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1.
Determine en función de rg, rL, R, L y el ángulo de defasamiento entre los voltajes Vo y Vi de la figura.
Primero tenemos el modelo de cada voltaje (de entrada y salida) con su respectiva transformada de Laplace:
Vi rg i t L
di t rL i t Ri t dt
Vi s rg i s Lsi s rL i s Ri s rg Ls rL R i s Req Ls i s Vo Ri t Vo s Ri s Ahora con ellas, obtendremos la función de transferencia: R Req V Ri s R h s o L Vi Req L i s Req L 1 s Req
La función de transferencia se tendrá que poner en función de j para poder trabajar con ángulos (ya que son números complejos). R Req h jw L jw 1 Req
Como vemos, la fracción está formada por la razón de un real con un complejo, por lo que el ángulo será la suma algebraica de los ángulos del numerador con el denominador, sin embargo el ángulo del numerador es cero, entonces: 1 j
L L ang tan R Req eq
que es el ángulo de defasamiento 2.
Determine en función de rg, R, C y el ángulo de defasamiento entre los voltajes Vo y Vi de la figura.
De nueva cuenta tenemos el modelo del circuito y sus transformadas: Vi t rg i t Ri t Vo t
1 C
i t dt
Vi t rg i s Ri s Vo s
1 i t dt C
1 1 1 i s Req i s i s Req i s Cs Cs Cs
1 i s Cs
y su función de transferencia es:
h s
1 1 i s 1 Cs Cs 1 1 CReq s 1 Req i s Req Cs Cs
De igual manera que en ejemplo anterior, pondremos esta función en función de j. h j
1 CReq j 1
Y aplicando el mismo criterio de el pasado ejercicio, tendremos el siguiente ángulo.
CReq j 1 ang tan CReq
3.
Determine en función de rg, R1, rL, R2, L, C y el ángulo de defasamiento entre la corriente ie y el voltaje Vo del circuito de la figura 3, con el interruptor abierto y cerrado.
Abierto Tenemos el siguiente modelo con sus respectivas transformadas:
Vi rg i t R1i t L
di t rL i t R 2 i t dt
Vi s rg i s R1i s Lsi s rL i s R 2 i s rg R1 Ls rL R 2 i s Req Ls i s
Vo rL i t L
di t R2 i t dt
Vo s rL i s Lsi s R2 i s Obtenemos la función de transferencia y la igualamos con ella misma, expresada de diferente manera, (sólo desarrollando Vi).
h s
Vo rL R2 Ls i s Vo Req Ls i s Req Ls i s Vi
Esta expresión nos permitirá obtener la relación i/Vo
rL R2 Ls i s Vo i s i s 1 Vo rL R 2 Ls Para el ángulo, expresamos en función de j:
i j 1 Vo rL R2 L j
Y aplicamos el mismo método que hemos utilizado hasta el momento: rL R2 L j ang tan
L rL R2
Cerrado Debido a la complejidad del circuito, se hará el análisis por impedancias:
Z L Z R L Z R2 Vi s Z rg Z R1 Z C Z L ZR ZR ZC L 2
i s
Z L Z R L Z R2
Vo s Z C
i s
Z L Z R Z R ZC L 2
Siguiendo el método, tendremos la función de transferencia e igualaremos con ella misma expresada diferente:
h s
Z L Z R L Z R2
ZC
i s
Z L Z R Z R ZC L 2
Vo Vi
Z L Z R L Z R2
i s Z L Z R Z R ZC L 2
Z rg Z R1 Z C
Vo
Z L Z R L Z R2
De ahí despejaremos para obtener la relación i/Vo
ZC
Z L Z R L Z R2
Vo i s
Z L Z R Z R ZC L 2
i s Vo
1
ZC
Z L Z R L Z R2
ZL ZR ZR ZC L 2
Z L Z RL Z R2 Z C
Z C Z L Z R L Z R2
Ahora sólo remplazaremos las impedancias por su elemento:
1 2 2 Cs CLs Cs R L R 2 1 CLs CsR eq 1 Ls R L R 2 Ls Req Ls RL R2 1 Cs
Ls R L R 2
Expresaremos en función de j:
i s Z L Z R Z R ZC L 2
Z rg Z R1 Z C
CL j CReq j 1 1 CL 2 j CReq L j Req Req jL 2
Como vemos, en ambas partes de la razón hay números complejos, por lo que ahora el ángulo del numerador no será cero.
1 CL 2 j CReq 1 ang tan Req jL 2 ang tan
CReq 1 CL 2
L Req
Y aplicando la suma algebraica de los ángulos de la razón:
1 2 ang tan
CR eq 1 CL
2
ang tan
L Req