux ne sont pas des polyn^omes orthogonaux. Mais puisque nous onsiderons un ensemble beau oup plus grand que les polyn^omes orthogonaux lassiques, est-il possible que pour ertaines famille de polyn^omes que la famille derivee (non ne essairement orthogonale) s'exprime en fon tion de la famille originelle via un operateur aux dieren es ? Bonan et Nevai [5℄ ont montre que les seuls polyn^omes orthogonaux sur un intervalle in ni de R a veri er une relation du type P 0 = n Pn k + n Pn l n

ou k et l sont deux entiers stri tement positifs5 sont les polyn^omes orthogonaux pour un poids du type 2 4 w(x) = e Ax Bx : Remarquons que si B = 0 nous retrouvons les polyn^omes d'Hermite (a un hangement d'e helle sur la variable pres). La propriete re her hee semble don assez rare et une generalisation fort improbable. Illustrons par un exemple l'utilisation de notre s hema general et la ne essite d'une automatisation pour son emploi.

Exemple 2 Reprenons l'operateur dierentiel de l'exemple 1 d d2 + (3 + x) 7x 2 dx dx et appliquons le, en utilisant nos formules, a une serie de Laguerre L=

L

1 X n=0

!

an Ln()

=

1 X n=0

(7nan

1

(27n + 21 + 7)an + (39n + 57 + 20)an+1

(25n + 53 + 19)an+2 + 6(n + 3 + )an+3 ) Ln(+2)

puis a une serie d'Hermite ! 1  7 1 X X an H n = L a + nan 2 n 1 n=0 n=0



(n + 1)an+1 + 6(n + 1)(n + 2)an+2 Hn :

Pour les series de Ja obi, le resultat general ( 'est-a-dire pour  et quel onques) ne tient pas sur une seule page, nous produisons don un as parti ulier ( = 1 et = 2) qui donnera une idee du al ul et onvain ra probablement le le teur de la ne essite d'automatiser elui- i. Ainsi, nous avons ! 1 1 X X (1 ; 2) bn Jn(3;4) = an Jn L n=0

n=0

5

Il est d'ailleurs fa ile de voir que ne essairement k = 1. 46

1.3 Des polyn^omes aux series ou le oeÆ ient bn vaut n(n+4)(n+5)(n+7)(n+6) bn = 4(2 n7+3)(2 n+5)(2 n+7)(n+1)(n+2) an

2

n3 +24 n2 +55 n 21)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7) + (44(2 n+3)(2 n+5)(n+2)(n+3)(2 n+9)(2 n+7) an

1

3 n2 +557 n+560)(n+6)(n+7) + (12 n4(2+149 an n+5)(n+3)(2 n+9)(2 n+7)

+(

16 n5 +352 n4 +3032 n3 +12752 n2 +26331 n+22050)(n+7) an+1 4(2 n+5)(2 n+7)(2 n+9)(2 n+11)

(n+4)(12 n3 +187 n2 +889 n+1176) an+2 4(2 n+11)(2 n+9)(2 n+7) (n+4)(n+5)(4 n3 +72 n2 +439 n+973) 4(2 n+13)(2 n+11)(2 n+9)(2 n+7) an+3 7 (n+6)(n+5)(n+4) 4(2 n+9)(2 n+11)(2 n+13) an+4

e qui peut faire hesiter a prendre une feuille blan he et un rayon.

1.3.2 Appli ation : onstru tion de re urren es Le s hema general d'appli ation d'un operateur dierentiel a ete obtenu pour les series de polyn^omes hypergeometriques sans onsiderations d'orthogonalite. Nous allons presenter une appli ation dans laquelle l' orthogonalite va jouer un r^ole. Soit fPn g une famille de polyn^omes orthogonaux sur l'intervalle ℄a; b[ pour le poids w(x). Pour toute fon tion f de L2w (℄a; b[), on de nit les oeÆ ients de Fourier de f par (f; Pn )w an (f ) = ( P n ; P n )w et on dit que la serie 1 X an (f )Pn n=0

est le developpement de Fourier (relativement a la famille fPn g) de la fon tion f . Le lien entre e developpement et la fon tion f depend des proprietes de elle- i. La en ore nous entrerons dans le detail pour les series de Chebyshev. Neanmoins nous pouvons introduire dans le as general, 'est-a-dire lorsque fPn g est une famille quel onque de polyn^omes orthogonaux lassiques, un probleme important : la onstru tion d'une relation de re urren e veri ee par les oeÆ ients de Fourier de f quand f est solution d'une equation dierentielle holonome Ly = q. Soit r l'ordre de l'equation dierentielle. Si nous inje tons une serie a oeÆ ients indetermines developpee suivant les Pn et si nous e rivons le polyn^ome q omme une serie developpee suivant les polyn^omes Pn(r) dont les oeÆ ients qn sont nuls pour n > deg(q), il vient alors en appliquant le s hema general ! 1 1 1 X X X ( r ) L(an)Pn = qnPn(r) : an Pn = L n=0

n=0

n=0

47

Chap. 1 : Series orthogonales En supposant que la serie au entre soit uniformement onvergente, l'identi ation terme a terme autorisee par l'orthogonalite des Pn(r) engendre l'equation re urrente suivante

L(an) = qn ;

8n  0 :

(1.38)

Cette methode de onstru tion de re urren e sera etudiee plus pre isement dans le as des series de Chebyshev pour lesquelles nous fournirons des resultats de onvergen e validant l'existen e de la re urren e (1.38). Le probleme de onvergen e ne se pose pas lorsque que nous appliquons notre methode a des series nies. Cette remarque nous permet notamment d'utiliser nos resultats pour le probleme de onnexion entre familles de polyn^omes orthogonaux lassiques. Donnons un exemple.

Exemple 3 Connexion entre les polyn^omes de Ja obi Jn(a;b) et Jn( ;d) . Cette relation est

etablie dans un arti le de Godoy et al. [29℄ pour le as monique. Nous trouvons don i i une re urren e legerement dierente. En appliquant l'operateur dierentiel

d d2 + (b a (a + b + 2)x) + m(m + a + b + 1) 2 dx dx a ha un des membres de l'egalite Lm = (1 x2 ) Jm(a;b)

=

1 X

n=0

Cn (m)Jn( ;d)

ave Cn (m) = 0

8n > m :

nous annulons le premier membre. L'a tion sur le se ond membre se traduit par l'appli ation d'un operateur aux dieren es sur les oeÆ ents Cn (m) et l'identi ation terme a terme nous donne une re urren e. Notons  = a + b +1 et  = + d +1, alors la re urren e generee est (n + )(n +  1)(m n + 1)(m + n +  1) Cn 1 (m) (2n +  2)(2n +  1)   ( d)[2m(m + ) + 2n(n + ) + ( 1)( + 1)℄ b a + (n + ) Cn (m) + 2(2n +  1)(2n +  + 1) 2 (n + + 1)(n + d + 1)(m + n +  + 1)(n m +   + 1) + Cn+1 (m) = 0 : (2n +  + 1)(2n +  + 2) Remarque : pour onstruire ette re urren e nous n'avons pas suivi exa tement le s hema general auquel as 2nous eussions obtenu une re urren e d'ordre 5. Mais pour appliquer la partie (1 x2 ) dxd 2 de l'operateur Lm nous avons utilise la relation de stru ture. Cela revient exa tement a travailler dans la base Q0n au sens de ni dans l'arti le sus-mentionne. La m^eme methode peut servir au al ul de la re urren e veri ee par les oeÆ ients de

onnexion entre une famille de polyn^omes orthogonaux lassiques et une famille de polyn^omes orthogonaux semi- lassiques. Les polyn^omes orthogonaux semi- lassiques - suivant la de nition introduite dans [45℄ - sont des polyn^omes orthogonaux qui veri e une relation de stru ture de la forme

R(x)Pn0 +1 (x) =

n+t X  =n s

48

rn; Pn+k (x)

1.3 Des polyn^omes aux series ou t et s sont deux entiers positifs et R(x) est un polyn^ome de degre t. Cette relation de stru ture ajoutee a la re urren e a 3 termes veri ee par les polyn^omes Pn onduit, omme nous l'avons fait pour les polyn^omes orthogonaux lassiques, a un s hema pour l'appli ation d'un operateur dierentiel element de C [x; R(x) dxd ℄ a une serie formelle developpee suivant les Pn . Soit fQm g une famille de polyn^omes orthogonaux lassiques. Le resultat de la multipli ation a gau he par R2 (x) de l'operateur dierentiel hypergeometrique qui annule Qm s'exprime sous la forme     d 2 d 0 (x) R(x) + (R(x) (x) R (x)(x)) R(x) + m R2 (x) : dx dx En appliquant et operateur a haque membre de l'egalite m X

Qm (x) =

n=0

Cn (m)Pn (x)

nous annulons le membre de gau he et nous obtenons au se ond membre une nouvelle ombinaison en Pn gr^a e au s hema indique. Nous en tirons une re urren e pour les oeÆ ients Cn (m) omme dans l'exemple 3.

Appro he par produit s alaire Nous avons utilise les operations sur les series pour generer une relation de re urren e entre les oeÆ ients de Fourier de la fon tion f . Il existe une alternative qui onsiste a travailler dire tement ave le produit s alaire pour obtenir les relations her hees, en evitant le probleme de onvergen e des series. La methode generalise a tous les polyn^omes orthogonaux lassiques une methode due a Paszkowski pour les oeÆ ients de Chebyshev. On trouve une presentation de la methode de Paszkowski dans un arti le de Lewanowi z [37℄ (le do ument original de Paszkowski est un livre en polonais, d'ou la referen e indire te) ou la methode est etendue au as des oeÆ ients de Gegenbauer. Dans un arti le plus re ent [41℄, Lewanowi z ee tue la generalisation a toute famille de polyn^omes orthogonaux lassiques. Nous presentons ette methode que nous avions nous-m^eme etablie (mais un peu tard) ave notre formalisme. Fixons une famille de polyn^omes orthogonaux lassiques Pn pour laquelle les operateurs X et  sont de nis par les propositions 9 et 10. Nous introduisons l'operateur aux dieren es (1.39) S = 1n  : Nous notons n (f ) le n-ieme oeÆ ients de Fourier de f relatif a Pn i.e.

n (f ) =

Z b

a

(x)f (x)Pn (x)dx :

Le oeÆ ient de Fourier du produit de f par x s'exprime fa ilement en fon tion des

oeÆ ients de Fourier de f ar nous avons

n (xf ) = =

Z b

a

Z b

a

(x)xf (x)Pn (x)dx (x)f (x)X Pn (x)dx

= X ( n (f )) : 49

Chap. 1 : Series orthogonales Cette formule se generalise evidemment au produit de la fon tion f ave un polyn^ome en sa variable, par la formule

n (P (x)f ) = P (X )( n (f )) : (1.40) L'equation de Pearson (1.12) appliquee a Pn nous montre qu'une primitive de Pn est 1 0 n Pn , pour tout n > 0. Ainsi en integrant par parties l'integrale de nissant n (f ) nous obtenons

n (f ) =



f (x)

1

n

b

(x)(x)Pn0 (x) + a

Z b

a

f 0 (x)

1 (x)(x)Pn0 (x)dx : n

Du fait de l'annulation de  aux extremites de l'intervalle d'integration, le ro het peut ^etre supprime et nous avons nalement 1

n (f ) = n

Z b

a

f 0 (x)Pn (x)dx = S n (f 0 )

8n > 0 :

(1.41)

Nous allons maintenant pouvoir onstruire une equation re urrente gr^a e aux formules (1.40) et (1.41). Mais pour ela nous devons mettre l'operateur dierentiel L sous une forme parti uliere de rite dans le

Lemme 1

L'operateur dierentiel holonome L de ni par (1.36) se ree rit

Ly = (pr y)(r) + (pr 1 y)(r ou

pi =

1) +

r X k=i

( 1)k i Cki p(kk




+ p0y

i)

:

(1.42) (1.43)

Demonstration : Nous allons d'abord exprimer les pk en fon tion des pi puis inverser la relation. Pour ela, nous developpons haque terme ( pi y)(i) dans l'egalite (1.42) en utilisant la formule de Leibniz.

Ly = =

r X

i X

i=0 k=0 r r X X k=0

i=k

Cik p(ii

k) (k) y

Cik p(ii k)

!

!

y(k)

On en deduit les relations

pk =

r X i=k

Cik p(ii

k)

k = 0


r

E rivons es relations sous forme matri ielle

P~ = A R~ 50

(1.44)

1.3 Des polyn^omes aux series ou

0

P~

1

0

C C C pk C C .. C . A

B B B =B B B 

p0 .. .

B B B =B B B 

; R~

pr

et ou la matri e A est de nie par

(

Ai;j =

Cji xj 0

p0

1

.. .

C C C pk C C .. C . A

pr

si i  j : si i > j

i

(1.45)

(1.46)

Nous allons inverser la relation (1.44) en interpretant la matri e A omme la matri e d'un endomorphisme d'espa e ve toriel (ou plus exa tement de module) onvenablement hoisi. Considerons l'ensemble M des operateurs aux derivees partielles par rapport a 2 variables x et y, lineaires et a oeÆ ients onstants, et degre r pour la derivation par rapport a y. On peut

onsiderer M omme un C [x ℄-module de dimension r dont une base serait 1; y ;


; yr . Tout element de M peut en eet ^etre mis sous la forme r X k=0

pk 2 C [ X ℄ :

pk (x )yk ;

Considerons maintenant l'endomorphisme u qui a un operateur de M asso ie l'operateur obtenu par la substitution y 7! y + x . Puisque

)j

(y + x =

j X i=0

Cji yi xj

i

on voit que la matri e asso iee a l'endomorphisme u (relativement a la base 1; y ;


; yr ) est la matri e A. L'endomorphisme u 1 inverse de u est elui qui ee tue la substitution y 7! y x . En appliquant omme i-dessus la formule du bin^ome, on trouve fa ilement la matri e inverse de A de nie par (

(A 1 )i;j

Cji ( 1)j i xj 0

ij : si i > j

i si

(1.47)

~ = A 1 P~ et on trouve les Pour on lure on e rit omposante par omposante le produit R relation (1.43) de l'enon e. 2 Soit f une fon tion r fois derivable et pour laquelle nous supposons l'existen e des oeÆ ients n (f (k) ) pour k = 0; : : : ; r et de n (Lf ). Il vient alors

S r n (Lf )

= = =

r X k=0 r X k=0 r X k=0

S r k S k n((pk (x)f )(k) ) Sr

k

Sr

k p (X ) (f ) : n k

51

pk (x)f ) n (

Chap. 1 : Series orthogonales Si f est solution de de l'equation dierentielle Ly = q, alors es oeÆ ients de Fourier veri ent l'equation re urrente r X k=0

Sr

k p (X ) (f ) = n k

S r n(q)

(1.48)

Du fait que la formule (1.41) qui etablit l'usage de l'operateur S , est valide pour n > 0, la re urren e (1.48) est veri ee pour n  r. Le lien entre les equations re urrentes (1.38) et (1.48) sera montre plus loin dans le as des oeÆ ients de Chebyshev.

1.4 Con lusion Nous venons d'etablir des resultats qui seront le point de depart de l'etude plus spe i que des series de Chebyshev dans la se onde partie de e memoire. Avant de re entrer notre travail sur es series, notons que le travail realise sur les series orthogonales

onstitue une base importante pour la mise en oeuvre eÆ a e et automatique des methodes spe trales qui trouvent un elan nouveau gr^a e au al ul formel ( f les remarques de J.P. Boyd a e sujet [8℄). C'est pourquoi, le hapitre suivant est onsa re a l'usage du al ul formel pour la manipulation des series orthogonales.

52

Chapitre 2

Outils informatiques pour les series orthogonales Dans e hapitre, nous presentons la realisation informatique qui met en oeuvre les resultats theoriques vus dans le hapitre pre edent, notamment les operations elementaires sur les series orthogonales et bien s^ur le s hema general d'appli ation d'un operateur dierentiel sur une serie orthogonale. Originellement on u pour les series de Chebyshev puis etendu aux series de polyn^omes orthogonaux lassiques, notre programme e rit en MAPLE a ete nomme orthoseries pour es raisons \historiques". Or les methodes pour ee tuer des operations sur les series orthogonales s'etendent aux operations sur des series developpees suivant de familles de fon tions pour lesquelles es operations s'expriment par l'appli ation d'operateurs aux dieren es ( itons les series trigonometriques, les series de Neumann - developpees suivant des fon tions de Bessel -, les series de Laurent et ...). Aussi

ette extension dans la theorie est-elle stru turellement prevue dans notre programme

omme nous t^a herons de le montrer. En n, nous voulons eviter de faire de e hapitre un manuel de l'utilisateur tout en presentant les diverses pro edures auxquelles nous ferons referen e dans les hapitres suivants.

2.1 Representation des series orthogonales Avant toute idee de realisation informatique, il onvient de bien identi er les objets mathematiques que nous voulons manipuler pour de nir les stru tures informatiques orrespondantes. Il va sans dire que l'objet primordial a representer est la serie orthogonale telle que nous l'avons introduite et manipulee dans le hapitre pre edent. Cependant, dans les appli ations numeriques il est pratique voire ne essaire d'utiliser des series partielles que nous devons onsiderer omme un type d'objet a part entiere.

2.1.1 Series : la stru ture OS Soit une serie orthogonale e rite en toute generalite 1 X an Pn (x) : n=0

Les elements onstitutifs signi atifs de ette serie sont les suivants : 53

Chap. 2 : Outils informatiques pour les series orthogonales 1. La famille suivant laquelle la serie est developpee, i i Pn . Nous parlerons du genre de la serie. Ce genre est determinant pour savoir omment agir sur la serie. La representation du genre d'une serie se fait a l'aide d'une liste (type list de MAPLE)

omprenant le nom de la famille omplete par un ertain de nombre de parametres. Ex : les polyn^omes de Laguerre Ln sont representes par la liste [L,℄. Une famille de polyn^omes hypergeometriques en toute generalite est representee par la liste [HYP,, ,n 7! Bn ℄ ou les 3 parametres sont de type fun tion en MAPLE. 2. La variable sur laquelle s'appliquent les polyn^omes de la serie, i i x. Cette information est fondamentale pour diverses operations et en premier lieu pour la derivation. 3. La suite des oeÆ ients, i i an , de la serie. Nous parlerons du terme, sous-entendu general, de la serie. C'est sur e terme que s'appliqueront les operateurs aux dieren es asso ies aux operations sur les series. Remarque : en MAPLE les termes an d'une suite seront representes par l'expression de type fon tion a(n). 4. La variable d'indexation, i i n, du terme que nous nommerons l'indi e. Il est ne essaire a l'appli ation des operateurs aux dieren es. Les dierentes informations que nous venons de de rire sont assemblees sous forme d'un tableau de type array en MAPLE, pour former un objet que nous dirons de type OS. La stru ture du tableau devant rester souple, notamment pour l'adjon tion d'informations supplementaires, l'utilisateur ree un objet de type OS en utilisant une pro edure, reerOS, qui se harge de onstruire un tableau au format voulu. Ainsi la serie de Laguerre 1 X 2 n Ln() (y) n=0

sera reee par la ommande

reer-OS(2 n ,n,[L,℄,y) .

Pour la m^eme raison de souplesse, l'utilisateur ou le programmateur extrait les informations relatives a un objet de type OS a l'aide des pro edures d'extra tion suivantes dont les noms indiquent de maniere evidente la fon tion : OS-terme, OS-variable, OS-genre et OS-indi e. En pro edant ainsi, nous assurons que les pro edures informatiques de manipulations des series restent \insensibles" a un hangement de representations des series.

2.1.2 Series partielles : la stru ture OSP Considerons la serie partielle

m X n=0

an Pn (x) :

(2.1)

Nous pouvons envisager et objet de deux fa ons dierentes : d'une part, omme une serie dont les oeÆ ients sont nuls a partir d'un ertain rang ; d'autre part omme une reelle ombinaison nie. Dans le premier as la somme (2.1) peut ^etre representee dans une stru ture OS ave pour terme general Im (n)a(n) ou Im vaut 1 sur f0;


; mg et 0 ailleurs. Dans le se ond as, nous introduisons une nouvelle stru ture : OSP, dans laquelle la notion de terme general est rempla ee par une liste de oeÆ ients a0 , a1 ,


, am . Dans

ette stru ture la notion d'indi e devient inutile. Comme dans le as de la stru ture OS, un objet de type OSP est represente par un tableau MAPLE que l'on peut reer gr^a e a la pro edure reer-OSP. Par exemple, l'appel 54

2.1 Representation des series orthogonales

reer-OSP([1; 7; ; 32 ℄,[C; ℄,x).

ree une serie de Gegenbauer partielle. La en ore les informations sont extraites par des pro edures adequates : OSP-liste, OSP-variable, OSP-genre. Pour atteindre un oeÆ ient parti ulier, nous avons la pro edure OSP- oe pour les entrees (n; S ) qui renvoie le n-ieme

oeÆ ient de l'objet S de type OSP. Il est souvent utile de reer une serie partielle identiquement egale a 1. La liste de

oeÆ ients asso iee est alors omposee d'une seule valeur : P10 . L'objet de type OSP orrespondant est reer par la pro edure unite-OSP. Nous verrons plus loin une appli ation de ette pro edure.

Evaluation des series partielles : le s hema de Horner generalise Une spe i ite des series partielles, qui les distingue des series in nies, est que l'on peut toujours les evaluer. Cette evaluation doit se faire de fa on eÆ a e tant au niveau de la rapidite que de la pre ision du resultat. Il est bien onnu que pour evaluer le polyn^ome

a0 + a 1 x +


+ a p x p

(2.2)

la methode qui onsiste a al uler independamment haque puissan e xk puis a ee tuer la

ombinaison lineaire, est a prohiber absolument. Le nombre de multipli ation est alors de l'ordre de p2 =2 et realise en ottants le resultat du al ul peut ^etre deplorable. L'evaluation eÆ a e du polyn^ome (2.2) se fait ave l'algorithme d'Horner. Cet algorithme est le suivant : si nous de nissons la suite un omme suit 

alors nous avons

up+1 = 0 un = xun+1 + an ; n = 0


p u0 = a0 + a1 x +


+ ap xp :

L'algorithme de Horner requiert seulement p multipli ations. Pour les m^emes raisons, il est ex lu d'evaluer la serie partielle p X n=0

an Pn (x)

(2.3)

en al ulant haque polyn^ome Pn et en ee tuant la ombinaison lineaire. Un pro ede pour evaluer les series de Chebyshev partielles a ete donne par Clenshaw [11℄ et etendu par Luke [43℄ pour toute series nies de fon tions veri ant une re urren e a trois termes. Nous allons presenter une extension de es methodes pour l'evaluation de series nies de fon tions veri ant une re urren e d'ordre quel onque. Le pro ede possedant l'algorithme de Horner omme as parti ulier nous l'avons nomme s hema de Horner generalise.

Proposition 14

S hema de Horner generalise 55

Chap. 2 : Outils informatiques pour les series orthogonales Soit la suite fbn gn2Z de nie par la re urren e

bn = R(bn ) =

e X k=1

rk (n)bn

k

8n  e;

(2.4)

b0 ;


; be 1 etant des omplexes xes, et bn = 0 pour n < 0. Soit fan gn=0;


;p une suite donnee de p + 1 omplexes, alors p X n=0

a n bn =

e 1 X n=0

Bn [I

R℄(bn )

ou les Bn sont de nis par (

Bp+1 = Bp+2 =


= Bp+e = 0

(2.5)

Bn = R (Bn ) + an n = 0; 1;


; p R etant l'operateur aux dieren es adjoint de R. Demonstration : Nous ompletons les suites fan g et fBn g en onvenant que

an = 0 Bn = 0

pour n < 0 et n > p ; pour n > p + e :

Moyennant ette onvention, nous avons p X n=0

an bn =

1 X n=

1

an bn :

(2.6)

De plus, nous tirons des relations (2.4) et (2.5) les egalites suivantes

[I R℄(bn ) = 0 [I R℄ (Bn ) = an

pour n  e et n < 0 ; pour n  0 :

En utilisant es relations, nous transformons de se ond membre de (2.6) p X n=0

an bn = =

1 X

R℄ (Bn ) bn =

[I

n= 1 e 1 X Bn n=0

[I

1 X n=

1

Bn [I

R℄(bn )

R℄(bn ) :

Le passage de la deuxieme a la troisieme serie est une appli ation de la proposition 2. P

2

Le s hema de Horner generalise permet d'evaluer une somme du type an bn sans al uler expli itement haque bn apparaissant dans la somme. L'algorithme s'applique bien s^ur, et

'est son utilisation premiere, lorsque la suite bn est une suite de fon tions. En parti ulier, pour evaluer des series orthogonales partielles nous avons le 56

2.2 Operations sur les series Corollaire 2 Evaluation des series orthogonales Soit Pn une famille de polyn^omes orthogonaux non ne essairement lassiques ou

de polyn^omes hypergeometriques non ne essairement orthogonaux. Cette famille veri ent don une relation a trois termes du type

Pn+1 (x) = (n + n x)Pn (x) + n Pn 1 (x) : Construisons la suite un (

um+1 = um+2 = 0 un = (n + n x)un+1 + n+1 un+2 + an ; n = 0


m

:

Alors, l'evaluation des series partielles en Pn se fait omme suit m X n=0

an Pn (x) = u0 P0 (x) + u1 [P1 (x) + 0 P0 (x)℄ :

Le s hema de Horner generalise dans le as parti ulier du orollaire pre edent dans notre est implemente dans notre programme sous le nom eval-OSP.

2.2 Operations sur les series 2.2.1 Operations elementaires sur les series Un ertain nombre de d'operations se font independamment de la nature des series. Ce sont en parti ulier les operations suivantes, pour lesquelles nous donnons nos pro edures MAPLE orrespondantes  Multipli ation par un s alaire : S al-OS(a,S) multiplie la serie S, 'est-a-dire son terme general, par a.  Addition : Add-OS(S1,S2) additionne les series S1 et S2.  Combinaison lineaire : CombLin-OS(a,S1,b,S2) realise la ombinaison lineaire a S1 + b S2. Neanmoins, pour les deux dernieres operations exigent des onditions de ompatibilite, puisque les series S1 et S2 ne pourront s'additionner ou se ombiner que si elles ont le m^eme genre et la m^eme variable auquel as on pourra ee tuer l'operation adequate sur les termes generaux pour obtenir le terme general du resultat. Dans leurs versions de base les pro edures d'addition et de ombinaison renvoi un message d'erreur en as de non

ompatibilite. Maintenant, onsiderons les operations dont le resultat depend de la nature de la serie don du genre de l'objet de type OS orrespondant. D'apres les resultats vus au

hapitre pre edent, toute une lasse d'operations agissent sur les series orthogonales par appli ation d'un operateur aux dieren es sur le terme general pour donner le terme de la serie resultante qui est eventuellement developpee suivant une autre famille de polyn^omes.  X-OS(S) : multiplie la serie S par sa variable. Stable pour le genre.  Poly-OS(p,S) : multiplie la serie S par le polyn^ome p exprime dans la base anonique par iteration de la pro edure pre edent suivant le s hema de Horner. Stable pour le genre.  Di OS(S,x) : derive la serie S par rapport a x. 57

Chap. 2 : Outils informatiques pour les series orthogonales

 

SigmaDi-OS(S,x) : derive S suivant la relation de stru ture. Stable pour le genre. RelDi-OS(S) : ree rit S dans la base des derivees (a une normalisation pres) en

utilisant la relation de derivation. Pour ee tuer les operations enumerees notre programme doit \prendre onnaissan e" des operateurs aux dieren es et des genres resultants asso ies a haque ouple operation-genre de la serie initiale. La \prise de onnaissan e"1 s'ee tue via une base de donnees qui est simplement une pro edure MAPLE qui ee tue l'asso ation (genre, operation)

7 ! (genre du resultat, operateur aux dieren es) .

La gure 2.1 illustre l'interrogation de la base de donnees. De ette maniere, les operations (X-OS, Poly-OS, et ...) sont e rites une seule fois ( 'est-a-dire pour tout genre de la serie en entree) et pro edent, de fa on interne et transparente pour l'utilisateur, a l'interrogation de la base pour ee tuer les bons al uls sur le terme et renvoyer un resultat du genre adequat. Cette appro he a en outre l'avantage de permettre l'ajout ulterieur de nouveaux types de series sans autre modi ation qu'un renseignement de la base de donnees. Pour l'heure, notre base ontient les donnees ne essaires au travail ave les series de Ja obi, Gegenbauer (don Legendre), Chebyshev, Laguerre et Hermite. Nous pourrions

ondenser tous es as parti uliers en un seul type hypergeometrique mais le o^ut de

al ul est moindre en utilisant ette parti ularisation.

2.2.2 Operations elementaires sur les series partielles Toutes les operations appli ables aux series le sont a fortiori aux series partielles. En termes de programmation, toutes les pro edures presentees dans la se tion pre edente ont leurs pendants pour les objets de type OSP. Ces pro edures portent le m^eme nom mais ave le suÆxe -OSP. Toutefois, il faut souligner deux points qui distinguent les operations sur les series partielles. D'une part, les problemes de ompatibilites evoques pour les series disparaissent ar le hangement de base est toujours possible, en theorie, entre familles de polyn^omes ( e qui ne serait pas le as ave des series partielles de Neumann, par exemple) et en pratique ave les outils que nous presenterons plus bas. D'autre part, ave les objets de type OSP les operateurs aux dieren es asso ies aux operations n'agissent plus sur une valeur symbolique (le terme) mais sur une liste de oeÆ ients.

2.2.3 Autres operations Nous avons presente l'implementation des operations elementaires relatives aux series et aux series partielles. A l'aide des pro edures orrespondantes, nous pouvons onstruire des pro edures plus elaborees. Notamment, nous avons implemente le s hema general d'appli ation d'un operateur dierentiel sur une serie orthogonale dans les pro edures OpDi-OS et OpDi-OSP. Mais voyons d'autres onstru tions.

Multipli ation d'une serie par une serie partielle Nous disposons jusqu'i i d'une pro edure (Poly-OS) pour multiplier une serie orthogonale par polyn^ome e rit dans la base anonique. Il serait evidemment pratique et

onforme a la philosophie de notre programme de pouvoir ee tuer le produit d'une serie 1

On nous pardonnera l'anthropomorphisme de l'expression. 58

1

n=0

X 1

() n n

n=0

59

Di-OS [J,, ℄

X

d 1 bn Jn(; ) dx n=0

nan 1 +(2n++1)an (n++1)an+1 )L(n)

nE

X-OS [L,℄

(

BASE de DONNEES

1 +(2n++1)

(n++1)E

[L,℄ 1 2 (n +  +

+ 2)E

[J, + 1, + 1℄

X 1

n=0

( n++2 +2 ) an+1 Jn(+1; +1)

2.1 { Interrogation de la base de donnee pour la multipli ation par x d'une serie de Laguerre et la derivation d'une serie de Ja obi

Fig.

2.2 Operations sur les series

X x aL

Chap. 2 : Outils informatiques pour les series orthogonales orthogonale ave une serie partielle e rite dans une base quel onque de polyn^omes hypergeometriques. Cette operation est realisable gr^a e a une adaptation simple du s hema de Horner generalise. Pour ela nous e rivons une egalite en forme de lapalissade p p 1 X X X (2.7) bm Qm (x) = (an S )Pn (x) an Pn (x) n=0

n=0

m=0

dans laquelle Pn et Qn sont des polyn^omes hypergeometriques et ou 1 X bm Qm (x) : S= m=0

Cal uler le produit au membre gau he de (2.7) revient a evaluer le membre de droite. Pour ee tuer ette evaluation, nous appliquons l'algorithme de Horner generalise ave un petit amenagement : haque operation ee tuee sur les oeÆ ients An est une operation de type -OS. ( Um+1 = Um+2 = 0 : Un = (n + n x)Un+1 + n+1 Un+2 + an S; n = 0


m Dans la trans ription informatique de ette iteration les Uk et S sont des objets du type OS, le produit xUn+1 est ee tue par X-OS, la multipli ation par les s alaires gr^a e a S al-OS et les additions se font par Add-OS. Evidemment, la m^eme appro he s'applique pour multiplier deux objet de type OSP. Nous de nissons ainsi les pro edures  mult-OSP-OS(P,S) : ee tue le produit de la serie partielle P par la serie S suivant le pro ede de rit plus haut. Le genre du resultat est elui de la serie.  mult-OSP-OSP(P1,P2) : ee tue le produit de la serie partielle P1 par la serie partielle P2. Le genre du resultat est elui de P2.

Changement de bases Une appli ation du produit des series partielles tel que nous l'avons de ni est le hangement de base. En eet, soit P une serie partielle de genre g1 et soit U la serie partielle de genre g2 identiquement egale a 1. Par onstru tion de la pro edure, le resultat de l'appel mult-OSP-OSP(P,U)

est la serie partielle de genre g2 egale a P. Nous avons ainsi ee tue un hangement de base qui est realise dans notre programme par la pro edure Conversion-OSP.

2.3 Series de plusieurs variables Nous avons on entre notre travail sur les equations dierentielles ordinaires et onsequemment sur les series dependant d'une seule variable. Pourtant nous pouvons etendre assez aisement nos resultats a des series en plusieurs variables du type produit tensoriel 1 X an;m Pn (x)Qm (y) (2.8) n;m=0

60

2.3 Series de plusieurs variables auxquelles nous pouvons appliquer des operateurs aux derivees partielles holonomes. Le resultat d'une operation elementaire (multipli ation par l'une des variables, derivation par rapport a elle- i) s'obtient par appli ation d'un operateur aux dieren es sur le terme general de la serie. La seule dieren e est qu'il faut faire agir et operateur sur l'indi e

orrespondant a la variable. Dans le as de la serie (2.8) par exemple aux operations relative a la variable x (resp. y) orrespondront des operateurs aux dieren es agissant sur la l'indi e n (resp. m) du terme general. Prenons un exemple : la multipli ation par l'une des variables. Supposons que Qm soit le polyn^ome de Gegenbauer Cm() , alors  1  ma 1 X X n;m 1 + (m + 2)an;m+1 Pn (x)Qm (y) an;m Pn (x)Qm (y) = y 2( m + 1  ) n;m=0 n;m=0 On itere fa ilement ette operation elementaire a n de multiplier la serie (2.8) par un polyn^ome en x et y. L'appli ation d'operateur aux derivees partielles n'est guere plus ompliquee que le as a une variable mais ne essite d'^etre bien onduite si l'on veut obtenir un resultat sous forme d'une unique serie. Par exemple nous voulons appliquer l'operateur dxd + dyd sur la serie (2.8). Supposons que Pn se derive dans la base Pn(1) par appli ation de l'operateur D1 = d1 (n)E et que Qm se derive dans la base Q(1) m par appli ation de l'operateur D2 = d2 (m)E. Nous obtenons alors dans un premier temps 1 1 X X (1) d2 (m)an;m+1 Pn (x)Q(1) d1 (n)an+1;m Pn (x)Qm (y) + m (y ) : n;m=0

n;m=0

En utilisant les operateur de hangement de base : B1 pour aller de Pn vers Pn(1) et B2 pour aller de Qm vers Q(1) m , B1 agissant sur la variable n et B2 sur la variable m, il vient 1 X [B2 (d1 (n)an+1;m ) + B1 (d2 (m)an;m+1 )℄ Pn(1) (x)Q(1) m (y ) : n;m=0

Pour l'appli ation des operateurs plus substantiels la omplexite du resultat s'a

ro^t rapidement sans diÆ ulte theorique mais ave un besoin imperieux d'automatisation. La representation des series en plusieurs variables est une extension de elle des series en une variable. Un tableau ontient le terme general multi-indi e et une liste de triplets variable-indi e-genre omme le montre l'exemple suivant aussi general que possible 2 3 [n1 ; x1 ; genre1 ℄ 4 a (n1 ; : : : ; np ) ; 5 : :::   np ; xp ; genrep Une operation appliquee sur ette stru ture suit le deroulement suivant : on re her he dans la liste des triplets la variable on ernee par l'operation, on soumet l'operation et le genre du triplet sele tionne a la base de donnees, on re upere un operateur aux dieren es que l'on fait agir sur le terme ave l'indi e adequat et un genre du resultat qu'on substitue dans le triplet. Neanmoins si la demar he algorithmique reste tres similaire au as a une variable, la programmation du as a plusieurs variables est un peu plus deli ate et reste a developper plus ompletement. Ce developpement est d'autant plus souhaitable qu'il permettra la mise en oeuvre de methodes spe trales pour les equations aux derivees partielles. 61

Chap. 2 : Outils informatiques pour les series orthogonales

2.4 Con lusion Ce hapitre est relativement su

int du fait que le passage de la theorie sur les series de polyn^omes hypergeometriques a la programmation se fait de maniere tres dire te. Neanmoins nous avons pro te du ontexte de e hapitre pour introduire quelques appli ations ( hangement de base) et extensions ( as a plusieurs variables) de la theorie. En n, il nous fallait nommer les diverses pro edures dont nous aurons l'usage dans le dernier hapitre onsa re a la resolution numerique d'equations dierentielles.

62

Deuxi

eme partie

Etude theorique et pratique des series de Chebyshev

63

Chapitre 3

Series de Chebyshev et equations dierentielles Dans e hapitre nous introduisons les proprietes ne essaires aux dierentes etudes que nous menerons sur les series de Chebyshev dans les hapitres suivants. Nous voulons en parti ulier mettre en exergue la double nature des polyn^omes de Chebyshev : une nature hypergeometrique qui leur fait heriter des proprietes dis utees au hapitre 1 et une nature trigonometrique que nous allons voir maintenant et qui entra^ne de nouvelles proprietes.

3.1 Introdu tion : rappels 3.1.1 Equations dierentielles holonomes Nous rappelons que nous nommons equation dierentielle holonome une equation dierentielle lineaire a oeÆ ients polyn^omiaux. L'operateur L designe generiquement l'operateur holonome r X dk (3.1) L = pk (x) k : dx k=0

En ajoutant un se ond membre polyn^omial q quel onque, nous obtenons une equation dierentielle holonome Ly = q (3.2) a laquelle nous ferons referen e dans tout e hapitre. La theorie des equations dierentielles lineaires a oeÆ ients analytiques (voir par exemple In e [32℄) adaptee au as holonome nous livre le theoreme fondamental suivant

Theoreme 2

Une solution de l'equation (3.2) est analytique en tout point du plan omplexe qui n'est pas ra ine du polyn^ome pr . Ce theoreme nous amene a de nir une lasse parti uliere de fon tions.

De nition 6

Notons M l'ensemble des fon tions qui sont analytiques sur C sauf en un nombre ni de points du plan omplexe, que nous appellerons singularites. Pour une fon tion f de M , Sg(f ) designe l'ensemble des singularites de f .

65

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles Telle nous l'avons de nie - et e n'est pas une de nition lassique - la notion de singularite designe une valeur de C et ne s'applique don pas au point a l'in ni qui peut neanmoins ^etre singulier au sens lassique. Cette de nition restreinte nous evitera d'avoir a distinguer entre singularites a l'in ni et singularites a distan e nie dans des appli ations ou seules

es dernieres seront onsiderees. La de nition 6 nous permet de reformuler le theoreme 2 ainsi : toute solution f de l'equation (3.1) est element de M ave Sg(f )  ra (pr ).

3.1.2 Series de Chebyshev La ri hesse de proprietes des polyn^omes de Chebyshev permet une multitude de de nitions equivalentes de es polyn^omes. Dans la logique de e memoire nous donnerons la de nition suivante

De nition 7

Les polyn^omes de Chebyshev, notes Tn , sont les polyn^omes orthogonaux sur [ 1; 1℄ relativement au produit s alaire de ni par

(f; g) =

Z 1

f (x)g(x) p dx 1 1 x2

(3.3)

et normalises en imposant Tn (1) = 1. Sauf indi ation ontraire, la notation (f; g) designera desormais par defaut le produit s alaire (3.3). L'uni ite, a un fa teur de normalisation pres, des polyn^omes relatifs a un intervalle et un poids donnes impliquent que les polyn^omes de Chebyshev sont proportionnels aux polyn^omes de Ja obi pour les parametres  = = 21 . Le fa teur de normalisation est pre ise par l'egalite [1, 22.5.28℄

Tn =

n!
p ( Jn n + 12

1 2

;

1 2

)

:

(3.4)

Introduisons la famille de fon tions tn de nies sur [ 1; 1℄ par tn (x) = os(n ar

os(x)). En utilisant le hangement de variable, x = os , nous etablissons que (tn ; tm ) =

Z 

0

os(n) os(m)d

qui est nul pour n 6= m. Ainsi les fon tions tn sont orthogonales pour le produit s alaire de Chebyshev. Mais par ailleurs, la relation trigonometrique 2 os  os n = os(n + 1) + os(n 1) se traduit pour les tn par la relation

tn+1 (x) = 2xtn (x) tn 1 (x) : Puisque t0 (x) = 1 et t1 (x) = x, ette relation prouve que les tn sont des polyn^omes et

omme de fa on evidente tn (1) = 1, la propriete d'uni ite implique que tn = Tn . Nous avons ainsi etabli deux proprietes bien onnues : la nature trigonometrique des polyn^omes de Chebyshev rappelee dans la formule

Tn (x) = os(n ar

os(x)) = os(n) 66

x 2 [ 1; 1℄; x = os 

(3.5)

3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev et la re urren e a trois termes ara teristique des polyn^omes orthogonaux

Tn+1 (x) = 2xTn (x) Tn 1 (x) :

(3.6)

En notant w(x) = (1 x2 ) 2 le poids de Chebyshev, nous introduisons la notation L2w ([ 1; 1℄) pour designer l'ensemble de fon tions f de arre integrable pour la mesure w(x)dx. Nous avons alors la 1

De nition 8

La serie de Chebyshev d'une fon tion f appartenant a L2w ([ 1; 1℄) est la serie 1 X 0 n (f )Tn (x) (3.7) n=0

ou les oeÆ ients de Chebyshev n (f ) sont de nis par Z 1

T (x) f (x) p n 2 dx : (3.8) 1 x 1 P La notation 0 signi e que le oeÆ ient d'indi e 0 est divise par 2. Cette notation n'est pas une oquetterie mais une onvention qui, nous le verrons, simpli e les formules. Elle est, de plus, l'indi e du lien fort qui lie polyn^omes de Chebyshev et polyn^omes trigonometriques, et, subsequemment, series de Chebyshev et series de Fourier. En ee tuant le hangement de variable x = os  dans l'integrale (3.8) nous obtenons

n (f ) =

n (f ) =

2 

2 

Z 

0

f ( os ) os(n)d ;

(3.9)

de sorte que les oeÆ ients de Chebyshev de la fon tion f sont les oeÆ ients de Fourier de la fon tion f Æ os. La serie de Fourier de f Æ os (qui est une serie en osinus du fait de la parite de la fon tion) est la serie 1 X 1 (f ) +

n (f ) os(n) (3.10) 2 0 n=1

dans laquelle nous re onnaissons la serie (3.7) apres hangement de variable et ou nous retrouvons le oeÆ ient 12 . Le lien que nous venons de mettre en eviden e entre series de Fourier et series de Chebyshev, a fait dire a ertains auteurs que les series de Chebyshev ne sont que des series de Fourier deguisees. Nous esperons que le present memoire eloignera du le teur une pareille pensee.

3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev Comme toute base orthonormee Hilbertienne (et en parti ulier omme toute famille

omplete de polyn^omes orthogonaux) la famille fTn g est adaptee a l'approximation des fon tions de L2 ([ 1; 1℄) en moyenne quadratique relative au produit s alaire qui engendre la base (voir par exemple Davis [18℄). Les polyn^omes de Chebyshev presentent des proprietes supplementaires qui en font un outil puissant pour l'approximation uniforme des fon tions analytiques et don des fon tions de M . Les resultats que nous allons presenter 67

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles sur es proprietes sont tires pour l'essentiel de l'ouvrage de T. Rivlin [57℄. Nous les avons adaptes aux fon tions de M . Introduisons quelques notations. Pour ommen er, jjf jjK = max jf (x)j x2K designera la norme uniforme de nie pour les fon tions ontinues sur le ompa t K . Comme il sera beau oup question, dans la presente se tion, d'approximation sur le segment [ 1; 1℄, jj
jj designera par defaut la norme relative au segment [ 1; 1℄. Nous noterons

sm (f ) =

m X

n=0

0 n (f )Tn

la serie de Chebyshev de f tronquee a l'ordre m. En n nous posons Sm (f ) = jjf sm (f )jj ; Em (f ) = jjf pm (f )jj ou pm (f ) est la meilleure approximation polyn^omiale de degre m de f sur [ 1; 1℄. Nous adaptons aux fon tions de M et on entrons en un seul theoreme des resultats donnes par Rivlin.

Theoreme 3 Soit f une fon tion de M analytique sur [ 1; 1℄. Alors les sommes partielles sm (f )

onverge uniformement vers f sur [ 1; 1℄. De plus nous avons l'en adrement 



4 Em (f )  Sm (f ) < 4 + 2 log m Em (f ) 

(3.11)

Demonstration : L'inegalite (3.11) est donnee par Rivlin dans un theoreme [57, Theorem 3.3℄ pour les fon tions

ontinues sur [ 1; 1℄ don appli able a la fon tion f . Un se ond theoreme [57, Theorem 3.4℄ indique que sm (f ) onverge uniformement vers f sur [ 1; 1℄ si


lim log(m)! m1 = 0 (3.12) m!1 ou ! est le module de ontinuite de f sur [ 1; 1℄. Or f , analytique sur [ 1; 1℄, y est Lips hitzienne i.e. qu'il existe une onstante K telle que 8x; y 2 [ 1; 1℄ ; jf (x) f (y)j  K jx yj : Ainsi nous avons une majoration du module de ontinuite

!

1
def jf (x) m = x;ysup 2[ 1;1℄

jx yj m1

f (y)j 

K m

2

qui implique la nullite de la limite (3.12).

L'inegalite (3.11) montre que les series de Chebyshev tronquees fournissent pour les fon tions analytiques des approximations polyn^omiales pro he de la meilleure (d'ou l'appellation \near minimax polynomial approximation" souvent utilisee dans la litterature). A titre d'illustration, pour des valeurs de m inferieures a 100, l'inegalite (3.11) donne Em (f )  Sm (f ) < 6Em (f ) : (3.13) 68

3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev Exemple 4 La gure 4 presente les erreurs d'approximation par la serie de Chebyshev

tronquee ainsi que la meilleure approximation polynomiale de degre 5 de la fon tion   3x : f (x) = exp 7+x Sur et exemple le polyn^ome s5 (f ) est presque la meilleure approximation et presente le

4e-05

2e-05

-1

-0.5

00

0.5 x

1

-2e-05

-4e-05





3x par une serie de Chebyshev 3.1 { Erreurs d'approximation de degre 5 de exp 7+ x tronquee (en trait plein) et par la meilleure approximation polyn^omiale (en pointille). Fig.

omportement os illatoire ara teristique de elle- i. Dans le as des fon tions de M nous pouvons, de plus, obtenir une majoration de l'erreur Sm (f ) dependant de la distan e (dans un sens que nous allons pre iser) des singularites de f a l'intervalle [ 1; 1℄. Pour ela nous allons introduire quelques elements de geometrie du plan omplexe.

De nition 9 Pour tout  > 1, E designe l'ellipse de foyers 1 et 1 dont la somme des longueurs du grand axe et du petit axe vaut 2.

Nous noterons E le disque elliptique limite par E i.e. la partie du plan onstituee de E et de son interieur (au sens geometrique). Par onvention, nous posons E1 = E1 = [ 1; 1℄. Pour  > 1, exprimons les longueurs  du grand axe et du petit axe de E en fon tion de . Pour ela, nous nous rappelons que le arre de la distan e entre les foyers d'une ellipse est egale au arre de la longueur du grand axe moins le arre de la longueur du petit axe. Ce qui revient a dire i i que 2 2 = 4. Comme la de nition de E nous indique que  + = 2, il vient  =  +  1 et =   1 :

69

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles On notera que  et sont des fon tions roissantes de . Don l'ellipse E1 est a l'interieure de l'ellipse E2 si et seulement si 1 est stri tement inferieure a 2 . Cette propriete reste vraie dans le as limite ou 1 = 1.

De nition 10

Nous noterons r la fon tion de nie C par r(z ) =

ou

p

l(z )2

l(z ) +

2

4

l(z ) = jz

1j + jz + 1j : (La fon tion r est bien de nie puisque, par appli ation de l'inegalite triangulaire, l(z ) est superieure ou egale a 2.) z

E (z )

l

-1

1

Une autre propriete bien onnue des ellipses est que la somme des distan es d'un point de l'ellipse aux foyers est egale a la longueur du grand axe. Autrement dit, l'ellipse E est l'ensemble de points z tels que l(z ) =  +  1 i.e. tels que r(z ) = . Nous introduisons maintenant la transformation du plan omplexe de nie par la fon tion   1 1 z+ (3.14) w(z ) = 2 z qui est fortement liee aux ellipses E ainsi qu'aux polyn^omes de Chebyshev. En eet

Lemme 2

Le er le de entre 0 et de rayon  est designe par la notation  . Alors pour tout   1, on a   E = w ( ) = w 1 :

Demonstration : Soit x un point du er le  . Posons z = w(x). Cal ulons l(z ). l(z ) =

x + x 1 2 1 

x + x 1 1 + + 1 2  1 12+ x+1 2 =

jx j j 2jxj 1 = jxj + =  +  jxj

=

j

1

70

2 2 jxj jxj + j1j




3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev (dans la deuxieme ligne de al ul nous avons utilise la propriete du parallelogramme qui indique que ja bj2 + ja + bj2 = 2(jaj2 + jbj2 ). Ce al ul montre que z est element de E . Don
w (  ) est in lus don E . Remarquons que le al ul pre edent montre l'in lusion de w  1 dans E puisqu'il est invariant par substitution de  1 a . Maintenant onsiderons un point z de l'ellipse E et her hons es ante edents par la fon tion w. Ceux- i sont les solutions de l'equation

x2 2zx + 1 = 0 qui est une equation du se ond degre re iproque. Don elle possede deux solutions (eventuellement

onfondues) inverses l'une de l'autre. Soit x l'une des ra ines, puisque w(x ) = z alors d'apres le al ul pre edent jx j + jx j 1 =  +  1 e qui implique ne essairement que jx j =  ou jx j =  1 . 2

Remarque 7 Une adaptation simple de la demonstration pre edente nous donne un propriete qui nous sera utile. Si z est un nombre omplexe n'appartenant pas a [ 1; 1℄ alors l'equation w(x) = z a deux solutions : l'une de module stri tement superieur a 1 notee w+ (z ) et l'autre de module stri tement inferieur a 1 notee w (z ). w

+ (z )

w

-1

(z ) = 12 (z + z 1 )

1

-1

w

(z )

00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 1 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

Proposition 15 Pour tout x omplexe non nul, nous avons Tn (w(x)) = w(xn ) ou autrement e rit

Tn



x+x 2

1

=

xn + x 2

(3.15) n

:

Demonstration : Les polyn^omes de Chebyshev sont de nis par la re urren e

Tn+2 (z ) = 2zTn+1 (z ) Tn (z ) ave T0 = 1 et T1 (z ) = z . En hoisissant x tel que w(x) = z , nous voyons immediatement que (3.15) est veri ee pour n = 0 et n = 1. Un al ul simple etablit que w(xn+2 ) = 2w(x)w(xn+1 ) w(xn ) = 2z w(xn+1 ) w(xn ) : 71

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles Ainsi Tn (z ) et w(xn ) veri ent la m^eme re urren e ave les m^emes onditions initiales. Ces deux quantites sont don egales. 2

Remarquons que la proposition pre edente appliquee au as parti ulier ou x = ei permet d'etablir le resultat suivant Tn ( os(x)) = os(nx)) evoque plus haut. Nous aurions d'ailleurs pu etablir la proposition 15 a partir de ette egalite par un argument de prolongement analytique. En n, le lien entre les ellipses E et les polyn^omes de Chebyshev appara^t dans le lemme suivant

Lemme 3 Soit   1. Pour tout z appartenant a E , nous avons les inegalites

jTn(z)j  n et

jjTn jjE  n :

Demonstration : Dans le as  = 1, e resultat est evident puisque pour tout z appartenant a [ 1; 1℄,

jTn(z)j = j os(n ar

os z)j  1 :

Supposons, maintenant que  > 1. Pour tout z appartenant a l'ellipse E , il existe un point x du er le  tel que z = w(x) don

jTn (z)j 

1 2



jxjn +

1 jxjn



 jxjn = n

D'apres le prin ipe du maximum, ette inegalite vaut non seulement pour z sur l'ellipse mais aussi z sur le disque elliptique E , e qui a heve la demonstration. 2

Un premier theoreme donne des indi ations sur la de roissan e des oeÆ ients de Chebyshev d'une fon tion analytique. Theoreme 4 Rivlin [57, Theorem 3.8℄ Si f est analytique sur le disque elliptique E pour un ertain  > 1, alors

j n (f )j  2Mn

ou M = max jf (z )j : (3.16) z 2E Pour une fon tion de M nous pouvons pre iser, en fon tion des singularites, les disques elliptiques sur lesquels la fon tion est analytique.

Theoreme 5 Soit f une fon tion de M analytique sur [ 1; 1℄. Posons  = min r(s) : s2Sg(f )

(3.17)

Alors pour tout  stri tement inferieur a  , nous avons

j n (f )j  2Mn

ou M = max jf (z )j : z 2E

72

(3.18)

3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev Demonstration : Pour toute singularite s, r(s) > 1 puisque s est exterieure a [ 1; 1℄. Et omme il y a un nombre ni de singularites,  = min r(s) est stri tement superieur a 1. Si s est une singularite de f alors r(s)   don s est sur ou l'exterieur de E . Ainsi sur tout disque elliptique E la fon tion f est analytique et le theoreme 4 s'applique. 2

Remarque 8 Si Sg(f ) est vide, alors le theoreme reste vrai ave  = 1. Cela signi e que les oeÆ ients n (f ) de roissent plus vite que toute suite geometrique. Remarque 9 Un resultat de Rivlin montre, apres adaptation, que la quantite  veri e 1 = lim sup j n (f )j1=n  n!1 Nous pouvons alors dire que  represente la vitesse de de roissan e des oeÆ ients de Chebyshev de la fon tions f .

Les resultats pre edents sur la de roissan e des oeÆ ients de Chebyshev nous permettent d'assurer la onvergen e uniforme des series partielles sur [ 1; 1℄ et m^eme d'obtenir une estimation de l'erreur. Ils nous assurent m^eme une onvergen e a l'exterieur du segment [ 1; 1℄ et plus pre isement sur des disques elliptiques. Donnons un enon e synthetique en rappelant que nous avons onvenu que E1 = [ 1; 1℄.

Corollaire 3 Soit f une fon tion de M analytique sur [ 1; 1℄. Le reel  ayant la m^eme signi ation que dans le theoreme 5, la suite sm (f ) onverge normalement vers f sur tout disque elliptique E ave  <  . De plus, pour tout 0 tel que  < 0 <  , nous avons la majoration d'erreur suivante   2M 0  m ave M 0 = max jf (z )j : jjsm (f ) f jjE  0 0 z 2E0  1 

(3.19)

Remarque 10 Dans le as parti ulier ou  = 1, il s'avere que la vitesse de de roissan e des oeÆ ients de Chebyshev de f peut ^etre vue omme la vitesse de onvergen e de la serie de Chebyshev de f sur [ 1; 1℄. Demonstration : Nous devons montrer (1) que la serie de Chebyshev onverge normalement sur le disque elliptique (2) vers f (3) ave l'erreur indiquee. Soit z un point appartenant a E . En appliquant le theoreme 5 et le lemme 3 nous obtenons la majoration suivante m X n=0

0 j n (f )jjTn (z )j



m X n=0

 n 0M 0  0

qui assure la onvergen e normale des sommes partielles sm (f ) sur E . Les fon tions sm (f ) etant analytiques ( ar polyn^omiales) sur E , elles onvergent don vers une fon tion analytique sur E . Comme d'apres le theoreme 4, la suite sm (f ) onverge

73

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles vers f sur [ 1; 1℄ par appli ation du prin ipe du prolongement analytique, elle onverge vers f sur E . 2

Geddes [28℄ a m^eme montre que la somme partielle sm (f ) a un omportement pro he de

elui de la meilleure approximation polyn^omiale de f sur E , e qui generalise le resultat plus onnu sur [ 1; 1℄.

3.2.1 Series de Chebyshev sur un segment [a; b℄ On etend fa ilement la de nition des series de Chebyshev a un segment quel onque [a; b℄ de C en utilisant une similitude qui transforme le segment [a; b℄ en [ 1; 1℄. Du fait des nombreuses appli ations que nous ferons de ette adaptation a des segments arbitraires, nous allons pre iser les de nitions et les outils ne essaires. Ainsi nous notons ha;b , ou a et b sont des nombres omplexes distin ts, la fon tion aÆne de nie par a+b b a z+ (3.20) ha;b (z ) = 2 2 qui envoie 1 sur a et 1 sur b. Considerons une fon tion f de M analytique sur [a; b℄. La fon tion f Æ ha;b est alors analytique sur [ 1; 1℄ et sa serie de Chebyshev 1 X 0 n (f Æ ha;b )Tn (x) n=0

onverge uniformement vers f Æ ha;b sur [ 1; 1℄. Il est lair alors que la serie 1   X 0 n (f Æ ha;b )Tn h 1 (x) : a;b n=0

(3.21)

onvergen e uniformement vers f sur [a; b℄. Nous dirons que la serie (3.21) est la serie de Chebyshev de f sur [a; b℄. Les proprietes d'approximation se transposent sur [a; b℄ et nous donnons sous forme expli ite les bornes d'erreur

Proposition 16 Soit f une fon tion de M analytique sur [a; b℄. Posons  = min r(ha;b1 (s)) ; s2S (f )

alors pour tout  stri tement inferieur a  , on a

j n (f Æ ha;b )j  2Mn

ou M = max jf (z )j : z 2ha;b (E )

Demonstration : La fon tion g = f Æ ha;b est une fon tion de M analytique sur [ 1; 1℄. Puisque  = min r(s) = min r(ha;b1 (s)) s2S (g) s2S (f ) et

M = max jg(z )j = max z E

z 2ha;b (E )

74

jf (z)j

(3.22)

3.2 Approximation uniforme par les series de Chebyshev

2

par appli ation du theoreme 5 l'inegalite (3.22) est veri ee.

Corollaire 4 Soit f une fon tion de M analytique sur [a; b℄. Le reel  ayant la m^eme signi ation que dans la proposition 16, la suite sm (f; [a; b℄) onverge normalement vers f sur tout disque elliptique ha;b (E ) ave  <  . De plus, pour tout 0 tel que  < 0 <  , nous avons la majoration d'erreur suivante

jjsm (f )

 m  0 f jjha;b(E )  M 0 ave M 0 = max jf (z )j :  z 2ha;b (E 0 ) 

(3.23)

Nous donnons un exemple qui montre que l'on peut obtenir une meilleure approximation hors du segment de de nition d'une serie de Chebyshev que sur le segment (de m^eme longueur) d'une autre serie.

Exemple 5 Nous voulons evaluer la fon tion f (x) = ar tan(x=2) sur le segment [ i; i℄, en utilisant soit S1 la serie de Chebyshev de f sur [ 1; 1℄, soit S2 la serie de Chebyshev de f sur [ i; i℄. La fon tion f presente des singularites en 2i et 2i. Conformement aux propositions 5 et 16, nous etablissons que les vitesses de onvergen e de S1 et S2 sur leurs intervalles de de nition sont respe tivement

p

1 = r(2i) = 2 + 5

et

p

2 = r(2) = 2 + 3

Ces resultats sont orrobores par l'expression des 2 series de Chebyshev

S1 = 2

1 X n=0

S2 = 2i

(

1 X

n=0

p

( 1)n (2

p

5 2)2n+1 T2n+1 ; 2n + 1

3)2n+1 T2n+1 : 2n + 1

D'apres le orollaire 3 relatif a la onvergen e sur les disques elliptiques, l'erreur d'approximation de f (z ) par les sommes partielles de la serie S1 est majoree par une suite geometrique de raison 12 sur le disque elliptique E pour  = 1 =2 . Don si notre ritere de hoix est la vitesse de onvergen e, nous utiliserons S1 pour evaluer f sur E \ [ i; i℄

'est-a-dire sur [ i"; i"℄ ave " = 21 ( 1=)  0:1270:: et S2 sur le reste de l'intervalle [ i; i℄. L'experien e indique que e hoix est pertinent. Notons E1;m (x) (respe tivement E2;m (x)) la dieren e (don l'erreur) entre f (x) et S1 (x) (resp. S2 (x)) tronquee a l'ordre m. La gure 3.2 presente les tra es de Ek;6 , 8Ek;8 et 80Ek;10 sur [0; 0:2i℄ (nous avons fo alise le tra e sur e segment ar sur [0:2i; i℄ E2;m (x) est toujours inferieure a E1;m (x)). Les ourbes onvexes orrespondent aux E1;m (x) et les

ourbes on aves aux E2;m (x). Dans les 3 as, E1;m (x) est inferieure a E2;m (x) sur la partie gau he du segment. L'inversion d'ordre se fait en un point (marque par un petit arre) dont l'abs isse se rappro he de " par valeurs de roissantes. 75

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles

1.6e-06

1.4e-06

1.2e-06

1e-06

8e-07

6e-07

4e-07

2e-07

00

0.05

0.1 x

0.15

0.2

Fig. 3.2 { Erreurs ommises dans l'approximation de ar tan par les s eries partielles de S1 et S2 sur [0; 0:2i℄.

76

3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels

3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels 3.3.1 Le s hema general Comme nous l'avons indique au debut de e hapitre, les polyn^omes de Chebyshev sont les polyn^omes de type hypergeometrique de nis par le triplet   1 2 x 1; x; n : 2 (1=2)n De e fait nous pourrions etablir les formules de re urren es veri ees par les polyn^omes de Chebyshev et leurs derivees gr^a e aux propositions 9, 10 et 11 du hapitre 1. Nous allons neanmoins etablir es resultats a partir des proprietes trigonometriques des polyn^omes de Chebyshev omme nous l'avons deja fait pour la re urren e a trois termes (3.6). Commen ons par la remarque suivante dont nous ferons un grand usage par la suite. La relation Tn ( os ) = os(n) vue plus haut permet de de nir, de maniere naturelle quoique onventionnelle, Tn pour des valeurs negatives de n en posant T n = Tn . Derivons les polyn^omes de Chebyshev 1 d n sin n d Tn (x) =

os n = : dx sin  d sin  Cette formule permet la aussi de poser T 0 n = Tn0 . Introduisons la notation suivante  def fng = n1 sisi nn 6== 00 alors en utilisant la formule trigonometrique 2 sin() os(n) = sin((n + 1)) sin((n 1)) nous obtenons la relation de derivation T0 Tn0 1 Tn = n+1 (3.24) 2fn + 1g 2fn 1g valable pour n 2 Z. Nous faisons i i une legere digression pour de nir les polyn^omes de Chebyshev de se onde espe e sin(n + 1) Tn0 +1 (x) = Un (x) = sin  fn + 1g ainsi que quelques proprietes de es polyn^omes dont nous aurons l'usage a plusieurs reprises. D'une part, nous savons d'apres la theorie sur les polyn^ p omes2 hypergeometriques que es polyn^omes sont orthogonaux relativement au poids 1 x . D'autre part, nous avons la

Proposition 17

Les polyn^omes Un (x) sont omme les polyn^omes Tn (x) solutions de la re urren e

un+2 = 2xun+1 un :

(3.25)

Et pour tout z omplexe non nul

Un (w(z )) =

z n+1 z z z 77

(n+1) 1

:

(3.26)

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles Demonstration : Comme nous l'avons fait pour les Tn , il est fa ile de deduire de la formule trigonometrique

2 os  sin n = sin(n + 1) + sin(n 1) que les Un (x) veri ent (3.6). En onstatant, omme dans la proposition 15, que le se ond membre de l'egalite (3.26) veri e la re urren e (3.25) pour x = w(z ), et que l'egalite (3.26) est vraie pour n = 0 et n = 1, nous on luons qu'elle est vraie pour tout n. 2

Nous designons par Tn(k) la derivee d'ordre k du polyn^ome Tn . Nous generalisons la relation (3.24) aux derivees d'ordres superieurs par derivations iterees

Tn(k

1)

=

Tn(k+1) 2fn + 1g

Tn(k)1 : 2fn 1g

(3.27)

Les re urren es a trois termes pour les Tn(k) s'obtiennent en derivant k fois la re urren e a trois termes pour les Tn , e qui donne

xTn(k) + kTn(k 1)

Tn(k+1) + Tn(k)1 : = 2

(3.28)

Apres avoir rempla e le terme Tn(k 1) par le se ond membre de la formule (3.24), nous obtenons (fn + 1g k)Tn(k+1) (fn 1g + k)Tn(k)1 + : (3.29) xTn(k) = 2fn + 1g 2fn 1g On remarquera que, dans le as des polyn^omes de Chebyshev, nous avons utilise les relations de derivation pour onstruire les re urren es a trois termes des polyn^omes derives, alors que nous avions obtenu, a l'inverse, les relations de derivation pour les polyn^omes hypergeometriques gr^a e aux re urren es a trois termes des polyn^omes derives. Conformement aux resultats de la premiere partie nous allons pouvoir etablir pour les series de Chebyshev des formules issues des relations pre edentes. Avant de donner dans une proposition la synthese de es resultats, indiquons que, pour les derivees des polyn^omes de Chebyshev, nous n'ee tuerons pas de re alage d'indi es. De e fait une serie en Tn(k) est sommee en partant de l'indi e n = k. Nous adoptons et usage par e qu'il met en exergue des proprietes de symetrie dans les operateurs aux dieren es que nous allons generer.

78

3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels Proposition 18

Les series de Chebyshev veri ent les formules suivantes 1 1 X 0 n T (k) (x) = X
( n )T (k+1) (x) n n n=k

x

1 X

n=k

(3.30)

n=k+1

1 X

0 n T (k) (x) = n

n=k

0 Xk ( n )T (k) (x)

(3.31)

n

ou
et Xk sont les operateurs aux dieren es de nis par


( n ) = Xk ( n ) =

8 > > > <

n

1

2n

n+1 + n 2

n+1

1

; si k = 0

> > > :

(n + k) n+1 + (n k) n 1 si k > 0 2n Ces formules sont valides ave la onvention n = n .

:

Demonstration : Commen ons par etablir les formules impliquant une serie de Chebyshev (non derivee) 1 X 0 n Tn (x) n=0

qui peut se ree rire, du fait des onventions prises, 1 1 X

2 n= 1

n T n :

Pour la multipli ation par x, la re urren e a trois termes (3.6) s'e rit , en termes d'operateurs aux dieren es,   E+E 1 Tn pour tout n 2 Z : xTn =

2

Notons X0 l'operateur aux dieren es qui appara^t dans le membre de droite. Il appert que l'operateur adjoint de X0 est X0 lui-m^eme. Ainsi, en appliquant la proposition 2 nous avons 1 1 1 X 1 X

x

2 n= 1

n Tn =

2 n= 1 1 1 X

n X0 (Tn )

X ( )T 2 n= 1 0 n n 1 X 0 X0 ( n )Tn ; = =

n=0

(3.32)

e qui etablit la formule de multipli ation her hee. L'operateur sous-ja ent dans la relation de derivation (3.24) est

E 1 2fn 1g

E 2fn + 1g

79

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles et nous notons
son adjoint qui est

E

1

2fng

E

En ee tuant un al ul similaire a (3.32) dans lequel
joue le r^ole de X0 , nous obtenons

mutatis mutandi

1 X

n Tn =

1 X

0
( n )T 0 : n

n= 1 n=0 0 Et omme T0 = 0, ela etablit le as k = 0 de la formule (3.31). Les autres as de la formule (3.31) s'obtiennent alors par derivations su

essives. L'operateur aux dieren es orrespondant a la multipli ation de Tn(k) par x est d'apres la formule (3.29) (fn + 1g k)E (fn 1g + k)E 1 + 2fn + 1g 2fn 1g et son operateur adjoint (fng k)E 1 (fng + k)E + : Xk = 2fng 2fng D'ou en utilisant la proposition 2  1 1 1  (fng k) X X X (fng + k) n+1 (k) n 1 ( k ) ( k ) + Tn (3.33) x n T n = Xk ( n )Tn = 2fng 2fng n=k n=k n=k

et omme l'indi e n ne prend que des valeurs stri tement positives nous pouvons retirer les a

olades. 2

Avant de ontinuer, faisons la remarque suivante. L'operateur qui permet de hanger de base pour transformer une serie en Tn(k) en une serie en Tn(k+1) est independant de k

ar nous n'avons pas introduit de normalisation ave les derivees. Nous avons note ette operateur
et non B omme dans le premier hapitre pour des raisons \historiques" ar il vient en quelque sorte ompenser une derivation. Nous n'avons pas reutilise la notation
dans le premier hapitre pour eviter la onfusion ave les operateurs D de normalisations. Ave les operations elementaires sur les series, nous pouvons appliquer un operateur dierentiel a une serie suivant le s hema general.

Proposition 19 Soit L l'operateur dierentiel holonome 

d pr (x) dx

r

+


+ p1 (x)

d + p (x) dx 0

(3.34)

et L l'operateur aux dieren es

pr (Xr ) +


+ p1 (Xr )
r

1+p

0 (Xr )


r

onstruit ave les operateurs de nis dans la proposition 18. Alors le resultat de l'appli ation de L a une serie de Chebyshev s'obtient omme suit ! 1 1 X X 0 L

n Tn = L( n )Tn(r) : n=r

n=0

80

3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels Demonstration : Le resultat s'obtient par al ul dire t ! 1 X 0 L

n Tn = n=0

= = =

r X k=0 r X

pk (x) pk (x)

k=0 r X 1 X k=0 n=r 1 X n=r

1 X n=k

1 X

n=r

0 n T (k) n


r k ( n )Tn(r)

pk (Xr )
r k ( n )Tn(r)

L( n )Tn(r) :

Ce al ul est plus simple que le as hypergeometrique general presente dans le hapitre 1 du fait de l'independan e de
par rapport a k. 2

Contrairement a e que nous avions fait au hapitre 1, nous voulons legitimer le pro ede de rit i-dessus vis-a-vis de la onvergen e. Pour ela, ommen ons par donner un resultat fonde sur le theoreme de Markov. Nous de nissons les polyn^omes k omme suit 8 > >
> :

k (n) =

kY1 i=0

(n2

i2 )

8k  1

:

(3.35)

Nous avons alors la proposition suivante due a Rivlin [57℄.

Proposition 20

Les polyn^omes de Chebyshev ainsi que leurs derivees su

essives veri ent l'inegalite suivante

k (n) k = 0; 1; 2;


; n  k: (3.36) k!! Gr^a e a ette proposition nous pouvons aÆrmer que si S (x) est la somme de la serie 1 X 0 n Tn (x)

jjTn(k) jj[

1;1℄

= Tn(k) (1) =

n=0

dans laquelle les oeÆ ients n sont a de roissan e geometrique, alors les series 1 X

n Tn(k) (x) n=k

sont normalement onvergentes puisque les termes j n Tn(k) (x)j sont majores par les valeurs j n j kk(!!n) qui sont a de roissan e geometrique, et leurs sommes sont don les derivees su

essives S (k) (x) de S (x). Par ailleurs, les operateurs Xk et
etant a oeÆ ients rationnels, les operations formelles (3.30) et (3.31) sont valides vis-a-vis de la onvergen e haque fois 81

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles que les oeÆ ients n sont a de roissan e geometrique. Et dans e as les suites Xk ( n ) et
( n ) sont elles-m^emes a de roissan e geometrique. Ainsi dans le as de series aux oeÆ ients a de roissan e geometrique, nous pouvons rempla er dans la proposition 19 les series formelles par leurs sommes.

Proposition 21 Soit L et L les operateurs de nis dans la proposition 19. Supposons que les oeÆ ients de la serie

1 X n=0

0 n Tn (x)

sont a de roissan e geometrique. Nommons S (x) sa somme. Alors 1 X LS (x) = L( n )Tn(r) (x) n=r

ou la suite fL( n )g est a de roissan e geometrique.

Remarque 11 Le resultat pre edent pourrait s'enon er ave onvergen e sur des disques elliptiques en appliquant le orollaire 3. Proposition 22 Re urren e de Chebyshev Soit L l'operateur dierentiel holonome de ni par (3.34). On suppose que le polyn^ome pr ne s'annule pas sur [ 1; 1℄. Soit q un polyn^ome de C [x℄ qui se developpe dans la base fTn(r) g sous la forme q(x) =

1 X n=r

qn Tn(r) (x)

ave qn = 0 pour n > deg(q) :

Soit en n  une solution de l'equation dierentielle Ly = q. Alors les oeÆ ients de Chebyshev de  veri ent l'equation aux dieren es

L( n) = qn ;

8n  r

(3.37)

que nous nommerons \re urren e de Chebyshev". Demonstration : Puisque l'equation dierentielle Ly = q est reguliere sur [ 1; 1℄ (du fait que pr ne s'annule pas sur sur e segment),  est une fon tion de M analytique sur [ 1; 1℄. Don ses oeÆ ients de Chebyshev n sont a de roissan e geometrique. En appliquant la proposition 21, nous avons 1 1 X X

L =

n=r

L( n)Tn(r) =

n=r

qnTn(r) :

Les deux series etant normalement onvergentes, l'orthogonalite des Tn(r) nous permet d'identi er les termes et don d'etablir l'equation (3.37). 2

Cette proposition est le point de depart des travaux que nous developperons dans les

hapitres suivants. Generalisons la proposition aux series de Chebyshev sur [a; b℄. Nous 82

3.3 Series de Chebyshev et operateurs dierentiels savons que les oeÆ ients de Chebyshev de  sur [a; b℄ sont les oeÆ ients de Chebyshev de  Æ ha;b sur [ 1; 1℄. Or, si  veri e l'equation dierentielle Ly = q alors  Æ ha;b est solution de l'equation r X
pi (h(x)) h0 i y(i) (x) = q(h(x)) (3.38) i=0

ou nous avons pose h = ha;b et ou h0 est la derivee ( onstante) de h. Nous etablissons alors la

Proposition 23 Soit L l'operateur dierentiel holonome de ni par (3.34). On suppose que le polyn^ome pr ne s'annule pas sur [a; b℄. Soit q un polyn^ome de C [x℄ tel que q(ha;b (x)) =

1 X n=r

ave qna;b = 0 pour n > deg(q) :

qna;b Tn(r) (x) ;

Soit en n  une solution de l'equation dierentielle Ly = q. Alors les oeÆ ients de Chebyshev de  sur [a; b℄ veri ent l'equation aux dieren es

La;b( n) = qna;b ; ou

La;b =

r X k=0

pk

8n  r

  b a X + a+b
2 r k
r k r 2 2 b a

(3.39)

:

(3.40)

Cette proposition n'apporte pas un supplement fondamental sur le plan theorique mais elle trouvera son utilite dans les appli ations numeriques.

3.3.2 Utilisation de la relation de stru ture Nous avions evoque dans le hapitre 1, la possibilite d'utiliser la relation de stru ture pour appliquer une lasse d'operateurs dierentiels a une serie orthogonale. Nous allons detailler e point dans le as des series de Chebyshev.

Proposition 24 Relation de stru ture pour les polyn^omes de Chebyshev Pour tout n entier, nous avons d (x2 1) Tn = Tn dx ou l'operateur aux dieren es  est de ni par  = n2 (E E 1) :

Demonstration : En posant x = os , il vient

(x2

1)

d T = dx n

n sin(n) sin()

os(n + 1) os(n 1) = n 2 sin2 

83

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles n (T T ) 2 n+1 n 1

=

e qui montre notre resultat.

2

Nous transposons e resultat aux series a n d'obtenir la

Proposition 25 Pour tout n entier, nous avons

1 1 X d X 0 1)

T = 0 r( n )Tn dx n=0 n n n=0

(x2

ou l'operateur aux dieren es r est de ni par 1 r = (n 1)E 2 (n + 1)E :

Demonstration : L'operateur r est l'operateur adjoint de . La demonstration est alors la m^eme, mutatis mutandi, que elle qui etablit l'usage de l'operateur X0 dans la proposition 18. 2

Nous avons nomme ainsi l'operateur r a ause d'une ertaine omplementarite vis-a-vis de l'operateur
dont nous avons voulu garder une tra e dans la graphie. Introduisons la notation suivante d  = (x2 1) : dx La proposition 25 nous permet d'appliquer un operateur dierentiel de C [x; ℄ a une serie de Chebyshev. Un operateur de C [x; ℄ pouvant s'e rire de maniere anonique

M=

r X k=0

mk (x)k

nous veri ons aisement que ! # 1 1 "X r X X 0 0 k M

n Tn = mk (X0 )r ( n ) Tn : n=0

n=0

(3.41)

k=0

Nous avions deja vu ette propriete dans le as general des series orthogonales. Nous allons donner un resultat omplementaire qui fa ilite l'emploi de la formule (3.41).

Lemme 4

Pour tout n  1,

(x2

1)n

dn dxn

2 C [x; ℄ :

Demonstration : dn . Un al ul dire t montre que ! =  et ! = 2 Nous posons !n = (x2 1)n dx n 1 2 Ainsi !1 et !2 appartiennent bien a C [x; ℄. Maintenant pour n > 2,

!n

1

=

(x2

1)



(x2

1)n 1

= !n + 2(n 1)x!n

dn + 2(n 1)x(x2 dxn

1

84

1)n 2

dn 1 dxn 1



2x.

3.4 Autres proprietes Autrement dit !n = ( 2(n 1)x)!n 1 , e qui montre par re urren e l'appartenan e de !n a C [x; ℄ pour tout n. 2

Remarque 12 La demonstration pre edente nous indique au passage que !n =

nY1 k=0

( 2kx)

ou le produit se fait a gau he dans l'ordre roissant de l'indi e.

Le lemme 4 nous montre qu'un operateur L de C [x; dxd ℄ d'ordre r se transforme en operateur de C [x; ℄ par multipli ation par (x2 1)r (eventuellement par une puissan e moindre). Le s hema (3.41) peut alors ^etre utilise pour appliquer L a une serie de Chebyshev et obtenir un resultat sous forme de serie de Chebyshev et non dans une base derivee. Il y a la une petite ontre-verite ar 'est (x2 1)r L et non L que nous appliquons. Le fait de vouloir rester a tout prix (i i le prix est une omplexite a

rue) dans la base de Chebyshev peut se justi er, par exemple, dans l'emploi de methodes spe trales.

3.4 Autres proprietes Les proprietes que nous avons presentees pre edemment etaient l'appli ation aux polyn^omes et series de Chebyshev des proprietes vues dans le tout premier hapitre pour les polyn^omes orthogonaux lassiques, auxquelles nous avons ajoute des onsiderations de

onvergen e. Nous allons maintenant etudier d'autres proprietes spe i ques au as Chebyshev.

3.4.1 Produit de polyn^omes de Chebyshev Le produit de deux polyn^omes de Chebyshev s'exprime aisement dans la base de Chebyshev, omme l'indique la

Proposition 26

Pour tous entiers r et n

Tr Tn =

Tn r + Tn+r : 2

Demonstration : Usons a nouveau des ressour es de la trigonometrie pour etablir e resultat,

Tr (x)Tn (x) = os r os n

os(n r) + os(n + r) = 2 Tn r + Tn+r = : 2

2

Remarquons que ette proposition appliquee pour r = 1, nous redonne la re urren e a trois termes. Une propriete similaire existe pour tous les polyn^omes orthogonaux (pas 85

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles ne essairement hypergeometriques). Ainsi le produit Pr Pn de deux polyn^omes orthogonaux s'exprime omme une ombinaison de polyn^omes orthogonaux Pk ou k varie de n r a n + r (nous avons suppose r  n, supposition inutile dans le as Chebyshev du fait des

onventions prises). Le al ul des oeÆ ients de ette ombinaison, qui est en general plus ompliquee que dans le as des polyn^omes de Chebyshev, s'appelle probleme de linearisation [59℄. La transposition du resultat pre edent aux series est immediat : la demonstration est la m^eme que pour la multipli ation par la variable en rempla ant E par Er . Nous obtenons ainsi la

Proposition 27

Pour tout entier r, le resultat de la multipli ation d'une serie de Chebyshev par Tr est donne par 1  Er + E r  1 X X 0 0 ( n )Tn Tr

n Tn = 2 n=0 n=0 1 + X 0 n r n+r Tn : = 2 n=0

Il est amusant de noter que nous aurions pu inverser l'ordre des demonstrations. En eet, d'apres la proposition 18 1 1 X X Tr 0 n Tn = 0 Tr (X0 )( n )Tn n=0

mais par appli ation de (3.15)

n=0





Er + E r E+E 1 = Tr (X0 ) = Tr 2 2

e qui demontre la proposition 27. Nous deduisons la proposition 26 en appli ation la proposition 27 a la pseudo-serie 1 X Tn = 0 Æn;k Tk : k=0

Gr^a e a la proposition 27 nous pouvons obtenir une forme tres expli ite du resultat du produit d'une serie de Chebyshev par un polyn^ome

Corollaire 5 Soit P un polyn^ome qui s'e rit P=

r X k=0

0 k Tk

dans la base des polyn^omes de Chebyshev. Alors, en onvenant que k = k , ! r 1 1 X X X 1 T : P (x) 0 n Tn = 0 2 k= r k n k n n=0 n=0

86

3.4 Autres proprietes Appli ation aux fra tions rationnelles Gr^a e au orollaire 5, nous allons etablir la re urren e veri ee par les oeÆ ients de Chebyshev d'une fra tion rationnelle. Les resultats sur la onvergen e des series de Chebyshev vont alors nous permettre de determiner es oeÆ ients. Considerons don une fra tion rationnelle (x) = DB((xx)) ou nous supposerons que B (x) n'a pas de ra ine sur [ 1; 1℄ de fa on a assurer l'existen e de la serie de Chebyshev de . Puisque par division eu lidienne nous pouvons e rire A(x) ; deg(A) < deg(B ) ; (x) = C (x) + B (x) le veritable1 probleme est de determiner la serie de Chebyshev de BA((xx)) , elle de  s'en deduisant par simple ajout du polyn^ome C (x). Ainsi nous pouvons supposer sans perte de generalite que C (x) = 0. Les singularites de  sont les ra ines de B (x), don par appli ation du theoreme 5 les oeÆ ients de Chebyshev sn de  sont a de roissan e geometrique de vitesse  = min r(b) : b2ra (B ) Le polyn^ome B (x) a le developpement suivant dans la base de Chebyshev B = 0 + 1 T1 +


+ r Tr 2 tandis que A(x) se developpe omme suit 1 X A(x) = 0 n Tn n=0

ou n est nul pour n > deg(A). Alors, la fon tion  veri ant l'equation

B (x)(x) = A(x) que nous pourrions quali er abusivement d'equation dierentielle holonome d'ordre 0, nous etablissons, onformement a la proposition 5, l'egalite ! r 1 1 X 0 1 X k sn+k Tn = X 0 n Tn : 2 k= r n=0 n=0 Nous en tirons alors l'equation re urrente r X k= r

k sn+k = 2n ;

n0:

(3.42)

Puisque nous avons suppose A de degre stri tement inferieur au degre de B , nous pouvons distinguer dans l'equation re urrente les r equations r X k= r

k sn+k = 2n 0  n  r 1

En fait, le veritable probleme est de determiner dans la serie de Chebyshev de multiplier par A(x). Neanmoins nous ee tuerons deux etapes en une. 1

87

(3.43) 1

B(x)

que l'on sait

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles que nous onsidererons omme des ontraintes imposees aux solutions de l'equation re urrente a oeÆ ients onstants r X k sn+k = 0 r  n (3.44) k= r

Suivant la theorie des equations re urrentes a oeÆ ients onstants, nous savons que les solutions de (3.44) sont determinees par les ra ines du polyn^ome ara teristique

(x) =

r X k= r

k xr+k

et leurs multipli ites. Notons immediatement que 0 n'est pas ra ine de  sinon nous aurions r = 0, e qui ontredirait le fait que r est le degre exa t de B . D'autre part, le polyn^ome  est un polyn^ome re iproque. Nous pouvons don prevoir que ses ra ines sont deux a deux inverses ave la m^eme multipli ite. Detaillons les hoses. Soit fbi gi=1:::r0 les ra ines du polyn^ome B et i la multipli ite de bi . Nous savons que les solutions que l'equation x+x 1 = bi , x2 2bi x + 1 = 0 2 sont inverses l'une de l'autre. Nous pouvons m^eme ^etre plus pre is : d'apres la remarque 7, l'hypothese bi 62 [ 1; 1℄ implique que l'une des ra ines est de module stri tement inferieur a 1, nous la noterons i , l'autre etant alors ne essairement de module stri tement superieur a 1. L'egalite x 1 x+x 1 bi = (x i )(x i 1 ) 2 2 obtenue par fa torisation, est utilisee dans le al ul suivant

(x) = =

2xr



r X

0 Tk x + x 2 k=0

2xr 2r r

= 2xr 2r r = 2 r

r0 Y i=1

1

r0  Y x+x 1

2

i=1 r0  1 i Y x

2

i=1

= 2xr B

bi



i

x+x 2

1

(x i )i (x i 1 )i

(x i )i (x i 1 )i :

Le passage de l'avant-derniere a la derniere ligne se fait en remarquant que r0  1 i Y x i=1

2



x = 2

r0 X i  1 i=1



x 1 = 2

r

:

Ainsi les ra ines de  et leurs multipli ites sont entierement determinees par les ra ines (et leurs multipli ites) du polyn^ome B . L'expression des oeÆ ients sn de la serie de Chebyshev de  sera don une ombinaison lineaire des 2r termes

nki i n ; nki i

n

1  i  r 0 ; 0  k i < i : 88

3.4 Autres proprietes Mais puisque nous savons que les oeÆ ients sn sont a de roissan e geometrique nous pouvons ex lure de la ombinaison lineaire les termes nki i n qui sont eux a roissan e geometrique. Notons ei (n) (ave une numerotation adequate) les r termes nki i n a de roissan e geometrique. Nous avons alors

sn =

r X i=1

i ei (n)

ou les i sont determines par les r ontraintes, 'est a dire par r X k= r

k

r X i=1

!

i ei (n + k)

r X

=

i=1

r X

i

k= r

Ce que nous pouvons e rire sous la forme matri ielle 0

B

B B :B B 

ou la matri e B est de nie par

1

1 .. . .. . r

0

C B C B C=B C B A 

Bn;i =

r X k= r

20 .. . .. . 2r 1

!

k ei (n + k)

= 2n :

1 C C def C = C A

A

k ei (n + k) :

Nous detaillons trois as simples de fra tions rationnelles qui nous servirons de fon tions tests pour diverses appli ations dans e hapitre et les suivants.

Premier as : (x) = b 1 x .

Nous avons

B=

1






et

La serie de Chebyshev de  est

1

b x

=

4

1

1 X

n=0

A = (4) 0 n Tn (x) :

(3.45)

Deuxieme as : (x) = (b 1x) . 2

Le systeme a resoudre est determine par les elements

B A

= =



4 0

2 2 2

1 2 

2

+ 2

!

1

=



b 1 2

2 b



1

0 0 1



;

:

La serie de Chebyshev de  est

1  8 2 X 0 ( 2 + 1) n + n( 2 = (b x)2 ( 2 1)2 n=0

1

89



1) n Tn (x) :

(3.46)

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles

Troisieme as : (x) = (b

1 x)(b2 x)

. Le systeme a resoudre est determine par les elements

B

= =

A

=

1

( 1 1 1 )( 2 + 2 1 ) 2

1 1 1 2   b1 b2

1 1 1 1 0 2 2  

4 0

(b1

2

1

0

!

;

2

:

La serie de Chebyshev de  est 1 x)(b2

1

( 2 2 1 )( 1 + 1 1 ) 2

2 + 2 1 2 

8 1 2 = x) ( 1 2 1)( 1

1  X 0

2 ) n=0 21

1

n 1 1

22

2

n 1 2



Tn (x) :

(3.47)

Appli ation au produit de series de Chebyshev Le produit de series s'obtient en quelque sorte par un passage a la limite du produit polyn^ome-serie qui nous fournit la

Proposition 28 Soit a = fan g et b = fbn g deux suites a de roissan e geometrique, de vitesse respe tive a et b . Alors 1 X n=0

1 1 0 an Tn : X 0 bn Tn = X 0 (a  b)n Tn n=0

n=0

ou la suite f(a  b)n g est de nie par le produit de onvolution 1 1 X ab (a  b)n = 2 k= 1 k n k ave la onvention habituelle a k = ak et b k = bk . De plus f(a  b)n g est a de roissan e geometrique de vitesse min(a ; b ).

Remarque 13 Le produit de onvolution de ni dans la proposition 28 utilise la onvention sur les indi es negatifs. Celle- i permet une e riture tres simple voire elegante de

ette operation. Cependant pour les al uls ee tifs (et la programmation) nous donnons une formule n'utilisant que des indi es positifs. 1 X ar bn r 2(a  b)n = r= 1 1 n 1 X X X ar bn r ar bn r + ar bn r + = r= 1 r=n+1 r=0

90

3.4 Autres proprietes = =

1 X r=1 n X r=0

ar bn+r + ar bn r +

n X r=0

1 X r=1

ar bn r +

1 X r=1

an+r br

(ar bn+r + an+r br ) :

La proposition 28 est le pendant, pour les series de Chebyshev, du produit de Cau hy pour les series de Taylor. Mais une dieren e fondamentale separe les deux notions : le produit de 2 series de Chebyshev n'est pas une operation formelle ! En eet, il est ne essaire d'avoir des onditions sur les suites fan g et fbn g pour assurer la onvergen e de la serie qui de nit (a  b)n et par la assurer l'existen e de la serie produit. Cette restri tion n'existe pas pour les series de Taylor pour lesquelles le produit de Cau hy (qui orrespond a des sommes nies) existe toujours en tant qu'operation formelle m^eme pour des series divergentes.

Exemple 6 Utilisons le produit de series pour retrouver la serie de Chebyshev de l'inverse d'un polyn^ome du se ond degre a ra ines distin tes. Ainsi (b1

1 x)(b2

x)

=

b1

=

1 4

1  x b2 x 1 X

0 n Tn (x) 

4

1 X

0 n Tn (x)

1 1 1 n=0 1

2 1 2 n=0 1 X 8 1 2 0 2(  ) T (x) = (1 21 )(1 22 ) n=0 1 2 n n

2

ou 1 = f 1 n g et 2 = f 2 n g ave 1 = w (b1 ) et 2 = w (b2 ). Alors  r X 1 n X

n

2 1 + ( n1 ( 1 2 )r + n2 ( 1 2 )r ) 2( 1  2 )n =

2 r=1 r=0 1





1 n+1

2

1

2

1 2 1 1 1 2    

1

2

1 2

1 2 n = + +

+

n

1 2 1 1 2 1

2 1 1 1 2 2    

2 (1 21 )

1 (1 22 ) n

+

n = ( 1 2 )(1 1 2 ) 1 ( 2 1 )(1 1 2 ) 2

= n2

d'ou nous tirons (b1

1 x)(b2

x)

=

( 1

+ ( n1 + n2 )

1  X 8 1 2 1 0

n

2 )(1 1 2 ) n=0 1 21 1

1

2

n

22 2



Tn (x)

e qui orrespond a la formule (3.47). Pour b1 = b2 , nous posons 1 = 2 = et = f n g. Alors   1 + 2 n

2 n n = n+

: (  )n = (n + 1) + 2 1 2 1 2 91

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles Exemple 7 Multiplions 2 fon tions exponentielles : eax ebx = 2 = 2

1 X n=0

1 X

n=0

1 0 In (a)Tn (x)  2 X 0 In (b)Tn (x) n=0

0 2(I (a)  I (b)) Tn (x) : n

Or, en utilisant un theoreme d'addition pour les fon tions de Bessel [1, 9.1.75℄, il vient 1 X 2(I (a)  I (b))n = In k (a)Ik (b) = In (a + b) : k= 1 La formule dans l'Abramowitz est donnee pour les fon tions de Bessel Jn , mais elle utilisee s'en deduit du fait que In (ia) = ( i)n Jn ( a) = in Jn (a) [1, 9.6.3℄. Ainsi nous etablissons 1 X eax ebx = 2 0 In (a + b)Tn (x) = e(a+b)x n=0

e qui est plut^ot rassurant.

3.4.2 Integration des series de Chebyshev De la formule de hangement de base (3.30) de la proposition 18 nous tirons une formule d'integration que nous presentons dans la

Proposition 29 Si la suite f n g est a de roissan e geometrique alors Z X 1

n=0

1 0 n Tn (x) = K + X 0
( n )Tn (x) n=0

(3.48)

ou K est une onstante. Ce resultat dont nous donnerons une autre appli ation dans le hapitre suivant, nous fournit un outil pour etablir les series de Chebyshev de fon tions elementaires primitives de fon tions au developpement de Chebyshev onnu. En parti ulier, nous pouvons integrer les fra tions rationnelles pour obtenir des developpements de logarithmes. Ainsi on pourra veri er que Z X 1 1 1 n 0 an Tn = K + a a X a Tn 2 n=1 n n=0

e qui nous permet d'etablir que, pour b > 1 et = w (b), 1 n X Tn ; log(b x) = K + n n=1 la onstante K etant determinee par une valeur parti uliere du logarithme. 92

(3.49)

3.4 Autres proprietes

3.4.3 Derivation dans la base de Chebyshev Pour deriver les series de Chebyshev nous avons pris le parti de hanger de type de series. Nous pouvons neanmoins exprimer la derivee d'une serie de Chebyshev sous forme d'une autre serie de Chebyshev, moyennant ertaines onditions de onvergen e. Comme le produit de series, ette operation n'est alors pas une operation formelle sur les series. Le resultat donne dans la proposition qui suit peut ^etre trouvee dans [9, p. 68℄.

Proposition 30 Si la suite f n g est a de roissan e geometrique alors 0

1 1 d X 0 n Tn (x) = X 0 B  dx n=0

n=0

1 X k=n+1 k+n impair

1

2k k C A Tn (x) :

Exemple 8 Veri ons la formule (3.43) gr^a e a la proposition 30. Ainsi 1 d 1 = 2 (b x) dx b x 1 4 d X 0 n Tn (x) =

1 dx n=0 =

4

1

0 1 1 1 X X 0B 2k k C  A Tn (x) k=n+1 n=0 k+n impair

:

Et nous al ulons le terme general de la serie de Chebyshev qui pre ede 1 1 X X (2k + n + 1) 2k+n+1 k k = k=n+1 k+n impair

k=0

=

n+1

2 

1 X k=0

k 2k + (n + 1)

1 X k=0

!

2k



2 2 n+1 = n+1 + 2 2 (1 ) 1 2

= ( 2 + 1) + n( 2 (1 2 )2




1 n

e qui est onforme a la formule (3.43). Insistons sur le ara tere non formel de la derivation dans la base de Chebyshev, puisque

'est lui qui nous a in ite a her her une autre voie en utilisant les bases de polyn^omes de Chebyshev derives et qui nous a don onduit au s hema general.

3.4.4 Composition de polyn^omes de Chebyshev La derniere propriete des polyn^omes de Chebyshev que nous allons presenter provient de leur "nature trigonometrique" et non de leur "nature hypergeometrique". 93

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles Proposition 31 Pour tout n et m entiers et pour tout x omplexe, nous avons Tn (Tm (x)) = Tm (Tn (x)) = Tnm (x) : Demonstration : Pour x 2 [ 1; 1℄,

Tn (Tm (x)) = os(n ar

os( os(m ar

os(x))) = os(nm ar

os(x)) = Tnm (x) Les polyn^omes Tn (Tm (x)) et Tnm (x) on idant pour une in nite de valeurs, ils sont egaux sur C . Les r^oles de n et m sont symetriques puisqu'il ommutent dans l'indi e de Tnm e qui etablit l'egalite Tm (Tn (x)) = Tnm (x). 2

Exemple 9 La formule (3.45) ombinee a la propriete de omposition nous permet d'e rire d'une part

b2

1

x2

=

b2

1 2

1

1 (2x2 2

1)

2 T2 (b) T2 (x) 1 8~ X 0 ~n Tn (T2 (x)) = 1 ~2 n=0

=

~ = w (T2 (b))

1 8~ X 0 ~n T2n (x) : = 1 ~2 n=0

Mais d'autre part, en remarquant que si w( ) = b alors w( ) = b, l'utilisation de la formule (3.47) ave 1 = et 2 = nous donne 1 1 = 2 2 b x (b x)( b x)  1 

8 2 X n T (x) n 0

(

) = n ( 2 1)2 n=0 2 1

2 1 1 4 2 X 0 ( n + ( )n ) Tn (x) = 1 4 n=0 1 8 2 X 0 ( 2 )n T2n (x) : = 1 4 n=0 Les deux developpements en serie de Chebyshev de nous montrions l'egalite ~ = 2 . Or w( 2 ) = T2 (w( ))

1 b2 x2

sont identiques sous reserve que

(proposition 3.15)

= T2 (b)

mais omme est de module stri tement inferieur a 1, 2 l'est aussi don 2 = w (T2 (b))

e qui implique l'egalite her hee. 94

3.5 Con lusion

3.5 Con lusion Ce hapitre a permis d'appliquer aux series de Chebyshev les resultats vus pour les series orthogonales formelles mais en les validant du point de vue analytique. L'existen e de la re urren e de Chebyshev etant fondee, nous allons pouvoir l'etudier.

95

Chap. 3 : Series de Chebyshev et equations dierentielles

96

Chapitre 4

Etude de la re urren e de Chebyshev Dans le hapitre pre edent nous avons vu omment etablir une equation aux dieren es veri ees par les oeÆ ients de Chebyshev d'une fon tion solution d'une equation dierentielle holonome. Le prolongement logique de ette onstru tion est la re her he des solutions de

ette equation. Cela sera le but du hapitre suivant. Entre les deux, nous allons etudier la re urren e de Chebyshev pour elle-m^eme, 'est-a-dire etudier sa stru ture et diverses manipulations qu'on peut ee tuer sur elle. Cette etude aura d'ailleurs des impli ations dans la re her he et l'etude des solutions. Dans e hapitre, L designe toujours l'operateur dierentiel holonome generique

L=

r X k=0

pk (x)

dk dxk

(4.1)

auquel nous asso ions d'une part une equation holonome generique Ly = q et d'autre part, suivant les resultats de la proposition 19, l'operateur aux dieren es

L= L'operateur forme

r X k=0

pk (Xr )
r

k

:

(4.2)

L est onstruit a l'aide d'operateurs elementaires dont nous rappellons la

X0 Xk

E

1

E

; 2n E 1+E = ; 2 (n + k)E + (n k)E = 2n


=

(4.3) (4.4) 1

:

(4.5)

Dans les egalites pre edentes ainsi que dans le reste de e hapitre et du memoire, l'operateur de de alage E agit sauf indi ation ontraire sur la variable n. 97

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev 4.1.1 Remarques preliminaires sur la re urren e de Chebyshev Nous allons faire quelques remarques tres elementaires et ommen er par enon er un truisme : l'operateur L est un element de l'algebre d'operateurs aux dieren es engendree par les operateurs
et Xk (k = 0 : : : r). Puisque nous avons la relation suivante (sur laquelle nous reviendrons plus bas) Xk = X0

k


(4.6)

nous pouvons aÆrmer que l'operateur L est un element de l'algebre d'operateurs aux dieren es engendree par
et X0 . Appelons A ette algebre. Nous ondensons un ertain nombre de proprietes elementaires de l'algebre A dans la

Proposition 32

Tout element de A s'e rit sous la forme k0 X k = k0

ou

ak (n)Ek

(4.7)

1. k0 est un entier naturel, 2. ak (n) est une fra tion rationnelle (supposee reduite) dont le denominateur a toutes ses ra ines entieres, 3. pour tout k, nous avons ak ( n) = a k (n).

Demonstration : La demonstration se fait par indu tion sur la onstru tion des operateurs. Pour eviter les redites, nous dirons qu'un operateur aux dieren es qui s'e rit omme (4.7) et qui veri e les proprietes 1, 2 et 3, veri e la propriete P . Visiblement la propriete P est veri ee par l'operateur I d'identite ainsi que les operateurs
et X0 . Il est aussi tres fa ile de onstater que la ombinaison lineaire de deux operateurs veri ant la propriete P est un operateur qui veri e la propriete P . Il nous suÆt alors de montrer que pour tout operateur A de la forme (4.7) veri ant la propriete P les operateurs X0 A et
A la veri ent aussi. Pour ela nous e rivons 1 E 1+E X

X0 A =

ak (n)Ek

2

k= 1 ! 1 1 a (n + 1) 1 X ak (n 1) k 1 X k E + Ek+1 = 2 k= 1 2 2 k= 1   1 X ak+1 (n 1) + ak 1 (n + 1) k E = 2 k= 1 |

=

kX 0 +1 k= (k0 +1)

{z

a0k (n)

a0k (n)Ek : 98

}

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev Ainsi X0 A veri e visiblement la propriete 1 ainsi que la propriete 2 puisque, par onstru tion, le denominateur de a0k (n) n'a que des ra ines entieres. Et il reste a veri er que

ak+1( n 1) + ak 1 ( n + 1) 2 a k 1(n + 1) + a k+1 (n 1) = 2 = a0 k (n) :

a0k ( n) =

pour montrer la onservation de la propriete P . De la m^eme maniere, les al uls 1 E 1 E X

a (n)Ek 2n k= 1 k 1 a (n 1) 1 a (n + 1) X X k k = Ek 1 E 2 n 2 n k= 1 k= 1 1  a (n 1) a (n + 1)  X k+1 k 1 = Ek 2 n 2 n k= 1 | {z }


A =

=

a00k (n)

kX 0 +1 k (k0 +1)

a00k (n)Ek

et est onservee

ak+1 ( n 1) ak 1( n + 1) 2n 2n a k+1 (n + 1) a k+1 (n 1) + = 2n 2n 00 = a k (n) :

a00k ( n) =

nous montre que la propriete P est onservee. Ainsi par onstru tion, tout element de A veri era-t-il la propriete P .

2

Cette proposition pre ise don un peu la stru ture de l'operateur L pour lequel nous donnons de plus une borne pour l'entier k0 apparaissant dans (4.7). En eet, d'apres les proprietes des operateurs aux dieren es vues au hapitre 1 et onstatant que d+ (
) = d+ (Xr ) = 1 et d (
) = d (Xr ) = 1, nous pouvons e rire

d+ (L)

r  max (d (pk (Xr )
r k )) k=0 r  r + max (deg(pk ) k) : k=0 +

(4.8)

De la m^eme fa on, nous obtenons

d (L)

r  r + max (deg(pk ) k) : k=0

99

(4.9)

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev De nition 11

A l'operateur holonome L de ni par (4.1) nous asso ions la quantite r ext(L) = r + max (deg(pk ) k) k=0

que nous appelons extension de l'operateur L et de l'operateur aux dieren es asso ie. Alors si nous posons e = ext(L), nous pouvons e rire

L=

e X k= e

lk (n)Ek :

L

(4.10)

Il nous faudra quelques proprietes supplementaires pour montrer que e et e sont exa tement et respe tivement le degre et la valuation de l'operateur L i.e. que le et l e ne sont pas identiquement nuls ; l'un impliquant d'ailleurs l'autre. Nous etablirons ela plus bas.

4.1.2 Proprietes des operateurs elementaires La formule (4.6) relie tous les operateurs Xk a l'operateur X0 . La proposition suivante etablit un ensemble de relations entre les operateurs Xk et


Proposition 33 Pour tous k, k1 et k2 entiers, nous avons les formules suivantes Xk1 = Xk2 (k1 1 X1 = X 0 n ; n Xk+1
=
Xk :

k2 )
;

(4.11) (4.12) (4.13)

Les deux dernieres formules se generalisent pour tout polyn^ome p par

1 p(X1 ) = p(X0 )n ; n p(Xk+1 )
=
p(Xk ) :

(4.14) (4.15)

Demonstration : La premiere formule est immediate. Pour la se onde, il suÆt de remarquer que 

E+E

1  n = (n + 1)E + (n

1)E

1

:

Alors en divisant par 2n haque membre de ette egalite, nous obtenons la formule (4.12). Par ailleurs, nous avons

1 1 1 1 Xk1 = ( X0 n)( X0 n) : : : ( X0 n) = Xk0 n n n n n {z } | k fois

et don par linearite nous obtenons la formule (4.14). En utilisant la formule (4.12) et la de nition de
nous etablissons que

E 1 E 1 E 1 +E E 1 E 1 = : X1
= X0 n n 2n n 2 2 100

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev Nous pouvons permuter les deux operateurs a oeÆ ients onstants et obtenir

X1
=

1E 1 E E 1+E =
X0 n 2 2

e qui montre la formule (4.13) pour k = 1. La generalisation est immediate gr^a e a la formule (4.11)

Xk+1
= (X1 k
)
=
X0 k
2 =
(X0 k
) =
Xk : La demonstration de (4.15) est identique a elle donnee plus haut pour (4.14).

2

Les relations etablies pre edemment pour les operateurs elementaires l'ont ete sans onsideration du lien entre es operateurs et les operations sur des series de Chebyshev. Nous allons don interpreter les resultats de la proposition 33 en termes d'operations sur les series. Ainsi en utilisant l'egalite x dxd = dxd x 1 et en appliquant ha un de ses membres sur la m^eme serie, nous obtenons d'une part 1 1 1 X X d X ( k +1) ( k ) Xk+1 ( n )Tn(k+1)

n T n =

T = x x dx n=k n n n=k+1 n=k+1

et d'autre part 

 1 1 X d d X x 1

n Tn(k) = Xk ( n )Tn(k) dx dx n=k n=k

1 X

=

n=k+1

1 X

=

n=k+1

Xk ( n )Tn(k+1) [Xk

1 X n=k

n Tn(k)

1 X

n=k+1


( n )Tn(k+1)


℄( n )Tn(k+1)

e qui montre la formule (4.11) pour k2 = k + 1 et k1 = k. La formule (4.12) se retrouve en onsiderant la multipli ation par x d'une serie de Chebyshev suivie ou pre edee d'un

hangement de base. D'une premiere maniere nous al ulons

x

1 X n=k

n Tn(k)

et alternativement 1 X x n Tn(k) = n=k

=

1 X n=k

1 X n=k+1

Xk ( n )Tn(k)

=


( n )Tn(k+1) =

1 X n=k+1

1 X n=k+1


Xk ( n )Tn(k+1)

Xk+1
( n )Tn(k+1) :

Une premiere appli ation des formules donnees par la proposition 33 est l'expli itation de la re urren e de Chebyshev dans le as d'un operateur dierentiel d'ordre 1. 101

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev Proposition 34

Supposons que l'operateur L soit d'ordre 1. Nous posons e = ext(L). Les polyn^omes p1 et p0 qui de nissent L s'e rivent dans la base de Chebyshev

p1 (x) =

e X k=0

0 k Tk (x)

et p0 (x) =

e 1 X k=0

0 k Tk (x)

ave les onventions habituelles pour les indi es negatifs. Alors l'operateur L asso ie a L s'e rit expli itement 

e X nk + k+1 k L = 21n 2 k= e

1



+ kk Ek :

(4.16)

Demonstration : Suivant notre s hema general, nous avons

L = p1(X1 ) + p0(X1)
: D'apres les resultats (4.14) et (4.15) de la proposition (33) nous transformons l'operateur

omme suit

L = n1 p1(X0 )n +
p0(X0 ) :

Cette forme est interessante ar nous savons expli iter les polyn^omes en X0 omme nous l'avons fait pour les fra tions rationnelles. Ainsi

L

!

e e 1 E 1 E 1 X 1 1 X k  E n+ Ek = n 2 k= e k 2n 2 k= e+1 k 



e 1 X = (n + k)k Ek + k+1 k 2n k= e 2

Un regroupement des termes nous donne le resultat enon e.

1



Ek



!

:

2

4.1.3 Un regard nouveau sur d'autres methodes Diverses methodes existent pour generer les re urren es veri ees par les oeÆ ients de Chebyshev solutions de l'equation dierentielle holonome Ly = q. Nous allons les presenter et les omparer a notre s hema general a la lumiere du formalisme que nous avons introduit.

La methode de Clenshaw La methode de Clenshaw [12℄ repose sur l'idee d'asso ier a haque derivee de y une serie de Chebyshev, soit 1 X ( k ) y = 0 (nk) Tn (x) n=0

102

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev pour k allant de 0 a r. De ette fa on, on n'introduit pas d'autre type de series que les series en Tn . La methode pour multiplier les series de Chebyshev pour un polyn^ome est la m^eme que elle que nous avons presentee, 'est-a-dire que nous avons

L

1 X n=0

! 1 0 (0) Tn (x) = X 0 n

n=0

r X k=0

!

pk (X0 ) (nk)

Tn (x) :

(4.17)

Par ailleurs, les dierentes suites sont liees par les relations

(nk) =

n(k+1) 1

2n

+1)

n(k+1

; k = 1:::1 :

(4.18)

Clenshaw obtient alors un systeme que nous pouvons e rire ave nos notations 8 r X > >
> : (k)

pk (X0 ) (nk) = qn ;

n

=
(nk+1) ;

k = 0::r 1 :

ou qn est le n-ieme oeÆ ient de Chebyshev de q. Elliot [21℄ a etendu ette methode aux series en polyn^omes de Gegenbauer et obtient pour elles- i un systeme similaire. Faisons

e que Clenshaw a eviter de faire : introduisons des series en derivees de polyn^omes de Chebyshev. Il vient a l'aide de l'operateur de hangement de base

L

1 X n=0

!

0 n Tn (x) =

X

r X

n=q

k=0

!


r pk (X0 ) (nk) Tn(r) (x) :

Or la formule (4.13) de la proposition 33 entra^ne que
r pk (X0 ) = pk (Xr )
r et gr^a e aux relations (4.18) nous avons
r (nk) =
r k (0) n . En reportant dans l'egalite i-dessus es deux transformations nous obtenons l'egalite suivante

L

1 X n=0

!

0 n Tn (x) =

1 X

r X

n=r

k=0

!

pk (Xr )
r k n Tn(r) (x)

dans laquelle nous re onnaissons l'operateur asso ie a re urren e de Chebyshev telle que nous l'avons de nie. L'avantage de notre appro he est de n'introduire qu'une seule suite de

oeÆ ients. La methode de Clenshaw, quoiqu' utilisee par elui- i pour un al ul ee tif de series de Chebyshev et etablir des tables de valeurs, reste neanmoins deli ate a manier dans le as general. Des remarques a e sujet se trouvent dans un papier d'Olaefe [48℄ et les livres de Fox [25℄ et Wimp [62℄.

Variante du s hema general Nous savons d'apres le lemme 1 que l'operateur dierentiel L peut s'e rire sous la forme

L=

r X

dk p (x) : dxk k k=0 103

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev Si nous appliquons sous ette forme l'operateur a une serie de Chebyshev, nous obtenons, en vertu des operations elementaires de nies dans la proposition 18, ! ! r 1 1 X X X dk 0 0 L

n T n =

T p (x) dxk k n=0 n n n=0 k=0 ! 1 r X dk X 0 pk (X0 )( n )Tn = k dx n=0 k=0 ! 1 r X X 0 ( k ) pk (X0 )( n )Tn = = ou nous avons pose

L =

k=0 1 X

L( n )Tn(r)

(4.19)


r k pk (X0 ) :

(4.20)

n=r r X k=0

n=k

Ave les m^emes arguments que pour le s hema general, on montre que la formule (4.19) est analytiquement orre te si n est a de roissan e geometrique. Gr^a e a ette onvergen e pour toute suite de oeÆ ients a de roissan e geometrique et a l'orthogonalite des polyn^omes Tn(r) , nous pourrions montrer l'egalite formelle des operateurs L et L, qui sont a oeÆ ients fra tions rationnelles, par des arguments d'interpolation. Neanmoins nous preferons une demonstration plus dire te - et que nous pensons plus elegante - fondee sur les proprietes des operateurs elementaires. Pour ela, donnons le lemme suivant

Lemme 5

Soit X = Xk pour k entier quel onque. Alors, pour tout polyn^ome p, nous avons p(X) = p(X +
)
p0 (X +
) = p(X +
) p0 (X)
: (4.21)

Demonstration : Montrons par re urren e e resultat pour p(x) = xn . Pour p(x) = x0 = 1, le resultat est trivialement vrai. Supposons le resultat vrai pour au rang n, alors

Xn+1 = = = = =

XXn X((X +
)n nXn 1
) (X +
)(X +
)n
(X +
)n nXn
(X +
)n+1 Xn
nXn
(X +
)n+1 (n + 1)Xn
: La propriete est don vraie au rang n + 1. Et par linearite, elle est vraie pour tout polyn^ome p. 2 Le lemme 5 est valable pour X = Xk quel onque, don la formule (4.21) reste valide si l'on substitue X +
a X. De e fait nous pouvons reiterer le pro ede et obtenir p(X) = p(X +
)
p0 (X +
) = p(X + 2
)
p0 (X + 2
)
(p0 (X + 2
)
p00 (X + 2
) = p(X + 2
) 2p0 (X + 2
) +
2 p00 (X + 2
) 104

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev et plus generalement nous avons la formule1

p(X) =

k X l=0

( 1)l Ckl
(k l) p(k l) (X + k
) :

(4.22)

Pour l'utilisation que nous allons en faire nous prenons X = Xr et de e fait, d'apres la formule (4.11), X + k
= Xr k . Alors nous e rivons

L = = = =

r X

pk (Xr )
r

k=0 r "X k X

k #

1)l Ckl
k l pk(k l) (Xr k )

(

k=0 l=0 r "X k X


r

k

#

( 1)l Ckl
k l
r k pk(k l) (X0 )

k=0 l=0 r "X r X

#

1)l Ckl
k l
r k pk(k l) (X0 )

(

=

l=0 k=l " r r X X (
r l

=


r l pl (X0 )

l=0 r X l=0

k=l

#

1)l Ckl pk(k l) (X0 )

= L :

Ce qui etablit le resultat annon e. La demonstration ne depend que de proprietes liant les dierents operateurs et non de la nature de leurs oeÆ ients omme dans l'autre demonstration que nous avons evoquee. Or nous pensons que ette demonstration s'applique dans le as d'autres series, non ne essairement de polyn^omes, pour lesquelles les

oeÆ ients des operateurs elementaires seraient moins simples que des fra tions rationnelles. Ce i explique, en plus de l'appre iation esthetique personnelle, le hoix de ette demonstration plut^ot qu'une autre.

Petite digression La propriete enon ee dans le lemme 5 entra^ne la suivante [p(X);
℄ = p0 (X)[X;
℄

(4.23)

ou le ro het est le ro het de Lie de ni par [A; B ℄ = AB BA. En eet multiplions a droite par
l'egalite (4.21), nous obtenons p(X)
= p(X +
)
p0 (X)
2 1

Cette formule se ree rit de maniere ondensee mais un peu abusive sous la forme p(X) =



1
dxd

k

105

p(X + k
) :

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev =
p(X) + p0 (X)[X;
℄ puisque [X;
℄ =
2 . L'egalite (4.23) s'en suit. Ce resultat rappelle une propriete generale des algebres de Lie que nous donnons dans le lemme suivant.

Lemme 6 Soient A et B deux elements de A veri ant [A; [A; B ℄℄ = 0

(4.24)

[p(A); B ℄ = p0 (A) [A; B ℄ :

(4.25)

alors pour tout polyn^ome p on a Demonstration : La en ore, il suÆt de montrer le resultat pour p(x) = xn . Le resultat pour p(x) quel onque s'en deduira par linearite. Pour p onstant, p(A) est proportionnel a l'unite don le membre de gau he dans (4.25) est nul omme l'est evidemment le membre de droite. Maintenant supposons que la propriete soit vraie pour p(x) = xn et montrons qu'elle l'est alors pour p(x) = xn+1 .

[An+1 ; B ℄ = An+1 B + ( ABAn + ABAn ) BAn+1 = A[An ; B ℄ + [A; B ℄An : Or, par l'hypothese (4.24), [A; B ℄ ommute ave A don ave An , e qui permet d'e rire en utilisant l'hypothese de re urren e

[An+1 ; B ℄ = A(nAn 1 [A; B ℄) + An [A; B ℄ = (n + 1)An [A; B ℄ :

2

Ce que nous voulions montrer.

Et e lemme s'applique a nos operateurs puisque [
; X℄ =
2

) [
; [
; X℄ = 0 :

Ainsi nous avons la propriete suivante pour tout polyn^ome p [p(
); X℄ = p0 (
)[
; X℄ = p0 (
)
2 : Nous n'avons pas trouve d'appli ation immediate a ette propriete mais nous la onsignons neanmoins i i ave l'espoir de lui en trouver une.

Ou l'on retrouve la methode de Fox ... Fox et Parker [25℄ ont propose une autre methode pour generer une re urren e veri ee par les oeÆ ients de Chebyshev d'une solution d'equation dierentielle holonome. Mais a n d'eviter d'introduire des suites auxiliaires omme dans la methode de Clenshaw, ils transforment l'equation dierentielle en equation integrale par integrations par parties su

essives. Le nombre d'integrations est egal a l'ordre de l'equation dierentielle. L'integration des series de Chebyshev est ee tuee gr^a e au resultat de la proposition 106

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev 29 que nous avons donnee dans le hapitre pre edent. Geddes [27℄ qui a implemente la methode de Fox donne une forme expli ite de la transformation pour un ordre quel onque. Nous retrouvons ette formule et don le resultat de Fox en integrant la forme duale de l'operateur L donnee dans le lemme 1. Nous avons ainsi Z Z

::r

Ly =

r Z Z X k=0

::k pk y + a0 + a1 x +


+ ar 1 xr

1

ou les ak sont des onstantes d'integration. De ette maniere, nous obtenons # ! Z Z 1 " r 1 X 0 n Tn = X X
r k pk (X0 ) ( n )Tn + a0 +


+ ar 1 xr 1 : r:: L n=q k=0

n=0

(4.26)

(4.27)

En integration le se ond membre q de l'equation e rit dans la base de Chebyshev ave les

oeÆ ients qn Z Z

::r q =

r X k=0


r (qn ) Tn + b0 +


+ br 1 xr

1

et en identi ant les oeÆ ients dans les series a partir du rang r nous obtenons la re urren e r h X k=0

i


r k pk (X0 ) ( n ) =
r (qn) ; n  r :

L'operateur aux dieren es au premier membre est elui de la re urren e de Chebyshev

omme nous l'avons demontre plus haut et il est fa ile de voir que les oeÆ ients au se ond membre sont eux de q developpe dans la base Tn(r) . Ainsi, la re urren e i-dessus est la re urren e de Chebyshev telle que nous l'avons onstruite. Neanmoins, la methode de Fox elude un probleme de l'appli ation d'un operateur dierentiel a une serie de Chebyshev (ou autre), probleme qui a bien d'autres appli ations que la onstru tion de re urren es. De plus, le passage de l'equation dierentielle a l'equation integrale a un o^ut de al ul qui peut devenir important si l'equation initiale ontient des quantites symboliques. En n,

ette methode ne prend pas en ompte la relation de stru ture.

... et l'appro he par produit s alaire Appliquons aux oeÆ ients de Chebyshev, la methode de onstru tion de re urren es basee sur le produit s alaire vue au hapitre 1. Les elements determinant les polyn^omes de Chebyshev, i.e. (x) = x2 1 et  (x) = x, nous permettent d'etablir que

n = n 2 :

Alors dans le as Chebyshev l'operateur S de ni en (1.39) vaut

S = n12 r = n12

n

1



k=0

E) =

E

1

E

=
2 2n et la re urren e engendree suivant la formule (1.48) et veri ee par les oeÆ ients de Chebyshev n () d'une solution  de Ly = q, est don r X

(E


r k pk (X0 ) n () =
r n (q) : 107

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev Comme nous l'avons dit plus haut, ette methode est elle donne par Paszkowski. Mais surtout, nous re onnaissons la re urren e telle qu'elle est onstruite par la variante du s hema generale ou la methode de Fox. Ainsi, les dierentes methodes que nous avons presentees aboutissent a la re urren e de Chebyshev. L'avantage de notre methode pour generer la re urren e de Chebyshev est qu'elle ne ne essite pas de transformation prealable de l'equation et surtout qu'elle s'ins rit dans un adre plus general tant au niveau des types de series qu'elle manipule qu'au niveau des appli ations que nous pouvons en tirer.

4.1.4 Forme polynomiale de la re urren e de Chebyshev Pour le moment, nous avons montre que l'operateur L asso ie a la re urren e de Chebyshev est un operateur a oeÆ ients rationnels presentant une ertaine symetrie de oeÆ ients. Un operateur a oeÆ ients rationnels peut toujours se ramener a un operateur a oeÆ ients polyn^omiaux par multipli ation par un polyn^ome ad ho . Dans le as de l'operateur L, nous nous ramenons a un operateur a oeÆ ients polyn^omiaux par multipli ation par un polyn^ome qui ne depend que de l'ordre de l'operateur dierentiel L qui engrendre L. Pour etablir e fait, nous allons utiliser la forme duale de L donnee par (4.20) que nous rappelons i i r X k=0


r k pk (X0 ) :

(4.28)

L'inter^et de ette e riture est que, l'operateur X0 etant a oeÆ ients onstants, seul l'operateurs
introduit la variable n dans l'operateur aux dieren es. Aussi est- e la forme des puissan es de
qui va determiner la stru ture rationnelle des oeÆ ients. La proposition qui suit va pre iser les hoses.

Proposition 35

Pour tout entier k superieur ou egal a 1, nous avons k X


k =

l= k

(4.29)

Dk (n)

ou

Dk

Sk;l (n)El

(n) = 2k n

kY1

(n2

u=1

u2 )

et ou les Sk;l (n) sont des polyn^omes, nuls si k et l sont de parites opposees ou si k < jlj, sinon de nis par

Sk;l (n) = ( 1)j Ckj (n + l) ave

j=

k+l 2

et

Y

u2Ik;j

(n u)

Ik;j = f k + 1;


; k 1gnf j;


; j + kg : 108

(4.30)

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev Demonstration : Puisque D1 (n) = 2n, nous pouvons e rire

E 1 E D1 (n)


=

et la proposition est vraie pour k = 1 ave S1; 1 (n) = S1;1(n)  1. Supposons la proposition veri ee au rang k, alors i

h

Dk+1 (n)
k+1 = 2(n2 k2 ) Dk (n)
k
= =

2(n2

k2 )

k+1 X



k X l=

(n2

El 1 Sk;l (n) 2(n + l) k

k2 )

l= k 1



Sk;l+1 (n) n+l+1

El+1 2(n + l)





Sk;l 1(n) l E n+l 1

Il s'agit de montrer que la quantite

Ak+1;l

(n) = (n2

k2 )



Sk;l 1(n) n+l 1

Sk;l+1(n) n+l+1



est egale a Sk+1;l (n). Traitons d'abord les as de nullite : si k +1 et l sont de parites opposees, il en est de m^eme pour k et l + 1 et pour k et l 1, don Sk;l+1(n) et Sk;l 1(n) sont nuls

e qui entra^ne la nullite de Sk+1;l (n) ; si k + 1 < jlj alors k < jl + 1j et k < jl 1j don Sk;l+1(n) = Sk;l 1(n) = 0 et Sk+1;l (n) = 0. Pour traiter le as ou (4.30) s'applique, nous e rivons le polyn^ome Sk;l (n) sous la forme kY1

Sk;l(n) = ( 1)j Ckj

u= k+1 kYj u= j

(n u)

(n u)

l

e qui lari era les al uls (a defaut de les simpli er). Posons j = k+1+ 2 . Nous avons alors k+(l 1) = j 1 de sorte que 2 0

Ak+1;l (n) =

(n2

= ( 1)j

B( B 2 k )B B B 

k Y u= k

(n

1)j Ckj

kY1

u= k+1 kYj

(n u)

(

1)j 1 Ckj 1 kY j +1

(n u)

u= j C j (n + j ) + Ckj 1 (n + j r) k k+1 Yj u= j

109

(n u)

kY1

(n u) C

u= k+1

(n u)

u= j +1

k 1)

1 C C C C A

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev or

Ckj (n + j ) + Ckj 1(n + j

k 1) =



Ckj + Ckj

1



(n + j ) (k + 1)Ckj

1

= Ckj+1 (n + j ) (k j )Ckj+1 = Ckj+1 (n + 2j k) {z

|

n+l

}

don Ak+1;l (n) est bien egal a Sk+1;l (n) e qui montre la propriete au rang k + 1 et a heve la demonstration. 2

La demonstration qui pre ede est d'une parfaite inelegan e mais nous n'en avons pas trouvee de moins lourde malgre notre onvi tion qu'il en existe une. Puisque
r est la plus grande puissan e de
apparaissant dans l'expression (4.28), le plus petit denominateur ommun des fra tions rationnelles oeÆ ients de l'operateur L est don Dr (n). Par onsequent, nous transformons l'operateur L en operateur aux dieren es a oeÆ ients polyn^omiaux par multipli ation par Dr (n). Posons don L = Dr (n)L :

(4.31)

Soit k un entier positif et stri tement inferieur a r. Alors en appli ation la proposition pre edente, nous etablissons que l'operateur

Dr (n)
r a pour oeÆ ients 2

k

rY1 u=r k

(n2

k

u 2 ) Sr

k;l (n) :

(4.32)

Il est fa ile d'etablir, d'apres l'expression (4.30), que le degre du polyn^ome Sk;l est k et don que elui des oeÆ ients (4.32) est 2k + r k 1 = r + k

1:

1

(4.33)

Le degre des oeÆ ients de Dr (n)
0 est le degre de Dr (n) et vaut don 2r 1, e qui est superieur aux valeurs (4.33) quelque soit k. Ainsi, nous pouvons deja dire que l'operateur L est de la forme e X lk (n)Ek L= k= e

ou les oeÆ ients lk (n) sont des polyn^omes de degres inferieurs ou egaux a 2r 1. Par ailleurs, nous avons lk (n) = Dr (n)lk (n) ou les fra tions lk (n) sont de nies en (4.10) et veri ent lk ( n) = l k (n). Puisque Dr (n) est un polyn^ome impair, nous avons don lk ( n) = l k (n). Il nous reste a veri er que l'operateur L est de degre exa tement egal a e = ext(L). Cela revient a demontrer que le oeÆ ients le (n) est non identiquement nul. Pour ela, expli itons le oeÆ ient qui se trouve devant Ee dans L. Il n'est pas diÆ ile de montrer que 110

4.1 Cara teristiques de la re urren e de Chebyshev nous pouvons de nir la quantite ext(L) de la maniere equivalente a la de nition premiere, par r e = ext(L) = r + max (deg(pk ) k); : k=0

Cette egalite peut se traduire par la serie d'inegalites deg(pk )  e r + k ave au moins une egalite. Notons k le oeÆ ient de Te r+k dans le developpement de pk dans la base de Chebyshev. D'apres les inegalites i-dessus, k est soit le oeÆ ient de t^ete de pk (dans la base de Chebyshev), soit nul ; et au moins l'un des k est non nul. Dans le

as ou k est non nul, le oeÆ ient dominant de l'operateur pk (X0 ) est

k e E 2

r+k

et don elui de Dr (n)
r k pk (X0 ) est 2k

r 1 k

r Y u=k+1

(n2

u2 )Sr

k;r k (n)E

e r+k Er k

d'ou nous tirons le (n) =

r X k=0

2k r 1 k

r Y

(n2

u=k+1

u2 )Sr

k;r k (n) :

Comme le degre des polyn^omes fa teurs des k sont tous distin ts et qu'au moins un des k est non nul, le polyn^ome le (n) est don non identiquement nul. Et il en est de m^eme pour l e (n) d'apres la propriete de symetrie. Nous ondensons alors les resultats pre edents dans la

Proposition 36

L'operateur L de ni par (4.31) s'e rit L=

e X k= e

ou r { e = r + max(deg(pk ) k), k=0 { les lk sont des polyn^omes de degre 2r { qui veri ent lk ( n) = l k (n).

lk (n)Ek

1,

Ainsi nous avons montre que l'on peut, dans le adre des series de Chebyshev, asso ier un operateur aux dieren es a oeÆ ients polyn^omiaux a un operateur dierentiel holonome quel onque. Cela n'est pas sans rappeler le lien entre transformation de Mellin formelle et operateur dierentiel dans le as de la manipulation des series de Taylor. La se tion suivante va donner des elements renfor ant ette analogie. 111

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev

4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev Dans ette se tion nous allons utiliser de maniere re urrente dierents operateurs dierentiels que nous introduisons i i pour le reste de la se tion

x x k;x k;x

= x dxd = (x2 1) dxd = (x2 1) dxd + (2k + 1)x = (x2

1) dxd 2 + (2k + 1)x dxd 2

Lorsqu'il n'y aura pas d' ambigute, la variable de derivation sera omise. Dans la se tion, nous ferons usage a plusieurs reprises de la transformation suivante 2(Xu + Y v) = (X + Y )(u + v) + (X

Y )(u v)

(4.34)

ou X , Y , u et v sont des reels (ou des omplexes) quel onques.

4.2.1 Fa torisation des re urren es de Chebyshev La methode que nous avons presentee permet de generer une re urren e veri ee par les

oeÆ ients de Chebyshev d'une solution d'equation holonome en toute generalite. Cette generalite se paie parfois par le fait que la re urren e obtenue n'est pas toujours minimale

'est-a-dire qu'il existe une re urren e d'ordre inferieure veri ee par les oeÆ ients de Chebyshev de toute solution. Lewanowi z a developpe dans une serie d'arti les [37, 38, 39, 40℄ une methode pour generer la re urren e minimale veri ee par les oeÆ ients de Ja obi des solutions d'une equation dierentielle holonome. Nous allons montrer qu'ave notre formalisme nous pouvons retrouver les re urren es minimales. Avant de ommen er, signalons que si le s hema general ne donne pas toujours une re urren e minimale, il la donne quand m^eme presque toujours omme le montre la proposition suivante.

Proposition 37

Si le oeÆ ient pr de l'operateur L (4.1) ne s'annule pas en 1 ni en 1 alors la re urren e generee par le s hema general est minimale.

Demonstration : Lewanowi z a demontre [37℄ que la methode de Pazkowski donne des re urren es minimales dans sous les hypotheses enon ees. Or nous avons montre plus haut l'equivalen e entre la methode de Pazkowski et le s hema general. 2

Ainsi, la non-minimalite appara^t dans un as limite 'est-a-dire quand l'equation dierentielle originelle presente des singularites aux extremites de l'intervalle [ 1; 1℄. Cela n'emp^e he pas l'existen e de solutions developpables en series de Chebyshev mais la proposition 22 ne s'applique plus. On trouvera des resultats sur le omportement asymptotique des oeÆ ients de Chebyshev de fon tions presentant des singularites a es extremites dans un livre de J.P. Boyd [7℄. Nous renvoyons le le teur a ette referen e ar nous allons mettre l'a

ent sur l'etude de l'equation dierentielle (et la re urren e asso iee) plut^ot que sur ses solutions. Commen ons ave un exemple. 112

4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev Exemple 10 Considerons l'operateur dierentiel d2 d L = x(1 x2 ) 2 (1 + 2x 2x3 ) + (1 + x) dx dx et l'equation dierentielle homogene asso iee Ly = 0. Cette equation presente des singu-

larites (regulieres) en 0, 1 et 1. Elle entre en ore moins dans le adre de la proposition 22. Cependant nous onnaissons les solutions de ette equation dont une est p

ex os( 1 x2 ) : On peut veri er que ette fon tion est une fon tion entiere dont le developpement en serie de Chebyshev est 1 1 X 0 Tn (x) ; n! n=0 don ave des oeÆ ients plus que geometriquement de roissants. Ces oeÆ ients veri ent don la re urren e onstruite par le s hema general a savoir 

X2 (I X22 ) (I + 2X2



2X32 )
+ (I + X2 )
2 ( n ) = 0

qui est d'ordre 8. La methode de Lewanowi z onstruit la re urren e (n 2) n

2

(1 3n + n2 ) n

(1 + 3n + n2 ) n+1

1 + 2 n

(n + 2) n+2 = 0

qui est d'ordre 4. Nous n'allons pas produire une analyse aussi ne que elle de Lewanowi z et nous nous restreignons au as ou pr est divisible par 1 x2 . Le gain d'ordre que nous pouvons obtenir par rapport au s hema general provient alors de l'utilisation de la relation de stru ture et de l'equation hypergeometrique pour les polyn^omes Tn(k) .

De nition 12

Nous de nissons les operateurs suivants

Nk = (n2 k2 )I rk = r 2kX0 + k(k + 1)
pour k entier positif. Remarquons que r0 est egal a l'operateur r de ni a la proposition 25. La proposition suivante generalise la proposition 25 et introduit une nouvelle serie d'operations sur les series de Chebyshev.

Proposition 38 Pour tout k  0, nous avons les formules suivantes k 

1 X n=k

1 X

n=k

0 n T (k) (x) = n 0 n T (k) (x) = n

1 X n=k

1 X

n=k

113

0 Nk ( n )T (k) (x) ;

(4.35)

0 rk ( n )T (k) (x) :

(4.36)

n

n

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev Demonstration : On veri era a l'aide des resultats etablis pour les polyn^omes hypergeometriques que le polyn^ome Tn(k) est solution de l'equation (x2 1)y00 + (2k + 1)xy0 (n2 k2 )y = 0

e que nous pouvons e rire k Tn(k) = (n2 k2 )Tn(k) . Appliquons l'operateur k a une serie en Tn(k) et la formule (4.35) est etablie. Pour haque valeur de k l'existen e d'un operateur aux dieren es rk tel que la formule (4.36) soit vraie est demontree omme as parti ulier de la relation de stru ture pour les series d . Il reste orthogonales lassiques (formule (1.29) de la proposition 12) puisque  = (x) dx a montrer que l'operateur rk est bien elui donne par la de nition 12. Comme nous avons montre la formule (4.36) pour k = 0 dans la proposition 25, nous supposons k > 0. Nous e rivons alors   1 1 d d X d X 0 ( k ) 0 n T (k) (x)  2x

n T (x) = 

dx n=k

n

dx

dx

e qui se traduit en termes d'operateurs par 1 1 X 0 rk+1 ( n )T (k+1) (x) = X 0 [rk n n=k+1

n=k+1

n

n=k

2Xk+1℄ ( n )Tn(k+1) (x) :

Nous etablissons don la re urren e rk+1 = rk 2Xk+1 ave r0 = r. En tenant ompte de la relation Xk = X0 k
, on veri e aisement que r 2kX0 + k(k + 1)
est solution de

ette re urren e, e qui a heve la demonstration. 2

La proposition pre edente permet d'appliquer des operateurs dierentiels d'ordre 2, les k , ou d'ordre 1, , tout en restant dans la base de depart. Ce i permet \d'e onomiser" l'usage de l'operateur de hangement de base
que nous devrions utiliser pour suivre le s hema general. Ce fait se on retise par les formules X2k+2

I + (2k + 1)Xk+2
=
2 Nk Xk2+1 I =
rk :

(4.37) (4.38)

Appliquons es resultats pour diminuer l'ordre des re urren es. Supposons que le polyn^ome pr soit divisible par x2 1 et notons p1;r le quotient orrespondant. Nous pouvons alors e rire r 1 dk dr 1 X L = p1;r (x) r 1 + pk (x) k dx dx k=0

Si nous appliquons dire tement le s hema general, nous obtenons l'operateur aux dieren es

L = p1;r (Xr )(X2r 1) +

r 1 X k=0

pk (Xr )
r

tandis que si nous utilisons la formule (4.36) nous obtenons ! r 1 1 " 1 X X X 0 p1;r (Xr 1 )rr 1 + pk (Xr 1 )
r L

n Tn = n=0

n=r 1

k=0

114

k

#

1 k

( n )Tn(r

1)

:

(4.39)

4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev L'ordre de l'operateur aux dieren es qui appara^t i-dessus est egal a l'ordre de L moins 2. La formule (4.38) nous permet de veri er que "

L =
p1;r (Xr 1)rr 1 +

r 1 X k=0

#

pk (Xr 1 )
r

1 k

:

Ainsi le gain d'ordre orrespond bien a la mise en fa teur d'un operateur de hangement de base. Supposons maintenant que l'operateur L soit au moins d'ordre 2 et que nous puissions l'e rire sous la forme r 2 dk dr 2 X L = p2;r (x)r 2 r 2 + pk (x) k : dx dx k=0

A l'aide de la formule (4.35), nous obtenons alors

L

1 X n=0

!

0 n T n =

1 X n=r 2

"

p2;r (Xr 2 )Nr 2 +

r 2 X k=0

#

pk (Xr 2 )
r

2 k

( n ) Tn(r

2)

:

(4.40)

Dans e as, nous abaissons l'ordre de l'operateur aux dieren es de 4 e que nous retrouvons dans la fa torisation, utilisant la formule (4.37),

L

"

=
2

p2;r (Xr 2 )Nr

2+

r 2 X k=0

#

pk (Xr

2

)
r 2 k

:

Ainsi en alliant au s hema general l'usage d'operateurs parti uliers issus des proprietes des polyn^omes hypergeometriques, pouvons diminuer l'ordre des re urren es asso iees a une equation dierentielle.

Exemple 11 (suite de l'exemple 10). En reorganisant l'operateur L sous la forme d2 d (1 + 2x 2x3 ) + (1 + x) 2 dx dx x0 + (1 + 2x) + (1 + x) ;

L = x(1 x2 ) =

il vient gr^a e aux formules (4.35) et (4.36) ! 1 1 X 0 n Tn = X 0 [ X0 n2 + (1 + 2X0 )r + 1 + X0 ℄( n )Tn : L | {z } n=0 n=0 L1 Nous trouvons alors

L1 ( n) = (n 2) n

2

(1 3n + n2 ) n

1 + 2 n

(1 + 3n + n2 ) n+1

e qui orrespond a la re urren e minimale de Lewanowi z. 115

(n + 2) n+2

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev

4.2.2 Inversion de la re urren e de Chebyshev Nous avons ompare la onstru tion de la re urren e de Chebyshev a la transformation de Mellin formelle. Seulement nous avons montre, dans le ontexte des series de Chebyshev, qu'a une equation dierentielle orrespond une equation re urrente a oeÆ ients polyn^omiaux, mais nous ne savons pas si a une equation re urrente a oeÆ ients polyn^omiaux orrespond une equation dierentielle de maniere aussi naturelle qu'existe la transformation de Mellin inverse. Autrement dit, a un operateur aux dieren es donne

orrespond-t-il une liste de polyn^omes pk tels que et operateur soit egal (au moins a un fa teur rationnel pres) a r X k=0

pk (Xr )
r

k

?

Dans e qui suit, nous supposerons que l'operateur R est a oeÆ ients polyn^omiaux puisqu'une re urren e de Chebyshev peut, d'apres la proposition 35, se ramener a ette forme. Nous savons aussi que la re urren e de de Chebyshev veri e des proprietes de symetries telles que nous devons supposer pour que le probleme soit bien pose que R=

e X k= e

rk (n)Ek ave rk ( n) = r k (n) :

(4.41)

Nous de omposons haque polyn^ome rk en partie paire et impaire de la fa on suivante : ^rk (n2 ) = rk (n) r k (n) 2 r ( n ) + r k (n) k nrk (n2 ) = 2

(partie paire) (partie impaire)

Il vient alors R =

=

e h X

0 rk (n)Ek + r k (n)E k

k=0 e  X

0 (rk (n)

k=0 e  X

i

Ek + E rk ( n)) 2 

0 2nrk n2
Tk E + E = 2 k=0

1

k

+ (rk (n) + rk ( n))

+ 2^rk

e  X


E n2

0 2nrk (n2 )Tk (X0 ) + 2^rk (n2 ) E E = 2 k=0

1

E 2

1

Ek

Uk

2



1



E

k

E+E 2

1 

Uk 1 (X0 ) :

Le passage de la deuxieme a la troisieme ligne utilise les propositions 15 et 17. En n en divisant l'operateur R par n (nous devrions dire en toute rigueur : en omposant l'operateur R a gau he par l'operateur n1 I) nous formons un operateur qui se de ompose de maniere immediate en operateurs elementaires relatifs aux series 1 R = 2n

e  X 0 k=0

rk (n2 )Tk (X0 ) ~rk (n2 116

1)
Uk 1 (X0 )



4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev ou ~rk est le polyn^ome de ni par ~rk (x 1) = ^rk (x). Nous voyons alors que l'operateur dierentiel  e  X d 0 ^ R= r ( )T (x) rk (1 )Uk 1 (x) (4.42) dx k 0 k k=0 est tel que, d'apres les resultats des propositions 18 et 38,

R

!

1 0 bn Tn = X 1 R(bn )T 0 : n 2n n=1 n=0 1 X

Nous avons don onstruit un operateur dierentiel qui genere un operateur aux dieren es donne. Or nous savons, d'apres la proposition 4.31, que l'operateur L de la re urren e de Chebyshev asso iee a un operateur dierentiel L se ramene via une multipli ation par un polyn^ome a un operateur L du type (4.41). Nous pouvons don appliquer la methode que nous venons de presenter a L pour lui asso ier un operateur dierentiel R. Une question vient a l'esprit : quel est le lien entre L et R ? Une petite d'adaptation de la formule (4.35) provenant du onstat que k dxd = k nous indique que 1 1 X X k bn Tn(k+1) = (n2 k2 )bn Tn(k) : (4.43) n=k+1

n=k

Alors en appliquant ette formule iterativement, il vient r

1




1 L

1 X n=0

0 bn Tn

!

= r

1




1

1 rY1 X

=

(n2

n=1 k=1 1 1 X

=

2r n n=1

1 X n=r

L(bn)Tn(r)

k2 )L(bn )Tn0

L(bn )Tn0 :

Ainsi l'operateur R que l'on obtiendra par \inversion" de L est

R = 2r 1 r

1




1 L :

Nous pourrons don re onstituer L en eliminant les fa teurs a gau he. Dans le as d'un operateur d'ordre 1, nous avons dire tement R = L. Veri ons e fait. L'operateur L est de la forme

L = p1 (x)

d + p (x) : dx 0

Nous savons d'apres la proposition 34 que si les polyn^omes p0 et p1 s'e rivent dans la base de Chebyshev e 1 e X X 0 k Tk (x) et p0 (x) = 0 k Tk (x) p1 (x) = k=0

k=0

117

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev alors L=

ave ak = k et bk = ( k+1 l'operateur R est don

Or on veri e aisement que

p0 (x) Don R =

e X

(ak n + bk )Ek

k= e

k 1 )=2 + kk . Nous avons alors rk (n) = ak et ^rk (n) = bk , e 1 X

e d X 0 a T (x) dx k=0 k k 

e 1 X bk p0 (x) = 1

k=0

1

k=0

2

bk+1 Uk (x) :

bk+1



kk Uk (x) :

p01 (x), e qui etablit l'egalite entre L et R.

d dx p1 (x) + p0 (x)

Finssons ave un exemple.

Exemple 12 Nous onsiderons l'operateur L =

lyn^omiaux onstruit par le s hema general est L =

(n + 1)(n + 2)E 3 + 3(n 1)(n + 2)E 3(n 2)(n + 1)E + (n 2)(n 1)E3

d3 dx3

1. L'operateur a oeÆ ients po-

1 + 8(n

2)(n 1)n(n + 1)(n + 2)I

L'operateur dierentiel R onstruit a partir de L est 4 3 d5 3 x) d + 20(4x2 1) d + 40( x dx5 dx4 dx3 2 d d 1)2 2 + 40(x x3 ) + 20(4x2 1) dx dx

R = 4(x2 1)2 +4(x2 et on peut veri er que

R=4



(x2

d 1) + 5x dx



(x2



d 1) + 3x L dx

e qui etait le resultat attendu.

4.2.3 Series de Chebyshev Holonomes Nous avons introduit, et largement utilise, la notion d'equations dierentielles holonomes. Mais on peut aussi de nir les fon tions holonomes omme etant les fon tions qui veri ent une equation dierentielle holonome. Ces fon tions ont la parti ularite de former une algebre puisque que la somme et le produit de 2 fon tions holonomes sont holonomes. Cette propriete se demontre de maniere onstru tive basee sur l'elimination de Gauss. Ce fait onnu depuis le debut du sie le etait tombe un peu dans l'ombre du fait de l'impossibilite de pratiquer les al uls a la main mais a repris de la vigueur gr^a e au al ul formel. Il a ete implemente simultanement par B. Salvy et P. Zimmermann [60℄ et W. Koepf [33℄. Nous pouvons a

ro^tre en ore un peu la portee du on ept d'holonomie en de nissant 118

4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev les series de Taylor (respe tivement de Chebyshev) formelles holonomes omme etant les series de Taylor (resp. de Chebyshev) - onvergentes ou non - qui veri ent formellement une equation dierentielle holonome. Le as de serie de Taylor est bien etudie, elui de de Chebyshev l'est moins. D'apres les resultats vus plus haut, une serie de Taylor est holonome si et seulement si ses oeÆ ients veri ent une equation re urrente a oeÆ ients polynomiaux (obtenue gr^a e a la transformation de Mellin formelle). De e fait si la serie de Chebyshev 1 X 0 an Tn (x) est holonome, la serie de Taylor

n=0

1 X n=0

an x n

l'est aussi. Nous nous proposons de montrer la re iproque.

Theoreme 6

Si la serie de Taylor

1 X n=0

an xn

est holonome, alors la serie de Chebyshev 1 X 0 an Tn (x) n=0

l'est aussi et veri e une equation dierentielle holonome d'ordre au plus le double de elui d'une equation veri ee par la serie de Taylor. Nous allons rappeler su

intement la methode pour obtenir l'equation dierentielle holonome veri ee par la somme de deux fon tions holonomes. Pour plus de details, nous renvoyons le le teur aux deux referen es sus-mentionnees. Nous allons de plus presenter une forme parti uliere du resultat spe ialement adaptee a notre probleme. Pour ela nous rappelons que la notation  designe la derivation d'Euler (i.e. x dxd ). Tout operateur holonome peut ^etre onsidere omme un operateur de l'algebre C [x; x 1 ; ℄. Nous allons travailler dans ette algebre. Soient don f et g deux fon tions veri ant les equations

Fn

(x)f (n)

=

et

Gm (x)g(m) =

nX1 k=0

Fk (x)f (k) + R(x)

m X1 k=0

Gk (x)g(k) + S (x)

(4.44)

(4.45)

ou les Fk , les Gk , R et S sont des polyn^omes en x et x 1 et ou la notation y(k) indique k y. Si l'on derive (au sens de ) l'equation (4.44), respe tivement l'equation (4.45), on etablit aisement et de maniere onstru tive, que le terme Fn (x)f k (resp. Gm (x)gk ) s'e rit, quelque soit k, omme somme d'un polyn^ome et d'une ombinaison lineaire a

oeÆ ients polyn^omiaux de f; f 0; : : : ; f (n 1) (resp. g; g0 ; : : : ; g(m 1) ). Et une ombinaison 119

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev lineaire evidente (et non optimale) permet d'e rire les termes Fn (x)Gm (x)(f + g)k , quelque soit k, omme somme d'un polyn^ome et d'une ombinaison lineaire a oeÆ ients polyn^omiaux de f; f 0; : : : ; f (n 1) ; g; g0 ; : : : ; g(m 1) . Puisque haque terme Fn (x)Gm (x)(f + g)k est determine par n + m +1 oeÆ ients polyn^omiaux, l'algebre lineaire nous assure que les termes Fn (x)Gm (x)(f + g)k pour k variant de 0 a n + m + 1 (soit n + m + 2 termes) sont lineairement dependants, la ombinaison lineaire pouvant ^etre obtenue par elimination gaussienne et produisant une equation dierentielle holonome d'ordre n + m + 1 veri ee par f + g. D'apres la propriete 15, nous pouvons onsiderer une serie de Chebyshev une serie de Laurent symetrique. En eet, en posant z = (x + x 1 )=2, il vient ! 1 1 1 X X X 1 0 an Tn (z ) = an xn + an x n : 2 n=0 n=0 n=0

Supposons que la serie f =

P

an xn veri e (m^eme formellement) l'equation holonome

A(x)n f

=

nX1 k=0

An;k (x)k f + Bn (x) :

(4.46)

Nous avons hoisi d'e rire les operateurs dierentiels en utilisant la derivation d'Euler par e que elle- i presente la bonne propriete suivante 1 t= ) t =  x : x P Gr^a e a ette propriete il est fa ile de voir que la serie an x n veri e l'equation holonome

A(x 1 )ng =

nX1 k=0

An;k (x 1 )( 1)n+k k g + ( 1)n Bn (x 1 ) :

(4.47)

Et plus generalement en derivant (toujours ave ) l'equation (4.46) nous obtenons pour tout m,

A(x)m f

=

qui va de paire ave

A(x

1 ) m g

=

nX1 k=0

nX1 k=0

Am;k (x 1 )( 1)m+k k f + Bm (x)

Am;k (x 1 )( 1)m+k k g + ( 1)m Bm (x 1 ) :

(4.48)

(4.49)

Et gr^a e au P pro ede que nous venons d'exposer nous obtenons une equation holonome P n veri ee par an x + an x n. Le probleme est de savoir si ette equation reste holonome en z apres le hangement de variable inverse x ! z . Commen ons par etablir quelques resultats te hniques. Nous rappelons les notations suivantes x+x 1 w(x) = ; 2 x x 1 : v(x) = 2 Et nous donnons le 120

4.2 Divers travaux autour de la re urren e de Chebyshev Lemme 7 Soit P un polyn^ome de C [x; x 1 ℄, que nous e rivons P (x) =

s X k= r

ak x k :

Nous posons n = max(r; s) et nous de nissons

T P (z ) = 2 UP (z ) = 2

n X

(ak + a k )Tk (z ) ;

k=0 nX1 k=0

(ak+1

a

k 1 ) Uk (z ) :

Alors si z = w(x), nous avons

P (x) + P (x 1 ) = T P (z )

P (x) P (x 1 ) = v(x)UP (z ) :

et

De plus, P (x)P (x 1 ) est un polyn^ome en z de degre r

(4.50)

s.

Demonstration : Les formules (4.50) sont l'appli ation dire te des propositions 15 et 17. Par ailleurs, il est lair que P (x)P (x 1 ) est un polyn^ome de degre r s en x et en x 1 , et surtout invariant par le

hangement de variable x ! x 1 . Ainsi P (x)P (x 1 ) est une ombinaison lineaire de termes de la forme w(xk ) pour k variant de 0 a r s, e que nous savons ree rire en un polyn^ome en z gr^a e a la proposition 15. 2

Multiplions (4.48) par A(x 1 ) et (4.49) par A(x) et sommons. Puisque A(x)A(x 1 ) est d'apres la proposition i-dessus un polyn^ome en z , nous pouvons poser

C (z ) = 2A(x)A(x 1 ) : Nous posons aussi

Cm;k (x) = A(x 1 )Am;k (x) ; Dm (x) = A(x 1 )Bm (x) + ( 1)m A(x)Bm (x 1 ) : Alors un al ul simple utilisant la formule (4.34) permet d'obtenir

C (z )m (f

+ g) =

nX1 h k=0

Cm;k (x) + (

1)m+k Cm;k (1=x)







k (f + g)

+ Cm;k (x) ( 1)m+k Cm;k (1=x) k (f

i

g) + Dm (x) :

Les oeÆ ients de k (f + g) et k (f g) qui apparaissent dans la somme i-dessus vont en vertu du lemme 7 et suivant la parite de m + k ^etre des polyn^omes en z ou des produits de polyn^omes en z par v(x). Il en va de m^eme pour Dm (x) suivant la parite de m. Nous devons en ore introduire des notations pour lari er les hoses. Ainsi nous posons  T Cm;k (z ) si m + k pair + (z ) = Cm;k UCm;k (z ) si m + k impair ; 121

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev Cm;k (z ) = et

+ (z ) = Dm



UCm;k (z ) si m + k pair T Cm;k (z ) si m + k impair



T Dm (z ) si m pair UDm (z ) si m impair

Nous introduisons la notation



fxgk = 1x sisi kk pair impair

:

:

pour laquelle on pourra veri er la propriete suivante



fxgk fxgl = fx2 gk l fxgk+l :

(4.51)

Et en n

e+k = fv(x)gk k (f + g) et ek = fv(x)gk+1 k (f g) Alors, en remarquant que v(x)2 = z 2 1 et a l'aide des notations introduites i-dessus nous avons C (z ) fv(x)gm

m (f

+ g) =

nX1 h k=0





+ + (z ) fz 2 1g Cm;k m k ek 

+ Cm;k (z ) fz 2

1gm



i

+ 2 k+1 ek + Dm (z )fz

1gm :

Maintenant les oeÆ ients des e+k et ek sont polyn^omiaux en z , don l'elimination Gaussienne va nous onduire a une equation de la forme 2n X

m=0

pm (z ) fv(x)gm xm(f + g) = q(z ) :

Pour a hever la demonstration il reste a montrer que haque operateur fv(x)gm m devient par le hangement de variable inverse un operateur holonome en z . Or nous avons les relations suivantes v(x)x = (z 2

1)z = z ; d2 d x2 = (z 2 1) 2 + z = z : dz dz Ainsi nous pouvons e rire de maniere synthetique m fv(x)gm m = fz gm bz 2

e qui montre que la serie

P "

an Tn (z ) est solution de l'equation dierentielle holome 2n X

m=0

b m2

pm (z ) fz gm z

#

y = q(z )

dont la methode de onstru tion pre ede. Un inter^et des al uls que nous venons de presenter est de permettre la onstru tion 122

4.3 Con lusion d'une equation dierentielle telle que la re urren e de Chebyshev asso iee est une solution determinee a l'avan e. Cette possibilite est tres interessante pour l'etude des solutions formelles que nous allons ee tuer dans le hapitre suivant. Donnons un exemple qui genere une serie de Chebyshev alquee sur la serie d'Euler.

Exemple 13 La serie formelle 1 X n=1

( 1)n (n 1)!xn

est solution formelle de l'equation d'Euler x2 y 0 + y = x : Nous voulons, pour des raisons qui appara^tront plus tard, trouver une equation dierentielle dont la re urren e de Chebyshev asso iee ait n = ( 1)n (n 1)! pour solution. La methode exposee plus haut nous donne ette equation qui est x(1 x2 )y00 (1 + 2x 2x3 )y0 + (1 + x)y = x2 :

4.3 Con lusion La n de e hapitre a ete assez al ulatoire et te hnique mais il est important de souligner que les al uls que nous avons detailles i-dessus ont donne lieu a une programmation en MAPLE. Les pro edures orrespondantes ont d'ailleurs servi a generer les exemples presentes.

123

Chap. 4 : Etude de la re urren e de Chebyshev

124

Chapitre 5

Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Apres nous ^etre interesse a la re urren e de Chebyshev pour elle-m^eme, nous nous

on entrons dans e hapitre aux solutions de la re urren e de Chebyshev.

5.1 Introdu tion Nous avons vu au hapitre 3, que les oeÆ ients de Chebyshev n d'une solution de l'equation dierentielle holonome Ly = q (5.1) veri ent l'equation aux dieren es donnee par la proposition 22)

L( n ) = qn ; 8n  r :

(5.2)

On pourrait penser que ette dualite equation dierentielle-equation aux dieren es va permettre de resoudre l'equation (5.1) omme nous le ferions ave des series de Taylor en un point regulier. Or, il en va tres dieremment. Et avant de presenter le probleme relatif aux series de Chebyshev, nous allons faire un ourt rappel sur la resolution au moyen des series de Taylor. Ainsi, supposons que le point x = 0 soit un point ordinaire de l'equation (5.1). Nous savons, d'apres la theorie des equations dierentielles lineaires, qu'il existe un systeme fondamental de solutions analytiques en 0, ) (1 1 1 X X X n n a(nr) xn a(2) a(1) n x ;


; n x ; n=0

n=0

n=0

de rayons de onvergen e au moins egaux au module de la plus pro he singularite. De plus, les r suites a(k) onstitue un systeme fondamental de l'equation aux dieren es

M(L)an = q~n n  0

(5.3)

ou M(L) est la transformee de Mellin de l'operateur L, ou les q~n sont les oeÆ ients de Q dans la base anonique et ou l'on onvient que a 1 = a 2 =


= 0 pour traiter les eets de bords dans l'equation. 125

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Exemple 14 Considerons l'equation dierentielle Ly = (6 + 5x + x2 )y00 (2 + 4x + x2 )y0 (4 + x)y = 0 dont deux solutions lineairement independantes sont ex et la transformation de Mellin a ette equation est

1 2+x .

La re urren e asso iee par

nan 1 + (n2 5n 4)an + (5n2 + 3n 2)an+1 + 6(n + 1)(n + 2)an+2 = 0

(5.4)

pour n  0. La valeur de a 1 etant xee a zero, on determine ompletement une solution en donnant les valeurs a0 et a1 . L'espa e des solutions de la re urren e (5.4) est de dimension 2 omme elui des solutions de l'equation dierentielle. En n, on veri e aisement que si

a0 = 1

si a0 =

1 2

et

a1 = 1 1 4

et a1 =

alors

1 n! ( 1)n 2n

an =

alors an =

Les deux suites ainsi determinees orrespondent respe tivement aux oeÆ ients des developpement de Taylor de ex et 2+1 x . En somme un hoix aleatoire des onditions initiales dans la relation de re urren e (5.3) permet de determiner une quel onque solution de l'equation dierentielle (5.1). Ave les series de Chebyshev, la situation n'est pas aussi simple. Considerons l'equation dierentielle y0 ay = 0. La re urren e de Chebyshev asso iee est 2n

=0; n1 a n n+1 qui est d'ordre 2 et don l'espa e des solutions presente une dimension de trop. De fait, nous onnaissons deja une solution a ette relation de re urren e a savoir f2In (a)g puisqu'il s'agit de la suite des oeÆ ents de Chebyshev de eax qui est solution de l'equation dierentielle, tandis qu'une solution lineairement independante est ( 1)n Kn (a) ou Kn est aussi une fon tion de Bessel modi ee. Or la serie de Chebyshev dont le terme general est ( 1)n Kn (a), est divergente. Le phenomene qui est apparu dans l'exemple pre edent est general et se resume ainsi : toute suite solution de la re urren e de Chebyshev (5.2) n'est pas la suite des oeÆ ients de Chebyshev d'une fon tion solution de l'equation (5.1). En eet, nous avons vu plus haut que l'ordre l'operateur L est 2e, ou e = ext(L), et plus pre isement que

n

1

L=

e X k= e

lk (n)Ek

ou les lk (n) sont des fra tions rationnelles. Mais il est fa ile de voir que, du fait de la

onvention n = n dans la re urren e (5.2), les solutions de elle- i sont determinees par les r + e premiers termes. Si, de plus, le oeÆ ient de t^ete le (n) ne s'annule pas pour n  r ( as generique) nous pouvons m^eme aÆrmer que l'espa e des solutions de la re urren e de Chebyshev est egal a r + e. Ce qui represente au moins le double de la dimension de l'espa e des solutions de l'equation dierentielle (5.1). En resume, 126

5.2 Exemples Proposition 39

Supposons que l'equation (5.1) soit ordinaire en tout point de l'intervalle [ 1; 1℄. Supposons aussi que le oeÆ ient le (n) de L soit non nul pour tout n  r. Alors il existe une base de suites f (1) ; (2) ;


; (r+e) g de l'espa e des solutions de l'equation (5.2) telles que { les suites (1) ;


; (r) sont les suites des oeÆ ients de Chebyshev de r fon tions formant un systeme fondamental de solutions de l'equation (5.1), { au une suite (r+1) ;


; (r+e) ni au une ombinaison lineaire de elles- i, ne

onstitue la suite des oeÆ ients de Chebyshev d'une solution de l'equation (5.1).

Cette proposition nous amene a donner la de nition suivante

De nition 13

Nous appelons solution formelle (de Chebyshev) de l'equation dierentielle (5.1), une serie de Chebyshev formelle 1 X 0 n T n n=0

telle que la suite f n g est solution de la re urren e de Chebyshev (5.2). Le but de e hapitre est de ara teriser les solutions formelles \surnumeraires", 'est-a-dire

elles qui ne sont pas le developpement d'une fon tion solution de l'equation dierentielle. Par \ ara teriser" nous entendons : determiner le omportement asymptotique des oeÆ ients de es solutions et trouver eventuellement le lien entre les solutions formelles et les solutions de l'equation dierentielle originelle.

5.2 Exemples Commen ons par quelques exemples pour lesquels les solutions formelles sont onnues. Nous avons donne une methode au hapitre pre edent pour onstruire une equation dierentielle ayant une solution formelle donnee mais il est plus diÆ ile d'avoir une equation dont toutes les solutions sont onnues. Cela explique que nous retrouverons les exemples suivants tout au long de e hapitre.

5.2.1 Cas des fra tions rationnelles Nous avons donne plus haut la serie de Chebyshev de la fra tion rationnelle 1 b 62 [ 1; 1℄ x b qui est solution de la pseudo equation dierentielle (x b)y = 1 a laquelle est asso iee la re urren e de Chebyshev

n

1

2b n + n+1 = 4Æ0;n ;

n0:

(5.5)

Comme nous l'avions fait auparavant, de ouplons ette re urren e en une ontrainte

b 0 + 1 = 4 127

(5.6)

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO et une equation re urrente homogene

n

n1:

2b n + n+1 = 0 ;

1

(5.7)

Soit = w (b) i.e. le omplexe de module inferieur a 1 tel que w( ) = b. Alors les suites de termes generaux A n et B n , ou A et B sont des onstantes arbitraires, sont solutions de l'equation re urrente (5.7). Determinons A pour que A n veri e la ontrainte (5.6),

bA + A = 1 = A

e qui nous donne Par substitution de



+ 2

1



+ =A

8 :

1 a nous obtenons B tel que B

2

1

(5.8)

A=

1

n

veri e la ontrainte, a savoir

8 :

1 En soustrayant les 2 solutions parti ulieres orrespondant aux valeurs de A et B al ulees

i-dessus nous obtenons une solution de l'equation homogene asso iee. Nous ne serons pas etonnes que ette solution soit 16 8 ( n + n ) = T (b) 1



1 n puisque nous avons re onnu dans (5.7) la re urren e a 3 termes qui de nit les polyn^omes de Chebyshev. Ainsi la solution generale de l'equation (5.5) est donnee par

B=

8

n + Tn (b)

1 ou  est une onstante arbitraire. Autrement dit, les solutions formelles de l'equation (b x)y = 1 sont les series 8



1 X 1

n=0

0 ( n + Tn(b)) Tn (x) :

Parmi l'in nite de solutions formelles, seule elle pour laquelle  = 0 est onvergente.

5.2.2 Autres exemples Exemple 15 Considerons l'equation dierentielle a oeÆ ients onstants ar y(r) +


+ a1 y0 + a0 y = 0 : Nous supposerons que les ra ines k du polyn^ome ara teristique de ar xr +


+ a1 x + a0 sont distin tes. Les oeÆ ients n d'une solution formelle de l'equation veri ent l'equation aux dieren es r  Y

k=1






1 ( ) = 0 : k n 128

(5.9)

5.3 Etude des solutions formelles : appro he indire te Or, pour un a donne, l'equation (
a1 )( n ) = 0, i.e. n+1 + 2an n + n 1 = 0, a les 2 solutions lineairement independantes In(a) et ( 1)n Kn (a) ou In et Kn sont les fon tions de Bessel modi ees de premiere et se onde espe e (voir Abramowitz [1, x9.6℄). Nous voyons alors fa ilement que l'equation (5.9) a les 2r solutions independantes suivantes

In (k ) et ( 1)n Kn (k ); k = 1


r : Par ailleurs, nous onnaissons le omportement asymptotique des fon tions de Bessel quand n tend vers l'in ni n+1 n (5.10) jIn(a)j  2janjn! et jKn(a)j  2 jajnn! : P Nous onstatons P don que les solutions formelles 0 In (k )Tn sont onvergentes tandis que les solutions 0 ( 1)n Kn (k )Tn sont divergentes. Et les solutions onvergentes orrespondent bien aux solutions de l'equation dierentielle puisque ek x = 2

1 X

n=0

0 In (k )Tn (x) :

Exemple 16 Considerons l'equation dierentielle (2 + x)y0 1 = 0 dont les solutions sont de la forme log(2 + x) plus une onstante et peuvent ^etre developpees en serie de Chebyshev (en utilisant la formule (3.49)) 1 2( 2 + p3)n X Tn +  : y= n n=1

La re urren e de Chebyshev asso iee est (n + 1) n+1 + 4n n + (n 1) n

1

= 2Æ1;n :

Nous pouvons veri er que les solutions formelles sont 1 2( 2 + p3)n 1 ( 2 + p3)n + ( 2 X X + Tn +  n n n=1 n=1

p

3)n

!

Tn :

Pour  6= 0 la serie formelle n'est pas onvergente et don pas le developpement d'une solution de l'equation.

5.3 Etude des solutions formelles : appro he indire te Nous voulons etudier le omportement asymptotiques des oeÆ ients de solution formelles et pour ela nous disposons d'une equation aux dieren es veri ee par elles- i. Or il existe des resultats pour realiser ette etude pour les series de Taylor solutions formelles d'une equation dierentielle. En etablissant un lien entre la re urren e de Chebyshev et une equation dieren e adequate, nous pourrons utiliser les resultats propres aux series de Taylor pour etudier les solutions formelles de Chebyshev. 129

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO

5.3.1 Equations aux dieren es-Equations dierentielles Nous avons introduit plus haut la dualite qui existe entre operateurs aux dieren es et operateurs dierentiels. Ave la prise en ompte d'un se ond membre, on etablit la m^eme dualite entre equations aux dieren es et equations dierentielles. Au formalisme pres, on trouvera la proposition suivante (que nous avons pla ee dans un adre un peu plus general) dans les travaux Pin herle [54℄.

Proposition 40

Soit R un operateur aux dieren es a oeÆ ients polyn^omiaux R=

M X k=m

rk (n)Ek

ou m et M sont des entiers ave m  M . Soit les suites ffn gn0 et f n gn0 et n0 un entiers naturel tels que nous ayons

n  n0 :

R( n ) = fn ;

Appelons R l'operateur dierentiel obtenu par la transformation de Mellin de R i.e.

R = M(R) =

M X k=m

rk (x )x

k

:

Alors il existe un polyn^ome p de C [x; x 1 ℄ tel que 0

R

X

n0

1

n xn A = p(x) +

1 X k=n0

fnxn :

Demonstration : En remarquant que xl (xm ) = ml xm , nous appliquons l'operateur R sur la serie de Taylor de

oeÆ ients n

R

1 X n=0

!

n

xn

= = =

1 M X X k=m n=0 M X 1 X

n rk (x )xn

k

n rk (n k)xn

k=m n=0 M X 1 X

k=m n= k

k

n+k rk (n)xn :

Pour simpli er la permutation de somme nous onvenons que k = 0 pour k < 0, e qui nous permet d'e rire

R

1 X n=0

!

n x n

=

M X

1 X

k=m n= M

n+k rk (n)xn 130

5.3 Etude des solutions formelles : appro he indire te = =

1 X

M X

n= M nX 0 1

k=m M X

n= M

k=m

|

!

rk (n) n+k xn !

xn +

rk (n) n+k

{z p(x)

}

1 X

M X

n=n0

k=m

!

rk (n) n+k xn

ave evidemment p(x) 2 C [x; x 1 ℄. Nous nissons le al ul sur la derniere somme par

1 X

M X

n=n0

k=m

!

rk (n) n+k

Nous obtenons don

R

1 X n=0

xn

=

1 X n=n0

L( n

!

n

xn

= p(x) +

)xn

1 X k=n0

=

1 X k=n0

fnxn :

fnxn :

2

Ainsi toute suite solution d'une equation aux dieren es a oeÆ ients polyn^omiaux est la suite des oeÆ ients d'une serie de Taylor solution formelle d'une equation dierentielle liee a l'equation aux dieren es par la transformation de Mellin formelle. Voyons don

omment utiliser e resultat, en ommen ant par introduire la notion de polygone de Newton.

5.3.2 Polygone de Newton d'un operateur dierentiel On peut trouver les de nitions qui suivent dans [55℄. La notation x designe la derivation par rapport a x. Considerons un operateur dierentiel L 2 C [x; x 1 ; x ℄. Cet operateur s'e rit don

L = pr (x)xr +


+ p1 (x)x + p0 (x);

ave pi (x) =

X

j 2Z

pi;j xj

les pi;j non nuls etant en nombre ni. A et operateur est asso ie un polygone de Newton, que nous de nissons omme suit. Soit

Q+ = f(x; y) 2 R2 ; x  0; y  0g et Q = f(x; y) 2 R2 ; x  0; y  0g respe tivement les deuxieme et troisieme quadrants de R2 . Nous de nissons

Q+(u; v) = Q+ + (u; v) et Q (u; v) = Q + (u; v) leurs translates respe tifs par rapport a un point (u; v) de R2 . Nous posons

M + (L) =

[

pi;j 6=0

Q+(i; j i) et M (L) =

[

pi;j 6=0

Q (i; j i)

et nous de nissons en n Q+ (L) omme l'enveloppe onvexe inferieure de M + (L) et Q (L) l'enveloppe onvexe superieure de M (L). Il vient alors la de nition suivante 131

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO De nition 14 Q+ (L) est appele polygone de Newton en 0 de l'operateur L. Q (L) est appele polygone de Newton a l'in ni de L. En n le polygone omplet de L est de ni par Q(L) = Q+ (L) \ Q (L) : De nissons quelques elements ara teristiques du polygone de Newton de L . Les pentes Le polygone Q+ (L) a S pentes nies stri tement positives et Q (L) a s pentes nies stri tement negatives que nous noterons respe tivement

0 < k1+ <


< kS+ et 0 > k1 >


> ks :

Remarque : S et s peuvent ^etre nuls. Notons Ak l'ar^ete de Q(L) de pente k. Notons l(k) la longueur de la proje tion de Ak \ (R+  R) sur l'axe des abs isses. De plus, le polygone

omplet Q(L) peut posseder, sur la droite y = r, une ar^ete verti ale A1 .

Les polyn^omes ara teristiques

Si k est l'une des pentes nies non nulles de Q(L) et si (ik ; jk ) est l'extr^emite d'abs isse minimale de Ak alors on appelle polyn^ome ara teristique asso iee a la pente k le polyn^ome

Ck (X ) =

X

(i;j )2Ak

pi;j +iX i

ik

;

e polyn^ome est de degre l(Ak ). Si k = 1

C1 (X ) = X  pr (X ) ou  est la valuation de pr . Remarque : le polygone de Newton peut presenter des ar^etes de pente nulle auxquelles on peut asso ier des polyn^omes ara teristiques. Ces pentes qui ontiennent des informations importantes ( lassi ation des equations dierentielles, algorithme de Frobenius) n'interviendront ependant pas dans la suite de notre propos. Les k- ara teristiques On appelle, pour k ni, k- ara teristiques les valeurs k; = jk; j 1=k ou k; est ra ine de l'equation Ck (X ) = 0 dite equation ara teristique asso iee a la pente k. Les 1- ara teristiques les valeurs 1; = j1; j 1 ou k; est ra ine de C1(X ) = 0. La gure 5.1 donne un exemple de polygone de Newton ave ses polyn^omes ara teristiques.

Remarque : il est fa ile de veri er que les polygones de Newton des operateurs L1 et L2 = xn L1 (n 2 Z) sont identiques a une translation verti ale pres et qu'ils ont les m^emes equations ara teristiques. Cette remarque permet de se ramener a des operateurs dierentiels a oeÆ ients en x et non plus en x et x 1 .

5.3.3 Un theoreme de Ramis Donnons les de nitions suivantes De nition 15 Une suite fan g est dite Gevrey d'ordre au plus s, s 2 R, si il existe une

onstante C telle que pour tout n

janj  C (n!)s : 132

5.3 Etude des solutions formelles : appro he indire te H C

1 3

(X )

= 3 + X3

C 1 (X ) = 1 3X C1 (X ) = 2 3X 2 C2 (X ) = 1 + 2X 1

2

3

4

C1 (X ) = 1 + 11X + X 2

Fig.

5.1 { Polygone de Newton omplet de l'operateur dierentiel L = (2x5

3x6 )x4 +(x2 + x6 )x3 +(11+ x3 )x2 +(x

2 7x4 )x + x 3 +3x5

De nition 16 Une suite fan g est dite Gevrey d'ordre pre ise (s; A), s 2 R et A 2 R+ , si

lim sup((n!) s jan j)1=n = A : L'ordre Gevrey pre ise est d'une fan g, lorsqu'il existe, est unique.

Ces de nitions posees nous avons le theoreme suivant d^u a J.-P. Ramis [56℄.

Theoreme 7

Si la serie formelle y^ =

P

an xn est solution formelle de l'equation dierentielle Ly = f

ou L 2 C [x; x 1 ; x ℄ et f une serie de Taylor onvergente. Alors la serie y^ est { soit onvergente et fan g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes stri tement negatives ou la pente in nie (auquel as on onvient que 11 = 0), de Q (L) et A l'une des k- ara teristiques. { soit fan g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes nies stri tement positives de Q+ (L) et A l'une des k- ara teristiques. Ce resultat reste vrai si f est de la forme 1 X x n fk xk ; n2N k=0

ou la serie est toujours onvergente. En eet le theoreme est appliquable a xn L = xn f et d'apres la remarque faite plus haut nous savons que L et xn L ont m^emes pentes et m^emes k- ara teristiques. De e fait le theoreme de Ramis s'applique a l'equation 1 X Ry = p(x) + fnxn k=n0

133

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO generee par la proposition 40 a partir d'une equation aux dieren es permettant de

on lure sur le omportement asymptotiques des solutions de ette derniere.

5.3.4 Appli ation aux series de Chebyshev Appliquons les resultats pre edents aux solutions formelles de Chebyshev qui veri ent la re urren e de hebyshev L( n ) = qn n  r: Nous pouvons appliquer a ette re urren e la transformation de Mellin et le theoreme de Ramis e qui onduit au theoreme suivant

Theoreme 8

P Supposons que la serie de Chebyshev y^ = 0 n Tn soit solution formelle de l'equation dierentielle holonome (5.1). Soient L l'operateur aux dieren es asso ie a la re urren e de Chebyshev et L = M(L) sa transformee de Mellin formelle. Alors la serie y^ est { soit onvergente et f n g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes non nulles de Q (L ) et A l'une des k- ara teristiques. { soit f n g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes non nulles de Q+ (L ) et A l'une des k- ara teristiques. Pour les 2 eventualites i-dessus nous ne supposons pas k ni en onvenant toujours que 11 = 0. Nous pouvons m^eme ^etre plus pre is du fait de la stru ture parti uliere de l'operateur L. D'apres la proposition 35 nous avons

L=

e X k= e

lk (n)Ek

ave lk ( n) = l k (n). Cette stru ture implique que l' operateur L est invariant (au signe pres) par le hangement de variable z = 1=x. En eet, ave le hangement de variable pre edent il est immediat d'etablir que x = z et de e fait nous avons e X k= e

lk (x )x

k

= = =

  k

e X

1 lk ( z ) z k= e e X

k= e e X

l k (z )z k

k= e

lk (z )z k

(k ! k) :

Or on peut etablir (voir Ramis ou Malgrange) que les polygones Q+ (Lz ) et Q (Lx ) sont, a une translation pres, symetriques par rapport a l'axe horizontale et que leurs polyn^omes

ara teristiques ont m^emes ra ines au signe pres (don m^emes modules e qui est l'essentiel). Don d'apres la propriete d'invarian e Q+ (L ) et Q (L ) ont des pentes 2 a 2 opposees et les m^emes polyn^omes ara teristiques au signe pres don des k- ara teristiques 2 a 2 inverses. Ce que nous resumons par la 134

5.4 Polygone de Newton-Chebyshev Proposition 41

L'ensemble des ordres pre ises \possibles" des solutions formelles de Chebyshev de l'equation Ly = q est du type [



i2I

1 (si ; Ai ); ( si ; ) Ai



ou les si sont les inverses des pentes du polygone de Newton de k- ara teristiques asso iees.

L

et les Ai les

5.3.5 En resume Nous avons don presente une methode permettant de erner le ara tere Gevrey des solutions formelles de Chebyshev d'une equation dierentielle. Toutefois ette methode requiert un ertain nombre d'etapes intermediaires resumee par le s hema suivant

L

s hema general

transformee de Mellin

L; L

theoreme de Ramis

L

ordres Gevrey pre ises

Dans la pro haine se tion nous allons montrer que l'on peut deduire l'ordre Gevrey pre ise des solutions formelles dire tement a partir de l'operateur L au moyen d'un polygone spe i que que nous appellerons polygone de Newton-Chebyshev. Nous retrouverons sur e polygone la symetrie des ara teres Gevrey annon ee dans la proposition 41.

5.4 Polygone de Newton-Chebyshev Nous onsiderons toujours l'operateur dierentiel holonome L e rit deux manieres equivalentes r r X dk dk X L = pk (x) k = p (x) : (5.11) dx dxk k k=0 k=0 Nous introduisons alors l'operateur dierentiel L^ obtenu a partir de L par le hangement de variable x ! z ave x = w(z ) = (z + z 1 )=2. Nous veri ons fa ilement que

x =

2z 2

z2 1

z def = z :

Nous avons don deux e ritures alternatives pour l'operateur L^ , soit

L^ = pr soit



z+ z1

L^ = rz pr



2



z r +


+ p1

z+ z1 2





+


+ z p1 135

z+ z1



2



z+ z1 2

z + p0 

+ p0





z+ z1



2

z+ z1 2



:

(5.12) (5.13)

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO

5.4.1 Transformee de Mellin de L Nous avons introduit la transformation de Mellin omme isomorphisme de C [n; E; E 1 ℄ sur C [z; z 1 ; z ℄. Appliquer la transformation de Mellin a des operateurs de C [n; n1 ; E; E 1 ℄ nous permettrait de al uler la transformee de Mellin de l'operateur L. Aussi etendons la transformation de Mellin en posant   Z M n1 = (M (n)) 1 = (z ) 1 = z 1 R

ou l'operateur est onsidere omme \l'inverse" de la derivation1 . De ette maniere nous pouvons prolonger l'isomorphisme de Mellin de fa on onsistante pour obtenir un nouvel isomorphisme    Z  1 1 1 M : C n; n ; E; E 7 ! C z; z ; z ; que nous pouvons appliquer aux operateurs X0 et
pour obtenir 1 M(X0 ) = z +2z ; Z 2 M(
) = z 2z2 1 = z 1 :

Alors en utilisant les proprietes d'isomorphisme, il vient

M(L) = pr



z+ z1



2



+ z 1 pr

1

z+ z1



2

+


+ z r p0



z+ z1 2



:

Et don , en fa torisant z r , nous obtenons

M(L) = z r Æ L^ :

En n puisque L = Dr (n)L, nous avons nalement

M(L) = Dr (z ) Æ z r Æ L^ : Nous noterons desormais r l'operateur Dr (z ) Æ z r . La fa torisation de M(L) sous la forme r Æ L^ va nous permettre onstruire son polygone de Newton. Pour ommen er, montrons que l'op r a priori integro-dierentiel est simplement dierentiel. L'operateur perateur 1 2

dierentiel x 1 x se transforme via le hangement de variable x = (z + z )=2 en z . Or nous savons que les polyn^omes de Chebyshev sont solutions des equations hypergeometreques (i i sous forme d'equation de Sturm-Liouville) p

x2

1 x

2

n2



(Tn (x)) = 0

p

pour tout n > 0. De plus, et trivialement, nous avons x2 rappelant que

Dr

(x) = 2r x

rY1

n=1

(x2

1 x (T0 ) = 0. De e fait, en

n2 ) ;

Cet inverse est de ni a une onstante pres. Il est neanmoins possible de justi er rigoureusement l'emploi d'un tel inverse. Dans notre as ela n'est pas ne essaire puisque nous verrons que les integrales introduites vont ^etre \neutralisee" par des operateurs dierentiels. 1

136

5.4 Polygone de Newton-Chebyshev

p

nous obtenons p que Dr ( x2 1 x )(Tn ) = 0 pour n = 0; 1;


; r 1. Ce i implique que l'operateur Dr ( x2 1 x ) annule tout polyn^ome de degre stri tement inferieur a r. Don il se fa torise a droite par xr . L'operateur a priori integro-dierentiel p

Dr (

1 x ) Æ

x2

Z r

est don simplement dierentiel. Et par le hangement de variable, il en est de m^eme de l'operateur r .

Proposition 42

L'equation dierentielle r (y) = 0 admet les r solutions lineairement independantes suivantes  r 2z 2 yr;n = 2 z (1=z n ); n = 0;


; r 1 : z 1

Demonstration : Sans donner le detail du al ul, on peut etablir que suivant le hoix des onstantes d'integration les valeurs de l'expression  Z

z2 1 r f (z ) 2z 2

pour une fon tion f donnee ne dierent que par une expression du type r 1 X k= r+1

ak z k :

Ainsi nous avons pour tout n ompris entre 0 et r Z

1,



r 1 X z2 1 r n+ y = 1 =z ak z k : r;n 2z 2 k= r+1

Comme par ailleurs, Dr (z )(z k ) = 0 pour k entier ompris entre r + 1 et r 1, nous voyons que r (yr;n) est nul. 2

Lemme 8

L'operateur iz se developpe en i X k=1

Ni;k (z ) k  1)2i k z

(z 2

ou Ni;k sont des polyn^omes veri ant les proprietes suivantes : { Ni;i = (2z 2 )i , { deg(Ni;k ) = 3i k 2 pour k < i, { val(Ni;k ) = i + k. Demonstration : La demonstration se fait par re urren e ave beau oup de al uls. Ce lemme etant uniquement un resultat te hnique nous ne donnons pas la demonstration in extenso. 2

137

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Corollaire 6 L'operateur r est singulier regulier en 0 et en 1. Demonstration : D'apres le lemme 8 nous avons r X

Nr;k (z ) dk (1=z n ) 2 1)n+k dz k ( z k=1 r X Nr;k (z ) un;k = 2 1)n+k z n+k k=1 (z

yr;n =

=

ou un;k = ( 1)k (n(+n k 1)!1)!

r X un;k z r k Nr;k (z ) z n+r k=1 (z 2 1)n+k

1

Or la somme a droite du fa teur zn1+r peut s'e rire omme une serie de Taylor Sr;n(z ) de rayon de onvergen e au moins egal a 1. Nous avons don une base de solutions de la forme

yr;n =

1

n = 1


r

S (z ) z n+r r;n

e qui demontre de r est bien singulier regulier en 0. Comme r est invariant par le hangement 2 de variable z ! z1 , l'operateur est don singulier regulier aussi en 1.

De e fait le omportement Gevrey des solutions de r Æ L^ (y) = f est ommande par le polygone de Newton de L^ . En eet,

r Æ L^ (y) = f



, L^r((y)) == f :

Or r est singulier regulier en 0 et a l'in ni, don la seule pente non nul de son polygone de Newton est in nie e qui signi e, par appli ation du theoreme de Ramis, que toute solution formelle  de r () = f est onvergente. On peut don a nouveau appliquer le theoreme de Ramis a L^ (y) =  pour on lure.

5.4.2 Polygone de Newton de L^

Nous travaillerons sur la premiere forme de L^ , i.e

L^ = pr



z+ z1 2



z r +


+ p1



z+ z1 2



z + p0



z+ z1



2

pour en etablir le polygone de Newton. Gr^a e au lemme 8 nous pouvons assurer que L^ se fa torise sous la forme (z 2

r X 1 1 : pi ( z+2 z )(z 2 2 q 1 1) i=0

1)2q 1 iz

de sorte que le fa teur de droite est element de C [z; z 1 ; z ℄. Le polygone de Newton de L^ sera don le polygone de Newton de e fa teur. De rivons e polygone. Pour ela il faut, dans un premier temps, etudier la ontribution du terme (z 2 1)2q 1 iz : 138

5.4 Polygone de Newton-Chebyshev D'apres le lemme 8 nous avons 1)2q 1 iz =

(z 2

i X k=1

(z 2

1)2q

2i+k 1 N

k i;k z

:

Cal ulons la ontribution au polygone de Newton de haque terme de ette somme. En

onsiderant (toujours d'apres le lemme 8) le degre et la valuation des Ni;k nous obtenons pour haque terme  (k; 4q i 4) si k < i 2 2 q 2 i + k 1 k Q ((z 1) Ni;k z ) = Q Q (n; 4q i 2) si k = i et Q+ ((z2 1)2q 2i+k 1 Ni;k zk ) = Q+(k; i) : Le graphique suivant synthetise e resultat. 4q-i-2 4q-i-4

i

i-1

i

Il appara^t que (z 2 1)2q 1 iz ne ontribue aux pentes non nulles du polygone omplet de L^ que par le terme (z 2 1)2q 1 i (2z 2 )i zi et plus pre isement (en developpant) : par le mon^ome 2i z 4q 2 zi pour le polygone en l'in ni et par le mon^ome ( 2z 2 )i zi pour le polygone en 0. Posons maintenant di = deg(pi ) et pi;di le oeÆ ient dominant de pi , il est immediat de voir que  1 p i di pi;di di pi z+2 z = i;d z +


+ z : d 2i 2di Nous en on luons que       Q pi z+2 z1 (z2 1)2q 1 iz = Q p2i;ddii zdi 2i z4q 2 zi et       Q+ pi z+2 z1 (z2 1)2q 1 iz = Q+ p2i;ddii z di ( 2z2 )izi : Tous es elements nous permettent d'etablir les 2 polygones de Newton de L^ :  

Q L^ = env et

 

Q L^ +

= env+

r [

i=0 r [ i=0

Q (i; 2(2q 1) + di i) Q

139

!

+ (i; i

di ) :

!

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Ainsi nous onstatons que les polygones Q (L^ ) et Q (L) sont identiques a une translation verti ale de ve teur (0; 2(2q 1)) pres et que Q (L^ ) et Q+ (L^ ) sont symetriques par rapport a l'axe des abs isses, omme nous l'avions prevu d'apres la stru ture de L. Maintenant nous allons al uler les polyn^omes ara teristiques relatifs aux pentes non nulles du polygone omplet. Nous ommen erons par le as relativement simples des pentes nies d'abord les negatives puis les positives. Considerons l'ar^ete Ak de pente k negative. D'apres la onstru tion de Q (L^ ) tout sommet de quadrant sur ette ar^ete a des oordonnees de la forme (i; di i) et orrespond au mon^ome 2i di pi;di z di i+4q 2 z i zi . Soit (ik;0 ; jk;0 ) les oordonnees de l'extr^emite gau he de Ak . Pour tout sommet sur ette ar^ete on a don di i = jk;0 + k(i ik;0 ). Le polyn^ome

ara teristique asso ie a Ak est alors X C^k (X ) = 2i di pi;di X i ik;0 (i;di i)2Ak X = 2 jk;0 k(i ik;0 ) pi;di X i ik;0 (i;di i)2Ak  i ik;0 X X j k; 0 pi;di k = 2 2 (i;d i)2A i 

k 

X : 2k Ainsi ^k; est ra ine de C^k (X ) si et seulement si k; = 2 k ^k; est ra ine de Ck (X ). Ce qui implique que si k; est une k- ara teristique de L alors ^ k; = k; 2 est une k ara teristique de L^ , ar = 2

jk;0 C

k

^ k; = j ^k; j

= j2k k; j

k

X



k;

: 2 Considerons l'ar^ete Ak de pente k positive. D'apres la onstru tion de Q+ (L^ ) tout sommet de quadrant sur ette ar^ete a des oordonnees de la forme (i; i di ) et orrespond au mon^ome ( 1)i+1 2i di pi;di z i di z i zi . Le polyn^ome ara teristique asso ie a Ak est ette fois X C^k (X ) = ( 1)i+1 2i di pi;di X i ik;0 (i;i di )2Ak X = ( 1)ik;0 +1 ( 1)i ik;0 2jk;0 +k(i ik;0 ) pi;di X i ik;0 (i;i di )2Ak = ( 1)ik;0 +1 2jk;0 = ( Don si de L^ , ar

k;

1

k

pi;di

(i;i di )2Ak   i +1 k j k; 0 k; 0 1) 2 C k 2X

1

=

2k X

:

est une ( k)- ara teristique de L alors ^ k; = ^ k; = j ^k; j

1

k

= j 2 k 140

i ik;0

k; j k 1

=

2

k;

2 k;

est une k- ara teristique

:

5.4 Polygone de Newton-Chebyshev De plus, ave une numerotation adequate : ^

k;

1 =^ k;

e qui redemontre la proposition 41. L'ar^ete A1 , si elle existe, est engendree par le mon^ome

pr



z+ z1 2



(z 2

1)q 1 (2z 2 )r zr :

On peut remarquer que l'ar^ete A1 est reduite a un point si et seulement si le fa teur de zr est reduit a un mon^ome en z i.e si et seulement si r = 1 et pr est un polyn^ome

onstant. Dans le as ontraire et d'apres la de nition que nous avons donnee le polygone

ara teristique relatif a la pente in nie est 

X +X C^1 (X ) = X dr pr 2

1

(X 2

1)q

1

:

Les ra ines de e polyn^ome sont

f 1; 1g [ f q;k ; 1 ; k = 1::qg q;k

ou q;k ra ine de X 2 2q;k X + 1 = 0 ave q;k ra ines de pr . Les 1- ara teristiques sont don f1g [ fj q;k j; j 1 j ; k = 1::qg q;k et nous retrouvons le fait que m^eme pour l'ordre Gevrey 0 les ordres Gevrey pre ises possibles sont ouples sous la forme (0; A) et (0; A1 ).

141

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Resumons tous es resultats par le theoreme suivant :

Theoreme 9 Soit L 2 C [x℄[ dxd ℄ et soit L^ 2 C (z )[ dzd ℄ obtenu par le hangement de variable x = z +z 2

dans L. Alors { Q (L^ ) = (0; 2(2q 1)) + Q (L). { si Ck (X ) (respe tivement C^k (X )) est un polyn^ome arateristique asso iee a la pente k nie, stri tement negative, de Q (L) (resp. Q (L^ )) alors C^k (X ) = C te :Ck (X=2k ). { Q+ (L^ ) = sym (Q (L)). { si C k (X ) (respe tivement C^k (X )) est un polyn^ome arateristique asso iee a la pente k stri tement negative (resp. k stri tement positive) de Q (L) (resp. Q+ (L^ )) alors C^k (X ) = C te:C k ( 2k X ). { si l'ar^ete verti ale de Q(L^ ) existe alors 1



X +X C^1 (X ) = X dr pr 2

1

(X 2

1)q

1

:

5.4.3 De nition du polygone de Newton-Chebyshev Du fait des proprietes de symetrie mises en eviden e, nous voyons que l'ordre Gevrey pre ise des solutions formelles de Chebyshev peut e lire sur le seul polygone de Newton Q (L). Cela nous amene a poser les de nitions suivantes

De nition 17

{ Nous appellons polygone de Newton-Chebyshev de l'operateur dierentiel L et nous notons C(L) le polygone de Newton a l'in ni de L, i.e Q (L). { Les equations ara teristiques relatives a C(L) sont les equations ara teristiques de Q (L), notees Ck (X ). { Si k est une pente nie non nulle de C(L), on appelle k- ara teristiques les valeurs

 k;v = j k;v j 2

1=k

ou k;v est ra ine de Ck (X ). { On pose S1 = f;  ra ine de X 2 2 X + 1 et ra ine de C1 (X )g. On appelle 1- ara teristiques les valeurs

 1;v = j1;v j ave 1;v 2 S1; auxquelles on ajoute 1 si L est d'ordre stri tement superieur a 1. Remarque : si A est une 1- ara teristique, il en est de m^eme de A1 .

Moyennant es de nitions nous obtenons le theoreme :

Theoreme 10 142

5.5 Forme expli ite de solutions formelles P Si la serie de Chebyshev formelle y^ = 0 n Tn est solution formelle de l'equation dierentielle Ly = f ou L est un operateur dierentiel lineaire a oeÆ ients polyn^omiaux et f un polyn^ome. Alors la serie y^ est { soit onvergente et f n g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes stri tement negatives ( nie ou non) de C(L) et A l'une des k ara teristiques. { soit f n g est Gevrey d'ordre pre ise (s; A) ave s = k1 ou k est l'une des pentes stri tement negatives ( nie ou non) de C(L) et A1 l'une des k- ara teristiques.

Exemple 17 Revenons sur l' equation homogene a oeÆ ients onstants Ly = 0 ave L = ar xr +


+ a1 x + a0 On suppose, toujours, que le polyn^ome ar xr +


+ a1 x + a0 a r ra ines distin tes k , k = 1


r. Le polygone de Newton-Chebyshev de L est q

-q

ave C 1 (X ) = ar xr +


+ a1 x + a0 et C1  ar . Don les ordres Gevrey pre ises possibles sont 2  ( 1; k ) et (1; ); k = 1


r 2 k et orrespondent bien aux omportements asymptotiques des In (k ) et Kn (k ) (voir les equivalen es (5.10)). Il faut rajouter, si r > 1, l'ordre pre ise (0; 1) qui ne orrespond lui a au une solution formelle.

5.5 Forme expli ite de solutions formelles Dans la se tion pre edente nous avons erne un peu la nature des solutions surnumeraires de la re urren e de Chebyshev en indiquant leurs ara teres Gevrey. Ce travail, quoique relativement te hnique, etait a priori raisonnable a entreprendre du fait de l'existen e des resultats puissants existant pour les developpements asymptotiques Gevrey. Les resultats obtenus eussent pu a eux seuls nous satisfaire par l'e lairage qu'ils apportaient a notre interrogation initiale. Or nous avons pu etablir un resultat supplementaire qui a 143

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO depasse nos esperan es et qui ratta he ertaines solutions formelles a des fon tions solutions de l'equation dierentielle generatri e de la re urren e de Chebyshev. Commen ons par un exemple. Soit a un reel stri tement positif. La serie 1 X 0 Kn (a)Tn (x) n=0

est une solution formelle divergente de l'equation y0 + ay = 0. Nous savons donner le

ara tere Gevrey de ette solution formelle mais quelle est son lien ave la solution de l'equation dierentielle ? L'intarissable Abramowitz nous livre la reponse ave la formule suivante Z 1 e a osh(x) osh(nx)dx [1, 9.6.24℄ Kn (a) = 0

que, moyennant le hangement de variable t = osh(x) et le fait que osh(nar

osh(t)) = Tn (t), nous ree rivons Z 1 T (t) e at p n2 dt : Kn (a) = t 1 1 Ainsi nous avons un lien entre Kn (a) et e ax , 'est-a-dire un lien entre une solution formelle et une fon tion solution de l'equation. Nous allons voir que e resultat peut se generaliser pour une lasse d'equations dierentielles. Nous designons par C le plan omplexe C oupe le long de la demi-droite reelle ℄ 1; 1℄. Alors la fon tion 1 R : z7 !p 2 z 1 pour une ertaine determination de la ra ine, est une fon tion analytique et uniforme sur C. De e fait, si a et b sont deux point de C et si (a; b) est un hemin oriente stri tement

ontenu dans C joignant a a b, alors l'integrale Z

(a;b)

f (z )R(z )dz

(5.14)

est de nie pour toute fon tion f analytique sur C independamment du hemin d'integration. En remarquant que la fon tion R est majoree sur le disque de entre 1 et de rayon  par,  1=2 , on peut etablir que l'integrale (5.14) reste de nie de maniere unique pour un hemin issu du point a = 1. Maintenant nous voudrions pouvoir faire tendre b vers l'in ni ou plus exa tement puisque nous sommes dans le hamp omplexe faire tendre b vers l'in ni dans une dire tion donnee. Pour ela, nous devons imposer des onditions sur la fon tions f .

De nition 18

Pour un entier n et un nombre omplexe " de module 1, S (n; ") designe l'ensemble des fon tions f holomorphes sur C pour lesquelles il existe deux reels positifs K et a tels que jf (k)("x)j  Ke ax 8x > 0; k = 0


n : La notation d" designe la demi-droite issue de 0 passant par le omplexe " de module 1. La notation (1; "1) designe un hemin de C issu de 1 et qui se onfond ave une portion de d" pour aller a l'in ni. Alors pour une fon tion de S (n; "), pour n  0, l'integrale Z Z "1 def f (z )R(z )dz (5.15) f (z )R(z )dz =

(1;"1) 1

144

5.5 Forme expli ite de solutions formelles est de nie independamment du hemin (1; "1). Comme il est lair que le produit d'une fon tion de S (n; ") par un polyn^ome est toujours dans S (n; ") nous pouvons donner la de nition suivante.

De nition 19 Pour f fon tion de S (0; "), ave " 6= 1, nous de nissons Cn" (f ) =

Z "1

1

T (t) f (t) p n2 dt : t 1

(5.16)

Pour une fon tion de S (0; 1), nous de nissons Cn 1 (f ) par Cn1 (x 7! f ( x)). Le lien entre les de nitions pre edentes et les solutions formelles d'equations dierentielles est donne par la

Proposition 43 L etant notre operateur dierentiel holomone generique, soit f une solution de l'equation Ly = 0. Supposons que f appartienne a S (r; "). Alors

L (Cn" (f )) = 0 : P0 " C (f )T

Ce qui revient a dire que la serie Ly = 0.

n

n

est une solution formelle de l'equation

Demonstration : La fon tion f appartient a S (r; "), il est fa ile de voir que xf y appartient aussi. Il vient alors Z "1 Z "1 tTn (t) X0 (Tn (t))

Cn" (xf ) =

1

f (t) p 2 dt = t 1

f (t)

1

p2 t

1

dt = X0 (Cn" (f )) :

Nous montrerons plus bas la relation Z x

1

pTn2 (t) dt =
( p T2n(x)) : t

x

1

(5.17)

1

Admettons la pour le moment et pro edons a une integration par parties  1 Z 1 Z x Tn (t) " p 2 dt + f 0(x)
( p T2n (x)) dx =
Cn" (f 0)
: Cn (f ) = f (x) t 1 x 1 1

1

1

Ainsi, f veri ant l'equation homogene Ly = 0, nous avons

0 = Cn"

r X k=0

!

pk

(x)f (k)

=

r X k=0

pk (X0 )Cn"



f (k)



=

r X k=0

pk (X0 )
(r

k) C " n





f (r) :




En appliquant
r a l'avant derniere ligne, omme
r Cn" f (r) = Cn" (f ) nous obtenons r X k=0






r pk (X0 )
r k Cn" f (r) =

r X k=0

pk (Xr )
r k Cn" (f ) = L (Cn" (f )) = 0 :

Montrons la relation (5.17)

d
(Tn (x)) (x2 1)
(Tn0 (x)) x
(Tn (x)) p p = : dx x2 1 (x2 1) x2 1 145

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO En utilisant la relation de stru ture et la re urren e a trois termes, nous etablissons que

(x2

1)Tn0

xTn =

(n 1)Tn+1

(n + 1)Tn

2

1

et en appliquant l'operateur
il vient


(x2

1)Tn0




xTn =

Tn+2 + Tn 4

2

= (I X20 ) Tn = (1 x2 ) Tn :

Nous avons don

d
(Tn (x)) Tn (x) p p = : dx x2 1 x2 1 Par ailleurs nous savons que les polyn^omes Tn et Tm ont les m^emes valeurs en 1 et 1 si n et m sont de m^eme parite. Don pour tout n, Tn+1 Tn 1 est un polyn^ome nul en 1 et 1, de sorte que

p
(Tn (x)) p2 = An (x) x2 1 x 1
( T ( ave An (x) polyn^ome. Ainsi pxn2 x1)) se prolonge par la valeur 0 en x = 1, e qui justi e

2

l'integrale (5.17) et on lut la demonstration.

Exemple 18 Considerons l'equation dierentielle y0 + x2 y = 0 dont les solutions sont proportionnelles a (x) = e x . Il est fa ile de onstater que la fon tion  est a de roissan e 3

exponentielle dans les trois se teurs (voir gure 5.2) n

zj



  o 5 ; z j < arg(z ) < < arg(z ) < 6 6 2 6



et



zj

 5 < arg(z ) < 6 2



:

Il est assez fa ile de voir que 2 hemins dans le m^eme se teur genere la m^eme integrale. En prenant un hemin d'integration dans haque se teur3 nous obtiendrons trois solutions formelles. En y ajoutant la serie de Chebyshev de e x , nous avons 4 solutions pour la re urren e de Chebyshev asso iee dont l'espa e des solutions est justement de dimension 4. Nous pouvons, sur et exemple, evaluer numeriquement les dierentes integrales et veri er sur leurs onditions initiales qu'elles sont lineairement independantes. Ce qui resout dans

e as entierement la re urren e de Chebyshev. Au-dela de l'exemple que nous venons de donner, nous avons des resultats qui permettent determiner l'existen e de zones de de roissan e exponentielle pour des solutions d'une equation dierentielle. Nous allons etudier le as parti ulier ou l'equation est du type

Ly = y(r) +

r 1 X k=0

pk y(k) = 0

(5.18)

e qui assure que les solutions de ette equation ne peuvent avoir de singularite qu'a l'in ni. On sait depuis le sie le dernier (Fabry [23℄, Birko, Poin are) que l'equation (5.18) admet une base de solutions formelles de la forme

eQ(t) t

s X i=1

i (t 1 ) log t 146

1
i

(5.19)

5.5 Forme expli ite de solutions formelles

1111111 0000000 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

Fig.

11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 -1

1

11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111

5.2 { Chemins d'integration pour les solutions formelles orrespondant a e

x3 .

ou tk = x ave k entier et ou Q est un polyn^ome a oeÆ ients omplexes,  un omplexe, s un entier naturel non nul. Les i sont des series formelles en 1=t a oeÆ ients omplexes. L'algorithme de Newton issu des travaux de Fabry et repris et developpe par Malgrange [44℄ permet de onstruire une base de solutions formelles du type (5.19). L'algorithme a ete implemente en Redu e dans le programme DESIR [19℄ puis la version Newton rationnel (Barkatou [3℄) dans le programme DESIR2 en Maple [52℄. En general les series i sont divergentes mais onstituent les developpements asymptotiques Gevrey de fon tions que l'on peut re onstruire gr^a e a la theorie de la multi-sommabilite issue des resultats de Ramis [55℄, E alle, Balser [2℄ et . Nous reviendrons sur quelques uns des resultats de resommation dans la se tion suivante, mais ette theorie nous assure que la partie exponentielle eQ(t) quand elle est presente regit le omportement de la fon tion solution de l'equation dierentielle sous-ja ente. La partie exponentielle existe pour au moins une solution formelle lorsque le point a l'in ni est singulier irregulier e qui se voit sur le polygone de Newton omplet de l'operateur L. La dete tion des zones de de roissan e exponentielle se fait alors simplement a partir du oeÆ ient dominant du polyn^ome Q. Ainsi, si

Q(t) = atn + termes de degre inferieur l'exponentielle eQ(t) est alternativement exponentiellement roissante puis de roissante dans des se teurs suivant que la partie reelle de atn est respe tivement positive ou negative. Cette alternan e de omportement est onnue sous le nom de phenomene de Sto kes. Nous voyons d'ailleurs que plus le degre de Q est eleve plus le nombre de se teurs de de roissan e sont nombreux. Ce degre est orrele aux degres des polyn^omes pk dans l'operateur L, 147

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO qui eux-m^emes in uen ent dans le sens roissant le nombre de solutions formelles. Nous pensons, bien que nous ne l'ayons pas etabli rigoureusement, qu'une etude plus ne du polygone de Newton omplet de L - au moins dans le as restreint d'une equation du type (5.18) - peut nous donner suÆsamment de se teurs de de roissan e pour in lure toutes les solutions formelles de Chebyshev surnumeraires. Il est m^eme probable que nous trouvions trop de se teurs don une redondan e de solutions. M. Barkatou a observe e phenomene dans la re her he de solutions d'equations aux dieren es via des integrales de Mellin. Le bon nombre de solutions est retrouve alors en de nissant des lasses d'equivalen e qui apparaissent naturellement dans l'emploi de l'algorithme de Newton rationnel. La m^eme demar he pourrait nous permettre d'obtenir aussi le bon nombre de lasses de solutions generees par les integrales (5.16). Bien que ette se tion s'a heve sur plusieurs questions en suspens, les resultats qui y sont presentes elu ident plus nettement la nature des solutions formelles que l'analyse Gevrey presentee auparavent.

5.6 Resommation de series de Chebyshev Cette se tion va traiter de la resommation de series de Chebyshev et non de la resommation des series de Chebyshev. En eet, nous n'allons pas presenter une theorie spe i que de la resommation dans le as des series de Chebyshev omme il en existe une dans le as des series de Taylor. Nous allons proposer des exemples et des pistes. Les methodes pour resommer ertaines series de Chebyshev utilisent des outils generaux de resommation et non un outil spe ialement adapte, au sens ou le ouple transformee de Lapla e-transformee de Borel formelle est adapte a la resommation des series de Taylor.

5.6.1 Resommation par prolongement analytique La re urren e veri ee par les oeÆ ients de Chebyshev d'une fra tion rationnelle genere des solutions formelles divergentes que nous avons expli itees. La onvergen e des oef ients sus-mentionnes est geometrique don Gevrey 0, e n'est don pas une suite tres rapidement onvergente ; la ontrepartie est que les solutions formelles asso iees ne sont pas tres divergentes. Cela va nous permettre que les sommer ave des moyens tres elementaires. Partons de la serie de Chebyshev 1 X 0 an Tn (x) n=0

qui est d'apres l'exemple vu en debut de hapitre solution formelle de l'equation 

a+a 2

1



x y=

a

1

4

a

:

(5.20)

Oublions momentanement le "prime" de la serie et nous posons x = w(z ). Nous avons alors   1 1 X X z+z 1 n n a Tn a Tn (x) = 2 n=0 n=0 148

5.6 Resommation de series de Chebyshev = = = =

! 1 1 X 1 X an z n + an z n 2 n=0 n=0   1 1 1 + 2 1 az 1 az 1 1 1 a1 z+2z 2 a+2a 1 z+2z 1 1 a1 x : 2 a+2a 1 x

La resommation appara^t dans le passage de la deuxieme a la troisieme ligne ou nous avons rempla er les series eventuellement divergentes selon les valeurs de z par le prolongements de leur somme au-dela de leurs regions de onvergen e respe tives (i.e. jz j < jaj 1 pour la premiere et jz j > jaj pour la se onde). En rajoutant le "prime", nous obtenons don 1 X n=0

0 an Tn (x) =

a

1

a+a 2

1

4

a

x

:

(5.21)

Si le module de a est stri tement inferieur a 1 la serie est bien la serie de Chebyshev

onvergente de la fra tion au se ond membre. Dans le as ontraire, nous avons resomme la serie qui etait divergente en une fon tion qui est, au signe pres, solution de l'equation (5.20). Si nous hangeons a en a 1 dans (5.21) nous ne ferons que hanger le signe du se ond membre. Don si nous posons y = (a + a 1 )=2 et que nous faisons la demi-somme des se onds membres de l'egalite (5.21) pour respe tivement a et a 1 nous obtenons, moyennant une propriete maintes fois utilisees dans e do ument, que la serie (sommee ave le m^eme pro ede !) 1 X 0 Tn (y)Tn (x) (5.22) n=0

est nulle pour tout x dierent de y. Nous faisons ette derniere restri tion ar pour x = y le denominateur de la fra tion rationnelle au se ond membre de (5.21) est nul. D'ailleurs, dans le as ou x = y on peut veri er que la serie (5.22) tend vers l'in ni. Ce resultat peut para^tre etrange mais il est assez oherent omme nous allons le voir de deux manieres dierentes. D'abord onsiderons (5.22) omme une serie de Chebyshev formelle, au sens de ni dans e hapitre, de la variable x. Ee tuons formellement le produit de ette serie ave le polyn^ome x y ; ela revient a appliquer l'operateur X0 yI aux oeÆ ients de la serie, a savoir Tn (y). Nous obtenons (x y)

1 0 Tn (y)Tn (x) = X 0 1 (Tn+1 (y) 2| n=0 n=0 1 X

2yTn (y) + Tn 1 (y)) Tn (x) = 0 {z 0

}

(5.23)

puisque nous avons re onnu la re urren e a trois termes pour Tn (y). Ce qui tendrait a signi er que la serie est nulle quand x y ne l'est pas. 149

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO D'autre part, la serie (5.22) peut ^etre interpretee omme le passage a la limite, si elle existait, K (x; y) des noyaux polyn^omiaux

Km (x; y) =

m X n=0

0 Tn (y)Tn (x) ;

qui sont expli itees par la fameuse formule de Darboux-Christoel :

Km (x; y) =

Tm+1 (x)Tm (y) Tm (x)Tm+1 (y) : 2(x y)

Ces noyaux ont la propriete suivante : pour toute fon tion f de L2w [ 1; 1℄, ave w(y) = 1 (1 y2 ) 2 , on a Z 1 1 f (y)Kn (
; y)w(y)dy : sn (f ) =  1 Ainsi en passant a la limite on est tente d'e rire

f=

1 

Z 1

1

f (y)K (
; y)w(y)dy

et don d'identi er la serie (5.22) a la fon tion de Dira Æx y , e qui serait onsistant ave une valeur nulle pour x 6= y et in nie pour x = y. Si l'on se rappelle le lien entre polyn^omes de Chebyshev et polyn^ome trigonometrique, ette interpretation tres intuitive de la serie (5.22) est oherente ave le developpement de la fon tion Æ en serie de Fourier dans la theorie des distributions, developpement que l'on peut voir omme le passage a la limite du noyau de Diri hlet.

5.6.2 Resommation par le pro ede de Borel-Lapla e Nous avons introduit la notion de series de Chebyshev solutions formelles d'equations dierentielles en nous inspirant de elle plus onnue des series de Taylor formelles et ave l'idee de tirer de la theorie tres aboutie sur es dernieres, des elements pour une ebau he de theorie dans le as Chebyshev. La premiere partie de e hapitre a deja largement fait usage de ette theorie a travers les resultats de Ramis sur le omportement Gevrey des solutions formelles. Une grande dieren e est a mettre en exergue d'ores et deja entre les deux as : les series de Taylor divergentes (sous entendu a rayon de onvergen e nul) n'apparaissent que lorsqu'elles sont entrees sur un point singulier ; alors que des solutions formelles de Chebyshev divergentes apparaissent pour une equation ordinaire au voisinage de tout le segment de de nition de la serie ( lassiquement [ 1; 1℄). Le grand resultat de la theorie des series de Taylor formelles dans es developpements les plus re ents, est de montrer que toute solution formelle d'une equation dierentielle holonome (et m^eme plus largement a oeÆ ients meromorphes) peut se \rein arner", pour reprendre un terme de Ramis, en une fon tion solution de l'equation dont la serie formelle sera le developpement asymptotique dans un se teur du plan omplexe issu du point singulier. onvenablement

hoisi 150

5.6 Resommation de series de Chebyshev Premier exemple Resommons maintenant la serie etudiee pre edemment 1 X 0 an Tn (x) n=0

par le pro ede de Borel-Lapla e. Ee tuons la transformee de Borel sur la serie, qui sera alors onvergente en tout point de C puisque nous partons de oeÆ ients Gevrey 0 et non Gevrey 1, et ee tuons les al uls suivants ou R represente la partie reelle : 1 an ein ar

os(x) ! 1 an T (x) X X n 0 0 tn = R tn n ! n ! n=0 n=0  1 i ar

os(x)  = R eate 2 p 1 atx 2 = e os(at 1 x ) : 2 D'apres la formule 3.893 (2) dans l'ouvrage de Gradshteyn et Ryzhik [30℄, nous avons l'egalite Z 1 u (u > 0) e ut os(vt)dt = 2 2 u +v 0 qui appliquee a notre as donne, pour a < 0 et tout x > 0, Z 1 p 1 ax p e t eatx os(at 1 x2 )dt = 2 (1 ax) + (a 1 x2 )2 0 1 ax = 1 + a2 2ax 1 a 1 x : = 2 a 12+a x Finalement, nous trouvons Z 1 0

e

t

! a 1 a n 0 a Tn (x) tn dt = 4 a 1 +a x n ! n=0 2

1 X

e qui orrobore le resultat donne par la methode de prolongement.

Se ond exemple Le se ond exemple etudie le as d'une serie d'ordre Gevrey 1, pour laquelle la methode de prolongement de peut s'appliquer puisque la serie est divergente partout. Nous avons montre dans un hapitre pre edent que la serie de Chebyshev 1 X ( 1)n (n 1)! Tn (x) ; n=1

qui est le pendant de la serie d'Euler, est solution formelle de l'equation dierentielle x(1 x2 )y00 (1 + 2x 2x3 )y0 + (1 + x)y = x2 : 151

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO Appliquons le pro ede de Borel-Lapla e a ette serie et montrons que le resultat obtenu est bien solution de l'equation dierentielle. Commen ons par ee tuer la transformation de Borel que nous prolongeons 1 ( 1)n T (x)tn 1 ( 1)n (n 1)!T (x)tn X X n n = n ! n n=1 n=1 =





R ln 1 + tei ar

os(x) p





ln 1 + 2xt + t2 1 = ln(1 + 2xt + t2 ) : 2 Ee tuons la transformee de Lapla e sur e resultat Z Z 1 1 ( 1)n (n 1)! T (x)tn ! X 1 1 t n t = e ln(1 + 2xt + t2 )dt e n ! 2 0 0 n=1 Z 1 x+t e t = dt : 1 + 2xt + t2 0 La somme de notre serie de Chebyshev divergente est don Z 1 x+t e t u(x) = dt : 1 + 2xt + t2 0 Nous devons montrer que u(x) est solution de l'equation dierentielle veri ee formellement par la serie de Chebyshev. Integrons par parties 1 Z 1  1 + 2x2 + 2xt + t2 x+t t )( t ( e )dt u(x) = e 1 + 2xt + t2 0 (1 + 2xt + t2 )2 0 Z 1 1 + 2x2 + 2xt + t2 e t = x dt : (1 + 2xt + t2 )2 0 Par ailleurs, la derivee de u est Z 1 Z 1 d 1 t t u0 (x) = e t dt : e ln(1 + 2xt + t2 )dt = 2 dx 0 1 + 2 xt + t2 0 En integrant par parties la derniere integrale, il vient 1 Z 1  2(x + t) 1 0 t (t + 1)e t + dt : u (x) = (t + 1)e 2 1 + 2xt + t 0 (1 + 2xt + t2 )2 0 {z } | 1 En n, nous avons pour la derivee se onde Z 1 Z d 1 t 2t2 t 00 t u (x) = dt = e dt : e dx 0 1 + 2xt + t2 (1 + 2xt + t2 )2 0 En ombinant les divers resultats obtenus plus haut, nous obtenons don Z 1 R(t; x) 2 00 3 0 2 dt e t x(1 x )u (1 + 2x 2x )u + (1 + x)u = x x + (1 + 2xt + t2 )2 0 =

152

5.7 Con lusion ave R(t; x) = x(1 x2 )2t2 (1 + 2x 2x3 )(t2 1) + (1 + x)( 1 + 2x2 + 2xt + t2 ) = x(t + 1)(t + 2x + 1) : Remarquons que (t + 1)(t + 2x + 1) = 1 + 2xt + t2 + 2(x + t) et don que 1 2(x + t) (t + 1)(t + 2x + 1) = + (1 + 2xt + t2 )2 1 + 2xt + t2 1 + 2xt + t2   t 2(x + t) 1 = : 1 + 2xt + t2 dt 1 + 2xt + t2 Une derniere integration par parties nous donne la formule (valable sous ondition d'existen e des integrales, existen e assuree dans notre as) Z 1 Z 1   e t (u(t) u0 (t))dt = e t u(t) 1 + e t u(t)dt = u(0) : (5.24) 0

0

0

En utilisant ette formule, il vient Z 1 Z 1 R(t; x) (t + 1)(t + 2x + 1) t e t dt = 1 don dt = x : e 2 2 (1 + 2xt + t ) (1 + 2xt + t2 )2 0 0 d'ou nous deduisons que x(1 x2 )u00 (1 + 2x 2x3 )u0 + (1 + x)u = x2

e que nous voulions montrer. On sait depuis longtemps, et notamment depuis les travaux de Stieljes, donner un sens a la serie divergente d'Euler. En parti ulier en lui appliquant le pro ede de Borel-Lebesgue nous trouvons t Z 1 Z 1 1 X e t e z n +1 n dt = dt ( 1) (n 1)! z  1 0 z +t 0 1+t n=1 ou le symbole  indique autant la somme au sens du pro ede de Borel-Lapla e que la notion de developpement asymptotique Gevrey [56℄. Or, en posant x = w(z ), nous al ulons ! Z Z 1 Z 1 1 1 e t e t 1 t t + (z +
z )=2 = u(x) dt + (5.25) e dt = 2 0 1z + t 1 + z + 1z t + t2 0 z+t 0 Ainsi la transformation x = w(z ) qui relie les series formelles d'Euler et d'Euler-Chebyshev, relie aussi leurs sommes respe tives obtenues par le pro ede de Borel-Lapla e. Cela nous indique un moyen general pour resommer une serie de Chebyshev en resommant la serie de Taylor orrespondant et en ee tuant la substitution x = w(z ) sur la somme obtenue.

5.7 Con lusion L'existen e de series de Chebyshev solutions formelles d'une equation dierentielle, pourtant sans singularite sur l'intervalle [ 1; 1℄, est un phenomene surprenant qui tran he radi alement ave le as des series de Taylor. Les resultats donnes dans e hapitre repondent en partie aux interrogations sus itees par e phenomene. 153

Chap. 5 : Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO

154

Chapitre 6

Appli ation a la resolution numerique des equations dierentielles Nous avons vu pre edemment que les series de Chebyshev permettent de representer et de produire des approximations polynomiales quasi optimales des solutions d'une equation dierentielle holonome. Nous avons aussi presente des methodes et des outils informatiques pour manipuler les series orthogonales, de Chebyshev en parti ulier. Il est alors naturel d'etudier les moyens de al uler (au moins de maniere appro hee) les series de Chebyshev solutions de problemes dierentiels a l'aide de nos outils. La premiere methode que nous avons etudiee de oule d'une fa on tres naturelle de l'equation re urrente veri ee par les oeÆ ients her hes. Apres l'avoir en quelque sorte identi ee nous utiliserons ette methode dans diverses appli ations. Les problemes dierentiels que nous onsiderons, onstruits autour d'une equation holonome, sont de la forme 8 >
:

Ly

=

r X k=0

i = 1:::r pk (x)y(k) = q

(6.1)

ou la premiere ligne du systeme represente des onditions supplementaires du type

Ci y def =

ki X j =1

i;j y(di;j ) (xi;j ) = i

ki ; di;j 2 N ; i;j ; xi;j ; i 2 C :

(6.2)

Ce i omprend en parti ulier les onditions initiales Ci y = y(i 1) (x0 ) et les onditions aux limites lassiques. Notre obje tif est de resoudre e probleme sur un intervalle donne. Pour ela nous supposerons que les ontraintes ajoutees a l'equation dierentielle assure l'existen e et l'uni ite de la solution au probleme (6.1).

6.1 Une methode de resolution Puisque nous sommes apables via une transformation lineaire de nous ramener a

e as, nous allons presenter une methode pour resoudre le probleme (6.1) sur l'intervalle 155

Resolution numerique [ 1; 1℄ avant de l'etendre a un segment arbitraire. Nous appellerons  la solution (supposee existante et unique) du probleme (6.1). Et nous supposerons que  ne presente au une singularite sur [ 1; 1℄. Une ondition suÆsante1 pour ela etant que le polyn^ome pr ne s'annule pas sur et intervalle. Nous savons alors que  admet un developpement en serie de Chebyshev 1 X  = 0 n T n n=0

dont les oeÆ ients n sont a de roissan e geometrique et veri ent l'equation aux dieren es

L( n) = qn; n  r :

(6.3)

Nous rappelons que l'operateur L onstruit par notre s hema general est de la forme

L=

e X

k= e

lk (n)Ek

ou e est l'extension de la re urren e au sens donne par la de nition 11 et ou les lk sont des fra tions rationnelles. Les onditions supplementaires qui apparaissent dans (6.1) imposent aussi des onditions sur les oeÆ ients n , de la forme 1 X (6.4) Ci  = 0 n Ci (Tn ) = i n=0

Sous l'hypothese que les points xi;j sont dans l'intervalle [ 1; 1℄, l'appli ation de la proposition 20 nous montre aisement que les normes kCi (Tn )k[ 1;1℄ sont au plus a roissan e polyn^omiale et que, par onsequent, la somme (6.4) est normalement onvergente quel que soit i. Nous pouvons voir les hoses de la fa on suivante : les equations (6.3) et (6.4) onstituent un systeme lineaire in ni. Ordonnons e systeme en prenant pour premieres lignes les onditions (6.4) par ordre roissant de l'indi e i, les lignes suivantes etant onstituees des equations (6.3) dans l'ordre roissant de n. Nous e rivons alors e systeme sous la forme matri ielle L = q (6.5) ou est le ve teur des oeÆ ients de Chebyshev de  et q est le ve teur

= t ( 0 ; 1 ; : : : ; n ; : : :)

q = t ( 0 ; : : : ; r

1 ; qr ; qr+1 ; : : :) :

La matri e L est un peu deli ate a de rire ar il faut tenir ompte de la onvention sur les

n d'indi e negatif dans l'equation aux dieren es (6.3). Nous donnons la forme expli ite des oeÆ ients de L = (Li;j )i;j =0:::1 et nous nous empresserons de donner un exemple a n de lari er les hoses. 8 i = 0 : : : r 1; j = 0 : : : 1 < Ci (Tj ) Li;j = : lj i(i) + l j i(i) i = q : : : e 1; j = 0 : : : 1 lj i(i) i = e : : : 1; j = 0:::1

Condition non ne essaire omme le montre l'equation xy0 2y = 0 ou malgre la presente d'une singularite en 0 (singularite dite apparente pour la raison qui suit) toute solution (a savoir Kx ) est reguliere sur C et don a fortiori sur [ 1; 1℄. 1

2

156

6.1 Une methode de resolution Il est assez immediat de veri er qu'a partir de la e-ieme ligne la matri e a une stru ture bande de largeur 2e + 1 symetrique par rapport a la diagonale. Exemple 19 L'equation y0 y = 3x 5 ave la ondition initiale y(1) = 7 se traduit par le systeme

L

2 1 2 6 1 6 2 6 6 6 0 6 6 6 0 =6 6 6 6 0 6 6 6 6 0 6 4

0

1 1

1

1 4

1 ...


















1 0 0 ...

1 0 0

0

1

2(m 1)

1

1 2(m 1)

0

0

0

1 2m

1

...

0

0

0

0

...

...

0 0

1 2

1 0 1 4

...

0

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

2

q

7 5

3

6 7 6 7 6 7 6 3 7 6 7 6 4 7 6 7 6 0 7 7 =6 6 7 6 0 7 6 7 6 7 6 0 7 6 7 6 7 4 . 5

..

Bien s^ur nous nous savons pas, en general, resoudre le systeme lineaire in ni (6.5). Aussi pour appro her les m + 1 premiers oeÆ ients de Chebyshev de  allons nous appliquer une methode qui peut para^tre, au premier abord, un peu rudimentaire. Dans la mesure ou nous savons que les oeÆ ients her hes sont a de roissan e geometrique, nous negligeons

eux d'indi es stri tement superieurs a m i.e. que nous les posons egaux a zero dans le systeme (6.5). Il est assez immediat de voir que ette operation transforme le systeme in ni (6.5) en un systeme re tangulaire de dimensions (m + 1 + e)  (m + 1). Nous notons Lm la matri e asso iee aux m + 1 premiere lignes de e systeme triangulaire (i.e. la sous-matri e prin ipale de dimension m + 1 de L) et T m la matri e asso iee aux e lignes restantes. La silhouette de la matri e re tangulaire est donnee en gure 6.1. On observera que ette matri e est une matri e bande (ave une largeur de bande 2e + 1) bordee2 par r lignes pleine. Cette stru ture parti uliere sera prise en ompte pour la resolution du systeme. Nous onsiderons alors le systeme matri iel

Lm x = q m (6.6) Supposons e systeme inversible, notons  m le ve teur solution et m;n la n-ieme ompo-

sante de elui- i. Nous prenons omme approximation de la solution  le polyn^ome de degre m 1 X m (x) = 0 m;n Tn (x) : (6.7) n=0

Pour que la resolution du systeme (6.6) prenne bien en ompte toute la stru ture de l'equation dierentielle nous supposons d'une part que m > r + deg(q) de sorte que le ve teur q m ontienne tous les oeÆ ients du polyn^ome se ond membre q ; d'autre part que m > r + e de sorte que la matri e Lm ontient au moins une ligne representant entierement la re urren e de Chebyshev. Nous supposons m tel pour tout le reste du

hapitre. 2

Le le teur nous pardonnera et angli isme relativement plaisant. 157

Resolution numerique

0

1

r

r+e

m

0 1 r-1 r

e+1

m-e

Lm

m m+1

Tm m+e m-e Fig.

6.1 { Silhouette de la matri e tronquee

158

6.1 Une methode de resolution La onstru tion de la matri e Lm est fa ile gr^a e aux pro edures introduite dans le

hapitre 2. Notamment ave la pro edure Opdi-OS nous generons la re urren e de Chebyshev don la partie bande de matri e, la pro edure eval-OS permet d'evaluer les onditions initiales et don d'etablir les r premieres lignes de Lm tandis qu'ave la pro edure Conversion-OSP nous permet d'e rire le se ond membre q dans la base Tn(r) .

Proposition 44

L'approximant m est solution de l'equation

Ly = q +

e X k=1

k Tm(r+) k

ou les k sont des onstantes. Demonstration : D'apres la stru ture de l'operateur L, il est fa ile de voir que n = 0 pour tout n > m implique que L( n ) = 0 pour tout n > m + e. Nous pouvons e rire 1 X

Lm (x) =

=

n=r m X n=r

L( m;n )Tn(r) (x)

L| ( {zm;n}) Tn(r) (x) + qn

m +e X n=m+1

L( m;n)Tn(r) (x)

) = q(x) + 1 Tm(r+1 (x) +


+ e Tm(r+) e (x)

ou haque onstante n vaut L( m;n+m ).

2

Remarque 14 On veri e aisement que les oeÆ ients k s'expriment sous la forme matri ielle

0

1

1 B .. C m  . A = T m e Les k viennent en quelque sorte ompenser l'oubli des e dernieres lignes du systeme tronque. Il appert don que la methode de resolution presentee s'ins rit dans la famille des  methodes de Lan zos dans le sens ou l'approximant m est la solution polyn^omiale exa te d'une perturbation polyn^omiale de l'equation dierentielle originelle. Nous ferons plus bas un rappel sur les  -methodes et leurs diverses variantes.

Exemple 20 La fon tion f (x) = exp

probleme



3x 7+x



deja vue dans l'exemple 4, est solution du

(7 + x)2 y0 + 21y = 0 ; y(0) = 1 : Si nous appliquons notre  -methode a e probleme, nous obtenons une approximation de f dont l'erreur est reportee dans la gure 6.2. On remarquera que l'approximant genere par la  -methode peut, dans e as parti ulier, ^etre amelioree par addition d'une onstante 159

Resolution numerique (la demi-amplitude de l'erreur) e qui orrespond a l'adjon tion d'une perturbation au niveau des onditions initiales. C'est un ra nement possible des  -methodes utilise pour l'approximation de fon tions spe iales par exemples.

0.0001

8e-05

6e-05

4e-05

2e-05

-1

-0.5

00

0.5 x

1

-2e-05

-4e-05

6.2 { La ourbe qui est situ  ee au dessus des deux autres est elle de l'erreur ommise 3x par la solution de la  -methode. Les deux autres dans l'approximation de exp 7+ x

ourbes, rappelees a titre de omparaison, sont elles de la gure 3.1 du hapitre 3.

Fig.

Exemple 21 Retrouvons notre fon tion-test (x) = b+1 x solution de la pseudo-equation dierentielle (b + x)y = 1. Le systeme lineaire asso ie est de ni par 2

L

6 6 6 6 6 6 m=6 6 6 6 6 6 4

2b 2 1 2b 1 1 2b 1 ... ... ... 1 2b 1 1 2b

3

2

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

6 6 6 6 6 6 6 = m 6 6 6 6 6 6 4

q

2 0 .. . .. . 0 0

3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5

:

Nous avons don aaire a une matri e presque Toeplitz et de toute maniere inversible puisqu'a diagonale dominante sous l'hypothese jbj > 1. Nous pouvons m^eme expli iter l'approximant orrespondant

m (x) =

Tm+1 (x) 1 + ( 1)m x+b (x + b)Tm+1 (b) 160

6.1 Une methode de resolution dont on peut veri er qu'il s'agit bien d'un polyn^ome malgre les apparen es (lors de la mise au m^eme denominateur x + b se met en fa teur au numerateur) et dont on voit qu'il

onverge uniformement vers x+1 b .

6.1.1 La  -methode de Lan zos La  -methode, introduite par Lan zos [35, 36℄, est souvent presentee omme une philosophie que nous pouvons resumer ainsi : plut^ot que de her her une solution appro hee d'un probleme, her hons une solution exa te d'une approximation du probleme. A l'origine Lan zos utilise la  -methode pour la resolution d'equations dierentielles holonomes par des polyn^omes. Lan zos onsidere un polyn^ome a oeÆ ients indetermines

b0 + b1 x +


+ bn xn qu'il voudrait voir veri er une equation dierentielle holonome de la forme Ly = q. Les

oeÆ ients bk doivent pour ela veri er un systeme lineaire qui se trouve sur-determine. Cette indetermination est levee par adjon tion d'une perturbation au se ond membre de la forme 1 Vn+1 +


+ sVn+s ou les k sont des onstantes (qui ont donne le nom de la methode) et les Vk des polyn^omes. Lorsque que la solution est her hee sur un domaine D, les Vn sont hoisis de sorte a ^etre mininaux sur D. En parti ulier, pour D = [ 1; 1℄ Lan zos utilise les polyn^omes de Chebyshev. Signalons que ette idee de minimisation a ete utilisee plus re emment par Coleman [15, 14℄ pour des resolutions sur des domaines bidimensionnels du hamp

omplexe ave des perturbations exprimees au moyen des polyn^omes de Faber ad ho . Une premiere fa on de resoudre en pratique le systeme perturbe introduit par la  methode a ete donnee par Lan zos lui-m^eme et largement etudiee et amelioree par Ortiz et son e ole [49, 50, 51℄. Elle repose sur l'introdu tion des polyn^omes anoniques Qm asso ies a l'operateur dierentiel L par les relations

LQm = xm : Une fois les polyn^omes anoniques al ules le probleme perturbe se resout gr^a e a une

ombinaison de polyn^omes anoniques. Bien s^ur, deux questions se posent : l'existen e et l'uni ite des Qm d'une part et le o^ut du al ul des polyn^omes anoniques par rapport au probleme initiale. Pour la premiere question, Ortiz [49℄ montre qu'ils existent de maniere unique3 sauf eventuellement pour un nombre ni de valeurs de m, es anomalies devant d'ailleurs ^etre prises en ompte dans le al ul des solutions appro hees. Sans entrer dans une des ription detaillee de la theorie des polyn^omes anoniques, nous dirons juste que les valeurs \singulieres" de m orrespondent au as ou notre matri e Lm est eventuellement non-inversible. Le al ul des polyn^omes anoniques peut se faire de maniere re ursive, il ne s'agit don pas de resoudre n equations dierentielles quand il n'y en avait qu'une au depart. De plus, une fois les polyn^omes anoniques al ules, ils peuvent servir a resoudre l'equation dierentielle a un ordre quel onque ompatible ave le nombre de polyn^omes a disposition et ave des onditions initiales diverses. Dans la pratique neanmoins, Ortiz 3

modulo les possibles solutions polyn^omiales de l'equation homogene Ly = 0 161

Resolution numerique re onna^t la diÆ ulte de programmation due aux valeurs singulieres sus-mentionnees. Sur le plan theorique l'appro he est tres fe onde. Nous y reviendrons. Dans la mise en oeuvre de la  -methode, telle que nous venons de la presenter, n'appara^t pas lairement le lien entre la solution polyn^omiale al ulee et la serie de Chebyshev (dans le as ou la pertubation donnee par des polyn^omes de Chebyshev) de la solution exa te. D'autant plus que Lan zos et Ortiz travaillent ave des polyn^omes exprimes dans la base anonique fxn g. Une autre appro he met plus en avant e lien. Elle onsiste, omme nous l'avons fait, a travailler sur les re urren es veri es par les oeÆ ients de Chebyshev (ou autres) de la solution. Cette appro he a ete elle de Clenshaw [12℄, Elliot [21℄ et Fox [25℄ dont nous avons vu dans un hapitre pre edent les me anismes de onstru tion des re urren es. Le lien entre les deux appro hes a ete vu et etudie par Fox [24℄ d'une part et par l'e ole d'Ortiz [20℄ d'autre part. Plus re emment une nouvelle appro he, dite \operationnelle", qui transpose les operations dierentielles en operations matri ielles agissant sur des ve teurs de oeÆ ients, a ete developpee par Ortiz et al. (dans l'arti le [20℄ deja ite) et par Coutias et al. [16℄. Les derniers passent, omme Fox, a une reformulation en terme d'equation integrale du probleme dierentiel initial. Au bout du ompte, ha une des methodes presentees i-dessus genere une solution polyn^omiale qui veri e exa tement l'equation originelle perturbee a l'aide de polyn^omes de Chebyshev ou de leurs derivees. Ces solutions sont don , lorsqu'elle ne sont pas egales, assez semblables vis-a-vis de la onvergen e omme nous allons le voir plus bas. La distin tion majeure entre les diverses methodes reside don dans la fa ilite d'automatisation et d'extension qu'elles permettent. De e point de vue nous pensons que notre methode presente es fa ilites.

6.1.2 Analyse d'erreur a posteriori Notons em (x) l'erreur d'approximation de la solution  du probleme (6.1) par la solution polyn^omiale de degre m produite par la  -methode dans l'une de ses formulations. Il est lair que em (x) veri e l'equation

Lem = 1 Vm+1 +


+ s Vm+s : Si l'on onna^t un systeme fondamental des solutions de l'equation homogeme Ly = 0, on peut deduire, apres al ul des k , une majoration de em . Ce pro ede a ete largement utilise pour l'etablissement de tables de valeurs de fon tions spe iales holonomes ( 'est-a-dire une tres large partie des fon tions spe iales) par Clenshaw, Luke [43℄ et bien d'autres.

6.1.3 Convergen e Dans leurs dierentes formulations les  -methodes ont ete etudiees du point de vue de la onvergen e. L'\equivalen e" entre les dierentes methodes presentees plus haut et elle que nous avons introduite permet d'appliquer les resultats des premieres a ette derniere. En parti ulier, dans le as de l'appro he par les polyn^omes anoniques, M.R. Cris i et E.L. Ortiz [17℄ ont demontre la onvergen e de la  -methode pour les equations dierentielles. Nous soulignons, a e niveau de l'expose, que malgre la ondes endan e qui a pu transpara^tre hez ertains auteurs vis-a-vis de l'appro he par les polyn^omes

anoniques et de l'e ole d'Ortiz, elle- i produit de nombreux resultats fondamentaux sur 162

6.1 Une methode de resolution les  -methodes et nous ajouterons que nous y avons trouve la seule demonstration laire et generale de onvergen e pour les equations dierentielles. Fort d'un resultat existant, nous pourrions passer a la suite. Neanmoins, puisque nous apportons une appro he nouvelle, nous allons introduire des outils spe i ques a ette appro he pour l'etude de la onvergen e. Notons ex m le ve teur ompose des m + 1 premiers oeÆ ients (exa ts) de Chebyshev de la solution . De nissons um = qm Lm exm D'apres la maniere dont nous avons onstruit la matri e Lm et le ve teur qm , il est assez immediat de voir que les omposantes du ve teur um sont (en posant im = m e + 1) 8 1 > X > > Ci (Tn ) n ; 0  i  r 1 > > (um )i =

> < n=m+1 > > > > > > :

e X k=e j

im e ; im  i  m ave j = i im

;r

0

lk (i) m+k

Nous allons majorer la norme du ve teur um . Pour ela nous disposons de plusieurs informations. D'une part, si  est la vitesse de onvergen e des series de Chebyshev partielles de la solution , nous savons qu'alors pour tout  stri tement inferieur a  nous avons la majoration j n j < M n . Par ailleurs nous avons vu que les valeurs jCi (Tn )j sont majorees par un polyn^ome en n que nous noterons Pi (n). Il vient alors 1 1 X X M (6.8) j Pi (n)j n Ci (Tn ) n   n=m+1 n=m+1 Pour ontinuer nous etablissons le lemme

Lemme 9 Soient  un reel stri tement superieur a 1 et P un polyn^ome non nul de C [x℄. Alors pour tout reel tel que 1 < <  il existe une onstante B telle que 1 X n=m+1



P (n) B  n m

Demonstration : Supposons que P soit un polyn^ome a oeÆ ients reels positifs. Nous avons alors la propriete suivante

9B1 > 0; 8n; m  1 P (n + m)  B1P (n)P (m)

que l'on montre en la veri ant pour les mon^omes xk et en utilisant des majorations simples. Alors (en remarquant que pour x > 0, jP (x)j = P (x)) 1 P (n) 1 P (n + m) 1  P (n) B P (m)  X 1 X 1 X

n=m+1

n



1  m (= )m n  m : n (= )m  n=1 n=1

Or il existe une onstante B2 > 0 telle que

8m  1

B1 P (m) (= )m 163

 B2

Resolution numerique puisque la quantite a gau he dans l'inegalite tend vers 0. Comme, de plus, la serie 1 P (n) X n=1

n

est onvergente et a termes positifs, don majoree par une onstante B3 > 0. Ainsi 1 P (n) X 1  n



n=m+1

B2 B}3 m | {z B

e qui etablit le lemme dans e as parti ulier. Si nous ne faisons plus la supposition initiale, nous de nissons le polyn^ome Q omme le polyn^ome ayant omme oeÆ ients les modules des

oeÆ ients de P . Alors pour tout x reel positif jP (x)j  Q(x) et en utilisant la majoration 1 Q(n) 1 P (n) X X

n=m+1

n





n=m+1

n

l'appli ation de la premiere partie de la demonstration au membre de droite etablit le lemme pour P quel onque. 2

En appliquant le lemme aux r inegalites (6.8) et en prenant la plus grande valeur B donnee par le lemme, nous avons alors pour tout  stri tement inferieur a  une onstante M1 telle que 1 X M1 (6.9) C ( T )

i n n  m :  n=m+1

D'autre part et d'apres la proposition 36 les oeÆ ients lk sont des fra tions rationnelles dont le degre du numerateur est inferieur a elui du denominateur don haque fra tion lk est majoree par une onstante. Alors ompte tenu de la majoration des oeÆ ients n , nous pouvons trouver une onstante M2 telle que e X l ( i )

k m + k k=e j

2 : M m 

(6.10)

Les inegalites (6.9) et (6.10) entra^nent alors la majoration max(M1 ; M2 ) m : = max j (um )i j  (m + 1) kum k1 def i=0 m

Comme ette majoration est valable pour tout  <  , nous pouvons etablir que, pour tout  <  , il existe une onstante positive M telle que kum k  Mm :

Maintenant, en remarquant que Lm ( m ex m ) = um et en notant K (m) le onditionnement de la matri e Lm pour la norme induite par k:k1, nous avons

k m m k1  K (m) Mm : ex

164

6.1 Une methode de resolution De ette majoration d'erreur sur les oeÆ ients de Chebyshev nous allons tirer une majoration de l'erreur ommise dans l'approximation de  par m . En eet

k m k[

1;1℄

 k sm()k[ 0  M + m

m X

n=0

1;1℄ +

0 j m;n

km sm ()k[

1;1℄

n j

0 + (m + 1)k m m k1 :  M m ex

Nous obtenons don la majoration

k m k[

M 0 + (m + 1)K (m)M  1;1℄ m

(6.11)

qui est valable tout m sous la seule hypothese que le systeme (6.6) soit inversible. Pour

on lure, s'il en etait besoin, quant a la onvergen e de la  -methode nous faisons la

onje ture suivante

Conje ture 1

Il existe un polyn^ome K~ tel que K (m)  K~ (m). Cette onje ture est motivee par un resultat d^u a Coutias et al. [16℄. Ce resultat on erne une matri e onstruite a partir de la forme integrale de l'equation dierentielle et qui

orrespond, en y regardant de pres, a la partie \bande" de notre matri e. Le onditionnement de ette matri e veri e notre onje ture, il faudrait montrer que l'ajout des onditions supplementaires ne modi e pas fondamentalement le onditionnement. Moyennant notre onje ture, l'inegalite (6.11) montre que l'approximant donne par la  -methode onverge vers la solution  du probleme (6.1) ave une erreur majoree par une suite de raison  1 pour tout  <  . Si la fon tion  est analytique sur C , nous avons  = 1 e qui implique que m onverge vers  plus rapidement que toute suite geometrique. C'est par exemple le as pour (x) = exp(x) que Rivlin a etudie en detail [57℄.

6.1.4 Remarques sur la methode Resolution sur un segment quel onque Par sou i de simpli ite nous avons presente notre methode pour la resolution sur l'intervalle [ 1; 1℄. L'adaptation a la resolution sur un segment [a; b℄ quel onque ne presente pas de diÆ ulte parti uliere. Nous onstruisons le systeme lineaire a resoudre non plus a partir de l'equation aux dieren es L n = qn mais a partir de l'equation La;b n = qna;b

onstruite dans la proposition 23. Il faut aussi ee tuer la translation au niveau des onditions supplementaires. Nous obtenons ainsi un systeme a resoudre que nous noterons a;b La;b m x = qm :

(6.12)

Ce systeme peut ^etre genere pour des valeurs arbitraires de a et b, que e soient des valeurs numeriques ou que a et/ou b soient des parametres formels. L'utilisation du al ul formel nous permet m^eme de resoudre le systeme (6.12) ave a et b formels. Cette possibilite sera utilisee dans les exemples presentes plus bas et surtout pour le al ul d'approximations rationnelles qui fera l'objet d'une se tion. 165

Resolution numerique Lien ave les algorithmes du type Miller La resolution d'un sous-systeme ni pour appro her les solutions du systeme in ni presente quelques liens ave les methodes de Miller, Olver et Clenshaw pour resoudre des equations aux dieren es instables au sens ou leurs solutions presentes des ara teres asymptotiques tres dierents qui font, en langage image, que ertaines solutions masquent les autres. C'est pre isement le as ave la re urren e de Chebyshev d'apres l'etude que nous avons faite des solutions formelles. Dans le as tres simple de l'equation y0 ay = 0, le systeme (6.6) que nous resolvons dans notre methode orrespond exa tement a l'appli ation de l'algorithme de Miller pour \extraire" la solution In (a) de la re urren e de Chebyshev asso iee. L'algorithme de Miller se presente ainsi dans le as etudie : pour N donne on pose bN (N + 1) = 0 et bN (N ) = 1, on determine bN (n) pour n = N 1; : : : ; 0 par la re urren e inverse

bN (n) =

2(n + 1) bN (n + 1) + bN (n + 2) a

et en n on normalise i.e. on prend omme solution appro hee de la re urren e

N (n) = bN (n) 

0 N

bX 2 0( 

k=0

1 1

1)k bN (2k)A

:

Il est fa ile d'etablir que la suite N (n) veri e le systeme (6.6). Sans entrer dans les details, nous dirons que pour des equations dierentielles d'ordre superieur, la resolution du systeme (6.6) est a rappro her du pro ede de Clenshaw et Luke (voir Wimp [62, se tions 4.7 et 7.4℄) dans le as ou toutes les solutions dominees (don les

oeÆ ients de Chebyshev de fon tions solutions) ont le m^eme omportement asymptotique. Le pro ede de Clenshaw est onvergent sous ertaines onditions assez te hniques qu'il para^t diÆ iles a assurer a priori pour les re urren es que nous onstruisons. Si nous ne pouvons, dans le as general, ramener notre methode a l'une des methodes sus-mentionnees nous pouvons quand m^eme interpreter ainsi la resolution du systeme (6.6) : les m r dernieres lignes for ent la solution a veri er la re' urren e de Chebyshev tandis que les r premieres lignes, orrespondant aux onditions supplementaires du probleme dierentiel, penalisent les omposantes divergentes (solutions formelles) qui s'y trouvent. Nous illustrons e phenomene par l'exemple de l'exponentielle pour laquelle

m;n (a) =

Km+1 (a) I (a) S (a) n m +1 | {z } !1

Im+1 (a) K (a) S (a) n m +1 | {z } !0

ou nous avons pose

Sm+1 (a) = Km+1 (a)

+1

b mX 2

n=0

0 ( 1)n I2n (a)

Im+1 (a)

+1

b mX 2

n=0

0 ( 1)n K2n (a) :

Ainsi quand m ro^t, la partie divergente dans les oeÆ ients s'estompe-t-elle. 166

6.2 Appli ations et exemples Une remarque sur l'in uen e de la perturbation Lan zos [36℄ avait remarque qu'il obtenait une meilleure approximation de l'exponentielle par la  -methode ave une perturbation en Tn0 qu'ave une perturbation en Tn . Par ailleurs, dierents auteurs utilisant la  -methode note que elle- i fon tionne mieux lorsque les equations dierentielles sont transformees en equations integrales. Et ela pas seulement pour les methodes a base de polyn^omes orthogonaux, puisque Coleman [15, 14℄ fait le m^eme onstat ave des polyn^omes de Faber. Ces deux remarques traduisent le m^eme phenomene. En eet, l'equivalen e entre la methode de Fox et notre methode peut se traduite ainsi : perturber l'equation integree ave les polyn^omes de la base initiale revient a perturber l'equation dierentielle ave les polyn^omes derives r fois, r etant l'ordre de l'equation. Dans notre as, ave des perturbations en Tn(r) , nous proposons une expli ation du phenomene basee sur le omportement asymptotique des solutions de la re urren e de Chebyshev. Nous avons remarque (voir remarque 14) que le al ul des k se fait apres al ul des oeÆents de l'approximant. Il est fa ile de veri er que e de ouplage entre al ul des oeÆ ients et al ul des onstantes de perturbations n'est possible qu'ave une perturbation en Tn(r) . Ave tout autre type de perturbation il faut tout al uler simultanement. Une autre fa on de voir e phenomene est de dire que 'est dans le as d'une perturbation en Tn(r) que les oeÆ ients du resultat de la  -methode sont le plus en adequation ave la re urren e de Chebyshev. En onsequen e par l'eet de penalisation d^u aux onditions supplementaires, intervient plus pleinement et nous dirons d'autant plus que les omposantes divergentes divergent plus fortement. En n pour revenir a l'aspe t informatique, nous avons, si besoin est, les outils ne essaires pour utiliser tout type de perturbations par des polyn^omes orthogonaux lassiques gr^a e a la pro edure de hangement de base Conversion-OSP, de m^eme que nous pouvons appliquer la  -methode en travaillant dans d'autres bases de depart que elle de Chebyshev.

6.2 Appli ations et exemples 6.2.1 Integration sur un hemin Une premiere appli ation de la possibilite d'utiliser notre methode sur un segment [a; b℄ quel onque est l'integration d'une equation dierentielle sur un hemin onstitue d'une ligne brisee. L'inter^et pratique d'une telle operation est, par exemple, la segmentation d'une integration sur un long intervalle ou le ontournement d'une singularite dans le hamp

omplexe. Soit une suite de points du hamp omplexe a1 ; a2 ; : : : ; ap . Nous supposerons que la ligne brisee formee en reliant es points ne ontient au une singularite. L'obje tif est d'evaluer la solution  au point ap . La solution unique est determinee par n'importe quelles

onditions du type (6.4) ompatibles ave le segment [a1 ; a2 ℄. Ensuite nous resolvons une suite de probemes de Cau hy dont la ondition a l'origine a l'extremite gau he du segment est al ulee de pro he en pro he. En resume, le al ul est de rit par l'iteration suivante :

167

Resolution numerique

i

-2

degre

arre hexagone 5 6.288142840 6.283939546 6.283216666 6.283186270 10 15 6.283185042 6.283185316

-1

-i

6.3 { Le tableau a droite ompare le resultat de l'integration de (1 + x)y0 = 1 sur les deux hemins presentes a gau he. Les hires exa ts sont notes en gras.

Fig.

sol[1℄ := tau-solve(fLy = q, onditionsg,[a1 ; a2 ℄) for k from 2 to p-1 do ordre = min(k,K) di sol[k-1℄(a ); i = 0 : : : r

onditions-initiales = fy(i) (ak ) = dx k i sol[k℄ = tau-solve(fLy = q; onditions-initialesg, [ak ; ak+1 ℄) od

1g

L'usage du al ul formel nous permet d'optimiser ette operation. En eet, la re urren e de Chebyshev asso iee a Ly = q est al ulee une seule fois ave a et b parametres formels qui sont ensuite instan ies a haque resolution sur un segment donne. De plus, dans la suite de problemes de Cau hy les ontidions initiales, toujours prises a la m^eme extremite du segment de resolution, ont la m^eme ontribution dans le systeme lineaire asso ie. Cette

ontribution est don al ulee une seule fois. La fon tion log(1+ x) veri e l'equation dierentielle (1+ x)y0 = 1. Nous integrons ette equation sur un hemin ferme qui tourne autour de la singularite en 1. Nous savons que le resultat d'une telle integration est un hangement de feuillet sur la surfa e de Riemann du logarithme qui se traduit par une dieren e de 2i entre les deux extremites du hemin ( onfondues dans le hamp omplexe mais par sur la surfa e de Riemann). La re urren e de Chebyshev relative a notre equation est 2+a+b n+1 n 1

n 1

n +

=Æ : 2n a b 2n n+1 1;n Nous avons al ule le resultat de l'integration pour deux type de ontour : un arre et un hexagone, par ourus dans le sens trigonometrique ; et pour dierents degres d'approximation. Les resultats sont presentes par la gure 6.3

6.2.2 Systemes dierentiels Une extension de la  -methode assez immediate est la resolutions de systemes dierentiels lineaires a oeÆ ients polyn^omiaux. Pour simpli er la presentation nous onsiderons des 168

6.2 Appli ations et exemples systemes 2  2 de la forme 

y_ 1 y_ 2



=



p1;1 (x) p1;2 (x) p2;1 (x) p2;2 (x)

 

y1 y2



(6.13)

la generalisation a des systemes n  n etant tres simple. Nous her hons y1 et y2 sous forme de series de Chebyshev de oeÆ ients respe tifs an et bn . Il est alors fa ile de voir que es oeÆ ients veri ent les systeme d'equations aux dieren es

an =
(p1;1 (X0 )an + p1;2 (X0 )bn ) bn =
(p2;1 (X0 )an + p2;2 (X0 )bn ) Ce systeme induit, par la  -methode et apres adjon tion de onditions initiales pour y1 et y2 , un systeme lineaire don la matri e a une silhouette du type

Comme dans le as s alaire, on tiendra ompte de ette stru ture pour optimiser la resolution du systeme.

Exemple 22 Le systeme dierentiel (6.13) pour p1;1 (x) = 0, p1;2 (x) = 2, p2;1 (x) = 1 et p2;2 (x) = 2x a pour solutions 

y1 y2



=

e x2 xe x2

!

+



2F (x) 1 2xF (x)



ave F (x) =

Z x

0

e

t2 dt :

Le graphe i-dessous represente la solution exa te les onditions initiales y1 (0) = 1=2 et y2 (0) = 1=2 et la solution appro hee de degre 20. Le \temps" d'integration est assez long puisqu'il orrespond a l'intervalle [ 5; 5℄. 169

Resolution numerique

0.2

0.1

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

Finissons par une remarque. Si nous transformons une equation s alaire en systeme dierentiel ave la matri e ompanion asso iee, la resolution de e systeme est omparable a la mise en oeuvre de la methode de Clenshaw presentee plus haut.

6.2.3 Singularites irregulieres Nous avons beau oup insiste sur l'approximation des fon tions analytiques par les series de Chebyshev mais nous pouvons ^etre moins exigeants sur les fon tions et obtenir neanmoins des series de Chebyshev onvergeant vers es fon tions. Par exemple, si la

ontinuite sur [ 1; 1℄ (et par extension sur tout segment [a; b℄) n'assure que la Cesarosommabilite, la serie de Chebyshev d'une fon tion C 1 onverge en tout point vers la fon tion [46℄. Nous allons utiliser notre  -methode pour al uler les series de Chebyshev de fon tions solutions d'equations dierentielles singulieres sur l'intervalle asso ie a la serie. A travers

es exemples, nous allons montrer que malgre la singularite nous trouvons des resultats tres pre is. La premiere fon tion que nous onsiderons est f (x) = exp( x ) ave  > 0. f est solution de l'equation homogene

x2 y0 y = 0 y(1) =

1 e

La fon tion f est C 1 sur [0; 1℄, mais es derivees su

essives etant toutes nulles en 0 elle n'est bien s^ur pas analytique en e point. Cependant l'approximation par les series de Chebyshev tronquees permet un bon resultat et le al ul des series par la  -methode se fait tres bien. Wimp [62℄ obtient es oeÆ ients par un traitement dire t de la relation de re urren e (n + 1) n + (3n + 4 4) n+1 + (3n + 5 + 4) n+2 + (n + 2) n+3 = 0 170

(6.14)

6.2 Appli ations et exemples qu'ils veri ent. La methode utilisee est le Clenshaw averaging pro ess. Wimp a tabule ([62, table 7.1℄) une valeur exa te a 10 de imales pour les 5 premiers oeÆ ients en al ulant les 54 premiers oeÆ ients dans le as  = 1. Nous obtenons la m^eme table ave la  -methode au m^eme ordre. Nous remarquerons au passage que la re urren e (6.14) d'ordre 4 obtenue par Wimp, gr^a e a la onnaissan e d'une forme exa te de la solution her hee, est elle obtenue par la methode de Lewanowitz : elle est don minimale. En revan he, elle qui est impli itement utilisee par notre methode est d'ordre 5. Cela est d^u a la singularite en 0. En eet, lorsque nous transformons l'intervalle [0; 1℄ en [ 1; 1℄, le oeÆ ient de t^ete de l'equation devient (1 + x)2 et s'annule don en 1, e qui implique que la re urren e que nous generons L = (I + X1 )2 2
n'est pas optimale. Mais elle se fa torise, pour redonner la re urren e (6.14). La gure 6.4 presente les resutats que nous obtenons gr^a e a la  -methode. Wimp [62, p.127℄ onsidere aussi la fon tion

g(x) = xex Ei(x) ou Ei est l'exponentielle integrale. Nous her hons a appro her ette fon tion sur [1; 1[. Pour ela, nous ramenons le probleme sur [0,1℄ en her hant la serie de Chebyshev de g(1=x). Wimp utilise la m^eme te hnique que pre edemment, et nous la  -methode appliquee a l'equation x2 y0 + (x )y = ; y(1) = e Ei() : Pour  = 2, nous trouvons les oeÆ ients de Chebyshev que eux tabules par Wimp. Les resultats que nous venons de voir nous permettre d'entrevoir une possibilite d'utilise notre methode pour l'evaluation des series formelles divergentes qui apparaissent dans les solutions formelles de type 1 X 1 )  P ( x an xn e x n=n0

d'equations holonomes, pratiquant ainsi une forme de resommation.

6.2.4 Equations non-lineaires La  -methode est on ue originellement pour des equations holonomes, pour lesquelles on peut generer le systeme lineaire in ni veri er par les oeÆ ients her hes. Cependant une premiere extension dans le as lineaire, proposee par Fox et Parker, onsiste a rempla er les oeÆ ients non polynomiaux par une approximation polyn^omiale (par les series de Chebyshev par exemple). Ortiz et Samara [51℄ ont propose une methode iterative pour traiter les non-linearites ave la  -methode. Nous allons presenter l'idee de base de la methode sur le as parti ulier des equations de Ri

ati. Nous ne donnons pas de resultats sur la onvergen e de la methode, le but de ette se tion etant de montrer que notre outil de programmation rend absolument immediate l'implementation de la methode. Considerons l'equation de Ri

ati y0 = A(x)y2 + B (x)y + C (x) y(x0 ) = y0 (6.15) 171

Resolution numerique

0.0014 0.0012 4e-06 0.001 0.0008

2e-06

0.0006 00

0.0004

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.6

0.8

1

x 0.0002 -2e-06 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x -0.0002 -4e-06 -0.0004 -0.0006

-6e-06

2.63147e-08 2e-07

1.63147e-08 1e-07

0 00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

0

0.2

0.4 x

0 -1e-07

-1.36853e-08 -2e-07

-2.36853e-08

6.4 { Erreurs ommises dans l'approximation de exp( 2=x) par les solutions issues de la  -methode a l'ordre, respe tivement de haut en bas et de gau he a droite, 10, 20, 30 et 40

Fig.

172

6.2 Appli ations et exemples ou A(x), B (x) et C (x) sont des polyn^omes. La methode d'Ortiz et Samara onsiste en l'iteration suivante  Y0 = y0 (6.16) Yk0 (A(x)Yk 1 + B (x))Yk = C (x) Les equations dierentielles en Yk sont resolues par la  -methode. On se xe a l'avan e un degre K pour l'approximation polyn^omiale her hee. Ainsi les K premieres etapes

onsistent a in rementer de 1 le degre de Yk dans la resolution de l'equation dierentielle. Une fois atteint le degre K , la resolution se fait a degre onstant, de sorte que deg(Yk ) = min(k; K ). tau-ri

ati := pro edure(A,B,C,K,N,y0 ,intervalle) Y = y0 for k from 1 to N do ordre = min(k,K) Y = tau-solve(fy0 (A(x)Y + B (x)) = C (x); y(x0 ) = y0 g, ordre,intervalle) od

Une remarque fondamentale dans l'utilisation de et algorithme est la suivante : dans la phase ou le degre de Yk est stabilise, la matri e issue de la  -methode est pleine puisque l'extension est egale a l'ordre plus 1. De e fait, la resolution en nombres rationnelles fait rapidement explose la taille des oeÆ ients. Il faut don travailler ave des ottants. Il est alors fondamental d'avoir des systemes lineaires bien onditionnes. En l'o

uren e la remarque de J.P. Boyd [8℄ sur l'emploi de la base anonique en arithmetique exa te ne s'applique pas i i.

Exemple 23 Considerons l'equation de Ri

ati y0 + y2 + y = 1 ; dont la solution est

1 y(x) = 2

p

3 tan 2

y(0) = 1

p

3 x 2

 3

!

:

Nous notons n les oeÆ ients de la serie de Chebyshev sur [0; 1℄ de y(x). Nous appliquons notre algorithme pour trouver des approximations polynomiales de degre d. Nous notons alors (nd;N ) les oeÆ ients du resultat de degre d obtenu en N iterations i.e. le resultat de tau-ri

ati(-1,-1,-1,d,N ,y(0) = 1,[0,1℄). Nous avons tabule i-dessous (table 6.1) les resutats obtenus pour d = 6 ave 12 puis 18 iterations. Pour un degre xe, il appara^t que les valeurs des (nd;N ) onvergent vers des valeurs qui ne sont pas les oeÆ ients exa ts. Pour diminuer l'erreur entre (nd;N ) et n il faut augmenter le degre d des approximations. Nous le faisons dans le tableau suivant (ou nous ne presentons que les 6 premiers oeÆ ients) :

173

Resolution numerique 0 1 2 3 4 5 6

;12) ;18)

n

(6

(6 n n .4268109278 .4269202146 .4269202127 -.6402520234 -.6402886946 -.6402886944 .1089322356 .1089463476 .1089463478 -.2873030299E-1 -.2873460131E-1 -.2873460121E-1 .6578394601E-2 .6579883442E-2 .6579883470E-2 -.1601254595E-2 -.1604168575E-2 -.1604168572E-2 .3803553684E-3 .3861973654E-3 .3861973660E-3

0 1 2 3 4 5 6

;18)

(8

n(10;18)

n(12;18) n .4268172978 .4268112956 .4268109466 -.6402541605 -.6402521473 -.6402520305 .1089330579 .1089322831 .1089322381 -.2873055239E-1 -.2873031743E-1 -.2873030392E-1 .6578470406E-2 .6578398962E-2 .6578394813E-2 -.1601278187E-2 -.1601255841E-2 -.1601254669E-2 .3803730802E-3 .3803557383E-3 .3803553892E-3

6.1 { CoeÆ ients de Chebyshev exa ts et appro hes de p  3  tan 2 x 3

Tab.

p

3 2

1 2

6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle Nous onsiderons un probleme de Cau hy asso ie a une equation dierentielle holonome (P )

8 < :

y(i) (x0 ) = i ; i = 0


r 1 pr

(x)y(r) (x) +




+ p0 (x)y(x) = q(x); pr (x0) 6= 0:

(6.17)

Nous voulons obtenir une approximation de la solution  de e probleme autour du point initial x0 .

6.3.1 Approximant global Ave une serie de Chebyshev de nie pour un segment ontenant x0 , nous savons que nous obtiendrons une approximation de  dans une ellipse entourant x0 . Seulement nous savons aussi, que la qualite de l'approximation se degrade ave l'eloignement (dans le sens parti ulier que nous avons de ni) par rapport au segment. Vient alors l'idee que pour

al uler une valeur appro hee de  en un point x du plan il faut utiliser une serie de Chebyshev de nie sur un segment ontenant x. Mais omme une telle serie sera al ulee ave notre methode, il faudra aussi que x0 soit sur e segment. Il y a une in nite de segments ontenant x. Il y a toujours une in nite de segments ontenant x et x0 , mais une \moindre" in nite si l'on ose dire. Le lemme suivant va nous permettre de hoisir un segment meilleur que les autres dans un ertain sens.

Lemme 10 174

6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle Soit f une fon tion de M . Soit [a1 ; b1 ℄ et [a2 ; b2 ℄, deux segments du plan omplexe tels que [a1 ; b1 ℄  [a2 ; b2 ℄. Supposons de plus que f soit analytique sur [a2 ; b2 ℄. Alors la vitesse onvergen e 1 de la serie de Chebyshev de f sur [a1 ; b1 ℄ est superieure a la vitesse onvergen e 2 de la serie de Chebyshev de f sur [a2 ; b2 ℄.

Demonstration : Soit s une quel onque singularite de f . Notons h1 la similitude ha11;b1 et h2 la similitude ha21;b2 . Rappelons que 1 = min r(h1 (s)) et 2 = min r(h2 (s)) s2Sg(f ) s2Sg(f ) (la fon tion r a ete de nie page 70 ainsi que la fon tion l que nous utilisons plus bas). Introduisons h la similitude qui envoie a1 sur a2 et b1 sur b2 . Il est lair que h1 = h2 Æ h. Sans perte de generalite, nous pouvons supposer que les points a1 , b1 , a2 et b2 sont ordonnes de fa on que a1 soit entre a2 et b1 . Cette similitude est en fait une homothetie dont le entre est situe entre a1 et b1 . Il est alors fa ile de voir que s est a l'interieur du triangle (a2 h(s)b2 ), e implique que

js a2j + js b2 j  jh(s) a2 j + jh(s) b2 j

Cette inegalite sera onservee si nous appliquons la similitude h2 a ha un des points presents. Nous pouvons don e rire, en nous souvenant que h1 = h2 Æ h,

jh2 (s) 1j + jh2 (s) + 1j  jh1 (s) 1j + jh1 (s) + 1j i.e. l(h2 (s))  l(h1 (s)) e qui implique r(h1 (s))  r(h2 (s)). Comme la derniere inegalite est vraie pour toute singularite de f , le resultat enon e est demontre. 2 h2 h(s)

1 0 0h2 (s) 1

h1 (s) 1 0 0 1

s h1

-1

1

b2 b1

a2 Fig.

a1

6.5 { A tion des similitudes h1 , h2 et h

Ainsi le hoix naturel pour appro her  en un point x est d'utiliser la serie de Chebyshev de nie sur [x0 ; x℄, que nous e rivons 1 X 0 n (x)Tn (h 1 (z )) : x0 ;x n=0

175

Resolution numerique Tronquons ette serie a l'ordre m et evaluons la en x. En tenant ompte du fait que Tn (hx01;x (x)) = Tn (1) = 1, nous obtenons l'approximant suivant m def X 0

^m (x) =

n=0

n (x) :

Nous le nommons approximant global ar il synthetise en une seule expression, une in nite de series de Chebyshev.

Exemple 24 Si x0 = 0 et (x) = exp(x) alors l'approximant global est ^m (x) =

m X n=0

0 2In (x)

(6.18)

ou les In sont les fon tions de Bessel modi ees. On re onna^t dans ^m la serie de Neumann of exp(x) tronquee a l'ordre m (voir [1, 9.6.37℄). Nous nous posons les deux questions suivantes : pour quelles valeurs de x l'approximant global ^m est-il de ni ? Quelle est la qualite de l'approximant ? La reponse a la premiere question nous est donnee par la de nition : l'approximant existe en x si la serie de Chebyshev de  existe sur [x0 ; x℄ don si [x0 ; x℄ ne ontient pas de singularites de . Il est alors fa ile de voir que ^m est de nie sur l'etoile de Mittag-Leer [6℄ du probleme (P ) dont nous pre isons la

De nition 20 Soit s0 un point du plan omplexe. Soit S un ensemble ni de points du plan omplexe ne ontenant pas s0 . On appelle etoile de Mittag-Leer relatif ! a s0 et S le plan

omplexe prive des demi-droite issue de s et de dire tion s0 s pour tout point s de l'ensemble S . On appelle etoile de Mittag-Leer du probleme (P ), l'etoile de Mittag-Leer relative a x0 et a Sg().

Du fait des oupures,  est est une fon tion analytique uniforme sur l'etoile de MittagLeer du probleme (P ). Pour estimer la qualite d'approximation d'une serie de Chebyshev nous avons introduit la notion de vitesse de onvergen e. Nous pouvons introduire ette notion pour l'approximant global. Ainsi pour haque point x de l'etoile de Mittag-Leer nous dirons que ^m a pour vitesse de onvergen e, la vitesse de onvergen e de la [x0 ; x℄-serie de Chebyshev de . Cette vitesse sera notee  (x). Il est alors interessant de determiner les regions assurant une vitesse minimale de onvergen e pour ^m , e qui revient en fait a determiner les

ourbes de niveau de  (x).

De nition 21

Soit un point x du plan omplexe. Nous reperons un point y du plan omplexe par les oordonnees (r; )x telles que r 2 R+ ,  2 [0; 2[ et y x = rei .

176

6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle Proposition 45 Si s de oordonnees (s0 ; 0 )x est l'unique singularite de , alors l'approximant ^m

onverge au moins a la vitesse  > 1 en tout point interieur au lima on de Pas al de rit dans le systeme de oordonnees polaires (r; )x par l'equation : 0

0



+ 22 s r= 2 02 2 ( 1)

1

os(0



) :

(6.19)

Demonstration : L'equation de l'ellipse E dans le systeme de oordonnees polaires (r; ) 1 est (en appli ation de resultats bien onnus sur les oniques) (

E : r = 1 epe os() ave

p=  e = +2 1

1

:

(6.20)


Pour  xe et x de oordonnees (r; )x0 , hx0 ;x(s) a les oordonnees 2s0r ; 0  1 et la vitesse de onvergen e de ^m est superieur a  si hx0 ;x (s) est a l'interieur de E i.e. si 



pe s0 1 s0  ,

os(0 )  r (6.21) 2r 1 e os(0 ) 2p e et en substituant p et e par leurs expressions en fon tion de , nous obtenons le resultat

2

enon e.

Dans le as ou  a plusieurs singularites, les domaines de vitesse minimale s'obtiennent par interse tion des lima ons.

Exemple 25 Nous presentons en gure 6.6 les lima ons relatifs a x0 = 0 et a une unique singularite s = ei et en gure 6.7 les domaines de vitesse de onvergen e pour l'approximant global entre en x0 = 0 de l'ar tangente, don ave les singularites i et i. 4

6.3.2 Approximation rationnelle : les  -fra tions La notion d'approximant global est tres theorique ar elle suppose de pouvoir al uler l'in nite de series de Chebyshev sous-ja entes. Dans la pratique, ela n'est pas possible. En revan he nous pouvons appro her es series par la  -methode appliquee au probleme de Cau hy. En eet, nous pouvons etablir le systeme lineaire orrespondant a la resolution du probleme de Cau hy sur le segment [x0 ; x℄ ave x quel onque 'est-a-dire parametre symbolique dans le systeme. Ce systeme est note d'apres les notations vues plus haut

Lxm ;xx = qxm ;x : 0

0

(6.22)

Nous avons aaire a un systeme lineaire a oeÆ ients fra tions rationnelles en x dont le resultat est un ve teur de fra tions rationnelles dont nous notons les omposantes ~m;n (x) et auquel nous asso ions la solution appro hee

~m (x) =

m X n=1

177

0 ~m;n (x)

Resolution numerique

2

-6

-4

-2

0 0

2

-2

-4

-6

6.6 { Lima ons de Pas al

on entriques relatives a un approximant global entre en  0 ave une singularite en ei 4 .

Fig.

3

2

1

0

-1

-2

-3 -4

-2

0

2

4

6.7 { Interse tions de lima ons donnant les domaines de vitesses de onvergen e pour l'approximant global de l'ar tangente.

Fig.

178

6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle qui est don rationnelle. Pour la on ision - a defaut d'elegan e - nous nommerons \ fra tion" l'approximant ~m (x). Illustrons par des exemples numeriques les qualites d'approximation des  -fra tions. Soulignons, d'emblee, que bien que ~m (x) soit une fra tion rationnelle, l'approximant a ete

al ule a l'aide d'une methode initialement prevue pour des approximations polyn^omiales. Ainsi il n'est pas insense de faire des omparaisons entre les  -fra tions et des approximants polyn^omiaux du m^eme degre que la  -methode. En parti ulier, nous allons omparer les  -fra tions ave les approximations polyn^omiales obtenues par J.P. Coleman [15, 14℄ gr^a e a la  -methode ave des perturbations sous forme de polyn^omes de Faber adaptes aux regions du plan omplexe dans lesquelles l'approximation est her hee. J.P. Coleman [14℄ presente deux versions de sa  -methode, l'une dite \dire te" et l'autre \integree", la se onde donnant de meilleurs resultats omme l'avait remarque remarque Lan zos pour les perturbations de Chebyshev (voir remarque plus haut). Nous allons onstater e fait numeriquement. Une autre maniere de generer une approximation rationnelle a partir d'une methode polyn^omiale onsiste, par exemple, a al uler l'approximant de Pade a partir de la serie de Taylor tronquee de la solution  ( al ulable a partir du probleme de Cau hy). Ainsi dans les exemples qui suivent nous allons omparer l'erreur (en norme in nie) d'approximation de la solution dans les ases suivants (1) Series partielles de Taylor de degre n. (2) Approximants de Pade al ules a partir des n + 1 premiers termes de la serie l'approximant [p; p℄ si n = 2p et [p + 1; p℄ si n = 2p + 1. (3) Approximations polyn^omiales de Coleman (2 versions). (4)  -fra tions. Les valeurs tabulees dans les exemples pour les as (1) et (3) sont dues a Coleman.

Exemple 26 Les erreurs d'approximation par les  -fra tions de la fon tion (z ) = exp(z ) (0 (z ) (z ) = 0, (0) = 1) sont donnees pour le un demi-disque (Table 6.2, voir Coleman

[15, Table 1℄) et sur le arre unite (Table 6.3, voir Coleman [15, Table 3℄). Donnons les  -fra tions pour quelques valeurs de n :

z 3 + 10 z 2 + 48 z + 96 z 3 10 z 2 + 48 z 96 5 z 4 + 80 z 3 + 672 z 2 + 3072 z + 6144 ~4 (x) = 5 z 4 80 z 3 + 672 z 2 3072 z + 6144 3 z 5 + 70 z 4 + 896 z 3 + 6912 z 2 + 30720 z + 61440 ~5 (x) = 3 z 5 70 z 4 + 896 z 3 6912 z 2 + 30720 z 61440 ~3 (z ) =

Remarquons que es fra tions veri ent une propriete de l'exponentielle puique ~n ( z ) = ~n 1 (z ).

Exemple 27 Cet exemple traite de l'integrale de Dawson qui est de nie par F (z ) = e

z2

Z z

0

179

es ds : 2

(6.23)

Resolution numerique

Degre

Taylor

3 4 5 6 7 8 9 12

5.16E-2 9.95E-3 1.62E-3 2.26E-4 2.79E-5 3.06E-6 3.03E-7 1.73E-10

 -m ethode de Coleman 3.18E-2 4.00E-3 3.34E-4 2.81E-5 1.76E-6 1.11E-7 5.52E-9 1.15E-11

Approximants de Pade 4.26E-2 5.52E-3 6.63E-4 6.65E-5 6.58E-6 5.52E-7 4.60E-8 4.82E-12

 -fra tions

1.02E-3 1.03E-4 2.01E-6 1.51E-7 2.21E-9 1.31E-10 1.52E-12 2.96E-17

6.2 { Erreurs d'approximation de exp(z ) par les  -fra tions sur le se teur jz j  1, j arg z j  =2

Tab.

Degre 3 4 5 6 7 8 15

 -methode Approximants  -fra tions de Coleman de Pade 2.03E-1 1.88E-1 1.12E-1 5.35E-3 5.56E-2 3.27E-2 2.16E-2 5.13E-4 1.28E-2 5.81E-3 2.55E-3 2.15E-5 2.54E-3 9.98E-4 3.06E-4 1.53E-6 4.43E-4 1.45E-4 2.72E-5 4.74E-8 6.89E-5 1.89E-5 2.43E-6 2.69E-9 1.30E-11 1.19E-12 4.86E-15 2.21E-20 Taylor

6.3 { Erreurs d'approximation de exp(z ) par les  -fra tions sur le

arre jRe(z)j  1, jIm(z)j  1.

Tab.

180

6.3 Probleme de Cau hy et approximation rationnelle La fon tion F (z ) etant impaire nous posons u(t) = F (z )=z ave t = z 2 . La fon tion u est solution de l'equation dierentielle 2ty0 (t) + (1 + 2t)y(t) = 1; y(0) = 1 (6.24) et a le developpement en serie de Taylor suivant 1 ( 1)k 2k tk X : u(t) = (2k + 1)!! k=0

(6.25)

La table 6.4 les erreurs d'approximation de u(t) par les  -fra tions sur le se teur ft : jtj  1; j arg(t)j  6 g (voir Coleman [14, table 2℄). Faisons quelques observations relatives aux p^oles des  -fra tions.

Exemple 28 Si (x) = ar tan(x) alors (1 + x2 )0 (x) = 1 et (0) = 0. Notre methode

onstruit alors les  -fra tions suivantes :
16 x 280 x2 + 35 x4 + 384 ~3 (x) = 3 15 x6 + 504 x4 + 2176 x2 + 2048

2 x 5 x + 16 39 x4 + 608 x2 + 768 16 ~4 (x) = 3 4048 x6 + 55 x8 + 37888 x4 + 94208 x2 + 65536
x 41896 x6 + 1155 x8 + 317824 x4 + 727040 x2 + 491520 32 ~5 (x) = 15 91 x10 + 12896 x8 + 226304 x6 + 1101824 x4 + 1900544 x2 + 1048576 En utilisant les suites de Sturm, nous veri ons que tous les p^oles des approximants ~n

i-dessus sont soit sur la demi-droite [i; i 1[ soit sur la demi-droite [ i; i 1[ 'est-adire les oupures de l'etoile de Mittag-Leer asso iee. Ainsi l'approximant ~n est-il de ni entierement sur l'etoile ave bien s^ur une degradation de la pre ison ave l'eloignement par rapport a l'origine. Cette appartenan e des p^oles aux oupures est parti uliere a et exemple et due a la symetrie de l'equation dierentielle (1 + x2 )0 (x) = 1. Dans le as general, il semble experimentalement que les p^oles de ~n s'appro hent des oupures de l'etoile de Mittag-Leer ou alors tendent vers l'in ni quand s'y trouve une singularite. Illustrons e point ave les exemples suivants :

ex : (1 + x)y0 xy = 0; y(0) = 1 1+x 1 : (2 2x + x2 )y = 1 2 2x + x2 pour lesquels les oupures et les p^oles des  -fra tions sont presentes sur les gures 6.8 et 6.9. Nous avons applique la notion d'approximant global a la re her he de solutions de problemes de Cau hy sous forme de  -fra tions. La parti ularite d'un probleme de Cau hy est d'assurer que le point pour lequel sont donnees les onditions initiales est ontenu par tous les segments qui de nissent impli itement la  -fra tion, legimitant ainsi l'emploi de la  -methode. 181

Resolution numerique

Degre Taylor 3 4 5 6 7 8

1.5E-2 2.7E-3 4.2E-4 5.7E-5 6.8E-6 7.2E-7

 -methode Approximants  -fra tions de Coleman de Pade 6.2E-4 2.3E-3 2.8E-5 5.2E-5 1.9E-4 3.6E-6 3.4E-6 2.1E-5 4.5E-8 2.0E-7 1.1E-6 4.4E-9 1.1E-8 8.3E-8 4.3E-10 4.9E-10 3.7E-9 3.4E-12

Tab. 6.4 { Erreurs d'approximation de u(t) par les  -fra tions sur le se teur jtj  1, j arg tj  =6

10

5

y 0

-5

-10

-15

-10

-5

5

0

10

x

Fig.

e e : 4 (Æ), 6 (2) et 8 (+). 6.8 { P^oles des  -fra tions approximant 1+ x , de degr

x

182

6.4 Con lusion

40

20

0

-20

-40

0

5

10

15

20

x

Fig.

6.9 { P^oles des  -fra tions approximant 2 2x1+x2

de degre : 2 (+), 4 (Æ) et 6 (2).

Neanmoins les proprietes de onvergen e hors des segments de de nition des series de Chebyshev permettent l'emploi de la  -methode pour des problemes dont les onditions supplementaires sont donnees en des points exterieurs au segment mais interieurs a une ellipse de onvergen e. On peut ainsi donner la solution d'un probleme aux limites sous forme d'une  -fra tion.

6.4 Con lusion Dans e hapitre nous n'avons pas eu la pretention de presenter une methode de resolution d'equation dierentielle nouvelle. Nous avons bien marque la liation de notre methode ave une serie d'autres methodes qui partagent la propriete d'^etre en dernier ressort des  -methodes. En revan he nous avons tente de montrer que l'implementation en MAPLE de l'algorithmique de manipulation des series orthogonales, et en parti ulier de Chebyshev, nous permet de fa iliter l'usage des  -methodes et de l'adapter a des situations nouvelles.

183

Resolution numerique

184

Con lusion Bilan En usant de la terminologie introduite dans e memoire, nous pouvons resumer les obje tifs de notre travail : premierement le al ul ee tif de la re urren e de Chebyshev et deuxiement l'etude theorique de elle- i.

Aspe t algorithmique Gr^a e a la tres belle theorie des polyn^omes hypergeometriques, nous avons obtenu une methode generale pour l'appli ation d'un operateur dierentiel a une serie developpee suivant une famille de polyn^omes hypergeometriques, don a toute serie orthogonale lassique et en parti ulier aux series de Chebyshev. L'implementation en MAPLE de ette methode dans le pa kage orthoserie fournit un outil essentiel et souple pour la mise en oeuvre de methodes de resolution d'equations dierentielles holonomes. En parti ulier, nous avons e rit des pro edures de resolution reposant sur la  -methode de Lan zos et aboutissant a des approximations polyn^omiales aussi bien que rationnelles des solutions her hees.

Aspe t theorique Au ommen ement de notre travail de these, nous avions un obje tif theorique bien de ni : determiner la nature des solutions formelles issues de la re urren e de Chebyshev et leur relation ave les fon tions solutions de l'equation dierentielle initiale. A ette problematique, dont nous n'avons pas trouve tra e dans la litterature, nous avons fourni un ensemble de reponses de natures diverses. En premier lieu, nous avons montre omment l'on peut a partir d'un polygone de Newton onstruit sur l'equation dierentielle originelle deduire le ara tere Gevrey pre ise des solutions formelles. Mais au-dela de ette premiere analyse, notre but primordial etait de voir se reproduire pour les series de Chebyshev

e petit mira le qui, dans la theorie de la multi-sommabilite, fait ressurgir d'une serie de Taylor divergente une fon tion solution d'equation dierentielle. Bien loin d'avoir produit pour les series de Chebyshev une theorie aussi omplete et elegante que elle de la multi-sommabilite pour les series de Taylor formelles, nous avons en revan he illustre le lien existant entre solutions formelles et fon tions solutions : d'une part sous la forme d'une integrale et d'autre part en utilisant des pro edes de resommation issus de la ksommabilite. Nous avons en n de rit et programme des methodes pour la re onstru tion d'equations dierentielles a partir de la re urren e de Chebyshev ou a partir d'une serie formelle. Ces deux pro edes sont, outre leur inter^et theorique, des outils fort utiles pour poursuivre l'etude des solutions formelles puisqu'ils permettent la onstru tion d'exemples plus deli ats a obtenir qu'ave les series de Taylor. 185

Con lusion

Perspe tives En e qui on erne notre ode informatique nous devons y in orporer d'autres methodes spe trales pour les equations dierentielles ordinaires et surtout les equations aux derivees partielles. Ave les outils dont nous disposons, nous pouvons disposer rapidement de es extensions. Nous aurions alors un ode onsistant qui viendrait appuyer l'idee que le al ul formel peut fa iliter la mise en oeuvre des methodes spe trales, permet d'augmenter la taille des problemes traites et de diminuer le o^ut de al ul. D'un point de vue mathematique, une premiere idee serait de valider analytiquement,

omme l'avons fait pour les series de Chebyshev, les pro edes formels pour les series de polyn^omes orthogonaux. Pour ela nous pourrons exploiter des resultats de onvergen e existants pour les series de Ja obi (sur des disques elliptiques), de Laguerre (sur des paraboles) et d'Hermite (des bandes de plan). Une suite logique de ette analyse serait l'etude de re urren es de Ja obi, Laguerre et Hermite. Cette etude sera probablement plus deli ate qu'ave les series de Chebyshev qui se distinguent par des proprietes bien spe i ques. En n, et a plus ourt terme, nous avons a ompleter l'etude des solutions formelles de Chebyshev dans les dire tions indiquees au hapitre 5.

186

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