Eisner Tímea: Bevezetés az analízisbe II. [II.] [PDF]

Zitiervorschau

1

´ JANUS PANNONIUS TUDOMANYEGYETEM

Eisner T´ımea

Bevezet´es az anal´ızisbe II.

Hat´ar´ert´ek, folytonoss´ag, differenci´alhat´os´ag

***************

P´ecs, 2005

2

Lektor:

DR. PAP MARGIT egyetemi adjunktus, PhD

3

El˝osz´ o Ez a jegyzet egy t¨obb k¨otetes sorozat r´esze. A sorozat — sz´and´ekaink szerint — a matematik´anak a tan´ark´epz´es ´es a programoz´o matematikus k´epz´es szempontj´ab´ol legfontosabb fejezeteit dolgozza fel, figyelembe v´eve a tan´ark´epz˝o int´ezm´enyek tanterveit. Ebben a jegyzetben a sorozat Bevezet´es az anal´ızisbe I. mellett Matematikai alapok c´ım˝ u k¨ot´ere t´amaszkodunk, amely a halmazelm´eleti logikai, valamint f¨ uggv´enytani alapokat tartalmazza. Minden fejezethez egy feladatsor kapcsol´odik, amely a gyakorl´as mellett az anyag m´elyebb elsaj´at´ıt´ as´at is el˝oseg´ıtheti.

4

TARTALOM

El˝osz´o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i.

1. F¨ uggv´enyek 1.1. N´eh´any nevezetes f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Polinomok ´es racion´alis f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 7

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Sz´amhalmaz torl´od´asi pontja . . . . . . . . . . . F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke . . . . . . . . . . . . . . ´ Atviteli elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel . . . . . . . . . . . . . Nevezetes hat´ar´ert´ekek . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Polinomok hat´ar´ert´eke . . . . . . . . . . . 2.5.2. Racion´alis f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke . . . . . . 2.5.3. Gy¨okf¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke . . . . . . . . . 2.5.4. Trigonometrikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke . . . . 2.5.5. A sinx x (x ∈ R \ {0}) f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke . . . 2.5.6. Exponenci´ a lis f¨ u ggv´ e ny hat´ar´ert´eke . . . . . . ¡ ¢x 2.5.7. Az 1 + x1 (x ∈ R \ {0}) f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke 2.5.8. Hiperbolikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke . . . . . 2.6. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

9 11 17 19 22 22 23 24 25 29 30 37 38 40

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

44 47 49 49 52 55 57 59 62 62

3. Folytonoss´ag 3.1. F¨ uggv´enyek folytonoss´aga . . . . . . 3.2. M˝ uveletek folytonos f¨ uggv´enyekkel . . 3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai . . 3.3.1. Weierstrass t´etele . . . . . . . 3.3.2. Egyenletes folytonoss´ag . . . . 3.3.3. Az inverz f¨ uggv´eny folytonoss´aga 3.3.4. Bolzano t´etele . . . . . . . . 3.4. Exponenci´alis- ´es logaritmusf¨ uggv´enyek 3.5. Irracion´alis kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´enyek 3.6. A trigonometrikus f¨ uggv´enyek inverze .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5

3.7. A hiperbolikus f¨ uggv´enyek inverze . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.8. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.

Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek 4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese . . . . . . . 4.1.1. Differenci´al´asi szab´alyok. . . . 4.1.2. A k¨ozvetett f¨ uggv´eny deriv´altja 4.1.3. Az inverz f¨ uggv´eny deriv´altja . 4.2. Lok´alis sz´els˝o´ert´ek . . . . . . . . . 4.3. A differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ekt´etelei 4.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

74 81 84 86 90 93 98

5. A differenci´alsz´am´ıt´as n´eh´any alkalmaz´asa 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

L’Hospital szab´aly . . . . . . . . T¨obbsz¨or differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek Taylor formula . . . . . . . . . . Konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek . . . Feladatok . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

105 111 113 117 135

6

Jel¨ol´esek N Z Q R C K Kr (a) Pn P F(H, K) C(H, K) La (f ), limx→a f (x) La+ (f ), limx→a+ f (x) La− (f ), limx→a− f (x) 4a (f ) df f 0 (a), dx (a) n (n) f (a), ddxnf (a) D(H, K) Dn (H, K) C n (H, K)

a term´esztes sz´amok halmaza az eg´esz sz´amok halmaza a racion´alis sz´amok halmaza a val´os sz´amok halmaza a komplex sz´amok halmaza a val´os vagy a komplex sz´amok halmaza az a ∈ K pont r > 0 sugar´ u k¨ornyezete az n-edfok´ u polinomok halmaza a polinomok halmaza az f : H → K t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek halmaza a F(H, K)-beli folytonos f¨ uggv´enyek halmaza az f f¨ uggv´eny a pontbeli hat´ar´ert´eke az f f¨ uggv´eny a pontbeli jobb oldali hat´ar´ert´eke az f f¨ uggv´eny a pontbeli bal oldali hat´ar´ert´eke az f f¨ uggv´eny a pontbeli differenciah´anyadosa az f f¨ uggv´eny a pontbeli deriv´altja az f f¨ uggv´eny a pontbeli n-edik deriv´altja az F(H, K)-beli differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaza az n-szer differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaza az n-szer folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek halmaza

f

7

Irodalomjegyz´ek

Felhaszn´alt irodalom [1] N. Dinculeanu — E. Radu — Bal´ azs M. A matematikai anal´ızis elemei tank¨onyv. Editura didactica si pedagogica – Bucaresti, 1978 [2] Leindler L. Amal´ızis k´ezirat. Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1987 [3] N´emeth J. Amal´ızis I. p´eldat´ ar JATE PRESS Szeged, 1993 [4] Schipp F. Amal´ızis II. egyetemi tank¨onyv University Press P´ecs 1996 [5] T. Stoica — O. Stanasila — Gh. Gussi —Kov´ acs-P´ alfi Matematika XI. tank¨onyv. Editura didactica si pedagogica – Bucaresti, 1990 [6] T´ oth L. — T´ oth L. Feladatgy˝ ujtem´eny, Zsotmar Press Kft, Szatm´arn´emeti, 1993

Javasolt Irodalom 1. Leindler L. – Schipp F. Amal´ızis I. Egys´eges jegyzet. Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1976 2. P´ al J. – Schipp F. – Simon P. Amal´ızis II. Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 1976 3. Rudin W.. A matematikai amal´ızis alapjai. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1978. 4. Sz˝ okefalvi–Nagy B. Val´os f¨ uggv´enyek ´es f¨ uggv´enysorok. Egyetemi tank¨onyv, 3. kiad´as, Budapest, 1965 5. Sz˝ okefalvi–Nagy B. Komplex f¨ uggv´enytan. Egys´eges jegyzet, Tank¨onyvkiad´o, Budapest, 19xx

.

8

1.1. N´eh´any nevezetes f¨ uggv´eny

1. F¨ uggv´enyek Ebben a fejezetben n´eh´any alapvet˝o f¨ uggv´enyoszt´allyal, nevezetesen a polinomokkal ´es a racion´alis f¨ uggv´enyekkel ismerked¨ unk meg, tov´abb´a bevezet¨ unk n´eh´any nevezetes f¨ uggv´enyt. F¨ uggv´eny alatt egy olyan hozz´arendel´est ´ert¨ unk, mely egy H halmaz minden elem´ehez egy K halmaz egy ´es csakis egy elem´et rendeli. A f¨ uggv´enykapcsolat leggyakrabban haszn´alt jel¨ol´esi m´odjai: f : H → K, y = f (x) (x ∈ H). Itt x a f¨ uggetlen v´altoz´o, y vagy f (x) a f¨ ugg˝o v´altoz´o. Amennyiben a H ´es a K a val´os sz´amok halmaz´anak egy-egy r´eszhalmaza, val´os f¨ uggv´enyekr˝ol besz´el¨ unk. Ebben a jegyzetben csak val´os f¨ uggv´enyekkel fogunk foglalkozni. A H halmazt a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak ´ szimb´olumokkal jel¨olj¨ nevezz¨ uk, ´es Df vagy ET uk. Az ´ertelmez´esi tartom´any pontjaihoz a f¨ uggv´eny ´altal hozz´arendelt, u ´.n. ”k´eppontok” ¨osszess´eg´et a f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´enek ´ nevezz¨ uk, ´es Rf , vagy EK szimb´olumokkal jel¨olj¨ uk. Nevezetesen ´ := {y ∈ R : ∃x ∈ Df , f (x) = y} ⊂ R. Rf = EK Az f : H → R jel¨ol´essel azt juttatjuk kifejez´esre, hogy az f ´ertelmez´esi tartom´anya a H halmaz, ´ert´ekk´eszlete pedig r´esze R–nek. A val´os f¨ uggv´enyeket c´elszer˝ u grafikonjukkal ´abr´azolni. Ez azt jelenti, hogy a H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f : H → R f¨ uggv´enyt a Γ(f ) := {(x, y) ∈ R2 : x ∈ H, y = f (x)} ⊂ R2 s´ıkbeli halmazzal szeml´eltetj¨ uk.

1.1. N´eh´any nevezetes f¨ uggv´eny Ebben a pontban eml´ekeztet¨ unk n´eh´any ismert f¨ uggv´eny ´ertelmez´es´ere. Ezeket a matematika minden ´ag´aban ´es a sz´am´ıt´astechnik´aban is haszn´alj´ak.

Defin´ıci´ o. Az abs : R → R x 7→ abs (x) := |x| f¨ uggv´enyt abszol´ ut ´ ert´ ek f¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk.

1. F¨ uggv´enyek

9

Sz´amok abszol´ ut ´ert´ek´enek defin´ıci´oj´at felhaszn´alva az abszol´ ut ´ert´ek f¨ uggv´eny az ½ x, ha x ≥ 0, abs (x) = |x| = −x, ha x < 0, alakban ´ırhat´ o fel. A f¨ uggv´eny grafikonj´at az al´abbi ´abr´an szeml´eltetj¨ uk.

y

abs

x 1. ´abra

Ismeretes, hogy az x ∈ R sz´am [x] szimb´olummal jel¨olt eg´esz r´esze azzal az n ∈ Z eg´esz sz´ammal egyenl˝o, amelyre n 5 x < n + 1 teljes¨ ul.

Defin´ıci´ o. Az int (x) := [x],

frac (x) := x − [x]

(x ∈ R)

utas´ıt´asokkal ´ertelmezett f¨ uggv´enyeket eg´ eszr´ esz f¨ uggv´ enynek, illetve t¨ ortr´ esz f¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk. Ezek grafikonj´at az al´abbi ´abr´akon szeml´eltetj¨ uk. y

y

int

frac 1 1

-2

-1

1

2. ´abra

2

3

x

-2

-1

1

3. ´abra

2

3

x

10

1.2. Polinomok, racion´alis f¨ uggv´enyek

Gyakran haszn´alni fogjuk az el˝ojelf¨ uggv´enyt (m´as sz´oval a szignumf¨ uggv´enyt).

Defin´ıci´ o. A   

1, 0, sign (x) :=   −1,

ha ha ha

x > 0, x = 0, x 0 index˝ u k¨ornyezeteit az al´abbi m´odon ´ertelmezt¨ uk: ha a ∈ R, akkor K² (a) := {x ∈ R : |x − a| < ²}, ha pedig a ∈ {+∞, −∞}, akkor K² (+∞) := {x ∈ R : x > 1/²},

K² (−∞) := {x ∈ R : x < −1/²}.

Az R-beli sz´amokat R v´eges elemeinek is szok´as nevezni. A k¨ornyezet felhaszn´al´as´aval bevezetj¨ uk a torl´od´asi pont fogalm´at, amelyet a k¨ovetkez˝o k´et defin´ıci´o valamelyik´evel adjuk meg.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az a ∈ R elem (pont) a H ⊆ R val´os sz´ amhalmaz torl´ od´ asi pontja, (A) ha az a pont b´armely k¨ornyezete v´egtelen sok H-beli elemet tartalmaz, r¨oviden ∀² > 0 : K² (a) ∩ H v´ egtelen halmaz. (B) ha l´etezik olyan H-beli nem stacion´arius pontsorozat, melynek hat´ar´ert´eke az a pont. A H halmaz torl´od´asi pontjainak halmaz´at a H deriv´ alt halmaz´ anak nevezz¨ uk ´es a H 0 szimb´olummal jel¨olj¨ uk.

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

17

Megjegyezz¨ uk, hogy egy sorozat akkor stacion´arius, ha csak v´eges sok egym´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o tagja van. Az al´abbiakban bebizony´ıtjuk, hogy a k´et defin´ıci´o egym´assal ekvivalens.

1. T´etel. A a torl´od´asi pont k´et defin´ıci´oja egym´assal ekvivalens. ´ s. (A) ⇒ (B)” : Megmutatjuk, hogy van olyan H-beli elemekb˝ol ´all´o sorozat, Bizony´ıta ” amely a-hoz konverg´al. Val´oban, minthogy az a b´armely k¨ornyezet´eben v´egtelen sok Hbeli elem van, ez´ert minden n ∈ N eset´en van olyan xn ∈ H, amelyre |xn − a| < 2−n ,

ha

a ∈ R,

n

ha

a = ∞,

ha

a = −∞

xn > 2 , n

xn < −2 , teljes¨ ul. K¨ovetkez´esk´eppen lim xn = a. n→∞

”(B) ⇒ (A)” : Legyen (xn , n ∈ N) egy olyan H-beli pontsorozat, melynek hat´ar´ert´eke a. A sz´amsorozatok konvergencia-defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkezik, hogy az a sz´am tetsz˝oleges k¨ornyezete a sorozatnak majdnem minden elem´et tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy a sorozatnak ´es ´ıgy a halmaznak is v´egtelen sok elem´et tartalmazza, azaz ´all´ıtsunkat bebizony´ıtottuk. ¤ Egyszer˝ uen igazolhat´o, hogy az a ∈ R pont akkor ´es csak akkor torl´od´asi pontja a H ⊆ R halmaznak, ha az a pont minden k¨ornyezete tartalmaz legal´abb egy a-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o H-beli pontot. P´eld´aul ha H = (1, 2] ∪ {3}, akkor H 0 = [1, 2]. A 3-nak van olyan k¨ornyezete, amely nem taratmaz 3-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o H-beli pontot, ez´ert 3 a H halmaz izol´alt pontja.

Defin´ıci´ o.

A H ⊆ R halmaznak azokat a pontjait, amelyek nem tartoznak H 0 -h¨oz, a H halmaz izol´ alt pontjainak nevezz¨ uk.

A torl´od´asi pont ´ertelmez´es´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy a b ∈ H pont pontosan akkor izol´alt pontja H-nak, ha b-nek van olyan k¨ornyezete, amely nem tartalmaz b-t˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o H-beli elemet. B´armely halmaz izol´alt pontjai — defin´ıci´o szerint — a halmazhoz tartoznak, torl´od´asi pontjaira azonban ez ´altal´aban nem teljes¨ ul. P´eld´aul a H := {1/n : n ∈ N∗ } ⊂ R val´os sz´amhalmaz minden eleme a sz´oban forg´o halmaznak izol´alt pontja. Egyszer˝ uen bel´athat´o, hogy H-nak a 0 pont az egyetlen torl´od´asi pontja, amely azonban nem tartozik a H-hoz. V´eges halmaznak nyilv´an nincs torl´od´asi pontja, v´egtelen halmaznak viszont mindig van torl´od´asi pontja. Ez ut´obbi ´all´ıt´as a Bolzano–Weierstrass–f´ele kiv´alaszt´asi t´etel egyszer˝ u k¨ovetkezm´enye. R r´eszhalmazai k¨oz¨ott kit¨ untetett szerepet j´atszanak a z´art halmazok.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ R halmaz z´art, ha tartalmazza ¨osszes v´eges torl´od´asi pontj´at.

18

2.2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke

Nyilv´anval´ o, hogy R-nak minden v´eges r´eszhalmaza z´art, valamint az 1. t´etel alapj´an igaz a fenti defin´ıci´o al´abbi ´atfogalmaz´asa.

2. T´etel. A H ⊆ R halmaz akkor ´es csak akkor z´art, ha b´armely H elemeib˝ol alkotott konvergens sorozatnak a hat´ar´ert´eke is H-hoz tartozik. ´ s. i) Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝osz¨or, hogy a H halmaz z´art, ´es tekints¨ unk egy H-beli elemekb˝ol alkotott (xn , n ∈ N) konvergens sorozatot. Ha ez a sorozat stacion´arius, azaz csak v´eges sok egym´ast´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o tagja van, akkor hat´ar´ert´eke valamelyik tagj´aval egyenl˝o, k¨ovetkez´esk´eppen H-hoz tartozik. Ha a konvergens sorozat nem stacion´arius, akkor defin´ıci´o szerint hat´ar´ert´eke a H halmaz torl´od´asi pontja, ez´ert H z´arts´aga miatt a hat´ar´ert´ek H-nak eleme. ii) Megford´ıtva, most tegy¨ uk fel, hogy H tartalmazza valamennyi, elemeib˝ol alkotott konvergens sorozat hat´ar´ert´ek´et. Ezek a pontok defin´ıci´o szerint pont H v´eges torl´od´asi pontjait adj´ak. ¤

Megjegyz´esek 1. A H := H ∪ H 0 halmazt a H ⊆ R sz´ amhalmaz lez´ ar´ as´ anak nevezz¨ uk. 2. Legyen H := (a, b) ⊂ R egy ny´ılt intervallum. Az [a, b] intervallum b´ armely pontj´ anak minden k¨ ornyezete v´ egtelen sok H-beli pontot tartalmaz. Ha c ∈ / [a, b], akkor c-nek van olyan k¨ ornyezete, amelyben nincs H-beli pont. Ez azt jelenti, hogy H 0 = H = [a, b]. 3. Ha H = [a, b] z´ art intervallum, akkor H 0 = [a, b] ⊆ [a, b] miatt a sz´ oban forg´ o intervallum z´ art halmaz a most bevezetett defin´ıci´ o´ ertelm´ eben is. 4. Az el˝ oz˝ o meggondol´ ashoz hasonl´ oan ad´ odik, hogy minden a ∈ R ´ es ² > 0 eset´ en K²0 (a) = K² (a) = {z ∈ R : |z − a| 5 ²}. 5. B´ armely R-beli k¨ ornyezet v´ egtelen sok racion´ alis sz´ amot tartalmaz. K¨ ovetkez´ esk´ eppen R b´ armely eleme torl´ od´ asi pontja a Q halmaznak, azaz Q0 = R. 6. A H = R speci´ alis esetben H 0 = H = R. Minthogy R minden v´ eges torl´ od´ asi pontj´ at tartalmazza, az´ ert R z´ art halmaz.

2.2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke Ebben a pontban R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´et defini´aljuk ´ertelmez´esi tartom´anyuk torl´od´asi pontjaiban.

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

19

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a nem u¨res H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f : H → R f¨ uggv´ enynek az a ∈ H 0 pontban van hat´ ar´ er¯ pont, amelynek b´armely K² (A) k¨ornyezet´ eke, ha l´etezik olyan A ∈ R t´ehez l´etezik az a ∈ H 0 pontnak olyan Kδ (a) k¨ornyezete, hogy minden x ∈ Kδ (a) ∩ H, x 6= a eset´en f (x) ∈ K² (A) teljes¨ ul. Logikai jel¨ol´eseket haszn´ alva: ¡ ¢ (1) ∃A ∈ R ∀² > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Kδ (a) \ {a} ∩ H : f (x) ∈ K² (A). K¨onny˝ u megmutatni, hogy legfeljebb egy olyan A ∈ R l´etezik, amelyre az (1) felt´etel teljes¨ ul. Indirekt bizony´ıt´ast alkalmazva tegy¨ uk fel, hogy l´eteznek olyan A1 , A2 ∈ R, A1 6= A2 elemek, amelyekre fenn´all az (1) ´all´ıt´as. Mivel A1 6= A2 , ez´ert l´etezik olyan ² > 0 sz´am, hogy (2)

K² (A1 ) ∩ K² (A2 ) = ∅.

Alkalmazzuk az (1) defin´ıci´ot A helyett Ai -re i = 1, 2 eset´en . Ekkor azt kapjuk, hogy l´etezik olyan δi > 0 sz´am, amelyre minden x ∈ Kδi (a) ∩ H, x 6= a pontban f (x) ∈ K² (Ai ) teljes¨ ul. Legyen δ = min{δ1 , δ2 }. Minthogy az a pont a H halmaznak torl´od´asi pontja, ez´ert H-nak van olyan a-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o x pontja, amelyre x ∈ Kδ (a) teljes¨ ul. Ebben a pontban viszont (2) alapj´an f (x) ∈ K² (A1 ),

f (x) ∈ K² (A2 ),

azaz az f (x) pont a sz´oban forg´o k´et k¨ornyezetnek egy k¨oz¨os eleme. Mivel m´asr´eszt (2) alapj´an ezek a k¨ornyezetek diszjunktak, ellentmond´asra jutottunk. Ezzel a hat´ar´ert´ek egy´ertelm˝ us´eg´ere vonatkoz´o ´all´ıt´ast bebizony´ıtottuk. ¯ elemet az f f¨ Defin´ıci´ o. Az (1) ´ertelmez´esben szerepl˝o A ∈ R uggv´ eny a pontban vett hat´ ar´ ert´ ek´ enek nevezz¨ uk ´es az al´abbi szimb´olumok valamelyik´evel jel¨olj¨ uk: lim f = A, a

lim f (x) = A,

x→a

La (f ) = A,

f (x) → A,

ha x → a.

Az utols´o szimb´olumot u ´gy olvassuk, hogy ”f (x) tart A-hoz, ha x tart a-hoz”. A hat´ar´ert´ek ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy az f f¨ uggv´enynek az a helyen vett hat´ar´ert´eke f¨ uggetelen att´ol, hogy a ∈ / H vagy a ∈ H, ´es ebben az ut´obbi esetben a hat´ar´ert´ek f¨ uggetlen f -nek az a helyen felvett ´ert´ek´et˝ol. Az La (f ) hat´ar´ert´ek teh´at akkor is l´etezhet, ha f az a helyen nincs ´ertelmezve, vagy ha ´ertelmezve is van a f¨ uggv´eny egy a pontban, a lim f (x) hat´ar´ert´ek nem biztos, hogy ´eppen f (a)-val egyenl˝o. A defin´ıci´ob´ol x→a

az is l´athat´ o, hogy ha az f : H → R ´es a g : H → R f¨ uggv´enynek valamely H ∩ Kδ (a) \ {a}

20

2.2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke

halmazra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´esei megegyeznek, akkor a k´et f¨ uggv´enynek egyszerre l´etezik, vagy nem l´etezik az a pontban a hat´ar´ert´eke, ´es — az els˝o esetben — La (f ) = La (g). Az al´abbiakban kiemelj¨ uk ´es szeml´eltetj¨ uk az ´altal´anos defin´ıci´o n´eh´any fontos speci´alis eset´et. Ha a, A ∈ R, azaz a ´es A is v´eges, akkor v´eges helyen vett v´eges hat´ar´ert´ekr˝ol szok´as besz´elni. Az ´altal´anos ´ertelmez´est erre az esetre fel´ırva ´es a k¨ornyezet defin´ıci´oj´at felhaszn´alva az al´abbi, az eredetivel ekvivalens megfogalmaz´as ad´odik.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : H → R f¨uggv´enynek az a ∈ H 0 ⊆ R pontban a A ∈ R sz´ am a hat´ art´ ert´ eke, ha minden ² > 0 sz´ amhoz l´etezik olyan ²-t´ol f¨ ugg˝o δ = δ(²) > 0 sz´am, hogy ha 0 < |x − a| < δ ´es x ∈ H, akkor |f (x) − A| < ². A hat´ar´ert´ek a f¨ uggv´eny grafikus k´ep´et felhaszn´alva a k¨ovetkez˝ok´eppen szeml´eltethet˝o . Vegy¨ unk fel egy der´eksz¨og˝ u koordin´atarendszerben az y = A egyenlet˝ u egyenesre szimmetrikusan egy tesz˝oleges sz´eless´eg˝ u S s´avot”. Ekkor l´etezik olyan, az x = a ” egyenlet˝ u egyenesre szimmetrikus T s´av, hogy az f f¨ uggv´eny grafikonj´anak T -be es˝o {(x, f (x)) : x ∈ H ∩ T } r´esze az (a, f (a)) pont kiv´etel´evel az S s´avba” esik. ”

y

T

f(a)

A

ε ε

S δ δ a

x

2.1. ´abra

Az u ´n. v´egtelenben vett hat´ar´ert´ekek k¨oz¨ ul az al´abbi esetet szeml´eltetj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy az f : H → R f¨ uggv´eny H ⊆ R ´ertelmez´esi tartom´anya fel¨ ulr˝ol nem korl´atos. Ekkor +∞ a H-nak torl´od´asi pontja, k¨ovetkez´esk´eppen felvethet˝o, hogy f -nek van-e hat´ar´ert´eke a +∞-ben ? Az ´altal´anos ´ertelmez´est erre az esetre alkalmazva ad´odik az al´abbi

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

21

Defin´ıci´ o. Tegy¨uk fel, hogy a H ⊆ R halmaz fel¨ulr˝ol nem korl´atos. Akkor mondjuk, hogy az f : H → R f¨ uggv´enynek a +∞-ben A ∈ R a hat´ar´ert´eke, ha b´armely ² > 0 sz´amhoz l´etezik a +∞-nek olyan Kδ (+∞) k¨ornyezete, hogy ha x ∈ H ∩ Kδ (+∞), akkor f (x) ∈ K² (A). A +∞ k¨ornyezeteire m´as jel¨ol´est haszn´alva ez ekvivalens a k¨ovetkez˝ovel: ∀² > 0 ∃P = P (²) > 0 ∀x ∈ H, x > P : f (x) ∈ K² (A).

K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ebb˝ol az ´ertelmez´esb˝ol a H = N speci´alis estben visszakapjuk a term´eszetes sz´amok halmaz´an ´ertelmezett f¨ uggv´eny, azaz a sorozat hat´ar´ert´ek´enek a defin´ıci´oj´at. Az L+∞ (f ) hat´ar´ert´eket a v´egesben vett v´eges hat´ert´ekhez hasonl´oan szeml´eltethetj¨ uk. Vegy¨ unk fel a der´eksz¨og˝ u koordin´atarendszerben az y = A egyenlet˝ u egyenesre szimmetrikusan egy 2² sz´eless´eg˝ u s´avot. Ehhez l´etezik olyan P sz´am, hogy a f¨ uggv´eny grafikonj´anak az {(x, f (x)) : x ∈ H, x > P } r´esze a fenti s´avba esik.

y

A

ε ε

x P 2.2. ´abra

Az al´abbiakban csak logikai jel¨ol´eseket haszn´alva le´ırjuk k¨ornyezet-defin´ıci´ok n´elk¨ ul a k¨ ul¨onb¨oz˝ o hat´ar´ert´ek-defin´ıci´okat.

22

2.2. F¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke

Defin´ıci´ o. Tegy¨uk fel, hogy a H ⊆ R halmaznak az a ∈ R elem torl´od´asi pontja, azaz a ∈ H 0 . (i) a, A ∈ R , lim f (x) = A ( v´egesben v´eges hat´ar´ert´ek”): ” x→a ∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x ∈ H 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ². (ii)

a ∈ R, lim f (x) = +∞ ( v´egesben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” x→a ∀R > 0 ∃δ = δ(R) > 0 ∀x ∈ H 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > R.

(iii) a ∈ R, lim f (x) = −∞ ( v´egesben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” x→a ∀r < 0 ∃δ = δ(r) > 0 ∀x ∈ H 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < r. (iv) A ∈ R,

lim f (x) = A ( v´egtelenben v´eges hat´ar´ert´ek”): ” ∀² > 0 ∃P = P (²) > 0 ∀x ∈ H, x > P ⇒ |f (x) − A| < ².

(v) A ∈ R,

x→+∞

lim f (x) = A ( v´egtelenben v´eges hat´ar´ert´ek”): ” ∀² > 0 ∃p = p(²) < 0 ∀x ∈ H, x < p ⇒ |f (x) − A| < ².

(vi)

x→−∞

lim f (x) = +∞ ( v´egtelenben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” ∀R > 0 ∃p = p(R) < 0 ∀x ∈ H, x < p ⇒ f (x) > R.

(vii)

x→−∞

lim f (x) = −∞ ( v´egtelenben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” ∀r < 0 ∃p = p(R) < 0 ∀x ∈ H, x < p ⇒ f (x) < r.

(viii)

x→−∞

lim f (x) = +∞ ( v´egtelenben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” ∀R > 0 ∃P = P (R) > 0 ∀x ∈ H, x > P ⇒ f (x) > R.

(ix)

x→+∞

lim f (x) = −∞ ( v´egtelenben v´egtelen hat´ar´ert´ek”): ” ∀r < 0 ∃P = P (r) > 0 ∀x ∈ H, x > P ⇒ f (x) < r. x→+∞

A sign f¨ uggv´enynek a 0 pontban nincs hat´ar´ert´eke (l´asd az al´abbi p´eld´akban). V´eve azonban ennek a f¨ uggv´enynek ak´ar a (0, +∞), ak´ar a (−∞, 0) intervallumra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´et, olyan f¨ uggv´enyeket kapunk, amelyeknek m´ar van hat´ar´ert´ek¨ uk a 0 pontban. Ezt u ´gy szoktuk szavakban kifejezni, hogy a sign f¨ uggv´enynek a 0 pontban l´etezik a jobb´es a baloldali hat´ar´ert´eke. Ezzel az u ´n. egyoldali hat´ar´ert´ekkel kapcsolatos az al´abbi

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

23

Defin´ıci´ o. Legyen f : H → R (H ⊆ R) egy val´os v´altoz´os f¨uggv´eny ´es tegy¨ uk fel, hogy az a ∈ R elem a Ha+ := H ∩ (a, +∞) halmaz torl´od´asi pontja. Akkor mondjuk, hogy az f f¨ uggv´enynek az a helyen l´etezik jobboldali hat´ ar´ ert´ eke, ha f -nek a Ha+ halmazra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´enek l´etezik hat´ar´ert´eke az a pontban. Az f f¨ uggv´eny a helyen vett jobb oldali hat´ar´ert´ek´et az al´abbi szimb´olumok valamelyik´evel jel¨olj¨ uk: lim f, a+

lim f (x),

x→a+

f (a+),

La+ (f ).

A fenti defin´ıci´oban a Ha+ halmazt a Ha− := H ∩ (−∞, a) halmazzal cser´elve fel megkaphatjuk az a helyen vett baloldali hat´ar´ert´ek ´ertelmez´es´et. Mag´at a baloldali hat´ar´ert´eket a lim f, lim f (x), f (a−), La− (f ) a−

x→a−

szimb´olumok valamelyik´evel jel¨olj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy az a ∈ R sz´am a Ha+ ´es a Ha− halmaznak is torl´od´asi pontja. Egyszer˝ uen bel´athat´o, hogy ilyenkor f -nek az a helyen akkor ´es csak akkor van hat´ar´ert´eke, ha f -nek a-ban l´etezik a jobb- ´es baloldali hat´ar´ert´eke, ´es f (a+) = f (a−) = La (f ). Az al´abbiakban megvizsg´aljuk n´eh´any egyszer˝ u f¨ uggv´enynek a hat´ar´ert´ek´et a defin´ıci´o alapj´an. 1. P´ elda: Vizsg´aljuk az f (x) := c (x ∈ R) konstans f¨ uggv´ eny hat´ ar´ ert´ ek´ et, ahol c ∈ R r¨ogz´ıtett sz´am. K¨onnyen bel´athat´o, hogy b´armely a ∈ R pontban La (f ) = c. Val´oban, mivel ebben az esetben minden x ∈ R1 ponban |f (x) − c| = 0, ez´ert — az (1) defin´ıci´ot alapul v´eve — az ottani felt´etel minden ² > 0 eset´en b´armely δ > 0 v´alaszt´as mellett fenn´all. Hasonl´oan bel´athat´o, hogy f hat´ar´ert´eke c-vel egyenl˝o plusz / m´ınusz v´egtelenben is. 2. P´ elda: A g(x) := x (x ∈ R) identikus lek´ epez´ esnek b´ armely a ∈ R0 pontban l´ etezik hat´ ar´ ert´ eke ´es La (g) = a. Val´oban tetsz˝oleges ² > 0 est´en p´eld´aul az ² = δ v´alaszt´as mellett nyilv´an ∀x ∈ Kδ (a) \ {a} : g(x) = x ∈ K² (a). Ez pontosan azt jelenti, hogy La (g) = a. 3. P´ elda: A h(x) := 1/x (x ∈ R, x 6= 0) f¨ uggv´enyre L+∞ (h) = L−∞ (h) = 0. Val´oban a +∞ helyre szor´ıtkozva vegy¨ uk figyelembe, hogy b´armely ² > 0 sz´am eset´en a 0 < 1/x < ² ´es az x > 1/² egyenl˝otlens´egek egym´assal ekvivalensek. Ez azt jelenti, hogy p´eld´aul az ² = δ v´alaszt´as mellett minden x ∈ Kδ (+∞) = (1/², +∞) pontban h(x) = 1/x ∈ K² (0). Ezzel megmutattuk, hogy L+∞ (h) = 0. Az ´all´ıt´as m´asik r´esze hasonl´oan igazolhat´o.

´ 2.3. Atviteli elv

24

4. P´ elda: A sign f¨ uggv´ enynek a 0 helyen nincs hat´ ar´ ert´ eke. Val´oban vegy¨ uk figyelembe, hogy a sz´oban forg´o f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete az R = {+1, −1, 0} halmaz. Az R egyetlen R-hez nem tartoz´o A eleme sem lehet hat´ar´ert´eke a sign f¨ uggv´enynek, hiszen minden ilyen A-nak van olyan k¨ornyezete, amely egyetlen f¨ uggv´eny´ert´eket sem tartalmaz. Ha viszont A ∈ R, akkor p´eld´aul ² = 1/2 v´alaszt´as eset´en b´armely δ > 0 sz´amot v´eve a Kδ (0) k¨ornyezetnek mindig van olyan x 6= 0 pontja, hogy sign (x) ∈ / K²(A). Ezzel megmutattuk, hogy nincs olyan A ∈ R elem, amely eleget tenne a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´aban megfogalmazott felt´eteleknek.

Megjegyz´esek 1. A term´ eszettudom´ anyokban ´ es a technik´ aban gyakran ´ elnek a k¨ ovetkez˝ o sz´ ohaszn´ alattal: f (x) ” tetsz´ esszerinti hib´ aval megk¨ ozel´ıti az A-t, ha x el´ eg k¨ ozel van a a-hoz” vagy f (x) kicsit t´ er el ” az A-t´ ol, ha x kicsit t´ er el a a-t´ ol”, stb. Ezek a matematika nyelv´ en mind azt jelentik, hogy az f f¨ uggv´ enyneknek az a pontban A a hat´ ar´ ert´ eke. 2. Ha A ∈ R, akkor azt szoktuk mondani, hogy f -nek az a helyen v´ eges a hat´ ar´ ert´ eke. Ha A = +∞, −∞, akkor azt mondjuk, hogy f -nek az a helyen vett hat´ ar´ ert´ eke nem v´ eges.

´ 2.3. Atviteli elv M´ar a bevezet´esben eml´ıtett¨ uk, hogy a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke kapcsolatba hozhat´o a sorozat hat´ar´ert´ek´evel. Erre vonatkozik az al´abbi ´all´ıt´as.

´ Atviteli elv. Az f : H → R (H ⊆ R) f¨uggv´enynek az a ∈ H 0 pontban akkor ´es csak akkor A ∈ R a hat´ar´ert´eke, ha b´armely olyan (xn , n ∈ N) sorozatra, amelyre (3)

xn ∈ H,

xn 6= a (n ∈ N),

lim xn = a,

n→∞

a f¨ uggv´eny´ert´ekek (f (xn ), n ∈ N) sorozat´anak is van hat´ar´ert´eke ´es (4)

lim f (xn ) = A.

n→∞

´ s. Az egyszer˝ Bizony´ıta us´eg kedv´e´ert csak a v´eges helyen vett v´eges hat´ar´ert´ek eset´en bizony´ıtjuk be az ´all´ıt´ast. A t¨obbi eset hasonl´oan t´argyalhat´o, illetve a k¨ornyezetes hat´ar´ert´ek-defin´ıci´ot haszn´alva egyszerre is lehetne igazolni a t´etelt. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy ha La (f ) = A, akkor minden, a (3) felt´etelnek eleget tev˝o (xn , n ∈ N) sorozatra (4) teljes¨ ul. Az La (f ) = A defin´ıci´oja szerint (5)

∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x ∈ H 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − A| < ².

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

25

Mivel az (xn , n ∈ N) sorozat hat´ar´art´eke a, az´ert erre a sorozatra — ² helyett δ-ra — fel´ırva a sorozat hat´ar´ert´ek´enek defin´ıci´oj´at azt kapjuk, hogy ∃N = N (δ) ∈ N ∀n > N : |xn − a| < δ. K¨ovetkez´esk´eppen (5) alapj´an ∀n > N : |f (xn ) − A| < ². ¨ Osszefoglalva teh´at azt kaptuk, hogy ∀² > 0 ∃N = N (δ, ²) ∈ N ∀n > N : |f (xn ) − A| < ², s ezzel a bizony´ıtand´o limn→∞ f (xn ) = A ´all´ıt´ast igazoltuk. Megford´ıtva, most megmutatjuk, hogy ha minden, a (3) felt´etelnek eleget tev˝o sorozatra a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozat´anak A ∈ R a hat´ar´ert´eke, akkor az f f¨ uggv´enynek az a helyen van hat´ar´ert´eke, ´es az A-val egyenl˝o. Indirekt m´odon bizony´ıtjuk az ´all´ıt´ast. A t´etel ´all´ıt´ as´aval ellent´etben tegy¨ uk fel, hogy La (f ) = A nem teljes¨ ul. Ez r´eszletesen sz´olva a k¨ovetkez˝ ot jelenti: (6)

∃² > 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ H 0 < |x − a| < δ : |f (x) − A| ≥ ².

Ezt az ´all´ıt´ast δn := 1/(n + 1) (n ∈ N) eset´en alkalmazva ´es az ehhez a δ-hoz l´etez˝o (6) tulajdons´ag´ u elemet xn -nel jel¨olve azt kapjuk, hogy ∃² > 0 ∀n ∈ N ∃xn ∈ H 0 < |xn − a| < δn : |f (xn ) − A| ≥ ². Mivel 0 < |xn − a| < δn (n ∈ N) ´es (δn , n ∈ N) z´erussorozat, az´ert limn→∞ xn = a, ugyanakkor |f (xn ) − A| ≥ ² (n ∈ N) miatt az (f (xn ), n ∈ N) sorozatnak nem lehet A a hat´ar´ert´eke. Ezzel egy olyan (xn , n ∈ N) sorozatot kaptunk, amelyre (3) teljes¨ ul ´es (4) nyilv´an nem teljes¨ ul, s ´ıgy ellentmond´asra jutottunk. ¤ Az ´atviteli elv ´ertelm´eben egy ◦ f : H → R f¨ uggv´enynek az a ∈ H 0 pontban a hat´ar´ert´eke nem az A ∈ R elem, ha l´etezik olyan (xn ∈ H, n ∈ N), (xn 6= a, n ∈ N) pontsorozat, hogy lim xn = a, de n→∞

lim f (xn ) 6= A, illetve

n→∞

◦ f : H → R f¨ uggv´enynek az a ∈ H 0 pontban nem l´etezik a hat´ar´ert´eke, ha l´eteznek olyan (xn ∈ H, n ∈ N), (yn ∈ H, n ∈ N) (xn , yn 6= a, n ∈ N) pontsorozatok, hogy lim xn = a, lim yn = a, de lim f (xn ) 6= lim f (yn ). n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Megjegyezz¨ uk, hogy ezt a t´etelt szok´as a szakirodalomban a f¨ uggv´eny-hat´ar´ert´ek Heine-f´ele defin´ıci´oj´anak is nevezni.

26

2.4. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel

2.4. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel Az ´atviteli elv seg´ıts´eg´evel a sorozatok hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o, kor´abban megismert t´eteleket ´atfogalmazhatjuk f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ekekre.

3. T´etel. Legyen H ⊆ R ´es a ∈ R a H halmaz torl´od´asi pontja. Tegy¨ uk fel, hogy az f : H → R ´es a g : H → R f¨ uggv´enyeknek az a pontban van hat´ar´ert´eke, ´es La (f ) = A, La (g) = B Ekkor a) La (f + g) = A + B, b) La (f g) = AB, ¡f ¢ A c) La = g B felt´eve, hogy a jobb oldalon ´all´o m˝ uveleteknek van ´ertelme. ∞ A t´etel ´all´ıt´as´anak jobboldal´an ´all´o m˝ uveletek a ∞ − ∞”, 0 · ∞”, ∞ ” esetek ” ” ” kiv´etel´evel ´ertelmezettek. Ha az el˝obb felsorolt esetek valamelyike ´all el˝o, akkor a sorozatok hat´ar´ert´ekeinek meghat´aroz´as´an´al tanult ´atalak´ıt´asokhoz hasonl´o ´atalak´ıt´asokkal sz´am´ıtjuk ki az f + g, f · g ´es fg f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´et az a pontban.

´ s. Legyen (xn , n ∈ N) olyan sz´amsorozat, amelyre a (3) felt´etel teljes¨ Bizony´ıta ul. Ekkor az ´atvitelei elv alapj´an lim f (xn ) = A,

n→∞

lim g(xn ) = B.

n→∞

A sorozatok hat´ar´er´ek´ere vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agokat felhaszn´alva azt kapjuk, hogy ¡ ¢ lim f (xn ) + g(xn ) = A + B, ¡ ¢ lim f (xn )g(xn ) = AB,

n→∞ n→∞

A f (xn ) = . n→∞ g(xn ) B lim

Minthogy ezek az egyenl˝os´egek b´armely, a (3) felt´etelt kiel´eg´ıt˝o sorozatra fenn´allnak, az´ert az ´atviteli elv ism´etelt alkalmaz´as´aval azt kapjuk, hogy val´oban l´eteznek a La (f + g), La (f g), La (f /g) hat´ar´ert´ekek, ´es azok a t´etelben megadott ´ert´ekekkel egyenl˝ok. Ezzel az ´all´ıt´ast bebizony´ıtottuk. ¤ A hat´ar´ert´ek ´es a 5, illetve < rel´aci´o kapcsolat´ara vonatkozik az al´abbi ´all´ıt´as.

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

27

1. K¨ovetkezm´eny. Tegy¨uk fel, hogy az f, g : (α, β) → R f¨uggv´enyeknek az a ∈ (α, β) helyen l´etezik a hat´ar´ert´eke. i) Ha f (x) 5 g(x) (x ∈ (α, β)), akkor La (f ) 5 La (g). ii) Ha La (f ) < La (g), akkor a-nak van olyan Kr (a) k¨ornyezete, hogy f (x) < g(x), ha x ∈ Kr (a). ´ s. A ii) igazol´as´ahoz ´ırjuk fel a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´at. Ekkor az ² := (La (g)− Bizony´ıta La (f ))/2 sz´amhoz l´etezik olyan r > 0 sz´am, hogy minden x ∈ Kr (a) pontban a bizony´ıtand´o

La (f ) − ² < f (x) < La (f ) + ² = La (g) − ² < g(x) < La (g) + ²

egyenl˝otlens´eg teljes¨ ul. Az i) r´esz a ii)-b˝ol indirekt bizony´ıt´assal egyszer˝ uen k¨ovetkezik. Tegy¨ uk fel ugyanis, hogy f (x) 5 g(x) x ∈ (α, β) ´es La (f ) > La (g). Ekkor ii) miatt l´etezik olyan r > 0 sz´am, hogy f (x) > g(x), ha x ∈ Kr (a) ⊆ (α, β), ami ellentmond´as, ´es ezt u ´gy oldhatjuk fel, ha indirekt ´all´ıt´ asunkat visszavonjuk. ¤ Mivel a jobb- ´es bal oldali hat´er´ert´eket a f¨ uggv´eny alkalmasan vett lesz˝ uk´ıt´es´enek hat´ar´ert´ekek´ent ´ertelmezt¨ uk, az´ert az ´atviteli elv ´es a most igazolt m˝ uveleti szab´alyok — ´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´asokkal — az egyoldali hat´ar´ert´ekekre is ´erv´enyesek. A monoton sorozatok hat´art´ek´ere vonatkoz´o t´etel megfelel˝oje ´erv´enyes a monoton f¨ uggv´enyekre. Az al´abbiakban a monotonit´as fogalm´at ism´etelj¨ uk ´at.

Defin´ıci´ o. Legyen f : H → R a H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f¨uggv´eny. Akkor mondjuk, hogy az f f¨ uggv´ eny monoton n¨ oveked˝ o, ha b´armely x1 , x2 ∈ H, x1 < x2 : f (x1 ) 5 f (x2 ) teljes¨ ul. Ha a most megfogalmazott felt´etelben az egyenl˝os´eget nem engedj¨ uk meg, azaz ha ∀x1 , x2 ∈ H, x1 < x2 : f (x1 ) < f (x2 ), akkor azt mondjuk, hogy az f szigor´ uan monoton n¨ oveked˝ o. A fenti ´ertelmez´esben a f¨ uggv´eny´ert´ekekre vonatkoz´o egyenl˝otlens´eg ir´any´at megv´altoztatva eljutunk a monoton fogy´o f¨ uggv´eny fogalm´ahoz.

28

2.4. M˝ uveletek hat´ar´ert´ekekkel

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : H → R f¨ uggv´ eny monoton fogy´ o, ha ∀x1 , x2 ∈ H, x1 < x2 : f (x1 ) ≥ f (x2 ). Ha ehelyett ∀x1 , x2 ∈ H, x1 < x2 : f (x1 ) > f (x2 ), akkor az f f¨ uggv´enyt szigor´ uan monoton fogy´ onak nevezz¨ uk. A monoton n¨ov˝o ´es monoton fogy´o f¨ uggv´enyeket — k¨oz¨os elnevez´est haszn´alva — monoton f¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. Az egyenl˝ otlens´egre vonatkoz´o elemi tulajdons´agokb´ol k¨ovetkezik, hogy minden n ∈ N∗ sz´amra 0 < x1 < x2 eset´en xn1 < xn2 teljes¨ ul. Ez — a most bevezetett fogalmat haszn´alva — azt jelenti, hogy az f (x) := xn

(x ≥ 0)

f¨ uggv´enyek minden n ∈ N∗ kitev˝o eset´en szigor´ uan monoton n¨oveked˝ok. Monoton f¨ uggv´enyek egyoldali hat´ar´ert´ekeinek l´etez´es´ere vonatkozik az al´abbi ´all´ıt´as.

4. T´etel. Legyen f : H → R monoton f¨uggv´eny ´es tegy¨uk fel, hogy az a ∈ [−∞, +∞) pont a H ∩ (a, +∞) halmaznak torl´od´asi pontja. Ekkor f -nek l´etezik a jobb oldali hat´ar´ert´eke ´es f (a+) = inf{f (x) : x ∈ H, x > a}, ha f monoton n¨oveked˝o, illetve f (a+) = sup{f (x) : x ∈ H, x > a}, ha f monoton fogy´o. ´ s. Az ´all´ıt´asnak csak a monoton n¨oveked˝o f¨ Bizony´ıta uggv´enyekre vonatkoz´o r´esz´et igazoljuk. A m´asik fele hasonl´oan l´athat´o be. Legyen A := inf{f (x) : x ∈ H, x > a}. Az als´o hat´ar ´ertelmez´ese alapj´an egyr´eszt minden x ∈ H, x > a eset´en f (x) ≥ A, m´asr´eszt ∀² > 0 (A + ² > A) ∃x1 ∈ H, x1 > a : f (x1 ) > M. Mivel f monoton n¨oveked˝o, ez´ert a fentiek alapj´an A − ² < A 5 f (x) < A + ² (a < x < x1 ).

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

29

Ezzel bel´attuk, hogy A b´armely ² sugar´ u k¨ornyezet´ehez van olyan δ > 0 sz´am a-nak olyan δ > 0 sz´am (δ := x1 − a), hogy minden x ∈ (a, a + δ) pontban f (x) ∈ K² (A) teljes¨ ul. Ezzel az ´all´ıt´ast bebizony´ıtottuk. ¤ A most igazolt t´etelb˝ol — a bal- ´es jobboldali hat´ar´ert´ek szerep´et felcser´elve — ad´odik a k¨ovetkez˝o

5. T´etel. Legyen f : H → R monoton f¨uggv´eny ´es tegy¨uk fel, hogy az a ∈ (−∞, +∞] pont a H ∩ (−∞, a) halmaznak torl´od´asi pontja. Ekkor f -nek l´etezik a baloldali hat´ar´ert´eke ´es f (a−) = sup{f (x) : x ∈ H, x < a}, ha f monoton n¨oveked˝o, f (a−) = inf{f (x) : x ∈ H, x < a}, ha f monoton fogy´o. Ez a t´etel az el˝oz˝oh¨oz hasonl´oan igazolhat´o.

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek Ebben a pontban megvizsg´alunk n´eh´any f¨ uggv´enyoszt´alyt hat´ar´ert´ek szempontj´ab´ol. Polinomokkal, racion´alis f¨ uggv´enyekkel, valamint trigonometrikus ´es exponenci´alis f¨ uggv´enyekkel foglalkozunk. Ezzel ¨osszhangban R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyeknek valamely α ∈ R helyen vett hat´ar´ert´ek´enek, illetve az egyoldali hat´ar´ert´ek l´etez´es´enek k´erd´es´evel foglalkozunk.

2.5.1. Polinomok hat´ar´ert´eke El˝osz¨or v´eges helyen vett hat´ar´art´ekeket vizsg´alunk. Legyenek a0 , a1 , · · · , an adott val´os sz´amok. Megmutatjuk, hogy a P (x) := a0 + a1 x + · · · + an xn

(x ∈ R)

polinomnak minden α ∈ R helyen l´etezik hat´ar´ert´eke ´es az P (α)-val egyenl˝o: Lα (P ) = P (α). Val´oban, az el˝oz˝o pont 1. ´es 2. p´eld´aja szerint a konstans f¨ uggv´enynek ´es az identikus lek´epez´esnek l´etezik hat´ar´ert´eke az α helyen ´es az az α helyen felvett f¨ uggv´eny´ert´ekkel

30

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

egyenl˝o. A szorzatf¨ uggv´eny hat´er´ert´ek´ere vonatkoz´o ´all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik, hogy az fk (x) := ak xk

(x ∈ R, k = 0, 1, · · · , n)

f¨ uggv´enyeknek l´etezik az α helyen hat´er´ert´eke ´es az fk (α)-val egyenl˝o. V´eg¨ ul az ¨osszegf¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o ´all´ıt´as alapj´an Lα (P ) =

n X

Lα (fk ) =

k=0

n X

ak αk = P (α).

k=0

A v´egtelen helyen vett hat´ar´ert´ek k´erd´es´ere a k¨ovetkez˝o pontban visszat´er¨ unk.

2.5.2. Racion´alis f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke Legyen P ´es Q polinom, ahol Q nem a z´erus polinom. Jel¨olje Λ a Q z´erushelyeinek halmaz´at. A h´anyadosf¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o ´all´ıt´as alapj´an minden, a Q z´erushelyeit˝ ol k¨ ul¨onb¨oz˝o α ∈ R helyen P/Q-nak l´etezik hat´ar´ert´eke ´es Lα

¡ P ¢ P (α) = Q Q(α)

(α ∈ / Λ).

Ha α a Q polinomnak z´erushelye, akkor — figyelembe v´eve a Q gy¨okt´enyez˝os felbont´as´at — a sz´oban forg´o polinom fel´ırhat´o Q(x) = (x − α)r S(x) (x ∈ R) alakban, ahol r ∈ N∗ ´es az S polinom nem t˝ unik el az α helyen. A P/Q racion´alis f¨ uggv´enyre teh´at P (x) 1 P (z) = (x ∈ R \ Λ) r Q(x) (x − α) S(z) teljes¨ ul. Mivel a P/S f¨ uggv´enynek l´etezik hat´ar´ert´eke az α helyen, az´ert elegend˝o az rα,n (x) :=

1 (x − α)n

(x ∈ R \ {α})

f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´et vizsg´alni. Egyszer˝ uen — p´eld´aul az ´atviteli elv alapj´an — igazolhat´o, hogy Lα (rα,n ) = +∞ (n = 2k, k ∈ N∗ ). P´aratlan n eset´en nem l´etezik a sz´oban forg´o val´os f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke, ugyanis ugyancsak az ´atviteli elv alkalmaz´as´aval ad´odik, hogy a jobb- ´es baloldali hat´ar´ert´ek k¨ ul¨onb¨ozik, ´es Lα+ (rα,n ) = +∞

(n = 2k + 1, k ∈ N∗ ),

Lα− (rα,n ) = −∞

(n = 2k + 1, k ∈ N∗ ).

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

31

A v´egtelenben vett hat´ar´ert´ek vizsg´alat´ahoz c´elszer˝ u el˝osz¨or a hn (x) := xn

(x ∈ R, n ∈ Z)

hatv´anyf¨ uggv´enyekkel foglalkozni. Ha n < 0, akkor a hn f¨ uggv´enynek a +∞, −∞ ´ erve az helyeken a hat´art´eke 0. Ha n = 0, akkor az eml´ıtett helyeken 1 a hat´ar´ert´ek. Att´ ∗ n ∈ N esetek vizsg´alat´ara k¨onnyen igazolhat´o, hogy L−∞ (hn ) = (−1)n (+∞).

L+∞ (hn ) = +∞,

Az ´altal´ anos eset vizsg´alat´ahoz ´ırjuk fel a racion´alis f¨ uggv´enyt n−1 an xn + · · · + a1 x + a0 + a0 /xn P (x) n−m an + · · · + a1 /x = = x =: Q(x) bm xm + · · · + b1 x + b0 bm + · · · + b1 /xm−1 + b0 /xm = xn−m R(x) (x ∈ R \ (Λ ∪ {0}))

alakban, ahol bm 6= 0. A hn hatv´anyf¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o, el˝obb eml´ıtett ´all´ıt´asok alapj´an nyilv´anval´o, hogy az R racion´alis f¨ uggv´enynek minden nem v´eges helyen l´etezik hat´ar´ert´eke ´es az an /bm -mel egyenl˝o. Ezt ´es a hn−m hat´ert´ek´ere vonatkoz´o ´all´ıt´ast felhaszn´alva megkaphatjuk a racion´alis f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´et:  0, ha n < m,    an P (x) n−m , ha n = m, bn lim = lim x R(x) = ³ ´ x→+∞ Q(x) x→+∞    sign an · ∞, ha n > m. bm

2.5.3. Gy¨okf¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke A pozit´ıv eg´esz kitev˝oj˝ u gy¨okf¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ertelmezz¨ uk:

Defin´ıci´ o. A p´aros kitev˝oj˝ u gy¨ okf¨ uggv´ eny ´ertelmez´esi tartom´anya a nemnegat´ıv val´os sz´amok halmaza, hozz´arendel´esi utas´ıt´asa: √

2k

· : [0, +∞) → [0, ∞) x 7→ y,

melyre y 2k = x (x = 0, k ∈ N∗ ).

A p´ aratlan kitev˝ oj˝ u gy¨ okf¨ uggv´ eny ´ertelmez´esi tartom´anya a v val´ os sz´amok halmaza, hozz´arendel´esi utas´ıt´asa: √

2k+1

·:R→R

x 7→ y,

melyre

y 2k+1 = x (x ∈ R, k ∈ N).

32

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

√ A gy¨okf¨ uggv´enyek ´ert´ekk´eszlet´et a 3. fejezetben fogjuk megindokolni. Mivel a 2m+1 x (x ∈ R) f¨ uggv´eny p´aratlan, ez´ert elegend˝o a hat´ar´ert´ekeket a pozit´ıv f´elegyenesen vizsg´alni, mert ebb˝ol m´ar k¨ovetkezik a megfelel˝o ´all´ıt´as a negat´ıv f´elegyenesre is. Legyen α ∈ (0, ∞) tetsz˝oleges pozit´ıv val´os sz´am, ´es (xn , n ∈ N) (xn 6= α, xn > 0, n ∈ N) egy hozz´a konverg´al´o tetsz˝oleges sz´amsorozat. Ekkor minden m ∈ N∗ eset´en √ √ p 0 < | m xn − m α| = m

|x − α| 1 p n < m−1 |xn − α|, m−2 α + xn α + · · · + αm−1 √ √ ´es ebb˝ol a rend˝or-elvet alkalmazva kapjuk, hogy lim m xn = m α, ´es ezzel az ´atviteli n→∞ √ √ elv alapj´an bel´attuk, hogy lim m x = m α (α > 0). Az α = 0 pontban csak jobboldali x→α hat´ar´ert´eket vizsg´alunk. Bel´atjuk, hogy √ √ m ∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x ∈ R 0 < x − 0 < δ ⇒ | m x − 0| < ² (m ∈ N∗ ). xm−1 n

m

Vegy¨ uk ´eszre, hogy δ := ²m v´alaszt´asa eset´en teljes¨ ul a fenti ´all´ıt´as. Figyelembe v´eve a parit´ast bel´attuk, hogy a gy¨okf¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke ´ertelmez´esi tartom´anyanak minden pontj´aban megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. A plusz v´egtelenben a gy¨okf¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke plusz v´egtelen tetsz˝oleges gy¨okkitev˝o eset´en, ugyanis a √ ∀R > 0 ∃P = P (R) > 0 ∀x ∈ R+ , x > P ⇒ m x > R (m ∈ N∗ ) defin´ıci´o teljes¨ ul P := Rm v´alaszt´as eset´en. Figyelembe v´eve a parit´ast meg´allap´ıthatjuk, hogy p´aratlan gy¨okkitev˝o eset´en a a gy¨okf¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke m´ınusz v´egtelenben m´ınusz v´egtelen.

2.5.4. Trigonometrikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke A trigonometrikus f¨ uggv´enyek (sinus, cosinus, tangens, cotangens) defin´ıci´oja ´es tulajdons´agai j´ol ismertek (l´asd []), ez´ert hosszadalmass´aguk miatt ennek prec´ız bevezet´es´et˝ol eltekint¨ unk, de az al´abbiakban ¨osszefoglaljuk f˝obb tulajdons´agaikat. a) Dsin = Dcos = R, Rsin = Rcos = [−1, +1], Dtg = R \ { π2 + kπ, k ∈ Z}, Dctg = R \ {kπ, k ∈ Z}, Rtg = Rctg = R. sin x cos x b) tg x = cos x (x ∈ Dtg ), ctg x = sin x (x ∈ Dctg ), c) A sin f¨ uggv´eny szigor´ uan n˝o a [− π2 + 2kπ, π2 + 2kπ], szigor´ uan cs¨okken a [ π2 + 2kπ, 3π 2 + 2kπ] (k ∈ Z) intervallumokon ; A cos f¨ uggv´eny szigor´ uan n˝o a [−π + 2kπ, 0 + 2kπ], szigor´ uan cs¨okken a [0 + 2kπ, π + 2kπ] (k ∈ Z) intervallumokon ;

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

33

A tg f¨ uggv´eny szigor´ uan n˝o a (− π2 + kπ, π2 + kπ) (k ∈ Z) intervallumokon ; A ctg f¨ uggv´eny szigor´ uan cs¨okken a (0 + kπ, π + kπ) (k ∈ Z) intervallumokon ; d) Mindegyik f¨ uggv´eny periodikus, ◦ a sin, ´es a cos f¨ uggv´eny f˝operi´odusa 2π: sin(x) = sin(x + 2π), cos(x) = cos(x + 2π) (x ∈ R); ◦ a tg, ´es a ctg f¨ uggv´eny f˝operi´odusa π: tg (x) = tg (x + π) (x ∈ Dtg ), ctg (x) = ctg (x + π) (x ∈ Dctg ); e) Mindegyik f¨ uggv´eny rendelkezik szimmetriatulajdons´aggal, azaz ◦ a sin f¨ uggv´eny p´aratlan: sin(−x) = − sin(x), (x ∈ R); ◦ a cos f¨ uggv´eny p´aros: cos(−x) = cos(x), (x ∈ R); ◦ a tg f¨ uggv´eny p´aratlan: tg (−x) = −tg (x) (x ∈ Dtg ); ◦ a ctg f¨ uggv´eny p´aratlan: ctg (−x) = −ctg (x) (x ∈ Dctg ); f) Mindegyik f¨ uggv´enynek van z´erushelye: ◦ sin(x) = 0, ha x = kπ (k ∈ Z); ◦ cos(x) = 0, ha x = π2 + kπ (k ∈ Z); ◦ tg (x) = 0, ha x = kπ (k ∈ Z); ◦ ctg (x) = 0, ha x = π2 + kπ (k ∈ Z);

A f¨ uggv´enyek grafikus k´epeit mutatj´ak a 2.3., 2.4. ´abr´ak.

y 1 cos π/2

sin

2π

-1

2.3. ´abra

x

34

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

y

tg

x

π

0

cotg

2.4. ´abra Egyszer˝ uen igazolhat´o, hogy periodikus f¨ uggv´enynek nem l´etezik hat´ar´ert´eke a ±∞ helyeken, ez´ert egyik trigonometrikus f¨ uggv´enynek sem l´etezik hat´ar´ert´eke a plusz/m´ınusz v´egtelenben. Az f (x) = sin x eset´en p´eld´aul legyen (xn := 2nπ, n ∈ N),

´es (yn :=

π 2

+ 2nπ, n ∈ N)

k´et +∞-be tart´o sz´amsorozat ( lim xn = lim yn = +∞). A f¨ uggv´eny´ert´ekek soron→+∞

n→+∞

zata ekkor k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o konstans-sorozat, (f (xn ) = 0, n ∈ N), (f (yn ) = 1, n ∈ N), ez´ert nyilv´an hat´ar´ert´ekeik k¨ ul¨onb¨oznek, ´ıgy az ´atviteli elv ´ertelm´eben val´oban nem l´etezik a hat´ar´ert´eke a sinus f¨ uggv´enynek a +∞-ben. Av´eges helyen vett hat´ar´ert´ekekkel foglalkozik a

6. T´etel. A sinus ´es cosinus f¨uggv´enyeknek minden pontban megegyezik a hat´ar´ert´eke a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, azaz lim sin x = sin α,

x→α

lim cos x = cos α

x→α

(α ∈ R).

´ s. El˝osz¨or az α = 0 pontra, ´es a sinus f¨ Bizony´ıta uggv´enyre l´atjuk be az ´all´ıt´ast, azaz logikai jel¨ol´esekkel ´ırva, igazoljuk, hogy (7)

∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x ∈ R 0 < |x − 0| < δ ⇒ | sin x − sin 0| < ².

Mivel minden x ∈ R eset´en igaz a | sin x| 5 |x| egyenl˝otlens´eg, ez´ert a δ := ² v´alaszt´as eset´en (7) teljes¨ ul. Most megmutatjuk, hogy az α = 0 pontban a cosinus f¨ uggv´eny is rendelkezik ezzel a teulajdons´aggal, azaz (8)

∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x ∈ R 0 < |x| < δ ⇒ | cos x − cos 0| < ².

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

Feltessz¨ uk, hogy δ 5

π 2,

35

azaz x ∈ (− π2 , π2 ). Ekkor alkalmazhatjuk az al´abbi becsl´est:

| cos x − 1| =

| cos2 x − 1| sin2 x = < sin2 x < |x|2 . |1 + cos x| |1 + cos x|

√ L´athat´o, hogy a δ := min( π2 , ²) v´alaszt´as eset´en (8) teljes¨ ul. Az add´ıci´os t´etelek, az ´atviteli elv ´es a sorozatok hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agok alkalmaz´as´aval tetsz˝oleges pontban meghat´arozhatjuk a hat´ar´ert´ekeket. Legyen ugyanis α ∈ R tetsz˝oleges, ´es (xn , n ∈ N) α-hoz konverg´al´o tetsz˝oleges sz´amsorozat ( lim xn = α). Ekkor a hn := xn − α (n ∈ N) sz´amsorozat null´ahoz konn→∞ verg´al, ´es ez´ert sin xn = sin(α + hn ) = sin α · cos hn + cos α · sin hn → → sin α · 1 + sin α · 0 = sin α

(n → ∞),

cos xn = cos(α + hn ) = cos α · cos hn − sin α · sin hn → → cos α · 1 − sin α · 0 = cos α

(n → ∞),

amivel ´all´it´asunkat az ´atviteli elv ism´etelt alkalmaz´as´aval bel´attuk. ¤ A tangens ´es a cotangens f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ekeivel foglalkozik a

7. T´etel. A tangens ´es cotangens f¨uggv´enyek hat´ar´ert´eke ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban megegyezik a a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, azaz lim tg x = tg α

x→α

lim ctg x = ctg α

x→α

π + kπ, k ∈ Z}), 2 (α ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}),

(α ∈ R \ {

tov´abb´a lim tg x = −∞,

x→α+

lim ctg x = +∞,

x→α+

lim tg x = +∞

x→α−

lim ctg x = −∞

x→α−

π + kπ, k ∈ Z}), 2 (α ∈ {kπ, k ∈ Z}).

(α ∈ {

sin x π x ´ s. Mivel tg x = cos Bizony´ıta es ctg x = cos x (x ∈ R \ { 2 + kπ, k ∈ Z}), ´ sin x (x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}), ez´ert a m˝ uveleti tulajdons´agok, ´es a 6. t´etetl alapj´an az ´all´ıt´as els˝o fele azonnal ad´odik.

36

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

Az ´all´ıt´as m´asodik fel´enek igazol´as´ahoz vegy¨ uk ´eszre, hogy lim

x→ π 2 +2kπ

sin x = 1,

lim

cos x = 0−,

lim

cos x = 0+,

x→ π 2 +2kπ+ x→ π 2 +2kπ−

lim cos x = 1, sin x = 0+,

lim

sin x = 0−,

x→2kπ−

lim

cos x = 0 +

(k ∈ Z),

lim

cos x = 0 −

(k ∈ Z),

x→ π 2 +(2k+1)π− x→(2k+1)π

lim

sin x = −1 (k ∈ Z),

x→ π 2 +(2k+1)π+

lim

x→2kπ

x→2kπ+

lim

x→ π 2 +(2k+1)π

cos x = −1

lim

x→ π 2 +(2k+1)π+

lim

x→(2k+1)π−

(k ∈ Z),

sin x = 0 −

cos x = 0 +

(k ∈ Z), (k ∈ Z),

ahol lim f (x) = 0± azt jelenti, hogy f a pozit´ıv illetve negat´ıv sz´amokon kereszt¨ ul tart a x→α null´aba. Ezeket a hat´ar´ert´ekeket ¨osszevetve a m˝ uveleti tulajdons´agokkal a t´etel m´asodik fele is ad´odik. ¤

2.5.5. A

sinx (x∈R\{0}) x

f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke

Vezessk be az f (x) := sinx x (x ∈ R \ {0}) jel¨ol´est! A 2.2. pont 2. p´eld´aja, ´es a 6. t´etel alapj´an az f f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. Mivel egy null´ ahoz konverg´al´ o sz´amsorozat ´es egy korl´atos sz´amsorozat szorzata null´ahoz konverg´al, ´es a sinus f¨ uggv´eny korl´atos, ez´ert az ´atviteli elv alapj´an az f f¨ uggv´enynek nulla a hat´ar´ert´eke a plusz illetve m´ınusz v´egtelenben. M´ar csak az a k´erd´es, hogy a f¨ uggv´eny¨ unknek a nulla pontban l´etezik-e a hat´ar´ert´eke. Mivel a k´erd´eses hat´ar´ert´ek ” 00 ” alak´ u hat´arozatlans´agi eset, ez´ert ezt nem tudjuk a m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an leolvasni. ´ Tekints¨ uk az egys´eg sugar´ u k¨ort ´es egy x ∈ (0, π2 ) k¨oz´epponti sz¨oget (2.5. Abra). *********************2.5. ´abra******************************** Ekkor az ´abr´ar´ol k¨onnyen leolvashat´o, hogy fenn´allnak az al´abbi egyenl˝otlens´egek: OAM h´aromsz¨og ter¨ ulete< OAM k¨orcikk ter¨ ulete < OAT h´aromsz¨og ter¨ ulete. Be´ırva a ter¨ uletek ´ert´ekeit, a sin x x tg x π < < , ha 0 < x < 2 2 2 2 egyenl˝otlens´eghez jutunk. Az egyenl˝otlens´egeket megszorozva az ezen az intervallumon pozit´ıv sin2 x f¨ uggv´ennyel kapjuk: 1
0) alatt ´ertj¨ uk azt a pozit´ıv val´os sz´amot, amelyet u ´gy n 0 kapunk, hogy a-t n-szer ¨osszeszorozzuk ¨ o nmag´ a val, azaz a := a · . . . · a, ´ e s a := 1. Ha √ √ r = pq (p, q ∈ N∗ ), akkor ar := q ap , a−r := 1/ q ap defin´ıci´o szerint. A k¨oz´episkol´aban eddig jutunk el az exponenci´alis f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´aban, ugyanis a val´os exponenci´alis f¨ uggv´eny pontos defin´ıci´oj´ahoz sz¨ uks´eg van az anal´ızis eszk¨ozt´ar´ara. Felmer¨ ul a k´erd´ es, hogy mit ´ert¨ unk egy sz´am irracion´alis kitev˝os hatv´any´an. P´eld´aul √ √ mivel egyenl˝o a a 2 (a > 0)? A 2-t tudjuk racion´alis sz´amok sorozat´aval k¨ozel´ıteni.

38

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

√ √ P´eld´aul az (xn := 10−n · [ 2 · 10n ], n ∈ N), ´es az (yn := ([ 2 · 10n ] + √ 1) · 10−n , n ∈ N) racion´alis sz´amokb´ol ´all´o sz´amsorozattal alulr´ol, illetve fel¨ ulr˝ol k¨ozel´ıt 2-h¨oz, azaz √ x0 = 1 < 2 < 2 = y0 , √ x1 = 1, 4 < 2 < 1, 5 = y1 , √ x2 = 1, 41 < 2 < 1, 42 = y2 , .. . √

xn < 2 < yn , .. . √ ´es limn→+∞ xn = limn→+∞ yn = 2. Ha a > 1, akkor felt´etelezve az exponenci´alis f¨ uggv´eny monotonit´as´at — amit k´es˝obb bebizony´ıtunk — kapjuk, hogy axn < a

√ 2

< ayn

(n ∈ N).

Az (axn , n ∈ N) sorozat monoton n˝o ´es korl´atos, az (ayn , n ∈ N) sorozat pedig monoton cs¨okken ´es szint´en korl´atos, teh´at mindk´ et sorozat konvergens. Ha a k´et sorozat √ hat´ar´ert´eke megegyezik, akkor ez pontosan a 2 -vel kell, hogy egyenl˝o legyen. Ezt a gondolatmenetet terjesztj¨ uk ki az a sz´am tetsz˝oleges val´os kitev˝oj˝ u hatv´any´anak bevezet´esekor.

Defin´ıci´ o. Minden a > 0 pozit´ıv val´os sz´am, ´es x ∈ R val´os sz´am eset´en ax := lim arn ,

(9)

n→∞

ahol (rn , n ∈ N) tetsz˝oleges x-hez konverg´al´o racion´alis sz´amsorozat, azaz lim rn = x (rn ∈ Q, n ∈ N∗ ). n→∞

Ez a defin´ıci´o sok k´erd´est vet fel. Az sem egy´ertelm˝ u p´eld´aul, hogy a (9)-ben defini´alt sorozat konvergens. A defin´ıci´o ”j´os´ag´at” igazolja a

9. T´etel. Legyen x ∈ R tetsz˝oleges val´os sz´am. (i) Tetsz˝oleges (rn , n ∈ N∗ ) x-hez konverg´al´o sz´amsorozat eset´en a (9) defin´ıci´oban szerepl˝o (arn , n ∈ N) sorozat konvergens. (ii) (9)-ben ax ´ert´eke f¨ uggetlen az (rn , n ∈ N∗ ) sorozat v´alaszt´as´at´ol. (iii) Ha x ∈ Q racion´alis sz´am, akkor (9) visszaadja az eredeti defin´ıci´ot. ´ s. Ad (i). A Cauchy-f´ele konvergencia-krit´erium seg´ıts´eg´evel igazoljuk az Bizony´ıta ´all´ıt´ast. Az rn sorozat konvergens, ez´ert korl´atos, azaz l´eteznek k, K ∈ Q racion´alis

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

39

sz´amok, hogy k 5 rn 5 K teljes¨ ul minden n ∈ N eset´en. A gy¨okf¨ uggv´eny ´es a pozit´ıv eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny monotonot´as´ab´ol pedig k¨ovetkezik, hogy ak 5 arn 5 aK , ha a = 1 ak = arn = aK , ha a < 1, azaz minden a ∈ R eset´en l´eteznek k, K ∈ R+ pozit´ıv val´os sz´amok, hogy k 5 arn 5 K minden n ∈ N eset´en. Ezeket a tulajdons´agokat ´es a racion´alis kitev˝o eset´en a hatv´anyoz´as azonoss´agait kihaszn´alva azt kapjuk, hogy (10)

|arn − arm | = |arm | · |arn −rm − 1| 5 K · |arn −rm − 1|

felt´eve, hogy rm < rn . (Ellenkez˝o esetben rm -et emelt¨ unk volna ki.) Mivel az (rn , n ∈ N) sorozat konvergens, ez´ert Cauchy-sorozat, azaz (11)

∀² > 0 ∃N = N (²) ∈ N, ha n, m > N, akkor |rn − rm | < ².

√ V´alasszuk ²-t 1` -nek (` ∈ N∗ ). Mivel lim ` a = 1, ez´ert tetsz˝oleges ² eset´en l´etezik olyan `→∞ √ `0 ∈ N∗ index, hogy | `0 a − 1| < K² . Legyen N az ² := `10 -hoz tartoz´o k¨ usz¨obsz´am (9)-ben. Eredm´enyeinket ¨osszevetve (11)-gyel azt kapjuk, hogy ∀² > 0 ∃N = N (²) ∈ N, ha n, m > N, akkor |arn − arm | < ², figyelembe v´eve, hogy rm < rn , azaz bel´attuk, hogy (arn , n ∈ N) Cauchy-sorozat, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy konvergens. Ad (ii). Ezt az ´all´ıt´ast indirekt m´odon bizony´ıtjuk. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik k´et sorozat ((rn0 , n ∈ N), (rn00 , n ∈ N)), melyek x-hez konverg´alnak , de a (9)-ben szerepl˝o hat´ar´ert´ekeik k¨ ul¨onb¨oznek, azaz (12)

lim rn0 = lim rn00 = x,

n→∞

n→∞

0

00

lim arn 6= lim arn .

n→∞

n→∞

A k´et sorozat f´es˝ us egyes´ıt´ese (rn , n ∈ N) (r2k := rk0 , r2k+1 := rk00 , k ∈ N) szint´en x-hez konverg´al. Az (i) ´all´ıt´as miatt az (arn , n ∈ N) sorozat konvergens, viszont (12)b˝ol pedig az k¨ovetkezik, hogy a sz´oban forg´o sorozat divergens, mert van k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´ar´ert´ekhez konverg´al´o r´eszsorozata. Ezzel ellentmond´asra jutottunk, azaz ´all´ıt´asunkat bebizony´ıtottuk. Ad (iii). Legyen x := r ∈ Q. (ii) szerint tetsz˝oleges racion´alis sz´amokb´ol ´all´o xhez konverg´al´ o sorozatot v´eve ax defin´ıci´oja egy´ertelm˝ u. Legyen (rn := r, n ∈ n ∈ N ) racion´alis konstans-sorozat. Ekkor az (arn , n ∈ N) sorozat is konstans-sorozat, ´es hat´ar´ert´eke ar , azaz bel´attuk, hogy az u ´n. permanencia-elv teljes¨ ul. ¤ A (9) alatti defin´ıci´oval teh´at minden val´os sz´am eset´en ´ertelmezt¨ uk a ax -et. Az expa (x) := ax

(x ∈ R)

40

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

utas´ıt´assal ´ertelmezett expa : (−∞, ∞) → (0, ∞) f¨ uggv´enyt a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´enek igazol´as´ara a k¨ovetkez˝o fejezetben visszat´er¨ unk, de a defin´ıci´ob´ol azonnal l´atszik, hogy ax nemnegat´ıv minden val´os x eset´en, mert minden r ∈ Q ´es a > 0 eset´en ar > 0. A f¨ uggv´eny grafikonj´at a 2.6. ´abr´an szeml´eltetj¨ uk.

y

a>1

1 a=1 0 1 eset´en igazoljuk az ´all´ıt´ast, a 0 < a < 1 eset bizony´ıt´asa hasonl´oan t¨ort´enik, ezt az olvas´ora b´ızzuk. Tegy¨ uk fel, hogy a > 1, ´es legyenek x1 < x2 tetsz˝oleges val´os sz´amok. Mivel minden intervallum tartalmaz v´egtelen sok racion´alis sz´amot, ez´ert tal´alunk r1 , r2 racion´alis sz´amokat, melyekre x1 < r1 < r2 < x2 teljes¨ ul. Tekints¨ unk k´et racion´alis sz´amokb´ol ´all´o x1 -hez illetve x2 -h¨oz konverg´al´o sz´amsorozatot, azaz lim rn0 = x1

n→∞

lim rn00 = x2

n→∞

(rn0 , rn00 ∈ Q, n ∈ N).

A sz´amsorozatok konvergencia-defin´ıci´oja alapj´an l´etezik olyan N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy ha n > N , akkor rn0 < r1 < r2 < rn00 .

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

41

Mivel racion´alis kitev˝o eset´en az exponenci´alis f¨ uggv´eny monotonit´asa ismert, ez´ert ha n > N , akkor 0 00 arn < ar1 < ar2 < arn egyenl˝otlens´eg. Alkakmazva a hat´ar´ert´ek monotonit´as´ara vonatkoz´o t´etelt (sorozatokra vonatkoz´o t´etel), ´es v´eve a n → ∞ hat´ar´atmenetet kapjuk, hogy ax1 5 ar1 < ar2 5 ax2 , azaz defin´ıci´o szerint bel´attuk, hogy az exponenci´alis f¨ uggv´eny szigor´ uan momnoton n˝o, ha a > 1. Ad (ii). Legyenek rn0 , rn00 (n ∈ N) x-hez illetve y-hoz konverg´al´o, racion´alis sz´amokb´ol ´all´o sz´amsorozatok. Ekkor a sz´amsorozatok hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an lim (rn0 + rn00 ) = x + y. Kihaszn´alva, hogy (ii) ´erv´enyes racion´alis n→∞

kitev˝ok eset´en, ´es alkalmazva a (9) alatti defin´ıci´ot kapjuk, hogy 0

00

0

00

0

00

ax+y = lim arn +rn = lim arn arn = ( lim arn )( lim arn ) = ax ay , n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

amivel ´all´ıt´asunkat bel´attuk. Ad (iii). Legyenek rn0 , rn00 (n ∈ N) racion´alis sz´amokb´ol ´all´o x-hez illetve y-hoz konverg´al´o sz´amsorozatok, mint (ii)-ben. Becs¨ ulj¨ uk az |(ax )y − axy | ´ert´eket! A h´aromsz¨ogegyenl˝otlens´eg alkalmaz´as´aval kapjuk, hogy 00

00

0

00

0

00

|(ax )y − axy | = |(ax )y − (ax )rn + (ax )rn − (arm )rn + (arm )rn − axy | 5 00

00

0

00

0

00

5 |(ax )y − (ax )rn | + |(ax )rn − (arm )rn | + |(arm )rn − axy |. 00

Mivel lim rn00 = y, ez´ert (9) alapj´an lim (ax )rn = (ax )y , azaz l´etezik egy N1 ∈ N n→∞

n→∞

00

k¨ usz¨obindex, hogy |(ax )y − (ax )rn | < 3² , ha n > N1 . 00 M´asr´eszt, mivel (rn00 , n ∈ N) racion´alis sz´amsorozat, ez´ert trn (t > 0) minden n ∈ N p eset´en egy t q (p, q ∈ Z \ {0}) alak´ u f¨ uggv´eny, amir˝ol az ´atviteli elv alkalmaz´as´aval be lehet l´atni, hogy ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban megegyezik hat´ar´ertr´eke a helyettes´ıt´esi ´ert´ek´evel, mivel a hatv´anyf¨ uggv´eny ´es a gy¨okf¨ uggv´eny is rendelkezik ezekkel 0 a tulajdons´agokkal. Azaz minden n ∈ N sz´am eset´en, mivel (9) alapj´an lim arm = ax , 0

00

m→∞

00

00

ez´ert lim (arm )rn = (ax )rn , ´es l´etezik egy N2 = N2 (n, ²) ∈ N k¨ usz¨ob, hogy |(ax )rn − m→∞ 0 00 (arm )rn | < 3² ,

ha m > N2 . 0 00 0 00 Harmadr´eszt, mivel rn0 , rn00 (n ∈ N) racion´alis sz´amok, ez´ert (arm )rn = arm rn , ´es 0 00 0 00 mivel lim rm rn = xy, ez´ert (9) alapj´an lim (arm )rn = axy , azaz l´etezik olyan n,m→∞

n,m→∞

0

00

N3 = N3 (²) ∈ N k¨ usz¨obsz´am, hogy |(arm )rn − axy | < 3² , ha n, m > N3 . Azt kaptuk, hogy tetsz˝olegesen kicsi ² > 0 sz´am, ´es alkalmasan v´alasztott n, m ∈ N eset´en (n > max N1 , N3 , m > max N2 (n, ²), N3 ) |(ax )y −axy | < ² , azaz mivel |(ax )y −axy | konstans, ez csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha ez a konstans nulla, ´es ezzel bel´attuk (iii)-t. ¤

42

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

Megejegyezz¨ uk, hogy (ii)-t szok´as az exponenci´ alis f¨ uggv´ eny f¨ uggv´ enyegyenlet´ enek is nevezni. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny v´egtelenben vett hat´ar´et´ekeire a 3. fejezetben visszat´er¨ unk, a v´eges helyen vett hat´ar´ert´ekr˝ol sz´ol a

11. T´etel. Az exponenci´alis f¨uggv´eny hat´ar´ert´eke ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, azaz lim ax = aα (a > 0, α ∈ R), x→α

tov´abb´a lim ax = +∞,

lim ax = 0

x→+∞

(a > 1),

x→−∞

lim ax = 0,

lim ax = +∞

x→+∞

x→−∞

x

x

lim a = 1,

lim a = 1

x→+∞

(0 < a < 1),

(a = 1).

x→−∞

´ s. Ha a = 1, akkor az exponenci´alis f¨ Bizony´ıta uggv´eny egy konstans f¨ uggv´eny, azaz a 2.2. pont 1. p´eld´aja alapj´an a t´etel ´all´ıt´asa teljes¨ ul. El˝osz¨or v´eges helyen vizsg´aljuk a hat´ar´ert´eket. Ha a > 0, a 6= 1, akkor el˝osz¨or bel´atjuk, hogy az ´all´ıt´as teljes¨ ul az α = 0 pontban. Az ´atviteli elv seg´ıts´eg´evel bizony´ıtunk. Legyen (xn , n ∈ N) egy null´ahoz konverg´al´o sz´amsorozat, azaz ∀² > 0 ∃N = N (²) ∈ N, ha n > N, akkor |xn | < ². Legyen ² :=

1 m

(m ∈ N∗ ). Ekkor |xn |
N ( m ). Ha a > 1, akkor 1

1

1

a− m < axn < a m

´es a− m < a0 = 1

az exponenci´alis f¨ uggv´eny monotonit´asa miatt, ´es 1

1

0 < a xn − 1 < a m − a− m , xn

051−a


0,

ha xn 5 0.

Ugyanezt a gondolatmenetet v´egrehajtva 0 < a < 1 eset´ere azt kapjuk, hogy 1

1

|axn − 1| < |a m − a− m |,

ha (a > 0, a 6= 1, n > N (

1 )). m

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

43

√ 1 Mivel lim m a = lim m√ = 1, ez´ert tetsz˝oleges pozit´ıv ² > 0 sz´amhoz l´etezik olyan a m→∞ m→∞ N1 ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy √ ² | m a − 1| < , 2

1 ² √ − 1| < , |m 2 a

ha m > N1 . Eredm´enyeinket ¨osszefoglalva azt kaptuk, hogy ha lerr¨ogz´ıt¨ unk egy m0 > N1 term´eszetes sz´amot, akkor 1

1

1

1

|axn − 1| < |a m 0 − a− m 0 | 5 |a m0 − 1| + |a− m0 − 1| < ², ha n > N ( m10 ), azaz lim axn = a0 = 1. Mivel (xn , n ∈ N) tetsz˝oleges null´ahoz konn→∞

verg´al´o sorozat volt, ez´ert az ´atviteli elv alapj´an bel´attuk, hogy lim ax = a0 = 1 minden x→0

a > 0, a 6= 1 eset´en. Most legyen α ∈ R \ {0} tetsz˝oleges null´ at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o val´os sz´am, ´es (xn , n ∈ N) legyen tetsz˝oleges α-hoz konverg´al´o sz´amsorozat. A (hn := xn − α, n ∈ N) sz´amsorozat null´ahoz konverg´al. Az exponenci´alis f¨ uggv´eny f¨ uggv´enyegyenlet´et alkalmazva kapjuk: 0 5 |axn − aα | = aα |axn −α − 1| = aα |ahn − 1|. Mivel az exponenci´alis f¨ uggv´enynek a nulla pontban a hat´ar´ert´eke megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, ez´ert a fenti egyenl˝otlens´eg jobboldala null´ahoz konverg´al, ´es a rend˝or-elv alapj´an lim axn = aα , amib˝ol az ´atviteli elv alapj´an ´all´ıt´asunk k¨ovetkezik. n→∞ Mivel az exponenci´alis f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton, ez´ert biztosan van hat´ar´ert´eke plusz ´es m´ınusz v´egtelenben is. Legyen ugyanis (xn , n ∈ N), ´es (yn , n ∈ N) tetsz˝oleges val´os sz´amsorozatok, melyekre lim xn = +∞,

lim yn = −∞.

n→+∞

n→−∞

Tegy¨ uk fel, hogy xn > 0, yn < 0 (n ∈ N). Ekkor nyilv´an lim [xn ] = +∞,

n→+∞

lim [xn ] + 1 = +∞,

lim [yn ] + 1 = −∞,

n→+∞

n→−∞

lim [yn ] = −∞,

n→−∞

´es az els˝o kett˝o sorozat term´eszetes sz´amokb´ol ´all´o sorozat, m´ıg a m´asodik kett˝o sorozat negat´ıv eg´esz sz´amokb´ol ´all´o sz´amsorozat, [xn ] 5 xn < [xn ] + 1, [yn ] 5 yn < [yn ] + 1 (n ∈ N), valamint az exponenci´alis f¨ uggv´eny monotonit´asa miatt a[xn ] 5 axn < a[xn ]+1 [xn ]

a

=a

xn

>a

[xn ]+1

a[yn ] 5 ayn < a[yn ]+1 a

[yn ]

yn

=a

>a

[yn ]+1

(a > 1, n ∈ N) (0 < a < 1, n ∈ N).

Mivel az (an , n ∈ N) m´ertani sorozat hat´ar´ert´eke lim an = +∞,

n→+∞

lim a−n = 0

n→+∞

(a > 1),

44

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

ez´ert lim a[xn ] = lim a[xn ]+1 = +∞

n→+∞

n→+∞

lim a[xn ] = lim a[xn ]+1 = 0

n→+∞

n→+∞

lim a[yn ] = lim a[yn ]+1 = 0

n→+∞

n→+∞

lim a[yn ] = lim a[yn ]+1 = +∞

n→+∞

n→+∞

(a > 1), (0 < a < 1).

A rend˝or elv alapj´an lim axn = +∞

n→+∞

lim axn = 0

n→+∞

lim ayn = 0

n→+∞ lim ayn n→+∞

= +∞

(a > 1), (0 < a < 1),

amib˝ol az ´atviteli elv alkalmaz´as´aval az ´all´ıt´ast kapjuk. ¤

2.5.7. Az

(1 +

1 x ) x

f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke

Ebben a pontban egy nevezetes hat´ar´ert´eket fogunk igazolni, nevezetesen bel´atjuk, hogy µ ¶x 1 lim 1+ = e, x→±∞ x ahol e a term´eszetes sz´amot jel¨oli. Ehhez azt kell bel´atni, hogy (13)

µ ¶x 1 ∀² > 0 ∃P = P (²) > 0 ∀x ∈ R \ {0}, |x| > P ⇒ | 1 + − e| < ². x

¡ ¢n Legyen ² > 0 tetsz´es szerinti el˝ore adott sz´am. Mivel lim 1 + n1 = e, ´es lim n→∞

e n→∞ n

= 0,

ez´ert b´armilyen ² > 0 sz´amhoz, ´ıgy ²/4-hez is l´etezik olyan N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy (14)

e ² < , n 4

´es

µ ¶n 1 ² | 1+ − e| < , n 4

ha n = N . Legyen P := N + 2. Bel´atjuk, hogy ezzel a P -vel teljes¨ ul (13). Tegy¨ uk fel, hogy |x| > P . Ha x > 0, akkor m :=¡¡[x] = N ul, ahol [x] x eg´esz r´esz´et jel¨oli. ¢n + 1 = P ¢ − 1 teljes¨ Figyelembe v´eve, hogy az 1 + n1 , n ∈ N sorozatnak az e egy fels˝o korl´atja, valamint (14)-et µ ¶x µ ¶[x]+1 µ ¶m µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 ² ² 1+ < 1+ = 1+ 1+ e− − + >e− . 4 m+2 4 4 4m + 8 2 ¡ ¢x ad´odik. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha x > 0, ´es x > P , akkor | 1 + x1 − e| < ². Ha x < 0, ´es |x| > P , akkor µ

1 1+ x

¶x

µ ¶−|x| µ ¶|x| µ ¶|x|−1 µ ¶ 1 |x| 1 1 = 1− = = 1+ 1+ . |x| |x| − 1 |x| − 1 |x| − 1

Innen felhaszn´alva a pozit´ıv x-ekre kapott becsl´est ([|x| − 1] > N ), ad´odik, hogy µ ¶x ³ µ ¶ ³ 1 ²´ 1 ² ² ²´ ² e−²< e− ·1< 1+ < e+ 1+ < e + + + = e + ², 2 x 2 N 2 4 4 azaz (13) val´ oban teljes¨ ul, ha |x| > P .

2.5.7. Hiperbolikus f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke A hiperbolikus f¨ uggv´enyeket a term´esztes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel ´ertelmezz¨ uk:

Defin´ıci´ o. A sinus hiperbolikus sinh, illetve a cosinus hiperbolikus cosh f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´anya a val´os sz´amok halmaza, hozz´arenedel´esi utas´ıt´asa pedig cosh (x) :=

ex + e−x , 2

sinh (x) :=

ex − e−x 2

(x ∈ R).

E defin´ıci´o alapj´an nyilv´anval´o, hogy cosh (x) = 1 (x ∈ R),

sinh (x) > 0 (x > 0),

sinh (x) = −sinh (−x) (x ∈ R), azaz a sinh f¨ uggv´eny p´aratlan, cosh (x) = cosh (−x) (x ∈ R), azaz a cosh f¨ uggv´eny p´aros. A sinh f¨ uggv´eny az R-en, a cosh f¨ uggv´eny a [0, ∞) intervallumon szigor´ uan monoton n¨oveked˝o. A defin´ıci´o alapj´an nyilv´anval´o, hogy lim cosh (x) = lim cosh (x) = +∞,

x→−∞

x→+∞

lim sinh (x) = −∞,

x→−∞

lim sinh (x) = +∞,

x→+∞

46

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

valamint, hogy lim cosh (x) = cosh (a),

x→a

lim sinh (x) = sinh (a) (a ∈ R).

x→a

Innen k¨ovetkezik, hogy Rsinh = R,

Rcosh = [1, ∞),

aminek indokl´as´ara 3. fejezetben visszat´er¨ unk. Felhaszn´alva az exponenci´alis f¨ uggv´eny f¨ uggv´enyegyenlet´et, ´es a sinh ´es cosh f¨ uggv´enyek defin´ıci´oj´at, igazolhat´o, hogy a hiperbolikus f¨ uggv´enyekre teljes¨ ulnek az a) sinh (x1 + x2 ) = sinh x1 cosh x2 + cosh x1 sinh x2

(x1 , x2 ∈ R),

b) cosh (x1 + x2 ) = cosh x1 cosh x2 + sinh x1 sinh x2

(x1 , x2 ∈ R),

2

2

c) cosh x − sinh x = 1

(x ∈ R)

¨osszef¨ ugg´esek, melyek k¨oz¨ ul az els˝o kett˝ot add´ıci´os ¨osszef¨ ugg´eseknek, m´ıg a harmadikat n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´eseknek nevezz¨ uk (l´asd a 10. feladatot). A hiperbolikus f¨ uggv´enyekre vonatkoz´ o n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´es a k¨ovetkez˝ok´eppen interpret´alhat´o. Minden t ∈ R val´os sz´am eset´en a (cosh t, sinh t) ∈ R2 pontok rajta vannak az x2 − y 2 = 1 (x > 0) egyenlet˝ u hiperbola´agon. A f¨ uggv´enyek nev´eben szerepl˝o hiperbolikus jelz˝o erre a geometriai kapcsolatra utal. A trigonometrikus f¨ uggv´enyek mint´aj´ara bevezetj¨ uk tgh ´es ctgh f¨ uggv´enyeket.

Defin´ıci´ o. A sinh(x) ex − e−x = x (x ∈ R), cosh(x) e + e−x ex + e−x cosh(x) = x (x ∈ R, x 6= 0) ctgh(x) := sinh(x) e − e−x tgh(x) :=

utas´ıt´assal ´ertelmezett tgh ´es ctgh f¨ uggv´enyeket tangens hiperbolikusz-, illetve kotangens hiperbolikusz f¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk. A fenti ´ertelmez´esek alapj´an nyilv´anval´o, hogy a) Dtgh = R,

Rtgh = (−1, 1),

Dctgh = R \ {0}, b) a

Rctgh = (−∞, −1) ∪ (1, ∞).

tgh

f¨ uggv´eny szigor´ uan n¨ov˝o. 1 c) tgh(x) = (x ∈ R, x 6= 0), ctgh(x) d) lim tgh(x) = − lim tgh(x) = 1 x→∞

e)

x→−∞

lim tgh(x) = tgh(a) (a ∈ R).

x→a

tgh(−x) = −tgh(x)

(x ∈ R).

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

47

Az al´abbi ´abr´ akon a sinh, cosh, tgh ´es ctgh f¨ uggv´enyek grafikonj´at szeml´eltetj¨ uk.

y cosh 1

x

sinh

2.7. ´abra

y ctgh 1 tgh

x -1

2.8. ´abra

2.6. Feladatok Az al´abbi feladatokban szerepl˝o f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´any´at k¨ ul¨on nem t¨ untett¨ uk fel. Ez defin´ıci´o szerint R-nek az a legt´agabb r´eszhalmaza, amelyen a sz´oban forg´o m˝ uveleteknek, illetve f¨ uggv´enyeknek van ´ertelme.

48

2.5. Nevezetes hat´ar´ert´ekek

1. Igazoljuk az al´abbi hat´ar´ert´ekeket defin´ıci´ o alapj´an:

a) c) e) g)

1 1 = , 2x + 1 7 3x + 5 lim = ∞, x→1 (x − 1)2 x3 + 5 1 lim = , x→−∞ 4x3 − x2 + 1 4 4 3x − 5x + 7 = ∞, lim x→−∞ 2x2 + x + 1 lim

1 x−1 = , x−3 2 2 2x2 + x + 5 lim = , x→∞ 3x2 − 2x + 1 3 2 x −x+1 lim = ∞, x→+∞ x−3 2x5 + x4 lim = −∞. x→−∞ x2 − 8

b)

x→3

lim

x→−1

d) f) h)

2. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket, ha l´eteznek: 1 , x→0 1 + x x4 + 3x2 c) lim 5 , x→0 x + x3 + 2x2 x4 + 2x2 − 3 e) lim 2 , x→1 x − 3x + 2 ¡ 1 3 ¢ g) lim − , x→1 1 − x 1 − x3 2x2 + x i) lim , x→∞ 3x2 − x 2x3 − x2 − 5x − 2 k) lim 3 , x→2 x − 4x − x2 + 4 a)

lim

x3 − 3x + 1 , x→0 x−4 x2 − 1 d) lim , x→∞ 2x2 + 1 ¡ x3 ¢ 1 f) lim − 3 , 2 x→+∞ 2x − 1 x − 3x + 2 3x4 − 4x3 + 1 h) lim , x→1 (x − 1)2 x2 − 6x + 8 j) lim 2 , x→4 x − 5x + 4 3x3 + 11x2 + 8x − 4 `) lim . x→−2 2x3 − 5x2 − 14x + 8

b)

lim

3. Hat´arozzzuk meg az al´abbi jobb-, illetve baloldali hat´ar´ert´ekeket:

a) c)

x−1 , |x − 1| x−1 lim , x→1+ |x − 1| lim

b)

x→1−

d)

x , x−2 x lim . x→2+ x − 2 lim

x→2−

4. Legyen m, n ∈ N. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket:

a) c)

xn − 1 (n ∈ N), x→1 x − 1 ¡ n m ¢ lim − x→1 1 − xn 1 − xm lim

b) (m, n ∈ N).

xm − 1 x→1 xn − 1 lim

(m, n ∈ N),

2. F¨ uggv´enyek hat´ar´ert´eke

49

5. Hat´arozzuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´et:

2x + 1 lim √ , x→−∞ x2 + 1 p c) lim ( x2 + x − x), x→∞ √ √ 1 + x − 1 − x2 √ , e) lim x→0+ 1+x−1 p ¡ ¢ g) lim x 1 + x2 − x , x→+∞ p i) lim ( x2 + x + x), x→−∞ √ 3 1 + 3x2 − 1 k) lim , x→0 x2 + x3 a)

x2 + x + 1 √ , x→+∞ x4 + 1 √ 1 + x + x2 − 1 , d) lim x→0+ x √ 3 1+x−1 f) lim , x→0+ x √ ¡√ √ ¢ h) lim x3/2 x + 1 + x − 1 − 2 x , x→+∞ ¡ ¢ j) lim (x + 1)2/3 − (x − 1)2/3 x→+∞ √ √ 3 + x + x2 − 9 − 2x + x2 `) lim . x→2 x2 − 3x + 2 b)

lim

6. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket:

a) c) e) f) g) h) j) `) n)

sin 3x , x→0 x sin ax lim (a, b ∈ R, b 6= 0), x→0 sin bx tg x − sin x lim , x→0 x3 sin(a + x) − sin(a − x) , lim x→0 x sin(a + x) + sin(a − x) − 2 sin a lim , x→0 x2 ¡ 1 1 ¢ lim − , x→0 sin x tg x √ 1 − cos x cos 2x lim x→0 x2 √ √ lim (sin x + 1 − sin x) lim

x→∞

lim (1 − x)tg

x→1

πx 2

b) d)

1 − cos x , x→0 x2 sin ax lim (a, b ∈ R, b 6= 0), x→0 tg bx lim

¡1 1 ¢ − x→0 x tg x √ √ 1 + tg x − 1 − tg x k) lim x→0 sin x √ cos x − 1 m) lim x→0 x2 √ 2 cos x − 1 o) limπ . x→ 4 1 − tg2 x

i)

lim

50

2.6. Feladatok

7. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket: µ a) c) e) g) i)

lim

x→+∞

µ

¶x+3

µ b)

x2 − 2x + 1 , x→+∞ x2 − 4x + 2 ³ cos x ´ 12 x lim , x→0 cos 2x µ ¶ x2 2 1 lim 1 + tg √ , x→+∞ x

d) f) h)

1

lim (cos x) sin x , lim

x→∞

2x + 3 3x + 7

lim (1 + tg x)

x→0

q

lim

x

x→0+

µ

j)

x→0

x2 + 1 x2 − 2

lim

x→+∞

¶x

lim

µ k)

3x + 1 3x + 7

lim

x→+∞

cos

`)

,

ctg x

√

,

x,

2x2 + x + 3 x2 + 2

lim (tg x)tg

¶tg

x+1 π x−1 2

,

2x

x→ π 4

¶x2 ,

¶x+1

2

lim (1 + x2 )ctg

x→0

x

.

8. Tegy¨ uk fel, hogy az a ∈ R pont az (a, +∞) ∩ H ´es a (−∞, a) ∩ H halmazok mindegyik´enek torl´od´asi pontja. Igazoljuk, hogy az f : H → R f¨ uggv´enynek az a ∈ H 0 pontban akkor ´es csak akkor van hat´ar´ert´eke, ha l´eteznek az f (a+) ´es f (a−) egyoldali hat´ar´ert´ekek ´es f (a+) = f (a−) = lim f (x). x→a

9. Vizsg´aljuk meg, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyeknek ´ertelmez´esi tartom´anyuk melyik torl´od´asi pontj´aban van hat´ar´ert´eke: a) f (x) := int(x)

(x ∈ R),

b) f (x) := x − int(x) (x ∈ R), c) f (x) := x + int(x2 ) (x ∈ R), ¡1¢ d) f (x) := x int (x ∈ R), x ½ 1, (x ∈ Q), e) f (x) := 0, (x ∈ R \ Q), ½ 1/q, (x = p/q ∈ Q, (p, q) = 1, p ≥ 0, q > 0), f ) f (x) := 0, (x ∈ R \ Q, x > 0), ahol (p, q) jelenti a p ´es a q term´eszetes sz´amok legnagyobb k¨oz¨os oszt´oj´at. 10. Igazoljuk, hogy a hiperbolikus f¨ uggv´enyekre teljes¨ ulnek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek! a)

sinh (x1 + x2 ) = sinh x1 cosh x2 + cosh x1 sinh x2

(x1 , x2 ∈ R),

b) cosh (x1 + x2 ) = cosh x1 cosh x2 + sinh x1 sinh x2

(x1 , x2 ∈ R),

2

2

c) cosh x − sinh x = 1

(x ∈ R)

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

51

3. Folytonos f¨ uggv´enyek Az el˝oz˝o pontban a hat´ar´ert´ekkel kapcsolatban vizsg´alt f¨ uggv´enyek t¨obbs´eg´en´el a hat´ar´ert´ek a f¨ uggv´enynek a tekintett helyen vett helyettes´ıt´esi ´ert´ek´evel egyenl˝o. Az ilyen tulajdons´ag´ u f¨ uggv´enyeket folytonos f¨ uggv´enyeknek nevezz¨ uk. A term´eszettudo m´anyokban (pl. a k´emi´aban, a fizik´aban ´es a m˝ uszaki tudom´anyokban) a jelens´egek le´ır´as´ara haszn´alt f¨ uggv´enyek t¨obbs´ege folytonos. Ebben a pontban folytonos f¨ uggv´enyek n´eh´any nevezetes tulajdons´ag´at ismertetj¨ uk.

3.1. F¨ uggv´enyek folytonoss´aga Legyen H ⊆ R ´es f : H → R a H halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´eny.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny az a ∈ H pontban folytonos, ha b´armilyen pozit´ıv ² > 0 sz´amhoz l´etezik olyan ²-t´ol ´es a-t´ol f¨ ugg˝o pozit´ıv δ > 0 sz´am, hogy minden x ∈ H, |x − a| < δ eset´en |f (x) − f (a)| < ² teljes¨ ul. Logikai jel¨ol´esekkel ´ırva: ∀² > 0 ∃δ = δ(², a) > 0, ∀x ∈ H |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ². Ezt az ´ertelmez´est ¨osszevetve a hat´ar´ert´ek defin´ıci´oj´aval ad´odik, hogy az f f¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak egy torl´od´asi pontj´aban akkor ´es csak akkor folytonos, ha ott van hat´ar´ert´eke, ´es az egyenl˝o a sz´oban forg´o helyen felvett helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. Matematikai szimb´olumokkal f pontosan akkor folytonos az a ∈ H 0 pontban, ha ∃ limx→a f (x) ´es limx→a f (x) = f (a). A defin´ıci´o alapj´an nyilv´anval´o tov´abb´a, hogy az ´ertelmez´esi tartom´any´anak izol´alt pontjaiban a f¨ uggv´eny folytonos. Ez azt jelenti, hogy ha egy f¨ uggv´eny adott a pontbeli folytonoss´ag´at szeretn´enk meg´allap´ıtani, akkor a k¨ovetkez˝oket vizsg´aljuk meg: ◦ Az a pont torl´od´asi pontja-e a f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak? ◦ Ha a torl´od´ asi pont, akkor kisz´amoljuk feladatt´ol f¨ ugg˝oen defin´ıci´o vagy m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an, hogy mennyi a f¨ uggv´enynek az a pontban a hat´ar´ert´eke, ha l´etezik. ◦ Ha a izol´alt pont, akkor a f¨ uggv´eny folytonos az a pontban, ha torl´od´asi pont, akkor megvizsg´aljuk, hogy hat´ar´ert´eke megegyezik-e a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. Ha lim f (x) x→a

52

3.1. F¨ uggv´enyek folytonoss´aga

nem l´etezik, vagy ugyan l´etezik limx→a f (x), de nem egyezik meg az f (a) helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, akkor f nem folytonos az a-ban. Ekkor a-t az f szakad´asi pontj´anak nevezz¨ uk. Ennek pontos t´argyal´as´ara m´eg visszat´er¨ unk. A hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o ´atviteli elv — a folytonoss´ag most eml´ıtett megfogalmaz´as´at felhaszn´alva — folytonos f¨ uggv´enyekkel kapcsolatban is alkalmazhat´o.

Folytonoss´agra vonatkoz´ o ´atviteli elv. Az f : H → R f¨uggv´eny az a ∈ H pontban akkor ´es csak akkor folytonos, ha minden olyan xn ∈ H (n ∈ N) pontsorozatra, amelyre lim xn = a teljes¨ ul, a n→∞ f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozat´ara fenn´all a k¨ovetkez˝o: lim f (xn ) = f (a).

n→∞

A pontbeli folytonoss´ag mellett haszn´alni fogjuk a halmazra vonatkoz´o folytonoss´agot is. Ezzel kapcsolatos az al´abbi

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H halmazon ´ertelmezett f f¨uggv´eny H valamely K ⊆ H r´ eszhalmaz´ an folytonos, ha f a K halmaz minden pontj´aban folytonos. Speci´alisan, ha f ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f folytonos. A H ⊆ R halmazon ´ertelmezett R → R t´ıpus´ u folytonos f¨ uggv´enyek halmaz´at a C(H, R) vagy gyakran az egyszer˝ ubb C(H) illetve CH szimb´olumokkal fogjuk jel¨olni. Az el˝oz˝o pontban megmutattuk, hogy a polinomoknak, a racion´alis, trigonometrikus, gy¨ok, exponenci´alis, hiperbolikus f¨ uggv´enyeknek ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban l´etezik hat´ar´ert´eke, ´es az a f¨ uggv´eny helyettes´ıt´esi ´ert´ek´evel egyenl˝o. A sz´oban forg´o f¨ uggv´enyek teh´at az eml´ıtett helyeken folytonosak. A kor´abban vizsg´alt sign f¨ uggv´enynek a 0 pontban, az int f¨ uggv´enynek pedig a Z pontjaiban nem l´etezik a hat´ar´ert´eke, k¨ovetkez´esk´eppen ezek az eml´ıtett helyeken nem folytonosak.

Defin´ıci´ o. Ha az f : H → R f¨uggv´eny valamely a ∈ H pontban nem folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f -nek az a helyen szakad´ asa van, mag´at az a pontot pedig az f f¨ uggv´ eny szakad´ asi hely´ enek nevezz¨ uk. Nyilv´anval´ o, hogy ha f az ´ertelmez´esi tartom´any´anak egy a pontj´aban nem folytonos, akkor f -nek vagy nem l´etezik az a helyen hat´ar´ert´eke, vagy ha l´etezik, akkor La (f ) 6= f (a). Ez ut´obbi esetben azt szoktuk mondani, hogy f -nek az a helyen megsz¨ untethet˝o szakad´asa van. Az elnevez´es arra utal, hogy az f ´ertelmez´es´et m´odos´ıtva — az a-beli

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

53

f¨ uggv´eny´ert´eket La (f )-nek v´eve — az a pontban folytonos f¨ uggv´enyt kapunk. Az ½ f (x) :=

x, 1,

(x ∈ R, x 6= 0), (x = 0)

utas´ıt´assal ´ertelmezett f¨ uggv´enynek a 0 helyen megsz¨ untethet˝o szakad´asa van. A szakad´asnak egy m´asik t´ıpus´at is szok´as bevezetni. Ezzel kapcsolatos az al´abbi

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´enynek az a ∈ H pontban ugr´ asa van, ha l´eteznek az f (a−), f (a+) egyoldali hat´ar´ert´ekek ´es f (a−) 6= f (a+). Az |f (a−) − f (a+)| sz´ amot az f f¨ uggv´eny a pontbeli ugr´ as´ anak nevezz¨ uk. A sign f¨ uggv´enynek p´eld´aul ugr´asa van az a = 0 pontban, ´es az ugr´as nagys´aga 2. A megsz¨ untethet˝o szakad´ast ´es az ugr´ast els˝ofaj´ u szakad´asnak, az egy´eb szakad´ast m´asodfaj´ u szakad´asnak nevezz¨ uk. Az el˝oz˝o pontban bebizony´ıtottuk, hogy b´armely f : (α, β) → R monoton f¨ uggv´enynek minden x ∈ (α, β) pontban l´etezik jobb- ´es baloldali hat´ar´ert´eke. Minthogy f (x) az f (x+) ´es f (x−) k¨oz´e esik, az´ert monoton f¨ uggv´enynek nem lehet megsz¨ untethet˝o szakad´asa, ´es nyilv´an minden szakad´asa els˝ofaj´ u. Az (α, β) intervallumon ´ertelmezett monoton f¨ uggv´enyek teh´at vagy folytonosak, vagy ugr´asuk van. A f´eloldali hat´ar´ert´ekhez hasonl´oan szok´as ´ertelmezni az egyoldali folytonoss´ag fogalm´at is.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f : H → R f¨ uggv´eny az a helyen jobbr´ ol folytonos, ha f -nek a H ∩ [a, +∞) halmazra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´ese folytonos a-ban. Ha f -nek a H ∩(−∞, a] halmazra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´ese folytonos a-ban, akkor azt mondjuk, hogy f az a helyen balr´ ol folytonos. A fenti ´ertelmez´es alapj´an nyilv´anval´o, hogy ha a a H ∩ [a, +∞) halmaznak izol´alt £ ¤0 pontja, akkor f jobbr´ol folytonos a-ban. Az a ∈ H ∩ (a, +∞) esetben viszont f pontosan akkor jobbr´ol folytonos a-ban, ha l´etezik az f (a+) jobboldali hat´ar´ert´ek ´es f (a) = f (a+). Hasonl´o ´all´ıt´as fogalmazhat´o meg a baloldali hat´ar´ert´ekre. A sign f¨ uggv´enynek a 0 pontban ugr´asa van, itt sem balr´ol, sem jobbr´ol nem folytonos. Az int f¨ uggv´enynek a Z pontjaiban ugr´asa van. Mivel a ∈ Z eset´en int (a+) = int (a), az´ert az int f¨ uggv´eny a Z pontjaiban jobbr´ol folytonos. P´ elda: A tov´ abbiakban t¨obbsz¨or hivatkozunk az al´abbi, u ´n. Dirichlet f¨ uggv´enyre. Legyen ½ 1, (x ∈ Q), D(x) := 0, (x ∈ R \ Q). Ennek a f¨ uggv´enynek minden a ∈ R pontban m´asodfaj´ u szakad´asa van.

54

3.2. M˝ uveletek folytonos f¨ uggv´enyekkel

Az ´atviteli elv seg´ıts´eg´evel tudjuk k¨onnyen bel´atni az ´all´ıt´ast. Az ´atviteli elv ´ertelm´eben D az a ∈ R pontban nem folytonos, ha l´etezik olyan (xn , n ∈ N) a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat ( lim xn = a), hogy a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozata nem tart D(a)-hoz n→∞

( lim D(xn ) 6= D(a)). n→∞

(i) Ha a ∈ Q, akkor D(a) = 1, ´es legyen xn egy irracion´a√ lis sz´amokb´ol ´all´o, a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat. Ilyen sorozat p´eld´aul az (xn = n2 + a, n ∈ N∗ ) sz´amsorozat. Mivel xn ∈ R \ Q (n ∈ N∗ ), ez´ert D(xn ) = 0 (n ∈ N∗ ), azaz lim D(xn ) = 0 6= 1 = n→∞

D(a). Ezzel bel´attuk, hogy D az a pontban nem folytonos. Ha xn ∈ Q (n ∈ N) racion´alis sz´amokb´ol ´all´o a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat, akkor a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozata 1-hez konverg´al, azaz tal´altunk k´et olyan sorozatot, hogy a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozata k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´ar´ert´ekekhez konverg´al, teh´at az a pontban a f¨ uggv´enynek hat´ar´ert´eke sincs, s˝ot f´eloldali hat´ar´ert´eke sincs, ez´ert az a pont m´asodfaj´ u szakad´asi hely. (ii) Ha a ∈ R \ Q, akkor D(a) = 0, ´es legyen xn egy racion´alis sz´amokb´ol ´all´o, a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat. Mivel minden intervallum v´egtelen sok racion´alis sz´amot tartalmaz, ez´ert ilyen sorozat biztosan l´etezik. Mivel xn ∈ Q (n ∈ N), ez´ert D(xn ) = 1 (n ∈ N), azaz lim D(xn ) = 1 6= 0 = D(a). Ezzel bel´attuk, hogy D az a pontban nem n→∞ folytonos. Ha xn ∈ R \ Q (n ∈ N) irracion´alis sz´amokb´ol ´all´o a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat, akkor a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozata 0-hoz konverg´al, azaz az a pontban a f¨ uggv´enynek hat´ar´ert´eke sincs, ez´ert az el˝oz˝o esethez hasonl´oan az a pont m´asodfaj´ u szakad´asi hely.

3.2. M˝ uveletek folytonos f¨ uggv´enyekkel A hat´ar´ert´ek ´es a folytonoss´ag kapcsolat´at, valamint a hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyokat felhaszn´alva k¨onnyen igazolhat´o az al´abbi ´all´ıt´as.

1. T´etel. B´armely f, g ∈ C(H, R) f¨uggv´enyre ´es λ ∈ R sz´amra f + g, λf, f g ∈ C(H, R). Ha ezen t´ ulmen˝oen a g f¨ uggv´eny nem t˝ unik el a H halmazon, akkor f /g ∈ C(H, R). ´ s. A t´etelt a folytonoss´agra vonatkoz´o ´atviteli elv alapj´an igazoljuk. Legyen Bizony´ıta a ∈ H ´es tekints¨ unk egy olyan (xn , n ∈ N) sorozatot, amelyre xn ∈ H (n ∈ N) ´es limn→∞ xn = a teljes¨ ul. Ekkor az ´atviteli elv alapj´an lim f (xn ) = f (a),

n→∞

lim g(xn ) = g(a).

n→∞

Felhaszn´alva a sorozatok hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti szab´alyokat azt kapjuk, hogy

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

55

l´eteznek az al´abbi hat´ar´ert´ekek ´es ¡ ¢ lim f + g (xn ) = f (a) + g(a), n→∞ ¡ ¢ lim f g (xn ) = f (a)g(a),

¡ ¢ lim λf (xn ) = λf (a),

n→∞

n→∞

tov´abb´a lim

n→∞

³f ´ g

(xn ) =

f (a) , g(a)

felt´eve, hogy az ut´obbi esetben g(a) 6= 0. Innen — ism´et alkalmazva az eml´ıtett ´atviteli elvet — k¨ovetkezik, hogy az f + g, λf, f g, f /g f¨ uggv´enyek az a ∈ H pontban folytonosak. Minthogy ez minden a ∈ H pontban ´erv´enyes, az´ert a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyek a H halmazon folytonosak. ¤ A most igazolt t´etel szerint az algebrai m˝ uveletek nem vezetnek ki a folytonos f¨ uggv´enyek k¨or´eb˝ol. Megmutatjuk, hogy a folytonos f¨ uggv´enyek oszt´alya a k¨ozvetett f¨ uggv´eny k´epz´es m˝ uvelet´ere n´ezve is z´art. El˝otte elism´etelj¨ uk a k¨ozvetett f¨ uggv´eny fogalm´at:

Defin´ıci´ o. Legyen H ⊆ R, K ⊆ R, ´es f : H → K, g : K → R val´os f¨ uggv´enyek. Ekkor a g ◦ f k¨ ozvetett vagy ¨ osszetett f¨ uggv´ eny alatt ´erj¨ uk azt a f¨ uggv´enyt, melynek ´ertelmez´esi tartom´anya H, ´es hozz´arendel´esi szab´alya: x 7→ g(f (x))

(x ∈ H).

A g ´es f k¨oz¨otti m˝ uveletet f¨ uggv´ eny-kompoz´ıci´ onak h´ıvjuk. A folytonoss´ag ´es a f¨ uggv´enykompoz´ıci´o kapcsolat´ara vonatkozik az al´abbi

2. T´etel. Legyen H ⊆ R, K ⊆ R, ´es tegy¨uk fel, hogy az f : H → K f¨ uggv´eny folytonos az a ∈ H pontban, a g : K → R f¨ uggv´eny pedig folytonos az f (a) pontban. Ekkor a g◦f k¨ozvetett f¨ uggv´eny is folytonos az a helyen. ´ s. A folytonoss´agra vonatkoz´o ´atviteli elvet alkalmazva tekints¨ Bizony´ıta unk egy olyan xn ∈ H (n ∈ N) pontsorozatot, amelyre lim xn = a teljes¨ ul. Megmutatjuk, hogy a n→∞ f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozat´ara fenn´all a k¨ovetkez˝o: ¡ ¢ ¡ ¢ (1) lim (g ◦ f )(xn ) = lim g f (xn ) = g f (a) . n→∞

n→∞

Val´oban, az f f¨ uggv´enynek a ∈ H pontbeli folytonoss´aga alapj´an az ´atviteli elvet felhaszn´alva azt kapjuk, hogy lim f (xn ) = f (a). A g f¨ uggv´enynek az f (a) ∈ K pontbeli n→∞

folytonoss´ag´at figyelembe v´eve, ´es ism´et alkalmazva az ´atviteli elvet (1) k¨ovetkezik. Ezzel a k¨ozvetett f¨ uggv´eny folytonoss´ag´at igazoltuk. ¤

56

3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai

A 2. T´etelben bevezetett jel¨ol´eseket haszn´alva a t´etel ´all´ıt´asa alapj´an nyilv´anval´o, hogy ha f ∈ C(H, R), g ∈ C(K, R), akkor g ◦ f ∈ C(H, R). A folytonos f¨ uggv´enyek rendelkeznek egy nagyon hasznos tulajdons´aggal, az u ´.n. fo” kozatos v´altoz´as” tulajdons´aggal. A fokozatos v´altoz´as tulajdons´ag nev´eben is benne van a f¨ uggv´enyeknek egy fontos saj´ats´aga, hogy f¨ uggv´eny´ert´ekei csak fokozatosan v´altozhatnak, nem lehet ugr´as egy folytonoss´agi pontban. Ezt fogalmazza meg matematikai form´aban a k¨ovetkez˝o

3. T´etel. Legyen H ⊆ R, ´es tegy¨uk fel, hogy az f : H → R f¨uggv´eny folytonos az a ∈ H pontban, ´es k < f (a) < K valamely k, K ∈ R sz´amokra. Ekkor van az a pontnak egy olyan k¨ornyezete, hogy a k¨ornyezetbe es˝o ¨osszes x pont a (k, K) intervallumba esik, azaz ∃δ > 0 ∀ x ∈ (a − δ, a + δ) : k < f (x) < K teljes¨ ul. ´ s. Mivel f folytonos az a pontban, ez´ert Bizony´ıta

∀² > 0

∃δ = δ(², a) > 0,

∀x ∈ H,

|x − a| < δ

⇒

|f (x) − f (a)| < ²

Legyen ² := min{K − f (a), f (a) − k}. Ekkor az ehhez az ²-hoz tartoz´o δ eset´en a t´etel ´all´ıt´asa teljes¨ ul. ¤ A 3. t´etelt legt¨obbsz¨or abban az ´ertelemben haszn´aljuk, hogy ha egy folytonos f¨ uggv´eny egy adott pontban pozit´ıv (negat´ıv) ´ert´eket vesz f¨ol, akkor annak a pontnak van egy eg´esz k¨ornyezete, ahol a f¨ ugv´eny pozit´ıv (negat´ıv).

3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai Az al´abbiakban ismertetj¨ uk folytonos f¨ uggv´enyek n´eh´any alapvet˝o tulajdons´ag´at, melyek t¨obbs´ege korl´atos z´art intervallumon ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´enyekre vonatkozik.

3.3.1. Weierstrass t´etele Az els˝o tulajdons´ag el˝ott elism´etelj¨ uk a f¨ uggv´enyek korl´atoss´ag´anak defin´ıci´oj´at.

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

57

Defin´ıci´ o. Legyen H ⊆ R, az f : H → K f¨uggv´eny korl´atos, ha alulr´ ol ´es fel¨ ulr˝ol is korl´atos. Az f f¨ uggv´eny alulr´ ol korl´ atos, ha ∃k ∈ R

:

f (x) = k

:

f (x) 5 K

∀x ∈ H,

fel¨ ulr˝ ol korl´ atos, ha ∃K ∈ R

∀x ∈ H.

A sz´etv´alaszt´asi axi´om´ab´ol k¨ovetkezik, hogy fel¨ ulr˝ol korl´atos f¨ uggv´enynek van legkisebb fels˝o korl´atja, amit fels˝o hat´arnak, vagy szupr´emumnak h´ıvunk, illetve, hogy alulr´ol korl´atos f¨ uggv´enynek van legnagyobb als´o korl´atja, amit als´o hat´arnak, vagy ifimumnak h´ıvunk. Jel¨ol´es: sup{f (x), x ∈ H}, inf{f (x), x ∈ H}. A folytonos f¨ uggv´eny korl´atoss´ag´ar´ol sz´ol a

4. T´etel. Korl´atos z´art intervallumon folytonos f¨uggv´eny korl´atos ezen az intervallumon. ´ s. Legyenek a, b ∈ R val´os sz´amok, ´es f : [a, b] → R folytonos f¨ Bizony´ıta uggv´eny. Elegend˝o a fel¨ ulr˝ol val´o korl´atoss´agot bel´atni. Tegy¨ uk fel ugyanis, hogy minden v´eges z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´eny fel¨ ulr˝ ol korl´atos. Mivel f folytonos, ez´ert nyilv´an a −f f¨ uggv´eny is folytonos, ´es ez´ert fel¨ ulr˝ol korl´atos, azaz l´etezik K ∈ R val´os sz´am, hogy −f (x) 5 K minden x ∈ [a, b] eset´en. Ez azt jelenti, hogy f (x) = −K minden x ∈ [a, b] eset´en, azaz f alulr´ol korl´atos. A fel¨ ulr˝ol val´o korl´atoss´ag bizony´ıt´as´at indirekt m´odon v´egezz¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy f az [a, b] intervallumon nem korl´atos fel¨ ulr˝ ol. Ez azt jelenti, hogy ∀K ∈ R ∃x ∈ [a, b]: f (x) > K. Legyen K := n (n ∈ N), ´es jel¨olj¨ uk a hozz´a tartoz´o [a, b]-beli x-et xn -nel, azaz (2)

∀n ∈ N ∃xn ∈ [a, b]

:

f (xn ) > n.

(xn , n ∈ N) korl´atos sz´amsorozat, mert ∀n ∈ N eset´en a 5 xn 5 b teljes¨ ul, ez´ert a Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel alapj´an l´etezik olyan ν : N → N index-sorozat, hogy az (xνn , n ∈ N) r´eszsorozat konvergens. Legyen α := lim xνn . A hat´ar´ert´ek n→∞

monotonit´as´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an α ∈ [a, b], ´es ´ıgy f az α pontban folytonos (ha α az intervallum v´egpontja, akkor balr´ol, illetve jobbr´ol folytonos). Az ´atviteli elv alapj´an viszont akkor lim f (xνn ) = f (α), ami ellentmond (2)-nek, mert (2) szerint lim f (xνn ) = ∞. ¤

n→∞

n→∞

Megjegyezz¨ uk, hogy a t´etel egyik felt´etele sem hagyhat´o el. Ha p´eld´aul f1 (x) := ex (x ∈ I1 := [0, +∞)), 1 (x ∈ I2 := (0, 1]), f2 (x) := x

58

3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai

akkor f1 az I1 nem korl´atos, f2 az I2 korl´ atos, de nem z´art intervallumon folytonos. Mivel az f1 , ´es f2 ´ert´ekk´eszlete is [1, ∞), ez´ert f1 ´es f2 sem korl´atos fel¨ ulr˝ol. Az al´abbiakban megfogalmazzuk a folytonos f¨ uggv´enyek egy m´asik fontos tulajdons´ag´at. Ehhez felhaszn´aljuk az al´abbi fogalmakat.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a val´os ´ert´ek˝u f : H → R f¨ uggv´ enynek van maximuma, ha ´ert´ekk´eszlet´enek van maximuma. sz´ oval l´etezik olyan x∗ ∈ H hely, amelyre

M´as

f (x) 5 f (x∗ ) (∀x ∈ H) teljes¨ ul. Ha az f ´ert´ekk´eszlet´enek van minimuma, azaz ha l´etezik olyan x∗ ∈ H elem, amelyre f (x∗ ) 5 f (x) (∀x ∈ H) teljes¨ ul, akkor azt mondjuk az f f¨ uggv´ enynek van minimuma. Az ´ertelmez´esi tartom´any x∗ pontj´at maximumhelynek, az x∗ elemet minimumhelynek, az f (x∗ ) sz´amot a f¨ uggv´ eny maximum´ anak, f (x∗ )-et pedig a f¨ uggv´ eny minimum´ anak nevezz¨ uk. A maximumot ´es minimumot k¨oz¨os n´even sz´els˝o´ert´eknek nevezz¨ uk. Folytonos f¨ uggv´enyek sz´els˝o´ert´ekeivel kapcsolatos az al´abbi

Weierstrass-t´etel. V´eges z´art intervallumon ´ertelmezett val´os ´ert´ek˝u folytonos f¨ uggv´eny felveszi sz´els˝o´ert´ekeit. ´ s. Legyenek a, b ∈ R val´os sz´amok, ´es f : [a, b] → R folytonos f¨ Bizony´ıta uggv´eny. Az el˝oz˝o t´etel alapj´an f korl´atos. Legyen M az f ´ert´ekk´eszlet´enek fels˝o, m pedig az als´o hat´ara, azaz M := sup{f (x), x ∈ [a, b]}

m := inf{f (x), x ∈ [a, b]}.

Ekkor a fels˝o hat´ar ´ertelmez´ese alapj´an minden n ∈ N∗ sz´amhoz l´etezik az ´ertelmez´esi tartom´anynak olyan xn eleme, amelyre (3)

M−

1 < f (xn ) 5 M n

(n ∈ N∗ )

teljes¨ ul, hiszen M az ´ert´ekk´eszletnek fels˝o korl´atja, m´ıg M − n1 m´ar nem fels˝o korl´at. Az (xn , n ∈ N∗ ) korl´atos sz´amsorozat, mert ∀n ∈ N∗ eset´en a 5 xn 5 b teljes¨ ul, ez´ert a Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel alapj´an l´etezik olyan ν : N∗ → N∗ indexsorozat, hogy az (xνn , n ∈ N∗ ) r´eszsorozat konvergens. Legyen x∗ := lim xνn . A n→∞

hat´ar´ert´ek monotonit´as´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an x∗ ∈ [a, b], ´es ´ıgy f az x∗ pontban folytonos (ha x∗ az intervallum v´egpontja, akkor balr´ol, illetve jobbr´ol folytonos). Az

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

59

´atviteli elv alapj´an viszont akkor lim f (xνn ) = f (x∗ ). A rend˝or elvet alkalmazva (3) n→∞

alapj´an lim f (xνn ) = M ad´odik. A hat´ar´ert´ek unicit´asa miatt f (x∗ ) = M . Ezzel n→∞ megmutattuk, hogy M az f f¨ uggv´eny maximuma. A minimumra vonatkoz´o ´all´ıt´as hasonl´oan igazolhat´o. ¤ Megjegyezz¨ uk, hogy az el˝oz˝o t´etel felt´etelei k¨oz¨ ul egyik sem hagyhat´o el. Legyen ugyanis 1 (x ∈ I1 := [0, +∞)), x 1 f2 (x) := (x ∈ I2 := (1, 2)), x f3 (x) := x (x ∈ (−1, 1)), f3 (−1) := f3 (1) := 0

f1 (x) :=

(I3 := [−1, 1]).

Ekkor f1 az I1 nem korl´atos, f2 az I2 korl´ atos, de nem z´art intervallumon folytonos. Mivel az f1 ´ert´ekk´eszlete (0, 1], ez´ert f1 -nek nincs minimuma ´es mivel az f2 ´ert´ekk´eszlete (1/2, 1), az´ert f2 -nek nincsenek sz´els˝o´ert´ekei. Az f3 ´ertelmez´esi tartom´anya korl´atos, z´art intervallum, de f3 nem folytonos. Az f3 ´ert´ekk´eszlete (−1, 1), s ez´ert f3 -nek sincsenek sz´els˝o´ert´ekei. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a sz´oban forg´o t´etel felt´etelei el´egs´egesek, de nem sz¨ uks´egesek. Ez m´ask´ent fogalmazva azt jelenti, hogy sz´els˝o´ert´ek akkor is l´etezhet, ha az eml´ıtett felt´etelek k¨oz¨ ul egyik sem teljes¨ ul. Vegy¨ uk pl. a Dirichlet-f´ele f¨ uggv´enyt, amelynek ´ertelmez´esi tartom´anya nem korl´atos, ´es a f¨ uggv´eny sehol sem folytonos (l´asd a 3.1. pont v´eg´et). Ugyanakkor a Dirichlet f¨ uggv´enynek l´etezik a maximuma ´es minimuma.

3.3.2. Egyenletes folytonoss´ag V´eges z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´enyeknek egy m´asik fontos tulajdons´aga az egyenletes folytonoss´ag fogalm´aval kapcsolatos. E fogalom bevezet´ese el˝ott eml´ekeztet¨ unk a folytonoss´ag ´ertelmez´es´ere. A H ⊆ R halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´eny folytonoss´aga — a H minden x pontj´aban fel´ırva a folytonoss´ag defin´ıci´oj´at — a k¨ovetkez˝ot jelenti: ∀x ∈ H ∀² > 0 ∃δ = δ(², x) > 0 ∀y ∈ H, |x − y| < δ : |f (x) − f (y)| < ². Az itt szerepl˝o δ sz´am ´altal´aban f¨ ugg x-t˝ol ´es ²-t´ol is. Ha p´eld´aul f (x) := 1/x (x ∈ H := (0, 1)), akkor adott ² ´es x ∈ H eset´en — az f monotonit´as´at figyelembe v´eve — k¨onnyen megadhat´o az a legnagyobb δ sz´am, amelyre a fenti felt´etel teljes¨ ul. Nevezetesen, a sz´oban forg´o δ-ra (x − y = δ, 1/y − 1/x = ²) 1 1 +²= , x x−δ

azaz δ =

²x2 . 1 + ²x

60

3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai

Innen l´athat´ o, hogy x → 0 eset´en — r¨ogz´ıtett ² mellett — δ tart 0-hoz. Ha ezzel szemben minden ² > 0 sz´amhoz l´etezik olyan — x-t˝ol f¨ uggetlen, univerz´alis — pozit´ıv δ, amelyre x, y ∈ H, |x − y| < δ est´en |f (x) − f (y)| < ² teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny a H halmazon egyenletesen folytonos. Logikai jel¨ol´eseket haszn´alva ezt az al´abbi, ezzel ekvivalens form´aban is megfogalmazhatjuk.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak valamely H r´eszhalmaz´an egyenletesen folytonos, ha (4) ∀² > 0 ∃δ = δ(²) > 0 ∀x, y ∈ H, |x − y| < δ : |f (x) − f (y)| < ². A defin´ıci´o tagad´as´aval azonnal ad´odik a nem egyenletesen folytonoss´ag ´ertelmez´ese. Matematikai jel¨ol´esekkel ´ırva f nem egyenletesen folytonos a H halmazon, ha ∃² > 0 ∀δ > 0 ∃x, y ∈ H, |x − y| < δ, ´es m´egis |f (x) − f (y)| = ². Az egyenletes folytonoss´ag ´es a folytonoss´ag defin´ıci´oj´at egybevetve ad´odik, hogy a H halmazon egyenletesen folytonos f¨ uggv´eny a H minden pontj´aban folytonos. Megford´ıtva, a H-n folytonos f¨ uggv´eny nem sz¨ us´egk´eppen egyenletesen folytonos a H-n. Az el˝obb ´ertelmezett f (x) := 1/x (x ∈ (0, 1)) f¨ uggv´eny folytonos, de nem egyenletesen folytonos a H = (0, 1) halmazon. Ekkor ugyanis l´etezik olyan ² > 0 (pl. ² = 1/2), amelyhez nem tal´alhat´o olyan δ, amelyre (4) teljes¨ ulne. Ugyanis b´armely δ > 0 eset´en l´etezik olyan x, y ∈ (0, 1) amelyre |x − y| < δ, ugyanakkor |f (x) − f (y)| ≥ ². Val´oban v´alasszunk egy pozit´ıv δ-t ´es legyen n > 1/δ, n > 2. Ekkor az x=

1 , n

y=

1 n−1

(0, 1)-beli pontokra |x − y| =

1 1 < < δ, n(n − 1) n

|f (x) − f (y)| = 1 > ²,

ami az ´all´ıt´as bizony´ıt´as´at jelenti. Megmutatjuk, hogy ha H v´eges, z´art intervallum, ´es f folytonos a H-n, akkor ezen a halmazon az f f¨ uggv´eny sz¨ uks´egk´eppen egyenletesen folytonos.

Az egyenletes folytonoss´ag t´etele. V´eges z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´eny ezen az intervallumon egyenletesen is folytonos. ´ s. Legyenek a, b ∈ R val´os sz´amok, ´es f : [a, b] → R folytonos f¨ Bizony´ıta uggv´eny. A t´etelt indirekt m´odon bizony´ıtjuk. Az ´all´ıt´assal ellent´etben tegy¨ uk fel, hogy f nem egyenletesen folytonos a [a, b]-n, azaz ∃² > 0 ∀ δ > 0 ∃x, y ∈ [a, b], |x − y| < δ :

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

61

|f (x) − f (y)| = ². Ezt az ´all´ıt´ast δ = 1/n (n ∈ N∗ ) eset´en alkalmazva azt kapjuk, hogy van olyan ² > 0 ´es olyan (xn , n ∈ N∗ ) ´es (yn , n ∈ N∗ ) sz´amsorozat, amelyre (5)

xn , yn ∈ [a, b],

|xn − yn |
0 ∃δ1 = δ1 (²1 ) > 0 ∀x, y ∈ (a, b], |x − y| < δ1 : |f (x) − f (y)| < ²1 , ∀²2 > 0 ∃δ2 = δ2 (²2 ) > 0 ∀x, y ∈ [b, c), |x − y| < δ2 : |f (x) − f (y)| < ²2 . Legyen ² > 0 tetsz˝oleges pozit´ıv sz´am, ´es ²1 := ²2 := ²/2, δ := min{δ1 (²/2), δ2 (²/2)}. Ekkor, ha x, y ∈ (a, c), u ´gy hogy |x − y| < δ teljes¨ ul, akkor |f (x) − f (y)|
0,

∀x ∈ (x∗ − δ, x∗ + δ) :

f (x) 6= c,

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

63

´es ekkor x∗ nem lenne H-nak fels˝o hat´ara. Ezzel bel´attuk, hogy f minden ´ert´eket felvesz az (α, β) intervallumr´ol, teh´at f sz¨ urjekt´ıv, ´es mivel szigor´ uan monoton, ez´ert injekt´ıv, azaz bijekt´ıv lek´epez´es, l´etezik inverze, ´es f −1 : (α, β) → (a, b). 2. l´ep´es.: Megmutatjuk, hogy f −1 is szigor´ uan monoton n˝o. Indirekt m´odon bizony´ıtjuk. Tegy¨ uk fel, hogy f nem szigor´ uan monoton n˝o. Ekkor l´eteznek olyan x0 , x00 ∈ (α, β) sz´amok, melyekre x0 < x00 , ´es f −1 (x0 ) = f −1 (x00 ) egyenl˝otlens´egek teljes¨ ulnek. Mivel f szigor´ uan monoton n˝o, ez´ert x0 = f (f −1 (x0 ) = f (f −1 (x00 )) = x00 , ami ellentmond az x0 < x00 felt´etelnek. 3. l´ep´es.: Bel´ atjuk, hogy f −1 folytonos os (α, β) intervallumon. Indirekt m´odon bizony´ıtunk. Az ´all´ıt´assal ellent´etben tegy¨ uk fel, hogy f −1 nem folytonos. Ekkor — a folytonoss´agra vonatkoz´o ´atviteli elv alapj´an — l´etezik olyan y ∗ ∈ (α, β) pont ´es egy ehhez konverg´al´o (α, β)-beli (yn , n ∈ N) sorozat, amelyre az (f −1 (yn ), n ∈ N) sorozat nem tart az x∗ := f −1 (y ∗ ) sz´amhoz. K¨ovetkez´esk´eppen, l´etezik olyan δ > 0 sz´am, hogy az (xn := f −1 (yn ), n ∈ N) sorozatnak v´egtelen sok tagja van a Kδ (x∗ ) k¨ornyezeten k´ıv¨ ul, azaz l´etezik N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy az (xn , n > N ) sorozat minden eleme az (x∗ −δ, x∗ +δ) intervallumon k´ıv¨ ul esik. Az (xn , n > N ) sorozat korl´atos, mert α < xn < β, (∀n ∈ N), ez´ert a Bolzano-Weierstrass-f´ele kiv´alaszt´asi t´etel alapj´an l´etezik olyan ν : N → N \ {1, 2, ..., N } index-sorozat, hogy az (xνn , n ∈ N) r´essorozat konvergens. Ennek a r´eszsorozatnak is minden tagja, k¨ovetkez´esk´eppen x∗ hat´ar´ert´eke is az eml´ıtett k¨ornyezeten k´ıv¨ ul esik, azaz |xνn − x∗ | ≥ δ,

lim xνn = x∗ ,

n→∞

|x∗ − x∗ | ≥ δ > 0,

s ez´ert nyilv´anval´oan x∗ 6= x∗ . Az f f¨ uggv´eny x∗ pontbeli folytonoss´aga alapj´an — ism´et csak az ´atviteli elvet haszn´alva — azt kapjuk, hogy lim f (xνn ) = lim yνn = f (x∗ ).

n→∞

n→∞

∗

M´asr´eszt a kiindul´as szerint yn → y , ha n → ∞, k¨ovetkez´esk´eppen a most tekintett r´eszsorozat hat´ar´ert´ek´ere lim yνn = y ∗ = f (x∗ ) n→∞

ad´odik. Ezzel azt kaptuk, hogy x∗ 6= x∗ ,

ugyanakkor f (x∗ ) = f (x∗ ),

s ez nyilv´an ellentmond annak, hogy f bijekt´ıv lek´epez´es. Ezzel a t´etelt igazoltuk. ¤ Itt jegyezz¨ uk meg, hogy ezt a t´etelt lehet sok f¨ uggv´eny folytonoss´ag´anak meg´allap´ıt´as´ara haszn´alni. T¨obbek k¨oz¨ott, mivel az eg´esz kitev˝oj˝ u gy¨okf¨ uggv´eny a megfelel˝o kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny, illetve annak a nemnegat´ıv val´os sz´amok hamaz´ara

64

3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek tulajdons´agai

val´o lesz˝ uk´ıt´es´enek az inverzf¨ uggv´enye, ez´ert annak folytonoss´aga, ´es monotonit´asa a hatv´anyf¨ uggv´eny folytonoss´ag´anak ´es monotonit´as´anak k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye. Azaz az f : [0, +∞) → [0, +∞) f (x) = x2n (n ∈ N∗ ) f¨ uggv´eny uan monoton n˝o, √ szigor´ folytonos, teh´at az inverze f −1 : [0, +∞) → [0, +∞) f −1 (x) = x 2n f¨ uggv´eny is szigor´ uan monoton n˝o, ´es folytonos. Az az f : R → R f (x) = x2n+1 (n ∈ N) f¨ uggv´eny szigor´ u an √ monoton n˝o, folytonos, teh´at az inverze f −1 : [0, +∞) → [0, +∞) f −1 (x) = x 2n + 1 f¨ uggv´eny is szigor´ uan monoton n˝o, ´es folytonos.

3.3.4. Bolzano t´etele Folytonos f¨ uggv´enyek egy tov´abbi alapvet˝o tulajdons´ag´at fogalmazzuk meg az al´abbi t´etelben. Az al´abbi ´all´ıt´as olyan f¨ uggv´enyekre vonatkozik, amelyek ´ertelmez´esi tartom´anya R-beli (v´eges vagy v´egtelen, ny´ılt, z´art vagy f´elig ny´ılt) intervallum.

Bolzano-t´etel. Tegy¨uk fel, hogy az I ⊆ R intervullomon ´ertelmezett f : I → R val´os f¨ uggv´eny folytonos. Ekkor f ´ert´ekk´eszlet´enek b´armely k´et eleme k¨oz´e es˝o ´ert´eket felveszi, azaz v´eve b´armely k´et a, b ∈ I (a < uggv´eny´ert´ekeket ´es egy y1 ´es y2 b) helyen az y1 = f (a), y2 = f (b) f¨ k¨oz´e es˝o y val´os sz´amot, l´etezik olyan (a, b)-beli x, amelyre f (x) = y. Tulajdonk´eppen ezt a t´etelt m´ar bebizony´ıtottuk monoton f¨ uggv´enyek eset´en az 5. t´etelben. Most tetsz˝oleges intervallumon ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´enyre is megmutatjuk a bizony´ıt´ ast. ´ s. Tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy f (a) < f (b) ´es legyen f (a) < y < f (b). Az f (b) > f (a) eset hasonl´oan t´argyalhat´o. Rekurzi´oval olyan [an , bn ] (n ∈ N) intervallumsorozatot defini´alunk, amelyre az al´abbiak teljes¨ ulnek: i)

[a0 , b0 ] := [a, b], ii) [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ] (n ∈ N), b−a iii) bn − an = n , iv) f (an ) 5 y 5 f (bn ) (n ∈ N). 2 Rekurzi´ot haszn´alva tegy¨ uk fel, hogy valamely n ∈ N sz´amra az [an , bn ] intervallumot m´ar defini´altuk ´es fenn´all ii)-iv). Legyen cn :=

an + bn 2

a sz´oban forg´o intervallum felez´espontja ´es ´ertelmezz¨ uk az (n + 1)-edik intervallumot a k¨ovetkez˝ok szerint: [an+1 , bn+1 ] = [an , cn ],

ha

f (cn ) > y,

[an+1 , bn+1 ] = [cn , bn ],

ha

f (cn ) 5 y.

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

65

Ekkor [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ],

bn+1 − an+1 =

bn − an b−a = n+1 2 2

´es tov´abbra is fenn´all az f (an+1 ) 5 y 5 f (bn+1 ) egyenl˝otlens´eg. Ezzel megmutattuk, hogy az ´ıgy szerkesztett intervallumsorozat val´oban rendelkezik az el˝o´ırt tulajdons´agokkal. A konstrukci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy an 5 an+1 ,

bn = bn+1 ,

a 5 an 5 bn 5 b

(∀n ∈ N),

azaz az (an , n ∈ N), (bn , n ∈ N) sorozatok mindegyike monoton, ´es korl´atos, ez´ert konvergens, ´es iii)-b´ol k¨ovetkezik, hogy hat´ar´ert´ek¨ uk megegyezik, amelyet x-szel jel¨ol¨ unk. Megmutatjuk, hogy erre f (x) = y teljes¨ ul. Val´oban, minthogy lim an = lim bn = x,

n→∞

n→∞

ez´ert a folytonoss´agra vonatkoz´o ´atviteli elv, a sorozat-hat´ar´ert´ek monotonit´as´ara vonatkoz´o t´etel, valamint a iv) felt´etel alapj´an f (x) = lim f (an ) 5 y 5 lim f (bn ) = f (x), n→∞

n→∞

ahonnan f (x) = y k¨ovetkezik. ¤ A Bolzano-t´etelb˝ol egyszer˝ uen ad´odik az al´abbi

K¨ ovetkezm´eny. B´armely, intervallumon ´ertelmezett nem konstans, folytonos f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete intervallum. ´ s. Val´ Bizony´ıta oban, legyen α az ´ert´ekk´eszlet als´o, β az ´ert´ekk´eszlet fels˝o hat´ara. Megmutatjuk, hogy az (α, β) intervallum minden pontja az ´ert´ekk´eszlethez tartozik. Minthogy α-n´al kisebb ´es β-n´al nagyobb eleme nincs az ´ert´ekk´eszletnek, az´ert innen az ´all´ıt´as m´ar k¨ovetkezik. Legyen y ∈ (α, β). Ekkor az α ´es β sz´amok defin´ıci´oja alapj´an l´etezik az ´ertelmez´esi tartom´anynak olyan a ´es b pontja, hogy α 5 f (a) < y < f (b) 5 β. Alkalmazva a Bolzano-t´etelt azt kapjuk, hogy az ´ertelmez´esi tartom´anyban l´etezik olyan x pont , amelyre f (x) = y, k¨ovetkez´esk´eppen y eleme az ´ert´ekk´eszletnek. ¤ A fenti k¨ovetkezm´eny r¨oviden ´ıgy fogalmazhat´o meg: intervallum folytonos k´epe intervallum.

66

3.4. Exponenci´alis- ´es logaritmusf¨ uggv´enyek

Ezt a t´etelt ´ert´ekk´eszlet meghat´aroz´as´ara lehet haszn´alni. P´eld´aul, mivel lim n2k+1 = +∞,

´es

n→+∞

lim (−n)

2k+1

n→∞

= −∞

(k ∈ N),

ez´ert a p´aratlan eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete a val´os sz´amok halmaza, ´es mivel 2k lim n2k = lim (−n) = +∞, ´es 02k = 0, (k ∈ N∗ ) n→∞

n→∞

ez´ert a p´aros eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete a nemnegat´ıv val´os sz´amok halmaza. A Bolzano-t´etel bizony´ıt´as´aban haszn´alt m´odszert intervallumfelez´ esi elj´ ar´ asnak nevezik. Az algoritmus felhaszn´alhat´o az y = f (x) egyenlet x0 megold´as´anak k¨ozel´ıt˝o kisz´am´ıt´as´ara. Az elj´ar´as sor´an szerkesztett (an , n ∈ N) sorozattal k¨ozel´ıtve x0 -at, az n-edik l´ep´esben elk¨ovetett hib´ara |an − x0 | 5

b−a 2n

ad´odik. Megjegyezz¨ uk, hogy a Bolzano-t´etel k´et felt´etele k¨oz¨ ul egyik sem hagyhat´o el. A sign f¨ uggv´eny — amely nem folytonos — felveszi a 0 ´es 1 ´ert´eket, de nem vesz fel egyetlen 0 ´es 1 k¨oz´e es˝o ´ert´eket sem. Legyen H := (0, 1) ∪ (1, 2), ´es ´ertelmezz¨ uk az f f¨ uggv´enyt az al´abbi m´odon: ½ f (x) :=

0,

ha x ∈ (0, 1),

1,

ha x ∈ (1, 2).

Nyilv´anval´ o, hogy f folytonos, de egyetlen 0 ´es 1 k¨oz´e es˝o ´ert´eket sem vesz fel. Ez a p´elda azt mutatja, hogy ha a folytonos f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya nem intervallum, akkor a f¨ uggv´eny kihagyhat ´ert´ekeket. A most eml´ıtett k´et felt´etel el´egs´eges, de nyilv´an nem sz¨ uks´eges ahhoz, hogy a f¨ uggv´eny b´armely k´et ´ert´eke k¨oz´e es˝o ´ert´ekeket felvegye.

3.4. Exponenci´alis- ´es logaritmusf¨ uggv´enyek Az expa (x) = ax (a > 0, a 6= 1) a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enyt m´ar a 2.5.6. pontban ´ertelmezt¨ uk a val´ os sz´amok halmaz´an, ´es bel´attuk r´ola, hogy szigor´ uan monoton n˝o, ha az alap egyn´el nagyobb, szigor´ uan monoton cs¨okken, ha az alap egyn´el kisebb, ´es konstans, ha az alap eggyel egyenl˝o. Tov´ abb´a bel´attuk, hogy ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

67

pontj´aban megegyezik hat´ar´ert´eke a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel, azaz folytonos. Az a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny inverz´enek ´ertelmez´es´ehez felhaszn´aljuk a lim expa (n) = lim an = +∞,

n→∞

n→∞

lim expa (n) = lim an = 0,

n→∞

n→∞

lim expa (−n) = lim a−n = 0, ha a > 1,

n→∞

n→∞

lim expa (−n) = lim a−n = ∞, ha a < 1

n→∞

n→∞

egyenl˝os´egeket. Minthogy az R intervallumon ´ertelmezett folytonos f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete — az el˝oz˝ o pont k¨ovetkezm´enye alapj´an — intervallum, az´ert az expa (a > 0, a 6= 1) f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete a (0, +∞) intervallum. Az expa f¨ uggv´eny grafikonj´at az a > 0 param´eter k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett az al´abbi ´abr´an szeml´eltetj¨ uk.

y

a>1

1 a=1 0 0, a 6= 1. Az expa f¨uggv´eny inverz´et a-alap´ u logaritmusf¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk ´es a loga szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Leggyakrabban az u ´.n. term´eszetes alap´ u logaritmusf¨ uggv´enyt haszn´aljuk, ez´ert fontoss´ag´an´al fogva ezt k¨ ul¨on is defini´aljuk.

Defin´ıci´ o. A term´eszetes alap´u exponenci´alis f¨uggv´eny inverz´et term´ eszetes alap´ u logaritmusf¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk ´es az ln vagy a log szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Az a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny tulajdons´agai alapj´an ad´odnak a loga (a > 0, a 6= 1) f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o k¨ovetekez˝o ´all´ıt´asok.

68

3.4. Exponenci´alis- ´es logaritmusf¨ uggv´enyek

6. T´etel A loga : (0, +∞) → (−∞, +∞) f¨uggv´eny folytonos,

szigor´ uan monoton n¨ov˝o, ha a > 1, szigor´ uan monoton fogy´o, ha 0 < a < 1, tov´abb´a ´erv´enyesek a k¨ovetkez˝ok: i)

loga (1) = 0,

ii) a iii) iv) v)

loga x

loga (a) = 1,

= x (x > 0),

loga (ax ) = x (x ∈ R),

loga (xy) = loga x + loga y

(x, y > 0, a > 0, a 6= 1),

y

loga (x ) = y loga x (x > 0, y ∈ R, a > 0, a 6= 1), logb x (a, b, x > 0, a 6= 1, b 6= 1). loga x = logb a

´ s. Az inverz-f¨ Bizony´ıta uggv´eny folynoss´ag´ara vonatkoz´o t´etelb˝ol a folytonoss´ag ´es a monotonit´as k¨ovetkezik, valamint mivel a0 = 1, ez´ert az inverz-f¨ uggv´eny defin´ıci´oja alapj´an i) ad´odik. ii) a logaritmus f¨ uggv´eny ´ertelmez´es´enek azonnali k¨ovetkezm´enye. Mivel az a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton (ha a > 0, a 6= 1), ez´ert iii) illetve iv) ekvivalens azzal, hogy

aloga (xy) = aloga x+loga y

(x, y > 0),

aloga (x

y

)

= ay loga x

(x > 0, y ∈ R).

Alkalmazva ii)-t, ´es az exponenci´alis f¨ uggv´eny tulajdons´agait (2.5.6. 10. T´etel),

xy = aloga x · aloga y = xy

(x, y > 0),

¡ ¢y xy = aloga x = xy

(x > 0, y ∈ R)

azonoss´agok ad´odnak. v) igazol´as´ahoz ´ırjuk fel x-et x = at (t ∈ R) alakban. Mivel x > 0, ez´ert ilyen t ∈ R biztosan l´etezik. Ezt be´ırva v)-be, iv) alapj´an v) ekvivalens a

t = loga at =

logb at t logb a = =t logb a logb a

azonoss´aggal. ¤ A iii) azonoss´agot a logaritmusf¨ uggv´eny f¨ uggv´enyegyenlet´enek nevezik.

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

69

A loga f¨ uggv´eny grafikonj´at szeml´eltetj¨ uk az al´abbi ´abr´an. y

a>1

x 1

0 0) azonoss´agot felhaszn´alva — az ¨osszetett f¨ uggv´eny folytonoss´ag´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an — k¨ovetezik, hogy hµ folytonos, monoton f¨ uggv´eny. Egyszer˝ uen bel´athat´o, hogy hµ szigor´ uan monoton n¨ov˝o, ha µ > 0 ´es szigor´ uan monoton fogy´o, ha µ < 0, tov´abb´a i) h0 (x) = 1 ii) iii)

(x > 0),

lim xµ = 0,

x→+0

lim xµ = +∞,

x→+0

lim xµ = +∞

x→+∞

lim xµ = 0

x→+∞

(µ > 0), (µ < 0).

A hµ hatv´anyf¨ uggv´eny grafikonj´at a µ kitev˝o k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´ekei mellett az al´abbi ´abr´an

70

3.6. A trigonometrikus f¨ uggv´enyek inverze

szeml´eltetj¨ uk.

y

µ>1 0= 0). ¡1¢ h) f (x) := x int (x ∈ R, x 6= 0). x ½ −1/x e , (x ∈ R, x 6= 0), i) f (x) := 1, (x = 0).

g) f (x) :=

j)

√

2

f (x) := (−1)int (x

)

(x ∈ R).

3. Folytonosak-e az al´abbi val´os f¨ uggv´enyek? Param´eter eset´en tanulm´anyozzuk a folytonoss´agot az (α ∈ R) param´eter f¨ uggv´eny´eben! ½ a) f (x) := ½ c) f (x) := ½ e)

f (x) := (

g)

f (x) :=

2x, 2 − x,

(x ∈ [−1, 1]), (1 < x 5 2).

x, 1,

(|x| 5 1), (|x| > 1).

x,

(x ∈ Q),

x2 ,

(x ∈ R \ Q).

√ 1−cos x 1−cos x ,

(x ∈ [− π2 , π2 ] \ {0}),

α,

(x = 0),

½ b) f (x) :=

ex , a + x,

 −x  2 , d) f (x) := 2x ,   2 2x , ½ ln x, f ) f (x) := 0, ( 2 h)

f (x) :=

(x < 0), (x = 0). (x < 1), (x ∈ [−1, 1]), (x > 1). (x > 1), (x 5 1),

x −4 x−2 ,

(x 6= 2),

α,

(x = 2).

4. Tegy¨ uk fel, hogy az f ´es g f¨ uggv´enynek az α helyen szakad´asa van. Lehet-e folytonos az f + g, f − g, f /g, f 2 f¨ uggv´eny az α helyen ? 5. Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos, a g f¨ uggv´enynek szakad´asa van az α helyen. Lehet-e f + g, f g, f /g, f 2 folytonos az α helyen ? 6. Tegy¨ uk fel, hogy az a) f 2 b) f 3 c) f1 f¨ uggv´eny folytonos az α helyen. Folytonos-e ekkor az f f¨ uggv´eny az α pontban? 7. Tegy¨ uk fel, hogy az f : H → K f¨ uggv´enynek az α ∈ H helyen, a g : K → R f¨ uggv´enynek pedig az f (α) ∈ K helyen van szakad´asa. Lehet-e folytonos a g ◦ f f¨ uggv´eny az α helyen ? 8. Vizsg´aljuk az al´abbi, f ´es g f¨ uggv´enyekb˝ol k´epzett f ◦ g ´es g ◦ f k¨ozvetett f¨ uggv´eny

78

3.5. Feladatok

folytonoss´ag´at. a) f (x) := sign(x), g(x) := 1 + x2

(x ∈ R), 2

b) f (x) := sign(x), g(x) := x(1 − x )

(x ∈ R).

c) f (x) := sign(x), g(x) := 1 + x − int(x) (x ∈ R). ½ x, (0 < x 5 1), d) f (x) := 2 − x, (1 < x < 2), ½ (x ∈ Q), x, g(x) := 2 − x, (x ∈ R \ Q). ½ x, (x ∈ Q), 2 e) f (x) := x , g(x) := −x, (x ∈ R \ Q), π f ) f (x) := tg x (x ∈ R \ {(2k + 1) }), g(x) := arctg x (x ∈ R), 2 g) f (x) := sin x (x ∈ R), g(x) := arcsin x (x ∈ [−1, 1]).

9. Tegy¨ uk fel, hogy az f, g : H → R f¨ uggv´enyek folytonosak. Igazoljuk, hogy ekkor az al´abbi F, G f¨ uggv´enyek is folytonosak. a) F (x) := |f (x)| (x ∈ H),  (x ∈ H, f (x) < −c),   −c, b) Fc (x) := f (x), (x ∈ H, |f (x)| ≤ c),   c, (x ∈ H, f (x) > c), c) F (x) := min{f (x), g(x)} (x ∈ H), d) G(x) := max{f (x), g(x)}

(x ∈ H).

10. ´Irjuk fel az al´abbi f¨ uggv´enyek inverz´et, ha sz¨ uks´eges, sz˝ ukits¨ uk le az ´ertelmez´esi tartom´anyt! ax + b (x ∈ R, ad − bc 6= 0), cx + d b) f (x) := x + int(x) (x ∈ R), ½ x, (x ∈ Q), c) f (x) := −x, (x ∈ R \ Q), √ 13 −3 − 13 + 4x (x = − ), d) f (x) := 2 4 a) f (x) :=

3. Folytonos f¨ uggv´enyek

79

e) f (x) := 3x2 − 6x + 2

(x ∈ R),

2

f ) f (x) := −2x + 10x − 1

(x ∈ R),

2

g) f (x) := x + 4x (x ∈ R), h) f (x) := 4x2 − 20x + 12 (x ∈ R), π i) f (x) := 4 sin(x + ) (x ∈ R), 6 π j) f (x) := − cos(2x + ) (x ∈ R), 2 π k) f (x) := 2tg (−x + ) (x ∈ R). 3 11. Igazoljuk, hogy az f (x) := (1 + x2 )sign(x)

(x ∈ R)

szakad´asos f¨ uggv´eny inverze folytonos. 12. Tegy¨ uk fel, hogy az f : [0, +∞) → R folytonos ´es f -nek l´etezik v´eges hat´ar´ert´eke a +∞-ben. Igazoljuk, hogy f egyenletesen folytonos a [0, +∞) intervallumon. 13. Egyenletesen folytonosak-e az al´abbi f¨ uggv´enyek a felt¨ untetett halmazokon ? a) f (x) := x2

(x ∈ (−a, a), a ∈ R), x c) f (x) := (x ∈ [−1, 1]), 4 − x2 √ e) f (x) := 3 x (x ∈ [0, +∞)),

f ) f (x) := ln x (x ∈ [1, +∞)),

g)

h) f (x) := cos2 x (x ∈ (−∞, +∞)),

f (x) := sin x (x ∈ (−∞, ∞)),

i) f (x) := x2 k) f (x) := e

x

(x ∈ [0, +∞), (x ∈ [−1, 1)),

b) f (x) := ln x (x ∈ (0, 1)), √ d) f (x) := x (x ∈ [1, +∞)),

j)

f (x) := ex

(x ∈ [1, +∞)),

`)

x

(x ∈ (−∞, 0]).

f (x) := e

14. Az f : [a, b] → R folytonos f¨ uggv´eny folytonoss´ agi modulus´ at az ωf (δ) := sup{|f (s) − f (t)| : s, t ∈ [a, b], |s − t| ≤ δ}

(δ ≥ 0)

utas´ıt´assal ´ertelmezz¨ uk. Igazoljuk, hogy az ωf : [0, +∞) → [0, +∞) f¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o ´es lim ωf (δ) = 0. δ→0+

15. Igazoljuk, hogy minden p´aratlan fok´ u, val´os egy¨ utthat´os polinomnak van val´os gy¨oke. 16. Tegy¨ uk fel, hogy az f : [a, b] → R f¨ uggv´eny monoton ´es minden f (a) ´es f (b) k¨oz´e es˝o ´ert´eket felvesz. Igazoljuk, hogy ekkor f folytonos.

80

3.5. Feladatok

17. Tegy¨ uk fel, hogy f : (a, b) → R folytonos f¨ uggv´eny, n ∈ N∗ ´es x1 , x2 , · · · , xn ∈ (a, b). Igazoljuk, hogy van olyan ξ ∈ (a, b), amelyre f (ξ) =

f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) . n

18. Igazoljuk, hogy az x3 −3x+1 = 0 egyenletnek van val´os gy¨oke az (1, 2) intervallumban. Sz´am´ıtsuk ki a gy¨ok k¨ozel´ıt˝o ´ert´ek´et 10−2 pontoss´aggal. ´ 19. Ertelmezz¨ uk az al´abbi f¨ uggv´enyeket a 0 pontban u ´gy, hogy ott folytonosak legyenek. (1 + x)n − 1 (x ∈ R, x 6= 0, n ∈ N), x 1 − cos x b) f (x) := (x ∈ R, x 6= 0), x2 c) f (x) := x2 sin(1/x) (x ∈ R, x 6= 0). a) f (x) :=

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

81

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek A matemetikai anal´ızis egyik alapvet˝o fogalma a differenci´alh´anyados vagy deriv´alt. A deriv´altat nemcsak a matematik´an bel¨ ul, hanem sz´amos term´eszettudom´anyban ´es a technik´aban is sz´elesk¨or˝ uen felhaszn´alj´ak. T¨obb fontos fizikai, k´emiai vagy gazdas´agi fogalmat a deriv´alt seg´ıts´eg´evel lehet pontosan le´ırni. Ebben a pontban ismertetj¨ uk a deriv´alttal kapcsolatos alapvet˝o fogalmakat, a vele val´o sz´amol´as szab´alyait ´es bemutatjuk n´eh´any alkalmaz´as´at. Az eddig k¨ovetett m´odszert folytatva, ahol az lehets´eges, egy¨ utt t´argyaljuk a val´os ´es a komplex esetet. A differenci´alhat´os´agot ´altal´aban az ´ertelmez´esi tartom´any bels˝o pontjaiban vizsg´aljuk. Ezzel kapcsolatos az al´abbi

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az a pont a H ⊆ R halmaz bels˝o pontja, ha l´etezik a-nak olyan Kr (a) k¨ornyezete, hogy Kr (a) ⊆ H. P´eld´aul, ha H = (1, 3]

S

{5}, akkor minden a ∈ (1, 3) pont H bels˝o pontja.

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese Legyen H ⊆ R, ´es f : H → R a H halmazon ´ertelmezett f¨ uggv´eny ´es tegy¨ uk fel, hogy a a H halmaz bels˝o pontja. A deriv´alt ´ertelmez´es´ehez c´elszer˝ u bevezetni az al´abbi f¨ uggv´enyt.

Defin´ıci´ o. A (∆a f )(x) :=

f (x) − f (a) x−a

(x ∈ H \ {a})

utas´ıt´assal ´ertelmezett f¨ uggv´enyt f a pontbeli differenciah´ anyados´ anak, vagy k¨ ul¨ onbs´ egi h´ anyados´ anak nevezz¨ uk. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a ∆a f k¨ ul¨onbs´egi h´anyados nincs ´ertelmezve az a pontban. Az f jelent´es´et˝ol f¨ ugg˝oen a k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak is lehet geometriai vagy fizikai jelent´est tulajdon´ıtani. Legyen pl. H := (α, β), ´es tekints¨ uk az f : (α, β) → R val´os f¨ uggv´eny grafikonj´at. A grafikon (a, f (a)) ´es (x, f (x)) pontjait ¨osszek¨ot˝o egyenest a

82

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

grafikon sz´oban forg´o pontjain ´athalad´o szel˝oj´enek nevezz¨ uk. A (∆a f )(x) sz´am ennek a szel˝onek az ir´anytangense. *

**4.1. ´abra******

A fizik´aban a k¨ ul¨onbs´egi h´anyadost az ´atlagsebess´eg ´ertelmez´es´ehez haszn´alj´ak fel. Ha az f : (α, β) → R lek´epez´es valamely egyenesvonal´ u mozg´as u ´t-id˝o f¨ uggv´enye, akkor a (∆a f )(x) sz´am az a ´es x id˝opontok k¨ozti ´atlagsebess´eget jelenti. Vizsg´alni szeretn´enk, hogy mi t¨ort´enik a differencia-h´anyados ´ert´ek´evel, ha x tart a-hoz. A hat´ar´ert´eket felhaszn´alva bevezetj¨ uk a differenci´alh´anyados fogalm´at.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f f¨uggv´eny az a ∈ H bels˝o pontban differenci´ alhat´ o, ha a ∆a f k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak l´etezik az a pontban v´eges hat´ar´ert´eke. A sz´oban forg´o hat´ar´ert´eket az f f¨ uggv´eny a pontbeli differenci´ alh´ anyados´ anak vagy deriv´ altj´ anak nevezz¨ uk ´es az f (x) − f (a) f 0 (a) := lim = lim ∆a f. x→a a x−a vagy a

df (a) szimb´olumok valamelyik´evel jel¨olj¨ uk. dx

A geometriai szeml´elet alapj´an, ha x tart a-hoz, akkor az (a, f (a)), (x, f (x)) pontokat ¨osszek¨ot˝o szel˝o ahhoz az (a, f (a)) ponton ´athalad´o egyeneshez tart, amely a grafikus k´epet csak egy pontban metszi. Az ilyen egyenest ´erint˝onek nevezz¨ uk, ´es pontosan a k¨ovetkez˝ok´eppen defini´aljuk:

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : (α, β) → R f¨uggv´eny grafikonj´anak az (a, f (a)) pontj´aban van ´ erint˝ oje, ha az f f¨ uggv´eny az a pontban differenci´alhat´o. Az (a, f (a)) ∈ R2 ponton ´athalad´o f 0 (a) ir´anytangens˝ u egyenest az f grafikonj´anak a abszcissz´aj´ u pontj´ahoz tartoz´o ´ erint˝ oj´ enek nevezz¨ uk. Az ´erint˝o egyenlete: y = f 0 (a)(x − a) + f (a).

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

83

y

f(b)

f(a) a

x

b

2. ´abra Az eml´ıtett ´atlagsebess´egnek x → a eset´en vett hat´ar´ert´ek´et az a id˝opontban vett pillanatnyi sebess´egnek szok´as nevezni. Ez — felhaszn´alva a deriv´alt fogalm´at — ekvivalens m´odon a k¨ovetkez˝o form´aban fogalmazhat´o meg: az a ∈ (α, β) id˝opontban differenci´alhat´o f : (α, β) → R u ´t-id˝o f¨ uggv´eny f 0 (a) deriv´altj´at a mozg´as a pontbeli pillanatnyi sebess´eg´enek nevezz¨ uk. A deriv´alt ´es a hat´ar´ert´ek ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy ha f differenci´alhat´o az a pontban, akkor f -nek b´armely Kρ (a) k¨ornyezetre vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´ese is differenci´alhat´o a-ban ´es a lesz˝ uk´ıtett f¨ uggv´enynek a-beli deriv´altja egyenl˝o f 0 (a)-val. A differenci´alhat´os´ag ´es a folytonoss´ag kapcsolat´ara vonatkozik az al´abbi

1. T´etel. Ha f : H → R differenci´alhat´o az a ∈ H pontban, akkor f folytonos a-ban. ´ s. A felt´etel szerint a ∆a f f¨ Bizony´ıta uggv´enynek az a helyen l´etezik v´eges hat´ar´ert´eke, k¨ovetkez´esk´eppen a-nak van olyan k¨ornyezete, amelyben ∆a f korl´atos, azaz l´etezik olyan M = 0 ´es r > 0 sz´am, hogy |f (x) − f (a)| 5M |x − a|

(x ∈ (a − r, a + r)).

Ebben a k¨ornyezetben fenn´all az |f (x) − f (a)| 5 M |x − a|

(x ∈ (a − r, a + r))

egyenl˝otlens´eg. Innen — pl. az ´atviteli elv alapj´an — nyilv´anval´o, hogy f -nek a-ban l´etezik hat´ar´ert´eke ´es limx→a f (x) = f (a) Val´oban, legyen (xn , n ∈ N) egy a-hoz konverg´al´o sz´amsorozat az (a − r, a + r) intervallumban ( lim xn = a, xn ∈ (a − r, a + r), n→+∞

n ∈ N). Ekkor 0 5 |f (xn ) − f (a)| 5 M |xn − a|

(n ∈ N)),

84

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

´es alkalmazva a rend˝or-elvet azt kapjuk, hogy lim f (xn ) = f (a), azaz — a folytonosn→∞ s´agra vonatkoz´o ´atviteli elv alapj´an — f folytonos az a pontban. ¤ Megjegyezz¨ uk, hogy a most igazolt ´all´ıt´as megford´ıt´asa nem igaz. L´eteznek olyan f¨ uggv´enyek, amelyek folytonosak de nem differenci´alhat´ok. Ilyen pl. az f (x) := abs (x) := |x| (x ∈ R) f¨ uggv´eny a = 0 eset´en. Val´oban, ennek az a pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa (∆0 f )(x) =

|x| − 0 = sign(x) x−0

(x ∈ R, x 6= 0).

Minthogy a sign f¨ uggv´enynek a 0 helyen nincs hat´ar´ert´eke, az´ert az abs f¨ uggv´eny a 0 pontban nem differenci´alhat´o. K¨onnyen igazolhat´o, hogy az abs f¨ uggv´eny a 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o helyeken differenci´alhat´o, tov´abb´a f 0 (a) = 1, ha a > 0 ´es f 0 (a) = −1, ha a < 0. Megjegyezz¨ uk, hogy l´etezik olyan R-en ´ertelmezett, minden¨ utt folytonos f¨ uggv´eny, amely R egyetlen pontj´aban sem differenci´alhat´o (l´asd pl. [3], 88. oldal). A most vizsg´alt p´eld´aban a 0 pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak nincs ugyan hat´ar´ert´eke, de l´etezik jobb-´es baloldali hat´ar´art´eke. Ilyenkor azt mondjuk, hogy ennek a f¨ uggv´enynek a 0 pontban van jobb- ´es baloldali deriv´altja. Ezzel kapcsolatos az al´abbi

Defin´ıci´ o. Legyen a ∈ H ⊆ R, f : H → R ´es tegy¨uk fel, hogy van olyan (a − h, a] (h > 0) intervallum, amelyre (a − h, a] ⊆ H. Ha a ∆a f k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak l´etezik az a helyen a bal oldali hat´ar´ert´eke, akkor azt mondjuk, hogy f az a helyen balr´ ol differenci´ alhat´ o ´es a lim

x→a−

f (x) − f (a) x−a

baloldali hat´art´art´eket f a-beli baloldali deriv´altj´anak nevezz¨ uk ´es az 0 f− (a) szimb´olummal jel¨olj¨ uk. A fenti ´ertelmez´esben a baloldali hat´ar´ert´ek helyett jobboldali hat´ar´ert´eket v´eve a 0 jobboldali deriv´alt fogalm´ahoz jutunk. Az a pontbeli jobboldali deriv´altat az f+ (a) szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Azt, hogy az f f¨ uggv´enynek az a pontban l´etezik a baloldali deriv´altja — geometriai sz´ohaszn´alattal ´elve — u ´gy szok´as kifejezni, hogy f grafikonj´anak l´etezik a baloldali f´el´erint˝oje. Nyilv´anval´o, hogy f akkor ´es csak akkor differenci´alhat´o aban, ha l´etezik a bal- ´es jobboldali deriv´altja ´es 0 0 f− (a) = f+ (a) = f 0 (a)

. Bizonyos esetekben c´elszer˝ u a differenci´alhat´os´agnak az al´abbi, eredetivel ekvivalens ´atfogalmaz´as´at haszn´alni. Ez a definici´o — amint azt l´atni fogjuk — minden neh´ezs´eg n´elk¨ ul ´atvihet˝o t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyekre.

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

85

2. T´etel. Az f : H → R f¨uggv´eny a H ⊆ R halmaz a bels˝o pontj´aban akkor ´es csak akkor differenci´alhat´o, ha l´etezik olyan A ∈ R sz´am ´es olyan ² : H → R a-ban folytonos f¨ uggv´eny, amelyre ²(a) = 0, ´es amellyel a f¨ uggv´eny megv´altoz´asa fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: (1)

f (x) − f (a) = A(x − a) + (x − a)²(x)

(x ∈ H).

Az A sz´am az f f¨ uggv´eny a-beli deriv´altj´aval egyenl˝o. ´ s. i) Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝osz¨or, hogy f differenci´alhat´o az a pontban ´es legyen A := 0 ´ f (a). Ertelmezz¨ uk az ² f¨ uggv´enyt a k¨ovetkez˝ok´eppen:   f (x) − f (a) − A, ²(x) := x−a  0,

(x ∈ H, x 6= a), (x = a).

Ekkor az ² f¨ uggv´enynek az a helyen a hat´ar´ert´eke 0, k¨ovetkez´esk´eppen folytonos a-ban. E defin´ıci´ ob´ol ´atrendez´essel ad´odik a k´ıv´ant alak. ii) Most induljunk ki abb´ol, hogy f megv´altoz´asa fel´ırhat´o az (1) alakban. Innen (x − a)-val val´ o oszt´as ut´an azt kapjuk, hogy f (x) − f (a) − A = ²(x) (x ∈ H, x 6= a). x−a Minthogy lima ² = 0, ez´ert az f f¨ uggv´eny k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´anak val´oban van hat´ar´ert´eke ´es f 0 (a) = A. ¤ A differenci´alhat´os´ag most ismertetett ´atfogalmaz´as´aban az x − a = h helyettes´ıt´est alkalmazva f (a + h) − f (a) = Ah + h²(a + h) = Ah + η(h) (|h| < r) ad´odik minden olyan r > 0 sz´amra, amelyre (a − r, a + r) ⊆ H. Ez azt jelenti, hogy a f¨ uggv´eny f (a + h) − f (a) megv´altoz´asa a h v´ altoz´o egy homog´en line´aris f¨ uggv´eny´enek ´es az η f¨ uggv´enynek az ¨osszegek´ent ´all´ıthat´o el˝o, ahol η kicsi a line´aris f¨ uggv´enyhez k´epest abban az ´ertelemben, hogy lim

h→0

η(h) = lim ²(a + h) = 0. h→0 h

Az `(h) := Ah (h ∈ R) line´aris f¨ uggv´enyt az f differenci´alhat´o f¨ uggv´eny a pontbeli differenci´alj´anak nevezz¨ uk ´es a da f szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Az al´abbiakban felsorolunk n´eh´any f¨ uggv´enyt, amelyek deriv´altja k¨ozvetlen¨ ul a defin´ıci´o alapj´an kisz´am´ıthat´o.

86

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

P´ eld´ ak 1. A konstans f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´alhat´o ´es deriv´altja 0. Val´oban legyen c ∈ R. Az f (x) := c (x ∈ R) f¨ uggv´eny a(∈ R) pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa c−c ∆a (x) := = 0 (x ∈ R, x 6= a). x−a K¨ovetkez´esk´eppen ennek hat´ar´ert´eke az a helyen 0. 2. A R indentikus lek´epez´ese minden a ∈ R pontban differenci´alhat´o ´es deriv´altja 1-gyel egyenl˝o. Az f (x) := x (x ∈ R) f¨ uggv´eny k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa ugyanis ∆a (x) :=

x−a =1 x−a

(x ∈ R, x 6= a).

Innen k¨ovetkezik, hogy a k¨ ul¨onbs´egi h´anyados hat´ar´ert´eke az a helyen 1. 3. Legyen n ∈ N. Az f (x) := xn (x ∈ R) hatv´anyf¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´alhat´o ´es f 0 (a) = nan−1 (a ∈ R). A sz´oban forg´o f¨ uggv´eny a pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa (∆a f )(x) =

xn − an = xn−1 + xn−2 a + · · · + xan−2 + an−1 x−a

(x ∈ R, x 6= a).

A jobb oldalon ´all´o polinom hat´ar´ert´eke az a pontban az a-beli helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel egyenl˝ o. Ez´ert lim ∆a f = an−1 + an−1 + · · · + an−1 + an−1 = nan−1 . a

4. Az f (x) := sin x (x ∈ R) sinus – f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´alhat´o, ´es f 0 (a) = 0 sin a = cos a, (a ∈ R). El˝osz¨or megmutatjuk, hogy lim coshh −1 = 0. Kihaszn´alva a lim sinh h = 1 nevezetes h→0

h→0

hat´ar´ert´eket, a cosinus f¨ uggv´eny nulla pontbeli folytonoss´ag´at, valamint a f¨ uggv´enyek hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agokat, a cos2 h − 1 − sin2 h sin h − sin h cos h − 1 = lim = lim = lim =0 h→0 h→0 h(cos h + 1) h→0 h(cos h + 1) h→0 h cos h + 1 h lim

hat´ar´ert´ek azonnal ad´odik. A sinus f¨ uggv´eny a pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´at az add´ıci´os ¨osszef¨ ugg´es alapj´an fel´ırhatjuk sin x − sin a sin(a + h) − sin a sin a · cos h + cos a · sinh − sin a = = = x−a h h cos h − 1 sin h = sin a · + cos a · h h

(∆a f )(x) =

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

87

alakban, ahol h = x − a. A hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agokat alkalmazva, a deriv´altra f 0 (a) = lim (∆a f )(x) = lim sin a · x→a

h→0

sin h cos h − 1 + cos a · = cos a h h

ad´odik. 5. Az f (x) := cos x (x ∈ R) cosinus f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´alhat´o, ´es f 0 (a) = 0 cos a = − sin a, (a ∈ R). A sinus f¨ uggv´enyhez hasonl´oan a cosinus f¨ uggv´eny a pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´at az add´ıci´ os ¨osszef¨ ugg´es alapj´an fel´ırhatjuk cos(a + h) − cos a cos a · cos h − sin a · sinh − cos a cos x − sin a = = = x−a h h cos h − 1 sin h = cos a · − sin a · h h

(∆a f )(x) =

alakban, ahol h = x − a. A hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agokat alkalmazva, a deriv´altra f 0 (a) = lim (∆a f )(x) = lim cos a · x→a

h→0

cos h − 1 sin h − sin a · = − sin a h h

ad´odik. 6. Az f (x) := ln x (x > 0) term´eszetes alap´ u logaritmus – f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban differenci´alhat´o, ´es f 0 (a) = ln0 a = a1 , (a > 0). A logaritmus f¨ uggv´eny a pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´at a logaritmusra vonatkoz´o m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an fel´ırhatjuk µ ¶ ln a+h ln x − ln a ln(a + h) − ln a 1 a h a (∆a f )(x) = = = = · · ln 1 + = x−a h h a h a ¶a µ 1 1 h = ln 1 + a a h alakban, ahol h = x − a. Mint l´attuk,

lim

|y|→+∞

´y ³ = e, tov´abb´a a logarit1 + y1

musf¨ uggv´eny folytonos az a = e helyen, ez´ert deriv´altra µ ¶a 1 1 1 h = ln 1 + a h→0 a a h

f 0 (a) = lim (∆a f )(x) = lim x→a

ad´odik. Az els˝o h´arom p´eld´aban vizsg´alt f¨ uggv´enyekb˝ol kiindulva — az algebrai m˝ uveletek v´eges sz´am´ u alkalmaz´as´aval — a racion´alis f¨ uggv´enyekhez jutunk. Ezek deriv´altj´at az

88

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

— algebrai m˝ uveleteket ´es a deriv´al´ast ¨osszekapcsol´o — u ´n. differenci´al´asi szab´alyok ismeret´eben kisz´am´ıthatjuk.

4.1.1. Differenci´al´asi szab´alyok. Az ¨osszeg-, szorzat- ´es h´anyadosf¨ uggv´eny deriv´altj´ara vonatkozik az al´abbi ´all´ıt´as.

3. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f, g : H → R f¨uggv´enyek differenci´ alhat´ok a H halmaz a bels˝o pontj´aban. Ekkor f +g, f g ´es g(a) 6= 0 eset´en f /g is differenci´alhat´o a-ban ´es (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a), (f g)0 (a) = f (a)g 0 (a) + f 0 (a)g(a), (f /g)0 (a) =

f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) . g 2 (a)

´ s. i) Az f + g f¨ Bizony´ıta uggv´eny a-hoz tartoz´o k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa az x ∈ H, x 6= a helyen egyszer˝ u ´atalak´ıt´as ut´an fel´ırhat´o a (∆a (f + g)) (x) =

f (x) + g(x) − (f (a) + g(a)) f (x) − f (a) g(x) − g(a) = + x−a x−a x−a

alakban. Az ¨osszegf¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o t´etel alapj´an a ∆a (f +g) k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak van hat´ar´ert´eke az a helyen, ´es az az f 0 (a) + g 0 (a) sz´ammal egyenl˝o. ii) A szorzatra vonatkoz´o ´all´ıt´as igazol´as´ahoz ´ırjuk fel az f g a-hoz tartoz´o k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´at az x ∈ H, x 6= a helyen a (∆a (f g)) (x) =

g(x) − g(a) f (x) − f (a) f (x)g(x) − f (a)g(a) = f (x) + g(a) x−a x−a x−a

alakban. Mivel f differenci´alhat´o az a pontban, ez´ert az 1. T´etel alapj´an f folytonos a-ban, k¨ovetkez´esk´eppen f -nek l´etezik hat´ar´ert´eke a-ban ´es az f (a)-val egyenl˝o. A szorzat- ´es ¨osszegf¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o t´etel alapj´an a szorzat k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´anak l´etezik hat´ar´ert´eke az a helyen ´es g(x) − g(a) f (x) − f (a) + g(a) lim = x→a x→a x→a x−a x−a = f (a)g 0 (a) + g(a)f 0 (a).

lim ∆a (f g) = lim f (x) lim a

iii) A h´anyadosra vonatkoz´o ´all´ıt´ast el˝osz¨or az f (x) := 1 (x ∈ H) speci´alis esetre igazoljuk. Az 1/g f¨ uggv´enynek az a ∈ H ponthoz tartoz´o k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa a

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

89

k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel 1 1 − 1 g(x) − g(a) g(x) g(a) =− x−a g(x)g(a) x−a

(x ∈ H, x 6= a).

Felhaszn´alva a szorzat- ´es a h´anyadosf¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o t´etelt, valamint a g f¨ uggv´eny a-beli folytonoss´ag´at —, ami g differenci´alhat´os´ag´ab´ol k¨ovetkezik, — azt kapjuk, hogy a sz´oban forg´o k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosnak l´etezik az a pontban a hat´ar´ert´eke ´es µ ¶0 µ ¶ 1 g 0 (a) 1 1 g(x) − g(a) (a) = − =− 2 . lim lim g g(a) x→a g(x) x→a x−a g (a) A most igazolt speci´alis esetet a szorzatf¨ uggv´eny deriv´al´asi szab´aly´aval kombin´alva ad´odik az ´altal´anos eset: µ ¶0 µ ¶0 µ ¶0 f 1 1 1 (a) = f (a) = f 0 (a) + f (a) (a) = g g g(a) g f (a)g 0 (a) f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a) 1 = f 0 (a) − = . g(a) g 2 (a) g 2 (a) Ezzel a t´etelt igazoltuk. ¤. A konstans f¨ uggv´eny ´es a szorzat deriv´al´ asi szab´aly´at felhaszn´alva ad´odik, hogy b´armely λ ∈ R sz´amra f -fel egy¨ utt λf is differenci´alhat´o a-ban ´es (λf )0 (a) = λf 0 (a). A 3. T´etelben k´et tag ¨osszeg´ere, ill. k´et t´enyez˝o szorzat´ara bizony´ıtott ´all´ıt´asok teljes indukci´ oval kiterjeszthet˝ok v´eges sok tag ¨osszeg´ere ´es v´eges sok t´enyez˝o szorzat´ara. Nevezetesen, ha n ∈ N, n ≥ 2 ´es az f1 , f2 , · · · , fn : H → R f¨ uggv´enyek mindegyike differenci´alhat´o az a ∈ H pontban, akkor az f1 + f2 + · · · + fn ,

f1 f2 · · · fn

f¨ uggv´enyek is differnci´alhat´ok az a pontban ´es (f1 + f2 + · · · + fn )0 (a) = f10 (a) + f10 (a) + · · · + fn0 (a), (f1 f2 · · · fn )0 (a) = f10 (a)f2 (a) · · · fn (a)+ + f1 (a)f20 (a) · · · fn (a) + · · · + f1 (a)f2 (a) · · · fn0 (a). A 3.T´etel ´es az ahhoz f˝ uz¨ott megjegyz´esek a deriv´alt helyett az egyoldali deriv´altakra is fenn´allnak, s ezek sz´or´ol-sz´ora ugyan´ ugy igazolhat´ok. A pontbeli differenci´alhat´os´agot c´elszer˝ u kiterjeszteni.

90

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊂ R ny´ılt halmazon ´ertelmezett f : H → R f¨ uggv´eny a H halmazon differenci´alhat´o, ha annak minden pontj´aban differenci´alhat´o. Ilyenkor a H-n ´ertelmezett f0 : H → R

x 7→ f 0 (x)

f¨ uggv´enyt f deriv´ altf¨ uggv´ eny´ enek vagy deriv´ altj´ anak nevezz¨ uk. A tov´abbiakban n´eha a z´art intervallumon val´o differenci´alhat´os´agot is haszn´alni fogjuk a k¨ovetkez˝o ´ertelemben: Az f : [α, β] → R f¨ uggv´enyt differenci´alhat´onak nevezz¨ uk az [α, β] intervallumon, ha f differenci´alhat´o az intervallum bels˝o pontjaiban tov´abb´a, ha α-ban jobbr´ol, β-ban balr´ol differenci´alhat´o. A H halmazon differenci´alhat´o f : H → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek ¨oszess´eg´et a D(H, R), vagy az egyszer˝ ubb D(H) szimb´olummal fogjuk jel¨olni. A most igazolt differenci´al´asi szab´alyok alapj´an sok f¨ uggv´eny differeci´alhat´os´ag´at, ´es deriv´altj´at tudjuk meg´allap´ıtani. P´ eld´ ak 1. A polinomok minden¨ utt, a racion´alis f¨ uggv´enyek pedig ´ertelmez´esi tarom´anyuk minden pontj´aban differenci´alhat´ok. Ha az n-edfok´ u P polinom P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

(x ∈ R)

alak´ u, akkor deriv´altja a k¨ovetkez˝o — tagonk´enti deriv´al´assal kapott — polinom: P 0 (x) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1

(x ∈ R).

A racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyt is tudjuk term´eszetesen, deriv´alni, de ennek ´altal´anos fel´ır´as´at´ol most eltekint¨ unk. 2. A negat´ıv eg´esz kitev˝oj˝ u hatv´anyf¨ uggv´eny, f (x) := x−n =

1 xn

(x ∈ R, x 6= 0, n ∈ N)

deriv´altja a h´anyados differenci´al´asi szab´alya alapj´an f 0 (x) = −

nxn−1 = −nx−n−1 x2n

(x ∈ R, x 6= 0).

Ezt az el˝oz˝o pont 3. p´eld´aban szerepl˝o eredm´ennyel egybevetve kapjuk, hogy b´armely n ∈ Z eg´esz kitev˝ore d n x = nxn−1 dx

(x ∈ R, x 6= 0, n ∈ Z).

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

91

3. A h´anyados f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya alapj´an a tangens ´es a cotangens f¨ uggv´enyek is differenci´alhat´ok ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban, ´es sin2 x + cos2 x 1 1 sin0 x cos x − sin x cos0 x = = (x ∈ R \ {(k + )π, k ∈ Z}), 2 2 2 cos x cos x cos x 2 0 2 0 2 cos x sin x − cos x sin x − sin x − cos x 1 ctg0 x = = = − 2 (x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}). sin2 x sin2 x sin x

tg0 x =

x 4. Mivel minden a > 0, a = 6 1 eset´en loga x = ln ert a konstansszoros differenci´al´asi ln a , ez´ szab´alya alapj´an az a alap´ u logaritmusf¨ uggv´eny is differenci´alhat´o ´ertelmez´esi tartom´any´an, ´es

log0a x =

1 1 1 ln0 x = · ln a ln a x

(x > 0, a > 0, a 6= 1)

4.1.2. A k¨ozvetett f¨ uggv´eny deriv´altja Nemcsak az algebrai m˝ uveletek, hanem a k¨ozvetett f¨ uggv´eny k´epz´es sem vezet ki a differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek k¨or´eb˝ol. Legyen H, K ⊆ R k´et nem u ¨res halmaz. A tov´abbiakban az f : H → K, g : K → R f¨ uggv´enyekb˝ol k´epzett g ◦ f k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´alhat´os´ag´at vizsg´aljuk. Erre vonatkozik az

4. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f : H → R f¨uggv´eny differenci´alhat´o az a ∈ H bels˝o pontban, tov´abb´a legyen f (a) a K-nak bels˝o pontja ´es tegy¨ uk fel, hogy g differenci´alhat´o az f (a) pontban. Ekkor g ◦ f is differci´ alhat´o a-ban ´es (g ◦ f )0 (a) = (g 0 ◦ f )(a) · f 0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a).

´ s. Megmutatjuk, hogy a g ◦ f f¨ Bizony´ıta uggv´eny (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) megv´altoz´asa fel´ırhat´o (g ◦ f )(x) − (g ◦ f )(a) = g 0 (f (a))f 0 (a)(x − a) + ²(x)(x − a)

(x ∈ H)

alakban, ahol ² : H → R egy olyan a-ban folytonos f¨ uggv´eny, amelyre ²(a) = 0. Ez a 2. T´etel alapj´an ekvivalens a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ assal. Az f f¨ uggv´eny a pontbeli differenci´alhat´os´aga pontosan azt jelenti, hogy l´etezik olyan ²1 : H → K, a-ban folytonos f¨ uggv´eny, amelyre ²1 (a) = 0 ´es f (x) − f (a) = f 0 (a)(x − a) + ²1 (x)(x − a) (x ∈ H).

92

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

Az g f¨ uggv´eny b := f (a) pontbeli differenci´alhat´os´aga azzal ekvivalens, hogy l´etezik olyan ²2 : K → R, b-ben folytonos f¨ uggv´eny, amelyre ²2 (b) = 0 ´es g(y) − g(b) = g 0 (b)(y − b) + ²2 (y)(y − b) (y ∈ K). Ennek alapj´an az y = f (x) jel¨ol´est haszn´alva a k¨ozvetett f¨ uggv´eny megv´altoz´asa fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: g(f (x)) − g(f (a)) = g 0 (b)(f (x) − f (a)) + ²2 (f (x))(f (x) − f (a)) = = g 0 (b) (f 0 (a)(x − a) + ²1 (x)(x − a)) + ²2 (f (x)) (f 0 (a)(x − a) + ²1 (x)(x − a)) = = g 0 (b)f 0 (a)(x − a) + (g 0 (b)²1 (x) + ²2 (f (x)) (f 0 (a) + ²1 (x))) (x − a) = g 0 (b)f 0 (a)(x − a) + ²(x)(x − a), ahol

²(x) := g 0 (b)²1 (x) + ²2 (f (x))(f 0 (a) + ²1 (x))

(x ∈ H).

Az ²1 , ²2 ´es ² ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy ²(a) = 0 tov´abb´a az f a-pontbeli — differenci´alhat´os´agb´ol k¨ovetkez˝o— folytonoss´aga, valamint a k¨ozvetett f¨ uggv´eny folytonoss´aga alapj´an ² is folytonos az a helyen. Ezzel a t´etelt bebizony´ıtottuk. ¤ A most igazolt t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha f ∈ D(H, K) ´es g ∈ D(K, R), akkor g ◦ f ∈ D(H, R) ´es (g ◦ f )0 = g 0 ◦ f · f 0 . Ezt a formul´at l´ancszab´alynak is szok´as nevezni. Ennek alapj´an kisz´am´ıthatjuk pl. a h(x) := (x2 + 1)100

(x ∈ R)

f¨ uggv´eny deriv´altj´at. A h f¨ uggv´eny az f (x) := x2 + 1

g(y) := y 100

(x ∈ R),

(y ∈ R)

f¨ uggv´enyek kompozici´oja: h = g ◦ f . Minthogy f 0 (x) = 2x (x ∈ R),

g 0 (y) = 100y 99

(y ∈ R),

az´ert a l´ancszab´aly szerint h0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) = 100(1 + x2 )99 2x (x ∈ R).

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

93

4.1.3. Az inverz f¨ uggv´eny deriv´altja Az inverz f¨ uggv´eny deriv´al´asi szab´aly´anak megfogalmaz´as´aban intervallumon ´ertelmezett, folytonos val´os f¨ uggv´enyekb˝ol indulunk ki. Az ´altal´anos esetben fell´ep˝o probl´em´akkal kapcsolatban a pont v´eg´en tett megjegyz´esre utalunk.

5. T´etel. Legyen f : (α, β) → R szigor´uan monoton, folytonos f¨ uggv´eny. Ha f differenci´alhat´o az a ∈ (α, β) pontban ´es f 0 (a) 6= 0, akkor az f f¨ uggv´eny f −1 inverze is differenci´alhat´o a b := f (a) helyen ´es ¡

(2)

¢0 f −1 (b) =

1 1 = 0 −1 . f 0 (a) f (f (b))

´ s. A (2) igazol´as´ahoz legyen (yn , n ∈ N) egy, az f ´ert´ekk´eszlet´eb˝ol vett b-hez Bizony´ıta konverg´al´o sorozat ´es vezess¨ uk be az xn := f −1 (yn ) (n ∈ N) jel¨ol´est. Ekkor f −1 (b) = a ´es f (xn ) = yn (n ∈ N), tov´abb´a az inverz f¨ uggv´eny folytonoss´ag´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an f −1 folytonos a b pontban, azaz az ´atviteli elv alapj´an, lim xn = lim f −1 (yn ) = f −1 (b) = a.

n→+∞

n→+∞

Ezeket felhaszn´alva a f −1 f¨ uggv´eny b-pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyadosa kifejezhet˝o az f a-beli k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´aval: f −1 (yn ) − f −1 (b) xn − a 1 = = f (xn ) − f (a) yn − b f (xn ) − f (a) xn − a

(n ∈ N).

Innen az ´atviteli elv ´es a h´anyados hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o szab´aly alapj´an — f 0 (a) 6= 0 figyelembev´etel´evel — k¨ovetkezik, hogy a f −1 f¨ uggv´eny differenci´alhat´o a b pontban ´es ¡

¢0 f −1 (yn ) − f −1 (b) f −1 (b) = lim = n→+∞ yn − b

1 1 = 0 . f (xn ) − f (a) f (a) lim n→+∞ xn − a

Ezzel a t´etelt igazoltuk. ¤ Az inverz f¨ uggv´eny differenci´alhat´os´ag´ara vonatkoz´o t´etelt sz´amos f¨ uggv´eny differenci´alh´anyados´anak kisz´am´ıt´as´ ara hasznm´alhatjuk. P´ eld´ ak. 1. Alkalmazzuk az inverz f¨ uggv´eny deriv´altj´ara most igazolt t´etelt a term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enyre, azaz legyen f (x) := ln x (x > 0). Ekkor f −1 (x) = ex =

94

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

exp(x) (x ∈ R), ´es mivel ln0 x = x1 6= 0 (x > 0), ez´ert a term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny minden val´os x eset´en differenci´alhat´o, (2) alapj´an exp0 (x) =

1 = ln0 (exp(x))

1 = exp(x) = ex 1 exp(x)

(x ∈ R).

2. Legyen f (x) := sin x (x ∈ [−π/2, π/2]). Ekkor f −1 (x) = arcsin x (x ∈ [−1, 1]). Mivel f 0 (x) = cos x > 0, ha x ∈ (−π/2, π/2), ´es f 0 (x) = 0, ha x = ±π/2, ez´ert az arcus sinus f¨ uggv´eny csak a (−1, 1) intervallumon differenci´alhat´o, ´es (2) alapj´an arcsin0 (x) =

1 1 = cos(arcsin(x)) sin (arcsin (x)) 0

(x ∈ (−1, 1)).

A n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´es alapj´an az ut´obbi f¨ uggv´eny nevez˝oje a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: q p cos(arcsin (x)) = 1 − sin2 (arcsin (x)) = 1 − x2 , mivel cos(arcsin (x)) > 0, ha x ∈ (−1, 1). Ezzel bel´attuk, hogy arcsin0 (x) = √

1 1 − x2

(x ∈ (−1, 1)).

3. Legyen f (x) := tg x (x ∈ (−π/2, π2)). Ekkor f −1 (x) = arctg x (x ∈ R). Mivel f 0 (x) = cos12 x = 1 + tg2 x > 0, ha x ∈ R, ez´ert az arcus tangens f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´ alhat´o, ´es (2) alapj´an arctg0 (x) =

1 1 1 = = tg0 (arctg(x)) 1 + tg2 (arctg(x)) 1 + x2

(x ∈ R).

4. Legyen f (x) := cos x (x ∈ [0, π]). Ekkor f −1 (x) = arccos x (x ∈ [−1, 1]). Mivel f 0 (x) = − sin x < 0, ha x ∈ (0, π), ´es f 0 (x) = 0, ha x = 0 vagy x = π, ez´ert az arcus cosinus f¨ uggv´eny csak a (−1, 1) intervallumon differenci´alhat´o, ´es (2) alapj´an arccos0 (x) =

1 cos0 (arccos

(x))

=

1 − sin(arccos(x))

(x ∈ (−1, 1)).

A n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´es alapj´an az ut´obbi f¨ uggv´eny nevez˝oje a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: p p sin(arccos (x)) = 1 − cos2 (arccos (x)) = 1 − x2 , mivel sin(arccos (x)) > 0, ha x ∈ (−1, 1). Ezzel bel´attuk, hogy arccos0 (x) = − √

1 1 − x2

(x ∈ (−1, 1)).

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

95

5. Legyen f (x) := ctg x (x ∈ (0, π)). Ekkor f −1 (x) = arcctg x (x ∈ R). Mivel f 0 (x) = − sin12 x = −(1 + ctg2 x) < 0, ha x ∈ R, ez´ert az arcus cotangens f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´ alhat´o, ´es (2) alapj´an arcctg0 (x) =

1 1 1 =− =− ctg0 (arcctg(x)) 1 + ctg2 (arcctg(x)) 1 + x2

(x ∈ R).

A term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny differenci´alh´anyados´anak ismeret´eben sok m´as f¨ uggv´eny deriv´altj´at is meg tudjuk hat´arozni. 6. Mivel az a alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny expa (x) = a( x) (a > 0) fel´ırhat´o a term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny seg´ its´eg´evel, x

expa (x) = ax = eln a = ex ln a , ez´ert az ¨osszetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya alapj´an expa minden¨ utt differenci´alhat´o, ´es exp0a x = ex ln a ln a = ax ln a = expa (x) ln a (x ∈ R). 7. Legyen µ > 0. A hµ (x) = xµ (x > 0) hatv´anyf¨ uggv´eny kifejezhet˝o a logaritmus ´es az exponenci´alis f¨ uggv´eny f¨ uggv´ennyel : hµ (x) := xµ = exp(µ ln(x)) (x > 0). Ezt ´es a k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´aly´at felhszn´alva azt kapjuk, hogy hµ minden x > 0 pontban differenci´alhat´o ´es h0µ (x) = exp(µ ln(x))

µ = µxµ−1 x

(x > 0).

Ezzel megmutattuk, hogy a hatv´anyf¨ uggv´eny kor´abban eg´esz kitev˝okre igazolt deriv´al´asi szab´alya ugyanolyan alak´ u tetsz˝oleges val´os kitev˝o eset´en. 8. Tetsz˝oleges f : H → (0, +∞), g : H → R differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek eset´en az f g f¨ uggv´eny is differenci´alhat´o, mert f g az exponenci´alis ´es logaritmus f¨ uggv´enyek tulajdons´agait alkalmazva ´at´ırhat´o differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek, f¨ uggv´eny-kompoz´ıci´o, ´es f¨ uggv´eny-szorz´as seg´ıts´eg´evel g(x)

(f g )(x) = f (x)g(x) = eln f (x)

= eg(x) ln f (x)

alakba. Alkalmazva a differenci´al´asi szab´alyokat, kapjuk, hogy 0

(f g )0 (x) = eg(x) ln f (x) (g(x) ln f (x)) = µ ¶ 1 0 g(x) 0 = f (x) g (x) ln f (x) + g(x) f (x) f (x)

(x ∈ H).

96

4.1. A deriv´alt ´ertelmez´ese

9. Mivel a hiperbolikus f¨ uggv´enyeket az exponenci´alis f¨ uggv´enyek line´aris kombin´aci´ojak´ent ´all´ıtjuk el˝o, ez´ert a sinus hiperbolikus ´es a cosinus hiperbolikus f¨ uggv´eny is minden¨ utt differenci´alhat´o, ´es exp0 (x) − exp0 (−x) ex + e−x = = cosh (x ∈ R), 2 2 exp0 (x) + exp0 (−x) ex − e−x cosh0 x = = = sinh (x ∈ R). 2 2 sinh0 x =

10. Legyen f (x) := sinh x (x ∈ R). Ekkor f −1 (x) = arsinh x (x ∈ R). Mivel f 0 (x) = cosh x > 0 (x ∈ R), ez´ert az area sinus hiperbolikus f¨ uggv´eny minden¨ utt differenci´alhat´o, ´es (2) alapj´an arsinh0 (x) =

1 1 = cosh(arsinh(x)) sinh (arsinh (x)) 0

(x ∈ R).

A n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´es (cosh2 α − sinh2 α = 1) alapj´an az ut´obbi f¨ uggv´eny nevez˝oje a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: q p cosh(arsinh (x)) = 1 + sin2 (arcsin (x)) = 1 − x2 , mivel cosh(α) > 0, ha α ∈ R. Ezzel bel´attuk, hogy arsinh0 (x) = √

1 1 + x2

(x ∈ R).

11. Legyen f (x) := cosh x (x ∈ [0, +∞)). Ekkor f −1 (x) = arcosh x (x ∈ [1, +∞)). Mivel f 0 (x) = sinh x > 0, ha x > 0, ´es f 0 (x) = 0, ha x = 0, ez´ert az area cosinus hiperbolikus f¨ uggv´eny csak az (1, +∞) intervallumon differenci´alhat´o, ´es (2) alapj´an arcosh0 (x) =

1 1 = sinh(arcosh(x)) cosh (arcosh (x)) 0

(x ∈ (1, +∞)).

A n´egyzetes ¨osszef¨ ugg´es alapj´an az ut´obbi f¨ uggv´eny nevez˝oje a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: q p sinh(arcosh (x)) = cosh2 (arcosh (x)) − 1 = x2 − 1, mivel sinh(arcosh (x)) > 0, ha x > 1. Ezzel bel´attuk, hogy arcosh0 (x) = √

1 x2

−1

(x ∈ (1, +∞)).

12. A h´anyados f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya alapj´an a tangens hiperbolikus ´es a cotangens hiperbolikus f¨ uggv´enyek is differenci´alhat´ok ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban, ´es sinh0 x cosh x − sinh x cosh0 x cosh2 x − sinh2 x 1 = = (x ∈ R), 2 2 cosh x cosh x cosh2 x cosh0 x sinh x − cosh x sinh0 x sinh2 x − cosh2 x 1 ctgh0 x = = =− (x ∈ R \ {0}). 2 2 sinh x sinh x sinh2 x tgh0 x =

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

97

13. Legyen f (x) := tgh x (x ∈ R). Ekkor f −1 (x) = artgh x (x ∈ (−1, 1)). Mivel f 0 (x) = cosh1 2 x = 1 − tgh2 x > 0 (x ∈ R), ez´ert az area tangens hiperbolikus f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´ aban differenci´alhat´o, ´es (2) alapj´an

artgh0 (x) =

1 1 1 = = tgh0 (artgh(x)) 1 − tgh2 (artgh(x)) 1 − x2

(x ∈ (−1, 1)).

14. Legyen f (x) := ctgh x (x ∈ R \ {0}). Ekkor f −1 (x) = arctgh x (x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞)). Mivel f 0 (x) = − sinh12 x = 1 − ctgh2 x < 0, ha x ∈ R \ {0}, ez´ert az area cotangens hiperbolikus f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban differenci´ alhat´o, ´es (2) alapj´an

arctgh0 (x) =

1 ctgh0 (arctgh(x))

=

1 1−

ctgh2 (arctgh(x))

=

1 1 − x2

minden x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, +∞) eset´en.

4.2. Lok´alis sz´els˝o´ert´ek M´ar eddig is t¨obb, olyan f¨ uggv´enyre vonatkoz´o u ´n. lok´alis tulajdons´aggal tal´alkoztunk, amelyben a f¨ uggv´enynek egy pont k¨ornyezet´eben felvett ´ert´ekei j´atszanak szerepet. Ilyen pl. a (bels˝o pontban val´o) differenci´alhat´os´ag. Ez a tulajdons´ag megmarad, ha az eredeti f¨ uggv´eny helyett annak a sz´oban forg´o pont b´armely k¨ornyezet´ere vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´et tekintj¨ uk. Ebben a pontban intervallumon ´ertelmezett val´os f¨ uggv´enyeket vizsg´alunk. Az ilyen f¨ uggv´enyekre kor´abban ´ertelmezett monotonit´as mellet c´elszer˝ u bevezetni ennek a fogalomnak egy lok´alis v´altozat´at.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : (α, β) → R f¨uggv´eny az a ∈ (α, β) pontban n¨ ovekv˝ o, ha a-nak van olyan Kr (a) ⊆ (α, β) k¨ornyezete, hogy (3)

f (x) 5 f (a),

ha

a − r < x < a,

f (a) 5 f (x),

ha

a < x < a + r.

´es

98

4.2. Lok´alis sz´els˝o´ert´ek

Ha a-nak van olyan Kr (a) ⊆ (α, β) k¨ornyezete, amelynek minden x ∈ Kr (a) pontj´aban f (x) ≥ f (a), ha a − r < x < a,

´es f (a) ≥ f (x) ha a < x < a + r

teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny az a pontban fogy´ o. Ha a fenti ´ertelmez´esben a f¨ uggv´eny´ert´ekekre vonatkoz´o felt´etel a 5 egyenl˝otlens´egek helyett a < rel´aci´oval, a ≥ helyett pedig a > rel´aci´oval teljes¨ ulnek, akkor f -et az a helyen szigor´ uan n¨ oveked˝ onek, illetve szigor´ uan fogy´ onak nevezz¨ uk. A pontban val´o n¨oveked´es ´es fogy´as nyilv´an lok´alis tulajdons´ag. Ezt azzal is szok´as hangs´ ulyozni, hogy az el˝obb eml´ıtett sz´ohaszn´alat mellett azt is mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny az a pontban lok´alisan n¨oveked˝o, illetve lok´alisan fogy´o. A fenti ´ertelmez´est egybevetve a monoton f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´aval nyilv´anval´o, hogy a monoton n¨oveked˝o f¨ uggv´enyek az ´ertelmez´esi tartom´anyuk minden pontj´aban lok´alisan n¨oveked˝ok. Vannak viszont olyan f¨ uggv´enyek, amelyek valamely pontban n¨oveked˝ok, de ennek a pontnak egyetlen k¨ornyezet´eben sem monoton n¨oveked˝ok. Ilyen pl. az ½ x, (x ∈ Q), f (x) := 2x, (x ∈ R \ Q) f¨ uggv´eny, amely a 0 pontban szigor´ uan n¨oveked˝o, ugyanakkor az R semmilyen r´eszintervallum´aban sem monoton. A sz´els˝o´ert´eknek egy lok´alis v´altozat´at fogalmazzuk meg az al´abbi ´ertelmez´esben.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : (α, β) → R f¨uggv´enynek az a ∈ (α, β) pontban lok´ alis maximuma van, ha l´etezik az a-nak olyan Kr (a) ⊆ (α, β) k¨ornyezete, hogy f (a) = f (x),

ha

x ∈ Kr (a).

Ha az a pontnak van olyan Kr (a) ⊆ (α, β) k¨ornyezete, amelynek minden ponj´aban f (a) 5 f (x)

(x ∈ Kr (a))

teljes¨ ul, akkor azt monjuk, hogy az f f¨ uggv´enynek az a helyen lok´ alis minimuma van. A lok´alis maximumot ´es lok´alis minimumot lok´alis sz´els˝o´ert´ekeknek nevezz¨ uk. A kor´abban bevezetett maximumot ´es minimumot — elnevez´esben is megk¨ ul¨onb¨oztetve a lok´alis sz´els˝o´ert´ekekt˝ol — n´eha abszol´ ut maximumnak ´es abszol´ ut minimumnak is nevezik.

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

99

A deriv´alt seg´ıts´eg´evel jellemezhetj¨ uk a f¨ uggv´enyek most ´ertelmezett lok´alis tulajdons´agait. Erre vonatkozik a

6. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f : (α, β) → R f¨uggv´eny differenci´alhat´o az a ∈ (α, β) pontban. i) Ha f az a-ban n˝o, akkor f 0 (a) ≥ 0, ha f az a-ban cs¨okken, akkor f 0 (a) 5 0. ii) Ha f 0 (a) > 0, akkor az f f¨ uggv´eny az a pontban szigor´ uan n˝o, ha pedig f 0 (a) < 0, akkor f az a-ban szigor´ uan fogy. ´ s. i) Ha f az a pontban n˝o, akkor a-nak van olyan Kr (a) k¨ornyezete, amelyBizony´ıta ben (3) teljes¨ ul. Innen k¨ovetkezik, hogy f (x) − f (a) = 0 (x ∈ (a − r, a + r), x 6= a). x−a Ezt felhaszn´alva a 2.4. pont 1. K¨ovetkezm´enye alapj´an azt kapjuk, hogy f (x) − f (a) = 0. x→a x−a

f 0 (a) = lim

A lok´alis fogy´asra vonatkoz´o ´all´ıt´as hasonl´oan igazolhat´o. ii) Most tegy¨ uk fel, hogy f 0 (a) > 0. Ekkor a 2.4. pont 1. k¨ovetkezm´enye alapj´an l´etezik olyan Kr (a) k¨ornyezet, amelynek minden pontj´aban f (x) − f (a) > 0 (x ∈ (a − r, a + r), x 6= a). x−a Innen k¨ovetkezik, hogy f (x) > f (a),

ha x > a,

´es f (x) < f (a),

ha x < a.

Ezzel megmutattuk, hogy az f f¨ uggv´eny az a pontban szigor´ uan n˝o. Az ´all´ıt´as m´asodik r´esze hasonl´oan igazolhat´o. ¤ Megjegyezz¨ uk, hogy a 6. t´etel i) r´esze nem pontos megford´ıt´asa ii)-nek. Az (4)

f (x) := x3

(x ∈ R)

f¨ uggv´eny a 0 pontban szigor´ uan n˝o, ugyanakkor f 0 (0) = 0. Ez a p´elda azt mutatja, hogy m´eg az a pontbeli szigor´ u n¨oveked´esb˝ol sem k¨ovetkezik, hogy f 0 (a) > 0. A lok´alis sz´els˝o´ert´ek ´es a deriv´alt kapcsolat´ara vonatkozik az al´abbi

7. T´etel. Ha az f : (α, β) → R f¨uggv´eny az a ∈ (α, β) pontban differenci´alhat´o ´es itt lok´alis sz´els˝o´ert´eke van, akkor f 0 (a) = 0.

100

4.3. A differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ek-t´etelei

´ s. Indirekt m´odon bizony´ıtunk. Az ´all´ıt´assal ellent´etben tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy 0 f (a) 6= 0. Ekkor a 6. t´etel alapj´an f 0 (a) > 0 eset´en az f f¨ uggv´eny az a pontban szigor´ uan n˝o, f 0 (a) < 0 eset´en pedig az f f¨ uggv´eny az a pontban szigor´ uan fogy. K¨ovetkez´esk´eppen f -nek nem lehet lok´alis sz´els˝o´ert´eke a-ban. A kapott ellentmond´assal az ´all´ıt´ast igazoltuk. ¤ A most bizony´ıtott t´etel szerint az f 0 (a) = 0 felt´etel sz¨ uks´eges, de — amint arr´ol k¨onnyen meggy˝oz˝odhet¨ unk — nem el´egs´eges ahhoz, hogy f -nek a-ban lok´alis sz´els˝o´ert´eke legyen. Ez ut´obbit a (4) alatt ´ertelmezett f f¨ uggv´eny p´eld´aja mutatja. Ez ugyanis a 0 pontban szigor´ uan n˝o, ugyanakkor f 0 (0) = 0. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a 7. t´etel az a-ban differenci´alhat´o f¨ uggv´enyekre vonatkozik, s ez´ert pl. az abszol´ ut´ert´ek-f¨ uggv´enyre nem alkalmazhat´o. Ennek a f¨ uggv´enynek a 0 helyen minimuma van, de ebben a pontban nem differenci´alhat´o.

4.3. A differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ek-t´etelei Ebben a pontban bebizony´ıtunk h´arom alapvet˝o t´etelt, amelyeket a k´es˝obbiek sor´an gyakran felhaszn´alunk.

Rolle-t´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f : [a, b] → R f¨uggv´eny folytonos az [a, b] ⊂ R z´ art intervallumban, differenci´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumban ´es f (a) = f (b). Ekkor l´etezik olyan ξ ∈ (a, b) hely, ahol f 0 (ξ) = 0. ´ s. A felt´etel szerint az f f¨ Bizony´ıta uggv´eny az [a, b] v´eges, z´art halmazon folytonos. Weierstrass t´etele alapj´an f -nek van abszol´ ut maximuma ´es abszol´ ut minimuma. Legyenek ezek M := max{f (x) : x ∈ [a, b]}, m := min{f (x) : x ∈ [a, b]}. Ha M = m, akkor f ´alland´o, s ilyenkor az f deriv´altja az (a, b) minden pontj´aban elt˝ unik. Ha m < M , akkor f (a) = f (b) miatt a f¨ uggv´eny a M ´es m sz´amok k¨oz¨ ul legal´abb az egyiket az (a, b) intervallum valamely ξ bels˝o pontj´aban veszi fel. K¨ovetkez´esk´eppen f -nek a ξ helyen lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. A 7. t´etel alapj´an f 0 (ξ) = 0. ¤ A most igazolt t´etelb˝ol k¨ozvetlen¨ ul ad´odik az al´abbi

K¨ ovetkezm´eny. Ha f ∈ C[a, b] ∩ D(a, b) ´es f 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b), akkor f (a) 6= f (b). ´ s. Az ´all´ıt´assal ellent´etben tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy f (a) = f (b). Ekkor a Rolle-t´etel miatt l´etezik ξ ∈ (a, b), melyre f 0 (ξ) = 0, ami ellentmond a f 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b) felt´etelnek. A kapott ellentmond´assal az ´all´ıt´ast igazoltuk. ¤

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

101

A Rolle-t´etel ´altal´anos´ıt´asa az al´abbi

Cauchy-t´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f : [a, b] → R ´es g : [a, b] → R f¨ uggv´enyek folytonosak az [a, b] z´ art intervallumon ´es differenci´alhat´ok az (a, b) ny´ılt intervallumon, tov´abb´a g 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b). Ekkor van olyan ξ ∈ (a, b) hely, hogy f 0 (ξ) f (b) − f (a) = 0 . g(b) − g(a) g (ξ)

´ s. A felt´etelek alapj´an a k¨ovetkezm´enyt felhaszn´alva ad´odik, hogy g(a) 6= g(b), Bizony´ıta s ez´ert a bal oldalon ´all´o t¨ort nevez˝oje nem 0. Az ´all´ıt´as igazol´as´ahoz vezess¨ uk be a F (x) := f (x) − λg(x) (x ∈ [a, b]) f¨ uggv´enyt, ahol a λ ∈ R sz´amot u ´gy v´alasztjuk, hogy F kiel´eg´ıtse a Rolle-t´etel felt´eteleit. Nyilv´anval´o, hogy F ∈ C[a, b] ´es F ∈ D(a, b). Az F (a) = F (b) felt´etel azzal ekvivalens, hogy f (a) − λg(a) = f (b) − λg(b), azaz λ=

f (b) − f (a) . g(b) − g(a)

A Rolle-t´etelt az F f¨ uggv´enyre alkalmazva azt kapjuk, hogy l´etezik olyan ξ ∈ (a, b) hely, ahol 0 = F 0 (ξ) = f 0 (ξ) − λg 0 (ξ). Innen az

f 0 (ξ) f (b) − f (a) =λ= g 0 (ξ) g(b) − g(a)

bizony´ıtand´o ´all´ıt´as k¨ovetkezik. ¤ A most igazolt t´etelb˝ol a g(x) := x (x ∈ (a, b)) speci´alis esetben ad´odik a

Lagrange-t´etel. Ha az f : [a, b] → R f¨uggv´eny folytonos az [a, b] z´art intervallumon ´es differnci´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon, akkor l´etezik olyan ξ ∈ (a, b) hely, hogy f (b) − f (a) = f 0 (ξ). b−a A Lagrange-t´etelb˝ol az f (a) = f (b) speci´alis esetben visszakapjuk a Rolle-t´etelt.

102

4.3. A differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ek-t´etelei

A Lagrange-t´etel ´all´ıt´asa — geometriailag fogalmazva — azt jelenti, hogy az f grafikonj´anak van olyan pontja, amelyben az ´erint˝o p´arhuzamos az (a, f (a)), (b, f (b)) v´egpontokat ¨osszek¨ot˝o szel˝ovel.

y f(b)

f(a) a

ξ

b

x

2. ´abra Az eml´ıtett t´etel — figyelembe v´eve a benne szerepl˝o fogalmak fizikai jelent´es´et — u ´gy is interpret´alhat´o, hogy mindig van az ´atlagsebess´eggel egyenl˝o pillanatnyi sebess´eg. A most bizony´ıtott h´arom t´etelt a differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ek-t´eteleinek nevezz¨ uk. Az ezekben szerepl˝o felt´etelek egyike sem hagyhat´o el: 1. Az f (x) := |x| (x ∈ [−1, 1]) f¨ uggv´eny az f ∈ D[−1, 1] felt´etelnek nem tesz eleget. 2. A g(x) := 0 (−1 5 x < 1), g(1) := 1 utas´ıt´assal ´ertelmezett f¨ uggv´eny nem folytonos az 1 helyen. Nyilv´anval´ o sem f -re, sem g-re nem teljes¨ ul a Lagrange-t´etel ´all´ıt´asa, ugyanis minden ξ ∈ (−1, 1) pontban, ahol a deriv´alt l´etezik f (1) − f (−1) = 0 6= f 0 (ξ) ∈ {1, −1}, 2

g(1) − g(−1) = 1 6= g 0 (ξ) = 0. 2

A Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ekt´etelb˝ol k¨ozvetelen¨ ul ad´odik az al´abbi

8. T´etel. Legyen f : (α, β) → R differenci´alhat´o f¨uggv´eny. i) Az f akkor ´es csak akkor monoton n¨oveked˝o, ha minden x ∈ (α, β) pontban f 0 (x) = 0. ii) Az f akkor ´es csak akkor monoton fogy´o , ha minden x ∈ (α, β) pontban f 0 (x) 5 0. iii) Az f akkor ´es csak akkor konstans, ha minden x ∈ (α, β) pontban f 0 (x) = 0.

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

103

´ s. Ad i). Ha f monoton n¨ov˝o, akkor f minden x ∈ (α, β) pontban lok´alisan Bizony´ıta n˝o, k¨ovetkez´esk´eppen a 6. t´etel alapj´an f 0 (x) ≥ 0. Megford´ıtva, most induljunk ki abb´ol, hogy f 0 (x) = 0 (x ∈ (α, β)). Legyen α < x1 < x2 < β ´es alkalmazzuk a Lagrange-f´ele k¨oz´ep´ert´ek-t´etelt az f f¨ uggv´eny [x1 , x2 ] intervallumra vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´es´ere. Ennek alapj´an alkalmas ξ ∈ (α, β) sz´ammal fenn´all az f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ) x2 − x1 egyenl˝os´eg. Minthogy f 0 nemnegat´ıv, ez´ert innen azt kapjuk, hogy minden, az ´ertelmez´esi tartom´anyba es˝o x1 < x2 pontp´ arra f (x1 ) 5 f (x2 ). Ad ii). A monoton fogy´o f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o ´all´ıt´as ugyan´ıgy igazolhat´o. Ad iii). Minthogy f pontosan akkor konstans, ha egyszerre monoton n¨oveked˝o ´es monoton fogy´o, ez´ert iii) k¨ovetkezik i)-b˝ol ´es ii)-b˝ol. ¤ Megjegyezz¨ uk, hogy abb´ol, hogy f 0 (x) = 0, (x ∈ Df ), ´altal´aban nem k¨ovetkezik, hogy f konstans a Df -en. Ha f : (α, β) ∪ (γ, δ) → R, ´es f 0 = 0 Df -en, akkor f -r˝ol annyit tudunk, hogy szakaszonk´ent konstans, azaz ½ c1 , ha x ∈ (α, β), f (x) = c2 , ha x ∈ (γ, δ), de c1 nem felt´etlen¨ ul egyenl˝o c2 -vel. A deriv´altf¨ uggv´eny egy ´erdekes tulajdons´ag´at fogalmazzuk meg az al´abbi ´all´ıt´asban.

Darboux-t´etel. Legyen f : (α, β) → R differenci´alhat´o, α < x1 < x2 < β ´es f 0 (x1 ) 6= f 0 (x2 ). Ekkor minden f 0 (x1 ) ´es f 0 (x2 ) k¨oz´e es˝o c sz´ amhoz l´etezik olyan ξ ∈ (x1 , x2 ) hely, amelyre f 0 (ξ) = c.

´ s. Vezess¨ Bizony´ıta uk be az F (x) := f (x) − cx (x ∈ (α, β)) f¨ uggv´enyt. A F f¨ uggv´eny is differenci´alhat´o ´es deiv´altja F 0 = f 0 − c. Megmutatjuk, hogy F -nek az (x1 , x2 ) intervallumban van lok´alis sz´els˝o´ert´eke. ξ-vel jel¨olve F -nek egy ilyen sz´els˝o´ert´ekhely´et, a 7. t´etel alapj´an ebben a pontban F 0 (ξ) = f 0 (ξ) − c = 0. A lok´alis sz´els˝o´ert´ek l´etez´es´enek igazol´as´ahoz induljunk ki pl. abb´ol, hogy (5)

f 0 (x1 ) < c < f 0 (x2 ).

Minthogy az F f¨ uggv´eny [x1 , x2 ]-re vonatkoz´o lesz˝ uk´ıt´ese folytonos, ez´ert a Weierstrasst´etel alapj´an F -nek az [x1 , x2 ] z´art intervallumban van abszol´ ut maximuma ´es abszol´ ut minimuma. A (5) felt´etelb˝ol F 0 (x1 ) = f 0 (x1 ) − c < 0,

F 0 (x2 ) = f 0 (x2 ) − c > 0

k¨ovetkezik. Innen — a 6. t´etel alapj´an — azt kapjuk, hogy F az x1 pontban szigor´ uan fogy, az x2 pontban pedig szigor´ uan n˝o, k¨ovetkez´esk´eppen ezek egyike sem lehet abszol´ ut minimumhely. F -nek a minimumhelye teh´at val´oban az (x1 , x2 ) egy bels˝o pontja. ¤

104

4.3. A differenci´alsz´am´ıt´as k¨oz´ep´ert´ek-t´etelei

A most igazolt t´etellel kapcsolatban szok´as a k¨ovetkez˝o fogalmat bevezetni.

Defin´ıci´ o. A g : (α, β) → R f¨ uggv´ eny Darboux-tulajdons´ ag´ u, ha minden olyan α < x1 < x2 < β helyhez, amelyre g(x1 ) 6= g(x2 ) ´es minden g(x1 ) ´es g(x2 ) k¨oz´e es˝o c sz´amhoz l´etezik olyan ξ ∈ (x1 , x2 ) sz´ am, hogy g(ξ) = c. E sz´ohaszn´alattal ´elve a Bolzano-t´etel pontosan azt fejezi ki, hogy a — ny´ılt intervallumon ´ertelmezett — folytonos f¨ uggv´enyek Darboux-tulajdons´ag´ uak. A Darboux-t´etel pedig a k¨ovetkez˝ok´eppen fogalmazhat´o meg: Minden ny´ılt intervallumon ´ertelmezett, differenci´alhat´ o f¨ uggv´eny deriv´altja Darboux-tulajdons´ag´ u. Ha valamely g ∈ D(α, β) f¨ uggv´eny deriv´altja folytonos, akkor — a Bolzano-t´etel alapj´an — g deriv´altja Darboux-tulajdons´ag´ u. A fenti t´etel szerint g 0 akkor is Darbouxtulajdons´ag´ u, ha g 0 nem folytonos. Ilyen f¨ uggv´eny p´eld´aul a k¨ovetkez˝o: ( 1 x2 sin , (x ∈ R, x 6= 0), g(x) := x 0, (x = 0). 1. El˝osz¨or kisz´amoljuk a f¨ uggv´eny deriv´altj´at. A k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya alapj´an g minden 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o helyen deriv´alhat´o ´es 1 1 1 1 1 + x2 cos · (− 2 ) = 2x sin − cos (x 6= 0). x x x x x A 0 pontban val´o differenci´alhat´os´agot a definici´o alapj´an igazolhatjuk. A g f¨ uggv´eny 0 pontbeli k¨ ul¨onbs´egi h´anyados´ara g 0 (x) = 2x sin

1 g(x) − g(0) = x sin → 0, x−0 x

ha x → 0

teljes¨ ul. Ezzel megmutattuk, hogy g a 0 pontban is differenci´alhat´o ´es g 0 (0) = 0. 2. Igazoljuk, hogy g 0 -nek a 0-ban nincs sem bal-, sem jobboldali hat´ar´ert´eke, azaz g-nek m´asodfaj´ u szakad´asa van a 0-ban. Mivel lim g 0 (x) = lim 2x sin

(6)

x→0

x→0

1 1 − cos , x x

´es lim 2x sin x1 = 0, ez´ert ha nem l´etezik a lim cos x1 hat´ar´ert´ek, akkor a (6) hat´arx→0

x→0±

´ert´ek sem l´etezik. A lim cos x1 hat´ar´ert´eket vizsg´aljuk meg ´atviteli elv seg´ıts´eg´evel. x→0+

(1)

Az (xn lim

n→+∞

:=

(1) xn

1 2nπ , n

= lim

n→+∞

(2)

∈ N∗ ), ´es (xn (2) xn

1

π 2 +2nπ

, n ∈ N∗ ) sorozatok v´alaszt´asa eset´en

= 0+ teljes¨ ul, de a f¨ uggv´eny´ert´ekek sorozata

lim cos

n→+∞

lim cos

n→+∞

:=

1 (1) xn

1 (2) xn

= lim cos(2nπ) = lim 1 = 1, n→+∞

= lim cos( n→+∞

n→+∞

π + 2nπ) = lim 0 = 0, n→+∞ 2

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

105

k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´ar´ert´ekhez tart, ez´ert az ´atviteli elv ´ertelm´eben a lim cos x1 hat´ar´ert´ek x→0+

val´oban nem l´etezik. A baloldali hat´ar´ert´ek hasonl´oan igazolhat´o.

Ezzel bel´attuk, hogy Bolzano t´etel´et nem lehet megford´ıtani, azaz ha egy f¨ uggv´eny Darbboux-tulajdons´ag´ u, akkor nem felt´etlen¨ ul folytonos. Megjegyezz¨ uk, hogy a Darboux-tulajdons´ag´ u f¨ uggv´enyeknek nem lehet els˝ofaj´ u szakad´asa (l´asd a 26. Feladatot). Teh´at, ha egy f¨ uggv´enynek van els˝ofaj´ u szakad´asi pontja, akkor nem Darboux-tulajdons´ag´ u.

4.5. Feladatok 1. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket! a) d)

ln x − 1 x−e ln tg x lim x→ π 1 − ctg x 4 lim

b)

x→e

e)

ln tg x cos 2x ex − 1 lim x→0 x lim

x→ π 4

c) f)

ln cos αx ln cos βx sinh x lim x→0 x

lim

x→0

√ 2. Legyen f (x) = x (x > 0). Hat´arozzuk meg az f 0 (3) ´es f 0 (10) ´ert´ekeket. 3. Igazoljuk, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek a felt¨ untetett helyeken nem differenci´alhat´ok: a) f (x) :=

√ 3

x2

(x ∈ R), a = 0,

c) f (x) := | cos(x)|

b) f (x) := |x − 1| (x ∈ R), a = 1,

(x ∈ R), a = π/2.

´ 4. Allap´ ıtsuk meg, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´anyuk melyik pontj´aban differenci´ alhat´ok, ´es hat´arozzuk meg deriv´altjukat. (Ahol nem differenci´alhat´ok, ott vizsg´aljuk meg, hogy l´eteznek-e a jobb- illetve baloldali differenci´alh´anyadosok.) a) f (x) := |x| (x ∈ R), c) f (x) := ln |x| (x ∈ R, x 6= 0), ½ x + x2 (x < 0), e) f (x) := 2 x−x (x ≥ 0), ( √ x+1−1 √ (x 6= 0), x g) f (x) := 0 (x = 0), ½ x (x 6= 0), 1/x i) f (x) := 1+e 0 (x = 0),

b) f (x) =: x|x| (x ∈ R), ½ 1−x (x < 0), d) f (x) := e−x (x ≥ 0), ½ 1 (x > 1), f ) f (x) := x x (x 5 1), ½ 1 x cos x (x 6= 0), h) f (x) := 0 (x = 0), ½ 2x e (x < 0), j) f (x) := (x + 1)2 (x = 0),

106

4.5. Feladatok

5. Hat´arozzuk meg az a, b ∈ R egy¨ utthat´okat u ´gy, hogy az f : R → R, f (x) = |x − a| + x|x − b| f¨ uggv´eny deriv´alhat´o legyen a val´ os sz´amok halmaz´an. 6. a) Hat´arozzuk meg az a, b ∈ R egy¨ utthat´okat u ´gy, hogy az ( f (x) :=

a · ex √

(x 5 0),

x+1−b x

(x > 0)

f¨ uggv´eny deriv´alhat´o legyen az R halmazon. b) Hat´arozzukmeg az a, b ∈ R egy¨ utthat´okat u ´gy, hogy az f : R → R, f (x) = |x − a| + x|x − b| f¨ uggv´eny deriv´alhat´o legyen a val´os sz´amok halmaz´an. c) Hat´arozzuk meg az a, b ∈ R egy¨ utthat´okat u ´gy, hogy az ½ f (x) :=

a · e2x sin 2x + b cos 3x

(x 5 0), (x > 0)

f¨ uggv´eny deriv´alhat´o legyen az R halmazon. 7. Hat´arozzuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at: a) f (x) := ax2 + bx + c (x ∈ C), ax + b (x ∈ R, x 6= d/c), cx − d √ 1+ x √ e) f (x) := (x > 0), 1− x c) f (x) :=

2x + 3 (x ∈ R), x2 − 5x + 5 √ 3 d) f (x) := x2 x2 (x ∈ R),

b) f (x) :=

f ) f (x) :=

√ x + ln(2 x) 2

(x > 0).

8. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi f¨ uggv´enyek deriv´altj´at: a)

f (x) := tg(x) − ctg(x) (x ∈ R, x 6= kπ/2 (k ∈ Z)), sin x + cos x b) f (x) := (x ∈ R, sin x 6= cos x), sin x − cos x (1 + x2 )arctg(x) − x (x ∈ R). c) f (x) := 2 9. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi val´os f¨ uggv´enyek deriv´altj´at. A f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´anya az R-nek az a legt´agabb r´eszhalmaza, amelyen a kijel¨olt utas´ıt´asoknak van

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

107

´ertelme. b) f (x) = sin2 x +

a) f (x) := ctg(x) − ctg(π/4), c) f (x) := sin(x2 − 5x + 1) + tg µ ¶ 1 , e) f (x) := arcsin x2 g)

µ ¶ 1 , x

d) f (x) := xex + x, µ ¶ 1+x f ) f (x) := arctg , 1−x

2

f (x) := 5e−x ,

1 , cos2 x

h) f (x) := ln(sin(x)),

√

i) f (x) := ln(x + 1) + ln( x + 1), j) f (x) := x sin(2x ), √ √ `) f (t) := (2t + 1) 3t + 2 3 3t + 3, µ ¶m 2 + 3y n n) f (y) := , 2 − 3y n µ ¶ x sin(π/4) p) f (x) := arctg , 1 − x cos(π/4) à ! √ p 2 1 + 1 + x s) f (x) := x2 + 1 − ln , x à √ ! 1 tg(x/2) + 2 − 3 √ u) f (x) := ln , 3 tg(x/2) + 2 + 3 w)

7

7

f (x) := arcosh(ln x) + sin x ,

k) f (x) := ln2 x − ln(ln x), m) f (x) := log2 (3x + 5), µ 2 ¶ x −1 o) f (x) := arcsin , x2 r) f (x) := esin

x

,

t) f (t) := et cos t, v) f (x) := arctg(ln x), µ x)

y) f (x) := tgh(x2 + 1) + ctgh(x2 − 1),

2

f (x) := artgh

2x 1 + x2

¶ ,

z) f (x) := arcosh(cos x).

10. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi val´os f¨ uggv´enyek deriv´altj´at. A f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´anya az R-nek az a legt´agabb r´eszhalmaza, amelyen a kijel¨olt utas´ıt´asoknak van ´ertelme. a) f (x) := xx , √ d) f (x) := x x, g)

f (x) := xarc tg x ,

j) f (x) := xarc tg x , m) f (x) := x1/x ,

√ x

b) f (x) = x

,

c) f (x) := x1−x

x

f ) f (x) := x2 ,

e) f (x) := x(x ) , p x h) f (x) := x2 + x, k) f (x) := xsin x , µ ¶x 1 n) f (x) := 1 + , x

x

i)

f (x) := (cos x)sin x , `) f (x) := (ln x)x , x

o) f (x) := (arctg(x)) .

11. Legyen f (x) = x3 + ax2 (x ∈ R). Milyen x pontban teljes¨ ul az f 0 (x) = f (x) felt´etel?

108

4.5. Feladatok

12. Igazoljuk, hogy az al´abb felsorolt f¨ uggv´enyek deriv´altjai kiel´eg´ıtik a fel´ırt egyenletet: a) f (x) :=

1 ; 1 + x + ln x

b) f (x) := xe

2 − x2

;

xf 0 (x) = f (x) (f (x) ln x − 1)

(x > 0),

xf 0 (x) := (1 − x2 )f (x) (x ∈ R).

13. Hat´arozzuk meg az (a, b) intervallumnak azt a ξ pontj´at, amelyben az f (x) := x2 (x ∈ R) f¨ uggv´eny grafikonj´anak ´erint˝oje p´arhuzamos az (a, f (a)), (b, f (b)) pontokat ¨osszek¨ot˝o szel˝ovel. 14. Legyen f (x) = x2 (x ∈ R) ´es g(x) := 1/x (x ∈ R, x 6= 0). Hat´arozzuk meg az f ´es g metsz´espontj´aban az f ´es g ´erint˝oj´enek hajl´assz¨og´et. 15. a) Milyen sz¨oget z´ar be az y = x cos x g¨orb´ehez az x = 0 abszcissz´aj´ u pontj´aba h´ uzott ´erint˝o az x tengellyel? Mi az√´erint˝o egyenlete? b) Milyen sz¨oget z´ar be az y = x2 + 4x − 2 g¨orb´ehez az x = 0 abszcissz´aj´ u pontj´aba h´ uzott ´erint˝o az x tengellyel? √ Mi az ´erint˝o egyenlete? c) Milyen sz¨oget z´ar be az y = 3 x g¨orb´ehez az x = 1 abszcissz´aj´ u pontj´aba h´ uzott ´erint˝o az x tengellyel? Mi az ´erint˝o egyenlete? d) Igazoljuk, hogy az y = xn (n = 2, 3, . . . ) g¨orb´ehez b´armely orig´ot´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontba h´ uzott ´erint˝o n-ed r´esznyit v´ag le az ´erint´esi pont abszcissz´aj´ab´ol! e) Bizony´ıtsuk be, hogy az y = x1 hiperbol´ahoz h´ uzott ´erint˝ok a koordin´atatengelyekkel ´alland´ o ter¨ ulet˝ u h´aromsz¨ogeket alkotnak! f) Az y = ax (a > 0) f¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul melyik az, amelyik 45◦ -os sz¨og alatt metszi az y tengelyt? 16. A differenci´alsz´am´ıt´as seg´ıts´eg´evel igazoljuk a k¨ovetkez˝oket. (Adjuk meg, hogy mely intervallumokon igaz az ´all´ıt´as!) a) Az y = cos 2x + 2 sin2 x f¨ uggv´eny konstans. b) Az y = cos 2x − 2 cos2 x f¨ uggv´eny konstans. c) Az y = arccos(2x2 − 1) − 2 arccos x f¨ uggv´eny konstans. d) Az y = arccos x(4x2 − 3) − 3 arccos x f¨ uggv´ ¡ ¢ ¡ eny ¢konstans. e) Az y = cos2 x + cos2 π3 + x − cos x cos π3 + x f¨ uggv´eny konstans. f) Az y = arctg x + arctg x1 f¨ uggv´eny konstans. x+2 g) Az y = arctg x − arctg 1−2x f¨ uggv´eny konstans. √ h) Az y = arcsin(2x 1 − x2 ) − 2 arcsin x f¨ uggv´eny konstans. 17. a) Felveszi-e az y = x cos x f¨ uggv´eny differenci´alh´anyadosa a 0 ´ert´eket a (0, π2 ) intervallumon? √ b) Felveszi-e az y = x x f¨ uggv´eny differenci´alh´anyadosa a 0 ´ert´eket a (2, 4) intervallumon? c) Felveszi-e az y = xx f¨ uggv´eny differenci´alh´anyadosa a 3 ´ert´eket a (1, 2) intervallumon? d) Bizony´ıtsuk be, hogy ha x > 1, akkor ex > ex.

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

109

x e) Bizony´ıtsuk be, hogy ha x > 0, akkor 1+x < ln(1 + x) < x. f) Bizony´ıtsuk be, hogy ha b > a > 0, akkor

a−b a a−b 5 ln 5 . a b b g) Bizony´ıtsuk be, hogy ha b > a > 0, n ∈ N, akkor n · (b − a) · an−1 5 bn − an 5 n · (b − a) · bn−1 . h) Bizony´ıtsuk be, hogy ha

π 2

> b > a > 0, n ∈ N, akkor

(b − a) (b − a) < tg b − tg a < . cos2 a cos2 b i) Legyen f (x) := x(x + 1)(x + 2)(x + 3) (x ∈ R). Igazoljuk, hogy az f 0 (x) = 0 egyenletnek h´arom val´os gy¨oke van. 18. Legyen f (x) := x2 + 2, g(x) := x3 − 1 (x ∈ [1, 2]). Hat´arozzuk meg azt a ξ ∈ (1, 2) pontot, amelyre f (2) − f (1) f 0 (ξ) = 0 g(2) − g(1) g (ξ) teljes¨ ul. 19. Tanulm´anyozzuk a Rolle-t´etel´enek alkalmazhat´os´ag´at a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyekre: ½ 2 x (x ∈ [−1, 0] a) f : [−1, 1] → R, f (x) := x (x ∈ (0, 1], ½ cos x (x ∈ [0, π4 ] b) f : [0, π2 ] → R, f (x) := sin x (x ∈ (− π4 , π2 ], c) f : [− π2 , π2 ] → R, f (x) := | sin3 x|. 20. Tanulm´anyozzuk a Lagrange-t´etel´enek alkalmazhat´os´ag´at az al´abbi f¨ uggv´enyekre. (Ha alkalmazhat´o Lagrange-t´etele, akkor hat´arozzuk meg a t´etelben szerepl˝o ξ-t is, ha lehet. ) ½ 2 x (x ∈ [0, 1] a) f : [0, 2] → R, f (x) := 2x − 1 (x ∈ (1, 2] 1 1 x−1 b) f : [− 2 , 2 ] → R, f (x) := ln x+1 c) Hat´arozzuk meg a p, q, r param´etereket u ´gy, hogy teljes¨ uljenek a Lagrange-t´etel felt´etelei: f : [a, b] → R, f (x) := px2 + qx + r (p ∈ R∗ , q, r ∈ R)

110

4.5. Feladatok

21. Igazoljuk, hogy azn ex = x + 1 egyenletnek a 0 sz´amon k´ıv¨ ul nincs m´as val´os gy¨oke. 22. Milyen intervallumon monotonok az al´abbi f¨ uggv´enyek ? f (x) := 1 − 4x − 4x2 (x ∈ R), x (x ∈ R), c) f (x) := x−2 √ e) f (x) := (x − 3) x (x > 0),

b) f (x) = x2 (x − 3) (x ∈ R), x d) f (x) := 2 (x ∈ R), x − 6x − 16

a)

1 x−a

g) f (x) := e ex i) f (x) := x

f ) f (x) := 2ex

(x ∈ R, x 6= a),

2

−4x

(x ∈ R),

h) f (x) := x ln x (x > 0),

(x ∈ R, x 6= 0),

f (x) := xe−x

j)

2

(x ∈ R).

23. Hat´arozzuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelyeit. a) f (x) := x3 − 3x2 + 3x + 2 3

(x ∈ R),

2

b) f (x) := 2x + 3x − 12x + 5 c)

2

2

f (x) := x (x − 12)

(x ∈ R),

(x ∈ R),

d) f (x) := 2 cos(x/2) + 3 cos(x/3) e)

f (x) := x − ln(1 + x)

f)

f (x) := x ln2 x (x > 0),

g)

f (x) := xe−x

h)

f (x) :=

(x ∈ R),

(x > −1),

(x ∈ R),

(x − 2)(8 − x) x2

(x ∈ R, x 6= 0).

24. Igazoljuk az al´abbi egyenl˝otlens´egeket. 1 ≥ 2 (x > 0), x x b) e > 1 + x (x ∈ R, x 6= 0),

a) x +

c) d)

x2 < ln(1 + x) < x (x > 0), 2 x2 cos x > 1 − (x ∈ R, x 6= 0). 2

x−

25. Hat´arozzuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek abszol´ ut maximum´at ´es minimum´at. x a) f (x) := (x ∈ R), 1 + x2 b) f (x) = x3 (x ∈ [−1, 3]), c) f (x) := sin4 x + cos4 x (x ∈ R), d) f (x) := 22x3 + 3x2 − 12x + 1 e)

f (x) := 22x3 + 3x2 − 12x + 1

(x ∈ [−1, 5]), (x ∈ [−10, 12]).

4. Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek

111

26. Igazoljuk, hogy Darboux tulajdons´ag´ u f¨ uggv´enyeknek nem lehet els˝ofaj´ u szakad´asa. 27. Igazoljuk, hogy az f : (a, b) → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor szigor´ uan monoton n¨ov˝o, ha minden x ∈ (a, b) pontban f 0 (x) = 0 ´es az f 0 az (a, b) egyetlen r´eszintervallum´aban sem azonosan 0.

112

5.1. L’Hospital szab´aly

5. A differenci´alsz´am´ıt´as n´eh´any alkalmaz´asa Ebben a fejezetben — a deriv´alttal ¨osszef¨ ugg´esben — n´eh´ any u ´j fogalmat vezet¨ unk be, tov´abb´a bemutatjuk a differenci´alsz´am´ıt´as n´eh´any alkalmaz´as´at. T¨obbek k¨oz¨ott megmutatjuk, hogyan lehet a differenci´alsz´am´ıt´ast hat´ar´ert´ekek kisz´am´ıt´as´ara ´es sz´els˝o´ert´ek feladatok megold´as´ara felhaszn´alni. A differenci´alsz´am´ıt´as felhaszn´alhat´o f¨ uggv´enyek geometriai vizsg´alat´ara.

5.1. L’Hospital szab´aly A h´anyados hat´ar´ert´ek´ere vonatkoz´o t´etelben feltett¨ uk, hogy a nevez˝o hat´ar´ert´eke nem nulla. Ha a sz´aml´al´o hat´ar´ert´eke 0, a nevez˝o´e pedig nem 0, akkor a h´anyadosnak nyilv´an nincs v´eges hat´ar´ert´eke. Ha a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o hat´ar´ert´eke egyar´ant 0, akkor az eml´ıtett t´etel alapj´an nem lehet a hat´ar´ert´eket kisz´am´ıtani. Ezekben az esetekben — amikor a h´anyados u ´n. hat´arozatlan vagy 0/0” alak´ u kifejez´es — alkalmazhat´o az ” al´abbi L’Hospital-szab´aly n´even ismert ´all´ıt´as.

1. L’Hospital szab´aly. Legyen −∞ 5 a < b < ∞ ´es tegy¨uk fel, hogy az f, g : (a, b) → R f¨ uggv´enyek differenci´alhat´ok, tov´abb´a g 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b). Ha (1)

lim f (x) = lim g(x) = 0

x→a+

x→a+

´es ha l´etezik a lima+ f 0 /g 0 (v´eges vagy v´egtelen) hat´ar´ert´ek, akkor az f /g f¨ uggv´enynek is van jobboldali hat´ar´ert´eke az a helyen ´es (2)

f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim

´ s. i) Vizsg´aljuk el˝osz¨or az a > −∞ esetet. Legyen f (a) := f (b) := 0 ´es Bizony´ıta vezess¨ uk be a (3)

f 0 (x) x→a+ g 0 (x)

A := lim

5. Alkalmaz´ asok

113

jel¨ol´est. Az ´atviteli elvet alkalmazva megmutatjuk, hogy minden a-hoz konverg´al´o a < xn < b (n ∈ N) sz´amsorozatra f (xn ) lim = A. n→∞ g(xn ) Minthogy f, g ∈ C[a, xn ] ´es f, g ∈ D(a,xn ) (n ∈ N), tov´abb´a g 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b), ez´ert erre a f¨ uggv´enyp´arra az [a, xn ] intervallumban teljes¨ ulnek a Cauchy-t´etel felt´etelei. A sz´oban forg´o t´etelt alkalmazva azt kapjuk, hogy l´etezik olyan ξn ∈ (a, xn ) hely, amelyre f (xn ) − f (a) f 0 (ξn ) f (xn ) = = 0 . g(xn ) g(xn ) − g(a) g (ξn ) Mivel a < ξn < xn (n ∈ N), ez´ert a rend˝or elv alapj´an lim ξn = a, ez´ert az´atviteli elv n→∞

´es (3) alapj´an lim

n→inf ty

f 0 (ξn ) = A, g 0 (ξn )

ahonnan ism´et csak az ´atviteli elvet alkalmazva (2) m´ar k¨ovetkezik. ii) Ha a = −∞, v´alasszunk olyan y0 ∈ R ´es c > 0 sz´amot, amelyekre β := y0 − 1/c < b teljes¨ ul ´es vezess¨ uk be a 1 ϕ(y) := y0 − (0 < y < c) y f¨ uggv´enyt, amely a (0, c) intervallumot a (−∞, β) intervallumra k´epezi k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen, hiszen ϕ szigor´ uan monoton n˝o, ´es lim ϕ(y) = −∞, lim ϕ(y) = y0 − 1c = β. y→c−

y→0+

A (0, c) intervallumon ´ertelmezett F := f ◦ ϕ, G := g ◦ ϕ f¨ uggv´enyekre — az a = 0 pontot v´eve — alkalmazhat´o a t´etel m´ar igazolt i) v´altozata. Val´oban, pl. az ´atviteli elv alapj´an lim F (y) = lim f (ϕ(y)) = lim f (x) = 0,

y→0+

y→0+

x→−∞

lim G(y) = lim g(ϕ(y)) = lim g(x) = 0,

y→0+

y→0+

x→−∞

tov´abb´a a k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alya alapj´an (4)

1 0 f (ϕ(y)) , (y ∈ (0, c)), y2 1 0 G0 (y) = (g ◦ ϕ) (y) = g 0 (ϕ(y))ϕ0 (y) = 2 g 0 (ϕ(y)) , (y ∈ (0, c)). y 0

F 0 (y) = (f ◦ ϕ) (y) = f 0 (ϕ(y))ϕ0 (y) =

Innen ´es a (3) alatti hat´ar´er´ek l´etez´es´eb˝ol — ism´et az ´atviteli elv alapj´an — k¨ovetkezik, hogy 1 0 f 0 (x) F 0 (y) y 2 (f ◦ ϕ)(y) = lim 0 lim 0 = lim 1 0 . x→−∞ g (x) y→0+ G (y) y→0+ 2 (g ◦ ϕ)(y) y

114

5.1. L’Hospital szab´aly

F (y) y→0+ G(y)

Alkalmazva a t´etel m´ar igazolt i) v´altozat´at azt kapjuk, hogy l´etezik a lim

hat´ar-

´ert´ek, ´es arra F (y) F 0 (y) f 0 (x) = lim 0 = lim 0 x→−∞ g (x) y→0+ G(y) y→0+ G (y)

(5)

lim

(x) F (y) (ϕ(y)) teljes¨ ul. Az ´atviteli elv alapj´an a limx→−∞ fg(x) ´es limy→0+ G(y) = limy→0+ fg(ϕ(y)) hat´ert´ekek egyszerre l´eteznek vagy nem l´eteznek ´es az els˝o esetben a k´et hat´ar´ert´ek egyenl˝o. K¨ovetkez´esk´eppen (5) alapj´an az f /g f¨ uggv´enynek is l´etezik a hat´ar´ert´eke a −∞ helyen ´es arra fenn´all (2). ¤

Nyilv´anval´ o, hogy hasonl´o ´all´ıt´as ´erv´enyes a baloldali hat´ar´ert´ekre is. A most vizsg´alt eset mellett gyakran el˝ofordulnak az u ´n. ∞/∞” t´ıpus´ u hat´arozatlan kifejez´esek. Ezekre ” vonatkozik a

2. L’Hospital szab´aly. Legyen −∞ 5 a < b < ∞ ´es tegy¨uk fel, hogy az f, g : (a, b) → R f¨ uggv´enyek differenci´alhat´ok, tov´abb´a g 0 (x) 6= 0, ha x ∈ (a, b). Ha (6)

lim f (x) = lim g(x) = ∞

x→a+

x→a+

´es ha l´etezik a lima+ f 0 /g 0 (v´eges vagy v´egtelen) hat´ar´ert´ek, akkor az f /g f¨ uggv´enynek is van jobboldali hat´ar´ert´eke az a helyen ´es f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a+ g(x) x→a+ g (x) lim

´ s. i) A (3)-ban bevezetett jel¨ol´est haszn´alva el˝osz¨or tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy A v´eges. A (3) ´es (6) felt´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy l´etezik olyan β ∈ (a, b) sz´am, hogy f (x) > 0, g(x) > 0, ha x ∈ (a, β] ´es f 0 /g 0 korl´atos ugyanebben az intervallumban. A (3) hat´ar´ert´ek defin´ıci´oja alapj´an minden ² > 0 sz´amhoz l´etezik olyan (a, α) ⊆ (a, β) intervallum, hogy ennek minden pontj´aban ¯ 0 ¯ ¯ f (y) ¯ ¯ ¯ < ² (y ∈ (a, α)) (7) − A ¯ g 0 (y) ¯ 2 teljes¨ ul. R¨ogz´ıts¨ uk az α sz´amot ´es az f (x) − f (α) f (x) 1 − = g(x) − g(α) g(x) 1 −

f (α) f (x) g(α) g(x)

(x ∈ (a, α))

azonoss´agb´ol kiindulva vezess¨ uk be a T (x) :=

1− 1−

g(α) g(x) f (α) f (x)

(x ∈ (a, α))

5. Alkalmaz´ asok

115

f¨ uggv´enyt. Minden x ∈ (a, α) pont eset´en alkalmazhat´o az f, g f¨ uggv´enyp´arra a Cauchyf´ele konvergencia-krit´erium az [x, α] ⊂ (a, β) intervallumon, azaz l´etezik olyan ξx ∈ (x, α) pont, amelyben f 0 (ξx ) f (x) − f (α) f (x) 1 = = g 0 (ξx ) g(x) − g(α) g(x) T (x)

(x ∈ (a, β)).

Innen (8)

f 0 (ξx ) f 0 (ξx ) f 0 (ξx ) f (x) = 0 T (x) = 0 + 0 (T (x) − 1) g(x) g (ξx ) g (ξx ) g (ξx )

k¨ovetkezik. A (6) felt´etelb˝ol ´es a T ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy lim T (x) = 1. Mintx→a+

hogy az f 0 /g 0 f¨ uggv´eny korl´atos az (a, α) intervallumban, ez´ert a (8) jobb oldal´an a m´asodik tagnak a jobboldali hat´ar´ert´eke 0 az a-ban. (Ha ´atviteli elvet alkalmazunk, akkor egy korl´atos, ´es egy nullsorozat szorzata nullsorozat.) K¨ovetkez´esk´eppen l´etezik olyan (a, γ) ⊆ (a, α) intervallum, amelyben ¯ 0 ¯ ¯ f (ξx ) ¯ ² ¯ ¯ ¯ g 0 (ξx ) (T (x) − 1)¯ < 2 (x ∈ (a, γ)) teljes¨ ul. Ezt ´es a (7) egyenl˝otlens´eget felhaszn´alva (8) alapj´an ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 0 ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ f (ξx ) f 0 (ξx ) ¯ ¯ f (ξx ) ¯ ¯ f (ξx ) ¯ ¯ ¯=¯ ¯5¯ ¯+¯ ¯ 0 sz´amhoz l´etezik olyan (a, α) ⊂ (a, β) intervallum, hogy ennek minden pontj´aban ¯ 0 ¯ ¯ f (y) ¯ 1 ¯ ¯ ¯ g 0 (y) ¯ > 2P, |T (x)| > 2 (x, y ∈ (a, α)) teljes¨ ul. Ezt felhaszn´alva (8) alapj´an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x) ¯ ¯ f 0 (ξx ) ¯ 1 ¯ ¯=¯ ¯ ¯ g(x) ¯ ¯ g 0 (ξx ) ¯ |T (x)| = 2P 2 = P

(x ∈ (a, α)),

mert minden x ∈ (a, α) eset´en ξx ∈ (x, α) ⊂ (a, α). Ezzel a = ∞ eset´en is igazoltuk a t´etelt. ¤

116

5.1. L’Hospital szab´aly

Megjegyz´esek 1. Az 1. ´ es 2. t´ etelben a jobboldali hat´ ar´ ert´ eket baloldali hat´ ar´ ert´ ekkel helyettes´ıtve a baloldali hat´ ar´ ert´ ekre vonatkoz´ o L’Hospital-szab´ alyokat kapjuk. Ezek hasonl´ oan igazolhat´ ok, mint a sz´ oban forg´ o t´ etelek. 2. Az egyoldali hat´ ar´ ert´ ekek ´ es a hat´ ar´ ert´ ek kapcsolat´ ab´ ol kiindulva k¨ onnyen megfogalmazhat´ o a hat´ ar´ ert´ ekre vonatkoz´ o L’Hospital-szab´ aly. 3. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a L’Hospital szab´ aly nem minden esetben alkalmazhat´ o. El˝ ofordulf 0 (x) f (x) hat, hogy nem l´ etezik a lim g0 (x) hat´ ar´ ert´ ek, de a lim g(x) hat´ ar´ ert´ ek l´ etezik. x→a

x→a

Legyen p´ eld´ aul f (x) := 10x − sin x, g(x) := 2x + cos x (x ∈ R). Ekkor

lim f (x) =

x→+∞

lim g(x) =

x→+∞

+∞, mindkett˝ o f¨ uggv´ eny minden¨ utt differenci´ alhat´ o, de nem l´ etezik a lim

x→+∞

f 0 (x) 10 − cos x = lim x→+∞ 2 − sin x g 0 (x)

hat´ ar´ ert´ ek, mert periodikus f¨ uggv´ enynek nem l´ etezik hat´ ar´ ert´ eke +∞-ben. Viszont egyszer˝ u sz´ amol´ assal igazolhat´ o, hogy lim

x→+∞

10 − sinx x f (x) 10x − sin x 10 = lim = lim = = 5. x→+∞ 2x + cos x x→+∞ 2 + cos x g(x) 2 x

Azaz a t´ etel kimond´ as´ aban nagyon fontos, ´ es nem elhagyhat´ o a ha l´ etezik a lima+ f 0 /g 0 hat´ ar´ ert´ ek” ” felt´ etel.

A most vizsg´alt 0/0” ´es ∞/∞” t´ıpus´ u hat´arozatlan kifejez´esek mellett gyakran ” ” el˝ofordulnak u ´n. 0·∞”, ∞/(−∞)”, 00 ”, 1∞ ”, ∞−∞” t´ıpus´ u hat´ arozatlan kife” ” ” ” ” jez´ esek. Ezek az esetek is visszavezethet˝ok a 0/0”, vagy ∞/∞” t´ıpus´ u hat´arozatlan ” ” kifejez´esekre. A) A 0·∞” elnevez´es olyan lim f (x)g(x) hat´ar´ert´ekre vonatkozik, amelyben lim f (x) = ” x→a x→a 0 ´es lim g(x) = ∞. Az f g = f /(1/g) vagy az f g = g/(1/f ) ´atalak´ıt´ast alkalmazva ez x→a

a hat´ar´ert´ek visszavezethet˝o a 0/0”, illetve a ∞/∞” t´ıpusra. ” ” B) Az g helyett a −g f¨ uggv´enyre alaklamazva a L’Hospital-szab´alyt, kisz´am´ıthatjuk az ∞/(−∞)”, illetve 0 · (−∞)” t´ıpus´ u hat´arozatlan kifejez´esek hat´ar´ert´ek´et. ” ” C) Ha f pozit´ıv az (a ∈ R) pont egy k¨ornyezet´eben, f, g f¨ uggv´enyek mindegyike differenci´alhat´o ebben a k¨ornyezetben ´es, ha lim f (x) = 1,

´es

lim f (x) = 0,

´es

lim f (x) = 0,

´es

x→a x→a x→a

lim g(x) = +∞

x→a

lim g(x) = ∞

x→a

vagy, ha vagy, ha

lim g(x) = 0,

x→a

´es az f g f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´et szeretn´enk meghat´arozni az a pontban, akkor az f (x)g(x) = eln f (x)

g(x)

= eg(x)·ln f (x)

5. Alkalmaz´ asok

117

a´talak´ıt´ast elv´egezve a kitev˝oben egy szorzatf¨ uggv´enyt kapunk. A L’Hospital szab´aly seg´ıts´eg´evel meghat´arozhat´o az A := lim g(x) ln f (x), 0 · ∞” t´ıpus´ u hat´ar´ert´ek. Ha ” x→a A ∈ R, akkor az exponenci´alis f¨ uggv´eny folytonoss´aga miatt lim f (x)g(x) = eA , ha x→a A = +∞ , akkor mivel lim ey = +∞, ez´ert — p´eld´aul az ´atviteli elv alapj´an — y→+∞

lim f (x)g(x) = +∞, ha pedig A = −∞ , akkor mivel lim ey = 0, ez´ert — p´eld´aul

x→+∞

y→−∞

az ´atviteli elv alapj´an — lim f (x)g(x) = 0. x→−∞

D) Ha lim f (x) = +∞ ´es lim g(x) = +∞ valamely (a ∈ R) pontra, ´es f, g f¨ uggv´enyek x→a x→a mindegyike differenci´alhat´o az a pontnak egy k¨ornyezetben, akkor a f¨ uggv´enyekt˝ol f¨ ugg˝oen, vagy — t¨ortf¨ uggv´enyek eset´en — k¨oz¨os nevez˝ore hozunk, vagy az egyik f¨ uggv´enyt kiemelj¨ uk, ha a L’Hospital szab´aly seg´ıts´eg´evel szeretn´enk a lim f (x)−g(x), x→a ∞ − ∞” t´ıpus´ u hat´ar´ert´eket meghat´arozni. ” Az al´abbiakban megmutatunk minden egyes hat´ar´ert´ekt´ıpusra egy-egy p´eld´at. P´ eld´ ak 1. Legyen

f (x) := (1 + x)n − 1,

g(x) := x

(x ∈ R).

Ekkor limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0. Minthogy f 0 (x) n(1 + x)n−1 = lim = n, x→0 g 0 (x) x→0 1 lim

ez´ert

(1 + x)n − 1 = n. x→0 x lim

2. Legyen

f (x) := xn ,

g(x) := ln x

(x > 0)

´es vizsg´aljuk az f g f¨ uggv´eny jobboldali hat´ar´ert´ek´et a 0 pontban. Az f (x)g(x) = ln x/x−n ´atalak´ıt´as ut´an ∞/∞” t´ıpus´ u hat´arozatlan kifejez´est kapunk. Minthogy ” g 0 (x) 1/x 1 lim = − lim = − lim xn = 0, x→0+ (1/f )0 (x) x→0+ nx−n−1 n x→0+ ez´ert

lim xn ln x = 0.

x→0+

3. Legyen

f (x) := xx ,

(x > 0)

´es vizsg´aljuk az f f¨ uggv´eny jobboldali hat´ar´ert´ek´et a 0 pontban. Az xx ´at´ırhat´o xx = ex ln x

(x > 0)

118

5.2. T¨obbsz¨or differnci´alhat´o f¨ uggv´enyek

alakba a logaritmus f¨ uggv´eny ismert tulajdons´agai alapj´an. Minthogy lim x ln x = 0 x→0+

(l´asd 6. p´elda), ez´ert

lim xx = 1.

x→0+

³ ´ 1 4. Legyen f (x) := ln1x − x−1 (x ∈ R+ \{1}) ´es meghat´arozzuk a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´et az a = 1 pontban. Ez egy ∞ − ∞” t´ıpus´ u hat´arozatlans´agi eset, ez´ert a L’Hospital ” szab´alyt nem lehet k¨ozvetlen¨ ul alkalmazni. V´egrehajtva az f (x) =

x − 1 − ln x ln x · (x − 1)

(x ∈ R+ \ {1})

´atalak´ıt´ast, az a = 1 pontban egy 0/0” t´ıpus´ u hat´ar´ert´eket kell vizsg´alni. Mivel ” a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is differenci´alhat´o a pozit´ıv f´elegyenesen, ´es a deriv´altak h´anyados´anak (9)

lim

x→1 1 x

1 − x1 x−1 = lim · (x − 1) + ln x x→1 x − 1 + x · ln x

hat´ar´ert´eke szint´en 0/0” t´ıpus´ u, de a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is differenci´alhat´o a ” pozit´ıv f´elegyenesen, ez´ert ennek meghat´aroz´as´at is a L’Hospital szab´aly ism´etelt alkalmaz´as´aval pr´ob´aljuk el´erni. Mivel l´etezik a a deriv´altak h´anyados´anak, a 1 1 = 1 x→1 1 + ln x + x 2 x lim

hat´ar´ert´eke, ez´ert a L’Hospital-szab´aly ´ertelm´eben l´etezik, ´es 1/2-del egyenl˝o a (9)-es hat´ar´ert´ek is, ´es ¶ µ 1 1 1 lim f (x) = lim − = . x→1 x→1 ln x x−1 2

5.2. T¨obbsz¨or differnci´alhat´o f¨ uggv´enyek Ebben a pontban bevezetj¨ uk a magasabbrend˝ u deriv´altakat ´es bemutatjuk ezek n´eh´any alkalmaz´ as´at. Legyen H ⊂ R ny´ılt halmaz ´es f : H → R differnci´alhat´o f¨ uggv´eny.

Defin´ıci´ o. Ha az f ∈ D(H, R) f¨uggv´eny f 0 deriv´altja differenci´alhat´o az a ∈ H pontban, akkor azt mondjuk, hogy f k´ etszer differenci´ alhat´ o a-ban. Az f 00 (a) := (f 0 )0 (a) sz´ amot az f f¨ uggv´ eny a pontbeli m´ asodik deriv´ altj´ anak nevezz¨ uk.

5. Alkalmaz´ asok

119

Az els˝orend˝ u deriv´alt mint´aj´ara ´ertelmezhetj¨ uk a m´asodrend˝ u deriv´altat. Nevezetesen, tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny minden x ∈ H pontban k´etszer differnci´alhat´o. Ekkor az f 00 : H → R, x 7→ f 00 (x) utas´ıt´assal ´ertelmezett f¨ uggv´enyt az f m´asodik deriv´altj´anak nevezz¨ uk. Ehhez hasonl´on — az f f¨ uggv´eny f (n) szimb´olummal jel¨olt n-edik deriv´altj´ab´ol kiindulva — rekurzi´oval ´ertelmezhetj¨ uk az (n + 1)-edik deriv´altat: ³ ´0 f (n+1) (a) := f (n) (a) (n ∈ N). Emelett gyakran haszn´aljuk az dn f (a) := f (n) (a) dxn jel¨ol´est. A H ny´ılt halmazon ´ertelmezett f : H → R t´ıpus´ u n-szer differenci´alhat´o n f¨ uggv´enyek ¨osszess´eg´et a Dn (H, R) vagy az egyszer˝ ubb Dn (H), illetve DH szimb´olummal (0) jel¨olj¨ uk. Ezenk´ıv¨ ul c´elszer˝ u m´eg a 0-adik deriv´altra az f := f ´ertelmez´est bevezetni. Ha az f : H → R f¨ uggv´enynek minden n ∈ N term´eszetes sz´amra l´etezik az n-edik deriv´altja, akkor azt mondjuk, hogy az f ak´arh´anyszor vagy v´egtelen sokszor differenci´alhat´o ´es az ilyen tulajdons´ag´ u f¨ uggv´enyek ¨osszess´eg´et a D∞ (H, R) vagy a D∞ (H), ∞ illetve DH szimb´olumok valamelyik´evel jel¨olj¨ uk. Az n-edrend˝ u deriv´alt ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy b´armely f, g ∈ Dn (H, R) f¨ uggv´enyre ´es minden λ1 , λ2 ∈ R sz´amp´arra λ1 f + λ2 g ∈ Dn (H, R) ´es (λ1 f + λ2 g)(n) = λ1 f (n) + λ2 g (n)

(n ∈ N).

A szorzat f¨ uggv´eny n-edik deriv´altj´ara vonatkozik az al´abbi

Leibniz-f´ele szab´aly. Minden n ∈ N term´eszetes sz´amra ´es b´armely k´et f, g ∈ Dn (H) f¨ uggv´eny szorzat´ara f g ∈ Dn (H) ´es (f g)(n) =

(10)

n µ ¶ X n (k) (n−k) f g . k

k=0

´ s. Az ´all´ıt´ast n-re vonatkoz´o teljes indukci´oval igazoljuk. Az n = 0 esetben Bizony´ıta a 0-adik deriv´alt defin´ıci´oja alapj´an az ´all´ıt´as nyilv´anval´o. Tegy¨ uk fel, hogy (10) fenn´all n-re ´es ebb˝ol kiindulva igazoljuk n helyett (n + 1)-re. Az indukci´os feltet´etelt ´es a szorzat deriv´al´asi szab´aly´at felhaszn´alva azt kapjuk, hogy à n µ ¶ !0 ³ ´0 X n (n+1) (n) (k) (n−k) (f g) = (f g) = f g = k k=0 n µ ¶ n µ ¶ X n (k) (n+1−k) X n (k+1) (n+1−k) = f g + f g . k k k=0

k=0

120

5.3. Taylor formula

Ha az els˝o ¨osszegben a k = i a m´asodikban pedig a k = i − 1 jel¨ol´est vezetj¨ uk be, akkor innen (f g)(n+1) =

µ ¶ µ ¶¶ µ ¶ n µµ ¶ X n n n n (n+1) f g (n+1) + + f (i) g (n+1−i) + f g 0 i i−1 n i=1

k¨ovetkezik. Felhaszn´alva a binomi´alis egy¨ utthat´okra vonatkoz´o µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n+1 + = , i i−1 i

µ ¶ µ ¶ n n+1 = = 1, 0 0

µ ¶ µ ¶ n n+1 = =1 n n+1

azonoss´agot a bizony´ıtand´o

(n+1)

(f g)

=

n+1 Xµ i=0

¶ n + 1 (i) (n+1−i) f g i

´all´ıt´ast kapjuk. ¤ Mivel b´armely polinom deriv´altja is polinom, ez´ert a polinomok ak´arh´anyszor differenci´alhat´ok, tov´abb´a ha P n-edfok´ u polinom, akkor P (n+1) = P (n+2) = · · · = 0. Minthogy minden f racion´alis f¨ uggv´eny f 0 deriv´altja is racion´alis ´es Df = Df 0 , ez´ert a racion´alis f¨ uggv´enyek is ak´arh´anyszor differenci´alhat´ok. Az exp, sin, cos, sinh, cosh f¨ uggv´enyek differenci´al´asi szab´alya alapj´an nyilv´anval´o, hogy ezek is ak´arh´anyszor differenci´alhat´ok.

5.3. Taylor formula Gyakran sz¨ uks´eg van arra, hogy bonyolult f¨ uggv´enyeket meg tudjunk k¨ozel´ıteni” ” olyan f¨ uggv´enyekkel, melyek helyettes´ıt´esi ´ert´ekeit k¨onnyen ki tudjuk sz´amolni, tulajdons´agait k¨onnyen ´at tudjuk tekinteni, ´es amelyek ar´anylag m´egis j´ol simulnak” a ” megk¨ozel´ıtend˝o f¨ uggv´enyhez. Ilyen egyszer˝ u f¨ uggv´enyek p´eld´aul a polinomok, ´es ezek ar´anylag j´ol illeszkednek is, ha a foksz´amuk el´eg nagy. Persze a nagyon rossz”, ugr´al´o” ” ” f¨ uggv´enyeket ezekkel sem lehet j´ol k¨ozel´ıteni. A k¨ovetkez˝okben n-szer differenci´alhat´o f¨ uggv´enyeket vizsg´alunk, ezekkel kapcsolatos a

5. Alkalmaz´ asok

121

Taylor-formula. Legyen n ∈ N, KR (a) ⊂ R ´es tegy¨uk fel, hogy az f : KR (a) → R f¨ uggv´eny (n + 1)-szer differenci´alhat´o a KR (a)-ban. Ekkor minden x ∈ KR (a) ponthoz l´etezik olyan a ´es x k¨oz´e es˝o ξx sz´ am, hogy az f (x) f¨ uggv´eny´ert´ek fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: f (x) = (Tn f )(x) + (Rn f )(x) = =

n X f (k) (a) k=0

k!

(x − a)k +

f (n+1) (ξx ) (x − a)n+1 . (n + 1)!

A Tn f polinomot az a ponthoz tartoz´o n-edik Taylor-polinomnak, az Rn f f¨ uggv´enyt Lagrange-f´ ele marad´ eknak h´ıvjuk. ´ s. Tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy x > a. Az x < a eset hasonl´oan vizsg´alhat´o. Legyen x tetsz˝oleges pont az (a, a + R) k¨ornyezetben. Nyilv´anval´oan megadhat´o egy olyan S(x) x-t˝ol f¨ ugg˝o ´ert´ek, hogy teljes¨ ulj¨on az (11)

f (x) = (Tn f )(x) +

S(x) (x − a)n+1 (n + 1)!

el˝o´all´ıt´as, ahol (Tn f )(x) := f (a) +

f 0 (a) f (n) (a) (x − 1) + · · · + (x − a)n . 1! n!

A k´erd´es az, hogy l´etezik-e olyan ξx ∈ (a, x), hogy S(x) = f (n+1) (ξx ). Tekints¨ uk a P (t) := (Tn f )(t) +

S(x) (t − a)n+1 (n + 1)!

(t ∈ (a − R, a + R)),

polinomot, ahol S(x) a (11) el˝o´all´ıt´asban szerepl˝o r¨ogz´ıtett sz´am. P egy (n + 1)-ed fok´ u polinom, teh´at ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es a deriv´altjai az a pontban: (12)

P (a) = f (a),

P 0 (a) = f 0 (a),

P (n) (a) = f (n) (a),

P 00 (a) = f 00 (a), · · · ,

P (n+1) (a) = S(x).

S(x) defin´ıci´oja miatt P (x) = f (x) egyenl˝os´eg is nyilv´an teljes¨ ul. Tekints¨ uk az F (t) := f (t) − P (t) (t ∈ (a − R, a + R)) f¨ uggv´enyt. F nyilv´an (n + 1)-szer differenci´alhat´o az (a − R, a + R) intervallumban, ez´ert b´armilyen z´art r´eszintervallum´an folytonos, ´es (n + 1)-szer differenci´alhat´o, valamint (12) miatt F (k) (a) = 0 (k = 0, . . . , n). 1. Mivel F (a) = F (x) = 0, ´es F ∈ C[a,x] F ∈ D(a,x) , ez´ert a Rolle-t´etel alapj´an l´etezik ξ1 ∈ (a, x), melyre F 0 (ξ1 ) = f 0 (ξ1 ) − P 0 (ξ1 ) = 0

122

5.3. Taylor formula

2. Mivel F 0 differenci´alhat´o az (a−R, a+R) intervallumon, ez´ert F 0 ∈ C[a,ξ1 ] F 0 ∈ D(a,ξ1 ) . F 0 (a) = F 0 (ξ1 ) = 0, ez´ert a Rolle-t´etel alapj´an l´etezik ξ2 ∈ (a, ξ1 ), melyre F 0 (ξ2 ) = f 0 (ξ2 ) − P 0 (ξ2 ) = 0. .. . n. Mivel F (n−1) differenci´alhat´o az (a − R, a + R) intervallumon, ez´ert F (n−1) ∈ C[a,ξn−1 ] F (n−1) ∈ D(a,ξn−1 ) . F (n−1) (a) = F (n−1) (ξn−1 ) = 0, ez´ert a Rolle-t´etel alapj´an l´etezik ξn ∈ (a, ξn−1 ), melyre F (n) (ξn ) = f (n) (ξn ) − P (n) (ξn ) = 0. n+1. Mivel F (n) differenci´alhat´o az (a − R, a + R) intervallumon, ez´ert F (n) ∈ C[a,ξn ] F (n) ∈ D(a,ξn ) . F (n) (a) = F (n) (ξn ) = 0, ez´ert a Rolle-t´etel alapj´an l´etezik ξn+1 ∈ (a, ξn ), melyre F (n+1) (ξn+1 ) = f (n+1) (ξn+1 ) − P (n+1) (ξn+1 ) = 0. Ezt ¨osszevetve (12)-vel azt kapjuk, hogy S(x) = f (n+1) (ξn+1 ) Bevezetve a ξx := ξn+1 jel¨ol´est, a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast kapjuk. ¤ Ismeretes, hogy minden x ∈ R sz´amra (x − a)n+1 = 0. n→∞ (n + 1)! lim

Ezt figyelembe v´eve ad´odik az al´abbi

1. K¨ovetkezm´eny. Legyen f ∈ D∞ (U, R) ´es tegy¨uk fel, hogy l´etezik olyan M > 0 sz´am, amelyre (13)

|f (n) (x)| 5 M

(x ∈ U, n ∈ N).

Ekkor minden x ∈ U = KR (a) pontban limn→∞ (Rn f )(x) = 0, k¨ovetkez´esk´eppen a lim (f (x) − (Tn f )(x)) = 0 minden x ∈ U pontban. n→∞

P´ eld´ ak. 1. Legyen f (x) := exp(x) = ex (x ∈ R). Fel´ırjuk a f¨ uggv´eny a = 0 k¨or¨ uli Taylorformul´aj´ at. A val´os exponenci´alis f¨ uggv´eny minden¨ utt ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es f (k) (x) = ex ,

f (k) (0) = 1

(k ∈ N, x ∈ R),

5. Alkalmaz´ asok

123

ez´ert minden x ∈ R, ´es minden n ∈ N eset´en l´etezik ξx , 0 ´es x k¨oz¨otti sz´am, melyre ex =

n X xk

k!

k=0

+

eξx x2 x3 xn eξx xn+1 = 1 + x + + + ··· + + xn+1 . (n + 1)! 2! 3! n! (n + 1)!

2. Legyen f (x) := sin x (x ∈ R). Fel´ırjuk a f¨ uggv´eny a = 0 k¨or¨ uli Taylor-formul´aj´at. A sinus f¨ uggv´eny minden¨ utt ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es f (2k) (x) = (−1)k sin x, f

(2k+1)

k

(x) = (−1) cos x,

f (2k) (0) = 0 f

(2k+1)

(k ∈ N, x ∈ R),

(0) = (−1)k

(k ∈ N, x ∈ R),

ez´ert minden x ∈ R, ´es minden n ∈ N eset´en l´etezik ξx , 0 ´es x k¨oz¨otti sz´am, melyre sin x =

n X

(−1)k

k=0

=x−

x2k+1 sin ξx + (−1)n+1 x2n+2 = (2k + 1)! (2n + 2)!

x5 x2n+1 sin ξx x3 + + · · · + (−1)n + (−1)n+1 x2n+2 . 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)!

3. Legyen f (x) := cos x (x ∈ R). Fel´ırjuk a f¨ uggv´eny a = 0 k¨or¨ uli Taylor-formul´aj´at. A cosinus f¨ uggv´eny minden¨ utt ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es f (2k) (x) = (−1)k cos x,

f (2k) (0) = (−1)k

f (2k+1) (x) = (−1)k+1 sin x,

f (2k+1) (0) = 0

(k ∈ N, x ∈ R), (k ∈ N, x ∈ R),

ez´ert minden x ∈ R, ´es minden n ∈ N eset´en l´etezik ξx , 0 ´es x k¨oz¨otti sz´am, melyre cos x =

n X

(−1)k

k=0

=1−

x2k sin ξx + (−1)n+1 x2n+1 = (2k)! (2n + 1)!

x2 x4 x2n sin ξx + + · · · + (−1)n + (−1)n+1 x2n+1 . 2! 4! (2n)! (2n + 1)!

4. Legyen f (x) := sinh x (x ∈ R). Fel´ırjuk a f¨ uggv´eny a = 0 k¨or¨ uli Taylor-formul´aj´at. A sinus hiperbolikus f¨ uggv´eny minden¨ utt ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es f (2k) (x) = sinh x,

f (2k) (0) = 0

f (2k+1) (x) = cosh x,

f (2k+1) (0) = 1

(k ∈ N, x ∈ R), (k ∈ N, x ∈ R),

ez´ert minden x ∈ R, ´es minden n ∈ N eset´en l´etezik ξx , 0 ´es x k¨oz¨otti sz´am, melyre sinh x =

n X x2k+1 sinh ξx 2n+2 + x = (2k + 1)! (2n + 2)!

k=0

=x+

x5 x2n+1 sinh ξx 2n+2 x3 + + ··· + + x . 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)!

124

5.4. Konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek

5. Legyen f (x) := cosh x (x ∈ R). Fel´ırjuk a f¨ uggv´eny a = 0 k¨or¨ uli Taylor-formul´aj´at. A cosinus hiperbolikus f¨ uggv´eny minden¨ utt ak´arh´anyszor differenci´alhat´o, ´es f (2k) (x) = cosh x,

f (2k) (0) = 1

f (2k+1) (x) = sinh x,

f (2k+1) (0) = 0

(k ∈ N, x ∈ R), (k ∈ N, x ∈ R),

ez´ert minden x ∈ R, ´es minden n ∈ N eset´en l´etezik ξx , 0 ´es x k¨oz¨otti sz´am, melyre cosh x =

n X x2k sinh ξx 2n+1 + x = (2k)! (2n + 1)!

k=0

=1+

x4 x2n sinh ξx 2n+1 x2 + + ··· + + x . 2! 4! (2n)! (2n + 1)!

Megjegyz´esek 1. Az a = 0 pont k¨ or¨ uli Taylor-polinomot MacLaurinpolinomnak h´ıvjuk. 2. A 1. K¨ ovetkezm´ enyben megadott (15) felt´ etel el´ egs´ eges de nem sz¨ uks´ erges ahhoz, hogy az f -et Taylor polinomja tetsz˝ olegesen megk¨ ozel´ıtse”. ” 3. A Taylor-formula felhaszn´ alhat´ o az Rn f marad´ ektag becsl´ es´ ere. A sin f¨ uggv´ enyre alkalmazva a Taylor-formul´ at ¯ ¯ ¯ µ ¯ (2n+2) (ξ ) ¯ 3 5 2n+1 ¶¯¯ ¯ |x|2n+2 x 2n+2 ¯ ¯ = ¯¯ sin ¯sin x − x − x + x − · · · + (−1)n x x . ¯5 ¯ ¯ ¯ (2n + 2)! ¯ 3! 5! (2n + 1)! (2n + 2)! 4. Vegy¨ uk ´eszre, hogy n = 0 est´ en a Taylor-formula a Lagrange-t´ etelre reduk´ al´ odik. f (x) = f (a) + f 0 (ξx )(x − a), ahol ξx a ´ es x k¨ oz´ e esik. Ez´ ert a t´ etel a Lagrange-t´ etel ´ altal´ anos´ıt´ as´ anak is tekinthet˝ o. 4. Ha valamely f¨ uggv´ eny ak´ arh´ anyszor differnci´ alhat´ o a KR (a) k¨ ornyezetben, akkor tekinthetj¨ uk a f¨ uggv´ eny a-hoz tartoz´ o tetsz˝ oleges foksz´ am´ u Taylor polinomj´ at. El˝ ofordulhat, hogy a Taylor polinom az a ponton k´ıv¨ ul sehol sem simul” r´ a a f¨ uggv´ enyre. ”

5.4. Konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek Ebben a pontban a differenci´alsz´am´ıt´as egy u ´jabb, geometriai alklamaz´as´at mutatjuk be. A matematik´aban de pl. az optik´aban is haszn´alj´ak a konvexit´as fogalm´at. Ennek ´ertelmez´ese el˝ott ezzel kapcsolatban bevezet¨ unk egy fogalmat.

Defin´ıci´ o. Az x, y ∈ Rn vektorok (14)

αx + βy

(0 5 α, β 5 1, α + β = 1)

alak´ u line´aris kombin´aci´oit konvex kombin´ aci´ oknak nevezz¨ uk.

5. Alkalmaz´ asok

125

Az x, y ∈ Rn vektorok konvex kombin´aci´oi nyilv´an (15)

λx + (1 − λ)y = y + λ(x − y) (0 5 λ 5 1)

alakban is fel´ırhat´ok. Ebb˝ol a fel´ır´asb´ol l´athat´o, hogy n = 1, 2, 3 eset´en a fenti line´aris kombin´aci´ ok ¨osszess´ege az x ´es az y pontokat ¨osszek¨ot˝o szakasszal egyenl˝o. Ebb˝ol kiindulva — geometriai sz´ohaszn´alattal ´elve — a sz´oban forg´o halmazt n > 3 eset´en is szakasznak nevezz¨ uk.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy a H ⊆ Rn halmaz konvex, ha a H b´armely k´et pontj´at ¨osszek¨ot˝o szakasz´at tartalmazza, azaz minden x, y ∈ H pontra ´es 0 5 λ 5 1 sz´amra λx + (1 − λ)y ∈ H teljes¨ ul. A fenti ´ertelmez´es alapj´an nyilv´anval´o, hogy konvex halmazok k¨oz¨os r´esze konvex tov´abb´a az R konvex r´eszhalmazai az R-beli intervallumok (l´asd a 12. Feladatot). A monoton f¨ uggv´enyek mellett fontos szerepet j´atszanak a konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek.

Defin´ıci´ o. Legyen H ⊆ Rn konvex halmaz ´es f : H → R a H halmazon ´ertelmezett val´os f¨ uggv´eny. Akkor mondjuk, hogy az f f¨ uggv´ eny konvex, ha minden x, y ∈ H pontp´arra ´es ezek b´armely λx + (1 − λ)y (0 5 λ 5 1) konvex kombin´aci´oira (16)

f (λx + (1 − λ)y) 5 λf (x) + (1 − λ)f (y)

Ha b´armely λx + (1 − λ)y ∈ H konvex kombin´aci´ora f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy f konk´ av. Ha a fenti egyenl˝otlens´egekben az egyenl˝os´eget kiz´arjuk, a szigor´ uan konvex, ill. szigor´ uan konk´ av f¨ uggv´eny fogalm´at kapjuk. A tov´abbiakban csak R → R t´ıpus´ u konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyekkel foglalkozunk. Az R-beli konvex halmazok eml´ıtett jellemz´es´eb˝ol kiindulva intervallumon ´ertelmezett val´os f¨ uggv´enyeket vizsg´alunk. Mindenekel˝ott a konvexit´as egy geometriai ´atfogalmaz´as´at adjuk. Legyen f : I → R az I ⊆ R intervallumon ´ertelmezett konvex f¨ uggv´eny. Kiindulva az x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 pontp´arb´ol ´ırjuk fel a (16) egyenl˝otlens´eget az x ∈ (x1 , x2 ) pontban. El˝osz¨or megkeress¨ uk, hogy mely λ ∈ [0, 1] sz´amra teljes¨ ul az x = λ(x1 −x2 )+x2 −x egyenl˝os´eg. Egyszer˝ u ´atrendez´essel ad´odik, hogy λ = xx22−x , ez´ e rt az x sz´am az 1 x2 − x x − x1 , β := 1 − λ = x2 − x1 x2 − x1 nemnegat´ıv, α + β = 1 felt´etelnek eleget tev˝o egy¨ utthat´okkal el˝o´all´ıthat´o az x1 ´es x2 sz´amok konvex kombin´aci´ojak´ent: α := λ =

x = αx1 + βx2 .

126

5.4. Konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek

E jel¨ol´eseket felhaszn´alva (16) ´at´ırhat´o a k¨ovetkez˝o, (16)-tal ekvivalens alakba: (17)

x2 − x (f (x1 ) − f (x2 )) x2 − x1 f (x2 ) − f (x1 ) f (x2 ) − f (x1 ) = (x − x2 ) + f (x2 ) = (x − x1 ) + f (x1 ). x2 − x1 x2 − x1

f (x) 5 f (x2 ) + λ(f (x1 ) − f (x2 )) = f (x2 ) +

Ezt az egyenl˝otlens´eget geometriailag interpret´alva azt kapjuk, hogy az f : I → R f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor konvex, ha b´armely x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 eset´en az f grafikonj´anak {(x, f (x)) : x ∈ (x1 , x2 )} r´esze nincs az (x1 , f (x1 )), (x2 , f (x2 )) pontokat ¨osszek¨ot˝o szakasz felett. Ehhez hasonl´oan szeml´eltethet˝o a konk´av, illetve a szigor´ uan konvex ´es szigor´ uan konk´av f¨ uggv´eny fogalma. Egy tov´abbi jellemz´est fogalmazunk meg az al´abbi ´all´ıt´asban.

1. T´etel. Az f : I → R f¨uggv´eny akkor ´es csak akkor konvex, ha tetsz˝oleges x1 < y1 , y2 < x2 I-beli pontokra (18)

f (x1 ) − f (y1 ) f (x1 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (y2 ) 5 5 x1 − y1 x1 − x2 x2 − y2

teljes¨ ul. Az f akkor ´es csak akkor szigor´ uan konvex, ha a (17) ´all´ıt´as a 5 helyett a < rel´aci´oval ´all fenn. A (18) ´all´ıt´asban a 5 jelet a =, ill. a > rel´aci´oval felcser´elve a konk´avit´assal, ill. a szigor´ u konk´avit´assal ekvivalens felt´etelt kapunk. ´ s. i) Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝osz¨or, hogy f konvex. Ekkor az (x1 , f (x1 )) ´es az (x2 , f (x2 )) pontokat ¨osszek¨ot˝o h´ urra az y1 ´es az y2 pontban fel´ırva a (18) felt´etelt f (x1 ) − f (x2 ) (y1 − x1 ) + f (x1 ), x1 − x2 f (x1 ) − f (x2 ) f (y2 ) 5 (y2 − x2 ) + f (x2 ) x1 − x2 f (y1 ) 5

ad´odik. Innen y1 − x1 > 0 ´es y2 − x2 < 0 figyelembev´etel´evel egyszer˝ u ´atalak´ıt´as ut´an ad´odik a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eg. ii) Most induljunk ki abb´ol, hogy tetsz˝oleges x1 < y1 , y2 < x2 I-beli pontokra fenn´all a (18) egyenl˝otlens´eg. Ekkor y1 = y2 = x v´alaszt´as mellett (18)-b´ol azt kapjuk, hogy f (x1 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (x) 5 , x1 − x2 x2 − x ahonnan az (16)-tal ekvivalens (17) egyenl˝ os´eg egyszer˝ u ´atalak´ıt´asal k¨ovetkezik. A szigor´ uan konvex, ill. a konk´av f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o ´all´ıt´as hasonl´oan igazolhat´o. ¤

5. Alkalmaz´ asok

127

y

x a

x1

y1 y2

x2 b

1. ´abra

Differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek eset´en a deriv´alt felhaszn´alhat´o a konvexit´as jellemz´es´ere. Erre vonatkozik a

2. T´etel. Az f : (a, b) → R differenci´alhat´o f¨uggv´eny akkor ´es csak akkor konvex, ha f 0 monoton n¨ oveked˝ o, ´es akkor ´es csak akkor szigor´ uan konvex, ha f 0 szigor´ uan momoton n¨ oveked˝ o. Az f f¨ uggv´eny pontosan akkor konk´av, ha f 0 monoton fogy´ o, ´es pontosan akkor szigor´ uan konk´av, ha f 0 szigor´ uan monoton fogy´ o. ´ s. i) Tegy¨ Bizony´ıta uk fel el˝osz¨or, hogy f konvex ´es tekints¨ uk az (a, b) intervallum k´et tetsz˝oleges x1 < x2 pontj´at. Ekkor az el˝obb igazolt 1. T´etel alapj´an minden x1 < y1 , y2 < x2 eset´en fenn´all a (18) egyenl˝otlens´eg. Ebb˝ol y1 → x1 ´es y2 → x2 hat´ar´atmenettel a hat´ar´ar´ert´ek monotonit´as´ara vonatkoz´o t´etel alapj´an az f 0 (x1 ) = lim

y1 →x1

f (x1 ) − f (y1 ) f (x1 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (y2 ) 5 5 lim = f 0 (x2 ) y2 →x2 x1 − y1 x1 − x2 x2 − y2

bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´eget kapjuk. ii) Most tegy¨ uk fel, hogy f 0 monoton n¨ov˝o ´es tekints¨ unk k´et (a, b)-beli x1 < x2 pontot. Vezess¨ uk be az `(x) := f (x1 ) +

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ), x2 − x1

r(x) := f (x) − `(x) (x ∈ (a, b))

f¨ uggv´enyeket. Az r ´ertelmez´ese alapj´an nyilv´anval´o, hogy r(x1 ) = r(x2 ) = 0. Minthogy ` line´aris f¨ uggv´eny ´es f differenci´alhat´o, ez´ert r is differenci´alhat´o ´es r0 (x) = f 0 (x) −

f (x2 ) − f (x1 ) x2 − x1

(x ∈ (a, b)).

128

5.4. Konvex ´es konk´av f¨ uggv´enyek

Az r f¨ uggv´enyre az [x1 , x2 ] intervallumban — a most mondottak alapj´an — teljes¨ ulnek a Rolle-t´etel felt´etelei (r ∈ C[x1 ,x2 ] , r ∈ D(x1 ,x2 ) , r(x1 ) = r(x2 )), k¨ovetkez´esk´eppen van olyan ξ ∈ (x1 , x2 ) hely, amelyre r0 (ξ) = 0. Minthogy f 0 monoton n¨ov˝o ´es r0 ett˝ol csak konstansban k¨ ul¨onb¨ozik, ez´ert r0 is monoton n¨ov˝o, k¨ovetkez´esk´eppen r0 (x) 5 0 (x1 5 x < ξ),

r0 (x) = 0

(ξ < x 5 x2 ).

Innen k¨ovetkezik, hogy r az [x1 , ξ] intervallumban monoton fogy´o, a [ξ, x2 ] intervallumban pedig monoton n¨ov˝o. Mivel r(x1 ) = r(x2 ) = 0, ez´ert az [x1 , ξ], [ξ, x2 ] intervallumok ¨ mindegyik´en r(x) 5 0. Osszefoglalva teh´at azt kaptuk, hogy az [x1 , x2 ] intervallum minden x pontj´ aban r(x) 5 0, vagy — ami ezzel ekvivalens — f (x) 5

f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) + f (x1 ). x2 − x1

Ezzel megmutattuk, hogy f konvex. iii) Ha f 0 szigor´ uan monoton n¨ov˝o, akkor a bizony´ıt´as ii) r´esz´eben a 5 rel´aci´ot a < rel´aci´oval cser´elve fel, ad´odik a szigor´ uan konvex esetre vonatkoz´o ´all´ıt´as els˝o r´esze. iv) Ha f szigor´ uan konvex, akkor f 0 — a most bizony´ıtottak alapj´an — monoton n¨oveked˝o. Megmutatjuk, hogy minden x1 < x2 (a, b)-beli pontp´arra f (x1 ) < f (x2 ). Ellenkez˝o esetben ugyanis f 0 konstans, k¨ovetkez´esk´eppen f line´aris volna az [x1 , x2 ] intervallumban. Ez viszont nyilv´an ellentmond annak, hogy f szigor´ uan konvex. A konk´av f¨ uggv´enyekre vonatkoz´o ´all´ıt´as hasonl´oan igazolhat´o. ¤ A most igazolt t´etelt a monoton f¨ uggv´enyek deriv´altj´ara vonatkoz´o ´all´ıt´assal kombin´alva ad´odik a

2. K¨ovetkezm´eny. 2 i) Tegy¨ uk fel, hogy f ∈ D(a,b) . Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor konvex, ha minden x ∈ (a, b) pontnan f 00 (x) = 0. 2 ii) Ha f ∈ D(a,b) ´es minden x ∈ (a, b) pontban f 00 (x) > 0, akkor f szigor´ uan konvex.

A tov´abbiakban t¨obbsz¨or felhaszn´aljuk a k¨ovetkez˝o fogalmat.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : (a, b) → R f¨uggv´eny az x0 ∈ (a, b) pontban (el˝ o)jelet v´ alt, ha f (x0 ) = 0 ´es ha l´etezik olyan δ > 0 sz´ am, hogy i)

f (x) < 0 (x ∈ (x0 − δ, x0 )), vagy

ii) f (x) > 0 (x ∈ (x0 − δ, x0 )),

f (x) > 0 (x ∈ (x0 , x0 + δ)), f (x) < 0 (x ∈ (x0 , x0 + δ)).

5. Alkalmaz´ asok

129

Az i) esetben azt szoktuk mondani, hogy az f negat´ıvb´ol pozit´ıvba a ii) esetben pedig pozit´ıvb´ol negat´ıvba megy ´at.

Defin´ıci´ o. Legyen f : (a, b) → R differenci´alhat´o f¨uggv´eny. Akkor mondhatjuk, hogy az x0 ∈ (a, b) hely f -nek inflexi´ os pontja, ha a ϕ(x) := f (x) − (f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ))

(x ∈ (a, b))

f¨ uggv´eny az x0 pontban el˝ojelet v´alt. A most bevezetett fogalomnak a geonetriai tartalma a k¨ovetkez˝o: Ha pl. a ϕ f¨ uggv´eny negat´ıvb´ol pozit´ıvba megy ´at, akkor van olyan δ > 0 sz´am, hogy az f grafikonj´anak {(x, f (x)) : x ∈ (x0 − δ, x0 )} r´esze az x0 -beli ´erint˝o alatt, a grafikon {(x, f (x)) : x ∈ (x0 , x0 + δ)} r´esze pedig a sz´oban forg´o ´erint˝o felett van. Egyszer˝ uen bel´athat´o, hogy ha az f ∈ D(a,b) f¨ uggv´eny az (a, x0 ) intervallumban konvex, az (x0 , b) intervallumban pedig konk´av (vagy megford´ıtva), akkor az x0 pont az f -nek inflexi´os helye. Legyen p´eld´ aul az f f¨ uggv´eny az (a, x0 ) intervallumon konvex, ´es konk´av az (x0 , b) intervallumon. A 2. t´etel alapj´an ekkor f 0 monoton n˝o az (a, x0 ), ´es monoton cs¨okken az (x0 , b) intervallumon. Mivel ϕ0 (x) = f 0 (x) − f 0 (x0 ) (x ∈ (a, b)), ez´ert ϕ0 is monoton n˝o az (a, x0 ), ´es monoton cs¨okken az (x0 , b) intervallumon. i) Ha ϕ0 (x0 ) = 0, akkor ϕ0 monotonit´asa miatt ϕ0 (x) 5 0 (x ∈ (a, b), azaz — a 4.2./ 8. t´etel alapj´an — ϕ monoton cs¨okken az (a, b) intervallumon. Mivel ϕ(x0 ) = 0, ez´ert ϕ(x) = 0

(x ∈ (a, x0 ) ´es

ϕ(x) 5 0 (x ∈ (x0 , b),

azaz ϕ az x0 pontban val´oban el˝ojelet v´alt, teh´at az x0 pont inflexi´os pontja f -nek. ii) Ha ϕ0 (x0 ) > 0, akkor — a 4.2./ 6. t´etel alapj´an — ϕ szigor´ uan monoton n˝o az x0 pontban. Mivel ϕ(x0 ) = 0, ez´ert ez azt jelenti, hogy l´etezik δ > 0 sz´am, hogy ϕ(x) 5 0

(x ∈ (x0 − δ, x0 ) ´es ϕ(x) = 0 (x ∈ (x0 , x0 + δ),

azaz ϕ az x0 pontban val´oban el˝ojelet v´alt, teh´at az x0 pont inflexi´os pontja f -nek. iii) Ha ϕ0 (x0 ) < 0, akkoraz el˝oz˝oh¨oz hasonl´oan bel´athat´o, hogy ϕ az x0 pontban el˝ojelet v´alt. P´eld´aul a sin f¨ uggv´eny a (−π/2, 0) intervallumban konvex, a (0, π/2) intervallumban konk´av, ez´ert a sin f¨ uggv´enynek a 0 inflexi´os pontja.

130

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

y

x

2. ´abra Az intervallumra vonatkoz´o konvexit´as mellet ennek az al´abbi lok´alis v´altozat´at is szok´as ´ertelmezni.

Defin´ıci´ o. Akkor mondjuk, hogy az f : (a, b) → R differenci´alhat´o f¨ uggv´eny az x0 ∈ (a, b) pontban lok´ alisan konvex, ha l´etezik olyan δ > 0 sz´am, hogy az x0 δ-sugar´ u k¨ornyezet´enek minden pontj´aban f (x) 5 f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )

(x ∈ (x0 − δ, x0 + δ))

teljes¨ ul. Ha ez az egyenl˝otlens´eg a 5 helyett a = rel´aci´oval teljes¨ ul, akkor azt mondjuk, hogy f az x0 pontban lok´ alisan konk´ av. E definici´o geometriai tartalma a k¨ovetkez˝o: Az f grafikonj´ anak {(x, f (x)) : x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)} r´esze az x0 pontbeli ´erint˝o felett van. A most bevezetett fogalmat egybevetve az intervallumra vonatkoz´o konvexit´assal nyilv´anval´o, hogy valamely ny´ılt intervallumon konvex f¨ uggv´eny annak minden pontj´aban lok´alisan konvex. A most megfogalmazott ´all´ıt´as megford´ıt´ as´aval kapcsolatban a 13. feladatra utalunk.

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o Kor´abban bebizony´ıtottuk, hogy az f : (a, b) → R differnci´alhat´o f¨ uggv´enynek az x0 pontban sz´els˝o´ert´eke van, akkor f 0 (x0 ) = 0. Ebben a pontban lok´alis sz´els˝o´ert´ekre vonatkoz´ o el´egs´eges felt´etelt adunk.

3. T´etel. Ha f 0 az x0 ∈ (a, b) pontban el˝ojelet v´alt, akkor f -nek az x0

helyen lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. Ha f 0 az x0 -ban negat´ıvb´ol pozit´ıvba megy ´at, akkor f -nek x0 -ban minimuma van, ha pedig pozit´ıvb˝ol negat´ıvba megy ´at, akkor x0 maximum hely.

5. Alkalmaz´ asok

131

´ s. Tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy f 0 az x0 pontban negat´ıvb´ol pozit´ıvba megy ´at. Ekkor van olyan δ > 0 sz´am, hogy f 0 (x) 5 0,

ha

x0 − δ < x < x0

´es f 0 (x) = 0,

ha x0 < x < x0 + δ.

Innen k¨ovetkezik, hogy f az (x0 − δ, x0 ] intervallumban monoton fogy´o, az [x0 , x0 + δ) intervallumban pedig monoton n¨ov˝o, k¨ovetkez´esk´eppen f -nek az x0 helyen val´oban lok´alis minimuma van. Az ´all´ıt´as m´asodik r´esze hasonl´oan igazolhat´o. ¤ A most igazolt t´etelb˝ol k¨ozvetlen¨ ul ad´odik az al´abbi

3. K¨ovetkezm´eny. Ha az x0 ∈ (a, b) pontban k´etszer differenci´alhat´o f : (a, b) → R f¨ uggv´enyre f 0 (x0 ) = 0 ´es f 00 (x0 ) 6= 0, akkor f -nek az x0 helyen lok´alis sz´els˝o´ert´eke van. Ha f 00 (x0 ) > 0, akkor x0 lok´alis minimumhely, ha pedig f 00 (x0 ) < 0, akkor x0 lok´alis maximumhely. ´ s. Val´oban, ha f 00 (x0 ) > 0, akkor a 4.2. pont 6. T´etel alapj´an f 0 az x0 Bizony´ıta pontban szigor´ uan n˝o. Mivel f 0 (x0 ) = 0, ez´ert f 0 az x0 -ban negat´ıvb´ol pozit´ıvba megy ´at. Ez´ert az el˝oz˝o t´etel alapj´an x0 minimumhely. A m´asik eset hasonl´oan igazolhat´o.¤ T¨ obbsz¨ or differenci´alhat´o f¨ uggv´eny eset´eben a magasabberend˝ u deriv´alt ´es a sz´els˝o´ert´ek kapcsolat´ara vonatkozik az al´abbi

4. T´etel. Tegy¨uk fel, hogy az f : (a, b) → R f¨uggv´eny az x0 ∈ (a, b) pontban n-szer differenci´alhat´o, ahol n = 2, n ∈ N ´es legyen f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0,

f (n) (x0 ) 6= 0.

Az f f¨ uggv´enynek akkor ´es csak akkor van lok´alis sz´els˝o´ert´eke az x0 helyen, ha n p´aros. Ekkor f (n) (x0 ) > 0 eset´en az x0 lok´alis minimumhely, f (n) (x0 ) < 0 eset´en pedig lok´alis maximumhely. ´ s. Az f (n) (x0 ) > 0 felt´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy az f (n−1) az x0 pontban Bizony´ıta (szigor´ uan) n¨oveked˝o, s mivel f (n−1) (x0 ) = 0 ez´ert az f n−1 f¨ uggv´eny itt negat´ıvb´ol pozit´ıvba megy ´at. K¨ovetkez´esk´eppen van olyan δ > 0 sz´am, hogy az f (n−2) f¨ uggv´eny az (x0 − δ, x0 ] intervallumban monoton fogy´o, az [x0 , x0 + δ) intervallumban pedig monoton n¨oveked˝o. Mivel f (n−2) (x0 ) = 0, ez´ert innen ad´odik, hogy az f (n−2) f¨ uggv´eny az (x0 − δ, x0 + δ) intervalumban — az x0 helyet kiv´eve — pozit´ıv, k¨ovetkez´esk´eppen f (n−3) szigor´ uan n¨oveked˝o ebben az intervallumban. Ezt a gondolatmenetet f (n−1) helyett f (n−3) -ra megism´etelve azt kapjuk, hogy az f , f (n−3) , f (n−5) , · · · f¨ uggv´enyek az x0 pontban szigor´ uan n¨ovekednek, az f (n−2) , (n−4) (n−6) f , f , · · · f¨ uggv´enyeknek pedig az x0 helyen minimuma van. Ezt a gondo(n−1)

132

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

latmenetet lehet k¨onnyen ´attekinteni az al´abbi t´abl´azatban. x

(x0 − δ, x0 )

f (n)

x0

(x0 , x0 + δ)

+

f (n−1)

−

% 0

+

f (n−2)

&+

0

%+

f (n−3)

%−

0

%+

f (n−4)

&+

0

%+

f (n−5)

%−

0

%+

.. .

.. .

.. .

.. .

A mondottakb´ol k¨ovetkezik, hogy p´aros n eset´en az x0 lok´alis minimumhely, p´aratlan n eset´en pedig az f f¨ uggv´eny az x0 helyen szigor´ uan n¨oveked˝o, k¨ovetkez´esk´eppen itt nem lehet sz´els˝o´ert´eke. Az f (n) (x0 ) < 0 esetben az el˝oz˝oh¨oz hasonl´oan igazolhat´o az ´all´ıt´as. ¤ A k¨ovetkez˝o t´etelben az inflexi´os pont l´etez´es´ere vonatkoz´oan adunk egy sz¨ uks´eges ´es egy el´egs´es felt´etelt.

5. T´etel. Legyen f : (a, b) → R. 2 i) Ha f k´etszer folytonosan differenci´alhat´o (f ∈ D(a,b) ,f 00 ∈ C(a,b) ) ´es ha f -nek az x0 ∈ (a, b) hely inflexi´os pontja, akkor f 00 (x0 ) = 0. ii) Ha f h´aromszor folytonosan differenci´alhat´o az (a, b) intervallumon ´es az x0 ∈ (a, b) pontban f 00 (x0 ) = 0 tov´abb´a f (3) (x0 ) 6= 0, akkor x0 az f -nek inflexi´os pontja.

´ s. Ad i). Indirekt m´odon bizony´ıtunk. Az ´all´ıt´assal ellent´eteben tegy¨ Bizony´ıta uk fel, hogy f 00 (x0 ) 6= 0. Az f 00 folytonos az x0 pontban, ez´ert a fokozatos v´altoz´as tulajdons´aga alapj´an k¨ovetkezik, hogy x0 -nak van olyan Kr (x0 ) k¨ornyezete, amelyben f 00 ´alland´o el˝ojel˝ u. Vegy¨ uk ´eszre, hogy n = 1, ´es a = x0 eset´en a Taylor-formul´aban fell´ep˝o Lagrangef´ele marad´ektag ´eppen az inflexi´os pont defin´ıci´oj´aban szerepl˝o ϕ f¨ uggv´ennyel egyenl˝o. Teh´at ϕ a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o fel: ϕ(x) := f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) =

f 00 (ξx ) (x − x0 )2 2

(x ∈ Kr (x0 )),

5. Alkalmaz´ asok

133

ahol ξx ∈ Kr (x0 ). Innen nyilv´anval´o, hogy a ϕ f¨ uggv´eny a Kr (x0 ) k¨ornyezetben ´alland´o el˝ojel˝ u, k¨ovetkez´esk´eppen x0 nem lehet inflexi´os pont. Az ellentmond´assal bebizony´ıtottuk az ´all´ıt´ast. Ad ii). Az f (3) folytonoss´ag´ ab´ol k¨ovetkezik— a fokozatos v´altoz´as tulajdons´aga alapj´an —, hogy x0 -nak van olyan Kr (x0 ) k¨ornyezete, amelyben f (3) ´alland´o el˝ojel˝ u. A Taylor-formul´ at n = 2 eset´en alkalmazva ´es az f 00 (x0 ) = 0 felt´etelt figyelembe v´eve azt kapjuk, hogy ϕ(x) : = f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) − =

f (3) (ξx ) (x − x0 )3 3!

f 00 (x0 ) (x − x0 )2 = 2

(x ∈ Kr (x0 )),

ahol ξx ∈ Kr (x0 ). Minthogy a jobb oldalon ´all´o f¨ uggv´eny az x0 pontban jelet v´alt, ez´ert ugyanez igaz a ϕ-re is, k¨ovetkez´esk´eppen x0 val´oban inflexi´os pont. ¤ Adott f¨ uggv´eny eset´en azokat az egyeneseket, melyeket a f¨ uggv´eny tetsz˝olegesen ” megk¨ozel´ıt, de soha nem ´er el”, aszimptot´aknak nevezz¨ uk. Ennek fajt´ait, ´es pontos ´ertelmez´es´et tartalmazza a k¨ovetkez˝o

Defin´ıci´ o. i) Akkor mondjuk, hogy az f : H → R (H ⊆ R) f¨ uggv´enynek az x0 ∈ H 0 pontban van f¨ ugg˝ oleges aszimptot´ aja, ha lim f (x) = ±∞ vagy

x→x0 +

lim f (x) = ±∞.

x→x0 −

Ekkor az x = x0 egyenes az f f¨ uggv´eny f¨ ugg˝oleges aszimptot´aja. ii) Akkor mondjuk, hogy az f : (a, +∞) → R f¨ uggv´enynek a +∞-ben van v´ızszintes aszimptot´ aja, ha l´etezik a lim f (x) = A ∈ R

x→+∞

v´eges hat´ar´ert´ek. Az y = A egyenlet˝ u egyenest az f +∞-ben vett v´ızszintes aszimptot´aj´anak nevezz¨ uk. iii) Akkor mondjuk, hogy az f : (a, +∞) → R f¨ uggv´enynek a +∞ben van ferde aszimptot´ aja, ha l´etezik olyan `(x) := ax + b (x ∈ R, a 6= 0, a, b ∈ R) line´aris f¨ uggv´eny, melyre (19)

lim (f (x) − `(x)) = 0.

x→+∞

Az ` grafikonj´at az f +∞-ben vett ferde aszimptot´aj´anak nevezz¨ uk.

134

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

A (19) alatti ´ertelmez´esb˝ol egyszer˝ uen k¨ovetkezik, hogy f -nek akkor ´es csak akkor van ferde aszimptot´aja, ha l´eteznek az a := lim

x→+∞

f (x) , x

b := lim (f (x) − ax) x→+∞

hat´ar´ert´ekek ´es az aszimptota defin´ıci´oj´aban szerepl˝o line´aris f¨ uggv´eny: `(x) = ax+b (x ∈ R). Val´oban, hiszen µ µ ¶ ¶ f (x) lim (f (x) − ax − b) = lim x −a −b =0 x→+∞ x→+∞ x hat´ar´ert´ek csak akkor teljes¨ ulhet, ha lim

x→+∞

f (x) x

−a=0

A fenti ´ertelmez´esben f : (−∞, a) → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyekb˝ol kiindulva ´es a +∞ helyen vett hat´ar´ert´eket a −∞-beli hat´ar´ert´ekkel felcser´elve megkapjuk a −∞-ben vett ferde/v´ızszintes aszimptota defin´ıci´oj´at. Az eddig ismertetett t´etelek alapj´an v´alaszt tudunk adni azokra a k´erd´esekre, amelyeket R → R t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek grafikonj´aval kapcsolatban szok´as feltenni. Az ilyen t´ıpus´ u f¨ uggv´enyek diszkusszi´oj´an — els˝osorban — az al´abbi k´erd´esek megv´alaszol´as´at ´ertj¨ uk: ◦ Vannak-e a f¨ uggv´enynek abszol´ ut ´es lok´alis maximum ´es minimum helyei ? ◦ A f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya felbonthat´o-e olyan intervallumokra, amelyekben a f¨ uggv´eny monoton ? ◦ A f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya felbonthat´o-e olyan intervallumokra, amelyekben a f¨ uggv´eny konvex, ill. konk´av ? ◦ Vannak-e a f¨ uggv´enynek z´erushelyei ´es inflexi´os pontjai ? ◦ A f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´anak torl´od´asi pontjaiban l´etezik-e a hat´ar´ert´eke ? ◦ Vannak-e a f¨ uggv´enynek aszimptot´ai ? 1.

2.

3.

4.

Az al´abbiakban le´ırjuk a teljes f¨ uggv´enyvizsg´alat (f¨ uggv´enydiszkusszi´o) l´ep´eseit. Meghat´arozzuk a f¨ uggv´eny (f ) ´ertelmez´esi tartom´any´at (tov´abbiakban H). Megvizsg´aljuk a f¨ uggv´eny szimmetriatulajdons´agait (parit´as: p´aros, p´aratlan), periodicit´as´at, folytonoss´ag´at, differenci´alhat´os´ag´at. Kisz´amoljuk a f¨ uggv´eny deriv´altj´at azon a halmazon, melyen differenci´alhat´o. Megkeress¨ uk a deriv´alt z´erushelyeit, ´es a deriv´alt el˝ojel´eb˝ol k¨ovetkeztet¨ unk a f¨ uggv´eny¨ unk monotonit´as´ara, ´es sz´els˝o´ert´ekeire. Kisz´amoljuk a f¨ uggv´eny m´asodik deriv´altj´at azon a halmazon, melyen differenci´alhat´o. Megkeress¨ uk a m´asodik deriv´alt z´erushelyeit, ´es a deriv´alt el˝ojel´eb˝ol k¨ovetkeztet¨ unk a f¨ uggv´eny¨ unk konvexit´as´ara, ´es inflexi´os pontjaira. Az inflexi´os pontban kisz´am´ıtjuk az ´els˝o deriv´alt ´ert´ek´et, ´ıgy tudjuk, hogy mekkora a meredeks´ege az inflexi´os pontba h´ uzott ´erint˝onek. Kisz´amoljuk a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´ek´et az (1) x0 ∈ R pontban, ha

5. Alkalmaz´ asok

135

◦ x0 szingul´aris pontja a f¨ uggv´enynek (x0 ∈ H 0 , de x0 ∈ / H), ◦ x0 szingul´aris ponte a f¨ uggv´enynek (x0 ∈ H, de f ∈ / Cx0 ), (2) ±∞ helyen, ha ±∞ ∈ H 0 . 5. Kisz´amoljuk a f¨ uggv´eny deriv´altj´anak (f 0 ) hat´ar´ert´ek´et az x0 pontban, ha ◦ a f¨ uggv´eny nem differenci´alhat´o az x0 pontban, de folytonos (f ∈ / Dx0 , de f ∈ Cx0 ), ◦ a f¨ uggv´eny nem differenci´alhat´o az x0 pontban, de l´etezik abban a pontban legal´abb f´eloldali v´eges hat´ar´ert´eke (f ∈ / Dx0 , de ∃ ( lim f (x) < ∞, vagy lim f (x) < x→x0 +

x→x0 −

∞)). 6. Amennyiben a f¨ uggv´enynek ±∞-ben plusz / m´ınusz v´egtelen a hat´ar´ert´eke, megvizsg´aljuk, van-e ferde aszimptot´aja. 7. Az els˝o hat pont eredm´enyei alapj´an ´abr´azoljuk a f¨ uggv´enyt. 8. Leolvassuk a grafikonr´ol a f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´et. Amennyiben nem tudjuk a f¨ uggv´eny hozz´arendel´esi szab´aly´ab´ol meg´allap´ıtani, hogy h´any z´erushelye van, a grafikonr´ol leolvashatjuk. Az k¨ovetkez˝o h´arom p´eld´an bemutatjuk a f¨ uggv´enydiszkusszi´o most v´azolt menet´et. 1. P´ elda ´ Abr´azoljuk az f (x) :=

x(x2 + 1) x2 − 1

f¨ uggv´enyt. 1) Nyilv´anval´o, hogy Df = R \ {1, −1}. f p´aratlan, azaz minden x ∈ Df eset´en −x ∈ Df , ´es f (−x) =

−x((−x)2 + 1) −x(x2 + 1) = = −f (x) (−x)2 − 1 x2 − 1

(x ∈ Df ).

Ez´ert a f¨ uggv´eny vizsg´alat´an´al el´eg a [0, ∞) \ {1} halmazra szor´ıtkozni. f nyilv´an nem periodikus, ´es a m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an ´ertelmez´esi tartom´any´an folytonos ´es deriv´alhat´o. Ennek a f¨ uggv´enynek k¨onny˝ u meghat´arozni z´erushely´et is, nyilv´an egyetlen z´erushelye az x = 0 pont. 2) A differenci´al´asi szab´alyok alapj´an deriv´aljuk a f¨ uggv´enyt: f 0 (x) =

(3x2 + 1)(x2 − 1) − (x3 + x)(2x) x4 − 4x2 − 1 = (x2 − 1)2 (x2 − 1)2

(x ∈ Df ).

f 0 z´erushelye megegyezik a sz´aml´al´o z´erushely´evel, ami egy x2 -ben m´asodfok´ u polinom, teh´at z´erushelye k¨onnyen meg´allap´ıthat´o. Figyelembe v´eve, hogy x2 = 0, ´es x = 0, √ q √ √ 4 ± 32 2 (x )p,m = = 2 ± 2 2, x1,2 = ± 2 + 2 2, 2 p √ egyetlen pozit´ıv gy¨oke van az f 0 f¨ uggv´enynek, nevezetesen x1 := 2 + 2. Ennek alapj´an az f 0 a [0, 1), (1, x1 ) ´es az (x1 , ∞) intervallumon ´alland´o el˝ojel˝ u. Mag´at az el˝ojelet

136

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

p p √ √ √ k¨onnyen megkaphatjuk, p´eld´aul a sz´aml´al´o (x+ 2 + 2 2)(x− 2 + 2 2)(x2 −2+2 2) szorzatt´a alak´ıt´as´ab´ol. Ennek alapj´an f 0 (x) > 0, ha x > x1 ´es f 0 (x) < 0, ha x ∈ [0, x1 ), x 6= 1. Az f f¨ uggv´eny teh´at a [0, 1) ´es (1, x1 ] intervallumokon szigor´ uan monoton fogy´o, az [x1 , ∞) intervallumban pedig szigor´ uan monoton n¨ov˝o. Az x1 helyen az f -nek lok´alis minimuma van. 3) Az f m´asodik deriv´altja: f 00 (x) =

(4x3 − 8x)(x2 − 1)2 − (x4 − 4x2 − 1) · 2 · (x2 − 1)2x 4x(x2 + 3) = (x2 − 1)4 (x2 − 1)3

(x ∈ Df ).

Minthogy az x2 + 3 t´enyez˝o mindig pozit´ıv az f 00 el˝ojele k¨onnyen meg´allap´ıthat´o: f 00 (x) < 0,

ha

x ∈ (0, 1),

f 00 (x) > 0,

ha

x > 1,

´es f 00 (0) = 0.

Innen k¨ovetkezik, hogy f a (0, 1) intervallumon konk´av, az (1, ∞) intervallumonn pedig konvex. Mivel f 00 a 0 pontban el˝ojelet v´alt, ez´ert itt inflexi´os pontja van. Az inflexi´os pontban az ´erint˝o ir´anytangense f 0 (0) = −1. A 2., 3. pont eredm´enyeit c´elszer˝ u egy t´abl´azatban is ¨osszefoglalni:

x f0 f 00 f f

0 −1 0 0 inflexi´os pont

(0, 1) − − & _

1 szingul´aris szingul´aris szingul´aris szingul´aris

pont pont pont pont

(1, x1 ) − + & ^

x1 0 + lok. min. ≈ 3, 33

(x1 , +∞) + + % ^

4) Minthogy f folytonos a Df minden pontj´aban, ez´ert ezekben a hat´ar´ert´ek a f¨ uggv´eny´ert´ekkel egyenl˝o. Az ´ertelmez´esi tartom´anynak a Df pontjait´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o torl´od´asi pontjaiban a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke: x(x2 + 1) = −∞, mert lim x(x2 + 1) = 2, lim x2 − 1 = 0− x→1− x→1− x2 − 1 x→1 x→1− 2 x(x + 1) lim f (x) = lim = ∞, mert lim x(x2 + 1) = 2, lim x2 − 1 = 0+ x→1 x→1+ x→1+ x→1+ x2 − 1 (x + x1 ) x(x2 + 1) lim f (x) = lim = lim = +∞. x→+∞ x→+∞ x2 − 1 x→+∞ 1 − 12 x lim f (x) = lim

5) Mivel f ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban differenci´alhat´o, ´es a 4)-es pontban nem kaptunk v´eges helyen v´eges hat´ar´ert´eket, ez´ert nem kell f 0 hat´ar´ert´ek´et vizsg´alni.

5. Alkalmaz´ asok

137

6) Mivel lim f (x) = +∞, ez´ert keres¨ unk aszimptot´at. Mivel x→+∞

1 x2 ) = 1 x2 ( x2 ) lim x→+∞ 1 − 12 x

(1 + f (x) x2 + 1 = lim 2 = lim x→+∞ x x→+∞ x − 1 x→+∞ 1 − lim

lim (f (x) − x) = lim

x→+∞

x→+∞

2x = x2 − 1

1, = 0,

ez´ert f -nek a +∞-ben van ferde aszimptot´aja ´es `(x) = x (x ∈ R). 7) f grafikonj´at a k¨ovetkez˝o ´abr´an szeml´eltetj¨ uk:

y

0 -1

1

x1

3. ´abra 8) Az ´abr´ar´ ol leolvashatjuk, hogy f ´ert´ekk´eszlete a val´os sz´amok halmaza. 2. P´ elda ´ Abr´azoljuk az 2

f (x) := e−x f¨ uggv´eny grafikonj´at.

x

138

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

1) Nyilv´anval´o, hogy Df = R f p´aros, azaz minden x ∈ Df eset´en −x ∈ Df , ´es 2

2

f (−x) = e−(−x) = e−x = f (x)

(x ∈ Df ).

Ez´ert a f¨ uggv´eny vizsg´alat´an´al el´eg a [0, ∞) halmazra szor´ıtkozni. f nyilv´an nem periodikus, ´es a m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an ´ertelmez´esi tartom´any´an folytonos ´es deriv´alhat´o. Ennek a f¨ uggv´enynek nincs z´erushelye, mert az exponenci´alis f¨ uggv´eny nem veszi fel a nulla ´ert´eket. 2) A differenci´al´asi szab´alyok alapj´an deriv´aljuk a f¨ uggv´enyt: 2

f 0 (x) = e−x · (−2x),

(x ∈ R).

Nyilv´anval´ o, hogy f 0 (x) > 0,

f 0 (x) < 0,

ha x < 0,

ha x > 0,

f 0 (x) = 0,

ha x = 0.

Az f f¨ uggv´eny teh´at a [0, +∞) intervallumon szigor´ uan monoton fogy´o, a (−∞, 0] intervallumban pedig szigor´ uan monoton n¨ov˝o. A 0 pontban az f -nek lok´alis maximunma van. A szimmetriatulajdons´ag miatt el´eg lett volna a monotonit´ast is a [0, +∞) intervallumon vizsg´alni. 3) Az f m´asodik deriv´altja: 2

2

2

f 00 (x) = e−x · (−2x) · (−2x) + e−x · (−2) = 2(2x2 − 1)e−x

(x ∈ R).

Mivel az exponenci´alis f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete a pozit´ıv val´os sz´amok halmaza, ez´ert f 00 2 csak akkor nulla, ha 2x − 1 = 0, ´es el˝ojel´et is ennek a m´asodfok´ u f¨ uggv´enynek az el˝ojele hat´arozza meg. Teh´at f 00 (x) = 0, ha x1 = √12 , ´es f 00 (x) > 0,

1 ha 0 < x < √ , 2

f 00 (x) < 0,

1 ha x ∈ ( √ , ∞). 2

Innen k¨ovetkezik, hogy f a (0, x1 ) intervallumon konvex, az (x1 , +∞) intervallumon pedig konk´av. Mivel f 00 az x1 pontban el˝ojelet v´alt, p ez´ert itt inflexi´os pontja van. Az inflexi´os pontban az ´erint˝o ir´anytangense f 0 (x1 ) = − 2/e. A 2., 3. pont eredm´enyeit c´elszer˝ u egy t´abl´azatban is ¨osszefoglalni: x f0 f 00 f f

0 0 − lok. max. 1

(0, √12 ) − − & _

√

√1 2

− 2 e−1/2 0 & inflexi´os pont

( √12 , ∞) − + & ^

5. Alkalmaz´ asok

139

4) Minthogy f folytonos a Df minden pontj´aban, ez´ert ezekben a hat´ar´ert´ek a f¨ uggv´eny´ert´ekkel egyenl˝o. Az ´ertelmez´esi tartom´anynak a Df pontjait´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o torl´od´asi pontjaiban a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke: 2

lim f (x) = lim e−x = 0,

x→+∞

x→+∞

mert lim −x2 = −∞, ´es lim y → −∞ey = 0. x→+∞

5) Mivel f minden¨ utt differenci´alhat´o, nem kell f 0 hat´ar´ert´ek´et vizsg´alni. 6) Mivel lim f (x) = 0, ez´ert a f¨ uggv´enynek v´ izszintes aszimptot´aja van a +∞-ben. x→+∞

7) A fentiek figyelembev´etel´evel az f grafikonj´at az al´abbiakban szeml´eltetj¨ uk:

y

− √12

− √12

x

4. ´abra 8) Az ´abr´ar´ ol leolvashatjuk, hogy f ´ert´ekk´eszlete a (0, 1] intervallum. 3. P´ elda Jellemezz¨ uk az f (x) = arcsin

2x 1 + x2

f¨ uggv´enyt! ´ 1.) f (x) egy ¨osszetett inverztrigonometrikus racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny. Ertelmez´ esi tartom´anya a val´ os sz´amok halmaza, mivel az al´abbi egyenl˝otlens´g b´armely x ∈ R eset´en teljes¨ ul: 2x 51 1 + x2 −1 − x2 5 2x 5 1 + x2 −1 5

−(1 + x2 + 2x) 5 0 5 (1 + x2 − 2x) −(1 + x)2 5 0 5 (1 − x)2 .

140

5.5. F¨ uggv´enydiszkusszi´o

2x =0 1 + x2 akkor ´es csak akkor, ha 2x/(1 + x2 ) = 0, azaz ha x = 0, ´es arcsin 0 = 0. Teh´at a g¨orbe a tengelyeket az orig´oban metszi. Mivel minden x ∈ Df eset´en −x ∈ Df , ´es A tengelypontokat az f (x) = 0 ´es x = 0 helyettes´ıt´essel kaphatjuk meg. arcsin

f (−x) = arcsin

−2x 2x = − arcsin = −f (x), 2 1 + (−x) 1 + x2

´ıgy a f¨ uggv´eny p´aratlan, ez´ert elegend˝o csak a [0, +∞) intervallumon vizsg´alni. f nyilv´an nem periodikus, ´es a m˝ uveleti tulajdons´agok alapj´an ´ertelmez´esi tartom´any´an folytonos, a x = ±1 helyen k´ıv¨ ul pedig minden¨ utt differenci´alhat´o. 2) A differenci´al´asi szab´alyok alapj´an deriv´aljuk a f¨ uggv´enyt az R \ {±1} halmazon: 1

f 0 (x) = s 1−

4x2 (1 + x2 )2

2(1 + x2 ) − 2x · 2x · = (1 + x2 )2

s

(1 + x2 )2 2(1 − x2 ) · = (1 − x2 )2 (1 + x2 )2

  

2 , 2 1 − x2 2 1 + x2 2 = · = sign(1 − x ) =  |1 − x2 | 1 + x2 1 + x2 − 2 , 1 + x2

ha − 1 < x < 1 ha x < −1 vagy x > 1.

L´athat´o, hogy az f 0 f¨ uggv´eny nem veszi fel a nulla ´ert´eket, ´es mivel 1 + x2 > 0 (x ∈ R), 0 ´ıgy f (x) > 0 ha x ∈ (−1, 1) ´es f 0 (x) < 0, ha x ∈ (−∞, −1) ∪ (1 + ∞), azaz f szigor´ uan monoton n˝o, a (−1, 1) intervallumon, ´es szigor´ uan monoton cs¨okken a (−∞, −1), (1, +∞) intervallumokon. A f¨ uggv´eny nem differenci´alhat´o az x1,2 = ±1 pontokban, de a f¨ uggv´eny folytonoss´ag´ab´ol ´es monotonit´as´ab´ol k¨ovetkezik, hogy , hogy a x1 = 1 pont helyi maximum-, m´ıg az x2 = −1 pont helyi minimum hely. 3) f 0 a ±1 pontokon k´ıv¨ ul differenci´alhat´ o, ´es  4x  , − 1 + x2 f 00 (x) =   4x , 1 + x2

ha − 1 < x < 1, ha x < −1 ∨ x > 1.

Az f 00 (x) = 0 egyenl˝os´eg akkor ´es csak akkor teljes¨ ul, ha x = 0, teh´at a f¨ uggv´enynek x = 0 helyen inflexi´os pontja lehet. f 00 el˝ojel´et a sz´aml´al´o el˝ojele egy´ertelm˝ uen meghat´arozza, azaz f 00 (x) > 0 ha x > 1 00 vagy x ∈ (−1, 0), ´es f (x) < 0 ha x ∈ (0, 1) ∪ (−∞, −1). Innen k¨ovetkezik, hogy f a (−∞, 1), (0, 1) intervallumokon konk´av, az (−1, 0), (1, +∞) intervallumokon pedig konvex. Mivel f 00 a 0 pontban el˝ojelet v´alt, ez´ert itt inflexi´os pontja van. Az inflexi´os pontban az ´erint˝ o ir´anytangense f 0 (0) = 2. A 2., 3. pont eredm´enyeit c´elszer˝ u egy t´abl´azatban is ¨osszefoglalni:

5. Alkalmaz´ asok

141

x 0 (0, 1) 1 (1, ∞) f0 2 + szingul´aris pont − f 00 0 − szingul´aris pont + f % % lok. max. & f infl. pont _ π/2 ^ 4) Minthogy f folytonos a Df minden pontj´aban, ez´ert ezekben a hat´ar´ert´ek a f¨ uggv´eny´ert´ekkel egyenl˝o. Az ´ertelmez´esi tartom´anynak a Df pontjait´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o torl´od´asi pontjaiban a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke — kihaszn´alva az arcsin f¨ uggv´eny folytonoss´ag´at—: lim arcsin

x→±∞

2x = lim arcsin x→±∞ 1 + x2

1 x2

2 x

+1

= 0.

5) Mivel f a ±1 pontokban nem differenci´alhat´o, de folytonos, ez´ert c´elszer˝ u f0 hat´ar´ert´ek´et vizsg´alni ezekben a pontokban. (A parit´as miatt elegend˝o az egyik pontban megvizsg´alni a hat´ar´ert´eket). −2 = −1 ´es x→1+ 1 + x2

lim f 0 (x) = lim

x→1+

2 = 1. x→1− 1 + x2

lim f 0 (x) = lim

x→1−

Ez azt jelenti, hogy az egy pontban a f¨ uggv´enynek a baloldali ´erint˝oje egy +1 meredeks´eg˝ u, a jobboldali ´erint˝oje pedig egy −1 meredeks´eg˝ u egyenes. 6) Mivel lim f (x) = 0, ez´ert a f¨ uggv´enynek v´ızszintes aszimptot´aja van a ±∞-ben. x→±∞

7) A fentiek figyelembev´etel´evel az f grafikonj´at az al´abbiakban szeml´eltetj¨ uk: 8) Az ´abr´ar´ ol leolvashatjuk, hogy f ´ert´ekk´eszlete a [− π2 , π2 ] intervallum.

5.7. Feladatok 1. Igazoljuk, hogy az f (x) := xα

(x ∈ (0, ∞), α > 1),

g(x) := exp(x) (x ∈ R),

h(x) := x ln x (x ∈ (0, ∞)) f¨ uggv´enyek konvexek. 2. Igazoljuk, hogy az f (x) := xα

(x ∈ (0, ∞), 0 < α < 1),

g(x) := ln x (x ∈ (0, ∞))

142

5.7. Feladatok

f¨ uggv´enyek konk´avok. 3. Igazoljuk az al´abbi egyenl˝otlens´egeket: µ ¶n x+y xn + y n a) < (x, y > 0, x 6= y, n > 1), 2 2 µ ¶ x+y exp(x) + exp(y) b) exp < (x, y ∈ R, x 6= y), 2 2 µ ¶ x+y < x ln x + y ln y (x, y > 0, x 6= y), c) (x + y) ln 2 d) xλ1 y λ2 5 λ1 x + λ2 y

(λ1 = 0, λ2 = 0, λ1 + λ2 = 1, x, y > 0).

4. Hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket a L’Hospital-szab´aly seg´ıts´eg´evel: a) c)

cosh(x) − cos x , x2 tg x − x lim , x→0 x − sin x lim

x→0

1

b) d)

lim x 1−x , x→1 ¶x µ 1 , g) lim ln x→0+ x ln x i) lim α (α > 0), x→∞ x 2 e−1/x k) lim 100 , x→0 x (1 + x1/x ) − e m) lim , x→0 x ln(1 − x) + x2 o) lim , x→0 (1 + x)5 − 1 + x2 tg x − 1 , q) limπ x→ 4 sin 4x ln cos 3x s) lim , x→0 ln cos 9x

f)

u)

v)

e)

x)

lim (x − ln x),

x→+∞

1

lim (cos x) sin x ,

x→0

h) j) `) n) p) r) t)

z)

x tg x − 1 , x2 1 − cos x2 lim 2 , x→0 x sin x2 ax − asin x lim (a > 0), x→0 x3 lim

x→0

lim ln x · ln(1 − x),

x→1−

xn x→∞ eax lim

(a > 0, n > 0),

lim x2 e−0.1x ,

x→∞

xlg x , x→∞ (ln x)x tg x − 1 + cos 3x lim , x→0 ex − e−x ex − e−x − 2x lim x→0 x − sin x lim

πx

lim (2 − x)tg 2 , ¶x µ 2 lim arctg x , x→∞ π ¶x2 µ 3 lim cos . x→∞ x

x→1

5. ´Irjuk fel az al´abbi f f¨ uggv´enyek adott a helyhez tartoz´o n-edik Taylor-polinomj´at, ´es

5. Alkalmaz´ asok

143

a Lagrange-f´ele marad´ektagot: a) b)

1 + x + x2 (n = 3, a = 0), 1 − x + x2 p p 3 f (x) := 1 − 2x + x3 − 1 − 3x + x2 f (x) :=

c) f (x) := e

2x−x2

(n = 3, a = 0),

(n = 5, a = 0),

d) f (x) := sin(sin x) (n = 3, a = 0), sin x e) f (x) := ln (n = 6, a = 0), √ x f ) f (x) := x (n = 3, a = 1), g) f (x) := xx − 1

(n = 3, a = 0).

6. Milyen pontoss´aggal teljes¨ ulnek az al´abbi k¨ozel´ıt˝o egyenl˝os´egek az adott intervallumban ? a)

sin x ≈ x −

b) tgx ≈ x +

x3 6

x3 3

(|x| 5

1 ), 2

(|x| 5 0.1),

x2 (|x| 5 0.2), 2 √ x x2 1+x≈1+ − d) (0 5 x 5 1), 2 8 x2 (|x| 5 0.2). e) cos x ≈ 1 − 2

c)

7. Igazoljuk, hogy

ex ≈ 1 + x +

¯√ ¯n n ¯ a +x−a−

x ¯¯ n − 1 x2 , ¯5 nan−1 2n2 a2n−1

ha n = 2, a > 0, x > 0. 8. A Taylor-formula felhaszn´al´as´aval hat´arozzuk meg az al´abbi sz´amokat adott r pontoss´aggal: a) e (r = 10−9 ), √ d) 5 (r = 10−5 ),

b)

sin 1◦

(r = 10−8 ),

e) lg 11 (r = 10−5 ),

c)

cos 9◦

f ) ln 1.2

(r = 10−5 ), (r = 10−3 ).

9. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek a k¨or¨ uli n-ed fok´ u Taylor-polinomj´at ´es a marad´ek tagot: 1 a = −2, x √ d) f (x) = x a = 0,

b)

a) f (x) =

e)

f (x) = sin2 x a =

f (x) = ln(1 + x)

π , 2

a = 0,

1 a = 0, 1−x 1 f ) f (x) = a = 0. 1 + x2 c) f (x) =

144

5.7. Feladatok

Hat´arozzuk meg mindegyik f¨ uggv´eny eset´en, hogy hanyadfok´ u Taylor-polinomja k¨ozel´ıti meg a f¨ uggv´enyt 10−3 pontoss´aggal az (a − 1/2, a + 1/2) intervallumon, illetve, hogy negyedfok´ u Taylor-polinomja mekkora intervallumon k¨ozel´ıti meg a f¨ uggv´enyt 10−2 pontoss´aggal. 10. Bizony´ıtsuk be a Taylor-formula seg´ıts´eg´evel az al´abbi egyenl˝otlens´egeket: a) ex 5 1 + x

(x ∈ R),

c) ex 5 1 + x +

x3 x2 + , 2 6

x2 (x 5 0), 2 x2 π d) cos x 5 1 − (0 = x = ). 2 2 b) ex 5 1 + x +

(x ∈ R),

11. A Taylor-formula alkalmaz´as´aval hat´arozzuk meg az al´abbi hat´ar´ert´ekeket. 2

cos x − e−x /2 a) lim , x→0 x4 x e sin x − x(1 + x) , b) lim x→0 x3 √ ¡√ √ ¢ c) lim x3/2 x+1+ x−1−2 x , x→∞ ´ ³ p x d) lim (x3 − x2 + )e1/x − x6 + 1 , x→∞ 2 ax + a−x − 2 e) lim (a > 0), 2 x→0 ¶¶ µ x µ 1 2 f ) lim x − x ln 1 + , x→∞ x µ ¶ 1 1 g) lim − , x→0 x sin x sin x

h)

1 − (cos x) x→0 x2 lim

12. Legyen

½ f (x) :=

e−1/x 0,

.

2

(x ∈ R, x 6= 0), (x = 0).

i) Teljes indukci´ot haszn´alva igazoljuk, hogy minden n term´eszetes sz´amra f

(n)

−1/x2

(x) = e

µ ¶ 1 Pn x

(x ∈ R, x 6= 0),

ahol Pn egy polinom. ii) Ennek alapj´an mutassuk meg, hogy f ∈ D∞ (R) ´es f (n) (0) = 0 (n = 1, 2, · · · ). 13. Igazoljuk, hogy a H ⊆ R halmaz akkor ´es csak akkor konvex, ha intervallum.

5. Alkalmaz´ asok

145

14. Legyen

½

x2 (2 + sin 1/x) (x ∈ R, x 6= 0), 0, (x = 0). Igazoljuk, hogy f lok´alisan konvex a 0 pontban, de nem konvex egyetlen 0-´at tartalmaz´o intervallumban sem. 15. V´egezz¨ uk el az al´abbi f¨ uggv´enyek teljes diszkusszi´i´oj´at: f (x) :=

a) f (x) := 3x − x3 , c)

f (x) :=

2 − x2 , 1 + x4

e) f (x) := x ln x, ln x , x i) f (x) := x + e−x , g) f (x) :=

2

f (x) := e2x−x , p m) f (x) := 1 − |x2 − 1|,

k)

2

o) f (x) := xe−x , q) f (x) := esin x , s)

f (x) := ln sin x, p p u) f (x) := x2 + 1 + x2 − 1, r x−1 w) f (x) := , x+1 y) f (x) := x − 2arctg x,

b) f (x) := 1 + x2 −

x4 , 2

d) f (x) := (x + 1)(x − 2)2 , x , (1 + x)(1 − x)2

f)

f (x) :=

h)

f (x) := sin4 x + cos4 x, 2

j) f (x) := (1 + x2 )e−x , x2 − 1 , − 5x + 6 n) f (x) := sin x + cos2 x, sin x p) f (x) := , 2 + cos x ln x , r) f (x) := 1 + ln x t) f (x) := x − ln(x + 1),

`) f (x) :=

x2

1

v) f (x) := e x − x, √ x 1−x x) f (x) := , x+1 z) f (x) := arcsin(3x − 4x3 ).

16. Hat´arozzuk meg azt a legnagyobb ter¨ ulet˝ u der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨oget, amelynek ´atfog´oja c, befog´oinak ¨osszege a. 17. Adott alkot´oj´ u k´ upok k¨oz¨ ul hat´arozzuk meg a maxim´alis t´erfogat´ ut. 18. Hat´arozzuk meg az adott r sugar´ u g¨ombbe be´ırhat´o maxim´alis felsz´ın˝ u hengert. 19. Adjuk meg az R sugar´ u g¨ombbe ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´ u henger adatait. 20. Tekints¨ unk egy v kezd˝osebess´eggel ferd´en elhaj´ıtott testet. Hat´arozzuk meg, hogy a vizszinteshez viszonyitva milyen α sz¨og alatt kell elhaj´ıtani, hogy a maxim´alis t´avols´agban ´erje el u ´jb´ol a vizszintest. 21. Egy vas´ ut mellett fekv˝o A helys´egb˝ol bizonyos ´arusz´all´ıtm´anyt ir´any´ıtanak a vas´ utt´ol 9 km t´avols´agra lev˝o B helys´egbe. B-nek a vas´ utvonalra val´o vet¨ ulete A-t´ol 30 kmre van. Tudjuk, hogy 1 tonna ´aru vas´ uti sz´all´ıt´asi k¨olts´ege α, teherg´epkocsival val´o

146

5.7. Feladatok

sz´all´ıt´asi k¨olts´ege pedig β (α < β). Hat´arozzuk meg a vas´ utnak azt a pontj´at, ahonnan a B elys´egbe vezet˝o egyenes u ´tnak kiindulnia kell ahhoz, hogy a sz´all´ıt´as a lehet˝o legolcs´obb legyen. 22. Valaki egy gyalog´ ut A pontj´ab´ol egy ett¨ol a, a gyalog´ utt´ol b t´avols´agra l´ev˝o B pontj´aba akar a legr¨ovidebb id˝o alatt eljutni. Mikor t´erjen le a gyalog´ utr´ol, ha ott m´asf´elszer olyan gyorsan halad, mint az utat szeg´elyez˝o terepen? 23. Adott az y 2 = 2px egyenlet˝ u parabola, ahol p > 0. Hat´arozzuk meg a parabola tengely´ere mer˝oleges alap´ u parabola szeletbe be´ırhat´o legnagyobb ter¨ ulet˝ u t´eglalapot, ha a parabola szelet alapj´anak a cs´ ucst´ol m´ert t´avols´aga h. 24. Mekkora R k¨ uls˝o ellen´all´ason kereszt¨ ul z´arjuk az e elektromotoros erej˝ u ´es r bels˝o ellen´all´as´ u galv´anelemet, hogy a k¨ uls˝o ellen´all´as folyt´an keletkez˝o I 2 R Joule-f´ele energia maxim´alis legyen ? 25. Hat´arozzuk meg az r sugar´ u f´elg¨ombbe ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´ u n´egyzet alap´ u has´abot. 26. V´ızszintes s´ıkon ´all´o f¨ ugg˝oleges fal´ u tart´alyban m magass´agig v´ız van. A tart´aly fal´aban a v´ız szintje alatt x m´ e lys´ e gben lukat u ¨tve — a Toricelli-f´ele t¨orv´eny alapj´an √ — a ki´araml´o v´ız sebess´ege 2gx, ahol g a gravit´aci´os ´alland´o. Az x milyen ´ert´eke mellett jut el a v´ızsug´ar a legmesszebbre ? 27. H´arom darab a sz´eless´eg˝ u deszkalapb´ol k´esz´ıts¨ unk trap´ez keresztmetszet˝ u v´aly´ ut. Milyen α sz¨og alatt hajoljanak az oldallapok, hogy a v´aly´ u keresztmetszete, azaz a trap´ez ter¨ ulete, maxim´alis legyen ? 28. Osszuk fel a 4-et k´et r´eszre u ´gy, hogy az egyik r´esz n´egyzet´enek ´es a m´asik r´esz k¨ob´enek ¨osszege maxim´alis legyen . 29. Legyen a > 0 egy adott val´os sz´am ´es m, n ∈ N. Ha x ´es y olyan val´os sz´amok, melyekre x + y = a, az xm · y n szorzat milyen esetben lesz a legnagyobb? 30. Hat´arozzuk meg az adott R alapsugar´ u, M magass´ag´ u k´ upba ´ırhat´o a) legnagyobb t´erfogat´ u, b) legnagyobb pal´ast´ u hengert. 31. Hat´arozzuk meg az y 2 = 8x parabola azon pontj´at, amely a (6, 0) pontt´ol a legkisebb t´avols´agra van. 32. Egy a alap´ u ´es m magass´ag´ u ´altal´anos h´aromsz¨ogbe szerkeszz¨ unk olyan legnagyobb ter¨ ulet˝ u paralelogramm´at, melynek egyik oldala a h´aromsz¨og alapj´an fekszik. (H´any megold´asa van a feladatnak?) 33. Hat´arozzuk meg az r sugar´ u f´elg¨omb k¨or´e ´ırt legkisebb t´erfogat´ u k´ upot! 34. Hat´arozza meg azt a P : R → R polinomf¨ uggv´enyt, amelyre a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: = 3, (i) lim Px(x) 3 x→+∞

(ii) ∀x ∈ R: P (−x) = −P (x), (iii) A Q( 23 , −2) pont helyi minimuma a f¨ uggv´enynek. 35. Hat´arozza meg azt a P : R → R polinomf¨ uggv´enyt, amelyre a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: = 1, (i) lim Px(x) 4 x→+∞

5. Alkalmaz´ asok

147

(ii) ∀x ∈ R: P (−x) = P (x), (iii) A Q(2, −16) pont inflexi´os pontja a f¨ uggv´enynek. 36. Hat´arozza meg azt a P : R → R harmadfok´ u polinomf¨ uggv´enyt, melynek a Q1 ( 32 , 2) 91 pont helyi minimuma, a Q2 (−1, 27 ) pont helyi maximuma a f¨ uggv´enynek. 2

37. Adott az f (x) = x +2ax+b (x ∈ R, a, b ∈ R, a 6= 0 ) f¨ uggv´eny. Hat´arozzuk meg az a-t x2 +1 0 ´es b-t u ´gy, hogy f (1) = 2, ´es f (2) = 0 legyen. ´abr´azoljuk az ´ıgy kapott f¨ uggv´enyt! 2 38. Adott az f (x) = x2mx−2 (x ∈ R, x + nx + 1 = 6 0, m, n ∈ R) f¨ u ggv´ e ny. Hat´arozzuk +nx+1 meg az m ´es n param´etereket u ´gy, hogy az x = 0,´es x = 2 pontokban a f¨ uggv´enynek helyi sz´els˝o´ert´eke legyen! 39. Adott az f (x) = αx(x − a)(x − b) (x ∈ R, α, a, b ∈ R) f¨ uggv´eny. Hat´arozzuk meg az a-t ´es b-t u ´gy, hogy az f f¨ uggv´enynek az x = 43 minimumpontja, az x = 6 pedig maximumpontja legyen. Hat´arozzuk meg az α ´ert´ek´et u ´gy, hogy az f f¨ uggv´eny maximuma 6 legyen. 4

x b 40. Adott az f (x) = (ax+b) uggv´eny. Hat´arozzuk 3 (x ∈ R \ {− a }, α, a, b ∈ R, a 6= 0) f¨ meg az a ´es b param´etereket u ´gy, hogy a 2x − 16y − 3 = 0 egyenlet˝ u egyenes ferde aszimptot´ aja legyen a f¨ uggv´enynek. √

λ 41. Adott az f (x) = x+1 + √x+1 (x > −1, λ > 0) f¨ uggv´eny. λ f¨ uggv´enynek van olyan minimumpontja, amely nem f¨ ugg λ-t´ol. 42. Igazoljuk, hogy a) ex = xe , b´armely x > 0 eset´en;

b) xα | ln x| 5

1 αe ,

ha 0 < x < 1´es α > 0; c) e = 1 + ln(1 + x), b´armely x > −1 eset´en; x

d)

ln x x−1

5

√1 , x

minden x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) eset´en.

Igazoljuk, hogy a